استفاده منصفانه

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10.xsd" version="0.10" xml:lang="fa">
  <siteinfo>
    <sitename>ویکی‌کتاب</sitename>
    <dbname>fawikibooks</dbname>
    <base>https://fa.wikibooks.org/wiki/%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%D9%94_%D8%A7%D8%B5%D9%84%DB%8C</base>
    <generator>MediaWiki 1.39.0-wmf.25</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">مدیا</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">ویژه</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">بحث</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">کاربر</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">بحث کاربر</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">ویکی‌کتاب</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">بحث ویکی‌کتاب</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">پرونده</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">بحث پرونده</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">مدیاویکی</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">بحث مدیاویکی</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">الگو</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">بحث الگو</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">راهنما</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">بحث راهنما</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">رده</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">بحث رده</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">کتاب‌آشپزی</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">بحث کتاب‌آشپزی</namespace>
      <namespace key="110" case="first-letter">ویکی‌کودک</namespace>
      <namespace key="111" case="first-letter">بحث ویکی‌کودک</namespace>
      <namespace key="112" case="first-letter">موضوع</namespace>
      <namespace key="113" case="first-letter">بحث موضوع</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">پودمان</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">بحث پودمان</namespace>
      <namespace key="2300" case="first-letter">ابزار</namespace>
      <namespace key="2301" case="first-letter">بحث ابزار</namespace>
      <namespace key="2302" case="case-sensitive">توضیحات ابزار</namespace>
      <namespace key="2303" case="case-sensitive">بحث توضیحات ابزار</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>استفاده منصفانه</title>
    <ns>0</ns>
    <id>3160</id>
    <revision>
      <id>117793</id>
      <parentid>117783</parentid>
      <timestamp>2022-08-17T18:40:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>ویرایش [[Special:Contributions/83.122.56.137|83.122.56.137]] ([[User talk:83.122.56.137|بحث]]) به آخرین تغییری که [[User:Doostdar|Doostdar]] انجام داده بود واگردانده شد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="286" xml:space="preserve">برای آگاهی دربارهٔ شرایط و چگونگی استفادهٔ منصفانه [[:wikipedia:fa:ویکی‌پدیا:استفادهٔ منصفانه|ویکی‌پدیا:استفادهٔ منصفانه]] را ببینید.

[[رده:حق تکثیر]]
[[رده:راهنما]]</text>
      <sha1>dk0qviuak49g54jqgpok37jvmfm6j3k</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضی پایه/ضرب کردن اعداد</title>
    <ns>0</ns>
    <id>14507</id>
    <revision>
      <id>117794</id>
      <parentid>117776</parentid>
      <timestamp>2022-08-17T18:41:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>ویرایش [[Special:Contributions/46.51.65.46|46.51.65.46]] ([[User talk:46.51.65.46|بحث]]) به آخرین تغییری که [[User:Doostdar|Doostdar]] انجام داده بود واگردانده شد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3434" xml:space="preserve">==آموزش ضرب کردن==
===مهارت‌ها و مدل‌ها===

علامت ضرب «×» است.

ضرب کردن دو عدد «۳» و «۵» با هم به این معنی است که عدد ۳ را ۵ بار با خودش جمع کنیم:
{{چپ‌چین}}
۳ + ۳ + ۳ + ۳ + ۳ = ۱۵

{{پایان چپ‌چین}}

عبارت بالا به صورت زیر نشان داده می‌شود:
{{چپ‌چین}}
۳ × ۵ = ۱۵ 

{{پایان چپ‌چین}}
در روش‌های مدن آموزشی برای آموزش ضرب از الگوریتم‌های استاندارد استفاده می‌کنند مثلن آموزگاری که می‌خواهد مسئلۀ ۶ × ۴ را آموزش بدهد ۶ کیسه بر می‌دارد و درون هر کدام‌شان ۴ مهره می‌اندازد. در زیر به مدل‌هایی پرداخته‌ایم که انتزاعی‌ترند اما مدلی که همه دانش‌آموزان آن را می‌فهمند و از آن استفاده می‌کنند مدلی است که ''مساحت مستطیل'' نامیده می‌شود.

[[پرونده:Arearectangle.jpg|بی‌قاب|وسط]]

مدل مساحت مستطیلی که در شکل بالا نشان داده شده است مربوط به مسئله ۴ × ۹ است که حاصل آن برابر ۳۶ می‌شود. دقت کنید که عرض مستطیل شامل ۴ واحد و طول مستطیل ما شامل ۹ واحد است. در واقع مستطیل ما از ۴ ردیف و ۹ ستون تشکیل شده است بنابراین دانش‌آموز می‌فهمد وقتی ۹ واحد موجود در ردیف اول را ۴ بار تکرار کند حاصل می‌شود ۳۶.

===استفاده از الگوریتم‌های مختلف در حل مسئله‌های ضرب===
===روش شبکه‌ای===
===ضرب اعداد اعشاری===
==روش ضرب اعداد 19 تا 11 در خودشان==
در اینجا ابتدا رقم های یکان را در هم ضرب می کنیم.برای مثال 12X13 ،ابتدا 2 را ضربدر 3 می کنیم که می شود6.این عدد در یکان قرار می گیرد.سپس یکان ها را باهم جمع کرده و در دهگان قرار می دهیم.مانند:2+3=5.این عدد در رده دهگان قرار می گیرد.سپس دهگان ها را در هم ضرب می کنیم که می شود:1x1=1.این رقم را نیز در صدگان قرار می دهیم.
بنابراین،حاصل ضرب 12x13 می شود:156

اگر یکی از این اعداد،یکان یا دهگان اضافه می آورد،باید با رقم قبل از خود جمع شود.برای مثال:19x18. 
9x8=72 که ما 2 را یکان قرار می دهیم و عدد 7 را نگه می داریم.9+8=17 .در اینجا،دهگان حاصل،7 است اما چون از قبل یک 7 دیگر داشتیم،با هم دیگر جمع می کنیم:7+7=14 که عدد 4 را دهگان حاصل ضرب قرار می دهیم.حال یک دهگان 14 و یک دهگان 17 داریم که جمع دهگانها می شود 2.حال 1را ضربدر 1 می کنیم و 2تا به آن اضافه می کنیم که صدگان می شود 3.حال،جاصل ضرب اعداد19x18 می شود:342
شما می توانید با تمرین و تلاش،بر این روش مسلط گردید.
[[رده:ریاضی پایه]]</text>
      <sha1>4blvt5oiay3s2ufi48z8ai9kgllmvkv</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>هندسه مقدماتی/فضای چهاربعدی</title>
    <ns>0</ns>
    <id>17121</id>
    <revision>
      <id>117809</id>
      <parentid>66609</parentid>
      <timestamp>2022-08-18T07:31:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="405" xml:space="preserve">{{سرص|هندسه مقدماتی/فضای سه‌بعدی|}}
در ریاضیات بعد چهارم یا ۴D، یک مفهوم انتزاعی و غیر حقیقی است که ناشی از تعمیم قانون فضای سه بعدی است.
[[رده:هندسه مقدماتی]]

[[پرونده:8-cell-simple.gif|بندانگشتی|300px|ویدیوی حرکت یک فضای چهاربدی(تسراکت)]]</text>
      <sha1>b8yihl51wg2d48ymy9u7idmcana7ahj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117810</id>
      <parentid>117809</parentid>
      <timestamp>2022-08-18T07:31:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="407" xml:space="preserve">{{سرص|هندسه مقدماتی/فضای سه‌بعدی|}}
در ریاضیات بعد چهارم یا ۴D، یک مفهوم انتزاعی و غیر حقیقی است که ناشی از تعمیم قانون فضای سه بعدی است.
[[رده:هندسه مقدماتی]]

[[پرونده:8-cell-simple.gif|بندانگشتی|300px|ویدیوی حرکت یک فضای چهاربعدی(تسراکت)]]</text>
      <sha1>lyp7ilvrai5go0dpci6s1z9thsoa7mt</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده</title>
    <ns>4</ns>
    <id>17803</id>
    <revision>
      <id>117797</id>
      <parentid>115085</parentid>
      <timestamp>2022-08-17T18:58:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6542" xml:space="preserve">{{/بالا/}}
کتاب‌هایی که در این صفحه فهرست شده‌اند کتاب‌های خوب و برگزیده ویکی‌کتاب فارسی هستند و الگوی {{الگوی|کتاب خوب}} برای‌ آن‌ها استفاده شده است.
&lt;!--همچنین می‌توانید برای صفحه اصلی از این‌ها استفاده کنید.--&gt;
&lt;inputbox&gt;
type       = create
buttonlabel= ایجاد
default    = الگو:کتاب خوب/
preload    = الگو:کتاب خوب/خالی
editintro  = الگو:کتاب خوب/Editintro
break      = no
width      = 40
&lt;/inputbox&gt;&lt;/noinclude&gt;
{{Dynamic navigation|expand=yes|title=کتاب‌های برگزیدهٔ جدید|body=
&lt;table cellpadding=&quot;5&quot;&gt;
{{col-begin}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/عامل‌های انسانی در امنیت اطلاعات|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/فرهنگ نجوم|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/هک|edit=1}}
{{col-end}}
&lt;/table&gt;
}}
{{Dynamic navigation|title=علوم انسانی|body= 
'''برای دیدن کتاب‌های دیگر با موضوع علوم انسانی به [[موضوع:دین و فلسفه]]، [[موضوع:روانشناسی]] و [[موضوع:تاریخ]] بروید.'''
&lt;table cellpadding=&quot;5&quot;&gt;
{{col-begin}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/ژئوپلیتیک دریای کاسپین|edit=1}}
{{کتاب خوب/غلبه بر سستی|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/تاریخ ایران|edit=1}}
{{کتاب خوب/زبان آذربایجان در گذر زمان|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/تاریخ پزشکی در اسپانیا|edit=1}}
{{کتاب خوب/نگاهی به تاریخ فلسفه|edit=1}}
{{col-end}}
&lt;/table&gt;
}}
{{Dynamic navigation|title=زبان|body=
'''برای دیدن کتاب‌های دیگر با موضوع زبان به [[موضوع:زبان‌ها]] بروید.'''
&lt;table cellpadding=&quot;5&quot;&gt;
{{col-begin}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/آموزش زبان بنگالی|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/آموزش زبان ژاپنی|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/زبان ترکی آذربایجانی|edit=1}}
{{col-end}}
&lt;/table&gt;
}}
{{Dynamic navigation|title=علوم اجتماعی|body=
'''برای دیدن کتاب‌های دیگر با موضوع علوم اجتماعی به [[موضوع:علوم اجتماعی]]، [[موضوع:جامعه شناسی]] و [[موضوع:حقوق]] بروید.'''
&lt;table cellpadding=&quot;5&quot;&gt;
{{col-begin}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/ثروت ملل|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/جهل به قانون|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/تقویم‌های جهان|edit=1}}
{{col-end}}
&lt;/table&gt;
}}
{{Dynamic navigation|title=علمی|body=
'''برای دیدن کتاب‌های دیگر با موضوع علمی به [[موضوع:ریاضی]]، [[موضوع:زیست‌شناسی]]، [[موضوع:فیزیک]]، [[موضوع:شیمی]]، [[موضوع:پزشکی]] و [[موضوع:علوم مهندسی]] بروید.'''
&lt;table cellpadding=&quot;5&quot;&gt;
{{col-begin}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/فیزیک مدرن|edit=1}}
{{کتاب خوب/رله دقیق حرارتی|edit=1}}
{{کتاب خوب/حل تمرین نظریه محاسبات|edit=1}}
{{کتاب خوب/اسید و باز|edit=1}}
{{کتاب خوب/ریاضیات برای اقتصاد|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/هندسه مقدماتی|edit=1}}
{{کتاب خوب/زیست‌شناسی|edit=1}}
{{کتاب خوب/درسنامه مکانیک سیالات|edit=1}}
{{کتاب خوب/راهنمای جامع فیزیک|edit=1}}
{{کتاب خوب/ریاضیات پیشرفته|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/نانولوله‌های کربنی|edit=1}}
{{کتاب خوب/ریاضی پایه|edit=1}}
{{کتاب خوب/درسنامه انتقال حرارت|edit=1}}
{{کتاب خوب/توابع مثلثاتی|edit=1}}
{{کتاب خوب/تست|edit=1}}
{{col-end}}
&lt;/table&gt;
}}
{{Dynamic navigation|title=فناوری|body=
'''برای دیدن کتاب‌های دیگر با موضوع فناوری به [[موضوع:رایانه]] بروید.'''
&lt;table cellpadding=&quot;5&quot;&gt;
{{col-begin}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/راهنمای نرم‌افزار حلقه آتشین|edit=1}}
{{کتاب خوب/آموزش اینترنت دانلود منیجر|edit=1}}
{{کتاب خوب/آموزش گام به گام کار با فیسبوک|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/مقدمه رایانه|edit=1}}
{{کتاب خوب/لاتک|edit=1}}
{{کتاب خوب/آثار فرهنگی اجتماعی و روانی فناوری اطلاعات روی انسان|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/راهنمای یاهو مسنجر|edit=1}}
{{کتاب خوب/آشنایی با مرورگرها|edit=1}}
{{کتاب خوب/پی‌اچ‌پی|edit=1}}
{{col-end}}
&lt;/table&gt;
}}
{{Dynamic navigation|title=سایر|body=
'''برای دیدن کتاب‌های دیگر به [[موضوع:زبان‌ها]] بروید.'''
&lt;table cellpadding=&quot;5&quot;&gt;
{{col-begin}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/راهنمای برگزاری کنفرانسهای بین‌المللی در ایران|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/زندگی در شرایط سخت|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب خوب/آموزش دوچرخه‌سواری اصولی|edit=1}}
{{col-3}}
{{col-end}}
&lt;/table&gt;
}}
{{Dynamic navigation|title=ویکی‌کودک|body=
'''برای دیدن کتاب‌های مناسب برای کودکان زیر ۱۲ سال به [[موضوع:کودکان]] بروید.'''
&lt;table cellpadding=&quot;5&quot;&gt;
{{col-begin}}
{{col-3}}
{{کتاب‌های برگزیده ویکی‌کودک/آموزش الفبای فارسی|edit=1}}
{{کتاب‌های برگزیده ویکی‌کودک/عناصر شیمیایی|edit=1}}
{{کتاب‌های برگزیده ویکی‌کودک/ویکی‌کودک:کار در جهان|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب‌های برگزیده ویکی‌کودک/الفبای جنگل|edit=1}}
{{کتاب‌های برگزیده ویکی‌کودک/ویکی‌کودک:کتاب معماهای تصویری|edit=1}}
{{کتاب‌های برگزیده ویکی‌کودک/ویکی‌کودک:اقیانوس‌ها|edit=1}}
{{col-3}}
{{کتاب‌های برگزیده ویکی‌کودک/ویکی‌کودک:آزمایش‌ها و سرگرمی‌های علمی|edit=1}}
{{کتاب‌های برگزیده ویکی‌کودک/ویکی‌کودک:دایناسورها|edit=1}}
{{کتاب‌های برگزیده ویکی‌کودک/ویکی‌کودک:تمدن‌های باستانی|edit=1}}
{{col-end}}
&lt;/table&gt;
}}</text>
      <sha1>8uhqvm2835ynxuxugoym9odovjghqlk</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ویکی‌کتاب:میز تحریر</title>
    <ns>4</ns>
    <id>33076</id>
    <revision>
      <id>117796</id>
      <parentid>117777</parentid>
      <timestamp>2022-08-17T18:55:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>ویرایش [[Special:Contributions/Mervat (WMF)|Mervat (WMF)]] ([[User talk:Mervat (WMF)|بحث]]) به آخرین تغییری که [[User:Doostdar|Doostdar]] انجام داده بود واگردانده شد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="39276" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;{{{style|}}}&quot;&gt;
&lt;inputbox&gt;
type=fulltext
bgcolor=transparent
prefix=ویکی‌کتاب:میز تحریر
break=no
searchbuttonlabel=جستجو!
&lt;/inputbox&gt;
&lt;/div&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;
&lt;blockquote style=&quot;border: 5px solid #A0410A; padding: 1em;&quot;&gt;&lt;div style=&quot;text-align: right;font-size:110%;&quot;&gt; [[تصویر:Nuvola_apps_file-manager.png|right|70 px|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر]]{{میان‌بر|[[وک:مت]]}}میز تحریر در ویکی‌کتاب، مکانی برای مطرح کردن سوالات عمومی، درخواست راهنمایی و اظهار نظر از دیگر کاربران، و بحث بر سر مسایل مختلفی است که در ویکی‌کتاب اهمیت دارد. &lt;/div&gt;&lt;/blockquote&gt;
&lt;div style=&quot;float:left;&quot;&gt;
{{جعبه بایگانی|
[[/بایگانی۱|بایگانی۱]]{{*}}
[[/بایگانی۲|بایگانی۲]]{{*}}
[[/بایگانی۳|بایگانی۳]]{{*}}
[[/بایگانی۴|بایگانی۴]]{{*}}
[[/بایگانی۵|بایگانی۵]]{{*}}
[[/بایگانی۶|بایگانی۶]]{{*}}
[[/بایگانی۷|بایگانی۷]]{{*}}
[[/بایگانی۸|بایگانی۸]]{{*}}
[[/بایگانی۹|بایگانی۹]]{{*}}
[[/بایگانی۱۰|بایگانی۱۰]]{{*}}
[[/بایگانی۱۱|بایگانی۱۱]]{{*}}
[[/بایگانی۱۲|بایگانی۱۲]]{{*}}
[[/بایگانی۱۳|بایگانی۱۳]]{{*}}
[[/بایگانی۱۴|بایگانی۱۴]]{{*}}
[[/بایگانی۱۵|بایگانی۱۵]]{{*}}
[[/بایگانی۱۶|بایگانی۱۶]]{{*}}
[[/بایگانی۱۷|بایگانی۱۷]]{{*}}
[[/بایگانی۱۸|بایگانی۱۸]]{{*}}
[[/بایگانی۱۹|بایگانی۱۹]]{{*}}
}}
&lt;/div&gt;
__NEWSECTIONLINK__
[[en:Wikibooks:Reading room/General]]

==شب یلدا (۲۰ دسمبر)==
&lt;div style=&quot;font-size:large&quot;&gt;
[[پرونده:Yaldā Night festival winter solstice celebration in Iran.jpg|250px|بندانگشتی|چپ|شب یلدا خجسته باد]]
* {{رنگی|آبی}}Happy Yalda Night{{رنگی/پ}} 
* {{رنگی|سبز}}Feliz Yaldá{{رنگی/پ}}
* {{رنگی|زرد}}С Ялда{{رنگی/پ}}
* {{رنگی|قرمز}}جه ژنی شەوی یەڵدا{{رنگی/پ}}
* {{رنگی|خاکستری}}Yelda gece mübarək olsun{{رنگی/پ}}
* {{رنگی|بنفش}}یلدا گئجه‌سی موبارك اولسون{{رنگی/پ}}
* {{رنگی|قرمز}}Шáби Ялдó Мoбаpаc{{رنگی/پ}}
&lt;/div&gt;
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] شنبه،۲۹ آذر ۱۳۹۹، ساعت ۲۲:۵۴ (ایران) ‏۱۹ دسامبر ۲۰۲۰، ساعت ۱۹:۲۴ (UTC)
== پربازدیدترین صفحات ویکی‌کتاب (نوامبر ۲۰۲۰) ==
صفحه‌های زیر پربازدیدترین صفحه‌های ویکی‌کتاب در نوامبر ۲۰۲۰ بوده‌اند:
# [[اسید و باز/شناسایی]]
# [[ریاضی پایه/اعداد منفی]]
# [[ریاضی پایه/تقسیم کردن اعداد]]
# [[آموزش زبان انگلیسی/الفبا]]
# [[ریاضی پایه/اعداد اعشاری]]
# [[ریاضی پایه/ضرب کردن اعداد]]
# [[اسید و باز/تعریف]]
# [[راهنمای بازی تخته نرد/روش بازی کردن]]
# [[راهنمای آموزش زبان فارسی به غیر فارسی زبانان/درس نه]]
# [[فرمول‌های فیزیک/مکانیک کلاسیک]]
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۳۰ آذر ۱۳۹۹، ساعت ۲۳:۰۰ (ایران) ‏۲۰ دسامبر ۲۰۲۰، ساعت ۱۹:۳۰ (UTC)

