هندسه مقدماتی

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10.xsd" version="0.10" xml:lang="fa">
  <siteinfo>
    <sitename>ویکی‌کتاب</sitename>
    <dbname>fawikibooks</dbname>
    <base>https://fa.wikibooks.org/wiki/%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%D9%94_%D8%A7%D8%B5%D9%84%DB%8C</base>
    <generator>MediaWiki 1.39.0-wmf.21</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">مدیا</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">ویژه</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">بحث</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">کاربر</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">بحث کاربر</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">ویکی‌کتاب</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">بحث ویکی‌کتاب</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">پرونده</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">بحث پرونده</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">مدیاویکی</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">بحث مدیاویکی</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">الگو</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">بحث الگو</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">راهنما</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">بحث راهنما</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">رده</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">بحث رده</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">کتاب‌آشپزی</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">بحث کتاب‌آشپزی</namespace>
      <namespace key="110" case="first-letter">ویکی‌کودک</namespace>
      <namespace key="111" case="first-letter">بحث ویکی‌کودک</namespace>
      <namespace key="112" case="first-letter">موضوع</namespace>
      <namespace key="113" case="first-letter">بحث موضوع</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">پودمان</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">بحث پودمان</namespace>
      <namespace key="2300" case="first-letter">ابزار</namespace>
      <namespace key="2301" case="first-letter">بحث ابزار</namespace>
      <namespace key="2302" case="case-sensitive">توضیحات ابزار</namespace>
      <namespace key="2303" case="case-sensitive">بحث توضیحات ابزار</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>هندسه مقدماتی</title>
    <ns>0</ns>
    <id>7043</id>
    <revision>
      <id>117139</id>
      <parentid>117085</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T05:14:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3827" xml:space="preserve">{{وضعیت|100%}}
[[پرونده:Determinant de vecteur dim 2 egalite geometrique.png|۴۰۰px|بی‌قاب|چپ|هندسه مقدماتی]]
{{چاپ|هندسه مقدماتی/نسخه چاپی}}
==مقدمه==
*[[هندسه مقدماتی/مقدمه|مقدمه]]
==خط==
* [[هندسه مقدماتی/خط|خط]]
* [[هندسه مقدماتی/انواع خط|انواع خط]]
==سطح==
*[[هندسه مقدماتی/مربع|مربع]]
*[[هندسه مقدماتی/مستطیل|مستطیل]]
*[[هندسه مقدماتی/دایره|دایره]]
*[[هندسه مقدماتی/مثلث|مثلث]]
*[[هندسه مقدماتی/لوزی|لوزی]]
*[[هندسه مقدماتی/متوازی‌الأضلاع|متوازی‌الأضلاع]]
*[[هندسه مقدماتی/بادبادک(هندسه)|بادبادک(هندسه)]]
*[[هندسه مقدماتی/ذوزنقه|ذوزنقه]]
*[[هندسه مقدماتی/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
*[[هندسه مقدماتی/شش‌ضلعی‌منتظم|شش‌ضلعی‌منتظم]]

==حجم==
* [[هندسه مقدماتی/مکعب|مکعب]]
* [[هندسه مقدماتی/کره|کره]]
* [[هندسه مقدماتی/مخروط|مخروط]]
*[[هندسه مقدماتی/هرم|هرم]]
*[[هندسه مقدماتی/استوانه|استوانه]]

==مفاهیم مهم==
*[[هندسه مقدماتی/نقطه (هندسه)|نقطه (هندسه)]]
*[[هندسه مقدماتی/عمود|عمود]]
*[[هندسه مقدماتی/موازی|موازی]]
*[[هندسه مقدماتی/صفحه|صفحه]]
*[[هندسه مقدماتی/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
*[[هندسه مقدماتی/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
*[[هندسه مقدماتی/طول|طول]]
*[[هندسه مقدماتی/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[هندسه مقدماتی/رأس|رأس]]
*[[هندسه مقدماتی/زاویه|زاویه]]
*[[هندسه مقدماتی/هم‌نهشتی|هم‌نهشتی]]
*[[هندسه مقدماتی/تشابه|تشابه]]
*[[هندسه مقدماتی/چندضلعی|چندضلعی]]
*[[هندسه مقدماتی/وتر|وتر]]
*[[هندسه مقدماتی/ قضیه فیثاغورس| قضیه فیثاغورس]]
*[[هندسه مقدماتی/ قطر| قطر]]
*[[هندسه مقدماتی/تقارن|تقارن]]
*[[هندسه مقدماتی/منحنی|منحنی]]
*[[هندسه مقدماتی/محیط|محیط]]
*[[هندسه مقدماتی/زاویه قائمه|زاویه قائمه]]
*[[هندسه مقدماتی/انواع زاویه|انواع زاویه]]

==شاخه‌ها==
*[[هندسه مقدماتی/هندسه اقلیدسی|هندسه اقلیدسی]]
*[[هندسه مقدماتی/ هندسه نااقلیدسی| هندسه نااقلیدسی]]
*[[هندسه مقدماتی/هندسه تحلیلی|هندسه تحلیلی]]
*[[هندسه مقدماتی/هندسه ریمانی|هندسه ریمانی]]
*[[هندسه مقدماتی/هندسه جبری|هندسه جبری]]
*[[هندسه مقدماتی/هندسه دیفرانسیل|هندسه دیفرانسیل]]
*[[هندسه مقدماتی/هندسه تصویری|هندسه تصویری]]

==زمینه‌های پژوهشی==
*[[هندسه مقدماتی/هندسه جبری|هندسه جبری]]
*[[هندسه مقدماتی/ هندسه دیفرانسیل| هندسه دیفرانسیل]]
==بعدها==
*[[هندسه مقدماتی/بعد|بعد]]
*[[هندسه مقدماتی/فضای یک بعدی|فضای یک بعدی]]
*[[هندسه مقدماتی/فضای دوبعدی|فضای دوبعدی]]
*[[هندسه مقدماتی/فضای سه‌بعدی|فضای سه‌بعدی]]
*[[هندسه مقدماتی/فضای چهاربعدی|فضای چهاربعدی]]
[[رده:هندسه مقدماتی]]
[[رده:ریاضی]]</text>
      <sha1>a3rhnfsb9bqfstpgx14b2jpj3ljpttz</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>کتاب آشپزی/شیرینی ناپلئونی</title>
    <ns>0</ns>
    <id>9961</id>
    <revision>
      <id>117144</id>
      <parentid>42614</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T10:27:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <ip>86.57.23.138</ip>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8992" xml:space="preserve">[[پرونده:Making Mille-feuille.jpg|300px|بندانگشتی|این شیرینی ناپلئونی با استفاده از دستور زیر درست شده است. برای لابه‌لای لایه‌ها مخلوطی از خامه زده‌شده و کرم کاستارد و برای روی شیرینی از خامه به تنهایی استفاده شده‌است.]]

'''شیرینی ناپلئونی''' {{به انگلیسی|Napoleon}} یا '''میل‌فوی''' Mille-feuille نوعی پای سه لایه است. این پای از خمیری به نام [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا|خمیر هزارلا]] درست می‌شود و در میان لایه‌های این خمیر [[کتاب آشپزی/کرم کاستارد|کرم کاستارد]] قرار داده شده‌ و سطح بالایی آن با پودر قند پوشانده می‌شود. خمیر هزار لا در زبان فرانسوی به معنای هزار برگ است و نماینده و نمونهٔ خمیرهایی به شمار می‌رود که برای تهیه روش تا زدن و پهن کردن مکرر خمیر بکار می‌رود.

== نکات ==
[http://www.youtube.com/watch?v=saFAO6xcH1M طرز تهیه ناپلئونی در یوتیوب به همراه توضیحات نوشتاری انگلیسی]
#درجه حرارت محل کار باید خنک باشد. گرمای محیط باعث ذوب شدن کره و خراب شدن خمیر می‌شود. 
# باید سطح خمیر قبل از قالب زدن کاملاً صاف شده و دارای ضخامتی یکسان باشد.
#خمیری که از لابه به لای محل قالب زدن باقی می‌ماند را اگر جمع کرده و دوباره وردنه بزنیم این خمیر قابلیت تورق ندارد و بهتر است برای پوشاندن کف قالب پای استفاده شود.
#لبه‌های قالب باید تیز باشد و قابلیت برش خمیر را به آسانی داشته باشد. قالب‌های پلاستیکی به علت ضخامت دیواره‌های قالب موقع بریدن باعث چسبندگی لبه‌های خمیر به یکدیگر می‌شوند.
#خمیر بهتر است هنگام پختن زیاد ضخیم نباشد. ضخامت بیش از حد خمیر (بیش از ۴ میلی لیتر) امکان کج شدن خمیر پخته را به یک سمت، بالا می‌برد.    
# این خمیر را می‌توان به مقدار زیاد تهیه کرده و در داخل نایلون در فریزر نگهداری کرد. در هنگام فریزر کردن بهتر است خمیر را به اندازه‌ای که لازم است جدا کرده و در داخل نایلون جداگانه قرار داد. برای مثال برای شیرینی ناپلئونی در حدود ۳۰۰ گرم خمیر لازم است. 
# بار نخست ممکن است خمیر خوب از آب درنیاید. درست کردن این خمیر به تجربه نیاز دارد.

== طرز تهیه ==
۱. در داخل یک کاسه آرد را ریخته وسط آن را گود کرده نمک و آب سرد را در وسط آرد می‌ریزیم. با لیسک کمی مواد را بهم می زنیم سپس با دست یا دستگاه استند میکسر آن را ورز می‌دهیم تا یکدست شود. خمیر را در داخل نایلون گذاشته و به مدت نیم تا یک ساعت در یخچال قرار می‌دهیم.

۲. کره را در داخل یک نایلون یا یک دستمال خیس که کاملاً آب آن گرفته شده قرار داده با وردنه بر روی آن می‌کوبیم تا باز شود و به شکل یک مربع ۱۵ در ۱۵ سانتیمتری درآید سپس آنرا در یخچال می‌گذاریم تا سفت شود.

۳. بر روی سطح صافی که آرد بر روی آن پاشیده شده خمیر را قرار داده با کارد بصورت یک علامت به اضافه آن را چاک می‌دهیم. با فشار دادن انگشتان خمیر را تا حدی که بتوان وردنه کشید باز کرده سپس با استفاده وردنه خمیر را به اندازه کره و بصورت چهار گوش باز می‌کنیم.

۴. نکته:'''یک سری''' شامل بار اول باز کردن و سه لا کردن خمیر — چرخاندن خمیر در یک جهت مشخص — بار دوم باز کردن و سه لا کردن خمیر — خواباندن در یخچال است. قبل از تا زدن بهتر است آرد اضافی از سطح خمیر زدوده شود.  
    
'''سری اول تا زدن''': کره را داخل خمیر باز شده طوری قرار می‌دهیم که گوشه‌های کره مماس با وسط اضلاع خمیر چهار گوش شده باشد و هم جهت با گوشه‌های خمیر قرار نگیرد. سپس خمیر را بر روی کره کشیده بصورت پاکت در می‌آوریم. با کوبیدن وردنه بر روی خمیر و سپس وردنه کردن  خمیر را تا به ابعاد ۴۵ در ۲۵ سانتیمتر برسد باز می‌کنیم. آرد اضافه را از سطح خمیر زدوده و خمیر مستطیل شکل را در حالتی که عرض آن به طرف ما قرار گرفته بصورت سه لا تا می‌زنیم. خمیر را  ۹۰ درجه در جهت مشخص بطوریکه لبه‌های بریده شده به طرف ما قرار بگیرد می‌چرخانیم. با وردنه آنرا به شکل مستطیل شکل و به ابعاد قبلی ۴۵ در ۲۵ سانتیمتر باز می‌کنیم و سپس بصورت سه لا تا می‌زنیم. خمیر را داخل نایلون قرار داده و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. 

'''سری دوم تا زدن''': خمیر را از یخچال بیرون می‎آوریم. بر روی سطح صاف بار دیگر کمی آرد پاشیده قرار می‌دهیم. سپس یک سری دیگر (یعنی دو بار) خمیر را باز کرده و تا می زنیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. بعد از در آمدن از یخچال وردنه را با ضربه بر روی خمیر می‌کوبیم تا باز شدن آن امکان پذیر شود. (چرخاندن خمیر باید تنها در یک جهت باشد)

'''سری سوم تا زدن''': خمیر را از یخچال بیرون می‎آوریم. بر روی سطح صاف بار دیگر کمی آرد پاشیده قرار می‌دهیم. سپس برای سومین و آخرین بار یک سری (یعنی دو بار) خمیر را باز کرده و تا می‌زنیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. بدین ترتیب خمیر سه سری یا شش بار باز و بسته می‌شود.  خمیر را می توان در نایلون در فریزر نگهداری کرد.

== طرز تهیه شیرینی ==
مواد:
* [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا|خمیر هزارلا]] ۳۰۰ گرم
* [[کتاب آشپزی/کرم کاستارد|کرم کاستارد]] ۱۰۰ گرم
* رام ۲۰ میلی لیتر (در دستور آمده ضروری نیست)

پودر قند مقداری برای روی شیرینی

* همچنین بطور دلخواه می‌توان از مخلوطی از خامه زده شده و کرم کاستارد برای قرار دادن بر روی لایه‌ها استفاده کرد.

خمیر پای را به قطر ۳ میلیمتر و  ابعاد ۲۱ در ۲۱ سانتیمتر می‌بریم. روی خمیر را با چنگال سوراخ می‌کنیم تا بخار خمیر خارج شود. خمیر را ۳۰ دقیقه در پنجره وسط فر می‌پزیم سپس یکبار خمیر را بیرون آورده پشت و رو کرده و دوباره بر روی سینی قرار می‌دهیم و ۱۰ دقیقه دیگر آن را می‌پزیم.

پس از پخت اضافه‌های اطراف  را بریده تا کناره‌ها صاف شود و سپس آن  را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم. بر روی هر لایه کرم کاستارد مالیده و سه لایه را روی هم قرار می‌دهیم. با کاردک کرم مالی کرم‌هایی که از اطراف بیرون زده است را پاک می‌کنیم. در پایان سطح بالایی را با خرده‌های شیرینی و با پودر قند می‌پوشانیم.

{{ویکی‌پدیا|شیرینی ناپلئونی}}

== جستارهای وابسته ==
* [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا]]
* [[کتاب آشپزی/اندازه‌گیری]]


[[رده:شیرینی‌ها]]
[[رده:دستور غذایی همراه با تصویر]]</text>
      <sha1>tlrt0yp9z7xvd6gzw6wh7ekl0hcilm1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117145</id>
      <parentid>117144</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T10:31:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <ip>86.57.23.138</ip>
      </contributor>
      <comment>/* نکات */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8904" xml:space="preserve">[[پرونده:Making Mille-feuille.jpg|300px|بندانگشتی|این شیرینی ناپلئونی با استفاده از دستور زیر درست شده است. برای لابه‌لای لایه‌ها مخلوطی از خامه زده‌شده و کرم کاستارد و برای روی شیرینی از خامه به تنهایی استفاده شده‌است.]]

'''شیرینی ناپلئونی''' {{به انگلیسی|Napoleon}} یا '''میل‌فوی''' Mille-feuille نوعی پای سه لایه است. این پای از خمیری به نام [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا|خمیر هزارلا]] درست می‌شود و در میان لایه‌های این خمیر [[کتاب آشپزی/کرم کاستارد|کرم کاستارد]] قرار داده شده‌ و سطح بالایی آن با پودر قند پوشانده می‌شود. خمیر هزار لا در زبان فرانسوی به معنای هزار برگ است و نماینده و نمونهٔ خمیرهایی به شمار می‌رود که برای تهیه روش تا زدن و پهن کردن مکرر خمیر بکار می‌رود.

== نکات ==
[http://www.youtube.com/watch?v=saFAO6xcH1M طرز تهیه ناپلئونی در یوتیوب به همراه توضیحات نوشتاری انگلیسی]
#درجهٔ حرارتِ محل کار باید خنک باشد. گرمای محیط باعث ذوب کره و خرابی خمیر می‌شود. 
# باید سطح خمیر پیش از قالب‌زنی کاملاً صاف شود و دارای ضخامتی یکسان باشد.
#خمیری که از لابه‌لای محل قالب‌زنی باقی می‌ماند را اگر جمع کنیم و دوباره وردنه بزنیم این خمیر قابلیت تورق ندارد و بهتر است برای پوشاندن کف قالب پای استفاده شود.
#لبه‌های قالب باید تیز باشد و قابلیت برش خمیر را به آسانی داشته باشند. قالب‌های پلاستیکی به علت ضخامت دیواره‌های قالب موقع بریدن باعث چسبندگی لبه‌های خمیر به یکدیگر می‌شوند.
#خمیر بهتر است هنگام پختن زیاد ضخیم نباشد. ضخامت بیش از حد خمیر (بیش از ۴ میلی لیتر) امکان کجی خمیر پخته را به یک سمت، بالا می‌برد.    
#این خمیر را می‌توان به مقدار زیاد تهیه و در داخل نایلون در فریزر نگهداری کرد. در هنگام فریزر کردن بهتر است خمیر را به اندازه‌ای که لازم است جدا کنید و در داخل نایلون جداگانه قرار دهید. برای مثال برای شیرینی ناپلئونی در حدود ۳۰۰ گرم خمیر لازم است. 
#بار نخست ممکن است خمیر خوب از آب درنیاید.

== طرز تهیه ==
۱. در داخل یک کاسه آرد را ریخته وسط آن را گود کرده نمک و آب سرد را در وسط آرد می‌ریزیم. با لیسک کمی مواد را بهم می زنیم سپس با دست یا دستگاه استند میکسر آن را ورز می‌دهیم تا یکدست شود. خمیر را در داخل نایلون گذاشته و به مدت نیم تا یک ساعت در یخچال قرار می‌دهیم.

۲. کره را در داخل یک نایلون یا یک دستمال خیس که کاملاً آب آن گرفته شده قرار داده با وردنه بر روی آن می‌کوبیم تا باز شود و به شکل یک مربع ۱۵ در ۱۵ سانتیمتری درآید سپس آنرا در یخچال می‌گذاریم تا سفت شود.

۳. بر روی سطح صافی که آرد بر روی آن پاشیده شده خمیر را قرار داده با کارد بصورت یک علامت به اضافه آن را چاک می‌دهیم. با فشار دادن انگشتان خمیر را تا حدی که بتوان وردنه کشید باز کرده سپس با استفاده وردنه خمیر را به اندازه کره و بصورت چهار گوش باز می‌کنیم.

۴. نکته:'''یک سری''' شامل بار اول باز کردن و سه لا کردن خمیر — چرخاندن خمیر در یک جهت مشخص — بار دوم باز کردن و سه لا کردن خمیر — خواباندن در یخچال است. قبل از تا زدن بهتر است آرد اضافی از سطح خمیر زدوده شود.  
    
'''سری اول تا زدن''': کره را داخل خمیر باز شده طوری قرار می‌دهیم که گوشه‌های کره مماس با وسط اضلاع خمیر چهار گوش شده باشد و هم جهت با گوشه‌های خمیر قرار نگیرد. سپس خمیر را بر روی کره کشیده بصورت پاکت در می‌آوریم. با کوبیدن وردنه بر روی خمیر و سپس وردنه کردن  خمیر را تا به ابعاد ۴۵ در ۲۵ سانتیمتر برسد باز می‌کنیم. آرد اضافه را از سطح خمیر زدوده و خمیر مستطیل شکل را در حالتی که عرض آن به طرف ما قرار گرفته بصورت سه لا تا می‌زنیم. خمیر را  ۹۰ درجه در جهت مشخص بطوریکه لبه‌های بریده شده به طرف ما قرار بگیرد می‌چرخانیم. با وردنه آنرا به شکل مستطیل شکل و به ابعاد قبلی ۴۵ در ۲۵ سانتیمتر باز می‌کنیم و سپس بصورت سه لا تا می‌زنیم. خمیر را داخل نایلون قرار داده و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. 

'''سری دوم تا زدن''': خمیر را از یخچال بیرون می‎آوریم. بر روی سطح صاف بار دیگر کمی آرد پاشیده قرار می‌دهیم. سپس یک سری دیگر (یعنی دو بار) خمیر را باز کرده و تا می زنیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. بعد از در آمدن از یخچال وردنه را با ضربه بر روی خمیر می‌کوبیم تا باز شدن آن امکان پذیر شود. (چرخاندن خمیر باید تنها در یک جهت باشد)

'''سری سوم تا زدن''': خمیر را از یخچال بیرون می‎آوریم. بر روی سطح صاف بار دیگر کمی آرد پاشیده قرار می‌دهیم. سپس برای سومین و آخرین بار یک سری (یعنی دو بار) خمیر را باز کرده و تا می‌زنیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. بدین ترتیب خمیر سه سری یا شش بار باز و بسته می‌شود.  خمیر را می توان در نایلون در فریزر نگهداری کرد.

