ورود به دنیای گنو/لینوکس

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10.xsd" version="0.10" xml:lang="fa">
  <siteinfo>
    <sitename>ویکی‌کتاب</sitename>
    <dbname>fawikibooks</dbname>
    <base>https://fa.wikibooks.org/wiki/%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%D9%94_%D8%A7%D8%B5%D9%84%DB%8C</base>
    <generator>MediaWiki 1.39.0-wmf.23</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">مدیا</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">ویژه</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">بحث</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">کاربر</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">بحث کاربر</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">ویکی‌کتاب</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">بحث ویکی‌کتاب</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">پرونده</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">بحث پرونده</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">مدیاویکی</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">بحث مدیاویکی</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">الگو</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">بحث الگو</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">راهنما</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">بحث راهنما</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">رده</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">بحث رده</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">کتاب‌آشپزی</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">بحث کتاب‌آشپزی</namespace>
      <namespace key="110" case="first-letter">ویکی‌کودک</namespace>
      <namespace key="111" case="first-letter">بحث ویکی‌کودک</namespace>
      <namespace key="112" case="first-letter">موضوع</namespace>
      <namespace key="113" case="first-letter">بحث موضوع</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">پودمان</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">بحث پودمان</namespace>
      <namespace key="2300" case="first-letter">ابزار</namespace>
      <namespace key="2301" case="first-letter">بحث ابزار</namespace>
      <namespace key="2302" case="case-sensitive">توضیحات ابزار</namespace>
      <namespace key="2303" case="case-sensitive">بحث توضیحات ابزار</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>ورود به دنیای گنو/لینوکس</title>
    <ns>0</ns>
    <id>9561</id>
    <revision>
      <id>117717</id>
      <parentid>111105</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:10:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <ip>111.119.183.41</ip>
      </contributor>
      <comment>/* فهرست */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1581" xml:space="preserve">
{{چاپ}}

=== فهرست ===

=== فصل اول: آشنایی با گنو/لینوکس ===
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/خوش‌آمدید|خوش‌آمدید]] {{مراحل دهگانه|8}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/مروری بر تاریخچه نرم‌افزارهای آزاد و گنو/لینوکس|مروری بر تاریخچه نرم‌افزارهای آزاد و گنو/لینوکس]] {{مراحل دهگانه|10}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/بررسی مفاهیم و فلسفه نرم‌افزارهای آزاد|بررسی مفاهیم و فلسفه نرم‌افزارهای آزاد]] {{مراحل دهگانه|10}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/مفهوم توزیع|مفهوم توزیع]] {{مراحل دهگانه|10}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/توزیع دبیان|توزیع دبیان]] {{مراحل دهگانه|10}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/آشنایی با مفاهیم اولیه در گنو/لینوکس|آشنایی با مفاهیم اولیه در گنو/لینوکس]] {{مراحل دهگانه|10}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/نصب دبیان|نصب دبیان]] {{مراحل دهگانه|1}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/ورود به سیستم|ورود به سیستم]] {{مراحل دهگانه|10}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/مدیریت سیستم|مدیریت سیستم]] {{مراحل دهگانه|10}}

[[رده:گنو/لینوکس]]</text>
      <sha1>2awkwg37torc27s6w18mtec8gubzdk6</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117718</id>
      <parentid>117717</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:28:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>ویرایش [[Special:Contributions/111.119.183.41|111.119.183.41]] ([[User talk:111.119.183.41|بحث]]) به آخرین تغییری که [[User:Doostdar|Doostdar]] انجام داده بود واگردانده شد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1580" xml:space="preserve">
{{چاپ}}

=== فهرست ===
=== فصل اول: آشنایی با گنو/لینوکس ===
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/خوش‌آمدید|خوش‌آمدید]] {{مراحل دهگانه|8}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/مروری بر تاریخچه نرم‌افزارهای آزاد و گنو/لینوکس|مروری بر تاریخچه نرم‌افزارهای آزاد و گنو/لینوکس]] {{مراحل دهگانه|10}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/بررسی مفاهیم و فلسفه نرم‌افزارهای آزاد|بررسی مفاهیم و فلسفه نرم‌افزارهای آزاد]] {{مراحل دهگانه|10}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/مفهوم توزیع|مفهوم توزیع]] {{مراحل دهگانه|10}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/توزیع دبیان|توزیع دبیان]] {{مراحل دهگانه|10}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/آشنایی با مفاهیم اولیه در گنو/لینوکس|آشنایی با مفاهیم اولیه در گنو/لینوکس]] {{مراحل دهگانه|10}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/نصب دبیان|نصب دبیان]] {{مراحل دهگانه|1}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/ورود به سیستم|ورود به سیستم]] {{مراحل دهگانه|10}}
* [[ورود به دنیای گنو/لینوکس/مدیریت سیستم|مدیریت سیستم]] {{مراحل دهگانه|10}}

[[رده:گنو/لینوکس]]</text>
      <sha1>606pw8588m3k0euapujojfdfw6l4uio</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>آموزش زبان ایتالیایی/ورود</title>
    <ns>0</ns>
    <id>32368</id>
    <revision>
      <id>117737</id>
      <parentid>108514</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:58:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="756" xml:space="preserve">* [[آموزش زبان ایتالیایی/مقدمه|مقدمه]]
* [[آموزش زبان ایتالیایی/حروف ایتالیایی|حروف]]
* [[آموزش زبان ایتالیایی/چگونگی تلفظ واژه‌ها در زبان ایتالیایی|چگونگی تلفظ واژه‌ها در زبان ایتالیایی]]
* [[آموزش زبان ایتالیایی/اعداد|اعداد]]
* [[آموزش زبان ایتالیایی/تاریخ، روزهای هفته و ساعت|تاریخ، روزهای هفته و ساعت]]
* [[آموزش زبان ایتالیایی/فرهنگ لغات|لغتنامه]]
* [[آموزش زبان ایتالیایی/دستور زبان|دستور زبان]]
[[رده:آموزش زبان ایتالیایی]]</text>
      <sha1>iyvlp44z5dna1pkg5wa9qq8wtcskyjh</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35952</id>
    <revision>
      <id>117704</id>
      <parentid>117679</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:37:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7193" xml:space="preserve">{{وضعیت|25%}}
{{در دست ویرایش ۲|ماه=ژانویه|روز=۲۵|سال=۲۰۲۳}}
{{مداوم}}
{{کمک}}

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته ریاضیات را به نمایش می گذارد. دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان، آنالیز، هندسه و ... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد، ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش می دهد. مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم، به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آن ها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== درباره ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات|ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|جوایز ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/شاخه های ریاضیات|شاخه های ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/علوم ریاضیات|علوم ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات کاربردی|ریاضیات کاربردی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات محض|ریاضیات محض]]
*[[ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|فلسفه ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران|انجمن ریاضیات ایران]]
== ریاضیات گسسته ==
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
# منطق(مطالعه استدلال)
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
# [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
# هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
# الگوریتم‌شناسی
# نظریه اطلاعات 
# نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
# نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
# جبر خطی
# مجموعه جزئاً مرتب 
# احتمالات 
# برهان(ریاضیات) 
# شمارش
# رابطه دوتایی

== حسابان ==
#حساب دیفرانسیل
#انتگرال
#مثلثات
#مثلثات کروی
#تابع(ریاضیات)
#تابع لگاریتمی
#معادله خطی
#جبر و معادله
#حد و پیوستگی
#حد نامتناهی
#حد متناهی
#مشتق

== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه فضایی|هندسه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه اقلیدسی|هندسه اقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه نااقلیدسی|هندسه نااقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تحلیلی|هندسه تحلیلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه ریمانی|هندسه ریمانی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه جبری|هندسه جبری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه دیفرانسیل|هندسه دیفرانسیل]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تصویری|هندسه تصویری]]

=== مفاهیم مورد هندسی ===
#[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
#[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
#[[ریاضیات پیشرفته/استوانه|استوانه]]
#[[ریاضیات پیشرفته/کره|کره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هرم|هرم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/مخروط|مخروط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چهاروجهی منتظم|چهاروجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/متوازی السطوح|متوازی السطوح]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هشت وجهی منتظم|هشت وجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چنبره|چنبره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/دوران|دوران]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی|زاویه مرکزی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه فضایی|زاویه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/قطاع|قطاع]]
#[[ریاضیات پیشرفته/رادیان|رادیان]]
#[[ریاضیات پیشرفته/گرادیان|گرادیان]]

== آنالیز ریاضی ==
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز حقیقی|آنالیز حقیقی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط|آنالیز مختلط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تابعی|آنالیز تابعی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز هارمونیک|آنالیز هارمونیک]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده|آنالیز پیچیده]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز عددی|آنالیز عددی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز برداری|آنالیز برداری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز اسکالر|آنالیز اسکالر]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تانسور|آنالیز تانسور]]
== آمار و احتمال ==
#دسته بندی دادها
#[[ریاضیات پیشرفته/قانون احتمال کل|قانون احتمال کل]]
#میانگین
#نمودارها
#متغیرهای آمار
#آمار استنباطی
#آمار توصیفی
#مبانی ریاضیات
#تعداد حالت های ممکن
#پیشامدهای مستقل
#احتمال شرطی
#مجموعه و احتمال
#جامعه و نمونه&lt;br /&gt;
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]</text>
      <sha1>d2ic2gv88dizfhbnoy9rq14vlz5t58o</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117721</id>
      <parentid>117704</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:34:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>/* درباره ریاضیات */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7216" xml:space="preserve">{{وضعیت|25%}}
{{در دست ویرایش ۲|ماه=ژانویه|روز=۲۵|سال=۲۰۲۳}}
{{مداوم}}
{{کمک}}

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته ریاضیات را به نمایش می گذارد. دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان، آنالیز، هندسه و ... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد، ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش می دهد. مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم، به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آن ها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== درباره ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات|تعریف ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|جوایز ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/شاخه های ریاضیات|شاخه های ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/علوم ریاضیات|علوم ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات کاربردی|ریاضیات کاربردی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات محض|ریاضیات محض]]
*[[ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|فلسفه ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران|انجمن ریاضیات ایران]]

== ریاضیات گسسته ==
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
# منطق(مطالعه استدلال)
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
# [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
# هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
# الگوریتم‌شناسی
# نظریه اطلاعات 
# نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
# نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
# جبر خطی
# مجموعه جزئاً مرتب 
# احتمالات 
# برهان(ریاضیات) 
# شمارش
# رابطه دوتایی

== حسابان ==
#حساب دیفرانسیل
#انتگرال
#مثلثات
#مثلثات کروی
#تابع(ریاضیات)
#تابع لگاریتمی
#معادله خطی
#جبر و معادله
#حد و پیوستگی
#حد نامتناهی
#حد متناهی
#مشتق

== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه فضایی|هندسه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه اقلیدسی|هندسه اقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه نااقلیدسی|هندسه نااقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تحلیلی|هندسه تحلیلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه ریمانی|هندسه ریمانی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه جبری|هندسه جبری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه دیفرانسیل|هندسه دیفرانسیل]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تصویری|هندسه تصویری]]

=== مفاهیم مورد هندسی ===
#[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
#[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
#[[ریاضیات پیشرفته/استوانه|استوانه]]
#[[ریاضیات پیشرفته/کره|کره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هرم|هرم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/مخروط|مخروط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چهاروجهی منتظم|چهاروجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/متوازی السطوح|متوازی السطوح]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هشت وجهی منتظم|هشت وجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چنبره|چنبره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/دوران|دوران]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی|زاویه مرکزی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه فضایی|زاویه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/قطاع|قطاع]]
#[[ریاضیات پیشرفته/رادیان|رادیان]]
#[[ریاضیات پیشرفته/گرادیان|گرادیان]]

== آنالیز ریاضی ==
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز حقیقی|آنالیز حقیقی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط|آنالیز مختلط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تابعی|آنالیز تابعی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز هارمونیک|آنالیز هارمونیک]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده|آنالیز پیچیده]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز عددی|آنالیز عددی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز برداری|آنالیز برداری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز اسکالر|آنالیز اسکالر]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تانسور|آنالیز تانسور]]
== آمار و احتمال ==
#دسته بندی دادها
#[[ریاضیات پیشرفته/قانون احتمال کل|قانون احتمال کل]]
#میانگین
#نمودارها
#متغیرهای آمار
#آمار استنباطی
#آمار توصیفی
#مبانی ریاضیات
#تعداد حالت های ممکن
#پیشامدهای مستقل
#احتمال شرطی
#مجموعه و احتمال
#جامعه و نمونه&lt;br /&gt;
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]</text>
      <sha1>62jw5secbbjufjftfbpcv2fyahvqt6v</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117725</id>
      <parentid>117721</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:40:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>علوم ریاضیات فقط نام یک رشته است و ربطی به این کتاب ندارد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7133" xml:space="preserve">{{وضعیت|25%}}
{{در دست ویرایش ۲|ماه=ژانویه|روز=۲۵|سال=۲۰۲۳}}
{{مداوم}}
{{کمک}}

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته ریاضیات را به نمایش می گذارد. دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان، آنالیز، هندسه و ... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد، ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش می دهد. مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم، به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آن ها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== درباره ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات|تعریف ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|جوایز ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/شاخه های ریاضیات|شاخه های ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات کاربردی|ریاضیات کاربردی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات محض|ریاضیات محض]]
*[[ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|فلسفه ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران|انجمن ریاضیات ایران]]

== ریاضیات گسسته ==
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
# منطق(مطالعه استدلال)
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
# [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
# هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
# الگوریتم‌شناسی
# نظریه اطلاعات 
# نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
# نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
# جبر خطی
# مجموعه جزئاً مرتب 
# احتمالات 
# برهان(ریاضیات) 
# شمارش
# رابطه دوتایی

== حسابان ==
#حساب دیفرانسیل
#انتگرال
#مثلثات
#مثلثات کروی
#تابع(ریاضیات)
#تابع لگاریتمی
#معادله خطی
#جبر و معادله
#حد و پیوستگی
#حد نامتناهی
#حد متناهی
#مشتق

== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه فضایی|هندسه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه اقلیدسی|هندسه اقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه نااقلیدسی|هندسه نااقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تحلیلی|هندسه تحلیلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه ریمانی|هندسه ریمانی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه جبری|هندسه جبری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه دیفرانسیل|هندسه دیفرانسیل]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تصویری|هندسه تصویری]]

=== مفاهیم مورد هندسی ===
#[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
#[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
#[[ریاضیات پیشرفته/استوانه|استوانه]]
#[[ریاضیات پیشرفته/کره|کره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هرم|هرم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/مخروط|مخروط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چهاروجهی منتظم|چهاروجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/متوازی السطوح|متوازی السطوح]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هشت وجهی منتظم|هشت وجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چنبره|چنبره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/دوران|دوران]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی|زاویه مرکزی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه فضایی|زاویه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/قطاع|قطاع]]
#[[ریاضیات پیشرفته/رادیان|رادیان]]
#[[ریاضیات پیشرفته/گرادیان|گرادیان]]

== آنالیز ریاضی ==
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز حقیقی|آنالیز حقیقی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط|آنالیز مختلط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تابعی|آنالیز تابعی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز هارمونیک|آنالیز هارمونیک]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده|آنالیز پیچیده]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز عددی|آنالیز عددی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز برداری|آنالیز برداری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز اسکالر|آنالیز اسکالر]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تانسور|آنالیز تانسور]]
== آمار و احتمال ==
#دسته بندی دادها
#[[ریاضیات پیشرفته/قانون احتمال کل|قانون احتمال کل]]
#میانگین
#نمودارها
#متغیرهای آمار
#آمار استنباطی
#آمار توصیفی
#مبانی ریاضیات
#تعداد حالت های ممکن
#پیشامدهای مستقل
#احتمال شرطی
#مجموعه و احتمال
#جامعه و نمونه&lt;br /&gt;
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]</text>
      <sha1>j1ek8h5whum3x9d66wdhwo5phagi96m</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117728</id>
      <parentid>117725</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:43:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>/* درباره ریاضیات */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7135" xml:space="preserve">{{وضعیت|25%}}
{{در دست ویرایش ۲|ماه=ژانویه|روز=۲۵|سال=۲۰۲۳}}
{{مداوم}}
{{کمک}}

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته ریاضیات را به نمایش می گذارد. دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان، آنالیز، هندسه و ... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد، ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش می دهد. مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم، به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آن ها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== درباره ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات|تعریف ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|جوایز ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/شاخه‌های ریاضیات|شاخه های ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات کاربردی|ریاضیات کاربردی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات محض|ریاضیات محض]]
*[[ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|فلسفه ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران|انجمن ریاضیات ایران]]

== ریاضیات گسسته ==
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
# منطق(مطالعه استدلال)
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
# [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
# هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
# الگوریتم‌شناسی
# نظریه اطلاعات 
# نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
# نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
# جبر خطی
# مجموعه جزئاً مرتب 
# احتمالات 
# برهان(ریاضیات) 
# شمارش
# رابطه دوتایی

== حسابان ==
#حساب دیفرانسیل
#انتگرال
#مثلثات
#مثلثات کروی
#تابع(ریاضیات)
#تابع لگاریتمی
#معادله خطی
#جبر و معادله
#حد و پیوستگی
#حد نامتناهی
#حد متناهی
#مشتق

== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه فضایی|هندسه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه اقلیدسی|هندسه اقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه نااقلیدسی|هندسه نااقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تحلیلی|هندسه تحلیلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه ریمانی|هندسه ریمانی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه جبری|هندسه جبری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه دیفرانسیل|هندسه دیفرانسیل]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تصویری|هندسه تصویری]]

=== مفاهیم مورد هندسی ===
#[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
#[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
#[[ریاضیات پیشرفته/استوانه|استوانه]]
#[[ریاضیات پیشرفته/کره|کره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هرم|هرم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/مخروط|مخروط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چهاروجهی منتظم|چهاروجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/متوازی السطوح|متوازی السطوح]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هشت وجهی منتظم|هشت وجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چنبره|چنبره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/دوران|دوران]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی|زاویه مرکزی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه فضایی|زاویه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/قطاع|قطاع]]
#[[ریاضیات پیشرفته/رادیان|رادیان]]
#[[ریاضیات پیشرفته/گرادیان|گرادیان]]

== آنالیز ریاضی ==
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز حقیقی|آنالیز حقیقی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط|آنالیز مختلط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تابعی|آنالیز تابعی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز هارمونیک|آنالیز هارمونیک]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده|آنالیز پیچیده]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز عددی|آنالیز عددی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز برداری|آنالیز برداری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز اسکالر|آنالیز اسکالر]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تانسور|آنالیز تانسور]]
== آمار و احتمال ==
#دسته بندی دادها
#[[ریاضیات پیشرفته/قانون احتمال کل|قانون احتمال کل]]
#میانگین
#نمودارها
#متغیرهای آمار
#آمار استنباطی
#آمار توصیفی
#مبانی ریاضیات
#تعداد حالت های ممکن
#پیشامدهای مستقل
#احتمال شرطی
#مجموعه و احتمال
#جامعه و نمونه&lt;br /&gt;
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]</text>
      <sha1>iy5ii2aclv51fvlsvnsfwdyykij9p6p</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117739</id>
      <parentid>117728</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T20:12:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>added [[Category:ریاضیات پیشرفته]] با استفاده از رده‌ساز</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7177" xml:space="preserve">{{وضعیت|25%}}
{{در دست ویرایش ۲|ماه=ژانویه|روز=۲۵|سال=۲۰۲۳}}
{{مداوم}}
{{کمک}}

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته ریاضیات را به نمایش می گذارد. دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان، آنالیز، هندسه و ... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد، ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش می دهد. مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم، به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آن ها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== درباره ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات|تعریف ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|جوایز ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/شاخه‌های ریاضیات|شاخه های ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات کاربردی|ریاضیات کاربردی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات محض|ریاضیات محض]]
*[[ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|فلسفه ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران|انجمن ریاضیات ایران]]

== ریاضیات گسسته ==
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
# منطق(مطالعه استدلال)
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
# [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
# هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
# الگوریتم‌شناسی
# نظریه اطلاعات 
# نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
# نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
# جبر خطی
# مجموعه جزئاً مرتب 
# احتمالات 
# برهان(ریاضیات) 
# شمارش
# رابطه دوتایی

== حسابان ==
#حساب دیفرانسیل
#انتگرال
#مثلثات
#مثلثات کروی
#تابع(ریاضیات)
#تابع لگاریتمی
#معادله خطی
#جبر و معادله
#حد و پیوستگی
#حد نامتناهی
#حد متناهی
#مشتق

== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه فضایی|هندسه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه اقلیدسی|هندسه اقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه نااقلیدسی|هندسه نااقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تحلیلی|هندسه تحلیلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه ریمانی|هندسه ریمانی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه جبری|هندسه جبری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه دیفرانسیل|هندسه دیفرانسیل]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تصویری|هندسه تصویری]]

=== مفاهیم مورد هندسی ===
#[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
#[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
#[[ریاضیات پیشرفته/استوانه|استوانه]]
#[[ریاضیات پیشرفته/کره|کره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هرم|هرم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/مخروط|مخروط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چهاروجهی منتظم|چهاروجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/متوازی السطوح|متوازی السطوح]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هشت وجهی منتظم|هشت وجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چنبره|چنبره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/دوران|دوران]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی|زاویه مرکزی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه فضایی|زاویه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/قطاع|قطاع]]
#[[ریاضیات پیشرفته/رادیان|رادیان]]
#[[ریاضیات پیشرفته/گرادیان|گرادیان]]

== آنالیز ریاضی ==
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز حقیقی|آنالیز حقیقی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط|آنالیز مختلط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تابعی|آنالیز تابعی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز هارمونیک|آنالیز هارمونیک]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده|آنالیز پیچیده]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز عددی|آنالیز عددی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز برداری|آنالیز برداری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز اسکالر|آنالیز اسکالر]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تانسور|آنالیز تانسور]]
== آمار و احتمال ==
#دسته بندی دادها
#[[ریاضیات پیشرفته/قانون احتمال کل|قانون احتمال کل]]
#میانگین
#نمودارها
#متغیرهای آمار
#آمار استنباطی
#آمار توصیفی
#مبانی ریاضیات
#تعداد حالت های ممکن
#پیشامدهای مستقل
#احتمال شرطی
#مجموعه و احتمال
#جامعه و نمونه&lt;br /&gt;
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]

[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>1rj1egabxbokm8b3envu46vt1k6zt87</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117750</id>
      <parentid>117739</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T05:50:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7229" xml:space="preserve">{{وضعیت|25%}}
{{در دست ویرایش ۲|ماه=ژانویه|روز=۲۵|سال=۲۰۲۳}}
{{مداوم}}
{{کمک}}

&lt;code&gt;آمار صفحات کتاب:۹۵تا&lt;/code&gt;

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته ریاضیات را به نمایش می گذارد. دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان، آنالیز، هندسه و ... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد، ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش می دهد. مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم، به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آن ها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== درباره ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات|تعریف ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|جوایز ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/شاخه‌های ریاضیات|شاخه های ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات کاربردی|ریاضیات کاربردی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات محض|ریاضیات محض]]
*[[ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|فلسفه ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران|انجمن ریاضیات ایران]]

== ریاضیات گسسته ==
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
# منطق(مطالعه استدلال)
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
# [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
# هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
# الگوریتم‌شناسی
# نظریه اطلاعات 
# نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
# نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
# جبر خطی
# مجموعه جزئاً مرتب 
# احتمالات 
# برهان(ریاضیات) 
# شمارش
# رابطه دوتایی

== حسابان ==
#حساب دیفرانسیل
#انتگرال
#مثلثات
#مثلثات کروی
#تابع(ریاضیات)
#تابع لگاریتمی
#معادله خطی
#جبر و معادله
#حد و پیوستگی
#حد نامتناهی
#حد متناهی
#مشتق

== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه فضایی|هندسه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه اقلیدسی|هندسه اقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه نااقلیدسی|هندسه نااقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تحلیلی|هندسه تحلیلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه ریمانی|هندسه ریمانی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه جبری|هندسه جبری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه دیفرانسیل|هندسه دیفرانسیل]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تصویری|هندسه تصویری]]

=== مفاهیم مورد هندسی ===
#[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
#[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
#[[ریاضیات پیشرفته/استوانه|استوانه]]
#[[ریاضیات پیشرفته/کره|کره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هرم|هرم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/مخروط|مخروط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چهاروجهی منتظم|چهاروجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/متوازی السطوح|متوازی السطوح]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هشت وجهی منتظم|هشت وجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چنبره|چنبره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/دوران|دوران]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی|زاویه مرکزی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه فضایی|زاویه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/قطاع|قطاع]]
#[[ریاضیات پیشرفته/رادیان|رادیان]]
#[[ریاضیات پیشرفته/گرادیان|گرادیان]]

== آنالیز ریاضی ==
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز حقیقی|آنالیز حقیقی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط|آنالیز مختلط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تابعی|آنالیز تابعی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز هارمونیک|آنالیز هارمونیک]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده|آنالیز پیچیده]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز عددی|آنالیز عددی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز برداری|آنالیز برداری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز اسکالر|آنالیز اسکالر]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تانسور|آنالیز تانسور]]
== آمار و احتمال ==
#دسته بندی دادها
#[[ریاضیات پیشرفته/قانون احتمال کل|قانون احتمال کل]]
#میانگین
#نمودارها
#متغیرهای آمار
#آمار استنباطی
#آمار توصیفی
#مبانی ریاضیات
#تعداد حالت های ممکن
#پیشامدهای مستقل
#احتمال شرطی
#مجموعه و احتمال
#جامعه و نمونه&lt;br /&gt;
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]

[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>mvb0o8f9atxr9tpvekdij4v8opcgglv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117751</id>
      <parentid>117750</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T09:46:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7388" xml:space="preserve">{{وضعیت|25%}}
{{در دست ویرایش ۲|ماه=ژانویه|روز=۲۵|سال=۲۰۲۳}}
{{مداوم}}
{{کمک}}

&lt;code&gt;آمار صفحات کتاب:۹۵تا&lt;/code&gt;

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته ریاضیات را به نمایش می گذارد. دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان، آنالیز، هندسه و ... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد، ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش می دهد. مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم، به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آن ها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== درباره ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات|تعریف ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|جوایز ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/شاخه‌های ریاضیات|شاخه های ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات کاربردی|ریاضیات کاربردی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات محض|ریاضیات محض]]
*[[ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|فلسفه ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران|انجمن ریاضیات ایران]]

== ریاضیات گسسته ==
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
# منطق(مطالعه استدلال)
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
# [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
# هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
# الگوریتم‌شناسی
# نظریه اطلاعات 
# نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
# نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
# جبر خطی
# مجموعه جزئاً مرتب 
# احتمالات 
# برهان(ریاضیات) 
# شمارش
# رابطه دوتایی

== حسابان ==
#حساب دیفرانسیل
#انتگرال
#انتگرال سری فویه
#سری فورسه
#تبدیل فوریه
#معادله لاپلاس
#تبدیل لاپلاس
#معادله دیفرانسیل
#مثلثات
#مثلثات کروی
#تابع(ریاضیات)
#تابع لگاریتمی
#معادله خطی
#جبر و معادله
#حد و پیوستگی
#حد نامتناهی
#حد متناهی
#مشتق

== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه فضایی|هندسه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه اقلیدسی|هندسه اقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه نااقلیدسی|هندسه نااقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تحلیلی|هندسه تحلیلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه ریمانی|هندسه ریمانی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه جبری|هندسه جبری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه دیفرانسیل|هندسه دیفرانسیل]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تصویری|هندسه تصویری]]

=== مفاهیم مورد هندسی ===
#[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
#[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
#[[ریاضیات پیشرفته/استوانه|استوانه]]
#[[ریاضیات پیشرفته/کره|کره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هرم|هرم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/مخروط|مخروط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چهاروجهی منتظم|چهاروجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/متوازی السطوح|متوازی السطوح]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هشت وجهی منتظم|هشت وجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چنبره|چنبره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/دوران|دوران]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی|زاویه مرکزی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه فضایی|زاویه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/قطاع|قطاع]]
#[[ریاضیات پیشرفته/رادیان|رادیان]]
#[[ریاضیات پیشرفته/گرادیان|گرادیان]]

== آنالیز ریاضی ==
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز حقیقی|آنالیز حقیقی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط|آنالیز مختلط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تابعی|آنالیز تابعی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز هارمونیک|آنالیز هارمونیک]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده|آنالیز پیچیده]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز عددی|آنالیز عددی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز برداری|آنالیز برداری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز اسکالر|آنالیز اسکالر]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تانسور|آنالیز تانسور]]
== آمار و احتمال ==
#دسته بندی دادها
#[[ریاضیات پیشرفته/قانون احتمال کل|قانون احتمال کل]]
#میانگین
#نمودارها
#متغیرهای آمار
#آمار استنباطی
#آمار توصیفی
#مبانی ریاضیات
#تعداد حالت های ممکن
#پیشامدهای مستقل
#احتمال شرطی
#مجموعه و احتمال
#جامعه و نمونه&lt;br /&gt;
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]

[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>ikee6pxyjq5q7sjovbwx5m8y5ycwt93</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117752</id>
      <parentid>117751</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T09:46:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7386" xml:space="preserve">{{وضعیت|25%}}
{{در دست ویرایش ۲|ماه=ژانویه|روز=۲۵|سال=۲۰۲۳}}
{{مداوم}}
{{کمک}}

&lt;code&gt;آمار صفحات کتاب:۱۰۱&lt;/code&gt;

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته ریاضیات را به نمایش می گذارد. دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان، آنالیز، هندسه و ... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد، ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش می دهد. مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم، به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آن ها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== درباره ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات|تعریف ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|جوایز ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/شاخه‌های ریاضیات|شاخه های ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات کاربردی|ریاضیات کاربردی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات محض|ریاضیات محض]]
*[[ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|فلسفه ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران|انجمن ریاضیات ایران]]

== ریاضیات گسسته ==
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
# منطق(مطالعه استدلال)
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
# [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
# هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
# الگوریتم‌شناسی
# نظریه اطلاعات 
# نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
# نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
# جبر خطی
# مجموعه جزئاً مرتب 
# احتمالات 
# برهان(ریاضیات) 
# شمارش
# رابطه دوتایی

== حسابان ==
#حساب دیفرانسیل
#انتگرال
#انتگرال سری فویه
#سری فورسه
#تبدیل فوریه
#معادله لاپلاس
#تبدیل لاپلاس
#معادله دیفرانسیل
#مثلثات
#مثلثات کروی
#تابع(ریاضیات)
#تابع لگاریتمی
#معادله خطی
#جبر و معادله
#حد و پیوستگی
#حد نامتناهی
#حد متناهی
#مشتق

== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه فضایی|هندسه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه اقلیدسی|هندسه اقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه نااقلیدسی|هندسه نااقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تحلیلی|هندسه تحلیلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه ریمانی|هندسه ریمانی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه جبری|هندسه جبری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه دیفرانسیل|هندسه دیفرانسیل]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تصویری|هندسه تصویری]]

=== مفاهیم مورد هندسی ===
#[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
#[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
#[[ریاضیات پیشرفته/استوانه|استوانه]]
#[[ریاضیات پیشرفته/کره|کره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هرم|هرم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/مخروط|مخروط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چهاروجهی منتظم|چهاروجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/متوازی السطوح|متوازی السطوح]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هشت وجهی منتظم|هشت وجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چنبره|چنبره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/دوران|دوران]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی|زاویه مرکزی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه فضایی|زاویه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/قطاع|قطاع]]
#[[ریاضیات پیشرفته/رادیان|رادیان]]
#[[ریاضیات پیشرفته/گرادیان|گرادیان]]

== آنالیز ریاضی ==
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز حقیقی|آنالیز حقیقی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط|آنالیز مختلط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تابعی|آنالیز تابعی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز هارمونیک|آنالیز هارمونیک]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده|آنالیز پیچیده]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز عددی|آنالیز عددی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز برداری|آنالیز برداری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز اسکالر|آنالیز اسکالر]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تانسور|آنالیز تانسور]]
== آمار و احتمال ==
#دسته بندی دادها
#[[ریاضیات پیشرفته/قانون احتمال کل|قانون احتمال کل]]
#میانگین
#نمودارها
#متغیرهای آمار
#آمار استنباطی
#آمار توصیفی
#مبانی ریاضیات
#تعداد حالت های ممکن
#پیشامدهای مستقل
#احتمال شرطی
#مجموعه و احتمال
#جامعه و نمونه&lt;br /&gt;
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]

[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>hn7ufgnoz20idb3uz4gql1p8coljw0l</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>بحث:ریاضیات پیشرفته</title>
    <ns>1</ns>
    <id>35955</id>
    <revision>
      <id>117730</id>
      <parentid>117540</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:45:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>/* انجمن ایران */ بخش جدید</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7278" xml:space="preserve">==مشارکت در نوشتن==
این کتاب خالی است و به کاربران زیادی به آن احتیاج داریم،شما کاربران عزیز می توانید در اینجا شرکت کنید و مقالات زیادی را بر اساس تحقیقات هایی که کردید ارائه دهید.
:{{پینگ|HEJJWJDEJDNSGWTG}} شوربختانه تعداد کاربران ویکی‌کتاب فارسی هم اکنون کم است. در گذشته تعداد کاربران فعال نوسان داشته است. با توجه به کمبود کاربر و حتی در صورت وجود کاربران کافی، مسئولیت نوشتن یک کتاب در درجه اول بر عهده کاربری است که آن را ایجاد کرده است. با سپاس از توجه شما. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۰۰ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۳۰ (UTC)

چه حیف باشد خودمان این کتاب را کامل می کنیم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۰۳ (UTC)

== مبحث های جدید ==

کاربران عزیز،هرسوالی داشتید از مولفان و ما بپرسید.
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۰۶ (UTC)

:دو صفحه که اخیرا ایجاد کردید به نام های زاویه ظلی و زاویه محاطی هم زیر فصل مفاهیم مهم نوشته شده‌اند هم هندسه. قاعدتا فقط یک بار باید نوشته شوند. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۱۱ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۱ (UTC)

== تاریخ ریاضیات ==

{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} این که کتاب تاریخ نیست در آن مطلب در مورد تاریخچه ریاضیات نوشته اید. به نظرم خیلی از موضوع کتاب فاصله گرفته است. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۶ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۳۸ (ایران) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۸ (UTC)

درود بر شما کاربر دوستدار،یعنی محتوایش با موضوعش فرق دارد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۰ (UTC)
:دقیقا. همچنین شاخه های ریاضی را هم میتوان در یک کتاب ریاضی مقدماتی توضیح داد. این کتاب مربوط به ریاضی پیشرفته باید باشد.

پس باید موضوع را تغییر دهم این موضوع مقدمه ای است خب باشه درستش می کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۴ (UTC)
:{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} نام ایبوک رو طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشه و به خوبی مشخص کنه کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی هست. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست. لطفا یک بار دیگر مطالب رو که تحت عنوان چند نکته برای نوشتن کتاب در صفحه بحث تون نوشتم دوباره بخونید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۶ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۱۰ (ایران) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۴۰ (UTC)

باشه حتما [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۲۸ (UTC)

== آمار و احتمال ==

{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} چرا سرفصل های مربوط به آمار و احتمال در این ایبوک گنجانده نشده است؟ [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۹ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۲:۰۸ (ایران) ‏۳۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۸ (UTC)

در حال تحقیق است [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۳۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۰۳ (UTC)
:{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} چرا هندسه، فقط مفاهیم دارد؟ آیا مسائل دیگری در حوزه هندسه قرار نمیگیرند مثل محاسبه محیط و مساحت و حجم و قضایای هندسی؟ --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۹ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۳۰ (ایران) ‏۳۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۰ (UTC)

چرا دارد منتها در مفاهیم مهم قراردارد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۳۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۸:۳۳ (UTC)

{{پب|doostdar}} درود من دارم این کتاب را کامل می کنم و خیلی هم مطالب مانده و من دست تنها هستم. قول می دهم این کتاب را درست کنم و عجله ای هم نداشته باشید با تشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۰۶:۰۱ (UTC)
:{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} هم اکنون تعداد میانگین صفحه در هر کتاب ۵ است (تقریبا) ولی شما کتابی ایجاد کردید با حدود ۹۵ صفحه. آن وقت میگویید دست تنها هستم! در هر صورت اگر نتوانید کتاب را تا حد قابل قبولی تکمیل کنید کتاب شما حذف خواهد شد. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۱۰ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۹:۵۶ (ایران) ‏۱ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۲۶ (UTC)

راست میگیا چرا بگم نمی تونم!فقط یه خورده وقت دهید.من این 95صفحه را در این هفته به 45 صفحه تبدیل میکنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۱۶:۱۰ (UTC)

== انجمن ایران ==

{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} انجمن ریاضیات ایران چه ربطی به ریاضیات پیشرفته دارد؟ چرا باید یکی از بخش های این کتاب باشد؟ [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] شنبه،۲۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۰۰:۱۵ (ایران) ‏۱۲ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۴۵ (UTC)</text>
      <sha1>5beue7s56tymwhopbk6q0o58gaq9ocp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117740</id>
      <parentid>117730</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T04:35:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7447" xml:space="preserve">==مشارکت در نوشتن==
این کتاب خالی است و به کاربران زیادی به آن احتیاج داریم،شما کاربران عزیز می توانید در اینجا شرکت کنید و مقالات زیادی را بر اساس تحقیقات هایی که کردید ارائه دهید.
:{{پینگ|HEJJWJDEJDNSGWTG}} شوربختانه تعداد کاربران ویکی‌کتاب فارسی هم اکنون کم است. در گذشته تعداد کاربران فعال نوسان داشته است. با توجه به کمبود کاربر و حتی در صورت وجود کاربران کافی، مسئولیت نوشتن یک کتاب در درجه اول بر عهده کاربری است که آن را ایجاد کرده است. با سپاس از توجه شما. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۰۰ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۳۰ (UTC)

چه حیف باشد خودمان این کتاب را کامل می کنیم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۰۳ (UTC)

== مبحث های جدید ==

کاربران عزیز،هرسوالی داشتید از مولفان و ما بپرسید.
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۰۶ (UTC)

:دو صفحه که اخیرا ایجاد کردید به نام های زاویه ظلی و زاویه محاطی هم زیر فصل مفاهیم مهم نوشته شده‌اند هم هندسه. قاعدتا فقط یک بار باید نوشته شوند. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۱۱ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۱ (UTC)

== تاریخ ریاضیات ==

{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} این که کتاب تاریخ نیست در آن مطلب در مورد تاریخچه ریاضیات نوشته اید. به نظرم خیلی از موضوع کتاب فاصله گرفته است. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۶ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۳۸ (ایران) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۸ (UTC)

درود بر شما کاربر دوستدار،یعنی محتوایش با موضوعش فرق دارد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۰ (UTC)
:دقیقا. همچنین شاخه های ریاضی را هم میتوان در یک کتاب ریاضی مقدماتی توضیح داد. این کتاب مربوط به ریاضی پیشرفته باید باشد.

پس باید موضوع را تغییر دهم این موضوع مقدمه ای است خب باشه درستش می کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۴ (UTC)
:{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} نام ایبوک رو طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشه و به خوبی مشخص کنه کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی هست. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست. لطفا یک بار دیگر مطالب رو که تحت عنوان چند نکته برای نوشتن کتاب در صفحه بحث تون نوشتم دوباره بخونید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۶ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۱۰ (ایران) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۴۰ (UTC)

باشه حتما [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۲۸ (UTC)

== آمار و احتمال ==

{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} چرا سرفصل های مربوط به آمار و احتمال در این ایبوک گنجانده نشده است؟ [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۹ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۲:۰۸ (ایران) ‏۳۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۸ (UTC)

در حال تحقیق است [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۳۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۰۳ (UTC)
:{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} چرا هندسه، فقط مفاهیم دارد؟ آیا مسائل دیگری در حوزه هندسه قرار نمیگیرند مثل محاسبه محیط و مساحت و حجم و قضایای هندسی؟ --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۹ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۳۰ (ایران) ‏۳۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۰ (UTC)

چرا دارد منتها در مفاهیم مهم قراردارد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۳۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۸:۳۳ (UTC)

{{پب|doostdar}} درود من دارم این کتاب را کامل می کنم و خیلی هم مطالب مانده و من دست تنها هستم. قول می دهم این کتاب را درست کنم و عجله ای هم نداشته باشید با تشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۰۶:۰۱ (UTC)
:{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} هم اکنون تعداد میانگین صفحه در هر کتاب ۵ است (تقریبا) ولی شما کتابی ایجاد کردید با حدود ۹۵ صفحه. آن وقت میگویید دست تنها هستم! در هر صورت اگر نتوانید کتاب را تا حد قابل قبولی تکمیل کنید کتاب شما حذف خواهد شد. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۱۰ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۹:۵۶ (ایران) ‏۱ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۲۶ (UTC)

راست میگیا چرا بگم نمی تونم!فقط یه خورده وقت دهید.من این 95صفحه را در این هفته به 45 صفحه تبدیل میکنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۱۶:۱۰ (UTC)

== انجمن ایران ==

{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} انجمن ریاضیات ایران چه ربطی به ریاضیات پیشرفته دارد؟ چرا باید یکی از بخش های این کتاب باشد؟ [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] شنبه،۲۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۰۰:۱۵ (ایران) ‏۱۲ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۴۵ (UTC)
مگه چی شده؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۳ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۵ (UTC)</text>
      <sha1>5p1f7txstijrdvjci1maj2pchb98u9l</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/مقدمه</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35960</id>
    <revision>
      <id>117719</id>
      <parentid>117455</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:33:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>افزودن سرصفحه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1178" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته|ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات}}
ریاضیات که در زبان پارسی انگارش گفته می‌شود فن محاسبه اعداد است و به مباحث‌های دیگری چون کمیت، ساختار، فضا، تغییرات، نظریه اعداد، حسابان و... می‌پردازد. دراین کتاب به مباحث‌های پیشرفته و پیچیده ریاضی می‌پردازیم. این علم سرآمد تمامی علم هاست و ریاضیات در فیزیک، شیمی، مهندسی، نجوم، معماری و... بسیار کاربردی است.

'''ریاضیات از دور سخت است ولی اگر نزدیکش بروی هیچ سخت نیست.''' ما در این کتاب به مباحثی چون ریاضیات، حسابان، هندسه و آنالیز می پردازیم و مفاهیم مهم، شاخه‌های ریاضیات، زمینه‌های پژوهش و ... را بررسی می‌کنیم. این ایبوک هم نسخه چاپی هم دارد و به صورت مشارکت گروهی است.

[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>37rqyv4emcbpcs814y8rmyaqflncf5f</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35983</id>
    <revision>
      <id>117731</id>
      <parentid>117519</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:47:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4780" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد}}

'''نظریه مجموعه‌ها''' شاخه‌ای از منطق ریاضی است که به مطالعه مجموعه‌ها می‌پردازد. مجموعه‌ها، گردایه‌ای از اشیاء هستند. هر چند هر نوعی از اشیاء می‌توانند یک مجموعه را تشکیل دهند، اما نظریه مجموعه‌ها اغلب در مورد اشیاء مرتبط با ریاضی به کار می‌رود. زبان نظریه مجموعه‌ها را می‌توان در تعریف تقریباً همه‌ی اشیاء ریاضی به کار برد. مطالعه جدید بر روی نظریه مجموعه‌ها توسط گئورگ کانتور و ریچارد ددکیند در دهه ۷۰ قرن ۱۸ میلادی شروع شد. پس از کشف تناقض‌های نظریه طبیعی مجموعه‌ها، دستگاه‌های اصل موضوعی بی‌شماری در اوایل قرن ۲۰ مطرح شدند که معروف‌ترین آن‌ها اصل موضوعه زرملو-فرانکل و اصل موضوعه انتخاب هستند. نظریه مجموعه‌ها عموماً به عنوان سیستم بنیادین ریاضیات در شکل نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل همراه با اصل موضوعه انتخاب به کار می‌رود. ورای نقش بنیادین آن، نظریه مجموعه‌ها در جایگاه خود یکی از شاخه‌های ریاضی با جامعه پژوهش فعالی محسوب می‌شود. پژوهش‌های معاصر در نظریه مجموعه‌ها موضوع‌های متنوعی را شامل می‌شود که از ساختار خط اعداد حقیقی تا مطالعه سازگاری اعداد بزرگ متغیر است.

== اجتماع ==
اجتماع در ریاضی به معنای این است که دو زیر مجموعه را تمامی عضوهاو عناصر آن دو زیرمجموعه (مثلAوB)را نشان میدهد.اجتماع را با نماد&lt;math&gt;\cup&lt;/math&gt;نشان داده می شود

=== اصول اجتماع ===
مجموعه هایAوSداریم.اگرSمجموعه ای از مجموعه های نظری(Sیک رده در مجموعه ها باشد)مجموعه ای به اسم مجموعهCبدست  می آید.که مجموعه و عناصر و اعضای Sزیر مجموعه آن باشد.اگر&lt;math&gt;A\in S&lt;/math&gt;باشد پس مجموعهAاینگونه&lt;math&gt;A\subseteq C&lt;/math&gt; است.اجتماع همه اعضای ''S'' که آن را با &lt;math&gt;\bigcup S&lt;/math&gt; یا &lt;math&gt;\bigcup_{A\in S}A&lt;/math&gt; نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می می‌شود:&lt;math&gt;\bigcup S := \bigcup_{A\in S}A := \{x\in C: \exists A\in S, x\in A\}&lt;/math&gt;

[[پرونده:Venn0111.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Venn0111.svg|بندانگشتی|200x200پیکسل|اجتماع دو مجموعه:&lt;math&gt;~A \cup B&lt;/math&gt;]]

=== خواص اجتماع ===
اجتماع دارای هر اصولی است

مجموعه&lt;math&gt;A \cup B \cup C~&lt;/math&gt;بامجموعه&lt;math&gt;A \cup (B \cup C)&lt;/math&gt;برابر است

اگر دومجموعه همسان اجتماع پیدا کنند برابر با خود آنها می شود.

&lt;math&gt;A \cup A=A&lt;/math&gt;

اگر مجموعه تهی و یک مجموعهAاجتماع پیدا کنند برابر با مجموعهAاست

&lt;math&gt;A\cup \phi = \phi\cup A = A&lt;/math&gt;

اگر مجموعهA,B,Cداشته باشیم،اشتراک اجتماع آنها را بدست آوریم به این حالت می نویسیم

&lt;math&gt;A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)&lt;/math&gt;

یا

&lt;math&gt;A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)&lt;/math&gt;

== اشتراک ==
اشتراک در ریاضی به معنای این است که زیر مجموعه ای مشترک دو مجموعه باشد.اجتماع را با نماد&lt;math&gt;\cap&lt;/math&gt;نشان میدهند
[[پرونده:Venn A intersect B.svg|بندانگشتی|200x200پیکسل|اشتراک دو مجموعه:&lt;math&gt;~A \cap B&lt;/math&gt;]]

=== اصول اشتراک ===
اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و &lt;math&gt;X\in S&lt;/math&gt; عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با &lt;math&gt;\bigcap S&lt;/math&gt; یا &lt;math&gt;\bigcap_{A\in S}A&lt;/math&gt; نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:&lt;div align=&quot;left&quot;&gt;
&lt;math&gt;\bigcap S := \bigcap_{A\in S}A := \{y\in X: \forall A\in S, y\in A\}&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;

== منابع ==
#ویکی پدیای فارسی
#ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>c8n3edix93odqzbengnqrihlz500ws3</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35988</id>
    <revision>
      <id>117720</id>
      <parentid>117636</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:34:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Doostdar صفحهٔ [[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات]] را بدون برجای‌گذاشتن تغییرمسیر به [[ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات]] منتقل کرد: عنوان مناسب تر برای صفحه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5925" xml:space="preserve">'''ریاضیات(به پارسی:انگارش به انگلیسی:math)''' حوزه ای از دانش است که شامل موضوعاتی مانند اعداد ( حساب ، نظریه اعداد )،  فرمول ها و ساختارهای مرتبط ( جبر )،  اشکال است. و فضاهایی که در آنها قرار دارند ( هندسه )،  و کمیت ها و تغییرات آنها ( حساب و تحلیل ).  