== چند نکته برای نوشتن کتاب ==

برای اینکه ایبوک بهتری ایجاد کنید و مخاطب بیشتری جذب کنید که با قوانین ویکی‌کتاب مطابقت داشته باشه به نکتههای زیر توجه کنید:
* نام ایبوک را باید طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشد و به خوبی مشخص کند کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی است. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست.
* سعی کنید ایبوک داری بخش های پیشگفتار، فهرست، فصل های مختلف، واژه‌نامه، منابع باشد. صفحه‌های کتاب به صورت نام کتاب/نام زیرصفحه باید ایجاد شود. 
* اگر ایبوک تصاویر مناسبی داشته باشه مخاطب بیشتری جذب خواهد شد. غیر از تصاویر خود کتاب به یک تصویر جلد هم نیاز است.
* قبل از اینکه یک ایبوک جدید را ایجاد کنید از کاربرهایی که به موضوع علاقه‌مند و مسلط هستند برای نوشتن ایبوک درخواست کمک کنید. اگر وقت کافی یا توانایی ایجاد کتاب جدید را ندارید از بین [[موضوع:کتاب‌ها بر اساس موضوع|ایبوک‌های موجود]] ایبوک متناسب با موضوع خودتان را پیدا کرده و در تکمیل کردن آن مشارکت کنید.
* نام رده همان نام ایبوک است.
* پس از اینکه ایبوک خود را کامل کردید می‌توانید نسخه پی‌دی‌اف از آن تهیه نموده و فایل پی‌دی‌اف را در اینترنت منتشر کنید.
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۲ بهمن ۱۳۹۹، ساعت ۰۰:۳۷ (ایران) ‏۲۰ ژانویهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۲۱:۰۷ (UTC)
==جشن سده (۳۰ جنوئری)==
&lt;div style=&quot;font-size:large&quot;&gt;
[[پرونده:Sadeh Festival in Shiraz 2020-01-30 05.jpg|250px|بندانگشتی|چپ|جشن سده خجسته باد]]
* {{رنگی|آبی}}Happy Sadeh{{رنگی/پ}} 
* {{رنگی|زرد}}Ҷашни Сада Мoбаpаc{{رنگی/پ}}
&lt;/div&gt;
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] شنبه،۱۱ بهمن ۱۳۹۹، ساعت ۱۰:۴۴ (ایران) ‏۳۰ ژانویهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۰۷:۱۴ (UTC)

==روز بین‌المللی نوروز (۲۱ مارچ)==
[[پرونده:Nowrooz-Yousef Abdinejad-50x70cm-oil on canvas.jpg|150px|بندانگشتی|چپ|نوروز خجسته باد]]
* {{رنگی|آبی}} Happy Noruz
* {{رنگی|خاکستری}} feliz Nouruz
* {{رنگی|زرد}} С Навруз
* {{رنگی|سبز}} جه ژنی نه وروزتان بیروزبیت
* {{رنگی|قرمز}} novruz bayramınız mübarək olsun
* {{رنگی|بنفش}} نوروز بايرامينيز موبارك اولسون
* {{رنگی|سبز}} نوروزکم مبارک
* {{رنگی|آبی}} navroʻz bayram tabrik
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۲۸ اسفند ۱۳۹۹، ساعت ۱۵:۳۴ (ایران) ‏۱۸ مارس ۲۰۲۱، ساعت ۱۲:۰۴ (UTC)

== توضیحی در مورد رده‌ها در ویکی‌کتاب ==

چند سال پیش چند کاربر که در ویکی‌پدیا هم فعالیت داشتند گمان می‌بردند رده‌بندی در ویکی‌کتاب هم مثل ویکی‌کتاب است. حال آنکه رده‌بندی ویکی‌کتاب کاملا با ویکی‌پدیا فرق میکند. در ویکی‌پدیا هر صفحه چند رده دارد که درباره موضوع آن صفحه هستند ولی در ویکی‌کتاب هر صفحه یک رده بیشتر ندارد و آن عنوان صفحه اول کتاب است. رده‌ها هم خود می‌توانند زیر رده رده‌های بزرگتر باشند (این قسمت ماجرا همانند ویکی‌پدیا است). مثلا یک صفحه از کتاب ریاضی پایه رده‌ای دارد به نام &lt;nowiki&gt;رده:ریاضی پایه&lt;/nowiki&gt;. این &lt;nowiki&gt;رده:ریاضی پایه&lt;/nowiki&gt; خود زیررده رده‌های بزرگتر مثل ریاضی یا علوم ریاضی یا علوم پایه است. این رویه طرز رده‌بندی در ویکی‌کتاب است. بعضی از رده‌های این وبگاه اینها هستند: رده شیمی، رده روانشناسی، رده تاریخ، رده گیتاشناسی. به دلیل اینکه این وبگاه به زبان فارسی نوشته شده است، خیلی از نوشتارها درباره ایران یا افغانستان هستند، از این رو یک رده ایران و یک رده افغانستان هم داریم. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۲۳ اردیبهشت ۱۴۰۰، ساعت ۲۳:۵۴ (ایران) ‏۱۳ مهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۱۹:۲۴ (UTC)

== نصب افزونهٔ quiz ==
{{بسته|نصب شد: [[phab:T289381]] &amp;rlm; [[کاربر:4nn1l2|4nn1l2]] ([[بحث کاربر:4nn1l2|بحث]]) ‏۲۶ اوت ۲۰۲۱، ساعت ۱۸:۳۷ (UTC) }}

در ویکی‌کتاب انگلیسی افزونهٔ [[mw:Extension:Quiz]] نصب است (می‌توانید از طریق [[:en:Special:Version]] چک کنید). نمونه‌اش را می‌توانید در صفحهٔ آموزش هلندی [[:en:Dutch/Lesson_1#Quiz]] بیابید. مثال‌های زیبای دیگری در [[:en:Help:Quizzes]] آمده است. پیشنهاد می‌کنم این افزونه در ویکی‌کتاب فارسی نیز نصب شود تا [[کاربر:Roozitaa]] بتواند به صفحاتی که برای آموزش زبان فارسی به غیرفارسی‌زبان ساخته است (مثلاً [[راهنمای آموزش زبان فارسی به غیر فارسی زبانان/درس یک]]) عمق و تنوع بیشتری بدهد. این ریسه را در راستای [[w:fa:بحث کاربر:4nn1l2#خلاقیت در آموزش زبان]] گشودم.

* [[کاربر:4nn1l2]] در ویکی کتاب ژاپنی مطرح کردم که بهتر است [https://en.wikibooks.org/wiki/Template:Dutch/Translation] و [https://en.wikibooks.org/wiki/MediaWiki:Common.js/CollapseElements.js] و همچنین [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:Quiz کوئیز] ساخته شود . جواب دادند لازم به مجوز نیست بلکه باید یک داوطلب برای ساختن پیدا شود.[[کاربر:Roozitaa|Roozitaa]] ([[بحث کاربر:Roozitaa|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۲۲:۳۳ (UTC)
*:افزونهٔ quiz الگو نیست و این‌ها چیزهای مجزایی هستند. قبلاً در صفحهٔ بحثم در ویکی‌پدیا بلیت‌های مربوطه را نشان داده بودم (مثلاً [[phab:T157513]]). اعتماد داشته باشید. ایجاد اجماع و نصب افزونه و تأیید کردن آن مدتی وقت می‌برد (شاید یک ماه). موضوع را خودم در قهوه‌خانهٔ ویکی‌کتاب ژاپنی مطرح کردم: [[:ja:Wikibooks:談話室#Install Extension:Quiz]]. &amp;rlm; [[کاربر:4nn1l2|4nn1l2]] ([[بحث کاربر:4nn1l2|بحث]]) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۰۲:۰۷ (UTC)
*:: [[کاربر:4nn1l2]] از مدیر ویکی کتاب [[:ja:Wikibooks:利用者・トーク:Tomzo#テンプレート]] در مورد  [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:Quiz کوئیز] پرسیدم شاید سر در نیاورد اما جواب داده است سعی کنید خودتان انجام دهید یا در اتاق مشورت مطرح کنید تا یک داوطلب آن را انجام دهد. حرفی از  اجماع برای نصب نزده است. شما بهتر وارد هستید اما شاید به اجماع نیازی نباشد.[[کاربر:Roozitaa|Roozitaa]] ([[بحث کاربر:Roozitaa|بحث]]) ‏۲۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۰۰:۱۶ (UTC)
*:::quiz الگو نیست بلکه باید به صورت تگ به کار برود یعنی درون &lt;&gt; قرار بگیرد. &lt;code&gt;&lt;quiz&gt;&lt;/code&gt;. چند بار تیکت‌های فابریکاتور را نشانتان دادم: [[phab:T212622]]، [[phab:T40361]]. اگر بخوانیدشان پیوندهای اجماع را خواهید دید. اگر عجله دارید یا فکر می‌کنید کارتان به نحو دیگری، سریع‌تر یا بهتر راه می‌افتد بدون رودربایستی اقدام کنید. از نظر من مشکلی نیست. [[کاربر:4nn1l2|4nn1l2]] ([[بحث کاربر:4nn1l2|بحث]]) ‏۲۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۰۰:۳۵ (UTC)
*::::[[کاربر:4nn1l2]] هیچ عجله ای نیست اما گمان نمی کنم که کاربران دیگر در این بحث شرکت کنند. شما در این موارد با تجربه و با اطلاع هستید و در نتیجه هر چه انجام دهید مناسب است.[[کاربر:Roozitaa|Roozitaa]] ([[بحث کاربر:Roozitaa|بحث]]) ‏۲۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۲۳:۱۴ (UTC) 
*::::: [[کاربر:4nn1l2]] دیروز درس یک را خواستم ترجمه کنم اما وقتی جملات در داخل الگو قرار می گیرند، نظم و ترتیب به هم ریخته می شود [[:ja:Wikibooks:ペルシア語/第1課]] :تَمرین ۴ را توجه بفرمائید در پیش نمایش تمرین ها مرتب است اما در عمل چیزی که به نمایش در می آید با پیش نمایش تفاوت دارد.[[کاربر:Roozitaa|Roozitaa]] ([[بحث کاربر:Roozitaa|بحث]]) ‏۲ اوت ۲۰۲۱، ساعت ۲۲:۵۴ (UTC)
* {{موافق}} [[کاربر:4nn1l2|4nn1l2]] ([[بحث کاربر:4nn1l2|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۰۴:۱۹ (UTC)
* {{موافق}}[[کاربر:Roozitaa|Roozitaa]] ([[بحث کاربر:Roozitaa|بحث]]) ‏۲۷ ژوئیهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۱۰:۰۴ (UTC)
{{پایان بسته}}

== چپ چین ==
سلام نحوه چپ چین کردن متن لاتین چگونه است؟ [[کاربر:ماسرا|ماسرا]] ([[بحث کاربر:ماسرا|بحث]]) ۲۹ مرداد ۱۴۰۰، ساعت ۱۰:۴۸ (ایران)
:{{پب|ماسرا}} درود. میتوانید از [[ویکی‌کتاب:الگوها/الگوهای عمومی|الگوی مربوطه]] استفاده کنید. به این صورت که متنی را که میخواهید چپ چین شود درون دو الگوی &lt;nowiki&gt;{{چپ‌چین}}&lt;/nowiki&gt; و &lt;nowiki&gt;{{پایان چپ‌چین}}&lt;/nowiki&gt; قرار دهید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] شنبه،۳۰ مرداد ۱۴۰۰، ساعت ۰۹:۱۳ (ایران) ‏۲۱ اوت ۲۰۲۱، ساعت ۰۴:۴۳ (UTC)
::خیلی ممنونم [[کاربر:ماسرا|ماسرا]] ([[بحث کاربر:ماسرا|بحث]]) ۳۱ مرداد ۱۴۰۰، ساعت ۰۹:۳۷ (ایران)

== پیروزی طالبان در افغانستان ==

[[پرونده:Northern Alliance flag flown in Panjshir 2021.svg|200px|بی‌قاب|چپ]]
در این روزهای همه‌گیری بیماری کرونا از افغانستان خبر میرسد که طالبان در حال پیشروی و براندازی حکومت هستند و تنها مخالفان باقیمانده که با آن‌ها مشغول جنگ هستند در دره پنجشیر حضور دارند. ترس و ناامنی دوباره در افغانستان فراگیر شده است و جمعیت بسیاری در حال فرار هستند. امیدوارم روزهای ناگوار برای مردم همسایه، افغانستان زودتر به پایان برسد. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۳۱ مرداد ۱۴۰۰، ساعت ۱۳:۴۲ (ایران) ‏۲۲ اوت ۲۰۲۱، ساعت ۰۹:۱۲ (UTC)

== تغییرات رابط کاربر ==

در راستای درخواست کاربر:Roozitaa برای آماده‌سازی محیط برای نوشتن آموزش زبان فارسی برای غیرفارسی‌زبانان، پیشنهاد می‌کنم:

۱) کد زیر که برگرفته از [[:en:MediaWiki:Common.js/CollapseElements.js]] است به [[مدیاویکی:common.js]] ویکی کتاب فارسی اضافه شود:
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;js&quot;&gt;
//&lt;source lang=&quot;javascript&quot;&gt;
// Faster Collapsible Containers
// Originally written by: [[User:Darklama]] from the English Wikibooks

// images to use for hide/show states
var collapse_action_hide = '//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/MediaWiki_Vector_skin_action_arrow.svg';
var collapse_action_show = '//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8e/MediaWiki_Vector_skin_left_arrow.svg';
 
// toggle state of collapsible boxes
function collapsible_boxes()
{
	$('div.collapsible').each( function() {
		var $that = $(this), css_width = $that.css('width'), attr_width = $that.attr('width');
		var which = $that.hasClass('selected') ? collapse_action_show : collapse_action_hide;

		if ( (!css_width || css_width == 'auto') &amp;&amp; (!attr_width || attr_width == 'auto') ) {
			$that.css('width', $that.width() );
		}

		$(this).children('.title').each( function() {
			$(this).prepend('&lt;span class=&quot;action&quot;&gt;&lt;a&gt;&lt;img src=&quot;'+which+'&quot; /&gt;&lt;/a&gt;&lt;/span&gt;').click( function() {
				var which = $that.toggleClass('selected').hasClass('selected')
					? collapse_action_show : collapse_action_hide;
				$(this).find('span.action img').attr('src', which);
				if ( which == collapse_action_show ) {
					$(this).siblings(':not(.title)').stop(true, true).fadeOut();
				} else {
					$(this).siblings(':not(.title)').stop(true, true).fadeIn();
				}
			}).click();
		});
	});

	$( &quot;table.collapsible&quot; ).each( function() {
		var $table = $(this), rows = this.rows, cell = rows.item(0).cells.item(0);
		var which = $table.hasClass('selected') ? collapse_action_show : collapse_action_hide;
		var css_width = $table.css('width'), attr_width = $table.attr('width');

		if ( (!css_width || css_width == 'auto') &amp;&amp; (!attr_width || attr_width == 'auto') ) {
			$table.css('width', $table.width() );
		}

		$(cell).prepend('&lt;span class=&quot;action&quot;&gt;&lt;a&gt;&lt;img src=&quot;'+which+'&quot; /&gt;&lt;/a&gt;&lt;/span&gt;');
		$(rows.item(0)).click( function() {
			var which = $table.toggleClass('selected').hasClass('selected')
				? collapse_action_show : collapse_action_hide;
			$(cell).find('span.action img').attr('src', which);
			if ( which == collapse_action_show ) {
				$(rows).next().stop(true, true).fadeOut();
			} else {
				$(rows).next().stop(true, true).fadeIn();
			}
		}).click();
	});
}

$(document).ready( collapsible_boxes );

//&lt;/source&gt;
&lt;/syntaxhighlight&gt;

۲) کد زیر که عمدتاً برگرفته از ویکی‌کتاب انگلیسی است به [[مدیاویکی:common.css]] ویکی‌کتاب فارسی اضافه شود:
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot;&gt;
/* Add arrows to toggle-blocks for collapsible elements */
.mw-collapsible-arrowtoggle.mw-collapsible-toggle-expanded {
 padding-right: 20px !important;/* Add arrows to toggle-blocks for collapsible elements */
.mw-collapsible-arrowtoggle.mw-collapsible-toggle-expanded {
 padding-right: 20px !important;
 background-image: url('//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/MediaWiki_Vector_skin_action_arrow.svg');
 background-repeat: no-repeat;
 background-position: center right;
}
.mw-collapsible-arrowtoggle.mw-collapsible-toggle-collapsed {
 padding-right: 20px !important;
 background-image: url('//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8e/MediaWiki_Vector_skin_left_arrow.svg');
 background-repeat: no-repeat;
 background-position: center right;
}

/* Collapsible Containers */
.collapsible { margin:0px; padding:0px; }
.collapsible .title, .collapsible tr:first-child th, .collapsible tr:first-child td { cursor:pointer; padding-left:16px; color:#4D4D4D; }
.collapsible.selected .title, .collapsible.selected tr:first-child th, .collapsible.selected tr:first-child td { color:#0645AD; }
.collapsible span.action { display:block; float:right; white-space:nowrap; text-align:right; height:16px; margin:auto 5px auto 0px; padding:0px; }
.collapsible span.action img { height:16px; width:16px; margin:0px; padding:0px; }

.navbox .collapseButton {          /* 'show'/'hide' buttons created dynamically */
    display:none;
}
 background-image: url('//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/MediaWiki_Vector_skin_action_arrow.svg');
 background-repeat: no-repeat;
 background-position: center right;
}
.mw-collapsible-arrowtoggle.mw-collapsible-toggle-collapsed {
 padding-right: 20px !important;
 background-image: url('//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8e/MediaWiki_Vector_skin_left_arrow.svg');
 background-repeat: no-repeat;
 background-position: center right;
}

/* Collapsible Containers */
.collapsible { margin:0px; padding:0px; }
.collapsible .title, .collapsible tr:first-child th, .collapsible tr:first-child td { cursor:pointer; padding-left:16px; color:#4D4D4D; }
.collapsible.selected .title, .collapsible.selected tr:first-child th, .collapsible.selected tr:first-child td { color:#0645AD; }
.collapsible span.action { display:block; float:right; white-space:nowrap; text-align:right; height:16px; margin:auto 5px auto 0px; padding:0px; }
.collapsible span.action img { height:16px; width:16px; margin:0px; padding:0px; }

.navbox .collapseButton {          /* 'show'/'hide' buttons created dynamically */
    display:none;
}
&lt;/syntaxhighlight&gt;
* {{موافق}} [[کاربر:4nn1l2|4nn1l2]] ([[بحث کاربر:4nn1l2|بحث]]) ‏۲۶ اوت ۲۰۲۱، ساعت ۱۶:۵۹ (UTC)
== رتبه زبان فارسی پروژه‌های ویکی (شهریور ۱۴۰۰) ==
{|class=&quot;wikitable sortable&quot;
|-
! نام ویکی!! تعداد زبان!! رتبه فارسی!! محتوا
|-
| [[voy:fa:صفحهٔ_اصلی|ویکی‌سفر]]
|۲۴
|۵
| راهنمای سفر
|-
| [[b:fa:صفحهٔ_اصلی|ویکی‌کتاب]]
|۸۰
|۱۸
| ایبوک آموزشی
|-
| [[q:fa:صفحهٔ_اصلی|ویکی‌گفتاورد]]
|۸۴
|۶
| گفتاوردهای مشاهیر
|-
| [[d:|ویکی‌داده]]
|۱
|۱
| داده‌های ساختار یافته
|-
| ویکی‌انبار
|۱
|۱
| نگاره و آوا
|-
| [[n:fa:صفحهٔ_اصلی|ویکی‌خبر]]
|۳۳
|۲۰
| خبر
|-
| [[s:fa:صفحهٔ_اصلی|ویکی‌نبشته]]
|۶۶
|۱۴
| روزنامه و گاهنامه
|-
| [[wikt:fa:صفحهٔ_اصلی|ویکی‌واژه]]
|۱۶۳
|۴۳
| مدخل واژه‌ای
|}
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] شنبه،۱۳ شهریور ۱۴۰۰، ساعت ۰۹:۰۵ (ایران) ‏۴ سپتامبر ۲۰۲۱، ساعت ۰۴:۳۵ (UTC)

== آیا ویکی‌کتاب می‌خواهد جای ویکی‌پدیا را بگیرد؟ ==

بر اساس گزارش الکسا، ویکی‌پدیای فارسی سومین وبگاه پربازدید در '''ایران''' هست (سال ۱۳۹۸) بنابراین یکی از مهمترین وبگاه‌ها برای مردم ایران به شمار میاد و در یک کلام ویکی‌کتاب قرار نیست جای ویکی‌پدیا رو بگیره. وبگاه '''ویکی‌کتاب''' یک ویکی هست. '''ویکی''' (به انگلیسی: Wiki) معمولاً به انواعی از وبگاه‌ها گفته می‌شود که به تمام بازدیدکنندگانش (حتی گاه، بدون نیاز به نام‌نویسی در وبگاه)، اجازهٔ ویرایش، افزودن یا حذف نوشته‌ها را می‌دهد. اولین ویکی در اینترنت را '''وارد کانینگهام''' در سال ۱۹۹۵ و با نام '''ویکی‌ویکی‌وب''' ایجاد کرد. چنانکه وارد کانینگهام در '''کتاب راه ویکی''' نوشته است یک ویکی از همه کاربران دعوت می‌کند تا هر صفحه‌ای در آن وبگاه را ویرایش کنند یا صفحه‌های جدید ایجاد کنند. 