== طرز تهیه شیرینی ==
مواد:
* [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا|خمیر هزارلا]] ۳۰۰ گرم
* [[کتاب آشپزی/کرم کاستارد|کرم کاستارد]] ۱۰۰ گرم
* رام ۲۰ میلی لیتر (در دستور آمده ضروری نیست)

پودر قند مقداری برای روی شیرینی

* همچنین بطور دلخواه می‌توان از مخلوطی از خامه زده شده و کرم کاستارد برای قرار دادن بر روی لایه‌ها استفاده کرد.

خمیر پای را به قطر ۳ میلیمتر و  ابعاد ۲۱ در ۲۱ سانتیمتر می‌بریم. روی خمیر را با چنگال سوراخ می‌کنیم تا بخار خمیر خارج شود. خمیر را ۳۰ دقیقه در پنجره وسط فر می‌پزیم سپس یکبار خمیر را بیرون آورده پشت و رو کرده و دوباره بر روی سینی قرار می‌دهیم و ۱۰ دقیقه دیگر آن را می‌پزیم.

پس از پخت اضافه‌های اطراف  را بریده تا کناره‌ها صاف شود و سپس آن  را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم. بر روی هر لایه کرم کاستارد مالیده و سه لایه را روی هم قرار می‌دهیم. با کاردک کرم مالی کرم‌هایی که از اطراف بیرون زده است را پاک می‌کنیم. در پایان سطح بالایی را با خرده‌های شیرینی و با پودر قند می‌پوشانیم.

{{ویکی‌پدیا|شیرینی ناپلئونی}}

== جستارهای وابسته ==
* [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا]]
* [[کتاب آشپزی/اندازه‌گیری]]


[[رده:شیرینی‌ها]]
[[رده:دستور غذایی همراه با تصویر]]</text>
      <sha1>mkjbcbit0fpjwk28i9g7xuorsyzy2re</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117147</id>
      <parentid>117145</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T10:40:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <ip>86.57.23.138</ip>
      </contributor>
      <comment>/* طرز تهیه */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8956" xml:space="preserve">[[پرونده:Making Mille-feuille.jpg|300px|بندانگشتی|این شیرینی ناپلئونی با استفاده از دستور زیر درست شده است. برای لابه‌لای لایه‌ها مخلوطی از خامه زده‌شده و کرم کاستارد و برای روی شیرینی از خامه به تنهایی استفاده شده‌است.]]

'''شیرینی ناپلئونی''' {{به انگلیسی|Napoleon}} یا '''میل‌فوی''' Mille-feuille نوعی پای سه لایه است. این پای از خمیری به نام [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا|خمیر هزارلا]] درست می‌شود و در میان لایه‌های این خمیر [[کتاب آشپزی/کرم کاستارد|کرم کاستارد]] قرار داده شده‌ و سطح بالایی آن با پودر قند پوشانده می‌شود. خمیر هزار لا در زبان فرانسوی به معنای هزار برگ است و نماینده و نمونهٔ خمیرهایی به شمار می‌رود که برای تهیه روش تا زدن و پهن کردن مکرر خمیر بکار می‌رود.

== نکات ==
[http://www.youtube.com/watch?v=saFAO6xcH1M طرز تهیه ناپلئونی در یوتیوب به همراه توضیحات نوشتاری انگلیسی]
#درجهٔ حرارتِ محل کار باید خنک باشد. گرمای محیط باعث ذوب کره و خرابی خمیر می‌شود. 
# باید سطح خمیر پیش از قالب‌زنی کاملاً صاف شود و دارای ضخامتی یکسان باشد.
#خمیری که از لابه‌لای محل قالب‌زنی باقی می‌ماند را اگر جمع کنیم و دوباره وردنه بزنیم این خمیر قابلیت تورق ندارد و بهتر است برای پوشاندن کف قالب پای استفاده شود.
#لبه‌های قالب باید تیز باشد و قابلیت برش خمیر را به آسانی داشته باشند. قالب‌های پلاستیکی به علت ضخامت دیواره‌های قالب موقع بریدن باعث چسبندگی لبه‌های خمیر به یکدیگر می‌شوند.
#خمیر بهتر است هنگام پختن زیاد ضخیم نباشد. ضخامت بیش از حد خمیر (بیش از ۴ میلی لیتر) امکان کجی خمیر پخته را به یک سمت، بالا می‌برد.    
#این خمیر را می‌توان به مقدار زیاد تهیه و در داخل نایلون در فریزر نگهداری کرد. در هنگام فریزر کردن بهتر است خمیر را به اندازه‌ای که لازم است جدا کنید و در داخل نایلون جداگانه قرار دهید. برای مثال برای شیرینی ناپلئونی در حدود ۳۰۰ گرم خمیر لازم است. 
#بار نخست ممکن است خمیر خوب از آب درنیاید.

== طرز تهیه ==
۱. در داخل یک کاسه آرد را ریخته، وسط آن را گود کرده و نمک و آب سرد را در وسط آرد می‌ریزیم. با لیسک کمی مواد را بهم می‌زنیم سپس با دست یا دستگاهِ استند میکسر، آن را ورز می‌دهیم تا یکدست شود. خمیر را در داخل نایلون گذاشته و به مدت نیم تا یک ساعت در یخچال قرار می‌دهیم.

۲. کره را در داخل یک نایلون یا یک دستمال خیس که کاملاً آب آن گرفته شده قرار داده با وردنه بر روی آن می‌کوبیم تا باز شود و به شکل یک مربع ۱۵ در ۱۵ سانتی‌متری درآید سپس آن را در یخچال می‌گذاریم تا سفت شود.

۳. بر روی سطح صافی که آرد بر روی آن پاشیده شده‌است خمیر را قرار داده و با کارد به صورت یک علامتِ + آن را چاک می‌دهیم. با فشارِ انگشتان، خمیر را تا حدی که می‌توانید وردنه بکشید و باز کنید و سپس با استفاده از وردنه خمیر را به اندازهٔ کره و به صورت چهارگوش باز می‌کنیم.

۴. نکته: '''یک سری''' شامل بار یکم باز کردن و سه‌لا کردن خمیر — چرخاندن خمیر در یک جهت مشخص — بار دوم باز کردن و سه‌لا کردن خمیر — خواباندن در یخچال است. پیش از تا زدن بهتر است آرد اضافی از سطح خمیر زدوده شود.  
    
'''سری یکم''': کره را داخل خمیر که باز شده‌است طوری قرار می‌دهیم که گوشه‌های کره مماس با وسط اضلاع خمیر چهار گوش شده باشد و هم‌جهت با گوشه‌های خمیر قرار نگیرد. سپس خمیر را بر روی کره کشیده و به صورت پاکت درمی‌آوریم. با کوبیدن وردنه بر روی خمیر و سپس وردنه کردن  خمیر را تا به ابعاد ۴۵ در ۲۵ سانتی‌متر برسد باز می‌کنیم. آرد اضافه را از سطح خمیر زدوده و خمیر مستطیل‌شکل را در حالتی که عرض آن به طرف ما قرار گرفته‌است را به صورت سه‌لا تا می‌زنیم. خمیر را ۹۰ درجه در جهت مشخص به طوری که لبه‌های بریده شده به طرف ما قرار بگیرد می‌چرخانیم. با وردنه آن را به شکل مستطیل و به ابعاد قبلی ۴۵ در ۲۵ سانتی‌متر باز می‌کنیم و سپس به صورت سه‌لا تا می‌زنیم. خمیر را داخل نایلون قرار می‌دهیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. 

'''سری دوم''': خمیر را از یخچال بیرون می‌آوریم. بر روی سطح صاف بار دیگر کمی آرد پاشیده قرار می‌دهیم. سپس یک سری دیگر (یعنی دو بار) خمیر را باز کرده و تا می‌زنیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. بعد از درآمدن از یخچال وردنه را با ضربه بر روی خمیر می‌کوبیم تا بتواند باز شود. (چرخاندن خمیر باید تنها در یک جهت باشد)

'''سری سوم''': خمیر را از یخچال بیرون می‌آوریم. بر روی سطح صاف بار دیگر کمی آرد پاشیده قرار می‌دهیم. سپس برای سومین و آخرین بار یک سری (یعنی دو بار) خمیر را باز کرده و تا می‌زنیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. بدین ترتیب خمیر سه سری (یعنی شش بار) باز و بسته می‌شود. خمیر را می توان در نایلون در فریزر نگهداری کرد.

== طرز تهیه شیرینی ==
مواد:
* [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا|خمیر هزارلا]] ۳۰۰ گرم
* [[کتاب آشپزی/کرم کاستارد|کرم کاستارد]] ۱۰۰ گرم
* رام ۲۰ میلی لیتر (در دستور آمده ضروری نیست)

پودر قند مقداری برای روی شیرینی

* همچنین بطور دلخواه می‌توان از مخلوطی از خامه زده شده و کرم کاستارد برای قرار دادن بر روی لایه‌ها استفاده کرد.

خمیر پای را به قطر ۳ میلیمتر و  ابعاد ۲۱ در ۲۱ سانتیمتر می‌بریم. روی خمیر را با چنگال سوراخ می‌کنیم تا بخار خمیر خارج شود. خمیر را ۳۰ دقیقه در پنجره وسط فر می‌پزیم سپس یکبار خمیر را بیرون آورده پشت و رو کرده و دوباره بر روی سینی قرار می‌دهیم و ۱۰ دقیقه دیگر آن را می‌پزیم.

پس از پخت اضافه‌های اطراف  را بریده تا کناره‌ها صاف شود و سپس آن  را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم. بر روی هر لایه کرم کاستارد مالیده و سه لایه را روی هم قرار می‌دهیم. با کاردک کرم مالی کرم‌هایی که از اطراف بیرون زده است را پاک می‌کنیم. در پایان سطح بالایی را با خرده‌های شیرینی و با پودر قند می‌پوشانیم.

{{ویکی‌پدیا|شیرینی ناپلئونی}}

== جستارهای وابسته ==
* [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا]]
* [[کتاب آشپزی/اندازه‌گیری]]


[[رده:شیرینی‌ها]]
[[رده:دستور غذایی همراه با تصویر]]</text>
      <sha1>elflxnmi5au2x2d2jjoir1456zac7jt</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117148</id>
      <parentid>117147</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T10:43:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <ip>86.57.23.138</ip>
      </contributor>
      <comment>/* طرز تهیهٔ شیرینی */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8909" xml:space="preserve">[[پرونده:Making Mille-feuille.jpg|300px|بندانگشتی|این شیرینی ناپلئونی با استفاده از دستور زیر درست شده است. برای لابه‌لای لایه‌ها مخلوطی از خامه زده‌شده و کرم کاستارد و برای روی شیرینی از خامه به تنهایی استفاده شده‌است.]]

'''شیرینی ناپلئونی''' {{به انگلیسی|Napoleon}} یا '''میل‌فوی''' Mille-feuille نوعی پای سه لایه است. این پای از خمیری به نام [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا|خمیر هزارلا]] درست می‌شود و در میان لایه‌های این خمیر [[کتاب آشپزی/کرم کاستارد|کرم کاستارد]] قرار داده شده‌ و سطح بالایی آن با پودر قند پوشانده می‌شود. خمیر هزار لا در زبان فرانسوی به معنای هزار برگ است و نماینده و نمونهٔ خمیرهایی به شمار می‌رود که برای تهیه روش تا زدن و پهن کردن مکرر خمیر بکار می‌رود.

== نکات ==
[http://www.youtube.com/watch?v=saFAO6xcH1M طرز تهیه ناپلئونی در یوتیوب به همراه توضیحات نوشتاری انگلیسی]
#درجهٔ حرارتِ محل کار باید خنک باشد. گرمای محیط باعث ذوب کره و خرابی خمیر می‌شود. 
# باید سطح خمیر پیش از قالب‌زنی کاملاً صاف شود و دارای ضخامتی یکسان باشد.
#خمیری که از لابه‌لای محل قالب‌زنی باقی می‌ماند را اگر جمع کنیم و دوباره وردنه بزنیم این خمیر قابلیت تورق ندارد و بهتر است برای پوشاندن کف قالب پای استفاده شود.
#لبه‌های قالب باید تیز باشد و قابلیت برش خمیر را به آسانی داشته باشند. قالب‌های پلاستیکی به علت ضخامت دیواره‌های قالب موقع بریدن باعث چسبندگی لبه‌های خمیر به یکدیگر می‌شوند.
#خمیر بهتر است هنگام پختن زیاد ضخیم نباشد. ضخامت بیش از حد خمیر (بیش از ۴ میلی لیتر) امکان کجی خمیر پخته را به یک سمت، بالا می‌برد.    
#این خمیر را می‌توان به مقدار زیاد تهیه و در داخل نایلون در فریزر نگهداری کرد. در هنگام فریزر کردن بهتر است خمیر را به اندازه‌ای که لازم است جدا کنید و در داخل نایلون جداگانه قرار دهید. برای مثال برای شیرینی ناپلئونی در حدود ۳۰۰ گرم خمیر لازم است. 
#بار نخست ممکن است خمیر خوب از آب درنیاید.

== طرز تهیه ==
۱. در داخل یک کاسه آرد را ریخته، وسط آن را گود کرده و نمک و آب سرد را در وسط آرد می‌ریزیم. با لیسک کمی مواد را بهم می‌زنیم سپس با دست یا دستگاهِ استند میکسر، آن را ورز می‌دهیم تا یکدست شود. خمیر را در داخل نایلون گذاشته و به مدت نیم تا یک ساعت در یخچال قرار می‌دهیم.

۲. کره را در داخل یک نایلون یا یک دستمال خیس که کاملاً آب آن گرفته شده قرار داده با وردنه بر روی آن می‌کوبیم تا باز شود و به شکل یک مربع ۱۵ در ۱۵ سانتی‌متری درآید سپس آن را در یخچال می‌گذاریم تا سفت شود.

۳. بر روی سطح صافی که آرد بر روی آن پاشیده شده‌است خمیر را قرار داده و با کارد به صورت یک علامتِ + آن را چاک می‌دهیم. با فشارِ انگشتان، خمیر را تا حدی که می‌توانید وردنه بکشید و باز کنید و سپس با استفاده از وردنه خمیر را به اندازهٔ کره و به صورت چهارگوش باز می‌کنیم.

۴. نکته: '''یک سری''' شامل بار یکم باز کردن و سه‌لا کردن خمیر — چرخاندن خمیر در یک جهت مشخص — بار دوم باز کردن و سه‌لا کردن خمیر — خواباندن در یخچال است. پیش از تا زدن بهتر است آرد اضافی از سطح خمیر زدوده شود.  
    
'''سری یکم''': کره را داخل خمیر که باز شده‌است طوری قرار می‌دهیم که گوشه‌های کره مماس با وسط اضلاع خمیر چهار گوش شده باشد و هم‌جهت با گوشه‌های خمیر قرار نگیرد. سپس خمیر را بر روی کره کشیده و به صورت پاکت درمی‌آوریم. با کوبیدن وردنه بر روی خمیر و سپس وردنه کردن  خمیر را تا به ابعاد ۴۵ در ۲۵ سانتی‌متر برسد باز می‌کنیم. آرد اضافه را از سطح خمیر زدوده و خمیر مستطیل‌شکل را در حالتی که عرض آن به طرف ما قرار گرفته‌است را به صورت سه‌لا تا می‌زنیم. خمیر را ۹۰ درجه در جهت مشخص به طوری که لبه‌های بریده شده به طرف ما قرار بگیرد می‌چرخانیم. با وردنه آن را به شکل مستطیل و به ابعاد قبلی ۴۵ در ۲۵ سانتی‌متر باز می‌کنیم و سپس به صورت سه‌لا تا می‌زنیم. خمیر را داخل نایلون قرار می‌دهیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. 

'''سری دوم''': خمیر را از یخچال بیرون می‌آوریم. بر روی سطح صاف بار دیگر کمی آرد پاشیده قرار می‌دهیم. سپس یک سری دیگر (یعنی دو بار) خمیر را باز کرده و تا می‌زنیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. بعد از درآمدن از یخچال وردنه را با ضربه بر روی خمیر می‌کوبیم تا بتواند باز شود. (چرخاندن خمیر باید تنها در یک جهت باشد)

'''سری سوم''': خمیر را از یخچال بیرون می‌آوریم. بر روی سطح صاف بار دیگر کمی آرد پاشیده قرار می‌دهیم. سپس برای سومین و آخرین بار یک سری (یعنی دو بار) خمیر را باز کرده و تا می‌زنیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. بدین ترتیب خمیر سه سری (یعنی شش بار) باز و بسته می‌شود. خمیر را می توان در نایلون در فریزر نگهداری کرد.

== طرز تهیهٔ شیرینی ==
مواد:
* [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا|خمیر هزارلا]] ۳۰۰ گرم
* [[کتاب آشپزی/کرم کاستارد|کرم کاستارد]] ۱۰۰ گرم
* رام ۲۰ میلی لیتر (در دستور آمده‌است که ضروری نیست)

پودر قند مقداری برای روی شیرینی

* همچنین به طور دلخواه می‌توان از مخلوطی از خامه زده شده و کرم کاستارد برای قرار دادن بر روی لایه‌ها استفاده کرد.

خمیر پای را به قطر ۳ میلی‌متر و  ابعاد ۲۱ در ۲۱ سانتی‌متر می‌بریم. روی خمیر را با چنگال سوراخ می‌کنیم تا بخار خمیر خارج شود. خمیر را ۳۰ دقیقه در پنجره وسط فر می‌پزیم سپس یک بار خمیر را بیرون آورده، پشت و رو کرده و دوباره بر روی سینی قرار می‌دهیم و ۱۰ دقیقه دیگر آن را می‌پزیم.

پس از پخت اضافه‌های اطراف را بریده تا کناره‌ها صاف شود و سپس آن را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم. بر روی هر لایه کرم کاستارد می‌مالیم و سه لایه را روی هم قرار می‌دهیم. با کاردک کرم‌هایی که از اطراف بیرون زده را پاک می‌کنیم. در پایان سطح بالایی را با خرده‌های شیرینی و با پودر قند می‌پوشانیم.

== جستارهای وابسته ==
* [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا]]
* [[کتاب آشپزی/اندازه‌گیری]]


[[رده:شیرینی‌ها]]
[[رده:دستور غذایی همراه با تصویر]]</text>
      <sha1>e33h948ua5vuwcgtfl1vutn4wasvgfm</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117149</id>
      <parentid>117148</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T10:44:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <ip>86.57.23.138</ip>
      </contributor>
      <comment>/* پیوند به بیرون */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8860" xml:space="preserve">[[پرونده:Making Mille-feuille.jpg|300px|بندانگشتی|این شیرینی ناپلئونی با استفاده از دستور زیر درست شده است. برای لابه‌لای لایه‌ها مخلوطی از خامه زده‌شده و کرم کاستارد و برای روی شیرینی از خامه به تنهایی استفاده شده‌است.]]

'''شیرینی ناپلئونی''' {{به انگلیسی|Napoleon}} یا '''میل‌فوی''' Mille-feuille نوعی پای سه لایه است. این پای از خمیری به نام [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا|خمیر هزارلا]] درست می‌شود و در میان لایه‌های این خمیر [[کتاب آشپزی/کرم کاستارد|کرم کاستارد]] قرار داده شده‌ و سطح بالایی آن با پودر قند پوشانده می‌شود. خمیر هزار لا در زبان فرانسوی به معنای هزار برگ است و نماینده و نمونهٔ خمیرهایی به شمار می‌رود که برای تهیه روش تا زدن و پهن کردن مکرر خمیر بکار می‌رود.

== نکات ==
[http://www.youtube.com/watch?v=saFAO6xcH1M طرز تهیه ناپلئونی در یوتیوب به همراه توضیحات نوشتاری انگلیسی]
#درجهٔ حرارتِ محل کار باید خنک باشد. گرمای محیط باعث ذوب کره و خرابی خمیر می‌شود. 
# باید سطح خمیر پیش از قالب‌زنی کاملاً صاف شود و دارای ضخامتی یکسان باشد.
#خمیری که از لابه‌لای محل قالب‌زنی باقی می‌ماند را اگر جمع کنیم و دوباره وردنه بزنیم این خمیر قابلیت تورق ندارد و بهتر است برای پوشاندن کف قالب پای استفاده شود.
#لبه‌های قالب باید تیز باشد و قابلیت برش خمیر را به آسانی داشته باشند. قالب‌های پلاستیکی به علت ضخامت دیواره‌های قالب موقع بریدن باعث چسبندگی لبه‌های خمیر به یکدیگر می‌شوند.
#خمیر بهتر است هنگام پختن زیاد ضخیم نباشد. ضخامت بیش از حد خمیر (بیش از ۴ میلی لیتر) امکان کجی خمیر پخته را به یک سمت، بالا می‌برد.    
#این خمیر را می‌توان به مقدار زیاد تهیه و در داخل نایلون در فریزر نگهداری کرد. در هنگام فریزر کردن بهتر است خمیر را به اندازه‌ای که لازم است جدا کنید و در داخل نایلون جداگانه قرار دهید. برای مثال برای شیرینی ناپلئونی در حدود ۳۰۰ گرم خمیر لازم است. 
#بار نخست ممکن است خمیر خوب از آب درنیاید.