بیشتر فعالیت های ریاضی شامل کشف و اثبات ویژگی های اشیاء انتزاعی با استدلال محض است. این اشیاء یا انتزاعی از طبیعت هستند، مانند اعداد یا خطوط طبیعی ، یا - در ریاضیات مدرن - موجوداتی هستند که دارای ویژگی‌های خاصی هستند که بدیهیات نامیده می‌شوند . یک برهان متشکل از مجموعه ای از کاربردهای برخی قوانین قیاسی برای نتایج شناخته شده از قبل، از جمله قضایای اثبات شده قبلی ، بدیهیات و (در صورت انتزاع از طبیعت) برخی ویژگی های اساسی است که به عنوان نقطه شروع واقعی نظریه مورد بررسی در نظر گرفته می شوند. نتیجه یک برهان را ''قضیه می گویند''.

ریاضیات به طور گسترده ای در علم برای مدل سازی پدیده ها استفاده می شود. این امکان استخراج پیش بینی های کمی از قوانین تجربی را فراهم می کند. به عنوان مثال، حرکت سیارات را می توان با استفاده از قانون گرانش نیوتن همراه با محاسبات ریاضی به طور دقیق پیش بینی کرد. استقلال حقیقت ریاضی از هر آزمایشی دلالت بر این دارد که صحت چنین پیش‌بینی‌هایی تنها به کفایت مدل برای توصیف واقعیت بستگی دارد. پیش‌بینی‌های نادرست مستلزم نیاز به بهبود یا تغییر مدل‌های ریاضی است، نه اینکه ریاضیات در خود مدل‌ها اشتباه است. برای مثال، تقدم حضیض عطارد را نمی توان با قانون گرانش نیوتن توضیح داد، اما به طور دقیق توسط قانون گرانش نیوتن توضیح داده می شود.نسبیت عام اینشتین _ این تایید تجربی نظریه انیشتین نشان می دهد که قانون گرانش نیوتن تنها یک تقریب است، هرچند در کاربردهای روزمره دقیق است.

ریاضیات در بسیاری از زمینه ها از جمله علوم طبیعی ، مهندسی ، پزشکی ، مالی ، علوم کامپیوتر و علوم اجتماعی ضروری است . برخی از حوزه های ریاضیات، مانند آمار و تئوری بازی ها، در ارتباط نزدیک با کاربردهای آنها توسعه یافته اند و اغلب در زیر ریاضیات کاربردی گروه بندی می شوند . سایر حوزه‌های ریاضی مستقل از هر کاربرد توسعه می‌یابند (و بنابراین ریاضیات محض نامیده می‌شوند )، اما کاربردهای عملی اغلب بعداً کشف می‌شوند.  یک مثال مناسب مسئلهفاکتورسازی اعداد صحیح ، که به اقلیدس برمی‌گردد ، اما قبل از استفاده در سیستم رمزنگاری RSA (برای امنیت شبکه‌های کامپیوتری ) کاربرد عملی نداشت.

از نظر تاریخی , مفهوم ''برهان و'' دقت ریاضی مرتبط با آن برای اولین بار در ریاضیات یونان ظاهر شد , به ویژه در ''عناصر'' اقلیدس .  از آغاز، ریاضیات اساساً به هندسه ، و حساب (دستکاری اعداد و کسرهای طبیعی ) تقسیم شد تا اینکه در قرن 16 و 17، جبر  و حساب بی نهایت کوچک به عنوان حوزه های جدید معرفی شدند. از آن زمان، تعامل بین نوآوری های ریاضی و اکتشافات علمیبه رشد سریع ریاضیات منجر شده است. در پایان قرن نوزدهم، بحران اساسی ریاضیات منجر به نظام‌بندی روش بدیهی شد. این به نوبه خود باعث افزایش چشمگیر تعداد حوزه های ریاضی و زمینه های کاربردی آنها شد. نمونه ای از این طبقه بندی موضوع ریاضیات است که بیش از شصت حوزه سطح اول ریاضیات را فهرست می کند.

==کاربردهای ریاضی==
علوم ریاضی (به انگلیسی: Mathematical sciences) یک اصطلاح گسترده است که به رشته‌های دانشگاهيی اشاره دارد که زمینهٔ اصلی آنها ریاضی است، اما به‌طورکلی ممکن است تنها به مسائل ریاضی نپردازند. به‌طور مثال، آمار، رشته‌ای است که از روش‌های ریاضی استفاده می‌کند، ولی اهداف خاصی را در سایر علوم غیر از ریاضی دنبال می‌کند. علم کامپیوتر، علم محاسبات، تحقیق در عملیات، رمزشناسی، فیزیک نظری و علم آمار شاخه‌های دیگری هستند که می‌توان آنها را به‌عنوان علوم ریاضی در نظر گرفت.


== منابع ==
ویکی پدیا فارسی

ویکی پدیا انگلیسی

{{محتوا}}
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>0kv6ni5x0s1n4xikjsuvtv3cksx6ude</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117722</id>
      <parentid>117720</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:35:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>افزودن سرصفحه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6034" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/مقدمه|ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات}}

'''ریاضیات(به پارسی:انگارش به انگلیسی:math)''' حوزه ای از دانش است که شامل موضوعاتی مانند اعداد ( حساب ، نظریه اعداد )،  فرمول ها و ساختارهای مرتبط ( جبر )،  اشکال است. و فضاهایی که در آنها قرار دارند ( هندسه )،  و کمیت ها و تغییرات آنها ( حساب و تحلیل ).  

بیشتر فعالیت های ریاضی شامل کشف و اثبات ویژگی های اشیاء انتزاعی با استدلال محض است. این اشیاء یا انتزاعی از طبیعت هستند، مانند اعداد یا خطوط طبیعی ، یا - در ریاضیات مدرن - موجوداتی هستند که دارای ویژگی‌های خاصی هستند که بدیهیات نامیده می‌شوند . یک برهان متشکل از مجموعه ای از کاربردهای برخی قوانین قیاسی برای نتایج شناخته شده از قبل، از جمله قضایای اثبات شده قبلی ، بدیهیات و (در صورت انتزاع از طبیعت) برخی ویژگی های اساسی است که به عنوان نقطه شروع واقعی نظریه مورد بررسی در نظر گرفته می شوند. نتیجه یک برهان را ''قضیه می گویند''.

ریاضیات به طور گسترده ای در علم برای مدل سازی پدیده ها استفاده می شود. این امکان استخراج پیش بینی های کمی از قوانین تجربی را فراهم می کند. به عنوان مثال، حرکت سیارات را می توان با استفاده از قانون گرانش نیوتن همراه با محاسبات ریاضی به طور دقیق پیش بینی کرد. استقلال حقیقت ریاضی از هر آزمایشی دلالت بر این دارد که صحت چنین پیش‌بینی‌هایی تنها به کفایت مدل برای توصیف واقعیت بستگی دارد. پیش‌بینی‌های نادرست مستلزم نیاز به بهبود یا تغییر مدل‌های ریاضی است، نه اینکه ریاضیات در خود مدل‌ها اشتباه است. برای مثال، تقدم حضیض عطارد را نمی توان با قانون گرانش نیوتن توضیح داد، اما به طور دقیق توسط قانون گرانش نیوتن توضیح داده می شود.نسبیت عام اینشتین _ این تایید تجربی نظریه انیشتین نشان می دهد که قانون گرانش نیوتن تنها یک تقریب است، هرچند در کاربردهای روزمره دقیق است.

ریاضیات در بسیاری از زمینه ها از جمله علوم طبیعی ، مهندسی ، پزشکی ، مالی ، علوم کامپیوتر و علوم اجتماعی ضروری است . برخی از حوزه های ریاضیات، مانند آمار و تئوری بازی ها، در ارتباط نزدیک با کاربردهای آنها توسعه یافته اند و اغلب در زیر ریاضیات کاربردی گروه بندی می شوند . سایر حوزه‌های ریاضی مستقل از هر کاربرد توسعه می‌یابند (و بنابراین ریاضیات محض نامیده می‌شوند )، اما کاربردهای عملی اغلب بعداً کشف می‌شوند.  یک مثال مناسب مسئلهفاکتورسازی اعداد صحیح ، که به اقلیدس برمی‌گردد ، اما قبل از استفاده در سیستم رمزنگاری RSA (برای امنیت شبکه‌های کامپیوتری ) کاربرد عملی نداشت.

از نظر تاریخی , مفهوم ''برهان و'' دقت ریاضی مرتبط با آن برای اولین بار در ریاضیات یونان ظاهر شد , به ویژه در ''عناصر'' اقلیدس .  از آغاز، ریاضیات اساساً به هندسه ، و حساب (دستکاری اعداد و کسرهای طبیعی ) تقسیم شد تا اینکه در قرن 16 و 17، جبر  و حساب بی نهایت کوچک به عنوان حوزه های جدید معرفی شدند. از آن زمان، تعامل بین نوآوری های ریاضی و اکتشافات علمیبه رشد سریع ریاضیات منجر شده است. در پایان قرن نوزدهم، بحران اساسی ریاضیات منجر به نظام‌بندی روش بدیهی شد. این به نوبه خود باعث افزایش چشمگیر تعداد حوزه های ریاضی و زمینه های کاربردی آنها شد. نمونه ای از این طبقه بندی موضوع ریاضیات است که بیش از شصت حوزه سطح اول ریاضیات را فهرست می کند.

==کاربردهای ریاضی==
علوم ریاضی (به انگلیسی: Mathematical sciences) یک اصطلاح گسترده است که به رشته‌های دانشگاهيی اشاره دارد که زمینهٔ اصلی آنها ریاضی است، اما به‌طورکلی ممکن است تنها به مسائل ریاضی نپردازند. به‌طور مثال، آمار، رشته‌ای است که از روش‌های ریاضی استفاده می‌کند، ولی اهداف خاصی را در سایر علوم غیر از ریاضی دنبال می‌کند. علم کامپیوتر، علم محاسبات، تحقیق در عملیات، رمزشناسی، فیزیک نظری و علم آمار شاخه‌های دیگری هستند که می‌توان آنها را به‌عنوان علوم ریاضی در نظر گرفت.


== منابع ==
ویکی پدیا فارسی

ویکی پدیا انگلیسی

{{محتوا}}
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>hrv5pz4zxosgrmwpc76o2dcdybjt1yf</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/شاخه‌های ریاضیات</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35998</id>
    <revision>
      <id>117724</id>
      <parentid>117392</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:38:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9773" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|ریاضیات پیشرفته/ریاضیات کاربردی}}

شاخه های ریاضیات مربوط به علم هایی است که مربوط به ریاضیات نظری،پایه هستند،ریاضیات بیش از علوم طبیعی شاخه مختلف دارد مثل(حساب،حسابان،هندسه،آمار و احتمال،جبر و معادله،نظریه اعداد،آنالیز ریاضی و...) است.

== حساب ==
'''حِساب''' شاخه ای از ریاضیات است که شامل مطالعه اعداد، به‌خصوص خواص عملیات سنتی روی آن ها یعنی جمع، تفاضل(تفریق)، ضرب و تقسیم می باشد. حساب قسمت مقدماتی نظریه اعداد می باشد و نظریه اعداد امروزه به عنوان یکی از اصلی ترین شاخه های ریاضیات (که جایگاه آن در بالاترین قسمت درخت تقسیم بندی گرایش های ریاضی قرار دارد) در نظر گرفته می شود. در کنار نظریه اعداد جبر، هندسه و آنالیز نیز جزو این شاخه های اصلی قرار دارند. عبارت ''حساب'' و ''حساب مرتبه بالاتر'' تا اوایل قرن بیستم به عنوان کلمه هم معنی ''نظریه اعداد'' به کار برده می شد و هنوز هم برای اشاره به قسمت اعظم نظریه اعداد به کار برده می شود.

== حسابان ==
'''حسابان''' (یا '''حساب دیفرانسیل و انتگرال''')، که در گذشته به آن '''حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها''' می گفتند شاخه‌ای از ریاضی است. همان‌گونه که هندسه مطالعه‌ی اشکال و جبر تعمیم عملیات حساب (چهار عمل اصلی) است، حسابان به مطالعه‌ی ریاضیاتی تغییرات پیوسته می پردازد.

حسابان دارای دو شاخه: حساب دیفرانسیل و حساب انتگرالی است. حساب دیفرانسیل به مطالعه نرخ تغییرات و شیب منحنی‌ها پرداخته در حالی که حساب انتگرالی به تجمع مقادیر و نواحی تحت منحنی‌ها می‌پردازد. این دو شاخه توسط قضیه‌ی اساسی حسابان، به یک دیگر مرتبط شده و از مفاهیم بنیادی همگرایی دنباله ها و سری‌های نامتناهی به یک حد خوش تعریف استفاده می‌کنند.

حساب بی‌نهایت‌ کوچک‌ها به طور مستقل در اواخر قرن هفدهم میلادی توسط ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز توسعه یافت. امروزه حسابان در علوم، مهندسی و اقتصاد کاربردهای گسترده‌ای پیدا کرده است.

در آموزش ریاضی، ''حسابان'' نشانگر درسی مقدماتی از آنالیز ریاضی است که به طور عمده به مطالعه توابع و حدود می‌پردازد. کلمه ''حسابان'' (جمع آن ''calculi'' است) یک کلمه لاتین است که معنای اصلی آن سنگ کوچک است. به دلیل این که از تکه های سنگ برای محاسبات استفاده می کردند، معنای این کلمه تکامل یافته و این کاربرد را پیدا کرد. این موضوع شامل موارد دیگری از جمله حساب گزاره‌ای، حساب ریچی، حساب تغییرات، حساب لامبدا و حساب فرآیندی نیز می شود.

== هندسه ==
'''هِندِسه''' (به یونانی: &lt;bdi&gt;γεωμετρία&lt;/bdi&gt;، &lt;bdi&gt;تلفظ: geometria، معنی: زمین‌سنجی&lt;/bdi&gt;)؛ ''ژِئو'' «زمین»، ''مِتریا'' «سنجش، اندازه‌گیری») شاخه‌ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی شکل‌ها و ویژگی‌های فضا سروکار دارد. ریاضیدانی که در شاخهٔ هندسه کار می‌کند هندسه‌دان نامیده می‌شود. هندسه به‌طور مستقل در پاره‌ای از تمدن‌های اولیه به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور کرد و پایه‌ریزی آن به عنوان یک دانش رسمی ریاضی در زمان تالس (قرن ششم پیش از میلاد) در غرب آغاز شد. در قرن سوم پیش از میلاد، هندسه توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی درآمده بود و کار اقلیدس (هندسه اقلیدسی) استانداردی را پایه‌ریزی نمود که قرن‌ها دنبال شد. ارشمیدس روش‌های هوشمندانه‌ای برای محاسبهٔ مساحت و حجم ارائه داد که در بسیاری موارد پیش‌رو حساب انتگرال جدید محسوب می‌شوند. دانش اخترشناسی و به ویژه نگاشتن مکان ستاره‌ها و سیاره‌ها روی کره آسمان و توصیف رابطهٔ بین حرکت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشا بسیاری از پرسش‌های هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای کلاسیک بخشی از کوادریویم بودند که خود زیرمجموعه‌ای از علوم مقدماتی هفتگانه بود که یادگیری آن‌ها برای هر شهروند آزادی ضروری می‌نمود.

== آمارواحتمال ==

=== آمار ===
'''آمار''' شاخه‌ای از ریاضیات است که به گردآوری، تحلیل، و ارائه داده‌ها می‌پردازد. آمار را باید علم استخراج و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه‌گیری و آزمایش) دانست. روش‌های محاسباتی جدیدتر توسط رایانه همچون یادگیری ماشینی، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، در واقع، امتداد و گسترش دانش آمار به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی بوده و امروزه علم آمار را به علم بیان علوم دیگر مبدل ساخته‌است.

=== احتمال ===
به‌طور ساده، '''احتمالات''' به شانس وقوع یک حادثه گفته می‌شود.احتمال معمولاً مورد استفاده برای توصیف نگرش ذهن نسبت به گزاره‌هایی است که ما از حقیقت آن‌ها مطمئن نیستیم. گزاره‌های مورد نظر معمولاً از فرم &quot;آیا یک رویداد خاص رخ می‌دهد؟&quot; و نگرش ذهن ما از فرم &quot;چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟&quot; است. میزان اطمینان ما، قابل توصیف به صورت عددی می‌باشد که این عدد مقداری بین ۰ و ۱ را گرفته و آن را احتمال می نامیم. هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد. در واقع میزان اطمینان ما از اینکه یک واقعه (تصادفی) اتفاق خواهد افتاد.

== جبر و معادله ==

=== جبر ===
'''''جَبر''''' (وام واژه عربی الجبر به‌معنای «یکی‌سازی تکه‌های شکسته‌شده» و «شکسته‌بندی») به همراه نظریه اعداد، هندسه و آنالیز، یکی از وسیع‌ترین شاخه‌های ریاضیات است. جبر در عمومی‌ترین حالت خود به مطالعه این نمادهای ریاضیاتی می پردازد؛ و ریسمانیست که تقریباً تمام ریاضیات را با هم یکپارچه می کند. این شاخه شامل مباحث زیادی مثل حل معادلات مقدماتی تا مطالعه تجریدهایی چون گروه‌ها، حلقه‌ها و میدان‌ها است. بخش های مقدماتی تر جبر را جبر مقدماتی می نامند؛ و بخش های مدرن آن را جبر مجرد یا جبر مدرن می خوانند. جبر مقدماتی اغلب بخش مهم مطالعه ریاضیات، علوم یا مهندسی به علاوه علوم کاربردی دیگری چون پزشکی و اقتصاد می باشد. جبر مجرد یکی از شاخه های اصلی ریاضیات پیشرفته است که عمدتاً توسط ریاضیدانان حرفه ای مطالعه می شود.

=== معادله ===
'''معادله''' در ریاضیات بیان برابری دو چیز با استفاده از نمادهاست. در تمام معادله‌ها علامت تساوی (=) دیده می‌شود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر می‌شوند.در حقیقت معادله نوعی ترازو است که تساوی هردو وزن 50-50یابرابر است

=== واژه شناسی جبر و معادله ===
'''جبر:به معنای جبران کردن.'''

'''معادله:به معنای عدالت و موجب تعادل.'''

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>kqxc017azwbrbn9s9zp17a859jmkzok</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117727</id>
      <parentid>117724</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:42:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Doostdar صفحهٔ [[ریاضیات پیشرفته/شاخه های ریاضیات]] را بدون برجای‌گذاشتن تغییرمسیر به [[ریاضیات پیشرفته/شاخه‌های ریاضیات]] منتقل کرد: تصحیح فاصله مجازی</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9773" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|ریاضیات پیشرفته/ریاضیات کاربردی}}

شاخه های ریاضیات مربوط به علم هایی است که مربوط به ریاضیات نظری،پایه هستند،ریاضیات بیش از علوم طبیعی شاخه مختلف دارد مثل(حساب،حسابان،هندسه،آمار و احتمال،جبر و معادله،نظریه اعداد،آنالیز ریاضی و...) است.

== حساب ==
'''حِساب''' شاخه ای از ریاضیات است که شامل مطالعه اعداد، به‌خصوص خواص عملیات سنتی روی آن ها یعنی جمع، تفاضل(تفریق)، ضرب و تقسیم می باشد. حساب قسمت مقدماتی نظریه اعداد می باشد و نظریه اعداد امروزه به عنوان یکی از اصلی ترین شاخه های ریاضیات (که جایگاه آن در بالاترین قسمت درخت تقسیم بندی گرایش های ریاضی قرار دارد) در نظر گرفته می شود. در کنار نظریه اعداد جبر، هندسه و آنالیز نیز جزو این شاخه های اصلی قرار دارند. عبارت ''حساب'' و ''حساب مرتبه بالاتر'' تا اوایل قرن بیستم به عنوان کلمه هم معنی ''نظریه اعداد'' به کار برده می شد و هنوز هم برای اشاره به قسمت اعظم نظریه اعداد به کار برده می شود.

== حسابان ==
'''حسابان''' (یا '''حساب دیفرانسیل و انتگرال''')، که در گذشته به آن '''حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها''' می گفتند شاخه‌ای از ریاضی است. همان‌گونه که هندسه مطالعه‌ی اشکال و جبر تعمیم عملیات حساب (چهار عمل اصلی) است، حسابان به مطالعه‌ی ریاضیاتی تغییرات پیوسته می پردازد.

حسابان دارای دو شاخه: حساب دیفرانسیل و حساب انتگرالی است. حساب دیفرانسیل به مطالعه نرخ تغییرات و شیب منحنی‌ها پرداخته در حالی که حساب انتگرالی به تجمع مقادیر و نواحی تحت منحنی‌ها می‌پردازد. این دو شاخه توسط قضیه‌ی اساسی حسابان، به یک دیگر مرتبط شده و از مفاهیم بنیادی همگرایی دنباله ها و سری‌های نامتناهی به یک حد خوش تعریف استفاده می‌کنند.

حساب بی‌نهایت‌ کوچک‌ها به طور مستقل در اواخر قرن هفدهم میلادی توسط ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز توسعه یافت. امروزه حسابان در علوم، مهندسی و اقتصاد کاربردهای گسترده‌ای پیدا کرده است.

در آموزش ریاضی، ''حسابان'' نشانگر درسی مقدماتی از آنالیز ریاضی است که به طور عمده به مطالعه توابع و حدود می‌پردازد. کلمه ''حسابان'' (جمع آن ''calculi'' است) یک کلمه لاتین است که معنای اصلی آن سنگ کوچک است. به دلیل این که از تکه های سنگ برای محاسبات استفاده می کردند، معنای این کلمه تکامل یافته و این کاربرد را پیدا کرد. این موضوع شامل موارد دیگری از جمله حساب گزاره‌ای، حساب ریچی، حساب تغییرات، حساب لامبدا و حساب فرآیندی نیز می شود.

== هندسه ==
'''هِندِسه''' (به یونانی: &lt;bdi&gt;γεωμετρία&lt;/bdi&gt;، &lt;bdi&gt;تلفظ: geometria، معنی: زمین‌سنجی&lt;/bdi&gt;)؛ ''ژِئو'' «زمین»، ''مِتریا'' «سنجش، اندازه‌گیری») شاخه‌ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی شکل‌ها و ویژگی‌های فضا سروکار دارد. ریاضیدانی که در شاخهٔ هندسه کار می‌کند هندسه‌دان نامیده می‌شود. هندسه به‌طور مستقل در پاره‌ای از تمدن‌های اولیه به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور کرد و پایه‌ریزی آن به عنوان یک دانش رسمی ریاضی در زمان تالس (قرن ششم پیش از میلاد) در غرب آغاز شد. در قرن سوم پیش از میلاد، هندسه توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی درآمده بود و کار اقلیدس (هندسه اقلیدسی) استانداردی را پایه‌ریزی نمود که قرن‌ها دنبال شد. ارشمیدس روش‌های هوشمندانه‌ای برای محاسبهٔ مساحت و حجم ارائه داد که در بسیاری موارد پیش‌رو حساب انتگرال جدید محسوب می‌شوند. دانش اخترشناسی و به ویژه نگاشتن مکان ستاره‌ها و سیاره‌ها روی کره آسمان و توصیف رابطهٔ بین حرکت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشا بسیاری از پرسش‌های هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای کلاسیک بخشی از کوادریویم بودند که خود زیرمجموعه‌ای از علوم مقدماتی هفتگانه بود که یادگیری آن‌ها برای هر شهروند آزادی ضروری می‌نمود.

== آمارواحتمال ==

=== آمار ===
'''آمار''' شاخه‌ای از ریاضیات است که به گردآوری، تحلیل، و ارائه داده‌ها می‌پردازد. آمار را باید علم استخراج و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه‌گیری و آزمایش) دانست. روش‌های محاسباتی جدیدتر توسط رایانه همچون یادگیری ماشینی، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، در واقع، امتداد و گسترش دانش آمار به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی بوده و امروزه علم آمار را به علم بیان علوم دیگر مبدل ساخته‌است.

=== احتمال ===
به‌طور ساده، '''احتمالات''' به شانس وقوع یک حادثه گفته می‌شود.احتمال معمولاً مورد استفاده برای توصیف نگرش ذهن نسبت به گزاره‌هایی است که ما از حقیقت آن‌ها مطمئن نیستیم. گزاره‌های مورد نظر معمولاً از فرم &quot;آیا یک رویداد خاص رخ می‌دهد؟&quot; و نگرش ذهن ما از فرم &quot;چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟&quot; است. میزان اطمینان ما، قابل توصیف به صورت عددی می‌باشد که این عدد مقداری بین ۰ و ۱ را گرفته و آن را احتمال می نامیم. هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد. در واقع میزان اطمینان ما از اینکه یک واقعه (تصادفی) اتفاق خواهد افتاد.

== جبر و معادله ==

=== جبر ===
'''''جَبر''''' (وام واژه عربی الجبر به‌معنای «یکی‌سازی تکه‌های شکسته‌شده» و «شکسته‌بندی») به همراه نظریه اعداد، هندسه و آنالیز، یکی از وسیع‌ترین شاخه‌های ریاضیات است. جبر در عمومی‌ترین حالت خود به مطالعه این نمادهای ریاضیاتی می پردازد؛ و ریسمانیست که تقریباً تمام ریاضیات را با هم یکپارچه می کند. این شاخه شامل مباحث زیادی مثل حل معادلات مقدماتی تا مطالعه تجریدهایی چون گروه‌ها، حلقه‌ها و میدان‌ها است. بخش های مقدماتی تر جبر را جبر مقدماتی می نامند؛ و بخش های مدرن آن را جبر مجرد یا جبر مدرن می خوانند. جبر مقدماتی اغلب بخش مهم مطالعه ریاضیات، علوم یا مهندسی به علاوه علوم کاربردی دیگری چون پزشکی و اقتصاد می باشد. جبر مجرد یکی از شاخه های اصلی ریاضیات پیشرفته است که عمدتاً توسط ریاضیدانان حرفه ای مطالعه می شود.

=== معادله ===
'''معادله''' در ریاضیات بیان برابری دو چیز با استفاده از نمادهاست. در تمام معادله‌ها علامت تساوی (=) دیده می‌شود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر می‌شوند.در حقیقت معادله نوعی ترازو است که تساوی هردو وزن 50-50یابرابر است

=== واژه شناسی جبر و معادله ===
'''جبر:به معنای جبران کردن.'''

'''معادله:به معنای عدالت و موجب تعادل.'''

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>kqxc017azwbrbn9s9zp17a859jmkzok</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35999</id>
    <revision>
      <id>117729</id>
      <parentid>117518</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:44:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4412" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|ریاضیات پیشرفته/شاخه‌های ریاضیات}}

جوایز ریاضیات شامل مدال فیلدز(نوبل ریاضی)جایزه وولف و... است

== جایزه فیلدز ==
مدال '''فیلدز''' جایزه‌ای است که به دو، سه یا چهار ریاضیدان زیر ۴۰ سال در کنگره بین‌المللی اتحادیه بین‌المللی ریاضی (IMU) اهدا می‌شود، نشستی که هر چهار سال یکبار برگزار می‌شود. نام این جایزه به افتخار ریاضیدان کانادایی جان چارلز فیلدز است.

مدال فیلدز یکی از بالاترین افتخاراتی است که یک ریاضیدان می‌تواند دریافت کند، و به عنوان جایزه نوبل ریاضیات توصیف شده است، اگرچه چندین تفاوت عمده وجود دارد، از جمله فراوانی جایزه، تعداد جوایز، محدودیت‌های سنی، ارزش پولی، و معیارهای جایزه.  طبق نظرسنجی سالانه تعالی دانشگاهی توسط ARWU، مدال فیلدز به طور مداوم به عنوان بهترین جایزه در زمینه ریاضیات در سراسر جهان در نظر گرفته می‌شود،  و در نظرسنجی دیگری که توسط IREG در سال ۲۰۱۳-۲۰۱۴ انجام شد، مدال فیلدز به دست آمد. بعد از جایزه هابیلبه عنوان دومین جایزه معتبر بین‌المللی در ریاضیات.

این جایزه شامل یک جایزه پولی است که از سال ۲۰۰۶، ۱۵۰۰۰ دلار کانادا بوده است.  فیلدز در ایجاد جایزه، طراحی مدال خود، و تأمین مالی بخش پولی نقش داشت، اگرچه او قبل از تأسیس آن مرد و برنامه‌اش توسط جان لایتون سینج نظارت شد.

این مدال برای اولین بار در سال ۱۹۳۶ به ریاضیدان فنلاندی لارس آلفورس و ریاضیدان آمریکایی جسی داگلاس اعطا شد و از سال ۱۹۵۰ هر چهار سال یکبار اعطا می‌شود. هدف آن شناسایی و حمایت از محققان ریاضی جوانتر است که سهم عمده‌ای داشته‌اند. در سال ۲۰۱۴، مریم میرزاخانی ریاضیدان ایرانی اولین زن مدال آور فیلدز شد.  در مجموع، ۶۴ نفر مدال فیلدز را دریافت کرده‌اند.

جدیدترین گروه مدال آوران فیلدز جوایز خود را در ۵ ژوئیه ۲۰۲۲ در یک رویداد آنلاین دریافت کردند که از هلسینکی، فنلاند به صورت زنده پخش شد. در ابتدا قرار بود در سن پترزبورگ روسیه برگزار شود، اما پس از تهاجم روسیه به اوکراین در سال ۲۰۲۲ منتقل شد .

== جایزه وولف ==
جایزه ولف در ریاضی از ۱۹۷۸ تقریباً هرساله در اسرائیل اعطا می‌شود. وبسایت بنیاد ولف جایزه را سالانه می‌خواند ولی برخی جایزه‌ها در بعضی سالها داده نشده و در بعضی سالها تقسیم شده‌است تا پیش از ایجاد جایزه آبل این جایزه نزدیکترین معادل جایزه نوبل در ریاضی بود زیرا جایزه پرافتخارتر مدال فیلدز تنها هر ۴ سال یک بار به ریاضیدانان زیر ۴۰ سال داده می‌شود.

== جایزه آبل ==
جایزهٔ آبل (به انگلیسی: Abel Prize) جایزه‌ای است بین‌المللی که هر ساله توسط شاه نروژ به یک یا چند ریاضی‌دان که کار ارزنده‌ای در ریاضیات انجام داده باشد، داده می‌شود. این جایزه به افتخار ریاضیدان نروژی نیلس هنریک آبل (۱۸۲۹–۱۸۰۲) نامگذاری شده در سال ۲۰۰۱ توسط دولت نروژ بنیان‌گذاری شد.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>h7y47zbbiambbsi39zfgtntnheoqhgh</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/کره</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36006</id>
    <revision>
      <id>117741</id>
      <parentid>117602</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T04:53:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26952" xml:space="preserve">'''کره''' یک شی هندسی است که یک شبیه به یک دایره دو بعدی در سه بعدی است،کره مجموعه نقاطی از فضا است که به یک فاصله معین از یک نقطه به مرکز کره قرار دارد که به آن شعاع دایره گویند.شعاع کره مثل برابر باrاست.

== اصلاحات پایه ==
شعاع کره را باRیاrنشان می دهند.شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می آید.قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می دهند.اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می آید.سیارات و ستاره ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند.این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند.
ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است . آنها یک ''کره'' و یک ''توپ'' را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می کنند. یک ''توپ باز'' خود کره را حذف می کند، در حالی که یک ''توپ بسته'' شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین ''توپ'' و ''کره''همیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می کنند. تمایز بین &quot; دایره &quot; و &quot; دیسک &quot; در هواپیما مشابه است.

کره های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می شوند، به عنوان مثال کره مریخ .

=== نکاتی درباره کره ===

# حجم کره دوسوم حجم استوانه است
# مساحت آن چهار برابر مساحت دایره است
# کره نوعی چندوجهی است
# کره از نوع احجام هندسی است
# اگر حجم دو کره هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر حجم کره با شعاع مجذور دوکره است
# اگر مساحت دو کره  هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر مساحت کره با شعاع مجذور دوکره است
# کره در مختصات سه بعدی به کار می رود

== معادلات ==
در هندسه تحلیلی کره ای با مرکز(x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,z&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)داشته باشیم و  مختصات کره(x,y,z)برابر با مکان تمامی شعاع کره باشد. می توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه ، نوعی سطح جبری است.&lt;math&gt; (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.&lt;/math&gt;

معادله فرض کنید a، b، c، d، e اعداد حقیقی با ''a'' ≠ 0 باشند و درمعادله درجه یک قرار دهید&lt;math&gt;x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.&lt;/math&gt;سپس معادله برابر با&lt;math&gt;f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0&lt;/math&gt;

=== معادله پارامتریک ===
اگر به صورت پارامپر معادله کره بدست آوریم به طوری که شعاع کره برابر با&lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt;باشد و مرکز کره ما برابر با&lt;math&gt;(x_0,y_0,z_0)&lt;/math&gt;باشد به صورت زیر نوشته می گردد

&lt;math&gt;\begin{align}
x &amp;= x_0 + r \sin \theta  \; \cos\varphi \\
y &amp;= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \\
z &amp;= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}&lt;/math&gt;

نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می شود . r ثابت است، در حالی که θ از 0 تا π و&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;متغیر است از0 تا&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; نیز متغیر است .

== حجم ==
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
&lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;در این رابطه، ''r'' شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
&lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;در این رابطه، ''r'' شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.
=== اثبات حجم کره ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه=

&lt;math&gt;\!V =2\pi r^3&lt;/math&gt; 

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید

&lt;math&gt;V =\frac{2}{3}2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

که r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد.  این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .  این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از ''x'' = - ''r'' تا ''x'' = ''r'' متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

=== اثبات حجم کره به روش انتگرال ومثلثات ===
نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور ''y''ها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ ''h = ۰'' قرار دارد، شعاعی برابر با ''r'' دارد (''s = r'') و دیسکی که در نقطهٔ ''h = r'' قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (''s = ۰'').

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه ''h''، برابر با ''δh'' باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

: &lt;math&gt;\!\delta V \approx \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

: &lt;math&gt;\!V \approx \sum \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi s^2 dh.&lt;/math&gt;

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

: &lt;math&gt;\!r^2 = s^2 + h^2&lt;/math&gt;

پس به جای &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; است استفاده می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!r^2 - h^2= s^2&lt;/math&gt;

مقدار تازهٔ &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - h^2)dh.&lt;/math&gt;

مقدار انتگرال برابر است با:

: &lt;math&gt;\!V = \pi \left[r^2h - \frac{h^3}{3} \right]_{0}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-0^3 + \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم نیمی از کره برابر با &lt;math&gt;\!V = \frac{2}{3}\pi r^3&lt;/math&gt; است پس حجم کل کره می‌شود:

: &lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

: &lt;math&gt;\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi&lt;/math&gt;

== مساحت ==
مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به ''r''، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا ''r'' می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با ''δV''، ضخامت هر پوسته را با ''δr'' و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع ''r'' با(A(rنمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

: &lt;math&gt;\delta V \approx A(r) \cdot \delta r \,&lt;/math&gt;

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

: &lt;math&gt;V \approx \sum A(r) \cdot \delta r&lt;/math&gt;

هنگامی که ''δr'' به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

: &lt;math&gt;V = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

: &lt;math&gt;\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

: &lt;math&gt;\!4\pi r^2 = A(r)&lt;/math&gt;

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2&lt;/math&gt;

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت &lt;math&gt;dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi&lt;/math&gt; و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت &lt;math&gt;dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-\sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}\Pi_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k&lt;/math&gt; بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;

== خواص ==
یک کره را می توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می شود، ساخت . این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است . از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است ، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می شود . چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل. 

یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. به‌طور کلی‌تر، یک کره به طور منحصربه‌فردی  چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود .

در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند).

با بررسی جواب های رایج معادلات دو کره ، می توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می کنند و صفحه حاوی آن دایره، '''صفحه رادیکال''' کره های متقاطع نامیده می شود.  اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند). 

زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می شوند.  آنها در زوایای قائمه متقاطع می شوند ( متعامد هستند ) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد. 

=== یازده خواص کره ===
این خواص را دو ریاضی دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده اند و این خواص های اثبات شده است.

# ''نقاط روی کره همگی از یک نقطه ثابت فاصله دارند. همچنین نسبت فاصله نقاط آن از دو نقطه ثابت ثابت است.''
#: بخش اول تعریف معمول کره است و آن را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. قسمت دوم به راحتی قابل استنباط است و نتیجه مشابه آپولونیوس پرگا برای دایره را دنبال می کند. این قسمت دوم نیز برای هواپیما صادق است.
# ''خطوط و مقاطع صفحه کره دایره هستند.''
#: این ویژگی کره را به طور منحصر به فردی تعریف می کند.
# ''کره دارای عرض ثابت و دور ثابت است.''
#: عرض یک سطح فاصله بین جفت صفحات مماس موازی است. بسیاری از سطوح محدب بسته دیگر دارای عرض ثابت هستند، به عنوان مثال بدنه مایسنر . دور یک سطح، محیط مرز برآمدگی متعامد آن روی یک صفحه است. هر یک از این ویژگی ها بر دیگری دلالت دارد.
# ''تمام نقاط یک کره ناف هستند .''
#: در هر نقطه از سطح یک جهت عادی با سطح زوایای قائمه است زیرا در کره این خطوط هستند که از مرکز کره خارج می شوند. تقاطع صفحه ای که دارای حالت عادی با سطح است منحنی را تشکیل می دهد که به آن مقطع ''نرمال'' می گویند و انحنای این منحنی ''انحنای نرمال است'' . برای اکثر نقاط روی بیشتر سطوح، بخش های مختلف انحناهای متفاوتی دارند. مقادیر حداکثر و حداقل آنها را انحنای اصلی می نامند . هر سطح بسته حداقل چهار نقطه به نام ''نقاط نافی'' دارد. در یک ناف تمام انحناهای مقطعی برابر هستند. به ویژه انحناهای اصلیبرابر هستند. نقاط ناف را می توان به عنوان نقاطی در نظر گرفت که سطح آن با یک کره تقریباً نزدیک است.
#: برای کره، انحنای تمام بخش های عادی برابر است، بنابراین هر نقطه یک ناف است. کره و صفحه تنها سطوحی هستند که این خاصیت را دارند.
# ''کره سطحی از مراکز ندارد.''
#: برای یک مقطع عادی، دایره ای از انحنا وجود دارد که برابر با انحنای مقطع است، مماس بر سطح است، و خطوط مرکزی آن در امتداد خط عادی قرار دارند. به عنوان مثال، دو مرکز مربوط به حداکثر و حداقل انحنای مقطع ، ''نقاط کانونی'' نامیده می شوند و مجموعه تمام این مراکز، سطح کانونی را تشکیل می دهند.
#: برای اکثر سطوح، سطح کانونی دو صفحه تشکیل می دهد که هر کدام یک سطح هستند و در نقاط ناف به هم می رسند. چند مورد خاص هستند:
#: * برای سطوح کانال یک ورق یک منحنی و ورق دیگر یک سطح است
#: * برای مخروط ها ، استوانه ها، توری ها و سیکلیدها ، هر دو ورق منحنی تشکیل می دهند.
#: * برای کره، مرکز هر دایره منعش‌کننده در مرکز کره است و سطح کانونی یک نقطه واحد را تشکیل می‌دهد. این خاصیت منحصر به کره است.
# ''تمام ژئودزیک های کره منحنی های بسته هستند.''
#: ژئودزیک ها منحنی هایی روی سطحی هستند که کمترین فاصله را بین دو نقطه نشان می دهند. آنها تعمیم مفهوم خط مستقیم در صفحه هستند. برای کره، ژئودزیک ها دایره های بزرگی هستند. بسیاری از سطوح دیگر این ویژگی را به اشتراک می گذارند.
# ''از میان تمام جامداتی که حجم معینی دارند، کره با کمترین مساحت سطحی است. از بین تمام جامداتی که سطح مشخصی دارند، کره بیشترین حجم را دارد.''
#: از نابرابری ایزوپریمتری نتیجه می شود . این ویژگی‌ها کره را به‌طور منحصربه‌فردی تعریف می‌کنند و می‌توان آن را در حباب‌های صابون مشاهده کرد : حباب صابون یک حجم ثابت را در بر می‌گیرد و کشش سطحی سطح آن را برای آن حجم به حداقل می‌رساند. بنابراین یک حباب صابون شناور آزادانه به یک کره نزدیک می شود (اگرچه نیروهای خارجی مانند گرانش شکل حباب را کمی تغییر می دهد). همچنین در سیارات و ستارگانی که گرانش سطح اجرام آسمانی بزرگ را به حداقل می رساند، دیده می شود.
# ''کره کوچکترین انحنای میانگین کل را در بین تمام جامدات محدب با سطح معین دارد.''
#: انحنای متوسط ​​میانگین دو انحنای اصلی است که ثابت است زیرا دو انحنای اصلی در تمام نقاط کره ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای متوسط ​​ثابت است.''
#: کره تنها سطح نهفته است که فاقد مرز یا تکینگی با میانگین انحنای مثبت ثابت است. سایر سطوح غوطه ور مانند سطوح حداقل دارای میانگین انحنای ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای گاوسی مثبت ثابت است.''
#: انحنای گاوسی حاصلضرب دو انحنای اصلی است. این یک ویژگی ذاتی است که می توان آن را با اندازه گیری طول و زوایا تعیین کرد و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است. از این رو، خمش یک سطح، انحنای گاوسی را تغییر نمی‌دهد و سایر سطوح با انحنای گاوسی مثبت ثابت را می‌توان با بریدن یک شکاف کوچک در کره و خم کردن آن به دست آورد. همه این سطوح دیگر دارای مرز خواهند بود و کره تنها سطحی است که فاقد مرزی با انحنای گاوسی ثابت و مثبت است. شبه کره نمونه ای از سطحی با انحنای گاوسی منفی ثابت است.
# ''کره توسط یک خانواده سه پارامتری از حرکات صلب به خود تبدیل می شود.''
#: چرخش حول هر محوری یک کره واحد در مبدأ، کره را روی خودش ترسیم می کند. هر چرخشی حول یک خط از مبدا می تواند به صورت ترکیبی از چرخش ها حول محور سه مختصات بیان شود (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). بنابراین، یک خانواده سه پارامتری از چرخش ها وجود دارد به طوری که هر چرخش کره را به خود تبدیل می کند. این خانواده گروه چرخشی SO(3) است. صفحه تنها سطح دیگری است که دارای یک خانواده تبدیل سه پارامتری است (ترجمه در امتداد محورهای x - و y و چرخش حول مبدا). استوانه های دایره ای تنها سطوح با خانواده های دو پارامتری از حرکات صلب و سطوح چرخشی و هلیکوئیدی هستند.تنها سطوح با خانواده یک پارامتری هستند.

== درمان بر اساس حوزه ریاضیات ==

=== هندسه کروی ===
عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند . در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می شوند. آنالوگ &quot;خط&quot; ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است . مشخصه تعیین کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می گیرد از مرکز کره نیز عبور می کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که نقاط را شامل می‌شود.

بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی تواند برخی از فرضیه های هندسه کلاسیک ، از جمله فرض موازی را برآورده کند . در مثلثات کروی ، زاویه ها بین دایره های بزرگ تعریف می شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است . به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از 180 درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.

هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می گیرد، ''نقاط پادپای'' نامیده می شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است.  هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره

* روی یک دایره بزرگ بی نظیر دراز بکش،
* آن را به یک قوس مینور (یعنی کوتاهتر) و یک قوس اصلی (یعنی بلندتر) تقسیم کنید و
* طول قوس فرعی ''کمترین فاصله'' بین آنها روی کره باشد. 

هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می دهد.

== منحنی روی یک کره ==

== تاریخ ==
هندسه کره توسط یونانیان مورد مطالعه قرار گرفت. عناصر اقلیدس کره را در کتاب XI تعریف می‌کند، در کتاب دوازدهم ویژگی‌های مختلف کره را مورد بحث قرار می‌دهد و نشان می‌دهد که چگونه پنج چند وجهی منظم را در یک کره در کتاب سیزدهم حک کنید. اقلیدس مساحت و حجم یک کره را در بر نمی گیرد، فقط یک قضیه را شامل می شود که حجم یک کره به عنوان توان سوم قطر آن تغییر می کند، احتمالاً به دلیل Eudoxus of Cnidus . فرمول های حجم و مساحت ابتدا در کتاب ارشمیدس روی کره و استوانه با روش اگزوز تعیین شد. زنودوروس اولین کسی بود که بیان کرد، برای یک سطح معین، کره جامد با حداکثر حجم است.

ارشمیدس در مورد مشکل تقسیم یک کره به بخش هایی نوشت که حجم آنها در یک نسبت مشخص است، اما آن را حل نکرد. راه حلی با استفاده از سهمی و هذلولی توسط دیونیسودوروس آمیسوس (حدود قرن اول پیش از میلاد) ارائه شد و مسئله مشابهی - ساختن قطعه ای برابر حجم با یک قطعه معین و از نظر سطح با یک قطعه دیگر - بعداً حل شد. توسط القیحی .

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]

'''&lt;code&gt;محتوای این صفحه در حال تحقیق است&lt;/code&gt;'''</text>
      <sha1>5bt6tt05kv5rdttbs44ht1ofnfk8lbx</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117742</id>
      <parentid>117741</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T04:54:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26657" xml:space="preserve">'''کره''' یک شی هندسی است که یک شبیه به یک دایره دو بعدی در سه بعدی است،کره مجموعه نقاطی از فضا است که به یک فاصله معین از یک نقطه به مرکز کره قرار دارد که به آن شعاع دایره گویند.شعاع کره مثل برابر باrاست.

== اصلاحات پایه ==
شعاع کره را باRیاrنشان می دهند.شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می آید.قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می دهند.اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می آید.سیارات و ستاره ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند.این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند.
ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است . آنها یک ''کره'' و یک ''توپ'' را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می کنند. یک ''توپ باز'' خود کره را حذف می کند، در حالی که یک ''توپ بسته'' شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین ''توپ'' و ''کره''همیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می کنند. تمایز بین &quot; دایره &quot; و &quot; دیسک &quot; در هواپیما مشابه است.

کره های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می شوند، به عنوان مثال کره مریخ .

=== نکاتی درباره کره ===

# حجم کره دوسوم حجم استوانه است
# مساحت آن چهار برابر مساحت دایره است
# کره نوعی چندوجهی است
# کره از نوع احجام هندسی است
# اگر حجم دو کره هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر حجم کره با شعاع مجذور دوکره است
# اگر مساحت دو کره  هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر مساحت کره با شعاع مجذور دوکره است
# کره در مختصات سه بعدی به کار می رود

== معادلات ==
در هندسه تحلیلی کره ای با مرکز(x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,z&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)داشته باشیم و  مختصات کره(x,y,z)برابر با مکان تمامی شعاع کره باشد. می توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه ، نوعی سطح جبری است.&lt;math&gt; (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.&lt;/math&gt;

معادله فرض کنید a، b، c، d، e اعداد حقیقی با ''a'' ≠ 0 باشند و درمعادله درجه یک قرار دهید&lt;math&gt;x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.&lt;/math&gt;سپس معادله برابر با&lt;math&gt;f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0&lt;/math&gt;

=== معادله پارامتریک ===
اگر به صورت پارامپر معادله کره بدست آوریم به طوری که شعاع کره برابر با&lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt;باشد و مرکز کره ما برابر با&lt;math&gt;(x_0,y_0,z_0)&lt;/math&gt;باشد به صورت زیر نوشته می گردد

&lt;math&gt;\begin{align}
x &amp;= x_0 + r \sin \theta  \; \cos\varphi \\
y &amp;= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \\
z &amp;= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}&lt;/math&gt;

نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می شود . r ثابت است، در حالی که θ از 0 تا π و&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;متغیر است از0 تا&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; نیز متغیر است .