'''کانینگهام''' در سال ۱۹۹۴ نرم‌افزار و وبگاه را توسعه داد تا تبادل اطلاعات را بین برنامه‌نویسان ساده‌تر کند. این ایده بر پایه فایل‌های استک هایپرکارد بنا شده بود که در اواخر سال‌های ۱۹۸۰ ایجاد شده بودند. '''کانینگهام''' در ۲۵ مارس ۱۹۹۵ این نرم‌افزار را روی وبگاه شرکت خودش ('''کانینگهام اند کانینگهام''') نصب کرد. ویکی‌ها به کاربران این اجازه را می‌دهند که '''بدون دانش برنامه‌نویسی''' برای وب، اقدام به ایجاد صفحات اینترنتی دربارهٔ موضوعات مختلف بکنند. برای این منظور، ویکی‌ها از '''قراردادهای ساده‌تری''' برای اصلاح ظاهر متونی که در ویکی گذاشته می‌شوند استفاده می‌کنند، که این قواعد در هر ویکی متفاوت با دیگری است.

'''ویکی‌کتاب''' وبگاهی برای '''کتاب‌های درسی'''، متون تفسیری، راهنماهای آموزشی و دستور عمل‌ها است. ویکی‌کتاب فارسی با عنوان اولیه ویکی‌نسک از تاریخ ۳ شهریور ۱۳۸۳ آغاز به کار کرد و اکنون حدود ۳۰۰۰ نوشتار دارد. در شهریور ۱۳۹۴، '''دسترسی‌های''' «گشت‌زن»، «گشت‌زن خودکار» و «واگردانی» در ویکی‌کتاب فارسی ایجاد شد. '''ویکی‌کتاب فارسی''' در سال‌های اول فعالیت خود استقبال چندانی نداشت. در سال‌های بعد با کارهایی مثل حذف صفحات بی‌محتوا و خرابکاری، تدوین راهنماها و سیاست‌ها، رده‌بندی صفحه‌ها و کتاب‌ها، انتخاب مدیران جدید و بهبود فنی پروژه توانست رشد چشمگیری بیابد و به رتبه ۱۸ام برسد. در ویکی‌کتاب از همکاری کاربرانی که در سایر '''پروژه‌های ویکی''' فعالیت داشته‌اند استقبال می‌شود. این کاربران با توجه به اینکه با اصول '''ویکی‌نویسی''' آشنایی دارند نحوه فعالیت در ویکی‌کتاب برایشان کاملا ملموس خواهد بود ولی باید به چند نکته توجه داشته باشند. اولین نکته اینکه انتظار می‌رود ویکی‌کتاب‌ها، '''کتابچه''' باشند به این معنا که به عنوان متون آموزشی در یک زمینه '''علمی''' قابل استفاده باشند. دوم اینکه هر کتابچه شامل '''فصل‌ها'''، زیرفصل‌ها و صفحه‌ها (نوشتار) است. برای هر کتابچه‌ای باید برای صفحات، ناوبری (صفحه قبل و صفحه بعد)، فهرست و منابع کتاب مانند (واژه‌نامه، نمایه، الخ) تعبیه شود. نکته دیگر اینکه صفحه‌های ویکی‌کتاب به اندازه صفحه‌های ویکی‌پدیا پیوند ندارند. به این دلیل که انتظار می‌رود یک کتاب منبعش درون خودش باشد و '''مطالب یکنواختی''' داشته باشد. بنابراین هر نوع میان‌ویکی بیشتر باعث سردرگمی خواهد شد. در ویکی‌کتاب فارسی هم اکنون کتاب‌هایی با '''موضوعات مختلف''' ریاضی، رایانه، فناوری اطلاعات، هندسه، زبان، زیست‌شناسی، شیمی، مهندسی برق، مهندسی عمران، مهندسی مکانیک، روانشناسی، علوم ورزشی، فیزیک، نجوم، الخ وجود دارد که می‌تواند مورد استفاده علاقه‌مندان قرار گیرد. علاوه بر آن '''راهنماهای''' مختلفی برای آموزش نرم‌افزار، تحصیل در خارج از کشور، گزارش کار آزمایشگاه، درسنامه، حل تمرین و نمونه سوال در این وبگاه وجود دارد. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۱۱ مهر ۱۴۰۰، ساعت ۱۲:۱۶ (ایران) ‏۳ اکتبر ۲۰۲۱، ساعت ۰۸:۴۶ (UTC)
==اینستاگرام چقدر کثیف==
جمله های زیر رو عینا در یکی از وبگاه های فارسی دیدم. این یعنی اینکه در اینستاگرام (اپلیکیشن یا وبگاه) حریم خصوصی کاربران هیچ ارزشی نداره این در حالی هست که شما برای ویکی‌نویسی نه تنها نیازی به اعلام کردن شماره تماس ندارید بلکه حتی میتونید حساب کاربری هم نسازید و در ویکی‌پدیا یا ویکی‌کتاب ویرایش کنید. اونوقت در اینستاگرام نه تنها با داشتن شماره تماس همه میتونن پست های شما رو ببیننند بلکه هیچ کدام از علاقه‌مندی های شما (اعم از فالور و فالویینگ) از دید دیگران پنهان نمیمونه. 

اینستاگرام هدف اصلی اش افزایش کاربران است و برای دستیابی به همین سیاست، بیشترین تلاش را می کند که کاربران با هم تعامل داشته باشند. یعنی بتوانند به یکدیگر پیام بدهند و ویدئو و عکس بفرستند. یکدیگر را در رویدادهای مهم زندگی خود ، به صورت اشتراکی آگاه سازند و … پس به طور مشخص تا اکنون گزینه پنهان کردن فالوور های اینستاگرام از سوی کمپانی تولید کننده اپلیکیشن ارائه نشده است.
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۱۲ مهر ۱۴۰۰، ساعت ۱۷:۳۱ (ایران) ‏۴ اکتبر ۲۰۲۱، ساعت ۱۴:۰۱ (UTC)

== آبانگان روز نکوداشت آناهیتا ایزدبانوی آب‌ها ==

[[پرونده:Anahita Vessel, 300-500 AD, Sasanian, Iran, silver and gilt - Cleveland Museum of Art - DSC08130.JPG|بندانگشتی|راست|نگاره‌ای از آناهیتا بر روی کوزه‌ای باستانی]]
[[پرونده:Fuman anahita.jpg|500px|بندانگشتی|چپ|تندیسی از ایزدبانو آناهیتا]]{{پاک‌کن}}
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۹ آبان ۱۴۰۰، ساعت ۱۱:۴۷ (ایران) ‏۳۱ اکتبر ۲۰۲۱، ساعت ۰۸:۱۷ (UTC)
==شب یلدا (۲۱ دسمبر)==
&lt;div style=&quot;font-size:large&quot;&gt;
[[پرونده:Korsi table iran.jpg|350px|بندانگشتی|چپ|شب یلدا خجسته باد]]
* {{رنگی|آبی}}Happy Yalda Night{{رنگی/پ}} 
* {{رنگی|سبز}}Feliz Yaldá{{رنگی/پ}}
* {{رنگی|زرد}}С Ялда{{رنگی/پ}}
* {{رنگی|قرمز}}جه ژنی شەوی یەڵدا{{رنگی/پ}}
* {{رنگی|خاکستری}}Yelda gece mübarək olsun{{رنگی/پ}}
* {{رنگی|بنفش}}یلدا گئجه‌سی موبارك اولسون{{رنگی/پ}}
* {{رنگی|قرمز}}Шáби Ялдó Мoбаpаc{{رنگی/پ}}
&lt;/div&gt;
--[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۳۰ آذر ۱۴۰۰، ساعت ۰۰:۲۶ (ایران) ‏۲۰ دسامبر ۲۰۲۱، ساعت ۲۰:۵۶ (UTC)

== چند سوال ==

سلام و وقت بخیر به همه‌ی هم‌منش‌های عزیز.
من اخیرا مشغول نوشتن کتاب [[ریاضیات برای اقتصاد]] شدم و چند سوال دارم.
اول، آیا برای نوشتن ریاضی آیا افزونه‌ای هست که کار من رو راحت کنه؟ اینکه مجبورم هر دو دقیقه یکبار موس رو به سمت دکمه‌ی &lt;nowiki&gt;&lt;math&gt;&lt;/math&gt;&lt;/nowiki&gt; در پایین صفحه هدایت کنم کمی روی اعصابه.

دوم، آیا امکانش هست همانند کتابهایی که در ویکی‌کتاب انگلیسی هستند من هم در مقدمه‌ی کتاب خودم رو معرفی کنم،  از اینکه چرا این کتاب رو نوشتم بگم و به وبسایتم جستار بدم یا خیر؟

و نهایتا اینکه آیا ممکنه لطف کنید من رو به صفحه‌ی دارای فهرستی از الگوهای زیبا برای کتاب‌های ریاضی مانند &lt;nowiki&gt;{{تمرین}}&lt;/nowiki&gt; یا &lt;nowiki&gt;{{جعبه مثلثاتی باز}}&lt;/nowiki&gt; هدایت کنید؟

متشکرم. [[کاربر:Niyumard|Niyumard]] ([[بحث کاربر:Niyumard|بحث]]) ‏۹ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۶:۳۰ (UTC)
: اضافه کنم که متاسفانه وقتی با گوشی باز بشه کتابم خیلی بد نشون داده میشه و میزنه بیرون فرمول‌ها از صفحات. اگر میشه لطف کنید برطرف کنید این مشکل ویکی‌کتاب رو. [[کاربر:Niyumard|Niyumard]] ([[بحث کاربر:Niyumard|بحث]]) ‏۱۱ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۸:۲۶ (UTC)
::{{پب|Niyumard}} درود. از اینکه دگربار شما رو در این وبگاه دیدم خوشنود شدم. نسخه پارسی ویکی‌کتاب جزو ۲۰ تای برتر ویکی‌کتاب است اما هنوز یک small wiki هست و بسیاری از امکانات و خط مشی‌هایی رو که در ۱۰ تای برتر ویکی‌کتاب (از جمله انگلیسی، فرانسوی، ژاپنی، آلمانی، ایتالیایی) یافت میشه نداره. از این رو به مشارکت بیشتر کاربران در ویکی‌تاب فارسی نیاز هست و برای درج نام هم [[ویکی‌کتاب:نظرخواهی/نویسنده کتاب|یک نظرخواهی]] در جریان هست و میتونید نظر خودتون رو اعلام کنید. همچنین برای دیدن فهرستی از الگوها به [[ویکی‌کتاب:الگوها]] بروید. البته به نویسندگان توصیه میشه الگوهایی مختص کتاب خودشون ایجاد کنند. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۲۱ دی ۱۴۰۰، ساعت ۱۵:۴۱ (ایران) ‏۱۱ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۲:۱۱ (UTC)

[[رده:بیرون‌آمدگان از پیام‌رسان]]

== از دسترس خارج شدن ویکی‌کتاب در ایران ==

وبگاه ویکی‌کتاب دیروز ۲۴ فبروری به طور گسترده از دسترس کاربران ایرانی خارج شد. این وضعیت ممکنه به دلیل برنامه‌ریزی‌های انجام شده برای فیلتر کردن اینترنت باشه. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] شنبه،۷ اسفند ۱۴۰۰، ساعت ۰۰:۳۹ (ایران) ‏۲۵ فوریهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۲۱:۰۹ (UTC)

== نقش ویکی‌کتاب در برطرف کردن کاستی‌های ویکی‌پدیای فارسی ==

ویکی‌پدیا یکی از بزرگترین و پربازدیدترین وبگاه‌های جهانه. صد البته که نسخه فارسی هم داره اما سوال اینجاست که عملکرد نسخه فارسی ویکی‌پدیا تا چه حد بوده و آیا کاستی‌هایی هم داشته یا نه؟ هم‌اکنون ویکی‌پدیای فارسی در زمره ۲۰ ویکی‌پدیای برتر از نظر شمار مقاله‌ها قرار داره و کمی فاصله داره با ویکی‌پدیاهای میلیونی و خیلی فاصله داره با ویکی‌پدیای انگلیسی. پس کمی به بررسی کاستی‌های ویکی‌پدیای فارسی بپردازیم. یکی از کاستی‌هایی که دیده میشه وجود تعداد زیادی مقاله خرد یعنی با محتوای اندک هست. طبق برآوردی که [[کاربر:4nn1l2]] در ویکی‌پدیای فارسی اعلام کرده بود هر مقاله به طور متوسط از ۱۸۹ کلمه تشکیل شده است. این عدد برای ویکی‌پدیاهای انگلیسی، آلمانی، فرانسوی، و عربی به ترتیب ۶۲۴ و ۵۲۱ و ۶۱۳ و ۳۳۵ است. پس از اعلام این موضوع، کاربران بسیاری به او اعتراض کردند چرا چنین موضوعی رو بیان کرده ولی در هر صورت یک واقعیت است که نشان از ضعف ویکی‌نویسی در ویکی‌پدیای فارسی دارد.اما ویکی‌کتاب چطور میتونه این کاستی رو جبران کنه؟ ویکی‌کتاب از نظر کیفی یک پروژه برتر هست از این نظر که هر کتاب از تعداد زیادی زیرصفحه با حجم بالا تشکیل شده و خلاصه اینکه تعداد واژه‌ها در هر صفحه معمولا زیاد هست و اصولا چیزی به عنوان خرد نداریم.

کاستی دیگری که در ویکی‌پدیای فارسی دیده میشه و اون هم از نظر محتوایی است به نوعی به بازدیدکنندگان مربوط میشه. در سال ۲۰۲۱ تعداد زیادی از پربازدیدترین مقاله‌های ویکی‌پدیای فارسی مربوط بودند به موضوع‌های جنسی و سرگرمی. بعضی از کاربران دلیلش را این دانستند که محتوای فارسی برای مسائل جنسی خیلی محدود است و این یکی از مصارف ویکی‌پدیای فارسی است!  لذا برای موضوع هایی چون درسهای مدرسه و موضوع های علمی جایگاهی ندارد حال آنکه این زمینه، موضوع اصلی ویکی‌کتاب فارسی است. پس به راحتی میتوان با گسترش آن، نیاز مخاطبان به مطالب علمی را بیش از ویکی‌پدیا برطرف کرد. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۱۴ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۲۰:۱۰ (ایران) ‏۵ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۴۰ (UTC)</text>
      <sha1>2rb7n7998kbaa8cg8ejyz532ernt6y3</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35942</id>
    <revision>
      <id>117791</id>
      <parentid>117231</parentid>
      <timestamp>2022-08-17T13:27:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6246" xml:space="preserve">{{سرص|هندسه مقدماتی/شش‌ضلعی‌منتظم|هندسه مقدماتی/کره}}در هندسه اقلیدسی، یک '''چندضلعی منتظم'''، چندضلعی است که همه زوایا و اضلاع آن هم‌اندازه‌اند.

چندضلعی‌های منتظم، می‌توانند کوژ یا به شکل ستاره باشند. در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعی‌های منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط به دایره تبدیل می‌شود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل می‌شود.

[[پرونده:Regular_polygon_3_annotated.svg|61x61پیکسل]][[پرونده:Regular_polygon_4_annotated.svg|60x60پیکسل]][[پرونده:Regular_polygon_5_annotated.svg|61x61پیکسل]][[پرونده:Regular_polygon_6_annotated.svg|61x61پیکسل]]{{سخ}}[[پرونده:Regular_polygon_7_annotated.svg|61x61پیکسل]][[پرونده:Regular_polygon_8_annotated.svg|60x60پیکسل]][[پرونده:Regular_polygon_9_annotated.svg|60x60پیکسل]][[پرونده:Regular_polygon_10_annotated.svg|61x61پیکسل]]{{سخ}}[[پرونده:Regular_polygon_11_annotated.svg|60x60پیکسل]][[پرونده:Regular_polygon_12_annotated.svg|60x60پیکسل]][[پرونده:Regular_polygon_13_annotated.svg|60x60پیکسل]][[پرونده:Regular_polygon_14_annotated.svg|61x61پیکسل]]{{سخ}}[[پرونده:Regular_polygon_15_annotated.svg|60x60پیکسل]][[پرونده:Regular_polygon_16_annotated.svg|60x60پیکسل]][[پرونده:Regular_polygon_17_annotated.svg|60x60پیکسل]][[پرونده:Regular_polygon_18_annotated.svg|61x61پیکسل]]{{سخ}}فهرست چندضلعی های منتظم

== تعداد قطر&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt; ==
برای ''n'' &amp;#x3E; ۲، تعداد قطرهای ''n''-ضلعی، برابر است با &lt;math&gt;\tfrac{n (n-3)}{2}&lt;/math&gt;، به‌عنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنج‌ضلعی و شش‌ضلعی، تعداد قطرها به‌ترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است.

برای یک ''n''-ضلعی منتظم محاط‌شده در یک دایره به شعاع واحد، حاصل‌ضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأس‌های دیگر، برابر است با ''n''.

== محیط و مساحت ==

=== محیط ===
محیط هر چندضلعی منتظم برابر است همیشه تعداداضلاع آن در اندازه ضلع آن ضرب می شود.اگرnتعدادضلع چندضلعی باشد وaاندازه ضلع چندضلعی باشد رابطه اینگونه نوشته می گردد

&lt;math&gt;P=an&lt;/math&gt;

=== مساحت&lt;ref&gt;ویکی پدیای فارسی،مبحث مساحت چندضلعی&lt;/ref&gt; ===
مساحت چندضلعی اینگونه است که چون زاویه های چندضلعی نیز باهم برابر است،طبق رابطه مثلثاتی نوشته می شود.چندضلعی ها دارایnضلع و دارای اندازهaاست و شبیه به دایره هستند.مساحت آنها طبق این رابطه نوشته می گردد.

&lt;math&gt;A = \tfrac14na^2 \cot \frac{\pi}{n}&lt;/math&gt;
[[پرونده:PolygonParameters.png|پیوند=https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:PolygonParameters.png|چپ|بندانگشتی|پنج‌ضلعی منتظم با طول ضلع ''s''، شعاع دایره محیطی ''R'' و شعاع دایره محاطی،این چندضلعی در دایره محاط شده است.]]
مساحت یک ''n-''ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع a، شعاع دایره محیطی ''R''، شعاع دایره محاطی ''r'' و محیط ''p'' با استفاده از روابط زیر بدست می‌آید&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;ویکی پدیای فارسی&lt;/ref&gt;

فرمول های دیگر هم برابر با رابطه مساحت چندضلعی است

&lt;math&gt;A= \tfrac{1}{2}nar = \tfrac{1}{2}pr = \tfrac{1}{4}na^2\cot{\tfrac{\pi}{n}} = nr^2\tan{\tfrac{\pi}{n}} = \tfrac{1}{2}nR^2\sin{\tfrac{2\pi}{n}}&lt;/math&gt;

مقدار R این گونه بدست می آید

&lt;math&gt;R = \frac{s}{2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{a}{\cos\left(\frac{\pi}{n} \right)}&lt;/math&gt;

'''''&lt;code&gt;رابطه مساحت مربع با مساحت چندضلعی&lt;/code&gt;'''''

در مساحت مربع چون ربعna&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;برابرباa&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;است ونسبت مثلثاتی کتانژانت آن برابر با عدد یک است برابر با این رابطه است

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;A = \tfrac14na^2 \cot \frac{\pi}{n}=a^2&lt;/math&gt;به شرط آنکه:

&lt;math&gt;\cot \frac{\pi}{n}=\cot \frac{\pi}{4}=1

&lt;/math&gt; 
&lt;math&gt; \tfrac14na^2= \tfrac144a^2=1&lt;/math&gt;

با ثابت شدن مساحت مربع به فرمول مساحت چندضلعی می توان با این فرمول مساحت چندضلعی هارا پیدا کرد.