== طرز تهیه ==
۱. در داخل یک کاسه آرد را ریخته، وسط آن را گود کرده و نمک و آب سرد را در وسط آرد می‌ریزیم. با لیسک کمی مواد را بهم می‌زنیم سپس با دست یا دستگاهِ استند میکسر، آن را ورز می‌دهیم تا یکدست شود. خمیر را در داخل نایلون گذاشته و به مدت نیم تا یک ساعت در یخچال قرار می‌دهیم.

۲. کره را در داخل یک نایلون یا یک دستمال خیس که کاملاً آب آن گرفته شده قرار داده با وردنه بر روی آن می‌کوبیم تا باز شود و به شکل یک مربع ۱۵ در ۱۵ سانتی‌متری درآید سپس آن را در یخچال می‌گذاریم تا سفت شود.

۳. بر روی سطح صافی که آرد بر روی آن پاشیده شده‌است خمیر را قرار داده و با کارد به صورت یک علامتِ + آن را چاک می‌دهیم. با فشارِ انگشتان، خمیر را تا حدی که می‌توانید وردنه بکشید و باز کنید و سپس با استفاده از وردنه خمیر را به اندازهٔ کره و به صورت چهارگوش باز می‌کنیم.

۴. نکته: '''یک سری''' شامل بار یکم باز کردن و سه‌لا کردن خمیر — چرخاندن خمیر در یک جهت مشخص — بار دوم باز کردن و سه‌لا کردن خمیر — خواباندن در یخچال است. پیش از تا زدن بهتر است آرد اضافی از سطح خمیر زدوده شود.  
    
'''سری یکم''': کره را داخل خمیر که باز شده‌است طوری قرار می‌دهیم که گوشه‌های کره مماس با وسط اضلاع خمیر چهار گوش شده باشد و هم‌جهت با گوشه‌های خمیر قرار نگیرد. سپس خمیر را بر روی کره کشیده و به صورت پاکت درمی‌آوریم. با کوبیدن وردنه بر روی خمیر و سپس وردنه کردن  خمیر را تا به ابعاد ۴۵ در ۲۵ سانتی‌متر برسد باز می‌کنیم. آرد اضافه را از سطح خمیر زدوده و خمیر مستطیل‌شکل را در حالتی که عرض آن به طرف ما قرار گرفته‌است را به صورت سه‌لا تا می‌زنیم. خمیر را ۹۰ درجه در جهت مشخص به طوری که لبه‌های بریده شده به طرف ما قرار بگیرد می‌چرخانیم. با وردنه آن را به شکل مستطیل و به ابعاد قبلی ۴۵ در ۲۵ سانتی‌متر باز می‌کنیم و سپس به صورت سه‌لا تا می‌زنیم. خمیر را داخل نایلون قرار می‌دهیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. 

'''سری دوم''': خمیر را از یخچال بیرون می‌آوریم. بر روی سطح صاف بار دیگر کمی آرد پاشیده قرار می‌دهیم. سپس یک سری دیگر (یعنی دو بار) خمیر را باز کرده و تا می‌زنیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. بعد از درآمدن از یخچال وردنه را با ضربه بر روی خمیر می‌کوبیم تا بتواند باز شود. (چرخاندن خمیر باید تنها در یک جهت باشد)

'''سری سوم''': خمیر را از یخچال بیرون می‌آوریم. بر روی سطح صاف بار دیگر کمی آرد پاشیده قرار می‌دهیم. سپس برای سومین و آخرین بار یک سری (یعنی دو بار) خمیر را باز کرده و تا می‌زنیم و یک تا دو ساعت در یخچال می‌گذاریم. بدین ترتیب خمیر سه سری (یعنی شش بار) باز و بسته می‌شود. خمیر را می توان در نایلون در فریزر نگهداری کرد.

== طرز تهیهٔ شیرینی ==
مواد:
* [[کتاب آشپزی/خمیر هزارلا|خمیر هزارلا]] ۳۰۰ گرم
* [[کتاب آشپزی/کرم کاستارد|کرم کاستارد]] ۱۰۰ گرم
* رام ۲۰ میلی لیتر (در دستور آمده‌است که ضروری نیست)

پودر قند مقداری برای روی شیرینی

* همچنین به طور دلخواه می‌توان از مخلوطی از خامه زده شده و کرم کاستارد برای قرار دادن بر روی لایه‌ها استفاده کرد.

خمیر پای را به قطر ۳ میلی‌متر و  ابعاد ۲۱ در ۲۱ سانتی‌متر می‌بریم. روی خمیر را با چنگال سوراخ می‌کنیم تا بخار خمیر خارج شود. خمیر را ۳۰ دقیقه در پنجره وسط فر می‌پزیم سپس یک بار خمیر را بیرون آورده، پشت و رو کرده و دوباره بر روی سینی قرار می‌دهیم و ۱۰ دقیقه دیگر آن را می‌پزیم.

پس از پخت اضافه‌های اطراف را بریده تا کناره‌ها صاف شود و سپس آن را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم. بر روی هر لایه کرم کاستارد می‌مالیم و سه لایه را روی هم قرار می‌دهیم. با کاردک کرم‌هایی که از اطراف بیرون زده را پاک می‌کنیم. در پایان سطح بالایی را با خرده‌های شیرینی و با پودر قند می‌پوشانیم.

== پیوند به بیرون ==
{{ویکی‌پدیا|شیرینی ناپلئونی}}
[[رده:شیرینی‌ها]]
[[رده:دستور غذایی همراه با تصویر]]</text>
      <sha1>p7zyekk9kx6i64rcqjoioizrqecy8bf</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>هندسه مقدماتی/مقدمه</title>
    <ns>0</ns>
    <id>17146</id>
    <revision>
      <id>117140</id>
      <parentid>116991</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T05:16:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="703" xml:space="preserve">{{سرصفحه
 | عنوان = مقدمه
 | قسمت =
 | قبلی =
 | بعدی = [[هندسه مقدماتی/خط|خط]]
 | یادداشت = [[هندسه مقدماتی]]
}}
هندسه یکی از درس های بسیار شیرین ریاضی است و کاربردهای زیادی در زندگی دارد.اما متاسفانه تعریف های زیاد و البته پیچیده  که هر کدام از مفاهیم دارد بچه ها را از این درس زیبا زده می کند. در این کتاب سعی بر آن شده که مفاهیم پایه هندسه را به زبانی ساده بیان شود امیدوارم لذت ببرید.
[[رده:هندسه مقدماتی]]</text>
      <sha1>1bagxbsuju4bovz6yq19wa8h3lon3uz</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>هندسه مقدماتی/مساحت و حجم</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35888</id>
    <revision>
      <id>117142</id>
      <parentid>117134</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T10:08:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32401" xml:space="preserve">{{سرص|هندسه مقدماتی/طول|هندسه مقدماتی/رأس}}
سطح‌و‌حجم(به‌انگلیسیArea&amp;Volume) مبحثی‌ از علم‌هندسه‌فضایی است که‌در مورد خواص،ویژگی،کاربرد و محاسبه حجم ومساحت احجام هندسی سه بعدی می‌پردازد.احسام سه‌بعدی به اجسامی گفته‌ می‌شوند که دارای سه‌بعد(طول،عرض،ارتفاع)است.

دَوَران،مَقطَع،بُرش،رسم سه‌نما،رسم گسترده احجام،مُحاط‌ کردن،حجم ومساحت از عناصر مهم این علم است.

حجم های هندسی به دو دسته تقسیم می‌شوند:

# حجم های هندسی مثل منشور، کره،هرم، ...
# حجم های غیرهندسی

== زندگی نامه کاشفان در زمینه سطح و حجم ==

== تعریف ها ==

=== تعریف مساحت و حجم===
'''حجم:''' به مقدار فضایی که یک جسم اشغال می‌کند حجم می‌گویند. واحد حجم برابر با واحد مکعب است.حَجم کمیتی از فضای سه‌بعدی است که با یک مرز مشخص محدود شده‌است برای نمونه فضای اشغالی یک ماده (جامد، گاز، مایع، پلاسما) یا شکل آن است.حجم، یک یکای فرعی اس‌آی است که واحد آن، متر به توان ۳ (متر مکعب) می‌باشد. میزان حجم یک ظرف، برابر است با حجم سیالی که آن را پر می‌کند. برای محاسبه حجم، شکل‌های ۳ بعدی خاص، روابط مشخصی وجود دارد که برای شکل‌های ساده دارای نظم هندسی، روابط ساده هستند. برای شکل‌های پیچیده نیز که رابطه‌ی ساده‌ای برای محاسبه حجم، وجود ندارد از روش‌های انتگرالی می‌توان حجم را به‌دست آورد. حجم شکل‌های یک‌بعدی، مانند خط یا دوبعدی، مانند صفحه، صفر می‌باشد.

'''مساحت:'''نوعی کمیت است که مقدار سطح رویه اجسام سه بعدی و مقدار درونی اجسام دوبعدی را محاسبه می‌کند  واحد مساحت برابر با واحدمربع است.مساحت کمیتی است که وسعت یک ناحیه را روی صفحه یا روی یک سطح منحنی بیان می کند. مساحت ناحیه صفحه یا ''مساحت صفحه'' به مساحت یک لایه یا لایه مسطح اشاره دارد ، در حالی که ''مساحت سطح'' به مساحت یک سطح باز یا مرز یک جسم سه بعدی اشاره دارد . مساحت را می توان به عنوان مقدار ماده ای با ضخامت معین که برای شکل دادن به مدلی از شکل لازم است یا مقدار رنگ لازم برای پوشاندن سطح با یک لایه درک کرد. این آنالوگ دو بعدی طول یک منحنی (یک مفهوم یک بعدی) یا حجم یک جامد (یک مفهوم سه بعدی) است.

=== تعریف احجام هندسی و غیرهندسی ===
'''حجم های غیر هندسی'''= حجم های غیر هندسی به حجم های پیچیده گفته می‌شود که حجم های آن سخت بدست آید. اما مساحت آنها را می‌توان بدست آورد اما کمی پیچیده است.برای بدست آوردن حجم های غیرهندسی ابتدا در یک لیوان بشر،آب می‌ریزیم.بعد که پر از آب کردیم و مقدار لیتر را اندازه گیری کردیم؛جسم غیر هندسی را در آب می‌اندازیم با این روش آب بالا می‌آید، بعد مقدار آبی که با حجم غیر هندسی بالا آمده است را با مقدار آبی که قبل تعیین شد کم می‌کنیم و بعد حجم آن را اندازه گیری و می‌نویسیم.

'''حجم های هندسی'''= حجم های هندسی به اجسام هایی گفته می‌شود که برای آنها  می‌توانیم برای آنهافرمول سطح و حجم بنویسیم.حجم آن اجسام هندسی را می‌توانیم به روش الگویابی با استفاده از تجزیه و تحلیل و اندازه گیری حجم اجزای متناظر و جمع بندی و فرمول بندی آن  می‌توان فرمول حجم آن را بدست آورد.برای پیدا کردن مساحت آن ابتدا با تجزیه و گسترده کشیدن شکل به روش پیوسته و گسسته مساحت اجزای آن را حساب می‌کنیم و با آنالیز فرمول آن را می‌نویسیم.

'''مثال= کره،هرم،منشور،چندوجهی،استوانه،مخروط و مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح'''

=== نکاتی در مورد حجم های هندسی ===
'''نکته۱''': مکعب یک چندوجهی(شش وجهی) منتظم دارای وجه مربع است که دارای دو قاعده مربع است پس مکعب یک حجم چند وجهی- منشوری منتظم است.

'''نکته۲''': چهاروجهی یک هرم و چندوجهی با قاعده و وجه های مثلث متساوی الاضلاع است. پس چهاروجهی یک حجم هرمی-چندوجهی و نوعی جسم افلاطونی به حساب می آید.

'''نکته۳''': متوازی السطوح یک حجم منشوری دارای وجه جانبی و دوقاعده است و یک شش وجهی با وجه های متوازی الاضلاع است.پس متوازی السطوح یک حجم منشوری-چندوجهی است.

=== تعریف منشور، کره و هرم ===
'''تعریف منشور''':منشور حجمی است که دارای دو قاعده وجه جانبی،راس و یال است .وجه های منشور مستطیلی است و تعداد وجه های آن با تعداد ضلع قاعده اش برابر است،تعداد راس های آن دو برابر وجه و تعداد یال سه برابر وجه منشور است.وجه های هرم با فرمولn+2بدست می آیو چون تعداد وجه هاب منشور همیشه دو تا بیشتر از وجه جانبی است چون دو وجه دیگر قاعده منشور هستند.منشور درهندسه،یک چندوجهی است که با یک قاعدهٔ n-ضلعی، انتقال‌یافتهٔ چندضلعی قاعده (درصفحه‌ای دیگر) و n وجه دیگر که لزوماً همه متوازی‌الأضلاع بوده و رأس‌های متناظر دو n-ضلعی را به هم متصل می‌کنند. همهٔ سطح مقطع‌های موازی با قاعده، یکسان هستند. منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده‌شان نام‌گذاری می‌شوند؛ بنابراین به‌عنوان مثال، یک منشور با قاعدهٔ پنج‌ضلعی، ''منشور پنج‌ضلعی'' نامیده می‌شود.در تعریف منشور به هرم این است که '''منشور همان هرم است ولی راس آن در بی نهایت قرار دارد'''

'''تعریف هرم''':هرم حجمی است که وجه های آن در یک نقطه قطع میشود و وجه های آن مثلثی شکل است که دارای یک قاعده است.وجه های هرم با فرمولn+1بدست می آید چودن هرم دارای یک راسی اضافه است.تعداد یال های هرم دوبرابر تعداد ضلع قاعده است.درواقع هرم شکلی سه‌بعدی است که از اتصال نقطه‌ای در فضا به تمام نقاط شکلی بسته در صفحه به وجود می‌آید. به آن نقطه، رأس هرم و به آن شکل مسطح، قاعده هرم گفته می‌شود. قاعده هرم، چندضلعی دلخواه است و سایر وجه‌ها مثلث‌هایی هم راس هستند که در رأس به یکدیگر متصل می‌شوند. خط قائمی که رأس را به قاعده متصل می‌کند، ارتفاع هرم نامیده می‌شود. از معروف ترین سازه های جهان به شکل هرم ،می توان به اهرام ثلاثه مصر اشاره کرد.

'''تعریف کره''':کره یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف ''r'' نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نه نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است. ،کره مجموعه نقاطی از فضا است که دارای شعاع و قاعده دایره ای شکل است که یک چند وجهی منتظم است.کره حاصل دوران یک نیم دایره و دایره حول قطر است که در دایره به اندازه ۱۸۰درجه می چرخد و در نیم دایره به اندازه۳۶۰درجه میچرخد.وجه های کره بر اساس تقسیمی از مساحت آن که۳۶۰ درجه است به چندین درجه تقسیم می‌کنیم.

=== تعریف استوانه،مخروط وچندوجهی ===
'''تعریف استوانه''':استوانه یک حجم منشوری است که قاعده آن به صورت دایره ای شکل است.استوانه در هندسه یک پایه منحنی فضایی است که دور سطح آن را مجموعه نقاطی تشکیل داده است.یال های استوانه همان نامشخص است چون قاعده آن به صورت دایره ای است،می توان گفت که وجه جانبی،وجه،راس،یال استوانه به ترتیب3n,2n,n+2,nاست.استوانه درهندسه دیفرانسیل به صورت یک سطح کشیده است که که مولد آن یک دسته خط موازی است.تعریف استوانه در مخروط این است که '''استوانه همان مخروط است ولی راس آن''' '''در بی نهایت قرار دارد.'''استوانه حاصل دوران یک مستطیل حول یکی از اضلاع آن(طول،عرض) به اندازه۳۶۰درجه می باشد.

'''تعریف مخروط:'''مخروط یک حجم هرمی می باشد که قاعده آن به صورت دایره ای است،یک مخروط یک شکل هندسی سه‌بُعدی است که از پایهٔ تختش (سطح مقطع مخروط) به آرامی یا به سرعت (به سطح قاعده و ارتفاع بستگی دارد) تا راس باریک می‌شود. به‌طور جزئی‌تر شکلی جامد است که به یک صفحهٔ پایه (سطح مقطع مخروط)، محدود می‌شود و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی است که نوک مخروط را به نقاط پیرامون پایه (سطح مقطع) پیوند می‌زنند. واژهٔ مخروط گاهی به رویهٔ این جسم توپر گفته می‌شود و گاه تنها به رویهٔ پهلویی آن است.مخروط‌ها می‌توانند به صورت قائم یا اریب باشند. لازم است ذکر شود که حجم یک مخروط اریب با مساحت سطح مقطع معین و ارتفاع مشخص، با حجم یک مخروط قائم با همان مساحت و ارتفاع معین، برابر است.مخروط حاصل دوران یک مثلث قائم الزاویه حول یکی از اضلاع مجاورش به اندازه۳۶۰درجه است.

'''تعریف چندوجهی''':'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.کره نیز از خانواده چندوجهی ها نیز به حساب می آید.مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح از احجام های هندسی هستند که چندوجهی نیز به حساب می آید.

