تاریخ ایران/جمهوری اسلامی ایران

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10.xsd" version="0.10" xml:lang="fa">
  <siteinfo>
    <sitename>ویکی‌کتاب</sitename>
    <dbname>fawikibooks</dbname>
    <base>https://fa.wikibooks.org/wiki/%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%D9%94_%D8%A7%D8%B5%D9%84%DB%8C</base>
    <generator>MediaWiki 1.39.0-wmf.21</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">مدیا</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">ویژه</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">بحث</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">کاربر</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">بحث کاربر</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">ویکی‌کتاب</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">بحث ویکی‌کتاب</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">پرونده</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">بحث پرونده</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">مدیاویکی</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">بحث مدیاویکی</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">الگو</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">بحث الگو</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">راهنما</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">بحث راهنما</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">رده</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">بحث رده</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">کتاب‌آشپزی</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">بحث کتاب‌آشپزی</namespace>
      <namespace key="110" case="first-letter">ویکی‌کودک</namespace>
      <namespace key="111" case="first-letter">بحث ویکی‌کودک</namespace>
      <namespace key="112" case="first-letter">موضوع</namespace>
      <namespace key="113" case="first-letter">بحث موضوع</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">پودمان</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">بحث پودمان</namespace>
      <namespace key="2300" case="first-letter">ابزار</namespace>
      <namespace key="2301" case="first-letter">بحث ابزار</namespace>
      <namespace key="2302" case="case-sensitive">توضیحات ابزار</namespace>
      <namespace key="2303" case="case-sensitive">بحث توضیحات ابزار</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>تاریخ ایران/جمهوری اسلامی ایران</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4317</id>
    <revision>
      <id>117360</id>
      <parentid>114506</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T15:38:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <ip>5.238.64.80</ip>
      </contributor>
      <comment>فارسی</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="23495" xml:space="preserve">
{{تاریخ_ایران باب اسفنجی فارسی 
[[پرونده:Flag of Iran.svg|thumb|250px|پرچم کنونی [[w:ایران|ایران]]]]

== حمله به مدرسه فیضه ==
{{اصلی|[[تاریخ ایران/جمهوری اسلامی ایران/حمله به مدرسه فیضیه|حمله به مدرسه فیضیه]]}}
&lt;div align=&quot;justify&quot;&gt;
از اولین محرک‌های انقلاب ۵۷ به رهبری آیت الله خمینی می‌توان به مطرح شدن لایحه انجمن‌های ایالتی و ولایتی و نیز لوایح شش‌گانه و انقلاب سفید (شاه و ملت) توسط رژیم پهلوی اشاره نمود که در پی آن روحانیون و در رأس آنها آیت الله خمینی ساکت ننشستند، و نوروز سال ۴۲ را عزای عمومی اعلام کردند. رژیم پهلوی و عاملان حکومت پهلوی نیز ساکت نماندند و در تاریخ ۲ فروردین ۱۳۴۲ اقدام به سرکوب مدرسه فیضه قم کردند که در پی آن چندتن از طلبه‌ها کشته شدند.
&lt;/div&gt;


== کاپیتولاسیون و تبعید روح‌الله خمینی ==
۲۵ دی ۱۳۴۲ برابر با ۱۵ ژانویه ۱۹۶۴ دولت علم قانون اجازه استفاده مستشاران امریکایی در ایران از مصونیت‌ها و معافیت‌های قرارداد وین را که برای کارمندان اداری و فنی نوشته شده بود به مجلس سنا برد. در این میان اسدالله علم از پست خود کناره‌گیری کرد و حسنعلی منصور در فروردین ۱۳۴۴ نخست وزیر شد. 

روح‌الله خمینی جلسه‌ای با حضور علمای مذهبی قم تشکیل داد و پس از آن نمایندگانی را به شهرها برای اعتراض به این قانون فرستاد. در سخنرانی خمینی در چهارم آبان ۱۳۴۳ در قم وی این قانون را احیای کاپیتولاسیون در ایران نامید. سخنرانی خمینی با این جملات آغاز شد:

... عزت ما پایکوب شد، عظمت ایران از بین رفت، عظمت ارتش ایران را پایکوب کردند. قانونی را به مجلس بردند که در آن ما را ملحق کردند به پیمان وین... که تمام مستشاران نظامی آمریکا با خانواده‌هایشان، با کارمندهای فنی‌شان با کارمندان اداری‌شان، با خدمه‌شان... از هر جنایتی که در ایران بکنند، مصون هستند. ملت ایران را از سگ‌های آمریکا پست‌تر کردند. چنان‌چه کسی سگ آمریکایی را زیر بگیرد از او مؤاخذه می‌کنند اگر شاه ایران یک سگ آمریکایی را زیر بگیرد مؤاخذه می‌کنند. چنان چه یک آشپز آمریکایی شاه ایران را زیر بگیرد، بزرگ‌ترین مقام را زیر بگیرد، هیچ‌کس حق تعرض ندارد. آقا من اعلام خطر می‌کنم، ای ارتش ایران من اعلام خطر می‌کنم، ای سیاسیون ایران من اعلام خطر می‌کنم... والله گناهکار است کسی که فریاد نکند. ای سران اسلام به داد اسلام برسید. ای علمای نجف به داد اسلام برسید. ای علمای قم به داد اسلام برسید...

پس از این سخنرانی خمینی در تاریخ ۱۳ آبان ۱۳۴۳ دستگیر و با پا درمیانی رییس ساواک وقت متعاقبا به ترکیه تبعید شد.

==رویداد انقلاب==
&lt;div align=&quot;justify&quot;&gt;
انقلاب ۱۳۵۷ ایران که به آن '''«انقلاب اسلامی»''' نیز گفته می‌شود، قیامی بود به رهبری روح‌الله خمینی و با شرکت اکثریت مردم، احزاب و روشنفکران ایران، که نظام پادشاهی این کشور را سرنگون، و پیش‌زمینهٔ روی کار آمدن نظام جمهوری اسلامی در ایران را فراهم کرد. انقلاب در ۲۲ بهمن سال ۱۳۵۷ به پیروزی رسید و در ادامه آن نظام جمهوری اسلامی ایران به رهبری سید روح‌الله خمینی شکل گرفت.
&lt;/div&gt;

== جنگ ایران و عراق ==
به دنبال تثبیت انقلاب و پاکسازی ارتش ایران از طرفداران محمدرضا پهلوی و همچنین فرار برخی از ایرانی‌ها (مانند شاپور بختیار) به عراق و دادن مشاوره به صدام حسین، روابط بین دو کشور ایران و عراق تیره شد. از طرفی صدام حسین عرب‌های خوزستانی را تحریک به شورش و استقلال می‌کرد، از طرف خمینی شیعیان عراقی را تحریک به قیام علیه حکومت صدام حسین می‌کرد. در نهایت با استمرار دعوای قدرت بین بنی صدر و مجاهدین خلق از یکسو و خمینی و حزب جمهوری اسلامی از سوی دیگر، صدام حسین جنگ با ایران را با پاره کردن قرارداد الجزایر آغاز کرد.

گر چه در ۳ خرداد ۱۳۶۱ شمسی، ایرانی‌ها توانستند نیروی عراقی را به مرز پس برانند، ولی قدرت طلبی جمهوری اسلامی ایران باعث شد جنگ تا را ادامه دهند از مذاکره سیاسی به منظور آتش‌بس سریع، خودداری کنند.

آخوندها که نیاز به سرکوب گسترده مخالفان داخلی داشتند، جنگ را نعمت الهی دانستند و آن را تا سال ۱۳۶۷ ادامه دادند.

== ویژگی‌های ایران پس از انقلاب ۱۳۵۷==
از مهمترین ویژگی‌های انقلاب ترویج عادت‌های غیرعادی که فرهنگ ملی را از صفات پسندیده تهی ساخت از جمله مذهبیگری یا مذهبی بودن بصورت غیرعادی بود که در اصطلاح عامه به اینگونه اعمال ریا و تظاهر گفته می‌شود. با چنین شیوه‌هایی، فرهنگ دروغ اشاعه یافت و هر کس برای به دست آوردن مال، جاه و مقام و کسب وجهه در اجتماع و بهره جویی از رانت‌هایی که اطلاعات آن در حوزه‌هایی متشکله توسط چنین اشخاصی در مساجد و محافل نقل شده و با استفاده از روابط و پایگاه‌های بسیج و محافل مذهبی، با نزدیک کردن خود به سرکردگان و ذی‌نفوذان و بهره‌گیری مادی و اشغال مناصب از پایین‌ترین سطح جامعه که روستاها بوده تا بالاترین سطح که کلانشهرها می‌باشد از رانت‌ها بطور گسترده و مفسده‌انگیز استفاده می‌کردند. این ویژگی‌ها باعث ایجاد طبقه خاص در جامعه گردید و اختلاف طبقاتی شدیدی را بین کسانی که قبل از انقلاب جزو طبقات مرفه جامعه یاطبقه بالا، و قشر متوسط جامعه بودند با طبقه جدیدی که از طرق تظاهر، ریا، دروغ خود راانقلابی و جانفدای آن می‌دانستند بوجودآمد. این مسئله اکنون بعنوان یک غده سرطانی در جامعه در آمده است که ماهیت واقعی سران انقلاب و اهداف آنها را به مردم نشان داده و قشر جوان، انقلاب کنندگان را که پدران و مادران آنها بودند، گول خورده و سران انقلاب را خائن و عوامل خارجی‌ها دانسته و استفاده از نام اسلام را صرفاً برای تحریک احساسات مذهبی مردم برای پیشبرد اهداف از پیش تعیین شده میدانند.

دلایل آن را حذف کلیه رقبای خود و عدم توجه به مسائل اسلامی از سوی رهبر و سران کشور، و عدم اجرای قانون اساسی تدوین شده توسط اسلامیون، بخصوص در مورد بندهایی که در مورد رهبری و پاسخگو نبودن وی، عدم اعمال قانون در مورد مفسدین بزرگ مالی که با پیشرفت تکنولوژی و وجود افرادی دلسوز در سازمان‌ها و افشای واقیعیت‌ها، مردم را به اسلام وصداقت مسئولین بدبین نموده و بزرگترین عارضه البته برای انقلاب در جامعه ایرانی، فراری شدن از دین اسلام و گرایش به ملیت و ایجاد تضاد شدید قشر بر آمده از انقلاب با انقلابیون اولیه و انقلابیون جدید به وجود آمد که بزرگترین نمایش این تضاد در ۱۳۸۸ و ۱۳۹۶ به صورت علنی دیده شد. از دیگر ویژگی‌های انقلاب افزایش تفکیک جنسیتی و کاهش ازدواج درجامعه می‌باشد. سایر ویژگی‌های انقلاب عبارتند از فسادهای بزرگ مافیایی آن هم از سوی رهبران اصلی جامعه و ایجاد تنش با کشورهای همسایه و هزینه‌کردهای عمده برای گروه‌های شبه نظامی برای ایجاد ناآرامی در منطقه به اصطلاح برعلیه آمریکا و تقابل با اسرائیل و تقویت هلال شیعی.
===بحران جنسی===
پس از انقلاب ۱۳۵۷ ایران تفکیک بین زنان و مردان در فضاهای عمومی، پررنگ‌تر شد. امروزه در بعضی از مکان‌ها مانند مدارس بین دانش‌آموزان جدایی جنسی وجود دارد اما در بعضی از مکان‌ها مثل دانشگاه‌ها جدایی جنسی وجود ندارد. جداسازی جنسی در مکان‌های عمومی مثل سواحل و استخرهای شنا در قانون تصریح و تکلیف شده‌است، برای زنان در اتوبوس و مترو قسمت‌های جداگانه‌ای قرار داده شده‌است و به مردان اجازه نمی‌دهند وارد سمت زنانه بشوند. در مترو این اقدام مرد، ایجاد مزاحمت برای بانوان تلقی می‌شود و جرم است. بر اساس قوانین، بخش‌های جداگانه‌ای در جلسات سیاسی، کنفرانس‌ها، مراسم ازدواج و تشییع جنازه باید برای زنان و مردان در نظر گرفته شود. در ادارات و سازمان‌ها تفکیک جنسی ممکن است در بین کارکنان و دوایر داخلی یک سازمان صورت گیرد، مانند بخش زنان و زایمان یک بیمارستان، یا ممکن است که سازمان به صورت تک جنسی تشکیل شود و به وظایف خاص خود در سطح جامعه بپردازد مانند سرای سالمندان بانوان یا آقایان و کتابخانه‌های تک جنسی پسرانه و دخترانه. کنسرت‌ها و جشن‌های بسیاری به دلیل اختلاط دو جنس توسط عوامل دولتی بسته شدند و با گردانندگان آن‌ها برخورد شد. یکی از فضاهای شهری تک جنسی‌ای که پس از انقلاب ۱۳۵۷ ساخته شده‌اند پارک‌های بانوان هستند: فضایی زنانه به منظور خلق فضاهای امن و دور از دسترس مردان. پارک‌های بانوان در بسیاری از شهرهای ایران ایجاد شده‌است که به مردان اجازه ورود داده نمی‌شود مثل بوستان بهشت مادران در تهران و پارک بانوان صدف اصفهان.

از اوایل دهه هشتاد بحران جنسی در جامعه ایران آغاز شد و به مهمترین آسیب اجتماعی در ایران مبدل شد. از آنجایی که اگر راه درستی برای تخلیه تحریکات جوانی در یک جامعه وجود نداشته باشد، قاعدتاً مسیرهای دیگری باز می‌شود و تحریکات اجتماعی در سطح بالایی باقی نمی‌ماند، بحران جنسی در ایران شکل گرفت. از مصادیق بحران جنسی در این سال‌ها می‌توان به دگرباشی جنسی، انحرافات جنسی، عدم ارضاء جنسی افراد در بستر خانواده، تمایل به رابطه جنسی انتزاعی و فانتزی تحتِ تأثیر محیط سایبری و اینترنتی و... اشاره کرد. تحول عظیمی در رابطه دختر و پسر در جامعه ایران مشاهده شده و مطالعات نشان می‌دهد این الگو به شدت دگرگون شده است. یکی از پیامدهای این بحران در ناسازگاری آن با فرهنگ جامعه ایرانی دیده می‌شود. از دیگر پیامدهای این بحران می‌توان به رژیم‌های غذایی که در جهت مسائل جنسی گرفته می‌شود، کوتاه‌شدن عمر زندگی زناشویی، تنوع جراحی‌های پزشکی، تمایل به برقراری شکل‌های مختلف رابطه جنسی و... اشاره کرد. پیامدهای این بحران به طور کلی هم بخش زناشویی و هم بخش‌های دیگر مانند دوران بلوغ افراد را در ایران درگیر کرد.&lt;ref&gt;https://ana.press/fa/news/45/29627/راه-گذار-از-بحران-جنسی-در-ایران-چیست&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;https://www.isna.ir/news/97021709251/جامعه-دچار-بحران-جنسی-شده-است&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;http://www.ghasednews.com/بخش-بحران-یا-انقلاب-جنسی-62/2251-هشدار-یک-مردم-شناس-درباره-وقوع-انقلاب-جنسی&lt;/ref&gt; در حالیکه مستندها و کتاب‌های بسیاری همچون قیام پرشور: انقلاب جنسی در ایران از پردیس مهدوی استاد جامعه‌شناسی منتشر شده است بعضی همچون امیر مهدی کلیدری محقق مسائل اجتماعی ادعا کرده‌اند کودتای جنسی در ایران رخ داده است نه انقلاب جنسی.&lt;ref&gt;http://www.ghasednews.com/بخش-بحران-یا-انقلاب-جنسی-62/7183-کودتای-جنسی-یا-انقلاب-جنسی&lt;/ref&gt;

=== پارانویای جمهوری اسلامی ===
[[پرونده:Iranian Girl's presence in the 22 Bahman 2017 rally by Tasnimnew.com01.jpg|بندانگشتی|چپ|حضور دختران در راهپیمایی]]
در پارانویای حکومت اسلامی، آمریکا، اسرائیل، فراماسون ها و بهایی ها جایگاه ویژه ای دارند. آخوندها که خود را وارث اسلام ناب حقیقی می دانند، دنیا را متهم می کنند که در برابر آنها قد علم کرده اند. آنها بهایی ها را فرقه ضاله‌ای می‌شمارند که در حال جاسوسی برای خارجی ها (اسرائیلی ها و آمریکایی ها) هستند و یهودی های ایرانی هم گاهاً مورد سوظن آخوندها قرار می گیرند، چرا که در مظان اتهام همدستی با همتایان اسرائیلی خود قرار دارند. آمریکا به خاطر اینکه تحت نفوذ یهودیان آمریکایی (که متحدان همیشگی اسرائیلی ها هستند) به عنوان شیطان بزرگ، حامی همیشگی اسرائیلی ها در پیمان های نظامی و وتوهای سازمان ملل متحد قلمداد می‌شوند و هدف نظام مقدس جمهوری اسلامی، نابودی اسرائیل، و برقرار سازی کشور مستقل فلسطین است.

پارانویای آخوندها بر علیه بهایی ها چند دلیل دارد. اول اینکه بابی گری و بهائیت، نخستین دین رسمی پس از اسلام است که اعلام وجود کرده است. با وجود اینکه محمد در قرآن به عنوان آخرین پیامبر نامیده شده، بهائیان به پیامبر پس از محمد از جمله بهاالله اعتقاد دارند. دومین مورد بستن پرونده امام زمان در دین بهائیت است و بهائی ها اعتقاد دارند که امام زمانشان ظهور کرده و دیگر نیازی به انتظار برای امام زمان نیست. سومین مسئله، بستن پروند آخوندگی گری در بهائیت است. بدین ترتیب که بهایی ها کسی را واسطه مذهبی میان خودشان و خدا قرار نمی دهند و هر کس موظف است تا شخصاً مسائل دینی-مذهبی خودش را با تحقیق و تفحص حل کند.

از جمله پارانویای جمهوری اسلامی، می‌توان به باور به وارد شدن یهودیان به مذهب اسلام و تحریف و فرقه‌سازی این مذهب اشاره کرد. این اصطلاح را مسلمانان به اسم '''اسرائیلیات''' نامیده‌اند. آنها می‌پندارند که یهودیان قادر هستند با برنامه‌ریزی از قبل، به طور ظاهری مسلمان شده، در حالی که باطناً به آئین یهود اعتقاد دارند و دروغ‌هایی را به پیامبران و امامان مسلمانان وارد کنند و باعث شوند تا مردم مسلمان از اعتقاداتشان منحرف شوند. این اعتقاد البته ریشه در قرآن هم داشته است. در آنجایی که قرآن می‌گوید «هر آن دشمنترین انسان‌ها نسبت به اسلام را در میان مشرکین و یهودیان بینی»، باعث شده تا مسلمانان تمام مشکلات دنیوی و کج‌روی های فرقه‌های تشکیل شده از اسلام (که فرقه ظاله نامیده می‌شود) را به اسم یهودی‌ها تمام می‌کنند.

=== دشمنی با اسرائیل ===
دشمنی آخوندها با اسرائیل، به قرآن برمی‌گردد. آنجا که قرآن به مسلمانان اجازه می‌دهد با کسانی که آنها را از خانه‌ها و وطنشان آواره کرده‌اند، بجنگند. در ابتدای انقلاب اسلامی، مسئولین جمهوری اسلامی از یاسر عرفات و مسئولین سازمان فتح، در ایران دعوت به عمل آوردند. سفارت سابق اسرائیل (در زمان پهلوی) را به عنوان سفارت فلسطین بازگشایی کردند. هنگامی که ایران در سال ۱۳۶۱ با حکومت بعث صدام حسین در نبرد بود و خرمشهر را پس گرفت، طولی نکشید که اسرائیل به منظور پاکسازی جنوب لبنان از سازمان فتح، به آنجا حمله نظامی کرد. اما اسرائیلی‌ها تا بیروت رفتند و پشت دروازه شهر رسیده بودند. اما به خاطر پایداری مبارزان لبنانی، نتوانستند وارد شوند. در این هنگام گروهی از اسلامگرایان ایرانی خواستار مبارزه مستقیم با اسرائیل در منطقه لبنان شده بودند. خمینی به پیروانش گفت که «راه قدس از کربلا می‌گذرد» یعنی ابتدا بایستی رژیم صدام حسین را شکست دهیم و بعد به معضل اسرائیل بپردازیم. همزمان هم گروه چهار نفره از دیپلمات‌های ایرانی به سوریه اعزام شدند تا از طریق مرز لبنان-سوریه وارد لبنان شوند و منطقه لبنان را برای عملیات نظامی ایران در مقابل اسرائیل ارزیابی کنند که توسط سربازان اسرائیلی ربوده شدند. گرچه ایران مستقیماً وارد جنگ با اسرائیل نشد، اما رزمنده‌های ایرانی (در قالب سپاه پاسداران) مشغول عضوگیری از لبنانی‌های شیعه در لبنان شدند و به آنها آموزش نبردهای جنگی دادند. این شیعه‌ها که ابتدا عضو جنبش اَمَل بودند، بعدها در گروه «حزب الله لبنان» یک حزب تشکیل دادند و با انجام عملیات‌های چریکی، به نیروی‌های نظامی اسرائیل ضربات سختی وارد کردند که در نهایت اسرائیل مجبور شد خاک لبنان را ترک کند. می‌توان گفت عملیات نظامی حزب الله لبنان علیه سربازان اسرائیلی، اولین جنگ نیابتی (Proxy War) بین ایران و اسرائیل بود.

نمونه دیگری از دشمنی بین ایران و اسرائیل، دشمنی ایران با آمریکا بود. پس از انقلاب، گروه‌های چپی (مثل توده‌ای‌ها، فدائی‌ها، مجاهدین) بر طبل مبارزه با امپریالیسم می‌کوبیدند. اعدام حبیب‌الله القانین، سرمایه‌دار ایرانی-یهودی، موجی از محکومیت‌های خارجی (از جمله در میان آمریکایی‌ها) را برانگیخت. گروهی از دانشجویان ایرانی به اسم دانشجویان خط امام، در ۱۳ آبان ۱۳۵۸ به داخل سفارت آمریکا وارد شدند و اعضای سفارت را گروگان گرفتند. این دفعه دومی بود که چنین عملی (وارد شدن به سفارت‌خانه آمریکا) انجام شده بود. اما این دفعه، خمینی هم از حرکت دانشجوها حمایت کرد. با گروگانگیری، دولت موقت استعفا داد و اموال ایرانی‌ها در غرب بلوکه شد. ایرانی‌ها به خاطر حمایت آمریکا از دیکتاتوری شاه، حمایت آمریکا از اسرائیل و ترس از کودتای دوباره ارتش شاه با کمک دیپلمات‌ها و جاسوس‌های سیا، این رفتارها را توجیه می‌کردند.

== پانویس ==
{{پانویس}}

[[رده:تاریخ ایران]]</text>
      <sha1>f5y7g7fc7ivydnc37bmwqjuor26ayva</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117377</id>
      <parentid>117360</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T08:19:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>ویرایش [[Special:Contributions/5.238.64.80|5.238.64.80]] ([[User talk:5.238.64.80|بحث]]) به آخرین تغییری که [[User:Doostdar|Doostdar]] انجام داده بود واگردانده شد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="23466" xml:space="preserve">
{{تاریخ_ایران}}
[[پرونده:Flag of Iran.svg|thumb|250px|پرچم کنونی [[w:ایران|ایران]]]]


== حمله به مدرسه فیضه ==
{{اصلی|[[تاریخ ایران/جمهوری اسلامی ایران/حمله به مدرسه فیضیه|حمله به مدرسه فیضیه]]}}
&lt;div align=&quot;justify&quot;&gt;
از اولین محرک‌های انقلاب ۵۷ به رهبری آیت الله خمینی می‌توان به مطرح شدن لایحه انجمن‌های ایالتی و ولایتی و نیز لوایح شش‌گانه و انقلاب سفید (شاه و ملت) توسط رژیم پهلوی اشاره نمود که در پی آن روحانیون و در رأس آنها آیت الله خمینی ساکت ننشستند، و نوروز سال ۴۲ را عزای عمومی اعلام کردند. رژیم پهلوی و عاملان حکومت پهلوی نیز ساکت نماندند و در تاریخ ۲ فروردین ۱۳۴۲ اقدام به سرکوب مدرسه فیضه قم کردند که در پی آن چندتن از طلبه‌ها کشته شدند.
&lt;/div&gt;


== کاپیتولاسیون و تبعید روح‌الله خمینی ==
۲۵ دی ۱۳۴۲ برابر با ۱۵ ژانویه ۱۹۶۴ دولت علم قانون اجازه استفاده مستشاران امریکایی در ایران از مصونیت‌ها و معافیت‌های قرارداد وین را که برای کارمندان اداری و فنی نوشته شده بود به مجلس سنا برد. در این میان اسدالله علم از پست خود کناره‌گیری کرد و حسنعلی منصور در فروردین ۱۳۴۴ نخست وزیر شد. 

روح‌الله خمینی جلسه‌ای با حضور علمای مذهبی قم تشکیل داد و پس از آن نمایندگانی را به شهرها برای اعتراض به این قانون فرستاد. در سخنرانی خمینی در چهارم آبان ۱۳۴۳ در قم وی این قانون را احیای کاپیتولاسیون در ایران نامید. سخنرانی خمینی با این جملات آغاز شد:

... عزت ما پایکوب شد، عظمت ایران از بین رفت، عظمت ارتش ایران را پایکوب کردند. قانونی را به مجلس بردند که در آن ما را ملحق کردند به پیمان وین... که تمام مستشاران نظامی آمریکا با خانواده‌هایشان، با کارمندهای فنی‌شان با کارمندان اداری‌شان، با خدمه‌شان... از هر جنایتی که در ایران بکنند، مصون هستند. ملت ایران را از سگ‌های آمریکا پست‌تر کردند. چنان‌چه کسی سگ آمریکایی را زیر بگیرد از او مؤاخذه می‌کنند اگر شاه ایران یک سگ آمریکایی را زیر بگیرد مؤاخذه می‌کنند. چنان چه یک آشپز آمریکایی شاه ایران را زیر بگیرد، بزرگ‌ترین مقام را زیر بگیرد، هیچ‌کس حق تعرض ندارد. آقا من اعلام خطر می‌کنم، ای ارتش ایران من اعلام خطر می‌کنم، ای سیاسیون ایران من اعلام خطر می‌کنم... والله گناهکار است کسی که فریاد نکند. ای سران اسلام به داد اسلام برسید. ای علمای نجف به داد اسلام برسید. ای علمای قم به داد اسلام برسید...

پس از این سخنرانی خمینی در تاریخ ۱۳ آبان ۱۳۴۳ دستگیر و با پا درمیانی رییس ساواک وقت متعاقبا به ترکیه تبعید شد.

==رویداد انقلاب==
&lt;div align=&quot;justify&quot;&gt;
انقلاب ۱۳۵۷ ایران که به آن '''«انقلاب اسلامی»''' نیز گفته می‌شود، قیامی بود به رهبری روح‌الله خمینی و با شرکت اکثریت مردم، احزاب و روشنفکران ایران، که نظام پادشاهی این کشور را سرنگون، و پیش‌زمینهٔ روی کار آمدن نظام جمهوری اسلامی در ایران را فراهم کرد. انقلاب در ۲۲ بهمن سال ۱۳۵۷ به پیروزی رسید و در ادامه آن نظام جمهوری اسلامی ایران به رهبری سید روح‌الله خمینی شکل گرفت.
&lt;/div&gt;

== جنگ ایران و عراق ==
به دنبال تثبیت انقلاب و پاکسازی ارتش ایران از طرفداران محمدرضا پهلوی و همچنین فرار برخی از ایرانی‌ها (مانند شاپور بختیار) به عراق و دادن مشاوره به صدام حسین، روابط بین دو کشور ایران و عراق تیره شد. از طرفی صدام حسین عرب‌های خوزستانی را تحریک به شورش و استقلال می‌کرد، از طرف خمینی شیعیان عراقی را تحریک به قیام علیه حکومت صدام حسین می‌کرد. در نهایت با استمرار دعوای قدرت بین بنی صدر و مجاهدین خلق از یکسو و خمینی و حزب جمهوری اسلامی از سوی دیگر، صدام حسین جنگ با ایران را با پاره کردن قرارداد الجزایر آغاز کرد.

گر چه در ۳ خرداد ۱۳۶۱ شمسی، ایرانی‌ها توانستند نیروی عراقی را به مرز پس برانند، ولی قدرت طلبی جمهوری اسلامی ایران باعث شد جنگ تا را ادامه دهند از مذاکره سیاسی به منظور آتش‌بس سریع، خودداری کنند.

آخوندها که نیاز به سرکوب گسترده مخالفان داخلی داشتند، جنگ را نعمت الهی دانستند و آن را تا سال ۱۳۶۷ ادامه دادند.

== ویژگی‌های ایران پس از انقلاب ۱۳۵۷==
از مهمترین ویژگی‌های انقلاب ترویج عادت‌های غیرعادی که فرهنگ ملی را از صفات پسندیده تهی ساخت از جمله مذهبیگری یا مذهبی بودن بصورت غیرعادی بود که در اصطلاح عامه به اینگونه اعمال ریا و تظاهر گفته می‌شود. با چنین شیوه‌هایی، فرهنگ دروغ اشاعه یافت و هر کس برای به دست آوردن مال، جاه و مقام و کسب وجهه در اجتماع و بهره جویی از رانت‌هایی که اطلاعات آن در حوزه‌هایی متشکله توسط چنین اشخاصی در مساجد و محافل نقل شده و با استفاده از روابط و پایگاه‌های بسیج و محافل مذهبی، با نزدیک کردن خود به سرکردگان و ذی‌نفوذان و بهره‌گیری مادی و اشغال مناصب از پایین‌ترین سطح جامعه که روستاها بوده تا بالاترین سطح که کلانشهرها می‌باشد از رانت‌ها بطور گسترده و مفسده‌انگیز استفاده می‌کردند. این ویژگی‌ها باعث ایجاد طبقه خاص در جامعه گردید و اختلاف طبقاتی شدیدی را بین کسانی که قبل از انقلاب جزو طبقات مرفه جامعه یاطبقه بالا، و قشر متوسط جامعه بودند با طبقه جدیدی که از طرق تظاهر، ریا، دروغ خود راانقلابی و جانفدای آن می‌دانستند بوجودآمد. این مسئله اکنون بعنوان یک غده سرطانی در جامعه در آمده است که ماهیت واقعی سران انقلاب و اهداف آنها را به مردم نشان داده و قشر جوان، انقلاب کنندگان را که پدران و مادران آنها بودند، گول خورده و سران انقلاب را خائن و عوامل خارجی‌ها دانسته و استفاده از نام اسلام را صرفاً برای تحریک احساسات مذهبی مردم برای پیشبرد اهداف از پیش تعیین شده میدانند.

دلایل آن را حذف کلیه رقبای خود و عدم توجه به مسائل اسلامی از سوی رهبر و سران کشور، و عدم اجرای قانون اساسی تدوین شده توسط اسلامیون، بخصوص در مورد بندهایی که در مورد رهبری و پاسخگو نبودن وی، عدم اعمال قانون در مورد مفسدین بزرگ مالی که با پیشرفت تکنولوژی و وجود افرادی دلسوز در سازمان‌ها و افشای واقیعیت‌ها، مردم را به اسلام وصداقت مسئولین بدبین نموده و بزرگترین عارضه البته برای انقلاب در جامعه ایرانی، فراری شدن از دین اسلام و گرایش به ملیت و ایجاد تضاد شدید قشر بر آمده از انقلاب با انقلابیون اولیه و انقلابیون جدید به وجود آمد که بزرگترین نمایش این تضاد در ۱۳۸۸ و ۱۳۹۶ به صورت علنی دیده شد. از دیگر ویژگی‌های انقلاب افزایش تفکیک جنسیتی و کاهش ازدواج درجامعه می‌باشد. سایر ویژگی‌های انقلاب عبارتند از فسادهای بزرگ مافیایی آن هم از سوی رهبران اصلی جامعه و ایجاد تنش با کشورهای همسایه و هزینه‌کردهای عمده برای گروه‌های شبه نظامی برای ایجاد ناآرامی در منطقه به اصطلاح برعلیه آمریکا و تقابل با اسرائیل و تقویت هلال شیعی.
===بحران جنسی===
پس از انقلاب ۱۳۵۷ ایران تفکیک بین زنان و مردان در فضاهای عمومی، پررنگ‌تر شد. امروزه در بعضی از مکان‌ها مانند مدارس بین دانش‌آموزان جدایی جنسی وجود دارد اما در بعضی از مکان‌ها مثل دانشگاه‌ها جدایی جنسی وجود ندارد. جداسازی جنسی در مکان‌های عمومی مثل سواحل و استخرهای شنا در قانون تصریح و تکلیف شده‌است، برای زنان در اتوبوس و مترو قسمت‌های جداگانه‌ای قرار داده شده‌است و به مردان اجازه نمی‌دهند وارد سمت زنانه بشوند. در مترو این اقدام مرد، ایجاد مزاحمت برای بانوان تلقی می‌شود و جرم است. بر اساس قوانین، بخش‌های جداگانه‌ای در جلسات سیاسی، کنفرانس‌ها، مراسم ازدواج و تشییع جنازه باید برای زنان و مردان در نظر گرفته شود. در ادارات و سازمان‌ها تفکیک جنسی ممکن است در بین کارکنان و دوایر داخلی یک سازمان صورت گیرد، مانند بخش زنان و زایمان یک بیمارستان، یا ممکن است که سازمان به صورت تک جنسی تشکیل شود و به وظایف خاص خود در سطح جامعه بپردازد مانند سرای سالمندان بانوان یا آقایان و کتابخانه‌های تک جنسی پسرانه و دخترانه. کنسرت‌ها و جشن‌های بسیاری به دلیل اختلاط دو جنس توسط عوامل دولتی بسته شدند و با گردانندگان آن‌ها برخورد شد. یکی از فضاهای شهری تک جنسی‌ای که پس از انقلاب ۱۳۵۷ ساخته شده‌اند پارک‌های بانوان هستند: فضایی زنانه به منظور خلق فضاهای امن و دور از دسترس مردان. پارک‌های بانوان در بسیاری از شهرهای ایران ایجاد شده‌است که به مردان اجازه ورود داده نمی‌شود مثل بوستان بهشت مادران در تهران و پارک بانوان صدف اصفهان.

از اوایل دهه هشتاد بحران جنسی در جامعه ایران آغاز شد و به مهمترین آسیب اجتماعی در ایران مبدل شد. از آنجایی که اگر راه درستی برای تخلیه تحریکات جوانی در یک جامعه وجود نداشته باشد، قاعدتاً مسیرهای دیگری باز می‌شود و تحریکات اجتماعی در سطح بالایی باقی نمی‌ماند، بحران جنسی در ایران شکل گرفت. از مصادیق بحران جنسی در این سال‌ها می‌توان به دگرباشی جنسی، انحرافات جنسی، عدم ارضاء جنسی افراد در بستر خانواده، تمایل به رابطه جنسی انتزاعی و فانتزی تحتِ تأثیر محیط سایبری و اینترنتی و... اشاره کرد. تحول عظیمی در رابطه دختر و پسر در جامعه ایران مشاهده شده و مطالعات نشان می‌دهد این الگو به شدت دگرگون شده است. یکی از پیامدهای این بحران در ناسازگاری آن با فرهنگ جامعه ایرانی دیده می‌شود. از دیگر پیامدهای این بحران می‌توان به رژیم‌های غذایی که در جهت مسائل جنسی گرفته می‌شود، کوتاه‌شدن عمر زندگی زناشویی، تنوع جراحی‌های پزشکی، تمایل به برقراری شکل‌های مختلف رابطه جنسی و... اشاره کرد. پیامدهای این بحران به طور کلی هم بخش زناشویی و هم بخش‌های دیگر مانند دوران بلوغ افراد را در ایران درگیر کرد.&lt;ref&gt;https://ana.press/fa/news/45/29627/راه-گذار-از-بحران-جنسی-در-ایران-چیست&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;https://www.isna.ir/news/97021709251/جامعه-دچار-بحران-جنسی-شده-است&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;http://www.ghasednews.com/بخش-بحران-یا-انقلاب-جنسی-62/2251-هشدار-یک-مردم-شناس-درباره-وقوع-انقلاب-جنسی&lt;/ref&gt; در حالیکه مستندها و کتاب‌های بسیاری همچون قیام پرشور: انقلاب جنسی در ایران از پردیس مهدوی استاد جامعه‌شناسی منتشر شده است بعضی همچون امیر مهدی کلیدری محقق مسائل اجتماعی ادعا کرده‌اند کودتای جنسی در ایران رخ داده است نه انقلاب جنسی.&lt;ref&gt;http://www.ghasednews.com/بخش-بحران-یا-انقلاب-جنسی-62/7183-کودتای-جنسی-یا-انقلاب-جنسی&lt;/ref&gt;

=== پارانویای جمهوری اسلامی ===
[[پرونده:Iranian Girl's presence in the 22 Bahman 2017 rally by Tasnimnew.com01.jpg|بندانگشتی|چپ|حضور دختران در راهپیمایی]]
در پارانویای حکومت اسلامی، آمریکا، اسرائیل، فراماسون ها و بهایی ها جایگاه ویژه ای دارند. آخوندها که خود را وارث اسلام ناب حقیقی می دانند، دنیا را متهم می کنند که در برابر آنها قد علم کرده اند. آنها بهایی ها را فرقه ضاله‌ای می‌شمارند که در حال جاسوسی برای خارجی ها (اسرائیلی ها و آمریکایی ها) هستند و یهودی های ایرانی هم گاهاً مورد سوظن آخوندها قرار می گیرند، چرا که در مظان اتهام همدستی با همتایان اسرائیلی خود قرار دارند. آمریکا به خاطر اینکه تحت نفوذ یهودیان آمریکایی (که متحدان همیشگی اسرائیلی ها هستند) به عنوان شیطان بزرگ، حامی همیشگی اسرائیلی ها در پیمان های نظامی و وتوهای سازمان ملل متحد قلمداد می‌شوند و هدف نظام مقدس جمهوری اسلامی، نابودی اسرائیل، و برقرار سازی کشور مستقل فلسطین است.

پارانویای آخوندها بر علیه بهایی ها چند دلیل دارد. اول اینکه بابی گری و بهائیت، نخستین دین رسمی پس از اسلام است که اعلام وجود کرده است. با وجود اینکه محمد در قرآن به عنوان آخرین پیامبر نامیده شده، بهائیان به پیامبر پس از محمد از جمله بهاالله اعتقاد دارند. دومین مورد بستن پرونده امام زمان در دین بهائیت است و بهائی ها اعتقاد دارند که امام زمانشان ظهور کرده و دیگر نیازی به انتظار برای امام زمان نیست. سومین مسئله، بستن پروند آخوندگی گری در بهائیت است. بدین ترتیب که بهایی ها کسی را واسطه مذهبی میان خودشان و خدا قرار نمی دهند و هر کس موظف است تا شخصاً مسائل دینی-مذهبی خودش را با تحقیق و تفحص حل کند.

از جمله پارانویای جمهوری اسلامی، می‌توان به باور به وارد شدن یهودیان به مذهب اسلام و تحریف و فرقه‌سازی این مذهب اشاره کرد. این اصطلاح را مسلمانان به اسم '''اسرائیلیات''' نامیده‌اند. آنها می‌پندارند که یهودیان قادر هستند با برنامه‌ریزی از قبل، به طور ظاهری مسلمان شده، در حالی که باطناً به آئین یهود اعتقاد دارند و دروغ‌هایی را به پیامبران و امامان مسلمانان وارد کنند و باعث شوند تا مردم مسلمان از اعتقاداتشان منحرف شوند. این اعتقاد البته ریشه در قرآن هم داشته است. در آنجایی که قرآن می‌گوید «هر آن دشمنترین انسان‌ها نسبت به اسلام را در میان مشرکین و یهودیان بینی»، باعث شده تا مسلمانان تمام مشکلات دنیوی و کج‌روی های فرقه‌های تشکیل شده از اسلام (که فرقه ظاله نامیده می‌شود) را به اسم یهودی‌ها تمام می‌کنند.

=== دشمنی با اسرائیل ===
دشمنی آخوندها با اسرائیل، به قرآن برمی‌گردد. آنجا که قرآن به مسلمانان اجازه می‌دهد با کسانی که آنها را از خانه‌ها و وطنشان آواره کرده‌اند، بجنگند. در ابتدای انقلاب اسلامی، مسئولین جمهوری اسلامی از یاسر عرفات و مسئولین سازمان فتح، در ایران دعوت به عمل آوردند. سفارت سابق اسرائیل (در زمان پهلوی) را به عنوان سفارت فلسطین بازگشایی کردند. هنگامی که ایران در سال ۱۳۶۱ با حکومت بعث صدام حسین در نبرد بود و خرمشهر را پس گرفت، طولی نکشید که اسرائیل به منظور پاکسازی جنوب لبنان از سازمان فتح، به آنجا حمله نظامی کرد. اما اسرائیلی‌ها تا بیروت رفتند و پشت دروازه شهر رسیده بودند. اما به خاطر پایداری مبارزان لبنانی، نتوانستند وارد شوند. در این هنگام گروهی از اسلامگرایان ایرانی خواستار مبارزه مستقیم با اسرائیل در منطقه لبنان شده بودند. خمینی به پیروانش گفت که «راه قدس از کربلا می‌گذرد» یعنی ابتدا بایستی رژیم صدام حسین را شکست دهیم و بعد به معضل اسرائیل بپردازیم. همزمان هم گروه چهار نفره از دیپلمات‌های ایرانی به سوریه اعزام شدند تا از طریق مرز لبنان-سوریه وارد لبنان شوند و منطقه لبنان را برای عملیات نظامی ایران در مقابل اسرائیل ارزیابی کنند که توسط سربازان اسرائیلی ربوده شدند. گرچه ایران مستقیماً وارد جنگ با اسرائیل نشد، اما رزمنده‌های ایرانی (در قالب سپاه پاسداران) مشغول عضوگیری از لبنانی‌های شیعه در لبنان شدند و به آنها آموزش نبردهای جنگی دادند. این شیعه‌ها که ابتدا عضو جنبش اَمَل بودند، بعدها در گروه «حزب الله لبنان» یک حزب تشکیل دادند و با انجام عملیات‌های چریکی، به نیروی‌های نظامی اسرائیل ضربات سختی وارد کردند که در نهایت اسرائیل مجبور شد خاک لبنان را ترک کند. می‌توان گفت عملیات نظامی حزب الله لبنان علیه سربازان اسرائیلی، اولین جنگ نیابتی (Proxy War) بین ایران و اسرائیل بود.

نمونه دیگری از دشمنی بین ایران و اسرائیل، دشمنی ایران با آمریکا بود. پس از انقلاب، گروه‌های چپی (مثل توده‌ای‌ها، فدائی‌ها، مجاهدین) بر طبل مبارزه با امپریالیسم می‌کوبیدند. اعدام حبیب‌الله القانین، سرمایه‌دار ایرانی-یهودی، موجی از محکومیت‌های خارجی (از جمله در میان آمریکایی‌ها) را برانگیخت. گروهی از دانشجویان ایرانی به اسم دانشجویان خط امام، در ۱۳ آبان ۱۳۵۸ به داخل سفارت آمریکا وارد شدند و اعضای سفارت را گروگان گرفتند. این دفعه دومی بود که چنین عملی (وارد شدن به سفارت‌خانه آمریکا) انجام شده بود. اما این دفعه، خمینی هم از حرکت دانشجوها حمایت کرد. با گروگانگیری، دولت موقت استعفا داد و اموال ایرانی‌ها در غرب بلوکه شد. ایرانی‌ها به خاطر حمایت آمریکا از دیکتاتوری شاه، حمایت آمریکا از اسرائیل و ترس از کودتای دوباره ارتش شاه با کمک دیپلمات‌ها و جاسوس‌های سیا، این رفتارها را توجیه می‌کردند.

== پانویس ==
{{پانویس}}

[[رده:تاریخ ایران]]</text>
      <sha1>gtuy391552vbdmufi0zsg3kq0v87ev0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117378</id>
      <parentid>117377</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T08:21:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>/* پارانویای جمهوری اسلامی */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="23522" xml:space="preserve">
{{تاریخ_ایران}}
[[پرونده:Flag of Iran.svg|thumb|250px|پرچم کنونی [[w:ایران|ایران]]]]


== حمله به مدرسه فیضه ==
{{اصلی|[[تاریخ ایران/جمهوری اسلامی ایران/حمله به مدرسه فیضیه|حمله به مدرسه فیضیه]]}}
&lt;div align=&quot;justify&quot;&gt;
از اولین محرک‌های انقلاب ۵۷ به رهبری آیت الله خمینی می‌توان به مطرح شدن لایحه انجمن‌های ایالتی و ولایتی و نیز لوایح شش‌گانه و انقلاب سفید (شاه و ملت) توسط رژیم پهلوی اشاره نمود که در پی آن روحانیون و در رأس آنها آیت الله خمینی ساکت ننشستند، و نوروز سال ۴۲ را عزای عمومی اعلام کردند. رژیم پهلوی و عاملان حکومت پهلوی نیز ساکت نماندند و در تاریخ ۲ فروردین ۱۳۴۲ اقدام به سرکوب مدرسه فیضه قم کردند که در پی آن چندتن از طلبه‌ها کشته شدند.
&lt;/div&gt;


== کاپیتولاسیون و تبعید روح‌الله خمینی ==
۲۵ دی ۱۳۴۲ برابر با ۱۵ ژانویه ۱۹۶۴ دولت علم قانون اجازه استفاده مستشاران امریکایی در ایران از مصونیت‌ها و معافیت‌های قرارداد وین را که برای کارمندان اداری و فنی نوشته شده بود به مجلس سنا برد. در این میان اسدالله علم از پست خود کناره‌گیری کرد و حسنعلی منصور در فروردین ۱۳۴۴ نخست وزیر شد. 

روح‌الله خمینی جلسه‌ای با حضور علمای مذهبی قم تشکیل داد و پس از آن نمایندگانی را به شهرها برای اعتراض به این قانون فرستاد. در سخنرانی خمینی در چهارم آبان ۱۳۴۳ در قم وی این قانون را احیای کاپیتولاسیون در ایران نامید. سخنرانی خمینی با این جملات آغاز شد:

... عزت ما پایکوب شد، عظمت ایران از بین رفت، عظمت ارتش ایران را پایکوب کردند. قانونی را به مجلس بردند که در آن ما را ملحق کردند به پیمان وین... که تمام مستشاران نظامی آمریکا با خانواده‌هایشان، با کارمندهای فنی‌شان با کارمندان اداری‌شان، با خدمه‌شان... از هر جنایتی که در ایران بکنند، مصون هستند. ملت ایران را از سگ‌های آمریکا پست‌تر کردند. چنان‌چه کسی سگ آمریکایی را زیر بگیرد از او مؤاخذه می‌کنند اگر شاه ایران یک سگ آمریکایی را زیر بگیرد مؤاخذه می‌کنند. چنان چه یک آشپز آمریکایی شاه ایران را زیر بگیرد، بزرگ‌ترین مقام را زیر بگیرد، هیچ‌کس حق تعرض ندارد. آقا من اعلام خطر می‌کنم، ای ارتش ایران من اعلام خطر می‌کنم، ای سیاسیون ایران من اعلام خطر می‌کنم... والله گناهکار است کسی که فریاد نکند. ای سران اسلام به داد اسلام برسید. ای علمای نجف به داد اسلام برسید. ای علمای قم به داد اسلام برسید...

پس از این سخنرانی خمینی در تاریخ ۱۳ آبان ۱۳۴۳ دستگیر و با پا درمیانی رییس ساواک وقت متعاقبا به ترکیه تبعید شد.

==رویداد انقلاب==
&lt;div align=&quot;justify&quot;&gt;
انقلاب ۱۳۵۷ ایران که به آن '''«انقلاب اسلامی»''' نیز گفته می‌شود، قیامی بود به رهبری روح‌الله خمینی و با شرکت اکثریت مردم، احزاب و روشنفکران ایران، که نظام پادشاهی این کشور را سرنگون، و پیش‌زمینهٔ روی کار آمدن نظام جمهوری اسلامی در ایران را فراهم کرد. انقلاب در ۲۲ بهمن سال ۱۳۵۷ به پیروزی رسید و در ادامه آن نظام جمهوری اسلامی ایران به رهبری سید روح‌الله خمینی شکل گرفت.
&lt;/div&gt;

== جنگ ایران و عراق ==
به دنبال تثبیت انقلاب و پاکسازی ارتش ایران از طرفداران محمدرضا پهلوی و همچنین فرار برخی از ایرانی‌ها (مانند شاپور بختیار) به عراق و دادن مشاوره به صدام حسین، روابط بین دو کشور ایران و عراق تیره شد. از طرفی صدام حسین عرب‌های خوزستانی را تحریک به شورش و استقلال می‌کرد، از طرف خمینی شیعیان عراقی را تحریک به قیام علیه حکومت صدام حسین می‌کرد. در نهایت با استمرار دعوای قدرت بین بنی صدر و مجاهدین خلق از یکسو و خمینی و حزب جمهوری اسلامی از سوی دیگر، صدام حسین جنگ با ایران را با پاره کردن قرارداد الجزایر آغاز کرد.

گر چه در ۳ خرداد ۱۳۶۱ شمسی، ایرانی‌ها توانستند نیروی عراقی را به مرز پس برانند، ولی قدرت طلبی جمهوری اسلامی ایران باعث شد جنگ تا را ادامه دهند از مذاکره سیاسی به منظور آتش‌بس سریع، خودداری کنند.

آخوندها که نیاز به سرکوب گسترده مخالفان داخلی داشتند، جنگ را نعمت الهی دانستند و آن را تا سال ۱۳۶۷ ادامه دادند.

== ویژگی‌های ایران پس از انقلاب ۱۳۵۷==
از مهمترین ویژگی‌های انقلاب ترویج عادت‌های غیرعادی که فرهنگ ملی را از صفات پسندیده تهی ساخت از جمله مذهبیگری یا مذهبی بودن بصورت غیرعادی بود که در اصطلاح عامه به اینگونه اعمال ریا و تظاهر گفته می‌شود. با چنین شیوه‌هایی، فرهنگ دروغ اشاعه یافت و هر کس برای به دست آوردن مال، جاه و مقام و کسب وجهه در اجتماع و بهره جویی از رانت‌هایی که اطلاعات آن در حوزه‌هایی متشکله توسط چنین اشخاصی در مساجد و محافل نقل شده و با استفاده از روابط و پایگاه‌های بسیج و محافل مذهبی، با نزدیک کردن خود به سرکردگان و ذی‌نفوذان و بهره‌گیری مادی و اشغال مناصب از پایین‌ترین سطح جامعه که روستاها بوده تا بالاترین سطح که کلانشهرها می‌باشد از رانت‌ها بطور گسترده و مفسده‌انگیز استفاده می‌کردند. این ویژگی‌ها باعث ایجاد طبقه خاص در جامعه گردید و اختلاف طبقاتی شدیدی را بین کسانی که قبل از انقلاب جزو طبقات مرفه جامعه یاطبقه بالا، و قشر متوسط جامعه بودند با طبقه جدیدی که از طرق تظاهر، ریا، دروغ خود راانقلابی و جانفدای آن می‌دانستند بوجودآمد. این مسئله اکنون بعنوان یک غده سرطانی در جامعه در آمده است که ماهیت واقعی سران انقلاب و اهداف آنها را به مردم نشان داده و قشر جوان، انقلاب کنندگان را که پدران و مادران آنها بودند، گول خورده و سران انقلاب را خائن و عوامل خارجی‌ها دانسته و استفاده از نام اسلام را صرفاً برای تحریک احساسات مذهبی مردم برای پیشبرد اهداف از پیش تعیین شده میدانند.

دلایل آن را حذف کلیه رقبای خود و عدم توجه به مسائل اسلامی از سوی رهبر و سران کشور، و عدم اجرای قانون اساسی تدوین شده توسط اسلامیون، بخصوص در مورد بندهایی که در مورد رهبری و پاسخگو نبودن وی، عدم اعمال قانون در مورد مفسدین بزرگ مالی که با پیشرفت تکنولوژی و وجود افرادی دلسوز در سازمان‌ها و افشای واقیعیت‌ها، مردم را به اسلام وصداقت مسئولین بدبین نموده و بزرگترین عارضه البته برای انقلاب در جامعه ایرانی، فراری شدن از دین اسلام و گرایش به ملیت و ایجاد تضاد شدید قشر بر آمده از انقلاب با انقلابیون اولیه و انقلابیون جدید به وجود آمد که بزرگترین نمایش این تضاد در ۱۳۸۸ و ۱۳۹۶ به صورت علنی دیده شد. از دیگر ویژگی‌های انقلاب افزایش تفکیک جنسیتی و کاهش ازدواج درجامعه می‌باشد. سایر ویژگی‌های انقلاب عبارتند از فسادهای بزرگ مافیایی آن هم از سوی رهبران اصلی جامعه و ایجاد تنش با کشورهای همسایه و هزینه‌کردهای عمده برای گروه‌های شبه نظامی برای ایجاد ناآرامی در منطقه به اصطلاح برعلیه آمریکا و تقابل با اسرائیل و تقویت هلال شیعی.
===بحران جنسی===
پس از انقلاب ۱۳۵۷ ایران تفکیک بین زنان و مردان در فضاهای عمومی، پررنگ‌تر شد. امروزه در بعضی از مکان‌ها مانند مدارس بین دانش‌آموزان جدایی جنسی وجود دارد اما در بعضی از مکان‌ها مثل دانشگاه‌ها جدایی جنسی وجود ندارد. جداسازی جنسی در مکان‌های عمومی مثل سواحل و استخرهای شنا در قانون تصریح و تکلیف شده‌است، برای زنان در اتوبوس و مترو قسمت‌های جداگانه‌ای قرار داده شده‌است و به مردان اجازه نمی‌دهند وارد سمت زنانه بشوند. در مترو این اقدام مرد، ایجاد مزاحمت برای بانوان تلقی می‌شود و جرم است. بر اساس قوانین، بخش‌های جداگانه‌ای در جلسات سیاسی، کنفرانس‌ها، مراسم ازدواج و تشییع جنازه باید برای زنان و مردان در نظر گرفته شود. در ادارات و سازمان‌ها تفکیک جنسی ممکن است در بین کارکنان و دوایر داخلی یک سازمان صورت گیرد، مانند بخش زنان و زایمان یک بیمارستان، یا ممکن است که سازمان به صورت تک جنسی تشکیل شود و به وظایف خاص خود در سطح جامعه بپردازد مانند سرای سالمندان بانوان یا آقایان و کتابخانه‌های تک جنسی پسرانه و دخترانه. کنسرت‌ها و جشن‌های بسیاری به دلیل اختلاط دو جنس توسط عوامل دولتی بسته شدند و با گردانندگان آن‌ها برخورد شد. یکی از فضاهای شهری تک جنسی‌ای که پس از انقلاب ۱۳۵۷ ساخته شده‌اند پارک‌های بانوان هستند: فضایی زنانه به منظور خلق فضاهای امن و دور از دسترس مردان. پارک‌های بانوان در بسیاری از شهرهای ایران ایجاد شده‌است که به مردان اجازه ورود داده نمی‌شود مثل بوستان بهشت مادران در تهران و پارک بانوان صدف اصفهان.

از اوایل دهه هشتاد بحران جنسی در جامعه ایران آغاز شد و به مهمترین آسیب اجتماعی در ایران مبدل شد. از آنجایی که اگر راه درستی برای تخلیه تحریکات جوانی در یک جامعه وجود نداشته باشد، قاعدتاً مسیرهای دیگری باز می‌شود و تحریکات اجتماعی در سطح بالایی باقی نمی‌ماند، بحران جنسی در ایران شکل گرفت. از مصادیق بحران جنسی در این سال‌ها می‌توان به دگرباشی جنسی، انحرافات جنسی، عدم ارضاء جنسی افراد در بستر خانواده، تمایل به رابطه جنسی انتزاعی و فانتزی تحتِ تأثیر محیط سایبری و اینترنتی و... اشاره کرد. تحول عظیمی در رابطه دختر و پسر در جامعه ایران مشاهده شده و مطالعات نشان می‌دهد این الگو به شدت دگرگون شده است. یکی از پیامدهای این بحران در ناسازگاری آن با فرهنگ جامعه ایرانی دیده می‌شود. از دیگر پیامدهای این بحران می‌توان به رژیم‌های غذایی که در جهت مسائل جنسی گرفته می‌شود، کوتاه‌شدن عمر زندگی زناشویی، تنوع جراحی‌های پزشکی، تمایل به برقراری شکل‌های مختلف رابطه جنسی و... اشاره کرد. پیامدهای این بحران به طور کلی هم بخش زناشویی و هم بخش‌های دیگر مانند دوران بلوغ افراد را در ایران درگیر کرد.&lt;ref&gt;https://ana.press/fa/news/45/29627/راه-گذار-از-بحران-جنسی-در-ایران-چیست&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;https://www.isna.ir/news/97021709251/جامعه-دچار-بحران-جنسی-شده-است&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;http://www.ghasednews.com/بخش-بحران-یا-انقلاب-جنسی-62/2251-هشدار-یک-مردم-شناس-درباره-وقوع-انقلاب-جنسی&lt;/ref&gt; در حالیکه مستندها و کتاب‌های بسیاری همچون قیام پرشور: انقلاب جنسی در ایران از پردیس مهدوی استاد جامعه‌شناسی منتشر شده است بعضی همچون امیر مهدی کلیدری محقق مسائل اجتماعی ادعا کرده‌اند کودتای جنسی در ایران رخ داده است نه انقلاب جنسی.&lt;ref&gt;http://www.ghasednews.com/بخش-بحران-یا-انقلاب-جنسی-62/7183-کودتای-جنسی-یا-انقلاب-جنسی&lt;/ref&gt;

=== پارانویای جمهوری اسلامی ===
[[پرونده:Iranian Girl's presence in the 22 Bahman 2017 rally by Tasnimnew.com01.jpg|بندانگشتی|چپ|حضور دختران جداشده از پسران (با تفکیک جنسی) در راهپیمایی]]
در پارانویای حکومت اسلامی، آمریکا، اسرائیل، فراماسون ها و بهایی ها جایگاه ویژه ای دارند. آخوندها که خود را وارث اسلام ناب حقیقی می دانند، دنیا را متهم می کنند که در برابر آنها قد علم کرده اند. آنها بهایی ها را فرقه ضاله‌ای می‌شمارند که در حال جاسوسی برای خارجی ها (اسرائیلی ها و آمریکایی ها) هستند و یهودی های ایرانی هم گاهاً مورد سوظن آخوندها قرار می گیرند، چرا که در مظان اتهام همدستی با همتایان اسرائیلی خود قرار دارند. آمریکا به خاطر اینکه تحت نفوذ یهودیان آمریکایی (که متحدان همیشگی اسرائیلی ها هستند) به عنوان شیطان بزرگ، حامی همیشگی اسرائیلی ها در پیمان های نظامی و وتوهای سازمان ملل متحد قلمداد می‌شوند و هدف نظام مقدس جمهوری اسلامی، نابودی اسرائیل، و برقرار سازی کشور مستقل فلسطین است.

پارانویای آخوندها بر علیه بهایی ها چند دلیل دارد. اول اینکه بابی گری و بهائیت، نخستین دین رسمی پس از اسلام است که اعلام وجود کرده است. با وجود اینکه محمد در قرآن به عنوان آخرین پیامبر نامیده شده، بهائیان به پیامبر پس از محمد از جمله بهاالله اعتقاد دارند. دومین مورد بستن پرونده امام زمان در دین بهائیت است و بهائی ها اعتقاد دارند که امام زمانشان ظهور کرده و دیگر نیازی به انتظار برای امام زمان نیست. سومین مسئله، بستن پروند آخوندگی گری در بهائیت است. بدین ترتیب که بهایی ها کسی را واسطه مذهبی میان خودشان و خدا قرار نمی دهند و هر کس موظف است تا شخصاً مسائل دینی-مذهبی خودش را با تحقیق و تفحص حل کند.

از جمله پارانویای جمهوری اسلامی، می‌توان به باور به وارد شدن یهودیان به مذهب اسلام و تحریف و فرقه‌سازی این مذهب اشاره کرد. این اصطلاح را مسلمانان به اسم '''اسرائیلیات''' نامیده‌اند. آنها می‌پندارند که یهودیان قادر هستند با برنامه‌ریزی از قبل، به طور ظاهری مسلمان شده، در حالی که باطناً به آئین یهود اعتقاد دارند و دروغ‌هایی را به پیامبران و امامان مسلمانان وارد کنند و باعث شوند تا مردم مسلمان از اعتقاداتشان منحرف شوند. این اعتقاد البته ریشه در قرآن هم داشته است. در آنجایی که قرآن می‌گوید «هر آن دشمنترین انسان‌ها نسبت به اسلام را در میان مشرکین و یهودیان بینی»، باعث شده تا مسلمانان تمام مشکلات دنیوی و کج‌روی های فرقه‌های تشکیل شده از اسلام (که فرقه ظاله نامیده می‌شود) را به اسم یهودی‌ها تمام می‌کنند.

=== دشمنی با اسرائیل ===
دشمنی آخوندها با اسرائیل، به قرآن برمی‌گردد. آنجا که قرآن به مسلمانان اجازه می‌دهد با کسانی که آنها را از خانه‌ها و وطنشان آواره کرده‌اند، بجنگند. در ابتدای انقلاب اسلامی، مسئولین جمهوری اسلامی از یاسر عرفات و مسئولین سازمان فتح، در ایران دعوت به عمل آوردند. سفارت سابق اسرائیل (در زمان پهلوی) را به عنوان سفارت فلسطین بازگشایی کردند. هنگامی که ایران در سال ۱۳۶۱ با حکومت بعث صدام حسین در نبرد بود و خرمشهر را پس گرفت، طولی نکشید که اسرائیل به منظور پاکسازی جنوب لبنان از سازمان فتح، به آنجا حمله نظامی کرد. اما اسرائیلی‌ها تا بیروت رفتند و پشت دروازه شهر رسیده بودند. اما به خاطر پایداری مبارزان لبنانی، نتوانستند وارد شوند. در این هنگام گروهی از اسلامگرایان ایرانی خواستار مبارزه مستقیم با اسرائیل در منطقه لبنان شده بودند. خمینی به پیروانش گفت که «راه قدس از کربلا می‌گذرد» یعنی ابتدا بایستی رژیم صدام حسین را شکست دهیم و بعد به معضل اسرائیل بپردازیم. همزمان هم گروه چهار نفره از دیپلمات‌های ایرانی به سوریه اعزام شدند تا از طریق مرز لبنان-سوریه وارد لبنان شوند و منطقه لبنان را برای عملیات نظامی ایران در مقابل اسرائیل ارزیابی کنند که توسط سربازان اسرائیلی ربوده شدند. گرچه ایران مستقیماً وارد جنگ با اسرائیل نشد، اما رزمنده‌های ایرانی (در قالب سپاه پاسداران) مشغول عضوگیری از لبنانی‌های شیعه در لبنان شدند و به آنها آموزش نبردهای جنگی دادند. این شیعه‌ها که ابتدا عضو جنبش اَمَل بودند، بعدها در گروه «حزب الله لبنان» یک حزب تشکیل دادند و با انجام عملیات‌های چریکی، به نیروی‌های نظامی اسرائیل ضربات سختی وارد کردند که در نهایت اسرائیل مجبور شد خاک لبنان را ترک کند. می‌توان گفت عملیات نظامی حزب الله لبنان علیه سربازان اسرائیلی، اولین جنگ نیابتی (Proxy War) بین ایران و اسرائیل بود.

نمونه دیگری از دشمنی بین ایران و اسرائیل، دشمنی ایران با آمریکا بود. پس از انقلاب، گروه‌های چپی (مثل توده‌ای‌ها، فدائی‌ها، مجاهدین) بر طبل مبارزه با امپریالیسم می‌کوبیدند. اعدام حبیب‌الله القانین، سرمایه‌دار ایرانی-یهودی، موجی از محکومیت‌های خارجی (از جمله در میان آمریکایی‌ها) را برانگیخت. گروهی از دانشجویان ایرانی به اسم دانشجویان خط امام، در ۱۳ آبان ۱۳۵۸ به داخل سفارت آمریکا وارد شدند و اعضای سفارت را گروگان گرفتند. این دفعه دومی بود که چنین عملی (وارد شدن به سفارت‌خانه آمریکا) انجام شده بود. اما این دفعه، خمینی هم از حرکت دانشجوها حمایت کرد. با گروگانگیری، دولت موقت استعفا داد و اموال ایرانی‌ها در غرب بلوکه شد. ایرانی‌ها به خاطر حمایت آمریکا از دیکتاتوری شاه، حمایت آمریکا از اسرائیل و ترس از کودتای دوباره ارتش شاه با کمک دیپلمات‌ها و جاسوس‌های سیا، این رفتارها را توجیه می‌کردند.

== پانویس ==
{{پانویس}}

[[رده:تاریخ ایران]]</text>
      <sha1>cohufwq17foghl33dcgtfowejlypesl</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>تقویم‌های جهان</title>
    <ns>0</ns>
    <id>31412</id>
    <revision>
      <id>117367</id>
      <parentid>106887</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T04:45:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Siavashfallah1999</username>
        <id>15540</id>
      </contributor>
      <comment>افزودن مطلب</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3932" xml:space="preserve">{{وضعیت|75%}}
[[پرونده:Taqvime najmoddoleh esfahani 1272sh.jpg|۴۰۰px|بی‌قاب|چپ|تقویم‌های جهان]]
امروزه از تقویم‌های زیادی در جهان استفاده می‌شود اما قدیمی‌ترین تقویمی که هنوز از آن استفاده می‌شود، تقویم ایرانی است. گمان نمی‌رود که هیچ مردم و تمدنی به اندازه ایرانیان تا این اندازه به بررسی و پژوهش در گاه‌شماری پرداخته‌باشند. 

آسمان یکی از شگفت‌انگیزترین چیزهایی است که انسان‌ها هر روز آن را می‌بینند. نزدیک بودن و آشنایی ما با چیزهایی که در زمین می‌بینیم مثل رشد گیاهان و جانوران و مرگشان، بارش باران، جریان یافتن رود، ... در عین شگفت‌انگیز بودن برای ما عادی شده‌اند اما آسمان فراتر از درک ماست. اشیایی که در آسمان حرکت می‌کنند ممکن است داغ و بی‌حرکت یا سرد و متحرک باشند؛ ممکن است خورشید تابان باشد یا ابر سیاه؛ یک بار صاف باشد و یک بار رعد و برق، ... علاقه بشر به آسمان در سه حوزه مختلف جای می‌گیرد: ستاره‌بینی، ستاره‌شناسی و تقویم.&lt;ref&gt;http://www.historyworld.net/wrldhis/PlainTextHistories.asp?ParagraphID=bvt&lt;/ref&gt;

برای مردم ابتدایی فقط اندازه‌گیری دو معیار زمان در دسترس بود یکی روز (فاصله بین دو شب) و یکی ماه (فاصله تا چرخش ماه به گام جدید). یک برش طمانی مهم دیگر، سال است، یک گردش کامل زمین به دور خورشید که محاسبه آن به دلیل اثرگذاری بر فصل‌ها و محصولات کشاورزی برای فعالیت‌های بشر حیاتی بوده است.&lt;ref&gt;http://www.historyworld.net/wrldhis/PlainTextHistories.asp?ParagraphID=bvt&lt;/ref&gt;

بسیاری از تقویم‌هایی که در جهان استفاده شده‌اند از خورشید یا ماه برای اندازه‌گیری زمان استفاده کرده‌اند. تقویم خورشیدی به نوعی گاه‌شماری گفته می‌شود که روزهای آن نشان‌دهنده محل زمین در چرخش آن به دور خورشید است. تقویم ماهی (قمری) بر پایه گردش گام‌های ماه است. تعداد روزها در سال خورشیدی بیشتر از تعداد روزهای سال قمری است.

امروزه ابزارهای زیادی برای تبدیل این تقویم‌ها وجود دارد مثل [https://www.calendar-converter.com/ وبگاه تبدیل تقویم] و نرم‌افزارهای رایانه‌ای از انواع مختلف تقویم پشتیبانی می‌کنند. گوگل در تاریخ ۷ بهمن ۱۳۹۲ اعلام کرد تقویم هجری خورشیدی را به تنظمیات تقویم گوگل افزوده‌است و در ویندوز ۱۰ 
که در مهر ۱۳۹۳ توسط مایکروسافت عرضه شد، امکان استفاده از تقویم‌های مختلف وجود دارد.
* [[/تقویم ایرانی/]]
* [[/تقویم چینی/]]
* [[/تقویم عبری/]]
* [[/تقویم میلادی/]]
* [[/تقویم هجری/]]
* [[/تقویم اتیوپیایی/]]
* [[/تقویم سریانی/]]
* [[/تقویم خورشیدی تایلندی/]]
* [[/تقویم مایا/]]
* [[/تقویم هندی/]]
* [[/تقویم ژاپنی/]]
* [[/تقویم ویتنامی/]]
* [[/تقویم طبری/]]

==منابع==
{{پانویس}}
{{موضوع|علوم اجتماعی}}
[[رده:تقویم‌های جهان]]</text>
      <sha1>led8tistvs3qyw3qwg1mynfknp5bd6m</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117379</id>
      <parentid>117367</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T08:24:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>تقویم طبری تنها کاربرد کشاورزی داشته و اساس آن مثل دیگر تقویم های ساسانی است</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3904" xml:space="preserve">{{وضعیت|75%}}
[[پرونده:Taqvime najmoddoleh esfahani 1272sh.jpg|۴۰۰px|بی‌قاب|چپ|تقویم‌های جهان]]
امروزه از تقویم‌های زیادی در جهان استفاده می‌شود اما قدیمی‌ترین تقویمی که هنوز از آن استفاده می‌شود، تقویم ایرانی است. گمان نمی‌رود که هیچ مردم و تمدنی به اندازه ایرانیان تا این اندازه به بررسی و پژوهش در گاه‌شماری پرداخته‌باشند. 

آسمان یکی از شگفت‌انگیزترین چیزهایی است که انسان‌ها هر روز آن را می‌بینند. نزدیک بودن و آشنایی ما با چیزهایی که در زمین می‌بینیم مثل رشد گیاهان و جانوران و مرگشان، بارش باران، جریان یافتن رود، ... در عین شگفت‌انگیز بودن برای ما عادی شده‌اند اما آسمان فراتر از درک ماست. اشیایی که در آسمان حرکت می‌کنند ممکن است داغ و بی‌حرکت یا سرد و متحرک باشند؛ ممکن است خورشید تابان باشد یا ابر سیاه؛ یک بار صاف باشد و یک بار رعد و برق، ... علاقه بشر به آسمان در سه حوزه مختلف جای می‌گیرد: ستاره‌بینی، ستاره‌شناسی و تقویم.&lt;ref&gt;http://www.historyworld.net/wrldhis/PlainTextHistories.asp?ParagraphID=bvt&lt;/ref&gt;

برای مردم ابتدایی فقط اندازه‌گیری دو معیار زمان در دسترس بود یکی روز (فاصله بین دو شب) و یکی ماه (فاصله تا چرخش ماه به گام جدید). یک برش طمانی مهم دیگر، سال است، یک گردش کامل زمین به دور خورشید که محاسبه آن به دلیل اثرگذاری بر فصل‌ها و محصولات کشاورزی برای فعالیت‌های بشر حیاتی بوده است.&lt;ref&gt;http://www.historyworld.net/wrldhis/PlainTextHistories.asp?ParagraphID=bvt&lt;/ref&gt;

بسیاری از تقویم‌هایی که در جهان استفاده شده‌اند از خورشید یا ماه برای اندازه‌گیری زمان استفاده کرده‌اند. تقویم خورشیدی به نوعی گاه‌شماری گفته می‌شود که روزهای آن نشان‌دهنده محل زمین در چرخش آن به دور خورشید است. تقویم ماهی (قمری) بر پایه گردش گام‌های ماه است. تعداد روزها در سال خورشیدی بیشتر از تعداد روزهای سال قمری است.