== زاویه داخلی و خارجی&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt; ==

=== مجموع زاویه داخلی ===
مجموع زاویه داخلی بر اساس این رابطه نوشته می شود.

&lt;math&gt;\left(n-2\right)\times 180^\circ&lt;/math&gt;

درچندضلعی ابتدا تعداد مثلث هارا پیدا می کنیم که تعداد مثلث های چندضلعی دوتا کمتر از تعداد اضلاع اوست.و بعد که تعداد مثلث ها پیدا می شود چون مجموع زاویه های داخلی مثلث 180درجه است در 180 درجه ضرب میکنیم.

=== اندازه زاویه داخلی ===
مجموع زاویه داخلی بر اساس این رابطه نوشته می شود

&lt;math&gt;(n-2)\times \frac{180^\circ}{n}&lt;/math&gt;

تعداد اضلاع چندضلعی در مجموع زاویه داخلی چندضلعی تقسیم می شود.

=== مجموع زاویه خارجی ===
در چندضلعی مجموع زاویه های خارجی همیشه برابر با 360 درجه است

=== اندازه زاویه خارجی ===
در چندضلعی اندازه زاویه خارجی اینگونه است که 360 درجه را در تعداد اضلاع چندضلعی تقسیم می کنیم.

== پانویس ==
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]
&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>b0l8hqg469lmi2876hu4aw1h333l1uq</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته</title>
    <ns>0</ns>
    <id>35952</id>
    <revision>
      <id>117807</id>
      <parentid>117772</parentid>
      <timestamp>2022-08-18T06:57:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8262" xml:space="preserve">{{وضعیت|50%}}
{{در دست ویرایش ۲|ماه=ژانویه|روز=۲۵|سال=۲۰۲۳}}
{{مداوم}}
{{کمک}}

&lt;code&gt;آمار صفحات کتاب:۱۰۱&lt;/code&gt;

&lt;code&gt;تعداد صفحات تالیف شده:۵۹&lt;/code&gt;

&lt;code&gt;درصد دقیق وضیعت تکمیل:%۵۸&lt;/code&gt;

این کتاب،نسخه ای از ریاضیات است که نوع پیشرفته ریاضیات را به نمایش می گذارد. دراین کتاب به مباحثی پیشرفته مانند حسابان، آنالیز، هندسه و ... می پردازیم.این کتاب با ریاضی پایه فرق دارد، ریاضی پایه مفاهیم ابتدایی را آموزش می دهد و ریاضی را به زبانی ساده آموزش می دهد. مفهوم ریاضیات پیشرفته به این معنا نیست که مفاهیم پیچیده و پیشرفته را ارائه دهیم، به این معنا است که مفاهیم گسترده نیز همراه آن ها هست.این ایبوک به شما در مفاهیم پیشرفته و گسترده ریاضی کمکتان می کند.
{{چاپ|نسخه چاپی}}
[[پرونده:Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل]]

== مقدمه ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مقدمه|مقدمه]]

== درباره ریاضیات ==
*[[ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات|تعریف ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تاریخ ریاضیات|تاریخ ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/المپیاد ریاضیات|المپیاد ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/جوایز ریاضیات|جوایز ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/شاخه‌های ریاضیات|شاخه های ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات کاربردی|ریاضیات کاربردی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات محض|ریاضیات محض]]
*[[ریاضیات پیشرفته/فلسفه ریاضیات|فلسفه ریاضیات]]
*[[ریاضیات پیشرفته/انجمن ریاضیات ایران|انجمن ریاضیات ایران]]

== ریاضیات گسسته ==
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها|نظریه مجموعه‌ها]]
# منطق(مطالعه استدلال)
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه اعداد|نظریه اعداد]]
# [[ریاضیات پیشرفته/ترکیبیات|ترکیبیات]]
# [[ریاضیات پیشرفته/نظریه گراف|نظریه گراف]]
# هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
# الگوریتم‌شناسی
# نظریه اطلاعات 
# نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی
# نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
# جبر خطی
# مجموعه جزئاً مرتب 
# احتمالات 
# برهان(ریاضیات) 
# شمارش
# رابطه دوتایی

== حسابان ==
#[[ریاضیات پیشرفته/حساب دیفرانسیل|حساب دیفرانسیل]]
#[[ریاضیات پیشرفته/انتگرال|انتگرال]]
#[[ریاضیات پیشرفته/انتگرال سری فوریه|انتگرال سری فویه]]
#[[ریاضیات پیشرفته/سری فوریه|سری فوریه]]
#[[ریاضیات پیشرفته/تبدیل فوریه|تبدیل فوریه]]
#[[ریاضیات پیشرفته/معادله لاپلاس|معادله لاپلاس]]
#[[ریاضیات پیشرفته/تبدیل لاپلاس|تبدیل لاپلاس]]
#[[مریاضیات پیشرفته/معادله دیفرانسیل|معادله دیفرانسیل]]
#[[ریاضیات پیشرفته/مثلثات|مثلثات]]
#[[ریاضیات پیشرفته/مثلثات کروی|مثلثات کروی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/تابع(ریاضیات)|تابع(ریاضیات)]]
#[[ریاضیات پیشرفته/تابع لگاریتمی|تابع لگاریتمی]]
#معادله خطی
#جبر و معادله
#حد و پیوستگی
#حد نامتناهی
#حد متناهی
#مشتق

== هندسه ==

=== مفاهیم هندسه ===
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه فضایی|هندسه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه اقلیدسی|هندسه اقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه نااقلیدسی|هندسه نااقلیدسی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تحلیلی|هندسه تحلیلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه ریمانی|هندسه ریمانی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه جبری|هندسه جبری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه دیفرانسیل|هندسه دیفرانسیل]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هندسه تصویری|هندسه تصویری]]

=== مفاهیم مورد هندسی ===
#[[ریاضیات پیشرفته/مکعب|مکعب]]
#[[ریاضیات پیشرفته/منشور|منشور]]
#[[ریاضیات پیشرفته/استوانه|استوانه]]
#[[ریاضیات پیشرفته/کره|کره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هرم|هرم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/مخروط|مخروط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چهاروجهی منتظم|چهاروجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/متوازی السطوح|متوازی السطوح]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چندوجهی|چندوجهی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/هشت وجهی منتظم|هشت وجهی منتظم]]
#[[ریاضیات پیشرفته/چنبره|چنبره]]
#[[ریاضیات پیشرفته/دوران|دوران]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی|زاویه مرکزی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه محاطی|زاویه محاطی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه ظلی|زاویه ظلی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/زاویه فضایی|زاویه فضایی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/قطاع|قطاع]]
#[[ریاضیات پیشرفته/رادیان|رادیان]]
#[[ریاضیات پیشرفته/گرادیان|گرادیان]]

== آنالیز ریاضی ==
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز حقیقی|آنالیز حقیقی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط|آنالیز مختلط]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تابعی|آنالیز تابعی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز هارمونیک|آنالیز هارمونیک]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده|آنالیز پیچیده]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز عددی|آنالیز عددی]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز برداری|آنالیز برداری]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز اسکالر|آنالیز اسکالر]]
#[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز تانسور|آنالیز تانسور]]
== آمار و احتمال ==
#[[ریاضیات پیشرفته/دسته بندی دادها|دسته بندی دادها]]
#[[ریاضیات پیشرفته/قانون احتمال کل|قانون احتمال کل]]
#میانگین
#نمودارها
#متغیرهای آمار
#آمار استنباطی
#آمار توصیفی
#مبانی ریاضیات
#تعداد حالت های ممکن
#پیشامدهای مستقل
#احتمال شرطی
#مجموعه و احتمال
#جامعه و نمونه&lt;br /&gt;
== مفاهیم مهم ==
*[[ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم|مساحت و حجم]]
*[[ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای|تقسیم طولانی چندجمله ای]]
*[[ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم]]
== زمینه های پژوهش(پیوند ندارد) ==
*مساحت و حجم
== شاخه ها ==
*[[ریاضیات پیشرفته/حسابان|حسابان]]
*[[ریاضیات پیشرفته/هندسه|هندسه]]
*[[ریاضیات پیشرفته/ریاضیات گسسته|ریاضیات گسسته]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضی]]
*[[ریاضیات پیشرفته/آمار و احتمال|آمار و احتمال]]

[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>i1k64l4zry5gb7yorm4yjmnm6x73i0i</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>بحث:ریاضیات پیشرفته</title>
    <ns>1</ns>
    <id>35955</id>
    <revision>
      <id>117808</id>
      <parentid>117764</parentid>
      <timestamp>2022-08-18T07:16:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>/* انجمن ایران */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9521" xml:space="preserve">==مشارکت در نوشتن==
این کتاب خالی است و به کاربران زیادی به آن احتیاج داریم،شما کاربران عزیز می توانید در اینجا شرکت کنید و مقالات زیادی را بر اساس تحقیقات هایی که کردید ارائه دهید.
:{{پینگ|HEJJWJDEJDNSGWTG}} شوربختانه تعداد کاربران ویکی‌کتاب فارسی هم اکنون کم است. در گذشته تعداد کاربران فعال نوسان داشته است. با توجه به کمبود کاربر و حتی در صورت وجود کاربران کافی، مسئولیت نوشتن یک کتاب در درجه اول بر عهده کاربری است که آن را ایجاد کرده است. با سپاس از توجه شما. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] جمعه،۳۱ تیر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۰۰ (ایران) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۳۰ (UTC)

چه حیف باشد خودمان این کتاب را کامل می کنیم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۲ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۴:۰۳ (UTC)

== مبحث های جدید ==

کاربران عزیز،هرسوالی داشتید از مولفان و ما بپرسید.
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۵:۰۶ (UTC)

:دو صفحه که اخیرا ایجاد کردید به نام های زاویه ظلی و زاویه محاطی هم زیر فصل مفاهیم مهم نوشته شده‌اند هم هندسه. قاعدتا فقط یک بار باید نوشته شوند. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] سه‌شنبه،۴ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۶:۱۱ (ایران) ‏۲۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۱:۴۱ (UTC)

== تاریخ ریاضیات ==

{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} این که کتاب تاریخ نیست در آن مطلب در مورد تاریخچه ریاضیات نوشته اید. به نظرم خیلی از موضوع کتاب فاصله گرفته است. [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۶ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۳۸ (ایران) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۸ (UTC)

درود بر شما کاربر دوستدار،یعنی محتوایش با موضوعش فرق دارد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۰ (UTC)
:دقیقا. همچنین شاخه های ریاضی را هم میتوان در یک کتاب ریاضی مقدماتی توضیح داد. این کتاب مربوط به ریاضی پیشرفته باید باشد.

پس باید موضوع را تغییر دهم این موضوع مقدمه ای است خب باشه درستش می کنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۴ (UTC)
:{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} نام ایبوک رو طوری انتخاب کنید که خیلی طولانی نباشه و به خوبی مشخص کنه کتاب دربرگیرنده چه موضوعاتی هست. تغییر نام کتاب پس از تکمیل کتاب به سادگی امکان پذیر نیست. لطفا یک بار دیگر مطالب رو که تحت عنوان چند نکته برای نوشتن کتاب در صفحه بحث تون نوشتم دوباره بخونید. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] پنجشنبه،۶ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۸:۱۰ (ایران) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۴۰ (UTC)

باشه حتما [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۲۸ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۲۸ (UTC)

== آمار و احتمال ==

{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} چرا سرفصل های مربوط به آمار و احتمال در این ایبوک گنجانده نشده است؟ [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۹ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۲:۰۸ (ایران) ‏۳۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۸ (UTC)

در حال تحقیق است [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۳۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۰:۰۳ (UTC)
:{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} چرا هندسه، فقط مفاهیم دارد؟ آیا مسائل دیگری در حوزه هندسه قرار نمیگیرند مثل محاسبه محیط و مساحت و حجم و قضایای هندسی؟ --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] یکشنبه،۹ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۷:۳۰ (ایران) ‏۳۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۰۰ (UTC)

چرا دارد منتها در مفاهیم مهم قراردارد [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۳۱ ژوئیهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۸:۳۳ (UTC)

{{پب|doostdar}} درود من دارم این کتاب را کامل می کنم و خیلی هم مطالب مانده و من دست تنها هستم. قول می دهم این کتاب را درست کنم و عجله ای هم نداشته باشید با تشکر [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۰۶:۰۱ (UTC)
:{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} هم اکنون تعداد میانگین صفحه در هر کتاب ۵ است (تقریبا) ولی شما کتابی ایجاد کردید با حدود ۹۵ صفحه. آن وقت میگویید دست تنها هستم! در هر صورت اگر نتوانید کتاب را تا حد قابل قبولی تکمیل کنید کتاب شما حذف خواهد شد. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] دوشنبه،۱۰ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۱۹:۵۶ (ایران) ‏۱ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۱۵:۲۶ (UTC)

راست میگیا چرا بگم نمی تونم!فقط یه خورده وقت دهید.من این 95صفحه را در این هفته به 45 صفحه تبدیل میکنم [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۱۶:۱۰ (UTC)

== انجمن ایران ==

{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} انجمن ریاضیات ایران چه ربطی به ریاضیات پیشرفته دارد؟ چرا باید یکی از بخش های این کتاب باشد؟ [[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] شنبه،۲۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۰۰:۱۵ (ایران) ‏۱۲ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۱۹:۴۵ (UTC)
::مگه چی شده؟
[[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۳ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۰۴:۳۵ (UTC)
:::{{پب|HEJJWJDEJDNSGWTG}} در این صفحه درباره جوایز ریاضی در ایران گفته شده و یک صفحه دیگر هم به نام جوایز ریاضی ایجاد کردی. جوایزی که در این صفحه ازش نام برده شده مثل جایزه محسن هشترودی و جایزه عباس ریاضی کرمانی به نظرم خیلی معروف نیستند ولی باز هم میشد همه این ها رو در همان صفحه جوایز ذکر میکردی و نیازی به ایجاد چند صفحه درباره جوایز ریاضی نبود مخصوصا که اصلا ربطی به موضوع کتاب ندارند. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] شنبه،۲۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۲۲:۳۵ (ایران) ‏۱۳ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۱۸:۰۵ (UTC)
:::گذشته از این، یک صفحه هم برای المپیاد ریاضی ایجاد کرده اید. این کتاب اصولا نباید درباره تاریخچه ریاضی یا جوایز ریاضی باشد بلکه موضوع کتاب حکم میکند به بحث های پیشرفته ریاضی اشاره کند. --[[کاربر:Doostdar|دوستدار ایران بزرگ]] [[بحث کاربر:Doostdar|&amp;#x260E;]] شنبه،۲۲ مرداد ۱۴۰۱، ساعت ۲۲:۴۳ (ایران) ‏۱۳ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۱۸:۱۳ (UTC)

یعنی،انجمن ریاضی ایران،جوایز ریاضی،المپیاد ریاضی حذف گردد؟یا نه در مقاله تعریف ریاضیات اضافه گردد؟ [[کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|HEJJWJDEJDNSGWTG]] ([[بحث کاربر:HEJJWJDEJDNSGWTG|بحث]]) ‏۱۴ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۰۷:۳۳ (UTC)
== وضعیت ==
{{پب|doostdar}} درود،درصد ردها و تالیف صفحات در کتاب ریاضیات پیشرفته به 58درصد رسیده است و این وضعیت یعنی نیمه کامل که من وضعیت را به نیمه کامل ارتقا دادم.</text>
      <sha1>ej0i562r9lmn7b3cp8vb54qdcd40syu</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/حساب دیفرانسیل</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36115</id>
    <revision>
      <id>117795</id>
      <parentid>117767</parentid>
      <timestamp>2022-08-17T18:45:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Doostdar</username>
        <id>6290</id>
      </contributor>
      <comment>افزودن سرصفحه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2944" xml:space="preserve">{{سرص|ریاضیات پیشرفته/انتگرال|ریاضیات پیشرفته/انتگرال}}

در ریاضیات، '''حساب دیفرانسیل''' یکی از زیرمجموعه‌های حسابان است که به مطالعهٔ نرخ تغییرات کمیت‌ها می‌پردازد. این حساب یکی از دو بخش سنتی حسابان است که بخش دیگر آن، حساب انتگرال است.

هدف اصلی مطالعهٔ حساب دیفرانسیل، محاسبهٔ تغیرات یک تابع و کاربردهای آن است. مشتق تابع در یک نقطهٔ دلخواه، نرخ تغییرات تابع در آن نقطه را توصیف می‌کند. فرایند یافتن مشتق، مشتق‌گیری نامیده می‌شود. از نظر هندسی، مشتق در یک نقطه شیب خط مماس روی نمودار تابع با جهت مثبت محور طول‌ها در همان نقطه است؛ به شرطی که مشتق در آن نقطه موجود باشد. مشتق تابع حقیقی یک‌متغیره در هر نقطه، بهترین تقریب خطی برای تابع در آن نقطه است.

حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال با قضیهٔ اساسی حسابان به یکدیگر مرتبط می‌شوند. این قضیه بیان می‌کند که مشتق‌گیری معکوس انتگرال‌گیری است.

مشتق‌گیری تقریباً در همهٔ علوم کمّی کاربرد دارد. برای نمونه، در فیزیک، مشتق جابجایی یک جسم متحرک برحسب زمان نشان دهندهٔ سرعت آن جسم و مشتق سرعت برحسب زمان بیانگر شتاب است. مشتق تکانهٔ یک جسم معادل با نیروی وارد بر آن جسم است و بازنویسی این مشتق‌گیری معادلهٔ معروف F=ma را که متناظر با قانون دوم حرکت نیوتن است، به دست می‌دهد. نرخ واکنش یک واکنش شیمیایی، یک مشتق است. مشتقات در تحقیق در عملیات، پربازده‌ترین روش‌های حمل مواد و طراح کارخانه‌ها را تعیین می‌کنند.

مشتقات برای یافتن بیشینه و کمینهٔ یک تابع نیز به کار می‌روند. معادلات دربرگیرندهٔ مشتقات، معادلات دیفرانسیل نامیده می‌شوند و در توصیف پدیده‌های طبیعی دارای اهمیت هستند. از مشتقات و تعمیم آن‌ها در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات، مانند آنالیز مختلط، آنالیز تابعی، هندسهٔ دیفرانسیل، نظریهٔ اندازه و جبر مجرد بهره برده می‌شود.

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>3ylcjsr8oi7rcvbgu6m0tz3okq4gsjf</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/انتگرال</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36127</id>
    <revision>
      <id>117785</id>
      <parentid>117784</parentid>
      <timestamp>2022-08-17T12:41:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12708" xml:space="preserve">در ریاضیات، '''انتگرال''' ، روشی برای اختصاص اعداد به توابع است؛ به گونه‌ای که جابجایی، مساحت، حجم و دیگر مفاهیم برآمده از ترکیب داده‌های بی‌نهایت کوچک را به وسیله آن بتوان توصیف کرد. انتگرال‌گیری یکی از دو عمل مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است، که عمل دیگر آن(عمل معکوس) دیفرانسیل‌گیری یا همان مشتق‌گیری است. برای تابع داده شده‌ای چون f از متغیر حقیقی x و بازه &lt;math&gt;[a, b]&lt;/math&gt; از خط حقیقی،به صورت ساده و انتگرال معین نوشته می گردد:

: &lt;math&gt;\int_a^b f(x)\,dx&lt;/math&gt;

به‌طور صوری به عنوان مساحت علامت‌دار ناحیه‌ای از صفحه xy که به نمودار f، محور x و خطوط عمودی x=a و x=b محدود شده‌است. نواحی بالای محور x به مساحت کل افزوده و نواحی پایین محور x از آن می‌کاهند.