== حجم ==
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
&lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;در این رابطه، ''r'' شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
=== اثبات حجم کره ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه=

&lt;math&gt;\!V =2\pi r^3&lt;/math&gt; 

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید

&lt;math&gt;V =\frac{2}{3}2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

که r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد.  این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .  این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از ''x'' = - ''r'' تا ''x'' = ''r'' متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

=== اثبات حجم کره به روش انتگرال ومثلثات ===
نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور ''y''ها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ ''h = ۰'' قرار دارد، شعاعی برابر با ''r'' دارد (''s = r'') و دیسکی که در نقطهٔ ''h = r'' قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (''s = ۰'').

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه ''h''، برابر با ''δh'' باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

: &lt;math&gt;\!\delta V \approx \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

: &lt;math&gt;\!V \approx \sum \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi s^2 dh.&lt;/math&gt;

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

: &lt;math&gt;\!r^2 = s^2 + h^2&lt;/math&gt;

پس به جای &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; است استفاده می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!r^2 - h^2= s^2&lt;/math&gt;

مقدار تازهٔ &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - h^2)dh.&lt;/math&gt;

مقدار انتگرال برابر است با:

: &lt;math&gt;\!V = \pi \left[r^2h - \frac{h^3}{3} \right]_{0}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-0^3 + \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم نیمی از کره برابر با &lt;math&gt;\!V = \frac{2}{3}\pi r^3&lt;/math&gt; است پس حجم کل کره می‌شود:

: &lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

: &lt;math&gt;\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi&lt;/math&gt;

== مساحت ==
مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به ''r''، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا ''r'' می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با ''δV''، ضخامت هر پوسته را با ''δr'' و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع ''r'' با(A(rنمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

: &lt;math&gt;\delta V \approx A(r) \cdot \delta r \,&lt;/math&gt;

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

: &lt;math&gt;V \approx \sum A(r) \cdot \delta r&lt;/math&gt;

هنگامی که ''δr'' به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

: &lt;math&gt;V = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

: &lt;math&gt;\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

: &lt;math&gt;\!4\pi r^2 = A(r)&lt;/math&gt;

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2&lt;/math&gt;

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت &lt;math&gt;dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi&lt;/math&gt; و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت &lt;math&gt;dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-\sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}\Pi_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k&lt;/math&gt; بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;

== خواص ==
یک کره را می توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می شود، ساخت . این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است . از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است ، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می شود . چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل. 

یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. به‌طور کلی‌تر، یک کره به طور منحصربه‌فردی  چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود .

در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند).

با بررسی جواب های رایج معادلات دو کره ، می توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می کنند و صفحه حاوی آن دایره، '''صفحه رادیکال''' کره های متقاطع نامیده می شود.  اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند). 

زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می شوند.  آنها در زوایای قائمه متقاطع می شوند ( متعامد هستند ) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد. 

=== یازده خواص کره ===
این خواص را دو ریاضی دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده اند و این خواص های اثبات شده است.

# ''نقاط روی کره همگی از یک نقطه ثابت فاصله دارند. همچنین نسبت فاصله نقاط آن از دو نقطه ثابت ثابت است.''
#: بخش اول تعریف معمول کره است و آن را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. قسمت دوم به راحتی قابل استنباط است و نتیجه مشابه آپولونیوس پرگا برای دایره را دنبال می کند. این قسمت دوم نیز برای هواپیما صادق است.
# ''خطوط و مقاطع صفحه کره دایره هستند.''
#: این ویژگی کره را به طور منحصر به فردی تعریف می کند.
# ''کره دارای عرض ثابت و دور ثابت است.''
#: عرض یک سطح فاصله بین جفت صفحات مماس موازی است. بسیاری از سطوح محدب بسته دیگر دارای عرض ثابت هستند، به عنوان مثال بدنه مایسنر . دور یک سطح، محیط مرز برآمدگی متعامد آن روی یک صفحه است. هر یک از این ویژگی ها بر دیگری دلالت دارد.
# ''تمام نقاط یک کره ناف هستند .''
#: در هر نقطه از سطح یک جهت عادی با سطح زوایای قائمه است زیرا در کره این خطوط هستند که از مرکز کره خارج می شوند. تقاطع صفحه ای که دارای حالت عادی با سطح است منحنی را تشکیل می دهد که به آن مقطع ''نرمال'' می گویند و انحنای این منحنی ''انحنای نرمال است'' . برای اکثر نقاط روی بیشتر سطوح، بخش های مختلف انحناهای متفاوتی دارند. مقادیر حداکثر و حداقل آنها را انحنای اصلی می نامند . هر سطح بسته حداقل چهار نقطه به نام ''نقاط نافی'' دارد. در یک ناف تمام انحناهای مقطعی برابر هستند. به ویژه انحناهای اصلیبرابر هستند. نقاط ناف را می توان به عنوان نقاطی در نظر گرفت که سطح آن با یک کره تقریباً نزدیک است.
#: برای کره، انحنای تمام بخش های عادی برابر است، بنابراین هر نقطه یک ناف است. کره و صفحه تنها سطوحی هستند که این خاصیت را دارند.
# ''کره سطحی از مراکز ندارد.''
#: برای یک مقطع عادی، دایره ای از انحنا وجود دارد که برابر با انحنای مقطع است، مماس بر سطح است، و خطوط مرکزی آن در امتداد خط عادی قرار دارند. به عنوان مثال، دو مرکز مربوط به حداکثر و حداقل انحنای مقطع ، ''نقاط کانونی'' نامیده می شوند و مجموعه تمام این مراکز، سطح کانونی را تشکیل می دهند.
#: برای اکثر سطوح، سطح کانونی دو صفحه تشکیل می دهد که هر کدام یک سطح هستند و در نقاط ناف به هم می رسند. چند مورد خاص هستند:
#: * برای سطوح کانال یک ورق یک منحنی و ورق دیگر یک سطح است
#: * برای مخروط ها ، استوانه ها، توری ها و سیکلیدها ، هر دو ورق منحنی تشکیل می دهند.
#: * برای کره، مرکز هر دایره منعش‌کننده در مرکز کره است و سطح کانونی یک نقطه واحد را تشکیل می‌دهد. این خاصیت منحصر به کره است.
# ''تمام ژئودزیک های کره منحنی های بسته هستند.''
#: ژئودزیک ها منحنی هایی روی سطحی هستند که کمترین فاصله را بین دو نقطه نشان می دهند. آنها تعمیم مفهوم خط مستقیم در صفحه هستند. برای کره، ژئودزیک ها دایره های بزرگی هستند. بسیاری از سطوح دیگر این ویژگی را به اشتراک می گذارند.
# ''از میان تمام جامداتی که حجم معینی دارند، کره با کمترین مساحت سطحی است. از بین تمام جامداتی که سطح مشخصی دارند، کره بیشترین حجم را دارد.''
#: از نابرابری ایزوپریمتری نتیجه می شود . این ویژگی‌ها کره را به‌طور منحصربه‌فردی تعریف می‌کنند و می‌توان آن را در حباب‌های صابون مشاهده کرد : حباب صابون یک حجم ثابت را در بر می‌گیرد و کشش سطحی سطح آن را برای آن حجم به حداقل می‌رساند. بنابراین یک حباب صابون شناور آزادانه به یک کره نزدیک می شود (اگرچه نیروهای خارجی مانند گرانش شکل حباب را کمی تغییر می دهد). همچنین در سیارات و ستارگانی که گرانش سطح اجرام آسمانی بزرگ را به حداقل می رساند، دیده می شود.
# ''کره کوچکترین انحنای میانگین کل را در بین تمام جامدات محدب با سطح معین دارد.''
#: انحنای متوسط ​​میانگین دو انحنای اصلی است که ثابت است زیرا دو انحنای اصلی در تمام نقاط کره ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای متوسط ​​ثابت است.''
#: کره تنها سطح نهفته است که فاقد مرز یا تکینگی با میانگین انحنای مثبت ثابت است. سایر سطوح غوطه ور مانند سطوح حداقل دارای میانگین انحنای ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای گاوسی مثبت ثابت است.''
#: انحنای گاوسی حاصلضرب دو انحنای اصلی است. این یک ویژگی ذاتی است که می توان آن را با اندازه گیری طول و زوایا تعیین کرد و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است. از این رو، خمش یک سطح، انحنای گاوسی را تغییر نمی‌دهد و سایر سطوح با انحنای گاوسی مثبت ثابت را می‌توان با بریدن یک شکاف کوچک در کره و خم کردن آن به دست آورد. همه این سطوح دیگر دارای مرز خواهند بود و کره تنها سطحی است که فاقد مرزی با انحنای گاوسی ثابت و مثبت است. شبه کره نمونه ای از سطحی با انحنای گاوسی منفی ثابت است.
# ''کره توسط یک خانواده سه پارامتری از حرکات صلب به خود تبدیل می شود.''
#: چرخش حول هر محوری یک کره واحد در مبدأ، کره را روی خودش ترسیم می کند. هر چرخشی حول یک خط از مبدا می تواند به صورت ترکیبی از چرخش ها حول محور سه مختصات بیان شود (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). بنابراین، یک خانواده سه پارامتری از چرخش ها وجود دارد به طوری که هر چرخش کره را به خود تبدیل می کند. این خانواده گروه چرخشی SO(3) است. صفحه تنها سطح دیگری است که دارای یک خانواده تبدیل سه پارامتری است (ترجمه در امتداد محورهای x - و y و چرخش حول مبدا). استوانه های دایره ای تنها سطوح با خانواده های دو پارامتری از حرکات صلب و سطوح چرخشی و هلیکوئیدی هستند.تنها سطوح با خانواده یک پارامتری هستند.

== درمان بر اساس حوزه ریاضیات ==

=== هندسه کروی ===
عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند . در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می شوند. آنالوگ &quot;خط&quot; ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است . مشخصه تعیین کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می گیرد از مرکز کره نیز عبور می کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که نقاط را شامل می‌شود.

بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی تواند برخی از فرضیه های هندسه کلاسیک ، از جمله فرض موازی را برآورده کند . در مثلثات کروی ، زاویه ها بین دایره های بزرگ تعریف می شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است . به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از 180 درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.

هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می گیرد، ''نقاط پادپای'' نامیده می شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است.  هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره

* روی یک دایره بزرگ بی نظیر دراز بکش،
* آن را به یک قوس مینور (یعنی کوتاهتر) و یک قوس اصلی (یعنی بلندتر) تقسیم کنید و
* طول قوس فرعی ''کمترین فاصله'' بین آنها روی کره باشد. 

هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می دهد.

== منحنی روی یک کره ==

== تاریخ ==
هندسه کره توسط یونانیان مورد مطالعه قرار گرفت. عناصر اقلیدس کره را در کتاب XI تعریف می‌کند، در کتاب دوازدهم ویژگی‌های مختلف کره را مورد بحث قرار می‌دهد و نشان می‌دهد که چگونه پنج چند وجهی منظم را در یک کره در کتاب سیزدهم حک کنید. اقلیدس مساحت و حجم یک کره را در بر نمی گیرد، فقط یک قضیه را شامل می شود که حجم یک کره به عنوان توان سوم قطر آن تغییر می کند، احتمالاً به دلیل Eudoxus of Cnidus . فرمول های حجم و مساحت ابتدا در کتاب ارشمیدس روی کره و استوانه با روش اگزوز تعیین شد. زنودوروس اولین کسی بود که بیان کرد، برای یک سطح معین، کره جامد با حداکثر حجم است.

ارشمیدس در مورد مشکل تقسیم یک کره به بخش هایی نوشت که حجم آنها در یک نسبت مشخص است، اما آن را حل نکرد. راه حلی با استفاده از سهمی و هذلولی توسط دیونیسودوروس آمیسوس (حدود قرن اول پیش از میلاد) ارائه شد و مسئله مشابهی - ساختن قطعه ای برابر حجم با یک قطعه معین و از نظر سطح با یک قطعه دیگر - بعداً حل شد. توسط القیحی .

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]

'''&lt;code&gt;محتوای این صفحه در حال تحقیق است&lt;/code&gt;'''</text>
      <sha1>gmq8gq0wd4l0ber6h570pifs5o44lt5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117743</id>
      <parentid>117742</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T04:59:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="27500" xml:space="preserve">'''کره''' یک شی هندسی است که یک شبیه به یک دایره دو بعدی در سه بعدی است،کره مجموعه نقاطی از فضا است که به یک فاصله معین از یک نقطه به مرکز کره قرار دارد که به آن شعاع دایره گویند.شعاع کره مثل برابر باrاست.

== اصلاحات پایه ==
شعاع کره را باRیاrنشان می دهند.شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می آید.قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می دهند.اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می آید.سیارات و ستاره ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند.این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند.
ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است . آنها یک ''کره'' و یک ''توپ'' را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می کنند. یک ''توپ باز'' خود کره را حذف می کند، در حالی که یک ''توپ بسته'' شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین ''توپ'' و ''کره''همیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می کنند. تمایز بین &quot; دایره &quot; و &quot; دیسک &quot; در هواپیما مشابه است.

کره های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می شوند، به عنوان مثال کره مریخ .

=== نکاتی درباره کره ===

# حجم کره دوسوم حجم استوانه است
# مساحت آن چهار برابر مساحت دایره است
# کره نوعی چندوجهی است
# کره از نوع احجام هندسی است
# اگر حجم دو کره هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر حجم کره با شعاع مجذور دوکره است
# اگر مساحت دو کره  هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر مساحت کره با شعاع مجذور دوکره است
# کره در مختصات سه بعدی به کار می رود

== معادلات ==
در هندسه تحلیلی کره ای با مرکز(x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,z&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)داشته باشیم و  مختصات کره(x,y,z)برابر با مکان تمامی شعاع کره باشد. می توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه ، نوعی سطح جبری است.&lt;math&gt; (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.&lt;/math&gt;

معادله فرض کنید a، b، c، d، e اعداد حقیقی با ''a'' ≠ 0 باشند و درمعادله درجه یک قرار دهید&lt;math&gt;x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.&lt;/math&gt;سپس معادله برابر با&lt;math&gt;f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0&lt;/math&gt;

=== معادله پارامتریک ===
اگر به صورت پارامپر معادله کره بدست آوریم به طوری که شعاع کره برابر با&lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt;باشد و مرکز کره ما برابر با&lt;math&gt;(x_0,y_0,z_0)&lt;/math&gt;باشد به صورت زیر نوشته می گردد

&lt;math&gt;\begin{align}
x &amp;= x_0 + r \sin \theta  \; \cos\varphi \\
y &amp;= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \\
z &amp;= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}&lt;/math&gt;

نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می شود . r ثابت است، در حالی که θ از 0 تا π و&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;متغیر است از0 تا&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; نیز متغیر است .

== حجم ==
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
&lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;در این رابطه، ''r'' شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
=== اثبات حجم کره ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه=

&lt;math&gt;\!V =2\pi r^3&lt;/math&gt; 

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید

&lt;math&gt;V =\frac{2}{3}2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

که r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد.  این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .  این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از ''x'' = - ''r'' تا ''x'' = ''r'' متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

=== اثبات حجم کره به روش انتگرال ومثلثات ===
نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور ''y''ها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ ''h = ۰'' قرار دارد، شعاعی برابر با ''r'' دارد (''s = r'') و دیسکی که در نقطهٔ ''h = r'' قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (''s = ۰'').

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه ''h''، برابر با ''δh'' باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

: &lt;math&gt;\!\delta V \approx \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

: &lt;math&gt;\!V \approx \sum \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi s^2 dh.&lt;/math&gt;

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

: &lt;math&gt;\!r^2 = s^2 + h^2&lt;/math&gt;

پس به جای &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; است استفاده می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!r^2 - h^2= s^2&lt;/math&gt;

مقدار تازهٔ &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - h^2)dh.&lt;/math&gt;

مقدار انتگرال برابر است با:

: &lt;math&gt;\!V = \pi \left[r^2h - \frac{h^3}{3} \right]_{0}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-0^3 + \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم نیمی از کره برابر با &lt;math&gt;\!V = \frac{2}{3}\pi r^3&lt;/math&gt; است پس حجم کل کره می‌شود:

: &lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

: &lt;math&gt;\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi&lt;/math&gt;

== مساحت ==
مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به ''r''، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا ''r'' می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با ''δV''، ضخامت هر پوسته را با ''δr'' و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع ''r'' با(A(rنمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

: &lt;math&gt;\delta V \approx A(r) \cdot \delta r \,&lt;/math&gt;

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

: &lt;math&gt;V \approx \sum A(r) \cdot \delta r&lt;/math&gt;

هنگامی که ''δr'' به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

: &lt;math&gt;V = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

: &lt;math&gt;\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

: &lt;math&gt;\!4\pi r^2 = A(r)&lt;/math&gt;

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2&lt;/math&gt;

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت &lt;math&gt;dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi&lt;/math&gt; و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت &lt;math&gt;dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-\sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}\Pi_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k&lt;/math&gt; بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;
کره دارای کمترین سطح در بین تمام سطوحی است که حجم معینی را در بر می گیرند و بیشترین حجم را در بین تمام سطوح بسته با یک سطح معین در بر می گیرد.  بنابراین کره در طبیعت ظاهر می شود: برای مثال، حباب ها و قطرات کوچک آب تقریباً کروی هستند زیرا کشش سطحی به طور محلی سطح سطح را به حداقل می رساند.

مساحت سطح نسبت به جرم یک توپ را مساحت سطح مخصوص می نامند و می توان آن را از معادلات ذکر شده در بالا به صورت بیان کرد.

: &lt;math&gt;\mathrm{SSA} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho},&lt;/math&gt;

که ρ چگالی ( نسبت جرم به حجم) است.

== خواص ==
یک کره را می توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می شود، ساخت . این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است . از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است ، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می شود . چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل. 

یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. به‌طور کلی‌تر، یک کره به طور منحصربه‌فردی  چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود .

در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند).

با بررسی جواب های رایج معادلات دو کره ، می توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می کنند و صفحه حاوی آن دایره، '''صفحه رادیکال''' کره های متقاطع نامیده می شود.  اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند). 

زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می شوند.  آنها در زوایای قائمه متقاطع می شوند ( متعامد هستند ) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد. 

=== یازده خواص کره ===
این خواص را دو ریاضی دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده اند و این خواص های اثبات شده است.

# ''نقاط روی کره همگی از یک نقطه ثابت فاصله دارند. همچنین نسبت فاصله نقاط آن از دو نقطه ثابت ثابت است.''
#: بخش اول تعریف معمول کره است و آن را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. قسمت دوم به راحتی قابل استنباط است و نتیجه مشابه آپولونیوس پرگا برای دایره را دنبال می کند. این قسمت دوم نیز برای هواپیما صادق است.
# ''خطوط و مقاطع صفحه کره دایره هستند.''
#: این ویژگی کره را به طور منحصر به فردی تعریف می کند.
# ''کره دارای عرض ثابت و دور ثابت است.''
#: عرض یک سطح فاصله بین جفت صفحات مماس موازی است. بسیاری از سطوح محدب بسته دیگر دارای عرض ثابت هستند، به عنوان مثال بدنه مایسنر . دور یک سطح، محیط مرز برآمدگی متعامد آن روی یک صفحه است. هر یک از این ویژگی ها بر دیگری دلالت دارد.
# ''تمام نقاط یک کره ناف هستند .''
#: در هر نقطه از سطح یک جهت عادی با سطح زوایای قائمه است زیرا در کره این خطوط هستند که از مرکز کره خارج می شوند. تقاطع صفحه ای که دارای حالت عادی با سطح است منحنی را تشکیل می دهد که به آن مقطع ''نرمال'' می گویند و انحنای این منحنی ''انحنای نرمال است'' . برای اکثر نقاط روی بیشتر سطوح، بخش های مختلف انحناهای متفاوتی دارند. مقادیر حداکثر و حداقل آنها را انحنای اصلی می نامند . هر سطح بسته حداقل چهار نقطه به نام ''نقاط نافی'' دارد. در یک ناف تمام انحناهای مقطعی برابر هستند. به ویژه انحناهای اصلیبرابر هستند. نقاط ناف را می توان به عنوان نقاطی در نظر گرفت که سطح آن با یک کره تقریباً نزدیک است.
#: برای کره، انحنای تمام بخش های عادی برابر است، بنابراین هر نقطه یک ناف است. کره و صفحه تنها سطوحی هستند که این خاصیت را دارند.
# ''کره سطحی از مراکز ندارد.''
#: برای یک مقطع عادی، دایره ای از انحنا وجود دارد که برابر با انحنای مقطع است، مماس بر سطح است، و خطوط مرکزی آن در امتداد خط عادی قرار دارند. به عنوان مثال، دو مرکز مربوط به حداکثر و حداقل انحنای مقطع ، ''نقاط کانونی'' نامیده می شوند و مجموعه تمام این مراکز، سطح کانونی را تشکیل می دهند.
#: برای اکثر سطوح، سطح کانونی دو صفحه تشکیل می دهد که هر کدام یک سطح هستند و در نقاط ناف به هم می رسند. چند مورد خاص هستند:
#: * برای سطوح کانال یک ورق یک منحنی و ورق دیگر یک سطح است
#: * برای مخروط ها ، استوانه ها، توری ها و سیکلیدها ، هر دو ورق منحنی تشکیل می دهند.
#: * برای کره، مرکز هر دایره منعش‌کننده در مرکز کره است و سطح کانونی یک نقطه واحد را تشکیل می‌دهد. این خاصیت منحصر به کره است.
# ''تمام ژئودزیک های کره منحنی های بسته هستند.''
#: ژئودزیک ها منحنی هایی روی سطحی هستند که کمترین فاصله را بین دو نقطه نشان می دهند. آنها تعمیم مفهوم خط مستقیم در صفحه هستند. برای کره، ژئودزیک ها دایره های بزرگی هستند. بسیاری از سطوح دیگر این ویژگی را به اشتراک می گذارند.
# ''از میان تمام جامداتی که حجم معینی دارند، کره با کمترین مساحت سطحی است. از بین تمام جامداتی که سطح مشخصی دارند، کره بیشترین حجم را دارد.''
#: از نابرابری ایزوپریمتری نتیجه می شود . این ویژگی‌ها کره را به‌طور منحصربه‌فردی تعریف می‌کنند و می‌توان آن را در حباب‌های صابون مشاهده کرد : حباب صابون یک حجم ثابت را در بر می‌گیرد و کشش سطحی سطح آن را برای آن حجم به حداقل می‌رساند. بنابراین یک حباب صابون شناور آزادانه به یک کره نزدیک می شود (اگرچه نیروهای خارجی مانند گرانش شکل حباب را کمی تغییر می دهد). همچنین در سیارات و ستارگانی که گرانش سطح اجرام آسمانی بزرگ را به حداقل می رساند، دیده می شود.
# ''کره کوچکترین انحنای میانگین کل را در بین تمام جامدات محدب با سطح معین دارد.''
#: انحنای متوسط ​​میانگین دو انحنای اصلی است که ثابت است زیرا دو انحنای اصلی در تمام نقاط کره ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای متوسط ​​ثابت است.''
#: کره تنها سطح نهفته است که فاقد مرز یا تکینگی با میانگین انحنای مثبت ثابت است. سایر سطوح غوطه ور مانند سطوح حداقل دارای میانگین انحنای ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای گاوسی مثبت ثابت است.''
#: انحنای گاوسی حاصلضرب دو انحنای اصلی است. این یک ویژگی ذاتی است که می توان آن را با اندازه گیری طول و زوایا تعیین کرد و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است. از این رو، خمش یک سطح، انحنای گاوسی را تغییر نمی‌دهد و سایر سطوح با انحنای گاوسی مثبت ثابت را می‌توان با بریدن یک شکاف کوچک در کره و خم کردن آن به دست آورد. همه این سطوح دیگر دارای مرز خواهند بود و کره تنها سطحی است که فاقد مرزی با انحنای گاوسی ثابت و مثبت است. شبه کره نمونه ای از سطحی با انحنای گاوسی منفی ثابت است.
# ''کره توسط یک خانواده سه پارامتری از حرکات صلب به خود تبدیل می شود.''
#: چرخش حول هر محوری یک کره واحد در مبدأ، کره را روی خودش ترسیم می کند. هر چرخشی حول یک خط از مبدا می تواند به صورت ترکیبی از چرخش ها حول محور سه مختصات بیان شود (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). بنابراین، یک خانواده سه پارامتری از چرخش ها وجود دارد به طوری که هر چرخش کره را به خود تبدیل می کند. این خانواده گروه چرخشی SO(3) است. صفحه تنها سطح دیگری است که دارای یک خانواده تبدیل سه پارامتری است (ترجمه در امتداد محورهای x - و y و چرخش حول مبدا). استوانه های دایره ای تنها سطوح با خانواده های دو پارامتری از حرکات صلب و سطوح چرخشی و هلیکوئیدی هستند.تنها سطوح با خانواده یک پارامتری هستند.

== درمان بر اساس حوزه ریاضیات ==

=== هندسه کروی ===
عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند . در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می شوند. آنالوگ &quot;خط&quot; ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است . مشخصه تعیین کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می گیرد از مرکز کره نیز عبور می کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که نقاط را شامل می‌شود.

بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی تواند برخی از فرضیه های هندسه کلاسیک ، از جمله فرض موازی را برآورده کند . در مثلثات کروی ، زاویه ها بین دایره های بزرگ تعریف می شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است . به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از 180 درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.

هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می گیرد، ''نقاط پادپای'' نامیده می شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است.  هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره

* روی یک دایره بزرگ بی نظیر دراز بکش،
* آن را به یک قوس مینور (یعنی کوتاهتر) و یک قوس اصلی (یعنی بلندتر) تقسیم کنید و
* طول قوس فرعی ''کمترین فاصله'' بین آنها روی کره باشد. 

هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می دهد.

== منحنی روی یک کره ==

== تاریخ ==
هندسه کره توسط یونانیان مورد مطالعه قرار گرفت. عناصر اقلیدس کره را در کتاب XI تعریف می‌کند، در کتاب دوازدهم ویژگی‌های مختلف کره را مورد بحث قرار می‌دهد و نشان می‌دهد که چگونه پنج چند وجهی منظم را در یک کره در کتاب سیزدهم حک کنید. اقلیدس مساحت و حجم یک کره را در بر نمی گیرد، فقط یک قضیه را شامل می شود که حجم یک کره به عنوان توان سوم قطر آن تغییر می کند، احتمالاً به دلیل Eudoxus of Cnidus . فرمول های حجم و مساحت ابتدا در کتاب ارشمیدس روی کره و استوانه با روش اگزوز تعیین شد. زنودوروس اولین کسی بود که بیان کرد، برای یک سطح معین، کره جامد با حداکثر حجم است.

ارشمیدس در مورد مشکل تقسیم یک کره به بخش هایی نوشت که حجم آنها در یک نسبت مشخص است، اما آن را حل نکرد. راه حلی با استفاده از سهمی و هذلولی توسط دیونیسودوروس آمیسوس (حدود قرن اول پیش از میلاد) ارائه شد و مسئله مشابهی - ساختن قطعه ای برابر حجم با یک قطعه معین و از نظر سطح با یک قطعه دیگر - بعداً حل شد. توسط القیحی .

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]

'''&lt;code&gt;محتوای این صفحه در حال تحقیق است&lt;/code&gt;'''</text>
      <sha1>3zhnbghhvo1eucp3432uumx1hb5toum</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117744</id>
      <parentid>117743</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T05:02:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="27970" xml:space="preserve">'''کره''' یک شی هندسی است که یک شبیه به یک دایره دو بعدی در سه بعدی است،کره مجموعه نقاطی از فضا است که به یک فاصله معین از یک نقطه به مرکز کره قرار دارد که به آن شعاع دایره گویند.شعاع کره مثل برابر باrاست.

== اصلاحات پایه ==
شعاع کره را باRیاrنشان می دهند.شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می آید.قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می دهند.اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می آید.سیارات و ستاره ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند.این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند.
ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است . آنها یک ''کره'' و یک ''توپ'' را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می کنند. یک ''توپ باز'' خود کره را حذف می کند، در حالی که یک ''توپ بسته'' شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین ''توپ'' و ''کره''همیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می کنند. تمایز بین &quot; دایره &quot; و &quot; دیسک &quot; در هواپیما مشابه است.

کره های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می شوند، به عنوان مثال کره مریخ .

=== نکاتی درباره کره ===

# حجم کره دوسوم حجم استوانه است
# مساحت آن چهار برابر مساحت دایره است
# کره نوعی چندوجهی است
# کره از نوع احجام هندسی است
# اگر حجم دو کره هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر حجم کره با شعاع مجذور دوکره است
# اگر مساحت دو کره  هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر مساحت کره با شعاع مجذور دوکره است
# کره در مختصات سه بعدی به کار می رود

== معادلات ==
در هندسه تحلیلی کره ای با مرکز(x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,z&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)داشته باشیم و  مختصات کره(x,y,z)برابر با مکان تمامی شعاع کره باشد. می توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه ، نوعی سطح جبری است.&lt;math&gt; (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.&lt;/math&gt;

معادله فرض کنید a، b، c، d، e اعداد حقیقی با ''a'' ≠ 0 باشند و درمعادله درجه یک قرار دهید&lt;math&gt;x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.&lt;/math&gt;سپس معادله برابر با&lt;math&gt;f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0&lt;/math&gt;

=== معادله پارامتریک ===
اگر به صورت پارامپر معادله کره بدست آوریم به طوری که شعاع کره برابر با&lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt;باشد و مرکز کره ما برابر با&lt;math&gt;(x_0,y_0,z_0)&lt;/math&gt;باشد به صورت زیر نوشته می گردد

&lt;math&gt;\begin{align}
x &amp;= x_0 + r \sin \theta  \; \cos\varphi \\
y &amp;= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \\
z &amp;= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}&lt;/math&gt;

نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می شود . r ثابت است، در حالی که θ از 0 تا π و&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;متغیر است از0 تا&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; نیز متغیر است .

== حجم ==
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
&lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;در این رابطه، ''r'' شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
=== اثبات حجم کره ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه=

&lt;math&gt;\!V =2\pi r^3&lt;/math&gt; 

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید

&lt;math&gt;V =\frac{2}{3}2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

که r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد.  این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .  این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از ''x'' = - ''r'' تا ''x'' = ''r'' متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

=== اثبات حجم کره به روش انتگرال ومثلثات ===
نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور ''y''ها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ ''h = ۰'' قرار دارد، شعاعی برابر با ''r'' دارد (''s = r'') و دیسکی که در نقطهٔ ''h = r'' قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (''s = ۰'').

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه ''h''، برابر با ''δh'' باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

: &lt;math&gt;\!\delta V \approx \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

: &lt;math&gt;\!V \approx \sum \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi s^2 dh.&lt;/math&gt;

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

: &lt;math&gt;\!r^2 = s^2 + h^2&lt;/math&gt;

پس به جای &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; است استفاده می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!r^2 - h^2= s^2&lt;/math&gt;

مقدار تازهٔ &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - h^2)dh.&lt;/math&gt;

مقدار انتگرال برابر است با:

: &lt;math&gt;\!V = \pi \left[r^2h - \frac{h^3}{3} \right]_{0}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-0^3 + \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم نیمی از کره برابر با &lt;math&gt;\!V = \frac{2}{3}\pi r^3&lt;/math&gt; است پس حجم کل کره می‌شود:

: &lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

: &lt;math&gt;\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi&lt;/math&gt;
برای بیشتر اهداف عملی، حجم داخل یک کره حک شده در یک مکعب را می توان به 52.4٪ حجم مکعب تقریب زد، زیرا ''V'' =π/6 ''d'' &lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; که d قطر کره و همچنین طول یک ضلع مکعب است وπ/6 ≈ 0.5236. به عنوان مثال، کره ای با قطر 1  متر، 52.4 درصد حجم یک مکعب با طول لبه 1 متر یا حدود 0.524 متر مکعب دارد.

== مساحت ==
مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به ''r''، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا ''r'' می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با ''δV''، ضخامت هر پوسته را با ''δr'' و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع ''r'' با(A(rنمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

: &lt;math&gt;\delta V \approx A(r) \cdot \delta r \,&lt;/math&gt;

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

: &lt;math&gt;V \approx \sum A(r) \cdot \delta r&lt;/math&gt;

هنگامی که ''δr'' به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

: &lt;math&gt;V = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

: &lt;math&gt;\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

: &lt;math&gt;\!4\pi r^2 = A(r)&lt;/math&gt;

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2&lt;/math&gt;

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت &lt;math&gt;dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi&lt;/math&gt; و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت &lt;math&gt;dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-\sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}\Pi_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k&lt;/math&gt; بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;
کره دارای کمترین سطح در بین تمام سطوحی است که حجم معینی را در بر می گیرند و بیشترین حجم را در بین تمام سطوح بسته با یک سطح معین در بر می گیرد.  بنابراین کره در طبیعت ظاهر می شود: برای مثال، حباب ها و قطرات کوچک آب تقریباً کروی هستند زیرا کشش سطحی به طور محلی سطح سطح را به حداقل می رساند.

مساحت سطح نسبت به جرم یک توپ را مساحت سطح مخصوص می نامند و می توان آن را از معادلات ذکر شده در بالا به صورت بیان کرد.

: &lt;math&gt;\mathrm{SSA} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho},&lt;/math&gt;

که ρ چگالی ( نسبت جرم به حجم) است.

== خواص ==
یک کره را می توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می شود، ساخت . این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است . از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است ، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می شود . چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل. 

یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. به‌طور کلی‌تر، یک کره به طور منحصربه‌فردی  چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود .

در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند).

با بررسی جواب های رایج معادلات دو کره ، می توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می کنند و صفحه حاوی آن دایره، '''صفحه رادیکال''' کره های متقاطع نامیده می شود.  اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند). 

زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می شوند.  آنها در زوایای قائمه متقاطع می شوند ( متعامد هستند ) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد. 

=== یازده خواص کره ===
این خواص را دو ریاضی دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده اند و این خواص های اثبات شده است.

# ''نقاط روی کره همگی از یک نقطه ثابت فاصله دارند. همچنین نسبت فاصله نقاط آن از دو نقطه ثابت ثابت است.''
#: بخش اول تعریف معمول کره است و آن را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. قسمت دوم به راحتی قابل استنباط است و نتیجه مشابه آپولونیوس پرگا برای دایره را دنبال می کند. این قسمت دوم نیز برای هواپیما صادق است.
# ''خطوط و مقاطع صفحه کره دایره هستند.''
#: این ویژگی کره را به طور منحصر به فردی تعریف می کند.
# ''کره دارای عرض ثابت و دور ثابت است.''
#: عرض یک سطح فاصله بین جفت صفحات مماس موازی است. بسیاری از سطوح محدب بسته دیگر دارای عرض ثابت هستند، به عنوان مثال بدنه مایسنر . دور یک سطح، محیط مرز برآمدگی متعامد آن روی یک صفحه است. هر یک از این ویژگی ها بر دیگری دلالت دارد.
# ''تمام نقاط یک کره ناف هستند .''
#: در هر نقطه از سطح یک جهت عادی با سطح زوایای قائمه است زیرا در کره این خطوط هستند که از مرکز کره خارج می شوند. تقاطع صفحه ای که دارای حالت عادی با سطح است منحنی را تشکیل می دهد که به آن مقطع ''نرمال'' می گویند و انحنای این منحنی ''انحنای نرمال است'' . برای اکثر نقاط روی بیشتر سطوح، بخش های مختلف انحناهای متفاوتی دارند. مقادیر حداکثر و حداقل آنها را انحنای اصلی می نامند . هر سطح بسته حداقل چهار نقطه به نام ''نقاط نافی'' دارد. در یک ناف تمام انحناهای مقطعی برابر هستند. به ویژه انحناهای اصلیبرابر هستند. نقاط ناف را می توان به عنوان نقاطی در نظر گرفت که سطح آن با یک کره تقریباً نزدیک است.
#: برای کره، انحنای تمام بخش های عادی برابر است، بنابراین هر نقطه یک ناف است. کره و صفحه تنها سطوحی هستند که این خاصیت را دارند.
# ''کره سطحی از مراکز ندارد.''
#: برای یک مقطع عادی، دایره ای از انحنا وجود دارد که برابر با انحنای مقطع است، مماس بر سطح است، و خطوط مرکزی آن در امتداد خط عادی قرار دارند. به عنوان مثال، دو مرکز مربوط به حداکثر و حداقل انحنای مقطع ، ''نقاط کانونی'' نامیده می شوند و مجموعه تمام این مراکز، سطح کانونی را تشکیل می دهند.
#: برای اکثر سطوح، سطح کانونی دو صفحه تشکیل می دهد که هر کدام یک سطح هستند و در نقاط ناف به هم می رسند. چند مورد خاص هستند:
#: * برای سطوح کانال یک ورق یک منحنی و ورق دیگر یک سطح است
#: * برای مخروط ها ، استوانه ها، توری ها و سیکلیدها ، هر دو ورق منحنی تشکیل می دهند.
#: * برای کره، مرکز هر دایره منعش‌کننده در مرکز کره است و سطح کانونی یک نقطه واحد را تشکیل می‌دهد. این خاصیت منحصر به کره است.
# ''تمام ژئودزیک های کره منحنی های بسته هستند.''
#: ژئودزیک ها منحنی هایی روی سطحی هستند که کمترین فاصله را بین دو نقطه نشان می دهند. آنها تعمیم مفهوم خط مستقیم در صفحه هستند. برای کره، ژئودزیک ها دایره های بزرگی هستند. بسیاری از سطوح دیگر این ویژگی را به اشتراک می گذارند.
# ''از میان تمام جامداتی که حجم معینی دارند، کره با کمترین مساحت سطحی است. از بین تمام جامداتی که سطح مشخصی دارند، کره بیشترین حجم را دارد.''
#: از نابرابری ایزوپریمتری نتیجه می شود . این ویژگی‌ها کره را به‌طور منحصربه‌فردی تعریف می‌کنند و می‌توان آن را در حباب‌های صابون مشاهده کرد : حباب صابون یک حجم ثابت را در بر می‌گیرد و کشش سطحی سطح آن را برای آن حجم به حداقل می‌رساند. بنابراین یک حباب صابون شناور آزادانه به یک کره نزدیک می شود (اگرچه نیروهای خارجی مانند گرانش شکل حباب را کمی تغییر می دهد). همچنین در سیارات و ستارگانی که گرانش سطح اجرام آسمانی بزرگ را به حداقل می رساند، دیده می شود.
# ''کره کوچکترین انحنای میانگین کل را در بین تمام جامدات محدب با سطح معین دارد.''
#: انحنای متوسط ​​میانگین دو انحنای اصلی است که ثابت است زیرا دو انحنای اصلی در تمام نقاط کره ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای متوسط ​​ثابت است.''
#: کره تنها سطح نهفته است که فاقد مرز یا تکینگی با میانگین انحنای مثبت ثابت است. سایر سطوح غوطه ور مانند سطوح حداقل دارای میانگین انحنای ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای گاوسی مثبت ثابت است.''
#: انحنای گاوسی حاصلضرب دو انحنای اصلی است. این یک ویژگی ذاتی است که می توان آن را با اندازه گیری طول و زوایا تعیین کرد و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است. از این رو، خمش یک سطح، انحنای گاوسی را تغییر نمی‌دهد و سایر سطوح با انحنای گاوسی مثبت ثابت را می‌توان با بریدن یک شکاف کوچک در کره و خم کردن آن به دست آورد. همه این سطوح دیگر دارای مرز خواهند بود و کره تنها سطحی است که فاقد مرزی با انحنای گاوسی ثابت و مثبت است. شبه کره نمونه ای از سطحی با انحنای گاوسی منفی ثابت است.
# ''کره توسط یک خانواده سه پارامتری از حرکات صلب به خود تبدیل می شود.''
#: چرخش حول هر محوری یک کره واحد در مبدأ، کره را روی خودش ترسیم می کند. هر چرخشی حول یک خط از مبدا می تواند به صورت ترکیبی از چرخش ها حول محور سه مختصات بیان شود (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). بنابراین، یک خانواده سه پارامتری از چرخش ها وجود دارد به طوری که هر چرخش کره را به خود تبدیل می کند. این خانواده گروه چرخشی SO(3) است. صفحه تنها سطح دیگری است که دارای یک خانواده تبدیل سه پارامتری است (ترجمه در امتداد محورهای x - و y و چرخش حول مبدا). استوانه های دایره ای تنها سطوح با خانواده های دو پارامتری از حرکات صلب و سطوح چرخشی و هلیکوئیدی هستند.تنها سطوح با خانواده یک پارامتری هستند.

== درمان بر اساس حوزه ریاضیات ==

=== هندسه کروی ===
عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند . در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می شوند. آنالوگ &quot;خط&quot; ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است . مشخصه تعیین کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می گیرد از مرکز کره نیز عبور می کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که نقاط را شامل می‌شود.

بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی تواند برخی از فرضیه های هندسه کلاسیک ، از جمله فرض موازی را برآورده کند . در مثلثات کروی ، زاویه ها بین دایره های بزرگ تعریف می شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است . به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از 180 درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.

هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می گیرد، ''نقاط پادپای'' نامیده می شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است.  هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره

* روی یک دایره بزرگ بی نظیر دراز بکش،
* آن را به یک قوس مینور (یعنی کوتاهتر) و یک قوس اصلی (یعنی بلندتر) تقسیم کنید و
* طول قوس فرعی ''کمترین فاصله'' بین آنها روی کره باشد. 

هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می دهد.

== منحنی روی یک کره ==

== تاریخ ==
هندسه کره توسط یونانیان مورد مطالعه قرار گرفت. عناصر اقلیدس کره را در کتاب XI تعریف می‌کند، در کتاب دوازدهم ویژگی‌های مختلف کره را مورد بحث قرار می‌دهد و نشان می‌دهد که چگونه پنج چند وجهی منظم را در یک کره در کتاب سیزدهم حک کنید. اقلیدس مساحت و حجم یک کره را در بر نمی گیرد، فقط یک قضیه را شامل می شود که حجم یک کره به عنوان توان سوم قطر آن تغییر می کند، احتمالاً به دلیل Eudoxus of Cnidus . فرمول های حجم و مساحت ابتدا در کتاب ارشمیدس روی کره و استوانه با روش اگزوز تعیین شد. زنودوروس اولین کسی بود که بیان کرد، برای یک سطح معین، کره جامد با حداکثر حجم است.

ارشمیدس در مورد مشکل تقسیم یک کره به بخش هایی نوشت که حجم آنها در یک نسبت مشخص است، اما آن را حل نکرد. راه حلی با استفاده از سهمی و هذلولی توسط دیونیسودوروس آمیسوس (حدود قرن اول پیش از میلاد) ارائه شد و مسئله مشابهی - ساختن قطعه ای برابر حجم با یک قطعه معین و از نظر سطح با یک قطعه دیگر - بعداً حل شد. توسط القیحی .

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]

'''&lt;code&gt;محتوای این صفحه در حال تحقیق است&lt;/code&gt;'''</text>
      <sha1>2ajs9ohl0kd58crfbplb76h8ruqcovr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117745</id>
      <parentid>117744</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T05:07:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28207" xml:space="preserve">'''کره''' یک شی هندسی است که یک شبیه به یک دایره دو بعدی در سه بعدی است،کره مجموعه نقاطی از فضا است که به یک فاصله معین از یک نقطه به مرکز کره قرار دارد که به آن شعاع دایره گویند.شعاع کره مثل برابر باrاست.

== اصلاحات پایه ==
شعاع کره را باRیاrنشان می دهند.شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می آید.قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می دهند.اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می آید.سیارات و ستاره ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند.این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند.
ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است . آنها یک ''کره'' و یک ''توپ'' را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می کنند. یک ''توپ باز'' خود کره را حذف می کند، در حالی که یک ''توپ بسته'' شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین ''توپ'' و ''کره''همیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می کنند. تمایز بین &quot; دایره &quot; و &quot; دیسک &quot; در هواپیما مشابه است.

کره های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می شوند، به عنوان مثال کره مریخ .

=== نکاتی درباره کره ===

# حجم کره دوسوم حجم استوانه است
# مساحت آن چهار برابر مساحت دایره است
# کره نوعی چندوجهی است
# کره از نوع احجام هندسی است
# اگر حجم دو کره هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر حجم کره با شعاع مجذور دوکره است
# اگر مساحت دو کره  هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر مساحت کره با شعاع مجذور دوکره است
# کره در مختصات سه بعدی به کار می رود

== معادلات ==
در هندسه تحلیلی کره ای با مرکز(x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,z&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)داشته باشیم و  مختصات کره(x,y,z)برابر با مکان تمامی شعاع کره باشد. می توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه ، نوعی سطح جبری است.&lt;math&gt; (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.&lt;/math&gt;

معادله فرض کنید a، b، c، d، e اعداد حقیقی با ''a'' ≠ 0 باشند و درمعادله درجه یک قرار دهید&lt;math&gt;x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.&lt;/math&gt;سپس معادله برابر با&lt;math&gt;f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0&lt;/math&gt;

=== معادله پارامتریک ===
اگر به صورت پارامپر معادله کره بدست آوریم به طوری که شعاع کره برابر با&lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt;باشد و مرکز کره ما برابر با&lt;math&gt;(x_0,y_0,z_0)&lt;/math&gt;باشد به صورت زیر نوشته می گردد

&lt;math&gt;\begin{align}
x &amp;= x_0 + r \sin \theta  \; \cos\varphi \\
y &amp;= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \\
z &amp;= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}&lt;/math&gt;

نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می شود . r ثابت است، در حالی که θ از 0 تا π و&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;متغیر است از0 تا&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; نیز متغیر است .

== حجم ==
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
&lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;در این رابطه، ''r'' شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
=== اثبات حجم کره ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه=

&lt;math&gt;\!V =2\pi r^3&lt;/math&gt; 

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید

&lt;math&gt;V =\frac{2}{3}2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

که r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد.  این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .  این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از ''x'' = - ''r'' تا ''x'' = ''r'' متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

=== اثبات حجم کره به روش انتگرال ومثلثات ===
نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور ''y''ها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ ''h = ۰'' قرار دارد، شعاعی برابر با ''r'' دارد (''s = r'') و دیسکی که در نقطهٔ ''h = r'' قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (''s = ۰'').

