Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.2 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 24187 982859 943305 2026-05-16T05:46:15Z Marvoir 1746 inadvertance 982859 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 22 | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] | page_liée = Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique }} Rappelons que nous avons défini les anneaux '''Z''' et '''Z'''/n'''Z''' au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1|Groupes commutatifs finis, 1]]. {{Clr}} {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément de '''Z'''/n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si c’est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu=Puisque [1] = 1 + n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il est clair qu'un élément [a] = a + n'''Z''' est un générateur de ce groupe si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que r [a] = [1], autrement dit si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que [r] [a] = [1], autrement dit si et seulement si [a] est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Théorème | titre = Autre forme du théorème précédent. | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément a + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Démonstration|contenu= C'est une conséquence immédiate du théorème précédent, puisque nous avons vu au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]] que a + n'''Z''' est inversible dans l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Remarque|contenu= Les deux théorèmes qui précèdent peuvent être considérés comme des variantes de la proposition suivante, démontrée dans le chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] : soient G un groupe fini d'ordre ''n'', ''g'' un générateur de G et ''r'' un entier rationnel; pour que g{{exp|r}} soit un générateur de G, il faut et il suffit que ''r'' soit premier avec ''n''. }} Nous appellerons groupe multiplicatif d'un anneau le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de cet anneau. {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel (≥ 0). Les automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' sont les applications x ↦ cx de '''Z'''/n'''Z''' dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut('''Z'''/n'''Z''') des automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout entier rationnel ''r'', désignons par [r] l'élément r + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z'''. On sait que [1] est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''f'' un automorphisme du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Puisque ''f'' est un homomorphisme, nous avons, pour tout nombre entier rationnel ''r'', :<math>(1) \qquad f([r]) = f(r[1]) = r f([1]) = [r] f([1])</math>. Puisque ''f'' est surjectif, il existe un élément [r] de '''Z'''/n'''Z''' tel que f([r]) = [1]. D'après (1), ceci s'écrit [r] f([1]) = [1], donc f([1]) est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''g'' l’application de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' qui applique ''f'' sur f([1]). Prouvons que ''g'' est un isomorphisme. Prouvons d’abord que ''g'' est une surjection. Soit [a] un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''; il s'agit de prouver qu’il existe un automorphisme ''f'' du groupe '''Z'''/n'''Z''' qui applique [1] sur [a]. Cela résulte par exemple du fait que [a] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''', et d'un théorème démontré au chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] (à savoir que si G et H sont des groupes monogènes de même ordre, ''g'' un générateur de G et ''h'' un générateur de H, il existe un isomorphisme de G sur H qui applique ''g'' sur ''h''). Ainsi, ''g'' est une surjection. Prouvons que ''g'' est une injection. Il s'agit de prouver que si f₁ et f₂ sont des automorphismes de '''Z'''/n'''Z''', si f₁([1]) = f₂([1]), alors f₁ = f₂. Cela résulte de ce que [1] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''' et de ce que deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H qui coïncident en tout point d'une partie génératrice de G sont égaux. (Voir [[../Groupes, premières notions#Parties génératrices|Groupes, premières notions]]. Nous avons donc prouvé que ''g'' est une bijection. Pour prouver que ''g'' est un isomorphisme, il reste à prouver que ''g'' est un homomorphisme de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Pour cela, il s'agit de prouver que :<math>(2) \qquad (f \circ g) ([1]) = f([1] g[1])</math>. Le premier membre est égal à f(g[1]). Choisissons un entier rationnel ''r'' tel que g([1]) = [r]. Alors le premier membre de (2) est égal à f([r]) et donc, d’après (1), à [r] f([1]), autrement dit à g([1]) f([1]), ce qui prouve (2). }} {{Corollaire | titre = Corollaire 1 | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n'', noté multiplicativement. Les automorphismes du groupe G sont les applications x ↦ x^c de G dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut(G) des automorphismes de G est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On sait que G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. L'énoncé se déduit donc facilement du théorème précédent. }} {{Corollaire | titre = Corollaire 2 | contenu = Le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est commutatif. }} {{Démonstration déroulante|contenu= D'après ce qui précède, le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est isomorphe au groupe multiplicatif d'un anneau commutatif. }} Nous allons maintenant expliciter la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''', ce qui explicitera en même temps la structure du groupe des automorphismes des groupes monogènes. Si n = 0, l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe à '''Z''', donc son groupe multiplicatif est formé des deux éléments 1 et - 1. Le cas n = 0 étant réglé, nous ne nous intéresserons plus qu'au cas n ≥ 1. On sait que dans ce cas, '''Z'''/n'''Z''' est fini et compte ''n'' éléments. {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul. L'ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi {{nobr|0, 1, ... , n - 1.}} }} {{Démonstration|contenu= On a vu au chapitre [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] que tout élément de '''Z'''/n'''Z''' est la classe d'un et un seul des nombres 0, 1, ... , n - 1. On a vu aussi (chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]]) que si ''a'' est un entier rationnel, a + n'''Z''' est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. L'énoncé en résulte. }} {{Définition | contenu = On appelle ''indicateur d'Euler'', ou encore ''indicatrice d'Euler'', et on note <math>\varphi</math> l’application de <math>\N\setminus\{0\}</math> dans <math>\N</math> qui à tout nombre naturel non nul ''n'' fait correspondre l’ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} D'après la proposition précédente, <math>\varphi (n) </math> est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi 0, 1, ... , n -1. Par exemple, <math>\varphi (1) = 1</math> et <math>\varphi (p) = p - 1</math> pour tout nombre premier ''p''. {{Proposition | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n''. Le nombre de générateurs de G (autrement dit le nombre d'éléments d'ordre ''n'' dans G) est égal à <math>\varphi(n)</math>. }} {{Démonstration|contenu= Puisque G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il suffit de le prouver dans le cas où G = '''Z'''/n'''Z'''. Or nous avons vu que <math>\varphi(n)</math> est le nombre des éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' et nous avons vu aussi que les éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' sont les générateurs du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Proposition | contenu = Si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, <math>\varphi (ab) = \varphi (a) \varphi (b).</math> }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ab, que nous noterons additivement. D'après un exemple donné au chapitre [[../Produit de groupes/]], G est somme directe interne de son sous-groupe (cyclique) A d'ordre ''a'' et de son sous-groupe (cyclique) B d'ordre ''b''. À tout élément ''x'' de G, faisons correspondre le couple (y, z) tel que x = y z, avec ''y'' dans A et ''z'' dans B. Nous définissons ainsi un isomorphisme <math>\sigma </math> de G sur la somme directe de A et B. L'ordre de ''x'' est le ppcm des ordres de ''y'' et de ''z'', l’ordre de ''y'' divise ''a'' et l’ordre de ''z'' divise ''b''. Il est donc clair que ''x'' est d'ordre ab si et seulement si ''y'' est d'ordre ''a'' et ''z'' d'ordre ''b''. Ainsi, <math>\sigma </math> induit une bijection de l’ensemble des générateurs de G sur le produit cartésien de l’ensemble des générateurs de A par l’ensemble des générateurs de B. Le nombre <math>\varphi(ab)</math> des générateurs de G est donc égal au produit du nombre <math>\varphi(a)</math> des générateurs de A par le nombre <math>\varphi(b)</math> des générateurs de B, ce qui prouve l'énoncé. }} {{Remarque|contenu= L'énoncé précédent peut aussi se déduire de ce théorème : si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/ab'''Z''' est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/a'''Z''' par le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/b'''Z'''. (Voir les exercices.) }} {{Lemme | contenu = Soient ''p'' un nombre premier et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Pour tout élément X de '''Z'''/pⁿ'''Z''', les trois conditions suivantes sont équivalentes : #Tous les éléments de X sont divisibles par ''p'' ; #X comprend (au moins) un élément divisible par ''p'' ; #X est un élément non inversible de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Les classes résiduelles modulo pⁿ possédant ces propriétés sont en quantité p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= La preuve de l'équivalence des conditions 1° à 3° est facile et laissée au lecteur. Prouvons la dernière assertion de l'énoncé. Première démonstration. D'après l'équivalence de 1° et 2° et le fait que toute classe modulo pⁿ comprend un et un seul des nombres naturels < pⁿ, la quantité des classes modulo pⁿ satisfaisant aux conditions 1° à 3° est égale à la quantité des nombres divisibles par ''p'' parmi 0, 1, ... , pⁿ - 1. Ces nombres sont les nombres de la forme p x, où ''x'' parcourt les nombres naturels tels que px < pⁿ, autrement dit les nombres naturels x < p^n-1. Ces nombres naturels ''x'' sont en quantité p^n-1, donc les nombres divisibles par ''p'' dans la suite 0, 1, ... , pⁿ sont en quantité p^n-1. Seconde démonstration. La démonstration qui précède repose sur l’ordre usuel défini dans '''N''' et dans '''Z'''. Voici une démonstration un peu différente, qui peut se généraliser à des anneaux où un ordre tel que celui de '''Z''' n’est pas défini. Deux entiers rationnels ''a'' et ''b'' sont congrus modulo p^n-1 si et seulement pa et pb sont congrus modulo pⁿ. On en déduit facilement 1° qu’il existe une et une seule application ''f'' de '''Z'''/p^n-1'''Z''' dans l’ensemble des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' telle que, pour tout entier rationnel ''x'', on ait f(x + p^n-1'''Z''') = p x + p^n-1'''Z''' ; 2° que ''f'' est une bijection. Le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' est donc égal au nombre p^n-1 des éléments de '''Z'''/p^n-1'''Z'''. }} {{Remarque|contenu= Les éléments non inversibles de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' forment donc un sous-groupe du groupe additif de cet anneau, ce qui n'est évidemment pas le cas dans tout anneau. }} {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul, soit <math>n = \prod_ip_i^{r_i}</math> la décomposition de ''n'' en facteurs premiers, les p_i étant les différents facteurs premiers de ''n'' et les r_i étant ≥ 1. Alors <math>\varphi(n) = \prod_i(p_i- 1) p_i^{r_i-1}</math>. }} {{Démonstration|contenu= D'après une proposition précédente, <math>\varphi(\prod_ip_i^{r_i}) = \prod_i\varphi(p_i^{r_i}),</math> donc il suffit de prouver que si ''p'' est un nombre premier et ''r'' un nombre naturel ≥ 1, alors <math>\varphi(p^r) = (p-1) p^{r-1}.</math> Puisque, d’après le lemme précédent, le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/p^r'''Z''' est égal à p^n-1, <math>\varphi(p^r) = p^{r} - p^{r-1} = (p-1) p^{r-1}.</math>. }} {{Lemme | contenu = Si G est un groupe fini d'ordre ''n'', :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n'' et où, pour tout ''d'', r_d désigne le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout groupe cyclique C, désignons par gén(C) l’ensemble des générateurs de C. Si C est un sous-groupe cyclique d'un groupe G, si ''x'' est un élément de gén(C), alors C est le sous-groupe de G engendré par ''x''; il en résulte évidemment que si C et D sont deux différents sous-groupes cycliques de G, alors gén(C) et gén(D) sont disjoints. D'autre part, puisque G est fini, tout élément de G engendre un sous-groupe cyclique de G et, en particulier, est contenu dans un tel sous-groupe. Donc G est réunion disjointe des ensembles gén(C), où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. On a donc :<math> \qquad \vert G \vert = \sum_C\mathrm{Card}(\mathrm{g \acute{e}n}(C)),</math> où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. Cela peut encore s'écrire :<math>(1) \qquad \vert G \vert = \sum _{d\mid n} \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) )</math> où, pour chaque ''d'', C parcourt les sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Il résulte d'une précédente proposition que pour un tel C, :<math>\mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = \varphi(d)</math>, d'où :<math> \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = r_d\varphi(d)</math>. En portant ceci dans (1), nous obtenons l'énoncé. }} {{ancre|phi*1}} {{Proposition | contenu = Si ''n'' est un nombre naturel non nul, :<math>n = \sum_{d\mid n} \varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ''n''. Nous savons que pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G admet un et un seul sous-groupe d'ordre ''d'' et que ce sous-groupe est cyclique. Donc, dans les notations du précédent lemme, r_d = 1 pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n''. Le précédent lemme fournit donc l'énoncé. }} {{ancre|ConditionSuffisanteCyclicité}} {{Lemme | contenu = Soit G un groupe fini d'ordre ''n''. Si pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G a au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d'', alors G est cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', désignons par r_d le nombre de sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Par hypothèse, r_d est égal à 0 ou à 1. D'après un précédent lemme, nous avons :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. D'après la précédente proposition, le premier membre peut être remplacé par <math> \sum_{d \vert n} \varphi(d), </math> d'où :<math>(1) \sum_{d\mid n} \varphi(d) = \sum_{d\mid n} r_d\varphi(d)</math>. Puisque chaque r_d est ≤ 1, le terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le second membre de (1) est inférieur ou égal au terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le premier membre. Vu l'égalité des deux membres, on doit donc avoir r_d = 1 pour tout ''d''. C'est vrai en particulier pour d = n, donc G a un sous-groupe cycique d'ordre ''n'', donc G est cyclique. }} {{Ancre|CyclicitéDansCorps}} {{Lemme | contenu = Soit F un corps commutatif. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F est cyclique<ref>Ce résultat s'étend facilement aux [[w:Corps gauche|corps gauches]] de [[Corps (mathématiques)/Définitions#Caractéristique|caractéristique]] non nulle ({{article|url=https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103051509|titre=Finite multiplicative subgroups in division rings|auteur=I. N. Herstein|revue=Pacific J. Math.|volume=3|issue=1|year=1953|page=121-126}}).</ref>. }} {{Démonstration|contenu= Soit G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F. Il s'agit de prouver que G est cyclique. Soit ''d'' un diviseur naturel de l’ordre de G. D'après la théorie des polynômes, le polynôme X^d - 1 admet au plus ''d'' racines dans F et donc au plus ''d'' racines dans G. Autrement dit, il y a dans G au plus ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1. Il en résulte clairement que G admet au plus un sous-groupe d'ordre ''d''. (Si G admettait deux sous-groupes distincts d'ordre ''d'', soient H et K, la réunion de H et de K serait un ensemble de plus de ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1.) A fortiori, G admet au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d''. D'après le lemme précédent, G est donc cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit F un corps commutatif fini. Le groupe multiplicatif de F est cyclique. }} {{Démonstration déroulante|contenu= C'est évidemment un cas particulier du lemme qui précède.}} {{Remarque|contenu= D'après un théorème de Wedderburn<ref>Pour une démonstration du théorème de Wedderburn, voir par exemple la démonstration de Witt reproduite dans André Weil, ''Basic Number Theory'', 3{{e}} éd., Springer, 1974, p. 1.</ref>, tout corps fini est commutatif. L'expression « corps commutatif fini » est donc pléonastique. }} {{Théorème | titre = Cas particulier | contenu = Si ''p'' est un nombre premier, le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Cela résulte immédiatement de l'énoncé précédent, puisque nous avons vu que si ''p'' est un nombre premier, l'anneau '''Z'''/p'''Z''' est un corps (commutatif). }} {{Remarque|contenu= Soit ''p'' un nombre premier. Dire que le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique revient à dire qu’il existe au moins un entier rationnel ''r'' (non divisible par ''p'') tel que r{{exp|0}}, r{{exp|1}}, ... , r^p-2 représentent les p - 1 classes résiduelles non nulles modulo ''p''. Un tel entier rationnel est appelé « racine primitive modulo p ». En particulier, il y a au moins une racine primitive modulo ''p'' parmi les nombres naturels < p, et, d’après ce que nous avons vu sur le nombre de générateurs d'un groupe cyclique, il y en a exactement <math>\varphi(p-1) </math>. Par exemple, pour p = 7, les racines primitives < p sont les <math>\varphi(6) = 2</math> nombres 3 et 5. }} {{Corollaire | contenu = Si G est un groupe (cyclique) d'ordre premier ''p'', le groupe des automorphismes de G est cyclique. }} Démonstration. Le groupe G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/p'''Z''', donc le groupe des automorphismes de G est isomorphe au groupe des automorphismes du groupe additif '''Z'''/p'''Z''', donc, d’après un théorème précédent, au groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''', et nous venons de voir que ce groupe multiplicatif est cyclique. {{Remarque|contenu= La preuve donnée ici du fait que le groupe des automorphismes d'un groupe (cyclique) d'ordre premier est cyclique dépend de la notion de polynôme. Il existe une démonstration qui ne dépend pas de la notion de polynôme mais seulement de notions élémentaires de théorie des groupes. Voir H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups, An Introduction'', Springer, 2004, pp. 50-51. }} Dans la suite, nous allons distinguer entre le nombre 2 et les autres nombres premiers. Comme les nombres premiers distincts de 2 sont exactement les nombres premiers impairs et que « nombre premier impair » est plus bref que « nombre premier distinct de 2 », on a coutume de dire « nombre premier impair » plutôt que « nombre premier distinct de 2 ». {{Théorème | contenu = Soient ''p'' un nombre premier '''impair''' et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' est cyclique d'ordre (p - 1) p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= Pour alléger les notations, désignons par G le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Nous savons déjà que l’ordre de ce groupe est <math>\varphi (p^n) = (p-1) p^{n-1}</math>. Prouvons que ce groupe est cyclique. L'ensemble A = 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', formé par les classes d'éléments congrus à 1 modulo ''p'', est un sous-groupe (multiplicatif) de G. En effet, c’est clairement un sous-monoïde de G et, d’après un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], tout sous-monoïde fini d'un groupe est un groupe. (On pourrait aussi noter que la classe de 1 + xp modulo pⁿ'''Z''' admet pour inverse la classe de 1 - x p + x{{exp|2}} p{{exp|2}} - ... + (- 1)^n-1 x^n-1 p^n-1.) Nous avons vu que le nombre d'éléments de p '''Z'''/pⁿ'''Z''' est p^n-1, donc A, égal à 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', compte lui aussi p^n-1 éléments. Autrement dit, le groupe multiplicatif A est d'ordre p^n-1. Puisque p - 1 est premier avec p^n-1, il résulte d'un corollaire de la décomposition d'un groupe commutatif en somme directe de ses composantes primaires que G est somme directe <math>G = A \oplus B,</math> où B est un sous-groupe d'ordre p - 1 de G. Prouvons que chacun des groupes A et B est cyclique. Tout élément du groupe multiplicatif G de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''', étant une classe modulo pⁿ formée de nombres non divisibles par ''p'', est contenu dans un et un seul élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Désignons par ''f'' l’application de G dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui applique tout élément X de G sur l'unique élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui contient X. Autrement dit, f(a + pⁿ'''Z''') = a + p'''Z''' pour tout entier rationnel ''a'' non divisible par ''p''. On vérifie facilement que ''f'' est un homomorphisme surjectif de G sur le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et que le noyau de cet homomorphisme est A. Donc G/A est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Puisque G est somme directe (interne) de A et de B, G/A est isomorphe à B, donc B est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et est donc cyclique. Prouvons maintenant que A est cyclique et pour cela, prouvons que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A. Il s'agit de prouver que l’ordre de la classe de 1 + p est p^n-1. Comme cet ordre divise l’ordre p^n-1 de A et est donc une puissance de ''p'', il suffit de prouver le fait suivant : :(1) pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, <math>(1 + p)^{p^{m}} </math> n’est pas congru à 1 modulo pⁿ. Prouvons que pour tout nombre naturel m ≥ 0, :<math>(2) \qquad (1 + p)^{p^m} \equiv 1 + p^{m+1} \pmod{p^{m+2}}</math>. Pour m = 0, les deux membres de la congruence sont égaux à 1 + p, donc la congruence est vraie. Supposons qu'elle soit vraie pour un nombre naturel ''m'' et prouvons qu'elle est vraie avec m + 1 au lieu de ''m''. Par hypothèse de récurrence, nous avons :<math>(1 + p)^{p^m} = 1 + p^{m+1} + k p^{m+2}</math> pour un certain entier ''k''. En élevant à la p-ième puissance et en appliquant la formule du binôme, nous trouvons :<math>(3) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + \sum _{i = 1}^p{\binom pi}(p^{m+1} + k p^{m+2})^i</math>. On sait que <math>\binom p1= p </math> et que, pour tout ''i'' tel que 1 ≤ i ≤ p - 1, <math>\binom pi</math> est divisible par ''p''. Donc (3) donne :<math>(1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + p^{m+2} + k p^{m+3} + r p^{2m+3} + s p^{pm+p}</math>, avec ''r'' et ''s'' entiers. Puisque <math>p^{2m+3}</math> est multiple de <math>p^{m+3}</math>, nous avons donc :<math>(4) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} \equiv 1 + p^{m+2} + s p^{pm+p} \pmod{p^{m+3}}.</math> Du fait que p est supposé ≥ 3, il résulte que p m + p ≥ m + 3. (Ce ne serait pas vrai avec p = 2 et m = 0. L'énoncé du théorème est d'ailleurs faux pour p = 2.) Dès lors, (4) donne :<math> (1 + p)^{p^{m+1}} \equiv 1 + p^{m+2} \pmod{p^{m+3}}</math>, ce qui achève de démontrer (2) par récurrence. Dès lors, pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, la plus grande puissance de ''p'' qui divise <math>(1 + p)^{p^{m}} - 1</math> est p^m+1. La thèse (1) en résulte et, comme nous l'avons vu, elle entraîne que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A, donc A est cyclique. Nous avons donc prouvé que A est un groupe cyclique d'ordre p^n-1 et B un groupe cyclique d'ordre p - 1. Comme la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres premiers entre eux est un groupe cyclique, G est cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit ''m'' un nombre naturel ≥ 2. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un sous-groupe d'ordre 2 et d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2^m-2. Si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout nombre entier rationnel ''r'', nous désignerons par [r] la classe de ''r'' modulo 2^m'''Z'''. Déterminons l’ordre de [5]. Puisque le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est d'ordre <math>\varphi(2^{m}) = 2^{m-1},</math>, l’ordre de [5] doit être une puissance de 2. Prouvons que, pour tout nombre naturel j ≥ 0, :<math>(1) \qquad 5^{2^j} \equiv 1 + 2^{j+2} \pmod{2^{j+3}}</math>. C'est vrai pour j = 0. Prouvons que si c’est vrai pour un nombre naturel ''j'', c’est vrai pour j + 1 au lieu de j. La relation (1) signifie qu’il existe un entier ''k'' tel que :<math> \qquad 5^{2^j} = 1 + 2^{j+2} + k 2^{j+3}</math>. En élevant au carré, nous trouvons :<math>(2) \qquad 5^{2^{j+1}} = (1 + 2^{j+2})^2+ 2 (1 + 2^{j+2}) k 2^{j+3} + k^22^{2j + 6}</math>. Les deux derniers des trois termes du second membre sont clairement divisibles par <math>2^{j+4}</math>. Le premier terme, égal à <math>1 + 2^{j+3} + 2^{2j+4}</math>, est congru à <math>1 + 2^{j+3} </math> modulo <math>2^{j+4}</math>. La relation (2) entraîne donc :<math> \qquad 5^{2^{j+1}} \equiv 1 + 2^{j+3} \pmod{2^{j+4}}</math>. Ceci prouve la relation (1) par récurrence sur ''j''. Dès lors, pour tout nombre naturel j ≥ 0, <math>5^{2^j} - 1</math> est divisible exactement j + 2 fois par 2. Puisque nous supposons m ≥ 2, il en résulte que le plus petit nombre naturel ''j'' tel que <math>5^{2^j} - 1</math> soit divisible par 2^m est m - 2. L'ordre de [5] dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est donc 2^m-2. Ceci revient à dire que le sous-groupe <[5]> engendré par [5] est d'ordre 2^m-2. Puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] est distinct de [1], donc [1] et [-1] forment un sous-groupe d'ordre 2 du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z'''. Comme tout élément de <[5]> est évidemment la classe d'un nombre congru à 1 modulo 4, l'intersection de <[5]> avec le sous-groupe {[1], [-1]} est réduite à l'élément neutre. (En effet, puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] ne peut pas être la classe modulo 2^m d'un nombre congru à 1 modulo 4.) Donc le sous-groupe engendré par le sous-groupe {[1], [-1]} et le sous-groupe <[5]> est la somme directe de {[1], [-1]} et de <[5]> et est donc d'ordre 2^m-1, donc est égal à tout le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''', ce qui prouve la première partie de l'énoncé. Si ''m'' est au moins égal à 3, il résulte de ce qui précède que le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un groupe cyclique d'ordre 2 et d'un groupe cyclique d'ordre divisible par 2. On a vu au chapitre [[../Produit de groupes/]] que la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres non premiers entre eux n’est pas un groupe cyclique, donc, si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} On déterminera dans les exercices la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' pour tout nombre naturel n ≥ 1. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] }} ayeqxdq07chpscikwq2gyz980sdpooc 982860 982859 2026-05-16T05:57:44Z Marvoir 1746 points sur lesi 982860 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 22 | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] | page_liée = Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique }} Rappelons que nous avons défini les anneaux '''Z''' et '''Z'''/n'''Z''' au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1|Groupes commutatifs finis, 1]]. {{Clr}} {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément de '''Z'''/n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si c’est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu=Puisque [1] = 1 + n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il est clair qu'un élément [a] = a + n'''Z''' est un générateur de ce groupe si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que r [a] = [1], autrement dit si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que [r] [a] = [1], autrement dit si et seulement si [a] est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Théorème | titre = Autre forme du théorème précédent. | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément a + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Démonstration|contenu= C'est une conséquence immédiate du théorème précédent, puisque nous avons vu au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]] que a + n'''Z''' est inversible dans l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Remarque|contenu= Les deux théorèmes qui précèdent peuvent être considérés comme des variantes de la proposition suivante, démontrée dans le chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] : soient G un groupe fini d'ordre ''n'', ''g'' un générateur de G et ''r'' un entier rationnel; pour que g{{exp|r}} soit un générateur de G, il faut et il suffit que ''r'' soit premier avec ''n''. }} Nous appellerons groupe multiplicatif d'un anneau le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de cet anneau. {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel (≥ 0). Les automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' sont les applications x ↦ cx de '''Z'''/n'''Z''' dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut('''Z'''/n'''Z''') des automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout entier rationnel ''r'', désignons par [r] l'élément r + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z'''. On sait que [1] est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''f'' un automorphisme du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Puisque ''f'' est un homomorphisme, nous avons, pour tout nombre entier rationnel ''r'', :<math>(1) \qquad f([r]) = f(r[1]) = r f([1]) = [r] f([1])</math>. Puisque ''f'' est surjectif, il existe un élément [r] de '''Z'''/n'''Z''' tel que f([r]) = [1]. D'après (1), ceci s'écrit [r] f([1]) = [1], donc f([1]) est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''g'' l’application de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' qui applique ''f'' sur f([1]). Prouvons que ''g'' est un isomorphisme. Prouvons d’abord que ''g'' est une surjection. Soit [a] un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''; il s'agit de prouver qu’il existe un automorphisme ''f'' du groupe '''Z'''/n'''Z''' qui applique [1] sur [a]. Cela résulte par exemple du fait que [a] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''', et d'un théorème démontré au chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] (à savoir que si G et H sont des groupes monogènes de même ordre, ''g'' un générateur de G et ''h'' un générateur de H, il existe un isomorphisme de G sur H qui applique ''g'' sur ''h''). Ainsi, ''g'' est une surjection. Prouvons que ''g'' est une injection. Il s'agit de prouver que si f₁ et f₂ sont des automorphismes de '''Z'''/n'''Z''', si f₁([1]) = f₂([1]), alors f₁ = f₂. Cela résulte de ce que [1] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''' et de ce que deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H qui coïncident en tout point d'une partie génératrice de G sont égaux. (Voir [[../Groupes, premières notions#Parties génératrices|Groupes, premières notions]]. Nous avons donc prouvé que ''g'' est une bijection. Pour prouver que ''g'' est un isomorphisme, il reste à prouver que ''g'' est un homomorphisme de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Pour cela, il s'agit de prouver que :<math>(2) \qquad (f \circ g) ([1]) = f([1] g[1])</math>. Le premier membre est égal à f(g[1]). Choisissons un entier rationnel ''r'' tel que g([1]) = [r]. Alors le premier membre de (2) est égal à f([r]) et donc, d’après (1), à [r] f([1]), autrement dit à g([1]) f([1]), ce qui prouve (2). }} {{Corollaire | titre = Corollaire 1 | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n'', noté multiplicativement. Les automorphismes du groupe G sont les applications x ↦ x^c de G dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut(G) des automorphismes de G est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On sait que G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. L'énoncé se déduit donc facilement du théorème précédent. }} {{Corollaire | titre = Corollaire 2 | contenu = Le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est commutatif. }} {{Démonstration déroulante|contenu= D'après ce qui précède, le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est isomorphe au groupe multiplicatif d'un anneau commutatif. }} Nous allons maintenant expliciter la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''', ce qui explicitera en même temps la structure du groupe des automorphismes des groupes monogènes. Si n = 0, l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe à '''Z''', donc son groupe multiplicatif est formé des deux éléments 1 et - 1. Le cas n = 0 étant réglé, nous ne nous intéresserons plus qu'au cas n ≥ 1. On sait que dans ce cas, '''Z'''/n'''Z''' est fini et compte ''n'' éléments. {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul. L'ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi {{nobr|0, 1, ... , n - 1.}} }} {{Démonstration|contenu= On a vu au chapitre [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] que tout élément de '''Z'''/n'''Z''' est la classe d'un et un seul des nombres 0, 1, ... , n - 1. On a vu aussi (chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]]) que si ''a'' est un entier rationnel, a + n'''Z''' est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. L'énoncé en résulte. }} {{Définition | contenu = On appelle ''indicateur d'Euler'', ou encore ''indicatrice d'Euler'', et on note <math>\varphi</math> l’application de <math>\N\setminus\{0\}</math> dans <math>\N</math> qui à tout nombre naturel non nul ''n'' fait correspondre l’ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} D'après la proposition précédente, <math>\varphi (n) </math> est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi 0, 1, ... , n -1. Par exemple, <math>\varphi (1) = 1</math> et <math>\varphi (p) = p - 1</math> pour tout nombre premier ''p''. {{Proposition | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n''. Le nombre de générateurs de G (autrement dit le nombre d'éléments d'ordre ''n'' dans G) est égal à <math>\varphi(n)</math>. }} {{Démonstration|contenu= Puisque G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il suffit de le prouver dans le cas où G = '''Z'''/n'''Z'''. Or nous avons vu que <math>\varphi(n)</math> est le nombre des éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' et nous avons vu aussi que les éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' sont les générateurs du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Proposition | contenu = Si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, <math>\varphi (ab) = \varphi (a) \varphi (b).</math> }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ab, que nous noterons additivement. D'après un exemple donné au chapitre [[../Produit de groupes/]], G est somme directe interne de son sous-groupe (cyclique) A d'ordre ''a'' et de son sous-groupe (cyclique) B d'ordre ''b''. À tout élément ''x'' de G, faisons correspondre le couple (y, z) tel que x = y z, avec ''y'' dans A et ''z'' dans B. Nous définissons ainsi un isomorphisme <math>\sigma </math> de G sur la somme directe de A et B. L'ordre de ''x'' est le ppcm des ordres de ''y'' et de ''z'', l’ordre de ''y'' divise ''a'' et l’ordre de ''z'' divise ''b''. Il est donc clair que ''x'' est d'ordre ab si et seulement si ''y'' est d'ordre ''a'' et ''z'' d'ordre ''b''. Ainsi, <math>\sigma </math> induit une bijection de l’ensemble des générateurs de G sur le produit cartésien de l’ensemble des générateurs de A par l’ensemble des générateurs de B. Le nombre <math>\varphi(ab)</math> des générateurs de G est donc égal au produit du nombre <math>\varphi(a)</math> des générateurs de A par le nombre <math>\varphi(b)</math> des générateurs de B, ce qui prouve l'énoncé. }} {{Remarque|contenu= L'énoncé précédent peut aussi se déduire de ce théorème : si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/ab'''Z''' est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/a'''Z''' par le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/b'''Z'''. (Voir les exercices.) }} {{Lemme | contenu = Soient ''p'' un nombre premier et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Pour tout élément X de '''Z'''/pⁿ'''Z''', les trois conditions suivantes sont équivalentes : #Tous les éléments de X sont divisibles par ''p'' ; #X comprend (au moins) un élément divisible par ''p'' ; #X est un élément non inversible de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Les classes résiduelles modulo pⁿ possédant ces propriétés sont en quantité p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= La preuve de l'équivalence des conditions 1° à 3° est facile et laissée au lecteur. Prouvons la dernière assertion de l'énoncé. Première démonstration. D'après l'équivalence de 1° et 2° et le fait que toute classe modulo pⁿ comprend un et un seul des nombres naturels < pⁿ, la quantité des classes modulo pⁿ satisfaisant aux conditions 1° à 3° est égale à la quantité des nombres divisibles par ''p'' parmi 0, 1, ... , pⁿ - 1. Ces nombres sont les nombres de la forme p x, où ''x'' parcourt les nombres naturels tels que px < pⁿ, autrement dit les nombres naturels x < p^n-1. Ces nombres naturels ''x'' sont en quantité p^n-1, donc les nombres divisibles par ''p'' dans la suite 0, 1, ... , pⁿ sont en quantité p^n-1. Seconde démonstration. La démonstration qui précède repose sur l’ordre usuel défini dans '''N''' et dans '''Z'''. Voici une démonstration un peu différente, qui peut se généraliser à des anneaux où un ordre tel que celui de '''Z''' n’est pas défini. Deux entiers rationnels ''a'' et ''b'' sont congrus modulo p^n-1 si et seulement pa et pb sont congrus modulo pⁿ. On en déduit facilement 1° qu’il existe une et une seule application ''f'' de '''Z'''/p^n-1'''Z''' dans l’ensemble des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' telle que, pour tout entier rationnel ''x'', on ait f(x + p^n-1'''Z''') = p x + p^n-1'''Z''' ; 2° que ''f'' est une bijection. Le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' est donc égal au nombre p^n-1 des éléments de '''Z'''/p^n-1'''Z'''. }} {{Remarque|contenu= Les éléments non inversibles de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' forment donc un sous-groupe du groupe additif de cet anneau, ce qui n'est évidemment pas le cas dans tout anneau. }} {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul, soit <math>n = \prod_ip_i^{r_i}</math> la décomposition de ''n'' en facteurs premiers, les p_i étant les différents facteurs premiers de ''n'' et les r_i étant ≥ 1. Alors <math>\varphi(n) = \prod_i(p_i- 1) p_i^{r_i-1}</math>. }} {{Démonstration|contenu= D'après une proposition précédente, <math>\varphi(\prod_ip_i^{r_i}) = \prod_i\varphi(p_i^{r_i}),</math> donc il suffit de prouver que si ''p'' est un nombre premier et ''r'' un nombre naturel ≥ 1, alors <math>\varphi(p^r) = (p-1) p^{r-1}.</math> Puisque, d’après le lemme précédent, le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/p^r'''Z''' est égal à p^n-1, <math>\varphi(p^r) = p^{r} - p^{r-1} = (p-1) p^{r-1}.</math>. }} {{Lemme | contenu = Si G est un groupe fini d'ordre ''n'', :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n'' et où, pour tout ''d'', r_d désigne le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout groupe cyclique C, désignons par gén(C) l’ensemble des générateurs de C. Si C est un sous-groupe cyclique d'un groupe G, si ''x'' est un élément de gén(C), alors C est le sous-groupe de G engendré par ''x''; il en résulte évidemment que si C et D sont deux différents sous-groupes cycliques de G, alors gén(C) et gén(D) sont disjoints. D'autre part, puisque G est fini, tout élément de G engendre un sous-groupe cyclique de G et, en particulier, est contenu dans un tel sous-groupe. Donc G est réunion disjointe des ensembles gén(C), où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. On a donc :<math> \qquad \vert G \vert = \sum_C\mathrm{Card}(\mathrm{g \acute{e}n}(C)),</math> où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. Cela peut encore s'écrire :<math>(1) \qquad \vert G \vert = \sum _{d\mid n} \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) )</math> où, pour chaque ''d'', C parcourt les sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Il résulte d'une précédente proposition que pour un tel C, :<math>\mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = \varphi(d)</math>, d'où :<math> \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = r_d\varphi(d)</math>. En portant ceci dans (1), nous obtenons l'énoncé. }} {{ancre|phi*1}} {{Proposition | contenu = Si ''n'' est un nombre naturel non nul, :<math>n = \sum_{d\mid n} \varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ''n''. Nous savons que pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G admet un et un seul sous-groupe d'ordre ''d'' et que ce sous-groupe est cyclique. Donc, dans les notations du précédent lemme, r_d = 1 pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n''. Le précédent lemme fournit donc l'énoncé. }} {{ancre|ConditionSuffisanteCyclicité}} {{Lemme | contenu = Soit G un groupe fini d'ordre ''n''. Si pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G a au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d'', alors G est cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', désignons par r_d le nombre de sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Par hypothèse, r_d est égal à 0 ou à 1. D'après un précédent lemme, nous avons :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. D'après la précédente proposition, le premier membre peut être remplacé par <math> \sum_{d \vert n} \varphi(d), </math> d'où :<math>(1) \sum_{d\mid n} \varphi(d) = \sum_{d\mid n} r_d\varphi(d)</math>. Puisque chaque r_d est ≤ 1, le terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le second membre de (1) est inférieur ou égal au terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le premier membre. Vu l'égalité des deux membres, on doit donc avoir r_d = 1 pour tout ''d''. C'est vrai en particulier pour d = n, donc G a un sous-groupe cycique d'ordre ''n'', donc G est cyclique. }} {{Ancre|CyclicitéDansCorps}} {{Lemme | contenu = Soit F un corps commutatif. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F est cyclique<ref>Ce résultat s'étend facilement aux [[w:Corps gauche|corps gauches]] de [[Corps (mathématiques)/Définitions#Caractéristique|caractéristique]] non nulle ({{article|url=https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103051509|titre=Finite multiplicative subgroups in division rings|auteur=I. N. Herstein|revue=Pacific J. Math.|volume=3|issue=1|year=1953|page=121-126}}).</ref>. }} {{Démonstration|contenu= Soit G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F. Il s'agit de prouver que G est cyclique. Soit ''d'' un diviseur naturel de l’ordre de G. D'après la théorie des polynômes, le polynôme X^d - 1 admet au plus ''d'' racines dans F et donc au plus ''d'' racines dans G. Autrement dit, il y a dans G au plus ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1. Il en résulte clairement que G admet au plus un sous-groupe d'ordre ''d''. (Si G admettait deux sous-groupes distincts d'ordre ''d'', soient H et K, la réunion de H et de K serait un ensemble de plus de ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1.) A fortiori, G admet au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d''. D'après le lemme précédent, G est donc cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit F un corps commutatif fini. Le groupe multiplicatif de F est cyclique. }} {{Démonstration déroulante|contenu= C'est évidemment un cas particulier du lemme qui précède.}} {{Remarque|contenu= D'après un théorème de Wedderburn<ref>Pour une démonstration du théorème de Wedderburn, voir par exemple la démonstration de Witt reproduite dans André Weil, ''Basic Number Theory'', 3{{e}} éd., Springer, 1974, p. 1.</ref>, tout corps fini est commutatif. L'expression « corps commutatif fini » est donc pléonastique. }} {{Théorème | titre = Cas particulier | contenu = Si ''p'' est un nombre premier, le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique (d'ordre ''p'' - 1). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Cela résulte immédiatement de l'énoncé précédent, puisque nous avons vu que si ''p'' est un nombre premier, l'anneau '''Z'''/p'''Z''' est un corps (commutatif). }} {{Remarque|contenu= Soit ''p'' un nombre premier. Dire que le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique revient à dire qu’il existe au moins un entier rationnel ''r'' (non divisible par ''p'') tel que r{{exp|0}}, r{{exp|1}}, ... , r^p-2 représentent les p - 1 classes résiduelles non nulles modulo ''p''. Un tel entier rationnel est appelé « racine primitive modulo p ». En particulier, il y a au moins une racine primitive modulo ''p'' parmi les nombres naturels < p, et, d’après ce que nous avons vu sur le nombre de générateurs d'un groupe cyclique, il y en a exactement <math>\varphi(p-1) </math>. Par exemple, pour p = 7, les racines primitives < p sont les <math>\varphi(6) = 2</math> nombres 3 et 5. }} {{Corollaire | contenu = Si G est un groupe (cyclique) d'ordre premier ''p'', le groupe des automorphismes de G est cyclique (d'ordre ''p'' - 1). }} Démonstration. Le groupe G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/p'''Z''', donc le groupe des automorphismes de G est isomorphe au groupe des automorphismes du groupe additif '''Z'''/p'''Z''', et donc, d’après un théorème précédent, isomorphe au groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''', or nous venons de voir que ce groupe multiplicatif est cyclique. {{Remarque|contenu= La preuve donnée ici du fait que le groupe des automorphismes d'un groupe (cyclique) d'ordre premier est cyclique dépend de la notion de polynôme. Il existe une démonstration qui ne dépend pas de la notion de polynôme mais seulement de notions élémentaires de théorie des groupes. Voir H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups, An Introduction'', Springer, 2004, pp. 50-51. }} Dans la suite, nous allons distinguer entre le nombre 2 et les autres nombres premiers. Comme les nombres premiers distincts de 2 sont exactement les nombres premiers impairs et que « nombre premier impair » est plus bref que « nombre premier distinct de 2 », on a coutume de dire « nombre premier impair » plutôt que « nombre premier distinct de 2 ». {{Théorème | contenu = Soient ''p'' un nombre premier '''impair''' et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' est cyclique d'ordre (p - 1) p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= Pour alléger les notations, désignons par G le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Nous savons déjà que l’ordre de ce groupe est <math>\varphi (p^n) = (p-1) p^{n-1}</math>. Prouvons que ce groupe est cyclique. L'ensemble A = 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', formé par les classes d'éléments congrus à 1 modulo ''p'', est un sous-groupe (multiplicatif) de G. En effet, c’est clairement un sous-monoïde de G et, d’après un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], tout sous-monoïde fini d'un groupe est un groupe. (On pourrait aussi noter que la classe de 1 + xp modulo pⁿ'''Z''' admet pour inverse la classe de 1 - x p + x{{exp|2}} p{{exp|2}} - ... + (- 1)^n-1 x^n-1 p^n-1.) Nous avons vu que le nombre d'éléments de p '''Z'''/pⁿ'''Z''' est p^n-1, donc A, égal à 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', compte lui aussi p^n-1 éléments. Autrement dit, le groupe multiplicatif A est d'ordre p^n-1. Puisque p - 1 est premier avec p^n-1, il résulte d'un corollaire de la décomposition d'un groupe commutatif en somme directe de ses composantes primaires que G est somme directe <math>G = A \oplus B,</math> où B est un sous-groupe d'ordre p - 1 de G. Prouvons que chacun des groupes A et B est cyclique. Tout élément du groupe multiplicatif G de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''', étant une classe modulo pⁿ formée de nombres non divisibles par ''p'', est contenu dans un et un seul élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Désignons par ''f'' l’application de G dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui applique tout élément X de G sur l'unique élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui contient X. Autrement dit, f(a + pⁿ'''Z''') = a + p'''Z''' pour tout entier rationnel ''a'' non divisible par ''p''. On vérifie facilement que ''f'' est un homomorphisme surjectif de G sur le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et que le noyau de cet homomorphisme est A. Donc G/A est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Puisque G est somme directe (interne) de A et de B, G/A est isomorphe à B, donc B est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et est donc cyclique. Prouvons maintenant que A est cyclique et pour cela, prouvons que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A. Il s'agit de prouver que l’ordre de la classe de 1 + p est p^n-1. Comme cet ordre divise l’ordre p^n-1 de A et est donc une puissance de ''p'', il suffit de prouver le fait suivant : :(1) pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, <math>(1 + p)^{p^{m}} </math> n’est pas congru à 1 modulo pⁿ. Prouvons que pour tout nombre naturel m ≥ 0, :<math>(2) \qquad (1 + p)^{p^m} \equiv 1 + p^{m+1} \pmod{p^{m+2}}</math>. Pour m = 0, les deux membres de la congruence sont égaux à 1 + p, donc la congruence est vraie. Supposons qu'elle soit vraie pour un nombre naturel ''m'' et prouvons qu'elle est vraie avec m + 1 au lieu de ''m''. Par hypothèse de récurrence, nous avons :<math>(1 + p)^{p^m} = 1 + p^{m+1} + k p^{m+2}</math> pour un certain entier ''k''. En élevant à la p-ième puissance et en appliquant la formule du binôme, nous trouvons :<math>(3) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + \sum _{i = 1}^p{\binom pi}(p^{m+1} + k p^{m+2})^i</math>. On sait que <math>\binom p1= p </math> et que, pour tout ''i'' tel que 1 ≤ i ≤ p - 1, <math>\binom pi</math> est divisible par ''p''. Donc (3) donne :<math>(1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + p^{m+2} + k p^{m+3} + r p^{2m+3} + s p^{pm+p}</math>, avec ''r'' et ''s'' entiers. Puisque <math>p^{2m+3}</math> est multiple de <math>p^{m+3}</math>, nous avons donc :<math>(4) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} \equiv 1 + p^{m+2} + s p^{pm+p} \pmod{p^{m+3}}.</math> Du fait que p est supposé ≥ 3, il résulte que p m + p ≥ m + 3. (Ce ne serait pas vrai avec p = 2 et m = 0. L'énoncé du théorème est d'ailleurs faux pour p = 2.) Dès lors, (4) donne :<math> (1 + p)^{p^{m+1}} \equiv 1 + p^{m+2} \pmod{p^{m+3}}</math>, ce qui achève de démontrer (2) par récurrence. Dès lors, pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, la plus grande puissance de ''p'' qui divise <math>(1 + p)^{p^{m}} - 1</math> est p^m+1. La thèse (1) en résulte et, comme nous l'avons vu, elle entraîne que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A, donc A est cyclique. Nous avons donc prouvé que A est un groupe cyclique d'ordre p^n-1 et B un groupe cyclique d'ordre p - 1. Comme la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres premiers entre eux est un groupe cyclique, G est cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit ''m'' un nombre naturel ≥ 2. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un sous-groupe d'ordre 2 et d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2^m-2. Si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout nombre entier rationnel ''r'', nous désignerons par [r] la classe de ''r'' modulo 2^m'''Z'''. Déterminons l’ordre de [5]. Puisque le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est d'ordre <math>\varphi(2^{m}) = 2^{m-1},</math>, l’ordre de [5] doit être une puissance de 2. Prouvons que, pour tout nombre naturel j ≥ 0, :<math>(1) \qquad 5^{2^j} \equiv 1 + 2^{j+2} \pmod{2^{j+3}}</math>. C'est vrai pour j = 0. Prouvons que si c’est vrai pour un nombre naturel ''j'', c’est vrai pour j + 1 au lieu de j. La relation (1) signifie qu’il existe un entier ''k'' tel que :<math> \qquad 5^{2^j} = 1 + 2^{j+2} + k 2^{j+3}</math>. En élevant au carré, nous trouvons :<math>(2) \qquad 5^{2^{j+1}} = (1 + 2^{j+2})^2+ 2 (1 + 2^{j+2}) k 2^{j+3} + k^22^{2j + 6}</math>. Les deux derniers des trois termes du second membre sont clairement divisibles par <math>2^{j+4}</math>. Le premier terme, égal à <math>1 + 2^{j+3} + 2^{2j+4}</math>, est congru à <math>1 + 2^{j+3} </math> modulo <math>2^{j+4}</math>. La relation (2) entraîne donc :<math> \qquad 5^{2^{j+1}} \equiv 1 + 2^{j+3} \pmod{2^{j+4}}</math>. Ceci prouve la relation (1) par récurrence sur ''j''. Dès lors, pour tout nombre naturel j ≥ 0, <math>5^{2^j} - 1</math> est divisible exactement j + 2 fois par 2. Puisque nous supposons m ≥ 2, il en résulte que le plus petit nombre naturel ''j'' tel que <math>5^{2^j} - 1</math> soit divisible par 2^m est m - 2. L'ordre de [5] dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est donc 2^m-2. Ceci revient à dire que le sous-groupe <[5]> engendré par [5] est d'ordre 2^m-2. Puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] est distinct de [1], donc [1] et [-1] forment un sous-groupe d'ordre 2 du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z'''. Comme tout élément de <[5]> est évidemment la classe d'un nombre congru à 1 modulo 4, l'intersection de <[5]> avec le sous-groupe {[1], [-1]} est réduite à l'élément neutre. (En effet, puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] ne peut pas être la classe modulo 2^m d'un nombre congru à 1 modulo 4.) Donc le sous-groupe engendré par le sous-groupe {[1], [-1]} et le sous-groupe <[5]> est la somme directe de {[1], [-1]} et de <[5]> et est donc d'ordre 2^m-1, donc est égal à tout le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''', ce qui prouve la première partie de l'énoncé. Si ''m'' est au moins égal à 3, il résulte de ce qui précède que le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un groupe cyclique d'ordre 2 et d'un groupe cyclique d'ordre divisible par 2. On a vu au chapitre [[../Produit de groupes/]] que la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres non premiers entre eux n’est pas un groupe cyclique, donc, si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} On déterminera dans les exercices la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' pour tout nombre naturel n ≥ 1. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] }} olcdjexnfjq2hhw6e22brhbfcbo8iml 0 66281 982841 981280 2026-05-15T12:34:25Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982841 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques | idfaculté = physique | numéro = 23 | chapitre = [[../../Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques/]] | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : résistance de sortie, résistance d'entrée/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Résistance équivalente d'un treillis métallique invariant par symétrie et antisymétrie axiales électriques == [[File:Treillis métallique à 24 brins.png|thumb|Schéma d'un treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun]] {{Al|5}}On considère le treillis métallique ci-contre dont tous les côtés ont une même valeur de résistance <math>\;r</math>. {{Al|5}}On se propose de déterminer, de <math>\;4\;</math> façons différentes utilisant les invariances électriques du réseau par symétrie ou antisymétrie axiales, la résistance <math>\;R\;</math> entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>. {{Al|5}}Déterminer l'invariance de la répartition des courants traversant le réseau par symétrie axiale et {{Al|5}}en déduire deux façons différentes permettant d'évaluer la résistance du réseau. {{Al|5}}De même déterminer l'invariance de la répartition des courants traversant le réseau par antisymétrie axiale et {{Al|5}}en déduire deux autres façons différentes permettant d'évaluer la résistance du réseau. {{clr}} {{Solution|contenu = [[File:Treillis métallique à 24 brins - axes de symétrie et antisymétrie.png|thumb|Schéma d'un treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun et précision des axes de symétrie et d'antisymétrie axiales de la répartition des courants]] {{Al|5}}L'axe <math>\;AB\;</math> est un axe de symétrie de la répartition des courants, on dispose de deux méthodes principales d'utilisation : * les courts-circuits coupant perpendiculairement l'axe de symétrie n'étant traversés par aucun courant peuvent être supprimés sans modifier la répartition des courants ; pour utiliser cela on dédouble les points de l'axe de symétrie <math>\;AB\;</math> <math>\big(</math>à savoir <math>\;D'\;</math> et <math>\;D''\big)</math>, en deux points situés de chaque côté de l'axe reliés par un court-circuit <math>\;\perp\;</math> à cet axe, on peut alors supprimer ce court-circuit ce qui représente une 1^ère méthode d'utilisation de l’axe de symétrie ; * les points symétriques par rapport à l'axe de symétrie <math>\;AB\;</math> <math>\big(</math>à savoir <math>\;C\;</math> et <math>\;F</math>, <math>\;D\;</math> et <math>\;E</math>, <math>\;G\;</math> et <math>\;H</math>, <math>\;J\;</math> et <math>\;K</math>, <math>\;C'\;</math> et <math>\;E'</math>, <math>\;C''\;</math> et <math>\;E''\big)</math> sont au même potentiel<ref> En effet partant de <math>\;A\;</math> les courants se dirigeant vers <math>\;H\;</math> et vers son symétrique <math>\;G\;</math> ayant même intensité et traversant la même résistance arrivent en <math>\;H\;</math> et en son symétrique <math>\;G\;</math> au même potentiel ; on peut renouveler cette démonstration pour tous les points symétriques.</ref>, on peut donc les relier par un court-circuit sans modifier la répartition des courants ce qui représente une 2^ème méthode d'utilisation de l’axe de symétrie. {{Al|5}}L'axe <math>\;CDEF\;</math> est un axe d'antisymétrie de la répartition des courants, on dispose de deux méthodes principales d'utilisation : * les courts-circuits le long de cet axe d'antisymétrie n'étant traversés par aucun courant pourront être supprimés sans modifier la répartition des courants ; pour utiliser cela on dédouble chacun des points <math>\;D\;</math> et <math>\;E\;</math> de l'axe d'antisymétrie <math>\;CDEF\;</math> en deux points sur cet axe reliés par un court-circuit <math>\;\parallel\;</math> à cet axe, on peut alors supprimer ce court-circuit ce qui représente une 1^ère méthode d'utilisation de l’axe d'antisymétrie ; * les points de l'axe d'antisymétrie <math>\;CDEF\;</math> sont au même potentiel <math>\;\dfrac{V_A + V_B}{2}</math>, ils peuvent donc être courts-circuités sans modifier la répartition des courants ce qui représente une 2^ème méthode d'utilisation de l’axe d'antisymétrie.