عملیات انتگرال‌گیری، در حد یک مقدار ثابت (یعنی بدون در نظر گرفتن یک مقدار ثابت)، معکوس عملیات دیفرانسیل‌گیری است. بدین منظور، اصطلاح ''انتگرال'' را می‌توان به معنای پاد-مشتق نیز به کار برد، یعنی تابعی چون F که مشتقش تابع داده شده‌ی f باشد. در این حالت به انتگرال f، انتگرال نامعین گفته شده و به صورت زیر نوشته می‌شود:

: &lt;math&gt;F(x) = \int f(x)\,dx.&lt;/math&gt;

انتگرال‌هایی که در این مقاله مورد بحث قرار می‌گیرند از نوع ''انتگرال معین'' اند. قضیه اساسی حساب، دیفرانسیل‌گیری را به انتگرال معین ارتباط می‌دهد: اگر f یک تابع پیوسته حقیقی مقدار روی بازهٔ &lt;math&gt;[a, b]&lt;/math&gt; باشد، آنگاه زمانی که پاد مشتق f یعنی F، معلوم باشد، انتگرال f روی آن بازه مساوی است با:

: &lt;math&gt;\int_a^b \, f(x) dx = \left[F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a) \, .&lt;/math&gt;

اصول انتگرال‌گیری به‌طور مستقل توسط اسحاق نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز در اواخر قرن هفدهم میلادی قاعده‌بندی شد، آن‌ها انتگرال را به صورت جمع مستطیل‌هایی با عرض‌های بی‌نهایت کوچک می‌دیدند. برنارد ریمان تعریف دقیقی از انتگرال ارائه نمود. این تعریف بر اساس فرایند حد گیری است که مساحت زیر نمودار یک خم را با شکستن آن ناحیه به قطعات نازک عمودی تخمین می‌زند. با شروع قرن نوزدهم میلادی، مفاهیم پیچیده‌تری از انتگرال ظهور پیدا کرد که در آن نوع تابع به علاوه دامنه انتگرال‌گیری تعمیم یافت. انتگرال خطی برای توابع دو یا چند متغیره تعریف شده‌است و بازه انتگرال‌گیری &lt;math&gt;[a, b]&lt;/math&gt; در آن با خمی که دو نقطه ابتدا و انتهای انتگرال‌گیری را به هم متصل می‌کند جایگزین شده‌است. در انتگرال سطح (یا انتگرال رویه ای)، خم با یک رویه در فضای سه بعدی جایگزین می‌شود.

== تفاسیر ==
انتگرال ها در بسیاری از موقعیت های عملی ظاهر می شوند. به عنوان مثال، از طول، عرض و عمق یک استخر شنا که مستطیل شکل با کف صاف است، می توان حجم آبی که می تواند داشته باشد، مساحت سطح و طول لبه آن را تعیین کرد. اما اگر بیضی شکل با پایین گرد باشد، برای یافتن مقادیر دقیق و دقیق برای این کمیت ها، انتگرال ها مورد نیاز است. در هر مورد، می‌توان مقدار مورد نظر را به بی‌نهایت قطعات بی‌نهایت کوچک تقسیم کرد، سپس قطعات را جمع کرد تا به یک تقریب دقیق دست یافت.

به عنوان مثال، برای یافتن مساحت ناحیه محدود شده توسط نمودار تابع ''f'' ( ''x'' ) = √ ''x'' بین ''x'' = 0 و ''x'' = 1 ، می توان از فاصله در پنج مرحله عبور کرد ( 0، 1/5، 2/ 5، ...، 1 )، سپس با استفاده از ارتفاع سمت راست انتهای هر قطعه یک مستطیل را پر کنید (بنابراین √ 0 ، √ 1/5 ، √ 2/5 ، ...، √ 1 ) و مساحت آنها را جمع کنید تاتقریب از یک عدد به دست آید.&lt;math&gt;\textstyle \sqrt{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{5}-0\right)+\sqrt{\frac{2}{5}}\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\sqrt{\frac{5}{5}}\left(\frac{5}{5}-\frac{4}{5}\right)\approx 0.7497,&lt;/math&gt;که از مقدار دقیق آن بزرگتر است. از طرف دیگر، هنگام جایگزینی این زیر بازه‌ها با یکی با ارتفاع انتهای سمت چپ هر قطعه، تقریبی که بدست می‌آید بسیار کم است: با دوازده زیر بازه، مساحت تقریبی فقط 0.6203 است. با این حال، زمانی که تعداد قطعات تا بی نهایت افزایش یابد، به حدی می رسد که مقدار دقیق مساحت مورد نظر است (در این مورد، 2/3یکی می نویسد)

&lt;math&gt;\int_{0}^{1} \sqrt{x} \,dx = \frac{2}{3},&lt;/math&gt;

== تعاریف رسمی ==
راه های زیادی برای تعریف رسمی یک انتگرال وجود دارد که همه آنها معادل نیستند. تفاوت ها عمدتاً برای رسیدگی به موارد خاص متفاوت وجود دارد که ممکن است تحت تعاریف دیگر قابل ادغام نباشند، اما گاهی اوقات به دلایل آموزشی نیز وجود دارد. متداول ترین تعاریف انتگرال ریمان و انتگرال لبگ هستند.

=== انتگرال ریمان ===
انتگرال ریمان بر اساس مجموع توابع ریمان با توجه به ''پارتیشن'' های برچسب گذاری شده یک بازه تعریف می شود.  یک پارتیشن برچسب گذاری شده از یک بازه بسته [ ''a'' , ''b'' ] روی خط واقعی یک دنباله محدود است.

: &lt;math&gt; a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!&lt;/math&gt;

این بازه [ ''a'' , ''b'' ] را به n بازه فرعی [ xi &lt;sub&gt;−1 ،&lt;/sub&gt; ''xi'' ] که با i ''نمایه &lt;sub&gt;شده&lt;/sub&gt;'' است تقسیم می‌کند، که هر کدام با یک نقطه متمایز ''t &lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' ∈ [xi ''-1'' &lt;sub&gt;،&lt;/sub&gt; x ''i &lt;sub&gt;]&lt;/sub&gt;'' « &lt;sub&gt;''برچسب''&lt;/sub&gt; » شده‌اند &lt;sub&gt;''.''&lt;/sub&gt; . مجموع ''ریمان'' تابع f با توجه به چنین پارتیشن برچسب‌گذاری شده به صورت تعریف می‌شود

: &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n f(t_i) \, \Delta_i ; &lt;/math&gt;

بنابراین هر جمله از مجموع مساحت یک مستطیل با ارتفاع برابر با مقدار تابع در نقطه متمایز از بازه فرعی داده شده، و عرض برابر با عرض فاصله فرعی، Δ &lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt; = ''x &lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' - ''x &lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' &lt;sub&gt;است. -1&lt;/sub&gt; . ''مش'' چنین پارتیشن برچسب گذاری شده ای عرض بزرگترین بازه فرعی است که توسط پارتیشن تشکیل شده است، max &lt;sub&gt;''i'' = 1... ''n''&lt;/sub&gt; Δ &lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt; . انتگرال ''ریمان'' تابع f در بازه [ ''a'' , ''b'' ] برابر با S است اگر:

برای همه&lt;math&gt;\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;وجود دارد&lt;math&gt;\delta &gt; 0&lt;/math&gt;باشد به طوری که &lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt;برای هر[a,b] برچسب گذاری شده باشد کمتر از هنگامی که تگ‌های انتخابی حداکثر (به ترتیب، حداقل) مقدار هر بازه را می‌دهند، مجموع ریمان به جمع داربوکس بالایی (به ترتیب، پایین‌تر) تبدیل می‌شود که ارتباط نزدیک بین انتگرال ریمان و انتگرال داربو را نشان می‌دهد .

&lt;math&gt;\left| S - \sum_{i=1}^n f(t_i) \, \Delta_i \right| &lt; \varepsilon.&lt;/math&gt;

=== انتگرال لبگ ===
غالباً چه در تئوری و چه در کاربردها، قابل توجه است که بتوان از حد انتگرال عبور کرد. برای مثال، اغلب می‌توان دنباله‌ای از توابع را ساخت که به معنایی مناسب، راه‌حل یک مسئله را تقریب می‌کنند. سپس انتگرال تابع حل باید حد انتگرال تقریب ها باشد. با این حال، بسیاری از توابعی که می توان به عنوان حد به دست آورد، قابل انتگرال پذیری ریمان نیستند، و بنابراین چنین قضایای حدی با انتگرال ریمان سازگار نیستند. بنابراین، داشتن تعریفی از انتگرال که امکان ادغام کلاس وسیع تری از توابع را فراهم می کند، اهمیت زیادی دارد. 

چنین انتگرالی انتگرال لبگ است که از واقعیت زیر برای بزرگ‌تر کردن کلاس توابع انتگرال‌پذیر استفاده می‌کند: اگر مقادیر یک تابع در دامنه مرتب شوند، انتگرال یک تابع باید ثابت بماند.
همانطور که فولاند می‌گوید، «برای محاسبه انتگرال ریمان f ، دامنه [ ''a'' , ''b'' ] را به زیر بازه‌ها تقسیم می‌کنیم، در حالی که در انتگرال لبگ، «در واقع محدوده f را تقسیم می‌کنیم.  بنابراین تعریف انتگرال لبگ با یک اندازه آغاز می شود ، μ. در ساده ترین حالت، اندازه گیری لبگ (''μ'' ( ''A''  یک بازه [''A'' = [ ''a'' , ''b''  عرض آن است، ''b'' − ''a''، به طوری که انتگرال لبگ با انتگرال (مناسب) ریمان در زمانی که هر دو وجود دارند موافق است.  در موارد پیچیده‌تر، مجموعه‌هایی که اندازه‌گیری می‌شوند می‌توانند بسیار پراکنده باشند، بدون پیوستگی و هیچ شباهتی به فواصل.

با استفاده از فلسفه &quot;تقسیم بندی محدوده f &quot;، انتگرال یک تابع غیرمنفی ''f''  : '''R''' → '''R''' باید مجموع بیش از t مناطق بین یک نوار افقی نازک بین ''y'' = ''t'' و ''y'' = ''t'' + ''dt'' باشد. این ناحیه فقط ''μ'' { ''x''  : ''f'' ( ''x'' ) &gt; ''t'' }  ''dt'' است . فرض کنید ''f'' &lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt; ( ''t'' ) = ''μ'' { ''x''  : ''f'' ( ''x'') &gt; ''t'' } . سپسfتوسط انتگرال لبگ تعریف می شود

:

جایی که انتگرال سمت راست یک انتگرال ریمان نامناسب معمولی است ( ''f'' &lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt; یک تابع مثبت کاملاً کاهشی است و بنابراین دارای یک انتگرال ریمان نامناسب کاملاً تعریف شده است ).  برای یک کلاس مناسب از توابع (توابع قابل اندازه گیری ) این انتگرال لبگ را تعریف می کند.

اگر مجموع مقادیر مطلق نواحی بین نمودار f و محور x محدود باشد، یک تابع قابل اندازه‌گیری کلی f ، قابل انتگرال‌پذیری لبگ است: 

:

در آن صورت، انتگرال، مانند حالت ریمانی، تفاوت بین ناحیه بالای محور x و ناحیه زیر محور x است : 

:

جایی که

:

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی

&lt;code&gt;محتوای این صفحه در حال تحقیق است.&lt;/code&gt;
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>22d75f4ha6nbl56czg6g9qrpajkr6sl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117786</id>
      <parentid>117785</parentid>
      <timestamp>2022-08-17T12:58:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="23532" xml:space="preserve">در ریاضیات، '''انتگرال''' ، روشی برای اختصاص اعداد به توابع است؛ به گونه‌ای که جابجایی، مساحت، حجم و دیگر مفاهیم برآمده از ترکیب داده‌های بی‌نهایت کوچک را به وسیله آن بتوان توصیف کرد. انتگرال‌گیری یکی از دو عمل مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است، که عمل دیگر آن(عمل معکوس) دیفرانسیل‌گیری یا همان مشتق‌گیری است. برای تابع داده شده‌ای چون f از متغیر حقیقی x و بازه &lt;math&gt;[a, b]&lt;/math&gt; از خط حقیقی،به صورت ساده و انتگرال معین نوشته می گردد:

: &lt;math&gt;\int_a^b f(x)\,dx&lt;/math&gt;

به‌طور صوری به عنوان مساحت علامت‌دار ناحیه‌ای از صفحه xy که به نمودار f، محور x و خطوط عمودی x=a و x=b محدود شده‌است. نواحی بالای محور x به مساحت کل افزوده و نواحی پایین محور x از آن می‌کاهند.

عملیات انتگرال‌گیری، در حد یک مقدار ثابت (یعنی بدون در نظر گرفتن یک مقدار ثابت)، معکوس عملیات دیفرانسیل‌گیری است. بدین منظور، اصطلاح ''انتگرال'' را می‌توان به معنای پاد-مشتق نیز به کار برد، یعنی تابعی چون F که مشتقش تابع داده شده‌ی f باشد. در این حالت به انتگرال f، انتگرال نامعین گفته شده و به صورت زیر نوشته می‌شود:

: &lt;math&gt;F(x) = \int f(x)\,dx.&lt;/math&gt;

انتگرال‌هایی که در این مقاله مورد بحث قرار می‌گیرند از نوع ''انتگرال معین'' اند. قضیه اساسی حساب، دیفرانسیل‌گیری را به انتگرال معین ارتباط می‌دهد: اگر f یک تابع پیوسته حقیقی مقدار روی بازهٔ &lt;math&gt;[a, b]&lt;/math&gt; باشد، آنگاه زمانی که پاد مشتق f یعنی F، معلوم باشد، انتگرال f روی آن بازه مساوی است با:

: &lt;math&gt;\int_a^b \, f(x) dx = \left[F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a) \, .&lt;/math&gt;

اصول انتگرال‌گیری به‌طور مستقل توسط اسحاق نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز در اواخر قرن هفدهم میلادی قاعده‌بندی شد، آن‌ها انتگرال را به صورت جمع مستطیل‌هایی با عرض‌های بی‌نهایت کوچک می‌دیدند. برنارد ریمان تعریف دقیقی از انتگرال ارائه نمود. این تعریف بر اساس فرایند حد گیری است که مساحت زیر نمودار یک خم را با شکستن آن ناحیه به قطعات نازک عمودی تخمین می‌زند. با شروع قرن نوزدهم میلادی، مفاهیم پیچیده‌تری از انتگرال ظهور پیدا کرد که در آن نوع تابع به علاوه دامنه انتگرال‌گیری تعمیم یافت. انتگرال خطی برای توابع دو یا چند متغیره تعریف شده‌است و بازه انتگرال‌گیری &lt;math&gt;[a, b]&lt;/math&gt; در آن با خمی که دو نقطه ابتدا و انتهای انتگرال‌گیری را به هم متصل می‌کند جایگزین شده‌است. در انتگرال سطح (یا انتگرال رویه ای)، خم با یک رویه در فضای سه بعدی جایگزین می‌شود.

== تفاسیر ==
انتگرال ها در بسیاری از موقعیت های عملی ظاهر می شوند. به عنوان مثال، از طول، عرض و عمق یک استخر شنا که مستطیل شکل با کف صاف است، می توان حجم آبی که می تواند داشته باشد، مساحت سطح و طول لبه آن را تعیین کرد. اما اگر بیضی شکل با پایین گرد باشد، برای یافتن مقادیر دقیق و دقیق برای این کمیت ها، انتگرال ها مورد نیاز است. در هر مورد، می‌توان مقدار مورد نظر را به بی‌نهایت قطعات بی‌نهایت کوچک تقسیم کرد، سپس قطعات را جمع کرد تا به یک تقریب دقیق دست یافت.

به عنوان مثال، برای یافتن مساحت ناحیه محدود شده توسط نمودار تابع ''f'' ( ''x'' ) = √ ''x'' بین ''x'' = 0 و ''x'' = 1 ، می توان از فاصله در پنج مرحله عبور کرد ( 0، 1/5، 2/ 5، ...، 1 )، سپس با استفاده از ارتفاع سمت راست انتهای هر قطعه یک مستطیل را پر کنید (بنابراین √ 0 ، √ 1/5 ، √ 2/5 ، ...، √ 1 ) و مساحت آنها را جمع کنید تاتقریب از یک عدد به دست آید.&lt;math&gt;\textstyle \sqrt{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{5}-0\right)+\sqrt{\frac{2}{5}}\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\sqrt{\frac{5}{5}}\left(\frac{5}{5}-\frac{4}{5}\right)\approx 0.7497,&lt;/math&gt;که از مقدار دقیق آن بزرگتر است. از طرف دیگر، هنگام جایگزینی این زیر بازه‌ها با یکی با ارتفاع انتهای سمت چپ هر قطعه، تقریبی که بدست می‌آید بسیار کم است: با دوازده زیر بازه، مساحت تقریبی فقط 0.6203 است. با این حال، زمانی که تعداد قطعات تا بی نهایت افزایش یابد، به حدی می رسد که مقدار دقیق مساحت مورد نظر است (در این مورد، 2/3یکی می نویسد)

&lt;math&gt;\int_{0}^{1} \sqrt{x} \,dx = \frac{2}{3},&lt;/math&gt;

== تعاریف رسمی ==
راه های زیادی برای تعریف رسمی یک انتگرال وجود دارد که همه آنها معادل نیستند. تفاوت ها عمدتاً برای رسیدگی به موارد خاص متفاوت وجود دارد که ممکن است تحت تعاریف دیگر قابل ادغام نباشند، اما گاهی اوقات به دلایل آموزشی نیز وجود دارد. متداول ترین تعاریف انتگرال ریمان و انتگرال لبگ هستند.

=== انتگرال ریمان ===
انتگرال ریمان بر اساس مجموع توابع ریمان با توجه به ''پارتیشن'' های برچسب گذاری شده یک بازه تعریف می شود.  یک پارتیشن برچسب گذاری شده از یک بازه بسته [ ''a'' , ''b'' ] روی خط واقعی یک دنباله محدود است.

: &lt;math&gt; a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!&lt;/math&gt;

این بازه [ ''a'' , ''b'' ] را به n بازه فرعی [ xi &lt;sub&gt;−1 ،&lt;/sub&gt; ''xi'' ] که با i ''نمایه &lt;sub&gt;شده&lt;/sub&gt;'' است تقسیم می‌کند، که هر کدام با یک نقطه متمایز ''t &lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' ∈ [xi ''-1'' &lt;sub&gt;،&lt;/sub&gt; x ''i &lt;sub&gt;]&lt;/sub&gt;'' « &lt;sub&gt;''برچسب''&lt;/sub&gt; » شده‌اند &lt;sub&gt;''.''&lt;/sub&gt; . مجموع ''ریمان'' تابع f با توجه به چنین پارتیشن برچسب‌گذاری شده به صورت تعریف می‌شود

: &lt;math&gt;\sum_{i=1}^n f(t_i) \, \Delta_i ; &lt;/math&gt;

بنابراین هر جمله از مجموع مساحت یک مستطیل با ارتفاع برابر با مقدار تابع در نقطه متمایز از بازه فرعی داده شده، و عرض برابر با عرض فاصله فرعی، Δ &lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt; = ''x &lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' - ''x &lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' &lt;sub&gt;است. -1&lt;/sub&gt; . ''مش'' چنین پارتیشن برچسب گذاری شده ای عرض بزرگترین بازه فرعی است که توسط پارتیشن تشکیل شده است، max &lt;sub&gt;''i'' = 1... ''n''&lt;/sub&gt; Δ &lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt; . انتگرال ''ریمان'' تابع f در بازه [ ''a'' , ''b'' ] برابر با S است اگر:

برای همه&lt;math&gt;\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;وجود دارد&lt;math&gt;\delta &gt; 0&lt;/math&gt;باشد به طوری که &lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt;برای هر[a,b] برچسب گذاری شده باشد کمتر از هنگامی که تگ‌های انتخابی حداکثر (به ترتیب، حداقل) مقدار هر بازه را می‌دهند، مجموع ریمان به جمع داربوکس بالایی (به ترتیب، پایین‌تر) تبدیل می‌شود که ارتباط نزدیک بین انتگرال ریمان و انتگرال داربو را نشان می‌دهد .