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه ''h''، برابر با ''δh'' باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

: &lt;math&gt;\!\delta V \approx \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

: &lt;math&gt;\!V \approx \sum \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi s^2 dh.&lt;/math&gt;

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

: &lt;math&gt;\!r^2 = s^2 + h^2&lt;/math&gt;

پس به جای &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; است استفاده می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!r^2 - h^2= s^2&lt;/math&gt;

مقدار تازهٔ &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - h^2)dh.&lt;/math&gt;

مقدار انتگرال برابر است با:

: &lt;math&gt;\!V = \pi \left[r^2h - \frac{h^3}{3} \right]_{0}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-0^3 + \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم نیمی از کره برابر با &lt;math&gt;\!V = \frac{2}{3}\pi r^3&lt;/math&gt; است پس حجم کل کره می‌شود:

: &lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

: &lt;math&gt;\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi&lt;/math&gt;

بنابر این داریم

: &lt;math&gt;V=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta\, d\varphi
= 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta
= 4\pi \int_0^r r'^2\, dr'\  =\frac43\pi r^3.
&lt;/math&gt;
برای بیشتر اهداف عملی، حجم داخل یک کره حک شده در یک مکعب را می توان به 52.4٪ حجم مکعب تقریب زد، زیرا ''V'' =π/6 ''d'' &lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; که d قطر کره و همچنین طول یک ضلع مکعب است وπ/6 ≈ 0.5236. به عنوان مثال، کره ای با قطر 1  متر، 52.4 درصد حجم یک مکعب با طول لبه 1 متر یا حدود 0.524 متر مکعب دارد.

== مساحت ==
مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به ''r''، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا ''r'' می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با ''δV''، ضخامت هر پوسته را با ''δr'' و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع ''r'' با(A(rنمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

: &lt;math&gt;\delta V \approx A(r) \cdot \delta r \,&lt;/math&gt;

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

: &lt;math&gt;V \approx \sum A(r) \cdot \delta r&lt;/math&gt;

هنگامی که ''δr'' به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

: &lt;math&gt;V = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

: &lt;math&gt;\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

: &lt;math&gt;\!4\pi r^2 = A(r)&lt;/math&gt;

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2&lt;/math&gt;

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت &lt;math&gt;dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi&lt;/math&gt; و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت &lt;math&gt;dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-\sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}\Pi_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k&lt;/math&gt; بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;
کره دارای کمترین سطح در بین تمام سطوحی است که حجم معینی را در بر می گیرند و بیشترین حجم را در بین تمام سطوح بسته با یک سطح معین در بر می گیرد.  بنابراین کره در طبیعت ظاهر می شود: برای مثال، حباب ها و قطرات کوچک آب تقریباً کروی هستند زیرا کشش سطحی به طور محلی سطح سطح را به حداقل می رساند.

مساحت سطح نسبت به جرم یک توپ را مساحت سطح مخصوص می نامند و می توان آن را از معادلات ذکر شده در بالا به صورت بیان کرد.

: &lt;math&gt;\mathrm{SSA} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho},&lt;/math&gt;

که ρ چگالی ( نسبت جرم به حجم) است.

== خواص ==
یک کره را می توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می شود، ساخت . این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است . از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است ، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می شود . چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل. 

یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. به‌طور کلی‌تر، یک کره به طور منحصربه‌فردی  چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود .

در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند).

با بررسی جواب های رایج معادلات دو کره ، می توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می کنند و صفحه حاوی آن دایره، '''صفحه رادیکال''' کره های متقاطع نامیده می شود.  اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند). 

زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می شوند.  آنها در زوایای قائمه متقاطع می شوند ( متعامد هستند ) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد. 

=== یازده خواص کره ===
این خواص را دو ریاضی دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده اند و این خواص های اثبات شده است.

# ''نقاط روی کره همگی از یک نقطه ثابت فاصله دارند. همچنین نسبت فاصله نقاط آن از دو نقطه ثابت ثابت است.''
#: بخش اول تعریف معمول کره است و آن را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. قسمت دوم به راحتی قابل استنباط است و نتیجه مشابه آپولونیوس پرگا برای دایره را دنبال می کند. این قسمت دوم نیز برای هواپیما صادق است.
# ''خطوط و مقاطع صفحه کره دایره هستند.''
#: این ویژگی کره را به طور منحصر به فردی تعریف می کند.
# ''کره دارای عرض ثابت و دور ثابت است.''
#: عرض یک سطح فاصله بین جفت صفحات مماس موازی است. بسیاری از سطوح محدب بسته دیگر دارای عرض ثابت هستند، به عنوان مثال بدنه مایسنر . دور یک سطح، محیط مرز برآمدگی متعامد آن روی یک صفحه است. هر یک از این ویژگی ها بر دیگری دلالت دارد.
# ''تمام نقاط یک کره ناف هستند .''
#: در هر نقطه از سطح یک جهت عادی با سطح زوایای قائمه است زیرا در کره این خطوط هستند که از مرکز کره خارج می شوند. تقاطع صفحه ای که دارای حالت عادی با سطح است منحنی را تشکیل می دهد که به آن مقطع ''نرمال'' می گویند و انحنای این منحنی ''انحنای نرمال است'' . برای اکثر نقاط روی بیشتر سطوح، بخش های مختلف انحناهای متفاوتی دارند. مقادیر حداکثر و حداقل آنها را انحنای اصلی می نامند . هر سطح بسته حداقل چهار نقطه به نام ''نقاط نافی'' دارد. در یک ناف تمام انحناهای مقطعی برابر هستند. به ویژه انحناهای اصلیبرابر هستند. نقاط ناف را می توان به عنوان نقاطی در نظر گرفت که سطح آن با یک کره تقریباً نزدیک است.
#: برای کره، انحنای تمام بخش های عادی برابر است، بنابراین هر نقطه یک ناف است. کره و صفحه تنها سطوحی هستند که این خاصیت را دارند.
# ''کره سطحی از مراکز ندارد.''
#: برای یک مقطع عادی، دایره ای از انحنا وجود دارد که برابر با انحنای مقطع است، مماس بر سطح است، و خطوط مرکزی آن در امتداد خط عادی قرار دارند. به عنوان مثال، دو مرکز مربوط به حداکثر و حداقل انحنای مقطع ، ''نقاط کانونی'' نامیده می شوند و مجموعه تمام این مراکز، سطح کانونی را تشکیل می دهند.
#: برای اکثر سطوح، سطح کانونی دو صفحه تشکیل می دهد که هر کدام یک سطح هستند و در نقاط ناف به هم می رسند. چند مورد خاص هستند:
#: * برای سطوح کانال یک ورق یک منحنی و ورق دیگر یک سطح است
#: * برای مخروط ها ، استوانه ها، توری ها و سیکلیدها ، هر دو ورق منحنی تشکیل می دهند.
#: * برای کره، مرکز هر دایره منعش‌کننده در مرکز کره است و سطح کانونی یک نقطه واحد را تشکیل می‌دهد. این خاصیت منحصر به کره است.
# ''تمام ژئودزیک های کره منحنی های بسته هستند.''
#: ژئودزیک ها منحنی هایی روی سطحی هستند که کمترین فاصله را بین دو نقطه نشان می دهند. آنها تعمیم مفهوم خط مستقیم در صفحه هستند. برای کره، ژئودزیک ها دایره های بزرگی هستند. بسیاری از سطوح دیگر این ویژگی را به اشتراک می گذارند.
# ''از میان تمام جامداتی که حجم معینی دارند، کره با کمترین مساحت سطحی است. از بین تمام جامداتی که سطح مشخصی دارند، کره بیشترین حجم را دارد.''
#: از نابرابری ایزوپریمتری نتیجه می شود . این ویژگی‌ها کره را به‌طور منحصربه‌فردی تعریف می‌کنند و می‌توان آن را در حباب‌های صابون مشاهده کرد : حباب صابون یک حجم ثابت را در بر می‌گیرد و کشش سطحی سطح آن را برای آن حجم به حداقل می‌رساند. بنابراین یک حباب صابون شناور آزادانه به یک کره نزدیک می شود (اگرچه نیروهای خارجی مانند گرانش شکل حباب را کمی تغییر می دهد). همچنین در سیارات و ستارگانی که گرانش سطح اجرام آسمانی بزرگ را به حداقل می رساند، دیده می شود.
# ''کره کوچکترین انحنای میانگین کل را در بین تمام جامدات محدب با سطح معین دارد.''
#: انحنای متوسط ​​میانگین دو انحنای اصلی است که ثابت است زیرا دو انحنای اصلی در تمام نقاط کره ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای متوسط ​​ثابت است.''
#: کره تنها سطح نهفته است که فاقد مرز یا تکینگی با میانگین انحنای مثبت ثابت است. سایر سطوح غوطه ور مانند سطوح حداقل دارای میانگین انحنای ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای گاوسی مثبت ثابت است.''
#: انحنای گاوسی حاصلضرب دو انحنای اصلی است. این یک ویژگی ذاتی است که می توان آن را با اندازه گیری طول و زوایا تعیین کرد و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است. از این رو، خمش یک سطح، انحنای گاوسی را تغییر نمی‌دهد و سایر سطوح با انحنای گاوسی مثبت ثابت را می‌توان با بریدن یک شکاف کوچک در کره و خم کردن آن به دست آورد. همه این سطوح دیگر دارای مرز خواهند بود و کره تنها سطحی است که فاقد مرزی با انحنای گاوسی ثابت و مثبت است. شبه کره نمونه ای از سطحی با انحنای گاوسی منفی ثابت است.
# ''کره توسط یک خانواده سه پارامتری از حرکات صلب به خود تبدیل می شود.''
#: چرخش حول هر محوری یک کره واحد در مبدأ، کره را روی خودش ترسیم می کند. هر چرخشی حول یک خط از مبدا می تواند به صورت ترکیبی از چرخش ها حول محور سه مختصات بیان شود (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). بنابراین، یک خانواده سه پارامتری از چرخش ها وجود دارد به طوری که هر چرخش کره را به خود تبدیل می کند. این خانواده گروه چرخشی SO(3) است. صفحه تنها سطح دیگری است که دارای یک خانواده تبدیل سه پارامتری است (ترجمه در امتداد محورهای x - و y و چرخش حول مبدا). استوانه های دایره ای تنها سطوح با خانواده های دو پارامتری از حرکات صلب و سطوح چرخشی و هلیکوئیدی هستند.تنها سطوح با خانواده یک پارامتری هستند.

== درمان بر اساس حوزه ریاضیات ==

=== هندسه کروی ===
عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند . در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می شوند. آنالوگ &quot;خط&quot; ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است . مشخصه تعیین کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می گیرد از مرکز کره نیز عبور می کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که نقاط را شامل می‌شود.

بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی تواند برخی از فرضیه های هندسه کلاسیک ، از جمله فرض موازی را برآورده کند . در مثلثات کروی ، زاویه ها بین دایره های بزرگ تعریف می شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است . به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از 180 درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.

هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می گیرد، ''نقاط پادپای'' نامیده می شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است.  هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره

* روی یک دایره بزرگ بی نظیر دراز بکش،
* آن را به یک قوس مینور (یعنی کوتاهتر) و یک قوس اصلی (یعنی بلندتر) تقسیم کنید و
* طول قوس فرعی ''کمترین فاصله'' بین آنها روی کره باشد. 

هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می دهد.

== منحنی روی یک کره ==

== تاریخ ==
هندسه کره توسط یونانیان مورد مطالعه قرار گرفت. عناصر اقلیدس کره را در کتاب XI تعریف می‌کند، در کتاب دوازدهم ویژگی‌های مختلف کره را مورد بحث قرار می‌دهد و نشان می‌دهد که چگونه پنج چند وجهی منظم را در یک کره در کتاب سیزدهم حک کنید. اقلیدس مساحت و حجم یک کره را در بر نمی گیرد، فقط یک قضیه را شامل می شود که حجم یک کره به عنوان توان سوم قطر آن تغییر می کند، احتمالاً به دلیل Eudoxus of Cnidus . فرمول های حجم و مساحت ابتدا در کتاب ارشمیدس روی کره و استوانه با روش اگزوز تعیین شد. زنودوروس اولین کسی بود که بیان کرد، برای یک سطح معین، کره جامد با حداکثر حجم است.

ارشمیدس در مورد مشکل تقسیم یک کره به بخش هایی نوشت که حجم آنها در یک نسبت مشخص است، اما آن را حل نکرد. راه حلی با استفاده از سهمی و هذلولی توسط دیونیسودوروس آمیسوس (حدود قرن اول پیش از میلاد) ارائه شد و مسئله مشابهی - ساختن قطعه ای برابر حجم با یک قطعه معین و از نظر سطح با یک قطعه دیگر - بعداً حل شد. توسط القیحی .

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]

'''&lt;code&gt;محتوای این صفحه در حال تحقیق است&lt;/code&gt;'''</text>
      <sha1>3bta907dltwx9062byl4inbispnw53j</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117746</id>
      <parentid>117745</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T05:27:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="31910" xml:space="preserve">'''کره''' یک شی هندسی است که یک شبیه به یک دایره دو بعدی در سه بعدی است،کره مجموعه نقاطی از فضا است که به یک فاصله معین از یک نقطه به مرکز کره قرار دارد که به آن شعاع دایره گویند.شعاع کره مثل برابر باrاست.

== اصلاحات پایه ==
شعاع کره را باRیاrنشان می دهند.شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می آید.قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می دهند.اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می آید.سیارات و ستاره ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند.این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند.
ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است . آنها یک ''کره'' و یک ''توپ'' را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می کنند. یک ''توپ باز'' خود کره را حذف می کند، در حالی که یک ''توپ بسته'' شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین ''توپ'' و ''کره''همیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می کنند. تمایز بین &quot; دایره &quot; و &quot; دیسک &quot; در هواپیما مشابه است.

کره های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می شوند، به عنوان مثال کره مریخ .

=== نکاتی درباره کره ===

# حجم کره دوسوم حجم استوانه است
# مساحت آن چهار برابر مساحت دایره است
# کره نوعی چندوجهی است
# کره از نوع احجام هندسی است
# اگر حجم دو کره هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر حجم کره با شعاع مجذور دوکره است
# اگر مساحت دو کره  هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر مساحت کره با شعاع مجذور دوکره است
# کره در مختصات سه بعدی به کار می رود

== معادلات ==
در هندسه تحلیلی کره ای با مرکز(x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,z&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)داشته باشیم و  مختصات کره(x,y,z)برابر با مکان تمامی شعاع کره باشد. می توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه ، نوعی سطح جبری است.&lt;math&gt; (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.&lt;/math&gt;

معادله فرض کنید a، b، c، d، e اعداد حقیقی با ''a'' ≠ 0 باشند و درمعادله درجه یک قرار دهید&lt;math&gt;x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.&lt;/math&gt;سپس معادله برابر با&lt;math&gt;f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0&lt;/math&gt;

=== معادله پارامتریک ===
اگر به صورت پارامپر معادله کره بدست آوریم به طوری که شعاع کره برابر با&lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt;باشد و مرکز کره ما برابر با&lt;math&gt;(x_0,y_0,z_0)&lt;/math&gt;باشد به صورت زیر نوشته می گردد

&lt;math&gt;\begin{align}
x &amp;= x_0 + r \sin \theta  \; \cos\varphi \\
y &amp;= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \\
z &amp;= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}&lt;/math&gt;

نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می شود . r ثابت است، در حالی که θ از 0 تا π و&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;متغیر است از0 تا&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; نیز متغیر است .

== حجم ==
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
&lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;در این رابطه، ''r'' شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
=== اثبات حجم کره ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه=

&lt;math&gt;\!V =2\pi r^3&lt;/math&gt; 

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید

&lt;math&gt;V =\frac{2}{3}2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

که r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد.  این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .  این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از ''x'' = - ''r'' تا ''x'' = ''r'' متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

=== اثبات حجم کره به روش انتگرال ومثلثات ===
نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور ''y''ها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ ''h = ۰'' قرار دارد، شعاعی برابر با ''r'' دارد (''s = r'') و دیسکی که در نقطهٔ ''h = r'' قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (''s = ۰'').

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه ''h''، برابر با ''δh'' باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

: &lt;math&gt;\!\delta V \approx \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

: &lt;math&gt;\!V \approx \sum \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi s^2 dh.&lt;/math&gt;

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

: &lt;math&gt;\!r^2 = s^2 + h^2&lt;/math&gt;

پس به جای &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; است استفاده می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!r^2 - h^2= s^2&lt;/math&gt;

مقدار تازهٔ &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - h^2)dh.&lt;/math&gt;

مقدار انتگرال برابر است با:

: &lt;math&gt;\!V = \pi \left[r^2h - \frac{h^3}{3} \right]_{0}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-0^3 + \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم نیمی از کره برابر با &lt;math&gt;\!V = \frac{2}{3}\pi r^3&lt;/math&gt; است پس حجم کل کره می‌شود:

: &lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

: &lt;math&gt;\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi&lt;/math&gt;

بنابر این داریم

: &lt;math&gt;V=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta\, d\varphi
= 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta
= 4\pi \int_0^r r'^2\, dr'\  =\frac43\pi r^3.
&lt;/math&gt;
برای بیشتر اهداف عملی، حجم داخل یک کره حک شده در یک مکعب را می توان به 52.4٪ حجم مکعب تقریب زد، زیرا ''V'' =π/6 ''d'' &lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; که d قطر کره و همچنین طول یک ضلع مکعب است وπ/6 ≈ 0.5236. به عنوان مثال، کره ای با قطر 1  متر، 52.4 درصد حجم یک مکعب با طول لبه 1 متر یا حدود 0.524 متر مکعب دارد.

== مساحت ==
مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به ''r''، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا ''r'' می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با ''δV''، ضخامت هر پوسته را با ''δr'' و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع ''r'' با(A(rنمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

: &lt;math&gt;\delta V \approx A(r) \cdot \delta r \,&lt;/math&gt;

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

: &lt;math&gt;V \approx \sum A(r) \cdot \delta r&lt;/math&gt;

هنگامی که ''δr'' به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

: &lt;math&gt;V = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

: &lt;math&gt;\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

: &lt;math&gt;\!4\pi r^2 = A(r)&lt;/math&gt;

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2&lt;/math&gt;

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت &lt;math&gt;dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi&lt;/math&gt; و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت &lt;math&gt;dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-\sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}\Pi_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k&lt;/math&gt; بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;
کره دارای کمترین سطح در بین تمام سطوحی است که حجم معینی را در بر می گیرند و بیشترین حجم را در بین تمام سطوح بسته با یک سطح معین در بر می گیرد.  بنابراین کره در طبیعت ظاهر می شود: برای مثال، حباب ها و قطرات کوچک آب تقریباً کروی هستند زیرا کشش سطحی به طور محلی سطح سطح را به حداقل می رساند.

مساحت سطح نسبت به جرم یک توپ را مساحت سطح مخصوص می نامند و می توان آن را از معادلات ذکر شده در بالا به صورت بیان کرد.

: &lt;math&gt;\mathrm{SSA} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho},&lt;/math&gt;

که ρ چگالی ( نسبت جرم به حجم) است.

== خواص ==
یک کره را می توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می شود، ساخت . این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است . از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است ، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می شود . چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل. 

یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. به‌طور کلی‌تر، یک کره به طور منحصربه‌فردی  چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود .

در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند).

با بررسی جواب های رایج معادلات دو کره ، می توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می کنند و صفحه حاوی آن دایره، '''صفحه رادیکال''' کره های متقاطع نامیده می شود.  اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند). 

زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می شوند.  آنها در زوایای قائمه متقاطع می شوند ( متعامد هستند ) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد. 

=== یازده خواص کره ===
این خواص را دو ریاضی دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده اند و این خواص های اثبات شده است.

# ''نقاط روی کره همگی از یک نقطه ثابت فاصله دارند. همچنین نسبت فاصله نقاط آن از دو نقطه ثابت ثابت است.''
#: بخش اول تعریف معمول کره است و آن را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. قسمت دوم به راحتی قابل استنباط است و نتیجه مشابه آپولونیوس پرگا برای دایره را دنبال می کند. این قسمت دوم نیز برای هواپیما صادق است.
# ''خطوط و مقاطع صفحه کره دایره هستند.''
#: این ویژگی کره را به طور منحصر به فردی تعریف می کند.
# ''کره دارای عرض ثابت و دور ثابت است.''
#: عرض یک سطح فاصله بین جفت صفحات مماس موازی است. بسیاری از سطوح محدب بسته دیگر دارای عرض ثابت هستند، به عنوان مثال بدنه مایسنر . دور یک سطح، محیط مرز برآمدگی متعامد آن روی یک صفحه است. هر یک از این ویژگی ها بر دیگری دلالت دارد.
# ''تمام نقاط یک کره ناف هستند .''
#: در هر نقطه از سطح یک جهت عادی با سطح زوایای قائمه است زیرا در کره این خطوط هستند که از مرکز کره خارج می شوند. تقاطع صفحه ای که دارای حالت عادی با سطح است منحنی را تشکیل می دهد که به آن مقطع ''نرمال'' می گویند و انحنای این منحنی ''انحنای نرمال است'' . برای اکثر نقاط روی بیشتر سطوح، بخش های مختلف انحناهای متفاوتی دارند. مقادیر حداکثر و حداقل آنها را انحنای اصلی می نامند . هر سطح بسته حداقل چهار نقطه به نام ''نقاط نافی'' دارد. در یک ناف تمام انحناهای مقطعی برابر هستند. به ویژه انحناهای اصلیبرابر هستند. نقاط ناف را می توان به عنوان نقاطی در نظر گرفت که سطح آن با یک کره تقریباً نزدیک است.
#: برای کره، انحنای تمام بخش های عادی برابر است، بنابراین هر نقطه یک ناف است. کره و صفحه تنها سطوحی هستند که این خاصیت را دارند.
# ''کره سطحی از مراکز ندارد.''
#: برای یک مقطع عادی، دایره ای از انحنا وجود دارد که برابر با انحنای مقطع است، مماس بر سطح است، و خطوط مرکزی آن در امتداد خط عادی قرار دارند. به عنوان مثال، دو مرکز مربوط به حداکثر و حداقل انحنای مقطع ، ''نقاط کانونی'' نامیده می شوند و مجموعه تمام این مراکز، سطح کانونی را تشکیل می دهند.
#: برای اکثر سطوح، سطح کانونی دو صفحه تشکیل می دهد که هر کدام یک سطح هستند و در نقاط ناف به هم می رسند. چند مورد خاص هستند:
#: * برای سطوح کانال یک ورق یک منحنی و ورق دیگر یک سطح است
#: * برای مخروط ها ، استوانه ها، توری ها و سیکلیدها ، هر دو ورق منحنی تشکیل می دهند.
#: * برای کره، مرکز هر دایره منعش‌کننده در مرکز کره است و سطح کانونی یک نقطه واحد را تشکیل می‌دهد. این خاصیت منحصر به کره است.
# ''تمام ژئودزیک های کره منحنی های بسته هستند.''
#: ژئودزیک ها منحنی هایی روی سطحی هستند که کمترین فاصله را بین دو نقطه نشان می دهند. آنها تعمیم مفهوم خط مستقیم در صفحه هستند. برای کره، ژئودزیک ها دایره های بزرگی هستند. بسیاری از سطوح دیگر این ویژگی را به اشتراک می گذارند.
# ''از میان تمام جامداتی که حجم معینی دارند، کره با کمترین مساحت سطحی است. از بین تمام جامداتی که سطح مشخصی دارند، کره بیشترین حجم را دارد.''
#: از نابرابری ایزوپریمتری نتیجه می شود . این ویژگی‌ها کره را به‌طور منحصربه‌فردی تعریف می‌کنند و می‌توان آن را در حباب‌های صابون مشاهده کرد : حباب صابون یک حجم ثابت را در بر می‌گیرد و کشش سطحی سطح آن را برای آن حجم به حداقل می‌رساند. بنابراین یک حباب صابون شناور آزادانه به یک کره نزدیک می شود (اگرچه نیروهای خارجی مانند گرانش شکل حباب را کمی تغییر می دهد). همچنین در سیارات و ستارگانی که گرانش سطح اجرام آسمانی بزرگ را به حداقل می رساند، دیده می شود.
# ''کره کوچکترین انحنای میانگین کل را در بین تمام جامدات محدب با سطح معین دارد.''
#: انحنای متوسط ​​میانگین دو انحنای اصلی است که ثابت است زیرا دو انحنای اصلی در تمام نقاط کره ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای متوسط ​​ثابت است.''
#: کره تنها سطح نهفته است که فاقد مرز یا تکینگی با میانگین انحنای مثبت ثابت است. سایر سطوح غوطه ور مانند سطوح حداقل دارای میانگین انحنای ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای گاوسی مثبت ثابت است.''
#: انحنای گاوسی حاصلضرب دو انحنای اصلی است. این یک ویژگی ذاتی است که می توان آن را با اندازه گیری طول و زوایا تعیین کرد و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است. از این رو، خمش یک سطح، انحنای گاوسی را تغییر نمی‌دهد و سایر سطوح با انحنای گاوسی مثبت ثابت را می‌توان با بریدن یک شکاف کوچک در کره و خم کردن آن به دست آورد. همه این سطوح دیگر دارای مرز خواهند بود و کره تنها سطحی است که فاقد مرزی با انحنای گاوسی ثابت و مثبت است. شبه کره نمونه ای از سطحی با انحنای گاوسی منفی ثابت است.
# ''کره توسط یک خانواده سه پارامتری از حرکات صلب به خود تبدیل می شود.''
#: چرخش حول هر محوری یک کره واحد در مبدأ، کره را روی خودش ترسیم می کند. هر چرخشی حول یک خط از مبدا می تواند به صورت ترکیبی از چرخش ها حول محور سه مختصات بیان شود (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). بنابراین، یک خانواده سه پارامتری از چرخش ها وجود دارد به طوری که هر چرخش کره را به خود تبدیل می کند. این خانواده گروه چرخشی SO(3) است. صفحه تنها سطح دیگری است که دارای یک خانواده تبدیل سه پارامتری است (ترجمه در امتداد محورهای x - و y و چرخش حول مبدا). استوانه های دایره ای تنها سطوح با خانواده های دو پارامتری از حرکات صلب و سطوح چرخشی و هلیکوئیدی هستند.تنها سطوح با خانواده یک پارامتری هستند.

== درمان بر اساس حوزه ریاضیات ==

=== هندسه کروی ===
عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند . در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می شوند. آنالوگ &quot;خط&quot; ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است . مشخصه تعیین کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می گیرد از مرکز کره نیز عبور می کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که نقاط را شامل می‌شود.

بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی تواند برخی از فرضیه های هندسه کلاسیک ، از جمله فرض موازی را برآورده کند . در مثلثات کروی ، زاویه ها بین دایره های بزرگ تعریف می شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است . به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از 180 درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.

هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می گیرد، ''نقاط پادپای'' نامیده می شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است.  هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره

* روی یک دایره بزرگ بی نظیر دراز بکش،
* آن را به یک قوس مینور (یعنی کوتاهتر) و یک قوس اصلی (یعنی بلندتر) تقسیم کنید و
* طول قوس فرعی ''کمترین فاصله'' بین آنها روی کره باشد. 

هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می دهد.

== منحنی روی یک کره ==

=== منحنی دایره ای(حلقه ای) ===
دایره‌های روی کره مانند دایره‌هایی در صفحه هستند که از تمام نقاط با فاصله معینی از یک نقطه ثابت روی کره تشکیل شده‌اند. محل تقاطع یک کره و یک صفحه یک دایره، یک نقطه یا خالی است.  دایره های بزرگ محل تلاقی کره با صفحه ای است که از مرکز یک کره می گذرد: بقیه دایره های کوچک نامیده می شوند.

سطوح پیچیده تر نیز ممکن است یک کره را به صورت دایره ای قطع کنند: تقاطع یک کره با سطح چرخشی که محور آن شامل مرکز کره است (هم ''محور'' هستند ) از دایره ها و/یا نقاط اگر خالی نباشند تشکیل شده است. به عنوان مثال، نمودار سمت راست تقاطع یک کره و یک استوانه را نشان می دهد که از دو دایره تشکیل شده است. اگر شعاع استوانه شعاع کره باشد، تقاطع یک دایره واحد خواهد بود. اگر شعاع استوانه بزرگتر از شعاع کره بود، تقاطع خالی بود.

=== لوکسودروم ===
در ناوبری ، '''خط رومب''' یا '''لوکسودروم''' کمانی است که از تمام نصف النهارهای طول جغرافیایی در یک زاویه عبور می کند. لوکسودروم همان خطوط مستقیم در طرح مرکاتور است . خط لوزی یک مارپیچ کروی نیست . به جز برخی موارد ساده، فرمول خط روم پیچیده است.

=== منحنی کلیا ===
منحنی کللیا منحنی روی کره ای است که طول جغرافیایی آن است&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;و همبستگی&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;معادله را برآورده کند

&lt;math&gt; \varphi=c\;\theta, \quad c&gt;0&lt;/math&gt;

موارد خاص عبارتند از: منحنی ویویانی (&lt;math&gt; c=1&lt;/math&gt;) و مارپیچ های کروی (&lt;math&gt;c&gt;2&lt;/math&gt;) مانند مارپیچ سیفرت . منحنی های کلیا مسیر ماهواره ها را در مدار قطبی تقریبی می کند .

=== مخروط های کروی ===
آنالوگ یک مقطع مخروطی روی کره یک مخروطی کروی است ، یک منحنی کوارتیک که می تواند به چندین روش معادل تعریف شود، از جمله:

* به عنوان محل تلاقی یک کره با یک مخروط درجه دوم که راس آن مرکز کره است.
* به عنوان تقاطع یک کره با یک استوانه بیضوی یا هذلولی که محور آن از مرکز کره می گذرد.
* به عنوان مکان نقاطی که مجموع یا اختلاف فواصل دایره بزرگ از یک جفت کانون ثابت است.

بسیاری از قضایای مربوط به مقاطع مخروطی مسطح به مخروط های کروی نیز گسترش می یابد.

=== تقاطع یک کره با سطح عمومی تر ===
اگر یک کره با سطح دیگری قطع شود، ممکن است منحنی های کروی پیچیده تری وجود داشته باشد.

==== مثال ====
تقاطع کره - استوانه

تقاطع کره با معادله&lt;math&gt;\; x^2+y^2+z^2=r^2\;&lt;/math&gt;و استوانه با معادله&lt;math&gt; \;(y-y_0)^2+z^2=a^2, \; y_0\ne 0\; &lt;/math&gt;فقط یک یا دو دایره نیست. حل سیستم غیر خطی معادلات است

:&lt;math&gt;x^2+y^2+z^2-r^2=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y-y_0)^2+z^2-a^2=0\ .&lt;/math&gt;

== تاریخ ==
هندسه کره توسط یونانیان مورد مطالعه قرار گرفت. عناصر اقلیدس کره را در کتاب XI تعریف می‌کند، در کتاب دوازدهم ویژگی‌های مختلف کره را مورد بحث قرار می‌دهد و نشان می‌دهد که چگونه پنج چند وجهی منظم را در یک کره در کتاب سیزدهم حک کنید. اقلیدس مساحت و حجم یک کره را در بر نمی گیرد، فقط یک قضیه را شامل می شود که حجم یک کره به عنوان توان سوم قطر آن تغییر می کند، احتمالاً به دلیل Eudoxus of Cnidus . فرمول های حجم و مساحت ابتدا در کتاب ارشمیدس روی کره و استوانه با روش اگزوز تعیین شد. زنودوروس اولین کسی بود که بیان کرد، برای یک سطح معین، کره جامد با حداکثر حجم است.

ارشمیدس در مورد مشکل تقسیم یک کره به بخش هایی نوشت که حجم آنها در یک نسبت مشخص است، اما آن را حل نکرد. راه حلی با استفاده از سهمی و هذلولی توسط دیونیسودوروس آمیسوس (حدود قرن اول پیش از میلاد) ارائه شد و مسئله مشابهی - ساختن قطعه ای برابر حجم با یک قطعه معین و از نظر سطح با یک قطعه دیگر - بعداً حل شد. توسط القیحی .

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]

'''&lt;code&gt;محتوای این صفحه در حال تحقیق است&lt;/code&gt;'''</text>
      <sha1>ncdnrkxwk7ybow2lfrsflkef9jxhc7x</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117747</id>
      <parentid>117746</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T05:33:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33387" xml:space="preserve">'''کره''' یک شی هندسی است که یک شبیه به یک دایره دو بعدی در سه بعدی است،کره مجموعه نقاطی از فضا است که به یک فاصله معین از یک نقطه به مرکز کره قرار دارد که به آن شعاع دایره گویند.شعاع کره مثل برابر باrاست.

== اصلاحات پایه ==
شعاع کره را باRیاrنشان می دهند.شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می آید.قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می دهند.اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می آید.سیارات و ستاره ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند.این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند.
ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است . آنها یک ''کره'' و یک ''توپ'' را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می کنند. یک ''توپ باز'' خود کره را حذف می کند، در حالی که یک ''توپ بسته'' شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین ''توپ'' و ''کره''همیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می کنند. تمایز بین &quot; دایره &quot; و &quot; دیسک &quot; در هواپیما مشابه است.

کره های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می شوند، به عنوان مثال کره مریخ .

=== نکاتی درباره کره ===

# حجم کره دوسوم حجم استوانه است
# مساحت آن چهار برابر مساحت دایره است
# کره نوعی چندوجهی است
# کره از نوع احجام هندسی است
# اگر حجم دو کره هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر حجم کره با شعاع مجذور دوکره است
# اگر مساحت دو کره  هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر مساحت کره با شعاع مجذور دوکره است
# کره در مختصات سه بعدی به کار می رود

== معادلات ==
در هندسه تحلیلی کره ای با مرکز(x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,z&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)داشته باشیم و  مختصات کره(x,y,z)برابر با مکان تمامی شعاع کره باشد. می توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه ، نوعی سطح جبری است.&lt;math&gt; (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.&lt;/math&gt;

معادله فرض کنید a، b، c، d، e اعداد حقیقی با ''a'' ≠ 0 باشند و درمعادله درجه یک قرار دهید&lt;math&gt;x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.&lt;/math&gt;سپس معادله برابر با&lt;math&gt;f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0&lt;/math&gt;

=== معادله پارامتریک ===
اگر به صورت پارامپر معادله کره بدست آوریم به طوری که شعاع کره برابر با&lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt;باشد و مرکز کره ما برابر با&lt;math&gt;(x_0,y_0,z_0)&lt;/math&gt;باشد به صورت زیر نوشته می گردد

&lt;math&gt;\begin{align}
x &amp;= x_0 + r \sin \theta  \; \cos\varphi \\
y &amp;= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \\
z &amp;= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}&lt;/math&gt;

نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می شود . r ثابت است، در حالی که θ از 0 تا π و&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;متغیر است از0 تا&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; نیز متغیر است .

== حجم ==
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
&lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;در این رابطه، ''r'' شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
=== اثبات حجم کره ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه=

&lt;math&gt;\!V =2\pi r^3&lt;/math&gt; 

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید

&lt;math&gt;V =\frac{2}{3}2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

که r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد.  این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .  این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از ''x'' = - ''r'' تا ''x'' = ''r'' متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

=== اثبات حجم کره به روش انتگرال ومثلثات ===
نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور ''y''ها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ ''h = ۰'' قرار دارد، شعاعی برابر با ''r'' دارد (''s = r'') و دیسکی که در نقطهٔ ''h = r'' قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (''s = ۰'').

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه ''h''، برابر با ''δh'' باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

: &lt;math&gt;\!\delta V \approx \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

: &lt;math&gt;\!V \approx \sum \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi s^2 dh.&lt;/math&gt;

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

: &lt;math&gt;\!r^2 = s^2 + h^2&lt;/math&gt;

پس به جای &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; است استفاده می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!r^2 - h^2= s^2&lt;/math&gt;

مقدار تازهٔ &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - h^2)dh.&lt;/math&gt;

مقدار انتگرال برابر است با:

: &lt;math&gt;\!V = \pi \left[r^2h - \frac{h^3}{3} \right]_{0}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-0^3 + \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم نیمی از کره برابر با &lt;math&gt;\!V = \frac{2}{3}\pi r^3&lt;/math&gt; است پس حجم کل کره می‌شود:

: &lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

: &lt;math&gt;\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi&lt;/math&gt;

بنابر این داریم

: &lt;math&gt;V=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta\, d\varphi
= 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta
= 4\pi \int_0^r r'^2\, dr'\  =\frac43\pi r^3.
&lt;/math&gt;
برای بیشتر اهداف عملی، حجم داخل یک کره حک شده در یک مکعب را می توان به 52.4٪ حجم مکعب تقریب زد، زیرا ''V'' =π/6 ''d'' &lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; که d قطر کره و همچنین طول یک ضلع مکعب است وπ/6 ≈ 0.5236. به عنوان مثال، کره ای با قطر 1  متر، 52.4 درصد حجم یک مکعب با طول لبه 1 متر یا حدود 0.524 متر مکعب دارد.

== مساحت ==
مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به ''r''، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا ''r'' می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با ''δV''، ضخامت هر پوسته را با ''δr'' و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع ''r'' با(A(rنمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

: &lt;math&gt;\delta V \approx A(r) \cdot \delta r \,&lt;/math&gt;

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

: &lt;math&gt;V \approx \sum A(r) \cdot \delta r&lt;/math&gt;

هنگامی که ''δr'' به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

: &lt;math&gt;V = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

: &lt;math&gt;\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

: &lt;math&gt;\!4\pi r^2 = A(r)&lt;/math&gt;

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2&lt;/math&gt;

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت &lt;math&gt;dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi&lt;/math&gt; و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت &lt;math&gt;dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-\sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}\Pi_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k&lt;/math&gt; بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;
کره دارای کمترین سطح در بین تمام سطوحی است که حجم معینی را در بر می گیرند و بیشترین حجم را در بین تمام سطوح بسته با یک سطح معین در بر می گیرد.  بنابراین کره در طبیعت ظاهر می شود: برای مثال، حباب ها و قطرات کوچک آب تقریباً کروی هستند زیرا کشش سطحی به طور محلی سطح سطح را به حداقل می رساند.

مساحت سطح نسبت به جرم یک توپ را مساحت سطح مخصوص می نامند و می توان آن را از معادلات ذکر شده در بالا به صورت بیان کرد.

: &lt;math&gt;\mathrm{SSA} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho},&lt;/math&gt;

که ρ چگالی ( نسبت جرم به حجم) است.

== خواص ==
یک کره را می توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می شود، ساخت . این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است . از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است ، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می شود . چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل. 

یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. به‌طور کلی‌تر، یک کره به طور منحصربه‌فردی  چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود .

در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند).

با بررسی جواب های رایج معادلات دو کره ، می توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می کنند و صفحه حاوی آن دایره، '''صفحه رادیکال''' کره های متقاطع نامیده می شود.  اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند). 

زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می شوند.  آنها در زوایای قائمه متقاطع می شوند ( متعامد هستند ) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد. 

=== یازده خواص کره ===
این خواص را دو ریاضی دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده اند و این خواص های اثبات شده است.

# ''نقاط روی کره همگی از یک نقطه ثابت فاصله دارند. همچنین نسبت فاصله نقاط آن از دو نقطه ثابت ثابت است.''
#: بخش اول تعریف معمول کره است و آن را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. قسمت دوم به راحتی قابل استنباط است و نتیجه مشابه آپولونیوس پرگا برای دایره را دنبال می کند. این قسمت دوم نیز برای هواپیما صادق است.
# ''خطوط و مقاطع صفحه کره دایره هستند.''
#: این ویژگی کره را به طور منحصر به فردی تعریف می کند.
# ''کره دارای عرض ثابت و دور ثابت است.''
#: عرض یک سطح فاصله بین جفت صفحات مماس موازی است. بسیاری از سطوح محدب بسته دیگر دارای عرض ثابت هستند، به عنوان مثال بدنه مایسنر . دور یک سطح، محیط مرز برآمدگی متعامد آن روی یک صفحه است. هر یک از این ویژگی ها بر دیگری دلالت دارد.
# ''تمام نقاط یک کره ناف هستند .''
#: در هر نقطه از سطح یک جهت عادی با سطح زوایای قائمه است زیرا در کره این خطوط هستند که از مرکز کره خارج می شوند. تقاطع صفحه ای که دارای حالت عادی با سطح است منحنی را تشکیل می دهد که به آن مقطع ''نرمال'' می گویند و انحنای این منحنی ''انحنای نرمال است'' . برای اکثر نقاط روی بیشتر سطوح، بخش های مختلف انحناهای متفاوتی دارند. مقادیر حداکثر و حداقل آنها را انحنای اصلی می نامند . هر سطح بسته حداقل چهار نقطه به نام ''نقاط نافی'' دارد. در یک ناف تمام انحناهای مقطعی برابر هستند. به ویژه انحناهای اصلیبرابر هستند. نقاط ناف را می توان به عنوان نقاطی در نظر گرفت که سطح آن با یک کره تقریباً نزدیک است.
#: برای کره، انحنای تمام بخش های عادی برابر است، بنابراین هر نقطه یک ناف است. کره و صفحه تنها سطوحی هستند که این خاصیت را دارند.
# ''کره سطحی از مراکز ندارد.''
#: برای یک مقطع عادی، دایره ای از انحنا وجود دارد که برابر با انحنای مقطع است، مماس بر سطح است، و خطوط مرکزی آن در امتداد خط عادی قرار دارند. به عنوان مثال، دو مرکز مربوط به حداکثر و حداقل انحنای مقطع ، ''نقاط کانونی'' نامیده می شوند و مجموعه تمام این مراکز، سطح کانونی را تشکیل می دهند.
#: برای اکثر سطوح، سطح کانونی دو صفحه تشکیل می دهد که هر کدام یک سطح هستند و در نقاط ناف به هم می رسند. چند مورد خاص هستند:
#: * برای سطوح کانال یک ورق یک منحنی و ورق دیگر یک سطح است
#: * برای مخروط ها ، استوانه ها، توری ها و سیکلیدها ، هر دو ورق منحنی تشکیل می دهند.
#: * برای کره، مرکز هر دایره منعش‌کننده در مرکز کره است و سطح کانونی یک نقطه واحد را تشکیل می‌دهد. این خاصیت منحصر به کره است.
# ''تمام ژئودزیک های کره منحنی های بسته هستند.''
#: ژئودزیک ها منحنی هایی روی سطحی هستند که کمترین فاصله را بین دو نقطه نشان می دهند. آنها تعمیم مفهوم خط مستقیم در صفحه هستند. برای کره، ژئودزیک ها دایره های بزرگی هستند. بسیاری از سطوح دیگر این ویژگی را به اشتراک می گذارند.
# ''از میان تمام جامداتی که حجم معینی دارند، کره با کمترین مساحت سطحی است. از بین تمام جامداتی که سطح مشخصی دارند، کره بیشترین حجم را دارد.''
#: از نابرابری ایزوپریمتری نتیجه می شود . این ویژگی‌ها کره را به‌طور منحصربه‌فردی تعریف می‌کنند و می‌توان آن را در حباب‌های صابون مشاهده کرد : حباب صابون یک حجم ثابت را در بر می‌گیرد و کشش سطحی سطح آن را برای آن حجم به حداقل می‌رساند. بنابراین یک حباب صابون شناور آزادانه به یک کره نزدیک می شود (اگرچه نیروهای خارجی مانند گرانش شکل حباب را کمی تغییر می دهد). همچنین در سیارات و ستارگانی که گرانش سطح اجرام آسمانی بزرگ را به حداقل می رساند، دیده می شود.
# ''کره کوچکترین انحنای میانگین کل را در بین تمام جامدات محدب با سطح معین دارد.''
#: انحنای متوسط ​​میانگین دو انحنای اصلی است که ثابت است زیرا دو انحنای اصلی در تمام نقاط کره ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای متوسط ​​ثابت است.''
#: کره تنها سطح نهفته است که فاقد مرز یا تکینگی با میانگین انحنای مثبت ثابت است. سایر سطوح غوطه ور مانند سطوح حداقل دارای میانگین انحنای ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای گاوسی مثبت ثابت است.''
#: انحنای گاوسی حاصلضرب دو انحنای اصلی است. این یک ویژگی ذاتی است که می توان آن را با اندازه گیری طول و زوایا تعیین کرد و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است. از این رو، خمش یک سطح، انحنای گاوسی را تغییر نمی‌دهد و سایر سطوح با انحنای گاوسی مثبت ثابت را می‌توان با بریدن یک شکاف کوچک در کره و خم کردن آن به دست آورد. همه این سطوح دیگر دارای مرز خواهند بود و کره تنها سطحی است که فاقد مرزی با انحنای گاوسی ثابت و مثبت است. شبه کره نمونه ای از سطحی با انحنای گاوسی منفی ثابت است.
# ''کره توسط یک خانواده سه پارامتری از حرکات صلب به خود تبدیل می شود.''
#: چرخش حول هر محوری یک کره واحد در مبدأ، کره را روی خودش ترسیم می کند. هر چرخشی حول یک خط از مبدا می تواند به صورت ترکیبی از چرخش ها حول محور سه مختصات بیان شود (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). بنابراین، یک خانواده سه پارامتری از چرخش ها وجود دارد به طوری که هر چرخش کره را به خود تبدیل می کند. این خانواده گروه چرخشی SO(3) است. صفحه تنها سطح دیگری است که دارای یک خانواده تبدیل سه پارامتری است (ترجمه در امتداد محورهای x - و y و چرخش حول مبدا). استوانه های دایره ای تنها سطوح با خانواده های دو پارامتری از حرکات صلب و سطوح چرخشی و هلیکوئیدی هستند.تنها سطوح با خانواده یک پارامتری هستند.

== درمان بر اساس حوزه ریاضیات ==

=== هندسه کروی ===
عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند . در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می شوند. آنالوگ &quot;خط&quot; ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است . مشخصه تعیین کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می گیرد از مرکز کره نیز عبور می کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که نقاط را شامل می‌شود.

بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی تواند برخی از فرضیه های هندسه کلاسیک ، از جمله فرض موازی را برآورده کند . در مثلثات کروی ، زاویه ها بین دایره های بزرگ تعریف می شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است . به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از 180 درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.

هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می گیرد، ''نقاط پادپای'' نامیده می شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است.  هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره

* روی یک دایره بزرگ بی نظیر دراز بکش،
* آن را به یک قوس مینور (یعنی کوتاهتر) و یک قوس اصلی (یعنی بلندتر) تقسیم کنید و
* طول قوس فرعی ''کمترین فاصله'' بین آنها روی کره باشد. 

هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می دهد.

=== هندسه دیفرانسیل ===
کره یک سطح صاف با انحنای گاوسی ثابت در هر نقطه برابر با 1/ &lt;sup&gt;r2&lt;/sup&gt; ''است''.  طبق نظریه گاوس، این انحنا مستقل از جاسازی کره در فضای 3 بعدی است. همچنین با پیروی از گاوس، یک کره را نمی توان با حفظ هر دو ناحیه و زوایا به صفحه نگاشت کرد. بنابراین، هر طرح ریزی نقشه نوعی اعوجاج را معرفی می کند&lt;math&gt;dA = r^2 \sin \theta\, d\theta\, d\varphi&lt;/math&gt;.

کره ای به شعاع r دارای عنصر مساحت است . این را می توان از عنصر حجم در مختصات کروی با r ثابت یافت. 

کره ای با هر شعاع با مرکز صفر، سطحی جدایی ناپذیر از شکل دیفرانسیل زیر است :

: &lt;math&gt; x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.&lt;/math&gt;

این معادله نشان می دهد که بردار موقعیت و صفحه مماس در یک نقطه همیشه متعامد با یکدیگر هستند. علاوه بر این، بردار معمولی رو به بیرون برابر با بردار موقعیت است که با 1/r مقیاس شده است.

در هندسه ریمانی ، حدس ناحیه پر شدن بیان می کند که نیمکره پر شدن ایزومتریک بهینه (کمترین مساحت) دایره ریمانی است .

