Wikibooks euwikibooks https://eu.wikibooks.org/wiki/Azala MediaWiki 1.47.0-wmf.19 first-letter Media Berezi Eztabaida Lankide Lankide eztabaida Wikibooks Wikibooks eztabaida Fitxategi Fitxategi eztabaida MediaWiki MediaWiki eztabaida Txantiloi Txantiloi eztabaida Laguntza Laguntza eztabaida Kategoria Kategoria eztabaida TimedText TimedText talk Modulu Modulu eztabaida Event Event talk 0 7366 44323 44322 2026-09-12T18:41:22Z Ksarasola 1603 /* Zenbakien sailkapena */ 44323 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|ath> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: :aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. :<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == {| class="wikitable" |- |<big><math>\pi</math></big> || Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena |} Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa R da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa C da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi znbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 eta 𝑧𝑧̅ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 == Infinituaren iraultza == {| class="wikitable" |- |<big><math>\infty</math></big> || Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? |} Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 0 sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? :irudia multzoak2 Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0 sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''”  sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2… == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturalak} \\ \mathbb{0} & \mbox{zeroa } \\ & \mbox{+ Negatibo osoak} \end{cases}\\ & \mbox{+ Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ & \mbox{+ Irrazionalak} \end{cases}\\ & \mbox{+ Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \begin{cases} \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases}\\ \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \mbox{tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} \end{cases} </math> == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' btditv55uljw78qcoj5qgvfswvtj4lw 44324 44323 2026-09-12T19:04:45Z Ksarasola 1603 /* Zenbakien sailkapena */ 44324 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|ath> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: :aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. :<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == {| class="wikitable" |- |<big><math>\pi</math></big> || Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena |} Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa R da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa C da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi znbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 eta 𝑧𝑧̅ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 == Infinituaren iraultza == {| class="wikitable" |- |<big><math>\infty</math></big> || Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? |} Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 0 sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? :irudia multzoak2 Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0 sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''”  sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2… == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak adierazi dira :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \mbox{tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: {| border ="1" | '''IZENA''' | '''SINBOLOA''' | '''ADIBIDEAK''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' htvobs22h4fapng0v0ojthfse0yfnxh 44325 44324 2026-09-12T19:06:35Z Ksarasola 1603 /* Zenbakien sailkapena */ 44325 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|ath> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: :aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. :<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == {| class="wikitable" |- |<big><math>\pi</math></big> || Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena |} Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa R da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa C da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi znbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 eta 𝑧𝑧̅ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 == Infinituaren iraultza == {| class="wikitable" |- |<big><math>\infty</math></big> || Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? |} Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 0 sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? :irudia multzoak2 Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0 sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''”  sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2… == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \mbox{tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: {| border ="1" | '''IZENA''' | '''SINBOLOA''' | '''ADIBIDEAK''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' dvxflyi94r2303bg187flceh74m6hqc 44326 44325 2026-09-12T19:17:07Z Ksarasola 1603 /* Zenbakien sailkapena */ 44326 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|ath> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: :aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. :<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == {| class="wikitable" |- |<big><math>\pi</math></big> || Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena |} Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa R da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa C da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi znbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 eta 𝑧𝑧̅ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 == Infinituaren iraultza == {| class="wikitable" |- |<big><math>\infty</math></big> || Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? |} Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 0 sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? :irudia multzoak2 Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0 sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''”  sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2… == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' eru73uxjy69zylxyrjpqhfoa63z01kp 44327 44326 2026-09-12T19:39:40Z Ksarasola 1603 44327 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|ath> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: :aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. :<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == {| class="wikitable" |- |<big><math>\pi</math></big> || Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena |} Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa R da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa C da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi znbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 eta 𝑧𝑧̅ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): 0 sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? :irudia multzoak2 Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurikkopuru trnsfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei 0 kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). 