}} === Utilisation de l'invariance électrique du réseau par symétrie axiale === ==== Mise en œuvre de la 1^ère méthode d'utilisation de l'axe de symétrie par suppression de courts-circuits traversés par aucun courant ==== {{Al|5}}À l'aide de schémas équivalents successifs déterminer la résistance du réseau entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>. {{Solution|contenu = [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe de symétrie 1a.png|left|frame|caption|Schéma d'un treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun, dédoublement des points <math>\;D'\;</math> et <math>\;D''\;</math> de l'axe de symétrie <math>\;AB</math>]] [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe de symétrie 1c.png|right|frame|caption|2^ème schéma équivalent utilisant le dédoublement des points <math>\;D\;</math> et <math>\;E\;</math> de l'axe d'antisymétrie <math>\;CDEF\;</math> du 1^er schéma équivalent du treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun]] [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe de symétrie 1b.png|center|frame|caption|1^er schéma équivalent utilisant le dédoublement des points <math>\;D'\;</math> et <math>\;D''\;</math> de l'axe de symétrie <math>\;AB\;</math> du treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun]] {{clr}} {{Al|5}}Dans le 1^er schéma de gauche, on a dédoublé les points de l'axe de symétrie <math>\;AB\;</math> <math>\big(</math>à savoir <math>\;D'\;</math> et <math>\;D''\big)</math>, en deux points situés de chaque côté de l'axe <math>\;\big(</math>respectivement <math>\;{D'}_s\;</math> et <math>\;{D'}_i\;</math> pour le 1^er, <math>\;{D''}_s\;</math> et <math>\;{D''}_i\;</math> pour le 2^ème<math>\big)</math> reliés par un court-circuit <math>\;\perp\;</math> à cet axe, court-circuit que l'on a supprimé car traversé par aucun courant ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans le 1^er schéma de gauche, }}observant une association série de deux résistances <math>\;r\;</math> on en déduit <math>\;R_{G-{D'}_i-E} = R_{E-{D''}_i-J} = R_{H-{D'}_s-D} = R_{D-{D''}_s-K} = 2\; r\;</math> d'où le nouveau schéma équivalent représenté ci-dessus au centre mais, à ce stade, il faut encore rechercher des invariances pour simplifier le réseau car il n'y a pas que des résistances montées en série ou en <math>\;\parallel\;</math><ref> Par exemple présence d'une association triangle entre <math>\;H</math>, <math>\;C'\;</math> et <math>\;D\;</math> ou entre <math>\;C'</math>, <math>\;C''\;</math> et <math>\;D\;</math> en passant par <math>\;C\;</math> ou encore entre <math>\;D</math>, <math>\;C''\;</math> et <math>\;K\;</math> ainsi que les associations triangle symétriques par rapport à <math>\;AB</math>, voir d'autres exemples d'associations triangle dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Autre_exemple_:_détermination_de_la_résistance_équivalente_d'un_réseau_métallique|autre exemple : détermination de la résistance équivalente d'un réseau métallique]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}il y a également la présence d'associations étoile entre <math>\;H</math>, <math>\;C'\;</math> et <math>\;C''\;</math> de centre <math>\;D\;</math> ou entre <math>\;A</math>, <math>\;C'\;</math> et <math>\;D\;</math> de centre <math>\;H\;</math> ou encore entre <math>\;H</math>, <math>\;D\;</math> et <math>\;C''\;</math> passant par <math>\;C\;</math> de centre <math>\;C'\;</math> ainsi que les associations étoile symétriques par rapport à <math>\;CDEF\;</math> et les associations étoile symétriques de toutes les précédentes par rapport à <math>\;AB</math>, voir d'autres exemples d'associations étoile dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Autre_exemple_:_détermination_de_la_résistance_équivalente_d'un_réseau_métallique|autre exemple : détermination de la résistance équivalente d'un réseau métallique]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}on remarque dans le schéma ci-dessus au centre que l'axe <math>\;CDEF\;</math> est axe d'antisymétrie de la répartition des courants, il est donc possible de dédoubler les points <math>\;D\;</math> et <math>\;E\;</math> de cet axe d'antisymétrie en deux points de l'axe reliés par un court-circuit le long de cet axe respectivement <math>\;D_s\;</math> et <math>\;D_i\;</math> pour le 1^er et <math>\;E_s\;</math> et <math>\;E_i\;</math> pour le 2^ème, courts-circuits que l'on supprime car traversés par aucun courant d'où le nouveau schéma équivalent ci-dessus à droite ; {{Al|5}}observant dans le schéma ci-dessus à droite, une association série de deux résistances <math>\;r\;</math> on en déduit <math>\;R_{C'-D_s-C''} = R_{C'-C-C''} = 2\;r\;</math> puis par association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;2\;r\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_{C'-C'',\, \text{total}}</math> <math>= r\;</math> enfin cette résistance étant montée en série avec deux autres résistances <math>\;r</math>, on tire <math>\;R_{H-[C'-C'']_{\text{total}}-K} = 3\; r</math> ; de même observant <br>{{Al|5}}{{Transparent|observant dans le schéma ci-dessus à droite, }}entre <math>\;H\;</math> et <math>\;K</math>, une association série de deux résistances <math>\;2\;r\;</math> on en déduit <math>\;R_{H-D_i-K} = 4\; r\;</math> résistance montée en <math>\;\parallel\;</math> sur <math>\;R_{H-[C'-C'']_{\text{total}}-K}\;</math> d'où <math>\;R_{H-K,\, \text{total}}</math> <math>= \dfrac{3\; r \times 4\; r}{3\; r + 4\; r} = \dfrac{12\; r}{7}</math> ; on poursuit en réduisant cette résistance montée en série avec deux autres résistances <math>\;r\;</math> entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> selon <math>\;R_{A-[H-K]_{\text{total}}-B} =</math> <math>r + \dfrac{12\; r}{7} + r = \dfrac{26\; r}{7}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|observant dans le schéma ci-dessus à droite, }}on termine en remarquant que la partie inférieure située au-dessous de <math>\;AB\;</math> étant le symétrique axial de la partie supérieure située au-dessus de <math>\;AB\;</math> conduit au même résultat soit <math>\;R_{A-[G-J]_{\text{total}}-B} = \dfrac{26\; r}{7}\;</math> et par suite les deux parties de même résistance <math>\;\dfrac{26\; r}{7}\;</math> étant montées en <math>\;\parallel\;</math> on en déduit <center>«<math>\;R_{AB} = \dfrac{1}{2}\; \dfrac{26\; r}{7} = \dfrac{13\; r}{7}\;</math>».</center>}} ==== Mise en œuvre de la 2^ème méthode d'utilisation de l'axe de symétrie en court-circuitant les points symétriques ==== {{Al|5}}À l'aide de schémas équivalents successifs déterminer la résistance du réseau entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>. {{Solution|contenu = [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe de symétrie 2a.png|left|frame|caption|Schéma d'un treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun avec court-circuit entre les points symétriques relativement à l'axe de symétrie <math>\;AB</math>]] [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe de symétrie 2b.png|right|frame|caption|1^er schéma équivalent utilisant le court-circuit entre les points symétriques relativement à l'axe de symétrie <math>\;AB\;</math> du treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun]] {{clr}} {{Al|5}}Dans le 1^er schéma de gauche, on a court-circuité les points symétriques par rapport à l'axe de symétrie <math>\;AB\;</math> <math>\big(</math>à savoir <math>\;C\;</math> et <math>\;F</math>, <math>\;D\;</math> et <math>\;E</math>, <math>\;G\;</math> et <math>\;H</math>, <math>\;J\;</math> et <math>\;K</math>, <math>\;C'\;</math> et <math>\;E'</math>, <math>\;C''\;</math> et <math>\;E''\big)\;</math><ref> Pour réaliser ce schéma équivalent, il est nécessaire d'être méthodique pour ne pas oublier de branches ; par exemple à chaque fois que vous représentez une branche sur le schéma équivalent, rayez la sur le schéma d'origine et terminer en comptant le nombre de branches sur le schéma d'origine soit <math>\;24\;</math> que vous comparez au nombre de branches sur le schéma équivalent <math>\Leftarrow</math> il doit y en avoir le même nombre sinon chercher la <math>\;\big(</math>ou les<math>\big)\;</math> branche<math>\big(</math>s<math>\big)\;</math> qui manque<math>\big(</math>nt<math>\big)</math>.</ref> car les points symétriques sont au même potentiel ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans le 1^er schéma de gauche, }}observant une association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;r\;</math> on en déduit <math>\;R_{A-G=H} = R_{G=H-D'} = R_{D'-D=E} = R_{D=E-D''} = R_{D''-J=K} = R_{J=K-B} = \dfrac{r}{2}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le 1^er schéma de gauche, observant une association <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> de deux résistances <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> on en déduit }}<math>\;R_{G=H-C'=E'} = R_{C'=E'-C=F} = R_{C=F-C''=E''} = R_{C''=E''-J=K} = R_{C'=E'-D=E} = R_{D=E-C''=E''} = \dfrac{r}{2}\;</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le 1^er schéma de gauche, }}en réduisant les associations série de deux résistances <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_{G=H-D'-D=E} = R_{D=E-D''-J=K} = R_{C'=E'-C=F-C''=E''} = r\;</math> d'où le 1^er schéma équivalent ci-dessus à droite ; {{Al|5}}dans le 1^er schéma équivalent ci-dessus à droite, il faut encore rechercher des invariances pour simplifier le réseau car il n'y a pas que des résistances montées en série ou en <math>\;\parallel\;</math><ref> Par exemple présence d'une association triangle entre <math>\;G=H</math>, <math>\;C'=E'\;</math> et <math>\;D=E\;</math> ou entre <math>\;C'=E'</math>, <math>\;C''=E''\;</math> et <math>\;D=E\;</math> ou encore entre <math>\;D=E</math>, <math>\;C''=E''\;</math> et <math>\;J=K</math> ; <br>{{Al|3}}il y a également la présence d'associations étoile entre <math>\;A</math>, <math>\;C'=E'\;</math> et <math>\;D=E\;</math> de centre <math>\;G=H\;</math> ou entre <math>\;G=H</math>, <math>\;C'=E'\;</math> et <math>\;C''=E''D\;</math> de centre <math>\;D=E\;</math> ou encore entre <math>\;G=H</math>, <math>\;D=E\;</math> et <math>\;C''=E''\;</math> de centre <math>\;C'=E'\;</math> ainsi que les associations étoile symétriques par rapport à <math>\;CDEF</math>, voir d'autres exemples d'associations étoile dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Autre_exemple_:_détermination_de_la_résistance_équivalente_d'un_réseau_métallique|autre exemple : détermination de la résistance équivalente d'un réseau métallique]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le 1^er schéma équivalent ci-dessus à droite, }}pour cela il convient de réintroduire le point <math>\;C=F\;</math> milieu électrique de <math>\;C'=E'-C''=E''\;</math> <ref> Ainsi on rétablit l'association série entre <math>\;R_{C'=E'-C=F} = \dfrac{r}{2}\;</math> et <math>\;R_{C=F-C''=E''} = \dfrac{r}{2}</math>.</ref> et de remarquer que l'axe <math>\;C=F-D=E\;</math> est un axe d'antisymétrie de répartition des courants et par conséquent qu'il est possible de court-circuiter <math>\;C=F\;</math> et <math>\;D=E\;</math> <ref> Car ils sont tous les deux au même potentiel <math>\;\dfrac{V_A + V_B}{2}</math>.</ref> d'où le 2^ème schéma équivalent ci-dessous à gauche : [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe de symétrie 2c.png|left|frame|caption|2^ème schéma équivalent utilisant la réduction des associations de résistances du schéma équivalent du treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun avec court-circuit entre les points symétriques relativement à l'axe de symétrie <math>\;AB</math>]] [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe de symétrie 2d.png|right|frame|caption|3^ème schéma équivalent utilisant une dernière réduction des associations de résistances du 2^ème schéma équivalent du treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun avec court-circuit entre les points symétriques relativement à l'axe de symétrie <math>\;AB</math>]] {{clr}} {{Al|5}}dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à gauche, entre <math>\;C'=E'\;</math> et <math>\;D=E=C=F\;</math> on a deux résistances <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> montées en <math>\;\parallel\;</math> d'où la résistance équivalente <math>\;R_{C'=E'-D=E=C=F} = \dfrac{r}{4}</math>, de même <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à gauche, }}entre <math>\;C''=E''\;</math> et <math>\;D=E=C=F\;</math> {{Transparent|on a}} deux résistances <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> montées en <math>\;\parallel\;</math> d'où {{Transparent|la résistance équivalente}} <math>\;R_{D=E=C=F-C''=E''} = \dfrac{r}{4}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à gauche, }}entre <math>\;G=H\;</math> et <math>\;D=E=C=F\;</math> passant par <math>\;C'=E'\;</math> la résistance équivalente précédemment évaluée <math>\;R_{C'=E'-D=E=C=F}\;</math> est montée en série avec une résistance <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> d'où <math>\;R_{G=H-C'=E'-D=E=F=C} =</math> <math>\dfrac{r}{2} + \dfrac{r}{4} = \dfrac{3\; r}{4}\;</math> laquelle étant montée en <math>\;\parallel\;</math> sur <math>\;R_{G=H-(D')-D=E} = r\;</math> <math>\Rightarrow</math> la résistance équivalente <math>\;R_{G=H-D=E=C=F,\, \text{total}} = \dfrac{\dfrac{3\; r}{4}\; r}{\dfrac{3\; r}{4} + r} = \dfrac{3\; r}{7}</math>, de même <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à gauche, }}entre <math>\;J=K\;</math> et <math>\;D=E=C=F\;</math> passant par <math>\;C''=E''\;</math> la résistance équivalente précédemment évaluée <math>\;R_{D=E=F=C-C''=E''}\;</math> est montée en série avec une résistance <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> d'où <math>\;R_{D=E=F=C-C''=E''-J=K} =</math> <math>\dfrac{r}{2} + \dfrac{r}{4} = \dfrac{3\; r}{4}\;</math> laquelle étant montée en <math>\;\parallel\;</math> sur <math>\;R_{J=K-(D'')-D=E} = r\;</math> conduit à la résistance équivalente <math>\;R_{J=K-D=E=C=F,\, \text{total}} = \dfrac{\dfrac{3\; r}{4}\; r}{\dfrac{3\; r}{4} + r} = \dfrac{3\; r}{7}\;</math> d'où le 3^ème schéma équivalent ci-dessus à droite ; {{Al|5}}dans ce 3^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, toutes les résistances étant montées en série on en déduit la résistance équivalente au treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> selon <math>\;R_{AB} = \dfrac{r}{2} + 2\; \dfrac{3\; r}{7} + \dfrac{r}{2}\;</math> soit <center>«<math>\;R_{AB} = \dfrac{13\; r}{7}\;</math>»<ref name="résultats identiques"> On vérifie qu'on obtient effectivement le même résultat que celui de la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Mise_en_œuvre_de_la_1ère_méthode_d'utilisation_de_l'axe_de_symétrie_par_suppression_de_courts-circuits_traversés_par_aucun_courant|mise en œuvre de la 1^ère méthode d'utilisation de l'axe de symétrie par suppression de courts-circuits traversés par aucun courant]] » plus haut dans cet exercice.</ref>.</center>}} === Utilisation de l'invariance électrique du réseau par antisymétrie axiale === ==== Mise en œuvre de la 1^ère méthode d'utilisation de l'axe d'antisymétrie par suppression de courts-circuits traversés par aucun courant ==== {{Al|5}}À l'aide de schémas équivalents successifs déterminer la résistance du réseau entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>. {{Solution|contenu = [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe d'antisymétrie 1a.png|left|frame|caption|Schéma d'un treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun, dédoublement des points <math>\;D\;</math> et <math>\;E\;</math> de l'axe d'antisymétrie <math>\;CDEF</math>]] [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe d'antisymétrie 1c.png|right|frame|caption|2^ème schéma équivalent utilisant la réduction des associations de résistances du 1^er schéma équivalent du treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun avec dédoublement des points <math>\;D\;</math> et <math>\;E\;</math> de l'axe d'antisymétrie <math>\;CDEF</math>]] [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe d'antisymétrie 1b.png|center|frame|caption|1^er schéma équivalent utilisant le dédoublement des points <math>\;D\;</math> et <math>\;E\;</math> de l'axe d'antisymétrie <math>\;CDEF\;</math> du treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun]] {{clr}} {{Al|5}}Dans le 1^er schéma de gauche, on a dédoublé les points de l'axe d'antisymétrie <math>\;CDEF\;</math> <math>\big(</math>à savoir <math>\;D\;</math> et <math>\;E\big)\;</math><ref> Sans dédoubler évidemment <math>\;C\;</math> et <math>\;F\;</math> qui ne sont pas des nœuds.</ref>, en deux points situés sur l'axe <math>\;\big(</math>respectivement <math>\;D_s\;</math> et <math>\;D_i\;</math> pour le 1^er, <math>\;E_s\;</math> et <math>\;E_i\;</math> pour le 2^ème<math>\big)</math> reliés par un court-circuit le long de cet axe, court-circuit que l'on a supprimé car traversé par aucun courant ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans le 1^er schéma de gauche, }}observant une association série de deux résistances <math>\;r\;</math> on en déduit <math>\;R_{C'-C-C''} = R_{C'-D_s-C''} = R_{D'-D_i-D''} = R_{D'-E_s-D''} = R_{E'-E_i-E''} = R_{E'-F-E''} = 2\; r\;</math> puis, sachant que ces résistances équivalentes <math>2\; r\;</math> sont montées deux par deux en <math>\;\parallel</math>, on en déduit <math>\;R_{D'-D'',\, \text{total}} = R_{C'-C'',\, \text{total}} = R_{E'-E'',\, \text{total}} = r\;</math> d'où le nouveau schéma équivalent ci-dessus au centre ; {{Al|5}}dans ce schéma ci-dessus au centre on remarque qu'entre <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> passant par <math>\;C'\;</math> et <math>\;C''\;</math> de même qu'entre <math>\;G\;</math> et <math>\;J\;</math> passant par <math>\;E'\;</math> et <math>\;E''\;</math> on a une association série de trois résistances <math>\;r\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_{H-C'-C''-K} = R_{G-E'-E''-J} = 3\;r\;</math> d'où le 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite ; {{Al|5}}dans ce nouveau schéma ci-dessus à droite, il faut rechercher des invariances pour simplifier le réseau car il n'y a pas que des associations de résistances montées en série ou en <math>\;\parallel\;</math><ref> Par exemple une association étoile entre <math>\;A</math>, <math>\;D'\;</math> et <math>\;K\;</math> de centre <math>\;H\;</math> ou sa symétrique par rapport à <math>\;AB\;</math> ou encore les symétriques des deux associations étoiles précédentes par rapport à la médiatrice électrique de <math>\;AB</math>, voir d'autres exemples d'associations étoile dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Autre_exemple_:_détermination_de_la_résistance_équivalente_d'un_réseau_métallique|autre exemple : détermination de la résistance équivalente d'un réseau métallique]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|dans ce nouveau schéma ci-dessus à droite, }}on y remarque que l'axe <math>\;AB\;</math> est axe de symétrie de la répartition des courants, il est donc possible de court-circuiter les points <math>\;H\;</math> et <math>\;G\;</math> ainsi que <math>\;K\;</math> et <math>\;J\;</math> respectivement symétriques l'un de l'autre relativement à cet axe de symétrie car ils sont au même potentiel<ref name="autre utilisation axe de symétrie"> Voir une autre utilisation de <math>\;AD'D''B\;</math> axe de symétrie de la répartition des courants en fin de question.</ref> d'où le 3^ème schéma équivalent ci-dessous à droite ; [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe d'antisymétrie 1d.png|thumb|3^ème schéma équivalent utilisant le court-circuit des points symétriques par rapport à l'axe de symétrie <math>\;AB\;</math> du 2^ème schéma équivalent du treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun]] {{Al|5}}dans ce 3^ème schéma équivalent ci-contre, observant une association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;r\;</math> entre <math>\;A\;</math> et <math>\;G=H</math>, entre <math>\;G=H\;</math> et <math>\;D'</math>, entre <math>\;D''\;</math> et <math>\;J=K\;</math> ainsi qu'entre <math>\;J=K\;</math> et <math>\;B</math>, on en déduit <math>\;R_{A-G=H} = R_{G=H-D'} = R_{D''-J=K} = R_{J=K-B} = \dfrac{r}{2}</math>, de même <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce 3^ème schéma équivalent ci-contre, }}observant une association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;3\;r\;</math> entre <math>\;G=H\;</math> et <math>\;J=K</math>, on obtient <math>\;R_{G=H-J=K} = \dfrac{3\;r}{2}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|dans ce 3^ème schéma équivalent ci-contre, }}entre <math>\;G=H\;</math> et <math>\;J=K\;</math> passant par <math>\;D'\;</math> et <math>\;D''\;</math> on a une association série de deux résistances équivalentes de <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> et d'une résistance <math>\;r\;</math> d'où <math>\;R_{G=H-D'-D''-J=K} = 2\;\dfrac{r}{2} + r = 2\;r\;</math> laquelle étant montée en <math>\;\parallel\;</math> sur la résistance équivalente <math>\;R_{G=H-J=K} = \dfrac{3\;r}{2}\;</math> conduit à la résistance équivalente <math>\;R_{G=H-J=K,\,\text{total}} = \dfrac{2\;r\;\dfrac{3\;r}{2}}{2\;r + \dfrac{3\;r}{2}} = \dfrac{6\;r}{7}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|dans ce 3^ème schéma équivalent ci-contre, }}on termine en remarquant que cette résistance équivalente est en série avec deux résistances <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> d'où la résistance équivalente du treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> <center>«<math>\;R_{AB} = 2\; \dfrac{r}{2} + \dfrac{6\; r}{7} = \dfrac{13\; r}{7}\;</math>»<ref name="résultats identiques" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pouvait utiliser l'axe <math>\;AD'D''B\;</math> de symétrie de la répartition des courants du 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite en dédoublant les points <math>\;D'\;</math> et <math>\;D''\;</math> chacun en deux points situés de part et d'autre de l'axe de symétrie reliés par un court-circuit <math>\;\perp\;</math> à cet axe de symétrie <math>\;AD'D''B\;</math><ref> Auparavant il convient de remplacer la résistance <math>\;r\;</math> entre <math>\;D'\;</math> et <math>\;D''\;</math> en deux résistances <math>\;2\; r\;</math> montées en <math>\;\parallel</math>, chaque résistance <math>\;2\;r\;</math> se retrouvant de part et d'autre de l'axe de symétrie après dédoublement.</ref> et comme ces courts-circuits n'étaient traversés par aucun courant ils pouvaient être supprimés sans modifier la répartition des courants <math>\;\ldots</math>}} ==== Mise en œuvre de la 2^ème méthode d'utilisation de l'axe d'antisymétrie en court-circuitant les points de cet axe ==== {{Al|5}}À l'aide de schémas équivalents successifs déterminer la résistance du réseau entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>. {{Solution|contenu = [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe d'antisymétrie 2a'.png|left|frame|caption|Schéma d'un treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun, avec court-circuit des points de l'axe d'antisymétrie <math>\;CDEF</math>]] [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe d'antisymétrie 2c.png|right|frame|caption|2^ème schéma équivalent utilisant le court-circuit des points symétriques relativement à l'axe de symétrie <math>\;AB\;</math> du 1^er schéma équivalent du treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun, avec court-circuit des points de l'axe d'antisymétrie <math>\;CDEF</math>]] [[File:Treillis métallique à 24 brins - axe d'antisymétrie 2b.png|center|frame|caption|1^er schéma équivalent utilisant la réduction des associations de résistances du schéma équivalent du treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> à <math>\;24\;</math> brins identiques de résistance <math>\;r\;</math> chacun, avec court-circuit des points de l'axe d'antisymétrie <math>\;CDEF</math>]] {{clr}} {{Al|5}}Dans le 1^er schéma ci-dessus à gauche, on a court-circuité les points de l'axe d'antisymétrie <math>\;CDEF\;</math> car les points de cet axe sont au même potentiel <math>\;\dfrac{V_A + V_B}{2}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans le 1^er schéma ci-dessus à gauche, }}observant une association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;r\;</math> on obtient <math>\;R_{C'-C=D=E=F} = R_{D'-C=D=E=F} = R_{E'-C=D=E=F} = \dfrac{r}{2}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le 1^er schéma ci-dessus à gauche, observant une association <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> de deux résistances <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> on obtient }}<math>\;R_{C=D=E=F-C''} = R_{C=D=E=F-D''} = R_{C=D=E=F-E''} = \dfrac{r}{2}\;</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le 1^er schéma ci-dessus à gauche, observant une association <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> de deux résistances <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> }}certaines d'entre elles étant en série avec une résistance <math>\;r\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_{H-C'-C=D=E=F} = r + \dfrac{r}{2} = \dfrac{3\;r}{2}</math>, de même <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le 1^er schéma ci-dessus à gauche, observant une association <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> de deux résistances <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> certaines d'entre elles étant en série avec une résistance <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;R_{G-E'-C=D=E=F} = r + \dfrac{r}{2} = \dfrac{3\;r}{2}\;</math> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le 1^er schéma ci-dessus à gauche, observant une association <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> de deux résistances <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> certaines d'entre elles étant en série avec une résistance <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;R_{C=D=E=F-C''-K} = r + \dfrac{r}{2} = \dfrac{3\;r}{2}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le 1^er schéma ci-dessus à gauche, observant une association <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> de deux résistances <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> certaines d'entre elles étant en série avec une résistance <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;R_{C=D=E=F-E''-J} = r + \dfrac{r}{2} = \dfrac{3\;r}{2}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le 1^er schéma ci-dessus à gauche, observant une association <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> de deux résistances <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> certaines d'entre elles étant en série avec une résistance <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre ; {{Al|5}}dans le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre, il faut encore rechercher des invariances pour simplifier le réseau car il n'y a pas que des résistances montées en série ou en <math>\;\parallel\;</math><ref> Par exemple présence d'une association triangle entre <math>\;H</math>, <math>\;D'\;</math> et <math>\;C=D=E=F\;</math> ou entre <math>\;G</math>, <math>\;D'\;</math> et <math>\;C=D=E=F\;</math> ou encore entre <math>\;K</math>, <math>\;D''\;</math> et <math>\;C=D=E=F\;</math> ou enfin entre <math>\;J</math>, <math>\;D''\;</math> et <math>\;C=D=E=F</math>, voir d'autres exemples d'associations triangle dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Autre_exemple_:_détermination_de_la_résistance_équivalente_d'un_réseau_métallique|autre exemple : détermination de la résistance équivalente d'un réseau métallique]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}il y a également la présence d'associations étoile entre <math>\;A</math>, <math>\;D'\;</math> et <math>\;C=D=E=F\;</math> de centre <math>\;H\;</math> ou entre <math>\;A</math>, <math>\;D'\;</math> et <math>\;C=D=</math><math>E=F\;</math> de centre <math>\;G\;</math> ou encore entre <math>\;H</math>, <math>\;G\;</math> et <math>\;C=D=E=F\;</math> de centre <math>\;D'\;</math> ainsi que les associations étoile symétriques par rapport à <math>\;CDEF</math>, voir d'autres exemples d'associations étoile dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Autre_exemple_:_détermination_de_la_résistance_équivalente_d'un_réseau_métallique|autre exemple : détermination de la résistance équivalente d'un réseau métallique]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre, }}on remarque que l'axe <math>\;AB\;</math> est axe de symétrie de la répartition des courants, il est donc possible de court-circuiter les points <math>\;H\;</math> et <math>\;G\;</math> ainsi que <math>\;K\;</math> et <math>\;J\;</math> respectivement symétriques l'un de l'autre relativement à cet axe de symétrie car il sont au même potentiel<ref name="autre utilisation axe de symétrie" /> d'où le 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite : {{Al|5}}dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, entre <math>\;A\;</math> et <math>\;G=H\;</math> on a deux résistances <math>\;r\;</math> montées en <math>\;\parallel\;</math> d'où la résistance équivalente <math>\;R_{A-G=H} = \dfrac{r}{2}</math>, de même <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, }}entre <math>\;D'\;</math> et <math>\;G=H\;</math>{{Transparent|on a deux résistances <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> montées en <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> d'où la résistance équivalente}}<math>\;R_{G=H-D'} = \dfrac{r}{2}\;</math> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, }}entre <math>\;D''\;</math> et <math>\;J=K</math>{{Transparent|on a deux résistances <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> montées en <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> d'où la résistance équivalente}}<math>\;R_{D''-J=K} = \dfrac{r}{2}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, }}entre <math>\;B\;</math> et <math>\;J=K\;</math>{{Transparent|on a deux résistances <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> montées en <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> d'où la résistance équivalente }}<math>\;R_{J=K-B} = \dfrac{r}{2}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, }}entre <math>\;G=H\;</math> et <math>\;C=D=E=F\;</math> passant par <math>\;D'\;</math> la résistance équivalente précédemment évaluée <math>\;R_{G=H-D'} = \dfrac{r}{2}\;</math> est montée en série avec une autre résistance <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> d'où <math>\;R_{G=H-D'-C=D=E=F} = \dfrac{r}{2} + \dfrac{r}{2} = r\;</math> laquelle étant montée en <math>\;\parallel\;</math> sur une association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;\dfrac{3\;r}{2}\;</math> dont la résistance équivalente vaut <math>\;\dfrac{3\;r}{4}\;</math> conduit à la résistance équivalente <math>\;R_{G=H-C=D=E=F,\, \text{total}} = \dfrac{\dfrac{3\; r}{4}\; r}{\dfrac{3\; r}{4} + r} = \dfrac{3\; r}{7}</math>, de même <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, }}entre <math>\;J=K\;</math> et <math>\;C=D=E=F\;</math> passant par <math>\;D''\;</math> la résistance équivalente précédemment évaluée <math>\;R_{J=K-D''} = \dfrac{r}{2}\;</math> est montée en série avec une autre résistance <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> d'où <math>\;R_{J=K-D''-C=D=E=F} = \dfrac{r}{2} + \dfrac{r}{2} = r\;</math> laquelle étant montée en <math>\;\parallel\;</math> sur une association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;\dfrac{3\;r}{2}\;</math> dont la résistance équivalente vaut <math>\;\dfrac{3\;r}{4}\;</math> conduit à la résistance équivalente <math>\;R_{C=D=E=F-J=K,\, \text{total}} = \dfrac{\dfrac{3\; r}{4}\; r}{\dfrac{3\; r}{4} + r} = \dfrac{3\; r}{7}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, }}finalement, entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>, on obtient quatre résistances montées en série <math>\;R_{A-G=H} = \dfrac{r}{2}</math>, <math>\;R_{G=H-C=D=E=F,\, \text{total}} = \dfrac{3\; r}{7}</math>, <math>\;R_{C=D=E=F-J=K,\, \text{total}} = \dfrac{3 r}{7}\;</math> et <math>\;R_{J=K-B} = \dfrac{r}{2}</math>, on en déduit la résistance équivalente au treillis métallique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> selon <math>\;R_{AB} = \dfrac{r}{2} + 2\; \dfrac{3\; r}{7} + \dfrac{r}{2}\;</math> soit <center>«<math>\;R_{AB} = \dfrac{13\; r}{7}\;</math>»<ref name="résultats identiques" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pouvait utiliser l'axe <math>\;AD'D''B\;</math> de symétrie de la répartition des courants du 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre en dédoublant le point <math>\;C=D=E=F\;</math> ainsi que les points <math>\;D'\;</math> et <math>\;D''</math>, chacun des trois points étant dédoublés en deux points situés de part et d'autre de l'axe de symétrie reliés par un court-circuit <math>\;\perp\;</math> à cet axe de symétrie<ref> Auparavant il convient de remplacer la résistance <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> entre <math>\;D'\;</math> et <math>\;C=D=E=F\;</math> ainsi que celle entre <math>\;C=D=E=F\;</math> et <math>\;D''</math>, en deux résistances <math>\;r\;</math> montées en <math>\;\parallel</math>, chaque résistance <math>\;r\;</math> se retrouvant de part et d'autre de l'axe de symétrie après dédoublement.</ref> et comme ces courts-circuits n'étaient traversés par aucun courant ils pouvaient être supprimés sans modifier la répartition des courants <math>\;\ldots</math>}} == Résistances équivalentes, suivant les bornes considérées, d'un conducteur cubique invariant par symétrie ou antisymétrie planes électriques == [[File:Réseau cubique de fils métalliques.png|thumb|Schéma d'un réseau de fils métalliques en forme cubique, chaque côté étant de même résistance <math>\;r</math>]] {{Al|5}}Un réseau électrique de forme cubique dont chaque côté est un fil métallique de même résistance <math>\;r\;</math> <math>\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)\;</math> peut être alimenté de trois manières différentes : * entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>, * entre <math>\;A\;</math> et <math>\;C\;</math> ou * entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D</math>. {{Al|5}}On se propose d'évaluer, dans chaque cas, la résistance équivalente du réseau après utilisation de ses invariances électriques. === Résistance du réseau cubique entre A et D === {{Al|5}}Rechercher les plans de symétrie et d'antisymétrie de la répartition des courants, puis {{Al|5}}en déduire la résistance <math>\;\mathcal{R}_{AD}\;</math> du réseau cubique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D\;</math> par la méthode la mieux adaptée. {{Solution|contenu = [[File:Réseau cubique de fils métalliques entre deux sommets voisins d'une même face 1 a.png|left|frame|caption|Plan de symétrie <math>\;ADBE\;</math> du réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D\;</math> <math>\big(</math>deux sommets voisins d'une même face<math>\big)</math>]] [[File:Réseau cubique de fils métalliques entre deux sommets voisins d'une même face 1 c.png|right|frame|caption|2^ème schéma équivalent par réduction des associations série et <math>\;\parallel\;</math> de résistances du 1^er schéma équivalent obtenu par court-circuit des points symétriques relativement au plan de symétrie <math>\;ADBE\;</math> du réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D\;</math> <math>\big(</math>deux sommets voisins d'une même face<math>\big)</math>]] [[File:Réseau cubique de fils métalliques entre deux sommets voisins d'une même face 1 b.png|center|frame|caption|1^er schéma équivalent par planification du réseau en court-circuitant les points symétriques relativement au plan de symétrie <math>\;ADBE\;</math> du réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D\;</math> <math>\big(</math>deux sommets voisins d'une même face<math>\big)</math>]] {{clr}} {{Al|5}}Dans le schéma ci-dessus à gauche, on remarque que la distribution des courants traversant le réseau cubique de fils métalliques entre les deux points <math>\;A\;</math> et <math>\;D\;</math> <math>\big(</math>sommets voisins d'une même face<math>\big)\;</math> est invariante par symétrie plane relativement au plan <math>\;AEBD\;</math> <math>\big(</math>représenté en rouge<math>\big)\;</math> mais qu'il n'y a pas de plan d'antisymétrie simple<ref> C.-à-d. ne nécessitant aucune modification des branches dans le réseau d'origine.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans le schéma ci-dessus à gauche, }}on en déduit que les points symétriques par rapport au P.S<ref> Plan de symétrie.</ref>. <math>\;\big(</math>représentés de même couleur<math>\big)\;</math> sont au même potentiel <math>\;V_F = V_G\;</math> d'une part et <math>\;V_C = V_H\;</math> d'autre part, ce qui permet de les relier par un court-circuit sans modifier la répartition des courants d'où le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre<ref> En plus on constate que cette opération permet de planifier le schéma équivalent du réseau.</ref> ; {{Al|5}}sur le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre, on observe entre <math>\;G=F\;</math> et <math>\;E\;</math> une association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;r\;</math> d'où <math>\;R_{G=F-E} = \dfrac{r}{2}</math>, de même <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre, on observe }}entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C=H\;</math> deux résistances <math>\;r\;</math> montées en <math>\;\parallel\;</math> d'où <math>\;R_{B-C=H} = \dfrac{r}{2}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre, }}ces deux résistances équivalentes étant en série avec une 3^ème résistance <math>\;r\;</math> entre <math>\;G=F\;</math> et <math>\;C=H\;</math> soit <math>\;R_{G=F-E-B-C=H} = 2\; \dfrac{r}{2} + r = 2\; r</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre, }}cette dernière résistance équivalente <math>\;R_{G=F-E-B-C=H} = 2\; r\;</math> étant montée en <math>\;\parallel\;</math> sur une association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;r\;</math> équivalente à une résistance <math>\;\dfrac{r}{2}</math>, on en déduit <math>\;R_{G=F-C=H,\,\text{total}} = \dfrac{2\;r\;\dfrac{r}{2}}{2\;r + \dfrac{r}{2}} = \dfrac{2\; r}{5}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|sur le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre, }}entre <math>\;A\;</math> et <math>\;G=F\;</math> on a une association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;r\;</math> d'où <math>\;R_{A-G=F} = \dfrac{r}{2}</math>, de même <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre, }}entre <math>\;C=H\;</math> et <math>\;D\;</math> on a deux résistances <math>\;r\;</math> montées en <math>\;\parallel\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_{C=H-D} = \dfrac{r}{2}\;</math> d'où le 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite ; {{Al|5}}Dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, on a une association série entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D\;</math> passant par <math>\;G=F\;</math> et <math>\;C=H\;</math> d'où une résistance équivalente <math>\;R_{A-G=F-C=H-D} = 2\;\dfrac{r}{2} + \dfrac{2\; r}{5} = \dfrac{7\; r}{5}</math>, résistance équivalente montée en <math>\;\parallel\;</math> sur une autre résistance <math>\;r</math>, soit finalement une résistance équivalence au réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D\;</math> se calculant selon <math>\;\mathcal{R}_{AD} = \dfrac{r\; \dfrac{7\; r}{5}}{r + \dfrac{7\; r}{5}}\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{R}_{AD} = \dfrac{7\;r}{12}\;</math>».</center>}} === Résistance du réseau cubique entre A et C === {{Al|5}}Rechercher les plans de symétrie et d'antisymétrie de la répartition des courants, puis {{Al|5}}en déduire la résistance <math>\;\mathcal{R}_{AC}\;</math> du réseau cubique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;C\;</math> par la méthode la mieux adaptée. {{Solution|contenu = [[File:Réseau cubique de fils métalliques entre deux sommets en diagonale d'une même face 2 a.png|left|frame|caption|Plans de symétrie <math>\;ACBF\;</math> et d'antisymétrie <math>\;DHEG\;</math> du réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;C\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>deux}} sommets en diagonale d'une même face<math>\big)</math>]] [[File:Réseau cubique de fils métalliques entre deux sommets en diagonale d'une même face 2 b.png|right|frame|caption|Schéma équivalent en supprimant les branches situées dans le plan d'antisymétrie <math>\;DHEG\;</math> du réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>deux sommets en diagonale d'une même face<math>\big)</math>]] {{clr}} {{Al|5}}Dans le schéma ci-dessus à gauche, on remarque que la distribution des courants traversant le réseau cubique de fils métalliques entre les deux points <math>\;A\;</math> et <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>sommets en diagonale d'une même face<math>\big)\;</math> est invariante par symétrie plane relativement au plan <math>\;ACBF\;</math> <math>\big(</math>représenté en rouge<math>\big)\;</math> et par antisymétrie plane par rapport au plan <math>\;DHEG\;</math> <math>\big(</math>représenté en bleu dans le même schéma<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans le schéma ci-dessus à gauche, }}utilisant l'invariance de la répartition des courants par antisymétrie plane<ref> Conduisant à une résolution plus rapide à mon sens.</ref> relativement au plan <math>\;DHEG\;</math> et sachant que le courant en tout point de ce plan d'antisymétrie doit circuler perpendiculairement à ce plan, nous pouvons affirmer que les branches <math>\;DH\;</math> et <math>\;EG\;</math> situées dans ce plan n'étant parcourues par aucun courant<ref> En effet en chaque point d'une branche située dans le plan d'antisymétrie le courant doit être, par construction, dans ce plan et, par propriété de l'antisymétrie, <math>\;\perp\;</math> au plan d'où la nullité de son intensité.</ref> peuvent être supprimées sans modifier la répartition des courants dans le réseau, ce qui donne le schéma équivalent ci-dessus à droite ; {{Al|5}}sur le schéma équivalent ci-dessus à droite, on observe entre <math>\;F\;</math> et <math>\;B\;</math> passant par <math>\;E\;</math> une association série de deux résistances <math>\;r\;</math> d'où <math>\;R_{F-E-B} = 2\;r</math>, de même <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur le schéma équivalent ci-dessus à droite, on observe }}entre <math>\;F\;</math> et <math>\;B\;</math> passant par <math>\;H\;</math> deux résistances <math>\;r\;</math> montées en série d'où <math>\;R_{F-H-B} = 2\;r</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur le schéma équivalent ci-dessus à droite, }}ces deux résistances équivalentes étant en association <math>\;\parallel\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_{F-B,\,\text{total}} = \dfrac{2\;r}{2} = r</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur le schéma équivalent ci-dessus à droite, }}cette dernière résistance équivalente <math>\;R_{F-B,\,\text{total}} = r\;</math> étant, entre <math>\;A\;</math> et <math>\;C</math>, montée en série avec deux résistances <math>\;r</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_{A-F-B-C} = r + 2\; r = 3\;r</math> ; de même {{Al|5}}{{Transparent|sur le schéma équivalent ci-dessus à droite, }}on observe entre <math>\;A\;</math> et <math>\;C\;</math> passant par <math>\;G\;</math> une association série de deux résistances <math>\;r\;</math> d'où <math>\;R_{A-G-C} = 2\;r\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur le schéma équivalent ci-dessus à droite, on observe }}entre <math>\;A\;</math> et <math>\;C\;</math> passant par <math>\;D\;</math> deux résistances <math>\;r\;</math> montées en série d'où <math>\;R_{A-D-C} = 2\;r</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur le schéma équivalent ci-dessus à droite, }}ces deux résistances équivalentes étant en association <math>\;\parallel\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_{A-C,\,\text{total inf}} = \dfrac{2\;r}{2} = r</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur le schéma équivalent ci-dessus à droite, }}cette dernière résistance équivalente <math>\;R_{A-C,\,\text{total inf}} = r\;</math> étant montée en <math>\;\parallel\;</math> avec la précédente <math>\;R_{A-F-B-C} = 3\;r</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{R}_{AC} = \dfrac{r\; 3\;r}{r + 3\;r}\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{R}_{AC} = \dfrac{3\;r}{4}\;</math>».</center>}} === Résistance du réseau cubique entre A et B === {{Al|5}}On pourrait procéder de même mais ce serait plus laborieux ; il est en fait judicieux {{Al|5}}de constater l'invariance électrique du réseau par rotation autour de <math>\;AB\;</math> d'un angle à préciser où <math>\; \begin{cases} D \rightarrow G \rightarrow F \rightarrow D \\ C \rightarrow E \rightarrow H \rightarrow C \end{cases}\; </math> puis, {{Al|5}}de simplifier le réseau par courts-circuits adaptés, {{Al|5}}pour en déduire la résistance <math>\;\mathcal{R}_{AB}\;</math> du réseau cubique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>. {{Solution|contenu = [[File:Réseau cubique de fils métalliques entre deux sommets en diagonale 3 a.png|left|frame|caption|Invariance par rotation autour de l'axe <math>\;AB\;</math> d'angle <math>\;120\text{°}\;</math> du réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> <math>\big(</math>deux sommets en diagonale du cube<math>\big)</math>]] [[File:Réseau cubique de fils métalliques entre deux sommets en diagonale 3 b.png|right|frame|caption|Schéma équivalent en court-circuitant les points se déduisant les uns des autres par rotation d'axe <math>\;AB\;</math> et d'angle <math>\;120\text{°}\;</math> du réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> <math>\big(</math>deux sommets en diagonale du cube<math>\big)</math>]] {{clr}} {{Al|5}}Sur le schéma ci-dessus à gauche, on constate que la distribution des courants est invariante par rotation autour de l'axe <math>\;AB\;</math> d'angle <math>\;120\, \text{°}\;</math><ref> Angle correspondant à <math>\;\dfrac{1}{3}\;</math> de tour, en effet on réalise * une 1^ère rotation autour de <math>\;AB\;</math> d'angle <math>\;\alpha\;</math> qui transforme <math>\;D\;</math> en <math>\;G</math>, <math>\;G\;</math> en <math>\;F\;</math> et <math>\;F\;</math> en <math>\;D\;</math> et aussi <math>\;C\;</math> en <math>\;E</math>, <math>\;E\;</math> en <math>\;H\;</math> et <math>\;H\;</math> en <math>\;C</math>, puis * une 2^ème de même angle <math>\;\alpha\;</math> <math>\ldots\;</math> au terme de cette 2^ème rotation on a <math>\;D\, \rightarrow\, G\, \rightarrow\, F</math>, <math>\;G\, \rightarrow\, F\, \rightarrow\, D</math>, <math>\;F\, \rightarrow\, D \rightarrow\, G</math>, <math>\;C\, \rightarrow\, E\, \rightarrow\, H</math>, <math>\;E\, \rightarrow\, H\, \rightarrow\, C\;</math> et <math>\;H\, \rightarrow\, C\, \rightarrow\, E\;</math> <math>\ldots</math> et enfin * une 3^ème de même angle <math>\;\alpha\;</math> <math>\ldots\;</math> au terme de cette 3^ème rotation on a <math>\;D\, \rightarrow\, G\, \rightarrow\, F\, \rightarrow\, D\;</math> c.-à-d. un tour complet et de même pour les cinq autres points <math>\;\ldots\;</math> {{Al|3}}le cube ayant fait un tour complet, cela signifie que <math>\;3\; \alpha = 1\;\text{tour} = 360\, \text{°}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha = \dfrac{1}{3}\;\text{tour} = 120\, \text{°}</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Sur le schéma ci-dessus à gauche, }}les courants circulant dans les branches qui se déduisent les unes des autres par rotation autour de l'axe <math>\;AB\;</math> d'angle <math>\;120\, \text{°}\;</math> <math>\big(</math>par exemple <math>\;AD</math>, <math>\;AG\;</math> et <math>\;AF\;</math> ou <math>\;CB</math>, <math>\;EB\;</math> et <math>\;HB\big)\;</math> étant de même intensité et les branches correspondantes étant de même résistance, la tension à leurs bornes est la même <math>\;\big(</math>sur les exemples <math>\;u_{AD} = u_{AG} = u_{AF}\;</math> ou <math>\;u_{CB} = u_{EB} = u_{HB}\big)\;</math> et comme il y a une borne commune les autres bornes sont au même potentiel <math>\;\big(</math>soit <math>\;V_A - V_D = V_A - V_G = V_A - V_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_D = V_G = V_F\;</math> ou encore <math>\;V_C - V_B = V_E - V_B = V_H - V_B\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_C = V_E = V_H\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Sur le schéma ci-dessus à gauche, }}les points qui se déduisent les uns des autres par rotation autour de l'axe <math>\;AB\;</math> d'angle <math>\;120\, \text{°}\;</math> étant au même potentiel peuvent être courts-circuités sans modifier la répartition des courants circulant dans le réseau d'où le schéma équivalent ci-dessus à droite ; {{Al|5}}dans ce schéma équivalent ci-dessus à droite on observe entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D = G = F\;</math> une association <math>\;\parallel\;</math> de trois résistances <math>\;r\;</math> d'où la résistance équivalente <math>\;R_{A-D=G=F} = \dfrac{r}{3}\;</math> <ref name="association de n mêmes résistances"> La résistance équivalente de <math>\;n\;</math> mêmes résistances <math>\;r\;</math> est <math>\;\dfrac{r}{n}</math>, ce résultat se justifiant par évaluation de la conductance équivalente <math>\;G_{\text{éq}} = n\;g = \dfrac{n}{r}\;</math> d'où, en inversant pour obtenir la résistance équivalente, le résultat précédemment énoncé.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce schéma équivalent ci-dessus à droite on observe }}entre <math>\;C = E = H\;</math> et <math>\;B\;</math> une association <math>\;\parallel\;</math> de trois résistances <math>\;r\;</math> d'où la résistance équivalente <math>\;R_{C=E=H-B} = \dfrac{r}{3}\;</math><ref name="association de n mêmes résistances" /> et enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce schéma équivalent ci-dessus à droite on observe }}entre <math>\;D = G = F\;</math> et <math>\;C = E = H\;</math> une association <math>\;\parallel\;</math> de six résistances <math>\;r\;</math> d'où la résistance équivalente <math>\;R_{D=G=F-C=E=H} = \dfrac{r}{6}\;</math><ref name="association de n mêmes résistances" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|dans ce schéma équivalent ci-dessus à droite }}ces trois résistances équivalentes étant montées en série entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> on en déduit <math>\;\mathcal{R}_{AB} = 2\;\dfrac{r}{3} + \dfrac{r}{6}\;</math> d'où <center>«<math>\;\mathcal{R}_{AB} = \dfrac{5\;r}{6}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Les invariances par symétrie ou antisymétrie planes ou axiales étant de très loin les plus utilisées dans l'évaluation d'une résistance équivalente et celle par rotation très peu fréquente, on aurait pu ne pas la remarquer dans l'exemple précédent ; on aurait alors utilisé les invariances par symétrie ou antisymétrie planes de la façon précisée ci-dessous : <gallery mode="packed" heights="220px"> Réseau cubique de fils métalliques entre deux sommets en diagonale 4 a.png|<div style="text-align: left;">Invariance par symétrie plane par rapport au plan <math>\;ACBF\;</math> du réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> <math>\big(</math>deux sommets en diagonale du cube<math>\big)</math></div> Réseau cubique de fils métalliques entre deux sommets en diagonale 4 b.png|<div style="text-align: left;">1^er schéma équivalent utilisant le court-circuitage des points symétriques par rapport au plan <math>\;ACBF\;</math> du réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>deux}} sommets en diagonale du cube<math>\big)</math></div> Réseau cubique de fils métalliques entre deux sommets en diagonale 4 c.png|<div style="text-align: left;">2^ème schéma équivalent utilisant la réduction des associations série et <math>\;\parallel\;</math> des résistances du 1^er schéma équivalent au réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> <math>\big(</math>deux sommets en diagonale du cube<math>\big)</math></div> </gallery> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}sur le schéma ci-dessus à gauche, on observe une symétrie plane relativement au plan <math>\;ACBF\;</math><ref> D'une part on obtiendrait une résolution analogue en considérant l'une ou l'autre des deux autres symétries planes relativement au plan <math>\;AHBG\;</math> ou au plan <math>\;AEBD</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part on constate qu'il n'y a pas de plan d'antisymétrie simple <math>\;\big(</math>c.-à-d. ne nécessitant pas d'introduire de points supplémentaires différents des sommets<math>\big)</math>.</ref> de la répartition des courants circulant dans le réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>, les points symétriques par rapport à ce plan <math>\;ACBF\;</math> <math>\big(</math>à savoir <math>\;D\;</math> et <math>\;G\;</math> d'une part ainsi que <math>\;H\;</math> et <math>\;E\;</math> d'autre part<math>\big)\;</math> étant respectivement au même potentiel peuvent être courts-circuités sans modifier la répartition des courants d'où 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}dans le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre, on observe entre <math>\;F\;</math> et <math>\;H = E\;</math> une association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;r\;</math> de résistance équivalente <math>\;R_{F-H=E} = \dfrac{r}{2}\;</math> en série avec une autre résistance <math>\;r\;</math> entre <math>\;A\;</math> et <math>\;F</math>, donnant au final entre <math>\;A\;</math> et <math>\;H = E\;</math> passant par <math>\;F\;</math> une résistance équivalente <math>\;R_{A-F-H=E} = r + \dfrac{r}{2} = \dfrac{3\;r}{2}</math>, de même <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre, on observe }}entre <math>\;G = D\;</math> et <math>\;C\;</math> une association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;r\;</math> de résistance équivalente <math>\;R_{C-G=D} = \dfrac{r}{2}\;</math> en série avec une autre résistance <math>\;r\;</math> entre <math>\;C\;</math> et <math>\;B</math>, donnant au final entre <math>\;G = D\;</math> et <math>\;B\;</math> passant par <math>\;C\;</math> une résistance équivalente <math>\;R_{G=D-C-B} = \dfrac{r}{2} + r = \dfrac{3\;r}{2}</math>, enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans le 1^er schéma équivalent ci-dessus au centre, on observe }}entre <math>\;A\;</math> et <math>\;G = D\;</math> ou entre <math>\;G = D\;</math> et <math>\;H = E\;</math> ou encore entre <math>\;H = E\;</math> et <math>\;B</math>, une association <math>\;\parallel\;</math> de deux résistances <math>\;r</math>, respectivement de résistance équivalente <math>\;R_{A-G=D} = R_{G=D-H=E} = R_{H=E-B} = \dfrac{r}{2}\;</math> d'où le 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, on observe la présence d'associations triangle ou étoile<ref> Par exemple une association triangle entre <math>\;A</math>, <math>\;H = E\;</math> et <math>\;G = D\;</math> ou entre <math>\;H = E</math>, <math>\;G = D\;</math> et <math>\;B</math>, voir d'autres exemples d'associations triangle dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Autre_exemple_:_détermination_de_la_résistance_équivalente_d'un_réseau_métallique|autre exemple : détermination de la résistance équivalente d'un réseau métallique]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Par exemple }}une association étoile entre <math>\;A</math>, <math>\;H = E\;</math> et <math>\;B\;</math> de centre <math>\;G = D\;</math> ou entre <math>\;A</math>, <math>\;G = D\;</math> et <math>\;B\;</math> de centre <math>\;H = E</math>, voir d'autres exemples d'associations étoile dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Autre_exemple_:_détermination_de_la_résistance_équivalente_d'un_réseau_métallique|autre exemple : détermination de la résistance équivalente d'un réseau métallique]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ne permettant pas la réduction des résistances en une résistance équivalente, il serait souhaitable, si cela était possible, de trouver de nouvelles invariances par symétrie ou antisymétrie axiales sur ce 2^ème schéma équivalent mais <math>\;\ldots\;</math> il n'y en a aucune ; sans autre invariance, on imposerait un courant d'intensité <math>\;I\;</math> traversant le réseau de <math>\;A\;</math> vers <math>\;B\;</math> dans le but de déterminer la tension <math>\;U_{AB}\;</math> en ses bornes en fonction de <math>\;I</math>, ce qui conduirait à la résolution d'un système linéaire de <math>\;5\;</math> équations aux <math>\;5\;</math> inconnues représentant les intensités de courant circulant dans les <math>\;5\;</math> branches mais <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, }}si on appelle <math>\;O\;</math> le milieu électrique de la branche <math>\;H=E-G=D\;</math><ref> C.-à-d. tel que les résistances électriques allant de ce point à chacune des bornes de cette branche soient les mêmes.</ref> on observe une invariance par antisymétrie centrale de centre <math>\;O\;</math><ref> Ce qui est évident pour la branche <math>\;H=E-G=D\;</math> puisque le courant circulant dans <math>\;H=E-O\;</math> est de même intensité que celui circulant dans <math>\;O-G=D\;</math> <math>\big(</math>correspondant effectivement à une antisymétrie centrale car une symétrie centrale aurait inversé le sens<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce qui est évident }}entre <math>\;A\;</math> et <math>\;H=E\;</math> le courant circule de <math>\;A\;</math> vers <math>\;H=E\;</math> en traversant une résistance <math>\;\dfrac{3\;r}{2}</math>, de même dans la branche entre <math>\;G=D\;</math> et <math>\;B\;</math> le courant circule de <math>\;G=D\;</math> vers <math>\;B\;</math> en traversant une même résistance <math>\;\dfrac{3\;r}{2}</math>, ceci conduisant à une même valeur d'intensité des courants <math>\;\big(</math>correspondant là encore à une antisymétrie centrale car une symétrie centrale aurait inversé le sens<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce qui est évident }}entre <math>\;A\;</math> et <math>\;G=D\;</math> le courant circule de <math>\;A\;</math> vers <math>\;G=D\;</math> en traversant une résistance <math>\;\dfrac{r}{2}</math>, de même dans la branche entre <math>\;H=E\;</math> et <math>\;B\;</math> le courant circule de <math>\;H=E\;</math> vers <math>\;B\;</math> en traversant une même résistance <math>\;\dfrac{r}{2}</math>, ceci conduisant là encore à une même valeur d'intensité des courants <math>\;\big(</math>correspondant toujours à une antisymétrie centrale car une symétrie centrale aurait inversé le sens<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, }}cette nouvelle invariance par antisymétrie centrale du 2^ème schéma équivalent réduit le nombre d'inconnues de <math>\;5\;</math> à <math>\;3\;</math> qui sont <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, }}<math>\;\succ\;</math>l'intensité <math>\;i\;</math> du courant traversant la branche <math>\;H=E-G=D\;</math> dont le sens <math>\;+\;</math> est choisi de <math>\;G=D\;</math> à <math>\;H=E\;</math> <ref> Choisi dans ce sens pour obtenir une intensité positive, la résistance <math>\;R_{A-G=D}\;</math> étant inférieure à celle <math>\;R_{A-H=E}\;</math> le courant sortant de <math>\;A\;</math> aura une meilleure conduction dans <math>\;R_{A-G=D}\;</math> que dans <math>\;R_{A-H=E}\;</math> alors que la situation est inversée pour entrer dans <math>\;B\;</math> ce qui nécessite donc que le courant dans <math>\;H=E-G=D\;</math> remonte de <math>\;G=D\;</math> vers <math>\;H=E</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, }}<math>\;\succ\;</math>l'intensité <math>\;i_1\;</math> du courant traversant la branche <math>\;A-H=E\;</math> et <math>\;G=D-B\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans ce 2^ème schéma équivalent ci-dessus à droite, }}<math>\;\succ\;</math>l'intensité <math>\;i_2\;</math> du courant traversant la branche <math>\;A-G=D\;</math> et <math>\;H=E-B</math> ; [[File:Réseau cubique de fils métalliques entre deux sommets en diagonale 4 d.png|thumb|300px|3^ème schéma équivalent utilisant l'antisymétrie centrale relativement au centre <math>\;O\;</math> du 2^ème schéma équivalent au réseau cubique de fils métalliques entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> <math>\big(</math>deux sommets en diagonale du cube<math>\big)</math>]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le système des <math>\;3\;</math> équations linéaires aux <math>\;3\;</math> inconnues <math>\;\left(i,\,i_1,\,i_2\right)\;</math> s'obtient en écrivant deux équations de nœud et une équation de maille<ref> Dans la mesure où on a utilisé l'antisymétrie centrale les deux équations de mailles sont devenues identiques.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le système des <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> équations linéaires aux <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> inconnues <math>\;\color{transparent}{\left(i,\,i_1,\,i_2\right)}\;</math> }}<math>\succ\;</math>1^ère équation de nœud <math>\;A</math> : «<math>\;i_1 + i_2 = I\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le système des <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> équations linéaires aux <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> inconnues <math>\;\color{transparent}{\left(i,\,i_1,\,i_2\right)}\;</math> }}<math>\succ\;</math>2^ème équation de nœud <math>\;G=D</math> : «<math>\;i_2 = i + i_1\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le système des <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> équations linéaires aux <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> inconnues <math>\;\color{transparent}{\left(i,\,i_1,\,i_2\right)}\;</math> }}<math>\succ\;</math>équation de maille <math>\;\left(\mathfrak{a}\right)</math> : «<math>\;\dfrac{r}{2}\;i_2 - \dfrac{3\;r}{2}\;i_1 + \dfrac{r}{2}\;i = 0\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour déterminer la tension «<math>\;U_{AB} = U\;</math>» on peut utiliser les deux branches inférieures <math>\;A-G=D\;</math> et <math>\;G=D-B\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : pour déterminer la tension }}«<math>\;U = \dfrac{r}{2}\;i_2 + \dfrac{3\;r}{2}\;i_1\;</math>» ce qui nécessite de déterminer les deux intensités <math>\;\left(i_1,\,i_2\right)\;</math><ref> On procède à la résolution de ce système des <math>\;3\;</math> équations linéaires aux <math>\;3\;</math> inconnues <math>\;\left(i,\,i_1,\,i_2\right)\;</math> par substitution <math>\;\big(</math>méthode la plus rapide car seulement deux inconnues nous intéressent<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_par_substitution_2|résolution par substitution]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> en éliminant <math>\;i\;</math> par la 2^ème équation de nœud «<math>\;i = i_2 - i_1\;</math>» que l'on reporte dans l'équation de maille <math>\;\left(\mathfrak{a}\right)\;</math> <math>\;\dfrac{r}{2}\;i_2 - \dfrac{3\;r}{2}\;i_1 + \dfrac{r}{2} \left( i_2 - i_1 \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;i_2 - 2\;i_1 = 0\;</math>» soit finalement le système des <math>\;2\;</math> équations linéaires aux <math>\;2\;</math> inconnues <math>\;\left(i_1,\,i_2\right)\;</math> à résoudre «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} i_2 + i_1 = I\;\;\left(\mathfrak{1}\right)\\ i_2 - 2\;i_1 = 0\;\;\left(\mathfrak{2}\right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : pour déterminer la tension }}on tire l'expression de <math>\;i_2\;</math> en formant <math>\;2\;\left(\mathfrak{1}\right) + \left(\mathfrak{2}\right)\;</math><ref name="résolution par combinaison linéaire"> Résolution par combinaison linéaire voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_par_combinaison_(linéaire)|résolution par combinaison (linéaire)]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit <math>\;3\;i_2 = 2\;I\;</math> ou «<math>\;i_2 = \dfrac{2\;I}{3}\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : pour déterminer la tension on tire }}l'expression de <math>\;i_1\;</math> en utilisant <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> selon «<math>\;i_1 = \dfrac{i_2}{2} = \dfrac{I}{3}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}finalement on en déduit <math>\;U = \dfrac{r}{2}\;i_2 + \dfrac{3\;r}{2}\;i_1\;</math> ou <math>\;U = \dfrac{r}{2}\;\dfrac{2\;I}{3} + \dfrac{3\;r}{2}\;\dfrac{I}{3} = \left( \dfrac{r}{3} + \dfrac{r}{2} \right) I = \dfrac{5\;r}{6}\;I\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{R}_{AB} = \dfrac{U}{I} = \dfrac{5\;r}{6}\;</math>»<ref> On vérifie qu'on obtient bien le même résultat que celui du corps de la solution de cette question utilisant l'invariance par rotation de la distribution des courants plus haut dans cet exercice.</ref>.