امروزه ابزارهای زیادی برای تبدیل این تقویم‌ها وجود دارد مثل [https://www.calendar-converter.com/ وبگاه تبدیل تقویم] و نرم‌افزارهای رایانه‌ای از انواع مختلف تقویم پشتیبانی می‌کنند. گوگل در تاریخ ۷ بهمن ۱۳۹۲ اعلام کرد تقویم هجری خورشیدی را به تنظمیات تقویم گوگل افزوده‌است و در ویندوز ۱۰ 
که در مهر ۱۳۹۳ توسط مایکروسافت عرضه شد، امکان استفاده از تقویم‌های مختلف وجود دارد.
* [[/تقویم ایرانی/]]
* [[/تقویم چینی/]]
* [[/تقویم عبری/]]
* [[/تقویم میلادی/]]
* [[/تقویم هجری/]]
* [[/تقویم اتیوپیایی/]]
* [[/تقویم سریانی/]]
* [[/تقویم خورشیدی تایلندی/]]
* [[/تقویم مایا/]]
* [[/تقویم هندی/]]
* [[/تقویم ژاپنی/]]
* [[/تقویم ویتنامی/]]

==منابع==
{{پانویس}}
{{موضوع|علوم اجتماعی}}
[[رده:تقویم‌های جهان]]</text>
      <sha1>ei7lcqbommy3bqdnozzrnq41vdij8w5</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>بحث کاربر:Doostdar</title>
    <ns>3</ns>
    <id>35550</id>
    <revision>
      <id>117386</id>
      <parentid>117217</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:03:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>/* ایجاد کتاب ریاضیات پیشرفته */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="25801" xml:space="preserve">{{کاربر:Doostdar/up}}
&lt;div style=&quot;float:left;&quot;&gt;
{{جعبه بایگانی|
[[/بایگانی۱|بایگانی۱]]{{سخ}}
[[/بایگانی۲|بایگانی۲]]{{سخ}}
[[/بایگانی۳|بایگانی۳]]{{سخ}}
[[/بایگانی۴|بایگانی۴]]{{سخ}}
[[/بایگانی۵|بایگانی۵]]{{سخ}}
[[/بایگانی۶|بایگانی۶]]{{سخ}}
[[/بایگانی۷|بایگانی۷]]{{سخ}}
[[/بایگانی۸|بایگانی۸]]{{سخ}}
[[/بایگانی۹|بایگانی۹]]{{سخ}}
[[/بایگانی۱۰|بایگانی۱۰]]{{سخ}}
}}
&lt;/div&gt;
== نخستین کتاب من در ویکی‌بوک  ==

درود
از پیام خوشامد شما سپاسگزارم. خواهشمندم برای من روشن سازید:
#آیا حق کپی رایت برای متن و عکس ها در این ویکی بسیار سخت گیری می شود؟ آیا همه ای-بوک هایی که نویسنده در اختیار مردم گذاشته و GNU هستند می توان در این پروژه بازنشر کرد؟
#آیا ارجاع دهی و یادکرد منبع و لینک به بیرون در این پروژه مرسوم است؟

با احترام &lt;/br&gt; [[کاربر:Ghobadsafari|پسر بازیگوش]] ([[بحث کاربر:Ghobadsafari|بحث]]) ‏۱۵ سپتامبر ۲۰۲۱، ساعت ۰۷:۳۴ (UTC)
:{{پب|Ghobadsafari}} درود. خوشنودم که به ما پیوسته اید. در مورد حق کپی‌رایت بله سخت‌گیری میشه و محتوای وبگاه‌هایی که رو که اجازه تکثیر محتوا رو ندادن به اینجا کپی نمیکنیم. مطالب در ویکی‌کتاب به صورت آزاد منتشر میشه و بدون ضایع شدن حق کپی‌‍رایت همه افراد میتونن اون رو کپی و منتشر کنند. در مورد منبع دهی هم هر جا نیاز بود منبع بدهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۲۶ شهریور ۱۴۰۰، ساعت ۰۰:۲۴ (ایران) ‏۱۶ سپتامبر ۲۰۲۱، ساعت ۱۹:۵۴ (UTC)

== سلام ==

سلام جناب دوستدار اول از زحمات ارزشمند شما دراین پروژه تشکر می کنم. بعد اینکه من [[کاربر:ماسرا/کتاب‌ها|کتابهای آقای جوادی]] را می خواهم عکسهای بیشتری اضافه کنم آیا بارگذاری عکس در اینجا مانند ویکی انبار سختگیرانه است . و دیگر اینکه آیا کار خاص دیگری برای انجام روی این کتابها وجود دارد. متشکرم [[کاربر:ماسرا|ماسرا]] ([[بحث کاربر:ماسرا|بحث]]) ۱ مهر ۱۴۰۰، ساعت ۱۹:۵۸ (ایران)
:درود. نگاره‌ها باید در ویکی‌انبار بارگذاری شوند تا از نظر کپی‌رایت بررسی شوند. کتاب ها در هر کجا نیاز به بازبینی و ویرایش دارد این کار را انجام دهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۸ مهر ۱۴۰۰، ساعت ۱۸:۲۹ (ایران) ‏۳۰ سپتامبر ۲۰۲۱، ساعت ۱۴:۵۹ (UTC)

== کتاب‌ها چقدر می‌توانند عمق داشته‌باشند؟ ==

درود. خسته نباشید. از هم‌سخنی دوباره با شما خیلی خرسندم. می‌خواستم بدانم که در ویکی‌کتاب مانند ویکی‌پدیا باید مطالب را برای عموم نوشت یا نه می‌توان مانند یک کتاب تخصصی به صورت عمیق به یک موضوع پرداخت؟ فعلا تا میانه سال ۱۴۰۲ درگیر سربازی هستم. اگر تا آن موقع عمری باشد و آن ایام فرا رسد برنامه‌هایی برای ویکی‌کتاب دارم. سپاس از شما. [[کاربر:گلبول سیاه|گلبول سیاه]] ([[بحث کاربر:گلبول سیاه|بحث]]) ‏۵ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۵۷ (UTC)
:{{پب|گلبول سیاه}} درود. با آرزوی شادابی و سربلندی از اینکه در ویکی‌کتاب پیام گذاشتید برام بسیار شاد شدم. سوالی که پرسیدی یکی از سوال هایی هست که هنوز جواب دقیقی براش پیدا نشده علتش هم این هست که تا کنون اکثر ویکی‌کتاب ها small wiki بوده اند. اینکه کتاب تخصصی در یک ویکی نوشته بشه به نظر میرسه باید جزو اهداف ویکی‌کتاب باشه ولی با توجه به اینکه نوشتن کتاب تخصصی نیازمند دانش و تخصص بیشتر هست پس کاربرانی باید در ویکی‌کتاب فعال باشند که از سطح دانش بالاتری نسبت به کاربران سایر ویکی‌ها (ویکی‌های عمومی مثل ویکی‌سفر) برخوردار باشند. البته تا حدی هم این هدف محقق شده و در بیشتر نسخه های ویکی‌کتاب شمار زیادی از کاربران دانش آموز و دانش جو یا آموزگار و استاد هستند. حتی برخی از کتاب ها در واقع حاصل یک فعالیت کلاسی هستند. اینکه عمق علمی مطالب در ویکی‌کتاب تا چه حد باید باشه تا کنون مشخص نشده ولی به زودی مشخص خواهد شد و میشه جواب روشن تری به این سوال داد زیرا ۷ ویکی‌کتاب (از جمله انگلیسی، فرانسوی، ژاپنی، آلمانی، ایتالیایی) توسعه خوبی پیدا کرده اند و از میان ده ویکی‌کتاب برتر هنوز ۳ ویکی‌کتاب (اسپانیایی، هلندی و ویتنامی) small wiki محسوب میشوند. ضمن ایننکه نسخه های روسی، چینی و فارسی در رده های پایین تر قرار دارند و این نسخه ها نیز هنوز کوچک هستند بنابراین راهبرد دقیقی برای نحوه ویرایش و عمق تخصصی مطالب مشخص نیست. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۱۶ دی ۱۴۰۰، ساعت ۰۱:۴۲ (ایران) ‏۵ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۲:۱۲ (UTC)
==انتشار متن کتاب==
سلام  
* آیا می توانم در ویکی بوک کتابی را که قبلا در ویکیپدیا معرفی شده است و مجوز از طرف نویسنده و ناشر دارم برای انتشار کامل آن در فضای مجازی و تقریبا حق کپی رایت آن به عموم واگذار شده و در جاهای مختلف هم کپی شده را در اینجا معرفی کنم و کتابش را کامل بصورت وورد ایجاد کنم 
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۲۷ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۶:۳۴ (UTC)
::{{پب|Cultural sec}} درود. اگر این طور باشه که توضیح دادید اجازه انتشار اون کتاب رو به صورت تایپ شده دارید ولی اجازه تبلیغ ندارید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۸ بهمن ۱۴۰۰، ساعت ۱۸:۱۲ (ایران) ‏۲۸ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۴۲ (UTC)
* درود منظورتان یعنی اینکه متن  تایپ شده وورد را می توان انتشار داد؟ تا چند صفحه آیا محدودیت صفحه دارد؟ اگر کتاب تصاویری دارد را هم می شود منتشر کرد یا فقط  متن ووورد تایپ شده ؟؟
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۳۱ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۱:۳۲ (UTC)
::{{پب|کاربر:Parsa 2au}} بله میتونید تایپ کنید و محدودیتی در تعداد صفحه‌ها نداریم (تا کنون). برای بارگیری نگاره‌ها میتونید از وبگاه ویکی‌انبار استفاده کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۱۱ بهمن ۱۴۰۰، ساعت ۲۰:۳۲ (ایران) ‏۳۱ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۷:۰۲ (UTC)

== خسته نباشید ==

:لطفا پیغام‌های MediaWiki message delivery را [https://fa.wikibooks.org/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%DA%A9%D8%AA%D8%A7%D8%A8%3A%D9%85%DB%8C%D8%B2_%D8%AA%D8%AD%D8%B1%DB%8C%D8%B1&amp;type=revision&amp;diff=115393&amp;oldid=115371 واگردانی نکنید] و اجازه بدید بقیه هم ببینند '''&lt;font face=&quot;verdana&quot;&gt;[[User:Mardetanha|&lt;font color=&quot;#084C9E&quot;&gt;م&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#4682b4&quot;&gt;رد&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#6495ED&quot;&gt;تن&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#4682b4&quot;&gt;ه&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#084C9E&quot;&gt;ا&lt;/font&gt;]]&lt;/font&gt;''' ‏۴ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۸:۲۷ (UTC)
:{{پب|Mardetanha}} درود. مگر این پیام‌ها در مدیاویکی نیستند؟ هر کاربری هم علاقه‌مند باشه میتونه اشتراک خبرنامه رو بگیره. تا زمانی که متن پیام ها به طور کامل و روون به پارسی ترجمه نشده باید همه رو حدف کنیم. آیا استدلالی برای باقی گذاشتن این پیام ها به زبان انگلیسی دارید؟ --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۹ بهمن ۱۴۰۰، ساعت ۱۶:۱۵ (ایران) ‏۸ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۵ (UTC)
:::بله برخی از این پیام از سمت بنیاد ویکی‌مدیا به سمت کاربران می‌آیند، شایسته است که ترجمه شوند اما در خلال نیروی انسانی لازم، انگلیسی ارسال می‌شوند. لطفا اینها را واگردانی نکنید. با تشکر '''&lt;font face=&quot;verdana&quot;&gt;[[User:Mardetanha|&lt;font color=&quot;#084C9E&quot;&gt;م&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#4682b4&quot;&gt;رد&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#6495ED&quot;&gt;تن&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#4682b4&quot;&gt;ه&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#084C9E&quot;&gt;ا&lt;/font&gt;]]&lt;/font&gt;''' ‏۸ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۴۰ (UTC)
::{{پب|Mardetanha}} اینجا نسخه فارسی ویکی‌کتاب هست و تمام مطالب به زبان پارسی هستند. بعضی از پیامها به پارسی ترجمه شده‌اند و میتونید بخونید اما کاربران برای خواندن تمام پیام ها باید به وبگاه ویکی‌مدیا مراجعه کنند یل اشتراک حبرنامه رو بگیرند. مشکل کمبود کاربر و ترجمه رو در ویکی‌مدیا پیگیری کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۲۲ بهمن ۱۴۰۰، ساعت ۱۴:۳۲ (ایران) ‏۱۱ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۰۲ (UTC)
:::گرامی این دیگر یک درخواست نیست، یا ترجمه کنید یا بی‌دلیل واگردانی نکنید، تکرار کنید قطع دسترسی خواهید شد. '''&lt;font face=&quot;verdana&quot;&gt;[[User:Mardetanha|&lt;font color=&quot;#084C9E&quot;&gt;م&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#4682b4&quot;&gt;رد&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#6495ED&quot;&gt;تن&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#4682b4&quot;&gt;ه&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#084C9E&quot;&gt;ا&lt;/font&gt;]]&lt;/font&gt;''' ‏۱۱ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۸:۱۴ (UTC)

البته شما می‌توانید یک اجماع در قهوه‌خانه ایجاد کنید که قهوه‌خانهٔ ویکی‌کتاب فارسی از این پیام‌های بی‌فایده‌ای که بنیاد ویکی‌مدیا و وابستگانش هرازچندگاهی می‌فرستند آپت‌اوت (opt-out) کند. ویکی‌مدیا نمی‌داند یا نمی‌تواند که باید پروژه‌ها را به چند دسته تقسیم کند: مثلاً بزرگ، متوسط، کوچک. و ویکی‌های کوچک را از این پیام‌های خودکار انگلیسی معاف کند تا قهوه‌خانه‌هایشان شبیه گورستان متروکه نشوند. ما قهوه‌خانهٔ فارسی ویکی‌انبار را از چرندیات ویکی‌مدیا عاری کرده‌ایم. شما هم با افزودن [[:رده:بیرون‌آمدگان از پیام‌رسان]] (نام رده از [[مدیاویکی:Massmessage-optout-category]] اخذ می‌شود) به قهوه‌خانه می‌توانید مانع از اسپم‌پراکنی توسط ویکی‌مدیا شوید.  [[کاربر:4nn1l2|4nn1l2]] ([[بحث کاربر:4nn1l2|بحث]]) ‏۱۵ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۶:۲۸ (UTC)

== با سلام ==
*  با سلام لطفا غلط املایی را درست کنید دکتر حکمت شیرازی اشتباه شده به دکتر ج کمت [https://fa.wikibooks.org/wiki/%D9%86%D9%82%D8%B4_%D9%BE%D8%A7%D8%B1%D8%B3%DB%8C_%D8%A8%D8%B1_%D9%85%DB%8C%D8%B1%D8%A7%D8%AB_%D8%AC%D9%87%D8%A7%D9%86%DB%8C_%D8%AF%D8%B1_%D9%87%D9%86%D8%AF/%D8%B2%D9%86%D8%AF%DA%AF%DB%8C%D9%86%D8%A7%D9%85%D9%87_%D8%AF%DA%A9%D8%AA%D8%B1_%D8%AC%DA%A9%D9%85%D8%AA_%D8%B4%DB%8C%D8%B1%D8%A7%D8%B2%DB%8C]
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۱۸ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۲۶ (UTC)
: {{شد}} --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۳ اسفند ۱۴۰۰، ساعت ۱۲:۵۲ (ایران) ‏۲۲ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۹:۲۲ (UTC)

==  مشارکت‌های کاربری M.arampl ==
لطفا مشارکتهای عجیب M.arampl بررسی شود
[https://fa.wikibooks.org/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%85%D8%B4%D8%A7%D8%B1%DA%A9%D8%AA%E2%80%8C%D9%87%D8%A7/M.arampl]
*
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۲۱ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۱:۲۱ (UTC)
::ویرایشهای خرابکارانه این کاربر رو واگردانی کردم و بهش تذکر دادم. باز هم اگر با چنین کاربرهایی برخورد کردید حتما به من گزارش بدید. با سپاس. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۳ اسفند ۱۴۰۰، ساعت ۱۲:۵۲ (ایران) ‏۲۲ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۹:۲۲ (UTC)
** با سپاس فراوان برای کوششهای همیشگی شما برای بهبود ویکی کتاب . [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] چرا فونت این صفحه اینقدر ریز است ؟
:::صفحه کاربری یک جورهایی ملک شخصی است میشه اون رو به طرح دلخواه خودمون تغییر بدیم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۶ فروردین ۱۴۰۱، ساعت ۰۸:۱۴ (ایران) ‏۵ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۳:۴۴ (UTC)

== درخواست حذف زیرصفحات کاربری ==

سلام. نوروز مبارک! لطفاً زیرصفحات کاربری بنده در [[:رده:صفحه‌های نامزد حذف سریع]] را حذف کنید. ممنون [[کاربر:4nn1l2|4nn1l2]] ([[بحث کاربر:4nn1l2|بحث]]) ‏۲۳ مارس ۲۰۲۲، ساعت ۰۲:۰۳ (UTC)
:{{شد}} با درود و شادباش نوروزی! --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۴ فروردین ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۲۵ (ایران) ‏۲۴ مارس ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۵۵ (UTC)
== ویرایش املایی جدا کردن هها==
ویرایش/فصل دوم بخش 5 : خلیج فارس درمعاهدات بین المللی را انجام دادم و تمام واژه های چسبیده را فاصله گذاری و اصلاح کردم متاسفانه موقع  ثبت این پیام آمد و بیش از دو  ساعت کامل وقتم هدر رفت
اخطار: این کار به طور خودکار خطرناک تشخیص داده شده‌است
ویرایش‌های بی‌مورد به سرعت واگردانی خواهند شد، و در صورت ویرایش‌های عمدی خرابکارانه دسترسی‌تان به سرعت بسته خواهد است. اگر مطمئنید که این ویرایش مفید است دوباره بر دکمه تایید بفشارید. پالایه‌ای که جلوی شما را گرفت این بود: فحاشی در صفحه
قبلا هم چنین مشکلی داشتم ولی ایندفعه خیلی وقت گذاشتم [[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۷ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۵ (UTC)
:{{شد}} در صفحه بحث تون پاسخ دادم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۱۹ فروردین ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۱ (ایران) ‏۷ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۱ (UTC)
* با درود . من متن پی دی اف سه کتاب مهم دیگر که مربوط به یکصد سال گذشته هستند را در حال آماده سازی و تهیه وورد انها برای انتشار بودم ولی متاسفانه ویکیپدیا جای کار نیست فورا عده ای معلوم نیست با چه اغراضی ورود می کنند و به بهانه های واهی درخواست حذف می دهند و متاسفانه کسی از مطالب ایرانی دفاع نمی کند و مطلب حذف می شود یک نمونه. [https://simple.wikipedia.org/wiki/Documents_on_the_Persian_Gulf%27s_name]
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۱۱ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۳۶ (UTC)
::{{پب|Cultural sec}} درود. ویکی‌پدیا یک وبگاه برای همه مردم است و به شما اجازه تبلیغ کتاب رو نمیده. در صورتی که تشخیص بدهند یک کتاب، مطابقت سیاست های وبگاه، سرشناسی نداره درخواست حذف میدهند. به نظر بنده هم کتاب شما مناسب ویکی‌پدیا نیست و باید حذف بشه. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۲ فروردین ۱۴۰۱، ساعت ۱۰:۱۵ (ایران) ‏۱۱ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۵ (UTC)
لطفا همه تبلیغات را حذف کنید هر جا فکر می کنید تبلیغ است را حذف کنید چون خود نویسنده هم مایل به تبلغ نیست . پس من در مورد کتاب اطلس تاریخ ایران کاری بکنم یا نه ؟ چون باید پی دی اف را تایپ کنم و وقت زیادی می گیرد[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۱۱ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۶:۰۱ (UTC)
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۱۱ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۶:۰۱ (UTC)
:::ویکی‌کتاب با ویکی‌پدیا فرق میکنه. در ویکی‌کتاب قوانین دیگری داریم و کتاب شما برای ویکی‌کتاب فارسی مناسب است و حاوی تبلیغ نیست. در ویکی‌پدیا خودتونمیتونید درخواست حذف بدید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۲ فروردین ۱۴۰۱، ساعت ۱۰:۳۵ (ایران) ‏۱۱ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۶:۰۵ (UTC)
== متن کامل سفرنامه ==
آیا می توان متن کامل سفرنامه ناصر خسرو قبادیانی را بصورت وورد در ویکی کتاب  بار گذاری کرد؟؟
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۱۱ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۲۲ (UTC)
:خیر، به وبگاه ویکی‌سورس مراجعه کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۲۳ فروردین ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۱۵ (ایران) ‏۱۲ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۴۵ (UTC)
==پرسش شما==
درود بر شما ، در برگه بحث من ، پرسشی رو مطرح کردید که در همانجا پاسخ دادم ، گفتم شاید بی‌ادبی باشه در برگه بحث شما یادآور نشم . سپاسگزارم از لطف شما--[[کاربر:HadiLovelorn|HadiLovelorn]] ([[بحث کاربر:HadiLovelorn|بحث]]) ‏۱۲ مه ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۲ (UTC)
:{{پب|HadiLovelorn}} درود. پاسح شما رو خوندم. اگر مدرکی دارید ارایه کنید تا معلوم بشه این اختراع (یا به فرمایش شما کشف) توسط شما انجام شده نه شخص دیگری. دوم اینکه اگر از این پس اختراعی انجام دادید اون رو در ویکی‌کتاب ننویسید چون مطالب در این وبگاه تحت پروانه آزاد منتشر میشه و همه میتونن اون رو تغییر بدن یا کپی‌برداری کنند. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۲۳ اردیبهشت ۱۴۰۱، ساعت ۱۲:۰۱ (ایران) ‏۱۳ مه ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۱ (UTC)
:{{پب|Doostdar}} درود ، تا قبل از اینکه من کد رو بنویسم سران رژیم مسخره‌م می‌کردن که امکان نداره و من نمی‌تونم و هیچ جا هم موجود نبوده ( شما هر جا هم بگردید موجود نبوده ) و از شما تقاضا می‌کنم درخواست‌های من رو پاک نکنید ، چون من به خاطر شرط‌بندی سال ۸۷ هیچ پولی بهم داده نمیشه ، حتی کارگری هم که می‌کنم انقدر اذیتم می‌کنن تا نتونم کار کنم و این حق منه ( من نوکر کسی نیستم که مفتی کار کنم و مثل سگ زندگی کنم ، درسته کتاب ، رایگانه چون همه جا رفرنس‌های زبان سی هستن و من فقط کامل و جامع و سلیس و روان و ساده می‌نویسم ، به همراه مثال‌های زیاد و تشریح تا هر کسی بتونه یاد بگیره ولی کدهایی که می‌زنم مثل برعکس کردن عدد که کشف خودم بود رو بابتش می‌تونم درخواست کنم حداقل به کسانی که دوستشون دارم مبالغی پرداخت بشه ) با سپاس --[[کاربر:HadiLovelorn|HadiLovelorn]] ([[بحث کاربر:HadiLovelorn|بحث]]) ‏۱۵ مه ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۸ (UTC)
:{{پب|HadiLovelorn}} بنده بعید میدونم این افرادی که اسمشون رو ذکر کردید شامل خانم ها شقایق جعفری جوزانی، طناز طبابایی، شیرین بهبهانی و اون خانم دکتری که در داروخونه کار میکنه تنگدست‌تر از سایر افراد جامعه باشند و الان نیاز به این پول داشته باشند. از این گذشته ویکی‌کتاب هیچ روشی برای نقل و انتقال پول نداره. به نظرم بهتره به طریق دیگری اقدام کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۶ اردیبهشت ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۲۶ (ایران) ‏۱۶ مه ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۵۶ (UTC)

== ایجاد کتاب ریاضیات پیشرفته ==

{{پب|doostdar}} درود،ببخشید که مزاحم شدم،من کتاب ریاضیات پیشرفته را ایجاد کردم.لطفا شماهم درآنجا مشارکت کنید.
فقط دوتا سوال دارم،
1-آیا مقاله مساحت و حجم،چندضلعی منتظم،زاویه محاطی و ظلی،تقسیم چندجمله ای به آنجا انتقال داده می شود؟
2-چگونه کاربران را به آنجا بیاورم و این کتاب را گسترس دهند؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۷ (UTC)
:درود. در صفحه بحث تون پاسخ دادم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۳۵ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۵ (UTC)
ممنون
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۰ (UTC)

== کار گروهی ==
سلام بر کاربر دوستدار شما این کتاب را به کار گروهی انتقال دادید ولی من دست تنها دارم این کتاب را گسترش می دهم،حداقل چند نفر هم نیامده اند،چکار کنم؟</text>
      <sha1>pyxkxywki1sovy6kb2epb04jl5wbvh9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117410</id>
      <parentid>117386</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:41:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="25828" xml:space="preserve">{{کاربر:Doostdar/up}}
&lt;div style=&quot;float:left;&quot;&gt;
{{جعبه بایگانی|
[[/بایگانی۱|بایگانی۱]]{{سخ}}
[[/بایگانی۲|بایگانی۲]]{{سخ}}
[[/بایگانی۳|بایگانی۳]]{{سخ}}
[[/بایگانی۴|بایگانی۴]]{{سخ}}
[[/بایگانی۵|بایگانی۵]]{{سخ}}
[[/بایگانی۶|بایگانی۶]]{{سخ}}
[[/بایگانی۷|بایگانی۷]]{{سخ}}
[[/بایگانی۸|بایگانی۸]]{{سخ}}
[[/بایگانی۹|بایگانی۹]]{{سخ}}
[[/بایگانی۱۰|بایگانی۱۰]]{{سخ}}
}}
&lt;/div&gt;
== نخستین کتاب من در ویکی‌بوک  ==

درود
از پیام خوشامد شما سپاسگزارم. خواهشمندم برای من روشن سازید:
#آیا حق کپی رایت برای متن و عکس ها در این ویکی بسیار سخت گیری می شود؟ آیا همه ای-بوک هایی که نویسنده در اختیار مردم گذاشته و GNU هستند می توان در این پروژه بازنشر کرد؟
#آیا ارجاع دهی و یادکرد منبع و لینک به بیرون در این پروژه مرسوم است؟

با احترام &lt;/br&gt; [[کاربر:Ghobadsafari|پسر بازیگوش]] ([[بحث کاربر:Ghobadsafari|بحث]]) ‏۱۵ سپتامبر ۲۰۲۱، ساعت ۰۷:۳۴ (UTC)
:{{پب|Ghobadsafari}} درود. خوشنودم که به ما پیوسته اید. در مورد حق کپی‌رایت بله سخت‌گیری میشه و محتوای وبگاه‌هایی که رو که اجازه تکثیر محتوا رو ندادن به اینجا کپی نمیکنیم. مطالب در ویکی‌کتاب به صورت آزاد منتشر میشه و بدون ضایع شدن حق کپی‌‍رایت همه افراد میتونن اون رو کپی و منتشر کنند. در مورد منبع دهی هم هر جا نیاز بود منبع بدهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۲۶ شهریور ۱۴۰۰، ساعت ۰۰:۲۴ (ایران) ‏۱۶ سپتامبر ۲۰۲۱، ساعت ۱۹:۵۴ (UTC)

== سلام ==

سلام جناب دوستدار اول از زحمات ارزشمند شما دراین پروژه تشکر می کنم. بعد اینکه من [[کاربر:ماسرا/کتاب‌ها|کتابهای آقای جوادی]] را می خواهم عکسهای بیشتری اضافه کنم آیا بارگذاری عکس در اینجا مانند ویکی انبار سختگیرانه است . و دیگر اینکه آیا کار خاص دیگری برای انجام روی این کتابها وجود دارد. متشکرم [[کاربر:ماسرا|ماسرا]] ([[بحث کاربر:ماسرا|بحث]]) ۱ مهر ۱۴۰۰، ساعت ۱۹:۵۸ (ایران)
:درود. نگاره‌ها باید در ویکی‌انبار بارگذاری شوند تا از نظر کپی‌رایت بررسی شوند. کتاب ها در هر کجا نیاز به بازبینی و ویرایش دارد این کار را انجام دهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۸ مهر ۱۴۰۰، ساعت ۱۸:۲۹ (ایران) ‏۳۰ سپتامبر ۲۰۲۱، ساعت ۱۴:۵۹ (UTC)

== کتاب‌ها چقدر می‌توانند عمق داشته‌باشند؟ ==

درود. خسته نباشید. از هم‌سخنی دوباره با شما خیلی خرسندم. می‌خواستم بدانم که در ویکی‌کتاب مانند ویکی‌پدیا باید مطالب را برای عموم نوشت یا نه می‌توان مانند یک کتاب تخصصی به صورت عمیق به یک موضوع پرداخت؟ فعلا تا میانه سال ۱۴۰۲ درگیر سربازی هستم. اگر تا آن موقع عمری باشد و آن ایام فرا رسد برنامه‌هایی برای ویکی‌کتاب دارم. سپاس از شما. [[کاربر:گلبول سیاه|گلبول سیاه]] ([[بحث کاربر:گلبول سیاه|بحث]]) ‏۵ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۵۷ (UTC)
:{{پب|گلبول سیاه}} درود. با آرزوی شادابی و سربلندی از اینکه در ویکی‌کتاب پیام گذاشتید برام بسیار شاد شدم. سوالی که پرسیدی یکی از سوال هایی هست که هنوز جواب دقیقی براش پیدا نشده علتش هم این هست که تا کنون اکثر ویکی‌کتاب ها small wiki بوده اند. اینکه کتاب تخصصی در یک ویکی نوشته بشه به نظر میرسه باید جزو اهداف ویکی‌کتاب باشه ولی با توجه به اینکه نوشتن کتاب تخصصی نیازمند دانش و تخصص بیشتر هست پس کاربرانی باید در ویکی‌کتاب فعال باشند که از سطح دانش بالاتری نسبت به کاربران سایر ویکی‌ها (ویکی‌های عمومی مثل ویکی‌سفر) برخوردار باشند. البته تا حدی هم این هدف محقق شده و در بیشتر نسخه های ویکی‌کتاب شمار زیادی از کاربران دانش آموز و دانش جو یا آموزگار و استاد هستند. حتی برخی از کتاب ها در واقع حاصل یک فعالیت کلاسی هستند. اینکه عمق علمی مطالب در ویکی‌کتاب تا چه حد باید باشه تا کنون مشخص نشده ولی به زودی مشخص خواهد شد و میشه جواب روشن تری به این سوال داد زیرا ۷ ویکی‌کتاب (از جمله انگلیسی، فرانسوی، ژاپنی، آلمانی، ایتالیایی) توسعه خوبی پیدا کرده اند و از میان ده ویکی‌کتاب برتر هنوز ۳ ویکی‌کتاب (اسپانیایی، هلندی و ویتنامی) small wiki محسوب میشوند. ضمن ایننکه نسخه های روسی، چینی و فارسی در رده های پایین تر قرار دارند و این نسخه ها نیز هنوز کوچک هستند بنابراین راهبرد دقیقی برای نحوه ویرایش و عمق تخصصی مطالب مشخص نیست. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۱۶ دی ۱۴۰۰، ساعت ۰۱:۴۲ (ایران) ‏۵ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۲:۱۲ (UTC)
==انتشار متن کتاب==
سلام  
* آیا می توانم در ویکی بوک کتابی را که قبلا در ویکیپدیا معرفی شده است و مجوز از طرف نویسنده و ناشر دارم برای انتشار کامل آن در فضای مجازی و تقریبا حق کپی رایت آن به عموم واگذار شده و در جاهای مختلف هم کپی شده را در اینجا معرفی کنم و کتابش را کامل بصورت وورد ایجاد کنم 
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۲۷ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۶:۳۴ (UTC)
::{{پب|Cultural sec}} درود. اگر این طور باشه که توضیح دادید اجازه انتشار اون کتاب رو به صورت تایپ شده دارید ولی اجازه تبلیغ ندارید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۸ بهمن ۱۴۰۰، ساعت ۱۸:۱۲ (ایران) ‏۲۸ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۴۲ (UTC)
* درود منظورتان یعنی اینکه متن  تایپ شده وورد را می توان انتشار داد؟ تا چند صفحه آیا محدودیت صفحه دارد؟ اگر کتاب تصاویری دارد را هم می شود منتشر کرد یا فقط  متن ووورد تایپ شده ؟؟
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۳۱ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۱:۳۲ (UTC)
::{{پب|کاربر:Parsa 2au}} بله میتونید تایپ کنید و محدودیتی در تعداد صفحه‌ها نداریم (تا کنون). برای بارگیری نگاره‌ها میتونید از وبگاه ویکی‌انبار استفاده کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۱۱ بهمن ۱۴۰۰، ساعت ۲۰:۳۲ (ایران) ‏۳۱ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۷:۰۲ (UTC)

== خسته نباشید ==

:لطفا پیغام‌های MediaWiki message delivery را [https://fa.wikibooks.org/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%DA%A9%D8%AA%D8%A7%D8%A8%3A%D9%85%DB%8C%D8%B2_%D8%AA%D8%AD%D8%B1%DB%8C%D8%B1&amp;type=revision&amp;diff=115393&amp;oldid=115371 واگردانی نکنید] و اجازه بدید بقیه هم ببینند '''&lt;font face=&quot;verdana&quot;&gt;[[User:Mardetanha|&lt;font color=&quot;#084C9E&quot;&gt;م&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#4682b4&quot;&gt;رد&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#6495ED&quot;&gt;تن&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#4682b4&quot;&gt;ه&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#084C9E&quot;&gt;ا&lt;/font&gt;]]&lt;/font&gt;''' ‏۴ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۸:۲۷ (UTC)
:{{پب|Mardetanha}} درود. مگر این پیام‌ها در مدیاویکی نیستند؟ هر کاربری هم علاقه‌مند باشه میتونه اشتراک خبرنامه رو بگیره. تا زمانی که متن پیام ها به طور کامل و روون به پارسی ترجمه نشده باید همه رو حدف کنیم. آیا استدلالی برای باقی گذاشتن این پیام ها به زبان انگلیسی دارید؟ --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۹ بهمن ۱۴۰۰، ساعت ۱۶:۱۵ (ایران) ‏۸ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۵ (UTC)
:::بله برخی از این پیام از سمت بنیاد ویکی‌مدیا به سمت کاربران می‌آیند، شایسته است که ترجمه شوند اما در خلال نیروی انسانی لازم، انگلیسی ارسال می‌شوند. لطفا اینها را واگردانی نکنید. با تشکر '''&lt;font face=&quot;verdana&quot;&gt;[[User:Mardetanha|&lt;font color=&quot;#084C9E&quot;&gt;م&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#4682b4&quot;&gt;رد&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#6495ED&quot;&gt;تن&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#4682b4&quot;&gt;ه&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#084C9E&quot;&gt;ا&lt;/font&gt;]]&lt;/font&gt;''' ‏۸ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۴۰ (UTC)
::{{پب|Mardetanha}} اینجا نسخه فارسی ویکی‌کتاب هست و تمام مطالب به زبان پارسی هستند. بعضی از پیامها به پارسی ترجمه شده‌اند و میتونید بخونید اما کاربران برای خواندن تمام پیام ها باید به وبگاه ویکی‌مدیا مراجعه کنند یل اشتراک حبرنامه رو بگیرند. مشکل کمبود کاربر و ترجمه رو در ویکی‌مدیا پیگیری کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۲۲ بهمن ۱۴۰۰، ساعت ۱۴:۳۲ (ایران) ‏۱۱ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۰۲ (UTC)
:::گرامی این دیگر یک درخواست نیست، یا ترجمه کنید یا بی‌دلیل واگردانی نکنید، تکرار کنید قطع دسترسی خواهید شد. '''&lt;font face=&quot;verdana&quot;&gt;[[User:Mardetanha|&lt;font color=&quot;#084C9E&quot;&gt;م&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#4682b4&quot;&gt;رد&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#6495ED&quot;&gt;تن&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#4682b4&quot;&gt;ه&lt;/font&gt;&lt;font color=&quot;#084C9E&quot;&gt;ا&lt;/font&gt;]]&lt;/font&gt;''' ‏۱۱ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۸:۱۴ (UTC)

البته شما می‌توانید یک اجماع در قهوه‌خانه ایجاد کنید که قهوه‌خانهٔ ویکی‌کتاب فارسی از این پیام‌های بی‌فایده‌ای که بنیاد ویکی‌مدیا و وابستگانش هرازچندگاهی می‌فرستند آپت‌اوت (opt-out) کند. ویکی‌مدیا نمی‌داند یا نمی‌تواند که باید پروژه‌ها را به چند دسته تقسیم کند: مثلاً بزرگ، متوسط، کوچک. و ویکی‌های کوچک را از این پیام‌های خودکار انگلیسی معاف کند تا قهوه‌خانه‌هایشان شبیه گورستان متروکه نشوند. ما قهوه‌خانهٔ فارسی ویکی‌انبار را از چرندیات ویکی‌مدیا عاری کرده‌ایم. شما هم با افزودن [[:رده:بیرون‌آمدگان از پیام‌رسان]] (نام رده از [[مدیاویکی:Massmessage-optout-category]] اخذ می‌شود) به قهوه‌خانه می‌توانید مانع از اسپم‌پراکنی توسط ویکی‌مدیا شوید.  [[کاربر:4nn1l2|4nn1l2]] ([[بحث کاربر:4nn1l2|بحث]]) ‏۱۵ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۶:۲۸ (UTC)

== با سلام ==
*  با سلام لطفا غلط املایی را درست کنید دکتر حکمت شیرازی اشتباه شده به دکتر ج کمت [https://fa.wikibooks.org/wiki/%D9%86%D9%82%D8%B4_%D9%BE%D8%A7%D8%B1%D8%B3%DB%8C_%D8%A8%D8%B1_%D9%85%DB%8C%D8%B1%D8%A7%D8%AB_%D8%AC%D9%87%D8%A7%D9%86%DB%8C_%D8%AF%D8%B1_%D9%87%D9%86%D8%AF/%D8%B2%D9%86%D8%AF%DA%AF%DB%8C%D9%86%D8%A7%D9%85%D9%87_%D8%AF%DA%A9%D8%AA%D8%B1_%D8%AC%DA%A9%D9%85%D8%AA_%D8%B4%DB%8C%D8%B1%D8%A7%D8%B2%DB%8C]
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۱۸ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۲۶ (UTC)
: {{شد}} --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۳ اسفند ۱۴۰۰، ساعت ۱۲:۵۲ (ایران) ‏۲۲ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۹:۲۲ (UTC)

==  مشارکت‌های کاربری M.arampl ==
لطفا مشارکتهای عجیب M.arampl بررسی شود
[https://fa.wikibooks.org/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%85%D8%B4%D8%A7%D8%B1%DA%A9%D8%AA%E2%80%8C%D9%87%D8%A7/M.arampl]
*
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۲۱ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۱:۲۱ (UTC)
::ویرایشهای خرابکارانه این کاربر رو واگردانی کردم و بهش تذکر دادم. باز هم اگر با چنین کاربرهایی برخورد کردید حتما به من گزارش بدید. با سپاس. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۳ اسفند ۱۴۰۰، ساعت ۱۲:۵۲ (ایران) ‏۲۲ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۹:۲۲ (UTC)
** با سپاس فراوان برای کوششهای همیشگی شما برای بهبود ویکی کتاب . [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] چرا فونت این صفحه اینقدر ریز است ؟
:::صفحه کاربری یک جورهایی ملک شخصی است میشه اون رو به طرح دلخواه خودمون تغییر بدیم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۶ فروردین ۱۴۰۱، ساعت ۰۸:۱۴ (ایران) ‏۵ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۳:۴۴ (UTC)

== درخواست حذف زیرصفحات کاربری ==

سلام. نوروز مبارک! لطفاً زیرصفحات کاربری بنده در [[:رده:صفحه‌های نامزد حذف سریع]] را حذف کنید. ممنون [[کاربر:4nn1l2|4nn1l2]] ([[بحث کاربر:4nn1l2|بحث]]) ‏۲۳ مارس ۲۰۲۲، ساعت ۰۲:۰۳ (UTC)
:{{شد}} با درود و شادباش نوروزی! --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۴ فروردین ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۲۵ (ایران) ‏۲۴ مارس ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۵۵ (UTC)
== ویرایش املایی جدا کردن هها==
ویرایش/فصل دوم بخش 5 : خلیج فارس درمعاهدات بین المللی را انجام دادم و تمام واژه های چسبیده را فاصله گذاری و اصلاح کردم متاسفانه موقع  ثبت این پیام آمد و بیش از دو  ساعت کامل وقتم هدر رفت
اخطار: این کار به طور خودکار خطرناک تشخیص داده شده‌است
ویرایش‌های بی‌مورد به سرعت واگردانی خواهند شد، و در صورت ویرایش‌های عمدی خرابکارانه دسترسی‌تان به سرعت بسته خواهد است. اگر مطمئنید که این ویرایش مفید است دوباره بر دکمه تایید بفشارید. پالایه‌ای که جلوی شما را گرفت این بود: فحاشی در صفحه
قبلا هم چنین مشکلی داشتم ولی ایندفعه خیلی وقت گذاشتم [[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۷ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۵ (UTC)
:{{شد}} در صفحه بحث تون پاسخ دادم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۱۹ فروردین ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۱ (ایران) ‏۷ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۱ (UTC)
* با درود . من متن پی دی اف سه کتاب مهم دیگر که مربوط به یکصد سال گذشته هستند را در حال آماده سازی و تهیه وورد انها برای انتشار بودم ولی متاسفانه ویکیپدیا جای کار نیست فورا عده ای معلوم نیست با چه اغراضی ورود می کنند و به بهانه های واهی درخواست حذف می دهند و متاسفانه کسی از مطالب ایرانی دفاع نمی کند و مطلب حذف می شود یک نمونه. [https://simple.wikipedia.org/wiki/Documents_on_the_Persian_Gulf%27s_name]
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۱۱ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۳۶ (UTC)
::{{پب|Cultural sec}} درود. ویکی‌پدیا یک وبگاه برای همه مردم است و به شما اجازه تبلیغ کتاب رو نمیده. در صورتی که تشخیص بدهند یک کتاب، مطابقت سیاست های وبگاه، سرشناسی نداره درخواست حذف میدهند. به نظر بنده هم کتاب شما مناسب ویکی‌پدیا نیست و باید حذف بشه. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۲ فروردین ۱۴۰۱، ساعت ۱۰:۱۵ (ایران) ‏۱۱ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۵ (UTC)
لطفا همه تبلیغات را حذف کنید هر جا فکر می کنید تبلیغ است را حذف کنید چون خود نویسنده هم مایل به تبلغ نیست . پس من در مورد کتاب اطلس تاریخ ایران کاری بکنم یا نه ؟ چون باید پی دی اف را تایپ کنم و وقت زیادی می گیرد[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۱۱ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۶:۰۱ (UTC)
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۱۱ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۶:۰۱ (UTC)
:::ویکی‌کتاب با ویکی‌پدیا فرق میکنه. در ویکی‌کتاب قوانین دیگری داریم و کتاب شما برای ویکی‌کتاب فارسی مناسب است و حاوی تبلیغ نیست. در ویکی‌پدیا خودتونمیتونید درخواست حذف بدید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۲ فروردین ۱۴۰۱، ساعت ۱۰:۳۵ (ایران) ‏۱۱ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۶:۰۵ (UTC)
== متن کامل سفرنامه ==
آیا می توان متن کامل سفرنامه ناصر خسرو قبادیانی را بصورت وورد در ویکی کتاب  بار گذاری کرد؟؟
[[کاربر:Cultural sec|Cultural sec]] ([[بحث کاربر:Cultural sec|بحث]]) ‏۱۱ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۲۲ (UTC)
:خیر، به وبگاه ویکی‌سورس مراجعه کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۲۳ فروردین ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۱۵ (ایران) ‏۱۲ آوریل ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۴۵ (UTC)
==پرسش شما==
درود بر شما ، در برگه بحث من ، پرسشی رو مطرح کردید که در همانجا پاسخ دادم ، گفتم شاید بی‌ادبی باشه در برگه بحث شما یادآور نشم . سپاسگزارم از لطف شما--[[کاربر:HadiLovelorn|HadiLovelorn]] ([[بحث کاربر:HadiLovelorn|بحث]]) ‏۱۲ مه ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۲ (UTC)
:{{پب|HadiLovelorn}} درود. پاسح شما رو خوندم. اگر مدرکی دارید ارایه کنید تا معلوم بشه این اختراع (یا به فرمایش شما کشف) توسط شما انجام شده نه شخص دیگری. دوم اینکه اگر از این پس اختراعی انجام دادید اون رو در ویکی‌کتاب ننویسید چون مطالب در این وبگاه تحت پروانه آزاد منتشر میشه و همه میتونن اون رو تغییر بدن یا کپی‌برداری کنند. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۲۳ اردیبهشت ۱۴۰۱، ساعت ۱۲:۰۱ (ایران) ‏۱۳ مه ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۱ (UTC)
:{{پب|Doostdar}} درود ، تا قبل از اینکه من کد رو بنویسم سران رژیم مسخره‌م می‌کردن که امکان نداره و من نمی‌تونم و هیچ جا هم موجود نبوده ( شما هر جا هم بگردید موجود نبوده ) و از شما تقاضا می‌کنم درخواست‌های من رو پاک نکنید ، چون من به خاطر شرط‌بندی سال ۸۷ هیچ پولی بهم داده نمیشه ، حتی کارگری هم که می‌کنم انقدر اذیتم می‌کنن تا نتونم کار کنم و این حق منه ( من نوکر کسی نیستم که مفتی کار کنم و مثل سگ زندگی کنم ، درسته کتاب ، رایگانه چون همه جا رفرنس‌های زبان سی هستن و من فقط کامل و جامع و سلیس و روان و ساده می‌نویسم ، به همراه مثال‌های زیاد و تشریح تا هر کسی بتونه یاد بگیره ولی کدهایی که می‌زنم مثل برعکس کردن عدد که کشف خودم بود رو بابتش می‌تونم درخواست کنم حداقل به کسانی که دوستشون دارم مبالغی پرداخت بشه ) با سپاس --[[کاربر:HadiLovelorn|HadiLovelorn]] ([[بحث کاربر:HadiLovelorn|بحث]]) ‏۱۵ مه ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۸ (UTC)
:{{پب|HadiLovelorn}} بنده بعید میدونم این افرادی که اسمشون رو ذکر کردید شامل خانم ها شقایق جعفری جوزانی، طناز طبابایی، شیرین بهبهانی و اون خانم دکتری که در داروخونه کار میکنه تنگدست‌تر از سایر افراد جامعه باشند و الان نیاز به این پول داشته باشند. از این گذشته ویکی‌کتاب هیچ روشی برای نقل و انتقال پول نداره. به نظرم بهتره به طریق دیگری اقدام کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۶ اردیبهشت ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۲۶ (ایران) ‏۱۶ مه ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۵۶ (UTC)

== ایجاد کتاب ریاضیات پیشرفته ==

{{پب|doostdar}} درود،ببخشید که مزاحم شدم،من کتاب ریاضیات پیشرفته را ایجاد کردم.لطفا شماهم درآنجا مشارکت کنید.
فقط دوتا سوال دارم،
1-آیا مقاله مساحت و حجم،چندضلعی منتظم،زاویه محاطی و ظلی،تقسیم چندجمله ای به آنجا انتقال داده می شود؟
2-چگونه کاربران را به آنجا بیاورم و این کتاب را گسترس دهند؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۷ (UTC)
:درود. در صفحه بحث تون پاسخ دادم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۳۵ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۵ (UTC)
ممنون
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۰ (UTC)

== کار گروهی ==
سلام بر کاربر دوستدار شما کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] را به کار گروهی انتقال دادید ولی من دست تنها دارم این کتاب را گسترش می دهم،حداقل چند نفر هم نیامده اند،چکار کنم؟</text>
      <sha1>jvpsk1ub6rwdem3abx0lrdcogebmhf6</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG</title>
    <ns>3</ns>
    <id>35745</id>
    <revision>
      <id>117350</id>
      <parentid>117322</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T13:05:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29948" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۲۹ مهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۱ (UTC)

== شش‌ضلعی‌منتظم ==

درود. به تازگی صفحه‌ای با عنوان بالا ایجاد کردید. بررسی کردم دیدم این صفحه رو در کتاب [[هندسه مقدماتی]] ایجاد کردید. تا جایی که این کتاب رو مطالعه کردم برای سطح مبتدی نوشته شده و بیشتر درباره مربع و دایره و مستطیل و چند وجهی مطالبی در اون گنجانده شده. هر فصل در حد چند خط است نه بیشتر تا فهم مطالب برای یک شخص ناآشنا با هندسه دشوار نباشد. با سرچی که در میان کتاب های ویکی‌کتاب انجام دادم کتاب دیگری به نان [[آشنایی با چندوجهی‌ها]] را یافتم که به صورت تخصصی به چندوجهی‌ها می‌پردازد. به نظرم مطالب شما بیشتر به درد این کتاب میخوره. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۱۲ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۲۳:۵۷ (ایران) ‏۳ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۲۷ (UTC)

سلام و درود یعنی میگویید من باید صفحه شش ضلعی را انتقال بدهم؟
اگر انتقال می خواد باشد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۷ (UTC)
: اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۷ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۷ (UTC)

باشه خیلی ممنون که گفتید🙏 [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۳ (UTC)

== تفاوت با ویکی‌پدیا ==

درود. دوباره ورود شما رو به ویکی‌کتاب خوش آمد میگم. با توجه به اینکه در صفحه کاربری اعلام کردید از ویکی‌پدیا آمده‌اید چند نکته رو بهتر دونستم یادآوری کنم. شوربختانه برخی از کاربرانی که از ویکی‌پدیا به ویکی‌کتاب آمده‌اند به دلیل عدم درک تفاوت های این دو ویکی ویرایش های اشتباهی داشته اند. علاوه بر  [[راهنما:فهرست|راهنمای ویکی‌کتاب (برای تمام کاربران)]] یک راهنما هم داریم برای کاربرانی که از سایر پروژه های ویکی آمده‌اند ([[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب برای کاربران سایر پروژه‌های ویکی‌مدیا]]). علاوه بر این در میز تحریر بارها در این باره بحث شده که نمونه‌های از اون رو در زیر میتونید مشاهده کنید:
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#گفتگو|گفتگو]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها مانند ویکی‌نبشته|تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#چند نمونه از تفاوت های ویکی کتاب با ویکی پدیا|چند نمونه از تفاوت ها]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا|تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#همپوشانی ویکی کتاب و ویکی پدیا|همپوشانی]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۱#گنگ بودن مفهوم آموزشی در ویکی کتاب|گنگ بودن مفهوم]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی]]
:سپاسگزار از توجه شما، اگر پرسشی درباره ویکی‌کتاب دارید در خدمت هستم. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۵ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۵ (UTC)

درود خیلی ممنون💖[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۲ (UTC)

== لطفا درخواست مدیر شدن نکنید ==

درود. شمار ویرایش های شما بسیار ناچیز است و اکثر مطالبی که نوشتید کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی بوده است. شما هیچ کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد نکردید و در هیچ‌یک از نظرخواهی‌ها مشارکت نکردید. با چنین شرایطی لطفا درخواست مدیر شدن نکنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۴۲ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۱۲ (UTC)
:درود بر شما،ممنون که برای درخواست مدیر شدن به من اطلاع دادید،ولی من باید چه مراحلی را طی کنم تا بتوانم مدیر شوم؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
::این وبگاه در حال حاضر به مدیر جدید نیاز ندارد. میتونید به صورت یک کاربر در اینجا فعال باشید. موفق باشید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۲۸ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۷:۵۷ (ایران) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۳:۲۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۷ (UTC)

==اگر قصد ایجاد کتاب جدیدی دارید ...==
{{جعبه هشدار|پیش از اینکه کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد کنید حتما سری به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|این صفحه]] بزنید. اگر کتابی هست که موضوعی شبیه به موضوع دلخواه شما داشت میتونید محتوای خودتون رو به اون کتاب اضافه کنید. کتاب هایی که در جدول فهرست شده‌اند هنوز تکمیل نشده‌اند و در انتظار تکمیل شدن به دست کاربران ویکی‌کتاب چون شما هستند.}}
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۴ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۴ (UTC)
::همچنین ببینید: [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۶ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۶ (UTC)

سلام،خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
:سپاس از توجه شما. حالا که به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی]] سر زدید و هیچ کتابی را متناسب با سلیقه خود نیافتید راهی نیست جز اینکه کتاب جدید شما یعنی [[ریاضیات پیشرفته]] را نیز به فهرست بیفزاییم و منتظر باشیم اگر کاربری به ریاضی پیشرفته علاقه داشت در آن مشارکت کند. بنده هم اگر از نظر علمی نتوانم مشارکت کنم در ویرایش کردن کتاب به شما کمک خواهم کرد. نکته مهم این هست که سرفصل‌های کتاب رو تهیه کنید تا دیگر کاربران بدانند به چه موضوع هایی پرداخته میشود و بسته به میزان علاقه و سوادشان مشارکت کنند. صفحه تقسیم طولانی چندجمله ای را که پیشتر ایجاد کرده بودید به کتاب ریاضیات پیشرفته منتقل کردم. اکنون میتوانید برای ایجاد صفحه های جدید و کمک گرفتن از کاربران کوشش کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۸ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۸ (UTC)
{{پب|doostdar}}سلام و درود خیلی ممنون برای مشارکت باما من هم تمام زحمتم را برای گسترش این کتاب کمک خواهم کرد.
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۰۷ (UTC)

{{پب|doostdar}} درود مجدد من می خواهم مساحت و حجم را به ریاضیات پیشرفته انتقال دهم چون محتوای این صفحه به سطح کتاب هندسه مقدماتی نمی خورد.
به جای آن مبحث حجم و مساحت را به صورت خلاصه و ساده شرح شده به هندسه مقدماتی اضافه می کنیم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۳ (UTC)
::کار خوبی است. لطفا انجام دهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۴۷ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۳۴ (UTC)

== چند نکته برای نوشتن کتاب ==

برای اینکه ایبوک بهتری ایجاد کنید و مخاطب بیشتری جذب کنید که با قوانین ویکی‌کتاب مطابقت داشته باشه چند نکته رو براتون میگم که امیدوارم براتون مفید باشه:
* نام ایبوک رو طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشه و به خوبی مشخص کنه کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی هست. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست.
* سعی کنید ایبوک تون حتما پیشگفتار، فهرست، فصل های مختلف، واژه‌نامه، منابع داشته باشه. صفحه‌های کتاب به صورت نام کتاب/نام زیرصفحه باید ایجاد بشه. 
* اگر ایبوک تصاویر مناسبی داشته باشه مخاطب بیشتری جذب میشه. غیر از تصاویر خود کتاب به یک تصویر جلد هم نیاز هست.
* قبل از اینکه ایبوک جدیدی رو ایجاد کنید از کاربرهایی که به موضوع علاقه‌مند و مسلط هستن برای نوشتن ایبوک درخواست کمک کنید. اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید.
* نام رده همون نام ایبوک هست.
* پس از اینکه ایبوک خودتون رو کامل کردید می‌تونید نسخه پی‌دی‌اف از ایبوک‌تون تهیه کنید و ایبوک پی‌دی‌اف رو در اینترنت منتشر کنید. 
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۵۲ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۲۲ (UTC)
:ویرایش های کمی در دو روز گذشته داشتید. حتی مقدمه کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] بسیار کوتاه هست و معلوم نیست چه مطالبی قراره در کتاب نوشته بشه. لطفا رسیدگی کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۱۵ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۵ (UTC)
::کتاب شما در [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|فهرست کتاب‌های در حال تکمیل]] قرار گرفته اما در صورتی که ظرف چند هفته آینده بیش از پنجاه درصد این کتاب تکمیل نشود، کتاب حذف میگردد و از فهرست پاک میشود. زیرا هم اکنون ۴۶ کتاب در فهرست قرار دارند اما تعداد کاربران فعال کم است و در ماه‌های گذشته هیچ مشارکتی در بهبود این ۴۶ کتاب انجام نشده است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۷ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۷ (UTC)

حداقل باید این چهل شش تا کتاب را درست کنم باشه. [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۷ (UTC)

رسیدگی هم می کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۰۶ (UTC)

== کتاب‌های برگزیده ==

درود جناب {{BASEPAGENAME}}. برای دیدن فهرستی از کتاب‌های برگزیده ویکی‌کتاب [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|اینجا]] کلیک کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۱ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۱ (UTC)

چشم
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۵ (UTC)

== کار گروهی ==

کتابی که در این ویکی برای کار گروهی تمام کاربرها در نظر گرفتم [[لوح‌های نوری|کتاب لوح‌های نوری]] هست. این کتاب درباره لوح‌های رایانه‌ای مختلف شامل سی‌دی، دی‌وی‌دی، بلوری، الخ هست. از اونجایی که عموما ما با این لوح ها سر و کار داریم اطلاعاتی هم راجبشون داریم. به همین دلیل من این کتاب رو برای کار گروهی انتخاب کردم تا همه کاربرها در نوشتنش مشارکت کنن. شما هم می تونید در این کار گروهی شرکت کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۲ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۲ (UTC)

سلام دوستدار خیلی ممنون
من حالا تدارکات را در این کتاب آماده میکنم تا بریم برای گسترش کتاب
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۴ (UTC)

== کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی ==

درود. برخی از مطالبی که در [[ریاضیات پیشرفته]] نوشته‌اید را دیدم با یک بررسی ساده متوجه شدم قسمت‌هایی از متن از ویکی‌پدیا کپی شده است. نیازی نیست صفحه ها خیلی طولانی و دارای مطلب زیاد باشد. سعی کنید از منابع دیگر استفاده کنید و کپی‌رایت را هم رعایت کنید. چون در ویکی‌کتاب به شدت با نقض کپی‌رایت برخورد میکنیم. البته کپی‌رایت ویکی‌پدیا آزاد هست و مطالبی را که از اون وبگاه نوشتید از نظر کپی‌رایت مشکلی نداره ولی در کل کپی‌برداری از ویکیپدیا درست نیست چون در این صورت شما دیگر نویسنده کتاب نخواهید بود. بلکه نویسنده اصلی اصلی کتاب کاربران ویکی‌پدیا خواهند بود که آن مطالب را اول بار منتشر کرده‌اند. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۳ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۹:۲۲ (ایران) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۵۲ (UTC)

{{پب|doostdar}}درود خیلی ببخشید داشتم کتابم را گسترش می دادم تا حذفش نکنم،باشه من دیگه میرم از منابع های دیگه استفاده می کنم،باتشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۵۳ (UTC)

== نوشتن و ویرایش کتاب ==

کتابی که نوشتید یک سری چیزها رو نداره. نکاتی رو از [[ویکی‌کتاب:خودآموز|خودآموز ویکی‌کتاب]] براتون مینویسم:
:اگر مطلب‌تان درباره یک موضوع دانشگاهی است و از سطح کیفی بالایی برخوردار است می‌تواند به عنوان کتاب درسی در کلاس درس مورد استفاده قرار گیرد.
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]، کتاب‌های ویکی‌کتاب محدود شده است به کتاب‌های آموزشی (pedagogic) مثل کتابچه‌های راهنما و درسنامه‌های آموزشی. بسیاری از انواع کتاب در اینجا جای نمی‌گیرند.
:اندازه هر کتاب در ویکی‌کتاب محدود نیست به اینکه بتوان از آن نسخه چاپی تهیه کرد. مقدار حداقل یا حداکثری برای یک کتاب در نظر گرفته نشده است. ممکن است بعضی از کتاب‌ها بیش از حد طولانی باشند و بعضی دیگر خیلی کوتاه باشند. با این حال مهمترین نکته این است که کتاب، حاوی اطلاعات ضروری باشد.
:یک کتاب خوب باید چند شاخصه داشته باشد: یک برنامه خوب - زیرساخت مستحکم - تمرکز شدید - پوشش کامل
:آیا به کتاب شما نیاز است؟ خوشبختانه در ویکی‌کتاب روال این است که ابتدا نگاه می‌کنیم ببینیم آیا به کتاب جدید نیاز هست یا نه؟ نگاه می‌کنیم که آیا در کتاب‌های موجود قبلا کتابی با آن موضوع وجود دارد یا نه؟ مثلا در زمینه ریاضیات باید کتابی برای حسابان وجود داشته باشد، اگر کتابی در این باره در ویکی‌کتاب وجود نداشته باشد می‌توانید آن را ایجاد کنید.
:روش‌های مختلفی برای نوشتن کتاب درباره یک موضوع وجود دارد. شما می‌توانید یک کتاب را برای یک گروه مخاطب خاص بنویسید (آمار برای ریاضی‌دانان) یا می‌توانید یک کتاب بنویسید (آمار) که موضوع را از جنبه‌های مختلفی بررسی کند و به این ترتیب برای همه مخاطبان قابل استفاده باشد. برای مثال می‌توانید کتاب را به دوبخش مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش آمار برای بازرگانان، یک بخش آمار برای ریاضی‌دانان) یا اینکه می‌توانید هر صفحه را به بخش‌های مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش برای فرمول‌های جبری و نتایج، یک بخش زیر آن برای مشتق‌های حسابان).
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/پیکربندی کتاب‌ها چگونه است؟]]، پیش از آنکه شروع به نوشتن هر چیزی کنید، یک تعریف باید برای ایبوک‌تان بنویسید. مخاطب ایبوک چه کسانی هستند؟ چه هدفی دارد؟ ژرفا به چه صورت است؟ کتاب از چه زبانی می‌خواهد استفاده کند. در این پروژه، ویکی‌کتاب فارسی، تمام کتاب‌ها باید به زبان فارسی نوشته شوند. با این حال اینکه از فارسی ایرانی استفاده می‌شود یا فارسی افغانی به نویسنده کتاب بستگی دارد. 
:ما یک سیاست نامگذاری داریم که باعث می‌شود تمام کتاب‌ها و صفحات ویکی‌کتاب به گونه‌ای استاندارد سازماندهی شوند. تمام صفحه‌های کتاب در اسم خود نام کتاب را به عنوان پیشوند، همراه دارند و پس از ممیز، نام کتاب می‌آید. به عنوان مثال «کتاب من/صفحه من» صحیح است ولی «صفحه من» اشتباه است.
:اگر خردنوشته برای شروع کتاب باشد کاربران دیگر می‌توانند برای گسترش دادن آن کمک کنند. یک «خُرد خوب» بایستی: به خوبی توضیح دهد چه مطالبی قرار است پوشش داده شود - یک مقدمه کوتاه درباره موضوع بدهد - یک چهارچوب سازمان یافته داشته باشد (مثلا عنوان‌های بخش‌ها مشخص شده باشد) تا مشخص شود اطلاعات در کجا باید قرار بگیرند - اگر خردنوشته ها اطلاعات فوق را در برنداشته باشند بیشتر گیج کننده خواهند بود برای نویسندگان و بهتر است حذف شوند.
:طرح کلی از این نظر خوب است که نویسنده می‌داند کار را از کجا بایستی آغاز کند. البته ممکن است نویسنده جدیدی جذب کتاب نشود پس اگر طرح کلی‌ای را که ایجاد کرده‌اید متروک گذاشتید و رویش کار نکردید ممکن است حذف شود.
:یکی از انواع رایج الگوها سرصفحه‌ها (که در بالای صفحه قرار می‌گیرند) و پاصفحه‌ها (الگوهایی که در پایین صفحه قرار می‌گیرند) هستند. این الگوها معمولا پیوندی به صفحه قبلی و صفحه بعدی و نیز فهرست محتویات دارند.
:یک راه دیگر برای یافتن کتاب این است که از میان [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|موضوع‌های مختلفی]] که در ویکی‌کتاب وجود دارد موضوعی را که برای آن جستجو می‌کنید بیابید و سپس ایبوک مورد نظرتان را پیدا کنید. این صفحه‌های موضوعی در گذشته در ویکی‌کتاب وجود نداشتند و به جای آن از کتابخانه استفاده می‌شد. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۲ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۲ (UTC)

== منابع استفاده شده برای نوشتن کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] ==

درود. مشخص نیست مطالب افزوده شده به این کتاب از کدام منبع هست. لطفا با ذکر منبع مطلب بیفزایید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۵ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۵ (UTC)

سلام،خیلی ممنون که اطلاع دادید،منابع هارا نوشتم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۵ (UTC)</text>
      <sha1>p981iyo4jy4bzywen5c5fn8h8wphozp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117351</id>
      <parentid>117350</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T13:06:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30145" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۲۹ مهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۱ (UTC)

== شش‌ضلعی‌منتظم ==

درود. به تازگی صفحه‌ای با عنوان بالا ایجاد کردید. بررسی کردم دیدم این صفحه رو در کتاب [[هندسه مقدماتی]] ایجاد کردید. تا جایی که این کتاب رو مطالعه کردم برای سطح مبتدی نوشته شده و بیشتر درباره مربع و دایره و مستطیل و چند وجهی مطالبی در اون گنجانده شده. هر فصل در حد چند خط است نه بیشتر تا فهم مطالب برای یک شخص ناآشنا با هندسه دشوار نباشد. با سرچی که در میان کتاب های ویکی‌کتاب انجام دادم کتاب دیگری به نان [[آشنایی با چندوجهی‌ها]] را یافتم که به صورت تخصصی به چندوجهی‌ها می‌پردازد. به نظرم مطالب شما بیشتر به درد این کتاب میخوره. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۱۲ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۲۳:۵۷ (ایران) ‏۳ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۲۷ (UTC)

سلام و درود یعنی میگویید من باید صفحه شش ضلعی را انتقال بدهم؟
اگر انتقال می خواد باشد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۷ (UTC)
: اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۷ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۷ (UTC)

باشه خیلی ممنون که گفتید🙏 [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۳ (UTC)

== تفاوت با ویکی‌پدیا ==

درود. دوباره ورود شما رو به ویکی‌کتاب خوش آمد میگم. با توجه به اینکه در صفحه کاربری اعلام کردید از ویکی‌پدیا آمده‌اید چند نکته رو بهتر دونستم یادآوری کنم. شوربختانه برخی از کاربرانی که از ویکی‌پدیا به ویکی‌کتاب آمده‌اند به دلیل عدم درک تفاوت های این دو ویکی ویرایش های اشتباهی داشته اند. علاوه بر  [[راهنما:فهرست|راهنمای ویکی‌کتاب (برای تمام کاربران)]] یک راهنما هم داریم برای کاربرانی که از سایر پروژه های ویکی آمده‌اند ([[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب برای کاربران سایر پروژه‌های ویکی‌مدیا]]). علاوه بر این در میز تحریر بارها در این باره بحث شده که نمونه‌های از اون رو در زیر میتونید مشاهده کنید:
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#گفتگو|گفتگو]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها مانند ویکی‌نبشته|تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#چند نمونه از تفاوت های ویکی کتاب با ویکی پدیا|چند نمونه از تفاوت ها]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا|تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#همپوشانی ویکی کتاب و ویکی پدیا|همپوشانی]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۱#گنگ بودن مفهوم آموزشی در ویکی کتاب|گنگ بودن مفهوم]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی]]
:سپاسگزار از توجه شما، اگر پرسشی درباره ویکی‌کتاب دارید در خدمت هستم. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۵ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۵ (UTC)

درود خیلی ممنون💖[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۲ (UTC)

== لطفا درخواست مدیر شدن نکنید ==

درود. شمار ویرایش های شما بسیار ناچیز است و اکثر مطالبی که نوشتید کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی بوده است. شما هیچ کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد نکردید و در هیچ‌یک از نظرخواهی‌ها مشارکت نکردید. با چنین شرایطی لطفا درخواست مدیر شدن نکنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۴۲ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۱۲ (UTC)
:درود بر شما،ممنون که برای درخواست مدیر شدن به من اطلاع دادید،ولی من باید چه مراحلی را طی کنم تا بتوانم مدیر شوم؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
::این وبگاه در حال حاضر به مدیر جدید نیاز ندارد. میتونید به صورت یک کاربر در اینجا فعال باشید. موفق باشید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۲۸ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۷:۵۷ (ایران) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۳:۲۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۷ (UTC)

==اگر قصد ایجاد کتاب جدیدی دارید ...==
{{جعبه هشدار|پیش از اینکه کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد کنید حتما سری به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|این صفحه]] بزنید. اگر کتابی هست که موضوعی شبیه به موضوع دلخواه شما داشت میتونید محتوای خودتون رو به اون کتاب اضافه کنید. کتاب هایی که در جدول فهرست شده‌اند هنوز تکمیل نشده‌اند و در انتظار تکمیل شدن به دست کاربران ویکی‌کتاب چون شما هستند.}}
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۴ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۴ (UTC)
::همچنین ببینید: [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۶ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۶ (UTC)

سلام،خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
:سپاس از توجه شما. حالا که به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی]] سر زدید و هیچ کتابی را متناسب با سلیقه خود نیافتید راهی نیست جز اینکه کتاب جدید شما یعنی [[ریاضیات پیشرفته]] را نیز به فهرست بیفزاییم و منتظر باشیم اگر کاربری به ریاضی پیشرفته علاقه داشت در آن مشارکت کند. بنده هم اگر از نظر علمی نتوانم مشارکت کنم در ویرایش کردن کتاب به شما کمک خواهم کرد. نکته مهم این هست که سرفصل‌های کتاب رو تهیه کنید تا دیگر کاربران بدانند به چه موضوع هایی پرداخته میشود و بسته به میزان علاقه و سوادشان مشارکت کنند. صفحه تقسیم طولانی چندجمله ای را که پیشتر ایجاد کرده بودید به کتاب ریاضیات پیشرفته منتقل کردم. اکنون میتوانید برای ایجاد صفحه های جدید و کمک گرفتن از کاربران کوشش کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۸ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۸ (UTC)
{{پب|doostdar}}سلام و درود خیلی ممنون برای مشارکت باما من هم تمام زحمتم را برای گسترش این کتاب کمک خواهم کرد.
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۰۷ (UTC)

{{پب|doostdar}} درود مجدد من می خواهم مساحت و حجم را به ریاضیات پیشرفته انتقال دهم چون محتوای این صفحه به سطح کتاب هندسه مقدماتی نمی خورد.
به جای آن مبحث حجم و مساحت را به صورت خلاصه و ساده شرح شده به هندسه مقدماتی اضافه می کنیم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۳ (UTC)
::کار خوبی است. لطفا انجام دهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۴۷ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۳۴ (UTC)

== چند نکته برای نوشتن کتاب ==

برای اینکه ایبوک بهتری ایجاد کنید و مخاطب بیشتری جذب کنید که با قوانین ویکی‌کتاب مطابقت داشته باشه چند نکته رو براتون میگم که امیدوارم براتون مفید باشه:
* نام ایبوک رو طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشه و به خوبی مشخص کنه کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی هست. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست.
* سعی کنید ایبوک تون حتما پیشگفتار، فهرست، فصل های مختلف، واژه‌نامه، منابع داشته باشه. صفحه‌های کتاب به صورت نام کتاب/نام زیرصفحه باید ایجاد بشه. 
* اگر ایبوک تصاویر مناسبی داشته باشه مخاطب بیشتری جذب میشه. غیر از تصاویر خود کتاب به یک تصویر جلد هم نیاز هست.
* قبل از اینکه ایبوک جدیدی رو ایجاد کنید از کاربرهایی که به موضوع علاقه‌مند و مسلط هستن برای نوشتن ایبوک درخواست کمک کنید. اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید.
* نام رده همون نام ایبوک هست.
* پس از اینکه ایبوک خودتون رو کامل کردید می‌تونید نسخه پی‌دی‌اف از ایبوک‌تون تهیه کنید و ایبوک پی‌دی‌اف رو در اینترنت منتشر کنید. 
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۵۲ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۲۲ (UTC)
:ویرایش های کمی در دو روز گذشته داشتید. حتی مقدمه کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] بسیار کوتاه هست و معلوم نیست چه مطالبی قراره در کتاب نوشته بشه. لطفا رسیدگی کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۱۵ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۵ (UTC)
::کتاب شما در [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|فهرست کتاب‌های در حال تکمیل]] قرار گرفته اما در صورتی که ظرف چند هفته آینده بیش از پنجاه درصد این کتاب تکمیل نشود، کتاب حذف میگردد و از فهرست پاک میشود. زیرا هم اکنون ۴۶ کتاب در فهرست قرار دارند اما تعداد کاربران فعال کم است و در ماه‌های گذشته هیچ مشارکتی در بهبود این ۴۶ کتاب انجام نشده است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۷ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۷ (UTC)

حداقل باید این چهل شش تا کتاب را درست کنم باشه. [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۷ (UTC)

رسیدگی هم می کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۰۶ (UTC)

== کتاب‌های برگزیده ==

درود جناب {{BASEPAGENAME}}. برای دیدن فهرستی از کتاب‌های برگزیده ویکی‌کتاب [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|اینجا]] کلیک کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۱ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۱ (UTC)

چشم
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۵ (UTC)

== کار گروهی ==

کتابی که در این ویکی برای کار گروهی تمام کاربرها در نظر گرفتم [[لوح‌های نوری|کتاب لوح‌های نوری]] هست. این کتاب درباره لوح‌های رایانه‌ای مختلف شامل سی‌دی، دی‌وی‌دی، بلوری، الخ هست. از اونجایی که عموما ما با این لوح ها سر و کار داریم اطلاعاتی هم راجبشون داریم. به همین دلیل من این کتاب رو برای کار گروهی انتخاب کردم تا همه کاربرها در نوشتنش مشارکت کنن. شما هم می تونید در این کار گروهی شرکت کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۲ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۲ (UTC)

سلام دوستدار خیلی ممنون
من حالا تدارکات را در این کتاب آماده میکنم تا بریم برای گسترش کتاب
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۴ (UTC)

== کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی ==

درود. برخی از مطالبی که در [[ریاضیات پیشرفته]] نوشته‌اید را دیدم با یک بررسی ساده متوجه شدم قسمت‌هایی از متن از ویکی‌پدیا کپی شده است. نیازی نیست صفحه ها خیلی طولانی و دارای مطلب زیاد باشد. سعی کنید از منابع دیگر استفاده کنید و کپی‌رایت را هم رعایت کنید. چون در ویکی‌کتاب به شدت با نقض کپی‌رایت برخورد میکنیم. البته کپی‌رایت ویکی‌پدیا آزاد هست و مطالبی را که از اون وبگاه نوشتید از نظر کپی‌رایت مشکلی نداره ولی در کل کپی‌برداری از ویکیپدیا درست نیست چون در این صورت شما دیگر نویسنده کتاب نخواهید بود. بلکه نویسنده اصلی اصلی کتاب کاربران ویکی‌پدیا خواهند بود که آن مطالب را اول بار منتشر کرده‌اند. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۳ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۹:۲۲ (ایران) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۵۲ (UTC)

{{پب|doostdar}}درود خیلی ببخشید داشتم کتابم را گسترش می دادم تا حذفش نکنم،باشه من دیگه میرم از منابع های دیگه استفاده می کنم،باتشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۵۳ (UTC)

== نوشتن و ویرایش کتاب ==

کتابی که نوشتید یک سری چیزها رو نداره. نکاتی رو از [[ویکی‌کتاب:خودآموز|خودآموز ویکی‌کتاب]] براتون مینویسم:
:اگر مطلب‌تان درباره یک موضوع دانشگاهی است و از سطح کیفی بالایی برخوردار است می‌تواند به عنوان کتاب درسی در کلاس درس مورد استفاده قرار گیرد.
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]، کتاب‌های ویکی‌کتاب محدود شده است به کتاب‌های آموزشی (pedagogic) مثل کتابچه‌های راهنما و درسنامه‌های آموزشی. بسیاری از انواع کتاب در اینجا جای نمی‌گیرند.
:اندازه هر کتاب در ویکی‌کتاب محدود نیست به اینکه بتوان از آن نسخه چاپی تهیه کرد. مقدار حداقل یا حداکثری برای یک کتاب در نظر گرفته نشده است. ممکن است بعضی از کتاب‌ها بیش از حد طولانی باشند و بعضی دیگر خیلی کوتاه باشند. با این حال مهمترین نکته این است که کتاب، حاوی اطلاعات ضروری باشد.
:یک کتاب خوب باید چند شاخصه داشته باشد: یک برنامه خوب - زیرساخت مستحکم - تمرکز شدید - پوشش کامل
:آیا به کتاب شما نیاز است؟ خوشبختانه در ویکی‌کتاب روال این است که ابتدا نگاه می‌کنیم ببینیم آیا به کتاب جدید نیاز هست یا نه؟ نگاه می‌کنیم که آیا در کتاب‌های موجود قبلا کتابی با آن موضوع وجود دارد یا نه؟ مثلا در زمینه ریاضیات باید کتابی برای حسابان وجود داشته باشد، اگر کتابی در این باره در ویکی‌کتاب وجود نداشته باشد می‌توانید آن را ایجاد کنید.
:روش‌های مختلفی برای نوشتن کتاب درباره یک موضوع وجود دارد. شما می‌توانید یک کتاب را برای یک گروه مخاطب خاص بنویسید (آمار برای ریاضی‌دانان) یا می‌توانید یک کتاب بنویسید (آمار) که موضوع را از جنبه‌های مختلفی بررسی کند و به این ترتیب برای همه مخاطبان قابل استفاده باشد. برای مثال می‌توانید کتاب را به دوبخش مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش آمار برای بازرگانان، یک بخش آمار برای ریاضی‌دانان) یا اینکه می‌توانید هر صفحه را به بخش‌های مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش برای فرمول‌های جبری و نتایج، یک بخش زیر آن برای مشتق‌های حسابان).
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/پیکربندی کتاب‌ها چگونه است؟]]، پیش از آنکه شروع به نوشتن هر چیزی کنید، یک تعریف باید برای ایبوک‌تان بنویسید. مخاطب ایبوک چه کسانی هستند؟ چه هدفی دارد؟ ژرفا به چه صورت است؟ کتاب از چه زبانی می‌خواهد استفاده کند. در این پروژه، ویکی‌کتاب فارسی، تمام کتاب‌ها باید به زبان فارسی نوشته شوند. با این حال اینکه از فارسی ایرانی استفاده می‌شود یا فارسی افغانی به نویسنده کتاب بستگی دارد. 
:ما یک سیاست نامگذاری داریم که باعث می‌شود تمام کتاب‌ها و صفحات ویکی‌کتاب به گونه‌ای استاندارد سازماندهی شوند. تمام صفحه‌های کتاب در اسم خود نام کتاب را به عنوان پیشوند، همراه دارند و پس از ممیز، نام کتاب می‌آید. به عنوان مثال «کتاب من/صفحه من» صحیح است ولی «صفحه من» اشتباه است.
:اگر خردنوشته برای شروع کتاب باشد کاربران دیگر می‌توانند برای گسترش دادن آن کمک کنند. یک «خُرد خوب» بایستی: به خوبی توضیح دهد چه مطالبی قرار است پوشش داده شود - یک مقدمه کوتاه درباره موضوع بدهد - یک چهارچوب سازمان یافته داشته باشد (مثلا عنوان‌های بخش‌ها مشخص شده باشد) تا مشخص شود اطلاعات در کجا باید قرار بگیرند - اگر خردنوشته ها اطلاعات فوق را در برنداشته باشند بیشتر گیج کننده خواهند بود برای نویسندگان و بهتر است حذف شوند.
:طرح کلی از این نظر خوب است که نویسنده می‌داند کار را از کجا بایستی آغاز کند. البته ممکن است نویسنده جدیدی جذب کتاب نشود پس اگر طرح کلی‌ای را که ایجاد کرده‌اید متروک گذاشتید و رویش کار نکردید ممکن است حذف شود.
:یکی از انواع رایج الگوها سرصفحه‌ها (که در بالای صفحه قرار می‌گیرند) و پاصفحه‌ها (الگوهایی که در پایین صفحه قرار می‌گیرند) هستند. این الگوها معمولا پیوندی به صفحه قبلی و صفحه بعدی و نیز فهرست محتویات دارند.
:یک راه دیگر برای یافتن کتاب این است که از میان [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|موضوع‌های مختلفی]] که در ویکی‌کتاب وجود دارد موضوعی را که برای آن جستجو می‌کنید بیابید و سپس ایبوک مورد نظرتان را پیدا کنید. این صفحه‌های موضوعی در گذشته در ویکی‌کتاب وجود نداشتند و به جای آن از کتابخانه استفاده می‌شد. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۲ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۲ (UTC)

خیلی ممنون که فرستادید [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۶ (UTC)

== منابع استفاده شده برای نوشتن کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] ==

درود. مشخص نیست مطالب افزوده شده به این کتاب از کدام منبع هست. لطفا با ذکر منبع مطلب بیفزایید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۵ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۵ (UTC)

سلام،خیلی ممنون که اطلاع دادید،منابع هارا نوشتم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۵ (UTC)</text>
      <sha1>q5tbabd2cndwehlwb1olnoeq6d2bczz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117381</id>
      <parentid>117351</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T08:50:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>/* کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30616" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۲۹ مهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۱ (UTC)

== شش‌ضلعی‌منتظم ==

درود. به تازگی صفحه‌ای با عنوان بالا ایجاد کردید. بررسی کردم دیدم این صفحه رو در کتاب [[هندسه مقدماتی]] ایجاد کردید. تا جایی که این کتاب رو مطالعه کردم برای سطح مبتدی نوشته شده و بیشتر درباره مربع و دایره و مستطیل و چند وجهی مطالبی در اون گنجانده شده. هر فصل در حد چند خط است نه بیشتر تا فهم مطالب برای یک شخص ناآشنا با هندسه دشوار نباشد. با سرچی که در میان کتاب های ویکی‌کتاب انجام دادم کتاب دیگری به نان [[آشنایی با چندوجهی‌ها]] را یافتم که به صورت تخصصی به چندوجهی‌ها می‌پردازد. به نظرم مطالب شما بیشتر به درد این کتاب میخوره. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۱۲ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۲۳:۵۷ (ایران) ‏۳ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۲۷ (UTC)

سلام و درود یعنی میگویید من باید صفحه شش ضلعی را انتقال بدهم؟
اگر انتقال می خواد باشد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۷ (UTC)
: اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۷ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۷ (UTC)

باشه خیلی ممنون که گفتید🙏 [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۳ (UTC)

== تفاوت با ویکی‌پدیا ==

درود. دوباره ورود شما رو به ویکی‌کتاب خوش آمد میگم. با توجه به اینکه در صفحه کاربری اعلام کردید از ویکی‌پدیا آمده‌اید چند نکته رو بهتر دونستم یادآوری کنم. شوربختانه برخی از کاربرانی که از ویکی‌پدیا به ویکی‌کتاب آمده‌اند به دلیل عدم درک تفاوت های این دو ویکی ویرایش های اشتباهی داشته اند. علاوه بر  [[راهنما:فهرست|راهنمای ویکی‌کتاب (برای تمام کاربران)]] یک راهنما هم داریم برای کاربرانی که از سایر پروژه های ویکی آمده‌اند ([[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب برای کاربران سایر پروژه‌های ویکی‌مدیا]]). علاوه بر این در میز تحریر بارها در این باره بحث شده که نمونه‌های از اون رو در زیر میتونید مشاهده کنید:
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#گفتگو|گفتگو]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها مانند ویکی‌نبشته|تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#چند نمونه از تفاوت های ویکی کتاب با ویکی پدیا|چند نمونه از تفاوت ها]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا|تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#همپوشانی ویکی کتاب و ویکی پدیا|همپوشانی]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۱#گنگ بودن مفهوم آموزشی در ویکی کتاب|گنگ بودن مفهوم]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی]]
:سپاسگزار از توجه شما، اگر پرسشی درباره ویکی‌کتاب دارید در خدمت هستم. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۵ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۵ (UTC)

درود خیلی ممنون💖[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۲ (UTC)

== لطفا درخواست مدیر شدن نکنید ==

درود. شمار ویرایش های شما بسیار ناچیز است و اکثر مطالبی که نوشتید کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی بوده است. شما هیچ کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد نکردید و در هیچ‌یک از نظرخواهی‌ها مشارکت نکردید. با چنین شرایطی لطفا درخواست مدیر شدن نکنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۴۲ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۱۲ (UTC)
:درود بر شما،ممنون که برای درخواست مدیر شدن به من اطلاع دادید،ولی من باید چه مراحلی را طی کنم تا بتوانم مدیر شوم؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
::این وبگاه در حال حاضر به مدیر جدید نیاز ندارد. میتونید به صورت یک کاربر در اینجا فعال باشید. موفق باشید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۲۸ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۷:۵۷ (ایران) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۳:۲۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۷ (UTC)

==اگر قصد ایجاد کتاب جدیدی دارید ...==
{{جعبه هشدار|پیش از اینکه کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد کنید حتما سری به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|این صفحه]] بزنید. اگر کتابی هست که موضوعی شبیه به موضوع دلخواه شما داشت میتونید محتوای خودتون رو به اون کتاب اضافه کنید. کتاب هایی که در جدول فهرست شده‌اند هنوز تکمیل نشده‌اند و در انتظار تکمیل شدن به دست کاربران ویکی‌کتاب چون شما هستند.}}
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۴ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۴ (UTC)
::همچنین ببینید: [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۶ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۶ (UTC)

سلام،خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
:سپاس از توجه شما. حالا که به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی]] سر زدید و هیچ کتابی را متناسب با سلیقه خود نیافتید راهی نیست جز اینکه کتاب جدید شما یعنی [[ریاضیات پیشرفته]] را نیز به فهرست بیفزاییم و منتظر باشیم اگر کاربری به ریاضی پیشرفته علاقه داشت در آن مشارکت کند. بنده هم اگر از نظر علمی نتوانم مشارکت کنم در ویرایش کردن کتاب به شما کمک خواهم کرد. نکته مهم این هست که سرفصل‌های کتاب رو تهیه کنید تا دیگر کاربران بدانند به چه موضوع هایی پرداخته میشود و بسته به میزان علاقه و سوادشان مشارکت کنند. صفحه تقسیم طولانی چندجمله ای را که پیشتر ایجاد کرده بودید به کتاب ریاضیات پیشرفته منتقل کردم. اکنون میتوانید برای ایجاد صفحه های جدید و کمک گرفتن از کاربران کوشش کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۸ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۸ (UTC)
{{پب|doostdar}}سلام و درود خیلی ممنون برای مشارکت باما من هم تمام زحمتم را برای گسترش این کتاب کمک خواهم کرد.
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۰۷ (UTC)

{{پب|doostdar}} درود مجدد من می خواهم مساحت و حجم را به ریاضیات پیشرفته انتقال دهم چون محتوای این صفحه به سطح کتاب هندسه مقدماتی نمی خورد.
به جای آن مبحث حجم و مساحت را به صورت خلاصه و ساده شرح شده به هندسه مقدماتی اضافه می کنیم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۳ (UTC)
::کار خوبی است. لطفا انجام دهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۴۷ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۳۴ (UTC)