0 sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, 0. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: 1,2… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''”  sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “aleph” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: 0,1,2… == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' jtmyv6no29vt36liklmn9ls6fuz1l9z 44328 44327 2026-09-12T20:03:56Z Ksarasola 1603 /* Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza */ 44328 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|ath> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: :aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. :<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == {| class="wikitable" |- |<big><math>\pi</math></big> || Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena |} Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa R da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa C da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi znbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 eta 𝑧𝑧̅ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[Fitxategi:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|thumb|ezkerrera]] Gauza harrigarria gertatzen da: Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' ffk0mn8en8wtgwl0gs70057s7ekc04o 44329 44328 2026-09-12T21:43:04Z Ksarasola 1603 /* Zenbaki konplexuak */ 44329 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|ath> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: :aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. :<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == {| class="wikitable" |- |<big><math>\pi</math></big> || Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena |} Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa R da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa C da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: <math> z = x + yi</math> eta <math> z = x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[Fitxategi:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|thumb|ezkerrera]] Gauza harrigarria gertatzen da: Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' fho9ph7a1bv8p4e757062xv4oowoabz 44330 44329 2026-09-12T21:48:29Z Ksarasola 1603 44330 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|<math> \mathbb{Z} </math> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] Zenbaki irrazionala da “arrazionala” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: :aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. :<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == {| class="wikitable" |- |<big><math>\pi</math></big> || Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena |} Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa <math> \mathbb{R} </math> da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa <math> \mathbb{C} </math> da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: <math> z = x + yi</math> eta <math> z = x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[Fitxategi:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|thumb|ezkerrera]] Gauza harrigarria gertatzen da: Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' slxmz1nzxmrwnccp6fy2ln4qlxnqwfk 44331 44330 2026-09-12T21:54:52Z Ksarasola 1603 /* Zenbaki irrazionalak: }\sqrt{2, \pi, e, \varphi … */ 44331 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|<math> \mathbb{Z} </math> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] ''' Zenbaki irrazionala''' da “'''arrazionala'''” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: ::aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. ::<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == {| class="wikitable" |- |<big><math>\pi</math></big> || Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena |} Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek p zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa <math> \mathbb{R} </math> da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa <math> \mathbb{C} </math> da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: <math> z = x + yi</math> eta <math> z = x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[Fitxategi:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|thumb|ezkerrera]] Gauza harrigarria gertatzen da: Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' m7o32i29y9mo53q4xrr8fa8bvwfz4wo 44332 44331 2026-09-12T22:02:15Z Ksarasola 1603 /* Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan */ 44332 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|<math> \mathbb{Z} </math> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] ''' Zenbaki irrazionala''' da “'''arrazionala'''” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: ::aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. ::<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == [[Fitxategi:Oxygen480-apps-preferences-kcalc-constants.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek <math>\pi</math> zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa <math> \mathbb{R} </math> da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa <math> \mathbb{C} </math> da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: <math> z = x + yi</math> eta <math> z = x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[Fitxategi:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|thumb|ezkerrera]] Gauza harrigarria gertatzen da: Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' e3pfi2oap2h9npa1htxh3u8wd3rvqmh 44333 44332 2026-09-12T22:05:27Z Ksarasola 1603 /* Zenbaki konplexuak */ 44333 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|<math> \mathbb{Z} </math> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] ''' Zenbaki irrazionala''' da “'''arrazionala'''” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: ::aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. ::<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == [[Fitxategi:Oxygen480-apps-preferences-kcalc-constants.