Wikilivres frwikibooks https://fr.wikibooks.org/wiki/Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.11 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikilivres Discussion Wikilivres Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Transwiki Discussion Transwiki Wikijunior Discussion Wikijunior TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk 0 400 769540 758750 2026-07-15T17:22:04Z DavidL 1746 769540 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Programmation C}}</noinclude> Le C est un langage typé statiquement : chaque variable, chaque constante et chaque expression, a un type défini à la compilation. Le langage lui-même fournit des types permettant de manipuler des nombres ([[Programmation C Types de base#Entiers|entiers]], [[Programmation C Types de base#Réels|réels]] ou complexes) ou des [[Programmation C Types de base#Caractères|caractères]] (eux-mêmes étant manipulés comme des entiers spéciaux), et permet de construire des types plus complexes à partir de ces premiers, par exemple en groupant des données de même type en [[Programmation C/Tableaux|tableaux]], ou des données de types différents dans des [[Programmation C Types avancés#Structures|structures]]. Dans ce chapitre, nous étudierons les types de base fournis par le C, l'étude des types complexes étant faite dans la suite du livre. == Entiers == Il y a cinq types de variables entières (« integer » en anglais) : *<code>char</code> ; *<code>short int</code>, ou plus simplement <code>short</code> ; *<code>int</code> ; *<code>long int</code>, ou <code>long</code> ; *<code>long long int</code>, ou <code>long long</code> (ce type a été ajouté depuis la norme C99). Comme évoqué en introduction, le type caractère <code>char</code> est particulier, et sera étudié en détail plus bas. Les types entiers peuvent prendre les modificateurs <code>signed</code> et <code>unsigned</code> qui permettent respectivement d'obtenir un type signé ou non signé. Ces modificateurs ne changent pas la taille des types. Le langage ne définit pas exactement leur taille, mais définit un domaine de valeurs minimal pour chacun. === Représentation des entiers signés === La norme C tient compte des anciennes représentations des nombres signés telles que le '''signe+valeur absolue''' et le '''complément à 1'''. Ces deux représentations sont brièvement expliquées ci-dessous : ;Signe + valeur absolue (SVA) :Un bit contient le signe du nombre (par ex : 0 pour +, 1 pour -), les autres bits sont utilisés pour la valeur absolue. On peut donc représenter 0 de deux manières : +0 (000...000) ou -0 (100..000). Sur N bits on peut donc représenter tout nombre entre -(2^N-1-1) ''(111...111)'' et +(2^N-1-1) ''(011...111)''. ;Complément à 1 (CPL1):Les bits des nombres négatifs sont inversés. On peut donc représenter 0 de deux manières : +0 (000...000) ou -0 (111..111). Sur N bits on peut donc représenter tout nombre entre -(2^N-1-1) ''(100...000)'' et +(2^N-1-1) ''(011...111)''. :''Ces deux représentations peuvent représenter la valeur nulle de deux manières différentes.'' ;Complément à 2 (CPL2):La représentation moderne des nombres négatifs utilise le '''complément à 2 (CPL2)''' qui consiste à représenter les nombres négatifs comme le complément à 1 et en ajoutant 1. Sur un nombre fixe de bits, la valeur 0 n'a qu'une seule représentation : +0 (000...000) et -0 (111...111 + 1 = (1)000...000) ont deux représentations identiques. Sur N bits on peut donc représenter tout nombre entre -(2^N-1) ''(100...000)'' et +(2^N-1-1) ''(011...111)''. Cette représentation possède donc un domaine plus large. Le tableau ci-dessous donne le domaine des valeurs et le(s) zéro(s) des différente représentations utilisées (SVA, CPL1 ou CPL2) pour le type <code>signed char</code> : {| class="wikitable" |+ Domaines de valeurs '''minimaux''' du type <code>signed char</code> (taille ≥ 8 bits) ! Repésentation ! colspan=2 | Borne inférieure ! colspan=2 | Zéro ! colspan=2 | Borne supérieure |- | rowspan=2 style="background-color:#e0e0e040;" | SVA | style="text-align: right;" | -127 | style="text-align: right;" | -(2⁷-1) | style="text-align: right;" | -0 | style="text-align: right;" | +0 | style="text-align: right;" | +127 | style="text-align: right;" | 2⁷-1 |- | colspan=2 style="text-align: center;" | <code>11111111</code> | style="text-align: center;" | <code>10000000</code> | style="text-align: center;" | <code>00000000</code> | colspan=2 style="text-align: center;" | <code>01111111</code> |- | rowspan=2 style="background-color:#e0e0e040;" | Complément à 1 | style="text-align: right;" | -127 | style="text-align: right;" | -(2⁷-1) | style="text-align: right;" | -0 | style="text-align: right;" | +0 | style="text-align: right;" | +127 | style="text-align: right;" | 2⁷-1 |- | colspan=2 style="text-align: center;" | <code>10000000</code> | style="text-align: center;" | <code>11111111</code> | style="text-align: center;" | <code>00000000</code> | colspan=2 style="text-align: center;" | <code>01111111</code> |- | rowspan=2 style="background-color:#e0e0e040;" | Complément à 2 | style="text-align: right;" | -128 | style="text-align: right;" |-(2⁷) | style="text-align: right;" colspan=2 | 0 | style="text-align: right;" |+127 | style="text-align: right;" |2⁷-1 |- | colspan=2 style="text-align: center;" | <code>10000000</code> | colspan=2 style="text-align: center;" | <code>00000000</code> | colspan=2 style="text-align: center;" | <code>01111111</code> |- | style="background-color:#e0e0e040;" | Intersection | style="text-align: right;" | -127 | style="text-align: right;" |-(2⁷-1) | colspan=2 class="hachure" | | style="text-align: right;" |+127 | style="text-align: right;" |2⁷-1 |} Le tableau ci-dessous donne le domaine des valeurs '''quelle que soit la représentation utilisée (SVA, CPL1 ou CPL2)''' : {| class="wikitable" |+ Domaines de valeurs '''minimaux''' des types entiers (C90 et C99) quelle que soit sa représentation (SVA, CPL1 ou CPL2)<ref>http://www.open-std.org/JTC1/SC22/WG14/www/docs/n1570.pdf</ref> ! Type ! Taille ! Borne inférieure ! Borne inférieure (formule) ! Borne supérieure ! Borne supérieure (formule) |- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>signed char</code> | ≥ 8 bits | style="text-align: right;" | -127<ref>https://www6.inrae.fr/mia-paris/content/download/4374/41417/version/1/file/Support_cours_MAPC_2016-web-sans-correction.pdf</ref><ref>https://docs.microsoft.com/en-us/cpp/cpp/data-type-ranges?view=vs-2019</ref> | style="text-align: right;" |-(2⁷-1) | style="text-align: right;" |+127 | style="text-align: right;" |2⁷-1 <!-- ATTENTION : En complément à 1 et SVA, il y a deux zéros : +0 et -0 Sur un octet signé en complément à 1 on a donc -127..-0,+0..+127 En complément à 2, il y a un seul zéro et une valeur négative en plus : Sur un octet signé en complément à 2 on a donc -128..-1,+0..+127 Donc l'intervalle de validité est l'intersection : -127..+127 --> |----- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>unsigned char</code> | ≥ 8 bits | style="text-align: right;" |0 | style="text-align: right;" |0 | style="text-align: right;" |+255 | style="text-align: right;" |2⁸-1 |----- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>short</code> | ≥ 16 bits | style="text-align: right;" | {{formatnum:-32767}} | style="text-align: right;" | -(2¹⁵-1) | style="text-align: right;" |{{formatnum:+32767}} | style="text-align: right;" |2¹⁵-1 |- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>unsigned short</code> | ≥ 16 bits | style="text-align: right;" | 0 | style="text-align: right;" | 0 | style="text-align: right;" |{{formatnum:+65535}} | style="text-align: right;" | 2¹⁶-1 |----- | style="background-color:#e0e0e040;" rowspan=2 |<code>int</code> | ≥ 16 bits (processeur 16 bits) | style="text-align: right;" | {{formatnum:-32767}} | style="text-align: right;" | -(2¹⁵-1) | style="text-align: right;" | {{formatnum:+32767}} | style="text-align: right;" | 2¹⁵-1 |- | ≥ 32 bits (processeur 32 bits)<ref name=":0">https://www.commentcamarche.net/contents/121-langage-c-les-types-de-donnees</ref> | style="text-align: right;" | {{formatnum:-2147483647}} | style="text-align: right;" | -(2³¹-1) | style="text-align: right;" | {{formatnum:+2147483647}} | style="text-align: right;" | 2³¹-1 |- | style="background-color:#e0e0e040;" rowspan=2 |<code>unsigned int</code> | ≥ 16 bits (processeur 16 bits) | style="text-align: right;" | 0 | style="text-align: right;" | 0 | style="text-align: right;" | {{formatnum:+65535}} | style="text-align: right;" | 2¹⁶-1 |- | ≥ 32 bits (processeur 32 bits)<ref name=":0" /> | style="text-align: right;" | 0 | style="text-align: right;" | 0 | style="text-align: right;" | {{formatnum:+4294967295}} | style="text-align: right;" | 2³²-1 |- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>long</code> | ≥ 32 bits | style="text-align: right;" | {{formatnum:-2147483647}} | style="text-align: right;" | -(2³¹-1) | style="text-align: right;" | {{formatnum:+2147483647}} | style="text-align: right;" | 2³¹-1 |- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>unsigned long</code> | ≥ 32 bits | style="text-align: right;" | 0 | style="text-align: right;" | 0 | style="text-align: right;" | {{formatnum:+4294967295}} | style="text-align: right;" | 2³²-1 |----- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>long long</code> ''(C99)'' | ≥ 64 bits | style="text-align: right;" | {{formatnum:-9223372036854}}&nbsp;{{formatnum:775807}} | style="text-align: right;" | -(2⁶³-1) | style="text-align: right;" | {{formatnum:+9223372036854}}&nbsp;{{formatnum:775807}} | style="text-align: right;" | 2⁶³-1 |- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>unsigned&nbsp;long&nbsp;long</code> ''(C99)'' | ≥ 64 bits | style="text-align: right;" | 0 | style="text-align: right;" | 0 | style="text-align: right;" | {{formatnum:+18446744073709}}&nbsp;{{formatnum:551615}} | style="text-align: right;" | 2⁶⁴-1 |} Cette table signifie qu'un programme peut utiliser sans problème une variable de type <code>int</code> pour stocker la valeur 2¹⁵-1, quel que soit le compilateur ou la machine sur laquelle va tourner le programme. Par contre, une implémentation C <em>peut</em> fournir des domaines de valeurs plus larges que ceux indiqués au-dessus : * Les domaines indiqués pour les nombres signés dans le tableau précédent sont ceux d'une implémentation par '''complément à 1''', ou par '''signe et valeur absolue'''. Pour '''le complément à 2''', la borne inférieure est de la forme -2^N-1, ce qui autorise une valeur supplémentaire (ex : <code>int</code> de -2¹⁵ à +2¹⁵-1, soit de -{{formatnum:32768}} à +{{formatnum:32767}}), * un <code>int</code> implémenté sur 32 bits pourrait aller de -(2³¹-1) à 2³¹-1, par exemple<ref name="domaineEntier">La norme C contraint les domaines de valeurs des types signés entre -(2^N-1-1) et 2^N-1-1, où N est un entier quelconque, et les types non signés entre 0 et 2^N-1.</ref>, et un programme tournant sur une telle implémentation peut alors utiliser ces valeurs, mais il perdrait en portabilité. Les processeurs modernes supportent un grand nombre de bits, pouvant autoriser les compilateurs à fournir des types stockés sur un plus grand nombre de bits que le nombre minimal indiqué par la norme. Cependant des processeurs plus anciens sont encore utilisés de nos jours (coût réduit) sur des systèmes embarqués. Il est donc important de vérifier que les valeurs utilisées puissent être stockées dans les variables. Par exemple, cela permet l'utilisation d'une bibliothèque C (exemple : un décodeur vidéo) sur un système embarqué. Dans le cas où une bibliothèque assume une taille des types plus grande que supporté par le compilateur pour le processeur, il faudra effectuer des modifications du code source pour que la bibliothèque soit utilisable sur le système embarqué. {| class="wikitable" |+ Domaines de valeurs des types entiers représentés '''en complément à 2 (CPL2)''' ! Type ! Borne inférieure ! Borne inférieure (formule) ! Borne supérieure ! Borne supérieure (formule) |- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>signed char</code> | style="text-align: right;" |-128 | style="text-align: right;" |-(2⁷) | style="text-align: right;" |+127 | style="text-align: right;" |2⁷-1 |----- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>unsigned char</code> | style="text-align: right;" |0 | style="text-align: right;" |0 | style="text-align: right;" |+255 | style="text-align: right;" |2⁸-1 |----- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>short</code> | style="text-align: right;" |-{{formatnum:32768}} | style="text-align: right;" |-(2¹⁵) | style="text-align: right;" |+{{formatnum:32767}} | style="text-align: right;" |2¹⁵-1 |- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>unsigned short</code> | style="text-align: right;" |0 | style="text-align: right;" |0 | style="text-align: right;" |+{{formatnum:65535}} | style="text-align: right;" |2¹⁶-1 |----- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>int</code> | style="text-align: right;" |-{{formatnum:32768}} | style="text-align: right;" |-(2¹⁵) | style="text-align: right;" |+{{formatnum:32767}} | style="text-align: right;" |2¹⁵-1 |- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>unsigned int</code> | style="text-align: right;" |0 | style="text-align: right;" |0 | style="text-align: right;" |+{{formatnum:65535}} | style="text-align: right;" |2¹⁶-1 |----- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>long</code> | style="text-align: right;" |-{{formatnum:2147483648}} | style="text-align: right;" |-(2³¹) | style="text-align: right;" |+{{formatnum:2147483647}} | style="text-align: right;" |2³¹-1 |- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>unsigned long</code> | style="text-align: right;" |0 | style="text-align: right;" |0 | style="text-align: right;" |+{{formatnum:4294967295}} | style="text-align: right;" |2³²-1 |----- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>long long</code> ''(C99)'' | style="text-align: right;" |-{{formatnum:9223372036854}}&nbsp;{{formatnum:775808}} | style="text-align: right;" |-(2⁶³) | style="text-align: right;" |+{{formatnum:9223372036854}}&nbsp;{{formatnum:775807}} | style="text-align: right;" |2⁶³-1 |- | style="background-color:#e0e0e040;" |<code>unsigned&nbsp;long&nbsp;long</code> ''(C99)'' | style="text-align: right;" |0 | style="text-align: right;" |0 | style="text-align: right;" |+{{formatnum:18446744073709}}&nbsp;{{formatnum:551615}} | style="text-align: right;" |2⁶⁴-1 |} Par ailleurs, une relation d'ordre entre ces domaines de valeurs est garantie ; qui peut être exprimée ainsi : domaine(char) ≤ domaine(short) ≤ domaine(int) ≤ domaine(long) ≤ domaine(long long) Cela signifie que toutes les valeurs possibles pour une variable du type <code>char</code> sont aussi utilisables pour les autres types ; mais aussi que, par exemple, une valeur valide pour le type <code>int</code> peut ne pas être représentable dans une variable de type <code>short</code>. Si vous ne savez pas quel type donner à une variable de type entier, le type <code>int</code> est par défaut le meilleur choix (à condition que votre donnée ne dépasse pas 2¹⁵-1) : ce type est la plupart du temps représenté au niveau matériel par un « mot machine », c'est-à-dire qu'il est adapté à la taille que la machine peut traiter directement (il fait usuellement 32 bits sur un PC 32 bits, par exemple). Cela permet un traitement plus rapide par le matériel. De plus, beaucoup de bibliothèques (que ce soit celle fournie par le langage C ou d'autres) utilisent ce type pour passer des entiers, ce qui fait que l'utilisation de ces bibliothèques sera plus aisée. Par ailleurs, un utilisateur peut connaître les domaines de valeurs exacts de sa machine en utilisant l'en-tête <code>&lt;limits.h&gt;</code>. Par exemple, <code>INT_MIN</code> et <code>INT_MAX</code> donne respectivement la borne inférieure et la borne supérieure pour le type <code>int</code>. === Portabilité apportée par C99 === L'incertitude sur l'intervalle de valeur de chaque type en fonction de la machine peut s'avérer extrêmement gênante, pour ne pas dire rédhibitoire. En effet, certains programmes peuvent nécessiter un type de données de taille fixe et cependant être destinés à être portables. Pour ces programmes, les types entiers du C ne sont pas suffisants. ''Beaucoup'' d'extensions ont été rajoutées pour définir explicitement des types entiers à intervalle fixe (8, 16, 32 bits...) à partir des types de base, avec une nomenclature loin d'être homogène d'un compilateur à l'autre (ce qui, loin de résoudre le problème, ne faisait que le déplacer). La norme ISO C99 décide une bonne fois pour toute de définir, dans l'en-tête [[w:en:stdint.h|&lt;stdint.h&gt;]], plusieurs nouveaux types où <code>''N''</code> représente un nombre entier définissant la taille requise en bit : * des types implémentés optionnellement sur certaines architectures (à éviter ?) ; ** entiers signés ou non et de longueur ''N'' exacte : <code>uint''N''_t</code> et <code>int''N''_t</code> ; ** entiers pouvant contenir un pointeur : <code>intptr_t</code> et <code>uintptr_t</code> ; * des types requis par toutes les architectures respectant la norme C99 ; ** entiers devant être plus grand que ''N'' bits au moins : <code>int_least''N''_t</code> et <code>uint_least''N''_t</code> ; ** entiers rapides à calculer et plus grand que ''N'' bits au moins : <code>int_fast''N''_t</code> et <code>uint_fast''N''_t</code> ; ** plus grand entier : <code>intmax_t</code> et <code>uintmax_t</code>. Cet en-tête définit aussi des constantes pour les valeurs minimales et maximales de chaque type. L'include [[w:en:inttypes.h|&lt;inttypes.h&gt;]] définit les constantes symboliques à utiliser pour imprimer ces nouveaux types avec les fonctions de la famille de printf (PRIxxx) et les lire avec celles de scanf (SCNxxx). === Constantes numériques entières === Il existe différentes suites de caractères qui sont reconnues comme étant des constantes numériques entières : *un nombre en notation décimale : une suite de chiffres (0-9) ; *le caractère « 0 » suivi d'un nombre en notation octale : une suite de chiffres compris entre 0 et 7 ; *les caractères « 0x » suivi d'un nombre en notation hexadécimale : une suite de chiffres et des lettres a, b, c, d, e, f (ou A, B, C, D, E, F). Par défaut, une constante numérique entière est de type <code>int</code> et, si sa valeur est trop grande pour le type <code>int</code>, elle prend celle du type « plus grand » suffisant. Comme les domaines de valeurs des types peuvent varier suivant la machine, le type effectif d'une constante peut lui aussi varier. Cela peut s'avérer problématique lors de passage de paramètres à des fonctions à nombre variable d'arguments, par exemple. À cause de cela, il est recommandé de forcer le type de la constante en le '''postfixant''' des attributs suivants : * <code>U</code> : la constante est non-signée (voir la section [[Programmation C/Opérateurs|promotion]] pour comprendre les implications) ; * <code>L</code> : la constante est de type <code>long</code> au lieu de <code>int</code> ; * <code>LL</code> est une nouveauté C99 pour les constantes de type <code>long long</code>. <code>U</code> peut être combiné à <code>L</code> et <code>LL</code> pour obtenir les types <code>unsigned long</code> et <code>unsigned long long</code>, respectivement. Lorsqu'une constante est suffixée, mais que sa valeur est trop grande pour le type demandé, le même processus de recherche de type « assez grand » est utilisé<ref name="typeConstanteEntiere">La liste des types successifs utilisés pour déterminer le type d'une constante entière a changé entre C90 et C99. Cela n'a, quasiment tout le temps, aucune incidence, sauf pour le cas d'une constante de valeur trop grande pour le type <code>long</code> : en C90, le type <code>unsigned long</code> est utilisé, alors qu'en C99 le type <code>long long</code> sera utilisé. Une telle valeur sera alors signée dans un cas, et non signée dans l'autre. Dans ce cas, utiliser un suffixe adapté (<code>UL</code>, <code>LL</code> ou <code>ULL</code>) permet de s'assurer du type de la constante.</ref>. === Débordement === Sur une machine donnée, un type entier a un domaine de valeurs fixe. Considérons qu'on travaille sur un PC en 32 bits, en complément à deux : sur un tel ordinateur, le type <code>int</code> varie souvent de -2³¹ à 2³¹-1. Cela permet de manipuler sans problème des valeurs dans ce domaine. Par contre, si on utilise des valeurs hors du domaine, par exemple 2³², et qu'on essaye de la stocker dans une variable de type <code>int</code> sur une telle machine, que se passe-t-il ? La réponse dépend du type: * Si on essaye d'enregistrer une valeur hors domaine dans une variable de type ''signé'' (comme dans l'exemple), la conversion n'est pas définie par le langage. Cela signifie que tout peut arriver. * Si on essaye d'enregistrer une valeur hors domaine dans une variable de type ''non signé'' (<code>unsigned long</code>, par exemple), la conversion se fait modulo la valeur maximale représentable par ce type + 1. Exemples : On suppose que le type <code>unsigned char</code> est codé sur 8 bits. Alors une valeur de ce type peut aller de 0 à 2⁸-1, soit 255. Par la règle précédente, les conversions se feront donc modulo 255 + 1, soit 256. On considère le programme suivant : <syntaxhighlight lang="c" line="1"> #include <stdio.h> int main(void) { unsigned char c = 300; /* %hhu sert à dire à printf() qu'on veut afficher un unsigned char */ printf("La variable c vaut %hhu.\n", c); c = -5; printf("La variable c vaut %hhu.\n", c); return 0; } </syntaxhighlight> Le résultat du programme est : La variable c vaut 44. La variable c vaut 251. En effet, on a 300 - 256 = 44 et -5 + 256 = 251. De même : <syntaxhighlight lang="c"> #include <stdio.h> int main(void) { signed char c = 300; /* %hhd sert à dire à printf() qu'on veut afficher un signed char */ printf("La variable c vaut %hhd.\n", c); c = -300; printf("La variable c vaut %hhd.\n", c); return 0; } </syntaxhighlight> Le résultat du programme peut alors être : La variable c vaut 44. La variable c vaut -44. Sur une telle machine, les types signés sont traités de la même manière que les types non signés. Si vous essayez de compiler ces deux programmes, votre compilateur pourra détecter les débordements et vous en avertir (GCC le fait). == Réels == Les nombres réels ne pouvant tous être représentés, sont approximés par des nombres à virgule flottante. Comme dans le cas des entiers, il existe plusieurs types de nombre à virgule flottante. En voici la liste triée par précision croissante : *'''float''' ; *'''double''' ; *'''long double'''. La norme C90 était assez floue concernant les nombres à virgule flottante, leurs représentations, la précision des opérations, etc., ce qui fait que c'était un des domaines où la conception de programmes utilisant les nombres flottants était chose peu aisée. Le C99 a clarifié les choses en précisant qu'une implémentation C devait respecter la norme '''IEC 60559:1989 ''Arithmétique binaire en virgule flottante pour systèmes à microprocesseur'''''. Cette norme (dérivée de {{w|IEEE 754}}) définit des formats de données pour les nombres à virgule flottante, ainsi que des opérations et fonctions sur ces nombres. Elle garantit, entre autres : * que certains types de données auront toujours le même format ; * et que les calculs effectués sur un type de donnée donneront toujours le même résultat. Elle définit de plus comment sont gérés les cas exceptionnels, comme les infinis, les ''NaN'' (pour ''Not a Number'', résultant par exemple de la division 0/0), etc. Les types flottants du C correspondent aux type IEC 60559 de la manière suivante : * '''float''' : simple précision * '''double''' : double précision * '''long double''' : suivant l'implémentation, soit la double précision étendue, soit un type non-IEC 60559 (mais de précision au moins égale à '''double'''), soit double précision. === Constantes réelles === Une suite de caractères représente une constante à virgule flottante si : *c'est une suite de chiffres séparée par un caractère « point », cette séparation pouvant s'effectuer à n'importe quel endroit de la suite (<code>0.0</code>, <code>.0</code> et <code>0.</code> représentent tous les trois la valeur 0 de type <code>double</code>) ; *un ''nombre'' suivi d'un caractère « e » suivi d'un entier. Dans le deuxième cas, le ''nombre'' peut être soit un entier, soit un réel du premier cas. Les constantes sont de type <code>double</code> par défaut. Pour demander le type <code>float</code>, il faut la suffixer par <code>f</code> ou <code>F</code>, et pour le type <code>long double</code> par <code>l</code> ou <code>L</code>. === Arithmétique === Une attention particulière doit être portée sur la précision des types réels. Ces différents types ne font qu'approximer l'ensemble des nombres réels, avec une précision finie. Des erreurs d'arrondis sont à prévoir, ce qui est très problématique pour des domaines qui n'en tolèrent pas (notamment pour les applications financières, il est conseillé de ne pas utiliser de calcul en virgule flottante). Le type <code>float</code> en particulier a une précision minimale, qui est bien souvent insuffisante. Voici un exemple classique d'erreur à ne pas faire qui illustre les problèmes liés à la précision des types flottants : <syntaxhighlight lang="c"> #include <stdio.h> int main(void) { float i = 0; int j; for (j = 0; j < 1000; j ++) { i += 0.1; } printf("i = %f\n", i); return 0; } </syntaxhighlight> Le résultat est 99,999046, ce qui montre que la précision du type <code>float</code> est en général mauvaise, d'autant plus que le nombre 0,1 n'est pas représentable de manière exacte en binaire<ref>0,1₁₀ = 0.0001100110011...₂</ref>. Il est ainsi conseillé d'utiliser le type <code>double</code> à la place de <code>float</code> autant que possible. Dans ce cas de figure, il est préférable d'éviter les accumulations d'erreurs infinitésimales, en réécrivant le code de la manière suivante : <syntaxhighlight lang="c" line="1"> #include <stdio.h> int main(void) { float i; int j = 1000; i = j * 0.1; printf("i = %f\n", i); return 0; } </syntaxhighlight> Le résultat est alors 100.0, sans aucune erreur d'accumulation et d'arrondis. Pour plus d'informations sur ce domaine, un wikilivre [[Mathématiques/Arithmétique flottante|Arithmétique flottante]] est disponible. == Caractères == À l'origine, le type permettant de représenter un caractère est <code>char</code>. Même si un <code>char</code> n'est plus toujours suffisant aujourd'hui pour représenter un caractère quelconque. Ce type est un peu plus particulier que les autres, d'une part parce que sa taille définit l'unité de calcul pour les quantités de mémoire (et donc pour les tailles des autres types du langage) et d'autre part son domaine de valeur peut grandement varier de manière relativement inattendue. Par définition, la taille du type <code>char</code>, notée <code>sizeof(char)</code>, vaut toujours 1. Cependant, il faut faire attention : contrairement à ce qu'on pense souvent, un <code>char</code> au sens du C ne vaut pas toujours un <em>octet</em>. Il occupera au minimum 8 bits, mais il existe des architectures, relativement spécialisées il est vrai, ayant des <code>char</code> de 9 bits, de 16 bits, voire plus. Même si, dans une large majorité des cas, les compilateurs utilisent des <code>char</code> de 8 bits, à la fois par simplicité (les machines modernes fonctionnent généralement en 8, 16, 32 ou 64 bits) et pour éviter des problèmes de portabilité de code (beaucoup de codes C existants reposent sur l'hypothèse que les <code>char</code> font 8 bits, et risqueraient de ne pas marcher sur une autre architecture)<ref name="byte">La confusion est surtout née de l'utilisation du mot ''byte'' pour désigner la taille du type ''char'' dans la norme, alors que ce mot est utilisé dans presque tous les autres domaines de l'informatique pour désigner un octet.</ref>. Par simplification, nous utiliserons donc le terme ''octet'' la plupart du temps dans la suite de ce wikilivre. Un autre piège de ce type est qu'il peut être '''de base''' (c'est-à-dire implicitement) <code>signed</code> ou <code>unsigned</code>, au choix du compilateur, ce qui peut s'avérer dangereux (c'est-à-dire difficile à maitriser). Considérez le code suivant : <syntaxhighlight lang="c"> /* Ce code peut ne pas fonctionner avec certains compilateurs */ char i; for (i = 100; i >= 0; i --) { /* ... */ } </syntaxhighlight> Dans cet exemple, l'instruction <code>for</code> permet de faire itérer les valeurs entières de <code>i</code> de 100 à 0, incluses. On pourrait naïvement penser '''optimiser''' en utilisant un type <code>char</code>. Sauf que si ce type est implicitement <code>unsigned</code>, la condition <code>i >= 0</code> sera toujours vraie, et tout ce que vous obtiendrez est une boucle infinie. Normalement, tout bon compilateur devrait vous avertir que la condition est toujours vraie et donc vous permettre de corriger en conséquence, plutôt que perdre des heures en débugage. === Constantes représentant un caractère === Une constante représentant un caractère (de type char) est délimitée par des apostrophes, comme par exemple <code>'a'</code>. En fait le langage C n'a initialement pas été conçu pour utiliser tous les caractères. Le type char permet de représenter ni plus ni moins que des nombres entiers (ils sont de type <code>int</code>, mais leur valeur tiendra dans un type <code>char</code>), les deux étant parfaitement interchangeables. Cependant, comme dit plus haut, il ne s'agit généralement pas là des caractères Unicode que nous manipulons tous les jours, mais de caractère-octet dont la portée est réduite. Un petit exemple : <syntaxhighlight lang="c"> #include <stdio.h> int main(void) { printf("Sur votre machine, la lettre 'a' a pour code %d.\n", 'a'); return 0; } </syntaxhighlight> Le programme précédent donnera le résultat suivant dans un environnement ASCII : <pre>Sur votre machine, la lettre 'a' a pour code 97.</pre> Il est tout à fait autorisé d'écrire <code>'a' * 2</code> ou <code>'a' - 32</code>. Cette soustraction permet de convertir une minuscule ASCII en majuscule si le codage ASCII est utilisé, mais ne le permet pas si un autre codage est utilisé (comme ISO-8859-1 ou UTF-8). === Valeur des caractères-octets === La valeur représentée par cette constante est néanmoins dépendante des conventions de codages de caractères employées. À l'origine ces conventions étaient connues du système ; aujourd'hui, même si dans une écrasante majorité des cas, on se retrouvera avec un jeu de caractères augmentant l'ASCII et donc l'ISO-646. Le code ASCII définit 96 glyphes de caractères portant les numéros 32 à 126, bien loin des milliers de caractères nécessaires pour les logiciels fonctionnant sur la planète entière et dans de nombreuses langues<ref name="codeCaracteres">En occident, en-dehors des codages compatibles avec ASCII, on ne rencontre guère en pratique que la famille de jeux de caractères [[w:EBCDIC|EBCDIC]], utilisée sur des systèmes IBM et quelques mainframes.</ref>. Cet ensemble est à peine suffisant pour couvrir l'anglais alors que plusieurs langues latines étaient visées à l'époque où l'ASCII et l'ISO-646 ont été définis, si bien que de nombreuses extensions sont par la suite apparues. Par exemple le caractère « œ » (ligature du o et du e) a pour valeur : * 189 dans le jeu de caractères ISO-8859-15 (principalement utilisé pour les langues latines d'Europe, sous Unix) ; * 156 sur certaines variantes du jeu de caractères Windows 1252 (principalement utilisé pour les langues latines d'Europe, sous Windows) ; * 0xc5, 0x93 (deux octets, donc deux <code>char</code>) en UTF-8 ; * 207 avec l'encodage Mac Roman (Mac OS 9 et antérieur) ; * Et n'a pas d'équivalent ni en ISO-8859-1 ni en ASCII (le caractère 189 est le symbole « ½ », le 207 est le « Ï » et le 156 n'est pas utilisé). Retenons simplement qu'Unicode est omniprésent sur Internet, mais que des logiciels plus anciens ou embarqués peuvent fonctionner avec des jeux de caractères huit bits, plus limités. Il s'agit en fait d'une problématique concernant des sujets plus vastes, comme l{{'}}''internationalisation'', la ''portabilité'' et l{{'}}''interopérabilité''. Le langage C reste relativement abstrait à ce niveau : le type char contient généralement un octet et les chaînes, une simple suite d'octets terminée par 0. Il laisse au système et au développeur le soin d'interpréter et de traiter les octets comme il se doit. Ceci peut être fait à l'aide de bibliothèques appropriées. Si on trouve ici ou là de telles listes de bibliothèques <ref> Le site Unicode publie une liste de bibliothèque de gestion des caractères et chaînes Unicodes. http://www.unicode.org/resources/libraries.html </ref>, il est préférable de connaître le langage C avant de les utiliser. Cet abstraction du langage C lui a permis de s'adapter aux nombreuses évolutions des conventions de codages des caractères. === Caractères non graphiques === Certains caractères ne sont pas graphiques. Par définition, on ne peut pas donc les écrire dans un code source de manière visible. Le langage C adopte la convention suivant pour désigner certains d'entre eux de manière littérale : {| cellpadding="2" cellspacing="0" style="border:thin black solid" | style="background-color:#438bbb40; text-align:center; font-weight:bold;" |Constante | style="background-color:#b3972b40; text-align:center; font-weight:bold;" |Caractère |- | style="background-color:#abd7ef40;" |<code><nowiki>'\''</nowiki></code> | style="background-color:#ebe7b340;" |une apostrophe |- | style="background-color:#abd7ef40;" |<code>'\"'</code> | style="background-color:#ebe7b340;" |un guillemet |- | style="background-color:#abd7ef40;" |<code>'\?'</code> | style="background-color:#ebe7b340;" |un point d'interrogation |- | style="background-color:#abd7ef40;" |<code>'\\'</code> | style="background-color:#ebe7b340;" |un backslash |- | style="background-color:#abd7ef40;" |<code>'\a'</code> | style="background-color:#ebe7b340;" |un signal sonore (ou visuel) |- | style="background-color:#abd7ef40;" |<code>'\b'</code> | style="background-color:#ebe7b340;" |un espace arrière |- | style="background-color:#abd7ef40;" |<code>'\f'</code> | style="background-color:#ebe7b340;" |saut au début de la page suivante |- | style="background-color:#abd7ef40;" |<code>'\n'</code> | style="background-color:#ebe7b340;" |saut de ligne |- | style="background-color:#abd7ef40;" |<code>'\r'</code> | style="background-color:#ebe7b340;" |un retour chariot |- | style="background-color:#abd7ef40;" |<code>'\t'</code> | style="background-color:#ebe7b340;" |une tabulation (pose problème avec gcc-4.8) |- | style="background-color:#abd7ef40;" |<code>'\v'</code> | style="background-color:#ebe7b340;" |une tabulation verticale (pose problème avec gcc-4.8) |} De plus, on peut écrire n'importe quelle valeur de caractère avec les expressions suivantes : *<code>'\x''HH'''</code>, où chaque <code>''H''</code> représente un chiffre hexadécimal correspondant au code du caractère. Par exemple, <code>'\x61'</code> représente le caractère <code>'a'</code> (minuscule) en ASCII (car 97 = 6 * 16 + 1) ; *<code>"\xc5\x93"</code> représente le caractère œ en UTF-8. *<code>'\''OOO'''</code>, où chaque <code>''O''</code> représente un chiffre octal correspondant au code du caractère. === Trigramme === Le langage C date d'une époque où le standard de codage des caractères était l'ISO-646, un standard encore plus ancien et plus incomplet que l'ASCII. Les caractères absent de l'ISO-646 pouvaient être simulés par une séquence de trois caractères. L'ASCII s'étant répandu, cette fonctionnalité tombée en désuétude est en général à éviter, car très souvent inutile, et peut causer des bugs incompréhensibles au programmeur non averti. Néanmoins, de très rares programmes peuvent utiliser ce genre de fonctionnalités. Un trigramme est simplement une suite de trois caractères dans le code source qui sera remplacée par un seul. Cette fonctionnalité a été ajoutée au C pour supporter les architectures (systèmes) dont l'alphabet ne dispose pas de certains caractères qui sont nécessaires dans la syntaxe du C, comme les dièses ou les accolades. Les substitutions suivantes sont faites <em>partout</em> dans le code source (y compris les chaînes de caractères) : {| class="wikitable" ! Trigramme ! Caractère |- |<code>??=</code> |<code>#</code> |- |<code>??(</code> |<code>[</code> |- |<code>??)</code> |<code>]</code> |- |<code>??&lt;</code> |<code>{</code> |- |<code>??&gt;</code> |<code>}</code> |- |<code>??/</code> |<code>\</code> |- |<code>??'</code> |<code>^</code> |- |<code>??!</code> |<code>&#124;</code> |- |<code>??-</code> |<code>~</code> |} Voici une manière de rendre illisible un programme utilisant les trigrammes : <syntaxhighlight lang="c"> ??=include <stdio.h> int main(void) ??< puts("Bonjour !"); return 0; ??> </syntaxhighlight> Par défaut, la plupart des compilateurs désactivent les trigrammes, au cas où vous ne seriez pas encore dissuadés de les utiliser. == Chaîne de caractères == Une chaîne de caractère, comme son nom l'indique, est une suite de caractères avec la particularité d'avoir un caractère nul (0) à la fin. Une chaîne de caractère est en fait implémentée en C avec un tableau de type <code>char</code>. Ce chapitre vous donne les rudiments sur les chaînes de caractère pour une première approche. Pour en savoir plus sur * les rares fonctions de chaînes de caractères, voir [[Programmation C/Chaînes de caractères]] * les tableaux & pointeurs : [[Programmation_C/Tableaux#Chaînes de caractères]] ===Structure=== En mémoire, une chaîne de caractère est représenté dans le langage C comme un tableau d'octet dont les valeurs dépendent de l'encodage utilisé ici, Unicode. {| class="wikitable" style="text-align: center;" |+ |''Amélie'' en Unicode formes NFC et NFD |- ! style="width: 2.5em;" |Caractère représenté | A || m ||colspan="2" | é || l || i || e || '\0' |- | colspan="24" style="height: 1pt;" | |- ! rowspan="1" |Unicode NFC |0041 ||006d || colspan="2" |00e9 ||006c ||0069 ||0065 || 0 |- ! rowspan="1" |Unicode UTF-8 NFC |41 ||6d || colspan="2" |c3 a9 ||6c ||69 ||65 || 0 |- ! rowspan="1" |Unicode NFD |0041 ||006d ||0065 ||0301 ||006c ||0069 ||0065 || 0 |- ! rowspan="1" |Unicode UTF-8 NFD |41 ||6d ||65 ||cc 81 ||6c ||69 ||65 || 0 |- ! rowspan="1" |Unicode NFD |A ||m ||e || ◌́ ||l ||i||e|| '\0' |} ===Chaîne littérale=== On appelle une chaîne littérale la manière dont est définie une constante chaîne dans un code source. Sous sa forme la plus simple, on déclare une chaîne comme une suite de caractères entre guillemets (double quote) : <syntaxhighlight lang="c"> "Ceci est une chaîne de caractère"; ""; /* Chaîne vide */ </syntaxhighlight> Si la chaîne est trop longue, on peut aussi la couper sur plusieurs lignes : <syntaxhighlight lang="c"> "Ceci est une chaîne de caractère, " /* pas de ; */ "déclarée sur plusieurs lignes."; </syntaxhighlight> Deux chaînes côtes à côtes (modulo les espaces et les commentaires) seront concaténées par le compilateur. De plus on peut utiliser le caractère barre oblique inverse (\) pour annuler la signification spéciale de certains caractères ou utiliser des caractères spéciaux (C.f liste ci-dessus). <syntaxhighlight lang="c"> "Une chaîne avec des \"guillemets\" et une barre oblique (\\)\n"; </syntaxhighlight> Il est aussi possible d'utiliser la notation hexadécimale et octale pour décrire des caractères dans la chaîne. Il faut néanmoins faire attention avec la notation hexadécimale, car la définition peut s'étendre sur plus de 2 caractères. En fait, tous les caractères suivant le <code>\x</code> et appartenant à l'ensemble <code>"0123456789abcdefABCDEF"</code> seront utilisés pour déterminer la valeur du caractère (du fait que les caractères d'une chaîne peuvent faire plus qu'un octet). Cela peut produire certains effets de bords comme : <syntaxhighlight lang="c"> /* Ce code contient un effet de bord inattendu */ "\x00abcdefghijklmnopqrstuvzxyz" </syntaxhighlight> Ce code n'insèrera pas un caractère 0 au début de la chaine, mais toute la séquence <code>"\x00abcdef"</code> servira à calculer la valeur du caractère (même si le résultat sera tronqué pour tenir dans un type <code>char</code>). On peut éviter cela en utilisant la concaténation de chaînes constantes : <syntaxhighlight lang="c"> "\x00" "abcdefghijklmnopqrstuvzxyz" </syntaxhighlight> Enfin, les chaînes de caractères faisant appel aux concepts de pointeur, tableau et de zone mémoire statique, leur utilisation plus poussée sera décrite dans la section dédiée aux [[Programmation C/Tableaux|tableaux]]. À noter la représentation '''obsolète''' des chaînes de caractères multilignes. À éviter dans la mesure du possible : <syntaxhighlight lang="c"> /* Ce code est obsolete et a eviter */ "Ceci est une chaîne de caractère,\ déclarée sur plusieurs lignes"; </syntaxhighlight> == Booléens == Le langage (jusqu'à la norme C99) ne fournit pas de type booléen. La valeur entière 0 prend la valeur de vérité ''faux'' et toutes les autres valeurs entières prennent la valeur de vérité ''vrai''. La norme C99 a introduit le type <code>_Bool</code>, qui peut contenir les valeurs 0 et 1. Elle a aussi ajouté l'en-tête <code>&lt;stdbool.h&gt;</code>, qui définit le type <code>bool</code> qui est un raccourci pour <code>_Bool</code>, et les valeurs <code>true</code> et <code>false</code><ref name="stdbool">Ces trois expressions sont définies sous formes de macro pour le préprocesseur.</ref>. Néanmoins, ces nouveautés du C99 ne sont pas très utilisées, les habitudes ayant été prises d'utiliser 0 et ''différent de zéro'' pour les booléens en C. '''Nota :''' toute expression utilisant des opérateurs booléens (voir [[Programmation C/Opérateurs|opérateurs]]), retourne 1 si l'expression est vraie et 0 si elle est fausse, ce qui rend quasiment inutile l'usage d'un type booléen spécifique. Un booléen et un entier ont des règles de conversion différentes, une valeur flottante comprise entre 0 et 1 exclus, n'aura pas la même valeur selon que le récipient soit booléen ou entier. La valeur flottante NaN, étant différente de 0 sera vraie dans les deux cas. == Vide == En plus de ces types, le langage C fournit un autre type, <code>void</code> qui représente ''rien'', le ''vide''. Il n'est pas possible de déclarer une variable de type <code>void</code>. Nous verrons l'utilité de ce type lorsque nous parlerons de [[Programmation C/Fonctions et procédures|fonctions]] et de [[Programmation C/Pointeurs|pointeurs]]. == Notes et références == {{Références}} [[Catégorie:Types de données|C]] n119ur9yk6o6jqzplzk83dgx1r93uhv 0 4841 769539 682606 2026-07-15T17:21:43Z DavidL 1746 769539 wikitext text/x-wiki {{Boîte à jeux|cartes}} * Nombre de joueurs : 4 * Durée : de 30 minutes à 1 heure == Matériel == * 1 jeu de 32 cartes. == Règles == Les quatre joueurs sont répartis en deux équipes de deux joueurs, les membres d'une même équipe se faisant face et ayant à leur droite et à leur gauche chacun des joueurs adverses. Les règles de base du jeu sont simples : * Obligation de fournir la couleur demandée. * Obligation de « couper » (mettre une carte ''atout'' sur une autre couleur) lorsque l'adversaire « tient » (c'est lui qui jusque là a posé la carte la plus forte sur la table). On ne peut donc se défausser que sur son partenaire. === Mélange des cartes === Le jeu de cartes n'est brassé qu'une fois, avant de commencer la partie. === La donne === Avant toute '''donne''' (distribution des cartes), le joueur situé à droite du joueur ''donneur'' doit effectuer la '''coupe''' du jeu : il sépare le jeu en deux tas, chacun devant contenir au moins deux cartes. Lors de la première partie, un joueur est désigné pour effectuer la première ''donne''. Lors des ''donnes'' suivantes, il s'agit du joueur qui a reçu la première carte à la partie précédente. Le joueur qui effectue la donne a le droit de mélanger le jeu avant la ''coupe''. Après avoir regroupé le jeu en inversant l'ordre de ''coupe'', le ''donneur'' distribue les cartes dans le sens des aiguilles d'une montre en commençant par son voisin de gauche, de la manière suivante: Trois cartes (situées sur le dessus du tas) sont distribuées face cachée à chaque joueur puis deux cartes supplémentaires leur sont distribuées de la même manière. Après la première phase de distribution, le ''donneur'' retourne la carte du dessus du tas non encore distribué. La couleur de la carte ainsi retournée est proposée comme atout aux joueurs. Chaque joueur, dans le sens de distribution en commençant par la gauche du ''donneur'', accepte ou non l'atout. Le premier joueur qui accepte l'atout récupère la carte retournée et on procède à la deuxième phase de la distribution (le joueur ayant pris la carte recevant deux cartes, les autres trois cartes). Si personne n'accepte la carte, on procède à un deuxième tour où chacun peut choisir une quelconque couleur d'atout (il récupère alors la carte retournée et on procède à la deuxième phase de distribution). Si aucune couleur d'atout n'est choisie, les cartes sont regroupées et commence alors la ''donne'' suivante. Chaque joueur dispose donc de 8 cartes en fin de donne, qu'il peut classer et consulter à sa guise (il les tient généralement en éventail dans sa main, devant lui) mais sans les rendre visibles des autres joueurs. En cas d'erreur dans la ''donne'' (les joueurs doivent vérifier qu'ils possèdent bien 8 cartes), deux choix existent selon les règles : * Une nouvelle coupe et une nouvelle donne sont effectuées par les mêmes joueurs sans pénalité. * On entame la partie suivante (le donneur change) et l'équipe adverse à celle du donneur fautif reçoit 160 points supplémentaires. === Le jeu de la carte === Il s'agit de la partie centrale du jeu, au cours duquel les joueurs déposent leur cartes, lors de 8 tours de jeu appelés '''plis''' ou '''levées''', '''elle est commune à tous les types de belote'''. Le ''jeu de la carte'' débute une fois l'atout déterminé (soit par le système de ''retourne'', soit par ''enchères''). Le joueur situé à gauche du ''donneur'' effectue la première '''entame''', ce qui signifie qu'il dépose une des cartes de sa main au centre du jeu. Les ''entames'' des tours suivants sont effectuées par le joueur venant de remporter le dernier ''pli''. Les trois autres joueurs déposent ensuite à leur tour, dans le sens de distribution, l'une des cartes de leur main au centre du jeu selon les règles de jeu correspondant à la couleur d'atout de l{{'}}''enchère'' définitive (ou de l'atout choisit par le système de ''retourne''). ==== Règles de jeu ==== * Si le joueur possède au moins une carte de la couleur d'entame, il doit jouer l'une de ces cartes. * Si le joueur ne possède pas de carte de la couleur d'entame et que la carte la plus forte a été déposée par son partenaire, il joue la carte de son choix. Il a alors la possibilité d'effectuer un '''appel''' à son partenaire ou une '''défausse''' (appelée aussi une '''pisse'''). * Si le joueur ne possède pas de carte de la couleur d'entame, que la carte la plus forte n'a pas été déposée par son partenaire et qu'il possède des cartes d'atout, il doit jouer l'une de ces cartes. On dit alors qu'il '''coupe''' l'adversaire. * Si le joueur ne possède ni de carte de la couleur d'entame, ni de carte d'atout, il joue la carte de son choix. * Si le joueur joue atout et qu'il possède dans son jeu au moins une carte d'atout plus forte que la plus forte carte d'atout déjà posée, il doit jouer l'une de ces cartes. On dit qu'il faut '''monter à l'atout''' ou '''surcouper'''. Si ce n'est pas possible, et selon les règles, il doit soit jouer un atout plus faible, soit il est autorisé à se défausser. Le joueur ayant déposé la carte la plus forte (selon l'ordre des cartes qui suit) remporte le pli à la fin du tour, il le retourne et le dépose au dessus de ceux que lui et son partenaire ont déjà remporté, il peut alors effectuer l'entame suivante. À tout moment du ''jeu de la carte'', un joueur peut demander à consulter le '''dernier pli''' retourné. ==== Ordre des cartes ==== Les cartes suivent un ordre hiérarchique qui dépend de la couleur d'atout : * Hors atout (du moins fort au plus fort) : Sept, Huit , Neuf, Valet, Dame, Roi, Dix, As. * À l'atout (du moins fort au plus fort) : Sept, Huit, Dame, Roi, Dix, As, Neuf, Valet. * Toute carte d'atout l'emporte sur les cartes d'autre couleur. * Toute carte de la couleur d'entame l'emporte sur les cartes d'autre couleur, hors atout. En résumé, l'ordre est donc l'ordre naturel que l'on retrouve dans les autres jeux, excepté le dix qui l'emporte sur le roi mais pas sur l'as. Dans la couleur d'atout, deux cartes changent : le neuf l'emporte sur l'as, et le valet l'emporte sur le neuf et l'as. {| align="center" |+ Ordre des cartes hors atout |[[Fichier:01_of_hearts_A.svg|90px|As de cœur]] |[[Fichier:10 of hearts - David Bellot.svg|90px|Dix de cœur|lien=Special:FilePath/11_of_hearts_-_David_Bellot.svg]] |[[Fichier:King of hearts fr.svg|90px|Roi de cœur]] |[[Fichier:Queen of hearts fr.svg|90px|Dame de cœur]] |[[Fichier:Jack of hearts fr.svg|90px|Valet de cœur]] |[[Fichier:09_of_hearts.svg|90px|Neuf de cœur]] |[[Fichier:08_of_hearts.svg|90px|Huit de cœur]] |[[Fichier:07_of_hearts.svg|90px|Sept de cœur]] |} {| align="center" |+ Ordre des cartes en atout |[[Fichier:Jack of hearts fr.svg|90px|Valet de cœur]] |[[Fichier:09_of_hearts.svg|90px|Neuf de cœur]] |[[Fichier:01_of_hearts_A.svg|90px|As de cœur]] |[[Fichier:10 of hearts - David Bellot.svg|90px|Dix de cœur]] |[[Fichier:King of hearts fr.svg|90px|Roi de cœur]] |[[Fichier:Queen of hearts fr.svg|90px|Dame de cœur]] |[[Fichier:08_of_hearts.svg|90px|Huit de cœur]] |[[Fichier:07_of_hearts.svg|90px|Sept de cœur]] |} === Décompte des points === Une fois les 8 tours du ''jeu de la carte'' effectués, un joueur de chaque équipe additionne les points correspondants aux cartes des ''plis'' remportés par son équipe. Si celle-ci a remporté le dernier pli, il rajoute 10 points au total obtenu. Il s'agit de la règle du '''dix de der'''. Le total des points du jeu est de 162. Si la somme des deux totaux obtenus est différente de ce nombre, il est procédé à un nouveau décompte des points. * Hors atout : **L'As vaut 11 points **Le Dix vaut 10 points **Le Roi vaut 4 points **La Dame vaut 3 points **Le Valet vaut 2 points **Le Neuf, le Huit, le Sept valent chacun 0 point * À l'atout : **Le Valet vaut 20 points **Le Neuf vaut 14 points **L'As vaut 11 points **Le Dix vaut 10 points **Le Roi vaut 4 points **La Dame vaut 3 points **Le Huit, le Sept valent chacun 0 point === Capot === Un "capot" est réussi par une équipe si elle remporte les 8 plis de la donne. === Points marqués par chaque équipe === Pour gagner la ''donne'', l'équipe qui est ''partie'' (c'est à dire qui a choisi l'atout) doit totaliser plus de points que l'équipe adverse (en comptant les points éventuels de la ''belote'' et des annonces de chaque équipe), son total doit donc dépasser 81. La ''belote'' peut être comptabilisée pour atteindre ce total. Si elle a gagné la donne, l'équipe qui est ''partie'' marque le score arrondi de son total de points. Elle marque 90 points supplémentaires en cas de ''capot''. L'équipe adverse marque le score arrondi de son total de points. Si elle a perdu la donne, l'équipe qui est ''partie'' ne marque aucun point (hors ''belote''). L'équipe adverse marque 160 points. Les '''scores arrondis''' sont des multiples de 10 qui rendent le décompte des points marqués sur toute la partie plus facile. Dans ce cas un score est arrondi au multiple de 10 le plus près, ou inférieur si le total se termine par 5. Cet arrondi conserve un total de 160 points, sauf dans le cas où le total se termine par 6 (ce qui est donc le cas pour les 2 équipes), auquel cas les 2 scores sont arrondis au multiple supérieur, donnant un total de 170 points. === Fin de la partie === Une partie se joue généralement en 1000 points. Si les deux équipes dépassent ce score lors de la même partie, l'équipe qui atteint le plus gros total remporte la partie. Si leur total est identique, une donne supplémentaire est effectuée pour les départager. == Les annonces == Une annonce est une combinaison de cartes que l'on a en main suite à la ''donne'', qui donne droit à un bonus de points. {|align="center" |+ Ordre des cartes pour les annonces |[[Fichier:01_of_hearts_A.svg|90px|As de cœur]] |[[Fichier:King of hearts fr.svg|90px|Roi de cœur]] |[[Fichier:Queen of hearts fr.svg|90px|Dame de cœur]] |[[Fichier:Jack of hearts fr.svg|90px|Valet de cœur]] |[[Fichier:10 of hearts - David Bellot.svg|90px|Dix de cœur]] |[[Fichier:09_of_hearts.svg|90px|Neuf de cœur]] |[[Fichier:08_of_hearts.svg|90px|Huit de cœur]] |[[Fichier:07_of_hearts.svg|90px|Sept de cœur]] |} Les annonces possibles sont les suivantes : ;La belote :La ''belote'' est une annonce constituée de la Dame et du Roi d'atout, elle vaut 20 points. :Elle est annoncée lors du jeu de la première de ces cartes (on dit : « Belote ! »), puis de la seconde (on dit : « Rebelote ! »). ;La tierce :La ''tierce'' est une annonce constituée de trois cartes de même couleur qui se suivent dans l'ordre naturel (c'est-à-dire Sept, Huit, Neuf, Dix, Valet, Dame, Roi, et As). Elle vaut 20 points. ;Le cinquante :Le ''cinquante'' est une annonce constituée de quatre cartes de même couleur qui se suivent dans l'ordre naturel, il vaut 50 points. ;Le cent :Le ''cent'' est une annonce constituée de cinq cartes de même couleur qui se suivent dans l'ordre naturel, il vaut 100 points. ;Le carré :Le ''carré'' est une annonce constituée de quatre cartes identiques. :Le ''carré de Valets'' vaut 200 points. :Le ''carré de Neuf'' vaut 150 points. :Les ''carrés'' d'As, de Dix, de Rois, de Dames (couramment appelé ''bordel''), valent chacun 100 points. :Les ''carrés'' de Huit et de Sept ne valent aucun point. === Comptabilisation des annonces === Pour permettre de les comptabiliser, chaque joueur doit énumérer la ou les ''annonces'' (hors ''belote'') dont il dispose dès que son tour vient au cours de la première ''levée''. En cas de demande de la part d'un des autres joueurs, il doit montrer les cartes constituant cette annonce aux trois autres joueurs dès que son tour vient au cours de la deuxième ''levée''. En cas de refus, son annonce est annulée. À chaque ''donne'', seule une équipe comptabilise ses ''annonces'' , cette équipe est celle qui dispose de l'annonce la plus forte. * Une ''annonce'' est plus forte qu'une autre si elle vaut plus de points. * Une ''annonce'' est plus forte qu'une autre si elles valent le même nombre de points et que la première est plus haute dans l{{'}}''ordre naturel'' des cartes. * Une ''annonce'' est plus forte qu'une autre si elles valent le même nombre de points, qu'elles ont la même hauteur dans l{{'}}''ordre naturel'' des cartes, et que la première est à l'atout. Si les ''annonces'' les plus fortes de chaque équipe ne sont pas comparables selon les trois règles précédentes, aucune d'elles (en dehors de la ''belote'') n'est comptée. Lorsqu'elle comptabilise ses annonces, une équipe : * ajoute la somme des points correspondants aux annonces de ses deux joueurs au total de points des plis qu'elle a remporté ; * ajoute également ces points à son score total, sauf si elle était partie et qu'elle fait finalement moins de points que l'équipe adverse, qui marque alors ces points ; * la ''belote'' est à part, et est toujours marquée par l'équipe qui l'annonce. == Variantes == Les variantes modifient certains points des règles générales : === Points marqués === * les points sont comptés arrondis à 5, ou comptés au point près ; * 80 points s'ajoute au score de l'équipe réussissant une donne ; * les points marqués par l'équipe adverse lors d'une chute sont de 240 ; === Annonces === * Un carré rapportant 100 points est plus fort qu'une annonce de cent. * Une annonce de "cent" est plus forte qu'une autre annonce de cent si elle comporte plus de cartes. Exemple : Une suite de 6 cartes est plus forte qu'une suite de 5 cartes. * On ne compte pas les annonces (belote '''non''' comprise) pour savoir si une donne est chutée ou non (on dit alors que les '''annonces ne servent pas à prendre''') ; * Hormis la belote, les annonces ne comptent pas et ne rapportent pas de points. Elles ne sont pas annoncées. Cette règle est fréquente dans les compétitions. * Les annonces (belote incluse) ne comptent pas et ne rapportent pas de points. Il n'y a aucune annonce. * on peut annuler la partie si l'on a strictement moins de onze points dans son jeu et aucun atout ; * le carré d'As vaut 110 et le carré de neufs 140 (10 fois la valeur de la carte à l'atout) ; * le carré de Huit annule les autres annonces ; * le carré de Sept annule la donne ; * l'ordre naturel pour déterminer les annonces est Sept, Huit, Neuf, Valet, Dame, Roi, Dix, As ; === Distribution === * Battre les cartes n'est pas autorisé. * Le même joueur distribue jusqu'à 3 fois tant qu'aucun joueur ne prend. Il passe ensuite la main au suivant. * Lors de la distribution, si aucun atout n'est choisi au deuxième tour, le donneur est forcé de choisir un atout (variante appelée ''la vache'') ; * On peut distribuer toutes les cartes, et procéder ensuite à des enchères pour déterminer l'atout. Cette variante est appelée '''[[../coinche/]]''', ou encore ''contrée'' ou ''belote bridgée'' ; == Plis == * Après un preneur (au premier ou au second tour), les autres joueurs peuvent « monter dans la couleur » en respectant l'ordre : ''trèfle'', ''carreau'', ''cœur'', ''pique'', ''sans atout'', ''tout atout''. * si un adversaire a déjà coupé un pli, et que le joueur ne peut pas ''surcouper'', il est autorisé à se défausser (au lieu de jouer un atout plus faible) ; * Une variante à '''3 joueurs''' existe. Dans ce type de jeu, la personne qui a choisit l'atout joue contre les deux autres joueurs. Les règles restent les mêmes, mais on enlève du jeu les cartes ''7'' et ''8'' de façon à ce que toutes les cartes soient distribuées, en 3 fois 8 cartes. Le ''capot'' est très rare dans la variante à 3. * Même si un joueur remporte tous les plis restants (Plus aucune carte ne peut le contrer), les joueurs ne posent pas leurs cartes mais continuent de jouer afin de "mélanger" le jeu. Cela évite d'avoir des séquences de cartes de la même couleur dans le jeu. == Principales tactiques de jeu == === Choix de l'atout === Étant donné que l'on n'a que 5 cartes sur les 8 finales lors du choix de l'atout, celui-ci se fait de manière en tenant compte d'un facteur chance ; toutefois deux cas sont particuliers : * le joueur immédiatement après le donneur peut supposer que les cartes qu'il va recevoir ensuite seront de la même couleur que la carte proposée à l'atout, en supposant que les cartes faisaient partie d'un même pli la donne précédente. * pour cette raison, et pour être sûr d'éviter un ''capot'', ce joueur prend très souvent la carte d'atout si celle-ci est un ''valet''. === Jeu de la carte === La couleur d'atout est la couleur principale de la belote, autour de laquelle se bâtissent les stratégies « classique ». L'équipe qui part choisit généralement l'atout parce qu'elle a les plus forts (''valet'', ''neuf'') et en a plus que l'équipe adverse ; de ce fait, elle cherche à faire ''tomber les atouts'', afin que l'équipe adverse n'en ait plus. L'équipe qui part peut alors jouer ses ''as'' sans risquer de se faire couper. L'équipe qui défend quant à elle cherche à garder ses atouts, et à faire ''couper'' ses adversaires, afin de leur faire perdre leurs atouts sans en investir. === Les appels === Un appel est une manière de jouer qui consiste à faire comprendre à son partenaire quelles ''cartes maîtresses'' (capable de remporter un ''pli'') on a. Les appels se font généralement en défaussant une carte de la couleur de sa carte maîtresse, sur un pli que son partenaire remporte. ''Exemple'' : Partenaire 1 lance le valet à l'atout pique, Adversaire 1 joue un atout, et Partenaire 2 n'a pas d'atout, mais il a un as de cœur. Partenaire 2 joue alors un autre cœur. Il y a 2 sortes d'appel : * L'appel "direct" cité ci-dessus qui consiste à jouer la même couleur que l'on veut au prochain tour. Ex: jouer du carreau pour obtenir du carreau, du pique pour obtenir du pique... * L'appel "indirect" qui consiste à jouer une figure d'une couleur (rouge/noir) pour avoir l'autre figure de la même couleur, ex: du carreau pour du cœur, du trèfle pour du pique... Les joueurs qui jouent ensemble doivent se communiquer avant la partie leur sorte d'appel. === Les impasses === Une impasse consiste à ne pas jouer une ''carte maîtresse'', en supposant que la carte immédiatement en dessous ne soit pas jouée, et qu'on puisse la prendre dans un pli ultérieur avec la ''carte maîtresse''. ''Exemple :'' Partenaire 1 joue un huit de carreau, Adversaire 1 n'a pas de carreau, et se défausse d'une autre couleur, Partenaire 2 joue une dame de carreau. Adversaire 2 sait que le dix de carreau n'a pas encore joué, et possède l'as de carreau et valet de carreau. Il joue alors le valet de carreau, en souhaitant que la prochaine fois que la couleur carreau sera demandé, il prendra le pli avec son as, tout en gagnant le dix de carreau. Deux risques sont possibles : le premier est de se faire couper au second tour de la couleur de l'impasse, et le second est d'avoir fait l'impasse au début du pli, et de voir le dix joué par un adversaire remporter ce pli. === Triche === Comme tout jeu de carte, la belote donne lieu à de multiples manière de tricher, plus ou moins bien intégrées dans le cours du jeu. La triche est majoritairement utilisée pour '''communiquer à son partenaire des informations concernant son propre jeu''', en utilisant le geste ou la parole en dehors du cadre défini par les règles du jeu (on dit communément qu'il y a ''parlante''). ''Exemple :'' Dire tout haut « Tu me fends le '''cœur'''. » Appuyer un ''appel'' (qui lui entre tout à fait dans le cadre du jeu) pour le rendre plus clair, notamment en frappant la table lorsque l'on dépose sa carte, est également un acte de triche. Annoncer des annonces que l'on a pas (en espérant que personne ne demande à les voir) également. {{BoiteJeux}} [[Catégorie:Boîte à jeux (livre)|La belote]] lnr3t7f5ligbny82m6nmn71nzpglewl 0 4984 769573 732430 2026-07-16T09:19:12Z ~2026-34862-02 124042 /* Comment ? */ 769573 wikitext text/x-wiki [[Image:Books-aj.svg aj ashton 01.svg|right|70px]] == Combien ? == {| {{tableau_japonais}} ! [[Japonais/Kanji|Kanji]] ! [[Japonais/Kana|Kana]] ! [[Japonais/Romaji|Rōmaji]] ! Exemple |- | [[wikt:幾つ|幾つ]] (âge) | いくつ | ikutsu | 幾つですか (ikutsu desu ka) : Quel âge avez-vous ?<br /> |- | [[wikt:幾ら|幾ら]] (prix) | いくら | ikura | 幾らですか (ikura desu ka) : Combien c'est ? |} * Sous forme de politesse et moins indiscrète : 何歳ですか (nansai desu ka). == Comment ? == {| {{tableau_japonais}} ! [[Japonais/Kanji|Kanji]] ! [[Japonais/Kana|Kana]] ! [[Japonais/Romaji|Rōmaji]] ! Exemple |- | [[wikt:如何|如何]]<br>何の様に<br>如何遣って | どう (moins formel)<br>いかが (plus formel)<br>どのように (dans quel degré)<br>どうやって (de quelle manière) | dō<br>ika ga<br>do no yō ni<br>dō yatte | 如何ですか (dō desu ka) : Comment c'est ? |} == Lequel ? == {| {{tableau_japonais}} ! [[Japonais/Kanji|Kanji]] ! [[Japonais/Kana|Kana]] ! [[Japonais/Romaji|Rōmaji]] ! Exemple |- | [[wikt:何の|何の]] | どの | dono | エス・エフの書籍は何の書籍ですか (Esu-efu no shoseki wa dono shoseki desu ka?) : C'est lequel le livre de science-fiction ? |- | [[wikt:何れ|何れ]] | どれ | dore | |} == Pourquoi ? == {| {{tableau_japonais}} ! [[Japonais/Kanji|Kanji]] ! [[Japonais/Kana|Kana]] ! [[Japonais/Romaji|Rōmaji]] ! Exemple |- | [[wikt:如何して|如何して]] (langage poli mais aussi familier) | どうして | dōshite | 如何してですか (dōshite desu ka) : Pourquoi ? |- | [[wikt:何で|何で]] (uniquement en langage familier) | なんで | nande | 何でですか (nande desu ka) : Pourquoi ? |- | [[wikt:何故|何故]] (utilisé dans les chansons et dans la poésie) | なぜ | naze | 何故ですか (naze desu ka) : Pourquoi ? |} == Quand ? == {| {{tableau_japonais}} ! [[Japonais/Kanji|Kanji]] ! [[Japonais/Kana|Kana]] ! [[Japonais/Romaji|Rōmaji]] ! Exemple |- | [[wikt:何時|何時]] | いつ | itsu | 何時ですか (itsu desu ka) : Quand c'est ? |} == Quoi ? == {| {{tableau_japonais}} ! [[Japonais/Kanji|Kanji]] ! [[Japonais/Kana|Kana]] ! [[Japonais/Romaji|Rōmaji]] ! Exemple |- | [[wikt:何|何]] | なに | Nani (''Nani'' se transforme en ''nan'' (なん) devant les sons ''d'', ''j'', ''n'' et ''t'', ainsi que dans un mot composé.) | 何ですか (Nan desu ka?) : C'est quoi ? |} == Qui ? == {| {{tableau_japonais}} ! [[Japonais/Kanji|Kanji]] ! [[Japonais/Kana|Kana]] ! [[Japonais/Romaji|Rōmaji]] ! Exemple |- | [[wikt:誰|誰]] (forme basique) | だれ | dare | 誰ですか (Dare desu ka?) : Qui est-ce ?<br>この国で一番美しいのは誰？ (Kono kuni de ichiban utsukushī no wa dare?) : Qui est la plus belle du pays ?<br>誰が誰を作ったのか (Dare ga dare wo tsukutta no ka) : Qui a fait qui ? |- | [[wikt:何方|何方]] (forme polie) | どなた | donata | 何方ですか (donata desu ka) : Qui est-ce ? |} == Où ? == {| {{tableau_japonais}} ! [[Japonais/Kanji|Kanji]] ! [[Japonais/Kana|Kana]] ! [[Japonais/Romaji|Rōmaji]] ! Exemple |- | [[wikt:何処|何処]] | どこ | doko | 何処に居ますか (doko ni imasu ka) : Où es-tu? |} {{Glossaires de Japonais}} [[Catégorie:Glossaires de Japonais]] j8u2k2food7k63hy6euup0u20wdwt9r 0 6480 769536 748021 2026-07-15T17:18:14Z DavidL 1746 769536 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Programmation C++}}</noinclude> == Exercices == === EXERCICE 1 === Écrire un programme qui résout l'équation AX+B=0. Bien évidemment, on n'oubliera pas tous les cas particuliers (notamment les cas "tout x est solution" et "pas de solution"). {{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu= Cet exercice a pour but de vérifier les points techniques suivants : * La notion de variables et leur déclaration. * Modélisation d'un problème mathématique simple. * Utilisation de if imbriqués. * L'utilisation de <code>cin</code> et de <code>cout</code>. * L'affectation. Voici le fichier source : <syntaxhighlight lang="cpp"> #include <iostream> using namespace std; int main() { double a,b,x=0; cout <<"Entrer la valeur de a" << endl; cin >> a ; cout <<"Entrer la valeur de b" << endl; cin >> b ; cout << " On trouve la solution de " << a << "x + " << b << " = 0 " << endl; if (a==0) if (b==0) cout << " tout est solution" << endl; else cout << " pas de solution" << endl; else { x = -b/a ; cout << " La solution est x = " << x << endl; } return 0; } </syntaxhighlight> }} === EXERCICE 2 === Écrire un programme qui demande à l'utilisateur de taper 5 entiers et qui affiche le plus grand. Le programme ne devra utiliser que 2 variables. {{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu= Cet exercice a pour but de vérifier les points techniques suivants : * La notion de variables et leur déclaration. * Recherche du plus grand élément. * Utilisation du if. * L'utilisation de <code>cin</code> et de <code>cout</code>. * L'affectation. Voici le fichier source : <syntaxhighlight lang="cpp"> #include <iostream> // Exercice 8 Chapitre 2 using namespace std; int main() { int a,maxv; cout << "Tapez la valeur numéro 1 : "; cin>>a; maxv=a; cout << "Tapez la valeur numéro 2 : "; cin>>a; if(a>maxv) maxv=a; cout << "Tapez la valeur numéro 3 : "; cin>>a; if(a>maxv) maxv=a; cout << "Tapez la valeur numéro 4 : "; cin>>a; if(a>maxv) maxv=a; cout << "Tapez la valeur numéro 5 : "; cin>>a; if(a>maxv) maxv=a; cout << "Le plus grand valeur vaut : " << maxv << endl; return 0; } </syntaxhighlight> }} === EXERCICE 3 === Écrire un programme qui résout l’équation ax²+bx+c=0 en envisageant tous les cas particuliers. {{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu= Cet exercice a pour but de vérifier les points techniques suivants : * La notion de variables et leur déclaration. * L'utilisation de <code>cin</code> et de <code>cout</code>. * L'affectation. * Évaluation d'expressions "complexes". * Utilisation de la bibliothèque cmath. * Structure de <code>if... else</code> imbriquées avec de nombreux cas particuliers. * Proposition d'un jeu de tests complet pour gérer ces cas particuliers. * Modélisation d'un problème issu des mathématiques. Voici le fichier source : <syntaxhighlight lang="cpp"> #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { double a, b, c, re1, re2, im, delta; cout << "Entrez a : " ; cin >> a ; cout << "Entrez b : " ; cin >> b ; cout << "Entrez c : " ; cin >> c ; cout << "Ce programme trouve la solution de " << a << "x^2 + " << b << " x + " << c << " = 0 " << endl << endl; if (a == 0) // Il s'agit d'une équation linéaire { if (b!=0) { re1 = -c/b ; cout << "la solution est " << re1 << endl; } // Équation linéaire else if (c==0) cout << " Tout x est solution " << endl; else cout << " Il n'y a pas de solution " << endl; } else // Il s'agit d'une équation quadratique { delta = (b*b)-(4*a*c); if(delta > 0) // Il y a deux solutions réelles { re1 = (-b-sqrt(delta))/(a*2); re2 = (-b+sqrt(delta))/(a*2); cout << "Les solutions réelles sont : " << re1 << " et " << re2 << endl; } else if(delta < 0) // Il y a deux solutions complexes { re1 = -b/(a*2); im = sqrt(-delta)/(a*2); cout << "Les solutions complexes sont : " << re1 << " + i" << im << " et z2 = " << re1 << " - i" << im << endl; } else // on arrive ici seulement si delta == 0 { re1 = -b/(2*a); cout << "il y a 1 solution : = " << re1 << endl ; } } return 0; } </syntaxhighlight> }} === EXERCICE 4 === Écrire un programme qui demande à l’utilisateur de saisir les coordonnées de 4 points A, B, C et D puis qui affiche les informations suivantes : * si A et B sont confondus, on affiche ‘A et B sont confondus’ ; * si C et D sont confondus, on affiche ‘ C et D sont confondus’ ; ù si A et B ne sont pas confondus et si C et D ne sont pas confondus , on affiche soit ‘AB et CD sont parallèles’, soit 'AB et CD sont confondues', soit ‘AB et CD sont sécantes’. Dans ce dernier cas, on affiche les coordonnées de l'intersection de AB et de CD. {{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu= Cet exercice a pour but de vérifier les points techniques suivants : * La notion de variables et leur déclaration. * L'utilisation de <code>cin</code> et de <code>cout</code>. * L'affectation. * Structure de <code>if... else</code> imbriquées. * Modélisation d'un problème issu de la géométrie sous forme informatique. * Traiter de manière informatique une suite de calculs mathématiques relativement longue *comportant de nombreux cas particuliers. * Proposition d'un jeu de tests complet pour gérer ces cas particuliers. Voici le fichier source : <syntaxhighlight lang="cpp"> #include<iostream> using namespace std; int main() { double XA,YA,XB,YB,XC,YC,XD,YD,XI,YI; double DX1,DY1,R1,DX2,DY2,R2,K; cout << "Tapez l'abscisse de A : "; cin >> XA; cout << "Tapez l'ordonnée de A : "; cin >> YA; cout << "Tapez l'abscisse de B : "; cin >> XB; cout << "Tapez l'ordonnée de B : "; cin >> YB; cout << "Tapez l'abscisse de C : "; cin >> XC; cout << "Tapez l'ordonnée de C : "; cin >> YC; cout << "Tapez l'abscisse de D : "; cin >> XD; cout << "Tapez l'ordonnée de D : "; cin >> YD; DX1 = XB - XA; DY1 = YB - YA; DX2 = XD - XC; DY2 = YD - YC; if (DX1==0 && DY1==0) cout << "A et B sont confondus" << endl; if (DX2==0 && DY2==0) cout << "C et D sont confondus" << endl; else { K=DX1*DY2-DX2*DY1; if (K==0) { if (DX1*(YC-YA)==DY1*(XC-XA)) cout << "AB et CD sont confondues." << endl; else cout << "AB et CD sont parallèles." << endl; } else { cout<<"Les droites sont sécantes."<<endl; R1=YA*XB-XA*YB; R2=YC*XD-XC*YD; XI=(R1*DX2-R2*DX1)/K; YI=(R1*DY2-R2*DY1)/K; cout<<"L'abscisse de l'intersection est : "<<XI<<endl; cout<<"L'ordonnée de l'intersection est : "<<YI<<endl; } } return 0; } </syntaxhighlight> }} === EXERCICE 5 === Écrire un programme qui demande à l’utilisateur de saisir un entier X et qui affiche la valeur absolue de X. {{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu= Cet exercice a pour but de vérifier les points techniques suivants : *La notion de variables et leur déclaration. *L'utilisation de <code>cin</code> et de <code>cout</code>. *Utilisation rudimentaire du if. Voici le fichier source : <pre> #include<iostream> using namespace std; int main() { int X; cout<<"Tapez la valeur de X :"; cin>>X; if (X<0) X = -X; cout<<"La valeur absolue de X est : "<<X<<endl; return 0; } </pre> }} === EXERCICE 6 === Écrire un programme qui demande à l’utilisateur de saisir deux entiers strictement positifs A et B et qui indique si A est divisible par B. {{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu= Cet exercice a pour but de vérifier les points techniques suivants : *La notion de variables et leur déclaration. *L'utilisation de <code>cin</code> et de <code>cout</code>. *Utilisation du <code>if...else...</code>. *Validation de données. Voici le fichier source : <syntaxhighlight lang="cpp"> #include<iostream> using namespace std; int main() { int A,B; cout<<"Tapez la valeur de A : ";cin>>A; cout<<"Tapez la valeur de B : ";cin>>B; if (A<=0) cout<<"A n'est pas valide !"<<endl; else if (B<=0) cout<<"B n'est pas valide !"<<endl; else if (A%B==0) cout<<A<<" est divisible par "<<B<<endl; else cout<<A<<" n'est pas divisible par "<<B<<endl; return 0; } </syntaxhighlight> }} === EXERCICE 7 === Écrire un programme qui demande à l’utilisateur de saisir 3 entiers A, B et C et qui indique si C est compris entre A et B, bornes incluses. {{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu= Cet exercice a pour but de vérifier les points techniques suivants : *La notion de variables et leur déclaration. *L'utilisation de <code>cin</code> et de <code>cout</code>. *Utilisation du <code>if...else...</code>. *Utilisation des opérateurs logiques. Voici le fichier source : <syntaxhighlight lang="cpp"> #include<iostream> using namespace std; int main() { int A,B,C; cout<<"Tapez la valeur de A : ";cin>>A; cout<<"Tapez la valeur de B : ";cin>>B; cout<<"Tapez la valeur de C : ";cin>>C; if( (C>A && C<B)||(C<A && C>B)) cout<<"C est compris entre A et B"<<endl; else cout<<"C n'est pas compris entre A et B"<<endl; return 0; } </syntaxhighlight> }} === EXERCICE 8 === Écrire un programme qui demande à l’utilisateur de saisir 4 entiers A, B, C et D, puis qui indique quelle est l'intersection des intervalles [AB] et [CD]. {{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu= Cet exercice a pour but de vérifier les points techniques suivants : *La notion de variables et leur déclaration. *L'utilisation de <code>cin</code> et de <code>cout</code>. *Utilisation du <code>if...else...</code>. *Utilisation des opérateurs logiques. Voici le fichier source : <syntaxhighlight lang="cpp"> #include<iostream> using namespace std; int main() { double a=2,b=10,c=-2,d=5,minintv,maxintv; cout << "Le premier intervalle [A , B] : "; cout << "Tapez la valeur de A : "; cin >> a; cout << "Tapez la valeur de B : "; cin >> b; cout << "Le deuxième intervalle [C , D] : "; cout << "Tapez la valeur de C : "; cin >> c; cout << "Tapez la valeur de D : "; cin >> d; // Attention ce programme ne fonctionne correctement que si b > a et d > c // Ce défaut peut être corrigé : comment ? if(a > c) minintv = a; else minintv = c; if(b < d) maxintv = b; else maxintv = d; if (minintv > maxintv) cout << "L'intersection est vide." << endl; else if (minintv == maxintv) cout << "L'intersection ne comporte qu'une valeur :" << minintv << endl; else cout << "L'intersection des intervalles [" << a << ";" << b << "]" << " et [" << c << ";" << d << "] est l'intervalle [" << minintv << ";" << maxintv << "]" << endl; return 0; } </syntaxhighlight> }} === EXERCICE 9 === Écrire un programme qui demande à l’utilisateur de saisir un entier A puis qui affiche "ERREUR" si A n'est pas un nombre impair compris entre 83 et 101 bornes incluses. Dans le cas contraire, on affiche "PAS D'ERREUR". {{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu= Cet exercice a pour but de vérifier les points techniques suivants : *La notion de variables et leur déclaration. *L'utilisation de <code>cin</code> et de <code>cout</code>. *Utilisation du <code>if...else...</code>. *Utilisation des opérateurs logiques. *Proposition d'un jeu de tests complet. Voici le fichier source : <syntaxhighlight lang="cpp"> #include<iostream> using namespace std; int main() { int A; cout<<"Tapez la valeur de A : ";cin>>A; if (A%2==0 || A<83 || A>101) cout<<"ERREUR"<<endl; else cout<<"PAS D'ERREUR"<<endl; return 0; } </syntaxhighlight> }} [[Catégorie:Exercices]] ka2b9rmrk6eoilhshithlgb51acb99o 0 8869 769546 683715 2026-07-15T17:25:17Z DavidL 1746 769546 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}</noinclude> Le raisonnement par symétrie est toujours un supplément non négligeable. Il ne s'agira ici que de simples symétries élémentaires. == Symétrie d'échelle (scaling) == Il a déjà été signalé précédemment que toute équation qui pouvait se réduire à une autre, par simple changement des lettres, était dite « identique », en un certain sens : il y avait '''isomorphisme'''. Soit un problème 2 rendu isomorphe avec un problème 1, déjà résolu : alors, une économie de pensée considérable est de ne pas tout refaire : soit on révise le raisonnement qui a permis de résoudre le problème 1, soit on « calque », on « transporte », on « transpose », on « conjugue » le problème 2 par la déclinaison de la même conjugaison : c'est un processus mental acquis, dès l'enfance, sous le nom de « conjugaison grammaticale » : dans les verbes du premier groupe, chanter « se conjugue » comme cuisiner. La symétrie est une opération intellectuelle du même ordre, mais juste un plus élaborée. Soit une équation du mouvement du type d{{exp|2}}x/dt{{exp|2}} = g(x) (équation dite de Newton) avec la primitive de g(x) de forme -k|x|{{exp|n}}. Soit une solution dans le plan de phase correspondant à (Xo,Vo). On a déjà vu le cas n=1, qui était « l'horloge de Torricelli ». On avait vu que pour une énergie E, l'action était en E{{exp|3/2}} et T(E) en E{{exp|1/2}}. Très vite Newton, puis d'autres (cf Whittaker ou Appell) ont compris que ce résultat ne dépendait pas de l'équation différentielle, mais simplement de sa structure dimensionnelle ou scaling. === Aparté historique === Historiquement, le raisonnement par scaling (changement d'échelle) se perd dans la nuit des temps : un champ de blé de longueur et largeur 2 fois plus grande est 4 fois plus grand (il « suffit » de le couper en quatre) et pour les volumes, une pyramide « isomorphe » exigera 2{{exp|3}} fois plus de pierres, un tonneau contiendra 8 fois plus de grains. Néanmoins, la mathématique grecque se refuse ce type de raisonnement en géométrie pour des raisons très profondes, liées à « l'acte de démonstration ». Caveeing, Kahane, Chemla en France sont des grands spécialistes de ces questions historiques. Et par exemple, la démonstration dite « élégante » du théorème de Pythagore (a{{exp|2}} = b{{exp|2}} + c{{exp|2}}) par scaling, faite en physique, n'en est pas une pour un grec. Plus subtile est l'avancée de Galilée (bien qu'il y ait des précédents), dans les « deux nouvelles sciences » : en germe, l'analyse dimensionnelle y est. Newton va abondamment l'utiliser : dès 1666 (et d'autres dont Huygens, avec lui sans doute) il sait que loi en 1/r{{exp|2}} « concorde » avec 3ème loi de Kepler, que des ellipses de grand axe 2a se « transforment » en ellipses homothétiques parcourues dans des temps similaires d'un facteur a{{exp|3/2}}. Mais la loi de Kepler dit beaucoup plus : cela est vrai quelle que soit l'excentricité. Et là, pas de symétrie connue qui ramènerait le problème au précédent. Et pourquoi des ellipses ? Le cas du cercle est connu depuis Huygens et sa « force axifuge » (concrètement, cela veut dire que la courbure de la trajectoire entraîne une composante normale du vecteur dérivée du vecteur tangent T(s), soit dT(s)/ds = N(s). d(alpha)/ds = N(s)/R, avec R rayon de courbure). Passer du cercle à l'ellipse sera la GLOIRE expérimentale-semi-empirique de Kepler et la gloire mathématique de Newton (écrasant Hooke en particulier) et suscitera l'admiration de Halley. On connaît la suite : l'écriture des Principia , un « honneur de l'esprit humain ». === L'analyse dimensionnelle ou scaling === '''Étant donné un système d'équations , si changer les lettres (ET les UNITÉS des lettres) transforme ce système en un système connu, alors on peut (et on ne va pas s'en priver !) « translater », « traduire » les résultats'''. C'est ce que dit Descartes dans son traité de géométrie analytique : l'analyse née de l'algèbre permet de rendre compte de la géométrie ; la symétrie algébrique de ce fait entre en action de même que les droites de symétrie en géométrie. Et depuis 1638, cela n'a plus jamais été pareil : un élan nouveau était donné aux mathématiques, et en particulier, via Galilée 1638 aussi, vers la Philosophie de la Nature, c'est-à-dire la description physique du mouvement : la Mécanique est née historiquement à cette date, même s'il faut encore 50 ans pour que Newton l'écrive dans un marbre très pur (1687). Le scaling ne dit que cela : mais '''aucune confusion possible''' ; CELA N'A RIEN à VOIR avec un système d'unités internationales et RIEN à VOIR avec le S.I. Confondre analyse dimensionnelle et homogénéité-via-le-S.I. est une bévue simpliste qui gâche nombre d'élèves en France qui désirent être bacheliers. Les ravages engendrés par cette bévue pédagogique sont énormes. L'obligation de communication des résultats numériques en S.I. (qui, elle, est une vraie obligation, d'utilité publique, tout comme les normes ISO et autres certifications de traçabilité) N'A RIEN à VOIR avec l'opération de scaling décrite ici. Les écrits de Whittaker ou d'Appell sont sans appel (sic !) : c'est une FAUTE LOGIQUE de raisonnement que de faire intervenir une horloge à césium dans la mécanique rationnelle d'avant 1960, et donc d'après 1960 ! Si nous sommes aussi attachées à écrire ce wikibook, c'est ESSENTIELLEMENT pour dénoncer cette bévue pédagogique, qui a des racines historiques profondément ancrées dans le déchirement des années 1950-60 où les équations aux dimensions étaient enseignées de façon stupidement liées au MKSA et où le débat faisait rage entre partisans du CGS-es, du CGS-em, du Système de Gauss, du Système rationalisé : il fallait bien du courage à CASIMIR pour dominer ce concert de casseroles éculées : si nous retrouvons cet article, il sera publié : il est instructif que 50 ans après, nous n'ayons pas entendu cette mélodie cristalline émerger de la cacophonie ambiante ! Les '''Ordres de Grandeur Littéraux''' n'ont RIEN à VOIR avec le S.I., ni avec quelque système d'unité arbitraire extérieur aux équations de la physique : ils n'ont à voir qu'avec les LETTRES écrites dans les équations pour re-présenter à la Descartes, la Mécanique (ultérieurement l'électricité, etc.). Cela a été magnifiquement écrit en Géométrie par le célèbre Programme d'Erlangen de KLEIN. Il est tristounet de constater qu'aujourd'hui (2006), très peu d'enseignants de mécanique savent utiliser que <math> m \vec{a} = \vec{F}</math> est linéaire en '''F''' , avec m{{exp|-1}} opérateur linéaire scalaire (cf leçon antérieure : géométrie affine et chute libre). Et surtout beaucoup confondent le S.I.-analyse dimensionnelle et l'analyse de scaling : les énoncés du baccalauréat en sont l'amer reflet : « On demande de vérifier que le résultat est correct du point de vue de l'homogénéité... etc. ». === Exercices === ==== Exercice Beeckman-Descartes ==== Où l'on voit la différence entre un physicien (Beeckman) et un mathématicien (Descartes) : Beeckman préoccupé de démontrer, vers 1613, la loi de la chute des corps dans le vide sous la forme v = g.t (mais ne connaissant pas la notion de dérivée) fait appel à Descartes. De manière assez amusante, il lui suggère l'énoncé suivant : Si un mouvement accéléré est tel que v(2t) = 2v(t), trouver v(t) (avec v(0)=0). Descartes lui répond : je peux le faire avec v(2t) = k.v(t) et même vous donner v(x). Sauriez-vous le refaire ? (ref Koyré p110 à physico-mathematica de Descartes & Beeckman) ==== Solution Beeckman-Descartes ==== Il est clair que si Descartes trouve une loi puissance v(t) = A.t{{exp|n}}, on aura v(x) = K x{{exp|1+1/n}}. Si v(2t) = k.v(t), on aura v(t) = A . t{{exp|Ln k/Ln 2}}, ce que demandait B était tout simplement k= 2 donc v(t) = A.t puis v(x) = B sqrt(x). Au fond, en même temps que l'on cherchait du côté f(x+h)-f(x), on cherchait aussi du côté du « ''quantum calculus'' », [f(qx)-f(x)]/[q-1] (voir par exemple Kac & Cheung, 2002, {{ISBN|0-387-95341-8}}. Ce qu'il y a de remarquable dans la demande de Beeckman, c'est la formulation en fonction du temps v(2t)-v(t) = v(t). Dans sa lettre à Sarpi de 1604, Galilée se trompe car il écrit tout comme fonction de x, ce qui conduit à v(x) = kx et donc à l'exponentielle et l'impossibilité de démarrer de la vitesse nulle. Descartes tombera aussi dans ce piège (il faut le dire très usuel à l'époque). Il fallût bien 10 ans pour que ces choses s'éclaircissent. Mais entre temps (1609-1610), Galilée est happé par la lunette et l'astronomie. Il prendra donc un certain retard. === Le théorème du viriel === ébauche Ce théorème est directement lié à la symétrie de ''scaling'' des lois-puissance s" = -k s{{exp|n}} == Symétrie de Corinne == Corinne fît remarquer que si t était changé en i.t = sqrt(-1).t dans 1/2 gt{{exp|2}}, alors il suffisait de changer g en -g pour retomber sur l'équation initiale. D'une manière générale d{{exp|2}}x/dt{{exp|2}} = g(x) ne change pas si on prend g(x) changé en -g(x). Inutile donc de refaire les raisonnements pour -g(x) ! Si par exemple la forme d'une corde est une chaînette sous l'action de son poids, alors la chaînette opposée tient sans culée de voûte. L'architecte catalan Gaudi s'en servira pour construire la Sagreda Familia à Barcelone. Dans le cas de l'attraction de Newton, si la solution est « elliptique », elle deviendra « hyperbolique », si l'attraction est changée en répulsion (expérience de Rutherford,1911). Etc. C'est tout ce qu'a dit Corinne : voilà un ''scaling'' bien inoffensif et qui n'a rien à voir avec les unités, sauf (peut-être ?) à dire que cela transforme un becquerel en un hertz ! == Exercices == === Exercice-chute avec résistance de l'air en v{{exp|2}} === Soit à résoudre la chute sans vitesse initiale z" = g (1-v{{exp|2}}/V{{exp|2}}) ; [v(0)=0 ; z(0)=0] Beeckman (vers 1610) avait déjà compris que la vitesse limite serait V. On pose donc les unités naturelles de ce problème de cinématique : v' = v/V et t' = V/g .t, puis on supprime les prime pour simplifier : dv/dt = 1-v{{exp|2}}. D'où la solution : v = Arg tanh t ; soit en rétablissant les unités : v(t) = V .Arg tanh (gt/V). On peut en déduire z(t) par intégration , mais en général on préfère demander : trouver v(z). En particulier, trouver la vitesse V(H) à la hauteur H. Puis, on demande : lancer la pierre vers le haut avec la vitesse Vo = V(H) : mouvement ? temps de montée ? altitude atteinte ? ==== Solution-chute avec résistance de l'air en v{{exp|2}} ==== En f(z), on obtient : vdv/dz= 1-v{{exp|2}}, soit -Ln(1-v{{exp|2}})= 2z ; soit v{{exp|2}} = 1 - exp(-2z) et avec les unités : v{{exp|2}}/V{{exp|2}} = 1 -exp(-z/h) avec h = V{{exp|2}}/2g. On en tire v{{exp|2}}(H) = V{{exp|2}}.(1-exp-H/h) *Remarque : on peut en déduire une autre manière de réaliser le TP sur la chute, soit en réalisant la régression sur les paramètres V et V/g si l'on a une caméra, soit sur V et V{{exp|2}}/2g si l'on a des photodiodes. Il est évident que cette manière de faire est plus adaptée à un bac+1. 2/. Bien sûr, c'est exactement ce que disait Corinne : z" = g(1+v{{exp|2}}/V{{exp|2}}) et avec les bonnes unités : dv/dt = 1+v{{exp|2}} donc v(t)= V.Argtan (g(t-tau)/V) ; soit t-tau = V/g tan (v/V). On en tire le temps de montée : t =tau = V/g tan V(H)/V = V/g tan (Arg tanh g td/V), soit la solution de Corinne : Arc tan g tm/V = Arg tanh g td/V d'où la réponse immédiate pour V très grand : tm = td (1 +2/3 td{{exp|2}} g{{exp|2}}/V{{exp|2}}). En f(z), on aura vdv/dz = -(1+v{{exp|2}}) ; donc Log(1+v{{exp|2}}) = -2(z-d), soit 1+v{{exp|2}}/V{{exp|2}} = (1+Vo{{exp|2}}/V{{exp|2}}).exp(-z/h) : l'altitude de remontée, L, est donc L/h = Ln (1+Vo{{exp|2}}/V{{exp|2}}). Au final la symétrie de Corinne donne donc : exp-(H/h) + exp+(L/h) = 2, soit en développement limité : L = H - H{{exp|2}}/h === L'ovale de Huygens === Soit un ovale de Huygens, c'est-à-dire, la courbe fermée formée de deux cycloïdes z = (+/-)a (1- cos phi) et x = a(phi- sin phi) ; quelques calculs classiques de Dettonville (1659) montrent que la longueur d'une demi-arche est 4a (soit pour l'ovale entier 16a). Soit une perle pesante glissant le long de cette courbe verticale ; la masse n'intervenant pas (loi de Galilée(1564-1642)) on prendra m=1. La pesanteur est constante, égale à g. On demande de tracer les orbites de phase (cf leçon plan de phase, OQ := (s ; ds/dt)) en fonction de l'énergie E, de trouver l'action S(E) et la période T(E) du mouvement périodique (Huygens(1659)). On comparera avec l'exercice suivant (plus difficile !) : l'ovale est cette fois le cercle de rayon 4R. ==== Réponse : ovale de Huygens ==== ébauche Il est remarquable que ce genre d'exercice se résolve seulement avec le principe de Torricelli : v{{exp|2}} + 2g z(s) = Vo{{exp|2}}. Il y a bien sûr une très forte analogie entre les deux mouvements, l'ovale et le cercle ; et les orbites de phase vont donc se ressembler beaucoup. Le cas circulaire (dit du pendule simple) est évidemment beaucoup plus difficile à résoudre, et on est redevable au génie inventif de Huygens d'avoir pensé aux travaux de géométrie de Roberval et Torricelli, [puis sans doute au concours proposé par Dettonville (1658-1659) ?], pour faire sa théorie du pendule cycloïdal, puis du pendule simple (1659). Repérons rapidement le qualitatif de la description : l'ovale a quatre parties : l'arc AO [avec A(Pi.a ; -2a) et O(0;0)]. L'arc OB symétrique par rapport à x'Ox . Puis BO' et O'A symétriques par rapport à l'axe AB. La symétrie géométrique rend compte du mouvement à droite de AB . '''La symétrie de Corinne''' rend compte du mouvement selon BO', connaissant celui selon AO : un quart de l'ovale est donc à prendre en compte, l'arc AO. ==== Résolution ==== Pour avoir des notations symétriques-de-Corinne, prendre l'énergie potentielle nulle en z=0. Soit v{{exp|2}} +2g z(s) = V{{exp|2}}(O) = V{{exp|2}}(O'). Le premier cas évident est celui de la révolution très rapide d'énergie E très grande (donc V{{exp|2}}(O) très grande) : La particule, sans restriction de généralité est décrite dans son mouvement à partir A, avec une vitesse V(A) = Vo. Elle met un temps T pour décrire cet arc. Elle arrive en O avec la vitesse V(O) = sqrt(Vo{{exp|2}}-2g(2a)) ; puis en B avec la vitesse V(B) = V'o = sqrt (Vo{{exp|2}}-2g(4a)); elle met un temps T' pour décrire l'arc BO'. Elle décrit le circuit complet de longueur 16a en 2(T+T'). Dans le cas de l'ovale, partant de A (avec s=0), quelques calculs très classiques de géométrie donnent : z(s) = -2a +h(s) = -2a + s{{exp|2}}/8a Huygens attendait une telle courbe depuis sa bonne compréhension de l'énoncé du principe de Torricelli ; sa solution fût immédiate (pas mal de ratures quand même si l'on voit le fac-similé !) : {{exemple|Enoncé|Equation de Torricelli(1608-1647)-Huygens(1659)|<math> V^2(s) + \omega^2 \cdot s^2 = cste <=> \frac{d^2s}{dt^2} + \omega^2 \cdot s = 0 et V(s=0) = V_0<=> s = \frac{V_0)}{\omega}\sin \omega t</math>}} On a posé w{{exp|2}} = g/4a. La durée du trajet AO est donc : T = 1/w .arcsin(4aw/V(A)) ; par symétrie-de-Corinne, la durée du trajet BO' est donc : T' = 1/w . argsinh (4aw/V(B)) posons E = V{{exp|2}}(O)/4ga , alors V(A)= sqrt(4ga (E+1)) et donc on obtient pour période de révolution le long de la trajectoire AOBO'A : <math> Periode = \sqrt{4a/g}\cdot [ 2 arccotan \sqrt E + 2 argcotanh \sqrt E] </math> Remarquons que 2 argcotanh x = -Ln(1+x)+ Ln(|1-x|) : il est alors clair que la séparatrice sera pour l'énergie V{{exp|2}}(O) = 4ga , qui permet de parcourir l'arc AOB en un temps infini. ET pour E = 1+eps , la particule tournoie tout le long de la trajectoire en un temps voisin de \sqrt(4a/g)[Pi/2 - Ln(eps)], ET pour E = 1-eps , la particule oscille mais la description temporelle de |V(t)| en module est la même. La période est donc la même ; elle diverge logarithmiquement ! SIMPLEMENT IL CONVIENT DE FAIRE ATTENTION : usuellement, en oscillation, la convention prise en 1882 a été de prendre comme période un ALLER-RETOUR. Pour pouvoir comparer, il faut alors prendre la durée de DEUX tournoiements. Ceci doit être dit explicitement, sinon, dans le cas plus difficile du pendule circulaire qui fera intervenir des fonctions elliptiques de Jacobi, on risque d'être perdu. Enfin, chose remarquable, bien connue, si la particule n'a pas d'énergie pour atteindre le point O en partant de A [V{{exp|2}}(A)< 2.g.2a], alors la période ne dépend pas de V(A) ! Les oscillations sont isochrones. La courbe T(E) depuis le fond du puits jusqu'au tournoiement à la période 16a/Vo peut donc être décrite totalement avec les fonctions élémentaires. On comparera avec profit cette courbe avec la même tracée pour le pendule circulaire. Le tracé des orbites dans le plan de phase sont de même très semblables. 40 ans encore plus tard (1699), cette cycloïde deviendra la brachistochrone, mais c'est encore une autre jolie histoire, entre Bernoulli et Gregory&Newton. ==Un petit bout de théorie de la symétrie== Niveau plus élevé, ébauche : Soit un groupe fini G à n éléments (e sera l'élément neutre). Soit E, ev et f application de G dans e ; et <f(g)> = 1/n somme ( f(g)) sur tous les éléments de G. <f1|f2> = 1/n somme f1(g).f2(g)* Enfin, Eo est l'ensemble des ''rep-lin'' appli de G dans le corps des complexes, telles que : f(e)=1 et f(g1g2) = f(g1)f(g2). Eo est un anneau et un ev hermitien. Montrer que <f(g)> = <f(g.go)> soit T(g) appli de Eo dans Eo telle que T(g)f = f° <math>\tau</math>(g). Trouver Eo quang G est le groupe de classes d'entiers modulo n. Le problème sera plus tard de généraliser cette notion de rep-lin d'un groupe G , et d'arriver à la notion essentielle de rep-lin-irréductible. == Conclusion provisoire == Ces chapitres successifs forment à eux seuls un tout assez cohérent. Ils seront suivis par des exercices de statique, qui, eux, sont historiquement plus anciens : on y notera les contributions d'Archimède, puis des mécaniciens des machines simples du XVIème siècle : les Stevin et autres théoriciens d'une pratique issue des constructions de la Renaissance. Il y sera question du travail virtuel de ces forces. Il restera à écrire L'ARTICLE FONDAMENTAL : ce sont ces mêmes forces de la statique qui vont être prises comme permettant l'échange de quantité de mouvement par unité de temps : {{exemple|Enoncé|Équation de Torricelli(1608-1647)-Newton(1687)|<math> \Delta \vec{P_1} := \vec{F_{2/1}}\cdot \Delta t= - \Delta \vec{P_2}</math>}}. Il ne restera plus qu'à décrire les Principia et les Grandes Œuvres qui ont suivi. Mais l'essentiel aura été dit : '''il n' y a pas de Principe Fondamental de la Dynamique ;''' il y a une conservation de la quantité de mouvement d'un système isolé et « simple description EMPIRIQUE » de la loi de force qui permet d'écrire l'équation différentielle d''''échange d'impulsion''' entre les deux sous-systèmes dont l'union est isolée : on connaîtra ainsi le taux temporel d'échange d'impulsion. C'est ce à quoi se résume la Dynamique. == Retour == *[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]] [[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]] 9x72jpwdp4oi25g8opf7snj48jptay3 0 9581 769544 763192 2026-07-15T17:23:42Z DavidL 1746 769544 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}</noinclude> Il s'agit du mouvement d'un point dans un champ central '''F'''('''OM''') = - GMm. '''OM'''/OM³, dit Newtonien. Kepler en a énoncé les 3 lois principales : *La planète P a pour trajectoire une ellipse dont le soleil O est un foyer. *Le rayon vecteur '''OP''' balaye des surfaces égales dans des temps égaux. *Le carré de la période T du mouvement est comme le cube du grand axe, 2a, de l'ellipse. La démonstration de ces faits revient à Newton (1684). L'article mouvement keplerien de la Wiki a été beaucoup modifié. Nous en rapatrions l'essentiel. == Le mouvement est central == les conséquences immédiates sont : * Le moment cinétique '''L''' est une constante. On pose '''L''' = m.'''C''') * Donc la trajectoire est plane, perpendiculaire en O à L₀ * Dans ce plan , le mouvement tourne autour de O ('''toujours dans le même sens''', choisi comme positif). * La loi des aires de Kepler est satisfaite : dS/dt = C/2 = 1/2 r².d<math>\theta</math>/dt. * Comme C est non nul, thêta est une échelle de temps (non linéaire) mais souvent utilisée(cf Note). * L'hodographe et la trajectoire sont en '''correspondance directe''' : l'un donne l'autre. L'espace des phases sera donc bien R² x R² , mais de manière très simplifiée. Note-annexe : historiquement, Ptolémée a utilisé theta' = MF'O = ~ t (+ O(t^3)), car cela suffisait pour les observations de l'époque : cela s'appelle la théorie de l'équant, elle sera vue en exercice. Note 2 : on a excepté le cas L=0 comme physiquement irréalisable : on doit toujours pouvoir s'y ramener à la limite, et c'est un joli-exercice. == L'hodographe est un cercle ; donc la trajectoire est une ellipse == ==='''l'hodographe est un cercle :'''=== Poser p = C²/GM (on verra que c'est la longueur du semi-latus-rectum (on dit aussi "paramètre" de l'ellipse), et V₀ = C/p (qui est donc une vitesse, par ailleurs pseudo-scalaire). Alors, on trouve : <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> \vec{V} = V_0 \times\vec{n}+ \vec{V_1} </math> |} | | | |}</div> multiplier par vecteur(k).wedge et diviser par Vo ; on obtient : === la trajectoire est l'ellipse : === <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> \vec{e}\cdot \vec{r} = p-r </math> |} | | | |}</div> ===Démonstration :=== prendre comme échelle de temps theta(t) ; le Principe Fondamental de la Dynamique de Translation (PFDT) donne : <div style="text-align: center;"> <math> \frac{d\vec{V}} {d\theta} = - V_0 \cdot \vec{u} </math>.