}} == Lois de Kirchhoff, utilisation des symétries électriques == [[File:Réseau symétrique à 5 nœuds et 8 branches.png|thumb|300px|Schéma d'un circuit fermé à <math>\;5\;</math> nœuds et <math>\;8\;</math> branches possédant une symétrie axiale]] {{Al|5}}Ci-contre un circuit fermé à <math>\;5\;</math> nœuds et <math>\;8\;</math> branches possédant une symétrie axiale. === Expression des intensités I et i === {{Al|5}}Après avoir simplifié le circuit ci-contre par étude des invariances de la répartition des courants par symétrie axiale, trouver les expressions des intensités <math>\;I\;</math> et <math>\;i\;</math> en fonction de <math>\;e\;</math> et <math>\;r</math>. <br><br><br> {{Solution|contenu =[[File:Réseau symétrique à 5 nœuds et 8 branches - ter.png|right|thumb|400px|2^ème schéma équivalent utilisant la réduction des associations série des résistances du 1^er schéma équivalent d'un circuit fermé à <math>\;5\;</math> nœuds et <math>\;8\;</math> branches après utilisation de la symétrie axiale par rapport à l'axe <math>\;CMN</math>]] <br>[[File:Réseau symétrique à 5 nœuds et 8 branches - bis.png|left|thumb|450px|1^er schéma équivalent d'un circuit fermé à <math>\;5\;</math> nœuds et <math>\;8\;</math> branches après utilisation de la symétrie axiale par rapport à l'axe <math>\;CMN\;</math> par court-circuit des points symétriques <math>\;F\;</math> et <math>\;G\;</math> ainsi que <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>]] {{Al|5}}L'axe <math>\;NMC\;</math> du schéma ci-dessus est un axe de symétrie des courants, on en déduit que les points symétriques sont au même potentiel c'est-à-dire <math>\;V_A = V_B\;</math> et <math>\;V_F = V_G</math> ; on peut donc les relier par un court-circuit sans changer la répartition des courants et on obtient le schéma équivalent ci-contre à gauche avec <math>\;r \parallel r = \dfrac{r}{2}</math> ; {{Al|5}}en associant <math>\;\big(</math>presque toutes<math>\big)\;</math> les résistances montées en série<ref> On aurait pu également remarquer que les résistances <math>\;R_{A=B-N}\;</math> et <math>\;R_{N-M}\;</math> étant montées en série sont réductibles en une seule résistance mais cela n'a pas été fait en prévision de la 2^ème question.</ref>, on transforme le circuit simplifié en celui représenté ci-contre à droite dans lequel on appliquera les lois de Kirchhoff<ref name="Kirchhoff"> '''[[w:Gustav_Kirchhoff|Gustav Robert Kirchhoff]] (1824 – 1887)''' est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande <math>\;\big(</math>prussienne<math>\big)\;</math> du XIX^ème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec '''[[w:Robert_Whilhelm_Bunsen|Robert Whilhelm Bunsen]] (1811 - 1899)''' chimiste allemand, de la [[w:Spectroscopie|spectroscopie]] qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.</ref> pour déterminer la valeur des intensités des deux courants cherchées : {{Al|5}}ayant deux inconnues <math>\;\left(I,\,i\right)\;</math> à déterminer mais trois inconnues effectives <math>\;\left(I,\,i,\,i_{A=B-M}\right)</math>, il faut trois équations indépendantes parmi lesquelles on se servira de l'une d'entre elles pour éliminer l'inconnue <math>\;i_{A=B-M}\;</math><ref name="résolution par substitution"> On procède à la résolution de ce système des <math>\;3\;</math> équations linéaires aux <math>\;3\;</math> inconnues <math>\;\left(i,\,I,\,i_{A=B-M}\right)\;</math> par substitution <math>\;\big(</math>méthode la plus rapide car seulement deux inconnues nous intéressent<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_par_substitution_2|résolution par substitution]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> qui ne sous intéresse pas : * équation du nœud <math>\;M</math> : «<math>\;i_{A=B-M} + i = I\; \Rightarrow\; i_{A=B-M} = I - i\;</math>»<ref name="résolution par substitution" />, * équation de maille <math>\;\left(\mathfrak{1}\right)</math> : <math>\;\dfrac{r}{2}\; i_{A=B-M} + 2\; r\; I - e = 0\;</math> dans laquelle on reporte l'expression de <math>\;i_{A=B-M}\;</math> précédemment évaluée<ref name="résolution par substitution" /> soit <math>\;\dfrac{r}{2}\; (I - i) + 2\; r\; I - e = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{5\; r}{2}\; I - \dfrac{r}{2}\; i = e\;</math>» et * équation de maille <math>\;\left(\mathfrak{2}\right)</math> : <math>\;\dfrac{3\; r}{2}\; i - \dfrac{r}{2}\; i_{A=B-M} = 0 \;</math> dans laquelle on reporte l'expression de <math>\;i_{A=B-M}\;</math> précédemment évaluée<ref name="résolution par substitution" /> soit <math>\;\dfrac{3\; r}{2}\; i - \dfrac{r}{2}\; (I - i) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{r}{2}\; I - 2\;r\; i = 0\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient ainsi le système de deux équations aux deux inconnues <math>\;\left(I,\,i\right)\;</math> à résoudre «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} 5\; I - i &=& \dfrac{2\; e}{r} &\left(\mathfrak{1}'\right)\\ I - 4\;i &=& 0 &\left(\mathfrak{2}'\right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» soit en formant <math>\;4\;\left(\mathfrak{1}'\right) - \left(\mathfrak{2}'\right)\;</math><ref name="résolution par combinaison linéaire" /> pour éliminer <math>\;i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;19\;I = \dfrac{8\; e}{r}\;</math> ou «<math>\;I = \dfrac{8\; e}{19\;r}\;</math>» puis, en utilisant <math>\;\left(\mathfrak{2}'\right)\;</math> on obtient «<math>\;i = \dfrac{I}{4} = \dfrac{2\; e}{19\;r}\;</math>» ; finalement les intensités des courants cherchées sont <center>«<math>\;I = \dfrac{8\; e}{19\;r}\;</math>» et «<math>\;i = \dfrac{2\; e}{19\;r}\;</math>».</center>}} === Mêmes questions en ajoutant une diode idéale dans la branche MN === {{Al|5}}On dispose entre <math>\;N\;</math> et <math>\;M\;</math> en plus du conducteur ohmique de résistance <math>\;r</math>, d'une diode à jonction idéale<ref> C.-à-d. de tension de seuil <math>\;U_s = 0\;</math> et de résistance dynamique dans le sens passant <math>\;r_d = 0\;</math> ou encore <br>{{Al|3}}se comportant comme un interrupteur ouvert dans le sens bloquant et fermé dans le sens passant.</ref>. {{Al|5}}Déterminer <math>\;I\;</math> dans les deux hypothèses possibles de branchement de cette diode. {{Solution|contenu = [[File:Réseau symétrique à 5 nœuds et 8 branches - tetra.png|left|frame|caption|Schéma d'un circuit fermé à <math>\;5\;</math> nœuds et <math>\;8\;</math> branches possédant une symétrie axiale avec présence d'une diode idéale en polarisation directe sur cet axe]] [[File:Réseau symétrique à 5 nœuds et 8 branches - penta.png|right|frame|caption|Schéma d'un circuit fermé à <math>\;5\;</math> nœuds et <math>\;8\;</math> branches possédant une symétrie axiale avec présence d'une diode idéale en polarisation inverse sur cet axe]] {{Al|5}}Si la diode idéale est montée, entre <math>\;M\;</math> et <math>\;N</math>, en série avec la résistance <math>\;r\;</math> de telle façon qu'elle soit <u>en polarisation directe</u><ref> Une diode est dite en polarisation directe si la tension « réelle » de la borne « pointe du triangle » vers la borne « base du triangle » est positive <math>\;\big(</math>« réelle » signifiant avant idéalisation<math>\big)</math>, le triangle du symbole de la diode précisant le sens possible de conduction de la diode.</ref> comme dans le schéma ci-contre à gauche, <u>elle est passante</u><ref> C.-à-d. qu'elle est conductrice, en effet la diode étant un dipôle passif et la tension « réelle » de la borne « pointe du triangle » vers la borne « base du triangle » étant positive, le courant possible devant être dans le sens des potentiels <math>\;\searrow\;</math> comme dans tout récepteur, est effectivement de la « base du triangle » vers la « pointe du triangle ».</ref> et, dans la mesure où elle est idéale, se comporte comme un court-circuit et par suite les résultats sont les mêmes que dans la question précédente à savoir <center>«<math>\;I = \dfrac{8\;e}{19\;r}\;</math>» et «<math>\;i = \dfrac{2\;e}{19\;r}\;</math>».</center> <br>{{Al|5}}Si la diode idéale est montée, entre <math>\;M\;</math> et <math>\;N</math>, en série avec la résistance <math>\;r\;</math> de telle façon qu'elle soit <u>en polarisation inverse</u><ref> Une diode est dite en polarisation inverse si la tension de la borne « pointe du triangle » vers la borne « base du triangle » est négative, le triangle du symbole de la diode précisant le sens possible de conduction de la diode.</ref> comme dans le schéma ci-contre à droite, <u>elle est bloquante</u><ref> C.-à-d. qu'elle est isolante, en effet la diode étant un dipôle passif et la tension de la borne « base du triangle » vers la borne « pointe du triangle » étant positive, le courant possible devant être dans le sens des potentiels <math>\;\searrow\;</math> comme dans tout récepteur, est en fait de la « pointe du triangle » vers la « base du triangle » c._à_d. le sens non passant.</ref> et se comporte comme un interrupteur ouvert impliquant <center>«<math>\;i = 0\;</math>» ;</center> [[File:Réseau symétrique à 5 nœuds et 8 branches - hexa.png|thumb|400px|1^er schéma équivalent d'un circuit fermé à <math>\;5\;</math> nœuds et <math>\;8\;</math> branches avec présence d'une diode idéale en polarisation inverse sur l'axe de symétrie <math>\;CMN\;</math> après utilisation de cette symétrie par court-circuit des points symétriques <math>\;F\;</math> et <math>\;G\;</math> ainsi que <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>]] {{Al|5}}l'axe des <math>\;CMN\;</math> étant toujours axe de symétrie de la répartition des courants du schéma ci-dessus à droite on en déduit que les points symétriques relativement à cet axe, à savoir <math>\;F\;</math> et <math>\;G\;</math> d'une part et <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> d'autre part, étant deux par deux au même potentiel peuvent être reliés par un court-circuit sans modifier la répartition des courants d'où le 1{{er}} schéma équivalent ci-contre : {{Al|5}}dans le 1^er schéma équivalent ci-contre, le courant traversant la portion de circuit <math>\;NM\;</math> étant d'intensité nulle, il en est de même du courant traversant la résistance <math>\;r \parallel r\;</math> de la portion de circuit <math>\;A=B-N</math>, on peut donc supprimer la branche <math>\;A=B-N-M\;</math> sans modifier la répartition des courants <math>\;\big(</math>d'où un 2^ème schéma équivalent à représenter soi-même<math>\big)</math> ; {{Al|5}}dans le 2^ème schéma équivalent à représenter soi-même, on a un simple circuit série constitué d'une association série de trois résistances <math>\;r \parallel r = \dfrac{r}{2}\;</math> et d'une résistance <math>\;r\;</math> soit une résistance totale <math>\;R_{\text{tot}} = \dfrac{5\; r}{2}\;</math> et d'une source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;e\;</math> d'où, par application de la loi de Pouillet<ref name="Pouillet"> '''[[w:Claude_Pouillet|Claude Servais Mathias Pouillet]] (1790 - 1868)''' physicien et homme politique français, on lui doit essentiellement des travaux portant sur la compressibilité des gaz et sur les lois expérimentales relatives à l'intensité du courant électrique dans un circuit fermé <math>\;\big(</math>il sut préciser la notion de résistance électrique, montrer que les générateurs sont composés d'une force électromotrice pure et d'une résistance intérieure et il établit la loi qui porte son nom<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref name="loi de Pouillet"> La loi de Pouillet s'applique pour déterminer l'intensité du courant circulant dans un circuit série en régime permanent, elle résulte de l'application de la loi des mailles avec choix du sens <math>\;+\;</math> de f.e.m. dans le sens <math>\;+\;</math> du courant <math>\;\big(</math>en accord avec l'algébrisation habituelle<math>\big)\;</math> et s'énonce «<math>\;i = \dfrac{\sum\limits_k e_k}{\sum\limits_l r_l}\;</math>».</ref>, <math>\;I = \dfrac{e}{R_{\text{tot}}}\;</math> soit <center>«<math>\;I = \dfrac{e}{\dfrac{5\;r}{2}} = \dfrac{2\;e}{5\;r}\;</math>».</center>}} == Groupement de piles, optimisation == {{Al|5}}On dispose de <math>\;n\;</math> piles identiques de f.e.m. <math>\;e\;</math> et de résistance interne <math>\;r</math>. On réalise le branchement en parallèle entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> de <math>\;x\;</math> dipôles comprenant chacun <math>\;y\;</math> piles montées en série<ref name="piles en série ou en parallèle"> « Montées en série » au sens particulier réservé aux piles à savoir les piles sont en série au sens de dipôles en série et leurs f.e.m. algébrisées sont de même signe <math>\;\big(</math>quand deux piles sont en série au sens de dipôles en série et que leurs f.e.m. algébrisées sont de signe contraire, les piles sont dites « montées en opposition »<math>\big)</math>.</ref>. {{Al|5}}Déterminer <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> pour que l'intensité du courant circulant dans un conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>, branché entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>, soit maximale dans le cas particulier numérique suivant : <math>\;n = 24</math>, <math>\;e = 1\;V</math>, <math>\;r = 1\;\Omega\;</math> et <math>\;R = 6\;\Omega</math> ; {{Al|5}}préciser la valeur de l'intensité du courant <math>\;I_{\text{max}}\;</math> délivrée par la batterie de piles avec les valeurs de <math>\;x\;</math> et de <math>\;y\;</math> précédemment trouvées quand celle-ci alimente le conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>. {{Solution|contenu = [[File:Groupement de piles alimentant une résistance.png|thumb|450px|Association <math>\;\parallel\;</math> de <math>\;x\;</math> batteries constituées chacune de <math>\;y\;</math> piles <math>\;\left(e,\, r\right)\;</math> soit au total <math>\;n = x \times y\;</math> piles, alimentant une résistance <math>\;R</math>]] {{Al|5}}Nous avons un montage dont la partie génératrice formée de <math>\;x\;</math> batteries montées en <math>\;\parallel</math>, chaque batterie étant constituée de <math>\;y\;</math> piles en série<ref name="piles en série"> Au sens de générateurs en série c.-à-d. que la borne <math>\;-\;</math> de l'une est reliée à la borne <math>\;+\;</math> de la suivante.</ref> <math>\;\big(</math>avec un nombre total <math>\;n = x\;y\;</math> de piles fixé<math>\big)\;</math> alimente un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> et nous nous proposons de chercher la disposition pour que l'intensité du courant traversant cette résistance soit maximale <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}pour réduire le groupement de piles on remplace chaque batterie par son modèle générateur de tension et les piles étant en série, la f.e.m. du modèle est «<math>\;e_{\text{batterie}} = y\; e\;</math>» et la résistance interne «<math>\;r_{\text{batterie}} = y\; r</math>», puis {{Al|5}}{{Transparent|pour réduire le groupement de piles }}on en prend le modèle générateur de courant de façon à réduire l'association <math>\;\parallel\;</math> des <math>\;x\;</math> batteries, le modèle générateur de chaque batterie ayant pour c.e.m. «<math>\;\eta_{\text{batterie}} = \dfrac{e_{\text{batterie}}}{r_{\text{batterie}}} = \dfrac{y\;e}{y\;r} = \dfrac{e}{r}\;</math>» et pour conductance interne «<math>\;g_{\text{batterie}}</math> <math>= \dfrac{1}{r_{\text{batterie}}} = \dfrac{1}{y\; r}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour réduire le groupement de piles }}les <math>\;x\;</math> batteries étant en <math>\;\parallel</math>, le c.e.m. du modèle générateur de courant de l'association est {{Nobr|«<math>\;\eta_{\text{association}}</math>}} <math>= x\; \eta_{\text{batterie}} = \dfrac{x\;e}{r}\;</math>» et la conductance interne «<math>\;g_{\text{association}} = x\;g_{\text{batterie}} = \dfrac{x}{y\; r}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|pour réduire le groupement de piles }}on revient alors au modèle générateur de tension de l'association, la résistance interne étant {{Nobr|«<math>\;r_{\text{association}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{g_{\text{association}}} = \dfrac{y}{x}\;r\;</math>» et la f.e.m. «<math>\;e_{\text{association}} = r_{\text{association}}\; \eta_{\text{association}} = \dfrac{y}{x}\;r\; \dfrac{x\;e}{r} = y\;e\;</math>» ; [[File:Groupement de piles alimentant une résistance - bis.png|thumb|350px|Réduction de l'association <math>\;\parallel\;</math> de <math>\;x\;</math> batteries constituées chacune de <math>\;y\;</math> piles <math>\;\left(e,\, r\right)\;</math> soit au total <math>\;n = x \times y\;</math> piles, pour optimiser l'alimentation d'une résistance <math>\;R</math>]] {{Al|5}}le schéma équivalent du circuit étant représenté ci-contre<ref> les schémas équivalents intermédiaires n'ayant pas été représentés doivent être ajoutés par soi-même.</ref> et correspondant à un circuit série simple, l'intensité <math>\;I\;</math> du courant y circulant s'obtient par loi de Pouillet<ref name="Pouillet" />{{,}}<ref name="loi de Pouillet" /> selon «<math>\;I = \dfrac{e_{\text{association}}}{r_{\text{association}} + R} = \dfrac{y\;e}{\dfrac{y}{x}\;r + R}\;</math>» avec «<math>\;x = \dfrac{n}{y}\;</math>» ce qui permet de réécrire l'intensité en fonction de la seule variable <math>\;y\;</math> selon «<math>\;I = \dfrac{y\;e}{\dfrac{y^2}{n}\;r + R}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;I = \dfrac{y\;n\;e}{y^2\;r + n\;R}\;</math> avec <math>\;n = 24\;</math> et <math>\;y \in \mathbb{N}^{*}\;</math> diviseur de <math>\;24\;</math>»<ref> <math>\;y\;</math> peut donc prendre les valeurs <math>\;1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;12,\;24</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on étend la définition de <math>\;I = I(y)\;</math> à toute valeur de <math>\;y \in \mathbb{R}^{+}\;</math> et <br>{{Al|5}}l'extension de <math>\;I\;</math> sera extrémale pour la valeur <math>\;y_m\;</math> telle que <math>\;\dfrac{d I}{dy}(y_m) = 0\;</math> avec <math>\;\dfrac{d I}{dy}(y) = \dfrac{\left( y^2\;r + n\;R \right) n\;e - \left( 2\;y\;r \right) y\;n\;e}{\left( y^2\;r + n\;R \right)^2} =</math> <math>\dfrac{n\;e \left( n\;R - y^2\;r \right)}{\left( y^2\;r + n\;R \right)^2}\;</math> s'annulant pour <math>\;y_m = \sqrt{\dfrac{n\; R}{r}}\;</math> soit numériquement, avec <math>\;R = 6\;\Omega\;</math> et <math>\;r = 1\; \Omega</math>, la valeur réelle de <math>\;y_m = \sqrt{24 \times 6} = 12\;</math><ref> Il se trouve que cette valeur est entière mais le cas général serait d'obtenir une valeur non entière et par la suite de rechercher la valeur entière parmi les valeurs entières admissibles voisines qui rendrait maximale <math>\;I\;</math> <math>\big(</math>on va en effet vérifier que la valeur extrémale est en fait maximale<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}cette valeur «<math>\;y_m = 12\;</math>»<ref> Ou, dans le cas où la valeur annulant <math>\;\dfrac{d I}{dy}(y)\;</math> n'aurait pas été entière, l'une des deux valeurs entières voisines de la valeur non entière trouvée, valeurs entières à tester pour trouver la valeur rendant maximale <math>\;I(y)</math>.</ref> correspond effectivement à un maximum car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cette valeur «<math>\;\color{transparent}{y_m = 12}\;</math>» }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;y = 0</math>, <math>\;\dfrac{d I}{dy}(0) = \dfrac{e}{R} > 0\;</math> et par suite <math>\;I \nearrow\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ 0\;,\; y_m \right]\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|cette valeur «<math>\;\color{transparent}{y_m = 12}\;</math>» }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;y \rightarrow \infty</math>, <math>\;\dfrac{d I}{dy}(y) \sim -\dfrac{n\; e}{y^2\; r} \rightarrow 0^{-} < 0\;</math> d'où <math>\;I \searrow\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ y_m\;,\; +\infty \right[</math> ; {{Al|5}}en conclusion <math>\;y_m = 12\;</math> et <math>\;x_m = 2</math>, établissant que c'est une association <math>\;\parallel\;</math> de <math>\;2\;</math> batteries de <math>\;12\;</math> piles chacune qui permettra à ce groupement de piles d'optimiser l'intensité du courant traversant le conducteur de résistance <math>\;R</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion }}le modèle générateur de tension du groupement de piles ayant pour f.e.m. <math>\;e_{\text{association}} = 12\; e = 12\; V\;</math> et pour résistance <math>\;r_{\text{association}} = \dfrac{12}{2}\; r = 6\; \Omega</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion }}l'intensité maximale, obtenue par loi de Pouillet<ref name="Pouillet" />{{,}}<ref name="loi de Pouillet" />, vaut donc «<math>\;I_{\text{max}} = \dfrac{12\;V}{6\;\Omega + 6\;\Omega} = 1\;A\;</math>».}} == Réseau dipolaire linéaire actif branché sur un dipôle non linéaire == [[File:Réseau dipolaire linéaire actif fermé sur dipôle non linéaire.png|thumb|300px|Schéma d'un R.D.L.A<ref name="R.D.L.A."> Réseau Dipolaire Linéaire Actif.</ref>. fermé sur un {{Nobr|D.N.L.P<ref name="D.N.L.P."> Dipôle Non Linéaire Passif.</ref>.}} <math>\;\big(</math>plus particulièrement une {{Nobr|varistance<ref name="varistance"> Une varistance <math>\;\big(</math>ou un varistor<math>\big)\;</math> est un conducteur dont la résistance statique <math>\;\dfrac{u}{i}\;</math> dépend de la tension et qui est d'autant meilleur conducteur que la tension est élevée, il est encore appelé V.D.R. acronyme de l'américain « voltage dependant resistor ».</ref><math>\big)</math>}}]] {{Al|5}}On considère le circuit représenté ci-contre, comprenant, outre des dipôles linéaires, une « varistance <math>\;\big(</math>ou V.D.R.<math>\big)\;</math>»<ref name="varistance" /> ; {{Al|5}}on donne l'équation de la caractéristique statique de la « varistance <math>\;\big(</math>ou V.D.R.<math>\big)\;</math>»<ref name="varistance" /> en convention récepteur «<math>\;|i| = 2,5\; 10^{-5}\; u^2\;</math>»<ref> Il s'agit d'un dipôle passif symétrique.</ref> où <math>\;i\;</math> est exprimée en <math>\;A\;</math> et <math>\;u\;</math> en <math>\;V</math>. === Détermination du générateur de Thévenin équivalent au R.D.L.A. NM aux bornes duquel est branchée la varistance === {{Al|5}}Déterminer la f.e.m. <math>\;e_{\text{Th}}\;</math><ref> On rappelle que le sens <math>\;+\;</math> de f.e.m. est toujours choisi dans le sens <math>\;+\;</math> du courant.</ref> et la résistance <math>\;r_{\text{Th}}\;</math> du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin"> '''[[w:Léon_Charles_Thévenin|Léon Charles Thévenin]] (1857 - 1926)''' ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Thévenin|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1883</math>.</ref> équivalent au R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;NM\;</math><ref> C.-à-d. le réseau dipolaire aux bornes duquel est branchée la varistance.</ref> par application de la méthode qui vous semble la plus appropriée puis {{Al|5}}écrire la loi d'Ohm généralisée de ce générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent <math>\;\big(</math>en convention générateur<math>\big)</math>. <br> {{Solution|contenu = [[File:Réseau dipolaire linéaire actif fermé sur dipôle non linéaire - bis.png|thumb|380px|Schéma d'un R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. fermé sur un D.N.L.P<ref name="D.N.L.P." />. <math>\;\big(</math>plus particulièrement une varistance<ref name="varistance" /><math>\big)\;</math> dans le but de modéliser le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. en son générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent]] {{Al|5}}Le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;NM\;</math> délivrant un courant d'intensité <math>\;i\;</math> étant encadré en rouge dans le schéma ci-contre, on cherche sa modélisation en générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" />, la meilleure façon étant, dans la mesure où ils existent, de reconnaître un <math>\;\big(</math>ou plusieurs<math>\big)\;</math> P.D.T<ref name="P.D.T."> Pont(s) Diviseur(s) de Tension.</ref>. ou d'utiliser le théorème de Millman<ref name="Millman"> '''[[w:Jacob_Millman|Jacob Millman]] (1911 - 1991)''' électronicien américain né en Russie à Novohrad-Volynskyï <math>\;\big(</math>de nos jours en Ukraine<math>\big)</math>, devenu américain par suite de l'émigration de ses parents, on lui doit essentiellement le théorème portant son nom.</ref> {{Nobr|<math>\;\big(</math>mais}} ce dernier est à considérer comme complément<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Par reconnaissance de P.D.T.</u><ref name="P.D.T." /> : le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;BA\;</math> constitué de la branche active <math>\;BCA\;</math> et de la branche passive <math>\;BA\;</math> est un P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par une f.e.m. <math>\;e_{BC} = -60\;V\;</math> et de sortie aux bornes de <math>\;BA</math>, dont le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent est <br>{{Al|10}}{{Transparent|Par reconnaissance de P.D.T. : }}<math>\succ\;</math>de f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;e_{\text{Th},\,BA} = -\dfrac{R_{BA}}{R_{CA} + R_{BA}}\;60\;V = -\dfrac{1}{1 + 1}\;60\;V = -30\;V\;</math>»<ref name="générateur de Thévenin équivalent"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Générateur_de_Thévenin_équivalent_au_réseau_dipolaire_«_pont_diviseur_de_tension_alimenté_en_entrée_par_uE(t)_et_vu_des_bornes_de_sortie_»|générateur de Thévenin équivalent au réseau dipolaire “pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_E(t) et vu des bornes de sortie”]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Par reconnaissance de P.D.T. : }}<math>\succ\;</math>de résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;r_{\text{Th},\,BA} = \dfrac{R_{BA}\;R_{CA}}{R_{CA} + R_{BA}} = \dfrac{1 \times 1}{1 + 1}\;k \Omega = 0,5\;k \Omega\;</math>»<ref name="générateur de Thévenin équivalent" /> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|Par reconnaissance de P.D.T. : }}en remplaçant le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;BA\;</math> par son générateur de Thévenin équivalent<ref> Schéma qu'il conviendrait d'ajouter.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Par reconnaissance de P.D.T. : }}on constate, dans le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;NM\;</math> délivrant un courant d'intensité <math>\;i</math>, que <br>{{Al|10}}{{Transparent|Par reconnaissance de P.D.T. : on constate, }}la résistance <math>\;R_{AM} = 1,5\;k \Omega\;</math> est en série avec <math>\;r_{\text{Th},\,BA} = 0,5\;k \Omega\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Par reconnaissance de P.D.T. : on constate, }}la source idéale de tension de f.e.m. <math>\;e_{NB} = 10\;V\;</math> est aussi en série avec <math>\;e_{\text{Th},\,BA} = -30\;V\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Par reconnaissance de P.D.T. : }}d'où la modélisation du R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;NM\;</math> délivrant un courant d'intensité <math>\;i\;</math> en générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Par reconnaissance de P.D.T. : d'où la modélisation }}<math>\succ\;</math>de f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;e_{\text{Th},\,NM} = +10\;V + (-30)\;V = -20\;V\;</math>»<ref name="générateur de Thévenin équivalent" /> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Par reconnaissance de P.D.T. : d'où la modélisation }}<math>\succ\;</math>de résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;r_{\text{Th},\,NM} = 0,5\;k \Omega + 1,5\;k \Omega = 2,0\;k \Omega\;</math>»<ref name="générateur de Thévenin équivalent" /> ; {{Al|10}}{{Transparent|Par reconnaissance de P.D.T. : }}la loi d'Ohm généralisée du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent s'écrit donc, en convention générateur, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Par reconnaissance de P.D.T. : la loi d'Ohm généralisée }}«<math>\;u_{\text{en V}} = e_{\text{Th},\,NM} - r_{\text{Th},\,NM}\;i = -20 - 2,0\; 10^3\;i_{\text{en A}}\;</math>». {{Al|5}}<u>Par utilisation du théorème de Millman</u><ref name="Millman" /> : La masse ayant été choisie en <math>\;N</math>, la tension aux bornes du R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;NM\;</math> délivrant un courant d'intensité <math>\;i\;</math> se détermine par loi d'Ohm généralisée en considérant <math>\;V_A\;</math> comme une f.e.m. de générateur soit <math>\;V_M = V_A - R_{AM}\;i\;</math> <ref> Pourrait être considéré comme une extension du théorème de Millman appliqué en un point <math>\;M\;</math> qui n'est pas un nœud avec une pseudo-branche de type <math>\;\left(R,\,V\right)\;</math> et délivrance d'un courant extérieur d'intensité <math>\;i\;</math> dans la pseudo-branche extérieure <math>\;\big(</math>en effet <math>\;M\;</math> n'étant pas un nœud on ne peut plus parler de branche<math>\big)\;</math> selon <math>\;V_M = \dfrac{\dfrac{V_A}{R_{AM}} - i}{\dfrac{1}{R_{AM}}} = V_A - R_{AM}\;i\;</math> voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Énoncé_du_théorème_de_Millman_appliqué_au_nœud_S_du_réseau_par_lequel_le_courant_d'intensité_iS_en_sort|énoncé du théorème de Millman appliqué à un nœud S du réseau par lequel le courant d'intensité i_S en sort]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|Par utilisation du théorème de Millman : }}on détermine alors <math>\;V_A\;</math> en appliquant, au nœud <math>\;A</math>, le théorème de Millman à deux branches de type <math>\;\left(R,\,V\right)\;</math> et délivrance d'un courant extérieur d'intensité <math>\;i\;</math><ref name="théorème de Millman"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Complément_:_théorème_de_Millman_appliqué_au_nœud_d'où_partent_deux_branches_de_type_«_R,_V_»_lesquelles_délivrent_un_courant_d'intensité_«_iS_»_connue_(ou_à_connaître)|complément : théorème de Millman appliqué au nœud d'où partent deux branches de type “R, V” lesquelles délivrent un courant d'intensité i_S connue (ou à connaître)]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit {{Nobr|«<math>\;V_A =</math>}} <math>\dfrac{\dfrac{V_C}{R_{AC}} + \dfrac{V_B}{R_{AB}} - i}{\dfrac{1}{R_{AC}} + \dfrac{1}{R_{AB}}} =</math> <math>\dfrac{R_{AB}\;V_C + R_{AC}\;V_B - R_{AB}\;R_{AC}\;i}{R_{AB} + R_{AC}} = \dfrac{R_{AB}}{R_{AB} + R_{AC}}\;V_C + \dfrac{R_{AC}}{R_{AB} + R_{AC}}\;V_B - \dfrac{R_{AB}\;R_{AC}}{R_{AB} + R_{AC}}\;i\;</math>» que l'on réinjecte dans l'expression de <math>\;V_M\;</math> précédente soit {{Al|10}}{{Transparent|Par utilisation du théorème de Millman : }}«<math>\;V_M = \dfrac{R_{AB}}{R_{AB} + R_{AC}}\;V_C + \dfrac{R_{AC}}{R_{AB} + R_{AC}}\;V_B - \left[ \dfrac{R_{AB}\;R_{AC}}{R_{AB} + R_{AC}} + R_{AM} \right] i\;</math>» ou, avec «<math>\;V_B = V_B - V_N = 10\;V\;</math>» et «<math>\;V_C = V_C - V_B + V_B - V_N =</math> <math>-60\;V + 10\;V = -50\;V\;</math>», «<math>\;R_{AM} = 1500\;\Omega\;</math>» et «<math>\;R_{AB} = R_{AC} = 1000\;\Omega\;</math>», on en déduit numériquement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Par utilisation du théorème de Millman : }}«<math>\;V_{M,\,\text{en V}} =</math> <math>\dfrac{1}{2} \times (-50) + \dfrac{1}{2} \times (10) - \left[ \dfrac{10^3 \times 10^3}{2\;10^3} + 1,5\; 10^3 \right] i_{\text{en A}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;V_{M,\,\text{en V}} = -20 - 2,0\; 10^3\;i_{\text{en A}}\;</math>» et finalement <center>«<math>\;u_{\text{en V}} = V_M - V_N = -20 - 2,0\; 10^3\;i_{\text{en A}}\;</math>» dont on tire <br>une f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;e_{\text{Th},\,NM} = -20\;V\;</math>» et <br>une résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;r_{\text{Th},\,NM} = 2,0\;10^3 \Omega\;</math>».</center>}} === Détermination du point de fonctionnement de la varistance === {{Al|5}}Représenter le circuit équivalent en remplaçant le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;MN\;</math> par son générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent. {{Al|5}}Déterminer le signe de l'intensité du courant traversant la varistance<ref name="varistance" /> à partir de celui de la f.e.m. <math>\;e_{\text{Th}}\;</math> et en déduire aussi le signe de la tension à ses bornes, puis {{Al|5}}écrire l'équation de la caractéristique statique de la « varistance <math>\;\big(</math>ou V.D.R.<math>\big)\;</math>»<ref name="varistance" /> en convention récepteur ; {{Al|5}}à partir de la loi d'Ohm généralisée du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent et de l'équation de la caractéristique statique de la « varistance <math>\;\big(</math>ou V.D.R.<math>\big)\;</math>»<ref name="varistance" />, en déduire le point de fonctionnement <math>\;\left( i,\; u \right)\;</math> de la « varistance <math>\;\big(</math>ou V.D.R.<math>\big)\;</math>»<ref name="varistance" />. {{Solution|contenu = [[File:Réseau dipolaire linéaire actif fermé sur dipôle non linéaire - ter.png|thumb|300px|Schéma équivalent d'un R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. fermé sur un D.N.L.P<ref name="D.N.L.P." />. <math>\;\big(</math>plus particulièrement une varistance<ref name="varistance" /><math>\big)\;</math> après modélisation du R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. par son générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent]] {{Al|5}}Le circuit équivalent étant représenté ci-contre et la f.e.m. y étant <math>\;<0\;</math> on en déduit que <center>«<math>\;i\;</math> est <math>\;<0\;</math>» <br><math>\Downarrow</math> <br>«<math>\;u < 0\;</math>» aussi ;</center> {{Al|5}}l'équation de la caractéristique statique courant tension de la varistance est donc «<math>\;i = -2,5\; 10^{-5}\; u^2\;</math>» avec <math>\;u\;</math> en <math>\;V\;</math> et <math>\;i\;</math> en <math>\;A</math> ; {{Al|5}}le point de fonctionnement de la varistance<ref name="varistance" /> <math>\;\left( i,\; u \right)\;</math> doit satisfaire à l'équation de la caractéristique précédente «<math>\;i = -2,5\; 10^{-5}\; u^2\;</math>» mais aussi <br>{{Al|10}}{{Transparent|le point de fonctionnement de la varistance <math>\;\color{transparent}{\left( i,\; u \right)}\;</math> doit satisfaire }}à celle du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> «<math>\;u = -20 - 2\; 10^3\; i\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|le point de fonctionnement de la varistance <math>\;\color{transparent}{\left( i,\; u \right)}\;</math> }}on le détermine donc comme solution de l'équation en <math>\;u\;</math> suivante : <br>{{Al|10}}{{Transparent|le point de fonctionnement de la varistance <math>\;\color{transparent}{\left( i,\; u \right)}\;</math> }}«<math>\;u = -20 - 2\; 10^3 \left( -2,5\; 10^{-5}\; u^2 \right)\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;u = -20 + 0,05\; u^2\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;u^2 - 20\, u - 400 = 0\;</math>» <br>{{Al|10}}{{Transparent|le point de fonctionnement de la varistance <math>\;\color{transparent}{\left( i,\; u \right)}\;</math> }}de discriminant réduit <math>\;\Delta' = 100 + 400 = 500\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|le point de fonctionnement de la varistance <math>\;\color{transparent}{\left( i,\; u \right)}\;</math> }}de solutions <math>\;u_{\pm} = 10 \pm \sqrt{500} = 10 \pm 10\; \sqrt{5}\;</math> dont on conserve la solution <math>\;< 0\;</math> soit <center>«<math>\;u = -10 \left( \sqrt{5} - 1 \right) \simeq -12,36\, V\;</math>» ;</center> {{Al|10}}{{Transparent|le point de fonctionnement de la varistance <math>\;\color{transparent}{\left( i,\; u \right)}\;</math> }}<math>\;i\;</math> peut se déterminer par l'une ou l'autre des équations de caractéristique soit par exemple celle de la varistance<ref name="varistance" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|le point de fonctionnement de la varistance <math>\;\color{transparent}{\left( i,\; u \right)}\;</math> }}<math>\;i \simeq -2,5\; 10^{-5} \times \left( -12,36 \right)^2 \simeq -3,82\; 10^{-3}\; A\;</math> ou <center>«<math>\;i \simeq -3,82\; mA\;</math>».</center>}} == Détermination de l'intensité du courant traversant un conducteur ohmique dans un réseau à deux sources de tension == [[File:Réseau linéaire à 2 sources de tension.png|thumb|350px|Recherche de l'intensité du courant traversant le conducteur ohmique de résistance <math>\;r\;</math> branché dans un réseau linéaire à deux sources de tension]] {{Al|5}}Les générateurs du circuit ci-contre sont de résistance interne nulle. {{Al|5}}Cherchant à déterminer l'intensité <math>\;i\;</math> du courant circulant dans le conducteur ohmique de résistance <math>\;r</math>, nous nous proposons de remplacer le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math><ref> On considère donc ce réseau dipolaire pouvant délivrer un courant d'intensité <math>\;i\;</math> a priori quelconque avec une tension <math>\;u\;</math> en convention générateur, tension adaptée au contenu du réseau et à la valeur de <math>\;i</math> ; le conducteur de résistance <math>\;r\;</math> est dans ce cadre considéré comme une branche extérieure au réseau dipolaire.</ref> par son générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent, lequel délivre un courant à la branche extérieure constituée du conducteur ohmique de résistance <math>\;r</math>. === Générateur de Thévenin équivalent au R.D.L.A. AB aux bornes duquel est branché le conducteur ohmique de résistance r === {{Al|5}}Redessiner le circuit fermé ci-contre en termes de « R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math>» fermé sur la « charge de résistance <math>\;r\;</math>»<ref> Il est donc demandé de considérer le conducteur ohmique de résistance <math>\;r\;</math> comme une branche extérieure que vous mettrez à droite du schéma, le reste étant le R.D.L.A. mis à gauche.</ref>, le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. délivrant un courant d'intensité <math>\;i\;</math> à la charge extérieure, puis, {{Al|5}}déterminer, par la méthode qui vous semble la mieux adaptée, le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math> délivrant un courant d'intensité <math>\;i</math>. {{Solution| contenu = [[File:Réseau linéaire à 2 sources de tension - bis.png|thumb|300px|Dessin du réseau linéaire à deux sources de tension fermé sur un conducteur ohmique de résistance <math>\;r\;</math> en termes de "R.D.L.A."<ref name="R.D.L.A." /> fermé sur "la charge de résistance <math>\;r</math>"]] {{Al|5}}On redessine le circuit fermé en termes de R.D.L.A. <math>\;AB\;</math> fermé sur la charge de résistance <math>\;r</math>, le R.D.L.A. délivrant le courant d'intensité <math>\;i\;</math> à la charge de résistance <math>\;r\;</math> <math>\big(</math>considérée comme une branche extérieure<math>\big)\;</math> voir schéma ci-contre : {{Al|5}}pour déterminer le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. encadré en tiretés, on peut reconnaître un <math>\;\big(</math>ou plusieurs<math>\big)\;</math> P.D.T<ref name="P.D.T." />. ou appliquer le théorème de Millman<ref name="Millman" /> <math>\;\big(</math>mais ce dernier est à considérer comme complément<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>par reconnaissance de P.D.T.</u><ref name="P.D.T." /> : entre <math>\;C = F\;</math> et <math>\;A\;</math> on reconnaît un P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;e_{CD} = -e_1\;</math> et de sortie aux bornes <math>\;C=F-A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : entre <math>\;\color{transparent}{C = F}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> on reconnaît un P.D.T. }}délivrant un courant d'intensité <math>\;i\;</math> par la borne <math>\;A\;</math><ref> Et bien sûr recevant un courant d'intensité <math>\;i\;</math> par la borne <math>\;C = F</math>, en effet le courant d'intensité <math>\;i\;</math> entrant par la borne <math>\;B\;</math> du R.D.L.A. entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C = F\;</math> ressort avec la même intensité par la borne <math>\;C = F</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : entre <math>\;\color{transparent}{C = F}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> on reconnaît un P.D.T. }}dont le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent est de <br>{{Al|15}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : entre <math>\;\color{transparent}{C = F}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> on reconnaît un P.D.T. }}<math>\succ\;</math>f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;e_{\text{Th},\, C=F-A} = \dfrac{R}{R + R}\;e_{CD} = -\dfrac{e_1}{2}\;</math>»<ref name="générateur de Thévenin équivalent" /> et <br>{{Al|15}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : entre <math>\;\color{transparent}{C = F}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> on reconnaît un P.D.T. }}<math>\succ\;</math>résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;r_{\text{Th},\, C=F-A} = R\ \parallel R = \dfrac{R}{2}\;</math>»<ref name="générateur de Thévenin équivalent" /> d'où {{Al|10}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : entre <math>\;\color{transparent}{C = F}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> }}«<math>\;u_1 = e_{\text{Th},\, C=F-A} - r_{\text{Th},\, C=F-A}\;i = -\dfrac{e_1}{2} - \dfrac{R}{2}\;i\;</math>» ; de même {{Al|10}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : }}entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C=F\;</math> on reconnaît un P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;e_{EC} = e_2\;</math> et de sortie aux bornes <math>\;B-C=F\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : entre <math>\;\color{transparent}{C = F}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> on reconnaît un P.D.T. }}recevant un courant d'intensité <math>\;i\;</math> par la borne <math>\;B\;</math><ref> Et bien sûr délivrant un courant d'intensité <math>\;i\;</math> par la borne <math>\;C = F</math>, en effet le courant d'intensité <math>\;i\;</math> sortant par la borne <math>\;A\;</math> du R.D.L.A. entre <math>\;C=F\;</math> et <math>\;A\;</math> entre avec la même intensité par la borne <math>\;C = F</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : entre <math>\;\color{transparent}{B}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{C=F}\;</math> on reconnaît un P.D.T. }}dont le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent est <br>{{Al|15}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : entre <math>\;\color{transparent}{B}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{C=F}\;</math> on reconnaît un P.D.T. }}<math>\succ\;</math>de f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;e_{\text{Th},\, B-C=F} = \dfrac{R}{R + R}\;e_{EC} = \dfrac{e_2}{2}\;</math>»<ref name="générateur de Thévenin équivalent" /> et <br>{{Al|15}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : entre <math>\;\color{transparent}{B}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{C=F}\;</math> on reconnaît un P.D.T. }}<math>\succ\;</math>de résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;r_{\text{Th},\, B-C=F} = R\ \parallel R = \dfrac{R}{2}\;</math>»<ref name="générateur de Thévenin équivalent" /> d'où {{Al|10}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : entre <math>\;\color{transparent}{B}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{C=F}\;</math> }}«<math>\;u_2 = e_{\text{Th},\, B-C=F} - r_{\text{Th},\, B-C=F}\;i = \dfrac{e_2}{2} - \dfrac{R}{2}\;i\;</math>» ; {{Al|10}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : }}on en déduit «<math>\;u = u_1 + u_2 = \dfrac{e_2 - e_1}{2} - R\;i\;</math>», le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math> étant <br>{{Al|15}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : on en déduit «<math>\;\color{transparent}{u = u_1 + u_2 = \dfrac{e_2 - e_1}{2} - R\;i}\;</math>», le générateur de Thévenin équivalent }}<math>\succ\;</math>de f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;e_{\text{Th},\,BA} = \dfrac{e_2 - e_1}{2}\;</math>» et <br>{{Al|15}}{{Transparent|par reconnaissance de P.D.T. : on en déduit «<math>\;\color{transparent}{u = u_1 + u_2 = \dfrac{e_2 - e_1}{2} - R\;i}\;</math>», le générateur de Thévenin équivalent }}<math>\succ\;</math>de résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;r_{\text{Th},\,BA} = R\;</math>». {{Al|5}}<u>Par application du théorème de Millman</u><ref name="Millman" /> : la masse étant choisie en <math>\;C\;</math><ref> Le choix de ce point comme masse permet d'exprimer simplement les potentiels des points <math>\;D\;</math> et <math>\;E\;</math> <math>\big(V_D = -e_1\;</math> et <math>\;V_E = -e_2</math>, de plus <math>\;V_F = V_C = 0\big)</math>.</ref>, on applique successivement, au R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math> délivrant un courant d'intensité <math>\;i</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|Par application du théorème de Millman : la masse étant choisie en <math>\;\color{transparent}{C}\;</math>, on applique }}le théorème de Millman<ref name="Millman" /> au nœud <math>\;A\;</math> puis au nœud <math>\;B\;</math>, on obtient ; <br>{{Al|20}}{{Transparent|Par application du théorème de Millman : la masse étant choisie en <math>\;\color{transparent}{C}\;</math>, on applique le théorème de Millman }}<math>\succ\;</math>au nœud <math>\;A</math>, «<math>\;V_A = \dfrac{\dfrac{V_D}{R} + \dfrac{V_F}{R} - i}{\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R}} = \dfrac{\dfrac{-e_1}{R} + \dfrac{0}{R} - i}{\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R}} = -\dfrac{e_1}{2} - \dfrac{R}{2}\, i\;</math>»<ref name="théorème de Millman" /> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|Par application du théorème de Millman : la masse étant choisie en <math>\;\color{transparent}{C}\;</math>, on applique le théorème de Millman }}<math>\succ\;</math>au nœud <math>\;B</math>, «<math>\;V_B = \dfrac{\dfrac{V_E}{R} + \dfrac{V_F}{R} + i}{\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R}} = \dfrac{\dfrac{-e_2}{R} + \dfrac{0}{R} + i}{\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R}} = -\dfrac{e_2}{2} + \dfrac{R}{2}\, i\;</math>»<ref name="théorème de Millman" /> d'où {{Al|16}}{{Transparent|Par application du théorème de Millman : la masse étant choisie en <math>\;\color{transparent}{C}\;</math>, }}en formant la différence on en déduit la tension aux bornes du R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. en fonction de l'intensité <math>\;i\;</math> du courant délivré soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Par application du théorème de Millman : la masse étant choisie en <math>\;\color{transparent}{C}\;</math>, en formant la différence on en déduit }}«<math>\;V_A - V_B = \dfrac{e_2 - e_1}{2} - R\, i\;</math>» dont on tire le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent <br>{{Al|16}}{{Transparent|Par application du théorème de Millman : la masse étant choisie en <math>\;\color{transparent}{C}\;</math>, en formant la différence on en déduit «<math>\;\color{transparent}{V_A - V_B = \dfrac{e_2 - e_1}{2} - R\, i}\;</math>» }}<math>\succ\;</math>de f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;e_{\text{Th},\,BA} = \dfrac{e_2 - e_1}{2}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Par application du théorème de Millman : la masse étant choisie en <math>\;\color{transparent}{C}\;</math>, en formant la différence on en déduit «<math>\;\color{transparent}{V_A - V_B = \dfrac{e_2 - e_1}{2} - R\, i}\;</math>» }}<math>\succ\;</math>de résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)\;</math> «<math>\;r_{\text{Th},\,BA} = R\;</math>».}} === Détermination de l'intensité i du courant traversant le conducteur ohmique de résistance r === {{Al|5}}Tracer le schéma équivalent en remplaçant le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math> par son générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent puis {{Al|5}}en déduire l'intensité <math>\;i\;</math> du courant que ce générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> délivre au conducteur ohmique de résistance <math>\;r</math>. {{Solution| contenu = [[File:Réseau linéaire à 2 sources de tension - ter.png|thumb|300px|Schéma équivalent du réseau linéaire à deux sources de tension fermé sur un conducteur ohmique de résistance <math>\;r\;</math> obtenu en remplaçant le "R.D.L.A."<ref name="R.D.L.A." /> par son générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" />]] {{Al|5}}Voir ci-contre le schéma du circuit équivalent obtenu en remplaçant le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math> par son générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent<ref> Attention les bornes <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> y sont inversées par rapport au schéma du paragraphe précédent.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le schéma étant celui d'un circuit série simple, on en déduit l'intensité <math>\;i\;</math> du courant traversant le conducteur ohmique de résistance <math>\;r\;</math> par loi de Pouillet<ref name="Pouillet" /> soit <center>«<math>\;i = \dfrac{e_{\text{Th},\,BA}}{r_{\text{Th},\,BA} + r} = \dfrac{\dfrac{e_2 - e_1}{2}}{R + r}\;</math>»<ref name="loi de Pouillet" /> et <br>finalement «<math>\;i = \dfrac{e_2 - e_1}{2\; (R + r)}\;</math>».</center>}} == Détermination de l'intensité du courant traversant un conducteur ohmique dans un réseau à deux sources de tension et une source de courant == [[File:Réseau linéaire à 2 sources de tension et 1 source de courant.png|thumb|400px|Recherche de l'intensité du courant traversant le conducteur ohmique de résistance <math>\;R_3\;</math> branché dans un réseau linéaire à deux sources de tension et une source de courant]] {{Al|5}}Les sources de tension et de courant du circuit ci-contre sont idéales. {{Al|5}}Cherchant à déterminer l'intensité <math>\;i\;</math> du courant circulant dans le conducteur ohmique de résistance <math>\;R_3</math>, nous nous proposons de remplacer le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math><ref> On considère donc ce réseau dipolaire pouvant délivrer un courant d'intensité <math>\;i\;</math> a priori quelconque avec une tension <math>\;u\;</math> en convention générateur, tension adaptée au contenu du réseau et à la valeur de <math>\;i</math> ; le conducteur de résistance <math>\;R_3\;</math> est dans ce cadre considéré comme une branche extérieure au réseau dipolaire.</ref> par son générateur de Norton<ref name="Norton"> '''[[w:Edward_Lawry_Norton|Edward Lawry Norton]] (1898 - 1983)''' ingénieur en électricité américain, à qui on doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Norton|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1926</math>.</ref> équivalent, lequel délivre un courant à la branche extérieure constituée du conducteur ohmique de résistance <math>\;R_3</math>. === Générateur de Norton équivalent au R.D.L.A. AB aux bornes duquel est branché le conducteur ohmique de résistance R₃ === {{Al|5}}Redessiner le circuit fermé représenté ci-contre en termes de « R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math>» fermé sur la « charge de résistance <math>\;R_3\;</math>»<ref> Il est donc demandé de considérer le conducteur ohmique de résistance <math>\;R_3\;</math> comme une branche extérieure que vous mettrez à droite du schéma, le reste étant le R.D.L.A. mis à gauche.</ref>, le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. délivrant un courant d'intensité <math>\;i\;</math> à la charge extérieure, puis, {{Al|5}}déterminer, par la méthode qui vous semble la mieux adaptée, le générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent au R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math> délivrant un courant d'intensité <math>\;i</math>. {{Solution| contenu = [[File:Réseau linéaire à 2 sources de tension et 1 source de courant - bis.png|thumb|500px|Restructuration du circuit à deux sources de tension et une source de courant en termes de charge branchée aux bornes d'un R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. délivrant le courant d'intensité <math>\;i\;</math> traversant le conducteur ohmique de résistance <math>\;R_3\;</math> considéré comme charge]] {{Al|5}}Voir ci-contre le schéma équivalent au circuit fermé ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre le }}schéma dans lequel on a remplacé les deux résistances <math>\;R_1\;</math> et <math>\;R_2\;</math> montés en série <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre le schéma dans lequel on a remplacé les deux résistances }}par leur résistance équivalente <math>\;R_1 + R_2\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre le schéma dans lequel on a }}mis la résistance <math>\;R_3\;</math> en bout de chaîne pour la considérer comme branche extérieure alimentée par le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre le schéma}}<math>\big(</math>encadré en tiretés violets dans le schéma ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}pour déterminer le générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent au R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB</math>, le plus simple est <br>{{Al|10}}{{Transparent|pour déterminer le générateur de Norton }}de transformer toutes les branches dont on connaît le modèle générateur de tension en leur modèle générateur de courant<ref name="générateur de courant équivalent à un générateur de tension"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Représentation_équivalente_de_Thévenin_d'une_source_réelle_(de_résistance_interne_non_nulle)_en_régime_permanent_connaissant_sa_représentation_linéaire_de_Norton_et_vice_versa|représentation équivalente de Thévenin d'une source réelle (de résistance non nulle) en régime permanent connaissant sa représentation linéaire de Norton et vice versa]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux Physiques (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|10}}{{Transparent|pour déterminer le générateur de Norton }}d'utiliser la propriété d'équivalence d'une association <math>\;\parallel\;</math> de modèles générateurs de courant<ref name="équivalence d'une association parallèle de modèles générateurs de courant"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Association_parallèle_de_deux_sources_linéaires_non_idéales_de_tension_et_générateur_de_Thévenin_équivalent_à_l'association|association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension et générateur de Thévenin équivalent à l'association]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux Physiques (PCSI)]] », on y retrouve la nécessité de transformer les modèles générateurs de tension en modèles générateur de courant, puis on y voit la propriété <math>\;\big(</math>utilisée ici<math>\big)\;</math> d'équivalence d'une association <math>\;\parallel\;</math> de modèles générateurs de courant et enfin la transformation <math>\;\big(</math>non utilisée ici<math>\big)\;</math> du modèles générateur de courant en modèle générateur de tension.</ref> soit : <br>{{Al|10}}{{Transparent|pour déterminer le générateur de Norton }}<math>\succ\;</math>branche <math>\;BCA</math>, source de courant parfaite de c.e.m. <math>\;\eta_{N,\,BCA} = \dfrac{e_1}{R_1 + R_2}\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|pour déterminer le générateur de Norton <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>branche <math>\;\color{transparent}{BCA}</math>, }}en <math>\;\parallel\;</math> sur conducteur ohmique de résistance <math>\;r_{N,\,BCA} =</math> <math>R_1 + R_2</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|pour déterminer le générateur de Norton }}<math>\succ\;</math>branche <math>\;BDA</math>, source de courant parfaite de c.e.m. <math>\;\eta_{N,\,BDA} = \dfrac{e_4}{R_4}\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|pour déterminer le générateur de Norton <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>branche <math>\;\color{transparent}{BDA}</math>, }}en <math>\;\parallel\;</math> sur conducteur ohmique de résistance <math>\;r_{N,\,BDA} = R_4\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|pour déterminer le générateur de Norton }}<math>\succ\;</math>les deux autres branches formant un générateur de Norton<ref name="Norton" /> de c.e.m. <math>\;\big(</math>de Norton<ref name="Norton" /><math>\big)</math> <math>\;\eta_{N,\,BA,\,\text{autres}} = i_0\;</math> et <br>{{Al|15}}{{Transparent|pour déterminer le générateur de Norton <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les deux autres branches formant un générateur de Norton }}de résistance <math>\;\big(</math>de Norton<ref name="Norton" /><math>\big)</math> <math>\;r_{N,\,BA,\,\text{autres}} = R_5</math> ; finalement {{Al|5}}{{Transparent|pour déterminer }}<math>\succ\;</math>le générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent au R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math> a pour c.e.m. <math>\;\big(</math>de Norton<ref name="Norton" /><math>\big)</math> <math>\;\eta_{N,\,BA} = \eta_{N,\,BCA} + \eta_{N,\,BDA} + \eta_{N,\,BA,\,\text{autres}} = \dfrac{e_1}{R_1 + R_2} + \dfrac{e_4}{R_4} + i_0\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|pour déterminer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le générateur de Norton équivalent au R.D.L.A. <math>\;\color{transparent}{AB}\;</math> a pour }}résistance <math>\;\big(</math>de Norton<ref name="Norton" /><math>\big)</math> <math>\;r_{N,\,BA}\;</math> telle que <math>\;\dfrac{1}{r_{N,\,BA}} = \dfrac{1}{r_{N,\,BCA}} + \dfrac{1}{r_{N,\,BDA}} + \dfrac{1}{r_{N,\,BA,\,\text{autres}}} = \dfrac{1}{R_1 + R_2} + \dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_5}</math>.}} === Détermination de l'intensité i du courant traversant le conducteur ohmique de résistance R₃ === {{Al|5}}Tracer le schéma équivalent en remplaçant le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math> par son générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent puis {{Al|5}}en déduire l'intensité <math>\;i\;</math> du courant que ce générateur de Norton<ref name="Norton" /> délivre au conducteur ohmique de résistance <math>\;R_3</math>. {{Al|5}}<u>A.N.</u> : <math>\;R_1 = R_2 = 1\; k \Omega</math>, <math>\;R_3 = 100\; \Omega</math>, <math>\;R_4 = 0,5\; k \Omega</math>, <math>\;R_5 = 1,5\; k \Omega</math>, <math>\;e_1 = 10\; V</math>, <math>\;e_4 = 5\; V\;</math> et <math>\;i_0 = 20\; mA</math>. {{Solution| contenu = [[File:Réseau linéaire à 2 sources de tension et 1 source de courant - ter.png|thumb|350px|Schéma équivalent obtenu en remplaçant le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. délivrant le courant d'intensité <math>\;i\;</math> au conducteur ohmique de résistance <math>\;R_3\;</math> par son générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent]] {{Al|5}}Voir ci-contre le schéma équivalent en remplaçant le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AB\;</math> par son générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent : {{Al|5}}numériquement avec <math>\;R_4 = 500\; \Omega</math>, <math>\;R_5 = 1500\; \Omega</math>, <math>\;R_1 + R_2 = 2000\; \Omega</math>, <math>\;e_1 = 10\; V</math>, <math>\;e_4 = 5\; V\;</math> et <math>\;i_0 = 0,02\; A</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|numériquement }}le générateur de Norton<ref name="Norton" /> a pour c.e.m. <math>\;\big(</math>de Norton<ref name="Norton" /><math>\big)</math> <math>\;\eta_{N,\,BA} = \dfrac{10}{2000} + \dfrac{5}{500} + 0,02 = 0,035\;</math> en <math>\;A\;</math> soit encore <br>{{Al|16}}{{Transparent|numériquement le générateur de Norton a pour c.e.m. <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>de Norton <math>\color{transparent}{\big)}</math> }}<math>\;\eta_{N,\,BA} = 35\;mA\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|numériquement le générateur de Norton a pour }}résistance <math>\;\big(</math>de Norton<ref name="Norton" /><math>\big)</math> <math>\;r_{N,\,BA}\;</math> telle que <math>\;\dfrac{1}{r_{N,\,BA}} = \dfrac{1}{2000} + \dfrac{1}{500} + \dfrac{1}{1500} = \dfrac{3 + 12 + 4}{6000}</math> <math>= \dfrac{19}{6000}\;S\;</math> d'où <math>\;r_{N,\,BA} = \dfrac{6000}{19}\;\Omega \simeq 315,8\;\Omega</math>. {{Al|5}}On détermine alors l'intensité <math>\;i\;</math> du courant circulant dans le conducteur ohmique de résistance <math>\;R_3 = 100\;\Omega\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On détermine }}par P.D.C<ref name="P.D.C."> Pont Diviseur de Courant.</ref>. alimenté en entrée par <math>\;\eta_{N,\,BA} = 35\;mA\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|On détermine par P.D.C. }}en sortie court-circuitée sur la branche contenant le conducteur ohmique de résistance <math>\;R_3 = 100\;\Omega\;</math> soit <center>«<math>\;i = \dfrac{r_{N,\,BA}}{r_{N,\,BA} + R_3}\;\eta_{N,\,BA}\;</math>»<ref name="pont diviseur de courant en sortie court-circuitée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Cas_particulier_très_important_du_réseau_dipolaire_«_pont_diviseur_de_courant_alimenté_en_entrée_par_iE(t)_et_en_sortie_court-circuitée_»|cas particulier très important du réseau dipolaire “pont diviseur de courant alimenté en entrée par i_E(t) et en sortie court-circuitée”]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>attention on rappelle que, si la fraction est donnée en résistances, c'est celle qui n'est pas sur la branche contenant la sortie court-circuitée qui est au numérateur<math>\big)</math>.</ref> et numériquement <br>«<math>\;i \simeq \dfrac{315,8}{315,8 + 100} \times 35\;mA \simeq 26,6\;mA\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : résistance de sortie, résistance d'entrée/]] }} oqmuzsxncxqpmihtixvrc5c7rnf6fzr 0 66409 982842 965649 2026-05-15T12:34:35Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982842 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Introduction au monde quantique : dualité onde-particule | idfaculté = physique | numéro = 16 | chapitre = [[../../Introduction au monde quantique : dualité onde-particule/]] | précédent = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Interférences d'atomes d'hélium (Carnal et Mlynek 1991) == [[File:Interférences d'atomes d'hélium.jpg|left|frame|caption|Dispositif expérimental utilisé pour l'observation d'interférences d'atomes d'hélium par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young"> '''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module d'Young]] en [[w:Science_des_matériaux|science des matériaux]] et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]] en optique.</ref>]] [[File:Interférences d'atomes d'hélium – bis.jpg|right|frame|caption|Nombre d'atomes détectés pendant <math>\;10\;mn\;</math> en fonction de la position du détecteur dans l'expérience d'interférences d'atomes d'hélium]] {{clr}} {{Al|5}}'''Carnal''' et '''[[w:Jürgen_Mlynek|Mlynek]]'''<ref name="Mlynek"> '''[[w:Jürgen_Mlynek|Jürgen Mlynek]] (né en 1951)''' physicien allemand essentiellement connu pour cette expérience réalisée à l'[[w:Université_de_Constance|Université de Constance]] <math>\;\big(</math>Allemagne<math>\big)\;</math> avec '''Oliver Carnal''' en <math>\;1991</math>.