== مساحت و حجم اشکال هندسی ==
حجم مکعب:&lt;math&gt;V=a^3\;&lt;/math&gt;

مساحت مکعب:&lt;math&gt;V=6a^2\;&lt;/math&gt;

حجم چهار وجهی:&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V={\sqrt{2}\over12}a^3 \,&lt;/math&gt;

مساحت چهاروجهی:&lt;math&gt;V={2a^2\sqrt{3} \,}&lt;/math&gt;

حجم مکعب مستطیل: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;{V=abc}&lt;/math&gt;

مساحت مکعب مستطیل: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A=2ab+2ac+2cb&lt;/math&gt; حجم منشور: &lt;math&gt;V=S h&lt;/math&gt;

حجم استوانه: &lt;math&gt;{\displaystyle V=\pi r^{2}h}&lt;/math&gt;

مساحت منشور: &lt;math&gt;A=\ Ph+2S&lt;/math&gt;

مساحت استوانه: &lt;math&gt;A=2\pi r (r + h)\,\!&lt;/math&gt;

حجم هرم: &lt;math&gt;V={\displaystyle{\frac {1}{3}}Sh}&lt;/math&gt;

حجم مخروط:&lt;math&gt;V=\frac{1}{3}\pi r^2 h&lt;/math&gt;

مساحت هرم: &lt;math&gt;B+\frac{P L}{2}\,\!&lt;/math&gt;

مساحت مخروط: &lt;math&gt;\pi r (r + l) \,\!&lt;/math&gt;

حجم کره: &lt;math&gt;V=\frac{4}{3} \pi r^3 &lt;/math&gt;

مساحت کره: &lt;math&gt;4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\!&lt;/math&gt;

حجم کره بیضی گون با قاعده دایره: &lt;math&gt;{4 \over 3} \pi r^2h&lt;/math&gt;

حجم کره بیضی گون مختلف: &lt;math&gt;{4 \over 3} \pi abc&lt;/math&gt;

حجم هرم ناقص:&lt;math&gt;V = \tfrac{1}{3} h \left(a^2 + a b +b^2\right).&lt;/math&gt;

مساحت هرم ناقص:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;

حجم مخروط ناقص:&lt;math&gt;{\displaystyle V={\tfrac {\pi }{3}}h\left(r^{2}+rr'+r'^{2}\right).}&lt;/math&gt;

مساحت مخروط ناقص:&lt;math&gt;{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;=
A=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}&lt;/math&gt; 

حجم چنبره:&lt;math&gt;V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,&lt;/math&gt;

مساحت چنبره:
&lt;math&gt;A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,&lt;/math&gt;

حجم متوازی السطوح:&lt;math&gt;V=a b c  \sqrt{K}&lt;/math&gt;

مساحت متوازی السطوح:&lt;math&gt;2{(ah+bh'+ch'')}&lt;/math&gt;

حجم جامدات چندوجهی:

&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{Area}(F) \right|,
&lt;/math&gt;

== نسبتSA:V احجام هندسی ==
نسبت مساحت سطح به حجم یا نسبت سطح به حجم که با علائم مختلفی مثل sa/vol و &lt;small&gt;SA:V&lt;/small&gt; نشان داده می‌شود؛ عبارت است از مقدار مساحت سطح در واحد حجم یک شی یا مجموعه‌ای از اشیا. در واکنش‌های شیمیایی که یک ماده جامد درگیر باشد، نسبت سطح به حجم یک عامل مهم است که نشان می‌دهد واکنش‌های شیمیایی در حال انجام است.نسبت سطح به حجم یاSA:V یک فرمولی است که از نسبت حجم به سطح کل است و مقادیر آن در احجام هندسی متفاوت است. نسبتSA:Vبه اندازه شعاع یا اندازه احجام هندسی بستگی دارد.
[[پرونده:Comparison_of_surface_area_vs_volume_of_shapes.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/Https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Comparison_of_surface_area_vs_volume_of_shapes.svg|بندانگشتی|نمودارهای سطح (A) به حجم (V) برای جامدات افلاطونی و یک کره، که نشان می‌دهد برای شکل‌های گردتر، این نسبت کاهش می‌یابد. با افزایش حجم، نسبت سطح به حجم کاهش می‌یابد. خطوط خط‌چین نشان می‌دهد که وقتی حجم ۸ (۲&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;) برابر افزایش یابد، سطح ۴ (۲&lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;) برابر افزایش می‌یابد.این روش به صورت برداری و تابعی به همراه نمودار نوشته شده است]]

=== '''نسبت''' V/Sاجسام هندسی ===
نسبتV/Sمکعب:&lt;math&gt;\frac{a}{6}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sچهاروجهی:&lt;math&gt;\frac{{\sqrt {2} \over 12}a^{3} }{2a^2\sqrt {3}}&lt;/math&gt;

نسبت V/Sمنشور:&lt;math&gt;\frac{Sh}{Ph+2s}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sاستوانه:&lt;math&gt;\frac{\pi r^2h}{2\pi r^2+2\pi rh}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sهرم:&lt;math&gt;\frac{\frac{1}{3}Sh}{\frac{N}{2}Bh+S}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sمخروط:&lt;math&gt;\frac{\frac{1}{3}\pi r^2h}{\pi r^2+\pi rL}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sکره=&lt;math&gt;\frac{r}{3}&lt;/math&gt;

=== SA:V برای توپ‌های معمولی و Nبعدی ===
[[پرونده:SAV_n3.png|پیوند=Https://fa.wikipedia.org/wiki/پرونده:SAV_n3.png|بندانگشتی|نمودار مقدار نسبت سطح به حجم (SA:V) برای یک توپ سه بعدی که نشان می‌دهد افزایش شعاع توپ با نسبت، رابطهٔ معکوس دارد.]]
توپ یک شیء سه بعدی به شکل کره است (دراین مبحث بیشتر ناحیه (مساحت) روی کره مورد نظر است نه حجم داخل آن). توپ‌ها در هر چند بعد که نیاز باشد می‌توانند وجود داشته باشند و در حالت کلی توپ n بعدی نامیده می‌شوند که n تعداد ابعاد توپ است. برای یک توپ معمولی سه بعدی می‌توان SA:V را با استفاده از معادله استاندارد مساحت و حجم حساب کرد؛ که در آن مساحت &lt;math&gt; S=4\pi r^2&lt;/math&gt; و حجم &lt;math&gt; V=(4/3)\pi r^3&lt;/math&gt; است. برای توپی به شعاع واحد (r=۱) نسبت سطح به حجم برابر با ۳ می‌شود. SA:V با شعاع رابطه عکس دارد، اگر شعاع ۲ برابر شود SA:V نصف می‌شود.

استدلال بالا را می‌توان برای توپ n بعدی تعمیم داد و روابط کلی حجم و مساحت رویه را به شکل زیر نوشت:

&lt;math&gt; V=\frac{r^n \pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(1+n/2)}&lt;/math&gt; حجم؛&lt;math&gt; S= \frac{nr^{n-1}\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(1+n/2)} &lt;/math&gt; مساحت سطحی

نسبت &lt;math&gt; \frac{V}{S}&lt;/math&gt; در حالت n بعدی به &lt;math&gt; nr^{-1}&lt;/math&gt; کاهش پیدا می‌کند؛ بنابراین همان رابطهٔ خطی برای سطح و حجم در هر بعد برقرار است: دو برابر کردن شعاع همواره نسبت را نصف می‌کند.


== دوران اشکال هندسی ==
از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/مستطیل|مستطیل]]'' حول یکی از اضلاعش= [[هندسه مقدماتی/استوانه|استوانه]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/مثلث|مثلث قائم‌الزاویه]]'' حول یکی از اضلاع مجاورش= [[هندسه مقدماتی/مخروط|مخروط]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/ذوزنقه|ذوزنقه قائم الزاویه]]'' حول ضلع قائم= [[هندسه مقدماتی/مخروط ناقص|مخروط ناقص]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/مثلث|مثلث قائم الزاویه]]'' حول [[هندسه مقدماتی/وتر|وتر]]= دو [[هندسه مقدماتی/مخروط|مخروط]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/دایره|دایره]]'' حول [[هندسه مقدماتی/ قطر|قطر]] به اندازه&lt;sup&gt;○&lt;/sup&gt;180= [[هندسه مقدماتی/کره|کره]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/دایره|نیم دایره]]'' حول [[هندسه مقدماتی/ قطر|قطر]] به اندازه&lt;sup&gt;○&lt;/sup&gt;360= کره

در دوران حجم آن ضلعی که حول شکل آن دوران می دهد بچرخد ارتفاع میشود اما آن ضلعی که چرخیده می شود شعاع آن جسم است.
[[پرونده:Rotating_Sphere.gif|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Rotating_Sphere.gif|چپ|بندانگشتی|121x121پیکسل|یک کره در حال دوران]]

== ترسیم سه نما ==
[[پرونده:ترسیم سه نما.png|200px|بی‌قاب|چپ]]
ترسیم سه نما به ترسیمی در هندسه می گویند که نمای جسم سه بعدی را رسم می کند که این مبحث جهات بالا،پایین،راست،چپ،روبه رو و پشت را به سه نمای بالا،راست،روبه رو خلاصه می کند.اگر نمایی از چپ،پایین،پشت با نمای راست،بالا،روبه رو مطابقت نکرد آن را با خط چین مشخص می کنیم.ترسیم سه نما در معماری و ترسیم مهندسی به کار برده می شود.البته اجسامی مثل استوانه،مخروط فقط دونما رسم می شود چون نمای روبه رو با راست آنها باهم برابر است کلی بالا آنها باهم فرق دارد اما کره فقط یک نمای آن رسم می شوو چون سه نمای آن باهم هم شکل است.

== ترسیم گسترده ==
ترسیم به ترسمی گفته می شود که اجزای یک جسم سه بعدی را تجزیه می کند.ترسیم کشیدن گسترده یک جسم هندسی سه بعدی منشوروهرم،استوانه،چندوجهی،مخروط ساده است.منشور وجه های آن به همراه دو قاعده چندضلعی او کشیده میشود و هرن وجه های مثلث به همراه قاعده چندضلعی آو کشیده میشود.استوانه قسمت مستطیلی که دور دایره کشیده شده به همراه دوقاعده دایره کشیده میشود و در هرم قسمت از یک دایره کشیده میشود و چندوجهی وجه های چندضلعی منتظم او کشیده میشود.اما کره به صورت آنالیز و تجزیه آن گسترده آن بدست می آید،ما کره را بدون هیچ کاری آن را به چهار دایره بر اساس قاعده دورن آن را بدست می آوریم که به چهار دایره تقسیم می شود.
[[پرونده:Desarrollo_prismático_generalizado.svg|بندانگشتی|گسترده یک منشور نه(9)پهلو]]

== مقطع ==
مقطع یک نوع مبحث گفته می شود که جسم سه بعدی را از طریق اقفی و عمودی و صاف و مورب قطع می کند و جسم جدید با قاعده جدید درست می کند.از طریق مورب و عمودی شکل حاصل با قاعده فرق دارد و در صاف و افقی شکل حاصل با قاعده فرق ندارد.مشهورترین مقطع،مقطع مخروطی است.
[[پرونده:Conic_Section_(parameters_θ,ϕ).svg|بندانگشتی|یک مقطع مخروطی]]

== سطح مقطع ==
سطح مقطع مساحت قاعده حاصل از مقطع را محاسبه و آنالیز می کند. بیشترین سطح مقطع کره و هرم و چندوجهی قاعده های آنها است و سطح مقطع در حجم های هندسی با مساحت قاعده آنها برابر است.
[[پرونده:Right_circular_cone_(parameters_r,h,x,Ab,Ax).svg|بندانگشتی|یک سطح مقطع مخروطی که به شعاع 4سانتی متر است.]]

=== نسبت سطح مقطع ===
نسبت سطح مقطع یعنی نسبت مساحت قاعده مقطع و مساحت قاعده حجم هندسی است.

در احجام منشوری نسبت سطح مقطع های موازی برابر با یک می شود،چون مقطع های آنها باهم هم مساحت است. در هرم و کره نسبت سطح مقطع ها باهم متفات است.

== محاط ==
محاط کردن یعنی حجمی را در حجمی احاطه کنیم به شرط آنکه در تمام آن قسمت حجم محاطی در تمام حجم محیطی شعاع آن با آن مماس شود و شعاع و ارتفاع حجم محاطی با شعاع و ارتفاع حجم محیطی برابر باشد.محاطی کره در استوانه یکی از محاط کردن است. کره جسم محاطی است و استوانه جسم محیطی است. با محاط کردن می توان حجم و مساحت احجام را بدست آورد.و نسبت آنهارا بدست آورد
[[پرونده:Sphere_and_circumscribed_cylinder.svg|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Sphere_and_circumscribed_cylinder.svg|بندانگشتی|یک کره توسط استوانه محاط شده است.]]

=== محاط‌‌کردن کره در استوانه ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم.به طوری که شعاع کره با شعاع استوانه برابر است و قطر کره بر ارتفاع و قطر استوانه برابر است و شعاع کره نیز بر تمامی نقاط استوانه مماس است.

'''&lt;code&gt;محاسبه حجم کره&lt;/code&gt;'''

ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه:
&lt;math&gt; 2 \pi r^3&lt;/math&gt;اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید
&lt;math&gt; \frac{2}{3}2 \pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

=== محاط‌‌کردن مخروط در استوانه ===
ابتدامخروط‌ را در استوانه‌ای باارتفاع‌وشعاع‌مختلف محاط‌می‌کنیم.ارتفاع‌وشعاع‌مخروط با ارتفاع‌وشعاع‌استوانه برابر است.در‌این‌نوع محاط کردن ارتفاع ‌مخروط بر قاعده استوانه مماس‌می‌گردد.

دراین حالت می‌گوییم

* '''جسم‌محاطی:مخروط'''
* '''جسم‌محیطی:استوانه'''

'''&lt;code&gt;محاسبه حجم مخروط&lt;/code&gt;'''

اگر‌مخروط را فشرده‌کنیم وبه‌استوانه تبدیل‌کنیم٬یک‌استوانه کوچک به‌وجود می‌آید.اگر سه‌تا ازاین استوانه‌های فشرده‌که قبلامخروط بودند را در استوانه‌بزرگ جای دهیم.حجم‌استوانه کامل پر‌می‌شود.

حجم‌استوانه:&lt;math&gt;V =\pi r^2 h &lt;/math&gt;

اگر نسبت‌حجم‌مخروط‌ را به‌حجم‌استوانه را در حجم‌استوانه ضرب‌کنیم،حجم مخروط بدست می‌آید

&lt;math&gt;V = \frac{1}{3} \pi r^2 h &lt;/math&gt;

== کاربرد ==
کاربرد حجم و سطح بیشتر در معماری،نجوم و... استفاده می شود و یکی از مهم ترین عناصر در ریاضیات و هندسه است.مساحت و حجم هم در مبحث هایی چون مختصات کروی و مختصات استوانه ای،مقطع‌مخروطی،مثلثات کروی،انتگرال و... استفاده می‌شود.
== نگارخانه ==
[[پرونده:مکعب_دارای_12_وجه_می_باشد.jpg|بندانگشتی|250x250پیکسل|مکعب]]
[[پرونده:Tetrahedron_flag.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|چهاروجهی]]
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|متوازی السطوح]]
[[پرونده:Octahedron.jpg|بندانگشتی|250x250پیکسل|هشت وجهی]]
[[پرونده:Cuboid.abc.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|مکعب مستطیل]]
[[پرونده:Decagonal_prism.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|یک منشور]]
[[پرونده:Revolución_cilindro.gif|بندانگشتی|300x300پیکسل|استوانه(درحال دوران)]]
[[پرونده:Simple_torus_with_cycles.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|چنبره]]
[[پرونده:Square_pyramid_slant_height.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|هرم]]
[[پرونده:Cone_revolution.gif|بندانگشتی|300x300پیکسل|مخروط]]
[[پرونده:Pentagonal_frustum.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|هرم ناقص]]
[[پرونده:Some_Regular_Polyhedrons.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|فهرست چندوجهی ها]]
[[پرونده:Sphere and Ball.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|کره]]
[[پرونده:OblateSpheroid.PNG|بندانگشتی|250x250پیکسل]]
[[پرونده:Solid_ellipsoid.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|بیضی گون]]
[[پرونده:Tronco_cono.gif|بندانگشتی|250x250پیکسل|مخروط ناقص در حال دوران]]

== یادداشت ==
#Vیعنی نماد حجم(Volume)
#S,Aیعنی نماد مساحت(Area,surface)
#aیعنی ضلع مکعب،منشور چندپهلو و چهاروجهی
#a,b,cاضلاع مستطیل و متوازی السطوح
#h,Hیعنی ارتفاع(Height)
#مماس یعنی خطی که بر یک خط در تماس باشد و زاویه تماس آن قائم یا 90درجه باشد،مماس در فضایی سه بعدی باعث محاطی یک جسم می گردد
#Kرابطه مثلثاتی است. حجم متوازی السطوح از این عدد در کنارضربa,b,c نوشته می شودو از رابطه زیر نوشته می گردد
&lt;math&gt;\begin{align}
  K = 1 &amp;+ 2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma) \\
        &amp;- \cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta) - \cos^2(\gamma)
\end{align}&lt;/math&gt;
[[رده:هندسه مقدماتی]]</text>
      <sha1>6uw54ahbriq4wkq086zordpt7wlf9lz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117143</id>
      <parentid>117142</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T10:11:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32510" xml:space="preserve">{{سرص|هندسه مقدماتی/طول|هندسه مقدماتی/رأس}}
سطح‌و‌حجم(به‌انگلیسیArea&amp;Volume) مبحثی‌ از علم‌هندسه‌فضایی است که‌در مورد خواص،ویژگی،کاربرد و محاسبه حجم ومساحت احجام هندسی سه بعدی می‌پردازد.احسام سه‌بعدی به اجسامی گفته‌ می‌شوند که دارای سه‌بعد(طول،عرض،ارتفاع)است.

دَوَران،مَقطَع،بُرش،رسم سه‌نما،رسم گسترده احجام،مُحاط‌ کردن،حجم ومساحت از عناصر مهم این علم است.

حجم های هندسی به دو دسته تقسیم می‌شوند:

# حجم های هندسی مثل منشور، کره،هرم، ...
# حجم های غیرهندسی

== زندگی نامه کاشفان در زمینه سطح و حجم ==

== تعریف ها ==

=== تعریف مساحت و حجم===
'''حجم:''' به مقدار فضایی که یک جسم اشغال می‌کند حجم می‌گویند. واحد حجم برابر با واحد مکعب است.حَجم کمیتی از فضای سه‌بعدی است که با یک مرز مشخص محدود شده‌است برای نمونه فضای اشغالی یک ماده (جامد، گاز، مایع، پلاسما) یا شکل آن است.حجم، یک یکای فرعی اس‌آی است که واحد آن، متر به توان ۳ (متر مکعب) می‌باشد. میزان حجم یک ظرف، برابر است با حجم سیالی که آن را پر می‌کند. برای محاسبه حجم، شکل‌های ۳ بعدی خاص، روابط مشخصی وجود دارد که برای شکل‌های ساده دارای نظم هندسی، روابط ساده هستند. برای شکل‌های پیچیده نیز که رابطه‌ی ساده‌ای برای محاسبه حجم، وجود ندارد از روش‌های انتگرالی می‌توان حجم را به‌دست آورد. حجم شکل‌های یک‌بعدی، مانند خط یا دوبعدی، مانند صفحه، صفر می‌باشد.

'''مساحت:'''نوعی کمیت است که مقدار سطح رویه اجسام سه بعدی و مقدار درونی اجسام دوبعدی را محاسبه می‌کند  واحد مساحت برابر با واحدمربع است.مساحت کمیتی است که وسعت یک ناحیه را روی صفحه یا روی یک سطح منحنی بیان می کند. مساحت ناحیه صفحه یا ''مساحت صفحه'' به مساحت یک لایه یا لایه مسطح اشاره دارد ، در حالی که ''مساحت سطح'' به مساحت یک سطح باز یا مرز یک جسم سه بعدی اشاره دارد . مساحت را می توان به عنوان مقدار ماده ای با ضخامت معین که برای شکل دادن به مدلی از شکل لازم است یا مقدار رنگ لازم برای پوشاندن سطح با یک لایه درک کرد. این آنالوگ دو بعدی طول یک منحنی (یک مفهوم یک بعدی) یا حجم یک جامد (یک مفهوم سه بعدی) است.

=== تعریف احجام هندسی و غیرهندسی ===
'''حجم های غیر هندسی'''= حجم های غیر هندسی به حجم های پیچیده گفته می‌شود که حجم های آن سخت بدست آید. اما مساحت آنها را می‌توان بدست آورد اما کمی پیچیده است.برای بدست آوردن حجم های غیرهندسی ابتدا در یک لیوان بشر،آب می‌ریزیم.بعد که پر از آب کردیم و مقدار لیتر را اندازه گیری کردیم؛جسم غیر هندسی را در آب می‌اندازیم با این روش آب بالا می‌آید، بعد مقدار آبی که با حجم غیر هندسی بالا آمده است را با مقدار آبی که قبل تعیین شد کم می‌کنیم و بعد حجم آن را اندازه گیری و می‌نویسیم.

'''حجم های هندسی'''= حجم های هندسی به اجسام هایی گفته می‌شود که برای آنها  می‌توانیم برای آنهافرمول سطح و حجم بنویسیم.حجم آن اجسام هندسی را می‌توانیم به روش الگویابی با استفاده از تجزیه و تحلیل و اندازه گیری حجم اجزای متناظر و جمع بندی و فرمول بندی آن  می‌توان فرمول حجم آن را بدست آورد.برای پیدا کردن مساحت آن ابتدا با تجزیه و گسترده کشیدن شکل به روش پیوسته و گسسته مساحت اجزای آن را حساب می‌کنیم و با آنالیز فرمول آن را می‌نویسیم.

'''مثال= کره،هرم،منشور،چندوجهی،استوانه،مخروط و مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح'''

=== نکاتی در مورد حجم های هندسی ===
'''نکته۱''': مکعب یک چندوجهی(شش وجهی) منتظم دارای وجه مربع است که دارای دو قاعده مربع است پس مکعب یک حجم چند وجهی- منشوری منتظم است.

'''نکته۲''': چهاروجهی یک هرم و چندوجهی با قاعده و وجه های مثلث متساوی الاضلاع است. پس چهاروجهی یک حجم هرمی-چندوجهی و نوعی جسم افلاطونی به حساب می آید.

'''نکته۳''': متوازی السطوح یک حجم منشوری دارای وجه جانبی و دوقاعده است و یک شش وجهی با وجه های متوازی الاضلاع است.پس متوازی السطوح یک حجم منشوری-چندوجهی است.