&lt;math&gt;\left| S - \sum_{i=1}^n f(t_i) \, \Delta_i \right| &lt; \varepsilon.&lt;/math&gt;

=== انتگرال لبگ ===
غالباً چه در تئوری و چه در کاربردها، قابل توجه است که بتوان از حد انتگرال عبور کرد. برای مثال، اغلب می‌توان دنباله‌ای از توابع را ساخت که به معنایی مناسب، راه‌حل یک مسئله را تقریب می‌کنند. سپس انتگرال تابع حل باید حد انتگرال تقریب ها باشد. با این حال، بسیاری از توابعی که می توان به عنوان حد به دست آورد، قابل انتگرال پذیری ریمان نیستند، و بنابراین چنین قضایای حدی با انتگرال ریمان سازگار نیستند. بنابراین، داشتن تعریفی از انتگرال که امکان ادغام کلاس وسیع تری از توابع را فراهم می کند، اهمیت زیادی دارد. 

چنین انتگرالی انتگرال لبگ است که از واقعیت زیر برای بزرگ‌تر کردن کلاس توابع انتگرال‌پذیر استفاده می‌کند: اگر مقادیر یک تابع در دامنه مرتب شوند، انتگرال یک تابع باید ثابت بماند.
همانطور که فولاند می‌گوید، «برای محاسبه انتگرال ریمان f ، دامنه [ ''a'' , ''b'' ] را به زیر بازه‌ها تقسیم می‌کنیم، در حالی که در انتگرال لبگ، «در واقع محدوده f را تقسیم می‌کنیم.  بنابراین تعریف انتگرال لبگ با یک اندازه آغاز می شود ، μ. در ساده ترین حالت، اندازه گیری لبگ (''μ'' ( ''A''  یک بازه [''A'' = [ ''a'' , ''b''  عرض آن است، ''b'' − ''a''، به طوری که انتگرال لبگ با انتگرال (مناسب) ریمان در زمانی که هر دو وجود دارند موافق است.  در موارد پیچیده‌تر، مجموعه‌هایی که اندازه‌گیری می‌شوند می‌توانند بسیار پراکنده باشند، بدون پیوستگی و هیچ شباهتی به فواصل.

با استفاده از فلسفه &quot;تقسیم بندی محدوده f &quot;، انتگرال یک تابع غیرمنفی ''f''  : '''R''' → '''R''' باید مجموع بیش از t مناطق بین یک نوار افقی نازک بین ''y'' = ''t'' و ''y'' = ''t'' + ''dt'' باشد. این ناحیه فقط ''μ'' { ''x''  : ''f'' ( ''x'' ) &gt; ''t'' }  ''dt'' است . فرض کنید ''f'' &lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt; ( ''t'' ) = ''μ'' { ''x''  : ''f'' ( ''x'') &gt; ''t'' } . سپسfتوسط انتگرال لبگ تعریف می شود

:&lt;math&gt;\int f = \int_0^\infty f^*(t)\,dt&lt;/math&gt;

جایی که انتگرال سمت راست یک انتگرال ریمان نامناسب معمولی است ( ''f'' &lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt; یک تابع مثبت کاملاً کاهشی است و بنابراین دارای یک انتگرال ریمان نامناسب کاملاً تعریف شده است ).  برای یک کلاس مناسب از توابع (توابع قابل اندازه گیری ) این انتگرال لبگ را تعریف می کند.

اگر مجموع مقادیر مطلق نواحی بین نمودار f و محور x محدود باشد، یک تابع قابل اندازه‌گیری کلی f ، قابل انتگرال‌پذیری لبگ است: 

:&lt;math&gt;\int_E |f|\,d\mu &lt; + \infty.&lt;/math&gt;

در آن صورت، انتگرال، مانند حالت ریمانی، تفاوت بین ناحیه بالای محور x و ناحیه زیر محور x است: 

:&lt;math&gt;\int_E f \,d\mu = \int_E f^+ \,d\mu - \int_E f^- \,d\mu&lt;/math&gt;

جایی که&lt;math&gt;\begin{alignat}{3}
 &amp; f^+(x) &amp;&amp;{}={} \max \{f(x),0\} &amp;&amp;{}={} \begin{cases}
               f(x), &amp; \text{if } f(x) &gt; 0, \\
               0, &amp; \text{otherwise,}
             \end{cases}\\
 &amp; f^-(x) &amp;&amp;{}={} \max \{-f(x),0\} &amp;&amp;{}={} \begin{cases}
               -f(x), &amp; \text{if } f(x) &lt; 0, \\
               0, &amp; \text{otherwise.}
             \end{cases}
\end{alignat}&lt;/math&gt;

== خواص ==

=== خطی بودن ===
مجموعه توابع قابل ادغام ریمان در یک بازه بسته [ ''a'' , ''b'' ] یک فضای برداری را تحت عملیات جمع نقطه ای و ضرب توسط یک اسکالر و عملیات یکپارچه سازی تشکیل می دهد.

: &lt;math&gt; f \mapsto \int_a^b f(x) \; dx&lt;/math&gt;

یک تابع خطی در این فضای برداری است. بنابراین، مجموعه توابع انتگرال پذیر با گرفتن ترکیبات خطی بسته می شود ، و انتگرال یک ترکیب خطی، ترکیب خطی انتگرال ها است: 

: &lt;math&gt; \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,&lt;/math&gt;

به طور مشابه، مجموعه توابع انتگرال پذیر Lebesgue با ارزش واقعی در فضای اندازه گیری داده شده E با اندازه گیری μ تحت ترکیب های خطی بسته می شود و بنابراین یک فضای برداری و انتگرال لبگ را تشکیل می دهد.

: &lt;math&gt; f\mapsto \int_E f \, d\mu &lt;/math&gt;

یک تابع خطی در این فضای برداری است، به طوری که: 

: &lt;math&gt; \int_E (\alpha f + \beta g) \, d\mu = \alpha \int_E f \, d\mu + \beta \int_E g \, d\mu. &lt;/math&gt;

به طور کلی، فضای برداری همه توابع قابل اندازه گیری را در یک فضای اندازه گیری در نظر بگیرید ( ''E'' , ''μ'' ) و مقادیر را در یک فضای برداری توپولوژیکی کامل فشرده محلی V روی یک میدان توپولوژیکی فشرده محلی ''K'' ، ''f''  : ''E'' → ''V'' در نظر بگیرید. سپس می توان یک نقشه انتزاعی انتزاعی تعریف کرد که به هر تابع یک عنصر از V یا نماد ''∞'' اختصاص می دهد ،

: &lt;math&gt; f\mapsto\int_E f \,d\mu, \,&lt;/math&gt;

که با ترکیبات خطی سازگار است.  در این وضعیت، خطی بودن برای زیرفضای توابعی که انتگرال آنها عنصری از V است (یعنی &quot;محدود&quot;) برقرار است. مهم‌ترین موارد خاص زمانی به وجود می‌آیند که K R '''،''' C '''یا''' یک گسترش متناهی از میدان '''Q''' &lt;sub&gt;''p''&lt;/sub&gt; از اعداد پی آدیک باشد ، و V یک فضای برداری با بعد محدود روی K باشد، و زمانی که ''K'' = '''C''' و V یک مختلط است. فضای هیلبرت

خطی بودن، همراه با برخی ویژگی‌های پیوستگی طبیعی و نرمال‌سازی برای کلاس خاصی از توابع «ساده»، ممکن است برای ارائه یک تعریف جایگزین از انتگرال استفاده شود. این رویکرد دانیل برای مورد توابع با ارزش واقعی در مجموعه X است که توسط نیکلاس بورباکی به توابع با مقادیر در یک فضای برداری توپولوژیکی فشرده محلی تعمیم داده شده است. برای توصیف بدیهی انتگرال به هیلدبراند 1953 مراجعه کنید .

=== نابرابری ها ===
تعدادی از نابرابری‌های کلی برای توابع قابل انتگرال‌پذیری ریمان که در بازه‌های بسته و محدود [ ''a'' , ''b'' ] تعریف شده‌اند وجود دارند و می‌توان آن‌ها را به مفاهیم دیگر انتگرال تعمیم داد (لبگ و دانیل).

* ''مرزهای بالا و پایین.'' یک تابع انتگرال پذیر f در [ ''a'' , ''b'' ] ، لزوماً در آن بازه محدود است. بنابراین اعداد حقیقی m و M وجود دارند به طوری که ''m'' ≤ ''f''  ( ''x'' ) ≤ ''M'' برای همه x در [ ''a'' , ''b'' ] . از آنجایی که مجموع پایین و بالایی f بیش از [ ''a'' , ''b'' ] به ترتیب با ''m'' محدود می شوند ( ''b-a'' ) و ''M'' ( ''b'' − ''a'' ) ، نتیجه می شود که
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a). &lt;/math&gt;
* ''نابرابری بین توابع''  اگر ''f'' ( ''x'' ) ≤ ''g'' ( ''x'' ) برای هر x در [ ''a'' , ''b'' ] ، هر یک از مجموع بالا و پایین f در بالا به ترتیب با مجموع بالا و پایین g محدود می شود. بدین ترتیب
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx. &lt;/math&gt; این تعمیم نابرابری های فوق است، زیرا ''M'' ( ''b'' - ''a'' ) انتگرال تابع ثابت با مقدار M بیش از [ ''a'' , ''b'' ] است. علاوه بر این، اگر نابرابری بین توابع دقیق باشد، نابرابری بین انتگرال ها نیز شدید است. یعنی اگر f ''('' x '')'' &lt; ''g'' ( ''x'' ) برای هر x در [ ''a'' , ''b'' ]

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \int_a^b f(x) \, dx &lt; \int_a^b g(x) \, dx. &lt;/math&gt;
* ''زیر بازه ها'' اگر [ ''c'' , ''d'' ] زیر بازه ای از [ ''a'' , ''b'' ] باشد و ''f''  ( ''x'' ) برای همه x غیر منفی باشد ، آنگاه
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \int_c^d f(x) \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx. &lt;/math&gt;
* ''محصولات و مقادیر مطلق توابع.'' اگر f و g دو تابع باشند، ممکن است حاصل ضربات نقطه‌ای و توان و مقادیر مطلق آنها را در نظر بگیریم :
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
 (fg)(x)= f(x) g(x), \; f^2 (x) = (f(x))^2, \; |f| (x) = |f(x)|.&lt;/math&gt; اگر f روی [ ''a'' , ''b'' ] قابل ادغام ریمان باشد ، در مورد نیز همینطور است| ''f'' | ، و

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b | f(x) | \, dx. &lt;/math&gt; علاوه بر این، اگر f و g هر دو انتگرال پذیر ریمان باشند، ''fg'' نیز قابل انتگرال پذیری ریمان است، و

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\left( \int_a^b (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right). &lt;/math&gt; این نابرابری که به نام نابرابری کوشی-شوارتز شناخته می‌شود ، نقش برجسته‌ای در نظریه فضای هیلبرت بازی می‌کند، جایی که سمت چپ به عنوان حاصلضرب درونی دو تابع مربع‌پذیر f و g در بازه [ ''a'' ، ''b'' ] تفسیر می‌شود .
* ''نابرابری'' هلدر  فرض کنید که p و q دو عدد واقعی هستند، 1 ≤ ''p'' , ''q'' ≤ ∞ با1/''پ''+1/''q''= 1 و f و g دو تابع قابل ادغام ریمان هستند. سپس توابع | ''f'' | &lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; و | ''g'' | &lt;sup&gt;''q''&lt;/sup&gt; نیز انتگرال پذیر هستند و نابرابری هلدر زیر صادق است: برای ''p'' = ''q'' = 2 ، نابرابری هولدر به نابرابری کوشی-شوارتز تبدیل می شود.
* نابرابری ''مینکوفسکی''  فرض کنید که ''p'' ≥ 1 یک عدد واقعی است و f و g توابع قابل انتگرال گیری ریمان هستند. سپس | ''f'' | &lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; , | ''g'' | &lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; و | ''f'' + ''g'' | &lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; همچنین قابل ادغام ریمان هستند و نابرابری مینکوفسکی زیر صادق است:
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\left|\int f(x)g(x)\,dx\right| \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.&lt;/math&gt; یک آنالوگ این نابرابری برای انتگرال لبگ در ساخت فضاهای L &lt;sup&gt;p&lt;/sup&gt; استفاده می شود.

=== کنوانسیون ها ===
در این بخش، f یک تابع قابل ادغام ریمان با ارزش واقعی است . انتگرال

: &lt;math&gt; \int_a^b f(x) \, dx &lt;/math&gt;

در یک بازه [ ''a'' , ''b'' ] تعریف می شود اگر ''a'' &lt; ''b'' . این بدان معنی است که مجموع بالا و پایین تابع f در یک پارتیشن ''a'' = ''x'' &lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ≤ ''x'' &lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ≤ ارزیابی می شود. . . ≤ ''x &lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' = ''b'' که مقادیر ''x &lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' در حال افزایش است. از نظر هندسی، این نشان می‌دهد که ادغام از چپ به راست انجام می‌شود و f را در فواصل زمانی [ ''xi''  ، ''x &lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' &lt;sub&gt; +1&lt;/sub&gt; ] ارزیابی می‌کند &lt;sub&gt;''.''  &lt;/sub&gt;جایی که یک بازه با شاخص بالاتر در سمت راست یک با شاخص کمتر قرار دارد. مقادیر a و b ، نقاط انتهایی بازه ، حدود یکپارچه سازی f نامیده می شوند . انتگرال ها همچنین می توانند تعریف شوند اگر ''a'' &gt; ''b'' : 

: &lt;math&gt;\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx. &lt;/math&gt;

با ''a'' = ''b'' ، این نشان می دهد:

: &lt;math&gt;\int_a^a f(x) \, dx = 0. &lt;/math&gt;

اولین قرارداد با توجه به در نظر گرفتن انتگرال ها بر فرعی بازه های [ ''a'' , ''b'' ] ضروری است . دومی می گوید که انتگرال گرفته شده در یک بازه منحط، یا یک نقطه ، باید صفر باشد . یکی از دلایل قرارداد اول این است که انتگرال پذیری f در بازه [ ''a'' , ''b'' ] دلالت بر این دارد که f در هر زیر بازه [ ''c'' , ''d'' ] قابل انتگرال است، اما به طور خاص انتگرال ها این ویژگی را دارند که اگر c هر عنصری از [ ''a'' باشد. ،''b'' ] ، سپس:

: &lt;math&gt; \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.&lt;/math&gt;

با اولین قرارداد، رابطه حاصل

: &lt;math&gt;\begin{align}
 \int_a^c f(x) \, dx &amp;{}= \int_a^b f(x) \, dx - \int_c^b f(x) \, dx \\
 &amp;{} = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx
\end{align}&lt;/math&gt;

سپس برای هر جایگشت چرخه ای a ، b و c به خوبی تعریف می شود .

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی

&lt;code&gt;محتوای این صفحه در حال تحقیق است.&lt;/code&gt;
[[رده:ریاضیات پیشرفته]]</text>
      <sha1>0ktzxezpr49kqwfswsn5o1pxix33fxt</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>بحث کاربر:Farzinsheikhi20</title>
    <ns>3</ns>
    <id>36128</id>
    <revision>
      <id>117787</id>
      <timestamp>2022-08-17T13:17:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>New user message</username>
        <id>8356</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>افزودن [[الگو:خوشامدید|پیام خوش‌آمد]] به صفحهٔ بحث کاربر تازه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3656" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۱۷ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۱۳:۱۷ (UTC)</text>
      <sha1>15hgbq3m3rm379j7z73sj1ukm98e7g0</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>ریاضیات پیشرفته/سری فوریه</title>
    <ns>0</ns>
    <id>36129</id>
    <revision>
      <id>117788</id>
      <timestamp>2022-08-17T13:19:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «'''سری فوریه''' بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری...» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7806" xml:space="preserve">'''سری فوریه''' بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

== پیش گفتار ==
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

: &lt;math&gt;x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; یک عدد صحیح مثبت، &lt;math&gt;A_k&lt;/math&gt; دامنه، &lt;math&gt;\omega_k&lt;/math&gt; بسامد و &lt;math&gt;\theta_k&lt;/math&gt; فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها &lt;math&gt;\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N&lt;/math&gt;، دامنه‌ها &lt;math&gt;A_1, A_2 \ldots A_N&lt;/math&gt; و فازها &lt;math&gt;\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N&lt;/math&gt; تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

== نمایش‌های مختلف سری فوریه ==

=== نمایش مثلثاتی ===
اگر &lt;math&gt;f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}&lt;/math&gt; یک تابع متناوب با دوره تناوب &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; باشد (یا به عبارتی: {{چر}}&lt;math&gt;f(t+T)=f(t)&lt;/math&gt;{{چر}}) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

: &lt;math&gt;f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt; \omega_n&lt;/math&gt; هارمونیک ''n''ام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;، &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.{{سخ}} فوریه بر این باور بود که ''هرگونه'' تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب ''درست نیست''. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

# تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

&lt;math&gt; \int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx &lt;\infty &lt;/math&gt;{{پایان}}

# تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
# تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

=== نمایش مختلط ===
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

: &lt;math&gt;f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}
و در اینجا:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt  \,\!&lt;/math&gt;

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

: &lt;math&gt;\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)) \,\!&lt;/math&gt;

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

=== نمایش کسینوس-با-فاز ===
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی  استفاده می‌شود.

: &lt;math&gt;x = {a_0+} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}

== محاسبه ضرایب فوریه ==

=== نمایش مثلثی ===
نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد&lt;math&gt;T&lt;/math&gt; دوره تناوب و &lt;math&gt;{\omega_n}&lt;/math&gt; هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; و ضریب ثابت &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

: &lt;math&gt; a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

بازه [&lt;math&gt;\pi , \pi&lt;/math&gt;-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب &lt;math&gt;p = 2\pi&lt;/math&gt; پس ضرایب عبارتند از:

: &lt;math&gt;a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;


== همگرایی ==
Series.svg|چهار مجموع جزئی اول سری فوریه برای یک [[موج مربعی]]&lt;nowiki&gt;|File:SquareWaveFourierArrows%2Crotated.gif|width=150|height=150|lines=2|align=left}}در کاربردهای &lt;/nowiki&gt;[[مهندسی]]، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; پیوسته باشد و مشتق &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; همگرا می‌شوند. 
&lt;gallery widths=&quot;256&quot; heights=&quot;۲۵۶&quot;&gt;
پرونده:Fourier series square wave circles animation.gif|چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴  جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
پرونده:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif| چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد. 
پرونده:Example of Fourier Convergence.gif|نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری &quot;طنین&quot; (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.
&lt;/gallery&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>lvf16ag2czmds61jp4ftn5z43m0wyf0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117789</id>
      <parentid>117788</parentid>
      <timestamp>2022-08-17T13:20:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7686" xml:space="preserve">'''سری فوریه''' بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

== پیش گفتار ==
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

: &lt;math&gt;x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; یک عدد صحیح مثبت، &lt;math&gt;A_k&lt;/math&gt; دامنه، &lt;math&gt;\omega_k&lt;/math&gt; بسامد و &lt;math&gt;\theta_k&lt;/math&gt; فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها &lt;math&gt;\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N&lt;/math&gt;، دامنه‌ها &lt;math&gt;A_1, A_2 \ldots A_N&lt;/math&gt; و فازها &lt;math&gt;\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N&lt;/math&gt; تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

== نمایش‌های مختلف سری فوریه ==

=== نمایش مثلثاتی ===
اگر &lt;math&gt;f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}&lt;/math&gt; یک تابع متناوب با دوره تناوب &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; باشد (یا به عبارتی: {{چر}}&lt;math&gt;f(t+T)=f(t)&lt;/math&gt;{{چر}}) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

: &lt;math&gt;f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt; \omega_n&lt;/math&gt; هارمونیک ''n''ام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;، &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.{{سخ}} فوریه بر این باور بود که ''هرگونه'' تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب ''درست نیست''. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

# تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

&lt;math&gt; \int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx &lt;\infty &lt;/math&gt;{{پایان}}

# تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
# تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

=== نمایش مختلط ===
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

: &lt;math&gt;f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}
و در اینجا:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt  \,\!&lt;/math&gt;

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

: &lt;math&gt;\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)) \,\!&lt;/math&gt;

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

=== نمایش کسینوس-با-فاز ===
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی  استفاده می‌شود.