</ref> ont réalisé, en <math>\;1991</math>, une expérience d'interférences par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> avec un faisceau homocinétique d'atomes d'hélium de [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] <ref name="L. de Broglie"> Se prononce « Brogle » ; '''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1929</math>.</ref> <math>\;\lambda_{d.B.} = 0,103\; nm</math> ; {{Al|5}}le faisceau entrant, limité par une fente <math>\;F\;</math> de largeur <math>\;s_0 = 2\; \mu m</math>, rencontre, à une distance <math>\;L = 64\; cm\;</math> de <math>\;F</math>, le système des deux [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> <math>\;F_1\;</math> et <math>\;F_2\; \parallel\;</math> à <math>\;F</math>, les [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> étant larges de <math>\;s = 1\; \mu m</math>, et séparées entre elles de <math>\;a = 8\; \mu m</math> ; {{Al|5}}à une distance <math>\;L' = 64\; cm\;</math> se trouve le plan de détection <math>\;\parallel\;</math> au plan des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" />, sur lequel est disposé un détecteur mobile large de <math>\;2\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>voir figure ci-dessus à gauche<math>\big)</math>. {{Al|5}}sur la figure ci-dessus à droite, est donné le diagramme du nombre d'atomes reçus par le détecteur pendant <math>\;10\; min\;</math> en fonction de sa position, le trait en pointillés représentant le « bruit de fond »<ref name="bruit de fond"> A priori le détecteur ne fournit une réponse que s'il reçoit un atome, mais il peut fournir de façon impromptue une réponse sans qu'aucun atome n'ait été reçu, c'est ce que représente le « bruit de fond ».</ref> de ce dernier que l'on mesure en occultant le faisceau à l'entrée du dispositif. === Vitesse des atomes dans l'expérience et conséquences === {{Al|5}}La masse d'un atome d'hélium étant <math>\;m_{He} = 6,70\; 10^{-27}\; kg</math>, déterminer la vitesse des atomes dans cette expérience<ref name="constante de Planck"> On rappelle la valeur de la [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]] <math>\;h = 6,62\; 10^{-34}\; J \cdot s</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Max_Plack|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''' physicien allemand à qui on doit principalement, vers <math>\;1900</math>, la [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]], théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1918</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|La masse d'un atome d'hélium étant <math>\;\color{transparent}{m_{He} = 6,70\; 10^{-27}\; kg}</math>, }}sont-ils relativistes ou non ? {{Al|5}}Estimer la durée du trajet d'un atome pour aller de <math>\;F\;</math> au détecteur. {{Solution|contenu ={{Al|5}}D'après la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|relation de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" />, la norme de la quantité de mouvement de la particule est liée à la longueur d'onde de son onde de matière associée par «<math>\;p = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.}}\;</math>» avec, en faisant l'hypothèse d'une particule non relativiste «<math>\;p = m_{He}\, v\;</math> où <math>\;v\;</math> est la vitesse de la particule », on en déduit donc la vitesse des atomes d'hélium du faisceau <center>«<math>\;v = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.}\, m_{He}}\;</math>» soit numériquement, «<math>\;v \simeq \dfrac{6,62\; 10^{-34}}{0,103\; 10^{-9} \times 6,70\; 10^{-27}}\;</math>»<ref name="constante de Planck" /> en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math> ou <br>«<math>\;v \simeq 959\; m \cdot s^{-1}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}on vérifie que <u>les atomes d'hélium ne sont pas relativistes</u> car leur « vitesse relative »<ref> C.-à-d la valeur de la vitesse en unité de vitesse limite <math>\;c</math>.</ref> est «<math>\;\beta = \dfrac{v}{c} \simeq \dfrac{959}{3\; 10^8} \simeq 3\; 10^{-6}\;</math>» nettement <math>\;<\;</math> à <math>\;0,14\;</math> <math>\big(</math>valeur à partir de laquelle la particule doit être considérée comme relativiste en ce qui concerne sa quantité de mouvement<math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] (établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}La distance de <math>\;F\;</math> au détecteur étant estimée à <math>\;L + L' \simeq 1,28\, m\;</math> et les atomes en tant que particules se déplaçant à la vitesse <math>\;v \simeq 959\; m \cdot s^{-1}</math>, la durée du trajet <math>\;\big(</math>ou temps de vol<math>\big)\;</math> est estimée à <center>«<math>\;\tau_{\text{vol}} \simeq \dfrac{L + L'}{v} \simeq \dfrac{1,28}{959} \simeq 1,33\; 10^{-3}\; s\;</math>» soit finalement <br>«<math>\;\tau_{\text{vol}} \simeq 1,33\; ms\;</math>».</center>}} === Diffraction de l'onde de matière par la fente F === {{Al|5}}Calculer le demi-angle d'ouverture <math>\;\theta\;</math> de diffraction de l'onde de matière par la fente <math>\;F</math> ; {{Al|5}}vérifier que les fentes <math>\;F_1\;</math> et <math>\;F_2\;</math> reçoivent bien cette onde. {{Solution|contenu = [[File:Interférences d'atomes d'hélium - ter.png|thumb|400px|Dispositif expérimental utilisé pour l'observation d'interférences d'atomes d'hélium par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> avec précision des demi angles d'ouverture de diffraction]] {{Al|5}}On connaît le lien entre ce demi-angle d'ouverture <math>\;\theta</math>, la largeur de la fente diffractante <math>\;s_0 = 2\; \mu m\;</math> et la longueur d'onde <math>\;\lambda_{d.B.} = 0,103\; nm\;</math> donné par «<math>\;\sin(\theta) = \dfrac{\lambda_{d.B.}}{s_0}\;</math>»<ref name="lien entre taille d'ouverture, longueur d'onde et demi angle d'ouverture"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Expression_du_lien_entre_la_taille_de_l'ouverture,_la_longueur_d'onde_et_l'échelle_angulaire_du_phénomène_de_diffraction|expression du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit numériquement <math>\;\sin(\theta) = \dfrac{0,103\; 10^{-9}}{2\; 10^{-6}} = 5,15\; 10^{-5} \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\theta \simeq 5,2\; 10^{-5}\, rad\;</math>»<ref name="DL à l'ordre un de sinus"> En effet la valeur du sinus étant petite, son argument est de détermination principale <math>\;\big(</math>c.-à-d. comprise entre <math>\;-\pi\;</math> et <math>\;+\pi\big)\;</math> petite et par suite le sinus peut être confondu, à l'ordre un, avec la valeur de l'angle en <math>\;rad</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la fonction sinus au voisinage de zéro<math>\big\}</math>.</ref> d'où <center>«<math>\;\theta \simeq 5,2\; 10^{-5}\, rad \simeq 0,18\;\text{'} \simeq 11\; \text{''}\;</math>»<ref name="degré, minute, seconde"> On rappelle que <math>\;1\;rad = \dfrac{180}{\pi}\;\text{°}\;</math> et qu'il y a <math>\;60\;\text{'}\;</math> dans <math>\;1\;\text{°}\;</math> et <math>\;60\;\text{''}\;</math> dans <math>\;1\;\text{'}</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}pour vérifier que les fentes <math>\;F_1\;</math> et <math>\;F_2\;</math> sont bien recouvertes par cette onde, il faut calculer la largeur <math>\;l\;</math> de la tache principale de diffraction sur le plan des deux fentes soit «<math>\;l = 2\; L\; \tan(\theta) \simeq 2\; L\; \theta\;</math>»<ref name="DL à l'ordre un de tangente"> En effet l'argument de la tangente étant petit, sa tangente peut être confondue, à l'ordre un, avec la valeur de l'angle en <math>\;rad</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la fonction tangente au voisinage de zéro<math>\big\}</math>.</ref> donnant numériquement <math>\;l \simeq 2 \times 0,64 \times 5,2\; 10^{-5} \simeq 67\; 10^{-6}\, m = 67\; \mu m\;</math>» et <center>comme «<math>\;l \simeq 67\; \mu m > a + s = 9\, \mu m\;</math>»<ref> C.-à-d. la distance entre les centres des fentes plus deux fois leur demi-largeur.</ref> nous en déduisons que <br><u>le faisceau diffracté recouvre</u> effectivement <math>\;\big(</math>et très largement<math>\big)\;</math> <u>les deux fentes</u>.</center>}} === Largeur de la zone d'interférences dans le plan de détection === {{Al|5}}Calculer le demi-angle d'ouverture <math>\;\theta'\;</math> de diffraction de l'onde de matière par la fente <math>\;F_1\;</math> ou <math>\;F_2</math> ; {{Al|5}}en déduire la largeur de la zone de recouvrement des deux ondes diffractées dans le plan de détection. {{Solution|contenu = [[File:Interférences d'atomes d'hélium - ter.png|thumb|400px|Dispositif expérimental utilisé pour l'observation d'interférences d'atomes d'hélium par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> avec précision des demi angles d'ouverture de diffraction]] {{Al|5}}Ce calcul se fait de la même façon que celle exposée dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Diffraction_de_l'onde_de_matière_par_la_fente_F|diffraction de l'onde de matière par la fente F]] » plus haut dans cet exercice, la largeur des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> étant <math>\;s = 1\; \mu m</math>, on obtient le demi-angle d'ouverture <math>\;\theta'\;</math> par «<math>\;\sin(\theta') = \dfrac{\lambda_{d.B.}}{s}\;</math>»<ref name="lien entre taille d'ouverture, longueur d'onde et demi angle d'ouverture" /> soit numériquement <math>\;\sin(\theta') = \dfrac{0,103\; 10^{-9}}{1\; 10^{-6}} = 10,3\; 10^{-5} \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\theta' \simeq 10,3\; 10^{-5}\, rad\;</math>»<ref name="DL à l'ordre un de sinus" /> d'où <center>«<math>\;\theta' \simeq 10,3\; 10^{-5}\; rad \simeq 0,36\;\text{'} \simeq 22\; \text{''}\;</math>»<ref name="degré, minute, seconde" /> ;</center> {{Al|5}}pour déterminer de la largeur de la zone de recouvrement des deux ondes diffractées dans le plan de détection, il faut calculer la largeur <math>\;l'\;</math> de la tache principale de diffraction par une des deux fentes sur le plan de détection soit «<math>\;l' = 2\; L'\; \tan(\theta') \simeq 2\; L'\; \theta'\;</math>»<ref name="DL à l'ordre un de tangente" /> donnant numériquement <center>«<math>\;l' \simeq 2 \times 0,64 \times 10,3\; 10^{-5} \simeq 134\; 10^{-6}\; m = 134\; \mu m\;</math>» et</center> {{Al|5}}d'après le schéma ci-contre, un faisceau se déduisant de l'autre par translation de la distance <math>\;a = 8\; \mu m\;</math> perpendiculairement aux fentes, <br>{{Al|5}}{{Transparent|d'après le schéma ci-contre }}la largeur de la zone de recouvrement est <math>\;\mathcal{L}_{\text{recouvrement}} = l' - a\;</math> soit numériquement <br>{{Al|2}}{{Transparent|d'après le schéma ci-contre la largeur de la zone de recouvrement est }}«<math>\;\mathcal{L}_{\text{recouvrement}} = 126\; \mu m\;</math>».}} === Nombre moyen d'atomes détectés pendant la durée de fonctionnement de l'expérience === {{Al|5}}Combien d'atomes détecte-t-on en moyenne pendant <math>\;10\;</math> minutes ? {{Al|5}}Trouver l'ordre de grandeur du nombre d'atomes traversant l'appareil pendant <math>\;10\;</math> minutes compte-tenu de la dimension du détecteur ; {{Al|5}}en déduire la durée moyenne entre deux envois successifs d'atomes et <br>{{Al|5}}conclure en comparant au résultat de la 1^ère question. {{Solution|contenu =[[File:Interférences d'atomes d'hélium – bis.jpg|thumb|350px|Nombre d'atomes détectés pendant <math>\;10\;mn\;</math> en fonction de la position du détecteur dans l'expérience d'interférences d'atomes d'hélium]] {{Al|5}}Sur la figure de droite de début de texte rappelée ci-contre, est donné le diagramme du nombre d'atomes reçus par le détecteur pendant <math>\;10\; min\;</math> en fonction de sa position, le trait en pointillés représentant le « bruit de fond »<ref name="bruit de fond" /> de ce dernier que l'on mesure en occultant le faisceau à l'entrée du dispositif ; {{Al|5}}le nombre d'atomes reçus par le détecteur en <math>\;10\; min\;</math> est en moyenne <math>\;65\;</math> et nous mesurons un bruit de fond égal à <math>\;20\;</math> atomes ; <br>{{Al|5}}ainsi le détecteur recevant en moyenne <math>\;65 - 20 = 45\;</math> atomes qui sont passés par les fentes sur une largeur de <math>\;2\; \mu m</math>, on déduit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}de la largeur de la zone de recouvrement <math>\;\mathcal{L}_{\text{recouvrement}} = 126\; \mu m\;</math> déterminée dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Largeur_de_la_zone_d'interférences_dans_le_plan_de_détection|largeur de la zone d'interférences dans le plan de détection]] » plus haut dans cet exercice, <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}le nombre d'atomes sur toute la largeur de la zone d'interférence <math>\;45 \times \dfrac{126}{2} \simeq 2835\;</math> soit <center>approximativement <math>\;2800\;</math> atomes qui sont passés par les fentes pendant <math>\;10\; min</math>.</center> {{Al|5}}En supposant un débit régulier d'envoi d'atomes, la durée moyenne entre deux envois se suivant est donc <math>\;\dfrac{10 \times 60}{2800}\;</math> en <math>\;s\;</math> soit <center>«<math>\;\tau_{\text{envois successifs}} \simeq 0,214\; s\;</math> séparant deux envois successifs » ;</center> {{Al|5}}le temps de vol d'un atome étant <math>\;\tau_{\text{vol}} \simeq 1,33\; ms\;</math><ref> D'après la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Vitesse_des_atomes_dans_l'expérience_et_conséquences|vitesse des atomes dans l'expérience et conséquences]] (temps de vol) » plus haut dans cet exercice.</ref> très petit relativement <math>\;\tau_{\text{envois successifs}} \simeq 214\, ms</math>, nous pouvons en déduire : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le temps de vol d'un atome }}il n'y a qu'<u>un seul atome à la fois dans le dispositif expérimental</u> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|le temps de vol d'un atome }}l'onde de matière associée à l'atome interfère avec elle-même et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le temps de vol d'un atome l'onde de matière associée à l'atome interfère }}non avec une autre onde de matière associée à un autre atome.}} === Raison de l'absence de l'observation pratique d'interférences destructives === {{Al|5}}Il y a des points du plan de détection où la probabilité de détection s'annule par interférences destructives ; {{Al|5}}comment se fait-il que sur la figure de début d'exercice à droite le nombre d'atomes détectés ne soit jamais nul ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ceci est dû à la largeur du détecteur <math>\;2\; \mu m\;</math> alors que l'interfrange peut être estimée à <math>\;8\, \mu m\;</math><ref> Correspondant à la distance moyenne séparant deux pics successifs sur la figure de début de texte à droite.</ref>, la 1^ère n'étant pas très petite par rapport à la 2^ème ; <br>{{Al|5}}le détecteur centré sur une frange « sombre » percevra donc les atomes au voisinage de cette frange sombre, ce qui correspondra à un nombre d'atomes perçus par le détecteur minimal mais non nul.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste/]] }} pi4fan6gtzi3jyxmbs581i6c46v1i7m 0 66411 982843 978372 2026-05-15T12:35:04Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982843 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste | idfaculté = physique | numéro = 17 | chapitre = [[../../Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste/]] | précédent = [[../Introduction au monde quantique : dualité onde-particule/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Principe d'indétermination et complémentarité == [[File:Fentes d'Young à un photon.png|thumb|500px|Schéma de l'expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young"> '''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module d'Young]] en [[w:Science_des_matériaux|science des matériaux]] et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]] en optique.</ref> avec photon envoyé un par un]] {{Al|5}}On réalise l'expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> avec des photons de longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> que l'on envoie un à un <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}la distance entre les fentes est <math>\;a\;</math> et <br>{{Al|14}}celle entre le plan des fentes et l'écran <math>\;D</math>. === Expérience à écran de détection fixe === {{Al|5}}Dans cette question l'écran de détection est fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cette question}}<math>\;M\;</math> est un point de l'écran tel que <math>\;\overrightarrow{OM} = d\; \vec{u}_x</math>. ==== Description de l'observation sur l'écran ==== {{Al|5}}Décrire ce qu'on observe sur l'écran au fur et à mesure de l'arrivée des photons. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les photons arrivent successivement en des points aléatoires de l'écran <math>\;\big(</math>le caractère « aléatoire » signifiant que le point d'impact sur l'écran ne peut être induit par l'aspect corpusculaire du photon, il est nécessaire de supposer l'aspect ondulatoire de ce dernier <math>\Rightarrow</math> la probabilité de passage du photon par l'une ou l'autre des fentes est la même<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les photons arrivent successivement en }}ces points d'impact dessinent peu à peu des franges « rectilignes »<ref> En fait si les fentes sont infiniment longues la diffraction se fait perpendiculairement aux fentes et les franges sont quasiment des points lumineux.</ref> <math>\;\parallel\;</math> aux fentes et régulièrement espacées.}} ==== Expression de la différence de marche et du déphasage en M ==== {{Al|5}}Les fentes étant à égale distance de la source, retrouver l'expression de la différence de marche <math>\;\delta = F_2M - F_1M\;</math> en fonction <math>\;a</math>, <math>\;D\;</math> et <math>\;d</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Les fentes étant à égale distance de la source, }}en déduire l'expression du déphasage en <math>\;M\;</math> des ondes passant par les deux fentes. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Évaluation de la différence de marche</u><math>\;\delta = F_2M - F_1M\;</math><ref name="évaluation de la différence de marche"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Évaluation_de_la_différence_de_marche_pour_une_observation_éloignée_des_sources|évaluation de la différence de marche pour une observation éloignée des sources]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> : on forme d'abord <math>\;\left( F_2M \right)^2 - \left( F_1M \right)^2\;</math> à partir de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( F_2M \right)^2 = D^2 + \left( d + \dfrac{a}{2} \right)^2\\ \left( F_1M \right)^2 = D^2 + \left( d - \dfrac{a}{2} \right)^2\end{array} \right\rbrace</math>, soit, en formant la différence <math>\;\left( F_2M \right)^2 - \left( F_1M \right)^2 =</math> <math>\left( d + \dfrac{a}{2} \right)^2 - \left( d - \dfrac{a}{2} \right)^2 = 2\;a\;d</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|Évaluation de la différence de marche<math>\;\color{transparent}{\delta = F_2M - F_1M}\;</math> : }}on utilise alors <math>\;\left( F_2M \right)^2 - \left( F_1M \right)^2 = \left( F_2M - F_1M \right) \left( F_2M + F_1M \right)\;</math> puis on évalue le facteur somme <math>\;\left( F_2M + F_1M \right)\;</math> en utilisant les expressions à l'ordre zéro<ref> C.-à-d. expressions limitées au terme prépondérant en éliminant tous les termes petits par rapport à ce dernier, la distance <math>\;D\;</math> étant grande par rapport à toutes les autres.</ref> de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} F_2M = \sqrt{\left( F_2M \right)^2} = \sqrt{D^2 + \cancel{\left( d + \dfrac{a}{2} \right)^2}} \simeq D\\ F_1M = \sqrt{\left( F_1M \right)^2} =\sqrt{D^2 + \cancel{\left( d - \dfrac{a}{2} \right)^2}} \simeq D\end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <math>\;\left( F_2M + F_1M \right) \simeq 2\;D\;</math> et par suite on en déduit «<math>\;\left( F_2M \right)^2 - \left( F_1M \right)^2 \simeq 2\;D\;\left( F_2M - F_1M \right) = 2\;D\;\delta\;</math>» ; {{Al|9}}{{Transparent|Évaluation de la différence de marche<math>\;\color{transparent}{\delta = F_2M - F_1M}\;</math> : }}des deux résultats précédents «<math>\;\left( F_2M \right)^2 - \left( F_1M \right)^2 \left\lbrace\begin{array}{l} = 2\;a\;d \\ \simeq 2\;D\;\delta\end{array}\right.\;</math>», on tire l'expression de la différence de marche au point <math>\;M\;</math> de l'écran de détection à savoir «<math>\;\delta = F_2M - F_1M\;</math>» <center>«<math>\;\delta = F_2M - F_1M \simeq \dfrac{a\;d}{D}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Évaluation du déphasage au point</u><math>\;M\;</math><ref name="lien entre déphasage et différence de marche"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Notion_de_différence_de_marche_et_d'ordre_d'interférences|notion de différence de marche et d'ordre d'interférences]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> : L'avance de phase de l'onde en <math>\;M\;</math> passant par <math>\;F_1\;</math> sur l'onde en <math>\;M\;</math> passant par <math>\;F_2\;</math> est «<math>\;\Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2 =</math> <math>-k \left( F_1M - F_2M \right) = k \left( F_2M - F_1M \right) = k\;\delta\;</math>» avec <math>\;k = \dfrac{2\; \pi}{\lambda_0}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_sinusoïdale#Lien_entre_longueur_d'onde,_fréquence_(temporelle)_et_célérité_pour_une_O.P.H.|lien entre longueur d'onde, fréquence (temporelle) et célérité pour une O.P.H.]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et <math>\;\delta = F_2M - F_1M \simeq \dfrac{a\; d}{D}\;</math> soit finalement, en regroupant toutes les connaissances <center>«<math>\;\Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2 = 2\; \pi\; \dfrac{a\; d}{\lambda_0\; D}\;</math>».</center>}} ==== Distance caractéristique du phénomène observé sur l'écran ==== {{Al|5}}Donner l'ordre de grandeur d'une distance caractéristique du phénomène observé sur l'écran de détection. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La distance caractéristique du phénomène observé est l'« interfrange <math>\;i\;</math>»<ref name="définition de l'interfrange"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Échelle_de_longueur_du_phénomène_d'interférences_dans_le_plan_d'observation,_notion_d'interfrange|échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation, notion d'interfrange]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> c'est-à-dire la distance séparant les centres de deux franges brillantes consécutives ; {{Al|5}}or les positions des franges brillantes correspondent à <math>\;\Delta \varphi\;</math> multiple de <math>\;2\; \pi</math>, le facteur multiplicateur définissant l'ordre de la frange d'interférence<ref name="définition de l'ordre d'interférences"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Expression_du_déphasage_en_fonction_de_la_différence_de_marche_ou_de_l'ordre_d'interférences|expression du déphasage en fonction de la différence de marche ou de l'ordre d'interférences]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, * ainsi la frange d'ordre <math>\;q \in \mathbb{Z}\;</math> ayant pour abscisse <math>\;d_q\;</math> telle que <math>\;\Delta \varphi = 2\; \pi\; \dfrac{a\; d_q}{\lambda_0\; D} = q\;2\;\pi\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d_q = q\; \dfrac{\lambda_0\; D}{a}\;</math>», et * {{Al|14}}celle d'ordre <math>\;q + 1\;</math> {{Al|11}}pour abscisse <math>\;d_{q + 1}\;</math> telle que <math>\;\Delta \varphi = 2\; \pi\; \dfrac{a\; d_{q + 1}}{\lambda_0\; D} = \left( q + 1 \right) 2\;\pi\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d_{q + 1} = \left( q + 1 \right) \dfrac{\lambda_0\; D}{a}\;</math>», {{Al|5}}par définition de l'« interfrange »<ref name="définition de l'interfrange" /> on en déduit <math>\;i = d_{q + 1} - d_q \simeq \left( q + 1 \right) \dfrac{\lambda_0\; D}{a} - q\; \dfrac{\lambda_0\; D}{a}\;</math> soit finalement «<math>\;i = \dfrac{\lambda_0\; D}{a}\;</math>».}} === Expérience à écran de détection monté sur dispositif mobile === {{Al|5}}Dans cette question l'écran est monté sur un dispositif mobile de manière à ce qu'il puisse se déplacer en translation dans ce plan selon l'axe <math>\;(Ox)</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cette question }}on adopte le modèle corpusculaire de la lumière ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans cette question }}l'écran absorbant tout photon arrivant sur lui en gagnant la composante de la quantité de mouvement de ce dernier sur <math>\;\vec{u}_x</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cette question l'écran absorbant tout photon arrivant sur lui }}on mesure la quantité de mouvement acquise par l'écran juste après la détection du photon et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cette question l'écran absorbant tout photon arrivant sur lui }}on doit pouvoir savoir de quelle fente il provient ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans cette question }}on note <math>\;p_\gamma\;</math> la norme de la quantité de mouvement du photon. ==== Composante de la quantité de mouvement d'un photon passant par F₁ (ou par F₂) et arrivant en M ==== {{Al|5}}Exprimer la composante sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> de la quantité de mouvement d'un photon parvenant en <math>\;M\;</math> et passant par la fente <math>\;F_1</math>, composante notée <math>\;p_{\gamma,\,1\, x}</math>, en fonction de <math>\;p_\gamma</math>, <math>\;d</math>, <math>\;a\;</math> et <math>\;D</math> ainsi que celle {{Al|5}}{{Transparent|Exprimer la composante sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> de la quantité de mouvement d'un photon parvenant en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et }}passant par la fente <math>\;F_2</math>, composante notée <math>\;p_{\gamma,\,2,\, x}</math>, en fonction des mêmes grandeurs <math>\;p_\gamma</math>, <math>\;d</math>, <math>\;a\;</math> et <math>\;D</math>. {{Solution|contenu = [[File:Fentes d'Young à un photon - bis.png|thumb|500px|Schéma de l'expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> avec photon envoyé un par un, angles nécessaires à l'évaluation de la composante sur l'écran de la quantité de mouvement du photon passant par <math>\;F_1\;</math> ou <math>\;F_2\;</math> et arrivant en <math>\;M</math>]] {{Al|5}}La composante de la quantité de mouvement selon <math>\;\vec{u}_x\;</math> d'un photon arrivant en <math>\;M\;</math> et passant par la fente <math>\;F_1\;</math> est «<math>\;p_{\gamma,\,1,\, x}</math> <math>= p_\gamma\; \sin(\theta_1)\;</math>» <math>\;\big(</math>voir la définition de <math>\;\theta_1\;</math> sur le schéma ci-contre<ref name="notations sur le schéma"> Sur ce dernier le vecteur quantité de mouvement du photon passant par la fente <math>\;F_1\;</math> est noté <math>\;\vec{p}_1\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Sur ce dernier le vecteur quantité de mouvement du photon }}celui passant par la fente <math>\;F_2\;</math> {{Transparent|est }}noté <math>\;\vec{p}_2</math>.</ref><math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composante de la quantité de mouvement selon <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> }}dans la mesure de la petitesse de <math>\;\theta_1\;</math><ref name="infiniment petit"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] (ordre un) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;p_{\gamma,\,1,\, x} \simeq p_\gamma\; \theta_1\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre 1 de sin(theta)"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] (appliqué à la fonction sinus au voisinage de zéro) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|La composante de la quantité de mouvement selon <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> }}or <math>\;\tan(\theta_1) = \dfrac{d - \dfrac{a}{2}}{D}\;</math><ref name="lecture sur schéma"> Se lit directement sur le schéma précité.</ref> dans laquelle <math>\;\theta_1\;</math> est considéré petit<ref name="infiniment petit" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_1) \simeq \theta_1\;</math><ref name="D.L. à l'ordre 1 de tan(theta)"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] (appliqué à la fonction tangente au voisinage de zéro) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où «<math>\;\theta_1 \simeq \dfrac{d - \dfrac{a}{2}}{D}\;</math>» et par suite <center>«<math>\;p_{\gamma,\,1,\, x} \simeq p_\gamma\; \dfrac{2\; d - a}{2\; D}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la composante de la quantité de mouvement selon <math>\;\vec{u}_x\;</math> d'un photon arrivant en <math>\;M\;</math> et passant par la fente <math>\;F_2\;</math> est «<math>\;p_{\gamma,\,2,\, x}</math> <math>= p_\gamma\; \sin(\theta_2)\;</math>» <math>\;\big(</math>voir la définition de <math>\;\theta_2\;</math> sur le schéma ci-contre<ref name="notations sur le schéma" /><math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la composante de la quantité de mouvement selon <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> }}dans la mesure de la petitesse de <math>\;\theta_2\;</math><ref name="infiniment petit" /> «<math>\;p_{\gamma,\,2,\, x} \simeq p_\gamma\; \theta_2\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre 1 de sin(theta)" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|la composante de la quantité de mouvement selon <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> }}or <math>\;\tan(\theta_2) = \dfrac{d + \dfrac{a}{2}}{D}\;</math><ref name="lecture sur schéma" /> dans laquelle <math>\;\theta_2\;</math> est considéré petit<ref name="infiniment petit" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_2) \simeq \theta_2\;</math><ref name="D.L. à l'ordre 1 de tan(theta)" /> d'où «<math>\;\theta_2 \simeq \dfrac{d + \dfrac{a}{2}}{D}\;</math>» et par suite <center>«<math>\;p_{\gamma,\,2,\, x} \simeq p_\gamma\; \dfrac{2\; d + a}{2\; D}\;</math>».</center>}} ==== Condition sur l'incertitude quantique de la composante de la quantité de mouvement de l'écran le long de celui-ci pour connaître de quelle fente provient le photon ==== {{Al|5}}En déduire que l'on sait de quelle fente provient le photon arrivant sur l'écran de détection seulement <br>{{Al|5}}{{Transparent|En déduire que l'on sait de quelle fente provient le photon }}si l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique"> Voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Incertitudes_théoriques_sur_la_«_quantité_de_mouvement_»_et_sur_la_«_position_»_transversales_du_photon_lors_de_l'expérience_de_diffraction_appliquée_à_un_photon|incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position transversales du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon ]] (pour l'introduction de l'incertitude quantique) » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Densité_volumique_de_probabilité_de_présence_d'une_particule_«_quantique_»_de_vecteur_quantité_de_mouvement_fixée_et_conséquences|densité volumique de probabilité de présence d'une particule quantique de vecteur quantité de mouvement fixée et conséquences]] (pour l'introduction du lien entre grandeurs conjuguées comme p_x et x) » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}la notion d'incertitude quantique sur une grandeur est d'origine théorique toujours <math>\;<\;</math> à l'incertitude expérimentale correspondante due à une mesure de cette grandeur.</ref> sur la quantité de mouvement de l'écran selon <math>\;\vec{u}_x\;</math> est <math>\;\ll\;</math> à une valeur à exprimer en fonction de <math>\;p_\gamma</math>, <math>\;a\;</math> et <math>\;D</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La différence des composantes selon <math>\;\vec{u}_x\;</math> des quantités de mouvement d'un photon arrivant au même point <math>\;M\;</math> après être passé par <math>\;F_2\;</math> ou <math>\;F_1\;</math> est «<math>\;p_{\gamma,\,2,\, x} - p_{\gamma,\,1,\, x} \simeq p_\gamma\; \dfrac{2\; d + a}{2\; D} - p_\gamma\; \dfrac{2\; d - a}{2\; D} \simeq p_\gamma\; \dfrac{a}{D}\;</math>» ; {{Al|5}}pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient il faut mesurer la quantité de mouvement acquise par l'écran avec une incertitude expérimentale <u>très inférieure à cette différence</u> <math>\;p_{\gamma,\,2,\, x} - p_{\gamma,\,1,\, x} \simeq p_\gamma\; \dfrac{a}{D}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient }}comme l'incertitude expérimentale est toujours <math>\;>\;</math> à l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" />, il est nécessaire que <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient }}<u>l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur la quantité de mouvement acquise par l'écran</u> <math>\;\Delta p_{\text{écran}}\;</math> soit <u>très inférieure à cette différence</u> <math>\;p_{\gamma,\,2,\, x} - p_{\gamma,\,1,\, x} \simeq p_\gamma\; \dfrac{a}{D}\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|9}}{{Transparent|pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient l'incertitude quantique sur la quantité de mouvement acquise par l'écran }}«<math>\;\Delta p_{\text{écran}} \ll p_\gamma\; \dfrac{a}{D}\;</math>».}} ==== Principe de complémentarité ==== {{Al|5}}En se plaçant dans l'« hypothèse vérifiant la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Condition_sur_l'incertitude_quantique_de_la_composante_de_la_quantité_de_mouvement_de_l'écran_le_long_de_celui-ci_pour_connaître_de_quelle_fente_provient_le_photon|condition sur l'incertitude quantique de la composante de la quantité de mouvement de l'écran le long de celui-ci pour connaître de quelle fente provient le photon]] »<ref> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Condition_sur_l'incertitude_quantique_de_la_composante_de_la_quantité_de_mouvement_de_l'écran_le_long_de_celui-ci_pour_connaître_de_quelle_fente_provient_le_photon|condition sur l'incertitude quantique de la composante de la quantité de mouvement de l'écran le long de celui-ci pour connaître de quelle fente provient le photon]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, comparer les incertitudes quantiques<ref name="incertitude quantique" /> sur la position transversale de l'écran et sur la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Distance_caractéristique_du_phénomène_observé_sur_l'écran|distance caractéristique du phénomène observé sur l'écran]]<ref name="distance caractéristique du phénomène observé sur l'écran"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Distance_caractéristique_du_phénomène_observé_sur_l'écran|distance caractéristique du phénomène observé sur l'écran]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\;\big\{</math>nous supposerons connue l'inégalité spatiale de Heisenberg<ref name="Heisenberg"> '''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], a obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création d'une forme de [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connue sous le nom de [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]]<math>\big)</math>, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène <math>\;\big(</math>le dihydrogène existe sous deux [[w:Allotropie|formes allotropiques]] « ortho » où les [[w:Spin|spins]] sont <math>\;\parallel\;</math> et « para » où ils sont anti<math>\;\parallel</math>, le dihydrogène ortho étant présent à <math>\;75\;\%\;</math> à température élevée et sa proportion <math>\;\searrow\;</math> quand sa température <math>\;\searrow\big)</math>.</ref>{{,}}<ref name="inégalité spatiale de Heisenberg"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Induction_de_l'inégalité_de_Heisenberg_spatiale_à_partir_de_la_relation_de_diffraction_appliquée_à_un_photon|induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », inégalité rappelée ci-après «<math>\;\Delta x\; \Delta p_x \geqslant \dfrac{\hbar}{2}\;</math>» avec «<math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\;\pi}\;</math> la [[w:Constante_de_Planck|constante]] réduite [[w:Constante_de_Planck|de Planck]] » où <math>\;\Delta x\;</math> est l'incertitude « quantique » sur la position d'une particule « quantique » suivant la direction <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\Delta p_x\;</math> l'incertitude « quantique » sur la composante de la quantité de mouvement de la particule sur la même direction <math>\;\vec{u}_x</math>, <math>\;\big\{</math>ici nous ferons l'hypothèse que cette inégalité peut s'appliquer aussi aux objets macroscopiques - même si, dans la réalité, ce n'est jamais le cas<math>\big\}</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Max_Plack|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''' physicien allemand à qui on doit principalement, vers <math>\;1900</math>, la [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]], théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1918</math>.</ref><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}en déduire que le « [[w:Principe_de_complémentarité|principe de complémentarité]] »<ref name="forme concise du principe de complémentarité"> Énoncé sous forme concise.</ref> est bien vérifié. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Supposons que l'inégalité spatiale de Heisenberg<ref name="Heisenberg" />{{,}}<ref name="inégalité spatiale de Heisenberg" /> permette de déterminer l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur la position de l'écran connaissant celle sur sa quantité de mouvement selon la même direction c'est-à-dire <center>«<math>\;\Delta x_{\text{écran}}\; \Delta p_{\text{écran}} \gtrsim \dfrac{\hbar}{2}\;</math><ref name="inégalité spatiale de Heisenberg" /> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\Delta x_{\text{écran}} \gtrsim \dfrac{\hbar}{2\; \Delta p_{\text{écran}}}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or, pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient il est nécessaire que «<math>\;\Delta p_{\text{écran}} \ll p_\gamma\; \dfrac{a}{D}\;</math>» soit réalisée <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\Delta x_{\text{écran}} \gtrsim \dfrac{\hbar}{2\; \Delta p_{\text{écran}}} \gg \dfrac{\hbar}{2\; p_\gamma}\; \dfrac{D}{a} = \dfrac{h}{4\; \pi\; p_\gamma}\; \dfrac{D}{a}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|or, pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient il est nécessaire que «<math>\;\color{transparent}{\Delta p_{\text{écran}} \ll p\gamma\; \dfrac{a}{D}}\;</math>» soit réalisée }}en utilisant la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|relation de de Broglie]] <ref name="L. de Broglie"> Se prononce « Brogle » ; '''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1929</math>.</ref> appliquée à un photon <math>\;p_\gamma = \dfrac{h}{\lambda_0}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Relation_de_Louis_de_Broglie_et_conséquences|relation de Louis de Broglie et conséquences]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », quand la particule est un photon la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] <math>\;\lambda_{d.B.}\;</math> devient la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> de l'onde électromagnétique associée.</ref>{{,}}<ref> Qui est aussi la norme de la quantité de mouvement d'un photon, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Aspect_corpusculaire_de_la_lumière|aspect corpusculaire de la lumière]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|or, pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient il est nécessaire que «<math>\;\color{transparent}{\Delta p_{\text{écran}} \ll p_\gamma\; \dfrac{a}{D}}\;</math>» soit réalisée <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\Delta x_{\text{écran}} \gg \dfrac{h}{4\; \pi\; p_\gamma}\; \dfrac{D}{a} = \dfrac{\lambda_0}{4\; \pi}\; \dfrac{D}{a}\;</math>» soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|or, pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient il est nécessaire que «<math>\;\color{transparent}{\Delta p_{\text{écran}} \ll p_\gamma\; \dfrac{a}{D}}\;</math>» soit réalisée }}avec l'expression de l'« interfrange »<ref name="définition de l'interfrange" /> trouvée à la 1^ère question «<math>\;i = \dfrac{\lambda_0\; D}{a}\;</math>»<ref name="distance caractéristique du phénomène observé sur l'écran" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|or, pour pouvoir déterminer de quelle fente le photon provient il est nécessaire que «<math>\;\color{transparent}{\Delta p_{\text{écran}} \ll p_\gamma\; \dfrac{a}{D}}\;</math>» soit réalisée <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\Delta x_{\text{écran}} \gg \dfrac{i}{4\; \pi}\;</math>» soit encore «<math>\;\Delta x_{\text{écran}} \gg i\;</math>»<ref> Bien que cette condition soit plus restrictive que la précédente, elle peut raisonnablement la remplacer car <math>\;\dfrac{1}{4\; \pi}\;</math> étant un facteur fini ni petit ni grand, une grandeur de limite infinie est <math>\;\gg\;</math> devant toute grandeur finie de même dimension.</ref> ; {{Al|5}}ainsi <u>l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur la position de l'écran doit être très grande devant l'« interfrange »<ref name="définition de l'interfrange" /> d'interférence</u> c'est-à-dire «<math>\;\Delta x_{\text{écran}} \gg i\;</math>» pour pouvoir déterminer de quelle fente provient le photon ; {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}<u>l'incertitude expérimentale sur la position de l'écran</u><math>\;\Delta x_{\text{écran, exp}}\;</math> étant <math>\;>\;</math> à l'indétermination quantique sur sa position<ref name="incertitude quantique" /> <math>\;\Delta x_{\text{écran}}</math>, on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}<u>l'incertitude expérimentale sur la position de l'écran</u> doit être aussi <u>très grande devant l'« interfrange »<ref name="définition de l'interfrange" /> d'interférences</u> c'est-à-dire «<math>\;\Delta x_{\text{écran, exp}} \gg i\;</math>» pour pouvoir déterminer de quelle fente provient le photon et, <center>« si <math>\;\Delta x_{\text{écran, exp}} \gg i\;</math> est réalisé », cela empêche de façon certaine l'observation des interférences <math>\;\ldots</math></center> {{Al|5}}<u>Énoncé du [[w:Principe_de_complémentarité|principe de complémentarité]]</u><ref name="forme concise du principe de complémentarité" /> : « Une particule quantique ne peut se comporter en même temps comme une onde et comme un corpuscule »<ref name="principe de complémentarité"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Principe_de_complémentarité|principe de complémentarité]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Justification sur cet exemple</u> : La condition permettant de déterminer par quelle fente le photon serait passer «<math>\;\Delta x_{\text{écran, exp}} \gg i\;</math>» <math>\;\big(</math>aspect corpusculaire<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification sur cet exemple : La condition permettant de déterminer par quelle fente le photon serait passer }}est <u>incompatible</u> avec l'observation des interférences «<math>\;\Delta x_{\text{écran, exp}} \ll i\;</math>» soit, en étant moins strict, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification sur cet exemple : La condition permettant de déterminer par quelle fente le photon serait passer est incompatible avec l'observation des interférences }}«<math>\;\Delta x_{\text{écran, exp}} \lesssim \dfrac{i}{10}\;</math>»<ref> Avec cette condition on suppose que l'ordre d'interférence peut être déterminé avec une erreur au plus de <math>\;10\; \%</math>.</ref> <math>\;\big(</math>aspect ondulatoire<math>\big)</math>.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Introduction au monde quantique : dualité onde-particule/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg/]] }} hfeivl64mzq3weyyrdnzwtqxjf563t6 0 66423 982844 978373 2026-05-15T13:12:23Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982844 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg | idfaculté = physique | numéro = 18 | chapitre = [[../../Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg/]] | précédent = [[../Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Dimension de l'atome d'hydrogène == {{Al|5}}On considère un atome d'hydrogène « sphérique » de taille caractéristique <math>\;a</math> ; {{Al|5}}on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome «<math>\;E \simeq \dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a^2} - \dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; a}\;</math>»<ref name="approximation pour l'énergie d'un atome d'hydrogène"> Cette expression approchée <math>\;\big(</math>admise<math>\big)\;</math> suppose que l'électron est repérable par trois paramètres indépendants représentant chacun l'écart de l'électron relativement au proton suivant trois axes orthogonaux se coupant en la position du proton.</ref> où {{Al|5}}{{transparent|on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome }}«<math>\;e \simeq 1,60\; 10^{-19}\; C\;</math> est la charge élémentaire », <br>{{Al|5}}{{transparent|on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome }}«<math>\;m_e \simeq 9,11\; 10^{-31}\; kg\;</math> la masse d'un électron », <br>{{Al|5}}{{transparent|on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome }}«<math>\;\dfrac{1}{4\; \pi\; \varepsilon_0} \simeq 9,00\; 10^9\; U.S.I.\;</math> la constante universelle électrostatique dans le vide<ref name="permittivité diélectrique du vide"> <math>\;\varepsilon_0\;</math> étant la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du milieu à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> <math>>\;</math> à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}</math>.</ref> » et <br>{{Al|5}}{{transparent|on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome }}«<math>\;\hbar \simeq 1,05\; 10^{-34}\; J \cdot s\;</math> la [[w:Constante_de_Planck#Constante_réduite|constante réduite de Planck]] <ref name="Planck"> '''[[w:Max_Planck|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''' physicien allemand à qui on doit principalement, vers <math>\;1900</math>, la [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]], théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1918</math>.</ref> »<ref name="constante de Dirac"> Encore parfois appelée « [[w:Constante_de_Planck#Constante_réduite|constante de Dirac]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de Schrödinger et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de Heisenberg, deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]]''' dans sa [[w:Théorie_des_distributions|théorie des distributions]] ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#cite_note-Heisenberg-54|⁵⁴]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails. <br>{{Al|3}}'''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields <math>\;\big(</math>équivalent du prix Nobel en mathématiques<math>\big)\;</math> en <math>\;1950\;</math> pour ses travaux sur la [[w:Théorie_des_distributions|théorie des distributions]] <math>\;\big(</math>sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité <math>\ldots\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>. === Interprétation de chaque terme de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome === {{Al|5}}Que représente le 1^er terme dans l'expression de l'énergie ? Comment s'interprète-t-il ? {{Al|5}}Que représente le 2^ème terme ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}Le « 1^er terme de l'énergie de l'électron dans l'atome <math>\;\dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a^2}\;</math>» est l'<u>énergie cinétique minimale due au confinement de l'électron dans un volume de taille caractéristique</u><math>\;a\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « 1^er terme de l'énergie de l'électron dans l'atome <math>\;\color{transparent}{\dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a^2}}\;</math>» est l'énergie cinétique minimale }}résultant de l'[[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité spatiale de Heisenberg]] <ref name="Heisenberg"> '''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création d'une forme de mécanique quantique <math>\;\big(</math>connue sous le nom de [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]]<math>\big)</math>, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène <math>\;\big(</math>le dihydrogène existe sous deux [[w:Allotropie|formes allotropiques]] « ortho » où les spins sont <math>\;\parallel\;</math> et « para » où ils sont anti<math>\;\parallel</math>, le dihydrogène ortho étant présent à <math>\;75\;\%\;</math> à température élevée et sa proportion <math>\;\searrow\;</math> quand sa température <math>\;\searrow\big)</math>..</ref>, en effet si on admet que {{Al|5}}{{Transparent|Le « 1^er terme de l'énergie de l'électron dans l'atome <math>\;\color{transparent}{\dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a^2}}\;</math>» est l'énergie cinétique minimale résultant de }}l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique"> On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».</ref> sur la position est «<math>\;\Delta x = a\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « 1^er terme de l'énergie de l'électron dans l'atome <math>\;\color{transparent}{\dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a^2}}\;</math>» est l'énergie cinétique minimale résultant de }}celle sur la quantité de mouvement le long de <math>\;\vec{u}_x\;</math> est au minimum «<math>\;\Delta p_{x,\, \text{min}} \sim \dfrac{\hbar}{2\; a}\;</math>»<ref> L'électron a en fait trois degrés de liberté et l'[[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité de Heisenberg]] écrite selon «<math>\;\Delta p_x\; \Delta x \gtrsim \dfrac{\hbar}{2}\;</math>» correspond à la mécanique ondulatoire d'un point à un degré de liberté ; <br>{{Al|3}}en mécanique classique le mouvement de l'électron est déterminé dès lors que l'on connaît le mouvement de chacune de ses coordonnées cartésiennes, aussi nous supposons qu'il y a confinement de chacune de ses coordonnées <math>\;x</math>, <math>\;y</math>, <math>\;z\;</math> autour de <math>\;0</math>, mais cette modélisation ne permettra de déterminer qu'un ordre de grandeur du minimum de la valeur moyenne de l'énergie cinétique et non la valeur exacte.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Le « 1^er terme }}la définition de l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur <math>\;p_x\;</math> étant «<math>\;\Delta p_x = \sqrt{\left\langle \left( p_x - \overline{p_x} \right)^2 \right\rangle}\;</math>» où «<math>\;\overline{p_x}\;</math> est la valeur moyenne de la composante de la quantité de mouvement sur <math>\;\vec{u}_x\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Incertitudes_théoriques_sur_la_«_quantité_de_mouvement_»_et_sur_la_«_position_»_transversales_du_photon_lors_de_l'expérience_de_diffraction_appliquée_à_un_photon|incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », la définition s'appliquant à toute particule massique ou non.</ref> et supposant <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le « 1^er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur <math>\;\color{transparent}{p_x}\;</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\Delta p_x = \sqrt{\left\langle \left( p_x - \overline{p_x} \right)^2 \right\rangle}}\;</math>» où }}«<math>\;\overline{p_x} = 0\;</math>»<ref> Car on a la même probabilité d'avoir <math>\;p\;</math> que <math>\;-p</math>.</ref>, on en déduit <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le « 1^er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur <math>\;\color{transparent}{p_x}\;</math> étant }}«<math>\;\Delta p_x = \sqrt{\left\langle p_x^2 \right\rangle}\;</math>» soit «<math>\;\left\langle \left( p_x^2 \right)_{\text{min}} \right\rangle = \Delta p_{x,\; \text{min}}^{\,2} \sim \dfrac{\hbar^2}{4\, a^2}\;</math>», de même <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le « 1^er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur <math>\;\color{transparent}{p_x}\;</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\Delta p_x = \sqrt{\left\langle p_x^2 \right\rangle}}\;</math>» soit }}«<math>\;\left\langle \left( p_y^2 \right)_{\text{min}} \right\rangle = \Delta p_{y,\; \text{min}}^{\,2} \sim \dfrac{\hbar^2}{4\, a^2}\;</math>» et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le « 1^er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur <math>\;\color{transparent}{p_x}\;</math> étant «<math>\;\color{transparent}{\Delta p_x = \sqrt{\left\langle p_x^2 \right\rangle}}\;</math>» soit }}«<math>\;\left\langle \left( p_z^2 \right)_{\text{min}} \right\rangle = \Delta p_{z,\; \text{min}}^{\,2} \sim \dfrac{\hbar^2}{4\, a^2}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Le « 1^er terme }}le minimum de la valeur moyenne de l'énergie cinétique de l'électron «<math>\;\left\langle K \right\rangle_{\text{min}} = \dfrac{\left\langle \left( p_x^2 \right)_{\text{min}} \right\rangle}{2\; m_e} + \dfrac{\left\langle \left( p_y^2 \right)_{\text{min}} \right\rangle}{2\; m_e} + \dfrac{\left\langle \left( p_z^2 \right)_{\text{min}} \right\rangle}{2\; m_e} = 3\; \dfrac{\left\langle \left( p_x^2 \right)_{\text{min}} \right\rangle}{2\; m_e} \sim \dfrac{3\; \hbar^2}{8\; m_e\; a^2}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>effectivement de même ordre de grandeur que la valeur exacte <math>\;\dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a^2}\;</math> du 1^er terme de l'énergie de l'électron<math>\bigg\}</math> ; {{Al|5}}le « 2^ème terme de l'énergie de l'électron dans l'atome <math>\;- \dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; a}\;</math>» est son <u>énergie potentielle électrostatique dans le champ électrique attractif créé par le proton</u> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|le « 2^ème terme de l'énergie de l'électron dans l'atome <math>\;\color{transparent}{- \dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; a}}\;</math>» est son énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{p,\, \text{électrost}} = -\dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; a}\;</math>»<ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q₀]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la démonstration.</ref>, la référence de l'énergie potentielle<ref name="référence d'une énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> étant à l'infini.}} === Détermination de la valeur a_min de a minimisant l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome === {{Al|5}}Déterminer la valeur <math>\;a_{\text{min}}\;</math> de <math>\;a\;</math> qui minimise l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome. {{Al|5}}Faire l'A.N. ; ce calcul donnant l'ordre de grandeur de la taille de l'atome d'hydrogène, est-il conforme à celui de vos connaissances ? {{Solution|contenu =[[File:Atome d'hydrogène - diagramme d'énergies quantiques.png|thumb|350px|Diagramme d'énergies quantiques mécanique, cinétique et potentielle de l'électron dans l'atome d'hydrogène]] {{Al|5}}On cherche la valeur <math>\;a_{\text{min}}\;</math> de <math>\;a\;</math> minimisant l'énergie «<math>\;E(a) \simeq \dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a^2} - \dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; a}\;</math>» dans le diagramme d'énergie mécanique soit «<math>\;\dfrac{dE}{da}(a_{\text{min}}) \simeq</math> <math>-2\; \dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a_{\text{min}}^3} + \dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; a_{\text{min}}^2} = 0\;</math>» condition se réécrivant après factorisation «<math>\;\dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; a_{\text{min}}^3} \left( a_{\text{min}} - \dfrac{4\; \pi\; \varepsilon_0\; \hbar^2}{m_e\; e^2} \right) = 0\;</math>» d'où l'expression de la valeur minimale de <math>\;a\;</math> minimisant l'énergie de l'électron dans l'atome «<math>\;a_{\text{min}} = \dfrac{4\; \pi\; \varepsilon_0\; \hbar^2}{m_e\; e^2}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il est aisé de vérifier qu'il s'agit effectivement d'une valeur rendant minimale l'énergie «<math>\;E(a) \simeq \dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a^2} - \dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; a}\;</math>» en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>le 1^er terme étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\searrow\;</math> prédomine aux faibles valeurs de <math>\;a\;</math> en tendant vers <math>\;+\infty\;</math> quand <math>\;a \rightarrow 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'énergie commence donc par <math>\;\searrow\;</math> à partir de l'infini pour <math>\;a \sim 0\;</math> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>le 2^ème terme étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\nearrow\;</math> prédomine aux grandes valeurs de <math>\;a\;</math> en tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;a \rightarrow +\infty</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'énergie finit par <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> quand <math>\;a\;</math> avoisine l'infini ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}on en déduit donc que l'énergie passe par une valeur minimale pour <math>\;a \in \left] 0\;,\; +\infty \right[</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}On peut aussi le voir sur le diagramme d'énergie mécanique <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)\;</math> tracé ci-contre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut aussi le voir sur }}les diagrammes d'énergies potentielle <math>\;\big(</math>en gris clair<math>\big)\;</math> et cinétique <math>\;\big(</math>en gris foncé<math>\big)\;</math> y figurant également. {{Al|5}}Numériquement on trouve <math>\;a_{\text{min}} = \dfrac{\left( 1,05\; 10^{-34} \right)^2}{9,00\; 10^9 \times 9,11\; 10^{-31} \times \left( 1,60\; 10^{-19} \right)^2} \simeq 5,25\; 10^{-11}\; m\;</math> soit «<math>\;a_{\text{min}} \simeq 0,53\; \text{Å}\;</math>»<ref name="angström"> L'angström <math>\;1\;\text{Ǻ} = 10^{-10}\; m\;</math> est une unité de longueur adaptée à la [[w:Physique_atomique|physique atomique]], elle a été choisie pour rendre hommage à « '''[[w:Anders_Jonas_Ångström|Anders Jonas Ångström]] (1814 - 1874)''', astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle, un des fondateurs de la [[w:Spectroscopie|spectroscopie]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Numériquement on trouve <math>\;\color{transparent}{a_{\text{min}} = \dfrac{\left( 1,05\; 10^{-34} \right)^2}{9,00\; 10^9 \times 9,11\; 10^{-31} \times \left( 1,60\; 10^{-19} \right)^2} \simeq 5,25\; 10^{-11}\; m}\;</math> soit }}correspondant effectivement au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental.}} === Détermination de la valeur minimale de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome === {{Al|5}}Déterminer la valeur minimale <math>\;E_{\text{min}}\;</math> de l'expression approchée de <math>\;E</math>. {{Al|5}}Faire l'A.N. ; ce calcul donnant l'ordre de grandeur de l'énergie de l'atome d'hydrogène dans l'état fondamental, est-il conforme à celui de vos connaissances ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'énergie mécanique minimale vaut «<math>\;E_{\text{min}} \simeq \dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a_{\text{min}}^2} - \dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; a_{\text{min}}} = \dfrac{\hbar^2}{2\; m_e \left( \dfrac{4\; \pi\; \varepsilon_0\; \hbar^2}{m_e\; e^2} \right)^{\!\!2}} - \dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; \dfrac{4\; \pi\; \varepsilon_0\; \hbar^2}{m_e\; e^2}} = \dfrac{m_e\; e^4}{32\; \pi^2\; \varepsilon_0^2\; \hbar^2} - \dfrac{m_e\; e^4}{16\; \pi^2\; \varepsilon_0^2\; \hbar^2} = -\dfrac{m_e\; e^4}{32\; \pi^2\; \varepsilon_0^2\; \hbar^2}\;</math>» ; {{Al|5}}numériquement «<math>\;E_{\text{min}} \simeq -\dfrac{9,11\; 10^{-31} \times \left( 1,60\; 10^{-19} \right)^4 \times \left( 9,00\; 10^9 \right)^2}{2 \times \left( 1,05\; 10^{-34} \right)^2} \simeq -2,19\; 10^{-18}\; J\;</math>» ou, en <math>\;eV\;</math><ref name="eV"> Unité adaptée au problème d'échelle atomique l'électronVolt, on rappelle que <math>\;1\; eV = 1,60\; 10^{-19}\; J</math>.</ref> «<math>\;E_{\text{min}} \simeq \dfrac{-2,19\; 10^{-18}}{1,60\;10^{-19}} \simeq -13,70\; eV\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|numériquement «<math>\;\color{transparent}{E_{\text{min}} \simeq -9,11\; 10^{-31} \times \left( 1,60\; 10^{-19} \right)^4 \times \left( 9,00\; 10^9 \right)^2 \simeq -2,19\; 10^{-18}\; J}\;</math>» ou, en <math>\;\color{transparent}{eV}\;</math> }}de même ordre de grandeur que <math>\;-13,5\; eV\;</math> valeur de <br>{{Al|11}}{{Transparent|numériquement «<math>\;\color{transparent}{E_{\text{min}} \simeq -9,11\; 10^{-31} \times \left( 1,60\; 10^{-19} \right)^4 \times \left( 9,00\; 10^9 \right)^2 \simeq -2,19\; 10^{-18}\; J}\;</math>» ou, en <math>\;\color{transparent}{eV}\;</math> de même ordre de grandeur que }}l'énergie de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental<ref> L'écart entre la valeur théorique fournie par le texte et la valeur expérimentale étant de <math>\;\dfrac{0,20}{13,5} \simeq 1,5\; \%\;</math> par défaut relativement à la valeur expérimentale de l'énergie de l'électron dans l'état fondamental ; <br>{{Al|3}} l'écart <math>\;\big(</math>toutefois faible<math>\big)\;</math> résulte de la modélisation de l'électron ayant trois degrés de liberté <math>\;\big(</math>un linéaire correspondant à l'écartement de l'électron relativement au proton et deux angulaires<math>\big)\;</math> en un point à trois degrés de liberté linéaires <math>\;\big(</math>écartements linéaires relativement au proton des projetés de l'électron sur trois axes orthogonaux se coupant en la position du proton, degrés de liberté supposés indépendants les uns des autres, revoir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#cite_note-approximation_pour_l'énergie_d'un_atome_d'hydrogène-1|¹]] » plus haut dans l'exercice<math>\big)</math>, cette approximation suffit pour induire une très légère erreur <math>\;\ldots</math></ref>.