== چند نکته برای نوشتن کتاب ==

برای اینکه ایبوک بهتری ایجاد کنید و مخاطب بیشتری جذب کنید که با قوانین ویکی‌کتاب مطابقت داشته باشه چند نکته رو براتون میگم که امیدوارم براتون مفید باشه:
* نام ایبوک رو طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشه و به خوبی مشخص کنه کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی هست. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست.
* سعی کنید ایبوک تون حتما پیشگفتار، فهرست، فصل های مختلف، واژه‌نامه، منابع داشته باشه. صفحه‌های کتاب به صورت نام کتاب/نام زیرصفحه باید ایجاد بشه. 
* اگر ایبوک تصاویر مناسبی داشته باشه مخاطب بیشتری جذب میشه. غیر از تصاویر خود کتاب به یک تصویر جلد هم نیاز هست.
* قبل از اینکه ایبوک جدیدی رو ایجاد کنید از کاربرهایی که به موضوع علاقه‌مند و مسلط هستن برای نوشتن ایبوک درخواست کمک کنید. اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید.
* نام رده همون نام ایبوک هست.
* پس از اینکه ایبوک خودتون رو کامل کردید می‌تونید نسخه پی‌دی‌اف از ایبوک‌تون تهیه کنید و ایبوک پی‌دی‌اف رو در اینترنت منتشر کنید. 
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۵۲ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۲۲ (UTC)
:ویرایش های کمی در دو روز گذشته داشتید. حتی مقدمه کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] بسیار کوتاه هست و معلوم نیست چه مطالبی قراره در کتاب نوشته بشه. لطفا رسیدگی کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۱۵ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۵ (UTC)
::کتاب شما در [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|فهرست کتاب‌های در حال تکمیل]] قرار گرفته اما در صورتی که ظرف چند هفته آینده بیش از پنجاه درصد این کتاب تکمیل نشود، کتاب حذف میگردد و از فهرست پاک میشود. زیرا هم اکنون ۴۶ کتاب در فهرست قرار دارند اما تعداد کاربران فعال کم است و در ماه‌های گذشته هیچ مشارکتی در بهبود این ۴۶ کتاب انجام نشده است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۷ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۷ (UTC)

حداقل باید این چهل شش تا کتاب را درست کنم باشه. [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۷ (UTC)

رسیدگی هم می کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۰۶ (UTC)

== کتاب‌های برگزیده ==

درود جناب {{BASEPAGENAME}}. برای دیدن فهرستی از کتاب‌های برگزیده ویکی‌کتاب [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|اینجا]] کلیک کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۱ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۱ (UTC)

چشم
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۵ (UTC)

== کار گروهی ==

کتابی که در این ویکی برای کار گروهی تمام کاربرها در نظر گرفتم [[لوح‌های نوری|کتاب لوح‌های نوری]] هست. این کتاب درباره لوح‌های رایانه‌ای مختلف شامل سی‌دی، دی‌وی‌دی، بلوری، الخ هست. از اونجایی که عموما ما با این لوح ها سر و کار داریم اطلاعاتی هم راجبشون داریم. به همین دلیل من این کتاب رو برای کار گروهی انتخاب کردم تا همه کاربرها در نوشتنش مشارکت کنن. شما هم می تونید در این کار گروهی شرکت کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۲ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۲ (UTC)

سلام دوستدار خیلی ممنون
من حالا تدارکات را در این کتاب آماده میکنم تا بریم برای گسترش کتاب
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۴ (UTC)

== کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی ==

درود. برخی از مطالبی که در [[ریاضیات پیشرفته]] نوشته‌اید را دیدم با یک بررسی ساده متوجه شدم قسمت‌هایی از متن از ویکی‌پدیا کپی شده است. نیازی نیست صفحه ها خیلی طولانی و دارای مطلب زیاد باشد. سعی کنید از منابع دیگر استفاده کنید و کپی‌رایت را هم رعایت کنید. چون در ویکی‌کتاب به شدت با نقض کپی‌رایت برخورد میکنیم. البته کپی‌رایت ویکی‌پدیا آزاد هست و مطالبی را که از اون وبگاه نوشتید از نظر کپی‌رایت مشکلی نداره ولی در کل کپی‌برداری از ویکیپدیا درست نیست چون در این صورت شما دیگر نویسنده کتاب نخواهید بود. بلکه نویسنده اصلی اصلی کتاب کاربران ویکی‌پدیا خواهند بود که آن مطالب را اول بار منتشر کرده‌اند. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۳ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۹:۲۲ (ایران) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۵۲ (UTC)

{{پب|doostdar}}درود خیلی ببخشید داشتم کتابم را گسترش می دادم تا حذفش نکنم،باشه من دیگه میرم از منابع های دیگه استفاده می کنم،باتشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۵۳ (UTC)
::همچنان مشغول کپی‌برداری از ویکی‌پدیا هستید پس از بررسی احتمال دارد حجم عظیمی از مطالبی را که از ویکی‌پدیا کپی کرده‌اید حذف کنم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۰ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۰ (UTC)

== نوشتن و ویرایش کتاب ==

کتابی که نوشتید یک سری چیزها رو نداره. نکاتی رو از [[ویکی‌کتاب:خودآموز|خودآموز ویکی‌کتاب]] براتون مینویسم:
:اگر مطلب‌تان درباره یک موضوع دانشگاهی است و از سطح کیفی بالایی برخوردار است می‌تواند به عنوان کتاب درسی در کلاس درس مورد استفاده قرار گیرد.
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]، کتاب‌های ویکی‌کتاب محدود شده است به کتاب‌های آموزشی (pedagogic) مثل کتابچه‌های راهنما و درسنامه‌های آموزشی. بسیاری از انواع کتاب در اینجا جای نمی‌گیرند.
:اندازه هر کتاب در ویکی‌کتاب محدود نیست به اینکه بتوان از آن نسخه چاپی تهیه کرد. مقدار حداقل یا حداکثری برای یک کتاب در نظر گرفته نشده است. ممکن است بعضی از کتاب‌ها بیش از حد طولانی باشند و بعضی دیگر خیلی کوتاه باشند. با این حال مهمترین نکته این است که کتاب، حاوی اطلاعات ضروری باشد.
:یک کتاب خوب باید چند شاخصه داشته باشد: یک برنامه خوب - زیرساخت مستحکم - تمرکز شدید - پوشش کامل
:آیا به کتاب شما نیاز است؟ خوشبختانه در ویکی‌کتاب روال این است که ابتدا نگاه می‌کنیم ببینیم آیا به کتاب جدید نیاز هست یا نه؟ نگاه می‌کنیم که آیا در کتاب‌های موجود قبلا کتابی با آن موضوع وجود دارد یا نه؟ مثلا در زمینه ریاضیات باید کتابی برای حسابان وجود داشته باشد، اگر کتابی در این باره در ویکی‌کتاب وجود نداشته باشد می‌توانید آن را ایجاد کنید.
:روش‌های مختلفی برای نوشتن کتاب درباره یک موضوع وجود دارد. شما می‌توانید یک کتاب را برای یک گروه مخاطب خاص بنویسید (آمار برای ریاضی‌دانان) یا می‌توانید یک کتاب بنویسید (آمار) که موضوع را از جنبه‌های مختلفی بررسی کند و به این ترتیب برای همه مخاطبان قابل استفاده باشد. برای مثال می‌توانید کتاب را به دوبخش مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش آمار برای بازرگانان، یک بخش آمار برای ریاضی‌دانان) یا اینکه می‌توانید هر صفحه را به بخش‌های مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش برای فرمول‌های جبری و نتایج، یک بخش زیر آن برای مشتق‌های حسابان).
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/پیکربندی کتاب‌ها چگونه است؟]]، پیش از آنکه شروع به نوشتن هر چیزی کنید، یک تعریف باید برای ایبوک‌تان بنویسید. مخاطب ایبوک چه کسانی هستند؟ چه هدفی دارد؟ ژرفا به چه صورت است؟ کتاب از چه زبانی می‌خواهد استفاده کند. در این پروژه، ویکی‌کتاب فارسی، تمام کتاب‌ها باید به زبان فارسی نوشته شوند. با این حال اینکه از فارسی ایرانی استفاده می‌شود یا فارسی افغانی به نویسنده کتاب بستگی دارد. 
:ما یک سیاست نامگذاری داریم که باعث می‌شود تمام کتاب‌ها و صفحات ویکی‌کتاب به گونه‌ای استاندارد سازماندهی شوند. تمام صفحه‌های کتاب در اسم خود نام کتاب را به عنوان پیشوند، همراه دارند و پس از ممیز، نام کتاب می‌آید. به عنوان مثال «کتاب من/صفحه من» صحیح است ولی «صفحه من» اشتباه است.
:اگر خردنوشته برای شروع کتاب باشد کاربران دیگر می‌توانند برای گسترش دادن آن کمک کنند. یک «خُرد خوب» بایستی: به خوبی توضیح دهد چه مطالبی قرار است پوشش داده شود - یک مقدمه کوتاه درباره موضوع بدهد - یک چهارچوب سازمان یافته داشته باشد (مثلا عنوان‌های بخش‌ها مشخص شده باشد) تا مشخص شود اطلاعات در کجا باید قرار بگیرند - اگر خردنوشته ها اطلاعات فوق را در برنداشته باشند بیشتر گیج کننده خواهند بود برای نویسندگان و بهتر است حذف شوند.
:طرح کلی از این نظر خوب است که نویسنده می‌داند کار را از کجا بایستی آغاز کند. البته ممکن است نویسنده جدیدی جذب کتاب نشود پس اگر طرح کلی‌ای را که ایجاد کرده‌اید متروک گذاشتید و رویش کار نکردید ممکن است حذف شود.
:یکی از انواع رایج الگوها سرصفحه‌ها (که در بالای صفحه قرار می‌گیرند) و پاصفحه‌ها (الگوهایی که در پایین صفحه قرار می‌گیرند) هستند. این الگوها معمولا پیوندی به صفحه قبلی و صفحه بعدی و نیز فهرست محتویات دارند.
:یک راه دیگر برای یافتن کتاب این است که از میان [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|موضوع‌های مختلفی]] که در ویکی‌کتاب وجود دارد موضوعی را که برای آن جستجو می‌کنید بیابید و سپس ایبوک مورد نظرتان را پیدا کنید. این صفحه‌های موضوعی در گذشته در ویکی‌کتاب وجود نداشتند و به جای آن از کتابخانه استفاده می‌شد. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۲ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۲ (UTC)

خیلی ممنون که فرستادید [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۶ (UTC)

== منابع استفاده شده برای نوشتن کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] ==

درود. مشخص نیست مطالب افزوده شده به این کتاب از کدام منبع هست. لطفا با ذکر منبع مطلب بیفزایید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۵ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۵ (UTC)

سلام،خیلی ممنون که اطلاع دادید،منابع هارا نوشتم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۵ (UTC)</text>
      <sha1>p3jpw42gr2dgd23p6yo55y9662m3rzu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117382</id>
      <parentid>117381</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T08:53:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>/* نوشتن و ویرایش کتاب */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="31100" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۲۹ مهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۱ (UTC)

== شش‌ضلعی‌منتظم ==

درود. به تازگی صفحه‌ای با عنوان بالا ایجاد کردید. بررسی کردم دیدم این صفحه رو در کتاب [[هندسه مقدماتی]] ایجاد کردید. تا جایی که این کتاب رو مطالعه کردم برای سطح مبتدی نوشته شده و بیشتر درباره مربع و دایره و مستطیل و چند وجهی مطالبی در اون گنجانده شده. هر فصل در حد چند خط است نه بیشتر تا فهم مطالب برای یک شخص ناآشنا با هندسه دشوار نباشد. با سرچی که در میان کتاب های ویکی‌کتاب انجام دادم کتاب دیگری به نان [[آشنایی با چندوجهی‌ها]] را یافتم که به صورت تخصصی به چندوجهی‌ها می‌پردازد. به نظرم مطالب شما بیشتر به درد این کتاب میخوره. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۱۲ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۲۳:۵۷ (ایران) ‏۳ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۲۷ (UTC)

سلام و درود یعنی میگویید من باید صفحه شش ضلعی را انتقال بدهم؟
اگر انتقال می خواد باشد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۷ (UTC)
: اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۷ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۷ (UTC)

باشه خیلی ممنون که گفتید🙏 [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۳ (UTC)

== تفاوت با ویکی‌پدیا ==

درود. دوباره ورود شما رو به ویکی‌کتاب خوش آمد میگم. با توجه به اینکه در صفحه کاربری اعلام کردید از ویکی‌پدیا آمده‌اید چند نکته رو بهتر دونستم یادآوری کنم. شوربختانه برخی از کاربرانی که از ویکی‌پدیا به ویکی‌کتاب آمده‌اند به دلیل عدم درک تفاوت های این دو ویکی ویرایش های اشتباهی داشته اند. علاوه بر  [[راهنما:فهرست|راهنمای ویکی‌کتاب (برای تمام کاربران)]] یک راهنما هم داریم برای کاربرانی که از سایر پروژه های ویکی آمده‌اند ([[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب برای کاربران سایر پروژه‌های ویکی‌مدیا]]). علاوه بر این در میز تحریر بارها در این باره بحث شده که نمونه‌های از اون رو در زیر میتونید مشاهده کنید:
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#گفتگو|گفتگو]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها مانند ویکی‌نبشته|تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#چند نمونه از تفاوت های ویکی کتاب با ویکی پدیا|چند نمونه از تفاوت ها]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا|تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#همپوشانی ویکی کتاب و ویکی پدیا|همپوشانی]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۱#گنگ بودن مفهوم آموزشی در ویکی کتاب|گنگ بودن مفهوم]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی]]
:سپاسگزار از توجه شما، اگر پرسشی درباره ویکی‌کتاب دارید در خدمت هستم. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۵ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۵ (UTC)

درود خیلی ممنون💖[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۲ (UTC)

== لطفا درخواست مدیر شدن نکنید ==

درود. شمار ویرایش های شما بسیار ناچیز است و اکثر مطالبی که نوشتید کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی بوده است. شما هیچ کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد نکردید و در هیچ‌یک از نظرخواهی‌ها مشارکت نکردید. با چنین شرایطی لطفا درخواست مدیر شدن نکنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۴۲ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۱۲ (UTC)
:درود بر شما،ممنون که برای درخواست مدیر شدن به من اطلاع دادید،ولی من باید چه مراحلی را طی کنم تا بتوانم مدیر شوم؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
::این وبگاه در حال حاضر به مدیر جدید نیاز ندارد. میتونید به صورت یک کاربر در اینجا فعال باشید. موفق باشید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۲۸ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۷:۵۷ (ایران) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۳:۲۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۷ (UTC)

==اگر قصد ایجاد کتاب جدیدی دارید ...==
{{جعبه هشدار|پیش از اینکه کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد کنید حتما سری به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|این صفحه]] بزنید. اگر کتابی هست که موضوعی شبیه به موضوع دلخواه شما داشت میتونید محتوای خودتون رو به اون کتاب اضافه کنید. کتاب هایی که در جدول فهرست شده‌اند هنوز تکمیل نشده‌اند و در انتظار تکمیل شدن به دست کاربران ویکی‌کتاب چون شما هستند.}}
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۴ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۴ (UTC)
::همچنین ببینید: [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۶ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۶ (UTC)

سلام،خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
:سپاس از توجه شما. حالا که به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی]] سر زدید و هیچ کتابی را متناسب با سلیقه خود نیافتید راهی نیست جز اینکه کتاب جدید شما یعنی [[ریاضیات پیشرفته]] را نیز به فهرست بیفزاییم و منتظر باشیم اگر کاربری به ریاضی پیشرفته علاقه داشت در آن مشارکت کند. بنده هم اگر از نظر علمی نتوانم مشارکت کنم در ویرایش کردن کتاب به شما کمک خواهم کرد. نکته مهم این هست که سرفصل‌های کتاب رو تهیه کنید تا دیگر کاربران بدانند به چه موضوع هایی پرداخته میشود و بسته به میزان علاقه و سوادشان مشارکت کنند. صفحه تقسیم طولانی چندجمله ای را که پیشتر ایجاد کرده بودید به کتاب ریاضیات پیشرفته منتقل کردم. اکنون میتوانید برای ایجاد صفحه های جدید و کمک گرفتن از کاربران کوشش کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۸ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۸ (UTC)
{{پب|doostdar}}سلام و درود خیلی ممنون برای مشارکت باما من هم تمام زحمتم را برای گسترش این کتاب کمک خواهم کرد.
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۰۷ (UTC)

{{پب|doostdar}} درود مجدد من می خواهم مساحت و حجم را به ریاضیات پیشرفته انتقال دهم چون محتوای این صفحه به سطح کتاب هندسه مقدماتی نمی خورد.
به جای آن مبحث حجم و مساحت را به صورت خلاصه و ساده شرح شده به هندسه مقدماتی اضافه می کنیم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۳ (UTC)
::کار خوبی است. لطفا انجام دهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۴۷ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۳۴ (UTC)

== چند نکته برای نوشتن کتاب ==

برای اینکه ایبوک بهتری ایجاد کنید و مخاطب بیشتری جذب کنید که با قوانین ویکی‌کتاب مطابقت داشته باشه چند نکته رو براتون میگم که امیدوارم براتون مفید باشه:
* نام ایبوک رو طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشه و به خوبی مشخص کنه کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی هست. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست.
* سعی کنید ایبوک تون حتما پیشگفتار، فهرست، فصل های مختلف، واژه‌نامه، منابع داشته باشه. صفحه‌های کتاب به صورت نام کتاب/نام زیرصفحه باید ایجاد بشه. 
* اگر ایبوک تصاویر مناسبی داشته باشه مخاطب بیشتری جذب میشه. غیر از تصاویر خود کتاب به یک تصویر جلد هم نیاز هست.
* قبل از اینکه ایبوک جدیدی رو ایجاد کنید از کاربرهایی که به موضوع علاقه‌مند و مسلط هستن برای نوشتن ایبوک درخواست کمک کنید. اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید.
* نام رده همون نام ایبوک هست.
* پس از اینکه ایبوک خودتون رو کامل کردید می‌تونید نسخه پی‌دی‌اف از ایبوک‌تون تهیه کنید و ایبوک پی‌دی‌اف رو در اینترنت منتشر کنید. 
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۵۲ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۲۲ (UTC)
:ویرایش های کمی در دو روز گذشته داشتید. حتی مقدمه کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] بسیار کوتاه هست و معلوم نیست چه مطالبی قراره در کتاب نوشته بشه. لطفا رسیدگی کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۱۵ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۵ (UTC)
::کتاب شما در [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|فهرست کتاب‌های در حال تکمیل]] قرار گرفته اما در صورتی که ظرف چند هفته آینده بیش از پنجاه درصد این کتاب تکمیل نشود، کتاب حذف میگردد و از فهرست پاک میشود. زیرا هم اکنون ۴۶ کتاب در فهرست قرار دارند اما تعداد کاربران فعال کم است و در ماه‌های گذشته هیچ مشارکتی در بهبود این ۴۶ کتاب انجام نشده است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۷ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۷ (UTC)

حداقل باید این چهل شش تا کتاب را درست کنم باشه. [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۷ (UTC)

رسیدگی هم می کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۰۶ (UTC)

== کتاب‌های برگزیده ==

درود جناب {{BASEPAGENAME}}. برای دیدن فهرستی از کتاب‌های برگزیده ویکی‌کتاب [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|اینجا]] کلیک کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۱ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۱ (UTC)

چشم
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۵ (UTC)

== کار گروهی ==

کتابی که در این ویکی برای کار گروهی تمام کاربرها در نظر گرفتم [[لوح‌های نوری|کتاب لوح‌های نوری]] هست. این کتاب درباره لوح‌های رایانه‌ای مختلف شامل سی‌دی، دی‌وی‌دی، بلوری، الخ هست. از اونجایی که عموما ما با این لوح ها سر و کار داریم اطلاعاتی هم راجبشون داریم. به همین دلیل من این کتاب رو برای کار گروهی انتخاب کردم تا همه کاربرها در نوشتنش مشارکت کنن. شما هم می تونید در این کار گروهی شرکت کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۲ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۲ (UTC)

سلام دوستدار خیلی ممنون
من حالا تدارکات را در این کتاب آماده میکنم تا بریم برای گسترش کتاب
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۴ (UTC)

== کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی ==

درود. برخی از مطالبی که در [[ریاضیات پیشرفته]] نوشته‌اید را دیدم با یک بررسی ساده متوجه شدم قسمت‌هایی از متن از ویکی‌پدیا کپی شده است. نیازی نیست صفحه ها خیلی طولانی و دارای مطلب زیاد باشد. سعی کنید از منابع دیگر استفاده کنید و کپی‌رایت را هم رعایت کنید. چون در ویکی‌کتاب به شدت با نقض کپی‌رایت برخورد میکنیم. البته کپی‌رایت ویکی‌پدیا آزاد هست و مطالبی را که از اون وبگاه نوشتید از نظر کپی‌رایت مشکلی نداره ولی در کل کپی‌برداری از ویکیپدیا درست نیست چون در این صورت شما دیگر نویسنده کتاب نخواهید بود. بلکه نویسنده اصلی اصلی کتاب کاربران ویکی‌پدیا خواهند بود که آن مطالب را اول بار منتشر کرده‌اند. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۳ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۹:۲۲ (ایران) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۵۲ (UTC)

{{پب|doostdar}}درود خیلی ببخشید داشتم کتابم را گسترش می دادم تا حذفش نکنم،باشه من دیگه میرم از منابع های دیگه استفاده می کنم،باتشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۵۳ (UTC)
::همچنان مشغول کپی‌برداری از ویکی‌پدیا هستید پس از بررسی احتمال دارد حجم عظیمی از مطالبی را که از ویکی‌پدیا کپی کرده‌اید حذف کنم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۰ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۰ (UTC)

== نوشتن و ویرایش کتاب ==

کتابی که نوشتید یک سری چیزها رو نداره. نکاتی رو از [[ویکی‌کتاب:خودآموز|خودآموز ویکی‌کتاب]] براتون مینویسم:
:اگر مطلب‌تان درباره یک موضوع دانشگاهی است و از سطح کیفی بالایی برخوردار است می‌تواند به عنوان کتاب درسی در کلاس درس مورد استفاده قرار گیرد.
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]، کتاب‌های ویکی‌کتاب محدود شده است به کتاب‌های آموزشی (pedagogic) مثل کتابچه‌های راهنما و درسنامه‌های آموزشی. بسیاری از انواع کتاب در اینجا جای نمی‌گیرند.
:اندازه هر کتاب در ویکی‌کتاب محدود نیست به اینکه بتوان از آن نسخه چاپی تهیه کرد. مقدار حداقل یا حداکثری برای یک کتاب در نظر گرفته نشده است. ممکن است بعضی از کتاب‌ها بیش از حد طولانی باشند و بعضی دیگر خیلی کوتاه باشند. با این حال مهمترین نکته این است که کتاب، حاوی اطلاعات ضروری باشد.
:یک کتاب خوب باید چند شاخصه داشته باشد: یک برنامه خوب - زیرساخت مستحکم - تمرکز شدید - پوشش کامل
:آیا به کتاب شما نیاز است؟ خوشبختانه در ویکی‌کتاب روال این است که ابتدا نگاه می‌کنیم ببینیم آیا به کتاب جدید نیاز هست یا نه؟ نگاه می‌کنیم که آیا در کتاب‌های موجود قبلا کتابی با آن موضوع وجود دارد یا نه؟ مثلا در زمینه ریاضیات باید کتابی برای حسابان وجود داشته باشد، اگر کتابی در این باره در ویکی‌کتاب وجود نداشته باشد می‌توانید آن را ایجاد کنید.
:روش‌های مختلفی برای نوشتن کتاب درباره یک موضوع وجود دارد. شما می‌توانید یک کتاب را برای یک گروه مخاطب خاص بنویسید (آمار برای ریاضی‌دانان) یا می‌توانید یک کتاب بنویسید (آمار) که موضوع را از جنبه‌های مختلفی بررسی کند و به این ترتیب برای همه مخاطبان قابل استفاده باشد. برای مثال می‌توانید کتاب را به دوبخش مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش آمار برای بازرگانان، یک بخش آمار برای ریاضی‌دانان) یا اینکه می‌توانید هر صفحه را به بخش‌های مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش برای فرمول‌های جبری و نتایج، یک بخش زیر آن برای مشتق‌های حسابان).
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/پیکربندی کتاب‌ها چگونه است؟]]، پیش از آنکه شروع به نوشتن هر چیزی کنید، یک تعریف باید برای ایبوک‌تان بنویسید. مخاطب ایبوک چه کسانی هستند؟ چه هدفی دارد؟ ژرفا به چه صورت است؟ کتاب از چه زبانی می‌خواهد استفاده کند. در این پروژه، ویکی‌کتاب فارسی، تمام کتاب‌ها باید به زبان فارسی نوشته شوند. با این حال اینکه از فارسی ایرانی استفاده می‌شود یا فارسی افغانی به نویسنده کتاب بستگی دارد. 
:ما یک سیاست نامگذاری داریم که باعث می‌شود تمام کتاب‌ها و صفحات ویکی‌کتاب به گونه‌ای استاندارد سازماندهی شوند. تمام صفحه‌های کتاب در اسم خود نام کتاب را به عنوان پیشوند، همراه دارند و پس از ممیز، نام کتاب می‌آید. به عنوان مثال «کتاب من/صفحه من» صحیح است ولی «صفحه من» اشتباه است.
:اگر خردنوشته برای شروع کتاب باشد کاربران دیگر می‌توانند برای گسترش دادن آن کمک کنند. یک «خُرد خوب» بایستی: به خوبی توضیح دهد چه مطالبی قرار است پوشش داده شود - یک مقدمه کوتاه درباره موضوع بدهد - یک چهارچوب سازمان یافته داشته باشد (مثلا عنوان‌های بخش‌ها مشخص شده باشد) تا مشخص شود اطلاعات در کجا باید قرار بگیرند - اگر خردنوشته ها اطلاعات فوق را در برنداشته باشند بیشتر گیج کننده خواهند بود برای نویسندگان و بهتر است حذف شوند.
:طرح کلی از این نظر خوب است که نویسنده می‌داند کار را از کجا بایستی آغاز کند. البته ممکن است نویسنده جدیدی جذب کتاب نشود پس اگر طرح کلی‌ای را که ایجاد کرده‌اید متروک گذاشتید و رویش کار نکردید ممکن است حذف شود.
:یکی از انواع رایج الگوها سرصفحه‌ها (که در بالای صفحه قرار می‌گیرند) و پاصفحه‌ها (الگوهایی که در پایین صفحه قرار می‌گیرند) هستند. این الگوها معمولا پیوندی به صفحه قبلی و صفحه بعدی و نیز فهرست محتویات دارند.
:یک راه دیگر برای یافتن کتاب این است که از میان [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|موضوع‌های مختلفی]] که در ویکی‌کتاب وجود دارد موضوعی را که برای آن جستجو می‌کنید بیابید و سپس ایبوک مورد نظرتان را پیدا کنید. این صفحه‌های موضوعی در گذشته در ویکی‌کتاب وجود نداشتند و به جای آن از کتابخانه استفاده می‌شد. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۲ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۲ (UTC)

خیلی ممنون که فرستادید [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۶ (UTC)
:همچنان بدون توجه به تذکرهای من، صفحه‌هایی که ایجاد میکنید بدون هیچ ساختار مشخصی و فاقد الگوهای ویکی‌کتاب فارسی است. احتمال حذف زیاد است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۳ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۳ (UTC)

== منابع استفاده شده برای نوشتن کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] ==

درود. مشخص نیست مطالب افزوده شده به این کتاب از کدام منبع هست. لطفا با ذکر منبع مطلب بیفزایید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۵ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۵ (UTC)

سلام،خیلی ممنون که اطلاع دادید،منابع هارا نوشتم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۵ (UTC)</text>
      <sha1>sk8jhxece4gm11tf4cv2ypfkwr9lo2y</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117384</id>
      <parentid>117382</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T08:57:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="31304" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۲۹ مهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۱ (UTC)

== شش‌ضلعی‌منتظم ==

درود. به تازگی صفحه‌ای با عنوان بالا ایجاد کردید. بررسی کردم دیدم این صفحه رو در کتاب [[هندسه مقدماتی]] ایجاد کردید. تا جایی که این کتاب رو مطالعه کردم برای سطح مبتدی نوشته شده و بیشتر درباره مربع و دایره و مستطیل و چند وجهی مطالبی در اون گنجانده شده. هر فصل در حد چند خط است نه بیشتر تا فهم مطالب برای یک شخص ناآشنا با هندسه دشوار نباشد. با سرچی که در میان کتاب های ویکی‌کتاب انجام دادم کتاب دیگری به نان [[آشنایی با چندوجهی‌ها]] را یافتم که به صورت تخصصی به چندوجهی‌ها می‌پردازد. به نظرم مطالب شما بیشتر به درد این کتاب میخوره. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۱۲ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۲۳:۵۷ (ایران) ‏۳ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۲۷ (UTC)

سلام و درود یعنی میگویید من باید صفحه شش ضلعی را انتقال بدهم؟
اگر انتقال می خواد باشد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۷ (UTC)
: اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۷ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۷ (UTC)

باشه خیلی ممنون که گفتید🙏 [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۳ (UTC)

== تفاوت با ویکی‌پدیا ==

درود. دوباره ورود شما رو به ویکی‌کتاب خوش آمد میگم. با توجه به اینکه در صفحه کاربری اعلام کردید از ویکی‌پدیا آمده‌اید چند نکته رو بهتر دونستم یادآوری کنم. شوربختانه برخی از کاربرانی که از ویکی‌پدیا به ویکی‌کتاب آمده‌اند به دلیل عدم درک تفاوت های این دو ویکی ویرایش های اشتباهی داشته اند. علاوه بر  [[راهنما:فهرست|راهنمای ویکی‌کتاب (برای تمام کاربران)]] یک راهنما هم داریم برای کاربرانی که از سایر پروژه های ویکی آمده‌اند ([[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب برای کاربران سایر پروژه‌های ویکی‌مدیا]]). علاوه بر این در میز تحریر بارها در این باره بحث شده که نمونه‌های از اون رو در زیر میتونید مشاهده کنید:
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#گفتگو|گفتگو]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها مانند ویکی‌نبشته|تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#چند نمونه از تفاوت های ویکی کتاب با ویکی پدیا|چند نمونه از تفاوت ها]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا|تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#همپوشانی ویکی کتاب و ویکی پدیا|همپوشانی]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۱#گنگ بودن مفهوم آموزشی در ویکی کتاب|گنگ بودن مفهوم]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی]]
:سپاسگزار از توجه شما، اگر پرسشی درباره ویکی‌کتاب دارید در خدمت هستم. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۵ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۵ (UTC)

درود خیلی ممنون💖[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۲ (UTC)

== لطفا درخواست مدیر شدن نکنید ==

درود. شمار ویرایش های شما بسیار ناچیز است و اکثر مطالبی که نوشتید کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی بوده است. شما هیچ کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد نکردید و در هیچ‌یک از نظرخواهی‌ها مشارکت نکردید. با چنین شرایطی لطفا درخواست مدیر شدن نکنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۴۲ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۱۲ (UTC)
:درود بر شما،ممنون که برای درخواست مدیر شدن به من اطلاع دادید،ولی من باید چه مراحلی را طی کنم تا بتوانم مدیر شوم؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
::این وبگاه در حال حاضر به مدیر جدید نیاز ندارد. میتونید به صورت یک کاربر در اینجا فعال باشید. موفق باشید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۲۸ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۷:۵۷ (ایران) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۳:۲۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۷ (UTC)

==اگر قصد ایجاد کتاب جدیدی دارید ...==
{{جعبه هشدار|پیش از اینکه کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد کنید حتما سری به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|این صفحه]] بزنید. اگر کتابی هست که موضوعی شبیه به موضوع دلخواه شما داشت میتونید محتوای خودتون رو به اون کتاب اضافه کنید. کتاب هایی که در جدول فهرست شده‌اند هنوز تکمیل نشده‌اند و در انتظار تکمیل شدن به دست کاربران ویکی‌کتاب چون شما هستند.}}
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۴ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۴ (UTC)
::همچنین ببینید: [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۶ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۶ (UTC)

سلام،خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
:سپاس از توجه شما. حالا که به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی]] سر زدید و هیچ کتابی را متناسب با سلیقه خود نیافتید راهی نیست جز اینکه کتاب جدید شما یعنی [[ریاضیات پیشرفته]] را نیز به فهرست بیفزاییم و منتظر باشیم اگر کاربری به ریاضی پیشرفته علاقه داشت در آن مشارکت کند. بنده هم اگر از نظر علمی نتوانم مشارکت کنم در ویرایش کردن کتاب به شما کمک خواهم کرد. نکته مهم این هست که سرفصل‌های کتاب رو تهیه کنید تا دیگر کاربران بدانند به چه موضوع هایی پرداخته میشود و بسته به میزان علاقه و سوادشان مشارکت کنند. صفحه تقسیم طولانی چندجمله ای را که پیشتر ایجاد کرده بودید به کتاب ریاضیات پیشرفته منتقل کردم. اکنون میتوانید برای ایجاد صفحه های جدید و کمک گرفتن از کاربران کوشش کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۸ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۸ (UTC)
{{پب|doostdar}}سلام و درود خیلی ممنون برای مشارکت باما من هم تمام زحمتم را برای گسترش این کتاب کمک خواهم کرد.
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۰۷ (UTC)

{{پب|doostdar}} درود مجدد من می خواهم مساحت و حجم را به ریاضیات پیشرفته انتقال دهم چون محتوای این صفحه به سطح کتاب هندسه مقدماتی نمی خورد.
به جای آن مبحث حجم و مساحت را به صورت خلاصه و ساده شرح شده به هندسه مقدماتی اضافه می کنیم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۳ (UTC)
::کار خوبی است. لطفا انجام دهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۴۷ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۳۴ (UTC)

== چند نکته برای نوشتن کتاب ==

برای اینکه ایبوک بهتری ایجاد کنید و مخاطب بیشتری جذب کنید که با قوانین ویکی‌کتاب مطابقت داشته باشه چند نکته رو براتون میگم که امیدوارم براتون مفید باشه:
* نام ایبوک رو طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشه و به خوبی مشخص کنه کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی هست. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست.
* سعی کنید ایبوک تون حتما پیشگفتار، فهرست، فصل های مختلف، واژه‌نامه، منابع داشته باشه. صفحه‌های کتاب به صورت نام کتاب/نام زیرصفحه باید ایجاد بشه. 
* اگر ایبوک تصاویر مناسبی داشته باشه مخاطب بیشتری جذب میشه. غیر از تصاویر خود کتاب به یک تصویر جلد هم نیاز هست.
* قبل از اینکه ایبوک جدیدی رو ایجاد کنید از کاربرهایی که به موضوع علاقه‌مند و مسلط هستن برای نوشتن ایبوک درخواست کمک کنید. اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید.
* نام رده همون نام ایبوک هست.
* پس از اینکه ایبوک خودتون رو کامل کردید می‌تونید نسخه پی‌دی‌اف از ایبوک‌تون تهیه کنید و ایبوک پی‌دی‌اف رو در اینترنت منتشر کنید. 
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۵۲ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۲۲ (UTC)
:ویرایش های کمی در دو روز گذشته داشتید. حتی مقدمه کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] بسیار کوتاه هست و معلوم نیست چه مطالبی قراره در کتاب نوشته بشه. لطفا رسیدگی کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۱۵ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۵ (UTC)
::کتاب شما در [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|فهرست کتاب‌های در حال تکمیل]] قرار گرفته اما در صورتی که ظرف چند هفته آینده بیش از پنجاه درصد این کتاب تکمیل نشود، کتاب حذف میگردد و از فهرست پاک میشود. زیرا هم اکنون ۴۶ کتاب در فهرست قرار دارند اما تعداد کاربران فعال کم است و در ماه‌های گذشته هیچ مشارکتی در بهبود این ۴۶ کتاب انجام نشده است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۷ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۷ (UTC)

حداقل باید این چهل شش تا کتاب را درست کنم باشه. [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۷ (UTC)

رسیدگی هم می کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۰۶ (UTC)

== کتاب‌های برگزیده ==

درود جناب {{BASEPAGENAME}}. برای دیدن فهرستی از کتاب‌های برگزیده ویکی‌کتاب [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|اینجا]] کلیک کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۱ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۱ (UTC)

چشم
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۵ (UTC)

== کار گروهی ==

کتابی که در این ویکی برای کار گروهی تمام کاربرها در نظر گرفتم [[لوح‌های نوری|کتاب لوح‌های نوری]] هست. این کتاب درباره لوح‌های رایانه‌ای مختلف شامل سی‌دی، دی‌وی‌دی، بلوری، الخ هست. از اونجایی که عموما ما با این لوح ها سر و کار داریم اطلاعاتی هم راجبشون داریم. به همین دلیل من این کتاب رو برای کار گروهی انتخاب کردم تا همه کاربرها در نوشتنش مشارکت کنن. شما هم می تونید در این کار گروهی شرکت کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۲ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۲ (UTC)

سلام دوستدار خیلی ممنون
من حالا تدارکات را در این کتاب آماده میکنم تا بریم برای گسترش کتاب
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۴ (UTC)

== کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی ==

درود. برخی از مطالبی که در [[ریاضیات پیشرفته]] نوشته‌اید را دیدم با یک بررسی ساده متوجه شدم قسمت‌هایی از متن از ویکی‌پدیا کپی شده است. نیازی نیست صفحه ها خیلی طولانی و دارای مطلب زیاد باشد. سعی کنید از منابع دیگر استفاده کنید و کپی‌رایت را هم رعایت کنید. چون در ویکی‌کتاب به شدت با نقض کپی‌رایت برخورد میکنیم. البته کپی‌رایت ویکی‌پدیا آزاد هست و مطالبی را که از اون وبگاه نوشتید از نظر کپی‌رایت مشکلی نداره ولی در کل کپی‌برداری از ویکیپدیا درست نیست چون در این صورت شما دیگر نویسنده کتاب نخواهید بود. بلکه نویسنده اصلی اصلی کتاب کاربران ویکی‌پدیا خواهند بود که آن مطالب را اول بار منتشر کرده‌اند. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۳ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۹:۲۲ (ایران) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۵۲ (UTC)

{{پب|doostdar}}درود خیلی ببخشید داشتم کتابم را گسترش می دادم تا حذفش نکنم،باشه من دیگه میرم از منابع های دیگه استفاده می کنم،باتشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۵۳ (UTC)
::همچنان مشغول کپی‌برداری از ویکی‌پدیا هستید پس از بررسی احتمال دارد حجم عظیمی از مطالبی را که از ویکی‌پدیا کپی کرده‌اید حذف کنم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۰ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۰ (UTC)

== نوشتن و ویرایش کتاب ==

کتابی که نوشتید یک سری چیزها رو نداره. نکاتی رو از [[ویکی‌کتاب:خودآموز|خودآموز ویکی‌کتاب]] براتون مینویسم:
:اگر مطلب‌تان درباره یک موضوع دانشگاهی است و از سطح کیفی بالایی برخوردار است می‌تواند به عنوان کتاب درسی در کلاس درس مورد استفاده قرار گیرد.
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]، کتاب‌های ویکی‌کتاب محدود شده است به کتاب‌های آموزشی (pedagogic) مثل کتابچه‌های راهنما و درسنامه‌های آموزشی. بسیاری از انواع کتاب در اینجا جای نمی‌گیرند.
:اندازه هر کتاب در ویکی‌کتاب محدود نیست به اینکه بتوان از آن نسخه چاپی تهیه کرد. مقدار حداقل یا حداکثری برای یک کتاب در نظر گرفته نشده است. ممکن است بعضی از کتاب‌ها بیش از حد طولانی باشند و بعضی دیگر خیلی کوتاه باشند. با این حال مهمترین نکته این است که کتاب، حاوی اطلاعات ضروری باشد.
:یک کتاب خوب باید چند شاخصه داشته باشد: یک برنامه خوب - زیرساخت مستحکم - تمرکز شدید - پوشش کامل
:آیا به کتاب شما نیاز است؟ خوشبختانه در ویکی‌کتاب روال این است که ابتدا نگاه می‌کنیم ببینیم آیا به کتاب جدید نیاز هست یا نه؟ نگاه می‌کنیم که آیا در کتاب‌های موجود قبلا کتابی با آن موضوع وجود دارد یا نه؟ مثلا در زمینه ریاضیات باید کتابی برای حسابان وجود داشته باشد، اگر کتابی در این باره در ویکی‌کتاب وجود نداشته باشد می‌توانید آن را ایجاد کنید.
:روش‌های مختلفی برای نوشتن کتاب درباره یک موضوع وجود دارد. شما می‌توانید یک کتاب را برای یک گروه مخاطب خاص بنویسید (آمار برای ریاضی‌دانان) یا می‌توانید یک کتاب بنویسید (آمار) که موضوع را از جنبه‌های مختلفی بررسی کند و به این ترتیب برای همه مخاطبان قابل استفاده باشد. برای مثال می‌توانید کتاب را به دوبخش مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش آمار برای بازرگانان، یک بخش آمار برای ریاضی‌دانان) یا اینکه می‌توانید هر صفحه را به بخش‌های مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش برای فرمول‌های جبری و نتایج، یک بخش زیر آن برای مشتق‌های حسابان).
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/پیکربندی کتاب‌ها چگونه است؟]]، پیش از آنکه شروع به نوشتن هر چیزی کنید، یک تعریف باید برای ایبوک‌تان بنویسید. مخاطب ایبوک چه کسانی هستند؟ چه هدفی دارد؟ ژرفا به چه صورت است؟ کتاب از چه زبانی می‌خواهد استفاده کند. در این پروژه، ویکی‌کتاب فارسی، تمام کتاب‌ها باید به زبان فارسی نوشته شوند. با این حال اینکه از فارسی ایرانی استفاده می‌شود یا فارسی افغانی به نویسنده کتاب بستگی دارد. 
:ما یک سیاست نامگذاری داریم که باعث می‌شود تمام کتاب‌ها و صفحات ویکی‌کتاب به گونه‌ای استاندارد سازماندهی شوند. تمام صفحه‌های کتاب در اسم خود نام کتاب را به عنوان پیشوند، همراه دارند و پس از ممیز، نام کتاب می‌آید. به عنوان مثال «کتاب من/صفحه من» صحیح است ولی «صفحه من» اشتباه است.
:اگر خردنوشته برای شروع کتاب باشد کاربران دیگر می‌توانند برای گسترش دادن آن کمک کنند. یک «خُرد خوب» بایستی: به خوبی توضیح دهد چه مطالبی قرار است پوشش داده شود - یک مقدمه کوتاه درباره موضوع بدهد - یک چهارچوب سازمان یافته داشته باشد (مثلا عنوان‌های بخش‌ها مشخص شده باشد) تا مشخص شود اطلاعات در کجا باید قرار بگیرند - اگر خردنوشته ها اطلاعات فوق را در برنداشته باشند بیشتر گیج کننده خواهند بود برای نویسندگان و بهتر است حذف شوند.
:طرح کلی از این نظر خوب است که نویسنده می‌داند کار را از کجا بایستی آغاز کند. البته ممکن است نویسنده جدیدی جذب کتاب نشود پس اگر طرح کلی‌ای را که ایجاد کرده‌اید متروک گذاشتید و رویش کار نکردید ممکن است حذف شود.
:یکی از انواع رایج الگوها سرصفحه‌ها (که در بالای صفحه قرار می‌گیرند) و پاصفحه‌ها (الگوهایی که در پایین صفحه قرار می‌گیرند) هستند. این الگوها معمولا پیوندی به صفحه قبلی و صفحه بعدی و نیز فهرست محتویات دارند.
:یک راه دیگر برای یافتن کتاب این است که از میان [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|موضوع‌های مختلفی]] که در ویکی‌کتاب وجود دارد موضوعی را که برای آن جستجو می‌کنید بیابید و سپس ایبوک مورد نظرتان را پیدا کنید. این صفحه‌های موضوعی در گذشته در ویکی‌کتاب وجود نداشتند و به جای آن از کتابخانه استفاده می‌شد. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۲ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۲ (UTC)

خیلی ممنون که فرستادید [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۶ (UTC)
:همچنان بدون توجه به تذکرهای من، صفحه‌هایی که ایجاد میکنید بدون هیچ ساختار مشخصی و فاقد الگوهای ویکی‌کتاب فارسی است. احتمال حذف زیاد است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۳ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۳ (UTC)

صبر کنید تا همه را درست کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۷ (UTC)

== منابع استفاده شده برای نوشتن کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] ==

درود. مشخص نیست مطالب افزوده شده به این کتاب از کدام منبع هست. لطفا با ذکر منبع مطلب بیفزایید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۵ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۵ (UTC)

سلام،خیلی ممنون که اطلاع دادید،منابع هارا نوشتم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۵ (UTC)</text>
      <sha1>2253nhvnnwlo6tie44js06ozddmxjnx</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117385</id>
      <parentid>117384</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T08:59:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="31543" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۲۹ مهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۱ (UTC)

== شش‌ضلعی‌منتظم ==

درود. به تازگی صفحه‌ای با عنوان بالا ایجاد کردید. بررسی کردم دیدم این صفحه رو در کتاب [[هندسه مقدماتی]] ایجاد کردید. تا جایی که این کتاب رو مطالعه کردم برای سطح مبتدی نوشته شده و بیشتر درباره مربع و دایره و مستطیل و چند وجهی مطالبی در اون گنجانده شده. هر فصل در حد چند خط است نه بیشتر تا فهم مطالب برای یک شخص ناآشنا با هندسه دشوار نباشد. با سرچی که در میان کتاب های ویکی‌کتاب انجام دادم کتاب دیگری به نان [[آشنایی با چندوجهی‌ها]] را یافتم که به صورت تخصصی به چندوجهی‌ها می‌پردازد. به نظرم مطالب شما بیشتر به درد این کتاب میخوره. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۱۲ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۲۳:۵۷ (ایران) ‏۳ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۲۷ (UTC)

سلام و درود یعنی میگویید من باید صفحه شش ضلعی را انتقال بدهم؟
اگر انتقال می خواد باشد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۷ (UTC)
: اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۷ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۷ (UTC)

باشه خیلی ممنون که گفتید🙏 [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۳ (UTC)

== تفاوت با ویکی‌پدیا ==

درود. دوباره ورود شما رو به ویکی‌کتاب خوش آمد میگم. با توجه به اینکه در صفحه کاربری اعلام کردید از ویکی‌پدیا آمده‌اید چند نکته رو بهتر دونستم یادآوری کنم. شوربختانه برخی از کاربرانی که از ویکی‌پدیا به ویکی‌کتاب آمده‌اند به دلیل عدم درک تفاوت های این دو ویکی ویرایش های اشتباهی داشته اند. علاوه بر  [[راهنما:فهرست|راهنمای ویکی‌کتاب (برای تمام کاربران)]] یک راهنما هم داریم برای کاربرانی که از سایر پروژه های ویکی آمده‌اند ([[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب برای کاربران سایر پروژه‌های ویکی‌مدیا]]). علاوه بر این در میز تحریر بارها در این باره بحث شده که نمونه‌های از اون رو در زیر میتونید مشاهده کنید:
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#گفتگو|گفتگو]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها مانند ویکی‌نبشته|تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#چند نمونه از تفاوت های ویکی کتاب با ویکی پدیا|چند نمونه از تفاوت ها]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا|تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#همپوشانی ویکی کتاب و ویکی پدیا|همپوشانی]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۱#گنگ بودن مفهوم آموزشی در ویکی کتاب|گنگ بودن مفهوم]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی]]
:سپاسگزار از توجه شما، اگر پرسشی درباره ویکی‌کتاب دارید در خدمت هستم. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۵ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۵ (UTC)

درود خیلی ممنون💖[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۲ (UTC)

== لطفا درخواست مدیر شدن نکنید ==

درود. شمار ویرایش های شما بسیار ناچیز است و اکثر مطالبی که نوشتید کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی بوده است. شما هیچ کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد نکردید و در هیچ‌یک از نظرخواهی‌ها مشارکت نکردید. با چنین شرایطی لطفا درخواست مدیر شدن نکنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۴۲ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۱۲ (UTC)
:درود بر شما،ممنون که برای درخواست مدیر شدن به من اطلاع دادید،ولی من باید چه مراحلی را طی کنم تا بتوانم مدیر شوم؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
::این وبگاه در حال حاضر به مدیر جدید نیاز ندارد. میتونید به صورت یک کاربر در اینجا فعال باشید. موفق باشید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۲۸ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۷:۵۷ (ایران) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۳:۲۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۷ (UTC)

==اگر قصد ایجاد کتاب جدیدی دارید ...==
{{جعبه هشدار|پیش از اینکه کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد کنید حتما سری به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|این صفحه]] بزنید. اگر کتابی هست که موضوعی شبیه به موضوع دلخواه شما داشت میتونید محتوای خودتون رو به اون کتاب اضافه کنید. کتاب هایی که در جدول فهرست شده‌اند هنوز تکمیل نشده‌اند و در انتظار تکمیل شدن به دست کاربران ویکی‌کتاب چون شما هستند.}}
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۴ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۴ (UTC)
::همچنین ببینید: [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۶ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۶ (UTC)

سلام،خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
:سپاس از توجه شما. حالا که به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی]] سر زدید و هیچ کتابی را متناسب با سلیقه خود نیافتید راهی نیست جز اینکه کتاب جدید شما یعنی [[ریاضیات پیشرفته]] را نیز به فهرست بیفزاییم و منتظر باشیم اگر کاربری به ریاضی پیشرفته علاقه داشت در آن مشارکت کند. بنده هم اگر از نظر علمی نتوانم مشارکت کنم در ویرایش کردن کتاب به شما کمک خواهم کرد. نکته مهم این هست که سرفصل‌های کتاب رو تهیه کنید تا دیگر کاربران بدانند به چه موضوع هایی پرداخته میشود و بسته به میزان علاقه و سوادشان مشارکت کنند. صفحه تقسیم طولانی چندجمله ای را که پیشتر ایجاد کرده بودید به کتاب ریاضیات پیشرفته منتقل کردم. اکنون میتوانید برای ایجاد صفحه های جدید و کمک گرفتن از کاربران کوشش کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۸ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۸ (UTC)
{{پب|doostdar}}سلام و درود خیلی ممنون برای مشارکت باما من هم تمام زحمتم را برای گسترش این کتاب کمک خواهم کرد.
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۰۷ (UTC)

{{پب|doostdar}} درود مجدد من می خواهم مساحت و حجم را به ریاضیات پیشرفته انتقال دهم چون محتوای این صفحه به سطح کتاب هندسه مقدماتی نمی خورد.
به جای آن مبحث حجم و مساحت را به صورت خلاصه و ساده شرح شده به هندسه مقدماتی اضافه می کنیم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۳ (UTC)
::کار خوبی است. لطفا انجام دهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۴۷ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۳۴ (UTC)

== چند نکته برای نوشتن کتاب ==

برای اینکه ایبوک بهتری ایجاد کنید و مخاطب بیشتری جذب کنید که با قوانین ویکی‌کتاب مطابقت داشته باشه چند نکته رو براتون میگم که امیدوارم براتون مفید باشه:
* نام ایبوک رو طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشه و به خوبی مشخص کنه کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی هست. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست.
* سعی کنید ایبوک تون حتما پیشگفتار، فهرست، فصل های مختلف، واژه‌نامه، منابع داشته باشه. صفحه‌های کتاب به صورت نام کتاب/نام زیرصفحه باید ایجاد بشه. 
* اگر ایبوک تصاویر مناسبی داشته باشه مخاطب بیشتری جذب میشه. غیر از تصاویر خود کتاب به یک تصویر جلد هم نیاز هست.
* قبل از اینکه ایبوک جدیدی رو ایجاد کنید از کاربرهایی که به موضوع علاقه‌مند و مسلط هستن برای نوشتن ایبوک درخواست کمک کنید. اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید.
* نام رده همون نام ایبوک هست.
* پس از اینکه ایبوک خودتون رو کامل کردید می‌تونید نسخه پی‌دی‌اف از ایبوک‌تون تهیه کنید و ایبوک پی‌دی‌اف رو در اینترنت منتشر کنید. 
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۵۲ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۲۲ (UTC)
:ویرایش های کمی در دو روز گذشته داشتید. حتی مقدمه کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] بسیار کوتاه هست و معلوم نیست چه مطالبی قراره در کتاب نوشته بشه. لطفا رسیدگی کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۱۵ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۵ (UTC)
::کتاب شما در [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|فهرست کتاب‌های در حال تکمیل]] قرار گرفته اما در صورتی که ظرف چند هفته آینده بیش از پنجاه درصد این کتاب تکمیل نشود، کتاب حذف میگردد و از فهرست پاک میشود. زیرا هم اکنون ۴۶ کتاب در فهرست قرار دارند اما تعداد کاربران فعال کم است و در ماه‌های گذشته هیچ مشارکتی در بهبود این ۴۶ کتاب انجام نشده است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۷ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۷ (UTC)

حداقل باید این چهل شش تا کتاب را درست کنم باشه. [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۷ (UTC)

رسیدگی هم می کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۰۶ (UTC)

== کتاب‌های برگزیده ==

درود جناب {{BASEPAGENAME}}. برای دیدن فهرستی از کتاب‌های برگزیده ویکی‌کتاب [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|اینجا]] کلیک کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۱ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۱ (UTC)

چشم
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۵ (UTC)

== کار گروهی ==

کتابی که در این ویکی برای کار گروهی تمام کاربرها در نظر گرفتم [[لوح‌های نوری|کتاب لوح‌های نوری]] هست. این کتاب درباره لوح‌های رایانه‌ای مختلف شامل سی‌دی، دی‌وی‌دی، بلوری، الخ هست. از اونجایی که عموما ما با این لوح ها سر و کار داریم اطلاعاتی هم راجبشون داریم. به همین دلیل من این کتاب رو برای کار گروهی انتخاب کردم تا همه کاربرها در نوشتنش مشارکت کنن. شما هم می تونید در این کار گروهی شرکت کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۲ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۲ (UTC)

سلام دوستدار خیلی ممنون
من حالا تدارکات را در این کتاب آماده میکنم تا بریم برای گسترش کتاب
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۴ (UTC)

== کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی ==

درود. برخی از مطالبی که در [[ریاضیات پیشرفته]] نوشته‌اید را دیدم با یک بررسی ساده متوجه شدم قسمت‌هایی از متن از ویکی‌پدیا کپی شده است. نیازی نیست صفحه ها خیلی طولانی و دارای مطلب زیاد باشد. سعی کنید از منابع دیگر استفاده کنید و کپی‌رایت را هم رعایت کنید. چون در ویکی‌کتاب به شدت با نقض کپی‌رایت برخورد میکنیم. البته کپی‌رایت ویکی‌پدیا آزاد هست و مطالبی را که از اون وبگاه نوشتید از نظر کپی‌رایت مشکلی نداره ولی در کل کپی‌برداری از ویکیپدیا درست نیست چون در این صورت شما دیگر نویسنده کتاب نخواهید بود. بلکه نویسنده اصلی اصلی کتاب کاربران ویکی‌پدیا خواهند بود که آن مطالب را اول بار منتشر کرده‌اند. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۳ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۹:۲۲ (ایران) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۵۲ (UTC)

{{پب|doostdar}}درود خیلی ببخشید داشتم کتابم را گسترش می دادم تا حذفش نکنم،باشه من دیگه میرم از منابع های دیگه استفاده می کنم،باتشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۵۳ (UTC)
::همچنان مشغول کپی‌برداری از ویکی‌پدیا هستید پس از بررسی احتمال دارد حجم عظیمی از مطالبی را که از ویکی‌پدیا کپی کرده‌اید حذف کنم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۰ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۰ (UTC)

درود آخه ویکی پدیا منبع خوبی برای این کتاب است [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۹ (UTC)

== نوشتن و ویرایش کتاب ==

کتابی که نوشتید یک سری چیزها رو نداره. نکاتی رو از [[ویکی‌کتاب:خودآموز|خودآموز ویکی‌کتاب]] براتون مینویسم:
:اگر مطلب‌تان درباره یک موضوع دانشگاهی است و از سطح کیفی بالایی برخوردار است می‌تواند به عنوان کتاب درسی در کلاس درس مورد استفاده قرار گیرد.
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]، کتاب‌های ویکی‌کتاب محدود شده است به کتاب‌های آموزشی (pedagogic) مثل کتابچه‌های راهنما و درسنامه‌های آموزشی. بسیاری از انواع کتاب در اینجا جای نمی‌گیرند.
:اندازه هر کتاب در ویکی‌کتاب محدود نیست به اینکه بتوان از آن نسخه چاپی تهیه کرد. مقدار حداقل یا حداکثری برای یک کتاب در نظر گرفته نشده است. ممکن است بعضی از کتاب‌ها بیش از حد طولانی باشند و بعضی دیگر خیلی کوتاه باشند. با این حال مهمترین نکته این است که کتاب، حاوی اطلاعات ضروری باشد.
:یک کتاب خوب باید چند شاخصه داشته باشد: یک برنامه خوب - زیرساخت مستحکم - تمرکز شدید - پوشش کامل
:آیا به کتاب شما نیاز است؟ خوشبختانه در ویکی‌کتاب روال این است که ابتدا نگاه می‌کنیم ببینیم آیا به کتاب جدید نیاز هست یا نه؟ نگاه می‌کنیم که آیا در کتاب‌های موجود قبلا کتابی با آن موضوع وجود دارد یا نه؟ مثلا در زمینه ریاضیات باید کتابی برای حسابان وجود داشته باشد، اگر کتابی در این باره در ویکی‌کتاب وجود نداشته باشد می‌توانید آن را ایجاد کنید.
:روش‌های مختلفی برای نوشتن کتاب درباره یک موضوع وجود دارد. شما می‌توانید یک کتاب را برای یک گروه مخاطب خاص بنویسید (آمار برای ریاضی‌دانان) یا می‌توانید یک کتاب بنویسید (آمار) که موضوع را از جنبه‌های مختلفی بررسی کند و به این ترتیب برای همه مخاطبان قابل استفاده باشد. برای مثال می‌توانید کتاب را به دوبخش مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش آمار برای بازرگانان، یک بخش آمار برای ریاضی‌دانان) یا اینکه می‌توانید هر صفحه را به بخش‌های مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش برای فرمول‌های جبری و نتایج، یک بخش زیر آن برای مشتق‌های حسابان).
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/پیکربندی کتاب‌ها چگونه است؟]]، پیش از آنکه شروع به نوشتن هر چیزی کنید، یک تعریف باید برای ایبوک‌تان بنویسید. مخاطب ایبوک چه کسانی هستند؟ چه هدفی دارد؟ ژرفا به چه صورت است؟ کتاب از چه زبانی می‌خواهد استفاده کند. در این پروژه، ویکی‌کتاب فارسی، تمام کتاب‌ها باید به زبان فارسی نوشته شوند. با این حال اینکه از فارسی ایرانی استفاده می‌شود یا فارسی افغانی به نویسنده کتاب بستگی دارد. 
:ما یک سیاست نامگذاری داریم که باعث می‌شود تمام کتاب‌ها و صفحات ویکی‌کتاب به گونه‌ای استاندارد سازماندهی شوند. تمام صفحه‌های کتاب در اسم خود نام کتاب را به عنوان پیشوند، همراه دارند و پس از ممیز، نام کتاب می‌آید. به عنوان مثال «کتاب من/صفحه من» صحیح است ولی «صفحه من» اشتباه است.
:اگر خردنوشته برای شروع کتاب باشد کاربران دیگر می‌توانند برای گسترش دادن آن کمک کنند. یک «خُرد خوب» بایستی: به خوبی توضیح دهد چه مطالبی قرار است پوشش داده شود - یک مقدمه کوتاه درباره موضوع بدهد - یک چهارچوب سازمان یافته داشته باشد (مثلا عنوان‌های بخش‌ها مشخص شده باشد) تا مشخص شود اطلاعات در کجا باید قرار بگیرند - اگر خردنوشته ها اطلاعات فوق را در برنداشته باشند بیشتر گیج کننده خواهند بود برای نویسندگان و بهتر است حذف شوند.
:طرح کلی از این نظر خوب است که نویسنده می‌داند کار را از کجا بایستی آغاز کند. البته ممکن است نویسنده جدیدی جذب کتاب نشود پس اگر طرح کلی‌ای را که ایجاد کرده‌اید متروک گذاشتید و رویش کار نکردید ممکن است حذف شود.
:یکی از انواع رایج الگوها سرصفحه‌ها (که در بالای صفحه قرار می‌گیرند) و پاصفحه‌ها (الگوهایی که در پایین صفحه قرار می‌گیرند) هستند. این الگوها معمولا پیوندی به صفحه قبلی و صفحه بعدی و نیز فهرست محتویات دارند.
:یک راه دیگر برای یافتن کتاب این است که از میان [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|موضوع‌های مختلفی]] که در ویکی‌کتاب وجود دارد موضوعی را که برای آن جستجو می‌کنید بیابید و سپس ایبوک مورد نظرتان را پیدا کنید. این صفحه‌های موضوعی در گذشته در ویکی‌کتاب وجود نداشتند و به جای آن از کتابخانه استفاده می‌شد. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۲ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۲ (UTC)

خیلی ممنون که فرستادید [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۶ (UTC)
:همچنان بدون توجه به تذکرهای من، صفحه‌هایی که ایجاد میکنید بدون هیچ ساختار مشخصی و فاقد الگوهای ویکی‌کتاب فارسی است. احتمال حذف زیاد است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۳ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۳ (UTC)

صبر کنید تا همه را درست کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۷ (UTC)

== منابع استفاده شده برای نوشتن کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] ==

درود. مشخص نیست مطالب افزوده شده به این کتاب از کدام منبع هست. لطفا با ذکر منبع مطلب بیفزایید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۵ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۵ (UTC)

سلام،خیلی ممنون که اطلاع دادید،منابع هارا نوشتم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۵ (UTC)</text>
      <sha1>3abs24wd52k78q87zswbd8kuovxlnru</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117408</id>
      <parentid>117385</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:30:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32143" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۲۹ مهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۱ (UTC)

== شش‌ضلعی‌منتظم ==

درود. به تازگی صفحه‌ای با عنوان بالا ایجاد کردید. بررسی کردم دیدم این صفحه رو در کتاب [[هندسه مقدماتی]] ایجاد کردید. تا جایی که این کتاب رو مطالعه کردم برای سطح مبتدی نوشته شده و بیشتر درباره مربع و دایره و مستطیل و چند وجهی مطالبی در اون گنجانده شده. هر فصل در حد چند خط است نه بیشتر تا فهم مطالب برای یک شخص ناآشنا با هندسه دشوار نباشد. با سرچی که در میان کتاب های ویکی‌کتاب انجام دادم کتاب دیگری به نان [[آشنایی با چندوجهی‌ها]] را یافتم که به صورت تخصصی به چندوجهی‌ها می‌پردازد. به نظرم مطالب شما بیشتر به درد این کتاب میخوره. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۱۲ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۲۳:۵۷ (ایران) ‏۳ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۲۷ (UTC)

سلام و درود یعنی میگویید من باید صفحه شش ضلعی را انتقال بدهم؟
اگر انتقال می خواد باشد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۷ (UTC)
: اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۷ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۷ (UTC)

باشه خیلی ممنون که گفتید🙏 [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۳ (UTC)

== تفاوت با ویکی‌پدیا ==

درود. دوباره ورود شما رو به ویکی‌کتاب خوش آمد میگم. با توجه به اینکه در صفحه کاربری اعلام کردید از ویکی‌پدیا آمده‌اید چند نکته رو بهتر دونستم یادآوری کنم. شوربختانه برخی از کاربرانی که از ویکی‌پدیا به ویکی‌کتاب آمده‌اند به دلیل عدم درک تفاوت های این دو ویکی ویرایش های اشتباهی داشته اند. علاوه بر  [[راهنما:فهرست|راهنمای ویکی‌کتاب (برای تمام کاربران)]] یک راهنما هم داریم برای کاربرانی که از سایر پروژه های ویکی آمده‌اند ([[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب برای کاربران سایر پروژه‌های ویکی‌مدیا]]). علاوه بر این در میز تحریر بارها در این باره بحث شده که نمونه‌های از اون رو در زیر میتونید مشاهده کنید:
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#گفتگو|گفتگو]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها مانند ویکی‌نبشته|تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#چند نمونه از تفاوت های ویکی کتاب با ویکی پدیا|چند نمونه از تفاوت ها]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا|تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#همپوشانی ویکی کتاب و ویکی پدیا|همپوشانی]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۱#گنگ بودن مفهوم آموزشی در ویکی کتاب|گنگ بودن مفهوم]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی]]
:سپاسگزار از توجه شما، اگر پرسشی درباره ویکی‌کتاب دارید در خدمت هستم. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۵ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۵ (UTC)

درود خیلی ممنون💖[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۲ (UTC)

== لطفا درخواست مدیر شدن نکنید ==

درود. شمار ویرایش های شما بسیار ناچیز است و اکثر مطالبی که نوشتید کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی بوده است. شما هیچ کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد نکردید و در هیچ‌یک از نظرخواهی‌ها مشارکت نکردید. با چنین شرایطی لطفا درخواست مدیر شدن نکنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۴۲ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۱۲ (UTC)
:درود بر شما،ممنون که برای درخواست مدیر شدن به من اطلاع دادید،ولی من باید چه مراحلی را طی کنم تا بتوانم مدیر شوم؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
::این وبگاه در حال حاضر به مدیر جدید نیاز ندارد. میتونید به صورت یک کاربر در اینجا فعال باشید. موفق باشید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۲۸ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۷:۵۷ (ایران) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۳:۲۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۷ (UTC)

==اگر قصد ایجاد کتاب جدیدی دارید ...==
{{جعبه هشدار|پیش از اینکه کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد کنید حتما سری به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|این صفحه]] بزنید. اگر کتابی هست که موضوعی شبیه به موضوع دلخواه شما داشت میتونید محتوای خودتون رو به اون کتاب اضافه کنید. کتاب هایی که در جدول فهرست شده‌اند هنوز تکمیل نشده‌اند و در انتظار تکمیل شدن به دست کاربران ویکی‌کتاب چون شما هستند.}}
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۴ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۴ (UTC)
::همچنین ببینید: [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۶ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۶ (UTC)

سلام،خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
:سپاس از توجه شما. حالا که به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی]] سر زدید و هیچ کتابی را متناسب با سلیقه خود نیافتید راهی نیست جز اینکه کتاب جدید شما یعنی [[ریاضیات پیشرفته]] را نیز به فهرست بیفزاییم و منتظر باشیم اگر کاربری به ریاضی پیشرفته علاقه داشت در آن مشارکت کند. بنده هم اگر از نظر علمی نتوانم مشارکت کنم در ویرایش کردن کتاب به شما کمک خواهم کرد. نکته مهم این هست که سرفصل‌های کتاب رو تهیه کنید تا دیگر کاربران بدانند به چه موضوع هایی پرداخته میشود و بسته به میزان علاقه و سوادشان مشارکت کنند. صفحه تقسیم طولانی چندجمله ای را که پیشتر ایجاد کرده بودید به کتاب ریاضیات پیشرفته منتقل کردم. اکنون میتوانید برای ایجاد صفحه های جدید و کمک گرفتن از کاربران کوشش کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۸ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۸ (UTC)
{{پب|doostdar}}سلام و درود خیلی ممنون برای مشارکت باما من هم تمام زحمتم را برای گسترش این کتاب کمک خواهم کرد.
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۰۷ (UTC)

{{پب|doostdar}} درود مجدد من می خواهم مساحت و حجم را به ریاضیات پیشرفته انتقال دهم چون محتوای این صفحه به سطح کتاب هندسه مقدماتی نمی خورد.
به جای آن مبحث حجم و مساحت را به صورت خلاصه و ساده شرح شده به هندسه مقدماتی اضافه می کنیم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۳ (UTC)
::کار خوبی است. لطفا انجام دهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۴۷ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۳۴ (UTC)

== چند نکته برای نوشتن کتاب ==

برای اینکه ایبوک بهتری ایجاد کنید و مخاطب بیشتری جذب کنید که با قوانین ویکی‌کتاب مطابقت داشته باشه چند نکته رو براتون میگم که امیدوارم براتون مفید باشه:
* نام ایبوک رو طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشه و به خوبی مشخص کنه کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی هست. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست.
* سعی کنید ایبوک تون حتما پیشگفتار، فهرست، فصل های مختلف، واژه‌نامه، منابع داشته باشه. صفحه‌های کتاب به صورت نام کتاب/نام زیرصفحه باید ایجاد بشه. 
* اگر ایبوک تصاویر مناسبی داشته باشه مخاطب بیشتری جذب میشه. غیر از تصاویر خود کتاب به یک تصویر جلد هم نیاز هست.
* قبل از اینکه ایبوک جدیدی رو ایجاد کنید از کاربرهایی که به موضوع علاقه‌مند و مسلط هستن برای نوشتن ایبوک درخواست کمک کنید. اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید.
* نام رده همون نام ایبوک هست.
* پس از اینکه ایبوک خودتون رو کامل کردید می‌تونید نسخه پی‌دی‌اف از ایبوک‌تون تهیه کنید و ایبوک پی‌دی‌اف رو در اینترنت منتشر کنید. 
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۵۲ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۲۲ (UTC)
:ویرایش های کمی در دو روز گذشته داشتید. حتی مقدمه کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] بسیار کوتاه هست و معلوم نیست چه مطالبی قراره در کتاب نوشته بشه. لطفا رسیدگی کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۱۵ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۵ (UTC)
::کتاب شما در [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|فهرست کتاب‌های در حال تکمیل]] قرار گرفته اما در صورتی که ظرف چند هفته آینده بیش از پنجاه درصد این کتاب تکمیل نشود، کتاب حذف میگردد و از فهرست پاک میشود. زیرا هم اکنون ۴۶ کتاب در فهرست قرار دارند اما تعداد کاربران فعال کم است و در ماه‌های گذشته هیچ مشارکتی در بهبود این ۴۶ کتاب انجام نشده است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۷ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۷ (UTC)

حداقل باید این چهل شش تا کتاب را درست کنم باشه. [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۷ (UTC)

رسیدگی هم می کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۰۶ (UTC)

== کتاب‌های برگزیده ==

درود جناب {{BASEPAGENAME}}. برای دیدن فهرستی از کتاب‌های برگزیده ویکی‌کتاب [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|اینجا]] کلیک کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۱ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۱ (UTC)

چشم
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۵ (UTC)

== کار گروهی ==

کتابی که در این ویکی برای کار گروهی تمام کاربرها در نظر گرفتم [[لوح‌های نوری|کتاب لوح‌های نوری]] هست. این کتاب درباره لوح‌های رایانه‌ای مختلف شامل سی‌دی، دی‌وی‌دی، بلوری، الخ هست. از اونجایی که عموما ما با این لوح ها سر و کار داریم اطلاعاتی هم راجبشون داریم. به همین دلیل من این کتاب رو برای کار گروهی انتخاب کردم تا همه کاربرها در نوشتنش مشارکت کنن. شما هم می تونید در این کار گروهی شرکت کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۲ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۲ (UTC)

سلام دوستدار خیلی ممنون
من حالا تدارکات را در این کتاب آماده میکنم تا بریم برای گسترش کتاب
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۴ (UTC)

== کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی ==

درود. برخی از مطالبی که در [[ریاضیات پیشرفته]] نوشته‌اید را دیدم با یک بررسی ساده متوجه شدم قسمت‌هایی از متن از ویکی‌پدیا کپی شده است. نیازی نیست صفحه ها خیلی طولانی و دارای مطلب زیاد باشد. سعی کنید از منابع دیگر استفاده کنید و کپی‌رایت را هم رعایت کنید. چون در ویکی‌کتاب به شدت با نقض کپی‌رایت برخورد میکنیم. البته کپی‌رایت ویکی‌پدیا آزاد هست و مطالبی را که از اون وبگاه نوشتید از نظر کپی‌رایت مشکلی نداره ولی در کل کپی‌برداری از ویکیپدیا درست نیست چون در این صورت شما دیگر نویسنده کتاب نخواهید بود. بلکه نویسنده اصلی اصلی کتاب کاربران ویکی‌پدیا خواهند بود که آن مطالب را اول بار منتشر کرده‌اند. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۳ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۹:۲۲ (ایران) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۵۲ (UTC)

{{پب|doostdar}}درود خیلی ببخشید داشتم کتابم را گسترش می دادم تا حذفش نکنم،باشه من دیگه میرم از منابع های دیگه استفاده می کنم،باتشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۵۳ (UTC)
::همچنان مشغول کپی‌برداری از ویکی‌پدیا هستید پس از بررسی احتمال دارد حجم عظیمی از مطالبی را که از ویکی‌پدیا کپی کرده‌اید حذف کنم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۰ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۰ (UTC)

درود آخه ویکی پدیا منبع خوبی برای این کتاب است [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۹ (UTC)

سلام بر کاربر دوستدار
بله حجم آنها زیاد شده و احتیاج به حذفیات دارد ولی از جهتی باید مفاهیم مهم،شاخه ها و ریاضیات مفاهیم آنها حذف نگردد فقط مطالب های زیر مثل مبحث های هندسه،حسابان و... مطالب های پرحجم آنها حذف گردد تا نسخه چاپی بهتر عمل کند با تشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۹:۳۰ (UTC)

== نوشتن و ویرایش کتاب ==

کتابی که نوشتید یک سری چیزها رو نداره. نکاتی رو از [[ویکی‌کتاب:خودآموز|خودآموز ویکی‌کتاب]] براتون مینویسم:
:اگر مطلب‌تان درباره یک موضوع دانشگاهی است و از سطح کیفی بالایی برخوردار است می‌تواند به عنوان کتاب درسی در کلاس درس مورد استفاده قرار گیرد.
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]، کتاب‌های ویکی‌کتاب محدود شده است به کتاب‌های آموزشی (pedagogic) مثل کتابچه‌های راهنما و درسنامه‌های آموزشی. بسیاری از انواع کتاب در اینجا جای نمی‌گیرند.
:اندازه هر کتاب در ویکی‌کتاب محدود نیست به اینکه بتوان از آن نسخه چاپی تهیه کرد. مقدار حداقل یا حداکثری برای یک کتاب در نظر گرفته نشده است. ممکن است بعضی از کتاب‌ها بیش از حد طولانی باشند و بعضی دیگر خیلی کوتاه باشند. با این حال مهمترین نکته این است که کتاب، حاوی اطلاعات ضروری باشد.
:یک کتاب خوب باید چند شاخصه داشته باشد: یک برنامه خوب - زیرساخت مستحکم - تمرکز شدید - پوشش کامل
:آیا به کتاب شما نیاز است؟ خوشبختانه در ویکی‌کتاب روال این است که ابتدا نگاه می‌کنیم ببینیم آیا به کتاب جدید نیاز هست یا نه؟ نگاه می‌کنیم که آیا در کتاب‌های موجود قبلا کتابی با آن موضوع وجود دارد یا نه؟ مثلا در زمینه ریاضیات باید کتابی برای حسابان وجود داشته باشد، اگر کتابی در این باره در ویکی‌کتاب وجود نداشته باشد می‌توانید آن را ایجاد کنید.
:روش‌های مختلفی برای نوشتن کتاب درباره یک موضوع وجود دارد. شما می‌توانید یک کتاب را برای یک گروه مخاطب خاص بنویسید (آمار برای ریاضی‌دانان) یا می‌توانید یک کتاب بنویسید (آمار) که موضوع را از جنبه‌های مختلفی بررسی کند و به این ترتیب برای همه مخاطبان قابل استفاده باشد. برای مثال می‌توانید کتاب را به دوبخش مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش آمار برای بازرگانان، یک بخش آمار برای ریاضی‌دانان) یا اینکه می‌توانید هر صفحه را به بخش‌های مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش برای فرمول‌های جبری و نتایج، یک بخش زیر آن برای مشتق‌های حسابان).
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/پیکربندی کتاب‌ها چگونه است؟]]، پیش از آنکه شروع به نوشتن هر چیزی کنید، یک تعریف باید برای ایبوک‌تان بنویسید. مخاطب ایبوک چه کسانی هستند؟ چه هدفی دارد؟ ژرفا به چه صورت است؟ کتاب از چه زبانی می‌خواهد استفاده کند. در این پروژه، ویکی‌کتاب فارسی، تمام کتاب‌ها باید به زبان فارسی نوشته شوند. با این حال اینکه از فارسی ایرانی استفاده می‌شود یا فارسی افغانی به نویسنده کتاب بستگی دارد. 
:ما یک سیاست نامگذاری داریم که باعث می‌شود تمام کتاب‌ها و صفحات ویکی‌کتاب به گونه‌ای استاندارد سازماندهی شوند. تمام صفحه‌های کتاب در اسم خود نام کتاب را به عنوان پیشوند، همراه دارند و پس از ممیز، نام کتاب می‌آید. به عنوان مثال «کتاب من/صفحه من» صحیح است ولی «صفحه من» اشتباه است.
:اگر خردنوشته برای شروع کتاب باشد کاربران دیگر می‌توانند برای گسترش دادن آن کمک کنند. یک «خُرد خوب» بایستی: به خوبی توضیح دهد چه مطالبی قرار است پوشش داده شود - یک مقدمه کوتاه درباره موضوع بدهد - یک چهارچوب سازمان یافته داشته باشد (مثلا عنوان‌های بخش‌ها مشخص شده باشد) تا مشخص شود اطلاعات در کجا باید قرار بگیرند - اگر خردنوشته ها اطلاعات فوق را در برنداشته باشند بیشتر گیج کننده خواهند بود برای نویسندگان و بهتر است حذف شوند.
:طرح کلی از این نظر خوب است که نویسنده می‌داند کار را از کجا بایستی آغاز کند. البته ممکن است نویسنده جدیدی جذب کتاب نشود پس اگر طرح کلی‌ای را که ایجاد کرده‌اید متروک گذاشتید و رویش کار نکردید ممکن است حذف شود.
:یکی از انواع رایج الگوها سرصفحه‌ها (که در بالای صفحه قرار می‌گیرند) و پاصفحه‌ها (الگوهایی که در پایین صفحه قرار می‌گیرند) هستند. این الگوها معمولا پیوندی به صفحه قبلی و صفحه بعدی و نیز فهرست محتویات دارند.
:یک راه دیگر برای یافتن کتاب این است که از میان [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|موضوع‌های مختلفی]] که در ویکی‌کتاب وجود دارد موضوعی را که برای آن جستجو می‌کنید بیابید و سپس ایبوک مورد نظرتان را پیدا کنید. این صفحه‌های موضوعی در گذشته در ویکی‌کتاب وجود نداشتند و به جای آن از کتابخانه استفاده می‌شد. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۲ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۲ (UTC)

خیلی ممنون که فرستادید [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۶ (UTC)
:همچنان بدون توجه به تذکرهای من، صفحه‌هایی که ایجاد میکنید بدون هیچ ساختار مشخصی و فاقد الگوهای ویکی‌کتاب فارسی است. احتمال حذف زیاد است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۳ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۳ (UTC)

صبر کنید تا همه را درست کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۷ (UTC)

== منابع استفاده شده برای نوشتن کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] ==

درود. مشخص نیست مطالب افزوده شده به این کتاب از کدام منبع هست. لطفا با ذکر منبع مطلب بیفزایید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۵ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۵ (UTC)

سلام،خیلی ممنون که اطلاع دادید،منابع هارا نوشتم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۵ (UTC)</text>
      <sha1>bgldka1qyby19le4ttm43p6kspuw2um</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117409</id>
      <parentid>117408</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:31:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32447" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۲۹ مهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۱ (UTC)

== شش‌ضلعی‌منتظم ==

درود. به تازگی صفحه‌ای با عنوان بالا ایجاد کردید. بررسی کردم دیدم این صفحه رو در کتاب [[هندسه مقدماتی]] ایجاد کردید. تا جایی که این کتاب رو مطالعه کردم برای سطح مبتدی نوشته شده و بیشتر درباره مربع و دایره و مستطیل و چند وجهی مطالبی در اون گنجانده شده. هر فصل در حد چند خط است نه بیشتر تا فهم مطالب برای یک شخص ناآشنا با هندسه دشوار نباشد. با سرچی که در میان کتاب های ویکی‌کتاب انجام دادم کتاب دیگری به نان [[آشنایی با چندوجهی‌ها]] را یافتم که به صورت تخصصی به چندوجهی‌ها می‌پردازد. به نظرم مطالب شما بیشتر به درد این کتاب میخوره. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۱۲ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۲۳:۵۷ (ایران) ‏۳ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۲۷ (UTC)