: &lt;math&gt;x = {a_0+} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}

== محاسبه ضرایب فوریه ==

=== نمایش مثلثی ===
نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد&lt;math&gt;T&lt;/math&gt; دوره تناوب و &lt;math&gt;{\omega_n}&lt;/math&gt; هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; و ضریب ثابت &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

: &lt;math&gt; a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

بازه [&lt;math&gt;\pi , \pi&lt;/math&gt;-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب &lt;math&gt;p = 2\pi&lt;/math&gt; پس ضرایب عبارتند از:

: &lt;math&gt;a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;


== همگرایی ==
چهار مجموع جزئی اول سری فوریه برای یک موج مربعی در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; پیوسته باشد و مشتق &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; همگرا می‌شوند. 
&lt;gallery widths=&quot;256&quot; heights=&quot;۲۵۶&quot;&gt;
پرونده:Fourier series square wave circles animation.gif|چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴  جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
پرونده:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif| چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد. 
پرونده:Example of Fourier Convergence.gif|نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری &quot;طنین&quot; (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.
&lt;/gallery&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>5huogb5hkxiuow4vge8pl5rzxwo80ql</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117790</id>
      <parentid>117789</parentid>
      <timestamp>2022-08-17T13:22:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7600" xml:space="preserve">'''سری فوریه''' بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

== پیش گفتار ==
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

: &lt;math&gt;x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; یک عدد صحیح مثبت، &lt;math&gt;A_k&lt;/math&gt; دامنه، &lt;math&gt;\omega_k&lt;/math&gt; بسامد و &lt;math&gt;\theta_k&lt;/math&gt; فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها &lt;math&gt;\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N&lt;/math&gt;، دامنه‌ها &lt;math&gt;A_1, A_2 \ldots A_N&lt;/math&gt; و فازها &lt;math&gt;\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N&lt;/math&gt; تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

== نمایش‌های مختلف سری فوریه ==

=== نمایش مثلثاتی ===
اگر &lt;math&gt;f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}&lt;/math&gt; یک تابع متناوب با دوره تناوب &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; باشد (یا به عبارتی: {{چر}}&lt;math&gt;f(t+T)=f(t)&lt;/math&gt;{{چر}}) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

: &lt;math&gt;f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt; \omega_n&lt;/math&gt; هارمونیک ''n''ام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;، &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.{{سخ}} فوریه بر این باور بود که ''هرگونه'' تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب ''درست نیست''. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

# تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

&lt;math&gt; \int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx &lt;\infty &lt;/math&gt;{{پایان}}

# تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
# تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

=== نمایش مختلط ===
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

: &lt;math&gt;f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}
و در اینجا:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt  \,\!&lt;/math&gt;

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

: &lt;math&gt;\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)) \,\!&lt;/math&gt;

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

=== نمایش کسینوس-با-فاز ===
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی  استفاده می‌شود.

: &lt;math&gt;x = {a_0+} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}

== محاسبه ضرایب فوریه ==

=== نمایش مثلثی ===
نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد&lt;math&gt;T&lt;/math&gt; دوره تناوب و &lt;math&gt;{\omega_n}&lt;/math&gt; هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; و ضریب ثابت &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

: &lt;math&gt; a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

بازه [&lt;math&gt;\pi , \pi&lt;/math&gt;-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب &lt;math&gt;p = 2\pi&lt;/math&gt; پس ضرایب عبارتند از:

: &lt;math&gt;a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;


== همگرایی ==
در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; پیوسته باشد و مشتق &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; همگرا می‌شوند. 
&lt;gallery widths=&quot;256&quot; heights=&quot;۲۵۶&quot;&gt;
پرونده:Fourier series square wave circles animation.gif|چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴  جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
پرونده:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif| چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد. 
پرونده:Example of Fourier Convergence.gif|نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری &quot;طنین&quot; (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.
&lt;/gallery&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>dhiypbyzwmo145dkivtkbxnvdhifzkx</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117799</id>
      <parentid>117790</parentid>
      <timestamp>2022-08-18T04:49:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7620" xml:space="preserve">'''سری فوریه''' بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

== تعریف ==

=== پیش گفتار ===
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

: &lt;math&gt;x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; یک عدد صحیح مثبت، &lt;math&gt;A_k&lt;/math&gt; دامنه، &lt;math&gt;\omega_k&lt;/math&gt; بسامد و &lt;math&gt;\theta_k&lt;/math&gt; فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها &lt;math&gt;\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N&lt;/math&gt;، دامنه‌ها &lt;math&gt;A_1, A_2 \ldots A_N&lt;/math&gt; و فازها &lt;math&gt;\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N&lt;/math&gt; تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

== نمایش‌های مختلف سری فوریه ==

=== نمایش مثلثاتی ===
اگر &lt;math&gt;f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}&lt;/math&gt; یک تابع متناوب با دوره تناوب &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; باشد (یا به عبارتی: {{چر}}&lt;math&gt;f(t+T)=f(t)&lt;/math&gt;{{چر}}) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

: &lt;math&gt;f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt; \omega_n&lt;/math&gt; هارمونیک ''n''ام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;، &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.{{سخ}} فوریه بر این باور بود که ''هرگونه'' تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب ''درست نیست''. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

# تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

&lt;math&gt; \int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx &lt;\infty &lt;/math&gt;{{پایان}}

# تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
# تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

=== نمایش مختلط ===
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

: &lt;math&gt;f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}
و در اینجا:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt  \,\!&lt;/math&gt;

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

: &lt;math&gt;\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)) \,\!&lt;/math&gt;

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

=== نمایش کسینوس-با-فاز ===
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی  استفاده می‌شود.

: &lt;math&gt;x = {a_0+} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}

== محاسبه ضرایب فوریه ==

=== نمایش مثلثی ===
نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد&lt;math&gt;T&lt;/math&gt; دوره تناوب و &lt;math&gt;{\omega_n}&lt;/math&gt; هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; و ضریب ثابت &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

: &lt;math&gt; a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

بازه [&lt;math&gt;\pi , \pi&lt;/math&gt;-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب &lt;math&gt;p = 2\pi&lt;/math&gt; پس ضرایب عبارتند از:

: &lt;math&gt;a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;


== همگرایی ==
در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; پیوسته باشد و مشتق &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; همگرا می‌شوند. 
&lt;gallery widths=&quot;256&quot; heights=&quot;۲۵۶&quot;&gt;
پرونده:Fourier series square wave circles animation.gif|چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴  جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
پرونده:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif| چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد. 
پرونده:Example of Fourier Convergence.gif|نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری &quot;طنین&quot; (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.
&lt;/gallery&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>czj2u5h7foao9g8s2itgw5hyf1epb00</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117800</id>
      <parentid>117799</parentid>
      <timestamp>2022-08-18T04:50:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7622" xml:space="preserve">'''سری فوریه''' بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

== تعریف ==

=== پیش گفتار ===
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

: &lt;math&gt;x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; یک عدد صحیح مثبت، &lt;math&gt;A_k&lt;/math&gt; دامنه، &lt;math&gt;\omega_k&lt;/math&gt; بسامد و &lt;math&gt;\theta_k&lt;/math&gt; فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها &lt;math&gt;\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N&lt;/math&gt;، دامنه‌ها &lt;math&gt;A_1, A_2 \ldots A_N&lt;/math&gt; و فازها &lt;math&gt;\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N&lt;/math&gt; تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

== نمایش‌های مختلف سری فوریه ==

=== نمایش مثلثاتی ===
اگر &lt;math&gt;f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}&lt;/math&gt; یک تابع متناوب با دوره تناوب &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; باشد (یا به عبارتی: {{چر}}&lt;math&gt;f(t+T)=f(t)&lt;/math&gt;{{چر}}) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

: &lt;math&gt;f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt; \omega_n&lt;/math&gt; هارمونیک ''n''ام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;، &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.{{سخ}} فوریه بر این باور بود که ''هرگونه'' تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب ''درست نیست''. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

# تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

&lt;math&gt; \int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx &lt;\infty &lt;/math&gt;{{پایان}}

# تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
# تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

==== نمایش مختلط ====
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

: &lt;math&gt;f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}
و در اینجا:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt  \,\!&lt;/math&gt;

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

: &lt;math&gt;\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)) \,\!&lt;/math&gt;

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

=== نمایش کسینوس-با-فاز ===
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی  استفاده می‌شود.

: &lt;math&gt;x = {a_0+} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}

== محاسبه ضرایب فوریه ==

=== نمایش مثلثی ===
نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد&lt;math&gt;T&lt;/math&gt; دوره تناوب و &lt;math&gt;{\omega_n}&lt;/math&gt; هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; و ضریب ثابت &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

: &lt;math&gt; a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

بازه [&lt;math&gt;\pi , \pi&lt;/math&gt;-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب &lt;math&gt;p = 2\pi&lt;/math&gt; پس ضرایب عبارتند از:

: &lt;math&gt;a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;


== همگرایی ==
در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; پیوسته باشد و مشتق &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; همگرا می‌شوند. 
&lt;gallery widths=&quot;256&quot; heights=&quot;۲۵۶&quot;&gt;
پرونده:Fourier series square wave circles animation.gif|چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴  جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
پرونده:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif| چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد. 
پرونده:Example of Fourier Convergence.gif|نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری &quot;طنین&quot; (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.
&lt;/gallery&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>h7oinkl2350t3f6524nhmlk2vadwoh8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117801</id>
      <parentid>117800</parentid>
      <timestamp>2022-08-18T04:50:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7624" xml:space="preserve">'''سری فوریه''' بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

== تعریف ==

=== پیش گفتار ===
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

: &lt;math&gt;x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; یک عدد صحیح مثبت، &lt;math&gt;A_k&lt;/math&gt; دامنه، &lt;math&gt;\omega_k&lt;/math&gt; بسامد و &lt;math&gt;\theta_k&lt;/math&gt; فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها &lt;math&gt;\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N&lt;/math&gt;، دامنه‌ها &lt;math&gt;A_1, A_2 \ldots A_N&lt;/math&gt; و فازها &lt;math&gt;\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N&lt;/math&gt; تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

== نمایش‌های مختلف سری فوریه ==

=== نمایش مثلثاتی ===
اگر &lt;math&gt;f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}&lt;/math&gt; یک تابع متناوب با دوره تناوب &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; باشد (یا به عبارتی: {{چر}}&lt;math&gt;f(t+T)=f(t)&lt;/math&gt;{{چر}}) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

: &lt;math&gt;f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt; \omega_n&lt;/math&gt; هارمونیک ''n''ام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;، &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.{{سخ}} فوریه بر این باور بود که ''هرگونه'' تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب ''درست نیست''. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

# تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

&lt;math&gt; \int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx &lt;\infty &lt;/math&gt;{{پایان}}

# تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
# تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

==== نمایش مختلط ====
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

: &lt;math&gt;f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}
و در اینجا:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt  \,\!&lt;/math&gt;

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

: &lt;math&gt;\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)) \,\!&lt;/math&gt;

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

==== نمایش کسینوس-با-فاز ====
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی  استفاده می‌شود.

: &lt;math&gt;x = {a_0+} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}

== محاسبه ضرایب فوریه ==

=== نمایش مثلثی ===
نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد&lt;math&gt;T&lt;/math&gt; دوره تناوب و &lt;math&gt;{\omega_n}&lt;/math&gt; هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; و ضریب ثابت &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

: &lt;math&gt; a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

بازه [&lt;math&gt;\pi , \pi&lt;/math&gt;-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب &lt;math&gt;p = 2\pi&lt;/math&gt; پس ضرایب عبارتند از:

: &lt;math&gt;a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;


== همگرایی ==
در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; پیوسته باشد و مشتق &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; همگرا می‌شوند. 
&lt;gallery widths=&quot;256&quot; heights=&quot;۲۵۶&quot;&gt;
پرونده:Fourier series square wave circles animation.gif|چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴  جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
پرونده:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif| چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد. 
پرونده:Example of Fourier Convergence.gif|نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری &quot;طنین&quot; (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.
&lt;/gallery&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>gtntpbxgaqow2ygbktdeukfulfvspsh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117802</id>
      <parentid>117801</parentid>
      <timestamp>2022-08-18T04:51:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7628" xml:space="preserve">'''سری فوریه''' بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

== تعریف ==

=== پیش گفتار ===
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

: &lt;math&gt;x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; یک عدد صحیح مثبت، &lt;math&gt;A_k&lt;/math&gt; دامنه، &lt;math&gt;\omega_k&lt;/math&gt; بسامد و &lt;math&gt;\theta_k&lt;/math&gt; فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها &lt;math&gt;\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N&lt;/math&gt;، دامنه‌ها &lt;math&gt;A_1, A_2 \ldots A_N&lt;/math&gt; و فازها &lt;math&gt;\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N&lt;/math&gt; تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

=== نمایش‌های مختلف سری فوریه ===

==== نمایش مثلثاتی ====
اگر &lt;math&gt;f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}&lt;/math&gt; یک تابع متناوب با دوره تناوب &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; باشد (یا به عبارتی: {{چر}}&lt;math&gt;f(t+T)=f(t)&lt;/math&gt;{{چر}}) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

: &lt;math&gt;f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt; \omega_n&lt;/math&gt; هارمونیک ''n''ام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;، &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.{{سخ}} فوریه بر این باور بود که ''هرگونه'' تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب ''درست نیست''. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

# تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

&lt;math&gt; \int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx &lt;\infty &lt;/math&gt;{{پایان}}

# تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
# تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

==== نمایش مختلط ====
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

: &lt;math&gt;f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}
و در اینجا:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt  \,\!&lt;/math&gt;

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

: &lt;math&gt;\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)) \,\!&lt;/math&gt;

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

==== نمایش کسینوس-با-فاز ====
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی  استفاده می‌شود.

: &lt;math&gt;x = {a_0+} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}

== محاسبه ضرایب فوریه ==

=== نمایش مثلثی ===
نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد&lt;math&gt;T&lt;/math&gt; دوره تناوب و &lt;math&gt;{\omega_n}&lt;/math&gt; هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; و ضریب ثابت &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

: &lt;math&gt; a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

بازه [&lt;math&gt;\pi , \pi&lt;/math&gt;-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب &lt;math&gt;p = 2\pi&lt;/math&gt; پس ضرایب عبارتند از:

: &lt;math&gt;a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;


== همگرایی ==
در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; پیوسته باشد و مشتق &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; همگرا می‌شوند. 
&lt;gallery widths=&quot;256&quot; heights=&quot;۲۵۶&quot;&gt;
پرونده:Fourier series square wave circles animation.gif|چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴  جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
پرونده:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif| چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد. 
پرونده:Example of Fourier Convergence.gif|نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری &quot;طنین&quot; (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.
&lt;/gallery&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>lc6d3opb9n4pm2ruqtnh6j6tz4i9hsh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117803</id>
      <parentid>117802</parentid>
      <timestamp>2022-08-18T04:57:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7632" xml:space="preserve">'''سری فوریه''' بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

== تعریف ==

=== پیش گفتار ===
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

: &lt;math&gt;x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; یک عدد صحیح مثبت، &lt;math&gt;A_k&lt;/math&gt; دامنه، &lt;math&gt;\omega_k&lt;/math&gt; بسامد و &lt;math&gt;\theta_k&lt;/math&gt; فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها &lt;math&gt;\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N&lt;/math&gt;، دامنه‌ها &lt;math&gt;A_1, A_2 \ldots A_N&lt;/math&gt; و فازها &lt;math&gt;\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N&lt;/math&gt; تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

=== نمایش‌های مختلف سری فوریه ===

==== نمایش مثلثاتی ====
اگر &lt;math&gt;f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}&lt;/math&gt; یک تابع متناوب با دوره تناوب &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; باشد (یا به عبارتی: {{چر}}&lt;math&gt;f(t+T)=f(t)&lt;/math&gt;{{چر}}) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

: &lt;math&gt;f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt; \omega_n&lt;/math&gt; هارمونیک ''n''ام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;، &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.{{سخ}} فوریه بر این باور بود که ''هرگونه'' تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب ''درست نیست''. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

# تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

&lt;math&gt; \int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx &lt;\infty &lt;/math&gt;{{پایان}}

# تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
# تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

==== نمایش مختلط ====
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

: &lt;math&gt;f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}
و در اینجا:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt  \,\!&lt;/math&gt;

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

: &lt;math&gt;\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)) \,\!&lt;/math&gt;

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

==== نمایش کسینوس-با-فاز ====
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی  استفاده می‌شود.

: &lt;math&gt;x = {a_0+} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}

=== محاسبه ضرایب فوریه ===

==== نمایش مثلثی ====
نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد&lt;math&gt;T&lt;/math&gt; دوره تناوب و &lt;math&gt;{\omega_n}&lt;/math&gt; هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; و ضریب ثابت &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

: &lt;math&gt; a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

بازه [&lt;math&gt;\pi , \pi&lt;/math&gt;-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب &lt;math&gt;p = 2\pi&lt;/math&gt; پس ضرایب عبارتند از:

: &lt;math&gt;a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;


== همگرایی ==
در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; پیوسته باشد و مشتق &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; همگرا می‌شوند. 
&lt;gallery widths=&quot;256&quot; heights=&quot;۲۵۶&quot;&gt;
پرونده:Fourier series square wave circles animation.gif|چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴  جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
پرونده:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif| چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد. 
پرونده:Example of Fourier Convergence.gif|نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری &quot;طنین&quot; (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.
&lt;/gallery&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>6k9s6pemtwfxs3c8p3w54f8eb4poni4</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117804</id>
      <parentid>117803</parentid>
      <timestamp>2022-08-18T04:58:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7635" xml:space="preserve">'''سری فوریه''' بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

== تعریف ==

=== پیش گفتار ===
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

: &lt;math&gt;x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; یک عدد صحیح مثبت، &lt;math&gt;A_k&lt;/math&gt; دامنه، &lt;math&gt;\omega_k&lt;/math&gt; بسامد و &lt;math&gt;\theta_k&lt;/math&gt; فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها &lt;math&gt;\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N&lt;/math&gt;، دامنه‌ها &lt;math&gt;A_1, A_2 \ldots A_N&lt;/math&gt; و فازها &lt;math&gt;\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N&lt;/math&gt; تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

=== نمایش‌های مختلف سری فوریه ===

==== نمایش مثلثاتی ====
اگر &lt;math&gt;f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}&lt;/math&gt; یک تابع متناوب با دوره تناوب &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; باشد (یا به عبارتی: {{چر}}&lt;math&gt;f(t+T)=f(t)&lt;/math&gt;{{چر}}) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

: &lt;math&gt;f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt; \omega_n&lt;/math&gt; هارمونیک ''n''ام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;، &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.{{سخ}} فوریه بر این باور بود که ''هرگونه'' تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب ''درست نیست''. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

# تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

&lt;math&gt; \int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx &lt;\infty &lt;/math&gt;{{پایان}}

# تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
# تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

==== نمایش مختلط ====
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

: &lt;math&gt;f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}
و در اینجا:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt  \,\!&lt;/math&gt;

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

: &lt;math&gt;\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)) \,\!&lt;/math&gt;

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

==== نمایش کسینوس-با-فاز ====
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی  استفاده می‌شود.