}} === Expression de l'énergie mécanique de l'électron considéré comme particule en mouvement circulaire dans l'atome === {{Al|5}}En considérant l'aspect corpusculaire des électrons, déterminer, dans le cadre de la mécanique classique newtonienne, l'expression de l'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> de l'électron en orbite circulaire de rayon <math>\;a\;</math> autour du noyau en fonction, entre autres, de <math>\;a</math> <math>\;\big(</math>on prenadra la référence de l'énergie potentielle<ref name="référence d'une énergie potentielle" /> électrostatique à l'infini<math>\big)</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Nous plaçant dans le cadre de la mécanique classique newtonienne et dans le référentiel protocentrique<ref> C.-à-d. lié au centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math> du proton et en translation rectiligne par rapport au référentiel d'étude galiléen.</ref> supposé galiléen<ref> Dans la mesure où aucune force extérieure ne s'applique à l'atome, ce dernier est isolé et le C.D.I. de l'atome a un mouvement rectiligne uniforme <math>\;\big(</math>M.R.U.<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_de_l'inertie_et_référentiels_galiléens#Théorème_de_l'inertie_(en_dynamique_newtonienne)|théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}la masse du proton étant approximativement <math>\;2000\;</math> fois plus grande que celle de l'électron, le C.D.I. du proton se confond en 1^ère approximation avec celui de l'atome et donc le C.D.I. du proton a aussi un M.R.U. dans le référentiel d'étude galiléen, ce qui entraîne que le référentiel protocentrique peut être considéré comme galiléen selon la propriété « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_de_l'inertie_et_référentiels_galiléens#Propriété_liant_deux_référentiels_galiléens|propriété liant deux référentiels galiléens]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}usuellement l'origine du repère associé au référentiel protocentrique est choisi au C.D.I. du proton, lequel se confond avec le proton dans la mesure où ce dernier est supposé ponctuel.</ref>, l'électron <math>\;M\;</math> décrit un mouvement circulaire de rayon <math>\;r\;</math> autour du proton <math>\;O\;</math> en étant soumis à la seule force électrostatique attractive que le proton exerce sur lui à savoir «<math>\;\vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{u}_r = \dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM}\;</math> est le 1^er vecteur de base polaire lié à <math>\;M\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> du plan de la trajectoire<ref name="repérage polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », plus exactement son cas particulier de repérage polaire <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;z = 0\big)</math>. <br>{{Al|3}}Relativement au paragraphe ci-dessus <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> est noté <math>\;\vec{u}_r\;</math> et <math>\;\rho\;</math> notée <math>\;r</math>.</ref>, <math>\;r = OM\;</math> étant sa coordonnée radiale<ref name="repérage polaire" /> ; {{Al|5}}d'une part appliquant à l'électron la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. nous obtenons «<math>\;\vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = m_e\;\vec{a}(M)\;</math>»<ref name="application de la r.f.d.n."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Autre_forme_de_la_relation_fondamentale_spécifique_à_la_dynamique_newtonienne,_la_«_r.f.d.n._»|autre forme de la relation fondamentale spécifique à la dynamique newtonienne, la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|d'une part }}projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient <math>\;\succ\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> : «<math>\;0 = m_e\;a_\theta\;</math>» soit «<math>\;a_\theta = 0\;</math>» <math>\;\big\{</math>pas d'accélération orthoradiale<ref name="composantes polaires de l'accélération"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », plus exactement son cas particulier de composantes polaires <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;a_z = 0\;\forall\;t\big)</math>. <br>{{Al|3}}Relativement au paragraphe ci-dessus l'accélération radiale <math>\;a_\rho\;</math> est notée <math>\;a_r</math>, <math>\;\rho(t)\;</math> notée <math>\;r(t)</math> ainsi que <math>\;\dot{\rho}(t)\;</math> notée <math>\dot{r}(t)\;</math> et <math>\;\ddot{\rho}(t)\;</math> notée <math>\;\ddot{r}(t)</math>.</ref><math>\big\}\;</math> ou, en utilisant l'expression de l'accélération orthoradiale d'un mouvement circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;r(t) = r = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{r}(t) = 0\;</math> et <math>\;\ddot{r}(t) = 0</math>, d'où la réécriture de l'accélération orthoradiale <math>\;a_\theta = r\;\ddot{\theta} + \cancel{2\;\dot{r}\;\dot{\theta}} = r\;\ddot{\theta}\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : «<math>\;\color{transparent}{0 = m_e\;a_\theta}\;</math>» soit }}«<math>\;a_\theta = 0\;</math>» se réécrit <math>\;\ddot{\theta} = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta} = cste\;</math> ou «<math>\;\omega = cste\;</math>» c'est-à-dire un <u>mouvement uniforme</u>, {{Al|5}}{{Transparent|d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient }}<math>\;\succ\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math> : «<math>\;-\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r^2} = m_e\;a_r\;</math>» soit «<math>\;a_r = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;m_e\;r^2}\;</math>» <math>\;\big\{</math>accélération radiale<ref name="composantes polaires de l'accélération" /> centripète<ref> C.-à-d. toujours dirigée vers le centre.</ref><math>\big\}\;</math> ou, en utilisant l'expression de l'accélération radiale d'un mouvement circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;r(t) = r = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{r}(t) = 0\;</math> et <math>\;\ddot{r}(t) = 0</math>, d'où la réécriture de l'accélération radiale <math>\;a_r = \cancel{\ddot{r}} - r\;\dot{\theta}^2 = -r\;\dot{\theta}^2\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_r}</math> : «<math>\;\color{transparent}{-\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r^2} = m_e\;a_r}\;</math>» soit }}«<math>\;a_r = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;m_e\;r^2}\;</math>» se réécrit <math>\;\dot{\theta}^2 = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;m_e\;r^3}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dot{\theta} = \omega = \sqrt{\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;m_e\;r^3}}\;</math>»<ref> En ayant choisi le sens <math>\;+\;</math> dans le sens du mouvement.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_r}</math> : «<math>\;\color{transparent}{-\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r^2} = m_e\;a_r}\;</math>» soit «<math>\;\color{transparent}{a_r = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;m_e\;r^2}}\;</math>» se réécrit <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}^2 = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;m_e\;r^3}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;v = r\;\omega = \sqrt{\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;m_e\;r}}\;</math>»<ref> La vitesse radiale <math>\;V_\rho = \dot{\rho}\;</math> étant nulle dans un mouvement circulaire, le vecteur vitesse est donc orthoradial, sa composante s'écrivant <math>\;V_\theta = \rho\;\dot{\theta}\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », plus exactement son cas particulier de composantes polaires {{Nobr|<math>\;\big(</math>correspondant}} à <math>\;V_z = 0\;\forall\;t\big)</math>. <br>{{Al|3}}Relativement au paragraphe ci-dessus la vitesse radiale <math>\;V_\rho\;</math> est notée <math>\;V_r</math>, <math>\;\rho(t)\;</math> notée <math>\;r(t)</math> ainsi que <math>\;\dot{\rho}(t)\;</math> notée <math>\dot{r}(t)</math>. <br>{{Al|3}}Dans le cas d'un mouvement circulaire de centre <math>\;O\;</math> et choisissant d'orienter le cercle dans le sens des <math>\;\theta \nearrow</math>, le vecteur unitaire tangentiel de Frenet <math>\;\vec{\tau}\;</math> s'identifie au vecteur unitaire orthoradial <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> et la composante de Frenet du vecteur vitesse <math>\;\big\{</math>c.-à-d. la vitesse instantanée<math>\;v(t)\big\}\;</math> à la composante orthoradiale de ce dernier <math>\;V_\theta(t)</math> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|d'une part }}nous en déduisons l'énergie cinétique de l'électron dans le référentiel protocentrique «<math>\;K = \dfrac{1}{2}\;m_e\;v^2 = \dfrac{e^2}{8\;\pi\;\varepsilon_0\;r}\;</math>» ; {{Al|5}}d'autre part l'énergie potentielle électrostatique de l'électron dans le champ électrique du proton avec choix de référence<ref name="référence d'une énergie potentielle" /> à l'infini s'explicite selon «<math>\;\mathcal{E}_{p,\, \text{électrost}}(M) = -\dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; r}\;</math>»<ref name="énergie potentielle électrostatique" /> ; <br>{{Al|5}}nous en déduisons l'énergie mécanique classique de l'électron en mouvement circulaire de rayon <math>\;r = a\;</math> autour du proton «<math>\;E_m(M) = K(M) + \mathcal{E}_{p,\, \text{électrost}}(M) = -\dfrac{e^2}{8\; \pi\; \varepsilon_0\; a}\;</math>».}} === Inégalité de Heisenberg comme base de la stabilité des atomes === {{Al|5}}Admettant qu'un électron en mouvement dans le cadre de la mécanique classique, perd de l'énergie par rayonnement électromagnétique, on en déduit que le modèle classique de l'atome ne peut être un état de stabilité ; expliquer alors la phrase suivante : <center>« C'est l'[[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> qui est à la base de la stabilité des atomes ».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le cadre de la mécanique classique, l'électron en mouvement circulaire de rayon <math>\;r = a\;</math> autour du proton ayant une énergie mécanique «<math>\;E_m(M) = -\dfrac{e^2}{8\; \pi\; \varepsilon_0\; a}\;</math>» et perdant de l'énergie par rayonnement électromagnétique <math>\Rightarrow</math> <math>\;E_m(M) \searrow\;</math> et par suite son mouvement ne peut pas rester circulaire<ref> Puisque l'énergie mécanique <math>\;E_m(M)\;</math> de l'électron en mouvement circulaire autour du proton est inversement <math>\;\propto\;</math> à la distance <math>\;a\;</math> électron - proton, si l'énergie <math>\;\searrow</math>, la distance <math>\;a\;</math> électron - proton doit varier <math>\Rightarrow</math> le mouvement cesse d'être circulaire</ref>, il est au mieux pseudo-circulaire avec un pseudo-rayon <math>\;a \searrow\;</math><ref> En effet l'énergie étant <math>\;< 0</math>, quand celle-ci <math>\;\searrow</math>, sa valeur absolue <math>\;\nearrow\;</math> et comme elle est inversement <math>\;\propto\;</math> à la distance <math>\;a\;</math> électron - proton, celle-ci <math>\;\searrow</math>.</ref> et ceci jusqu'à <math>\;a \simeq 0</math> ; {{Al|5}}en conséquence, <u>dans le cadre de la mécanique classique</u>, les « atomes d'hydrogène »<ref name="généralisation à tous les atomes"> Mais ceci serait aussi vrai pour tous les atomes.</ref> devraient avoir une <u>durée de vie limitée</u>, leur état final devant correspondre à <u>l'électron effondré sur le proton</u>. {{Al|5}}Dans le cadre de la mécanique quantique, l'électron de l'atome d'hydrogène ayant une énergie «<math>\;E \simeq \dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a^2} - \dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; a}\;</math>»<ref name="approximation pour l'énergie d'un atome d'hydrogène" /> composée de deux termes <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cadre de la mécanique quantique, }}dont le 1^er «<math>\;\dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a^2}\;</math>» représentant l'énergie cinétique a été interprété par « utilisation de l'[[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> »<ref> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Interprétation_de_chaque_terme_de_l'expression_de_l'énergie_de_l'électron_dans_l'atome|interprétation de chaque terme de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome]] » plus haut dans cet exercice.</ref> avec <math>\;\dfrac{\hbar^2}{2\; m_e\; a^2} \nearrow\;</math> quand <math>\;a \searrow\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cadre de la mécanique quantique, }}dont le 2^nd «<math>\;- \dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; a}\;</math>» représentant l'énergie potentielle électrostatique<ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec <math>\;-\dfrac{e^2}{4\, \pi\, \varepsilon_0\, a} \searrow\;</math> quand <math>\;a \searrow\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cadre de la mécanique quantique, }}variation contraire permettant « une valeur minimale de l'énergie pour une valeur de <math>\;a \neq 0\;</math> correspondant à l'état fondamental »<ref> Il faut également dire que l'électron n'étant plus considéré comme une particule suivant une trajectoire précise, la perte d'énergie par rayonnement électromagnétique n'est plus applicable <math>\;\big\{</math>cette perte d'énergie par rayonnement électromagnétique ne l'étant que dans le cadre de la mécanique non ondulatoire, de plus, dans le cadre de la mécanique classique, elle se fait de façon continue pour n'importe quelle valeur d'énergie <math>\;\big(</math>alors qu'expérimentalement les pertes d'énergie des atomes excités sont quantifiées<math>\big)\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère un atome d'hydrogène dans un état excité <math>\;\big(</math>de durée de vie limitée<math>\big)</math>, la perte d'énergie est quantifiée <math>\;\big(</math>émission de photon<math>\big)\;</math> faisant passer l'électron du niveau d'énergie excité à un niveau d'énergie inférieur ou au niveau fondamental <math>\;\big(</math>de durée de vie infinie<math>\big)</math>.</ref> ; <center><u>conclusion</u> : c'est donc bien la présence du 1^er terme interprété par [[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> qui explique la stabilité des atomes d'hydrogène<ref name="généralisation à tous les atomes" />.</center>}} == Notes et références == \big <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique/]] }} 2xffkugeqw0ktvub4aptjt5tth9zg4y 0 66448 982845 965652 2026-05-15T13:12:33Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982845 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini | idfaculté = physique | numéro = 8 | chapitre = [[../../Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini/]] | précédent = [[../Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques/]] | suivant = [[../Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Le laser - Lune == {{Al|5}}Pour mesurer la distance Terre - Lune avec une précision de quelques millimètres, on envoie un faisceau laser en direction de la Lune. {{Al|5}}Une partie de la lumière du laser est réfléchie par un « rétroréflecteur », dispositif qui a la propriété de renvoyer la lumière dans la direction d'où elle arrive et qui a été déposé sur le sol lunaire par les astronautes de la mission <math>\;\text{Apollo}\; 11\;</math> en <math>\;1969</math>. {{Al|5}}Un télescope terrestre recueille ensuite une partie de la lumière renvoyée par le « rétroréflecteur ». {{Al|5}}La mesure précise de la durée <math>\;\tau\;</math> de l'aller - retour de la lumière entre la surface terrestre et la surface lunaire permet de déduire la distance <math>\;D\;</math> entre ces surfaces. === Évaluation de la durée de l'aller - retour de la lumière entre la Terre et la Lune connaissant la distance les séparant === {{Al|5}}Sachant que <math>\;D \simeq 3,76\; 10^8\; m</math>, évaluer <math>\;\tau</math>. {{Al|5}}La précision de l'horloge atomique utilisée étant de <math>\;50\; ps</math>, calculer la précision relative sur la valeur de <math>\;\tau</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La durée de l'aller - retour de la lumière entre la Terre et la Lune se calcule selon <math>\;\tau = \dfrac{2\; D}{c} = \dfrac{2 \times 3,76\; 10^8}{3,00\; 10^8}\;</math> en <math>\;s\;</math> soit un ordre de grandeur de <center><math>\;\tau \simeq 2,51\; s\;</math><ref> Plus précisément la célérité de la lumière est <math>\;c \simeq 2,99792458\; 10^8\; m \cdot s^{-1}</math>.</ref> compte-tenu de l'ordre de grandeur donné pour <math>\;D</math>.</center> {{Al|5}}Si l'incertitude absolue sur cette durée est celle de l'horloge atomique utilisée soit <math>\;50\; ps</math>, la précision relative est <math>\;\dfrac{\Delta \tau}{\tau} = \dfrac{50\; 10^{-12}}{2,51} \simeq 1,99\; 10^{-11}</math>, soit <center><math>\;\dfrac{\Delta \tau}{\tau} \simeq 2\, 10^{-11}\;</math><ref> Cette précision ayant pour conséquence que les <math>\;10\;</math> 1^ers chiffres suivant la virgule dans la mesure de <math>\;\tau\;</math> sont assurés et que l'imprécision ne porte que le 11^ème chiffre ; <br>{{Al|3}}supposant <math>\;c\;</math> connue avec une meilleure précision, on en déduit que l'incertitude relative sur <math>\;\tau\;</math> est identique à celle sur <math>\;D\;</math> et une précision relative sur la distance « surface terrestre - surface lunaire » de <math>\;2\; 10^{-11}\;</math> correspond à une incertitude absolue de <math>\;2\; 10^{-11} \times 3,76\; 10^8\;</math> en <math>\;m\;</math> soit de <math>\;7,5\; mm</math>, permettant de connaître la distance « Terre - Lune » au centimètre près.</ref>.</center>}} === Connaissant le diamètre du faisceau au départ de la Terre, détermination du diamètre de la tache sur le sol lunaire === {{Al|5}}Le faisceau au départ de la Terre a un diamètre <math>\;a = 1,50\; m\;</math> et sa longueur d'onde dans le vide est <math>\;\lambda_0 = 532\; nm</math>. Calculer son rayon angulaire <math>\;\big(</math>ou demi-angle d'ouverture<math>\big)\;</math> dû à la diffraction du faisceau théoriquement cylindrique par la pupille de sortie du laser. {{Al|5}}En déduire le diamètre de la tache que fait le faisceau sur le sol lunaire. {{Solution|contenu = [[File:Laser-Lune - diffraction.png|thumb|400px|Diffraction par la pupille de sortie du faisceau théoriquement cylindrique du laser-Lune situé sur la Terre ainsi que, pour le retour, par le « rétroréflecteur » positionné sur la Lune]] {{Al|5}}Le faisceau au départ de la Terre ayant un diamètre <math>\;a = 1,50\; m\;</math> et sa longueur d'onde dans le vide étant <math>\;\lambda_0 = 532\; nm</math>, le « faisceau principal de diffraction »<ref> C.-à-d. la partie du faisceau dont l'intersection avec le sol lunaire est la tache d'Airy. <br>{{Al|3}}Voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#cite_note-Airy-5|⁵]] » plus bas dans cet exercice pour plus de détails sur '''[[w:George_Biddell_Airy|Airy]]'''.</ref> a pour rayon angulaire <math>\;\big(</math>ou demi-angle d'ouverture<math>\big)</math> <math>\;\theta\;</math> tel que <math>\;\sin(\theta) = 1,22\; \dfrac{\lambda_0}{a} = 1,22 \times \dfrac{532\; 10^{-9}}{1,50} \simeq</math> <math>4,327\; 10^{-7} \ll 1\;</math> d'où <center><math>\;\theta \simeq 4,327\; 10^{-7}\; rad \simeq 0,089\; \text{'' d'angle}\;</math><ref name="seconde d'angle"> On rappelle qu'il y a <math>\;3600\; \text{'' d'angle}\;</math> dans <math>\;1\; \text{°}\;</math> et bien sûr <math>\;\dfrac{180}{\pi} \simeq 57,3\; \text{°}\;</math> dans <math>\;1\; \text{rad}</math>.</ref>, ce qui est très petit.</center> {{Al|5}}Le rayon <math>\;r\;</math> de la tache d'Airy<ref name="Airy"> '''[[w:George_Biddell_Airy|George Biddell Airy]] (1801 - 1892)''' mathématicien, astronome, [[w:Géodésie|géodésien]] et physicien britannique à qui on doit, entre autres, une théorie des [[w:Arc_en_ciel|arcs-en-ciel]], de nombreuses mesures pendulaires permettant de mesurer la masse de la Terre et la constante de gravitation universelle, ainsi que l'utilisation, dans ses calculs d'optique, de [[w:Fonction_spéciale|fonctions spéciales]] mathématiques particulières [[w:Fonction_d'Airy|portant son nom]] pour lui rendre hommage.</ref> que fait le faisceau sur le sol lunaire se calcule par <math>\;\tan(\theta) = \dfrac{r}{D}\;</math> soit <math>\;r = D\; \tan(\theta)\;</math> et, comme <math>\;\theta \ll 1</math>, le rayon se réécrit <math>\;r \simeq D\; \theta\;</math> donnant un diamètre double <center><math>\;d \simeq 2\; D\; \theta \simeq 2,44\; \dfrac{D\; \lambda_0}{a}</math> ;</center> {{Al|5}}numériquement on trouve <math>\;d \simeq 2 \times 3,76\; 10^8 \times 4,327\; 10^{-7}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;d \simeq 325\; m\;</math>».}} === Détermination de la fraction de la puissance lumineuse émise par la Terre et reçue par le « rétroréflecteur » de la Lune === {{Al|5}}Le « rétroréflecteur » étant un carré de côté <math>\;l = 1\; m</math>, calculer la fraction <math>\;\rho\;</math> de la puissance lumineuse émise par la Terre qui est reçue par le « rétroréflecteur ». {{Solution|contenu ={{Al|5}}Si on admet que la tache d'Airy<ref name="Airy" /> correspond à un éclairement <math>\;\mathcal{E}_0\;</math> uniforme<ref name="hypothèse simplificatrice"> Hypothèse simplificatrice mais en fait ce n'est absolument pas uniforme.</ref>, la fraction de la puissance lumineuse réfléchie par le « rétroréflecteur » est <center><math>\;\rho = \dfrac{\mathcal{E}_0\; l^2}{\mathcal{E}_0\; \pi\; \dfrac{d^2}{4}}\;</math> soit encore <math>\;\rho = \dfrac{4\; l^2}{\pi\; d^2} \simeq \dfrac{4 \times 1^2}{\pi \times 325^2} \simeq 1,21\ 10^{-5}\;</math> <br>et finalement <u>la fraction de puissance réfléchie relativement à la puissance reçue correspondant à la tache d'Airy</u><ref name="Airy" /> est approximativement <math>\;\rho \simeq 10^{-5}\;</math><ref> Ce n'est qu'un ordre de grandeur en effet : <br>{{Al|3}}on sous-estime légèrement la puissance reçue par la Lune en négligeant celle correspondant aux anneaux de diffraction entourant la tache d'Airy, donc « on surestime légèrement la fraction renvoyée » mais <br>{{Al|3}}si le « rétroréflecteur » est centré sur la tache d'Airy, l'éclairement y est supérieur à l'éclairement moyen <math>\;\mathcal{E}_0\;</math> et par suite on sous-estime la puissance renvoyée par le « rétroréflecteur » et donc « on sous-estime la fraction renvoyée » ; <br>{{Al|3}}il est néanmoins vraisemblable que la sous-estimation de <math>\;\rho\;</math> est plus importante que la surestimation <math>\; \ldots\;</math> <math>\;\rho \simeq 2\; 10^{-5}\;</math> serait certainement une meilleure estimation <math>\; \ldots\;</math> <br>{{Al|3}}il serait possible de faire un calcul plus exact dans la mesure où on connaît la répartition de l'éclairement dans la tache d'Airy d'une part et d'autre part la position du « rétroréflecteur » dans la tache d'Airy <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Allure_de_l'amplitude_de_l'onde_diffractée_à_l'infini_par_un_diaphragme,_en_fonction_de_l'angle_d'observation|allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme, en fonction de l'angle d'observation]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}Voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#cite_note-Airy-5|⁵]] » plus haut dans cet exercice pour plus de détails sur '''[[w:George_Biddell_Airy|Airy]]'''.</ref>.</center>}} === Perte de puissance lumineuse captée par le télescope récepteur de la Terre === {{Al|5}}Expliquer pourquoi le télescope récepteur à la surface de la Terre<ref> Nous supposerons la taille du télescope récepteur à la surface de la Terre de même taille que le « rétroréflecteur » positionné sur la Lune.</ref> ne capte qu'une très faible fraction <math>\;\rho'\;</math> de la lumière réfléchie par le « rétroréflecteur ». {{Al|5}}Au total la puissance lumineuse reçue à l'arrivée étant environ <math>\;10^{-17}\;</math> fois la puissance lumineuse émise au départ, estimez-vous que la diffraction soit la seule cause des pertes ? {{Solution|contenu = [[File:Laser-Lune - diffraction.png|thumb|400px|Diffraction par la pupille de sortie du faisceau théoriquement cylindrique du laser-Lune situé sur la Terre ainsi que, pour le retour, par le « rétroréflecteur » positionné sur la Lune]] {{Al|5}}Le faisceau au départ de la Lune étant de section carrée de côté <math>\;l = 1,00\; m\;</math> et sa longueur d'onde dans le vide étant toujours <math>\;\lambda_0 =</math> <math>532\; nm</math>, le « faisceau principal de diffraction »<ref> C.-à-d. la partie du faisceau dont l'intersection avec le sol terrestre est la tache principale de diffraction <math>\;\big[</math>la section étant carrée et non plus un disque, la tache principale est également carrée et non plus la tache d'Airy <math>\;-\;</math> voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Diffraction_par_un_voilage|diffraction par un voilage]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}Voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#cite_note-Airy-5|⁵]] » plus haut dans cet exercice pour plus de détails sur '''[[w:George_Biddell_Airy|Airy]]'''.</ref> a pour rayon angulaire <math>\;\big(</math>ou demi-angle d'ouverture<math>\big)</math> <math>\;\theta'\;</math> tel que <math>\;\sin(\theta') = \dfrac{\lambda_0}{l} = \dfrac{532\; 10^{-9}}{1,00}</math> <math>\simeq 5,32\; 10^{-7} \ll 1\;</math> d'où <center><math>\;\theta' \simeq 5,32\; 10^{-7}\; rad \simeq 0,110\; \text{'' d'angle}\;</math><ref name="seconde d'angle" />, ce qui est encore très petit.</center> {{Al|5}}Le demi-côté <math>\;\dfrac{l'}{2}\;</math> de la tache principale de diffraction que fait le faisceau sur le sol terrestre se calcule par <math>\;\tan(\theta') =</math> <math>\dfrac{\dfrac{l'}{2}}{D}\;</math> ce qui donne <math>\;\dfrac{l'}{2} =</math> <math>D\; \tan(\theta')\;</math> et, comme <math>\;\theta' \ll 1</math>, <math>\;\dfrac{l'}{2} \simeq D\; \theta'\;</math> soit un côté <center><math>\;l' \simeq 2\; D\; \theta' \simeq 2\; \dfrac{D\; \lambda_0}{l}</math> ;</center> {{Al|5}}numériquement on trouve <math>\;l' \simeq 2 \times 3,76\; 10^8 \times 5,32\; 10^{-7}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;l' \simeq 400\; m\;</math>». {{Al|5}}Si on admet que la tache principale de diffraction correspond à un éclairement <math>\;\mathcal{E}'_0\;</math> uniforme<ref name="hypothèse simplificatrice" />, la fraction de la puissance lumineuse reçue par le télescope relativement à celle réfléchie par le « rétroréflecteur » est <math>\;\rho' = \dfrac{\mathcal{E}'_0\; l^2}{\mathcal{E}'_0\; l'^2}\;</math> <center>soit encore <math>\;\rho' = \dfrac{l^2}{l'^2} \simeq \dfrac{1^2}{400^2} \simeq 6,25\; 10^{-6}\;</math> et finalement <br><u>la fraction de puissance reçue par le télescope relativement à la puissance reçue transportée dans le faisceau principal de diffraction</u> est <br>approximativement <math>\;\rho' \simeq 0,5\, 10^{-5}\;</math><ref> C.-à-d. la moitié de fraction de puissance réfléchie par le « rétroréflecteur » relativement à la puissance transportée dans le faisceau principal correspondant à la tache d'Airy. <br>{{Al|3}}Voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#cite_note-Airy-5|⁵]] » plus haut dans cet exercice pour plus de détails sur '''[[w:George_Biddell_Airy|Airy]]'''.</ref>.</center> {{Al|5}}Si on ne tenait compte que de la diffraction la puissance lumineuse reçue à l'arrivée serait approximativement égale à la fraction <math>\;\rho\; \rho' \simeq 5\; 10^{-11}\;</math> de la puissance lumineuse émise au départ et non à la fraction de <math>\;10^{-17}</math> ; <u>la diffraction n'est donc pas la seule cause de perte de puissance</u>, citons notamment les perturbations de l'atmosphère terrestre avec en particulier les phénomènes d'absorption <math>\; \ldots</math>}} == Mesure du diamètre d'un cheveu == {{Al|5}}Comment s'y prendre pour mesurer le diamètre d'un cheveu <math>\;\big(</math>de l'ordre de «<math>\;100\, \mu m\;</math>»<math>\big)\;</math> en utilisant un laser de longueur d'onde dans le vide «<math>\;\lambda_0 = 633\, nm\;</math>», un écran, une règle de «<math>\;20\, cm\;</math>» graduée et un mètre ruban de «<math>\;2\, m\;</math>» ? {{Al|5}}Quelle précision maximum peut-on atteindre sachant que la règle et le mètre sont gradués en millimètres ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}On peut mesurer le diamètre d'un cheveu en faisant diffracter la lumière d'un faisceau laser par le cheveu, <br>{{Al|5}}le phénomène de diffraction par un obstacle de largeur «<math>\;d\;</math>» étant « identique à celui d'une fente de même largeur »<ref> On peut s'étonner de l'identité des phénomènes car on passe d'une ouverture à un obstacle mais, dans les deux cas, il s'agit de la diffraction par un « bord » ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'une fente, le bord de gauche <math>\;\big(</math>en supposant horizontale la section de la fente<math>\big)\;</math> « étale » la lumière sur la gauche <math>\;\big(</math>là où il y aurait eu obscurité<math>\big)\;</math> et le bord de droite sur la droite <math>\;\big(</math>où il y aurait eu obscurité<math>\big)\;</math> d'où la tache centrale alors que, <br>{{Al|3}}dans le cas d'un obstacle <math>\;\big(</math>en supposant horizontale la section de l'obstacle<math>\big)</math>, le bord de gauche « étale » la lumière sur la droite <math>\;\big(</math>là où il y aurait eu obscurité<math>\big)\;</math> et le bord de droite sur la gauche <math>\;\big(</math>où il y aurait eu obscurité<math>\big)\;</math> d'où une tache centrale obtenue par recouvrement ; <br>{{Al|3}}le fait que <u>la figure de diffraction à l'infini d'un cheveu est la même que celle de la fente</u> « dans laquelle il s'incrusterait exactement » est une application du <u>[[w:Principe_de_Babinet|théorème de Babinet]]</u> des écrans « complémentaires » <math>\;\big(</math>des écrans tels que l'un s'incruste dans l'autre en donnant un écran totalement opaque sont dits « complémentaires »<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Jacques_Babinet|Jacques Babinet]] (1794 - 1872)''' est un mathématicien, physicien, astronome et météorologue français, surtout connu pour son invention du [[w:Compensateur_de_Soleil-Babinet#Compensateur_de_Babinet|compensateur de Babinet]] utilisé dans l'étude de la [[w:Biréfringence|biréfringence]], mais aussi son invention d'un [[w:Goniomètre|goniomètre]], d'un polariscope <math>\;\big(</math>se composant de deux [[w:Polariseur|polariseurs]] et d'une source de lumière, utilisant la propriété de [[w:Photoélasticimétrie|photélasticimétrie]] basée sur la [[w:Biréfringence|biréfringence]] des matériaux acquise sous l'effet des contraintes<math>\big)\;</math> et d'un [[w:Photomètre|photomètre]] entre autres <math>\;\ldots</math></ref> ; [[File:Diffraction par un cheveu - dispositif.png|thumb|300px|Dispositif pour observer la diffraction par un cheveu sur un écran situé à une distance <math>\;D\;</math> du cheveu.]] {{Al|5}}voir la figure ci-contre pour la définition de la largeur de la tache principale de diffraction ; {{Al|5}}notant «<math>\;d\;</math>» le diamètre du cheveu et plaçant l'écran à une distance «<math>\;D\;</math>» suffisamment grande pour être considérée comme infinie <math>\;\big(</math>«<math>\;D \simeq qq\, m\;</math>» que l'on peut mesurer à l'aide du mètre ruban de «<math>\;2\, m\;</math>» de long<math>\big)</math>, on observe une figure de diffraction dont la tache centrale <math>\;\big(</math>la plus lumineuse<math>\big)\;</math> est de largeur «<math>\;L\;</math>» que l'on mesure à l'aide de la règle graduée de «<math>\;20\, cm\;</math>» de long, cette largeur étant liée au demi angle d'ouverture du faisceau central «<math>\;\theta \ll 1\;</math>» par <center>«<math>\;\tan(\theta) = \dfrac{L}{2\, D}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;L = 2\, D\, \tan(\theta) \simeq 2\, D\; \theta\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le rayon angulaire d'ouverture du faisceau central de diffraction est lié à la largeur de l'obstacle «<math>\;d\;</math>» et à la longueur d'onde «<math>\;\lambda_0\;</math>», par «<math>\;\sin(\theta) = \dfrac{\lambda_0}{d}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Expression_du_lien_entre_la_taille_de_l'ouverture,_la_longueur_d'onde_et_l'échelle_angulaire_du_phénomène_de_diffraction|expression du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ou, avec «<math>\;\theta \ll 1\;</math>», «<math>\;\theta \simeq \dfrac{\lambda_0}{d}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] (fonction sinus au voisinage de zéro) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans lequel «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math>».</ref>, d'où l'expression de la largeur de la tache centrale «<math>\;L \simeq \dfrac{2\, D\, \lambda_0}{d}\;</math>» dont on déduit la largeur de l'obstacle «<math>\;d \simeq \dfrac{2\, D\, \lambda_0}{L}\;</math>». {{Al|5}}Si on impose «<math>\;D = 2,000\, m\;</math>», avec une incertitude estimée pouvant être de «<math>\;\Delta D = 1\, cm\;</math>»<ref> Il s'agit d'une incertitude de positionnement <math>\;\ldots</math></ref> soit une précision de «<math>\;\dfrac{\Delta D}{D} = 0,5\, \%\;</math>» et <br>{{Al|5}}si l'ordre de grandeur de «<math>\;d\;</math>» est de «<math>\;100\, \mu m\;</math>», pour une longueur d'onde dans le vide égale à «<math>\;\lambda_0 = 633\, nm\;</math>», on obtiendrait une largeur de tache centrale «<math>\;L \simeq \dfrac{2 \times 2,000 \times 633\, 10^{-9}}{100\, 10^{-6}} \simeq 2,5\ 10^{-2}\, m\;</math>» soit «<math>\;L \simeq 2,5\, cm\;</math>» mesurable avec une incertitude estimée de «<math>\;\Delta L = 1\, mm\;</math>»<ref> Cela peut sembler beaucoup compte-tenu du fait que l'on peut facilement mesurer à <math>\;0,5\, mm\;</math> près avec un double-décimètre mais il s'agit d'une incertitude sur la limite estimée du bord de la tache <math>\;\ldots</math></ref> soit une précision de «<math>\;\dfrac{\Delta L}{L} = 4\, \%\;</math>». {{Al|5}}Le calcul d'incertitude relative sur la mesure de «<math>\;d \simeq \dfrac{2\, D\, \lambda_0}{L}\;</math>» avec «<math>\;\lambda_0\;</math>» connue avec précision, nous conduit à «<math>\;\dfrac{\Delta d}{d} = \dfrac{\Delta D}{D} + \dfrac{\Delta L}{L} \simeq 0,5\, \% + 4,0\, \%\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Travaux_pratiques/Erreurs_et_incertitudes#Application_au_cas_«_z_=_xp_yq_»_où_«_p_et_q_sont_des_nombres_rationnels_relatifs_»|application au cas “ z = x^p y^q ” où “ p et q sont des nombres rationnels relatifs ”]] » du T.P.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit «<math>\;\dfrac{\Delta d}{d} \simeq 4,5\, \%\;</math>», ce qui donnerait <center>«<math>\;d = 101,5\, \mu m \pm 4,5\, \mu m\;</math>»<ref> En effet, mesurant «<math>\;L \simeq 2,5\, cm\;</math>» on trouve «<math>\;d \simeq \dfrac{2 \times 2,000 \times 633\, 10^{-9}}{2,5\, 10^{-2}} \simeq 101,3\; 10^{-6}\, m\;</math>» soit «<math>\;d \simeq 101,5\, \mu m\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|En effet, }}avec «<math>\;d \simeq 101,5\, \mu m\;</math>» et «<math>\;\dfrac{\Delta d}{d} \simeq 4,5\, \%\;</math>», on en déduit «<math>\;\Delta d \simeq 0,045 \times 101,5\, \mu m \simeq 4,5\, \mu m\;</math>».</ref> soit une mesure entre «<math>\;97\, \mu m\;</math> et <math>\;106\, \mu m\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques/]] | suivant = [[../Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus/]] }} 84f4bntuhc1qh1wi8z5t2qph7gadlm2 0 66454 982846 978374 2026-05-15T13:25:20Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982846 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D | idfaculté = physique | numéro = 20 | chapitre = [[../../Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D/]] | précédent = [[../Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Puits quantique à une dimension == === Puits quantique à une dimension de profondeur finie === [[File:Puits quantique à une dimension.png|thumb|300px|Diagramme du puits quantique à une dimension de profondeur <math>\;U_0\;</math> et de largeur <math>\;\mathfrak{a}\;</math> suivant l'abscisse <math>\;x</math>]] {{Al|5}}On considère une particule de masse <math>\;m\;</math> décrite par une fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(x,\,t)\;</math> évoluant dans un champ de force conservatif dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U(x)\;</math> dont le diagramme en fonction de l'abscisse <math>\;x\;</math> de la position est représenté ci-contre. {{Al|5}}Dans un 1^er temps, on considère un puits d'énergie potentielle de profondeur finie fixée à <math>\;U_0\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> La référence de l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'endroit où elle est choisie nulle<math>\big)\;</math> étant fixée au fonds du puits.</ref> <math>\;\big(</math>diagramme ci-contre<math>\big)</math>. <br><br><br> ==== Écriture de l'équation de Schrödinger suivie par la particule ==== {{Al|5}}Écrire l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] <ref name="Schrödinger"> '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de Schrödinger et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de Heisenberg, deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]]''' dans sa [[w:Théorie_des_distributions|théorie des distributions]] ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> à une dimension suivie par la particule. {{Al|5}}Préciser l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] <math>\;\widehat{\mathcal{H}}\! \left[ \; \right]\;</math> de la particule<ref name="hamiltonien d'une particule"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Construction_de_l'opérateur_linéaire_«_hamiltonien_»_d'une_particule_quantique_massique_non_relativiste|construction de l'opérateur linéaire hamiltonien d'une particule quantique massique non relativiste]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. <br><br><br> {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> suivie par une particule massique non relativiste dans un champ d'énergie potentielle <math>\;U(M,\,t)\;</math> s'écrit dans le cas général <center>«<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta_t\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right] + U(M,\, t)\; \underline{\psi}(M,\, t) = i\;\hbar \left( \dfrac{\partial \underline{\psi}}{\partial t} \right)_{\!\!M} (M,\, t)\;</math>»<ref name="opérateur laplacien"> On rappelle que l'opérateur linéaire <math>\;\Delta_t\left[ \; \right]\;</math> est l'opérateur linéaire du 2^ème ordre « laplacien », l'indice <math>\;_t\;</math> signifiant que les dérivations se font à <math>\;t\;</math> constant voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_du_champ_scalaire_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_par_l'image_de_l'opérateur_“nabla_scalaire_nabla”_sur_cette_fonction_scalaire|définition du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par l'image de l'opérateur “nabla scalaire nabla” sur une fonction scalaire]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}en repérage cartésien le laplacien s'écrit «<math>\;\left( \Delta \right)_t\left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} \right)_{\!y,\, z,\, t}\left[ \; \right] + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial y^2} \right)_{\!x,\, z,\, t}\left[ \; \right] + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!x,\, y,\, t}\left[ \; \right]\;</math>» voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_en_cartésien|expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où l'espace de localisation de l'onde de matière associée à la particule ainsi que le champ d'énergie potentielle sont à une dimension, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'espace de localisation de l'onde de matière associée à la particule ainsi que }}ce dernier étant indépendant du temps soit «<math>\;U(M,\,t) = U(x)\;\;\forall\;t\;</math>», l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> se réécrit <center>«<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\left[ \dfrac{\partial^2 \underline{\psi}}{\partial x^2} \right]_{\!t} (x,\, t) + U(x)\; \underline{\psi}(x,\, t) = i\;\hbar \left( \dfrac{\partial \underline{\psi}}{\partial t} \right)_{\!\!x} (x,\, t)\;</math>».</center> {{Al|5}}L'opérateur [[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] de la particule<ref name="hamiltonien d'une particule" /> est, dans le cas présent <center>«<math>\;\widehat{\mathcal{H}}\!\left[ \; \right] = \left\lbrace -\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\left[ \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} \right]_{\!t} + U(x) \times \right\rbrace\! \left[ \; \right]\;</math>».</center>}} ==== Signification physique de l'équation de Schrödinger suivie par la particule ==== {{Al|5}}Expliquer physiquement la signification de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> suivie par la particule ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expliquer physiquement la signification }}de la fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(x,\,t)\;</math><ref> On pourra pour cela faire un parallèle entre la mécanique quantique et la mécanique classique à travers le couple position-impulsion.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> est l'équation fondamentale de la mécanique quantique dans le cas non relativiste, c'est elle qui permet de décrire l'évolution à la fois temporelle et spatiale de la fonction d'onde ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>en mécanique quantique la fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(x,\,t)\;</math> est le pendant du couple « position - quantité de mouvement » <math>\;\left( x\, ,\, p_x \right)\;</math> de la mécanique classique, l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> remplaçant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>en mécanique classique la connaissance des forces s'exerçant sur la particule avec celle du couple « position - quantité de mouvement » initiales <math>\;\left( x_0\, ,\, p_{x,\,0} \right)\;</math> permet de déterminer l'évolution temporelle du couple « position - quantité de mouvement » <math>\;\left( x_t\, ,\, p_{x,\,t} \right)</math>, {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en mécanique quantique la connaissance du champ d'énergie potentielle dans laquelle baigne la particule avec celle de la fonction d'onde initiale <math>\;\underline{\psi}(x,\, 0)\;</math> permet de déterminer l'évolution temporelle de la fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(x,\, t)\;</math> à un facteur de phase près ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée en particulier la façon dont l'onde de matière associée à la particule se répartit dans l'espace à un instant donné ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée en particulier }}l'évolution de cette répartition en fonction du temps, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée }}c'est-à-dire la connaissance de la « densité linéique de probabilité de présence <math>\;\mathcal{P}_l(x,\,t) = \vert \underline{\psi}(x,\,t) \vert^2\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire }}le module carré de la fonction d'onde doit être de carré sommable, plus exactement, dans la mesure où la particule existe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire }}sa probabilité de présence sur tout l'axe <math>\;x'x\;</math> doit être égale à <math>\;1\;</math> soit «<math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \vert \underline{\psi}(x,\,t) \vert^2\; dx = 1\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire }}la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer toutes les valeurs moyennes utiles comme <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer }}celle de la position sur l'axe <math>\;x'x\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égale à <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer }}«<math>\;\left\langle x \right\rangle(t) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x\; \vert \underline{\psi}(x,\,t) \vert^2\; dx\;</math>».}} ==== Conséquences de l'indépendance de l'hamiltonien de la particule relativement au temps ==== {{Al|5}}Sachant que l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] <math>\;\widehat{\mathcal{H}}\! \left[ \; \right]\;</math> de la particule<ref name="hamiltonien d'une particule" /> est ici indépendant du temps, quelle forme prend la fonction <math>\;\underline{\psi}(x,\,t)\;</math><ref name="partie spatiale de fonction d'onde"> On notera <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math> la partie spatiale de la fonction d'onde.</ref> ? {{Al|5}}En déduire l'expression de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps<ref name="partie spatiale de fonction d'onde" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans la mesure où l'opérateur [[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] <math>\;\widehat{\mathcal{H}}\!\left[ \; \right] = \left\lbrace -\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\left[ \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} \right]_{\!t} + U(x) \times \right\rbrace\! \left[ \; \right]\;</math><ref name="hamiltonien d'une particule" /> est indépendant du temps, on peut rechercher la solution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> «<math>\;\widehat{\mathcal{H}}\!\left[ \underline{\psi} \right]\!(x,\,t) =</math> <math>i\;\hbar \left( \dfrac{\partial }{\partial t} \right)_{\!\!x}\!\left[ \underline{\psi} \right]\!(x,\,t)\;</math>» sous la forme d'un produit de fonctions de variables séparées c'est-à-dire «<math>\;\underline{\psi}(x,\,t) = \underline{\Psi}(x)\;\underline{f}(t)\;</math>» ce qui conduit à «<math>\;\left\lbrace \widehat{\mathcal{H}}\!\left[ \underline{\Psi} \right]\!(x) \right\rbrace \underline{f}(t) = \underline{\Psi}(x) \left\lbrace i\;\hbar\;\dfrac{d }{dt}\!\left[ \underline{f} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» et permet de séparer les variables en divisant les deux membres par <math>\;\underline{\Psi}(x)\;\underline{f}\;</math> soit, après simplification évidente dans chaque membre, «<math>\;\dfrac{\widehat{\mathcal{H}}\!\left[ \underline{\Psi} \right]\!(x)}{\underline{\Psi}(x)} = \dfrac{i\;\hbar\;\dfrac{d}{dt}\!\left[ \underline{f} \right]\!(t)}{\underline{f}(t)}\;</math>» ; {{Al|5}}sachant que la seule fonction qui soit à la fois une fonction de <math>\;x\;</math> seule et une fonction de <math>\;t\;</math> seule, <math>\;\big(x\;</math> et <math>\;t\;</math> étant des variables indépendantes<math>\big)</math>, est la fonction constante et <br>{{Al|5}}notant <math>\;\underline{\alpha}\;</math> cette valeur constante a priori arbitraire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|sachant }}l'équation de Schrödinger se sépare en deux équations <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \widehat{\mathcal{H}}\!\left[ \underline{\Psi} \right]\!(x) = \underline{\alpha}\; \underline{\Psi}(x)\\ i\;\hbar\; \dfrac{d}{dt}\!\left[ \underline{f} \right]\!(t) = \underline{\alpha}\; \underline{f}(t) \end{array} \right\rbrace\;</math> dont la 1^ère gère la partie spatiale de la fonction d'onde <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math> avec la position <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|sachant l'équation de Schrödinger se sépare en deux équations <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \widehat{\mathcal{H}}\!\left[ \underline{\Psi} \right]\!(x) = \underline{\alpha}\; \underline{\Psi}(x)\\ i\;\hbar\; \dfrac{d}{dt}\!\left[ \underline{f} \right]\!(t) = \underline{\alpha}\; \underline{f}(t) \end{array} \right\rbrace}\;</math> dont }}la 2^ème la partie temporelle de la fonction d'onde <math>\;\underline{f}(t)\;</math> avec le temps <math>\;t</math> ; {{Al|5}}la forme normalisée de la 2^ème équation <math>\;\dfrac{d \underline{f}}{dt}(t) + i\;\dfrac{\underline{\alpha}}{\hbar}\; \underline{f}(t) = 0\;</math> étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1^er ordre en <math>\;\underline{f}\;</math> homogène, admet pour « solution <math>\;\underline{f}(t) = \underline{A}\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{\underline{\alpha}}{\hbar}\;t \right)\;</math>»<ref name="équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une éuqation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme normalisée de la 2^ème équation <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \underline{f}}{dt}(t) + i\;\dfrac{\underline{\alpha}}{\hbar}\; \underline{f}(t) = 0}\;</math> étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{\underline{f}}\;</math> homogène, admet pour « }}celle-ci <math>\;\big(</math>compte-tenu du fait que le champ d'énergie potentielle est indépendant du temps<math>\big)\;</math> devant correspondre à une probabilité de présence indépendante du temps, le module de <math>\;\underline{f}(t)\;</math> doit aussi en être indépendant, ce qui nécessite que <math>\;\underline{\alpha}\;</math> soit réel<ref> En effet si on définit <math>\;\underline{\alpha} = a + i\;b</math>, on en déduit <math>\;\underline{f}(t) = \underline{A}\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{\underline{a}}{\hbar}\;t \right)\; \exp\! \left( \dfrac{\underline{b}}{\hbar}\;t \right)\;</math> d'où <math>\;\vert \underline{f}(t) \vert = \vert \underline{A} \vert\; \exp\! \left( \dfrac{\underline{b}}{\hbar}\;t \right)\;</math> dépendant du temps sauf si <math>\;b = 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme normalisée de la 2^ème équation <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \underline{f}}{dt}(t) + i\;\dfrac{\underline{\alpha}}{\hbar}\; \underline{f}(t) = 0}\;</math> étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{\underline{f}}\;</math> homogène, admet pour « }}on pose donc <math>\;\underline{\alpha} = E\;\in\;\mathbb{R}\;</math> <math>\big(</math>chaque valeur de <math>\;E\;</math> définissant une énergie possible de la particule<math>\big)\;</math> et la partie temporelle de la fonction d'onde se réécrit «<math>\;\underline{f}(t) = \exp\! \left( -i\;\dfrac{E}{\hbar}\;t \right)\;</math>»<ref> La constante <math>\;\underline{A}\;</math> précédemment inscrite dans <math>\;\underline{f}(t)\;</math> sera maintenant incluse dans la partie spatiale <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math> de la fonction d'onde.</ref> ; {{Al|5}}en introduisant la grandeur <math>\;E\;</math> précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1^ère équation se réécrit «<math>\;\widehat{\mathcal{H}}\!\left[ \underline{\Psi} \right]\!(x) = E\; \underline{\Psi}(x)\;</math>»<ref> Chaque valeur de <math>\;E\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. chaque valeur d'énergie possible de la particule<math>\big)\;</math> définit une valeur propre de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]], la fonction <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math> étant alors la fonction propre associée à la valeur propre de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]], voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Recherche_des_états_propres_de_l'opérateur_linéaire_«_hamiltonien_»_à_énergie_potentielle_ne_dépendant_pas_explicitement_du_temps,_équation_de_Schrödinger_indépendante_du_temps|recherche des états propres de l'opérateur linéaire hamiltonien à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en introduisant la grandeur <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1^ère équation se réécrit }}<math>\;\big(</math><u>équation aux valeurs propres de l'opérateur [[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]]</u><ref name="hamiltonien d'une particule" /><math>\big)\;</math> ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en introduisant la grandeur <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1^ère équation se réécrit }}en explicitant l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]]<ref name="hamiltonien d'une particule" /> «<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{d^2 \underline{\Psi}}{dx^2}(x) + U(x)\; \underline{\Psi}(x) = E\; \underline{\Psi}(x)\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|en introduisant la grandeur <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1^ère équation se réécrit en explicitant l'hamiltonien }}<math>\;\big(</math><u>[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps</u><math>\big)</math>.}} ==== Détermination de la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps à partir des solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps ==== {{Al|5}}Expliquer pourquoi résoudre l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps permet de déduire la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Supposons que l'on ait résolu l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps, c'est-à-dire que l'on ait obtenu toutes las valeurs propres <math>\;E_n\;</math><ref> Nous supposons que l'ensemble des valeurs propres forme un ensemble discret, chaque valeur propre étant repérée par un nombre entier.</ref> de l'opérateur [[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]]<ref name="hamiltonien d'une particule" /> ainsi que <br>{{Al|9}}{{Transparent|Supposons que l'on ait résolu l'équation de Schrödinger indépendante du temps, c'est-à-dire que l'on ait obtenu toutes }}les fonctions propres <math>\;\underline{\Psi}_n(x)\;</math> associées<ref> Nous supposons qu'aucune valeur propre n'est dégénérée c.-à-d. qu'à chaque valeur propre il n'existe qu'une fonction propre à un facteur multiplicatif près.</ref>, {{Al|5}}à chaque « état propre <math>\;\left[ E_n\, ;\, \underline{\Psi}_n(x) \right]\;</math>» on peut définir la « fonction d'onde associée dépendante du temps <math>\;\underline{\psi}_n(x,\,t) = \underline{\Psi}_n(x)\;\exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|à chaque « état propre <math>\;\color{transparent}{\left[ E_n\, ;\, \underline{\Psi}_n(x) \right]}\;</math>» }}on connaît un ensemble de discret générateur de n'importe quelle fonction d'onde solution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> dépendante du temps<ref> La justification étant que <math>\;\underline{\Psi}_n(x)\;</math> s'identifie à la valeur de <math>\;\underline{\psi}_n(x,\,t)\;</math> à l'instant <math>\;t = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|à }}chaque fonction d'onde particulière dépendante du temps construite à partir d'un état propre de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]]<ref name="hamiltonien d'une particule" /> correspondant à une « densité linéique de probabilité de présence <math>\;\mathcal{P}_l(x,\,\cancel{t}) = \vert \underline{\psi}_n(x,\,t) \vert^2 =</math> <math>\vert \underline{\Psi}_n(x) \vert^2\;</math>» indépendante du temps définit un état stationnaire de la particule ; {{Al|5}}supposons que l'on connaisse la décomposition initiale de la fonction d'onde sur l'ensemble des états stationnaires de la particule par exemple «<math>\;\underline{\psi}(x,\, 0) =</math> <math>\sum\limits_n \underline{a}_n\; \underline{\Psi}_n(x)\;</math> avec <math>\;\underline{a}_n\;\in\;\mathbb{C}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|supposons que l'}}on déduit, du caractère linéaire de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> dépendante du temps, la fonction d'onde à un instant <math>\;t\;</math> quelconque «<math>\;\underline{\psi}(x,\, t) = \sum\limits_n \underline{a}_n\; \underline{\Psi}_n(x)\;\exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right)\;</math>».}} ==== Forme générale de la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps ==== {{Al|5}}Le potentiel <math>\;U(x)\;</math> étant constant par morceau, quelle forme générale prend la fonction <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math><ref> On distinguera les cas selon que l'énergie <math>\;E\;</math> de la particule est supérieure ou inférieure à la valeur de <math>\;U(x)</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix réel"> Chaque partie spatiale de fonction d'onde étant définie à un facteur de phase près, nous choisissons ce facteur égal à <math>\;1\;</math> ce qui correspond à une partie spatiale de fonction d'onde réelle.</ref> ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}Considérant un puits quantique de profondeur <math>\;U_0\;</math> et de largeur <math>\;\mathfrak{a}\;</math> plus exactement «<math>\;U(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} U_0\; \text{ si } x \geqslant \mathfrak{a}\\ \;0\;\; \text{ si } 0 < x < \mathfrak{a}\\ U_0\; \text{ si } x \leqslant 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>», c'est-à-dire constant par morceaux, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant un puits quantique de profondeur <math>\;\color{transparent}{U_0}\;</math> et de largeur <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math> }}on en déduit l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps réécrite sous forme normalisée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant un puits quantique de profondeur <math>\;\color{transparent}{U_0}\;</math> et de largeur <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math> on en déduit }}«<math>\;\dfrac{d^2 \underline{\Psi}}{dx^2}(x) - \dfrac{2\;m}{\hbar^2} \left[ U(x) - E \right] \underline{\Psi}(x) = 0\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant un puits quantique de profondeur <math>\;\color{transparent}{U_0}\;</math> et de largeur <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math> on en déduit }}une équation différentielle linéaire à cœfficient constant par morceaux du 2^ème ordre en <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math> homogène sans 1^er ordre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant un puits quantique de profondeur <math>\;\color{transparent}{U_0}\;</math> et de largeur <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math> on en déduit une équation différentielle linéaire }}dont la résolution se discute selon la valeur de <math>\;E</math> : * si «<math>\;E \in \left] 0 , U_0 \right[\;</math>», la solution par morceaux est de forme suivante «<math>\;\Psi(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} \gamma\, \exp(-K\, x)\qquad\qquad\; \text{ pour } x \in \left[ \mathfrak{a} , +\infty \right[\\ \alpha\, \sin(k\, x) + \beta\, \cos(k\, x) \text{ pour } x \in \left] 0 , \mathfrak{a} \right[\\ \delta\, \exp(K\, x)\qquad\qquad\quad \text{ pour } x \in \left] -\infty , 0 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}K = \dfrac{\sqrt{2\; m\; (U_0 - E)}}{\hbar} \\k = \dfrac{\sqrt{2\; m\; E}}{\hbar}\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2eme ordre homogène sans terme du 1er ordre"> Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_deuxème_ordre_homogène_sans_terme_du_premier_ordre|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Dans la forme pour <math>\;x \in \left] -\infty , 0 \right]\;</math> on a supprimé le terme <math>\;\delta'\, \exp(-K\, x)\;</math> car il entraînerait une divergence pour <math>\;x \rightarrow -\infty</math> ; <br>{{Al|3}}dans la forme pour <math>\;x \in \left[ \mathfrak{a} , +\infty \right[\;</math> on a supprimé le terme <math>\;\gamma'\, \exp(K\, x)\;</math> car il entraînerait une divergence pour <math>\;x \rightarrow +\infty</math>.</ref> » ; * si «<math>\;E \in \left] U_0 , +\infty \right[\;</math>», la solution par morceaux est de forme suivante «<math>\;\Psi(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\, \text{ pour } x \in \left[ \mathfrak{a} , +\infty \right[\\ \alpha\, \sin(k\, x) + \beta\, \cos(k\, x) \text{ pour } x \in \left] 0 , \mathfrak{a} \right[\\ 0\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; \text{ pour } x \in \left] -\infty , 0 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;k = \dfrac{\sqrt{2\; m\; E}}{\hbar}\;</math><ref name="équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2eme ordre homogène sans terme du 1er ordre" />{{,}}<ref> Dans la forme pour <math>\;x \in \left] -\infty , 0 \right]\;</math> on aurait l'expression «<math>\;\Psi(x) = \delta\, \sin(K'\, x) + \delta'\, \cos(K'\, x)\;</math> avec <math>\;K' = \dfrac{\sqrt{2\; m\; (E - U_0)}}{\hbar}\;</math>» d'où une densité linéique de probabilité de présence sur cet intervalle de définition égale à «<math>\;\mathcal{P}_l(x) = \left[ \Psi(x) \right]^2 = \left[ \delta\, \sin(K'\, x) + \delta'\, \cos(K'\, x) \right]^2 = \delta^2\, \sin^2(K'\, x) + {\delta'}^2\, \cos^2(K'\, x) + 2\, \delta\, \delta'\, \sin(K'\,x)\,\cos(K'\,x) =</math> <math>\delta^2\, \dfrac{1 - \cos(2\,K'\, x)}{2} + {\delta'}^2\, \dfrac{1 + \cos(2\,K'\, x)}{2} + \delta\, \delta'\, \sin(2\,K'\,x)\;</math>» avec <math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^0 \mathcal{P}_l(x)\,dx\;</math> devant être finie car représentant la probabilité de présence sur le demi-axe <math>\;x'O</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrales_généralisées_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; or l'intégration <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^0 \mathcal{P}_l(x)\,dx =</math> <math>\left[ \dfrac{\delta^2 + {\delta'}^2}{2}\, x \right]_{-\infty}^0 + \left( {\delta'}^2 - \delta^2 \right) \left[ \dfrac{\sin(2\,K'\,x)}{4\,K'} \right]_{-\infty}^0 - \delta\, \delta' \left[ \dfrac{\cos(2\,K'\,x)}{2\,K'} \right]_{-\infty}^0\;</math> résultat divergeant sauf si <math>\;\delta = 0\;</math> et <math>\;\delta' = 0\;</math> ce qui correspond à l'impossibilité d'être sur ce demi-axe ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Dans la forme }}pour <math>\;x \in \left[ \mathfrak{a} , +\infty \right[\;</math> on aurait l'expression «<math>\;\Psi(x) = \gamma\, \sin(K'\, x) + \gamma'\, \cos(K'\, x)\;</math> avec <math>\;K' = \dfrac{\sqrt{2\; m\; (E - U_0)}}{\hbar}\;</math>» et on démontre, de la même façon, la finitude de <math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^0 \mathcal{P}_l(x)\,dx\;</math> ssi <math>\;\gamma = 0\;</math> et <math>\;\gamma' = 0\;</math> ce qui correspond à l'impossibilité d'être sur ce demi-axe.</ref> » ; * si «<math>\;E \in \left] -\infty , 0 \right[\;</math>», il y a absence de solution<ref> A priori il y a la solution par morceaux de forme suivante «<math>\;\Psi(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} \gamma\, \exp(-K''\, x)\qquad\qquad\quad\;\; \text{ pour } x \in \left[ \mathfrak{a} , +\infty \right[\\ \alpha\, \exp(k'\, x) + \beta\, \exp(-k'\, x) \text{ pour } x \in \left] 0 , \mathfrak{a} \right[\\ \delta\, \exp(K''\, x)\qquad\qquad\qquad\;\, \text{ pour } x \in \left] -\infty , 0 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} K'' = \dfrac{\sqrt{2\; m\; (U_0 - E)}}{\hbar} \\ k' = \dfrac{\sqrt{2\; m\; (-E)}}{\hbar}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|3}}mais l'utilisation des relations de continuités précisées à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Condition_de_quantification_de_l'énergie_de_la_particule_dans_le_cas_où_celle-ci_est_inférieure_à_la_profondeur_du_puits|condition de quantification de l'énergie de la particule dans le cas où celle-ci est inférieure à la profondeur du puits]] » plus bas dans cet exercice <math>\;\big(</math>à savoir continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée spatiale 1^ère aux bornes de domaines où il y a une discontinuité finie de l'énergie potentielle<math>\big)\;</math> conduit à la nullité de tous les cœfficients d'où l'absence de solution, en effet : <br>{{Al|3}}{{Transparent|mais }}la continuité en <math>\;x = 0\;</math> conduit à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \Psi(0) \!