=== تعریف منشور، کره و هرم ===
'''تعریف منشور''':منشور حجمی است که دارای دو قاعده وجه جانبی،راس و یال است .وجه های منشور مستطیلی است و تعداد وجه های آن با تعداد ضلع قاعده اش برابر است،تعداد راس های آن دو برابر وجه و تعداد یال سه برابر وجه منشور است.وجه های هرم با فرمولn+2بدست می آیو چون تعداد وجه هاب منشور همیشه دو تا بیشتر از وجه جانبی است چون دو وجه دیگر قاعده منشور هستند.منشور درهندسه،یک چندوجهی است که با یک قاعدهٔ n-ضلعی، انتقال‌یافتهٔ چندضلعی قاعده (درصفحه‌ای دیگر) و n وجه دیگر که لزوماً همه متوازی‌الأضلاع بوده و رأس‌های متناظر دو n-ضلعی را به هم متصل می‌کنند. همهٔ سطح مقطع‌های موازی با قاعده، یکسان هستند. منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده‌شان نام‌گذاری می‌شوند؛ بنابراین به‌عنوان مثال، یک منشور با قاعدهٔ پنج‌ضلعی، ''منشور پنج‌ضلعی'' نامیده می‌شود.در تعریف منشور به هرم این است که '''منشور همان هرم است ولی راس آن در بی نهایت قرار دارد'''

'''تعریف هرم''':هرم حجمی است که وجه های آن در یک نقطه قطع میشود و وجه های آن مثلثی شکل است که دارای یک قاعده است.وجه های هرم با فرمولn+1بدست می آید چودن هرم دارای یک راسی اضافه است.تعداد یال های هرم دوبرابر تعداد ضلع قاعده است.درواقع هرم شکلی سه‌بعدی است که از اتصال نقطه‌ای در فضا به تمام نقاط شکلی بسته در صفحه به وجود می‌آید. به آن نقطه، رأس هرم و به آن شکل مسطح، قاعده هرم گفته می‌شود. قاعده هرم، چندضلعی دلخواه است و سایر وجه‌ها مثلث‌هایی هم راس هستند که در رأس به یکدیگر متصل می‌شوند. خط قائمی که رأس را به قاعده متصل می‌کند، ارتفاع هرم نامیده می‌شود. از معروف ترین سازه های جهان به شکل هرم ،می توان به اهرام ثلاثه مصر اشاره کرد.

'''تعریف کره''':کره یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف ''r'' نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نه نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است. ،کره مجموعه نقاطی از فضا است که دارای شعاع و قاعده دایره ای شکل است که یک چند وجهی منتظم است.کره حاصل دوران یک نیم دایره و دایره حول قطر است که در دایره به اندازه ۱۸۰درجه می چرخد و در نیم دایره به اندازه۳۶۰درجه میچرخد.وجه های کره بر اساس تقسیمی از مساحت آن که۳۶۰ درجه است به چندین درجه تقسیم می‌کنیم.

=== تعریف استوانه،مخروط وچندوجهی ===
'''تعریف استوانه''':استوانه یک حجم منشوری است که قاعده آن به صورت دایره ای شکل است.استوانه در هندسه یک پایه منحنی فضایی است که دور سطح آن را مجموعه نقاطی تشکیل داده است.یال های استوانه همان نامشخص است چون قاعده آن به صورت دایره ای است،می توان گفت که وجه جانبی،وجه،راس،یال استوانه به ترتیب3n,2n,n+2,nاست.استوانه درهندسه دیفرانسیل به صورت یک سطح کشیده است که که مولد آن یک دسته خط موازی است.تعریف استوانه در مخروط این است که '''استوانه همان مخروط است ولی راس آن''' '''در بی نهایت قرار دارد.'''استوانه حاصل دوران یک مستطیل حول یکی از اضلاع آن(طول،عرض) به اندازه۳۶۰درجه می باشد.

'''تعریف مخروط:'''مخروط یک حجم هرمی می باشد که قاعده آن به صورت دایره ای است،یک مخروط یک شکل هندسی سه‌بُعدی است که از پایهٔ تختش (سطح مقطع مخروط) به آرامی یا به سرعت (به سطح قاعده و ارتفاع بستگی دارد) تا راس باریک می‌شود. به‌طور جزئی‌تر شکلی جامد است که به یک صفحهٔ پایه (سطح مقطع مخروط)، محدود می‌شود و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی است که نوک مخروط را به نقاط پیرامون پایه (سطح مقطع) پیوند می‌زنند. واژهٔ مخروط گاهی به رویهٔ این جسم توپر گفته می‌شود و گاه تنها به رویهٔ پهلویی آن است.مخروط‌ها می‌توانند به صورت قائم یا اریب باشند. لازم است ذکر شود که حجم یک مخروط اریب با مساحت سطح مقطع معین و ارتفاع مشخص، با حجم یک مخروط قائم با همان مساحت و ارتفاع معین، برابر است.مخروط حاصل دوران یک مثلث قائم الزاویه حول یکی از اضلاع مجاورش به اندازه۳۶۰درجه است.

'''تعریف چندوجهی''':'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.کره نیز از خانواده چندوجهی ها نیز به حساب می آید.مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح از احجام های هندسی هستند که چندوجهی نیز به حساب می آید.

== مساحت و حجم اشکال هندسی ==
حجم مکعب:&lt;math&gt;V=a^3\;&lt;/math&gt;

مساحت مکعب:&lt;math&gt;V=6a^2\;&lt;/math&gt;

حجم چهار وجهی:&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V={\sqrt{2}\over12}a^3 \,&lt;/math&gt;

مساحت چهاروجهی:&lt;math&gt;V={2a^2\sqrt{3} \,}&lt;/math&gt;

حجم مکعب مستطیل: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;{V=abc}&lt;/math&gt;

مساحت مکعب مستطیل: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A=2ab+2ac+2cb&lt;/math&gt; حجم منشور: &lt;math&gt;V=S h&lt;/math&gt;

حجم استوانه: &lt;math&gt;{\displaystyle V=\pi r^{2}h}&lt;/math&gt;

مساحت منشور: &lt;math&gt;A=\ Ph+2S&lt;/math&gt;

مساحت استوانه: &lt;math&gt;A=2\pi r (r + h)\,\!&lt;/math&gt;

حجم هرم: &lt;math&gt;V={\displaystyle{\frac {1}{3}}Sh}&lt;/math&gt;

حجم مخروط:&lt;math&gt;V=\frac{1}{3}\pi r^2 h&lt;/math&gt;

مساحت هرم: &lt;math&gt;B+\frac{P L}{2}\,\!&lt;/math&gt;

مساحت مخروط: &lt;math&gt;\pi r (r + l) \,\!&lt;/math&gt;

حجم کره: &lt;math&gt;V=\frac{4}{3} \pi r^3 &lt;/math&gt;

مساحت کره: &lt;math&gt;4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\!&lt;/math&gt;

حجم کره بیضی گون با قاعده دایره: &lt;math&gt;{4 \over 3} \pi r^2h&lt;/math&gt;

حجم کره بیضی گون مختلف: &lt;math&gt;{4 \over 3} \pi abc&lt;/math&gt;

حجم هرم ناقص:&lt;math&gt;V = \tfrac{1}{3} h \left(a^2 + a b +b^2\right).&lt;/math&gt;

مساحت هرم ناقص:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;

حجم مخروط ناقص:&lt;math&gt;{\displaystyle V={\tfrac {\pi }{3}}h\left(r^{2}+rr'+r'^{2}\right).}&lt;/math&gt;

مساحت مخروط ناقص:&lt;math&gt;{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;=
A=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}&lt;/math&gt; 

حجم چنبره:&lt;math&gt;V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,&lt;/math&gt;

مساحت چنبره:
&lt;math&gt;A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,&lt;/math&gt;

حجم متوازی السطوح:&lt;math&gt;V=a b c  \sqrt{K}&lt;/math&gt;

مساحت متوازی السطوح:&lt;math&gt;2{(ah+bh'+ch'')}&lt;/math&gt;

حجم جامدات چندوجهی:

&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{Area}(F) \right|,
&lt;/math&gt;

== نسبتSA:V احجام هندسی ==
نسبت مساحت سطح به حجم یا نسبت سطح به حجم که با علائم مختلفی مثل sa/vol و &lt;small&gt;SA:V&lt;/small&gt; نشان داده می‌شود؛ عبارت است از مقدار مساحت سطح در واحد حجم یک شی یا مجموعه‌ای از اشیا. در واکنش‌های شیمیایی که یک ماده جامد درگیر باشد، نسبت سطح به حجم یک عامل مهم است که نشان می‌دهد واکنش‌های شیمیایی در حال انجام است.نسبت سطح به حجم یاSA:V یک فرمولی است که از نسبت حجم به سطح کل است و مقادیر آن در احجام هندسی متفاوت است. نسبتSA:Vبه اندازه شعاع یا اندازه احجام هندسی بستگی دارد.
[[پرونده:Comparison_of_surface_area_vs_volume_of_shapes.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/Https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Comparison_of_surface_area_vs_volume_of_shapes.svg|بندانگشتی|نمودارهای سطح (A) به حجم (V) برای جامدات افلاطونی و یک کره، که نشان می‌دهد برای شکل‌های گردتر، این نسبت کاهش می‌یابد. با افزایش حجم، نسبت سطح به حجم کاهش می‌یابد. خطوط خط‌چین نشان می‌دهد که وقتی حجم ۸ (۲&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;) برابر افزایش یابد، سطح ۴ (۲&lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;) برابر افزایش می‌یابد.این روش به صورت برداری و تابعی به همراه نمودار نوشته شده است]]

=== '''نسبت''' V/Sاجسام هندسی ===
نسبتV/Sمکعب:&lt;math&gt;\frac{a}{6}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sچهاروجهی:&lt;math&gt;\frac{{\sqrt {2} \over 12}a^{3} }{2a^2\sqrt {3}}&lt;/math&gt;

نسبت V/Sمنشور:&lt;math&gt;\frac{Sh}{Ph+2s}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sاستوانه:&lt;math&gt;\frac{\pi r^2h}{2\pi r^2+2\pi rh}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sهرم:&lt;math&gt;\frac{\frac{1}{3}Sh}{\frac{N}{2}Bh+S}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sمخروط:&lt;math&gt;\frac{\frac{1}{3}\pi r^2h}{\pi r^2+\pi rL}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sکره=&lt;math&gt;\frac{r}{3}&lt;/math&gt;

=== SA:V برای توپ‌های معمولی و Nبعدی ===
[[پرونده:SAV_n3.png|پیوند=Https://fa.wikipedia.org/wiki/پرونده:SAV_n3.png|بندانگشتی|نمودار مقدار نسبت سطح به حجم (SA:V) برای یک توپ سه بعدی که نشان می‌دهد افزایش شعاع توپ با نسبت، رابطهٔ معکوس دارد.]]
توپ یک شیء سه بعدی به شکل کره است (دراین مبحث بیشتر ناحیه (مساحت) روی کره مورد نظر است نه حجم داخل آن). توپ‌ها در هر چند بعد که نیاز باشد می‌توانند وجود داشته باشند و در حالت کلی توپ n بعدی نامیده می‌شوند که n تعداد ابعاد توپ است. برای یک توپ معمولی سه بعدی می‌توان SA:V را با استفاده از معادله استاندارد مساحت و حجم حساب کرد؛ که در آن مساحت &lt;math&gt; S=4\pi r^2&lt;/math&gt; و حجم &lt;math&gt; V=(4/3)\pi r^3&lt;/math&gt; است. برای توپی به شعاع واحد (r=۱) نسبت سطح به حجم برابر با ۳ می‌شود. SA:V با شعاع رابطه عکس دارد، اگر شعاع ۲ برابر شود SA:V نصف می‌شود.

استدلال بالا را می‌توان برای توپ n بعدی تعمیم داد و روابط کلی حجم و مساحت رویه را به شکل زیر نوشت:

&lt;math&gt; V=\frac{r^n \pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(1+n/2)}&lt;/math&gt; حجم؛&lt;math&gt; S= \frac{nr^{n-1}\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(1+n/2)} &lt;/math&gt; مساحت سطحی

نسبت &lt;math&gt; \frac{V}{S}&lt;/math&gt; در حالت n بعدی به &lt;math&gt; nr^{-1}&lt;/math&gt; کاهش پیدا می‌کند؛ بنابراین همان رابطهٔ خطی برای سطح و حجم در هر بعد برقرار است: دو برابر کردن شعاع همواره نسبت را نصف می‌کند.


== دوران اشکال هندسی ==
از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/مستطیل|مستطیل]]'' حول یکی از اضلاعش= [[هندسه مقدماتی/استوانه|استوانه]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/مثلث|مثلث قائم‌الزاویه]]'' حول یکی از اضلاع مجاورش= [[هندسه مقدماتی/مخروط|مخروط]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/ذوزنقه|ذوزنقه قائم الزاویه]]'' حول ضلع قائم= [[هندسه مقدماتی/مخروط ناقص|مخروط ناقص]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/مثلث|مثلث قائم الزاویه]]'' حول [[هندسه مقدماتی/وتر|وتر]]= دو [[هندسه مقدماتی/مخروط|مخروط]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/دایره|دایره]]'' حول [[هندسه مقدماتی/ قطر|قطر]] به اندازه&lt;sup&gt;○&lt;/sup&gt;180= [[هندسه مقدماتی/کره|کره]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/دایره|نیم دایره]]'' حول [[هندسه مقدماتی/ قطر|قطر]] به اندازه&lt;sup&gt;○&lt;/sup&gt;360= کره

در دوران حجم آن ضلعی که حول شکل آن دوران می دهد بچرخد ارتفاع میشود اما آن ضلعی که چرخیده می شود شعاع آن جسم است.
[[پرونده:Rotating_Sphere.gif|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Rotating_Sphere.gif|چپ|بندانگشتی|121x121پیکسل|یک کره در حال دوران]]

== ترسیم سه نما ==
[[پرونده:ترسیم سه نما.png|200px|بی‌قاب|چپ]]
ترسیم سه نما به ترسیمی در هندسه می گویند که نمای جسم سه بعدی را رسم می کند که این مبحث جهات بالا،پایین،راست،چپ،روبه رو و پشت را به سه نمای بالا،راست،روبه رو خلاصه می کند.اگر نمایی از چپ،پایین،پشت با نمای راست،بالا،روبه رو مطابقت نکرد آن را با خط چین مشخص می کنیم.ترسیم سه نما در معماری و ترسیم مهندسی به کار برده می شود.البته اجسامی مثل استوانه،مخروط فقط دونما رسم می شود چون نمای روبه رو با راست آنها باهم برابر است کلی بالا آنها باهم فرق دارد اما کره فقط یک نمای آن رسم می شوو چون سه نمای آن باهم هم شکل است.

== ترسیم گسترده ==
ترسیم به ترسمی گفته می شود که اجزای یک جسم سه بعدی را تجزیه می کند.ترسیم کشیدن گسترده یک جسم هندسی سه بعدی منشوروهرم،استوانه،چندوجهی،مخروط ساده است.منشور وجه های آن به همراه دو قاعده چندضلعی او کشیده میشود و هرن وجه های مثلث به همراه قاعده چندضلعی آو کشیده میشود.استوانه قسمت مستطیلی که دور دایره کشیده شده به همراه دوقاعده دایره کشیده میشود و در هرم قسمت از یک دایره کشیده میشود و چندوجهی وجه های چندضلعی منتظم او کشیده میشود.اما کره به صورت آنالیز و تجزیه آن گسترده آن بدست می آید،ما کره را بدون هیچ کاری آن را به چهار دایره بر اساس قاعده دورن آن را بدست می آوریم که به چهار دایره تقسیم می شود.
[[پرونده:Desarrollo_prismático_generalizado.svg|بندانگشتی|گسترده یک منشور نه(9)پهلو]]

== مقطع ==
مقطع یک نوع مبحث گفته می شود که جسم سه بعدی را از طریق اقفی و عمودی و صاف و مورب قطع می کند و جسم جدید با قاعده جدید درست می کند.از طریق مورب و عمودی شکل حاصل با قاعده فرق دارد و در صاف و افقی شکل حاصل با قاعده فرق ندارد.مشهورترین مقطع،مقطع مخروطی است.
[[پرونده:Conic_Section_(parameters_θ,ϕ).svg|بندانگشتی|یک مقطع مخروطی]]

== سطح مقطع ==
سطح مقطع مساحت قاعده حاصل از مقطع را محاسبه و آنالیز می کند. بیشترین سطح مقطع کره و هرم و چندوجهی قاعده های آنها است و سطح مقطع در حجم های هندسی با مساحت قاعده آنها برابر است.
[[پرونده:Right_circular_cone_(parameters_r,h,x,Ab,Ax).svg|بندانگشتی|یک سطح مقطع مخروطی که به شعاع 4سانتی متر است.]]

=== نسبت سطح مقطع ===
نسبت سطح مقطع یعنی نسبت مساحت قاعده مقطع و مساحت قاعده حجم هندسی است.

در احجام منشوری نسبت سطح مقطع های موازی برابر با یک می شود،چون مقطع های آنها باهم هم مساحت است. در هرم و کره نسبت سطح مقطع ها باهم متفات است.

== محاط ==
محاط کردن یعنی حجمی را در حجمی احاطه کنیم به شرط آنکه در تمام آن قسمت حجم محاطی در تمام حجم محیطی شعاع آن با آن مماس شود و شعاع و ارتفاع حجم محاطی با شعاع و ارتفاع حجم محیطی برابر باشد.محاطی کره در استوانه یکی از محاط کردن است. کره جسم محاطی است و استوانه جسم محیطی است. با محاط کردن می توان حجم و مساحت احجام را بدست آورد.و نسبت آنهارا بدست آورد
[[پرونده:Sphere_and_circumscribed_cylinder.svg|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Sphere_and_circumscribed_cylinder.svg|بندانگشتی|یک کره توسط استوانه محاط شده است.]]

=== محاط‌‌کردن کره در استوانه ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم.به طوری که شعاع کره با شعاع استوانه برابر است و قطر کره بر ارتفاع و قطر استوانه برابر است و شعاع کره نیز بر تمامی نقاط استوانه مماس است.

دراین حالت می گوییم

'''جسم محاطی:کره'''

'''جسم محیطی:استوانه'''

'''&lt;code&gt;محاسبه حجم کره&lt;/code&gt;'''

ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه:
&lt;math&gt; 2 \pi r^3&lt;/math&gt;اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید
&lt;math&gt; \frac{2}{3}2 \pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

=== محاط‌‌کردن مخروط در استوانه ===
ابتدامخروط‌ را در استوانه‌ای باارتفاع‌وشعاع‌مختلف محاط‌می‌کنیم.ارتفاع‌وشعاع‌مخروط با ارتفاع‌وشعاع‌استوانه برابر است.در‌این‌نوع محاط کردن ارتفاع ‌مخروط بر قاعده استوانه مماس‌می‌گردد.

دراین حالت می‌گوییم

* '''جسم‌محاطی:مخروط'''
* '''جسم‌محیطی:استوانه'''

'''&lt;code&gt;محاسبه حجم مخروط&lt;/code&gt;'''

اگر‌مخروط را فشرده‌کنیم وبه‌استوانه تبدیل‌کنیم٬یک‌استوانه کوچک به‌وجود می‌آید.اگر سه‌تا ازاین استوانه‌های فشرده‌که قبلامخروط بودند را در استوانه‌بزرگ جای دهیم.حجم‌استوانه کامل پر‌می‌شود.

حجم‌استوانه:&lt;math&gt;V =\pi r^2 h &lt;/math&gt;

اگر نسبت‌حجم‌مخروط‌ را به‌حجم‌استوانه را در حجم‌استوانه ضرب‌کنیم،حجم مخروط بدست می‌آید

&lt;math&gt;V = \frac{1}{3} \pi r^2 h &lt;/math&gt;

== کاربرد ==
کاربرد حجم و سطح بیشتر در معماری،نجوم و... استفاده می شود و یکی از مهم ترین عناصر در ریاضیات و هندسه است.مساحت و حجم هم در مبحث هایی چون مختصات کروی و مختصات استوانه ای،مقطع‌مخروطی،مثلثات کروی،انتگرال و... استفاده می‌شود.
== نگارخانه ==
[[پرونده:مکعب_دارای_12_وجه_می_باشد.jpg|بندانگشتی|250x250پیکسل|مکعب]]
[[پرونده:Tetrahedron_flag.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|چهاروجهی]]
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|متوازی السطوح]]
[[پرونده:Octahedron.jpg|بندانگشتی|250x250پیکسل|هشت وجهی]]
[[پرونده:Cuboid.abc.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|مکعب مستطیل]]
[[پرونده:Decagonal_prism.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|یک منشور]]
[[پرونده:Revolución_cilindro.gif|بندانگشتی|300x300پیکسل|استوانه(درحال دوران)]]
[[پرونده:Simple_torus_with_cycles.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|چنبره]]
[[پرونده:Square_pyramid_slant_height.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|هرم]]
[[پرونده:Cone_revolution.gif|بندانگشتی|300x300پیکسل|مخروط]]
[[پرونده:Pentagonal_frustum.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|هرم ناقص]]
[[پرونده:Some_Regular_Polyhedrons.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|فهرست چندوجهی ها]]
[[پرونده:Sphere and Ball.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|کره]]
[[پرونده:OblateSpheroid.PNG|بندانگشتی|250x250پیکسل]]
[[پرونده:Solid_ellipsoid.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|بیضی گون]]
[[پرونده:Tronco_cono.gif|بندانگشتی|250x250پیکسل|مخروط ناقص در حال دوران]]

== یادداشت ==
#Vیعنی نماد حجم(Volume)
#S,Aیعنی نماد مساحت(Area,surface)
#aیعنی ضلع مکعب،منشور چندپهلو و چهاروجهی
#a,b,cاضلاع مستطیل و متوازی السطوح
#h,Hیعنی ارتفاع(Height)
#مماس یعنی خطی که بر یک خط در تماس باشد و زاویه تماس آن قائم یا 90درجه باشد،مماس در فضایی سه بعدی باعث محاطی یک جسم می گردد
#Kرابطه مثلثاتی است. حجم متوازی السطوح از این عدد در کنارضربa,b,c نوشته می شودو از رابطه زیر نوشته می گردد
&lt;math&gt;\begin{align}
  K = 1 &amp;+ 2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma) \\
        &amp;- \cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta) - \cos^2(\gamma)
\end{align}&lt;/math&gt;
[[رده:هندسه مقدماتی]]</text>
      <sha1>p69riidlrz7xhwhzj9131a8dzbkmrq0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117146</id>
      <parentid>117143</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T10:39:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32517" xml:space="preserve">{{سرص|هندسه مقدماتی/طول|هندسه مقدماتی/رأس}}
سطح‌و‌حجم(به‌انگلیسیArea&amp;Volume) مبحثی‌ از علم‌هندسه‌فضایی است که‌در مورد خواص،ویژگی،کاربرد و محاسبه حجم ومساحت احجام هندسی سه بعدی می‌پردازد.احسام سه‌بعدی به اجسامی گفته‌ می‌شوند که دارای سه‌بعد(طول،عرض،ارتفاع)است.