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek <math>\pi</math> zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa <math> \mathbb{R} </math> da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa <math> \mathbb{C} </math> da. :: Irudia bi zenbaki konplexu bektoreak Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: <math> z = x + yi</math> eta <math> z = x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[Fitxategi:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|thumb|ezkerrera]] Gauza harrigarria gertatzen da: Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' ljzgn1gbn623jccpwqhd7s72xwvo12a 44334 44333 2026-09-12T22:10:18Z Ksarasola 1603 /* Infinituaren iraultza */ 44334 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|<math> \mathbb{Z} </math> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] ''' Zenbaki irrazionala''' da “'''arrazionala'''” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: ::aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. ::<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == [[Fitxategi:Oxygen480-apps-preferences-kcalc-constants.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek <math>\pi</math> zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa <math> \mathbb{R} </math> da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa <math> \mathbb{C} </math> da. :: Irudia bi zenbaki konplexu bektoreak Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: <math> z = x + yi</math> eta <math> z = x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta <math> x \rightarrow \infty </math> gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, Georg Cantor-rek eta Richard Dedekind-ek asmatutako Multzoen Teorian, ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik,segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak aderazten du kardinala transfinitu txikiena.Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[Fitxategi:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|thumb|ezkerrera]] Gauza harrigarria gertatzen da: Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Zenbaki naturalen (X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaleka amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' oxio8m8nv2hvsar1gdse6m6uj7i7j77 44335 44334 2026-09-12T22:22:44Z Ksarasola 1603 /* Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza */ 44335 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|<math> \mathbb{Z} </math> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] ''' Zenbaki irrazionala''' da “'''arrazionala'''” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: ::aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. ::<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == [[Fitxategi:Oxygen480-apps-preferences-kcalc-constants.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek <math>\pi</math> zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa <math> \mathbb{R} </math> da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa <math> \mathbb{C} </math> da. :: Irudia bi zenbaki konplexu bektoreak Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu konjokatu adierazi dira konplexuan kolore urdinez: <math> z = x + yi</math> eta <math> z = x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta <math> x \rightarrow \infty </math> gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, [[w:Georg Cantor|Georg Cantor-rek]] eta [[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind-ek]] asmatutako [[w:Multzo-teoria|Multzoen Teorian]], ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik, segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinala transfinitu txikiena. Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[Fitxategi:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|thumb|ezkerrera]] Gauza harrigarria gertatzen da: Zenbaki naturalen (irudian X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaketa amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' jvlytl5gmsocro2hmavpmhe1ucsrmsk 44336 44335 2026-09-12T22:36:22Z Ksarasola 1603 /* Zenbaki konplexuak */ 44336 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|<math> \mathbb{Z} </math> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] ''' Zenbaki irrazionala''' da “'''arrazionala'''” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: ::aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. ::<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == [[Fitxategi:Oxygen480-apps-preferences-kcalc-constants.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek <math>\pi</math> zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa <math> \mathbb{R} </math> da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa <math> \mathbb{C} </math> da. [[Fitxategi:Negative image complex number el.svg|thumb|<math> m = x + yi</math> eta <math> m' = -x - yi</math> ]] Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu adierazi dira konplexuan kolore gorriz: <math> m = x + yi</math> eta <math> m' = -x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta <math> x \rightarrow \infty </math> gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, [[w:Georg Cantor|Georg Cantor-rek]] eta [[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind-ek]] asmatutako [[w:Multzo-teoria|Multzoen Teorian]], ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik, segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinala transfinitu txikiena. Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[Fitxategi:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|thumb|ezkerrera]] Gauza harrigarria gertatzen da: Zenbaki naturalen (irudian X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaketa amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' 8fz5k7w1gi6qiznpco742euokzaqfgb 44337 44336 2026-09-12T22:37:16Z Ksarasola 1603 /* Zenbaki konplexuak */ 44337 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|<math> \mathbb{Z} </math> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: :Irudia Pitagoras triangelu errektangelua Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] ''' Zenbaki irrazionala''' da “'''arrazionala'''” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: ::aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. ::<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == [[Fitxategi:Oxygen480-apps-preferences-kcalc-constants.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek <math>\pi</math> zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa <math> \mathbb{R} </math> da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. ::irudia lerroa Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. [[Fitxategi:Negative image complex number el.svg|thumb|<math> m = x + yi</math> eta <math> m' = -x - yi</math> ]] Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa <math> \mathbb{C} </math> da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu adierazi dira konplexuan kolore gorriz: <math> m = x + yi</math> eta <math> m' = -x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta <math> x \rightarrow \infty </math> gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, [[w:Georg Cantor|Georg Cantor-rek]] eta [[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind-ek]] asmatutako [[w:Multzo-teoria|Multzoen Teorian]], ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. :irudia multzoak A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik, segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinala transfinitu txikiena. Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[Fitxategi:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|thumb|ezkerrera]] Gauza harrigarria gertatzen da: Zenbaki naturalen (irudian X) eta zenbaki natural bikoitien (Y) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaketa amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' ihlcuhr8p1hq7baj43n6vz5ywfyodu6 44338 44337 2026-09-12T23:26:26Z Ksarasola 1603 44338 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|<math> \mathbb{Z} </math> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: [[File:Pitagoras - irrational number.png|thumb|Pitagorasen teorema erabiliz zenbaki irrazional bat sortzen da.]] Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] ''' Zenbaki irrazionala''' da “'''arrazionala'''” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: ::aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. ::<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == [[Fitxategi:Oxygen480-apps-preferences-kcalc-constants.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek <math>\pi</math> zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa <math> \mathbb{R} </math> da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. [[File:Zenbaki irrazionalak zenbaki errealen zuzenean.png|thumb|zenbaki irrazionalak zenbaki errealen zuzenean]] Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. [[File:Two imaginary numbers.png|thumb|120px|Bi zenbaki konplexu plano konplexuan.]] Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa <math> \mathbb{C} </math> da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu adierazi dira konplexuan kolore gorriz: <math> m = x + yi</math> eta <math> m' = -x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta <math> x \rightarrow \infty </math> gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, [[w:Georg Cantor|Georg Cantor-rek]] eta [[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind-ek]] asmatutako [[w:Multzo-teoria|Multzoen Teorian]], ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. [[File:Bijection correspodence.png|thumb|Bijekzioa bi multzoren artean]] A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik, segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinala transfinitu txikiena. Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[File:Bijection between naturals and even numbers.png|thumb|ezkerrera|Bana-banako korrespondentzia zenbaki naturalen (irudian N) eta zenbaki bikoitien multzoen (Nb) multzoenartean.]] Zenbaki naturalen (irudian N) eta zenbaki natural bikoitien (Nb) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaketa amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' 2008rp9xryxgg8kgqtntnihbh8enb6s 44339 44338 2026-09-12T23:35:15Z Ksarasola 1603 44339 wikitext text/x-wiki {{Lanean|jr.etxebarria}} = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|<math> \mathbb{Z} </math> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. [[File:Pitagoras - irrational number.png|thumb|Pitagorasen teorema erabiliz zenbaki irrazional bat sortzen da.]] Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] ''' Zenbaki irrazionala''' da “'''arrazionala'''” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: ::aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. ::<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == [[Fitxategi:Oxygen480-apps-preferences-kcalc-constants.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek <math>\pi</math> zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa <math> \mathbb{R} </math> da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. [[File:Zenbaki irrazionalak zenbaki errealen zuzenean.png|thumb|center|500px|Zenbaki irrazionalak zenbaki errealen zuzenean]] Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]] [[File:Two imaginary numbers.png|thumb|120px|Bi zenbaki konplexu plano konplexuan.]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa <math> \mathbb{C} </math> da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu adierazi dira konplexuan kolore gorriz: <math> m = x + yi</math> eta <math> m' = -x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta <math> x \rightarrow \infty </math> gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, [[w:Georg Cantor|Georg Cantor-rek]] eta [[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind-ek]] asmatutako [[w:Multzo-teoria|Multzoen Teorian]], ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. [[File:Bijection correspodence.png|thumb|Bijekzioa bi multzoren artean]] A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik, segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinala transfinitu txikiena. Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[File:Bijection between naturals and even numbers.png|thumb|ezkerrera|Bana-banako korrespondentzia zenbaki naturalen (irudian N) eta zenbaki bikoitien multzoen (Nb) multzoenartean.]] Zenbaki naturalen (irudian N) eta zenbaki natural bikoitien (Nb) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaketa amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' hnc367vrsemx2umbv4r5lrr8wc2eokb 44340 44339 2026-09-12T23:36:40Z Ksarasola 1603 44340 wikitext text/x-wiki = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|<math> \mathbb{Z} </math> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. [[File:Pitagoras - irrational number.png|thumb|Pitagorasen teorema erabiliz zenbaki irrazional bat sortzen da.]] Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] ''' Zenbaki irrazionala''' da “'''arrazionala'''” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: ::aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. ::<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == [[Fitxategi:Oxygen480-apps-preferences-kcalc-constants.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek <math>\pi</math> zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa <math> \mathbb{R} </math> da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. [[File:Zenbaki irrazionalak zenbaki errealen zuzenean.png|thumb|center|500px|Zenbaki irrazionalak zenbaki errealen zuzenean]] Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]] [[File:Two imaginary numbers.png|thumb|120px|Bi zenbaki konplexu plano konplexuan.]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa <math> \mathbb{C} </math> da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu adierazi dira konplexuan kolore gorriz: <math> m = x + yi</math> eta <math> m' = -x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta <math> x \rightarrow \infty </math> gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, [[w:Georg Cantor|Georg Cantor-rek]] eta [[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind-ek]] asmatutako [[w:Multzo-teoria|Multzoen Teorian]], ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. [[File:Bijection correspodence.png|thumb|Bijekzioa bi multzoren artean]] A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik, segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinala transfinitu txikiena. Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[File:Bijection between naturals and even numbers.png|thumb|ezkerrera|Bana-banako korrespondentzia zenbaki naturalen (irudian N) eta zenbaki bikoitien multzoen (Nb) multzoenartean.]] Zenbaki naturalen (irudian N) eta zenbaki natural bikoitien (Nb) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaketa amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… ''Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara.'' 1bj993gzgz4lklsry4d5xahvuamia6q 44341 44340 2026-09-13T00:02:59Z Ksarasola 1603 Irudiak, egileak eta lizentziak 44341 wikitext text/x-wiki = 1.2. Zenbakien eta zifren inperioa</br>Matematikariek asmaturiko zenbakien historia = Kapitulu honetan zenbakien eta zifren asmapena eta garapena kontatzeko erabili dudan informazio-iturri nagusia honako liburu hau izan da: Denis Guedj, ''L’empire des nombres'' (1996). Zenbakien historia aztertuko dugu, baina horretarako, gauzen kopuruak edota kantitateak adierazteko, lehenik kopuru eta kantitate kontzeptuak zehazten hasiko gara, horietatik sortu baitziren zenbakiak. Matematikarien pentsamendu abstraktuen garapenarekin loturik kontatuko dugu zenbakien historia, hori zibilizazioen eta numerazioen historia baita azken batez, zeren zibilizazioak garatu eta osatu ahala sorturiko kontzeptu berriak adierazteko asmatu baitzituzten matematikariek zenbaki berriak. Hasteko, zenbakiekin zerikusia duten zenbait termino aipatuko ditugu euskaraz, inguruko hiru hizkuntzetako baliokideekin batera. :{| class="wikitable" |- valign="top" !'''euskara''' !'''gaztelania''' !'''frantsesa''' !'''ingelesa''' |- valign="top" |zenbaki |número |nombre |number |- valign="top" |zifra/digitu |cifra/dígito |chiffre/digit |digit/figure |- valign="top" |zenbakikuntza |numeración |numération |numeration |- valign="top" |izen-zenbakia |número nominal |numéro |nominal nomber |} Euskaltzaindiak ''numero'' hitza ere badauka onartuta, baina Hizkuntzalaritzako termino modura, gramatika-kategoria bat adierazteko (singular/plural) Izen-zenbakiak ez dira “benetako” zenbakiak, zenbakien itxura duten arren. Zifrekin osaturiko kodeak dira, objektuak edo pertsonak identifikatzeko aukeratzen direnak, hala nola, telefono-zenbakiak (944116542, kasu), NAN zenbakia (155335448Z, adibidez). == Kopurua versus kantitatea eta </br>zenbatu versus neurtu == Zenbakiek hainbat motatako objektu-multzoren tamaina adierazteko erabiltzen dira, eta beti ere objektuen izaeraren arabera esleitzen zaio zenbakia multzoaren tamainari. {{Esaera2|'''Kopuru''' terminoa multzo batean mota jakin bateko zenbat objektu oso dauden adierazten duen '''zenbakia''' da: bat, bi, hiru… Objektu bakoitza unitate bat da, bere osotasunean hartuta, osoa. ::''Gure etxeak '''zortzi ate''' dauzka.'' Objektuen kopurua '''zenbatu''' egiten da, banan-banan.}} {{Esaera2|'''Kantitate''' terminoa '''neurketa''' baten emaitza adierazten duen '''zenbakia''' da, magnitudearen unitaterekin konparatuz lortzen dena. '''Neurriak''' neurtua den '''neurgaia''' magnitude jakin baten unitatea baino zenbat aldiz handiagoa den adierazten du: unitatearekiko “ratioa”, hau da, “arrazoia”. ::''Mahai hori '''1,25 m luze''' da.'' Magnitudeak '''neurtu''' edo '''kalkulatu''' egiten dira.}} == Zenbakiak eta zifrak == Ahozko hizkuntzatik idatzizko hizkuntzara pasatzean bezalatsu, '''sinbolo bereziak''' asmatu behar izan ziren zenbakiak idazteko. * Lehenik, zenbakiak “esan” behar izan zituzten, alegia, zenbakien '''izenak''' adostu eta ahozkatu. * Geroago asmatu bide zuten zenbakiak nola “'''idatzi'''” sinbolo adostu iraunkorren bidez. {| class="wikitable" |- | Hitzak idazteko, alfabetoko '''letrak''' erabiltzen ditugu.</br> Euskarazkoak '''27 letra''' ditu.</br> Horiek konbinatuz, geure hizkuntzako '''hitz guztiak''' idatz ditzakegu. Hori bai, '''geure grafia''' erabiliz.</br> Baina edozein hizkuntzatako hitzen '''kopurua mugatua''' da. | Zenbakiak idazteko, '''zifrak''' ditugu.</br> Sistema hamartarrean, '''hamar zifra''' daude: '''0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9'''</br> Horiek konbinatuz, '''edozein zenbaki''' idatz dezakegu.</br> Hori bai, '''grafia unibertsala''' erabiliz.</br> Baina hau bai dela harrigarria!:</br> Zenbakien kopurua '''infinitua''' da. |} == Zenbakikuntza indoarabiarra eta “zero” zifra == Indian asmatu ziren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zifrak. Jadanik, K.a. III. mendeko Naneghat-eko inskripzioetan ageri dira. <gallery mode="packed" caption= "Naneghat-eko inskripzioak" heights="100"> 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1a.jpg| 2nd century BCE Hindu Sanskrit inscription Nanaghat cave, I-1b.jpg| </gallery> Baina sistema ez zen egokiegia, ez baitzegoen «zero» zifrarik. Zortzi mende geroago, 458an, sanskritozko testu batean agertu zen lehen aldiz «zero» zifra Bakhshali-ko eskuzkribuan. [[Fitxategi:1983 CPA 5426 (1).png|thumb|120px|Al-Khwarizmi [[w:Sobietar Errepublika Sozialisten Batasuna|Sobietar Batasuneko]] posta-zigilu batean (1983).]] [[Fitxategi:Bakhshali numerals 2.jpg|erdian|thumb|Centre|500px|[[w:Bakhshali-ko eskuzkribua|Bakhshali-ko eskuzkribuko]] zifrak.]] Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi-k (780-850) ''Batuketa eta kenketaren liburua, indiarren kalkuluen arabera'' (ca. 825) izeneko liburua idatzi zuen. Lehena izan zen zero zifra erabiltzen zenbakikuntza posizionalean. ''Algoritmi de Numero Indorum'' izenburuz itzuli zen latinera 1133an. Horrela, Al Andalus-tik iritsi zen zero zenbakia Mendebaldera. == Zenbaki arruntak edo “naturalak” == [[Fitxategi:Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg|thumb|ezkerrera|Zenbaki arrunten <math>\mathbb{N}</math> multzoa|80px]] [[Fitxategi:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|120px|right|[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) ]] Lehen-lehenik, zenbaki arruntak erabili ziren: (0), 1, 2, 3, … Zenbaki “naturalak” ere baderitze. Zenbaki naturalen multzoa N letraz adierazten da. Oinarrizkoenak izan arren, harrigarriak dira. Ezusteko erregulartasunak dituzte, baita ulertezinezko banaketak ere. Horien azterketak osatzen du zenbakien teoria: Aritmetika. Carl Friedrich Gauss-en iritziz, Aritmetika zen “matematikaren erregina”. == Fermaten aierutik Fermaten teoremara == Aritmetikan, zenbaki arrunten multzoan, galdera sinple batzuek erantzun erabat zailak izan ditzakete batzuetan, esate baterako, Pitagorasen teorema ospetsuan oinarrituriko galdera hau: [[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|ezkerrera|thumb|161x161px|[[Pierre de Fermat]] (1601-1665)]] Zenbaki arrunt baten karratua izan ote daiteke beste bi zenbaki arrunten karratuen baturaren berdina? Bestela esanda, <math>a</math>, <math>a</math> eta <math>c</math> hiru