</div> donc, par intégration sur la variable theta avec le vecteur unitaire <math>\vec{n}</math> perpendiculaire à <math>\vec{u}</math> : <div style="text-align: center;"><math>\vec{V} = V_0 \times \vec{n} + \vec{cste}</math>.</div> soit : <div style="text-align: center;"><math> \vec{V} = V_0 \times \vec{n} + \vec{V_1}</math>.</div> Il y a évidemment beaucoup de manière de retrouver le vecteur constant "cste = V1" , en prenant deux valeurs de la vitesse remarquables ; par exemple, la vitesse à l'apogée et au périgée donnent: V(A) = V₀ + V₁ et V(A') = V₀ - V₁ avec V₁ = e×V₀. '''''nota bene''''' :''Et Voilà ! C'est fini'' ! L'hodographe est bien un cercle ( de rayon V₀ = C/p) ! La trajectoire sera donc FERMEE ! On obtient donc cette caractéristique FONDAMENTALE du mouvement dès le début du raisonnement. Cette simple remarque a été faite en 1713, mais est passée relativement inaperçue. Il en est résulté des dizaines de re-découvertes ! Jusqu'en 2000, on peut voir des articles ( cf par exemple Butikov, etc.)signalant cette "trouvaille". On peut s'amuser à exploiter cet hodographe, sans doute comme l'a fait Hooke ( tentative dite des elliptoïdes ; rappelons que Hooke n'avait pas grande culture mathématique, mais il avait compris le principe de l'hodographe, puisque c'est cette méthode de l'hodographe qu'il utilise pour l'ellipse dite de Hooke). ==== '''Vecteur excentricité''', {{MathText|\vec{e}|eo}}, constant ==== <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> \vec{e} = ( \vec{V} \wedge \vec{z})/ V_0-\vec{u} </math> |} | | | |}</div> C'est l'extraordinaire intégrale première de Hermann(1713)- retrouvée par Laplace-Runge-Lenz,etc.! Il en sera question plus tard. La démonstration est immédiate : multiplier l'équation de l'hodographe par r et faire le produit scalaire avec <math>\vec{u}</math>, et la réécrire. Il faut préciser que <math>\vec{z}</math> est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan. On pourrait faire autrement sans ce produit vectoriel mais alors il faudrait ensuite faire le produit scalaire avec la normale et non avec le vecteur rayon, puis multiplier par r. ===='''donc la trajectoire est une ellipse :'''==== Car en multipliant scalairement le vecteur-excentricité <math>\vec{e}</math> par le rayon-vecteur <math>\vec{r}=r\vec{u}</math>, on obtient pour le produit vectoriel : <math>(\vec{V}\wedge\vec{z}).\vec{r}=rV\sin\alpha=r^2w=C</math>, d'où : <math>e \cdot r cos\theta = C/V_0-r=p-r</math> , soit : <div style="text-align: center;"> {| border="0" |----- | {| border="1" cellpadding="10" style="border-collapse:collapse" |----- | <math> r = \frac{p}{1 + e \cos \theta} </math> |} | | | |}</div> Ce qui est l'équation polaire d'une ellipse d'excentricité e , et de paramètre p , avec le vecteur-excentricité sur l'axe des apsides et la convention '''origine des angles au périgée'''. La valeur de p ( demi-latus rectum := b^2/a := a(1-e^2)) est : <div style="text-align: center;"> {| border="0" |----- | {| border="1" cellpadding="10" style="border-collapse:collapse" |----- | <math> p = \frac{C^2}{(GM)}</math> |} | | | |}</div> Évidemment, on peut prendre l'autre convention, '''origine des angles à l'apogée''' ; soit <math> r = \frac{p}{1 - e \cos \theta}</math>, ==='''La conservation de l'énergie''' === si l'on introduit l'énergie potentielle -GMm/r , elle conduit à : 1/2 V² - (GM)/r = Eo/m = cste , d'où <div style="text-align: center;">'''Eo négative == - GMm/2a.'''</div> '''Exercice''' : montrer que 2a est le grand-axe de l'ellipse. Donc dans le plan de la trajectoire, les deux quantités physiques '''Lo''' et Eo déterminent la forme de l'ellipse. Bien sûr '''OMo''' et '''Vo''' aussi. ==='''moyens mnémotechniques''' par @d === il importe, dans les exercices, de ne pas toujours tout redémontrer, et de savoir retenir les formules encadrées : la méthode d'A.D., dite des d@hus, sert en ce genre de situation : les seuls paramètres sont cinématiques : GM (constante de Gauss) , Eo/m (énergie massique), et Co (constante des aires). Donc, un de trop ! '''MAIS''' il suffit de retenir *p = @d[GM, Co] ( et pas de Eo) ; et de retrouver la constante par le cas particulier du cercle (donc constante = 1) *2a= @d[GM, Eo/m] ( et pas de Co) ; et de retrouver la constante par le cas particulier du cercle (donc constante = -1) === remarque de Hooke-Hamilton === Signalons à titre de curiosité ce raisonnement de Hooke, qui a peut-être des résurgences dans la pensée de Allais (Nobel économie quand même !) : Si l'on considère que le mouvement est plan central, de centre O , pourquoi ne pas dire que la force est centrale et proportionnelle à l'angle balayé par unité de temps, soit <math>\dot{\theta}</math> , alors on retrouve tous les résultats antérieurs. Il est fort possible que ce soit par cette méthode que Hooke ait essayé de retrouver "la fameuse loi en 1/r²" , en appliquant sa méthode du second ordre : se donner la position initiale, puis la position voisine. Alors appliquer la loi et trouver la position ultérieure. Itérer. Il trouva par cette méthode des "elliptoides", ce que méprisa Newton. Plus fin, mais quel mérite en 1820? , Hamilton tirera de cette loi le fait que l'hodographe est un cercle, et tout le reste s'ensuit comme on l'a vu. Ainsi les lois de Newton seraient simplement liées à un <math>\dot{\theta}</math>. Cette méthode serait plus "économique". Par contre, elle induirait peut-être un malaise, si on l'interprète à la manière Allais, car alors l'interposition de la Lune entre Soleil et Terre pourrait modifier l'angle sous lequel le Soleil serait vu de la Terre, et ainsi modifier "G" : une telle manière de faire serait alors en contradiction avec l'astronomie des trois corps. Il faudrait aussi retrouver la gravimétrie et les "théorèmes remarquables de newton-gauss". Dans cette problématique, on serait alors entraînés fort loin...Cela est bien curieux et ne vaut que pour l'anecdote : il est sain d'avoir toujours des visions différentes ( mais si elles débouchent...sur quelque chose de tangible). == Mouvement sur la trajectoire == * La loi des aires donne S/T = Pi.a.b/T = Co/2 , ce qui donne : {{exemple||loi de Kepler(1628)|<math>\omega^2 \cdot a^3 = (GM) </math>}} * Partant du périhélie, et en introduisant l'angle dit [[anomalie excentrique]] E(t)(cf dessin), géométriquement : <math>tan \theta/2 = tan E/2 \cdot \sqrt \frac{1+e}{1-e}</math> <math> r = a (1- e \cdot \cos E)</math>; On calcule géométriquement l'aire balayée depuis le passage au péricentre : par affinité , S(t) = (b/a)[a²E/2 -ac. sinE /2] = ba(E-e.sinE)/2 Il s'ensuit : {{exemple||Équation du temps de Kepler|<math>\omega t = E - e \cdot \sin E </math>}} La fonction réciproque donne E(t), et de là '''OM'''(t). ---- ===Fin du Cours=== Il est évident que l'on a cherché ici la compaction maximum du cours.Des dizaines d'ouvrages reprennent ce problème. Pour nous, 2 ressortent du lot : Chandrasekhar si on aime la géométrie . Tisserand ou Winter si on veut plus exhaustif.Quelques exercices classiques suivent, pour "se faire la main". ---- ==Exercices == Il y a des dizaines d'exercices sur ce sujet, évidemment très important; soit de satellites artificiels, soit d'astronomie. Nous "essaierons" de les classer. === satellites de la Terre === '''exMersenne-Descartes-Laplace :''' Mersenne posa à Descartes la question suivante : si on tire un boulet verticalement, est-il possible que le boulet ne redescende pas? Soit h = Vo²/2g . Montrer que l'altitude H atteinte est : 1/H = 1/h-1/R . que se passe-t-il pour h > R . Que penser du cas Vo<c et c²< 2gR (Laplace vers 1800). ---- '''Système d'unités :''' pour la Terre , nous éviterons GM remplacé par gR² avec profit. Du fait de La loi de Galilée, la masse du satellite m n'intervient jamais. On se retrouve donc avec un système d'unités adapté ( un d@hu) tronqué à la cinématique. *R étant l'unité de longueur, on prendra 2π.R = 40 000 km. *On conviendra de prendre g = 9,80 m/s². *La pulsation unitaire sera donc <math>w = \sqrt{\frac{g}{R}}</math>, dite pulsation de Schuler. Il lui correspond une '''période''' <math>T(R)= 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}</math>, dite période basse altitude (84,4 min). *La vitesse unitaire est <math>Vo = wR = \sqrt{gR}</math>= 1re vitesse cosmique = 8.2 km/s (vitesse d'un satellite basse altitude). *L'énergie massique du satellite est donc -1/2 .gR *Le pivotement sidéral de la Terre est 24h * (365.25/366.25) = 86164 s =17.0 To.En un jour les astronautes voient donc environ 18 fois le Soleil se lever. En pratique, les satellites d'observation , type Spot orbitent à ~ 800 km d'altitude. Reprendre le système d'unités de ces satellites. ---- '''Légère erreur de trajectoire :''' Au lieu de la bonne vitesse Vo de Spot, on donne une vitesse de bonne direction (i.e perpendiculaire au rayon) mais trop forte : V1 = Vo(1+eps). Trouver la trajectoire et la période. - - - - - '''Fenêtre de tir :''' m ex que le précédent mais la bonne vitesse Vo est mal orientée dans le plan d'un angle A , petit. Trouver le périgée. - - - - - '''Erreur radiale :''' m ex que le précédent, mais il y a en sus de Vo , une erreur de vitesse radiale Vo.eps. ---- '''Lâcher-Chute libre :''' On n' a pas attendu Newton (le 24 Nov 1679) pour réfléchir à la déviation vers l'Est (ou l'ouest!) d'une pierre lâchée de l'équateur; c'était la dispute favorite des Coperniciens et anti-Coperniciens. La vitesse due au pivotement est à l'équateur de 40 000 km/86164 s soit 464 m/s . Selon les anti-Coperniciens, une chute de 5m (environ 1s) eût placé le mobile vers l'Ouest de 464 m ! Galilée (mais il avait tort) disait que le corps tomberait toujours à la verticale. Koyré catalogue les différents types de solutions (chute des graves et mouvement de la Terre): l'imagination au pouvoir ! mais c'est Newton qui donna la solution. Soit h << R , retrouver le résultat de Newton. Si h est assez grand, la déviation vers l'est sera si grande que la pierre sera satellite. Si h = altitude géostationnaire = H , la pierre ne tombe plus ! Si h est encore plus grand , la pierre est à son périgée : elle remonte, périodiquement. Si h > (R+H) .2^(1/3) - R , qu'arrive-t-il ? ---- '''Balistique :''' voir la WP ( [[ellipse de sûreté]] ) revoir la leçon sur la chute libre avec violence (avec vitesse initiale dit-on aujourd'hui). Dès que l'on veut une certaine précision (théorique) , il faut tenir compte de ce que la Terre est sphérique et donc prendre comme trajectoire de l'obus une ellipse lancé d'une base B avec une vitesse Vo faisant l'angle A avec la verticale. Soit u = Vo/sqrt(gR). 1/. Relation u et A pour que l'obus tombe à l'antipode. 2/. Déterminer la portée 2R.Beta , via tan B = f(u, tan A). 3/. Pour B donné, combien y a-t-il de trajectoires possibles ? et quelle est la portée maximale. (Indication : soit H le point d'altitude maximale (pour A=0 !). La trajectoire a pour deuxième foyer un point situé sur le cercle [centre B ; rayon BH]). ---- === Corrigé des exercices === '''Mersenne-Descartes :''' Appliquer le théorème de l’Énergie cinétique : -gR²/r +1/2 V² = constante , ce qui conduit au résultat. Descartes évidemment ne savait rien de tout cela ; mais il se doutait "intuitivement" que si g(z) décroissait alors il y aurait possiblement une "vitesse de libération". De même , Laplace , très heuristiquement , remarqua que si aucun corps ne pouvait dépasser la vitesse-limite c , alors si c² < 2gR , l'astre serait un trou noir ! Enfin, l'expérience a été tentée ( plus pour tester la relativité galiléenne et/ou la déviation vers l'Est(cf exo plus loin)): bien sûr on n'a jamais retrouvé le boulet! ) ---- '''Système d'unités Spot :''' Ro = 40 000/2Pi +800 = 7166 km. To via Kepler est : 84.4 (7166/6366)^3/2 = 100 min. Tout le reste s'en déduit (attention , c'est la pulsation qui a été choisie unitaire). ---- '''Légère erreur de trajectoire :''' Si eps = sqrt(2) -1 , la trajectoire est parabolique et le satellite part à l'infini. Sinon , Mo est le périgée: a-c = Ro. D'autre part, E1/m = 1/2 V1² - gR²/Ro ; donc on obtient le grand axe , puis l'apogée en A1 : OA1 = Ro.(V1²/2Vo²-V1²) (On retrouve le cas V1 = Vo.sqrt(2)). Si eps est petit : l'énergie massique a peu varié : dE/m = mVo².eps . Puis dE/Eo = - da/Ro = -2/3 . dT/To . Donc OA1 = 4Ro.eps et l'excentricité est e = 2eps ; enfin dT = To.3eps - - - - - '''Fenêtre de tir :''' Cette fois, l’Énergie massique n'a pas changé, donc le grand axe vaut 2Ro . Comme OMo = Ro , c'est l'extrémité du petit axe. donc k/\OMo donne la direction du grand axe. La projection de Mo sur celui-ci donne le centre de l'ellipse : l'excentricité vaut donc e = sin A ; d'où le périgée OP1 = Ro(1-sinA) : on ne peut se tromper que de 100 km :cela donne une fenêtre sin A = 100/7166 rad = 0.8°. Assez large , car les pointeurs donnent la seconde d'arc. - - - - - '''Erreur radiale :''' Si eps = 1 , la trajectoire est parabolique ! Cette fois, le moment cinétique Lo est le bon ; donc le paramètre p est le bon . Donc OMo est perpendiculaire au grand axe , dont la direction est connue. Il est facile de calculer le vecteur excentricité qui donne en module eps. On en déduit a = Ro/(1-eps²) (on retrouve eps = 1 comme limite). ---- '''Lâcher-Chute libre :''' le Cours donne D = déviation vers l'Est de 2/3.wt.h . Démontrons-le , façon Newton : la trajectoire est une ellipse , mais où r varie sensiblement comme R+h-1/2gt². La conservation du moment cinétique donne : d<math>\theta</math>/dt = [(R+h)/R+h-z)]² .w = w (1+ 2z/R), soit une déviation w.R. int(2z/R) = 1/3 w.gt².t = 2/3 wt.h Si h= H , c'est l'exercice classique du géostationnaire : R+H = R .17^(2/3) = 6.6 R = 42 000 km Si h < H , il existe des trajectoires elliptiques dont Mo est l'apogée : la plus petite aura pour périgée OP = R , donc un grand axe 2a = 2R+H , d'où l'énergie massique . En posant r = Rx , on trouve x^4 + x^3 = 1/2 (289) , soit x = 4.67 et donc h = 3.67 R. Si h > H , la pierre remonte ! résultat curieux qui aurait sans doute amusé Mersenne, et elle part à l'Ouest (si l'on ose dire). enfin si h > H. 2^(1/3)= 8.36 R, alors E > 0 , donc trajectoire hyperbolique (limite : parabolique). ---- '''Balistique :''' V= 8.2km/s := sqrt(gR) a signé le début de la Guerre Froide. mais déjà les canons longue portée obligeaient à prendre une trajectoire elliptique et non parabolique : 111.111 km c'est déjà 1° à l'équateur! 1/. Si l'obus arrive à l'antipode B' , OB = OB' = paramètre p = Lo²/m²gR² = R soit u.sinA = 1 . (évidemment trajectoire avec A< 45° : il faut une apogée!) 2/. La portée s'évalue en calculant la direction du vecteur-excentricité 1 + i.Lo.Vo.exp(iA)/mgR² = [1-u²sin²A] +i[u²sinAcosA]=> tanB = 1/2 u².sin2A / (1-u²sin²A). Pertinence : on retrouve Torricelli pour u <<1 ; et le §1. 3/. Pour B donné , équation en tan A : tan²A (1-u²) - tan A (u²/tanB) + 1 = 0 d'où deux angles B1 et B2 tels que tan(B1+B2) = (tanB1+tanB2)/(1-tanB1.tanB2) = S/(1-P) = -1/tanB, donc A1+A2 = Pi/2+ B : il existe une trajectoire tendue et une plongeante. Portée maximale : tan B = u²/2(1-u²) [pertinent avec u=1 ] '''Géométriquement''', tout ceci est relatif à la courbe de sûreté qui est l'ellipse de foyers T et B et d'apogée BH (rappel 1/H = 1/h -1/R , exercice sur l’énergie potentielle). En effet , toutes les trajectoires Tr(A) ont m énergie , donc m grand axe , soit TH+HB . Le lieu du deuxième foyer est donc le cercle [centre B, rayon BH]: pour une portée donnée (donc angle B donné , il y a deux solutions : à l'intersection de la droite d'apogée avec ce cercle ; soient F1 et F2 : alors la vitesse initiale étant bissectrice de TBF , les deux vitesses sont telles que A1+A2 = Pi/2+ B. La racine double est lorsque sinB = H/R ( = u²/(2-u²)). L'ellipse de sûreté est donc telle que MT+MB = HO+HB, et dans ce cas, BM est corde focale [les raisonnements sont calqués sur ceux de Torricelli]. ---- === Exercices d'astronomie === ==== Étoiles doubles ==== Montrer que dans le cas d'une étoile double, la troisième loi de Kepler s'écrit assez naturellement : w² . a³ = G (m1+m2) Que penser des planètes du soleil ? '''Réponse :''' Le problème à deux corps donne la réponse : (masse-réduite).w² a = G.m1.m2/a². Ainsi , on obtient une formule symétrique en m1 et m2 , ce qui est pertinent. Dans le cas des planètes du Soleil , la plus grosse, Jupiter, n'apporte qu'une petite correction m2<< M(Soleil) , ce qui justifie la loi de Kepler. Pour les calculs précis, on fait les corrections, étant entendu que le barycentre du système solaire est quasiment en mouvement uniforme (pour plus de corrections, par exemple pour la ceinture de Kuiper ou le nuage de Oort, il faut envisager la "marée galactique"). ==== Conjonction Mars -Terre ==== La distance T-Soleil = 1UA ,période 1an, excentricité e(T); mars-Soleil = d UA,période k ans, excentricité e(M). Montrer que '''TM''': = '''OD''' ne peut varier que dans une couronne >d1 et <d2. Le point D est-il dense dans la couronne? Si k était rationnel := p/q quel serait le mouvement de D. '''Réponse :''' Consulter exercices de l'IMCCE. ==== équant de Ptolémée ==== Soit une planète, disons Mars, de trajectoire elliptique d'excentricité e ( = 0.093). On prend comme échelle de temps l'angle polaire compté à partir du deuxième Foyer F', où "il n'y a rien!". Est-ce mieux ou moins bien que de compter theta(t) comme temps "uniforme" ? '''Réponse :''' Historiquement, cet exercice a beaucoup d'importance : on ne distingue pas un cercle d'une ellipse dès que e<0.1. Donc Ptolémée croyait que la trajectoire était circulaire. MAIS il avait bien vu que theta(t) n'était pas uniforme ; par contre theta ' (t) l'était à la précision des mesures de l'époque. C'est ce que l'on demande de prouver. ---- == Rapatriement provisoire de la WP:historique de démonstrations == Ici est placé tout le travail de recherche historique qui n'intéresse pas forcément tout le monde : il y eût moult "démonstrations" du cours précédent. === Newton (1684) === *1/. '''la première''', celle de Newton en novembre 1684, est géométrique, le temps étant évalué par l'aire balayée (2ème loi de Kepler) : l'analyse en est faite dans l'[[Exégèse des Principia]]. === Hermann (1710) === *2/. '''la plus simple''' (1710 & 1713) est celle de [[Jakob Hermann]] (1678-1733), élève de [[Jacques Bernoulli]] (1654-1705) : il écrit à [[Jean Bernoulli]] (1667-1748) : on remarque que l'hodographe est un cercle (notion de vecteur excentricité) : en calculant le produit scalaire '''e.r''', on trouve l'ellipse et son péricentre. L'analyse est faite dans [[Invariant de Runge Lenz]]. Laplace la reprendra dans son traité de « Mécanique Céleste ». Que cela est vite dit dans notre langage moderne ! En réalité, la démonstration géométrique est la remarque classique sur le rôle des podaires dans le cas de champs centraux. Danjon remarque (avec Hamilton) que l'anti-podaire de l'inverse d'un cercle est une conique : cela était enseigné encore au baccalauréat des années 60 (Cf. LEBOSSÉ & EMERY, cours de mathématiques élémentaires). Quant à Hermann, c'est un tour de force : Il possède trois intégrales premières en coordonnées cartésiennes tirées de <math>\ddot{x} = -gR^2\cdot x \cdot r^{-3}</math> et idem en y. * <math>C := x\dot{y} -y\dot{x}</math> * <math>E_x := \frac{x}{r} - \frac{C}{gR^2}\cdot \dot{y}</math> * <math>E_y := \frac{y}{r} - \frac{C}{gR^2}\cdot \dot{x}</math> Éliminer la vitesse : on trouve <math> x \cdot E_x +y\cdot E_y = r- p </math> : c'est une ellipse (Cf.discussion [[conique]], Kepler). Mais comment a-t-il trouvé les deux intégrales premières du vecteur excentricité ? par un raisonnement analytico-géométrique horriblement compliqué ! On sait aujourd'hui le faire par la théorie de la représentation linéaire des groupes (Moser et SO(4) :1968) === Transmutation de la force par Newton === *3/. '''la plus surprenante''' est celle de la [[Transmutation de la force]] (Newton, retrouvé par Goursat (1889)): ce théorème est EXTRAORDINAIRE et apprécié des ''afficionados'' des ''Principia''. === Keill (1708) === * 4/. '''la classique''' : Newton-Keill (en 1708) - Bernoulli (1719) "Classique", elle est bien "chencitournée". Le problème est plan, si la force est centrale. Le plan de phase est donc (<math> x,y,\dot{x} , \dot{y}</math>). Les deux équations du PFD (principe fondamental de la dynamique) sont : <math>\ddot{x} = - \Omega^2 \cdot x</math> et la même en y.[Évidemment <math>\Omega </math> dépend de r!]. Cette notation est évidemment très réminiscente de celle de Hooke. Mais elle n'a rien à voir, sinon que la symétrie est centrale. Choisir trois fonctions invariantes par rotation : *<math>I := 1 \cdot (x^2+ y^2) = r^2</math>, strictement positif, *<math>J := 1 \cdot (x\dot{x} + y\dot{y})</math>, de sorte que <math> \dot I = 2J (= 2r\dot{r})</math>, *<math> \ K := {v^2}/{2}</math>, énergie cinétique. Remarquer cette particularité : r² est choisie comme variable, et non r. Et comme J est non-nulle, I va jouer '''le rôle d'une échelle de temps''' au moins sur une demi-période, du périgée à l'apogée. Démontrer que le problème se réduit au système différentiel (S) : *<math>\dot{I} = 2J</math> *<math>2\dot{J} = K -I \Omega^2(I)/2</math> (th du viriel !) *<math>\dot{K} = - J \Omega^2(I)</math> (loi de Newton!) - - - Keill utilise alors '''l'échelle de temps I''' ; le système se réduit à : *<math> 4\frac{d(J^2)}{dI} = 2K - I \Omega^2</math> *<math>\frac {dK}{dI} = - \Omega^2/2</math> En éliminant Omega² (et quelle que soit sa valeur ! donc c'est vrai pour toute force centrale!) <math> K = \frac{J^2}{2I} + \frac{C_o^2}{2I}</math>. C'est un vrai ''tour de force'' : au début du XVIII{{ème}} , on vient de réécrire : <math>2KI = v^2\cdot r^2 = [\vec r \cdot \vec v]^2 + [\vec r \wedge \vec v]^2 = [\vec r \cdot \vec v]^2 +C_o^2</math> Emmy Noether connaissait-elle cette démonstration due à l'invariance par rotation ? - - - Puis, l'invariance temporelle donne la conservation de l'énergie : <math>1.\cdot H = K + V(I)</math>, où V(I) est l'énergie potentielle relative à la force centrale (= <math>-\frac{1}{2}\int \Omega^2 dI)</math> - - - Ces deux ensembles de surfaces feuillettent l'espace (I,J,K) et leur intersection donne l'orbite du mouvement dans cet espace. Éliminer K conduit à travailler dans le demi-plan (<math>I, 2J = \dot{I}</math>), c'est à dire dans un plan de phase presque usuel (on joue avec r² plutôt qu'avec r) : <math> H = \frac{J^2}{2I} + \frac{C_o^2}{2I} + V(I)</math>, ce qui est '''l'équation de Leibniz(1689)''', mais en notation I = r². (Remarquer que tout résulte de cette circonstance (non évidente du temps où les vecteurs n'existaient pas) : <math>x \dot{x} + y \dot{y} = r \dot{r}</math>) et pour finir, comme d'habitude, dt = dI/2J donne le mouvement sur cette orbite de phase et la primitive de 2J(I) donne l'action S(I) du problème. Évidemment, actuellement, nous repasserions immédiatement en coordonnées (r et r'). Il n'empêche que voilà décrite la solution incroyable de Keill qui témoigne d'une virtuosité tombée dans l'oubli de l'Histoire. *'''Note d'histoire''': cette équation ayant été écrite par Lagrange sous cette forme, le H ne saurait signifier « valeur de l'Hamiltonien » ! Peut-être faut-il y voir un hommage à Huygens (?), premier à utiliser la généralisation du théorème de l'énergie cinétique de Torricelli ? peut-être est-ce une simple notation fortuite... La suite est très classique et correspond à différents paramétrages dans le cas de Kepler : L'équation de Leibniz se réécrit dans ce cas : <math> H \cdot 8r^2 -4C_o^2 + 8(GM) \cdot r = 4J^2 </math> qui est une conique en J et r, ellipse si H est négatif de grand axe <math>2a = - \frac{(GM)}{H}</math> : Il est usuel alors de paramétrer via l'{{g|anomalie excentrique}} : <math>r = a \cdot(1- e \cos{\phi})</math>, et « miraculeusement » : <math>\omega \cdot dt = \frac{r}{a} \cdot d\phi</math> , qui s'intègre en donnant la fameuse équation de Kepler. En contrepartie l'équation en theta est légèrement plus compliquée à intégrer (primitive de <math>\frac{1}{r}</math>) d'où : <math>tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot tan \frac{\phi}{2}</math>. Note de détail: certains préfèrent la notation i = I/2 , et/ou j = J/2. === Clairaut (1741) === *5/. '''la méthode de Clairaut''' (1741), reprise par Binet consiste à écrire l'équation de Leibniz à l'aide de u := 1/r : <math> \dot{r}^2 = 2H + 2gR^2 \cdot u - C^2 \cdot u^2</math> et cette fois le paramétrage adéquat est : <math>u := 1+e\cdot \cos \alpha</math> et <math> \dot{r}: = e\cdot \sin \alpha</math> ce qui conduit au « miraculeux » <math>d \theta = d\alpha</math> ! la trajectoire est donc une ellipse. Mais la deuxième intégration conduit à <math>dt = k d\alpha \cdot 1/u^2</math> plus difficile à intégrer (mais tout à fait faisable !) === Lagrange (1778) === *6/. '''la méthode de Lagrange''' est originale (1778) et n'utilise que la linéarité de F = m.a ! Partant de l'équation radiale de Leibniz(1689) : <math>\ddot{r} = C^2 u^3 - e^2u^2</math> il pose comme nouvelle variable z = C²-r et trouve : <math>\ddot{z} = -(GM) \cdot z \cdot u^3 </math>, '''identique''' aux deux équations de départ en x & y !! donc il obtient : z (:= C²-r) & x & y linéairement liés, ce qui est la définition d'une ellipse (Cf. [[conique]], discussion). CQFD === Laplace (1798) === *7/. ''' Laplace''', sans citer Lagrange, calcule, en force brutale, sans aucune intégrale première, l'équation en I = x² + y² du troisième ordre issue du système de Keill : d'où il tire <math>\frac{d^3I}{dt^3} = - \frac{\dot I}{I^{3/2}}</math> (comme quoi , le jerk ne date pas d'hier!) Laplace en tire cette fois '''quatre''' équations '''linéaires''' identiques : d/dt(r^3.Z") = - Z', avec Z = r, x, y, constante. D'où r = a x + by + c.constante : c'est une conique ! Il reste à trouver une interprétation physique à ce calcul! === Hamilton (1846) et autres === *8/. Soit une ellipse ; le foyer F et sa polaire, la directrice (D). Soit P le point courant de l'ellipse et PH sa projection sur la polaire. Le [[théorème de Newton-Hamilton]] donne immédiatement la force centrale F ~ r/PH^3 soit ~ 1/r².e³. *9/. Hamilton démontre aussi que pour toute mouvement sur une ellipse de paramètre Po, on obtient |'''a/\v'''|.Po = C^3/r^3. Donc si le mouvement est central de foyer F, |a/\v| = a.C/r d'où a ~ 1/r². *10/. Hamilton est aussi le promoteur du renouveau de la méthode de l'hodographe circulaire que Feynman reprendra à son compte dans ses « lectures on Physics » *11/ Hamilton va inspirer le [[Théorème de Siacci]] et puis Minkovski qui donnera beaucoup de propriétés des ovales : ceci donne encore une autre démonstration. === Goursat et régularisation dite de Levi-Civita === *12/. Goursat (1889), Bohlin(1911), AKN {Arnold & Kozlov, Neishtadt} reprennent la méthode z-> sqrt(z) = U (complexe) et le changement d'échelle de temps (dit de Levi-Civita ou de Sundman) dt/dT = 4 |z| : quelques lignes de calcul donnent via le théorème de l'énergie cinétique : |dU/dT|² = 8 GM + 8 E |U|² ; soit par dérivation <math> {d^2U \over dT^2} +(-8E)\cdot U = 0</math>, avec E négatif. Donc U décrit '''une ellipse de Hooke''' et z =sqrt(U) l'ellipse de Kepler. On aura reconnu en T(t), l'anomalie excentrique. Ce n'est donc qu'une des méthodes précédentes : mais cette méthode a des prolongements plus importants (Cf. [[théorème de Bertrand]]). Voir aussi plus bas. ===régularisation=== cette transformation du problème de Kepler en problème de Hooke est assez stupéfiante. Saari(p141) s'y attarde un peu plus qu'Arnold (Barrow,H,H,Newton) ; peut-être est-ce justifié ; voici : Le problème de régularisation se pose s'il y a collision , c'est à dire , C très voisin de zéro. Saari dit : la collision entraîne un changement brutal de 2Pi . Afin de garder la particule sur la droite sans singularité , il "suffit de penser" à garder l'arc -moitié ; soit de changer de jauge (de fonction inconnue): <math>\ U = \sqrt z</math> et de variable (transmutation d'échelle de temps) dT = dt/r(t)(ATTENTION au facteur 4!) La conservation de l'énergie s'écrit 2|U'|²-1 = Eo.r et l'équation du mouvement : <math>\ddot z = -z/r^3</math> devient : <math>r \frac{d^2z}{dT^2} - \frac{dr}{dT}\cdot \frac{dz}{dT} +z = 0</math> , équation LINÉAIRE sans le r^3 ! Elle conduit à : U" -U/r [2|U'|²-1] =0 soit <math>\frac{d^2U}{dT^2}+ (-Eo/2)\cdot U = 0</math> (équation de Hooke). Le gros avantage de cette solution est qu'elle est stable-numérique : les solutions restent sur la même iso-énergie. ===Kustaanheimo(1924-1997) et Stiefel(1909-1978)=== en 1964, ils utilisèrent les quaternions pour transformer le problème de Kepler dans R^3 en celui de Hooke dans R^3, via R^4! (congrès d'Oberwolfach): ils leur a suffi de prendre la quatrième coordonnées x4 = cste : alors le quaternion U se déplaçait sur la sphère; ceci mit en exergue la symétrie SO(4) et mieux SO(4,2) qui correspondait à la version spinorielle du problème de Kepler (liée à la solution en coordonnées paraboliques) et mettait en avant le vecteur excentricité. Immédiatement, le traitement des perturbations fût amélioré (Stiefel et Scheifel,1971), mais aussi la quantification (methode dite de Pauli (SO(4)), et surtout la quantification lagrangienne SO(4,2),avec ses orbitales "paraboliques" de Kleinert (1967-1998)(cf Kleinert 2006). *Saari donne des '''raisons topologiques à l'obstruction du passage de R^2 à R^3''' et la nécessité de passer à R^4 (les quaternions): la relation U^2 = z , ne pouvait se régulariser sur la sphère à cause du célèbre théorème du hérisson de Brouwer-Poincaré. Mais si on ne peut "peigner" S2 , on peut peigner S3 (et même S7:octonions), ce qui avec les trois vecteurs tangents donne la fameuse matrice 4-4 de la transformation K-S : rappelons que le maître de Stiefel était Hopf lui-même qui dressa la carte de S3 vers S2 : il n'y a pas de hasard, posséder une bonne formation, cela sert! (cf Oliver(2004)). ---- Voilà donc 12 démonstrations assez mal connues. En existe-t’il d'autres, de cette époque ? Bien sûr, ont été exclues ici toutes les méthodes de mécanique lagrangienne et hamiltonienne, en particulier celle de [[Max Born]] (cf plus bas). == Équation du temps, de Kepler : résolution == Dans le [[mouvement keplerien]], l''''[[équation du temps, de Kepler]]''' relie l'[[anomalie moyenne]] M = nt à l'[[anomalie excentrique]] E par l'équation <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> M = E - e \cdot \sin E</math> |} | | | |}</div> où e est l'[[excentricité orbitale|excentricité]] de la planète. '''Résoudre cette équation, c'est trouver E(e,M) :''' * comme série de Fourier puisque c'est une fonction périodique impaire de M * comme série de puissance de e, si e < eo := 0.6627..., rayon de convergence de la série. * comme une valeur numérique avec un nombre de chiffres (d), pour un temps de calcul tc(d) optimisé. === Série de Fourier === C'est [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] qui trouve l'expression, bien que le nom J_n(x) soit associé au nom de [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]]. * E-M = fonction impaire périodique de M : <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> E-M = e\cdot sinE = 2 \cdot \Sigma_{n=1} \frac{J_n(ne)}{n} \sin(nM)</math> |} | | | |}</div> '''Démonstration :''' On rappelle la définition de Jn(z) : <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> J_n(z) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} \cos(nx-zsinx)dx</math> |} | | | |}</div> et le développement classique de 1/[1-e.cosE] -1 , fonction paire périodique de moyenne nulle vaut: <math>\Sigma a_n \cdot cos (nM)</math> avec <math> \ a_n = 2 J_n(ne)</math> car <math>\pi a_n = \int_0^{2\pi} cos (nM)/(1-e cos E)\cdot dM = \int_0^{2\pi} cos(n[x-esinx]) dx </math> *On reconnaît (a/r)-1 = 2<math> \Sigma_{n=1}J_n(ne)\cdot \cos (nM)</math> === Série entière de l'excentricité === C'est encore Lagrange qui trouve la solution en inventant pour l'occasion son théorème d'inversion des fonctions holomorphes ; et [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]] donnera le rayon de convergence : mais [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], pas content du tout, fonde la théorie des séries analytiques pour résoudre ce problème épineux, qui verra son aboutissement avec les travaux de [[Victor Puiseux|Puiseux]]. <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> E-M = \Sigma_{n=1} {e^n \over n!}\cdot a_n(M)</math> |} | | | |}</div> avec <math>\ a_n(M) = D^{n-1} (\sin^n M)</math> et D := opérateur dérivée. C'est l'application du théorème d'inversion de Lagrange. *Le rayon de convergence de la série est : eo = 0.6627434193 {{Boîte déroulante|titre= note historique |contenu= indiqué par Laplace ([[1823]]) et démontré par Cauchy et Puiseux : eo = '''max (x/chx)''' ; soit eo = 1/sh(xo) avec 1/xo = th(xo);démonstration in Wintner, sur l'analyticité de la série.}} ==== Cas des comètes : {{MathText|e > \ e_o|e &gt; eo}} ==== Le premier à se confronter au problème est [[Jeremiah Horrocks|Horrocks]], puis surtout [[Edmond Halley|Halley]] ([[1705]]), pour les calculs sur sa comète d'excentricité e = 0,9673. Il faut modifier légèrement la solution de Barker (e = 1). Et Bessel([[1805]]) résout ce cas, mais pour e > 0.997 [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] ([[1809]]) s'illustra en donnant une belle solution pour 0,2 < e < 0,95 Autant dire que le voisinage de (0,95 ; 0,98) est fertile en problèmes, en cas d'itération ! === Calcul numérique === Les calculs via les [[intégrateur symplectique]]s exigent de rester toujours en butée du nombre de digits, dans le moindre coût de calcul.<br/> Depuis 300 ans, on cherche la « meilleure » méthode. Elle reste à trouver ! Bien sûr, cela dépend beaucoup du doublet (M,e), M compris entre 0 et Pi et de e, surtout quand e est voisin de 1. Nijenhuis (1991) adopte la méthode de Mikkola (1987) qui est la méthode de Newton d'ordre 4, en choisissant « adéquatement » le germe Eo en fonction du doublet (M,e). Il est clair que dans les calculs numériques, le volume de calculs est essentiel, autant que le nombre de décimales, vu l'instabilité du système solaire évaluée à un [[exposant de Lyapunov|coefficient de Liapunov]] de 10^(t/5Myr). On se heurte à une muraille exponentielle : difficile d'aller plus loin que 25 Myr, même avec un traitement 128 bits. Ce sont ces calculs (astronomiques... mais informatisés) qui tournent sur les machines de l'IMCCE-Paris. Le calcul de l'ensoleillement terrestre à la latitude 65°Nord, I(65,t) est calculé et on essaie d'en déduire la corrélation avec le climat passé : l'échelle géologique jusqu'au Néogène (25M ans) en est déduite(échelle géologique Gradstein 2004). Prochaine étape prévue : les 65 M ans. === Histoire des sciences === Avant Kepler, l'équation est déjà étudiée ! bien sûr, pas pour le même problème, mais pour la même équation : c'est le problème de la réduction des coordonnées locales aux cordonnées géocentriques : il faut réduire la correction de parallaxe. Habash al Hasib s'y est déjà attaqué. Avant 1700, il y a déjà beaucoup de tentatives : Kepler naturellement, Curtz (1626), Niele, [[Ismaël Bouillau|Bouillau]] (1645, 1657), [[Seth Ward]] (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), [[Jean-Dominique Cassini (Cassini I)|Cassini]] (1669), Newton (1665?), [[Christopher Wren|Wren]] (1658), [[John Wallis|Wallis]] (1659),... De toutes, celle de [[Jeremiah Horrocks]] (1638) est de plus grande beauté. Cf le Colwell, déjà cité. ==== compléments ==== En 1770, Lagrange trouve les deux séries, mais le changement des termes dans les séries le laisse perplexe. 1821 : Cauchy enfin ! Sitôt après, 1824, [[Bessel]] (1784-1846)fera une étude extensive de "ses" fonctions , déjà apparues en 1703 dans une lettre de jean Bernouilli à Leibniz. Daniel Bernouilli fait la théorie du mode propre de la corde suspendue et introduit Jo(x); Euler généralisant a besoin des In(x) , les bessel-modifiées. *Les calculs de développements approchés donnent : * E-M = e.sin M[1-e^2/8 +1/192 e^4]+(e²/2). sin(2M)[1-e^2/3 +e^4/24] +e^3.sin (3M)[3/8 -27 e²/128] +e^4/3 .sin(4M)[1-4e²/5] + 125 e^5/384 . sin (5M) + 27 e^6/80 .sin (6M) +O(e^7) (p202 Battin) * OM/a = 1 - e cos wt +e²/2(1- cos(2wt)) + 3/8e³[cos(wt)-cos(3wt)] + 1/3e⁴[cos(2wt)-cos(4wt)]+ O(e⁵) * angle POM = θ(t) = wt +2e sin(wt) +5/2 e² sin(2wt) + e³[13/12sin(3wt) -1/4 sin (wt)] +e⁴ [103/96 sin (4wt) -11/24 sin(2wt)] + O(e⁵). *La solution d'Horrocks(1638) fût :Translater Delphine du déférent de (-2c,0) en D' et prendre E = angle (CP,CD')où C est le centre du déférent On montre que E(Horrocks) = M + e/1sin M +e²/2 sin 2M +e³/3 sin3M +... et E(H) -E = 1/6 .e³sin³M ; pas si mal! *La méthode la plus simple est évidemment "regula falsi" (interpolation linéaire inverse ou méthode dite de l'artilleur): la fonction étant croissante , on "tire" trop bas avec x0 (F(x) est négatif), trop haut avec x1 (F(x) est positif) : alors la racine est entre les deux et on prend la corde. * On peut montrer que E-M satisfait l'équation cartésienne de Newton : en effet c'est e sin E et donc proportionnelle à y(E) * (Gudermann(1798-1852)): le cas des orbites hyperboliques se traite par Corinne et donc le Gudermannien : x = a ch u et y = b sh u ; r = a(1-e ch u) On pose 1/cos g = ch u et tg g = sh u soit g = gudermannien (u) = gd(u) = 2 arctg(exp u) -Pi/2. * Sundman (1873-1949)introduisit en 1912 le temps régularisant : === Voir aussi === *[[mouvement keplerien]] *[[intégrateur symplectique]] *[[Jeremiah Horrocks]], cf discussion. *Colwell (1993) : solving Kepler's equation over three centuries, ed Willmann-Bell, {{ISBN|0-943396-40-9}} *Brinkley (1803) : trans roy irish ac, 7,321-356. == Après Lagrange, jusqu'à Born-Sommerfeld == == Les transformations hamiltoniennes du problème de Kepler et SO(4) == == En attente , les perturbations , pour faire de mon mieux == les perturbations du mvt de Kepler sont parmi les plus "dures" car il y a la dégénérescence banale de SO(3), mais aussi la dégénéréscence de SO(4) pour les états liés : du coup il faut comprendre la structure de la sphère S3 dont on sait qu'elle se retourne comme un gant ou peut se transformer en une foliation torique de Hopf, etc. Comment la perturbation agit sur chacun de ces aspects est encore à inventorier, même si on en connaît pas mal sur le sujet, en particulier gràce aux travaux de Poincaré, KAM, Mather, etc. Il est vrai que le niveau est plus élevé ici, puisqu'il s'agit de problèmes le plus souvent non intégrables. === à la manière directe : Danjon-Pollard-Duriez === la perturbation F est installée au temps t=0 , avec OMo et Vo donnés , càd Lo,Eo et eo données et passage au périgée donné.On appellera '''ko''' la direction de Lo, et '''uo''' = '''OMo'''/ro, et <math>\vec{u_{\theta_o}}</math> pour compléter le trièdre, dont le vecteur-rotation instantanée sera <math>\vec{\Omega_o}</math> ( '''v''' signifiera donc '''vecteur-vitesse'''). Sept équations sont bien compréhensibles : * <math>\dot{\vec{L}} = \vec{OM}\wedge \vec{F}</math> (théorème du moment cinétique) * <math> \dot{E} = \vec{v}\cdot\vec{F}</math> (théorème de l'énerie cinétique) *<math> \dot{\vec{e}} = \vec{F}\wedge \vec{C} + \vec{v}\wedge \vec{C} </math> (théorème du moment"excentricité") Moins évidente est la variation de l'anomalie moyenne : *<math> \omega \cdot a^2 \cdot \dot{M} + \vec{\Omega} \cdot \vec{C} = -2E -2\vec{OM}\cdot \vec{F} </math> que l'on "extrait" du viriel en force. Il en résulte les équations de Gauss. ==== équations de Gauss ==== le quintuplet [a,e,i,<math>\Omega, \omega </math>]s'en déduit projeté sur le reférentiel initial et final : * <math>C \cdot \dot{a}= 2a^2\cdot\vec{F}(\vec{u_{\theta} }+e \vec{u_{\theta_o}})</math> * <math> C \cdot \dot {e} = r (e+cos\theta) \vec{F}\cdot \vec{u_{\theta}}+ p \cdot \vec{F}\cdot \vec{u_{\theta_o}}</math> * <math> C \cdot (\dot{\omega} +cos( i) \cdot \dot{\Omega}) = r sin \theta \cdot \vec{F}\vec{u_{\theta}} -p \cdot \vec{F} \cdot \vec{u_o}</math> et * <math>C \cdot (sin (i)\cdot \dot{\Omega}) = r \cdot sin(\omega +\theta)\cdot (\vec{F}\cdot \vec{k}) </math> * <math> C \cdot\dot{i} = r cos(\omega +\theta)\cdot (\vec{F}\cdot \vec{k}) </math> et bien sûr C varie comme : *<math>\dot{C} = r \cdot \vec{F}\vec{u_{\theta}} </math> Et il reste encore dM/dt à écrire ! Comme de plus il faut projeter l perturbation sur la base initiale et la base finale , l'interprétation est sévère. heureusement, la perturbation dérive souvent d'un potentiel : cela simplifie l'écriture et la compréhension de ces 6 équations, sur lesquelles il faut se pencher qq temps pour les assimiler. ==== pertinence des équations de Gauss ==== demandée ici, pour "souffler un peu" : le cours est construit ainsi ! ne rien faire que l'on ne puisse refaire ou retenir ! Pour retenir, il faut manipuler et croiser les équations jusqu'à ce que cela devienne "machinal" et au fond "intuitif" . Donc la question posée est : en quoi les 6 équations précédentes vous semblent-elles pertinentes ? {{Boîte déroulante|titre= pertinence des équations de Gauss ; dissertation en 3heures | contenu= d'adord et toujours l'homogénéité ! ensuite prendre des cas particuliers "évidents", etc. }} === Perturbation de Kepler : effet Stark classique === Si à la force newtonienne vient se rajouter une petite force F, la trajectoire va être légèrement perturbée. Néanmoins si F est parallèle au vecteur excentricité, la symétrie ne sera pas entièrement détruite. Il convient de prendre les bonnes coordonnées pour traiter ce problème. Comme on sait traiter le mouvement keplerien en [[système de coordonnées paraboliques]], il faut évidemment en profiter. Mais si F devient trop grand, il apparaît clairement que l'atome va pouvoir s'ioniser plus facilement. En mécanique quantique cela sera encore plus évident via l'effet tunnel, conduisant à l'ionisation Stark, fragilisant surtout les [[atome de Rydberg]]. === Mouvement d'Euler à 2 centres d'attraction === Euler a vite compris que la composante du vecteur excentricité permettait d'intégrer le problème à 2 soleils fixes et une planète. Cela s'opère grâce à un [[système de coordonnées bifocales]]. Vinti s'est fait le promoteur de cette méthode : ébauche === Mouvement si Terre-galette (Béletskii) === Beletskii a fait remarquer que le problème d'Euler pouvait s'appliquer à un Soleil légèrement allongé de forme cigare. Par prolongation analytique, avec des masses « imaginaires », il a proposé une interprétation simple du mouvement d'un satellite terrestre sous l'action perturbante du bourrelet (le terme J2(P2(cos(theta)/r³) dans le potentiel gravitationnel. On retrouve les effets décrits dans [[satellite artificiel]]. === Perturbation de Kepler par planète proche : Terre & Lune === Ce problème est ardu : Newton disait que cela lui donnait mal à la tête. Il a fallu attendre Clairaut (1741) pour avoir une première théorie de la Lune. Aujourd'hui avec les miroirs posés sur la Lune (Apollo et Lunakhod), on peut comparer la théorie analytique à celle numérique. La précision théorique des LLR (laser lunar range: tir laser vers la Lune) est de quelques centimètres. La théorie analytique comprend plusieurs milliers de termes, mais donne aussi une précision de quelques mètres. à compléter (séminaire Laskar du 09/03/06). === Perturbation de Kepler par planète lointaine : Terre & Jupiter === Là, le problème est plus facile . L'essentiel de la méthode consiste en une méthode variable rapide- variable lente, due à Legendre, puis Gauss. à compléter. === Perturbation de Kepler et symétries === Bien sûr, chaque fois qu'un système possède une symétrie continue, le théorème de Noether donne une intégrale première, ce qui permet d'éliminer une variable de l'espace des phases. Comment s'opère cette réduction ? Le livre de Cordani, celui de Marsden & Ratiu expliquent cette réduction. Enfin, le problème garde toujours sa symétrie symplectique : il faudra expliquer comment fonctionnent les [[intégrateur symplectique]] (Laskar & Robutel, Celestial Mechanics, 2001,80, 39-62). ------------ == Applications == Elles sont innombrables : *les principales historiquement sont celles de l'astronomie, et prosaïquement des éphémérides solaire et lunaire de notre calendrier des postes. *les plus utiles sont celles des satellites artificiels. * le modèle de Rutherford-Bohr de l'atome s'appuie sur cette théorie. == Perturbations du mouvement de Kepler == C'est évidemment essentiel. Pour les satellites artificiels, il faut tenir compte de la forme non sphérique de la Terre , ET de toutes les autres petites perturbations ( pression de radiation du Soleil sur les panneaux solaires, action de gravité différentielle de la Lune et du Soleil, etc. Pour l'astronome , il y a essentiellement deux problèmes : * la perturbation du mouvement Terre-Lune dû au Soleil * la perturbation de Saturne par Jupiter. À l'heure actuelle, les programmes de calculs peuvent envisager de traiter (sur un temps pas "trop grand") le mouvement de l'ensemble des planètes. On sait depuis peu que Pluton n'est pas une vraie planète. Ceci dit, le mouvement des planètes sur des échelles de qq 10^6 années commence à être sensible aux conditions initiales (la Terre est un cas particulier car la Lune vient stabiliser son inclinaison et son excentricité). Pour le programme [[w:Galileo (système de positionnement)|Galileo]] (le [[w:GPS|GPS]] européen), la précision sur le positionnement de la constellation de satellites artificiels est assez impressionnante(inférieure au centimètre). ---- ---- == insert provisoire:atome d'hydrogène == Cet article suit l'article [[atome d'hydrogène]]. La résolution de l'équation de Schrödinger, écrite en coordonnées polaires, se découple des variables (<math>\theta, \phi</math>) et conduit à une équation à une dimension en r, appelée équation radiale de Leibniz-Schrödinger, puisque ce n'est jamais que la célèbre équation de Leibniz de 1685 traduite en mécanique quantique. Mais l'équation de Schrödinger (1926) peut se résoudre autrement comme Pauli l'a montré en 1925 ! == Équation radiale == L'équation radiale 1D de Leibniz-Schrödinger s'écrit pour r>0: <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math>-{\hbar^2 \over 2m}S^{''} + ({\hbar^2l(l+1) \over 2r^2} - {e^2 \over r} )S(r) = E \cdot S(r)</math> |} | | | |}</div> avec E valeur propre négative , et S(r) s'annulant "vite" à l'infini, et S(0) =0 :il s'agit donc d'un problème aux limites dit de Sturm (par opposition à un problème aux conditions initiales, dit de Cauchy); de plus <math>\int_0^{\infty} S^2(r) dr = 1</math>. [On reconnaît dans <math>{ \hbar^2 l(l+1) \over 2m r^2} </math> la barrière centrifuge de Leibniz (l entier positif) (l=0 correspond à L =0 ; le problème classique n'a pas de correspondant simple en mécanique quantique, encore que ...)]. *Comment arrive-t-on à cette équation '''radiale''' de Leibniz-Schrödinger ? Il SUFFIT de chercher la fonction d'onde <math>\Psi(x, y, z, t)</math> en coordonnées sphériques sous la forme : * <math>\Psi = {S(r) \over r}\cdot Y_{l,m} (\theta, \phi) e^{-i{Et \over \hbar}}</math> , où les Y(l,m) sont les fonctions [[harmoniques sphériques]]. On appelle ce procédé courant dans les équations aux dérivées partielles, la séparation des variables. Souvent, on appelle R(r) := S(r)/r , la partie radiale de la fonction d'onde. *'''Note importante annexe''' : === Harmoniques sphériques === Il n'y a '''rien de mystérieux''' (et surtout rien à voir avec la MÉCANIQUE quantique) dans ce qui semble être un tour de passe-passe. L'étude en électrostatique '''classique''' de l'opérateur Laplacien conduit à ces mêmes fonction Y(l,m) , appelées [[harmoniques sphériques]], qui sont des fonctions '''usuelles''' dès que la symétrie sphérique entre en jeu. L'entier relatif m ne peut prendre que 2l+1 valeurs, de m = -l à m = +l , l étant un entier positif. Ce sont ces harmoniques sphériques qui "quantifient" le problème sphérique par les deux nombres quantiques l et m (comme il est '''usuel''' dans tout problème de Sturm, dit "aux limites", des équations différentielles), ces deux entiers l et m qui auront tant d'importance dans l'étude de l'[[atome à N électrons]] et donc de la [[Classification périodique]]. *Pour rester en continuité de lecture(sinon voir l'article [[Harmonique sphérique]]), est expliqué ici juste le minimum pour comprendre comment elles interviennent à ce niveau modeste (l=0,1,2,3):les (2l+1)polynômes <math>r^l Y_{l,m}</math> forment une base sur l'ensemble des polynômes homogènes P(x,y,z) de degré l, harmoniques(c’est-à-dire dont le laplacien est nul) *l=0 :<math>Y_{0,0}= {1\over sqrt(4\pi)}</math> : c'est bien un polynôme de degré zéro, normé sur la sphère unité puisque son carré vaut 1/4Pi. '''''Dorénavant, nous n'indiquerons plus ce facteur dit de normalisation'''''. *l=1 :3 fonctions <math>rY_{1,0} = rcos \vartheta = z</math> ; <math>rY_{1,1}+rY_{1,-1} = 2rsin \vartheta cos\varphi =2x </math>; <math>rY_{1,1}-rY_{1,-1} = 2irsin \vartheta sin\varphi =2iy </math>; soit la base {x,y,z} dite orbitales <math>p_x</math>, <math>p_y</math>, <math>p_z</math> ---- *l=2: cinq fonctions <math>r^2Y_{2,0} = r^2(3cos^2 \vartheta -1) = 2z^2-x^2-y^2</math> ; <math>r^2Y_{1,1}+r^2Y_{2,-1} = 2r^2sin \vartheta cos\vartheta cos\varphi = 2xz</math>; et avec moins , 2i yz ; <math>r^2Y_{2,2}-r^2Y_{2,-2} = 2ir^2sin^2 \vartheta sin2\varphi =4i xy </math>; <math>r^2Y_{2,2}+r^2Y_{2,-2} = 2ir^2sin^2 \vartheta cos2\varphi =4(x^2-y^2) </math>; Soit la base {3z^2-r^2, xz, zy, yx, x^2-y^2) dont chaque fonction est de laplacien nul. ---- *l=3: 7 fonctions soit la base { z(5z^2-3r^2), x(5z^2-3r^2), y(5z^2-3r^2),zxy,z(x^2-y^2),x(x^2-y^2), y(x^2-y^2)}dont chaque fonction est de laplacien nul. ---- * l quelconque : on trouve une base de (2l+1) polynômes réels, mais bien sûr toute combinaison linéaire complexe reste dans ce sous-espace vectoriel sur le corps des complexes. {{Boîte déroulante|titre=Pourquoi (2l+1)?|contenu=la raison en est aisée :effectuons le décompte : il y a (l+1)(l+2)/2 polynômes homogènes de 3 variables (c'est le nombre de manières d'avoir avec un triplet d'entiers{m,n,p]avec la relation m+n+p = l). Quand on calcule le laplacien on tombe sur l'espace des polynômes homogènes de degré (l-2),de dimension (l-1)l/2 ,pour l >1 ce qui donne pour l'annulation du Laplacien autant de conditions. Donc il ne reste, pour les polynômes homogènes harmoniques qu'un sous-ev de dimension (l²+3l+2 -l²+l)/2 = 2l+1.}} *Théorème: <math>{P_l(x,y,z) \over r^{l+1}}</math> est fonction propre du laplacien avec la valeur propre -l(l+1): C'est ce théorème qui est sans arrêt utilisé pour la théorie de l'atome d'hydrogène. En chimie ,on représente souvent les fonctions 1/r^(l+1) . Pl comme les harmoniques sphériques des orbitales l ; parfois on prend leur carré; etc. Dans l'[[atome à N électrons]] pour N< 119, l< 5 : donc cela suffit au physicien de l'atome, qui leur a donné des noms et des représentations mnémotechniques diverses. Ne pas oublier que l'on peut combiner à volonté ces fonctions, pour former ce que les chimistes appellent des orbitales hybridées du sous espace propre du niveau d'énergie En( en particulier les fameuses orbitales paraboliques de Kleinert). === Multiplicité (2l+1) === Le nombre quantique l est appelé '''nombre quantique azimutal''' (on voit qu'il joue, par son terme l(l+1), le même rôle que le carré du moment cinétique, L², en mécanique classique). Évidemment l'équation radiale a ramené le mouvement à UNE seule dimension, la variable radiale, avec la fonction S(r) qui doit s'annuler en r=0 (n'oublions pas c'est S(r)/r qui intervient ) et qui doit être de carré sommable sur l'intervalle r>0 . On aura donc des valeurs propres de cette équation linéaire, dépendant donc de l , <math> E_{k, l}</math> , mais pas de m (on dit que la multiplicité de la valeur propre est : 2l+1 ; en physique & chimie on dit : il y a dégénérescence du multiplet égale à 2l+1). Le nombre quantique m s'appelle '''nombre quantique magnétique''', car sous l'effet d'un champ magnétique ([[effet Zeeman]]) l'énergie dépend alors de la valeur de m, et l'on voit une multiplicité de niveaux d'énergie, d'où la dénomination . Enfin le nombre k , entier positif, s'appelle '''nombre quantique radial''' et donne le nombre de nœuds (k pour knots !) de S(r) pour r > 0 . Comme la spectroscopie est née un siècle avant la mécanique quantique, la tradition est restée d'appeler le nombre quantique azimutal l par des lettres latines : l= 1 -> s ; l=2-> p ; l=3 -> d ; l=4 -> f et ensuite g, h . === Résultat final === Au final, on trouve une énergie E(l,m,k) indépendante de m, soit E(l,k), mais, de façon incroyable (sauf pour Pauli), ne dépendant que de la somme l+k-1 = n , qui doit être un entier positif, et appelé '''nombre quantique principal'''. C'est la fameuse équation déjà trouvée par Bohr en 1913: <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math>E_n = {E_1 \over n^2}= -{me^4 \over 2n^2\hbar^2}</math> |} | | | |}</div> Il y a ce qu'on appelait une '''dégénérescence accidentelle''', avant l'introduction par Pauli en mécanique quantique du vecteur [[invariant de Runge Lenz]]. La multiplicité, g, du niveau d'énergie En est donc : pour l variant de 0 à n-1 et pour m variant de -l à +l <math> g =\Sigma_0^{n-1} (2l+1)= n^2</math> . Et, compte-tenu du spin (1/2) de l'électron ,g vaut le double , soit 2.n² *Ce qui donne simplement : couche K, g=2 ; L, g=8 ; M, g=18 ; O, g= 32 ; P, g = 50 ; Q, g=72 ; R, g = 98 ; S, g= 128. Inutile d'aller plus loin pour décrire la [[classification périodique]], la configuration de l'élément Z= 119 est celle d'un alcalin : <math>(1s^2) (2s^2) (2p^6) (3s^2) (3p^6) (4s^2) (3d^{10}) (4p^6)</math> soit Kr(Z=36) puis, <math>(5s^2) (4d^{10}) (5p^6) (6s^2) (4f^{14}) (5d^{10}) (6p^6)</math> Rn(Z=86) , puis <math>(7s^2) (5f^{14}) (6d^{10}) (7p^6)</math> Uuo(Z=118), puis 8s. Sur les 64 orbitales de la couche S, n= 8 , on n'a besoin de connaître que l'orbitale (8s): ce calcul requiert impérativement la [[mécanique quantique relativiste]] , car les électrons (1s²) de la première couche sont soumis à des vitesses non négligeables devant c . De même, la configuration de l'élément Z= 121 est Uuo,(8s²,5g), la sous-couche 5g pouvant contenir jusqu'à 2*9 =18 électrons. - - Ce faisant, on obtiendra ainsi tous les niveaux d'énergie des éléments '''ET des séries isoélectroniques''', ce qui permettra de décrire certains traits de la [[classification périodique]]. * Pour en revenir à l'atome d'hydrogène, il ne reste plus qu'à introduire le vecteur [[invariant de Runge Lenz]] quantique pour comprendre que la dégénérescence dite "accidentelle" ne l'est pas : il y a bien une symétrie de plus que la simple symétrie centrale dans le cas de ce modèle de Rutherford quantique (cf [[théorème de Bertrand]]). Auparavant, on va finir le raisonnement de Schrödinger (1926) ; puis on reviendra sur celui, plus subtil, de Pauli (1925). === Équation radiale-réduite et Polynômes de Laguerre === Si l'on revient à l'équation radiale de Leibniz-Schrödinger, on peut démontrer que pour r voisin de zéro, S(r) varie comme r^(l+1) , et que pour r très grand, S" + 2E S = 0 . Il est courant de poser 2E = -1/n² et donc S(r) varie comme exp (- r/n) à l'infini : n pour l'instant n'est qu'un réel! Alors le dernier changement de fonction inconnue est logiquement l'essai suivant qui se révèle fructueux : S(r) = r^(l+1).exp(-r/n).g(r) ; mais on s'aperçoit qu'en changeant la variable r en s : = 2r/n l'équation s'arrange mieux : L'équation radiale-réduite devient : s f"(s) + (2l+2-s) f'(s) + (n-l-1) f(s) = 0 , avec g(r) = f(2r/n) = f(s) Les matheux et Schrödinger ont reconnu cette équation immédiatement (?) : elle conduit à la fonction hypergéométrique dégénérée de Kummer, qui conduit aux [[polynômes de Laguerre]], '''ssi''' n-l-1 est un '''entier positif''' : donc '''n est un entier positif''' et l = 0, 1 , 2 , .. ,n-1 . Et le nombre k est simplement k = n+l-1. *Pour le cas l= n-1 (les états de Rydberg (cf. [[atome de Rydberg]]), elle devient r .g " + (2n-r) g' = 0 satisfaite par g = cste (en effet S(r) ne doit avoir aucun nœud quand le nombre quantique radial k est nul !). *Ici, on fera les calculs "à la main" pour les faibles valeurs de n .Mais sinon, les ''aficionados'' des équations différentielles chercheront un développement de f(s) en série entière qui se STOPPE en un polynôme P(s): cela marche, c'est le raisonnement typiquement utilisé avec l'équation hypergéométrique ! === Infeld-Hull et la "factorisation" === dans RevModPhys 23,1951,21-68 , on constate que la méthode des opérateurs d'échelle était bien connue à l'époque (cf aussi Durand, CRAS1950,230,273): L'idée est classique : soit A = 1/2 -a/r -d/dr et B = 1/2 - b/r +d/dr en unités "bien choisies". A et B sont opérateurs sur les fonctions de carrés sommables sur [0, infty[. Ils sont opérateurs conjugués pour a = b . et l'équation de Leibniz-S s'écrit : A(l+1)B(l+1) Snl = (n-l-1)Snl/r En multipliant par Snl et en sommant il apparaît immédiatement que n-1> l ; et B S = 0 pour l = n-1 d'où la valeur de S "circulaire" : S(r) = r^n .exp (-r/2) Qq calculs permettent de trouver que S(n+1, l) = r A(n) S(n,l) S(n-1,l) = rB(n) S(n,l) .1/[(n-1-l)n+l)] et toutes sortes de relations sur les polynômes de Laguerre. Noter aussi que l'équation du second ordre peut s'écrire , comme assez souvent : K(n,l) S(n, l-1) = A S(n,l) K(n,l) S(n,l) = B S(n, l-1) (Durand p 449) *Les relations de Pasternak permettant de calculer <r^k > =((n, l,k)) s'en déduisent : k+1)<r^k> -2n(2k+1)<r^(k-1)> +[(2l+1)²-k²]<r^(k-2)> = 0 *exemples classiques *(n,l,3) = n²/8[ 35 n^4 -35 n² -30 n²(l+2)(l-1)-3(l+2)(l+1)l(l-1)] *(n,l,4) = n^4/8[63 n^4 -35n²(2l²+2l-3)+5l(l+1)(3l²+3l -10) +12] *(n,l,-1) = viriel = 1/n² *(n,l,-2) = force = 1/n^3(l+1/2) *(n,l,-3) = force de barrière et LS = 1/n^3(l+1/2)l(l+1) *(n,l,-4) = ion-dipôle => cf Kondratiev = [3n²-l(l+1)]/2n^5(l-1/2)l(l+1)(l+1/2)(l+3/2) *noter l=0 pour -3 et -4 ! il faudra être prudent avec les électrons s ! *(n,l,2) = n²(5n²+1-3l(l+1))/2 *(n,l,1) = 3n²-l(l+1)]/2 Certaines se trouvent dans [[atome d'hydrogène]] == [[Invariant de Runge Lenz]], quantique == === Champ coulombien === *Le cas de la force coulombienne (cf. [[mouvement keplerien]] ; le [[puits de potentiel]] a déjà été étudié en mécanique classique) est TRÈS PARTICULIER car il montre que n DOIT être un '''entier positif''', '''indépendant de l''' , alors que les fonctions propres g(n,l,r) dépendent bien de deux indices n et l : les valeurs propres de l'énergie ne dépendent pas séparément de n et de l , mais '''seulement de n''' , entier positif, qui de ce fait est appelé nombre quantique principal de couche (avec n= 1 -> couche K , n=2 -> couche L ,..). Ce fait, très exceptionnel pour l'énergie, ne sera plus vrai pour un potentiel V(r) quelconque, même voisin de -e²/r. Il convient donc de ne pas trop s'y attacher, sauf si l'on veut s'expliquer cette dégénérescence (anciennement appelée dégénérescence accidentelle), via le raisonnement de Pauli. === vecteur excentricité quantique === Le vecteur excentricité (cf. [[mouvement keplerien]] et [[invariant de Runge Lenz]])vaut : <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> \vec{e} = \vec{V} \wedge \vec {L} / (GMm) -\vec{r}/r </math> |} | | | |}</div> Il existe aussi en mécanique quantique, en tant qu'opérateur observable. Il vaut en unités convenables (unités atomiques) <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> \hat{\vec e} = [\hat {\vec {p}} \wedge \hat {\vec {L}}-\hat {\vec {L}} \wedge \hat {\vec {p}}]/2- \hat {\vec {r}}/r</math> |} | | | |}</div> Or rappelons qu'en termes d'opérateur: '''p^L +L^p''' = 2i.'''p'''.<math>\hbar</math> ce qui rend légèrement différent le vecteur quantique , subtilité de l'algèbre non commutative ! === propriétés de la Q-excentricité === Toujours en faisant les calculs d'opérateurs, on retrouve e.L = 0 , L.e = 0 , e.H = H.e (donc e est bon nombre quantique , et donc dans un sous-ev de la valeur propre de H , e sera stable). <div style="text-align: center;"><math>e^2 -1 = -(H/E_o)\cdot [L^2/\hbar^2 + 1]</math></div> Là encore un terme (+1) vient subrepticement se glisser dans les calculs (on a pris Eo = -13.6eV): Et [e^2,Lz]=0 Mais alors ,dans l'ECOC [H, L², Lz], e² est un bon nombre quantique, et sa valeur est, dans le niveau n : <div style="text-align: center;">e² = 1 -1/n² -l(l+1)/n²</div> et par conséquent l ne peut dépasser n-1 ; Mais on n'attendait pas cette bizarre formule ! === Boost et Q-excentricité === *Et maintenant, la RÉVÉLATION pour tous ceux qui ont fait de la relativité restreinte : Multiplions le vecteur excentricité par \hbar pour lui donner l'unité d'un moment cinétique et par n par pure commodité dans les calculs. Nous appellerons ce vecteur <math>\hat{\vec E}</math> ,le vecteur excentricité-boost , qui est un vecteur polaire et non axial. E commute avec L² , mais pas avec Lz ; et E² est un bon nombre quantique dans l'ECOC [H,L²,Lz], '''mais pas E''' ! MAIS, dans le sous-ev de la couche n , <math>[F_{\lambda \mu},F_{\mu \nu}] = F_{\lambda \nu}</math> où le tenseur antisymétrique 4-4, F est : (0,E) en première ligne et la matrice 3-3 antisymétrique correspondant à L^ . VOILA ! l'atome d'hydrogène est invariant par SO(4) [ évidemment pour les états d'énergie positive, par SO(3,1) c'est à dire le groupe de Lorentz ! d'où l'idée de la notation excentricité-boost ! ]: cela était connu de Pauli , de Fock , de Bargmann , etc. Mais à l'époque, peu connaissaient aussi bien que Pauli la relativité restreinte ! Pour démontrer ces relations, il vaut mieux avoir qq notions d'algèbre de Lie (et des formules de trigonométrie correspondantes), car sinon cela peut être un peu long (11 pages dans le X ; et une page dans le Y : X et Y par courtoisie). === opérateurs S et D, valeurs propres de H === Il "suffit" maintenant de se rendre compte que [H, Lz, Ez] forme un ECOC ( ce qui correspond en mécanique classique aux coordonnées paraboliques et à la vision spinorielle : soit 2S = L + E et 2D = L- E ; Alors S² - D² = 0 S et D sont deux moments cinétiques de carrés égaux : s(s+1) et : <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> [S^2 + D^2 + \hbar^2]\hat{H} = E_o \cdot \hbar^2</math> |} | | | |}</div> C'EST FINI : H a pour valeurs propres : E_o/n² avec 4s(s+1) +1 = n² soit n = s+s+1 , donc de dégénérescence : n² (faire ce petit calcul !). Voici comment depuis 1926, on eût pu enseigner l'atome d'hydrogène de Pauli (Nobel en 1945 après Heisenberg, Schrödinger et Dirac en 1933). Pourquoi cela ne s'est-il pas produit ? Vraisemblablement parce que les orbitales paraboliques étaient moins utiles que les orbitales- harmoniques sphériques qui privilégiaient donc l'ecoc [H,L²,Lz]. <!-- == Voir aussi == * [[atome]] * [[atome d'hydrogène]] * [[Théorie de Schrödinger de l'atome d'hydrogène]] * [[atome à N électrons]] * [[Classification périodique]] ---- --> == Compléments sur SO(6)et SO(4,2) == vacances closes après avoir vendu mes merguez, je fais le point sur SO(6). Cf Oliver. SO(6) comporte <math>C_6^2</math> = 15 générateurs de rotation. (P. Kustaanheimo and E. Stiefel, J. Reine Angew. Math. 218, 204 (1965). ) la transformation K-S amène l'eq de Schrodinger sous une forme simple : multiplions tout par r : <math>-1/2 r \Delta +1 = E\cdot r</math> et opérons le changement de variables ; il vient : <math>[L_{56}+ L_{46}-2E \cdot (L_{56}- L_{46})-1]|\psi>=0</math> En utilisant le "tilt" usuel A , tel que -2E = exp2A et les relations de commutation avec L(45) , l'équation se réécrit : <math>[e^{i A L_{45}}L_{56}e^{-i A L_{45}}-e^{-A}]|\psi>=0</math> La solution est immédiate : les vecteurs propres de L(56) sont <math> \ |\phi_n></math> de valeur propres n= 1,2,3,... et donc A = - ln n et on en tire <math> \ E_n = -1/2n^2</math> , puis en opérant la transformation réciproque de K-S , on retrouve les états propres paraboliques <math> \ |n_1,n_2,m></math>, puis via les symboles 3j-de-Wigner , les états sphériques <math>\ |n,l,m></math> (Kleinert p 964): Que tout cela paraît naïvement facile! Néanmoins rappelons que Feynman avait calé sur ce problème et que le déblocage de situation s'effectua de 1967 à 1998. == Retour == *[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]] [[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]] sz3bph2mmwf3mdjovai0w40xvguyr8p 769545 769544 2026-07-15T17:24:43Z DavidL 1746 769545 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}</noinclude> Il s'agit du mouvement d'un point dans un champ central '''F'''('''OM''') = - GMm. '''OM'''/OM³, dit Newtonien. Kepler en a énoncé les 3 lois principales : *La planète P a pour trajectoire une ellipse dont le soleil O est un foyer. *Le rayon vecteur '''OP''' balaye des surfaces égales dans des temps égaux. *Le carré de la période T du mouvement est comme le cube du grand axe, 2a, de l'ellipse. La démonstration de ces faits revient à Newton (1684). L'article mouvement keplerien de la Wiki a été beaucoup modifié. Nous en rapatrions l'essentiel. == Le mouvement est central == les conséquences immédiates sont : * Le moment cinétique '''L''' est une constante. On pose '''L''' = m.'''C''') * Donc la trajectoire est plane, perpendiculaire en O à L₀ * Dans ce plan , le mouvement tourne autour de O ('''toujours dans le même sens''', choisi comme positif). * La loi des aires de Kepler est satisfaite : dS/dt = C/2 = 1/2 r².d<math>\theta</math>/dt. * Comme C est non nul, thêta est une échelle de temps (non linéaire) mais souvent utilisée(cf Note). * L'hodographe et la trajectoire sont en '''correspondance directe''' : l'un donne l'autre. L'espace des phases sera donc bien R² x R², mais de manière très simplifiée. Note-annexe : historiquement, Ptolémée a utilisé theta' = MF'O = ~ t (+ O(t^3)), car cela suffisait pour les observations de l'époque : cela s'appelle la théorie de l'équant, elle sera vue en exercice. Note 2 : on a excepté le cas L=0 comme physiquement irréalisable : on doit toujours pouvoir s'y ramener à la limite, et c'est un joli-exercice. == L'hodographe est un cercle ; donc la trajectoire est une ellipse == ==='''l'hodographe est un cercle :'''=== Poser p = C²/GM (on verra que c'est la longueur du semi-latus-rectum (on dit aussi "paramètre" de l'ellipse), et V₀ = C/p (qui est donc une vitesse, par ailleurs pseudo-scalaire). Alors, on trouve : <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> \vec{V} = V_0 \times\vec{n}+ \vec{V_1} </math> |} | | | |}</div> multiplier par vecteur(k).wedge et diviser par Vo ; on obtient : === la trajectoire est l'ellipse : === <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> \vec{e}\cdot \vec{r} = p-r </math> |} | | | |}</div> ===Démonstration :=== prendre comme échelle de temps theta(t) ; le Principe Fondamental de la Dynamique de Translation (PFDT) donne : <div style="text-align: center;"> <math> \frac{d\vec{V}} {d\theta} = - V_0 \cdot \vec{u} </math>.</div> donc, par intégration sur la variable theta avec le vecteur unitaire <math>\vec{n}</math> perpendiculaire à <math>\vec{u}</math> : <div style="text-align: center;"><math>\vec{V} = V_0 \times \vec{n} + \vec{cste}</math>.</div> soit : <div style="text-align: center;"><math> \vec{V} = V_0 \times \vec{n} + \vec{V_1}</math>.</div> Il y a évidemment beaucoup de manière de retrouver le vecteur constant "cste = V1" , en prenant deux valeurs de la vitesse remarquables ; par exemple, la vitesse à l'apogée et au périgée donnent: V(A) = V₀ + V₁ et V(A') = V₀ - V₁ avec V₁ = e×V₀. '''''nota bene''''' :''Et Voilà ! C'est fini'' ! L'hodographe est bien un cercle ( de rayon V₀ = C/p) ! La trajectoire sera donc FERMEE ! On obtient donc cette caractéristique FONDAMENTALE du mouvement dès le début du raisonnement. Cette simple remarque a été faite en 1713, mais est passée relativement inaperçue. Il en est résulté des dizaines de re-découvertes ! Jusqu'en 2000, on peut voir des articles ( cf par exemple Butikov, etc.)signalant cette "trouvaille". On peut s'amuser à exploiter cet hodographe, sans doute comme l'a fait Hooke ( tentative dite des elliptoïdes ; rappelons que Hooke n'avait pas grande culture mathématique, mais il avait compris le principe de l'hodographe, puisque c'est cette méthode de l'hodographe qu'il utilise pour l'ellipse dite de Hooke). ==== '''Vecteur excentricité''', {{MathText|\vec{e}|eo}}, constant ==== <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> \vec{e} = ( \vec{V} \wedge \vec{z})/ V_0-\vec{u} </math> |} | | | |}</div> C'est l'extraordinaire intégrale première de Hermann(1713)- retrouvée par Laplace-Runge-Lenz,etc.! Il en sera question plus tard. La démonstration est immédiate : multiplier l'équation de l'hodographe par r et faire le produit scalaire avec <math>\vec{u}</math>, et la réécrire. Il faut préciser que <math>\vec{z}</math> est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan. On pourrait faire autrement sans ce produit vectoriel mais alors il faudrait ensuite faire le produit scalaire avec la normale et non avec le vecteur rayon, puis multiplier par r. ===='''donc la trajectoire est une ellipse :'''==== Car en multipliant scalairement le vecteur-excentricité <math>\vec{e}</math> par le rayon-vecteur <math>\vec{r}=r\vec{u}</math>, on obtient pour le produit vectoriel : <math>(\vec{V}\wedge\vec{z}).\vec{r}=rV\sin\alpha=r^2w=C</math>, d'où : <math>e \cdot r cos\theta = C/V_0-r=p-r</math> , soit : <div style="text-align: center;"> {| border="0" |----- | {| border="1" cellpadding="10" style="border-collapse:collapse" |----- | <math> r = \frac{p}{1 + e \cos \theta} </math> |} | | | |}</div> Ce qui est l'équation polaire d'une ellipse d'excentricité e , et de paramètre p , avec le vecteur-excentricité sur l'axe des apsides et la convention '''origine des angles au périgée'''. La valeur de p ( demi-latus rectum := b^2/a := a(1-e^2)) est : <div style="text-align: center;"> {| border="0" |----- | {| border="1" cellpadding="10" style="border-collapse:collapse" |----- | <math> p = \frac{C^2}{(GM)}</math> |} | | | |}</div> Évidemment, on peut prendre l'autre convention, '''origine des angles à l'apogée''' ; soit <math> r = \frac{p}{1 - e \cos \theta}</math>, ==='''La conservation de l'énergie''' === si l'on introduit l'énergie potentielle -GMm/r , elle conduit à : 1/2 V² - (GM)/r = Eo/m = cste , d'où <div style="text-align: center;">'''Eo négative == - GMm/2a.'''</div> '''Exercice''' : montrer que 2a est le grand-axe de l'ellipse. Donc dans le plan de la trajectoire, les deux quantités physiques '''Lo''' et Eo déterminent la forme de l'ellipse. Bien sûr '''OMo''' et '''Vo''' aussi. ==='''moyens mnémotechniques''' par @d === il importe, dans les exercices, de ne pas toujours tout redémontrer, et de savoir retenir les formules encadrées : la méthode d'A.D., dite des d@hus, sert en ce genre de situation : les seuls paramètres sont cinématiques : GM (constante de Gauss) , Eo/m (énergie massique), et Co (constante des aires). Donc, un de trop ! '''MAIS''' il suffit de retenir *p = @d[GM, Co] ( et pas de Eo) ; et de retrouver la constante par le cas particulier du cercle (donc constante = 1) *2a= @d[GM, Eo/m] ( et pas de Co) ; et de retrouver la constante par le cas particulier du cercle (donc constante = -1) === remarque de Hooke-Hamilton === Signalons à titre de curiosité ce raisonnement de Hooke, qui a peut-être des résurgences dans la pensée de Allais (Nobel économie quand même !) : Si l'on considère que le mouvement est plan central, de centre O , pourquoi ne pas dire que la force est centrale et proportionnelle à l'angle balayé par unité de temps, soit <math>\dot{\theta}</math> , alors on retrouve tous les résultats antérieurs. Il est fort possible que ce soit par cette méthode que Hooke ait essayé de retrouver "la fameuse loi en 1/r²" , en appliquant sa méthode du second ordre : se donner la position initiale, puis la position voisine. Alors appliquer la loi et trouver la position ultérieure. Itérer. Il trouva par cette méthode des "elliptoides", ce que méprisa Newton. Plus fin, mais quel mérite en 1820? , Hamilton tirera de cette loi le fait que l'hodographe est un cercle, et tout le reste s'ensuit comme on l'a vu. Ainsi les lois de Newton seraient simplement liées à un <math>\dot{\theta}</math>. Cette méthode serait plus "économique". Par contre, elle induirait peut-être un malaise, si on l'interprète à la manière Allais, car alors l'interposition de la Lune entre Soleil et Terre pourrait modifier l'angle sous lequel le Soleil serait vu de la Terre, et ainsi modifier "G" : une telle manière de faire serait alors en contradiction avec l'astronomie des trois corps. Il faudrait aussi retrouver la gravimétrie et les "théorèmes remarquables de newton-gauss". Dans cette problématique, on serait alors entraînés fort loin...Cela est bien curieux et ne vaut que pour l'anecdote : il est sain d'avoir toujours des visions différentes ( mais si elles débouchent...sur quelque chose de tangible). == Mouvement sur la trajectoire == * La loi des aires donne S/T = Pi.a.b/T = Co/2 , ce qui donne : {{exemple||loi de Kepler(1628)|<math>\omega^2 \cdot a^3 = (GM) </math>}} * Partant du périhélie, et en introduisant l'angle dit [[anomalie excentrique]] E(t)(cf dessin), géométriquement : <math>tan \theta/2 = tan E/2 \cdot \sqrt \frac{1+e}{1-e}</math> <math> r = a (1- e \cdot \cos E)</math>; On calcule géométriquement l'aire balayée depuis le passage au péricentre : par affinité , S(t) = (b/a)[a²E/2 -ac. sinE /2] = ba(E-e.sinE)/2 Il s'ensuit : {{exemple||Équation du temps de Kepler|<math>\omega t = E - e \cdot \sin E </math>}} La fonction réciproque donne E(t), et de là '''OM'''(t). ---- ===Fin du Cours=== Il est évident que l'on a cherché ici la compaction maximum du cours.Des dizaines d'ouvrages reprennent ce problème. Pour nous, 2 ressortent du lot : Chandrasekhar si on aime la géométrie . Tisserand ou Winter si on veut plus exhaustif.Quelques exercices classiques suivent, pour "se faire la main". ---- ==Exercices == Il y a des dizaines d'exercices sur ce sujet, évidemment très important; soit de satellites artificiels, soit d'astronomie. Nous "essaierons" de les classer. === satellites de la Terre === '''exMersenne-Descartes-Laplace :''' Mersenne posa à Descartes la question suivante : si on tire un boulet verticalement, est-il possible que le boulet ne redescende pas? Soit h = Vo²/2g . Montrer que l'altitude H atteinte est : 1/H = 1/h-1/R . que se passe-t-il pour h > R . Que penser du cas Vo<c et c²< 2gR (Laplace vers 1800). ---- '''Système d'unités :''' pour la Terre , nous éviterons GM remplacé par gR² avec profit. Du fait de La loi de Galilée, la masse du satellite m n'intervient jamais. On se retrouve donc avec un système d'unités adapté ( un d@hu) tronqué à la cinématique. *R étant l'unité de longueur, on prendra 2π.R = 40 000 km. *On conviendra de prendre g = 9,80 m/s². *La pulsation unitaire sera donc <math>w = \sqrt{\frac{g}{R}}</math>, dite pulsation de Schuler. Il lui correspond une '''période''' <math>T(R)= 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}</math>, dite période basse altitude (84,4 min). *La vitesse unitaire est <math>Vo = wR = \sqrt{gR}</math>= 1re vitesse cosmique = 8.2 km/s (vitesse d'un satellite basse altitude). *L'énergie massique du satellite est donc -1/2 .gR *Le pivotement sidéral de la Terre est 24h * (365.25/366.25) = 86164 s =17.0 To.En un jour les astronautes voient donc environ 18 fois le Soleil se lever. En pratique, les satellites d'observation , type Spot orbitent à ~ 800 km d'altitude. Reprendre le système d'unités de ces satellites. ---- '''Légère erreur de trajectoire :''' Au lieu de la bonne vitesse Vo de Spot, on donne une vitesse de bonne direction (i.e perpendiculaire au rayon) mais trop forte : V1 = Vo(1+eps). Trouver la trajectoire et la période. - - - - - '''Fenêtre de tir :''' m ex que le précédent mais la bonne vitesse Vo est mal orientée dans le plan d'un angle A , petit. Trouver le périgée. - - - - - '''Erreur radiale :''' m ex que le précédent, mais il y a en sus de Vo , une erreur de vitesse radiale Vo.eps. ---- '''Lâcher-Chute libre :''' On n' a pas attendu Newton (le 24 Nov 1679) pour réfléchir à la déviation vers l'Est (ou l'ouest!) d'une pierre lâchée de l'équateur; c'était la dispute favorite des Coperniciens et anti-Coperniciens. La vitesse due au pivotement est à l'équateur de 40 000 km/86164 s soit 464 m/s . Selon les anti-Coperniciens, une chute de 5m (environ 1s) eût placé le mobile vers l'Ouest de 464 m ! Galilée (mais il avait tort) disait que le corps tomberait toujours à la verticale. Koyré catalogue les différents types de solutions (chute des graves et mouvement de la Terre): l'imagination au pouvoir ! mais c'est Newton qui donna la solution. Soit h << R , retrouver le résultat de Newton. Si h est assez grand, la déviation vers l'est sera si grande que la pierre sera satellite. Si h = altitude géostationnaire = H , la pierre ne tombe plus ! Si h est encore plus grand , la pierre est à son périgée : elle remonte, périodiquement. Si h > (R+H) .2^(1/3) - R , qu'arrive-t-il ? ---- '''Balistique :''' voir la WP ( [[ellipse de sûreté]] ) revoir la leçon sur la chute libre avec violence (avec vitesse initiale dit-on aujourd'hui). Dès que l'on veut une certaine précision (théorique) , il faut tenir compte de ce que la Terre est sphérique et donc prendre comme trajectoire de l'obus une ellipse lancé d'une base B avec une vitesse Vo faisant l'angle A avec la verticale. Soit u = Vo/sqrt(gR). 1/. Relation u et A pour que l'obus tombe à l'antipode. 2/. Déterminer la portée 2R.Beta , via tan B = f(u, tan A). 3/. Pour B donné, combien y a-t-il de trajectoires possibles ? et quelle est la portée maximale. (Indication : soit H le point d'altitude maximale (pour A=0 !). La trajectoire a pour deuxième foyer un point situé sur le cercle [centre B ; rayon BH]). ---- === Corrigé des exercices === '''Mersenne-Descartes :''' Appliquer le théorème de l’Énergie cinétique : -gR²/r +1/2 V² = constante , ce qui conduit au résultat. Descartes évidemment ne savait rien de tout cela ; mais il se doutait "intuitivement" que si g(z) décroissait alors il y aurait possiblement une "vitesse de libération". De même , Laplace , très heuristiquement , remarqua que si aucun corps ne pouvait dépasser la vitesse-limite c , alors si c² < 2gR , l'astre serait un trou noir ! Enfin, l'expérience a été tentée ( plus pour tester la relativité galiléenne et/ou la déviation vers l'Est(cf exo plus loin)): bien sûr on n'a jamais retrouvé le boulet! ) ---- '''Système d'unités Spot :''' Ro = 40 000/2Pi +800 = 7166 km. To via Kepler est : 84.4 (7166/6366)^3/2 = 100 min. Tout le reste s'en déduit (attention , c'est la pulsation qui a été choisie unitaire). ---- '''Légère erreur de trajectoire :''' Si eps = sqrt(2) -1 , la trajectoire est parabolique et le satellite part à l'infini. Sinon , Mo est le périgée: a-c = Ro. D'autre part, E1/m = 1/2 V1² - gR²/Ro ; donc on obtient le grand axe , puis l'apogée en A1 : OA1 = Ro.(V1²/2Vo²-V1²) (On retrouve le cas V1 = Vo.sqrt(2)). Si eps est petit : l'énergie massique a peu varié : dE/m = mVo².eps . Puis dE/Eo = - da/Ro = -2/3 . dT/To . Donc OA1 = 4Ro.eps et l'excentricité est e = 2eps ; enfin dT = To.3eps - - - - - '''Fenêtre de tir :''' Cette fois, l’Énergie massique n'a pas changé, donc le grand axe vaut 2Ro . Comme OMo = Ro , c'est l'extrémité du petit axe. donc k/\OMo donne la direction du grand axe. La projection de Mo sur celui-ci donne le centre de l'ellipse : l'excentricité vaut donc e = sin A ; d'où le périgée OP1 = Ro(1-sinA) : on ne peut se tromper que de 100 km :cela donne une fenêtre sin A = 100/7166 rad = 0.8°. Assez large , car les pointeurs donnent la seconde d'arc. - - - - - '''Erreur radiale :''' Si eps = 1 , la trajectoire est parabolique ! Cette fois, le moment cinétique Lo est le bon ; donc le paramètre p est le bon . Donc OMo est perpendiculaire au grand axe , dont la direction est connue. Il est facile de calculer le vecteur excentricité qui donne en module eps. On en déduit a = Ro/(1-eps²) (on retrouve eps = 1 comme limite). ---- '''Lâcher-Chute libre :''' le Cours donne D = déviation vers l'Est de 2/3.wt.h . Démontrons-le , façon Newton : la trajectoire est une ellipse , mais où r varie sensiblement comme R+h-1/2gt². La conservation du moment cinétique donne : d<math>\theta</math>/dt = [(R+h)/R+h-z)]² .w = w (1+ 2z/R), soit une déviation w.R. int(2z/R) = 1/3 w.gt².t = 2/3 wt.h Si h= H , c'est l'exercice classique du géostationnaire : R+H = R .17^(2/3) = 6.6 R = 42 000 km Si h < H , il existe des trajectoires elliptiques dont Mo est l'apogée : la plus petite aura pour périgée OP = R , donc un grand axe 2a = 2R+H , d'où l'énergie massique . En posant r = Rx , on trouve x^4 + x^3 = 1/2 (289) , soit x = 4.67 et donc h = 3.67 R. Si h > H , la pierre remonte ! résultat curieux qui aurait sans doute amusé Mersenne, et elle part à l'Ouest (si l'on ose dire). enfin si h > H. 2^(1/3)= 8.36 R, alors E > 0 , donc trajectoire hyperbolique (limite : parabolique). ---- '''Balistique :''' V= 8.2km/s := sqrt(gR) a signé le début de la Guerre Froide. mais déjà les canons longue portée obligeaient à prendre une trajectoire elliptique et non parabolique : 111.111 km c'est déjà 1° à l'équateur! 1/. Si l'obus arrive à l'antipode B' , OB = OB' = paramètre p = Lo²/m²gR² = R soit u.sinA = 1 . (évidemment trajectoire avec A< 45° : il faut une apogée!) 2/. La portée s'évalue en calculant la direction du vecteur-excentricité 1 + i.Lo.Vo.exp(iA)/mgR² = [1-u²sin²A] +i[u²sinAcosA]=> tanB = 1/2 u².sin2A / (1-u²sin²A). Pertinence : on retrouve Torricelli pour u <<1 ; et le §1. 3/. Pour B donné , équation en tan A : tan²A (1-u²) - tan A (u²/tanB) + 1 = 0 d'où deux angles B1 et B2 tels que tan(B1+B2) = (tanB1+tanB2)/(1-tanB1.tanB2) = S/(1-P) = -1/tanB, donc A1+A2 = Pi/2+ B : il existe une trajectoire tendue et une plongeante. Portée maximale : tan B = u²/2(1-u²) [pertinent avec u=1 ] '''Géométriquement''', tout ceci est relatif à la courbe de sûreté qui est l'ellipse de foyers T et B et d'apogée BH (rappel 1/H = 1/h -1/R , exercice sur l’énergie potentielle). En effet , toutes les trajectoires Tr(A) ont m énergie , donc m grand axe , soit TH+HB . Le lieu du deuxième foyer est donc le cercle [centre B, rayon BH]: pour une portée donnée (donc angle B donné , il y a deux solutions : à l'intersection de la droite d'apogée avec ce cercle ; soient F1 et F2 : alors la vitesse initiale étant bissectrice de TBF , les deux vitesses sont telles que A1+A2 = Pi/2+ B. La racine double est lorsque sinB = H/R ( = u²/(2-u²)). L'ellipse de sûreté est donc telle que MT+MB = HO+HB, et dans ce cas, BM est corde focale [les raisonnements sont calqués sur ceux de Torricelli]. ---- === Exercices d'astronomie === ==== Étoiles doubles ==== Montrer que dans le cas d'une étoile double, la troisième loi de Kepler s'écrit assez naturellement : w² . a³ = G (m1+m2) Que penser des planètes du soleil ? '''Réponse :''' Le problème à deux corps donne la réponse : (masse-réduite).w² a = G.m1.m2/a². Ainsi , on obtient une formule symétrique en m1 et m2 , ce qui est pertinent. Dans le cas des planètes du Soleil , la plus grosse, Jupiter, n'apporte qu'une petite correction m2<< M(Soleil) , ce qui justifie la loi de Kepler. Pour les calculs précis, on fait les corrections, étant entendu que le barycentre du système solaire est quasiment en mouvement uniforme (pour plus de corrections, par exemple pour la ceinture de Kuiper ou le nuage de Oort, il faut envisager la "marée galactique"). ==== Conjonction Mars -Terre ==== La distance T-Soleil = 1UA ,période 1an, excentricité e(T); mars-Soleil = d UA,période k ans, excentricité e(M). Montrer que '''TM''': = '''OD''' ne peut varier que dans une couronne >d1 et <d2. Le point D est-il dense dans la couronne? Si k était rationnel := p/q quel serait le mouvement de D. '''Réponse :''' Consulter exercices de l'IMCCE. ==== équant de Ptolémée ==== Soit une planète, disons Mars, de trajectoire elliptique d'excentricité e ( = 0.093). On prend comme échelle de temps l'angle polaire compté à partir du deuxième Foyer F', où "il n'y a rien!". Est-ce mieux ou moins bien que de compter theta(t) comme temps "uniforme" ? '''Réponse :''' Historiquement, cet exercice a beaucoup d'importance : on ne distingue pas un cercle d'une ellipse dès que e<0.1. Donc Ptolémée croyait que la trajectoire était circulaire. MAIS il avait bien vu que theta(t) n'était pas uniforme ; par contre theta ' (t) l'était à la précision des mesures de l'époque. C'est ce que l'on demande de prouver. ---- == Rapatriement provisoire de la WP:historique de démonstrations == Ici est placé tout le travail de recherche historique qui n'intéresse pas forcément tout le monde : il y eût moult "démonstrations" du cours précédent. === Newton (1684) === *1/. '''la première''', celle de Newton en novembre 1684, est géométrique, le temps étant évalué par l'aire balayée (2ème loi de Kepler) : l'analyse en est faite dans l'[[Exégèse des Principia]]. === Hermann (1710) === *2/. '''la plus simple''' (1710 & 1713) est celle de [[Jakob Hermann]] (1678-1733), élève de [[Jacques Bernoulli]] (1654-1705) : il écrit à [[Jean Bernoulli]] (1667-1748) : on remarque que l'hodographe est un cercle (notion de vecteur excentricité) : en calculant le produit scalaire '''e.r''', on trouve l'ellipse et son péricentre. L'analyse est faite dans [[Invariant de Runge Lenz]]. Laplace la reprendra dans son traité de « Mécanique Céleste ». Que cela est vite dit dans notre langage moderne ! En réalité, la démonstration géométrique est la remarque classique sur le rôle des podaires dans le cas de champs centraux. Danjon remarque (avec Hamilton) que l'anti-podaire de l'inverse d'un cercle est une conique : cela était enseigné encore au baccalauréat des années 60 (Cf. LEBOSSÉ & EMERY, cours de mathématiques élémentaires). Quant à Hermann, c'est un tour de force : Il possède trois intégrales premières en coordonnées cartésiennes tirées de <math>\ddot{x} = -gR^2\cdot x \cdot r^{-3}</math> et idem en y. * <math>C := x\dot{y} -y\dot{x}</math> * <math>E_x := \frac{x}{r} - \frac{C}{gR^2}\cdot \dot{y}</math> * <math>E_y := \frac{y}{r} - \frac{C}{gR^2}\cdot \dot{x}</math> Éliminer la vitesse : on trouve <math> x \cdot E_x +y\cdot E_y = r- p </math> : c'est une ellipse (Cf.discussion [[conique]], Kepler). Mais comment a-t-il trouvé les deux intégrales premières du vecteur excentricité ? par un raisonnement analytico-géométrique horriblement compliqué ! On sait aujourd'hui le faire par la théorie de la représentation linéaire des groupes (Moser et SO(4) :1968) === Transmutation de la force par Newton === *3/. '''la plus surprenante''' est celle de la [[Transmutation de la force]] (Newton, retrouvé par Goursat (1889)): ce théorème est EXTRAORDINAIRE et apprécié des ''afficionados'' des ''Principia''. === Keill (1708) === * 4/. '''la classique''' : Newton-Keill (en 1708) - Bernoulli (1719) "Classique", elle est bien "chencitournée". Le problème est plan, si la force est centrale. Le plan de phase est donc (<math> x,y,\dot{x} , \dot{y}</math>). Les deux équations du PFD (principe fondamental de la dynamique) sont : <math>\ddot{x} = - \Omega^2 \cdot x</math> et la même en y.[Évidemment <math>\Omega </math> dépend de r!]. Cette notation est évidemment très réminiscente de celle de Hooke. Mais elle n'a rien à voir, sinon que la symétrie est centrale. Choisir trois fonctions invariantes par rotation : *<math>I := 1 \cdot (x^2+ y^2) = r^2</math>, strictement positif, *<math>J := 1 \cdot (x\dot{x} + y\dot{y})</math>, de sorte que <math> \dot I = 2J (= 2r\dot{r})</math>, *<math> \ K := {v^2}/{2}</math>, énergie cinétique. Remarquer cette particularité : r² est choisie comme variable, et non r. Et comme J est non-nulle, I va jouer '''le rôle d'une échelle de temps''' au moins sur une demi-période, du périgée à l'apogée. Démontrer que le problème se réduit au système différentiel (S) : *<math>\dot{I} = 2J</math> *<math>2\dot{J} = K -I \Omega^2(I)/2</math> (th du viriel !) *<math>\dot{K} = - J \Omega^2(I)</math> (loi de Newton!) - - - Keill utilise alors '''l'échelle de temps I''' ; le système se réduit à : *<math> 4\frac{d(J^2)}{dI} = 2K - I \Omega^2</math> *<math>\frac {dK}{dI} = - \Omega^2/2</math> En éliminant Omega² (et quelle que soit sa valeur ! donc c'est vrai pour toute force centrale!) <math> K = \frac{J^2}{2I} + \frac{C_o^2}{2I}</math>. C'est un vrai ''tour de force'' : au début du XVIII{{ème}} , on vient de réécrire : <math>2KI = v^2\cdot r^2 = [\vec r \cdot \vec v]^2 + [\vec r \wedge \vec v]^2 = [\vec r \cdot \vec v]^2 +C_o^2</math> Emmy Noether connaissait-elle cette démonstration due à l'invariance par rotation ? - - - Puis, l'invariance temporelle donne la conservation de l'énergie : <math>1.\cdot H = K + V(I)</math>, où V(I) est l'énergie potentielle relative à la force centrale (= <math>-\frac{1}{2}\int \Omega^2 dI)</math> - - - Ces deux ensembles de surfaces feuillettent l'espace (I,J,K) et leur intersection donne l'orbite du mouvement dans cet espace. Éliminer K conduit à travailler dans le demi-plan (<math>I, 2J = \dot{I}</math>), c'est à dire dans un plan de phase presque usuel (on joue avec r² plutôt qu'avec r) : <math> H = \frac{J^2}{2I} + \frac{C_o^2}{2I} + V(I)</math>, ce qui est '''l'équation de Leibniz(1689)''', mais en notation I = r². (Remarquer que tout résulte de cette circonstance (non évidente du temps où les vecteurs n'existaient pas) : <math>x \dot{x} + y \dot{y} = r \dot{r}</math>) et pour finir, comme d'habitude, dt = dI/2J donne le mouvement sur cette orbite de phase et la primitive de 2J(I) donne l'action S(I) du problème. Évidemment, actuellement, nous repasserions immédiatement en coordonnées (r et r'). Il n'empêche que voilà décrite la solution incroyable de Keill qui témoigne d'une virtuosité tombée dans l'oubli de l'Histoire. *'''Note d'histoire''': cette équation ayant été écrite par Lagrange sous cette forme, le H ne saurait signifier « valeur de l'Hamiltonien » ! Peut-être faut-il y voir un hommage à Huygens (?), premier à utiliser la généralisation du théorème de l'énergie cinétique de Torricelli ? peut-être est-ce une simple notation fortuite... La suite est très classique et correspond à différents paramétrages dans le cas de Kepler : L'équation de Leibniz se réécrit dans ce cas : <math> H \cdot 8r^2 -4C_o^2 + 8(GM) \cdot r = 4J^2 </math> qui est une conique en J et r, ellipse si H est négatif de grand axe <math>2a = - \frac{(GM)}{H}</math> : Il est usuel alors de paramétrer via l'{{g|anomalie excentrique}} : <math>r = a \cdot(1- e \cos{\phi})</math>, et « miraculeusement » : <math>\omega \cdot dt = \frac{r}{a} \cdot d\phi</math> , qui s'intègre en donnant la fameuse équation de Kepler. En contrepartie l'équation en theta est légèrement plus compliquée à intégrer (primitive de <math>\frac{1}{r}</math>) d'où : <math>tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot tan \frac{\phi}{2}</math>. Note de détail: certains préfèrent la notation i = I/2 , et/ou j = J/2. === Clairaut (1741) === *5/. '''la méthode de Clairaut''' (1741), reprise par Binet consiste à écrire l'équation de Leibniz à l'aide de u := 1/r : <math> \dot{r}^2 = 2H + 2gR^2 \cdot u - C^2 \cdot u^2</math> et cette fois le paramétrage adéquat est : <math>u := 1+e\cdot \cos \alpha</math> et <math> \dot{r}: = e\cdot \sin \alpha</math> ce qui conduit au « miraculeux » <math>d \theta = d\alpha</math> ! la trajectoire est donc une ellipse. Mais la deuxième intégration conduit à <math>dt = k d\alpha \cdot 1/u^2</math> plus difficile à intégrer (mais tout à fait faisable !) === Lagrange (1778) === *6/. '''la méthode de Lagrange''' est originale (1778) et n'utilise que la linéarité de F = m.a ! Partant de l'équation radiale de Leibniz(1689) : <math>\ddot{r} = C^2 u^3 - e^2u^2</math> il pose comme nouvelle variable z = C²-r et trouve : <math>\ddot{z} = -(GM) \cdot z \cdot u^3 </math>, '''identique''' aux deux équations de départ en x & y !! donc il obtient : z (:= C²-r) & x & y linéairement liés, ce qui est la définition d'une ellipse (Cf. [[conique]], discussion). CQFD === Laplace (1798) === *7/. ''' Laplace''', sans citer Lagrange, calcule, en force brutale, sans aucune intégrale première, l'équation en I = x² + y² du troisième ordre issue du système de Keill : d'où il tire <math>\frac{d^3I}{dt^3} = - \frac{\dot I}{I^{3/2}}</math> (comme quoi , le jerk ne date pas d'hier!) Laplace en tire cette fois '''quatre''' équations '''linéaires''' identiques : d/dt(r^3.Z") = - Z', avec Z = r, x, y, constante. D'où r = a x + by + c.constante : c'est une conique ! Il reste à trouver une interprétation physique à ce calcul! === Hamilton (1846) et autres === *8/. Soit une ellipse ; le foyer F et sa polaire, la directrice (D). Soit P le point courant de l'ellipse et PH sa projection sur la polaire. Le [[théorème de Newton-Hamilton]] donne immédiatement la force centrale F ~ r/PH^3 soit ~ 1/r².e³. *9/. Hamilton démontre aussi que pour toute mouvement sur une ellipse de paramètre Po, on obtient |'''a/\v'''|.Po = C^3/r^3. Donc si le mouvement est central de foyer F, |a/\v| = a.C/r d'où a ~ 1/r². *10/. Hamilton est aussi le promoteur du renouveau de la méthode de l'hodographe circulaire que Feynman reprendra à son compte dans ses « lectures on Physics » *11/ Hamilton va inspirer le [[Théorème de Siacci]] et puis Minkovski qui donnera beaucoup de propriétés des ovales : ceci donne encore une autre démonstration. === Goursat et régularisation dite de Levi-Civita === *12/. Goursat (1889), Bohlin(1911), AKN {Arnold & Kozlov, Neishtadt} reprennent la méthode z-> sqrt(z) = U (complexe) et le changement d'échelle de temps (dit de Levi-Civita ou de Sundman) dt/dT = 4 |z| : quelques lignes de calcul donnent via le théorème de l'énergie cinétique : |dU/dT|² = 8 GM + 8 E |U|² ; soit par dérivation <math> {d^2U \over dT^2} +(-8E)\cdot U = 0</math>, avec E négatif. Donc U décrit '''une ellipse de Hooke''' et z =sqrt(U) l'ellipse de Kepler. On aura reconnu en T(t), l'anomalie excentrique. Ce n'est donc qu'une des méthodes précédentes : mais cette méthode a des prolongements plus importants (Cf. [[théorème de Bertrand]]). Voir aussi plus bas. ===régularisation=== cette transformation du problème de Kepler en problème de Hooke est assez stupéfiante. Saari(p141) s'y attarde un peu plus qu'Arnold (Barrow,H,H,Newton) ; peut-être est-ce justifié ; voici : Le problème de régularisation se pose s'il y a collision , c'est à dire , C très voisin de zéro. Saari dit : la collision entraîne un changement brutal de 2Pi . Afin de garder la particule sur la droite sans singularité , il "suffit de penser" à garder l'arc -moitié ; soit de changer de jauge (de fonction inconnue): <math>\ U = \sqrt z</math> et de variable (transmutation d'échelle de temps) dT = dt/r(t)(ATTENTION au facteur 4!) La conservation de l'énergie s'écrit 2|U'|²-1 = Eo.r et l'équation du mouvement : <math>\ddot z = -z/r^3</math> devient : <math>r \frac{d^2z}{dT^2} - \frac{dr}{dT}\cdot \frac{dz}{dT} +z = 0</math> , équation LINÉAIRE sans le r^3 ! Elle conduit à : U" -U/r [2|U'|²-1] =0 soit <math>\frac{d^2U}{dT^2}+ (-Eo/2)\cdot U = 0</math> (équation de Hooke). Le gros avantage de cette solution est qu'elle est stable-numérique : les solutions restent sur la même iso-énergie. ===Kustaanheimo(1924-1997) et Stiefel(1909-1978)=== en 1964, ils utilisèrent les quaternions pour transformer le problème de Kepler dans R^3 en celui de Hooke dans R^3, via R^4! (congrès d'Oberwolfach): ils leur a suffi de prendre la quatrième coordonnées x4 = cste : alors le quaternion U se déplaçait sur la sphère; ceci mit en exergue la symétrie SO(4) et mieux SO(4,2) qui correspondait à la version spinorielle du problème de Kepler (liée à la solution en coordonnées paraboliques) et mettait en avant le vecteur excentricité. Immédiatement, le traitement des perturbations fût amélioré (Stiefel et Scheifel,1971), mais aussi la quantification (methode dite de Pauli (SO(4)), et surtout la quantification lagrangienne SO(4,2),avec ses orbitales "paraboliques" de Kleinert (1967-1998)(cf Kleinert 2006). *Saari donne des '''raisons topologiques à l'obstruction du passage de R^2 à R^3''' et la nécessité de passer à R^4 (les quaternions): la relation U^2 = z , ne pouvait se régulariser sur la sphère à cause du célèbre théorème du hérisson de Brouwer-Poincaré. Mais si on ne peut "peigner" S2 , on peut peigner S3 (et même S7:octonions), ce qui avec les trois vecteurs tangents donne la fameuse matrice 4-4 de la transformation K-S : rappelons que le maître de Stiefel était Hopf lui-même qui dressa la carte de S3 vers S2 : il n'y a pas de hasard, posséder une bonne formation, cela sert! (cf Oliver(2004)). ---- Voilà donc 12 démonstrations assez mal connues. En existe-t’il d'autres, de cette époque ? Bien sûr, ont été exclues ici toutes les méthodes de mécanique lagrangienne et hamiltonienne, en particulier celle de [[Max Born]] (cf plus bas). == Équation du temps, de Kepler : résolution == Dans le [[mouvement keplerien]], l''''[[équation du temps, de Kepler]]''' relie l'[[anomalie moyenne]] M = nt à l'[[anomalie excentrique]] E par l'équation <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> M = E - e \cdot \sin E</math> |} | | | |}</div> où e est l'[[excentricité orbitale|excentricité]] de la planète. '''Résoudre cette équation, c'est trouver E(e,M) :''' * comme série de Fourier puisque c'est une fonction périodique impaire de M * comme série de puissance de e, si e < eo := 0.6627..., rayon de convergence de la série. * comme une valeur numérique avec un nombre de chiffres (d), pour un temps de calcul tc(d) optimisé. === Série de Fourier === C'est [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] qui trouve l'expression, bien que le nom J_n(x) soit associé au nom de [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]]. * E-M = fonction impaire périodique de M : <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> E-M = e\cdot sinE = 2 \cdot \Sigma_{n=1} \frac{J_n(ne)}{n} \sin(nM)</math> |} | | | |}</div> '''Démonstration :''' On rappelle la définition de Jn(z) : <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> J_n(z) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} \cos(nx-zsinx)dx</math> |} | | | |}</div> et le développement classique de 1/[1-e.cosE] -1 , fonction paire périodique de moyenne nulle vaut: <math>\Sigma a_n \cdot cos (nM)</math> avec <math> \ a_n = 2 J_n(ne)</math> car <math>\pi a_n = \int_0^{2\pi} cos (nM)/(1-e cos E)\cdot dM = \int_0^{2\pi} cos(n[x-esinx]) dx </math> *On reconnaît (a/r)-1 = 2<math> \Sigma_{n=1}J_n(ne)\cdot \cos (nM)</math> === Série entière de l'excentricité === C'est encore Lagrange qui trouve la solution en inventant pour l'occasion son théorème d'inversion des fonctions holomorphes ; et [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]] donnera le rayon de convergence : mais [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], pas content du tout, fonde la théorie des séries analytiques pour résoudre ce problème épineux, qui verra son aboutissement avec les travaux de [[Victor Puiseux|Puiseux]]. <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> E-M = \Sigma_{n=1} {e^n \over n!