: &lt;math&gt;x = {a_0+} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}

=== محاسبه ضرایب فوریه ===

==== نمایش مثلثی ====
نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد&lt;math&gt;T&lt;/math&gt; دوره تناوب و &lt;math&gt;{\omega_n}&lt;/math&gt; هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; و ضریب ثابت &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

: &lt;math&gt; a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

بازه [&lt;math&gt;\pi , \pi&lt;/math&gt;-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب &lt;math&gt;p = 2\pi&lt;/math&gt; پس ضرایب عبارتند از:

: &lt;math&gt;a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;


=== همگرایی ===
در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; پیوسته باشد و مشتق &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; همگرا می‌شوند. 
&lt;gallery widths=&quot;256&quot; heights=&quot;۲۵۶&quot;&gt;
پرونده:Fourier series square wave circles animation.gif|چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴  جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
پرونده:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif| چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد. 
پرونده:Example of Fourier Convergence.gif|نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری &quot;طنین&quot; (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.
&lt;/gallery&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>rf1je5vdt4epxisawundyvrwqtjmfs6</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117805</id>
      <parentid>117804</parentid>
      <timestamp>2022-08-18T05:17:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11489" xml:space="preserve">'''سری فوریه''' بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

== تعریف ==

=== پیش گفتار ===
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

: &lt;math&gt;x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; یک عدد صحیح مثبت، &lt;math&gt;A_k&lt;/math&gt; دامنه، &lt;math&gt;\omega_k&lt;/math&gt; بسامد و &lt;math&gt;\theta_k&lt;/math&gt; فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها &lt;math&gt;\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N&lt;/math&gt;، دامنه‌ها &lt;math&gt;A_1, A_2 \ldots A_N&lt;/math&gt; و فازها &lt;math&gt;\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N&lt;/math&gt; تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

=== نمایش‌های مختلف سری فوریه ===

==== نمایش مثلثاتی ====
اگر &lt;math&gt;f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}&lt;/math&gt; یک تابع متناوب با دوره تناوب &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; باشد (یا به عبارتی: {{چر}}&lt;math&gt;f(t+T)=f(t)&lt;/math&gt;{{چر}}) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

: &lt;math&gt;f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt; \omega_n&lt;/math&gt; هارمونیک ''n''ام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;، &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.{{سخ}} فوریه بر این باور بود که ''هرگونه'' تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب ''درست نیست''. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

# تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

&lt;math&gt; \int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx &lt;\infty &lt;/math&gt;{{پایان}}

# تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
# تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

==== نمایش مختلط ====
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

: &lt;math&gt;f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}
و در اینجا:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt  \,\!&lt;/math&gt;

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

: &lt;math&gt;\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)) \,\!&lt;/math&gt;

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

==== نمایش کسینوس-با-فاز ====
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی  استفاده می‌شود.

: &lt;math&gt;x = {a_0+} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}

=== محاسبه ضرایب فوریه ===

==== نمایش مثلثی ====
نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد&lt;math&gt;T&lt;/math&gt; دوره تناوب و &lt;math&gt;{\omega_n}&lt;/math&gt; هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; و ضریب ثابت &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

: &lt;math&gt; a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

بازه [&lt;math&gt;\pi , \pi&lt;/math&gt;-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب &lt;math&gt;p = 2\pi&lt;/math&gt; پس ضرایب عبارتند از:

: &lt;math&gt;a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;


=== همگرایی ===
در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; پیوسته باشد و مشتق &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; همگرا می‌شوند. 
&lt;gallery widths=&quot;256&quot; heights=&quot;۲۵۶&quot;&gt;
پرونده:Fourier series square wave circles animation.gif|چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴  جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
پرونده:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif| چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد. 
پرونده:Example of Fourier Convergence.gif|نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری &quot;طنین&quot; (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.
&lt;/gallery&gt;

=== توابع با ارزش پیچیده ===
اگریک تابع با ارزش پیچیده از یک متغیر واقعی استهر دو مؤلفه (قسمت واقعی و خیالی) توابعی با ارزش واقعی هستند که می توانند با یک سری فوریه نمایش داده شوند. دو مجموعه ضرایب و مجموع جزئی به صورت زیر به دست می آیند ''':'''

&lt;math&gt;c_{_{Rn}} = \frac{1}{P}\int_P \operatorname{Re}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi }{P}nx}\ dx&lt;/math&gt;

: و

&lt;math&gt;c_{_{In}} = \frac{1}{P}\int_P \operatorname{Im}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi }{P}nx}\ dx&lt;/math&gt;

: به صورت زیر نوشته می گردد&lt;math&gt;
s_{_N}(x) = \sum_{n=-N}^N c_{_{Rn}}\cdot e^{i \tfrac{2\pi }{P}nx} + i\cdot \sum_{n=-N}^N c_{_{In}}\cdot e^{i \tfrac{2\pi }{P}nx} =\sum_{n=-N}^N \left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right) \cdot e^{ i \tfrac{2\pi }{P}nx}.
&lt;/math&gt;

تعریف کردن&lt;math&gt;c_n \triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}&lt;/math&gt;بازده: 

&lt;math&gt;
s_{_N}(x) = \sum_{n=-N}^N c_{_{n}}\cdot e^{i \tfrac{2\pi }{P}nx}
&lt;/math&gt;

این با معادله 5 یکسان است '''به''' جزودیگر مزدوج پیچیده نیستند. فرمول برایهمچنین بدون تغییر است:

: &lt;math&gt;
\begin{align}
c_n &amp;= \tfrac{1}{P}\int_{P} \operatorname{Re}\{s(x)\}\cdot e^{-i \frac{2\pi }{P}nx}\ dx + i\cdot \tfrac{1}{P} \int_{P} \operatorname{Im}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi }{P}nx}\ dx\\[4pt]
&amp;= \tfrac{1}{P} \int_{P} \left(\operatorname{Re}\{s(x)\} +i\cdot \operatorname{Im}\{s(x)\}\right)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi }{P}nx}\ dx \ = \ \tfrac{1}{P}\int_{P} s(x)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi }{P}nx}\ dx.
\end{align}
&lt;/math&gt;

=== سایر نمادهای رایج ===
نمادبرای بحث در مورد ضرایب فوریه چندین تابع مختلف کافی نیست. بنابراین، معمولاً با یک شکل تغییر یافته از تابع (، در این مورد) مانندیاو نماد عملکردی اغلب جایگزین اشتراک می شود:

: &lt;math&gt;\begin{align}
s_\infty(x) &amp;= \sum_{n=-\infty}^\infty \hat{s}[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P} \\[6pt]
&amp;= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P} &amp;&amp; \scriptstyle \mathsf{common\ engineering\ notation}
\end{align}&lt;/math&gt;

در مهندسی، به ویژه زمانی که متغیرنشان دهنده زمان است، دنباله ضریب نمایش دامنه فرکانس نامیده می شود . از براکت های مربعی اغلب برای تاکید بر اینکه دامنه این تابع مجموعه ای گسسته از فرکانس ها است استفاده می شود.

یکی دیگر از نمایش های رایج حوزه فرکانس از ضرایب سری فوریه برای تعدیل یک شانه دیراک استفاده می کند :

: &lt;math&gt;S(f) \ \triangleq \ \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{P}\right),&lt;/math&gt;

جایی کهfیک دامنه فرکانس پیوسته را نشان می دهد. وقتیxمتغیر است و واحدهای ثانیه دارد،fدارای واحدهای هرتز است. «دندان‌های» شانه در چند برابر (یعنی هارمونیک ) فاصله دارند&lt;math&gt;\tfrac{1}{P}&lt;/math&gt;که به آن فرکانس بنیادی می گویند.&lt;math&gt;s_{\infty}(x)&lt;/math&gt;می توان از این نمایش با تبدیل فوریه معکوس بازیابی کرد :

: &lt;math&gt;\begin{align}
\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\} &amp;= \int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{P}\right)\right) e^{i 2 \pi f x}\,df, \\[6pt]
&amp;= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \int_{-\infty}^\infty \delta\left(f-\frac{n}{P}\right) e^{i 2 \pi f x}\,df, \\[6pt]
&amp;= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P} \ \ \triangleq \ s_\infty(x).
\end{align}&lt;/math&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>amvv971emoht632zw0xqytaqx2tgmd0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>117806</id>
      <parentid>117805</parentid>
      <timestamp>2022-08-18T05:18:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11521" xml:space="preserve">'''سری فوریه''' بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

== تعریف ==

=== پیش گفتار ===
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

: &lt;math&gt;x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; یک عدد صحیح مثبت، &lt;math&gt;A_k&lt;/math&gt; دامنه، &lt;math&gt;\omega_k&lt;/math&gt; بسامد و &lt;math&gt;\theta_k&lt;/math&gt; فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها &lt;math&gt;\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N&lt;/math&gt;، دامنه‌ها &lt;math&gt;A_1, A_2 \ldots A_N&lt;/math&gt; و فازها &lt;math&gt;\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N&lt;/math&gt; تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

=== نمایش‌های مختلف سری فوریه ===

==== نمایش مثلثاتی ====
اگر &lt;math&gt;f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}&lt;/math&gt; یک تابع متناوب با دوره تناوب &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; باشد (یا به عبارتی: {{چر}}&lt;math&gt;f(t+T)=f(t)&lt;/math&gt;{{چر}}) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

: &lt;math&gt;f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]  \,\!&lt;/math&gt;

که در آن &lt;math&gt; \omega_n&lt;/math&gt; هارمونیک ''n''ام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;، &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.{{سخ}} فوریه بر این باور بود که ''هرگونه'' تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب ''درست نیست''. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

# تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

&lt;math&gt; \int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx &lt;\infty &lt;/math&gt;{{پایان}}

# تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
# تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

==== نمایش مختلط ====
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

: &lt;math&gt;f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}
و در اینجا:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt  \,\!&lt;/math&gt;

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

: &lt;math&gt;\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)) \,\!&lt;/math&gt;

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

: &lt;math&gt;c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)  \,\!&lt;/math&gt;

==== نمایش کسینوس-با-فاز ====
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی  استفاده می‌شود.

: &lt;math&gt;x = {a_0+} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)  \,\!&lt;/math&gt;
{{پایان}}

=== محاسبه ضرایب فوریه ===

==== نمایش مثلثی ====
نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد&lt;math&gt;T&lt;/math&gt; دوره تناوب و &lt;math&gt;{\omega_n}&lt;/math&gt; هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; و &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; و ضریب ثابت &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

: &lt;math&gt; a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt; b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!&lt;/math&gt;

بازه [&lt;math&gt;\pi , \pi&lt;/math&gt;-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب &lt;math&gt;p = 2\pi&lt;/math&gt; پس ضرایب عبارتند از:

: &lt;math&gt;a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx  \,\!&lt;/math&gt;


=== همگرایی ===
در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; پیوسته باشد و مشتق &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به &lt;math&gt;s(x)&lt;/math&gt; همگرا می‌شوند. 
&lt;gallery widths=&quot;256&quot; heights=&quot;۲۵۶&quot;&gt;
پرونده:Fourier series square wave circles animation.gif|چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴  جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
پرونده:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif| چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد. 
پرونده:Example of Fourier Convergence.gif|نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری &quot;طنین&quot; (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.
&lt;/gallery&gt;

=== توابع با ارزش پیچیده ===
اگریک تابع با ارزش پیچیده از یک متغیر واقعی استهر دو مؤلفه (قسمت واقعی و خیالی) توابعی با ارزش واقعی هستند که می توانند با یک سری فوریه نمایش داده شوند. دو مجموعه ضرایب و مجموع جزئی به صورت زیر به دست می آیند ''':'''

&lt;math&gt;c_{_{Rn}} = \frac{1}{P}\int_P \operatorname{Re}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi }{P}nx}\ dx&lt;/math&gt;

: و

&lt;math&gt;c_{_{In}} = \frac{1}{P}\int_P \operatorname{Im}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi }{P}nx}\ dx&lt;/math&gt;

: به صورت زیر نوشته می گردد&lt;math&gt;
s_{_N}(x) = \sum_{n=-N}^N c_{_{Rn}}\cdot e^{i \tfrac{2\pi }{P}nx} + i\cdot \sum_{n=-N}^N c_{_{In}}\cdot e^{i \tfrac{2\pi }{P}nx} =\sum_{n=-N}^N \left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right) \cdot e^{ i \tfrac{2\pi }{P}nx}.
&lt;/math&gt;

تعریف کردن&lt;math&gt;c_n \triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}&lt;/math&gt;بازده: 

&lt;math&gt;
s_{_N}(x) = \sum_{n=-N}^N c_{_{n}}\cdot e^{i \tfrac{2\pi }{P}nx}
&lt;/math&gt;

این با معادله 5 یکسان است '''به''' جزودیگر مزدوج پیچیده نیستند. فرمول برایهمچنین بدون تغییر است:

: &lt;math&gt;
\begin{align}
c_n &amp;= \tfrac{1}{P}\int_{P} \operatorname{Re}\{s(x)\}\cdot e^{-i \frac{2\pi }{P}nx}\ dx + i\cdot \tfrac{1}{P} \int_{P} \operatorname{Im}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi }{P}nx}\ dx\\[4pt]
&amp;= \tfrac{1}{P} \int_{P} \left(\operatorname{Re}\{s(x)\} +i\cdot \operatorname{Im}\{s(x)\}\right)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi }{P}nx}\ dx \ = \ \tfrac{1}{P}\int_{P} s(x)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi }{P}nx}\ dx.
\end{align}
&lt;/math&gt;

=== سایر نمادهای رایج ===
نمادبرای بحث در مورد ضرایب فوریه چندین تابع مختلف کافی نیست. بنابراین، معمولاً با یک شکل تغییر یافته از تابع (، در این مورد) مانندیاو نماد عملکردی اغلب جایگزین اشتراک می شود:

: &lt;math&gt;\begin{align}
s_\infty(x) &amp;= \sum_{n=-\infty}^\infty \hat{s}[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P} \\[6pt]
&amp;= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P} &amp;&amp; \scriptstyle \mathsf{common\ engineering\ notation}
\end{align}&lt;/math&gt;

در مهندسی، به ویژه زمانی که متغیرنشان دهنده زمان است، دنباله ضریب نمایش دامنه فرکانس نامیده می شود . از براکت های مربعی اغلب برای تاکید بر اینکه دامنه این تابع مجموعه ای گسسته از فرکانس ها است استفاده می شود.

یکی دیگر از نمایش های رایج حوزه فرکانس از ضرایب سری فوریه برای تعدیل یک شانه دیراک استفاده می کند :

: &lt;math&gt;S(f) \ \triangleq \ \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{P}\right),&lt;/math&gt;

جایی کهfیک دامنه فرکانس پیوسته را نشان می دهد. وقتیxمتغیر است و واحدهای ثانیه دارد،fدارای واحدهای هرتز است. «دندان‌های» شانه در چند برابر (یعنی هارمونیک ) فاصله دارند&lt;math&gt;\tfrac{1}{P}&lt;/math&gt;که به آن فرکانس بنیادی می گویند.&lt;math&gt;s_{\infty}(x)&lt;/math&gt;می توان از این نمایش با تبدیل فوریه معکوس بازیابی کرد :

: &lt;math&gt;\begin{align}
\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\} &amp;= \int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{P}\right)\right) e^{i 2 \pi f x}\,df, \\[6pt]
&amp;= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \int_{-\infty}^\infty \delta\left(f-\frac{n}{P}\right) e^{i 2 \pi f x}\,df, \\[6pt]
&amp;= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P} \ \ \triangleq \ s_\infty(x).
\end{align}&lt;/math&gt;

== منابع ==
ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای فارسی</text>
      <sha1>k9tcl9v2xim5o65muox9qprqkazhw9l</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>الگو:کتاب خوب/ریاضیات پیشرفته</title>
    <ns>10</ns>
    <id>36130</id>
    <revision>
      <id>117792</id>
      <timestamp>2022-08-17T13:42:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>HEJJWJDEJDNSGWTG</username>
        <id>23762</id>
      </contributor>
      <comment>صفحه‌ای تازه حاوی «{{کتاب خوب|edit={{{edit|}}}|box={{{box|}}}  |title=ریاضیات پیشرفته  |cover=Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی  |desc=این ایبوک درباره ریاضیات پیشرفته است. }}» ایجاد کرد</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="217" xml:space="preserve">{{کتاب خوب|edit={{{edit|}}}|box={{{box|}}}
 |title=ریاضیات پیشرفته
 |cover=Nuvola Math and Inf.svg|بندانگشتی
 |desc=این ایبوک درباره ریاضیات پیشرفته است.
}}</text>
      <sha1>cy594oht7uti13ztkta0iclqp9uaulu</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>بحث کاربر:عاشق کتاب</title>
    <ns>3</ns>
    <id>36131</id>
    <revision>
      <id>117798</id>
      <timestamp>2022-08-18T01:15:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>New user message</username>
        <id>8356</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>افزودن [[الگو:خوشامدید|پیام خوش‌آمد]] به صفحهٔ بحث کاربر تازه</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3656" xml:space="preserve">== خوش آمدید ==
[[File:Carl Spitzweg 021-detail.jpg|thumb|left|180px|خوش‌آمدید!]]
&lt;br/&gt;

سلام {{PAGENAME}}، به ویکی‌کتاب خوش آمدید. از مشارکت شما سپاسگزارم. امیدوارم که از اینجا خوشتان بیاید و تصمیم به ماندن بگیرید.  راهنماهای ویکی‌کتاب در [[راهنما:فهرست|اینجا]] است اما پیوندهای زیر برای کاربرهای جدید مفیدند:

{|
|- 
|[[پرونده:Noia 64 apps help index.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]] || [[ویکی‌کتاب:ویکی‌کتاب چیست؟|ویکی‌نسک (ویکی‌کتاب) چیست؟]]
|- 
| [[پرونده:Nuvola apps ksig.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] || [[ویکی‌کتاب:آموزش سریع|آموزش سریع]] آموزش کار با زبان مدیاویکی (محیط ویکی‌کتاب)
|-
| [[پرونده:Cscr-featured.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] || [[ویکی‌کتاب:کتاب‌های برگزیده|کتاب‌های برگزیده]] فهرستی از کتاب‌های برگزیده 
|-
| [[پرونده:Nuvola apps chat.png|30px|right|link=ویکی‌کتاب:میز تحریر|میز تحریر]]||[[ویکی‌کتاب:میز تحریر]]  برای گفتگو دربارهٔ مسائل فنی و سیاست‌ها.
|-
| [[پرونده:Nuvola_apps_bookcase_1.svg|30px|right|link=ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]]||[[ویکی‌کتاب:خودآموز/کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود|کمک کردن در یکی از کتاب‌های موجود]] راه‌های تکمیل و ویرایش ایبوک‌های ویکی‌کتاب
|-
|[[File:Bucket in the sand.svg|right|50px|link=ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]]||[[ویکی‌کتاب:صفحه تمرین|صفحه تمرین]] برای تمرین ویرایش
|-
|[[پرونده:Nuvola apps agent.svg|30px|right|link=w:ویکی‌کتاب:خودآموز|آموزش پیشرفته]]||[[w:ویکی‌پدیا:خودآموز|آموزش پیشرفته]]
|-
|'''پروژه‌های دیگر بنیاد'''||[[پرونده:Wikipedia-logo.png|20px|link=w:صفحه_اصلی|ویکی‌پدیا]][[پرونده:HSWikimedia.svg|25px|link=m:Special:Recentchanges|فراویکی]] [[پرونده:HSCommons.svg|25px|link=commons:Special:Recentchanges|ویکی‌انبار]][[پرونده:HSWNews.svg|25px|link=n:ویژه:تغییرات اخیر|ویکی‌خبر]] [[پرونده:HSWtionary.svg|25px|link=wikt:صفحه_اصلی|ویکی‌واژه]] [[پرونده:HSWQuote.svg|25px|link=q:صفحه_اصلی|ویکی‌گفتاورد]][[پرونده:HSWSource.svg|30px|link=s:صفحه_اصلی|ویکی‌نبشته]][[پرونده:Wikidata-logo.svg|25px|link=wikidata:صفحه_اصلی|ویکی‌داده]]
|}
امیدوارم از ''[[ویکی‌نسک:ویکی‌نسک‌نویسان|ویکی‌نسک‌نویس]]'' بودن لذت ببرید! لطفاً برای آزمایش از [[ویکی‌کتاب:گودال ماسه‌بازی]] استفاده کنید. باز هم خوش آمد می‌گویم.شاد باشید!


-- [[کاربر:New user message|New user message]] ([[بحث کاربر:New user message|بحث]]) ‏۱۸ اوت ۲۰۲۲، ساعت ۰۱:۱۵ (UTC)</text>
      <sha1>9l9v5ilussylqacssyzzczo6q7unddp</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>