\!\!&=&\!\!\! \delta \!\!\!&=&\!\!\! \alpha + \beta\\ \dfrac{d \Psi}{dx}(0) \!\!\!&=&\!\!\! K''\; \delta \!\!\!&=&\!\!\! k' \left( \alpha - \beta \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \alpha + \beta = \delta\\ \alpha - \beta = \delta\; \dfrac{K''}{k'} \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \alpha = \dfrac{\delta}{2} \left( 1 + \dfrac{K''}{k'} \right)\\ \beta = \dfrac{\delta}{2} \left( 1 - \dfrac{K''}{k'} \right) \end{array}\right\rbrace</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|mais }}la continuité en <math>\;x = \mathfrak{a}\;</math> conduit à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \Psi(\mathfrak{a}) \!\!\!&=&\!\!\! \gamma\, \exp(-K''\, \mathfrak{a}) \!\!\!&=&\!\!\! \alpha\, \exp(k'\, \mathfrak{a}) + \beta\, \exp(-k'\, \mathfrak{a})\\ \dfrac{d \Psi}{dx}(0) \!\!\!&=&\!\!\! -K''\; \gamma\, \exp(-K''\, \mathfrak{a}) \!\!\!&=&\!\!\! k' \left[ \alpha\, \exp(k'\, \mathfrak{a}) - \beta\, \exp(-k'\, \mathfrak{a}) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \alpha\, \exp(k'\, \mathfrak{a}) + \beta\, \exp(-k'\, \mathfrak{a}) = \gamma\, \exp(-K''\, \mathfrak{a}) \\ \alpha\, \exp(k'\, \mathfrak{a}) - \beta\, \exp(-k'\, \mathfrak{a}) = \gamma\, \exp(-K''\, \mathfrak{a})\; \dfrac{-K''}{k'} \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \alpha\, \exp(k'\, \mathfrak{a}) = \dfrac{\gamma\, \exp(-K''\, \mathfrak{a})}{2} \left( 1 - \dfrac{K''}{k'} \right)\\ \beta\, \exp(-k'\, \mathfrak{a}) = \dfrac{\gamma\, \exp(-K''\, \mathfrak{a})}{2} \left( 1 + \dfrac{K''}{k'} \right) \end{array}\right\rbrace\;</math> soit enfin <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \alpha = \dfrac{\gamma\, \exp\! \left[ -(K'' + k')\, \mathfrak{a} \right]}{2}\; \left( 1 - \dfrac{K''}{k'} \right)\\ \beta = \dfrac{\gamma\, \exp\! \left[ -(K'' - k')\, \mathfrak{a} \right]}{2}\; \left( 1 + \dfrac{K''}{k'} \right) \end{array}\right\rbrace</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|mais }}en égalant les deux expressions de <math>\;\alpha\;</math> en fonction de <math>\;\delta\;</math> pour la 1^ère et de <math>\;\gamma\;</math> pour la 2^ème on obtient <math>\;\alpha = \dfrac{\delta}{2} \left( 1 + \dfrac{K''}{k'} \right) = \dfrac{\gamma\, \exp\! \left[ -(K'' + k')\, \mathfrak{a} \right]}{2}\; \left( 1 - \dfrac{K''}{k'} \right)\;</math> soit «<math>\;\delta =</math> <math>\gamma\, \exp\! \left[ -(K'' + k')\, \mathfrak{a} \right]\; \dfrac{1 - \dfrac{K''}{k'}}{1 + \dfrac{K''}{k'}}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|mais }}en égalant les deux expressions de <math>\;\beta\;</math> en fonction de <math>\;\delta\;</math> pour la 1^ère et de <math>\;\gamma\;</math> pour la 2^ème on obtient <math>\;\beta = \dfrac{\delta}{2} \left( 1 - \dfrac{K''}{k'} \right) = \dfrac{\gamma\, \exp\! \left[ -(K'' - k')\, \mathfrak{a} \right]}{2}\; \left( 1 + \dfrac{K''}{k'} \right)\;</math> soit «<math>\;\delta =</math> <math>\gamma\, \exp\! \left[ -(K'' - k')\, \mathfrak{a} \right]\; \dfrac{1 + \dfrac{K''}{k'}}{1 - \dfrac{K''}{k'}}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|mais }}or ces deux expressions de <math>\;\delta\;</math> en fonction de <math>\;\gamma\;</math> ne sont compatibles pour <math>\;\gamma \neq 0\;</math> que si «<math>\;\exp\! \left[ -(K'' + k')\, \mathfrak{a} \right]\; \dfrac{1 - \dfrac{K''}{k'}}{1 + \dfrac{K''}{k'}}\; \overset{?}{=}\;\exp\! \left[ -(K'' - k')\, \mathfrak{a} \right]\; \dfrac{1 + \dfrac{K''}{k'}}{1 - \dfrac{K''}{k'}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\exp(-2\,k'\, \mathfrak{a}) =</math> <math>\left[ \dfrac{1 + \dfrac{K''}{k'}}{1 - \dfrac{K''}{k'}} \right]^2\;</math> qui n'est jamais réalisé compte -tenu du fait que le 1^er membre est toujours <math>\;< 1\;</math> et le 2^ème toujours <math>\;> 1\;</math> d'où la seule solution possible est <math>\;\gamma = 0 = \delta\;</math> impliquant <math>\;\alpha = 0 = \beta</math>.</ref> conforme au résultat de la mécanique classique.}} ==== Condition de quantification de l'énergie de la particule dans le cas où celle-ci est inférieure à la profondeur du puits ==== {{Al|5}}Il est possible de montrer que, pour satisfaire l’[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps, la fonction d'onde <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math><ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus"> Plus exactement la partie spatiale de la fonction d'onde.</ref> doit être continue<ref name="énergie potentielle discontinue"> Ceci même si l'énergie potentielle présente une discontinuité.</ref> ; de la même façon, {{Al|5}}{{Transparent|il est possible de montrer que, }}dans la mesure où la discontinuité de l'énergie potentielle est finie<ref> Mathématiquement on dit que la discontinuité est de 1^ère espèce.</ref>, la dérivée de la fonction d’onde par rapport à l'abscisse de localisation <math>\;\dfrac{d \underline{\Psi}}{dx}(x)\;</math><ref> Plus exactement la dérivée de la partie spatiale de la fonction d'onde par rapport à l'abscisse de localisation.</ref> est aussi {{Nobr|continue<ref name="énergie potentielle discontinue" />.}} {{Al|5}}On se place dans le cas où l'énergie <math>\;E\;</math> est toujours inférieure à la profondeur du puits <math>\;U_0</math>. <br>{{Al|5}}En écrivant les conditions de continuités des morceaux de fonction d'onde<ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" />{{,}}<ref name="choix réel" /> aux barrières d'énergie potentielle ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|En écrivant les conditions de continuités des morceaux }}de leur dérivée spatiale 1^ère, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|En écrivant }}la compatibilité de ces conditions, déterminer l'équation définissant la quantification de l'énergie puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|En écrivant la compatibilité de ces conditions, }}la résoudre numériquement avec les données suivantes : <math>m = 9,1\, 10^{-31}\, kg\;</math><ref name="électron"> C'est la masse d'un électron.</ref>, <math>\;\mathfrak{a} = 1\, nm\;\text{ou}\;2\, nm</math>, <math>\;U_0 = 1\, eV\;</math><ref name="eV"> On rappelle <math>\;1\, eV = 1,6\, 10^{-19}\,J</math>.</ref> et on rappelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|En écrivant la compatibilité de ces conditions, la résoudre numériquement avec les données suivantes : }}la [[w:Constante_de_Planck#Constante_réduite|constante réduite de Planck]] <ref name="Planck"> '''[[w:Max_Planck|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''' physicien allemand à qui on doit principalement, vers <math>\;1900</math>, la [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]], théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1918</math>.</ref> <math>\;\hbar = 1,056\, 10^{-34}\, J \cdot s\;</math><ref name="constante réduite de Planck"> On rappelle que <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\,\pi}</math>.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Nous avons vu précédemment que, pour <math>\;E \in \left] 0 , U_0 \right[</math>, la solution par morceaux est de forme <math>\;\Psi(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} \gamma\, \exp(-K\, x)\qquad\qquad\; \text{ pour } x \in \left[ \mathfrak{a} , +\infty \right[\\ \alpha\, \sin(k\, x) + \beta\, \cos(k\, x) \text{ pour } x \in \left] 0 , \mathfrak{a} \right[\\ \delta\, \exp(K\, x)\qquad\qquad\quad \text{ pour } x \in \left] -\infty , 0 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} K = \dfrac{\sqrt{2\,m\, (U_0 - E)}}{\hbar}\\ k = \dfrac{\sqrt{2\,m\, E}}{\hbar}\end{array} \right\rbrace</math> ; ces morceaux de la solution, ainsi que leur dérivée spatiale 1^ère, doivent être continus et la solution globale doit vérifier la condition de normalisation, l'application de ces cinq conditions permet de déterminer les quatre constantes ainsi que les valeurs possibles de <math>\;E\;</math> c'est-à-dire la condition de quantification de l'énergie. {{Al|5}}<u>Continuités en </u><math>\;x = 0</math> : * <math>\;\Psi(0^{-}) = \Psi(0^{+})\;</math> s'explicite en <math>\;\delta = \beta\;</math> et * <math>\;\dfrac{d \Psi}{dx}(0^{-}) = \dfrac{d \Psi}{dx}(0^{+})\;</math> conduit à <math>\;K\, \delta = k\, \alpha</math>, <center>d'où «<math>\;\delta = \beta = \alpha\, \dfrac{k}{K} = \alpha\, \sqrt{\dfrac{E}{U_0 - E}}\;\; (\mathfrak{1})\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Continuités en </u><math>\;x = a</math> : * <math>\;\Psi(\mathfrak{a}^{-}) = \Psi(\mathfrak{a}^{+})\;</math> s'explicite en <math>\;\alpha\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \beta\, \cos(k\, \mathfrak{a}) = \gamma\, \exp(-K\, \mathfrak{a})\;</math> et * <math>\;\dfrac{d \Psi}{dx}(\mathfrak{a}^{-}) = \dfrac{d \Psi}{dx}(\mathfrak{a}^{+})\;</math> conduit à <math>\;k\, \alpha\, \cos(k\, \mathfrak{a}) - k\, \beta\, \sin(k\, \mathfrak{a}) = -K\, \gamma\, \exp(-K\, \mathfrak{a})</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Continuités en <math>\;\color{transparent}{x = a}\;</math> : }}d'où <math>\;\gamma = \left[ \alpha\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \beta\, \cos(k\, \mathfrak{a}) \right] \exp(K\, \mathfrak{a})\;</math> d'une part et d'autre part <math>\;\gamma = \left[ - \alpha\, \cos(k\, \mathfrak{a}) + \beta\, \sin(k\, \mathfrak{a}) \right] \dfrac{k}{K} \exp(K\, \mathfrak{a})</math>, soit, en égalant les deux expressions de <math>\;\gamma</math>, on obtient <math>\;\alpha\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \beta\, \cos(k\, \mathfrak{a}) = -\dfrac{k}{K}\, \alpha\, \cos(k\, \mathfrak{a}) + \dfrac{k}{K}\, \beta\, \sin(k\, \mathfrak{a})\;</math> ou, <math>\;\alpha \left[ \sin(k\, \mathfrak{a}) + \dfrac{k}{K}\, \cos(k\, \mathfrak{a}) \right] =</math> <math>\beta \left[ \dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a}) \right]\;</math> soit finalement <center>«<math>\;\left( \delta = \right)\;\beta = \alpha\, \dfrac{k}{K}\, \dfrac{\dfrac{K}{k}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \cos(k\, \mathfrak{a})}{\dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a})} = \alpha\, \dfrac{K\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + k\, \cos(k\, \mathfrak{a})}{k\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - K\, \cos(k\, \mathfrak{a})} = \alpha\, \dfrac{\sqrt{U_0 - E}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \sqrt{E}\,\cos(k\, \mathfrak{a})}{\sqrt{E}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \sqrt{U_0 - E}\, \cos(k\, \mathfrak{a})}\;\; (\mathfrak{2})\;</math>»<ref name="multiplier haut et bas"> En simplifiant haut et bas par <math>\;\dfrac{\sqrt{2\,m}}{\hbar}</math>.</ref></center> {{Al|5}}{{Transparent|Continuités en <math>\;\color{transparent}{x = a}\;</math> : }}et, en reportant l'expression de <math>\;\beta\;</math> en fonction de <math>\;\alpha\;</math> on obtient <math>\;\gamma = \alpha\, \left[ \sin(k\, \mathfrak{a}) + \dfrac{K\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + k\, \cos(k\, \mathfrak{a})}{k\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - K\, \cos(k\, \mathfrak{a})}\, \cos(k\, \mathfrak{a}) \right] \exp(K\, \mathfrak{a})\;</math> soit, en réduisant au même dénominateur et en procédant aux simplifications élémentaires <center>«<math>\;\gamma = \alpha\; \dfrac{k}{k\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - K\, \cos(k\, \mathfrak{a})}\,\exp(K\, \mathfrak{a}) = \alpha\; \dfrac{\sqrt{E}}{\sqrt{E}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \sqrt{U_0 - E}\, \cos(k\, \mathfrak{a})}\,\exp(K\, \mathfrak{a})\;\;(\mathfrak{3})\;</math>»<ref name="multiplier haut et bas" />.</center> {{Al|5}}<u>Condition de quantification</u> : Les relations <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> écrites respectivement selon «<math>\;\left( \delta = \right)\;\beta = \alpha\, \dfrac{k}{K}\;</math>» et «<math>\;\left( \delta = \right)\;\beta = \alpha\, \dfrac{k}{K}\, \dfrac{\dfrac{K}{k}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \cos(k\, \mathfrak{a})}{\dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a})}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition de quantification : Les relations <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{1})}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{2})}\;</math> }}sont compatibles si <math>\;\dfrac{\dfrac{K}{k}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \cos(k\, \mathfrak{a})}{\dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a})} = 1\;</math> ou <math>\;\dfrac{K}{k}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \cos(k\, \mathfrak{a}) = \dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a})\;</math> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition de quantification : Les relations <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{1})}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{2})}\;</math> sont compatibles si }}<math>\;2\, \cos(k\, \mathfrak{a}) = \left[ \dfrac{k}{K} - \dfrac{K}{k} \right] \sin(k\, \mathfrak{a})\;</math> et enfin <math>\;\tan(k\, \mathfrak{a}) =</math> <math>\dfrac{2}{\dfrac{k}{K} - \dfrac{K}{k}} = \dfrac{2\, k\, K}{k^2 - K^2}\;</math> ou <math>\;\tan(k\, \mathfrak{a}) = \dfrac{2\, \sqrt{E\,(U_0 - E)}}{E - (U_0 - E)}\;</math><ref> En simplifiant haut et bas par <math>\;\dfrac{2\,m}{\hbar^2}</math>.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition de quantification : Les relations <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{1})}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{2})}\;</math> sont compatibles }}avec la relation de quantification suivante «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{\sqrt{2\, m\, E}}{\hbar}\, \mathfrak{a} \right) = \dfrac{2\, \sqrt{E\,(U_0 - E)}}{2\, E - U_0}\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Condition de quantification : }}<u>Remarque</u> : On peut transformer cette condition de quantification selon «<math>\;\tan(k\, \mathfrak{a}) = 2\, X\;</math> avec <math>\;X = \dfrac{k\, K}{k^2 - K^2}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition de quantification : Remarque : On peut transformer }}en utilisant <math>\;\tan(k\, \mathfrak{a}) = \dfrac{2\, \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)}{1 - \tan^2\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)}{1 - \tan^2\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)} = X\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;X\, \tan^2\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) + \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) - X = 0\;</math>» équation du 2^ème degré en <math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\;</math> de discriminant <math>\;\Delta = 1 + 4\, X^2 =</math> <math>1 + \dfrac{4\, k^2\, K^2}{(k^2 - K^2)^2} = \dfrac{(k^2 + K^2)^2}{(k^2 - K^2)^2}\;</math> et donc de solution «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = \dfrac{-1 \pm \dfrac{k^2 + K^2}{k^2 - K^2}}{2\, \dfrac{k\, K}{k^2 - K^2}} = \left\lbrace \begin{array}{l} \text{solution positive }\;\; \dfrac{K}{k}\\ \text{solution négative }-\dfrac{k}{K} \end{array} \!\!\right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Condition de quantification : Remarque : }}cette forme de relation de quantification n'est pas utilisée dans la résolution numérique qui suit. {{Al|5}}<u>Résolution numérique de la condition de quantification</u> : « En posant <math>\;\mu = \dfrac{\sqrt{2\, m\, U_0}\, \mathfrak{a}}{\hbar}\;</math>», les valeurs de <math>\;E\;</math> acceptables sont solutions de «<math>\;\tan\! \left( \mu\, \sqrt{\dfrac{E}{U_0}} \right) = \dfrac{2\, \sqrt{\left( 1 - \dfrac{E}{U_0} \right) \dfrac{E}{U_0}}}{2\, \dfrac{E}{U_0} - 1}\;</math>» soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution numérique de la condition de quantification : }}« en définissant la variable <math>\;\xi = \sqrt{\dfrac{E}{U_0}}\;</math>», les valeurs de <math>\;E\;</math> acceptables sont solutions de «<math>\;\tan\! \left( \mu\, \xi \right) = \dfrac{2\, \xi\,\sqrt{1 - \xi^2}}{2\, \xi^2 - 1}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution numérique de la condition de quantification : }}on trace alors sur un même diagramme, en fonction de la variable <math>\;\xi = \sqrt{\dfrac{E}{U_0}}</math>, le graphe de <math>\;\tan\! \left( \mu\, \xi \right)\;</math> et celui de <math>\;\dfrac{2\, \xi\, \sqrt{1 - \xi^2}}{2\, \xi^2 - 1}</math>, les abscisses des points d'intersection nous donnant les valeurs de <math>\;\xi\;</math> permises et par suite celles de <math>\;E\;</math> autorisées ; {{Al|5}}{{Transparent|Résolution numérique de la condition de quantification : on trace }}avec <math>\;\mathfrak{a} = 1\, nm\;</math> on trouve <math>\;\mu = \dfrac{\sqrt{2 \times 9,1\, 10^{-31} \times 1,6\, 10^{-19}} \times 10^{-9}}{1,056\, 10^{-34}} \simeq 5,11\;</math> <math>\big(</math>voir 1^er diagramme ci-dessous à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a} = 1\, nm}\;</math> }}l'intersection nous donne deux valeurs d'énergie permises<ref> Sachant que les valeurs de <math>\;\xi\;</math> possibles sont nécessairement inférieures à <math>\;1</math>, et que le graphe de <math>\;\dfrac{2\, \xi\, \sqrt{1 - \xi^2}}{2\, \xi^2 - 1}\;</math> ne dépend pas de <math>\;\mu</math>, nous aurons plus de points d'intersection si le graphe de <math>\;\tan(\mu\, \xi)\;</math> possède plus de discontinuités <math>\;\big(</math>lesquelles permettent au graphe de passer de <math>\;+\infty\;</math> à <math>\;-\infty\;</math> sans variation d'abscisse<math>\big)</math>, ceci étant réalisé si <math>\;\mu\;</math> est plus grand, donc si <math>\;\mathfrak{a}\;</math> est plus grande.</ref> : «<math>\; E \simeq \left\lbrace \begin{array}{l} U_0 \times (0,438)^2 \simeq 0,192\, U_0\\ U_0 \times (0,840)^2 \simeq 0,705\, U_0\end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Résolution numérique de la condition de quantification : on trace }}avec <math>\;\mathfrak{a} = 2\, nm\;</math> on trouve <math>\;\mu = \dfrac{\sqrt{2 \times 9,1\, 10^{-31} \times 1,6\, 10^{-19}} \times 2\, 10^{-9}}{1,056\, 10^{-34}} \simeq 10,2\;</math> <math>\big(</math>voir 2^ème diagramme ci-dessous à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a} = 2\, nm}\;</math> }}l'intersection nous donne quatre valeurs d'énergie permises : «<math>\; E \simeq \left\lbrace \begin{array}{l} U_0 \times (0,257)^2 \simeq 0,066\, U_0\\ U_0 \times (0,511)^2 \simeq 0,261\, U_0\\ U_0 \times (0,756)^2 \simeq 0,572\, U_0\\ U_0 \times (0,971)^2 \simeq 0,943\, U_0\end{array} \right\rbrace\;</math>». [[File:Puits quantique à une dimension - ter.png|left|thumb|500px|frame|caption|Diagramme pour déterminer la condition de quantification de l'énergie comprise entre <math>\;0\;</math> et <math>\;U_0\;</math> d'une particule dans un puits quantique de faible largeur]] [[File:Puits quantique à une dimension - tetra.png|right|thumb|500px|frame|caption|Diagramme pour déterminer la condition de quantification de l'énergie comprise entre <math>\;0\;</math> et <math>\;U_0\;</math> d'une particule dans un puits quantique de moyenne largeur]]}} ==== Partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits ==== {{Al|5}}Préciser les formes que prennent alors les solutions dans les 3 zones de l'espace <math>\;\left] -\infty\, ;\,0 \right]</math>, <math>\;\left[ 0\, ;\, \mathfrak{a} \right]\;</math> et <math>\;\left[ \mathfrak{a}\, ;\, +\infty \right[\;</math> après les avoir normalisées globalement<ref> C.-à-d. avoir écrit que la probabilité de présence de la particule sur tout l'axe <math>\;x'x\;</math> est égale à <math>\;1</math>.</ref> ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'énergie <math>\;E\;</math> considérée suivant la condition de quantification «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{\sqrt{2\, m\, E}}{\hbar}\, \mathfrak{a} \right) = \dfrac{2\, \sqrt{E\,(U_0 - E)}}{2\, E - U_0}\;</math>», on peut exprimer la fonction d'onde<ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" /> par morceaux en fonction d'une seule constante d'intégration par exemple <math>\;\alpha\;</math> en utilisant les relations précédemment établies entre les constantes d'intégration soit «<math>\;\beta = \alpha\;\dfrac{k}{K}\;</math>», «<math>\;\gamma = \alpha\; \dfrac{\dfrac{k}{K}\; \exp(K\, \mathfrak{a})}{\dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a})}\;</math>» et «<math>\;\delta = \beta = \alpha\;\dfrac{k}{K}\;</math>» ; on en déduit la solution sous la forme <center>«<math>\;\Psi(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha\, \dfrac{\dfrac{k}{K}\, \exp\! \left[-K\, (x - \mathfrak{a}) \right]}{\dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a})}\quad\; \text{ pour } x \in \left[ \mathfrak{a} , +\infty \right[\\ \alpha\, \left[ \sin(k\, x) + \dfrac{k}{K}\, \cos(k\, x) \right]\text{ pour } x \in \left] 0 , \mathfrak{a} \right[\\ \alpha\, \dfrac{k}{K}\, \exp(K\, x)\qquad\qquad\quad\; \text{ pour } x \in \left] -\infty , 0 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} K = \dfrac{\sqrt{2\,m\, (U_0 - E)}}{\hbar}\\ k = \dfrac{\sqrt{2\,m\, E}}{\hbar}\end{array} \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer <math>\;\alpha</math>, à savoir «<math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{P}_l(x)\;dx = 1\;</math>»<ref name="intégrale généralisée"> Revoir la définition d'une « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec la définition, par morceaux, de la densité linéique de probabilité de présence <br>{{Al|5}}{{Transparent|il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer <math>\;\color{transparent}{\alpha}</math>, à savoir }}«<math>\;\mathcal{P}_l(x) = \left[ \Psi(x) \right]^2 = \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha^2\, \dfrac{\dfrac{k^2}{K^2}\, \exp\! \left[-2\,K\, (x - \mathfrak{a}) \right]}{\left[ \dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a}) \right]^2}\; \text{ pour } x \in \left[ \mathfrak{a} , +\infty \right[\\ \alpha^2\, \left[ \sin(k\, x) + \dfrac{k}{K}\, \cos(k\, x) \right]^2\; \text{ pour } x \in \left] 0 , \mathfrak{a} \right[\\ \alpha^2\, \dfrac{k^2}{K^2}\, \exp(2\,K\, x)\qquad\qquad\;\; \text{ pour } x \in \left] -\infty , 0 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}la condition de normalisation se réécrit «<math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^0 \dfrac{k^2}{K^2}\, \exp(2\, K\, x)\, dx + \displaystyle\int_0^{\mathfrak{a}} \left[ \sin(k\, x) + \dfrac{k}{K}\, \cos(k\, x) \right]^2\, dx + \displaystyle\int_{\mathfrak{a}}^{+\infty} \dfrac{\dfrac{k^2}{K^2}\, \exp\! \left[-2\,K\, (x - \mathfrak{a}) \right]}{\left[ \dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a}) \right]^2}\, dx = \dfrac{1}{\alpha^2}\;</math>» soit * pour la 1^ère intégrale «<math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^0 \dfrac{k^2}{K^2}\, \exp(2\, K\, x)\, dx = \dfrac{k^2}{K^2}\, \left[ \dfrac{\exp(2\, K\, x)}{2\, K} \right]_{-\infty}^0 = \dfrac{k^2}{2\, K^3}\;</math>», * pour la 3^ème intégrale «<math>\;\displaystyle\int_{\mathfrak{a}}^{+\infty} \dfrac{k^2}{K^2}\, \dfrac{1}{\left[ \dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a}) \right]^2}\, \exp\! \left[ 2\, K (\mathfrak{a} - x) \right] dx = \dfrac{k^2}{K^2}\, \dfrac{1}{\left[ \dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a}) \right]^2}\, \left[ \dfrac{\exp\! \left\lbrace 2\, K (\mathfrak{a} - x) \right\rbrace}{-2\, K} \right]_{\mathfrak{a}}^{+\infty} = \dfrac{k^2}{2\, K^3}\, \dfrac{1}{\left[ \dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a}) \right]^2} =</math> <math>\dfrac{1}{2\,K}\, \left[ \dfrac{k}{k\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - K\, \cos(k\, \mathfrak{a})} \right]^2\;</math>», <br>{{Transparent|pour la 3^ème intégrale }}<math>\;\succ\;</math>nous allons simplifier le résultat de cette 3^ème intégrale en utilisant l'« [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Condition_de_quantification_de_l'énergie_de_la_particule_dans_le_cas_où_celle-ci_est_inférieure_à_la_profondeur_du_puits|autre forme de condition de quantification de l'énergie]] » établie dans la remarque de la solution de la question précédente, à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires <math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = \dfrac{K}{k}\;</math> pour la 1^ère condition et <math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = -\dfrac{k}{K}\;</math> pour la 2^ème, soit <br>{{Transparent|pour la 3^ème intégrale <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\;\triangleright\;</math>avec la 1^ère condition «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = \dfrac{K}{k}\;</math>», <math>\;\dfrac{1}{2\,K}\, \left[ \dfrac{1}{\sin(k\, \mathfrak{a}) - \dfrac{K}{k}\, \cos(k\, \mathfrak{a})} \right]^2 = \dfrac{1}{2\,K}\, \left[ \dfrac{1}{\sin(k\, \mathfrak{a}) - \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\, \cos(k\, \mathfrak{a})} \right]^2\;</math> avec <math>\;\sin(k\, \mathfrak{a}) - \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\, \cos(k\, \mathfrak{a}) =</math> <math>\dfrac{\sin(k\, \mathfrak{a})\, \cos\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) - \sin\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\, \cos(k\, \mathfrak{a})}{\cos\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)} = \dfrac{\sin\! \left( k\, \mathfrak{a} - \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)}{\cos\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)} = \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = \dfrac{K}{k}\;</math> d'où «<math>\;\dfrac{1}{2\,K}\, \left[ \dfrac{1}{\sin(k\, \mathfrak{a}) - \dfrac{K}{k}\, \cos(k\, \mathfrak{a})} \right]^2 = \dfrac{k^2}{2\, K^3}\;</math>» et <br>{{Transparent|pour la 3^ème intégrale <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\;\triangleright\;</math>avec la 2^ème condition «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = -\dfrac{k}{K}\;</math>», <math>\;\dfrac{1}{2\,K}\, \left[ \dfrac{-\dfrac{k}{K}}{-\dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) +\, \cos(k\, \mathfrak{a})} \right]^2 = \dfrac{1}{2\,K}\, \left[ \dfrac{\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)}{\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \cos(k\, \mathfrak{a})} \right]^2\;</math> avec <math>\;\dfrac{\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)}{\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \cos(k\, \mathfrak{a})} =</math> <math>\dfrac{\sin\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \cos\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\,\cos(k\, \mathfrak{a})} = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)}{\cos\! \left( k\, \mathfrak{a} - \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)} = \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = -\dfrac{k}{K}\;</math> d'où «<math>\;\dfrac{1}{2\,K}\, \left[ \dfrac{1}{\sin(k\, \mathfrak{a}) - \dfrac{K}{k}\, \cos(k\, \mathfrak{a})} \right]^2 = \dfrac{k^2}{2\, K^3}\;</math>» <br>{{Transparent|pour la 3^ème intégrale }}<math>\;\succ\;</math>soit finalement la même expression de 3^ème intégrale pour les deux formes de condition de quantification «<math>\;\displaystyle\int_{\mathfrak{a}}^{+\infty} \dfrac{k^2}{K^2}\, \dfrac{1}{\left[ \dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) - \cos(k\, \mathfrak{a}) \right]^2}\, \exp\! \left[ 2\, K (\mathfrak{a} - x) \right] dx = \dfrac{k^2}{2\, K^3}\;</math>»<ref> C'est aussi le même résultat que celui de la 1^ère intégrale.</ref> et * pour la 2^ème intégrale il convient tout d'abord de linéariser l'expression à intégrer après développement du carré <math>\;\left[ \sin(k\, x) + \dfrac{k}{K}\, \cos(k\, x) \right]^{\!2} = \sin^2(k\, x) + \dfrac{k^2}{K^2}\, \cos^2(k\, x) + 2\, \dfrac{k}{K}\, \sin(k\, x)\, \cos(k\, x) =</math> <math>\dfrac{1 - \cos(2\, k\, x)}{2} + \dfrac{k^2}{K^2}\, \dfrac{1 + \cos(2\, k\, x)}{2} + \dfrac{k}{K}\, \sin(2\, k\, x)\;</math> soit <math>\;\left[ \sin(k\, x) + \dfrac{k}{K}\, \cos(k\, x) \right]^{\!2} =</math> <math>\dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2} + \dfrac{k^2 - K^2}{2\, K^2}\, \cos(2\, k\, x) + \dfrac{k}{K}\, \sin(2\, k\, x)\;</math> d'où la réécriture de <br>{{Transparent|pour }}la 2^ème intégrale «<math>\;\displaystyle\int_0^{\mathfrak{a}} \left[ \sin(k\, x) + \dfrac{k}{K}\, \cos(k\, x) \right]^2\, dx = \displaystyle\int_0^{\mathfrak{a}} \dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, dx + \displaystyle\int_0^{\mathfrak{a}} \dfrac{k^2 - K^2}{2\, K^2}\, \cos(2\, k\, x)\, dx + \displaystyle\int_0^{\mathfrak{a}} \dfrac{k}{K}\, \sin(2\, k\, x)\,dx = \left[ \dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, x + \dfrac{k^2 - K^2}{2\, K^2}\, \dfrac{\sin(2\, k\, x)}{2\, k} + \dfrac{k}{K}\, \dfrac{-\cos(2\, k\, x)}{2\, k} \right]_0^{\mathfrak{a}}\;</math>» soit finalement «<math>\;\displaystyle\int_0^{\mathfrak{a}} \left[ \sin(k\, x) + \dfrac{k}{K}\, \cos(k\, x) \right]^2\, dx = \dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{k^2 - K^2}{2\, K^2}\, \dfrac{\sin(2\, k\, \mathfrak{a})}{2\, k} + \dfrac{1 - \cos(2\, k\, \mathfrak{a})}{2\, K}\;</math>», <br>{{Transparent|pour la 2^ème intégrale }}<math>\;\succ\;</math>nous allons simplifier le résultat de cette 2^ème intégrale en utilisant l'« [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Condition_de_quantification_de_l'énergie_de_la_particule_dans_le_cas_où_celle-ci_est_inférieure_à_la_profondeur_du_puits|autre forme de condition de quantification de l'énergie]] » établie dans la remarque de la solution de la question précédente, à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires <math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = \dfrac{K}{k}\;</math> pour la 1^ère condition et <math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = -\dfrac{k}{K}\;</math> pour la 2^ème, soit <br>{{Transparent|pour la 2^ème intégrale <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\;\triangleright\;</math>avec la 1^ère condition «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = \dfrac{K}{k}\;</math>», <math>\;\sin(2\, k\, \mathfrak{a}) = 2\, \sin(k\, \mathfrak{a})\, \cos(k\, \mathfrak{a}) = 2\, \dfrac{2\, \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) \left[ 1 - \tan^2\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) \right]}{\left[ 1 + \tan^2\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) \right]^2} = 4\, \dfrac{\dfrac{K}{k}\, \left[ 1 - \dfrac{K^2}{k^2} \right]}{\left[ 1 + \dfrac{K^2}{k^2} \right]^2} = 4\, k\, K\, \dfrac{k^2 - K^2}{\left( k^2 + K^2 \right)^2}\;</math> ainsi que <br>{{Transparent|pour la 2^ème intégrale <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\;\color{transparent}{\triangleright}\;</math>avec la 1^ère condition «<math>\;\color{transparent}{\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = \dfrac{K}{k}}\;</math>», }}<math>\;1 - \cos(2\, k\, \mathfrak{a}) = 2\, \sin^2(k\, \mathfrak{a}) = 2\, \dfrac{\left[ 2\, \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) \right]^2}{\left[ 1 + \tan^2\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) \right]^2} = 8\, \dfrac{\dfrac{K^2}{k^2}}{\left[ 1 + \dfrac{K^2}{k^2} \right]^2} = \dfrac{8\, k^2\, K^2}{\left( k^2 + K^2 \right)^2}\;</math> d'où <br>{{Transparent|pour la 2^ème intégrale <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\;\color{transparent}{\triangleright}\;</math>avec la 1^ère condition «<math>\;\color{transparent}{\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = \dfrac{K}{k}}\;</math>», }}«<math>\;\dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{k^2 - K^2}{2\, K^2}\, \dfrac{\sin(2\, k\, \mathfrak{a})}{2\, k} + \dfrac{1 - \cos(2\, k\, \mathfrak{a})}{2\, K} = \dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{k^2 - K^2}{2\, K^2}\, 2\, K\, \dfrac{k^2 - K^2}{\left( k^2 + K^2 \right)^2} + \dfrac{4\, k^2\, K}{\left( k^2 + K^2 \right)^2} =</math> <math>\dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{\left( k^2 - K^2 \right)^2 + 4\, k^2\, K^2}{K\,\left( k^2 + K^2 \right)^2} = \dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{\left( k^2 + K^2 \right)^2}{K\,\left( k^2 + K^2 \right)^2} = \dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{1}{K}\;</math>» et <br>{{Transparent|pour la 2^ème intégrale <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\;\triangleright\;</math>avec la 2^ème condition «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = -\dfrac{k}{K}\;</math>», <math>\;\sin(2\, k\, \mathfrak{a}) = 2\, \dfrac{2\, \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) \left[ 1 - \tan^2\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) \right]}{\left[ 1 + \tan^2\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) \right]^2} = 4\, \dfrac{-\dfrac{k}{K}\, \left[ 1 - \dfrac{k^2}{K^2} \right]}{\left[ 1 + \dfrac{k^2}{K^2} \right]^2} = 4\, k\, K\, \dfrac{k^2 - K^2}{\left( k^2 + K^2 \right)^2}\;</math> ainsi que <br>{{Transparent|pour la 2^ème intégrale <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\;\color{transparent}{\triangleright}\;</math>avec la 2^ème condition «<math>\;\color{transparent}{\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = -\dfrac{k}{K}}\;</math>», }}<math>\;1 - \cos(2\, k\, \mathfrak{a}) =</math> <math>2\, \dfrac{\left[ 2\, \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) \right]^2}{\left[ 1 + \tan^2\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) \right]^2} = 8\, \dfrac{\dfrac{k^2}{K^2}}{\left[ 1 + \dfrac{k^2}{K^2} \right]^2} = \dfrac{8\, k^2\, K^2}{\left( k^2 + K^2 \right)^2}\;</math> d'où <br>{{Transparent|pour la 2^ème intégrale <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\;\color{transparent}{\triangleright}\;</math>avec la 2^ème condition «<math>\;\color{transparent}{\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = -\dfrac{k}{K}}\;</math>», }}«<math>\;\dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{k^2 - K^2}{2\, K^2}\, \dfrac{\sin(2\, k\, \mathfrak{a})}{2\, k} + \dfrac{1 - \cos(2\, k\, \mathfrak{a})}{2\, K}\, \overset{\cdots}{=}\,\dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{1}{K}\;</math>» <br>{{Transparent|pour la 2^ème intégrale }}<math>\;\succ\;</math>soit finalement la même expression de 2^ème intégrale pour les deux formes de condition de quantification «<math>\;\displaystyle\int_0^{\mathfrak{a}} \left[ \sin(k\, x) + \dfrac{k}{K}\, \cos(k\, x) \right]^2\, dx = \dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{1}{K}\;</math>» ; {{Al|5}}en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit «<math>\;\dfrac{1}{\alpha^2} = 2\;\dfrac{k^2}{2\, K^3} + \dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{1}{K} = \dfrac{k^2 + K^2}{K^3}\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)\;</math>» d'où le cœfficient <math>\;\alpha\;</math> cherché choisi positif, <center>«<math>\;\alpha = \sqrt{\dfrac{K^3}{\left( k^2 + K^2 \right)\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}} = \sqrt{K\,\dfrac{U_0 - E}{U_0\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}}\;</math>»<ref name="simplification en fonction de U0 et E"> Cette dernière expression résultant de <math>\;\dfrac{K^2}{k^2 + K^2} = \dfrac{1}{\dfrac{k^2}{K^2} + 1} = \dfrac{1}{\dfrac{E}{U_0 - E} + 1} = \dfrac{U_0 - E}{U_0}</math>.</ref>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\alpha^2} = 2\;\dfrac{k^2}{2\, K^3} + \dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{1}{K} = \dfrac{k^2 + K^2}{K^3}\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}\;</math>» d'où }}les cœfficients communs <math>\;\beta = \delta\;</math> s'en déduisant aisément <center>«<math>\;\delta = \beta = \alpha\, \dfrac{k}{K} = \sqrt{\dfrac{k^2\,K}{\left( k^2 + K^2 \right)\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}} = \sqrt{K\,\dfrac{E}{U_0\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}}\;</math>»<ref name="simplification en fonction de U0 et E" /> ainsi que </center> {{Al|5}}{{Transparent|en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\alpha^2} = 2\;\dfrac{k^2}{2\, K^3} + \dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{1}{K} = \dfrac{k^2 + K^2}{K^3}\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}\;</math>» d'où }}une 1^ère expression du cœfficient <math>\;\gamma\;</math> <center>«<math>\;\gamma = \alpha\; \dfrac{\exp(K\, \mathfrak{a})}{\sin(k\, \mathfrak{a}) - \dfrac{K}{k}\, \cos(k\, \mathfrak{a})}\;</math>» expression que l'on va simplifier <br>en utilisant l'« [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Condition_de_quantification_de_l'énergie_de_la_particule_dans_le_cas_où_celle-ci_est_inférieure_à_la_profondeur_du_puits|autre forme de condition de quantification de l'énergie]] » établie dans la remarque de la solution de la question précédente, <br>à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires <br><math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = \dfrac{K}{k}\;</math> pour la 1^ère condition et <math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = -\dfrac{k}{K}\;</math> pour la 2^ème, soit </center> {{Al|5}}{{Transparent|en ajoutant toutes les contributions }}<math>\;\triangleright\;</math>avec la 1^ère condition «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = \dfrac{K}{k}\;</math>», <math>\;\sin(k\, \mathfrak{a}) - \dfrac{K}{k}\, \cos(k\, \mathfrak{a}) = \sin(k\, \mathfrak{a}) - \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\, \cos(k\, \mathfrak{a}) = \dfrac{\sin(k\, \mathfrak{a})\, \cos\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) - \sin\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\, \cos(k\, \mathfrak{a})}{\cos\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)}\;</math> soit, en utilisant la formule de trigonométrie «<math>\;\sin(a)\;\cos(b) - \sin(b)\;\cos(a) = \sin(a - b)\;</math>», «<math>\;\sin(k\, \mathfrak{a}) - \dfrac{K}{k}\, \cos(k\, \mathfrak{a}) = \dfrac{\sin\! \left( k\, \mathfrak{a} - \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)}{\cos\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)} = \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = \dfrac{K}{k}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|en ajoutant toutes les contributions }}<math>\;\triangleright\;</math>avec la 2^ème condition «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = -\dfrac{k}{K}\;</math>», après une 1^ère factorisation par <math>\;-\dfrac{K}{k}\;</math> dans <math>\;\sin(k\, \mathfrak{a}) - \dfrac{K}{k}\, \cos(k\, \mathfrak{a})\;</math> dans le but de faire apparaître la condition de quantification à utiliser, on obtient <math>-\dfrac{K}{k}\, \left[ -\dfrac{k}{K}\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \cos(k\, \mathfrak{a}) \right] =</math> <math>-\dfrac{K}{k}\, \left[ \tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\, \sin(k\, \mathfrak{a}) + \cos(k\, \mathfrak{a}) \right] = -\dfrac{K}{k}\, \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\,\sin(k\, \mathfrak{a}) + \cos\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)\, \cos(k\, \mathfrak{a})}{\cos\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)}\;</math> soit enfin, en utilisant la formule de trigonométrie {{Nobr|«<math>\;\cos(a)\;\cos(b) + \sin(a)\;\sin(b)</math>}} <math>= \cos(a - b)\;</math>», «<math>\;\sin(k\, \mathfrak{a}) - \dfrac{K}{k}\, \cos(k\, \mathfrak{a}) = -\dfrac{K}{k}\, \dfrac{\cos\! \left( k\, \mathfrak{a} - \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)}{\cos\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right)} = -\dfrac{K}{k}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\alpha^2} = 2\;\dfrac{k^2}{2\, K^3} + \dfrac{K^2 + k^2}{2\, K^2}\, \mathfrak{a} + \dfrac{1}{K} = \dfrac{k^2 + K^2}{K^3}\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}\;</math>» }}d'où une 2^ème expression du cœfficient <math>\;\gamma\;</math> <center>«<math>\;\gamma = \alpha\; \dfrac{\exp(K\, \mathfrak{a})}{\pm \dfrac{K}{k}} = \pm \beta\;\exp(K\, \mathfrak{a}) = \pm \sqrt{K\, \dfrac{E}{U_0\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}}\, \exp(K\, \mathfrak{a})\;</math>»<ref name="plus ou moins"> <math>\;+\;</math> avec la 1^ère condition de quantification <math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = \dfrac{K}{k}\;</math> et <math>\;-\;</math> avec la 2^ème <math>\;\tan\! \left( \dfrac{k\, \mathfrak{a}}{2} \right) = -\dfrac{k}{K}</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}finalement la solution par morceaux s'écrit «<math>\;\Psi(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} \pm \sqrt{K\, \dfrac{E}{U_0\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}}\, \exp\! \left[ -K\, (x - \mathfrak{a}) \right]\qquad\qquad\quad \text{ pour } x \in \left[ \mathfrak{a} , +\infty \right[\\ \sqrt{K\,\dfrac{U_0 - E}{U_0\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}}\, \left[ \sin(k\, x) + \dfrac{E}{U_0 - E}\, \cos(k\, x) \right] \text{ pour } x \in \left] 0 , \mathfrak{a} \right[\\ \sqrt{K\, \dfrac{E}{U_0\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}}\, \exp(K\, x)\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \text{ pour } x \in \left] -\infty , 0 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="plus ou moins" /> ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement la solution par morceaux s'écrit }}«<math>\;\Psi(x) = \sqrt{K\, \dfrac{E}{U_0\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}}\, \left\lbrace \begin{array}{l} \pm \exp\! \left[ -K\, (x - \mathfrak{a}) \right]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \text{ pour } x \in \left[ \mathfrak{a} , +\infty \right[\\ \left[ \sqrt{\dfrac{U_0 - E}{E}}\, \sin(k\, x) + \sqrt{\dfrac{E}{U_0 - E}}\, \cos(k\, x) \right] \text{ pour } x \in \left] 0 , \mathfrak{a} \right[\\ \exp(K\, x)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \text{ pour } x \in \left] -\infty , 0 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="plus ou moins" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} K = \dfrac{\sqrt{2\,m\, (U_0 - E)}}{\hbar}\\ k = \dfrac{\sqrt{2\,m\, E}}{\hbar}\end{array} \right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire <center>à l'intérieur du puits une « onde stationnaire » et, à l'extérieur de chaque côté du puits, une « onde évanescente ».</center>}} ==== Expression du taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance '''a''' de chacune de ses frontières dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits ==== {{Al|5}}Dans le cas où l'énergie <math>\;E\;</math> de la particule est <math>\;<\;</math> à la profondeur <math>\;U_0\;</math> du puits d'énergie potentielle large de <math>\;\mathfrak{a}</math>, on définit le <u>taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance</u><math>\;\mathfrak{a}\;</math><u>de chacune de ses frontières</u><ref> C.-à-d. aux points d'abscisse <math>\;x_g = -\mathfrak{a}\;</math> et <math>\;x_d = 2\,\mathfrak{a}</math>.</ref> par «<math>\;T_{-\mathfrak{a}\, \leftarrow\, 0} = \dfrac{\vert \Psi(-\mathfrak{a}) \vert^2}{\vert \Psi(0) \vert^2}\;</math> pour la transmission à gauche » et «<math>\;T_{\mathfrak{a}\, \rightarrow\, 2\,\mathfrak{a}} = \dfrac{\vert \Psi(2\,\mathfrak{a}) \vert^2}{\vert \Psi(\mathfrak{a}) \vert^2}\;</math> pour la transmission à droite », <math>\;\Psi(x)\;</math> étant la fonction d'onde<ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" /> de la particule au point d'abscisse <math>\;x</math> ; {{Al|5}}explicitez, en fonction des données du problème, chacun des taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> de chacune de ses frontières et vérifiez qu'ils sont égaux ; commentez. {{Al|5}}Faire l'application numérique pour les deux largeurs de puits d'énergie potentielle précédemment introduites <math>\;\mathfrak{a} = 1\, nm\;</math> et <math>\;\mathfrak{a} = 2\, nm</math> <math>\;\big(</math>on rappelle les autres valeurs numériques <math>\;m = 9,1\, 10^{-31}\, kg\;</math><ref name="électron" />, <math>\;U_0 = 1\, eV\;</math><ref name="eV" /> et <math>\;\hbar = 1,056\, 10^{-34}\, J \cdot s\;</math><ref name="constante réduite de Planck" /><math>\big)</math> ; commentez. {{Solution|contenu ={{Al|5}}D'après la solution de la question précédente «<math>\;\Psi(x) = \sqrt{K\, \dfrac{E}{U_0\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}}\,\exp(K\,x)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left] -\infty , 0 \right]\;</math>» permet d'en déduire «<math>\;T_{-\mathfrak{a}\, \leftarrow\, 0} = \dfrac{\vert \Psi(-\mathfrak{a}) \vert^2}{\vert \Psi(0) \vert^2} = \exp(-2\,K\,\mathfrak{a})\;</math>» ; de même {{Al|5}}{{Transparent|D'après la solution de la question précédente }}«<math>\;\Psi(x) = \pm \sqrt{K\, \dfrac{E}{U_0\, \left( 1 + \dfrac{K\, \mathfrak{a}}{2} \right)}}\,\exp\! \left[ -K\, (x - \mathfrak{a}) \right]\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ \mathfrak{a} , +\infty \right[\;</math>» permet d'en déduire «<math>\;T_{\mathfrak{a}\, \rightarrow\, 2\,\mathfrak{a}} = \dfrac{\vert \Psi(2\,\mathfrak{a}) \vert^2}{\vert \Psi(\mathfrak{a}) \vert^2} = \exp(-2\,K\,\mathfrak{a})\;</math>» ; ainsi <center>nous constatons l'égalité des taux de transmission à l'extérieur du puits à la même distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> de chacune de ses frontières <br>en accord avec la symétrie du problème relativement au point d'abscisse <math>\;\dfrac{\mathfrak{a}}{2}</math>, milieu du segment joignant les deux frontières du puits d'énergie potentielle.</center> {{Al|5}}<u>A.N.</u> : Avec la largeur <math>\;\mathfrak{a} = 1\, nm</math>, nous avions trouvé deux valeurs d'énergie pour la particule «<math>\;E_1 \simeq 0,192\;U_0 \simeq 0,192\;eV\;</math>»<ref name="eV" /> et «<math>\;E_2 \simeq 0,705\;U_0 \simeq 0,705\;eV\;</math>»<ref name="eV" />, nous en déduisons le taux de transmission commun à l'extérieur du puits à la distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> de chacune de ses frontières après avoir calculé <math>\;K = \dfrac{\sqrt{2\,m\,(U_0 - E)}}{\hbar}\;</math> pour chaque niveau d'énergie, {{Al|5}}{{Transparent|A.N. : Avec la largeur <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a} = 1\, nm}</math>, }}<math>\;\triangleright</math> avec le niveau d'énergie fondamental «<math>\;E_1 \simeq 0,192\;U_0 \simeq 0,192\;eV\;</math>»<ref name="eV" />, nous obtenons <math>\;K = \dfrac{\sqrt{2 \times 9,1\, 10^{-31} \times (1 - 0,192) \times 1,6\, 10^{-19}}}{1,056\, 10^{-34}} \simeq 4,59\, 10^9\, m^{-1}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;K \simeq 4,59\, nm^{-1}\;</math>»}} d'où «<math>\;T_{-\mathfrak{a}\, \leftarrow\, 0} = T_{\mathfrak{a}\, \rightarrow\, 2\,\mathfrak{a}} = \exp(-2\times 4,59 \times 1) \simeq 1,03\,10^{-4}\;</math>» c'est-à-dire une transmission faible mais observable alors qu'elle est interdite en mécanique classique ; {{Al|5}}{{Transparent|A.N. : Avec la largeur <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a} = 1\, nm}</math>, }}<math>\;\triangleright</math> avec le niveau d'énergie excité «<math>\;E_2 \simeq 0,705\;U_0 \simeq 0,705\;eV\;</math>»<ref name="eV" />, nous obtenons <math>\;K = \dfrac{\sqrt{2 \times 9,1\, 10^{-31} \times (1 - 0,705) \times 1,6\, 10^{-19}}}{1,056\, 10^{-34}}</math> <math>\simeq 2,76\, 10^9\, m^{-1}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;K \simeq 2,76\, nm^{-1}\;</math>»}} d'où «<math>\;T_{-\mathfrak{a}\, \leftarrow\, 0} = T_{\mathfrak{a}\, \rightarrow\, 2\,\mathfrak{a}} = \exp(-2\times 2,76 \times 1) \simeq 4,01\,10^{-3}\;</math>» c'est-à-dire une transmission encore petite mais nettement plus observable alors qu'elle est interdite en mécanique classique. {{Al|5}}<u>A.N.</u> : Avec la largeur <math>\;\mathfrak{a} = 2\, nm</math>, nous avions trouvé quatre valeurs d'énergie pour la particule «<math>\;E_1 \simeq 0,066\;U_0 \simeq 0,066\;eV\;</math>»<ref name="eV" />, «<math>\;E_2 \simeq 0,261\;U_0 \simeq 0,261\;eV\;</math>»<ref name="eV" />, «<math>\;E_3 \simeq 0,572\;U_0 \simeq 0,572\;eV\;</math>»<ref name="eV" /> et «<math>\;E_4 \simeq 0,943\;U_0 \simeq 0,943\;eV\;</math>»<ref name="eV" />, nous en déduisons le taux de transmission commun à l'extérieur du puits à la distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> de chacune de ses frontières après avoir calculé <math>\;K = \dfrac{\sqrt{2\,m\,(U_0 - E)}}{\hbar}\;</math> pour chacun des niveaux d'énergie, {{Al|5}}{{Transparent|A.N. : Avec la largeur <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a} = 2\, nm}</math>, }}<math>\;\triangleright</math> avec le niveau d'énergie fondamental «<math>\;E_1 \simeq 0,066\;U_0 \simeq 0,066\;eV\;</math>»<ref name="eV" />, nous obtenons <math>\;K = \dfrac{\sqrt{2 \times 9,1\, 10^{-31} \times (1 - 0,066) \times 1,6\, 10^{-19}}}{1,05\, 10^{-34}} \simeq 4,94\, 10^9\, m^{-1}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;K \simeq 4,94\, nm^{-1}\;</math>»}} d'où «<math>\;T_{-\mathfrak{a}\, \leftarrow\, 0} = T_{\mathfrak{a}\, \rightarrow\, 2\,\mathfrak{a}} = \exp(-2\times 4,94 \times 2) \simeq 2,62\,10^{-9}\;</math>» c'est-à-dire une transmission excessivement faible quasi-observable ; {{Al|5}}{{Transparent|A.N. : Avec la largeur <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a} = 2\, nm}</math>, }}<math>\;\triangleright</math> avec le 1^er niveau d'énergie excité «<math>\;E_2 \simeq 0,705\;U_0 \simeq 0,705\;eV\;</math>»<ref name="eV" />, nous obtenons <math>\;K = \dfrac{\sqrt{2 \times 9,1\, 10^{-31} \times (1 - 0,261) \times 1,6\, 10^{-19}}}{1,056\, 10^{-34}} \simeq 4,39\, 10^9\, m^{-1}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;K \simeq 4,39\, nm^{-1}\;</math>»}} d'où «<math>\;T_{-\mathfrak{a}\, \leftarrow\, 0} = T_{\mathfrak{a}\, \rightarrow\, 2\,\mathfrak{a}} = \exp(-2\times 4,39 \times 2) \simeq 2,36\,10^{-8}\;</math>» c'est-à-dire une transmission encore excessivement petite et qui n'est guère plus observable ; {{Al|5}}{{Transparent|A.N. : Avec la largeur <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a} = 2\, nm}</math>, }}<math>\;\triangleright</math> avec le 2^ème niveau d'énergie excité «<math>\;E_3 \simeq 0,572\;U_0 \simeq 0,572\;eV\;</math>»<ref name="eV" />, nous obtenons <math>\;K = \dfrac{\sqrt{2 \times 9,1\, 10^{-31} \times (1 - 0,572) \times 1,6\, 10^{-19}}}{1,056\, 10^{-34}} \simeq 3,34\, 10^9\, m^{-1}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;K \simeq 3,34\, nm^{-1}\;</math>»}} d'où «<math>\;T_{-\mathfrak{a}\, \leftarrow\, 0} = T_{\mathfrak{a}\, \rightarrow\, 2\,\mathfrak{a}} = \exp(-2\times 3,34 \times 2) \simeq 1,58\,10^{-6}\;</math>» c'est-à-dire une transmission faible restant difficilement observable mais observable néanmoins alors qu'elle est interdite en mécanique classique ; {{Al|5}}{{Transparent|A.N. : Avec la largeur <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a} = 2\, nm}</math>, }}<math>\;\triangleright</math> avec le 3^ème niveau d'énergie excité «<math>\;E_4 \simeq 0,943\;U_0 \simeq 0,943\;eV\;</math>»<ref name="eV" />, nous obtenons <math>\;K = \dfrac{\sqrt{2 \times 9,1\, 10^{-31} \times (1 - 0,943) \times 1,6\, 10^{-19}}}{1,056\, 10^{-34}} \simeq 1,22\, 10^9\, m^{-1}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;K \simeq 1,22\, nm^{-1}\;</math>»}} d'où «<math>\;T_{-\mathfrak{a}\, \leftarrow\, 0} = T_{\mathfrak{a}\, \rightarrow\, 2\,\mathfrak{a}} = \exp(-2\times 1,22 \times 2) \simeq 7,60\,10^{-3}\;</math>» c'est-à-dire une transmission encore petite mais nettement plus observable alors qu'elle est interdite en mécanique classique.}} === Puits quantique à une dimension de profondeur infinie === [[File:Puits quantique à une dimension - bis.png|thumb|300px|Diagramme du puits quantique à une dimension de profondeur infinie et de largeur <math>\;\mathfrak{a}\;</math> suivant l'abscisse <math>\;x</math>]] {{Al|5}}Dans un 2^ème temps, on considère un puits d'énergie potentielle <math>\;U(x)\;</math> de profondeur infinie<ref name="référence de l'énergie potentielle" /> dont le diagramme en fonction de l'abscisse <math>\;x\;</math> de la position est représenté ci-contre. ==== Partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, en-deçà et au-delà des barrières ==== {{Al|5}}Que devient alors la fonction d’onde <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math><ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" /> en-deçà et au-delà des barrières<ref name="en-deçà et au-delà"> C.-à-d. dans les 2 zones de l'espace <math>\;\left] -\infty\, ;\,0 \right]\;</math> et <math>\;\left[ \mathfrak{a}\, ;\, +\infty \right[</math>.</ref> ? <br><br><br><br><br><br> {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps s'écrivant toujours «<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{d^2 \Psi}{dx^2}(x) + U(x)\; \Psi(x) = E\; \Psi(x)\;</math>»<ref name="choix réel" /> dans laquelle « l'énergie potentielle <math>\;U(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} U_0 \rightarrow\; +\infty \text{ pour } x \in \left[ \mathfrak{a}\,,\,+\infty \right[\\ 0\qquad\qquad\; \text{ pour } x \in \left[ 0\, ,\, \mathfrak{a} \right]\\ U_0 \rightarrow\; +\infty \text{ pour } x \in \left] -\infty\, ,\, 0 \right]\end{array} \right\rbrace\;</math>» et « l'énergie <math>\;E\;</math> de la particule prend des valeurs positives donc comprises entre <math>\;0\;</math> et <math>\;U_0 \rightarrow +\infty\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrivant toujours }}la solution en deçà et au-delà des barrières<ref name="en-deçà et au-delà" /> nécessite d'y évaluer la constante caractéristique <math>\;K = \dfrac{\sqrt{2\,m\,(U_0 - E)}}{\hbar}</math>, celle-ci <math>\;\rightarrow +\infty\;</math> quand <math>\;U_0 \rightarrow +\infty\;</math> <math>\big(</math>caractérisant les deux zones hors puits<math>\big)</math>, ce qui conduit aux solutions «<math>\;\Psi(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} \gamma\;\exp\! \left( -K\;x \right) \text{ pour } x \in \left[ \mathfrak{a}\,,\,+\infty \right[\\ \delta\;\exp\! \left( K\;x \right)\;\;\, \text{ pour } x \in \left] -\infty\, ,\, 0 \right]\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="forme de la solution Psi(x)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Forme_générale_de_la_partie_spatiale_de_la_fonction_d'onde_de_la_particule,_solution_de_l'équation_de_Schrödinger_indépendante_du_temps|forme générale de la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\rightarrow 0\;</math> quand <math>\;K \rightarrow +\infty\;</math>»<ref> En effet pour <math>\;x \in \left] -\infty\, ,\, 0 \right]</math>, l'abscisse <math>\;x\;</math> étant négative, <math>\;\exp\! \left( K\; x \right) \rightarrow 0\;</math> quand <math>\;K \rightarrow + \infty\;</math> et pour <math>\;x \in \left[ \mathfrak{a}\, , \, +\infty \right[</math>, l'abscisse <math>\;x\;</math> étant positive, <math>\;\exp\! \left( -K\; x \right) \rightarrow 0\;</math> quand <math>\;K \rightarrow + \infty</math>.</ref> ; {{Al|5}}en conclusion la solution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps en deçà et au-delà des barrières<ref name="en-deçà et au-delà" /> est «<math>\;\Psi(x) = 0\;</math>» correspondant à des <u>zones d'occupation interdites pour la particule</u>.}} ==== Conditions aux limites que doit satisfaire la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à l'intérieur du puits ==== {{Al|5}}En utilisant le fait que la fonction d'onde <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math><ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" /> doit être continue aux interfaces, c'est-à-dire en <math>\;x = 0\;</math> et <math>\;x = \mathfrak{a}</math>, écrire les conditions aux limites que doit satisfaire <math>\;\underline{\Psi}(x)</math>, solution de l'équation de Schrödinger<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps à l'intérieur du puits. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La continuité de <math>\;\Psi(x)\;</math> sur la frontière de gauche c'est-à-dire en <math>\;x = 0\;</math> conduit à «<math>\;\Psi(0^{-}) = \Psi(0^{+})\;</math>» soit, avec «<math>\;\Psi(x) = 0\;\;\text{ pour }x \in \left] -\infty\, ,\, 0 \right[\;</math>»<ref name="borne exclue"> Si on ne suppose pas, a priori, la continuité de la fonction d'onde <math>\;\big(</math>laquelle est néanmoins toujours réalisée<math>\big)\;</math> l'intervalle de définition de la fonction d'onde en-deçà et au-delà des frontières du puits d'énergie potentielle est ouvert sur la frontière.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\Psi(0^{+}) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}la continuité de <math>\;\Psi(x)\;</math> sur la frontière de droite c'est-à-dire en <math>\;x = \mathfrak{a}\;</math> conduit à «<math>\;\Psi(\mathfrak{a}^{-}) = \Psi(\mathfrak{a}^{+})\;</math>» soit, avec «<math>\;\Psi(x) = 0\;\;\text{ pour }x \in \left] \mathfrak{a}\, ,\, +\infty \right[\;</math>»<ref name="borne exclue" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\Psi(\mathfrak{a}^{-}) = 0\;</math>».}} ==== Condition de quantification de l'énergie de la particule à l'intérieur du puits d'énergie potentielle et expression de la partie spatiale de sa fonction d'onde, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps ==== {{Al|5}}En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math><ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" /> solution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps à l'intérieur du puits d'énergie potentielle, <br>{{Al|9}}{{Transparent|En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde <math>\;\color{transparent}{\underline{\Psi}(x)}\;</math> }}déterminer la condition de quantification de l'énergie de la particule ; {{Al|5}}en utilisant la condition de normalisation de la fonction d'onde <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math><ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" />, déterminer l'expression de <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math><ref name="choix réel" /> à l'intérieur du puits d'énergie potentielle et {{Al|9}}{{Transparent|En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde <math>\;\color{transparent}{\underline{\Psi}(x)}\;</math> }}commenter les résultats. {{Al|5}}<u>A.N.</u> : on propose deux applications numériques pour lesquelles on rappelle la valeur de la [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]]<ref name="Planck" /> <math>\;h = 6,626\, 10^{-34}\, J \cdot s</math> : * un électron <math>\;m = 9,1\, 10^{-31}\, kg\;</math> dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur <math>\;\mathfrak{a} = 1\, \text{Å}\;</math><ref name="angström"> L'angström «<math>\;1\;\text{Ǻ} = 10^{-10}\; m\;</math>» est une unité bien adaptée aux dimensions de l'atome, elle a été choisie pour rendre hommage à « '''[[w:Anders_Jonas_Ångström|Anders Jonas Ångström]] (1814 - 1874)''', astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle, un des fondateurs de la [[w:Spectroscopie|spectroscopie]] ».</ref>, * un proton <math>\;m = 1,67\, 10^{-27}\, kg\;</math> dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur <math>\;\mathfrak{a} = 1\, fm\;</math><ref name="fermi"> On rappelle <math>\;1\, fm = 10^{-15}\,m\;</math> lire « fentomètre » pour <math>\;fm\;</math> <math>\big\{</math>sous-multiple de l'unité de longueur du [[w:Système_international_d'unités|Système international]] <math>\;\big(</math>[[w:Système_international_d'unités|SI]]<math>\big)\;</math> bien adapté aux dimensions du noyau<math>\big\}\;</math> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|On rappelle <math>\;\color{transparent}{1\, fm = 10^{-15}\,m}\;</math> }}lire « fermi » pour <math>\;fm\;</math><math>\big\{</math>appellation historique en hommage à « '''[[w:Enrico_Fermi|Enrico Fermi]] (1901 - 1954)''', physicien italien naturalisé américain, ayant reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1938\;</math> pour sa démonstration de l'existence de nouveaux éléments radioactifs produits par bombardements de neutrons, et pour sa découverte des réactions nucléaires créées par les neutrons lents »<math>\big\}</math>.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|A.N. : }}déterminer, dans chaque exemple, l'écart entre les énergies du niveau fondamental et le 1^er niveau excité puis {{Al|5}}{{Transparent|A.N. : }}comparer à l'ordre de grandeur de l'écart de ces énergies dans un atome et dans un noyau. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Pour <math>\;E \in \left] 0 , U_0 \right[</math>, la fonction d'onde<ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" /> à l'intérieur du puits d'énergie potentielle s'écrit «<math>\;\Psi(x) = \alpha\, \sin(k\, x) + \beta\, \cos(k\, x) \text{ pour } x \in \left] 0 , \mathfrak{a} \right[\;</math>» avec «<math>\;k = \dfrac{\sqrt{2\, m\, E}}{\hbar}\;</math>»<ref name="forme de la solution Psi(x)" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{E \in \left] 0 , U_0 \right[}</math>, }}en appliquant <math>\;\Psi(0^{+}) = 0\;</math> on en déduit <math>\;\beta = 0\;</math> d'où <math>\;\Psi(x)\;</math> se réécrit «<math>\;\Psi(x) = \alpha\, \sin(k\, x) \text{ pour } x \in \left] 0 , \mathfrak{a} \right[\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{E \in \left] 0 , U_0 \right[}</math>, }}en appliquant <math>\;\Psi(\mathfrak{a}^{-}) = 0\;</math> on en déduit <math>\;\alpha\, \sin(k\, \mathfrak{a}) = 0\;</math> d'où la « condition de quantification de <math>\;k\;</math> grandeur caractéristique de la particule à l'intérieur du puits <math>\;\sin(k\, \mathfrak{a}) = 0\;</math>»<ref> En effet <math>\;\alpha = 0\;</math> conduirait à <math>\;\Psi(x) = 0\;</math> à l'intérieur du puits d'énergie potentielle c.-à-d. à l'impossibilité pour la particule d'être d'énergie <math>\;E</math>, énergie que l'on a supposée pour cette particule.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{E \in \left] 0 , U_0 \right[}</math>, en appliquant <math>\;\color{transparent}{\Psi(\mathfrak{a}^{-}) = 0}\;</math> on en déduit <math>\;\color{transparent}{\alpha\, \sin(k\, \mathfrak{a}) = 0}\;</math> d'où la « condition de quantification de <math>\;\color{transparent}{k}\;</math> }}donnant les grandeurs quantifiées «<math>\;k_n = n\; \dfrac{\pi}{\mathfrak{a}}\;\;\text{ avec }n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{E \in \left] 0 , U_0 \right[}</math>, }}compte-tenu de la définition de <math>\;k\;</math> en fonction de <math>\;E\;</math> on déduit de la quantification de <math>\;k_n\;</math> celle de <math>\;E_n\;</math> selon «<math>\;\dfrac{\sqrt{2\, m\, E_n}}{\hbar} = n\; \dfrac{\pi}{\mathfrak{a}}\;\;\text{ avec }n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;2\, m\, E_n = n^2\; \dfrac{\pi^2\;\hbar^2}{\mathfrak{a}^2}\;\;\text{ avec }n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> ou encore <math>\;2\, m\, E_n = n^2\; \dfrac{h^2}{4\;\mathfrak{a}^2}\;\;\text{ avec }n \in \mathbb{N}^{*}\;</math><ref name="constante réduite de Planck" /> soit finalement <center>«<math>\;E_n = n^2\; \dfrac{\pi^2\;\hbar^2}{2\; m\; \mathfrak{a}^2} = n^2\; \dfrac{h^2}{8\; m\; \mathfrak{a}^2}\;\;\text{ avec }n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour chaque valeur <math>\;E_n</math>, valeur propre de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] <math>\;\widehat{\mathcal{H}}\!