دَوَران،مَقطَع،بُرش،رسم سه‌نما،رسم گسترده احجام،مُحاط‌ کردن،حجم ومساحت از عناصر مهم این علم است.

حجم های هندسی به دو دسته تقسیم می‌شوند:

# حجم های هندسی مثل منشور، کره،هرم، ...
# حجم های غیرهندسی

== زندگی نامه کاشفان در زمینه سطح و حجم ==

== تعریف ها ==

=== تعریف مساحت و حجم===
'''حجم:''' به مقدار فضایی که یک جسم اشغال می‌کند حجم می‌گویند. واحد حجم برابر با واحد مکعب است.حَجم کمیتی از فضای سه‌بعدی است که با یک مرز مشخص محدود شده‌است برای نمونه فضای اشغالی یک ماده (جامد، گاز، مایع، پلاسما) یا شکل آن است.حجم، یک یکای فرعی اس‌آی است که واحد آن، متر به توان ۳ (متر مکعب) می‌باشد. میزان حجم یک ظرف، برابر است با حجم سیالی که آن را پر می‌کند. برای محاسبه حجم، شکل‌های ۳ بعدی خاص، روابط مشخصی وجود دارد که برای شکل‌های ساده دارای نظم هندسی، روابط ساده هستند. برای شکل‌های پیچیده نیز که رابطه‌ی ساده‌ای برای محاسبه حجم، وجود ندارد از روش‌های انتگرالی می‌توان حجم را به‌دست آورد. حجم شکل‌های یک‌بعدی، مانند خط یا دوبعدی، مانند صفحه، صفر می‌باشد.

'''مساحت:'''نوعی کمیت است که مقدار سطح رویه اجسام سه بعدی و مقدار درونی اجسام دوبعدی را محاسبه می‌کند  واحد مساحت برابر با واحدمربع است.مساحت کمیتی است که وسعت یک ناحیه را روی صفحه یا روی یک سطح منحنی بیان می کند. مساحت ناحیه صفحه یا ''مساحت صفحه'' به مساحت یک لایه یا لایه مسطح اشاره دارد ، در حالی که ''مساحت سطح'' به مساحت یک سطح باز یا مرز یک جسم سه بعدی اشاره دارد . مساحت را می توان به عنوان مقدار ماده ای با ضخامت معین که برای شکل دادن به مدلی از شکل لازم است یا مقدار رنگ لازم برای پوشاندن سطح با یک لایه درک کرد. این آنالوگ دو بعدی طول یک منحنی (یک مفهوم یک بعدی) یا حجم یک جامد (یک مفهوم سه بعدی) است.

=== تعریف احجام هندسی و غیرهندسی ===
'''حجم های غیر هندسی'''= حجم های غیر هندسی به حجم های پیچیده گفته می‌شود که حجم های آن سخت بدست آید. اما مساحت آنها را می‌توان بدست آورد اما کمی پیچیده است.برای بدست آوردن حجم های غیرهندسی ابتدا در یک لیوان بشر،آب می‌ریزیم.بعد که پر از آب کردیم و مقدار لیتر را اندازه گیری کردیم؛جسم غیر هندسی را در آب می‌اندازیم با این روش آب بالا می‌آید، بعد مقدار آبی که با حجم غیر هندسی بالا آمده است را با مقدار آبی که قبل تعیین شد کم می‌کنیم و بعد حجم آن را اندازه گیری و می‌نویسیم.

'''حجم های هندسی'''= حجم های هندسی به اجسام هایی گفته می‌شود که برای آنها  می‌توانیم برای آنهافرمول سطح و حجم بنویسیم.حجم آن اجسام هندسی را می‌توانیم به روش الگویابی با استفاده از تجزیه و تحلیل و اندازه گیری حجم اجزای متناظر و جمع بندی و فرمول بندی آن  می‌توان فرمول حجم آن را بدست آورد.برای پیدا کردن مساحت آن ابتدا با تجزیه و گسترده کشیدن شکل به روش پیوسته و گسسته مساحت اجزای آن را حساب می‌کنیم و با آنالیز فرمول آن را می‌نویسیم.

'''مثال= کره،هرم،منشور،چندوجهی،استوانه،مخروط و مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح'''

=== نکاتی در مورد حجم های هندسی ===
'''نکته۱''': مکعب یک چندوجهی(شش وجهی) منتظم دارای وجه مربع است که دارای دو قاعده مربع است پس مکعب یک حجم چند وجهی- منشوری منتظم است.

'''نکته۲''': چهاروجهی یک هرم و چندوجهی با قاعده و وجه های مثلث متساوی الاضلاع است. پس چهاروجهی یک حجم هرمی-چندوجهی و نوعی جسم افلاطونی به حساب می آید.

'''نکته۳''': متوازی السطوح یک حجم منشوری دارای وجه جانبی و دوقاعده است و یک شش وجهی با وجه های متوازی الاضلاع است.پس متوازی السطوح یک حجم منشوری-چندوجهی است.

=== تعریف منشور، کره و هرم ===
'''تعریف منشور''':منشور حجمی است که دارای دو قاعده وجه جانبی،راس و یال است .وجه های منشور مستطیلی است و تعداد وجه های آن با تعداد ضلع قاعده اش برابر است،تعداد راس های آن دو برابر وجه و تعداد یال سه برابر وجه منشور است.وجه های هرم با فرمولn+2بدست می آیو چون تعداد وجه هاب منشور همیشه دو تا بیشتر از وجه جانبی است چون دو وجه دیگر قاعده منشور هستند.منشور درهندسه،یک چندوجهی است که با یک قاعدهٔ n-ضلعی، انتقال‌یافتهٔ چندضلعی قاعده (درصفحه‌ای دیگر) و n وجه دیگر که لزوماً همه متوازی‌الأضلاع بوده و رأس‌های متناظر دو n-ضلعی را به هم متصل می‌کنند. همهٔ سطح مقطع‌های موازی با قاعده، یکسان هستند. منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده‌شان نام‌گذاری می‌شوند؛ بنابراین به‌عنوان مثال، یک منشور با قاعدهٔ پنج‌ضلعی، ''منشور پنج‌ضلعی'' نامیده می‌شود.در تعریف منشور به هرم این است که '''منشور همان هرم است ولی راس آن در بی نهایت قرار دارد'''

'''تعریف هرم''':هرم حجمی است که وجه های آن در یک نقطه قطع میشود و وجه های آن مثلثی شکل است که دارای یک قاعده است.وجه های هرم با فرمولn+1بدست می آید چودن هرم دارای یک راسی اضافه است.تعداد یال های هرم دوبرابر تعداد ضلع قاعده است.درواقع هرم شکلی سه‌بعدی است که از اتصال نقطه‌ای در فضا به تمام نقاط شکلی بسته در صفحه به وجود می‌آید. به آن نقطه، رأس هرم و به آن شکل مسطح، قاعده هرم گفته می‌شود. قاعده هرم، چندضلعی دلخواه است و سایر وجه‌ها مثلث‌هایی هم راس هستند که در رأس به یکدیگر متصل می‌شوند. خط قائمی که رأس را به قاعده متصل می‌کند، ارتفاع هرم نامیده می‌شود. از معروف ترین سازه های جهان به شکل هرم ،می توان به اهرام ثلاثه مصر اشاره کرد.

'''تعریف کره''':کره یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف ''r'' نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نه نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است. ،کره مجموعه نقاطی از فضا است که دارای شعاع و قاعده دایره ای شکل است که یک چند وجهی منتظم است.کره حاصل دوران یک نیم دایره و دایره حول قطر است که در دایره به اندازه ۱۸۰درجه می چرخد و در نیم دایره به اندازه۳۶۰درجه میچرخد.وجه های کره بر اساس تقسیمی از مساحت آن که۳۶۰ درجه است به چندین درجه تقسیم می‌کنیم.

=== تعریف استوانه،مخروط وچندوجهی ===
'''تعریف استوانه''':استوانه یک حجم منشوری است که قاعده آن به صورت دایره ای شکل است.استوانه در هندسه یک پایه منحنی فضایی است که دور سطح آن را مجموعه نقاطی تشکیل داده است.یال های استوانه همان نامشخص است چون قاعده آن به صورت دایره ای است،می توان گفت که وجه جانبی،وجه،راس،یال استوانه به ترتیب3n,2n,n+2,nاست.استوانه درهندسه دیفرانسیل به صورت یک سطح کشیده است که که مولد آن یک دسته خط موازی است.تعریف استوانه در مخروط این است که '''استوانه همان مخروط است ولی راس آن''' '''در بی نهایت قرار دارد.'''استوانه حاصل دوران یک مستطیل حول یکی از اضلاع آن(طول،عرض) به اندازه۳۶۰درجه می باشد.

'''تعریف مخروط:'''مخروط یک حجم هرمی می باشد که قاعده آن به صورت دایره ای است،یک مخروط یک شکل هندسی سه‌بُعدی است که از پایهٔ تختش (سطح مقطع مخروط) به آرامی یا به سرعت (به سطح قاعده و ارتفاع بستگی دارد) تا راس باریک می‌شود. به‌طور جزئی‌تر شکلی جامد است که به یک صفحهٔ پایه (سطح مقطع مخروط)، محدود می‌شود و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی است که نوک مخروط را به نقاط پیرامون پایه (سطح مقطع) پیوند می‌زنند. واژهٔ مخروط گاهی به رویهٔ این جسم توپر گفته می‌شود و گاه تنها به رویهٔ پهلویی آن است.مخروط‌ها می‌توانند به صورت قائم یا اریب باشند. لازم است ذکر شود که حجم یک مخروط اریب با مساحت سطح مقطع معین و ارتفاع مشخص، با حجم یک مخروط قائم با همان مساحت و ارتفاع معین، برابر است.مخروط حاصل دوران یک مثلث قائم الزاویه حول یکی از اضلاع مجاورش به اندازه۳۶۰درجه است.

'''تعریف چندوجهی''':'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.کره نیز از خانواده چندوجهی ها نیز به حساب می آید.مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح از احجام های هندسی هستند که چندوجهی نیز به حساب می آید.

== مساحت و حجم اشکال هندسی ==
حجم مکعب:&lt;math&gt;V=a^3\;&lt;/math&gt;

مساحت مکعب:&lt;math&gt;V=6a^2\;&lt;/math&gt;

حجم چهار وجهی:&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V={\sqrt{2}\over12}a^3 \,&lt;/math&gt;

مساحت چهاروجهی:&lt;math&gt;V={2a^2\sqrt{3} \,}&lt;/math&gt;

حجم مکعب مستطیل: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;{V=abc}&lt;/math&gt;

مساحت مکعب مستطیل: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A=2ab+2ac+2cb&lt;/math&gt; حجم منشور: &lt;math&gt;V=S h&lt;/math&gt;

حجم استوانه: &lt;math&gt;{\displaystyle V=\pi r^{2}h}&lt;/math&gt;

مساحت منشور: &lt;math&gt;A=\ Ph+2S&lt;/math&gt;

مساحت استوانه: &lt;math&gt;A=2\pi r (r + h)\,\!&lt;/math&gt;

حجم هرم: &lt;math&gt;V={\displaystyle{\frac {1}{3}}Sh}&lt;/math&gt;

حجم مخروط:&lt;math&gt;V=\frac{1}{3}\pi r^2 h&lt;/math&gt;

مساحت هرم: &lt;math&gt;B+\frac{P L}{2}\,\!&lt;/math&gt;

مساحت مخروط: &lt;math&gt;\pi r (r + l) \,\!&lt;/math&gt;

حجم کره: &lt;math&gt;V=\frac{4}{3} \pi r^3 &lt;/math&gt;

مساحت کره: &lt;math&gt;4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\!&lt;/math&gt;

حجم کره بیضی گون با قاعده دایره: &lt;math&gt;{4 \over 3} \pi r^2h&lt;/math&gt;

حجم کره بیضی گون مختلف: &lt;math&gt;{4 \over 3} \pi abc&lt;/math&gt;

حجم هرم ناقص:&lt;math&gt;V = \tfrac{1}{3} h \left(a^2 + a b +b^2\right).&lt;/math&gt;

مساحت هرم ناقص:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;

حجم مخروط ناقص:&lt;math&gt;{\displaystyle V={\tfrac {\pi }{3}}h\left(r^{2}+rr'+r'^{2}\right).}&lt;/math&gt;

مساحت مخروط ناقص:&lt;math&gt;{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;=
A=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}&lt;/math&gt; 

حجم چنبره:&lt;math&gt;V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,&lt;/math&gt;

مساحت چنبره:
&lt;math&gt;A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,&lt;/math&gt;

حجم متوازی السطوح:&lt;math&gt;V=a b c  \sqrt{K}&lt;/math&gt;

مساحت متوازی السطوح:&lt;math&gt;2{(ah+bh'+ch'')}&lt;/math&gt;

حجم جامدات چندوجهی:

&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{Area}(F) \right|,
&lt;/math&gt;

== نسبتSA:V احجام هندسی ==
نسبت مساحت سطح به حجم یا نسبت سطح به حجم که با علائم مختلفی مثل sa/vol و &lt;small&gt;SA:V&lt;/small&gt; نشان داده می‌شود؛ عبارت است از مقدار مساحت سطح در واحد حجم یک شی یا مجموعه‌ای از اشیا. در واکنش‌های شیمیایی که یک ماده جامد درگیر باشد، نسبت سطح به حجم یک عامل مهم است که نشان می‌دهد واکنش‌های شیمیایی در حال انجام است.نسبت سطح به حجم یاSA:V یک فرمولی است که از نسبت حجم به سطح کل است و مقادیر آن در احجام هندسی متفاوت است. نسبتSA:Vبه اندازه شعاع یا اندازه احجام هندسی بستگی دارد.
[[پرونده:Comparison_of_surface_area_vs_volume_of_shapes.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/Https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Comparison_of_surface_area_vs_volume_of_shapes.svg|بندانگشتی|نمودارهای سطح (A) به حجم (V) برای جامدات افلاطونی و یک کره، که نشان می‌دهد برای شکل‌های گردتر، این نسبت کاهش می‌یابد. با افزایش حجم، نسبت سطح به حجم کاهش می‌یابد. خطوط خط‌چین نشان می‌دهد که وقتی حجم ۸ (۲&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;) برابر افزایش یابد، سطح ۴ (۲&lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;) برابر افزایش می‌یابد.این روش به صورت برداری و تابعی به همراه نمودار نوشته شده است]]

=== '''نسبت''' V/Sاجسام هندسی ===
نسبتV/Sمکعب:&lt;math&gt;\frac{a}{6}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sچهاروجهی:&lt;math&gt;\frac{{\sqrt {2} \over 12}a^{3} }{2a^2\sqrt {3}}&lt;/math&gt;

نسبت V/Sمنشور:&lt;math&gt;\frac{Sh}{Ph+2s}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sاستوانه:&lt;math&gt;\frac{\pi r^2h}{2\pi r^2+2\pi rh}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sهرم:&lt;math&gt;\frac{\frac{1}{3}Sh}{\frac{N}{2}Bh+S}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sمخروط:&lt;math&gt;\frac{\frac{1}{3}\pi r^2h}{\pi r^2+\pi rL}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sکره=&lt;math&gt;\frac{r}{3}&lt;/math&gt;

=== SA:V برای توپ‌های معمولی و Nبعدی ===
[[پرونده:SAV_n3.png|پیوند=Https://fa.wikipedia.org/wiki/پرونده:SAV_n3.png|بندانگشتی|نمودار مقدار نسبت سطح به حجم (SA:V) برای یک توپ سه بعدی که نشان می‌دهد افزایش شعاع توپ با نسبت، رابطهٔ معکوس دارد.]]
توپ یک شیء سه بعدی به شکل کره است (دراین مبحث بیشتر ناحیه (مساحت) روی کره مورد نظر است نه حجم داخل آن). توپ‌ها در هر چند بعد که نیاز باشد می‌توانند وجود داشته باشند و در حالت کلی توپ n بعدی نامیده می‌شوند که n تعداد ابعاد توپ است. برای یک توپ معمولی سه بعدی می‌توان SA:V را با استفاده از معادله استاندارد مساحت و حجم حساب کرد؛ که در آن مساحت &lt;math&gt; S=4\pi r^2&lt;/math&gt; و حجم &lt;math&gt; V=(4/3)\pi r^3&lt;/math&gt; است. برای توپی به شعاع واحد (r=۱) نسبت سطح به حجم برابر با ۳ می‌شود. SA:V با شعاع رابطه عکس دارد، اگر شعاع ۲ برابر شود SA:V نصف می‌شود.

استدلال بالا را می‌توان برای توپ n بعدی تعمیم داد و روابط کلی حجم و مساحت رویه را به شکل زیر نوشت:

&lt;math&gt; V=\frac{r^n \pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(1+n/2)}&lt;/math&gt; حجم؛&lt;math&gt; S= \frac{nr^{n-1}\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(1+n/2)} &lt;/math&gt; مساحت سطحی

نسبت &lt;math&gt; \frac{V}{S}&lt;/math&gt; در حالت n بعدی به &lt;math&gt; nr^{-1}&lt;/math&gt; کاهش پیدا می‌کند؛ بنابراین همان رابطهٔ خطی برای سطح و حجم در هر بعد برقرار است: دو برابر کردن شعاع همواره نسبت را نصف می‌کند.


== دوران اشکال هندسی ==
از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/مستطیل|مستطیل]]'' حول یکی از اضلاعش= [[هندسه مقدماتی/استوانه|استوانه]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/مثلث|مثلث قائم‌الزاویه]]'' حول یکی از اضلاع مجاورش= [[هندسه مقدماتی/مخروط|مخروط]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/ذوزنقه|ذوزنقه قائم الزاویه]]'' حول ضلع قائم= [[هندسه مقدماتی/مخروط ناقص|مخروط ناقص]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/مثلث|مثلث قائم الزاویه]]'' حول [[هندسه مقدماتی/وتر|وتر]]= دو [[هندسه مقدماتی/مخروط|مخروط]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/دایره|دایره]]'' حول [[هندسه مقدماتی/ قطر|قطر]] به اندازه&lt;sup&gt;○&lt;/sup&gt;180= [[هندسه مقدماتی/کره|کره]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/دایره|نیم دایره]]'' حول [[هندسه مقدماتی/ قطر|قطر]] به اندازه&lt;sup&gt;○&lt;/sup&gt;360= کره

در دوران حجم آن ضلعی که حول شکل آن دوران می دهد بچرخد ارتفاع میشود اما آن ضلعی که چرخیده می شود شعاع آن جسم است.
[[پرونده:Rotating_Sphere.gif|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Rotating_Sphere.gif|چپ|بندانگشتی|121x121پیکسل|یک کره در حال دوران]]

== ترسیم سه نما ==
[[پرونده:ترسیم سه نما.png|200px|بی‌قاب|چپ]]
ترسیم سه نما به ترسیمی در هندسه می گویند که نمای جسم سه بعدی را رسم می کند که این مبحث جهات بالا،پایین،راست،چپ،روبه رو و پشت را به سه نمای بالا،راست،روبه رو خلاصه می کند.اگر نمایی از چپ،پایین،پشت با نمای راست،بالا،روبه رو مطابقت نکرد آن را با خط چین مشخص می کنیم.ترسیم سه نما در معماری و ترسیم مهندسی به کار برده می شود.البته اجسامی مثل استوانه،مخروط فقط دونما رسم می شود چون نمای روبه رو با راست آنها باهم برابر است کلی بالا آنها باهم فرق دارد اما کره فقط یک نمای آن رسم می شوو چون سه نمای آن باهم هم شکل است.