سلام و درود یعنی میگویید من باید صفحه شش ضلعی را انتقال بدهم؟
اگر انتقال می خواد باشد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۷ (UTC)
: اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۷ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۷ (UTC)

باشه خیلی ممنون که گفتید🙏 [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۳ (UTC)

== تفاوت با ویکی‌پدیا ==

درود. دوباره ورود شما رو به ویکی‌کتاب خوش آمد میگم. با توجه به اینکه در صفحه کاربری اعلام کردید از ویکی‌پدیا آمده‌اید چند نکته رو بهتر دونستم یادآوری کنم. شوربختانه برخی از کاربرانی که از ویکی‌پدیا به ویکی‌کتاب آمده‌اند به دلیل عدم درک تفاوت های این دو ویکی ویرایش های اشتباهی داشته اند. علاوه بر  [[راهنما:فهرست|راهنمای ویکی‌کتاب (برای تمام کاربران)]] یک راهنما هم داریم برای کاربرانی که از سایر پروژه های ویکی آمده‌اند ([[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب برای کاربران سایر پروژه‌های ویکی‌مدیا]]). علاوه بر این در میز تحریر بارها در این باره بحث شده که نمونه‌های از اون رو در زیر میتونید مشاهده کنید:
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#گفتگو|گفتگو]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها مانند ویکی‌نبشته|تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#چند نمونه از تفاوت های ویکی کتاب با ویکی پدیا|چند نمونه از تفاوت ها]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا|تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#همپوشانی ویکی کتاب و ویکی پدیا|همپوشانی]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۱#گنگ بودن مفهوم آموزشی در ویکی کتاب|گنگ بودن مفهوم]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی]]
:سپاسگزار از توجه شما، اگر پرسشی درباره ویکی‌کتاب دارید در خدمت هستم. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۵ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۵ (UTC)

درود خیلی ممنون💖[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۲ (UTC)

== لطفا درخواست مدیر شدن نکنید ==

درود. شمار ویرایش های شما بسیار ناچیز است و اکثر مطالبی که نوشتید کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی بوده است. شما هیچ کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد نکردید و در هیچ‌یک از نظرخواهی‌ها مشارکت نکردید. با چنین شرایطی لطفا درخواست مدیر شدن نکنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۴۲ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۱۲ (UTC)
:درود بر شما،ممنون که برای درخواست مدیر شدن به من اطلاع دادید،ولی من باید چه مراحلی را طی کنم تا بتوانم مدیر شوم؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
::این وبگاه در حال حاضر به مدیر جدید نیاز ندارد. میتونید به صورت یک کاربر در اینجا فعال باشید. موفق باشید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۲۸ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۷:۵۷ (ایران) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۳:۲۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۷ (UTC)

==اگر قصد ایجاد کتاب جدیدی دارید ...==
{{جعبه هشدار|پیش از اینکه کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد کنید حتما سری به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|این صفحه]] بزنید. اگر کتابی هست که موضوعی شبیه به موضوع دلخواه شما داشت میتونید محتوای خودتون رو به اون کتاب اضافه کنید. کتاب هایی که در جدول فهرست شده‌اند هنوز تکمیل نشده‌اند و در انتظار تکمیل شدن به دست کاربران ویکی‌کتاب چون شما هستند.}}
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۴ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۴ (UTC)
::همچنین ببینید: [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۶ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۶ (UTC)

سلام،خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
:سپاس از توجه شما. حالا که به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی]] سر زدید و هیچ کتابی را متناسب با سلیقه خود نیافتید راهی نیست جز اینکه کتاب جدید شما یعنی [[ریاضیات پیشرفته]] را نیز به فهرست بیفزاییم و منتظر باشیم اگر کاربری به ریاضی پیشرفته علاقه داشت در آن مشارکت کند. بنده هم اگر از نظر علمی نتوانم مشارکت کنم در ویرایش کردن کتاب به شما کمک خواهم کرد. نکته مهم این هست که سرفصل‌های کتاب رو تهیه کنید تا دیگر کاربران بدانند به چه موضوع هایی پرداخته میشود و بسته به میزان علاقه و سوادشان مشارکت کنند. صفحه تقسیم طولانی چندجمله ای را که پیشتر ایجاد کرده بودید به کتاب ریاضیات پیشرفته منتقل کردم. اکنون میتوانید برای ایجاد صفحه های جدید و کمک گرفتن از کاربران کوشش کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۸ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۸ (UTC)
{{پب|doostdar}}سلام و درود خیلی ممنون برای مشارکت باما من هم تمام زحمتم را برای گسترش این کتاب کمک خواهم کرد.
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۰۷ (UTC)

{{پب|doostdar}} درود مجدد من می خواهم مساحت و حجم را به ریاضیات پیشرفته انتقال دهم چون محتوای این صفحه به سطح کتاب هندسه مقدماتی نمی خورد.
به جای آن مبحث حجم و مساحت را به صورت خلاصه و ساده شرح شده به هندسه مقدماتی اضافه می کنیم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۳ (UTC)
::کار خوبی است. لطفا انجام دهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۴۷ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۳۴ (UTC)

== چند نکته برای نوشتن کتاب ==

برای اینکه ایبوک بهتری ایجاد کنید و مخاطب بیشتری جذب کنید که با قوانین ویکی‌کتاب مطابقت داشته باشه چند نکته رو براتون میگم که امیدوارم براتون مفید باشه:
* نام ایبوک رو طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشه و به خوبی مشخص کنه کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی هست. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست.
* سعی کنید ایبوک تون حتما پیشگفتار، فهرست، فصل های مختلف، واژه‌نامه، منابع داشته باشه. صفحه‌های کتاب به صورت نام کتاب/نام زیرصفحه باید ایجاد بشه. 
* اگر ایبوک تصاویر مناسبی داشته باشه مخاطب بیشتری جذب میشه. غیر از تصاویر خود کتاب به یک تصویر جلد هم نیاز هست.
* قبل از اینکه ایبوک جدیدی رو ایجاد کنید از کاربرهایی که به موضوع علاقه‌مند و مسلط هستن برای نوشتن ایبوک درخواست کمک کنید. اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید.
* نام رده همون نام ایبوک هست.
* پس از اینکه ایبوک خودتون رو کامل کردید می‌تونید نسخه پی‌دی‌اف از ایبوک‌تون تهیه کنید و ایبوک پی‌دی‌اف رو در اینترنت منتشر کنید. 
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۵۲ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۲۲ (UTC)
:ویرایش های کمی در دو روز گذشته داشتید. حتی مقدمه کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] بسیار کوتاه هست و معلوم نیست چه مطالبی قراره در کتاب نوشته بشه. لطفا رسیدگی کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۱۵ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۵ (UTC)
::کتاب شما در [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|فهرست کتاب‌های در حال تکمیل]] قرار گرفته اما در صورتی که ظرف چند هفته آینده بیش از پنجاه درصد این کتاب تکمیل نشود، کتاب حذف میگردد و از فهرست پاک میشود. زیرا هم اکنون ۴۶ کتاب در فهرست قرار دارند اما تعداد کاربران فعال کم است و در ماه‌های گذشته هیچ مشارکتی در بهبود این ۴۶ کتاب انجام نشده است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۷ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۷ (UTC)

حداقل باید این چهل شش تا کتاب را درست کنم باشه. [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۷ (UTC)

رسیدگی هم می کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۰۶ (UTC)

== کتاب‌های برگزیده ==

درود جناب {{BASEPAGENAME}}. برای دیدن فهرستی از کتاب‌های برگزیده ویکی‌کتاب [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|اینجا]] کلیک کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۱ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۱ (UTC)

چشم
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۵ (UTC)

== کار گروهی ==

کتابی که در این ویکی برای کار گروهی تمام کاربرها در نظر گرفتم [[لوح‌های نوری|کتاب لوح‌های نوری]] هست. این کتاب درباره لوح‌های رایانه‌ای مختلف شامل سی‌دی، دی‌وی‌دی، بلوری، الخ هست. از اونجایی که عموما ما با این لوح ها سر و کار داریم اطلاعاتی هم راجبشون داریم. به همین دلیل من این کتاب رو برای کار گروهی انتخاب کردم تا همه کاربرها در نوشتنش مشارکت کنن. شما هم می تونید در این کار گروهی شرکت کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۲ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۲ (UTC)

سلام دوستدار خیلی ممنون
من حالا تدارکات را در این کتاب آماده میکنم تا بریم برای گسترش کتاب
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۴ (UTC)

== کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی ==

درود. برخی از مطالبی که در [[ریاضیات پیشرفته]] نوشته‌اید را دیدم با یک بررسی ساده متوجه شدم قسمت‌هایی از متن از ویکی‌پدیا کپی شده است. نیازی نیست صفحه ها خیلی طولانی و دارای مطلب زیاد باشد. سعی کنید از منابع دیگر استفاده کنید و کپی‌رایت را هم رعایت کنید. چون در ویکی‌کتاب به شدت با نقض کپی‌رایت برخورد میکنیم. البته کپی‌رایت ویکی‌پدیا آزاد هست و مطالبی را که از اون وبگاه نوشتید از نظر کپی‌رایت مشکلی نداره ولی در کل کپی‌برداری از ویکیپدیا درست نیست چون در این صورت شما دیگر نویسنده کتاب نخواهید بود. بلکه نویسنده اصلی اصلی کتاب کاربران ویکی‌پدیا خواهند بود که آن مطالب را اول بار منتشر کرده‌اند. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۳ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۹:۲۲ (ایران) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۵۲ (UTC)

{{پب|doostdar}}درود خیلی ببخشید داشتم کتابم را گسترش می دادم تا حذفش نکنم،باشه من دیگه میرم از منابع های دیگه استفاده می کنم،باتشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۵۳ (UTC)
::همچنان مشغول کپی‌برداری از ویکی‌پدیا هستید پس از بررسی احتمال دارد حجم عظیمی از مطالبی را که از ویکی‌پدیا کپی کرده‌اید حذف کنم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۰ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۰ (UTC)

درود آخه ویکی پدیا منبع خوبی برای این کتاب است [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۹ (UTC)

سلام بر کاربر دوستدار
بله حجم آنها زیاد شده و احتیاج به حذفیات دارد ولی از جهتی باید مفاهیم مهم،شاخه ها و ریاضیات مفاهیم آنها حذف نگردد فقط مطالب های زیر مثل مبحث های هندسه،حسابان و... مطالب های پرحجم آنها حذف گردد تا نسخه چاپی بهتر عمل کند با تشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۹:۳۰ (UTC)

== نوشتن و ویرایش کتاب ==

کتابی که نوشتید یک سری چیزها رو نداره. نکاتی رو از [[ویکی‌کتاب:خودآموز|خودآموز ویکی‌کتاب]] براتون مینویسم:
:اگر مطلب‌تان درباره یک موضوع دانشگاهی است و از سطح کیفی بالایی برخوردار است می‌تواند به عنوان کتاب درسی در کلاس درس مورد استفاده قرار گیرد.
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]، کتاب‌های ویکی‌کتاب محدود شده است به کتاب‌های آموزشی (pedagogic) مثل کتابچه‌های راهنما و درسنامه‌های آموزشی. بسیاری از انواع کتاب در اینجا جای نمی‌گیرند.
:اندازه هر کتاب در ویکی‌کتاب محدود نیست به اینکه بتوان از آن نسخه چاپی تهیه کرد. مقدار حداقل یا حداکثری برای یک کتاب در نظر گرفته نشده است. ممکن است بعضی از کتاب‌ها بیش از حد طولانی باشند و بعضی دیگر خیلی کوتاه باشند. با این حال مهمترین نکته این است که کتاب، حاوی اطلاعات ضروری باشد.
:یک کتاب خوب باید چند شاخصه داشته باشد: یک برنامه خوب - زیرساخت مستحکم - تمرکز شدید - پوشش کامل
:آیا به کتاب شما نیاز است؟ خوشبختانه در ویکی‌کتاب روال این است که ابتدا نگاه می‌کنیم ببینیم آیا به کتاب جدید نیاز هست یا نه؟ نگاه می‌کنیم که آیا در کتاب‌های موجود قبلا کتابی با آن موضوع وجود دارد یا نه؟ مثلا در زمینه ریاضیات باید کتابی برای حسابان وجود داشته باشد، اگر کتابی در این باره در ویکی‌کتاب وجود نداشته باشد می‌توانید آن را ایجاد کنید.
:روش‌های مختلفی برای نوشتن کتاب درباره یک موضوع وجود دارد. شما می‌توانید یک کتاب را برای یک گروه مخاطب خاص بنویسید (آمار برای ریاضی‌دانان) یا می‌توانید یک کتاب بنویسید (آمار) که موضوع را از جنبه‌های مختلفی بررسی کند و به این ترتیب برای همه مخاطبان قابل استفاده باشد. برای مثال می‌توانید کتاب را به دوبخش مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش آمار برای بازرگانان، یک بخش آمار برای ریاضی‌دانان) یا اینکه می‌توانید هر صفحه را به بخش‌های مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش برای فرمول‌های جبری و نتایج، یک بخش زیر آن برای مشتق‌های حسابان).
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/پیکربندی کتاب‌ها چگونه است؟]]، پیش از آنکه شروع به نوشتن هر چیزی کنید، یک تعریف باید برای ایبوک‌تان بنویسید. مخاطب ایبوک چه کسانی هستند؟ چه هدفی دارد؟ ژرفا به چه صورت است؟ کتاب از چه زبانی می‌خواهد استفاده کند. در این پروژه، ویکی‌کتاب فارسی، تمام کتاب‌ها باید به زبان فارسی نوشته شوند. با این حال اینکه از فارسی ایرانی استفاده می‌شود یا فارسی افغانی به نویسنده کتاب بستگی دارد. 
:ما یک سیاست نامگذاری داریم که باعث می‌شود تمام کتاب‌ها و صفحات ویکی‌کتاب به گونه‌ای استاندارد سازماندهی شوند. تمام صفحه‌های کتاب در اسم خود نام کتاب را به عنوان پیشوند، همراه دارند و پس از ممیز، نام کتاب می‌آید. به عنوان مثال «کتاب من/صفحه من» صحیح است ولی «صفحه من» اشتباه است.
:اگر خردنوشته برای شروع کتاب باشد کاربران دیگر می‌توانند برای گسترش دادن آن کمک کنند. یک «خُرد خوب» بایستی: به خوبی توضیح دهد چه مطالبی قرار است پوشش داده شود - یک مقدمه کوتاه درباره موضوع بدهد - یک چهارچوب سازمان یافته داشته باشد (مثلا عنوان‌های بخش‌ها مشخص شده باشد) تا مشخص شود اطلاعات در کجا باید قرار بگیرند - اگر خردنوشته ها اطلاعات فوق را در برنداشته باشند بیشتر گیج کننده خواهند بود برای نویسندگان و بهتر است حذف شوند.
:طرح کلی از این نظر خوب است که نویسنده می‌داند کار را از کجا بایستی آغاز کند. البته ممکن است نویسنده جدیدی جذب کتاب نشود پس اگر طرح کلی‌ای را که ایجاد کرده‌اید متروک گذاشتید و رویش کار نکردید ممکن است حذف شود.
:یکی از انواع رایج الگوها سرصفحه‌ها (که در بالای صفحه قرار می‌گیرند) و پاصفحه‌ها (الگوهایی که در پایین صفحه قرار می‌گیرند) هستند. این الگوها معمولا پیوندی به صفحه قبلی و صفحه بعدی و نیز فهرست محتویات دارند.
:یک راه دیگر برای یافتن کتاب این است که از میان [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|موضوع‌های مختلفی]] که در ویکی‌کتاب وجود دارد موضوعی را که برای آن جستجو می‌کنید بیابید و سپس ایبوک مورد نظرتان را پیدا کنید. این صفحه‌های موضوعی در گذشته در ویکی‌کتاب وجود نداشتند و به جای آن از کتابخانه استفاده می‌شد. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۲ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۲ (UTC)

خیلی ممنون که فرستادید [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۶ (UTC)
:همچنان بدون توجه به تذکرهای من، صفحه‌هایی که ایجاد میکنید بدون هیچ ساختار مشخصی و فاقد الگوهای ویکی‌کتاب فارسی است. احتمال حذف زیاد است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۳ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۳ (UTC)

صبر کنید تا همه را درست کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۷ (UTC)

سلام بر کاربر عزیز من رده هارا در کنار صفحات قرار دادم احتمال اینکه کتاب باشد هست؟ [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۹:۳۱ (UTC)

== منابع استفاده شده برای نوشتن کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] ==

درود. مشخص نیست مطالب افزوده شده به این کتاب از کدام منبع هست. لطفا با ذکر منبع مطلب بیفزایید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۵ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۵ (UTC)

سلام،خیلی ممنون که اطلاع دادید،منابع هارا نوشتم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۵ (UTC)</text>
      <sha1>16zyc2f384gyso9sm18get9atvnhqi6</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117411</id>
      <parentid>117409</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T11:10:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33019" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۲۹ مهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۱ (UTC)

== شش‌ضلعی‌منتظم ==

درود. به تازگی صفحه‌ای با عنوان بالا ایجاد کردید. بررسی کردم دیدم این صفحه رو در کتاب [[هندسه مقدماتی]] ایجاد کردید. تا جایی که این کتاب رو مطالعه کردم برای سطح مبتدی نوشته شده و بیشتر درباره مربع و دایره و مستطیل و چند وجهی مطالبی در اون گنجانده شده. هر فصل در حد چند خط است نه بیشتر تا فهم مطالب برای یک شخص ناآشنا با هندسه دشوار نباشد. با سرچی که در میان کتاب های ویکی‌کتاب انجام دادم کتاب دیگری به نان [[آشنایی با چندوجهی‌ها]] را یافتم که به صورت تخصصی به چندوجهی‌ها می‌پردازد. به نظرم مطالب شما بیشتر به درد این کتاب میخوره. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۱۲ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۲۳:۵۷ (ایران) ‏۳ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۲۷ (UTC)

سلام و درود یعنی میگویید من باید صفحه شش ضلعی را انتقال بدهم؟
اگر انتقال می خواد باشد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۷ (UTC)
: اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۷ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۷ (UTC)

باشه خیلی ممنون که گفتید🙏 [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۳ (UTC)

== تفاوت با ویکی‌پدیا ==

درود. دوباره ورود شما رو به ویکی‌کتاب خوش آمد میگم. با توجه به اینکه در صفحه کاربری اعلام کردید از ویکی‌پدیا آمده‌اید چند نکته رو بهتر دونستم یادآوری کنم. شوربختانه برخی از کاربرانی که از ویکی‌پدیا به ویکی‌کتاب آمده‌اند به دلیل عدم درک تفاوت های این دو ویکی ویرایش های اشتباهی داشته اند. علاوه بر  [[راهنما:فهرست|راهنمای ویکی‌کتاب (برای تمام کاربران)]] یک راهنما هم داریم برای کاربرانی که از سایر پروژه های ویکی آمده‌اند ([[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب برای کاربران سایر پروژه‌های ویکی‌مدیا]]). علاوه بر این در میز تحریر بارها در این باره بحث شده که نمونه‌های از اون رو در زیر میتونید مشاهده کنید:
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#گفتگو|گفتگو]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۴#تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها مانند ویکی‌نبشته|تعیین مرز برای قرار دادن مطلب در ویکی‌کتاب و دیگر ویکی‌ها]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#چند نمونه از تفاوت های ویکی کتاب با ویکی پدیا|چند نمونه از تفاوت ها]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا|تفاوت های ویکی کتاب و ویکی پدیا]]، [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۸#همپوشانی ویکی کتاب و ویکی پدیا|همپوشانی]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۱#گنگ بودن مفهوم آموزشی در ویکی کتاب|گنگ بودن مفهوم]]
* [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب]] و [[ویکی‌کتاب:میز تحریر/بایگانی۱۶#تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی|تفاوت ویکی‌پدیا و ویکی‌کتاب فارسی]]
:سپاسگزار از توجه شما، اگر پرسشی درباره ویکی‌کتاب دارید در خدمت هستم. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۱:۰۵ (ایران) ‏۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۰:۳۵ (UTC)

درود خیلی ممنون💖[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۴۲ (UTC)

== لطفا درخواست مدیر شدن نکنید ==

درود. شمار ویرایش های شما بسیار ناچیز است و اکثر مطالبی که نوشتید کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی بوده است. شما هیچ کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد نکردید و در هیچ‌یک از نظرخواهی‌ها مشارکت نکردید. با چنین شرایطی لطفا درخواست مدیر شدن نکنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۴۲ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۱۲ (UTC)
:درود بر شما،ممنون که برای درخواست مدیر شدن به من اطلاع دادید،ولی من باید چه مراحلی را طی کنم تا بتوانم مدیر شوم؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
::این وبگاه در حال حاضر به مدیر جدید نیاز ندارد. میتونید به صورت یک کاربر در اینجا فعال باشید. موفق باشید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۲۸ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۰۷:۵۷ (ایران) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۳:۲۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۷ (UTC)

==اگر قصد ایجاد کتاب جدیدی دارید ...==
{{جعبه هشدار|پیش از اینکه کتاب جدیدی در ویکی‌کتاب ایجاد کنید حتما سری به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|این صفحه]] بزنید. اگر کتابی هست که موضوعی شبیه به موضوع دلخواه شما داشت میتونید محتوای خودتون رو به اون کتاب اضافه کنید. کتاب هایی که در جدول فهرست شده‌اند هنوز تکمیل نشده‌اند و در انتظار تکمیل شدن به دست کاربران ویکی‌کتاب چون شما هستند.}}
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۴ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۴ (UTC)
::همچنین ببینید: [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۲۷ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۰۶ (ایران) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۳۶ (UTC)

سلام،خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۴۴ (UTC)
:سپاس از توجه شما. حالا که به [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی]] سر زدید و هیچ کتابی را متناسب با سلیقه خود نیافتید راهی نیست جز اینکه کتاب جدید شما یعنی [[ریاضیات پیشرفته]] را نیز به فهرست بیفزاییم و منتظر باشیم اگر کاربری به ریاضی پیشرفته علاقه داشت در آن مشارکت کند. بنده هم اگر از نظر علمی نتوانم مشارکت کنم در ویرایش کردن کتاب به شما کمک خواهم کرد. نکته مهم این هست که سرفصل‌های کتاب رو تهیه کنید تا دیگر کاربران بدانند به چه موضوع هایی پرداخته میشود و بسته به میزان علاقه و سوادشان مشارکت کنند. صفحه تقسیم طولانی چندجمله ای را که پیشتر ایجاد کرده بودید به کتاب ریاضیات پیشرفته منتقل کردم. اکنون میتوانید برای ایجاد صفحه های جدید و کمک گرفتن از کاربران کوشش کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۸ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۸ (UTC)
{{پب|doostdar}}سلام و درود خیلی ممنون برای مشارکت باما من هم تمام زحمتم را برای گسترش این کتاب کمک خواهم کرد.
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۰۷ (UTC)

{{پب|doostdar}} درود مجدد من می خواهم مساحت و حجم را به ریاضیات پیشرفته انتقال دهم چون محتوای این صفحه به سطح کتاب هندسه مقدماتی نمی خورد.
به جای آن مبحث حجم و مساحت را به صورت خلاصه و ساده شرح شده به هندسه مقدماتی اضافه می کنیم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۳ (UTC)
::کار خوبی است. لطفا انجام دهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۴۷ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۱۷ (UTC)

خیلی ممنون [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۳۴ (UTC)

== چند نکته برای نوشتن کتاب ==

برای اینکه ایبوک بهتری ایجاد کنید و مخاطب بیشتری جذب کنید که با قوانین ویکی‌کتاب مطابقت داشته باشه چند نکته رو براتون میگم که امیدوارم براتون مفید باشه:
* نام ایبوک رو طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشه و به خوبی مشخص کنه کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی هست. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست.
* سعی کنید ایبوک تون حتما پیشگفتار، فهرست، فصل های مختلف، واژه‌نامه، منابع داشته باشه. صفحه‌های کتاب به صورت نام کتاب/نام زیرصفحه باید ایجاد بشه. 
* اگر ایبوک تصاویر مناسبی داشته باشه مخاطب بیشتری جذب میشه. غیر از تصاویر خود کتاب به یک تصویر جلد هم نیاز هست.
* قبل از اینکه ایبوک جدیدی رو ایجاد کنید از کاربرهایی که به موضوع علاقه‌مند و مسلط هستن برای نوشتن ایبوک درخواست کمک کنید. اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید رو ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتون رو پیدا کنید و در تکمیل اون مشارکت کنید.
* نام رده همون نام ایبوک هست.
* پس از اینکه ایبوک خودتون رو کامل کردید می‌تونید نسخه پی‌دی‌اف از ایبوک‌تون تهیه کنید و ایبوک پی‌دی‌اف رو در اینترنت منتشر کنید. 
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۵۲ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۲۲ (UTC)
:ویرایش های کمی در دو روز گذشته داشتید. حتی مقدمه کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] بسیار کوتاه هست و معلوم نیست چه مطالبی قراره در کتاب نوشته بشه. لطفا رسیدگی کنید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۱۵ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۵ (UTC)
::کتاب شما در [[ویکی‌کتاب:ایبوک‌ها بر حسب وضعیت تکمیل‌شدگی|فهرست کتاب‌های در حال تکمیل]] قرار گرفته اما در صورتی که ظرف چند هفته آینده بیش از پنجاه درصد این کتاب تکمیل نشود، کتاب حذف میگردد و از فهرست پاک میشود. زیرا هم اکنون ۴۶ کتاب در فهرست قرار دارند اما تعداد کاربران فعال کم است و در ماه‌های گذشته هیچ مشارکتی در بهبود این ۴۶ کتاب انجام نشده است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۴۷ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۷ (UTC)

حداقل باید این چهل شش تا کتاب را درست کنم باشه. [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۷ (UTC)

رسیدگی هم می کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۰۶ (UTC)

== کتاب‌های برگزیده ==

درود جناب {{BASEPAGENAME}}. برای دیدن فهرستی از کتاب‌های برگزیده ویکی‌کتاب [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|اینجا]] کلیک کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۱ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۱ (UTC)

چشم
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۵ (UTC)

== کار گروهی ==

کتابی که در این ویکی برای کار گروهی تمام کاربرها در نظر گرفتم [[لوح‌های نوری|کتاب لوح‌های نوری]] هست. این کتاب درباره لوح‌های رایانه‌ای مختلف شامل سی‌دی، دی‌وی‌دی، بلوری، الخ هست. از اونجایی که عموما ما با این لوح ها سر و کار داریم اطلاعاتی هم راجبشون داریم. به همین دلیل من این کتاب رو برای کار گروهی انتخاب کردم تا همه کاربرها در نوشتنش مشارکت کنن. شما هم می تونید در این کار گروهی شرکت کنید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۵۲ (ایران) ‏۲۴ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۲۲ (UTC)

سلام دوستدار خیلی ممنون
من حالا تدارکات را در این کتاب آماده میکنم تا بریم برای گسترش کتاب
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۵۴ (UTC)

== کپی‌برداری از ویکی‌پدیای فارسی ==

درود. برخی از مطالبی که در [[ریاضیات پیشرفته]] نوشته‌اید را دیدم با یک بررسی ساده متوجه شدم قسمت‌هایی از متن از ویکی‌پدیا کپی شده است. نیازی نیست صفحه ها خیلی طولانی و دارای مطلب زیاد باشد. سعی کنید از منابع دیگر استفاده کنید و کپی‌رایت را هم رعایت کنید. چون در ویکی‌کتاب به شدت با نقض کپی‌رایت برخورد میکنیم. البته کپی‌رایت ویکی‌پدیا آزاد هست و مطالبی را که از اون وبگاه نوشتید از نظر کپی‌رایت مشکلی نداره ولی در کل کپی‌برداری از ویکیپدیا درست نیست چون در این صورت شما دیگر نویسنده کتاب نخواهید بود. بلکه نویسنده اصلی اصلی کتاب کاربران ویکی‌پدیا خواهند بود که آن مطالب را اول بار منتشر کرده‌اند. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۳ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۹:۲۲ (ایران) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۵۲ (UTC)

{{پب|doostdar}}درود خیلی ببخشید داشتم کتابم را گسترش می دادم تا حذفش نکنم،باشه من دیگه میرم از منابع های دیگه استفاده می کنم،باتشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۵۳ (UTC)
::همچنان مشغول کپی‌برداری از ویکی‌پدیا هستید پس از بررسی احتمال دارد حجم عظیمی از مطالبی را که از ویکی‌پدیا کپی کرده‌اید حذف کنم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۰ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۰ (UTC)

درود بر شما کاربر عزیز،من میخواهم مطالب هارا از ویکی پدیا کپی کنم و بعد که کتاب را کامل کردم ویراستاری کنم و مطالب هارا تغییر و موارد اضافی را حذف کنم.چون الان از ویکی کتاب بنویسیم و نسخه هارا همان جا ویرایش دهم کار طولانی است و زمان زیادی را در بر می گیرد.من از کپی برداری خوشم نمی آید و بعد که کتاب کامل شد مطالب کپی را تغییر و ویرایش می کنم،به شما قول می دهم.باتشکر
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۹ (UTC)

سلام بر کاربر دوستدار
بله حجم آنها زیاد شده و احتیاج به حذفیات دارد ولی از جهتی باید مفاهیم مهم،شاخه ها و ریاضیات مفاهیم آنها حذف نگردد فقط مطالب های زیر مثل مبحث های هندسه،حسابان و... مطالب های پرحجم آنها حذف گردد تا نسخه چاپی بهتر عمل کند با تشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۹:۳۰ (UTC)

== نوشتن و ویرایش کتاب ==

کتابی که نوشتید یک سری چیزها رو نداره. نکاتی رو از [[ویکی‌کتاب:خودآموز|خودآموز ویکی‌کتاب]] براتون مینویسم:
:اگر مطلب‌تان درباره یک موضوع دانشگاهی است و از سطح کیفی بالایی برخوردار است می‌تواند به عنوان کتاب درسی در کلاس درس مورد استفاده قرار گیرد.
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/شروع کردن یک کتاب جدید در ویکی‌کتاب]]، کتاب‌های ویکی‌کتاب محدود شده است به کتاب‌های آموزشی (pedagogic) مثل کتابچه‌های راهنما و درسنامه‌های آموزشی. بسیاری از انواع کتاب در اینجا جای نمی‌گیرند.
:اندازه هر کتاب در ویکی‌کتاب محدود نیست به اینکه بتوان از آن نسخه چاپی تهیه کرد. مقدار حداقل یا حداکثری برای یک کتاب در نظر گرفته نشده است. ممکن است بعضی از کتاب‌ها بیش از حد طولانی باشند و بعضی دیگر خیلی کوتاه باشند. با این حال مهمترین نکته این است که کتاب، حاوی اطلاعات ضروری باشد.
:یک کتاب خوب باید چند شاخصه داشته باشد: یک برنامه خوب - زیرساخت مستحکم - تمرکز شدید - پوشش کامل
:آیا به کتاب شما نیاز است؟ خوشبختانه در ویکی‌کتاب روال این است که ابتدا نگاه می‌کنیم ببینیم آیا به کتاب جدید نیاز هست یا نه؟ نگاه می‌کنیم که آیا در کتاب‌های موجود قبلا کتابی با آن موضوع وجود دارد یا نه؟ مثلا در زمینه ریاضیات باید کتابی برای حسابان وجود داشته باشد، اگر کتابی در این باره در ویکی‌کتاب وجود نداشته باشد می‌توانید آن را ایجاد کنید.
:روش‌های مختلفی برای نوشتن کتاب درباره یک موضوع وجود دارد. شما می‌توانید یک کتاب را برای یک گروه مخاطب خاص بنویسید (آمار برای ریاضی‌دانان) یا می‌توانید یک کتاب بنویسید (آمار) که موضوع را از جنبه‌های مختلفی بررسی کند و به این ترتیب برای همه مخاطبان قابل استفاده باشد. برای مثال می‌توانید کتاب را به دوبخش مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش آمار برای بازرگانان، یک بخش آمار برای ریاضی‌دانان) یا اینکه می‌توانید هر صفحه را به بخش‌های مختلف تقسیم‌بندی کنید (یک بخش برای فرمول‌های جبری و نتایج، یک بخش زیر آن برای مشتق‌های حسابان).
:بر اساس [[ویکی‌کتاب:خودآموز/پیکربندی کتاب‌ها چگونه است؟]]، پیش از آنکه شروع به نوشتن هر چیزی کنید، یک تعریف باید برای ایبوک‌تان بنویسید. مخاطب ایبوک چه کسانی هستند؟ چه هدفی دارد؟ ژرفا به چه صورت است؟ کتاب از چه زبانی می‌خواهد استفاده کند. در این پروژه، ویکی‌کتاب فارسی، تمام کتاب‌ها باید به زبان فارسی نوشته شوند. با این حال اینکه از فارسی ایرانی استفاده می‌شود یا فارسی افغانی به نویسنده کتاب بستگی دارد. 
:ما یک سیاست نامگذاری داریم که باعث می‌شود تمام کتاب‌ها و صفحات ویکی‌کتاب به گونه‌ای استاندارد سازماندهی شوند. تمام صفحه‌های کتاب در اسم خود نام کتاب را به عنوان پیشوند، همراه دارند و پس از ممیز، نام کتاب می‌آید. به عنوان مثال «کتاب من/صفحه من» صحیح است ولی «صفحه من» اشتباه است.
:اگر خردنوشته برای شروع کتاب باشد کاربران دیگر می‌توانند برای گسترش دادن آن کمک کنند. یک «خُرد خوب» بایستی: به خوبی توضیح دهد چه مطالبی قرار است پوشش داده شود - یک مقدمه کوتاه درباره موضوع بدهد - یک چهارچوب سازمان یافته داشته باشد (مثلا عنوان‌های بخش‌ها مشخص شده باشد) تا مشخص شود اطلاعات در کجا باید قرار بگیرند - اگر خردنوشته ها اطلاعات فوق را در برنداشته باشند بیشتر گیج کننده خواهند بود برای نویسندگان و بهتر است حذف شوند.
:طرح کلی از این نظر خوب است که نویسنده می‌داند کار را از کجا بایستی آغاز کند. البته ممکن است نویسنده جدیدی جذب کتاب نشود پس اگر طرح کلی‌ای را که ایجاد کرده‌اید متروک گذاشتید و رویش کار نکردید ممکن است حذف شود.
:یکی از انواع رایج الگوها سرصفحه‌ها (که در بالای صفحه قرار می‌گیرند) و پاصفحه‌ها (الگوهایی که در پایین صفحه قرار می‌گیرند) هستند. این الگوها معمولا پیوندی به صفحه قبلی و صفحه بعدی و نیز فهرست محتویات دارند.
:یک راه دیگر برای یافتن کتاب این است که از میان [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|موضوع‌های مختلفی]] که در ویکی‌کتاب وجود دارد موضوعی را که برای آن جستجو می‌کنید بیابید و سپس ایبوک مورد نظرتان را پیدا کنید. این صفحه‌های موضوعی در گذشته در ویکی‌کتاب وجود نداشتند و به جای آن از کتابخانه استفاده می‌شد. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۲ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۲ (UTC)

خیلی ممنون که فرستادید [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۶ (UTC)
:همچنان بدون توجه به تذکرهای من، صفحه‌هایی که ایجاد میکنید بدون هیچ ساختار مشخصی و فاقد الگوهای ویکی‌کتاب فارسی است. احتمال حذف زیاد است. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] چهارشنبه،۵ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۳:۲۳ (ایران) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۳ (UTC)

صبر کنید تا همه را درست کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۵۷ (UTC)

سلام بر کاربر عزیز من رده هارا در کنار صفحات قرار دادم احتمال اینکه کتاب باشد هست؟ [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۹:۳۱ (UTC)

== منابع استفاده شده برای نوشتن کتاب [[ریاضیات پیشرفته]] ==

درود. مشخص نیست مطالب افزوده شده به این کتاب از کدام منبع هست. لطفا با ذکر منبع مطلب بیفزایید. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۵:۲۵ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۵۵ (UTC)

سلام،خیلی ممنون که اطلاع دادید،منابع هارا نوشتم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۵ (UTC)</text>
      <sha1>556wiazlmvsk6cs7lmyl2qssfkkkf4t</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35952</id>
    <revision>
      <id>117348</id>
      <parentid>117341</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T13:02:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4116" xml:space="preserve">{{وضعیت|0%}}

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته  ریاضیات را به نمایش می گذارد.دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان،آنالیز،هندسه و... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد،ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش میدهد.مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم،به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آنها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات|ریاضیات]]
*تاریخ ریاضیات
*المپیاد ریاضیات
*جوایز ریاضیات
*شاخه های ریاضیات
*علوم ریاضیات
*فلسفه ریاضیات
*انجمن ریاضیات ایران
== ریاضیات گسسته ==
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
* منطق(مطالعه استدلال)
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
* [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
* هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
* الگوریتم‌شناسی
* نظریه اطلاعات 
* نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
* نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
* جبر خطی
* مجموعه جزئاً مرتب 
* احتمالات 
* برهان(ریاضیات) 
* شمارش
* رابطه دوتایی
== حسابان ==
*حساب دیفرانسیل
*انتگرال
*مثلثات
*مثلثات کروی
*تابع(ریاضیات)
*تابع لگاریتمی
*معادله خطی
*جبر و معادله
*حد و پیوستگی
*حد نامتناهی
*حد متناهی
*مشتق
== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
*هندسه
*هندسه فضایی
*هندسه اقلیدسی
*هندسه نااقلیدسی
*هندسه تحلیلی
*هندسه ریمانی
*هندسه جبری
*هندسه دیفرانسیل
*هندسه تصویری

=== مفاهیم مورد هندسی ===
*[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
*[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
*استوانه
*کره
*هرم
*مخروط
*چهاروجهی منتظم
*متوازی السطوح
*[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
*هشت وجهی منتظم
*چنبره
*دوران
*زاویه مرکزی
*زاویه محاطی
*زاویه ظلی
*زاویه فضایی
*قطاع
*رادیان
*گرادیان

== آنالیز ریاضی ==
*
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
*زاویه مرکزی
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
*زاویه فضایی
*قطاع
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*آمار و احتمال</text>
      <sha1>f6lrz7tnguasbitohnukl2uw5w5tcjg</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117353</id>
      <parentid>117348</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T15:18:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4175" xml:space="preserve">{{وضعیت|0%}}

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته  ریاضیات را به نمایش می گذارد.دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان،آنالیز،هندسه و... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد،ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش میدهد.مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم،به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آنها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات|ریاضیات]]
*تاریخ ریاضیات
*المپیاد ریاضیات
*جوایز ریاضیات
*شاخه های ریاضیات
*علوم ریاضیات
*فلسفه ریاضیات
*انجمن ریاضیات ایران
== ریاضیات گسسته ==
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
* منطق(مطالعه استدلال)
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
* [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
* هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
* الگوریتم‌شناسی
* نظریه اطلاعات 
* نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
* نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
* جبر خطی
* مجموعه جزئاً مرتب 
* احتمالات 
* برهان(ریاضیات) 
* شمارش
* رابطه دوتایی
== حسابان ==
*حساب دیفرانسیل
*انتگرال
*مثلثات
*مثلثات کروی
*تابع(ریاضیات)
*تابع لگاریتمی
*معادله خطی
*جبر و معادله
*حد و پیوستگی
*حد نامتناهی
*حد متناهی
*مشتق
== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
*هندسه
*هندسه فضایی
*هندسه اقلیدسی
*هندسه نااقلیدسی
*هندسه تحلیلی
*هندسه ریمانی
*هندسه جبری
*هندسه دیفرانسیل
*هندسه تصویری

=== مفاهیم مورد هندسی ===
*[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
*[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
*استوانه
*کره
*هرم
*مخروط
*چهاروجهی منتظم
*متوازی السطوح
*[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
*هشت وجهی منتظم
*چنبره
*دوران
*زاویه مرکزی
*زاویه محاطی
*زاویه ظلی
*زاویه فضایی
*قطاع
*رادیان
*گرادیان

== آنالیز ریاضی ==
*
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
*زاویه مرکزی
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
*زاویه فضایی
*قطاع
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]</text>
      <sha1>ha12serojo3ith1b7tz3cyffeolsvkj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117365</id>
      <parentid>117353</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T18:09:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4357" xml:space="preserve">{{وضعیت|0%}}

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته  ریاضیات را به نمایش می گذارد.دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان،آنالیز،هندسه و... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد،ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش میدهد.مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم،به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آنها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات|ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*جوایز ریاضیات
*شاخه های ریاضیات
*[[ریاضیات پیشرفته/علوم ریاضیات|علوم ریاضیات]]
*فلسفه ریاضیات
*انجمن ریاضیات ایران
== ریاضیات گسسته ==
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
* منطق(مطالعه استدلال)
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
* [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
* هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
* الگوریتم‌شناسی
* نظریه اطلاعات 
* نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
* نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
* جبر خطی
* مجموعه جزئاً مرتب 
* احتمالات 
* برهان(ریاضیات) 
* شمارش
* رابطه دوتایی
== حسابان ==
*حساب دیفرانسیل
*انتگرال
*مثلثات
*مثلثات کروی
*تابع(ریاضیات)
*تابع لگاریتمی
*معادله خطی
*جبر و معادله
*حد و پیوستگی
*حد نامتناهی
*حد متناهی
*مشتق
== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
*هندسه
*هندسه فضایی
*هندسه اقلیدسی
*هندسه نااقلیدسی
*هندسه تحلیلی
*هندسه ریمانی
*هندسه جبری
*هندسه دیفرانسیل
*هندسه تصویری

=== مفاهیم مورد هندسی ===
*[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
*[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
*استوانه
*کره
*هرم
*مخروط
*چهاروجهی منتظم
*متوازی السطوح
*[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
*هشت وجهی منتظم
*چنبره
*دوران
*زاویه مرکزی
*زاویه محاطی
*زاویه ظلی
*زاویه فضایی
*قطاع
*رادیان
*گرادیان

== آنالیز ریاضی ==
*
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
*زاویه مرکزی
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
*زاویه فضایی
*قطاع
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]</text>
      <sha1>1yvlnlw17jkurwijx37s0rbqglrizep</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117366</id>
      <parentid>117365</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T18:28:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4358" xml:space="preserve">{{وضعیت|25%}}

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته  ریاضیات را به نمایش می گذارد.دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان،آنالیز،هندسه و... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد،ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش میدهد.مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم،به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آنها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات|ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*جوایز ریاضیات
*شاخه های ریاضیات
*[[ریاضیات پیشرفته/علوم ریاضیات|علوم ریاضیات]]
*فلسفه ریاضیات
*انجمن ریاضیات ایران
== ریاضیات گسسته ==
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
* منطق(مطالعه استدلال)
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
* [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
* هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
* الگوریتم‌شناسی
* نظریه اطلاعات 
* نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
* نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
* جبر خطی
* مجموعه جزئاً مرتب 
* احتمالات 
* برهان(ریاضیات) 
* شمارش
* رابطه دوتایی
== حسابان ==
*حساب دیفرانسیل
*انتگرال
*مثلثات
*مثلثات کروی
*تابع(ریاضیات)
*تابع لگاریتمی
*معادله خطی
*جبر و معادله
*حد و پیوستگی
*حد نامتناهی
*حد متناهی
*مشتق
== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
*هندسه
*هندسه فضایی
*هندسه اقلیدسی
*هندسه نااقلیدسی
*هندسه تحلیلی
*هندسه ریمانی
*هندسه جبری
*هندسه دیفرانسیل
*هندسه تصویری

=== مفاهیم مورد هندسی ===
*[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
*[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
*استوانه
*کره
*هرم
*مخروط
*چهاروجهی منتظم
*متوازی السطوح
*[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
*هشت وجهی منتظم
*چنبره
*دوران
*زاویه مرکزی
*زاویه محاطی
*زاویه ظلی
*زاویه فضایی
*قطاع
*رادیان
*گرادیان

== آنالیز ریاضی ==
*
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
*زاویه مرکزی
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
*زاویه فضایی
*قطاع
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]</text>
      <sha1>pb4rte3692w549ncox3qg5qts4z13ny</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117374</id>
      <parentid>117366</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T05:55:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4614" xml:space="preserve">{{وضعیت|25%}}

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته  ریاضیات را به نمایش می گذارد.دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان،آنالیز،هندسه و... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد،ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش میدهد.مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم،به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آنها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات|ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|جوایز ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/شاخه های ریاضیات|شاخه های ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/علوم ریاضیات|علوم ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|فلسفه ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران|انجمن ریاضیات ایران]]
== ریاضیات گسسته ==
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
* منطق(مطالعه استدلال)
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
* [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
* هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
* الگوریتم‌شناسی
* نظریه اطلاعات 
* نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
* نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
* جبر خطی
* مجموعه جزئاً مرتب 
* احتمالات 
* برهان(ریاضیات) 
* شمارش
* رابطه دوتایی
== حسابان ==
*حساب دیفرانسیل
*انتگرال
*مثلثات
*مثلثات کروی
*تابع(ریاضیات)
*تابع لگاریتمی
*معادله خطی
*جبر و معادله
*حد و پیوستگی
*حد نامتناهی
*حد متناهی
*مشتق
== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
*هندسه
*هندسه فضایی
*هندسه اقلیدسی
*هندسه نااقلیدسی
*هندسه تحلیلی
*هندسه ریمانی
*هندسه جبری
*هندسه دیفرانسیل
*هندسه تصویری

=== مفاهیم مورد هندسی ===
*[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
*[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
*استوانه
*کره
*هرم
*مخروط
*چهاروجهی منتظم
*متوازی السطوح
*[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
*هشت وجهی منتظم
*چنبره
*دوران
*زاویه مرکزی
*زاویه محاطی
*زاویه ظلی
*زاویه فضایی
*قطاع
*رادیان
*گرادیان

== آنالیز ریاضی ==
*
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
*زاویه مرکزی
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
*زاویه فضایی
*قطاع
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]</text>
      <sha1>6re9ceg7c4m8v5pd8vesjmpiv7gpv8j</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117383</id>
      <parentid>117374</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T08:55:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4778" xml:space="preserve">{{وضعیت|25%}}

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته  ریاضیات را به نمایش می گذارد.دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان،آنالیز،هندسه و... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد،ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش میدهد.مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم،به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آنها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات|ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|جوایز ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/شاخه های ریاضیات|شاخه های ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/علوم ریاضیات|علوم ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|فلسفه ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران|انجمن ریاضیات ایران]]
== ریاضیات گسسته ==
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
* منطق(مطالعه استدلال)
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
* [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
* هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
* الگوریتم‌شناسی
* نظریه اطلاعات 
* نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
* نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
* جبر خطی
* مجموعه جزئاً مرتب 
* احتمالات 
* برهان(ریاضیات) 
* شمارش
* رابطه دوتایی
== حسابان ==
*حساب دیفرانسیل
*انتگرال
*مثلثات
*مثلثات کروی
*تابع(ریاضیات)
*تابع لگاریتمی
*معادله خطی
*جبر و معادله
*حد و پیوستگی
*حد نامتناهی
*حد متناهی
*مشتق
== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
*هندسه
*هندسه فضایی
*هندسه اقلیدسی
*هندسه نااقلیدسی
*هندسه تحلیلی
*هندسه ریمانی
*هندسه جبری
*هندسه دیفرانسیل
*هندسه تصویری

=== مفاهیم مورد هندسی ===
*[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
*[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
*استوانه
*کره
*هرم
*مخروط
*چهاروجهی منتظم
*متوازی السطوح
*[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
*هشت وجهی منتظم
*چنبره
*دوران
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی|زاویه مرکزی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
*زاویه فضایی
*قطاع
*رادیان
*گرادیان

== آنالیز ریاضی ==
*
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
*زاویه مرکزی
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
*زاویه فضایی
*قطاع
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]</text>
      <sha1>0obyukw8f5dn2rgsi7chua7ha2shvag</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117404</id>
      <parentid>117383</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:21:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4572" xml:space="preserve">{{وضعیت|25%}}

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته  ریاضیات را به نمایش می گذارد.دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان،آنالیز،هندسه و... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد،ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش میدهد.مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم،به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آنها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات|ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|جوایز ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/شاخه های ریاضیات|شاخه های ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/علوم ریاضیات|علوم ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|فلسفه ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران|انجمن ریاضیات ایران]]
== ریاضیات گسسته ==
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
* منطق(مطالعه استدلال)
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
* [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
* [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
* هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
* الگوریتم‌شناسی
* نظریه اطلاعات 
* نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
* نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
* جبر خطی
* مجموعه جزئاً مرتب 
* احتمالات 
* برهان(ریاضیات) 
* شمارش
* رابطه دوتایی
== حسابان ==
*حساب دیفرانسیل
*انتگرال
*مثلثات
*مثلثات کروی
*تابع(ریاضیات)
*تابع لگاریتمی
*معادله خطی
*جبر و معادله
*حد و پیوستگی
*حد نامتناهی
*حد متناهی
*مشتق
== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
*هندسه
*هندسه فضایی
*هندسه اقلیدسی
*هندسه نااقلیدسی
*هندسه تحلیلی
*هندسه ریمانی
*هندسه جبری
*هندسه دیفرانسیل
*هندسه تصویری

=== مفاهیم مورد هندسی ===
*[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
*[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
*استوانه
*کره
*هرم
*مخروط
*چهاروجهی منتظم
*متوازی السطوح
*[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
*هشت وجهی منتظم
*چنبره
*دوران
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی|زاویه مرکزی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
*زاویه فضایی
*قطاع
*رادیان
*گرادیان

== آنالیز ریاضی ==
*
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]</text>
      <sha1>f1ak9r7j3cj7tvz2xtqwpy3sti6jjrr</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35975</id>
    <revision>
      <id>117406</id>
      <parentid>117336</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:23:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="23804" xml:space="preserve">'''ریاضیات گسسته''' شاخه‌ای از علم ریاضیات است که با عناصر گسسته ریاضیات(مثل کاربرد ریاضی در سیستم ها) سروکار دارد و نه عناصر پیوسته(مثل حساب،هندسه و...) و از جبر و حساب استفاده می‌کند. ریاضیات گسسته به‌دلیل کاربردهای زیاد در علوم رایانه در دهه‌های گذشته کاربرد زیاد یافته‌است. مفاهیم و نشانه‌های ریاضیات گسسته برای مطالعه «الگوریتم‌های رایانه» و «زبان‌های برنامه‌نویسی» مورد استفاده قرار گرفته‌است. در بعضی دانشگاه‌ها ریاضیات محدود به مفاهیمی از ریاضیات گسسته اطلاق می‌شود که در تجارت کاربرد داشته‌اند؛ ولی ریاضیات گسسته به مباحث تخصصی علوم رایانه می‌پردازد.ریاضیات مفهومی جبری،حسابی،احتمالی و آماری دارد.در ریاضیات گسسته مفاهیم هندسی به روش گراف به صورت جبری و احتمالی صورت می گیرد
[[پرونده:Graph konigsberg with degree.png|بندانگشتی|مفاهیم گراف به روش ریاضیات گسسته]]
مجموعه اشیاء مورد مطالعه در ریاضیات گسسته می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. اصطلاح '''ریاضیات محدود''' گاهی اوقات به بخش هایی از رشته ریاضیات گسسته که با مجموعه های محدود سر و کار دارد، به ویژه آن دسته از حوزه های مرتبط با تجارت به کار می رود.

تحقیقات در ریاضیات گسسته در نیمه دوم قرن بیستم تا حدودی به دلیل توسعه رایانه های دیجیتال افزایش یافت. که در مراحل &quot;گسسته&quot; کار می کنند و داده ها را در بیت های &quot;گسسته&quot; ذخیره می کنند. مفاهیم و نمادهای ریاضیات گسسته در مطالعه و توصیف اشیاء و مسائل در شاخه‌های علوم کامپیوتر مانند الگوریتم‌های کامپیوتر ، زبان‌های برنامه‌نویسی ، رمزنگاری ، اثبات قضایای خودکار و توسعه نرم‌افزار مفید هستند . برعکس، پیاده‌سازی‌های کامپیوتری در کاربرد ایده‌ها از ریاضیات گسسته تا مسائل دنیای واقعی مهم هستند.

اگرچه موضوعات اصلی مطالعه در ریاضیات گسسته اشیاء گسسته هستند، روش های تحلیلی از ریاضیات &quot;پیوسته&quot; نیز اغلب به کار گرفته می شود.

در برنامه های درسی دانشگاه، &quot;ریاضیات گسسته&quot; در دهه 1980 ظاهر شد، در ابتدا به عنوان یک دوره آموزشی پشتیبانی از علوم کامپیوتر. محتوای آن در آن زمان تا حدودی تصادفی بود. برنامه درسی پس از آن در ارتباط با تلاش های ACM و MAA به دوره ای تبدیل شد که اساساً در نظر گرفته شده است تا بلوغ ریاضی را در دانش آموزان سال اول توسعه دهد. بنابراین امروزه پیش نیاز رشته ریاضی در برخی از دانشگاه ها نیز می باشد.  برخی از کتاب های درسی ریاضیات گسسته در سطح دبیرستان نیز ظاهر شده اند.  در این سطح، ریاضیات گسسته گاهی اوقات به عنوان یک دوره مقدماتی در نظر گرفته می شود، که از این نظر بی شباهت به پیش حساب نیست . 

== تاریخچه ریاضیات گسسته ==
عمدهٔ پیشرفتی که از اواسط قرن ۱۷ میلادی در ریاضیات صورت گرفت، در حساب دیفرانسیل و انتگرال بود که به خواص عدد حقیقی و تابع‌های از این مجموعه بود. مطالعهٔ این مجموعه‌های ناشمارا منجر به به وجود آمدن مفاهیم پیوستگی و مشتق گردید و به این دلیل این ریاضیات را ریاضیات پیوسته می‌خوانند. اما در مقابل این گونه ریاضیات مفاهیم دیگری در ریاضیات وجود دارند که روی مجموعه‌های متناهی و شمارا قابل تعریف‌اند. به مجموعهٔ این مفاهیم ریاضی، ریاضیات گسسته گویند. ریاضیات گسسته در سال‌های اخیر و به دلیل پیشرفت دانش کامپیوتر بیشترین رشد خود را در تاریخ ریاضیات داشته‌است.ریاضیات گسسته بعد از چندین سال به صورت یک مفهوم علمی ظاهر شد و یکی از علم های مهم در ریاضی است.امروزه ریاضیات گسسته علاوه بر کاربرد های کامپیوتر در کاربردی های رمز نگاری،داده های رابطه،تدارکات کامپیوتری،اعداد تصادفی و... می پردازد.

== مباحث ریاضیات گسسته ==

=== علوم کامپیتوری نظری ===
علم کامپیوتر نظری شامل حوزه هایی از ریاضیات گسسته مرتبط با محاسبات است. این به شدت از نظریه گراف و منطق ریاضی استفاده می کند. در علم کامپیوتر نظری، مطالعه الگوریتم ها و ساختارهای داده گنجانده شده است. محاسبه پذیری آنچه را که اصولاً می توان محاسبه کرد، مطالعه می کند و پیوندهای نزدیکی با منطق دارد، در حالی که پیچیدگی زمان، مکان و سایر منابع گرفته شده توسط محاسبات را مطالعه می کند. تئوری خودکار و نظریه زبان رسمی ارتباط نزدیکی با قابلیت محاسبه دارند. شبکه‌های پتری و جبرهای فرآیندی برای مدل‌سازی سیستم‌های کامپیوتری و روش‌هایی از ریاضیات گسسته در تجزیه و تحلیل VLSI استفاده می‌شوند.مدارهای الکترونیکی. هندسه محاسباتی الگوریتم ها را برای مسائل هندسی و نمایش اشیاء هندسی به کار می برد، در حالی که تجزیه و تحلیل تصویر کامپیوتری آنها را برای نمایش تصاویر به کار می برد. علم کامپیوتر نظری نیز شامل مطالعه موضوعات مختلف محاسباتی پیوسته است.

=== نظریه اطلاعات ===
نظریه اطلاعات شامل کمی سازی اطلاعات است. نظریه کدگذاری که برای طراحی روش‌های انتقال و ذخیره‌سازی داده‌ها کارآمد و قابل اعتماد استفاده می‌شود، ارتباط نزدیک دارد . تئوری اطلاعات نیز شامل موضوعات پیوسته ای مانند: سیگنال های آنالوگ ، کدگذاری آنالوگ ، رمزگذاری آنالوگ است.

=== منطق ریاضیات ===
منطق مطالعه اصول استدلال و استنباط معتبر و همچنین قوام ، درستی و کامل بودن است. به عنوان مثال، در بیشتر سیستم های منطق (اما نه در منطق شهودی ) قانون پیرس ((( ''P'' → ''Q'' ) → ''P'' ) → ''P'' ) یک قضیه است. برای منطق کلاسیک، می توان آن را به راحتی با یک جدول حقیقت تأیید کرد . مطالعه برهان ریاضی از اهمیت ویژه ای در منطق برخوردار است و برای اثبات قضیه خودکار و تأیید رسمی نرم افزار کاربرد دارد.

فرمول های منطقی ساختارهای گسسته ای هستند، همانطور که اثبات ها هستند، که درخت های محدود  یا، به طور کلی، ساختارهای گراف غیر چرخه ای جهت دار  تشکیل می دهند (با هر مرحله استنتاج ترکیب یک یا چند شاخه مقدماتی برای ارائه یک نتیجه واحد). مقادیر صدق فرمول‌های منطقی معمولاً یک مجموعه محدود را تشکیل می‌دهند که عموماً به دو مقدار محدود می‌شود: درست ''و'' نادرست ''،'' اما منطق نیز می‌تواند دارای ارزش پیوسته باشد، به عنوان مثال، منطق فازی . مفاهیمی مانند درختان اثبات نامحدود یا درختان مشتق نامتناهی نیز مورد مطالعه قرار گرفته اند،  به عنوان مثالمنطق بی نهایت .

=== تئوری مجموعه ها ===
نظریه مجموعه‌ها شاخه‌ای از ریاضیات است که مجموعه‌ها را که مجموعه‌ای از اشیاء هستند، مانند {آبی، سفید، قرمز} یا مجموعه (بی نهایت) همه اعداد اول را مطالعه می‌کند. مجموعه ها و مجموعه های جزئی مرتب شده با روابط دیگر در چندین زمینه کاربرد دارند.

در ریاضیات گسسته، مجموعه های قابل شمارش (از جمله مجموعه های محدود ) تمرکز اصلی هستند. شروع نظریه مجموعه ها به عنوان شاخه ای از ریاضیات معمولاً با کار جورج کانتور در تمایز بین انواع مختلف مجموعه های نامتناهی با انگیزه مطالعه سری های مثلثاتی مشخص می شود و توسعه بیشتر نظریه مجموعه های نامتناهی خارج از محدوده گسسته است. ریاضیات در واقع، کار معاصر در نظریه مجموعه‌های توصیفی از ریاضیات پیوسته سنتی استفاده گسترده می‌کند.

=== ترکیبات ===
ترکیب شناسی روشی را مطالعه می کند که در آن ساختارهای گسسته می توانند ترکیب یا چیده شوند. ترکیبات شمارشی بر شمارش تعداد اشیاء ترکیبی خاص متمرکز است - به عنوان مثال روش دوازده گانه یک چارچوب یکپارچه برای شمارش جایگشت ها، ترکیب ها و پارتیشن ها فراهم می کند . ترکیبات تحلیلی به شمارش (یعنی تعیین تعداد) ساختارهای ترکیبی با استفاده از ابزارهای تحلیل پیچیده و نظریه احتمال مربوط می شود . در مقایسه با ترکیبات شمارشی که از فرمول های ترکیبی صریح و توابع تولیدی استفاده می کند .برای توصیف نتایج، هدف ترکیبات تحلیلی به دست آوردن فرمول های مجانبی است. ترکیبات توپولوژیکی به استفاده از تکنیک هایی از توپولوژی و توپولوژی جبری / توپولوژی ترکیبی در ترکیبات مربوط می شود. تئوری طراحی مطالعه طرح‌های ترکیبی است که مجموعه‌ای از زیر مجموعه‌ها با ویژگی‌های تقاطع مشخص هستند . نظریه پارتیشن مسائل مختلف شمارش و مجانبی مربوط به پارتیشن های عدد صحیح را مطالعه می کند و ارتباط نزدیکی با سری q ، توابع ویژه وچند جمله ای های متعامد . نظریه پارتیشن در ابتدا بخشی از نظریه و تحلیل اعداد بود، اکنون بخشی از ترکیبات یا یک زمینه مستقل در نظر گرفته می شود. تئوری نظم مطالعه مجموعه های جزئی منظم ، متناهی و نامتناهی است.

=== نظریه گراف ===
نظریه گراف، مطالعه گراف ها و شبکه ها ، اغلب به عنوان بخشی از ترکیب شناسی در نظر گرفته می شود، اما به اندازه کافی بزرگ و متمایز شده است، با مشکلات خاص خود، که به عنوان یک موضوع در نظر گرفته می شود.  نمودارها یکی از موضوعات اصلی مطالعه در ریاضیات گسسته هستند. آنها یکی از رایج ترین مدل های سازه های طبیعی و ساخت بشر هستند. آنها می توانند انواع زیادی از روابط و پویایی فرآیند را در سیستم های فیزیکی، بیولوژیکی و اجتماعی مدل کنند. در علوم کامپیوتر، آنها می توانند شبکه های ارتباطی، سازماندهی داده ها، دستگاه های محاسباتی، جریان محاسبات و غیره را نشان دهند .نظریه گراف جبری پیوند نزدیکی با نظریه گروه دارد و نظریه گراف توپولوژیکی پیوند نزدیکی با توپولوژی دارد. نمودارهای پیوسته نیز وجود دارد . با این حال، در بیشتر موارد، تحقیقات در نظریه گراف در حوزه ریاضیات گسسته قرار می گیرد.

=== نظریه اعداد ===
نظریه اعداد به خصوصیات اعداد به طور کلی، به ویژه اعداد صحیح مربوط می شود. کاربردهایی در رمزنگاری و تحلیل رمزی دارد، به ویژه با توجه به محاسبات مدولار ، معادلات دیوفانتین ، همخوانی های خطی و درجه دوم، اعداد اول و آزمایش اولیه . دیگر جنبه های گسسته نظریه اعداد شامل هندسه اعداد است. در تئوری اعداد تحلیلی ، از تکنیک‌های ریاضیات پیوسته نیز استفاده می‌شود. موضوعاتی که فراتر از اشیاء گسسته هستند شامل اعداد ماورایی ، تقریب دیوفانتین ، تجزیه و تحلیل p-adic و فیلدهای تابع است.

== کاربرد ها ==
ریاضیات گسسته مطالعه ریاضیاتی است که به مجموعه‌ای از اعداد صحیح محدود شده‌است. اگرچه مطالعه کاربردهای ریاضیات پیوسته مانند حساب و جبر و مقابله به بسیاری از محققین آشکار است، کاربرد ریاضیات گسسته ممکن است نخست مبهم به نظر آید. با این وجود، ریاضی گسسته پایه‌های بسیاری از رشته‌های علمی در دنیای واقعی به خصوص علوم کامپیوتر را تشکیل می‌دهد. تکنیک‌های اولیه در ریاضیات گسسته را می‌توان در بسیاری از زمینه‌های مختلف استفاده شود.

=== کاربرد ریاضیات گسسته در رمزنگاری ===
رشته رمزنگاری که مطالعه روی چگونگی ایجاد ساختارهای امنیتی و کلمه عبور برای کامپیوتر و دیگر سیستم‌های الکترونیکی است، به‌طور کامل در ریاضیات گسسته بنا شده‌است. این امر تا حدی به این دلیل است که کامپیوترها اطلاعات را به صورت گسسته ارسال می‌کند. یک بخش مهم از ریاضیات گسسته این است که اجازه می‌دهد تا رمزنگاران به ایجاد و با شکستن کلمات عبور عددی نمایند. از آنجا که کمیت پول و مقدار اطلاعات محرمانه دخالت می‌کند، رمزنگار، اول باید یک پس زمینه محکم در نظریه اعداد داشته باشد تا اینکه بتوانند نشان دهند که آن‌ها می‌توانند کلمات عبور امن و روش‌های رمزگذاری مطمئن ارائه دهند.

=== پایگاه داده‌های رابطه ===
پایگاه‌های داده رابطه تقریباً در تمام سازمان‌هایی که باید پیگیر کارمندان، مشتریان یا منابع هستند، نقش دارد. تقریباً در هر سازمان است که باید پیگیری کارکنان، مشتریان یا منابع است. یک پایگاه داده رابطه، صفات از یک قطعه خاصی از اطلاعات را متصل می‌کند. به عنوان مثال، در یک پایگاه شامل اطلاعات مشتری، رابطه جنبه‌های مختلف این پایگاه، نام، آدرس، شماره تلفن و سایر اطلاعات مریض را اجازه می‌دهد تا با هم در ارتباط باشند و مورد استفاده قرار گیرند. این کار همه از طریق مفهوم ریاضی گسسته انجام می‌شود. پایگاه داده اجازه می‌دهد تا اطلاعات گروه‌بندی شود و مورده استفاده قرار داده شود. از آنجا که هر قطعه از اطلاعات و هر صفت متعلق به آن قطعه از اطلاعات گسسته‌است، سازماندهی این چنین اطلاعاتی در یک پایگاه داده نیاز به روش‌های ریاضیات گسسته دارد.

=== استفاده به عنوان تدارکات ===
لجستیک مطالعه سازماندهی جریان اطلاعات، کالاها و خدمات است. بدون ریاضیات گسسته، تدارکات وجود نخواهد داشت. دلیل این است که تدارکات به‌طور سنگین از نمودارها و نظریه گراف، که یک زیر رشته ریاضی گسسته‌است، استفاده می‌کند. نظریه گراف اجازه می‌دهد تا مشکلات پیچیده تدارکات به‌طور ساده به نمودارهای متشکل از گره‌ها و خطوط نمایش داده شوند. یک ریاضی‌دان می‌تواند این نمودارها را با توجه به روش نظریه گراف به منظور تعیین بهترین راه برای حمل و نقل یا حل دیگر مشکلات لجستیکی تجزیه و تحلیل کند.

=== الگوریتم‌های کامپیوتری ===
الگوریتم قوانینی است که توسط آن یک کامپیوتر عمل می‌کند. این قوانین از طریق قوانین ریاضیات گسسته ایجاد شده‌است. یک برنامه‌نویس کامپیوتر با استفاده از ریاضیات گسسته به طراحی الگوریتم‌های کارآمد می‌پردازد. این طراحی شامل استفاده از ریاضی گسسته برای تعیین تعداد مراحلی که یک الگوریتم نیاز دارد کامل شود، که حاکی از سرعت الگوریتم است. به دلیل پیشرفت‌های حاصل در کاربردی ریاضیات گسسته در الگوریتم، کامپیوترهای امروزی بسیار سریع تر از قبل اجرا و راه اندازی می‌شوند.

=== کاربردهای همنهشتی ===
همنهشتی‌ها کاربردهای زیادی در ریاضیات گسسته ،علوم کامپیوتر، و بسیاری از رشته‌های دیگر دارد. در این مقاله سه کاربرد آن را معرفی می‌کنیم.

=== استفاده در تخصیص مکان‌های حافظه به فایل‌های کامپیوتری ===
فرض کنید یک شماره شناسایی مشتری به طول ده رقم است. برای بازیابی سریع فایل‌های مشتری، نمی‌خواهیم با استفاده از رکورد مشتری، یک خانهٔ حافظه اختصاص دهیم. در عوض، می‌خواهیم از یک عدد صحیح کوچکتر مربوط به شماره شناسایی استفاده کنیم. اینکار را می‌توان با تابع درهم‌ساز (hashing function) معروف است انجام داد.

=== تولید اعداد تصادفی ===
ساختن دنباله‌ای از اعداد تصادفی برای الگوریتم‌های تصادفی، برای شبیه‌سازی‌ها، و نیز برای بسیاری از اهداف دیگر مهم هستند. ساختن یک دنباله از اعداد تصادفی واقعی خیلی دشوار است یا احتمالاً غیرممکن.

با استفاده از همنهشتی می‌توان دنباله‌ای از اعداد شبه تصادفی تولید کرد. این اعداد تصادفی دارای این مزیت هستند که خیلی سریع ساخته می‌شوند و عیب آن در این است که در استفاده از این دنباله‌ها در کارهای مختلف باید پیشگویی‌های زیادی داشته باشیم.

=== رقم‌های کنترلی ===
از همنهشتی‌ها می‌توان در برای تولید رقم‌های کنترلی (check digit) شماره‌های شناسایی از انواع مختلف نظیر شماره‌های کد ورد استفاده در محصولات خرده فروشی، شماره‌های مورد استفاده در کتاب‌ها، شماره‌های بلیط هواپیمایی، و… استفاده کرد.

=== تابع درهم‌ساز ===
در عمل، تابع‌ها ی در هم ساز مختلفی وجود دارد اما یکی از متداول‌ترین آن‌ها به شکل h(k)=k mod m است که در آن m تعداد خانه‌های حافظه موجود است. تابع‌های در هم ساز به راحتی ارزیابی می‌شوند طوری‌که مکان فایل‌ها را به سرعت می‌توان مشخص کرد. تابع در هم ساز (h(k ای نیاز را برطرف می‌کند. برای یافتن (h(k لازم است باقی‌مانده تقسیم k بر m را بدست آوریم. همچینی این تابع پوشا نیز هست.

=== روش همنهشتی خطی ===
معمول‌ترین روش استفاده شده برای تولید اعداد شبه تصادفی این روش همنهشتی خطی است.

=== رقم‌های کنترلی ===
از همنهشتی‌ها در رشته‌های رقمی برای کنترل خطاها استفاده می‌شود. یک روش معمول برای کشف خطاها در چنین رشته‌ای، افزودن یک رقم اضافی در پایان رشته‌است. این رقم پایانی یا رقم کنترلی، با استفاده از یک تابع خاص محاسبه می‌شود. آنگاه برای تعیین اینکه این یک رشته رقمی درست است، یک کنترل انجام می‌شود تا معلوم شود این رقم پایانی دارای مقدار درست است.

== منابع ==
ویکی پدیای انگلیسی

ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>c2dcsey7rk1wjs2nxygtf3uhd732pg7</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/هندسه</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35980</id>
    <revision>
      <id>117405</id>
      <parentid>117327</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:23:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="48812" xml:space="preserve">'''هِندِسه'''(یا ''ژِئو'' «زمین»، ''مِتریا'' «سنجش، اندازه‌گیری») شاخه‌ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی شکل‌ها و ویژگی‌های فضا سروکار دارد. ریاضیدانی که در شاخهٔ هندسه کار می‌کند هندسه‌دان نامیده می‌شود. هندسه به‌طور مستقل در پاره‌ای از تمدن‌های اولیه به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور کرد و پایه‌ریزی آن به عنوان یک دانش رسمی ریاضی در زمان تالس (قرن ششم پیش از میلاد) در غرب آغاز شد. در قرن سوم پیش از میلاد، هندسه توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی درآمده بود و کار اقلیدس (هندسه اقلیدسی) استانداردی را پایه‌ریزی نمود که قرن‌ها دنبال شد. ارشمیدس روش‌های هوشمندانه‌ای برای محاسبهٔ مساحت و حجم ارائه داد که در بسیاری موارد پیش‌رو حساب انتگرال جدید محسوب می‌شوند. دانش اخترشناسی و به ویژه نگاشتن مکان ستاره‌ها و سیاره‌ها روی کره آسمان و توصیف رابطهٔ بین حرکت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشا بسیاری از پرسش‌های هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای کلاسیک بخشی از کوادریویم بودند که خود زیرمجموعه‌ای از علوم مقدماتی هفتگانه بود که یادگیری آن‌ها برای هر شهروند آزادی ضروری می‌نمود.

== تاریخ ==
اولین آغاز ثبت شده هندسه را می توان در بین النهرین باستان و مصر در هزاره دوم قبل از میلاد ردیابی کرد.  هندسه اولیه مجموعه ای از اصول کشف شده تجربی در مورد طول ها، زوایا، مساحت ها و حجم ها بود که برای رفع برخی نیازهای عملی در نقشه برداری ، ساخت و ساز ، نجوم و صنایع دستی مختلف توسعه یافت. اولین متون شناخته شده در مورد هندسه عبارتند از ''پاپیروس'' رایند مصر (2000-1800 قبل از میلاد) و ''پاپیروس مسکو'' (حدود 1890 قبل از میلاد) و الواح گلی بابلی ، مانند Plimpton 322 .(1900 قبل از میلاد). به عنوان مثال، پاپیروس مسکو فرمولی برای محاسبه حجم یک هرم کوتاه شده یا فروستوم ارائه می دهد.  لوح‌های گلی بعدی (350–50 قبل از میلاد) نشان می‌دهد که اخترشناسان بابلی روش‌های ذوزنقه‌ای را برای محاسبه موقعیت و حرکت مشتری در فضای سرعت-زمان اجرا کردند. این رویه‌های هندسی ماشین‌حساب‌های آکسفورد ، از جمله قضیه سرعت متوسط ​​را تا 14 قرن پیش‌بینی کردند.  در جنوب مصر، نوبیای باستان سیستمی از هندسه شامل نسخه‌های اولیه ساعت‌های خورشیدی ایجاد کردند. 
[[پرونده:Westerner_and_Arab_practicing_geometry_15th_century_manuscript.jpg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Westerner_and_Arab_practicing_geometry_15th_century_manuscript.jpg|بندانگشتی|یک اروپایی و عرب درحال کار بر روی هندسه در قرن ۱۵م میلادی]]
در قرن هفتم قبل از میلاد، ریاضیدان یونانی تالس اهل میلتوس از هندسه برای حل مسائلی مانند محاسبه ارتفاع اهرام و فاصله کشتی ها از ساحل استفاده کرد. او را با اولین استفاده از استدلال قیاسی به کار رفته در هندسه، با استخراج چهار نتیجه به قضیه تالس، نسبت می دهند.  فیثاغورث مکتب فیثاغورث را تأسیس کرد ، که اولین اثبات قضیه فیثاغورث به آن نسبت داده می شود ،  اگرچه بیان این قضیه سابقه طولانی دارد.  Eudoxus (408-حدود 355 قبل از میلاد) روش فرسودگی را توسعه داد.که امکان محاسبه مساحت ها و حجم ارقام منحنی را فراهم می کند،  و همچنین نظریه نسبت هایی که از مشکل قدرهای غیرقابل مقایسه جلوگیری می کند ، که هندسه های بعدی را قادر می سازد پیشرفت های قابل توجهی داشته باشند. در حدود 300 سال قبل از میلاد، هندسه توسط اقلیدس متحول شد، او که «عناصرش» که ''به'' طور گسترده‌ای موفق‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب درسی در تمام دوران به شمار می‌رود،  دقت ریاضی را از طریق روش بدیهی معرفی کرد و اولین نمونه از قالبی است که امروزه در ریاضیات استفاده می‌شود. تعریف، بدیهیات، قضیه و برهان. اگر چه بیشتر مطالب ''عناصر''قبلاً شناخته شده بودند، اقلیدس آنها را در یک چارچوب منطقی واحد و منسجم مرتب کرد.  عناصر تا اواسط قرن بیستم برای همه تحصیلکرده‌های غرب شناخته شده بود و امروزه نیز مطالب آن در کلاس‌های هندسه تدریس می‌شود ''.''  ارشمیدس (حدود 287-212 قبل از میلاد) سیراکوزی از روش خستگی برای محاسبه مساحت زیر کمان سهمی با جمع یک سری نامتناهی استفاده کرد و تقریب‌های دقیقی از پی ارائه کرد.  او همچنین مارپیچ نام خود را مطالعه کرد و فرمول هایی برای آن به دست آوردحجم سطوح انقلاب ریاضیدانان هندی نیز سهم مهمی در هندسه داشتند. Satapatha ''Brahmana'' (قرن 3 قبل از میلاد) شامل قوانینی برای ساخت و سازهای هندسی آیینی است که شبیه به ''Sulba Sutras'' است.  بر اساس ( هایاشی 2005 ، ص 363)، ''سوتراهای اولبا'' حاوی &quot;قدیمی ترین بیان شفاهی موجود از قضیه فیثاغورث در جهان است، اگرچه قبلاً برای بابلیان قدیم شناخته شده بود. آنها حاوی فهرست هایی از سه گانه فیثاغورثی هستند.  که موارد خاصی از معادلات دیوفانتین است [  در نسخه خطی بخشعلیتعداد انگشت شماری از مسائل هندسی (از جمله مسائل مربوط به حجم جامدات نامنظم) وجود دارد. نسخه خطی بخشعلی نیز «نظام ارزش اعشاری با نقطه صفر را به کار می گیرد».  Aryabhatiya Aryabhata ''('' 499) شامل محاسبه مساحت و حجم است. براهماگوپتا اثر نجومی خود را ''براهما اسفوتا سیدانتا'' در سال 628 نوشت. فصل 12، شامل 66 آیه سانسکریت ، به دو بخش تقسیم شد: &quot;عملیات اساسی&quot; (شامل ریشه های مکعب، کسرها، نسبت و نسبت، و مبادله مبادله ای) و &quot;عملیات مبادله ای&quot;. مخلوط، سری های ریاضی، ارقام هواپیما، روی هم چیدن آجرها، اره کردن الوار، و انباشته شدن دانه ها). در بخش دوم، او قضیه معروف خود را در مورد قطرهای یک چهارضلعی حلقوی بیان کرد. فصل 12 همچنین شامل فرمولی برای مساحت چهارضلعی حلقوی (تعمیم فرمول هرون )، و همچنین توضیح کاملی از مثلث های گویا ( ''یعنی'' مثلث هایی با اضلاع گویا و مساحت های گویا) بود. 
[[پرونده:Woman_teaching_geometry.jpg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Woman_teaching_geometry.jpg|راست|بندانگشتی|''زنی درحال یاد دادن هندسه''. تصویری در آغاز ترجمه قرون وسطایی اصول اقلیدس، (حدود ۱۳۱۰ میلادی)]]
در قرون وسطی ، ریاضیات در اسلام قرون وسطی به توسعه هندسه، به ویژه هندسه جبری کمک کرد.  المهانی (متولد 853) ایده کاهش مسائل هندسی مانند تکرار مکعب به مسائل جبر را در ذهن داشت.  ثابت بن قره (معروف به لاتین به عنوان Thebit ) (901-836) با عملیات حسابی که برای نسبت‌های کمیت‌های هندسی اعمال می‌شود، سروکار داشت و به توسعه هندسه تحلیلی کمک کرد.  عمر خیام (1048-1131) راه حل های هندسی معادلات مکعبی را یافت..  قضایای ابن هیثم (الحازن)، عمر خیام و نصیرالدین طوسی در مورد چهارضلعی ها، از جمله چهارضلعی لامبرت و چهارضلعی ساکری ، نتایج اولیه در هندسه هذلولی بود و همراه با فرض های جایگزین آنها، مانند به عنوان بدیهیات Playfair ، این آثار تأثیر قابل توجهی بر توسعه هندسه غیر اقلیدسی در میان هندسه‌سنج‌های بعدی اروپایی، از جمله Witelo (حدود 1230-حدود 1314)، جرسونیدس (1288-1344)، آلفونسو ، جان والیس ، و جیووانی گیرولامو داشتند. ساچری.