\left[ \; \right]\;</math> de la particule<ref name="hamiltonien d'une particule" /> à l'intérieur du puits d'énergie potentielle, on associe une fonction propre <math>\;\Psi_n(x) = \alpha_n\;\sin(k_n\;x)\;</math><ref> <math>\;\alpha\;</math> pouvant dépendre a priori de <math>\;n\;</math> est noté <math>\;\alpha_n</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour chaque valeur <math>\;\color{transparent}{E_n}</math>, }}il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer <math>\;\alpha_n</math>, à savoir «<math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{P}_{l,\,n}(x)\;dx = 1\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />, intégrale se réduisant à «<math>\;\displaystyle\int_0^{\mathfrak{a}} \mathcal{P}_{l,\,n}(x)\;dx = 1\;</math>»<ref> Compte-tenu de l'impossibilité pour la particule d'être à l'extérieur du puits d'énergie potentielle, correspondant à la nullité de la fonction d'onde à l'extérieur du puits d'énergie potentielle.</ref> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{l,\,n}(x)</math>}} <math>= \left[ \Psi_n(x) \right]^2 = \alpha_n^2\; \sin^2(k_n\, x)\; \text{ pour } x \in \left[ 0 , \mathfrak{a} \right]</math> est la densité linéique de probabilité de présence de la particule à l'intérieur du puits d'énergie potentielle » ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour chaque valeur <math>\;\color{transparent}{E_n}</math>, }}la condition de normalisation s'écrivant «<math>\;\displaystyle\int_0^{\mathfrak{a}} \alpha_n^2\; \sin^2(k_n\, x)\;dx = 1\;</math>» s'intègre en linéarisant <math>\;\sin^2(k_n\, x)\;</math> selon <math>\;\sin^2(k_n\, x) = \dfrac{1 - \cos(2\,k_n\,x)}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_0^{\mathfrak{a}} \left[ 1 - \cos(2\,k_n\, x) \right]\,dx = \dfrac{2}{\alpha_n^2}\;</math> ou <math>\;\left[ x - \dfrac{\sin(2\,k_n\,x)}{2\,k_n} \right]_0^{\mathfrak{a}} = \dfrac{2}{\alpha_n^2}\;</math> soit enfin <math>\;\left[ \mathfrak{a} - \cancel{\dfrac{\sin(2\,k_n\,\mathfrak{a})}{2\,k_n}} \right] = \dfrac{2}{\alpha_n^2}\;</math><ref> En effet la condition de quantification de <math>\;k_n\;</math> est <math>\;\sin(k_n\,\mathfrak{a}) = 0\;</math> et <math>\;\sin(2\,k_n\,\mathfrak{a}) = 2\;\sin(k_n\,\mathfrak{a})\;\cos(k_n\,\mathfrak{a})</math>.</ref> dont on déduit <math>\;\dfrac{2}{\alpha_n^2} = \mathfrak{a}\;</math><ref> On constate que <math>\;\alpha_n\;</math> ne dépend pas de <math>\;n</math>.</ref> ou, <center>en choisissant <math>\;\alpha_n > 0\;</math><ref> On rappelle qu'une fonction d'onde <math>\;\big(</math>et donc aussi la partie spatiale de la fonction d'onde<math>\big)\;</math> étant définie à un facteur de phase près, on peut choisir n'importe quel signe dans le cas où elle est réelle.</ref> «<math>\;\alpha_{\cancel{n}} = \sqrt{\dfrac{2}{\mathfrak{a}}}\;</math>» et par suite </center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour chaque valeur <math>\;\color{transparent}{E_n}</math>, }}la fonction propre de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] <math>\;\widehat{\mathcal{H}}\!\left[ \; \right]\;</math> de la particule<ref name="hamiltonien d'une particule" /> à l'intérieur du puits d'énergie potentielle associée à la valeur propre «<math>\;E_n = n^2\; \dfrac{h^2}{8\; m\; \mathfrak{a}^2}\;\;\text{ avec }n \in \mathbb{N}^{*}</math>» se réécrit <center>«<math>\;\Psi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{\mathfrak{a}}}\; \sin(k_n\,x)\;</math>»<ref> On vérifie que tous les niveaux d'énergie sont non [[w:Dégénérescence_(physique_quantique|dégénérés]] c.-à-d. qu'il n'existe qu'une seule fonction propre <math>\;\big(</math>à un facteur de phase près<math>\big)\;</math> par valeur propre d'énergie.</ref> dans laquelle «<math>\;k_n = n\; \dfrac{\pi}{\mathfrak{a}}\;\;\text{ avec }n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ou encore <br> «<math>\;\Psi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{\mathfrak{a}}}\; \sin\! \left( \pi\, n\, \dfrac{x}{\mathfrak{a}} \right)\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : On retrouve le résultat fondamental de la quantification de l'énergie d'une particule quand cette dernière est confinée ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}les valeurs propres d'énergie étant d'expression quadratique relativement au niveau <math>\;n\;</math> d'énergie, ces valeurs sont d'autant plus écartés que le niveau est élevé et {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : les valeurs propres d'énergie étant }}inversement proportionnelles au carré de la largeur du puits d'énergie potentielle, ces valeurs sont d'autant plus resserrées que la largeur est grande ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : les valeurs propres d'énergie étant }}inversement proportionnelles à la masse de la particule, ces valeurs sont d'autant plus resserrées que la masse est grande. {{Al|5}}<u>A.N.</u> : on propose deux applications numériques pour lesquelles on rappelle la valeur de la [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]]<ref name="Planck" /> <math>\;h = 6,626\, 10^{-34}\, J \cdot s</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|A.N. : }}l'écart entre les énergies du niveau <math>\;n\;</math> et <math>\;n + 1\;</math> valant «<math>\;\Delta E_{n\, \leftrightarrow\, n + 1} = \left[ (n + 1)^2 - n^2 \right]\, \dfrac{h^2}{8\; m\; \mathfrak{a}^2} = (2\, n + 1)\, \dfrac{h^2}{8\; m\; \mathfrak{a}^2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|A.N. : }}un écart entre l'énergie du 1^er état excité et celle de l'état fondamental «<math>\;\Delta E_{1\, \leftrightarrow\, 2} = 3\, \dfrac{h^2}{8\; m\; \mathfrak{a}^2}\;</math>» : <br>{{Al|5}}{{Transparent|A.N. : }}<math>\;\succ\;</math><u>1^er exemple</u> un électron <math>\;m = 9,1\, 10^{-31}\, kg\;</math> dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur <math>\;\mathfrak{a} = 1\, \text{Å}\;</math><ref name="angström" /> donne un écart d'énergies entre le niveau fondamental et celui du 1^er état excité <math>\;\Delta E_{1\, \leftrightarrow\, 2} = 3 \times \dfrac{\left( 6,626\, 10^{-34} \right)^2}{8 \times 9,1\, 10^{-31} \times \left( 10^{-10} \right)^2} \simeq 1,81\, 10^{-17}\;J\;</math> soit finalement «<math>\;\Delta E_{1\, \leftrightarrow\, 2} \simeq 113\;eV\;</math>»<ref name="eV" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|A.N. : }}<math>\;\succ\;</math><u>2^ème exemple</u> un proton <math>\;m = 1,67\, 10^{-27}\, kg\;</math> dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur <math>\;\mathfrak{a} = 1\, fm\;</math><ref name="fermi" />, donne un écart d'énergies entre le niveau fondamental et celui du 1^er état excité <math>\;\Delta E_{1\, \leftrightarrow\, 2} = 3 \times \dfrac{\left( 6,626\, 10^{-34} \right)^2}{8 \times 1,67\, 10^{-27} \times \left( 10^{-15} \right)^2} \simeq 9,86\, 10^{-11}\;J\;</math> soit finalement «<math>\;\Delta E_{1\, \leftrightarrow\, 2} \simeq 616\;MeV\;</math>»<ref name="MeV"> On rappelle <math>\;1\, MeV = 10^6\, eV = 1,6\, 10^{-13}\,J</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|A.N. : }}on vérifie, dans le 1^er exemple, l'ordre de grandeur des écarts séparant les niveaux d'énergie d'un électron dans un atome à savoir de quelques <math>\;eV\;</math> à quelques <math>\;keV</math>, un atome étant de rayon de l'ordre de <math>\;0,53\; \text{Å}\;</math> pour l'atome d'hydrogène à quelques <math>\;\text{Å}\;</math> pour les plus complexes ; {{Al|5}}{{Transparent|A.N. : }}on vérifie, dans le 2^ème exemple, l'ordre de grandeur des écarts séparant les niveaux d'énergie des nucléons dans un noyau à savoir de quelques <math>\;MeV\;</math> à quelques <math>\;10^2\;MeV</math>, un noyau étant de rayon de l'ordre de <math>\;1,3\; fm\;</math> pour le noyau d'hydrogène à quelques <math>\;fm\;</math> pour les plus complexes.}} ==== Représentation graphique des trois premières fonctions d'onde et du carré de leurs modules ==== {{Al|5}}Donner la représentation graphique des trois 1^ères fonctions d’onde<ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" /> et de leurs modules carrés <math>\;\big(</math>c'est-à-dire à leurs densités linéiques de probabilité de présence associées<math>\big)</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ci-dessous à gauche la représentation graphique des trois 1^ères fonctions d'onde<ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" /> d'une particule dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur <math>\;\mathfrak{a}</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous à gauche }}<math>\;\succ\;</math>dans l'état fondamental d'énergie «<math>\;E_1 = \dfrac{h^2}{8\,m\,\mathfrak{a}^2}\;</math>», de fonction propre associée «<math>\;\Psi_1(x) = \sqrt{\dfrac{2}{\mathfrak{a}}}\, \sin\! \left( \pi\, \dfrac{x}{\mathfrak{a}} \right)\;</math>»<ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" />, représentation en rouge, ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous à gauche }}<math>\;\succ\;</math>dans les deux 1^ers états excités d'énergie «<math>\;E_2 = 4\;\dfrac{h^2}{8\,m\,\mathfrak{a}^2}\;</math>», de fonction propre associée «<math>\;\Psi_2(x) = \sqrt{\dfrac{2}{\mathfrak{a}}}\, \sin\! \left( 2\,\pi\, \dfrac{x}{\mathfrak{a}} \right)\;</math>»<ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" />, représentation en bleu et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous à gauche <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>dans les deux 1^ers états excités }}d'énergie «<math>\;E_3 = 9\;\dfrac{h^2}{8\,m\,\mathfrak{a}^2}\;</math>», de fonction propre associée «<math>\;\Psi_3(x) = \sqrt{\dfrac{2}{\mathfrak{a}}}\, \sin\! \left( 3\,\pi\, \dfrac{x}{\mathfrak{a}} \right)\;</math>»<ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" />, représentation en vert ; {{Al|5}}Ci-dessous à droite la représentation graphique des trois 1^ères densités linéiques de probabilité de présence d'une particule dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur <math>\;\mathfrak{a}</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous à droite }}<math>\;\succ\;</math>dans l'état fondamental d'énergie «<math>\;E_1 = \dfrac{h^2}{8\,m\,\mathfrak{a}^2}\;</math>», de densité linéique de probabilité de présence «<math>\;\mathcal{P}_{l,\,1}(x) = \Psi_1^2(x) = \dfrac{2}{\mathfrak{a}}\, \sin^2\! \left( \pi\, \dfrac{x}{\mathfrak{a}} \right)\;</math>», représentation en rouge <math>\;\big(</math>on remarque que {{Nobr|celle-ci}} est maximale au centre de puits d'énergie potentielle<math>\big)\;</math> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous à droite }}<math>\;\succ\;</math>dans les deux 1^ers états excités d'énergie «<math>\;E_2 = 4\;\dfrac{h^2}{8\,m\,\mathfrak{a}^2}\;</math>», de densité linéique de probabilité de présence «<math>\;\mathcal{P}_{l,\,2}(x) = \Psi_2^2(x) =</math> <math>\dfrac{2}{\mathfrak{a}}\, \sin^2\! \left( 2\,\pi\, \dfrac{x}{\mathfrak{a}} \right)\;</math>», représentation en bleu <math>\;\big(</math>on remarque que celle-ci est maximale en <math>\;x = 0,25\,\mathfrak{a}\;</math> et <math>\;x = 0,75\,\mathfrak{a}\;</math> alors qu'elle est nulle au centre du puits d'énergie potentielle<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous à droite <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>dans les deux 1^ers états excités }}d'énergie «<math>\;E_3 = 9\;\dfrac{h^2}{8\,m\,\mathfrak{a}^2}\;</math>», de densité linéique de probabilité de présence «<math>\;\mathcal{P}_{l,\,3}(x) = \Psi_3^2(x) =</math> <math>\dfrac{2}{\mathfrak{a}}\, \sin^2\! \left( 3\,\pi\, \dfrac{x}{\mathfrak{a}} \right)\;</math>», représentation en vert <math>\;\bigg(\!</math>on remarque que celle-ci est maximale en <math>\;x = \dfrac{\mathfrak{a}}{6}</math>, au centre du puits d'énergie potentielle et en <math>\;x = \dfrac{5\,\mathfrak{a}}{6}</math> alors qu'elle est nulle en <math>\;x = \dfrac{\mathfrak{a}}{3}\;</math> et <math>\;x = \dfrac{2\,\mathfrak{a}}{3}\!\bigg)</math>. [[File:Puits quantique à une dimension - penta.png|left|thumb|450px|frame|caption|Partie spatiale des fonctions d'onde d'une particule dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie, de largeur <math>\;\mathfrak{a}</math>, pour l'état fondamental et les deux 1^ers états excités]] [[File:Puits quantique à une dimension - hexa.png|right|thumb|450px|frame|caption|Densité linéique de probabilité de présence d'une particule dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie, de largeur <math>\;\mathfrak{a}</math>, pour l'état fondamental et les deux 1^ers états excités]]}} === Interprétation physique des résultats précédents === ==== Énergie fondamentale de la particule confinée dans ce puits et différence avec le résultat de mécanique classique ==== {{Al|5}}Quelle est la plus basse énergie que puisse atteindre une particule confinée dans le puits ? {{Al|5}}En quoi cette énergie est-elle différente de celle que l’on trouverait en mécanique classique ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'énergie fondamentale de la particule confinée dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie est »<math>\;E_1 = \dfrac{h^2}{8\,m\,\mathfrak{a}^2} = \dfrac{\pi^2\,\hbar^2}{2\,m\,\mathfrak{a}^2}\;</math>«<ref name="constante réduite de Planck" /> ; {{Al|5}}elle a comme particularité d'être « <u>non nulle</u> » <math>\;\big(</math>plus précisément strictement positive<math>\big)\;</math> contrairement à ce qu'on trouve en mécanique classique où « l'énergie fondamentale classique est <u>nulle</u> », correspondant à l'immobilité de la particule.}} ==== Justification de la différence précédente par inégalité spatiale de Heisenberg ==== {{Al|5}}Montrer que la différence précédente est une conséquence directe de l'[[w:Principe_d'incertitude|inégalité spatiale de Heisenberg]] <ref name="Heisenberg"> '''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], a obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création d'une forme de [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connue sous le nom de [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]]<math>\big)</math>, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène <math>\;\big(</math>le dihydrogène existe sous deux [[w:Allotropie|formes allotropiques]] « ortho » où les [[w:Spin|spins]] sont <math>\;\parallel\;</math> et « para » où ils sont anti<math>\;\parallel</math>, le dihydrogène ortho étant présent à <math>\;75\;\%\;</math> à température élevée et sa proportion <math>\;\searrow\;</math> quand sa température <math>\;\searrow\big)</math>.</ref>{{,}}<ref name="inégalité spatiale de Heisenberg"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Généralisation_à_la_matière_de_l'inégalité_de_Heisenberg_spatiale|généralisation à la matière de l'inégalité de Heisenberg spatiale]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La particule étant confinée sur l'intervalle <math>\;\left[0\, ,\, \mathfrak{a}\, \right]</math>, l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique"> On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».</ref> sur sa position <math>\;\Delta x\;</math> est majorée selon «<math>\;\Delta x \leqslant \dfrac{\mathfrak{a}}{2}\;</math>»<ref> En effet la valeur moyenne de l'abscisse de la particule est <math>\;\overline{x} = \dfrac{\mathfrak{a}}{2}\;</math> <math>\big(</math>correspondant au maximum de densité linéique de probabilité de présence<math>\big)\;</math> et son incertitude quantique définie selon <math>\;\Delta x =</math> <math>\sqrt{\left\langle (x - \overline{x})^2 \right\rangle}\;</math> donne <math>\;\Delta x = \sqrt{\left\langle \left( x - \dfrac{\mathfrak{a}}{2} \right)^{\!\!2} \right\rangle} \leqslant \dfrac{\mathfrak{a}}{2}\;</math> sachant que <math>\;\vert x \vert \leqslant \mathfrak{a}</math>.</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|La particule étant confinée sur l'intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ,\, \mathfrak{a}\, \right]}</math>, }}l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur sa quantité de mouvement <math>\;\Delta p_x\;</math> se déduisant de l'[[w:Principe_d'incertitude|inégalité spatiale de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> <math>\;\Delta p_x\; \Delta x \gtrsim \dfrac{\hbar}{2}\;</math> selon <math>\;\Delta p_x \gtrsim \dfrac{\hbar}{2\;\Delta x}\;</math> on obtient, en utilisant le majorant précédemment déterminé de l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur la position, que l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur la quantité de mouvement est minorée selon «<math>\;\Delta p_x \gtrsim \dfrac{\hbar}{\mathfrak{a}}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|La particule étant confinée sur l'intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ,\, \mathfrak{a}\, \right]}</math>, }}la définition de cette dernière étant <math>\;\Delta p_x = \sqrt{\left\langle (p_x - \overline{p_x})^2 \right\rangle} = \sqrt{\left\langle p_x^2 \right\rangle}</math>, la valeur moyenne de sa quantité de mouvement étant <math>\;\overline{p_x} = 0\;</math><ref> En effet ayant une même probabilité d'avoir la valeur <math>\;p_x\;</math> et <math>\;-p_x</math>, nous en déduisons une valeur moyenne nulle.</ref> soit encore <center><math>\;\left\langle p_x^2 \right\rangle = (\Delta p_x)^2\;</math><ref> C.-à-d. la valeur moyenne du carré de la quantité de mouvement en fonction de l'incertitude quantique sur cette dernière.</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|La particule étant confinée sur l'intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ,\, \mathfrak{a}\, \right]}</math>, }}l'énergie de la particule ayant une valeur fixée <math>\;E</math>, celle-ci s'identifie à sa valeur moyenne soit <math>\;E = \left\langle E \right\rangle = \left\langle K \right\rangle = \dfrac{\left\langle p_x^2 \right\rangle}{2\;m} = \dfrac{(\Delta p_x)^2}{2\;m}\;</math> <math>\big[</math>en utilisant le résultat établi précédemment <math>\;\left\langle p_x^2 \right\rangle = (\Delta p_x)^2\big]\;</math> puis à l'aide de la valeur du minorant précédemment obtenu de l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur la quantité de mouvement <math>\;\Delta p_x</math>, «<math>\;E \gtrsim \dfrac{\hbar^2}{2\;m\;\mathfrak{a}^{\,2}} = \dfrac{h^2}{8\;\pi^2\;m\;\mathfrak{a}^{\,2}}\;</math>»<ref name="constante réduite de Planck" /> soit finalement <center>«<math>\;E \gtrsim \dfrac{h^2}{8\;\pi^2\;m\;\mathfrak{a}^{\,2}}\;</math>» <br>ce qui, devant être vérifié par tout niveau d'énergie, doit l'être en particulier par le niveau fondamental <math>\;E_1 = \dfrac{h^2}{8\;m\;\mathfrak{a}^{\,2}}</math>, <br>ce qui est le cas car <math>\;E_1 = \dfrac{h^2}{8\;m\;\mathfrak{a}^{\,2}} > \dfrac{h^2}{8\;\pi^2\;m\;\mathfrak{a}^{\,2}}</math> ; <br>la valeur de ce minorant prouve effectivement que « l'énergie fondamentale est nécessairement <u>non nulle</u> ».</center>}} ==== Signification physique de la partie spatiale de la fonction d'onde ==== {{Al|5}}Discuter la signification physique de la fonction d’onde <math>\;\underline{\Psi}_n(x)\;</math><ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" />{{,}}<ref name="choix réel" /> associée à l'énergie <math>\;E_n\;</math> de la particule dans l'état de niveau <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La fonction d’onde <math>\;\Psi_n(x)\;</math><ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" />{{,}}<ref name="choix réel" />, solution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps <math>\;\big(</math>ou fonction propre de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] <math>\;\widehat{\mathcal{H}}\!\left[ \, \right]\;</math> de la particule<ref name="hamiltonien d'une particule" /> associée à la valeur propre <math>\;E_n\;</math> de l'énergie de cette dernière<math>\big)</math>, n'a pas de signification physique propre ; {{Al|18}}{{Transparent|La fonction d’onde <math>\;\color{transparent}{\Psi_n(x)}\;</math> }}seul le carré de son module <math>\;\vert \Psi_n(x) \vert^2\;</math> en a une, il définit la densité linéique de probabilité de présence <math>\;\mathcal{P}_{l,\,n}(x) = \Psi_n^2(x)\;</math><ref> Le module devient inutile dans la mesure où on a choisi, la partie spatiale de la fonction d'onde, réelle.</ref>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|La fonction d’onde <math>\;\color{transparent}{\Psi_n(x)}\;</math> seul le carré de son module <math>\;\color{transparent}{\vert \Psi_n(x) \vert^2}\;</math> en a une, }}ses zéros donnant les abscisses où la particule est interdite pour cette énergie et <br>{{Al|18}}{{Transparent|La fonction d’onde <math>\;\color{transparent}{\Psi_n(x)}\;</math> seul le carré de son module <math>\;\color{transparent}{\vert \Psi_n(x) \vert^2}\;</math> en a une, }}ses maxima, les abscisses où on a le plus de chance de trouver la particule pour cette même énergie.}} ==== Évolution temporelle d'un état stationnaire ==== {{Al|5}}Expliquer comment va évoluer temporellement un état stationnaire et en quoi cela justifie cette appellation. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Supposons que la particule possède, à l'instant initial, l'énergie <math>\;E_n</math>, une des valeurs propres de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] de la particule<ref name="hamiltonien d'une particule" />, la fonction d'onde de cette dernière à l'instant initial <math>\;\underline{\psi}_n(x,\, 0)\;</math> est alors la fonction propre <math>\;\Psi_n(x)\;</math><ref name="partie spatiale de fonction d'onde abus" />{{,}}<ref name="choix réel" /> de son [[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]]<ref name="hamiltonien d'une particule" /> associée à l'énergie propre <math>\;E_n\;</math> soit «<math>\;\underline{\psi}_n(x,\, 0) = \Psi_n(x)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Supposons que la particule possède, }}à un instant <math>\;t\;</math> quelconque, la fonction d'onde de la particule <math>\;\underline{\psi}_n(x,\, t)</math>, solution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> dépendante du temps suivie par la particule d'énergie <math>\;E_n\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\underline{\psi}_n(x,\, t) = \Psi_n(x)\;\exp\! \left( -i\,\dfrac{E_n}{\hbar}\,t \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Supposons que la particule possède, à un instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> quelconque, }}la densité linéique de probabilité de présence de la particule à cet instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{l,\,n}(x,\, t) = \vert \underline{\psi}_n(x,\, t) \vert^2\;</math>» est encore égale à «<math>\;\mathcal{P}_{l,\,n}(x,\, t) =</math> <math>\bigg\vert \Psi_n(x)\;\exp\! \left( -i\,\dfrac{E_n}{\hbar}\,t \right) \bigg\vert^2 = \Psi_n^2(x)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}_{l,\,n}(x,\, t) = \mathcal{P}_{l,\,n}(x,\, 0)\;</math>», établissant son <u>indépendance relativement au temps</u> <math>\;t\;</math> d'où l'appellation d'<u>état stationnaire</u>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : La particule possédant une énergie <math>\;E_n\;</math> parfaitement définie, l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur son énergie est nulle soit <math>\;\Delta E_n = 0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}selon l'inégalité temporelle de Heisenberg<ref name="Heisenberg" /> <math>\;\Delta E\;\Delta t \gtrsim \dfrac{\hbar}{2}\;</math><ref name="inégalité temporelle de Heisenberg"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#En_complément_:_Inégalité_de_Heisenberg_temporelle|en complément : inégalité de Heisenberg temporelle]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et tenant compte de la nullité de l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur l'énergie, on en déduit que l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur l'instant <math>\;t\;</math> d'observation de la particule <math>\;\Delta t_n\;</math> doit être <math>\;\infty</math>, ce qui correspond effectivement à un état où l'instant <math>\;t_n\;</math> d'observation de la particule ne peut être déterminé comme il ne peut l'être dans un état stationnaire.}} ==== Évolution temporelle d'un état correspondant à la superposition initiale de deux états stationnaires ==== {{Al|5}}Soit <math>\;\underline{\psi}(x,\,0) = \underline{\alpha}\; \underline{\Psi}_{n_1}(x) + \underline{\beta}\; \underline{\Psi}_{n_2}(x)\;</math> la fonction d'onde initiale associée à un état résultant d’une superposition quelconque de deux états stationnaires à l'instant initial <math>\;t = 0</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\underline{\psi}(x,\,0) = \underline{\alpha}\; \underline{\Psi}_{n_1}(x) + \underline{\beta}\; \underline{\Psi}_{n_2}(x)}\;</math> }}Comment va évoluer temporellement un tel état ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant la fonction d'onde initiale associée à un état de la particule résultant de la superposition des deux états stationnaires d'énergie respective <math>\;E_{n_1}\;</math> et <math>\;E_{n_2}\;</math> soit «<math>\;\underline{\psi}(x,\,0) = \underline{\alpha}\; \Psi_{n_1}(x) + \underline{\beta}\; \Psi_{n_2}(x)\;</math>»<ref> <math>\;\Psi_{n_1}(x)\;</math> et <math>\;\Psi_{n_2}(x)\;</math> étant les fonctions propres de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] de la particule associées respectivement aux valeurs propres <math>\;E_{n_1}\;</math> et <math>\;E_{n_2}</math>.</ref>, on en déduit la fonction d'onde à l'instant <math>\;t\;</math> quelconque «<math>\;\underline{\psi}(x,\,t) = \underline{\alpha}\; \Psi_{n_1}(x)\;\exp\! \left( -i\, \dfrac{E_{n_1}}{\hbar}\, t \right) + \underline{\beta}\; \Psi_{n_2}(x)\;\exp\! \left( -i\, \dfrac{E_{n_2}}{\hbar}\, t \right)\;</math>»<ref> Ceci résultant du caractère linéaire de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] dépendante du temps.</ref>. {{Al|5}}La densité linéique initiale de probabilité de présence de la particule «<math>\;\mathcal{P}_l(x,\, 0) = \vert \underline{\psi}(x,\, 0) \vert^2 = \left[ \underline{\psi}(x,\, 0) \right] \left[ \underline{\psi}(x,\, 0) \right]^{*}\;</math>»<ref name="complexe conjugué"> On rappelle que le complexe conjugué de <math>\;\underline{z}\;</math> est noté <math>\;\underline{z}^{*}\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Notion_de_complexe_conjugué|notion de complexe conjugué]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> s'évalue selon «<math>\;\mathcal{P}_l(x,\, 0) = \left[ \underline{\alpha}\; \Psi_{n_1}(x) + \underline{\beta}\; \Psi_{n_2}(x) \right] \left[ \underline{\alpha}^{*}\; \Psi_{n_1}(x) + \underline{\beta}^{*}\; \Psi_{n_2}(x) \right] =</math> <br><math>\vert \underline{\alpha} \vert^2 \;\Psi_{n_1}^2(x) + \vert \underline{\beta} \vert^2 \;\Psi_{n_2}^2(x) + 2\, \vert \underline{\alpha} \vert\, \vert \underline{\beta} \vert\, \cos(\varphi_{\alpha} - \varphi_{\beta})\, \Psi_{n_1}(x)\, \Psi_{n_2}(x)\;</math>»<ref name="définition arguments"> Avec <math>\;\varphi_{\alpha} = \mathrm{arg}\left( \underline{\alpha} \right)\;</math> et <math>\;\varphi_{\beta} = \mathrm{arg}\left( \underline{\beta} \right)</math>.</ref>{{,}}<ref> En effet <math>\;\underline{\alpha}\,\underline{\beta}^{*} + \underline{\alpha}^{*}\,\underline{\beta} = \vert \underline{\alpha} \vert\,\vert \underline{\beta} \vert \left\lbrace \exp\! \left[ i\,(\varphi_{\alpha} - \varphi_{\beta}) \right] + \exp\! \left[ -i\,(\varphi_{\alpha} - \varphi_{\beta}) \right] \right\rbrace = \vert \underline{\alpha} \vert\,\vert \underline{\beta} \vert\; 2\, \cos\! \left( \varphi_{\alpha} - \varphi_{\beta} \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}La densité linéique de probabilité de présence de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_l(x,\, t) = \vert \underline{\psi}(x,\, t) \vert^2 = \left[ \underline{\psi}(x,\, t) \right] \left[ \underline{\psi}(x,\, t) \right]^{*}\;</math>»<ref name="complexe conjugué" /> s'évalue selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_l(x,\, t) =</math> <math>\left[ \underline{\alpha}\; \Psi_{n_1}(x)\;\exp\! \left( -i\, \dfrac{E_{n_1}}{\hbar}\, t \right) + \underline{\beta}\; \Psi_{n_2}(x)\;\exp\! \left( -i\, \dfrac{E_{n_2}}{\hbar}\, t \right) \right] \left[ \underline{\alpha}^{*}\; \Psi_{n_1}(x)\;\exp\! \left( i\, \dfrac{E_{n_1}}{\hbar}\, t \right) + \underline{\beta}^{*}\; \Psi_{n_2}(x)\;\exp\! \left( i\, \dfrac{E_{n_2}}{\hbar}\, t \right) \right]\;</math>» <br>soit finalement «<math>\;\mathcal{P}_l(x,\, t) = \vert \underline{\alpha} \vert^2 \;\Psi_{n_1}^2(x) + \vert \underline{\beta} \vert^2 \;\Psi_{n_2}^2(x) + 2\, \vert \underline{\alpha} \vert\, \vert \underline{\beta} \vert\, \cos\! \left( \dfrac{E_{n_2} - E_{n_1}}{\hbar}\, t + \varphi_{\alpha} - \varphi_{\beta} \right)\, \Psi_{n_1}(x)\, \Psi_{n_2}(x)\;</math>»<ref name="définition arguments" />{{,}}<ref> En effet <math>\;\underline{\alpha}\,\underline{\beta}^{*}\,\exp\! \left( -i\, \dfrac{E_{n_1}}{\hbar}\, t \right)\,\exp\! \left( i\, \dfrac{E_{n_2}}{\hbar}\, t \right) + \underline{\alpha}^{*}\,\underline{\beta}\,\exp\! \left( i\, \dfrac{E_{n_1}}{\hbar}\, t \right)\,\exp\! \left( -i\, \dfrac{E_{n_2}}{\hbar}\, t \right) =</math> <math>\vert \underline{\alpha} \vert\,\vert \underline{\beta} \vert \left\lbrace \exp\! \left[ i\, \left( \dfrac{E_{n_2} - E_{n_1}}{\hbar}\, t + \varphi_{\alpha} - \varphi_{\beta} \right) \right] + \exp\! \left[ -i\, \left( \dfrac{E_{n_2} - E_{n_1}}{\hbar}\, t + \varphi_{\alpha} - \varphi_{\beta} \right) \right] \right\rbrace =</math> <math>\vert \underline{\alpha} \vert\,\vert \underline{\beta} \vert\; 2\, \cos\! \left( \dfrac{E_{n_2} - E_{n_1}}{\hbar}\, t + \varphi_{\alpha} - \varphi_{\beta} \right)</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}Constatant que la densité linéique de probabilité de présence de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation <math>\;\omega_{n_1,\,n_2} =</math> <math>\dfrac{\vert E_{n_2} - E_{n_1} \vert}{\hbar}\;</math> donc de période <math>\;T_{n_1,\,n_2} = \dfrac{2\,\pi}{\omega_{n_1,\,n_2}} =</math> <math>\dfrac{2\,\pi\,\hbar}{\vert E_{n_2} - E_{n_1}\vert} = \dfrac{h}{\vert E_{n_2} - E_{n_1}\vert}</math>, on en déduit que l'état « superposition initiale de deux états stationnaires » <u>n'est pas un état stationnaire</u>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Compte-tenu du fait que l'état « superposition initiale de deux états stationnaires d'énergie respective <math>\;E_{n_1}\;</math> et <math>\;E_{n_2}\;</math>» n'est pas stationnaire, la mesure de l'énergie associée à l'état n'est déterminable qu'avec une incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> «<math>\;\Delta E \leqslant \vert E_{n_2} - E_{n_1} \vert\;</math>»<ref> La mesure de l'énergie devant donner un résultat compris entre les deux bornes <math>\;E_{n_1}\;</math> et <math>\;E_{n_2}\;</math> avec une valeur moyenne <math>\;\overline{E}\;</math> pouvant être quelconque entre ces deux bornes, son incertitude quantique définie selon <math>\;\Delta E =</math> <math>\sqrt{\left\langle (E - \overline{E})^2 \right\rangle}\;</math> donne <math>\;\Delta E = \max\bigg(\sqrt{\left\langle \left( E - E_{n_1} \right)^{2} \right\rangle}\,,\, \sqrt{\left\langle \left( E - E_{n_2} \right)^{2} \right\rangle}\bigg) \leqslant \vert E_{n_2} - E_{n_1} \vert\;</math> sachant que <math>\;E \in \left[ \min\big(E_{n_1}\,,\,E_{n_2}\big)\;,\,\max\big(E_{n_1}\,,\,E_{n_2}\big) \right]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}de l'inégalité de Heisenberg temporelle<ref name="Heisenberg" /> <math>\;\Delta E\; \Delta t \gtrsim \dfrac{\hbar}{2}\;</math><ref name="inégalité temporelle de Heisenberg" /> où <math>\;\Delta t\;</math> est l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur l'instant d'observation, on en déduit «<math>\;\Delta t \gtrsim \dfrac{\hbar}{2\;\Delta E}\;</math>» et on obtient, en utilisant le majorant précédemment déterminé de l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur l'énergie, que l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur l'instant d'observation est minorée selon «<math>\;\Delta t \gtrsim \dfrac{\hbar}{2\;\vert E_{n_2} - E_{n_1} \vert} = \dfrac{h}{4\;\pi\;\vert E_{n_2} - E_{n_1} \vert}\;</math>»<ref name="constante réduite de Planck" />, en accord avec le fait que la densité linéique de probabilité de présence est sinusoïdale du temps de période <math>\;T_{n_1,\,n_2} = \dfrac{h}{\vert E_{n_2} - E_{n_1}\vert}</math> d'où <center>l'incertitude quantique<ref name="incertitude quantique" /> sur l'instant d'observation «<math>\;\Delta t \gtrsim \dfrac{T_{n_1,\,n_2}}{4\;\pi}\;</math>»<ref> C.-à-d. l'incertitude quantique sur l'instant d'observation est au moins de l'ordre de grandeur d'un dixième de la période de variation de la densité linéique de probabilité de présence.</ref>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance/]] }} 7z1seizil0rldbkmwvxtbbmw2uuxoy9 0 66543 982847 978385 2026-05-15T13:25:44Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982847 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 24 | niveau = 14 | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle/]] }} == Résistance de sortie d'un dipôle actif linéaire (D.A.L.) == === Résistance de sortie d'un D.A.L. au sens du régime permanent === {{Al|5}}Un D.A.L<ref name="D.A.L."> Dipôle Actif Linéaire.</ref>. en régime permanent ayant pour modélisation de Thévenin<ref name="Thévenin"> '''[[w:Léon_Charles_Thévenin|Léon Charles Thévenin]] (1857 - 1926)''' ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Thévenin|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1883</math>.</ref> l'« association série d'une source de tension parfaite et d'un conducteur ohmique », on appelle <u>résistance de sortie du D.A.L.</u><ref name="D.A.L." /><math>\;\big(</math><u>en régime permanent</u><math>\big)\;</math> et on la note <math>\;\big(</math>usuellement<math>\big)</math> <math>\;R_S</math>, la « <u>résistance du modèle générateur de Thévenin</u><ref name="Thévenin" /> » ; {{Al|5}}du point de vue théorique c'est aussi la « <u>résistance du D.L. quand ce dipôle est rendu passif</u> c'est-à-dire quand la source de tension parfaite est remplacée par un court-circuit »<ref> Uniquement du point de vue théorique car il est impossible de séparer les deux composantes « source de tension parfaite » et « conducteur ohmique » dans un D.A.L. donc impossible pratiquement de court-circuiter la source de tension parfaite sans agir aussi sur le conducteur ohmique.</ref>. === Résistance de sortie d'un D.A.L. au sens de l'A.R.Q.S. === {{Al|5}}Un D.A.L<ref name="D.A.L." />. en A.R.Q.S. a pour modélisation de Thévenin<ref name="Thévenin" /> l'« association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. variant avec le temps et d'un dipôle passif linéaire <math>\;\big(</math>D.P.L.<math>\big)\;</math>» ; dans la mesure où la composante passive du modèle de Thévenin<ref name="Thévenin" /> est purement résistive, on appelle <u>résistance de sortie du D.A.L. en A.R.Q.S.</u> et on la note <math>\;\big(</math>usuellement<math>\big)</math> <math>\;r_S</math>, la « <u>résistance du D.P.L<ref name="D.P.L."> Dipôle Passif Linéaire.</ref>. du modèle générateur de Thévenin</u><ref name="Thévenin" /> »<ref> Dans le cas où la composante passive du modèle de Thévenin n'est pas purement résistive, on n'introduit pas cette notion de résistance de sortie pour le D.A.L. en A.R.Q.S., le « <u>D.P.L. du modèle générateur de Thévenin</u> » étant simplement appelé « D.P.L. de sortie du D.A.L. en A.R.Q.S. ».</ref> ; {{Al|5}}du point de vue théorique, c'est encore la « <u>résistance du D.L. quand ce dipôle est rendu passif</u> c'est-à-dire quand la source de tension parfaite est remplacée par un court-circuit <math>\;\big(</math>dans la mesure où le dipôle obtenu est purement résistif<math>\big)\;</math>»<ref> Uniquement du point de vue théorique car il est impossible de séparer les deux composantes « source de tension parfaite » et « D.P.L. » dans un D.A.L. en A.R.Q.S. <math>\;\big(</math>par exemple un générateur de fonctions ou G.B.F.<math>\big)\;</math> donc impossible pratiquement de court-circuiter la source de tension parfaite sans agir aussi sur le D.P.L. ; <br>{{Al|3}}si la composante passive du modèle de Thévenin du D.A.L. en A.R.Q.S. est purement résistive, la résistance de sortie du D.A.L. en A.R.Q.S. <math>\;\big(</math>par exemple un G.B.F.<math>\big)\;</math> peut s'obtenir pratiquement en éteignant la partie active du D.A.L. en A.R.Q.S. <math>\;\big(</math>sur l'exemple du G.B.F., celui-ci doit être débranché du secteur<math>\big)\;</math> mais ceci ne sera correct pratiquement qu'à faible fréquence <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\lesssim 1\, kHz\big)</math>,</ref>. === Exemple d'un générateur de fonctions - ou générateur basse fréquence (G.B.F.) === {{Al|5}}C'est un cas particulier du paragraphe précédent, la f.e.m. étant alternative <math>\;\big(</math>sinusoïdale, créneau ou triangulaire<math>\big)</math> ; {{Al|5}}la valeur usuelle de <math>\;50\; \Omega\;</math> pour les générateurs de fonctions utilisés au laboratoire<ref> En théorie cette valeur ne représente la résistance de sortie que dans le cas où la composante passive du modèle de Thévenin du G.B.F. est purement résistive, dans le cas contraire elle est appelée « impédance de sortie » et cette appellation acquerra un sens lors de l'étude du r.s.f. <math>\;\big(</math>régime sinusoïdal forcé<math>\big)\;</math> c.-à-d. dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_régime_sinusoïdal_forcé,_impédance_complexe#Introduction_:_transformation_du_“_lien_d'équation_différentielle_à_cœfficients_réels_constants_entre_tension_aux_bornes_d'un_D.P.L._et_intensité_de_courant_le_traversant_du_r.s.f._”_en_“_loi_d'Ohm_de_l'électricité_«_complexe_»_associée_au_r.s.f._”,_notion_d'«_impédance_complexe_du_D.P.L._utilisé_en_r.s.f._»|introduction : transformation du “ lien d'équations différentielles à cœfficients réels constants entre tension aux bornes d'un D.P.L. et intensité de courant le traversant du r.s.f. ” en “ loi d'Ohm de l'électricité complexe associée au r.s.f. ”, notion d'impédance complexe du D.P.L. utilisé en r.s.f.]] (impédance du D.P.L. en r.s.f.) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques – bis (PCSI)]] » <math>\;\big[</math>son utilisation n'est correcte que pour une f.e.m. sinusoïdale et son usage pour une f.e.m. triangulaire ou créneau étant un abus <math>\;-\;</math> néanmoins réalisé par tous <math>\;-\;</math> il faudrait en fait parler de « dipôle linéaire passif interne » <math>\;\big(</math>la linéarité étant bien sûr au sens de l'A.R.Q.S.<math>\big)\big]</math>.</ref> est indiquée à côté de la borne de sortie à baïonnettes du générateur, borne notée « output »<ref> Borne « output » sur laquelle peut être branché un câble coaxial à connecteur mâle « B.N.C. » ou un adaptateur « BNC - banane » permettant la connexion au circuit à l'aide de deux fils ; <br>{{Al|3}}revoir ces notions dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#3ème_exemple_:_générateur_de_fonctions_(ou_G.B.F.)|3^ème exemple : générateur de fonctions (ou G.B.F.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}la signification de connecteur « B.N.C. » est « Bayonet Neill-Concelman », connecteur à baïonnettes dérivant du connecteur créé par Neill et de celui créé par Concelman.</ref>{{,}}<ref> Sur d'autres G.B.F., la résistance de sortie peut ne pas être indiquée à côté de la borne de sortie, vous la trouvez alors sur la notice accompagnant le générateur de fonctions.</ref>. == Influence de la résistance de sortie sur la tension délivrée par un G.B.F. == [[File:Générateur de fonctions - tension pour f.e.m. créneau.png|left|frame|caption|Comparaison de la f.e.m. créneau imposée par un G.B.F<ref name="G.B.F." />. et de la tension aux bornes de ce dernier si l'intensité du courant délivré est d'amplitude restant faible]] [[File:Générateur de fonctions - tension pour f.e.m. créneau - bis.png|right|frame|caption|Comparaison de la f.e.m. créneau imposée par un G.B.F<ref name="G.B.F." />. et de la tension aux bornes de ce dernier si l'intensité du courant délivré est d'amplitude variant avec le temps]] {{Al|5}}Ayant, aux bornes du G.B.F<ref name="G.B.F."> Générateur Basse Fréquence.</ref>. en convention générateur, {{Nobr|«<math>\;u(t)</math>}} <math>= e(t) - r_S\, i(t)\;</math>», la forme choisie pour <math>\;e(t)\;</math> « sinusoïdale, créneau ou triangulaire » <math>\;-\;</math> ainsi que l'amplitude <math>\;-\;</math> ne se retrouve pas nécessairement sans déformation au niveau de <math>\;u(t)\;</math> car il y a « une chute ohmique »<ref> Correspondant à <math>\;r_S\, i(t)</math>.</ref> dépendant de l'intensité du courant délivré et par suite du reste du circuit ; * si l'intensité <math>\;i(t)\;</math> reste faible et de même forme que <math>\;e(t)</math>, alors «<math>\;u(t) \simeq e(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir schéma ci-contre à gauche avec une f.e.m. <math>\;e(t)\;</math> « créneau » d'amplitude notable <math>\;U_0 = 10\;V\;</math> dans lequel on reconnaît une forme « quasi-créneau » pour la tension <math>\;u(t)\;</math> due au fait que la résistance <math>\;R\;</math> du circuit extérieur <math>\;\simeq 20\;r_S\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;r_S\;i(0^{+})</math> <math>\simeq 1\;V\;</math> faible devant <math>\;U_0 = 10\;V\big\}\;</math> mais * si l'intensité <math>\;i(t)\;</math> <math>\;-\;</math> même si elle reste de même forme que <math>\;e(t)\;</math> <math>\;-\;</math> a une amplitude variable pouvant être grande, alors <math>\;u(t)\;</math> diffère notablement de <math>\;e(t)\;</math> en forme et en amplitude {{Nobr|<math>\;\big\{</math>voir}} schéma ci-contre à droite avec une f.e.m. <math>\;e(t)\;</math> « créneau » d'amplitude notable <math>\;U_0 = 10\;V\;</math> dans lequel on est relativement éloigné d'une forme « quasi-créneau » pour la tension <math>\;u(t)\;</math> due au fait que la résistance <math>\;R\;</math> du circuit extérieur <math>\;\simeq r_S\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;r_S\;i(0^{+})</math> <math>\simeq 10\;V\;</math> de même ordre de grandeur que <math>\;U_0 = 10\;V\big\}</math>. == Notion de grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative, mesure des tensions et intensités efficaces == === Définition de la grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative === {{Définition|titre=Définition d'une grandeur efficace| contenu ={{Al|5}}La valeur efficace <math>\;Y\;</math> d'une grandeur <math>\;T</math>-périodique<ref> Cette grandeur n'est pas nécessairement alternative <math>\;\big(</math>même si c'est le cas le plus fréquent<math>\big)</math>.</ref> <math>\;y(t)\;</math> est la <u>moyenne quadratique de la grandeur instantanée</u> <math>\;y(t)\;</math><ref> c.-à-d. la grandeur réelle constante <math>\;> 0\;</math> dont le carré est la moyenne du carré de la grandeur instantanée.</ref> <center>« c'est-à-dire la grandeur <math>\;Y\;</math> constante réelle <math>\;> 0\;</math>» telle que <br>«<math>\;Y^2 = \left\langle y^2(t) \right\rangle = \dfrac{1}{T}\, \displaystyle\int_0^T y^2(t)\, dt\;</math>»<ref> La notation <math>\;\left\langle f(t) \right\rangle\;</math> signifie valeur moyenne <math>\;\big(</math>temporelle<math>\big)\;</math> de la fonction <math>\;f(t)</math>.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'intervalle sur lequel est calculée la moyenne, de largeur <math>\;T</math>, peut être choisi à partir de n'importe quel instant <math>\;t_0</math>, la moyenne en étant indépendante ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}sans raison d'un choix particulier simplifiant le calcul de l'intégrale, on choisit usuellement l'instant <math>\;0</math>. === Évaluation dans le cas d'une grandeur sinusoïdale === {{Propriété|titre = Valeur efficace d'une grandeur sinusoïdale| contenu ={{Al|5}}Soit la grandeur sinusoïdale du temps «<math>\;y(t) = Y_m\, \cos(\omega\, t + \varphi_y)\;</math>» de période <math>\;T = \dfrac{2\,\pi}{\omega}\;</math> et d'amplitude <math>\;Y_m > 0</math>, la valeur efficace de cette grandeur sinusoïdale vaut <div style="text-align: center;">«<math>\;Y = \dfrac{Y_m}{\sqrt{2}}\;</math>»<ref> Résultat suffisamment important pour être retenu.</ref>.</div> {{Al|5}}En conséquence, la grandeur sinusoïdale du temps <math>\;y(t) = Y_m\, \cos(\omega\, t + \varphi)\;</math> est souvent écrite en remplaçant <math>\;Y_m\;</math> par <math>\;Y\,\sqrt{2}\;</math><ref> Dans le domaine de l'électricité c'est quasi systématique, par contre en mécanique on maintient usuellement la notion d'amplitude.</ref> <div style="text-align: center;">soit «<math>\;y(t) = Y\,\sqrt{2}\, \cos(\omega\, t + \varphi_y)\;</math>» avec «<math>\;Y\;</math> grandeur efficace ».</div>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : elle consiste à calculer <math>\;Y^2 = \dfrac{1}{T}\, \displaystyle\int_0^T Y_m^2\, \cos^2(\omega\, t + \varphi_y)\, dt</math>, ce qui se fait <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}en linéarisant <math>\;\cos^2(\omega\, t + \varphi_y)\;</math> selon <math>\;\cos^2(\omega\, t + \varphi_y) =</math> <math>\dfrac{1 + \cos(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)}{2}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}en remarquant qu'une primitive de <math>\;\dfrac{\cos(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)}{2}\;</math> étant <math>\;\dfrac{\sin(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)}{4\,\omega}\;</math> avec les mêmes valeurs pour <math>\;0\;</math> et <math>\;T\;</math><ref> La fonction <math>\;\sin(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)\;</math> étant périodique de période <math>\;\dfrac{2\,\pi}{2\,\omega} = \dfrac{1}{2}\,\dfrac{2\,\pi}{\omega} = \dfrac{T}{2}</math>.</ref>, donne une contribution nulle à l'intégrale correspondante <math>\;\displaystyle\int_0^T \dfrac{\cos(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)}{2}\, dt = \cancel{ \left[ \dfrac{\sin(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)}{4\,\omega} \right]_0^T} = 0\;</math> dont <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}on déduit <math>\;Y^2 =</math> <math>\dfrac{Y_m^2}{T}\, \displaystyle\int_0^T \dfrac{1 + \cos(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)}{2}\, dt = \dfrac{Y_m^2}{T}\, \left[ \dfrac{t}{2} \right]_0^T = \dfrac{Y_m^2}{\cancel{T}}\, \dfrac{\cancel{T}}{2} = \dfrac{Y_m^2}{2}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}soit, comme la valeur efficace doit être positive et que l'amplitude l'est aussi, <math>\;Y = \dfrac{Y_m}{\sqrt{2}}\;</math><ref> Calcul qu'il est conseillé de savoir refaire rapidement.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.. === En exercice, évaluation dans le cas de grandeurs « créneau » ou « triangulaire » symétriques === <center>Le caractère « symétrique » d'une grandeur périodique signifie que les durées des alternances <math>\;> 0\;</math> et <math>\;< 0\;</math><ref> C.-à-d. dont les valeurs de la grandeur sont <math>\;> 0\;</math> ou <math>\;< 0</math>.</ref> sont les mêmes.</center> ==== Valeur efficace d'une grandeur « créneau (symétrique) » ==== <center>Le qualificatif « symétrique » affecté au créneau est entre parenthèses car le résultat en est indépendant.</center> {{Al|5}}Soit le signal créneau <math>\;T</math>-périodique symétrique «<math>\;y(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} Y_m\quad\text{ pour }\; t \in \left] \dfrac{T}{2}\, ,\, T \right[\\ -Y_m\;\text{ pour }\; t \in \left] 0\, ,\,\dfrac{T}{2} \right[\end{array} \right.\;</math>», on obtient, sans aucune difficulté, la valeur efficace de ce signal créneau <math>\;\big(</math>symétrique<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;Y = Y_m\;</math>»<ref> Il suffit d'écrire <math>\;y^2(t) = Y_m^2\;</math> pour s'en convaincre et comme <math>\;y^2(t)\;</math> garde la même valeur que le signal soit symétrique ou non, on en déduit que la valeur efficace est indépendant du caractère symétrique du signal créneau.</ref>.</center> ==== Valeur efficace d'une grandeur « triangulaire symétrique » ==== {{Al|5}}Soit le signal triangulaire <math>\;T</math>-périodique symétrique connu par son graphe « une alternance <math>\;\searrow\;</math> linéairement de <math>\;Y_m\;</math> à <math>\;-Y_m\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ -\dfrac{T}{2}\, ,\, 0 \right]\;</math>» suivie <br>{{Al|2}}{{Transparent|Soit le signal triangulaire <math>\;\color{transparent}{T}</math>-périodique symétrique connu par son graphe }}d'« une alternance <math>\;\nearrow\;</math> linéairement de <math>\;-Y_m\;</math> à <math>\;Y_m\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ 0\, ,\, \dfrac{T}{2} \right]\;</math>»<ref> Le graphe est à tracer par soi-même.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le signal triangulaire <math>\;\color{transparent}{T}</math>-périodique symétrique }}dont on déduit la définition mathématique du signal triangulaire symétrique suivante «<math>\;y(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{4\,Y_m}{T}\, \left( t - \dfrac{T}{4} \right)\quad\text{ pour }\; t \in \left[ 0\, ,\, T \right]\\ -\dfrac{4\,Y_m}{T}\, \left( t + \dfrac{T}{4} \right)\;\text{ pour }\; t \in \left[ -\dfrac{T}{2}\, ,\, 0 \right]\end{array} \right.\;</math>»<ref> On détermine la pente de la partie linéaire sur <math>\;\left[ -\dfrac{T}{2}\, ,\, 0 \right]\;</math> : <math>\;\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{(-Y_m) - (Y_m)}{0 - \left( -\dfrac{T}{2} \right)} = -\dfrac{4\,Y_m}{T}\;</math> et on sait que cette partie linéaire coupe l'axe des temps en <math>\;-\dfrac{T}{4}</math> puis <br>{{Al|3}}on détermine la pente de la partie linéaire sur <math>\;\left[ 0\, ,\, \dfrac{T}{2} \right]\;</math> : <math>\;\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{(Y_m) - (-Y_m)}{\left( \dfrac{T}{2} \right) - 0} = \dfrac{4\,Y_m}{T}\;</math> et on sait que cette partie linéaire coupe l'axe des temps en <math>\;\dfrac{T}{4}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le signal triangulaire <math>\;\color{transparent}{T}</math>-périodique symétrique }}on détermine <math>\;-\;</math> sans difficultés majeures <math>\;-\;</math> la valeur efficace de ce signal triangulaire symétrique <center>«<math>\;Y = \dfrac{Y_m}{\sqrt{3}}\;</math>»<ref> Cette valeur n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : La définition de la grandeur efficace <math>\;Y\;</math> nous conduit à calculer son carré égal à la moyenne du carré du signal c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}<math>\;Y^2 =</math> <math>\dfrac{1}{T}\,\displaystyle\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} y^2(t)\,dt = \dfrac{1}{T}\,\displaystyle\int_{-\frac{T}{2}}^0 \left[ -\dfrac{4\,Y_m}{T} \right]^2\, \left( t + \dfrac{T}{4} \right)^2\, dt + \dfrac{1}{T}\,\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}} \left[ \dfrac{4\,Y_m}{T} \right]^2\, \left( t - \dfrac{T}{4} \right)^2\, dt\;</math> dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}on remarque que si on fait le changement de variable <math>\;t' = t + \dfrac{T}{2}\;</math> dans la 1^ère intégrale on retrouve la 2^ème intégrale ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : on remarque que }}en effet en faisant le changement de variable <math>\;t' = t + \dfrac{T}{2}\;</math> dans la 1^ère intégrale <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( t + \dfrac{T}{4} \right)^2\;</math> devient <math>\;\left( t' - \dfrac{T}{4} \right)^2\;</math> et les bornes <math>\;-\dfrac{T}{2}\;</math> et <math>\;0\;</math> pour la variable <math>\;t\;</math> deviennent respectivement <math>\;0\;</math> et <math>\;\dfrac{T}{2}\;</math> de la variable <math>\;t'</math>, d'où la 1^ère intégrale s'identifie bien à la 2^ème ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}on en déduit <math>\;Y^2 = \dfrac{2}{T}\,\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}} \dfrac{16\,Y_m^2}{T^2}\, \left( t - \dfrac{T}{4} \right)^2\, d\! \left( t - \dfrac{T}{4} \right)\;</math><ref> Le changement de variable <math>\;u = t - \dfrac{T}{4}\;</math> s'imposant, on utilise une façon de faire ce changement de variable sans nommer la nouvelle variable, pour cela on laisse <math>\;\left( t - \dfrac{T}{4} \right)^2\;</math> et on remplace <math>\;dt\;</math> par <math>\;d\! \left( t - \dfrac{T}{4} \right)</math>, on évalue alors la modification entraînée et on la corrige, si besoin, en mettant devant l'intégrale un facteur multiplicatif adéquat <math>\;\bigg[</math>ici il n'y a aucune modification mais supposant que l'on ait à évaluer <math>\;J =</math> <math>\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}} \left( 2\,t - \dfrac{T}{2} \right)^2\, dt</math>, on remplacerait <math>\;dt\;</math> par <math>\;d\! \left( 2\, t - \dfrac{T}{2} \right)\;</math> ce qui introduisant un facteur <math>\;2\;</math> en trop nécessite de corriger cette modification en mettant un facteur <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> devant l'intégrale soit <math>\;J = \dfrac{1}{2}\,\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}} \left( 2\,t - \dfrac{T}{2} \right)^2\, d\! \left( 2\, t - \dfrac{T}{2} \right)\bigg]</math>.</ref> s'intégrant en <math>\;Y^2 = \dfrac{32\,Y_m^2}{T^3}\, \left[ \dfrac{\left( t - \dfrac{T}{4} \right)^3}{3} \right]_0^{\frac{T}{2}} =</math> <math>\dfrac{32\,Y_m^2}{3\,T^3}\, \left[ \left( \dfrac{T}{4} \right)^3 - \left( -\dfrac{T}{4} \right)^3 \right] = \dfrac{Y_m^2}{3}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}la valeur efficace <math>\;Y\;</math> étant positive ainsi que la valeur de crête supérieure <math>\;Y_m</math>, on en déduit <math>\;Y = \dfrac{Y_m}{\sqrt{3}}\;</math> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. === Intérêt énergétique de la valeur efficace === {{Al|5}}La puissance électrique instantanée reçue par un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}_{e,\,r,\,R}(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} R\, \left[ i(t) \right]^2\\ \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R}\end{array}\right\rbrace\;</math>» avec <math>\;\left\lbrace i(t)\,,\,u(t) \right\rbrace\;</math> « l'intensité du courant le traversant ainsi que la tension entre ses bornes » et {{Al|5}}la puissance électrique moyenne, en régime périodique, se définissant par «<math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = \left\langle \mathcal{P}_{e,\,r,\,R}(t) \right\rangle = \dfrac{1}{T}\, \displaystyle\int_0^T \mathcal{P}_{e,\,r,\,R}(t)\,dt\;</math>», on obtient, suivant que la puissance électrique instantanée est exprimée en fonction de l'intensité du courant traversant le conducteur ou la tension aux bornes de ce dernier : * <math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = \left\langle \mathcal{P}_{e,\,r,\,R}(t) \right\rangle = R\; \left\langle i^2(t) \right\rangle = R\; \left\lbrace \dfrac{1}{T}\, \displaystyle\int_0^T i^2(t)\,dt\right\rbrace\;</math> c'est-à-dire encore «<math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = R\;I^2\;</math>» dans laquelle «<math>\;I\;</math> est l'intensité efficace du courant traversant le conducteur » ou * <math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = \left\langle \mathcal{P}_{e,\,r,\,R}(t) \right\rangle = \dfrac{1}{R}\; \left\langle u^2(t) \right\rangle = \dfrac{1}{R}\; \left\lbrace \dfrac{1}{T}\, \displaystyle\int_0^T u^2(t)\,dt\right\rbrace\;</math> c'est-à-dire encore «<math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = \dfrac{U^2}{R}\;</math>» dans laquelle «<math>\;U\;</math> est la tension efficace aux bornes du conducteur » ; {{Al|5}}on obtient donc une expression de la <u>puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique</u> de résistance <math>\;R\;</math> <u>s'écrivant de façon unique en fonction des valeurs efficaces</u> de l'intensité du courant traversant le conducteur ou de la tension aux bornes de ce dernier, <u>quelle que soit la forme du régime</u> « créneau, triangulaire symétrique ou sinusoïdal » selon <center>«<math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = R\;I^2\;</math>» ou «<math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = \dfrac{U^2}{R}\;</math>» avec <br>«<math>\;\left\lbrace I\,,\,U \right\rbrace\;</math> les valeurs efficaces de <math>\;\left\lbrace i(t)\,,\,u(t) \right\rbrace\;</math> traversant le conducteur ou aux bornes de ce dernier ».</center> {{Al|5}}<u>Commentaire</u> : Si on écrivait la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> en fonction de la valeur de crête positive<ref name="amplitude"> Ou amplitude pour un régime sinusoïdal.</ref> <math>\;I_m\;</math> de l'intensité du courant le traversant ou en fonction de la valeur de crête positive<ref name="amplitude" /> <math>\;U_m\;</math> de la tension entre ses bornes, on obtiendrait, en utilisant le lien entre valeur efficace et valeur de crête positive<ref name="amplitude" />, une expression différente suivant la forme du régime : * régime créneau <math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = R\;I_m^2\;</math> ou <math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = \dfrac{U_m^2}{R}</math>, * régime triangulaire symétrique <math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = R\;\dfrac{I_m^2}{3}\;</math> ou <math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = \dfrac{U_m^2}{3\;R}\;</math> et * régime sinusoïdal <math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = R\;\dfrac{I_m^2}{2}\;</math> ou <math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R} = \dfrac{U_m^2}{2\;R}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Commentaire : }}l'unicité de la forme de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique <math>\;P_{\text{moy},\,e,\,r,\,R}\;</math> en fonction de la valeur efficace adaptée justifie, à elle seule, son introduction. === Utilisation d'un multimètre en régime alternatif périodique === {{Al|5}}Un multimètre peut fonctionner en voltmètre ou en ampèremètre, on peut choisir un fonctionnement * en régime permanent, repéré par <math>\;=</math>, de plus, quand les graduations sont colorées, elles sont blanches ou * en régime périodique, repéré par <math>\;\sim</math>, de plus, quand les graduations sont colorées, elles sont rouges ; <center>« si on travaille en régime périodique <u>le multimètre fournit la valeur efficace</u> » ;</center> {{Al|5}}il existe deux types de multimètres : * un multimètre « bas de gamme », <u>donnant la valeur efficace uniquement en régime sinusoïdal</u> <math>\;\big[</math>le multimètre détermine l'amplitude et divise par <math>\;\sqrt{2}\;</math> pour l'affichage<math>\big]</math>, dans ce cas les valeurs efficaces affichées sont fausses pour d'autres régimes périodiques « créneau ou triangulaire symétrique »<ref> En régime créneau, l'affichage donne un résultat sous-estimé alors qu'en régime triangulaire symétrique, il donne un résultat surestimé.</ref>, * un multimètre « T.R.M.S<ref> « True Root Mean Square » ou « moyenne quadratique exacte ».</ref>. », <u>donnant la valeur efficace quel que soit le régime</u> <math>\;\big[</math>l'obtention pouvant se faire par réponse du multimètre proportionnellement au carré de la grandeur, avec une inertie du multimètre ne permettant pas un affichage instantané et se matérialisant avec un affichage de la moyenne<math>\big]</math>. == Mesure de la résistance de sortie d'un G.B.F. par méthode de la tension moitié == === Générateur de Thévenin équivalent au G.B.F. vu de ses bornes de sortie === {{Al|5}}En supposant que le D.P.L<ref name="D.P.L." />. de sortie du G.B.F<ref name="G.B.F." />. est purement résistif, le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au G.B.F<ref name="G.B.F." />. vu de ses bornes de sortie est <br>{{Al|5}}l'« association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;e(t)\;</math> et d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;r_S</math> <math>\;\big(</math>résistance de sortie<math>\big)\;</math>»<ref> Il convient bien sûr d'ajouter un schéma comme cela est fait au paragraphe suivant.</ref>, la f.e.m. étant de forme « créneau, triangulaire ou sinusoïdal ». === Impossibilité théorique de mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. à l'aide d'un multimètre === [[File:Tension aux bornes d'un G.B.F. - multimètre.png|thumb|300px|Schéma de mesure de tension efficace aux bornes d'un G.B.F<ref name="G.B.F." />. par un multimètre en fonctionnement alternatif]] {{Al|5}}En régime alternatif on sélectionne <math>\;\sim\;</math> pour le fonctionnement du multimètre, la mesure donnera alors la « valeur efficace »<ref> Quelle que soit la forme du signal sélectionnée pour les multimètres « T.R.M.S. » <math>\;\big[</math>nous supposerons <math>\;-\;</math> sauf avis contraire <math>\;-\;</math> que nous utiliserons toujours ce type de multimètre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}le principe de fonctionnement d'un multimètre utilisé en voltmètre, donc « placé en dérivation »<ref> En dérivation si le G.B.F. est déjà monté dans un circuit, si le G.B.F. est en sortie ouverte <math>\;-\;</math> comme c'est le cas dans le schéma ci-contre <math>\;-\;</math> la dérivation sur une sortie ouverte revient à placer le multimètre en série.</ref> aux bornes du G.B.F.<ref name="G.B.F." />, étant de mesurer l'intensité efficace <math>\;I_V\;</math> traversant le multimètre et de la convertir en tension suivant <math>\;U = R_V\; I_V</math>, <math>\;U\;</math> étant alors la tension efficace aux bornes du {{Nobr|G.B.F<ref name="G.B.F." />.,}} le multimètre étant en effet équivalent à un conducteur ohmique de très grande résistance <math>\;R_V\;</math> <ref> Le fait que la résistance équivalente au multimètre soit très grande <math>\;\big[</math>au moins quelques dizaines de <math>\;k \Omega\big]\;</math> est une réalité qui n'intervient pas dans ce qu'on a écrit jusqu'ici.