}\cdot a_n(M)</math> |} | | | |}</div> avec <math>\ a_n(M) = D^{n-1} (\sin^n M)</math> et D := opérateur dérivée. C'est l'application du théorème d'inversion de Lagrange. *Le rayon de convergence de la série est : eo = 0.6627434193 {{Boîte déroulante|titre= note historique |contenu= indiqué par Laplace ([[1823]]) et démontré par Cauchy et Puiseux : eo = '''max (x/chx)''' ; soit eo = 1/sh(xo) avec 1/xo = th(xo);démonstration in Wintner, sur l'analyticité de la série.}} ==== Cas des comètes : {{MathText|e > \ e_o|e &gt; eo}} ==== Le premier à se confronter au problème est [[Jeremiah Horrocks|Horrocks]], puis surtout [[Edmond Halley|Halley]] ([[1705]]), pour les calculs sur sa comète d'excentricité e = 0,9673. Il faut modifier légèrement la solution de Barker (e = 1). Et Bessel([[1805]]) résout ce cas, mais pour e > 0.997 [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] ([[1809]]) s'illustra en donnant une belle solution pour 0,2 < e < 0,95 Autant dire que le voisinage de (0,95 ; 0,98) est fertile en problèmes, en cas d'itération ! === Calcul numérique === Les calculs via les [[intégrateur symplectique]]s exigent de rester toujours en butée du nombre de digits, dans le moindre coût de calcul.<br/> Depuis 300 ans, on cherche la « meilleure » méthode. Elle reste à trouver ! Bien sûr, cela dépend beaucoup du doublet (M,e), M compris entre 0 et Pi et de e, surtout quand e est voisin de 1. Nijenhuis (1991) adopte la méthode de Mikkola (1987) qui est la méthode de Newton d'ordre 4, en choisissant « adéquatement » le germe Eo en fonction du doublet (M,e). Il est clair que dans les calculs numériques, le volume de calculs est essentiel, autant que le nombre de décimales, vu l'instabilité du système solaire évaluée à un [[exposant de Lyapunov|coefficient de Liapunov]] de 10^(t/5Myr). On se heurte à une muraille exponentielle : difficile d'aller plus loin que 25 Myr, même avec un traitement 128 bits. Ce sont ces calculs (astronomiques... mais informatisés) qui tournent sur les machines de l'IMCCE-Paris. Le calcul de l'ensoleillement terrestre à la latitude 65°Nord, I(65,t) est calculé et on essaie d'en déduire la corrélation avec le climat passé : l'échelle géologique jusqu'au Néogène (25M ans) en est déduite(échelle géologique Gradstein 2004). Prochaine étape prévue : les 65 M ans. === Histoire des sciences === Avant Kepler, l'équation est déjà étudiée ! bien sûr, pas pour le même problème, mais pour la même équation : c'est le problème de la réduction des coordonnées locales aux cordonnées géocentriques : il faut réduire la correction de parallaxe. Habash al Hasib s'y est déjà attaqué. Avant 1700, il y a déjà beaucoup de tentatives : Kepler naturellement, Curtz (1626), Niele, [[Ismaël Bouillau|Bouillau]] (1645, 1657), [[Seth Ward]] (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), [[Jean-Dominique Cassini (Cassini I)|Cassini]] (1669), Newton (1665?), [[Christopher Wren|Wren]] (1658), [[John Wallis|Wallis]] (1659),... De toutes, celle de [[Jeremiah Horrocks]] (1638) est de plus grande beauté. Cf le Colwell, déjà cité. ==== compléments ==== En 1770, Lagrange trouve les deux séries, mais le changement des termes dans les séries le laisse perplexe. 1821 : Cauchy enfin ! Sitôt après, 1824, [[Bessel]] (1784-1846)fera une étude extensive de "ses" fonctions , déjà apparues en 1703 dans une lettre de jean Bernouilli à Leibniz. Daniel Bernouilli fait la théorie du mode propre de la corde suspendue et introduit Jo(x); Euler généralisant a besoin des In(x) , les bessel-modifiées. *Les calculs de développements approchés donnent : * E-M = e.sin M[1-e^2/8 +1/192 e^4]+(e²/2). sin(2M)[1-e^2/3 +e^4/24] +e^3.sin (3M)[3/8 -27 e²/128] +e^4/3 .sin(4M)[1-4e²/5] + 125 e^5/384 . sin (5M) + 27 e^6/80 .sin (6M) +O(e^7) (p202 Battin) * OM/a = 1 - e cos wt +e²/2(1- cos(2wt)) + 3/8e³[cos(wt)-cos(3wt)] + 1/3e⁴[cos(2wt)-cos(4wt)]+ O(e⁵) * angle POM = θ(t) = wt +2e sin(wt) +5/2 e² sin(2wt) + e³[13/12sin(3wt) -1/4 sin (wt)] +e⁴ [103/96 sin (4wt) -11/24 sin(2wt)] + O(e⁵). *La solution d'Horrocks(1638) fût :Translater Delphine du déférent de (-2c,0) en D' et prendre E = angle (CP,CD')où C est le centre du déférent On montre que E(Horrocks) = M + e/1sin M +e²/2 sin 2M +e³/3 sin3M +... et E(H) -E = 1/6 .e³sin³M ; pas si mal! *La méthode la plus simple est évidemment "regula falsi" (interpolation linéaire inverse ou méthode dite de l'artilleur): la fonction étant croissante , on "tire" trop bas avec x0 (F(x) est négatif), trop haut avec x1 (F(x) est positif) : alors la racine est entre les deux et on prend la corde. * On peut montrer que E-M satisfait l'équation cartésienne de Newton : en effet c'est e sin E et donc proportionnelle à y(E) * (Gudermann(1798-1852)): le cas des orbites hyperboliques se traite par Corinne et donc le Gudermannien : x = a ch u et y = b sh u ; r = a(1-e ch u) On pose 1/cos g = ch u et tg g = sh u soit g = gudermannien (u) = gd(u) = 2 arctg(exp u) -Pi/2. * Sundman (1873-1949)introduisit en 1912 le temps régularisant : === Voir aussi === *[[mouvement keplerien]] *[[intégrateur symplectique]] *[[Jeremiah Horrocks]], cf discussion. *Colwell (1993) : solving Kepler's equation over three centuries, ed Willmann-Bell, {{ISBN|0-943396-40-9}} *Brinkley (1803) : trans roy irish ac, 7,321-356. == Après Lagrange, jusqu'à Born-Sommerfeld == == Les transformations hamiltoniennes du problème de Kepler et SO(4) == == En attente , les perturbations , pour faire de mon mieux == les perturbations du mvt de Kepler sont parmi les plus "dures" car il y a la dégénérescence banale de SO(3), mais aussi la dégénéréscence de SO(4) pour les états liés : du coup il faut comprendre la structure de la sphère S3 dont on sait qu'elle se retourne comme un gant ou peut se transformer en une foliation torique de Hopf, etc. Comment la perturbation agit sur chacun de ces aspects est encore à inventorier, même si on en connaît pas mal sur le sujet, en particulier gràce aux travaux de Poincaré, KAM, Mather, etc. Il est vrai que le niveau est plus élevé ici, puisqu'il s'agit de problèmes le plus souvent non intégrables. === à la manière directe : Danjon-Pollard-Duriez === la perturbation F est installée au temps t=0 , avec OMo et Vo donnés , càd Lo,Eo et eo données et passage au périgée donné.On appellera '''ko''' la direction de Lo, et '''uo''' = '''OMo'''/ro, et <math>\vec{u_{\theta_o}}</math> pour compléter le trièdre, dont le vecteur-rotation instantanée sera <math>\vec{\Omega_o}</math> ( '''v''' signifiera donc '''vecteur-vitesse'''). Sept équations sont bien compréhensibles : * <math>\dot{\vec{L}} = \vec{OM}\wedge \vec{F}</math> (théorème du moment cinétique) * <math> \dot{E} = \vec{v}\cdot\vec{F}</math> (théorème de l'énerie cinétique) *<math> \dot{\vec{e}} = \vec{F}\wedge \vec{C} + \vec{v}\wedge \vec{C} </math> (théorème du moment"excentricité") Moins évidente est la variation de l'anomalie moyenne : *<math> \omega \cdot a^2 \cdot \dot{M} + \vec{\Omega} \cdot \vec{C} = -2E -2\vec{OM}\cdot \vec{F} </math> que l'on "extrait" du viriel en force. Il en résulte les équations de Gauss. ==== équations de Gauss ==== le quintuplet [a,e,i,<math>\Omega, \omega </math>]s'en déduit projeté sur le reférentiel initial et final : * <math>C \cdot \dot{a}= 2a^2\cdot\vec{F}(\vec{u_{\theta} }+e \vec{u_{\theta_o}})</math> * <math> C \cdot \dot {e} = r (e+cos\theta) \vec{F}\cdot \vec{u_{\theta}}+ p \cdot \vec{F}\cdot \vec{u_{\theta_o}}</math> * <math> C \cdot (\dot{\omega} +cos( i) \cdot \dot{\Omega}) = r sin \theta \cdot \vec{F}\vec{u_{\theta}} -p \cdot \vec{F} \cdot \vec{u_o}</math> et * <math>C \cdot (sin (i)\cdot \dot{\Omega}) = r \cdot sin(\omega +\theta)\cdot (\vec{F}\cdot \vec{k}) </math> * <math> C \cdot\dot{i} = r cos(\omega +\theta)\cdot (\vec{F}\cdot \vec{k}) </math> et bien sûr C varie comme : *<math>\dot{C} = r \cdot \vec{F}\vec{u_{\theta}} </math> Et il reste encore dM/dt à écrire ! Comme de plus il faut projeter l perturbation sur la base initiale et la base finale , l'interprétation est sévère. heureusement, la perturbation dérive souvent d'un potentiel : cela simplifie l'écriture et la compréhension de ces 6 équations, sur lesquelles il faut se pencher qq temps pour les assimiler. ==== pertinence des équations de Gauss ==== demandée ici, pour "souffler un peu" : le cours est construit ainsi ! ne rien faire que l'on ne puisse refaire ou retenir ! Pour retenir, il faut manipuler et croiser les équations jusqu'à ce que cela devienne "machinal" et au fond "intuitif" . Donc la question posée est : en quoi les 6 équations précédentes vous semblent-elles pertinentes ? {{Boîte déroulante|titre= pertinence des équations de Gauss ; dissertation en 3heures | contenu= d'adord et toujours l'homogénéité ! ensuite prendre des cas particuliers "évidents", etc. }} === Perturbation de Kepler : effet Stark classique === Si à la force newtonienne vient se rajouter une petite force F, la trajectoire va être légèrement perturbée. Néanmoins si F est parallèle au vecteur excentricité, la symétrie ne sera pas entièrement détruite. Il convient de prendre les bonnes coordonnées pour traiter ce problème. Comme on sait traiter le mouvement keplerien en [[système de coordonnées paraboliques]], il faut évidemment en profiter. Mais si F devient trop grand, il apparaît clairement que l'atome va pouvoir s'ioniser plus facilement. En mécanique quantique cela sera encore plus évident via l'effet tunnel, conduisant à l'ionisation Stark, fragilisant surtout les [[atome de Rydberg]]. === Mouvement d'Euler à 2 centres d'attraction === Euler a vite compris que la composante du vecteur excentricité permettait d'intégrer le problème à 2 soleils fixes et une planète. Cela s'opère grâce à un [[système de coordonnées bifocales]]. Vinti s'est fait le promoteur de cette méthode : ébauche === Mouvement si Terre-galette (Béletskii) === Beletskii a fait remarquer que le problème d'Euler pouvait s'appliquer à un Soleil légèrement allongé de forme cigare. Par prolongation analytique, avec des masses « imaginaires », il a proposé une interprétation simple du mouvement d'un satellite terrestre sous l'action perturbante du bourrelet (le terme J2(P2(cos(theta)/r³) dans le potentiel gravitationnel. On retrouve les effets décrits dans [[satellite artificiel]]. === Perturbation de Kepler par planète proche : Terre & Lune === Ce problème est ardu : Newton disait que cela lui donnait mal à la tête. Il a fallu attendre Clairaut (1741) pour avoir une première théorie de la Lune. Aujourd'hui avec les miroirs posés sur la Lune (Apollo et Lunakhod), on peut comparer la théorie analytique à celle numérique. La précision théorique des LLR (laser lunar range: tir laser vers la Lune) est de quelques centimètres. La théorie analytique comprend plusieurs milliers de termes, mais donne aussi une précision de quelques mètres. à compléter (séminaire Laskar du 09/03/06). === Perturbation de Kepler par planète lointaine : Terre & Jupiter === Là, le problème est plus facile . L'essentiel de la méthode consiste en une méthode variable rapide- variable lente, due à Legendre, puis Gauss. à compléter. === Perturbation de Kepler et symétries === Bien sûr, chaque fois qu'un système possède une symétrie continue, le théorème de Noether donne une intégrale première, ce qui permet d'éliminer une variable de l'espace des phases. Comment s'opère cette réduction ? Le livre de Cordani, celui de Marsden & Ratiu expliquent cette réduction. Enfin, le problème garde toujours sa symétrie symplectique : il faudra expliquer comment fonctionnent les [[intégrateur symplectique]] (Laskar & Robutel, Celestial Mechanics, 2001,80, 39-62). ------------ == Applications == Elles sont innombrables : *les principales historiquement sont celles de l'astronomie, et prosaïquement des éphémérides solaire et lunaire de notre calendrier des postes. *les plus utiles sont celles des satellites artificiels. * le modèle de Rutherford-Bohr de l'atome s'appuie sur cette théorie. == Perturbations du mouvement de Kepler == C'est évidemment essentiel. Pour les satellites artificiels, il faut tenir compte de la forme non sphérique de la Terre , ET de toutes les autres petites perturbations ( pression de radiation du Soleil sur les panneaux solaires, action de gravité différentielle de la Lune et du Soleil, etc. Pour l'astronome , il y a essentiellement deux problèmes : * la perturbation du mouvement Terre-Lune dû au Soleil * la perturbation de Saturne par Jupiter. À l'heure actuelle, les programmes de calculs peuvent envisager de traiter (sur un temps pas "trop grand") le mouvement de l'ensemble des planètes. On sait depuis peu que Pluton n'est pas une vraie planète. Ceci dit, le mouvement des planètes sur des échelles de qq 10^6 années commence à être sensible aux conditions initiales (la Terre est un cas particulier car la Lune vient stabiliser son inclinaison et son excentricité). Pour le programme [[w:Galileo (système de positionnement)|Galileo]] (le [[w:GPS|GPS]] européen), la précision sur le positionnement de la constellation de satellites artificiels est assez impressionnante(inférieure au centimètre). ---- ---- == insert provisoire:atome d'hydrogène == Cet article suit l'article [[atome d'hydrogène]]. La résolution de l'équation de Schrödinger, écrite en coordonnées polaires, se découple des variables (<math>\theta, \phi</math>) et conduit à une équation à une dimension en r, appelée équation radiale de Leibniz-Schrödinger, puisque ce n'est jamais que la célèbre équation de Leibniz de 1685 traduite en mécanique quantique. Mais l'équation de Schrödinger (1926) peut se résoudre autrement comme Pauli l'a montré en 1925 ! == Équation radiale == L'équation radiale 1D de Leibniz-Schrödinger s'écrit pour r>0: <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math>-{\hbar^2 \over 2m}S^{''} + ({\hbar^2l(l+1) \over 2r^2} - {e^2 \over r} )S(r) = E \cdot S(r)</math> |} | | | |}</div> avec E valeur propre négative , et S(r) s'annulant "vite" à l'infini, et S(0) =0 :il s'agit donc d'un problème aux limites dit de Sturm (par opposition à un problème aux conditions initiales, dit de Cauchy); de plus <math>\int_0^{\infty} S^2(r) dr = 1</math>. [On reconnaît dans <math>{ \hbar^2 l(l+1) \over 2m r^2} </math> la barrière centrifuge de Leibniz (l entier positif) (l=0 correspond à L =0 ; le problème classique n'a pas de correspondant simple en mécanique quantique, encore que ...)]. *Comment arrive-t-on à cette équation '''radiale''' de Leibniz-Schrödinger ? Il SUFFIT de chercher la fonction d'onde <math>\Psi(x, y, z, t)</math> en coordonnées sphériques sous la forme : * <math>\Psi = {S(r) \over r}\cdot Y_{l,m} (\theta, \phi) e^{-i{Et \over \hbar}}</math> , où les Y(l,m) sont les fonctions [[harmoniques sphériques]]. On appelle ce procédé courant dans les équations aux dérivées partielles, la séparation des variables. Souvent, on appelle R(r) := S(r)/r , la partie radiale de la fonction d'onde. *'''Note importante annexe''' : === Harmoniques sphériques === Il n'y a '''rien de mystérieux''' (et surtout rien à voir avec la MÉCANIQUE quantique) dans ce qui semble être un tour de passe-passe. L'étude en électrostatique '''classique''' de l'opérateur Laplacien conduit à ces mêmes fonction Y(l,m) , appelées [[harmoniques sphériques]], qui sont des fonctions '''usuelles''' dès que la symétrie sphérique entre en jeu. L'entier relatif m ne peut prendre que 2l+1 valeurs, de m = -l à m = +l , l étant un entier positif. Ce sont ces harmoniques sphériques qui "quantifient" le problème sphérique par les deux nombres quantiques l et m (comme il est '''usuel''' dans tout problème de Sturm, dit "aux limites", des équations différentielles), ces deux entiers l et m qui auront tant d'importance dans l'étude de l'[[atome à N électrons]] et donc de la [[Classification périodique]]. *Pour rester en continuité de lecture(sinon voir l'article [[Harmonique sphérique]]), est expliqué ici juste le minimum pour comprendre comment elles interviennent à ce niveau modeste (l=0,1,2,3):les (2l+1)polynômes <math>r^l Y_{l,m}</math> forment une base sur l'ensemble des polynômes homogènes P(x,y,z) de degré l, harmoniques(c’est-à-dire dont le laplacien est nul) *l=0 :<math>Y_{0,0}= {1\over sqrt(4\pi)}</math> : c'est bien un polynôme de degré zéro, normé sur la sphère unité puisque son carré vaut 1/4Pi. '''''Dorénavant, nous n'indiquerons plus ce facteur dit de normalisation'''''. *l=1 :3 fonctions <math>rY_{1,0} = rcos \vartheta = z</math> ; <math>rY_{1,1}+rY_{1,-1} = 2rsin \vartheta cos\varphi =2x </math>; <math>rY_{1,1}-rY_{1,-1} = 2irsin \vartheta sin\varphi =2iy </math>; soit la base {x,y,z} dite orbitales <math>p_x</math>, <math>p_y</math>, <math>p_z</math> ---- *l=2: cinq fonctions <math>r^2Y_{2,0} = r^2(3cos^2 \vartheta -1) = 2z^2-x^2-y^2</math> ; <math>r^2Y_{1,1}+r^2Y_{2,-1} = 2r^2sin \vartheta cos\vartheta cos\varphi = 2xz</math>; et avec moins , 2i yz ; <math>r^2Y_{2,2}-r^2Y_{2,-2} = 2ir^2sin^2 \vartheta sin2\varphi =4i xy </math>; <math>r^2Y_{2,2}+r^2Y_{2,-2} = 2ir^2sin^2 \vartheta cos2\varphi =4(x^2-y^2) </math>; Soit la base {3z^2-r^2, xz, zy, yx, x^2-y^2) dont chaque fonction est de laplacien nul. ---- *l=3: 7 fonctions soit la base { z(5z^2-3r^2), x(5z^2-3r^2), y(5z^2-3r^2),zxy,z(x^2-y^2),x(x^2-y^2), y(x^2-y^2)}dont chaque fonction est de laplacien nul. ---- * l quelconque : on trouve une base de (2l+1) polynômes réels, mais bien sûr toute combinaison linéaire complexe reste dans ce sous-espace vectoriel sur le corps des complexes. {{Boîte déroulante|titre=Pourquoi (2l+1)?|contenu=la raison en est aisée :effectuons le décompte : il y a (l+1)(l+2)/2 polynômes homogènes de 3 variables (c'est le nombre de manières d'avoir avec un triplet d'entiers{m,n,p]avec la relation m+n+p = l). Quand on calcule le laplacien on tombe sur l'espace des polynômes homogènes de degré (l-2),de dimension (l-1)l/2 ,pour l >1 ce qui donne pour l'annulation du Laplacien autant de conditions. Donc il ne reste, pour les polynômes homogènes harmoniques qu'un sous-ev de dimension (l²+3l+2 -l²+l)/2 = 2l+1.}} *Théorème: <math>{P_l(x,y,z) \over r^{l+1}}</math> est fonction propre du laplacien avec la valeur propre -l(l+1): C'est ce théorème qui est sans arrêt utilisé pour la théorie de l'atome d'hydrogène. En chimie ,on représente souvent les fonctions 1/r^(l+1) . Pl comme les harmoniques sphériques des orbitales l ; parfois on prend leur carré; etc. Dans l'[[atome à N électrons]] pour N< 119, l< 5 : donc cela suffit au physicien de l'atome, qui leur a donné des noms et des représentations mnémotechniques diverses. Ne pas oublier que l'on peut combiner à volonté ces fonctions, pour former ce que les chimistes appellent des orbitales hybridées du sous espace propre du niveau d'énergie En( en particulier les fameuses orbitales paraboliques de Kleinert). === Multiplicité (2l+1) === Le nombre quantique l est appelé '''nombre quantique azimutal''' (on voit qu'il joue, par son terme l(l+1), le même rôle que le carré du moment cinétique, L², en mécanique classique). Évidemment l'équation radiale a ramené le mouvement à UNE seule dimension, la variable radiale, avec la fonction S(r) qui doit s'annuler en r=0 (n'oublions pas c'est S(r)/r qui intervient ) et qui doit être de carré sommable sur l'intervalle r>0 . On aura donc des valeurs propres de cette équation linéaire, dépendant donc de l , <math> E_{k, l}</math> , mais pas de m (on dit que la multiplicité de la valeur propre est : 2l+1 ; en physique & chimie on dit : il y a dégénérescence du multiplet égale à 2l+1). Le nombre quantique m s'appelle '''nombre quantique magnétique''', car sous l'effet d'un champ magnétique ([[effet Zeeman]]) l'énergie dépend alors de la valeur de m, et l'on voit une multiplicité de niveaux d'énergie, d'où la dénomination . Enfin le nombre k , entier positif, s'appelle '''nombre quantique radial''' et donne le nombre de nœuds (k pour knots !) de S(r) pour r > 0 . Comme la spectroscopie est née un siècle avant la mécanique quantique, la tradition est restée d'appeler le nombre quantique azimutal l par des lettres latines : l= 1 -> s ; l=2-> p ; l=3 -> d ; l=4 -> f et ensuite g, h . === Résultat final === Au final, on trouve une énergie E(l,m,k) indépendante de m, soit E(l,k), mais, de façon incroyable (sauf pour Pauli), ne dépendant que de la somme l+k-1 = n , qui doit être un entier positif, et appelé '''nombre quantique principal'''. C'est la fameuse équation déjà trouvée par Bohr en 1913: <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math>E_n = {E_1 \over n^2}= -{me^4 \over 2n^2\hbar^2}</math> |} | | | |}</div> Il y a ce qu'on appelait une '''dégénérescence accidentelle''', avant l'introduction par Pauli en mécanique quantique du vecteur [[invariant de Runge Lenz]]. La multiplicité, g, du niveau d'énergie En est donc : pour l variant de 0 à n-1 et pour m variant de -l à +l <math> g =\Sigma_0^{n-1} (2l+1)= n^2</math> . Et, compte-tenu du spin (1/2) de l'électron ,g vaut le double , soit 2.n² *Ce qui donne simplement : couche K, g=2 ; L, g=8 ; M, g=18 ; O, g= 32 ; P, g = 50 ; Q, g=72 ; R, g = 98 ; S, g= 128. Inutile d'aller plus loin pour décrire la [[classification périodique]], la configuration de l'élément Z= 119 est celle d'un alcalin : <math>(1s^2) (2s^2) (2p^6) (3s^2) (3p^6) (4s^2) (3d^{10}) (4p^6)</math> soit Kr(Z=36) puis, <math>(5s^2) (4d^{10}) (5p^6) (6s^2) (4f^{14}) (5d^{10}) (6p^6)</math> Rn(Z=86) , puis <math>(7s^2) (5f^{14}) (6d^{10}) (7p^6)</math> Uuo(Z=118), puis 8s. Sur les 64 orbitales de la couche S, n= 8 , on n'a besoin de connaître que l'orbitale (8s): ce calcul requiert impérativement la [[mécanique quantique relativiste]] , car les électrons (1s²) de la première couche sont soumis à des vitesses non négligeables devant c . De même, la configuration de l'élément Z= 121 est Uuo,(8s²,5g), la sous-couche 5g pouvant contenir jusqu'à 2*9 =18 électrons. - - Ce faisant, on obtiendra ainsi tous les niveaux d'énergie des éléments '''ET des séries isoélectroniques''', ce qui permettra de décrire certains traits de la [[classification périodique]]. * Pour en revenir à l'atome d'hydrogène, il ne reste plus qu'à introduire le vecteur [[invariant de Runge Lenz]] quantique pour comprendre que la dégénérescence dite "accidentelle" ne l'est pas : il y a bien une symétrie de plus que la simple symétrie centrale dans le cas de ce modèle de Rutherford quantique (cf [[théorème de Bertrand]]). Auparavant, on va finir le raisonnement de Schrödinger (1926) ; puis on reviendra sur celui, plus subtil, de Pauli (1925). === Équation radiale-réduite et Polynômes de Laguerre === Si l'on revient à l'équation radiale de Leibniz-Schrödinger, on peut démontrer que pour r voisin de zéro, S(r) varie comme r^(l+1) , et que pour r très grand, S" + 2E S = 0 . Il est courant de poser 2E = -1/n² et donc S(r) varie comme exp (- r/n) à l'infini : n pour l'instant n'est qu'un réel! Alors le dernier changement de fonction inconnue est logiquement l'essai suivant qui se révèle fructueux : S(r) = r^(l+1).exp(-r/n).g(r) ; mais on s'aperçoit qu'en changeant la variable r en s : = 2r/n l'équation s'arrange mieux : L'équation radiale-réduite devient : s f"(s) + (2l+2-s) f'(s) + (n-l-1) f(s) = 0 , avec g(r) = f(2r/n) = f(s) Les matheux et Schrödinger ont reconnu cette équation immédiatement (?) : elle conduit à la fonction hypergéométrique dégénérée de Kummer, qui conduit aux [[polynômes de Laguerre]], '''ssi''' n-l-1 est un '''entier positif''' : donc '''n est un entier positif''' et l = 0, 1 , 2 , .. ,n-1 . Et le nombre k est simplement k = n+l-1. *Pour le cas l= n-1 (les états de Rydberg (cf. [[atome de Rydberg]]), elle devient r .g " + (2n-r) g' = 0 satisfaite par g = cste (en effet S(r) ne doit avoir aucun nœud quand le nombre quantique radial k est nul !). *Ici, on fera les calculs "à la main" pour les faibles valeurs de n .Mais sinon, les ''aficionados'' des équations différentielles chercheront un développement de f(s) en série entière qui se STOPPE en un polynôme P(s): cela marche, c'est le raisonnement typiquement utilisé avec l'équation hypergéométrique ! === Infeld-Hull et la "factorisation" === dans RevModPhys 23,1951,21-68 , on constate que la méthode des opérateurs d'échelle était bien connue à l'époque (cf aussi Durand, CRAS1950,230,273): L'idée est classique : soit A = 1/2 -a/r -d/dr et B = 1/2 - b/r +d/dr en unités "bien choisies". A et B sont opérateurs sur les fonctions de carrés sommables sur [0, infty[. Ils sont opérateurs conjugués pour a = b . et l'équation de Leibniz-S s'écrit : A(l+1)B(l+1) Snl = (n-l-1)Snl/r En multipliant par Snl et en sommant il apparaît immédiatement que n-1> l ; et B S = 0 pour l = n-1 d'où la valeur de S "circulaire" : S(r) = r^n .exp (-r/2) Qq calculs permettent de trouver que S(n+1, l) = r A(n) S(n,l) S(n-1,l) = rB(n) S(n,l) .1/[(n-1-l)n+l)] et toutes sortes de relations sur les polynômes de Laguerre. Noter aussi que l'équation du second ordre peut s'écrire , comme assez souvent : K(n,l) S(n, l-1) = A S(n,l) K(n,l) S(n,l) = B S(n, l-1) (Durand p 449) *Les relations de Pasternak permettant de calculer <r^k > =((n, l,k)) s'en déduisent : k+1)<r^k> -2n(2k+1)<r^(k-1)> +[(2l+1)²-k²]<r^(k-2)> = 0 *exemples classiques *(n,l,3) = n²/8[ 35 n^4 -35 n² -30 n²(l+2)(l-1)-3(l+2)(l+1)l(l-1)] *(n,l,4) = n^4/8[63 n^4 -35n²(2l²+2l-3)+5l(l+1)(3l²+3l -10) +12] *(n,l,-1) = viriel = 1/n² *(n,l,-2) = force = 1/n^3(l+1/2) *(n,l,-3) = force de barrière et LS = 1/n^3(l+1/2)l(l+1) *(n,l,-4) = ion-dipôle => cf Kondratiev = [3n²-l(l+1)]/2n^5(l-1/2)l(l+1)(l+1/2)(l+3/2) *noter l=0 pour -3 et -4 ! il faudra être prudent avec les électrons s ! *(n,l,2) = n²(5n²+1-3l(l+1))/2 *(n,l,1) = 3n²-l(l+1)]/2 Certaines se trouvent dans [[atome d'hydrogène]] == [[Invariant de Runge Lenz]], quantique == === Champ coulombien === *Le cas de la force coulombienne (cf. [[mouvement keplerien]] ; le [[puits de potentiel]] a déjà été étudié en mécanique classique) est TRÈS PARTICULIER car il montre que n DOIT être un '''entier positif''', '''indépendant de l''' , alors que les fonctions propres g(n,l,r) dépendent bien de deux indices n et l : les valeurs propres de l'énergie ne dépendent pas séparément de n et de l , mais '''seulement de n''' , entier positif, qui de ce fait est appelé nombre quantique principal de couche (avec n= 1 -> couche K , n=2 -> couche L ,..). Ce fait, très exceptionnel pour l'énergie, ne sera plus vrai pour un potentiel V(r) quelconque, même voisin de -e²/r. Il convient donc de ne pas trop s'y attacher, sauf si l'on veut s'expliquer cette dégénérescence (anciennement appelée dégénérescence accidentelle), via le raisonnement de Pauli. === vecteur excentricité quantique === Le vecteur excentricité (cf. [[mouvement keplerien]] et [[invariant de Runge Lenz]])vaut : <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> \vec{e} = \vec{V} \wedge \vec {L} / (GMm) -\vec{r}/r </math> |} | | | |}</div> Il existe aussi en mécanique quantique, en tant qu'opérateur observable. Il vaut en unités convenables (unités atomiques) <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> \hat{\vec e} = [\hat {\vec {p}} \wedge \hat {\vec {L}}-\hat {\vec {L}} \wedge \hat {\vec {p}}]/2- \hat {\vec {r}}/r</math> |} | | | |}</div> Or rappelons qu'en termes d'opérateur: '''p^L +L^p''' = 2i.'''p'''.<math>\hbar</math> ce qui rend légèrement différent le vecteur quantique , subtilité de l'algèbre non commutative ! === propriétés de la Q-excentricité === Toujours en faisant les calculs d'opérateurs, on retrouve e.L = 0 , L.e = 0 , e.H = H.e (donc e est bon nombre quantique , et donc dans un sous-ev de la valeur propre de H , e sera stable). <div style="text-align: center;"><math>e^2 -1 = -(H/E_o)\cdot [L^2/\hbar^2 + 1]</math></div> Là encore un terme (+1) vient subrepticement se glisser dans les calculs (on a pris Eo = -13.6eV): Et [e^2,Lz]=0 Mais alors ,dans l'ECOC [H, L², Lz], e² est un bon nombre quantique, et sa valeur est, dans le niveau n : <div style="text-align: center;">e² = 1 -1/n² -l(l+1)/n²</div> et par conséquent l ne peut dépasser n-1 ; Mais on n'attendait pas cette bizarre formule ! === Boost et Q-excentricité === *Et maintenant, la RÉVÉLATION pour tous ceux qui ont fait de la relativité restreinte : Multiplions le vecteur excentricité par \hbar pour lui donner l'unité d'un moment cinétique et par n par pure commodité dans les calculs. Nous appellerons ce vecteur <math>\hat{\vec E}</math> ,le vecteur excentricité-boost , qui est un vecteur polaire et non axial. E commute avec L² , mais pas avec Lz ; et E² est un bon nombre quantique dans l'ECOC [H,L²,Lz], '''mais pas E''' ! MAIS, dans le sous-ev de la couche n , <math>[F_{\lambda \mu},F_{\mu \nu}] = F_{\lambda \nu}</math> où le tenseur antisymétrique 4-4, F est : (0,E) en première ligne et la matrice 3-3 antisymétrique correspondant à L^ . VOILA ! l'atome d'hydrogène est invariant par SO(4) [ évidemment pour les états d'énergie positive, par SO(3,1) c'est à dire le groupe de Lorentz ! d'où l'idée de la notation excentricité-boost ! ]: cela était connu de Pauli , de Fock , de Bargmann , etc. Mais à l'époque, peu connaissaient aussi bien que Pauli la relativité restreinte ! Pour démontrer ces relations, il vaut mieux avoir qq notions d'algèbre de Lie (et des formules de trigonométrie correspondantes), car sinon cela peut être un peu long (11 pages dans le X ; et une page dans le Y : X et Y par courtoisie). === opérateurs S et D, valeurs propres de H === Il "suffit" maintenant de se rendre compte que [H, Lz, Ez] forme un ECOC ( ce qui correspond en mécanique classique aux coordonnées paraboliques et à la vision spinorielle : soit 2S = L + E et 2D = L- E ; Alors S² - D² = 0 S et D sont deux moments cinétiques de carrés égaux : s(s+1) et : <div style="text-align: center;"> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math> [S^2 + D^2 + \hbar^2]\hat{H} = E_o \cdot \hbar^2</math> |} | | | |}</div> C'EST FINI : H a pour valeurs propres : E_o/n² avec 4s(s+1) +1 = n² soit n = s+s+1 , donc de dégénérescence : n² (faire ce petit calcul !). Voici comment depuis 1926, on eût pu enseigner l'atome d'hydrogène de Pauli (Nobel en 1945 après Heisenberg, Schrödinger et Dirac en 1933). Pourquoi cela ne s'est-il pas produit ? Vraisemblablement parce que les orbitales paraboliques étaient moins utiles que les orbitales- harmoniques sphériques qui privilégiaient donc l'ecoc [H,L²,Lz]. <!-- == Voir aussi == * [[atome]] * [[atome d'hydrogène]] * [[Théorie de Schrödinger de l'atome d'hydrogène]] * [[atome à N électrons]] * [[Classification périodique]] ---- --> == Compléments sur SO(6)et SO(4,2) == vacances closes après avoir vendu mes merguez, je fais le point sur SO(6). Cf Oliver. SO(6) comporte <math>C_6^2</math> = 15 générateurs de rotation. (P. Kustaanheimo and E. Stiefel, J. Reine Angew. Math. 218, 204 (1965). ) la transformation K-S amène l'eq de Schrodinger sous une forme simple : multiplions tout par r : <math>-1/2 r \Delta +1 = E\cdot r</math> et opérons le changement de variables ; il vient : <math>[L_{56}+ L_{46}-2E \cdot (L_{56}- L_{46})-1]|\psi>=0</math> En utilisant le "tilt" usuel A , tel que -2E = exp2A et les relations de commutation avec L(45) , l'équation se réécrit : <math>[e^{i A L_{45}}L_{56}e^{-i A L_{45}}-e^{-A}]|\psi>=0</math> La solution est immédiate : les vecteurs propres de L(56) sont <math> \ |\phi_n></math> de valeur propres n= 1,2,3,... et donc A = - ln n et on en tire <math> \ E_n = -1/2n^2</math> , puis en opérant la transformation réciproque de K-S , on retrouve les états propres paraboliques <math> \ |n_1,n_2,m></math>, puis via les symboles 3j-de-Wigner , les états sphériques <math>\ |n,l,m></math> (Kleinert p 964): Que tout cela paraît naïvement facile! Néanmoins rappelons que Feynman avait calé sur ce problème et que le déblocage de situation s'effectua de 1967 à 1998. == Retour == *[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]] [[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]] ekrgcdwoigvuul12tr4o0bjhgrn6ipl 0 10573 769542 686632 2026-07-15T17:22:57Z DavidL 1746 769542 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}</noinclude> Ébauche en cours Ici, quelques exercices d'astronomie, niveau licence. Certains exigent déjà des modifications ! Ils sont tous basés sur la connaissance minimale de l'analyse dimensionnelle [ cf OdGL (Ordres de Grandeur Littéraux) et SUN (Système d'unités naturel) et autre [[dahu]]s de la WP ]. L'article séminal est celui de Weisskopf dans Am.J.Phys. : why the sun shines ? La notion fondamentale à retenir est : ce qui ramène tout à une échelle raisonnable est la "constante d'Avogadro stellaire": {{exemple||Nombre d'Avogadro stellaire|<math> N_0 = [\frac{\hbar c}{Gm^2}]^{3/2} = 2 \cdot 10^{57} </math>}} *C'est ce nombre gigantesque qui est sensiblement l'OdG de protons dans une étoile qui fait apparemment rendre toutes les valeurs astronomiques. En fait les grandeurs ramenées à un proton se trouvent dans des OdG Littéraux raisonnables et ne sont plus astronomiques mais bien de l'OdG de la physique nucléaire ; prendre pour "preuve" ce seul exemple : une section caractéristique de la physique nucléaire est 1fm.1fm = 10^-30 m² et le rayon du Soleil au carré R² = (700 000 km)² = 5 10^17 m² : le rapport est donc gigantesque 5 10^47 [ Évidemment, il FAUT justifier le rayon du Soleil, et celui du proton , et pourquoi prendre R²:ro² plutôt que la puissance énième ] C'est bien là l'utilité principale des '''dahus''' ('''dimensionnal analysis of HEURISTIC unit systems'''): éviter au maximum l'attitude copernicienne de tout ramener à l'Homme (par exemple le nombre d'Avogadro ordinaire n'est ni grand , ni petit : c'est la taille de ce qui tient dans la main , exprimé en atomes) ou à NOTRE Soleil (étoile TRÈS ordinaire), ou Notre Galaxie, etc. , mais bien au contraire essayer de tout expliquer ("au maximum"), via les constantes fondamentales, caractéristiques du processus. == quelques constantes fondamentales et leurs combinaisons utiles == cette rubrique est là juste pour apprendre à calculer en OdG numérique, et s'étoffera au fur et à mesure de l'enrichissement de cet article. '''On peut donc la passer en première lecture.''' === Exercice Anthropos : === calculer <math> \hbar c , e^2 , \alpha = 1/137 ,Gm^2 , N_0 ,N_p N_0\cdot \alpha^{3/2}, sqrt(N_p), N_H </math> , avec N_H = nombre de nucléons dans 70kg et comparer à sqrt(N_p). === Exercice Luminosité d'Eddington : === Calculer une luminosité <math>L_o = N_o \cdot F_0 c</math> avec Fo la force gravitationnelle entre deux protons distants de ro = d.u[e²,m, c].(Cette luminosité a à voir avec un calcul de luminosité d'Eddington) === Exercice section de Thomson : === la section efficace de Thomson est <math>s = \frac{8\pi}{3}r_o^2</math> . Montrer que le temps mis par un photon pour sortir d'un disque de rayon R contenant N électrons et N protons est indépendant de R. ! Souvent en astrophysique , on préfère utiliser l'opacité (s/m) en m²/kg. En fait celle de Thomson ne joue que pour les étoiles très lumineuses, et en fait , c'est plus une opacité de Rosseland-Gaunt-Kramers (p 274Carroll) qu'il convient d'utiliser dans la majorité des cas. On en verra plus tard la répercussion. === Exercice pic de Gamow(1928): === un paramètre fondamental de la théorie stellaire est la température d'un réacteur de fusion : nous verrons que la théorie de Gamow conduit à l'optimiser (pour la fusion de l'hydrogène) à : kT tel que : f(E) = sqrt(Eo/E) + E/ kT minimum. Montrer que le théorème de Didon conduit immédiatement à une énergie optimale : [ Eo^2.kT/2]^(2/3). Cela conduit ensuite à des calculs de physique nucléaire à environ kT* = 10keV qui sera prise comme référence par la suite [ en fait ces calculs font intervenir à la fois l'interaction faible et l'interaction forte, et il faudrait donc introduire leurs paramètres ici] === Exercice Four isentropique : === montrer que si un four a pour taille R telle que kT.R = cste = <math>\hbar c \cdot N</math>, le nombre de photons qu'il contient est indépendant de sa température. *Solution : N^3/No^2 === Exercice Pression : === Évaluer la pression P* = d.u[kT*, hbar,c]; puis évaluer la pression d.u.[G, M , R ] ; prendre ensuite M = mNo. N/No , puis R = Ro M/Mo ; comment varie cette pression centrale avec N ? *Solution : on trouve P = P* (No/N)^2 , avec P* = kT*^4/hbar^3c^3 = d.u [corps noir]. Il peut sembler étonnant que les étoiles les plus grosses aient une pression au centre plus petite , mais on réfléchira au fait que la densité baisse avec les grosses étoiles (R ~ M !). On peut aussi appliquer brutalement PV = 2N.kT* avec V = Vo (N/No)^3. A.N. : environ 1 Gbar. Ce qui est très curieux est que la masse volumique reste dans des zones proches de la matière ordinaire : typiquement pour le soleil 2kg/L , et certes 160 kg/L au centre. === Exercice chimie : === cet exercice est du niveau seconde : Si l'Hydrogène est ionisé , trouver la masse molaire. Si on désigne par X la proportion d'hydrogène et Y celle d'hélium , trouver la masse molaire. S on désigne par Z la métallicité (proportion des atomes tels que A = 2Z) , trouver la masse molaire. *Solution : == Échelle des masses stellaires == La masse du Soleil est M = 2 10^30 kg Calculer le rapport M/m où m est la masse d'un proton. Comparer à No * Les étoiles ont typiquement une masse M de 0.1 à 50 No.m , ce qui représente à peine 3 OdG. * Les quantités qui varieront comme M^k varieront donc de (3.k) OdG. par exemple dans le diagramme de Hertzprung-Russell (Luminosité = f(T de surface) ), la Tde surface varie comme k=1/4 et la Luminosité comme k=3; donc L =~ T^12. == Échelles de temps == === Exercice Petit Prince === Le petit Prince est en survol basse altitude de son petit astéroïde ( de rayon R , de masse volumique <math>\rho</math>. Montrer que le temps de révolution est indépendant de R , donc c'est le même que sur Terre , si <math>\rho</math> est le même. '''Solution''' : <math> -m \omega^2 a = - GMm/a^2</math>, par la deuxième loi de Kepler. Appliquée à a = R , cette loi donne : <math>T = 2\pi \sqrt(R/g)</math> avec g = GM/R² donc {{exemple|Résultat|Temps petit Prince|<math> T_{petit Prince} = \sqrt{ {3\pi \over G \rho}} </math>}} === Exercice temps free fall === Par rapport à l'exercice précédent, montrer que le temps d'effondrement , dit de chute libre, d'une boule de gaz de rayon R, de masse volumique <math>\rho</math>, est 1/sqrt(32) du temps précédent. '''Solution''' : Utiliser le Théorème-remarquable-de-Newton (repris par Gauss) : mr" = GM(ro)/r² , avec r = ro et v= 0 comme C.I. (conditions initiales) , pour tour ro < R . Via la deuxième loi de Kepler c'est donc un mouvement identique pour toutes les couches (mvt isochrone, auto-similaire), dont la période 2 <math>T_{free-fall}</math> est celle d'une ellipse de demi-grand axe a= R/2 donc période 1/sqrt(8) <math>T_{petit Prince}</math> ; soit : {{exemple|Résultat|Temps free fall|<math> 2 T_{free-fall} = {1 \over \sqrt 8} \cdot T_{petit Prince} </math>}} <math>2 \cdot T_{free-fall} = {1 \over \sqrt 8} \cdot T_{petit Prince}</math> === Exercice échelle de temps : Kelvin-Helmholtz === On prend une étoile standard , le Soleil, de rayon R = 700 000 km , de masse M = 2e30kg ,de température de surface Te = 5800K; à supposer <math>\rho</math> = cste , quel temps a mis l'étoile à acquérir toute son énergie gravitationnelle (depuis la dispersion où R était très grand) en dissipant sa Luminosité actuelle. Ce temps est appelé <math>t_{K-H}</math>. '''Solution''' : L'énergie gravitationnelle est Eg = -GM²/R (3/5) , donc si R diminue, l'étoile libère de l'énergie , émise par luminosité de corps noir : <math>L = 4\pi R^2 \cdot \sigma T_e^4</math> d'où le résultat : {{exemple||Temps Kelvin-Helmholtz|<math> T_{K-H} = \frac{E_g}{L} </math>}} *AN : Eg = (3/5).(2/3 e-10)(2e30)²/(7e8) = calculette = 8/35 e42 J et L = 4e26 W : t(K-H) = 2/35 e16 s l'habitude est de travailler en année (yr) = 3.e7 s soit t(K-H) = 2e7 yr [soit 20 M yr (dixit K-H vers ~1854)] *Or le père de la Géologie , Lyell disait (~1840) que les terrains sédimentaires avaient plus de 500 Myr => contradiction à lever : cela fût fait progressivement :via E= mc² (1905), Aston (défaut de masse:1919), réacteur nucléaire d'Eddington(1920), effet tunnel de Gamow (1928), cycle nucléaire de Bethe (1938) : donc un certain temps avant de lever cette contradiction. Actuellement , on ne comprend pas encore tout, mais l'essentiel, oui (théorème d'unicité de Russell-Vogt, 1928). === Exercice échelle de temps: t nucléaire === On sait aujourd'hui que la puissance du Soleil vient de la fusion nucléaire (disons pour simplifier : 4p -> He + 2 positons + 2 neutrinos) . Trouver la durée de vie du Soleil , puis d'une étoile plus massive. Solution : t nucléaire = E(disponible)/Luminosité = k. (M/m)/ L = 3.2 e17 s =~ 10 Gyr (on a appelé k l'apport d'énergie de fusion par proton,soit 0.007.mc² ; et M/m ~ 1e57 est l'OdG du nb de protons dans le soleil ; la luminosité du soleil est 4. 10^(36) W). Or L = Lo (M/Mo)^3 et E(disponible) = Eo .(M/Mo) donc {{exemple|Résultat|durée de vie|<math> t_{vie} = t_o \cdot \frac{M_0^2}{M^2} </math>}} * Conséquence : une étoile de 10 Mo vivra 1/100 de 10 Gyr soit 100 Myr : évidemment très peu ! Les étoiles de première génération doivent être peu nombreuses. D'où la nécessité de considérer le problème de la "métallicité " (étoiles de "seconde génération") avec attention. * Remarque : on a pris le coefficient 0.007 correspondant à 4H -> He ; si on avait pris 56H -> Fe, on devrait prendre 0.008 , ce qui n'est guère différent : on se doute qu'après avoir brûlé son hydrogène en hélium, tout se déroulera plus vite : stades stables de combustion entrecoupés d'effondrement-sursauts de Kelvin-Helmholtz. === Exercice échelle de temps: t de sortie d'un photon (Thomson) === On suppose que le Soleil est une boule de gaz ionisé où les photons sont sans arrêt absorbés puis réémis par les électrons avec une section efficace de Thomson (<math>\sigma = (8/3) \pi r_o^2 </math>avec e²/mc² = ro et e² = q²/<math>4\pi \epsilon_o</math>). Ils subissent donc une marche au hasard : quel est le temps de sortie ? Solution : la loi de la diffusion est t /<math>\tau</math> = (R/l)² avec l = c<math>\tau </math> = 1/ sqrt(2) n<math>\sigma</math> D'où t = ~ R/c .R/l = R/c . R.n<math>\sigma \sqrt{2}</math> = R/c. (ro/R)². N .[(8Pi/3)/(4Pi/3)]sqrt(2) A.N : =10 000 yr (et ~ 1/R , ce qui est pseudo-paradoxal: réfléchir à ce pseudo paradoxe en 2D par exemple) {{exemple|Résultat|durée de sortie photon|<math> t_{sortie} = t_0 (Ro/R) = ~ t_0.(M_0/M) </math>}} [ si l'on admet qu' en gros R ~ M et non en M^(1/3)] * Si l'on ne veut retenir que des nombres universels , alors <math> (t_0 R_0) = {r_0 \over c} \cdot N_0r_0</math>. Le problème est que dans la réalité, l'opacité (liée à la section efficace !) n'est pas donnée par la formule de Thomson, mais par la formule de Kramers , plus compliquée. * Élément de réponse au pseudo-paradoxe : dans une forêt 2D , le temps serait proportionnel à la taille au carré , R² et à la densité des arbres : N/ pi R² : donc en 2D , le temps de sortie est un invariant d'échelle. === Échelle de temps de Kramers === C'est plus proche de la réalité : la section de diffusion de Thomson ne convient qu'aux très hautes énergie et densité . Si l'on trace un diagramme la section efficace fonction de kT et pour différentes valeurs de densité, on trouve que pour la Séquence Principale , les deux processus les plus influents sont le brems-strahlung (inverse) et dans les régions externes la photoionisation. La section efficace est nettement plus grande. L'opacité aussi , donc la luminosité sera réduite. Donc la durée de vie augmentée. == Échelle de longueur ; l'uniformité, possible ? == Le Soleil a pour rayon R = 700 000 km ; ce qui est très petit par rapport à la taille du Système Solaire = ~ distance de Oort , et à la distance entre étoiles (~ qq A.L.). Ne pas oublier néanmoins que beaucoup d'étoiles binaires existent , et même des binaires serrées ! *Il semble raisonnable d'effectuer une théorie négligeant la rotation du Soleil (si on n'étudie pas l'effet dynamo et le champ magnétique). Par suite, on suppose tout à symétrie sphérique et un seul paramètre comptera : la profondeur : On compte 0< r < R , à partir du centre. *Peut-on négliger les variations avec la profondeur (càd faire une théorie sans profondeur : tout est uniforme !) ? Il est évident que si l'on pense que le système est en équilibre hydrostatique dans un champ de pesanteur, le dahus donne P(0) = (GM²/R) /R^3 = GM²/R^4 donc en gros 10 000 fois celle au centre de la Terre, et bien sur P(R) ~ 0 (ne veut rien dire ! mettons qq bars!). DONC , ne pas considérer la profondeur est illusoire. Il faudra écrire les équations radiales. De même, pour la température , on sait qu'au centre du Soleil se produisent des réactions de fusion nucléaire, et on établira qu'elles se situent aux environ de 10 keV ; alors que la température de surface nous est connue (le soleil est jaune : T(R) = 5600 K = ~1/2 eV : il faudra aussi reconstruire T(r). Pour ce qui est de la densité et donc de la distance a(r) entre protons, les effets se compensent et les variations ne sont pas aussi extrêmes :au centre une densité de 100 , à l'extérieur une densité de 0.01 : à la limite considérer densité constante ne serait pas trop ridicule. Afin de mieux se rendre compte de cette notion de profondeur on regardera attentivement la figure de coupe suivante : fig p 42. La luminosité est 1 pour M(r) = 0.6 , r = 0.3 , T = 1keV-10 keV , rho = 10 (tonne/m^3) et P = 10^15 Pa . Si il fallait faire une théorie "sans profondeur", ce serait en gros les paramètres à prendre. Il conviendra donc de prendre en compte ce qu'on appelle des "facteurs de forme". Nous allons donner un exemple simple de gravimétrie terrestre juste pour tester ce que cela veut dire : === la discontinuité de Bullard === L'intérieur de la Terre est "assez bien" connu grâce à la sismologie. Pour mettre en évidence ce qu'est un facteur de forme on va juste tester deux modèles : modèle à une couche : densité constante = 5.5 et modèle simple : g(r) linéaire jusqu'à R/2 , puis constant = go de R/2 à R . Trouver la pression au centre ? * Solution : *Dans le premier cas , g(r) = gor/R via le théorème de Newton-Gauss . Et P(0) = 1/2 rho.go.R : on a bien GM²/R^4 . coef num. * dans le deuxième cas, puisque g est linéaire, rho est constant et P(0)-P(R/2) = 1/2 rho(0).go.R/2. Ensuite comme g(r) = cste = go ; rho varie en 1/r comme rho(R).R/r , et on en déduit : P(R/2) -P(R) == P(R/2) = rho(R).R.go. Ln2 . D'autre part la masse totale M = M(R/2) + 4pi/3 . rho(R).R^3. 9/8 . En combinant ces deux équations, on voit apparaître la discontinuité noyau-manteau et malgré tout : P(0) = GM²/R^4 .coef.num2 . On voit donc que dans ce cas , les modèles "uniformes" (à une zone) donnent bien des choses "raisonnables". === le modèle archi-simpliste === "À la louche" , en déclarant que l'énergie nucléaire dégagée varie très vite avec T, comme T^n , avec n très élevé , voici ce que le raisonnement d'analyse dimensionnelle "dahus" donnerait : * Réacteur nucléaire de fusion : kT(0) = quasi-constante = 10 keV =kT*; *Hydrostatique : P = Gm²/R^4. N² (1) * équation d'état : P V = 2N. kT soit P.R^3 ~ N. kT(0) (2) Les équations (1) et (2) donnent : l'équation très importante, qui va "conditionner" la physique du problème. {{exemple||Relation du viriel |<math> kT(0)\cdot a = \hbar c \cdot (\frac{N}{N_o})^{2/3} </math>}} où l'on a pris R^3 = a^3 . N *[d'où la pression en 1/N²]. *Luminosité : {{exemple||Luminosité |<math> L = L_o \cdot (\frac{N}{N_o})^3 </math>}} (voir plus loin : Lo = Gm²/ro².c. No est 3OdG trop grande à cause de Kramers versus Thomson, mais quand même, elle a le mérite de se trouver vers les 10^30 W) *Puis la Température de surface Teff telle que : L = 4pi.R².(U(photons)/V) .4/c avec U/V = a T^4 (cf corps noir) ; donc {{exemple||T de surface |<math> T_{eff} = T_o \cdot (\frac{N}{N_o})^{1/4} </math>}} '''L'ESSENTIEL du diagramme Hertzprung-Russell est trouvé :''' *La température de surface des étoiles ne varie que faiblement d'à peine 1 OdG de 40 000K à 4 000 K (oh be a fine girl , kiss me). *La luminosité de 9 OdG de 10^23 W à 10^31 W mais on n'attachera pas plus de valeur qu'il ne faut à ce modèle dit "ordre zéro" , car on l'a vu les facteurs de forme sont importants : il importe d'étudier l'étoile dans sa profondeur. == SUN du corps noir == Ce système d'unités naturelles est fondamental ; il est basé sur le dahus d.u.[kT , c et <math>\hbar</math>] , on en déduit beaucoup de choses. On demande donc de rétablir d'adord ce dahus : distance moyenne entre photons d : kT = <math>\hbar</math>c/d , donc n ~ 1/d³ temps caractéristique = d/c masse caractéristique : kT/c² (ce qui est bizarre pour des corps de masse nulle ! Évidemment, il faut plutôt penser impulsion !) On en déduit : {{exemple|Résultat exact|Énergie U corps noir |<math> U = V.(\frac{\pi^2}{15}) kT. (kT/\hbar c)^3 = 3 \cdot PV = (4/3)\cdot TS </math>}} car l'entropie S est telle que G := U +PV - TS = 0 car potentiel chimique nul : Il en résulte donc S/k = n.V = Nb de photons. L'exemple classique est celui de l'extension adiabatique d'un corps noir : Nb de photons reste constant soit V.(kT)³ = cste. Or dans une étoile, le théorème du viriel conduit à kT. R = cste : on en déduit que le nombre de photons dans une étoile est un nombre universel : cela est évidemment trop simpliste , mais donne l'OdG. === Nb de Photons constant ! === Montrer que si kT.a = cste = <math> \hbar c \cdot (\frac{N}{N_o})^{2/3}</math>, alors le nb de photons dans l'étoile est constant: {{exemple||Nb de Photons|<math> N_{photons} = N^3/ N_o^2 </math>}} Pour les <math>\zeta(s)</math>, voir le Landau par exemple. == Effet tunnel de Gamow-Corinne-Wick == En utilisant la symétrie de Corinne (cf la WP), et donc l'astuce de Wick , alors le facteur de transmission d'une barrière est : {{exemple||loi de Gamow-Corinne-Wick|<math> T_{GCW} = tt* = e^{ -2 \pi \cdot n(E)} </math>}} avec n(E) = nombre de niveaux d’énergie contenus dans la cuvette de Corinne obtenue par renversement de la barrière (cf la WP et la symétrie de Corinne). '''Exemple usuel : Barrière haute de Vo et large de a''' . Calculer T Solution : Un puits de profondeur Vo large de a a ses niveaux tels que <math>E_n = \hbar^2 \pi^2 / 2ma^2 \cdot n^2</math> donc T = exp - 2Pi sqrt(E/E1) indépendant de Vo si Vo très grand devant E. *'''Émission de champ de Fowler''' : un métal dans un champ électrique externe E est photo-émissif: calculer T Solution : Appelons le potentiel de sortie Vs : la barrière est donc Vs - q.E.x , avec des électrons au niveau de Fermi; le puits de Corinne est donc un puits de "chute libre , type Torricelli" ; on calcule les niveaux d'énergie as usual : <math>E_n = n^(2/3).E_1</math> d'où T = exp -2Pi (E/E1)^3/2 , dite formule de Fowler. === Pic de Gamow de fusion nucléaire === Deux protons doivent se retrouver très proches (typiquement 1fm) pour fusionner alors que la barrière coulombienne les sépare : calculer T nécessaire. Montrer qu'à 10 keV , il manque un facteur 100 , ce qui est rédhibitoire , sauf à inventer l'effet tunnel (Gamow 1928). En déduire la température de Gamow de fusion. La barrière devient l'usuel puits coulombien d'énergie <math>E_n = -E_1 \cdot (1836/2) Z_1Z_2 \cdot A_{reduit} \cdot {1 \over n^2} = -E_1 {1 \over n^2}</math> ; #d'où T(E) = exp -2Pi sqrt(E1/E). #Ce facteur est d'autant plus grand que l'énergie E est élevée , mais alors le facteur de Boltzmann f(E) intervient comme exp- E/kT : Au final , montrer que la rapidité de réaction nucléaire varie comme exp - (27Pi E1/kT)^1/3 et calculer cette valeur pour une température de 10k.eV. Montrer que la variation avec la température est assez rapide avec un '''indice''' n = 1/3 (27Pi E1/kT)^(2/3). En déduire que brûler de l'oxygène a un indice très supérieur à celui de l'hydrogène. [Dans la théorie "d'ordre zéro" , on a pris cet indice n très grand, ce qui donne la théorie "asymptotique", fausse évidemment, mais qui a le mérite de donner le dahus d'une étoile]. '''Solution''' : #il faut trouver le minimum de +2Pi sqrt(E1/E) + E/kT soit sqrt(E*/E) + E/kT donc la dérivée en E nulle : ce calcul donne E = = (E1(pi.kT)²)^(1/3) et f(E)T(E) = exp - (27Pi E1 /kT)^(1/3) dont l'indice est donc n = 1/3 (27Pi E1/kT)^2/3. admettons que la température d'ignition de fusion de O-O soit 2 fois celle de H-H alors on aura n(O) = n(H).(1/2)^2/3 . Z1^(4/3) A^(2/3) soit environ 64. n(H) : ce calcul n'est qu'une tendance : plus les éléments sont lourds et plus la puissance du réacteur varie fortement avec la température et plus les calculs se rapprocherons de ceux que l'on a établi pour n asymptotiquement infini. ==== Exercice : étroitesse du pic ==== poursuivre le développement pour trouver la largeur du pic de Gamow et montrer son étroitesse. == L'étoile standard == On veut donner ici les OdGL de l'étoile standard de la séquence principale du diagramme de H-R. === Nb d'Avogadro stellaire === Une telle étoile sera considérée comme une boule homogène d'hydrogène ionisé qui ne s'effondre pas grâce à la fusion nucléaire 4H -> He + 2 positons +2 neutrinos. Ce modèle n'est évidemment pas très réaliste car on néglige les gradients (en particulier celui de la température qui décroît en fait de 10 MK à 6000K à la surface). On prendra le nombre de protons (donc d’électrons) contenus dans cette étoile égal à {{exemple|Enoncé-simplifié|Nb d'Avogadro stellaire|<math> N_0 = {(\frac{\hbar c }{G m^2}})^{3/2} </math>}} <math> N_0 = {(\frac{\hbar c }{G m^2}})^{3/2}</math>. Calculer ce nombre , sans doute astronomique , mais bien naturel en astronomie. *En fait l'échelle des masses est très réduite sur 3 OdG de 0.1 No à 100 No , comme on le verra. Solution : N_0 = {(\frac{\hbar c }{G m^2}})^{3/2}= 2.2 10^57 '''Une fois ceci admis , les valeurs dites astronomiques seront assez banales.''' == Viriel == Écrire l'énergie thermique des particules <math>E_{th}</math>, puis l'énergie gravitationnelle par proton <math>E_G </math> en fonction de la distance p-p, appelée a , puis la relation fondamentale entre kT et a , en utilisant la relation du viriel. Solution : l'énergie thermique est (N+N) .(3/2).kT ; l'énergie gravitationnelle <math>E_G</math> = -3/5 Gm²N/R avec V = Na³ = 4Pi/3.R³ E = - E(thermique) = 1/2 <math>E_G</math> d'où -3kT = - Gm²/a N^(2/3)f(A.N.) on en tire : {{exemple|Enoncé-simplifié|relation kT-distance|<math> E = -kT = - \frac{\hbar c}{a} N^{2/3} </math>}} *Donc quand l'étoile perd de l'énergie, sa température '''augmente''' (on dit capacité calorifique = -3k) et son rayon diminue. *et nous le répétons algébriquement, tant cela peut surprendre : quand l'étoile gagne en énergie , sa température diminue et son rayon augmente. == temps de sortie d'un photon == calcul déjà vu plus haut : {{exemple|Résultat-simplifié|t de sortie|<math> t_s = R/c \cdot {\sigma \over R^2 }\cdot N = N \cdot \sigma/Rc </math>}} , typiquement 10 000 ans alors qu'un neutrino met 2 secondes. Le calcul précédent n'est donc pas exact, puisqu'il donne une valeur beaucoup trop courte : cela est dû à la section efficace beaucoup trop petite , nous l'avons signalé, d'un facteur 1000 (passer de Thomson à Kramers): nous appellerons cette erreur d'appréciation [Kr/Th]. == Luminosité universelle == Voici maintenant LE résultat capital de cette théorie simpliste : * le nombre de photons dans l'étoile standard est "universel" * son temps de sortie t est calculé plus haut varie comme 1/R * son énergie émise est environ kT et varie comme 1/R *Alors la luminosité kT/t par photon ne dépend plus de R (donc de T) et la luminosité totale devient un nb universel! {{exemple|Résultat-simplifié|Luminosité universelle|<math> L = L_o . (\frac{N}{N_o})^3 </math>}} avec Lo = Gm²/ro². c . No = 1.6 10^31 Watts : elle ne dépend ni de T , ni de R. Remarquer la facilité du dahus : force entre deux protons à distance ro . c = Puissance *ce qui rend ce modèle un peu trop simpliste est , nous l'avons vu , que l'opacité n'est pas de Thomson. Néanmoins, cela donne une première approximation , facile à retenir, trop grande d'un facteur Kr/Th =1/1000. On retrouve l'OdG L = 10^27 W. == Température de Couleur == Oh Be A Fine Girl Kiss Me (de 40 000 K à 4 000 K) On aura bien sûr L = <math>4 \pi R^2 \cdot \sigma T_e^4</math> , mais plus physiquement E photons/ t(sortie)= L donc {{exemple||T de couleur|<math> T_e^4 = (R/ct_s).T^4 </math>}} *Pour T(0) = 10 MK = 10k.eV, cela donne environ Te = 10 000K == Durée de vie de l'étoile == la fusion n’annihile pas la matière ! on produit seulement 0.007 Mc² = 0.007 N . mc² : c'est ce que donne le calcul d'Aston basé sur les masses molaires de He et H. Donc {{exemple||durée de vie|<math> t_{vie} = [7 10^{-3}] \frac{N mc^2}{L_0 (N/N_0)^3} = t_0 \frac{N_o^2}{N^2}</math>}} *Une étoile normale vit 10 Gyr , une étoile 10 fois plus massive vivra 100 fois moins, soit 100 Myr, ce qui n'est même pas le temps d'une demi-révolution galactique pour le Soleil, ni le temps d'écartement du rift atlantique en géologie ! == Réacteur nucléaire == On a vu que la réaction p +p donne e = 0.007 mc² par nucléon ; Pour obtenir la puissance, il faut une cadence de réaction : on prend la décomposition du neutron k = 1/tau =1/(920s). On suppose que la réaction est simple : donc Q (N, T) = (e /tau) . nb de cas : le nombre de cas sera nombre de couples distants de ro , soit environ (si population homogène) N^2 (r0/R)^3 ; Mais il faut multiplier par l'efficacité de Gamow qui ne conduit pas à un facteur d'Arrhénius mais à un facteur de Gamow (cf plus haut). Compte-tenu de la relation Rayon-Température on aura une puissance en No/N : soit {{exemple||Puissance du réacteur|<math> Q_o = \frac{(7\cdot 10^{-3})mc^2}{\tau} No (1836)^3 \alpha^6 </math>}} Le calcul de Q_o conduit à 7 10^38W ce qui prouve que l'efficacité de Gamow est de l'ordre de 10^(-6). Q(N, T) = Q_o (No/N) (T/T(0))^6 (on a pris égal à 6, '''l'indice''' de l'efficacité de Gamow : ce facteur n'est pas déraisonnable , mais il faut surtout retenir que la puissance d'un réacteur nucléaire croît beaucoup avec kT). == Stabilité de l'étoile == On a donc L(T) = cste (dans ce modèle fruste) et Q(T) très rapidement croissante ce qui donne un fonctionnement stable car E = -3kT et donc -3dT/dt = Q(T)-L ( s'il y a excès de production , immédiatement l'étoile gonfle ET refroidit. *(Attention au raisonnement faux suivant : P= nkT et donc si T augmente , P augmente donc l'étoile se détend et donc se refroidit : cette faute(circularité) a été abondamment commentée dans le "raisonnement linéaire causal" de L.Viennot (LDPES, Paris-Diderot). == Naine brune == Si N est trop petite , les électrons seront dégénérés (mais pas les protons) , il faut corriger la loi du viriel : <math>\frac{3kT}{2} +\hbar^2/2ma^2 = -\frac{\hbar c}{ a} (N/N_o)^{2/3}</math> , mais alors si T(a) max est inférieure à l'ignition nucléaire de l'ordre de 1 M K , l'étoile ne s'allumera pas : on parle d'étoile avortée. Or T(a) max a lieu pour kT(a) = mc² (N/No)^(4/3) : *Donc la naine reste brune si N = ~ 0.1 No : Ceci explique qu'il n'y a pas d' étoiles peu massiques . == Masse maximale ? == On ne peut pas non plus avoir d'étoiles trop massiques : un calcul plus sophistiqué que celui que nous allons faire conduit à N < 50 No *Voici un raisonnement simpliste type dahus : il faut en réalité compter dans l'énergie de l'étoile , l'énergie des photons (positive). Si l'énergie du système est positive , il se déstabilise (la pression de radiation aura outre-passé l'attraction gravitationnelle). Ceci donne -N.kT + N^3/No^2.kT < 0 soit N < No ; le calcul exact donne un facteur 50. == Diagramme H-R == On rappelle que ce diagramme était fondamentalement ce que nous voulions comprendre : IL est TRÈS ÉTROIT : kT de surface varie en (N/No)^(1/4) à peine d'un OdG : de 40 000K à 4 000 K et la (luminosité)^(1/3) ~ Masse : ne varie qu'entre No/10 et 100 No. == Conclusion de l'étoile-standard == *La luminosité est standard L = Lo (N/No)^3 (trop grande: remplacer Thomson par Kramers). *On se donne un réacteur à 10 M K pour avoir une efficacité de Gamow à 10^-6 . *Un photon met 10 à 100 000 ans. (No/N) à sortir. *La durée de vie est 10Gyr .(No/N)^2. *N ne varie presque pas , de 0.1No à 50.No *La température interne est quasiment toujours la même : 10 M K car Q(T) varie très vite : en fait , elle va dépendre de la "métallicité" , paramètre non pris en compte ici. *Le rayon R de l'étoile est Gm²/kT N = Ro (N/No)[ et non pas (N/No)^(1/3)] *La température de couleur Te est donc Teo .(N/No)^(1/4) *On retrouve donc la pente de la séquence principale (soit L ~ Te^12), "à la louche". Rien n'est donc astronomique dans tous ces calculs : on raisonne simplement dans le dahus d'étoile-standard. L'avantage est de n'avoir fait intervenir que les grandeurs fondamentales et pas de paramètres empiriques (avec une petite triche sur le 1000s de l'interaction faible et le 0.007 de conversion nucléaire qui sont contingent à l'électrofaible, et à la loi forte donnant la courbe d'Aston) === la profondeur === *'''Premier problème : la profondeur 0<r<R''' :Bien sûr , toutes les étoiles ne fonctionnent pas avec la section efficace de Thomson : il faut calculer avec la formule de Kramers. Alors , il vaut mieux dans ces conditions écrire les vraies équations que nous avons évoquées qualitativement : *l'équilibre hydrostatique -gradP + <math>\rho</math>G M(r)/r^2 = 0 *l'équation d'état du gaz de fermions (protons et electrons) parfaits quantiques relativistes (cf Landau :) *l'équilibre thermique div(- K gradT) = Q-nucléaire par unité de volume et de temps le problème est que Q dépend très fortement de T , et K n'est pas le même en conduction qu'en convection évidemment. Donc P(r) T(r) rho(r) et trois équations sachant que Q(T) est modélisé et K(T) aussi . Bien sûr M(R) = M , \rho(R) << rho(0) , T(R) << T(0) ; L(0) = 0 ; M(0) =0; Q(T,r) = [dL(r)/dr]/4Pir² peut être utilisé si on préfère introduire la luminosité L(r). Ce système s'écrit plus aisément en fonction d'une échelle de r astucieuse (toute fonction croissante convient) : on choisit M(r) telle que dM/dr = 4Pir².\rho(r). Il ne reste plus qu'à : "faire tourner un programme d'ordinateur". === la chimie nucléaire === *'''Deuxième problème : la chimie , qui n'a pas été abordée du tout ici.''' Dès que l'étoile quitte la séquence principale , son évolution sera beaucoup plus rapide (l'énergie de masse varie bcp moins): il y aura une suite d'ignitions à plus haute T , et durée de vie plus rapide , entrecoupée de temps de chute de Kelvin-Helmholtz (cf plus haut) pour monter en Température. Ceci dit , l'évolution conduit à une évolution où l'étoile gonfle énormément (Géantes rouges) et donc Te baisse énormément. Puis après avoir fait toute cette chimie (nucléosynthèse) en pelure d'oignon , quand le noyau est composé de fer , l'effondrement conduira à une naine blanche : électrons T < T(fermi) dont la durée de vie est >> 10 Gyr. Si N est rop grand , les protons seront éventuellement relativistes et à cette masse dite de Chandrasekhar , p +e se transformera en neutrons : comme les neutrinos s'évacuent à la vitesse c , l'effondrement instantané conduira à une étoile de neutrons (taille M ~ 1/R^3 !) avec expulsion des enveloppes. Enfin , si M est encore plus grand , on aura un trou noir : cf cours de R.Générale (le livre de Heyvaerts(Dunod 2006) {{ISBN|2-10-049862-2 }}a été conseillé , mais pour ce qui est de la physique stellaire , le Chandrasekhar reste inégalé ). * Ce dahus reste donc comme tous les dahus : il donne la vision d'ensemble , mais CERTAINEMENT PAS les "détails" qui font que des centaines de chercheurs étudient encore les étoiles dans leur diversité. == Aparté : Planète == On appelle planète un corps pour lequel N << No tel qiue kT max lors de la contraction conduit à kT < E1 de Bohr , or T est max quand a est mini càd au mieux ao de Bohr cela conduit à {{exemple|Énoncé-simplifié|N d'une Planète|<math> N < N_o \cdot(\alpha)^{\frac{3}{2}} </math>}} On est alors conduit à étudier le Système Solaire par exemple ou les exoplanètes (cf cours BIBRING). == CONCLUSION == Il reste à traiter : * la profondeur : Lemde-Emde * la chimie nucléaire * l'étude fonction du temps : l'évolution stellaire dans le diagramme H-R. Mais nous avons déjà la Séquence Principale: La luminosité est standard L = Lo (N/No)^3 et donne un réacteur à kT = 10 keV pour avoir une efficacité de Gamow à 10^-6 . Un photon met 10 à 100 000 ans. (Ro/R) à sortir. La durée de vie est 10Gyr .(No/N)^2. N ne varie presque pas , de 0.1No à 60.No La température interne est quasiment toujours la même : 10 M K car Q(T) varie très vite. Le rayon R de l'étoile est Gm²/kT N = Ro (N/No). La température de couleur Te est donc Teo .(N/No)^(1/4) On retrouve donc la pente de la séquence principale (soit -12), "à la louche". Rien n'est donc astronomique dans tous ces calculs : on raisonne simplement dans le SUN d'étoile-standard. L'avantage est de n'avoir fait intervenir que les grandeurs fondamentales et pas de paramètres empiriques ( avec une petite triche sur le 1000s de l'interaction faible. Enfin , si M est encore plus grand , on aura un trou noir : cf cours de R.Générale (le livre de Heyvaerts (Dunod 2006) {{ISBN|2-10-049862-2 }}est bien fait ). == Partie II : la Profondeur et la chimie == === l'opacité et la loi de Beer-Lambert === Soit une cuve de largeur a , à travers laquelle on fait passer un faisceau parallèle d'intensité Io , l'intensité à la sortie de la cuve est moindre I1 <Io , car la cuve a absorbé du rayonnement (puis partiellement rediffusé dans une autre direction). Soit I1 = k Io . La profondeur optique s'appelle k En replaçant une autre cuve I2 = k². Io On en tire que I(z) = Io exp- z/a (Loi de Beer-Lambert): la longueur a s'appelle profondeur d'opacité. Typiquement dans l'eau , au-delà de 20m , il fait plus sombre : c'est le "grand bleu"(en fait le noir !): le milieu est opaque. Si on met un colorant absorbant , la densité ( la concentration de ce colorant va jouer d'autant plus que les centres d'absorption seront nombreux : soit leur section s , alors 1/a = n.s. En astronomie , le gaz ionisé va absorber les photons et on note plutôt 1/a = nm . s/m avec s/m, l'opacité en m²/kg === l'opacité de Kramers === Dans le cas d'une étoile, on cherche à savoir comment sortent les photons émis par le cœur thermonucléaire. On parle alors d'opacité <math>\kappa</math>. Dans le cas de la diffusion Thomson (qui, à plus haute énergie, sera ensuite la diffusion Compton), on considère simplement l'interaction photon-électron, ou photon-proton. En astronomie, la référence est souvent prise par rapport à la masse du proton, et on parle d'opacité en m²/kg : OdG : <math>\kappa = {8\pi \over 3}\cdot {r_0^2 \over m }</math> , as usual <math>r_0 = {e^2 \over mc^2}</math> . L'application numérique donne 1/2 cm²/g . ==== opacité de Rosseland==== La section de Thomson est indépendante de la Température T , mais le bremstrahlung-inverse intervient aussi ( pour dire vite, le transfert d'énergie entre un photon et un électron est déterminée en diffusion à deux corps ; mais si le proton intervient, alors sa "masse-tampon" permet d'absorber l'impulsion et alors un grand transfert d'énergie est possible. Bien sûr, n'importe quel ion peut aussi jouer ce rôle ; ainsi la "métallicité" va aussi intervenir. Mais, les régions non ionisées peuvent aussi intervenir. Au total, on est obligé de prendre une formule assez compliquée, dite opacité de Kramers-Rosseland, qui peut être 4 OdG plus grande que celle de Thomson : <math>\kappa_{Kramers} =\kappa_{Thomson}\cdot f(\xi , T) </math> ; la dépendance en température est typiquement en T^k avec k = -3.5. Références : Hahashi( 1962), Exer&Cameron(1963), Icarus1,422 . Voir aussi Monier( ed Ellipses, 2006). === la chimie nucléaire === ==== la courbe d'Aston ==== ==== le cycle du Soleil, Bethe ==== En fait la réaction 4H -> He + 2positrons +2 neutrinos n'est pas une réaction simple. Deux modèles prédominent : * Via H + H -> D +e* + neutrino (Électrofaible),D+ H-> He3 , puis He3+ He3 -> He4 + 2H * une petite fraction suit un autre canal (0.1%),passant par Be7 (+H ->) B8 , puis électrofaible -> Be8 , qui se fissionne en 2 He ou bien le canal(0.9%) via Be7 électrofaible -> Li7 et (+H-> 2He). * le fameux cycle de Bethe où C, N et O n'interviennent que comme catalyseurs : comme tous les cycles , il vaut mieux les écrire en rond , comme en biologie : ''' C12''' (capte H) -> N13 -> C13 (capte H et e-f)->N14 (capte H) -> O15 -> N15 enfin N15 (capte H) -> '''C12''' + He et e-f. bilan : 4H -> He +2(e-f) : absolument prodigieux d'invention pour l'époque. Hans Bethe(1906-2005) est un des plus grands physiciens du XXeme siècle. ===== l'énigme des neutrinos ===== résolue en 2000 , après la mise en œuvre du SNO_Ontario(1998, eau lourde comme détecteur) : oui les neutrinos électroniques oscillent en neutrinos muoniques , etc. ce qui donne une masse faible mais non nulle à ces neutrinos! ==== le flash de l'hélium ==== ==== et ensuite jusqu'au fer ==== == Partie III : l'évolution == *L'évolution d'une étoile après sa sortie de la Séquence principale est une histoire pleine de péripéties splendides , assez rapides , qui va conduire les plus petites d'entre elles au "cimetière" des naines blanches. === naine blanche === essentiellement un gaz d'électrons dégénérés (kT << kT(fermi) ): donc a = <math>a = \frac{\hbar}{m_e c}</math> === masse de Chandrasekhar === évidemment ce calcul est non relativiste : au delà d'une certaine masse proche de No , le gaz est relativiste et n'est plus stable. === Novæ === Mais entre-temps on peut voir des phénomènes grandioses : les novæ , voir les supernovæ , qui , elles-même, sont de deux catégories. === Pulsar === essentiellement , la pression permet à la réaction endothermique e-f inverse de se produire : proton + électron -> neutron +neutrino : l'étoile s'effondre <math>a = \frac{\hbar}{m c}</math>, donc de taille 1836 fois plus petite qu'une naine blanche ; la densité est évidemment nucléaire, et la taille d'environ 10km ! si son moment cinétique s'est conservé , elle tourne très vite , et le champ magnétique est très élevé : le rayonnement cyclotron des charges produit un gyrophare : d'où le nom "pulsar" === Trou noir === montrer que écrire la loi de Laplace(1796) (V-libération =c) donne le rayon de Schwartzschild) : 1/2 .c^2 = GM/R Le centre de la Galaxie contient un tel trou noir , très étudié, car les enveloppes astro autour de ce pint sont quasi-concentriques, mais on n'en connaît pas encore bien la théorie (qui relève ici plus d'une théorie des galaxies : cf Binney-Tremaine). ===n!=== Ayant lu le Solodek (the monodromy group) et le Mermin (boojums), je ne résiste pas à signaler la différence d'approche entre ces deux auteurs de la Formule de Stirling : n! =~ (n/e)^n .sqrt( 2Pi n). exp (1/12n), et bien sûr est bien marqué =~ et non ~ , car c'est un physicien qui l'écrit. ===PSLQ=== Ayant lu les Borwein , ilya bcp de choses merveilleuses à rajouter via ces deux livres ainsi que ceux de Crandall, Guy , Plouffe , Engqvist ... == Retour == *[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]] * voir aussi : [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences : le système solaire]] [[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]] j6la29h0l5rsakqr98eaukws0s5lltq 0 20761 769533 635009 2026-07-15T17:15:48Z DavidL 1746 769533 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Programmation Python}}</noinclude> Il existe dans Python une bibliothèque permettant de manipuler les fichiers [[Programmation_XML/Parsing|XML]]. Elle implémente la manière [[w:Simple API for XML|SAX]] (Simple API for XML) et [[w:Document Object Model|DOM]] (Document Object Model). Voyons comment manipuler simplement les fichiers XML grâce à la méthode SAX. == La méthode SAX == Cette méthode est basée sur les évènements : une fonction est appelée lorsque l'on ouvre une balise, une autre lorsque le programme rencontre du texte, et une autre encore lorsque la balise se ferme. Ces évènements sont définis dans une classe nommée '''interface'''. Cette classe doit dériver de ContentHandler, contenu dans le module ''xml.sax'', et peut implémenter les fonctions suivantes : * ''startElement''() est la fonction appelée lors de l'ouverture d' une balise. Les deux arguments sont le nom et un dictionnaire contenant les attributs. * ''endElement''() est la fonction appelée lors de la fermeture d' une balise. La fonction prend le nom de la balise en argument. * ''characters''() est appelée lorsque le parseur rencontre un caractère en dehors d' une balise. Ce caractère est passé en paramètre. Une fois cette classe faite, il faut créer un parseur. Cela est fait grâce à la fonction '''make_parser'''(), située elle aussi dans le module ''xml.sax''. On lui associe ensuite une instance de l'interface avec la méthode '''setContentHandler()''', et on lance l'analyse du fichier grâce à la méthode '''parse''', qui prend le nom du fichier en argument. Voici donc le code final : {{Exemple|Exemple 1|Un compteur d'éléments bavard| <syntaxhighlight lang=python> from xml.sax.handler import ContentHandler import xml.sax import sys class compteurElements(ContentHandler): def __init__(self): self.elem={} def startElement(self,name,attr): if not self.elem.has_key(name): self.elem[name] = 0 self.elem[name] += 1 def characters(self,ch): print ch def endElement (self, name): print name + ":" + str(self.elem[name]) parser = xml.sax.make_parser() handler = compteurElements() parser.setContentHandler(handler) parser.parse(sys.argv[1]) </syntaxhighlight> }} == La méthode DOM == Le module se nomme <code>xml.dom</code><ref>https://docs.python.org/2/library/xml.dom.html</ref> : <syntaxhighlight lang=python> import xml.dom </syntaxhighlight> {{...}} == Références == {{Références}} <noinclude>[[Catégorie:XML]]</noinclude> 4y8wms2x97jazrpjkr2x8mkcm5vhyks 0 30496 769561 769513 2026-07-16T03:55:31Z PandaMystique 119061 769561 wikitext text/x-wiki {{DicoPhilo |A}} <!-- Grille de contenu --> <div style="display: grid; grid-template-columns: repeat(auto-fit, minmax(280px, 1fr)); gap: 2em; width: 100%; margin-bottom: 2em;"> <div style="padding: 1.5em; background: linear-gradient(135deg, #ffffff40 0%, #e0e4e840 100%); border-radius: 10px; box-shadow: 0 3px 10px rgba(0,0,0,0.1);"> :{{Page|A (logique)|A}} :{{Page|Abduction}} ᕻ :{{Page|Aboulie}} :{{Page|Absolu}} :{{Page|Absolutisme}} ᕻ :{{Page|Abstraction}} ᕻ :{{Page|Absurde}} ᕻ :Académie :{{Page|Acatalépsie}} ᕻ :{{Page|Accident}} ᕻ :[[Manuel de terminale de philosophie/Acte/Puissance|Acte et Puissance]] <small>(M)</small> :{{Page|Action}} ᕻ :{{Page|Affection}} :''Afrique'' ::— {{Page|Philosophie africaine}} :{{Page|Agnosticisme}} ᕻ :{{Page|Aliénation}} :{{Page|Altérité}} ᕻ :{{Page|Altruisme}} ᕻ :{{Page|Âme}} :{{Page|Amitié}} ᕻ </div> <div style="padding: 1.5em; background: linear-gradient(135deg, #ffffff40 0%, #e0e4e840 100%); border-radius: 10px; box-shadow: 0 3px 10px rgba(0,0,0,0.1);"> :{{Page|Amour}} :Analogie :Analyse :Analytique :{{Page|Anarchisme}} ᕻ :{{Page|Anaxagore}} :{{Page|Anaximandre de Milet}} :{{Page|Angoisse}} ᕻ :{{Page|Animal}} ::— Communication animale ::— Droits ::— {{Page|Intelligence animale}} ᕻ :{{Page|Anthropocentrisme}} :{{Page|Antinomie}} :{{Page|Aporie}} :{{Page|Apparence}} :{{Page|A priori}} :{{Page|Argument}} ::— [[Philosophie de l'esprit/Argument de la connaissance|de la connaissance]] </div> <div style="padding: 1.5em; background: linear-gradient(135deg, #ffffff40 0%, #e0e4e840 100%); border-radius: 10px; box-shadow: 0 3px 10px rgba(0,0,0,0.1);"> :{{Page|Argentine (Philosophie)|Argentine}} (philosophie au XX{{e}} siècle) :{{Page|Aristote}} ::— Aristotélisme :{{Page|Art (introduction)|Art}} (introduction) ::— {{Page|Art}} (contemporain) ::— {{Page|Art et Vérité}} :{{Page|Ataraxie}} :{{Page|Athéisme}} :Atome ::— {{Page|Atomisme}} :{{Page|Attribut}} :{{Page|Authenticité}} :{{Page|Autonomie}} :{{Page|Autorité}} :[[Philosophie/Autrui|Autrui]] <small>(M)</small> :{{Page|Avortement}} (éthique) ᕻ :{{Page|Axiome}} </div> </div> {{PhiloRecherche}} {{Autocat}} edx75aiytq37bs9d83imqbzq9v95mhz 0 30551 769557 755282 2026-07-15T17:54:34Z ~2026-34862-02 124042 769557 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Grec ancien}} </noinclude> Une locution est, en linguistique, ''une unité fonctionnelle du langage, composée de plusieurs mots graphiques, appartenant à la langue et devant être apprise en tant que forme globale non divisible.'' Les expressions et les proverbes sont des locutions. {{Grc-exemple|''Je mange une assiette anglaise.''<br>Une assiette anglaise n'est pas un élément de vaisselle mais un plat. ''Un loup dans mon jardin ? Ça par exemple !''<br>On ne donne pas un exemple, c'est une expression.}} __FORCERSOMMAIRE__ ==Α== ;Άγαθῇ τύχῃ :(Agathễi týkhêi) :Bonne chance !/Bon courage ! ;Ἅγιος, ἅγιος, ἅγιος Κύριος ὁ Θεὸς ὁ παντοκράτωρ, ὁ ἦν καὶ ὁ ὢν καὶ ὁ ἐρχόμενος. :(Hágios, hágios, hágios Kýrios ho Theòs ho pantokrátôr, ho ễn kaì ho ồn kaì ho erkhómenos.) :Saint, saint, saint est le Seigneur Dieu, le Tout-Puissant, qui était, qui est, et qui vient. (en latin : ''Sanctus, Sanctus, Sanctus Dominus Deus omnipotens, qui erat, et qui est, et qui venturus est.'') :Il s'agit d'un chant mentionné dans le chapitre 6 du livre d'Ésaïe et dans le chapitre 4 de l'Apocalypse de Jean. ;Ἀγνώστῳ Θεῷ :(Agnốstỗi Theỗi) : ;Ἀεὶ Λιϐύη φέρει τι κακόν. :(Aeì Libýê phérei ti kakón.) :La Libye porte toujours le mal. ;Aἰγαῖον Πέλαγος :(Aigaîon Pélagos) :mer Égée (en latin : ''Aegaeum mare'') ;Aἱ γυναῖκες ἐν ταῖς ἐκκλησίαις σιγάτωσαν. :(Hai gynaîkes en taîs ekklêsíais sigátôsan.) :Que les femmes se taisent dans les églises. (en latin : ''Mulier taceat in ecclesia.'') ;Αἱ γυναῖκες τοῖς ἰδίοις ἀνδράσιν ὑποτάσσεσθε ὡς τῷ Κυρίῳ, ὅτι ὁ ἀνὴρ ἐστὶ κεφαλὴ τῆς γυναικὸς, ὡς καὶ ὁ Χριστὸς κεφαλὴ τῆς ἐκκλησίας, καὶ αὐτός ἐστι σωτὴρ τοῦ σώματος. ἀλλ' ὥσπερ ἡ ἐκκλησία ὑποτάσσεται τῷ Χριστῷ, οὕτω καὶ αἱ γυναῖκες τοῖς ἰδίοις ἀνδράσιν ἐν παντί. Οἱ ἄνδρες ἀγαπᾶτε τὰς γυναῖκας ἑαυτῶν, καθὼς καὶ ὁ Χριστὸς ἠγάπησε τὴν ἐκκλησίαν καὶ ἑαυτὸν παρέδωκεν ὑπὲρ αὐτῆς, ἵνα αὐτὴν ἁγιάσῃ καθαρίσας τῷ λουτρῷ τοῦ ὕδατος ἐν ῥήματι, ἵνα παραστήσῃ αὐτὴν ἑαυτῷ ἔνδοξον τὴν ἐκκλησίαν, μὴ ἔχουσαν σπίλον ἢ ῥυτίδα ἤ τι τῶν τοιούτων, ἀλλ' ἵνα ᾖ ἁγία καὶ ἄμωμος. Οὕτως ὀφείλουσιν οἱ ἄνδρες ἀγαπᾶν τὰς ἑαυτῶν γυναῖκας ὡς τὰ ἑαυτῶν σώματα. ὁ ἀγαπῶν τὴν ἑαυτοῦ γυναῖκα ἑαυτὸν ἀγαπᾷ· οὐδεὶς γάρ ποτε τὴν ἑαυτοῦ σάρκα ἐμίσησεν, ἀλλ' ἐκτρέφει καὶ θάλπει αὐτήν, καθὼς καὶ ὁ Χριστὸς τὴν ἐκκλησίαν. :() : : [[Image:Bapst engraving of BC motto.jpg|thumb|Aἰὲν ἀριστεύειν]] {{Clr}} ;Aἰὲν ἀριστεύειν :(Aièn aristeúein) :Exceller à jamais. C’est la devise de l'université de Saint-André au Royaume-Uni ; cette phrase est tirée de l’''Illiade'' d’Homère dans un dialogue entre Glaucos et Diomède (en anglais : ''Ever to excel''). ;Αἰτεῖτε, καὶ δοθήσεται ὑμῖν: ζητεῖτε, καὶ εὑρήσετε: κρούετε, καὶ ἀνοιγήσεται ὑμῖν. :(Aiteîte, kaì dothếsetai hymîn: zêteîte, kaì heurếsete: kroúete, kaì anoigếsetai hymîn.) :Demandez, et l’on vous donnera ; cherchez, et vous trouverez ; frappez, et l’on vous ouvrira. (en latin : ''Petite, et dabitur vobis; quaerite, et invenietis; pulsate, et aperietur vobis.'') :C’est une phrase du septième verset du chapitre 7 de l’évangile selon Matthieu. ;Ἀκροποδητί :(Akropodêtí) :Sur la pointe des pieds ;Ἀκτῖνες μέσαι. :(Aktînes mésai.) :. ;Ἀγνώστῳ Θεῷ :(Agnốstỗi Theỗi) : ;Ἁλιεὺς πληγεὶς νοῦν φύσει. :(Halieùs plêgeìs noûn phýsei.) :Les blessures poussent l’esprit du pêcheur. ;Ἀλλ’ ὅστις σε ῥαπίζει εἰς τὴν δεξιὰν σιαγόνα [σου], στρέψον αὐτῷ καὶ τὴν ἄλλην. :All’ hóstis se rhapízei eis tền dexiàn siagóna [sou], strépson autỗi tền állên. :Si quelqu’un te gifle sur la joue droite, tends-lui aussi l’autre. (en latin : ''Sed si quis te percusserit in dextera maxilla tua praebe illi et alteram.'') :C’est une phrase du trente-neuvième verset du chapitre 5 de l’évangile selon Matthieu. ;Ἄλφα καὶ ὦ :(Álpha kaì ỗ) :[[Grec ancien/Alphabet/Alpha|Alpha]] et [[Grec ancien/Alphabet/Oméga|oméga]] :Ce sont les noms de la première et de la dernière lettre de l'alphabet grec. ;Ἀμήν σοι λέγω, σήμερον μετ’ ἐμοῦ ἔσῃ ἐν τῷ παραδείσῳ. :(Amến soi légô, sếmeron met’ emoû ésêi en tỗi paradeísôi.) :En vérité, je te le dis, aujourd’hui, tu seras avec moi dans le paradis. :Ce sont les paroles que Jésus prononce sur la croix dans le quarante-troisième verset du vingt-troisième chapitre de l’évangile selon Luc. ;Ἀναπαύσου ἐν εἰρήνῃ :(Anapaúsou en eirếnêi) :Repose en paix (en latin : ''Requiescat in pace'') ;Ἀνερρίφθω κύβος. :(Anerríphthô kýbos.) :Le sort en est jeté. (en latin : ''Alea iacta est.'') :Jules César cita dans la langue originale le proverbe grec bien connu ''Ἀνεῤῥίφθω κύϐος'' que Suétone rendit par ''Iacta alea est''. En effet, le sens de l’expression grecque n’est pas « le dé est jeté », mais bien « le dé soit jeté ». Dès lors, il faudrait peut-être adopter la correction qui remonte à [[w:Érasme|Érasme]] : ''jacta alea esto''. ;Ἄνδρα μοι ἔννεπε, Μοῦσα, πολύτροπον, ὃς μάλα πολλὰ<br />πλάγχθη, ἐπεὶ Τροΐης ἱερὸν πτολίεθρον ἔπερσε·<br />πολλῶν δ’ ἀνθρώπων ἴδεν ἄστεα καὶ νόον ἔγνω,<br />πολλὰ δ’ ὅ γ’ ἐν πόντῳ πάθεν ἄλγεα ὃν κατὰ θυμόν,<br />ἀρνύμενος ἥν τε ψυχὴν καὶ νόστον ἑταίρων. :(Ándra moi énnepe, Moûsa, polýtropon, hòs mála pollà<br>plánkhthê, epeì Troḯês hieròn ptolíethron éperse ·<br>pollỗn d’ anthrốpôn íden ástea kaì nóon égnô,<br>pollà d’ hó g’ en póntôi páthen álgea hòn katà thymón,<br>arnýmenos hến te psykhền kaì nóston hetaírôn.) :Ô Muse, conte-moi l’aventure de l'Inventif :<br />celui qui pilla Troie, qui pendant des années erra,<br />voyant beaucoup de villes, découvrant beaucoup d’usages,<br />souffrant beaucoup d’angoisses dans son âme sur la mer<br />pour défendre sa vie et le retour de ses marins. :Ce sont les premiers vers du chant I de l’''Odyssée'' d’Homère. ;Ἀνδρῶν ἐπιφανῶν πᾶσα γῆ τάφος. :(Andrỗn epiphanỗn pâsa gễ táphos.) :Les hommes éminents ont la terre entière pour tombeau. :C’est une citation de Thucydide. ;Ἄνθρωπον ζητῶ. :(Ánthrôpon zêtỗ.) :L’homme, je le cherche. :C’est une phrase du ''Cynique'' de Diogène. ;Ἄνθρωπὸς ἐστὶ πάντων χρημάτων μέτρον. :(Anthrôpòs estì pántôn khrêmátôn métron.) :L’homme est la mesure de toutes choses. :C’est une citation de Protagoras. ;Ἄνθρωπος ἐλεεινός. :(Ánthrôpos eleeinós.) :Homme de désirs. (en latin : ''Vir desideriorum.'') :Cette locution est la traduction grecque de l’hébreu « אִישׁ־חֲמֻדוֹת » (’iš-ḥamudwt). C’est le titre attribué au prophète Daniel dans le dixième chapitre du livre biblique racontant sa vie (versets 11 et 19). ;Ἅπαξ λεγόμενον. :(Hápax legómenon.) :Ayant été dit une fois. :Ce terme désigne les mots (ou expressions) dont il n’existait qu’une seule occurrence dans la littérature. ;Ἄπιστος Θωμᾶς. :(Ápistos Thômâs.) :Thomas l’incrédule. : . ;Ἀπόδοτε τὰ Καίσαρος Καίσαρι καὶ τὰ τοῦ Θεοῦ τῷ Θεῷ. :(Apódote tà Kaísaros Kaísari kaì tà toû Theoû tỗi Theỗi.) :Rendez à César ce qui est à César et à Dieu ce qui est à Dieu. (en latin : ''Redde Caesari quae sunt Caesaris, et quae sunt Dei Deo.'') ;Ἀπὸ τὸ Α ὡς τὸ Ω. :(Apò tò A hôs tò Ô.) :De A à Z. ;Ἀπὸ καρδίας. :(Apò kardías.) :De tout cœur. ;Ἀπὸ μηχανῆς θεός. :(Apò mêkhanễs theós.) :Dieu issu de la machine (en latin : ''Deus ex machina.'') :Cette expression existait déjà dans le théâtre grec, pour désigner un mécanisme servant à faire entrer en scène une ou des divinités pour résoudre une situation désespérée. ;Ἀπὸ χειλῶν. :(Apò kheilỗn.) :Du bout des lèvres. [[Image:William Holman Hunt - The Scapegoat.jpg|thumb|Ἀποπομπαῖος τράγος]] {{Clr}} ;Ἀποπομπαῖος τράγος :(Apopompaîos trágos) :Bouc émissaire (en latin : ''Caper emissarius'') :Cette locution est la traduction grecque de l’hébreu « שָׂעִיר לַעֲזָאזֵל » (se’ïr lèAzazel) signifiant « bouc à Azazel ». Lors d’un rite expiatoire accompli à la période de Yom Kippour, deux boucs était tirés au sort par les Juifs. L’un était sacrifié à Dieu, l’autre était envoyé dans le désert vers Azazel après avoir été symboliquement chargé de toutes les fautes devant être expiées. ;Ἀρκετὸν τῇ ἡμέρᾳ ἡ κακία αὐτῆς. :(Arketòn tễi hêmérai hê kakía autễs.) :À chaque jour suffit sa peine. (en latin : ''Sufficit cuique diei malitia sua.'') :C’est une phrase du trente-quatrième verset du sixième verset de l’évangile selon Matthieu. ;ᾎσμα ᾈσμάτων :(Âisma Aismátôn) :Cantique des Cantiques (en latin : ''Canticum Canticorum'') :Cette locution est la traduction grecque de l’hébreu « שיר השירים » (Šīr haŠīrīm). ;Αὐτὸς ἔφα. :(Autòs épha.) :C’est lui qui l’a dit. (en latin : ''Ipse dixit.'') ;Αὐτάρκησεν αὐτὸν ἐν γῇ ἐρήμῳ, ἐν δίψει καύματος ἐν γῇ ἀνύδρῳ· ἐκύκλωσεν αὐτὸν καὶ ἐπαίδευσεν αὐτὸν καὶ διεφύλαξεν αὐτὸν ὡς κόρην ὀφθαλμοῦ. :(Autárkêsen autòn en gễi erếmôi, en dípsei kaúmatos en gễi anýdrôi ; ekýklôsen autòn kaì epaídeusen autòn kaì diephýlaxen autòn kórên ophthalmoû.) :Il l’a trouvé dans une terre déserte, dans un lieu affreux, et dans une vaste solitude ; il l’a conduit par divers chemins ; il l’a instruit ; il l’a conservé comme la prunelle de son œil. (en latin ''.'') :C’est une phrase du trente-deuxième verset du Deutéronome. ==Β== ;Βαλλ᾿ ἐς κόρακας. :(Ball’ es kórakas.) :Va chez les corbeaux. : ;Bασιλεία τῶν οὐρανῶν :(Basileía tỗn ouranỗn) :Royaume des cieux : ;Βασιλεία τῶν Ρωμαίων :(Basileía tỗn Rômaíôn) :Empire byzantin (en latin : ''Imperium Romanorum'') [[Image:Lion waiting in Namibia.jpg|thumb|Ὁ λέων ἐστὶ βασιλεὺς τῶν ζῴων.]] {{Clr}} [[Fichier:Okonjima Lioness.jpg|thumb|Ἡ λέαινα ἐστὶ βασίλισσα τῶν ζῴων.]] {{Clr}} ;Bασιλεὺς τῶν ζῴων :(Basileùs tỗn zốiôn) :Roi des animaux (en latin : ''Rex animalium'') :C’est le nom poétique du [[w:lion|lion]]. « βασιλεύς » est également à l’origine du prénom masculin « [[wikt:Basile|Basile]] ». En grec moderne, la même phrase se dit « [[wikt:βασιλιάς των ζώων|βασιλιάς των ζώων]] ». ;Βατραχομυομαχία :(Batrakhomyomakhía) :Bataille des grenouilles et des rats. :C’est une parodie comique de l’''Iliade'' que Plutarque attribue à un dénommé Pigrès d’Halicarnasse. ;Βατράχοις οἰνοχοεῖν. :(Batrákhois oinokhoeîn.) :Verser du vin aux grenouilles. :Faire quelque chose qui n’est pas demandé. ;Βρῶμα θεῶν :(Brỗma theỗn) :Froment des dieux ==Γ== ;Γενηθήτω φῶς. :(Genêthếtô phỗs.) :Que la lumière soit. (en latin : ''Fiat lux.'') :C’est une phrase de l’Ancien Testament. ;Γένοιο οἷος ἔσσι. :(Génoio hoîos éssi.) : ;Γέρων ἀλώπηξ οὐχ ἁλίσκεται πάγη. :(Gérôn alốpêx oukh halísketai págê.) :Le vieux renard ne se laisse pas prendre au piège. :C’est l’ancêtre de l’expression française « Ce n’est pas à un vieux singe qu’on apprend à faire des grimaces. » ;Γίγνωσκε καιρόν. :(Gígnôske kairόn.) :Connais le temps. (en latin : ''Nosce tempus.'') :C’est la devise de [[w:Pittacos de Mytilène|Pittacos de Mytilène]]. ;Γλαῦκ᾿ Ἀθήναζε ἡγείσθαι :(Glaûk’ Athếnaze hêgeísthai) : ;Γλαῦκ᾿ εἰς Ἀθήνας :(Glaûk’ eis Athếnas) : ;Γλαῦξ ἐν πόλει :(Glaûx en pólei) : [[Image:Gnothi Sauton Reichert-Haus in Ludwigshafen.jpg|thumb|Gravure de « Γνῶθι σεαυτόν » à [[w:Ludwigshafen|Ludwigshafen]] en [[w:Allemagne|Allemagne]].]] {{Clr}} ;Γνῶθι σεαυτόν. :(Gnỗthi seautόn.) :Connais-toi toi-même. (en latin : ''Nosce te ipsum'') (devise inscrite sur le fronton du Temple de Delphes et reprise par Socrate.) ;Γύναι, ἴδε ὁ υἱός σου. :(Gýnai, íde ho huios sou.) :Femme, voici ton fils. :Ce sont les paroles que Jésus prononce sur la croix dans le vingt-sixième verset du dix-neuvième chapitre de l’évangile selon Jean. ;Γυναῖκα γὰρ δὴ συμπονεῖν γυναικὶ χρή. :(Gynaîka gàr dề symponeîn gynaikì khrế.) :Il faut bien qu’une femme partage la peine d’une autre femme. :C’est une phrase du vers n° 328 d’''Hélène'' d’Euripide. ==Δ== ;Δεσπότα τοίνυν πανάγαθε ! διὰ τὶ σύ μοι οὐκ ἀρτοδοτεῖς; Ὁρᾷς γὰρ λιμῷ<br>ἀναλισκόμενον ἐμὲ ἀθλίως. Καὶ ἐν τῷ μεταξὺ ἐμὲ οὐκ ἐλεεῖς οὐδαμῶς,<br>ζητεῖς δὲ παρ’ ἐμοῦ ἃ οὐ χρή - καὶ ὅμως φιλόλογοι πάντες ὁμολογοῦσι<br>τότε λόγους τε καὶ ῥήματα περιττὰ ὑπάρχειν, ὁπότε πρᾶγμα αὐτὸ πᾶσι<br>δῆλον ἐστὶ - Ἔνθα γὰρ ἀναγκαῖοι μόνον λόγοι εἰσίν, ἵνα πράγματα (ὧν πέρι<br>ἀμφισϐητοῦμεν) μὴ προσφόρως ἐπιφαίνεται. :(Despóta toínyn panágathe ! dià tì sý moi ouk artodoteîs; Horâis gàr limỗi<br>analiskómenon emè athlíôs. Kaì en tỗi metaxỳ emè ouk eleîs oudamỗs,<br>zêteîs dè par’ emoû hà ou khrế - kaì homôs philólogoi pántes homologoûsi<br>tóte lógous te kaì rhếmata perittà hypárkhein, hopóte prâgma autò pâsi<br>dễlon estì - Éntha gàr anagkaîoi mónon lógoi eisín, hína prágmata (hỗn péri<br>amphisbêtoûmen) mề prosphórôs epiphaínetai.) :Excellent maître, pourquoi ne me donnes-tu pas de pain ?<br>Tu me vois périr misérablement de faim, et cependant tu n’as nullement pitié de moi.<br>Tu me poses des questions importunes. Cependant tous les amis des<br>lettres sont d’accord que les discours et les paroles sont superflus quand les faits sont évidents pour tous. Les discours ne sont nécessaires que là<br>où les faits sur lesquels nous sommes en contestation ne se montrent pas clairement. :C’est une retranscription par Fleury de Lécluse du discours en grec de Panurge au chapitre IX de ''Pantagruel''. ;Δεξιὰν δίδωμι. :(Dexiàn dídōmi.) :Serrer la main. (en latin : ''Dextras copulor.'') ;Διαίρει καὶ βασίλευε. :(Diaírei kaì basíleue.) :[[w:Diviser pour régner|Diviser pour régner]]. (en latin : ''Divide et impera.'') ;Διψῶ. :(Dipsỗ.) :J’ai soif. :Ce sont les paroles que Jésus prononce sur la croix dans le dix-neuvième verset du trentième chapitre de l’évangile selon Jean. ;Δοκεῖ δέ μοι καὶ Καρχηδόνα μὴ εἶναι. :(Dokeî dé moi kaì Karkhêdóna mề eînai.) :En outre, je suis d'avis qu'il faut détruire Carthage. (en latin : ''Ceterum censeo Carthaginem esse delendam.'' ; cf. le fameux « Carthago delenda est. » de Caton l’Ancien.) ;Δόξα Πατρὶ καὶ Υἱῷ καὶ Ἁγίῳ Πνεύματι,<br>καὶ νῦν καὶ ἀεὶ καὶ εἰς τοὺς αἰῶνας τῶν αἰώνων. Ἀμήν. :(Dóxa Patrì kaì Huiỗi kaì Hagiỗi Pneúmati,<br>kaì nŷn kaì aeì kaì eis toùs aiỗnas tỗn aiốnôn. Amến) :Gloire au Père, et au Fils, et au Saint-Esprit.