zenbaki arruntak izanda, posible al da beti <math>a^2 = b^2 + c^2</math> ekuazioa betetzea? Galdera horren erantzunaren bila ibili zen [[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat]] matematikaria XVII. mendearen hasieran eta soluzio gutxi batzuk aurkitu zituen. Berretura handiagoen kasuez, frogapenik gabeko baieztapen bat egin zuen, esanez kasu guztietan betetzen zela. Teoremarik frogatu ez zuenez, matematikariek ''Fermaten aierua'' deitu zioten baieztapen horri; izan ere, berak frogarik gabe <math>a^n = b^n + c^n</math> kasu guztietan beteko zela esan baitzuen. Fermaten ondoko mendeetan matematikari bikainak etengabe saiatu ziren aierua egiaztatzen, baina ez zuten askatzen asmatu. Eulerrek frogatu zuen aierua <math>n = 3</math> eta <math>n = 4</math> kasuetan soilik. Azkenean, 1995an, [[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles-ek]] (1953) frogatu zuen aieru hori edozein n-ren kasuan ere zuzena zela. Gaur egun, Fermaten teorema deritzo. <gallery mode="packed" heights="180"> Fitxategi:Andrew wiles1.jpg|[[w:Andrew John Wiles|Andrew Wiles]] (1953) Fitxategi:Wiles vor Sockel.JPG|Wiles [[w:Pierre de Fermat|Fermaten]] estatuaren aurrean. </gallery> == Zenbaki osoak, </br>zenbaki naturalen zabalkundea == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg|thumb|ezkerrera|140px|<math> \mathbb{Z} </math> multzoa|70px]]Zenbaki arrunten lehenengo zabalkundea zifra izatetik zenbaki izatera pasatu zenean gauzatu zen. Hasieran ez zegoen zenbaki natural negatiborik. Zenbaki arrunt negatiboen lehenengo aipamena Txinatik dator, ''Arte matematikoaren bederatzi kapitulu'' izeneko lanean (K.a. II. mendean). Baina jadanik V-VI. mendeen inguruan, Indiako matematikariak konturatu ziren, zenbaki negatiboak oso egokiak zirela, ondasunak (''positiboak'') eta zorrak (''negatiboak'') bereizteko, Eta kontabilitateko kontuak ondo bideratzeko, matematikariek ''zenbaki negatiboak'' asmatu zituzten. Zenbaki negatiboak, zeroa eta zenbaki natural positiboak batera kontsideratzean, zenbaki-multzo berria asmatu zen, zenbaki osoen multzoa. Zenbaki osoen multzoa <math>Z</math> sinboloaz adierazten da: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …} == Frakzio edo zatikiak: zenbaki arrazionalak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg|thumb|ezkerrera|140px|Zenbaki arrazionalen <math>\mathbb{Q}</math> multzoa|80px]]Babiloniarrek eta egiptoarrek oso antzinadanik erabiltzen zituzten 1/2, 1/3… motako frakzioak. Eta Antzinako Greziako pitagorikoek bi zenbaki osoren arteko zatidura edo arrazoia (“''ratio''”, “erlazioa”) erabiltzen zuten jadanik K.a. VI. mendean: Oro har, <math>m</math> eta <math>n</math> bi zenbaki oso izanik, <math>\frac{m}{n}</math> arrazoia ez da zertan zenbaki osoa izan. Normalean, <math>\frac{m}{n}</math> eran idatzitako zenbakiari frakzio deritzo. Frakzio hitza latineko ''''''fractio'''''' hitzetik dator, eta hori arabierazko ''''''kars'''''' hitzaren itzulpena da; et «''''''hautsia, zatitua''''''» esan nahi du; euskaraz, frakzioari ''''''zatikia'''''' ere esaten zaio Mota horretako zenbakiei '''''zenbaki arrazionalak''''' deritze. Zenbaki arrazionalen multzoaren sinboloa <math>\mathbb{Q}</math> da. [[File:Pitagoras - irrational number.png|thumb|Pitagorasen teorema erabiliz zenbaki irrazional bat sortzen da.]] Duela hogeita zazpi mende, [[w:Pitagoras|Pitagorasek]] frogaturik utzi zuen bere izena daraman teorema ospetsua triangelu errektangeluar baten bi katetoen eta hipotenusaren arteko erlazioaz: Bi katetoen luzera 1 izanik, eskola pitagorikoek ezin zezaketen adieraz hipotenusaren luzera hori bi zenbaki osoren zatidura modura. Beraz, haren luzera ezin zitekeen “zenbaki arrazionala” izan, baina mende luzeak iragan behar izan ziren arrazionalak ez ziren bestelako zenbakiak asmatu arte. == Zenbaki irrazionalak: <math>}\sqrt{2</math>, <math>\pi</math>, <math>e</math>, <math>\varphi</math> … == [[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1707-1783)]] ''' Zenbaki irrazionala''' da “'''arrazionala'''” ez den zenbaki bat, baina bi zenbaki osoren arteko zatidura moduan idatz ezin daitekeena: :<math>\sqrt{2} = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7... </math> ::<math>\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}</math> 1748an [[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] bi multzotan bereizi zituen zenbaki irrazionalak: ::aljebraikoak eta transzendenteak. 1844an [[w:Joseph Liouville|Liouville-k]] (1809-1882) irizpidea aurkitu zuen zenbaki irrazional bat aljebraikoa zen ala ez zehazteko; gainerakoak transzendenteak ziren. ::<math>}\sqrt{2</math>: irrazional aljebraikoa da; </br> :<math>\pi</math>: irrazional transzendentea. == Zenbaki irrazionalak geometrian eta naturan == [[Fitxategi:Oxygen480-apps-preferences-kcalc-constants.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Grezierazko perimetron (“perimetron”) hitzetik dator izena. 1706an, William Jones-ek proposatu zituen <math>\pi</math> letra eta «pi» izena Ondoren, Euler-ek finkatu zuen idazkera 1748an eta Johann Lambert-ek frogatu zuen irrazionala dela 1761ean. Azkenik, 1882an Ferdinand Lindemann-ek frogatu zuen zenbaki transzendentea dela. Horrela ebatzita geratu zen zirkuluaren koadraturaren problema, hain zuzen ere soluziorik ez zuela frogatuz. Ordenagailuen garapenarekin, lehiaketa moduko bat bultzatu da zientzialarien artean, zeinek <math>\pi</math> zenbakiaren zifra dezimal gehien kalkulatu. <math>\pi </math> 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502... :{| class="wikitable" |- !Noiz !Nork !Prozesadorea !<math>\pi</math> zenbakiaren zenbat zifra dezimal |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |68.719.470.000 |- valign="top" |1999 |Kanada eta Takahashi |Hitachi SR8000 |206.158.430.000 |- valign="top" |2002 |Kanada eta beste |Hitachi SR8000/MP |1.241.100.000.000 |- valign="top" |2004 |Kanada eta beste |Hitachi |1.351.100.000.000 |- valign="top" |2009 |Daisuke Takahashi |T2K Tsukuba System (640 ord.) |2.576.980.370.000 (73 h 36min) |- valign="top" |2009 |Fabrice Bellard |Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB |2.699.999.990.000 |- valign="top" |2010 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |5.000.000.000.000 |- valign="top" |2011 |Shigeru Kondo |2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz |10.000.000.000.000 |} Behin eta berriro ere hautsi dute marka: Azkenengoz begiratu nuenean 31.000.000.000.000.000 kalkulatu ziren. Geroago ez naiz arduratu begiratzen. {| class="wikitable" |+ Beste zenbaki irrazional batzuk |- |<big><math>e</math></big> ||e konstantea zenbaki irrazional transzendentea da: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35... Desintegrazio erradioaktiboaren ekuazioan agertzen da: ::<math>N(t)=N_0e^{-\lambda t}</math> |- | <big><math>log</math></big> || Logaritmoak ere irrazionalak dira. <math> x = \log_{a}{n} \leftrightarrow n = a^x</math> |- |<big><math>\varphi</math></big> || Urrezko zenbakia ere irrazionala da:</br> :<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\dots\,</math> |} == Zenbaki errealak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{R}</math> sinboloa]] Zenbaki arrazionalek eta irrazionalek batera osatutako multzoa zenbaki errealen multzoa da. Multzo horren sinboloa <math> \mathbb{R} </math> da. Zenbaki errealak '''lerro zuzen''' baten bidez adierazten dira grafikoki. [[File:Zenbaki irrazionalak zenbaki errealen zuzenean.png|thumb|center|500px|Zenbaki irrazionalak zenbaki errealen zuzenean]] Zenbaki arruntek ''kopuru diskretuak'' adierazten dituzte eta “saltoka” ageri dira lerro zuzenean, unitateka. Zenbaki errealek jarraitutasuna adierazten dute eta ''edozein kantitateren neurria'' adierazteko balio dute. == Zenbaki imajinarioak/irudikariak == {| class="wikitable" |- |<big><math>i \equiv \sqrt{-1}</math></big> || Zein ote da ekuazioaren soluzioa? Zenbaki errealen multzoan arituz gero, ekuazio horrek soluziorik ez daukala esango genuke. |} XVIII. mendearen hasieran ezin zen onartu zenbaki erreal negatiboen erro karraturik. Baina garaiko matematikariek mota berriko “zenbaki” bat asmatu zuten, eta izena ere jarri zioten: zenbaki imajinarioa. Euskaraz ''zenbaki irudikaria'' ere baderitzo. Jadanik zenbaki gisa onartuta zegoela, zifra bakar batez adierazteko, Eulerrek <math>i</math> sinboloa proposatu eta erabili zuen 1777an: <math>i \equiv \sqrt{-1}</math>. Zenbaki berri horri ''unitate irudikaria'' deritzo. Gainerako zenbaki irudikariak horren multiploak dira, berdin positiboak zein negatiboak: :<math>2i, 3i, -6i...</math> == Zenbaki konplexuak == [[Fitxategi:Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg|thumb|80px|ezkerrera|Zenbaki errealen <math>\mathbb{C}</math> sinboloa]] [[File:Two imaginary numbers.png|thumb|120px|Bi zenbaki konplexu plano konplexuan.]]Zenbaki errealen eta irudikarien arteko baturaz zenbaki konplexuak sortzen dira. Hona hemen adibide bat: Zenbaki konplexu honen parte erreala 5 da, eta imajinarioa, -6i. Zenbaki konplexuen multzoaren sinboloa <math> \mathbb{C} </math> da. Zenbaki konplexuak plano konplexuan marrazten dira grafikoki, eta bektoreen bidez adierazten dira. Alboko irudiko plano bi zenbaki konplexu adierazi dira konplexuan kolore gorriz: <math> m = x + yi</math> eta <math> m' = -x - yi</math> == Infinituaren iraultza == [[Fitxategi:Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg|thumb|ezkerrera|140px|80px]] Ezaguna dugu infinituaren sinboloa. Baina… zer ote da infinitua? Benetan lortu ote daiteke? Zenbaki bat ote da? Aristoteles-ek infinitua “potentzialitate” gisa ulertzen zuen. Ideia horren arabera, ezin zitekeen bertaraino iritsi. Eta XIX. mendearen amaierara arte, kalkulu matematikoan ere antzeratsu ulertzen zen, infiniturantz joan edo infiniturantz jo esamoldeak eta <math> x \rightarrow \infty </math> gisako idazkerak adierazten zutenez. Baina “infinitua” zenbaki-multzo batzuen elementuen “kopuru” gisa aztertzen hasi zirenean sekulako iraultza gauzatu zen. == Infinitu elementuko multzoen kopuruen iraultza == <gallery mode="packed" heights="120"> Fitxategi:Georg Cantor- colorized.jpg|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) Fitxategi:Dedekind.jpeg|[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind]] (1831-1916) </gallery> XIX. bukaeran eta XX.aren hasieran, [[w:Georg Cantor|Georg Cantor-rek]] eta [[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind-ek]] asmatutako [[w:Multzo-teoria|Multzoen Teorian]], ondorio harrigarriak lortu zituzten infinitu elementuko multzoen kopuruei zegokienez. Bi matematikari horiek erabilitako metodologian kopuruen “tamainak” konparatzeko metodo sinple batez baliatu ziren, esan nahi baita, bana-banako korrespondentziaz. Adibide batez azalduko dugu zer den bi multzoren elementuen arteko bana-banako korrespondentzia. Ondoko grafikoan bost elementu duten bi multzo ageri dira, A multzoak bost izar ditu eta B multzoak bost zirkulu. Biek dauzkate bost elementu. [[File:Bijection correspodence.png|thumb|Bijekzioa bi multzoren artean]] A multzoko izar bakoitza B multzoko zirkulu batekin jar daiteke bana-banako korrespondentzian. Horrek esan bahi du bi multzoek elementu-kopuru berbera dutela. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik, segi eta segi amaierarik gabe: kopuru transfinitua dute. Horregatik, multzo infinituen elementuen “benetako kopuruak” konparatzeko, zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua): <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinala transfinitu txikiena. Baina zer gertatzen da infinitu elementudun bi multzoren kopuruak konparatzean? Kasurako, zeinek dauzka zenbaki gehiago, zenbaki naturalen multzoak ala zenbaki natural bikoitien multzoak? [[File:Bijection between naturals and even numbers.png|thumb|ezkerrera|Bana-banako korrespondentzia zenbaki naturalen (irudian N) eta zenbaki bikoitien multzoen (Nb) multzoenartean.]] Zenbaki naturalen (irudian N) eta zenbaki natural bikoitien (Nb) artean bana-banako korrespondentzia ezar daiteke. Beraz, bi multzo infinitu horien kopuru infinituak “berdinak” dira. Infinitu elementu dituzten multzoen kopuruekin gauza bitxiak gertatzen dira. Elementuan bana-bana aztertzean, ez daukate azken elementurik kopuru transfinitua dute. Horregatik, elementuen kantitatea neurtzeko zenbaki kardinal bereziak asmatu ziren dira. Zenbaki naturalei <math>\aleph_0</math> kardinala dagokie (irakurtzeko, aleph zero edo aleph nulua). <math>\aleph_0</math> sinbolo matematikoak adierazten du kardinal transfinitu txikiena. Bi motatako multzo transfinituak daude; * Infinitu zenbakarriak, zenbaki naturalen eta osoen gisa banaka eta ordenan zenbatu daitezkeenak, nahiz eta inoiz ezin dezakegun kontaketa amaitu, <math>\aleph_0</math>. * Infinitu ez-zenbakarriak, hala nola zenbaki errealen multzoa. * Ez dago infinitu bakarrik. Cantorrek frogatu zuen infinitu multzo infinitu daudela, batzuk besteak baino handiagoak: <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>… Cantorren arabera, hauxe da multzo infinituaren izaera: :''Multzo infinitu baten parte batek multzo infinitu osoak adina elementu dauzka.'' Infinituari dagokion “'''zenbakia'''” <math>\aleph</math> sinboloaz adierazten da. Sinbolo hori hebreerazko “'''aleph'''” letra da. Gainera, tamaina desberdinetako infinituak daude: <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>... == Zenbakien sailkapena == Ondoko eskeman adierazi dira kapitulu honetan aipaturiko zenbaki-moten multzoak: :<math> \begin{cases} \mathbb{C} \mbox{ Konplexuak} \begin{cases} \mathbb{R} \mbox{ Errealak} \begin{cases} \mathbb{Q} \mbox{ Arrazionalak} \begin{cases} \mathbb{Z} \mbox{ Osoak} \begin{cases} \mathbb{N} \mbox{ Naturalak} \\ \mathbb{0} \mbox{ Zeroa } \\ \mbox{Negatibo osoak} \end{cases}\\ \mbox{Frakzionariak} \begin{cases} \mbox{Exaktuak} \\ \mbox{Periodikoak} \begin{cases} \mbox{Puruak} \\ \mbox{Mistoak} \\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \mathbb{I} \mbox{ Irrazionalak} \end{cases}\\ \mbox{Irudikariak} \end{cases}\\ \mbox{Zenbaki infinituak} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Irrazionalak} \begin{cases} \mbox{Aljebraikoak: ekuazio polinomikoen erroak: Φ} \\ \\ \mbox{Transzendenteak: ez dira ekuazio polinomikoen erroak: π, e} \\ \mbox{ Funtzio transzendenteetatik datoz: trigonometrikoak, logaritmikoak...