در اوایل قرن هفدهم، دو پیشرفت مهم در هندسه رخ داد. اولین مورد ایجاد هندسه تحلیلی، یا هندسه با مختصات و معادلات ، توسط رنه دکارت (1596-1650) و پیر دو فرما (1601-1665) بود.  این یک پیش درآمد ضروری برای توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال و علم کمی دقیق فیزیک بود.  دومین توسعه هندسی این دوره، مطالعه سیستماتیک هندسه تصویری توسط ژیرار دسارگ (1591-1661) بود.  هندسه فرافکنی به بررسی خواص اشکالی می‌پردازد که در زیر بدون تغییر هستندطرح‌ها و بخش‌ها ، به‌ویژه که به دیدگاه هنری مربوط می‌شوند . 

دو پیشرفت در هندسه در قرن نوزدهم روش مطالعه قبلی آن را تغییر داد.  اینها کشف هندسه های غیراقلیدسی توسط نیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی، یانوس بولیای و کارل فردریش گاوس و فرمول بندی تقارن به عنوان ملاحظات اصلی در برنامه ارلانگن فلیکس کلاین (که اقلیدسی و غیر اقلیدسی را تعمیم داد) بود. ). دو تن از هندسه‌دانان چیره دست آن زمان برنهارد ریمان (1826-1866) بودند که عمدتاً با ابزارهایی از آنالیز ریاضی کار می‌کردند و سطح ریمان را معرفی می‌کردند ، و هانری پوانکاره ، بنیان‌گذارتوپولوژی جبری و نظریه هندسی سیستم های دینامیکی . در نتیجه این تغییرات عمده در مفهوم هندسه، مفهوم &quot;فضا&quot; به چیزی غنی و متنوع تبدیل شد و زمینه طبیعی تئوری هایی مانند تحلیل پیچیده و مکانیک کلاسیک متفاوت شد. 

== مفاهیم مهم اصلی ==

=== بدیهیات ===
اقلیدس در کتاب عناصر خود  که یکی از تأثیرگذارترین کتاب‌هایی است که تا کنون نوشته شده است ، رویکردی انتزاعی به هندسه داشت .  اقلیدس بدیهیات یا فرضیه های خاصی را معرفی کرد که ویژگی های اولیه یا بدیهی نقاط، خطوط و سطوح را بیان می کرد.  او با استدلال ریاضی به استنباط دقیق سایر خصوصیات پرداخت. ویژگی بارز رویکرد اقلیدس به هندسه سختی آن بود و به هندسه ''بدیهی'' یا ''ترکیبی'' معروف شد .  در آغاز قرن 19، کشف هندسه های غیر اقلیدسی توسطنیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی (1792-1856)، یانوس بولیای (1802-1860)، کارل فردریش گاوس (1777-1855) و دیگران  منجر به احیای علاقه به این رشته شدند و در قرن بیستم، دیوید هیلبرت (186) -1943) از استدلال بدیهی در تلاش برای ارائه یک پایه مدرن از هندسه استفاده کرد. 

ویژگی بارز رویکرد اقلیدس به هندسه سختی آن بود و به هندسه ''بدیهی'' یا ''ترکیبی'' معروف شد .  در آغاز قرن 19، کشف هندسه های غیر اقلیدسی توسطنیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی (1792-1856)، یانوس بولیای (1802-1860)، کارل فردریش گاوس (1777-1855) و دیگران  منجر به احیای علاقه به این رشته شدند و در قرن بیستم، دیوید هیلبرت (186) -1943) از استدلال بدیهی در تلاش برای ارائه یک پایه مدرن از هندسه استفاده کرد. 

=== اشیاء ===

==== نکته ها ====
نقاط عموماً اشیاء اساسی برای هندسه ساختمان در نظر گرفته می شوند. آنها ممکن است با خواصی که باید داشته باشند تعریف شوند، مانند تعریف اقلیدس به عنوان &quot;آنچه که جزئی ندارد&quot;  یا در هندسه مصنوعی . در ریاضیات مدرن، آنها به طور کلی به عنوان عناصر مجموعه ای به نام فضا تعریف می شوند که خود به صورت بدیهی تعریف شده است.

با این تعاریف مدرن، هر شکل هندسی به عنوان مجموعه ای از نقاط تعریف می شود. این مورد در هندسه مصنوعی نیست، جایی که یک خط یک شی بنیادی دیگر است که به عنوان مجموعه نقاطی که از آن عبور می کند دیده نمی شود.

با این حال، هندسه های مدرنی وجود دارد که در آن نقاط، اشیاء ابتدایی یا حتی بدون نقطه نیستند.  یکی از قدیمی‌ترین این هندسه‌ها، هندسه بدون نقطه وایتهد است که توسط آلفرد نورث وایتهد در سال‌های 1919-1920 فرموله شد.

==== خطوط ====
اقلیدس خطی را به عنوان &quot;طول بی عرض&quot; توصیف کرد که &quot;به طور مساوی نسبت به نقاط روی خود قرار دارد&quot;.  در ریاضیات مدرن، با توجه به انبوه هندسه ها، مفهوم خط با نحوه توصیف هندسه پیوند نزدیکی دارد. به عنوان مثال، در هندسه تحلیلی ، یک خط در صفحه اغلب به عنوان مجموعه نقاطی تعریف می شود که مختصات آنها معادله خطی معینی را برآورده می کند ،  اما در یک محیط انتزاعی تر، مانند هندسه وقوع ، یک خط ممکن است یک شی مستقل باشد. ، متمایز از مجموعه نقاطی که روی آن قرار دارند.  ​​در هندسه دیفرانسیل، ژئودزیک تعمیم مفهوم خط بهفضاهای منحنی . 

==== هواپیماها ====
در هندسه اقلیدسی، صفحه یک سطح صاف و دو بعدی است که تا بی نهایت امتداد دارد.  تعاریف برای انواع دیگر هندسه تعمیم آن است. صفحات در بسیاری از زمینه های هندسه استفاده می شوند. به عنوان مثال، صفحات را می توان به عنوان یک سطح توپولوژیکی بدون اشاره به فواصل یا زاویه مطالعه کرد.  می‌توان آن را به‌عنوان یک فضای نزدیک مورد مطالعه قرار داد ، جایی که همخطی‌ها و نسبت‌ها را می‌توان مطالعه کرد اما فاصله‌ها را نه.  می توان آن را به عنوان صفحه مختلط با استفاده از تکنیک های تحلیل پیچیده مطالعه کرد.  و غیره.

==== زاویه ====
اقلیدس زاویه صفحه را به عنوان تمایل به یکدیگر، در یک صفحه، از دو خط که یکدیگر را ملاقات می کنند و نسبت به یکدیگر مستقیم نیستند، تعریف می کند.  در اصطلاح امروزی، زاویه شکلی است که توسط دو پرتو تشکیل شده است ، که ''اضلاع'' زاویه نامیده می‌شوند و نقطه پایانی مشترکی دارند که به آن ''راس'' زاویه می‌گویند 
[[پرونده:Angle corde tangente.svg|بندانگشتی|زاویه مرکزی،محاطی،ظلی]]
اقلیدس زاویه صفحه را به عنوان تمایل به یکدیگر، در یک صفحه، از دو خط که یکدیگر را ملاقات می کنند و نسبت به یکدیگر مستقیم نیستند، تعریف می کند.  در اصطلاح امروزی، زاویه شکلی است که توسط دو پرتو تشکیل شده است ، که ''اضلاع'' زاویه نامیده می‌شوند و نقطه پایانی مشترکی دارند که به آن ''راس'' زاویه می‌گویند . 

زوایای تند (الف)، مبهم (ب) و مستقیم (ج). زوایای تند و منفرد به زوایای مایل نیز معروف هستند.

در هندسه اقلیدسی ، از زاویه ها برای مطالعه چند ضلعی ها و مثلث ها و همچنین تشکیل یک شی مورد مطالعه به تنهایی استفاده می شود.  مطالعه زوایای یک مثلث یا زوایای یک دایره ، اساس مثلثات را تشکیل می دهد. 

در هندسه دیفرانسیل و حساب دیفرانسیل و انتگرال ، زوایای بین منحنی های صفحه یا منحنی های فضایی یا سطوح را می توان با استفاده از مشتق محاسبه کرد . 

==== منحنی ها ====
منحنی یک جسم 1 بعدی است که ممکن است مستقیم (مانند یک خط) باشد یا خیر. منحنی های فضای دوبعدی را منحنی های صفحه و منحنی های فضای سه بعدی را منحنی های فضایی می نامند . 

در توپولوژی، منحنی با تابعی از بازه ای از اعداد واقعی تا فضای دیگر تعریف می شود.  در هندسه دیفرانسیل، از همان تعریف استفاده می‌شود، اما تابع تعریف کننده باید قابل تمایز باشد  هندسه جبری منحنی‌های جبری را مطالعه می‌کند که به عنوان انواع جبری بعد یک تعریف می‌شوند.

==== سطح ====
[[پرونده:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|بندانگشتی|سطح یک کره]]
سطح یک جسم دو بعدی است، مانند کره یا پارابولوئید.  در هندسه دیفرانسیل  و توپولوژی ،  سطوح با «لکه‌های» دو بعدی (یا همسایگی‌ها ) توصیف می‌شوند که به ترتیب توسط دیفرمورفیسم‌ها یا همومورفیسم‌ها مونتاژ می‌شوند . در هندسه جبری، سطوح با معادلات چند جمله ای توصیف می شوند . 

==== منیفولدها ====
منیفولد تعمیم مفاهیم منحنی و سطح است. در توپولوژی ، منیفولد فضای توپولوژیکی است که در آن هر نقطه دارای یک همسایگی است است که با فضای اقلیدسی همومورف است .  در هندسه دیفرانسیل ، منیفولد قابل تمایز فضایی است که در آن هر همسایگی با فضای اقلیدسی تفاوت دارد. 

منیفولدها به طور گسترده در فیزیک از جمله در نسبیت عام و نظریه ریسمان استفاده می شوند. 

=== طول، مساحت و حجم ===
مقالات اصلی: طول ، مساحت ، و حجم

همچنین ببینید: ناحیه s فهرست فرمول ها و حجم s فرمول های حجم

طول ، مساحت و حجم به ترتیب اندازه یا وسعت یک جسم را در یک بعدی، دو بعدی و سه بعدی توصیف می کنند. 

که در هندسه اقلیدسی و هندسه تحلیلی ، طول یک پاره خط را اغلب می توان با قضیه فیثاغورث محاسبه کرد . 

مساحت و حجم را می توان به عنوان کمیت های اساسی جدا از طول تعریف کرد یا می توان آنها را بر حسب طول در یک صفحه یا فضای سه بعدی توصیف و محاسبه کرد.  ریاضیدانان فرمول های صریح بسیاری برای مساحت و فرمول های حجم اجسام مختلف هندسی یافته اند. در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، مساحت و حجم را می توان بر حسب انتگرال تعریف کرد ، مانند انتگرال ریمان  یا انتگرال لبگ است.

==== معیارها و سنجش ها ====
مفهوم طول یا فاصله را می توان تعمیم داد و به ایده متریک منجر شد.  برای مثال، متریک اقلیدسی فاصله بین نقاط در صفحه اقلیدسی را اندازه‌گیری می‌کند ، در حالی که متریک هذلولی فاصله را در صفحه هذلولی اندازه‌گیری می‌کند . از دیگر نمونه‌های مهم معیارها می‌توان به متریک لورنتز نسبیت خاص و معیارهای نیمه ریمانی نسبیت عام اشاره کرد. 

در جهتی متفاوت، مفاهیم طول، مساحت و حجم توسط تئوری اندازه گیری گسترش می یابد که روش های تعیین اندازه یا ''اندازه را مطالعه می کند.'' به مجموعه‌ها را مطالعه می‌کند، که در آن معیارها از قوانینی مشابه مساحت و حجم کلاسیک پیروی می‌کنند. 

=== همخوانی و تشابه ===
همخوانی و شباهت مفاهیمی هستند که توصیف می کنند زمانی که دو شکل دارای ویژگی های مشابه هستند.  در هندسه اقلیدسی، از تشابه برای توصیف اشیایی استفاده می‌شود که شکل یکسانی دارند، در حالی که همخوانی برای توصیف اجسامی که از نظر اندازه و شکل یکسان هستند، استفاده می‌شود.  هیلبرت ، در کار خود در مورد ایجاد یک پایه دقیق تر برای هندسه، تطابق را به عنوان یک اصطلاح تعریف نشده که ویژگی های آن با بدیهیات تعریف می شود، در نظر گرفت .

همخوانی و شباهت در هندسه تبدیل تعمیم می یابد تعمیم می‌یابد، که به بررسی خواص اجسام هندسی می‌پردازد که توسط انواع مختلف تبدیل‌ها حفظ می‌شوند. 

=== قطب نما و سازه های مستقیم ===
هندسه‌سنج‌های کلاسیک به ساخت اجسام هندسی که به گونه‌ای دیگر توصیف شده‌اند، توجه ویژه‌ای داشتند. به طور کلاسیک، تنها ابزاری که در بیشتر سازه‌های هندسی استفاده می‌شود، قطب‌نما و راسته است.  همچنین، هر ساخت و ساز باید در تعداد محدودی از مراحل تکمیل شود. با این حال، حل برخی از مشکلات به تنهایی با این ابزارها دشوار یا غیرممکن بود و ساختارهای مبتکرانه ای با استفاده از نئوسیس ، سهمی و سایر منحنی ها یا وسایل مکانیکی پیدا شد.

=== بعد،ابعاد،اندازه ===
جایی که هندسه سنتی ابعاد0(یک نقطه) 1 (یک خط )، 2 ( صفحه ) و 3 (فضا) مجاز می کرد، ریاضیدانان و فیزیکدانان تقریباً دو قرن از ابعاد بالاتر استفاده کرده اند.  یکی از نمونه‌های کاربرد ریاضی برای ابعاد بالاتر، فضای پیکربندی یک سیستم فیزیکی است که ابعادی برابر با درجه‌های آزادی سیستم دارد. به عنوان مثال، پیکربندی یک پیچ را می توان با پنج مختصات توصیف کرد. 

در توپولوژی کلی ، مفهوم بعد از اعداد طبیعی به بعد بی نهایت ( مثلاً فضاهای هیلبرت ) و اعداد حقیقی مثبت (در هندسه فراکتال ) گسترش یافته است.  در هندسه جبری ، بعد یک تنوع جبری تعدادی تعاریف ظاهراً متفاوت دریافت کرده است که همه در رایج‌ترین موارد معادل هستند. 

=== نقطه،خط،صفحه،فضا ===

==== نقطه ====
در هندسه کلاسیک اقلیدسی ، '''نقطه''' یک مفهوم ابتدایی است که مکان دقیقی را در فضا مدل می‌کند و طول، عرض یا ضخامت ندارد.  در ریاضیات مدرن ، یک '''نقطه''' به طور کلی به عنصری از مجموعه ای به نام فضا اشاره دارد.نقطه یک شی صفر بعدی است که با استفاده از آن فضای یک بعدی(خط)به وجود می آید

مفهوم ابتدایی بودن به این معنی است که یک نقطه را نمی توان بر حسب اشیاء تعریف شده قبلی تعریف کرد. به این معنا که یک نقطه فقط با برخی از ویژگی ها به نام بدیهیات تعریف می شود که باید آن ها را برآورده کند. به عنوان مثال، ''&quot;دقیقا یک خط وجود دارد که از دو نقطه مختلف می گذرد&quot;'' .

==== خط ====
خط، امتداد نقطه است.

بر اثر حرکت و امتداد یک نقطه بر صفحه در یک راستا، خط شکل می‌گیرد.

خط در هندسه به‌معنی اتصال یا امتداد دو نقطه-در یک راستا-بر روی سطح (صفحه) که سطح را تقسیم می‌کند. خط به‌طور مطلق از دو جهت، بی‌نهایت امتداد دارد. نیم‌خط از یک نقطه، آغاز می‌شود و از دیگر سو بی‌نهایت امتداد دارد و پاره‌خط از هر دو سو به دو نقطه، محدود است.

در هندسهٔ اقلیدسی، خط، عبارت است از کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه که ممکن است از هر جهت بی‌نهایت امتداد پیدا کند. از سویی پاره‌خط کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه است.با استفاده از خط می توان صفحه درست کرد

==== صفحه ====
به طور نامحدود گسترش می یابد.  صفحه آنالوگ دو بعدی یک نقطه (ابعاد صفر)، یک خط (یک بعدی) و فضای سه بعدی است . صفحات می توانند به عنوان زیرفضاهای فضایی با ابعاد بالاتر، مانند یکی از دیوارهای اتاق، بی نهایت گسترش یافته باشند، یا ممکن است به تنهایی از وجود مستقلی برخوردار شوند، 

==== فضا ====
'''فضای سه بعدی''' (همچنین: '''فضای سه بعدی''' ، '''فضای''' سه بعدی یا به ندرت '''فضای سه بعدی''' ) یک تنظیم هندسی است که در آن سه مقدار (به نام ''پارامتر'' ) برای تعیین موقعیت یک عنصر (یعنی نقطه ) مورد نیاز است. این معنای غیر رسمی اصطلاح بعد است.

در ریاضیات ، چند عدد از ''n'' عدد را می توان به عنوان مختصات دکارتی یک مکان در فضای اقلیدسی ''n'' بعدی درک کرد. مجموعه این n- tuples معمولا نشان داده می شودو می توان آن را در فضای اقلیدسی n بعدی شناسایی کرد. وقتی ''n'' = 3 باشد، این فاصله فراخوانی می شود'''فضای اقلیدسی سه بعدی''' (یا به سادگی فضای اقلیدسی هنگامی که زمینه واضح است).  این به عنوان مدلی از جهان فیزیکی عمل می کند (زمانی که نظریه نسبیت در نظر گرفته نمی شود)، که در آن تمام ماده شناخته شده وجود دارد. در حالی که این فضا متقاعدکننده‌ترین و مفیدترین راه برای مدل‌سازی جهان آن‌گونه که تجربه می‌شود، باقی می‌ماند،  تنها نمونه‌ای از تنوع زیادی از فضاها در سه بعدی به نام 3 منیفولد است . در این مثال کلاسیک، هنگامی که سه مقدار به اندازه گیری در جهات مختلف ( مختصات ) اشاره دارد، هر سه جهت را می توان انتخاب کرد، مشروط بر اینکه بردارهادر این جهات همه در یک فضای 2 ( صفحه ) قرار نمی گیرند. علاوه بر این، در این مورد، این سه مقدار را می توان با هر ترکیبی از سه مورد انتخاب شده از عبارات ''عرض / عرض'' ، ''ارتفاع / عمق'' و ''طول'' برچسب گذاری کرد.

=== تقارن ===
قدمت موضوع تقارن در هندسه به اندازه خود علم هندسه است.  اشکال متقارن مانند دایره ، چند ضلعی های منظم و جامدات افلاطونی اهمیت عمیقی برای بسیاری از فیلسوفان باستان داشتند  و قبل از زمان اقلیدس به تفصیل مورد بررسی قرار گرفتند.  الگوهای متقارن در طبیعت اتفاق می‌افتند و به صورت هنرمندانه در بسیاری از اشکال، از جمله گرافیک لئوناردو داوینچی ، ام سی اسچر ، و دیگران ارائه شده‌اند.  در نیمه دوم قرن 19، رابطه بین تقارن و هندسه مورد بررسی شدید قرار گرفت.برنامه ارلانگن فلیکس کلاین اعلام کرد که به معنای بسیار دقیق، تقارن، که از طریق مفهوم گروه تبدیل بیان می شود، تعیین می کند که هندسه ''چیست'' .  تقارن در هندسه کلاسیک اقلیدسی با همخوانی‌ها و حرکات صلب نشان داده می‌شود ، در حالی که در هندسه تصویری نقش مشابهی توسط تلاقی‌ها ، تبدیل‌های هندسی ایفا می‌شود که خطوط مستقیم را به خطوط مستقیم تبدیل می‌کنند.  اما در هندسه‌های جدید بولیایی و لوباچفسکی، ریمان، کلیفورد و کلاین، و سوفوس لی وجود داشت.ایده کلاین برای «تعریف هندسه از طریق گروه تقارن آن » الهام گرفته شده است.  هر دو تقارن گسسته و پیوسته نقش برجسته ای در هندسه دارند، اولی در توپولوژی و نظریه گروه هندسی ،  دومی در نظریه دروغ و هندسه ریمانی . 

نوع متفاوتی از تقارن، اصل دوگانگی در هندسه تصویری ، در میان زمینه‌های دیگر است. این فراپدیده را می‌توان تقریباً به این صورت توصیف کرد: در هر قضیه ، ''نقطه'' مبادله با ''صفحه'' ، ''پیوستن به'' meet ''،'' نهفته ''در'' با ''حاوی'' ، و نتیجه یک قضیه به همان اندازه درست است.  شکل مشابه و نزدیک به دوگانگی بین فضای برداری و فضای دوگانه آن وجود دارد.

== هندسه معاصر ==

=== هندسه اقلیدوسی ===
هندسه اقلیدسی هندسه به معنای کلاسیک آن است.  همانطور که فضای دنیای فیزیکی را مدل می کند، در بسیاری از زمینه های علمی مانند مکانیک ، نجوم ، کریستالوگرافی ،  و بسیاری از زمینه های فنی مانند مهندسی ،  معماری ،  ژئودزی استفاده می شود. ،  آیرودینامیک ،  و ناوبری .  برنامه آموزشی اجباری اکثریت ملل شامل مطالعه مفاهیم اقلیدسی مانند نقاط ، خطوط است ., صفحه , زاویه , مثلث , همخوانی , تشابه , اشکال جامد , دایره , و هندسه تحلیلی .

=== هندسه دیفرانسیل ===
هندسه دیفرانسیل از تکنیک های حساب دیفرانسیل و انتگرال و جبر خطی برای مطالعه مسائل هندسه استفاده می کند.  این برنامه در فیزیک ،  اقتصاد سنجی ،  و بیوانفورماتیک ،  در میان دیگران کاربرد دارد.

به طور خاص، هندسه دیفرانسیل به دلیل فرضیه نسبیت عام آلبرت انیشتین مبنی بر خمیده بودن جهان ، برای فیزیک ریاضی اهمیت دارد .  هندسه دیفرانسیل می‌تواند ''ذاتی'' باشد (به این معنی که فضاهایی که در نظر می‌گیرد منیفولدهای صافی هستند که ساختار هندسی آنها توسط یک متریک ریمانی کنترل می‌شود ، که تعیین می‌کند چگونه فاصله‌ها در نزدیکی هر نقطه اندازه‌گیری می‌شوند) یا ''بیرونی'' (جایی که جسم مورد مطالعه بخشی است). برخی از فضای مسطح اقلیدسی محیطی).

=== هندسه نااقلیدوسی ===
هندسه اقلیدسی تنها شکل تاریخی هندسه مورد مطالعه نبود. هندسه کروی از دیرباز توسط ستاره شناسان، اخترشناسان و دریانوردان مورد استفاده قرار گرفته است. 

امانوئل کانت استدلال کرد که تنها یک هندسه ''مطلق'' وجود دارد که توسط قوه درونی ذهن به ''طور پیشینی صادق است: هندسه اقلیدسی'' از پیش ترکیبی بود .  این دیدگاه ابتدا تا حدودی توسط متفکرانی مانند ساکری به چالش کشیده شد ، سپس سرانجام با کشف انقلابی هندسه نااقلیدسی در آثار بولیایی، لوباچفسکی و گاوس (که هرگز نظریه خود را منتشر نکرد) لغو شد.  آنها نشان دادند که فضای معمولی اقلیدسی تنها یک امکان برای توسعه هندسه است. سپس دیدگاه وسیعی از موضوع هندسه توسط ریمان بیان شددر سخنرانی افتتاحیه خود در سال 1867 ''Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen'' ( ''درباره فرضیه هایی که هندسه بر آن ها بنا شده است'' )،  تنها پس از مرگ او منتشر شد. ایده جدید ریمان از فضا در نظریه نسبیت عام آلبرت انیشتین بسیار مهم بود . هندسه ریمانی ، که فضاهای بسیار کلی را در نظر می گیرد که در آن مفهوم طول تعریف می شود، پایه اصلی هندسه مدرن است. 

=== توپولوژی ===
توپولوژی رشته‌ای است که با ویژگی‌های نگاشت پیوسته مرتبط است،  و می‌توان آن را تعمیم هندسه اقلیدسی در نظر گرفت.  در عمل، توپولوژی اغلب به معنای برخورد با ویژگی‌های مقیاس بزرگ فضاها، مانند اتصال و فشردگی است. 
رشته توپولوژی که در قرن بیستم شاهد توسعه گسترده ای بود، از نظر فنی نوعی هندسه تبدیل است که در آن تبدیل ها همومورفیسم هستند .  این اغلب به شکل ضرب المثل &quot;توپولوژی هندسه ورق لاستیکی است&quot; بیان شده است. زیر شاخه های توپولوژی شامل توپولوژی هندسی ، توپولوژی دیفرانسیل ، توپولوژی جبری و توپولوژی عمومی است . 

=== هندسه جبری ===
حوزه هندسه جبری از هندسه مختصات دکارتی توسعه یافته است.  دوره‌های رشد دوره‌ای، همراه با ایجاد و مطالعه هندسه تصویری، هندسه دوتایی ، انواع جبری ، و جبر جابه‌جایی ، در میان موضوعات دیگر را پشت سر گذاشت.  از اواخر دهه 1950 تا اواسط دهه 1970، عمدتاً به دلیل کار ژان پیر سر و الکساندر گروتندیک ، توسعه اساسی عمده ای را تجربه کرد .  این منجر به معرفی طرح هایی شدو تاکید بیشتر بر روش های توپولوژیکی ، از جمله تئوری های مختلف cohomology . یکی از هفت مسئله جایزه هزاره ، حدس هاج ، سؤالی در هندسه جبری است.  اثبات وایلز بر آخرین قضیه فرما از روش های پیشرفته هندسه جبری برای حل یک مسئله دیرینه نظریه اعداد استفاده می کند.
به طور کلی، هندسه جبری هندسه را از طریق استفاده از مفاهیم در جبر جابجایی مانند چند جمله‌ای چند متغیره مطالعه می‌کند.  در بسیاری از زمینه ها از جمله رمزنگاری  و نظریه ریسمان کاربرد دارد. 

=== هندسه پیچیده ===
هندسه پیچیده ماهیت ساختارهای هندسی مدل سازی شده یا برخاسته از صفحه پیچیده را مطالعه می کند.  هندسه پیچیده در تقاطع هندسه دیفرانسیل، هندسه جبری و تجزیه و تحلیل چندین متغیر پیچیده قرار دارد و کاربردهایی برای نظریه ریسمان و تقارن آینه ای پیدا کرده است . 

هندسه پیچیده برای اولین بار به عنوان یک منطقه متمایز مطالعه در کار برنهارد ریمان در مطالعه سطوح ریمان ظاهر شد.  کار بر اساس روح ریمان توسط مکتب هندسه جبری ایتالیا در اوایل دهه 1900 انجام شد. درمان معاصر هندسه پیچیده با کار ژان پیر سر آغاز شد، که مفهوم قرقره را به موضوع معرفی کرد و روابط بین هندسه پیچیده و هندسه جبری را روشن کرد.  اشیاء اولیه مطالعه در هندسه پیچیده، منیفولدهای پیچیده ، انواع پیچیده جبری هستند.و انواع تحلیلی پیچیده و بسته‌های برداری هولومورفیک و نوارهای منسجم بر روی این فضاها. نمونه‌های خاصی از فضاهای مورد مطالعه در هندسه پیچیده شامل سطوح ریمان و منیفولدهای Calabi-Yau هستند و این فضاها در نظریه ریسمان کاربرد پیدا می‌کنند. به طور خاص، صفحات جهان از ریسمان توسط سطوح ریمان مدل‌سازی می‌شوند، و نظریه ابر ریسمان پیش‌بینی می‌کند که 6 بعد اضافی 10 فضازمان بعدی ممکن است توسط منیفولدهای Calabi-Yau مدل‌سازی شوند.

=== هندسه گسسته ===
هندسه گسسته موضوعی است که ارتباط نزدیکی با هندسه محدب دارد .  عمدتاً به سؤالات موقعیت نسبی اجسام هندسی ساده، مانند نقاط، خطوط و دایره ها مربوط می شود. به عنوان مثال می‌توان به مطالعه بسته‌بندی‌های کره ، مثلث‌سازی ،  -پولسن، و غیره اشاره کرد .

=== هندسه محاسباتی ===
هندسه محاسباتی با الگوریتم ها و اجرای آنها برای دستکاری اشیاء هندسی سروکار دارد. مشکلات مهم از لحاظ تاریخی شامل مشکل فروشنده دوره گرد ، حداقل درختان پوشا ، حذف خط پنهان و برنامه ریزی خطی بوده است. 

اگرچه حوزه هندسی جوانی است، اما کاربردهای زیادی در بینایی کامپیوتری ، پردازش تصویر ، طراحی به کمک رایانه ، تصویربرداری پزشکی و غیره دارد 

=== نظریه گروه هندسی ===
نظریه گروه‌های هندسی از تکنیک‌های هندسی در مقیاس بزرگ برای مطالعه گروه‌های تولید شده محدود استفاده می‌کند.  ارتباط نزدیکی با توپولوژی کم بعدی دارد ، مانند اثبات حدس هندسی گریگوری پرلمن ، که شامل اثبات حدس پوانکاره ، یک مسئله جایزه هزاره است. 

نظریه گروه هندسی اغلب حول گراف کیلی می چرخد ​​که نمایش هندسی یک گروه است. موضوعات مهم دیگر عبارتند از شبه ایزومتریک ها ، گروه های گروموف-هذلولی ، و گروه های آرتین با زاویه راست . 

=== هندسه محدب ===
هندسه محدب اشکال محدب را در فضای اقلیدسی و آنالوگ های انتزاعی تر آن بررسی می کند و اغلب از تکنیک های تحلیل واقعی و ریاضیات گسسته استفاده می کند.  ارتباط نزدیکی با تحلیل محدب ، بهینه سازی و تحلیل عملکردی و کاربردهای مهم در نظریه اعداد دارد .

قدمت هندسه محدب به دوران باستان باز می گردد.  ارشمیدس اولین تعریف دقیق شناخته شده از تحدب را ارائه کرد. مسئله ایزوپریمتری ، مفهومی تکرارشونده در هندسه محدب، توسط یونانیان نیز از جمله Zenodorus مورد مطالعه قرار گرفت . ارشمیدس، افلاطون ، اقلیدس ، و بعدها کپلر و کوکستر همه پلی توپ های محدب و خواص آنها را مورد مطالعه قرار دادند. از قرن نوزدهم به بعد، ریاضیدانان حوزه های دیگری از ریاضیات محدب را مورد مطالعه قرار دادند، از جمله پلی توپ های با ابعاد بالاتر، حجم و سطح اجسام محدب، انحنای گاوسی،الگوریتم ها، کاشی کاری ها.و مشبک ها را مورد بررسی و تحقیق قرار دادند.

== برنامه های کاربری ==
هندسه در بسیاری از زمینه ها کاربرد پیدا کرده است که در زیر به برخی از آنها اشاره می شود.

=== هنر ===
ریاضیات و هنر به طرق مختلفی با هم مرتبط هستند. برای مثال، تئوری پرسپکتیو نشان داد که هندسه چیزی بیش از ویژگی‌های متریک شکل‌ها دارد: پرسپکتیو منشأ هندسه تصویری است . 

هنرمندان مدت‌هاست که از مفاهیم تناسب در طراحی استفاده می‌کنند. ویتروویوس یک نظریه پیچیده از ''تناسبات ایده آل'' برای پیکر انسان ایجاد کرد.  این مفاهیم توسط هنرمندانی از میکل آنژ تا هنرمندان کمیک بوک مدرن استفاده و اقتباس شده است. 

نسبت طلایی نسبت خاصی است که نقشی بحث برانگیز در هنر داشته است. اغلب ادعا می‌شود که از نظر زیبایی‌شناختی دلپذیرترین نسبت طول است، اغلب گفته می‌شود که در آثار هنری معروف گنجانده شده است، اگرچه قابل‌اعتمادترین و بدون ابهام‌ترین نمونه‌ها عمداً توسط هنرمندان آگاه از این افسانه ساخته شده است. 

کاشی کاری یا تزیینات در طول تاریخ در هنر استفاده شده است. هنر اسلامی مانند هنر MC Escher به طور مکرر از تسلیحات استفاده می کند .  کار اشر همچنین از هندسه هذلولی استفاده کرد.

سزان این نظریه را مطرح کرد که همه تصاویر را می توان از کره ، مخروط و استوانه ساخت . این هنوز هم امروزه در تئوری هنر استفاده می شود، اگرچه فهرست دقیق اشکال از نویسنده ای به نویسنده دیگر متفاوت است. 

=== معماری ===
هندسه کاربردهای زیادی در معماری دارد. در واقع، گفته شده است که هندسه در هسته طراحی معماری قرار دارد.  کاربردهای هندسه در معماری شامل استفاده از هندسه تصویری برای ایجاد پرسپکتیو اجباری ،  استفاده از مقاطع مخروطی در ساخت گنبدها و اشیاء مشابه،  استفاده از تسلسل ،  و استفاده از تقارن 

=== فیزیک ===
حوزه نجوم ، به ویژه از آنجایی که به نقشه برداری از موقعیت ستارگان و سیارات در کره سماوی و توصیف رابطه بین حرکات اجرام سماوی مربوط می شود، به عنوان منبع مهمی از مشکلات هندسی در طول تاریخ خدمت کرده است. 

هندسه ریمانی و هندسه شبه ریمانی در نسبیت عام استفاده می شود .  نظریه ریسمان از چندین نوع هندسه استفاده می کند،  و همچنین نظریه اطلاعات کوانتومی .

== منابع ==
#ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>ljwy1qzn66nink8ys7h8djnlmumk2i8</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35981</id>
    <revision>
      <id>117403</id>
      <parentid>117326</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:18:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>/* منابع */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2858" xml:space="preserve">زاویه ظلی٬نوعی دیگر از زاویه‌هایی است که در دایره رسم می‌شود که راس آن روی دایره قراردارد و یکی‌از اضلاع آن مماس بر دایره است و دیگری وتری از دایره است.زاویه ظلی اندازه زاویه اش نصف کمان روبه رو است،وبا زاویه محاطی برابر است،چون هردو راس آنها روی دایره قرار دارد.
[[پرونده:زاویه ظلی.png|بندانگشتی|زاویه ظلی یا زاویه سایه]]

== اثبات زاویه ظلی ==
زاویه محاطی را در نظر بگیرید و به همراه زاویه ظلی در نظر بگیرید,ابتدا برای اندازه گرفتن زاویه ظلی ابتدا زاویه محاطی را رسم می کنیم.
[[پرونده:اثبات زاویه ظلی.png|بندانگشتی]]
زاویهDBEزاویه محاطی است و زاویهDBCزاویه ظلی است.زاویه مرکزی ما زاویهDAEاست. به متن زیر توجه کنید

=== اثبات زاویه محاطی ===
[[پرونده:Inscribed angle theorem1.svg|بندانگشتی]]
برای ثابت کردن زاویه محاطی که نصف کمان روبه رو است ابتدا مثلثی می کشیم که متساوی الساقین باشد،در هر مثلث زاویه خارجی اش مجموع زاویه های غیر مجاورش است و چون مثلث فوق متساوی الساقین است و در مثلث متساوی الساقین دو زاویه ساق باهم برابر اند و زاویه غیر مجاور زاویه کمان هستند پس زاویه کمان را نصف کرده و زاویه محاطی که زاویه ساق بودند را بدست می آوریم.

=== اثبات زاویه ظلی به کمک زاویه محاطی ===
[[پرونده:اثبات زاویه ظلی.png|بندانگشتی]]
اندازه زاویهDAEبرابر با°90است و زاویهCBEهم°90است و زاویهDBEچون محاطی است و نصف کمان است پس °45 درجه می شود.زاویه محاطی و ظلی جزء زاویهCBE است و زاویه محاطی نیز45درجه بود،پس زاویه ظلی نیز برابر با 45-90برابر با°45درجه است


&lt;code&gt;'''قضیه:'''اندازه زاویه ظلی برابر با زاویه محاطی کمان است و نصف کمان روبه رو اشت&lt;/code&gt;

=== مسئله ===
اندازه زاویه ظلی این شکل را بدست آورید.
[[پرونده:رابطه زاویه ظلی با زاویه محاطی.png|بندانگشتی]]

== منابع ==
هندسه پایه یازدهم(ص12)

مشارکت ویکی پدیای فارسی(تحقیق زاویه محاطی)
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>gx7ihwy89gno0etnokaj9tp3ziistdq</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35982</id>
    <revision>
      <id>117402</id>
      <parentid>117331</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:17:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>/* منابع */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8631" xml:space="preserve">'''زاویهٔ محاطی''' در هندسه هنگامی ساخته می‌شود که دو خط گذرا از روی دایره (یا در تباهیدگی یک خط قطع کننده و یک خط مماس) با یکدیگر روی پیرامون دایره برخورد کنند.

به بیان ساده‌تر اگر یک زاویه درون یک دایره باشد و ضلع‌های زاویه، دو وتر از دایره باشد که با هم یک نقطهٔ مشترک دارند، چنین زاویه‌ای زاویهٔ محاطی نام دارد. در کتاب سوم اصول اقلیدس، گزاره‌های ۲۰ تا ۲۲، ویژگی‌های این زاویه گفته شده‌است. اگر یک زاویهٔ مرکزی و یک زاویهٔ محاطی هر دو یک کمان از دایره را دربرداشته باشند، اندازهٔ زاویهٔ محاطی نصف زاویهٔ مرکزی خواهد بود

== اثبات ==

=== زاویهٔ محاطی با یک قطر ===
[[پرونده:InscribedAngle_1ChordDiam.svg|چپ]]
اگر ''O'' مرکز دایره باشد، دو نقطهٔ بر روی محیط دایره انتخاب کنید و آن‌ها را به ترتیب ''V'' و ''A'' بنامید. ''V'' را به ''O'' وصل کنید و آن را ادامه دهید تا با پیرامون دایره در نقطهٔ ''B'' برخورد کند. چون این خط از مرکز دایره گذشته‌است پس قطر دایره‌است در نتیجه ''V'' در یک سوی قطر و ''B'' در سوی دیگر آن جای گرفته‌است. حال زاویه‌ای بکشید که راس آن در نقطهٔ ''V'' باشد و دو لبهٔ آن از ''A'' و ''B'' بگذرد.

نقطهٔ ''A'' را به ''O'' وصل کنید. زاویهٔ ''BOA'' یک زاویهٔ مرکزی است. آن را ''θ'' بنامید. دو [[پاره خط]] ''OA'' و ''OV'' با هم برابرند چون هر دو شعاع دایره‌اند. پس مثلث ''VOA'' متساوی‌الساقین است. در نتیجه دو زاویهٔ ''BVA'' (زاویهٔ محاطی) و ''VAO'' با هم برابرند. هر دوی این زاویه‌ها را ''ψ'' می‌نامیم.

زاویه‌های ''BOA'' و ''AOV'' [[زاویه‌های مکمل|با هم مکمل اند]] و مجموع آن‌ها ۱۸۰ درجه می‌شود. چون خط ''VB'' از ''O'' می‌گذرد و یک خط راست است پس اندازهٔ زاویهٔ ''AOV'' از رابطهٔ {{عبارت چپچین|۱۸۰° − θ}} بدست می‌آید.

از سوی دیگر می‌دانیم که مجموع زاویه‌های داخلی [[مثلث]] ۱۸۰ درجه‌است.  سه زاویهٔ داخلی مثلث ''VOA'' عبارتند از: &lt;math&gt;  180^\circ - 2 \psi = 180-
\theta, &lt;/math&gt;پس بنابراین.

: &lt;math&gt; 2 \psi + 180^\circ - \theta = 180^\circ. &lt;/math&gt;

۱۸۰° را از دو سوی تساوی کم می کنیم.

: &lt;math&gt; 2 \psi = \theta, \,&lt;/math&gt;

که در آن ''θ'' زاویهٔ مرکزی کمان ''AB'' است و ''ψ'' زاویهٔ محاطی همان کمان است که اندازه‌ای برابر با نصف آن دارد.

=== زاویهٔ محاطی و مرکز دایره درون آن ===
[[پرونده:InscribedAngle_CenterCircle.svg|چپ]]
دایره‌ای با مرکز ''O'' را در نظر بگیرید. سه نقطهٔ D،VوC را بر روی آن برگزینید. دو پاره خط ''VC'' و ''VD'' را بکشید. زاویهٔ ''DVC'' یک زاویهٔ محاطی است. حال خط ''VO'' را بکشید و آن را ادامه دهید تا با سوی دیگر دایره در نقطهٔ ''E'' برخورد کند. کمان روبرو به زاویهٔ محاطی ''DVC''، کمان ''DC'' نام دارد.

کمان ''DC'' نقطهٔ ''E'' را در بر می‌گیرد و می‌دانیم که این نقطه بر روی قطری از دایره قرار دارد. از سوی دیگر زاویه‌های ''DVE'' و ''EVC'' هر دو زاویهٔ محاطی‌اند. در بخش پیشین بدست آوردیم که اگر یک ضلع زاویهٔ محاطی از مرکز دایره بگذرد اندازهٔ آن برابر نصف کمان روبروی آن است. حال از داده‌های بخش پیشین بهره می‌گیریم:

: &lt;math&gt; \angle DVC = \angle DVE + \angle EVC. \, &lt;/math&gt;

پس داریم:

: &lt;math&gt; \psi_0 = \angle DVC, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; \psi_1 = \angle DVE, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; \psi_2 = \angle EVC, &lt;/math&gt;

نتیجه می‌گیریم:

: &lt;math&gt; \psi_0 = \psi_1 + \psi_2. \qquad \qquad (1) &lt;/math&gt;

حال خط‌های ''OC'' و ''OD'' را می‌کشیم. زاویهٔ ''DOC'' یک زاویهٔ مرکزی است. همچنین زاویه‌های ''DOE'' و ''EOC'' هم زاویه‌های مرکزی‌اند؛ و می‌دانیم:

: &lt;math&gt; \angle DOC = \angle DOE + \angle EOC. &lt;/math&gt;

اگر فرض کنیم:

: &lt;math&gt; \theta_0 = \angle DOC, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; \theta_1 = \angle DOE, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; \theta_2 = \angle EOC, &lt;/math&gt;

آنگاه:

: &lt;math&gt; \theta_0 = \theta_1 + \theta_2. \qquad \qquad (2) &lt;/math&gt;

پیشتر از بخش یک می‌دانیم که &lt;math&gt; \theta_1 = 2 \psi_1 &lt;/math&gt; و &lt;math&gt; \theta_2 = 2 \psi_2 &lt;/math&gt; با توجه به تمامی این داده‌ها و معادلهٔ (۲) بدست می‌آوریم که:

: &lt;math&gt; \theta_0 = 2 \psi_1 + 2 \psi_2 \,&lt;/math&gt;

با توجه به رابطهٔ (۱) خواهیم داشت:

: &lt;math&gt; \theta_0 = 2 \psi_0. \,&lt;/math&gt;

=== زاویهٔ محاطی که مرکز دایره در بیرون آن جای دارد ===
[[پرونده:InscribedAngle_CenterCircleExtV2.svg|چپ]]
دایره‌ای با مرکز ''O'' را در نظر بگیرید. سه نقطهٔ E,C,V و ''D'' را بر روی آن برگزینید. دو پاره خط ''VC'' و ''VD'' را بکشید. زاویهٔ ''DVC'' یک زاویهٔ محاطی است. حال خط ''VO'' را بکشید و آن را ادامه دهید تا با سوی دیگر دایره در نقطهٔ ''E'' برخورد کند. کمان روبرو به زاویهٔ محاطی ''DVC''، کمان ''DC'' نام دارد.

می‌دانیم که نقطهٔ ''E'' که بر روی قطری از دایره جای دارد. همچنین می‌دانیم که زاویه‌های ''DVE'' و ''EVC'' هم زاویه‌هایی محاطی‌اند. در بخش‌های پیشین نشان دادیم که اندازهٔ زاویهٔ محاطی که ضلعش از روی مرکز دایره بگذرد برابر نصف کمان روبرویش است. پس خواهیم داشت:

: &lt;math&gt; \angle DVC = \angle EVC - \angle DVE &lt;/math&gt;.

اگر فرض کنیم:

: &lt;math&gt; \psi_0 = \angle DVC, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; \psi_1 = \angle DVE, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; \psi_2 = \angle EVC, &lt;/math&gt;

آنگاه

: &lt;math&gt; \psi_0 = \psi_2 - \psi_1 \qquad \qquad (3) &lt;/math&gt;

خط‌های ''OC'' و ''OD'' را بکشید. زاویهٔ ''DOC'' یک زاویهٔ مرکزی است همچنین می‌دانیم که زاویه‌های ''DOE'' و ''EOC'' هم زاویه‌هایی مرکزی‌اند. با توجه به آنکه

: &lt;math&gt; \angle DOC = \angle EOC - \angle DOE. &lt;/math&gt;

اگر فرض کنیم

: &lt;math&gt; \theta_0 = \angle DOC, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; \theta_1 = \angle DOE, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; \theta_2 = \angle EOC, &lt;/math&gt;

آنگاه خواهیم داشت:

: &lt;math&gt; \theta_0 = \theta_2 - \theta_1 \qquad \qquad (4) &lt;/math&gt;

با توجه به نکته‌هایی که در بخش یک گفته شد می‌دانیم که &lt;math&gt; \theta_1 = 2 \psi_1 &lt;/math&gt; و &lt;math&gt; \theta_2 = 2 \psi_2  &lt;/math&gt; است. با توجه به این تساوی‌ها و رابطهٔ (۴):

: &lt;math&gt; \theta_0 = 2 \psi_2 - 2 \psi_1 &lt;/math&gt;

پس، از رابطهٔ (۳) خواهیم داشت:

: &lt;math&gt; \theta_0 = 2 \psi_0. &lt;/math&gt;

== نکاتی درباره زاویه محاطی ==

# همه زاویه‌های محاطی روبروی یک کمان با هم برابرند.
# روبروی یک کمان می‌توان بی‌نهایت زاویه محاطی رسم کرد.
# زاویه محاطی روبروی قطر دایره برابر با °۹۰ است.
# اگر همه رأس‌های یک چهارضلعی روی محیط دایره قرار داشته باشند، زوایای روبروی هم مکمل یکدیگرند.
# همه زاویه های محاطی نصف کمان روبه رو هستند
# زاویه محاطی با زاویه ظلی در یک راس هستند و برابر هستند

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>qe265a6ij7qf4aiwichhxbg4hm0otmj</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35983</id>
    <revision>
      <id>117395</id>
      <parentid>117329</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:11:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1888" xml:space="preserve">'''نظریه مجموعه‌ها''' شاخه‌ای از منطق ریاضی است که به مطالعه مجموعه‌ها می‌پردازد. مجموعه‌ها، گردایه‌ای از اشیاء هستند. هر چند هر نوعی از اشیاء می‌توانند یک مجموعه را تشکیل دهند، اما نظریه مجموعه‌ها اغلب در مورد اشیاء مرتبط با ریاضی به کار می‌رود. زبان نظریه مجموعه‌ها را می‌توان در تعریف تقریباً همه‌ی اشیاء ریاضی به کار برد. مطالعه جدید بر روی نظریه مجموعه‌ها توسط گئورگ کانتور و ریچارد ددکیند در دهه ۷۰ قرن ۱۸ میلادی شروع شد. پس از کشف تناقض‌های نظریه طبیعی مجموعه‌ها، دستگاه‌های اصل موضوعی بی‌شماری در اوایل قرن ۲۰ مطرح شدند که معروف‌ترین آن‌ها اصل موضوعه زرملو-فرانکل و اصل موضوعه انتخاب هستند. نظریه مجموعه‌ها عموماً به عنوان سیستم بنیادین ریاضیات در شکل نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل همراه با اصل موضوعه انتخاب به کار می‌رود. ورای نقش بنیادین آن، نظریه مجموعه‌ها در جایگاه خود یکی از شاخه‌های ریاضی با جامعه پژوهش فعالی محسوب می‌شود. پژوهش‌های معاصر در نظریه مجموعه‌ها موضوع‌های متنوعی را شامل می‌شود که از ساختار خط اعداد حقیقی تا مطالعه سازگاری اعداد بزرگ متغیر است.

== منابع ==
ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>6hku722uvfdyst8tz9ctngucywrudw9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35985</id>
    <revision>
      <id>117397</id>
      <parentid>117330</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:13:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>/* منابع */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2432" xml:space="preserve">'''ترکیبیات''' شاخه‌ای از ریاضیات گسسته است که به بررسی ساختارهای متناهی و شمارا می‌پردازد. بخش‌های مختلف ترکیبیات تشکیل شده‌اند از:

* شمارش ساختارهای دارای حالت یا اندازه‌ای خاص (ترکیبیات شمارشی)
* تصمیم‌گیری این که چه زمانی معیارهای خاصی مانند تعادل و تقارن رعایت می‌شوند، و ساخت و بررسی اشیائی که از معیارها پیروی می‌کنند. (طراحی ترکیبیاتی و نظریه ماتروید)
* پیدا کردن «بزرگترین» شیء، «کوچکترین» شیء یا شیء «بهینه». (بهینه‌سازی ترکیبیاتی و ترکیبیات کرانگینه).
* بررسی ساختارهای ترکیبیاتی به‌وجود آمده در زمینه‌های جبری یا به‌کارگیری فنون جبری در مسائل ترکیبیاتی (ترکیبیات جبری)
* به کسی که مطالب ترکیبیات را مطالعه و تحقیق می کند ترکیب گرا می گویند

مسائل ترکیبیات در بخش‌های زیادی از ریاضیات خالص مانند جبر، نظریه احتمالات، توپولوژی و هندسه به‌وجود می‌آیند و ترکیبیات کاربرد بسیاری در بهینه‌سازی، علوم رایانه، نظریه ارگودیک و فیزیک آماری دارد. به‌طور تاریخی بسیاری از مسائل ترکیبیات، راه حلی تک کاره به مسائلی که در بخش‌های مختلف ریاضی پیش آمده‌اند داده‌است. اما در اواخر سده بیستم متدهای کلی و قدرتمندی درست شد که ترکیبیات را به بخشی جدا در ریاضیات تبدیل کرد. یکی از قدیمی‌ترین و دم‌دستی‌ترین تکه‌های ترکیبیات نظریه گراف‌ها است که کاربردهای بسیاری در شاخه‌های مختلف دارد. ترکیبیات در علوم رایانه برای بدست آوردن فرمول‌ها و تخمین‌ها در تحلیل الگوریتم‌ها کاربرد بسیاری دارد.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>f70v8p49wcjps9qb206l93liufoi57j</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35986</id>
    <revision>
      <id>117396</id>
      <parentid>117332</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:12:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2291" xml:space="preserve">'''نظریه اعداد''' (در گذشته به آن '''حساب''' یا '''حساب پیشرفته''' می‌گفتند) شاخه‌ای از ریاضیات محض است که خود را عمدتاً وقف مطالعهٔ اعداد صحیح نموده‌است. کارل گاوس گفت: «ریاضیات ملکهٔ علوم است، و نظریهٔ اعداد ملکه ریاضیات.» نظریه اعداد دانان به مطالعه اعداد اول و همچنین خواص اشیائی که از اعداد ساخته می‌شوند می‌پردازند، (به عنوان مثال اعداد گویا) یا تعمیم‌هایی از اعداد تعریف می‌کنند (مثل اعداد صحیح جبری).

اعداد صحیح را می‌توان به خودی یا به عنوان جواب معادلات (در هندسه سیاله‌ای) در نظر گرفت. سوالات حوزهٔ نظریه اعداد اغلب از طریق مطالعه بر روی اشیاء تحلیلی (به عنوان مثال تابع زتای ریمان) بهتر فهمیده می‌شوند. می‌توان اعداد حقیقی را با کمک اعداد گویا مطالعه کرد، به عنوان مثال با تقریب زدن به کمک اعداد گویا (تقریب سیاله‌ای).

اصطلاح قدیمی برای نظریه اعداد، ''حساب'' بود. اوایل سده بیستم، عبارت «نظریه اعداد» جایگزین آن شد. (واژه «حساب» نزد عوام به عنوان «محاسبات مقدماتی» پنداشته می‌شود. همچنین این اصطلاح در منطق ریاضیات به معنای ''حساب پئانو'' و در علوم رایانه به معنای '''حساب ممیز شناور''' می‌باشد) استفاده از اصطلاح ''حساب'' برای ''نظریه اعداد'' در نیمه دوم سده بیستم رواج پیدا کرد، ادعا می‌شود که ترویج آن تحت تأثیر فرانسوی‌ها بوده‌است. به‌خصوص، اصطلاح ''حسابی'' به عنوان یک صفت نسبت به ''نظریه اعدادی'' ترجیح داده می‌شود.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>0ixlllaw31lgu74rzmr3rspwusqxgmr</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35987</id>
    <revision>
      <id>117398</id>
      <parentid>117337</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:14:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1093" xml:space="preserve">در ریاضیات ، '''نظریه گراف''' مطالعه ''نمودارها است'' ، که ساختارهای ریاضی هستند که برای مدل‌سازی روابط زوجی بین اشیاء استفاده می‌شوند. یک نمودار در این زمینه از ''رئوس'' (که ''گره ها'' یا ''نقاط'' نیز نامیده می شوند ) ساخته شده است که توسط ''یال ها'' (که ''پیوندها'' یا ''خطوط'' نیز نامیده می شوند) به هم متصل می شوند . بین '''نمودارهای بدون جهت''' ، که در آن یال ها دو راس را به طور متقارن به هم مرتبط می کنند، و '''نمودارهای جهت''' دار ، که در آن یال ها دو راس را به طور نامتقارن به هم مرتبط می کنند، تمایز قائل می شوند. نمودارها یکی از موضوعات اصلی مطالعه در ریاضیات گسسته هستند.

== منابع ==
ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>1komlkyjzfwnjq1adw0c7e0h9ee6awl</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/ریاضیات</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35988</id>
    <revision>
      <id>117389</id>
      <parentid>117323</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:06:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>/* منابع */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5044" xml:space="preserve">'''ریاضیات(به پارسی:انگارش به انگلیسی:math)''' حوزه ای از دانش است که شامل موضوعاتی مانند اعداد ( حساب ، نظریه اعداد )،  فرمول ها و ساختارهای مرتبط ( جبر )،  اشکال است. و فضاهایی که در آنها قرار دارند ( هندسه )،  و کمیت ها و تغییرات آنها ( حساب و تحلیل ).  

بیشتر فعالیت های ریاضی شامل کشف و اثبات ویژگی های اشیاء انتزاعی با استدلال محض است. این اشیاء یا انتزاعی از طبیعت هستند، مانند اعداد یا خطوط طبیعی ، یا - در ریاضیات مدرن - موجوداتی هستند که دارای ویژگی‌های خاصی هستند که بدیهیات نامیده می‌شوند . یک برهان متشکل از مجموعه ای از کاربردهای برخی قوانین قیاسی برای نتایج شناخته شده از قبل، از جمله قضایای اثبات شده قبلی ، بدیهیات و (در صورت انتزاع از طبیعت) برخی ویژگی های اساسی است که به عنوان نقطه شروع واقعی نظریه مورد بررسی در نظر گرفته می شوند. نتیجه یک برهان را ''قضیه می گویند''.

ریاضیات به طور گسترده ای در علم برای مدل سازی پدیده ها استفاده می شود. این امکان استخراج پیش بینی های کمی از قوانین تجربی را فراهم می کند. به عنوان مثال، حرکت سیارات را می توان با استفاده از قانون گرانش نیوتن همراه با محاسبات ریاضی به طور دقیق پیش بینی کرد. استقلال حقیقت ریاضی از هر آزمایشی دلالت بر این دارد که صحت چنین پیش‌بینی‌هایی تنها به کفایت مدل برای توصیف واقعیت بستگی دارد. پیش‌بینی‌های نادرست مستلزم نیاز به بهبود یا تغییر مدل‌های ریاضی است، نه اینکه ریاضیات در خود مدل‌ها اشتباه است. برای مثال، تقدم حضیض عطارد را نمی توان با قانون گرانش نیوتن توضیح داد، اما به طور دقیق توسط قانون گرانش نیوتن توضیح داده می شود.نسبیت عام اینشتین _ این تایید تجربی نظریه انیشتین نشان می دهد که قانون گرانش نیوتن تنها یک تقریب است، هرچند در کاربردهای روزمره دقیق است.

ریاضیات در بسیاری از زمینه ها از جمله علوم طبیعی ، مهندسی ، پزشکی ، مالی ، علوم کامپیوتر و علوم اجتماعی ضروری است . برخی از حوزه های ریاضیات، مانند آمار و تئوری بازی ها، در ارتباط نزدیک با کاربردهای آنها توسعه یافته اند و اغلب در زیر ریاضیات کاربردی گروه بندی می شوند . سایر حوزه‌های ریاضی مستقل از هر کاربرد توسعه می‌یابند (و بنابراین ریاضیات محض نامیده می‌شوند )، اما کاربردهای عملی اغلب بعداً کشف می‌شوند.  یک مثال مناسب مسئلهفاکتورسازی اعداد صحیح ، که به اقلیدس برمی‌گردد ، اما قبل از استفاده در سیستم رمزنگاری RSA (برای امنیت شبکه‌های کامپیوتری ) کاربرد عملی نداشت.

از نظر تاریخی , مفهوم ''برهان و'' دقت ریاضی مرتبط با آن برای اولین بار در ریاضیات یونان ظاهر شد , به ویژه در ''عناصر'' اقلیدس .  از آغاز، ریاضیات اساساً به هندسه ، و حساب (دستکاری اعداد و کسرهای طبیعی ) تقسیم شد تا اینکه در قرن 16 و 17، جبر  و حساب بی نهایت کوچک به عنوان حوزه های جدید معرفی شدند. از آن زمان، تعامل بین نوآوری های ریاضی و اکتشافات علمیبه رشد سریع ریاضیات منجر شده است. در پایان قرن نوزدهم، بحران اساسی ریاضیات منجر به نظام‌بندی روش بدیهی شد. این به نوبه خود باعث افزایش چشمگیر تعداد حوزه های ریاضی و زمینه های کاربردی آنها شد. نمونه ای از این طبقه بندی موضوع ریاضیات است که بیش از شصت حوزه سطح اول ریاضیات را فهرست می کند.

== منابع ==
مشارکت کنندگان ویکی پدیا انگلیسی

[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>tlkwi3qqvchbfokwnnko31ki4jgda1d</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/منشور</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35989</id>
    <revision>
      <id>117399</id>
      <parentid>117340</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:14:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3337" xml:space="preserve">در هندسه ، '''منشور''' یک چندوجهی است که شامل یک پایه چند ضلعی n وجهی است ، یک پایه دوم که یک نسخه ترجمه شده (بدون چرخش بدون چرخش) است، و n وجه دیگر ، لزوماً همه متوازی الاضلاع ، که اضلاع متناظر دو پایه را به هم می پیوندند . . تمام مقاطع موازی با پایه ها ترجمه پایه ها هستند. منشورها بر اساس پایه هایشان نامگذاری می شوند، به عنوان مثال منشوری با پایه پنج ضلعی را منشور پنج ضلعی می نامند. منشورها زیرمجموعه ای از منشورها هستند.مانند بسیاری از اصطلاحات اولیه هندسی، کلمه ''منشور'' (از یونانی Prisma ( prisma '')''  &quot;چیزی اره شده&quot;) برای اولین بار در عناصر اقلیدس استفاده شد . اقلیدس این اصطلاح را در کتاب یازدهم اینگونه تعریف کرد: «شکل جامدی که توسط دو صفحه متضاد، مساوی و موازی تشکیل شده است، در حالی که بقیه متوازی الاضلاع هستند». با این حال، این تعریف به دلیل مشخص نبودن کافی در رابطه با ماهیت پایه ها مورد انتقاد قرار گرفته است که باعث سردرگمی هندسه نویسان بعدی شد. 

== حجم و مساحت ==

=== حجم ===
حجم منشور اگرsمساحت قاعده و h ارتفاع باشد،حجم آن می شود:&lt;math&gt;V=S h&lt;/math&gt;

=== مساحت ===
مساحت جانبی منشور اگرpمحیط قاعده و hارتفاع باشد بر این اساس نوشته می شود.
&lt;math&gt;SA'=Ph&lt;/math&gt;
 
مساحت کل منشور اگر s مساحت قاعده باشد می توان بر اساس این فرمول نوشت
 
&lt;math&gt;SA=Ph+2s&lt;/math&gt;
 
=== حجم به صورت مثلثاتی ===
حجم یک منشور حاصل ضرب مساحت قاعده و فاصله بین دو وجه قاعده یا ارتفاع است (در مورد منشور غیر راست توجه داشته باشید که این به معنای فاصله عمود بر هم است).
که در آن ''B'' مساحت پایه و ''h'' ارتفاع است. حجم منشوری که قاعده آن یک چندضلعی منتظم n ''ضلعی'' با طول ضلع ''s'' است برابر است با:
 
&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\frac{\pi}{n}&lt;/math&gt;
 
=== مساحت به روش مثلثاتی ===
مساحت سطح منشور راست 2 · ''B'' + ''P'' · ''h'' است که ''B'' مساحت قاعده، ''h'' ارتفاع و ''P'' محیط پایه است.
 
مساحت سطح یک منشور راست که قاعده آن یک چندضلعی ''n'' ضلعی منتظم با طول ضلع ''s'' و ارتفاع ''h'' است به این صورت است:
 
&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\frac{\pi}{n}} + n s h&lt;/math&gt;

=== نسبت V/S منشور ===
نسبت V/Sروشی است که نسبت حجم به سطح کل است
 
نسبتV/S منشور:&lt;math&gt;V/S=\frac{Sh}{Ph+2s}&lt;/math&gt;

== منابع ==
ویکی پدیا فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>9odmjxvsxw6td46he4g5mc2gs8yhwf1</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/چندوجهی</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35990</id>
    <revision>
      <id>117342</id>
      <timestamp>2022-07-26T12:17:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="77293" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.{{-}}

=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
{{حل نشده|ریاضیات|آیا هر چندوجهی محدب، توری ساده است؟}} تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.

در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.{{-}}

== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:
{{چپ‌چین}}
:&lt;math&gt;\chi=V-E+F \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان چپ‌چین}}
که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید.&lt;ref&gt;Cromwell (1997), pp. 206–209.&lt;/ref&gt; اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس&lt;ref&gt;Resources for Teaching Discrete Mathematics: Classroom Projects, History, modules, and articles, edited by Brian Hopkins&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;[http://polyhedra.mathmos.net/entry/vertexsymbol.html Vertex Symbol] Robert Whittaker&lt;/ref&gt; یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.&lt;ref&gt;[https://www.math.technion.ac.il/S/rl/docs/uniform.pdf Uniform Solution for Uniform Polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151127053535/http://www.math.technion.ac.il/S/rl/docs/uniform.pdf|date=2015-11-27}} (1993)&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;Steurer&quot;&gt;[https://books.google.com/books?id=nVx-tu596twC&amp;pg=PA18 Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures] by Walter Steurer, Sofia Deloudi, (2009) pp. 18–20 and 51–53&lt;/ref&gt;

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند.&lt;ref name=&quot;Steurer&quot; /&gt; این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند.&lt;ref&gt;Cundy and Rollett (1952)&lt;/ref&gt; مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از [[قضیه دیورژانس]] استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.&lt;ref&gt;{{citation|last=Goldman|first=Ronald N.|author-link=Ron Goldman (mathematician)|editor-last=Arvo|editor-first=James|title=Graphic Gems Package: Graphics Gems II|publisher=Academic Press|year=1991|pages=170–171|chapter=Chapter IV.1: Area of planar polygons and volume of polyhedra}}&lt;/ref&gt;

=== نماد اشلفلی ===
{{اصلی|نماد اشلفلی}}نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Cite book|title=Regular Polytopes|last=Coxeter|first=H.S.M.|publisher=Dover|year=1973|edition=3rd|location=New York}}&lt;/ref&gt;

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد.&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt; در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:{{sfn|Sherk|McMullen|Thompson|Weiss|1995|loc=papers 22,23 and 24}}
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{یاد|به انگلیسی Rectificated}}{{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل [[مربع]] به [[مثلث]] (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین [[مسائل هیلبرت|مسئله هیلبرت]] بود. [[ماکس دن]] با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام [[ناوردا|ناوردای]] دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''[[هندسه اقلیدسی|اقلیدسی]]'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.»&lt;ref&gt;{{citation|last=Sydler|first=J. -P.|author-link=Jean-Pierre Sydler|title=Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien à trois dimensions|journal=[[Commentarii Mathematici Helvetici|Comment. Math. Helv.]]|language=fr|volume=40|year=1965|pages=43–80|doi=10.1007/bf02564364|mr=0192407|s2cid=123317371|url=https://eudml.org/doc/139296}}&lt;/ref&gt; ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک [[فضای برداری]] بی‌نهایت [[بعد|بعدی]] است.&lt;ref&gt;{{SpringerEOM|first=M.|last=Hazewinkel|title=Dehn invariant|id=Dehn_invariant&amp;oldid=35803}}&lt;/ref&gt;

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.&lt;ref&gt;{{citation|last=Debrunner|first=Hans E.|doi=10.1007/BF01235384|issue=6|journal=[[Archiv der Mathematik]]|language=de|mr=604258|pages=583–587|title=Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln|volume=35|year=1980|s2cid=121301319}}.&lt;/ref&gt;

== خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها ==

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:&lt;ref&gt;William F. Kern, James R Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.75&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
! colspan=&quot;1&quot; |[[منشور (هندسه)|منشور]]
! colspan=&quot;3&quot; |[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal_pyramid.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Geometric_wedge.png|100x100پیکسل]]
|[[پرونده:Parallelepiped_2013-11-29.svg|100x100پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_prism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Square_antiprism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagrammic_crossed_antiprism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_cupola.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_frustum.svg|80x80پیکسل]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.&lt;ref&gt;B. E. Meserve, R. E. Pingry: ''Some Notes on the Prismoidal Formula''. The Mathematics Teacher, Vol. 45, No. 4 (April 1952), pp. 257-263&lt;/ref&gt;

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.

* هرم:

[[پرونده:Pyramid_fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان ابلیسک ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود. برای ساختن یک هرم می‌توان از '''اکستروژن''' مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

: روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.&lt;ref&gt;{{MathWorld|urlname=Pyramid|title=Pyramid}}&lt;/ref&gt;

* گوه:

[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو [[مثلث]] و سه [[ذوزنقه]] است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.

: روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.&lt;ref&gt;Harris, J. W. , &amp; Stocker, H. &quot;Wedge&quot;. §4.5.2 in ''Handbook of Mathematics and Computational Science''. New York: Springer, p. 102, 1998. {{isbn|978-0-387-94746-4}}&lt;/ref&gt;

* [[متوازی‌السطوح]]:

[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

: روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:&lt;ref&gt;Coxeter, H. S. M. ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', 3rd ed. New York: Dover, p. &amp;nbsp;122, 1973.&lt;/ref&gt;{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۶}}
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۶}}

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۶}}منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:&lt;ref&gt;William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.81&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{MathWorld |urlname=Prism |title=Prism}}&lt;/ref&gt;
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:&lt;ref&gt;{{cite book | author= Anthony Pugh | year= 1976 | title= Polyhedra: A visual approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7}} Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms&lt;/ref&gt;
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.&lt;ref&gt;{{cite web|url=http://www.orchidpalms.com/polyhedra/cupolas/cupola1.html|title=cupolas|website=www.orchidpalms.com|access-date=21 April 2018}}&lt;/ref&gt;
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص {{یادچپ|pyramidal frustums}} یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.&lt;ref&gt;William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p. &amp;nbsp;67&lt;/ref&gt;پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۵}}

:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:
{{وسط‌چین}}
&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:&lt;ref&gt;{{MathWorld |urlname=PyramidalFrustum |title=Pyramidal Frustum}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal|doi=10.1080/10407782.2017.1372670 |first1=Ahmed T. |last1=Al-Sammarraie |first2=Kambiz |last2=Vafai |date=2017 |title=Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe |journal=Numerical Heat Transfer, Part A: Applications |volume=72 |issue=3 |page=197−214|s2cid=125509773}}&lt;/ref&gt;
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}

=== چندوجهی منتظم ===
{{اصلی|چندوجهی منتظم}}
چندوجهی که همه وجوه آن چندضلعی‌های منتظم همنهشت بوده و به‌طور یکسان دور هر وجه قرار گرفته‌اند.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Cromwell|1997}}, p. &amp;nbsp;77.&lt;/ref&gt; در کل ۹ چندوجهی منتظم وجود دارد که شامل ۵ چندوجهی منتظم محدب (اجسام افلاطونی) و ۴ چندوجهی مقعر منتظم (چندوجهی‌های کپلر پوآنسو) هستند.&lt;ref&gt;{{یادکرد وب|عنوان=Regular Polyhedron|نشانی=http://mathworld.wolfram.com/RegularPolyhedron.html|ناشر=MathWorld|تاریخ بازبینی=۱۰ آوریل ۲۰۱۴}}&lt;/ref&gt;

==== اجسام افلاطونی ====
{{اصلی|جسم افلاطونی}}
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.

تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref dir=&quot;ltr&quot;&gt;{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام افلاطونی
!{{Mvar|n}}||جسم افلاطونی||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[چهاروجهی]] منتظم||[[پرونده:tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳||[[پرونده: Tetrahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳||۴||۶||۴||چهاروجهی منتظم||{۳٬۳}
|-
!۲
||[[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])||[[پرونده:hexahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU05 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Cube vertfig.png|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴||۶||۱۲||۸||هشت‌وجهی منتظم||{۴٬۳}
|-
!۳
||[[هشت‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:octahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴||[[پرونده: Octahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳||۸||۱۲||۶||مکعب||{۳٬۴}
|-
!۴
||[[دوازده‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU22 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی منتظم||{۵٬۳}
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:icosahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵||[[پرونده: Icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی منتظم||{۳٬۵}
|}
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:&lt;ref dir=&quot;ltr&quot;&gt;{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}&lt;/ref&gt;
* همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
* که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
* تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.

==== چندوجهی کپلر-پوآنسو ====
{{اصلی|چندوجهی کپلر-پوآنسو}}
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.

چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref&gt;Coxeter, ''Star polytopes and the Schläfli function f(&amp;alpha;,&amp;beta;,&amp;gamma;)'' p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو
!{{Mvar|n}}||چندوجهی کپلر-پوآنسو||تصویر||شکل وجه و{{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و{{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]||[[پرونده:small stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU35 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵٬۵٬۵||[[پرونده: small stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۵}
|-
!۲
||[[دوازده‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU34 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک||{۵٬۵/۲}
|-
!۳
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ]]||[[پرونده:great stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU53 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: great stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۳}
|-
!۴
||[[بیست‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU52 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ||{۳٬۵/۲}
|}

=== اجسام ارشمیدسی ===
{{اصلی|اجسام ارشمیدسی}}
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref name=&quot;g09&quot;&gt;{{harvtxt|Grünbaum|2009}}.&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام ارشمیدسی
!{{Mvar|n}}||جسم ارشمیدسی||تصویر||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم کاتالان)
|-
!۱
||[[چهاروجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۳٬۶||۸||۱۸||۱۲||دوازده‌مثلث وجهی
|-
!۲
||[[مکعب بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]||[[پرونده: Polyhedron truncated 6 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۸٬۳٬۸||۱۴||۳۶||۲۴||بیست‌وچهار مثلث وجهی
|-
!۳
||[[مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۸٬۴||۲۶||۷۲||۴۸||چهل وهشت مثلث وجهی
|-
!۴
||[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۴٬۶||۱۴||۳۶||۲۴||شش‌وجهی تتراکیس
|-
!۵
||[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۱۰٬۳٬۱۰||۳۲||۹۰||۶۰||بیست‌وجهی تریاکیس
|-
!۶
||[[بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۱۰٬۴||۶۲||۱۸۰||۱۲۰||صد و بیست‌مثلث وجهی
|-
!۷
||[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۵٬۶||۳۲||۹۰||۶۰||شصت‌مثلث وجهی
|-
!۸
||[[مکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۴||۱۴||۲۴||۱۲||دوازده‌لوزوجهی
|-
!۹
||[[بیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۵||۳۲||۶۰||۳۰||سی لوزوجهی
|-
!۱۰
||[[لوزمکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴٬۳||۲۶||۴۸||۲۴||بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۱
||[[لوزبیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۵٬۴٬۳||۶۲||۱۲۰||۶۰||شصت‌چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۲
||[[مکعب اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۳۸||۶۰||۲۴||بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
|-
!۱۳
||[[دوازده‌وجهی اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۹۲||۱۵۰||۶۰||شصت‌پنج ضلعی وجهی
|}

=== اجسام کاتالان ===
{{اصلی|جسم کاتالان}}
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref&gt;[[Eugène Catalan]] ''Mémoire sur la Théorie des Polyèdres.'' J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+ مشخصات اجسام کاتالان
!{{Mvar|n}}||جسم کاتالان||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم ارشمیدسی)
|-
!۱
||[[دوازده‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU02 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۳٬۶||۱۲||۱۸||۸||چهاروجهی بریده‌شده
|-
!۲
||[[بیست‌وچهار مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis octahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU09 facets.png|100px]]{{سخ}}V۸٬۳٬۸||۲۴||۳۶||۱۴||مکعب بریده‌شده
|-
!۳
||[[چهل وهشت مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU11 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۸٬۴||۴۸||۷۲||۲۶||مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۴
||[[شش‌وجهی تتراکیس]]||[[پرونده:Tetrakis cube.png|100px]]||[[پرونده:DU08 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۴٬۶||۲۴||۳۶||۱۴||هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی تریاکیس]]||[[پرونده:Triakis icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU26 facets.png|100px]]{{سخ}}V۱۰٬۳٬۱۰||۶۰||۹۰||۳۲||دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۶
||[[صد و بیست‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU28 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۱۰٬۴||۱۲۰||۱۸۰||۶۲||بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۷
||[[شصت‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Pentakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU25 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۵٬۶||۶۰||۹۰||۳۲||بیست‌وجهی بریده‌شده
|-
!۸
||[[دوازده‌لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU07 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۴||۱۲||۲۴||۱۴||مکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۹
||[[سی لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU24 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۵||۳۰||۶۰||۳۲||بیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۰
||[[بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU10 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴٬۳||۲۴||۴۸||۲۶||لوزمکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۱۱
||[[شصت‌چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU27 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۵٬۴٬۳||۶۰||۱۲۰||۶۲||لوزبیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۲
||[[بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU12 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۲۴||۶۰||۳۸||مکعب اسناب
|-
!۱۳
||[[شصت‌پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU29 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۶۰||۱۵۰||۹۲||دوازده‌وجهی اسناب
|}

=== چندوجهی یکنواخت ===
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی یکنواخت مقعر]]
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.

چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.

دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:&lt;ref&gt;[[Max Brückner|Brückner, M.]] ''Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.''. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABN8316.0001.001]&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Cite journal | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. | author-link2=Michael S. Longuet-Higgins | last3=Miller | first3=J. C. P. | author-link3=J. C. P. Miller| title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446 | year=1954 | journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society A]]| issn=0080-4614 | volume=246 |issue=916 | pages=401–450 | doi=10.1098/rsta.1954.0003 |url=http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/roypta/246/916/401.full.pdf}}&lt;/ref&gt;
* دارای بی‌نهایت چندوجهی:
** منشورها،
** پادمنشورها.
* استثناهای محدب:
** ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
** ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
* استثناهای ستاره ای (مقعر):
** ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
** ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.

=== اجسام جانسون ===
{{اصلی|اجسام جانسون}}
[[پرونده:Triangular hebesphenorotunda.png|120px|بندانگشتی|J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است]]
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.&lt;ref&gt;{{cite journal | last=Johnson | first=Norman W. | author-link=Norman Johnson (mathematician) | title=Convex Solids with Regular Faces | journal=Canadian Journal of Mathematics | volume=18 | year=1966 | pages=169–200 | zbl=0132.14603 | issn=0008-414X | doi=10.4153/cjm-1966-021-8}} Contains the original enumeration of the 92 solids and the conjecture that there are no others.&lt;/ref&gt;

=== چندوجهی گلدبرگ ===
{{اصلی|چندوجهی گلدبرگ}}
[[پرونده:Goldberg_polyhedron_5_3.png|150x150px|بندانگشتی|یک چندوجهی گلدبرگ]]
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
# هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
# دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
# دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.&lt;ref&gt;{{cite journal | title=A class of multi-symmetric polyhedra | first=Michael | last=Goldberg | journal= [[Tohoku Mathematical Journal]] | year=1937 |url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/43/0/43_0_104/_article}}&lt;/ref&gt;

=== چندوجهی ژئودزیک ===
{{اصلی|چندوجهی ژئودزیک}}
[[پرونده:Geodesic polyhedron 5 2.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی ژئودزیک]]
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.&lt;ref&gt;Antony Pugh, ''Polyhedra: a visual approach'', 1976, Chapter 6. The Geodesic Polyhedra of R. Buckminster Fuller and Related Polyhedra''&lt;/ref&gt;

=== دلتاوجهی ===
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند.&lt;ref&gt;{{citation|last1=Freudenthal|first1=H|last2=van der Waerden|first2=B. L.|authorlink1=Hans Freudenthal | authorlink2=B. L. van der Waerden|title=Over een bewering van Euclides (&quot;On an Assertion of Euclid&quot;)|journal=[[Simon Stevin (journal)|Simon Stevin]]|volume=25|pages=115–128|year=1947|language=Dutch}} (آنها نشان دادند که تنها ٨ دلتاوجهی محدب وجود دارد)&lt;/ref&gt; اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد.&lt;ref&gt;{{citation
 | last = Trigg | first = Charles W.
 | issue = 1
 | journal = Mathematics Magazine
 | jstor = 2689647
 | pages = 55–57
 | title = An Infinite Class of Deltahedra
 | volume = 51
 | year = 1978| doi = 10.1080/0025570X.1978.11976675
 }}.&lt;/ref&gt; مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات دلتاوجهی‌های محدب
!colspan=6| دلتاوجهی‌های افلاطونی
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:tetrahedron.jpg|60px]] || چهاروجهی منتظم || ۴ || ۶ || ۴ ||
۴ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:octahedron.svg|60px]] || هشت وجهی منتظم || ۸ || ۱۲ || ۶ || ۶ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:icosahedron.jpg|60px]] ||بیست وجهی منتظم || ۲۰ || ۳۰ || ۱۲ || ۱۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
!colspan=6|دلتاوجهی‌های جانسون
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:triangular dipyramid.png|60px]] || دوهرم مثلثی || ۶ || ۹ || ۵ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;{{سخ}}۳ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:pentagonal dipyramid.png|60px]] || دوهرم مخمسی || ۱۰ || ۱۵ || ۷ || ۵ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:snub disphenoid.png|60px]] || دوازده دلتاوجهی || ۱۲ || ۱۸ || ۸ || ۴ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۴ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:triaugmented triangular prism.png|60px]] ||منشور مثلثی تتراکیس || ۱۴ || ۲۱ || ۹ || ۳ × ۳&lt;sup&gt;۱&lt;/sup&gt;{{سخ}}۶ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:gyroelongated square dipyramid.png|60px]] || پادمنشور مربعی تتراکیس || ۱۶ || ۲۴ || ۱۰ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۸ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|}

=== دوهرم‌ها ===
{{اصلی|دوهرم}}
[[پرونده:Decagonal bipyramid.png|thumb|100px|یک دوهرم ده ضلعی.]]
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید.&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;{{cite web|url=http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm|title=Crystal Form, Zones, Crystal Habit|website=Tulane.edu|access-date=16 September 2017}}&lt;/ref&gt; یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.

فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.{{sfn|Pugh|1976}}

=== پاددوهرم‌ها ===
[[پرونده:Decagonal trapezohedron.png|thumb|100px|یک پاددوهرم ده ضلعی.]]
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.

برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی [[لوزوجه]] است.{{sfn|Pugh|1976}}

=== چندوجهی انعطاف‌پذیر ===
{{اصلی|چندوجهی انعطاف‌پذیر}}
[[پرونده:Kaleidocycle with scalene triangles.gif|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف]]
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.{{sfnp|Alexandrov|2010}}{{sfnp|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم</text>
      <sha1>8rihlfrouwyxfcmljwhxpgerw30obga</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117343</id>
      <parentid>117342</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T12:19:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="76525" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.{{-}}

=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
{{حل نشده|ریاضیات|آیا هر چندوجهی محدب، توری ساده است؟}} تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.

در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.{{-}}

== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:
{{چپ‌چین}}
:&lt;math&gt;\chi=V-E+F \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان چپ‌چین}}
که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از [[قضیه دیورژانس]] استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.&lt;ref&gt;{{citation|last=Goldman|first=Ronald N.|author-link=Ron Goldman (mathematician)|editor-last=Arvo|editor-first=James|title=Graphic Gems Package: Graphics Gems II|publisher=Academic Press|year=1991|pages=170–171|chapter=Chapter IV.1: Area of planar polygons and volume of polyhedra}}&lt;/ref&gt;

=== نماد اشلفلی ===
{{اصلی|نماد اشلفلی}}نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Cite book|title=Regular Polytopes|last=Coxeter|first=H.S.M.|publisher=Dover|year=1973|edition=3rd|location=New York}}&lt;/ref&gt;

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد.&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt; در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:{{sfn|Sherk|McMullen|Thompson|Weiss|1995|loc=papers 22,23 and 24}}
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{یاد|به انگلیسی Rectificated}}{{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل [[مربع]] به [[مثلث]] (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین [[مسائل هیلبرت|مسئله هیلبرت]] بود. [[ماکس دن]] با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام [[ناوردا|ناوردای]] دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''[[هندسه اقلیدسی|اقلیدسی]]'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.»&lt;ref&gt;{{citation|last=Sydler|first=J. -P.|author-link=Jean-Pierre Sydler|title=Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien à trois dimensions|journal=[[Commentarii Mathematici Helvetici|Comment. Math. Helv.]]|language=fr|volume=40|year=1965|pages=43–80|doi=10.1007/bf02564364|mr=0192407|s2cid=123317371|url=https://eudml.org/doc/139296}}&lt;/ref&gt; ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک [[فضای برداری]] بی‌نهایت [[بعد|بعدی]] است.&lt;ref&gt;{{SpringerEOM|first=M.|last=Hazewinkel|title=Dehn invariant|id=Dehn_invariant&amp;oldid=35803}}&lt;/ref&gt;

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.&lt;ref&gt;{{citation|last=Debrunner|first=Hans E.|doi=10.1007/BF01235384|issue=6|journal=[[Archiv der Mathematik]]|language=de|mr=604258|pages=583–587|title=Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln|volume=35|year=1980|s2cid=121301319}}.&lt;/ref&gt;

== خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها ==

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:&lt;ref&gt;William F. Kern, James R Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.75&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
! colspan=&quot;1&quot; |[[منشور (هندسه)|منشور]]
! colspan=&quot;3&quot; |[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal_pyramid.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Geometric_wedge.png|100x100پیکسل]]
|[[پرونده:Parallelepiped_2013-11-29.svg|100x100پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_prism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Square_antiprism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagrammic_crossed_antiprism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_cupola.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_frustum.svg|80x80پیکسل]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.&lt;ref&gt;B. E. Meserve, R. E. Pingry: ''Some Notes on the Prismoidal Formula''. The Mathematics Teacher, Vol. 45, No. 4 (April 1952), pp. 257-263&lt;/ref&gt;

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.

* هرم:

[[پرونده:Pyramid_fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان ابلیسک ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود. برای ساختن یک هرم می‌توان از '''اکستروژن''' مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

: روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.&lt;ref&gt;{{MathWorld|urlname=Pyramid|title=Pyramid}}&lt;/ref&gt;

* گوه:

[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو [[مثلث]] و سه [[ذوزنقه]] است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.

: روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.&lt;ref&gt;Harris, J. W. , &amp; Stocker, H. &quot;Wedge&quot;. §4.5.2 in ''Handbook of Mathematics and Computational Science''. New York: Springer, p. 102, 1998. {{isbn|978-0-387-94746-4}}&lt;/ref&gt;

* [[متوازی‌السطوح]]:

[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

: روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:&lt;ref&gt;Coxeter, H. S. M. ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', 3rd ed. New York: Dover, p. &amp;nbsp;122, 1973.&lt;/ref&gt;{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۶}}
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۶}}

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۶}}منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:&lt;ref&gt;William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.81&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{MathWorld |urlname=Prism |title=Prism}}&lt;/ref&gt;
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:&lt;ref&gt;{{cite book | author= Anthony Pugh | year= 1976 | title= Polyhedra: A visual approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7}} Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms&lt;/ref&gt;
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.&lt;ref&gt;{{cite web|url=http://www.orchidpalms.com/polyhedra/cupolas/cupola1.html|title=cupolas|website=www.orchidpalms.com|access-date=21 April 2018}}&lt;/ref&gt;
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص {{یادچپ|pyramidal frustums}} یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.&lt;ref&gt;William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p. &amp;nbsp;67&lt;/ref&gt;پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۵}}

:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:
{{وسط‌چین}}
&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:&lt;ref&gt;{{MathWorld |urlname=PyramidalFrustum |title=Pyramidal Frustum}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal|doi=10.1080/10407782.2017.1372670 |first1=Ahmed T. |last1=Al-Sammarraie |first2=Kambiz |last2=Vafai |date=2017 |title=Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe |journal=Numerical Heat Transfer, Part A: Applications |volume=72 |issue=3 |page=197−214|s2cid=125509773}}&lt;/ref&gt;
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}

=== چندوجهی منتظم ===
{{اصلی|چندوجهی منتظم}}
چندوجهی که همه وجوه آن چندضلعی‌های منتظم همنهشت بوده و به‌طور یکسان دور هر وجه قرار گرفته‌اند.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Cromwell|1997}}, p. &amp;nbsp;77.&lt;/ref&gt; در کل ۹ چندوجهی منتظم وجود دارد که شامل ۵ چندوجهی منتظم محدب (اجسام افلاطونی) و ۴ چندوجهی مقعر منتظم (چندوجهی‌های کپلر پوآنسو) هستند.&lt;ref&gt;{{یادکرد وب|عنوان=Regular Polyhedron|نشانی=http://mathworld.wolfram.com/RegularPolyhedron.html|ناشر=MathWorld|تاریخ بازبینی=۱۰ آوریل ۲۰۱۴}}&lt;/ref&gt;

==== اجسام افلاطونی ====
{{اصلی|جسم افلاطونی}}
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.

تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref dir=&quot;ltr&quot;&gt;{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام افلاطونی
!{{Mvar|n}}||جسم افلاطونی||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[چهاروجهی]] منتظم||[[پرونده:tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳||[[پرونده: Tetrahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳||۴||۶||۴||چهاروجهی منتظم||{۳٬۳}
|-
!۲
||[[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])||[[پرونده:hexahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU05 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Cube vertfig.png|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴||۶||۱۲||۸||هشت‌وجهی منتظم||{۴٬۳}
|-
!۳
||[[هشت‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:octahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴||[[پرونده: Octahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳||۸||۱۲||۶||مکعب||{۳٬۴}
|-
!۴
||[[دوازده‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU22 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی منتظم||{۵٬۳}
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:icosahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵||[[پرونده: Icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی منتظم||{۳٬۵}
|}
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:&lt;ref dir=&quot;ltr&quot;&gt;{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}&lt;/ref&gt;
* همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
* که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
* تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.

==== چندوجهی کپلر-پوآنسو ====
{{اصلی|چندوجهی کپلر-پوآنسو}}
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.

چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref&gt;Coxeter, ''Star polytopes and the Schläfli function f(&amp;alpha;,&amp;beta;,&amp;gamma;)'' p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو
!{{Mvar|n}}||چندوجهی کپلر-پوآنسو||تصویر||شکل وجه و{{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و{{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]||[[پرونده:small stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU35 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵٬۵٬۵||[[پرونده: small stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۵}
|-
!۲
||[[دوازده‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU34 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک||{۵٬۵/۲}
|-
!۳
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ]]||[[پرونده:great stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU53 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: great stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۳}
|-
!۴
||[[بیست‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU52 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ||{۳٬۵/۲}
|}

=== اجسام ارشمیدسی ===
{{اصلی|اجسام ارشمیدسی}}
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref name=&quot;g09&quot;&gt;{{harvtxt|Grünbaum|2009}}.&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام ارشمیدسی
!{{Mvar|n}}||جسم ارشمیدسی||تصویر||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم کاتالان)
|-
!۱
||[[چهاروجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۳٬۶||۸||۱۸||۱۲||دوازده‌مثلث وجهی
|-
!۲
||[[مکعب بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]||[[پرونده: Polyhedron truncated 6 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۸٬۳٬۸||۱۴||۳۶||۲۴||بیست‌وچهار مثلث وجهی
|-
!۳
||[[مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۸٬۴||۲۶||۷۲||۴۸||چهل وهشت مثلث وجهی
|-
!۴
||[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۴٬۶||۱۴||۳۶||۲۴||شش‌وجهی تتراکیس
|-
!۵
||[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۱۰٬۳٬۱۰||۳۲||۹۰||۶۰||بیست‌وجهی تریاکیس
|-
!۶
||[[بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۱۰٬۴||۶۲||۱۸۰||۱۲۰||صد و بیست‌مثلث وجهی
|-
!۷
||[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۵٬۶||۳۲||۹۰||۶۰||شصت‌مثلث وجهی
|-
!۸
||[[مکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۴||۱۴||۲۴||۱۲||دوازده‌لوزوجهی
|-
!۹
||[[بیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۵||۳۲||۶۰||۳۰||سی لوزوجهی
|-
!۱۰
||[[لوزمکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴٬۳||۲۶||۴۸||۲۴||بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۱
||[[لوزبیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۵٬۴٬۳||۶۲||۱۲۰||۶۰||شصت‌چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۲
||[[مکعب اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۳۸||۶۰||۲۴||بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
|-
!۱۳
||[[دوازده‌وجهی اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۹۲||۱۵۰||۶۰||شصت‌پنج ضلعی وجهی
|}

=== اجسام کاتالان ===
{{اصلی|جسم کاتالان}}
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref&gt;[[Eugène Catalan]] ''Mémoire sur la Théorie des Polyèdres.'' J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+ مشخصات اجسام کاتالان
!{{Mvar|n}}||جسم کاتالان||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم ارشمیدسی)
|-
!۱
||[[دوازده‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU02 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۳٬۶||۱۲||۱۸||۸||چهاروجهی بریده‌شده
|-
!۲
||[[بیست‌وچهار مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis octahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU09 facets.png|100px]]{{سخ}}V۸٬۳٬۸||۲۴||۳۶||۱۴||مکعب بریده‌شده
|-
!۳
||[[چهل وهشت مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU11 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۸٬۴||۴۸||۷۲||۲۶||مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۴
||[[شش‌وجهی تتراکیس]]||[[پرونده:Tetrakis cube.png|100px]]||[[پرونده:DU08 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۴٬۶||۲۴||۳۶||۱۴||هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی تریاکیس]]||[[پرونده:Triakis icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU26 facets.png|100px]]{{سخ}}V۱۰٬۳٬۱۰||۶۰||۹۰||۳۲||دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۶
||[[صد و بیست‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU28 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۱۰٬۴||۱۲۰||۱۸۰||۶۲||بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۷
||[[شصت‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Pentakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU25 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۵٬۶||۶۰||۹۰||۳۲||بیست‌وجهی بریده‌شده
|-
!۸
||[[دوازده‌لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU07 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۴||۱۲||۲۴||۱۴||مکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۹
||[[سی لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU24 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۵||۳۰||۶۰||۳۲||بیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۰
||[[بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU10 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴٬۳||۲۴||۴۸||۲۶||لوزمکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۱۱
||[[شصت‌چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU27 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۵٬۴٬۳||۶۰||۱۲۰||۶۲||لوزبیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۲
||[[بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU12 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۲۴||۶۰||۳۸||مکعب اسناب
|-
!۱۳
||[[شصت‌پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU29 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۶۰||۱۵۰||۹۲||دوازده‌وجهی اسناب
|}

=== چندوجهی یکنواخت ===
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی یکنواخت مقعر]]
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.

چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.

دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:&lt;ref&gt;[[Max Brückner|Brückner, M.]] ''Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.''. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABN8316.0001.001]&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Cite journal | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. | author-link2=Michael S. Longuet-Higgins | last3=Miller | first3=J. C. P. | author-link3=J. C. P. Miller| title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446 | year=1954 | journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society A]]| issn=0080-4614 | volume=246 |issue=916 | pages=401–450 | doi=10.1098/rsta.1954.0003 |url=http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/roypta/246/916/401.full.pdf}}&lt;/ref&gt;
* دارای بی‌نهایت چندوجهی:
** منشورها،
** پادمنشورها.
* استثناهای محدب:
** ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
** ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
* استثناهای ستاره ای (مقعر):
** ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
** ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.

=== اجسام جانسون ===
{{اصلی|اجسام جانسون}}
[[پرونده:Triangular hebesphenorotunda.png|120px|بندانگشتی|J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است]]
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.&lt;ref&gt;{{cite journal | last=Johnson | first=Norman W. | author-link=Norman Johnson (mathematician) | title=Convex Solids with Regular Faces | journal=Canadian Journal of Mathematics | volume=18 | year=1966 | pages=169–200 | zbl=0132.14603 | issn=0008-414X | doi=10.4153/cjm-1966-021-8}} Contains the original enumeration of the 92 solids and the conjecture that there are no others.&lt;/ref&gt;

=== چندوجهی گلدبرگ ===
{{اصلی|چندوجهی گلدبرگ}}
[[پرونده:Goldberg_polyhedron_5_3.png|150x150px|بندانگشتی|یک چندوجهی گلدبرگ]]
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
# هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
# دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
# دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.&lt;ref&gt;{{cite journal | title=A class of multi-symmetric polyhedra | first=Michael | last=Goldberg | journal= [[Tohoku Mathematical Journal]] | year=1937 |url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/43/0/43_0_104/_article}}&lt;/ref&gt;

=== چندوجهی ژئودزیک ===
{{اصلی|چندوجهی ژئودزیک}}
[[پرونده:Geodesic polyhedron 5 2.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی ژئودزیک]]
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.&lt;ref&gt;Antony Pugh, ''Polyhedra: a visual approach'', 1976, Chapter 6. The Geodesic Polyhedra of R. Buckminster Fuller and Related Polyhedra''&lt;/ref&gt;

=== دلتاوجهی ===
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند.&lt;ref&gt;{{citation|last1=Freudenthal|first1=H|last2=van der Waerden|first2=B. L.|authorlink1=Hans Freudenthal | authorlink2=B. L. van der Waerden|title=Over een bewering van Euclides (&quot;On an Assertion of Euclid&quot;)|journal=[[Simon Stevin (journal)|Simon Stevin]]|volume=25|pages=115–128|year=1947|language=Dutch}} (آنها نشان دادند که تنها ٨ دلتاوجهی محدب وجود دارد)&lt;/ref&gt; اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد.&lt;ref&gt;{{citation
 | last = Trigg | first = Charles W.
 | issue = 1
 | journal = Mathematics Magazine
 | jstor = 2689647
 | pages = 55–57
 | title = An Infinite Class of Deltahedra
 | volume = 51
 | year = 1978| doi = 10.1080/0025570X.1978.11976675
 }}.&lt;/ref&gt; مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات دلتاوجهی‌های محدب
!colspan=6| دلتاوجهی‌های افلاطونی
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:tetrahedron.jpg|60px]] || چهاروجهی منتظم || ۴ || ۶ || ۴ ||
۴ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:octahedron.svg|60px]] || هشت وجهی منتظم || ۸ || ۱۲ || ۶ || ۶ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:icosahedron.jpg|60px]] ||بیست وجهی منتظم || ۲۰ || ۳۰ || ۱۲ || ۱۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
!colspan=6|دلتاوجهی‌های جانسون
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:triangular dipyramid.png|60px]] || دوهرم مثلثی || ۶ || ۹ || ۵ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;{{سخ}}۳ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:pentagonal dipyramid.png|60px]] || دوهرم مخمسی || ۱۰ || ۱۵ || ۷ || ۵ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:snub disphenoid.png|60px]] || دوازده دلتاوجهی || ۱۲ || ۱۸ || ۸ || ۴ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۴ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:triaugmented triangular prism.png|60px]] ||منشور مثلثی تتراکیس || ۱۴ || ۲۱ || ۹ || ۳ × ۳&lt;sup&gt;۱&lt;/sup&gt;{{سخ}}۶ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:gyroelongated square dipyramid.png|60px]] || پادمنشور مربعی تتراکیس || ۱۶ || ۲۴ || ۱۰ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۸ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|}

=== دوهرم‌ها ===
{{اصلی|دوهرم}}
[[پرونده:Decagonal bipyramid.png|thumb|100px|یک دوهرم ده ضلعی.]]
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید.&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;{{cite web|url=http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm|title=Crystal Form, Zones, Crystal Habit|website=Tulane.edu|access-date=16 September 2017}}&lt;/ref&gt; یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.

فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.{{sfn|Pugh|1976}}

=== پاددوهرم‌ها ===
[[پرونده:Decagonal trapezohedron.png|thumb|100px|یک پاددوهرم ده ضلعی.]]
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.

برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی [[لوزوجه]] است.{{sfn|Pugh|1976}}

=== چندوجهی انعطاف‌پذیر ===
{{اصلی|چندوجهی انعطاف‌پذیر}}
[[پرونده:Kaleidocycle with scalene triangles.gif|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف]]
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.{{sfnp|Alexandrov|2010}}{{sfnp|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم
&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>485yv4osxjbk527rjv0e0dh5kn43nd6</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117344</id>
      <parentid>117343</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T12:20:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="76231" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.{{-}}

=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
{{حل نشده|ریاضیات|آیا هر چندوجهی محدب، توری ساده است؟}} تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.

در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.{{-}}

== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:
{{چپ‌چین}}
:&lt;math&gt;\chi=V-E+F \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان چپ‌چین}}
که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از [[قضیه دیورژانس]] استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.

=== نماد اشلفلی ===
{{اصلی|نماد اشلفلی}}نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Cite book|title=Regular Polytopes|last=Coxeter|first=H.S.M.|publisher=Dover|year=1973|edition=3rd|location=New York}}&lt;/ref&gt;

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد.&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt; در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:{{sfn|Sherk|McMullen|Thompson|Weiss|1995|loc=papers 22,23 and 24}}
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{یاد|به انگلیسی Rectificated}}{{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل [[مربع]] به [[مثلث]] (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین [[مسائل هیلبرت|مسئله هیلبرت]] بود. [[ماکس دن]] با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام [[ناوردا|ناوردای]] دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''[[هندسه اقلیدسی|اقلیدسی]]'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.»&lt;ref&gt;{{citation|last=Sydler|first=J. -P.|author-link=Jean-Pierre Sydler|title=Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien à trois dimensions|journal=[[Commentarii Mathematici Helvetici|Comment. Math. Helv.]]|language=fr|volume=40|year=1965|pages=43–80|doi=10.1007/bf02564364|mr=0192407|s2cid=123317371|url=https://eudml.org/doc/139296}}&lt;/ref&gt; ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک [[فضای برداری]] بی‌نهایت [[بعد|بعدی]] است.&lt;ref&gt;{{SpringerEOM|first=M.|last=Hazewinkel|title=Dehn invariant|id=Dehn_invariant&amp;oldid=35803}}&lt;/ref&gt;

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.&lt;ref&gt;{{citation|last=Debrunner|first=Hans E.|doi=10.1007/BF01235384|issue=6|journal=[[Archiv der Mathematik]]|language=de|mr=604258|pages=583–587|title=Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln|volume=35|year=1980|s2cid=121301319}}.&lt;/ref&gt;

== خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها ==

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:&lt;ref&gt;William F. Kern, James R Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.75&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
! colspan=&quot;1&quot; |[[منشور (هندسه)|منشور]]
! colspan=&quot;3&quot; |[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal_pyramid.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Geometric_wedge.png|100x100پیکسل]]
|[[پرونده:Parallelepiped_2013-11-29.svg|100x100پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_prism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Square_antiprism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagrammic_crossed_antiprism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_cupola.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_frustum.svg|80x80پیکسل]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.&lt;ref&gt;B. E. Meserve, R. E. Pingry: ''Some Notes on the Prismoidal Formula''. The Mathematics Teacher, Vol. 45, No. 4 (April 1952), pp. 257-263&lt;/ref&gt;

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.

* هرم:

[[پرونده:Pyramid_fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان ابلیسک ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود. برای ساختن یک هرم می‌توان از '''اکستروژن''' مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

: روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.&lt;ref&gt;{{MathWorld|urlname=Pyramid|title=Pyramid}}&lt;/ref&gt;

* گوه:

[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو [[مثلث]] و سه [[ذوزنقه]] است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.

: روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.&lt;ref&gt;Harris, J. W. , &amp; Stocker, H. &quot;Wedge&quot;. §4.5.2 in ''Handbook of Mathematics and Computational Science''. New York: Springer, p. 102, 1998. {{isbn|978-0-387-94746-4}}&lt;/ref&gt;

* [[متوازی‌السطوح]]:

[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

: روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:&lt;ref&gt;Coxeter, H. S. M. ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', 3rd ed. New York: Dover, p. &amp;nbsp;122, 1973.&lt;/ref&gt;{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۶}}
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۶}}

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۶}}منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:&lt;ref&gt;William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.81&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{MathWorld |urlname=Prism |title=Prism}}&lt;/ref&gt;
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:&lt;ref&gt;{{cite book | author= Anthony Pugh | year= 1976 | title= Polyhedra: A visual approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7}} Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms&lt;/ref&gt;
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.&lt;ref&gt;{{cite web|url=http://www.orchidpalms.com/polyhedra/cupolas/cupola1.html|title=cupolas|website=www.orchidpalms.com|access-date=21 April 2018}}&lt;/ref&gt;
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص {{یادچپ|pyramidal frustums}} یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.&lt;ref&gt;William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p. &amp;nbsp;67&lt;/ref&gt;پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۵}}

:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:
{{وسط‌چین}}
&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:&lt;ref&gt;{{MathWorld |urlname=PyramidalFrustum |title=Pyramidal Frustum}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal|doi=10.1080/10407782.2017.1372670 |first1=Ahmed T. |last1=Al-Sammarraie |first2=Kambiz |last2=Vafai |date=2017 |title=Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe |journal=Numerical Heat Transfer, Part A: Applications |volume=72 |issue=3 |page=197−214|s2cid=125509773}}&lt;/ref&gt;
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}

=== چندوجهی منتظم ===
{{اصلی|چندوجهی منتظم}}
چندوجهی که همه وجوه آن چندضلعی‌های منتظم همنهشت بوده و به‌طور یکسان دور هر وجه قرار گرفته‌اند.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Cromwell|1997}}, p. &amp;nbsp;77.&lt;/ref&gt; در کل ۹ چندوجهی منتظم وجود دارد که شامل ۵ چندوجهی منتظم محدب (اجسام افلاطونی) و ۴ چندوجهی مقعر منتظم (چندوجهی‌های کپلر پوآنسو) هستند.&lt;ref&gt;{{یادکرد وب|عنوان=Regular Polyhedron|نشانی=http://mathworld.wolfram.com/RegularPolyhedron.html|ناشر=MathWorld|تاریخ بازبینی=۱۰ آوریل ۲۰۱۴}}&lt;/ref&gt;

==== اجسام افلاطونی ====
{{اصلی|جسم افلاطونی}}
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.

تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref dir=&quot;ltr&quot;&gt;{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام افلاطونی
!{{Mvar|n}}||جسم افلاطونی||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[چهاروجهی]] منتظم||[[پرونده:tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳||[[پرونده: Tetrahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳||۴||۶||۴||چهاروجهی منتظم||{۳٬۳}
|-
!۲
||[[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])||[[پرونده:hexahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU05 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Cube vertfig.png|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴||۶||۱۲||۸||هشت‌وجهی منتظم||{۴٬۳}
|-
!۳
||[[هشت‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:octahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴||[[پرونده: Octahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳||۸||۱۲||۶||مکعب||{۳٬۴}
|-
!۴
||[[دوازده‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU22 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی منتظم||{۵٬۳}
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:icosahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵||[[پرونده: Icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی منتظم||{۳٬۵}
|}
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:&lt;ref dir=&quot;ltr&quot;&gt;{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}&lt;/ref&gt;
* همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
* که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
* تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.

==== چندوجهی کپلر-پوآنسو ====
{{اصلی|چندوجهی کپلر-پوآنسو}}
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.

چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref&gt;Coxeter, ''Star polytopes and the Schläfli function f(&amp;alpha;,&amp;beta;,&amp;gamma;)'' p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو
!{{Mvar|n}}||چندوجهی کپلر-پوآنسو||تصویر||شکل وجه و{{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و{{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]||[[پرونده:small stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU35 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵٬۵٬۵||[[پرونده: small stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۵}
|-
!۲
||[[دوازده‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU34 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک||{۵٬۵/۲}
|-
!۳
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ]]||[[پرونده:great stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU53 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: great stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۳}
|-
!۴
||[[بیست‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU52 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ||{۳٬۵/۲}
|}

=== اجسام ارشمیدسی ===
{{اصلی|اجسام ارشمیدسی}}
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref name=&quot;g09&quot;&gt;{{harvtxt|Grünbaum|2009}}.&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام ارشمیدسی
!{{Mvar|n}}||جسم ارشمیدسی||تصویر||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم کاتالان)
|-
!۱
||[[چهاروجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۳٬۶||۸||۱۸||۱۲||دوازده‌مثلث وجهی
|-
!۲
||[[مکعب بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]||[[پرونده: Polyhedron truncated 6 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۸٬۳٬۸||۱۴||۳۶||۲۴||بیست‌وچهار مثلث وجهی
|-
!۳
||[[مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۸٬۴||۲۶||۷۲||۴۸||چهل وهشت مثلث وجهی
|-
!۴
||[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۴٬۶||۱۴||۳۶||۲۴||شش‌وجهی تتراکیس
|-
!۵
||[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۱۰٬۳٬۱۰||۳۲||۹۰||۶۰||بیست‌وجهی تریاکیس
|-
!۶
||[[بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۱۰٬۴||۶۲||۱۸۰||۱۲۰||صد و بیست‌مثلث وجهی
|-
!۷
||[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۵٬۶||۳۲||۹۰||۶۰||شصت‌مثلث وجهی
|-
!۸
||[[مکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۴||۱۴||۲۴||۱۲||دوازده‌لوزوجهی
|-
!۹
||[[بیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۵||۳۲||۶۰||۳۰||سی لوزوجهی
|-
!۱۰
||[[لوزمکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴٬۳||۲۶||۴۸||۲۴||بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۱
||[[لوزبیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۵٬۴٬۳||۶۲||۱۲۰||۶۰||شصت‌چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۲
||[[مکعب اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۳۸||۶۰||۲۴||بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
|-
!۱۳
||[[دوازده‌وجهی اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۹۲||۱۵۰||۶۰||شصت‌پنج ضلعی وجهی
|}

=== اجسام کاتالان ===
{{اصلی|جسم کاتالان}}
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref&gt;[[Eugène Catalan]] ''Mémoire sur la Théorie des Polyèdres.'' J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+ مشخصات اجسام کاتالان
!{{Mvar|n}}||جسم کاتالان||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم ارشمیدسی)
|-
!۱
||[[دوازده‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU02 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۳٬۶||۱۲||۱۸||۸||چهاروجهی بریده‌شده
|-
!۲
||[[بیست‌وچهار مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis octahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU09 facets.png|100px]]{{سخ}}V۸٬۳٬۸||۲۴||۳۶||۱۴||مکعب بریده‌شده
|-
!۳
||[[چهل وهشت مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU11 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۸٬۴||۴۸||۷۲||۲۶||مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۴
||[[شش‌وجهی تتراکیس]]||[[پرونده:Tetrakis cube.png|100px]]||[[پرونده:DU08 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۴٬۶||۲۴||۳۶||۱۴||هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی تریاکیس]]||[[پرونده:Triakis icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU26 facets.png|100px]]{{سخ}}V۱۰٬۳٬۱۰||۶۰||۹۰||۳۲||دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۶
||[[صد و بیست‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU28 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۱۰٬۴||۱۲۰||۱۸۰||۶۲||بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۷
||[[شصت‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Pentakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU25 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۵٬۶||۶۰||۹۰||۳۲||بیست‌وجهی بریده‌شده
|-
!۸
||[[دوازده‌لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU07 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۴||۱۲||۲۴||۱۴||مکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۹
||[[سی لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU24 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۵||۳۰||۶۰||۳۲||بیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۰
||[[بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU10 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴٬۳||۲۴||۴۸||۲۶||لوزمکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۱۱
||[[شصت‌چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU27 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۵٬۴٬۳||۶۰||۱۲۰||۶۲||لوزبیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۲
||[[بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU12 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۲۴||۶۰||۳۸||مکعب اسناب
|-
!۱۳
||[[شصت‌پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU29 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۶۰||۱۵۰||۹۲||دوازده‌وجهی اسناب
|}

=== چندوجهی یکنواخت ===
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی یکنواخت مقعر]]
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.

چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.

دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:&lt;ref&gt;[[Max Brückner|Brückner, M.]] ''Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.''. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABN8316.0001.001]&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Cite journal | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. | author-link2=Michael S. Longuet-Higgins | last3=Miller | first3=J. C. P. | author-link3=J. C. P. Miller| title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446 | year=1954 | journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society A]]| issn=0080-4614 | volume=246 |issue=916 | pages=401–450 | doi=10.1098/rsta.1954.0003 |url=http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/roypta/246/916/401.full.pdf}}&lt;/ref&gt;
* دارای بی‌نهایت چندوجهی:
** منشورها،
** پادمنشورها.
* استثناهای محدب:
** ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
** ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
* استثناهای ستاره ای (مقعر):
** ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
** ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.

=== اجسام جانسون ===
{{اصلی|اجسام جانسون}}
[[پرونده:Triangular hebesphenorotunda.png|120px|بندانگشتی|J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است]]
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.&lt;ref&gt;{{cite journal | last=Johnson | first=Norman W. | author-link=Norman Johnson (mathematician) | title=Convex Solids with Regular Faces | journal=Canadian Journal of Mathematics | volume=18 | year=1966 | pages=169–200 | zbl=0132.14603 | issn=0008-414X | doi=10.4153/cjm-1966-021-8}} Contains the original enumeration of the 92 solids and the conjecture that there are no others.&lt;/ref&gt;

=== چندوجهی گلدبرگ ===
{{اصلی|چندوجهی گلدبرگ}}
[[پرونده:Goldberg_polyhedron_5_3.png|150x150px|بندانگشتی|یک چندوجهی گلدبرگ]]
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
# هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
# دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
# دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.&lt;ref&gt;{{cite journal | title=A class of multi-symmetric polyhedra | first=Michael | last=Goldberg | journal= [[Tohoku Mathematical Journal]] | year=1937 |url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/43/0/43_0_104/_article}}&lt;/ref&gt;

=== چندوجهی ژئودزیک ===
{{اصلی|چندوجهی ژئودزیک}}
[[پرونده:Geodesic polyhedron 5 2.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی ژئودزیک]]
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.&lt;ref&gt;Antony Pugh, ''Polyhedra: a visual approach'', 1976, Chapter 6. The Geodesic Polyhedra of R. Buckminster Fuller and Related Polyhedra''&lt;/ref&gt;

=== دلتاوجهی ===
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند.&lt;ref&gt;{{citation|last1=Freudenthal|first1=H|last2=van der Waerden|first2=B. L.|authorlink1=Hans Freudenthal | authorlink2=B. L. van der Waerden|title=Over een bewering van Euclides (&quot;On an Assertion of Euclid&quot;)|journal=[[Simon Stevin (journal)|Simon Stevin]]|volume=25|pages=115–128|year=1947|language=Dutch}} (آنها نشان دادند که تنها ٨ دلتاوجهی محدب وجود دارد)&lt;/ref&gt; اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد.&lt;ref&gt;{{citation
 | last = Trigg | first = Charles W.
 | issue = 1
 | journal = Mathematics Magazine
 | jstor = 2689647
 | pages = 55–57
 | title = An Infinite Class of Deltahedra
 | volume = 51
 | year = 1978| doi = 10.1080/0025570X.1978.11976675
 }}.&lt;/ref&gt; مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات دلتاوجهی‌های محدب
!colspan=6| دلتاوجهی‌های افلاطونی
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:tetrahedron.jpg|60px]] || چهاروجهی منتظم || ۴ || ۶ || ۴ ||
۴ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:octahedron.svg|60px]] || هشت وجهی منتظم || ۸ || ۱۲ || ۶ || ۶ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:icosahedron.jpg|60px]] ||بیست وجهی منتظم || ۲۰ || ۳۰ || ۱۲ || ۱۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
!colspan=6|دلتاوجهی‌های جانسون
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:triangular dipyramid.png|60px]] || دوهرم مثلثی || ۶ || ۹ || ۵ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;{{سخ}}۳ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:pentagonal dipyramid.png|60px]] || دوهرم مخمسی || ۱۰ || ۱۵ || ۷ || ۵ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:snub disphenoid.png|60px]] || دوازده دلتاوجهی || ۱۲ || ۱۸ || ۸ || ۴ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۴ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:triaugmented triangular prism.png|60px]] ||منشور مثلثی تتراکیس || ۱۴ || ۲۱ || ۹ || ۳ × ۳&lt;sup&gt;۱&lt;/sup&gt;{{سخ}}۶ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:gyroelongated square dipyramid.png|60px]] || پادمنشور مربعی تتراکیس || ۱۶ || ۲۴ || ۱۰ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۸ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|}

=== دوهرم‌ها ===
{{اصلی|دوهرم}}
[[پرونده:Decagonal bipyramid.png|thumb|100px|یک دوهرم ده ضلعی.]]
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید.&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;{{cite web|url=http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm|title=Crystal Form, Zones, Crystal Habit|website=Tulane.edu|access-date=16 September 2017}}&lt;/ref&gt; یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.

فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.{{sfn|Pugh|1976}}

=== پاددوهرم‌ها ===
[[پرونده:Decagonal trapezohedron.png|thumb|100px|یک پاددوهرم ده ضلعی.]]
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.

برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی [[لوزوجه]] است.{{sfn|Pugh|1976}}

=== چندوجهی انعطاف‌پذیر ===
{{اصلی|چندوجهی انعطاف‌پذیر}}
[[پرونده:Kaleidocycle with scalene triangles.gif|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف]]
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.{{sfnp|Alexandrov|2010}}{{sfnp|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم
&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>82nzwivd0wje8an5unkqcqgwaovcme0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117345</id>
      <parentid>117344</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T12:23:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="74853" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.{{-}}

=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
{{حل نشده|ریاضیات|آیا هر چندوجهی محدب، توری ساده است؟}} تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.

در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.{{-}}

== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:
{{چپ‌چین}}
:&lt;math&gt;\chi=V-E+F \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان چپ‌چین}}
که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از [[قضیه دیورژانس]] استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.

=== نماد اشلفلی ===
{{اصلی|نماد اشلفلی}}نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد.&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Cite book|title=Regular Polytopes|last=Coxeter|first=H.S.M.|publisher=Dover|year=1973|edition=3rd|location=New York}}&lt;/ref&gt; در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:{{sfn|Sherk|McMullen|Thompson|Weiss|1995|loc=papers 22,23 and 24}}
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{یاد|به انگلیسی Rectificated}}{{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل [[مربع]] به [[مثلث]] (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین [[مسائل هیلبرت|مسئله هیلبرت]] بود. [[ماکس دن]] با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام [[ناوردا|ناوردای]] دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''[[هندسه اقلیدسی|اقلیدسی]]'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک [[فضای برداری]] بی‌نهایت [[بعد|بعدی]] است.

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.

== خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها ==

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
! colspan=&quot;1&quot; |[[منشور (هندسه)|منشور]]
! colspan=&quot;3&quot; |[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal_pyramid.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Geometric_wedge.png|100x100پیکسل]]
|[[پرونده:Parallelepiped_2013-11-29.svg|100x100پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_prism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Square_antiprism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagrammic_crossed_antiprism.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_cupola.png|80x80پیکسل]]
|[[پرونده:Pentagonal_frustum.svg|80x80پیکسل]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.

* هرم:

[[پرونده:Pyramid_fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان ابلیسک ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود. برای ساختن یک هرم می‌توان از '''اکستروژن''' مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

: روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.

* گوه:

[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.

: روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.

* متوازی‌السطوح:

[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|بندانگشتی|250x250پیکسل|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

: روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۶}}
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۶}}

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۶}}منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:&lt;ref&gt;William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.81&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{MathWorld |urlname=Prism |title=Prism}}&lt;/ref&gt;
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:&lt;ref&gt;{{cite book | author= Anthony Pugh | year= 1976 | title= Polyhedra: A visual approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7}} Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms&lt;/ref&gt;
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.&lt;ref&gt;{{cite web|url=http://www.orchidpalms.com/polyhedra/cupolas/cupola1.html|title=cupolas|website=www.orchidpalms.com|access-date=21 April 2018}}&lt;/ref&gt;
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص {{یادچپ|pyramidal frustums}} یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.&lt;ref&gt;William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p. &amp;nbsp;67&lt;/ref&gt;پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.{{sfn|Pottmann|2007|p=۷۵}}

:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:
{{وسط‌چین}}
&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}
مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:&lt;ref&gt;{{MathWorld |urlname=PyramidalFrustum |title=Pyramidal Frustum}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal|doi=10.1080/10407782.2017.1372670 |first1=Ahmed T. |last1=Al-Sammarraie |first2=Kambiz |last2=Vafai |date=2017 |title=Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe |journal=Numerical Heat Transfer, Part A: Applications |volume=72 |issue=3 |page=197−214|s2cid=125509773}}&lt;/ref&gt;
{{وسط‌چین}}
:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;
{{پایان وسط‌چین}}

=== چندوجهی منتظم ===
{{اصلی|چندوجهی منتظم}}
چندوجهی که همه وجوه آن چندضلعی‌های منتظم همنهشت بوده و به‌طور یکسان دور هر وجه قرار گرفته‌اند.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Cromwell|1997}}, p. &amp;nbsp;77.&lt;/ref&gt; در کل ۹ چندوجهی منتظم وجود دارد که شامل ۵ چندوجهی منتظم محدب (اجسام افلاطونی) و ۴ چندوجهی مقعر منتظم (چندوجهی‌های کپلر پوآنسو) هستند.&lt;ref&gt;{{یادکرد وب|عنوان=Regular Polyhedron|نشانی=http://mathworld.wolfram.com/RegularPolyhedron.html|ناشر=MathWorld|تاریخ بازبینی=۱۰ آوریل ۲۰۱۴}}&lt;/ref&gt;

==== اجسام افلاطونی ====
{{اصلی|جسم افلاطونی}}
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.

تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref dir=&quot;ltr&quot;&gt;{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام افلاطونی
!{{Mvar|n}}||جسم افلاطونی||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[چهاروجهی]] منتظم||[[پرونده:tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳||[[پرونده: Tetrahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳||۴||۶||۴||چهاروجهی منتظم||{۳٬۳}
|-
!۲
||[[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])||[[پرونده:hexahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU05 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Cube vertfig.png|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴||۶||۱۲||۸||هشت‌وجهی منتظم||{۴٬۳}
|-
!۳
||[[هشت‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:octahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴||[[پرونده: Octahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳||۸||۱۲||۶||مکعب||{۳٬۴}
|-
!۴
||[[دوازده‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU22 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی منتظم||{۵٬۳}
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:icosahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵||[[پرونده: Icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی منتظم||{۳٬۵}
|}
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:&lt;ref dir=&quot;ltr&quot;&gt;{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}&lt;/ref&gt;
* همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
* که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
* تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.

==== چندوجهی کپلر-پوآنسو ====
{{اصلی|چندوجهی کپلر-پوآنسو}}
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.

چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref&gt;Coxeter, ''Star polytopes and the Schläfli function f(&amp;alpha;,&amp;beta;,&amp;gamma;)'' p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو
!{{Mvar|n}}||چندوجهی کپلر-پوآنسو||تصویر||شکل وجه و{{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و{{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]||[[پرونده:small stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU35 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵٬۵٬۵||[[پرونده: small stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۵}
|-
!۲
||[[دوازده‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU34 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک||{۵٬۵/۲}
|-
!۳
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ]]||[[پرونده:great stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU53 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: great stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۳}
|-
!۴
||[[بیست‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU52 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ||{۳٬۵/۲}
|}

=== اجسام ارشمیدسی ===
{{اصلی|اجسام ارشمیدسی}}
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref name=&quot;g09&quot;&gt;{{harvtxt|Grünbaum|2009}}.&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام ارشمیدسی
!{{Mvar|n}}||جسم ارشمیدسی||تصویر||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم کاتالان)
|-
!۱
||[[چهاروجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۳٬۶||۸||۱۸||۱۲||دوازده‌مثلث وجهی
|-
!۲
||[[مکعب بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]||[[پرونده: Polyhedron truncated 6 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۸٬۳٬۸||۱۴||۳۶||۲۴||بیست‌وچهار مثلث وجهی
|-
!۳
||[[مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۸٬۴||۲۶||۷۲||۴۸||چهل وهشت مثلث وجهی
|-
!۴
||[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۴٬۶||۱۴||۳۶||۲۴||شش‌وجهی تتراکیس
|-
!۵
||[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۱۰٬۳٬۱۰||۳۲||۹۰||۶۰||بیست‌وجهی تریاکیس
|-
!۶
||[[بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۱۰٬۴||۶۲||۱۸۰||۱۲۰||صد و بیست‌مثلث وجهی
|-
!۷
||[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۵٬۶||۳۲||۹۰||۶۰||شصت‌مثلث وجهی
|-
!۸
||[[مکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۴||۱۴||۲۴||۱۲||دوازده‌لوزوجهی
|-
!۹
||[[بیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۵||۳۲||۶۰||۳۰||سی لوزوجهی
|-
!۱۰
||[[لوزمکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴٬۳||۲۶||۴۸||۲۴||بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۱
||[[لوزبیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۵٬۴٬۳||۶۲||۱۲۰||۶۰||شصت‌چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۲
||[[مکعب اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۳۸||۶۰||۲۴||بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
|-
!۱۳
||[[دوازده‌وجهی اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۹۲||۱۵۰||۶۰||شصت‌پنج ضلعی وجهی
|}

=== اجسام کاتالان ===
{{اصلی|جسم کاتالان}}
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.&lt;ref&gt;[[Eugène Catalan]] ''Mémoire sur la Théorie des Polyèdres.'' J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.&lt;/ref&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+ مشخصات اجسام کاتالان
!{{Mvar|n}}||جسم کاتالان||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم ارشمیدسی)
|-
!۱
||[[دوازده‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU02 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۳٬۶||۱۲||۱۸||۸||چهاروجهی بریده‌شده
|-
!۲
||[[بیست‌وچهار مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis octahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU09 facets.png|100px]]{{سخ}}V۸٬۳٬۸||۲۴||۳۶||۱۴||مکعب بریده‌شده
|-
!۳
||[[چهل وهشت مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU11 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۸٬۴||۴۸||۷۲||۲۶||مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۴
||[[شش‌وجهی تتراکیس]]||[[پرونده:Tetrakis cube.png|100px]]||[[پرونده:DU08 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۴٬۶||۲۴||۳۶||۱۴||هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی تریاکیس]]||[[پرونده:Triakis icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU26 facets.png|100px]]{{سخ}}V۱۰٬۳٬۱۰||۶۰||۹۰||۳۲||دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۶
||[[صد و بیست‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU28 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۱۰٬۴||۱۲۰||۱۸۰||۶۲||بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۷
||[[شصت‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Pentakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU25 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۵٬۶||۶۰||۹۰||۳۲||بیست‌وجهی بریده‌شده
|-
!۸
||[[دوازده‌لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU07 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۴||۱۲||۲۴||۱۴||مکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۹
||[[سی لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU24 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۵||۳۰||۶۰||۳۲||بیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۰
||[[بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU10 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴٬۳||۲۴||۴۸||۲۶||لوزمکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۱۱
||[[شصت‌چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU27 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۵٬۴٬۳||۶۰||۱۲۰||۶۲||لوزبیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۲
||[[بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU12 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۲۴||۶۰||۳۸||مکعب اسناب
|-
!۱۳
||[[شصت‌پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU29 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۶۰||۱۵۰||۹۲||دوازده‌وجهی اسناب
|}

=== چندوجهی یکنواخت ===
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی یکنواخت مقعر]]
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.

چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.

دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:&lt;ref&gt;[[Max Brückner|Brückner, M.]] ''Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.''. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABN8316.0001.001]&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Cite journal | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. | author-link2=Michael S. Longuet-Higgins | last3=Miller | first3=J. C. P. | author-link3=J. C. P. Miller| title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446 | year=1954 | journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society A]]| issn=0080-4614 | volume=246 |issue=916 | pages=401–450 | doi=10.1098/rsta.1954.0003 |url=http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/roypta/246/916/401.full.pdf}}&lt;/ref&gt;
* دارای بی‌نهایت چندوجهی:
** منشورها،
** پادمنشورها.
* استثناهای محدب:
** ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
** ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
* استثناهای ستاره ای (مقعر):
** ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
** ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.

=== اجسام جانسون ===
{{اصلی|اجسام جانسون}}
[[پرونده:Triangular hebesphenorotunda.png|120px|بندانگشتی|J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است]]
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.&lt;ref&gt;{{cite journal | last=Johnson | first=Norman W. | author-link=Norman Johnson (mathematician) | title=Convex Solids with Regular Faces | journal=Canadian Journal of Mathematics | volume=18 | year=1966 | pages=169–200 | zbl=0132.14603 | issn=0008-414X | doi=10.4153/cjm-1966-021-8}} Contains the original enumeration of the 92 solids and the conjecture that there are no others.&lt;/ref&gt;

=== چندوجهی گلدبرگ ===
{{اصلی|چندوجهی گلدبرگ}}
[[پرونده:Goldberg_polyhedron_5_3.png|150x150px|بندانگشتی|یک چندوجهی گلدبرگ]]
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
# هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
# دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
# دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.&lt;ref&gt;{{cite journal | title=A class of multi-symmetric polyhedra | first=Michael | last=Goldberg | journal= [[Tohoku Mathematical Journal]] | year=1937 |url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/43/0/43_0_104/_article}}&lt;/ref&gt;

=== چندوجهی ژئودزیک ===
{{اصلی|چندوجهی ژئودزیک}}
[[پرونده:Geodesic polyhedron 5 2.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی ژئودزیک]]
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.&lt;ref&gt;Antony Pugh, ''Polyhedra: a visual approach'', 1976, Chapter 6. The Geodesic Polyhedra of R. Buckminster Fuller and Related Polyhedra''&lt;/ref&gt;

=== دلتاوجهی ===
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند.&lt;ref&gt;{{citation|last1=Freudenthal|first1=H|last2=van der Waerden|first2=B. L.|authorlink1=Hans Freudenthal | authorlink2=B. L. van der Waerden|title=Over een bewering van Euclides (&quot;On an Assertion of Euclid&quot;)|journal=[[Simon Stevin (journal)|Simon Stevin]]|volume=25|pages=115–128|year=1947|language=Dutch}} (آنها نشان دادند که تنها ٨ دلتاوجهی محدب وجود دارد)&lt;/ref&gt; اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد.&lt;ref&gt;{{citation
 | last = Trigg | first = Charles W.
 | issue = 1
 | journal = Mathematics Magazine
 | jstor = 2689647
 | pages = 55–57
 | title = An Infinite Class of Deltahedra
 | volume = 51
 | year = 1978| doi = 10.1080/0025570X.1978.11976675
 }}.&lt;/ref&gt; مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات دلتاوجهی‌های محدب
!colspan=6| دلتاوجهی‌های افلاطونی
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:tetrahedron.jpg|60px]] || چهاروجهی منتظم || ۴ || ۶ || ۴ ||
۴ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:octahedron.svg|60px]] || هشت وجهی منتظم || ۸ || ۱۲ || ۶ || ۶ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:icosahedron.jpg|60px]] ||بیست وجهی منتظم || ۲۰ || ۳۰ || ۱۲ || ۱۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
!colspan=6|دلتاوجهی‌های جانسون
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:triangular dipyramid.png|60px]] || دوهرم مثلثی || ۶ || ۹ || ۵ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;{{سخ}}۳ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:pentagonal dipyramid.png|60px]] || دوهرم مخمسی || ۱۰ || ۱۵ || ۷ || ۵ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:snub disphenoid.png|60px]] || دوازده دلتاوجهی || ۱۲ || ۱۸ || ۸ || ۴ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۴ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:triaugmented triangular prism.png|60px]] ||منشور مثلثی تتراکیس || ۱۴ || ۲۱ || ۹ || ۳ × ۳&lt;sup&gt;۱&lt;/sup&gt;{{سخ}}۶ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:gyroelongated square dipyramid.png|60px]] || پادمنشور مربعی تتراکیس || ۱۶ || ۲۴ || ۱۰ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۸ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|}

=== دوهرم‌ها ===
{{اصلی|دوهرم}}
[[پرونده:Decagonal bipyramid.png|thumb|100px|یک دوهرم ده ضلعی.]]
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید.&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;{{cite web|url=http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm|title=Crystal Form, Zones, Crystal Habit|website=Tulane.edu|access-date=16 September 2017}}&lt;/ref&gt; یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.

فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.{{sfn|Pugh|1976}}

=== پاددوهرم‌ها ===
[[پرونده:Decagonal trapezohedron.png|thumb|100px|یک پاددوهرم ده ضلعی.]]
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.

برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی [[لوزوجه]] است.{{sfn|Pugh|1976}}

=== چندوجهی انعطاف‌پذیر ===
{{اصلی|چندوجهی انعطاف‌پذیر}}
[[پرونده:Kaleidocycle with scalene triangles.gif|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف]]
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.{{sfnp|Alexandrov|2010}}{{sfnp|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم
&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>jvunm6g99284nzt5d1gesx5ab25j4xh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117346</id>
      <parentid>117345</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T12:43:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="48054" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.{{-}}

=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
{{حل نشده|ریاضیات|آیا هر چندوجهی محدب، توری ساده است؟}} تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.

در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.{{-}}

== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:

که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.

=== نماد اشلفلی ===
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد.&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Cite book|title=Regular Polytopes|last=Coxeter|first=H.S.M.|publisher=Dover|year=1973|edition=3rd|location=New York}}&lt;/ref&gt; در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل مربع به مثلث (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''اقلیدسی'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
!colspan=1|[[منشور (هندسه)|منشور]]
!colspan=3|[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal pyramid.png|80px]]
|[[پرونده:Geometric wedge.png|100px]]
|[[پرونده:Parallelepiped 2013-11-29.svg|100px]]
|[[پرونده:Pentagonal prism.png|80px]]
|[[پرونده:Square antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagrammic crossed antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal cupola.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal frustum.svg|80px]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.
* [[هرم (هندسه)|هرم]]:
[[پرونده:Pyramid fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان [[ابلیسک]] ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود.6
برای ساختن یک هرم می‌توان از [[اکستروژن]] مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

:روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.
* [[گوه (هندسه)|گوه]]:
[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.
:روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.
* متوازی‌السطوح:
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|250px|بندانگشتی|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

:روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:

:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;

* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;

همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;

* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;

* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.
:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:

&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;

مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:

:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;


== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم</text>
      <sha1>8a9vlpew3tnrxql6r01a67tefe8zgtr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117347</id>
      <parentid>117346</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T12:43:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="47914" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.{{-}}

=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
{{حل نشده|ریاضیات|آیا هر چندوجهی محدب، توری ساده است؟}} تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.

در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.{{-}}

== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:

که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.

=== نماد اشلفلی ===
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد. در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل مربع به مثلث (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''اقلیدسی'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
!colspan=1|[[منشور (هندسه)|منشور]]
!colspan=3|[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal pyramid.png|80px]]
|[[پرونده:Geometric wedge.png|100px]]
|[[پرونده:Parallelepiped 2013-11-29.svg|100px]]
|[[پرونده:Pentagonal prism.png|80px]]
|[[پرونده:Square antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagrammic crossed antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal cupola.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal frustum.svg|80px]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.
* [[هرم (هندسه)|هرم]]:
[[پرونده:Pyramid fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان [[ابلیسک]] ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود.6
برای ساختن یک هرم می‌توان از [[اکستروژن]] مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

:روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.
* [[گوه (هندسه)|گوه]]:
[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.
:روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.
* متوازی‌السطوح:
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|250px|بندانگشتی|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

:روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:

:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;

* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;

همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;

* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;

* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.
:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:

&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;

مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:

:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;


== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم</text>
      <sha1>n742nmso1747rvpd2gg4w841fsjq7qb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117349</id>
      <parentid>117347</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T13:03:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="47995" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.{{-}}

=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
{{حل نشده|ریاضیات|آیا هر چندوجهی محدب، توری ساده است؟}} تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.

در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.{{-}}

== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:

که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.

=== نماد اشلفلی ===
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد. در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل مربع به مثلث (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''اقلیدسی'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.

== رابطه چندوجهی ها با منشورها(منشور وارها) ==

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
!colspan=1|[[منشور (هندسه)|منشور]]
!colspan=3|[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal pyramid.png|80px]]
|[[پرونده:Geometric wedge.png|100px]]
|[[پرونده:Parallelepiped 2013-11-29.svg|100px]]
|[[پرونده:Pentagonal prism.png|80px]]
|[[پرونده:Square antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagrammic crossed antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal cupola.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal frustum.svg|80px]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.
* [[هرم (هندسه)|هرم]]:
[[پرونده:Pyramid fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان [[ابلیسک]] ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود.6
برای ساختن یک هرم می‌توان از [[اکستروژن]] مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

:روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.
* [[گوه (هندسه)|گوه]]:
[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.
:روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.
* متوازی‌السطوح:
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|250px|بندانگشتی|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

:روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:

:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;

* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;

همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;

* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;

* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.
:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:

&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;

مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:

:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;


== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم</text>
      <sha1>9zcntj99bzllgej6mtgmnsuo47zmsvm</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117354</id>
      <parentid>117349</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T15:32:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="69456" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.
=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.


در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.
== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:

که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.

=== نماد اشلفلی ===
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد. در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل مربع به مثلث (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''اقلیدسی'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.

== رابطه چندوجهی ها با منشورها(منشور وارها) ==

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
!colspan=1|[[منشور (هندسه)|منشور]]
!colspan=3|[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal pyramid.png|80px]]
|[[پرونده:Geometric wedge.png|100px]]
|[[پرونده:Parallelepiped 2013-11-29.svg|100px]]
|[[پرونده:Pentagonal prism.png|80px]]
|[[پرونده:Square antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagrammic crossed antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal cupola.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal frustum.svg|80px]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.
* [[هرم (هندسه)|هرم]]:
[[پرونده:Pyramid fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان [[ابلیسک]] ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود.6
برای ساختن یک هرم می‌توان از [[اکستروژن]] مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

:روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.
* [[گوه (هندسه)|گوه]]:
[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.
:روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.
* متوازی‌السطوح:
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|250px|بندانگشتی|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

:روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:

:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;

* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;

همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;

* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;

* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.
:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:

&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;

مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:

:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;
==== اجسام افلاطونی ====
{{اصلی|جسم افلاطونی}}
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.
 
تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام افلاطونی
!{{Mvar|n}}||جسم افلاطونی||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[چهاروجهی]] منتظم||[[پرونده:tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳||[[پرونده: Tetrahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳||۴||۶||۴||چهاروجهی منتظم||{۳٬۳}
|-
!۲
||[[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])||[[پرونده:hexahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU05 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Cube vertfig.png|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴||۶||۱۲||۸||هشت‌وجهی منتظم||{۴٬۳}
|-
!۳
||[[هشت‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:octahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴||[[پرونده: Octahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳||۸||۱۲||۶||مکعب||{۳٬۴}
|-
!۴
||[[دوازده‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU22 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی منتظم||{۵٬۳}
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:icosahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵||[[پرونده: Icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی منتظم||{۳٬۵}
|}
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:&lt;ref dir=&quot;ltr&quot;&gt;{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}&lt;/ref&gt;
* همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
* که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
* تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.
 
==== چندوجهی کپلر-پوآنسو ====
{{اصلی|چندوجهی کپلر-پوآنسو}}
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.
 
چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو
!{{Mvar|n}}||چندوجهی کپلر-پوآنسو||تصویر||شکل وجه و{{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و{{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]||[[پرونده:small stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU35 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵٬۵٬۵||[[پرونده: small stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۵}
|-
!۲
||[[دوازده‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU34 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک||{۵٬۵/۲}
|-
!۳
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ]]||[[پرونده:great stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU53 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: great stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۳}
|-
!۴
||[[بیست‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU52 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ||{۳٬۵/۲}
|}
 
=== اجسام ارشمیدسی ===
{{اصلی|اجسام ارشمیدسی}}
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام ارشمیدسی
!{{Mvar|n}}||جسم ارشمیدسی||تصویر||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم کاتالان)
|-
!۱
||[[چهاروجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۳٬۶||۸||۱۸||۱۲||دوازده‌مثلث وجهی
|-
!۲
||[[مکعب بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]||[[پرونده: Polyhedron truncated 6 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۸٬۳٬۸||۱۴||۳۶||۲۴||بیست‌وچهار مثلث وجهی
|-
!۳
||[[مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۸٬۴||۲۶||۷۲||۴۸||چهل وهشت مثلث وجهی
|-
!۴
||[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۴٬۶||۱۴||۳۶||۲۴||شش‌وجهی تتراکیس
|-
!۵
||[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۱۰٬۳٬۱۰||۳۲||۹۰||۶۰||بیست‌وجهی تریاکیس
|-
!۶
||[[بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۱۰٬۴||۶۲||۱۸۰||۱۲۰||صد و بیست‌مثلث وجهی
|-
!۷
||[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۵٬۶||۳۲||۹۰||۶۰||شصت‌مثلث وجهی
|-
!۸
||[[مکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۴||۱۴||۲۴||۱۲||دوازده‌لوزوجهی
|-
!۹
||[[بیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۵||۳۲||۶۰||۳۰||سی لوزوجهی
|-
!۱۰
||[[لوزمکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴٬۳||۲۶||۴۸||۲۴||بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۱
||[[لوزبیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۵٬۴٬۳||۶۲||۱۲۰||۶۰||شصت‌چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۲
||[[مکعب اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۳۸||۶۰||۲۴||بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
|-
!۱۳
||[[دوازده‌وجهی اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۹۲||۱۵۰||۶۰||شصت‌پنج ضلعی وجهی
|}
 
=== اجسام کاتالان ===
{{اصلی|جسم کاتالان}}
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+ مشخصات اجسام کاتالان
!{{Mvar|n}}||جسم کاتالان||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم ارشمیدسی)
|-
!۱
||[[دوازده‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU02 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۳٬۶||۱۲||۱۸||۸||چهاروجهی بریده‌شده
|-
!۲
||[[بیست‌وچهار مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis octahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU09 facets.png|100px]]{{سخ}}V۸٬۳٬۸||۲۴||۳۶||۱۴||مکعب بریده‌شده
|-
!۳
||[[چهل وهشت مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU11 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۸٬۴||۴۸||۷۲||۲۶||مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۴
||[[شش‌وجهی تتراکیس]]||[[پرونده:Tetrakis cube.png|100px]]||[[پرونده:DU08 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۴٬۶||۲۴||۳۶||۱۴||هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی تریاکیس]]||[[پرونده:Triakis icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU26 facets.png|100px]]{{سخ}}V۱۰٬۳٬۱۰||۶۰||۹۰||۳۲||دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۶
||[[صد و بیست‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU28 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۱۰٬۴||۱۲۰||۱۸۰||۶۲||بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۷
||[[شصت‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Pentakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU25 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۵٬۶||۶۰||۹۰||۳۲||بیست‌وجهی بریده‌شده
|-
!۸
||[[دوازده‌لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU07 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۴||۱۲||۲۴||۱۴||مکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۹
||[[سی لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU24 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۵||۳۰||۶۰||۳۲||بیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۰
||[[بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU10 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴٬۳||۲۴||۴۸||۲۶||لوزمکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۱۱
||[[شصت‌چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU27 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۵٬۴٬۳||۶۰||۱۲۰||۶۲||لوزبیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۲
||[[بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU12 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۲۴||۶۰||۳۸||مکعب اسناب
|-
!۱۳
||[[شصت‌پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU29 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۶۰||۱۵۰||۹۲||دوازده‌وجهی اسناب
|}
 
=== چندوجهی یکنواخت ===
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی یکنواخت مقعر]]
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.
 
چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.
 
دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:
* دارای بی‌نهایت چندوجهی:
** منشورها،
** پادمنشورها.
* استثناهای محدب:
** ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
** ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
* استثناهای ستاره ای (مقعر):
** ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
** ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.
 
=== اجسام جانسون ===
[[پرونده:Triangular hebesphenorotunda.png|120px|بندانگشتی|J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است]]
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.
 
=== چندوجهی گلدبرگ ===
[[پرونده:Goldberg_polyhedron_5_3.png|150x150px|بندانگشتی|یک چندوجهی گلدبرگ]]
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
# هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
# دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
# دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.
 
=== چندوجهی ژئودزیک ===
[[پرونده:Geodesic polyhedron 5 2.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی ژئودزیک]]
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.&lt;ref&gt;Antony Pugh, ''Polyhedra: a visual approach'', 1976, Chapter 6. The Geodesic Polyhedra of R. Buckminster Fuller and Related Polyhedra''&lt;/ref&gt;
 
=== دلتاوجهی ===
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند. اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد. مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات دلتاوجهی‌های محدب
!colspan=6| دلتاوجهی‌های افلاطونی
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:tetrahedron.jpg|60px]] || چهاروجهی منتظم || ۴ || ۶ || ۴ ||
۴ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:octahedron.svg|60px]] || هشت وجهی منتظم || ۸ || ۱۲ || ۶ || ۶ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:icosahedron.jpg|60px]] ||بیست وجهی منتظم || ۲۰ || ۳۰ || ۱۲ || ۱۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
!colspan=6|دلتاوجهی‌های جانسون
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:triangular dipyramid.png|60px]] || دوهرم مثلثی || ۶ || ۹ || ۵ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;{{سخ}}۳ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:pentagonal dipyramid.png|60px]] || دوهرم مخمسی || ۱۰ || ۱۵ || ۷ || ۵ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:snub disphenoid.png|60px]] || دوازده دلتاوجهی || ۱۲ || ۱۸ || ۸ || ۴ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۴ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:triaugmented triangular prism.png|60px]] ||منشور مثلثی تتراکیس || ۱۴ || ۲۱ || ۹ || ۳ × ۳&lt;sup&gt;۱&lt;/sup&gt;{{سخ}}۶ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:gyroelongated square dipyramid.png|60px]] || پادمنشور مربعی تتراکیس || ۱۶ || ۲۴ || ۱۰ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۸ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|}
 
=== دوهرم‌ها ===
{{اصلی|دوهرم}}
[[پرونده:Decagonal bipyramid.png|thumb|100px|یک دوهرم ده ضلعی.]]
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید.&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;{{cite web|url=http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm|title=Crystal Form, Zones, Crystal Habit|website=Tulane.edu|access-date=16 September 2017}}&lt;/ref&gt; یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.
 
فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.
 
=== پاددوهرم‌ها ===
[[پرونده:Decagonal trapezohedron.png|thumb|100px|یک پاددوهرم ده ضلعی.]]
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.
 
برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی [[لوزوجه]] است.

=== چندوجهی انعطاف‌پذیر ===
[[پرونده:Kaleidocycle with scalene triangles.gif|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف]]
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.{{sfnp|Alexandrov|2010}}{{sfnp|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}
 
== منابع ==
 
مساحت و حجم
&lt;references /&gt;
HE


== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم</text>
      <sha1>3pirynajq4avkfrbyq5xkqqib9sd3mn</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117355</id>
      <parentid>117354</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T15:33:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="69373" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.
=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.


در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.
== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:

که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.

=== نماد اشلفلی ===
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد. در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل مربع به مثلث (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''اقلیدسی'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.

== رابطه چندوجهی ها با منشورها(منشور وارها) ==

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
!colspan=1|[[منشور (هندسه)|منشور]]
!colspan=3|[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal pyramid.png|80px]]
|[[پرونده:Geometric wedge.png|100px]]
|[[پرونده:Parallelepiped 2013-11-29.svg|100px]]
|[[پرونده:Pentagonal prism.png|80px]]
|[[پرونده:Square antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagrammic crossed antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal cupola.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal frustum.svg|80px]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.
* [[هرم (هندسه)|هرم]]:
[[پرونده:Pyramid fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان [[ابلیسک]] ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود.6
برای ساختن یک هرم می‌توان از [[اکستروژن]] مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

:روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.
* [[گوه (هندسه)|گوه]]:
[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.
:روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.
* متوازی‌السطوح:
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|250px|بندانگشتی|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

:روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:

:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;

* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;

همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;

* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;

* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.
:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:

&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;

مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:

:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;
==== اجسام افلاطونی ====
{{اصلی|جسم افلاطونی}}
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.
 
تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام افلاطونی
!{{Mvar|n}}||جسم افلاطونی||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[چهاروجهی]] منتظم||[[پرونده:tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳||[[پرونده: Tetrahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳||۴||۶||۴||چهاروجهی منتظم||{۳٬۳}
|-
!۲
||[[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])||[[پرونده:hexahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU05 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Cube vertfig.png|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴||۶||۱۲||۸||هشت‌وجهی منتظم||{۴٬۳}
|-
!۳
||[[هشت‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:octahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴||[[پرونده: Octahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳||۸||۱۲||۶||مکعب||{۳٬۴}
|-
!۴
||[[دوازده‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU22 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی منتظم||{۵٬۳}
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:icosahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵||[[پرونده: Icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی منتظم||{۳٬۵}
|}
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:
* همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
* که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
* تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.
 
==== چندوجهی کپلر-پوآنسو ====
{{اصلی|چندوجهی کپلر-پوآنسو}}
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.
 
چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو
!{{Mvar|n}}||چندوجهی کپلر-پوآنسو||تصویر||شکل وجه و{{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و{{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]||[[پرونده:small stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU35 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵٬۵٬۵||[[پرونده: small stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۵}
|-
!۲
||[[دوازده‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU34 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک||{۵٬۵/۲}
|-
!۳
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ]]||[[پرونده:great stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU53 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: great stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۳}
|-
!۴
||[[بیست‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU52 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ||{۳٬۵/۲}
|}
 
=== اجسام ارشمیدسی ===
{{اصلی|اجسام ارشمیدسی}}
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام ارشمیدسی
!{{Mvar|n}}||جسم ارشمیدسی||تصویر||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم کاتالان)
|-
!۱
||[[چهاروجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۳٬۶||۸||۱۸||۱۲||دوازده‌مثلث وجهی
|-
!۲
||[[مکعب بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]||[[پرونده: Polyhedron truncated 6 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۸٬۳٬۸||۱۴||۳۶||۲۴||بیست‌وچهار مثلث وجهی
|-
!۳
||[[مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۸٬۴||۲۶||۷۲||۴۸||چهل وهشت مثلث وجهی
|-
!۴
||[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۴٬۶||۱۴||۳۶||۲۴||شش‌وجهی تتراکیس
|-
!۵
||[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۱۰٬۳٬۱۰||۳۲||۹۰||۶۰||بیست‌وجهی تریاکیس
|-
!۶
||[[بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۱۰٬۴||۶۲||۱۸۰||۱۲۰||صد و بیست‌مثلث وجهی
|-
!۷
||[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۵٬۶||۳۲||۹۰||۶۰||شصت‌مثلث وجهی
|-
!۸
||[[مکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۴||۱۴||۲۴||۱۲||دوازده‌لوزوجهی
|-
!۹
||[[بیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۵||۳۲||۶۰||۳۰||سی لوزوجهی
|-
!۱۰
||[[لوزمکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴٬۳||۲۶||۴۸||۲۴||بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۱
||[[لوزبیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۵٬۴٬۳||۶۲||۱۲۰||۶۰||شصت‌چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۲
||[[مکعب اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۳۸||۶۰||۲۴||بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
|-
!۱۳
||[[دوازده‌وجهی اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۹۲||۱۵۰||۶۰||شصت‌پنج ضلعی وجهی
|}
 
=== اجسام کاتالان ===
{{اصلی|جسم کاتالان}}
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+ مشخصات اجسام کاتالان
!{{Mvar|n}}||جسم کاتالان||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم ارشمیدسی)
|-
!۱
||[[دوازده‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU02 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۳٬۶||۱۲||۱۸||۸||چهاروجهی بریده‌شده
|-
!۲
||[[بیست‌وچهار مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis octahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU09 facets.png|100px]]{{سخ}}V۸٬۳٬۸||۲۴||۳۶||۱۴||مکعب بریده‌شده
|-
!۳
||[[چهل وهشت مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU11 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۸٬۴||۴۸||۷۲||۲۶||مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۴
||[[شش‌وجهی تتراکیس]]||[[پرونده:Tetrakis cube.png|100px]]||[[پرونده:DU08 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۴٬۶||۲۴||۳۶||۱۴||هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی تریاکیس]]||[[پرونده:Triakis icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU26 facets.png|100px]]{{سخ}}V۱۰٬۳٬۱۰||۶۰||۹۰||۳۲||دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۶
||[[صد و بیست‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU28 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۱۰٬۴||۱۲۰||۱۸۰||۶۲||بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۷
||[[شصت‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Pentakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU25 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۵٬۶||۶۰||۹۰||۳۲||بیست‌وجهی بریده‌شده
|-
!۸
||[[دوازده‌لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU07 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۴||۱۲||۲۴||۱۴||مکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۹
||[[سی لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU24 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۵||۳۰||۶۰||۳۲||بیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۰
||[[بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU10 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴٬۳||۲۴||۴۸||۲۶||لوزمکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۱۱
||[[شصت‌چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU27 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۵٬۴٬۳||۶۰||۱۲۰||۶۲||لوزبیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۲
||[[بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU12 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۲۴||۶۰||۳۸||مکعب اسناب
|-
!۱۳
||[[شصت‌پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU29 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۶۰||۱۵۰||۹۲||دوازده‌وجهی اسناب
|}
 
=== چندوجهی یکنواخت ===
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی یکنواخت مقعر]]
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.
 
چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.
 
دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:
* دارای بی‌نهایت چندوجهی:
** منشورها،
** پادمنشورها.
* استثناهای محدب:
** ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
** ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
* استثناهای ستاره ای (مقعر):
** ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
** ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.
 
=== اجسام جانسون ===
[[پرونده:Triangular hebesphenorotunda.png|120px|بندانگشتی|J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است]]
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.
 
=== چندوجهی گلدبرگ ===
[[پرونده:Goldberg_polyhedron_5_3.png|150x150px|بندانگشتی|یک چندوجهی گلدبرگ]]
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
# هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
# دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
# دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.
 
=== چندوجهی ژئودزیک ===
[[پرونده:Geodesic polyhedron 5 2.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی ژئودزیک]]
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.&lt;ref&gt;Antony Pugh, ''Polyhedra: a visual approach'', 1976, Chapter 6. The Geodesic Polyhedra of R. Buckminster Fuller and Related Polyhedra''&lt;/ref&gt;
 
=== دلتاوجهی ===
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند. اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد. مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات دلتاوجهی‌های محدب
!colspan=6| دلتاوجهی‌های افلاطونی
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:tetrahedron.jpg|60px]] || چهاروجهی منتظم || ۴ || ۶ || ۴ ||
۴ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:octahedron.svg|60px]] || هشت وجهی منتظم || ۸ || ۱۲ || ۶ || ۶ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:icosahedron.jpg|60px]] ||بیست وجهی منتظم || ۲۰ || ۳۰ || ۱۲ || ۱۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
!colspan=6|دلتاوجهی‌های جانسون
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:triangular dipyramid.png|60px]] || دوهرم مثلثی || ۶ || ۹ || ۵ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;{{سخ}}۳ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:pentagonal dipyramid.png|60px]] || دوهرم مخمسی || ۱۰ || ۱۵ || ۷ || ۵ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:snub disphenoid.png|60px]] || دوازده دلتاوجهی || ۱۲ || ۱۸ || ۸ || ۴ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۴ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:triaugmented triangular prism.png|60px]] ||منشور مثلثی تتراکیس || ۱۴ || ۲۱ || ۹ || ۳ × ۳&lt;sup&gt;۱&lt;/sup&gt;{{سخ}}۶ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:gyroelongated square dipyramid.png|60px]] || پادمنشور مربعی تتراکیس || ۱۶ || ۲۴ || ۱۰ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۸ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|}
 
=== دوهرم‌ها ===
{{اصلی|دوهرم}}
[[پرونده:Decagonal bipyramid.png|thumb|100px|یک دوهرم ده ضلعی.]]
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید.&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;{{cite web|url=http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm|title=Crystal Form, Zones, Crystal Habit|website=Tulane.edu|access-date=16 September 2017}}&lt;/ref&gt; یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.
 
فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.
 
=== پاددوهرم‌ها ===
[[پرونده:Decagonal trapezohedron.png|thumb|100px|یک پاددوهرم ده ضلعی.]]
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.
 
برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی [[لوزوجه]] است.

=== چندوجهی انعطاف‌پذیر ===
[[پرونده:Kaleidocycle with scalene triangles.gif|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف]]
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.{{sfnp|Alexandrov|2010}}{{sfnp|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}
 
== منابع ==
 
مساحت و حجم
&lt;references /&gt;
HE


== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم</text>
      <sha1>28vmg9vukgi2qpn97ueyztqnsek9p7s</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117356</id>
      <parentid>117355</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T15:34:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="69227" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.
=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.


در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.
== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:

که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.

=== نماد اشلفلی ===
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد. در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل مربع به مثلث (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''اقلیدسی'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.

== رابطه چندوجهی ها با منشورها(منشور وارها) ==

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
!colspan=1|[[منشور (هندسه)|منشور]]
!colspan=3|[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal pyramid.png|80px]]
|[[پرونده:Geometric wedge.png|100px]]
|[[پرونده:Parallelepiped 2013-11-29.svg|100px]]
|[[پرونده:Pentagonal prism.png|80px]]
|[[پرونده:Square antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagrammic crossed antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal cupola.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal frustum.svg|80px]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.
* [[هرم (هندسه)|هرم]]:
[[پرونده:Pyramid fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان [[ابلیسک]] ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود.6
برای ساختن یک هرم می‌توان از [[اکستروژن]] مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

:روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.
* [[گوه (هندسه)|گوه]]:
[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.
:روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.
* متوازی‌السطوح:
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|250px|بندانگشتی|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

:روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:

:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;

* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;

همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;

* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;

* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.
:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:

&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;

مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:

:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;
==== اجسام افلاطونی ====
{{اصلی|جسم افلاطونی}}
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.
 
تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام افلاطونی
!{{Mvar|n}}||جسم افلاطونی||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[چهاروجهی]] منتظم||[[پرونده:tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳||[[پرونده: Tetrahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳||۴||۶||۴||چهاروجهی منتظم||{۳٬۳}
|-
!۲
||[[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])||[[پرونده:hexahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU05 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Cube vertfig.png|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴||۶||۱۲||۸||هشت‌وجهی منتظم||{۴٬۳}
|-
!۳
||[[هشت‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:octahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴||[[پرونده: Octahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳||۸||۱۲||۶||مکعب||{۳٬۴}
|-
!۴
||[[دوازده‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU22 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی منتظم||{۵٬۳}
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:icosahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵||[[پرونده: Icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی منتظم||{۳٬۵}
|}
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:
* همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
* که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
* تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.
 
==== چندوجهی کپلر-پوآنسو ====
{{اصلی|چندوجهی کپلر-پوآنسو}}
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.
 
چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو
!{{Mvar|n}}||چندوجهی کپلر-پوآنسو||تصویر||شکل وجه و{{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و{{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]||[[پرونده:small stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU35 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵٬۵٬۵||[[پرونده: small stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۵}
|-
!۲
||[[دوازده‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU34 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک||{۵٬۵/۲}
|-
!۳
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ]]||[[پرونده:great stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU53 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: great stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۳}
|-
!۴
||[[بیست‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU52 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ||{۳٬۵/۲}
|}
 
=== اجسام ارشمیدسی ===
{{اصلی|اجسام ارشمیدسی}}
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام ارشمیدسی
!{{Mvar|n}}||جسم ارشمیدسی||تصویر||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم کاتالان)
|-
!۱
||[[چهاروجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۳٬۶||۸||۱۸||۱۲||دوازده‌مثلث وجهی
|-
!۲
||[[مکعب بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]||[[پرونده: Polyhedron truncated 6 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۸٬۳٬۸||۱۴||۳۶||۲۴||بیست‌وچهار مثلث وجهی
|-
!۳
||[[مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۸٬۴||۲۶||۷۲||۴۸||چهل وهشت مثلث وجهی
|-
!۴
||[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۴٬۶||۱۴||۳۶||۲۴||شش‌وجهی تتراکیس
|-
!۵
||[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۱۰٬۳٬۱۰||۳۲||۹۰||۶۰||بیست‌وجهی تریاکیس
|-
!۶
||[[بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۱۰٬۴||۶۲||۱۸۰||۱۲۰||صد و بیست‌مثلث وجهی
|-
!۷
||[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۵٬۶||۳۲||۹۰||۶۰||شصت‌مثلث وجهی
|-
!۸
||[[مکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۴||۱۴||۲۴||۱۲||دوازده‌لوزوجهی
|-
!۹
||[[بیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۵||۳۲||۶۰||۳۰||سی لوزوجهی
|-
!۱۰
||[[لوزمکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴٬۳||۲۶||۴۸||۲۴||بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۱
||[[لوزبیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۵٬۴٬۳||۶۲||۱۲۰||۶۰||شصت‌چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۲
||[[مکعب اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۳۸||۶۰||۲۴||بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
|-
!۱۳
||[[دوازده‌وجهی اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۹۲||۱۵۰||۶۰||شصت‌پنج ضلعی وجهی
|}
 
=== اجسام کاتالان ===
{{اصلی|جسم کاتالان}}
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+ مشخصات اجسام کاتالان
!{{Mvar|n}}||جسم کاتالان||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم ارشمیدسی)
|-
!۱
||[[دوازده‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU02 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۳٬۶||۱۲||۱۸||۸||چهاروجهی بریده‌شده
|-
!۲
||[[بیست‌وچهار مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis octahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU09 facets.png|100px]]{{سخ}}V۸٬۳٬۸||۲۴||۳۶||۱۴||مکعب بریده‌شده
|-
!۳
||[[چهل وهشت مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU11 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۸٬۴||۴۸||۷۲||۲۶||مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۴
||[[شش‌وجهی تتراکیس]]||[[پرونده:Tetrakis cube.png|100px]]||[[پرونده:DU08 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۴٬۶||۲۴||۳۶||۱۴||هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی تریاکیس]]||[[پرونده:Triakis icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU26 facets.png|100px]]{{سخ}}V۱۰٬۳٬۱۰||۶۰||۹۰||۳۲||دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۶
||[[صد و بیست‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU28 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۱۰٬۴||۱۲۰||۱۸۰||۶۲||بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۷
||[[شصت‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Pentakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU25 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۵٬۶||۶۰||۹۰||۳۲||بیست‌وجهی بریده‌شده
|-
!۸
||[[دوازده‌لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU07 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۴||۱۲||۲۴||۱۴||مکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۹
||[[سی لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU24 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۵||۳۰||۶۰||۳۲||بیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۰
||[[بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU10 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴٬۳||۲۴||۴۸||۲۶||لوزمکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۱۱
||[[شصت‌چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU27 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۵٬۴٬۳||۶۰||۱۲۰||۶۲||لوزبیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۲
||[[بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU12 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۲۴||۶۰||۳۸||مکعب اسناب
|-
!۱۳
||[[شصت‌پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU29 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۶۰||۱۵۰||۹۲||دوازده‌وجهی اسناب
|}
 
=== چندوجهی یکنواخت ===
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی یکنواخت مقعر]]
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.
 
چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.
 
دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:
* دارای بی‌نهایت چندوجهی:
** منشورها،
** پادمنشورها.
* استثناهای محدب:
** ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
** ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
* استثناهای ستاره ای (مقعر):
** ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
** ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.
 
=== اجسام جانسون ===
[[پرونده:Triangular hebesphenorotunda.png|120px|بندانگشتی|J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است]]
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.
 
=== چندوجهی گلدبرگ ===
[[پرونده:Goldberg_polyhedron_5_3.png|150x150px|بندانگشتی|یک چندوجهی گلدبرگ]]
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
# هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
# دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
# دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.
 
=== چندوجهی ژئودزیک ===
[[پرونده:Geodesic polyhedron 5 2.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی ژئودزیک]]
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.
 
=== دلتاوجهی ===
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند. اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد. مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات دلتاوجهی‌های محدب
!colspan=6| دلتاوجهی‌های افلاطونی
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:tetrahedron.jpg|60px]] || چهاروجهی منتظم || ۴ || ۶ || ۴ ||
۴ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:octahedron.svg|60px]] || هشت وجهی منتظم || ۸ || ۱۲ || ۶ || ۶ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:icosahedron.jpg|60px]] ||بیست وجهی منتظم || ۲۰ || ۳۰ || ۱۲ || ۱۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
!colspan=6|دلتاوجهی‌های جانسون
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:triangular dipyramid.png|60px]] || دوهرم مثلثی || ۶ || ۹ || ۵ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;{{سخ}}۳ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:pentagonal dipyramid.png|60px]] || دوهرم مخمسی || ۱۰ || ۱۵ || ۷ || ۵ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:snub disphenoid.png|60px]] || دوازده دلتاوجهی || ۱۲ || ۱۸ || ۸ || ۴ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۴ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:triaugmented triangular prism.png|60px]] ||منشور مثلثی تتراکیس || ۱۴ || ۲۱ || ۹ || ۳ × ۳&lt;sup&gt;۱&lt;/sup&gt;{{سخ}}۶ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:gyroelongated square dipyramid.png|60px]] || پادمنشور مربعی تتراکیس || ۱۶ || ۲۴ || ۱۰ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۸ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|}
 
=== دوهرم‌ها ===
{{اصلی|دوهرم}}
[[پرونده:Decagonal bipyramid.png|thumb|100px|یک دوهرم ده ضلعی.]]
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید.&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;{{cite web|url=http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm|title=Crystal Form, Zones, Crystal Habit|website=Tulane.edu|access-date=16 September 2017}}&lt;/ref&gt; یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.
 
فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.
 
=== پاددوهرم‌ها ===
[[پرونده:Decagonal trapezohedron.png|thumb|100px|یک پاددوهرم ده ضلعی.]]
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.
 
برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی [[لوزوجه]] است.

=== چندوجهی انعطاف‌پذیر ===
[[پرونده:Kaleidocycle with scalene triangles.gif|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف]]
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.{{sfnp|Alexandrov|2010}}{{sfnp|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}
 
== منابع ==
 
مساحت و حجم
&lt;references /&gt;
HE


== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم</text>
      <sha1>aq9ubtinuv85prz0nwson87ea7auboc</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117357</id>
      <parentid>117356</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T15:35:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="69038" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.
=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.


در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.
== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:

که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.

=== نماد اشلفلی ===
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد. در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل مربع به مثلث (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''اقلیدسی'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.

== رابطه چندوجهی ها با منشورها(منشور وارها) ==

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
!colspan=1|[[منشور (هندسه)|منشور]]
!colspan=3|[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal pyramid.png|80px]]
|[[پرونده:Geometric wedge.png|100px]]
|[[پرونده:Parallelepiped 2013-11-29.svg|100px]]
|[[پرونده:Pentagonal prism.png|80px]]
|[[پرونده:Square antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagrammic crossed antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal cupola.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal frustum.svg|80px]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.
* [[هرم (هندسه)|هرم]]:
[[پرونده:Pyramid fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان [[ابلیسک]] ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود.6
برای ساختن یک هرم می‌توان از [[اکستروژن]] مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

:روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.
* [[گوه (هندسه)|گوه]]:
[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.
:روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.
* متوازی‌السطوح:
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|250px|بندانگشتی|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

:روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:

:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;

* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;

همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;

* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;

* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.
:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:

&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;

مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:

:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;
==== اجسام افلاطونی ====
{{اصلی|جسم افلاطونی}}
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.
 
تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام افلاطونی
!{{Mvar|n}}||جسم افلاطونی||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[چهاروجهی]] منتظم||[[پرونده:tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳||[[پرونده: Tetrahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳||۴||۶||۴||چهاروجهی منتظم||{۳٬۳}
|-
!۲
||[[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])||[[پرونده:hexahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU05 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Cube vertfig.png|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴||۶||۱۲||۸||هشت‌وجهی منتظم||{۴٬۳}
|-
!۳
||[[هشت‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:octahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴||[[پرونده: Octahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳||۸||۱۲||۶||مکعب||{۳٬۴}
|-
!۴
||[[دوازده‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU22 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی منتظم||{۵٬۳}
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:icosahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵||[[پرونده: Icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی منتظم||{۳٬۵}
|}
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:
* همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
* که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
* تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.
 
==== چندوجهی کپلر-پوآنسو ====
{{اصلی|چندوجهی کپلر-پوآنسو}}
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.
 
چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو
!{{Mvar|n}}||چندوجهی کپلر-پوآنسو||تصویر||شکل وجه و{{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و{{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]||[[پرونده:small stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU35 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵٬۵٬۵||[[پرونده: small stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۵}
|-
!۲
||[[دوازده‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU34 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک||{۵٬۵/۲}
|-
!۳
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ]]||[[پرونده:great stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU53 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: great stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۳}
|-
!۴
||[[بیست‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU52 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ||{۳٬۵/۲}
|}
 
=== اجسام ارشمیدسی ===
{{اصلی|اجسام ارشمیدسی}}
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام ارشمیدسی
!{{Mvar|n}}||جسم ارشمیدسی||تصویر||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم کاتالان)
|-
!۱
||[[چهاروجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۳٬۶||۸||۱۸||۱۲||دوازده‌مثلث وجهی
|-
!۲
||[[مکعب بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]||[[پرونده: Polyhedron truncated 6 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۸٬۳٬۸||۱۴||۳۶||۲۴||بیست‌وچهار مثلث وجهی
|-
!۳
||[[مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۸٬۴||۲۶||۷۲||۴۸||چهل وهشت مثلث وجهی
|-
!۴
||[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۴٬۶||۱۴||۳۶||۲۴||شش‌وجهی تتراکیس
|-
!۵
||[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۱۰٬۳٬۱۰||۳۲||۹۰||۶۰||بیست‌وجهی تریاکیس
|-
!۶
||[[بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۱۰٬۴||۶۲||۱۸۰||۱۲۰||صد و بیست‌مثلث وجهی
|-
!۷
||[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۵٬۶||۳۲||۹۰||۶۰||شصت‌مثلث وجهی
|-
!۸
||[[مکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۴||۱۴||۲۴||۱۲||دوازده‌لوزوجهی
|-
!۹
||[[بیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۵||۳۲||۶۰||۳۰||سی لوزوجهی
|-
!۱۰
||[[لوزمکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴٬۳||۲۶||۴۸||۲۴||بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۱
||[[لوزبیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۵٬۴٬۳||۶۲||۱۲۰||۶۰||شصت‌چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۲
||[[مکعب اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۳۸||۶۰||۲۴||بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
|-
!۱۳
||[[دوازده‌وجهی اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۹۲||۱۵۰||۶۰||شصت‌پنج ضلعی وجهی
|}
 
=== اجسام کاتالان ===
{{اصلی|جسم کاتالان}}
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+ مشخصات اجسام کاتالان
!{{Mvar|n}}||جسم کاتالان||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم ارشمیدسی)
|-
!۱
||[[دوازده‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU02 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۳٬۶||۱۲||۱۸||۸||چهاروجهی بریده‌شده
|-
!۲
||[[بیست‌وچهار مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis octahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU09 facets.png|100px]]{{سخ}}V۸٬۳٬۸||۲۴||۳۶||۱۴||مکعب بریده‌شده
|-
!۳
||[[چهل وهشت مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU11 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۸٬۴||۴۸||۷۲||۲۶||مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۴
||[[شش‌وجهی تتراکیس]]||[[پرونده:Tetrakis cube.png|100px]]||[[پرونده:DU08 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۴٬۶||۲۴||۳۶||۱۴||هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی تریاکیس]]||[[پرونده:Triakis icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU26 facets.png|100px]]{{سخ}}V۱۰٬۳٬۱۰||۶۰||۹۰||۳۲||دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۶
||[[صد و بیست‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU28 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۱۰٬۴||۱۲۰||۱۸۰||۶۲||بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۷
||[[شصت‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Pentakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU25 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۵٬۶||۶۰||۹۰||۳۲||بیست‌وجهی بریده‌شده
|-
!۸
||[[دوازده‌لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU07 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۴||۱۲||۲۴||۱۴||مکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۹
||[[سی لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU24 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۵||۳۰||۶۰||۳۲||بیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۰
||[[بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU10 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴٬۳||۲۴||۴۸||۲۶||لوزمکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۱۱
||[[شصت‌چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU27 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۵٬۴٬۳||۶۰||۱۲۰||۶۲||لوزبیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۲
||[[بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU12 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۲۴||۶۰||۳۸||مکعب اسناب
|-
!۱۳
||[[شصت‌پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU29 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۶۰||۱۵۰||۹۲||دوازده‌وجهی اسناب
|}
 
=== چندوجهی یکنواخت ===
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی یکنواخت مقعر]]
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.
 
چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.
 
دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:
* دارای بی‌نهایت چندوجهی:
** منشورها،
** پادمنشورها.
* استثناهای محدب:
** ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
** ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
* استثناهای ستاره ای (مقعر):
** ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
** ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.
 
=== اجسام جانسون ===
[[پرونده:Triangular hebesphenorotunda.png|120px|بندانگشتی|J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است]]
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.
 
=== چندوجهی گلدبرگ ===
[[پرونده:Goldberg_polyhedron_5_3.png|150x150px|بندانگشتی|یک چندوجهی گلدبرگ]]
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
# هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
# دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
# دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.
 
=== چندوجهی ژئودزیک ===
[[پرونده:Geodesic polyhedron 5 2.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی ژئودزیک]]
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.
 
=== دلتاوجهی ===
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند. اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد. مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات دلتاوجهی‌های محدب
!colspan=6| دلتاوجهی‌های افلاطونی
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:tetrahedron.jpg|60px]] || چهاروجهی منتظم || ۴ || ۶ || ۴ ||
۴ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:octahedron.svg|60px]] || هشت وجهی منتظم || ۸ || ۱۲ || ۶ || ۶ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:icosahedron.jpg|60px]] ||بیست وجهی منتظم || ۲۰ || ۳۰ || ۱۲ || ۱۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
!colspan=6|دلتاوجهی‌های جانسون
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:triangular dipyramid.png|60px]] || دوهرم مثلثی || ۶ || ۹ || ۵ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;{{سخ}}۳ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:pentagonal dipyramid.png|60px]] || دوهرم مخمسی || ۱۰ || ۱۵ || ۷ || ۵ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:snub disphenoid.png|60px]] || دوازده دلتاوجهی || ۱۲ || ۱۸ || ۸ || ۴ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۴ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:triaugmented triangular prism.png|60px]] ||منشور مثلثی تتراکیس || ۱۴ || ۲۱ || ۹ || ۳ × ۳&lt;sup&gt;۱&lt;/sup&gt;{{سخ}}۶ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:gyroelongated square dipyramid.png|60px]] || پادمنشور مربعی تتراکیس || ۱۶ || ۲۴ || ۱۰ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۸ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|}
 
=== دوهرم‌ها ===
{{اصلی|دوهرم}}
[[پرونده:Decagonal bipyramid.png|thumb|100px|یک دوهرم ده ضلعی.]]
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید. یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.
 
فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.
 
=== پاددوهرم‌ها ===
[[پرونده:Decagonal trapezohedron.png|thumb|100px|یک پاددوهرم ده ضلعی.]]
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.
 
برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی [[لوزوجه]] است.

=== چندوجهی انعطاف‌پذیر ===
[[پرونده:Kaleidocycle with scalene triangles.gif|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف]]
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.{{sfnp|Alexandrov|2010}}{{sfnp|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}
 
== منابع ==
 
مساحت و حجم
&lt;references /&gt;
HE


== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم</text>
      <sha1>jsuopeyxsgfake0oxkj8sbhwmpki94l</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117358</id>
      <parentid>117357</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T15:36:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="68997" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.
=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.


در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.
== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:

که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.

=== نماد اشلفلی ===
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد. در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل مربع به مثلث (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''اقلیدسی'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.

== رابطه چندوجهی ها با منشورها(منشور وارها) ==

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
!colspan=1|[[منشور (هندسه)|منشور]]
!colspan=3|[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal pyramid.png|80px]]
|[[پرونده:Geometric wedge.png|100px]]
|[[پرونده:Parallelepiped 2013-11-29.svg|100px]]
|[[پرونده:Pentagonal prism.png|80px]]
|[[پرونده:Square antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagrammic crossed antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal cupola.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal frustum.svg|80px]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.
* [[هرم (هندسه)|هرم]]:
[[پرونده:Pyramid fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان [[ابلیسک]] ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود.6
برای ساختن یک هرم می‌توان از [[اکستروژن]] مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

:روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.
* [[گوه (هندسه)|گوه]]:
[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.
:روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.
* متوازی‌السطوح:
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|250px|بندانگشتی|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

:روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:

:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;

* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;

همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;

* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;

* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.
:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:

&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;

مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:

:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;
==== اجسام افلاطونی ====
{{اصلی|جسم افلاطونی}}
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.
 
تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام افلاطونی
!{{Mvar|n}}||جسم افلاطونی||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[چهاروجهی]] منتظم||[[پرونده:tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳||[[پرونده: Tetrahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳||۴||۶||۴||چهاروجهی منتظم||{۳٬۳}
|-
!۲
||[[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])||[[پرونده:hexahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU05 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Cube vertfig.png|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴||۶||۱۲||۸||هشت‌وجهی منتظم||{۴٬۳}
|-
!۳
||[[هشت‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:octahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴||[[پرونده: Octahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳||۸||۱۲||۶||مکعب||{۳٬۴}
|-
!۴
||[[دوازده‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU22 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی منتظم||{۵٬۳}
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:icosahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵||[[پرونده: Icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی منتظم||{۳٬۵}
|}
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:
* همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
* که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
* تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.
 
==== چندوجهی کپلر-پوآنسو ====
{{اصلی|چندوجهی کپلر-پوآنسو}}
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.
 
چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو
!{{Mvar|n}}||چندوجهی کپلر-پوآنسو||تصویر||شکل وجه و{{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و{{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]||[[پرونده:small stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU35 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵٬۵٬۵||[[پرونده: small stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۵}
|-
!۲
||[[دوازده‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU34 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک||{۵٬۵/۲}
|-
!۳
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ]]||[[پرونده:great stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU53 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: great stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۳}
|-
!۴
||[[بیست‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU52 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ||{۳٬۵/۲}
|}
 
=== اجسام ارشمیدسی ===
{{اصلی|اجسام ارشمیدسی}}
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام ارشمیدسی
!{{Mvar|n}}||جسم ارشمیدسی||تصویر||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم کاتالان)
|-
!۱
||[[چهاروجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۳٬۶||۸||۱۸||۱۲||دوازده‌مثلث وجهی
|-
!۲
||[[مکعب بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]||[[پرونده: Polyhedron truncated 6 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۸٬۳٬۸||۱۴||۳۶||۲۴||بیست‌وچهار مثلث وجهی
|-
!۳
||[[مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۸٬۴||۲۶||۷۲||۴۸||چهل وهشت مثلث وجهی
|-
!۴
||[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۴٬۶||۱۴||۳۶||۲۴||شش‌وجهی تتراکیس
|-
!۵
||[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۱۰٬۳٬۱۰||۳۲||۹۰||۶۰||بیست‌وجهی تریاکیس
|-
!۶
||[[بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۱۰٬۴||۶۲||۱۸۰||۱۲۰||صد و بیست‌مثلث وجهی
|-
!۷
||[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۵٬۶||۳۲||۹۰||۶۰||شصت‌مثلث وجهی
|-
!۸
||[[مکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۴||۱۴||۲۴||۱۲||دوازده‌لوزوجهی
|-
!۹
||[[بیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۵||۳۲||۶۰||۳۰||سی لوزوجهی
|-
!۱۰
||[[لوزمکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴٬۳||۲۶||۴۸||۲۴||بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۱
||[[لوزبیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۵٬۴٬۳||۶۲||۱۲۰||۶۰||شصت‌چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۲
||[[مکعب اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۳۸||۶۰||۲۴||بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
|-
!۱۳
||[[دوازده‌وجهی اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۹۲||۱۵۰||۶۰||شصت‌پنج ضلعی وجهی
|}
 
=== اجسام کاتالان ===
{{اصلی|جسم کاتالان}}
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+ مشخصات اجسام کاتالان
!{{Mvar|n}}||جسم کاتالان||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم ارشمیدسی)
|-
!۱
||[[دوازده‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU02 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۳٬۶||۱۲||۱۸||۸||چهاروجهی بریده‌شده
|-
!۲
||[[بیست‌وچهار مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis octahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU09 facets.png|100px]]{{سخ}}V۸٬۳٬۸||۲۴||۳۶||۱۴||مکعب بریده‌شده
|-
!۳
||[[چهل وهشت مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU11 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۸٬۴||۴۸||۷۲||۲۶||مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۴
||[[شش‌وجهی تتراکیس]]||[[پرونده:Tetrakis cube.png|100px]]||[[پرونده:DU08 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۴٬۶||۲۴||۳۶||۱۴||هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی تریاکیس]]||[[پرونده:Triakis icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU26 facets.png|100px]]{{سخ}}V۱۰٬۳٬۱۰||۶۰||۹۰||۳۲||دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۶
||[[صد و بیست‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU28 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۱۰٬۴||۱۲۰||۱۸۰||۶۲||بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۷
||[[شصت‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Pentakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU25 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۵٬۶||۶۰||۹۰||۳۲||بیست‌وجهی بریده‌شده
|-
!۸
||[[دوازده‌لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU07 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۴||۱۲||۲۴||۱۴||مکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۹
||[[سی لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU24 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۵||۳۰||۶۰||۳۲||بیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۰
||[[بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU10 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴٬۳||۲۴||۴۸||۲۶||لوزمکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۱۱
||[[شصت‌چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU27 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۵٬۴٬۳||۶۰||۱۲۰||۶۲||لوزبیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۲
||[[بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU12 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۲۴||۶۰||۳۸||مکعب اسناب
|-
!۱۳
||[[شصت‌پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU29 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۶۰||۱۵۰||۹۲||دوازده‌وجهی اسناب
|}
 
=== چندوجهی یکنواخت ===
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی یکنواخت مقعر]]
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.
 
چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.
 
دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:
* دارای بی‌نهایت چندوجهی:
** منشورها،
** پادمنشورها.
* استثناهای محدب:
** ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
** ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
* استثناهای ستاره ای (مقعر):
** ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
** ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.
 
=== اجسام جانسون ===
[[پرونده:Triangular hebesphenorotunda.png|120px|بندانگشتی|J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است]]
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.
 
=== چندوجهی گلدبرگ ===
[[پرونده:Goldberg_polyhedron_5_3.png|150x150px|بندانگشتی|یک چندوجهی گلدبرگ]]
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
# هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
# دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
# دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.
 
=== چندوجهی ژئودزیک ===
[[پرونده:Geodesic polyhedron 5 2.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی ژئودزیک]]
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.
 
=== دلتاوجهی ===
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند. اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد. مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات دلتاوجهی‌های محدب
!colspan=6| دلتاوجهی‌های افلاطونی
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:tetrahedron.jpg|60px]] || چهاروجهی منتظم || ۴ || ۶ || ۴ ||
۴ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:octahedron.svg|60px]] || هشت وجهی منتظم || ۸ || ۱۲ || ۶ || ۶ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:icosahedron.jpg|60px]] ||بیست وجهی منتظم || ۲۰ || ۳۰ || ۱۲ || ۱۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
!colspan=6|دلتاوجهی‌های جانسون
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:triangular dipyramid.png|60px]] || دوهرم مثلثی || ۶ || ۹ || ۵ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;{{سخ}}۳ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:pentagonal dipyramid.png|60px]] || دوهرم مخمسی || ۱۰ || ۱۵ || ۷ || ۵ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:snub disphenoid.png|60px]] || دوازده دلتاوجهی || ۱۲ || ۱۸ || ۸ || ۴ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۴ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:triaugmented triangular prism.png|60px]] ||منشور مثلثی تتراکیس || ۱۴ || ۲۱ || ۹ || ۳ × ۳&lt;sup&gt;۱&lt;/sup&gt;{{سخ}}۶ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:gyroelongated square dipyramid.png|60px]] || پادمنشور مربعی تتراکیس || ۱۶ || ۲۴ || ۱۰ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۸ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|}
 
=== دوهرم‌ها ===
{{اصلی|دوهرم}}
[[پرونده:Decagonal bipyramid.png|thumb|100px|یک دوهرم ده ضلعی.]]
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید. یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.
 
فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.
 
=== پاددوهرم‌ها ===
[[پرونده:Decagonal trapezohedron.png|thumb|100px|یک پاددوهرم ده ضلعی.]]
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.
 
برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی [[لوزوجه]] است.

=== چندوجهی انعطاف‌پذیر ===
[[پرونده:Kaleidocycle with scalene triangles.gif|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف]]
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.{{sfnp|Alexandrov|2010}}{{sfnp|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}
 
== منابع ==


== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم</text>
      <sha1>k6l6en1zncjus2sjve83m6wfmv6yqj0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117359</id>
      <parentid>117358</parentid>
      <timestamp>2022-07-26T15:37:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="68981" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.
=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.


در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.
== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:

که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.

=== نماد اشلفلی ===
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد. در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل مربع به مثلث (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''اقلیدسی'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.

== رابطه چندوجهی ها با منشورها(منشور وارها) ==

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
!colspan=1|[[منشور (هندسه)|منشور]]
!colspan=3|[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal pyramid.png|80px]]
|[[پرونده:Geometric wedge.png|100px]]
|[[پرونده:Parallelepiped 2013-11-29.svg|100px]]
|[[پرونده:Pentagonal prism.png|80px]]
|[[پرونده:Square antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagrammic crossed antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal cupola.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal frustum.svg|80px]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.
* [[هرم (هندسه)|هرم]]:
[[پرونده:Pyramid fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان [[ابلیسک]] ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود.6
برای ساختن یک هرم می‌توان از [[اکستروژن]] مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

:روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.
* [[گوه (هندسه)|گوه]]:
[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.
:روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.
* متوازی‌السطوح:
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|250px|بندانگشتی|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

:روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:

:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;

* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;

همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;

* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;

* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.
:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:

&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;

مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:

:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;
==== اجسام افلاطونی ====
{{اصلی|جسم افلاطونی}}
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.
 
تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام افلاطونی
!{{Mvar|n}}||جسم افلاطونی||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[چهاروجهی]] منتظم||[[پرونده:tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳||[[پرونده: Tetrahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳||۴||۶||۴||چهاروجهی منتظم||{۳٬۳}
|-
!۲
||[[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])||[[پرونده:hexahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU05 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Cube vertfig.png|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴||۶||۱۲||۸||هشت‌وجهی منتظم||{۴٬۳}
|-
!۳
||[[هشت‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:octahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴||[[پرونده: Octahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳||۸||۱۲||۶||مکعب||{۳٬۴}
|-
!۴
||[[دوازده‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU22 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی منتظم||{۵٬۳}
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:icosahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵||[[پرونده: Icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی منتظم||{۳٬۵}
|}
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:
* همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
* که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
* تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.
 
==== چندوجهی کپلر-پوآنسو ====
{{اصلی|چندوجهی کپلر-پوآنسو}}
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.
 
چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو
!{{Mvar|n}}||چندوجهی کپلر-پوآنسو||تصویر||شکل وجه و{{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و{{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]||[[پرونده:small stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU35 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵٬۵٬۵||[[پرونده: small stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۵}
|-
!۲
||[[دوازده‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU34 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک||{۵٬۵/۲}
|-
!۳
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ]]||[[پرونده:great stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU53 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: great stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۳}
|-
!۴
||[[بیست‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU52 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ||{۳٬۵/۲}
|}
 
=== اجسام ارشمیدسی ===
{{اصلی|اجسام ارشمیدسی}}
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام ارشمیدسی
!{{Mvar|n}}||جسم ارشمیدسی||تصویر||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم کاتالان)
|-
!۱
||[[چهاروجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۳٬۶||۸||۱۸||۱۲||دوازده‌مثلث وجهی
|-
!۲
||[[مکعب بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]||[[پرونده: Polyhedron truncated 6 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۸٬۳٬۸||۱۴||۳۶||۲۴||بیست‌وچهار مثلث وجهی
|-
!۳
||[[مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۸٬۴||۲۶||۷۲||۴۸||چهل وهشت مثلث وجهی
|-
!۴
||[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۴٬۶||۱۴||۳۶||۲۴||شش‌وجهی تتراکیس
|-
!۵
||[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۱۰٬۳٬۱۰||۳۲||۹۰||۶۰||بیست‌وجهی تریاکیس
|-
!۶
||[[بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۱۰٬۴||۶۲||۱۸۰||۱۲۰||صد و بیست‌مثلث وجهی
|-
!۷
||[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۵٬۶||۳۲||۹۰||۶۰||شصت‌مثلث وجهی
|-
!۸
||[[مکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۴||۱۴||۲۴||۱۲||دوازده‌لوزوجهی
|-
!۹
||[[بیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۵||۳۲||۶۰||۳۰||سی لوزوجهی
|-
!۱۰
||[[لوزمکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴٬۳||۲۶||۴۸||۲۴||بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۱
||[[لوزبیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۵٬۴٬۳||۶۲||۱۲۰||۶۰||شصت‌چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۲
||[[مکعب اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۳۸||۶۰||۲۴||بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
|-
!۱۳
||[[دوازده‌وجهی اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۹۲||۱۵۰||۶۰||شصت‌پنج ضلعی وجهی
|}
 
=== اجسام کاتالان ===
{{اصلی|جسم کاتالان}}
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+ مشخصات اجسام کاتالان
!{{Mvar|n}}||جسم کاتالان||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم ارشمیدسی)
|-
!۱
||[[دوازده‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU02 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۳٬۶||۱۲||۱۸||۸||چهاروجهی بریده‌شده
|-
!۲
||[[بیست‌وچهار مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis octahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU09 facets.png|100px]]{{سخ}}V۸٬۳٬۸||۲۴||۳۶||۱۴||مکعب بریده‌شده
|-
!۳
||[[چهل وهشت مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU11 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۸٬۴||۴۸||۷۲||۲۶||مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۴
||[[شش‌وجهی تتراکیس]]||[[پرونده:Tetrakis cube.png|100px]]||[[پرونده:DU08 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۴٬۶||۲۴||۳۶||۱۴||هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی تریاکیس]]||[[پرونده:Triakis icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU26 facets.png|100px]]{{سخ}}V۱۰٬۳٬۱۰||۶۰||۹۰||۳۲||دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۶
||[[صد و بیست‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU28 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۱۰٬۴||۱۲۰||۱۸۰||۶۲||بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۷
||[[شصت‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Pentakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU25 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۵٬۶||۶۰||۹۰||۳۲||بیست‌وجهی بریده‌شده
|-
!۸
||[[دوازده‌لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU07 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۴||۱۲||۲۴||۱۴||مکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۹
||[[سی لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU24 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۵||۳۰||۶۰||۳۲||بیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۰
||[[بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU10 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴٬۳||۲۴||۴۸||۲۶||لوزمکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۱۱
||[[شصت‌چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU27 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۵٬۴٬۳||۶۰||۱۲۰||۶۲||لوزبیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۲
||[[بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU12 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۲۴||۶۰||۳۸||مکعب اسناب
|-
!۱۳
||[[شصت‌پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU29 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۶۰||۱۵۰||۹۲||دوازده‌وجهی اسناب
|}
 
=== چندوجهی یکنواخت ===
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی یکنواخت مقعر]]
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.
 
چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.
 
دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:
* دارای بی‌نهایت چندوجهی:
** منشورها،
** پادمنشورها.
* استثناهای محدب:
** ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
** ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
* استثناهای ستاره ای (مقعر):
** ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
** ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.
 
=== اجسام جانسون ===
[[پرونده:Triangular hebesphenorotunda.png|120px|بندانگشتی|J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است]]
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.
 
=== چندوجهی گلدبرگ ===
[[پرونده:Goldberg_polyhedron_5_3.png|150x150px|بندانگشتی|یک چندوجهی گلدبرگ]]
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
# هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
# دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
# دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.
 
=== چندوجهی ژئودزیک ===
[[پرونده:Geodesic polyhedron 5 2.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی ژئودزیک]]
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.
 
=== دلتاوجهی ===
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند. اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد. مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات دلتاوجهی‌های محدب
!colspan=6| دلتاوجهی‌های افلاطونی
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:tetrahedron.jpg|60px]] || چهاروجهی منتظم || ۴ || ۶ || ۴ ||
۴ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:octahedron.svg|60px]] || هشت وجهی منتظم || ۸ || ۱۲ || ۶ || ۶ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:icosahedron.jpg|60px]] ||بیست وجهی منتظم || ۲۰ || ۳۰ || ۱۲ || ۱۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
!colspan=6|دلتاوجهی‌های جانسون
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:triangular dipyramid.png|60px]] || دوهرم مثلثی || ۶ || ۹ || ۵ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;{{سخ}}۳ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:pentagonal dipyramid.png|60px]] || دوهرم مخمسی || ۱۰ || ۱۵ || ۷ || ۵ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:snub disphenoid.png|60px]] || دوازده دلتاوجهی || ۱۲ || ۱۸ || ۸ || ۴ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۴ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:triaugmented triangular prism.png|60px]] ||منشور مثلثی تتراکیس || ۱۴ || ۲۱ || ۹ || ۳ × ۳&lt;sup&gt;۱&lt;/sup&gt;{{سخ}}۶ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:gyroelongated square dipyramid.png|60px]] || پادمنشور مربعی تتراکیس || ۱۶ || ۲۴ || ۱۰ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۸ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|}
 
=== دوهرم‌ها ===
{{اصلی|دوهرم}}
[[پرونده:Decagonal bipyramid.png|thumb|100px|یک دوهرم ده ضلعی.]]
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید. یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.
 
فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.
 
=== پاددوهرم‌ها ===
[[پرونده:Decagonal trapezohedron.png|thumb|100px|یک پاددوهرم ده ضلعی.]]
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.
 
برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی [[لوزوجه]] است.

=== چندوجهی انعطاف‌پذیر ===
[[پرونده:Kaleidocycle with scalene triangles.gif|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف]]
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.{{sfnp|Alexandrov|2010}}{{sfnp|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}
 
== منابع ==


ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم</text>
      <sha1>83djq05ubrxljmr709a97ayf25155dq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117400</id>
      <parentid>117359</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:15:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="69019" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعریف ها ==
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:&lt;blockquote&gt;«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌هستند»&lt;/blockquote&gt;با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم دیگر ==

=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella_octangula.png|بندانگشتی|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت ===
[[پرونده:Tetraedro_regolare.png|راست|بندانگشتی|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.
=== تور ===
[[پرونده:Dodecahedron_flat.svg|راست|بندانگشتی|240x240پیکسل|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.


در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.
== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل [[چنبره]] است.

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (&lt;math&gt;\chi\,&lt;/math&gt;) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:

که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:Tetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100x100پیکسل]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=&quot;center&quot;
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100x100پیکسل]]
|ستاره ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great_icosidodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=&quot;center&quot;
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub_icosidodecadodecahedron.png|100x100پیکسل]]
|ستاره ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal_torus.png|بندانگشتی|150x150پیکسل|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==

=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;right&quot;
|[[پرونده:Icosidodecahedron.png|200x200پیکسل]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[پرونده:Icosidodecahedron_vertfig_labeled.png|208x208پیکسل]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۵) نمایش داد.

==== پیکربندی وجه ====
[[پرونده:Rhombic_dodecahedron_v3434.png|بندانگشتی|187x187پیکسل|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt; که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، &lt;math&gt;Q_F&lt;/math&gt; نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، &lt;math&gt;N_F&lt;/math&gt; [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.

=== نماد اشلفلی ===
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد. در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:
{| class=&quot;wikitable&quot;
!شکل
! colspan=&quot;3&quot; |نمادهای اشلفلی
!تقارن
! colspan=&quot;2&quot; |[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
! colspan=&quot;3&quot; |مثال، {۴٬۳}
|- align=&quot;center&quot;
!منتظم
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{p,q}
|{t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;{p,q
| rowspan=&quot;7&quot; |[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!بریده شده
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{t{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1&lt;/sub&gt;{p,q
| colspan=&quot;2&quot; |{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2t{p,q
|{t&lt;sub&gt;1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Truncated_octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اصلاح شده {{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{r{p,q
|{t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Cuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|&lt;math&gt;\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{2r{p,q
|{t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Octahedron.png|40x40پیکسل]]
|هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{rr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Small_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|لوز مکعب هشت وجهی
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
|&lt;math&gt;t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{tr{p,q
|{t&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Great_rhombicuboctahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب هشت وجهی بریده شده
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=&quot;center&quot;
!اسناب شده
|&lt;math&gt;s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}&lt;/math&gt;
|{sr{p,q
|{ht&lt;sub&gt;0,1,2&lt;/sub&gt;{p,q
|[p,q]&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[پرونده:Snub_hexahedron.png|40x40پیکسل]]
|مکعب اسناب
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|بندانگشتی|تبدیل مربع به مثلث (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube_and_prism_from_two_bricks.svg|بندانگشتی|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''اقلیدسی'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.

== رابطه چندوجهی ها با منشورها(منشور وارها) ==

=== منشوروار ===
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
!colspan=1|[[منشور (هندسه)|منشور]]
!colspan=3|[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal pyramid.png|80px]]
|[[پرونده:Geometric wedge.png|100px]]
|[[پرونده:Parallelepiped 2013-11-29.svg|100px]]
|[[پرونده:Pentagonal prism.png|80px]]
|[[پرونده:Square antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagrammic crossed antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal cupola.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal frustum.svg|80px]]
|}
حجم منشوروار از رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}&lt;/math&gt; حاصل می‌شود که در آن V حجم، A&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; و A&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; مساحت دو وجه موازی، A&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.
* [[هرم (هندسه)|هرم]]:
[[پرونده:Pyramid fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان [[ابلیسک]] ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود.6
برای ساختن یک هرم می‌توان از [[اکستروژن]] مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

:روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V={1 \over 3}Sh&lt;/math&gt; برقرار است.
* [[گوه (هندسه)|گوه]]:
[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.
:روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)&lt;/math&gt; برقرار است.
* متوازی‌السطوح:
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|250px|بندانگشتی|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;\vec c&lt;/math&gt; شکل زیر محاسبه می‌گردد:

:روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:&lt;math&gt;S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~&lt;/math&gt; و:&lt;math&gt;h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~&lt;/math&gt; که در اثر یکی شدن:

:&lt;math&gt;V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.&lt;/math&gt;

* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = Sh&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = 2S + Ph&lt;/math&gt;

همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h&lt;/math&gt;

* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

:&lt;math&gt;V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.&lt;/math&gt;

* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.
:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه &lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt; برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:

&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;

مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:

:&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;
==== اجسام افلاطونی ====
{{اصلی|جسم افلاطونی}}
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.
 
تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام افلاطونی
!{{Mvar|n}}||جسم افلاطونی||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[چهاروجهی]] منتظم||[[پرونده:tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳||[[پرونده: Tetrahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳||۴||۶||۴||چهاروجهی منتظم||{۳٬۳}
|-
!۲
||[[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])||[[پرونده:hexahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU05 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Cube vertfig.png|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴||۶||۱۲||۸||هشت‌وجهی منتظم||{۴٬۳}
|-
!۳
||[[هشت‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:octahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴||[[پرونده: Octahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳||۸||۱۲||۶||مکعب||{۳٬۴}
|-
!۴
||[[دوازده‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU22 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی منتظم||{۵٬۳}
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:icosahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵||[[پرونده: Icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی منتظم||{۳٬۵}
|}
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:
* همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
* که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
* تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.
 
==== چندوجهی کپلر-پوآنسو ====
{{اصلی|چندوجهی کپلر-پوآنسو}}
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.
 
چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو
!{{Mvar|n}}||چندوجهی کپلر-پوآنسو||تصویر||شکل وجه و{{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و{{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]||[[پرونده:small stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU35 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵٬۵٬۵||[[پرونده: small stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۵}
|-
!۲
||[[دوازده‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU34 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک||{۵٬۵/۲}
|-
!۳
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ]]||[[پرونده:great stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU53 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: great stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۳}
|-
!۴
||[[بیست‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU52 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ||{۳٬۵/۲}
|}
 
=== اجسام ارشمیدسی ===
{{اصلی|اجسام ارشمیدسی}}
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات اجسام ارشمیدسی
!{{Mvar|n}}||جسم ارشمیدسی||تصویر||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم کاتالان)
|-
!۱
||[[چهاروجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۳٬۶||۸||۱۸||۱۲||دوازده‌مثلث وجهی
|-
!۲
||[[مکعب بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]||[[پرونده: Polyhedron truncated 6 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۸٬۳٬۸||۱۴||۳۶||۲۴||بیست‌وچهار مثلث وجهی
|-
!۳
||[[مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۸٬۴||۲۶||۷۲||۴۸||چهل وهشت مثلث وجهی
|-
!۴
||[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۴٬۶||۱۴||۳۶||۲۴||شش‌وجهی تتراکیس
|-
!۵
||[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۱۰٬۳٬۱۰||۳۲||۹۰||۶۰||بیست‌وجهی تریاکیس
|-
!۶
||[[بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۱۰٬۴||۶۲||۱۸۰||۱۲۰||صد و بیست‌مثلث وجهی
|-
!۷
||[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۵٬۶||۳۲||۹۰||۶۰||شصت‌مثلث وجهی
|-
!۸
||[[مکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۴||۱۴||۲۴||۱۲||دوازده‌لوزوجهی
|-
!۹
||[[بیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۵||۳۲||۶۰||۳۰||سی لوزوجهی
|-
!۱۰
||[[لوزمکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴٬۳||۲۶||۴۸||۲۴||بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۱
||[[لوزبیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۵٬۴٬۳||۶۲||۱۲۰||۶۰||شصت‌چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۲
||[[مکعب اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۳۸||۶۰||۲۴||بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
|-
!۱۳
||[[دوازده‌وجهی اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۹۲||۱۵۰||۶۰||شصت‌پنج ضلعی وجهی
|}
 
=== اجسام کاتالان ===
{{اصلی|جسم کاتالان}}
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+ مشخصات اجسام کاتالان
!{{Mvar|n}}||جسم کاتالان||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم ارشمیدسی)
|-
!۱
||[[دوازده‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU02 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۳٬۶||۱۲||۱۸||۸||چهاروجهی بریده‌شده
|-
!۲
||[[بیست‌وچهار مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis octahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU09 facets.png|100px]]{{سخ}}V۸٬۳٬۸||۲۴||۳۶||۱۴||مکعب بریده‌شده
|-
!۳
||[[چهل وهشت مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU11 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۸٬۴||۴۸||۷۲||۲۶||مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۴
||[[شش‌وجهی تتراکیس]]||[[پرونده:Tetrakis cube.png|100px]]||[[پرونده:DU08 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۴٬۶||۲۴||۳۶||۱۴||هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی تریاکیس]]||[[پرونده:Triakis icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU26 facets.png|100px]]{{سخ}}V۱۰٬۳٬۱۰||۶۰||۹۰||۳۲||دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۶
||[[صد و بیست‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU28 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۱۰٬۴||۱۲۰||۱۸۰||۶۲||بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۷
||[[شصت‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Pentakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU25 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۵٬۶||۶۰||۹۰||۳۲||بیست‌وجهی بریده‌شده
|-
!۸
||[[دوازده‌لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU07 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۴||۱۲||۲۴||۱۴||مکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۹
||[[سی لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU24 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۵||۳۰||۶۰||۳۲||بیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۰
||[[بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU10 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴٬۳||۲۴||۴۸||۲۶||لوزمکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۱۱
||[[شصت‌چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU27 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۵٬۴٬۳||۶۰||۱۲۰||۶۲||لوزبیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۲
||[[بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU12 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۲۴||۶۰||۳۸||مکعب اسناب
|-
!۱۳
||[[شصت‌پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU29 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۶۰||۱۵۰||۹۲||دوازده‌وجهی اسناب
|}
 
=== چندوجهی یکنواخت ===
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی یکنواخت مقعر]]
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.
 
چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.
 
دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:
* دارای بی‌نهایت چندوجهی:
** منشورها،
** پادمنشورها.
* استثناهای محدب:
** ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
** ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
* استثناهای ستاره ای (مقعر):
** ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
** ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.
 
=== اجسام جانسون ===
[[پرونده:Triangular hebesphenorotunda.png|120px|بندانگشتی|J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است]]
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.
 
=== چندوجهی گلدبرگ ===
[[پرونده:Goldberg_polyhedron_5_3.png|150x150px|بندانگشتی|یک چندوجهی گلدبرگ]]
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
# هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
# دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
# دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.
 
=== چندوجهی ژئودزیک ===
[[پرونده:Geodesic polyhedron 5 2.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی ژئودزیک]]
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.
 
=== دلتاوجهی ===
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند. اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد. مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
{| class=&quot;wikitable sortable&quot; style=&quot;margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;&quot;
|+مشخصات دلتاوجهی‌های محدب
!colspan=6| دلتاوجهی‌های افلاطونی
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:tetrahedron.jpg|60px]] || چهاروجهی منتظم || ۴ || ۶ || ۴ ||
۴ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:octahedron.svg|60px]] || هشت وجهی منتظم || ۸ || ۱۲ || ۶ || ۶ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:icosahedron.jpg|60px]] ||بیست وجهی منتظم || ۲۰ || ۳۰ || ۱۲ || ۱۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
!colspan=6|دلتاوجهی‌های جانسون
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:triangular dipyramid.png|60px]] || دوهرم مثلثی || ۶ || ۹ || ۵ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۳&lt;/sup&gt;{{سخ}}۳ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:pentagonal dipyramid.png|60px]] || دوهرم مخمسی || ۱۰ || ۱۵ || ۷ || ۵ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۲ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:snub disphenoid.png|60px]] || دوازده دلتاوجهی || ۱۲ || ۱۸ || ۸ || ۴ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۴ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:triaugmented triangular prism.png|60px]] ||منشور مثلثی تتراکیس || ۱۴ || ۲۱ || ۹ || ۳ × ۳&lt;sup&gt;۱&lt;/sup&gt;{{سخ}}۶ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|-
| [[Image:gyroelongated square dipyramid.png|60px]] || پادمنشور مربعی تتراکیس || ۱۶ || ۲۴ || ۱۰ || ۲ × ۳&lt;sup&gt;۴&lt;/sup&gt;{{سخ}}۸ × ۳&lt;sup&gt;۵&lt;/sup&gt;
|}
 
=== دوهرم‌ها ===
{{اصلی|دوهرم}}
[[پرونده:Decagonal bipyramid.png|thumb|100px|یک دوهرم ده ضلعی.]]
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید. یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.
 
فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.
 
=== پاددوهرم‌ها ===
[[پرونده:Decagonal trapezohedron.png|thumb|100px|یک پاددوهرم ده ضلعی.]]
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.
 
برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی [[لوزوجه]] است.

=== چندوجهی انعطاف‌پذیر ===
[[پرونده:Kaleidocycle with scalene triangles.gif|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف]]
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.{{sfnp|Alexandrov|2010}}{{sfnp|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}
 
== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>l2gonoqheyhe434pveu4samqdzwkgtz</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35991</id>
    <revision>
      <id>117352</id>
      <timestamp>2022-07-26T15:02:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «آمارواحتمال دو مبحثی از ریاضیات هستند که از مفاهیم های گسسته هستند و درمورد شانس ها،محاسبات نموداری و... می پردازد  == تعریف آمار == '''آمار''' (در ایران) (به انگلیسی: &lt;bdi&gt;Statistics&lt;/bdi&gt;) (به فرانسوی: &lt;bdi&gt;Statistiques&lt;/bdi&gt;) یا '''احصائیه''' (در افغانستان) شاخه‌ای از ریا...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8870" xml:space="preserve">آمارواحتمال دو مبحثی از ریاضیات هستند که از مفاهیم های گسسته هستند و درمورد شانس ها،محاسبات نموداری و... می پردازد

== تعریف آمار ==
'''آمار''' (در ایران) (به انگلیسی: &lt;bdi&gt;Statistics&lt;/bdi&gt;) (به فرانسوی: &lt;bdi&gt;Statistiques&lt;/bdi&gt;) یا '''احصائیه''' (در افغانستان) شاخه‌ای از ریاضیات است که به گردآوری، تحلیل، و ارائه داده‌ها می‌پردازد. آمار را باید علم استخراج و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه‌گیری و آزمایش) دانست. روش‌های محاسباتی جدیدتر توسط رایانه همچون یادگیری ماشینی، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، در واقع، امتداد و گسترش دانش آمار به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی بوده و امروزه علم آمار را به علم بیان علوم دیگر مبدل ساخته‌است.

در صورتی که شاخه‌ای علمی مد نظر نباشد، معنای آن، داده‌هایی به‌شکل ارقام و اعداد واقعی یا تقریبی است که با استفاده از علم آمار می‌توان با آن‌ها رفتار کرد و عملیات ذکر شده در بالا را بر آن‌ها انجام داد. بیشتر مردم با کلمه آمار به مفهومی که برای ثبت و نمایش اطلاعات عددی به کار می‌رود آشنا هستند؛ ولی این مفهوم منطبق با موضوع اصلی مورد بحث آمار نیست. آمار عمدتاً با وضعیت‌هایی سر و کار دارد که در آن‌ها وقوع یک پیشامد به‌طور حتمی قابل پیش‌بینی نیست. اسنتاج‌های آماری غالباً غیر حتمی اند، زیرا مبتنی بر اطلاعات ناکاملی هستند. در طول چندین دهه آمار فقط با بیان اطلاعات و مقادیر عددی دربارهٔ اقتصاد و جمعیت‌شناسی در یک کشور سر و کار داشت. حتی امروز بسیاری از نشریات و گزارش‌های دولتی که توده‌ای از آمار و ارقام را دربردارند معنی اولیه کلمه آمار را در ذهن زنده می‌کنند. اکثر افراد معمولی هنوز این تصویر غلط را دربارهٔ آمار دارند که آن را منحصر به ستون‌های عددی سرگیجه‌آور و اشکال مبهوت‌کننده می‌دانند؛ بنابراین، یادآوری این نکته ضروری است که نظریه و روش‌های جدید آماری از حد ساختن جدول‌های اعداد و نمودارها بسیار فراتر رفته‌اند. آمار به عنوان یک موضوع علمی، امروزه شامل مفاهیم و روش‌هایی است که در تمام پژوهشهایی که مستلزم جمع‌آوری داده‌ها به وسیله یک فرایند آزمایش و مشاهده و انجام استنباط و نتیجه‌گیری به وسیله تجزیه و تحلیل این داده‌ها هستند اهمیت بسیار دارند.

=== علم آمار ===
علم آمار، مبتنی است بر دو شاخه آمار توصیفی و آمار استنباطی. در آمار توصیفی با داشتن تمام اعضا جامعه به بررسی خصوصیت‌های آماری آن پرداخته می‌شود در حالی که در آمار استنباطی با بدست آوردن نمونه‌ای از جامعه که خصوصیات اصلی جامعه را بیان می‌کند در مورد جامعه استباط آماری انجام می‌شود. در نظریهٔ آمار، اتفاقات تصادفی و عدم قطعیت توسط نظریهٔ احتمالات مدل‌سازی می‌شوند. در این علم، مطالعه و قضاوت معقول در بارهٔ موضوع‌های گوناگون، بر مبنای یک نمونه انجام می‌شود و قضاوت در مورد یک فرد خاص، اصلاً مطرح نیست.

از جملهٔ مهم‌ترین اهداف آمار، می‌توان تولید «بهترین» اطّلاعات از داده‌های موجود و سپس استخراج دانش از آن اطّلاعات را ذکر کرد. به همین سبب است که برخی از منابع، آمار را شاخه‌ای از نظریه تصمیم‌ها به‌شمار می‌آورند.

از طرف دیگر می‌توان آن را به دو بخش آمار کلاسیک و آمار بیز (Bayesian) تقسیم‌بندی کرد. در آمار کلاسیک، ابتدا آزمایش و نتیجه را داریم و بعد بر اساس آن‌ها فرض‌ها را آزمون می‌کنیم. به عبارت دیگر ابتدا آزمایش انجام می‌شود و بعد فرض آزمون می‌گردد. در آمار بیزی ابتدا فرض در نظر گرفته می‌شود و داده‌ها با آن مطابقت داده می‌شوند به عبارت دیگر در آمار بیزی یک پیش داریم-توزیع پیشین- و بعد از مطالعه داده‌ها و برای رسیدن به آن توزیع پیشین، توزیع پسین را در نظر می‌گیریم.

علم آمار یکی از علوم مرتبط با علم داده‌ها است.

== تعریف احتمال ==
به‌طور ساده، '''احتمالات''' (به انگلیسی: &lt;bdi&gt;Probability&lt;/bdi&gt;) به شانس وقوع یک حادثه گفته می‌شود.

احتمال معمولاً مورد استفاده برای توصیف نگرش ذهن نسبت به گزاره‌هایی است که ما از حقیقت آن‌ها مطمئن نیستیم. گزاره‌های مورد نظر معمولاً از فرم &quot;آیا یک رویداد خاص رخ می‌دهد؟&quot; و نگرش ذهن ما از فرم &quot;چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟&quot; است. میزان اطمینان ما، قابل توصیف به صورت عددی می‌باشد که این عدد مقداری بین ۰ و ۱ را گرفته و آن را احتمال می نامیم. هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد. در واقع میزان اطمینان ما از اینکه یک واقعه (تصادفی) اتفاق خواهد افتاد.

=== نظریهٔ احتمالات ===
مقاله اصلی: نظریه احتمالات

نظریهٔ احتمالات به شاخه‌ای از ریاضیات گویند که با تحلیل وقایع تصادفی سروکار دارد.

مانند دیگر نظریه‌ها، نظریه احتمال نمایشی از مفاهیم احتمال به صورت شرایط صوری (فرمولی) است – شرایطی که می‌تواند به‌طور جدا از معنای خود در نظر گرفته شود. این فرمولبندی صوری توسط قوانین ریاضی و منطق دستکاری، و نتیجه‌های حاصله، تفسیر یا دوباره به دامنه مسئله ترجمه می‌شوند.

حداقل دو تلاش موفق برای به صورت فرمول درآوردن احتمال وجود دارد: فرمولاسیون کولموگروف و فرمولاسیون کاکس. در فرمولاسیون کولموگروف (نگاه کنیدبه)، مجموعه‌ها به عنوان واقعه و احتمالات را به عنوان میزانی روی یک سری از مجموعه‌ها تفسیر می‌کنند. در نظریه کاکس، احتمال به عنوان یک اصل (که هست، بدون تجزیه و تحلیل بیشتر) و تأکید بر روی ساخت یک انتساب سازگار از مقادیر احتمال برای گزاره‌ها است. در هر دو مورد، قوانین احتمال یکی هستند مگر برای جزئیات تکنیکی مربوط به آنها.

روش‌های دیگری نیز برای کمی‌کردن میزان عدم قطعیت، مانند نظریه Dempster-Shafer theory یا possibility theory وجود دارد، اما آن‌ها به‌طور اساسی با آنچه گفته شد، تفاوت دارند و با درک معمول از قوانین احتمال سازگار نیستند.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>ezc1g0k7l27f0uoxzee2j0t0sb1q5qz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117407</id>
      <parentid>117352</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:24:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8911" xml:space="preserve">آمارواحتمال دو مبحثی از ریاضیات هستند که از مفاهیم های گسسته هستند و درمورد شانس ها،محاسبات نموداری و... می پردازد

== تعریف آمار ==
'''آمار''' (در ایران) (به انگلیسی: &lt;bdi&gt;Statistics&lt;/bdi&gt;) (به فرانسوی: &lt;bdi&gt;Statistiques&lt;/bdi&gt;) یا '''احصائیه''' (در افغانستان) شاخه‌ای از ریاضیات است که به گردآوری، تحلیل، و ارائه داده‌ها می‌پردازد. آمار را باید علم استخراج و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه‌گیری و آزمایش) دانست. روش‌های محاسباتی جدیدتر توسط رایانه همچون یادگیری ماشینی، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، در واقع، امتداد و گسترش دانش آمار به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی بوده و امروزه علم آمار را به علم بیان علوم دیگر مبدل ساخته‌است.

در صورتی که شاخه‌ای علمی مد نظر نباشد، معنای آن، داده‌هایی به‌شکل ارقام و اعداد واقعی یا تقریبی است که با استفاده از علم آمار می‌توان با آن‌ها رفتار کرد و عملیات ذکر شده در بالا را بر آن‌ها انجام داد. بیشتر مردم با کلمه آمار به مفهومی که برای ثبت و نمایش اطلاعات عددی به کار می‌رود آشنا هستند؛ ولی این مفهوم منطبق با موضوع اصلی مورد بحث آمار نیست. آمار عمدتاً با وضعیت‌هایی سر و کار دارد که در آن‌ها وقوع یک پیشامد به‌طور حتمی قابل پیش‌بینی نیست. اسنتاج‌های آماری غالباً غیر حتمی اند، زیرا مبتنی بر اطلاعات ناکاملی هستند. در طول چندین دهه آمار فقط با بیان اطلاعات و مقادیر عددی دربارهٔ اقتصاد و جمعیت‌شناسی در یک کشور سر و کار داشت. حتی امروز بسیاری از نشریات و گزارش‌های دولتی که توده‌ای از آمار و ارقام را دربردارند معنی اولیه کلمه آمار را در ذهن زنده می‌کنند. اکثر افراد معمولی هنوز این تصویر غلط را دربارهٔ آمار دارند که آن را منحصر به ستون‌های عددی سرگیجه‌آور و اشکال مبهوت‌کننده می‌دانند؛ بنابراین، یادآوری این نکته ضروری است که نظریه و روش‌های جدید آماری از حد ساختن جدول‌های اعداد و نمودارها بسیار فراتر رفته‌اند. آمار به عنوان یک موضوع علمی، امروزه شامل مفاهیم و روش‌هایی است که در تمام پژوهشهایی که مستلزم جمع‌آوری داده‌ها به وسیله یک فرایند آزمایش و مشاهده و انجام استنباط و نتیجه‌گیری به وسیله تجزیه و تحلیل این داده‌ها هستند اهمیت بسیار دارند.

=== علم آمار ===
علم آمار، مبتنی است بر دو شاخه آمار توصیفی و آمار استنباطی. در آمار توصیفی با داشتن تمام اعضا جامعه به بررسی خصوصیت‌های آماری آن پرداخته می‌شود در حالی که در آمار استنباطی با بدست آوردن نمونه‌ای از جامعه که خصوصیات اصلی جامعه را بیان می‌کند در مورد جامعه استباط آماری انجام می‌شود. در نظریهٔ آمار، اتفاقات تصادفی و عدم قطعیت توسط نظریهٔ احتمالات مدل‌سازی می‌شوند. در این علم، مطالعه و قضاوت معقول در بارهٔ موضوع‌های گوناگون، بر مبنای یک نمونه انجام می‌شود و قضاوت در مورد یک فرد خاص، اصلاً مطرح نیست.

از جملهٔ مهم‌ترین اهداف آمار، می‌توان تولید «بهترین» اطّلاعات از داده‌های موجود و سپس استخراج دانش از آن اطّلاعات را ذکر کرد. به همین سبب است که برخی از منابع، آمار را شاخه‌ای از نظریه تصمیم‌ها به‌شمار می‌آورند.

از طرف دیگر می‌توان آن را به دو بخش آمار کلاسیک و آمار بیز (Bayesian) تقسیم‌بندی کرد. در آمار کلاسیک، ابتدا آزمایش و نتیجه را داریم و بعد بر اساس آن‌ها فرض‌ها را آزمون می‌کنیم. به عبارت دیگر ابتدا آزمایش انجام می‌شود و بعد فرض آزمون می‌گردد. در آمار بیزی ابتدا فرض در نظر گرفته می‌شود و داده‌ها با آن مطابقت داده می‌شوند به عبارت دیگر در آمار بیزی یک پیش داریم-توزیع پیشین- و بعد از مطالعه داده‌ها و برای رسیدن به آن توزیع پیشین، توزیع پسین را در نظر می‌گیریم.

علم آمار یکی از علوم مرتبط با علم داده‌ها است.

== تعریف احتمال ==
به‌طور ساده، '''احتمالات''' (به انگلیسی: &lt;bdi&gt;Probability&lt;/bdi&gt;) به شانس وقوع یک حادثه گفته می‌شود.

احتمال معمولاً مورد استفاده برای توصیف نگرش ذهن نسبت به گزاره‌هایی است که ما از حقیقت آن‌ها مطمئن نیستیم. گزاره‌های مورد نظر معمولاً از فرم &quot;آیا یک رویداد خاص رخ می‌دهد؟&quot; و نگرش ذهن ما از فرم &quot;چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟&quot; است. میزان اطمینان ما، قابل توصیف به صورت عددی می‌باشد که این عدد مقداری بین ۰ و ۱ را گرفته و آن را احتمال می نامیم. هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد. در واقع میزان اطمینان ما از اینکه یک واقعه (تصادفی) اتفاق خواهد افتاد.

=== نظریهٔ احتمالات ===
مقاله اصلی: نظریه احتمالات

نظریهٔ احتمالات به شاخه‌ای از ریاضیات گویند که با تحلیل وقایع تصادفی سروکار دارد.

مانند دیگر نظریه‌ها، نظریه احتمال نمایشی از مفاهیم احتمال به صورت شرایط صوری (فرمولی) است – شرایطی که می‌تواند به‌طور جدا از معنای خود در نظر گرفته شود. این فرمولبندی صوری توسط قوانین ریاضی و منطق دستکاری، و نتیجه‌های حاصله، تفسیر یا دوباره به دامنه مسئله ترجمه می‌شوند.

حداقل دو تلاش موفق برای به صورت فرمول درآوردن احتمال وجود دارد: فرمولاسیون کولموگروف و فرمولاسیون کاکس. در فرمولاسیون کولموگروف (نگاه کنیدبه)، مجموعه‌ها به عنوان واقعه و احتمالات را به عنوان میزانی روی یک سری از مجموعه‌ها تفسیر می‌کنند. در نظریه کاکس، احتمال به عنوان یک اصل (که هست، بدون تجزیه و تحلیل بیشتر) و تأکید بر روی ساخت یک انتساب سازگار از مقادیر احتمال برای گزاره‌ها است. در هر دو مورد، قوانین احتمال یکی هستند مگر برای جزئیات تکنیکی مربوط به آنها.

روش‌های دیگری نیز برای کمی‌کردن میزان عدم قطعیت، مانند نظریه Dempster-Shafer theory یا possibility theory وجود دارد، اما آن‌ها به‌طور اساسی با آنچه گفته شد، تفاوت دارند و با درک معمول از قوانین احتمال سازگار نیستند.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>jetuu5ervprqke91oryil0p1izf85du</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>بحث کاربر:آتش بانان خراسان شمالی</title>
    <ns>3</ns>
    <id>35992</id>
    <revision>
      <id>117361</id>
      <timestamp>2022-07-26T15:39:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>New user message</username>
        <id>8356</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>افزودن [[الگو:خوشامدید|پیام خوش‌آمد]] به صفحهٔ بحث کاربر تازه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3662" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۳۹ (UTC)</text>
      <sha1>3zbipzcm571wqrndlubs0o4blv52xmd</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35993</id>
    <revision>
      <id>117362</id>
      <timestamp>2022-07-26T17:24:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «'''تاریخ ریاضیات''' حوزه‌ای از مطالعات که به عنوان تاریخ ریاضیات شناخته می‌شود. در درجه اول به منشأ اکتشافات در ریاضی و در درجه‌های پایین‌تر به تحقیق و تفحص بر روی روش‌های ریاضی و یادداشت‌های ثبت شده پیشین می‌پردازد. قبل از عصر مدرن و گسترش ج...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3115" xml:space="preserve">'''تاریخ ریاضیات''' حوزه‌ای از مطالعات که به عنوان تاریخ ریاضیات شناخته می‌شود. در درجه اول به منشأ اکتشافات در ریاضی و در درجه‌های پایین‌تر به تحقیق و تفحص بر روی روش‌های ریاضی و یادداشت‌های ثبت شده پیشین می‌پردازد. قبل از عصر مدرن و گسترش جهانی اطلاعات، توسعه نمونه‌های مکتوب ریاضی فقط در چند حوزهٔ خاص بوده‌است.
[[پرونده:Timeline_of_the_History_of_Mathematics.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Timeline_of_the_History_of_Mathematics.svg|بندانگشتی|گاه‌شمار تاریخ ریاضیات]]
قدیمی‌ترین متن‌های ریاضی در دسترس: پلیمپتن ۳۲۲ (ریاضیات بابلی ۱۹۰۰ سال قبل از میلاد)، پاپیروس ریاضی ریند (ریاضیات مصری ۱۸۰۰–۲۰۰۰ قبل از میلاد) و پاپیروس مسکو (ریاضیات مصری ۱۸۹۰ قبل از میلاد) می‌باشند.

همگی این متون قضیه فیثاغورس را مورد توجه قرار می‌دهند. به نظر می‌رسد که این قضیهٔ معروف، قدیمی و گسترده‌ترین پیشرفت ریاضی پس از حساب و هندسه پایه‌است.

تحصیل ریاضی به عنوان نمایش مدل‌کنندهٔ انضباط (بین اشیاء) در سده ۶ قبل از میلاد با فیثاغوریان شروع شد که اصطلاح &quot; علم ریاضی&quot; (mathematic) را از یونان باستان (''μάθημα (mathema به معنی &quot; موضوع مطالعه دستورالعمل &quot; ابداع کردند.''

''ریاضیدانان یونانی روش‌ها را به خوبی تصفیه کردند (مخصوصا از راه دستورالعمل استدلال استقرایی و در اثباتهااز اثبات گرایی منطقی) و موضوعات ریاضی را گسترش دادند.''

ریاضیدانان چینی هم همکاری اولیه‌ای شامل &quot; سیستم مکانی زمانی &quot; داشته‌اند.

&quot; سیستم عددی عربی_هندی &quot; و قوانینی برای استفاده از عملگرهای آن که امروزه در سرتاسر دنیا استفاده می‌شود احتمالاً در هزاره اول AD در هند تکامل یافته و از طریق ریاضیات اسلامی و کارهای محمد بن موسی خوارزمی به غرب منتقل شده‌است.

ریاضیات اسلامی به سهم خود ریاضی ای که در این تمدن‌ها شناخته می‌شود را پیشرفت و گسترش داده‌است. بسیاری از متن‌های عربی و یونانی در ریاضیات بعدها به لاتین ترجمه شده‌اند که منتهی به رشد ریاضی در قرون وسطی اروپا شده‌است.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>cn3k5dyujhde54n9u2b5m1t3lkkelxu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117387</id>
      <parentid>117362</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:05:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3158" xml:space="preserve">'''تاریخ ریاضیات''' حوزه‌ای از مطالعات که به عنوان تاریخ ریاضیات شناخته می‌شود. در درجه اول به منشأ اکتشافات در ریاضی و در درجه‌های پایین‌تر به تحقیق و تفحص بر روی روش‌های ریاضی و یادداشت‌های ثبت شده پیشین می‌پردازد. قبل از عصر مدرن و گسترش جهانی اطلاعات، توسعه نمونه‌های مکتوب ریاضی فقط در چند حوزهٔ خاص بوده‌است.
[[پرونده:Timeline_of_the_History_of_Mathematics.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Timeline_of_the_History_of_Mathematics.svg|بندانگشتی|گاه‌شمار تاریخ ریاضیات]]
قدیمی‌ترین متن‌های ریاضی در دسترس: پلیمپتن ۳۲۲ (ریاضیات بابلی ۱۹۰۰ سال قبل از میلاد)، پاپیروس ریاضی ریند (ریاضیات مصری ۱۸۰۰–۲۰۰۰ قبل از میلاد) و پاپیروس مسکو (ریاضیات مصری ۱۸۹۰ قبل از میلاد) می‌باشند.

همگی این متون قضیه فیثاغورس را مورد توجه قرار می‌دهند. به نظر می‌رسد که این قضیهٔ معروف، قدیمی و گسترده‌ترین پیشرفت ریاضی پس از حساب و هندسه پایه‌است.

تحصیل ریاضی به عنوان نمایش مدل‌کنندهٔ انضباط (بین اشیاء) در سده ۶ قبل از میلاد با فیثاغوریان شروع شد که اصطلاح &quot; علم ریاضی&quot; (mathematic) را از یونان باستان (''μάθημα (mathema به معنی &quot; موضوع مطالعه دستورالعمل &quot; ابداع کردند.''

''ریاضیدانان یونانی روش‌ها را به خوبی تصفیه کردند (مخصوصا از راه دستورالعمل استدلال استقرایی و در اثباتهااز اثبات گرایی منطقی) و موضوعات ریاضی را گسترش دادند.''

ریاضیدانان چینی هم همکاری اولیه‌ای شامل &quot; سیستم مکانی زمانی &quot; داشته‌اند.

&quot; سیستم عددی عربی_هندی &quot; و قوانینی برای استفاده از عملگرهای آن که امروزه در سرتاسر دنیا استفاده می‌شود احتمالاً در هزاره اول AD در هند تکامل یافته و از طریق ریاضیات اسلامی و کارهای محمد بن موسی خوارزمی به غرب منتقل شده‌است.

ریاضیات اسلامی به سهم خود ریاضی ای که در این تمدن‌ها شناخته می‌شود را پیشرفت و گسترش داده‌است. بسیاری از متن‌های عربی و یونانی در ریاضیات بعدها به لاتین ترجمه شده‌اند که منتهی به رشد ریاضی در قرون وسطی اروپا شده‌است.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

[[:رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>r6q7ks03tudytw0pkrsbhf3ix3tga5p</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117388</id>
      <parentid>117387</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:06:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3157" xml:space="preserve">'''تاریخ ریاضیات''' حوزه‌ای از مطالعات که به عنوان تاریخ ریاضیات شناخته می‌شود. در درجه اول به منشأ اکتشافات در ریاضی و در درجه‌های پایین‌تر به تحقیق و تفحص بر روی روش‌های ریاضی و یادداشت‌های ثبت شده پیشین می‌پردازد. قبل از عصر مدرن و گسترش جهانی اطلاعات، توسعه نمونه‌های مکتوب ریاضی فقط در چند حوزهٔ خاص بوده‌است.
[[پرونده:Timeline_of_the_History_of_Mathematics.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Timeline_of_the_History_of_Mathematics.svg|بندانگشتی|گاه‌شمار تاریخ ریاضیات]]
قدیمی‌ترین متن‌های ریاضی در دسترس: پلیمپتن ۳۲۲ (ریاضیات بابلی ۱۹۰۰ سال قبل از میلاد)، پاپیروس ریاضی ریند (ریاضیات مصری ۱۸۰۰–۲۰۰۰ قبل از میلاد) و پاپیروس مسکو (ریاضیات مصری ۱۸۹۰ قبل از میلاد) می‌باشند.

همگی این متون قضیه فیثاغورس را مورد توجه قرار می‌دهند. به نظر می‌رسد که این قضیهٔ معروف، قدیمی و گسترده‌ترین پیشرفت ریاضی پس از حساب و هندسه پایه‌است.

تحصیل ریاضی به عنوان نمایش مدل‌کنندهٔ انضباط (بین اشیاء) در سده ۶ قبل از میلاد با فیثاغوریان شروع شد که اصطلاح &quot; علم ریاضی&quot; (mathematic) را از یونان باستان (''μάθημα (mathema به معنی &quot; موضوع مطالعه دستورالعمل &quot; ابداع کردند.''

''ریاضیدانان یونانی روش‌ها را به خوبی تصفیه کردند (مخصوصا از راه دستورالعمل استدلال استقرایی و در اثباتهااز اثبات گرایی منطقی) و موضوعات ریاضی را گسترش دادند.''

ریاضیدانان چینی هم همکاری اولیه‌ای شامل &quot; سیستم مکانی زمانی &quot; داشته‌اند.

&quot; سیستم عددی عربی_هندی &quot; و قوانینی برای استفاده از عملگرهای آن که امروزه در سرتاسر دنیا استفاده می‌شود احتمالاً در هزاره اول AD در هند تکامل یافته و از طریق ریاضیات اسلامی و کارهای محمد بن موسی خوارزمی به غرب منتقل شده‌است.

ریاضیات اسلامی به سهم خود ریاضی ای که در این تمدن‌ها شناخته می‌شود را پیشرفت و گسترش داده‌است. بسیاری از متن‌های عربی و یونانی در ریاضیات بعدها به لاتین ترجمه شده‌اند که منتهی به رشد ریاضی در قرون وسطی اروپا شده‌است.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>f5pw1swp2jkf815vjskh5vhb7k1fnig</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35994</id>
    <revision>
      <id>117363</id>
      <timestamp>2022-07-26T18:05:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «'''بین المللی ریاضی''' ( '''IMO''' ) یک المپیاد ریاضی برای دانش آموزان پیش دانشگاهی است و قدیمی ترین المپیاد علمی بین المللی است.  اولین IMO در سال 1959 در رومانی برگزار شد. از آن زمان به جز در سال 1980 هر سال برگزار می شود. بیش از 100 کشور، که بیش از 90 درصد جمعی...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13937" xml:space="preserve">'''بین المللی ریاضی''' ( '''IMO''' ) یک المپیاد ریاضی برای دانش آموزان پیش دانشگاهی است و قدیمی ترین المپیاد علمی بین المللی است.  اولین IMO در سال 1959 در رومانی برگزار شد. از آن زمان به جز در سال 1980 هر سال برگزار می شود. بیش از 100 کشور، که بیش از 90 درصد جمعیت جهان را نمایندگی می کنند، تیم هایی متشکل از شش دانش آموز،  بعلاوه را اعزام می کنند. یک رهبر تیم، یک معاون و ناظران.

[[پرونده:IMO_logo.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:IMO_logo.svg]]

محتوا از مسائل بسیار دشوار جبر و قبل از محاسبه تا مسائل مربوط به شاخه‌های ریاضیات که به طور معمول در دبیرستان یا دبیرستان پوشش داده نمی‌شوند و اغلب در سطح دانشگاه نیز نیستند، مانند هندسه تصویری و پیچیده ، معادلات تابعی ، ترکیبیات ، و کاملاً پایه‌گذاری شده است. نظریه اعداد، که دانش گسترده ای از قضایا لازم است. حساب دیفرانسیل و انتگرال، اگرچه در راه حل ها مجاز است، اما هرگز مورد نیاز نیست، زیرا این اصل وجود دارد که هر کسی که درک پایه ای از ریاضیات دارد باید مسائل را درک کند، حتی اگر راه حل ها به دانش بسیار بیشتری نیاز داشته باشند. حامیان این اصل ادعا می‌کنند که این امر به جهانی شدن بیشتر اجازه می‌دهد و انگیزه‌ای برای یافتن مشکلاتی با ظاهر ساده و فریبنده ایجاد می‌کند که با این وجود به سطح معینی از نبوغ نیاز دارند، که اغلب اوقات به نبوغ زیادی نیاز دارد تا تمام امتیازات را برای یک مشکل معین IMO به دست آورد.

روند انتخاب بر اساس کشور متفاوت است، اما اغلب شامل یک سری آزمون است که دانش آموزان کمتری را در هر آزمون در حال پیشرفت می پذیرد. جوایز تقریباً به 50٪ از شرکت کنندگانی که امتیازهای برتر را کسب کرده اند اهدا می شود. تیم ها به طور رسمی به رسمیت شناخته نمی شوند - همه امتیازات فقط به شرکت کنندگان انفرادی داده می شود، اما امتیازات تیمی به طور غیر رسمی بیشتر از امتیازات فردی مقایسه می شود.  شرکت کنندگان باید کمتر از 20 سال سن داشته باشند و نباید در هیچ موسسه عالی ثبت نام کنند . با توجه به این شرایط، یک فرد می تواند هر چند بار در IMO شرکت کند. 

المپیاد بین المللی ریاضی یکی از معتبرترین مسابقات ریاضی در جهان است. در ژانویه 2011، گوگل یک میلیون یورو به سازمان بین المللی المپیاد ریاضی کمک مالی کرد

== تاریخ ==
اولین IMO در ۱۹۵۹ در رومانی برگزار شد. از آن زمان المپیاد هر ساله جز ۱۹۸۰ برگزار شده‌است. در آن سال به دلیل مشکلات مالی نامزدی برای میزبانی المپیاد وجود نداشت. المپیاد در آغاز برای کشورهای اروپای شرقی عضو پیمان ورشو، که تحت نفوذ بلوک شوروی بودند، بنیان گذاشته شد ولی نهایتاً دیگر کشورها هم در آن شرکت کردند. المپیادهای اولیه به دلیل این منشأ شرقی تنها توسط کشورهای اروپای شرقی میزبانی می‌شد و تدریجاً به دیگر ملل گسترش یافت.

منابع در خصوص اشاره به میزبانی بعضی از المپیادهای اولیه متفاوت هستند. این ممکن است بعضاً به این دلیل باشد که رهبران تیم‌ها عموماً دور از دانش آموزان اسکان می‌یابند، و بخشی به این دلیل که پس از رقابت‌ها دانش آموزان همیشه برای بقیه المپیاد در یک شهر نمی‌ماندند. تاریخهای دقیق برگزاری هم ممکن است فرق کند، زیرا رهبران پیش از دانش آموزان می‌رسیدند و در المپیادهای جدیدتر، هیئت مشاوره قبل از رهبران می‌رسند.

بسیاری از دانش آموزان چون تئودور فن برگ، لیزا زاوئرمان و کریستیان رایهر در المپیاد به‌طور استثنایی، عالی عمل کرده‌اند، و چندین مدال طلا برده‌اند. دیگران، مانند گریگوری مارگولیس، ژان کریستف یکوز، استانیسلاف اسمیرنوف، ترنس تائو، مریم میرزاخانی و گریگوری پرلمان ریاضیدانانی سرشناس شده‌اند. خیلی‌های‌شان جوایزی مانند مدال فیلدز برده‌اند.

در ژانویه ۲۰۱۱، گوگل ۱ میلیون دلار به سازمان المپیاد جهانی ریاضی هدیه کرد. این اهدائیه به سازمان برای تأمین مخارج پنج رخداد جهانی بعدی (۲۰۱۱–۲۰۱۵) کمک خواهد کرد.

== حضور ایران در المپیاد ریاضی ==
اولین حضور ایران ۱۹۸۵ بود. تا پایان سال ۲۰۱۹ ایران ۱۹۹ شرکت کننده در ۳۴ حضور خود داشته‌است که شامل ۱۹۱ پسر و ۸ دختر بوده‌است و موفق به کسب مجموع ۱۸۵ مدال شامل ۴۵ طلا و ۹۷ نقره و ۴۳ برنز (و ۴ دیپلم افتخار) شده‌است.

== امتیازدهی و شیوه ==
ورقه شامل شش مسئله است که هر یک ۷ نمره دارند، یعنی امتیاز کل ۴۲ نمره است. استفاده از هیچ نوع ماشین حسابی مجاز نیست. امتحان در دور روز متوالی گرفته می‌شود؛ رقابت کنندگان چهار ساعت و نیم برای حل ۳ مسئله در هر روز دارند. مسائل از حوزه‌های مختلفی از ریاضیات دبیرستانی، که قابل طبقه‌بندی به صورت هندسه، نظریه اعداد، جبر و ترکیبیات است برگزیده می‌شوند. این مسائل هیچ دانش ریاضیات عالی نظیر حساب و آنالیز نیاز ندارند و راه حل‌ها اغلب کوتاه و متوسط‌اند. به هر حال، معمولاً ظاهر شان را تغییر داده‌اند تا روند یافتن راه حل‌ها را سخت کنند. مسائل نامعادلات جبری، اعداد مختلط و تثلیث زاویه در المپیاد، برجسته بوده‌اند، گرچه در سالهای قبل، آخری به اندازه قبل محبوب نبوده‌است.

همچنین اگر در حل سؤالی، رقابت‌کننده از راه حلی ابتکاری و جدید استفاده کند، تحت شرایط خاصی امتیاز اضافه‌ای تحت عنوان جایزه ویژه (به انگلیسی: Special Prize) برای او در نظر گرفته می‌شود.

هر کشور شرکت‌کننده، جز کشور میزبان، باید مسائلی را به کمیته گزینش مسئله تشکیل شده توسط کشور میزبان بفرستد. این کمیته مسائل ارسالی را به یک تعداد کوتاه تقلیل می‌دهد. رهبران تیمها چند روز قبل از رقابت‌ها به المپیاد می‌آیند و هیئت ژوری را که مسؤول همه تصمیمات رسمی مرتبط با رقابت‌ها ست، شکل می‌دهند. آن‌ها اول شش مسئله نهایی را انتخاب می‌کنند. هدف ژوری انتخاب مسائل به سختی صعودی به صورت Q5،Q4،Q3،Q2،Q1، و Q6 است. رهبران شدیداً جدا نگه داشته شده و مورد مراقبت قرار می‌گیرند چرا که سؤالات را از پیش می‌دانند.