<br>Comme il était au commencement, maintenant et toujours, pour les siècles des siècles. Amen. (en latin : ''Gloria Patri, et Filio, et Spiritui Sancto,<br>Sicut erat in principio, et nunc, et semper, et in saecula saeculorum. Amen.'') : ;Δόξα τῷ Θεῷ. :(Dóxa tỗi Theỗi.) :Grâce à Dieu. (en latin : ''Deo gratias.'') ;Δούρειος Ἵππος :(Doúreios Híppos) :Cheval de Troie :Cette grande construction est plus connue en grec sous le nom de « Cheval de bois ». ;Δῶρον τοῦ ποταμοῦ :(Dỗron toû potamoû) :Don du fleuve (C’est une périphrase désignant l’[[w:Égypte|Égypte]].) ;Δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω. :(Dỗs moi pâ stỗ kaì tàn gân kinásô.) : ==Ε== ;Ἔγειραι καὶ περιπάτει. :(Égeirai kaì peripátei.) :Lève-toi, et marche. (en latin : ''Surge et ambula.'') :C’est une phrase du cinquième verset du chapitre 9 de l’évangile selon Matthieu. ;Ἐγγύα, πάρα δ᾽ ἄτα. :(Engýa, pára d’ áta.) :Ne te porte jamais caution. :C’est la devise de [[w:Thalès de Milet|Thalès de Milet]]. ;Εγένετο δὲ Ἄϐραμ ἐτῶν ἐνενηκονταεννέα, καὶ ὤφθη Κύριος τῷ Ἄϐραμ καὶ εἶπεν αὐτῷ· ἐγώ εἰμι ὁ Θεός σου· εὐαρέστει ἐνώπιον ἐμοῦ καὶ γίνου ἄμεμπτος, καὶ θήσομαι τὴν διαθήκην μου ἀνὰ μέσον ἐμοῦ καὶ ἀνὰ μέσον σοῦ καὶ πληθυνῶ σε σφόδρα. :(.) :Abram entrant déjà dans sa quatre-vingt-dix-neuvième année, le Seigneur lui apparut, et lui dit : Je suis le Dieu tout-puissant ; marchez devant moi, et soyez parfait. Je ferai alliance avec vous, et je multiplierai votre race jusqu’à l’infini. (en latin : '' '') :Ce sont les deux premiers versets du chapitre 17 de la ''Genèse''. ;Eγένετο δὲ ἐν ταῖς ἡμέραις ἐκείναις :(Egéneto dè en taîs hêmérais ekeínais) : ;Ἐγὼ δ' ἐσθίω, ἵνα ζῶ. (Egồ d' esthíô, hína zỗ.) : (en latin : ''Ede ut vivas, ne vivas ut edas.'') :Cette phrase de Socrate fut reprise par Molière dans ''L’Avare'' sous la forme « Il faut manger pour vivre et non pas vivre pour manger. » ;Εἰ ἀλλάξεται Αἰθίοψ τὸ δέρμα αὐτοῦ καὶ πάρδαλις τὰ ποικίλματα αὐτῆς, καὶ ὑμεῖς δυνήσεσθε εὖ ποιῆσαι μεμαθηκότες τὰ κακά. :(Ei alláxetai Aithíops tò dérma autoû kaì párdalis tà poikílmata autễs, kaì hymeîs dynếsesthe eû poiễsai memathêkótes tà kaká.) :Un Éthiopien changera-t-il sa peau, Un léopard ses taches ? Alors vous pourrez aussi faire le bien, Vous qui êtes appris à mal faire. :C'est le vingt-troisième verset du treizième chapitre du livre de Jérémie. ;Εἰ μὲ φιλοῦντα φιλεῖς, διπλὴ χάρις· εἰ δὲ μὲ μισεῖς τόσσον μισοίης, ὁσσον ἐγὼ σὲ φιλῶ. :(Ei mè philoûnta phileîs, diplề kháris· ei dè mè miseîs tósson misoíês, hosson egồ sè philỗ.) :Si tu m'aimes comme je t'aime, c'est double plaisir ; mais si tu me hais, hais-moi du moins autant que je t'aime. :Ce distique est extrait de l<nowiki>'</nowiki>''Anthologie grecque'' publiée aux éditions Didot. (t. III, p. 149) ;Εἰ μὴ Ἀλέξανδρος ἤμην, Διογένης ἂν ἤμην. :(Ei mề Aléxandros ếmên, Diogénês àn ếmên.) : ;Εἰρήνῃ ὑμῖν. :(Eirếnêi hymîn.) : : ;Εἰρήνη πᾶσι. :(Eirếnê pâsi.) : (en latin : ''Pax vobiscum.'') : ;Εἰ στρατεύσεις ἐπὶ τοὺς Πέρσας, μεγάλην ἀρχὴν καταλύσεις. :(Ei strateúseis epì toùs Pérsas, megálên arkhền katalýseis.) : ;Εἷς μοι μύριοι, ἐὰν ἄριστος ἦν. :(Heîs moi mýrioi eàn áristos ễn.) : ;Εἰς μυλῶνα καταϐάλλω. :(Eis mylỗna katabállô.) :Se précipiter chez le meunier. (en latin : ''Detrudere in pistrinum.'') ;Eἰς τὸ ὄνομα τοῦ Πατρὸς καὶ τοῦ Υἱοῦ καὶ τοῦ Ἁγίου Πνεύματος :(Eis tò ónoma toû Patròs kaì toû Huioû kaì toû Hagíou Pneúmatos) :Au nom du Père et du Fils et du Saint-Esprit (en latin : ''in nomine Patris, et Filii, et Spiritus Sancti'') ;Εἰς τὸ ὄνομα τοῦ Θεοῦ ἐλεήμονα, φιλανθρώπου :(Eis tò ónoma toû Theoû eleếmona, philanthrốpou) :Au nom de Dieu charitable et bienveillant (en latin : ''In nomine Dei Misericordis Miseratoris'') :C’est ainsi qu’aurait pu se traduire en grec médiéval la [[w:Basmala|basmala]] musulmane. ;Εἰς τοὺς αἰῶνας τῶν αἰώνων. :(Eis toùs aiỗnas tỗn aiốnôn.) :Pour les siècles des siècles. (en latin : ''In saecula saeculorum.'') ;Εἰς ὕδωρ γράφεις. :(Eis hýdôr grapheîs.) :Tu écris sur l’eau. (en latin : ''Scribis aqua.'') :Il est vain de se donner inutilement de la peine. ;Ἐκ βαθέων ἐκέκραξά σοι, Κύριε· :(Ek bathéôn ekékraxá soi, Kýrie ;) :Des profondeurs, je criai vers Toi, Seigneur ; (En latin : ''De profundis clamavi ad te, Domine ;'') :Ce sont les premiers mots du psaume 129 de David. ;Ἐκ βάθους καρδίας. :(Ek báthous kardías.) :Du fond du cœur. (en latin : ''Ex imo corde.'') ;Ἐκ ὁλοκλήρου. :(Ek holoklếrou) :Dans toute sa longueur (en latin : ''In extenso'') ;Ἐκ πρώτης ὄψεως. :(Ek prốtês ópseôs.) :À première vue (En latin : '' '') ;Ἐλευθερία ἢ Θάνατος :(Eleuthería ề Thánatos) :La liberté ou la mort :C’est la devise nationale de la Grèce. ;Ἐλέφαντα ἐκ μυίας ποιεῖς :(Eléphanta ek myías poieîs) :Tu fais de la mouche un éléphant. (en latin : ''Elephantum ex musca facis.'') [[Image:Amphora Hades Louvre G209.jpg|thumb|right|Ἐν ᾍδου]] {{Clr}} ;Ἐν ᾍδου :(En Háidou) :Chez Hadès :C’est une périphrase signifiant « aux Enfers ». ;Ἐν μύρτος κλάδι τὸ ξίφος φορήσω<br>ὥσπερ Ἁρμόδιος καὶ '''Ἀριστογείτων''',<br>ὁτὲ τὸν τύραννον κτανέτην<br>ἰσονόμους τ’ Ἀθήνας ἐποιησάτην. :(En mýrtos kládi tò xíphos phorsô<br>hốsper Harmódios kaì Aristogeítôn,<br>hotè tòn týrannon ktanétên<br>isonómous t’ Athếnas epoiêsátên) :Je porterai le glaive dans un rameau de myrte,<br>comme Harmodios et Aristogiton,<br>lorsqu'ils ont tué ensemble le tyran<br>et donné ensemble la liberté à Athènes. :C’est une chanson de table présente dans le livre XI (p. 695) du ''Banquet des sophistes'' d’Athénée. Elle commémore l’assassinat du tyran Hipparque en 514 av. J.-C. . ;Ἐν ῥυθμῷ :(En rhythmỗi) :En rythme ;Ἐνθάδαι κείται :(Enthádai keítai) :Ci-gît ;Ἐν οἴνῳ αλήθεια. :(En oínôi alếtheia.) :La vérité est dans le vin. (en latin : ''In vino veritas.'') ;Ἕν οἶδα ὅτι οὐδὲν οἶδα. :(Hén oîda hóti oudèn oîda.) :Je sais que je ne sais rien. (en latin : ''Scio me nihil scire.'') :Cette maxime est attribuée à [[w:Socrate|Socrate]]. ;Ἐν ὀφθαλμοῖς ὁρᾶν. :(En ophthalmoîs horân.) :Voir de ses propres yeux. ;Ἑνὸς ἀτόπου δοθέντος, τἆλλα συμϐαίνει. :(Henòs atópou dothéntos, tâlla symbaínei.) :Une absurdité ayant été accordée, les autres arrivent. (en latin : ''Ex falso, sequitur quodlibet.'') ;Ἐν ῥυθμῷ :(En rhythmỗi) :En rythme. ;Ἐν ὑγιεῖ σώματι ὑγιὴς ψυχή. :(En hygieî sốmati hygiềs psykhế.) :Une âme saine dans un corps sain. (en latin : ''Anima sana in corpore sano.'') ;Ἐν τούτῷ νίκα. :(En toútỗi níka.) :Avec ce signe tu peux vaincre. (en latin : ''In hoc signo vinces.'') :Il s’agit d’une vision de Constantin le Grand peu avant la bataille du Pont Milvius. ;Ἐξ ἁμάξης. :(Ex hamáxês.) : ;Ἐπὶ ξυροῦ ἀκμῆς. :(Epì xyroû akmễs.) :Sur le fil du rasoir. :C’est une expression présente dans le cent-soixante-treizième chapitre de l’''Iliade'' d’Homère. ;Ἐπὶ ποδὸς πολέμου. :(Epì podòs polémou.) :Sur le pied de guerre. (en latin : ''Sur pedis belli.'') ;Ἑρμῆς ἐπεισελήλυθε. :(Hermễs epeiselếlythe.) :Hermès passe. :C’est l’ancêtre de l’expression française « Un ange passe. » ;Ἔρως ἀνίκατε μάχαν. (Érôs aníkate mákhan.) :Amour invincible en bataille. (en latin : ''Omnia vincit amor.'') :Cela vient de la tragédie ''Antigone'' de Sophocle. ;Ἔσο ἕτοιμος. :(Éso hétoimos.) :Sois prêt. (en latin : ''Estote parati.'') :C’est aujourd’hui la devise des scouts grecs. ;Εὕρηκα. :(Heúrêka.) :J’ai trouvé. :[[w:Archimède|Archimède]] lança ce cri en comprenant le principe de la poussée qui porte son nom. ==Ζ== ;Ζωῆς πονηρᾶς θάνατος αἱρετώτερος. :(Zôễs ponêrâs thánatos hairetốteros.) : ;Zῷον, λόγον ἔχον :(Zỗion, lógon ékhon.) : ;Zῷον πολιτικὸν :(Zỗion politikòn) :Animal politique (définition de l'homme selon Aristote). ==Η== ;Ἡ ἅμαξα τὸν βοῦν ἕλκει. :(Hê hámaxa tòn boûn hélkei.) :Mettre la charrue avant les bœufs. ;Ἢ τὰν ἢ ἐπὶ τᾶς. :(Ề tàn ề epì tâs.) : ;Ἡ φύσις οὐδὲν ποιεῖ ἅλματα. :(Hê phýsis oudèn poieî hálmata.) :La nature ne travaille jamais par sauts rapides. (en latin : ''Natura non facit saltus.'') ;Ἠλύσια πεδία :(Êlýsia pedía) :champs Élysées (en latin : ''Elysii campi'') :Avant d'être le nom d'une célèbre avenue parisienne, « les Champs Élysées » désigne le lieu des Enfers où les héros et les gens vertueux goûtent le repos après leur mort. ;Ἦθος, ἀνθρώπῳ δαίμων. :(Ễthos, antrốpôi daímôn.) : ;Ἦλθον, εἶδον, ἐνίκησα. :(Ễlthon, eîdon, eníkêsa.) :Je suis venu, j’ai vu, j’ai vaincu. (en latin : ''[[w:Veni, vidi, vici|Veni, vidi, vici]].'') ;Ἥμαρτον. :(Hếmarton.) :J’ai péché. (en latin : ''Mea culpa.'') ==Θ== ;Θάλασσα καὶ πῦρ καὶ γυνὴ, κακὰ τρία. :(Thálassa kaì pŷr kaì gynề, kakà tría.) :La mer, le feu, la femme : les trois sont des maux. (en latin : ''Mare, ignis, mulier: tria sunt mala.'') ;Θάλασσα! Θάλασσα! :(Thálassa! Thálassa!) :La mer ! La mer ! :Cri de joie des Grecs conduits par Xénophon, quand, accablés de fatigue après une retraite de plusieurs mois, ils aperçurent le rivage de Pont-Euxin. ''Thálassa'' dérive de l’indo-européen commun *''dʰéwbus'' qui signifie ''profond''. On retrouve cette racine indo-européenne dans l’allemand ''Tal'' et dans l’anglais ''dale'' (« vallée »), ainsi que dans l’allemand ''tief'', le néerlandais ''diep'' et l’anglais ''deep'' (« profond »). Tout comme nous disons parfois en français ''la grande bleue'' pour désigner la mer, il n’est pas rare que les anglophones disent ''the deep'' dans le même sens, ce qui nous ramène à ''thálassa''. ''[[w:Thalassa (émission de télévision|Thalassa]]'' est également le nom d’une émission de télévision présentée par [[w:Georges Pernoud (animateur TV)|Georges Pernoud]] depuis le 27 septembre 1975. ;Θεὸς τοῦ σῴζειν :(Theòs toû sốizein) :Dieu des délivrances :Cette locution est la traduction grecque de l’hébreu « אֵל לְמוֹשָׁעוֹת » (’el le-mošaʿwt). C’est le titre attribué à Dieu dans le Psaume 68 (verset 21). ;Θνητὰ φρονεῖ. :(Thnêtà phroneî.) :Souviens-toi que tu vas mourir. (en latin : ''Memento mori''). ;Θοῦ, Κύριε. :(Thoû, Kýrie.) : ==Ι== ;Ἰατρὲ, θεράπευσον σεαυτόν. :(Iatrè, therápeuson seautón.) :Médecin, guéris-toi toi-même. (en latin : ''Medice, cura te ispum.'') ;Ἰδοῦ Ῥόδος, καὶ ἀποπήδησον. :(Idoû Rhódos, kaì apopếdêson.) :Voici Rhodes, saute. (en latin : ''Hic Rhodus, hic salta.'') [[Fichier:gresbante-ecce_homo-1a.jpg|thumb|Ἰδοὺ ὁ ἄνθρωπος.]] {{Clr}} ;Ἰδοὺ ὁ ἄνθρωπος. :(Idoù ho ánthrôpos.) :Voici l'homme. (en latin : ''Ecce homo.'') :C’est l’expression utilisée par Ponce Pilate dans la traduction de la Vulgate de l’évangile de Jean (19:5) lorsqu’il présente Jésus à la foule, battu et couronné d’épines. ;Ἱερὸς γάμος :(Hieròs gámos) :Mariage sacré ;Ἰησοῦς ὁ Ναζωραῖος ὁ Bασιλεύς τῶν Ἰουδαίων :(Iêsoûs ho Nazôraîos ho Basileús tỗn Ioudaíôn) :Jésus le Nazaréen, Roi des Juifs (en latin : ''Iesus Nazarenus Rex Iudeorum'') :Titulus qui a été inscrit par les Romains sur la croix de crucifixion de Jésus de Nazareth condamné à mort par le procurateur romain de Judée de l’époque, Ponce Pilate. [[Image:Ephesus Ichthys.jpg|thumb|Acrostiche de « Ἰησοῦς Χριστὸς Θεοῦ Υἱὸς Σωτήρ » en [[w:Éphèse|Éphèse]].]] {{Clr}} ;Ἰησοῦς Χριστὸς Θεοῦ Υἱὸς Σωτήρ :(Iêsoûs Khristòs Theoû Huiòs Sôtếr) :Jésus-Christ fils de Dieu, sauveur (en latin : ''Iesus-Christus, Dei Filius, Salvator'') :Les premiers chrétiens employèrent le poisson comme symbole car l’[[wikt:acrostiche|acrostiche]] « ἸΧΘΥΣ » est proche du mot grec ancien « ἰχθύς » signifiant « poisson ». ;Ἴστε ὀρόϐους ὄντας ὠνίους. :(Íste oróbous óntas ôníous.) :. :. ;Ἱστὸς τῆς Πηνελόπης :(Històs tễs Pênelόpês) :Tissu de Pénélope :Se dit d’un ouvrage jamais mené à terme. ;Ἰχθὺν νηχέσθαι διδάσκεις. :(Ikhthỳn nêkhésthai didáskeis.) :Tu apprends au poisson à nager (en latin : ''Delphinum natare doces''). ==Κ== ;Κάθε σῶμα βυθισμένο σε ῥευστὸ δέχεται ἄνωσιν ἴση με τὸ βάρος τοῦ ῥευστοῦ ποῦ ἐκτοπίζει. :(Káthe sỗma bythisméno se rheustò dékhetai ánôsis ísê me tò báros toû rheustoû poû ektopízei.) :Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé. :C’est le principe de la poussée d’Archimède. [[Image:Comic History of Rome p 308 The End of Julius Caesar.jpg|thumb|Καὶ σὺ τέκνον.]] {{Clr}} ;Καὶ σὺ τέκνον. :(Kaì sỳ téknon.) :Toi aussi, mon fils ! (en latin : ''Tu quoque mi fili.'') :Après Suétone, le fait est rapporté par Dion Cassius (155-229 apr. J.-C.) également à titre de variante dans la tradition : « Ταῦτα μὲν τἁληθέστατα · ἢδη δέ τινες καὶ ἐκεῖνο εἶπον, ὃτι πρὸς τὸν Βροῦτον ἰσχυρῶς πατάξαντα ἔφη · καὶ σὺ τέκνον; » (« Voilà la version la plus véridique. Certains, cependant, ajoutent à cet endroit le trait suivant. Alors que Brutus lui portait un coup violent, il lui aurait dit : “Toi aussi, mon fils ?” ») ;Κακοῦ κόρακος κακὸν ᾠόν. :(Kakoû kόrakos kakὸn ôiόn.) :Un mauvais œuf sort d’un mauvais corbeau : ;Κακὸς ἀνήρ μακρόϐιος. :(Kakòs anếr makrόbios.) : ;Kαλὸν κακὸν :(Kalòn kakòn) :Un beau mal (en latin : '' '') :C'est une définition de Pandore. ;Καλὸς καὶ ἀγαθός :(Kalòs kaì agathós) :Beau et bon. :Cette expression qualifie un citoyen athénien honorable. ;Κατ᾿ ἀναλογίαν. :(Kat’ analogían.) :Par analogie. : ;Κάτθανε, Διαγόρα, οὐ καὶ ἐς Ὂλυμπον ἀναϐήσῃ. :(Kátthane, Diagόra, ou kaì es Òlympon anabếsêi.) : ;Κοινὴ αἴσθησις :(Koinề aísthêsis) :Sens commun (en latin : ''Sensus communis'') : ;Kοινὴ εἰρήνη :(Koinề eirếnê) :Paix commune ;Kοπίδων ἀρχηγός :(Kopídôn arkhêgόs) : ;Κρεῖττον γὰρ ἐστὶν ἀποθανεῖν ἢ ὕϐρεως ἐν τῇ πατρίδι πειραθῆναι. :(Kreîtton gàr estìn apothaneîn ề hýbreôs en tễi patrídi peirathễnai.) :Il est préférable de mourir que de connaître l’outrage dans sa propre patrie. :C'est un pensée de Diodore de Sicile. ;Κτῆμα ἐς ἀεί :(Ktễma es aeí) :Un bien pour toujours, une richesse impérissable. (C’est ainsi que Thucydide qualifie le travail de l’historien.) ;Kύκνειον ᾆσμα :(Kýkneion âisma) :Chant du cygne [[Image:Spas vsederzhitel sinay.jpg|thumb|Κύριε ἐλέησον]] {{Clr}} ;Κύριε ἐλέησον :(Kýrie eléêson) :''Seigneur, prends pitié'' (en latin : ''Domine, miserere'') :Cette imploration que l’on retrouve dans l’Ancien et dans le Nouveau Testament et qui est psalmodiée dans les églises chrétiennes est également à l’origine des mots français « [[w:kyrie|kyrie]] » et « [[wikt:kyrielle|kyrielle]] ». [[Fichier:Domine, quo vadis?.jpg|thumb|Κύριε, ποῦ ὑπάγεις;]] {{Clr}} ;Κύριε, ποῦ ὑπάγεις; :(Kýrie, poû hypágeis;) :''Seigneur, où vas-tu ?'' (en latin : ''Domine, quo vadis?'') :Alors qu’il fuyait Rome, [[w:Pierre (apôtre)|Pierre]] aurait rencontré [[w:Jésus de Nazareth|Jésus]] portant sa croix, et lui aurait posé cette question. ==Λ== ;Λάθε βιώσας. :(Láthe biốsas.) : ;Λέγουσιν ἅ θέλουσιν.<br>Λεγέτωσαν· οὐ μέλει μοι.<br>Σὺ φιλεῖ με· συμφέρει σοι. :(Légousin há thélousin ;<br>Legétôsan ; ou mélei moi.<br>Sỳ phileî me ; symphérei soi.) :Ils disent ce qu’ils veulent.<br>Qu’ils le disent ; cela ne m’importe point.<br>Toi, aime-moi ; c’est pour ton bien. :Ce texte est tiré de ''Wochenschrift für klassiche Philologie'' (1887). ;Λέγειν τὰ λεγόμενα. :(Légein tà legoména.) : en latin (''Relata refero.'') ;Λέκτρα δ’ ἀνδρῶν πόθῳ πίµπλαται δακρύµασιν. :(Lektra d’ andrỗn póthôi pímplatai dakrýmasin.) : ;Λόγῳ μὲν… ἔργῳ δέ :(Lógôi mèn… érgôi dé) :En paroles… mais en actes/En principe… mais en réalité. :Cette expression courante oppose l’apparence à la réalité, les intentions aux actions concrètes. ;Λιμὴν πέφυκε πᾶσι παιδεία βροτοῖς. :(Limền péphyke pâsi paideía brotoîs.) : ;Λοπαδοτεμαχοσελαχογαλεοκρανιολειψανοδριμυποτριμματοσιλφιοκαραβομελιτοκατακεχυμενοκιχλεπικοσσυφοφαττοπεριστεραλεκτρυονοπτεκεφαλλιοκιγκλοπελειολαγῳ-οσιραιοβαφητραγανοπτερυγών :(Lopadotemakhoselakhogaleokraioleipsanodrimypotrimmatosilphiokarabomelitokatakekhymenokikhlepikossyphophattoperisteralaektryonoptekephalliokinklopeleioleilagôi-osiraiobaphêtraganopterygốn) :Bigornocabillofricandortolangoustabricobouillabopoulaupococovin :C’est un plat formé de dix-sept ingrédients différents décrit par Aristophane dans ''L’Assemblée des femmes''. ;Λυποῦντα λύπει, καὶ φιλοῦνθ’ ὑπερφίλει. :(Lypoûnta lýpei, kaì philoûnth’ hyperphílei.) : ==Μ== ;Mαιευτικὴ τέχνη :(Maieutikề tékhnê) : ;Mακάρων νῆσοι :(Makárôn nễsoi) : ;Μακάριοι οἱ πτωχοὶ τῷ πνεύματι· ὅτι αὐτῶν ἐστὶν ἡ βασιλεία τῶν οὐρανῶν. :(Makárioi hoi ptôkhoì tỗi pneúmati ; hoti autỗn estìn hê basileia tỗn ouranỗn.) :Bienheureux les pauvres d’esprit ; car le royaume des cieux est à eux. (en latin : ''Beati pauperes spiritu, quoniam ipsorum est regnum caelorum.'') :Il s'agit du troisième verset du chapitre 5 de l'évangile selon Matthieu. ;Μᾶτερ ὦ χρυσοστεφάνων ἀέθλων, Οὐλυμπία :(Mâter ỗ khrysostephanôn aéthlôn, Oulympía) : [[Fichier:Zeus Hermitage St. Petersburg 20021009.jpg|thumb|Μὰ/Nὴ τὸν Δία]] {{Clr}} ;Μὰ/Nὴ τὸν Δία :(Mà/Nề tòn Día) :''Par Zeus !'' (en latin : ''Per Iovem'') :Les Grecs juraient souvent par le nom de [[wikt:Zeus|Zeus]]. L'équivalent latin existe toujours en anglais sous la forme ''By Jove!''. ;Μέγα βιϐλίον, μέγα κακόν. :(Méga biblíon, méga kakón.) : ;Μεγάλη Θάλασσα :(Megálê Thálassa) : ;Μελέτη τὸ πᾶν. :(Melétê tò pân.) : ;Mερὶς τοῦ λέοντος :(Merìs toû léontos) :Part du lion :Dans l’une des fables d’[[wikt:Ésope|Ésope]], le lion intervient pour arbitrer un conflit de partage des proies entre le loup, le chacal et le renard, et décide de garder pour lui la part la plus importante. ;Μεταϐολὴ πάντων γλυκύ. :(Metabolề pántôn glyký.) : (en latin : ''Variatio delectat.'') [[Fichier:Johann Heinrich Füssli 054.jpg|thumb|Μεταξὺ Σκύλλης καὶ Χαρύϐδεως]] {{Clr}} ;Μεταξὺ Σκύλλης καὶ Χαρύβδεως :(Metaxỳ Skýllês kaì Kharýbdeôs) :Entre Charybde et Scylla (en latin : '' '') :Charybde et Scylla personnifient le détroit de Messine, entre l’Italie et la Sicile, notamment deux dangers inhérents à ce détroit : un [[wikt:tourbillon|tourbillon]] du côté sicilien, et un [[wikt:récif|récif]] du côté italien. Quand on est arrivé à échapper à l’un on se retrouve pris dans l’autre. ;Μέτρον ἄριστον. :(Métron áriston.) :La modération est le plus grand bien. (C’est la devise de Cléobule de Lindos.) ;Μῆλον τῆς Ἔριδος :(Mễlon tễs Éridos) :Pomme de discorde :Il s’agit d’une pomme d’or portant l’inscription « τῇ καλλίστῃ ». [[Image:Noli me tangere, fresco by Fra Angelico.jpg|thumb|Μὴ μου ἅπτου.]] {{Clr}} ;Μὴ μου ἅπτου. :(Mề mou háptou.) :Ne me touche pas. (en latin : ''Noli me tangere.'') :Ce sont les paroles prononcées par Jésus ressuscité le dimanche de Pâques à l’adresse de Marie-Madeleine. ;Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε. :(Mề mou toùs kýklous táratte.) : (en latin : ''Noli turbare circulos meos.'') ;Μηδὲν ἄγαν. :(Mêdèn ágan.) :Rien de trop. (en latin : ''Ne quid nimis.'') (C’est la devise de Solon d’Athènes.) :Cette maxime inscrite sur le temple de Delphes incite les hommes à garder la juste mesure en toutes choses. ;Μῆνιν ἄειδε, θεὰ, Πηληιάδεω Ἀχιλῆος<br>οὐλομένην, ἣ μυρί’ Ἀχαιοῖς ἄλγε’ ἔθηκε,<br>πολλὰς δ’ ἰφθίμους ψυχὰς Ἄϊδι προῒαψεν<br>ἡρώων, αὐτοὺς δὲ ἑλώρια τεῦχε κύνεσσιν<br>οἰωνοῖσί τε πᾶσι· Διὸς δ’ ἐτελείετο βουλή· :(Mễnin áeide, theà, Pêlêiádeô Akhilễos<br>ouloménên, hề myrí’ Akhaioîs álgeʼ éthêké,<br>pollàs dʼ iphthímous psykhàs Áïdi proï̀apsen<br>hêrốôn, autoùs dè hélốria teûkhe kýnessin<br>oiônoîsí te pâsi· Diòs d’ eteleíto boulế·) :Chante, ô déesse, le courroux du Péléide Achille,<br>Courroux fatal qui causa mille maux aux Achéens<br>Et fit descendre chez Hadès tant d’âmes valeureuses<br>De héros, dont les corps servirent de pâture aux chiens<br>Et aux oiseaux sans nombre : ainsi Zeus l’avait-il voulu. : :Ce sont les premiers vers du chant I de l’''Iliade'' d’Homère. ;Μῆτιν ἀλώπηξ. :(Mễtin alốpêx.) :Avec la ruse du renard. (en latin : ''Cum astutia vulpis.'') : ;Μία κλίνη κενὴ φέρεται ἐστρωμένη τῶν ἀφανῶν. :(Mía klínê kenề phéretai estrôménê tỗn aphanỗn.) :Un cercueil est rapporté vide pour les morts dont les corps n’ont pas été trouvés. :C’est une citation de Thucydide. ;Μία χελιδὼν ἔαρ οὐ ποιεῖ. :(Mía khélidồn éar ou poieî.) :Une hirondelle ne fait pas le printemps. (en latin : ''Una hirundo non facit ver.'') ;Μικρὸν ἀπὸ τοῦ ἡλίου μετάστηθι. :(Mikròn apò toû hêliou metátêthi.) : ;Μολὼν λαϐέ. :(Molồn labé.) :Viens les prendre. :Il s’agit de la réponse de Léonidas à Xerxès, lorsque celui-ci lui offre de lui laisser la vie sauve, à lui-même et à ses hommes, à condition qu’ils rendent leurs armes. ;Μόνος κατὰ μόνον. :(Mónos katà mónon.) :Un par un. (en latin ''Unus per unum.'') ==Ν== ;Νενικήκαμεν. :(Nenikếkamen.) : ;Νενίκηκα σε Σολομῶν. :(Neníkêka se Solomỗn.) : de Salomon. ;Νεφελοκοκκυγία :(Nephelokokkygía) :Coucouville-les-Nuées (C’est une ville décrite par Aristophane dans ''Les Oiseaux''.) ;Νίκη ἢ Θάνατος. :(Níkê ề Thánatos.) :La victoire ou la mort. ;Νίψον ἀνομήματα μὴ μόναν ὄψιν. :(Nípson anomếmata mề mόnan ópsin.) :Lave mes pêchés pas seulement mon visage (Palindrome inscrit sur une fontaine près de Sainte-Sophie) ;Νόμος ὁ πάντων βασιλεύς. :(Nόmos ho pántôn basileús.) : ;Νοῦς ὑγιὴς ἐν σώματι ὑγιεῖ. :(Noûs hygiềs en sốmati hygieî.) :Un esprit sain dans un corps sain. (en latin : ''Mens sana in corpore sano.'') ;Nῦν ἀπολύεις τὸν δοῦλόν σου, Δέσποτα. :(Nŷn apolýeis tòn doûlon sou, Déspota.) :Maintenant Seigneur, laisse partir ton serviteur. (en latin : ''Nunc dimittis servum tuum Domine.'') ==Ξ== ;Ξένος ὢν ἀκολούθει τοῖς ἐπιχωρίοις νόμοις. :(Xénos ồn akoloúthei toîs epikhôríois nómois.) : ;Ξένους ξένιζε, καὶ σὺ γὰρ ξένος γ’ ἔσῃ μήποτε ξένος γένῃ. :(Xénous xénike, kaì sỳ gàr xénos g’ ésêi mếpote xénos gếnêi.) : ;Ξίφος τιτρώσκει σῶμα, τὸν δὲ νοῦν λόγος. :(Xíphos titrốkei sỗma, tòn dè noûn lógos.) : ;Ξύλινο τείχος :(Xýlino teíkhos) : ;Ξυνὸν γὰρ ἀρχὴ καὶ πέρας ἐπὶ κύκλου περιφερείας. :(Xynòn gàr arkhề péras epì kýklou periphereías.) : ==Ο== ;Ὁ αἴλουρος ἔδει τὸν μῦν. :(Ho aílouros édei tòn mûn.) :Le chat mange la souris. (en latin : ''Feles murem edit.'') ;Ὅ γὰρ ἐὰν σπείρῃ ἄνθρωπος, τοῦτο καὶ θερίσει. :(Hò gàr eàn speírêi ánthrôpos, toûto kaì therísei.) : . (en latin : ''.'') :Qui sème le vent, récolte la tempête. ;Ὃ γέγραφα γέγραφα. :(Hò gégrapha gégrapha.) :Ce qui est écrit est écrit. (en latin : ''Quod scripsi, scripsi.'') ;Ὀδὰξ αἱρέω οὖδας. :(Odàx hairéô oûdas.) :Saisir le sol avec les dents. :C’est l’équivalant du français « mordre la poussière » au sens de « mourir ». On trouve également les variantes « Ὀδὰξ αἱρέω γαῖαν. » et « Ὀδὰξ λάζομαι γαῖαν. » ;Ὁ θεός μου ὁ θεός μου, εἰς τὶ ἐγκατέλιπες με; :(Ho theós mou ho theós mou eis tì enkatélipes me?) :Mon Dieu, mon Dieu, pourquoi m’as-tu abandonné ? :Ce sont les paroles que Jésus prononce sur la croix dans le trente-quatrième verset du quinzième chapitre de l’évangile selon Marc et le quarante-sixième verset du vingt-septième chapitre de l’évangile selon Matthieu. ;Ὁ κάλλιστος εἶναι καριστοτέλης ὑψεία. :(Ho kállistos eînai karistotélês hypseía.) :. :Cette phrase vient d’un sketch des Inconnus inspiré de la chaîne Arte. ;Ὁ μῦς ἔδεται ὑπὸ τοῦ αἰλούρου. :(Ho mûs édetai hupò toû ailoúrou.) :La souris est mangée par le chat. (en latin : ''Mus a fele editur.'') ;Οἱ καλοὶ κἀγαθοί :(Hoi kaloì kagathoí) :Les gens de bien. ;Ὅλος ἐπιθυμία :(Hólos epithymía.) :. (en latin : ''.'') :Cette locution est la traduction grecque de l’hébreu « מחמד » (maḥmad) signifiant « ». ;Οἱ μὲν λοιποὶ ζῶσιν, ἵνα ἐσθίωσιν, ἐγὼ δ’ ἐσθίω, ἵνα ζῶ. :(Hoi mèn loipoì zỗsin, hína esthíôsin, egồ d’ esthíô, hína zỗ.) : ;Οἱ πλεῖστοι κακοί. :(Hoi pleîstoi kakoí.) :Les plus nombreux sont les méchants. (C’est la devise de [[w:Bias de Priène|Bias de Priène]].) ;Ὁ μὲν βίος βραχὺς, ἡ δὲ τέχνη μακρά. :(Ho mèn bíos brakhỳs, hê dè tékhnê makrá.) :L’art est long, la vie est courte. (en latin : ''Ars longa, vita brevis.'') :C’est le premier aphorisme d’Hippocrate. ;Οἶδα οὐκ εἰδώς. :(Oîda ouk eidốs.) :Je sais que je ne sais rien. :C’est une des devises de Socrate. ;Οἰκία, ἡδεῖα οἰκία. :(Oikía, hêdeîa oikía.) :Foyer, doux foyer. (En latin : ''Domus, dulcis domus.'') ;Ὅπερ ἔδει δεῖξαι. :(Hóper édei deîxai.) :Ce qu’il fallait démontrer. (en latin : ''Quod erat demonstrandum.'') :Cette phrase est mise à la fin d’une démonstration. ;Ὅπου γὰρ ἡ λεοντῆ μὴ ἐφικνεῖται, προσραπτέον ἐκεῖ τὴν ἀλωπεκῆν. :(Hópou gàr hê leontễ mề ephikneîtai, prosraptéon ekeî tền alôpekễn.) : :C’est un extrait du septième chapitre de la « Vie de Lysandre », au tome 7 des ''Vies parallèles'' de Plutarque. ;Ὁ χρόνος διδάσκει τοὺς ἀνθρώπους. :(Ho khrónos didáskei toùs anthrốpous.) :Le temps enseigne aux hommes. ;Ὅρα τέλος μακροῦ βίου. :(Hóra télos makroû bíou.) : ;Ὅσοι ἄνθρωποι, τοσαῦται γνῶμαι. :(Hósoi ánthrôpoi, tosaûtai gnỗmai.) :Autant d’hommes, autant d’opinions. (en latin : ''Tot capita, tot sensus.'') ;Ὃς φείδεται τῆς βακτηρίας μισεῖ τὸν υἱὸν αὐτοῦ, ὁ δὲ ἀγαπῶν ἐπιμελῶς παιδεύει. :(Hòs pheídetai tễs baktêrías miseî tòn huiòn autoû, ho dè agapỗn epimelỗs paideúei.) :Celui qui épargne la verge, hait son fils ; mais celui qui l’aime, s’applique à le corriger. (En latin : ''Qui parcit virgae suae odit filium suum qui autem diligit illum instanter erudit.'') :C’est le vingt-quatrième verset du treizième chapitre du livre des Proverbes. ;Ὅταν ὁ δαίμων ἀνδρὶ πορσύνῃ κακά, τὸν νοῦν ἔϐλαψε πρῶτον. :(Hótan ho daímôn andrì porsýnêi kaká, tòn noûn éblapse prôton.) :Lorsque la divinité cause des maux à un homme, elle égare tout d'abord son esprit. :C’est une mise en garde contre la démesure. ;Ὅτι ἑώρακάς με, πεπίστευκας· μακάριοι οἱ μὴ ἰδόντες καὶ πιστεύσαντες. :(Hóti heốrakás me, pepísteukas ; makárioi hoi mề idóntes kaì pisteúsantes.) :Parce que tu m’as vu, tu as cru. Heureux ceux qui n’ont pas vu, et qui ont cru ! (en latin : '' '') :C’est le vingt-neuvième verset du vingtième chapitre de l’évangile selon Matthieu. ;Οὐδεμία δολοφονία ἄνευ τόπου τῆς δολοφονίας. :(Oudemía dolophonía áneu tópou tễs dolophonías.) :Pas de crime sans lieu du crime. (En latin : ''Nullum crimen sine criminis loco.'') : ;Οὐδὲν γὰρ χρῆμα γίνεται οὐδὲ ἀπόλλυται, ἀλλ’ ἀπὸ ἐόντων χρημάτων συμμίσγεταί τε καὶ διακρίνεται. :(Oudèn gàr chrêma gínetai oudè apóllutai, all' apò eóntôn chrêmátôn summísgetaí te kaì diakrínetai.) :Rien ne naît ni ne périt, mais des choses déjà existantes se combinent, puis se séparent de nouveau. :Cette citation d’Anaxagore fut reprise par Antoine Lavoisier, à travers « Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme. » : ;Οὐαὶ τοῖς ἡττημένοις. :(Ouaì toîs hêttêménois.) :Malheur aux vaincus. (En latin : ''Vae victis.'') ;Οὐκ ἔλαϐον πόλιν ἀλλὰ γὰρ ἐλπὶς ἔφη κακά. :(Ouk élabon pόlin allà gàr elpìs éphê kaká.) :Ils ne prirent pas la ville, mais en effet, l’espoir les avait mal inspirés. :Cette phrase-calembour artificielle est un grand classique de l’humour potache des jeunes hellénistes. ;Οὐ φροντὶς Ἱπποκλείδῃ. :(Ou phrontìs Hippokleídễi.) : ;Οὔτοι συνέχθειν, ἀλλὰ συμφιλεῖν ἔφυν. :(Oútoi synékhthein, allà symphileîn éphyn.) : ;Οὖτις ἐμοὶ γ᾿ ὄνομα. :(Oûtis émoì g’ ónoma.) :''Personne est mon nom.'' : Ulysse se présente ainsi au cyclope Polyphème. ;Οὖτις με κτείνει. :(Oûtis me kteínei.) :''Personne me tue.'' :C’est la réponse du cyclope Polyphème à ses frères qui lui demandent qui l'agresse, si bien qu'ils partent sans lui porter assistance. ;Ὀφθαλμὸν ἀντὶ ὀφθαλμοῦ ὀδόντα ἀντὶ ὀδόντος. :(Ophthalmòn antì ophthalmoû odónta antì odóntos.) :''Œil pour œil, dent pour dent.'' (en latin : ''Oculum pro oculo dentem pro dente.'') :C’est une phrase du vingt-et-unième chapitre du livre de l’''Exode'', versets 23-25. ;Ὄψει δὲ με περὶ Φιλίππους. :(Ópsei dè me perì Philíppous.) : ==Π== ;Παίζων ἤ…σπουδάζων :(Paízôn ế…spoudázôn) :En s’amusant ou en étant sérieux. (C’est ainsi que Socrate instruisait ses contemporains, selon Xénophon, qui fut l’un de ses disciples.) ;Πάντα ῥεῖ καὶ οὐδὲν μένει. :(Pánta rheî kaì oudèn ménei.) :Tout coule et rien ne demeure. (Héraclite) ;Πάντες γὰρ οἱ λαϐόντες μάχαιραν ἐν μαχαίρῃ ἀπολοῦνται. :(Pántes gàr hoi labóntes mákhairan en makhaírêi apoloûntai.) :Tous ceux prendront l’épée périront par l’épée. (en latin : ''Omnes enim qui acceperint gladium gladio peribunt.'') :C’est une phrase du cinquante-deuxième verset du chapitre 26 de l’évangile selon Matthieu. ;Πάντων χρημάτων μέτρον ἄνθρωπος. :(Pántôn khrêmátôn métron ánthrôpos.) :L’homme est la mesure de toute chose : de celles qui sont, du fait qu’elles sont ; de celles qui ne sont pas, du fait qu’elles ne sont pas. :C’est une pensée de Protagoras. ;Παντοῖος γίγνεται. :(Pantoîos gígnetai.) :Il est multiple. Il tente le tout pour le tout. : ;Πᾶσα γυνὴ χόλος ἐστὶν· ἔχει δ’ ἀγαθὰς δύο ὥρας, τὴν μίαν ἐν θαλάμῳ, τὴν μίαν ἐν θανάτῳ. :(Pâsa gynề khólos estìn ; ékhei d’ agathàs dúo hốras, tền mían en thalámôi, tền mían en thanátôi.) :Toute femme est comme le fiel ; mais elle a deux bonnes heures, une au lit, l’autre à sa mort. :Cette citation de Palladas figure au début du premier chapitre de la nouvelle ''Carmen'' publiée par Prosper Mérimée en 1847, et adaptée sous forme d’opéra par Georges Bizet en 1875. ;Πάτερ, ἄφες αὐτοῖς, οὐ γὰρ οἴδασιν τί ποιοῦσιν. :(Páter, áphes autoîs, ou gàr oídasin tí poioûsin.) :Père, pardonne-leur car ils ne savent pas ce qu’ils font. (en latin ''Pater dimitte illis non enim sciunt quid faciunt.'') :Ce sont les paroles que Jésus prononce sur la croix dans le trente-quatrième verset du vingt-troisième chapitre de l’évangile selon Luc. ;Πάτερ, εἰς χεῖράς σου παρατίθεμαι τὸ πνεῦμα μου. :(Páter, eis kheîrás sou paratímai tò pneûma mou.) :Père, entre tes mains je remets mon esprit. (''Pater in manus tuas commendo spiritum meum.'') :Ce sont les paroles que Jésus prononce sur la croix dans le quarante-sixième verset du vingt-troisième chapitre de l’évangile selon Luc. ;Πάτερ ἡμῶν ὁ ἐν τοῖς οὐρανοῖς :(Páter hêmỗn ho en toîs ouranoîs) :Notre Père, qui es aux cieux (en latin : ''Pater noster, qui es in caelis'') :C’est la première phrase du [[w:Notre Père|Notre Père]] en grec ancien. ;Περὶ δὲ ὑγιείας τοῖς ἰατροῖς μᾶλλον οἱ ἄνθρωποι πείθονται ἢ τοῖς γονεῦσι. :(Perì dè hygeías toîs iatroîs mâllon hoi ánthrôpoi peíthontai ề toîs goneûsi.) :En ce qui concerne la santé les hommes font davantage confiance aux médecins qu’aux parents. :C’est une pensée de Xénophon. ;Περὶ δὲ τῶν χρόνων καὶ τῶν καιρῶν, ἀδελφοί, οὐ χρείαν ἔχετε ὑμῖν γράφεσθαι· αὐτοὶ γὰρ ἀκριϐῶς οἴδατε ὅτι ἡ ἡμέρα Κυρίου ὡς κλέπτης ἐν νυκτὶ οὕτως ἔρχεται. :(Perì dè tỗn khronôn kaì tỗn kairỗn, adelphoí, ou khreían ékhete hymîn gráphesthai ; autoì gàr akribỗs oídate hóti hê hêméra Kyríou hôs kléptês en nyktì hoútôs érkhetai.) :Quant aux temps et aux moments il n’est pas besoin, frères, de vous en écrire. Car vous savez très bien vous-mêmes que le jour du Seigneur vient ainsi qu’un voleur pendant la nuit. (en latin : ''De temporibus autem et momentis fratres non indigetis ut scribamus vobis; ipsi enim diligenter scitis quia dies Domini sicut fur in nocte ita veniet.'') :C’est le début du cinquième chapitre de la première épître de saint Paul aux Thessaloniciens. ;Πίστις, ἐλπίς, ἀγάπη :(Pístis, elpís, agápê) :La foi, l’espoir, l’amour (en latin : ''Fides, spes, caritas'') ;Πλεῖν ἀνάγκη, ζῆν οὐκ ἀνάγκη. :(Pleîn anágkê, zễn ouk anágkê.) :Naviguer est nécessaire, vivre n’est pas nécessaire. (en latin : ''Navigare necesse est, vivere non est necesse.'') ;Πολλὰ τὰ δεινὰ κοὐδὲν ἀνθρώπου δεινότερον πέλει. :(Pollà tà deinà koudèn anthrốpou dóteron pélei.) :Les choses les plus extraordinaires et terribles sont nombreuses, aucune ne l’est plus que l’homme. :C’est une phrase d’''Antigone'' de Sophocle. ;Πολλὰ μεταξὺ πέλει κύλικος καὶ χείλεος ἄκρου. :(Pollà metaxỳ pélei kýlikos kaì kheíleos ákrou.) :Il y a loin de la coupe aux lèvres. (en latin : ''Multa cadunt inter calicem supremaque labra.'') ;Πολυμήτις Ὀδυσσεύς :(Polymếtis Odysseús) :Ulysse aux mille ruses :C’est un surnom d’[[wikt:Ulysse|Ulysse]]. ;Προπατορικὸν ἁμάρτημα :(Propatorikòn hamártēma) :Péché originel (en latin : ''Peccatum originale'') :Cela désigne la cause de la chute d’Adam et Ève. ;Προσέχετε ἀπὸ τῶν ψευδοπροφητῶν, οἵτινες ἔρχονται πρὸς ὑμᾶς ἐν ἐνδύμασιν προϐάτων, ἔσωθεν δὲ εἰσὶν λύκοι ἅρπαγες. :(Prosékhete apò tôn pseudoprophêtôn, hoítines érkhontai pròs hymâs en endýmasin probátōn, ésôthen dè eisìn lýkoi hárpages.) :Gardez-vous des faux prophètes. Ils viennent à vous en vêtements de brebis, mais au dedans ce sont des loups ravisseurs. (en latin : ''Adtendite a falsis prophetis qui veniunt ad vos in vestimentis ovium intrinsecus autem sunt lupi rapaces.'') :C’est le quinzième verset du septième chapitre de l’évangile selon Matthieu. ;Πώγων οὐ ποιεῖ φιλόσοφον. :(Pốgôn ou poieî philósophon.) :La barbe ne fait pas le philosophe. (en latin : ''Barba non facit philosophum.'') :C’est l’ancêtre du proverbe français « L’habit ne fait pas le moine. » ;Πῶς ἔχετε; :(Pỗs ékhete;) : Comment allez-vous ? ==Ρ== ;Ῥανὶς ἐνδελεχοῦσα κοιλαίνει πέτραν. :(Rhanìs endelekhoûsa koilaínei pétran.) : ;Ῥῆμα παράκαιρον τὸν ὅλον ἀνατρέπει βίον. :(Rhễma parákairon tòn hólon anatrépei bíon.) : ;Ῥήματα ἀντ’ ἀλφίτων. :(Rhếmata ant’ alphítôn.) : ;Ῥίζα γὰρ πάντων τῶν κακῶν ἐστὶν ἡ φιλαργυρία, ἧς τινὲς ὀρεγόμενοι ἀπεπλανήθησαν ἀπὸ τῆς πίστεως καὶ ἑαυτοὺς περιέπειραν ὀδύναις πολλαῖς. :(Rhíza gàr pántôn tỗn kakỗn estìn hê philargyría, hễs tinès oregómenoi apeplanếthêsan apò tễs písteôs kaì heautoùs periépeiran odýnais pollaîs.) :Car c’est la racine de tous les maux que l’amour de l’argent, et certains, pour s’y être livrés, se sont égarés loin de la foi, et se sont transpercés eux-mêmes de beaucoup de tourments. (en latin : '' '') :Il s’agit du dixième verset du chapitre 6 de la première épître à Timothée. ;Ῥοδοδάκτυλος Ἠώς :(Rhododáktylos Êốs) :Surnom attribué à [[wikt:Éos|Éos]], Titanide étant la déesse de l’Aurore. On trouve aussi son nom affublé des termes « Kροκόπεπλος » (« En robe de safran ») ou « Ῥοδόπηχυς » (« Aux avant-bras de rose »). Homère et Hésiode la présentent également comme « Ἠριγένεια » (« Enfant du matin »). ==Σ== ;Σὲ φιλῶ./Σὲ ἀγαπῶ./Ἐγὼ σὲ φιλῶ./Ἐγὼ σὲ ἀγαπῶ. :(Sè philỗ./Sè agapỗ./Egồ sè philỗ./Egồ sè agapỗ.) :Je t’aime. (en latin : ''Te amo.'') :Ces deux phrases ont le même sens, mais les verbes « φιλῶ » et « ἀγαπῶ » correspondent chacun à un [[w:Mots grecs pour dire amour|degré d'amour]] différent. Le pronom personnel « ἐγώ » n'est ajouté que pour marquer de l'insistance. ;Σκιᾶς ὄναρ ἄνθρωπος. :(Skiâs ónar ánthrôpos.) :L’homme est l’ombre d’un rêve. ;Σολομώντειος λύσις :(Solomốnteios lýsis) :Jugement de Salomon (en latin : ''.'') ;Σπεῦδε βραδέως. :(Speûde bradéôs.) :Hâte-toi lentement. (en latin : ''Festina lente.'') :C’est un précepte de César Auguste. ;Σῶμα - σῆμα. :(Sỗma - sễma.) : ;Σώος καὶ ἀϐλαϐής. :(Sốos kaì ablabếs.) :Sain et sauf. (en latin : ''Sani salvique.'') ==Τ== ;Τὰ ζῷα τρέχει. :(Tà zỗia trékhei.) :Les animaux courent. (en latin : ''Animalia currunt.'') ;Τετέλεσται. :(Tetélestai.) :C’est fini. :Ce sont les paroles que Jésus prononce sur la croix dans le trentième verset du dix-neuvième chapitre de l’évangile selon Jean. ;Tὶ ἐστὶν ὃ μίαν ἔχον φωνὴν τετράπουν καὶ δίπουν καὶ τρίπουν γίνεται; :(Tì estìn hò mían ékhon phônền tetrápoun kaì dípoun kaì trípoun gínetai;) :''Quel être, pourvu d’une seule voix, a d’abord quatre jambes, puis deux jambes, et trois jambes ensuite ?'' :C’est l'énigme que le [[wikt:Sphinx|Sphinx]] pose aux voyageurs, jusqu’à sa rencontre avec [[wikt:Œdipe|Œdipe]]. ;Τὶς πόθεν εἰς ἀνδρῶν; :(Tìs póthen eis andrỗn?) :? ;Τὶ τὸ γεγονὸς; αὐτὸ τὸ γενησόμενον· καὶ τὶ τὸ πεποιημένον; αὐτὸ τὸ ποιηθησόμενον· καὶ οὐκ ἔστι πᾶν πρόσφατον ὑπὸ τὸν ἥλιον. :(Tì tò gegonòs; autò tò genêsómenon : kaì tì pepoiêménon; autò tò poiêthêsómenon : kaì ouk ésti pân prósphaton hypò tòn hếlion.) :Ce qui a été, c’est ce qui sera, et ce qui s’est fait, c’est ce qui se fera ; et il n’y a rien de nouveau sous le soleil. (en latin : ''Quid est quod fuit, ipsum quod futurum est ; quid est, quod factum est ipsum ; quod fiendum est ; nihil novi sub sole.'') :Cette citation du livre de ''L’Ecclésiaste'' (1-9) signifie que malgré l’évolution du monde, certaines choses ne changeront jamais. ;Τιθωνοῦ γῆρας :(Tithônoû gễras) :vieillesse de Tithon :Cette expression désigne une vie qui s’éternise. ;Τὸ σῶμα καὶ τὴν ψυχὴν γυμνάζειν. :(Tò sỗma kaì tền psykhền gymnázein.) :Exercer son corps et son âme. :Cette expression utilisée par Socrate évoque l’idéal équilibre des anciens Grecs. ;Tὸν ἥττω λόγον κρείττω ποιεῖν :(Tòn hếttô lógon kreíttô poieîn.) : ;Τοῦτο γὰρ ἐστὶν ὁ χρόνος, ἀριθμὸς κινήσεως κατὰ τὸ πρότερον καὶ ὕστερον. :(Toûto gàr estìn ho khrónos, arithmòs kinếseôs katà tò próteron kaì hýsteron.) :En effet, le temps est le nombre du mouvement par rapport au passé et au futur. :C’est un extrait du chapitre 11 du livre IV de la ''Physique'' d’Aristote. ;Τὸ τετράγωνον τῆς ὑποτείνουσας ἑνὸς ὀρθογώνιου τριγώνου ἰσούται μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν τετραγώνων τῶν δύο κάθετων πλευρῶν. :(Tò tetragônon tễs hypoteínousas henòs orthogốniou trigốnou isoútai mè tò áthroisma tỗn tetragốnôn tỗn dýo kátheton pleurỗn.) :Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. :C’est la formule du [[w:théorème de Pythagore|théorème de Pythagore]]. ;Τρὶς ἓξ βάλλω. :(Trìs hèx bállô.) :. :. ;Τρηχὺν δ᾿ ὑπερϐὰς φραγμὸν ἐξήνθιζε κλώψ. :(Trêkhỳn d’ hyperbàs phragmòn exếnthize klốps.) :. :Voici un exemple de pangramme. ==Υ== ;Ὕϐρις φυτεύει τύραννον. :(Hýbris phyteúei týrannon) :''La démesure enfante le tyran.'' (en latin : ''Húbris phuteúei túrannon.'') ;Ὕες βορϐόρῳ ἥδονται μᾶλλον ἢ καθαρῷ ὕδατι. :(Hýes borbόrôi hếdontai mâllon ề katharỗi hýdati.) : ;Ὕϐριν χρὴ σϐεννύναι μᾶλλον ἢ πυρκαϊήν. :(Hýbrin khrề sbennýnai mâllon ề pyrakïến.) :''Il faut éteindre la démesure plus qu’un incendie.'' :C’est une citation d’Héraclite d’Éphèse. ;Yἱὸς μονογενὴς :(Huiὸs monogenềs) :'' '' ;Yἱὸς τοῦ ἀνθρώπου :(Huiὸs toû anthrốpou) :Fils de l’homme ;Ὕμεῖς ἐστε τὸ ἅλας τῆς γῆς. :(Hýmeîs este tò hálas tễs gễs.) :''Vous êtes le sel de la terre.'' ;Ὕπαγε, Σατανᾶ. :(Hýpage, Satanâ.) :''Retire-toi, Satan.'' (en latin : ''Vade retro, Satanas.'') ;Ὑπὲρ γυναικὸς καὶ φίλου πονητέον. :(Hypèr gynaikòs kaì phílou ponêtéon.) :Il faut se donner de la peine pour sa femme et son ami. :C’est une citation de Ménandre. ;Ὕστερον πρότερον. :(Hýsteron prόteron.) :'' '' ;Ὗς διὰ ῥόδων. :(Hŷs dià rhódôn.) :Un porc entre les roses. :C’est l’ancêtre des expressions françaises « Comme un chien dans un jeu de quilles. » et « Comme un éléphant dans un magasin de porcelaine. » ==Φ== ;Φησὶν σιωπών. :(Phêsìn siôpốn.) :'' '' ;Φειδίας μ᾿ ἐποίησε. :(Pheidías m᾿ epoíêse.) :'' '' ;Φεῦ <σου>, ὦ Ἑλλάς, ὁπότε οἱ νῦν τεθνηκότες ἱκανοὶ ἦσαν ζῶντες νικᾶν μαχόμενοι πάντας τοὺς βαρϐάρους. :(Pheû <sou>, ỗ Hellás, hopóte hoi nŷn tethnêkótes hikanoì ễsan zỗntes nikân makhómenoi pántas toùs barbárous.) :Malheureuse Grèce, qui viens de perdre des hommes dont la vie nous eût assuré la victoire dans nos combats contre les Barbares ! :C’est un extrait du septième chapitre de l’''Agésilas'' de Xénophon. ;Φιλοπονεὶ ὦ παῖ μὴ δαρῇς. :(Philoponeì ỗ paî mề darễis.) ;Φοϐοὺ τοὺς Δαναοὺς καὶ δῶρα φέροντες. :(Phoboù toùs Danaoùs kaì dỗra phérontes.) :Je crains les Grecs, même porteurs de présents. (en latin : ''Timeo Danaos et dona ferrentes.'') ;Φύγε, ἀδελφιδέ μου, καὶ ὁμοιώθητι τῇ δορκάδι ἢ τῷ νεϐρῷ τῶν ἐλάφων ἐπὶ ὄρη τῶν ἀρωμάτων. :(Phýge, adelphidé mou, kaì homoiốthêti tễi dorkádi ề tỗi nebrỗi tỗn eláphôn epì tỗn arômátôn.) :Fuyez, ô mon bien-aimé ! et soyez semblable à un chevreuil et à un faon de cerf, en vous retirant sur les montagnes des aromates. (en latin : ''Fuge, dilecte mi, et assimilare capreae hinnuloque cervorum super montes aromatum.'' :C’est le quatorzième verset du huitième chapitre du ''Cantique des Cantiques''. ;Φύλλον συκῆς :(Phýllon sykễs) :Feuille de figuier :Il s’agit de la feuille employée par Adam et Ève pour cacher leurs sexes. ;Φύσει γὰρ ἄνθρωπος, ὃ βούλεται, τοῦτο καὶ οἴεται. :(Phýsei gàr ánthrôpos, hò boúletai, toûto kaì oíetai.) : : ;Φύρδην μίγδην. :(Phýrdên mígdên.) :. :. ;Φωνὴ βοῶντος ἐν τῇ ἐρήμῳ :(Phônề boỗntos en tễi erếmôi) :La voix de celui qui crie dans le désert. (en latin : ''Vox clamantis in deserto.'') :C'est une référence à Jean-Baptiste. ;Φῶς - Ζωή :(Phỗs - Zôế) :'' '' ==Χ== ;Χαῖρε, αὐτοκράτορ· οἱ ἀπολούμενοί σε ἀσπαζόμεθα :(Kaîre, autokrátor ; hoi apoloúmenoí se aspazómetha. :Salut, empereur ! Nous qui sommes sur le point de mourir, nous te saluons. (en latin : ''Ave, Imperator, morituri te salutant.'') :Il s’agit d’un extrait du livre 60 de l’''Histoire romaine'' de Dion Cassius. [[Image:Oberrheinischer Meister um 1410 001.jpg|thumb|Χαῖρε, κεχαριτωμένη Μαρία, ὁ κύριος μετὰ σοῦ.]] {{Clr}} ;Χαῖρε καὶ ἔρρωσο. :(Khaîre kaì érrôso.) (Devient ''Χαίρετε καὶ ἔρρωσθε.'' au pluriel.) :Salut et porte-toi bien. (en latin : ''Ave atque vale.'' ; devient ''Avete atque valete.'' au pluriel) ;Χαῖρε, κεχαριτωμένη Μαρία, ὁ κύριος μετὰ σοῦ. :(Khaîre, kekharitôménê María, ho kýrios metà soû.) :Je vous salue Marie pleine de grâce ; le Seigneur est avec vous. (en latin : ''Ave Maria gratia plena, Dominus tecum.'') ;Χαλκοῦ ἄνθος :(Khalkoû ánthos) :Fleur de cuivre ;Χεῖρ χεῖρα νίπτει. :(Kheîr kheîra níptei.) :La main lave la main. (en latin : ''Manus manum lavat.'') ;Χλωρὸν δέος. :(Khlôròn déos.) :Peur verte. :En français, nous disons « peur bleue » ; mais l’expression grecque survit dans « vert de peur ». ;Χρόνος φεύγει. :(Khrónos pheúgei.) :Le temps passe vite. (En latin : ''Tempus fugit.'') ;Χρώμεθα γὰρ πολιτείᾳ […] καὶ ὄνομα μὲν διὰ τὸ μὴ ἐς ὀλίγους ἀλλ’ ἐς πλείονας οἰκεῖν δημοκρατία κέκληται. :(Khrốmetha gàr politeíai […] kaì ónoma mèn dià tò mề es olígous all’ es pleíonas oikeîn dêmokratía kéklêtai.) :Notre régime politique […] a pour nom démocratie parce que le pouvoir est entre les mains non d’une minorité, mais du plus grand nombre. (C’est un discours de [[w:Périclès|Périclès]], rapporté par [[w:Thucydide|Thucydide]].) ==Ψ== ;Ψυχὴ πᾶσα ἀθάνατη· :(Psykhề pâsa athánatê) :'' '' ;Ψυχὴ θρεπτική :(Psykhề threptikế) :'' '' ;Ψυχῆς ἰατρεῖον :(Psykhễs iatreîon) :'' '' ;Ψυχῆς μέγας χαλινὸς ἀνθρώποις ὁ νοῦς :(Psykhễs mégas khalinòs anthrốpois ho noûs) :'' '' ==Ω== ;Ὤδινεν ὄρος καὶ ἔτεκεν μῦν :(Ốdinen óros kaì éteken mŷn.) :La montagne a accouché d’une souris. ;Ὡς μῆλον ἐν τοῖς ξύλοις τοῦ δρυμοῦ, οὕτως ἀδελφιδός μου ἀνὰ μέσον τῶν υἱῶν· ἐν τῇ σκιᾷ αὐτοῦ ἐπεθύμησα καὶ ἐκάθισα, καὶ καρπὸς αὐτοῦ γλυκὺς ἐν λάρυγγι μου. :(Hôs mễlon en toîs xýlois toû drymoû, hoútôs adelphidós mou anà méson tỗn huiỗn ; en tễi skiâi autoû epethýmêsa kaì karpòs autoû glykỳs en láryngi mou.) :Comme un pommier au milieu des arbres de la forêt, tel est mon bien-aimé parmi les jeunes hommes. J’ai désiré m’asseoir à son ombre, et son fruit est doux à mon palais. (en latin : ''Sicut malum inter ligna silvarum sic dilectus meus inter filios sub umbra illius quam desideraveram sedi et fructus eius dulcis gutturi meo.'') :C’est le troisième verset du chapitre 2 du ''Cantique des Cantiques''. ;Ὡς τυγχάνει. :(Hôs tynkhánei.) :Comme cela se trouve, au hasard. ;Ὢ βάθος πλούτου καὶ σοφίας καὶ γνώσεως Θεοῦ! ὡς ἀνεξερεύνητα τὰ κρίματα αὐτοῦ καὶ ἀνεξιχνίαστοι αἱ ὁδοὶ αὐτοῦ! :(Ồ báthos ploútou kaì sophías kaì gnốseôs Theoû! hôs anexereúnêta tà krímata autoû kaì anexikhníastoi hai hodoì autoû.) : (en latin : ''O altitudo divitiarum sapientiae et scientiae Dei quam inconprehensibilia sunt iudicia eius et investigabiles viae eius!'') :C’est le trente-troisième verset du onzième chapitre de l’''Épître aux Romains.'' ;Ὦ ξεῖν᾿, ἀγγέλλειν Λακεδαιμονίοις ὅτι τῇδε κείμεθα τοῖς κείνων ῥήμασι πειθόμενοι. :(Ỗ xeîn᾿, angéllein Lakedaimoníois hóti tễide keímetha toîs keínôn rhếmasi peithómenoi.) :Ô étranger, annonce aux Lacédémoniens qu’ici nous gisons, obéissant aux ordres de ceux-ci. (en latin : ''Dic, hospes, Spartae nos te hic vidisse iacentes, dum sanctis patriae legibus obsequimur.'') :C’est une épitaphe attribuée au poète Simonide. 9vrt2wfx8rddizek7hsknxggtgfrwfs 0 30593 769562 768287 2026-07-16T04:54:03Z PandaMystique 119061 769562 wikitext text/x-wiki {{DicoPhilo|C}} <!-- Grille de contenu --> <div style="display: grid; grid-template-columns: repeat(auto-fit, minmax(280px, 1fr)); gap: 2em; width: 100%; margin-bottom: 2em;"> <div style="padding: 1.5em; background: linear-gradient(135deg, #ffffff40 0%, #e0e4e840 100%); border-radius: 10px; box-shadow: 0 3px 10px rgba(0,0,0,0.1);"> :[[Dictionnaire de philosophie/Carnéade|Carnéade]] :Catégorie :[[Dictionnaire de philosophie/Causalité|Causalité]] :Cause :Caverne (allégorie) :[[Dictionnaire de philosophie/Certitude|Certitude]] :{{MotPhilo|David Chalmers}} :{{MotPhilo|Chamfort}} :{{MotPhilo|Changement climatique}} : ''Chine'' ::— [[Dictionnaire de philosophie/Chine|Pensée chinoise]] ::— [[Dictionnaire de philosophie/Esthétique dans la pensée chinoise|Esthétique dans la pensée chinoise]] </div> <div style="padding: 1.5em; background: linear-gradient(135deg, #ffffff40 0%, #e0e4e840 100%); border-radius: 10px; box-shadow: 0 3px 10px rgba(0,0,0,0.1);"> :Chose :Civilisation :''Clinamen'' :''{{MotPhilo|Cogito}}'' :[[Dictionnaire de philosophie/Concept|Concept]] :[[Dictionnaire de philosophie/Connaissance|Connaissance]] :[[Dictionnaire de philosophie/Conscience|Conscience]] :{{Page|Consensus}} :Contemplation :[[Dictionnaire de philosophie/Contingence|Contingence]] :Contradiction :Contrat :[[Dictionnaire de philosophie/Convention|Convention]] </div> <div style="padding: 1.5em; background: linear-gradient(135deg, #ffffff40 0%, #e0e4e840 100%); border-radius: 10px; box-shadow: 0 3px 10px rgba(0,0,0,0.1);"> :[[Dictionnaire de philosophie/Courage|Courage]] :{{Page|Criticisme}} :[[Dictionnaire de philosophie/Croyance|Croyance]] :[[Dictionnaire de philosophie/Culture|Culture]] :Cynisme </div> </div> {{PhiloRecherche}} {{Autocat}} osxt19a9ve6ip811ui5isc2yb0vqqvk 0 31561 769553 685523 2026-07-15T17:27:43Z DavidL 1746 769553 wikitext text/x-wiki {{REME}} En fait, je ne sais pas très bien où classer ce type d'exercices intéressants que sont la cinématique avec contraintes. Voici déjà les deux plus célèbres : === deux célèbres=== # '''Loup, chèvre et chou''' : Le batelier doit traverser la rivière(largeur L) avec un élément, sans dégât. Comment faire? Réponse : traverser avec la chèvre de A en B, y laisser la chèvre et revenir à vide en A ; Y prendre le Loup, l'amener en B ramener la chèvre , emporter le chou, revenir à vide et finir en ramenant la chèvre : total : 6 L # '''Routes entre 4 villes''' : Un carré de 4 villes : joindre au coût minimal A, B, C et D. Réponse : ce n'est évidemment pas les deux diagonales ! soit la médiane verticale IJ du carré : y placer deux points K et L tels que angle AKB = 120° , idem pour CLD ; c'est la solution. Remarquer que la symétrie du carré est brisée : oui, mais pas l'ensemble de deux solutions : il y a en effet l'autre, avec KL horizontal (ou faire tourner la figure de 90°). Réfléchir maintenant à l{{'}}'''optique''' pour bien comprendre pourquoi l'indice n=2 intervient et donc cet angle de 2*60° . ===En voici d'autres :=== # '''l'âne et la rivière''' : l'âne est en A sur la bissectrice de l'angle de sommet O dont les deux côtés sont des rivières. L"âne doit porter un fardeau en B (b >a): quel chemin prendre sachant qu'il doit se désaltérer? #'''l'abeille et le miel''' : A ( abeille est sur le bord externe du verre conique. G (goutte de miel est en G à l'intérieur du verre. Chemin suivi? #'''le problème de Fermat''' : E(lle) se noie en mer . L(ui) le voit et va la sauver : quel chemin suit-il s'il court trois fois plus vite qu'il nage ? # '''les trois pays A, B, C''' égaux sur une sphère découpent 2 méridiens. Alain veut rejoindre Claude. Quel chemin va-t-il suivre si sa vitesse dans B est infty ? #'''les empereurs ennemis''' : placer N points sur une sphère de manière que les capitales soient les plus éloignées. # '''la bande de papier de La Hire''' : Soit une ligne de papier AB de longueur L , astreinte à rester sut Ox et Oy, et un point fixe Mo de la ligne : trouver le mouvement de M trace de Mo sur le plan:'''''réponse''''' : ellipse dite du jardinier dans un autre contexte : cf Lebossé et Hemery. # '''pb de la Hire inverse''' :Passer de l'axe Ox à l'axe Oy via le point M(xo,yo) par la longueur rectiligne minimale L (xo,yo):A.N. calculer L pour (3,4) et pour (27,64).'''''réponse''''' : cette longueur est la somme de yo/sin A +xo/cos A minimale pour -yo cosA/sin^2A + xo sin A/ cos^A donc ssi tan^3 A = yo/xo == tan B : on en déduit Ao : L = ao [sin B/ sin Ao +cos B/cos Ao]soit en repassant en cartésiennes : L = (x + y)^(3/2) avec x= xo^(2/3) idem y.'''''AN 2ème cas''''' : L =9*5 + 16*5 = 5^3 = 125 cm < 2* sqrt(xo^2+yo^2) = ~139 cm. Cf le cône +/-z = L(x,y) sur [[Maxima]] ou [[Scilab]]. #'''etc.''' oq55cv7ryxoa7z17xqdgqsaddlb7ste 0 35397 769555 635564 2026-07-15T17:28:14Z DavidL 1746 769555 wikitext text/x-wiki {{Programmation C source}} <syntaxhighlight lang="c"> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main(void) { printf("----------------------------------------\n"); printf(" Boucle for\n"); printf("----------------------------------------\n"); #if 0 for (initialisation ; condition ; itération) bloc #endif /* Une boucle for commence par l'initialisation, puis exécute le bloc de code tant que la condition est vérifiée et en appelant l'itération après chaque bloc. */ int i; for (i = 0; i < 3; i++) { printf("i = %d\n", i); } /* La norme C99 permet maintenant de déclarer des variables dans la partie initialisation de la boucle for. Ces variables ne peuvent qu'être de classe automatic ou register. Leur portée est limitée à la boucle. Elles n'interfèrent pas avec les variables de même nom déclarées en dehors de la boucle. Leur utilisation pourrait conduire à de possibles optimisations du code par le compilateur. */ // En C99 : for (int j = 0; j < 3; j++) { printf("j = %d\n", j); } // Le bloc de code étant réduit à une instruction, on aurait pu écrire : for (int k = 0; k < 3; k++) printf("k = %d\n", k); int l = 0; for( ; l != 1; l = rand() % 4) { printf("je continue\n"); } /* cet exemple montre plusieurs choses : 1. l'initialisation de la boucle a été omise, en fait n'importe laquelle des trois parties peut l'être (et même les trois à la fois, ce qui résulte en une boucle infinie) ; 2. l'expression itération est réellement une expression, on peut y faire appel à des fonctions ; 3. le nombre d'itérations n'est pas fixe, le programme affichera « je continue » un nombre (pseudo-)aléatoire de fois. */ printf("\n----------------------------------------\n"); printf(" Boucle while\n"); printf("----------------------------------------\n"); #if 0 while (condition) bloc #endif // Une boucle while exécute le bloc d'instructions tant que la condition est vérifiée. int m = 0; while (m < 3) { printf("m = %d\n", m); m = m + 1; } printf("\n----------------------------------------\n"); printf(" Boucle do-while\n"); printf("----------------------------------------\n"); #if 0 do bloc while (condition); #endif /* Cette boucle est une légère variante de la précédente. Elle exécute donc le bloc au moins une fois, et ce jusqu'à ce que la condition soit fausse (ou tant que la condition est vraie). */ int n = 0; do { printf("n = %d\n", n); n = n + 1; } while (n < 3); char c; do { printf("Veuillez taper la lettre 'o'\n"); scanf("%c", &c); getchar(); } while (c != 'o'); /* Tant que l'utilisateur n'aura pas tapé la lettre o, le programme redemandera de taper la lettre. */ printf("\n----------------------------------------\n"); printf(" Arrêt et continuation des boucles\n"); printf("----------------------------------------\n"); /* Il arrive fréquemment qu'en évaluant un test à l'intérieur d'une boucle, on aimerait arrêter brutalement la boucle ou alors « sauter » certains cas non significatifs. C'est le rôle des instructions break et continue. */ /* break permet de sortir immédiatement d'une boucle for, while ou do-while. À noter que si la boucle se trouve elle-même dans une autre boucle, seule la boucle où le l'instruction break se trouvait est stoppée. */ /* continue permet de recommencer la boucle depuis le début du bloc. Dans le cas de la boucle for, le bloc lié à l'incrémentation sera exécuté, puis dans tous les cas, la condition sera testée. */ printf("\n----------------------------------------\n"); printf(" Saut inconditionnel (goto)\n"); printf("----------------------------------------\n"); /* Cette instruction permet de continuer l'exécution du programme à un autre endroit, dans la même fonction. On l'utilise de la manière suivante : */ goto label; /* Où label est un identificateur quelconque. Cet identificateur devra être défini quelque part dans la même fonction, avec la syntaxe suivante : */ label: /* Ce label peut être mis à n'importe quel endroit dans la fonction, y compris avant ou après le goto, ou dans un autre bloc que là où sont utilisés la ou les instructions goto pointant vers ce label. Les labels doivent être uniques au sein d'une même fonction, mais on peut les réutiliser dans une autre fonction. */ /* Un cas où l'emploi d'une instruction goto est tout à fait justifié, par exemple, est pour simuler le déclenchement d'une exception, pour sortir rapidement de plusieurs boucles imbriquées. */ #if 0 void boucle(void) { while (1) { struct Evenement_t * event; attend_evenement(); while ((event = retire_evenement())) { switch (event->type) { case FIN_TRAITEMENT: goto fin; /* ... */ } } } fin: /* ... */ } #endif /* Dans ce cas de figure, il serait possible d'utiliser aussi un booléen qui indique que le traitement est terminé, pour forcer la sortie des boucles. L'utilisation de goto dans cet exemple ne nuisant pas à la lisibilité du programme et étant tout aussi efficace, il est tout à fait légitime de l'utiliser. Il faut cependant noter que cette instruction est souvent considérée comme à éviter. */ return 0; } </syntaxhighlight> p45qfolbe3yuh0c62fhc0zgxfcrjm76 0 39194 769543 690182 2026-07-15T17:23:14Z DavidL 1746 769543 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}</noinclude> La balistique extérieure, ici, concerne le mouvement d'un '''point matériel''' <ref>Ceci ne concerne pas des pans entiers de la balistique extérieure : celle des sports de ballon en particulier. Certes intéressants aussi, mais ... chaque chose en son temps (ici les traités sont déjà assez lourds )</ref> soumis à la [[w:pesanteur|pesanteur]] uniforme, selon son poids mg et la résistance de l'air notée mg f(v). Ce qu'il y a de plus caractéristique par rapport au mouvement de [[w:Evangelista_Torricelli#Parabole de sûreté|Torricelli]] est l'apparition d'une [[w:asymptote|'''asymptote''']], ce que savaient bien les artilleurs : [[w:Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]], Ufano, etc. Il faudra se souvenir essentiellement de l'équation de [[w:Hodographe|l'hodographe]] : <math>\frac{dV_x}{d\phi}= - f(v).v</math> Ici <math>V_x</math> est la composante horizontale du vecteur vitesse, et <math>\phi</math> l'angle complémentaire de l'angle de hauteur <math>\alpha</math> (on dit parfois la déclinaison) : comme <math>\phi</math> ne cesse d'augmenter, <math>V_x</math> diminue toujours et finit par tendre vers zéro. Qui plus est, x(t) reste fini. Cette leçon sera développée du point de vue historique, pour mieux préciser les rôles des chercheurs dans ce domaine. Elle sera excessivement développée par rapport au cours technique classique, mais ...elle pourra servir de référence... ? == Mouvement ; asymptote == Le cas d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme tombant sans vitesse initiale est traité dans l'article {{w|Chute avec résistance de l'air}}. Il a fait apparaître la notion très importante de ''vitesse-limite''. De même dans le cas d'un projectile, il apparaît la notion d'asymptote de la trajectoire. La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici ; si la trajectoire du mobile dépasse 100km, il faut modifier. Le vecteur vitesse sera repéré par son module v et son angle de hauteur A : les composantes cartésiennes sont donc <math>V_x = v \cos A \quad ; \quad V_y = v \sin A</math>. L'analyse des forces est : poids mg et résistance fluide de module r(v): = mg f(v), de direction opposée à la vitesse. === {{w|Hodographe}} === L'accélération montre que la courbe est concave vers le bas : donc, quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale, A(t) diminue de sa valeur initiale Ao à -90° : la fonction t-> - A(t),fonction croissante monotone, peut être avantageusement choisie comme '''échelle de temps''': ====échelle des temps ==== *Les équations de Frenet donnent : *dv/dt = -g sinA -g.f(v) *mv²/R = mg cosA soit -v.dA/dt = g cosA. d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA On en tirera dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA pour avoir la trajectoire, dont les coordonnées intrinsèques sont R = V²(A)/(g.cosA) ; ====équation dite hodographe de la balistique ==== En éliminant dt : <math>d(v \cos A)/dA = v.f(v) ~</math> équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo). D'où v = V(A), ce qui est l'[[hodographe]] en coordonnées polaires. Quand A tend vers -90°,développer la dérivée, '''v tend vers une limite V1''' telle que : '''f(V1) = 1''' On retrouve la notion de vitesse-limite de l'article [[chute avec résistance de l'air]]. ===La trajectoire === Pour obtenir la trajectoire, il ''suffit'' donc d'intégrer l'équation précédente, puis : <math> -g \, dx = v^2 \,\cdot dA \quad -g\,dy = v^2 \,\tan A \,\cdot dA \quad -g\,dt= v \,\sec A \,\cdot dA \quad -g\,ds = v^2\,\sec A \,\cdot dA ~</math> Tout s'exprime donc "à une quadrature près" si on sait résoudre l'équation de l'hodographe (Bernoulli, 1695). Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) > v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. [[Vitesse#Coordonnées polaires|vitesse aréolaire]]). ==== asymptote de la trajectoire ==== L'immense différence avec le cas de Torricelli est que : * la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment. * et x est fonction croissante du temps mais majorée par V1²/g .Pi/2 donc bornée : '''la portée est finie''', quelle que soit la "hauteur de la citadelle" : c'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs, la [[trajectoire parabolique]] de Torricelli n'étant solution valable que dans le cas irréaliste où l'on néglige la résistance de l'air. === Cas intégrables === L'équation de l'hodographe est donc l'équation fondamentale de la Balistique. *Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation est alors une {{w|équation de Bernoulli}}, et s'intègre comme telle ( on obtient une équation différentielle '''linéaire''', du premier ordre ). *Drach(CRAS1914) donne les différentes formes de f(V) pour lesquelles l'intégration est possible, y compris via les fonctions elliptiques. * En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie ; il faut en effet tenir compte de la variation de la densité de l'air avec l'altitude, donc en réalité f(V)*d(z), ce qui est plus dur à résoudre. Enfin , pour les tirs assez lointains, il ne faut pas oublier la {{w|déviation vers l'Est|déviation de Coriolis}} (cf la {{w|Grosse Bertha}}). == Le cas irréaliste linéaire == Ce cas est totalement irréaliste, mais il est étudié simplement parce qu'il est facilement intégrable !!! Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement, considéré par beaucoup comme fausse. L'équation différentielle est : <math> \frac{d \vec v}{dt} = \vec g - {\vec v}/{\tau} </math> '''L'hodographe est donc la droite''': <math> \vec v = \vec g \tau + ( \vec v_0 - \vec g \tau)e^{-\frac{t}{\tau}}</math> la trajectoire du projectile P est : <math>\vec{OP} = \vec g \tau.t + ( \vec v_0 \tau -\vec g \tau^2)(1- e^{-\frac{t}{\tau}}) </math> {ébauche : aide figure demandée, svp } La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination : pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demi somme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative. *remarques annexes : #Pour t < \tau, on retrouve la trajectoire parabolique + termes perturbatifs : <math>^{\vec {OP} = \vec v_0 t + \frac 1 2 \vec g t^2 - [ \vec v_0 t^2/2\tau + \vec g t^3/6 \tau^2] +...}</math> # L'hodographe peut se retrouver en polaire via l'équation-Balistique ( bien que cela soit inutilement compliqué ! ) : l'équation est 2-Bernoulli, on prend donc T(A) = g\tau.1/v comme fonction inconnue et l'équation se simplifie : -dT/dA = T. tan(A) +1/cos(A) ( +CI) eq dif linéaire dont la solution est : T(A) = g \tau . 1/v = sin(A) + cos(A) [ (gt/Vo -sin(Ao))/cos(Ao)] : l'hodographe est bien un segment de droite. ====courbe de sûreté ==== Elle est beaucoup plus difficile à calculer que dans le cas de Torricelli, mais faisable. Donnons ici un exemple : la courbe de sûreté dans le cas où la vitesse initiale est <math>V_0 = g \tau</math> est (unités réduites) : <math> z = 1 - Ln 2 + Ln(1-x^2)</math> * Bien sûr, si <math>V_0</math> >> V-limite, on retrouve les résultats de Tartaglia-Ufano, ce qui est assez "intuitif" : la balle va tout droit et "épuise ses forces" : au bout de quelques <math>\tau</math>, elle aura perdu sa vitesse, et elle sera à environ <math>V_0 \tau</math> de l'origine ; la gravité deviendra dominante et les conditions initiales marginales : donc tous les mouvements seront ressemblants, à savoir, un "arrondi" puis l'asymptote verticale. La conclusion est donc triviale : la courbe de sûreté ressemble à un demi-cercle poursuivi vers le bas par l'asymptote. {{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul de la courbe de sûreté}} <math>x = V_0 cos(A) \tau (1- e^{-t/\tau})</math> <math>z = - g tau .t + V_o sin(A) +g \tau^2 1- e^{-t/\tau})</math> On pose : g=1 \tau = 1 ; cos(A) = c ; sin(A) = s ; on a pris le cas Vo = 1 . On élimine le temps et on obtient la trajectoire : y = x (1+s)/c + Log (1-x/c) { on a bien x <c } On dérive par rapport à A pour avoir l'équation de la caractéristique de Clairaut : 0 = x (s+1)/c² - x s/c² .1/ ( 1-x/c) qui se simplifie et donne x = c/(1+s) On remplace dans l'équation de la trajectoire : y = 1 + log s - log (1+s) On obtient donc l'enveloppe en paramétrique, en f de A , mais ici, elle se simplifie : éliminons A en passant à l'arc moitié ; tout se simplifie : y = 1-log 2 + log (1-x²) . L'asymptote est OkP. * ( je ne sais pas s'il y a plus simple, les simplifications miraculeuses sont souvent dues à une mauvaise vision du calcul ... En tout cas, on peut vérifier directement l'apex : le max de z(t) = 2 -2 exp(-t) -t a bien lieu pour t = Ln 2 et z = 2-1-Ln2 .OkP . * le calcul s'organise de même pour un Vo différent. {{boîte déroulante fin}} {{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul général : beurck}} x = u.c(1-exp) et z = (u+1) (1-exp) -t On élimine t pour avoir la trajectoire, et on y adjoint l'équation de Clairaut : z = x t + x/ uc + log ( 1-x/uc) '''ET''' la dérivée prise par rapport à A : Elle se simplifie par x , et donne x= u².c/(u+s) , et on reporte dans z : on obtient donc la courbe de sûreté en paramétrique : <div style="text-align: center;"> <math> x = u^2. \frac {\cos A}{u+\sin A} \quad et \quad z = u.\frac{1+ u \sin A}{u + \sin A} + Log \frac{\sin A}{u+\sin A }</math> </div> Il faudrait vérifier si cela se simplifie par élimination de A , ou bien s'il y a une explication simple à la manière de Torricelli. Bien sûr, on retrouve l'asymptote avec le Log (sin A ) et cette asymptote est bien en x = u ; si u >>1 , on retrouve l'intuition de Tartaglia : x ~u cos A et z ~ u sin A ('''et''' - Log u) Conseil : dessiner en coordonnées cartésiennes , on dessine mal ce demi-cercle si l'on n'y voit qu'une "arche". {{boîte déroulante fin}} == Le cas assez réaliste : résistance en v² == * En fait, en pratique, on recourt à des abaques. { L'empirisme le plus total ( ???) montre que la portée est : pour z=0 , x = Portée(k=0)/( k +0.5exp(-2k/3)). (1+ résidu(k)), avec résidu(k)< 0.0025 avec k = (Vo²/V1²) sin (A) . (Cet empirisme des artilleurs est conforté par le fait que le résultat est bon pour k petit et pour k grand?)} : grr... ça fait 5 ans au moins que cette formule traîne, et cela m'agace ... == Cas des balles en rotation == Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c’est-à-dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à '''Vo''', alors la traînée et la portance restent dans le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive, la trajectoire peut même présenter des boucles ! Elle peut même passer derrière le canonnier : expérience de Heim . Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont utilisés au ping-pong, au tennis, au golf. dans le cas des balles de golf, les trous "slazsenger" ont même été brevetés, car ils modifient la portance. Évidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc "platini" au football le démontre. == Histoire des sciences == Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, arbalètes, catapultes, onagres, balistes, pierrières, trébuchets, scorpions, puis arquebuses, mousquets, canons (Chute de Byzance,1453), la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches. L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote. *Ce sont Galilée et Torricelli qui mettent définitivement en forme le mouvement de {{w|chute libre}} avec lancer, au grand dam des artilleurs : Torricelli a historiquement complètement traité ce problème '''dans le vide''' (cf : {{w|parabole de sûreté}}). Mais il savait fort bien que sa description ne s'accordait pas à celle des artificiers (à cause de la résistance de l'air). *Il faut attendre Newton pour avoir vraiment le développement de la théorie ; puis Bernoulli pour mettre en forme ce qui sera nommé la balistique extérieure. En particulier pour invalider cette hérésie du calcul de Torricelli qui donnait une portée infinie pour un angle A = -90°. *Ensuite, le calcul porte soit sur des améliorations numériques, soit sur des cas d'intégrations spéciaux, œuvres plutôt de mathématiciens : la balistique extérieure a connu son apogée vers les années 1910 ; aujourd'hui, les calculs sont conduits souvent par ordinateur. *Néanmoins, l'effort le plus grand aura été opéré par {{w|Galilée}} : cette idée osée d'imaginer la trajectoire dans un fluide évanescent ; d'analyser l'impetus de départ ; de voir qu'il ne s'épuisait jamais ; mais qu'au contraire la chute libre était "composition" des mouvements '''Vo'''.t et 1/2 '''g'''.t², et que le '''Vo''' de départ pouvait être compté '''comme rien''', etc, etc, efforts amplement racontés dans les Dialogues de 1632 et les Discours de 1638. ===histoire=== Tartaglia,Ufano, Blondel, Bernoulli, Euler, Cranz, Adhémar, Ainsi que Patrick Milligan, Peter Daher, Mathieu Godin des génies en balistique == résistance de l'air en V² , dite quadratique == ébauche {c'est un cas réaliste ; rappelons que en 1D, on a vu : <math>\ddot z = - 1/2 C_x a S/m .v^2 = -v^2/ H</math> , avec typiquement Cx = 0.5 pour une sphère et 0.05 pour un bon profilé.Dans l'air pour une bille de plomb, H = m/(1/2C_x a S = R .\rho /a . 1/3 .4 = ~10 000 R , si R=1cm, H= 100m, si R= 10cm ( diamètre =20 !), H = 1 km, et 1m, 10 km (mais il faut penser alors, si c'est l'atmosphère, à faire attention à a(z) : en gros, un objet qui tombe ne passe pas mach_1}. L'équation est : <div style="text-align: center;"> <math> \dot u = - v.u \quad et \quad \ddot z = 1 - v.\dot z</math> </div> Elle est plus compliquée que la précédente car les f-inconnues {u= Vx,w = Vy } sont couplées par le terme v = sqrt( u²+w² ). On a introduit les coordonnées réduites. Faire attention à {1 ou -1} === les équations === introduire la déclinaison B = Pi/2-A. On a déjà écrit les équations en A , on les réécrit en B :=: phi . On écrit sin(B) = s et cos (B) = c , et Attention : t = tan(B/2) ; la primitive depuis Pi/2 de 2/s^3 est : 2/s^3 = 2c²+2s² / s^3 = 2c²+s² /s^3 +1/s donc primitive = f(B) = - c/s^2 +Log t : '''elle n'est PAS compliquée''' , la tracer soigneusement et se familiariser avec elle, car elle va jouer un grand rôle dans la suite des calculs. Bien sûr sa dérivée est 2/s^3 et donc sa pente en Pi/2 ( la vitesse est alors horizontale) vaut 2. L'équation de l'hodographe s'écrit : du/dB = - u^3/s^3 et donc 1/u² -1/uo² = f(B) - f(Bo) : on introduit un angle fondamental : celui de l'asymptote-backward : soit Bc tel que f(Bc) = f(Bo) -1/uo² ; Bc est donc inférieur à Bo ; et alors 1/u² = [f(B) - f(Bc)] : u ne va cesser de décroître jusqu'à la valeur nulle. On a donc obtenu v(B) = u(B)/sin(B) : c'est à dire l'hodographe en polaire, c'est à dire dS /dB en f de B : c'est la description de la trajectoire en coordonnées intrinsèques de Frenet , donc c'est FINI : il suffit de tracer point par point, à la méthode enfantine, ...en mettant un pied devant l'autre, c'est à dire pour ceux qui ont l'habitude de ce langage, en "tortue-logo". Hélas, on a pris de très mauvaises habitudes : on VEUT VOIR les équations ''cartésiennes'' de la trajectoire, et même le mouvement sur la trajectoire : x=f(t) et y= g(t) ...alors que la description la plus "naturelle", décrire le mouvement s(t), a été oubliée ... ====une simplification fortuite : l'abscisse curviligne ==== le chemin parcouru se calcule très bien dans ce cas particulier : u = Vo. cos(A) . exp(-s/H) : on retrouve cette notion acquise lors du mouvement 1D : l'énergie de départ s'épuise au long du chemin et on aura beau augmenter la charge de poudre, càd Vo, cela ne servira à RIEN : on ira plus vite au lieu-dit, on n'ira pas plus LOIN. <div style="text-align: center;"> <math> rappel \quad R := 1/u^2 \quad ; \quad \frac{dR}{dB} = \frac{2}{ \sin^3(B)} \, ; \quad \frac{ds}{dB} = \frac{1}{2R}\frac{dR}{dB} \, ; \quad \frac{dx}{dB} = \frac{1}{R \sin^2(B)}</math> </div> d'où : <div style="text-align: center;"> <math> s = \frac 1 2 H. Log \quad [1 + \frac{V_0^2.\sin^2 B_0}{gH} . (f(B)-f(B_0))] = \frac 1 2 H. Log [f(B) -f(Bc)] +c </math> </div> <div style="text-align: center;"> <math>rappel : f(V) = -\cos(B)/\sin^2(B)+ Log \, \tan (B/2)</math> </div> * '''Il en résulte que''' : *Supposons juste pour "apprivoiser" cette équation qui paraît formidable, de prendre : Vo sin(Bo) >> sqrt(gH) ,alors Bc est voisin de Bo et pratiquement pour un infime déroutement depuis Bo en Bo +(Bo-Bc) = 2Bo-Bc : on a déjà s = cste + 1/2 H . Log (f(B)-f(Bo)) , qui ne dépend plus de Vo sinon par la constante : donc les portions ultérieures sont "identiques", puisque le rayon de courbure sera le même. Donc, on trouve : sur une certaine portion du trajet, le mobile va quasiment en ligne droite, jusqu'à une abscisse qui croît avec Vo ( ouf ! heureusement) mais seulement comme H . Log Vo.sin(Bo)/sqrt(gH) , puis toutes les portions sont ~identiques. En particulier, le sommet S de la trajectoire est atteint pour B=0 et s vaut : s(Sommet) = s(B=0). En général, le "1" est négligeable, et on retrouve que toutes les portions se ressemblent au-delà du sommet S. En ce point, la courbure vaut 1/R = [f(Pi/2)-f(Bo)]/H = -f(Bo)/H (on peut contrôler bien sûr que en ce point , u²/g = R ), ensuite "en général", R augmente beaucoup et "on" atteint l'asymptote. Les développées de toutes ces courbes se ressemblent (et penser bien sûr à la développer d'une parabole au voisinage de son apex) à une petite translation près. Ainsi, les calculs sont lourds et fastidieux, mais n'apportent pas grand-chose à la description de Tartaglia : si Vo est grand, une grande ligne droite, puis le "cercle" puis l'asymptote : il reste juste à contrôler "visuellement" la taille de ce cercle : la variation de taille est-elle conforme à 1/R = -f(Bo)/ H (à grand Vo): évidemment si on tire avec Bo voisin de Pi/2 ( çàd à l'horizontale) R ~ Vo²/g ! c'est le cas des fusils (souvent, on tire à l'horizontale). Donc, prudence : il faut moduler ces arguments en fonction de l'angle de tir : sans doute est-il préférable de regarder séparément les multiples facettes de ce double-réseau {Vo et Bo}. * On peut préciser : *Tartaglia et Ufano : il y a une première partie quasiment rectiligne, jusqu'à l'arrivée au sommet : le trajet a lieu en un temps d'autant plus court que Vo est grande ( cinétique du deuxième ordre , dirait-on en chimie !) : si ts < H/Vo , alors ts ~ Vo/g . Log (1/ tan(Bo/2)) et le trajet parcouru est ~H. Log ( Vo²/gH .Log (1/tan(Bo/2))) soit encore une "belle" séparation du rôle de Vo et de Bo : <math>L(sommet) =~ H. Log ( Vo^2/gH + H . Log ( Log(1/ \tan(Bo/2)))</math> Ce qui permet les deux tracés essentiels : *ceux à Vo = cste pour trouver la courbe de sûreté : tracer les trois trajectoires à 30°, 45° et 60° est très parlant. * ceux à Bo constant et Vo variable : il n'est pas évident que ces courbes ne se coupent pas : encore à déchiffrer. ====largage d'une bombe==== Puis, on reprend l'étude à partir du sommet S et on refait tous les calculs de Charbonnier : c'est le problème du largage d'une bombe. * L'asymptote se trouve à Xa tel que : <math> Xa = H. \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi dB / [ -c + s^2Log (t) + s^2. (gH/u_0^2)]</math> Cette intégrale n'a absolument rien de très difficile, mais il faut faire ressortir comment intervient le paramètre uo²/gH ; car c'est en gros de cela que va dépendre la taille de la courbe de sûreté. {{boîte déroulante début|align=left|titre= ébauche : drôle de délire , bizarre...}} Si tout ceci est faux, je ne m'en étonnerai pas : pas eu le temps de regarder suffisamment... Typiquement avec du plomb, V-limite est de 100 m/s, voire 300m/s donc H ~10 -100km : on ne pourra jamais avoir de canon de grande portée : 50 km, voir 100 km mais pas plus !!! Sauf à changer la masse des obus ( cela varie comme M^(1/3)) d'un facteur mille pour changer la constante de longueur d'un facteur 10 , mais peu importe vraiment Vo, il suffit de garder ~50m/s ( encore faut-il le faire ! ) : c'est la '''très grande leçon de ce calcul ''': tout réside dans la longueur H et la portée ne dépend que très peu de Vo , ce qui est '''contre-intuitif'''. *'''Sauf que...2eme argument''' avec H = 10km , on est juste dans l'OdG de la hauteur de l'atmosphère, pour une raison apparemment toute autre : mg Ha = kT , la température de la Terre. Est-ce un hasard ? mais non , mais non ...: Car, quand on dit V-limite de l'ordre de 300m/s on pense 330 m/s et vitesse du son V_son , et compressibilité : et pourquoi Ha ? par compressibilité de l'air ... en effet Ha = ~ (V_son)^2 /g ( j'ai laissé tomber gamma ) : quand les bombardieri ont atteint des OdG de 100m/s , non seulement, ils se sont rapprochés du mur du son, mais encore : ils ont atteint des altitudes de l'ordre de 10km , donc le vide ( pas vraiment, mais on le touche...(sourire)) : mais alors...il faut reprendre TOUS les calculs, puisque on est en train d'écrire que la densité de l'air varie : et varie exponentiellement avec la même constante de longueur. '''Il urge''' de re-considérer le problème de l'altitude et des degrés de "finesse de l'air" : les artilleurs avaient remarqué sans doute que les canons tiraient plus loin en air "ténu" (?). Et là ça se gâte : au fond, on demande de reprendre le problème avec une constante de longueur H qui varie avec l'altitude comme H(z=0).exp(z/Ha), avec H(z=0) ~ Ha : brr...négligeons g , on aurait qqch comme : dv/dt = - v²/Ho . exp(-z/Ho). Mais cela change tout : d(v²)/dz = -2 v² exp-z => v² ~ exp ( exp(-z)) et donc ne s'annule pas à l'infini ...l'obus peut arriver dans le vide ... (( Oui, cela se tient : c'est la m idée que celle de la trempe : x' = -x/T avec une cste T qui varie dans le temps en s'allongeant infiniment : T(t) = exp t/To , alors : xo n'arrive pas à relaxer à zéro , mais se "gèle" à une distance finie )) *D'où deux grandes idées : aller tout doucement dans le vide et de là tirer ; ou bien construire des V2, des fusées, etc. ; ce qui techno-logiquement est à peu près la même idée. FIN de délire {{boîte déroulante fin}} ====une trajectoire particulière en détail pour se familiariser ==== prendre B= A = Pi/4 ; Vo = V-limite : oui, ça se calcule bien ====courbe de sûreté ==== certes plus compliquée , mais pas le dessin par informatique ; "en gros", on a les mêmes formes en dôme + asymptote. Assez bizarre a priori : la courbe ne "gonfle pas quand Vo augmente" ! Elle est de la taille de H, la longueur caractéristique de la résistance de l'air. ====notes==== ébauche {{boîte déroulante début|align=left|titre= voir les notes en ébauche}} je vais fourguer ici les notes ...bien utiles pour ne pas oublier ...des calculs parfois laborieux , en tout cas, il faut se familiariser. * '''note 1 ''' :<math>\ddot z = - exp-z/H . v^2/a</math> : cette eq est bizarre, pour l'instant je ne la maitrise pas . Ok , je sais l'intégrer mais c'est tout. Creusons autour : <math>dE/dz = -2/a exp( -z/H) . E </math> donne <math> Log E/Eo = +2H/a (exp- z/H -1)</math> soit <math>E = Eo exp(exp(-z/H))2H/a . exp-2H/a</math> donc pour z >> H , il subsiste un reliquat d'énergie qui a passé la barrière : E(infty) = Eo .exp-2H/a : qualitativement les paramètres sont dans le sens correct : pour a donné, généralement une particule pénètre de qq a et s'arrête ; mais ici a dépend en qq sorte de z , via a(z) = a exp +z/H , donc c'est "comme si" on pouvait aller de plus en plus loin ; ce qui reste est cette compétition ; je le vois aussi comme un processus de trempe : E ''devrait'' relaxer à zéro , mais le temps de relaxation s'étire indéfiniment ; le processus se gèle et au temps infty, E n'est toujours pas relaxée à zéro : E s'est gelée à la valeur E. exp -2H/a : m'ouais , au fond j'opte pour cette interprétation, provisoirement, elle me va . *'''note 2''' : mettre ici qq valeurs numériques réduites pour éviter les redites , et comparer les abaques de Charbonnier, Adhémar, Cranz etc. Si je peux obtenir les calculs d'Otto, pourquoi pas.etc : sans faire un traité ...qui ne m'intéresse pas outre-mesure. {{boîte déroulante fin}} == Notes et références de la page == <references/> == Voir aussi == === Livres === * [[Vol balistique et missiles balistiques]]. === Articles sur wikipédia === * [[w:Grosse Bertha|Grosse Bertha]], * [[w:Chute avec résistance de l'air|Chute avec résistance de l'air]], * [[w:Chute libre (physique)|Chute libre]] et [[w:trajectoire parabolique|trajectoire parabolique]], [[w:parabole de sûreté|parabole de sûreté]], [[w:Ellipse de sûreté|Ellipse de sûreté]], pour mémoire : là, pas de résistance de l'air. === Liens et documents externes === * Appell : traité de mécanique rationnelle * Whittaker : analytical dynamics *traités de balistique de Charbonnier(1921) de Ottenheimer (1929) , d'Adhémar ( mémorial Sc math ,fasc 65), de Carl Cranz, de Moulton. *de Mestre a écrit : trajectoire d'un projectile en sport. *en Histoire des Sciences : Mach écrit(§19,p145): Saint-Bach(1561); Tartaglia(1537);Rivius(1582); Benedetti; Vailati ;les armes à feu au XIVeme font que la réflexion progresse.Puis Galilée, puis Torricelli plus encore .* Voir aussi Koyré ; +* Maury JP : ''Mersenne''(ed Vuibert 2003). [[Catégorie:Mécanique]] oc4wfuqawe91d6ydhcj93zwlk9h9jqw 0 53645 769551 628508 2026-07-15T17:27:16Z DavidL 1746 769551 wikitext text/x-wiki {{À la découverte d'Unicode}}<!-- Sommaire --> Si l'on parle couramment d'unicode pour désigner le format UTF-8 ou le format UTF-16, Unicode est aussi tout à la fois un consortium, un répertoire de caractères et des considérations pour la mise en œuvre de ce répertoire. Ce répertoire est également semblable à l'ISO 10646. Le site web Unicode présente tout cela de manière très technique et en langue anglaise. Ce livre se veut plus pratique dans la mesure où il s'adresse à un public francophone. Les anglophones pourront trouver des compléments d'information dans la spécification officielle disponible sur ce site. ==Les institutions== ===Organisation internationale de normalisation (ISO)=== L{{'}}''Organisation internationale de normalisation'' ''({{lang|en|International Organization for Standardization}})'', ou '''ISO''' est un organisme de normalisation international composé de représentants d'organisations nationales de normalisation de 164 pays<ref>Au 31 décembre 2006</ref>. Cette organisation créée en 1947 a pour but de produire des [[Normes et standards industriels|normes]] internationales dans les domaines industriels et commerciaux appelées [[Liste de normes ISO|normes ISO]]. Elles sont utiles aux organisations industrielles et économiques de tout type, aux gouvernements, aux instances de réglementation, aux dirigeants de l’économie, aux professionnels de l’évaluation de la conformité, aux fournisseurs et acheteurs de produits et de services, dans les secteurs tant public que privé et, en fin de compte, elles servent les intérêts du public en général lorsque celui-ci agit en qualité de consommateur et utilisateur. Le secrétariat central de l'ISO est situé à Genève, en Suisse. Il assure aux membres de l'ISO le soutien administratif et technique, coordonne le programme décentralisé d'élaboration des normes et procède à leur publication. L'ISO est décrite sur wikipedia [[wikipedia:fr:Organisation internationale de normalisation]]. Elle est à l'initiative de la norme '''ISO/CEI 10646''', intitulée '''Technologies de l'information — Jeu universel de caractères codés (JUC)''', ===Commission électrotechnique internationale (CEI)=== La ''Commission électrotechnique internationale'' (''CEI'') ou ''''{{lang|en|International Electrotechnical Commission (IEC)}}'''' en anglais, est l'organisation internationale de normalisation chargée des domaines de l'électricité, de l'électronique et des techniques connexes. Elle est complémentaire de l'Organisation internationale de normalisation (ISO), qui est chargée des autres domaines. La CEI est composée de représentants de différents organismes de normalisation nationaux. La CEI a été créée en 1906 et compte actuellement 69 pays participants. Les normes CEI sont reconnues dans plus de 100 pays. Originellement située à Londres, la Commission a rejoint ses quartiers généraux actuels de Genève en 1948. La CEI dispose de trois centres régionaux à Singapour, São Paulo et Worcester (Massachusetts) <ref>[http://www.iec.ch/about/rc/rc_entry-f.htm ''Centres régionaux de la CEI''], sur iec.ch</ref>. La CEI a été l'instrument du développement et de la distribution de normes d'unités de mesure, notamment le gauss, le hertz, et le weber. Elle contribua également à proposer un ensemble de références, le système Giorgi, qui finalement fut intégré au système international d'unités (SI) dont l'ISO est responsable. En savoir plus sur wikipedia: [[wikipedia:fr:Commission électrotechnique internationale]] Elle est à l'initiative de la norme '''ISO/CEI 10646''', intitulée '''Technologies de l'information — Jeu universel de caractères codés (JUC)'''. ===Le Consortium Unicode === Le ''Consortium Unicode'' est une organisation privée sans but lucratif qui coordonne le développement du standard Unicode. Elle a pour objectif ambitieux de succéder à terme aux codages de caractères pré-existants. Elle travaille aujourd’hui en coordination, via son propre « comité technique Unicode » (UTC), aux travaux de normalisation de l’Organisation internationale de normalisation (ISO) dans ce domaine pour la norme ISO/CEI 10646 avec laquelle le standard Unicode a fusionné son répertoire universel de caractères codés (après avoir pendant un temps limité développé un standard Unicode 1.0 incompatible et désormais obsolète). À côté de son objectif initial, l’organisation coordonne divers travaux de standardisation techniques, dont le développement de données de [[Wikipedia:localisation|régionalisation]] de logiciels, comme le projet [[Wikipedia:Common Locale Data Repository]] (CLDR), avec son « propre comité technique CLDR ». Le consortium est aussi le bureau d’enregistrement officiel de quelques [[normes ISO]] relatives à ce domaine, telle que la norme [[Wikipedia:ISO 15924|ISO/CEI 15924]]. Le consortium Unicode est décrit plus en détail sur son site web ainsi que sur le site Wikipedia. * [http://www.unicode.org Le Consortium Unicode] ==Norme et standards == Unicode est à la fois normalisé par les organismes publics de normalisaiton sous le nom d'ISO 10646, qui sont des normes payantes, et standardisé par le consortium éponyme qui diffuse un standard gratuit. ===Norme ISO/CEI 10646=== La norme '''ISO/CEI 10646''', intitulée '''Technologies de l'information — Jeu universel de caractères codés (JUC)''', tente de définir un système de [[codage]] universel pour tous les [[Système d'écriture|systèmes d’écriture]]. Cette norme est le fondement du standard [[Unicode]]. La [[Wikipedia:Normes et standards industriels|norme]] internationale '''[[Wikipedvia:Organisation internationale de normalisation|ISO]]/[[Wikipedia:Commission électrotechnique internationale|CEI]] 10646''' définit le '''jeu universel de caractères''' (JUC), (en anglais '''Universal Character Set''' (UCS)) comme un jeu de caractères abstrait. Chaque caractère abstrait est identifié par un nom unique (un nom unique en [[anglais]] et un nom unique en [[français]]) et associé à un nombre entier naturel positif appelé son '''point de code''' (ou ''position de code''). Environ {{formatnum:110000}} caractères (symboles, lettres, nombres, idéogrammes, logogrammes) issus de [[langues]], systèmes d’écriture, traditions du monde entier sont recensés dans le JUC. De nouveaux caractères provenant d’écritures plus rares ou plus anciennes, ou encore de systèmes nouveaux, sont fréquemment ajoutés ou mis à jour dans le JUC. Depuis [[1991]], le [[Consortium Unicode]] collabore avec l’ISO pour développer le ''[[Unicode|Standard Unicode]]'' (« Unicode ») et la norme '''ISO/CEI 10646'''. Les répertoires, noms de caractères, et points de code de la Version 2.0 d’Unicode correspondent exactement à ceux de la norme '''ISO/CEI 10646-1:1993'''<ref>ISO/CEI 10646-1:1993: ''Technologies de l'information — Jeu universel de caractères codés à plusieurs octets — Partie 1: Architecture et table multilingue''</ref> avec ses sept premiers amendements publiés. Chaque publication d’une nouvelle version d’Unicode donne ensuite lieu à une mise à jour de la norme, c’est-à-dire l’adjonction de nouveaux caractères et la mise à jour de ceux déjà présents. Par exemple, la publication d’Unicode 3.0 en février 2000 correspond à la norme '''ISO/CEI 10646-1:2000'''. Voir la section [[#Relation avec Unicode|Relation avec Unicode]] pour plus de détails. Le JUC comprend plus d’1,1 million de points de code, mais seuls les {{formatnum:65536}} premiers (le '''[[Table des caractères Unicode (0000-FFFF)|Plan Multilingue de Base]]''', ou PMB) ont été vulgarisés avant 2000. Cette situation commença à changer quand la [[République populaire de Chine|Chine populaire]] (RPC) légiféra en 2000 que les systèmes informatiques vendus sur son territoire devaient supporter le [[GB 18030]], ce qui nécessitait que les systèmes informatiques mis à la vente dans la RPC utilisent des caractères au-delà du PMB. Le système laisse délibérément beaucoup de points de code non assignés à des caractères, même dans le PMB. Cela permet de ménager des extensions futures ou de minimiser les conflits avec d’autres codages. === Standard Unicode et versions === Le standard est édité en langue anglaise par le consortium Unicode. Chaque jeu d'évolutions donne lieu à une nouvelle version du standard. Ces standards sont librement et gratuitement consultables sur le site Unicode, à la page suivante: [http://www.unicode.org/standard/standard.html]. Le travail sur Unicode est parallèle et synchronisé avec celui sur la norme [[ISO/CEI 10646]] dont les buts sont les mêmes. L’[[ISO/CEI 10646]], une norme internationale publiée en français et en anglais, ne précise cependant ni les règles de composition de caractères, ni les propriétés sémantiques des caractères. Unicode aborde cependant la problématique de la [[Sensibilité à la casse|casse]], du [[classement alphabétique]], et de la combinaison d’[[diacritique|accents]] et de [[caractère (typographie)|caractères]]. Depuis la version 1.1 d’Unicode et dans toutes les versions suivantes, les caractères ont les mêmes identifiants que ceux de la norme [[ISO/CEI 10646]] : les répertoires sont maintenus parallèlement, à l’identique lors de leur normalisation définitive, les deux normes étant mises à jour presque simultanément. Les deux normes Unicode (depuis la version 1.1) et [[ISO/CEI 10646]] assurent une compatibilité ascendante totale : tout texte conforme à une version antérieure doit rester conforme dans les versions ultérieures. Ainsi les caractères de la version 3.0 d’Unicode sont ceux de la norme ISO/CEI 10646:2000. La version 3.2 d’Unicode classait {{formatnum:95221}} caractères, symboles et directives. La version 4.1 d’Unicode, mise à jour en {{date||novembre|2005}}, contient : * {{formatnum:137468}} caractères à usage privé (assignés dans toutes les versions d’Unicode et suffisants pour tous les usages) ; * plus de {{formatnum:97755}} lettres ou syllabes, chiffres ou nombres, symboles divers, signes diacritiques et signes de ponctuation, avec parmi eux : ** plus de {{formatnum:70207}} caractères idéographiques, et *** parmi eux, {{formatnum:11172}} syllabes [[hangeul|hangûl]] précomposées ; ainsi que * {{formatnum:8258}} positions de codes réservées de façon permanente, interdites pour le codage de texte (assignées dans toutes les versions d’Unicode) ; et * plusieurs centaines de caractères de contrôle ou modificateurs spéciaux ; soit un total de près de {{formatnum:245000}} positions de codes assignées dans un espace pouvant contenir {{formatnum:1114112}} codes différents. Quelques problèmes semblent cependant exister, pour le [[codage des caractères chinois]], à cause de l’unification des jeux idéographiques utilisés dans différentes langues, avec une calligraphie légèrement différente et parfois signifiante, mais ils sont en cours de résolution par Unicode qui a défini des sélecteurs de variantes et ouvert un registre de séquences normalisées qui les utilise. La version 5.0 a été publiée en {{date||juillet|2006}}, la version 5.2 en {{date||octobre|2009}}, la version 6.0 en {{date||février|2011}} et la version 6.1 le {{date|31|janvier|2012}}. == Les couches d’Unicode == Unicode est défini suivant un modèle en couches (Note technique Unicode #17<ref>[http://www.unicode.org/reports/tr17/ Unicode Technical Report #17: Unicode Character Encoding Model]</ref>). Les autres normes ne faisaient typiquement pas de distinction entre le jeu de caractères et la représentation physique. Les couches sont ici présentées en partant de la plus haute (la plus éloignée de la machine). ==Références== <references/> {{Modèle:Relire}} f8tid8hxl6fnggd4pgfw8zflfegvxcz 0 53651 769549 675882 2026-07-15T17:26:36Z DavidL 1746 769549 wikitext text/x-wiki {{À la découverte d'Unicode}} Unicode est en progression constante, surtout sur Internet. Aujourd'hui, on peut considérer qu'il s'agit du jeu de caractères standard à utiliser partout où du texte doit être utilisé, sauf spécifications contraire, notamment lorsque la compatibilité avec des systèmes dont la conception est vieille de plusieurs dizaines d'année est recherchée. Toutefois, il faut garder à l'esprit que si une application utilise es caractères Unicode, elle n'est pas pour autant toujours conformes à tous les critères de conformité définis par le standard. L'utilisation d'Unicode comme jeu de caractère par une application se bases souvent sur l'un de standards UTF-8 u UTF-16. De par sa nature, UTF-8 est d'un usage de plus en plus courant sur internet, et dans les systèmes devant échanger de l'information. L'UTF-16 est en particulier utilisé dans les environnements Windows. ==Environnements== === Éco-systèmes Gnu, Linux et compatibles === UTF-8 Il s'agit également du standard Unicode le plus utilisé dans les éco-systèmes Gnu, Linux et compatibles. ===Windows === L'UTF-16 est en particulier utilisé dans les environnements Windows. Dans ce système, les API dites Unicode utilisent ce standard. Il en va de même des systèmes de fichiers NTFS, Virtual FAT, Joliet (cédéroms) et ReFS qui utilisent un jeu de caractères [[UTF-16]] pour les noms de fichiers. ==Environnements réseaux== Dans les systèmes modernes, le partage de fichier sur réseau est conçu pour échanger des noms de fichier Unicode. * C'est le cas de Samba (connu dans Windows sous le nom de "voisinage réseau") à partir des versions Windows NT, 200x, XP * C'est aussi le cas d'''Active directory'' et de certains protocoles FTP * RFC 5198: Unicode Format for Network Interchange === Limites du DOS === Le système DOS et les logiciels associés n'ont pas été adaptés aux évolutions de l'Unicode. L'incapacité de ces logiciels à s'adapter au monde moderne a conduit à la désuétude de leur usage. ===Matériel électronique=== Unicode (en l’occurrence UCS-2) est également considéré dans les plus basses couches du logiciel, en prise directe avec le matériel. C'est le cas de l{{'}}''UEFI Shell Specification'' (May 22, 2012 Revision 2.0 Errata “A”). UTF-16 ou bien l'UCS-2 est le standard de chaînes de caractères utilisé par l'[[UEFI]]<ref> http://x86asm.net/articles/uefi-programming-first-steps/</ref>. Unicode est également utilisé par le logiciel multiboot Grub 2.0<ref> http://www.gnu.org/software/grub/manual/grub.html </ref>. ==Logiciels et formats de fichiers== ===Bureautique=== À priori, Unicode est le standard sous-jacent utilisé par des logiciels devant représenter du texte comme Microsoft Office, OpenOffice. Dans OpenOffice 3.2.1, des caractères Unicode sont proposés dans le menu «Insertion → caractères spéciaux». ===Navigation Internet=== À priori, Unicode est le standard sous-jacent utilisé par des logiciels devant représenter du texte comme Firefox, Chrome. ===Développement logiciel=== À priori, Unicode est le standard sous-jacent utilisé par des machine virtuelles comme l'environnement Java ou l'environnement dot Net. Des langages récents comme Perl et Python offrent également une assez bonne approche d'Unicode. Des langages hérités comme les scripts shells Unix ne prennent pas en compte spécifiquement l'Unicode et peuvent présenter des aspects particuliers. Ce point est traité plus en profondeur dans le chapitre [[../Programmation/]]. ==Internet et télécommunications== ===SMS=== Sur téléphones mobiles et dans les SMS Unicode n'est pas toujours disponible. ===Sites internet=== Unicode est le codage de base de nombreux sites internet parmi lesquels on trouve pour ne donner que deux exemples et non des moindres, le site de Wikipédia et le site du parlement européen. Concrètement, le codage utilisé est UTF-8. === Limites du courriel === Dans ses origines nord-américaines, le courriel est une chose qui contient du texte ASCII. Les caractères qui peuvent être utilisés étaient d’abord [[ASCII]], puis des [[Codage des caractères|encodage]]s régionaux. Aujourd’hui, certains logiciels supportent également l’[[UTF-8]], ce qui permet d’augmenter le nombre de caractères différents que l'on peut utiliser dans un même courriel. Avec la technologie [[wikipedia:Multipurpose Internet Mail Extensions|MIME]] (Multipurpose Internet Mail Extensions), différents fichiers informatiques peuvent être joints au courriel. L'utilisation du format HTML pour la structuration ou la mise en forme des courriels est possible, mais souffre d'un manque important d'interopérabilité, <ref>souligné en 2007 par le séminaire ''{{lang|en|Mail HTML}}'' du W3C {{en}} [http://www.w3.org/2007/05/html-mail/ {{lang|en|W3C HTML Mail Workshop, 24 May 2007, Paris, France}}]</ref>. Il en est de même du recours aux [[feuilles de style en cascade]] (CSS) pour leur présentation<ref>{{en}} David Greiner, [http://www.campaignmonitor.com/blog/archives/2007/04/a_guide_to_css_support_in_emai_2.html {{lang|en|A Guide to CSS Support in Email: 2007 Edition}}], {{lang|en|Campaign Monitor}}</ref>. UTF-8 et les caractères régionaux ne sont pas toujours interopérables, en fonction du logiciel de messagerie utilisé par le destinataire et de sa localisation géographique. ==Références== <references /> d404s06cqp01s09yrpc3tsas5dsps0e 0 54125 769537 690299 2026-07-15T17:19:53Z DavidL 1746 769537 wikitext text/x-wiki {{Climat et écocitoyens}} Un autre exemple de mobilisation citoyenne en matière d'énergie est le projet baptisé ''Solar Generation''. Celui-ci s'inscrit comme une initiative majeure en matière de lutte contre les changements climatiques.<br/> Par la mobilisation des étudiants, celle-ci veut montrer l'intérêt du recours aux énergies renouvelables et inciter les décideurs à faire les choix nécessaires. L'action de Solar Generation se traduit notamment par la promotion des panneaux solaires, outils permettant de se servir du rayonnement solaire afin de le convertir en énergie électrique ou en énergie thermique utilisables par l'Homme. Il est intéressant de savoir qu'en moyenne, un panneau solaire produit dans sa vie qui dure environ 25 ans : entre 2250 kWh et 3000 kWh d'électricité. == Qu'est-ce que Solar Generation ? == Solar Generation est un projet international lancé par Greenpeace en 2003 dans le but de mobiliser les étudiants dans la lutte contre le réchauffement climatique par la mise en œuvre de solutions concrètes.<br/> Ce projet existe dans 19 pays. En France, il existe depuis 2005 et réunit une vingtaine d’associations étudiantes qui travaillent en réseau à travers la France. L'objectif poursuivi est de mettre en place des mesures concrètes afin d'établir des politiques énergétiques durables. '''Ne soyons pas la « génération effet de serre » soyons la « génération solaire » !''' == Origine du projet == Le projet a été lancé en Europe en 2003 par Greenpeace.<br/> Puis, peu à peu, le projet s’est étendu à d’autres régions et est maintenant développé dans une quinzaine de pays (dont les Philippines, la Chine, l’Indonésie, la Pologne, les États-Unis, l’Allemagne, la Suisse, les Pays-Bas, l’Espagne…), où il est décliné de différentes façons (plus ou moins politique ou pratique).