== منحنی روی یک کره ==

=== منحنی دایره ای(حلقه ای) ===
دایره‌های روی کره مانند دایره‌هایی در صفحه هستند که از تمام نقاط با فاصله معینی از یک نقطه ثابت روی کره تشکیل شده‌اند. محل تقاطع یک کره و یک صفحه یک دایره، یک نقطه یا خالی است.  دایره های بزرگ محل تلاقی کره با صفحه ای است که از مرکز یک کره می گذرد: بقیه دایره های کوچک نامیده می شوند.

سطوح پیچیده تر نیز ممکن است یک کره را به صورت دایره ای قطع کنند: تقاطع یک کره با سطح چرخشی که محور آن شامل مرکز کره است (هم ''محور'' هستند ) از دایره ها و/یا نقاط اگر خالی نباشند تشکیل شده است. به عنوان مثال، نمودار سمت راست تقاطع یک کره و یک استوانه را نشان می دهد که از دو دایره تشکیل شده است. اگر شعاع استوانه شعاع کره باشد، تقاطع یک دایره واحد خواهد بود. اگر شعاع استوانه بزرگتر از شعاع کره بود، تقاطع خالی بود.

=== لوکسودروم ===
در ناوبری ، '''خط رومب''' یا '''لوکسودروم''' کمانی است که از تمام نصف النهارهای طول جغرافیایی در یک زاویه عبور می کند. لوکسودروم همان خطوط مستقیم در طرح مرکاتور است . خط لوزی یک مارپیچ کروی نیست . به جز برخی موارد ساده، فرمول خط روم پیچیده است.

=== منحنی کلیا ===
منحنی کللیا منحنی روی کره ای است که طول جغرافیایی آن است&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;و همبستگی&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;معادله را برآورده کند

&lt;math&gt; \varphi=c\;\theta, \quad c&gt;0&lt;/math&gt;

موارد خاص عبارتند از: منحنی ویویانی (&lt;math&gt; c=1&lt;/math&gt;) و مارپیچ های کروی (&lt;math&gt;c&gt;2&lt;/math&gt;) مانند مارپیچ سیفرت . منحنی های کلیا مسیر ماهواره ها را در مدار قطبی تقریبی می کند .

=== مخروط های کروی ===
آنالوگ یک مقطع مخروطی روی کره یک مخروطی کروی است ، یک منحنی کوارتیک که می تواند به چندین روش معادل تعریف شود، از جمله:

* به عنوان محل تلاقی یک کره با یک مخروط درجه دوم که راس آن مرکز کره است.
* به عنوان تقاطع یک کره با یک استوانه بیضوی یا هذلولی که محور آن از مرکز کره می گذرد.
* به عنوان مکان نقاطی که مجموع یا اختلاف فواصل دایره بزرگ از یک جفت کانون ثابت است.

بسیاری از قضایای مربوط به مقاطع مخروطی مسطح به مخروط های کروی نیز گسترش می یابد.

=== تقاطع یک کره با سطح عمومی تر ===
اگر یک کره با سطح دیگری قطع شود، ممکن است منحنی های کروی پیچیده تری وجود داشته باشد.

==== مثال ====
تقاطع کره - استوانه

تقاطع کره با معادله&lt;math&gt;\; x^2+y^2+z^2=r^2\;&lt;/math&gt;و استوانه با معادله&lt;math&gt; \;(y-y_0)^2+z^2=a^2, \; y_0\ne 0\; &lt;/math&gt;فقط یک یا دو دایره نیست. حل سیستم غیر خطی معادلات است

:&lt;math&gt;x^2+y^2+z^2-r^2=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y-y_0)^2+z^2-a^2=0\ .&lt;/math&gt;

== تاریخ ==
هندسه کره توسط یونانیان مورد مطالعه قرار گرفت. عناصر اقلیدس کره را در کتاب XI تعریف می‌کند، در کتاب دوازدهم ویژگی‌های مختلف کره را مورد بحث قرار می‌دهد و نشان می‌دهد که چگونه پنج چند وجهی منظم را در یک کره در کتاب سیزدهم حک کنید. اقلیدس مساحت و حجم یک کره را در بر نمی گیرد، فقط یک قضیه را شامل می شود که حجم یک کره به عنوان توان سوم قطر آن تغییر می کند، احتمالاً به دلیل Eudoxus of Cnidus . فرمول های حجم و مساحت ابتدا در کتاب ارشمیدس روی کره و استوانه با روش اگزوز تعیین شد. زنودوروس اولین کسی بود که بیان کرد، برای یک سطح معین، کره جامد با حداکثر حجم است.

ارشمیدس در مورد مشکل تقسیم یک کره به بخش هایی نوشت که حجم آنها در یک نسبت مشخص است، اما آن را حل نکرد. راه حلی با استفاده از سهمی و هذلولی توسط دیونیسودوروس آمیسوس (حدود قرن اول پیش از میلاد) ارائه شد و مسئله مشابهی - ساختن قطعه ای برابر حجم با یک قطعه معین و از نظر سطح با یک قطعه دیگر - بعداً حل شد. توسط القیحی .

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]

'''&lt;code&gt;محتوای این صفحه در حال تحقیق است&lt;/code&gt;'''</text>
      <sha1>dk8es6rcimk0fenkk2vynu15j0qe3rx</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117748</id>
      <parentid>117747</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T05:33:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33351" xml:space="preserve">'''کره''' یک شی هندسی است که یک شبیه به یک دایره دو بعدی در سه بعدی است،کره مجموعه نقاطی از فضا است که به یک فاصله معین از یک نقطه به مرکز کره قرار دارد که به آن شعاع دایره گویند.شعاع کره مثل برابر باrاست.

== اصلاحات پایه ==
شعاع کره را باRیاrنشان می دهند.شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می آید.قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می دهند.اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می آید.سیارات و ستاره ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند.این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند.
ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است . آنها یک ''کره'' و یک ''توپ'' را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می کنند. یک ''توپ باز'' خود کره را حذف می کند، در حالی که یک ''توپ بسته'' شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین ''توپ'' و ''کره''همیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می کنند. تمایز بین &quot; دایره &quot; و &quot; دیسک &quot; در هواپیما مشابه است.

کره های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می شوند، به عنوان مثال کره مریخ .

=== نکاتی درباره کره ===

# حجم کره دوسوم حجم استوانه است
# مساحت آن چهار برابر مساحت دایره است
# کره نوعی چندوجهی است
# کره از نوع احجام هندسی است
# اگر حجم دو کره هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر حجم کره با شعاع مجذور دوکره است
# اگر مساحت دو کره  هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر مساحت کره با شعاع مجذور دوکره است
# کره در مختصات سه بعدی به کار می رود

== معادلات ==
در هندسه تحلیلی کره ای با مرکز(x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,z&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)داشته باشیم و  مختصات کره(x,y,z)برابر با مکان تمامی شعاع کره باشد. می توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه ، نوعی سطح جبری است.&lt;math&gt; (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.&lt;/math&gt;

معادله فرض کنید a، b، c، d، e اعداد حقیقی با ''a'' ≠ 0 باشند و درمعادله درجه یک قرار دهید&lt;math&gt;x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.&lt;/math&gt;سپس معادله برابر با&lt;math&gt;f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0&lt;/math&gt;

=== معادله پارامتریک ===
اگر به صورت پارامپر معادله کره بدست آوریم به طوری که شعاع کره برابر با&lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt;باشد و مرکز کره ما برابر با&lt;math&gt;(x_0,y_0,z_0)&lt;/math&gt;باشد به صورت زیر نوشته می گردد

&lt;math&gt;\begin{align}
x &amp;= x_0 + r \sin \theta  \; \cos\varphi \\
y &amp;= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \\
z &amp;= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}&lt;/math&gt;

نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می شود . r ثابت است، در حالی که θ از 0 تا π و&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;متغیر است از0 تا&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; نیز متغیر است .

== حجم ==
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
&lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;در این رابطه، ''r'' شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
=== اثبات حجم کره ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه=

&lt;math&gt;\!V =2\pi r^3&lt;/math&gt; 

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید

&lt;math&gt;V =\frac{2}{3}2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

که r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد.  این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .  این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از ''x'' = - ''r'' تا ''x'' = ''r'' متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

=== اثبات حجم کره به روش انتگرال ومثلثات ===
نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور ''y''ها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ ''h = ۰'' قرار دارد، شعاعی برابر با ''r'' دارد (''s = r'') و دیسکی که در نقطهٔ ''h = r'' قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (''s = ۰'').

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه ''h''، برابر با ''δh'' باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

: &lt;math&gt;\!\delta V \approx \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

: &lt;math&gt;\!V \approx \sum \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi s^2 dh.&lt;/math&gt;

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

: &lt;math&gt;\!r^2 = s^2 + h^2&lt;/math&gt;

پس به جای &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; است استفاده می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!r^2 - h^2= s^2&lt;/math&gt;

مقدار تازهٔ &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - h^2)dh.&lt;/math&gt;

مقدار انتگرال برابر است با:

: &lt;math&gt;\!V = \pi \left[r^2h - \frac{h^3}{3} \right]_{0}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-0^3 + \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم نیمی از کره برابر با &lt;math&gt;\!V = \frac{2}{3}\pi r^3&lt;/math&gt; است پس حجم کل کره می‌شود:

: &lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

: &lt;math&gt;\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi&lt;/math&gt;

بنابر این داریم

: &lt;math&gt;V=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta\, d\varphi
= 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta
= 4\pi \int_0^r r'^2\, dr'\  =\frac43\pi r^3.
&lt;/math&gt;
برای بیشتر اهداف عملی، حجم داخل یک کره حک شده در یک مکعب را می توان به 52.4٪ حجم مکعب تقریب زد، زیرا ''V'' =π/6 ''d'' &lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; که d قطر کره و همچنین طول یک ضلع مکعب است وπ/6 ≈ 0.5236. به عنوان مثال، کره ای با قطر 1  متر، 52.4 درصد حجم یک مکعب با طول لبه 1 متر یا حدود 0.524 متر مکعب دارد.

== مساحت ==
مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به ''r''، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا ''r'' می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با ''δV''، ضخامت هر پوسته را با ''δr'' و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع ''r'' با(A(rنمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

: &lt;math&gt;\delta V \approx A(r) \cdot \delta r \,&lt;/math&gt;

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

: &lt;math&gt;V \approx \sum A(r) \cdot \delta r&lt;/math&gt;

هنگامی که ''δr'' به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

: &lt;math&gt;V = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

: &lt;math&gt;\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

: &lt;math&gt;\!4\pi r^2 = A(r)&lt;/math&gt;

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2&lt;/math&gt;

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت &lt;math&gt;dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi&lt;/math&gt; و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت &lt;math&gt;dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-\sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}\Pi_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k&lt;/math&gt; بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;
کره دارای کمترین سطح در بین تمام سطوحی است که حجم معینی را در بر می گیرند و بیشترین حجم را در بین تمام سطوح بسته با یک سطح معین در بر می گیرد.  بنابراین کره در طبیعت ظاهر می شود: برای مثال، حباب ها و قطرات کوچک آب تقریباً کروی هستند زیرا کشش سطحی به طور محلی سطح سطح را به حداقل می رساند.

مساحت سطح نسبت به جرم یک توپ را مساحت سطح مخصوص می نامند و می توان آن را از معادلات ذکر شده در بالا به صورت بیان کرد.

: &lt;math&gt;\mathrm{SSA} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho},&lt;/math&gt;

که ρ چگالی ( نسبت جرم به حجم) است.

== خواص ==
یک کره را می توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می شود، ساخت . این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است . از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است ، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می شود . چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل. 

یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. به‌طور کلی‌تر، یک کره به طور منحصربه‌فردی  چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود .

در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند).

با بررسی جواب های رایج معادلات دو کره ، می توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می کنند و صفحه حاوی آن دایره، '''صفحه رادیکال''' کره های متقاطع نامیده می شود.  اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند). 

زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می شوند.  آنها در زوایای قائمه متقاطع می شوند ( متعامد هستند ) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد. 

=== یازده خواص کره ===
این خواص را دو ریاضی دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده اند و این خواص های اثبات شده است.

# ''نقاط روی کره همگی از یک نقطه ثابت فاصله دارند. همچنین نسبت فاصله نقاط آن از دو نقطه ثابت ثابت است.''
#: بخش اول تعریف معمول کره است و آن را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. قسمت دوم به راحتی قابل استنباط است و نتیجه مشابه آپولونیوس پرگا برای دایره را دنبال می کند. این قسمت دوم نیز برای هواپیما صادق است.
# ''خطوط و مقاطع صفحه کره دایره هستند.''
#: این ویژگی کره را به طور منحصر به فردی تعریف می کند.
# ''کره دارای عرض ثابت و دور ثابت است.''
#: عرض یک سطح فاصله بین جفت صفحات مماس موازی است. بسیاری از سطوح محدب بسته دیگر دارای عرض ثابت هستند، به عنوان مثال بدنه مایسنر . دور یک سطح، محیط مرز برآمدگی متعامد آن روی یک صفحه است. هر یک از این ویژگی ها بر دیگری دلالت دارد.
# ''تمام نقاط یک کره ناف هستند .''
#: در هر نقطه از سطح یک جهت عادی با سطح زوایای قائمه است زیرا در کره این خطوط هستند که از مرکز کره خارج می شوند. تقاطع صفحه ای که دارای حالت عادی با سطح است منحنی را تشکیل می دهد که به آن مقطع ''نرمال'' می گویند و انحنای این منحنی ''انحنای نرمال است'' . برای اکثر نقاط روی بیشتر سطوح، بخش های مختلف انحناهای متفاوتی دارند. مقادیر حداکثر و حداقل آنها را انحنای اصلی می نامند . هر سطح بسته حداقل چهار نقطه به نام ''نقاط نافی'' دارد. در یک ناف تمام انحناهای مقطعی برابر هستند. به ویژه انحناهای اصلیبرابر هستند. نقاط ناف را می توان به عنوان نقاطی در نظر گرفت که سطح آن با یک کره تقریباً نزدیک است.
#: برای کره، انحنای تمام بخش های عادی برابر است، بنابراین هر نقطه یک ناف است. کره و صفحه تنها سطوحی هستند که این خاصیت را دارند.
# ''کره سطحی از مراکز ندارد.''
#: برای یک مقطع عادی، دایره ای از انحنا وجود دارد که برابر با انحنای مقطع است، مماس بر سطح است، و خطوط مرکزی آن در امتداد خط عادی قرار دارند. به عنوان مثال، دو مرکز مربوط به حداکثر و حداقل انحنای مقطع ، ''نقاط کانونی'' نامیده می شوند و مجموعه تمام این مراکز، سطح کانونی را تشکیل می دهند.
#: برای اکثر سطوح، سطح کانونی دو صفحه تشکیل می دهد که هر کدام یک سطح هستند و در نقاط ناف به هم می رسند. چند مورد خاص هستند:
#: * برای سطوح کانال یک ورق یک منحنی و ورق دیگر یک سطح است
#: * برای مخروط ها ، استوانه ها، توری ها و سیکلیدها ، هر دو ورق منحنی تشکیل می دهند.
#: * برای کره، مرکز هر دایره منعش‌کننده در مرکز کره است و سطح کانونی یک نقطه واحد را تشکیل می‌دهد. این خاصیت منحصر به کره است.
# ''تمام ژئودزیک های کره منحنی های بسته هستند.''
#: ژئودزیک ها منحنی هایی روی سطحی هستند که کمترین فاصله را بین دو نقطه نشان می دهند. آنها تعمیم مفهوم خط مستقیم در صفحه هستند. برای کره، ژئودزیک ها دایره های بزرگی هستند. بسیاری از سطوح دیگر این ویژگی را به اشتراک می گذارند.
# ''از میان تمام جامداتی که حجم معینی دارند، کره با کمترین مساحت سطحی است. از بین تمام جامداتی که سطح مشخصی دارند، کره بیشترین حجم را دارد.''
#: از نابرابری ایزوپریمتری نتیجه می شود . این ویژگی‌ها کره را به‌طور منحصربه‌فردی تعریف می‌کنند و می‌توان آن را در حباب‌های صابون مشاهده کرد : حباب صابون یک حجم ثابت را در بر می‌گیرد و کشش سطحی سطح آن را برای آن حجم به حداقل می‌رساند. بنابراین یک حباب صابون شناور آزادانه به یک کره نزدیک می شود (اگرچه نیروهای خارجی مانند گرانش شکل حباب را کمی تغییر می دهد). همچنین در سیارات و ستارگانی که گرانش سطح اجرام آسمانی بزرگ را به حداقل می رساند، دیده می شود.
# ''کره کوچکترین انحنای میانگین کل را در بین تمام جامدات محدب با سطح معین دارد.''
#: انحنای متوسط ​​میانگین دو انحنای اصلی است که ثابت است زیرا دو انحنای اصلی در تمام نقاط کره ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای متوسط ​​ثابت است.''
#: کره تنها سطح نهفته است که فاقد مرز یا تکینگی با میانگین انحنای مثبت ثابت است. سایر سطوح غوطه ور مانند سطوح حداقل دارای میانگین انحنای ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای گاوسی مثبت ثابت است.''
#: انحنای گاوسی حاصلضرب دو انحنای اصلی است. این یک ویژگی ذاتی است که می توان آن را با اندازه گیری طول و زوایا تعیین کرد و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است. از این رو، خمش یک سطح، انحنای گاوسی را تغییر نمی‌دهد و سایر سطوح با انحنای گاوسی مثبت ثابت را می‌توان با بریدن یک شکاف کوچک در کره و خم کردن آن به دست آورد. همه این سطوح دیگر دارای مرز خواهند بود و کره تنها سطحی است که فاقد مرزی با انحنای گاوسی ثابت و مثبت است. شبه کره نمونه ای از سطحی با انحنای گاوسی منفی ثابت است.
# ''کره توسط یک خانواده سه پارامتری از حرکات صلب به خود تبدیل می شود.''
#: چرخش حول هر محوری یک کره واحد در مبدأ، کره را روی خودش ترسیم می کند. هر چرخشی حول یک خط از مبدا می تواند به صورت ترکیبی از چرخش ها حول محور سه مختصات بیان شود (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). بنابراین، یک خانواده سه پارامتری از چرخش ها وجود دارد به طوری که هر چرخش کره را به خود تبدیل می کند. این خانواده گروه چرخشی SO(3) است. صفحه تنها سطح دیگری است که دارای یک خانواده تبدیل سه پارامتری است (ترجمه در امتداد محورهای x - و y و چرخش حول مبدا). استوانه های دایره ای تنها سطوح با خانواده های دو پارامتری از حرکات صلب و سطوح چرخشی و هلیکوئیدی هستند.تنها سطوح با خانواده یک پارامتری هستند.

== درمان بر اساس حوزه ریاضیات ==

=== هندسه کروی ===
عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند . در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می شوند. آنالوگ &quot;خط&quot; ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است . مشخصه تعیین کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می گیرد از مرکز کره نیز عبور می کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که نقاط را شامل می‌شود.

بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی تواند برخی از فرضیه های هندسه کلاسیک ، از جمله فرض موازی را برآورده کند . در مثلثات کروی ، زاویه ها بین دایره های بزرگ تعریف می شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است . به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از 180 درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.

هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می گیرد، ''نقاط پادپای'' نامیده می شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است.  هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره

* روی یک دایره بزرگ بی نظیر دراز بکش،
* آن را به یک قوس مینور (یعنی کوتاهتر) و یک قوس اصلی (یعنی بلندتر) تقسیم کنید و
* طول قوس فرعی ''کمترین فاصله'' بین آنها روی کره باشد. 

هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می دهد.

=== هندسه دیفرانسیل ===
کره یک سطح صاف با انحنای گاوسی ثابت در هر نقطه برابر با 1/ &lt;sup&gt;r2&lt;/sup&gt; ''است''.  طبق نظریه گاوس، این انحنا مستقل از جاسازی کره در فضای 3 بعدی است. همچنین با پیروی از گاوس، یک کره را نمی توان با حفظ هر دو ناحیه و زوایا به صفحه نگاشت کرد. بنابراین، هر طرح ریزی نقشه نوعی اعوجاج را معرفی می کند&lt;math&gt;dA = r^2 \sin \theta\, d\theta\, d\varphi&lt;/math&gt;.

کره ای به شعاع r دارای عنصر مساحت است . این را می توان از عنصر حجم در مختصات کروی با r ثابت یافت. 

کره ای با هر شعاع با مرکز صفر، سطحی جدایی ناپذیر از شکل دیفرانسیل زیر است :

: &lt;math&gt; x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.&lt;/math&gt;

این معادله نشان می دهد که بردار موقعیت و صفحه مماس در یک نقطه همیشه متعامد با یکدیگر هستند. علاوه بر این، بردار معمولی رو به بیرون برابر با بردار موقعیت است که با 1/r مقیاس شده است.

در هندسه ریمانی ، حدس ناحیه پر شدن بیان می کند که نیمکره پر شدن ایزومتریک بهینه (کمترین مساحت) دایره ریمانی است .

== منحنی روی یک کره ==

=== منحنی دایره ای(حلقه ای) ===
دایره‌های روی کره مانند دایره‌هایی در صفحه هستند که از تمام نقاط با فاصله معینی از یک نقطه ثابت روی کره تشکیل شده‌اند. محل تقاطع یک کره و یک صفحه یک دایره، یک نقطه یا خالی است.  دایره های بزرگ محل تلاقی کره با صفحه ای است که از مرکز یک کره می گذرد: بقیه دایره های کوچک نامیده می شوند.

سطوح پیچیده تر نیز ممکن است یک کره را به صورت دایره ای قطع کنند: تقاطع یک کره با سطح چرخشی که محور آن شامل مرکز کره است (هم ''محور'' هستند ) از دایره ها و/یا نقاط اگر خالی نباشند تشکیل شده است. به عنوان مثال، نمودار سمت راست تقاطع یک کره و یک استوانه را نشان می دهد که از دو دایره تشکیل شده است. اگر شعاع استوانه شعاع کره باشد، تقاطع یک دایره واحد خواهد بود. اگر شعاع استوانه بزرگتر از شعاع کره بود، تقاطع خالی بود.

=== لوکسودروم ===
در ناوبری ، '''خط رومب''' یا '''لوکسودروم''' کمانی است که از تمام نصف النهارهای طول جغرافیایی در یک زاویه عبور می کند. لوکسودروم همان خطوط مستقیم در طرح مرکاتور است . خط لوزی یک مارپیچ کروی نیست . به جز برخی موارد ساده، فرمول خط روم پیچیده است.

=== منحنی کلیا ===
منحنی کللیا منحنی روی کره ای است که طول جغرافیایی آن است&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;و همبستگی&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;معادله را برآورده کند

&lt;math&gt; \varphi=c\;\theta, \quad c&gt;0&lt;/math&gt;

موارد خاص عبارتند از: منحنی ویویانی (&lt;math&gt; c=1&lt;/math&gt;) و مارپیچ های کروی (&lt;math&gt;c&gt;2&lt;/math&gt;) مانند مارپیچ سیفرت . منحنی های کلیا مسیر ماهواره ها را در مدار قطبی تقریبی می کند .

=== مخروط های کروی ===
آنالوگ یک مقطع مخروطی روی کره یک مخروطی کروی است ، یک منحنی کوارتیک که می تواند به چندین روش معادل تعریف شود، از جمله:

* به عنوان محل تلاقی یک کره با یک مخروط درجه دوم که راس آن مرکز کره است.
* به عنوان تقاطع یک کره با یک استوانه بیضوی یا هذلولی که محور آن از مرکز کره می گذرد.
* به عنوان مکان نقاطی که مجموع یا اختلاف فواصل دایره بزرگ از یک جفت کانون ثابت است.

بسیاری از قضایای مربوط به مقاطع مخروطی مسطح به مخروط های کروی نیز گسترش می یابد.

=== تقاطع یک کره با سطح عمومی تر ===
اگر یک کره با سطح دیگری قطع شود، ممکن است منحنی های کروی پیچیده تری وجود داشته باشد.

==== مثال ====
تقاطع کره - استوانه

تقاطع کره با معادله&lt;math&gt;\; x^2+y^2+z^2=r^2\;&lt;/math&gt;و استوانه با معادله&lt;math&gt; \;(y-y_0)^2+z^2=a^2, \; y_0\ne 0\; &lt;/math&gt;فقط یک یا دو دایره نیست. حل سیستم غیر خطی معادلات است

:&lt;math&gt;x^2+y^2+z^2-r^2=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y-y_0)^2+z^2-a^2=0\ .&lt;/math&gt;

== تاریخ ==
هندسه کره توسط یونانیان مورد مطالعه قرار گرفت. عناصر اقلیدس کره را در کتاب XI تعریف می‌کند، در کتاب دوازدهم ویژگی‌های مختلف کره را مورد بحث قرار می‌دهد و نشان می‌دهد که چگونه پنج چند وجهی منظم را در یک کره در کتاب سیزدهم حک کنید. اقلیدس مساحت و حجم یک کره را در بر نمی گیرد، فقط یک قضیه را شامل می شود که حجم یک کره به عنوان توان سوم قطر آن تغییر می کند، احتمالاً به دلیل Eudoxus of Cnidus . فرمول های حجم و مساحت ابتدا در کتاب ارشمیدس روی کره و استوانه با روش اگزوز تعیین شد. زنودوروس اولین کسی بود که بیان کرد، برای یک سطح معین، کره جامد با حداکثر حجم است.

ارشمیدس در مورد مشکل تقسیم یک کره به بخش هایی نوشت که حجم آنها در یک نسبت مشخص است، اما آن را حل نکرد. راه حلی با استفاده از سهمی و هذلولی توسط دیونیسودوروس آمیسوس (حدود قرن اول پیش از میلاد) ارائه شد و مسئله مشابهی - ساختن قطعه ای برابر حجم با یک قطعه معین و از نظر سطح با یک قطعه دیگر - بعداً حل شد. توسط القیحی .

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]

'''&lt;code&gt;محتوای این ص&lt;/code&gt;'''</text>
      <sha1>3xl41tgzmpq330kftmo8e14cv5lpo21</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117749</id>
      <parentid>117748</parentid>
      <timestamp>2022-08-13T05:34:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33308" xml:space="preserve">'''کره''' یک شی هندسی است که یک شبیه به یک دایره دو بعدی در سه بعدی است،کره مجموعه نقاطی از فضا است که به یک فاصله معین از یک نقطه به مرکز کره قرار دارد که به آن شعاع دایره گویند.شعاع کره مثل برابر باrاست.

== اصلاحات پایه ==
شعاع کره را باRیاrنشان می دهند.شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می آید.قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می دهند.اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می آید.سیارات و ستاره ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند.این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند.
ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است . آنها یک ''کره'' و یک ''توپ'' را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می کنند. یک ''توپ باز'' خود کره را حذف می کند، در حالی که یک ''توپ بسته'' شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین ''توپ'' و ''کره''همیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می کنند. تمایز بین &quot; دایره &quot; و &quot; دیسک &quot; در هواپیما مشابه است.

کره های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می شوند، به عنوان مثال کره مریخ .

=== نکاتی درباره کره ===

# حجم کره دوسوم حجم استوانه است
# مساحت آن چهار برابر مساحت دایره است
# کره نوعی چندوجهی است
# کره از نوع احجام هندسی است
# اگر حجم دو کره هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر حجم کره با شعاع مجذور دوکره است
# اگر مساحت دو کره  هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر مساحت کره با شعاع مجذور دوکره است
# کره در مختصات سه بعدی به کار می رود

== معادلات ==
در هندسه تحلیلی کره ای با مرکز(x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,y&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,z&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)داشته باشیم و  مختصات کره(x,y,z)برابر با مکان تمامی شعاع کره باشد. می توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه ، نوعی سطح جبری است.&lt;math&gt; (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.&lt;/math&gt;

معادله فرض کنید a، b، c، d، e اعداد حقیقی با ''a'' ≠ 0 باشند و درمعادله درجه یک قرار دهید&lt;math&gt;x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.&lt;/math&gt;سپس معادله برابر با&lt;math&gt;f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0&lt;/math&gt;

=== معادله پارامتریک ===
اگر به صورت پارامپر معادله کره بدست آوریم به طوری که شعاع کره برابر با&lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt;باشد و مرکز کره ما برابر با&lt;math&gt;(x_0,y_0,z_0)&lt;/math&gt;باشد به صورت زیر نوشته می گردد

&lt;math&gt;\begin{align}
x &amp;= x_0 + r \sin \theta  \; \cos\varphi \\
y &amp;= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \\
z &amp;= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}&lt;/math&gt;

نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می شود . r ثابت است، در حالی که θ از 0 تا π و&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;متغیر است از0 تا&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; نیز متغیر است .

== حجم ==
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
&lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;در این رابطه، ''r'' شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.
حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.
=== اثبات حجم کره ===
یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه=

&lt;math&gt;\!V =2\pi r^3&lt;/math&gt; 

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید

&lt;math&gt;V =\frac{2}{3}2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;

که r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد.  این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .  این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از ''x'' = - ''r'' تا ''x'' = ''r'' متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

=== اثبات حجم کره به روش انتگرال ومثلثات ===
نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور ''y''ها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ ''h = ۰'' قرار دارد، شعاعی برابر با ''r'' دارد (''s = r'') و دیسکی که در نقطهٔ ''h = r'' قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (''s = ۰'').

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه ''h''، برابر با ''δh'' باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

: &lt;math&gt;\!\delta V \approx \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

: &lt;math&gt;\!V \approx \sum \pi s^2 \cdot \delta h.&lt;/math&gt;

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi s^2 dh.&lt;/math&gt;

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

: &lt;math&gt;\!r^2 = s^2 + h^2&lt;/math&gt;

پس به جای &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار &lt;math&gt;h^2&lt;/math&gt; است استفاده می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!r^2 - h^2= s^2&lt;/math&gt;

مقدار تازهٔ &lt;math&gt;s^2&lt;/math&gt; را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

: &lt;math&gt;\!V = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - h^2)dh.&lt;/math&gt;

مقدار انتگرال برابر است با:

: &lt;math&gt;\!V = \pi \left[r^2h - \frac{h^3}{3} \right]_{0}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-0^3 + \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم نیمی از کره برابر با &lt;math&gt;\!V = \frac{2}{3}\pi r^3&lt;/math&gt; است پس حجم کل کره می‌شود:

: &lt;math&gt;\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.&lt;/math&gt;

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

: &lt;math&gt;\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi&lt;/math&gt;

بنابر این داریم

: &lt;math&gt;V=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta\, d\varphi
= 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta
= 4\pi \int_0^r r'^2\, dr'\  =\frac43\pi r^3.
&lt;/math&gt;
برای بیشتر اهداف عملی، حجم داخل یک کره حک شده در یک مکعب را می توان به 52.4٪ حجم مکعب تقریب زد، زیرا ''V'' =π/6 ''d'' &lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; که d قطر کره و همچنین طول یک ضلع مکعب است وπ/6 ≈ 0.5236. به عنوان مثال، کره ای با قطر 1  متر، 52.4 درصد حجم یک مکعب با طول لبه 1 متر یا حدود 0.524 متر مکعب دارد.

== مساحت ==
مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به ''r''، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا ''r'' می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با ''δV''، ضخامت هر پوسته را با ''δr'' و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع ''r'' با(A(rنمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

: &lt;math&gt;\delta V \approx A(r) \cdot \delta r \,&lt;/math&gt;

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

: &lt;math&gt;V \approx \sum A(r) \cdot \delta r&lt;/math&gt;

هنگامی که ''δr'' به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

: &lt;math&gt;V = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

: &lt;math&gt;\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, dr&lt;/math&gt;

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

: &lt;math&gt;\!4\pi r^2 = A(r)&lt;/math&gt;

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

: &lt;math&gt;\!A = 4\pi r^2&lt;/math&gt;

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت &lt;math&gt;dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi&lt;/math&gt; و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت &lt;math&gt;dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-\sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}\Pi_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k&lt;/math&gt; بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

: &lt;math&gt;A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.&lt;/math&gt;
کره دارای کمترین سطح در بین تمام سطوحی است که حجم معینی را در بر می گیرند و بیشترین حجم را در بین تمام سطوح بسته با یک سطح معین در بر می گیرد.  بنابراین کره در طبیعت ظاهر می شود: برای مثال، حباب ها و قطرات کوچک آب تقریباً کروی هستند زیرا کشش سطحی به طور محلی سطح سطح را به حداقل می رساند.

مساحت سطح نسبت به جرم یک توپ را مساحت سطح مخصوص می نامند و می توان آن را از معادلات ذکر شده در بالا به صورت بیان کرد.

: &lt;math&gt;\mathrm{SSA} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho},&lt;/math&gt;

که ρ چگالی ( نسبت جرم به حجم) است.

== خواص ==
یک کره را می توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می شود، ساخت . این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است . از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است ، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می شود . چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل. 

یک کره به طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می شود. به‌طور کلی‌تر، یک کره به طور منحصربه‌فردی  چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود .

در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می شود (یعنی از آن عبور می کند).

با بررسی جواب های رایج معادلات دو کره ، می توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می کنند و صفحه حاوی آن دایره، '''صفحه رادیکال''' کره های متقاطع نامیده می شود.  اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره ها در آن نقطه مماس هستند). 

زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می شوند.  آنها در زوایای قائمه متقاطع می شوند ( متعامد هستند ) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد. 

=== یازده خواص کره ===
این خواص را دو ریاضی دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده اند و این خواص های اثبات شده است.

# ''نقاط روی کره همگی از یک نقطه ثابت فاصله دارند. همچنین نسبت فاصله نقاط آن از دو نقطه ثابت ثابت است.''
#: بخش اول تعریف معمول کره است و آن را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. قسمت دوم به راحتی قابل استنباط است و نتیجه مشابه آپولونیوس پرگا برای دایره را دنبال می کند. این قسمت دوم نیز برای هواپیما صادق است.
# ''خطوط و مقاطع صفحه کره دایره هستند.''
#: این ویژگی کره را به طور منحصر به فردی تعریف می کند.
# ''کره دارای عرض ثابت و دور ثابت است.''
#: عرض یک سطح فاصله بین جفت صفحات مماس موازی است. بسیاری از سطوح محدب بسته دیگر دارای عرض ثابت هستند، به عنوان مثال بدنه مایسنر . دور یک سطح، محیط مرز برآمدگی متعامد آن روی یک صفحه است. هر یک از این ویژگی ها بر دیگری دلالت دارد.
# ''تمام نقاط یک کره ناف هستند .''
#: در هر نقطه از سطح یک جهت عادی با سطح زوایای قائمه است زیرا در کره این خطوط هستند که از مرکز کره خارج می شوند. تقاطع صفحه ای که دارای حالت عادی با سطح است منحنی را تشکیل می دهد که به آن مقطع ''نرمال'' می گویند و انحنای این منحنی ''انحنای نرمال است'' . برای اکثر نقاط روی بیشتر سطوح، بخش های مختلف انحناهای متفاوتی دارند. مقادیر حداکثر و حداقل آنها را انحنای اصلی می نامند . هر سطح بسته حداقل چهار نقطه به نام ''نقاط نافی'' دارد. در یک ناف تمام انحناهای مقطعی برابر هستند. به ویژه انحناهای اصلیبرابر هستند. نقاط ناف را می توان به عنوان نقاطی در نظر گرفت که سطح آن با یک کره تقریباً نزدیک است.
#: برای کره، انحنای تمام بخش های عادی برابر است، بنابراین هر نقطه یک ناف است. کره و صفحه تنها سطوحی هستند که این خاصیت را دارند.
# ''کره سطحی از مراکز ندارد.''
#: برای یک مقطع عادی، دایره ای از انحنا وجود دارد که برابر با انحنای مقطع است، مماس بر سطح است، و خطوط مرکزی آن در امتداد خط عادی قرار دارند. به عنوان مثال، دو مرکز مربوط به حداکثر و حداقل انحنای مقطع ، ''نقاط کانونی'' نامیده می شوند و مجموعه تمام این مراکز، سطح کانونی را تشکیل می دهند.
#: برای اکثر سطوح، سطح کانونی دو صفحه تشکیل می دهد که هر کدام یک سطح هستند و در نقاط ناف به هم می رسند. چند مورد خاص هستند:
#: * برای سطوح کانال یک ورق یک منحنی و ورق دیگر یک سطح است
#: * برای مخروط ها ، استوانه ها، توری ها و سیکلیدها ، هر دو ورق منحنی تشکیل می دهند.
#: * برای کره، مرکز هر دایره منعش‌کننده در مرکز کره است و سطح کانونی یک نقطه واحد را تشکیل می‌دهد. این خاصیت منحصر به کره است.
# ''تمام ژئودزیک های کره منحنی های بسته هستند.''
#: ژئودزیک ها منحنی هایی روی سطحی هستند که کمترین فاصله را بین دو نقطه نشان می دهند. آنها تعمیم مفهوم خط مستقیم در صفحه هستند. برای کره، ژئودزیک ها دایره های بزرگی هستند. بسیاری از سطوح دیگر این ویژگی را به اشتراک می گذارند.
# ''از میان تمام جامداتی که حجم معینی دارند، کره با کمترین مساحت سطحی است. از بین تمام جامداتی که سطح مشخصی دارند، کره بیشترین حجم را دارد.''
#: از نابرابری ایزوپریمتری نتیجه می شود . این ویژگی‌ها کره را به‌طور منحصربه‌فردی تعریف می‌کنند و می‌توان آن را در حباب‌های صابون مشاهده کرد : حباب صابون یک حجم ثابت را در بر می‌گیرد و کشش سطحی سطح آن را برای آن حجم به حداقل می‌رساند. بنابراین یک حباب صابون شناور آزادانه به یک کره نزدیک می شود (اگرچه نیروهای خارجی مانند گرانش شکل حباب را کمی تغییر می دهد). همچنین در سیارات و ستارگانی که گرانش سطح اجرام آسمانی بزرگ را به حداقل می رساند، دیده می شود.
# ''کره کوچکترین انحنای میانگین کل را در بین تمام جامدات محدب با سطح معین دارد.''
#: انحنای متوسط ​​میانگین دو انحنای اصلی است که ثابت است زیرا دو انحنای اصلی در تمام نقاط کره ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای متوسط ​​ثابت است.''
#: کره تنها سطح نهفته است که فاقد مرز یا تکینگی با میانگین انحنای مثبت ثابت است. سایر سطوح غوطه ور مانند سطوح حداقل دارای میانگین انحنای ثابت هستند.
# ''کره دارای انحنای گاوسی مثبت ثابت است.''
#: انحنای گاوسی حاصلضرب دو انحنای اصلی است. این یک ویژگی ذاتی است که می توان آن را با اندازه گیری طول و زوایا تعیین کرد و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است. از این رو، خمش یک سطح، انحنای گاوسی را تغییر نمی‌دهد و سایر سطوح با انحنای گاوسی مثبت ثابت را می‌توان با بریدن یک شکاف کوچک در کره و خم کردن آن به دست آورد. همه این سطوح دیگر دارای مرز خواهند بود و کره تنها سطحی است که فاقد مرزی با انحنای گاوسی ثابت و مثبت است. شبه کره نمونه ای از سطحی با انحنای گاوسی منفی ثابت است.
# ''کره توسط یک خانواده سه پارامتری از حرکات صلب به خود تبدیل می شود.''
#: چرخش حول هر محوری یک کره واحد در مبدأ، کره را روی خودش ترسیم می کند. هر چرخشی حول یک خط از مبدا می تواند به صورت ترکیبی از چرخش ها حول محور سه مختصات بیان شود (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). بنابراین، یک خانواده سه پارامتری از چرخش ها وجود دارد به طوری که هر چرخش کره را به خود تبدیل می کند. این خانواده گروه چرخشی SO(3) است. صفحه تنها سطح دیگری است که دارای یک خانواده تبدیل سه پارامتری است (ترجمه در امتداد محورهای x - و y و چرخش حول مبدا). استوانه های دایره ای تنها سطوح با خانواده های دو پارامتری از حرکات صلب و سطوح چرخشی و هلیکوئیدی هستند.تنها سطوح با خانواده یک پارامتری هستند.

== درمان بر اساس حوزه ریاضیات ==

=== هندسه کروی ===
عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند . در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می شوند. آنالوگ &quot;خط&quot; ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است . مشخصه تعیین کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می گیرد از مرکز کره نیز عبور می کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که نقاط را شامل می‌شود.

بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی تواند برخی از فرضیه های هندسه کلاسیک ، از جمله فرض موازی را برآورده کند . در مثلثات کروی ، زاویه ها بین دایره های بزرگ تعریف می شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است . به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از 180 درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.

هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می گیرد، ''نقاط پادپای'' نامیده می شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است.  هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره

* روی یک دایره بزرگ بی نظیر دراز بکش،
* آن را به یک قوس مینور (یعنی کوتاهتر) و یک قوس اصلی (یعنی بلندتر) تقسیم کنید و
* طول قوس فرعی ''کمترین فاصله'' بین آنها روی کره باشد. 

هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می دهد.

=== هندسه دیفرانسیل ===
کره یک سطح صاف با انحنای گاوسی ثابت در هر نقطه برابر با 1/ &lt;sup&gt;r2&lt;/sup&gt; ''است''.  طبق نظریه گاوس، این انحنا مستقل از جاسازی کره در فضای 3 بعدی است. همچنین با پیروی از گاوس، یک کره را نمی توان با حفظ هر دو ناحیه و زوایا به صفحه نگاشت کرد. بنابراین، هر طرح ریزی نقشه نوعی اعوجاج را معرفی می کند&lt;math&gt;dA = r^2 \sin \theta\, d\theta\, d\varphi&lt;/math&gt;.

کره ای به شعاع r دارای عنصر مساحت است . این را می توان از عنصر حجم در مختصات کروی با r ثابت یافت. 

کره ای با هر شعاع با مرکز صفر، سطحی جدایی ناپذیر از شکل دیفرانسیل زیر است :

: &lt;math&gt; x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.&lt;/math&gt;

این معادله نشان می دهد که بردار موقعیت و صفحه مماس در یک نقطه همیشه متعامد با یکدیگر هستند. علاوه بر این، بردار معمولی رو به بیرون برابر با بردار موقعیت است که با 1/r مقیاس شده است.

در هندسه ریمانی ، حدس ناحیه پر شدن بیان می کند که نیمکره پر شدن ایزومتریک بهینه (کمترین مساحت) دایره ریمانی است .

== منحنی روی یک کره ==

=== منحنی دایره ای(حلقه ای) ===
دایره‌های روی کره مانند دایره‌هایی در صفحه هستند که از تمام نقاط با فاصله معینی از یک نقطه ثابت روی کره تشکیل شده‌اند. محل تقاطع یک کره و یک صفحه یک دایره، یک نقطه یا خالی است.  دایره های بزرگ محل تلاقی کره با صفحه ای است که از مرکز یک کره می گذرد: بقیه دایره های کوچک نامیده می شوند.

سطوح پیچیده تر نیز ممکن است یک کره را به صورت دایره ای قطع کنند: تقاطع یک کره با سطح چرخشی که محور آن شامل مرکز کره است (هم ''محور'' هستند ) از دایره ها و/یا نقاط اگر خالی نباشند تشکیل شده است. به عنوان مثال، نمودار سمت راست تقاطع یک کره و یک استوانه را نشان می دهد که از دو دایره تشکیل شده است. اگر شعاع استوانه شعاع کره باشد، تقاطع یک دایره واحد خواهد بود. اگر شعاع استوانه بزرگتر از شعاع کره بود، تقاطع خالی بود.

=== لوکسودروم ===
در ناوبری ، '''خط رومب''' یا '''لوکسودروم''' کمانی است که از تمام نصف النهارهای طول جغرافیایی در یک زاویه عبور می کند. لوکسودروم همان خطوط مستقیم در طرح مرکاتور است . خط لوزی یک مارپیچ کروی نیست . به جز برخی موارد ساده، فرمول خط روم پیچیده است.

=== منحنی کلیا ===
منحنی کللیا منحنی روی کره ای است که طول جغرافیایی آن است&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;و همبستگی&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;معادله را برآورده کند

&lt;math&gt; \varphi=c\;\theta, \quad c&gt;0&lt;/math&gt;

موارد خاص عبارتند از: منحنی ویویانی (&lt;math&gt; c=1&lt;/math&gt;) و مارپیچ های کروی (&lt;math&gt;c&gt;2&lt;/math&gt;) مانند مارپیچ سیفرت . منحنی های کلیا مسیر ماهواره ها را در مدار قطبی تقریبی می کند .

=== مخروط های کروی ===
آنالوگ یک مقطع مخروطی روی کره یک مخروطی کروی است ، یک منحنی کوارتیک که می تواند به چندین روش معادل تعریف شود، از جمله:

* به عنوان محل تلاقی یک کره با یک مخروط درجه دوم که راس آن مرکز کره است.
* به عنوان تقاطع یک کره با یک استوانه بیضوی یا هذلولی که محور آن از مرکز کره می گذرد.
* به عنوان مکان نقاطی که مجموع یا اختلاف فواصل دایره بزرگ از یک جفت کانون ثابت است.

بسیاری از قضایای مربوط به مقاطع مخروطی مسطح به مخروط های کروی نیز گسترش می یابد.

=== تقاطع یک کره با سطح عمومی تر ===
اگر یک کره با سطح دیگری قطع شود، ممکن است منحنی های کروی پیچیده تری وجود داشته باشد.

==== مثال ====
تقاطع کره - استوانه

تقاطع کره با معادله&lt;math&gt;\; x^2+y^2+z^2=r^2\;&lt;/math&gt;و استوانه با معادله&lt;math&gt; \;(y-y_0)^2+z^2=a^2, \; y_0\ne 0\; &lt;/math&gt;فقط یک یا دو دایره نیست. حل سیستم غیر خطی معادلات است

:&lt;math&gt;x^2+y^2+z^2-r^2=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(y-y_0)^2+z^2-a^2=0\ .&lt;/math&gt;

== تاریخ ==
هندسه کره توسط یونانیان مورد مطالعه قرار گرفت. عناصر اقلیدس کره را در کتاب XI تعریف می‌کند، در کتاب دوازدهم ویژگی‌های مختلف کره را مورد بحث قرار می‌دهد و نشان می‌دهد که چگونه پنج چند وجهی منظم را در یک کره در کتاب سیزدهم حک کنید. اقلیدس مساحت و حجم یک کره را در بر نمی گیرد، فقط یک قضیه را شامل می شود که حجم یک کره به عنوان توان سوم قطر آن تغییر می کند، احتمالاً به دلیل Eudoxus of Cnidus . فرمول های حجم و مساحت ابتدا در کتاب ارشمیدس روی کره و استوانه با روش اگزوز تعیین شد. زنودوروس اولین کسی بود که بیان کرد، برای یک سطح معین، کره جامد با حداکثر حجم است.

ارشمیدس در مورد مشکل تقسیم یک کره به بخش هایی نوشت که حجم آنها در یک نسبت مشخص است، اما آن را حل نکرد. راه حلی با استفاده از سهمی و هذلولی توسط دیونیسودوروس آمیسوس (حدود قرن اول پیش از میلاد) ارائه شد و مسئله مشابهی - ساختن قطعه ای برابر حجم با یک قطعه معین و از نظر سطح با یک قطعه دیگر - بعداً حل شد. توسط القیحی .

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]

ویکی پدیای انگلیسی</text>
      <sha1>ist5mjv3nlsw7j4smt2jr3fh7ax1wnv</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36021</id>
    <revision>
      <id>117732</id>
      <parentid>117476</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:49:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>افزودن سرصفحه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3253" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات}}

نظریه اعداد یکی از مفهوم های ریاضیاتی و حسابی است که مربوط به اعدادطبیعی،حسابی،صحیح،گویا،گنگ،حقیقی و مختلط است.نظریه اعداد به مطالعات،بررسی،تحقیق و خواص اعداد ها می پردازد و در تاریخ هم دانشمندان این علم را گسترش دادند.