== ترسیم گسترده ==
ترسیم به ترسمی گفته می شود که اجزای یک جسم سه بعدی را تجزیه می کند.ترسیم کشیدن گسترده یک جسم هندسی سه بعدی منشوروهرم،استوانه،چندوجهی،مخروط ساده است.منشور وجه های آن به همراه دو قاعده چندضلعی او کشیده میشود و هرن وجه های مثلث به همراه قاعده چندضلعی آو کشیده میشود.استوانه قسمت مستطیلی که دور دایره کشیده شده به همراه دوقاعده دایره کشیده میشود و در هرم قسمت از یک دایره کشیده میشود و چندوجهی وجه های چندضلعی منتظم او کشیده میشود.اما کره به صورت آنالیز و تجزیه آن گسترده آن بدست می آید،ما کره را بدون هیچ کاری آن را به چهار دایره بر اساس قاعده دورن آن را بدست می آوریم که به چهار دایره تقسیم می شود.
[[پرونده:Desarrollo_prismático_generalizado.svg|بندانگشتی|گسترده یک منشور نه(9)پهلو]]

== مقطع ==
مقطع یک نوع مبحث گفته می شود که جسم سه بعدی را از طریق اقفی و عمودی و صاف و مورب قطع می کند و جسم جدید با قاعده جدید درست می کند.از طریق مورب و عمودی شکل حاصل با قاعده فرق دارد و در صاف و افقی شکل حاصل با قاعده فرق ندارد.مشهورترین مقطع،مقطع مخروطی است.
[[پرونده:Conic_Section_(parameters_θ,ϕ).svg|بندانگشتی|یک مقطع مخروطی]]

== سطح مقطع ==
سطح مقطع مساحت قاعده حاصل از مقطع را محاسبه و آنالیز می کند. بیشترین سطح مقطع کره و هرم و چندوجهی قاعده های آنها است و سطح مقطع در حجم های هندسی با مساحت قاعده آنها برابر است.
[[پرونده:Right_circular_cone_(parameters_r,h,x,Ab,Ax).svg|بندانگشتی|یک سطح مقطع مخروطی که به شعاع 4سانتی متر است.]]

=== نسبت سطح مقطع ===
نسبت سطح مقطع یعنی نسبت مساحت قاعده مقطع و مساحت قاعده حجم هندسی است.

در احجام منشوری نسبت سطح مقطع های موازی برابر با یک می شود،چون مقطع های آنها باهم هم مساحت است. در هرم و کره نسبت سطح مقطع ها باهم متفات است.

== محاط ==
محاط کردن یعنی حجمی را در حجمی احاطه کنیم به شرط آنکه در تمام آن قسمت حجم محاطی در تمام حجم محیطی شعاع آن با آن مماس شود و شعاع و ارتفاع حجم محاطی با شعاع و ارتفاع حجم محیطی برابر باشد.محاطی کره در استوانه یکی از محاط کردن است. کره جسم محاطی است و استوانه جسم محیطی است. با محاط کردن می توان حجم و مساحت احجام را بدست آورد.و نسبت آنهارا بدست آورد
[[پرونده:Sphere_and_circumscribed_cylinder.svg|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Sphere_and_circumscribed_cylinder.svg|بندانگشتی|یک کره توسط استوانه محاط شده است.]]

=== محاط‌‌کردن کره در استوانه ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم.به طوری که شعاع کره با شعاع استوانه برابر است و قطر کره بر ارتفاع و قطر استوانه برابر است و شعاع کره نیز بر تمامی نقاط استوانه مماس است.

دراین حالت می گوییم

'''جسم محاطی:کره'''

'''جسم محیطی:استوانه'''

'''&lt;code&gt;محاسبه حجم کره&lt;/code&gt;'''

ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه:
&lt;math&gt; 2 \pi r^3&lt;/math&gt;اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید
&lt;math&gt; \frac{2}{3}2 \pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

=== محاط‌‌کردن مخروط در استوانه ===
ابتدامخروط‌ را در استوانه‌ای باارتفاع‌وشعاع‌مختلف محاط‌می‌کنیم.ارتفاع‌وشعاع‌مخروط با ارتفاع‌وشعاع‌استوانه برابر است.در‌این‌نوع محاط کردن ارتفاع ‌مخروط بر قاعده استوانه مماس‌می‌گردد.

دراین حالت می‌گوییم

* '''جسم‌محاطی:مخروط'''
* '''جسم‌محیطی:استوانه'''

'''&lt;code&gt;محاسبه حجم مخروط&lt;/code&gt;'''

اگر‌مخروط را فشرده‌کنیم وبه‌استوانه تبدیل‌کنیم٬یک‌استوانه کوچک به‌وجود می‌آید.اگر سه‌تا ازاین استوانه‌های فشرده‌که قبلامخروط بودند را در استوانه‌بزرگ جای دهیم.حجم‌استوانه کامل پر‌می‌شود.

حجم‌استوانه:&lt;math&gt;V =\pi r^2 h &lt;/math&gt;

اگر نسبت‌حجم‌مخروط‌ را به‌حجم‌استوانه را در حجم‌استوانه ضرب‌کنیم،حجم مخروط بدست می‌آید

&lt;math&gt;V = \frac{1}{3} \pi r^2 h &lt;/math&gt;

== کاربرد ==
کاربرد حجم و سطح بیشتر در معماری،نجوم و... استفاده می شود و یکی از مهم ترین عناصر در ریاضیات و هندسه است.مساحت و حجم هم در مبحث هایی چون مختصات کروی و مختصات استوانه ای،مقطع‌مخروطی،مثلثات کروی،انتگرال و... استفاده می‌شود.
== نگارخانه ==
[[پرونده:مکعب_دارای_12_وجه_می_باشد.jpg|بندانگشتی|250x250پیکسل|مکعب]]
[[پرونده:Tetrahedron_flag.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|چهاروجهی]]
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|متوازی السطوح]]
[[پرونده:Octahedron.jpg|بندانگشتی|250x250پیکسل|هشت وجهی]]
[[پرونده:Cuboid.abc.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|مکعب مستطیل]]
[[پرونده:Decagonal_prism.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|یک منشور]]
[[پرونده:Revolución_cilindro.gif|بندانگشتی|300x300پیکسل|استوانه(درحال دوران)]]
[[پرونده:Simple_torus_with_cycles.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|چنبره]]
[[پرونده:Square_pyramid_slant_height.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|هرم]]
[[پرونده:Cone_revolution.gif|بندانگشتی|300x300پیکسل|مخروط]]
[[پرونده:Pentagonal_frustum.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|هرم ناقص]]
[[پرونده:Some_Regular_Polyhedrons.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|فهرست چندوجهی ها]]
[[پرونده:Sphere and Ball.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|کره]]
[[پرونده:OblateSpheroid.PNG|بندانگشتی|250x250پیکسل]]
[[پرونده:Solid_ellipsoid.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|بیضی گون]]
[[پرونده:Tronco_cono.gif|بندانگشتی|250x250پیکسل|مخروط ناقص در حال دوران]]

== یادداشت ==
#Vیعنی نماد حجم(Volume)
#S,Aیعنی نماد مساحت(Area,surface)
#aیعنی ضلع مکعب،منشور چندپهلو و چهاروجهی
#a,b,cاضلاع مستطیل و متوازی السطوح
#h,Hیعنی ارتفاع(Height)
#مماس یعنی خطی که بر یک خط در تماس باشد و زاویه تماس آن قائم یا 90درجه باشد،مماس در فضایی سه بعدی باعث محاطی یک جسم می گردد
#Kرابطه مثلثاتی است. حجم متوازی السطوح از جذر این عدد در کنارضربa,b,c نوشته می شودو از رابطه زیر نوشته می گردد
&lt;math&gt;\begin{align}
  K = 1 &amp;+ 2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma) \\
        &amp;- \cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta) - \cos^2(\gamma)
\end{align}&lt;/math&gt;
[[رده:هندسه مقدماتی]]</text>
      <sha1>lsgvuxp4iraa7nwk0d5yb45op2ctepp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117150</id>
      <parentid>117146</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T10:48:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33336" xml:space="preserve">{{سرص|هندسه مقدماتی/طول|هندسه مقدماتی/رأس}}
سطح‌و‌حجم(به‌انگلیسیArea&amp;Volume) مبحثی‌ از علم‌هندسه‌فضایی است که‌در مورد خواص،ویژگی،کاربرد و محاسبه حجم ومساحت احجام هندسی سه بعدی می‌پردازد.احسام سه‌بعدی به اجسامی گفته‌ می‌شوند که دارای سه‌بعد(طول،عرض،ارتفاع)است.

دَوَران،مَقطَع،بُرش،رسم سه‌نما،رسم گسترده احجام،مُحاط‌ کردن،حجم ومساحت از عناصر مهم این علم است.

حجم های هندسی به دو دسته تقسیم می‌شوند:

# حجم های هندسی مثل منشور، کره،هرم، ...
# حجم های غیرهندسی

== زندگی نامه کاشفان در زمینه سطح و حجم ==
ارشمیدوس یک دانشمند،فیلسوف،ریاضیدان،هندسه دان، فیزیک دان،مخترع،ستاره شناس و مهندس یونانی است که در سال ۲۸۷ق.م در شهر سیراکوز و در سال۲۱۲ق.م در همان شهر در ۷۵سالگی از دنیا رفت. او در زمینه ریاضیات کارهای مهمی انجام داده است. او توانست مساحت و حجم استوانه،مخروط و کره را محاسبه کند و عدد پی را با دقت محاسبه کند و توانست نسبت حجم و مساحت کره را به حجم و مساحت استوانه بدست آورد و حتی او توانست نسبت V/S احجام را محاسبه کند.جایگاه وی در زمینه ریاضیات بالا است.

== تعریف ها ==

=== تعریف مساحت و حجم===
'''حجم:''' به مقدار فضایی که یک جسم اشغال می‌کند حجم می‌گویند. واحد حجم برابر با واحد مکعب است.حَجم کمیتی از فضای سه‌بعدی است که با یک مرز مشخص محدود شده‌است برای نمونه فضای اشغالی یک ماده (جامد، گاز، مایع، پلاسما) یا شکل آن است.حجم، یک یکای فرعی اس‌آی است که واحد آن، متر به توان ۳ (متر مکعب) می‌باشد. میزان حجم یک ظرف، برابر است با حجم سیالی که آن را پر می‌کند. برای محاسبه حجم، شکل‌های ۳ بعدی خاص، روابط مشخصی وجود دارد که برای شکل‌های ساده دارای نظم هندسی، روابط ساده هستند. برای شکل‌های پیچیده نیز که رابطه‌ی ساده‌ای برای محاسبه حجم، وجود ندارد از روش‌های انتگرالی می‌توان حجم را به‌دست آورد. حجم شکل‌های یک‌بعدی، مانند خط یا دوبعدی، مانند صفحه، صفر می‌باشد.

'''مساحت:'''نوعی کمیت است که مقدار سطح رویه اجسام سه بعدی و مقدار درونی اجسام دوبعدی را محاسبه می‌کند  واحد مساحت برابر با واحدمربع است.مساحت کمیتی است که وسعت یک ناحیه را روی صفحه یا روی یک سطح منحنی بیان می کند. مساحت ناحیه صفحه یا ''مساحت صفحه'' به مساحت یک لایه یا لایه مسطح اشاره دارد ، در حالی که ''مساحت سطح'' به مساحت یک سطح باز یا مرز یک جسم سه بعدی اشاره دارد . مساحت را می توان به عنوان مقدار ماده ای با ضخامت معین که برای شکل دادن به مدلی از شکل لازم است یا مقدار رنگ لازم برای پوشاندن سطح با یک لایه درک کرد. این آنالوگ دو بعدی طول یک منحنی (یک مفهوم یک بعدی) یا حجم یک جامد (یک مفهوم سه بعدی) است.

=== تعریف احجام هندسی و غیرهندسی ===
'''حجم های غیر هندسی'''= حجم های غیر هندسی به حجم های پیچیده گفته می‌شود که حجم های آن سخت بدست آید. اما مساحت آنها را می‌توان بدست آورد اما کمی پیچیده است.برای بدست آوردن حجم های غیرهندسی ابتدا در یک لیوان بشر،آب می‌ریزیم.بعد که پر از آب کردیم و مقدار لیتر را اندازه گیری کردیم؛جسم غیر هندسی را در آب می‌اندازیم با این روش آب بالا می‌آید، بعد مقدار آبی که با حجم غیر هندسی بالا آمده است را با مقدار آبی که قبل تعیین شد کم می‌کنیم و بعد حجم آن را اندازه گیری و می‌نویسیم.

'''حجم های هندسی'''= حجم های هندسی به اجسام هایی گفته می‌شود که برای آنها  می‌توانیم برای آنهافرمول سطح و حجم بنویسیم.حجم آن اجسام هندسی را می‌توانیم به روش الگویابی با استفاده از تجزیه و تحلیل و اندازه گیری حجم اجزای متناظر و جمع بندی و فرمول بندی آن  می‌توان فرمول حجم آن را بدست آورد.برای پیدا کردن مساحت آن ابتدا با تجزیه و گسترده کشیدن شکل به روش پیوسته و گسسته مساحت اجزای آن را حساب می‌کنیم و با آنالیز فرمول آن را می‌نویسیم.

'''مثال= کره،هرم،منشور،چندوجهی،استوانه،مخروط و مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح'''

=== نکاتی در مورد حجم های هندسی ===
'''نکته۱''': مکعب یک چندوجهی(شش وجهی) منتظم دارای وجه مربع است که دارای دو قاعده مربع است پس مکعب یک حجم چند وجهی- منشوری منتظم است.

'''نکته۲''': چهاروجهی یک هرم و چندوجهی با قاعده و وجه های مثلث متساوی الاضلاع است. پس چهاروجهی یک حجم هرمی-چندوجهی و نوعی جسم افلاطونی به حساب می آید.

'''نکته۳''': متوازی السطوح یک حجم منشوری دارای وجه جانبی و دوقاعده است و یک شش وجهی با وجه های متوازی الاضلاع است.پس متوازی السطوح یک حجم منشوری-چندوجهی است.

=== تعریف منشور، کره و هرم ===
'''تعریف منشور''':منشور حجمی است که دارای دو قاعده وجه جانبی،راس و یال است .وجه های منشور مستطیلی است و تعداد وجه های آن با تعداد ضلع قاعده اش برابر است،تعداد راس های آن دو برابر وجه و تعداد یال سه برابر وجه منشور است.وجه های هرم با فرمولn+2بدست می آیو چون تعداد وجه هاب منشور همیشه دو تا بیشتر از وجه جانبی است چون دو وجه دیگر قاعده منشور هستند.منشور درهندسه،یک چندوجهی است که با یک قاعدهٔ n-ضلعی، انتقال‌یافتهٔ چندضلعی قاعده (درصفحه‌ای دیگر) و n وجه دیگر که لزوماً همه متوازی‌الأضلاع بوده و رأس‌های متناظر دو n-ضلعی را به هم متصل می‌کنند. همهٔ سطح مقطع‌های موازی با قاعده، یکسان هستند. منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده‌شان نام‌گذاری می‌شوند؛ بنابراین به‌عنوان مثال، یک منشور با قاعدهٔ پنج‌ضلعی، ''منشور پنج‌ضلعی'' نامیده می‌شود.در تعریف منشور به هرم این است که '''منشور همان هرم است ولی راس آن در بی نهایت قرار دارد'''

'''تعریف هرم''':هرم حجمی است که وجه های آن در یک نقطه قطع میشود و وجه های آن مثلثی شکل است که دارای یک قاعده است.وجه های هرم با فرمولn+1بدست می آید چودن هرم دارای یک راسی اضافه است.تعداد یال های هرم دوبرابر تعداد ضلع قاعده است.درواقع هرم شکلی سه‌بعدی است که از اتصال نقطه‌ای در فضا به تمام نقاط شکلی بسته در صفحه به وجود می‌آید. به آن نقطه، رأس هرم و به آن شکل مسطح، قاعده هرم گفته می‌شود. قاعده هرم، چندضلعی دلخواه است و سایر وجه‌ها مثلث‌هایی هم راس هستند که در رأس به یکدیگر متصل می‌شوند. خط قائمی که رأس را به قاعده متصل می‌کند، ارتفاع هرم نامیده می‌شود. از معروف ترین سازه های جهان به شکل هرم ،می توان به اهرام ثلاثه مصر اشاره کرد.

'''تعریف کره''':کره یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف ''r'' نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نه نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است. ،کره مجموعه نقاطی از فضا است که دارای شعاع و قاعده دایره ای شکل است که یک چند وجهی منتظم است.کره حاصل دوران یک نیم دایره و دایره حول قطر است که در دایره به اندازه ۱۸۰درجه می چرخد و در نیم دایره به اندازه۳۶۰درجه میچرخد.وجه های کره بر اساس تقسیمی از مساحت آن که۳۶۰ درجه است به چندین درجه تقسیم می‌کنیم.

=== تعریف استوانه،مخروط وچندوجهی ===
'''تعریف استوانه''':استوانه یک حجم منشوری است که قاعده آن به صورت دایره ای شکل است.استوانه در هندسه یک پایه منحنی فضایی است که دور سطح آن را مجموعه نقاطی تشکیل داده است.یال های استوانه همان نامشخص است چون قاعده آن به صورت دایره ای است،می توان گفت که وجه جانبی،وجه،راس،یال استوانه به ترتیب3n,2n,n+2,nاست.استوانه درهندسه دیفرانسیل به صورت یک سطح کشیده است که که مولد آن یک دسته خط موازی است.تعریف استوانه در مخروط این است که '''استوانه همان مخروط است ولی راس آن''' '''در بی نهایت قرار دارد.'''استوانه حاصل دوران یک مستطیل حول یکی از اضلاع آن(طول،عرض) به اندازه۳۶۰درجه می باشد.

'''تعریف مخروط:'''مخروط یک حجم هرمی می باشد که قاعده آن به صورت دایره ای است،یک مخروط یک شکل هندسی سه‌بُعدی است که از پایهٔ تختش (سطح مقطع مخروط) به آرامی یا به سرعت (به سطح قاعده و ارتفاع بستگی دارد) تا راس باریک می‌شود. به‌طور جزئی‌تر شکلی جامد است که به یک صفحهٔ پایه (سطح مقطع مخروط)، محدود می‌شود و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی است که نوک مخروط را به نقاط پیرامون پایه (سطح مقطع) پیوند می‌زنند. واژهٔ مخروط گاهی به رویهٔ این جسم توپر گفته می‌شود و گاه تنها به رویهٔ پهلویی آن است.مخروط‌ها می‌توانند به صورت قائم یا اریب باشند. لازم است ذکر شود که حجم یک مخروط اریب با مساحت سطح مقطع معین و ارتفاع مشخص، با حجم یک مخروط قائم با همان مساحت و ارتفاع معین، برابر است.مخروط حاصل دوران یک مثلث قائم الزاویه حول یکی از اضلاع مجاورش به اندازه۳۶۰درجه است.

'''تعریف چندوجهی''':'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.کره نیز از خانواده چندوجهی ها نیز به حساب می آید.مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح از احجام های هندسی هستند که چندوجهی نیز به حساب می آید.