<br/> L'association Greenpeace International est le coordonnateur des projets dans les différents pays. Cela permet de maintenir un lien et une cohérence entre les projets, et d’offrir une visibilité internationale du projet, en assurant notamment la présence de jeunes Solar Generation lors des grands rendez-vous internationaux sur le climat.<br/> == Le projet en France == Le projet Solar Generation a débuté en France au printemps 2004. La première phase est une période de sensibilisation et d’information de la population étudiante concernant le réchauffement climatique et les alternatives énergétiques. Le but de cette phase consistait également à créer une première prise de contact avec ce public : au total, près de 200 000 étudiants ont eu un premier aperçu de ce projet dans toute la France, ce qui équivaut à près de 10% des étudiants. Au vu de l’accueil très positif des étudiants, une nouvelle phase beaucoup plus concrète du projet a démarré en 2005 lorsque les associations étudiantes ont invité à se mobiliser directement sur leurs campus par le montage de projets concrets visant à diminuer la facture énergétique du campus et/ou y promouvoir l’installation d’énergies renouvelables.<br/> Ce sont toujours ces axes qui guident les projets des étudiants aujourd'hui. == Raisons d'être du projet == Deux objectifs majeurs sont poursuivis par le projet. Le premier est d’obtenir des résultats concrets sur les campus déjà engagés dans le réseau, dans un délai défini au préalable avec eux.<br/> Le second objectif consiste à créer un effet boule de neige et inciter d’autre campus français à rejoindre le projet Campus Vert, campus dont l’impact sur le climat est réduit au minimum, qui ne gaspille pas l’énergie et qui en rationalise la consommation. L’idée est de valoriser les résultats obtenus sur les campus impliqués dans des actions de promotion de l’efficacité énergétique et des énergies renouvelables, afin d’attirer un plus grand nombre de nouvelles associations dans le mouvement.<br/> == Deux exemples concrets de projets réalisés == Parmi les projets réalisés par Solar Generation, deux peuvent être considérés comme des initiatives marquantes : [[Fichier:Photovoltaic-cells.jpg|thumb|upright=0.75|alt=Cas de cellules photovoltaïques|Cellules photovoltaïques ]] ''Chambéry – Solar'ité'' : * Les étudiants portent un projet d’installation de cellules photovoltaïques et vendent des parts de panneaux à des particuliers pour financer l’installation. En janvier 2008, après seulement 3 mois de communication sur ce projet, 110 parts de panneaux solaires avaient déjà été vendues. * Les étudiants ont rencontré un assemblier qui va les mettre en contact avec un installateur de panneaux. * L'un des professeurs des étudiants travaille dans un bureau d'études et doit les aider à choisir la technologie qui sera utilisée pour les panneaux. ''Grenoble'' : * Les panneaux solaires ont déjà produit 200 kWh depuis leur installation en octobre 2007. * Les étudiants cherchent des fournisseurs d'électricité verte pouvant racheter l'énergie que les panneaux produisent. * Le four solaire a été achevé. Il ne fonctionne cependant pas encore, car il a été abîmé. * Une réunion avec le CROUS a eu lieu afin de définir précisément leurs objectifs de réduction de la consommation énergétique dans les campus. == Résultats == L'objectif initial était d’obtenir 10 « campus verts » en 2007. L'objectif peut être considéré comme atteint, même si, le « campus vert » avec un impact sur le climat réduit au minimum n’a pas encore vu le jour. Les engagements signés par l’administration universitaire et des réalisations effectives ont tout de même été obtenus dans plusieurs campus (10 au total). Le processus est enclenché sur l’ensemble des campus partenaires du projet, des réalisations d’envergure ont déjà eu lieu, et les étudiants restent, et resteront, fortement mobilisés. ==Références== [http://www.croissance-verte.com/archive/2008/02/01/solar-generation.html Croissance verte]<br/> [http://www.animafac.net/les-etudiants-contre-le-changement-climatique-presentation-du-projet-solar-generation-en-france-et-dans-le-monde/ Animafac]<br/> [http://blog.bio-ressources.com/energies/lassociation-solar-generation-des-etudiants-qui-agissent-pour-le-developpement-durable/ Le blog bioressources]<br/> svwtkh92nm7kavdj0qfo72802qsz0qy 0 55147 769552 715619 2026-07-15T17:27:28Z DavidL 1746 769552 wikitext text/x-wiki {{Page de garde|Coder avec Unicode|New Unicode logo.svg|description= ''Un livre-guide appartenant à la série [[Programmation]] tout comme à l'[[Accueil/Informatique|étagère Informatique]] de [[Accueil|Wikilivres]]''. Il s'adresse aux développeurs ayant à manipuler du texte et autres chaînes de caractères. Il suppose une connaissance générale d'Unicode de l'ordre de ce qui est exposé dans le wiki-livre [[À la découverte d'Unicode]]. De par sa nature technique, cet ouvrage ne pourra sans doute être compris que par des développeurs ou des personnes ayant des connaissances équivalentes en développement du logiciel. |avancement=Ébauche |cdu= * {{CDU item|8/800}} * {{CDU item|6/68/681|681.3/681.3.0}} }} {{Coder avec Unicode}} L'objectif de ce livre est de répondre à des questions pratiques sur le développement de logiciel interopérable en Unicode. Ce livre est nécessaire car le sujet est trop technique pour être détaillé dans le wikilivre [[À la découverte d'Unicode]], cependant ce standard est d'une importance sans précédant vu qu'il sert à coder le texte et donc à échanger les idées à travers le monde tout en étant incontournable dans les technologies de l'information. Ce livre est d'autant plus nécessaire que les textes traitant du sujet se trouvent trop fréquemment être en langue anglaise ou disséminés de manière peu pratique. ==Introduction== L'apprentissage du développement dans une première approche naïve peut avoir tendance à faire abstraction de la problématique du codage de caractères. Si historiquement, chaque système technique et chaque système culturel dispose de ses propres conventions sur le codage de texte, le développement de logiciels que l'on souhaite interopérables pose rapidement des questions pratiques : quel est l'encodage utilisé pour l'échange de texte, quelle API utiliser pour bénéficier des apports d’Unicode tout en étant interopérable, quelle normalisation, etc … La plus spécieuse des platitudes consistant dans une réponse indiquant que cela importe peu et que si l'on gère une chaîne d'octets, les utilisateurs arriveront peut-être plus ou moins à s'en débrouiller. C'est oublier que cette attitude consiste bien souvent à se défausser du problème en l'exposant à un utilisateur candide qui ne saura pas comment l'appréhender de manière satisfaisante. Unicode les dépasse, et à titre d'illustration, vous trouverez ci-après, un petit sous-ensemble des caractères qu'Unicode permet de gérer : € ← ↗ ▼ ↷ ” 「 」 『 』 ※ ― … ✓ ᴂ λ ∉ ⋂ ≠ ≥ ≈ ℕ ♠ ➅ ♫ ♬ 太 Comme l'explique le wiki-livre [[À la découverte d'Unicode]], le sujet d'Unicode est un sujet plus vaste que de simplement assigner un dessin à chaque octet. Le présent livre vous guidera dans la mise en œuvre d'Unicode dans différents langages de programmation. ==Conseil== Pour développer des logiciels fonctionnant avec Unicode, il faut travailler dans un environnement informatique qui prend en charge cette technologie. Parmi les environnements à éviter, on compte le système MS-DOS ainsi que les applications en mode Microsoft Console. Les environnements qui permettront de mettre en œuvre efficacement Unicode sont : * sous Windows les applications en mode graphique, utilisant les fonctions de l'API Unicode (noms des fonctions suffixées par la lettre W), * sous Linux, toutes les applications. (Il existe des applications offrant les fonctionnalités d'une console sous Linux, mais le système ne caractérise pas les logiciels entre un mode graphique et un mode console). Il est toutefois souhaitable d'avoir un système récent, où les paramètres régionaux sont positionnés sur de l'utf-8. C'est sans doute le cas de la plupart des distributions Linux distribuées depuis 2010. == Révisions récentes == En raison de la nature interactive du site wikibooks, le livre peut être sujet à mise à jour. Les plus récentes de ces modifications peuvent être suivies par la page suivante qui donne les modifications récentes ayant eu lieu sur les deux derniers mois environ. [{{fullurl:Spécial:Suivi des liens|namespace=&target=Coder%20avec%20Unicode&tagfilter=&days=60&from=&limit=1000}} Révisions récentes] e60bln7r4kjw3ktcjhgbu0qajg2npyp 10 56360 769556 420695 2026-07-15T17:30:59Z DavidL 1746 769556 wikitext text/x-wiki {| style="border:3px blue solid; border-style: inset; margin: 1em; margin-right: 0.5em" cellspacing="0" cellpadding="2px" align="right" class="noprint" | style="text-align:center;background:#8080C040;" | '''[[Programmation C source]]''' |- | style="text-align:center;" | [[Image:Wikibooks-logo-fr.png|135px|center|Programmation C++]] |- | style="text-align:center;background:#8080C040;" |'''Sommaire''' |- | * <small>[[Programmation C source/Bases du langage|Bases du langage]]</small> * <small>[[Programmation C source/Types de base|Types de base]]</small> * <small>[[Programmation C source/Classe de stockage|Classe de stockage]]</small> * <small>[[Programmation C source/opérateurs|Opérateurs]]</small> * <small>[[Programmation C source/tests|Tests]]</small> * <small>[[Programmation C source/itérations|Itérations]]</small> * <small>[[Programmation C source/fonctions|Fonctions]]</small> * <small>[[Programmation C source/tableaux|Tableaux]]</small> * <small>[[Programmation C source/pointeurs|Pointeurs]]</small> * <small>[[Programmation C source/types avancés|Types avancés]]</small> * <small>[[Programmation C source/préprocesseur|Préprocesseur]]</small> * <small>[[Programmation C source/chaînes|Chaînes]]</small> * <small>[[Programmation C source/entrées sorties|Entrées/sorties]]</small> * <small>[[Programmation C source/erreurs|Erreurs]]</small> * <small>[[Programmation C source/mathématiques|Mathématiques]]</small> * <small>[[Programmation C source/gestion de la mémoire|Gestion de la mémoire]]</small> * <small>[[Programmation C source/gestion des signaux|Gestion des signaux]]</small> | |- | align="right" | <small>[{{fullurl:Modèle:Programmation C source|action=edit}} Modifier ce modèle]</small> |}{{#ifeq:{{NAMESPACE}}||{{#if:{{{nocat|}}}||{{#ifeq:{{{1|}}}|nocat||[[Catégorie:Programmation C source (livre)|{{SUBPAGENAME}}]]}}}}}} <noinclude>[[Catégorie:Modèles non imprimables spécifiques à un livre|{{SUBPAGENAME}}]]</noinclude> pj96tthmhxmxki99m4py50cq751a3mv 0 57586 769550 679218 2026-07-15T17:27:02Z DavidL 1746 769550 wikitext text/x-wiki {{Psychologie cognitive pour l'enseignant}} Enfin, nous arrivons au dernier passage obligé dans toute pratique pédagogique qui se respecte : la motivation. Il existe diverses théories de la motivation, les premières provenant des expériences sur le conditionnement. ==Conditionnement opérant== Tout commença dans les années 1920, Thorndike, un chercheur en psychologie, fi quelques observations sur des chats, qui l’amenèrent à créer une théorie de l'apprentissage que l'on nomme la '''loi de l'effet'''. Cette loi dit simplement que les comportement suivis d'émotions agréables sont renforcées, tandis que les comportements suivis de réponses désagréables ont tendance à s'estomper. Rien de bien neuf : il s'agit de la loi de la carotte et du bâton, bien connue de certains parents plus ou moins déficients. La conséquence, c'est que la source de la motivation serait la recherche de gratifications matérielles ou sociales : l'estime de ses professeurs, de ses parents, des amis, etc. Seul problème : expérimentalement, cette loi était partiellement fausse. Dans une de ses expériences, des collégiens devaient passer un QCM d'espagnol. Chacun d'entre eux était interrogé séparément. À chaque réponse, l'expérimentateur disait si la réponse donnée par l'élève était vraie ou fausse, en disant simplement Vrai OU Faux. Il nota les réponses données à chaque passage. Il observa que les réponses positives étaient bien renforcées, tandis que les réponses fausses n'étaient pas vraiment diminuées. Les conséquences peuvent renforcer un comportement si elles sont plaisantes, tandis que les conséquences négatives vont mener à l'apparition de comportements d'évitement sans pour autant diminuer la fréquence d’occurrence du comportement. Cette loi de l'effet a été généralisée, pour tenir compte du fait que les réponses qui augmentent la fréquence ou l’occurrence d'un comportement ne sont pas forcément des récompenses émotionnelles ou matérielles. Un animal ou un humain ne vont pas forcément juger le côté gratifiant du résultat du comportement, mais son adaptation à la situation. En somme, un comportement va être renforcé ou réprimé suivant ses conséquences : les comportements adaptés deviendront plus fréquents, alors que les comportements inadaptés disparaîtront. La loi de l'effet ainsi révisée, plus générale, s'appelle le '''conditionnement opérant'''. ===Retour sur performance=== Bien sûr, cela ne fonctionne que si quelque chose vient faire prendre conscience au cobaye des conséquences du comportement : il faut bien juger si le comportement est adapté ou non. Ce quelque chose est un retour sur performance, que l'on appelle un '''renforçateur'''. Les behavioristes considèrent que les élèves sont nettement plus motivés quand ils ont un retour sur performance précis et précoce : ils peuvent ainsi associer les conséquences d'un comportement avec celui-ci, augmentant leur motivation à reproduire ce comportement. Idéalement, l'effet est maximal quand la réponse intervient juste après le comportement, dans un délai temporel très court. Généralement, le ''timing'' du ''feedback'' a son importance : il faut qu'il ait lieu le plus tôt possible. Ainsi, les corrections des différentes évaluations doivent avoir lieu le plus tôt possible : idéalement, il vaut mieux faire la correction immédiatement après l'interrogation. De plus, le retour sur performance idéal doit être précis, et doit permettre à l'élève d'associer une réponse à un comportement bien identifié. À ce petit jeu, les notes ne sont pas assez précises, et ne sont pas facilement associables à un comportement particulier. Et les autres formes d'évaluation sommative ont globalement le même défaut : elles donnent une note globale, qui est associée à tout un travail, et non à un comportement. Pour cela, on peut utiliser l''''évaluation formative''', aussi appelée évaluation diagnostic. ===Impuissance acquise=== Une petite observation vient toutefois gêner l'utilisation de renforçateurs négativement chargés en classe : le phénomène d''''impuissance acquise'''. Dans certains cas, si un sujet n'a de cesse de recevoir des conséquences négatives à partir de ses comportements, il finit par ne plus rien faire pour éviter les conséquences négatives du renforçateur. En quelque sorte, l'animal ou l’humain concerné finit par prédire qu'un retour sur performance négatif, ou les "punitions", arriveront tout le temps, peu importe son comportement. Cela a une conséquence sur les élèves faibles. Ces élèves, qui reçoivent des punitions et des mauvaises notes pendant de longues durées, ont tendance à perdre l’intérêt et la motivation de travailler à force de mauvaises notes : ils croient qu'ils ne réussiront jamais, quoiqu'ils fassent. Bilan : ils se désengagent de toute forme de travail scolaire dans la matière concernée et finissent par détester les matières dans lesquels ils sont mauvais. Par exemple, en milieu scolaire, Stéphane Ehrlich et Agnès Florin ont montré que ce phénomène d'impuissance acquise se manifestait pour des enfants soumis à des dictées ou des exercices d'arithmétiques trop difficiles pour eux : ils se décourageaient, et pensaient qu'ils ne pouvaient rien faire. [[w:Alain Lieury|Alain Lieury]] a aussi observé le même phénomène dans une de ses expérience sur l'apprentissage de cartes et la mémoire à court terme. ==Anticipation du renforcement== Néanmoins, les spécialistes du conditionnement avaient travaillé sur des sujets animaux pour élaborer leurs théories. Chez l'humain, un autre processus entre en jeu : du fait de leur intelligence, les humains peuvent anticiper les conséquences d'un comportement. Cela a des conséquences : la simple anticipation des conséquences d'un comportement peut suffire à servir de renforcement en soi. Mais pour cela, il faut que le sujet puisse prédire les conséquences de son comportement. Pour cela, il doit avoir vu ou vécu des situations similaires à celle dans laquelle il est. ===Imitation=== Dans cette conception, l'imitation a une grande importance : on peut anticiper les conséquences d'un comportement, si on a déjà vu quelqu'un d'autre produire ce comportement dans une certaine situation. Dans ces conditions, l'apprentissage serait vu comme un processus social, dans lequel on apprend en regardant les autres. La motivation proviendrait donc de la reproduction du comportement de modèles : le professeur, des amis, etc. Cette théorie prédit que la motivation proviendrait donc de l'interaction avec les autres, et que celle-ci serait décuplée dans les environnements coopératifs. ===Sentiment d'efficacité=== Un autre paramètre joue fortement dans l’anticipation du renforcement : '''le sentiment d'estime''', l'égo. Un renforcement peut être plaisant quand celui-ci nous flatte, quand nous sommes contents de notre résultat. Rien de tel qu'un renforcement qui sert de preuve de notre compétence pour progresser. Dans cette vision de la motivation, réussir les buts que nous nous sommes donnés toucherait notre égo : plus on réussit ce que l'on entreprend, plus on est motivé. La motivation serait donc la '''poursuite de buts précis'''. En somme, un bon renforçateur doit améliorer le '''sentiment d’auto-efficacité personnelle''', le sentiment dans notre capacité à réussir les buts qui nous sont donnés. En clair, pour motiver les élèves, il faut leur donner l'impression qu'il réussissent. On est motivé parce que l'on est bon dans la matière, pas l'inverse. Cela passe évidemment par l'usage de pédagogies adaptées, qui font réussir les élèves. Mais on peut aussi sortir l'artillerie lourde : l'usage massif de retour sur performance est une arme de motivation massive. Ce retour sur performance permet de savoir si l'on est plus ou moins proche du but à atteindre, et permet ainsi de voir notre progression. Savoir que l'on progresse rapidement permet ainsi de développer un sentiment d'efficacité, qui permet de perdurer dans l'effort. Selon certaines expériences, plus le but est proche, mieux c'est<ref>Bandura et Schunck, 1981</ref> : un but proche nous amène à nous rendre plus rapidement compte de nos progrès, favorisant ainsi l'apparition d'un sentiment d'auto-efficacité personnelle. De même, on constate que les élèves sont plus motivés par des taches difficiles que par des taches très simples<ref>Locke, 1967</ref> : des buts plus complexes donnent le sentiment d'être plus efficace, d'avoir une compétence importante. Et je vous interdis de faire la moindre réflexion sur le nivellement vers le bas à partir de cette remarque, merci d'avance. ==Motivation intrinsèque== Cette vision de la motivation, basée sur les conditionnements serait à remettre en cause d'après les travaux des spécialistes en psychologie sociale. Selon les théories actuelles, il existe deux grands types de motivation. La motivation extrinsèque est celle qui pousse à faire quelque chose en échange d'une récompense, d'un renforcement positif. Elle est à opposer à la motivation intrinsèque, qui est celle de nos intérêts, de nos passions, etc. Celle-ci est clairement meilleure en terme d'apprentissage, et est plus robuste sur le long terme. ===Effet des renforcements=== Les renforcements basés sur des conditionnements augmentent la motivation extrinsèque, et non la motivation intrinsèque. Or, expérimentalement, la psychologie sociale semble indiquer que la motivation extrinsèque disparaît dès que les récompenses ne sont plus données : on observe des phénomènes d'extinction lors de la suppression des récompenses. Par contre, la motivation intrinsèque perdure longtemps, sous certaines conditions. Mais, manque de chance, la motivation extrinsèque peut rapidement remplacer la motivation intrinsèque. Exemple : un élève intéressé par une matière ou un sujet finira par perdre son intérêt pour celle-ci en fonction de ses notes. Grosso-modo, tout ce qui est perçu comme une contrainte, comme une obligation, ou une récompense a tendance à diminuer la motivation intrinsèque, et à augmenter la motivation extrinsèque. Cet effet permet aussi de prédire que les contraintes, qui sont une forme de renforcement punitif, ont tendance à diminuer la motivation intrinsèque, et à augmenter la motivation extrinsèque. Pour le prouver, on peut citer l'étude d'Alain Lieury et Fabien Fenouillet, datée de 1997. Dans cette étude, deux groupes d'élèves d'un centre de formation pour apprentis étaient comparés, concernant leurs résultats dans un module sur les sociétés. Un premier groupe était acteur de son apprentissage : le cours commençait par une sorte de jeu de rôle, certains élèves acteurs (choisis au hasard) jouant le rôle des actionnaires d'une société, tandis que l'autre groupe d'élèves spectateurs ne prenait pas part aux décisions. Bilan : les acteurs avaient des résultats nettement meilleurs comparé aux spectateurs. ===Attribution=== Si on veut motiver les élèves, il faut agir à la source de la motivation intrinsèque. L'origine de la motivation intrinsèque vient du fait que l'on puisse '''s'attribuer nos réussites'''. On est plus motivé quand on sait que notre réussite provient de nos efforts, de notre talent, etc. Diverses analyses statistiques ont montré que plus un élève croit que l'intelligence et la réussite scolaire ne sont pas innées, plus il progresse. Après tout, rien de plus évident : plus on dit à un élève qu'il peut progresser et que sa situation n'est pas une fatalité, plus il progressera... Il fallait bien des études statistiques de haute volée pour en être sûr ! En conséquence, certains se sont dit qu’« entraîner » les élèves à croire en la non-innéité de l'intelligence, à croire qu'ils peuvent progresser et s'attribuer leurs réussites, leur permettrait de progresser. C'est le principe de l{{'}}''attribution training''. ==Références== <references/> {{AutoCat}} ksr76swhpcx43gjd3a7zc8w961vr397 0 65671 769570 766567 2026-07-16T09:10:07Z JackPotte 5426 /* Sur les chaînes */ 769570 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{PHP}}</noinclude> == Définition de fonction == Outre les dizaines de fonctions natives<ref>http://php.net/manual/fr/indexes.functions.php</ref>, PHP permet bien entendu d'écrire ses propres fonctions. Pour en définir une, il suffit d’utiliser le mot-clef <code>function</code>. Comme le langage est faiblement typé, une fonction peut retourner n’importe quel type de valeur (chaîne, entier…) ou ne rien retourner du tout. Enfin, ses arguments peuvent avoir des valeurs par défaut, être nommés (depuis PHP8) et sont limités à 12 par fonction. {{Principe|width=60% | contenu = <pre> // foo retourne le résultat de la somme du deuxième paramètre et de 4. // Si aucun second paramètre n'est donné, la fonction utilisera la valeur 0 par défaut. function foo($arg1, $arg2 = 0) { print 'Fonction foo(' . $arg1 . ',' . $arg2 . ') donne : '; return $arg2+4; // tout ce qui suit ne sera jamais exécuté } //appel à la fonction print foo(1,3); //affichera: Fonction foo(1,3) donne 7 print foo(5); //affichera: Fonction foo(5,0) donne 4 </pre> }} Notez que lorsqu'une fonction arrive à un <code>return</code>, elle l'effectue puis se termine, même s'il y a d'autres instructions après. {{attention|clear=left|Contrairement à PHP 8, PHP 7 et antérieur ne permet pas d'appeler certains arguments par leurs noms : si l'on souhaite appeler un des derniers arguments, il faut donc définir tous ceux avant lui, même les optionnels. Toutefois pour éviter ce désagrément, on peut utiliser la classe <code>ReflectionMethod</code>. NB : il existe aussi <code>ReflectionClass</code><ref>http://php.net/manual/fr/reflectionclass.getdoccomment.php</ref>.}} ==== Generator ==== Par ailleurs, en cas de gros volume de données à retourner, on peut utiliser <code>yield</code> au lieu de <code>return</code> pour les décomposer à l'aide du {{w|Générateur (informatique)|générateur}} PHP<ref>http://php.net/manual/fr/language.generators.syntax.php</ref> (classe Generator). {{attention|clear=left|Ne jamais faire de condition "yield" sinon "return" car PHP renverra toujours un Generator mais si elle est fausse (si besoin il faut les séparer dans deux fonctions).}} {{attention|clear=left|Quand on passe d'un tableau à un Generator, on ne peut plus compter avec <code>count()</code> ou boucler plusieurs fois sur les données retournées.}} Exemples : * Pour lire un CSV : <pre> function getCSVFileRows(string $filePath) { if (($handle = fopen($filePath, 'r')) !== false) { while (($row = fgetcsv($handle, 0, ',')) !== false) { yield $row; } fclose($handle); } } foreach ($this->getCSVFileRows('my_file.csv') as $row) { var_dump($row); } </pre> * Pour lire une base de données avec Doctrine <pre> foreach ($query->toIterable() as $myEntity) { yield $myEntity; } </pre> === Portée des variables === Le problème de portée des variables est assez réduit en PHP. Une fonction n'a accès qu’à ses arguments, ses propres variables et aux variables globales importées statiquement (mot clé <code>global</code>). De ce fait, il y a peu de confusion. Toujours suivant le même principe, les variables utilisées dans une fonction sont toutes détruites à sa sortie (les variables globales non, bien entendu). {{Exemple | contenu = <pre> $valeur1=10; $valeur2=20; function exemple($valeur) { global $valeur1; // récupération de la valeur globale de $valeur1 $valeur3=5; $calcul=$valeur1+$valeur2+$valeur3+$valeur; // 10 + 0 + 5 + le paramètre qui sera entre parenthèses. //$valeur2 n'ayant pas été définie comme valeur globale, la variable $valeur2 est donc vide. return $calcul; } echo exemple(2); // affiche 17 </pre> }} On peut aussi trouver un peu plus compliqué si vous utilisez deux fichiers. L'un pour les variables, l'autre pour les traitements. {{Principe|width=60% | contenu = <pre> <?php //-- fichier 1 : les variables globales (mot clef '''global''') global $var1 = "Salut"; </pre> }} {{Principe|width=60% | contenu = <pre> <?php //-- fichier 2 : les traitements echo "J'utilise ma variable globale : ".$GLOBALS['var1']; //-- Récupération via $GLOBALS </pre> }} ==== Espaces de noms ==== Depuis PHP 5.3.0, des espaces de noms peuvent être définis pour cloisonner certains objets, à l'aide du mot clé <code>namespace</code> utilisé en début de fichier<ref>http://php.net/manual/fr/language.namespaces.rationale.php</ref>. Exemple de définition : <pre> <?php namespace Projet1; ... </pre> Soit un fichier ''TestNS.php'' suivant : <pre> <?php namespace Projet1\SousProjet2; function Fonction1() { echo "Fonction exécutée.\n"; echo __NAMESPACE__; } </pre> {{attention|clear=left|Le fichier doit être encodé en {{w|American National Standards Institute|ANSI}} ou Unicode sans BOM, mais pas en Unicode seul, sous peine d’avoir l'erreur ''Namespace declaration statement has to be the very first statement in the script'', et d'être obligé de coller le mot "namespace" à "?php").}} Exemple d’utilisation : <pre> <?php require 'TestNS.php'; Projet1\SousProjet2\Fonction1(); </pre> {{remarque|Par convention, l'arborescence du système de fichiers correspond à celle des espaces de noms. Dans l'exemple ci-dessus, il faudrait donc placer le fichier dans <u>Projet1\SousProjet2\TestNS.php</u> et faire plutôt <code>require 'Projet1\SousProjet2\TestNS.php';</code>}} === Références de variables === Les références sont utiles lorsque l’on souhaite retourner plusieurs valeurs dans une fonction. On utilise alors le passage d'argument par référence, qui fait que quand une fonction modifie un argument, la valeur de la variable du programme principale change aussi. Pour utiliser un argument en tant que référence, il suffit d'y mettre [[../Opérateurs#Opérateur de référence|l'opérateur de référence]], le symbole <code>&</code> devant, dans la déclaration de la fonction. Un exemple concret devrait vous faire comprendre : {{Exemple | contenu = <pre> function foo(&$arg1, &$arg2, $arg3) { $arg1 = 4; $arg2 = 6; $arg3 = 8; } foo($var1, $var2, $var3); print $var1; //affichera 4 print $var2; //affichera 6 print $var3; //affichera NULL car $arg3 n'est pas une référence (pas de &) </pre> }} == Fonctions variables == On appelle "fonction variable" une fonction dont on ne peut prédire le nombre d'arguments. Ce genre de fonction pourra se révéler pratique pour exécuter certains codes répétitifs ou le programmeur n'a pas envie de recopier le nom de la fonction pour n valeurs. Pour cela, il faut retenir deux fonctions importantes : * '''func_num_args''' : permet de compter le nombre d'arguments (retourne ''true'' ou ''false''). * '''func_get_args''' : permet de récupérer la valeur d’un argument (retourne un tableau de valeur)<ref>http://php.net/manual/fr/ref.funchand.php</ref>. Ces deux fonctions ne peuvent s'utiliser qu’à l'intérieur d’une fonction; dans le cas contraire un message d'erreur s'affichera. {{Exemple | contenu = <pre> function afficher_variables () { $nb_args = func_num_args(); $list_args = func_get_args(); for ($i = 0; $i < $nb_args; $i++) { echo $list_args[$i].' '; } } $var1 = 'programmeur'; afficher_variables('Je suis', $var1, ', c\'est utile', ', c\'est intéressant.'); // Et on peut en rajouter autant que nécessaire. </pre> }} Le code se comprend de lui-même. Il affichera : ''Je suis programmeur, c’est utile, c’est intéressant.'' == Fonctions de rappel == Pour passer une fonction en argument d'une autre, il faut utiliser <code>call_user_func()</code>. Ex : <pre> function fonctionAppelante(string $nomDeFonctionAppelee) { return call_user_func($nomDeFonctionAppelee); } </pre> == Fonctions anonymes == Une fonction sans nom peut être stockée dans une variable permettant de l'appeler. Le mot clé <code>use</code> permet d'injecter des variables globales dedans. Ex : <pre> $variableGlobale = 'Hello'; $fonctionAnonyme = function ($argument) use ($variableGlobale) { return $variableGlobale.' '.$argument.PHP_EOL; }; echo $fonctionAnonyme('World'); // Hello World echo $fonctionAnonyme('You'); // Hello You </pre> == Fonctions fléchées == Depuis PHP7.4, on peut définir une fonction anonyme avec l'opérateur "=>" et le mot réservé <code>fn</code>. Ex : <pre> $fonctionFlechee = fn($argument) => $variableGlobale.' '.$argument.PHP_EOL; echo $fonctionFlechee('World'); // Hello World echo $fonctionFlechee('You'); // Hello You </pre> == Fonctions prédéfinies == Voici une liste des fonctions globales prédéfinies en PHP les plus usuelles. * <code>print()</code> (alias <code>echo</code>) : affiche le contenu de la variable placée en paramètre. * <code>printf()</code> et dérivés (ex : <code>sprintf</code>) : ''{{w|printf|print formaté}}'', affiche un texte dont on remplace les marqueurs, numérotables, par les variables en paramètre<ref>http://php.net/manual/fr/function.sprintf.php</ref>. Exemple : <pre> printf('Compteur : %s. ', 1); // Compteur : 1. printf('Compteur : %s. ', 2); // Compteur : 2. printf('Compteur : %s, taille : %s. ', 3, 1); // Compteur : 3, taille : 1. printf('Compteur : %2$s, taille : %1$d. ', 1, 4); // Compteur : 4, taille : 1. printf('Compteur : %1$d, taille : %1$d. ', 5); // Compteur : 5, taille : 5. echo vsprintf('Tailles : %d, %d, %d, %d', [1, 2, 3, 4]); // Tailles : 1, 2, 3, 4 </pre> Les types suivants sont généralement utilisés : * d : digit * f : float * s : string {{attention| * Pour échapper les "%" pour sont interprétés par ces fonctions, ce n'est pas "\" mais "%". * Ne pas utiliser les doubles quotes sous peine de <code>Undefined variable: d</code>. }} * <code>sleep($secondes)</code> : attend un certain nombre de secondes (utilisation déconseillée quand un humain doit attendre un résultat). * <code>call_user_func_array('maFonction', 'mesArguments')</code> : exécute une fonction à partir de son nom en chaîne de caractères. * <code>getenv()</code> : affiche toutes les variables d'environnement, ou celle demandée en paramètre. * <code>ignore_user_abort(true)</code> : ("false" par défaut) continue l'exécution d'un script lancé par un utilisateur, même s'il change de page ou clique annule le chargement. * <code>header()</code> : ajoute une clé dans l'en-tête HTTP de la réponse. * <code>ini_get()</code> : lit le php.ini. * <code>ini_set()</code> : modifie le php.ini le temps de l'instance. * <code>set_time_limit()</code> : redéfinit la limite de temps du php.ini. * <code>require()</code> : importe le code PHP d'un autre fichier, avec une erreur si c'est impossible<ref>https://www.alsacreations.com/article/lire/254-le-point-sur-la-fonction-include-php.html</ref>. * <code>require()_once</code> : idem en garantissant que chaque fichier n'est ajouté qu'une fois. * <code>include()</code> : importe le code PHP d'un autre fichier, sans erreur si c'est impossible. * <code>include_once()</code> : idem en garantissant que chaque fichier n'est ajouté qu'une fois. * <code>getmypid()</code> : retourne l'ID du processus courant dans l'OS. === Sur les chaînes === * <code>trim($string)</code> : supprimer les espaces et retours chariots en début et fin de chaîne par défaut. Son second paramètre permet de remplacer les symboles à retirer. * <code>strip_tags()</code> : supprime les balises HTML de la chaîne mentionnée en paramètre 1, en conservant ceux en paramètre 2 (sous la forme d'une chaine comme <nowiki>'<p><br>'</nowiki>). * <code>ucfirst()</code> : met une majuscule en début de chaîne. * <code>lcfirst()</code> : met une minuscule en début de chaîne. * <code>strtoupper()</code> : met en lettres capitales toute la chaîne. * <code>strtolower()</code> : met en bas de casse toute la chaîne. * <code>strlen()</code> : compte la taille d'une chaîne en octets. Pour avoir le nombre de caractères, utiliser <code>mb_strlen()</code> (pour {{wikt|multibyte}}). * <code>str_contains($chaine, $cle)</code> : cherche si une chaîne contient une sous-chaîne (sensible à la casse). * <code>str_starts_with($chaine, $cle)</code> : vérifie si une chaîne commence par une sous-chaîne. * <code>str_replace($ancien, $nouveau, $texte)</code> : remplace des caractères par d'autres dans un texte ou un tableau<ref>http://php.net/manual/fr/function.str-replace.php</ref>. * <code>str_ireplace($ancien, $nouveau, $texte)</code> : fait la même chose en ignorant la casse. * <code>strtr($texte, $ancien, $nouveau)</code> (string translate) : réputée plus rapide que <code>str_replace</code><ref>https://www.keycdn.com/blog/php-performance#10-use-the-strongest-str-functions</ref>. * <code>strpos($meubleDeFoin, $aiguille)</code><ref>http://php.net/manual/fr/function.strpos.php</ref> : première position d'une sous-chaine (insensible à la casse). Attention : ne jamais utiliser comme si elle renvoyait un booléen (<s><code>if (strpos())</code></s>) car si la recherche est en première position (0) elle sera considérée comme fausse avec le typage faible. Il faut tester l'existence avec <code>if (false !== strpos())</code>. * <code>stripos($meubleDeFoin, $aiguille)</code> : fait la même chose en ignorant la casse. * <code>strrpos($meubleDeFoin, $aiguille)</code> : dernière position d'une sous-chaine. * <code>substr($texte, $debut , $fin)</code> : tronque un texte en sous-chaine. Utiliser <code>mb_substr</code> en Unicode. *:{{remarque|Pour accéder à un seul caractère d'une chaine, PHP peut la considérer comme un tableau (ex : <code>$chaine[0]</code>).}} *: Ex : <pre> echo substr('Hello World', 0, 2); // "He" : les deux premiers caractères echo substr('Hello World', -2); // "ld" : les deux derniers caractères echo substr('Hello World', 0, -1); // "Hello Worl" : tout sauf le dernier caractère </pre> * <code>substr_count($chaine, $sous-chaine)</code> : compte le nombre de sous-chaine dans une chaine. * <code>str_pad()</code> : complète une chaine avec un caractère pour qu'elle atteigne la taille demandée si ce n'était pas le cas. Ex : <pre> echo str_pad(10, 2, '0'); // 10 echo str_pad(9, 2, '0'); // 90 echo str_pad(9, 2, '0', STR_PAD_LEFT); // 09 </pre> * <code>eval($chaine)</code> : exécute une chaine comme un script PHP. * <code>count_chars($chaine)</code> : renvoie un tableau avec en clés chaque caractère de la chaine, et en valeur son nombre d'occurrences. Pratique pour détecter les anagrammes. * <code>strcspn($chaine, $caracteres)</code> : (complementary span) renvoie la taille de la sous-chaine située avant les caractères mentionnés<ref>https://www.php.net/manual/fr/function.strcspn.php</ref>. ==== Encodage ==== {{article détaillé|Coder avec Unicode/Conversion#PHP}} * <code>utf8_encode($chaine)</code> et <code>utf8_decode($chaine)</code> sont dépréciée en PHP 8.2, il faut utiliser à la place <code>mb_convert_encoding($chaine, 'UTF-8')</code> et <code>mb_convert_encoding($chaine, 'ISO-8859-1')</code>. ==== URLs ==== * <code>parse_url()</code> : découpe une chaîne en partie d'une adresse URL (protocole, domaine et chemin d'accès). * <code>http_build_query()</code> : crée une URL à partir d'un tableau d'arguments GET. Par défaut le séparateur est "&" (3e argument). Cette fonction échappe les séparateurs. Ex : <pre> php -r "var_dump(http_build_query(['x' => 1, 'y' => 2]));" string(7) "x=1&y=2" php -r "var_dump(http_build_query(['x' => '1/', 'y' => '2&'], '/', '/'));" string(13) "x=1%2F/y=2%26" </pre> === Sur les nombres === * <code>pow($nombre, $exposant)</code> ''(power)'' : élève un nombre à la puissance de l'exposant donné. * <code>sqrt($nombre)</code> ''(square root)'' : racine carrée. * <code>max($nombre1, $nombre2, ...)</code><ref>http://php.net/manual/fr/function.max.php</ref> : affiche le plus grand nombre parmi ceux en paramètres. * <code>min($nombre1, $nombre2, ...)</code> : affiche le plus petit nombre d'une liste. * <code>round($nombre)</code> : arrondit un nombre à l'entier le plus proche, ou selon une précision en deuxième paramètre s'il est renseigné<ref>http://php.net/manual/fr/function.round.php</ref>. Exemple : <pre> echo round(5.49); // 5 echo round(5.50); // 6 echo round(5.555, 2); // 5.56 </pre> * <code>number_format($nombre, 2, ',', ' ')</code> : formate un nombre donné, où "2" représente le nombre de chiffres après la virgule, "," le séparateur décimal et " " le séparateur de milliers. {{attention|Ne jamais comparer des nombres issus du <code>number_format()</code> car les séparateurs faussent les calculs. Exemple : -1000.00 < -1000.02 // false -1,000.00 < -1,000.02 // -1 }} === Bufferisation de sortie === La bufferisation de sortie bloque l'envoie de données au client HTTP pour les mettre dans une mémoire tampon à la place<ref>https://www.php.net/manual/fr/ref.outcontrol.php</ref>. * <code>ob_start()</code> : démarre l'utilisation du tampon. * <code>ob_get_contents</code> : affiche le contenu du tampon. * <code>ob_clean()</code> : efface le tampon sans l'envoyer. * <code>ob_flush()</code> : envoie le tampon au client. == Références == {{Références}} qx7ts5m9c2t2c8bo7l67hsgfvxt3bbi 769571 769570 2026-07-16T09:11:05Z JackPotte 5426 /* Sur les chaînes */ 769571 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{PHP}}</noinclude> == Définition de fonction == Outre les dizaines de fonctions natives<ref>http://php.net/manual/fr/indexes.functions.php</ref>, PHP permet bien entendu d'écrire ses propres fonctions. Pour en définir une, il suffit d’utiliser le mot-clef <code>function</code>. Comme le langage est faiblement typé, une fonction peut retourner n’importe quel type de valeur (chaîne, entier…) ou ne rien retourner du tout. Enfin, ses arguments peuvent avoir des valeurs par défaut, être nommés (depuis PHP8) et sont limités à 12 par fonction. {{Principe|width=60% | contenu = <pre> // foo retourne le résultat de la somme du deuxième paramètre et de 4. // Si aucun second paramètre n'est donné, la fonction utilisera la valeur 0 par défaut. function foo($arg1, $arg2 = 0) { print 'Fonction foo(' . $arg1 . ',' . $arg2 . ') donne : '; return $arg2+4; // tout ce qui suit ne sera jamais exécuté } //appel à la fonction print foo(1,3); //affichera: Fonction foo(1,3) donne 7 print foo(5); //affichera: Fonction foo(5,0) donne 4 </pre> }} Notez que lorsqu'une fonction arrive à un <code>return</code>, elle l'effectue puis se termine, même s'il y a d'autres instructions après. {{attention|clear=left|Contrairement à PHP 8, PHP 7 et antérieur ne permet pas d'appeler certains arguments par leurs noms : si l'on souhaite appeler un des derniers arguments, il faut donc définir tous ceux avant lui, même les optionnels. Toutefois pour éviter ce désagrément, on peut utiliser la classe <code>ReflectionMethod</code>. NB : il existe aussi <code>ReflectionClass</code><ref>http://php.net/manual/fr/reflectionclass.getdoccomment.php</ref>.}} ==== Generator ==== Par ailleurs, en cas de gros volume de données à retourner, on peut utiliser <code>yield</code> au lieu de <code>return</code> pour les décomposer à l'aide du {{w|Générateur (informatique)|générateur}} PHP<ref>http://php.net/manual/fr/language.generators.syntax.php</ref> (classe Generator). {{attention|clear=left|Ne jamais faire de condition "yield" sinon "return" car PHP renverra toujours un Generator mais si elle est fausse (si besoin il faut les séparer dans deux fonctions).}} {{attention|clear=left|Quand on passe d'un tableau à un Generator, on ne peut plus compter avec <code>count()</code> ou boucler plusieurs fois sur les données retournées.}} Exemples : * Pour lire un CSV : <pre> function getCSVFileRows(string $filePath) { if (($handle = fopen($filePath, 'r')) !== false) { while (($row = fgetcsv($handle, 0, ',')) !== false) { yield $row; } fclose($handle); } } foreach ($this->getCSVFileRows('my_file.csv') as $row) { var_dump($row); } </pre> * Pour lire une base de données avec Doctrine <pre> foreach ($query->toIterable() as $myEntity) { yield $myEntity; } </pre> === Portée des variables === Le problème de portée des variables est assez réduit en PHP. Une fonction n'a accès qu’à ses arguments, ses propres variables et aux variables globales importées statiquement (mot clé <code>global</code>). De ce fait, il y a peu de confusion. Toujours suivant le même principe, les variables utilisées dans une fonction sont toutes détruites à sa sortie (les variables globales non, bien entendu). {{Exemple | contenu = <pre> $valeur1=10; $valeur2=20; function exemple($valeur) { global $valeur1; // récupération de la valeur globale de $valeur1 $valeur3=5; $calcul=$valeur1+$valeur2+$valeur3+$valeur; // 10 + 0 + 5 + le paramètre qui sera entre parenthèses. //$valeur2 n'ayant pas été définie comme valeur globale, la variable $valeur2 est donc vide. return $calcul; } echo exemple(2); // affiche 17 </pre> }} On peut aussi trouver un peu plus compliqué si vous utilisez deux fichiers. L'un pour les variables, l'autre pour les traitements. {{Principe|width=60% | contenu = <pre> <?php //-- fichier 1 : les variables globales (mot clef '''global''') global $var1 = "Salut"; </pre> }} {{Principe|width=60% | contenu = <pre> <?php //-- fichier 2 : les traitements echo "J'utilise ma variable globale : ".$GLOBALS['var1']; //-- Récupération via $GLOBALS </pre> }} ==== Espaces de noms ==== Depuis PHP 5.3.0, des espaces de noms peuvent être définis pour cloisonner certains objets, à l'aide du mot clé <code>namespace</code> utilisé en début de fichier<ref>http://php.net/manual/fr/language.namespaces.rationale.php</ref>. Exemple de définition : <pre> <?php namespace Projet1; ... </pre> Soit un fichier ''TestNS.php'' suivant : <pre> <?php namespace Projet1\SousProjet2; function Fonction1() { echo "Fonction exécutée.\n"; echo __NAMESPACE__; } </pre> {{attention|clear=left|Le fichier doit être encodé en {{w|American National Standards Institute|ANSI}} ou Unicode sans BOM, mais pas en Unicode seul, sous peine d’avoir l'erreur ''Namespace declaration statement has to be the very first statement in the script'', et d'être obligé de coller le mot "namespace" à "?php").}} Exemple d’utilisation : <pre> <?php require 'TestNS.php'; Projet1\SousProjet2\Fonction1(); </pre> {{remarque|Par convention, l'arborescence du système de fichiers correspond à celle des espaces de noms. Dans l'exemple ci-dessus, il faudrait donc placer le fichier dans <u>Projet1\SousProjet2\TestNS.php</u> et faire plutôt <code>require 'Projet1\SousProjet2\TestNS.php';</code>}} === Références de variables === Les références sont utiles lorsque l’on souhaite retourner plusieurs valeurs dans une fonction. On utilise alors le passage d'argument par référence, qui fait que quand une fonction modifie un argument, la valeur de la variable du programme principale change aussi. Pour utiliser un argument en tant que référence, il suffit d'y mettre [[../Opérateurs#Opérateur de référence|l'opérateur de référence]], le symbole <code>&</code> devant, dans la déclaration de la fonction. Un exemple concret devrait vous faire comprendre : {{Exemple | contenu = <pre> function foo(&$arg1, &$arg2, $arg3) { $arg1 = 4; $arg2 = 6; $arg3 = 8; } foo($var1, $var2, $var3); print $var1; //affichera 4 print $var2; //affichera 6 print $var3; //affichera NULL car $arg3 n'est pas une référence (pas de &) </pre> }} == Fonctions variables == On appelle "fonction variable" une fonction dont on ne peut prédire le nombre d'arguments. Ce genre de fonction pourra se révéler pratique pour exécuter certains codes répétitifs ou le programmeur n'a pas envie de recopier le nom de la fonction pour n valeurs. Pour cela, il faut retenir deux fonctions importantes : * '''func_num_args''' : permet de compter le nombre d'arguments (retourne ''true'' ou ''false''). * '''func_get_args''' : permet de récupérer la valeur d’un argument (retourne un tableau de valeur)<ref>http://php.net/manual/fr/ref.funchand.php</ref>. Ces deux fonctions ne peuvent s'utiliser qu’à l'intérieur d’une fonction; dans le cas contraire un message d'erreur s'affichera. {{Exemple | contenu = <pre> function afficher_variables () { $nb_args = func_num_args(); $list_args = func_get_args(); for ($i = 0; $i < $nb_args; $i++) { echo $list_args[$i].' '; } } $var1 = 'programmeur'; afficher_variables('Je suis', $var1, ', c\'est utile', ', c\'est intéressant.'); // Et on peut en rajouter autant que nécessaire. </pre> }} Le code se comprend de lui-même. Il affichera : ''Je suis programmeur, c’est utile, c’est intéressant.'' == Fonctions de rappel == Pour passer une fonction en argument d'une autre, il faut utiliser <code>call_user_func()</code>. Ex : <pre> function fonctionAppelante(string $nomDeFonctionAppelee) { return call_user_func($nomDeFonctionAppelee); } </pre> == Fonctions anonymes == Une fonction sans nom peut être stockée dans une variable permettant de l'appeler. Le mot clé <code>use</code> permet d'injecter des variables globales dedans. Ex : <pre> $variableGlobale = 'Hello'; $fonctionAnonyme = function ($argument) use ($variableGlobale) { return $variableGlobale.' '.$argument.PHP_EOL; }; echo $fonctionAnonyme('World'); // Hello World echo $fonctionAnonyme('You'); // Hello You </pre> == Fonctions fléchées == Depuis PHP7.4, on peut définir une fonction anonyme avec l'opérateur "=>" et le mot réservé <code>fn</code>. Ex : <pre> $fonctionFlechee = fn($argument) => $variableGlobale.' '.$argument.PHP_EOL; echo $fonctionFlechee('World'); // Hello World echo $fonctionFlechee('You'); // Hello You </pre> == Fonctions prédéfinies == Voici une liste des fonctions globales prédéfinies en PHP les plus usuelles. * <code>print()</code> (alias <code>echo</code>) : affiche le contenu de la variable placée en paramètre. * <code>printf()</code> et dérivés (ex : <code>sprintf</code>) : ''{{w|printf|print formaté}}'', affiche un texte dont on remplace les marqueurs, numérotables, par les variables en paramètre<ref>http://php.net/manual/fr/function.sprintf.php</ref>. Exemple : <pre> printf('Compteur : %s. ', 1); // Compteur : 1. printf('Compteur : %s. ', 2); // Compteur : 2. printf('Compteur : %s, taille : %s. ', 3, 1); // Compteur : 3, taille : 1. printf('Compteur : %2$s, taille : %1$d. ', 1, 4); // Compteur : 4, taille : 1. printf('Compteur : %1$d, taille : %1$d. ', 5); // Compteur : 5, taille : 5. echo vsprintf('Tailles : %d, %d, %d, %d', [1, 2, 3, 4]); // Tailles : 1, 2, 3, 4 </pre> Les types suivants sont généralement utilisés : * d : digit * f : float * s : string {{attention| * Pour échapper les "%" pour sont interprétés par ces fonctions, ce n'est pas "\" mais "%". * Ne pas utiliser les doubles quotes sous peine de <code>Undefined variable: d</code>. }} * <code>sleep($secondes)</code> : attend un certain nombre de secondes (utilisation déconseillée quand un humain doit attendre un résultat). * <code>call_user_func_array('maFonction', 'mesArguments')</code> : exécute une fonction à partir de son nom en chaîne de caractères. * <code>getenv()</code> : affiche toutes les variables d'environnement, ou celle demandée en paramètre. * <code>ignore_user_abort(true)</code> : ("false" par défaut) continue l'exécution d'un script lancé par un utilisateur, même s'il change de page ou clique annule le chargement. * <code>header()</code> : ajoute une clé dans l'en-tête HTTP de la réponse. * <code>ini_get()</code> : lit le php.ini. * <code>ini_set()</code> : modifie le php.ini le temps de l'instance. * <code>set_time_limit()</code> : redéfinit la limite de temps du php.ini. * <code>require()</code> : importe le code PHP d'un autre fichier, avec une erreur si c'est impossible<ref>https://www.alsacreations.com/article/lire/254-le-point-sur-la-fonction-include-php.html</ref>. * <code>require()_once</code> : idem en garantissant que chaque fichier n'est ajouté qu'une fois. * <code>include()</code> : importe le code PHP d'un autre fichier, sans erreur si c'est impossible. * <code>include_once()</code> : idem en garantissant que chaque fichier n'est ajouté qu'une fois. * <code>getmypid()</code> : retourne l'ID du processus courant dans l'OS. === Sur les chaînes === * <code>trim($string)</code> : supprimer les espaces et retours chariots en début et fin de chaîne par défaut. Son second paramètre permet de remplacer les symboles à retirer. * <code>strip_tags()</code> : supprime les balises HTML de la chaîne mentionnée en paramètre 1, en conservant ceux en paramètre 2 (sous la forme d'une chaine comme <nowiki>'<p><br>'</nowiki>). * <code>ucfirst()</code> : met une majuscule en début de chaîne. * <code>lcfirst()</code> : met une minuscule en début de chaîne. * <code>strtoupper()</code> : met en lettres capitales toute la chaîne. * <code>strtolower()</code> : met en bas de casse toute la chaîne. * <code>strlen()</code> : compte la taille d'une chaîne en octets. Pour avoir le nombre de caractères, utiliser <code>mb_strlen()</code> (pour {{wikt|multibyte}}). * <code>str_contains($chaine, $cle)</code> : cherche si une chaîne contient une sous-chaîne (sensible à la casse). * <code>str_starts_with($chaine, $cle)</code> : vérifie si une chaîne commence par une sous-chaîne. * <code>str_replace($ancien, $nouveau, $texte)</code> : remplace des caractères par d'autres dans un texte ou un tableau<ref>http://php.net/manual/fr/function.str-replace.php</ref>. * <code>str_ireplace($ancien, $nouveau, $texte)</code> : fait la même chose en ignorant la casse. * <code>strtr($texte, $ancien, $nouveau)</code> (string translate) : réputée plus rapide que <code>str_replace</code><ref>https://www.keycdn.com/blog/php-performance#10-use-the-strongest-str-functions</ref>. * <code>strpos($meubleDeFoin, $aiguille)</code><ref>http://php.net/manual/fr/function.strpos.php</ref> : première position d'une sous-chaine (sensible à la casse). Attention : ne jamais utiliser comme si elle renvoyait un booléen (<s><code>if (strpos())</code></s>) car si la recherche est en première position (0) elle sera considérée comme fausse avec le typage faible. Il faut tester l'existence avec <code>if (false !== strpos())</code>. * <code>stripos($meubleDeFoin, $aiguille)</code> : fait la même chose en ignorant la casse. * <code>strrpos($meubleDeFoin, $aiguille)</code> : dernière position d'une sous-chaine. * <code>substr($texte, $debut , $fin)</code> : tronque un texte en sous-chaine. Utiliser <code>mb_substr</code> en Unicode. *:{{remarque|Pour accéder à un seul caractère d'une chaine, PHP peut la considérer comme un tableau (ex : <code>$chaine[0]</code>).}} *: Ex : <pre> echo substr('Hello World', 0, 2); // "He" : les deux premiers caractères echo substr('Hello World', -2); // "ld" : les deux derniers caractères echo substr('Hello World', 0, -1); // "Hello Worl" : tout sauf le dernier caractère </pre> * <code>substr_count($chaine, $sous-chaine)</code> : compte le nombre de sous-chaine dans une chaine. * <code>str_pad()</code> : complète une chaine avec un caractère pour qu'elle atteigne la taille demandée si ce n'était pas le cas. Ex : <pre> echo str_pad(10, 2, '0'); // 10 echo str_pad(9, 2, '0'); // 90 echo str_pad(9, 2, '0', STR_PAD_LEFT); // 09 </pre> * <code>eval($chaine)</code> : exécute une chaine comme un script PHP. * <code>count_chars($chaine)</code> : renvoie un tableau avec en clés chaque caractère de la chaine, et en valeur son nombre d'occurrences. Pratique pour détecter les anagrammes. * <code>strcspn($chaine, $caracteres)</code> : (complementary span) renvoie la taille de la sous-chaine située avant les caractères mentionnés<ref>https://www.php.net/manual/fr/function.strcspn.php</ref>. ==== Encodage ==== {{article détaillé|Coder avec Unicode/Conversion#PHP}} * <code>utf8_encode($chaine)</code> et <code>utf8_decode($chaine)</code> sont dépréciée en PHP 8.2, il faut utiliser à la place <code>mb_convert_encoding($chaine, 'UTF-8')</code> et <code>mb_convert_encoding($chaine, 'ISO-8859-1')</code>. ==== URLs ==== * <code>parse_url()</code> : découpe une chaîne en partie d'une adresse URL (protocole, domaine et chemin d'accès). * <code>http_build_query()</code> : crée une URL à partir d'un tableau d'arguments GET. Par défaut le séparateur est "&" (3e argument). Cette fonction échappe les séparateurs. Ex : <pre> php -r "var_dump(http_build_query(['x' => 1, 'y' => 2]));" string(7) "x=1&y=2" php -r "var_dump(http_build_query(['x' => '1/', 'y' => '2&'], '/', '/'));" string(13) "x=1%2F/y=2%26" </pre> === Sur les nombres === * <code>pow($nombre, $exposant)</code> ''(power)'' : élève un nombre à la puissance de l'exposant donné. * <code>sqrt($nombre)</code> ''(square root)'' : racine carrée. * <code>max($nombre1, $nombre2, ...)</code><ref>http://php.net/manual/fr/function.max.php</ref> : affiche le plus grand nombre parmi ceux en paramètres. * <code>min($nombre1, $nombre2, ...)</code> : affiche le plus petit nombre d'une liste. * <code>round($nombre)</code> : arrondit un nombre à l'entier le plus proche, ou selon une précision en deuxième paramètre s'il est renseigné<ref>http://php.net/manual/fr/function.round.php</ref>. Exemple : <pre> echo round(5.49); // 5 echo round(5.50); // 6 echo round(5.555, 2); // 5.56 </pre> * <code>number_format($nombre, 2, ',', ' ')</code> : formate un nombre donné, où "2" représente le nombre de chiffres après la virgule, "," le séparateur décimal et " " le séparateur de milliers. {{attention|Ne jamais comparer des nombres issus du <code>number_format()</code> car les séparateurs faussent les calculs. Exemple : -1000.00 < -1000.02 // false -1,000.00 < -1,000.02 // -1 }} === Bufferisation de sortie === La bufferisation de sortie bloque l'envoie de données au client HTTP pour les mettre dans une mémoire tampon à la place<ref>https://www.php.net/manual/fr/ref.outcontrol.php</ref>. * <code>ob_start()</code> : démarre l'utilisation du tampon. * <code>ob_get_contents</code> : affiche le contenu du tampon. * <code>ob_clean()</code> : efface le tampon sans l'envoyer. * <code>ob_flush()</code> : envoie le tampon au client. == Références == {{Références}} mave237h7wklrvbpqx3pin0q2bhxq2k 0 67144 769547 636971 2026-07-15T17:25:52Z DavidL 1746 769547 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Programmer en R}}</noinclude> La libraririe <code>stringr</code> permet de manipuler les chaînes de caractères. == Pré-requis == <syntaxhighlight lang="rsplus"> > library(stringr) </syntaxhighlight> Nous prenons pour exemple le vecteur "banane", "fraise", "orange", "pomme". <syntaxhighlight lang="rsplus"> > fruits <- c("banane", "fraise", "orange", "pomme") > class(x = x) [1] "character" </syntaxhighlight> == Mesurer la longueur d'une chaîne de caractère == La fonction <code>str_length()</code> permet de mesurer la longueur d'une chaîne de caractères : <syntaxhighlight lang="rsplus"> > fruits %>% str_length() [1] 6 6 6 5 </syntaxhighlight> == Passer en majuscules, en minuscules ou en titres == * <code>str_to_upper()</code> : permet de mettre toutes les lettres en majuscule * <code>str_to_title()</code> : passe les premières lettres de chaque mot en majuscule * <code>str_to_lower()</code> : passe toutes les lettres en minuscule <syntaxhighlight lang="rsplus"> > fruits %>% str_to_upper() [1] "BANANE" "FRAISE" "ORANGE" "POMME" > fruits %>% str_to_title() [1] "Banane" "Fraise" "Orange" "Pomme" </syntaxhighlight> == Coller des chaînes de caractères == Pour coller deux chaînes de caractères, on utilise la fonction <code>str_c()</code>. Par exemple, on peut coller le vecteur <code>c("la", "la", "l'", "la")</code> avec le vecteur <code>fruits</code> et les séparer par un espace : <syntaxhighlight lang="rsplus"> > str_c(c("la", "la", "l'", "la"), fruits, sep = " ") [1] "la banane" "la fraise" "l'orange" "la pomme" </syntaxhighlight> == Notes et références == <references/> == Voir aussi == * [http://stringr.tidyverse.org/ Stringr] [[Catégorie:R]] [[en:R_Programming/Text_Processing]] m38sx9pyhhupzb6zpuvcn3xc7hqw4bd 769548 769547 2026-07-15T17:26:07Z DavidL 1746 /* Coller des chaînes de caractères */ 769548 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Programmer en R}}</noinclude> La libraririe <code>stringr</code> permet de manipuler les chaînes de caractères. == Pré-requis == <syntaxhighlight lang="rsplus"> > library(stringr) </syntaxhighlight> Nous prenons pour exemple le vecteur "banane", "fraise", "orange", "pomme". <syntaxhighlight lang="rsplus"> > fruits <- c("banane", "fraise", "orange", "pomme") > class(x = x) [1] "character" </syntaxhighlight> == Mesurer la longueur d'une chaîne de caractère == La fonction <code>str_length()</code> permet de mesurer la longueur d'une chaîne de caractères : <syntaxhighlight lang="rsplus"> > fruits %>% str_length() [1] 6 6 6 5 </syntaxhighlight> == Passer en majuscules, en minuscules ou en titres == * <code>str_to_upper()</code> : permet de mettre toutes les lettres en majuscule * <code>str_to_title()</code> : passe les premières lettres de chaque mot en majuscule * <code>str_to_lower()</code> : passe toutes les lettres en minuscule <syntaxhighlight lang="rsplus"> > fruits %>% str_to_upper() [1] "BANANE" "FRAISE" "ORANGE" "POMME" > fruits %>% str_to_title() [1] "Banane" "Fraise" "Orange" "Pomme" </syntaxhighlight> == Coller des chaînes de caractères == Pour coller deux chaînes de caractères, on utilise la fonction <code>str_c()</code>. Par exemple, on peut coller le vecteur <code>c("la", "la", "l'", "la")</code> avec le vecteur <code>fruits</code> et les séparer par un espace : <syntaxhighlight lang="rsplus"> > str_c(c("la", "la", "l'", "la"), fruits, sep = " ") [1] "la banane" "la fraise" "l' orange" "la pomme" </syntaxhighlight> == Notes et références == <references/> == Voir aussi == * [http://stringr.tidyverse.org/ Stringr] [[Catégorie:R]] [[en:R_Programming/Text_Processing]] hfgqyw0mlbobqbf6smfnsrz30f7dxsx 0 67857 769538 680468 2026-07-15T17:21:02Z DavidL 1746 769538 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{GNU Health}}</noinclude> == Produits == === Notion de Base sur les Produits === Semblable à un tiers'','' un ''produit'' est un concept de base dans Tryton. Chaque fois que vous avez besoin d’un certain produit dans GNU Health, ce produit doit être créé et configuré dans le module ''produit'' . Il existe trois types de produits différents: * Les biens * Les marchandises * Les services Le type déterminera les onglets et les champs disponibles dans le formulaire de produits. Chaque produit peut être affecté à une catégorie et peut avoir une ou plusieurs variantes. Les produits sont l'entité de base pour la création des factures. Par conséquent, chaque produit a besoin d’un ''prix'' listé (prix de vente), un ''prix de revient'' et d' une ''unité de mesure (UDM)''pour le calcul des coûts. === '''Notions de Base sur les Variantes''' === Dans la moitié inférieure du formulaire de ''produits'', il y a des cases à cocher pour spécifier le type de produit dans le contexte de la section de ''santé'' : * Médicament * Fourniture médicale * Vaccin * Lit * Régime d'assurance * La création de nouveaux produits de médicaments IMPORTANT: les produits de médicament dans GNU Health doivent toujours être créés dans la section principale de produit de "Tryton" avant de pouvoir être importés dans la section médicaments de GNU Health. # Chaque produit peut être ajouté individuellement ou une gamme de produits peut être chargé par l'intermédiaire d'un fichier CSV. # Le produit doit être décrit et chiffré en unités de doses individuelles qui sont distribués / administrés aux patients. par exemple capsules d’amoxicilline 500mg (UDM-unité de mesure = capsule), amoxicilline 250mg / 5ml de liquide par voie orale (UDM = mL), des flacons de 600mg de benzylpénicilline (UDM = flacon) # Une gamme de nouvelles valeurs "par défaut de UDM" devra être créé pour les unités de dose de médicaments - comprimé, gélule, ml, flacon, etc. # Cochez Toujours les cases, "Médicament", "consommable" et "achetable". # Lorsque la case "achetable" est cochée un nouvel onglet ouvert permettant la configuration des "Fournisseurs" pour un produit particulier. Configurez un certain nombre de fournisseurs qui seront liés au produit. # Ajouter une "Catégorie" comme "Médicaments" ou "Médicaments / Médicaments essentiels de l’OMS». Après cette configuration initiale, il est maintenant possible de créer / importer le produit médicament dans la section de configuration du module GNU Health/ Configuration / Médicaments. Tapez quelques lettres du produit à importer à partir de la section principale de produit de "Tryton". Ajouter la catégorie pharmacologique - dans ce cas "Antibactériens". Et définir le paramètre, Précautions en cas de grossesse, pour ce médicament particulier. Ce paramètre va déclencher un message lors de la prescription chez la femme entre l'âge de ''xx'' ans et l’âge ''yy'' ans. Ajouter le "composant actif" du médicament. Cela devrait être renseigné en se référant à la liste des médicaments essentiels de l'OMS. == Catégories == Les catégories sont utilisées pour regrouper des produits similaires. Vous pouvez créer, modifier ou supprimer des catégories dans la section ''Produit → Catégories''. Les catégories courantes dans GNU santé pourraient être : * Services d'imagerie * Assurances * Services de laboratoire * Médicaments Pour voir tous les produits d'une certaine catégorie, affichez les ''Catégories sous forme'' de vue liste, puis double cliquez sur la catégorie qui vous intéresse. == Facturation des Patients == === '''Étape 1: Faire la Liste des Services de Santé à Facturer''' === GNU Santé 2.8: forme de services de santé Pour facturer un patient pour les hospitalisations, les examens, les traitements, les médicaments, les articles consommables, etc. , vous devez créer un nouvel enregistrement dans la section ''Santé →Services Santé → Services de santé''. Un enregistrement de type ''services de santé'' comprend les données suivantes : * ''Patient'' * ''Date'' * ''ID'' (définie automatiquement) * ''Description''  (par exemple "d'évaluation médicale et de prescription") * ''Facturé à:'' Le destinataire de la facture (qui ne sont pas nécessairement identiques avec le patient). Puisque c'est un lien vers enregistrement de tiers, vous pouvez non seulement facturer les patients ou des personnes mais aussi des institutions. * Dans la section ligne de ''service'' vous ajoutez les produits et services à facturer. Chaque ligne de service est composée des champs suivants: * ''Facture'' * ''Produit'' * ''La description'' * ''Qté:'' La quantité. * ''De'' * ''À'' === '''Étape 2: Création de la Facture''' === GNU Health 2.8: boîte de dialogue de création des  factures de services de santé Lorsque le  ''Service de santé est renseigné'', cliquez sur le bouton ''action'' dans la barre d'outils et choisissez la commande créer une Facture de service de santé. Une boîte de dialogue apparaîtra vous demandant si vous souhaitez créer une ''facture'' basée sur les informations que vous avez renseigné dans l’enregistrement ''Service de Santé''. Cliquez sur le bouton ''Créer une facture''. Les choses qui peuvent mal se passer à ce point: * Si vous obtenez le message d'erreur "Pas de terme de paiement associé au patient»: Aller à ''Tiers → Tiers → People'', ouvrir l’enregistrement du patient que vous voulez facturer, cliquez sur l’onglet ''comptabilité''  et renseignez le champ ''terme de paiement client''. Assurez - vous de sauvegarder l'enregistrement avant de retourner à la section Santé ''→ Services de Santé → Services de santé'' et d' essayer de créer à nouveau la facture. * Si vous obtenez un message d'erreur semblable à «Il n'y a pas de compte charges / produits définis sur le produit paracétamol (30)": Aller à  la section ''Produit → Produits'' , ouvrez l’enregistrement du produit mentionné dans le message d'erreur, cliquez sur l’onglet comptabilité et renseignez les champs ''compte'' de produits et le ''compte de charge''. Assurez-vous de sauvegarder l'enregistrement avant de retourner à Santé''→ Services Santé → Services de santé'' et d' essayer de créer à nouveau la facture. Après avoir créé avec succès la facture, l’enregistrement ''Services de Santé'' change son état ​​de ''brouillon'' à ''Facturé''. Cependant, le processus n’est pas terminé à ce stade (et on pouvait encore rétablir l’enregistrement ''services de santé'' à état ​​ brouillon en cliquant sur ​​le bouton Marquer comme brouillon si nécessaire). ''enregistrement Facture'' dans GNU Health Pour les dernières étapes, vous devez passer à la section Financier ''→ Factures → Factures Financial''. Là, vous trouverez votre nouvelle facture, toujours à l'État brouillon. Ouvrez la facture, complétez la si nécessaire, puis valider la. Une facture peut avoir l'un des états suivants: * ''Brouillon'' : L'état initial. * ''Validé'' : Une facture qui a été validé ne peut plus être modifiée. Cependant, vous pouvez changer l'état de la facture de ''Brouillon ou'' A''nnulée'' en cliquant sur ​​les boutons appropriés. * ''Annulé'' : Une facture qui a été annulée ne peut pas être non plus modifiée. Cependant, vous pouvez changer l'état de la facture de nouveau à ''Brouillon. Ce'' qui permettra l'édition. * ''Payé'' : En cliquant sur ​​le bouton ''Poster,'' la facture passera à la phase de paiement. La facture ne peut plus être modifiée, et vous ne pouvez pas non plus changer son état. {{AutoCat}} 8q894gaqoafmsw1pevj33fes4d9t2if 0 69175 769516 769477 2026-07-15T12:38:05Z Xhungab 23827 769516 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] : * [[Mathc matrices/Introduction|Introduction]] ---- ---- : {{Partie{{{type|}}}| '''Propriétés et Applications'''}} {| class="wikitable" |+ |- | '''Utilitaires pour Octave''' * [[Mathc matrices/a27| Fonctions pour les matrices]] * [[Mathc matrices/04g| Le code de quelques fonctions]] * [[Mathc matrices/03b| Utilitaires graphiques]] * [[Mathc matrices/04m| Exemples d'applications]] * [[Mathc matrices/04l| Ecrire des fonctions mathématiques]] || '''Utilitaires pour le langage C''' * [[Mathc matrices/a33|'''Utilitaires pour le langage C''']] *. *. *. *. |- | '''Les matrices''' [https://youtube.com/playlist?list=PLi6peGpf8EPOx2Pm_rspnagtdkBYe1t6J&feature=shared '''Playlist'''] : * [[Mathc matrices/05q|Créer une matrice ]] : * [[Mathc matrices/e12d2|Afficher une matrice ]] : * [[Mathc matrices/a03c|Afficher une matrice dans un fichier]] : * [[Mathc matrices/Fichiers c : mul_tran|Afficher une matrice pour Octave:]] : * [[Mathc matrices/a07|Copier une matrice]] : * [[Mathc matrices/c12eb1|Matrices aléatoires]] : * [[Mathc matrices/01p|Éntrez vos données]] : * [[Mathc matrices/c12bn|Tableaux de matrices]] : * [[Mathc matrices/a94|Afficher des vecteurs d'une colonne]] : : '''Opérations de bases''' : * [[Mathc matrices/c12ea2|Opérations sur les matrices]] : * [[Mathc matrices/c12ea1|La fonction trace_R();]] : * [[Mathc matrices/03o|La fonction transpose_R();]] *. *. *. *. *. *. : : || '''Les matrices spécifiques''' : * [[Mathc matrices/c12fn17|Matrice identité]] : * [[Mathc matrices/c12b8|Matrices triangulaires]] : * [[Mathc matrices/e02a|Matrices commutatives]] : * [[Mathc matrices/a90|Matrices semblables]] : * [[Mathc matrices/c12b3|Matrices symétriques]] : * [[Mathc matrices/c12b1|Matrices anti-symétriques]] : * [[Mathc matrices/02h|Matrice centrosymétrique]] : * [[Mathc matrices/02v|Matrices définies positives]] : * [[Mathc matrices/09n|Matrice de Gram]] : * [[Mathc matrices/09o|1/2 int(P1 P2, x= -1..1)]] : * [[Mathc matrices/035|Matrices définies négatives]] : * [[Mathc matrices/008|Matrices de Hankel]] : * [[Mathc matrices/009|Matrices de Toeplitz]] : * [[Mathc matrices/09i|Matrices de Markov]] : * [[Mathc matrices/a76|La fonction exponentielle]] : : '''Application Graphiques''' : * [[Mathc matrices/e02|Matrices de transformation [2x2]]] : * [[Mathc matrices/a133|Matrices de transformation [3x3]]] : : |- | '''Déterminant''' [https://youtube.com/playlist?list=PLi6peGpf8EPO6GuKOJERdVXKu_zdExd9_&si=1P0vkGzm5Mrf9Vf2 '''Playlist'''] : * [[Mathc matrices/b03|Le déterminant]] : * [[Mathc matrices/Fichiers c : fp_e_mr| Opérations élémentaires]] : * [[Mathc matrices/e12d9|Les fonctions intermédiaires]] : * [[Mathc matrices/c21n|Quelque propriétés ]] : : '''Applications en mathématique ''' : * [[Mathc matrices/149|Matrice Adjointe]] : * [[Mathc matrices/e12d7|L'inverse par le déterminant]] ; * [[Mathc matrices/a235|Produit en croix]] : : || '''Applications en géométrie ''' : * [[Mathc matrices/25a|L'équation d'une droite]] : * [[Mathc matrices/25b|L'équation d'un plan]] : * [[Mathc matrices/25c|L'équation d'une parabole]] : * [[Mathc matrices/25d|L'équation d'un cercle]] : * [[Mathc matrices/25e|L'équation d'une sphère]] * . * . * . * . : : |- | '''Gauss-Jordan ''' [https://youtube.com/playlist?list=PLi6peGpf8EPODYQZ0fosFTZZqKB9-CkHi '''Playlist'''] : * [[Mathc matrices/a205|Gauss-Jordan Total Pivoting]] : * [[Mathc matrices/a207|L'inverse]] : : '''Application ''' : * [[Mathc matrices/a209|Analyse d'un '''réseau''']] : * [[Mathc matrices/a216|Analyse d'un circuit '''électrique''']] : : '''Applications en géometrie ''' : * [[Mathc matrices/26a|L'équation d'un '''polynôme''']] : * [[Mathc matrices/26b|L'équation d'un '''conique''']] : * [[Mathc matrices/26c|L'équation d'un '''cercle''']] : : '''Applications en mathématique ''' : * [[Mathc matrices/a208|Systèmes '''non linéaire''' ]] : * [[Mathc matrices/a32|Choisir les solutions d'un système]] : : || '''Gauss-Jordan Partial Pivoting ''' : * [[Mathc matrices/a203|Gauss-Jordan Partial Pivoting]] : * [[Mathc matrices/a204|Variables libres]] : : '''Application ''' : * [[Mathc matrices/a201|Équation '''chimique''']] : : '''Applications mathématiques ''' : * [[Mathc matrices/c21s|Trouver une base pour ...]] : * [[Mathc matrices/c24f|Matrices de changement de base]] : * [[Mathc matrices/c24k|Matrice d'une application linéaire]] : * [[Mathc matrices/e05b|Projection sur un sous-espace vectoriel]] *. *. *. *. : : |- | '''Produits scalaires''' [https://youtube.com/playlist?list=PLi6peGpf8EPM0AMbdj2DOnyFYP97-93Ry '''Playlist'''] : * [[Mathc matrices/Fichiers h : a03d0|Produit scalaire]] : * [[Mathc matrices/e05c| Quelques Propriétés]] : * [[Mathc matrices/08o| Calculer les vecteurs orthogonaux]] : : '''Orthogonalisation ''' : * [[Mathc matrices/e05a|Les matrices ortho'''normales''']] : * [[Mathc matrices/c25b|Quelques '''propriétés''']] : : '''La QR Décompositions ''' : * [[Mathc matrices/c12an8|'''La QR décomposition:''']] : : '''Application ''' : * [[Mathc matrices/c22m|Analyse d'un réseau]] : * [[Mathc matrices/c22t|Analyse d'un circuit électrique]] : : '''Applications en mathématique ''' : * [[Mathc matrices/00u|Les coefficients d'un polynôme]] : * [[Mathc matrices/00z|Les coefficients d'un conique]] : * [[Mathc matrices/c23l|Les coefficients d'un cercle]] : * . : * . : * . : : || '''Vecteurs propres ''' : * [[Mathc matrices/e12d6|Vecteurs et valeurs propres]] : * [[Mathc matrices/a147|Quelques '''propriétés''']] : * [[Mathc matrices/03h|Valeurs propres '''multiples'''.]] : : '''Applications en mathématique ''' : * [[ Mathc matrices/01z|Conditionnement matriciel]] : * [[Mathc matrices/e050c|'''Fonctions matricielles''']] : * [[Mathc matrices/09b|'''Système dynamique linéaire discret''']] : * [[Mathc matrices/a29|La décomposition spectral]] : : '''Applications graphique ''' : * [[Mathc matrices/060|'''Formes quadratiques : 2D''']] ; * [[Mathc matrices/061|'''Formes quadratiques : 3D''']] : * [[Mathc matrices/08p| '''Choisir''' les valeurs propres]] : * [[Mathc matrices/03g|'''Projection du plan'''(1)]] : * [[Mathc matrices/08u|'''Projection du plan'''(2)]] : * [[Mathc matrices/a257|'''Projection de l'espace'''(1)]] : * [[Mathc matrices/090|'''Projection de l'espace'''(2)]] : * [[Mathc matrices/062|''' Projection de l'hyperespace'''(1)]] : * [[Mathc matrices/096|'''Projection de l'hyperespace'''(2)]] : : |- | '''Valeurs singulière''' : * [[Mathc matrices/c12an7|Calculer les Valeurs Singulières]] : : '''SVD décomposition''' : * [[Mathc matrices/e12a|Plus de lignes que de colonnes]] : * [[Mathc matrices/02q|Quelques propriétés ]] : * [[Mathc matrices/e12b|Plus de colonnes que de lignes]] *. *. *. *. : : || '''Pseudo inverse: ''' : * [[Mathc matrices/26d|'''Pseudo inverse:''']] : : '''Application ''' : * [[Mathc matrices/00t|Analyse d'un réseau]] : * [[Mathc matrices/00i|Analyse d'un circuit électrique]] : : '''Applications en mathématique ''' : * [[Mathc matrices/088|Étude d'un polynôme]] : * [[Mathc matrices/08b|Étude d'un conique]] : * [[Mathc matrices/00k|Étude d'un cercle]] : : |} : : ---- {{Partie{{{type|}}}| '''La bibliothèque'''}} : {{Partie{{{type|}}}|[[Mathc matrices/c21r| '''La bibliothèque.''']]}} : ---- {{Partie{{{type|}}}| '''Gnuplot.'''}} : * [[Mathc matrices/c21q|Gnuplot:]] {{Lien modifier|Mathc matrices/Sommaire|modifier le sommaire}} {{AutoCat}} q8sgrs5p80dp3anwj3z3zz6xm2vfyxy 0 69178 769526 735761 2026-07-15T13:37:01Z Xhungab 23827 769526 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc matrices/e02| '''Application''']] Installer et compiler ces fichiers c dans votre répertoire de travail. Vous trouverez le code source et le fichier graphique correspondant à chaque transformation. L'étude des matrices de transformation fait partie d'un cours de mathématiques et sort du cadre de ce livre. [[File:D01.png|thumb|Reflection about the x-axis]] {{Fichier|ckd01.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : ckd01.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" #include "dstrct.h" #include "dg_uv.h" /* ------------------------------------ */ int main(void) { double t[R2*C2] ={ 1, 0, 0, -1 }; double u[R2*C5] ={ 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1 }; double **U = ca_A_mR(u,i_mR(R2,C5)); double **T = ca_A_mR(t,i_mR(R2,C2)); double **V = i_mR(R2,C5); clrscrn(); printf("\n Reflection about the x-axis : \n"); printf("\n | 1 0 | "); printf("\n v = | | u "); printf("\n | 0 -1 | \n\n"); printf(" U: "); p_mR(U,S5,P0,C6); mul_mR(T,U,V); printf(" V: "); p_mR(V,S5,P0,C6); G_points2D_mR(i_WGnuplot(-3,3,-3,3), U,V); f_mR(U); f_mR(V); f_mR(T); stop(); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> : [[File:D02.png|thumb|Reflection about the y-axis]] {{Fichier|ckd02.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : ckd02.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" #include "dstrct.h" #include "dg_uv.h" /* ------------------------------------ */ int main(void) { double t[R2*C2] ={ -1, 0, 0, 1 }; double u[R2*C5] ={ 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1 }; double **U = ca_A_mR(u,i_mR(R2,C5)); double **T = ca_A_mR(t,i_mR(R2,C2)); double **V = i_mR(R2,C5); clrscrn(); printf("\n Reflection about the y-axis : \n"); printf("\n | -1 0 | "); printf("\n v = | | u "); printf("\n | 0 1 | \n\n"); printf(" U: "); p_mR(U,S5,P0,C6); mul_mR(T,U,V); printf(" V: "); p_mR(V,S5,P0,C6); G_points2D_mR(i_WGnuplot(-3,3,-3,3), U,V); f_mR(U); f_mR(V); f_mR(T); stop(); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> : [[File:D03.png|thumb|Reflection about the line y = x]] {{Fichier|ckd03.c|largeur=70%|info=reflexion|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : ckd03.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" #include "dstrct.h" #include "dg_uv.h" /* ------------------------------------ */ int main(void) { double t[R2*C2] ={ 0, 1, 1, 0 }; double u[R2*C5] ={ 1, 1, -1, -1, 1, 2, 3, 3, 2, 2 }; double **U = ca_A_mR(u,i_mR(R2,C5)); double **T = ca_A_mR(t,i_mR(R2,C2)); double **V = i_mR(R2,C5); clrscrn(); printf("\n Reflection about the line y = x : \n"); printf("\n | 0 1 | "); printf("\n v = | | u "); printf("\n | 1 0 | \n\n"); printf(" U: "); p_mR(U,S5,P0,C6); mul_mR(T,U,V); printf(" V: "); p_mR(V,S5,P0,C6); G_points2D_mR(i_WGnuplot(-5,5,-5,5), U,V); f_mR(U); f_mR(V); f_mR(T); stop(); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> : [[File:D04.png|thumb|Orthogonal projection on the x-axis]] {{Fichier|ckd04.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : ckd04.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" #include "dstrct.h" #include "dg_uv.h" /* ------------------------------------ */ int main(void) { double t[R2*C2] ={ 1, 0, 0, 0 }; double u[R2*C5] ={ 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1 }; double **U = ca_A_mR(u,i_mR(R2,C5)); double **T = ca_A_mR(t,i_mR(R2,C2)); double **V = i_mR(R2,C5); clrscrn(); printf("\n Orthogonal projection on the x-axis : \n"); printf("\n | 1 0 | "); printf("\n v = | | u "); printf("\n | 0 0 | \n\n"); printf(" U: "); p_mR(U,S5,P0,C6); mul_mR(T,U,V); printf(" V: "); p_mR(V,S5,P0,C6); G_points2D_mR(i_WGnuplot(-.5,2.5,-.5,2.5), U,V); f_mR(U); f_mR(V); f_mR(T); stop(); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> : [[File:D05.png|thumb|Orthogonal projection on the y-axis]] {{Fichier|ckd05.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : ckd05.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" #include "dstrct.h" #include "dg_uv.h" /* ------------------------------------ */ int main(void) { double t[R2*C2] ={ 0, 0, 0, 1 }; double u[R2*C5] ={ 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1 }; double **U = ca_A_mR(u,i_mR(R2,C5)); double **T = ca_A_mR(t,i_mR(R2,C2)); double **V = i_mR(R2,C5); clrscrn(); printf("\n Orthogonal projection on the y-axis : \n"); printf("\n | 0 0 | "); printf("\n v = | | u "); printf("\n | 0 1 | \n\n"); printf(" U: "); p_mR(U,S5,P0,C6); mul_mR(T,U,V); printf(" V: "); p_mR(V,S5,P0,C6); G_points2D_mR(i_WGnuplot(-1,3,-1,3), U,V); f_mR(U); f_mR(V); f_mR(T); stop(); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> : [[File:D06.png|thumb|Dilatation]] {{Fichier|ckd06.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : ckd06.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" #include "dstrct.h" #include "dg_uv.h" /* ------------------------------------ */ int main(void) { double t[R2*C2] ={ 2, 0, 0, 2 }; double u[R2*C5] ={ 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0 }; double **U = ca_A_mR(u,i_mR(R2,C5)); double **T = ca_A_mR(t,i_mR(R2,C2)); double **V = i_mR(R2,C5); clrscrn(); printf("\n Dilation : \n"); printf("\n | 2 0 | "); printf("\n v = | | u "); printf("\n | 0 2 | \n\n"); printf(" U: "); p_mR(U,S5,P0,C6); mul_mR(T,U,V); printf(" V: "); p_mR(V,S5,P0,C6); G_points2D_mR(i_WGnuplot(-1,3,-1,3), U,V); f_mR(U); f_mR(V); f_mR(T); stop(); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> : [[File:D07.png|thumb|Contraction]] {{Fichier|ckd07.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : ckd07.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" #include "dstrct.h" #include "dg_uv.h" /* ------------------------------------ */ int main(void) { double t[R2*C2] ={ .5, 0, 0, .5 }; double u[R2*C5] ={ 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0 }; double **U = ca_A_mR(u,i_mR(R2,C5)); double **T = ca_A_mR(t,i_mR(R2,C2)); double **V = i_mR(R2,C5); clrscrn(); printf("\n Contraction : \n"); printf("\n | .5 0 | "); printf("\n v = | | u "); printf("\n | 0 .5 | \n\n"); printf(" U: "); p_mR(U,S5,P0,C6); mul_mR(T,U,V); printf(" V: "); p_mR(V,S5,P3,C6); G_points2D_mR(i_WGnuplot(-.5,1.5,-.5,1.5), U,V); f_mR(U); f_mR(V); f_mR(T); stop(); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> : [[File:D08.png|thumb|Shear in the x-direction with factor k (right)]] {{Fichier|ckd08.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : ckd08.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" #include "dstrct.h" #include "dg_uv.h" /* ------------------------------------ */ int main(void) { double t[R2*C2] ={ 1, 2, 0, 1 }; double u[R2*C5] ={ 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0 }; double **U = ca_A_mR(u,i_mR(R2,C5)); double **T = ca_A_mR(t,i_mR(R2,C2)); double **V = i_mR(R2,C5); clrscrn(); printf("\n Shear in the x-direction with factor k (right):\n"); printf("\n | 1 2 | "); printf("\n v = | | u "); printf("\n | 0 1 | \n"); printf(" U: "); p_mR(U,S5,P0,C6); mul_mR(T,U,V); printf(" V: "); p_mR(V,S5,P3,C6); G_points2D_mR(i_WGnuplot(-.5,3.5,-.5,3.5), U,V); f_mR(U); f_mR(V); f_mR(T); stop(); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> : [[File:D09.png|thumb|Shear in the x-direction with factor k (left)]] {{Fichier|ckd09.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : ckd09.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" #include "dstrct.h" #include "dg_uv.h" /* ------------------------------------ */ int main(void) { double t[R2*C2] ={ 1, -2, 0, 1 }; double u[R2*C5] ={ 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0 }; double **U = ca_A_mR(u,i_mR(R2,C5)); double **T = ca_A_mR(t,i_mR(R2,C2)); double **V = i_mR(R2,C5); clrscrn(); printf("\n Shear in the x-direction with factor k (left) :\n"); printf("\n | 1 -2 | "); printf("\n v[n] = | | u[n] "); printf("\n | 0 1 | \n"); printf(" U: "); p_mR(U,S5,P0,C6); mul_mR(T,U,V); printf(" V: "); p_mR(V,S5,P3,C6); G_points2D_mR(i_WGnuplot(-2.5,1.5,-1.5,2.5), U,V); f_mR(U); f_mR(V); f_mR(T); stop(); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> : [[File:D10 0.png|thumb|Shear in the y-direction with factor k (up)]] {{Fichier|ckd10.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : ckd10.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" #include "dstrct.h" #include "dg_uv.h" /* ------------------------------------ */ int main(void) { double t[R2*C2] ={ 1, 0, 2, 1 }; double u[R2*C5] ={ 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0 }; double **U = ca_A_mR(u,i_mR(R2,C5)); double **T = ca_A_mR(t,i_mR(R2,C2)); double **V = i_mR(R2,C5); clrscrn(); printf("\n Shear in the y-direction with factor k (up) : \n"); printf("\n | 1 0 | "); printf("\n v = | | u "); printf("\n | 2 1 | \n"); printf(" U: "); p_mR(U,S5,P0,C6); mul_mR(T,U,V); printf(" V: "); p_mR(V,S5,P3,C6); G_points2D_mR(i_WGnuplot(-.5,3.4,-.5,3.5), U,V); f_mR(U); f_mR(V); f_mR(T); stop(); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> : [[File:D11.png|thumb|Shear in the x-direction with factor k (down)]] {{Fichier|ckd11.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : ckd11.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" #include "dstrct.h" #include "dg_uv.h" /* ------------------------------------ */ int main(void) { double t[R2*C2] ={ 1, 0, -2, 1 }; double u[R2*C5] ={ 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0 }; double **U = ca_A_mR(u,i_mR(R2,C5)); double **T = ca_A_mR(t,i_mR(R2,C2)); double **V = i_mR(R2,C5); clrscrn(); printf("\n Shear in the x-direction with factor k (down): \n"); printf("\n | 1 0 | "); printf("\n v = | | u "); printf("\n | -2 1 | \n"); printf(" U: "); p_mR(U,S5,P0,C6); mul_mR(T,U,V); printf(" V: "); p_mR(V,S5,P3,C6); G_points2D_mR(i_WGnuplot(-2,2,-2.5,1.5), U,V); f_mR(U); f_mR(V); f_mR(T); stop(); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> : [[File:D12.png|thumb|Rotation]] '''Pour ce dernier exemple qui propose de visualiser plusieurs rotations successive voir dans [[Mathc matrices/Introduction| l'introduction]] la partie sur gnuplot et l'animation. Il suffit de modifier la taille de la fenêtre avec la souris pour voir la nouvelle image apparaître. ''' {{Fichier|ckd12.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : ckd12.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" #include "dstrct.h" #include "dg_uv.h" /* ------------------------------------ */ void fun(void) { double u[R2*C5] ={ 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0 }; double alpha = rp_I(360); double **U = ca_A_mR(u,i_mR(R2,C5)); double **T = rot2D_mR( i_mR(R2,C2),PI/180.*alpha); double **V = i_mR(R2,C5); clrscrn(); printf("\n Rotation (%.f degree) : \n",alpha); printf("\n | cos(alpha) -sin(alpha) | "); printf("\n v = | | u "); printf("\n | sin(alpha) cos(alpha) | \n"); printf(" U: "); p_mR(U,S5,P0,C6); mul_mR(T,U,V); printf(" V: "); p_mR(V,S5,P3,C6); G_points2D_mR(i_WGnuplot(-2,2,-2,2), U,V); f_mR(U); f_mR(V); f_mR(T); } /* ------------------------------------ */ int main(void) { do { fun(); fflush(stdout); } while(stop_w()); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> {{AutoCat}} ddaj1jjrjcmebtn6egl03jyyhtolywd 0 69179 769525 699296 2026-07-15T13:36:40Z Xhungab 23827 769525 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc matrices/e02| '''Application''']] Installer ces fichiers dans votre répertoire de travail. '''Ce fichier est spécifique pour ce travail. Il ne doit pas être conservé avec la bibliothèque.'''. {{Fichier|dg_uv.h|largeur=70%|info=|icon=Crystal Clear mimetype source h.png}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : dg_uv.h */ /* ------------------------------------ */ void G_points2D_mR( W_Ctrl w, double **A, double **B ) { FILE *fp; int c; fp = fopen("a_main.plt","w"); fprintf(fp, " reset\n" " set zeroaxis\n" " set size ratio -1\n" " plot[%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n" " \"aU.plt\" with line,\\\n" " \"aV.plt\" with line\n", w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi); fclose(fp); fp = fopen("aU.plt","w"); for(c=C1; c<A[C_SIZE][C0]; c++) fprintf(fp," %+.3f %+.3f \n",A[1][c],A[2][c]); fclose(fp); fp = fopen("aV.plt","w"); for(c=C1; c<B[C_SIZE][C0]; c++) fprintf(fp," %+.3f %+.3f \n",B[1][c],B[2][c]); fclose(fp); printf( " * open the file main.plt with Gnuplot. 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Ils prennent un COD: :iets bespreken -- discuter de quelque chose :iemand bepraten -- amadouer quelqu' un "Spreken" prends un COD s'il s'agit d' une langue: :Frans spreken -- parler français Autrement le verbe "spreken" prend un [[Néerlandais/Grammaire/le complément prépositionnel|complément prépositionnel]] avec "met" ou "over". :'''met''' iemand spreken -- parler avec quelqu'un :'''over''' iets spreken -- discuter de quelque chose. "Praten" s'utilise en tant que verbe absolut et signifie "être bavard". Autrement le verbe "praten" prend un complément prépositionel avec "met" ou "over". :'''met''' iemand praten -- (bavarder) parler avec quelqu'un :'''over''' iets praten -- discuter de quelque chose. == Quelques phrases == {| |- |Spreekt u Nederlands? || Parlez-vous néerlandais? |- |Mag ik met Jan Janssen spreken?||Puis-je parler avec Jan Janssen ? |- |Wij spreken daar dikwels met elkaar over||Nous en parlons souvent l'un avec l'autre |- |Zij praten veel maar doen weinig||Ils sont bavards, mais ne font pas grande chose |- |Wij praten erover maar maken er geen gebruik van.||Nous en parlons, mais nous ne l'utilisons pas |- |We bespreken dit onderwerp iedere maand||Nous en parlons chaque mois/ Nous discutons de ce sujet chaque mois. |- |Dat werd eindeloos bepraat.||On en parlait sans fin. |- |We denken dat deze man niet te bepraten is||On pense qu'on ne peut pas l'amadouer, cet homme. |} {{NL-navigation}} [[Catégorie:Néerlandais dans le secondaire (livre)]] hvu0g9ud233qo4cth3dponj9pv1k7h1 0 71023 769535 586853 2026-07-15T17:17:02Z DavidL 1746 769535 wikitext text/x-wiki Robocopy est un logiciel de synchronisation de données en local ou sur un partage distant uniquement utilisable dans l'environnement Windows, développé par Microsoft. Très facile à utiliser. Il possède beaucoup d'options. Les seules obligatoires sont les dossiers source et destination. Options robocopy : /R répétition des tentatives si erreurs /W temps d' attention entre chaque tentative de synchro /mir copie miroir /np pas de barre de progression /LOG le script créé un log qui permet de visualiser ce qui s'est passé pendant la synchro /E Des dossiers de la source peuvent être exclus de la synchro avec une option spécifique <u>exemple de syntaxe :</u> '''robocopy /R:1 /W:1 "dossier_source_local_ou_distant" "\\dossier_destination_local_ou_distant" /mir /np /LOG:c:\logs.txt /E''' Une info intéressante est la fin des logs : la colonne FAILED comporte uniquement des 0 s' il n' y a pas d' erreurs pendant la synchro                Total    Copied   Skipped  Mismatch    FAILED    Extras     Dirs :     12001     12000         1         0         0         0    Files :     99618     99615         0         0         3         0    Bytes :  42.020 g  42.019 g      0         0   512.0 k         0    Times :   4:24:42   4:04:24                       0:00:00   0:20:17    Speed :             3076608 Bytes/sec.    Speed :             176.044 MegaBytes/min.    Ended : Fri Dec 01 00:42:02 2017 {{AutoCat}} 4paokdf58gx5w5mq5mq33qxwa1mi7up 0 71317 769541 682628 2026-07-15T17:22:22Z DavidL 1746 769541 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Précis d'épistémologie}}</noinclude> Les mathématiques, ou la mathématique, peuvent être définies comme la science de tout ce qui est logiquement possible, tous les êtres et tous les concepts qui peuvent être étudiés dans une théorie. Pour qu'un être mathématique existe, il suffit qu'une théorie détermine correctement son existence, on ne demande pas qu'il existe dans la réalité tangible et observable. La logique du premier ordre donne les moyens de faire des théories avec un nombre fini de concepts fondamentaux appliqués à un domaine, fini ou non, d'individus. Pour raisonner avec les principes de la logique du premier ordre sur tous les concepts qu'on peut appliquer aux individus d'un domaine spécifié, il suffit de considérer les concepts (les propriétés et les relations) comme de nouveaux individus et de se donner une nouvelle relation d'attribution, qui relie les propriétés (les relations) aux individus auxquels elles sont attribuées (aux n-uplets d'individus). On peut ainsi fonder la logique du deuxième ordre et les logiques d'ordre supérieur. La théorie des ensembles est une façon plus simple de faire une théorie de tout ce qui est logiquement possible, tout en restant dans le cadre de la logique du premier ordre. Comme elle est un peu déroutante pour le débutant, ce chapitre commence par exposer une façon plus naturelle de fonder les mathématiques, en partant de la théorie des nombres naturels. == Les nombres naturels et les axiomes de Peano == Dedekind (1888) et Peano (1889) ont donné des systèmes d'axiomes suffisants pour prouver la plupart des théorèmes sur les nombres naturels. L'arithmétique à la façon de Peano peut être considérée comme la théorie mathématique la plus fondamentale. Et elle suffit pour prouver une grande partie des plus grands théorèmes, même ceux du calcul différentiel et intégral, parce que les théorèmes sur les nombres réels peuvent être traduits en théorèmes sur les nombres naturels. Dans le présent formalisme, tous les nombres naturels sont nommés à partir de ''0'' et d'un unique opérateur ''s'' (le successeur de) : ''1=s0, 2=s1=ss0, 3=sss0, ...'' '''Les axiomes de Peano''' : * ''0 est un nombre naturel.'' * ''Un nombre naturel n a toujours un unique successeur sn qui est aussi un nombre naturel.'' * ''Deux nombres naturels différents ont des successeurs différents.'' * ''0 n'est le successeur d'aucun nombre naturel.'' Pour tous les nombres naturels ''n'' et ''p'' : * ''leur somme n+p existe et est unique, de même pour leur unique produit n.p'' * ''0+0=0'' * ''n+sp=sn+p=s(n+p)'' * ''0.0=0'' * ''n.sp=n.p+n'' * ''sn.p=n.p+p'' Le principe du raisonnement par récurrence (ou de l'induction infinie) : *''Tout ensemble de nombres naturels qui contient 0 et qui contient toujours le successeur de chacun de ses éléments contient tous les nombres naturels.'' Pour faire de l'arithmétique on a besoin de raisonner sur les ensembles de nombres naturels. On peut donc songer à compléter les axiomes de Peano par des axiomes sur l'existence des ensembles de nombres, mais cela n'est pas nécessaire. Les formules arithmétiques à une variable libre suffisent pour nommer des ensembles de nombres. Par exemple la formule ''A(n)'' définie par ''Il existe p tel que n=2.p'' nomme l'ensemble de tous les nombres pairs. Avec de telles formules arithmétiques on peut définir de très nombreux ensembles de nombres naturels, assez pour la plupart des besoins théoriques, mais pas tous. L'arithmétique de Peano est à la fois assez simple et très puissante. En raisonnant sur des nombres, on peut raisonner sur tous les ensembles d'êtres qu'on peut numéroter. Or quand on étudie un monde logiquement possible, la façon dont ses individus sont identifiés importe peu. Qu'ils soient numérotés ou représentés d'une autre façon ne change rien au monde logiquement possible étudié. Ce qui compte ce sont les concepts (les propriétés et les relations) attribués aux individus, pas la façon dont les individus sont identifiés. C'est pourquoi l'arithmétique de Peano est très puissante. Elle donne les moyens de raisonner sur de très nombreux mondes logiquement possibles. == La théorie des ensembles de Zermelo == La théorie des ensembles permet de faire la théorie de tous les concepts, parce qu'un concept peut être représenté par son extension, l'ensemble des êtres pour lesquels il est vrai. Le concept de nombre pair peut être représenté par l'ensemble des nombres pairs. La relation ''est plus grand que'' entre nombres peut être représentée par l'ensemble de tous les couples de nombres ''(x,y)'' tels que ''x est plus grand que y''. Pour faire une théorie des ensembles, le plus naturel est de partir d'êtres qui ne sont pas des ensembles, les nombres naturels par exemple, ou d'autres êtres, qu'on prend comme éléments des ensembles qu'on définit. Une théorie pure des ensembles n'étudie que des ensembles. Tous les êtres dont l'existence est postulée par la théorie sont toujours des ensembles. C'est un peu déroutant pour le débutant. Comment peut-on faire des ensembles à partir de rien ? On part de l'ensemble vide ''{}'', qui ne contient aucun élément. On peut ensuite définir de nouveaux ensembles : ''{{}}, { {}, {{}} }'' ... Les nombres naturels peuvent être représentés par des ensembles. On peut par exemple identifier ''0'' à l'ensemble vide ''{}'', ''1'' à ''{0}'', ''2'' à ''{0,1}'' et plus généralement ''n'' à ''{0...n-1}''. Tous les autres nombres peuvent être construits à partir des nombres naturels. Pour étudier les mondes logiquement possibles, la façon dont les individus sont identifiés importe peu. On peut les représenter par des nombres, ou des systèmes de nombres ou des ensembles. Un monde logiquement possible n'est pas déterminé par la façon dont ses individus sont identifiés mais par les propriétés et les relations qu'il leur attribue. C'est pourquoi une théorie pure des ensembles permet de faire une théorie de tout ce qui est logiquement possible. Une fonction (un opérateur) ''f'' peut être représentée par une relation : ''y=f(x)'', ou ''z=f(x,y)'' ... Une relation peut être représentée par un ensemble de couples, ou de triplets, ou de n-uplets. Un couple ''(x,y)'' peut être représenté par un ensemble, ''{ {x}, {x,y} }'' par exemple. Un triplet peut être représenté à partir des couples : ''(x,y,z)=((x,y),z)'' par exemple. Il en va de même pour tous les n-uplets. Comme une théorie pure des ensembles donne les moyens de représenter tous les individus, toutes les propriétés, toutes les relations, toutes les fonctions, elle donne les moyens de raisonner sur tout ce qui est logiquement possible. Pour prouver l'existence de tous les nombres naturels, il suffit de postuler que 0 est un nombre naturel et que le successeur d'un nombre naturel est toujours un nombre naturel. Pour prouver l'existence des ensembles on procède d'une façon assez semblable, on part de l'ensemble vide ''{}'' et on prouve l'existence de nouveaux ensembles construits à partir d'ensembles dont on a déjà prouvé l'existence. '''Les axiomes de Zermelo''' (1908) * '''L'axiome d'extensionnalité''' : ''Deux ensembles sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes éléments.'' * '''L'axiome de l'ensemble vide''' : ''Il existe un ensemble vide.'' * '''L'axiome de la paire''' : ''Si deux ensembles existent, il existe un ensemble dont ils sont les deux seuls éléments.'' * '''L'axiome de l'ensemble-somme''' : ''Si un ensemble existe, l'ensemble de tous les éléments de ses éléments existe aussi.'' * '''L'axiome de l'infini''' : ''Il existe un ensemble qui contient tous les nombres naturels.'' * '''L'axiome de séparation''' : ''Si E est un ensemble et si A(x) est une formule bien définie qui porte sur les ensembles alors l'ensemble de tous les x dans E tels que A(x) est vraie existe.'' * '''L'axiome de l'ensemble des parties''' : ''Si un ensemble existe, l'ensemble de toutes ses parties, ou sous-ensembles, existe aussi.'' * '''L'axiome du choix''' : Il sera présenté ci-dessous. Le premier axiome est la caractéristique essentielle des ensembles. Si deux êtres sont différents alors qu'ils ont exactement les mêmes éléments alors ils ne sont pas des ensembles. Les trois axiomes suivants permettent de construire les nombres naturels. La réunion de deux ensembles est l'ensemble-somme de leur paire. Le successeur d'un ensemble ''x'' est la réunion ''x U {x}''. On définit alors&nbsp;: ''0 = {}'', ''1 = 0 U {0} = {0}'', ''2 = 1 U {1} = {0,1}'' ... Le cinquième axiome et le sixième axiome permettent de prouver l'existence de l'ensemble ''N'' des nombres naturels. C'est l'ensemble qui contient tous les nombres naturels et qui est inclus dans tous les ensembles qui contiennent tous les nombres naturels. On retrouve ainsi le principe du raisonnement par récurrence comme une conséquence de la définition de l'ensemble des nombres naturels. À partir de là, le septième axiome permet de construire la hiérarchie des premiers ensembles infinis : ''N'', l'ensemble ''P(N)'' des parties de ''N'', ''P(P(N))=P²(N)'', ''P(P(P(N)))=P³(N)'' ... L'axiome de séparation peut être comparé au ciseau d'un sculpteur. On construit des ensembles en se donnant de grands ensembles, comme de grands blocs de marbre, et on les taille au ciseau, avec l'axiome de séparation. Pour formuler ces axiomes avec les moyens de la logique du premier ordre, il suffit de se donner deux relations fondamentales, la relation d'appartenance à un ensemble ''est élément de'', et la relation d'égalité ''='', et de postuler que le domaine de tous les individus est le domaine de tous les ensembles (ou tous les ensembles qui nous intéressent). *'''L'axiome d'extensionnalité''' : ''Pour tout x et tout y, x=y si et seulement si pour tout z (z est élément de x si et seulement si z est élément de y)'' *'''L'axiome de l'ensemble vide''' : ''Il existe x tel que pour tout y, y n'est pas élément de x'' *'''L'axiome de la paire''' : ''Pour tout x et tout y il existe z tel que pour tout w (w est élément de z si et seulement si (w=x ou w=y))'' *'''L'axiome de l'ensemble-somme''' : ''Pour tout x il existe y tel que pour tout z (z est élément de y si et seulement si (il existe w tel que (w est élément de x et z est élément de w))'' Pour formuler l'axiome de l'infini, on commence par définir la relation de succession entre ensembles : ''y est le successeur de x si et seulement si y=xU{x}'' ''y=xU{x} si et seulement si pour tout z (z est élément de y si et seulement si (z est élément de x ou z=x))'' L'existence du successeur de x pour tout ensemble x est garantie par l'axiome de la paire et l'axiome de la somme. *'''L'axiome de l'infini''' : ''Il existe x tel que ({} est élément de x et pour tout y, si y est élément de x alors yU{y} est élément de x)'' *'''L'axiome de séparation''' : ''Pour toute formule bien définie A(x) et tout y il existe z tel que pour tout w (w est élément de z si et seulement si (A(w) et w est élément de y))'' Pour formuler l'axiome de l'ensemble des parties, on commence par définir la relation d'inclusion entre ensembles : ''x est inclus dans y, ou x est une partie de y, ou un sous-ensemble de y, si et seulement si tout élément de x est aussi un élément de y.'' ''x est inclus dans y si et seulement si pour tout z, si z est élément de x alors z est élément de y'' *'''L'axiome de l'ensemble des parties''' : ''Pour tout x il existe y tel que pour tout z (z est élément de y si et seulement si z est inclus dans x)'' Ces axiomes ne permettent pas de définir tous les ensembles. En particulier, l'existence de l'ensemble ''{N, P(N), P(P(N)) ...