تعریف اعداد برای شمارش ها بوده است ولی در دروان باستان،دوران قرون وسطی،اسلامی و معاصر مورد کاربرد قرار گرفته است.نظریه اعداد برای اولین بار استدلالش در ایران،یونان،هند،چین،تمدن اسلامی و... اتفاق افتاد.

نظریه اعداد به تعمیم محاسبات اعداد صحیح،گویا،گنگ و... می پردازد.

== تاریخ ==

=== دوران باستان ===
لوح قدیمی بابلیان مرتبط به علم ریاضیات به اسم پلیمپتون322 درباره اعداد صحیح،گویا و... گفته است
[[پرونده:Plimpton_322.jpg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Plimpton_322.jpg|بندانگشتی|لوح پلیمپتون ۳۲۲]]
این لوح درباره مربع اعداد می پردازد و نشان می دهد قبل از فیثاغورس آنها برای اندازه گیری وتر مثلث قائم الزاویه تحقیق کرده بودند که بعدها فیثاغورس قضیه بابلیان را تکمیل کرد که دقیق تر از بابلیان بود.

نظریه بابلیان در این لوح به یک عبارتی مدرن مشاهده شده است که به این صورت است.این عبارت نشان دهنده عدد گویا و حقیقی است.&lt;math&gt;\left(\frac{1}{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)\right)^2 + 1 = \left(\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x} \right)\right)^2,&lt;/math&gt;

== نظریه ابتدایی اعداد ==
این نظریه به صورت ساده به اعداد را بررسی می کند و هیج روشی پیشرفته در آن وجود ندارد.قضیه پیشرفته نظریه اعداد در سال1896اثبات شد و الان بهتر ار نظریه اعداد ابتدایی کار می کند.در نظریه اعداد ابتدایی بیشتر به  مطالب ضرب وتقسیم،جمع و تفرین و... می پردازد و به آنالیز و تبدیل آنها نمی پردازد اما پیشرفته همه ی این کارها را انجام می دهد.در این نظریه به بخش پذیری و مقسوم علیه و خارج قسمت اعداد اشاره می کند.دراین نظریه به روش غربال،بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کوچکترین مضرب علیه مشترک و... است.

== نظریه تحلیلی اعداد ==

== نظریه جبری اعداد ==

== نظریه هندسی اعداد ==

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

'''محتوای این صفحه در حال تحقیق است'''</text>
      <sha1>r8dg8ka7ddp4q61qj6ghq88fduem07i</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36032</id>
    <revision>
      <id>117723</id>
      <parentid>117524</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:37:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>افزودن سرصفحه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="43559" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات|ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات}}

تاریخ ریاضیات به مباحث رویدادهای علم ریاضیات در گذشته را می پردازد.این حوزه یکی از حوزه های تاریخی-ریاضی است که یکی از حوزه های مهم است.تاریخ ریاضیات در مورد تحقیق ریاضیدانان پیشین را که چه کار ارزنده ای درمورد ریاضیات انجام داده است را هم بررسی می کند.این حوزه در درجه اول منشا اکتشافات را در درجه پایین تر بر اساس قدمت بررسی می کند.
[[پرونده:Timeline_of_the_History_of_Mathematics.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Timeline_of_the_History_of_Mathematics.svg|بندانگشتی|گاه‌شمار تاریخ ریاضیات]]
تاریخ ریاضیات به مباحث های زیر پرداخته است.

# دوران باستان
# دوران قرون وسطی
# دوران طلایی اسلام
# دوران معاصر

== دوران باستان ==

=== ریاضیات بابلیان و سومریان ===

==== بابلیان ====
ریاضیات بابلیان که به آن ریاضیات بابلی-آشوری نیز گفته می شود.ریاضیاتی است که در بین النهرین یا میان رودان در تمدن بابل به وجود آمده است.
[[پرونده:Plimpton_322.jpg|بندانگشتی|لوح پلیمپیتون۳۲۲]]
بابلیان در حوزه ریاضی  تحقیقات های زیادی را انجام داده اند که ریاضیدانان بعد از آنها این تحقیقات را گسترش و تکمیل کردند.یونانی ها و ایرانیان باستان توانسته اند ریاضیات بابلیان و سومریان را گسترش دهند.یکی از معروف ترین لوح های بابلیان باستان لوح پلیمپتون۳۲۲مربوط به سال۱۸۰۰پیش از میلاد است.با ترجمه لوح های پلیمپتون۳۲۲،بررسی شده است که بابلیان قبل ازفیثاغورس قضیه اندازه گیری وتر مثلث قائم الزاویه را می دانستند و تحقیقات هایی کرده اند.بابلیان هم روشی برای پیدا کردن جذر تقریبی عدد &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; پیدا کرده اند که بر سه رقم بر مبنا و اساس۶۰ است که بر طبق اعداد دهدهی(اعشاری)برابربا هفت رقم اعشار است.ریاضیات بابلیان را از دیدگاه زمانی می‌توان به دو بخش تقسیم کرد، یکم دورهٔ بابلیان باستان (از ۱۸۳۰ تا ۱۵۳۱ پیش از میلاد) و دوم بیشتر مربوط به دورهٔ سلوکیان در حدود سه تا چهار سده پیش از میلاد. از دیدگاه محتوا، تفاوت آشکاری میان دو دوره دیده نمی‌شود از این رو می‌توان گفت ریاضیات بابلیان در نزدیک به دو هزار سال وضعیت ثابتی داشته‌است.داده‌های ما پیرامون دانش ریاضیاتی بابلیان از نزدیک به ۴۰۰ گِل‌نوشتهٔ رسی که از زیر خاک بیرون کشیده شده، بدست آمده است. این گِل‌نوشته‌ها به خط میخی اند، هنگامی که گِل هنوز خیس بوده بر روی آن نوشته شده و بعد زیر نور خورشید یا در یک کوره خشک شده است. مباحث ارائه شده در این گِل‌نوشته‌ها عبارتند از: کسر، جبر، معادلهٔ درجه دو و سه و قضیهٔ فیثاغورس است.همچنین بابلیان لوح بابلیان در مورد معادلات مکعبی،اتحاد مزدوج نیز است.ریاضیات بابل عبارت است از مجموعه‌ای از اعداد و تلاش‌های ریاضیاتی پیشرفته تر در خاور نزدیک باستان که به خط میخینوشته شده‌است. از آنجایی که داده‌های مربوط به دوره بابلیان باستان (دوره نخست ریاضیات بابل) در آغاز هزاره دوم پیش از میلاد فراوان‌تر است، بیشتر پژوهش‌های پیشینه‌شناسی بر روی این دوران تمرکز داشته‌است. با این حال بر روی ریشه‌های اصلی ریاضیات بابل بحث است، برخی باستان شناسان بر این باورند که آغاز ریاضیات بابل به هزاره‌های پنجم و سوم پیش از میلاد بازمی‌گردد چون ابزارهای گِلی با کاربرد شمارش و گِل مُهرک‌هایی به قدمت ۵۰۰۰ سال پیش از میلاد پیدا شده‌است.

ریاضیات بابلی در درجه نخست به خط میخی و به زبان‌های اکدی و سومری نوشته شده بود. دستگاه اعداد بابلی در پایه ۶۰ بود.

==== سومریان ====
سومریان باستان میان‌رودان از ۳۰۰۰ سال پیش از میلاد یک سامانهٔ پیچیدهٔ مترولوژی را ارائه کردند. از ۲۶۰۰ سال پیش از میلاد به این سو گِل‌نوشته‌هایی از مسائل مربوط به ضرب، تقسیم و هندسه از خود به جای گذاشتند. همچنین می‌توان گفت برخی از نشانه‌های مربوط به دانش ریاضی بابلیان به این دوره بازمی‌گردد.

=== ریاضیات مصری ===
ریاضیات مصر باستان به ریاضیات نوشته شده در زبان مصر اشاره دارد. از آنجایی که در دوره هلنی، یونانی مصر به عنوان زبان نوشتاری استفاده شده‌است، پژوهش‌های آن‌ها نیز به زبان مصری جایگزین شده‌است.
[[پرونده:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg|بندانگشتی|بخشی از پاپیروس ریند به خط هیرگلیف(خطی به سبک نقاشی حیوانات)]]
مطالعه ریاضی در مصر بعد در امپراتوری عرب به عنوان بخشی از ریاضیات اسلامی ادامه دارد، از آن زمان به بعد زبان عربی زبان نوشتاری پژوهشگران مصری استفاده شده‌است.

جامع‌ترین متن ریاضی مصر پاپیروس ریند (برخی اوقات نیز به احمس پاپیروس پس از نویسنده آن نامیده می‌شود) به تاریخ به C است. همچنین ۱۶۵۰ سال قبل از میلاد، احتمال اینکه یک کپی از یک سند قدیمی تر از پادشاهی میانه در حدود ۱۸۰۰ تا ۲۰۰۰سال قبل از میلاد، وجود داشته باشد، زیاد است. این سند مرجع بزرگی برای دانش آموزان در علم حساب و هندسه می‌باشد. در آن علاوه بر ارائه فرمول‌ها و روش‌های محاسبه مساحت به روش‌های ضرب، تقسیم و کار با کسر واحد، اشاره شده‌است و همچنین شامل سایر شواهد دانش ریاضی، از جمله روش ترکیبی و اعداد اول، حساب، میانگین هندسی و هارمونیک. و فهم ساده از هر دو غربال اراتوستن و نظریه اعداد کامل می‌باشد، همچنین چگونگی حل مرتبه اول معادلات خطی همچنین حساب و سری هندسی را نشان می‌دهد.

دیگر متن ریاضی قابل توجه مصری، یکی دیگر از پاپیروس مسکو از دوره پادشاهی میانه، به تاریخ به C می‌باشد که به سال ۱۸۹۰ قبل از میلاد مسیح بر می‌گردد. این متن از آنچه امروز به مشکلات واژه یا مشکلات داستان، که ظاهراً به عنوان سرگرمی در نظر گرفته شده‌است، نام تشکیل شده‌است. یکی از مشکلاتی که در آن نظر گرفته می‌شود و از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است، یک روش برای پیدا کردن حجم مخروط ناقص (هرم ناقص) می‌باشد.

در نهایت، پاپیروس برلین ۶۶۱۹ (ج. ۱۸۰۰ قبل از میلاد) نشان می‌دهد که مصریان باستان می‌تواند یک معادله جبری مرتبه دوم را حل کند.

==== مسئله ای از پاپیروس ریند ====
''۱۰۰قرص نان را بین۵نفر چنان تقسیم کنید که سهم های دریافت شده،یک دنباله حسابی تشکیل دهند و یک سوم مجموع سه سهم بزرگ تر مساوی با مجموع دو سهم کوچک تر باشد.''&lt;blockquote&gt;جواب:'''۱۰،۱۵،۲۰،۲۵،۳۰''' اگر سه سهم بزرگ تر را جمع کنیم۷۵تا می شود و یک سوم آن را بدست آوریم برابر با عدد۲۵می شود،اگر دوسهم کوچک تر رل جمع کنیم برابر با۲۵ می شود پس جواب اصلی این است.&lt;/blockquote&gt;'''این مسئله ریاضی از ترجمه متن های هیروگلیف متن ریاضی پاپیروس ریند است.'''

=== ریاضیات ایران ===
ایرانیان باستان در زمینه ریاضیات پیشرفت های زیادی داشته اند.آنها در ریاضیات،هندسه،جبر،حسابان،آنالیز و... آشنایی کامل داشته اند.گرچه موارد کمی وجود دارد ولی نشان می دهد که روابط های ریاضی زیادی را می دانستند. ریاضیات ایران باستان به حدود۲۵۰۰سال پیش برمی گردد.

=== ریاضیات یونانی ===
[[پرونده:P._Oxy._I_29.jpg|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/File:P._Oxy._I_29.jpg|بندانگشتی|اصول اقلیدس مهم ترین متون ریاضی در طول تاریخ ریاضیات جهان]]
ریاضیات یونانی به ریاضیات در زبان یونانی از زمان تالس (۶۰۰ قبل از میلاد) و به بسته شدن آکادمی آتن در ۵۲۹ م اشاره دارد. ریاضیدانان یونانی در شهرهایی به گستره بیش از کل مدیترانه شرقی، از ایتالیا تا شمال آفریقا، اما با فرهنگ و زبان متحد، زندگی می‌کردند. ریاضیات یونانی همان دوره پس از اسکندر کبیر که گاهی اوقات ریاضیات یونانی نامیده می‌شود؛ می‌باشند.

ریاضیات یونانی بسیار پیچیده‌تر از ریاضیات مورد استفاده توسط فرهنگ قبل شروع شده بود، می‌باشد. تمام مستندات از ریاضیات پیش یونانی، نشان دادن استفاده از استدلال قیاسی با مشاهدات مورد استفاده برای ایجاد قوانین کلی می‌باشد. ریاضیدانان یونانی، در مقابل استفاده استدلال استقرایی یا قیاسی، از منطق برای استنتاج نتایج از تعاریف و اصول موضوعه استفاده می‌کردند.

تالس یکی ریاضیدانانی است که برای اولین بار به وسیله استدلال منطقی و بدون استفاده از شهود، چند قضیه مهم هندسه را ثابت کرد. فیثاغورس (یا به عبارت درست‌تر فیثاغورسیان که پیروان و شاگردان او بودند) نیز سهم بسزایی در تکامل ریاضیات برهانی داشت. خلاصه‌ای از کارهای فیثاغورسیان را مرور می‌کنیم: این گروه اولین قدم‌ها را در رشد نظریه اعداد برداشتند، مانند معرفی اعداد متحابه، تام، ناقص و زاید و نیز معرفی اعداد مصور مثلثی، مربعی، مخمسی (مراجعه کنید به صفحه ۷۲ تا ۷۴ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). (ب) اولین برهان منطقی و درست از قضیه فیثاغورس که بابلیان قدیم بدون برهان از آن استفاده می‌کردند. (ج) کشف عدد گنگ که یکی از حوادث مهم تاریخ ریاضیات است. (د) ابداع جبر هندسی برای بیان اتحادهای جبری در قالب اصطلاحات هندسی. برای توضیح بیشتر، اتحاد را به این وسیله با شکل زیر «ثابت» می‌کنیم:(ه) حل هندسی معادلات درجه دوم. برای مثال با فرض اینکه a و b دو عدد مثبت باشند، طول x را چنان به دست می‌آوریم که x جواب معادله باشد. این کار را در شکل زیر انجام داده‌ایم. (با این کار می‌توان برای هر عدد طبیعی n، را رسم کرد. کافیست دایره‌ای به قطر n+1 رسم کنیم).

و معرفی بعضی از اجسام پنجگانه افلاطونی یا اجسام منتظم پنجگانه (یک چند وجهی را منتظم گوییم اگر وجوه آن چند ضلعی‌های منتظم مساوی باشند و کنج‌های آن نیز همگی برابر)(ز) بسط روش اصل موضوعی که اثبات یک ادعاست به وسیله سلسله استنتاج‌های دقیق از چند فرض آغازین که کاملاً مشخص هستند.

۳. افلاطون و شاگردان او: تقریباً تمام کارهای مهم ریاضی سده چهارم قبل از میلاد به وسیله شاگردان افلاطون انجام شده‌است و آن‌ها حلقه ارتباط بین فیثاغورسیان و ریاضیدانان مکتب اسکندریه بودند. نظر افلاطون دربارهٔ ریاضیات این بود که این علم عالی‌ترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می‌سازد و اداره کنندگان جامعه باید ریاضی بدانند. معروف است که افلاطون بر سر در آکادمی خود نوشته بود: «هر کس هندسه نمی‌داند وارد نشود.» کارهایی که معاصران افلاطون انجام دادند:

الف) کشف مقاطع مخروطی (مقاطع مخروطی معمولاً شامل دایره، سهمی، هذلولوی و بیضی می‌شود) (ب) تضعیف مکعب (چگونگی ترسیم ضلعی از یک مکعب -فقط با خط‌کش و پرگار- که حجم آن مکعب دو برابر حجم مکعبی مفروض است)(ج) تثلیث زاویه (چگونگی تقسیم یک زاویه دلخواه به سه قسمت مساوی-فقط با خط‌کش و پرگار)(د) تربیع دایره (چگونگی ساختن مربعی که دارای مساحتی برابر با مساحت دایره مفروضی باشد -فقط با خط‌کش و پرگار) توضیح: توجه کنید که می‌توان ثابت کرد هیچ‌کدام از کارهای بالا -یعنی تضعیف مکعب، تثلیث زاویه و تربیع دایره را نمی‌توان فقط به وسیله خط‌کش و پرگار انجام داد که داستان مفصل و جالبی برای خود دارد. همچنین توجه کنید که تربیع دایره پیوند نزدیکی با محاسبه عدد پی دارد (در صفحه ۱۱۶ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز، می‌توانید تاریخچه زیبایی از عدد پی را مشاهده فرمایید که شامل ۳۸ مدخل است از کارهای یونانیان، مسلمین، اروپائیان و ریاضیدانان عصر جدید دربارهٔ این عدد). اقلیدس: او استاد ریاضیات دانشگاه اسکندریه بود و احتمالاً در آتن یونان درس خوانده‌است. اقلیدس در دوران خود، به فروتنی و توجهش به دیگران معروف بود. بد نیست بدانیم که اسکندریه در آن زمان در حدود پانصد هزار نفر جمعیت داشت و دانشگاه آن بسیار بزرگ و مجهز به سالن‌های سخنرانی، آزمایشگاه، خوابگاه و کتابخانه بود و در این کتابخانه حدوداً ششصد هزار طومار پاپیروس وجود داشت و حدود هزار سال پابرجا ماند.

- اقلیدس حدود ۱۰ کتاب تألیف کرده‌است که مهم‌ترین اثر او کتاب اصول اوست که شاید یکی از مهم‌ترین کتاب‌های تمام تاریخ بشر باشد. لازم است بدانیم که این اثر به وسیله مسلمین به دست اروپائیان رسید و اروپائیان اصول اقلیدس را از عربی به لاتین ترجمه کردند. این کتاب شامل ۱۳ مقاله و حاوی ۴۶۵ قضیه دربارهٔ هندسه مسطحه، هندسه فضایی، نظریه اعداد و جبر مقدماتی هندسی است. قضایای معروف این کتاب: آلگوریتم اقلیدسی (برای تشخیص متباین بودن دو عدد)، قضیه اصلی حساب و اثبات این که تعداد اعداد اول بی‌نهایت است. احتمالاً این کتاب تدوینی منظم و زیبا از آثار ریاضیدانان قبل از اقلیدس به همراه کارهای خود اقلیدس است و شاید قصد او از تألیف این کتاب این بوده‌است که یک کتاب درسی مقدماتی در ریاضی عمومی بنویسد. البته اقلیدس در ریاضیات عالی نیز کتاب‌های درسی تألیف کرده‌است. - به نظر می‌رسد که مهم‌ترین کار او در این کتاب آن باشد که سعی کرده‌است تمام ۴۶۵ قضیه را فقط بر اساس ۱۰ اصل موضوع اثبات کند. ارشمیدس: اروپائیان معمولاً «ارشمیدس»، «نیوتن» و «گاوس» را بزرگترین ریاضیدانان همه اعصار می‌دانند. اگر این مطلب درست هم نباشد، ظاهراً می‌توان گفت ارشمیدس بزرگترین ریاضیدان عهد باستان بود. حدوداً در سال ۲۸۷ قبل از میلاد متولد شد و به احتمال قوی مقداری از عمر خود را در دانشگاه اسکندریه گذراند. دربارهٔ زندگانی ارشمیدس مطالب جالبی نقل شده‌است: دفاع از سیراکوز (شهر ارشمیدس) در مقابل سپاه روم و شکست رومیان فقط به وسیله اهرم‌ها و جرثقیل‌ها و نیز تمرکز ذهنی بسیار قوی به‌طوری‌که هنگام حل مسئله از اطراف خود کاملاً بی‌خبر می‌شد- و همین بی‌خبری بالاخره باعث مرگ او شد. ارشمیدس سه کتاب دربارهٔ هندسه مسطحه، دو کتاب دربارهٔ هندسه سه بعدی، دو مقاله دربارهٔ نظریه اعداد، دو رساله (نامه) دربارهٔ ریاضیات کاربردی (در واقع فیزیک ریاضی) و یک رساله (نامه) تحت عنوان «روش» دارد که روش او را در کشف بسیاری از قضایا شرح می‌دهد. این رساله در سال ۱۹۰۶ میلادی کشف شد. مقاله‌های ارشمیدس شاهکارهایی از بیان ریاضی هستند و تا حد قابل توجهی به مقاله‌های امروزی شباهت دارند. او در بسط اولیه مفاهیم انتگرال برای محاسبه مساحتها و حجم‌ها نقش اساسی دارد. او روش کلاسیک برای محاسبه «عدد پی» را کشف کرد. در این روش با ترسیم چند ضلعی‌های محاطی و محیطی برای دایره واحد، به تقریب جالبی برای «عدد پی» می‌رسیم. ارشمیدس - به ادعای ابوریحان بیرونی - کاشف فرمول مشهور «هرون» برای مساحت مثلث برحسب سه ضلع آن است. او در رساله‌ای دربارهٔ مقدار تقریبی دانه‌های شنی که کره‌ای به مرکز زمین و به شعاع زمین تا خورشید را پر نماید، صحبت کرده‌است. در رساله دیگری سعی می‌کند که یک معادله هشت مجهولی با مقادیر صحیح را که به وسیله هفت معادله خطی به هم مربوط شده‌اند، حل کند و یکی از جواب‌های این معادله عددی است با بیش از «۲۰۶۵۰۰» رقم!!

آپولونیوس: هندسه دان کبیر باستان و واضع رسمی مقاطع مخروطی که نام‌های یونانی بیضی، سهمی و هذلولوی به وسیله او به این شکل‌های هندسی داده شده‌است. دیوفانتوس: این ریاضیدان، دارای نبوغ عجیبی در نظریه جبری اعداد بود و مسائل ارائه شده توسط او در بسط جبر و نظریه اعداد اهمیت بسیاری دارند. پاپوس: شارح بزرگ آثار هندسه دانان یونانی که ما قسمت عمده دانش خود را از هندسه یونان باستان، به رساله بزرگ او مدیونیم.

=== ریاضیات چین و هند ===

==== چین ====
مختصری از تاریخ ریاضیات چین از حدود ۱۰۰۰ قبل از میلاد تا سده ۱۴ بعد از میلاد:- چینیان باستان با حساب دهدهی آشنایی داشتند و از آن در محاسبات علمی و روزمره استفاده می‌کردند.

- ابداع مربع‌های جادویی

- آن‌ها با قضیه فیثاغورث -بدون برهان - آشنایی کامل داشتند.

- آن‌ها «قضیه چینی» که قضیه مشهوری در جبر و دربارهٔ حل معادلات همنهشتی خطی است، به جهان ریاضیات تقدیم کردند.

- در بعضی از آثار آنها، محاسبه درست «عدد پی» تا ۶ رقم اعشار دیده می‌شود.

- احتمالاً مثلث حسابی معروف «خیام-پاسکال»، اولین بار به وسیله چینیان ارائه شده‌است.

مختصری از تاریخ ریاضیات هندی از حدود ۴۵۰ میلادی تا سده ۱۴ بعد از میلاد:

- معرفی عمل ضرب به شیوه کنونی

- به دست آوردن مجموع تصاعدهای حسابی و هندسی

- آشنایی با اعداد منفی و گنگ

- حل کامل معادلات درجه ۲

- یافتن همه جواب‌های بعضی از معادلات سیاله

- به دست آوردن فرمول هرون برای محاسبه مساحت مثلث و تعمیم آن به یک چهار ضلعی محاطی-

رجوع شود به صفحه ۲۲۵ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز.

- ساختن جداولی برای سینوسها

==== هند ====
- سه ریاضیدان معروف قدیم هند «برهمگوپته»، «مهاویره» و «بهاسکره» هستند که به ترتیب در قرون هفتم، نهم و دوازدهم میلادی می‌زیستند. ریاضیدان معروف قرون جدید هند، نابغه هندی «رامانوجان» است که در نظریه اعداد کارهای بزرگی انجام داد و حدوداً ۳۳ سال بیشتر عمر نکرد.

- سخن ابوریحان بیرونی: «ریاضیات هندی مخلوطی از صدف و خزف یا ممزوجی از درّ پر بها و سنگریزه بی‌بها است» (این جمله به خوبی نشان دهنده تسلط ریاضیدانان مسلمان است بر ریاضیات زمان خود که می‌توانستند ریاضیات عالی را از مقدماتی تمییز و دربارهٔ آن اظهار نظر کنند).

== ریاضیات اسلامی ==

=== شیوه رسمی ریاضیات در جهان اسلام ===
ریاضیات در ایران و جهان اسلام به شیوه رسمی و مدون از محمد بن موسی خوارزمی&lt;ref&gt;خوارزمی پدرعلم جبر است و کارهای مهمی در ریاضیات و علم های دیگر ریاضیات انجام داده است وی همچنین ریاضی دان،منجم،جغرافی دان و مورخ ایرانی است.&lt;/ref&gt;آغاز شد.در آثار خوارزمی شیوه های ریاضیاتی ایرانی،یونانی وهندی ترکیب شده است.مهم ترین کتاب خوارزمی به اسم جبر المقابله است. خوارزمی همچنین جدولی برای قاعده سینوس ها،کسینوس ها،تانژانت ها و کتانژانت ها رسم کرده است. او مطالعاتی هم درمورد الگوریتم ها داشته است که به زبان لاتی(الگوریسم)خوانده می شود و در زبان عربی(الخوارزمی)گفته می شود.خوارزمی توانست سیستم عددی اروپا و جهان را به صورتی جدید تغییر دهد و اعداد لاتین رابه اعدادجدیدی مثل6،7،8تغییر دهد واین تغییر نقطه ای برای پیشرفت ریاضیات گردید.

=== بعد از خوارزمی ===
بعد از خوارزمی،یک ریاضیدان عرب به اسم ابویوسف کندی به تکمیل جبر روی آورد. در عصر ترجمه، آثار آپولونیوس، نیکوماخوس،افلاطون و ارشمیدس به عربی ترجمه شد. ابوالوفا بوزجانی، نخستین شارح کتاب خوارزمی بود، که به تکمیل مبحث معادلات پرداخت.او نخستین کسی بود که مثلثات کروی را ابداع نمود. ابن‌سینا، از دیگر ریاضیدانان مسلمان بود؛ وی شرحی بر آثار دیوفانت نوشت و تحقیقاتی هم در هندسه نمود و در مثلثات تحقیقاتی هم کرد. نصیرالدین طوسی، رئیس رصدخانه مراغه نیز کتاب‌هایی در زمینه ریاضی تألیف نمود ودر مورد علم مثلثات و مثلثات کروی تحقیقاتی هم کرد که به او پدر علم مثلثات کروی را گفتند. عمر خیام نیز تألیفات ریاضی مشتمل بر تحقیق در اصل موضوع اقلیدس و حساب و جبر دارد خیام مثلثی را ابداع کرد که خانه های آن به صورت شش ضلعی است. غیاث‌الدین جمشید کاشانی، کاشف حقیقی کسر اعشاری بوده و اندازه صحیح عدد پی را به دست آورده بود؛ کتاب مفتاح‌الحساب وی به زبان عربی‌است. معروف‌ترین چهره ریاضی در سده دهم، بهاءالدین عاملی است. در نزد مسلمین، ریاضیات به علم عدد، هندسه و جبر تقسیم می‌شده‌است.

ریاضیات را درچشم انداز اسلامی همچون دروازه‌ای میان جهان محسوس و جهان معقول می‌شمارند. اگر اعداد و اشکال را به معنای فیثاغورسی آن در نظر بگیریم وسیله‌ای می‌شود که با آن کثرت از وحدت حکایت می‌کند و به همین دلیل مسلمانان همواره به ریاضیات تمایل داشته‌اند. تحصیل علوم ریاضی در اسلام تقریباً همان موادی را شامل بوده‌است که مراحل چهارگانه لاتینی را تشکیل می‌داده‌اند و بر آن معدودی موضوعات فرعی را نیز می‌افزوده‌اند و مواد اصلی آن حساب، هندسه، نجوم و موسیقی بوده‌است که اغلب فیلسوفان و دانشمندان مسلمان این ۴ اصل را می‌آموختند.

علم نجوم از این جهت در ریاضیات مهم بوده‌است که در مسایلی چون تقویم و گاهشماری کمک می‌کرده‌است همچنین برای تعیین اوقات نمازهای روزانه و جهت قبله اهمیت داشته‌است. سنت نجومی اصل از طریق کتاب المجسطی بطلمیوس از یونانیان به جهان اسلام رسید. منجمان مسلمان مکتب نجوم ریاضی بطلمیوسی را ادامه دادند به جز این مکتبی هندی بود که معتقدات آن دربارهٔ نجوم، حساب، جبر، مقابله و هندسه از کتب سانسکریت به نام سدهانت به عربی ترجمه شد و نتیجهٔ تأثیر اندیشه‌های هندی تکامل و انتظام یافتن علم جبر و مقابله بود. با آنکه مسلمانان با کتاب دیوفانتوس آشنایی داشتند اما شکی نیست که علم جبر ریشهٔ هندی داشته‌است و علمای اسلامی از ترکیب این ریشهٔ هندی با روش‌های یونانی علم جبر و مقابله را به وجود آورده‌اند. علم جبر را همراه با استعمال ارقام هندی می‌توان مهم‌ترین علمی دانست که مسلمانان بر مجموعهٔ ریاضیات قدیم افزوده‌اند. در جهان اسلام دو سنت ریاضی یونانی و هندی با یکدیگر تلاقی کردند و در ساختمان واحدی متحد شدند که در آن جبر و هندسه و حساب رشد کردند. تاریخ ریاضیات در اسلام با محمد بن موسی خوارزمی آغاز می‌شود که در آثار وی سنت‌های ریاضی یونانی و هندی با هم ترکیب شده‌اند. او چندین اثر از خود بر جای گذاشته‌است که کتاب المختصر فی حساب الجبر والمقابله مهم‌ترین آن‌ها بوده‌است. این کتاب چندین بار به نام لیبرالگوریسمی یعنی کتاب خوارزمی به لاتینی ترجمه شده‌است و کلمه انگلیسی الگوریسم به معنای حساب و محاسبه از آن گرفته شده‌است.

به دنبال خوارزمی می‌توان از کندی نخستین فیلسوف اسلامی نام برد که ریاضیدان شایسته‌ای نیز بوده و از شاگردان او می‌توان ماهانی که کار تکمیل جبر را ادامه داد نام برد. از دیگر ریاضیدانان می‌توان ابوالوفاء بوزجانی که شارح کتاب جبر خوارزمی است نام برد که معادلات درجه چهارم را حل کرده‌است ابن سینا را هم باید به عنوان یک ریاضیدان معرفی کرد و از کسانی که با او هم‌زمان بوده‌اند می‌توان بیرونی را نام برد که چند تألیف ریاضی و نجومی مهم از دورهٔ قرون وسطایی اسلام بر جای گذاشته‌است. در دورهٔ سلجوقیان چندین ریاضیدان بزرگ وجود داشته‌اند که بزرگترین آن‌ها خیام بود که با عده‌ای دیگر از ریاضیدانان به گاهشماری و اصلاح آن می‌پرداختند. پس از حملهٔ مغولان بار دیگر علوم ریاضی، جوانی را از سر گرفت و برجسته‌ترین چهرهٔ این دوره خواجه نصیرالدین طوسی است. پس از سده هفتم تحقیقات ریاضی رفته رفته کاهش یافتند. برای آوردن خلاصه‌ای از کارهایی که علمای مسلمان در ریاضیات کرده‌اند باید گفت که مسلمانان قبل از هر چیز نظریه اعداد را تکمیل کردند و به دنبال آن مفهوم عدد را گسترش دادند و همچنین روش‌های محاسبه عددی نیرومندی ارائه کردند. در رشته‌های عددی و کسرهای اعشاری و شاخه‌های مشابهی از ریاضیات وابسته به عدد کار کردند. علم جبر را گسترش دادند و به آن نظم و ترتیب بخشیدند. همچنین علم مثلثات نخستین بار توسط خواجه نصیرالدین طوسی در کتاب شکل القطاع او به حد کمال رسید.

در اصطلاحات ریاضی اروپا شواهد روشن از نفوذ علوم عرب هست. از جمله مهم‌ترین کلمات ریاضی که از عربی گرفته شده‌است لفظ زیرو (صفر) است. صفر در ریاضیات آنقدر مهم است که می‌توان گفت اگر صفر نبود می‌بایست ارقام را در ستون‌های جدا به آحاد، عشرات و… مرتب کنیم و اولین کسی که ارقام از جمله صفر را رواج داد و ارقام را به دلیل ریشه هندی آن «ارقام هندی» نامید خوارزمی بود.

لئوناردو فیبوناتشی کتابی منتشر کرد که رواج ارقام عربی و آغاز ریاضیات اروپایی را در پی داشت.

کهن‌ترین کتابی که در مورد علم حساب در عالم اسلام نوشته شده‌است الجمع و التفریق بالحساب الهند است که توسط خوارزمی نوشته شده‌است و از طریق همین کتاب مسلمانان با شیوه عددنویسی هندی آشنا شدند. خوارزمی همچنین در پدیدآوردن دانش جبر نقش فراوانی داشت مسلمانان با کاربرد حروف به جای اعداد مهم‌ترین دستاورد علم جبر را نیز رقم زدند. طبقه‌بندی معادلات جبری یکی از مهم‌ترین گام‌های دانشمندان اسلامی برای منظم کردن علم جبر و تعبیر علم بخشیدن به آن است. همچنین نقش خیام در حل معادلات درجه سوم درخور توجه است. در عین حال ریاضیدانان اسلامی نخستین کسانی بودند که جبر را به علم هندسه وارد کردند و از طریق معادلات جبری به حل مسائل هندسی پرداختند.

مدتی پس از خوارزمی ابوالحسن احمد بن ابراهیم اقلیدسی، ریاضیدان دمشقی الاصل، کسرهای اعشاری را در کتاب خود دربارهٔ ریاضیات هندسی به نام الفصول فی الحساب الهندسی ابداع کرد. یکی دیگر از گام‌های مهم مسلمین در حوزه اعداد طرح اعداد منفی بود که برای نخستین بار در عالم اسلام توسط ابوالوفاء بوزجانی مطرح شد که برای نامیدن آن از واژهٔ «دِین» استفاده کرده‌است. در دیگر بخش‌های ریاضی از جمله مثلثات و هندسه دانشمندان اسلامی آثار گرانبهایی از خود به یادگار گذاشته‌اند. در این بخش‌ها دانشمندان اسلامی افزون بر بسط روابط حاکم بر مثلثات یونانی خود به یافته‌های جدیدی نیز رسیدند یکی از این یافته‌ها در کتاب شکل القطاع از خواجه نصیرالدین طوسی متبلور می‌شود. او در این کتاب به بسط و گسترش جدول‌های مثلثاتی و تبیین دقیقی از روابط حاکم بر زوایا در اشکال هندسی پرداخته‌است.

== ریاضیات مدرن ==
ریاضیات مدرن از قرن دوازدهم آغاز شد و تا الان در تمامی نقاط جهان ادامه دارد.

=== قرن دوازدهم میلادی ===
از اوایل سده دوازدهم میلادی، آثار یونانی و اسلامی به اروپای غربی انتقال یافت و این سده در تاریخ ریاضیات، به سده مترجمین بدل شد. اصول اقلیدس، المجسطی بطلمیوس و جبر خوارزمی به لاتین ترجمه شدند و دستگاه شمار هندی-عربی در اروپای غربی رواج یافت.

=== قرن سینزدهم تا چهاردهم ===
در سده سیزدهم، شاهد ظهور دانشگاه‌های پاریس، آکسفورد، کیمبریج، پادوآ و ناپل است که بعضی از آن‌ها به تقلید از دانشگاه‌های اسلامی بنا شده‌است.

در سده چهاردهم که به سده «مرگ سیاه» معروف است، کار قابل ملاحظه‌ای در ریاضیات انجام نشد جز نشانه‌هایی از پیدایش هندسه مختصاتی نوین و نیز مفاهیم اساسی پیوستگی و گسستگی و نیز مفاهیم بی‌نهایت کوچک و بزرگ.

=== قرن پانزدهم تا شانزدهم ===
تاریخ سده پانزدهم با آغاز رنسانس اروپا، زوال امپراطوری بیزانس به دست مسلمین، انتشار آثار کلاسیک یونان به زبان اصلی، اختراع صنعت چاپ که نشر دانش را با سرعتی بی‌سابقه میسر کرد و کشف قاره آمریکا که کشتیرانی دور کره زمین و فعالیت‌های تجاری را افزونتر کرد، عجین شده‌است. این وقایع خود به خود بر پیشرفت ریاضیات اثر بسیار نهادند. در این سده کم‌کم شاهد ظهور علامات + و -- (جمع و تفریق) و نیز استفاده از علاماتی برای مختصرنویسی ریاضی هستیم.

سده شانزدهم شاهد یکی از کارهای مهم در تاریخ ریاضیات است. در این سده نمادگرایی در جبر آغاز شد. نماد معروف تساوی در این سده به کار گرفته شد که علامت یک جفت پاره خط موازی و مساوی است. به قول «رکورد» که اولین بار آن را به کار برد، هیچ دو شیئی نمی‌توانند مساوی تر از این باشند. نماد رادیکال نیز در همین سده ابداع شد. احتمالاً این نماد به جهت شباهت آن به r و به نشانه radix (ریشه) به کار گرفته شده‌است. در سده شانزدهم اعداد منفی نیز مورد توجه قرار گرفتند.

در این سده، از ریاضیات برای مقاصد اعتقادی نیز استفاده می‌شد. به عنوان مثال، از ریاضی حتی برای تفسیر آیات انجیل و تورات استفاده کردند.

=== قرن هفدهم میلادی ===
این سده یکی از مهم‌ترین سده‌ها در تاریخ ریاضیات است زیرا اساساً دامنه تحقیقات گسترده در ریاضی، در همین سده بر بشر گشوده شد، شاید به دلیل آزادی‌های فکری بیشتر، پیشرفت‌های سیاسی، اقتصادی و اجتماعی و در نتیجه رفاه بیشتر زندگی-به ویژه در مقابل سرما و تاریکی شمال اروپا. پیشرفت علم ریاضی در این سده آنقدر وسیع و گوناگون است که حتی نوشتن خلاصه‌ای از آن نیز مثنوی هفتاد من کاغذ خواهد شد. به ناچار باید به گزینش بعضی از کارهای اصیلتر و مهم‌تر در تاریخ ریاضی این سده تن داد. از مهم‌ترین اکتشافات - و شاید هم اختراعات - ریاضی در این سده می‌توان به مطالب زیر اشاره کرد:

الف) کشف لگاریتم

ب) تدوین علامات و نمادگذاری‌های کنونی جبری

ج) گشوده شدن پهنه جدیدی در هندسه محض به ویژه هندسه تصویری

د) آغاز اتصال جبر و هندسه با کشف هندسه تحلیلی ه) پیشرفتی شگرف در نظریه اعداد و نیز تولد نظریه احتمال و) کشف یکی از بزرگترین دستاوردهای بشر یعنی حساب دیفرانسیل و انتگرال شاید بهترین راه برای بررسی تاریخ ریاضی این سده، شرح مختصری از زندگانی ریاضیدانان برجسته سده هفدهم باشد.

=== قرن هجدهم میلادی ===
این سده را می‌توان سده بهره‌برداری از حسابان نامید. وسیله‌ای که بلافاصله پس از کشف، قادر به حل مسائلی شد که قبل از آن تسخیر ناپذیر می‌نمودند. گستردگی کاربردهای آن حتی در مکانیک و نجوم، چنان اعجاب‌آور بود که اکثر ریاضیدانان این سده را به خود جذب کرد و باعث تألیف مقالات بسیار شد. متأسفانه دقت کافی نیز در اثبات قضایا منظور نمی‌شد و کم‌کم دومین بحران بزرگ تاریخ ریاضیات شکل گرفت (اولین بحران، کشف عدد گنگ در یونان باستان بود). این بحران، ورود بعضی از تناقضات عجیب و غریب در ریاضیات بود. مشکلی که بخش بزرگی از فعالیت‌های ریاضیدانان سده نوزدهم، معطوف به حل آن شد. سده هجدهم شاهد رشد بیش از پیش نظریه احتمال، معادلات دیفرانسیل، هندسه تحلیلی، نظریه اعداد و نظریه معادلات بود. ضمناً در این سده معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، هندسه ترکیبی و هندسه دیفرانسیل نیز پا به عرصه وجود گذاشتند.

== منابع ==
تاریخ ریاضیات/ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>aa5q5vmramqc68fmotzblg5ivj0eldb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/آنالیز حقیقی</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36035</id>
    <revision>
      <id>117733</id>
      <parentid>117535</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:52:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>افزودن سرصفحه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6276" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط|ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط}}

آنالیز حقیقی یا آنالیز واقعی یکی از موارد آنالیز ریاضیات است که به مباحث عددهای حقیقی و محاسبات آنها به همراه تغییرات آنها می پردازد.این علم حتی موارد توابع حقیقی را نیز بررسی می کند.آنالیز حقیقی برگرفته از آنالیز مختلط است.چون اعداد حقیقی زیر مججوعه اعداد مختلط است.

== محدوده ==

=== ساخت اعداد حقیقی ===
قضایای تحلیل واقعی بر ویژگی های سیستم اعداد حقیقی تکیه دارند که باید ایجاد شوند. سیستم اعداد واقعی شامل یک مجموعه غیرقابل شمارش (R)، همراه با دو عملیات باینری با علامت + و ⋅ و یک مرتبه با &lt; . عملیات، اعداد واقعی را یک فیلد و همراه با ترتیب، یک فیلد مرتب شده می سازد. سیستم اعداد واقعی یک ''فیلد مرتب کامل'' منحصر به فرد است ، به این معنا که هر فیلد مرتب کامل دیگری نسبت به آن هم شکل است. به طور شهودی، کامل بودن به این معنی است که هیچ شکافی در اعداد واقعی وجود ندارد. این ویژگی اعداد واقعی را از سایر فیلدهای مرتب شده متمایز می کند (به عنوان مثال، اعداد گویا[Q]) و برای اثبات چندین ویژگی کلیدی توابع اعداد حقیقی بسیار مهم است. کامل بودن واقعی ها اغلب به راحتی به عنوان ویژگی ''حداقل کران بالا بیان می شود'' (به زیر مراجعه کنید).

=== ترتیب خواص اعداد حقیقی ===
اعداد حقیقی دارای ویژگی‌های نظری شبکه‌ای مختلفی هستند که در اعداد مختلط وجود ندارند. همچنین اعداد حقیقی یک فیلد مرتب تشکیل می دهند که در آن مجموع و حاصل ضرب اعداد مثبت نیز مثبت است. علاوه بر این، ترتیب اعداد واقعی کل است و اعداد واقعی دارای کمترین خاصیت کران بالایی هستند :&lt;blockquote&gt;''هر زیر مجموعه'''''R''' ''غیر خالی ازکه کران بالایی دارد دارای حداقل کران بالایی است که آن هم یک عدد واقعی است.''&lt;/blockquote&gt;این ویژگی‌های نظری نظم منجر به تعدادی نتایج اساسی در تحلیل واقعی می‌شود، مانند قضیه همگرایی یکنواخت ، قضیه مقدار متوسط ​​و قضیه مقدار متوسط .

با این حال، در حالی که نتایج در تجزیه و تحلیل واقعی برای اعداد واقعی بیان می شود، بسیاری از این نتایج را می توان به سایر اشیاء ریاضی تعمیم داد. به طور خاص، بسیاری از ایده‌ها در تحلیل تابعی و نظریه عملگرها، ویژگی‌های اعداد حقیقی را تعمیم می‌دهند - چنین تعمیم‌هایی شامل نظریه‌های فضاهای Riesz و عملگرهای مثبت است . همچنین، ریاضیدانان بخش های واقعی و خیالی توالی های پیچیده را در نظر می گیرند یا با ارزیابی نقطه ای دنباله های عملگر .

== کلیات ==
ایده های مختلف از تحلیل واقعی را می توان از خط واقعی به زمینه های گسترده تر یا انتزاعی تر تعمیم داد. این تعمیم ها تحلیل واقعی را به سایر رشته ها و زیرشاخه ها پیوند می زند. به عنوان مثال، تعمیم ایده‌هایی مانند توابع پیوسته و فشردگی از تحلیل واقعی به فضاهای متریک و فضاهای توپولوژیکی ، تحلیل واقعی را به حوزه توپولوژی عمومی متصل می‌کند ، در حالی که تعمیم فضاهای اقلیدسی محدود به آنالوگ‌های بی‌بعدی منجر به مفاهیم فضاهای باناخ شد. و فضاهای هیلبرت و به طور کلی به تحلیل عملکردی . جورج کانتوربررسی مجموعه ها و توالی اعداد حقیقی، نگاشت بین آنها و مسائل اساسی تحلیل واقعی، نظریه مجموعه های ساده لوحانه را به وجود آورد . مطالعه مسائل مربوط به همگرایی برای دنباله ای از توابع در نهایت منجر به تجزیه و تحلیل فوریه به عنوان زیرشاخه ای از آنالیز ریاضی شد. بررسی پیامدهای تعمیم تمایز پذیری از توابع یک متغیر واقعی به یک متغیر مختلط، مفهوم توابع هولومورفیک و شروع تحلیل پیچیده را به وجود آورد.به عنوان یکی دیگر از زیرشاخه های متمایز تحلیل. از سوی دیگر، تعمیم ادغام از مفهوم ریمان به معنای لبگ منجر به تدوین مفهوم فضاهای اندازه گیری انتزاعی شد که یک مفهوم اساسی در نظریه اندازه گیری است . در نهایت، تعمیم ادغام از خط واقعی به منحنی ها و سطوح در فضای ابعاد بالاتر، باعث مطالعه حساب برداری شد که تعمیم و رسمی سازی بیشتر آن نقش مهمی در تکامل مفاهیم اشکال دیفرانسیل و منیفولدهای صاف (متمایز) ایفا کرد. در هندسه دیفرانسیل و سایر حوزه های هندسه نزدیک به هم وتوپولوژی .

== منابع ==
ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>ntf3b8q3dm1z76l178unb6rq97fqlvr</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/چهاروجهی منتظم</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36043</id>
    <revision>
      <id>117714</id>
      <parentid>117557</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:48:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5156" xml:space="preserve">چهاروجهی منتظم،یک جسم هندسی است که از چهار تا مثلث  متساوی الاضلاع است و از خانواده چندوجهی ها است و جزء اجسام افلاطونی است. چهاروجهی دارای یک راس مرکز،5راس ودارای 6راس،3وجه است و یک قاعده است.در احجام هندسی اگر یک جسم هندسی یک قاعده و راس مرکزی داشته باشد،این جسم هرمی است.پس چهاروجهی یک جسم هرمی است.می توان این نتیجه را گرفت که چهاروجهی یک جسم هرمی-چندوجهی-افلاطونی است.چهاروجهی تنها شکلی نیست که از وجه های مثلث متساوی الاضلاع داشته باشد.بیست وجهی منتظم نیز دارای وجه های مثلث متساوی الاضلاع است.
[[پرونده:Tetrahedron.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Tetrahedron.svg|چپ|بندانگشتی|230x230پیکسل|چهاروجهی.]]