== مساحت و حجم اشکال هندسی ==
حجم مکعب:&lt;math&gt;V=a^3\;&lt;/math&gt;

مساحت مکعب:&lt;math&gt;V=6a^2\;&lt;/math&gt;

حجم چهار وجهی:&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V={\sqrt{2}\over12}a^3 \,&lt;/math&gt;

مساحت چهاروجهی:&lt;math&gt;V={2a^2\sqrt{3} \,}&lt;/math&gt;

حجم مکعب مستطیل: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;{V=abc}&lt;/math&gt;

مساحت مکعب مستطیل: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A=2ab+2ac+2cb&lt;/math&gt; حجم منشور: &lt;math&gt;V=S h&lt;/math&gt;

حجم استوانه: &lt;math&gt;{\displaystyle V=\pi r^{2}h}&lt;/math&gt;

مساحت منشور: &lt;math&gt;A=\ Ph+2S&lt;/math&gt;

مساحت استوانه: &lt;math&gt;A=2\pi r (r + h)\,\!&lt;/math&gt;

حجم هرم: &lt;math&gt;V={\displaystyle{\frac {1}{3}}Sh}&lt;/math&gt;

حجم مخروط:&lt;math&gt;V=\frac{1}{3}\pi r^2 h&lt;/math&gt;

مساحت هرم: &lt;math&gt;B+\frac{P L}{2}\,\!&lt;/math&gt;

مساحت مخروط: &lt;math&gt;\pi r (r + l) \,\!&lt;/math&gt;

حجم کره: &lt;math&gt;V=\frac{4}{3} \pi r^3 &lt;/math&gt;

مساحت کره: &lt;math&gt;4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\!&lt;/math&gt;

حجم کره بیضی گون با قاعده دایره: &lt;math&gt;{4 \over 3} \pi r^2h&lt;/math&gt;

حجم کره بیضی گون مختلف: &lt;math&gt;{4 \over 3} \pi abc&lt;/math&gt;

حجم هرم ناقص:&lt;math&gt;V = \tfrac{1}{3} h \left(a^2 + a b +b^2\right).&lt;/math&gt;

مساحت هرم ناقص:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;

حجم مخروط ناقص:&lt;math&gt;{\displaystyle V={\tfrac {\pi }{3}}h\left(r^{2}+rr'+r'^{2}\right).}&lt;/math&gt;

مساحت مخروط ناقص:&lt;math&gt;{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;=
A=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}&lt;/math&gt; 

حجم چنبره:&lt;math&gt;V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,&lt;/math&gt;

مساحت چنبره:
&lt;math&gt;A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,&lt;/math&gt;

حجم متوازی السطوح:&lt;math&gt;V=a b c  \sqrt{K}&lt;/math&gt;

مساحت متوازی السطوح:&lt;math&gt;2{(ah+bh'+ch'')}&lt;/math&gt;

حجم جامدات چندوجهی:

&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{Area}(F) \right|,
&lt;/math&gt;

== نسبتSA:V احجام هندسی ==
نسبت مساحت سطح به حجم یا نسبت سطح به حجم که با علائم مختلفی مثل sa/vol و &lt;small&gt;SA:V&lt;/small&gt; نشان داده می‌شود؛ عبارت است از مقدار مساحت سطح در واحد حجم یک شی یا مجموعه‌ای از اشیا. در واکنش‌های شیمیایی که یک ماده جامد درگیر باشد، نسبت سطح به حجم یک عامل مهم است که نشان می‌دهد واکنش‌های شیمیایی در حال انجام است.نسبت سطح به حجم یاSA:V یک فرمولی است که از نسبت حجم به سطح کل است و مقادیر آن در احجام هندسی متفاوت است. نسبتSA:Vبه اندازه شعاع یا اندازه احجام هندسی بستگی دارد.
[[پرونده:Comparison_of_surface_area_vs_volume_of_shapes.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/Https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Comparison_of_surface_area_vs_volume_of_shapes.svg|بندانگشتی|نمودارهای سطح (A) به حجم (V) برای جامدات افلاطونی و یک کره، که نشان می‌دهد برای شکل‌های گردتر، این نسبت کاهش می‌یابد. با افزایش حجم، نسبت سطح به حجم کاهش می‌یابد. خطوط خط‌چین نشان می‌دهد که وقتی حجم ۸ (۲&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;) برابر افزایش یابد، سطح ۴ (۲&lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;) برابر افزایش می‌یابد.این روش به صورت برداری و تابعی به همراه نمودار نوشته شده است]]

=== '''نسبت''' V/Sاجسام هندسی ===
نسبتV/Sمکعب:&lt;math&gt;\frac{a}{6}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sچهاروجهی:&lt;math&gt;\frac{{\sqrt {2} \over 12}a^{3} }{2a^2\sqrt {3}}&lt;/math&gt;

نسبت V/Sمنشور:&lt;math&gt;\frac{Sh}{Ph+2s}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sاستوانه:&lt;math&gt;\frac{\pi r^2h}{2\pi r^2+2\pi rh}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sهرم:&lt;math&gt;\frac{\frac{1}{3}Sh}{\frac{N}{2}Bh+S}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sمخروط:&lt;math&gt;\frac{\frac{1}{3}\pi r^2h}{\pi r^2+\pi rL}&lt;/math&gt;

نسبتV/Sکره=&lt;math&gt;\frac{r}{3}&lt;/math&gt;

=== SA:V برای توپ‌های معمولی و Nبعدی ===
[[پرونده:SAV_n3.png|پیوند=Https://fa.wikipedia.org/wiki/پرونده:SAV_n3.png|بندانگشتی|نمودار مقدار نسبت سطح به حجم (SA:V) برای یک توپ سه بعدی که نشان می‌دهد افزایش شعاع توپ با نسبت، رابطهٔ معکوس دارد.]]
توپ یک شیء سه بعدی به شکل کره است (دراین مبحث بیشتر ناحیه (مساحت) روی کره مورد نظر است نه حجم داخل آن). توپ‌ها در هر چند بعد که نیاز باشد می‌توانند وجود داشته باشند و در حالت کلی توپ n بعدی نامیده می‌شوند که n تعداد ابعاد توپ است. برای یک توپ معمولی سه بعدی می‌توان SA:V را با استفاده از معادله استاندارد مساحت و حجم حساب کرد؛ که در آن مساحت &lt;math&gt; S=4\pi r^2&lt;/math&gt; و حجم &lt;math&gt; V=(4/3)\pi r^3&lt;/math&gt; است. برای توپی به شعاع واحد (r=۱) نسبت سطح به حجم برابر با ۳ می‌شود. SA:V با شعاع رابطه عکس دارد، اگر شعاع ۲ برابر شود SA:V نصف می‌شود.

استدلال بالا را می‌توان برای توپ n بعدی تعمیم داد و روابط کلی حجم و مساحت رویه را به شکل زیر نوشت:

&lt;math&gt; V=\frac{r^n \pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(1+n/2)}&lt;/math&gt; حجم؛&lt;math&gt; S= \frac{nr^{n-1}\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(1+n/2)} &lt;/math&gt; مساحت سطحی

نسبت &lt;math&gt; \frac{V}{S}&lt;/math&gt; در حالت n بعدی به &lt;math&gt; nr^{-1}&lt;/math&gt; کاهش پیدا می‌کند؛ بنابراین همان رابطهٔ خطی برای سطح و حجم در هر بعد برقرار است: دو برابر کردن شعاع همواره نسبت را نصف می‌کند.


== دوران اشکال هندسی ==
از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/مستطیل|مستطیل]]'' حول یکی از اضلاعش= [[هندسه مقدماتی/استوانه|استوانه]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/مثلث|مثلث قائم‌الزاویه]]'' حول یکی از اضلاع مجاورش= [[هندسه مقدماتی/مخروط|مخروط]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/ذوزنقه|ذوزنقه قائم الزاویه]]'' حول ضلع قائم= [[هندسه مقدماتی/مخروط ناقص|مخروط ناقص]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/مثلث|مثلث قائم الزاویه]]'' حول [[هندسه مقدماتی/وتر|وتر]]= دو [[هندسه مقدماتی/مخروط|مخروط]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/دایره|دایره]]'' حول [[هندسه مقدماتی/ قطر|قطر]] به اندازه&lt;sup&gt;○&lt;/sup&gt;180= [[هندسه مقدماتی/کره|کره]]

از دوران یک ''[[هندسه مقدماتی/دایره|نیم دایره]]'' حول [[هندسه مقدماتی/ قطر|قطر]] به اندازه&lt;sup&gt;○&lt;/sup&gt;360= کره

در دوران حجم آن ضلعی که حول شکل آن دوران می دهد بچرخد ارتفاع میشود اما آن ضلعی که چرخیده می شود شعاع آن جسم است.
[[پرونده:Rotating_Sphere.gif|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Rotating_Sphere.gif|چپ|بندانگشتی|121x121پیکسل|یک کره در حال دوران]]

== ترسیم سه نما ==
[[پرونده:ترسیم سه نما.png|200px|بی‌قاب|چپ]]
ترسیم سه نما به ترسیمی در هندسه می گویند که نمای جسم سه بعدی را رسم می کند که این مبحث جهات بالا،پایین،راست،چپ،روبه رو و پشت را به سه نمای بالا،راست،روبه رو خلاصه می کند.اگر نمایی از چپ،پایین،پشت با نمای راست،بالا،روبه رو مطابقت نکرد آن را با خط چین مشخص می کنیم.ترسیم سه نما در معماری و ترسیم مهندسی به کار برده می شود.البته اجسامی مثل استوانه،مخروط فقط دونما رسم می شود چون نمای روبه رو با راست آنها باهم برابر است کلی بالا آنها باهم فرق دارد اما کره فقط یک نمای آن رسم می شوو چون سه نمای آن باهم هم شکل است.

== ترسیم گسترده ==
ترسیم به ترسمی گفته می شود که اجزای یک جسم سه بعدی را تجزیه می کند.ترسیم کشیدن گسترده یک جسم هندسی سه بعدی منشوروهرم،استوانه،چندوجهی،مخروط ساده است.منشور وجه های آن به همراه دو قاعده چندضلعی او کشیده میشود و هرن وجه های مثلث به همراه قاعده چندضلعی آو کشیده میشود.استوانه قسمت مستطیلی که دور دایره کشیده شده به همراه دوقاعده دایره کشیده میشود و در هرم قسمت از یک دایره کشیده میشود و چندوجهی وجه های چندضلعی منتظم او کشیده میشود.اما کره به صورت آنالیز و تجزیه آن گسترده آن بدست می آید،ما کره را بدون هیچ کاری آن را به چهار دایره بر اساس قاعده دورن آن را بدست می آوریم که به چهار دایره تقسیم می شود.
[[پرونده:Desarrollo_prismático_generalizado.svg|بندانگشتی|گسترده یک منشور نه(9)پهلو]]

== مقطع ==
مقطع یک نوع مبحث گفته می شود که جسم سه بعدی را از طریق اقفی و عمودی و صاف و مورب قطع می کند و جسم جدید با قاعده جدید درست می کند.از طریق مورب و عمودی شکل حاصل با قاعده فرق دارد و در صاف و افقی شکل حاصل با قاعده فرق ندارد.مشهورترین مقطع،مقطع مخروطی است.
[[پرونده:Conic_Section_(parameters_θ,ϕ).svg|بندانگشتی|یک مقطع مخروطی]]

== سطح مقطع ==
سطح مقطع مساحت قاعده حاصل از مقطع را محاسبه و آنالیز می کند. بیشترین سطح مقطع کره و هرم و چندوجهی قاعده های آنها است و سطح مقطع در حجم های هندسی با مساحت قاعده آنها برابر است.
[[پرونده:Right_circular_cone_(parameters_r,h,x,Ab,Ax).svg|بندانگشتی|یک سطح مقطع مخروطی که به شعاع 4سانتی متر است.]]

=== نسبت سطح مقطع ===
نسبت سطح مقطع یعنی نسبت مساحت قاعده مقطع و مساحت قاعده حجم هندسی است.

در احجام منشوری نسبت سطح مقطع های موازی برابر با یک می شود،چون مقطع های آنها باهم هم مساحت است. در هرم و کره نسبت سطح مقطع ها باهم متفات است.

== محاط ==
محاط کردن یعنی حجمی را در حجمی احاطه کنیم به شرط آنکه در تمام آن قسمت حجم محاطی در تمام حجم محیطی شعاع آن با آن مماس شود و شعاع و ارتفاع حجم محاطی با شعاع و ارتفاع حجم محیطی برابر باشد.محاطی کره در استوانه یکی از محاط کردن است. کره جسم محاطی است و استوانه جسم محیطی است. با محاط کردن می توان حجم و مساحت احجام را بدست آورد.و نسبت آنهارا بدست آورد
[[پرونده:Sphere_and_circumscribed_cylinder.svg|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Sphere_and_circumscribed_cylinder.svg|بندانگشتی|یک کره توسط استوانه محاط شده است.]]

=== محاط‌‌کردن کره در استوانه ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم.به طوری که شعاع کره با شعاع استوانه برابر است و قطر کره بر ارتفاع و قطر استوانه برابر است و شعاع کره نیز بر تمامی نقاط استوانه مماس است.

دراین حالت می گوییم

'''جسم محاطی:کره'''

'''جسم محیطی:استوانه'''

'''&lt;code&gt;محاسبه حجم کره&lt;/code&gt;'''

ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه:
&lt;math&gt; 2 \pi r^3&lt;/math&gt;اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید
&lt;math&gt; \frac{2}{3}2 \pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

=== محاط‌‌کردن مخروط در استوانه ===
ابتدامخروط‌ را در استوانه‌ای باارتفاع‌وشعاع‌مختلف محاط‌می‌کنیم.ارتفاع‌وشعاع‌مخروط با ارتفاع‌وشعاع‌استوانه برابر است.در‌این‌نوع محاط کردن ارتفاع ‌مخروط بر قاعده استوانه مماس‌می‌گردد.

دراین حالت می‌گوییم

* '''جسم‌محاطی:مخروط'''
* '''جسم‌محیطی:استوانه'''

'''&lt;code&gt;محاسبه حجم مخروط&lt;/code&gt;'''

اگر‌مخروط را فشرده‌کنیم وبه‌استوانه تبدیل‌کنیم٬یک‌استوانه کوچک به‌وجود می‌آید.اگر سه‌تا ازاین استوانه‌های فشرده‌که قبلامخروط بودند را در استوانه‌بزرگ جای دهیم.حجم‌استوانه کامل پر‌می‌شود.

حجم‌استوانه:&lt;math&gt;V =\pi r^2 h &lt;/math&gt;

اگر نسبت‌حجم‌مخروط‌ را به‌حجم‌استوانه را در حجم‌استوانه ضرب‌کنیم،حجم مخروط بدست می‌آید

&lt;math&gt;V = \frac{1}{3} \pi r^2 h &lt;/math&gt;

== کاربرد ==
کاربرد حجم و سطح بیشتر در معماری،نجوم و... استفاده می شود و یکی از مهم ترین عناصر در ریاضیات و هندسه است.مساحت و حجم هم در مبحث هایی چون مختصات کروی و مختصات استوانه ای،مقطع‌مخروطی،مثلثات کروی،انتگرال و... استفاده می‌شود.
== نگارخانه ==
[[پرونده:مکعب_دارای_12_وجه_می_باشد.jpg|بندانگشتی|250x250پیکسل|مکعب]]
[[پرونده:Tetrahedron_flag.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|چهاروجهی]]
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|متوازی السطوح]]
[[پرونده:Octahedron.jpg|بندانگشتی|250x250پیکسل|هشت وجهی]]
[[پرونده:Cuboid.abc.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|مکعب مستطیل]]
[[پرونده:Decagonal_prism.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|یک منشور]]
[[پرونده:Revolución_cilindro.gif|بندانگشتی|300x300پیکسل|استوانه(درحال دوران)]]
[[پرونده:Simple_torus_with_cycles.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|چنبره]]
[[پرونده:Square_pyramid_slant_height.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|هرم]]
[[پرونده:Cone_revolution.gif|بندانگشتی|300x300پیکسل|مخروط]]
[[پرونده:Pentagonal_frustum.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|هرم ناقص]]
[[پرونده:Some_Regular_Polyhedrons.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|فهرست چندوجهی ها]]
[[پرونده:Sphere and Ball.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|کره]]
[[پرونده:OblateSpheroid.PNG|بندانگشتی|250x250پیکسل]]
[[پرونده:Solid_ellipsoid.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|بیضی گون]]
[[پرونده:Tronco_cono.gif|بندانگشتی|250x250پیکسل|مخروط ناقص در حال دوران]]

== یادداشت ==
#Vیعنی نماد حجم(Volume)
#S,Aیعنی نماد مساحت(Area,surface)
#aیعنی ضلع مکعب،منشور چندپهلو و چهاروجهی
#a,b,cاضلاع مستطیل و متوازی السطوح
#h,Hیعنی ارتفاع(Height)
#مماس یعنی خطی که بر یک خط در تماس باشد و زاویه تماس آن قائم یا 90درجه باشد،مماس در فضایی سه بعدی باعث محاطی یک جسم می گردد
#Kرابطه مثلثاتی است. حجم متوازی السطوح از جذر این عدد در کنارضربa,b,c نوشته می شودو از رابطه زیر نوشته می گردد
&lt;math&gt;\begin{align}
  K = 1 &amp;+ 2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma) \\
        &amp;- \cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta) - \cos^2(\gamma)
\end{align}&lt;/math&gt;
[[رده:هندسه مقدماتی]]</text>
      <sha1>4lh8haa8ztmxutbzj1xn2e3iiwg1vyq</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>بحث کاربر:Mshekari1372</title>
    <ns>3</ns>
    <id>35946</id>
    <revision>
      <id>117135</id>
      <timestamp>2022-07-19T14:10:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>New user message</username>
        <id>8356</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>افزودن [[الگو:خوشامدید|پیام خوش‌آمد]] به صفحهٔ بحث کاربر تازه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3662" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۰ (UTC)</text>
      <sha1>6xshick2mming1r3w69sx9k31qggepc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ویکی‌کتاب:GUS2Wiki</title>
    <ns>4</ns>
    <id>35947</id>
    <revision>
      <id>117136</id>
      <timestamp>2022-07-19T20:01:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alexis Jazz</username>
        <id>21103</id>
      </contributor>
      <comment>Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]])</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1159" xml:space="preserve">{{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}}}
داده‌های زیر در حافظهٔ نهانی وجود دارند و آخرین بار در 2022-07-16T22:57:31Z روزآمدسازی شده‌اند. حداکثر {{PLURAL:5000|یک نتیجه|5000 نتیجه}} در حافظۀ نهان موجود است.
{| class=&quot;sortable wikitable&quot;
! ابزار !! data-sort-type=&quot;number&quot; | شمار کاربران !! data-sort-type=&quot;number&quot; | کاربران فعال
|-
|popups || 56 || 1
|-
|HotCat || 39 || 3
|-
|XTools || 38 || 2
|-
|Cat-a-lot || 29 || 1
|-
|GreenRedirect || 28 || 1
|-
|defaultsummaries || 25 || 1
|-
|localclock || 22 || 1
|-
|purgetab || 16 || 2
|-
|editzero || 16 || 2
|-
|lastdiff || 14 || 1
|-
|diffswitchdir || 13 || 1
|-
|Contributions-report || 12 || 1
|-
|gadget-ShortLink || 11 || 0
|-
|BiDiEditing || 9 || 1
|-
|gadget-contribsrange || 7 || 0
|-
|mobile-common || 5 || 1
|-
|CleanDeleteReasons || 1 || 1
|-
|gadget-UserisOnlineOrNo || 0 || 0
|-
|gadget-Extra-Editbuttons || 0 || 0
|-
|gadget-basic-Editbuttons || 0 || 0
|-
|gadget-AutoNav || 0 || 0
|}
* [[ویژه:استفاده ابزار]]
* [[w:en:User:Alexis Jazz/GUS2Wiki|GUS2Wiki]]</text>
      <sha1>ip777lthct6ionpjjhjg2a1hs13hk65</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117141</id>
      <parentid>117136</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T08:17:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alexis Jazz</username>
        <id>21103</id>
      </contributor>
      <comment>Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]])</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1159" xml:space="preserve">{{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}}}
داده‌های زیر در حافظهٔ نهانی وجود دارند و آخرین بار در 2022-07-20T01:38:41Z روزآمدسازی شده‌اند. حداکثر {{PLURAL:5000|یک نتیجه|5000 نتیجه}} در حافظۀ نهان موجود است.
{| class=&quot;sortable wikitable&quot;
! ابزار !! data-sort-type=&quot;number&quot; | شمار کاربران !! data-sort-type=&quot;number&quot; | کاربران فعال
|-
|popups || 56 || 1
|-
|HotCat || 39 || 3
|-
|XTools || 38 || 2
|-
|Cat-a-lot || 29 || 1
|-
|GreenRedirect || 28 || 1
|-
|defaultsummaries || 25 || 1
|-
|localclock || 22 || 1
|-
|editzero || 16 || 2
|-
|purgetab || 16 || 2
|-
|lastdiff || 14 || 1
|-
|diffswitchdir || 13 || 1
|-
|Contributions-report || 12 || 1
|-
|gadget-ShortLink || 11 || 0
|-
|BiDiEditing || 9 || 1
|-
|gadget-contribsrange || 7 || 0
|-
|mobile-common || 5 || 1
|-
|CleanDeleteReasons || 1 || 1
|-
|gadget-Extra-Editbuttons || 0 || 0
|-
|gadget-basic-Editbuttons || 0 || 0
|-
|gadget-AutoNav || 0 || 0
|-
|gadget-UserisOnlineOrNo || 0 || 0
|}
* [[ویژه:استفاده ابزار]]
* [[w:en:User:Alexis Jazz/GUS2Wiki|GUS2Wiki]]</text>
      <sha1>21pxaj6w26t5ccqqpiafwx70lus8bg5</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>