} \end{cases} </math> :<math> \mbox{Infinituak } \begin{cases} \mbox{Infinitua ere zenbakia da} \\ \mbox{'Aleph' da infinitu zenbakiaren izena, eta beraren sinboloa, . } \\ \mbox{Tamaina desberdineko infinituak daude: transfinituak, 0, 1,2 ... } \end{cases} </math> Zenbaki moten adibideak: :{| border ="1" | '''Izena''' | '''Sinboloa''' | '''Adibideak''' |- | NATURALAK | <math> \mathbb{N} </math> | 1, 2, 3, 4… |- | OSOAK | <math> \mathbb{Z} </math> | 1, -1, 2, -2, 3, -3… |- | ARRAZIONALAK | <math> \mathbb{Q} </math> | 1, 1/2, 4/3, -1/4… |- | IRRAZIONALAK | <math> \mathbb{I} </math> | ''[[w:e (zenbakia)|e]]'' zenbakia, [[w:pi (zenbakia)|pi (zenbakia)]], <math> \sqrt{2} </math> |- | ERREALAK | <math> \mathbb{R} </math> | 1, -1, 1/2, <math> \sqrt{2} </math> |- | KONPLEXUAK | <math> \mathbb{C} </math> | <math> 3 + 2i \, </math>, non <math> i = \sqrt{-1} </math> den |} == Zifrak eta zenbakiak nonahi agertzen zaizkigu egunero bizitzan == Eguneroko bizitzan, edozein arlotan behin eta berriro agertzen zaikigu zifrak, izen-zenbakiak eta benetako zenbakiak, ondoko zerrendan ikus daitekeenez: :Eguneko data: 2023-11-29 :Unean uneko ordua: 20:10 :Adina: 78 urte :Pisua: 54 kg :Estatistikak adierazten dituzte: % 24 (24 %) :Zenbat diru dugun: 54 € :Zein diren gure zorrak: 105 € :Santutxutik Iruñerako distantzia: 160 km :Gure gorputzaren tenperatura: 36,7 °C :Nortasun-agiriaren izen-zenbakia: 15335448Z :Telefono-zenbakia: 688628587 :Autoaren matrikula: 0643-CYF :… Zinez, zifra eta zenbakien inperioan bizi gara. == Irudiak == 16 irudi aurkitu dira iturburu-kodean ['1983 CPA 5426 (1).png', 'Bakhshali numerals 2.jpg', 'Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg', 'Carl Friedrich Gauss.jpg', 'Pierre de Fermat.jpg', 'Andrew wiles1.jpg', 'Wiles vor Sockel.JPG', 'Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg', 'Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg', 'Leonhard Euler 2.jpg', 'Oxygen480-apps-preferences-kcalc-constants.svg', 'Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg', 'Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg', 'Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg', 'Georg Cantor- colorized.jpg', 'Dedekind.jpeg'] [1/16] Andrew wiles1.jpg * Egilea: "copyright C. J. Mozzochi, Princeton N.J" * Lizentzia: Attribution [2/16] Double-Struck Capital C in Linux Libertine Mono - U+2102.svg * Egilea: <ul><li>Font: Philipp H. Poll (Libertine Open Fonts Project)</li> <li>svg: <a href="//commons.wikimedia.org/wiki/User:MS_Sakib" title="User:MS Sakib">MS Sakib</a></li></ul> * Lizentzia: OFL (https://openfontlicense.org/open-font-license-official-text/) [3/16] Double-Struck Capital N in Linux Libertine Mono - U+2115.svg * Egilea: <ul><li>Font: Philipp H. Poll (Libertine Open Fonts Project)</li> <li>svg: <a href="//commons.wikimedia.org/wiki/User:MS_Sakib" title="User:MS Sakib">MS Sakib</a></li></ul> * Lizentzia: OFL (https://openfontlicense.org/open-font-license-official-text/) [4/16] Double-Struck Capital Q in Linux Libertine Mono - U+211A.svg * Egilea: <ul><li>Font: Philipp H. Poll (Libertine Open Fonts Project)</li> <li>svg: <a href="//commons.wikimedia.org/wiki/User:MS_Sakib" title="User:MS Sakib">MS Sakib</a></li></ul> * Lizentzia: OFL (https://openfontlicense.org/open-font-license-official-text/) [5/16] Double-Struck Capital R in Linux Libertine Mono - U+211D.svg * Egilea: <ul><li>Font: Philipp H. Poll (Libertine Open Fonts Project)</li> <li>svg: <a href="//commons.wikimedia.org/wiki/User:MS_Sakib" title="User:MS Sakib">MS Sakib</a></li></ul> * Lizentzia: OFL (https://openfontlicense.org/open-font-license-official-text/) [6/16] Wiles vor Sockel.JPG * Egilea: <a href="//commons.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Klaus_Barner&amp;action=edit&amp;redlink=1" class="new" title="User:Klaus Barner (page does not exist)">Klaus Barner</a> * Lizentzia: CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0) [7/16] Double-Struck Capital Z in Linux Libertine Mono - U+2124.svg * Egilea: <ul><li>Font: Philipp H. Poll (Libertine Open Fonts Project)</li> <li>svg: <a href="//commons.wikimedia.org/wiki/User:MS_Sakib" title="User:MS Sakib">MS Sakib</a></li></ul> * Lizentzia: OFL (https://openfontlicense.org/open-font-license-official-text/) [8/16] Leonhard Euler 2.jpg * Egilea: <bdi><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/en:Jakob_Emanuel_Handmann" class="extiw" title="w:en:Jakob Emanuel Handmann"><span title="margolari suitzarra">Jakob Emanuel Handmann</span></a></bdi> * Lizentzia: Public domain [9/16] Dedekind.jpeg * Egilea: not found * Lizentzia: Public domain [10/16] 1983 CPA 5426 (1).png * Egilea: Ezezaguna<span style="display: none;">Unknown author</span> * Lizentzia: Public domain [11/16] Oxygen480-apps-preferences-kcalc-constants.svg * Egilea: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://github.com/KDE/oxygen-icons5/blob/master/AUTHORS">The Oxygen Team</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://techbase.kde.org/Projects/Oxygen/Licensing">KDE</a>; * Lizentzia: LGPL (https://www.gnu.org/copyleft/lgpl.html) [12/16] Infinity in Linux Libertine Mono - U+221E.svg * Egilea: <ul><li>Font: Philipp H. Poll (Libertine Open Fonts Project)</li> <li>svg: <a href="//commons.wikimedia.org/wiki/User:MS_Sakib" title="User:MS Sakib">MS Sakib</a></li></ul> * Lizentzia: OFL (https://openfontlicense.org/open-font-license-official-text/) [13/16] Georg Cantor- colorized.jpg * Egilea: <a href="//commons.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Photocolorization&amp;action=edit&amp;redlink=1" class="new" title="User:Photocolorization (page does not exist)">Photocolorization</a> * Lizentzia: CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0) [14/16] Bakhshali numerals 2.jpg * Egilea: Augustus Hoernle (1841-1918) * Lizentzia: Public domain [15/16] Carl Friedrich Gauss.jpg * Egilea: <bdi><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q19284307" class="extiw" title="d:Q19284307"><span title="margolari alemaniarra">Gottlieb Biermann</span></a></bdi> / <bdi>After <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/en:Christian_Albrecht_Jensen" class="extiw" title="w:en:Christian Albrecht Jensen"><span title="margolari danimarkarra">Christian Albrecht Jensen</span></a></bdi> * Lizentzia: Public domain [16/16] Pierre de Fermat.jpg * Egilea: Ezezaguna<span style="display: none;">Unknown author</span> * Lizentzia: Public domain 5g362ykeu18li5sjeaioyvoktce6xvl