== تشکیل و شکل فیزیکی چهاروجهی ==
با به‌هم رسیدن سه سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، چهاروجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر ۳ × ۶۰° = ۱۸۰° می‌شود که از ۳۶۰° کمتر است، بنابراین چهاروجهی منتظم جسم افلاطونی است. اگر هریک از لیگاندها در روی هر چهار گوشه یک چهار وجهی قرار گیرد و اتم مرکزی وسط چهار وجهی قرار گیرد شکل کمپلکس چهار وجهی است.

چهاروجهی منتظم با خودش مزدوج است. یعنی با وصل کردن نقطهٔ وسط وجه‌های آن یک چهاروجهی کوچکتر می‌توان ساخت (تعداد وجوه و رئوس چهاروجهی با هم برابر است). افلاطون و فیثاغوری‌ها باور داشتند که چهاروجهی منتظم، که نوک‌های تیز دارد، ساختاردهندهٔ عنصر آتش در هستی است.کپلر باور داشت که چهاروجهی منتظم مبین فاصلهٔ بین مشتری و مریخ در منظومه شمسی است.

مجموع زاویه های چهاروجهی برابر با°۷۲۰درجه است.

== حجم ==

=== پیدا کردن مساحت قاعده و ارتفاع چهاروجهی ===

==== مساحت قاعده ====
برای پیدا کردن حجم چهاروجهی به مساحت قاعده نیاز است که قاعده آن به شکل مثلث متساوی الاضلاع است. پس مساحت مثلث متساوی الاضلاع را بدست می آوریم.

ابتدا ارتفاع قاعده را به روش فیثاغورس بدست می آوریم

&lt;math&gt;h'^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=\frac{4a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}&lt;/math&gt;

در اینجا مثلث را به دو مثلث قائم الزاویه تبدیل می کنیم و ضلع قاعده نصف می شود و به همین دلیل نصف قاعده ضلع مجاور و ضلعaوتر است وhارتفاع است.

ارتفاع اینگونه بدست می آید

&lt;math&gt;h'=\frac{\sqrt{3}a}{4}&lt;/math&gt;

مساحت قاعده به این صورا بیان می گردد

&lt;math&gt;A=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}&lt;/math&gt;

==== ارتفاع ====
برای محاسبه حجم به ارتفاع نیز لازم است. و ارتفاع بر این اساس نوشته می گردد.

&lt;math&gt;h=\frac{\sqrt{6}}{3}a=\sqrt{\frac23}\,a\,&lt;/math&gt;

=== حجم ===
با توجه به این که مساحت قاعده و ارتفاع را داریم اینگونه می نویسیم.

&lt;math&gt;V=\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}a^2}{4}{\sqrt{\frac{2}{3}}a}=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3&lt;/math&gt;

== مساحت ==
مساحت چندوجهی اینگونه است که مساحت چهاروجه چهاروجهی را محاسبه می کنیم.

مساحت مثلث متساوی الساقین اینگونه است.

&lt;math&gt;A'=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}&lt;/math&gt;

پس مساحت چهاروجهی برابر با این رابطه است.

&lt;math&gt;A={\sqrt{3}a^2}&lt;/math&gt;

=== رابطه مساحت چهاروجهی با چندضلعی منتظم ===
مثلث متساوی الاضلاع از خانواده چندضلعی های منتظم است.پس طبق مساحت چندضلعی اینگونه می نویسیم.

&lt;math&gt;A = \tfrac14na^2 \cot \frac{\pi}{n}={\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}3a^{2}\cot {\frac {\pi }{3}}}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}&lt;/math&gt;اگر کسر سه چهارم را در کتانژانت پی/nام  ضرب کنیم برابر با ربع رادیکال عدد سه می شود.

مساحت چهاروجهی طبق مساحت چندضلعی برابر با این رابطه است.&lt;math&gt;A = 4(\tfrac14na^2 \cot \frac{\pi}{n})={\displaystyle4({\tfrac{1}{4}}3a^{2}\cot {\frac {\pi }{3}}})={\sqrt{3}a^2}&lt;/math&gt;

== منابع ==
چندضلعی منتظم

مساحت و حجم

ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>3uxlcrltz0vpdb793o59tc1spozav9l</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/هشت وجهی منتظم</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36049</id>
    <revision>
      <id>117715</id>
      <parentid>117569</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:50:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7320" xml:space="preserve">هشت وجهی منتظم یک جسم سه بعدی بسته است که از هشت مثلث متساوی الاضلاع تشکیل شده است.این جسم از نوع چندوجهی ها به حساب می آید و جزء اجسام افلاطونى است.این نوع حجم از احجام هندسی است و دارای دو هرم به قاعده مشترک مربع دارد.این حسم دارای 12یال،6راس،8وجه و یک قاعده و دو راس مرکز دارد.این نوع حجم نیز از احجام هرمی است.می توان این نتیجه را گرفت،هشت وجهی یک افلاطونی-چندوجهی-هرمی است.
[[پرونده:Euclid_Octahedron_3.svg|بندانگشتی|هشت وجهی منتظم]]

== روابط هندسی ==

=== دوگان ===
[[پرونده:Dual_Cube-Octahedron.svg|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Dual_Cube-Octahedron.svg|242x242پیکسل]]

یک هشت و جهی منتظم که در مکعب محاط می شود. روابط های زیر برقرار است.

# ضلع هشت وجهی محاطی نصف وتر صفحه مکعب است.
# ارتفاع هشت وجهی برابر با ارتفاع مکعب است
# راس مرکز هشت وجهی در مرکز مربع ها قرار دارد.
# وجه مکعب با قاعده هشت وجهی ها باهم تشابه دارند.

=== هشت وجهی ستاره ای ===
[[پرونده:Compound_of_two_tetrahedra.png|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Compound_of_two_tetrahedra.png|راست|بندانگشتی|هشت وجهی ستاره ای دورن بر هشت چهاروجهی منتظم]]
این نوع جسم از نوع چندوجهی های ستاره ای است و اضلاع چهاروجهی ها برابر با اضلاع هشت وجهی است.رئوس هشت ضلعی در نقاط میانی لبه های چهار وجهی قرار دارد و از این نظر به چهار وجهی ارتباط دارد به همان صورتی که مکعب و ایکوزید وجه با سایر جامدات افلاطونی ارتباط دارند.

=== چندوجهی اسناب ===
همچنین می توان لبه های یک هشت وجهی را به نسبت میانگین طلایی تقسیم کرد تا رئوس یک ایکو وجهی مشخص شود . این کار با قرار دادن بردارها در امتداد لبه های هشت وجهی به گونه ای انجام می شود که هر وجه توسط یک چرخه محدود شود، سپس به طور مشابه هر یال را به میانگین طلایی در امتداد جهت بردار آن تقسیم می کنیم. پنج هشت ضلعی وجود دارد که هر ایکوساهدر معین را به این شکل تعریف می کنند و با هم یک ''ترکیب منظم'' را تعریف می کنند . به ایکوساهدری که به این روش تولید می شود، هشت وجهی اسناب یا اسنوب نامیده می شود 

== معادله هشت وجهی منتظم ==

=== مختصات دکارتی ===
یک هشت ضلعی با طول یال 2√ را می توان با مرکز آن در مبدا و رئوس آن بر روی محورهای مختصات قرار داد. مختصات دکارتی رئوس پس از آن است

: ( ± 1، 0، 0 )؛
: ( 0, ± 1, 0 );
: ( 0، 0، 1±).

در سیستم مختصات دکارتی ''x'' – ''y'' – ''z'' ، هشت وجهی با مختصات مرکزی ( ''a'' ، ''b'' ، ''c'' ) و شعاع ''r'' مجموعه ای از تمام نقاط ( ''x'' ، ''y'' ، ''z'' ) است به طوری که برابر با این رابطه است.

&lt;math&gt;\left|x - a\right| + \left|y - b\right| + \left|z - c\right| = r.&lt;/math&gt;

در این معادله ما از قدر مطلق برای مثبت شدن عبارات منفی استفاده می کنیم.

== حجم و مساحت ==

=== حجم ===
حجم یک هش وجهی اینگونه بدست می آید که ابتدا ارتفاع را بدست آوریم،بعد مساحت قاعده آن بدست آوریم هشت وجهی دارای دوهرم است و هرم ها دارای ارتفاع هستندو ارتفاع هشت وجهی مجموع دو ارتفاع این دو هرم است.قاعده دوهرم نیز باهم هم مساحت و مشترک است.

==== ارتفاع ====
برای بدست ارتفاع،ابتدا باید مثلث متساوی الاضلاع را به دو مثلث قائم الزاویه نصف کرد و قاعده را نیز نصف کرد. سپس طبق رابطه فیثاغورس می نویسیم.

&lt;math&gt;h'^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=\frac{4a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}&lt;/math&gt;

این ربطه،رابطه مجذور ارتفاع مثلث است که این گونه ارتفاع اصلی نوشته می شود.

&lt;math&gt;h'=\frac{\sqrt{3}}{2}a&lt;/math&gt;

و بعد ارتفاع را چون مثلث است نصف می کنیم و برابر با این رابطه است.

&lt;math&gt;h'=\frac{\sqrt{3}}{4}a&lt;/math&gt;

ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع نوعی وتر شده است و ضلع مجاور بعدی ضلع مربع است که نصف شده است.چون مربع اضلاع های عمود درون آن با اضلاع مربع و مثلث متساوی الاضلاع در هشت وجهی برابر است.پس ارتفاع اصلی به روش فیثاغورس زیر بیان می شود.

&lt;math&gt;h^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=\frac{2a^2}{4}&lt;/math&gt;

با جذر گرفتن ارتفاع اصلی با دوبرابر کردن و مجموع ارتفاع آن بدست می آید.

&lt;math&gt;h=\frac{\sqrt{2}}{2}a&lt;/math&gt;

==== مساحت قاعده ====
مساحت قاعده مربع است و مساحت مربع برابر با ضلع به توان دو است.

==== محاسبه حجم ====
با ضرب ثلث مساحت قاعده در ارتفاع حجم بدست می آید

&lt;math&gt;V=\frac{\sqrt{2}}{6}a^3&lt;/math&gt;

=== مساحت ===
مساحت هشت وجهی برابر است با مجموع مساحت هشت تا مثلث متساوی الاضلاع است.

مساحت مثلث متساوی الاضلاع برابر با این رابطه است.
&lt;math&gt;S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2&lt;/math&gt;
پس مساحت هشت وجهی این گونه است.

&lt;math&gt;A=2{\sqrt{3}}a^2&lt;/math&gt;

=== معادله مساحت و حجم ===
اگر یک هشت ضلعی کشیده شده باشد تا معادله را رعایت کند

&lt;math&gt;\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,&lt;/math&gt;

فرمول های سطح و حجم گسترش می یابد تا تبدیل شود

: &lt;math&gt;A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}},&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m.&lt;/math&gt;

به علاوه تانسور اینرسی هشت وجهی کشیده شده است

: &lt;math&gt;
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) &amp; 0 &amp; 0 \\
  0 &amp; \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2) &amp; 0 \\
  0 &amp; 0 &amp; \frac{1}{10} m (x_m^2-y_m^2)
\end{bmatrix}.
&lt;/math&gt;

اینها به معادلات هشت وجهی منتظم کاهش می یابند

&lt;math&gt;x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}.&lt;/math&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>gglcajzk05rnn1f7q55lzogbhbrelok</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/چندوجهی</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36050</id>
    <revision>
      <id>117708</id>
      <parentid>117568</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:41:20Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="23997" xml:space="preserve">'''چندوجهی''' یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.کره نیز از خانواده چندوجهی ها نیز به حساب می آید.مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح از احجام های هندسی هستند که چندوجهی نیز به حساب می آید.

== تعریف ها ==
چندوجهی های محدب تعریف شده اند و خود چندوجهی های محدب نیز خوش تعریف و قابل محاسبه حجم و مساحت هستند و می توان جز احجام هندسی به کار برد. اما چندوجهی های مقعر جز احجام غیر هندسی هستند و تعریف آنها سخت و خیلی سخت است و فرمول مساحت و حجم ثابت نیز ندارند.احجام هندسی و غیرهندسی از نوع چندوجهی ها هستند ولی تفاوت آنها در مقعر و محدب بودن آنها است.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
* تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زاویا ===

# '''زاویه مسطحه:'''به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''زاویه فضایی:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

== مفاهیم ==

=== چندوجهی محدب ===
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

=== اسکلت چندوجهی ===
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.

=== تور ===
تورِ یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.تور شکل گسترده چندوجهی است.

در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.

== ویژگی ها و مشخصه ها ==

=== تعداد وجوه چندوجهی ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron (چهاروجهی) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron (پنج‌وجهی) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron (شش‌وجهی) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

=== زاویه داخلی چندوجهی ===
چندوجهی ها از چندضلعی های منتظم درست شده اند. چندوجهی ها مثل چندضلعی ها زاویه داخلی و خارجی دارند.

زاویه داخلی چندوجهی ها بر اساس تعداد وجوه و اضلاع راس بدست می آید.

مثلا چهاروجهی چهار تا مثلث متساوی الاضلاع دارد و اندازه زاویه داخلی وجه آن 60 درجه است و مجموع زاویه داخلی آن برابر با180درجه است.ولی چهاروجهی مجموع زاویه داخلی فضایی اش برابر با720 درجه است.

پس مجموع زاویه داخلی و اندازه زاویه داخلی به ترتیب بر این اساس نوشته می گردد.

&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
180n[(n'-2)]
&lt;/math&gt;

&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{180}{n'}n[(n'-2)]
&lt;/math&gt;

=== شکل و گوشه ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.

==== پیکربندی وجه ====
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا &lt;sup&gt;۲&lt;/sup&gt;(۳٫۴)V است.

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود: 

&lt;math block=&quot;display&quot;&gt;
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
&lt;/math&gt;

که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است،  نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده،  بردار واحد عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب ضرب داخلی است.

=== نماد اشلفلی ===
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

== تقارن ==
بسیاری از چندوجهی‌های مورد مطالعه بسیار متقارن هستند، یعنی با انعکاس یا چرخش فضا، شکل ظاهری آنها تغییر نمی‌کند. هر یک از این تقارن‌ها ممکن است محل یک راس، وجه یا ضلع معین را تغییر دهد، اما مجموعه تمام رئوس (به همین ترتیب وجوه، اضلاع) بدون تغییر است. مجموعه تقارن‌های چندوجهی را گروه تقارن آن می‌نامند.

گفته می‌شود که تمام اجزایی که توسط تقارن‌ها بر روی یکدیگر قرار می‌گیرند، یک مدار تقارن را تشکیل می‌دهند. به عنوان مثال، تمام وجه‌های مکعب در یک مدار قرار دارند، در حالی که تمام ضلع‌ها در مدار دیگر قرار دارند. اگر تمام اجزا یک بعد معین، مثلاً تمام وجه‌ها، در یک مدار قرار بگیرند، گفته می‌شود که شکل در آن مدار متقارن است. به عنوان مثال، یک مکعب وجه -متقارن است، در حالی که یک مکعب بریده شده دارای دو مدار تقارن وجه است.

=== گروه‌های تقارنی ===
بسیاری از تقارن‌ها یا گروه‌های نقطه‌ای در سه بعد با نام تقارن مرتبط با چند وجهی نامگذاری شده‌اند. این گروه‌های تقارنی شامل:

* '''T''' – تقارن چهاروجهی دست‌سان:گروه چرخشی برای چهاروجهی منتظم
* '''T&lt;sub&gt;d&lt;/sub&gt;''' – تقارن چهاروجهی کامل:گروه تقارنی چهاروجهی منتظم
* '''T&lt;sub&gt;h&lt;/sub&gt;''' – تقارن پیریتووجهی:تقارن یک پیریتووجهی (دوازده وجهی با وجوه پنج ضلعی غیر منتظم)
* '''O''' – تقارن هشت وجهی دست‌سان:گروه چرخشی مکعب و هشت وجهی
* '''O&lt;sub&gt;h&lt;/sub&gt;''' – تقارن هشت وجهی کامل:گروه تقارنی مکعب و هشت وجهی
* '''I''' – تقارن بیست وجهی دست‌سان:گروه چرخشی بیست وجهی و دوازده وجهی
* '''I&lt;sub&gt;h&lt;/sub&gt;''' – تقارن بیست وجهی کامل:گروه تقارنی بیست وجهی و دوازده وجهی
* '''C&lt;sub&gt;nv&lt;/sub&gt;''' – تقارن هرم n-پهلو
* '''D&lt;sub&gt;nh&lt;/sub&gt;''' – تقارن منشور n-پهلو
* '''D&lt;sub&gt;nv&lt;/sub&gt;''' – تقارن پادمنشور n-پهلو

تقارن‌های دست‌سان تقارن انعکاسی ندارند از این رو دارای دو شکل متقارن هستند که بازتابی از یکدیگر هستند.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

مساحت و حجم

چندضلعی منتظم
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>f3xw9pjddp62vcrxkxnpvwlqlxmsa4w</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/ریاضیات کاربردی</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36051</id>
    <revision>
      <id>117726</id>
      <parentid>117663</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:42:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>افزودن سرصفحه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4194" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/شاخه‌های ریاضیات |ریاضیات پیشرفته/ریاضیات محض}}

'''ریاضیات کاربردی''' شاخه‌ای از ریاضیات است که از یک سو به کاربرد ریاضیات در رشته‌های دیگر (مدل) می‌پردازد، و از سوی دیگر سعی دارد مبانی نظری ریاضیات محض را به مبانی عملی نزدیک‌تر کند و به عنوان پلی بین ریاضیات محض و علوم کاربردی عمل کند. از زمینه‌های مختلف آن، می‌توان به آنالیز عددی، نظریهٔ معادلات دیفرانسیل، بهینه‌سازی، نظریه اطلاعات، نظریه بازی‌ها و فیزیک ریاضی اشاره کرد.معمولاً به واسطهٔ مدل‌های ریاضی ست که ریاضیّات را به زمینه‌های دیگر اعمال می‌کنند. به عنوان زیر شاخه‌های مهم ریاضیّات کاربردی، می‌شود از تحقیق در عملیات، دینامیک سیّالات، نسبیّت عددی (numerical relativity)، و معادلات ماکسول نام برد. همچنین بخش‌های مهمی از مباحث مربوط به علوم کامپیوتر و آمار و احتمال نیز در این شاخه مورد بحث قرار می‌گیرند. بخش عظیمی از ریاضیات گسسته نیز در ارتباط تنگاتنگ با بخش‌هایی از ریاضیات کاربردی است.

== در دانشگاه ==
در بعد آموزش دانشگاهی در ایران روش آموزش ریاضیات کاربردی در ایران در دانشگاه‌ها تفاوت‌های زیادی دارد و معمولاً بر مبنای قدرت هیئت علمی و زمینه تخصصی به یکی از گرایش‌های مرتبط با ریاضیات محض، علوم کامپیوتر، مهندسی صنایع، مدیریت و اقتصاد و آمار نزدیک می‌شود. عموماً سر فصل دروس ریاضی کاربردی در بیشتر دانشگاه‌ها هستهٔ اصلی دروس این شاخه‌ها را شامل می‌شود و بر اساس علاقه و نیاز دانشجویان و امکانات علمی دانشگاه دانشجویان می‌توانند در یکی از شاخه‌های مرتبط آموزش ببینند.

== رابطه ریاضیات کاربردی با ریاضیات محض ==
ریاضی کاربردی واسطه ریاضیات محض و مدل‌سازی ریاضی با رشته‌های مهندسی (به‌طور خاص در زمینه محاسبات مهندسی، هوش مصنوعی، خمش تیرها، طراحی قطعات مهندسی و ابزار دقیق با تحلیل تنش و کرنش، بررسی ویژگی‌های نانومواد و نانوکامپوزیت‌ها و مواد به صورت تابعی درجه‌بندی شده، برنامه‌ریزی حمل و نقل، تحلیل فرایندهای شکست و خوردگی در مواد)، رشته‌های مدیریت (برنامه‌ریزی ریاضی، طرح‌ریزی بهینه)، اقتصاد (اقتصاد ریاضی، تحلیل داده‌های مالی، پیش‌بینی بازار)، جغرافیا (تحلیل داده‌های کلان اقلیمی در پیش‌بینی و برنامه‌ریزی هوشمند در کشاورزی) و پزشکی (تعیین زمان جذب یک دارو، تعیین مدل ریاضی رگ‌ها برای ساخت میکرو-ماشین‌ها و کاربرد در دارورسانی هدفمند در بدن، تحلیل روند رشد سلولهای مشکل ساز و مدل‌سازی ریاضی مربوطه و …) است. پیش‌بینی می‌شود که داده‌های بزرگ نقش مهمی در شکل‌دهی طراحی مواد، محصولات، سیستم‌ها، ابداعاتی در صنایع سنگین، مهندسی محیط زیست و ژنوم‌ها ایفا کند.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>3itusw34fjkg6b2l3adgwp3q46aa9pp</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/ریاضیات محض</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36052</id>
    <revision>
      <id>117716</id>
      <parentid>117572</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:53:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4241" xml:space="preserve">'''ریاضیات محض یا ریاضیات نظری''' (به انگلیسی: &lt;bdi&gt;Pure Mathematics&lt;/bdi&gt;) به مطالعه مفاهیم ریاضیاتی مستقل از هر نوع کاربرد خارج از دایره ریاضیات می پردازد. این مفاهیم ممکن است از دغدغه های جهان واقعی نشأت گرفته باشند، و نتایج آن بعدها برای کاربرد های عملی مفید واقع شوند، اما ریاضیات محض ابتداءً از چنان کاربردهای عملی انگیزه نمی گیرد. در مقابل، جذابیت رهیافت محض در ریاضی مربوط به چالش‌ها و جنبه‌های زیباشناختی مفاهیم منطقیست. مفاهیمی که خود پیامدهایی از اصول پایه ای تری می باشند.

ریاضیات محض به مطالعه خواص و ساختار اشیاء مجردی چون گروه E8 در نظریه گروه‌ها می پردازد. این کار را می توان بدون تمرکز بر روی خواص مفاهیم جهان فیزیکی انجام داد.

در حالی که ریاضیات محض به عنوان یک فعالیت از زمان یونان باستان وجود داشته است، اما تحول و جنبه های استادانه ی آن در حدود ۱۹۰۰ میلادی ظهور پیدا کرد، بعد از این که نظریه هایی با خواص ضد شهودی (مثل هندسه های غیر-اقلیدسی و نظریه کانتور مجموعه های نامتناهی)، و پارادوکس های ظاهری (چون توابع پیوسته ای که هیچ جا دیفرانسیل پذیر نیستند، و پارادوکس راسل) کشف شدند. این پدیده ها نیاز به تجدید مفهوم ریاضیات استوار (یا ریاضیات دقیق و سفت و سخت) و بازنویسی تمام ریاضیات بر اساس آن شد، به گونه ای که استفاده سیستماتیک از روش های اصول موضوعه ای ترویج پیدا کرد. این مسئله منجر به این شد که بسیاری از ریاضی دانان بر روی ریاضیات به خودی خود، یعنی ریاضیات محض متمرکز شوند.

با این وجود، تقریباً تمام نظریه‌های ریاضیاتی انگیزه خود را از مسائل جهان واقعی یا از نظریات ریاضیاتی که کمتر جنبه تجریدی دارند می گیرند. همچنین، بسیاری از نظریات ریاضیاتی که به نظر می رسید کاملاً محض نباشند، در نهایت در حوزه های کاربردی، که عمدتاً فیزیک و علوم کامپیوتر بودند مورد استفاده قرار گرفتند. یکی از اولین مثال های آن توسط اسحاق نیوتون در قانون جهانی گرانش به کار گرفته شد. قانون گرانش نیوتون ایجاب می کند که سیاره ها در مدار هایی حرکت کنند که از جنس مقاطع مخروطی اند. مقاطع مخروطی خم های هندسی هستند که از زمان باستان توسط آپولونیوس مورد مطالعه قرار گرفته اند. مثالی دیگر مسئله تجزیه اعداد صحیح بزرگ است که الگوریتم رمزنگاری RSA بر اساس آن بنیان نهاده شده و به طور گسترده برای امنیت ارتباطات اینترنتی مورد استفاده قرار می گیرد.

اکنون ایجاد مرز مشخصی بین ریاضیات محض و کاربردی بیشتر جنبه فلسفی داشته یا مربوط به ترجیحات یک ریاضیدان خاص می شود و نمی توان به طور استوار و دقیق مرزشان را در ریاضیات تعیین کرد. به طور خاص، اتفاق عجیبی نخواهد بود اگر یک عضو دانشکده ریاضیات کاربردی خود را به عنوان ریاضیدان محض معرفی کند.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>5280r7oblynyuqeuiu8ccxm5netmtul</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/هرم</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36070</id>
    <revision>
      <id>117709</id>
      <parentid>117613</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:42:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12415" xml:space="preserve">'''هرم''' شکلی سه‌بعدی است کهاز اتصال نقطه‌ای درفضا به تمام نقاط شکلی بسته در صفحه به وجود می‌آید. به آن نقطه، رأس هرم و به آن شکل مسطح، قاعده هرم گفته می‌شود. قاعده هرم، چندضلعی دلخواه است و سایر وجه‌ها مثلث‌هایی همرس هستند که در رأس به یکدیگر متصل می‌شوند. خط قائمی که رأس را به قاعده متصل می‌کند، ارتفاع هرم نامیده می‌شود. از معروف ترین سازه های جهان به شکل هرم ،می توان به اهرام ثلاثه مصر اشاره کرد.

[[پرونده:Pyramid.svg|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Pyramid.svg|240x240پیکسل|Square Pyramid]]

== هشت قانون برای هرم ==

# هر هرم دارای یک راس مرکزی است
# حجم آن ثلث حجم منشور است
# هرمی که آن دایره است مخروط نام دارد
# وجه های هرم مثلثی است
# هرم دارای یال است
# چندوجهی هرمی چهاروجهی و هشت وجهی است
# هشت وجهی دارای دوهرم است
# برای محاسبه ارتفاع هرم از رابطه فیثاغورس استفاده می کنیم.

== اهرام راست منظم و نامنظم ==

=== &lt;code&gt;منظم&lt;/code&gt; ===
هرم راست با قاعده منتظم دارای اضلاع مثلث متساوی الساقین است که تقارن آنها C &lt;sub&gt;''n'' v&lt;/sub&gt; یا [1, ''n'' ] و با مرتبه 2 ''n'' است. می توان یک نماد Schläfli توسعه یافته∨ {''n''}، نشان دهنده یک نقطه(n)، متصل (متعامد افست) به یک چند ضلعی منظم ، {n} به آن داد. عملیات اتصال یک لبه جدید بین تمام جفت رئوس دو شکل به هم پیوسته ایجاد می کند. 

هرم '''مثلثی''' یا '''مثلثی''' با تمام وجوه مثلث متساوی الاضلاع تبدیل به چهار وجهی منظم می شود که یکی از جامدات افلاطونی است. مورد تقارن پایین '''هرم مثلثی''' C &lt;sub&gt;3v&lt;/sub&gt; است که دارای یک قاعده مثلث متساوی الاضلاع و 3 ضلع مثلث متساوی الساقین یکسان است. هرم های مربع و پنج ضلعی نیز می توانند از چند ضلعی های محدب منظم تشکیل شده باشند که در این صورت آنها جامدات جانسون هستند .

اگر تمام لبه های هرم مربعی (یا هر چند وجهی محدب) مماس بر یک کره باشند به طوری که میانگین موقعیت نقاط مماسی در مرکز کره باشد، آنگاه به هرم گفته می شود که متعارف است و نیمی از یک کره را تشکیل می دهد. هشت وجهی منظم .

اهرام با پایه شش ضلعی یا بالاتر باید از مثلث های متساوی الساقین تشکیل شده باشند. یک هرم شش ضلعی با مثلث های متساوی الاضلاع یک شکل کاملاً مسطح است و اگر هفت ضلعی یا بالاتر باشد، مثلث ها اصلاً به هم نمی رسند.

=== &lt;code&gt;نامنظم&lt;/code&gt; ===
هرم '''سمت راست''' را می توان به صورت∨P نام برد که در آن نقطه راس، ∨ عملگر اتصال و P چند ضلعی پایه است.

'''چهار ضلعی قائم الزاویه متساوی الساقین''' را می توان به صورت[(n)∨(n)∨{n}] به عنوان اتصال یک نقطه به یک قاعده مثلث متساوی الساقین ، به صورت [(n)∨(b)∨{n)یا {n}∨{n} به عنوان پیوستن (تغییرهای متعامد) دو بخش متعامد، یک دیسپنوئید دو ضلعی ، حاوی 4 وجه مثلث متساوی الساقین. دارای تقارن &lt;sub&gt;C1v&lt;/sub&gt; از دو جهت مختلف پایه-راس، و &lt;sub&gt;C2v&lt;/sub&gt; در تقارن کامل آن است.

یک '''هرم راست مستطیل شکل''' که به صورت 

[(n}∨{n}×(n}] نوشته می شود

یک '''هرم لوزی شکل''' به صورت (n}∨{n}]+{n}]، هر دو دارای تقارن C&lt;sub&gt;2v&lt;/sub&gt; هستند.

== حجم و مساحت ==

=== &lt;code&gt;حجم&lt;/code&gt; ===
حجم یک هرم (همچنین هر مخروطی) است، کهS مساحت قاعده و h ارتفاع از قاعده تا راس است. این برای هر چند ضلعی، منتظم یا غیرمنظم، و هر مکان راس کار می کند، مشروط بر اینکه h به عنوان فاصله عمود از صفحه حاوی قاعده اندازه گیری شود.

&lt;math&gt;V = \tfrac{1}{3} Sh&lt;/math&gt;

فرمول را می توان به طور رسمی با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال اثبات کرد. با تشابه، ابعاد ''خطی'' یک مقطع موازی با پایه به صورت خطی از راس به پایه افزایش می یابد. ضریب مقیاس (ضریب تناسب) است، یا، که در آن ''h'' ارتفاع و ''y'' فاصله عمود از صفحه پایه تا سطح مقطع است. از آنجایی که مساحت هر مقطع با مربع ضریب پوسته پوسته شدن شکل متناسب است ، مساحت سطح مقطع در ارتفاع ''y'' برابر است با&lt;math&gt;\tfrac{h - y}{h}&lt;/math&gt;یا&lt;math&gt;1 - \tfrac{y}{h}&lt;/math&gt; از آنجایی که ''b'' و ''h'' یاهر دو ثابت هستند و دو عبارت&lt;math&gt;b \tfrac{(h - y)^2}{h^2}&lt;/math&gt;و&lt;math&gt;\tfrac{b}{h^2} (h - y)^2&lt;/math&gt;داریم. حجم توسط انتگرال داده می شود

&lt;math&gt;\frac{b}{h^2} \int_0^h (h-y)^2 \, dy = \frac{-b}{3h^2} (h-y)^3 \bigg|_0^h = \tfrac{1}{3}bh.&lt;/math&gt;همین معادله،همچنین برای مخروط ها با هر پایه نگه می دارد. این را می توان با استدلالی مشابه استدلال فوق اثبات کرد; حجم یک مخروط را ببینید .

به عنوان مثال، حجم هرمی که قاعده آن یک چندضلعی منتظم ''n'' ضلعی با طول ضلع ''s'' و ارتفاع آن ''h'' است.

&lt;math&gt;V = \frac{n}{12}hs^2 \cot\frac{\pi}{n}.&lt;/math&gt;

این فرمول را می توان دقیقاً بدون حساب برای اهرام با پایه های مستطیلی نیز به دست آورد. یک مکعب واحد را در نظر بگیرید. از مرکز مکعب به هر یک از 8 راس خطوط بکشید. این مکعب را به 6 هرم مربع مساوی با سطح پایه 1 و ارتفاع 1/2 تقسیم می کند. حجم هر هرم به وضوح 1/6 است. از این نتیجه می گیریم که حجم هرم = 

(3/ارتفاع × مساحت پایه)

در مرحله بعد، مکعب را به طور یکنواخت در سه جهت به مقدار نامساوی باز کنید تا لبه های مستطیلی مستطیل شکل ''a'' , ''b'' و ''c'' با حجم جامد ''abc'' باشند. هر یک از 6 هرم داخل نیز به همین ترتیب گسترش یافته اند. و هر هرم دارای همان حجم ''abc'' /6 است. از آنجایی که جفت اهرام دارای ارتفاع های ''a'' /2، ''b'' /2 و ''c'' /2 هستند، می بینیم که حجم هرم = ارتفاع × مساحت پایه / 3 دوباره.

وقتی مثلث های ضلعی متساوی الاضلاع باشند، فرمول حجم به این صورت است

: &lt;math&gt;V = \frac{1}{12}ns^3\cot\left(\frac{\pi}{n}\right) \sqrt{1-\frac{1}{4\sin^2\tfrac{\pi}{n}}}.&lt;/math&gt;

این فرمول فقط برای ''n'' = 2، 3، 4 و 5 اعمال می شود. و همچنین مورد ''n'' = 6 را پوشش می دهد که حجم آن برابر با صفر است (یعنی ارتفاع هرم صفر است).

=== &lt;code&gt;مساحت&lt;/code&gt; ===
مساحت یک هرم برابر با این رابطه است.

&lt;math&gt;SA = B + \tfrac{1}{2}PL&lt;/math&gt;

Pیعنی محیط چندضلعی و Bیعنی مساحت قاعده هرم است.

Lکمان هرم است و فرمول آن بر اساس این رابطه نوشته می گردد 

&lt;math&gt;L = \sqrt{h^2 + r^2}&lt;/math&gt;

اگر قاعده هرم چندضلعی باشد بر اساس این رابطه نوشته می گردد

&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}na^2 \cot\frac{\pi}{n}.+\frac{1}{2}(an)L&lt;/math&gt;

anیعنی Pو محیط چندضلعی است.

== اهرام nبعدی ==
هرم 2 بعدی مثلثی است که توسط یک لبه قاعده متصل به یک نقطه غیرخطی به نام راس تشکیل شده است.

هرم 4 بعدی هرم چند وجهی نامیده می شود که توسط یک چند وجهی در یک ابر صفحه 3 فضایی 4 فضایی با یک نقطه دیگر از آن ابرصفحه ساخته شده است.

اهرام با ابعاد بالاتر به طور مشابه ساخته می شوند.

خانواده ساده ها هرم ها را در هر بعد نشان می دهند که از مثلث ، چهار وجهی ، 5 سلولی ، 5 ساده و غیره افزایش می یابند. یک سیمپلکس n بعدی دارای حداقل ''n+1'' رئوس است، با تمام جفت رئوس به هم متصل شده توسط یال ها ، همه سه برابر هستند. از رئوس که چهره ها را مشخص می کنند، تمام نقاط چهارگانه تعیین کننده سلول های چهار وجهی و غیره.

=== &lt;code&gt;اهرام چندوجهی منتظم&lt;/code&gt; ===
در هندسه 4 بعدی ، '''هرم چند وجهی''' یک پلی توپ 4 است که توسط یک سلول چند وجهی پایه و یک نقطه راس ساخته شده است. وجوه جانبی سلول های هرمی هستند که هر کدام توسط یک وجه از چندوجهی پایه و راس ساخته شده اند. رئوس و لبه‌های اهرام چند وجهی نمونه‌هایی از گراف‌های راس را تشکیل می‌دهند، نمودارهایی که با افزودن یک راس (راس) به یک نمودار مسطح (نمودار پایه) شکل می‌گیرند.

5 سلولی معمولی (یا 4 - سیمپلکس ) نمونه ای از ''هرم چهار وجهی'' است. چندوجهی یکنواخت با دورنماهای کمتر از 1 را می توان هرم های چند وجهی با اضلاع چهاروجهی منظم ساخت. یک چندوجهی با رئوس ''v ، یال‌های e'' و وجه‌های ''f'' می‌تواند پایه یک هرم چند وجهی با راس‌های ''v+1 ، یال‌های e+v'' ، وجه‌های ''f+e'' و سلول‌های ''1+f باشد .''

یک ''هرم چند وجهی'' 4 بعدی با تقارن محوری را می توان به صورت سه بعدی با نمودار شلگل - یک برآمدگی سه بعدی که راس را در مرکز چند وجهی پایه قرار می دهد، تجسم کرد.

هر 4-پلی توپ محدب را می توان با اضافه کردن یک نقطه داخلی و ایجاد یک هرم از هر وجه به نقطه مرکزی به '''اهرام چند وجهی تقسیم کرد.''' این می تواند برای محاسبه حجم ها مفید باشد.

''ابرحجم'' 4 بعدی یک هرم چند وجهی 1/4 حجم چند وجهی پایه ضربدر ارتفاع عمود آن است، در مقایسه با مساحت یک مثلث که 1/2 طول قاعده ضربدر ارتفاع و حجم هرم است. 1/3 مساحت پایه ضربدر ارتفاع.

''حجم سطح'' سه بعدی هرم چند وجهی است، 

&lt;math&gt;SV=B+\tfrac{1}{3}AL&lt;/math&gt;

جایی که ''B'' حجم پایه، ''A'' مساحت سطح پایه، و L ارتفاع مایل(ارتفاع سلول های هرمی جانبی) است که بر این روش بیان می شود.

&lt;math&gt;L = \sqrt{h^2 + r^2}&lt;/math&gt;

که در آن ''h'' ارتفاع و ''r'' شعاع است.

== منابع ==
ویکی پدیای انگلیسی

ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>r92c1ye8giniolnyfdlq4xc3lkwquwb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/مخروط</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36079</id>
    <revision>
      <id>117707</id>
      <parentid>117624</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:39:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9383" xml:space="preserve">یک مخروط یک شکل هندسی سه‌بُعدی است که از پایهٔ تختش (سطح مقطع مخروط) به آرامی یا به سرعت (به سطح قاعده و ارتفاع بستگی دارد) تا راس باریک می‌شود. به‌طور جزئی‌تر شکلی جامد است که به یک صفحهٔ پایه (سطح مقطع مخروط)، محدود می‌شود و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی است که نوک مخروط را به نقاط پیرامون پایه (سطح مقطع) پیوند می‌زنند. واژهٔ مخروط گاهی به رویهٔ این جسم توپر گفته می‌شود و گاه تنها به رویهٔ پهلویی آن.

مخروط‌ها می‌توانند به صورت قائم یا اریب باشند. لازم است ذکر شود که حجم یک مخروط اریب با مساحت سطح مقطع معین و ارتفاع مشخص، با حجم یک مخروط قائم با همان مساحت و ارتفاع معین، برابر است.

== تعریف ها و تعمیم ها ==
یک مخروط توسط مجموعه ای از پاره های خط ، نیم خط یا خطوطی تشکیل می شود که یک نقطه مشترک، راس، را به همه نقاط روی یک پایه که در صفحه ای است که راس را شامل نمی شود، متصل می کند. بسته به نویسنده، پایه ممکن است به یک دایره ، هر شکل درجه دوم یک بعدی در صفحه، هر شکل یک بعدی بسته ، یا هر یک از موارد بالا به اضافه تمام نقاط محصور محدود شود. اگر نقاط محصور در پایه قرار گیرند، مخروط یک جسم جامد است . در غیر این صورت دو بعدی استجسم در فضای سه بعدی در مورد یک جسم جامد، مرز تشکیل شده توسط این خطوط یا خطوط جزئی، ''سطح جانبی'' نامیده می شود . اگر سطح جانبی نامحدود باشد، سطح مخروطی است .

در مورد پاره های خط، مخروط فراتر از قاعده گسترش نمی یابد، در حالی که در مورد نیمه خطوط، تا بی نهایت فاصله دارد. در مورد خطوط، مخروط در هر دو جهت از راس بی نهایت امتداد دارد، در این صورت گاهی اوقات آن را '''مخروط دوتایی می نامند.'''. هر یک از نیمی از مخروط دوتایی در یک طرف راس، ''ناپ'' نامیده می شود .

محور یک مخروط ، خط مستقیمی است (در صورت وجود)، که از راس عبور می کند، که قاعده (و کل مخروط) در اطراف آن دارای تقارن دایره ای است .

در استفاده متداول در هندسه ابتدایی ، مخروط ها را '''دایره راست''' فرض می کنند ، که در آن ''دایره'' به معنای دایره است و ''راست'' به این معنی است که محور از مرکز پایه در زوایای قائم به صفحه خود می گذرد.  اگر مخروط دایره ای راست باشد، تقاطع یک صفحه با سطح جانبی یک مقطع مخروطی است. با این حال، به طور کلی، پایه ممکن است به هر شکلی باشد  و راس ممکن است در هر جایی قرار داشته باشد (اگرچه معمولاً فرض می‌شود که پایه محدود است و بنابراین دارای مساحت محدودی است.، و اینکه راس خارج از صفحه قاعده قرار دارد). در تقابل با مخروط‌های راست، مخروط‌های مورب هستند که در آن‌ها محور به‌طور غیر عمود از مرکز قاعده عبور می‌کند. 

مخروط با قاعده چند ضلعی هرم نامیده می شود .

بسته به زمینه، &quot;مخروط&quot; ممکن است به طور خاص به معنای مخروط محدب یا مخروط برجسته نیز باشد.

== حجم و مساحت ==

=== &lt;code&gt;حجم&lt;/code&gt; ===
حجم یک هرم برابر بر این رابطه است که چون سه هرم برابر با حجم منشور است.پس حجم هرم برابر با این رابطه است.

&lt;math&gt;V = \frac{1}{3}Sh.&lt;/math&gt;

حجم یک مخروط چون قاعده آن دایره است،به این صورت نوشته می گردد.

&lt;math&gt;V = \frac{1}{3}\pi r^2h.&lt;/math&gt;

در ریاضیات مدرن، این فرمول را می توان به راحتی با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال محاسبه کرد - تا مقیاس بندی، انتگرال است.

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\int x^2 dx = \tfrac{1}{3} x^3&lt;/math&gt;بدون استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال، فرمول را می توان با مقایسه مخروط با یک هرم و اعمال اصل کاوالیری - به ویژه، مقایسه مخروط با یک هرم مربع راست (مقیاس عمودی)، که یک سوم مکعب را تشکیل می دهد، اثبات کرد. این فرمول را نمی‌توان بدون استفاده از چنین استدلال‌های بی‌نهایتی اثبات کرد - بر خلاف فرمول‌های دو بعدی برای مساحت چند وجهی، اگرچه شبیه به مساحت دایره است - و از این رو قبل از ظهور حساب دیفرانسیل و انتگرال، اثبات‌های کمتر دقیق‌تری را پذیرفتند، با یونانیان باستان از روش استفاده می‌کردند. فرسودگی . این اساساً محتوای مسئله سوم هیلبرت است - به طور دقیق تر، همه اهرام چند وجهی با ''قیچی همخوانی ندارند.''(می توان آن را به قطعات متناهی تقسیم کرد و به قطعات دیگر مرتب کرد) و بنابراین حجم را نمی توان صرفاً با استفاده از یک آرگومان تجزیه محاسبه کرد

=== &lt;code&gt;مساحت&lt;/code&gt; ===
مساحت جانبی یک مخروط بر اساس مساحت هرم برابر با این تساوی است.

&lt;math&gt;A'= \pi r L&lt;/math&gt;

rشعاع مخروط وLکمان مخروط است

ارتفاع اصلی مخروط دایره ای راست، فاصله ای از هر نقطه از دایره قاعده آن تا راس از طریق یک قطعه خط در امتداد سطح مخروط است. توسط آن داده می شود&lt;math&gt;\sqrt{r^2+h^2}&lt;/math&gt;، جایی کهrشعاع پایه است وhارتفاع است این را می توان با قضیه فیثاغورث ثابت کرد.

مساحت کل مخروط بر اساس این رابطه نوشته می گردد.

&lt;math&gt;A=\pi r^2+ \pi r L={\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&lt;/math&gt;

مساحت کل یعنی مساحت قاعده به علاوه مساحت جانبی

==== محاسبه کمان مخروط و دور مخروط ====
اگرrشعاع وhارتفاع باشد.دور و کمان مخروط برابر با این رابطه است.

اگرcدور و Lکمان مخروط باشد،مساحت اینگونه است.

&lt;math&gt;\frac {c^2} {4 \pi} + \frac {cL} 2={\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+L\right)}&lt;/math&gt;

براساس زاویه و ارتفاع راس مساحت مخروط برابر با این رابطه است

&lt;math&gt;\pi h^2 \tan \frac{\theta}{2} \left(\tan \frac{\theta}{2} + \sec \frac{\theta}{2}\right)&lt;/math&gt;

=== فرم معادلات ===
سطح یک مخروط را می توان به صورت پارامتربندی کرد

: &lt;math&gt;f(\theta,h) = (h \cos\theta, h \sin\theta, h ),&lt;/math&gt;

جایی که زاویه تتا برابر با&lt;math&gt;\theta \in [0,2\pi)&lt;/math&gt;و زاویه اطراف مخروط است و ارتفاع جزئی از اعداد حقیقی باشد یعنی&lt;math&gt;h \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;است.

مخروط دایره ای جامد راست با ارتفاعhو دیافراگم&lt;math&gt;2\theta&lt;/math&gt;، که محور آن استzمحور مختصات و راس آن مبدا است، به صورت پارامتریک به عنوان توصیف می شود&lt;math&gt;F(s,t,u) = \left(u \tan s \cos t, u \tan s \sin t, u \right)&lt;/math&gt;

جایی کهu,t,s محدوه بیش از&lt;math&gt;\in [0,\theta)&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\in [0,2\pi)&lt;/math&gt;&lt;math&gt; \in [0,h]&lt;/math&gt;، به ترتیب در شکل ضمنی ، همان جامد با نابرابری ها تعریف می شود.

&lt;math&gt;\{ F(x,y,z) \leq 0, z\geq 0, z\leq h\},&lt;/math&gt;

جایی که&lt;math&gt;F(x,y,z) = (x^2 + y^2)(\cos\theta)^2 - z^2 (\sin \theta)^2.\,&lt;/math&gt;
به طور کلی، یک مخروط دایره ای راست با راس در مبدا، محور موازی با بردار d و&lt;math&gt;2\theta&lt;/math&gt; دیافراگم، توسط معادله برداری ضمنی به دست می آیدجایی که

&lt;math&gt;F(u) = (u \cdot d)^2 - (d \cdot d) (u \cdot u) (\cos \theta)^2&lt;/math&gt;
یا
&lt;math&gt;F(u) = u \cdot d - |d| |u| \cos \theta&lt;/math&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>020gsy4oq1bj96a1ypyz0ggj3jlbcah</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/متوازی السطوح</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36080</id>
    <revision>
      <id>117713</id>
      <parentid>117629</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:47:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8771" xml:space="preserve">در هندسه ، '''متوازی السطوح''' یک شکل سه بعدی است که توسط شش متوازی الاضلاع تشکیل شده است (اصطلاح ''لوزی'' نیز گاهی با این معنی استفاده می شود). بر اساس قیاس، به متوازی الاضلاع مربوط می شود همانطور که یک مکعب به یک مربع مربوط می شود. در هندسه اقلیدسی ، چهار مفهوم - متوازی السطوح و مکعب در سه بعدی، ''متوازی الاضلاع'' و ''مربع'' در دو بعد - تعریف شده است، اما در زمینه یک هندسه وابسته کلی تر ، که در آن زوایا متمایز نمی شوند، فقط ''متوازی الاضلاع هستند.''و متوازی السطوح وجود دارد. سه تعریف معادل از موازی شکل هستند.متوازی السطوح نیز جز احجام هندسی است و از نوع چندوجهی ها است ولی از نوع منتظم نمی باشد.

== خواص ==

* هر یک از سه جفت وجه موازی را می توان به عنوان صفحات پایه منشور مشاهده کرد. یک متوازی الاضلاع دارای سه مجموعه از چهار یال موازی است. لبه های هر مجموعه دارای طول مساوی هستند.

* متوازی الاضلاع از تبدیل های خطی یک مکعب (برای موارد غیر انحطاط: تبدیل خطی دوطرفه) حاصل می شود.