روی نمرات هر کشور بین رهبر کشور و معاون رهبر و هماهنگ‌کننده تعیین شده از سوی کشور میزبان، بنا بر تصمیمات هماهنگ‌کننده ارشد و نهایتاً یک ژوری اگر اختلافی باشد که نتواند حل شود توافق می‌شود.

== روند گزینش ==
روند گزینش المپیاد جهانی بسته به کشور بسیار متفاوت است. در برخی کشورها، خصوصاً در شرق آسیا، روند گزینش شامل چندین آزمون است که دشواری آن با خود المپیاد جهانی قابل مقایسه‌است. در چین دومین یکشنبه هر اکتبر آزمونی ملی با شرکت ۲۰۰٬۰۰۰ نفر برگزار می‌شود. حدود ۱۲۰ نفر برگزیده شده به کمپ زمستانی می‌روند که در ژانویه برگزار می‌شود. در این کمپ ۵ روزه که در سطح المپیاد جهانی است، بین ۲۰ تا ۳۰ نفر برای دوره آموزشی المپیاد جهانی برگزیده می‌شوند که از ۱۶ مارس تا ۲ آوریل به طول می‌انجامد. بعد از ۶ تا ۸ آزمون و ۲ غربالگری دیگر اعضای تیم ملی برگزیده می‌شوند. در بعضی از دیگر کشورها، مثل آمریکا، آزمونهای انتخابی شامل رقابتهای ریاضی آمریکا، امتحان آزاد ریاضی آمریکا و المپیاد ریاضی ایالات متحده آمریکا است که هر یک به نوبه خود یک رقابت است. برای بالاترین امتیازآوران در رقابت نهایی گزینش تیم، مثل چین یک کمپ تابستانی وجود دارد.

در روسیه المپیاد به‌طور سالانه تحت نظارت وزارت آموزش و علوم فدراسیون روسیه برگزار می‌شود. این المپیاد که در چهار مرحله برگزار می‌شود: مدرسه، شهر، منطقه و مرحله نهایی. مرحله اول در مؤسسات آموزشی هرسال از ۱ اکتبر تا ۱۵ نوامبر برگزار می‌شود. مرحله بعد از ۱۵ نوامبر تا ۱۵ دسامبر توسط مسئولین شهری برگزار می‌شود. مرحله منطقه‌ای توسط مسئولین اجرایی قدراسیون روسیه از ۱۰ ژانویه تا ۱۰ فوریه برگزار می‌شود. مرحله نهایی را وزارت آموزش به کمک مسئولین اجرایی از ۲۰ مارس تا ۱ مه برگزار می‌کند.

== جوایز ==
رقابت کنندگان بر اساس نمره فردی شان رتبه‌بندی می‌شوند. مدال‌ها به رقابت کنندگان با بالاترین رتبه‌ها اعطا می‌شود، به نحوی که اندکی کمتر از نصف آن‌ها یک مدال می‌گیرند. نتیجتاً کاتاف‌ها (حداقل امتیازات لازم برای دریافت یک مدال طلا، نقره یا برنز) به نحوی انتخاب می‌شوند که نسبت طلا به نقره به برنز اعطایی حدوداً ۱ به ۲ به ۳ باشد. رقابت کنندگانی که مدالی نبرند ولی حداقل در یک مسئله هفت نمره به دست بیاورند یک لوح افتخار دریافت می‌کنند.

ممکن است به راه حل‌های با نبوغ خارق‌العاده یا حاوی تعمیم دهی‌های خوب یک مسئله جوایز ویژه اعطا شود. اعضای جایزه در سال ۲۰۰۵ (یوری بورچیو)، ۱۹۹۵ (نیکولای نیکولوف) و ۱۹۸۸ (امانوئیل آتاناسوف) رخ داد، ولی در اوایل دهه ۱۹۸۰ خیلی رایجتر بود. جایزه ویژه در ۲۰۰۵ به یوری بورچیو دانش آموزی اهل مولداوی، که راه حلی درخشان برای سؤال ۳ که یک نامعادله شامل سه متغیر بود اهدا شد. بورچیو یکی از تنها سه دانش آموزی بود که در آن ورقه نمره کامل گرفت.

این قاعده که حداکثر نصف رقابت کنندگان یک مدال ببرند گاهی در صورتی که اجرای آن منجر به این شود که تعداد مدالها خیلی با نصف شرکت کنندگان فرق کند نقض می‌شود. آخرین بار این در ۲۰۱۰ اتفاق افتاد، که انتخاب بین مدال دادن به ۲۲۶ (۴۳٫۷۱٪) یا ۲۶۶ (۵۱٫۴۵٪) نفر از ۵۱۷ (جدا از ۶ شرکت‌کننده کره شمالی - پایین را ببینید) باید انجام می‌شد، و ۲۰۱۲ که انتخاب بین مدال دادن به ۲۲۶ (۴۶٫۳۵٪) یا ۲۷۷ (۵۰٫۵۵٪) نفر از ۵۴۸ شرکت‌کننده رخ داد.

== منابع ==
ویکی پدیای انگلیسی

ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>hfxk58kydocs5mui9dilu0r2nmo701x</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117390</id>
      <parentid>117363</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:07:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>/* منابع */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13978" xml:space="preserve">'''بین المللی ریاضی''' ( '''IMO''' ) یک المپیاد ریاضی برای دانش آموزان پیش دانشگاهی است و قدیمی ترین المپیاد علمی بین المللی است.  اولین IMO در سال 1959 در رومانی برگزار شد. از آن زمان به جز در سال 1980 هر سال برگزار می شود. بیش از 100 کشور، که بیش از 90 درصد جمعیت جهان را نمایندگی می کنند، تیم هایی متشکل از شش دانش آموز،  بعلاوه را اعزام می کنند. یک رهبر تیم، یک معاون و ناظران.

[[پرونده:IMO_logo.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:IMO_logo.svg]]

محتوا از مسائل بسیار دشوار جبر و قبل از محاسبه تا مسائل مربوط به شاخه‌های ریاضیات که به طور معمول در دبیرستان یا دبیرستان پوشش داده نمی‌شوند و اغلب در سطح دانشگاه نیز نیستند، مانند هندسه تصویری و پیچیده ، معادلات تابعی ، ترکیبیات ، و کاملاً پایه‌گذاری شده است. نظریه اعداد، که دانش گسترده ای از قضایا لازم است. حساب دیفرانسیل و انتگرال، اگرچه در راه حل ها مجاز است، اما هرگز مورد نیاز نیست، زیرا این اصل وجود دارد که هر کسی که درک پایه ای از ریاضیات دارد باید مسائل را درک کند، حتی اگر راه حل ها به دانش بسیار بیشتری نیاز داشته باشند. حامیان این اصل ادعا می‌کنند که این امر به جهانی شدن بیشتر اجازه می‌دهد و انگیزه‌ای برای یافتن مشکلاتی با ظاهر ساده و فریبنده ایجاد می‌کند که با این وجود به سطح معینی از نبوغ نیاز دارند، که اغلب اوقات به نبوغ زیادی نیاز دارد تا تمام امتیازات را برای یک مشکل معین IMO به دست آورد.

روند انتخاب بر اساس کشور متفاوت است، اما اغلب شامل یک سری آزمون است که دانش آموزان کمتری را در هر آزمون در حال پیشرفت می پذیرد. جوایز تقریباً به 50٪ از شرکت کنندگانی که امتیازهای برتر را کسب کرده اند اهدا می شود. تیم ها به طور رسمی به رسمیت شناخته نمی شوند - همه امتیازات فقط به شرکت کنندگان انفرادی داده می شود، اما امتیازات تیمی به طور غیر رسمی بیشتر از امتیازات فردی مقایسه می شود.  شرکت کنندگان باید کمتر از 20 سال سن داشته باشند و نباید در هیچ موسسه عالی ثبت نام کنند . با توجه به این شرایط، یک فرد می تواند هر چند بار در IMO شرکت کند. 

المپیاد بین المللی ریاضی یکی از معتبرترین مسابقات ریاضی در جهان است. در ژانویه 2011، گوگل یک میلیون یورو به سازمان بین المللی المپیاد ریاضی کمک مالی کرد

== تاریخ ==
اولین IMO در ۱۹۵۹ در رومانی برگزار شد. از آن زمان المپیاد هر ساله جز ۱۹۸۰ برگزار شده‌است. در آن سال به دلیل مشکلات مالی نامزدی برای میزبانی المپیاد وجود نداشت. المپیاد در آغاز برای کشورهای اروپای شرقی عضو پیمان ورشو، که تحت نفوذ بلوک شوروی بودند، بنیان گذاشته شد ولی نهایتاً دیگر کشورها هم در آن شرکت کردند. المپیادهای اولیه به دلیل این منشأ شرقی تنها توسط کشورهای اروپای شرقی میزبانی می‌شد و تدریجاً به دیگر ملل گسترش یافت.

منابع در خصوص اشاره به میزبانی بعضی از المپیادهای اولیه متفاوت هستند. این ممکن است بعضاً به این دلیل باشد که رهبران تیم‌ها عموماً دور از دانش آموزان اسکان می‌یابند، و بخشی به این دلیل که پس از رقابت‌ها دانش آموزان همیشه برای بقیه المپیاد در یک شهر نمی‌ماندند. تاریخهای دقیق برگزاری هم ممکن است فرق کند، زیرا رهبران پیش از دانش آموزان می‌رسیدند و در المپیادهای جدیدتر، هیئت مشاوره قبل از رهبران می‌رسند.

بسیاری از دانش آموزان چون تئودور فن برگ، لیزا زاوئرمان و کریستیان رایهر در المپیاد به‌طور استثنایی، عالی عمل کرده‌اند، و چندین مدال طلا برده‌اند. دیگران، مانند گریگوری مارگولیس، ژان کریستف یکوز، استانیسلاف اسمیرنوف، ترنس تائو، مریم میرزاخانی و گریگوری پرلمان ریاضیدانانی سرشناس شده‌اند. خیلی‌های‌شان جوایزی مانند مدال فیلدز برده‌اند.

در ژانویه ۲۰۱۱، گوگل ۱ میلیون دلار به سازمان المپیاد جهانی ریاضی هدیه کرد. این اهدائیه به سازمان برای تأمین مخارج پنج رخداد جهانی بعدی (۲۰۱۱–۲۰۱۵) کمک خواهد کرد.

== حضور ایران در المپیاد ریاضی ==
اولین حضور ایران ۱۹۸۵ بود. تا پایان سال ۲۰۱۹ ایران ۱۹۹ شرکت کننده در ۳۴ حضور خود داشته‌است که شامل ۱۹۱ پسر و ۸ دختر بوده‌است و موفق به کسب مجموع ۱۸۵ مدال شامل ۴۵ طلا و ۹۷ نقره و ۴۳ برنز (و ۴ دیپلم افتخار) شده‌است.

== امتیازدهی و شیوه ==
ورقه شامل شش مسئله است که هر یک ۷ نمره دارند، یعنی امتیاز کل ۴۲ نمره است. استفاده از هیچ نوع ماشین حسابی مجاز نیست. امتحان در دور روز متوالی گرفته می‌شود؛ رقابت کنندگان چهار ساعت و نیم برای حل ۳ مسئله در هر روز دارند. مسائل از حوزه‌های مختلفی از ریاضیات دبیرستانی، که قابل طبقه‌بندی به صورت هندسه، نظریه اعداد، جبر و ترکیبیات است برگزیده می‌شوند. این مسائل هیچ دانش ریاضیات عالی نظیر حساب و آنالیز نیاز ندارند و راه حل‌ها اغلب کوتاه و متوسط‌اند. به هر حال، معمولاً ظاهر شان را تغییر داده‌اند تا روند یافتن راه حل‌ها را سخت کنند. مسائل نامعادلات جبری، اعداد مختلط و تثلیث زاویه در المپیاد، برجسته بوده‌اند، گرچه در سالهای قبل، آخری به اندازه قبل محبوب نبوده‌است.

همچنین اگر در حل سؤالی، رقابت‌کننده از راه حلی ابتکاری و جدید استفاده کند، تحت شرایط خاصی امتیاز اضافه‌ای تحت عنوان جایزه ویژه (به انگلیسی: Special Prize) برای او در نظر گرفته می‌شود.

هر کشور شرکت‌کننده، جز کشور میزبان، باید مسائلی را به کمیته گزینش مسئله تشکیل شده توسط کشور میزبان بفرستد. این کمیته مسائل ارسالی را به یک تعداد کوتاه تقلیل می‌دهد. رهبران تیمها چند روز قبل از رقابت‌ها به المپیاد می‌آیند و هیئت ژوری را که مسؤول همه تصمیمات رسمی مرتبط با رقابت‌ها ست، شکل می‌دهند. آن‌ها اول شش مسئله نهایی را انتخاب می‌کنند. هدف ژوری انتخاب مسائل به سختی صعودی به صورت Q5،Q4،Q3،Q2،Q1، و Q6 است. رهبران شدیداً جدا نگه داشته شده و مورد مراقبت قرار می‌گیرند چرا که سؤالات را از پیش می‌دانند.

روی نمرات هر کشور بین رهبر کشور و معاون رهبر و هماهنگ‌کننده تعیین شده از سوی کشور میزبان، بنا بر تصمیمات هماهنگ‌کننده ارشد و نهایتاً یک ژوری اگر اختلافی باشد که نتواند حل شود توافق می‌شود.

== روند گزینش ==
روند گزینش المپیاد جهانی بسته به کشور بسیار متفاوت است. در برخی کشورها، خصوصاً در شرق آسیا، روند گزینش شامل چندین آزمون است که دشواری آن با خود المپیاد جهانی قابل مقایسه‌است. در چین دومین یکشنبه هر اکتبر آزمونی ملی با شرکت ۲۰۰٬۰۰۰ نفر برگزار می‌شود. حدود ۱۲۰ نفر برگزیده شده به کمپ زمستانی می‌روند که در ژانویه برگزار می‌شود. در این کمپ ۵ روزه که در سطح المپیاد جهانی است، بین ۲۰ تا ۳۰ نفر برای دوره آموزشی المپیاد جهانی برگزیده می‌شوند که از ۱۶ مارس تا ۲ آوریل به طول می‌انجامد. بعد از ۶ تا ۸ آزمون و ۲ غربالگری دیگر اعضای تیم ملی برگزیده می‌شوند. در بعضی از دیگر کشورها، مثل آمریکا، آزمونهای انتخابی شامل رقابتهای ریاضی آمریکا، امتحان آزاد ریاضی آمریکا و المپیاد ریاضی ایالات متحده آمریکا است که هر یک به نوبه خود یک رقابت است. برای بالاترین امتیازآوران در رقابت نهایی گزینش تیم، مثل چین یک کمپ تابستانی وجود دارد.

در روسیه المپیاد به‌طور سالانه تحت نظارت وزارت آموزش و علوم فدراسیون روسیه برگزار می‌شود. این المپیاد که در چهار مرحله برگزار می‌شود: مدرسه، شهر، منطقه و مرحله نهایی. مرحله اول در مؤسسات آموزشی هرسال از ۱ اکتبر تا ۱۵ نوامبر برگزار می‌شود. مرحله بعد از ۱۵ نوامبر تا ۱۵ دسامبر توسط مسئولین شهری برگزار می‌شود. مرحله منطقه‌ای توسط مسئولین اجرایی قدراسیون روسیه از ۱۰ ژانویه تا ۱۰ فوریه برگزار می‌شود. مرحله نهایی را وزارت آموزش به کمک مسئولین اجرایی از ۲۰ مارس تا ۱ مه برگزار می‌کند.

== جوایز ==
رقابت کنندگان بر اساس نمره فردی شان رتبه‌بندی می‌شوند. مدال‌ها به رقابت کنندگان با بالاترین رتبه‌ها اعطا می‌شود، به نحوی که اندکی کمتر از نصف آن‌ها یک مدال می‌گیرند. نتیجتاً کاتاف‌ها (حداقل امتیازات لازم برای دریافت یک مدال طلا، نقره یا برنز) به نحوی انتخاب می‌شوند که نسبت طلا به نقره به برنز اعطایی حدوداً ۱ به ۲ به ۳ باشد. رقابت کنندگانی که مدالی نبرند ولی حداقل در یک مسئله هفت نمره به دست بیاورند یک لوح افتخار دریافت می‌کنند.

ممکن است به راه حل‌های با نبوغ خارق‌العاده یا حاوی تعمیم دهی‌های خوب یک مسئله جوایز ویژه اعطا شود. اعضای جایزه در سال ۲۰۰۵ (یوری بورچیو)، ۱۹۹۵ (نیکولای نیکولوف) و ۱۹۸۸ (امانوئیل آتاناسوف) رخ داد، ولی در اوایل دهه ۱۹۸۰ خیلی رایجتر بود. جایزه ویژه در ۲۰۰۵ به یوری بورچیو دانش آموزی اهل مولداوی، که راه حلی درخشان برای سؤال ۳ که یک نامعادله شامل سه متغیر بود اهدا شد. بورچیو یکی از تنها سه دانش آموزی بود که در آن ورقه نمره کامل گرفت.

این قاعده که حداکثر نصف رقابت کنندگان یک مدال ببرند گاهی در صورتی که اجرای آن منجر به این شود که تعداد مدالها خیلی با نصف شرکت کنندگان فرق کند نقض می‌شود. آخرین بار این در ۲۰۱۰ اتفاق افتاد، که انتخاب بین مدال دادن به ۲۲۶ (۴۳٫۷۱٪) یا ۲۶۶ (۵۱٫۴۵٪) نفر از ۵۱۷ (جدا از ۶ شرکت‌کننده کره شمالی - پایین را ببینید) باید انجام می‌شد، و ۲۰۱۲ که انتخاب بین مدال دادن به ۲۲۶ (۴۶٫۳۵٪) یا ۲۷۷ (۵۰٫۵۵٪) نفر از ۵۴۸ شرکت‌کننده رخ داد.

== منابع ==
ویکی پدیای انگلیسی

ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>dp1zbxfapbczg882rfeuwxszarnli2x</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/علوم ریاضیات</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35995</id>
    <revision>
      <id>117364</id>
      <timestamp>2022-07-26T18:08:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «'''علوم ریاضی''' (به انگلیسی: &lt;bdi&gt;Mathematical sciences&lt;/bdi&gt;) یک اصطلاح گسترده است که به رشته‌های دانشگاهيی اشاره دارد که زمینهٔ اصلی آنها ریاضی است، اما به‌طورکلی ممکن است تنها به مسائل ریاضی نپردازند. به‌طور مثال، آمار، رشته‌ای است که از روش‌های ریاضی ا...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1997" xml:space="preserve">'''علوم ریاضی''' (به انگلیسی: &lt;bdi&gt;Mathematical sciences&lt;/bdi&gt;) یک اصطلاح گسترده است که به رشته‌های دانشگاهيی اشاره دارد که زمینهٔ اصلی آنها ریاضی است، اما به‌طورکلی ممکن است تنها به مسائل ریاضی نپردازند. به‌طور مثال، آمار، رشته‌ای است که از روش‌های ریاضی استفاده می‌کند، ولی اهداف خاصی را در سایر علوم غیر از ریاضی دنبال می‌کند. علم کامپیوتر، علم محاسبات، تحقیق در عملیات، رمزشناسی، فیزیک نظری و علم آمار شاخه‌های دیگری هستند که می‌توان آنها را به‌عنوان علوم ریاضی در نظر گرفت.

اخیراً پژوهشگران سایر رشته‌ها، مانند رشته‌های مختلف پزشکی، به مدل‌سازی ریاضیِ انواع مختلف مسائلی رو آورده‌اند که با آنها مواجهند، و این امر باعث ایجاد و گسترش رشته‌های متنوعی با زمینه ی ریاضی در دانشکده‌ها و پژوهشکده‌های ریاضی شده‌است. به‌عنوان مثال، در «مؤسسهٔ تحقیقات ریاضی و فیزیک نظری»، واقع در میدان نوبنیاد تهران، پژوهشگران، در قالب یک کار مشترک گروهی، به بررسی ساختارهای ریاضی سلول‌ها پرداخته‌اند.

برخی از مؤسسات (از قبیل دانشگاه نظامی ایالات متحدهٔ آمریکا، یا دانشگاه خارطوم، سودان)، در علوم ریاضی یا برخی از مؤسسات (مانند دانشگاه رود آیلند) در علوم ریاضی کاربردی مدرک تحصیلی اعطا می‌کنند.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>0zl78fmiowaldqh0u9pmaemxmp8k7p6</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35996</id>
    <revision>
      <id>117368</id>
      <timestamp>2022-07-27T05:07:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «در اولين‌ کنفر‌انس‌ رياضى‌ ‌اير‌ان‌ که در فروردين‌ماه‌ سال‌ ۱۳۴۹ در د‌انشگاه‌ شير‌از برگز‌ار شد، پيشنهاد تاسيس ‌انجمن‌ رياضى‌ ‌اير‌ان‌ به‌ ‌اتفاق‌ ‌آر‌ا به تصویب رسید. در دومين‌ کنفر‌انس‌ رياضى‌ کشور که فروردين‌ماه‌ سال‌...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2343" xml:space="preserve">در اولين‌ کنفر‌انس‌ رياضى‌ ‌اير‌ان‌ که در فروردين‌ماه‌ سال‌ ۱۳۴۹ در د‌انشگاه‌ شير‌از برگز‌ار شد، پيشنهاد تاسيس ‌انجمن‌ رياضى‌ ‌اير‌ان‌ به‌ ‌اتفاق‌ ‌آر‌ا به تصویب رسید. در دومين‌ کنفر‌انس‌ رياضى‌ کشور که فروردين‌ماه‌ سال‌ ۱۳۵۰ در د‌انشگاه‌ صنعتى‌ شريف‌ برگزار شد، انجمن‌ رياضى‌ ‌اير‌ان‌ تأسیس گردید. به دنبال آن، دکتر مهدی بهزاد به‌ سمت‌ منشى‌ (رئيس‌) ‌انجمن‌ ‌انتخاب‌ گردید. در مدت‌ کوتا‌هى‌ جمع زیادی از ا‌عضا‌ى‌ ‌هيئت علمى‌ رياضى‌ د‌انشگا‌هها به ‌عضويت‌ ‌انجمن‌ در‌آمدند. انجمن ریاضی ایران اولین و پرسابقه‌ترین انجمن علمی ایران می‌باشد که با انجمن‌های ریاضی ایالات متحده و فرانسه در همکاری می‌باشد.

ریاست فعلی انجمن بر عهدهٔ دکتر محمد صال مصلحیان، استاد دانشگاه فردوسی مشهد و عضو فرهنگستان علوم ایران، می‌باشد.

این انجمن چهار نشریه منتشر می کند:

بولتن انجمن ریاضی ایران که توسط اشپرینگر منتشر می شود.

مجله انجمن ریاضی ایران

فرهنگ و اندیشه ریاضی

خبرنامه انجمن ریاضی ایران

مسابقات ریاضی این انجمن یکی از با اهمیت‌ترین فعالیت‌های انجمن در شناسایی استعدادهای درخشان در ریاضی است.

== جوایز انجمن ریاضی ==

* جایزه بهزاد
* جایزه مریم میرزاخانی
* جایزه عباس ریاضی کرمانی
* جایزه منوچهر وصال
* جایزه غلامحسین مصاحب
* جایزه ابوالقاسم قربانی
* جایزه تقی فاطمی
* جایزه مهدی رجبعلی پور
* جایزه محمدهادی شفیعی‌ها
* جایزه محسن هشترودی

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>96mcjah7xnwvp4pemojds49xfirfuk5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117369</id>
      <parentid>117368</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T05:10:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2459" xml:space="preserve">انجمن ریاضی ایران یک انجمنی است در تهران پایتخت ایرات قرار دارد.در اولين‌ کنفر‌انس‌ رياضى‌ ‌اير‌ان‌ که در فروردين‌ماه‌ سال‌ ۱۳۴۹ در د‌انشگاه‌ شير‌از برگز‌ار شد، پيشنهاد تاسيس ‌انجمن‌ رياضى‌ ‌اير‌ان‌ به‌ ‌اتفاق‌ ‌آر‌ا به تصویب رسید. در دومين‌ کنفر‌انس‌ رياضى‌ کشور که فروردين‌ماه‌ سال‌ ۱۳۵۰ در د‌انشگاه‌ صنعتى‌ شريف‌ برگزار شد، انجمن‌ رياضى‌ ‌اير‌ان‌ تأسیس گردید. به دنبال آن، دکتر مهدی بهزاد به‌ سمت‌ منشى‌ (رئيس‌) ‌انجمن‌ ‌انتخاب‌ گردید. در مدت‌ کوتا‌هى‌ جمع زیادی از ا‌عضا‌ى‌ ‌هيئت علمى‌ رياضى‌ د‌انشگا‌هها به ‌عضويت‌ ‌انجمن‌ در‌آمدند. انجمن ریاضی ایران اولین و پرسابقه‌ترین انجمن علمی ایران می‌باشد که با انجمن‌های ریاضی ایالات متحده و فرانسه در همکاری می‌باشد.

ریاست فعلی انجمن بر عهدهٔ دکتر محمد صال مصلحیان، استاد دانشگاه فردوسی مشهد و عضو فرهنگستان علوم ایران، می‌باشد.

این انجمن چهار نشریه منتشر می کند:

بولتن انجمن ریاضی ایران که توسط اشپرینگر منتشر می شود.

مجله انجمن ریاضی ایران

فرهنگ و اندیشه ریاضی

خبرنامه انجمن ریاضی ایران

مسابقات ریاضی این انجمن یکی از با اهمیت‌ترین فعالیت‌های انجمن در شناسایی استعدادهای درخشان در ریاضی است.

== جوایز انجمن ریاضی ==

* جایزه بهزاد
* جایزه مریم میرزاخانی
* جایزه عباس ریاضی کرمانی
* جایزه منوچهر وصال
* جایزه غلامحسین مصاحب
* جایزه ابوالقاسم قربانی
* جایزه تقی فاطمی
* جایزه مهدی رجبعلی پور
* جایزه محمدهادی شفیعی‌ها
* جایزه محسن هشترودی

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>5656rx3214acdgzl7d5uywbuluxb5mo</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117394</id>
      <parentid>117369</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:10:20Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2500" xml:space="preserve">انجمن ریاضی ایران یک انجمنی است در تهران پایتخت ایرات قرار دارد.در اولين‌ کنفر‌انس‌ رياضى‌ ‌اير‌ان‌ که در فروردين‌ماه‌ سال‌ ۱۳۴۹ در د‌انشگاه‌ شير‌از برگز‌ار شد، پيشنهاد تاسيس ‌انجمن‌ رياضى‌ ‌اير‌ان‌ به‌ ‌اتفاق‌ ‌آر‌ا به تصویب رسید. در دومين‌ کنفر‌انس‌ رياضى‌ کشور که فروردين‌ماه‌ سال‌ ۱۳۵۰ در د‌انشگاه‌ صنعتى‌ شريف‌ برگزار شد، انجمن‌ رياضى‌ ‌اير‌ان‌ تأسیس گردید. به دنبال آن، دکتر مهدی بهزاد به‌ سمت‌ منشى‌ (رئيس‌) ‌انجمن‌ ‌انتخاب‌ گردید. در مدت‌ کوتا‌هى‌ جمع زیادی از ا‌عضا‌ى‌ ‌هيئت علمى‌ رياضى‌ د‌انشگا‌هها به ‌عضويت‌ ‌انجمن‌ در‌آمدند. انجمن ریاضی ایران اولین و پرسابقه‌ترین انجمن علمی ایران می‌باشد که با انجمن‌های ریاضی ایالات متحده و فرانسه در همکاری می‌باشد.

ریاست فعلی انجمن بر عهدهٔ دکتر محمد صال مصلحیان، استاد دانشگاه فردوسی مشهد و عضو فرهنگستان علوم ایران، می‌باشد.

این انجمن چهار نشریه منتشر می کند:

بولتن انجمن ریاضی ایران که توسط اشپرینگر منتشر می شود.

مجله انجمن ریاضی ایران

فرهنگ و اندیشه ریاضی

خبرنامه انجمن ریاضی ایران

مسابقات ریاضی این انجمن یکی از با اهمیت‌ترین فعالیت‌های انجمن در شناسایی استعدادهای درخشان در ریاضی است.

== جوایز انجمن ریاضی ==

* جایزه بهزاد
* جایزه مریم میرزاخانی
* جایزه عباس ریاضی کرمانی
* جایزه منوچهر وصال
* جایزه غلامحسین مصاحب
* جایزه ابوالقاسم قربانی
* جایزه تقی فاطمی
* جایزه مهدی رجبعلی پور
* جایزه محمدهادی شفیعی‌ها
* جایزه محسن هشترودی

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>ly142nuym0wfn50j4k6962eusoxz671</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35997</id>
    <revision>
      <id>117370</id>
      <timestamp>2022-07-27T05:13:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «'''فلسفهٔ ریاضیات''' یا '''فلسفهٔ ریاضی''' (به انگلیسی: Philosophy of mathematics)، شاخه‌ای از فلسفه است که به بنیادهای وجودیِ ریاضیات و مباحث مربوط به معرفت‌شناسی ریاضیات می‌پردازد. از مکتب‌های فلسفهٔ ریاضی می‌توان به منطق‌گرایی، شهودگرایی، صورت‌گرایی...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4561" xml:space="preserve">'''فلسفهٔ ریاضیات''' یا '''فلسفهٔ ریاضی''' (به انگلیسی: Philosophy of mathematics)، شاخه‌ای از فلسفه است که به بنیادهای وجودیِ ریاضیات و مباحث مربوط به معرفت‌شناسی ریاضیات می‌پردازد. از مکتب‌های فلسفهٔ ریاضی می‌توان به منطق‌گرایی، شهودگرایی، صورت‌گرایی و افلاطون‌گرایی اشاره کرد.

== مکاتب فلسفه ریاضی ==

=== منطق‌گرایی ===
آموزه منطق‌گرایی عبارت از این است که مفاهیم و قضایای ریاضی به مفاهیم و قضایای منطقی فروکاهیده شود. نظریه کانت دربارهٔ ریاضیات دچار انتقاداتی بود که به ظهور منطق‌گرایی نزد برنارد بولتسانو انجامید.

=== شهودگرایی ===
لویتزن اگبرتوس ژان براوئر که مختصراً براوئر نیز نامیده می‌شود ریاضیدان و فیلسوف هلندی است که نام شهودگرایی در ریاضیات را بر سر زبان‌ها انداخت. بر اساس شهود‌گرایی، ریاضیات مخلوق ذهن است و صدق‌های جملات گزاره‌های ریاضی صرفاً می‌توانند از طریق ساختارهای ذهنی ای درک و فهمیده شوند که اثبات می‌کند آن گزاره صادق است و ارتباط بین ریاضی دانان صرفاً وسیله ای است که می‌تواند فرایندهای ذهنی یکسانی در اذهان گوناگون را به وجود آورد.

=== صورت‌گرایی ===
در این دیدگاه ریاضیات علم نیست، زیرا موضوع مادی مورد مطالعه ندارد، مفروضاتی شهودی و بینشی ندارد تا بتواند به آنها تعبیری بدهد. ریاضیات یک زبان است. ریاضیات وسیله فرمول‌بندی کردن و توسعه نظریه‏‌های علمی است. فرمالیسم یا همان صورت‌گرایی ریاضی عنوانی است که به نظریه دیوید هیلبرت داده شده است، چرا که در صورت‌گرایی تکیه بر جنبهٔ صوری ریاضیات در مقابل معنی یا محتواست و کمابیش مبتنی بر انکار محتوا برای فرمول‌های ریاضی است. هیلبرت اساساً سعی داشت تا ریاضیات را بر پایه‌‏های صرفاً صوری واصل موضوعی استوار سازد. در این دیدگاه، صدق یک نظریهٔ ریاضی بدین معنی است که آن نظریه تناقضی به بار نیاورد و منجر به تناقض نگردد. صورت‌گرایان برخلاف منطق‌گرایان بنیاد ریاضیات را نه در منطق، بلکه صرفاً در مجموعه‏‌ای از نمادهای صوری می‏‌دانند، آنگاه ریاضیات را یک نظام صوری متشکل از احکام ریاضی که تنهادارای صورت هستند، می‏‌انگارند.

== پرسش‌ها ==
از جمله پرسش‌هایی که فلسفهٔ ریاضی، کوشش در پاسخ به آن دارد، این‌ها است:

* منشأ موضوعات ریاضی چه هستند؟
* وضعیت وجودی مفاهیم ریاضی چیست؟
* اشاره به یک شیء ریاضی به چه معناست؟
* شخصیت یک گزارهٔ ریاضی چیست؟
* رابطهٔ بین منطق و ریاضیات چیست؟
* نقش هرمنوتیک در ریاضیات چیست؟
* تحقیق ریاضی به چه معناست و چگونه ممکن است؟
* چه چیزی باعث توانایی ریاضی در تبیین تجربیات می‌شود؟
* نقش ذهن انسان در تولید ریاضیات چیست؟
* زیبایی ریاضی به چه معناست؟
* منبع و ماهیت حقیقت ریاضی چیست؟
* چه رابطه‌ای بین جهان انتزاعی ریاضیات و جهان مادی وجود دارد؟ 

در آغاز قرن بیستم، سه مکتب فلسفهٔ ریاضی برای پاسخ‌گوئی به این‌گونه پرسش‌ها به‌وجود آمد. این سه مکتب به نام‌های شهودگرایی و منطق‌گرایی و صورت‌گرایی معروف‌اند.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>cityaedl23v6kwmsenv7be0dgcmxipw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117393</id>
      <parentid>117370</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:09:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4602" xml:space="preserve">'''فلسفهٔ ریاضیات''' یا '''فلسفهٔ ریاضی''' (به انگلیسی: Philosophy of mathematics)، شاخه‌ای از فلسفه است که به بنیادهای وجودیِ ریاضیات و مباحث مربوط به معرفت‌شناسی ریاضیات می‌پردازد. از مکتب‌های فلسفهٔ ریاضی می‌توان به منطق‌گرایی، شهودگرایی، صورت‌گرایی و افلاطون‌گرایی اشاره کرد.

== مکاتب فلسفه ریاضی ==

=== منطق‌گرایی ===
آموزه منطق‌گرایی عبارت از این است که مفاهیم و قضایای ریاضی به مفاهیم و قضایای منطقی فروکاهیده شود. نظریه کانت دربارهٔ ریاضیات دچار انتقاداتی بود که به ظهور منطق‌گرایی نزد برنارد بولتسانو انجامید.

=== شهودگرایی ===
لویتزن اگبرتوس ژان براوئر که مختصراً براوئر نیز نامیده می‌شود ریاضیدان و فیلسوف هلندی است که نام شهودگرایی در ریاضیات را بر سر زبان‌ها انداخت. بر اساس شهود‌گرایی، ریاضیات مخلوق ذهن است و صدق‌های جملات گزاره‌های ریاضی صرفاً می‌توانند از طریق ساختارهای ذهنی ای درک و فهمیده شوند که اثبات می‌کند آن گزاره صادق است و ارتباط بین ریاضی دانان صرفاً وسیله ای است که می‌تواند فرایندهای ذهنی یکسانی در اذهان گوناگون را به وجود آورد.

=== صورت‌گرایی ===
در این دیدگاه ریاضیات علم نیست، زیرا موضوع مادی مورد مطالعه ندارد، مفروضاتی شهودی و بینشی ندارد تا بتواند به آنها تعبیری بدهد. ریاضیات یک زبان است. ریاضیات وسیله فرمول‌بندی کردن و توسعه نظریه‏‌های علمی است. فرمالیسم یا همان صورت‌گرایی ریاضی عنوانی است که به نظریه دیوید هیلبرت داده شده است، چرا که در صورت‌گرایی تکیه بر جنبهٔ صوری ریاضیات در مقابل معنی یا محتواست و کمابیش مبتنی بر انکار محتوا برای فرمول‌های ریاضی است. هیلبرت اساساً سعی داشت تا ریاضیات را بر پایه‌‏های صرفاً صوری واصل موضوعی استوار سازد. در این دیدگاه، صدق یک نظریهٔ ریاضی بدین معنی است که آن نظریه تناقضی به بار نیاورد و منجر به تناقض نگردد. صورت‌گرایان برخلاف منطق‌گرایان بنیاد ریاضیات را نه در منطق، بلکه صرفاً در مجموعه‏‌ای از نمادهای صوری می‏‌دانند، آنگاه ریاضیات را یک نظام صوری متشکل از احکام ریاضی که تنهادارای صورت هستند، می‏‌انگارند.

== پرسش‌ها ==
از جمله پرسش‌هایی که فلسفهٔ ریاضی، کوشش در پاسخ به آن دارد، این‌ها است:

* منشأ موضوعات ریاضی چه هستند؟
* وضعیت وجودی مفاهیم ریاضی چیست؟
* اشاره به یک شیء ریاضی به چه معناست؟
* شخصیت یک گزارهٔ ریاضی چیست؟
* رابطهٔ بین منطق و ریاضیات چیست؟
* نقش هرمنوتیک در ریاضیات چیست؟
* تحقیق ریاضی به چه معناست و چگونه ممکن است؟
* چه چیزی باعث توانایی ریاضی در تبیین تجربیات می‌شود؟
* نقش ذهن انسان در تولید ریاضیات چیست؟
* زیبایی ریاضی به چه معناست؟
* منبع و ماهیت حقیقت ریاضی چیست؟
* چه رابطه‌ای بین جهان انتزاعی ریاضیات و جهان مادی وجود دارد؟ 

در آغاز قرن بیستم، سه مکتب فلسفهٔ ریاضی برای پاسخ‌گوئی به این‌گونه پرسش‌ها به‌وجود آمد. این سه مکتب به نام‌های شهودگرایی و منطق‌گرایی و صورت‌گرایی معروف‌اند.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>e4b9rvfqq6mttjd3v2pciu5sca1v0gr</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/شاخه های ریاضیات</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35998</id>
    <revision>
      <id>117371</id>
      <timestamp>2022-07-27T05:38:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «شاخه های ریاضیات مربوط به علم هایی است که مربوط به ریاضیات نظری،پایه هستند،ریاضیات بیش از علوم طبیعی شاخه مختلف دارد مثل(حساب،حسابان،هندسه،آمار و احتمال،جبر و معادله،نظریه اعداد،آنالیز ریاضی و...) است.  == حساب == '''حِساب''' شاخه ای از ریاضیات اس...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9555" xml:space="preserve">شاخه های ریاضیات مربوط به علم هایی است که مربوط به ریاضیات نظری،پایه هستند،ریاضیات بیش از علوم طبیعی شاخه مختلف دارد مثل(حساب،حسابان،هندسه،آمار و احتمال،جبر و معادله،نظریه اعداد،آنالیز ریاضی و...) است.

== حساب ==
'''حِساب''' شاخه ای از ریاضیات است که شامل مطالعه اعداد، به‌خصوص خواص عملیات سنتی روی آن ها یعنی جمع، تفاضل(تفریق)، ضرب و تقسیم می باشد. حساب قسمت مقدماتی نظریه اعداد می باشد و نظریه اعداد امروزه به عنوان یکی از اصلی ترین شاخه های ریاضیات (که جایگاه آن در بالاترین قسمت درخت تقسیم بندی گرایش های ریاضی قرار دارد) در نظر گرفته می شود. در کنار نظریه اعداد جبر، هندسه و آنالیز نیز جزو این شاخه های اصلی قرار دارند. عبارت ''حساب'' و ''حساب مرتبه بالاتر'' تا اوایل قرن بیستم به عنوان کلمه هم معنی ''نظریه اعداد'' به کار برده می شد و هنوز هم برای اشاره به قسمت اعظم نظریه اعداد به کار برده می شود.

== حسابان ==
'''حسابان''' (یا '''حساب دیفرانسیل و انتگرال''')، که در گذشته به آن '''حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها''' می گفتند شاخه‌ای از ریاضی است. همان‌گونه که هندسه مطالعه‌ی اشکال و جبر تعمیم عملیات حساب (چهار عمل اصلی) است، حسابان به مطالعه‌ی ریاضیاتی تغییرات پیوسته می پردازد.

حسابان دارای دو شاخه: حساب دیفرانسیل و حساب انتگرالی است. حساب دیفرانسیل به مطالعه نرخ تغییرات و شیب منحنی‌ها پرداخته در حالی که حساب انتگرالی به تجمع مقادیر و نواحی تحت منحنی‌ها می‌پردازد. این دو شاخه توسط قضیه‌ی اساسی حسابان، به یک دیگر مرتبط شده و از مفاهیم بنیادی همگرایی دنباله ها و سری‌های نامتناهی به یک حد خوش تعریف استفاده می‌کنند.

حساب بی‌نهایت‌ کوچک‌ها به طور مستقل در اواخر قرن هفدهم میلادی توسط ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز توسعه یافت. امروزه حسابان در علوم، مهندسی و اقتصاد کاربردهای گسترده‌ای پیدا کرده است.

در آموزش ریاضی، ''حسابان'' نشانگر درسی مقدماتی از آنالیز ریاضی است که به طور عمده به مطالعه توابع و حدود می‌پردازد. کلمه ''حسابان'' (جمع آن ''calculi'' است) یک کلمه لاتین است که معنای اصلی آن سنگ کوچک است. به دلیل این که از تکه های سنگ برای محاسبات استفاده می کردند، معنای این کلمه تکامل یافته و این کاربرد را پیدا کرد. این موضوع شامل موارد دیگری از جمله حساب گزاره‌ای، حساب ریچی، حساب تغییرات، حساب لامبدا و حساب فرآیندی نیز می شود.

== هندسه ==
'''هِندِسه''' (به یونانی: &lt;bdi&gt;γεωμετρία&lt;/bdi&gt;، &lt;bdi&gt;تلفظ: geometria، معنی: زمین‌سنجی&lt;/bdi&gt;)؛ ''ژِئو'' «زمین»، ''مِتریا'' «سنجش، اندازه‌گیری») شاخه‌ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی شکل‌ها و ویژگی‌های فضا سروکار دارد. ریاضیدانی که در شاخهٔ هندسه کار می‌کند هندسه‌دان نامیده می‌شود. هندسه به‌طور مستقل در پاره‌ای از تمدن‌های اولیه به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور کرد و پایه‌ریزی آن به عنوان یک دانش رسمی ریاضی در زمان تالس (قرن ششم پیش از میلاد) در غرب آغاز شد. در قرن سوم پیش از میلاد، هندسه توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی درآمده بود و کار اقلیدس (هندسه اقلیدسی) استانداردی را پایه‌ریزی نمود که قرن‌ها دنبال شد. ارشمیدس روش‌های هوشمندانه‌ای برای محاسبهٔ مساحت و حجم ارائه داد که در بسیاری موارد پیش‌رو حساب انتگرال جدید محسوب می‌شوند. دانش اخترشناسی و به ویژه نگاشتن مکان ستاره‌ها و سیاره‌ها روی کره آسمان و توصیف رابطهٔ بین حرکت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشا بسیاری از پرسش‌های هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای کلاسیک بخشی از کوادریویم بودند که خود زیرمجموعه‌ای از علوم مقدماتی هفتگانه بود که یادگیری آن‌ها برای هر شهروند آزادی ضروری می‌نمود.

== آمارواحتمال ==

=== آمار ===
'''آمار''' شاخه‌ای از ریاضیات است که به گردآوری، تحلیل، و ارائه داده‌ها می‌پردازد. آمار را باید علم استخراج و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه‌گیری و آزمایش) دانست. روش‌های محاسباتی جدیدتر توسط رایانه همچون یادگیری ماشینی، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، در واقع، امتداد و گسترش دانش آمار به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی بوده و امروزه علم آمار را به علم بیان علوم دیگر مبدل ساخته‌است.

=== احتمال ===
به‌طور ساده، '''احتمالات''' به شانس وقوع یک حادثه گفته می‌شود.احتمال معمولاً مورد استفاده برای توصیف نگرش ذهن نسبت به گزاره‌هایی است که ما از حقیقت آن‌ها مطمئن نیستیم. گزاره‌های مورد نظر معمولاً از فرم &quot;آیا یک رویداد خاص رخ می‌دهد؟&quot; و نگرش ذهن ما از فرم &quot;چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟&quot; است. میزان اطمینان ما، قابل توصیف به صورت عددی می‌باشد که این عدد مقداری بین ۰ و ۱ را گرفته و آن را احتمال می نامیم. هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد. در واقع میزان اطمینان ما از اینکه یک واقعه (تصادفی) اتفاق خواهد افتاد.

== جبر و معادله ==

=== جبر ===
'''''جَبر''''' (وام واژه عربی الجبر به‌معنای «یکی‌سازی تکه‌های شکسته‌شده» و «شکسته‌بندی») به همراه نظریه اعداد، هندسه و آنالیز، یکی از وسیع‌ترین شاخه‌های ریاضیات است. جبر در عمومی‌ترین حالت خود به مطالعه این نمادهای ریاضیاتی می پردازد؛ و ریسمانیست که تقریباً تمام ریاضیات را با هم یکپارچه می کند. این شاخه شامل مباحث زیادی مثل حل معادلات مقدماتی تا مطالعه تجریدهایی چون گروه‌ها، حلقه‌ها و میدان‌ها است. بخش های مقدماتی تر جبر را جبر مقدماتی می نامند؛ و بخش های مدرن آن را جبر مجرد یا جبر مدرن می خوانند. جبر مقدماتی اغلب بخش مهم مطالعه ریاضیات، علوم یا مهندسی به علاوه علوم کاربردی دیگری چون پزشکی و اقتصاد می باشد. جبر مجرد یکی از شاخه های اصلی ریاضیات پیشرفته است که عمدتاً توسط ریاضیدانان حرفه ای مطالعه می شود.

=== معادله ===
'''معادله''' در ریاضیات بیان برابری دو چیز با استفاده از نمادهاست. در تمام معادله‌ها علامت تساوی (=) دیده می‌شود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر می‌شوند.در حقیقت معادله نوعی ترازو است که تساوی هردو وزن 50-50یابرابر است

=== واژه شناسی جبر و معادله ===
'''جبر:به معنای جبران کردن.'''

'''معادله:به معنای عدالت و موجب تعادل.'''</text>
      <sha1>n8118lb8vlwjmtfbi8aauwzx21lgmii</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117372</id>
      <parentid>117371</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T05:40:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9604" xml:space="preserve">شاخه های ریاضیات مربوط به علم هایی است که مربوط به ریاضیات نظری،پایه هستند،ریاضیات بیش از علوم طبیعی شاخه مختلف دارد مثل(حساب،حسابان،هندسه،آمار و احتمال،جبر و معادله،نظریه اعداد،آنالیز ریاضی و...) است.

== حساب ==
'''حِساب''' شاخه ای از ریاضیات است که شامل مطالعه اعداد، به‌خصوص خواص عملیات سنتی روی آن ها یعنی جمع، تفاضل(تفریق)، ضرب و تقسیم می باشد. حساب قسمت مقدماتی نظریه اعداد می باشد و نظریه اعداد امروزه به عنوان یکی از اصلی ترین شاخه های ریاضیات (که جایگاه آن در بالاترین قسمت درخت تقسیم بندی گرایش های ریاضی قرار دارد) در نظر گرفته می شود. در کنار نظریه اعداد جبر، هندسه و آنالیز نیز جزو این شاخه های اصلی قرار دارند. عبارت ''حساب'' و ''حساب مرتبه بالاتر'' تا اوایل قرن بیستم به عنوان کلمه هم معنی ''نظریه اعداد'' به کار برده می شد و هنوز هم برای اشاره به قسمت اعظم نظریه اعداد به کار برده می شود.

== حسابان ==
'''حسابان''' (یا '''حساب دیفرانسیل و انتگرال''')، که در گذشته به آن '''حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها''' می گفتند شاخه‌ای از ریاضی است. همان‌گونه که هندسه مطالعه‌ی اشکال و جبر تعمیم عملیات حساب (چهار عمل اصلی) است، حسابان به مطالعه‌ی ریاضیاتی تغییرات پیوسته می پردازد.

حسابان دارای دو شاخه: حساب دیفرانسیل و حساب انتگرالی است. حساب دیفرانسیل به مطالعه نرخ تغییرات و شیب منحنی‌ها پرداخته در حالی که حساب انتگرالی به تجمع مقادیر و نواحی تحت منحنی‌ها می‌پردازد. این دو شاخه توسط قضیه‌ی اساسی حسابان، به یک دیگر مرتبط شده و از مفاهیم بنیادی همگرایی دنباله ها و سری‌های نامتناهی به یک حد خوش تعریف استفاده می‌کنند.

حساب بی‌نهایت‌ کوچک‌ها به طور مستقل در اواخر قرن هفدهم میلادی توسط ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز توسعه یافت. امروزه حسابان در علوم، مهندسی و اقتصاد کاربردهای گسترده‌ای پیدا کرده است.

در آموزش ریاضی، ''حسابان'' نشانگر درسی مقدماتی از آنالیز ریاضی است که به طور عمده به مطالعه توابع و حدود می‌پردازد. کلمه ''حسابان'' (جمع آن ''calculi'' است) یک کلمه لاتین است که معنای اصلی آن سنگ کوچک است. به دلیل این که از تکه های سنگ برای محاسبات استفاده می کردند، معنای این کلمه تکامل یافته و این کاربرد را پیدا کرد. این موضوع شامل موارد دیگری از جمله حساب گزاره‌ای، حساب ریچی، حساب تغییرات، حساب لامبدا و حساب فرآیندی نیز می شود.

== هندسه ==
'''هِندِسه''' (به یونانی: &lt;bdi&gt;γεωμετρία&lt;/bdi&gt;، &lt;bdi&gt;تلفظ: geometria، معنی: زمین‌سنجی&lt;/bdi&gt;)؛ ''ژِئو'' «زمین»، ''مِتریا'' «سنجش، اندازه‌گیری») شاخه‌ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی شکل‌ها و ویژگی‌های فضا سروکار دارد. ریاضیدانی که در شاخهٔ هندسه کار می‌کند هندسه‌دان نامیده می‌شود. هندسه به‌طور مستقل در پاره‌ای از تمدن‌های اولیه به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور کرد و پایه‌ریزی آن به عنوان یک دانش رسمی ریاضی در زمان تالس (قرن ششم پیش از میلاد) در غرب آغاز شد. در قرن سوم پیش از میلاد، هندسه توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی درآمده بود و کار اقلیدس (هندسه اقلیدسی) استانداردی را پایه‌ریزی نمود که قرن‌ها دنبال شد. ارشمیدس روش‌های هوشمندانه‌ای برای محاسبهٔ مساحت و حجم ارائه داد که در بسیاری موارد پیش‌رو حساب انتگرال جدید محسوب می‌شوند. دانش اخترشناسی و به ویژه نگاشتن مکان ستاره‌ها و سیاره‌ها روی کره آسمان و توصیف رابطهٔ بین حرکت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشا بسیاری از پرسش‌های هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای کلاسیک بخشی از کوادریویم بودند که خود زیرمجموعه‌ای از علوم مقدماتی هفتگانه بود که یادگیری آن‌ها برای هر شهروند آزادی ضروری می‌نمود.

== آمارواحتمال ==

=== آمار ===
'''آمار''' شاخه‌ای از ریاضیات است که به گردآوری، تحلیل، و ارائه داده‌ها می‌پردازد. آمار را باید علم استخراج و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه‌گیری و آزمایش) دانست. روش‌های محاسباتی جدیدتر توسط رایانه همچون یادگیری ماشینی، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، در واقع، امتداد و گسترش دانش آمار به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی بوده و امروزه علم آمار را به علم بیان علوم دیگر مبدل ساخته‌است.

=== احتمال ===
به‌طور ساده، '''احتمالات''' به شانس وقوع یک حادثه گفته می‌شود.احتمال معمولاً مورد استفاده برای توصیف نگرش ذهن نسبت به گزاره‌هایی است که ما از حقیقت آن‌ها مطمئن نیستیم. گزاره‌های مورد نظر معمولاً از فرم &quot;آیا یک رویداد خاص رخ می‌دهد؟&quot; و نگرش ذهن ما از فرم &quot;چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟&quot; است. میزان اطمینان ما، قابل توصیف به صورت عددی می‌باشد که این عدد مقداری بین ۰ و ۱ را گرفته و آن را احتمال می نامیم. هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد. در واقع میزان اطمینان ما از اینکه یک واقعه (تصادفی) اتفاق خواهد افتاد.

== جبر و معادله ==

=== جبر ===
'''''جَبر''''' (وام واژه عربی الجبر به‌معنای «یکی‌سازی تکه‌های شکسته‌شده» و «شکسته‌بندی») به همراه نظریه اعداد، هندسه و آنالیز، یکی از وسیع‌ترین شاخه‌های ریاضیات است. جبر در عمومی‌ترین حالت خود به مطالعه این نمادهای ریاضیاتی می پردازد؛ و ریسمانیست که تقریباً تمام ریاضیات را با هم یکپارچه می کند. این شاخه شامل مباحث زیادی مثل حل معادلات مقدماتی تا مطالعه تجریدهایی چون گروه‌ها، حلقه‌ها و میدان‌ها است. بخش های مقدماتی تر جبر را جبر مقدماتی می نامند؛ و بخش های مدرن آن را جبر مجرد یا جبر مدرن می خوانند. جبر مقدماتی اغلب بخش مهم مطالعه ریاضیات، علوم یا مهندسی به علاوه علوم کاربردی دیگری چون پزشکی و اقتصاد می باشد. جبر مجرد یکی از شاخه های اصلی ریاضیات پیشرفته است که عمدتاً توسط ریاضیدانان حرفه ای مطالعه می شود.

=== معادله ===
'''معادله''' در ریاضیات بیان برابری دو چیز با استفاده از نمادهاست. در تمام معادله‌ها علامت تساوی (=) دیده می‌شود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر می‌شوند.در حقیقت معادله نوعی ترازو است که تساوی هردو وزن 50-50یابرابر است

=== واژه شناسی جبر و معادله ===
'''جبر:به معنای جبران کردن.'''

'''معادله:به معنای عدالت و موجب تعادل.'''

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>t7mktgilotaxuvjustobmi6qsuz8ghh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117392</id>
      <parentid>117372</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:09:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9645" xml:space="preserve">شاخه های ریاضیات مربوط به علم هایی است که مربوط به ریاضیات نظری،پایه هستند،ریاضیات بیش از علوم طبیعی شاخه مختلف دارد مثل(حساب،حسابان،هندسه،آمار و احتمال،جبر و معادله،نظریه اعداد،آنالیز ریاضی و...) است.

== حساب ==
'''حِساب''' شاخه ای از ریاضیات است که شامل مطالعه اعداد، به‌خصوص خواص عملیات سنتی روی آن ها یعنی جمع، تفاضل(تفریق)، ضرب و تقسیم می باشد. حساب قسمت مقدماتی نظریه اعداد می باشد و نظریه اعداد امروزه به عنوان یکی از اصلی ترین شاخه های ریاضیات (که جایگاه آن در بالاترین قسمت درخت تقسیم بندی گرایش های ریاضی قرار دارد) در نظر گرفته می شود. در کنار نظریه اعداد جبر، هندسه و آنالیز نیز جزو این شاخه های اصلی قرار دارند. عبارت ''حساب'' و ''حساب مرتبه بالاتر'' تا اوایل قرن بیستم به عنوان کلمه هم معنی ''نظریه اعداد'' به کار برده می شد و هنوز هم برای اشاره به قسمت اعظم نظریه اعداد به کار برده می شود.

== حسابان ==
'''حسابان''' (یا '''حساب دیفرانسیل و انتگرال''')، که در گذشته به آن '''حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها''' می گفتند شاخه‌ای از ریاضی است. همان‌گونه که هندسه مطالعه‌ی اشکال و جبر تعمیم عملیات حساب (چهار عمل اصلی) است، حسابان به مطالعه‌ی ریاضیاتی تغییرات پیوسته می پردازد.

حسابان دارای دو شاخه: حساب دیفرانسیل و حساب انتگرالی است. حساب دیفرانسیل به مطالعه نرخ تغییرات و شیب منحنی‌ها پرداخته در حالی که حساب انتگرالی به تجمع مقادیر و نواحی تحت منحنی‌ها می‌پردازد. این دو شاخه توسط قضیه‌ی اساسی حسابان، به یک دیگر مرتبط شده و از مفاهیم بنیادی همگرایی دنباله ها و سری‌های نامتناهی به یک حد خوش تعریف استفاده می‌کنند.

حساب بی‌نهایت‌ کوچک‌ها به طور مستقل در اواخر قرن هفدهم میلادی توسط ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز توسعه یافت. امروزه حسابان در علوم، مهندسی و اقتصاد کاربردهای گسترده‌ای پیدا کرده است.

در آموزش ریاضی، ''حسابان'' نشانگر درسی مقدماتی از آنالیز ریاضی است که به طور عمده به مطالعه توابع و حدود می‌پردازد. کلمه ''حسابان'' (جمع آن ''calculi'' است) یک کلمه لاتین است که معنای اصلی آن سنگ کوچک است. به دلیل این که از تکه های سنگ برای محاسبات استفاده می کردند، معنای این کلمه تکامل یافته و این کاربرد را پیدا کرد. این موضوع شامل موارد دیگری از جمله حساب گزاره‌ای، حساب ریچی، حساب تغییرات، حساب لامبدا و حساب فرآیندی نیز می شود.

== هندسه ==
'''هِندِسه''' (به یونانی: &lt;bdi&gt;γεωμετρία&lt;/bdi&gt;، &lt;bdi&gt;تلفظ: geometria، معنی: زمین‌سنجی&lt;/bdi&gt;)؛ ''ژِئو'' «زمین»، ''مِتریا'' «سنجش، اندازه‌گیری») شاخه‌ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی شکل‌ها و ویژگی‌های فضا سروکار دارد. ریاضیدانی که در شاخهٔ هندسه کار می‌کند هندسه‌دان نامیده می‌شود. هندسه به‌طور مستقل در پاره‌ای از تمدن‌های اولیه به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور کرد و پایه‌ریزی آن به عنوان یک دانش رسمی ریاضی در زمان تالس (قرن ششم پیش از میلاد) در غرب آغاز شد. در قرن سوم پیش از میلاد، هندسه توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی درآمده بود و کار اقلیدس (هندسه اقلیدسی) استانداردی را پایه‌ریزی نمود که قرن‌ها دنبال شد. ارشمیدس روش‌های هوشمندانه‌ای برای محاسبهٔ مساحت و حجم ارائه داد که در بسیاری موارد پیش‌رو حساب انتگرال جدید محسوب می‌شوند. دانش اخترشناسی و به ویژه نگاشتن مکان ستاره‌ها و سیاره‌ها روی کره آسمان و توصیف رابطهٔ بین حرکت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشا بسیاری از پرسش‌های هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای کلاسیک بخشی از کوادریویم بودند که خود زیرمجموعه‌ای از علوم مقدماتی هفتگانه بود که یادگیری آن‌ها برای هر شهروند آزادی ضروری می‌نمود.

== آمارواحتمال ==

=== آمار ===
'''آمار''' شاخه‌ای از ریاضیات است که به گردآوری، تحلیل، و ارائه داده‌ها می‌پردازد. آمار را باید علم استخراج و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه‌گیری و آزمایش) دانست. روش‌های محاسباتی جدیدتر توسط رایانه همچون یادگیری ماشینی، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، در واقع، امتداد و گسترش دانش آمار به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی بوده و امروزه علم آمار را به علم بیان علوم دیگر مبدل ساخته‌است.

=== احتمال ===
به‌طور ساده، '''احتمالات''' به شانس وقوع یک حادثه گفته می‌شود.احتمال معمولاً مورد استفاده برای توصیف نگرش ذهن نسبت به گزاره‌هایی است که ما از حقیقت آن‌ها مطمئن نیستیم. گزاره‌های مورد نظر معمولاً از فرم &quot;آیا یک رویداد خاص رخ می‌دهد؟&quot; و نگرش ذهن ما از فرم &quot;چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟&quot; است. میزان اطمینان ما، قابل توصیف به صورت عددی می‌باشد که این عدد مقداری بین ۰ و ۱ را گرفته و آن را احتمال می نامیم. هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد. در واقع میزان اطمینان ما از اینکه یک واقعه (تصادفی) اتفاق خواهد افتاد.

== جبر و معادله ==

=== جبر ===
'''''جَبر''''' (وام واژه عربی الجبر به‌معنای «یکی‌سازی تکه‌های شکسته‌شده» و «شکسته‌بندی») به همراه نظریه اعداد، هندسه و آنالیز، یکی از وسیع‌ترین شاخه‌های ریاضیات است. جبر در عمومی‌ترین حالت خود به مطالعه این نمادهای ریاضیاتی می پردازد؛ و ریسمانیست که تقریباً تمام ریاضیات را با هم یکپارچه می کند. این شاخه شامل مباحث زیادی مثل حل معادلات مقدماتی تا مطالعه تجریدهایی چون گروه‌ها، حلقه‌ها و میدان‌ها است. بخش های مقدماتی تر جبر را جبر مقدماتی می نامند؛ و بخش های مدرن آن را جبر مجرد یا جبر مدرن می خوانند. جبر مقدماتی اغلب بخش مهم مطالعه ریاضیات، علوم یا مهندسی به علاوه علوم کاربردی دیگری چون پزشکی و اقتصاد می باشد. جبر مجرد یکی از شاخه های اصلی ریاضیات پیشرفته است که عمدتاً توسط ریاضیدانان حرفه ای مطالعه می شود.

=== معادله ===
'''معادله''' در ریاضیات بیان برابری دو چیز با استفاده از نمادهاست. در تمام معادله‌ها علامت تساوی (=) دیده می‌شود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر می‌شوند.در حقیقت معادله نوعی ترازو است که تساوی هردو وزن 50-50یابرابر است

=== واژه شناسی جبر و معادله ===
'''جبر:به معنای جبران کردن.'''

'''معادله:به معنای عدالت و موجب تعادل.'''

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>5zvmxql7bmblcqnn3601kztadyb5uqr</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35999</id>
    <revision>
      <id>117373</id>
      <timestamp>2022-07-27T05:55:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «جوایز ریاضیات شامل مدال فیلدز(نوبل ریاضی)جایزه وولف و... است  == جایزه فیلدز == مدال '''فیلدز''' جایزه ای است که به دو، سه یا چهار ریاضیدان زیر 40 سال در کنگره بین المللی اتحادیه بین المللی ریاضی (IMU) اهدا می شود، نشستی که هر چهار سال یکبار برگزار می شود...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3958" xml:space="preserve">جوایز ریاضیات شامل مدال فیلدز(نوبل ریاضی)جایزه وولف و... است

== جایزه فیلدز ==
مدال '''فیلدز''' جایزه ای است که به دو، سه یا چهار ریاضیدان زیر 40 سال در کنگره بین المللی اتحادیه بین المللی ریاضی (IMU) اهدا می شود، نشستی که هر چهار سال یکبار برگزار می شود. نام این جایزه به افتخار ریاضیدان کانادایی جان چارلز فیلدز است. 

مدال فیلدز یکی از بالاترین افتخاراتی است که یک ریاضیدان می تواند دریافت کند، و به عنوان جایزه نوبل ریاضیات توصیف شده است ،اگرچه چندین تفاوت عمده وجود دارد، از جمله فراوانی جایزه، تعداد جوایز، محدودیت های سنی، ارزش پولی، و معیارهای جایزه.  طبق نظرسنجی سالانه تعالی دانشگاهی توسط ARWU ، مدال فیلدز به طور مداوم به عنوان بهترین جایزه در زمینه ریاضیات در سراسر جهان در نظر گرفته می شود،  و در نظرسنجی دیگری که توسط IREG در سال 2013-2014 انجام شد، مدال فیلدز به دست آمد. بعد از جایزه هابیلبه عنوان دومین جایزه معتبر بین المللی در ریاضیات. 

این جایزه شامل یک جایزه پولی است که از سال 2006، 15000 دلار کانادا بوده است.  فیلدز در ایجاد جایزه، طراحی مدال خود، و تأمین مالی بخش پولی نقش داشت، اگرچه او قبل از تأسیس آن مرد و برنامه‌اش توسط جان لایتون سینج نظارت شد . 

این مدال برای اولین بار در سال 1936 به ریاضیدان فنلاندی لارس آلفورس و ریاضیدان آمریکایی جسی داگلاس اعطا شد و از سال 1950 هر چهار سال یکبار اعطا می شود. هدف آن شناسایی و حمایت از محققان ریاضی جوانتر است که سهم عمده ای داشته اند. در سال 2014، مریم میرزاخانی ریاضیدان ایرانی اولین زن مدال آور فیلدز شد.  در مجموع، 64 نفر مدال فیلدز را دریافت کرده اند.

جدیدترین گروه مدال آوران فیلدز جوایز خود را در 5 ژوئیه 2022 در یک رویداد آنلاین دریافت کردند که از هلسینکی، فنلاند به صورت زنده پخش شد. در ابتدا قرار بود در سن پترزبورگ روسیه برگزار شود، اما پس از تهاجم روسیه به اوکراین در سال 2022 منتقل شد .

== جایزه وولف ==
جایزه ولف در ریاضی از ۱۹۷۸ تقریباً هرساله در اسرائیل اعطا می‌شود. وبسایت بنیاد ولف جایزه را سالانه می‌خواند ولی برخی جایزه‌ها در بعضی سالها داده نشده و در بعضی سالها تقسیم شده‌است تا پیش از ایجاد جایزه آبل این جایزه نزدیکترین معادل جایزه نوبل در ریاضی بود زیرا جایزه پرافتخارتر مدال فیلدز تنها هر ۴ سال یک بار به ریاضیدانان زیر ۴۰ سال داده می‌شود.

== جایزه آبل ==
جایزهٔ آبل (به انگلیسی: Abel Prize) جایزه‌ای است بین‌المللی که هر ساله توسط شاه نروژ به یک یا چند ریاضی‌دان که کار ارزنده‌ای در ریاضیات انجام داده باشد، داده می‌شود.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>b73x422z93opahcni78iou3db57bgof</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117391</id>
      <parentid>117373</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:08:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3999" xml:space="preserve">جوایز ریاضیات شامل مدال فیلدز(نوبل ریاضی)جایزه وولف و... است

== جایزه فیلدز ==
مدال '''فیلدز''' جایزه ای است که به دو، سه یا چهار ریاضیدان زیر 40 سال در کنگره بین المللی اتحادیه بین المللی ریاضی (IMU) اهدا می شود، نشستی که هر چهار سال یکبار برگزار می شود. نام این جایزه به افتخار ریاضیدان کانادایی جان چارلز فیلدز است. 

مدال فیلدز یکی از بالاترین افتخاراتی است که یک ریاضیدان می تواند دریافت کند، و به عنوان جایزه نوبل ریاضیات توصیف شده است ،اگرچه چندین تفاوت عمده وجود دارد، از جمله فراوانی جایزه، تعداد جوایز، محدودیت های سنی، ارزش پولی، و معیارهای جایزه.  طبق نظرسنجی سالانه تعالی دانشگاهی توسط ARWU ، مدال فیلدز به طور مداوم به عنوان بهترین جایزه در زمینه ریاضیات در سراسر جهان در نظر گرفته می شود،  و در نظرسنجی دیگری که توسط IREG در سال 2013-2014 انجام شد، مدال فیلدز به دست آمد. بعد از جایزه هابیلبه عنوان دومین جایزه معتبر بین المللی در ریاضیات. 

این جایزه شامل یک جایزه پولی است که از سال 2006، 15000 دلار کانادا بوده است.  فیلدز در ایجاد جایزه، طراحی مدال خود، و تأمین مالی بخش پولی نقش داشت، اگرچه او قبل از تأسیس آن مرد و برنامه‌اش توسط جان لایتون سینج نظارت شد . 

این مدال برای اولین بار در سال 1936 به ریاضیدان فنلاندی لارس آلفورس و ریاضیدان آمریکایی جسی داگلاس اعطا شد و از سال 1950 هر چهار سال یکبار اعطا می شود. هدف آن شناسایی و حمایت از محققان ریاضی جوانتر است که سهم عمده ای داشته اند. در سال 2014، مریم میرزاخانی ریاضیدان ایرانی اولین زن مدال آور فیلدز شد.  در مجموع، 64 نفر مدال فیلدز را دریافت کرده اند.

جدیدترین گروه مدال آوران فیلدز جوایز خود را در 5 ژوئیه 2022 در یک رویداد آنلاین دریافت کردند که از هلسینکی، فنلاند به صورت زنده پخش شد. در ابتدا قرار بود در سن پترزبورگ روسیه برگزار شود، اما پس از تهاجم روسیه به اوکراین در سال 2022 منتقل شد .

== جایزه وولف ==
جایزه ولف در ریاضی از ۱۹۷۸ تقریباً هرساله در اسرائیل اعطا می‌شود. وبسایت بنیاد ولف جایزه را سالانه می‌خواند ولی برخی جایزه‌ها در بعضی سالها داده نشده و در بعضی سالها تقسیم شده‌است تا پیش از ایجاد جایزه آبل این جایزه نزدیکترین معادل جایزه نوبل در ریاضی بود زیرا جایزه پرافتخارتر مدال فیلدز تنها هر ۴ سال یک بار به ریاضیدانان زیر ۴۰ سال داده می‌شود.

== جایزه آبل ==
جایزهٔ آبل (به انگلیسی: Abel Prize) جایزه‌ای است بین‌المللی که هر ساله توسط شاه نروژ به یک یا چند ریاضی‌دان که کار ارزنده‌ای در ریاضیات انجام داده باشد، داده می‌شود.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>bd9n6dg1mpenvhi0o1mjgccoql9bd8d</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>بحث کاربر:ALIREZAABADI1381</title>
    <ns>3</ns>
    <id>36000</id>
    <revision>
      <id>117375</id>
      <timestamp>2022-07-27T06:08:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>New user message</username>
        <id>8356</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>افزودن [[الگو:خوشامدید|پیام خوش‌آمد]] به صفحهٔ بحث کاربر تازه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3662" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۶:۰۸ (UTC)</text>
      <sha1>lprwt1o8uutd47w0gko592ss5xut9ml</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>بحث کاربر:Germanylernen</title>
    <ns>3</ns>
    <id>36001</id>
    <revision>
      <id>117376</id>
      <timestamp>2022-07-27T07:53:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>New user message</username>
        <id>8356</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>افزودن [[الگو:خوشامدید|پیام خوش‌آمد]] به صفحهٔ بحث کاربر تازه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3662" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۵۳ (UTC)</text>
      <sha1>latgirz3jbrz13wxuyd6jy0rjdrjqfb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36002</id>
    <revision>
      <id>117380</id>
      <timestamp>2022-07-27T08:47:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «'''زاویه مرکزی زاویه‌ای''' است که راس آن مرکز O یک دایره است و پاها (اضلاع) آن دایره را در دو نقطه متمایز A و B قطع می‌کنند . طول قوس زاویه مرکزی یک دایره به شعاع یک است (بر حسب رادیان اندازه گیری می شود ).  زاویه مرکزی به عنوان فاصله زاویه ای قوس نیز ش...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4028" xml:space="preserve">'''زاویه مرکزی زاویه‌ای''' است که راس آن مرکز O یک دایره است و پاها (اضلاع) آن دایره را در دو نقطه متمایز A و B قطع می‌کنند . طول قوس زاویه مرکزی یک دایره به شعاع یک است (بر حسب رادیان اندازه گیری می شود ).  زاویه مرکزی به عنوان فاصله زاویه ای قوس نیز شناخته می شود .

اندازه یک زاویه مرکزی Θ 0 ° &lt; Θ &lt; 360 درجه یا 0 &lt; Θ &lt; 2π (رادیان) است. هنگام تعریف یا ترسیم یک زاویه مرکزی، علاوه بر مشخص کردن نقاط A و B ، باید مشخص شود که زاویه مورد نظر زاویه محدب (&lt;180 درجه) یا زاویه بازتاب (&gt; 180 درجه) باشد. به طور معادل، باید مشخص کرد که حرکت از نقطه A به نقطه B در جهت عقربه های ساعت است یا خلاف آن.

== فرمول ها ==
اگر نقاط تقاطع A و B پایه های زاویه با دایره قطر تشکیل دهند ، آنگاه Θ = 180 درجه یک زاویه مستقیم است . (در رادیان، Θ = π .)

بگذارید ''L'' قوس '''فرعی''' دایره بین نقاط A و B باشد و R شعاع دایره باشد . 

اگر زاویه مرکزی Θ توسط ''L'' تحت فشار قرار گیرد ، آنگاه&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; 0^{\circ} &lt; \Theta &lt; 180^{\circ} \, , \,\, \Theta = \left( {\frac{180L}{\pi R}} \right) ^{\circ}=\frac{L}{R}.&lt;/math&gt;

'''اثبات (برای مدرک)'''

محیط دایره ای با شعاع R برابر 2π ''R'' است و قوس کوچک ''L'' برابر است با (Θ/360 درجه) بخش متناسب کل محیط ( قوس را ببینید ). بنابراین:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; L=\frac{\Theta}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi R \, \Rightarrow  \, \Theta = \left( {\frac{180L}{\pi R}} \right) ^{\circ}.&lt;/math&gt;

'''اثبات (برای رادیان)'''

محیط دایره ای با شعاع R برابر 2π ''R'' است و قوس کوچک ''L'' برابر است با (Θ/2π) بخش متناسب کل محیط ( قوس را ببینید ). بنابراین&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; L=\frac{\Theta}{2 \pi} \cdot 2 \pi R \, \Rightarrow  \, \Theta = \frac{L}{R}.&lt;/math&gt;

اگر زاویه مرکزی Θ توسط قوس کوچک ''L'' '''تحت تأثیر قرار نگیرد''' ، آنگاه Θ زاویه بازتابی است و
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; 180^{\circ} &lt; \Theta &lt; 360^{\circ} \, , \,\, \Theta = \left( 360 - \frac{180L}{\pi R} \right) ^{\circ}=2\pi-\frac{L}{R}.&lt;/math&gt;
اگر یک مماس در ''A'' و یک مماس در ''B'' در نقطه بیرونی ''P'' قطع شوند ، آنگاه با نشان دادن مرکز به صورت ''O'' ، زوایای ∠ ''BOA'' (محدب) و ∠ ''BPA'' مکمل هستند (مجموع 180 درجه).

== زاویه مرکزی یک چند ضلعی منتظم ==
یک چند ضلعی منتظم با ''n'' ضلع دایره ای محصور دارد که تمام رئوس آن روی آن قرار دارند و مرکز دایره نیز مرکز چند ضلعی است. زاویه مرکزی چند ضلعی منتظم در مرکز توسط شعاع دو راس مجاور تشکیل می شود. اندازه گیری این زاویه است2π/n

== دربعد بالاتر ==
در یک کُره یا بیضی‌گون، زاویهٔ مرکزی را با توجه به دایرهٔ بزرگ مشخص می‌کنیم. مختصات معمولی که برای یک نقطه روی یک کره یا بیضی‌گون در نظر گرفته می‌شود، همان عرض جغرافیایی مزدوج با نماد (&quot;Lat&quot;) یا  و طول جغرافیایی مزدوج با نماد (&quot;Long&quot;) یا  است. و در حقیقت نقطهٔ  نسبت به دایرهٔ بزرگ سنجیده می‌شود.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی</text>
      <sha1>ruefqz2npk7opmshl5igk4uw27w2ufw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117401</id>
      <parentid>117380</parentid>
      <timestamp>2022-07-27T09:16:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4069" xml:space="preserve">'''زاویه مرکزی زاویه‌ای''' است که راس آن مرکز O یک دایره است و پاها (اضلاع) آن دایره را در دو نقطه متمایز A و B قطع می‌کنند . طول قوس زاویه مرکزی یک دایره به شعاع یک است (بر حسب رادیان اندازه گیری می شود ).  زاویه مرکزی به عنوان فاصله زاویه ای قوس نیز شناخته می شود .

اندازه یک زاویه مرکزی Θ 0 ° &lt; Θ &lt; 360 درجه یا 0 &lt; Θ &lt; 2π (رادیان) است. هنگام تعریف یا ترسیم یک زاویه مرکزی، علاوه بر مشخص کردن نقاط A و B ، باید مشخص شود که زاویه مورد نظر زاویه محدب (&lt;180 درجه) یا زاویه بازتاب (&gt; 180 درجه) باشد. به طور معادل، باید مشخص کرد که حرکت از نقطه A به نقطه B در جهت عقربه های ساعت است یا خلاف آن.

== فرمول ها ==
اگر نقاط تقاطع A و B پایه های زاویه با دایره قطر تشکیل دهند ، آنگاه Θ = 180 درجه یک زاویه مستقیم است . (در رادیان، Θ = π .)

بگذارید ''L'' قوس '''فرعی''' دایره بین نقاط A و B باشد و R شعاع دایره باشد . 

اگر زاویه مرکزی Θ توسط ''L'' تحت فشار قرار گیرد ، آنگاه&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; 0^{\circ} &lt; \Theta &lt; 180^{\circ} \, , \,\, \Theta = \left( {\frac{180L}{\pi R}} \right) ^{\circ}=\frac{L}{R}.&lt;/math&gt;

'''اثبات (برای مدرک)'''

محیط دایره ای با شعاع R برابر 2π ''R'' است و قوس کوچک ''L'' برابر است با (Θ/360 درجه) بخش متناسب کل محیط ( قوس را ببینید ). بنابراین:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; L=\frac{\Theta}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi R \, \Rightarrow  \, \Theta = \left( {\frac{180L}{\pi R}} \right) ^{\circ}.&lt;/math&gt;

'''اثبات (برای رادیان)'''

محیط دایره ای با شعاع R برابر 2π ''R'' است و قوس کوچک ''L'' برابر است با (Θ/2π) بخش متناسب کل محیط ( قوس را ببینید ). بنابراین&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; L=\frac{\Theta}{2 \pi} \cdot 2 \pi R \, \Rightarrow  \, \Theta = \frac{L}{R}.&lt;/math&gt;

اگر زاویه مرکزی Θ توسط قوس کوچک ''L'' '''تحت تأثیر قرار نگیرد''' ، آنگاه Θ زاویه بازتابی است و
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; 180^{\circ} &lt; \Theta &lt; 360^{\circ} \, , \,\, \Theta = \left( 360 - \frac{180L}{\pi R} \right) ^{\circ}=2\pi-\frac{L}{R}.&lt;/math&gt;
اگر یک مماس در ''A'' و یک مماس در ''B'' در نقطه بیرونی ''P'' قطع شوند ، آنگاه با نشان دادن مرکز به صورت ''O'' ، زوایای ∠ ''BOA'' (محدب) و ∠ ''BPA'' مکمل هستند (مجموع 180 درجه).

== زاویه مرکزی یک چند ضلعی منتظم ==
یک چند ضلعی منتظم با ''n'' ضلع دایره ای محصور دارد که تمام رئوس آن روی آن قرار دارند و مرکز دایره نیز مرکز چند ضلعی است. زاویه مرکزی چند ضلعی منتظم در مرکز توسط شعاع دو راس مجاور تشکیل می شود. اندازه گیری این زاویه است2π/n

== دربعد بالاتر ==
در یک کُره یا بیضی‌گون، زاویهٔ مرکزی را با توجه به دایرهٔ بزرگ مشخص می‌کنیم. مختصات معمولی که برای یک نقطه روی یک کره یا بیضی‌گون در نظر گرفته می‌شود، همان عرض جغرافیایی مزدوج با نماد (&quot;Lat&quot;) یا  و طول جغرافیایی مزدوج با نماد (&quot;Long&quot;) یا  است. و در حقیقت نقطهٔ  نسبت به دایرهٔ بزرگ سنجیده می‌شود.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>f0psebvofjbwp7vrcpntee3v1lyekos</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>