}'' qui contient tous les ''Pⁿ(N)'' pour tous les nombres naturels ''n'' ne peut pas être prouvée à partir des axiomes de Zermelo. Elle peut être prouvée avec un nouvel axiome, l'axiome de remplacement, proposé par Fraenkel (1922), beaucoup plus puissant pour prouver l'existence des grands ensembles infinis. Mais même avec ce nouvel axiome, il reste des ensembles que la théorie ne permet pas de définir. Pour les mathématiques ordinaires, et même pour les mathématiques d'un niveau très avancé, la théorie de Zermelo est plus que suffisante pour construire tous les ensembles qu'on veut construire et pour prouver tout ce qu'on veut prouver. En particulier, les nombres réels, les espaces construits à partir des nombres réels, les fonctions qui y sont définies, les espaces de ces fonctions, les fonctionnelles, et donc tous les objets de l'analyse, peuvent tous êtres construits en se limitant aux premiers niveaux de la hiérarchie des ensembles infinis. Les grands ensembles infinis que la théorie de Zermelo ne permet pas de construire sont beaucoup plus rarement utilisés. L'interprétation de l'axiome de séparation pose une difficulté. Qu'est-ce qu'une formule bien définie? Selon Fraenkel, toute formule bien formée à partir des prédicats fondamentaux ''est élément de'' et ''est égal à'', et des connecteurs logiques, est une formule bien définie. L'axiome de séparation peut donc toujours leur être appliqué. Mais ces formules dites bien définies peuvent contenir des affirmations sur tous les ensembles, comme si l'univers de tous les ensembles avait une existence objective. Mais nous ne savons pas ce que pourrait être un tel univers. Nous ne savons donc pas toujours quel sens donner aux formules qui servent à définir les ensembles dans ZFC. Cette théorie conduit à prouver l'existence d'ensembles mal définis. Or un ensemble mal défini n'est pas un ensemble, il n'existe pas. Donc ZFC est fausse. Pour corriger l'erreur de Fraenkel, il suffit d'exiger des formules bien définies auxquelles l'axiome de séparation est appliqué qu'elles ne contiennent que des quantificateurs bornés, c'est à dire qu'elles ne contiennent pas d'affirmations sur tous les ensembles, mais seulement sur tous les éléments d'ensembles déjà définis. Avec ces limitations, et sans l'axiome de remplacement, on a une puissance bien suffisante pour les mathématiques courantes. '''L'axiome du choix''' La façon la plus directe de prouver qu'un ensemble existe est de le définir, ce qui revient à le construire à partir d'ensembles déjà définis. L'ensemble vide suffit pour amorcer la construction de tous les ensembles que nous définissons. Mais on peut aussi donner des preuves indirectes d'existence. On prouve qu'un ensemble existe et a certaines propriétés sans le définir explicitement, sans le construire, sans dire précisément de quel ensemble on parle. Les preuves indirectes d'existence nous permettent de prouver qu'on peut toujours faire un nombre fini de choix arbitraires pour prouver l'existence d'un ensemble. Plus précisément, si on a une liste finie d'ensembles non-vides et disjoints, on peut prouver qu'il existe au moins un ensemble qui contient un élément et un seul de chacun des ensembles de la liste. On n'a pas construit ce nouvel ensemble, on n'a pas choisi ses éléments, on s'est contenté de prouver qu'il existe. Les principes logiques et les axiomes de construction d'ensembles finis suffisent pour prouver son existence. Mais si la liste d'ensembles non-vides et disjoints est infinie, ces principes et ces axiomes ne permettent pas de prouver l'existence d'un ensemble qui contient un élément et un seul de chacun des ensembles de la liste. L'axiome du choix affirme précisément qu'un tel ensemble existe (Zermelo 1904)&nbsp;: '''L'axiome du choix''' : ''Si E est un ensemble d'ensembles non-vides et disjoints alors il existe un ensemble qui contient un élément et un seul de chacun des éléments de E.'' == Le paradoxe de Russell == Au lieu de l'axiome de séparation de Zermelo, on peut songer à un axiome plus simple&nbsp;: '''L'axiome de Frege''' : ''Si A(x) est une formule bien définie alors l'ensemble de tous les x tels que A(x) existe.'' Cet axiome a été proposé par Frege (1879) pour fonder toutes les mathématiques, mais Russell (1901, publié en 1903) s'est rendu compte qu'il conduisait à une contradiction. ''x n'est pas élément de x'' est une formule bien définie. En général les ensembles ne sont pas éléments d'eux-mêmes, mais il pourrait y avoir des exceptions, comme l'ensemble de tous les ensembles. ''L'ensemble de tous les x tels que x n'est pas élément de x'', de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes, existe, si on adopte l'axiome de Frege. Est-il élément de lui-même&nbsp;? De sa définition il résulte qu'il est élément de lui-même si et seulement si il n'est pas élément de lui-même. C'est une absurdité, donc il ne peut pas exister, donc l'axiome de Frege est faux. La théorie de Zermelo permet de définir des ensembles très grands mais quand même pas l'ensemble de tous les ensembles. Sinon, l'axiome de séparation permettrait de définir l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes et la théorie serait contradictoire. On montrera plus loin qu'elle est vraie et donc cohérente. Elle ne permet donc pas de construire des ensembles paradoxaux qui la conduiraient à une contradiction. Une théorie des ensembles ne permet pas en général de définir l'ensemble de tous les ensembles qu'elle permet de définir. Sinon cet ensemble serait élément de lui-même, et avec l'axiome de séparation, la théorie serait contradictoire, parce que l'ensemble de tous les ensembles définissables dans la théorie qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes serait définissable dans la théorie. Si la théorie est bien définie, l'ensemble de tous les ensembles définissables dans la théorie est lui aussi bien défini, mais il n'est pas définissable dans la théorie. C'est une des raisons de l'incomplétude des fondements des mathématiques. L'ensemble de tous les ensembles définissables dans la théorie de Zermelo n'est pas définissable dans la théorie de Zermelo, mais il est définissable dans une théorie plus puissante. Par exemple, l'axiome de remplacement donne les moyens de le définir. == L'infini indénombrable == Un ensemble est dénombrable lorsqu'on peut identifier tous ses éléments en les numérotant, avec des nombres naturels&nbsp;: 0, 1, 2, 3, 4 ... Un ensemble dénombrable peut être fini ou infini. L'ensemble de tous les nombres naturels est infini dénombrable. Cantor (1874) a prouvé qu'il y a des ensembles infinis encore plus grands. En particulier, l'ensemble des ensembles de nombres naturels n'est pas dénombrable. On le prouve par l'absurde. Supposons que l'ensemble des ensembles de nombres naturels soit dénombrable. Cela veut dire qu'ils peuvent tous être identifiés par un numéro. Définissons alors l'ensemble ''C'' des nombres qui ne sont pas dans l'ensemble qui porte leur numéro et soit ''n'' le numéro de ''C''. Mais si ''n'' n'est pas dans ''C'' alors il est dans ''C'' par définition de ''C''. Donc il doit être dans ''C''. Mais alors il n'est pas dans ''C'', encore par définition de ''C''. ''n'' est dans ''C'' si et seulement si il n'est pas dans ''C''. C'est une absurdité. Donc l'ensemble ''C'' ne peut pas exister. Donc l'ensemble des ensembles de nombres naturels n'est pas dénombrable. L'ensemble des êtres définis et nommés par une théorie est toujours dénombrable, parce que pour définir et nommer on se sert d'un alphabet fini. On peut toujours numéroter les mots formés à partir d'un alphabet fini. Il suffit de les ranger par ordre de longueur, puis par ordre alphabétique pour les mots d'une même longueur. Le numéro d'un mot est alors son numéro d'ordre. L'indénombrabilité est une des raisons de l'incomplétude des fondements des mathématiques. Une théorie ne peut définir qu'un ensemble dénombrable d'ensembles, elle ne peut donc jamais définir tous les éléments d'un ensemble indénombrable, elle ne donne jamais les moyens de remplir complètement les ensembles indénombrables. Deux ensembles ont le même cardinal lorsqu'il existe une bijection de l'un vers l'autre. Cela veut dire qu'on peut identifier tous les éléments de l'un par les éléments de l'autre. Une bijection de E vers F est une fonction qui a E pour domaine et qui est telle que chaque élément de F a un unique antécédent. Deux ensembles finis qui ont le même cardinal ont donc nécessairement le même nombre d'éléments. Le concept de cardinal généralise le concept de nombre d'éléments aux ensembles infinis. Deux ensembles, finis ou infinis, ont le même cardinal si et seulement si ils ont le même nombre d'éléments. Avec cette définition Cantor a fondé une théorie des nombres infinis. Un ensemble est infini dénombrable lorsqu'il a le même cardinal que l'ensemble des nombres naturels. Cantor a montré qu'un ensemble ne peut pas avoir le même cardinal que l'ensemble de ses parties. Il en a conclu qu'il y a de nombreux nombres infinis, pas seulement le nombre des nombres naturels. == Les ensembles bien ordonnés et l'induction infinie == Le concept de bon ordre permet de préciser le concept d'un processus dont chaque étape est déterminée dès que les étapes précédentes ont été franchies. Lorsqu'un tel processus est fini, chacune de ses n étapes peut être numérotée par les nombres naturels de 1 à n. Lorsqu'un processus est infini, chacune de ses étapes peut être identifiée par un élément d'un ensemble bien ordonné. ''Un ensemble E est totalement ordonné si et seulement s'il existe une relation < telle que pour tous les x, y et z dans E, *''si (x<y et y<z) alors x<z *''si x<y alors non y<x *''x<y ou y<x ou x=y Pour qu'un processus par étapes soit déterminé il faut que la première des étapes qui reste à franchir soit toujours déterminée. On exige donc pour l'ordre des étapes qu'un ensemble d'étapes ultérieures ait toujours un premier élément (ou un plus petit élément). Cela conduit à imposer à la relation d'ordre sur E la propriété suivante : ''S'il n'est pas vide, l'ensemble des majorants stricts de toute partie de E a un premier élément.'' (x est un majorant strict de y si et seulement si x est strictement plus grand (ou après) tous les éléments de y.) On peut montrer que la propriété des majorants stricts est équivalente à la suivante (pour un ensemble totalement ordonné) : ''Toute partie non-vide de E a un premier élément.'' Un ensemble est bien ordonné si et seulement si (il est totalement ordonné et chacune de ses parties non-vides a un premier élément). L'ensemble des nombres naturels est le plus petit ensemble infini bien ordonné pour sa relation d'ordre naturelle. On peut définir des ensembles bien ordonnés plus grands simplement en ajoutant des étapes après une succession infinie d'étapes. Le principe du raisonnement par récurrence peut être généralisé à tous les ensembles bien ordonnés : ''Si x est un ensemble qui contient le premier élément d'un ensemble bien ordonné y et qui contient toujours l'élément z de y quand il contient tous les éléments de y strictement avant z alors x contient tous les éléments de y.'' On le prouve par l'absurde : s'il n'est pas vide, l'ensemble de tous les éléments de y qui ne sont pas dans x a un premier élément. L'existence de ce premier élément contredit l'une ou l'autre des conditions sur x. Donc l'ensemble de tous les éléments de y qui ne sont pas dans x est vide. Deux ensembles bien ordonnés E et F représentent le même ordinal si et seulement si ils sont isomorphes, c'est à dire qu'il existe une bijection f de E sur F telle que x<y si et seulement si f(x)<f(y). Comme les cardinaux, les ordinaux peuvent considérés comme des nombres, finis ou infinis. Mais l'arithmétique des ordinaux est plus fine que celle des cardinaux, parce que deux ensembles bien ordonnés infinis peuvent avoir le même cardinal tout en représentant des ordinaux très différents. == Comment les ensembles sont-ils bien définis ? == Hormis l'ensemble vide, tous les ensembles d'une théorie pure des ensembles sont définis à partir d'ensembles antérieurement définis. Les ensembles sont bien définis lorsqu'ils sont toujours définis en respectant les trois conditions suivantes : * Pour un ensemble nouvellement défini, on doit pouvoir donner une liste bien ordonnée d'ensembles, finie ou infinie, telle que chaque ensemble de la liste soit défini à partir des ensembles antérieurement définis. Le premier élément de la liste est toujours l'ensemble vide. Le dernier élément de la liste est l'ensemble nouvellement défini. * Les éléments d'un ensemble nouvellement défini doivent toujours être des ensembles antérieurement définis ou des parties d'ensembles antérieurement définis. * Les vérités atomiques d'appartenance à un ensemble nouvellement défini doivent être déterminées par la définition de l'ensemble et les vérités atomiques d'appartenance aux ensembles antérieurement définis et à leurs parties. À la place de la deuxième condition, on peut songer à une condition plus restrictive : les éléments d'un ensemble nouvellement défini doivent être des ensembles antérieurement définis. Mais cette condition pourrait empêcher de définir l'ensemble des parties d'un ensemble infini, parce qu'il est indénombrable. Comme l'ensemble des parties d'un ensemble bien défini est lui-même bien défini, il faut accepter qu'un ensemble bien défini puisse avoir pour éléments des ensembles qui n'ont pas été antérieurement définis. L'axiome de Frege ne respecte pas la deuxième condition, parce que les éléments d'un ensemble nouvellement défini ne sont pas nécessairement des ensembles antérieurement définis ou des parties de tels ensembles. Dans la formulation de Fraenkel (ZFC) l'axiome de séparation ne respecte pas la troisième condition, parce que l'usage des quantificateurs non-bornés fait que les vérités atomiques d'appartenance à un ensemble nouvellement défini sont déterminées par toutes les vérités atomiques d'appartenance à tous les ensembles, pas seulement par les vérités atomiques d'appartenance aux ensembles antérieurement définis. Pour respecter la troisième condition, il faut que tous les quantificateurs utilisés dans la définition d'un ensemble soient bornés par des ensembles antérieurement définis. Tous les axiomes de construction d'ensembles proposés par Zermelo respectent les trois conditions, pourvu que les quantificateurs soient bornés dans la définition des ensembles construits avec l'axiome de séparation. == Quels sont les ensembles définissables dans la théorie de Zermelo ? == On peut définir tous les nombres naturels naturels à partir d'un nombre initial, zéro, et d'une fonction constructrice de nombres, ''le successeur de''. De même on peut définir tous les ensembles définissables dans la théorie de Zermelo à partir d'ensembles initiaux et de constructrices d'ensembles. Les ensembles initiaux sont l'ensemble vide et l'ensemble de tous les nombres naturels. Les constructrices fondamentales sont ''la paire de'', ''l'ensemble-somme de'', ''l'ensemble des parties de'' et toutes les constructrices en nombre infini qu'on peut définir avec l'axiome de séparation, pourvu que les quantificateurs soient bornés dans la définition des ensembles. Les constructrices sont toutes les compositions finies de constructrices fondamentales. Les ensembles définissables dans la théorie de Zermelo sont tous ceux qu'on obtient en appliquant une de ces constructrice à l'ensemble vide et à l'ensemble des nombres naturels. == L'axiome de remplacement == ''Si R est une relation fonctionnelle bien définie entre ensembles et si E est un ensemble alors on peut remplacer tous les éléments de E par leur image fonctionnelle et obtenir ainsi un ensemble. Plus précisément il existe un ensemble qui contient tous les y tels qu'il existe x dans E tel que Rxy, et seulement eux.'' Une relation est fonctionnelle lorsqu'elle associe toujours un seul élément au même élément : ''Pour tous x, y et z, si Rxy et Rxz alors y=z.'' L'interprétation de l'axiome de Fraenkel pose une difficulté : quand est-ce qu'une relation fonctionnelle est bien définie ? Dans la théorie ZFC, Fraenkel autorise les relations fonctionnelles définies avec des quantificateurs non-bornés, donc des relations fonctionnelles mal définies. Dans la version de Fraenkel, l'axiome de remplacement est donc faux. Pour appliquer correctement l'axiome de Fraenkel, on a besoin d'une théorie des relations fonctionnelles bien définies. == Une théorie des ensembles bien définis == La théorie de Zermelo est une théorie des ensembles bien définis, pourvu qu'on impose la règle des quantificateurs bornés dans les définitions qui construisent des ensembles avec l'axiome de séparation. Mais si on veut développer la théorie des ensembles infinis, elle n'est pas suffisante. ZFC est beaucoup plus puissante mais elle autorise des constructions mal définies. On peut définir une théorie beaucoup plus puissante que celle de Zermelo qui n'autorise que des constructions bien définies en se servant des constructrices fondamentales et de leurs compositions finies. Les constructrices de première espèce construisent des ensembles à partir d'ensembles déjà construits. Les constructrices fondamentales de la théorie de Zermelo (''la paire de, l'ensemble-somme de, l'ensemble des parties de'' et toutes les constructrices qu'on peut définir avec l'axiome de séparation pourvu que tous les quantificateurs soient bornés dans la définition des ensembles) sont des constructrices de première espèce. Les compositions finies de constructrices de première espèce sont aussi des constructrices de première espèce. On introduit deux nouvelles constructrices fondamentales : ''l'ensemble-image par'' et ''l'ensemble obtenu par les itérations finies de'', que l'on abrège en ''l'ensemble infini par''. Ce sont des constructrices de deuxième espèce. Elles construisent des constructrices de première espèce à partir des constructrices de première espèce. Si ''f'' est une constructrice de première espèce à un argument, ''l'ensemble-image par f de'' est une constructrice de première espèce qui pour tout ensemble ''x'' construit ''l'ensemble de tous les y tels qu'il existe z dans x tel que y=f(z)''. ''L'ensemble infini par f de x'' est l'ensemble dont les éléments sont ''x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x)))'' ... pour toutes les itérations finies de ''f''. Une constructrice ''f'' peut être définie par une relation : ''f(x)=y'' ou ''f(x,y)=z'' ou ... Montrons que toutes les constructrices de première espèce de la présente théorie peuvent être définies par des relations dans une théorie pure des ensembles. ''{x,y}=z'' est défini par ''Pour tout w, w est élément de z si et seulement si (w=x ou w=y)'' ''y est l'ensemble-somme de x'' est défini par ''Pour tout z, z est élément de y si et seulement s'il existe w tel que (w est élément de x et z est élément de w)'' ''y est l'ensemble des parties de x'' est défini par ''Pour tout z, z est élément de y si et seulement si z est inclus dans x'' Soit ''A(w, y₁ ... y_n)'' un énoncé dont toutes les variables libres sont ''w, y₁ ... y_n''. On suppose qu'un quantificateur dans ''A(w, y₁ ... y_n)'' est toujours borné par l'un des ''y₁ ... y_n''. L'axiome de séparation affirme que ''Pour tous les y₁ ... y_n et tout x, il existe z tel que pour tout w, w est élément de z si et seulement si (w est élément de x et A(w, y₁ ... y_n))''. Cela revient à affirmer l'existence d'une constructrice ''f'' à n+1 arguments. ''f(x,y₁ ... y_n) = z'' est défini par ''Pour tout w, w est élément de z si et seulement si (w est élément de x et A(w, y₁ ... y_n))''. Toutes les constructrices définies avec l'axiome de séparation sont donc définissables par des relations dans une théorie pure des ensembles. Une constructrice obtenue par composition de constructrices définissables dans la théorie est elle aussi définissable dans la théorie. Par exemple ''g(f(x))=y'' peut être défini par ''Il existe z tel que f(x)=z et g(z)=y'' Soit ''f'' une constructrice de première espèce à un argument et ''R'' la relation qui la définit : ''Rxy si et seulement si f(x)=y'' ''y est l'ensemble-image par f de x'' est défini par ''Pour tout z (z est élément de y si et seulement si il existe w tel que (w est élément de x et Rwz))'' ''x est clos pour R'' (ou pour ''f'') est défini par ''Pour tout y et tout z si y est élément de x et Ryz alors z est élément de x'' ''y est l'ensemble infini par f de x'' est défini par ''x est élément de y et y est clos pour R et pour tout z si (x est élément de z et z est clos pour R) alors y est inclus dans z'' On en conclut que toutes les constructrices de première espèce de la présente théorie peuvent être définies par des relations dans une théorie pure des ensembles. Pour fonder une théorie des ensembles bien définis, on retient tous les axiomes de Zermelo, sauf l'axiome de l'infini, et on leur ajoute deux schémas d'axiomes : l'axiome de remplacement et un axiome de l'infini généralisé. *'''L'axiome de remplacement''' : ''Si R est une relation qui définit une constructrice de première espèce à un argument alors pour tout x il existe y tel que pour tout z (z est élément de y si et seulement si il existe w tel que (w est élément de x et Rwz))'' *'''Un axiome de l'infini généralisé''' : ''Si R est une relation qui définit une constructrice de première espèce à un argument alors pour tout x il existe y tel que (x est élément de y et y est clos pour R et pour tout z si (x est élément de z et z est clos pour R) alors y est inclus dans z)'' Toutes les constructrices de première espèce sont obtenues par composition finie des constructrices fondamentales : ''la paire de, l'ensemble-somme de, l'ensemble des parties de, l'ensemble infini par, l'ensemble-image par'' et toutes les constructrices définies avec l'axiome de séparation pourvu que tous les quantificateurs soient bornés dans la définition des ensembles. L'ensemble de tous les ensembles définissables dans cette théorie est obtenu en appliquant toutes les constructrices de première espèce à l'ensemble vide. On peut enrichir cette théorie avec un axiome de l'infini plus puissant qui autorise l'induction infinie pour n'importe quel ordinal. == Les preuves de cohérence == Une théorie est cohérente, ou non-contradictoire, ou consistante, lorsqu'elle ne permet jamais de prouver à la fois une formule et sa négation, sinon elle est incohérente, contradictoire, absurde, inconsistante. Bien sûr on attend d'une théorie mathématique qu'elle soit cohérente. Une théorie incohérente ne permet pas de faire la différence entre le vrai et le faux. Pour prouver qu'une théorie est cohérente, la façon la plus directe est simplement de prouver qu'elle est vraie, c'est à dire que tous ses théorèmes sont vrais. Une théorie vraie ne peut pas être incohérente, parce que si une formule est vraie, sa négation est fausse et n'est donc pas vraie. Pour prouver que tous les théorèmes d'une théorie sont vrais, il suffit de prouver que tous ses axiomes sont vrais, parce que les conséquences logiques des formules vraies sont toujours vraies. La vérité mathématique d'une formule est toujours définie à partir d'un modèle, un être théorique qui existe en tant qu'être pensé. Être mathématiquement vrai, c'est être vrai d'un modèle mathématique. Pour prouver qu'une théorie est cohérente, il suffit donc de prouver que ses axiomes sont vrais pour un modèle théorique. == La vérité des axiomes de Peano == On définit un modèle d'une théorie en définissant un ensemble de vérités atomiques. Une formule est atomique lorsqu'elle ne contient pas de connecteurs logiques. Les formules atomiques de l'arithmétique de Peano sont les égalités entre expressions numériques, et les formules qui affirment que les expressions numériques sont des nombres naturels. Une expression numérique est formée à partir de ''0'', ''s'', ''+'' et ''.'' Par exemple ''ss0+ss0=ssss0'' (2+2=4) est une formule atomique, et elle est vraie. Il en va de même pour ''s0+(ss0.ss00) est un nombre naturel''. L'ensemble de toutes les égalités numériques vraies peut être construit de nombreuses façons. C'est un peu laborieux, parce qu'il faut se donner suffisamment de règles pour engendrer toutes ces vérités élémentaires, sans en oublier aucune, mais ce n'est pas très difficile, parce que c'est très élémentaire. Il est donc clair que cet ensemble de vérités atomiques existe. Tous les axiomes de Peano sont vrais pour ce modèle, d'une façon évidente ou facile à prouver. Comme une théorie vraie est nécessairement cohérente, on prouve du même coup la cohérence des axiomes de Peano. == Un modèle des axiomes de Zermelo == On peut définir un modèle des axiomes de Zermelo en prenant comme univers d'ensembles l'ensemble ''M'' défini comme suit&nbsp;: Soit ''S(x) = x U P(x)'', la réunion de ''x'' et de l'ensemble de ses parties. ''M'' est la réunion de ''N'' avec ''S(N)'', ''S(S(N))'' ... c'est à dire de tous les ''Sⁿ(N)'' pour tout nombre naturel ''n''. Montrons que tous les axiomes sont vrais pour cet univers ''M'' d'ensembles. De la définition de ''M'', il résulte immédiatement que l'axiome de l'ensemble vide et l'axiome de l'infini y sont vrais. Comme ''Sⁿ(N)'' est inclus dans ''Sⁿ⁺¹(N)'', ''Sⁿ(N)'' est inclus dans ''S^p(N)'' si ''n''<''p''. Soient ''x'' et ''y'' deux éléments de ''M''. On doit donc avoir ''n'' et ''p'' tels que ''x'' est élément de ''Sⁿ(N)'' et ''y'' est élément ''S^p(N)''. Si ''n''<=''p'', ''x'' et ''y'' sont tous les deux dans ''S^p(N)'' et leur paire est donc dans ''S^p+1(N)''. Si ''n''>=''p'', {''x'',''y''} est dans ''Sⁿ⁺¹(N)''. L'axiome de la paire est donc vrai dans ''M''. Montrons par récurrence qu'un élément d'un élément de ''S^p(N)'' est aussi élément de ''S^p(N)''. L'énoncé est vrai pour ''N''=''S⁰(N)'' parce que tout nombre naturel ''n''={0 ... n-1}. Comme les éléments des éléments de ''P(x)'' sont dans ''x'', l'énoncé est vrai pour ''Sⁿ⁺¹(N)'' s'il est vrai pour ''Sⁿ(N)'', donc il est vrai pour tout nombre naturel ''n''. Il en résulte que la somme d'un élément de ''Sⁿ(N)'' est incluse dans ''Sⁿ(N)'' et est donc un élément de ''Sⁿ⁺¹(N)''. L'axiome de la somme est donc vrai dans ''M''. Il en résulte également que les parties d'un élément de ''Sⁿ(N)'' sont toutes incluses dans ''Sⁿ(N)'' et donc toutes éléments de ''Sⁿ⁺¹(N)''. L'ensemble des parties d'un élément de ''Sⁿ(N)'' est donc inclus dans ''Sⁿ⁺¹(N)'' et est donc un élément de ''Sⁿ⁺²(N)''. L'axiome de l'ensemble des parties est donc vrai dans ''M''. L'axiome de séparation est nécessairement vrai dans ''M'', puisque toutes les parties des éléments de ''M'' sont des éléments de ''M''. Si ''E'' est une ensemble d'ensembles non-vides et disjoints et s'il est dans ''Sⁿ(N)'' alors l'ensemble qui choisit un élément de chacun des éléments de ''E'' est inclus dans ''Sⁿ(N)'', puisque les éléments des éléments de ''E'' sont dans ''Sⁿ(N)'', et il est donc un élément de ''Sⁿ⁺¹(N)'', donc dans ''M''. Donc l'axiome du choix est vrai dans ''M''. De la vérité de ses axiomes pour l'ensemble ''M'', on peut conclure que la théorie de Zermelo est cohérente. Il y a cependant une différence entre cette preuve de cohérence et la précédente, sur la cohérence de l'arithmétique. On n'a pas construit explicitement l'ensemble des vérités atomiques. On n'a pas nommé tous les éléments du modèle et on n'a pas dit comment engendrer l'ensemble des formules atomiques vraies pour tous ces éléments. On ne peut pas le faire, parce que l'ensemble ''M'' est indénombrable. Faut-il en conclure que cette preuve de cohérence est sans valeur&nbsp;? Non. Mais elle éveille un doute. Sommes-nous bien sûrs que l'ensemble que nous construisons existe&nbsp;? Parler d'ensembles dont on ne peut même pas nommer tous les éléments, n'est-ce pas prendre le risque de l'absurdité&nbsp;? Nous savons que les ensembles indénombrables existent parce que nous pouvons y penser. Rien n'interdit de penser à l'ensemble de tous les ensembles de nombres naturels. On peut même le voir en imagination&nbsp;: L'arbre binaire infini est construit en partant d'une racine, qui se sépare en deux branches, l'une à gauche, l'autre à droite, qui à leur tour se séparent en deux branches, et ainsi de suite à l'infini. Un chemin qui part de la racine et ne s'arrête jamais définit un ensemble de nombres naturels. Si à l'étape ''n'' le chemin prend la branche à gauche alors ''n'' fait partie de l'ensemble, mais pas si le chemin prend la branche à droite. L'ensemble de tous les chemins de l'arbre binaire infini est donc une représentation de l'ensemble de tous les ensembles de nombres naturels. Or on peut voir en imagination l'arbre binaire infini en le regardant se déployer à l'horizon. On peut donc voir tous ses chemins d'un seul coup d'œil, et ils sont indénombrables. Il y a un nombre indénombrable de points sur une ligne, même si elle est de longueur finie. Comme on peut voir des lignes et des surfaces, on peut voir l'indénombrable. Pour que la preuve de cohérence des axiomes de Zermelo soit fausse, il faudrait que nous ayons tort de concevoir les ensembles indénombrables, qu'à notre insu les raisonnements sur l'indénombrable nous conduisent à l'absurdité. Mais pourquoi craindre qu'on puisse être ainsi dupé par notre propre raison&nbsp;? Il semble bien qu'on ne commet aucune erreur quand on raisonne sur l'ensemble des parties d'un ensemble, même s'il est infini. Pour formaliser la preuve de cohérence des axiomes de Zermelo il suffit d'ajouter aux axiomes de Zermelo un élargissement de l'axiome de l'infini&nbsp;: ''Il existe un ensemble qui contient N et qui contient toujours x U P(x) quand il contient x''. On obtient ainsi une théorie plus puissante qui permet de prouver la cohérence de la précédente. Si on veut prouver la cohérence de cette nouvelle théorie, il suffit de se donner un nouvel axiome de l'infini&nbsp;: ''Il existe un ensemble qui contient M et qui contient toujours x U P(x) quand il contient x''. On peut définir ainsi une suite de théories toujours plus puissantes telles que la cohérence de l'une peut toujours être prouvée par la suivante. == Il n'y a pas de modèle ultime pour les théories des ensembles == On définit un modèle pour une théorie des ensembles lorsqu'on définit un ensemble d'ensembles tel que tous les axiomes sont vrais quand les quantificateurs non-bornés sont interprétés comme des quantificateurs bornés à cet ensemble d'ensembles. L'ensemble d'ensembles joue le rôle d'univers de tous les ensembles étudiés dans la théorie. Un modèle naturel pour une théorie des ensembles est de prendre la réunion de tous les ensembles définissables dans la théorie (''M'' est un tel modèle naturel pour la théorie de Zermelo). Mais ce modèle ne peut pas être un modèle ultime, parce qu'il ne permet pas de définir une vérité ultime. Quand on énonce un théorème qui porte sur tous les ensembles, sa vérité va au delà de la vérité sur la réunion de tous les ensembles définissables dans la théorie. On veut qu'il soit vrai même pour des ensembles qui ne sont pas définissables dans la théorie, parce qu'on veut qu'il soit vrai vraiment pour tous les ensembles, pourvu qu'ils soient bien définis. Pour avoir un modèle ultime, il faudrait pouvoir bien définir l'ensemble de tous les ensembles bien définis, mais ce n'est pas possible, parce qu'il serait élément de lui-même. On peut songer à définir un modèle ultime <math>V</math> pour une théorie des ensembles de la façon suivante : <math>V_0 = \varnothing</math> où <math>\varnothing</math> est l'ensemble vide {}. <math>V_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P} (V_\beta)</math> pour chaque ordinal α, où <math>\mathcal{P} (X) \!</math> est l'ensemble des parties de <math>X</math>. La classe <math>V</math> est alors définie comme la réunion de tous les <math>V_\alpha</math> pour tous les ordinaux α : <math> V = \bigcup_{\alpha} V_\alpha</math> Mais cette classe n'est pas bien déterminée. Pour qu'elle le soit il faudrait que la classe de tous les ordinaux soit bien déterminée au préalable. Or un ordinal est essentiellement un ensemble bien ordonné. On ne peut pas définir la classe de tous les ensembles à partir de celle de tous les ordinaux, parce que la seconde est définie à partir de la première. Pour les théories des nombres ou d'autres êtres mathématiques particuliers, la vérité des axiomes est toujours établie par référence à un modèle. On a un modèle qui nous sert de critère pour la vérité des axiomes. Pour les théories des ensembles, on ne peut pas avoir de modèle ultime, mais on a quand même un critère de vérité. Il faut que les ensembles dont nous prouvons l'existence soient ou bien bien définis, ou bien que leur existence résulte de celle des ensembles bien définis. Faute d'un modèle ultime, c'est l'exigence de bonnes définitions qui nous sert de critère de vérité. == L'incomplétude des fondements == Kurt Gödel a prouvé, en 1931, que nous ne pouvons pas donner explicitement une liste complète de tous les principes mathématiques. Plus précisément, une liste explicite de principes ne peut jamais suffire pour prouver toutes les vérités mathématiques, même si on se limite aux vérités sur les nombres naturels. C'est le premier théorème d'incomplétude de Gödel. L'incomplétude des principes est nécessaire. Elle ne vient pas de notre manque d'imagination ou de travail. Les mathématiciens sont capables de donner des listes d'axiomes très puissants, qui suffisent en général pour prouver toutes les vérités qu'on souhaite prouver, mais ces listes sont incomplètes au sens où elles ne suffisent pas pour prouver toutes les vérités mathématiques. Elles peuvent être enrichies avec de nouveaux axiomes plus puissants mais elles ne peuvent jamais être définitivement complétées. Il y aura toujours des vérités mathématiques qu'elles ne permettent pas de prouver. Ce théorème d'incomplétude est parfois interprété à tort comme une preuve qu'il y a des vérités que nous ne pourrons jamais connaître, qu'il y a des questions sensées auxquelles nous ne pourrons jamais répondre, qu'il y a des solutions que nous ne pourrons jamais trouver. Cette interprétation commet une faute de logique. Gödel a prouvé que pour toute théorie ''T'' cohérente et définie par une liste explicite d'axiomes il existe au moins une vérité ''V'' que ''T'' ne peut pas prouver. Mais cela ne prouve pas qu'il existe une vérité ''V'' qu'aucune théorie ne peut prouver. De fait, quand on a trouvé une vérité ''V'' improuvable dans une théorie ''T'', il est en général très facile de définir une théorie ''T+'', en ajoutant à ''T'' un nouvel axiome, qui permet de prouver ''V''. Le principe de Hilbert (1930), « Nous devons savoir, nous saurons », tient toujours, même après Gödel. Rien ne permet d'affirmer qu'il y a des vérités mathématiques que nous ne pourrons jamais connaître. On est en général très étonné la première fois qu'on entend parler du théorème d'incomplétude de Gödel, parce qu'on est habitué à identifier vérité mathématique et prouvabilité. Nous savons qu'un théorème est vrai quand nous savons le prouver. Mais cet étonnement est facilement dissipé quand on comprend qu'une liste explicite d'axiomes ne peut pas suffire pour prouver l'existence de tous les êtres mathématiques, même si on se limite à des êtres très élémentaires, les ensembles de nombres naturels. Le théorème de Cantor, ''l'ensemble des ensembles de nombres naturels n'est pas dénombrable'', peut être considéré comme le premier théorème sur l'incomplétude des principes, parce qu'il montre qu'une théorie ne permet jamais de définir explicitement tous les ensembles de nombres naturels. Plus généralement, dès que les ensembles sont indénombrables, une théorie ne permet jamais dé définir explicitement tous leurs éléments. Une théorie ne permet pas de prouver tous les énoncés vrais qu'elle énonce parce qu'elle ne peut jamais définir assez d'ensembles pour donner ces preuves. Par exemple, on applique le principe du raisonnement par récurrence aux ensembles de nombres naturels. Si des ensembles ne sont pas définis dans la théorie, on ne peut pas s'en servir pour définir des formules avec lesquelles raisonner par récurrence. On peut en conclure que l'incomplétude mathématique est une conséquence de l'indénombrabilité. On prouvera le premier théorème d'incomplétude de Gödel d'une façon qui élimine les difficultés techniques et permet de se concentrer sur le cœur de l'argument, un énoncé vrai qui dit de lui-même qu'il est improuvable. Gödel prouve que cet énoncé est vrai sous l'hypothèse où la théorie ''T'' qui permet de le formuler est vraie. Mais cette preuve de la vérité de l'énoncé "improuvable" ne peut pas être formalisée dans ''T''. L'énoncé est improuvable à partir des axiomes de ''T'' mais il n'est pas absolument improuvable, puisque Gödel a prouvé sa vérité. Pour formaliser cette preuve, on a besoin d'une théorie qui prouve que les axiomes de ''T'' sont vrais. Or Tarski a prouvé qu'une théorie ne peut jamais définir un prédicat de vérité pour elle-même. C'est pourquoi la preuve de l'énoncé "improuvable" ne peut pas être formalisée dans ''T''. Le théorème de l'indénombrabilité de l'ensemble des ensembles de nombres naturels de Cantor, les théorèmes d'incomplétude de la prouvabilité de Gödel, le théorème d'indéfinissabilité de la vérité de Tarski, et les théorèmes d'indécidabilité de Church et Turing sont tous des manifestations de la même incomplétude mathématique. On terminera en montrant que l'incomplétude des principes mathématiques n'est finalement pas très étonnante, parce que si on savait trouver toutes les solutions d'un problème indécidable, on aurait une sorte d'omniscience, on saurait comment trouver toutes les solutions de tous les problèmes. == Le premier théorème d'incomplétude de Gödel == La preuve ici proposée n'est pas conventionnelle. Gödel raisonne sur une théorie arithmétique. Il montre que les formules peuvent être représentées par des nombres et que les relations de conséquence logique entre formules peuvent alors être représentées par des relations entre des nombres. Toute la difficulté technique de sa preuve vient de là&nbsp;: montrer que les relations logiques entre formules peuvent être déterminées par des relations numériques entre les nombres qui représentent ces formules. On élimine cette difficulté en raisonnant non sur une théorie des nombres mais d'emblée sur une théorie des formules. Rien n'interdit de faire une théorie qui permet de raisonner sur ses propres formules. Cette façon de faire n'est pas aussi convaincante que celle de Gödel, parce qu'elle ne prouve pas que la théorie des nombres est incomplète mais seulement qu'une bizarre théorie de ses propres formules est incomplète. On pourrait même croire que l'énoncé paradoxal qui est au cœur de la preuve vient seulement de la bizarrerie de la théorie et craindre qu'elle ne soit pas cohérente, donc pas une bonne théorie mathématique. Cette crainte n'est pas fondée. Si on s'y prend correctement, il est facile de faire une théorie mathématique vraie et donc cohérente qui énonce des vérités sur ses propres formules. C'est la façon la plus facile et la plus rapide de prouver l'incomplétude mathématique. Mais cela ne suffit pas pour prouver l'incomplétude de la théorie des nombres. La preuve qui suit est identique à celle de Gödel, sauf sur un point, qu'on raisonne sur une théorie des formules, et donc que les formules ne sont pas représentées par des nombres. ''T'' est une théorie qui considère ses propres formules comme des individus, ou des objets. Elle contient le prédicat binaire ''est une conséquence logique de'' et admet parmi ses axiomes les [[Précis d'épistémologie/ Principes logiques|principes logiques]]. Toute liste finie de prémisses peut être identifiée à une unique formule, leur conjonction. Elle a aussi d'autres prédicats et d'autres axiomes qui permettent de raisonner sur la façon dont les formules sont construites. En particulier, elle doit permettre de définir un prédicat ''est une formule à une variable libre''. Les formules qui ont des variables libres ne sont ni vraies, ni fausses. Il faut attribuer des valeurs à leurs variables ''f'', ''x'', ''y'' ... avant que leur vérité puisse être décidée. Par exemple ''f est une formule'' est une formule à une variable libre ''f''. La théorie ''T'' doit aussi permettre de définir un prédicat ternaire défini par ''g est obtenu à partir d'une formule f à une variable libre en substituant x à toutes les occurrences de sa variable''. On suppose que tous les axiomes ont été correctement choisis, donc qu'ils sont vrais, et suffisants pour prouver les vérités formelles les plus élémentaires. Une fois que la liste de ses axiomes est définie, ''T'' permet de définir un prédicat ''est prouvable dans T'', parce que pour être prouvable, il suffit d'être une conséquence logique d'une conjonction finie d'axiomes. ''T'' permet alors de définir le prédicat suivant : ''Gödel(f)'' égale par définition à ''f est une formule à une variable libre et il existe g tel que g n'est pas prouvable dans T et g est obtenu à partir de f en substituant f à toutes les occurrences de sa variable libre''. ''Gödel(f)'' est une formule à une variable libre ''f'', parce que la variable ''g'' est liée par le quantificateur existentiel. On peut alors prouver que ''Gödel(Gödel(f))'' est un énoncé vrai mais improuvable dans ''T''. ''Gödel(Gödel(f))'' veut dire par définition ''Gödel(f) est une formule à une variable libre et Gödel(Gödel(f)) n'est pas prouvable dans T''. Si ''Gödel(Gödel(f))'' était prouvable dans T alors elle serait fausse, puisqu'elle dit d'elle-même qu'elle n'est pas prouvable dans ''T''. Or on a supposé que tous les axiomes de ''T'' sont vrais. Tous les théorèmes de ''T'', c'est à dire les énoncés prouvables dans ''T'', sont donc également vrais. Il en résulte que ''Gödel(Gödel(f))'' ne peut pas être un théorème de ''T'' et donc qu'elle est vraie, puisque c'est exactement ce qu'elle affirme. On a donc trouvé un énoncé vrai et improuvable dans ''T''. Pour transposer cette preuve à la théorie des nombres il suffit de montrer que les prédicats ''est prouvable dans la théorie des nombres'' et ''g est obtenu à partir d'une formule f à une variable libre en substituant x à toutes les occurrences de sa variable'' peuvent être représentés par des relations arithmétiques entre les nombres qui représentent des formules. Note technique : pour formuler correctement la théorie ''T'' il faut faire attention à l'usage des variables de formule. ''f'' est une variable de formule, mais elle n'est pas à elle toute seule une formule bien formée de ''T''. Il en résulte que ''Pour toute formule f, f'', par exemple, n'est pas non plus une formule bien formée de ''T''. Une formule bien formée doit toujours contenir des prédicats constants appliqués à des constantes ou des variables. En outre, quand une formule ''A(f)'' est appliquée une autre formule ''B(f)'', c'est à dire qu'on a formé ''A(B(f))'', la variable ''f'' est libre dans ''B(f)'' mais pas dans ''A(B(f))'', parce que ''B(f)'' y est une constante. == Incomplétude et indénombrabilité == La preuve du théorème de Gödel ressemble à celle du théorème de Cantor, parce qu'une formule à une variable libre peut être considérée comme le nom de l'ensemble de tous les êtres pour lesquels elle est vraie. La preuve de Gödel définit l'ensemble de tous les nombres pour lesquels il n'est pas prouvable qu'ils sont dans l'ensemble nommé par la formule qu'ils numérotent. Il n'est a priori pas évident que l'incomplétude de Gödel résulte de l'indénombrabilité de l'ensemble des ensembles de nombres. L'énoncé vrai et improuvable de Gödel porte seulement sur les nombres, pas sur les ensembles de nombres. On aurait pu espérer que l'arithmétique permette de prouver toutes les vérités qui ne portent que sur des nombres, qu'elle n'a pas besoin pour cela de prouver l'existence de tous les ensembles de nombres. Mais cet espoir est vain. Pour prouver des vérités arithmétiques, on se sert du principe du raisonnement par récurrence, qu'on peut énoncer comme suit&nbsp;: ''Si un ensemble de nombres contient zéro et s'il contient toujours le successeur de chacun de ses éléments alors il contient tous les nombres naturels.'' Une théorie des nombres qui ne porte pas explicitement sur les ensembles de nombres applique ce principe aux formules à une variable libre. Celles-ci servent à représenter les ensembles de nombres. Il n'est pas étonnant qu'une théorie explicite ne puisse jamais prouver toutes les vérités sur les nombres, parce qu'il y a toujours des ensembles de nombres qu'elle ne permet pas de définir et qui peuvent être nécessaires pour prouver certaines vérités sur les nombres. Un énoncé vrai sur les nombres est improuvable lorsque la théorie ne permet pas de définir l'ensemble de nombres dont on a besoin pour le prouver. La suite montrera que pour l'énoncé vrai et improuvable de Gödel, l'ensemble qui manque est l'ensemble des numéros des vérités arithmétiques. == Le théorème d'indéfinissabilité de la vérité de Tarski == On peut dire la vérité en disant simplement ce qu'on a à dire, mais on peut aussi la dire en insistant d'une façon redondante et en disant que ce qu'on dit est vrai. Nous nous servons d'un prédicat de vérité que nous pouvons attribuer ou non à tout ce que nous disons. Tarski (1933) a prouvé qu'un tel prédicat de vérité ne peut pas exister dans une théorie mathématique si elle est vraie. Commençons par raisonner comme plus haut sur une théorie T qui parle de ses propres formules. Si ''T'' contenait un prédicat de vérité ''Il est vrai que'', alors les formules ''Il est vrai que f si et seulement si f'' seraient vraies pour toutes les formules ''f'' de ''T''. Il est vrai que la neige est blanche si et seulement si la neige est blanche, par définition de la vérité. C'est avec ce principe que Tarski a fondé une théorie de la vérité mathématique (Tarski 1933) que l'on comprend aujourd'hui comme la théorie des modèles. Montrons par l'absurde qu'un prédicat de vérité ne peut pas exister dans la théorie ''T'' si elle est vraie. Supposons qu'un prédicat ''est vraie'' soit défini dans ''T'' pour toutes les formules de ''T''. Définissons la formule ''Tarski(f)'' à une variable libre par ''f est une formule à une variable libre et il existe une formule g telle que g n'est pas vraie et g est obtenue à partir de f par substitution de f à toutes les occurrences de sa variable libre''. ''Tarski(Tarski(f)'' veut dire par définition que ''Tarski(Tarski(f))'' n'est pas vraie. ''Tarski(Tarski(f))'' est vraie si et seulement si elle n'est pas vraie, ce qui est une absurdité. Donc le prédicat ''est vraie'' ne peut pas exister dans la théorie ''T'' si elle est vraie. Pour transposer cette preuve à la théorie des nombres il suffit de raisonner sur le prédicat ''est le numéro d'une formule vraie''. Une théorie des nombres ne permet jamais de définir un tel prédicat si elle est vraie. Tarski est à la fois le théoricien qui a su définir la vérité mathématique et qui a prouvé qu'elle est indéfinissable dans toutes les théories mathématiques. Le théorème de Tarski fournit une autre preuve, indirecte, du premier théorème d'incomplétude de Gödel&nbsp;: si une théorie permet de définir un prédicat de sa propre prouvabilité et si tous ses théorèmes sont vrais, alors il doit y avoir au moins un énoncé vrai et improuvable, sinon le prédicat de prouvabilité serait un prédicat de vérité. == Comment prouver l'improuvable ? == Revenons à la théorie ''T'' qui permet de définir un prédicat de prouvabilité ''est prouvable dans T'' et un énoncé vrai et improuvable dans ''T''. En présentant cet énoncé "improuvable" nous avons prouvé qu'il était vrai. La preuve est facile mais elle repose sur l'hypothèse que la théorie ''T'' est elle-même vraie. Or la théorie ''T'' ne permet pas de définir un prédicat de vérité pour elle-même, si elle est vraie, seulement un prédicat de prouvabilité. On ne peut donc pas formaliser la preuve informelle de l'énoncé "improuvable" avec les moyens de la théorie ''T''. C'est pourquoi cet énoncé prouvable est improuvable dans ''T''. Mais la définition de la vérité mathématique par Tarski permet de définir une théorie ''T+'' avec un prédicat de vérité limité à ''T''&nbsp;: ''est une formule vraie de T''. La preuve informelle de l'énoncé vrai et improuvable dans ''T'' peut alors être formalisée dans ''T+''. L'énoncé improuvable dans ''T'' est donc un théorème prouvé dans ''T+''. Mais bien sûr ''T+'' n'est pas une théorie complète, parce qu'on peut trouver un nouvel énoncé vrai et improuvable dans ''T+'' qui requiert un prédicat de vérité limité à ''T+'' pour être prouvé. Pour formaliser dans ''T+'' la preuve informelle, on doit prouver dans ''T+'' que tous les théorèmes de ''T'' sont vrais. On le prouve en raisonnant par récurrence. Si un ensemble de formules contient tous les axiomes de ''T'' et toutes les conséquences logiques immédiates de ses éléments alors il contient tous les théorèmes de ''T'', par définition de l'ensemble des théorèmes de ''T''. Il suffit donc de prouver que tous les axiomes de ''T'' sont vrais, et que les conséquences logiques immédiates de formules vraies sont également vraies, pour prouver que tous les théorèmes de ''T'' sont vrais. Mais pour formaliser cette preuve informelle on a besoin dans ''T+'' d'un prédicat de vérité pour les formules de ''T''. Pour transposer cette preuve à la théorie des nombres il suffit de raisonner sur le prédicat ''est le numéro d'une formule vraie de la théorie''. On peut toujours enrichir une théorie arithmétique avec de nouveaux axiomes pour que ce prédicat de vérité, limité à la théorie initiale, soit définissable. On peut ainsi prouver dans la théorie enrichie l'énoncé vrai et improuvable dans la théorie initiale. Il suffit de formaliser la preuve informelle. == Le second théorème d'incomplétude de Gödel == Gödel a prouvé qu'une théorie cohérente ne peut jamais prouver sa propre cohérence. Ce second théorème d'incomplétude de Gödel est souvent interprété à tort. On croit que les preuves de cohérence sont très difficiles, ou inaccessibles, ou qu'elles ne pourraient jamais être rationnellement justifiées parce qu'elles seraient dans un cercle vicieux. Mais il y a une explication beaucoup plus directe. Les preuves de cohérence sont parfois très faciles à trouver, et irréfutables, sans aucune erreur de logique, et sans que le moindre doute puisse subsister, mais elles ne peuvent pas être formalisées à l'intérieur de la théorie dont la cohérence est prouvée, parce qu'elles requièrent un prédicat de vérité pour cette théorie. Le théorème de Tarski de l'indéfinissabilité d'un prédicat de vérité explique donc le second théorème d'incomplétude de Gödel. '''Le second théorème d'incomplétude de Gödel''' : ''Une théorie vraie ne peut pas prouver sa propre cohérence.'' Raisonnons sur la théorie ''T'' et son énoncé vrai et improuvable dans ''T'', ''Gödel(Gödel(f))''. Montrons par l'absurde que ''T'' ne peut pas prouver sa propre cohérence. Si elle le pouvait elle pourrait prouver que ''Gödel(Gödel(f)) et non Gödel(Gödel(f))'' n'est pas prouvable dans ''T''. Or elle peut prouver ''Si non Gödel(Gödel(f)) alors (Gödel(Gödel(f)) est prouvable dans T)'' par définition de ''Gödel(f)''. Elle pourrait donc prouver ''Si non Gödel(Gödel(f)) alors (non Gödel(Gödel(f)) n'est pas prouvable dans T)''. Mais ''non Gödel(Gödel(f))'' veut dire que ''Gödel(Gödel(f))'' est prouvable dans ''T'' par définition de ''Gödel(f)''. Donc ''T'' pourrait prouver ''Si non Gödel(Gödel(f)) alors ((Gödel(Gödel(f)) est prouvable dans T) n'est pas prouvable dans T''. En outre ''T'' peut prouver que ''Pour toute formule f, si f est prouvable dans T alors la formule qui affirme que f est prouvable dans T est prouvable dans T''. C'est un point parfois considéré comme difficile dans la preuve de Gödel. Mais pour la théorie ''T'' il est presque évident, parce qu'en donnant une preuve d'un théorème on prouve en même temps qu'il est prouvable. Comme ''T'' peut prouver ''Si non Gödel(Gödel(f)) alors (Gödel(Gödel(f)) est prouvable dans T)'', elle peut aussi prouver ''Si non Gödel(Gödel(f)) alors ((Gödel(Gödel(f)) est prouvable dans T) est prouvable dans T)''. Comme ''T'' pourrait tirer des conclusions contradictoires à partir de ''non Gödel(Gödel(f))'', elle pourrait prouver ''Gödel(Gödel(f))'' par l'absurde. Mais ''Gödel(Gödel(f))'' affirme d'elle-même qu'elle n'est pas prouvable dans ''T''. Donc ''T'' ne serait pas vraie. Il en résulte que ''T'' ne peut pas prouver sa propre cohérence si elle est vraie. On peut transposer ce raisonnement à la théorie des nombres en numérotant les formules. == Les preuves de cohérence sont-elles prises dans un cercle vicieux ? == Les preuves de cohérence qui exhibent une modèle sont formalisées dans une théorie ''T₊'' plus forte que la théorie ''T₀'' dont elles prouvent la cohérence, parce qu'elles définissent l'ensemble des vérités de ''T₀'' et que cet ensemble ne peut pas être défini dans ''T₀''. Si une théorie est absurde, toute théorie obtenue en rajoutant des axiomes est également absurde. Une théorie absurde peut tout prouver, une affirmation et son contraire, y compris que l'absurde n'est pas absurde. Notre méthode pour prouver la cohérence d'une théorie ne permet donc pas de faire la différence entre les théories cohérentes et les théories incohérentes, puisqu'une théorie "plus forte" qu'une théorie incohérente pourrait prouver qu'elle est cohérente. C'est pourquoi on croit parfois que de telles preuves ne prouvent rien, mais on se trompe. On ne raisonne pas sur n'importe quelle théorie ''T₀'' dont on ignorerait tout. ''T₀'' est l'arithmétique de Peano ou la théorie de Zermelo, ou d'autres théories que l'on choisit pour fonder notre savoir mathématique. On sait d'avance que ces théories nous permettent de prouver des vérités, parce que sans elles nous n'aurions pas de savoir mathématique, et il semble assez clair que nous en avons. Si on est très pessimiste on peut craindre que nos théories formelles aient accueilli à notre insu des fautes de formulation qui pourraient conduire à des contradictions. Mais on ne doute pas que ces théories nous révèlent souvent la vérité, sauf si on renonce au savoir mathématique. Quand on prouve que les théories formelles sont vraies et cohérentes, on confirme ce que nous croyons déjà intuitivement. Et on se prouve à soi-même que nos facultés naturelles de raisonnement sont suffisantes pour raisonner correctement sur la raison. Ce n'est donc pas un cercle vicieux. C'est le cercle vertueux de la raison qui se comprend elle-même. == Les théories, les logiciels et les ensembles récursivement énumérables == Il existe une correspondance très étroite entre les théories mathématiques et les logiciels, les programmes informatiques. Quand on a défini explicitement une théorie, on peut toujours écrire un programme qui prouve tous ses théorèmes. Il suffit qu'il imprime d'une façon ordonnée tous les axiomes et toutes les conséquences logiques immédiates des formules qu'il a précédemment imprimées. Cette méthode de recherche de preuves n'a qu'un intérêt théorique. En pratique, l'ordinateur imprimerait un déluge de formules sans intérêt avant de trouver un théorème qui mérite d'être écrit. Et même avec les ordinateurs les plus puissants, il faudrait en général attendre un temps démesuré pour trouver ainsi des preuves ou des réfutations de conjectures intéressantes. On peut donner plusieurs définitions, toutes équivalentes, des ensembles récursivement énumérables. Les conditions suivantes, choisies parmi de nombreuses autres, définissent toutes les trois l'énumérabilité récursive d'un ensemble ''E''&nbsp;: * Toutes les vérités atomiques d'appartenance à ''E'' sont des théorèmes, des énoncés prouvables, d'une théorie explicite. * Il existe un logiciel qui répond toujours oui lorsqu'on lui présente le nom d'un élément de ''E'', et qui ne répond pas, ou qui répond non, lorsqu'on lui présente le nom d'un être qui n'est pas dans ''E''. * Il existe un nombre fini d'expressions de départ et un nombre fini de règles de production (Smullyan 1961) qui suffisent pour engendrer toutes les vérités atomiques d'appartenance à ''E''. L'ensemble des théorèmes d'une théorie explicite est toujours un ensemble récursivement énumérable. Si on présente un théorème à un logiciel chercheur de preuves, il finira toujours par reconnaître que c'est un théorème, parce qu'il examine toutes les preuves possibles, aussi longues soient-elles. Si on lui présente un non-théorème, il ne répondra pas, parce qu'il cherchera pour l'éternité une preuve qui n'existe pas. == Les ensembles et les problèmes indécidables == Les ensembles récursivement énumérables sont toujours dénombrables. Comme tous leurs éléments peuvent être nommés, on peut toujours définir leur complémentaire dans l'ensemble de tous les êtres nommés, dès qu'on s'est fixé un système de désignation. Un ensemble est décidable lorsque lui-même et son complémentaire sont récursivement énumérables, sinon il est indécidable. Un problème est indécidable lorsque l'ensemble de ses solutions est indécidable. Un exemple d'ensemble indécidable est l'ensemble de toutes les vérités dans l'arithmétique de Peano. Le premier théorème d'incomplétude de Gödel prouve que cet ensemble de vérités n'est pas récursivement énumérable et donc pas décidable. S'il était récursivement énumérable, on pourrait trouver une liste complète d'axiomes qui suffise pour prouver toutes les vérités arithmétiques, mais Gödel a prouvé qu'une telle liste ne peut pas exister. Dire qu'un problème est indécidable ne veut pas dire que nous sommes incapables de le résoudre, ni qu'il a des solutions que nous ne trouverons jamais, cela veut seulement dire qu'il n'existe pas de théorie explicitement définie qui apporte toutes les solutions du problème. Les théories que nous définissons ne peuvent résoudre un problème indécidable que partiellement, jamais totalement. Avec les problèmes indécidables, nous n'en aurons jamais fini, c'est la galère assurée pour l'éternité. Mais nous pouvons quand même chercher et trouver des solutions, et aucune solution n'est a priori inaccessible. Il suffit d'être suffisamment créatif pour inventer une théorie qui permette de la trouver. L'incomplétude des principes mathématiques vient de l'existence des ensembles indécidables. Si tous les ensembles de vérités étaient récursivement énumérables, on pourrait donner des listes d'axiomes qui suffisent pour les trouver toutes. Mais l'indécidabilité montre que les ensembles de vérités ne sont pas toujours récursivement énumérables. == Machines et théories universelles == Un ordinateur programmable est une machine universelle, au sens où elle est capable d'exécuter tous les programmes concevables. Si le programme est écrit une fois pour toutes, en mémoire morte (ROM, Read Only Memory), l'ordinateur est seulement une machine particulière. Une machine universelle peut faire tout ce que les autres machines, universelles ou particulières, peuvent faire. Il suffit de lui donner le programme. Toutes les machines universelles sont donc essentiellement équivalentes. Elles peuvent toutes faire exactement les mêmes choses. En pratique, les ordinateurs sont limités par leur puissance de calcul et par leur espace de stockage. Mais la puissance de calcul n'est qu'un problème de rapidité et l'espace de stockage peut en principe être agrandi sans limites. Il suffit d'imaginer un ordinateur monté sur un robot qui se déplace dans une base de données qu'on peut toujours agrandir. Une théorie universelle est une théorie qui permet de prouver tout ce que les autres théories permettent de prouver. Par exemple, la logique peut être formalisée comme une théorie universelle. Il suffit de se donner suffisamment d'[[Précis d'épistémologie/ Principes logiques|axiomes]] pour que toutes les formules vraies de la forme ''C est une conséquence logique de P'' soient prouvable, pour toutes les formules bien formées ''C'' et ''P''. Comme n'importe quel théorème de n'importe quelle théorie est toujours prouvé à partir d'une conjonction finie d'axiomes, la logique ainsi formalisée est une théorie universelle. En prouvant que les relations logiques entre formules peuvent être représentées par des relations arithmétiques entre des nombres qui représentent les formules, Gödel a prouvé que l'arithmétique est elle aussi une théorie universelle, même si on la limite à l'arithmétique de Peano au premier ordre. L'existence des théories universelles pose un paradoxe. Comme toute théorie explicite, une théorie ''U'' universelle ne peut pas prouver toutes les vérités. Ces vérités qu'elles ne peut pas prouver sont en principe prouvables dans une théorie plus riche ''U+'', qui a davantage d'axiomes. Mais comme la théorie initiale ''U'' est universelle, elle peut prouver tout ce que ''U+'' peut prouver, ce qui semble contraire à l'hypothèse que ''U+'' est plus riche que ''U''. En particulier, la preuve de cohérence de l'arithmétique du premier ordre peut être formalisée dans l'arithmétique du premier ordre, puisqu'elle peut être formalisée dans une théorie explicite et puisque l'arithmétique du premier ordre est une théorie universelle. Mais le second théorème d'incomplétude de Gödel semble interdire une telle possibilité. L'explication de ce paradoxe est un peu subtile. La théorie ''U+'' peut être formalisée dans ''U'', mais ''U'' "ne sait pas" que ''U+'' est un enrichissement de ''U'', c'est à dire que ''U'' peut prouver que tous les théorèmes de ''U+'' sont des théorèmes de ''U+'' mais elle ne peut pas prouver que les théorèmes de ''U+'' valent pour elle-même. ''U'' peut donc formaliser la preuve de sa propre cohérence sans le dire explicitement, sans affirmer qu'il s'agit de sa propre cohérence. == L'indécidabilité du problème de l'arrêt == '''Le problème de l'arrêt''' : ''Étant donnés un programme informatique et un état initial de la mémoire, l'ordinateur va-t-il s'arrêter et fournir une réponse, ou va-t-il tourner indéfiniment sans jamais donner de réponse&nbsp;?'' On a supposé que l'ordinateur n'est pas limité en espace de stockage et qu'il ne subit pas d'influence extérieure pendant qu'il calcule. Turing a prouvé que le problème se l'arrêt est indécidable (1936). L'ensemble des couples (programme, état initial) d'une machine qui s'arrête est récursivement énumérable, parce qu'un ordinateur peut simuler tous les autres. Si on lui présente un programme et un état initial, il n'a qu'à faire tourner le programme sur l'état initial et attendre qu'il s'arrête. S'il s'arrête, l'ordinateur répond qu'il s'arrête. S'il ne s'arrête pas, l'ordinateur ne s'arrête pas et ne répond pas. En revanche l'ensemble des couples (programme, état initial) d'une machine qui ne s'arrête pas n'est pas récursivement énumérable. On le prouve par l'absurde. S'il était récursivement énumérable, il y aurait un programme ''P'' tel que pour tout couple (programme ''p'', état initial ''i''), la machine s'arrête et répond que ''p'' ne s'arrête pas à partir de ''i'' à chaque fois que c'est vrai. Un programme peut être écrit en mémoire et est donc lui aussi un état initial possible. À partir de ''P'' on pourrait alors écrire un programme ''P' '' tel que pour tout programme ''p'', la machine s'arrête et répond que ''p'' ne s'arrête pas à partir de l'état initial ''p'' à chaque fois que c'est vrai. Et on pourrait donner ''P' '' comme état initial de la mémoire de la machine qui tourne avec ''P' ''. Cette machine va-elle s'arrêter ? Par construction, elle s'arrête si et seulement si elle ne s'arrête pas. C'est une absurdité. Donc ''P' '' ne peut pas exister, et donc ''P'' non plus. L'ensemble des couples (programme, état initial) d'une machine qui ne s'arrête pas n'est donc pas récursivement énumérable. Le problème de l'arrêt est donc indécidable. == L'indécidabilité de l'ensemble des lois logiques == L'ensemble des lois logiques est une théorie universelle, parce qu'une formule est une théorème d'une théorie si et seulement si l'affirmation qu'elle résulte d'une conjonction finie de ses axiomes est une loi logique. En connaissant toutes les lois logiques, on connaît donc tous les théorèmes de toutes les théories. Lorsqu'une théorie est définie avec un nombre fini d'axiomes, une formule n'est pas un théorème si et seulement si l'affirmation qu'elle résulte de la conjonction des axiomes n'est pas une loi logique. Les théories fondamentales (l'arithmétique de Peano, la théorie de Zermelo ...) sont en général définies avec des schémas d'axiomes. L'axiome de séparation par exemple est un schéma qui permet de formuler autant d'axiomes qu'il y a de formules sensées, en nombre infini. Il en va de même pour le principe du raisonnement par récurrence quand on le formule dans l'arithmétique du premier ordre. Mais ces théories qui ont un nombre infini d'axiomes sont toujours équivalentes à des théories qui n'en ont qu'un nombre fini. En introduisant des classes, qui sont comme des ensembles, mais trop grandes pour être vraiment considérées comme des ensembles, à la façon de Gödel et Bernays, la théorie de Zermelo n'a plus qu'un nombre fini d'axiomes. Même quand les théories ont un nombre infini d'axiomes, on exige toujours qu'il y ait un nombre fini de principes ou de règles qui suffisent pour engendrer mécaniquement tous les axiomes, sinon la théorie n'est pas explicite. C'est pourquoi les théories explicites sont toujours équivalentes à des théories à nombre fini d'axiomes. Si l'ensemble des lois logiques était décidable, tous les ensembles récursivement énumérables seraient décidables&nbsp;: Toutes les vérités d'appartenance à un ensemble ''E'' récursivement énumérable sont des théorèmes d'une théorie à nombre fini d'axiomes. Le complémentaire de ''E'' est donc l'ensemble de tous les ''x'' tels que ''Si les axiomes alors x est dans E'' n'est pas une loi logique. Si l'ensemble des lois logiques était décidable, cet ensemble serait récursivement énumérable, et donc ''E'' serait décidable. La preuve de l'indécidabilité du problème de l'arrêt montre qu'il existe au moins un ensemble récursivement énumérable qui n'est pas décidable. L'ensemble des lois logiques n'est donc pas décidable. La preuve du premier théorème d'incomplétude permet de prouver plus directement l'indécidabilité de l'ensemble des lois logiques. Si l'ensemble des lois logiques était décidable, la théorie ''T'' pourrait avoir assez d'axiomes pour prouver toutes les formules vraies de la forme ''f n'est pas une conséquence logique de g''. Elle pourrait donc prouver toutes les formules vraies de la forme ''f n'est pas prouvable dans T''. Comme ''Gödel(Gödel(f))'' n'est pas prouvable dans ''T'', elle pourrait le prouver. Mais ''Gödel(Gödel(f))'' dit d'elle même qu'elle n'est pas prouvable dans ''T''. ''T'' pourrait alors prouver que ''Gödel(Gödel(f))'' n'est pas prouvable dans ''T'', ce qui est absurde. Donc l'ensemble des lois logiques est indécidable. L'indécidabilité de l'ensemble des lois logiques, ou de l'''Entscheidungsproblem'' (Hilbert 1928) a été prouvée indépendamment et avec des méthodes différentes par Church et Turing en 1936. == L'universalité est la cause de l'indécidabilité == Les problèmes dont nous savons prouver l'indécidabilité sont toujours des problèmes complets, au sens où si nous avions une méthode pour trouver toutes leurs solutions, nous aurions du même coup une méthode pour résoudre tous les problèmes. De ce point de vue, l'incomplétude des principes mathématiques n'est finalement pas très étonnante. On n'est pas obligé de la voir comme un signe d'incapacité, parce qu'elle est une conséquence de l'universalité de la pensée. Nous pouvons raisonner sur tous les problèmes, sur toutes les théories. Nous pouvons énoncer des lois universelles qui valent pour tout ce qui est concevable et pensable. Mais nous n'avons pas de méthodes ou de principes qui suffisent pour résoudre tous les problèmes. Nos méthodes, même les plus puissantes, ne peuvent pas tout résoudre. Nous ne sommes que des créatures. Savoir trouver toutes les solutions d'un problème indécidable serait une sorte d'omniscience, parce qu'on saurait du même coup comment trouver toutes les solutions de tous les problèmes. Une [[Précis d'épistémologie/Principes logiques|liste finie de principes]] suffit pour engendrer toutes les lois logiques. C'est le théorème de complétude de la logique de Gödel. L'ensemble des lois logiques est donc récursivement énumérable. Mais puisque l'ensemble des lois logiques est indécidable, l'ensemble des formules qui ne sont pas des lois logiques n'est pas récursivement énumérable. Les lois logiques sont vraies dans tous les mondes possibles. Les négations des lois logiques sont des absurdités, fausses dans tous les mondes possibles. Une formule qui n'est ni une loi logique, ni la négation d'une loi logique, est vraie dans certains mondes et fausse dans d'autres, elle décrit des mondes possibles, des mondes qu'on peut imaginer. Tout système fini d'axiomes qui décrit un monde possible est tel que la négation de sa conjonction n'est pas une loi logique. L'ensemble des formules qui ne sont ni des lois logiques, ni des absurdités est l'ensemble de tous les axiomes et de tous les systèmes finis d'axiomes qui portent sur au moins un monde qu'on peut imaginer. Dire qu'il n'est pas récursivement énumérable veut dire qu'on ne peut pas donner une liste finie de principes qui suffise pour engendrer toutes ces systèmes d'axiomes. L'imagination déborde tous les cadres. Quelle que soit la liste finie de principes qu'on se donne, il y a toujours des mondes possibles qu'elle ne permet pas d'étudier. L'incomplétude mathématique est donc une conséquence de l'universalité et de la puissance de l'imagination. {{AutoCat}} 8u58h3qzpu635gkkw8pl1hn3kn8c3y2 0 79378 769524 699295 2026-07-15T13:36:18Z Xhungab 23827 769524 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc matrices/e02| '''Application''']] Installer ces fichiers dans votre répertoire de travail. '''Ce fichier est spécifique pour ce travail. Il ne doit pas être conservé avec la bibliothèque.'''.'. {{Fichier|dstrct.h|largeur=70%|info=|icon=Crystal Clear mimetype source h.png}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as : dstrct.h */ /* ------------------------------------ */ typedef struct { double xmini; double xmaxi; double ymini; double ymaxi; }W_Ctrl, *PW_Ctrl; /* ------------------------------------ */ W_Ctrl i_WGnuplot( double xmini, double xmaxi, double ymini, double ymaxi ) { W_Ctrl w = {xmini,xmaxi,ymini,ymaxi}; return (w); } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> {{AutoCat}} iwjtbi51n4d613zec8u81opjyz1nz0a 0 80591 769564 713961 2026-07-16T07:26:34Z Thierry Dugnolle 50384 /* Voir aussi */ 769564 wikitext text/x-wiki == Le paradoxe de la course après la lumière == La lumière s'éloigne de nous à 300 000 km/s. Si une fusée va à 200 000 km/s pour poursuivre la lumière, celle-ci s'éloigne de la fusée toujours à la vitesse de 300 000 km/s, et non à 100 000 km/s comme on pouvait s'y attendre. On ne peut jamais ni rattraper la lumière, ni modifier sa vitesse de fuite. La vitesse de la lumière dans le vide est une constante universelle : elle est la même pour tous les observateurs, qu'ils soient sur la Terre ou dans une fusée. La contraction des longueurs, le ralentissement des horloges et la relativité de la simultanéité suffisent pour montrer que le paradoxe de la course après la lumière ne conduit pas à une contradiction. == Les roues relativistes == Tous les solides en mouvement sont contractés dans la direction de leur mouvement. Cet effet est appréciable lorsque leur vitesse s'approche de celle de la lumière. C'est la contraction de Fitzgerald. Elle est une conséquence de la géométrie de l'espace-temps, découverte par Einstein avec sa théorie de la relativité. [[File:Length-contraction.svg]] Un cerceau qui tourne sur lui-même tellement vite que la vitesse de sa circonférence approche celle de la lumière a donc un diamètre plus petit que le même cerceau au repos. Il en va de même pour une roue, si ses rayons sont beaucoup plus souples que sa circonférence. Si la roue tourne sur elle-même, ses rayons ne subissent pas la contraction de Fitzgerald, parce que leur mouvement est perpendiculaire à leur longueur, mais ils peuvent être comprimés par la pression de la circonférence. Si une roue roule sur le sol avec une vitesse proche de la lumière, la base de la roue n'est pas contractée, parce que sa vitesse est nulle par rapport au sol. En revanche le sommet de la roue est fortement contracté : [[File:Relativistic wheels.gif]] ''Remarque'' : la lumière n'est pas le seul moyen pour former des images. L'empreinte d'un pied sur du sable mouillé est une image du pied. L'imprimerie fabrique quotidiennement des images par contact. Dans l'animation ci-dessus, on a supposé que les images des roues sont obtenues par contact (par exemple en projetant leur ombre sur un mur de photodétecteurs à leur contact), pas par l'intermédiaire d'un œil ou d'un autre système optique. == Les dispositifs de mesure spatio-temporelle == Un règle rigide, ou un compas, permet de mesurer la distance entre ses extrémités en la comparant à d'autres distances. Une règle rigide est donc un dispositif de mesure d'une longueur, ou d'un intervalle, spatial. Le point important est que la règle soit rigide, pour que la distance mesurée soit toujours la même. On peut concevoir sur le même modèle des dispositifs de mesure des intervalles spatio-temporels. Une simple horloge est un tel dispositif. Elle permet de pointer deux événements qui sont toujours séparés par la même durée. On peut aussi se servir de deux horloges fixées à un même support rigide, chacune étant utilisée pour pointer un certain événement. Si le dispositif qui déclenche les deux horloges est régulier, l'intervalle spatio-temporel entre les deux événements pointés peut être toujours le même. De tels dispositifs permettent de mesurer l'espace-temps de la même façon que les règles rigides permettent de mesurer l'espace. Un intervalle est du genre temps lorsqu'il est sur la trajectoire d'un point matériel massif. Il est du genre lumière lorsqu'il est sur la trajectoire d'un rayon de lumière dans le vide. Tous les autres intervalles sont du genre espace. Lorsqu'un intervalle est du genre espace, il existe toujours un repère inertiel pour lequel ses extrémités sont des événements simultanés. Les dispositifs de mesure spatio-temporels permettent de mesurer les trois genres d'intervalle. Une seule horloge suffit pour mesurer les intervalles du genre temps. Deux horloges fixées sur une règle rigide et convenablement synchronisées permettent de mesurer des intervalles du genre espace ou genre lumière. == Tous les intervalles du genre lumière sont égaux == La théorie permet d'attribuer un nombre réel à tous les intervalles spatio-temporels, quel que soit leur genre, ou plus précisément à leur carré. Les intervalles du genre lumière en particulier sont tous égaux à zéro et donc tous égaux entre eux. C'est a priori surprenant. Cela veut dire par exemple que l'intervalle spatio-temporel entre l'émission d'un photon et sa réception trois mètres plus loin est égal à l'intervalle entre son émission et sa réception trois années-lumière plus loin, comme si le photon en avançant ne s'éloignait jamais de son point de départ. N'est-ce pas le pays des merveilles ? Les dispositifs de mesure spatio-temporelle et le ralentissement des horloges permettent de comprendre ce résultat contre-intuitif. Imaginons une fusée lancée vers une étoile à trois années-lumière de la Terre. Un photon est émis à l'arrière de la fusée et il est reçu à l'avant, trois mètres plus loin, du point de vue de la fusée, donc une infime fraction de seconde plus tard. Mais à cause du ralentissement des horloges, ce qui dure une infime fraction de seconde du point de vue de la fusée peut durer trois années du point de vue de la Terre, pourvu que la fusée soit suffisamment rapide. Le même dispositif spatio-temporel mesure à la fois un intervalle lumière de trois années-lumière et un intervalle lumière de trois mètres. Il établit ainsi leur égalité. == Le paradoxe de la double contraction des longueurs == Une longue poutre en mouvement peut-elle entrer dans une grange plus courte qu'elle, puisque sa longueur est contractée dans le sens de son mouvement ? [[File:Pole-and-barn-paradox-intro.svg|390px]] Mais la grange est aussi contractée dans le sens de son mouvement : [[File:Pole-and-barn-paradox-pole-system.svg|390px]] Si Y est en mouvement par rapport à X, il est contracté dans la direction de son mouvement du point de vue de X. Mais si Y est en mouvement par rapport à X, X est également en mouvement par rapport à Y, et il est également contracté dans la direction de son mouvement du point de Y. Si par exemple AB et CD sont deux règles rigides de même longueur quand elles sont au repos et qui glissent l'une sur l'autre, CD est plus courte que AB du point de vue de AB : '''A---B''' '''C--D''' et AB est plus courte que CD du point de vue de CD : '''A--B''' '''C---D''' C'est le paradoxe de la double contraction des longueurs. Pour comprendre pourquoi ce paradoxe ne conduit pas à une contradiction, il faut prendre en compte la relativité de la simultanéité : Soient E, F et G trois points immobiles, tels que F est le milieu entre E et G et EF = 3 m. Soient P, Q et R trois points animés de la vitesse v par rapport à EFG. On suppose qu'à l'instant t= 0, P, Q et R coïncident avec E, F et G respectivement : '''E---F---G''' '''P---Q---R''' Supposons qu'un flash lumineux est émis en F à l'instant t= 0. À l'instant t = 10^-8 s, il arrive simultanément en E et G, du point de vue de EFG, parce que EF = FG. À cet instant P, Q et R se sont déplacés : '''E---F---G''' '''-P---Q---R''' Du point de vue de PQR, le flash émis en Q à l'instant t = 0, arrive simultanément en P et R, parce que PQ = QR, mais il n'arrive pas simultanément en E et G, parce qu'à l'instant où il arrive en G, QE est plus grand que QG, et le flash n'est donc pas encore arrivé en E. La simultanéité de deux évènements dépend donc du point de vue. Ce qui est simultané du point de vue d'un observateur ne l'est pas forcément du point de vue d'un autre observateur en mouvement par rapport au premier. La simultanéité n'est pas absolue mais relative. C'est pourquoi on appelle cette théorie la théorie de la relativité. Soient AB et CD deux règles rigides de même longueur quand elles sont au repos et qui glissent l'une sur l'autre. Du point de vue de AB, à l'instant où C passe par A, D n'est pas encore arrivé en B. C'est pourquoi CD est contractée par rapport à AB du point de vue de AB : '''A---B''' '''C--D''' Du point de vue de CD, à l'instant où C passe par A, D est déjà passé par B. C'est pourquoi AB est contractée par rapport à CD du point de vue de CD : '''A--B''' '''C---D''' La relativité de la simultanéité résout donc le paradoxe de la double contraction des longueurs : [[File:Pole-and-barn-paradox.svg|390px]] Le paradoxe du double ralentissement des horloges est semblable au précédent : une horloge I en mouvement par rapport à une horloge H est ralentie du point de vue de H. Mais du point de vue de I, c'est l'horloge H qui est ralentie par rapport à I. La relativité de la simultanéité suffit pour montrer que ce paradoxe ne conduit pas à une contradiction. Si b est une horloge est à la périphérie d'un disque en rotation d'un disque en rotation, elle est ralentie par rapport à une horloge a qui reste au centre : [[File:Clocks-on-rotating-disc.svg|390px]] Mais la situation n'est pas symétrique entre a et b, parce qu'il y a un référentiel d'inertie où a est toujours au repos, mais il n'y en a pas pour b. C'est pourquoi un astronaute qui ferait un long voyage très rapide pourrait revenir sur Terre plusieurs siècles après que son jumeau soit mort. Il en va de même pour les cerceaux et les roues relativistes. Il n'y a pas de référentiel inertiel où leur périphérie est toujours au repos. La situation n'est pas symétrique entre un observateur au repos par rapport au centre du cerceau et qui ne tourne pas sur lui-même, et un observateur qui tourne sur lui-même avec le cerceau, parce que le référentiel du second n'est pas inertiel. C'est pourquoi un cerceau qui tourne sur lui-même est vraiment contracté par rapport au même cerceau qui ne tourne pas sur lui-même. La contraction des longueurs, le ralentissement des horloges et la relativité de la simultanéité suffisent pour montrer que le paradoxe de la course après la lumière ne conduit pas à une contradiction, parce que la mesure de la vitesse de la lumière dépend de la mesure des longueurs, des durées et de la simultanéité. Les instruments de mesure embarqués dans la fusée sont contractés et ralentis quand la fusée accélère, et la mesure de la simultanéité est modifiée. C'est pourquoi la lumière peut conserver toujours la même vitesse par rapport à la fusée : [[File:Lorentz transformation of trains of flashing lights.gif]] Toutes les lumières d'un même train clignotent simultanément du point de vue d'un observateur au repos dans le train, mais elles ne clignotent pas simultanément pour un observateur qui voit passer le train. La propagation de la lumière est représentée par le mouvement des lignes oranges. Si la longueur d'un train est l'unité de longueur et la période du clignotement, l'unité de temps, alors la vitesse de la lumière c = 1. On peut voir que les trains en mouvement sont contractés, que les horloges en mouvement sont ralenties et que la lumière a toujours la même vitesse égale à un, quel que soit le point de vue de l'observateur, au repos, ou dans un train en mouvement. [[File:Lorentz transformation of trains of flashing lights 2.gif]] '''Diagrammes d'espace-temps d'une rencontre entre deux trains de lumières clignotantes''' Sur ces diagrammes d'espace -temps, l'espace est représenté par la direction horizontale, le temps par la direction verticale. Des points sur une même verticale sont des évènements qui se produisent au même lieu. Le temps s'écoule vers le haut. Des points sur une même horizontale sont des évènements qui se produisent au même instant. Si c = 1, la propagation de la lumière est représentée par des droites inclinées à 45° (ici les droites oranges). Tous ces diagrammes peuvent être obtenus à partir d'un seul d'entre eux par une transformation de Lorentz : <math>x'=\gamma(x- v t)</math> <math>t'=\gamma(t- v x / c ^ 2)</math> où <math>\gamma = 1 / (1 - v ^2 / c ^2) ^{1/2}</math> est le coefficient de dilatation des durées. <math>1/\gamma</math> est le coefficient de contraction des longueurs. <math>v</math> est la vitesse relative des deux référentiels qui déterminent une transformation de Lorentz. == L'addition des vitesses == Si B va à la vitesse u par rapport à A et si C va dans la même direction à la vitesse v par rapport à B, alors C va à la vitesse u+v par rapport à A. Ce théorème d'addition des vitesses est un théorème de la physique newtonienne, qui ignore la contraction des longueurs, le ralentissement des horloges et la relativité de la simultanéité. Si on tient compte de ces trois effets relativistes, le théorème d'addition des vitesses devient : Si B va à la vitesse u par rapport à A et si C va dans la même direction à la vitesse v par rapport à B, alors C va à la vitesse (u + v)/(1 + uv/c²) par rapport à A, où c est la vitesse de la lumière. Si v = c, (u + v)/(1 + uv/c²) = (u + c)/(1 + u/c) = c, la vitesse de la lumière par rapport à A est donc toujours égale à la vitesse de la lumière par rapport à B, quelle que soit la vitesse de A par rapport à B. == Voir aussi == [[Électricité et magnétisme]] [[Électricité et magnétisme/E = m c²|E = m c²]] [[Physique et mathématiques visuelles/Gravitation|Gravitation]] [[Physique et mathématiques visuelles/Qu'est-ce qu'un référentiel spatio-temporel ?|Qu'est-ce qu'un référentiel spatio-temporel ?]] {{AutoCat}} kt1so9glmvm7m1hby8bw4smolh8j39p 0 83034 769554 768149 2026-07-15T17:27:47Z PandaMystique 119061 769554 wikitext text/x-wiki {{DicoPhilo|Altérité|lecture=oui}} L{{'}}'''altérité''' (du latin tardif ''alteritas'', « le fait d'être autre », formé sur ''alter'', « l'autre » de deux, par opposition à ''alius'', « un autre » parmi plusieurs) désigne le caractère de ce qui est autre, de ce qui se distingue d'une identité de référence, que cette altérité lui demeure extérieure ou qu'elle traverse sa constitution même. Rencontrer un visage inconnu, entendre une langue que l'on ne comprend pas, se heurter à une coutume qui déconcerte : chaque fois s'éprouve la présence de ce que nous ne sommes pas. En philosophie, cette notion interroge la nature de la différence, les modalités de reconnaissance de l'autre dans sa spécificité, et les enjeux éthiques, ontologiques et politiques que soulève notre rapport à ce qui n'est pas nous-même. == Définition conceptuelle == L'altérité se définit d'abord en opposition à l'identité : alors que l'identité renvoie à ce qui demeure identique à soi, l'altérité désigne ce qui est différent, ce qui se distingue du même. Dans le langage philosophique, l'altérité ne se réduit pas à une simple différence numérique ou qualitative entre des objets. Elle pose la question première de la relation à l'autre en tant qu'autre, c'est-à-dire en tant qu'irréductible à soi, à mes propres catégories de pensée ou à mon propre point de vue<ref>Jacques Lévy et Michel Lussault (dir.), ''Dictionnaire de la géographie et de l'espace des sociétés'', Paris, Belin, 2013, art. « Altérité ».</ref>. Un exemple aide à saisir la nuance : deux exemplaires d'un même livre sont numériquement distincts, et en ce sens autres l'un que l'autre, mais cette altérité formelle ne met rien en jeu ; le voyageur qui découvre une civilisation lointaine, lui, se trouve devant une altérité qui met en cause ses évidences. La philosophie étudie aussi bien cette altérité formelle que les formes existentielles, intersubjectives et culturelles dans lesquelles la rencontre de l'autre met en cause nos évidences. La notion d'altérité se distingue de celle d'autrui, bien que les deux soient étroitement liées. Autrui désigne spécifiquement l'autre personne humaine, l'autre conscience ou l'autre [[Dictionnaire de philosophie/Sujet|sujet]], tandis que l'altérité peut s'appliquer à tout ce qui est autre : choses, êtres vivants non humains, cultures, idées. Autrui est ainsi un cas particulier de l'altérité, celui qui concerne la relation intersubjective entre êtres humains<ref>Jean-Paul Sartre, ''L'être et le néant'', Gallimard, 1943.</ref>. == Origines antiques de la notion == === Platon et le Sophiste === [[Fichier:Plato, MC 571, Roman - Musei Capitolini - Rome, Italy - DSC05999.jpg|vignette|Buste de Platon, copie romaine d'après un original grec, Musei Capitolini, Rome.]] C'est dans la philosophie grecque que la notion d'altérité trouve ses premières formulations conceptuelles rigoureuses. Dans le [[s:Le Sophiste|''Sophiste'']], Platon accomplit un renversement conceptuel en faisant de l'altérité une catégorie ontologique première. Confronté au défi éléatique qui affirmait que seul l'être est, et que le non-être ne peut être ni pensé ni dit, Platon introduit la notion d'altérité (''heteron'', ἕτερον) comme l'un des cinq genres suprêmes de l'être, aux côtés de l'être, du même, du repos et du mouvement<ref>Platon, ''Le Sophiste'', 254d-259d, trad. Nestor Cordero, Flammarion, 1993.</ref>. L'innovation platonicienne consiste à montrer que le non-être ne signifie pas l'absence pure et simple, mais l'altérité. Dire qu'une chose n'est pas quelque chose d'autre ne revient pas à affirmer son néant, mais à reconnaître sa différence. Comme l'Étranger d'Élée l'explique dans le dialogue, « lorsque nous disons le non-être, nous ne disons pas quelque chose de contraire à l'être, mais seulement quelque chose d'autre »<ref>Platon, ''Le Sophiste'', 257b.</ref>. Cette distinction permet de résoudre le problème de la prédication : dire « le cheval n'est pas un homme » ne signifie pas que le cheval est néant, mais qu'il participe d'une autre forme. L'altérité devient ainsi la condition de possibilité du discours et de la [[Dictionnaire de philosophie/Vérité|vérité]]. C'est parce que les formes intelligibles, les Idées, peuvent être autres les unes par rapport aux autres, tout en étant, qu'elles peuvent s'entrelacer et se séparer, rendant possible le discours vrai. L'altérité n'est donc pas un défaut ou une privation de l'être, mais une dimension constitutive de la réalité intelligible. === Aristote : l'altérité dans la pluralité des êtres === [[Fichier:Aristotle Altemps Inv8575.jpg|vignette|Aristote, copie romaine d'après un original de Lysippe, Palazzo Altemps, Rome.]] [[Dictionnaire de philosophie/Aristote|Aristote]] reprend et développe la réflexion sur l'altérité en la situant dans le cadre de sa théorie des catégories. Pour le Stagirite, « autre » (''heteron'', ἕτερον) se dit en autant d'acceptions que « un », « même » ou « être », c'est-à-dire selon chaque catégorie<ref>Aristote, ''Métaphysique'', Δ, 1018a, trad. Jules Tricot, Vrin, 1991.</ref>. L'altérité devient ainsi une notion transversale qui traverse toutes les modalités de l'être. Aristote distingue toutefois l'autre du différent. Est autre ce qui n'est pas le même ; est différent ce qui, tout en étant autre, demeure comparable sous un certain rapport, par le genre, l'espèce, la matière, la définition ou l'analogie. Il ne pose pas encore la question dans les termes modernes du sujet et de l'intersubjectivité : il traite surtout l'altérité dans le cadre de la pluralité des êtres et de leurs modes de distinction. Cette approche mesurée annonce néanmoins les débats ultérieurs sur la possibilité de penser l'autre sans le ramener au même. == L'altérité à la Renaissance : la découverte du Nouveau Monde == La longue tradition ontologique se prolonge, mais un événement en déplace le centre de gravité. Avec les grandes navigations, l'altérité ne se présente plus seulement comme une catégorie logique ou ontologique : elle devient aussi une épreuve historique. L'Europe se trouve face à des peuples entiers dont elle ignorait l'existence, et doit décider quel statut leur accorder. === Le choc de 1492 et la légitimité de la conquête === Lorsque Christophe Colomb aborde les Antilles, il ne rencontre pas seulement des terres nouvelles, mais des hommes qu'aucun schéma reçu ne permettait d'anticiper. La question qui s'ouvre est moins spéculative que pratique : de quel droit conquiert-on ces terres, fait-on la guerre à leurs habitants, les soumet-on et les convertit-on de force ? Le statut de ces peuples, leur capacité de raison et de foi, se discute, mais l'enjeu premier reste la légitimité de la domination et de ses méthodes. En 1537, la bulle ''Sublimis Deus'' du pape Paul III tranche sur le plan doctrinal en affirmant que les Indiens sont des êtres rationnels, capables de recevoir la foi, et qu'on ne saurait les priver de leur liberté ni de leurs biens<ref>Paul III, bulle ''Sublimis Deus'', 1537.