* از آنجایی که هر وجه دارای تقارن نقطه ای است , متوازی الاضلاع یک زونهدرون است . همچنین کل متوازی الاضلاع دارای تقارن نقطه ای ''C &lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' است. هر صورت، از بیرون، تصویر آینه ای از چهره مقابل است. صورت ها به طور کلی کایرال هستند ، اما موازی شکل نیست.

* با رونوشت‌های همخوان از هر موازی‌پایه‌ای امکان‌پذیر است که فضا را پر کند.

* اگر همه ضلع های مکعب را به یک زاویه برابر مورب کنیم به یک متوازی السطوح تبدیل می شود که تمام وجه هایش لوزی است و مساحت وجه های متوازی السطوح با با مساحت وجه های مکعب برابر است.
* متوازی السطوح از انواع منشورها است
* متوازی السطوح را می توان یکی از چندوجهی ها گفت

== رابطه ==

=== &lt;code&gt;چهار وجهی مربوطه&lt;/code&gt; ===
حجم هر چهار وجهی که دارای سه یال همگرای متوازی الاضلاع است، حجمی برابر با یک ششم حجم آن متوازی الاضلاع دارد.

=== &lt;code&gt;رابطه متوازی السطوح با مکعب&lt;/code&gt; ===
حجم یک متوازی السطوح با ضلع های مساوی با مکعب باهم برابر اند.همچنین مساحت های آن دو نیز برابر است.

== حجم ==
متوازی السطوح حجمی است که از سه بردار سه بعدی a,b,cدرست شده است و با ضرب خارجی بردار ها درست شده است.

=== محاسبه حجم ===
ابتدا متوازی السطوحی رسم می کنیم که در فضای برداری باشد و در فضای سه بعدیR&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;قرار می دهیم.بردار های آن اینگونه است که:

# &lt;math&gt;S = \left|\mathbf a\right| \cdot \left|\mathbf b\right| \cdot \sin \gamma = \left|\mathbf a \times \mathbf b\right|&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;h = \left|\mathbf c\right| \cdot \left|\cos \theta\right|&lt;/math&gt;

محاسبه حجم اینگونه است مساحت قاعده بر اساس مساحت متوازی الاضلاع بدست آید و ارتفاع آن بر اساس رابطه فیثاغورس بدست آید.پس حجم متوازی السطوح برابر با این رابطه است.

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;V = B\cdot h = \left(\left|\mathbf a\right| \left|\mathbf b\right| \sin \gamma\right) \cdot \left|\mathbf c\right| \left|\cos \theta\right| = \left|\mathbf a  \times \mathbf b\right| \left|\mathbf c\right| \left|\cos \theta\right| = \left|\left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right) \cdot \mathbf{c}\right|.&lt;/math&gt;

کسینوس تتا و سینوس تتا در محاسبه قدر مطلق برابر با یک می شود،قدرمطلق مساحت برداری هایa,b,cبرابر با خودشان است.

می توان به روش عمیق تری حجم آن را بدست آورد،ضرب داخلی بردار های خارجی که با ضرب خارجی این سه بردار متوازی السطوح را بدست آورند این گونه است.&lt;math&gt;\mathbf a=(a_1,a_2,a_3)^\mathsf{T}, ~\mathbf b=(b_1,b_2,b_3)^\mathsf{T}, ~\mathbf c=(c_1,c_2,c_3)^\mathsf{T},&lt;/math&gt;حجم برابر است

&lt;math&gt;V = \left| \det \begin{bmatrix} a_1 &amp; b_1 &amp; c_1 \\ a_2 &amp; b_2 &amp; c_2 \\ a_3 &amp; b_3 &amp; c_3
 \end{bmatrix} \right| .&lt;/math&gt;

که همان برابر با این رابطه است.&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;V=\left|\left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right) \cdot \mathbf{c}\right|.={\displaystyle \left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&amp;b_{1}&amp;c_{1}\\a_{2}&amp;b_{2}&amp;c_{2}\\a_{3}&amp;b_{3}&amp;c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}&lt;/math&gt;راه دیگر برای اثبات '''(''' V1 ''')''' استفاده از مولفه اسکالر در جهت استa×b

از بردار:a,b,c

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{align}
V = \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \left|\operatorname{scal}_{\mathbf a \times \mathbf b} \mathbf c\right|
= \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \frac{\left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|}{\left|\mathbf a\times \mathbf b\right|}
= \left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|.
\end{align}&lt;/math&gt;نتیجه بر این است.

با استفاده از روش قدر مطلق و محاسبه ضرب داخلی و خارجی بردارها به مقداری به نامkنیاز است.kمقداری است که بر اساس زاویه های لبه متوازی السطوح بدست می آید.که به صورت جذر آن درحجم متوازی السطوح به کار می رود.

مقدار kبراساس این رابطه بدست می آید.&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; K={1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)},&lt;/math&gt;مقدار جذر آن این گونه است&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \sqrt{K}=\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)},&lt;/math&gt;

حجم آن براساس این رابطه نوشته می گردد.&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; V=abc\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)},&lt;/math&gt;که می توان این گونه نوشت&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; V=abc\sqrt{K}&lt;/math&gt;

== مساحت ==
مساحت یک متوازی السطوح براساس جمع مساحت شش متوازی الاضلاع بدست می آید که براساس این رابطه نوشته می گردد&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{align}
A &amp;= 2 \cdot \left(|\mathbf a \times \mathbf b| + |\mathbf a \times \mathbf c| + |\mathbf b \times \mathbf c|\right) \\
&amp;= 2\left(ab\sin\gamma+ bc\sin\alpha+ca\sin\beta\right).
\end{align}&lt;/math&gt;مساحت متوازی السطوح مثل مساحت مکعب مستطیل بدست می آید،مکعب،مکعب مستطیل از احجام منشوری است که به صورت برداری کشیده اند.

به صورت دیگر هم مساحت آن پیدا می گردد که به صورت مساحت متوازی الاضلاع بدست می آید

برای پیدا کردن مساحت متوازی السطوج بر اساس a,b,c اینگونه است.

&lt;math&gt;2{(ah+bh'+ch'')}&lt;/math&gt;

hبرابر با ارتفاع متوازی السطوح است بر حسب تتا زاویه است که h بر اساس رابطه فیثاغورس نوشته  میشود.

&lt;math&gt;{h^2=a^2-x^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{h'^2=a^2-y^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{h''^2=a^2-z^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x,y,z&lt;/math&gt;=مقداری است که بر اساس تتا زیر جزئی از طول های به ترتیب b,c است

اگر این دو رابطه را محاسبه کنیم به این نتیجه می رسیم&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{align}
A &amp;= 2 \cdot \left(|\mathbf a \times \mathbf b| + |\mathbf a \times \mathbf c| + |\mathbf b \times \mathbf c|\right) \\
&amp;= 2\left(ab\sin\gamma+ bc\sin\alpha+ca\sin\beta\right).
\end{align}={\displaystyle 2{(ah+bh'+ch'')}}&lt;/math&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>qt1h8kzh8l4mri2j2rezvj0qey3ysfl</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36097</id>
    <revision>
      <id>117734</id>
      <parentid>117677</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:53:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>افزودن سرصفحه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5785" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/آنالیز حقیقی|ریاضیات پیشرفته/آنالیز تابعی}}

'''آنالیز''' مختلط که در قدیم به عنوان '''نظریه توابع یک متغیر مختلط''' شناخته می شود، شاخه ای از آنالیز ریاضی است که به بررسی توابع اعداد مختلط می پردازد. در بسیاری از شاخه های ریاضیات از جمله هندسه جبری ، نظریه اعداد ، ترکیبات تحلیلی ، ریاضیات کاربردی مفید است . و همچنین در فیزیک , از جمله شاخه های هیدرودینامیک , ترمودینامیک , و به ویژه مکانیک کوانتومی . با گسترش، استفاده از تحلیل پیچیده در زمینه های مهندسی نیز کاربرد داردمهندسی هسته ای , هوافضا , مکانیک و برق .


از آنجایی که یک تابع قابل تمایز یک متغیر مختلط با سری تیلور آن برابر است (یعنی تحلیلی است )، تحلیل مختلط به ویژه به توابع تحلیلی یک متغیر مختلط (یعنی توابع هولومورفیک ) مربوط می شود.

== تاریخ ==
تجزیه و تحلیل پیچیده یکی از شاخه های کلاسیک در ریاضیات است که ریشه در قرن 18 و کمی قبل از آن دارد. ریاضیدانان مهم مرتبط با اعداد مختلط عبارتند از: اویلر ، گاوس ، ریمان ، کوشی ، وایرشتراس ، و بسیاری دیگر در قرن بیستم. تجزیه و تحلیل پیچیده، به ویژه تئوری نگاشتهای همسو ، کاربردهای فیزیکی زیادی دارد و همچنین در سراسر نظریه اعداد تحلیلی استفاده می شود . در دوران مدرن، از طریق تقویت جدیدی از دینامیک پیچیده و تصاویر فراکتال‌ها که با تکرار توابع هولومورفیک تولید می‌شوند ، بسیار محبوب شده است.. یکی دیگر از کاربردهای مهم آنالیز پیچیده در نظریه ریسمان است که به بررسی متغیرهای همسان در نظریه میدان کوانتومی می پردازد.

== مفاهیم و قضیه‌های اساسی ==

=== تابع مختلط ===
تابعی است که هم دامنه تعریف آن و هم مقدار آن هردو مختلط باشند. به این ترتیب، یک تابع مختلط، تابعی است با تعریف{{وسط‌چین}}
&lt;math&gt;
f\colon\, \mathbb{C}\to \mathbb{C},\; x + iy \mapsto f(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y).
&lt;/math&gt;
{{پایان}}از آنجا که &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; با &lt;math&gt;\mathbb{R}^{2}&lt;/math&gt; هم‌ارز است، گاهی تعریف &lt;math&gt;f\colon\, \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}&lt;/math&gt; نیز بکار برده می‌شود.

این توابع بویژه در مطالعه هندسه فراکتال‌ها، و علوم مهندسی چون طراحی مدارات و سیستم‌های مختلف الکترنیکی و مخابراتی کاربرد بسیار فراوان دارند. توابع مختلط بر خلاف توابع حقیقی به صورت هندسی در صفحه قابل نمایش نیستند و به صورت دوبُعدی هستند. چندین روش برای نشان دادن اعداد مختلط وجود دارد. یکی از راه‌های نمایش این اعداد نمایش با استفاده از روش دکارتی می‌باشد. روش دوم نمایش این اعداد نمایش استاندارد می‌باشد. روش سوم و مهمترین روش نمایش اعداد مختلط نمایش قطبی می‌باشد. فرمول معروف [[اویلر]] ریاضی‌دان شهیر سوییسی نقش کلیدی در نمایش اعداد مختلط به گونه قطبی می‌باشد.

=== مشتق‌پذیری ===
به تابعی که مختلط مشتق‌پذیر باشد، تابع تحلیلی یا تابع تمامریخت گفته می‌شود و آن زمانی است که زیر در دایره بازی، در اطراف نقطه &lt;math&gt;z_{0}&lt;/math&gt; وجود داشته باشد. در اینجا مسلماً &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; یک مقدار مختلط است.{{وسط‌چین}}
&lt;math&gt;
f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }
&lt;/math&gt;
{{پایان}}تعریف بالا، هم ارز است با شرایط کوشی-ریمان که به راحتی از آن به دست می‌آید. &lt;math&gt;f(z)=u(z)+iv(z) ,\quad z=x+iy&lt;/math&gt;:{{وسط‌چین}}
&lt;math&gt;
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}
\quad,\quad
\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}
&lt;/math&gt;
{{پایان}}

=== فرمول کوشی ===
فرمول انتگرال کوشی یا به‌طور بهتر قضیه کوشی، برای هر تابعی که بر روی محیط خاصی تحلیلی باشد، صادق است:{{وسط‌چین}}
&lt;math&gt;
f(z) = \frac 1{2\pi i}\oint \frac{f(z')}{z'-z}dz'

&lt;/math&gt;
{{پایان}}در اینجا، انتگرال مسیری، بر روی محیطی انجام می‌پذیرد که تابع در آن مشتق‌پذیر است.

=== مانده‌ها ===

=== بسط دادن ===
بر خلاف، توابع حقیقی، بسط تیلور برای توابع تحلیلی، همیشه امکان‌پذیر است. از این گذشته، در شرایط خاصی نیز می‌توان از بسط لورنتس در این تئوری استفاده کرد.

== منابع ==
ویکی پدیا فارسی

[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>s2u8h01xraitfm7yu4yvv9yu57p8ho0</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/آنالیز تابعی</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36099</id>
    <revision>
      <id>117710</id>
      <parentid>117681</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:44:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3005" xml:space="preserve">[[پرونده:Drum_vibration_mode12.gif|چپ|بندانگشتی|200x200پیکسل|یک نوع حالت تابعی که در آن مجموعه ای ارز انحنا در آن قرار دارد.]]
آنالیز تابعی، شاخه ای از '''آنالیز ریاضی''' است که مطالعه بر روی فضاهای برداری مجهز به ساختار های مرتبط با حد (مثل ضرب داخلی، نرم، توپولوژی و ...) و توابع خطی که روی این فضاها تعریف می شوند (و با آن ساختار های مذکور به طرز مناسبی ارتباط برقرار می کنند) هسته ی آن را شکل می دهند. ریشه های تاریخی آنالیز تابعی در مطالعه ی فضاهای توابع و فرموله کردن خواص تبدیل توابعی چون تبدیل فوریه قرار دارد. چنین تبدیل هایی، عملگرهای پیوسته، یکه ای و ... را بین فضاهای توابع تعریف می کنند.

== تجزیه و تحلیل تابع ==
کلمه ی تابعی (یا تابعک) ریشه در حساب تغییرات دارد و به معنای تابعی است که ورودی آن یک تابع می باشد. این اصطلاح را اولین بار آدامار در کتاب ۱۹۱۰ خود که در همین موضوع نوشته شده بود به کار برد. با این حال، مفهوم عمومی یک تابعک پیش از آن نیز در ۱۸۸۷ توسط ریاضیدان و فیزیکدان ایتالیایی، ویتو وولترا به کار رفته است. نظریه تابعک های غیر خطی توسط شاگردان هادامارد بخصوص فرشه و لوی ادامه یافت. همچنین هادامارد مکتب مدرن آنالیز تابعک های خطی را بنیان نهاد که پس از او توسط ریس (Riesz) و گروهی از ریاضیدانان لهستانی اطراف استفان باناخ توسعه و ادامه یافت.

== کتب مقدماتی تابع ==
در کتب مقدماتی مدرن آنالیز تابعی، این موضوع به عنوان مطالعه فضاهای برداری مجهز به توپولوژی در نظر گرفته شده که یکی از ویژگی های خاصشان بی نهایت بعدی بودن است. اگر بخواهیم آنالیز تابعی را با جبر خطی مقایسه کنیم، جبر خطی عموماً با فضاهای متناهی بعدی سروکار دارند که از توپولوژی در آن ها استفاده نمی‌شود. بخش مهمی از آنالیز تابعی، توسعه قضایای مربوط به نظریه اندازه، انتگرال گیری و احتمالات به فضاهای بی نهایت بعدی است که به آن '''آنالیز بی نهایت بعدی''' نیز گفته می شود.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>q3dd1xbphs6212n8zljf6wkb2oh0trs</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117735</id>
      <parentid>117710</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:54:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>افزودن سرصفحه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3132" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط|ریاضیات پیشرفته/آنالیز هارمونیک}}

[[پرونده:Drum_vibration_mode12.gif|چپ|بندانگشتی|200x200پیکسل|یک نوع حالت تابعی که در آن مجموعه ای ارز انحنا در آن قرار دارد.]]

آنالیز تابعی، شاخه ای از '''آنالیز ریاضی''' است که مطالعه بر روی فضاهای برداری مجهز به ساختار های مرتبط با حد (مثل ضرب داخلی، نرم، توپولوژی و ...) و توابع خطی که روی این فضاها تعریف می شوند (و با آن ساختار های مذکور به طرز مناسبی ارتباط برقرار می کنند) هسته ی آن را شکل می دهند. ریشه های تاریخی آنالیز تابعی در مطالعه ی فضاهای توابع و فرموله کردن خواص تبدیل توابعی چون تبدیل فوریه قرار دارد. چنین تبدیل هایی، عملگرهای پیوسته، یکه ای و ... را بین فضاهای توابع تعریف می کنند.

== تجزیه و تحلیل تابع ==
کلمه ی تابعی (یا تابعک) ریشه در حساب تغییرات دارد و به معنای تابعی است که ورودی آن یک تابع می باشد. این اصطلاح را اولین بار آدامار در کتاب ۱۹۱۰ خود که در همین موضوع نوشته شده بود به کار برد. با این حال، مفهوم عمومی یک تابعک پیش از آن نیز در ۱۸۸۷ توسط ریاضیدان و فیزیکدان ایتالیایی، ویتو وولترا به کار رفته است. نظریه تابعک های غیر خطی توسط شاگردان هادامارد بخصوص فرشه و لوی ادامه یافت. همچنین هادامارد مکتب مدرن آنالیز تابعک های خطی را بنیان نهاد که پس از او توسط ریس (Riesz) و گروهی از ریاضیدانان لهستانی اطراف استفان باناخ توسعه و ادامه یافت.

== کتب مقدماتی تابع ==
در کتب مقدماتی مدرن آنالیز تابعی، این موضوع به عنوان مطالعه فضاهای برداری مجهز به توپولوژی در نظر گرفته شده که یکی از ویژگی های خاصشان بی نهایت بعدی بودن است. اگر بخواهیم آنالیز تابعی را با جبر خطی مقایسه کنیم، جبر خطی عموماً با فضاهای متناهی بعدی سروکار دارند که از توپولوژی در آن ها استفاده نمی‌شود. بخش مهمی از آنالیز تابعی، توسعه قضایای مربوط به نظریه اندازه، انتگرال گیری و احتمالات به فضاهای بی نهایت بعدی است که به آن '''آنالیز بی نهایت بعدی''' نیز گفته می شود.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>jei3t6nfi5ahqsndr6yt3uu06vjzdkx</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/آنالیز هارمونیک</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36100</id>
    <revision>
      <id>117736</id>
      <parentid>117683</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T19:54:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>افزودن سرصفحه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2908" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/آنالیز تابعی|ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده}}

[[پرونده:Light_wave_harmonic_diagram.svg|جایگزین=هماهنگ های نور|بندانگشتی|400x400پیکسل|نوعی آنالیز هارمونیک]]
'''آنالیز هارمونیک''' شاخه ای از ریاضیات است که مرتبط با نمایش توابع یا سیگنال‌ها به صورت برآیندی از امواج پایه بوده و به مطالعه و نمایش مفاهیم سری‌های فوریه و تبدیل فوریه (یعنی فرم توسعه یافته‌ی آنالیز فوریه) می‌پردازد. در دو قرن اخیر، این شاخه به شاخه‌ای وسیع تبدیل شده که کاربرد‌های گسترده‌ای در نظریه اعداد، نظریه نمایش، پردازش سیگنال، مکانیک کوانتومی، آنالیز جزر و مدی و علوم اعصاب دارد.

عبارت &quot;هماهنگ‌ها&quot; از ریشه یونانی به معنای &quot;ماهر در موسیقی&quot; گرفته شده است.در مسائل فیزیکی مقدار ویژه‌ای، این که فرکانس یک موج ضرایب صحیحی از موج دیگری باشد، معنا‌دار شد، مثل هماهنگ‌های نوت های موسیقایی، اما این اصطلاح (هماهنگ) کاربرد‌هایی فراتر از معنی اصلی آن پیدا کرد.

تبدیل فوریه کلاسیک روی &lt;math&gt;\mathbb{R^{n}}&lt;/math&gt; هنوز هم یک حوزه زنده تحقیقاتیست، بخصوص تبدیل‌های فوریه روی اشیای کلی‌تری چون توزیعات تمپرد. به عنوان مثال، اگر ما برخی الزامات روی توزیعی چون &lt;math&gt;\mathrm{f}&lt;/math&gt; اعمال کنیم، می‌توانیم آن ها را به زبان تبدیل فوریه روی &lt;math&gt;\mathrm{f}&lt;/math&gt; نیز ترجمه کنیم. قضیه پالی-وینر مثالی از این فرایند است. قضیه پالی-وینر فوراً ایجاب می کند که اگر &lt;math&gt;\mathrm{f}&lt;/math&gt; یک توزیع ناصفر با تکیه‌گاهی فشرده باشد (شامل توابع با تکیه‌گاه ثابت هم می‌شود)، آنگاه تبدیل فوریه آن هیچ‌گاه تکیه گاه فشرده نخواهد داشت. این حالت بسیار مقدماتی از اصل عدم قطعیت در بستر آنالیز-هارمونیک است.

سری‌های فوریه را می‌توان در بستر فضاهای هیلبرت به‌طور مناسب‌تری مطالعه کرد، چرا که در آنجا ارتباطی بین آنالیز هارمونیک و آنالیز تابعی ارائه می‌کند.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>7hkfher7786ts8dnz6y23rqf2jr6blx</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/آنالیز عددی</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36104</id>
    <revision>
      <id>117738</id>
      <parentid>117687</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T20:11:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>افزودن سرصفحه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5822" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده|ریاضیات پیشرفته/آنالیز برداری}}

'''آنالیز عددی''' به تنظیم، مطالعه، و اعمال شیوه‌های تقریبی محاسباتی برای حلّ آن دسته از مسائل ریاضیات پیوسته (در مقابل ریاضیات گسسته) می‌پردازد که با روش‌های تحلیلی و دقیق قابل حلّ نیستند. برخی از مسائل مورد نظر محاسبات عددی به‌طور مستقیم از حسابان می‌آید. جبر خطی عددی (بر روی میدان‌های حقیقی یا مختلط) و نیز حلّ معادلات دیفرانسیل خطی و غیر خطی مربوط به فیزیک و مهندسی از جملهٔ زمینه‌های دیگر برای کاربرد محاسبات عددی‌ست.

== تاریخچه ==
از آثار مکتوب به‌جامانده چنین برمی‌آید که گویا نخستین رساله در حساب به معنی امروزی را محمد بن موسی الخوارزمی نوشته‌است. آوازهٔ وی چنان در اروپا پیچید که واژهٔ الگوریتم را (که از الخوارزمی گرفته شده‌است) بر روش‌های حل مسئله در محاسبات عددی نهادند.

با پیشرفت رایانه‌ها نیاز به حل مسایل ریاضی به روش عددی بیش از پیش احساس شد. در این هنگام کارایی روش‌هایی که از قبل توسط نیوتون و لئونارد اویلر ارائه شده بود نمایان شد. ریاضی‌کارها و دانش‌گرهای دیگر نیز در این راه پا گذاشتند و روش‌هایی کاراتر ارائه دادند. به این ترتیب محاسبات عددی شکل نوین خود را یافت.

== معرفی ==
تعدادی از مسائل ریاضیات پیوسته دقیقاً با یک الگوریتم حل می‌شوند که به روش‌های مستقیم حل مسئله معروف‌اند. برای مثال، روش حذف گوسی برای حل دستگاه معادلات خطی، و نیز الگوریتم غیرمرکب مورد استفاده در برنامه‌ریزی خطی را می‌توان ذکر نمود. در مقابل، برای بسیاری از مسائل روش حل مستقیم وجود ندارد و باید از روش‌های دیگری مانند روش تکرارشونده استفاده شود.

== برآورد خطاها ==
تخمین خطاهای موجود در حل مسائل از مهم‌ترین قسمت‌های محاسبات عددی است این خطاها در روش‌های تکرارشونده وجود دارد چون به هرحال جواب‌های تقریبی به‌دست آمده با جواب دقیق مسئله، اختلاف دارد یا وقتی‌که از روش‌های مستقیم برای حل مسئله استفاده می‌شود خطاهایی ناشی از گرد کردن اعداد به‌وجود می‌آید. در محاسبات عددی می‌توان مقدار خطا را درآخر روش که برای حل مسئله به کار می‌رود، تخمین زد.

== کاربردها ==
الگوریتم‌های مربوط به محاسبات عددی در حل بسیاری از مسائل موجود در علوم و مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. به عنوان مثال :

* تحلیل و طراحی سازه‌هایی همچون پل‌ها، سدها، و هواپیماها
* هواشناسی مثلاً پیش‌بینی آب و هوا، و تهیه نقشه‌های جوی از زمین
* تجزیه و تحلیل ساختار مولکول‌ها
* پیدا کردن مخازن
* مدل سازی چند مقیاسی ریه با روش‌های محاسباتی و بررسی عملکرد ریه و عوامل مؤثر بر آسم
* مدل سازی ریاضی تحرکات و رفتارهای جانوران از طریق تحلیل عددی معادلات دیفرانسیل مربوطه
* دینامیک چرخه‌ها و شبکه‌های هتروکلینیک با روش‌های محاسباتی
* توموگرافی امپدانس الکتریکی
* توموگرافی توزیع اپتیکی
* منیفلد سامانه‌های چندمقیاسی زمانی
* مدل سازی چند مقیاسی ترشح بزاق و تحلیل‌های عددی مربوطه
* دینامیک سیستم‌ها با مقیاس زمانی چندمقیاسی
* مسائل معکوس بیزی
* انتشار موج محاسباتی
* مدل سازی و حل عددی حرکت و تعاملات سلول‌های ایمنی
* تحریک پذیری ذاتی و سایر اثرات گذرا
* دینامیک مدل‌های آب و هوایی
* دینامیک گردابه پایداری گردابه
* ریاضیات صنعتی: توموگرافی فرایند
* پردازش تصویربرداری در صنایع شیمیایی، صنایع خمیر و کاغذ و صنایع معدنی.
* دینامیک مدل‌های اقلیمی و پیش بینی تغییرات آب و هوایی با استفاده از مدل سازی و تحلیل عددی

همچنین اکثر ابررایانه‌ها به‌طور مداوم بر اساس الگوریتم‌های محاسبات عددی برنامه‌ریزی می‌شوند. به‌طور کلی محاسبات عددی از نتایج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای پیدا کردن روش‌های جدید برای تجزیه و تحلیل مسائل استفاده می‌کند.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>dv9bcik3rz1zqg8o9m8u1jj44tg2793</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/آنالیز برداری</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36111</id>
    <revision>
      <id>117712</id>
      <parentid>117700</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:46:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2653" xml:space="preserve">'''''تجزیه و تحلیل برداری''''' یک کتاب درسی توسط ادوین بیدوول ویلسون است که برای اولین بار در سال 1901 منتشر شد و بر اساس سخنرانی هایی است که جوزایا ویلارد گیبز در مورد این موضوع در دانشگاه ییل ارائه کرده بود . این کتاب برای استاندارد کردن نمادها و واژگان جبر خطی سه بعدیو حساب برداری که توسط فیزیکدانان و ریاضیدانان استفاده می شود، بسیار کمک کرد. این اثر در سالهای 1913، 1916، 1922، 1925، 1929، 1931 و 1943 توسط ییل تجدید چاپ شد. این اثر اکنون در مالکیت عمومی است. در سال 1960 توسط انتشارات دوور تجدید چاپ شد.

== فهرست ==
این کتاب دارای عنوان فرعی است &quot;کتاب درسی برای استفاده دانشجویان ریاضی و فیزیک. که بر اساس سخنرانی های جی. ویلارد گیبز، دکترا، LL.D.&quot; فصل اول بردارها را در سه بعد فضایی، مفهوم اسکالر (واقعی) و حاصل ضرب یک اسکالر با بردار پوشش می دهد. فصل دوم محصولات نقطه ای و متقاطع را برای جفت بردارها معرفی می کند. اینها به یک محصول سه گانه اسکالر و یک محصول چهارگانه گسترش می یابد. صفحات 77 تا 81 اصول مثلثات کروی را پوشش می دهد ، موضوعی که در آن زمان به دلیل استفاده از آن در جهت یابی آسمانی مورد توجه بود.. فصل سوم نماد حساب بردار بر اساس عملگر del را معرفی می کند . تجزیه هلمهولتز یک میدان برداری در صفحه 237 آورده شده است.

هشت صفحه پایانی دو بردارها را توسعه می‌دهند، زیرا این دو جزء لاینفک درس نظریه الکترومغناطیسی نور است که پروفسور گیبز در ییل تدریس کرد. ابتدا ویلسون یک دوبردار را با یک بیضی مرتبط می کند. حاصل ضرب دو بردار با عدد مختلط روی دایره واحد ، ''چرخش بیضوی'' نامیده می شود . ویلسون با توصیف ''حرکت هارمونیک بیضوی'' و مورد امواج ساکن ادامه می دهد.

== منابع ==
ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>sm1wqq64e7wy727pr78zh5lmoc8ach2</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36112</id>
    <revision>
      <id>117711</id>
      <parentid>117701</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:45:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5425" xml:space="preserve">'''آنالیز''' مختلط که به طور سنتی به عنوان '''نظریه توابع یک متغیر مختلط''' شناخته می شود، شاخه ای از آنالیز ریاضی است که به بررسی توابع اعداد مختلط می پردازد. در بسیاری از شاخه های ریاضیات از جمله هندسه جبری ، نظریه اعداد ، ترکیبات تحلیلی ، ریاضیات کاربردی مفید است . و همچنین در فیزیک , از جمله شاخه های هیدرودینامیک , ترمودینامیک , و به ویژه مکانیک کوانتومی . با گسترش، استفاده از تحلیل پیچیده در زمینه های مهندسی نیز کاربرد داردمهندسی هسته ای , هوافضا , مکانیک و برق .

از آنجایی که یک تابع قابل تمایز یک متغیر مختلط با سری تیلور آن برابر است (یعنی تحلیلی است )، تحلیل مختلط به ویژه به توابع تحلیلی یک متغیر مختلط (یعنی توابع هولومورفیک ) مربوط می شود.

== تاریخ ==
تجزیه و تحلیل پیچیده یکی از شاخه های کلاسیک در ریاضیات است که ریشه در قرن 18 و کمی قبل از آن دارد. ریاضیدانان مهم مرتبط با اعداد مختلط عبارتند از: اویلر ، گاوس ، ریمان ، کوشی ، وایرشتراس ، و بسیاری دیگر در قرن بیستم. تجزیه و تحلیل پیچیده، به ویژه تئوری نگاشتهای همسو ، کاربردهای فیزیکی زیادی دارد و همچنین در سراسر نظریه اعداد تحلیلی استفاده می شود . در دوران مدرن، از طریق تقویت جدیدی از دینامیک پیچیده و تصاویر فراکتال‌های تولید شده با تکرار توابع هولومورفیک ، بسیار محبوب شده است.. یکی دیگر از کاربردهای مهم آنالیز پیچیده در نظریه ریسمان است که به بررسی متغیرهای همسان در نظریه میدان کوانتومی می پردازد .

== تابع پیچیده ==
تابع مختلط تابعی از اعداد مختلط به اعداد مختلط است. به عبارت دیگر، تابعی است که زیرمجموعه ای از اعداد مختلط به عنوان دامنه و اعداد مختلط به عنوان کد دامنه دارد.توابع پیچیده معمولاً دارای دامنه ای هستند که شامل یک زیرمجموعه باز غیر خالی از صفحه مختلط است.

برای هر تابع پیچیده، مقادیرz از دامنه و تصاویر آنهادر محدوده تابع (f(z را می توان به بخش های واقعی و خیالی تقسیم کرد :&lt;math&gt;z=x+iy \quad \text{ and } \quad f(z) = f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),&lt;/math&gt;

جایی که&lt;math&gt;x,y,u(x,y),v(x,y)&lt;/math&gt;همه دارای ارزش واقعی هستند.

به عبارت دیگر، یک تابع پیچیده&lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}&lt;/math&gt;ممکن است تجزیه شود

&lt;math&gt;u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} \quad&lt;/math&gt;و&lt;math&gt;\quad v:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},&lt;/math&gt;

می توان به عنوان مثال، به دو تابع با ارزش واقعی (&lt;math&gt;u,v&lt;/math&gt;) از دو متغیر واقعی (&lt;math&gt;x,y&lt;/math&gt;)باشد.

به طور مشابه، هر تابع با مقادیر مختلط f در مجموعه دلخواه X را می توان به عنوان یک جفت مرتب از دو تابع با ارزش واقعی در نظر گرفت : (Re ''f'' , Im ''f'' ) یا به عنوان یک تابع با مقدار برداری از X بهR&lt;sup&gt;2.&lt;/sup&gt;

برخی از ویژگی‌های توابع با ارزش پیچیده (مانند پیوستگی ) چیزی بیش از ویژگی‌های متناظر توابع با ارزش برداری دو متغیر واقعی نیستند. سایر مفاهیم تحلیل پیچیده، مانند تمایز پذیری، تعمیم مستقیم مفاهیم مشابه برای توابع واقعی هستند، اما ممکن است ویژگی های بسیار متفاوتی داشته باشند. به طور خاص، هر تابع مختلط قابل تمایز ، تحلیلی است (به بخش بعدی مراجعه کنید)، و دو تابع متمایز که در همسایگی یک نقطه برابر هستند، در تقاطع دامنه خود با هم برابر هستند (اگر دامنه ها به هم متصل باشند ). ویژگی اخیر اساس اصل تداوم تحلیلی استکه اجازه می دهد تا هر تابع تحلیلی واقعی را به روشی منحصربفرد برای بدست آوردن یک تابع تحلیلی پیچیده که دامنه آن کل صفحه مختلط با تعداد محدودی از قوس های منحنی حذف شده است، گسترش دهد. بسیاری از توابع پیچیده اساسی و خاص به این ترتیب تعریف می شوند، از جمله تابع نمایی مختلط ، توابع لگاریتمی پیچیده و توابع مثلثاتی .

== منابع ==
ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>sre7a82g4zb3l5e8wgnytdnr8n30n38</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/چنبره</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36113</id>
    <revision>
      <id>117702</id>
      <timestamp>2022-08-12T12:23:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «'''چَنبَره''' (به انگلیسی: &lt;bdi&gt;torus&lt;/bdi&gt;) در هندسه، نوعی رویه دورانی است که از طریق دوران یک دایره در فضای سه‌بعدی، حول یک محور که با دایره هم‌صفحه است، ایجاد می‌شود.به شرط آنکه دایره با مرکز دوران کمی فاصله داشته باشد. پرونده:Torus.png|پیوند=https://fa.wikipedia...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1712" xml:space="preserve">'''چَنبَره''' (به انگلیسی: &lt;bdi&gt;torus&lt;/bdi&gt;) در هندسه، نوعی رویه دورانی است که از طریق دوران یک دایره در فضای سه‌بعدی، حول یک محور که با دایره هم‌صفحه است، ایجاد می‌شود.به شرط آنکه دایره با مرکز دوران کمی فاصله داشته باشد.
[[پرونده:Torus.png|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Torus.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|چنبره که حاصل دوران است.]]

== هندسه ==
چنبره را می‌توان به صورت پارامتری تعریف کرد:

: &lt;math&gt;x(u, v) =  (R + r \cos{v}) \cos{u} \, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y(u, v) =  (R + r \cos{v}) \sin{u} \, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;z(u, v) =  r \sin{v} \, &lt;/math&gt;

که در آن:

* پارامتر ''u'' و ''v'' در بازه {{چر}}[۰, ۲π){{چر}} قرار دارند.
* ''R'' شعاع از مرکز تا محور چنبره است
* ''r'' شعاع چنبره است

در دستگاه مختصات دکارتی می‌توان تعریف کرد:

: &lt;math&gt;\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2, \,\!&lt;/math&gt;

که به طور ساده‌تر می‌توان نوشت:

: &lt;math&gt; (x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2) . \,\!&lt;/math&gt;

=== حجم و مساحت ===
''A'' مساحت رویه چنبره از معادله:

: &lt;math&gt;A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,&lt;/math&gt;

و ''V'' حجمی که یک چنبره محصور می‌کند از

: &lt;math&gt;V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,&lt;/math&gt;

بدست می‌آید.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>ow7ilk2yq81ce76tde33fktea3pem5l</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117705</id>
      <parentid>117702</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:38:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1753" xml:space="preserve">'''چَنبَره''' (به انگلیسی: &lt;bdi&gt;torus&lt;/bdi&gt;) در هندسه، نوعی رویه دورانی است که از طریق دوران یک دایره در فضای سه‌بعدی، حول یک محور که با دایره هم‌صفحه است، ایجاد می‌شود.به شرط آنکه دایره با مرکز دوران کمی فاصله داشته باشد.
[[پرونده:Torus.png|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Torus.png|بندانگشتی|250x250پیکسل|چنبره که حاصل دوران است.]]

== هندسه ==
چنبره را می‌توان به صورت پارامتری تعریف کرد:

: &lt;math&gt;x(u, v) =  (R + r \cos{v}) \cos{u} \, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y(u, v) =  (R + r \cos{v}) \sin{u} \, &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;z(u, v) =  r \sin{v} \, &lt;/math&gt;

که در آن:

* پارامتر ''u'' و ''v'' در بازه {{چر}}[۰, ۲π){{چر}} قرار دارند.
* ''R'' شعاع از مرکز تا محور چنبره است
* ''r'' شعاع چنبره است

در دستگاه مختصات دکارتی می‌توان تعریف کرد:

: &lt;math&gt;\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2, \,\!&lt;/math&gt;

که به طور ساده‌تر می‌توان نوشت:

: &lt;math&gt; (x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2) . \,\!&lt;/math&gt;

=== حجم و مساحت ===
''A'' مساحت رویه چنبره از معادله:

: &lt;math&gt;A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,&lt;/math&gt;

و ''V'' حجمی که یک چنبره محصور می‌کند از

: &lt;math&gt;V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,&lt;/math&gt;

بدست می‌آید.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>gwt7u21zg5utzpzs3ehe2lemg1ezar7</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/دوران</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36114</id>
    <revision>
      <id>117703</id>
      <timestamp>2022-08-12T12:35:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «'''دوران''' حرکت دایره ای یک جسم حول ''محور چرخش'' در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت است. یک جسم سه بعدی ممکن است دارای بی نهایت محور چرخش باشد.  اگر محور چرخش به صورت داخلی از مرکز جرم خود بدن عبور کند ، آنگاه گفته می‌شود که جسم در ''حال...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5320" xml:space="preserve">'''دوران''' حرکت دایره ای یک جسم حول ''محور چرخش'' در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت است. یک جسم سه بعدی ممکن است دارای بی نهایت محور چرخش باشد.

اگر محور چرخش به صورت داخلی از مرکز جرم خود بدن عبور کند ، آنگاه گفته می‌شود که جسم در ''حال'' چرخش یا ''چرخش'' خودکار است و محل تلاقی سطح محور را می‌توان ''قطب'' نامید . چرخش حول یک محور کاملاً خارجی، مثلاً سیاره زمین به دور خورشید ، ''چرخان'' یا ''در حال گردش'' نامیده می شود ، معمولاً زمانی که توسط گرانش ایجاد می شود ، و انتهای محور چرخش را می توان ''قطب های مداری'' نامید .

== ریاضیات ==
از نظر ریاضی ، چرخش یک حرکت بدن سفت و سخت است که بر خلاف ترجمه ، یک نقطه را ثابت نگه می دارد. این تعریف برای چرخش در دو بعد و سه بعد (به ترتیب در یک صفحه و در فضا) اعمال می شود.

تمام حرکات سفت و سخت بدن چرخش، ترجمه یا ترکیبی از این دو هستند.

چرخش به سادگی یک جهت شعاعی پیشرونده به یک نقطه مشترک است. آن نقطه مشترک در محور آن حرکت قرار دارد. محور 90 درجه عمود بر صفحه حرکت است.

اگر چرخش حول یک نقطه یا محور با چرخش دوم حول همان نقطه/محور دنبال شود، چرخش سوم حاصل می شود. معکوس ( معکوس ) یک چرخش نیز یک چرخش است. بنابراین، چرخش‌های حول یک نقطه/محور یک گروه را تشکیل می‌دهند . با این حال، یک چرخش حول یک نقطه یا محور و یک چرخش حول یک نقطه/محور متفاوت ممکن است منجر به چیزی غیر از یک چرخش شود، به عنوان مثال، تبدیل.

چرخش حول محورهای ''x'' ، ''y'' و ''z چرخش اصلی'' نامیده می شود . چرخش حول هر محوری را می توان با چرخش حول محور ''x و به دنبال آن یک چرخش حول محور y'' و به دنبال آن چرخش حول محور ''z انجام داد.'' یعنی هر چرخش فضایی را می توان به ترکیبی از چرخش های اصلی تجزیه کرد.

در دینامیک پرواز ، چرخش‌های اصلی به‌عنوان ''انحراف'' ، ''گام'' و ''رول'' (معروف به زوایای تایت-برایان ) شناخته می‌شوند. این اصطلاح در گرافیک کامپیوتری نیز استفاده می شود .

== هندسه ==
در هندسه دوران به صورت چرخش حجم سازی انجام می گردد،به این نوع حرکت،حرکت اسپینی یا دوران اسپینی گویند.در دوران حجم آن ضلعی که حول شکل آن دوران می دهد بچرخد ارتفاع میشود اما آن ضلعی که چرخیده می شود شعاع آن جسم است.

اصول های دورانی

از دوران یک ''مستطیل'' حول یکی از اضلاعش= استوانه

از دوران یک ''مثلث قائم‌الزاویه'' حول یکی از اضلاع مجاورش= مخروط

از دوران یک ''ذوزنقه قائم الزاویه'' حول ضلع قائم= مخروط ناقص

از دوران یک ''مثلث قائم الزاویه'' حول وتر= دو مخروط

از دوران یک ''دایره'' حول قطر به اندازه&lt;sup&gt;○&lt;/sup&gt;180= کره

از دوران یک ''نیم دایره'' حول قطر به اندازه&lt;sup&gt;○&lt;/sup&gt;360= کره

از دوران یک بیضی حول یکی از قطر هایش یک کره گون به وجود می آید.

از دوران یک سهمی حول یکی از قطرهایش یک سهمی گون به وجود می آید

از دوران یک هذلولی حول یکی از قطرهایش ،یک هذلولی گون به وجود می آید.

=== محور ثابت مقابل نقطه ثابت ===
نتیجه ''نهایی'' هر دنباله ای از چرخش هر جسم به صورت سه بعدی حول یک نقطه ثابت همیشه معادل چرخش حول یک محور است. با این حال، یک جسم ممکن است ''به طور فیزیکی'' به صورت سه بعدی حول یک نقطه ثابت روی بیش از یک محور به طور همزمان بچرخد، در این صورت هیچ محور ثابت چرخشی وجود ندارد - فقط نقطه ثابت. با این حال، این دو توصیف را می توان با هم تطبیق داد - چنین حرکت فیزیکی را همیشه می توان بر حسب یک محور چرخش دوباره توصیف کرد، مشروط بر اینکه جهت آن محور نسبت به جسم اجازه داده شود لحظه به لحظه تغییر کند.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی</text>
      <sha1>bbz8nhrftbyw6bx7tol1oxwmge8t63d</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117706</id>
      <parentid>117703</parentid>
      <timestamp>2022-08-12T12:39:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5361" xml:space="preserve">'''دوران''' حرکت دایره ای یک جسم حول ''محور چرخش'' در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت است. یک جسم سه بعدی ممکن است دارای بی نهایت محور چرخش باشد.

اگر محور چرخش به صورت داخلی از مرکز جرم خود بدن عبور کند ، آنگاه گفته می‌شود که جسم در ''حال'' چرخش یا ''چرخش'' خودکار است و محل تلاقی سطح محور را می‌توان ''قطب'' نامید . چرخش حول یک محور کاملاً خارجی، مثلاً سیاره زمین به دور خورشید ، ''چرخان'' یا ''در حال گردش'' نامیده می شود ، معمولاً زمانی که توسط گرانش ایجاد می شود ، و انتهای محور چرخش را می توان ''قطب های مداری'' نامید .

== ریاضیات ==
از نظر ریاضی ، چرخش یک حرکت بدن سفت و سخت است که بر خلاف ترجمه ، یک نقطه را ثابت نگه می دارد. این تعریف برای چرخش در دو بعد و سه بعد (به ترتیب در یک صفحه و در فضا) اعمال می شود.

تمام حرکات سفت و سخت بدن چرخش، ترجمه یا ترکیبی از این دو هستند.

چرخش به سادگی یک جهت شعاعی پیشرونده به یک نقطه مشترک است. آن نقطه مشترک در محور آن حرکت قرار دارد. محور 90 درجه عمود بر صفحه حرکت است.

اگر چرخش حول یک نقطه یا محور با چرخش دوم حول همان نقطه/محور دنبال شود، چرخش سوم حاصل می شود. معکوس ( معکوس ) یک چرخش نیز یک چرخش است. بنابراین، چرخش‌های حول یک نقطه/محور یک گروه را تشکیل می‌دهند . با این حال، یک چرخش حول یک نقطه یا محور و یک چرخش حول یک نقطه/محور متفاوت ممکن است منجر به چیزی غیر از یک چرخش شود، به عنوان مثال، تبدیل.

چرخش حول محورهای ''x'' ، ''y'' و ''z چرخش اصلی'' نامیده می شود . چرخش حول هر محوری را می توان با چرخش حول محور ''x و به دنبال آن یک چرخش حول محور y'' و به دنبال آن چرخش حول محور ''z انجام داد.'' یعنی هر چرخش فضایی را می توان به ترکیبی از چرخش های اصلی تجزیه کرد.

در دینامیک پرواز ، چرخش‌های اصلی به‌عنوان ''انحراف'' ، ''گام'' و ''رول'' (معروف به زوایای تایت-برایان ) شناخته می‌شوند. این اصطلاح در گرافیک کامپیوتری نیز استفاده می شود .

== هندسه ==
در هندسه دوران به صورت چرخش حجم سازی انجام می گردد،به این نوع حرکت،حرکت اسپینی یا دوران اسپینی گویند.در دوران حجم آن ضلعی که حول شکل آن دوران می دهد بچرخد ارتفاع میشود اما آن ضلعی که چرخیده می شود شعاع آن جسم است.

اصول های دورانی

از دوران یک ''مستطیل'' حول یکی از اضلاعش= استوانه

از دوران یک ''مثلث قائم‌الزاویه'' حول یکی از اضلاع مجاورش= مخروط

از دوران یک ''ذوزنقه قائم الزاویه'' حول ضلع قائم= مخروط ناقص

از دوران یک ''مثلث قائم الزاویه'' حول وتر= دو مخروط

از دوران یک ''دایره'' حول قطر به اندازه&lt;sup&gt;○&lt;/sup&gt;180= کره

از دوران یک ''نیم دایره'' حول قطر به اندازه&lt;sup&gt;○&lt;/sup&gt;360= کره

از دوران یک بیضی حول یکی از قطر هایش یک کره گون به وجود می آید.

از دوران یک سهمی حول یکی از قطرهایش یک سهمی گون به وجود می آید

از دوران یک هذلولی حول یکی از قطرهایش ،یک هذلولی گون به وجود می آید.

=== محور ثابت مقابل نقطه ثابت ===
نتیجه ''نهایی'' هر دنباله ای از چرخش هر جسم به صورت سه بعدی حول یک نقطه ثابت همیشه معادل چرخش حول یک محور است. با این حال، یک جسم ممکن است ''به طور فیزیکی'' به صورت سه بعدی حول یک نقطه ثابت روی بیش از یک محور به طور همزمان بچرخد، در این صورت هیچ محور ثابت چرخشی وجود ندارد - فقط نقطه ثابت. با این حال، این دو توصیف را می توان با هم تطبیق داد - چنین حرکت فیزیکی را همیشه می توان بر حسب یک محور چرخش دوباره توصیف کرد، مشروط بر اینکه جهت آن محور نسبت به جسم اجازه داده شود لحظه به لحظه تغییر کند.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>l1l0ic4dejnakd6mrdynu6yqaw1f7wx</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>