</ref>. La reconnaissance de principe n'empêchera pourtant ni la conquête ni l'exploitation, et la démographie indigène s'effondre au cours du siècle, moins par les armes que par le choc microbien de maladies contre lesquelles ces populations n'étaient pas immunisées<ref>Sur l'assimilation, l'exploitation et l'effondrement démographique d'origine épidémique, voir Arturo Horcajo et Carlos Horcajo, ''La question de l'altérité du XVI{{e}}&nbsp;siècle à nos jours'', Ellipses, coll. « Réseau », 2000.</ref>. === La controverse de Valladolid === Le débat culmine dans la junte réunie à Valladolid, à la demande de Charles Quint, en 1550 et 1551. Deux thèses s'y affrontent, portées par deux hommes, mais confrontées devant la junte plutôt qu'échangées en face à face. Le théologien Juan Ginés de Sepúlveda soutient la légitimité de la guerre contre les Indiens en invoquant la doctrine aristotélicienne de l'esclavage par nature : certains peuples, par leur rusticité, seraient faits pour obéir, et leur soumission servirait leur propre bien. Face à lui, le dominicain Bartolomé de Las Casas, ancien colon devenu défenseur des opprimés, récuse cette application : les Indiens ont leurs lois, leurs cités, leurs arts, ils sont des hommes à part entière, et rien n'autorise à les asservir<ref>Bartolomé de Las Casas, ''Très brève relation de la destruction des Indes'' (1552) ; sur la junte, voir Tzvetan Todorov, ''La conquête de l'Amérique. La question de l'autre'', Seuil, 1982.</ref>. Aucune sentence claire ne clôt la controverse, mais elle marque un moment rare : pour la première fois avec cette ampleur, une puissance conquérante délibère publiquement sur les droits de ceux qu'elle domine. L'altérité de l'autre y devient un problème de justice, non plus seulement de connaissance. === Montaigne et le renversement du « barbare » === Montaigne consacre aux peuples du Nouveau Monde deux chapitres des ''Essais'', [[s:Essais/Livre I/Chapitre 31|« Des cannibales »]] (I, 31) et « Des coches » (III, 6). Sa démarche déplace le regard. Partant de la diversité des mœurs, il retourne le mot même de « barbare » contre ceux qui l'emploient : « chacun appelle barbarie ce qui n'est pas de son usage », observe-t-il, et nos cruautés d'Européens, guerres et supplices, valent bien celles que nous imputons aux « sauvages ». La leçon est celle d'un relativisme des coutumes : nul n'est juge dans sa propre cause, et l'étranger nous renvoie l'image de nos propres partis pris. Cette générosité a pourtant sa limite, que Tzvetan Todorov a mise au jour. En faisant du cannibale un modèle de simplicité et de vertu, Montaigne risque cependant de transformer l'autre en miroir critique de sa propre société. Il s'appuyait pourtant sur des récits de voyage et sur sa rencontre, à Rouen, avec trois Amérindiens : l'autre effectivement croisé demeure partiellement recouvert par la figure idéale qu'il construit<ref>Tzvetan Todorov, ''Nous et les autres. La réflexion française sur la diversité humaine'', Seuil, 1989, ch. « Montaigne » ; sur les sources de Montaigne et la rencontre de Rouen, Arturo Horcajo et Carlos Horcajo, ''La question de l'altérité du XVI{{e}}&nbsp;siècle à nos jours'', Ellipses, 2000.</ref>. Le paradoxe est instructif : l'éloge de l'autre peut demeurer une forme d'ethnocentrisme, tant il est difficile de penser la différence sans la ramener à soi. == L'altérité dans la pensée moderne == === Descartes et le problème d'autrui === [[Fichier:Frans Hals, Portrait of René Descartes.jpg|vignette|René Descartes, portrait attribué à Frans Hals.]] Avec Descartes et l'inauguration de la philosophie moderne du sujet, la question de l'altérité prend une tournure nouvelle. Le ''cogito'' cartésien établit la certitude du moi pensant comme fondement premier de toute connaissance. La formule « je pense, donc je suis » appartient au ''Discours de la méthode'' (1637) ; dans les [[s:Méditations métaphysiques|''Méditations métaphysiques'']] (1641), elle se reformule en « je suis, j'existe » (''ego sum, ego existo''), vérité qui ne tient qu'aussi longtemps que je la pense. Mais cette découverte du sujet comme certitude première soulève aussitôt une difficulté : comment puis-je être certain de l'existence d'autres esprits que le mien ? Si je n'ai accès directement qu'à mes propres pensées, comment puis-je connaître l'intériorité d'autrui<ref>René Descartes, ''Méditations métaphysiques'', Méditations seconde et sixième, 1641.</ref> ? Cette difficulté deviendra le problème moderne des autres esprits, dont le solipsisme (du latin ''solus ipse'', seul soi-même), position tenant que seul le moi peut être assuré d'exister, représente l'issue la plus extrême. Descartes lui-même ne le formule pas ainsi : sa démarche vise à garantir l'existence du monde extérieur et la fiabilité réglée de nos facultés, non à constituer une théorie de l'accès aux autres consciences comparable à celles que proposeront Husserl ou Sartre. La difficulté est une conséquence de la position cartésienne davantage qu'une question qu'il aurait posée et résolue pour elle-même : le primat méthodique du cogito crée les conditions dans lesquelles le problème moderne des autres esprits pourra apparaître. Reste alors entière la question de l'accès à l'altérité d'autrui : même si je tiens qu'autrui existe, comment appréhender sa différence, son intériorité qui m'échappe par principe ? === Hegel et la dialectique de la reconnaissance === [[Fichier:Hegel portrait by Schlesinger 1831.jpg|vignette|Georg Wilhelm Friedrich Hegel, portrait par Jakob Schlesinger, 1831.]] C'est avec Hegel que la question de l'altérité reçoit un traitement proprement [[Dictionnaire de philosophie/Dialectique|dialectique]]. Dans la ''Phénoménologie de l'esprit'' (1807), Hegel consacre des pages célèbres à la dialectique du maître et de l'esclave, qui analyse le processus par lequel la [[Dictionnaire de philosophie/Conscience|conscience]] de soi se constitue à travers la reconnaissance d'une autre conscience<ref>Georg Wilhelm Friedrich Hegel, ''Phénoménologie de l'esprit'', trad. Jean Hyppolite, Aubier-Montaigne, 1941, t. I, p. 155-166.</ref>. Pour Hegel, la conscience de soi n'existe pas de manière isolée : elle requiert la médiation d'une autre conscience. « La conscience de soi est en soi et pour soi quand et parce qu'elle est en soi et pour soi pour une autre ; c'est-à-dire qu'elle n'est qu'en tant qu'être reconnu »<ref>Hegel, ''Phénoménologie de l'esprit'', ch. IV, A.</ref>. Cette thèse cardinale signifie que je ne deviens pleinement conscient de moi-même qu'à travers le regard et la reconnaissance d'autrui. Le processus de reconnaissance passe d'abord par une lutte à mort : chaque conscience cherche à s'affirmer en niant l'autre, en refusant de le reconnaître comme sujet autonome. Cette lutte aboutit à une relation de domination : l'un devient maître, l'autre esclave. Mais cette relation est instable et contradictoire par nature. Le maître, qui cherchait la reconnaissance d'un égal, ne reçoit que celle d'un être asservi, dont la reconnaissance n'a donc pas de valeur réelle. L'esclave, en revanche, à travers le travail, la peur éprouvée et le service, amorce les conditions d'une autonomie plus entière, sans que la seule figure de la servitude accomplisse déjà la reconnaissance réciproque. Cette dialectique montre que l'altérité n'est pas un donné statique, mais un processus dynamique de différenciation et de reconnaissance mutuelle. L'autre n'est ni simplement identique à moi, auquel cas il ne serait pas vraiment autre, ni entièrement étranger, auquel cas aucune relation ne serait possible. La relation à l'altérité est un mouvement de négation, de séparation et de reprise qui structure la vie de l'esprit. La négation dialectique ne ramène pas à l'identité de départ : elle transforme l'identité par la médiation de son autre, qui n'est donc pas purement et simplement supprimé. == La phénoménologie et l'altérité == === Husserl et le problème de l'intersubjectivité === Edmund Husserl, fondateur de la phénoménologie, aborde la question de l'altérité dans le cadre de sa théorie de la constitution transcendantale du sens. Dans la ''Cinquième méditation cartésienne'', exposée à Paris en 1929 et publiée en français en 1931, Husserl se confronte à un problème délicat : comment l'ego transcendantal, qui est le foyer constituant de tout sens, peut-il constituer l'existence d'un autre ego qui, par définition, lui demeure étranger<ref>Edmund Husserl, ''Méditations cartésiennes'', trad. Gabrielle Peiffer et Emmanuel Levinas, Paris, Armand Colin, 1931 (rééd. Vrin, 1947), cinquième méditation.</ref> ? Husserl propose une analyse fine fondée sur la notion d'apprésentation. Lorsque je perçois le corps d'autrui, je ne perçois pas directement sa conscience, qui m'est en principe inaccessible. Il ne s'agit pourtant pas d'un raisonnement qui, constatant la ressemblance de son corps et du mien, en déduirait une conscience : Husserl écarte cette lecture. L'apprésentation d'autrui repose sur un appariement passif, un accouplement des corps propres antérieur à tout jugement, par lequel le corps d'autrui se donne d'emblée comme celui d'un autre moi. Je constitue ainsi autrui comme un ''alter ego''<ref>Husserl, ''Méditations cartésiennes'', trad. citée, cinquième méditation, §49-54.</ref>. Cette analyse a suscité de nombreuses objections. On lui a notamment reproché, contre son intention même, de ne pas rendre justice à l'altérité propre d'autrui : si autrui se constitue à partir de mon propre ego, ne risque-t-il pas d'être ramené au même, privé de sa différence irréductible ? L'objection vise moins ce que Husserl affirme que ce que sa démarche paraît impliquer. Cette aporie husserlienne ouvre la voie aux philosophies de l'altérité du XX{{e}}&nbsp;siècle, qui chercheront à penser l'autre dans son irréductibilité. === Heidegger et l'être-avec === Martin Heidegger, dans ''Être et temps'' (1927), propose une approche différente de l'altérité à travers la notion d'être-avec (''Mitsein''). Pour Heidegger, le ''Dasein'', l'être-là, c'est-à-dire l'existence humaine, n'est pas d'abord un sujet isolé qui aurait ensuite à découvrir l'existence d'autres sujets. L'être-avec est une structure existentiale constitutive du ''Dasein'' : nous sommes toujours déjà dans un monde partagé avec d'autres<ref>Martin Heidegger, ''Être et temps'', trad. François Vezin, Gallimard, 1986, §26-27.</ref>. Cette thèse signifie que l'altérité n'est pas un problème à résoudre, comme chez Descartes ou Husserl, mais une dimension originaire de notre être. Nous ne sommes jamais seuls, même dans la solitude : notre monde est toujours déjà structuré par la présence effective ou possible des autres. Les outils que j'utilise, les chemins que j'emprunte, les œuvres que je lis renvoient toujours à d'autres, à ceux qui les ont fabriqués, tracés, écrits. Cependant, Heidegger décrit aussi un mode quotidien où le ''Dasein'' existe sur le mode du On (''das Man''). Le On n'est pas un autre qui s'imposerait du dehors : c'est la manière anonyme dont chacun existe d'ordinaire avec les autres et comme les autres, « on pense », « on dit », « on fait » comme tout le monde, dans un nivellement qui dispense de se décider. L'authenticité ne consiste donc pas à s'arracher à autrui ou à la communauté, mais à modifier ce rapport au On en assumant ses possibilités propres, notamment face à la mort, cette possibilité la plus propre et la plus inaliénable. === Sartre : le regard et la conflictualité === Jean-Paul Sartre, dans ''L'être et le néant'' (1943), développe une phénoménologie du regard qui met en évidence la dimension conflictuelle de la relation à autrui. Pour Sartre, l'expérience originaire d'autrui n'est pas la perception de son corps ni l'apprésentation analogique de sa conscience, mais l'épreuve d'être vu par lui<ref>Jean-Paul Sartre, ''L'être et le néant'', Gallimard, 1943 (rééd. « Tel »), partie III, ch. I.</ref>. Sartre illustre cette expérience par le célèbre exemple de la honte. Imaginons que je regarde par le trou d'une serrure, absorbé par ma curiosité. Soudain, j'entends un pas dans le couloir : quelqu'un me voit. À cet instant, je me découvre comme objet sous le regard d'autrui. Ma subjectivité libre et fluide se fige en une essence : je suis ce « voyeur », ce « curieux », cet « indiscret ». Le regard d'autrui m'objective : il fait de moi un objet dans son monde et fait apparaître ma liberté du dehors, lui imposant une signification que je ne maîtrise pas<ref>Sartre, ''L'être et le néant'', éd. citée, p. 310-320.</ref>. Cette objectivation est vécue comme une menace première. Autrui, en me regardant, me décentre de mon monde et aliène ma liberté sous son regard. Il me constitue à partir de son propre projet, selon des catégories et des valeurs qui sont les siennes, non les miennes. D'où la formule célèbre de ''Huis clos'' (1944) : « L'enfer, c'est les autres ». Elle ne signifie pas que toute coexistence serait infernale, mais vise des consciences qui se laissent définitivement fixer par le jugement d'autrui, au point de ne plus pouvoir se reprendre. Le regard d'autrui pèse ainsi sur ma liberté sans pour autant l'abolir. Sartre en conclut que « l'essence des rapports entre consciences n'est pas le ''Mitsein'', c'est le conflit »<ref>Sartre, ''L'être et le néant'', éd. citée, p. 470.</ref>. Dans cette œuvre, la relation à autrui est d'abord une lutte où chacun tente alternativement d'objectiver l'autre, par le regard, le désir, la possession, ou d'échapper à sa propre objectivation. Cette vision tragique de l'intersubjectivité contraste fortement avec les philosophies du dialogue et de la reconnaissance. == Emmanuel Levinas : l'altérité comme éthique première == [[Fichier:Emmanuel Levinas.jpg|vignette|Emmanuel Levinas (1906-1995).]] === Le visage d'autrui === Emmanuel Levinas (1906-1995) déplace nettement la façon de penser l'altérité. Contre une tradition philosophique qui, selon lui, ramène l'autre au même en cherchant à le comprendre et à le maîtriser, Levinas pose l'altérité d'autrui comme ce qui échappe par principe à toute emprise, à toute totalisation<ref>Emmanuel Levinas, ''Totalité et infini. Essai sur l'extériorité'', La Haye, Martinus Nijhoff, 1961.</ref>. Au centre de sa pensée se trouve la notion de visage. Le visage n'est pas l'ensemble des traits physiques que je peux percevoir et objectiver. Le visage, au sens lévinassien, est l'épiphanie de l'autre dans sa nudité et sa vulnérabilité, la manifestation de son altérité qui résiste à toute prise thématisante. Comme Levinas l'écrit : « Le visage est ce qu'on ne peut tuer, ou du moins ce dont le sens consiste à dire : "tu ne tueras point" »<ref>Levinas, ''Éthique et Infini. Dialogues avec Philippe Nemo'', Fayard/France Culture, 1982, p. 80.</ref>. Le visage d'autrui m'interpelle, m'assigne à responsabilité avant toute délibération de ma part. C'est une assignation pré-originaire : je suis responsable d'autrui avant même d'avoir choisi de l'être, et cette responsabilité ne trouve pas son origine dans ma liberté, mais dans la vulnérabilité même d'autrui. Le visage me commande éthiquement, il m'enjoint de ne pas rester indifférent à sa détresse. === L'éthique comme philosophie première === Cette conception de l'altérité conduit Levinas à affirmer que l'éthique, et non l'ontologie ou la [[Dictionnaire de philosophie/Métaphysique|métaphysique]] entendues comme science de l'être, est la philosophie première. La relation à autrui n'est pas un problème théorique à résoudre, elle n'est pas d'abord une question de connaissance : elle est d'emblée une relation éthique de responsabilité. Comme il l'écrit dans ''Autrement qu'être ou au-delà de l'essence'' (1974), la subjectivité se constitue dans la responsabilité pour autrui, elle est « otage » d'autrui, exposée à lui sans défense<ref>Emmanuel Levinas, ''Autrement qu'être ou au-delà de l'essence'', La Haye, Martinus Nijhoff, 1974 ; sur la substitution, chapitre IV.</ref>. Cette responsabilité est asymétrique et infinie. Asymétrique parce qu'elle ne requiert pas la réciprocité : je suis responsable d'autrui même si autrui n'est pas responsable de moi. Infinie parce qu'elle ne connaît pas de limites : je ne peux jamais me dire « quitte » envers autrui, ma responsabilité ne s'épuise jamais. Elle va même jusqu'à la substitution. Le terme ne désigne pas un remplacement empirique, où je prendrais matériellement la place d'un autre, mais la structure la plus intime de la subjectivité : être un-pour-l'autre, exposé, tenu de répondre de ce qui ne procède pas de ma liberté, jusqu'à porter la charge de l'autre. Cette pensée de l'altérité irréductible a laissé une empreinte durable sur la philosophie contemporaine, l'éthique, la théologie et les sciences humaines. Elle offre un contrepoint puissant aux philosophies de l'identité, de la totalité et de la maîtrise, en rappelant que l'autre n'est pas un objet à connaître ou à dominer, mais un appel à la responsabilité qui me précède et me constitue. === Le Dire, le Dit et la trace === Dans ses derniers travaux, Levinas affine son analyse en distinguant deux registres du langage. Le Dit désigne l'énoncé constitué, le contenu que l'on thématise et que l'on peut discuter, peser, contredire. Le Dire, en amont, désigne l'exposition même à autrui, le fait de s'adresser à lui et de s'offrir à sa demande, avant tout message échangé. Toute parole thématique repose sur ce Dire premier, cette ouverture à l'autre qui précède ce que l'on dit<ref>Simonne Plourde, ''Emmanuel Lévinas. Altérité et responsabilité. Guide de lecture'', Cerf, 1996 ; sur le Dire et le Dit, voir aussi Levinas, ''Autrement qu'être ou au-delà de l'essence'', 1974.</ref>. Reste alors une difficulté que Levinas assume : dès que l'on parle du Dire, on le fige en Dit, on le trahit ; la philosophie de l'altérité doit ainsi ressaisir sans cesse ce qui, par nature, se dérobe à l'énoncé. À cette analyse se rattache la notion de trace. Autrui ne se donne pas comme une présence pleine que je pourrais fixer ; son visage porte la trace de ce que Levinas nomme l{{'}}''illéité'', du latin ''ille'', « lui », cette dimension de l'infini qui passe dans le visage sans jamais s'y montrer directement. L'illéité ne fait pas du visage le signe d'un arrière-monde : elle nomme le retrait de l'Infini, sa trace non thématisable, l'autorité qui ordonne à la responsabilité sans jamais devenir un objet de connaissance. === Le tiers et la justice === La responsabilité pour autrui ne se déploie jamais dans un face-à-face isolé. Il y a toujours le tiers : autrui est lui-même l'autre d'un autre, et cette pluralité est déjà présente dans la rencontre. Le tiers oblige à comparer ce qui, dans la relation au visage, se refusait à toute comparaison, à peser des exigences concurrentes, à établir, selon la formule reprise par Plourde, une comparaison entre les incomparables. De là naît l'exigence de justice, et avec elle le besoin du savoir, des institutions, des lois, d'un État. L'éthique de la responsabilité ne s'oppose donc pas à la politique : elle en fournit la source et la mesure, car la justice reste appelée à ne jamais s'affranchir de la responsabilité dont elle procède, ni à oublier le visage singulier. == Autres approches philosophiques de l'altérité == === Martin Buber et le dialogue Je-Tu === [[Fichier:Martin Buber portrait.jpg|vignette|Martin Buber (1878-1965).]] Le philosophe et théologien juif Martin Buber (1878-1965) propose, dans son œuvre ''Je et Tu'' (1923), une philosophie de la relation fondée sur la distinction entre deux couples de mots, qu'il nomme les mots-principes, chacun désignant une manière d'entrer en rapport avec le monde<ref>Martin Buber, ''Je et Tu'', trad. Geneviève Bianquis, Aubier-Montaigne, 1969.</ref>. La relation Je-Cela (''Ich-Es'') est une relation objectivante : le Cela est un objet que je connais, que j'utilise, que j'analyse selon mes besoins et mes catégories. C'est la relation de la science, de la technique, de l'usage. Elle est le régime de l'expérience et de la connaissance, indispensable à la vie pratique, et tout Tu particulier retombe nécessairement dans le monde du Cela. Ce n'est pas son existence qui aliène, mais son absolutisation, lorsqu'elle prétend épuiser tout rapport au monde. La relation Je-Tu (''Ich-Du'') est, au contraire, une relation de présence entière et réciproque. Le Tu n'est pas un objet que je thématise, mais une présence qui m'interpelle dans mon être tout entier ; aussi Buber précise-t-il que le mot-principe Je-Tu ne peut être prononcé que de tout son être. Un même arbre le donne à comprendre : je puis le traiter comme une quantité de bois, une espèce à classer, un simple spectacle, et je reste alors dans le Cela ; mais il peut arriver que j'entre en présence de lui, qu'il cesse d'être un objet pour devenir un vis-à-vis, et c'est le Tu. « Toute vie véritable est rencontre », écrit Buber<ref>Buber, ''Je et Tu'', trad. Geneviève Bianquis, Aubier-Montaigne, 1969, p. 30.</ref>. Dans la rencontre du Je-Tu, l'altérité de l'autre est reconnue et accueillie. Buber distingue trois sphères où s'établit la relation : la vie avec la nature, la vie avec les autres hommes, la vie avec les réalités spirituelles, comme les œuvres et les formes de l'esprit. Ce qui se joue entre le Je et le Tu ne se loge en aucun des deux termes : c'est un entre-deux (''das Zwischen''), un espace de rencontre que Buber tient pour le lieu propre de l'existence humaine. Cette relation Je-Tu ne peut toutefois être permanente : elle est fugitive, fragile, toujours menacée de retomber dans la relation Je-Cela. Mais c'est elle qui donne sens et plénitude à l'existence. De plus, pour Buber, toute relation Je-Tu fait signe vers la relation avec le Tu éternel, Dieu, qui seul ne peut jamais devenir un Cela. === Merleau-Ponty et l'intercorporéité === Maurice Merleau-Ponty (1908-1961) aborde la question de l'altérité à partir d'une phénoménologie du corps vécu. Dans ''Phénoménologie de la perception'' (1945), il critique la conception intellectualiste d'autrui et propose une approche fondée sur l'expérience corporelle<ref>Maurice Merleau-Ponty, ''Phénoménologie de la perception'', Gallimard, 1945.</ref>. Pour Merleau-Ponty, je ne constitue pas autrui par un raisonnement analogique à partir de mon propre corps. La compréhension d'autrui se fait d'abord au niveau pré-réflexif, par une sorte de sympathie ou de résonance corporelle. Mon corps et celui d'autrui sont pris dans un même tissu sensible, ce que Merleau-Ponty appelle la chair du monde. Il existe une intercorporéité originaire qui fonde la possibilité de la communication et de la compréhension mutuelle<ref>Maurice Merleau-Ponty, ''Le visible et l'invisible'', Gallimard, 1964.</ref>. Cette approche permet de penser l'altérité sans la réduire ni à l'identité, autrui n'étant pas un simple double de moi, ni à l'étrangeté sans partage, autrui n'étant pas un mystère impénétrable. Il y a une parenté charnelle entre les corps, un entrelacement qui rend possible la reconnaissance de l'autre comme autre sans supprimer sa différence. === Paul Ricœur : l'autre au cœur du soi === Paul Ricœur (1913-2005) déplace la question en montrant que l'altérité n'est pas seulement ce qui me fait face, mais ce qui habite mon identité même. Dans ''Soi-même comme un autre'' (1990), il distingue deux sens de l'identité, que la langue confond. Il y a l'identité comme mêmeté (''idem'') : ce qui, en moi, demeure identique, mes traits, mon caractère, ce par quoi je reste reconnaissable. Et il y a l'identité comme ipséité (''ipse'') : le maintien de soi qui n'est pas permanence d'une substance, mais fidélité à une parole donnée<ref>Paul Ricœur, ''Soi-même comme un autre'', Seuil, « L'ordre philosophique », 1990 ; sur la distinction de la mêmeté (''idem'') et de l'ipséité (''ipse''), préface ; sur les figures de l'altérité constitutives du soi, dixième étude.</ref>. La promesse en offre l'exemple limpide : lorsque je tiens un engagement pris hier, mes goûts et mes humeurs ont pu changer, ma mêmeté a varié ; ce qui me maintient comme soi, malgré les variations de ma mêmeté, c'est que je réponds encore de ma parole devant celui à qui je l'ai donnée. Ce maintien n'est pas la permanence d'un ''idem'' : il est l'ipséité même, qui se soutient du rapport à l'autre. Ricœur montre alors que l'altérité travaille le soi de l'intérieur, selon trois figures qu'il tient pour constitutives : le corps propre, cette chair par laquelle je suis livré au monde et qui ne se réduit pas à ma volonté ; autrui, dont l'appel me rend responsable ; et la voix de la conscience, cette instance en moi qui m'atteste et me juge sans se confondre avec mon moi. Loin de s'opposer au soi, l'autre en est la condition : je ne me tiens moi-même qu'en répondant de ce qui, en moi et hors de moi, n'est pas moi. == Enjeux contemporains de l'altérité == === Altérité culturelle et reconnaissance === Dans le contexte contemporain marqué par la mondialisation et les rencontres interculturelles, la question de l'altérité prend une dimension politique et sociale saillante. Comment reconnaître et respecter l'altérité culturelle sans tomber dans le relativisme ? Comment articuler l'universel et le particulier, le commun et le différent<ref>Charles Taylor, ''Multiculturalisme. Différence et démocratie'', trad. Denis-Armand Canal, Aubier, 1994.</ref> ? Le philosophe canadien Charles Taylor a développé une politique de la reconnaissance qui vise à concilier deux exigences : l'égale dignité, qui veut que tous les êtres humains reçoivent le même respect, et la reconnaissance de la différence, propre à chaque [[Dictionnaire de philosophie/Culture|culture]]. Taylor ne soutient pas que toute pratique culturelle posséderait par avance une égale valeur ; il demande qu'aucune culture ne soit jugée d'après des critères unilatéralement imposés, et qu'on lui accorde une présomption de valeur, condition d'un examen réel<ref>Charles Taylor, ''Multiculturalisme. Différence et démocratie'', trad. Denis-Armand Canal, Aubier, 1994.</ref>. Axel Honneth prolonge cette réflexion en distinguant trois formes de reconnaissance : l'amour et l'attention dans les relations proches, le respect juridique qui reconnaît en chacun un sujet de droit, et l'estime sociale attachée à la contribution de chacun à la vie commune. Le déni de reconnaissance, ou le mépris, n'est pas seulement une offense morale : il peut causer des atteintes identitaires durables et nourrir les conflits sociaux<ref>Axel Honneth, ''La lutte pour la reconnaissance'', trad. Pierre Rusch, Cerf, 2000.</ref>. === François Jullien : de l'écart, du commun et de l'uniforme === Helléniste et sinologue, François Jullien renouvelle la question de l'altérité culturelle en récusant l'opposition reçue entre identité et différence. La différence, remarque-t-il, est une notion de classement, héritée du grec ''diaphora'' (διαφορά) : elle range, définit, laisse chaque terme dans son quant-à-soi. Il lui préfère la notion d'écart. Là où la différence sépare et éloigne, l'écart met en tension ce qu'il a distingué : il tient les termes en regard l'un de l'autre, ouvre entre eux un espace actif que Jullien nomme l'entre, et fait de cette distance une ressource<ref>François Jullien, ''Le Pont des singes. De la diversité à venir'', Galilée, 2010, et ''Près d'elle. Présence opaque, présence intime'', Galilée, 2016, réunis dans ''Altérités'', Gallimard, « Folio essais », 2021. Sur l'écart et l'entre, voir aussi ''L'Écart et l'entre. Leçon inaugurale de la Chaire de l'altérité'', Galilée, 2012.</ref>. « S'écarter, c'est ouvrir un autre possible », résume-t-il. De là une conséquence pour la pensée des cultures. Plutôt que de les figer en identités closes, prétendument pures, il faut les considérer comme des ressources, disponibles à tous, cumulables, exploitables d'une langue à l'autre par le travail de la traduction. Jullien oppose ces ressources aux valeurs, qui s'inscrivent toujours dans un rapport de forces et que l'on impose. Il distingue de même l'uniforme de l'universel : l'universel est un concept de la raison, l'uniforme n'est qu'un produit de la standardisation marchande. Le danger de la mondialisation est de prendre l'uniforme pour l'universel, de laisser la planète se couvrir des mêmes marques et de la même langue véhiculaire au point que plus aucun écart ne subsiste<ref>François Jullien, ''De l'universel, de l'uniforme, du commun et du dialogue entre les cultures'', Fayard, 2008.</ref>. L'exemple du tourisme est éclairant : l'« indigène » se voit sommé de mimer sa propre étrangeté, réduite au folklore, pour un public qui vient consommer une altérité déjà éteinte. À rebours de cette perte, Jullien plaide pour un dialogue effectif, où les cultures se réfléchissent l'une dans l'autre et font apparaître, dans leurs écarts, un commun à construire. Jullien ne réserve pas l'altérité aux cultures. Dans ''Près d'elle'', il l'examine au plus près, dans la relation à un proche. La présence installée, celle d'une personne longtemps côtoyée, tend à s'effacer dans l'habitude : l'autre devient transparent, on croit le connaître. Or c'est son opacité qu'il faudrait préserver, cette part qui ne se laisse pas résorber dans le familier et qui maintient, jusque dans l'intimité, un entre où la rencontre reste possible. L'altérité personnelle et l'altérité culturelle se répondent ainsi, et donnent son sens au titre pluriel de ''Altérités''. === Altérité et exclusion === L'altérité peut aussi être instrumentalisée pour justifier l'exclusion, la discrimination ou la domination. L'histoire montre comment la désignation de l'autre comme entièrement différent, le « barbare », l'« infidèle », le « primitif », a servi à légitimer la colonisation, l'esclavage et les massacres de masse. L'altérisation, ce processus par lequel on rend l'autre étranger et menaçant, est un mécanisme social et politique qui peut conduire à la déshumanisation. Les sciences sociales contemporaines ont mis en évidence les processus de construction de l'altérité dans les discours et les pratiques. L'autre n'est pas simplement donné, il est produit par des catégorisations, des stéréotypes, des frontières symboliques. La critique de ces processus est utile pour promouvoir une société plus inclusive et respectueuse de la diversité. === Altérité et éthique animale === Récemment, la question de l'altérité s'est étendue au-delà de l'humanité pour interroger notre rapport aux animaux non humains et, plus largement, au vivant. Les philosophes de l'éthique animale mettent en cause la frontière que nous traçons entre l'humain et l'animal, mais selon des voies distinctes. Peter Singer conteste l'exclusion morale des animaux sensibles au nom de l'égale considération de leurs intérêts ; Jacques Derrida et, après lui, les anthropologues de l'animal familier interrogent plus directement l'altérité de l'animal et la résistance de son monde propre à nos catégories<ref>Peter Singer, ''La libération animale'', trad. Louise Rousselle et David Olivier, Grasset, 1993 ; Jacques Derrida, ''L'animal que donc je suis'', Galilée, 2006.</ref>. Jacques Derrida en a donné une scène mémorable. Se découvrant nu sous le regard de sa chatte, il éprouve une gêne et s'interroge : cet animal me voit, il me fait face, et je ne sais rien de ce qu'il perçoit de moi. Le geste renverse une longue tradition qui refusait à l'animal un point de vue propre : ici, c'est l'homme qui est vu, et l'animal qui regarde. L'anthropologie de l'animal de compagnie prolonge cette interrogation en décrivant le chien ou le chat comme une figure familière de l'altérité, présence quotidienne qui se tient au bord de nos catégories, ni tout à fait nature ni tout à fait culture. Christian Talin met en garde contre le danger inverse : faire de l'animal un ''alter ego'', lui prêter une psychologie humaine et abolir ainsi son monde propre. Respecter l'altérité animale demande à la fois attachement, connaissance et refus de l'anthropomorphisme fusionnel<ref>Christian Talin, ''Anthropologie de l'animal de compagnie. L'animal, autre figure de l'altérité'', L'Atelier de l'Archer, 2000.</ref>. Cette exigence illustre le problème qui traverse tout l'article : respecter l'autre, ce n'est ni le chosifier ni le rendre identique à soi. Cette extension oblige à repenser les catégories traditionnelles de la philosophie morale et politique, et à imaginer de nouvelles formes de communauté qui incluent des êtres très différents de nous. === Altérité, relation et pensée postcoloniale === Les expériences coloniales et diasporiques n'ont pas seulement appliqué à l'histoire une notion forgée en Europe : elles ont transformé la manière même de penser l'identité, la substance et la relation. Edward Saïd a montré comment l'Orient a été, pour une part, produit par les discours qui prétendaient le décrire : l'altérité n'y est pas rencontrée, elle est fabriquée par un savoir solidaire de la domination, qui fige l'autre en une essence commode<ref>Edward Saïd, ''L'Orientalisme. L'Orient créé par l'Occident'', trad. Catherine Malamoud, Seuil, 1980.</ref>. Frantz Fanon, de son côté, a décrit de l'intérieur ce que fait le regard qui assigne une place : sous les yeux qui le réduisent à sa couleur, le colonisé se voit dépossédé de lui-même, renvoyé à une image forgée par un autre<ref>Frantz Fanon, ''Peau noire, masques blancs'', Seuil, 1952.</ref>. On retrouve ici, déplacé dans le champ politique, le regard objectivant que Sartre analysait, mais pris cette fois dans un rapport de force historique. À cette critique de l'assignation répond une refonte de l'idée d'être. Édouard Glissant oppose à la transparence, qui prétend comprendre l'autre en le ramenant à un modèle, un droit à l'opacité : reconnaître l'autre, ce n'est pas le percer à jour, c'est admettre qu'il me demeure en partie soustrait, et le respecter dans cette réserve<ref>Édouard Glissant, ''Poétique de la Relation'', Gallimard, 1990, et ''Le Discours antillais'', Seuil, 1981.</ref>. La relation, dès lors, ne réunit pas des identités déjà closes : elle les constitue et les transforme. C'est le sens de la créolisation, ce mélange imprévisible des cultures et des langues d'où surgit du nouveau, et des identités diasporiques, qui se tiennent entre plusieurs mondes sans se réduire à aucun. Buata B. Malela reprend et systématise ce déplacement en une ontologie relationnelle. L'être n'y est plus une substance close, antérieure à ses liens, mais un tissu de singularités reliées sans être fondues, une histoire et un devenir plutôt qu'une essence fixée. La relation à l'autre n'arrive pas à un sujet déjà constitué : elle participe à sa constitution, et comporte à ce titre une part de risque, puisque s'exposer à l'autre, c'est accepter de se laisser transformer<ref>Buata B. Malela, ''Substance et altérité. Pour une ontologie relationnelle du risque'', Paris, Anibwe, 2025.</ref>. Cette tradition, de Fanon à Glissant, d'Achille Mbembe à Paul Gilroy, déplace le centre de gravité d'une pensée de l'altérité longtemps réglée sur les seules références européennes. == Conclusion == La notion d'altérité traverse l'histoire de la philosophie comme un fil conducteur, prenant des significations et des enjeux différents selon les époques et les auteurs. D'abord conçue comme une catégorie ontologique par Platon, permettant de penser la relation et la différence au sein de l'être lui-même, l'altérité devient, à la Renaissance, une épreuve historique et politique avec la découverte du Nouveau Monde, puis, avec la modernité, une question épistémologique, comment connaître l'autre, et existentielle, comment exister avec l'autre. Les philosophies contemporaines de l'altérité, de Levinas à Ricœur, de Buber à Jullien, ont montré que l'autre ne se laisse pas réduire au même, assimiler à mes catégories ou absorber dans une totalité englobante. L'altérité résiste, elle excède, elle déborde. Cette irréductibilité de l'autre est à la fois un défi théorique, comment penser ce qui échappe à la pensée, et un appel éthique, comment répondre de l'autre dans sa vulnérabilité. Reste une tension que ces débats laissent ouverte, et qu'il serait malhonnête de masquer. Insister sur la différence irréductible des cultures et des personnes protège contre l'arrogance de qui projette ses valeurs sur tous ; mais poussée trop loin, cette insistance menace de figer chacun dans une identité close et de rendre tout dialogue impossible. À l'inverse, l'appel à l'universel garantit une mesure commune, au risque de reconduire, sous couvert d'humanité générale, un point de vue particulier. Entre ces deux écueils, plusieurs voies se cherchent : celle de Ricœur, qui loge l'autre au cœur du soi ; celle de Jullien, qui fait de l'écart la condition d'un commun à construire ; celle de Levinas, qui fonde toute justice sur la responsabilité pour le visage ; celle enfin des pensées de la relation, de Glissant à Malela, qui refusent de tenir l'identité pour une substance close et lui préfèrent un tissu de liens toujours en devenir. Aucune ne clôt la question. Dans un monde marqué par les migrations, les inégalités et les conflits, elle demeure ouverte : vivre ensemble ne signifie pas effacer les différences, mais apprendre à les accueillir dans le respect et la responsabilité mutuelle. == Notes et références == {{references|colonnes=2}} == Bibliographie sélective == Textes de référence : * Platon, ''Le Sophiste'', trad. Nestor Cordero, Flammarion, 1993 * Aristote, ''Métaphysique'', trad. Jules Tricot, Vrin, 1991 * Michel de Montaigne, ''Essais'', Livre I, ch. 31 « Des cannibales », et Livre III, ch. 6 « Des coches » * René Descartes, ''Méditations métaphysiques'', 1641 * Georg Wilhelm Friedrich Hegel, ''Phénoménologie de l'esprit'', trad. Jean Hyppolite, Aubier-Montaigne, 1941 * Edmund Husserl, ''Méditations cartésiennes'', trad. Gabrielle Peiffer et Emmanuel Levinas, 1931 * Martin Heidegger, ''Être et temps'', trad. François Vezin, Gallimard, 1986 * Jean-Paul Sartre, ''L'être et le néant'', Gallimard, 1943 * Martin Buber, ''Je et Tu'', trad. Geneviève Bianquis, Aubier-Montaigne, 1969 * Maurice Merleau-Ponty, ''Phénoménologie de la perception'', Gallimard, 1945 * Paul Ricœur, ''Soi-même comme un autre'', Seuil, 1990 Emmanuel Levinas : * ''Totalité et infini. Essai sur l'extériorité'', La Haye, Martinus Nijhoff, 1961 ; réédition Le Livre de Poche, 1990 * ''Autrement qu'être ou au-delà de l'essence'', La Haye, Martinus Nijhoff, 1974 ; réédition Le Livre de Poche, 2001 * ''Éthique et Infini. Dialogues avec Philippe Nemo'', Fayard/France Culture, 1982 * ''Altérité et transcendance'', Fata Morgana, 1995 Études contemporaines : * Robert Legros, ''Levinas. Une philosophie de l'altérité'', Ellipses, 2017 * Simonne Plourde, ''Emmanuel Lévinas. Altérité et responsabilité. Guide de lecture'', Cerf, 1996 * François Jullien, ''De l'universel, de l'uniforme, du commun et du dialogue entre les cultures'', Fayard, 2008 * François Jullien, ''Altérités'', Gallimard, « Folio essais », 2021 (réunit ''Le Pont des singes. De la diversité à venir'', Galilée, 2010, et ''Près d'elle. Présence opaque, présence intime'', Galilée, 2016) * Charles Taylor, ''Multiculturalisme. Différence et démocratie'', Aubier, 1994 * Axel Honneth, ''La lutte pour la reconnaissance'', trad. Pierre Rusch, Cerf, 2000 * Tzvetan Todorov, ''La conquête de l'Amérique. La question de l'autre'', Seuil, 1982 * Tzvetan Todorov, ''Nous et les autres. La réflexion française sur la diversité humaine'', Seuil, 1989 * Arturo Horcajo et Carlos Horcajo, ''La question de l'altérité du XVI{{e}}&nbsp;siècle à nos jours'', Ellipses, 2000 * Christian Talin, ''Anthropologie de l'animal de compagnie. L'animal, autre figure de l'altérité'', L'Atelier de l'Archer, 2000 * Edward Saïd, ''L'Orientalisme. L'Orient créé par l'Occident'', Seuil, 1980 * Frantz Fanon, ''Peau noire, masques blancs'', Seuil, 1952 * Édouard Glissant, ''Poétique de la Relation'', Gallimard, 1990 * Buata B. Malela, ''Substance et altérité. Pour une ontologie relationnelle du risque'', Anibwe, 2025 * Peter Singer, ''La libération animale'', trad. Louise Rousselle et David Olivier, Grasset, 1993 * Jacques Derrida, ''L'animal que donc je suis'', Galilée, 2006 {{AutoCat}} joayblfw7m8e7ofgmzwr8zhgp9ae9dd 0 84059 769517 2026-07-15T13:25:44Z Xhungab 23827 news 769517 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc_matrices/Sommaire| Sommaire]] {{Partie{{{type|}}}|'''Calculer intégrale du produit de deux polynômes'''}} '''Nous allons calculer le résultat de l'intégrale du produit de deux polynômes en utilisant le calcul matricielle. Les bornes de l'intégrales doivent être entre -1 et 1.''' Copier la bibliothèque dans votre répertoire de travail : * [[Mathc matrices/09p|hfile.h ............ Déclaration des fichiers h]] * [[Mathc matrices/09q|hdx.h ............... Intégrale simple]] ''Vous devrez effacer ces fichiers qui ne correspondent pas à la bibliothèque matricielle.'' '''Polynômes du second degré :''' * [[Mathc matrices/09r| c0a1.c]] * [[Mathc matrices/09s| fa.h]] * [[Mathc matrices/09t| c0a2.c]] '''Polynômes du troisième degré :''' * [[Mathc matrices/09u| c0b1.c]] * [[Mathc matrices/09v| fb.h]] * [[Mathc matrices/09w| c0b2.c]] '''Polynômes du quatrième degré :''' * [[Mathc matrices/09x| c0c1.c]] * [[Mathc matrices/09y| fc.h]] * [[Mathc matrices/09z| c0c2.c]] {{AutoCat}} m58t70sumgvjfpyxyp9d57s3fxnxg1x 769518 769517 2026-07-15T13:27:17Z Xhungab 23827 769518 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc_matrices/Sommaire| Sommaire]] {{Partie{{{type|}}}|'''Calculer intégrale du produit de deux polynômes'''}} '''Nous allons calculer le résultat de l'intégrale du produit de deux polynômes en utilisant le calcul matricielle. Les bornes de l'intégrales doivent être entre -1 et 1.''' Copier la bibliothèque dans votre répertoire de travail : * [[Mathc matrices/09p|hfile.h ............ Déclaration des fichiers h]] * [[Mathc matrices/09q|hdx.h ............... Intégrale simple]] ''Vous '''devrez effacer''' ces fichiers qui ne correspondent pas à la bibliothèque matricielle.'' '''Polynômes du second degré :''' * [[Mathc matrices/09r| c0a1.c]] * [[Mathc matrices/09s| fa.h]] * [[Mathc matrices/09t| c0a2.c]] '''Polynômes du troisième degré :''' * [[Mathc matrices/09u| c0b1.c]] * [[Mathc matrices/09v| fb.h]] * [[Mathc matrices/09w| c0b2.c]] '''Polynômes du quatrième degré :''' * [[Mathc matrices/09x| c0c1.c]] * [[Mathc matrices/09y| fc.h]] * [[Mathc matrices/09z| c0c2.c]] {{AutoCat}} kikt4fwjteln439x4jbns6j3v8u92xz 769568 769518 2026-07-16T08:05:51Z Xhungab 23827 769568 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc_matrices/Sommaire| Sommaire]] {{Partie{{{type|}}}|'''Calculer intégrale du produit de deux polynômes'''}} '''Nous allons calculer le résultat de l'intégrale du produit de deux polynômes en utilisant le calcul matricielle.''' * '''1/2 int(X1 X2, x= -1..1)''' Copier la bibliothèque dans votre répertoire de travail : * [[Mathc matrices/09p|hfile.h ............ Déclaration des fichiers h]] * [[Mathc matrices/09q|hdx.h ............... Intégrale simple]] ''Vous '''devrez effacer''' ces fichiers qui ne correspondent pas à la bibliothèque matricielle.'' '''Polynômes du second degré :''' * [[Mathc matrices/09r| c0a1.c]] * [[Mathc matrices/09s| fa.h]] * [[Mathc matrices/09t| c0a2.c]] '''Polynômes du troisième degré :''' * [[Mathc matrices/09u| c0b1.c]] * [[Mathc matrices/09v| fb.h]] * [[Mathc matrices/09w| c0b2.c]] '''Polynômes du quatrième degré :''' * [[Mathc matrices/09x| c0c1.c]] * [[Mathc matrices/09y| fc.h]] * [[Mathc matrices/09z| c0c2.c]] {{AutoCat}} 26nc2m180qsgi3hdmmypuvz9tjl3yhd 0 84060 769519 2026-07-15T13:31:10Z Xhungab 23827 news 769519 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc matrices/09o| '''Application''']] Installer ces fichiers dans votre répertoire de travail. '''Ce fichier est spécifique pour ce travail. 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Il ne doit pas être conservé avec la bibliothèque.''' {{Fichier|fa.h|largeur=70%|info=|icon=Crystal Clear mimetype source h.png}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ---------------------------------- */ /* save as fa.h */ /* ---------------------------------- */ double X1( double x) { return((2+1*x+3*x*x)); } char X1eq[] = "2 + x + 3x*2"; /* ---------------------------------- */ double X2( double x) { return((3+1*x+0*x*x)); } char X2eq[] = "3 + x"; /* ---------------------------------- */ double f( double x) { return(X1(x)*X2(x)); } char feq[] = "X1(x)*X2(x)"; /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ </syntaxhighlight> {{AutoCat}} 81s9scno28pu4bg63nhhqo3wtjwh0so 0 84063 769522 2026-07-15T13:34:56Z Xhungab 23827 news 769522 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc matrices/09o| '''Application''']] Installer ces fichiers dans votre répertoire de travail. '''Ce fichier est spécifique pour ce travail. 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Il ne doit pas être conservé avec la bibliothèque.''' {{Fichier|fc.h|largeur=70%|info=|icon=Crystal Clear mimetype source h.png}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ---------------------------------- */ /* save as fc.h */ /* ---------------------------------- */ double X1( double x) { /* +5,+0x, +3x**2,+0x**3, +3x**4 */ return((5 +0*x +3*x*x +0*x*x*x +3*x*x*x*x)); } char X1eq[] = "5 + 3x**2 + 3x*4"; /* ---------------------------------- */ double X2( double x) { /* +1, +1x, +0x**2, +2x**3, +0x**4 */ return((1 +1*x +0*x*x +2*x*x*x +0*x*x*x*x)); } char X2eq[] = "1 + x + 2x*3"; /* ---------------------------------- */ double f( double x) { return( X1(x)*X2(x)); } char feq[] = "X1(x)*X2(x)"; /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ </syntaxhighlight> {{AutoCat}} eeuo7airizvj81ogmozbe8dj1f1lxy0 0 84065 769527 2026-07-15T13:45:37Z Xhungab 23827 news 769527 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc matrices/09o| '''Application''']] Installer et compiler ces fichiers dans votre répertoire de travail. {{Fichier|c0a1.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as: c0a1.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" /* ------------------------------------ */ #define RCA RC3 /* ------------------------------------ */ int main(void) { double a[RCA*RCA] = { +1, -0., +1/3., -0, +1/3., -0., +1/3., -0., +1/5. }; double x1[RCA] = { +2, +1, +3}; /* +2, +1x, +3x**2 */ double x2[RCA] = { +3, +1, +0}; /* +3, +1x, +0x**2 */ double **A = ca_A_mR(a, i_mR(RCA,RCA)); double **X1 = ca_A_mR(x1, i_mR( R1,RCA)); double **X2 = ca_A_mR(x2, i_mR(RCA, C1)); double **X1A = mul_mR(X1, A, i_mR( R1,RCA)); double **X1AX2 = mul_mR(X1A,X2, i_mR( R1, C1)); clrscrn(); printf(" You can use this type of matrix to calculate :\n\n" " 1/2 int(X1 X2, x= -1..1)\n\n" " A:"); p_mR(A, S8,P3, C5); printf(" X1: +2 +1x +3x**2"); p_mR(X1, S3,P0, C5); printf(" X2: +3 +1x +0x**2"); p_mR(X2, S3,P0, C5); printf(" X1 A X2: 1/2 int(X1 X2, x= -1..1)"); p_mR(X1AX2, S8,P3, C5); stop(); f_mR(A); f_mR(X1); f_mR(X2); f_mR(X1A); f_mR(X1AX2); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> '''Exemple de sortie écran :''' <syntaxhighlight lang="c"> You can use this type of matrix to calculate : 1/2 int(X1 X2, x= -1..1) A: +1.000 -0.000 +0.333 +0.000 +0.333 -0.000 +0.333 -0.000 +0.200 X1: +2 +1x +3x**2 +2 +1 +3 X2: +3 +1x +0x**2 +3 +1 +0 X1 A X2: 1/2 int(X1 X2, x= -1..1) +9.333 Press return to continue. </syntaxhighlight> {{AutoCat}} 38o1qu2pl624incnals490uqko1m3vy 0 84066 769528 2026-07-15T13:47:42Z Xhungab 23827 news 769528 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc matrices/09o| '''Application''']] Installer et compiler ces fichiers dans votre répertoire de travail. {{Fichier|c0a2.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ---------------------------------- */ /* save as c0a2.c */ /* ---------------------------------- */ #include "hfile.h" #include "fa.h" /* ---------------------------------- */ int main(void) { int n = 2*500; double a = -1.; double b = +1.; clrscrn(); printf(" With : \n\n" " X1(x) = %s\n" " X2(x) = %s\n\n\n",X1eq,X2eq); printf(" You can verify the calculation from the previous file.\n\n" " (%.3f\n" " 1/2 int( (%s) dx = %.6f\n" " (%.3f\n\n\n\n",b, feq, 1/2.*simpson(f,a,b,n), a); stop(); return 0; } /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ </syntaxhighlight> '''Exemple de sortie écran :''' <syntaxhighlight lang="c"> With : X1(x) = 2 + x + 3x*2 X2(x) = 3 + x You can verify the calculation from the previous file. (1.000 1/2 int( (X1(x)*X2(x)) dx = 9.333333 (-1.000 Press return to continue. </syntaxhighlight> {{AutoCat}} 7ft0ez9f7ro9fd4djja0oql0xwakd1y 0 84067 769529 2026-07-15T13:50:06Z Xhungab 23827 news 769529 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc matrices/09o| '''Application''']] Installer et compiler ces fichiers dans votre répertoire de travail. {{Fichier|c0b1.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as: c0b1.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" /* ------------------------------------ */ #define RCA RC4 /* ------------------------------------ */ int main(void) { double a[RCA*RCA] = { +1., +0., +1/3., +0., +0., +1/3., -0., +1/5., +1/3., +0., +1/5., +0., 0., +1/5., 0., +1/7.,}; double x1[RCA] = { +1, +1, +0, +3}; /* +1, +1x, +0x**2, +3x**3 */ double x2[RCA] = { +3, +1, +0, +1}; /* +3, +1x, +0x**2, +1x**3 */ double **A = ca_A_mR(a, i_mR(RCA,RCA)); double **X1 = ca_A_mR(x1, i_mR( R1,RCA)); double **X2 = ca_A_mR(x2, i_mR(RCA, C1)); double **X1A = mul_mR(X1, A, i_mR( R1,RCA)); double **X1AX2 = mul_mR(X1A,X2, i_mR( R1, C1)); clrscrn(); printf(" You can use this type of matrix to calculate :\n\n" " 1/2 int(X1 X2, x= -1..1)\n\n" " A:"); p_mR(A, S8,P3, C5); printf(" X1: +1 +1x +0x**2 +3x**3"); p_mR(X1, S3,P0, C5); printf(" X2: +3 +1x +0x**2 +1x**3"); p_mR(X2, S3,P0, C5); printf(" X1 A X2: 1/2 int(X1 X2, x= -1..1)"); p_mR(X1AX2, S8,P6, C5); stop(); f_mR(A); f_mR(X1); f_mR(X2); f_mR(X1A); f_mR(X1AX2); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> '''Exemple de sortie écran :''' <syntaxhighlight lang="c"> You can use this type of matrix to calculate : 1/2 int(X1 X2, x= -1..1) A: +1.000 +0.000 +0.333 +0.000 +0.000 +0.333 -0.000 +0.200 +0.333 +0.000 +0.200 +0.000 +0.000 +0.200 +0.000 +0.143 X1: +1 +1x +0x**2 +3x**3 +1 +1 +0 +3 X2: +3 +1x +0x**2 +1x**3 +3 +1 +0 +1 X1 A X2: 1/2 int(X1 X2, x= -1..1) +4.561905 Press return to continue. </syntaxhighlight> {{AutoCat}} mcdwznln0cpq0xfjy7pl56gwlbap79k 0 84068 769530 2026-07-15T13:51:45Z Xhungab 23827 news 769530 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc matrices/09o| '''Application''']] Installer et compiler ces fichiers dans votre répertoire de travail. {{Fichier|c0b2.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ---------------------------------- */ /* save as c0b2.c */ /* ---------------------------------- */ #include "hfile.h" #include "fb.h" /* ---------------------------------- */ int main(void) { int n = 2*500; double a = -1.; double b = +1.; clrscrn(); printf(" With : \n\n" " X1(x) = %s\n" " X2(x) = %s\n\n\n",X1eq,X2eq); printf(" You can verify the calculation from the previous file.\n\n" " (%.3f\n" " 1/2 int( (%s) dx = %.6f\n" " (%.3f\n\n\n\n",b, feq, 1/2.*simpson(f,a,b,n), a); stop(); return 0; } /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ </syntaxhighlight> '''Exemple de sortie écran :''' <syntaxhighlight lang="c"> With : X1(x) = 1 + x + 3x**3 X2(x) = 3 + x + x*3 You can verify the calculation from the previous file. (1.000 1/2 int( (X1(x)*X2(x)) dx = 4.561905 (-1.000 Press return to continue. </syntaxhighlight> {{AutoCat}} pp2qpwq59gmaf4inpb7c5fi48fd0nh7 0 84069 769531 2026-07-15T13:53:53Z Xhungab 23827 news 769531 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc matrices/09o| '''Application''']] Installer et compiler ces fichiers dans votre répertoire de travail. {{Fichier|c0c1.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ------------------------------------ */ /* Save as: c0c1.c */ /* ------------------------------------ */ #include "v_a.h" /* ------------------------------------ */ #define RCA RC5 /* ------------------------------------ */ int main(void) { double a[RCA*RCA] = { +1., +0., +1/3., +0., +1/5., +0., +1/3., -0., +1/5., +0., +1/3., +0., +1/5., +0., +1/7., 0., +1/5., 0., +1/7., +0., +1/5., 0., +1/7., +0., +1/9.}; double x1[RCA] = { +5, +0, +3, +0, +3}; /* +5, +0x, +3x**2, +0x**3, +3x**4 */ double x2[RCA] = { +1, +1, +0, +2, +0}; /* +1, +1x, +0x**2, +2x**3, +0x**4 */ double **A = ca_A_mR(a, i_mR(RCA,RCA)); double **X1 = ca_A_mR(x1, i_mR( R1,RCA)); double **X2 = ca_A_mR(x2, i_mR(RCA, C1)); double **X1A = mul_mR(X1, A, i_mR( R1,RCA)); double **X1AX2 = mul_mR(X1A,X2, i_mR( R1, C1)); clrscrn(); printf(" You can use this type of matrix to calculate :\n" " 1/2 int(X1 X2, x= -1..1)\n" " A:"); p_mR(A, S8,P3, C5); printf(" X1: +5 +0x +3x**2 +0x**3 +3x**4"); p_mR(X1, S3,P0, C5); printf(" X2: +1 +1x +0x**2 +2x**3 +0x**4"); p_mR(X2, S3,P0, C5); printf(" X1 A X2: 1/2 int(X1 X2, x= -1..1)"); p_mR(X1AX2, S8,P6, C5); stop(); f_mR(A); f_mR(X1); f_mR(X2); f_mR(X1A); f_mR(X1AX2); return 0; } /* ------------------------------------ */ /* ------------------------------------ */ </syntaxhighlight> '''Exemple de sortie écran :''' <syntaxhighlight lang="c"> You can use this type of matrix to calculate : 1/2 int(X1 X2, x= -1..1) A: +1.000 +0.000 +0.333 +0.000 +0.200 +0.000 +0.333 -0.000 +0.200 +0.000 +0.333 +0.000 +0.200 +0.000 +0.143 +0.000 +0.200 +0.000 +0.143 +0.000 +0.200 +0.000 +0.143 +0.000 +0.111 X1: +5 +0x +3x**2 +0x**3 +3x**4 +5 +0 +3 +0 +3 X2: +1 +1x +0x**2 +2x**3 +0x**4 +1 +1 +0 +2 +0 X1 A X2: 1/2 int(X1 X2, x= -1..1) +6.600000 Press return to continue. </syntaxhighlight> {{AutoCat}} g14vrtpfh3oun0ajoe7xtih5yza1bt2 0 84070 769532 2026-07-15T13:56:35Z Xhungab 23827 news 769532 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Mathc matrices (livre)]] [[Mathc matrices/09o| '''Application''']] Installer et compiler ces fichiers dans votre répertoire de travail. {{Fichier|c0c2.c|largeur=70%|info=|icon=Crystal128-source-c.svg}} <syntaxhighlight lang="c"> /* ---------------------------------- */ /* save as c0c2.c */ /* ---------------------------------- */ #include "hfile.h" #include "fc.h" /* ---------------------------------- */ int main(void) { int n = 2*500; double a = -1.; double b = +1.; clrscrn(); printf(" With : \n\n" " X1(x) = %s\n" " X2(x) = %s\n\n\n",X1eq,X2eq); printf(" You can verify the calculation from the previous file.\n\n" " (%.3f\n" " 1/2 int( (%s) dx = %.6f\n" " (%.3f\n\n\n\n",b, feq, 1/2.*simpson(f,a,b,n), a); stop(); return 0; } /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ </syntaxhighlight> '''Exemple de sortie écran :''' <syntaxhighlight lang="c"> With : X1(x) = 5 + 3x**2 + 3x*4 X2(x) = 1 + x + 2x*3 You can verify the calculation from the previous file. (1.000 1/2 int( (X1(x)*X2(x)) dx = 6.600000 (-1.000 Press return to continue. </syntaxhighlight> {{AutoCat}} 1ps3d7riusg30lginrei5c1zp8xs7ia 3 84072 769560 2026-07-15T23:04:01Z DavidL 1746 Spam publicitaire multi projet wiki 769560 wikitext text/x-wiki {|class="WSerieH" class="plainlinks" id="vandale" align="center" style="width:100%;margin-bottom:2em;border:1px solid #8888aa;border-right-width:2px;border-bottom-width:2px;background-color:#f7f8ff;padding:5px;text-align:justify" |- |[[Image:Nuvola apps important.svg|64px|Stoppez le vandalisme !]] |Bonjour '''{{BASEPAGENAME}}''', Merci de ne '''plus''' effectuer de modifications non pertinentes sur Wikilivres, car cela est considéré comme du [[w:vandalisme|vandalisme]] et peut être réprimé, notamment par un blocage de votre accès. 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Chaque bande verticale figure la température moyenne mondiale d'une année, de 1850 (à gauche) à 2018 (à droite) : du bleu des années fraîches au rouge des années récentes.]] Le '''changement climatique''' désigne toute modificat... » 769563 wikitext text/x-wiki {{DicoPhilo|Changement climatique|lecture=oui}} [[Fichier:20181204 Warming stripes (global, WMO, 1850-2018) - Climate Lab Book (Ed Hawkins).svg|vignette|upright=1.5|Les « bandes de réchauffement » du climatologue Ed Hawkins. Chaque bande verticale figure la température moyenne mondiale d'une année, de 1850 (à gauche) à 2018 (à droite) : du bleu des années fraîches au rouge des années récentes.]] Le '''changement climatique''' désigne toute modification durable du climat terrestre. Dans son usage contemporain, l'expression renvoie principalement au dérèglement causé par l'augmentation anthropique des concentrations de gaz à effet de serre depuis la révolution industrielle, dont le réchauffement de l'atmosphère et des océans constitue la manifestation la plus générale. En philosophie, l'expression renvoie moins au phénomène physique lui-même qu'à l'ensemble des questions [[Dictionnaire de philosophie/Morale|morales]], [[Dictionnaire de philosophie/Politique|politiques]] et épistémologiques qu'il soulève. Qui doit réduire les émissions, et dans quelle proportion ? Que devons-nous aux [[Dictionnaire de philosophie/Générations futures|générations futures]] et aux populations pauvres qui subissent des dommages qu'elles n'ont guère causés ? Comment décider sous incertitude, quand les pires scénarios sont à la fois improbables et catastrophiques ? Chaque individu est-il tenu de réduire sa propre empreinte carbone, alors que ses émissions, prises isolément, ne changent rien de perceptible au cours du climat ? Et que révèle, sur nos institutions comme sur nos théories morales, leur incapacité persistante à traiter ce problème ? La philosophie du changement climatique s'est constituée en champ de recherche à part entière à partir du début des années 1990, dans le sillage d'un article pionnier de Dale Jamieson, « Ethics, Public Policy, and Global Warming » (1992), puis d'un article de synthèse de Stephen Gardiner paru dans la revue ''Ethics'' (2004)<ref>Dale Jamieson, « Ethics, Public Policy, and Global Warming », ''Science, Technology, & Human Values'', vol. 17, n° 2, 1992, p. 139-153 ; Stephen M. Gardiner, « Ethics and Global Climate Change », ''Ethics'', vol. 114, 2004, p. 555-600. Les deux textes sont repris dans Stephen M. Gardiner, Simon Caney, Dale Jamieson et Henry Shue (dir.), ''Climate Ethics: Essential Readings'', Oxford, Oxford University Press, 2010.</ref>. Elle s'est ensuite déployée dans une série d'ouvrages dont on peut citer : ''Climate Change, Justice and Future Generations'' d'Edward Page (2006), l'une des premières monographies consacrées au sujet ; ''A Perfect Moral Storm'' de Stephen Gardiner (2011), qui décrit le changement climatique comme une « tempête morale parfaite » ; ''Climate Matters'' de John Broome (2012), qui articule justice et bonté dans la réponse au réchauffement ; ''Reason in a Dark Time'' de Dale Jamieson (2014), qui cherche à comprendre pourquoi la lutte contre le changement climatique a échoué ; les chapitres consacrés à l'atmosphère commune par Peter Singer dans ''One World'' (2002), révisé sous le titre ''One World Now'' (2016) ; le face-à-face ''Debating Climate Ethics'' (2016), où Stephen Gardiner défend contre le juriste David Weisbach la centralité de l'éthique dans la politique climatique ; enfin deux volumes collectifs, l'anthologie ''Climate Ethics: Essential Readings'' (2010) et le recueil ''Philosophy and Climate Change'' (2021), dirigé par Mark Budolfson, Tristram McPherson et David Plunkett<ref name="gardiner2011">Stephen M. Gardiner, ''A Perfect Moral Storm: The Ethical Tragedy of Climate Change'', Oxford, Oxford University Press, 2011.</ref>{{,}}<ref name="broome2012">John Broome, ''Climate Matters: Ethics in a Warming World'', New York, W. W. Norton, coll. « Norton Global Ethics Series », 2012.</ref>{{,}}<ref name="jamieson2014">Dale Jamieson, ''Reason in a Dark Time: Why the Struggle Against Climate Change Failed, and What It Means for Our Future'', New York, Oxford University Press, 2014.</ref>{{,}}<ref name="singer2016">Peter Singer, ''One World Now: The Ethics of Globalization'', New Haven, Yale University Press, 2016 (première édition sous le titre ''One World'', 2002).</ref>{{,}}<ref name="ce2010">Stephen M. Gardiner, Simon Caney, Dale Jamieson et Henry Shue (dir.), ''Climate Ethics: Essential Readings'', Oxford, Oxford University Press, 2010.</ref>{{,}}<ref name="pcc2021">Mark Budolfson, Tristram McPherson et David Plunkett (dir.), ''Philosophy and Climate Change'', Oxford, Oxford University Press, 2021.</ref>{{,}}<ref name="page2006">Edward A. Page, ''Climate Change, Justice and Future Generations'', Cheltenham, Edward Elgar, 2006.</ref>{{,}}<ref name="dce2016">Stephen M. Gardiner et David A. Weisbach, ''Debating Climate Ethics'', New York, Oxford University Press, 2016.</ref>. La discussion déborde du reste la seule philosophie morale de langue anglaise : les sciences sociales se sont saisies du sujet, comme en témoigne ''The Oxford Handbook of Climate Change and Society'' (2011), et, en France, Pierre Charbonnier a proposé avec ''Abondance et liberté'' (2020) une histoire environnementale des idées politiques qui fait du réchauffement le révélateur des impensés de la modernité<ref name="handbook2011">John S. Dryzek, Richard B. Norgaard et David Schlosberg (dir.), ''The Oxford Handbook of Climate Change and Society'', Oxford, Oxford University Press, 2011.</ref>{{,}}<ref name="charbonnier2020">Pierre Charbonnier, ''Abondance et liberté. Une histoire environnementale des idées politiques'', Paris, La Découverte, 2020.</ref>. Malgré la diversité de leurs approches, ces auteurs partagent une conviction : le changement climatique n'est pas seulement un problème scientifique, technique ou [[Dictionnaire de philosophie/Économie|économique]], mais d'abord un problème de valeurs. Savoir de combien il faut réduire les émissions, qui doit en supporter le coût et quel poids accorder au sort des personnes qui vivront dans un siècle, ce sont là des questions normatives que la [[Dictionnaire de philosophie/Science|science]] du climat, aussi précise soit-elle, ne peut trancher à notre place. Le présent article suit quatre grandes familles de questions. La première concerne le diagnostic : pourquoi ce problème met-il en échec nos institutions comme nos catégories morales ordinaires ? C'est l'objet de la « tempête morale parfaite » décrite par Gardiner et de la mise à l'épreuve de la morale du sens commun. La deuxième relève de la justice : comment répartir un budget d'émissions désormais limité entre pays riches et pays pauvres, que faire des dommages qui ne seront pas évités, et que devons-nous aux générations futures ? La troisième porte sur la décision et l'évaluation : comment choisir sous incertitude, et que valent les instruments de l'économie du climat ? La quatrième, enfin, interroge les agents et les institutions : que doit faire chaque individu, quelles vertus cultiver dans l'Anthropocène, que conclure de l'échec politique persistant, et faut-il aller jusqu'à contester le rôle de l'éthique dans la négociation ou jusqu'à envisager la géo-ingénierie ? == Un problème pour la philosophie == [[Fichier:Mauna Loa CO2 monthly mean concentration.svg|vignette|upright=1.3|La « courbe de Keeling » : concentration mensuelle moyenne de dioxyde de carbone dans l'atmosphère, mesurée à l'observatoire du Mauna Loa (Hawaï) depuis 1958. Cette mesure continue a établi l'accumulation du CO₂ d'origine humaine.]] === Ce que la science établit, ce qu'elle ne peut pas dire === Un détour par la science est le point de départ obligé de toute réflexion morale sur le climat. John Broome ouvre ainsi ''Climate Matters'' par un chapitre de climatologie, en s'en justifiant : on ne peut pas bien penser la réponse à un problème dont on ignore la nature exacte<ref name="broome2012"/>. Les données accumulées depuis le milieu du XX{{e}} siècle établissent que la concentration atmosphérique de gaz à effet de serre augmente sous l'effet des activités humaines, que la température moyenne du globe s'élève en conséquence, et que ce réchauffement modifie déjà les régimes de précipitations, élève le niveau moyen des mers et accroît la fréquence ou l'intensité de certains événements extrêmes. Le Groupe d'experts intergouvernemental sur l'évolution du climat (GIEC), créé en 1988, synthétise périodiquement cet état des connaissances<ref name="giec2023">GIEC, ''Changements climatiques 2023 : Rapport de synthèse. Résumé à l'intention des décideurs'', Genève, GIEC, 2023.</ref>. Broome ajoute une observation qui donne à la science une place singulière dans le problème moral : ce n'est pas seulement l'objet de la climatologie qui importe ici, mais la nature même du savoir scientifique. Les projections climatiques sont probabilistes, assorties de marges d'erreur, révisables ; or c'est sur cette connaissance incertaine que doivent s'appuyer des décisions aux conséquences séculaires. L'incertitude n'est donc pas un simple obstacle pratique : elle fait partie du problème philosophique, comme on le verra à propos du [[Dictionnaire de philosophie/Risque|risque]] et de la précaution<ref name="broome2012"/>. Mais la science, précisément parce qu'elle décrit, ne prescrit rien. Dale Jamieson soutient depuis 1992 que la question posée par le réchauffement est, au fond, une question de valeurs : quel [[Dictionnaire de philosophie/Monde|monde]] voulons-nous habiter, qu'acceptons-nous de perdre, que devons-nous à ceux qui ne sont pas encore nés<ref name="jamieson1992">Dale Jamieson, « Ethics, Public Policy, and Global Warming » (1992), repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 77-86.</ref> ? Une connaissance parfaite du système climatique laisserait entières les questions de répartition, de sacrifice et de responsabilité. Stephen Gardiner insiste dans le même sens : aborder le changement climatique uniquement à travers les lentilles scientifique, économique ou géopolitique de court terme, c'est risquer de manquer ce qui en fait la difficulté propre, à savoir sa dimension éthique<ref name="gardiner2011"/>. === Des précurseurs à un champ nouveau === La philosophie n'a pas attendu le réchauffement pour s'interroger sur la [[Dictionnaire de philosophie/Technique|technique]], la nature et l'avenir. On peut lire rétrospectivement comme des précurseurs le projet cartésien de nous rendre « comme maîtres et possesseurs de la nature », formulé dans le ''[[s:Discours de la méthode|Discours de la méthode]]'' (1637) et devenu l'emblème d'un rapport instrumental au monde ; la théorie rawlsienne de l'épargne juste entre générations ; la méditation de Hans Jonas sur la responsabilité propre à l'âge technologique, dans ''Le Principe responsabilité'' (1979), qui demandait d'agir de telle sorte que les effets de nos actions restent compatibles avec la permanence d'une vie authentiquement humaine sur Terre ; ou encore, dans le monde francophone, l'idée d'un « contrat naturel » avancée par Michel Serres (1990), qui étendait à la Terre elle-même le vocabulaire du [[Dictionnaire de philosophie/Contrat social|contrat social]]<ref>John Rawls, ''A Theory of Justice'', Cambridge (Mass.), Harvard University Press, 1971, § 44 ; Hans Jonas, ''Das Prinzip Verantwortung'', Francfort, Insel, 1979, trad. fr. ''Le Principe responsabilité'', Paris, Cerf, 1990 ; Michel Serres, ''Le Contrat naturel'', Paris, François Bourin, 1990.</ref>. Le changement climatique donne cependant à ces questions une concrétude et une urgence inédites. Derek Parfit avait montré dès ''Reasons and Persons'' (1984) que nos choix énergétiques déterminent l'identité même des personnes futures, ce qui bouleverse les catégories ordinaires du tort et du bénéfice ; le réchauffement transforme ce cas d'école en situation historique réelle<ref name="parfit1984">Derek Parfit, ''Reasons and Persons'', Oxford, Oxford University Press, 1984, notamment la quatrième partie.</ref>. De même, les difficultés classiques de l'action collective, de la justice internationale et de la décision sous incertitude, jusque-là traitées séparément, se trouvent ici nouées en un seul problème. C'est cette convergence que Gardiner a proposé de penser sous la métaphore de la tempête parfaite. == Une « tempête morale parfaite » == Stephen Gardiner emprunte l'image de la tempête parfaite au récit de Sebastian Junger (1997), porté à l'écran en 2000, qui raconte le naufrage du navire de pêche ''Andrea Gail'', pris dans la convergence exceptionnelle de trois systèmes dépressionnaires. De même, soutient Gardiner, le changement climatique résulte de la rencontre de trois « tempêtes » qui, chacune, entrave notre capacité à agir moralement, et dont la conjonction crée un défi peut-être sans précédent : une tempête planétaire, une tempête intergénérationnelle et une tempête théorique. À leur intersection surgit un quatrième danger, la corruption morale<ref name="gardiner2011"/>. Ce cadre d'analyse, exposé d'abord dans un article de 2006 puis développé dans le livre de 2011, est devenu l'une des références les plus discutées du champ<ref name="gardiner2006">Stephen M. Gardiner, « A Perfect Moral Storm: Climate Change, Intergenerational Ethics, and the Problem of Moral Corruption », ''Environmental Values'', vol. 15, 2006, p. 397-413, repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 87-98.</ref>. === La tempête planétaire === La première tempête tient à la structure spatiale du problème. Trois traits la caractérisent. D'abord, la dispersion des causes et des effets : les gaz à effet de serre émis en un point quelconque du globe se mélangent dans l'atmosphère et contribuent au réchauffement partout ailleurs, si bien qu'aucun lien visible ne relie un émetteur particulier à une victime particulière. Ensuite, la fragmentation de l'agentivité : le réchauffement résulte des actions de milliards d'individus, d'entreprises et d'États, sans qu'aucun agent ne le produise ni ne puisse l'arrêter seul. Enfin, l'inadéquation institutionnelle : il n'existe pas d'autorité mondiale capable d'imposer la coopération, de sorte que la réduction des émissions dépend d'accords entre États souverains, chacun tenté de laisser les autres supporter l'effort<ref name="gardiner2006"/>. Cette structure évoque les modèles classiques de la théorie des jeux : la « tragédie des communs » décrite par Garrett Hardin en 1968, où chaque berger a intérêt à ajouter une bête au pâturage commun bien que la somme de ces décisions ruine le pâturage, ou le dilemme du prisonnier généralisé, où la défection domine la coopération alors même que tous préféreraient la coopération générale<ref>Garrett Hardin, « The Tragedy of the Commons », ''Science'', vol. 162, 1968, p. 1243-1248.</ref>. L'atmosphère fonctionne comme un puits commun de capacité limitée : chacun profite de ses propres émissions, tandis que le coût en est réparti sur tous. Gardiner ajoute à ce tableau une asymétrie de pouvoir : les nations les plus riches, et les riches au sein de ces nations, disposent d'une capacité disproportionnée à orienter les décisions collectives en faveur de leurs propres intérêts, au détriment des nations pauvres et des pauvres en leur sein<ref name="gardiner2011"/>. En principe, une tragédie des communs entre contemporains peut se résoudre : il suffit d'un accord assorti de sanctions, qui change les incitations de chacun. C'est ce que la communauté internationale a réussi pour la couche d'ozone avec le protocole de Montréal (1987). Gardiner souligne toutefois que le cas climatique est plus retors. La tragédie y est « mouvante » : la composition des grands émetteurs change avec le développement économique, les coûts et les bénéfices de l'action se déplacent dans le temps, et chaque génération d'acteurs peut espérer que le problème sera, pour l'essentiel, celui de quelqu'un d'autre. Surtout, la dimension planétaire n'est pas, selon lui, le cœur du problème : si le changement climatique n'était qu'un dilemme entre contemporains, la simple convergence des intérêts nationaux à long terme aurait sans doute suffi à produire un accord efficace. Ce qui bloque la coopération se situe ailleurs, dans le rapport entre générations. Gardiner consacre d'ailleurs un appendice de son livre à rejeter l'idée, défendue par Hardin, que la tragédie environnementale mondiale se réduirait à la croissance de la population : c'est la structure temporelle du problème, non le nombre des hommes, qui en fait la difficulté<ref name="gardiner2011"/>. === La tempête intergénérationnelle === La deuxième tempête est, aux yeux de Gardiner, la plus grave. Elle repose sur une asymétrie temporelle : les générations présentes peuvent affecter profondément les conditions d'existence des générations futures, tandis que l'inverse est impossible. Le dioxyde de carbone demeure dans le système climatique pendant des siècles, et une fraction en subsiste pendant des millénaires ; les bénéfices des émissions (énergie bon marché, croissance, confort) sont immédiats et reviennent à ceux qui émettent, alors que l'essentiel des dommages est différé et retombera sur des personnes qui n'existent pas encore. Gardiner parle de biens « à charge différée » (''back-loaded'') et « temporellement diffus » : la structure même du phénomène invite chaque génération à empocher les gains et à transmettre la facture<ref name="gardiner2011"/>. La pente est ancienne : Hume observait déjà qu'aucune qualité de la nature humaine ne cause plus d'erreurs funestes que celle qui nous fait préférer le présent et le proche au distant et au lointain, faiblesse que les hommes corrigent d'ordinaire par des institutions<ref>David Hume, ''Traité de la nature humaine'' (1739-1740), livre III, deuxième partie, section VII.</ref> ; or aucune institution ne représente encore les générations futures. Il nomme « tyrannie du contemporain » cette domination structurelle du présent sur l'avenir, et il en formalise la logique sous le nom de « problème intergénérationnel pur ». Ce problème ressemble au dilemme du prisonnier, mais en pire. Dans un dilemme du prisonnier entre contemporains, la coopération peut émerger de la répétition des interactions, de la réciprocité et des sanctions mutuelles : les parties sont ensemble dans la durée et peuvent se punir les unes les autres. Entre générations qui ne coexistent pas, rien de tel : les générations futures ne peuvent ni récompenser ni punir leurs prédécesseurs, ni même négocier avec eux. Chaque génération, prise une à une, a donc de fortes raisons de « passer le fardeau » (''buck-passing'') à la suivante, alors même que toutes préféreraient qu'aucune ne le fasse. Les mécanismes ordinaires de solution des problèmes d'action collective sont ici hors d'usage<ref name="gardiner2011"/>. On pourrait espérer que la perspective d'impacts rapprochés dissolve le problème : si la catastrophe menace de notre vivant, l'intérêt bien compris ne suffit-il pas à motiver l'action ? Gardiner examine cette objection à propos des scénarios de changement abrupt et conclut, contre l'intuition, que la proximité des dommages pourrait aggraver les choses. Une génération qui se sait déjà exposée à des impacts qu'elle ne peut plus éviter peut être tentée d'émettre davantage encore, pour financer sa propre adaptation aux dépens de ses successeurs ; de proche en proche pourrait s'enclencher l'équivalent d'une course aux armements entre générations, chacune reportant sur la suivante un fardeau alourdi<ref name="gardiner2011"/>. L'auteur note enfin que le problème intergénérationnel ne se laisse pas résoudre par une simple stipulation, par exemple en supposant que chaque État représente les intérêts de ses citoyens « à perpétuité » : ce serait présupposer acquis précisément ce qui fait difficulté, et ignorer que les responsabilités envers l'avenir ne s'arrêtent pas aux frontières nationales<ref name="gardiner2011"/>. === La tempête théorique === La troisième tempête est d'ordre intellectuel : au moment où nous aurions le plus besoin de théories morales et politiques robustes pour résister aux deux premières tempêtes, nos théories se révèlent mal préparées. Gardiner dresse la liste des chantiers où elles demeurent, selon lui, sous-développées : l'éthique intergénérationnelle, la justice internationale, la décision sous incertitude scientifique, le statut des personnes dont l'existence et les préférences dépendent de nos choix présents, enfin le rapport de l'[[Dictionnaire de philosophie/Humanité|humanité]] aux animaux et au reste de la nature<ref name="gardiner2011"/>. Chacune de ces questions est difficile isolément ; le changement climatique les pose toutes à la fois. Le recueil ''Philosophy and Climate Change'' illustre cette extension du domaine : Jeff Sebo y montre par exemple que les milliards d'animaux sauvages et domestiques affectés par le réchauffement comptent moralement et compliquent encore l'évaluation des politiques climatiques<ref>Jeff Sebo, « Animals and Climate Change », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 42-66.</ref>. Dans la version de son cadre qu'il présente en 2016, face à David Weisbach, Gardiner détache d'ailleurs ce dernier chantier des autres pour en faire une tempête à part entière, la tempête écologique. La dispersion des causes et des effets y franchit la frontière des espèces : au jeu de la défausse s'ajoute un dernier maillon, les riches d'aujourd'hui reportant les coûts sur les pauvres, les uns et les autres sur les générations futures, et tous sur les autres vivants, par l'intermédiaire des écosystèmes dont ceux-ci dépendent. Le réchauffement anthropique étend en outre démesurément la responsabilité humaine : l'extinction d'une espèce ou la destruction d'une forêt par un ravageur en migration, naguère malheurs sans coupable, deviennent des événements que nous avons facilités, et la nature « rouge de dents et de griffes », qui n'était la faute de personne, devient soudain la nôtre. Gardiner y discerne enfin le germe d'une fuite en avant : si le monde non humain est désormais notre affaire, certains concluront qu'il nous appartient de le surveiller et de l'aménager de part en part, achevant sa colonisation<ref name="dce2016"/>. Gardiner propose un « test planétaire » pour les institutions et les théories : une institution ou une théorie qui, appliquée aux conditions réelles, conduirait de manière prévisible à une catastrophe mondiale évitable échoue à ce test et doit être réformée ou abandonnée. Or, au vu des résultats de Kyoto, de Bonn-Marrakech et de Copenhague, nos institutions politiques semblent précisément échouer. Quant aux théories, Gardiner les soupçonne de « vices théoriques » caractéristiques : elles peuvent être opaques (incapables d'identifier le problème), complaisantes (portées à conclure que tout va bien) ou évasives (promptes à renvoyer la difficulté à d'autres disciplines). Il prend l'utilitarisme comme illustration : une théorie qui exige de maximiser le bien-être total sur des horizons séculaires, sans disposer d'une métrique fiable ni d'un traitement assuré des populations futures, risque de fournir une façade de rigueur à des calculs en réalité indéterminés<ref name="gardiner2011"/>. La tempête théorique n'affaiblit pas seulement notre compréhension : elle nous rend plus vulnérables aux deux autres tempêtes, car une pensée incertaine d'elle-même se laisse plus aisément détourner. === La corruption morale === [[Fichier:CassandraAusten-JaneAusten(c.1810) hires.jpg|vignette|upright=0.9|Jane Austen, par sa sœur Cassandra (vers 1810). Le début de ''[[s:Raison et Sensibilité|Raison et Sensibilité]]'' fournit à Gardiner un modèle littéraire de la corruption morale.]] De la rencontre des trois tempêtes naît un quatrième péril, que Gardiner nomme corruption morale. Quand une génération a de puissants intérêts à ne pas agir, qu'aucune victime présente ne peut lui demander des comptes et que la théorie ne lui oppose aucune résistance ferme, elle est exposée à une tentation subtile : non pas nier ouvertement ses obligations, mais brouiller le raisonnement moral lui-même. La corruption morale opère par distraction (déplacer l'attention vers des questions secondaires), complaisance (se satisfaire de gestes symboliques), doute déraisonnable (exiger une certitude scientifique impossible), attention sélective (ne retenir que les arguments qui arrangent) et délégation (renvoyer le problème aux économistes, aux ingénieurs ou aux générations suivantes)<ref name="gardiner2011"/>. Pour donner chair à ce mécanisme, Gardiner relit les deux premiers chapitres de ''Raison et Sensibilité'' de Jane Austen. John Dashwood a promis à son père mourant de prendre soin de sa belle-mère et de ses demi-sœurs, et songe d'abord à leur donner une somme substantielle. Au fil d'une conversation avec son épouse Fanny, la promesse est réinterprétée, son contenu rogné, ses bénéficiaires décrites comme n'ayant besoin de rien, jusqu'à ce que le couple conclue qu'un peu d'aide occasionnelle, quelques présents de gibier et de poisson, suffira amplement à honorer l'engagement. Aucun des deux ne se dit qu'il trahit une promesse : chacun se persuade, argument après argument, que la morale n'exigeait rien de plus. Gardiner voit dans ce dialogue un miroir du débat climatique contemporain, où l'attaque porte d'abord sur le statut de l'exigence morale (est-elle vraiment obligatoire ?), puis sur son contenu (que demande-t-elle au juste ?), puis se poursuit par des diversions qui laissent l'inaction intacte et la bonne conscience sauve<ref name="gardiner2011"/>. La leçon méthodologique est importante : nos évaluations des théories et des politiques climatiques ne se déroulent pas dans un cadre axiologiquement neutre. Même si la meilleure théorie morale était disponible, rien ne garantit que nous saurions l'appliquer honnêtement, car nous sommes à la fois juges et parties. C'est pourquoi Gardiner tient l'identification lucide du problème, et la vigilance à l'égard de nos propres rationalisations, pour une contribution philosophique de premier ordre, préalable à toute théorie positive<ref name="gardiner2011"/>. == La morale du sens commun à l'épreuve == === Le paradigme de la responsabilité et sa dissolution === Dale Jamieson propose un diagnostic complémentaire de celui de Gardiner : si le changement climatique nous laisse moralement désemparés, c'est que notre [[Dictionnaire de philosophie/Morale|morale]] ordinaire s'est formée dans des sociétés peu nombreuses, peu denses, disposant de ressources naturelles en apparence illimitées, et qu'elle n'est tout simplement pas taillée pour un problème de cette structure<ref name="jamieson2014"/>. Le cœur de cette morale du sens commun est un paradigme de l'acte moralement suspect : un individu identifiable cause intentionnellement un tort identifiable à un autre individu identifiable, dans une proximité spatiale et temporelle étroite. Jamieson illustre ce paradigme, puis sa dissolution progressive, par une série de variations sur un exemple. Premier cas : Jacques vole intentionnellement la bicyclette de Jeanne ; auteur, victime, tort et intention sont manifestes, et chacun juge l'acte répréhensible. On modifie ensuite le cas dimension par dimension. Deuxième cas : Jacques appartient à un groupe d'inconnus dont chacun, agissant indépendamment, emporte une pièce de la bicyclette de Jeanne, qui disparaît ainsi. Troisième cas : Jacques prélève une pièce sur chacune d'un grand nombre de bicyclettes, dont celle de Jeanne. Quatrième cas : Jacques et Jeanne vivent sur des continents différents, et la perte de la bicyclette résulte d'une chaîne causale amorcée par une simple commande passée par Jacques. Cinquième cas : Jacques vit plusieurs siècles avant Jeanne et consomme des matériaux indispensables à la fabrication des bicyclettes, de sorte que Jeanne ne pourra jamais en posséder une. À chaque étape, l'intuition de faute s'affaiblit ; certains ne voient même plus rien de moralement discutable dans les deux derniers cas<ref name="jamieson2014"/>. Le sixième cas cumule toutes les transformations : agissant indépendamment, Jacques et un grand nombre d'inconnus déclenchent une chaîne d'événements qui privera de bicyclettes un grand nombre de personnes futures vivant dans une autre partie du monde. Pour beaucoup, ce n'est plus là que la description abstraite d'un comportement quotidien parfaitement anodin. Or, soutient Jamieson, c'est ce sixième cas qui ressemble le plus au changement climatique : le noyau du problème moral subsiste (des personnes agissent d'une manière qui en lèse d'autres), mais tout ce qui accompagne habituellement ce noyau, l'intention, l'identifiabilité, la contiguïté, a disparu. Il n'est donc pas surprenant que tant de gens ne perçoivent pas la conduite automobile ou les voyages aériens comme des questions morales, et que personne ne se sente pire qu'un criminel en prenant l'avion. Le réchauffement met ainsi au jour les conditions d'arrière-plan, ordinairement invisibles, de notre concept de responsabilité<ref name="jamieson2014"/>. Jamieson ajoute que la causalité ne suffit de toute façon pas à la responsabilité morale : celui qu'un ouragan projette à travers une vitre, ou dont le commerce prospère ruine involontairement un concurrent, cause un dommage sans faute. La responsabilité requiert d'ordinaire une faute, c'est-à-dire une intention, une imprudence consciente ou une négligence. Or les émissions ordinaires ne relèvent pas clairement de ces catégories : personne ne conduit dans le dessein de réchauffer la planète, et le lien entre un trajet particulier et un dommage particulier demeure inassignable<ref name="jamieson2014"/>. === Réviser la morale ? === Face à ce constat, deux attitudes sont possibles. La première consiste à conclure, avec une partie du sens commun, que les actes individuels qui contribuent au réchauffement ne sont pas immoraux. La seconde consiste à entreprendre une révision de la morale elle-même. Jamieson souligne que les éthiciens du climat qui veulent moraliser la conduite inutile ou les vols d'agrément sont, qu'ils le sachent ou non, des réformateurs : ils ne décrivent pas nos concepts moraux, ils proposent de les transformer, comme d'autres révolutions morales ont transformé, à l'aube du capitalisme, l'égoïsme de vice en ressort du bien commun. Deux stratégies dominent ce travail de révision : collectiviser la responsabilité, en faisant porter l'obligation sur des ensembles d'agents plutôt que sur chacun pris isolément, ou indexer la responsabilité sur la probabilité des issues plutôt que sur la causalité avérée. Toutes deux ont des conséquences contre-intuitives et heurtent des idées libérales classiques ; mais des conséquences contre-intuitives sont précisément ce qu'il faut attendre d'une révision de la morale. Jamieson avertit seulement du danger : la morale commune est une tapisserie aux fils entremêlés, et à trop tirer sur un fil, on risque de défaire l'ensemble<ref name="jamieson2014"/>. == La justice climatique mondiale == [[Fichier:Flooded village after 1991 cyclone.jpg|vignette|upright=1.25|Village inondé après le cyclone de 1991 au Bangladesh. Les populations qui ont le moins contribué aux émissions sont souvent les plus exposées aux effets du changement climatique.]] === Un puits commun à partager === Sous l'angle de la justice distributive, le changement climatique peut se décrire simplement : des personnes riches s'approprient une part disproportionnée d'un bien public mondial, la capacité limitée de l'atmosphère à absorber les gaz à effet de serre sans dérèglement dangereux, et cette appropriation nuit d'abord à des personnes pauvres, par le biais de sécheresses, de cyclones, de vagues de chaleur et de leurs suites économiques et politiques. Jamieson décompose ce constat en cinq propositions : certains s'approprient une part disproportionnée d'un bien commun ; cette appropriation cause des torts ; les appropriateurs sont surtout des riches ; les victimes sont surtout des pauvres ; et les riches pourraient s'approprier moins sans renoncer à leur mode de vie<ref name="jamieson2014"/>. Dès lors qu'un plafond mondial d'émissions devient nécessaire, la capacité d'absorption de l'atmosphère se transforme en ressource rare, et la question de sa répartition équitable se pose avec la même acuité que celle de n'importe quelle ressource commune. Henry Shue observe que l'imposition d'un plafond fait des émissions un bien à somme nulle, et donc un objet de justice<ref name="ce2010"/>. La question renoue ainsi avec un problème inaugural de la philosophie politique moderne, celui de l'appropriation légitime d'un monde d'abord commun : Grotius le posait à propos des mers et des terres, Locke y répondait par le travail qui fonde la propriété, et Rousseau dénonçait dans le second ''Discours'' l'imposture du premier enclos ; l'atmosphère rejoue cette scène à l'échelle du globe<ref name="charbonnier2020"/>{{,}}<ref>Jean-Jacques Rousseau, ''Discours sur l'origine et les fondements de l'inégalité parmi les hommes'' (1755), seconde partie.</ref>. === Les principes de répartition : la discussion de Peter Singer === [[Fichier:Peter Singer MIT Veritas.jpg|vignette|upright=0.9|Peter Singer. Dans ''One World'' puis ''One World Now'', il examine quatre principes de partage de l'atmosphère et défend l'égalité des droits d'émission par tête.]] La discussion la plus explicite des principes de répartition est celle de Peter Singer dans le chapitre « Une seule atmosphère » de ''One World''<ref name="singer-atm">Peter Singer, « One Atmosphere », dans ''One World: The Ethics of Globalization'', New Haven, Yale University Press, 2002, repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 181-199 ; version révisée dans ''One World Now'', ''op. cit.''</ref>. Singer y confronte quatre principes, chacun rattaché à une grande tradition éthique. Le premier est le principe de responsabilité historique, proche de la maxime « qui casse paie » et du principe pollueur-payeur : les pays qui ont rempli l'atmosphère depuis la révolution industrielle doivent supporter les coûts correspondants. Le deuxième est l'[[Dictionnaire de philosophie/Égalité|égalité]] des parts : chaque être humain a un droit égal à la capacité d'absorption de l'atmosphère, ce qui condamne les émissions par tête très inégales d'aujourd'hui. Le troisième, d'inspiration rawlsienne, veut que la répartition profite d'abord aux plus défavorisés. Le quatrième, utilitariste, demande la répartition qui maximise le bien-être global, compte tenu de l'utilité marginale décroissante de la consommation. Le résultat le plus frappant de l'examen est leur convergence pratique : correctement appliqués, ces quatre principes font tous porter l'essentiel du fardeau aux pays riches, éventuellement sa totalité. Singer défend néanmoins, pour des raisons de simplicité et d'acceptabilité politique, le principe de parts égales par tête pour les émissions futures, indexé sur les projections démographiques des Nations unies à l'horizon 2050 afin de ne pas récompenser la croissance de la population. Il souligne un point souvent mal compris : loin d'être sévère pour les pays industrialisés, ce principe leur est indulgent, puisqu'il efface l'ardoise du passé. Si l'on combinait parts égales et responsabilité historique, les pays anciennement industrialisés devraient se contenter, pendant des décennies, de bien moins qu'une part égale, le temps de résorber leur excédent accumulé. Dire « oublions le passé, repartons à égalité » est déjà une concession considérable faite aux riches<ref name="singer-atm"/>. Dans ''One World Now'', Singer en tire une implication pour le régime issu de l'accord de Paris (2015) : lors des révisions quinquennales des engagements nationaux, les pays à fortes émissions par habitant devraient donner l'exemple en relevant fortement leur ambition, sans conditionner leur action à celle des pays en développement<ref name="singer2016"/>. À l'inverse, le principe implicite qui a longtemps gouverné les négociations, l'antériorité d'usage ou ''grandfathering'', selon lequel les droits futurs se proportionnent aux émissions passées, apparaît dans la littérature comme le moins défendable : il revient à récompenser l'appropriation antérieure du bien commun. Singer note que la clause lockéenne, qui légitime l'appropriation à condition d'en laisser « autant et d'aussi bonne qualité » aux autres, est précisément ce que la saturation de l'atmosphère rend impossible : il ne reste plus assez de capacité d'absorption pour que chacun en use comme les premiers arrivés<ref name="singer-atm"/>. Dale Jamieson aboutit à une conclusion voisine de celle de Singer : l'égalité des droits d'émission par tête, assortie de permis échangeables, combine l'exigence d'équité mise en avant par les pays en développement et l'instrument de marché préféré des pays industrialisés<ref name="ce2010"/>. Le dispositif de « contraction et convergence », qui fait converger progressivement les émissions par tête de tous les pays vers un niveau égal et décroissant, en est la traduction opérationnelle la plus connue ; Paul Baer et ses collègues ont toutefois montré que sous des objectifs de réduction très stricts, une convergence même rapide peut ne plus protéger le droit au développement des pays pauvres, d'où leur proposition alternative des « droits au développement dans un monde sous contrainte de serre », fondée sur un seuil de développement et une capacité de paiement<ref>Paul Baer, Tom Athanasiou, Sivan Kartha et Eric Kemp-Benedict, « Greenhouse Development Rights », dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 215-230.</ref>. === Responsabilité historique, ignorance excusable et bénéficiaires === Le principe pollueur-payeur soulève des difficultés propres dès qu'on l'applique aux émissions accumulées depuis le XIX{{e}} siècle. La première est l'objection de l'ignorance excusable : jusqu'à une date que l'on situe généralement autour de 1990, année du premier rapport du GIEC, les émetteurs ne pouvaient pas savoir que leurs émissions étaient dommageables ; or on ne blâme pas ce qui ne pouvait être su. Les partisans de la responsabilité historique répondent en distinguant le blâme de la prise en charge : les industrialisés d'hier ne sont pas coupables, mais leurs héritiers, qui jouissent des infrastructures et de la prospérité issues de ces émissions, peuvent équitablement être appelés à en assumer les coûts<ref name="caney2005">Simon Caney, « Cosmopolitan Justice, Responsibility, and Global Climate Change », ''Leiden Journal of International Law'', vol. 18, 2005, p. 747-775, repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 122-145.</ref>. La deuxième difficulté vient de la mort des pollueurs originels : faire payer les vivants pour les morts suppose un principe du bénéficiaire-payeur, selon lequel qui profite d'une injustice passée doit en indemniser les victimes. Simon Caney a soumis ce principe à une critique serrée, en mobilisant le problème de la non-identité formulé par Parfit et, avant lui, par Thomas Schwartz : l'industrialisation a si profondément modifié le cours des choses que les personnes actuelles n'existeraient pas sans elle ; on ne peut donc pas dire, au sens strict, qu'elle les a rendues mieux loties qu'elles ne l'auraient été, ni qu'elles ont « bénéficié » d'un processus sans lequel elles ne seraient pas. Caney propose en conséquence un compte hybride : le principe pollueur-payeur vaut pour les émissions postérieures à la prise de conscience, tandis que les coûts liés aux émissions plus anciennes, ou aux défaillances des pollueurs, doivent être répartis selon la capacité de paiement, les plus aptes à payer étant tenus de combler le reste, à l'exclusion des pauvres<ref name="caney2005"/>. Henry Shue parvient à une conclusion convergente par une autre voie : trois principes de sens commun, la contribution au problème, la capacité de paiement et la garantie d'un minimum vital, désignent tous les pays riches comme débiteurs prioritaires des coûts d'atténuation et d'adaptation, si bien qu'il n'est pas nécessaire de trancher entre théories controversées pour savoir qui doit payer d'abord<ref name="shue1999">Henry Shue, « Global Environment and International Inequality », ''International Affairs'', vol. 75, 1999, p. 531-545, repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 101-111.</ref>. === Émissions de subsistance et émissions de luxe === Une autre distinction structurante remonte à un rapport d'Anil Agarwal et Sunita Narain (1991) dénonçant le « colonialisme environnemental » des comptabilités carbone qui mettent sur le même plan toutes les émissions. Henry Shue l'a élaborée philosophiquement : les émissions de subsistance, nécessaires à la satisfaction des besoins vitaux, ne sauraient être traitées comme les émissions de luxe, liées à des consommations superflues. Un plafond mondial doit d'abord comprimer les secondes et sanctuariser les premières ; nul ne peut être tenu de renoncer à sa survie pour que d'autres conservent leur superflu<ref name="shue1993">Henry Shue, « Subsistence Emissions and Luxury Emissions », ''Law & Policy'', vol. 15, n° 1, 1993, p. 39-59, repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 200-214.</ref>. La distinction parle à l'intuition : le tout-terrain surpuissant d'une vedette hollywoodienne relève du luxe, le feu de bouse d'une paysanne kényane de la subsistance. Jamieson montre cependant combien la frontière est difficile à tracer pour la masse des cas intermédiaires. La quantité d'émissions nécessaire à un même niveau de vie dépend du bouquet énergétique disponible et de l'organisation sociale : la France, dont l'électricité est peu carbonée, émet par habitant moins de la moitié des États-Unis pour des modes de vie comparables ; et comment classer les émissions liées à l'éducation, à la création artistique ou au pèlerinage à La Mecque, qui ne relèvent ni de la survie ni du superflu ? La distinction éclaire les extrêmes, conclut Jamieson, mais ne fournit pas de principe opératoire pour découper l'ensemble des émissions<ref name="jamieson2014"/>. === L'approche par les droits humains === Simon Caney a proposé de reformuler l'ensemble du problème dans le langage des droits humains : le changement climatique menace, de manière prévisible, les [[Dictionnaire de philosophie/Droit|droits]] les plus fondamentaux, le droit à la vie (vagues de chaleur, événements extrêmes), le droit à la santé (extension des maladies vectorielles, malnutrition) et le droit à la subsistance (sécheresses, submersion des terres). L'intérêt de cette approche tient à sa structure de seuil : les droits fixent des planchers non négociables, qui ne peuvent être dissous dans une agrégation coûts-avantages ; peu importe que le réchauffement produise par ailleurs des bénéfices, s'il fait passer des personnes sous le seuil de ce qui leur est dû<ref name="caney2010">Simon Caney, « Climate Change, Human Rights, and Moral Thresholds », dans Stephen Humphreys (dir.), ''Human Rights and Climate Change'', Cambridge, Cambridge University Press, 2010, repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 163-177.</ref>. Jamieson oppose à cette approche des réserves instructives. Si l'on conjugue un budget carbone compatible avec la limite des 2 °C, soit environ 2,7 tonnes de CO₂ par personne et par an selon une estimation du Conseil consultatif allemand sur le changement global, avec l'idée que tout dépassement viole des droits, alors la quasi-totalité des Américains, et la plupart des classes moyennes mondiales, deviennent des violateurs de droits humains : un aller-retour transatlantique ou un mois de vie dans un pavillon américain typique épuisent le budget annuel. Or ces personnes ne se vivent pas ainsi, et beaucoup n'ont guère d'alternatives réelles dans l'organisation présente des transports et de l'énergie. Surtout, la relation entre une émission donnée et un dommage donné n'a rien de comparable à celle qui unit le tortionnaire à sa victime : nul ne peut dire quelles émissions, par quelles chaînes causales, produisent quels torts. Le vocabulaire des droits, conclut Jamieson, capte la gravité de l'enjeu mais s'ajuste mal à la texture causale du phénomène<ref name="jamieson2014"/>. === Adaptation, pertes et préjudices === La justice climatique ne se réduit pas à la répartition des réductions d'émissions. Paul Baer distingue trois questions qui commandent l'ensemble du dossier : celle de la cible (jusqu'où limiter les émissions pour contenir les dommages), celle de la répartition (comment distribuer les coûts de l'effort) et celle de la responsabilité envers ceux qui seront mis en danger ou lésés malgré tout, par avance sous la forme de l'adaptation, après coup sous celle de la compensation. La deuxième a longtemps accaparé le débat, alors que la troisième obéit à une logique tout aussi simple : si un risque créé par les émissions peut être réduit par un investissement préventif, ceux qui ont causé ce risque, et qui sont aussi les plus capables de payer, doivent le financer ; l'obligation peut du reste se fonder sur la seule capacité d'aider, indépendamment de toute responsabilité causale. Dale Jamieson consacrait dès 2005 un essai au titre programmatique, « Adaptation, Mitigation, and Justice », à cette part négligée du problème, et Baer défendait au même moment l'application à l'adaptation des principes ordinaires de la responsabilité : qui dégrade un bien commun vital ne saurait laisser les victimes financer seules leur protection, et la ligne de partage entre payeurs et bénéficiaires passe autant entre riches et pauvres à l'intérieur des nations qu'entre les nations elles-mêmes<ref name="baer2010">Paul Baer, « Adaptation to Climate Change: Who Pays Whom? », repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 247-262.</ref>. Baer souligne aussi ce qui rend l'adaptation rétive au traitement ordinaire de la justice corrective : parce que les populations les plus exposées au réchauffement anthropique sont largement les mêmes que celles qui souffrent déjà de la variabilité climatique ordinaire, il est à peu près impossible d'isoler le risque « additionnel » imputable aux émissions, si bien que l'adaptation ressemble à s'y méprendre à du développement, dont les pays du Sud exigent pourtant qu'elle soit financée en sus<ref name="baer2011">Paul Baer, « International Justice », dans ''The Oxford Handbook of Climate Change and Society'', ''op. cit.'', chap. 22.</ref>{{,}}<ref name="jamieson2005">Dale Jamieson, « Adaptation, Mitigation, and Justice » (2005), repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.''.</ref>. Gardiner met en garde contre une illusion que le mot même d'« adaptation » entretient : l'adaptation n'empêchera pas tous les dommages. Une partie des impacts devra simplement être subie, ce qui soulève des questions de justice distinctes ; il y a alors matière à compensation, éventuellement sous forme de ressources financières et de droits de migration ou d'admission plutôt que de la seule assistance technique. Et certaines pertes ne se compensent pas : la disparition des terres natales qui menace les petits États insulaires apparente leurs griefs à ceux des peuples autochtones dépossédés ailleurs, pour lesquels la justice s'énonce dans le vocabulaire de la reconnaissance, de la restitution et de la réconciliation plutôt que dans celui de l'indemnité. Au-delà se profile enfin la possibilité de bouleversements que l'on ne pourrait ni prévenir par l'adaptation ni simplement endurer<ref name="gardinerhb">Stephen M. Gardiner, « Climate Justice », dans ''The Oxford Handbook of Climate Change and Society'', ''op. cit.'', chap. 21.</ref>. La négociation internationale a fini par donner un nom à cet angle mort en consacrant la catégorie des « pertes et préjudices » : un mécanisme international lui a été dédié à Varsovie en 2013, puis un fonds spécifique, établi à la COP27 en 2022 et rendu opérationnel à la COP28 en 2023, a lancé son premier appel à demandes de financement lors de la COP30 en 2025. On retrouvera la situation des peuples insulaires plus loin, à propos du problème de la non-identité. == La justice entre les générations == === Le problème de la non-identité === [[Fichier:Derek Parfit at Harvard-April 21, 2015-Effective Altruism (cropped).jpg|vignette|upright=0.9|[[Dictionnaire de philosophie/Derek Parfit|Derek Parfit]] en 2015. ''Reasons and Persons'' (1984) a formulé le problème de la non-identité et les grands paradoxes de l'éthique des populations.]] Le raisonnement le plus déroutant de l'éthique intergénérationnelle est dû à [[Dictionnaire de philosophie/Derek Parfit|Derek Parfit]]. Son exemple canonique, la « déplétion », met en scène une génération qui hésite entre deux politiques : la conservation, qui élève la qualité de vie pendant deux siècles puis la stabilise à un haut niveau, et la déplétion, qui l'élève un peu plus pendant deux siècles mais la fait ensuite chuter durablement, tout en laissant des vies qui valent encore d'être vécues. La déplétion semble évidemment le mauvais choix, et l'explication naturelle est qu'elle nuit aux personnes futures. Or cette explication vacille. Des politiques aussi différentes transforment les modes de vie, les rencontres, les moments des conceptions : au fil des générations, ce ne sont pas les mêmes personnes qui naissent sous l'une et sous l'autre. Les personnes qui vivront mal sous la déplétion n'existeraient pas du tout sous la conservation ; on ne peut donc pas dire qu'elles auraient été mieux loties si l'autre politique avait été choisie, ni, en ce sens comparatif, qu'on leur a nui<ref name="parfit1984"/>{{,}}<ref>Derek Parfit, « Energy Policy and the Further Future: The Identity Problem » (1983), repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 112-121.</ref>. Appliqué au climat, l'argument menace toute morale qui fonde nos devoirs envers l'avenir sur l'interdiction de nuire à des individus déterminés : des politiques climatiques ambitieuses modifieraient elles aussi l'identité des personnes à naître, si bien que les membres lointains d'un avenir dégradé ne pourront pas se plaindre d'avoir été lésés par notre inaction, puisqu'ils lui doivent l'existence. Les réponses proposées sont de plusieurs ordres. Certains déplacent le tort de l'individu vers le collectif. Edward Page, auteur de l'examen le plus systématique du problème dans le contexte climatique, observe que l'existence des groupes, peuples insulaires, nations, cultures, est moins précaire que celle des individus : elle ne dépend pas de la rencontre d'un spermatozoïde et d'un ovule particuliers, et un même peuple persiste à travers le renouvellement de ses membres. On peut donc soutenir qu'une politique de laisser-faire lèse les habitants d'un archipel submergé en tant que groupe, quand bien même aucun d'eux, pris un à un, ne pourrait s'en plaindre. Page relève toutefois que le problème renaît un étage plus haut, car certains groupes futurs, à commencer par les communautés nées des déplacements de population que le réchauffement provoquera, devront leur existence même aux politiques incriminées ; il en conclut qu'une théorie complète de la justice intergénérationnelle doit être pluraliste, et combiner les principes centrés sur des victimes déterminées avec des principes impersonnels d'amélioration de la qualité de la vie<ref name="page2006"/>. D'autres, comme Caney, adossent les devoirs à des seuils : peu importe que la personne n'eût pas existé autrement, il reste mal de faire naître quelqu'un dans des conditions inférieures à ce que les droits humains garantissent. D'autres enfin, comme Broome, concèdent l'argument sur le terrain de la justice mais le neutralisent sur celui de la valeur : à cause de l'effet de non-identité, les gouvernements n'ont envers les personnes des générations lointaines que de minces devoirs de justice, mais ils conservent envers elles un devoir de bonté entier, celui de faire du monde futur un monde meilleur, et ce devoir suffit à condamner l'inaction<ref name="broome2012"/>. Gardiner, pour sa part, relativise la portée pratique du problème : quelles que soient les personnes qui existeront, les projections démographiques rendent leur nombre et leurs besoins essentiels largement prévisibles, et la tentation de manipuler l'avenir pour alléger nos obligations demeure heureusement peu praticable<ref name="gardiner2011"/>. === Justice sans réciprocité : le contrat à l'épreuve des générations === Une difficulté distincte, quoique voisine, guette les théories qui font de la justice un système de coopération entre parties capables de se rendre des services mutuels. Edward Page l'a nommée problème de non-réciprocité. Que la réciprocité soit comprise comme avantage mutuel, à la manière de David Gauthier, ou comme équité entre contributeurs, à la manière de Rawls ou de Stuart White, les générations éloignées semblent hors jeu : elles ne peuvent, par principe et non par accident, ni interagir avec leurs prédécesseurs ni leur rendre quoi que ce soit, hormis une réputation posthume qui n'améliore la vie de personne. Les générations présentes ressemblent alors à une communauté d'amont qui pollue impunément les communautés d'aval : si la justice suppose la réciprocité, les personnes futures reçoivent ce qu'on leur laisse et devraient s'estimer heureuses de l'avoir. Rawls lui-même avait buté sur l'obstacle : jugeant son principe de différence inapplicable entre générations, faute d'échanges possibles, il lui avait substitué le principe d'épargne juste évoqué plus haut<ref name="page2006"/>. Page recense les voies de sortie internes à la tradition. La réciprocité peut d'abord être rendue indirecte : dans le modèle de la fiducie, chaque génération rend aux suivantes l'équivalent de ce qu'elle a reçu des précédentes ; dans le modèle de la chaîne du souci, les contemporains se doivent les uns aux autres de pourvoir au bien-être de leurs descendants immédiats, dont chacun se soucie, et la sollicitude se propage ainsi de proche en proche à travers les âges. On peut aussi restreindre l'exigence de réciprocité aux devoirs positifs d'assistance, en soutenant que les devoirs négatifs, ne pas nuire, ne pas empoisonner l'héritage, valent envers quiconque, contributeur ou non. Ces aménagements montrent que le langage du contrat n'est pas condamné au présentisme, mais ils demeurent partiels<ref name="page2006"/>. Elizabeth Finneron-Burns soutient qu'une version du contractualisme échappe entièrement au problème : celle de T. M. Scanlon, pour qui un acte est mal s'il serait interdit par tout ensemble de principes que nul ne pourrait raisonnablement rejeter. La justification n'y est pas l'objet d'un marchandage entre coopérants, mais une exigence de respect due à tout être capable d'attitudes sensibles aux jugements, quelle que soit l'époque de son existence ; Scanlon exclut expressément que l'avantage mutuel conditionne l'entrée dans la morale, si bien que ni l'absence d'interaction ni l'inégalité de pouvoir entre générations n'y changent rien. Le problème de la non-identité reçoit dans ce cadre une réponse remarquable : l'existence d'une personne ne compte pas parmi les raisons admissibles de la justification. On ne peut donc pas justifier une politique auprès des personnes futures en faisant valoir qu'elle les a fait naître, et une personne peut raisonnablement rejeter un principe alors même qu'elle lui doit l'existence, si d'autres griefs subsistent ; inversement, les personnes simplement possibles, n'étant créancières d'aucune justification, ne peuvent se plaindre de n'avoir pas été créées<ref name="fb2024">Elizabeth Finneron-Burns, ''What We Owe to Future People: A Contractualist Account of Intergenerational Ethics'', New York, Oxford University Press, 2024.</ref>. Le contractualisme ainsi entendu débouche sur des principes d'allure suffisantiste : chaque génération doit laisser à ses successeurs la possibilité de mener des vies suffisamment bonnes, la raison qu'ont les personnes futures d'atteindre ce seuil pesant plus lourd que celle qu'ont les personnes présentes de le dépasser ; et lorsque ce legs est hors de portée, la génération présente peut donner priorité à sa propre suffisance, à condition de l'atteindre au moindre coût en ressources et de laisser ensuite l'avenir aussi bien loti que possible. La même logique conduit Finneron-Burns à une conclusion inattendue sur l'extinction : puisque les personnes possibles ne sont créancières d'aucune justification, choisir de ne pas créer de nouvelles personnes ne lèse personne, et une extinction de l'humanité par simple non-procréation ne constituerait, en elle-même, un tort envers quiconque ; ce qui compterait moralement, ce sont les souffrances, les morts et la détresse des dernières générations. Cette conclusion contraste avec les approches qui font du risque d'extinction le mal suprême<ref name="fb2024"/>{{,}}<ref>Elizabeth Finneron-Burns, « What's Wrong with Human Extinction? », ''Canadian Journal of Philosophy'', vol. 47, n° 2-3, 2017.</ref>. === Que doit-on transmettre ? La monnaie de la justice === La justice intergénérationnelle ne se demande pas seulement qui compte, mais quoi garantir ou égaliser. Page organise le débat autour de trois dimensions : l'étendue de la justice (quelles entités ont des titres : contemporains, étrangers, personnes futures, animaux), son profil (selon quel patron répartir : égalité, priorité aux plus mal lotis, suffisance) et sa monnaie (en quelle unité mesurer les parts : bien-être, ressources, capabilités)<ref name="page2006"/>. Or les monnaies usuelles se comportent étrangement dès qu'on les applique aux personnes futures. Le bien-être subjectif, d'abord : les préférences s'adaptent aux circonstances, et une génération qui, plutôt que de réduire ses émissions, financerait la « rééducation » de ses successeurs pour qu'ils se satisfassent d'un monde appauvri ne diminuerait ni leur bien-être ni leurs opportunités de bien-être, alors qu'elle leur ferait manifestement tort. Les ressources, ensuite, des biens premiers de Rawls aux enchères de Dworkin : elles ne mesurent que ce que les personnes possèdent, non ce qu'elles en retirent, alors que des besoins différents font des mêmes parts des avantages inégaux. Les capabilités de Sen et Nussbaum, enfin : conçues pour saisir ce que les personnes peuvent faire et être, elles survalorisent selon Page le versant actif du bien-être ; or les personnes futures ne peuvent ni choisir ni contrôler ce qui leur est légué, elles le reçoivent, comme on reçoit sa naissance. Page privilégie pour cette raison la monnaie proposée par G. A. Cohen, l'accès à l'avantage : ce que les ressources font aux personnes, que celles-ci l'exercent activement ou en bénéficient passivement<ref name="page2006"/>. Quant au profil, Page montre que l'égalité, la priorité et la suffisance, largement convergentes à un instant donné, divergent dès que le temps s'en mêle, car la composition du groupe des plus mal lotis, les fortunes comparées et les positions par rapport au seuil ne cessent de changer d'une génération à l'autre. La suffisance a la faveur de nombreux auteurs pour les rapports entre générations, mais sa version pure devient aveugle dès que tous ont assez : elle ne distingue plus un monde où presque tous frôlent le seuil tandis qu'une infime minorité vit dans l'opulence, d'un monde nettement plus égal où les moins bien lotis vivent deux fois mieux. D'où la proposition pluraliste de Page : combiner les principes selon les contextes, par exemple l'égalité au sein d'une génération et la suffisance entre elles<ref name="page2006"/>. === L'actualisation du futur : la querelle du taux d'escompte === [[Fichier:Henry Sidgwick.jpg|vignette|upright=0.85|Henry Sidgwick. La tradition utilitariste qu'il a inspirée, de Pigou à Ramsey puis à Stern, refuse de compter pour moins le bien-être des personnes au motif qu'elles vivront plus tard.]] La controverse la plus technique, et l'une des plus lourdes de conséquences, porte sur l'actualisation (''discounting'') : à quel taux faut-il « escompter » les coûts et bénéfices futurs pour les comparer aux présents ? La question a éclaté au grand jour avec la publication du rapport Stern (2006), commandé par le gouvernement britannique, qui préconisait une action immédiate et vigoureuse, contre les modèles de William Nordhaus qui recommandaient une action modeste et différée. Les deux économistes s'accordaient sur beaucoup de données ; leur divergence tenait pour l'essentiel au taux d'actualisation, dont l'effet, par le jeu des intérêts composés, devient gigantesque sur un siècle : à 1 % par an, un dommage d'un dollar survenant dans cent ans compte aujourd'hui pour environ trente-sept centimes ; à 10 %, sa valeur présente est pratiquement nulle. Selon le taux choisi, les dommages climatiques du XXII{{e}} siècle pèsent lourdement ou presque rien dans la balance présente<ref name="jamieson2014"/>. L'analyse standard décompose le taux d'actualisation selon la règle de Ramsey : le taux social d'escompte r est la somme du taux de préférence pure pour le présent (delta) et du produit de l'aversion à l'inégalité de consommation (êta) par le taux de croissance (g). Chacun de ces paramètres enveloppe un jugement de valeur. Delta mesure la préférence pour le présent en tant que tel : compter pour moins un bien-être identique au seul motif qu'il vient plus tard. La tradition utilitariste britannique issue de Sidgwick, poursuivie par Pigou et Ramsey, y a toujours vu un pur défaut de rationalité ou d'impartialité ; Stern s'y rattache et fixe delta à un niveau quasi nul (0,1 %, censé refléter seulement le risque d'extinction de l'humanité), tandis que Nordhaus, fidèle à une approche descriptive qui cale les paramètres sur les comportements observés sur les marchés, retient une valeur d'un ordre de grandeur supérieur. L'équipe de Stern a fait observer qu'un delta de 3 % par an, retenu un temps par Nordhaus, revient à compter une personne née en 1960 pour environ deux personnes nées en 1985, ce qui heurte l'égalité morale des personnes<ref name="gardiner2011"/>{{,}}<ref name="jamieson2014"/>. Quant à êta, il exprime l'aversion à l'inégalité : plus il est élevé, plus un supplément de consommation vaut lorsqu'il échoit aux pauvres. Puisque la croissance rendra probablement les générations futures plus riches, un êta élevé justifie d'escompter leur consommation ; mais le même paramètre, appliqué aux inégalités présentes, aurait des implications redistributives que la plupart des économistes qui l'invoquent n'assument pas<ref name="jamieson2014"/>. Le rapport du GIEC de 1995 avait déjà distingué une approche « prescriptive », qui part de la question de savoir comment il est juste de traiter les générations futures, et une approche « descriptive », qui part des arbitrages effectivement observés. Jamieson fait remarquer que l'opposition entre « éthiciens » et « positivistes » est trompeuse : Nordhaus aussi défend une position normative, celle qui accorde une autorité morale aux préférences révélées par les marchés, et il le fait sur un ton lui-même moralisateur. Stern et Nordhaus sont, selon son expression, plongés dans l'éthique jusqu'au cou ; leur différend ne peut être tranché par la seule analyse économique<ref name="jamieson2014"/>. Gardiner va plus loin et défend une présomption contre l'actualisation du bien-être : reporter sur autrui des dommages plus grands pour s'épargner des coûts moindres n'est pas de l'impatience, c'est une injustice ; et il est d'autant moins admissible d'en faire le ressort central d'une politique nationale que les gouvernements sont censés représenter leurs citoyens dans la durée<ref name="gardiner2011"/>. Singer ajoute que les biens menacés par le climat, la vie, la santé, les espèces, ne sont pas des biens de consommation dont le prix relatif baisse quand on s'enrichit, mais des biens auxquels la richesse nous rend plus attachés ; les escompter demanderait une justification morale qui n'a jamais été fournie<ref name="singer2016"/>. Dans ''Philosophy and Climate Change'', Kian Mintz-Woo apporte une clarification souvent absente du débat public : le delta quasi nul de Stern et les taux de 4 à 6 % de Nordhaus ne portent pas sur la même grandeur. Le premier est un taux pur, appliqué au bien-être ; les seconds sont des taux appliqués à la consommation, qui incorporent la croissance. Une fois la conversion faite, Stern défendait un taux social d'environ 1,4 %, inférieur mais commensurable à ceux de Nordhaus ; et la règle de Ramsey peut même produire des taux négatifs si l'on prévoit un appauvrissement des générations futures, auquel cas leur consommation devrait compter davantage que la nôtre<ref name="mintzwoo">Kian Mintz-Woo, « A Philosopher's Guide to Discounting », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 90-110.</ref>. Dans le même volume, Maddalena Ferranna montre que le traitement du risque interagit avec ces choix : utilitarisme et prioritarisme ne recommandent pas la même actualisation dès que l'avenir est incertain<ref>Maddalena Ferranna, « Discounting under Risk: Utilitarianism vs. Prioritarianism », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 67-89.</ref>. === L'éthique des populations === Les politiques climatiques ne modifient pas seulement le bien-être des personnes futures : elles modifient leur nombre. Peut-on ignorer cet effet dans l'évaluation ? La plupart des décideurs le font spontanément, guidés par ce que Broome appelle l'intuition de neutralité : ajouter au monde une personne dont la vie serait ni très mauvaise ni exceptionnellement bonne ne le rendrait ni meilleur ni pire, de sorte que seul compte le sort des personnes qui existeront de toute façon. Broome démontre que cette intuition, si enracinée soit-elle, est fausse : elle conduit à juger équivalentes des situations dont l'une est manifestement meilleure que l'autre, par exemple lorsqu'on compare l'ajout de personnes très heureuses et l'ajout de personnes à peine au-dessus du seuil d'une vie digne d'être vécue. Il faut donc, conclut-il, intégrer à l'évaluation des politiques climatiques leurs effets démographiques, ce qui exige des prédictions que la démographie ne sait pas encore fournir et une théorie de la valeur des populations que la philosophie n'a pas achevée<ref name="broome2012"/>. Cette théorie bute en effet sur les paradoxes mis au jour par Parfit. L'utilitarisme total, qui maximise la somme du bien-être, implique la « conclusion répugnante » : pour toute population de personnes très heureuses, il existe une population beaucoup plus nombreuse de vies à peine dignes d'être vécues qui serait meilleure. L'utilitarisme moyen échappe à ce piège mais viole à son tour la neutralité qu'il semblait incarner, puisqu'on peut élever la moyenne en ajoutant des gens heureux sans améliorer la vie de personne ; et des théorèmes d'impossibilité ont montré qu'aucune axiologie des populations ne peut satisfaire ensemble toutes les conditions d'adéquation intuitives<ref name="parfit1984"/>{{,}}<ref name="arrhenius">Gustaf Arrhenius, Mark Budolfson et Dean Spears, « Does Climate Change Policy Depend Importantly on Population Ethics? », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 111-136.</ref>. Faut-il en conclure que la politique climatique est suspendue à des querelles insolubles ? Gustaf Arrhenius, Mark Budolfson et Dean Spears proposent deux réponses déflationnistes : d'une part, il se peut que, dans les conditions réelles du changement climatique, toutes les axiologies plausibles convergent vers la même recommandation, auquel cas leurs désaccords théoriques n'ont pas d'incidence pratique ; d'autre part, on peut construire des axiologies qui satisfont des versions bornées de toutes les conditions d'adéquation, suffisantes pour l'évaluation des politiques, les théorèmes d'impossibilité ne valant que sur des domaines illimités sans pertinence pratique<ref name="arrhenius"/>. La politique climatique n'aurait donc pas à attendre que l'éthique des populations soit achevée. == Décider sous incertitude : risque et précaution == [[Fichier:John Rawls (1971 photo portrait).jpg|vignette|upright=0.85|John Rawls. Gardiner reprend ses critères d'application de la règle du maximin pour dégager un « noyau » défendable du principe de précaution.]] L'incertitude scientifique a longtemps servi d'alibi à l'inaction. Broome examine cette stratégie à travers la politique de l'administration de George W. Bush, qui exagérait l'incertitude des projections pour justifier l'attente d'une « pleine compréhension » du phénomène. L'argument méconnaît que l'attente a elle-même un coût lorsque le retard est risqué : on n'attend pas de savoir que sa maison brûlera pour acheter un extincteur, car lorsqu'on le saura, il sera trop tard ; et si la maison ne brûle jamais, l'achat n'aura pas été une erreur pour autant. Le principe 15 de la déclaration de Rio (1992), qui interdit d'invoquer l'absence de certitude scientifique complète pour différer des mesures efficaces au regard de leur coût destinées à prévenir des dommages graves ou irréversibles, n'est à ses yeux que du bon sens codifié. Mais Broome écarte tout aussi fermement les versions fortes du principe de précaution, telle celle de la Charte mondiale de la nature (1982), qui voudrait qu'aucune activité ne soit entreprise tant que ses effets ne sont pas pleinement compris : c'est la politique de Bush inversée, et tout aussi déraisonnable, car il faut parfois courir des risques que l'on ne comprend qu'imparfaitement<ref name="broome2012"/>. Entre ces deux écueils, Broome défend la théorie de la valeur espérée : pondérer la valeur de chaque issue possible par sa probabilité, et choisir l'option dont l'espérance de valeur est la plus grande. L'exemple de l'extincteur en montre le ressort : l'issue la plus probable n'est pas nécessairement la plus importante, une issue improbable mais désastreuse pouvant dominer la décision. Cette approche exige toutefois des probabilités, fussent-elles subjectives, et une échelle de valeur ; or, comme l'a souligné l'économiste Martin Weitzman, les distributions de probabilité du réchauffement ont des « queues épaisses » : les scénarios extrêmes, quoique improbables, ne le sont pas assez pour devenir négligeables, et ils pourraient même dominer tout le calcul, au point de faire éclater le cadre ordinaire de l'analyse<ref name="jamieson2014"/>. Martin Bunzl a consacré un livre entier à cette architecture de l'incertitude. Il rappelle d'abord une distinction élémentaire de la théorie de la décision : on décide sous incertitude quand on peut affecter des probabilités aux issues, sous ignorance quand on ne le peut pas ; et il récuse l'affirmation, qu'on rencontre jusque chez les historiens du doute fabriqué Naomi Oreskes et Erik Conway, selon laquelle un savoir incertain recommanderait rationnellement de ne rien faire. Nul n'a eu besoin de savoir que le tabac tue pour juger, bien avant les preuves définitives, que le plaisir n'en valait pas le risque ; de même, la politique climatique s'apparente moins à un pari sur des faits établis qu'au paiement d'une prime d'assurance destinée à réduire la probabilité du pire. Quant à l'argument de Weitzman, Bunzl le reconstruit avec soin : ce n'est pas la catastrophe possible qui y produit une désutilité espérée infinie, mais l'incertitude de second ordre portant sur la distribution des probabilités elle-même, combinée à l'aversion au risque. Il le défend contre les objections de Nordhaus, jugeant plus plausible encore que l'aversion au risque croisse à mesure qu'on avance vers les issues extrêmes, tout en relevant ce que le résultat a de troublant : les projections climatiques n'y jouent presque aucun rôle, l'incertitude faisant tout le travail, si bien que la conclusion vaudrait pour à peu près n'importe quel niveau de carbone supérieur aux niveaux historiques<ref name="bunzl2015">Martin Bunzl, ''Uncertainty and the Philosophy of Climate Change'', Londres et New York, Routledge, 2015, notamment chap. 2.</ref>. C'est ici que le principe de précaution retrouve un rôle, à condition d'être discipliné. Gardiner remarque que les objections usuelles, selon lesquelles le principe serait vide, extrémiste ou irrationnel, visent ses formulations illimitées. Il propose d'en dégager un noyau défendable en restreignant son application aux situations qui satisfont les critères posés par John Rawls pour la règle du maximin : les parties ne disposent pas de probabilités fiables, elles tiennent peu aux gains supplémentaires possibles au-delà du minimum qu'une conduite prudente leur garantit, et certaines issues sont inacceptables ; Gardiner ajoute que les menaces considérées doivent être réalistes. Sous ces conditions, choisir l'option dont le pire résultat est le moins mauvais cesse d'être une phobie du risque pour devenir la seule attitude raisonnable<ref name="gardiner-precaution">Stephen M. Gardiner, « A Core Precautionary Principle », ''Journal of Political Philosophy'', vol. 14, 2006, p. 33-60 ; voir aussi ''A Perfect Moral Storm'', ''op. cit.'', chap. 11.</ref>. Or le changement climatique satisfait de manière plausible ces critères : certains impacts projetés sont catastrophiques, donc inacceptables ; pour les changements abrupts, les probabilités sont inconnues ; et l'on peut soutenir, contre l'objection de Cass Sunstein sur le coût des politiques d'atténuation, que ralentir de quelques années l'accumulation de biens de luxe est un « gain » auquel il est raisonnable de tenir peu, comparé à la garantie d'une existence décente pour tous. Le débat sur la précaution se déplace ainsi : il ne porte plus sur la validité du principe, mais sur la question de savoir si ses conditions d'application sont remplies<ref name="gardiner-precaution"/>. Henry Shue aborde le même terrain par la notion d'imposition de risque : même sans certitude sur les impacts précis, soumettre les générations futures au risque de dommages massifs est déjà un tort, analogue à celui que commet qui expose autrui à un danger grave qu'il pourrait éviter. Il dégage trois traits qui, réunis, rendent l'attente moralement indéfendable : l'ampleur des pertes possibles, leur soudaineté une fois certains seuils franchis, et le fait que retarder l'action accroît le risque tout en réduisant les moyens d'y parer. Quand ces trois conditions sont réunies, les « délais mortels » deviennent une manière de créer un monde plus dangereux pour ceux qui ne peuvent pas se défendre<ref>Henry Shue, « Deadly Delays, Saving Opportunities: Creating a More Dangerous World? », dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 146-162.</ref>. == L'économie du climat en question == === L'analyse coût-avantage et ses limites === Parce que les gouvernements doivent promouvoir le [[Dictionnaire de philosophie/Bien|bien]], ils ont besoin de comparer les états du monde qu'ouvrent leurs politiques : c'est l'office de l'analyse coût-avantage, que Broome tient pour indispensable à la morale publique du climat, à condition d'en fonder les paramètres sur des principes moraux explicites plutôt que sur les seules conventions du métier<ref name="broome2012"/>. Réduire les émissions coûte au présent (moins de voyages, de biens, de chauffage, de viande) et rapporte surtout dans un avenir lointain (montée des eaux ralentie, canicules moins meurtrières) ; il faut donc bien, d'une manière ou d'une autre, peser des valeurs hétérogènes réparties sur des siècles. Gardiner consacre pourtant un chapitre entier à ce qu'il appelle la « paralysie coût-avantage » : appliquée au climat, la méthode reine des politiques publiques se dérègle. Ses hypothèses ordinaires, contexte marginal, préférences stables, substituabilité des biens, marchés capables de révéler les valeurs, sont précisément celles que le problème climatique met en défaut : les impacts ne sont pas marginaux, les personnes concernées n'existent pas encore et ne peuvent exprimer aucune préférence, des biens comme la survie d'une culture insulaire ou d'une espèce n'ont pas de substitut monétaire plausible, et le choix du taux d'actualisation, on l'a vu, gouverne le résultat plus que toute donnée empirique. Fait notable, ces critiques ne viennent plus seulement des philosophes et des écologistes : elles sont formulées par des économistes de premier plan, Weitzman en tête, ce qui indique aux yeux de Gardiner que l'outil dominant échoue au test que le climat impose aux théories<ref name="gardiner2011"/>. Jamieson conclut dans le même sens : les hypothèses de substituabilité et de commensurabilité des biens, et la prétention à dériver les valeurs des comportements de marché, sont des prises de position normatives déguisées ; l'économie du climat ne peut pas se passer de philosophie morale, elle en fait sans le dire<ref name="jamieson2014"/>. === L'efficacité sans sacrifice : la proposition de Broome === Broome, économiste de formation, tire de la théorie standard un argument original. Le changement climatique est d'abord une externalité géante : les émetteurs ne paient pas les dommages qu'ils causent, ce qui engendre une inefficacité massive, un gaspillage de ressources au sens technique. Or un théorème élémentaire enseigne qu'une inefficacité peut toujours être corrigée sans que personne n'y perde : il existe en principe une voie d'« efficacité sans sacrifice », dans laquelle la génération présente réduit ses émissions mais se dédommage intégralement en consommant davantage du capital naturel et artificiel qu'elle aurait sinon légué, les générations futures y gagnant tout de même, puisqu'un air moins chargé de carbone leur vaut plus que le capital qu'elles perdent. Broome reconnaît que cette voie n'est pas la meilleure : l'« efficacité avec sacrifice », où la génération présente supporte le coût, est supérieure du point de vue du bien total, et l'efficacité sans sacrifice perpétue une injustice, puisque les victimes y achètent en somme des pollueurs l'arrêt du tort qui leur est fait. Mais viser d'emblée le meilleur, c'est faire du mieux l'ennemi du bien : les conférences internationales échouent précisément parce qu'on y demande des sacrifices que les gouvernements refusent d'imposer à leurs peuples. Rendre disponible l'option sans sacrifice, en créant les institutions financières capables d'organiser ces transferts entre générations, débloquerait la négociation ; rien n'empêcherait ensuite d'aller au-delà<ref name="broome2012"/>. La proposition a suscité une discussion serrée. Dans ''Philosophy and Climate Change'', Mark Budolfson conteste le jugement de Broome selon lequel l'efficacité sans sacrifice serait inférieure et injuste : tout dépend de la distribution effective des coûts. Si les transferts intergénérationnels sont possibles, comme Broome le suppose, alors la charge de l'atténuation peut être reportée sur les plus riches parmi des personnes futures elles-mêmes plus riches que nous, tandis que l'efficacité avec sacrifice, dans les modèles standards, fait aussi payer les pauvres d'aujourd'hui ; auquel cas la voie sans sacrifice pourrait être supérieure, en bien-être comme en justice. Budolfson y voit un renfort plutôt qu'une objection : la proposition de Broome importerait alors plus encore qu'il ne le dit<ref name="budolfson2021">Mark Budolfson, « Political Realism, Feasibility Wedges, and Opportunities for Collective Action on Climate Change », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 323-345.</ref>. Le même argument sert à Budolfson contre le « réalisme » d'Eric Posner et David Weisbach, pour qui un traité climatique n'est faisable que s'il profite à toutes les grandes puissances, quitte à ce que les pauvres dédommagent les riches : dès lors que des transferts sont possibles, la contrainte de faisabilité n'impose nullement cette conclusion. Katie Steele prolonge la réflexion en examinant ce que valent, moralement, les solutions climatiques présentées comme des améliorations parétiennes, qui ne font de perdant nulle part<ref>Katie Steele, « Pareto Improvements and Feasible Climate Solutions », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 346-369.</ref>. == La morale individuelle == === Justice et bonté : la division de Broome === Que doit faire chacun de nous ? La réponse la plus architecturée est celle de Broome, qui repose sur une distinction entre deux régions de la morale. Les devoirs de justice sont dus à des personnes déterminées, qui ont un droit corrélatif à leur exécution : ne pas nuire, tenir ses promesses, respecter la propriété. Le devoir de bonté, lui, n'est dû à personne en particulier : c'est l'exigence de rendre le monde meilleur. La plupart d'entre nous distinguent ces deux registres, à la différence de William Godwin, pour qui quiconque peut faire le meilleur usage d'une chose y a droit ; et quand ils entrent en conflit, la justice l'emporte d'ordinaire, car il n'est pas permis de commettre une injustice même pour un plus grand bien<ref name="broome2012"/>. Appliquée au climat, cette distinction produit un résultat que Broome dit l'avoir lui-même surpris : la morale privée et la morale publique du changement climatique relèvent de principes différents. Réduire ses émissions est, pour un particulier, une piètre manière d'améliorer le monde : les mêmes ressources feraient beaucoup plus de bien consacrées, par exemple, au traitement de la tuberculose ou de la cataracte dans les pays pauvres. Le devoir individuel de réduire ses émissions ne relève donc pas de la bonté, mais de la justice : nos émissions nuisent à autrui pour notre propre bénéfice, et nuire à autrui est interdit, même au service d'un bien supérieur. Broome soutient que les exceptions habituelles à l'interdiction de nuire (torts accidentels, insignifiants, consentis, compensés, ou qu'on ne pouvait éviter sans coût excessif) ne s'appliquent pas ici : nos émissions résultent d'actes délibérés, leur cumul sur une vie cause statistiquement des torts sérieux, leurs victimes n'y consentent pas et n'en sont pas dédommagées. La conclusion est d'une exigence inattendue : la justice requiert de chacun qu'il n'émette aucun gaz à effet de serre<ref name="broome2012"/>. Cette exigence serait écrasante si elle ne pouvait être satisfaite que par l'abstention. Broome soutient qu'elle peut l'être aisément par la compensation : financer des réductions d'émissions qui n'auraient pas eu lieu autrement, de sorte que le bilan net de sa vie soit nul et qu'on ne cause de tort à personne. Il répond aux objections des organisations écologistes, pour qui la compensation serait une indulgence achetée, un permis de polluer moralement corrupteur : l'analogie avec les indulgences, développée par Robert Goodin, vaut peut-être contre les marchés institutionnels du carbone et leurs manipulations, mais non contre la compensation privée soigneusement choisie, qui n'est pas le rachat d'une faute commise mais le moyen de ne pas commettre la faute<ref name="broome2012"/>{{,}}<ref>Robert E. Goodin, « Selling Environmental Indulgences », ''Kyklos'', vol. 47, 1994, p. 573-596, repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 231-246.</ref>. Réduire ou compenser ses émissions ne contribuera cependant que très peu à résoudre le problème : l'amélioration du monde passe par l'action publique, et le devoir de bonté du citoyen s'exerce en pesant sur son gouvernement, seul capable, par la réglementation et la fiscalité, d'infléchir les comportements à l'échelle requise<ref name="broome2012"/>. === « Ce n'est pas ma faute » : l'inefficacité individuelle === À l'opposé, Walter Sinnott-Armstrong a soutenu, dans un article devenu classique, qu'aucune obligation morale individuelle de réduire ses émissions ne peut être établie. Il concède tout ce que la science affirme, admet que les gouvernements, à commencer par celui des États-Unis, ont l'obligation d'agir, mais fait observer que les obligations individuelles ne se déduisent pas des obligations collectives. Sa cible favorite est la balade dominicale en tout-terrain énergivore, choisie pour son inutilité même : cette virée ne cause le réchauffement ni aucun de ses méfaits, car le climat est insensible à une contribution aussi infime ; or il passe en revue une longue série de principes moraux (nuisance, universalisabilité kantienne, principe du groupe, équité) et conclut qu'aucun ne parvient à rattacher une faute à un acte sans effet. La conclusion n'est pas l'apathie : nos obligations réelles sont politiques, et mieux vaut, écrit-il avec provocation, profiter de sa balade du dimanche tout en militant pour qu'une loi vienne l'interdire<ref name="ssa2005">Walter Sinnott-Armstrong, « It's Not My Fault: Global Warming and Individual Moral Obligations » (2005), repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 332-346 ; voir aussi Ewan Kingston et Walter Sinnott-Armstrong, « What's Wrong with Joyguzzling? », ''Ethical Theory and Moral Practice'', vol. 21, 2018, p. 169-186.</ref>. L'argument a suscité une abondante littérature. Une première ligne de réponse conteste la prémisse d'inefficacité : Avram Hiller estime l'espérance de dommage d'un trajet ordinaire et la juge loin d'être négligeable ; Shelly Kagan soutient que dans les systèmes à seuils, chaque acte a une petite probabilité d'être celui qui déclenche un effet considérable, de sorte que l'espérance de tort par acte reste substantielle<ref>Avram Hiller, « Climate Change and Individual Responsibility », ''The Monist'', vol. 94, 2011, p. 349-368 ; Shelly Kagan, « Do I Make a Difference? », ''Philosophy and Public Affairs'', vol. 39, 2011, p. 105-141.</ref>. Julia Nefsky a toutefois montré que l'approche par l'utilité espérée affronte un dilemme : ou bien elle surmoralise (chaque geste minuscule devient obligatoire), ou bien elle échoue à générer la moindre obligation dans les cas où aucun seuil identifiable n'existe ; elle propose de penser autrement la contribution, qui peut « aider sans faire de différence », et de concevoir nos raisons d'agir sur le mode des devoirs imparfaits<ref>Julia Nefsky, « Climate Change and Individual Obligations: A Dilemma for the Expected Utility Approach, and the Need for an Imperfect View », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 201-221 ; « How You Can Help, Without Making a Difference », ''Philosophical Studies'', vol. 174, 2017, p. 2743-2767.</ref>. Tristram McPherson analyse pour sa part le « casse-tête de l'inefficacité » comme un problème structurel qui déborde le climat et touche toute participation à des torts massivement agrégés<ref>Tristram McPherson, « The Puzzle of Inefficacy », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 222-251.</ref>. Une deuxième ligne déplace l'obligation vers le collectif. Gunnar Björnsson défend ce qu'il appelle la perspective du militant : ensemble, nous pouvons résoudre le problème à un coût acceptable ; ensemble, nous avons donc l'obligation de le faire ; et cette obligation partagée, qui peut appartenir à des groupes dépourvus d'unité d'agent, fonde pour chacun des obligations dérivées de contribuer de son mieux. Le concept d'obligation pertinent s'analyse en termes de souci : une pluralité a l'obligation d'agir quand l'action serait assurée si tous ses membres se souciaient de ce dont on peut moralement exiger qu'ils se soucient<ref>Gunnar Björnsson, « On Individual and Shared Obligations: In Defense of the Activist's Perspective », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 252-280.</ref>. Broome lui-même est revenu sur la question dans le même volume pour réévaluer, à la lumière des mécanismes économiques d'ajustement, la quantité de tort que chacun de nous cause réellement<ref>John Broome, « How Much Harm Does Each of Us Do? », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 281-291.</ref>. Jamieson, enfin, accepte une part du constat de Sinnott-Armstrong, qu'il tient pour un symptôme de la défaillance du sens commun décrite plus haut, mais en tire une conclusion opposée : si le calcul des différences individuelles ne fournit pas de prise, c'est vers le caractère qu'il faut se tourner. Nos actes comptent même quand leurs effets causaux se perdent, parce qu'ils expriment et forment ce que nous sommes, parce qu'ils peuvent inspirer autrui, et parce que la sincérité de l'engagement public se mesure aussi à la conduite privée<ref name="jamieson2014"/>. == Vertus vertes et vie sensée dans l'Anthropocène == === Quand les utilitaristes doivent devenir théoriciens de la vertu === Dès 1992, Jamieson suggérait que la réponse morale au réchauffement passait moins par le calcul que par le caractère ; il a systématisé cette idée dans un article au titre paradoxal, « Quand les utilitaristes doivent être théoriciens de la vertu ». L'argument est conséquentialiste de bout en bout : dans un monde de changement environnemental global, où les effets de chaque acte sont indiscernables et les tentations de défection permanentes, des agents qui s'en remettraient au calcul cas par cas feraient prévisiblement moins de bien que des agents dotés de dispositions stables à réduire leur impact quoi que fassent les autres. La meilleure politique utilitariste consiste donc à cultiver des vertus, ces mécanismes de motivation qui rendent la conduite non stratégique et résiliente<ref name="jamieson-vertus">Dale Jamieson, « When Utilitarians Should Be Virtue Theorists », ''Utilitas'', vol. 19, 2007, p. 160-183, repris dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 315-331.</ref>. Jamieson esquisse un répertoire de « vertus vertes » selon trois stratégies. La préservation reprend des vertus existantes : ainsi l'humilité qui, selon Thomas Hill Jr., interdit à qui la possède de détruire une forêt de séquoias même si un calcul d'utilité semblait l'autoriser, l'indifférence à la nature trahissant ignorance ou suffisance. La réhabilitation réinterprète des vertus anciennes : la tempérance, l'une des quatre vertus cardinales, devient la disposition à modérer sa consommation. La création forge des vertus nouvelles : la pleine attention (''mindfulness''), qui consiste à assumer le poids moral des conséquences lointaines de ses achats, de la culture du coton aux coûts du transport ; la coopérativité, étrangement négligée par les traités classiques ; la simplicité. Jamieson note que les institutions peuvent rendre ces vertus praticables ou impraticables : dans une économie mondialisée opaque, la pleine attention est presque impossible à exercer<ref name="jamieson-vertus"/>. === Une éthique pour l'Anthropocène === ''Reason in a Dark Time'' replace ces vertus dans un cadre plus vaste. Le changement climatique est, pour Jamieson, le premier défi de l'Anthropocène, cette époque où l'humanité est devenue une force géologique dominante ; il ne sera pas le dernier. Le défi n'est pas seulement de stabiliser la concentration de carbone : c'est d'apprendre à vivre de façon sensée en relation avec les systèmes dynamiques d'une planète que nous transformons. Or la principale menace contre le sens, dans un monde saturé de population et de [[Dictionnaire de philosophie/Technique|technique]], est le sentiment que rien de ce que je fais ne compte. Jamieson y répond en distinguant l'efficacité causale de la signification : nos actes importent parce qu'ils changent quelque chose au monde, si peu que ce soit, mais aussi parce qu'ils nous changent nous-mêmes, peuvent inspirer autrui et infléchir le cours des communautés auxquelles nous appartenons. Les vertus, humilité, tempérance, pleine attention, simplicité, coopérativité, respect de la nature, ne fournissent aucun algorithme pour résoudre les problèmes de l'Anthropocène ; elles offrent de quoi vivre avec grâce dans un monde abîmé, en restaurant en nous le sentiment d'agir<ref name="jamieson2014"/>. Le respect de la nature reçoit un traitement particulier. Valeur persistante sinon universelle, présente en germe chez [[Dictionnaire de philosophie/Emmanuel Kant|Kant]] et affirmée avec force par les romantiques, elle doit être repensée à l'heure où il n'existe plus de nature vierge de toute influence humaine : respecter la nature dans l'Anthropocène, ce n'est plus la tenir à distance, c'est régler notre puissance sur des systèmes que nous ne cessons d'affecter<ref name="jamieson2014"/>. Dans une veine proche, le recueil de 2021 explore les ressorts affectifs et cognitifs de l'agir climatique : Alison McQueen se demande quel usage moralement défendable les communicateurs peuvent faire de la peur, Chrisoula Andreou montre comment le désir de se juger louable façonne la perception de nos contributions insignifiantes, et Daniel Greco analyse la cognition culturelle qui polarise la réception des sciences du climat<ref>Alison McQueen, « The Wages of Fear? », Chrisoula Andreou, « Way to Go, Me », et Daniel Greco, « Climate Change and Cultural Cognition », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 139-198.</ref>. == Politique, institutions et échec collectif == [[Fichier:COP21 participants - 30 Nov 2015 (23430273715).jpg|vignette|upright=1.3|Chefs d'État et de gouvernement à l'ouverture de la COP21 (Paris, 2015). L'accord qui en est issu repose sur des contributions nationales volontaires révisées tous les cinq ans.]] === Le récit d'un échec === ''Reason in a Dark Time'' se présente comme l'autopsie d'une défaite. Jamieson, témoin et acteur des débats depuis les années 1980, reconstitue l'histoire qui mène de la découverte scientifique du problème au « rêve de Rio » : la Convention-cadre des Nations unies de 1992, où le monde s'engageait à prévenir toute perturbation anthropique dangereuse du climat, semblait ouvrir la voie à une solution coopérative. Suivent le protocole de Kyoto (1997), aux objectifs modestes et à la portée amputée par la défection américaine, puis l'échec de Copenhague (2009), où l'ambition d'un traité contraignant s'effondre. Au moment où il écrit, la lutte pour prévenir un changement climatique dangereux a échoué : il ne s'agit plus de savoir si le monde se réchauffera, mais de combien, et comment vivre dans le monde ainsi transformé<ref name="jamieson2014"/>. Pourquoi cet échec ? Jamieson refuse les explications simples, qu'il s'agisse de la seule cupidité des industriels ou de la seule perversité des climatosceptiques. Le changement climatique constitue selon lui le plus vaste problème d'action collective que l'humanité ait jamais affronté, et il cumule les traits qui déjouent nos capacités : notre psychologie, façonnée par l'évolution, répond aux dangers immédiats, visibles, intentionnels, dotés d'un visage, et reste inerte devant un péril statistique, graduel, invisible et sans auteur ; nos institutions politiques, calées sur les cycles électoraux et les frontières nationales, ne représentent ni les étrangers ni les générations futures ; nos systèmes de raison pratique, l'économie du bien-être en tête, se dérèglent sur des horizons séculaires ; et les campagnes organisées de fabrication du doute ont exploité ces failles. L'échec ne tient donc pas à un accident, mais à la rencontre entre la structure du problème et les limites de l'animal humain et de ses institutions<ref name="jamieson2014"/>. === Le déni organisé et le déni ordinaire === Les « campagnes organisées de fabrication du doute » qu'évoque Jamieson ont fait l'objet d'études détaillées, rassemblées notamment dans le manuel d'Oxford consacré au changement climatique et à la société. Riley Dunlap et Aaron McCright y décrivent une véritable machine du déni, née aux États-Unis à la fin des années 1980 en réaction à la création du GIEC : des fondations conservatrices et des fortunes pétrolières y financent un réseau de cercles de réflexion, de groupes-écrans et de scientifiques contrariants, relayé par des médias acquis, qui a repris à l'industrie du tabac la stratégie consistant à fabriquer de l'incertitude, avant d'élargir l'attaque à l'évaluation par les pairs et aux institutions scientifiques elles-mêmes. Le déni y apparaît moins comme un scepticisme spontané que comme une entreprise idéologique de défense de la croissance sans entraves, une « anti-réflexivité » visant à neutraliser la capacité de la science à documenter les conséquences non voulues du développement<ref name="dunlap2011">Riley E. Dunlap et Aaron M. McCright, « Organized Climate Change Denial », dans John S. Dryzek, Richard B. Norgaard et David Schlosberg (dir.), ''The Oxford Handbook of Climate Change and Society'', Oxford, Oxford University Press, 2011, p. 144-160.</ref>. Dans le même volume, la sociologue Kari Marie Norgaard éclaire l'autre versant du phénomène : non plus le rejet militant de la science, mais la manière dont des personnes qui acceptent les faits parviennent à ne pas y penser. Son enquête dans une petite ville de Norvège, au cours d'un hiver anormalement doux, décrit ce que le sociologue Stanley Cohen appelle un déni d'implication : la connaissance n'est pas en cause, c'est son intégration à la vie quotidienne qui fait défaut. Les habitants savent et ne savent pas ; ils vivent, selon le mot de l'une d'entre eux, d'une façon et pensent d'une autre, entretenant une double réalité au moyen de récits protecteurs, de normes de conversation et d'un travail sur les émotions qui tient à distance la peur, la culpabilité et l'impuissance. Ce déni socialement organisé n'est pas moralement neutre : le silence des privilégiés maintient en place une normalité dont ils tirent avantage, ce qui en fait, conclut Norgaard, une question de justice environnementale à part entière<ref name="norgaard2011">Kari Marie Norgaard, « Climate Denial: Emotion, Psychology, Culture, and Political Economy », dans ''The Oxford Handbook of Climate Change and Society'', ''op. cit.'', p. 399-413.</ref>. Ces travaux donnent une chair sociologique à la corruption morale décrite par Gardiner : l'évitement du problème n'exige ni mensonge ni cynisme, seulement des dispositifs, industriels ici, culturels là, qui rendent l'inattention confortable. === Idéal et transition === [[Fichier:Kyoto Protocol parties.svg|vignette|upright=1.3|Les parties au protocole de Kyoto (en vert). Les États-Unis, signataires, ne l'ont jamais ratifié : un exemple des difficultés que la structure du problème oppose à la coopération.]] Ce constat rejoint le « test planétaire » de Gardiner : des institutions et des théories qui laissent prévisiblement advenir une catastrophe évitable échouent au test et appellent une double tâche. Il faut, à terme, une théorie idéale de la justice intergénérationnelle et mondiale, que la philosophie n'a pas encore produite ; mais l'urgence interdit d'attendre, et il faut donc aussi une « éthique de la transition », qui guide l'action au sein d'institutions imparfaites : agir avec précaution, honorer les responsabilités liées aux émissions passées, répartir équitablement les émissions restantes, préciser la part de chacun, et défendre ce consensus minimal contre les forces de la corruption morale<ref name="gardiner2011"/>. La philosophie politique du climat oscille ainsi entre théorie idéale et théorie non idéale : Lucas Stanczyk demande à quel rythme il est juste d'exiger la décarbonation compte tenu de la structure de la justice intergénérationnelle, tandis que Budolfson cherche, sous le nom de « coins de faisabilité », les marges d'action collective compatibles avec un réalisme politique lucide mais non complaisant<ref>Lucas Stanczyk, « How Quickly Should the World Reduce its Greenhouse Gas Emissions? », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 295-322 ; Mark Budolfson, ''art. cit.''</ref>. La [[Dictionnaire de philosophie/Démocratie|démocratie]] libérale elle-même est interrogée. Jamieson et Marcello Di Paola montrent que le changement climatique met sous tension la distinction libérale du public et du privé : des conduites tenues pour privées par excellence, se déplacer, se chauffer, se nourrir, procréer, deviennent, agrégées, des affaires publiques planétaires, sans que le libéralisme dispose d'un critère net pour redessiner la frontière<ref>Dale Jamieson et Marcello Di Paola, « Climate Change, Liberalism, and the Public/Private Distinction », dans ''Philosophy and Climate Change'', ''op. cit.'', p. 370-396.</ref>. Broome, de son côté, plaide pour que la recherche du meilleur n'étouffe pas le bon : dissocier la correction de l'externalité, urgente, de l'amélioration de la distribution des ressources entre générations, souhaitable mais moins pressante, rendrait l'accord international plus accessible<ref name="broome2012"/>. Singer, enfin, tire du caractère planétaire de l'atmosphère un argument [[Dictionnaire de philosophie/Cosmopolitisme|cosmopolitique]] : une seule atmosphère, un seul monde ; la souveraineté des [[Dictionnaire de philosophie/État|États]] ne saurait faire écran aux obligations que crée le partage d'un même système climatique, et les pays à fortes émissions par habitant doivent montrer l'exemple sans attendre la réciprocité<ref name="singer2016"/>. === L'éthique est-elle le bon cadre ? Le débat entre Gardiner et Weisbach === La place que ce champ accorde à la justice a fini par être contestée de l'intérieur même du débat philosophique. Dans ''Climate Change Justice'' (2010), les juristes Eric Posner et David Weisbach soutenaient qu'un traité climatique doit satisfaire un « parétianisme international » : chaque État doit s'estimer gagnant à ses propres yeux, faute de quoi il ne signera pas ; la faisabilité et le bien-être global, non la justice, seraient les deux piliers d'un accord efficace<ref name="pw2010">Eric A. Posner et David A. Weisbach, ''Climate Change Justice'', Princeton, Princeton University Press, 2010.</ref>. Weisbach a développé la position dans le face-à-face qui l'oppose à Gardiner. Le changement climatique y est d'abord un problème d'énergie : la physique du carbone cumulé impose de conduire les émissions mondiales vers zéro net en quelques décennies, tous les grands émetteurs compris, et la vitesse de cette transition importe davantage que le raffinement distributif de la répartition des efforts. Charger le traité de corriger en outre la pauvreté mondiale ou les torts de l'histoire, c'est selon lui le condamner : un accord fondé sur des parts égales par tête ou sur la responsabilité historique exigerait des transferts que les démocraties riches n'accepteront jamais, comme l'a montré la résolution Byrd-Hagel votée à l'unanimité par le Sénat américain avant Kyoto ; mieux vaut traiter le climat par un traité et l'aide aux pauvres par d'autres instruments, et il salue le tournant amorcé aux négociations de Durban, où l'on a commencé à délaisser l'approche distributive<ref name="dce2016"/>. Weisbach appuie sa critique sur un argument d'« œillères climatiques ». La revendication de justice corrective, remarque-t-il, ne porte pas sur des dommages déjà advenus, encore modestes, mais sur la surconsommation d'une ressource limitée, la capacité d'absorption de l'atmosphère. Or quiconque avance ce principe sans œillères devrait l'appliquer à toutes les ressources limitées de la planète, forêts, gisements, terres arables, ce que personne n'assume : on ne tient pas pour une injustice à réparer qu'un pays exploite au-delà de sa part par tête le pétrole qui se trouve sous son sol. Les partisans de la justice climatique devraient donc soit produire une théorie générale de la répartition des ressources mondiales, soit renoncer à l'argument dans le seul cas où il les arrange ; s'y ajoutent les difficultés déjà rencontrées des émetteurs morts et de l'ignorance excusable<ref name="dce2016"/>. La réplique de Gardiner tient dans une alternative : justice ou extorsion. Appliqué à la lettre, le parétianisme international implique que les plus vulnérables, le Bangladesh ou Haïti, achètent aux grands émetteurs l'arrêt du tort qui leur est fait ; ce ne sont plus les pollueurs qui paient, mais les pollués. Le vocabulaire de la faisabilité, ensuite, obscurcit plus qu'il n'éclaire : dire qu'une politique juste est « infaisable » parce que les Américains n'en accepteront pas les coûts, c'est avouer que nous sommes nous-mêmes la contrainte, aveu que le langage technocratique déguise en donnée du monde. Le « welfarisme » des réalistes est d'ailleurs lui-même une doctrine éthique, l'utilitarisme, si bien que le rejet affiché de l'éthique se contredit ; et l'approche à deux traités manque de crédibilité, car on voit mal pourquoi des puissances qui auraient refusé la justice climatique adopteraient ensuite un généreux traité d'aide mondiale. Gardiner dénonce enfin des « œillères de l'efficience » symétriques de celles que Weisbach prête à ses adversaires : réduire les émissions au moindre coût n'est pas une fin en soi, et exiger de paysans pauvres qu'ils compriment leur subsistance parce que cela coûte moins cher que la renonciation des riches à quelques luxes, c'est oublier que la politique climatique a pour objet de protéger les personnes. Constatant que vingt-cinq ans de marchandages n'ont pas protégé l'avenir, il appelle à combler le déficit institutionnel par une convention constitutionnelle mondiale consacrée aux générations futures, sur le modèle de la convention de Philadelphie de 1787<ref name="dce2016"/>. On retrouve ici, sous une autre forme, l'objection que Budolfson adresse au réalisme de Posner et Weisbach, rencontrée plus haut : dès lors que des transferts sont possibles, la contrainte de faisabilité n'impose nullement que les pauvres dédommagent les riches. === Repenser la liberté : le « pacte libéral » en question === La philosophie politique de langue française a pris le problème par un autre bout : non pas ce que la justice exige face au réchauffement, mais ce que le réchauffement révèle des concepts politiques eux-mêmes. Dans ''Abondance et liberté'', Pierre Charbonnier propose une histoire environnementale des idées politiques modernes, de Grotius et Locke à Polanyi et Hayek, dont la thèse est que la pensée de l'émancipation s'est construite à l'intérieur d'un « pacte libéral » : la croissance, intensive puis extensive, y est le véhicule de la liberté, et le milieu non humain un stock de ressources où puiser les conditions de l'autonomie. Ce socle écologique est resté largement implicite, mais il a orienté les grandes controverses ; le citoyen améliorateur de Locke, qui fonde la propriété sur la mise en valeur de la terre, en est la figure inaugurale, et l'« état stationnaire » de John Stuart Mill, où l'abondance conquise devait convertir les pulsions acquisitives en esprit de loisir, en dessine l'horizon utopique<ref name="charbonnier2020"/>. Charbonnier nomme autonomie-extraction la forme que ce projet a prise au XIX{{e}} siècle : l'idéal d'une communauté qui se donne à elle-même ses lois s'est matériellement réalisé grâce aux énergies fossiles et à l'appropriation coloniale des terres et du travail, conditions géo-écologiques que la théorie, de Guizot à Tocqueville, s'est gardée de penser, au prix d'un écart croissant entre les idées et leur monde. Le changement climatique rompt cette alliance entre émancipation et extraction. Ce n'est pas, précise Charbonnier, qu'une liberté infinie soit impossible dans un monde fini ; c'est que ce dont on s'affranchit change de contours : la nature codée comme contrainte extérieure à lever devient un milieu vulnérable à ménager, et l'autonomie ne peut plus se concevoir sans incorporer au sujet collectif les êtres non humains, les territoires et les régulations écologiques dont il dépend. La tâche qu'il assigne à la philosophie politique est de travailler au découplage de l'autonomie et de l'abondance, au profit de ce qu'il nomme une « autonomie postcroissance » ; la solidarité qu'il observe entre le déni climatique organisé et le programme de libération agressive des marchés indique, ne serait-ce que négativement, la voie à ne pas suivre<ref name="charbonnier2020"/>. Cette relecture prolonge l'intuition du « contrat naturel » de Michel Serres et rejoint, par l'histoire des idées, le diagnostic de Jamieson et Di Paola sur l'instabilité de la frontière entre le public et le privé. == La géo-ingénierie == [[Fichier:SPICE SRM overview.jpg|vignette|upright=1.25|Schéma du projet britannique SPICE : parmi les techniques de gestion du rayonnement solaire, l'injection d'aérosols soufrés dans la stratosphère est le cas central des débats éthiques.]] === Le retour d'une idée === Devant l'échec de l'atténuation, une idée longtemps taboue a regagné droit de cité : intervenir délibérément sur le système climatique. Un éditorial du prix Nobel de chimie Paul Crutzen (2006) a marqué le tournant en appelant à la recherche sur l'injection d'aérosols soufrés dans la stratosphère, capables de renvoyer une part du rayonnement solaire. On distingue habituellement, depuis un rapport de la Royal Society (2009), les techniques d'élimination du dioxyde de carbone (reboisement massif, capture directe dans l'air, fertilisation des océans) et la gestion du rayonnement solaire ; Gardiner préfère raisonner sur un « cas central », l'injection stratosphérique de sulfates, qui présente les difficultés éthiques sous leur forme la plus nette, sans préjuger d'une classification rigide, car une machine qui retirerait brutalement le carbone de l'air poserait des questions analogues<ref name="gardiner2011"/>. L'argument dominant en faveur de la recherche est un raisonnement du moindre [[Dictionnaire de philosophie/Mal|mal]] que Gardiner reconstruit sous le nom d'argument de l'« armement du futur ». Il concède que l'atténuation est de loin la meilleure politique et que la géo-ingénierie a quelque chose de moralement problématique ; mais les progrès de l'atténuation étant minimes et rien n'annonçant leur accélération, il se peut qu'un jour, dans quelques décennies, l'humanité soit acculée à choisir entre laisser advenir une catastrophe et géo-ingénier ; ces deux options sont mauvaises, mais la seconde l'est moins ; si ce jour vient, il faudra donc géo-ingénier ; or on ne pourra le faire de manière informée que si la recherche commence maintenant ; donc il faut la commencer maintenant<ref name="gardiner-geo">Stephen M. Gardiner, « Is "Arming the Future" with Geoengineering Really the Lesser Evil? », dans ''Climate Ethics: Essential Readings'', ''op. cit.'', p. 284-312 ; repris et développé dans ''A Perfect Moral Storm'', ''op. cit.'', chap. 10.</ref>. === La critique de Gardiner === Gardiner soumet cet argument à une critique méthodique. Les appels à l'état d'exception morale doivent d'abord éveiller la méfiance : il est toujours commode de se déclarer en situation d'urgence pour s'exempter des normes ordinaires, et le contexte de la tempête parfaite rend cette tentation particulièrement vive. Sur le fond, l'argument présuppose sans examen que la recherche en géo-ingénierie est la meilleure façon d'armer le futur contre le scénario cauchemardesque : pourquoi pas, plutôt ou aussi, une réserve stratégique de technologies sobres déployables en urgence, ou un programme international robuste d'assistance et d'accueil des réfugiés climatiques, options qui n'ont rien d'un mal ? Il masque ensuite une donnée morale capitale : si le scénario du pire advient, ce seront les générations futures, non la nôtre, qui affronteront le choix tragique, et ce choix leur aura été imposé par notre propre défaillance ; préparer autrui à une urgence que l'on provoque soi-même n'est pas la même chose que le préparer à un séisme. L'argument omet enfin les dettes qu'engendrerait la décision : indemnisation des victimes de l'intervention (une modification de l'albédo redistribuerait précipitations et moussons), légitimité politique d'une manœuvre planétaire décidée par quelques puissances, et « inertie persistante », puisqu'une fois commencée, l'injection ne peut être interrompue sans provoquer un réchauffement brutal de rattrapage<ref name="gardiner-geo"/>. Gardiner replace enfin la vogue de la géo-ingénierie dans la logique de la tempête parfaite : pour une génération qui veut à la fois éviter les coûts de l'atténuation et se donner bonne conscience, investir dans une technique aux bénéfices proches et aux risques différés est exactement la « stratégie de l'ombre » qu'on attendrait ; l'intérêt même que suscite l'idée pourrait être un symptôme de corruption morale plutôt qu'une réponse à la crise. Et quand bien même la géo-ingénierie serait un jour justifiée comme moindre mal, il resterait qu'un moindre mal est un mal : certaines décisions, même justifiées, entachent (''mar'') la vie de ceux qui les prennent et peuvent ternir l'humanité elle-même, comme le suggère la figure tragique du choix de Sophie ; une espèce qui, disposant d'une planète habitable, préfère en piloter artificiellement le thermostat plutôt que de modérer ses appétits aurait échoué à un test élémentaire d'adaptation, et devrait au moins en éprouver de la honte. Les arguments simples du moindre mal escamotent cette dimension, et c'est pourquoi la charge de la preuve pèse lourdement, conclut Gardiner, sur les promoteurs de la géo-ingénierie<ref name="gardiner-geo"/>. Jamieson, qui fut l'un des premiers philosophes à écrire sur le sujet, partage l'essentiel de ces inquiétudes tout en admettant que la recherche encadrée est probablement devenue inévitable<ref name="jamieson2014"/>. Martin Bunzl a ajouté au dossier une objection d'épistémologue, mûrie au contact des climatologues : avant de demander si l'on doit rechercher la gestion du rayonnement solaire, il faut se demander si on le peut. Un essai à petite échelle ne renseignerait guère, car la variabilité naturelle du climat noierait le signal ; pour savoir ce que ferait une injection stratosphérique aux moussons ou à la couche d'ozone, il faudrait la conduire à pleine échelle et pendant des années, c'est-à-dire, en pratique, déployer la technique qu'on prétendait seulement tester. Le « ne devrait pas » du débat éthique se double ainsi d'un « ne pourrait pas » qui en déplace les termes<ref name="bunzl2015"/>{{,}}<ref>Alan Robock, Martin Bunzl, Ben Kravitz et Georgiy Stenchikov, « A Test for Geoengineering? », ''Science'', vol. 327, 2010, p. 530-531 ; Martin Bunzl, « Geoengineering Research: Shouldn't or Couldn't? », ''Environmental Research Letters'', vol. 4, 2009.</ref>. Bunzl examine aussi l'aval : si un déploiement d'urgence refroidissait certaines régions au-delà du souhaitable, l'indemnisation des perdants ne pourrait s'appuyer sur les analogies ordinaires de la responsabilité civile, l'agent qui refroidit n'étant pas identique aux millions d'acteurs dispersés qui ont réchauffé ; s'il doit y avoir compensation, conclut-il, elle relèvera de considérations de bien-être plutôt que de droits lésés<ref name="bunzl2015"/>. == Conclusion == La philosophie du changement climatique est née d'un étonnement : comment un péril aussi bien documenté peut-il rencontrer une réponse aussi faible ? Les auteurs étudiés ici y répondent de manières complémentaires. Gardiner met en évidence la structure du problème, cette convergence de trois tempêtes qui expose la génération présente à la tentation permanente de se payer sur l'avenir tout en se racontant qu'elle n'en fait rien. Jamieson montre que nos concepts moraux ordinaires, nos institutions et notre psychologie ont été façonnés pour d'autres mondes que celui de l'Anthropocène, et que l'échec de la lutte appelle moins l'indignation que la lucidité, et l'invention de vertus pour habiter un monde abîmé. Broome établit que la [[Dictionnaire de philosophie/Raison|raison]] pratique n'est pas pour autant désarmée : la justice fixe à chacun un devoir simple, ne pas nuire, donc ne pas émettre ou compenser, et la bonté impose aux gouvernements des calculs exigeants mais praticables, que la théorie de la valeur espérée et une analyse coût-avantage moralement fondée peuvent guider. Singer, Shue et Caney dessinent les contours d'une justice mondiale de l'atmosphère, où convergent, quel que soit le principe adopté, les obligations prioritaires des riches. Et la génération suivante de travaux, illustrée par le recueil de 2021, affine les instruments, actualisation, axiologie des populations, obligations partagées, faisabilité politique, sans renverser ce cadre. Le cadre n'est d'ailleurs plus à l'abri de la dispute : Weisbach objecte que la justice, chargée de trop d'ambitions, condamne les traités qu'elle prétend inspirer, et Gardiner lui répond que la « faisabilité » invoquée n'est souvent que le nom technocratique de notre propre refus ; Page et Finneron-Burns réaménagent les théories de l'égalité et du contrat pour y faire place aux générations futures ; Bunzl érige l'incertitude en objet philosophique de plein droit ; et Charbonnier suggère que c'est la grammaire même de la liberté moderne, adossée à l'abondance, que le réchauffement oblige à réécrire. Il reste que le changement climatique n'est pas un chapitre de plus de l'éthique appliquée : il fonctionne comme un révélateur et comme un banc d'essai. Révélateur, parce qu'il expose les présupposés cachés de nos théories, l'hypothèse d'un monde d'interactions locales entre contemporains identifiables, la confiance dans les préférences de marché, la neutralité supposée des questions de population. Banc d'essai, parce qu'il soumet la morale, l'[[Dictionnaire de philosophie/Économie|économie]], la [[Dictionnaire de philosophie/Politique|politique]] et la [[Dictionnaire de philosophie/Démocratie|démocratie]] à un test que rien ne garantit qu'elles réussiront. La question qui traverse tout le champ, et qui restera ouverte bien après que la concentration de carbone se sera stabilisée, est peut-être celle que Jamieson place au terme de son livre : non pas seulement « que devons-nous faire ? », mais « comment vivre, et donner sens à nos vies, sur une planète que nous avons entrepris de transformer ? »<ref name="jamieson2014"/>. == Références == {{références|colonnes=2}} == Bibliographie == === Ouvrages fondamentaux === * John Broome, ''Climate Matters: Ethics in a Warming World'', New York, W. W. Norton, coll. « Norton Global Ethics Series », 2012. Exposé systématique articulant la science, l'économie, la justice privée et la bonté publique du changement climatique. * Mark Budolfson, Tristram McPherson et David Plunkett (dir.), ''Philosophy and Climate Change'', Oxford, Oxford University Press, 2021. Seize études sur l'évaluation des impacts, la cognition, les obligations individuelles et la politique climatique. * Martin Bunzl, ''Uncertainty and the Philosophy of Climate Change'', Londres et New York, Routledge, 2015. La décision climatique sous incertitude, des queues épaisses de Weitzman aux impasses du test de la géo-ingénierie. * Pierre Charbonnier, ''Abondance et liberté. Une histoire environnementale des idées politiques'', Paris, La Découverte, 2020. Une relecture de la philosophie politique moderne qui fait du changement climatique la crise du « pacte libéral » entre émancipation et croissance. * John S. Dryzek, Richard B. Norgaard et David Schlosberg (dir.), ''The Oxford Handbook of Climate Change and Society'', Oxford, Oxford University Press, 2011. Panorama des sciences sociales du climat : déni organisé, opinion publique, justice, gouvernance, théorie politique. * Elizabeth Finneron-Burns, ''What We Owe to Future People: A Contractualist Account of Intergenerational Ethics'', New York, Oxford University Press, 2024. Une éthique intergénérationnelle fondée sur le contractualisme de Scanlon, de la non-identité à l'extinction. * Stephen M. Gardiner, ''A Perfect Moral Storm: The Ethical Tragedy of Climate Change'', Oxford, Oxford University Press, 2011. Le maître livre sur la structure éthique du problème : tempêtes planétaire, intergénérationnelle et théorique, corruption morale, critique de l'analyse coût-avantage et de la géo-ingénierie. * Stephen M. Gardiner et David A. Weisbach, ''Debating Climate Ethics'', New York, Oxford University Press, 2016. Un face-à-face sur la place de l'éthique dans la politique climatique : défense de la justice contre le « réalisme économique », et réciproquement. * Stephen M. Gardiner, Simon Caney, Dale Jamieson et Henry Shue (dir.), ''Climate Ethics: Essential Readings'', Oxford, Oxford University Press, 2010. Anthologie des textes fondateurs du champ, de Jamieson (1992) à Sinnott-Armstrong (2005). * Dale Jamieson, ''Reason in a Dark Time: Why the Struggle Against Climate Change Failed, and What It Means for Our Future'', New York, Oxford University Press, 2014. Histoire et diagnostic philosophique de l'échec de la lutte contre le réchauffement, et esquisse d'une éthique pour l'Anthropocène. * Edward A. Page, ''Climate Change, Justice and Future Generations'', Cheltenham, Edward Elgar, 2006. Cartographie systématique de la justice intergénérationnelle appliquée au climat : étendue, profil et monnaie de la justice, non-identité, non-réciprocité. * Peter Singer, ''One World Now: The Ethics of Globalization'', New Haven, Yale University Press, 2016 (première édition : ''One World'', 2002). Le chapitre « Une seule atmosphère » examine les principes de partage équitable des droits d'émission. === Textes classiques === * [[Dictionnaire de philosophie/Aristote|Aristote]], ''Éthique à Nicomaque'', trad. fr. Jules Tricot, Paris, Vrin, 1990 ; [[s:Éthique à Nicomaque|texte sur Wikisource]]. Référence de l'éthique des vertus mobilisée par Jamieson. * Jane Austen, ''Raison et Sensibilité'' (''Sense and Sensibility'', 1811), trad. fr. Isabelle de Montolieu ; [[s:Raison et Sensibilité|texte sur Wikisource]]. Les chapitres I et II fournissent à Gardiner son modèle de la corruption morale. * René Descartes, ''Discours de la méthode'' (1637), sixième partie ; [[s:Discours de la méthode|texte sur Wikisource]]. Source de la formule sur la maîtrise et la possession de la nature. * David Hume, ''Traité de la nature humaine'' (1739-1740), livre III, deuxième partie ; [[s:Traité de la nature humaine|texte sur Wikisource]]. Sur la préférence pour le présent et le proche, évoquée à propos de la tempête intergénérationnelle. * [[Dictionnaire de philosophie/Emmanuel Kant|Emmanuel Kant]], ''Fondements de la métaphysique des mœurs'' (1785), trad. fr. Victor Delbos ; [[s:Fondements de la métaphysique des mœurs|texte sur Wikisource]]. L'universalisabilité des maximes, discutée par Sinnott-Armstrong à propos des émissions individuelles. * [[Dictionnaire de philosophie/John Stuart Mill|John Stuart Mill]], ''Principes d'économie politique'' (1848), livre IV, chapitre VI, « De l'état stationnaire ». L'utopie d'une abondance convertie en loisir, relue par Charbonnier. * Jean-Jacques Rousseau, ''Discours sur l'origine et les fondements de l'inégalité parmi les hommes'' (1755) ; [[s:Discours sur l’origine et les fondements de l’inégalité parmi les hommes|texte sur Wikisource]]. La dénonciation du premier enclos, évoquée à propos du partage de l'atmosphère. === Études et articles === * Anil Agarwal et Sunita Narain, ''Global Warming in an Unequal World: A Case of Environmental Colonialism'', New Delhi, Centre for Science and Environment, 1991. * Paul Baer, « Adaptation to Climate Change: Who Pays Whom? », dans Stephen M. Gardiner, Simon Caney, Dale Jamieson et Henry Shue (dir.), ''Climate Ethics: Essential Readings'', Oxford, Oxford University Press, 2010, p. 247-262. * Paul Baer, « International Justice », dans ''The Oxford Handbook of Climate Change and Society'', Oxford, Oxford University Press, 2011, chap. 22. * Simon Caney, « Cosmopolitan Justice, Responsibility, and Global Climate Change », ''Leiden Journal of International Law'', vol. 18, 2005, p. 747-775. * Simon Caney, « Climate Change, Human Rights, and Moral Thresholds », dans Stephen Humphreys (dir.), ''Human Rights and Climate Change'', Cambridge, Cambridge University Press, 2010, p. 69-90. * Paul J. Crutzen, « Albedo Enhancement by Stratospheric Sulfur Injections: A Contribution to Resolve a Policy Dilemma? », ''Climatic Change'', vol. 77, 2006, p. 211-219. * Riley E. Dunlap et Aaron M. 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Weisbach, ''Climate Change Justice'', Princeton, Princeton University Press, 2010. * Alan Robock, Martin Bunzl, Ben Kravitz et Georgiy Stenchikov, « A Test for Geoengineering? », ''Science'', vol. 327, 2010, p. 530-531. * Michel Serres, ''Le Contrat naturel'', Paris, François Bourin, 1990. * Henry Shue, « Subsistence Emissions and Luxury Emissions », ''Law & Policy'', vol. 15, 1993, p. 39-59. * Henry Shue, « Global Environment and International Inequality », ''International Affairs'', vol. 75, 1999, p. 531-545. * Walter Sinnott-Armstrong, « It's Not My Fault: Global Warming and Individual Moral Obligations », dans W. Sinnott-Armstrong et R. B. Howarth (dir.), ''Perspectives on Climate Change'', Amsterdam, Elsevier, 2005, p. 285-307. * Nicholas Stern, ''The Economics of Climate Change: The Stern Review'', Cambridge, Cambridge University Press, 2007. == Voir aussi == * [[Dictionnaire de philosophie/Environnement|Environnement]] * [[Dictionnaire de philosophie/Générations futures|Générations futures]] * [[Dictionnaire de philosophie/Risque|Risque]] * [[Dictionnaire de philosophie/Morale|Morale]] * [[Dictionnaire de philosophie/Bien|Bien]] * [[Dictionnaire de philosophie/Mal|Mal]] * [[Dictionnaire de philosophie/Égalité|Égalité]] * [[Dictionnaire de philosophie/Cosmopolitisme|Cosmopolitisme]] * [[Dictionnaire de philosophie/Contrat social|Contrat social]] * [[Dictionnaire de philosophie/Démocratie|Démocratie]] * [[Dictionnaire de philosophie/Économie|Économie]] * [[Dictionnaire de philosophie/Technique|Technique]] * [[Dictionnaire de philosophie/Derek Parfit|Derek Parfit]] * Sur Wikipédia : [[w:Justice climatique|Justice climatique]], [[w:Anthropocène|Anthropocène]] {{AutoCat}} hwpbeu1f0xksd8hxfbka2h6t9jrvneh 0 84074 769565 2026-07-16T07:36:08Z Thierry Dugnolle 50384 Page créée avec « (en cours de réflexion) == Un référentiel sans particules massives == Raisonnons dans un espace à une dimension. Soient deux trains A et B de photons qui se déplacent en sens opposé. On suppose que les photons d'un même train sont régulièrement espacés, comme les crêtes d'une onde périodique. Soit A(i) le i-ième photon du train A et B(i) le i-i-ème photon du train B. On suppose que A va de la gauche vers la droite et que les photons de sont num... » 769565 wikitext text/x-wiki (en cours de réflexion) == Un référentiel sans particules massives == Raisonnons dans un espace à une dimension. Soient deux trains A et B de photons qui se déplacent en sens opposé. On suppose que les photons d'un même train sont régulièrement espacés, comme les crêtes d'une onde périodique. Soit A(i) le i-ième photon du train A et B(i) le i-i-ème photon du train B. On suppose que A va de la gauche vers la droite et que les photons de sont numérotés en sens inverse du mouvement. B de la droite vers la gauche et ses photons sont aussi numérotés en sens inverse du mouvement. La rencontre entre entre A(0) et B(0) est un évènement e(0) dans l'espace-temps. (...) nx939sivmwg5pxi9wyhut64bym4tui8 769566 769565 2026-07-16T07:43:54Z Thierry Dugnolle 50384 /* Un référentiel sans particules massives */ 769566 wikitext text/x-wiki (en cours de réflexion) == Un référentiel sans particules massives == Raisonnons dans un espace à une dimension. Soient deux trains A et B de photons qui se déplacent en sens opposé. On suppose que les photons d'un même train sont régulièrement espacés, comme les crêtes d'une onde périodique. Soit A(i) le i-ième photon du train A et B(i) le i-i-ème photon du train B. On suppose que A va de la gauche vers la droite et que les photons de sont numérotés en sens inverse du mouvement. B de la droite vers la gauche et ses photons sont aussi numérotés en sens inverse du mouvement. La rencontre entre A(i) et B(i) est un évènement e(i) dans l'espace-temps. Tous les évènements e(i) sont sur une trajectoire du genre temps. L'intervalle entre e(i) et e(i+1) est une constante et peut être pris comme une unité de mesure des durées. Plus généralement, la rencontre entre A(i) et B(i+j) est un évènement e(i,j) dans l'espace-temps. Pour chaque j, tous les e(i,j) sont des trajectoires du genre temps parallèles les unes aux autres, donc au repos les unes par rapport aux autres. L'intervalle entre e(i,j) et e(i,j+1) ne dépend ni de i ni de j. Il est du genre espace et peut-pris comme unité de mesure des distances. (...) 7unll828w9gupsgexheon77zgj5hcw7 769567 769566 2026-07-16T07:48:29Z Thierry Dugnolle 50384 /* Un référentiel sans particules massives */ 769567 wikitext text/x-wiki (en cours de réflexion) == Un référentiel sans particules massives == Raisonnons dans un espace à une dimension. Soient deux trains A et B de photons qui se déplacent en sens opposé. On suppose que les photons d'un même train sont régulièrement espacés, comme les crêtes d'une onde périodique. Soit A(i) le i-ième photon du train A et B(i) le i-i-ème photon du train B. On suppose que A va de la gauche vers la droite et que ses photons sont numérotés en sens inverse du mouvement. B de la droite vers la gauche et ses photons sont aussi numérotés en sens inverse du mouvement. La rencontre entre A(i) et B(i) est un évènement e(i) dans l'espace-temps. Tous les évènements e(i) sont sur une même trajectoire du genre temps. L'intervalle entre e(i) et e(i+1) est une constante et peut être pris comme une unité de mesure des durées. Plus généralement, la rencontre entre A(i) et B(i+j) est un évènement e(i,j) dans l'espace-temps. Pour chaque j, tous les e(i,j) sont des trajectoires du genre temps parallèles les unes aux autres, donc au repos les unes par rapport aux autres. L'intervalle entre e(i,j) et e(i,j+1) ne dépend ni de i ni de j. Il est du genre espace et peut-pris comme unité de mesure des distances. Les e(i,j) peuvent donc être considérés comme un référentiel spatio-temporel, parce qu'ils permettent de mesurer de distances et des durées. Dans l'espace à trois dimensions, il faut six trains de photons qui circulent en sens opposé dans trois directions de l'espace pour déterminer un référentiel spatio-temporel. (...) 5avfcyygqbggq8jostpwuvn5yvtvuv5 769569 769567 2026-07-16T09:01:39Z Thierry Dugnolle 50384 /* Un référentiel sans particules massives */ 769569 wikitext text/x-wiki (en cours de réflexion) == Un référentiel sans particule massive == Raisonnons dans un espace à une dimension. Soient deux trains A et B de photons qui se déplacent en sens opposé. On suppose que les photons d'un même train sont régulièrement espacés, comme les crêtes d'une onde périodique. Soit A(i) le i-ième photon du train A et B(i) le i-i-ème photon du train B. On suppose que A va de la gauche vers la droite et que ses photons sont numérotés en sens inverse du mouvement. B de la droite vers la gauche et ses photons sont aussi numérotés en sens inverse du mouvement. La rencontre entre A(i) et B(i) est un évènement e(i) dans l'espace-temps. Tous les évènements e(i) sont sur une même trajectoire du genre temps. L'intervalle entre e(i) et e(i+1) est une constante et peut être pris comme une unité de mesure des durées. Plus généralement, la rencontre entre A(i) et B(i+j) est un évènement e(i,j) dans l'espace-temps. Pour chaque j, tous les e(i,j) sont des trajectoires du genre temps parallèles les unes aux autres, donc au repos les unes par rapport aux autres. L'intervalle entre e(i,j) et e(i,j+1) ne dépend ni de i ni de j. Il est du genre espace et peut-pris comme unité de mesure des distances. Les e(i,j) peuvent donc être considérés comme un référentiel spatio-temporel, parce qu'ils permettent de mesurer de distances et des durées. Dans l'espace à trois dimensions, il faut six trains de photons qui circulent en sens opposé dans trois directions de l'espace pour déterminer un référentiel spatio-temporel. (...) dpx05l4rgk46x0i5nuytpuwq6j523wr 769572 769569 2026-07-16T09:14:44Z Thierry Dugnolle 50384 /* Un référentiel sans particules massives */ 769572 wikitext text/x-wiki (en cours de réflexion) == Un référentiel spatio-temporel sans particules massives == Raisonnons dans un espace à une dimension. Soient deux trains A et B de photons qui se déplacent en sens opposé. On suppose que les photons d'un même train sont régulièrement espacés, comme les crêtes d'une onde périodique. Soit A(i) le i-ième photon du train A et B(i) le i-i-ème photon du train B. On suppose que A va de la gauche vers la droite et que ses photons sont numérotés en sens inverse du mouvement. B de la droite vers la gauche et ses photons sont aussi numérotés en sens inverse du mouvement. La rencontre entre A(i) et B(i) est un évènement e(i) dans l'espace-temps. Tous les évènements e(i) sont sur une même trajectoire du genre temps. L'intervalle entre e(i) et e(i+1) est une constante et peut être pris comme une unité de mesure des durées. Plus généralement, la rencontre entre A(i) et B(i+j) est un évènement e(i,j) dans l'espace-temps. Pour chaque j, tous les e(i,j) sont sur une même trajectoire T(j) du genre temps. Toutes les T(j) sont parallèles les unes aux autres, au sens où elles ne se rencontrent jamais. Elles peuvent donc être identifiées à des trajectoires de mobiles au repos les uns par rapport aux autres. L'intervalle entre e(i,j) et e(i,j+1) ne dépend ni de i ni de j. Il est du genre espace et peut être pris comme unité de mesure des distances. Les e(i,j) peuvent donc être considérés comme un référentiel spatio-temporel, parce qu'ils permettent de mesurer de distances et des durées. Dans l'espace à trois dimensions, il faut six trains de photons qui circulent en sens opposé dans trois directions de l'espace pour déterminer un référentiel spatio-temporel. (...) mg0mbisryu7edszqdukljkh9l1t2ice 769574 769572 2026-07-16T11:33:54Z Thierry Dugnolle 50384 /* Un référentiel spatio-temporel sans particules massives */ 769574 wikitext text/x-wiki (en cours de réflexion) == Un référentiel spatio-temporel sans particules massives == Raisonnons dans un espace à une dimension. Soient deux trains A et B de photons qui se déplacent en sens opposé. On suppose que les photons d'un même train sont régulièrement espacés, comme les crêtes d'une onde périodique. Soit A(i) le i-ième photon du train A et B(i) le i-i-ème photon du train B. On suppose que A va de la gauche vers la droite et que ses photons sont numérotés en sens inverse du mouvement. B de la droite vers la gauche et ses photons sont aussi numérotés en sens inverse du mouvement. La rencontre entre A(i) et B(i) est un évènement e(i) dans l'espace-temps. Tous les évènements e(i) sont sur une même trajectoire du genre temps. L'intervalle entre e(i) et e(i+1) est une constante et peut être pris comme une unité de mesure des durées. Plus généralement, la rencontre entre A(i+j) et B(i-j) est un évènement e(i,j) dans l'espace-temps. Pour chaque j, tous les e(i,j) sont sur une même trajectoire T(j) du genre temps. Toutes les T(j) sont parallèles les unes aux autres, au sens où elles ne se rencontrent jamais. Elles peuvent donc être identifiées à des trajectoires de mobiles au repos les uns par rapport aux autres. L'intervalle entre e(i,j) et e(i,j+1) ne dépend ni de i ni de j. Il est du genre espace et peut être pris comme unité de mesure des distances. Les e(i,j) peuvent donc être considérés comme un référentiel spatio-temporel, parce qu'ils permettent de mesurer de distances et des durées. Dans l'espace à trois dimensions, il faut six trains de photons qui circulent en sens opposé dans trois directions de l'espace pour déterminer un référentiel spatio-temporel. (...) g43o2yqxobx084emz6sarihr9ufu44n