</ref> ; {{Al|5}}il est théoriquement impossible de mesurer la f.e.m. efficace <math>\;\big(</math>ou tension à vide efficace<math>\big)\;</math> d'un G.B.F<ref name="G.B.F." />. à l'aide d'un multimètre car, pour cela, il faudrait que le G.B.F<ref name="G.B.F." />. ne délivre aucun courant alors qu'un courant est nécessaire au fonctionnement du multimètre, courant ne pouvant être délivré que par le G.B.F<ref name="G.B.F." />. ; <br>{{Al|5}}la tension efficace mesurée par le multimètre étant alors <math>\;U = \dfrac{R_V}{R_V + r_S}\;E\;</math> où <math>\;E\;</math> est la f.e.m. efficace du G.B.F<ref name="G.B.F." />.{{,}}<ref> Cette relation en valeur efficace se déduit de celle en valeur instantanée <math>\;u(t) = \dfrac{R_V}{R_V + r_S}\;e(t)\;</math> correspondant à la tension de sortie ouverte d'un pont diviseur de tension alimenté à l'entrée par la f.e.m. <math>\;e(t)</math>, <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Cas_particulier_très_important_du_réseau_dipolaire_«_pont_diviseur_de_tension_alimenté_en_entrée_par_uE(t)_et_en_sortie_ouverte_»|cas particulier très important du réseau dipolaire pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_E(t) et en sortie ouverte]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> le passage en valeurs efficaces résultant de <math>\;u^2(t) =</math> <math>\dfrac{R_V^2}{(R_V + r_S)^2}\;e^2(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\langle u^2(t) \right\rangle = \dfrac{R_V^2}{(R_V + r_S)^2}\;\left\langle e^2(t) \right\rangle\;</math> ou <math>\;U^2 = \dfrac{R_V^2}{(R_V + r_S)^2}\;E^2\;</math> d'où la relation énoncée ;<br>{{Al|3}}attention le passage d'une relation en valeurs instantanées à une relation identique en valeurs efficaces n'est possible, sans autre réflexion, que s'il s'agit d'une relation de proportionnalité avec un cœfficient de proportionnalité positif, <br>{{Al|3}}{{Transparent|attention }}contre-exemple, a priori, <math>\;u(t) = e(t) - r_S\; i(t)\;</math> <math>\nRightarrow</math> <math>\;U = E - r_S\; I\;</math> <math>\bigg[</math>ne s'agissant pas d'une relation de proportionnalité avec un cœfficient de proportionnalité positif, la relation en valeurs efficaces doit être établie pour être vraie <math>\;\big(</math>et en général elle ne l'est pas<math>\big)</math>, toutefois dans ce circuit elle reste vraie <math>\;i(t)\;</math> et <math>\;e(t)\;</math> étant <math>\;\propto\;</math> d'où <math>\;u^2(t) = e^2(t) + r_S^2\, i^2(t) - 2\,r_S\,e(t)\,i(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\langle u^2(t) \right\rangle =</math> <math>\left\langle e^2(t) \right\rangle + r_S^2\, \left\langle i^2(t) \right\rangle - 2\,r_S\, \left\langle e(t)\,i(t) \right\rangle\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U^2 = E^2 + r_S^2\, I^2 - 2\,r_S\, \left\langle e(t)\,i(t) \right\rangle\;</math> ce qui permet d'écrire <math>\;U^2 =</math> <math>\left( E - r_S\, I \right)^2 + 2\,r_S\, \left[ E\, I - \left\langle e(t)\,i(t) \right\rangle \right]\;</math> établissant que la relation <math>\;U = E - r_S\; I\;</math> est vraie à condition que <math>\;\left\langle e(t)\,i(t) \right\rangle\; \overset{\text{?}}{=}\; E\, I =</math> <math>\sqrt{\left\langle e^2(t) \right\rangle\; \left\langle i^2(t) \right\rangle}</math>, ce qui se démontre en utilisant <math>\;i(t) = \dfrac{e(t)}{r_S + R_V}\bigg]</math>.</ref>, on constate que <math>\;U\;</math> est donc toujours théoriquement <math>\;<\;</math> à <math>\;E</math>, toutefois <br>{{Al|5}}pratiquement, <math>\;r_S\;</math> étant usuellement <math>\;\ll R_V\;</math> car <math>\;R_V\;</math> est de très grande valeur<ref> Revoir l'« [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Ordre_de_grandeur_des_résistances|ordre de grandeur des résistances]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » par exemple l'utilisation d'un calibre de <math>\;10\; V\;</math> correspondrait à <math>\;R_V \simeq 500\, k \Omega</math>.</ref>, on a en pratique «<math>\;U \simeq E\;</math>». === Utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. === [[File:F.e.m. d'un G.B.F. - suiveur et multimètre.png|thumb|450px|Schéma de mesure de f.e.m. efficace d'un G.B.F<ref name="G.B.F." />. placé à l'entrée d'un montage suiveur, lequel est fermé sur un multimètre en fonctionnement alternatif]] {{Al|5}}Si la résistance de sortie du G.B.F<ref name="G.B.F." />. <math>\;r_S\;</math> n'est pas petite devant la résistance équivalente <math>\;R_V\;</math> du multimètre en fonctionnement de voltmètre c'est-à-dire si l'approximation <math>\;r_S \ll R_V\;</math> conduisant à <math>\;U \simeq E\;</math> n'est pas réalisée, on peut utiliser un « montage suiveur » qui est un quadripôle de « résistance d'entrée »<ref> La définition est donnée au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Résistance_d'entrée_d'un_R.D.P.L._au_sens_de_l'A.R.Q.S.|résistance d'entrée d'un R.D.P.L. au sens de l'A.R.Q.S.]] » plus loin dans ce chapitre, le quadripôle fermé sur une charge constituant un R.D.P. c'est la résistance de ce R.D.P. vu des bornes d'entrée.</ref> « infinie »<ref> Une résistance d'entrée infinie signifie encore que l'intensité du courant d'entrée <math>\;i_E(t)\;</math> est toujours nulle.</ref> et tel que la tension de sortie est toujours égale à la tension d'entrée <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> : {{Al|5}}l'absence de courant d'entrée du montage suiveur entraîne que <u>sa tension d'entrée est toujours égale à la f.e.m. du G.B.F.</u><ref name="G.B.F." /> d'une part, et d'autre part <u>la tension de sortie du montage suiveur étant toujours égale à la tension d'entrée</u> elle est donc égale à la f.e.m. du G.B.F<ref name="G.B.F." />. soit <math>\;u_S(t) = u_E(t) = e(t)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le multimètre ne pouvant indiquer une réponse que s'il est traversé par un courant, ce dernier est fourni par {{Nobr|l'A.S<ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée.</ref>.}} alimentant le circuit intégré du montage suiveur, A.S<ref name="A.S." />. apportant ainsi l'énergie nécessaire au fonctionnement de ce montage ; {{Al|5}}le courant d'intensité <math>\;i_S(t)\;</math> sortant du montage suiveur et traversant le multimètre est adapté à la tension <math>\;u_S(t)\;</math> aux bornes de ce dernier par <math>\;i_S(t) =</math> <math>\dfrac{u_S(t)}{R_V}\; \overset{\cdots}{=}\; \dfrac{e(t)}{R_V}</math>, l'indication du multimètre étant alors la valeur efficace de <math>\;u_S(t)\; \overset{\cdots}{=}\; e(t)\;</math> c'est-à-dire <math>\;U_S\; \overset{\cdots}{=}\; E\;</math> où <math>\;E\;</math> est la f.e.m. efficace du G.B.F<ref name="G.B.F." />.{{,}}<ref> L'intensité efficace traversant le multimètre étant alors <math>\;I_S = \dfrac{E}{R_V}</math>.</ref>. === Exposé de la « méthode de la tension moitié » pour mesurer la résistance de sortie d'un G.B.F. === [[File:Résistance de sortie d'un G.B.F. - méthode de tension moitié.png|thumb|300px|Montage pour mesurer la résistance de sortie d'un G.B.F<ref name="G.B.F." />. par la méthode de la tension moitié]] {{Al|5}}Ayant déterminé auparavant la f.e.m. efficace du G.B.F<ref name="G.B.F." />. on réalise le montage ci-contre dans lequel le G.B.F<ref name="G.B.F." />. alimente un conducteur ohmique de résistance variable <math>\;X\;</math> <ref> Par exemple une série de boîtes « A.O.I.P. » <math>\;\big[</math>« Association des Ouvriers en Instruments de Précision » <math>\;\big(</math>coopérative ouvrière de production française créée en <math>\;1896\;</math> à Paris, a été la plus grande coopérative d'Europe vers les années <math>\;1970\;</math> avec <math>\;4600\;</math> salariés, longtemps à la pointe du progrès social avec, notamment, un salaire unique du directeur à l'ouvrier, mise à mal par décision ministérielle en <math>\;1979\;</math> partageant le marché des télécommunications entre deux entreprises seulement « Thomson » et « C.I.T. Alcatel », elle est abandonnée par les pouvoirs publics et perd progressivement ses différentes activités, ses biens immobiliers et ses salariés pour arriver en <math>\;2003\;</math> à un plan de cession totale désignant la reprise de <math>\;66\;</math> salariés par le groupe ASGARD sous le nom d'« A.O.I.P. s.a.s. » ; au plus fort de ses activités elle comprenait deux usines en Bretagne, une usine à Béziers, une à Toulouse, une à Évry, le siège social et une autre usine dans le XIII^ème à Paris, elle fabriquait des appareils photo et du matériel cinématographique, des télégraphes et téléphones, des centraux téléphoniques en assurant leur installation, des appareils de mesure <math>\;-\;</math> dont les boîtes noires de résistances étalon dont il est question ci-avant <math>\;-\;</math> du matériel d'automatisme et du matériel de navigation<math>\big)\big]</math>.</ref> aux bornes duquel on branche un multimètre fonctionnant en voltmètre dans le but de mesurer la tension efficace imposée par le G.B.F<ref name="G.B.F." />. alimentant le conducteur ohmique de résistance variable <math>\;X</math> ; {{Al|5}}dans la mesure où «<math>\;R_V \gg X\;</math>», « la tension efficace mesurée est <math>\;U = \dfrac{X}{X + r_S}\;E\;</math>» par sortie ouverte d'un pont diviseur de tension alimenté en entrée par <math>\;e(t)\;</math><ref name="P.D.T. en sortie ouverte"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Cas_particulier_très_important_du_réseau_dipolaire_«_pont_diviseur_de_tension_alimenté_en_entrée_par_uE(t)_et_en_sortie_ouverte_»|cas particulier très important du réseau dipolaire pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_E(t) et en sortie ouverte]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> En effet on peut négliger l'intensité du courant traversant le multimètre par rapport à celle du courant traversant le conducteur ohmique de résistance variable, ce qui revient à considérer, en 1^ère approximation, que le P.D.T. alimenté en entrée par <math>\;e(t)\;</math> est en sortie ouverte <math>\;\big(</math>même si le courant traversant le multimètre est indispensable pour que ce dernier donne une indication<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}on commence d'abord avec une « grande valeur de <math>\;X\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U \simeq E\;</math>» et <br>{{Al|5}}on diminue <math>\;X\;</math> jusqu'à obtenir «<math>\;U \simeq \dfrac{E}{2}\;</math>», dans ce cas «<math>\;X_{\frac{1}{2}} = r_S\;</math>» et « on lit la valeur de <math>\,r_S\;</math> sur les boîtes de résistances variables » ; {{Al|5}}pour que cette mesure soit correcte il faut donc que «<math>\;R_V \gg X_{\frac{1}{2}}\;</math> soit <math>\;R_V \gg r_S\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour que cette mesure soit correcte }}si ceci n'était pas réalisé<ref> Ce qui n'est pas le cas si <math>\;r_S = 50\, \Omega</math>.</ref> ou si on ne se contentait pas de cette approximation, on insérerait entre le conducteur ohmique et le voltmètre un montage suiveur<ref> De façon à ce qu'aucun courant traversant le conducteur ohmique de résistance variable ne soit dévié vers l'entrée du montage suiveur d'une part et d'autre part que la tension aux bornes du multimètre c.-à-d. la tension de sortie du montage suiveur, soit égale à la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance variable c.-à-d. la tension d'entrée du montage suiveur, le courant nécessaire au fonctionnement du multimètre étant délivré par l'A.S. alimentant le montage suiveur.</ref>. == Résistance d'entrée d'un réseau dipolaire passif linéaire (R.D.P.L.) == === Résistance d'entrée d'un R.D.P.L. au sens du régime permanent === {{Al|5}}« La résistance d'entrée d'un R.D.P.L<ref name="R.D.P.L."> Réseau Dipôle Passif Linéaire.</ref>. au sens du régime permanent » est « la résistance <math>\;R_E\;</math> du conducteur ohmique équivalent au R.D.P.L. »<ref name="R.D.P.L." /> ; {{Al|8}}{{Transparent|« La résistance d'entrée d'un R.D.P.L. au sens du régime permanent » }}c'est aussi le rapport «<math>\;R_E = \dfrac{U_E}{I_E}\;</math>» où «<math>\;I_E\;</math> est l'intensité du courant circulant dans le R.D<ref name="R.D."> Réseau Dipolaire.</ref>. et <math>\;U_E\;</math> la tension à ses bornes » {{Nobr|<math>\;\big(</math>en}} convention récepteur<math>\big)</math>. === Résistance d'entrée d'un R.D.P.L. au sens de l'A.R.Q.S. === {{Al|5}}« La résistance d'entrée d'un R.D.P.L<ref name="R.D.P.L." />. en A.R.Q.S. » est, « dans la mesure où le R.D<ref name="R.D." />. est purement résistif, la résistance <math>\;r_E\;</math> du conducteur ohmique équivalent au R.D.P.L. »<ref name="R.D.P.L." /> ; {{Al|8}}{{Transparent|« La résistance d'entrée d'un R.D.P.L. en A.R.Q.S. » }}c'est aussi, « dans la mesure où le R.D<ref name="R.D." />. est purement résistif, le rapport <math>\;r_E = \dfrac{u_E(t)}{i_E(t)}\;</math>» où «<math>\;i_E(t)\;</math> est l'intensité du courant circulant dans le {{Nobr|R.D<ref name="R.D." />.}} à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;u_E(t)\;</math> la tension à ses bornes au même instant » <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|« La résistance d'entrée d'un R.D.P.L. }}en régime alternatif c'est aussi, « dans la mesure où le R.D<ref name="R.D." />. est purement résistif, le rapport <math>\;r_E = \dfrac{U_e}{I_e}\;</math>» où «<math>\;I_e\;</math> est l'intensité efficace du courant circulant dans le R.D<ref name="R.D." />. et <math>\;U_e\;</math> la tension efficace à ses bornes »<ref> Les valeurs efficaces sont notées en lettres majuscules avec des indices minuscules.</ref> <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)</math>. [[File:Pont diviseur de tension - définition - bis.png|thumb|450px|Pont diviseur de tension alimenté en entrée par une tension <math>\;u_E(t)\;</math> délivrée par une source et fermé en sortie sur une charge de résistance <math>\;R_u\;</math>]] === Exemple d'un pont diviseur de tension fermé sur une charge de résistance R_u === {{Al|5}}Soit un pont diviseur de tension alimenté en entrée par une tension <math>\;u_E(t)\;</math> délivrée par une source et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit un pont diviseur de tension }}fermé en sortie sur une charge de résistance <math>\;R_u\;</math> <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}entre les bornes d'entrée, on observe l'« association d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R_2\;</math> en série avec une association parallèle de l'autre conducteur ohmique de résistance <math>\;R_1\;</math> et de la charge de résistance <math>\;R_u\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|entre les bornes d'entrée, }}la résistance d'entrée du R.D.P<ref name="R.D.P."> Réseau Dipolaire Passif.</ref>. constitué du P.D.T<ref name="P.D.T."> Pont Diviseur de Tension.</ref>. fermé sur la charge de résistance <math>\;R_u\;</math> est <center>«<math>\;r_E = R_2 + \dfrac{R_1\;R_u}{R_1 + R_u}\;</math>»<ref> Ce résultat n'étant pas à mémoriser mais à savoir retrouver si besoin est.</ref>.</center> {{clr}} == Mesure de la résistance d'entrée d'un pont diviseur de tension par méthode de la tension moitié == === Exposé de la « méthode de la tension moitié » pour déterminer la résistance d'entrée d'un R.D.P.L. === [[File:Résistance d'entrée de R.D.P.L. - mesure.png|thumb|300px|Montage pour mesurer la résistance d'entrée d'un R.D.P.L<ref name="R.D.P.L." />. par méthode de la tension moitié]] {{Al|5}}On branche aux bornes du R.D.P.L<ref name="R.D.P.L." />. dont on veut déterminer la résistance d'entrée, une source de tension<ref> Permanente comme une A.S. ou alternative comme un G.B.F., ce que l'on suppose par la suite.</ref> en série avec un conducteur ohmique de résistance variable <math>\;X\;</math><ref> Par exemple une série de boîtes « A.O.I.P. ».</ref> et on mesure, simultanément <math>\;\big(</math>ou successivement<math>\big)\;</math> à l'aide de deux multimètres fonctionnant en voltmètre, la tension<ref name="permanent ou alternatif"> Tensions permanentes si la source de tension est permanente, la sélection <math>\;=\;</math> étant alors réalisée sur les multimètres, tensions efficaces si la source de tension est alternative, la sélection <math>\;\sim\;</math> étant alors réalisée sur les multimètres <math>\;\big(</math>choix considéré dans ce qui suit<math>\big)</math>.</ref> aux bornes de la source <math>\;U_g \simeq E\;</math> et la tension<ref name="permanent ou alternatif" /> aux bornes du R.D.P.L<ref name="R.D.P.L." />. <math>\;U</math> ; {{Al|5}}commençant par une « faible valeur de <math>\;X</math>, on a <math>\;U \simeq E\;</math>» et <br>{{Al|5}}on augmente <math>\;X\;</math> jusqu'à obtenir «<math>\;U = \dfrac{E}{2}\;</math>», dans ce cas «<math>\;X_{\frac{1}{2}} = R_e\;</math>» et « on lit la valeur de <math>\;R_e\;</math> sur les boîtes de résistances variables » ; {{Al|5}}<u>justification avec utilisation d'un G.B.F.</u><ref name="G.B.F." /> ; dans la mesure où «<math>\;R_V \gg R_e\;</math>»<ref> Si ceci n'était pas réalisé, on insérerait entre l'entrée du R.D.P.L. et le voltmètre un montage suiveur <math>\;\ldots</math></ref>, la tension efficace mesurée est «<math>\;U = \dfrac{R_e}{X + R_e}\,E\;</math>» par sortie ouverte d'un pont diviseur de tension alimentée en entrée par <math>\;e(t)\;</math><ref name="P.D.T. en sortie ouverte" /> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|justification avec utilisation d'un G.B.F. ; }}« quand <math>\;U = \dfrac{E}{2}\;</math> on en déduit effectivement que <math>\;X_{\frac{1}{2}} = R_e\;</math>». === Exemple d'application de la « méthode de la tension moitié » à la détermination de la résistance d'entrée du pont diviseur de tension fermé sur une charge de résistance R_u === {{Al|5}}On fait deux expériences : * la 1^ère quand le pont diviseur de tension est en sortie ouverte, on trouve «<math>\;R_e = R_2 + R_1\;</math>», * la 2^ème quand le pont diviseur de tension a sa sortie fermée sur une charge de « résistance <math>\;R_u = R_1\;</math>», on trouve «<math>\;R_e = R_2 + \dfrac{R_1}{2}\;</math>» car «<math>\;R_1 \parallel R_u =</math> <math>\dfrac{R_1}{2}\;</math>». == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques|Circuits élect. dans l'ARQS : assoc. de conduct. ohmiques]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle|Circuits élect. dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle]] }} iewp1r5x5xy8b4tn9uz9xha518gipia 0 66557 982848 978387 2026-05-15T13:46:53Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982848 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 25 | niveau = 14 | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : résistance de sortie, résistance d'entrée/]] | suivant = [[../Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon/]] }} == Tracé de caractéristique statique courant - tension d'un dipôle == === Dispositif expérimental de tracé de caractéristique statique courant - tension d'un dipôle passif === ==== Notion de point de fonctionnement d'un dipôle en régime permanent ==== {{Al|5}}On appelle « point de fonctionnement d'un dipôle en régime permanent » le couple <math>\;\left( I\,,\, U \right)\;</math><ref> On peut a priori choisir n'importe quelle convention mais usuellement on adopte la convention récepteur si le dipôle est passif et générateur s'il est actif.</ref> de l'intensité du courant traversant le dipôle et de sa tension entre ses bornes lorsqu'il est placé dans un circuit en régime permanent. ==== Caractéristique statique courant – tension d'un dipôle ==== {{Al|5}}On appelle « caractéristique statique courant - tension d'un dipôle » le graphe<ref> En électricité on trace <math>\;U\;</math> en fonction de <math>\;I\;</math> <math>\big(</math>convention de tracé de l'électricien <math>\;-\;</math> choisie sauf avis contraire<math>\big)</math>, en électronique c'est plutôt <math>\;I\;</math> en fonction de <math>\;U\;</math> <math>\big(</math>convention de tracé de {{Nobr|l'électronicien<math>\big)</math>.}}</ref> représentant l'ensemble des points de fonctionnement du dipôle placé dans n'importe quel réseau du régime permanent. ==== Montage expérimental de tracé de la caractéristique statique courant - tension d'un dipôle passif ==== {{Al|5}}On place le D.P<ref name="D.P."> Dipôle Passif.</ref>. dans un circuit série comprenant un « générateur de tension permanente de f.e.m. variable <math>\;\big(</math>par exemple une A.S.<ref> Les alimentations stabilisées <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math> utilisées sont réglables, c.-à-d. que ce sont des appareils électroniques permettant d'obtenir une tension permanente <math>\;U_0\;</math> que l'on peut régler grâce à un potentiomètre, cette tension <math>\;U_0\;</math> restant constante quelle que soit l'intensité du courant délivré tant que cette dernière ne dépasse pas une certaine valeur <math>\;I_0\;</math> donnée par le constructeur ;<br>{{Al|3}}il existe deux types d'A.S., celle qui permet une valeur de <math>\;U_0\;</math> algébrique <math>\;\big(</math>dans ce cas la valeur nulle s'obtient par une position centrale du potentiomètre, plus la position de ce dernier s'en écarte vers la droite, plus <math>\;U_0 > 0\;</math> est grande et plus la position de ce dernier s'en écarte vers la gauche, plus <math>\;\vert U_0 \vert\;</math> est grande avec <math>\;U_0 < 0\big)\;</math> et celle qui ne permet qu'une valeur <math>\;U_0 < 0\;</math> <math>\big(</math>pour obtenir une valeur de tension négative il faut alors inverser le branchement de l'A.S.<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour obtenir le branchement du D.P. dans les deux sens possibles * avec une A.S. du 1^er type, il suffit de régler le potentiomètre en passant par la valeur nulle de <math>\;U_0</math>, une position du potentiomètre tournée plus vers la droite correspondant à <math>\;U_0 > 0\;</math> et plus vers la gauche à <math>\;U_0 < 0</math>, et * avec une A.S. du 2^ème type, on permute les bornes de l'A.S..</ref><math>\big)\;</math>» et un « conducteur ohmique de protection »<ref> La résistance de protection est calculée pour éviter que l'intensité du courant traversant le D.P. n'excède sa valeur maximale autorisée.</ref>, puis on ajoute au circuit série deux multimètres, * l'un en série avec le D.P<ref name="D.P." />. fonctionnant en ampèremètre<ref name="régime permanent"> En choisissant le régime permanent <math>\;=</math>.</ref> et * l'autre en parallèle sur le D.P<ref name="D.P." />. fonctionnant en voltmètre<ref name="régime permanent" />. ==== Impossibilité de mesures simultanées de l'intensité du courant traversant le dipôle et la tension à ses bornes, erreurs systématiques suivant le choix du montage longue ou courte dérivation ==== {{Al|5}}Il est impossible de monter simplement et <u>simultanément</u> <u>l'ampèremètre en série avec le D.P.</u><ref name="D.P." /> et <u>le voltmètre en parallèle sur le D.P.</u><ref name="D.P." />{{,}}<ref> Nous verrons, au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_caractéristique_d'un_dipôle#Branchement_des_multimètres_pour_obtenir_néanmoins_la_mesure_simultanée_de_l'intensité_du_courant_traversant_le_dipôle_et_la_tension_à_ses_bornes_sans_erreurs_systématiques|branchement des multimètres pour obtenir la mesure simultanée de l'intensité du courant traversant le dipôle et la tension à ses bornes sans erreurs systématiques]] » plus loin dans ce chapitre, qu'il est maintenant possible <math>\;-\;</math> grâce à un montage électronique dit « suiveur » <math>\;-\;</math> de mesurer simultanément sans erreur systématique <math>\;\big[</math>c.-à-d. sans erreur due au montage ou à la méthode utilisé(e)<math>\big]\;</math> la tension aux bornes d'un dipôle et l'intensité du courant les traversant.</ref> d'où deux montages possibles : * <u>montage courte dérivation</u> <math>\;\big(</math>C.D.<math>\big)</math> : le voltmètre est en parallèle sur le D.P<ref name="D.P." />. et l'ampèremètre en série avec l'association « D.P<ref name="D.P." />. en parallèle sur voltmètre », il n'y a alors pas d'erreur systématique commise sur <math>\;U\;</math> mais une erreur systématique par excès sur <math>\;I\;</math><ref name="erreur systématique"> On rappelle qu'une erreur est dite « systématique » lorsqu'elle est due au principe de la mesure et qu'elle se fait toujours dans un même sens ; l'erreur est dite « par excès » quand la mesure est toujours supérieure à la valeur et elle est dite « par défaut » quand la mesure est toujours inférieure à la valeur.</ref> ; * <u>montage longue dérivation</u> <math>\;\big(</math>L.D.<math>\big)</math> : l'ampèremètre est en série avec le D.P<ref name="D.P." />. et le voltmètre en parallèle sur l'association « D.P<ref name="D.P." />. en série avec ampèremètre », il n'y a pas d'erreur systématique commise sur <math>\;I\;</math> mais une erreur systématique par excès sur <math>\;U\;</math><ref name="erreur systématique" />. ===== Calcul de l'erreur systématique lors d'un montage longue dérivation ===== [[File:Montage longue dérivation.png|thumb|400px|Erreur systématique sur la tension dans le montage L.D<ref name="L.D."> Longue Dérivation.</ref>. de détermination du point de fonctionnement d'un D.P<ref name="D.P." />.]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on constate que le voltmètre ne mesure pas la tension aux bornes du D.P<ref name="D.P." />. mais celle aux bornes de l'association série du D.P<ref name="D.P." />. et de l'ampèremètre ; {{Al|5}}notant <math>\;\delta U\;</math> l'erreur systématique commise sur la mesure de la tension aux bornes du D.P<ref name="D.P." />. c'est-à-dire <math>\;\delta U =</math> <math>U_{\text{mes}} - U\;</math> où <math>\;U_{\text{mes}} = U_V\;</math> on en déduit, avec <math>\;U_V = U + U_A\;</math><ref name="D.P. et ampèremètre en série"> Le D.P. et l'ampèremètre étant montés en série.</ref> où <math>\;U_A\;</math> est la tension aux bornes de l'ampèremètre, l'erreur systématique cherchée <center>«<math>\;\delta U = U_A\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'erreur systématique relative commise sur <math>\;U</math>, définie selon <math>\;\dfrac{\delta U}{U}</math>, s'évalue en introduisant la résistante équivalente <math>\;r_A = \dfrac{U_A}{I_A} =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{U_A}{I}\;</math><ref name="D.P. et ampèremètre en série" />}} de l'ampèremètre<ref> La résistance d'un ampèremètre est toujours de faible valeur.</ref> et la résistance statique du D.P<ref name="D.P." />. <math>\;\mathcal{R}_s(M_0) = \dfrac{U}{I}\;</math><ref name="résistance statique"> La notion de résistance statique d'un D.P. est introduite au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_caractéristique_d'un_dipôle#Résistance_statique_d'un_dipôle_passif_en_un_point_de_fonctionnement_de_polarisation_de_ce_dernier|résistance statique d'un dipôle passif en un point de fonctionnement de polarisation de ce dernier]] » plus loin dans ce chapitre, elle représente la pente de la droite <math>\;OM_0\;</math> sur la caractéristique statique courant - tension du D.P. au point de fonctionnement <math>\;M_0\;</math> et varie avec <math>\;M_0\;</math> sauf si le dipôle passif est linéaire.</ref> selon <center>«<math>\;\dfrac{\delta U}{U} = \dfrac{U_A}{U} = \dfrac{r_A}{\mathcal{R}_s(M_0)}\;</math>»<ref> En effet ampèremètre et D.P. sont traversés par le même courant car montés en série d'où <math>\;U_A = r_A\, I\;</math> et <math>\;U = \mathcal{R}_s(M_0)\, I\;</math> <math>\ldots</math></ref>.</center> {{Al|5}}Finalement l'« erreur systématique relative commise sur <math>\;U\;</math> est faible » <center>« si <math>\;\dfrac{\delta U}{U} = \dfrac{r_A}{\mathcal{R}_s(M_0)} \ll 1\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{R}_s(M_0) \gg r_A\;</math>», <br>ce qui est plutôt réalisé avec de <u>mauvais conducteurs</u>.</center> ===== Calcul de l'erreur systématique lors d'un montage courte dérivation ===== [[File:Montage courte dérivation.png|thumb|380px|Erreur systématique sur l'intensité du courant dans le montage C.D<ref name="C.D."> Courte Dérivation.</ref>. de détermination du point de fonctionnement d'un D.P<ref name="D.P." />.]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on constate que l'ampèremètre ne mesure pas l'intensité du courant traversant le D.P<ref name="D.P." />. mais celle traversant l'association parallèle du D.P<ref name="D.P." />. et du voltmètre ; {{Al|5}}notant <math>\;\delta I\;</math> l'erreur systématique commise sur la mesure de l'intensité du courant traversant le D.P<ref name="D.P." />. c'est-à-dire <math>\;\delta I</math> <math>= I_{\text{mes}} - I\;</math> où <math>\;I_{\text{mes}} = I_A\;</math> on en déduit, avec <math>\;I_A = I + I_V\;</math><ref name="D.P. et voltmètre en parallèle"> Le D.P. et le voltmètre étant montés en parallèle.</ref> où <math>\;I_V\;</math> est l'intensité du courant traversant le voltmètre, l'erreur systématique cherchée <center>«<math>\;\delta I = I_V\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'erreur systématique relative commise sur <math>\;I</math>, définie selon <math>\;\dfrac{\delta I}{I}</math>, s'évalue en introduisant la résistante équivalente <math>\;R_V = \dfrac{U_V}{I_V} =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{U}{I_V}\;</math><ref name="D.P. et voltmètre en parallèle" />}} du voltmètre<ref> La résistance d'un voltmètre est toujours de grande valeur.</ref> et la résistance statique du D.P<ref name="D.P." />. <math>\;\mathcal{R}_s(M_0) = \dfrac{U}{I}\;</math><ref name="résistance statique" /> selon <center>«<math>\;\dfrac{\delta I}{I} = \dfrac{I_V}{I} = \dfrac{\mathcal{R}_s(M_0)}{R_V}\;</math>»<ref> En effet voltmètre et D.P. sont soumis à la même tension car montés en parallèle d'où <math>\;U = R_V\, I_V\;</math> et <math>\;U = \mathcal{R}_s(M_0)\, I\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_V\, I_V =</math> <math>\mathcal{R}_s(M_0)\, I\;</math> <math>\ldots</math></ref>.</center> {{Al|5}}Finalement l'« erreur systématique relative commise sur <math>\;I\;</math> est faible » <center>« si <math>\;\dfrac{\delta I}{I} = \dfrac{\mathcal{R}_s(M_0)}{R_V} \ll 1\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{R}_s(M_0) \ll R_V\;</math>», <br>ce qui est plutôt réalisé avec de <u>bons conducteurs</u>.</center> ===== Choix du montage ===== {{Al|5}}Le choix du montage dépend donc de la résistance statique du dipôle, mais cette dernière variant avec le point de fonctionnement, il n'est guère possible de faire mieux que : * si le dipôle est <u>assez bon conducteur</u> il convient de choisir le <u>montage courte dérivation</u> <math>\;\big(</math>C.D.<math>\big)\;</math> et * si le dipôle est <u>assez mauvais conducteur</u>, le <u>montage longue dérivation</u> <math>\;\big(</math>L.D.<math>\big)\;</math> est alors préférable. {{Al|5}}Nous pouvons essayer d'obtenir une comparaison quantitative<ref> Même si pratiquement cela ne nous servira à rien, puisque cette comparaison suppose que l'on connaisse la résistance statique du dipôle au point de fonctionnement, ce qui ne sera, a priori, jamais le cas.</ref> en comparant l'erreur systématique relative commise sur <math>\;U\;</math> lors du montage L.D<ref name="L.D." />. à l'erreur systématique relative commise sur <math>\;I\;</math> lors du montage C.D<ref name="C.D." />. : * <u>le montage courte dérivation</u><math>\;\big(</math>C.D.<math>\big)\;</math><u>sera meilleur</u> que le montage longue dérivation <math>\;\big(</math>L.D.<math>\big)\;</math> si <math>\;\left( \dfrac{\delta I}{I} \right)_{\!\text{M.C.D.}} < \left( \dfrac{\delta U}{U} \right)_{\!\text{M.L.D.}}\;</math> soit encore <center>«<math>\;\dfrac{\mathcal{R}_s(M_0)}{R_V} < \dfrac{r_A}{\mathcal{R}_s(M_0)}\;</math>» ou finalement «<math>\;\mathcal{R}_s(M_0) < \sqrt{r_A\, R_V}\;</math>» ;</center> * <u>le montage longue dérivation</u><math>\;\big(</math>L.D.<math>\big)\;</math><u>sera meilleur</u> que le montage courte dérivation <math>\;\big(</math>C.D.<math>\big)\;</math> si <math>\;\left( \dfrac{\delta I}{I} \right)_{\!\text{M.C.D.}} > \left( \dfrac{\delta U}{U} \right)_{\!\text{M.L.D.}}\;</math> soit encore <center>«<math>\;\dfrac{\mathcal{R}_s(M_0)}{R_V} > \dfrac{r_A}{\mathcal{R}_s(M_0)}\;</math>» ou finalement «<math>\;\mathcal{R}_s(M_0) > \sqrt{r_A\, R_V}\;</math>».</center> [[File:Montages longue et courte dérivations - choix.png|center|thumb|400px|frame|caption|Schéma résumant le choix entre montages L.D<ref name="L.D." />. et C.D<ref name="C.D." />. pour tracer la caractéristique statique courant - tension d'un D.P<ref name="D.P." />. suivant les valeurs de résistances <math>\;r_A\;</math> de l'ampèremètre et <math>\;R_V\;</math> du voltmètre]] ==== Branchement des multimètres pour obtenir néanmoins la mesure simultanée de l'intensité du courant traversant le dipôle et la tension à ses bornes sans erreurs systématiques ==== [[File:Caractéristique statique d'un D.P. - montage pour tracé.png|thumb|400px|Schéma utilisant un montage suiveur pour tracer la caractéristique statique courant - tension d'un D.P<ref name="D.P." />. sans erreurs systématiques]] {{Al|5}}Le multimètre fonctionnant en ampèremètre étant placé en série, on ne monte pas directement celui fonctionnant en voltmètre en parallèle sur le D.P<ref name="D.P." />. mais on interpose entre ce dernier et le multimètre un montage suiveur<ref> Voir les propriétés du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Utilisation_d'un_montage_suiveur_interposé_entre_le_multimètre_et_le_G.B.F._pour_mesurer_la_f.e.m._efficace_d'un_G.B.F.|utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F.]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}d'une part le courant indispensable au fonctionnement du voltmètre n'étant plus prélevé sur celui traversant le D.P<ref name="D.P." />.{{,}}<ref> Mais étant fourni par la source (A.S.) alimentant le montage suiveur.</ref>, l'ampèremètre fournit la mesure de l'intensité du courant traversant le D.P<ref name="D.P." />. sans erreur systématique <math>\;\big(</math>la résistance d'entrée du montage suiveur étant infinie<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}d'autre part la tension de sortie du montage suiveur étant égale à sa tension d'entrée c'est-à-dire la tension aux bornes du D.P<ref name="D.P." />. le voltmètre fournit la mesure de la tension aux bornes du D.P<ref name="D.P." />. sans erreur systématique. === Exemple de tracé de la caractéristique statique courant - tension d'un dipôle passif === ==== Présentation du dipôle passif « diode Zener » ==== [[File:Diode Zener et polarisations.png|thumb|350px|Symbole et aspect physique d'une diode Zener<ref name="Zener"> '''[[w:Clarence_Zener|Clarence Melvin Zener]] (1905 - 1993)''' physicien américain qui fut le 1^er <math>\;\big(</math>en <math>\;1934\big)\;</math> à décrire le [[w:Tension_de_claquage|phénomène de claquage]] des isolants électriques qui rendit possible la [[w:Diode_Zener|diode portant son nom]] ; il fut également opérationnel dans bien d'autres domaines de la physique grâce à ses connaissances mathématiques allant de la [[w:Supraconductivité|supraconductivité]] à la [[w:Métallurgie|métallurgie]] en passant par le [[w:Ferromagnétisme|ferromagnétisme]], l’[[w:Déformation_élastique|élasticité]], la [[w:Mécanique_de_la_rupture|mécanique de la rupture]], la [[w/Diffusion|diffusion]] ; entre <math>\;1951\;</math> et <math>\;1965\;</math> il développa ses méthodes d'[[w:Optimisation_(mathématiques)|optimisation de forme]] en paramétrant par des fonctions mathématiques les proportions des pièces.</ref> ainsi que les deux polarisations directe et indirecte]] {{Al|5}}Une diode Zener<ref name="Zener" /> se comporte comme une diode à jonction quand elle est polarisée dans le sens direct<ref> Pratiquement le côté de la diode sur lequel on observe un anneau est celui qui doit être au plus bas potentiel pour que la polarisation soit directe.</ref> mais, {{Al|5}}contrairement à la diode à jonction qui reste « bloquante »<ref> Se dit d'une diode quand elle se comporte comme un isolant <math>\;-\;</math> c'est donc le contraire de « passante ».</ref> quand elle est polarisée dans le sens indirect <math>\;\big(</math>ou inverse<math>\big)</math>, la diode Zener<ref name="Zener" /> devient passante en deçà d'une certaine tension <math>\;< 0</math> ; {{Al|5}}ci-contre le symbole d'une diode Zener<ref name="Zener" /> et son aspect pratique ainsi que la façon de la brancher pour obtenir une polarisation directe ou indirecte : {{Al|5}}Une diode Zener<ref name="Zener" /> est donc : * passante quand elle est polarisée dans le sens direct<ref> Pour savoir dans quel sens brancher la diode, il faut repérer le côté de la diode sur lequel on observe un anneau, ce dernier étant le côté du <math>\;Z</math> du symbole ; <br>{{Al|3}}on peut le repérer <math>\;-\;</math> dans l'hypothèse où il ne serait plus lisible <math>\;-\;</math> par utilisation du multimètre sur la position « vérification de diode » <math>\;\big(</math>le côté de l'anneau devant être sur la borne <math>\;COM\;</math> du multimètre<math>\big)</math>, si c'est le cas, ce dernier donne la valeur de <math>\;U_{\text{seuil}} \lesssim 1\, V</math> ; avec une indication <math>\;> 1\, V\;</math> ce n'est, a priori pas, la « tension de seuil » mais la « tension Zener » introduite ci-après correspondant à une polarisation inverse, vérifier alors, en inversant le branchement de la diode, que vous avez effectivement une valeur <math>\;\lesssim 1\, V\;</math> et par suite que votre nouveau branchement correspond bien à une polarisation directe.</ref> au-delà d'une certaine tension dite « tension de seuil » <math>\;U_{\text{seuil}}\;</math><ref> Pour une diode au silicium elle est de l'ordre de <math>\;0,6\, V</math>.</ref> et également * passante <math>\;-\;</math> mais en sens inverse <math>\;-\;</math> quand elle est polarisée dans le sens indirect <math>\;\big(</math>ou inverse<math>\big)\;</math><ref> On peut bien sûr vérifier le branchement de la diode à l'aide du multimètre sur la position « vérification de diode », le côté sans l'anneau devant être sur la borne <math>\;COM\;</math> du multimètre et dans ces conditions ce dernier donne la valeur de <math>\;U_{\text{Zener}}\;</math> introduite ci-après <math>\;\big(</math>(de l'ordre de quelques <math>\;V\big)\;</math> ou ne donne rien <math>\;\big(</math>si la valeur de <math>\;U_{\text{Zener}}\;</math> est trop grande<math>\big)</math>.</ref> en-deçà d'une certaine tension <math>\;-U_{\text{Zener}}\;</math> où <math>\;U_{\text{Zener}} > 0\;</math><ref> Toujours plus grande que <math>\;U_{\text{seuil}}</math>, de l'ordre de quelques <math>\;V</math>.</ref> est dite « tension Zener »<ref name="Zener" /> ; {{Al|5}}la diode Zener<ref name="Zener" /> est un dipôle passif, non linéaire et non symétrique. ==== Choix du montage pour relever les points de fonctionnement d'une diode Zener ==== {{Al|5}}La diode Zener<ref name="Zener" /> se comporte, tant que l'intensité du courant la traversant reste faible en valeur absolue, comme un mauvais conducteur et il conviendrait alors de choisir le montage L.D<ref name="L.D." />., mais, {{Al|5}}au fur et à mesure que l'intensité du courant traversant la diode Zener<ref name="Zener" /> augmente en valeur absolue, le caractère conducteur de cette dernière s'améliore, suggérant que le choix du montage C.D<ref name="C.D." />. devrait être meilleur ; {{Al|5}}aussi nous choisissons le <u>montage C.D.</u><ref name="C.D." />{{,}}<ref> Ceci a pour conséquence que le montage C.D. choisi quand l'intensité <math>\;I\;</math> du courant traversant la diode Zener est faible <math>\;\big(</math>c.-à-d. quand la diode se comporte quasiment comme un isolant<math>\big)\;</math> introduit une erreur systématique sur l'intensité <math>\;I\;</math> du courant, l'ampèremètre mesurant l'intensité traversant l'association parallèle « diode <math>\;-\;</math> voltmètre » soit <math>\;I_{\text{mes}} = I + I_V\;</math> et, dans la mesure où <math>\;I = I_{\text{attendue}} \simeq 0</math>, l'ampèremètre mesure en fait l'intensité <math>\;I_V\;</math> traversant le voltmètre ;<br>{{Al|3}}il est alors possible <math>\;-\;</math> mais cela s'avère en général inutile dans la mesure où l'erreur systématique reste de même ordre de grandeur que les erreurs expérimentales aléatoires <math>\big(</math>c.-à-d. dues à l'observateur et aux appareils de mesure<math>\big)\;-\;</math> d'évaluer l'intensité du courant traversant le voltmètre à partir de la mesure et de la résistance de ce dernier selon <math>\;I_V = \dfrac{U}{R_V} = \dfrac{U_{\text{mes}}}{R_V}\;</math> puis de corriger l'erreur systématique commise sur l'intensité du courant traversant la diode Zener selon <math>\;I = I_{\text{mes}} - \dfrac{U_{\text{mes}}}{R_V}\;\big(</math>mais faire ceci ne corrigeant que l'erreur systématique en laissant opérationnelles les erreurs expérimentales aléatoires, on risquerait de trouver un résultat, certes très petit en valeur absolue, mais de signe aléatoire<math>\;\ldots\big)</math>.</ref>. ==== Calcul de la résistance de protection de la diode Zener dans le montage utilisé pour relever ses points de fonctionnement ==== {{Al|5}}Ayant adopté le montage C.D<ref name="C.D." />. et sachant que l'intensité maximale que peut supporter la diode Zener<ref name="Zener" /> est <math>\;\simeq 120\, mA\;</math><ref> Valeur fournie par le constructeur.</ref> et que la tension maximale que peut imposer l'A.S<ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée.</ref>. est <math>\;\simeq 12\, V\;</math><ref> Valeur lue sur la notice accompagnant l'A.S..</ref>, nous cherchons la valeur minimale de la résistance de protection dans l'hypothèse la plus défavorable « tension aux bornes de l'A.S<ref name="A.S." />. maximale et diode Zener<ref name="Zener" /> n'ayant aucune résistance au passage du {{Nobr|courant<ref> C.-à-d. équivalente à un court-circuit.</ref> »}} pour que l'intensité ne dépasse pas la valeur maximale tolérable ; {{Al|10}}{{Transparent|Ayant adopté le montage C.D. }}dans ces conditions nous retrouvons les <math>\;12\, V\;</math> aux bornes de la résistance de protection, celle-ci devant être traversée par une « intensité <math>\;\lessapprox 120\, mA = 0,12\, A\;</math>»<ref> Le symbole <math>\;\lessapprox\;</math> signifie « inférieur approximativement à ».</ref> d'où «<math>\;R_{\text{protection}} \gtrapprox \dfrac{12}{0,12} = 100\, \Omega\;</math>»<ref> Le symbole <math>\;\gtrapprox\;</math> signifie « supérieur approximativement à ».</ref> ; nous prenons donc «<math>\;R_p \simeq 100\, \Omega\;</math>». ==== Relevés des points de fonctionnement de la diode Zener avec un montage courte dérivation ==== {{Al|5}}Revoir le montage C.D<ref name="C.D." />. dans lequel le D.P<ref name="D.P." />. a été remplacé par la diode Zener<ref name="Zener" /> <math>\;-\;</math> lors de la réalisation du montage il faut faire attention à ce que la diode soit polarisée en direct quand le potentiomètre de l'A.S<ref name="A.S." />. est tourné sur la droite <math>\;-\;</math> dans la pratique il est conseillé de faire un nombre de « relevés de points de fonctionnement de la diode Zener »<ref name="Zener" /> suffisant<ref> Le nombre absolu de points n'a pas beaucoup d'intérêt, ce qui importe est que ces points soient bien répartis ; toutefois il en faut au moins <math>\;10\;</math> par sens de polarisation.</ref> en polarisation directe et indirecte <math>\;\big(</math>ou inverse<math>\big)</math>. <center>Tableau de valeurs de <math>\;(I\, ,\, U)\;</math> non présenté.</center> ==== Tracé de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener et modélisation linéaire des parties conductrices de la diode Zener en polarisations directe et indirecte ==== [[File:Diode Zener - caractéritique et modélisation linéaire.png|thumb|380px|Tracé de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener<ref name="Zener" /> <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> et sa modélisation linéaire par morceaux <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)</math>]] {{Al|5}}La diode Zener<ref name="Zener" /> étant en convention récepteur, on a tracé sa caractéristique statique courant - tension pour les deux polarisations sur un même graphique <math>\;\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)\;</math><ref> Les valeurs absolues d'intensité de courant traversant la diode sont assez différentes dans les polarisations directe et indirecte <math>\;\big(</math>celles correspondant à une polarisation directe sont en gros <math>\;10\;</math> fois plus grandes que celles correspondant à une polarisation indirecte pour une même valeur absolue de tension<math>\big)</math>, il est alors possible d'adopter deux échelles d'intensités, l'une pour le sens direct et l'autre pour le sens indirect à condition qu'elles soient clairement précisées ; on peut faire de même pour les échelles de tensions.</ref>, on remarque que : * en polarisation directe <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;U > 0\big)\;</math> existe une tension de seuil pratique <math>\;U_{\text{seuil pratique}} > 0\;</math><ref> Notée <math>\;U_{\text{seuil exp}}\;</math> sur la caractéristique ci-contre.</ref> à partir de laquelle la diode devient passante et au-delà de cette tension, la caractéristique, après un début non linéaire correspondant aux faibles valeurs de <math>\;I < I_{\text{min},\, d}</math>, devient quasi-linéaire de très faible « résistance dynamique »<ref name="résistance dynamique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_caractéristique_d'un_dipôle#Résistance_dynamique_d'un_dipôle_passif_en_un_point_de_fonctionnement_de_polarisation_de_ce_dernier|résistance dynamique d'un dipôle passif en un point de fonctionnement de polarisation de ce dernier]] » plus loin dans ce chapitre définissant la résistance dynamique d'un D.P. au point de fonctionnement <math>\;M_0\; (I_0,\, U_0)</math>, on verra qu'elle est égale à la pente de la tangente à la « caractéristique statique courant - tension du D.P. au point de fonctionnement considéré » et qu'elle varie en général avec le point de fonctionnement sauf si la partie considérée est localement linéaire.</ref> <math>\;r_d\;</math> et * en polarisation indirecte <math>\;\big(</math>ou inverse<math>\big)</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;U < 0\big)\;</math> existe une tension Zener pratique <math>\;U_{\text{Zener pratique}} > 0\;</math><ref> Notée <math>\;U_{\text{Zener exp}}\;</math> sur la caractéristique ci-contre.</ref> {{Nobr|telle qu'en-deçà}} de <math>\;-U_{\text{Zener pratique}}</math>, la diode devient passante <math>\;-\;</math> en sens inverse <math>\;-\;</math> et la caractéristique, après un début non linéaire correspondant aux faibles valeurs absolues de <math>\;\vert I \vert < I_{\text{min},\, Z}</math>, devient presque linéaire de « résistance dynamique »<ref name="résistance dynamique" />{{,}}<ref> Toutefois la résistance dynamique dans le sens indirect est plus grande que celle du sens direct, plus grande d'un facteur multiplicatif <math>\;10</math>.</ref> <math>\;r_Z</math>. {{Al|5}}<u>Modélisation linéaire des parties conductrices de la diode Zener<ref name="Zener" /> en polarisations directe et indirecte</u> : * Pour la polarisation directe de la diode Zener<ref name="Zener" /> <math>\;U > 0\;</math> et pour une intensité de courant traversant la diode <math>\;I \geqslant I_{\text{min},\, d}</math>, l'équation de la caractéristique est <center>«<math>\;U = U_{\text{seuil}} + r_d\, I\;</math>» avec <br>«<math>\;U_{\text{seuil}}\;</math> tension de seuil du modèle »<ref> C.-à-d. l'ordonnée à l'origine obtenue par extrapolation <math>\;\big(</math>on constate que <math>\;U_{\text{seuil}} > U_{\text{seuil exp}}\big)</math>.</ref> et «<math>\;r_d\;</math> résistance interne directe »<ref> C.-à-d. la résistance dynamique de la partie linéaire en polarisation directe ou encore sa pente.</ref> ;</center> * pour la polarisation indirecte <math>\;\big(</math>ou inverse<math>\big)\;</math> de la diode Zener<ref name="Zener" /> <math>\;U < 0\;</math> et pour une intensité de courant traversant la diode <math>\;I \leqslant -I_{\text{min},\, Z}</math>, l'équation de la caractéristique est <center>«<math>\;U = -U_{\text{Zener}} + r_Z\, I\;</math>» avec <br>«<math>\;U_{\text{Zener}}\;</math> tension Zener<ref name="Zener" /> du modèle »<ref> C.-à-d. l'ordonnée à l'origine obtenue par extrapolation <math>\;\big(</math>on constate que <math>\;U_{\text{Zener}} > U_{\text{Zener exp}}\big)</math>.</ref> et «<math>\;r_Z\;</math> résistance interne Zener »<ref name="Zener" />{{,}}<ref> C.-à-d. la résistance dynamique de la partie linéaire en polarisation indirecte ou encore sa pente.</ref>.</center> ==== Modélisation linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener ==== {{Al|5}}La modélisation linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener<ref name="Zener" /> consiste à ignorer les parties courbes de cette caractéristique en prolongeant les parties rectilignes directe et indirecte jusqu'à l'axe des tensions<ref> Ainsi la partie rectiligne directe qui était valable sur l'intervalle d'intensité de courant <math>\;\left[ I_{\text{min},\, d} \, , \, I_{\text{max},\, d} \right]\;</math> avec <math>\;I_{\text{max},\, d}\;</math> l'intensité maximale du courant dans le sens direct à ne pas dépasser sous peine de destruction de la diode, est étendue à l'intervalle d'intensité de courant <math>\;\left[ 0 \, , \, I_{\text{max},\, d} \right]</math> ;<br>{{Al|3}}de même la partie rectiligne indirecte qui était valable sur l'intervalle d'intensité de courant <math>\;\left[ -I_{\text{max},\, Z} \, , \, -I_{\text{min},\, Z} \right]\;</math> avec <math>\;I_{\text{max},\, Z}\;</math> la valeur absolue de l'intensité maximale du courant dans le sens Zener à ne pas dépasser sous peine de destruction de la diode, est étendue à l'intervalle d'intensité de courant <math>\;\left[ -I_{\text{max},\, Z} \, , \, 0 \right]</math>.</ref>, la partie isolante <math>\;\big(</math>correspondant à l'absence de courant traversant la diode<math>\big)\;</math> étant elle aussi étendue sur l'intervalle de tension <math>\;\left[ -U_{\text{Zener}}\, , \,U_{\text{seuil}} \right]</math>. {{Al|5}}Pour concrétiser nous prenons l'exemple suivant, les valeurs étant celles du modèle linéaire par morceaux : * une tension de seuil <math>\;U_{\text{seuil}} \simeq 0,7\,V\;</math> et une résistance interne directe <math>\;r_d \simeq 1,0\, \Omega\;</math><ref> La partie linéaire de la caractéristique statique courant - tension en polarisation directe commençait à <math>\;I_{\text{min},\, d} \simeq 5\, mA\;</math> se terminant à <math>\;I_{\text{max},\, d} \simeq 110\, mA</math>.</ref>, * une tension Zener<ref name="Zener" /> <math>\;U_{\text{Zener}} \simeq 2,5\,V\;</math> et une résistance interne Zener<ref name="Zener" /> <math>\;r_Z \simeq 10,0\, \Omega\;</math><ref> La partie linéaire de la caractéristique statique courant - tension en polarisation indirecte correspondait à l'intervalle décroissant de <math>\;-I_{\text{min},\, Z}</math> <math>\simeq -20\, mA\;</math> à <math>\;-I_{\text{max},\, Z} \simeq -80\, mA</math>.</ref>. {{Al|5}}L'équation du modèle linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension de la diode Zener<ref name="Zener" /> est, en convention récepteur : * <u>partie isolante</u> <center>«<math>\;I = 0\;</math>» pour «<math>\;U \in \left[ -U_{\text{Zener}} \simeq -2,5\, V \, ; \, 0,7\, V \simeq U_{\text{seuil}} \right]\;</math>», <br>la diode est alors équivalente à un interrupteur ouvert sous condition de « tension <math>\;\in \left[ -2,5\, V \, ; \, 0,7\, V \right]\;</math>»,</center> * <u>partie conductrice en polarisation directe</u> <center>«<math>\;U = 0,7\, +\, 1,0\; I\;</math>» pour «<math>\;U > U_{\text{seuil}} \simeq 0,7\, V\;</math>» ou «<math>\;I > 0\;</math>», <br>le « modèle linéaire de Thévenin »<ref name="Thévenin"> '''[[w:Léon_Charles_Thévenin|Léon Charles Thévenin]] (1857 - 1926)''' ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Thévenin|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1883</math>.</ref>{{,}}<ref name="modèle linéaire de Thévenin"> Dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Modélisation_linéaire_de_Thévenin_d'une_source_réelle_(de_résistance_interne_finie)_en_régime_permanent|modélisation linéaire de Thévenin d'une source réelle (de résistance interne finie) en régime permanent]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », on a introduit le « modèle linéaire de Thévenin » de D.A.L. <math>\;\big(</math>c.-à-d. de sources réelles de résistance interne finie<math>\big)</math>, ici on prolonge cette modélisation pour les parties linéaires de dipôle passif comme c'est le cas pour une diode Zener lorsqu'elle est passante en polarisation directe ou inverse.</ref> est l'« association série d'une source idéale de tension à vide <math>\;U_{\text{seuil}} \simeq 0,7\, V\;</math> et <br>d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;r_d \simeq 1,0\, \Omega\;</math> sous condition de tension supérieure à la tension de seuil » et</center> * <u>partie conductrice en polarisation indirecte</u> <math>\;\big(</math>ou inverse<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;U = -2,5\, +\, 10,0\; I\;</math>» pour «<math>\;U < -U_{\text{Zener}} \simeq -2,5\, V</math>» ou «<math>\;I < 0\;</math>», <br>le « modèle linéaire de Thévenin »<ref name="Thévenin" />{{,}}<ref name="modèle linéaire de Thévenin" /> est l'« association série d'une source idéale de tension à vide <math>\;-U_{\text{Zener}} \simeq -2,5\, V\;</math> et <br>d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;r_Z \simeq 10,0\, \Omega\;</math> sous condition de tension inférieure à l'opposé de la tension Zener »<ref name="Zener" /> ;</center> {{Al|5}}l'utilisation de ces modélisations permet de simplifier les circuits utilisant des diodes Zener<ref name="Zener" /> mais <u>elles sont conditionnelles</u>, c'est-à-dire que vous émettez une hypothèse de fonctionnement pour modéliser et tenter de répondre aux questions posées, puis vous validez <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> cette hypothèse avant de conclure<ref> Dans le cas de non validation, il faut faire une 2^ème hypothèse de fonctionnement pour modéliser et tenter de répondre aux questions posées en validant <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> l'hypothèse et ceci jusqu'à ce qu'une hypothèse soit validée <math>\;\ldots</math>.</ref><math>\;\ldots</math> {{Al|5}}voir la représentation des modèles ci-dessous : [[File:Diode Zener - modèles linéaires.png|center|thumb|700px|frame|caption|Le modèle linéaire d'une diode Zener<ref name="Zener" /> fonctionnant en isolant<ref name="signe de tension et intensité"> Sur le schéma la polarisation indirecte ayant été obtenue en inversant le branchement de la diode Zener relativement au sens de la convention récepteur laissé inchangé, les tensions et intensités de courant initialement négatives sont devenues positives.</ref> et les deux modèles linéaires de Thévenin<ref name="Thévenin" /> de la diode Zener<ref name="Zener" /> conductrice en polarisations directe ou indirecte<ref name="signe de tension et intensité" />]] === Complément : dispositifs expérimentaux possibles pour tracer la caractéristique statique courant - tension d'un dipôle actif (D.A.) === {{Al|5}}Un 1^er dispositif expérimental possible pour tracer la caractéristique statique courant - tension d'un dipôle actif <math>\;\big(</math>D.A.<math>\big)\;</math> est celui qui a été présenté au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_caractéristique_d'un_dipôle#Montage_expérimental_de_tracé_de_la_caractéristique_statique_courant_-_tension_d'un_dipôle_passif|montage expérimental de tracé de la caractéristique statique courant - tension d'un dipôle passif]] » plus haut dans ce chapitre dans lequel il suffit de remplacer le D.P<ref name="D.P." />. par le D.A<ref name="D.A."> Dipôle Actif.</ref>. étudié ; {{Al|5}}dans ce cas, avec la convention récepteur correspondant à la tension <math>\;U\;</math> aux bornes du D.A<ref name="D.A." />. positive, * quand la tension imposée par la source extérieure est égale à la tension à vide <math>\;U_0\;</math><ref name="lien f.e.m. tension à vide en convention récepteur"> Étant en convention récepteur <math>\;U_0 = -e\;</math> avec <math>\;e\;</math> la f.e.m. algébrique du D.A. <math>\;\big(</math>laquelle, étant négative, est bien en accord avec <math>\;U_0 > 0\big)</math>.</ref> du D.A<ref name="D.A." />., ce dernier n'est traversée par aucun courant soit <math>\;I = 0</math>, * quand la tension imposée par la source extérieure est supérieure à la tension à vide <math>\;U_0\;</math><ref name="lien f.e.m. tension à vide en convention récepteur" /> du D.A<ref name="D.A." />., c'est la source extérieure qui impose le courant, <math>\;I\;</math> devient <math>\;> 0\;</math> et <math>\;U > U_0\;</math><ref> <math>\;U\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;I</math>.</ref> et * quand la tension imposée par la source extérieure est inférieure à la tension à vide <math>\;U_0\;</math><ref name="lien f.e.m. tension à vide en convention récepteur" /> du D.A<ref name="D.A." />., c'est ce dernier qui impose le courant, <math>\;I\;</math> devient <math>\;< 0\;</math> et <math>\;0 < U < U_0\;</math><ref> <math>\;U\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;I\;</math> mais <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\vert I \vert</math>.</ref>. {{Al|5}}Un 2^ème dispositif expérimental peut être envisagé tenant compte du fait que le D.A<ref name="D.A." />. étudié est lui-même un générateur, en fermant le D.A<ref name="D.A." />. sur un conducteur ohmique de résistance variable en série avec un multimètre fonctionnant en ampèremètre, un autre multimètre fonctionnant en voltmètre étant monté en parallèle sur le D.A<ref name="D.A." />.{{,}}<ref> Le circuit envisagé est un montage courte dérivation pour lequel la tension mesurée est effectivement la tension aux bornes du D.A. donc sans erreur systématique mais l'intensité du courant mesurée est celle du courant fournie par le D.A. moins celle du courant traversant le voltmètre, donc avec une erreur systématique par défaut ;<br>{{Al|3}}on pourrait aussi réaliser un montage longue dérivation en montant le multimètre fonctionnant en voltmètre en parallèle sur l'« association série D.A. - multimètre fonctionnant en ampèremètre », l'intensité du courant mesurée est effectivement celle du courant fournie par le D.A. donc sans erreur systématique mais la tension mesurée est celle aux bornes du D.A. moins celle aux bornes du multimètre fonctionnant en ampèremètre <math>\;\big(</math>correspondant à une chute ohmique dans le multimètre<math>\big)\;</math> donc avec une erreur systématique par défaut ; <br>{{Al|3}}si on souhaite un montage sans erreurs systématiques, on choisit le montage courte dérivation en interposant entre le D.A. et le multimètre fonctionnant en voltmètre un montage suiveur <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}avec ce dispositif et en choisissant la convention générateur pour le D.A<ref name="D.A." />. : * quand le conducteur ohmique de résistance variable est débranché, le D.A<ref name="D.A." />. est en sortie ouverte et le voltmètre mesure la tension à vide <math>\;U_0\;</math><ref name="lien f.e.m. tension à vide en convention générateur"> Étant en convention générateur <math>\;U_0 = e\;</math> avec <math>\;e\;</math> la f.e.m. algébrique du D.A. <math>\;\big(</math>laquelle, étant positive, est bien en accord avec <math>\;U_0 > 0\big)</math>.</ref>, <math>\;I\;</math> étant nulle, * quand le conducteur ohmique est rebranché et que l'on diminue la résistance variable, la tension mesurée <math>\;U < U_0\;</math> diminue et <math>\;I > 0\;</math> augmente<ref> <math>\;U\;</math> étant une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;I</math>.</ref> et * si le conducteur ohmique était remplacé par un court-circuit<ref> À ne faire que si l'intensité du courant de court-circuit ne dépasse pas la valeur maximale d'intensité supportable par le D.A. <math>\;\big(</math>donc vraisemblablement à éviter<math>\big)</math>.</ref>, la tension mesurée serait nulle et l'intensité du courant deviendrait celle du courant de court-circuit égale à <math>\;I_{c.c.}</math>. == Point de fonctionnement de polarisation (ou au repos) d'un dipôle, point de fonctionnement dynamique == === Dipôle passif dans un circuit en régime permanent et son point de fonctionnement de polarisation (ou de repos) === {{Al|5}}Considérons un dipôle passif dans un circuit<ref name="circuit quelconque"> Quelconque, non nécessairement série.</ref> constitué au moins « de lui-même et d'un générateur de tension permanente »<ref name="positionnement quelconque"> Les deux n'étant pas nécessairement montés en série.</ref> ; {{Al|5}}en régime établi, la source impose au D.P<ref name="D.P." />. un « point de fonctionnement <math>\;(I_0\, ,\, U_0)\;</math>»<ref> Sous-entendu « en convention récepteur », le dipôle étant passif.</ref> appelé « <u>point de fonctionnement</u> de polarisation <math>\;\big(</math>ou <u>de repos</u><math>\big)\;</math> du D.P. »<ref name="D.P." /> dans le circuit. === Fluctuations de l'intensité du courant traversant le dipôle passif et de la tension à ses bornes dans un circuit en régime permanent, point de fonctionnement dynamique du D.P. === {{Al|5}}Considérons le D.P<ref name="D.P." />. précédent inséré dans le même circuit et de « point de fonctionnement de polarisation <math>\;\big(</math>ou de repos<math>\big)</math <math>\;(I_0\, ,\, U_0)\;</math>» et envisageons une fluctuation d'intensité du courant traversant le D.P<ref name="D.P." />. de <math>\;I_0\;</math> à <math>\;I_0 + \delta I\;</math> résultant d'une modification « externe »<ref name="fluctuations pour D.P."> Une modification « externe » au D.P. suppose que la caractéristique statique courant - tension de ce dernier n'est pas modifiée ; <br>{{Al|3}}la fluctuation peut avoir de multiples causes externes, citons en deux de même origine : fluctuation de la f.e.m. de la source ou celle des éventuelles résistances additionnelles résultant d'une légère modification de température <math>\;T\;</math> <math>\big(</math>la f.e.m. ou les résistances dépendant de <math>\;T\big)\;</math> d'où une légère modification de l'intensité du courant circulant dans le circuit mais <br>{{Al|3}}pour que la caractéristique statique courant - tension du D.P. ne soit pas modifiée il faut que la température du D.P. soit maintenue <math>\;\big(</math>c.-à-d. que le D.P. doit être en contact avec un thermostat<math>\big)</math>.</ref> au D.P<ref name="D.P." />., simultanément nous observons une fluctuation de tension aux bornes du D.P<ref name="D.P." />. de <math>\;U_0\;</math> à <math>\;U_0 + \delta U</math>, le « nouveau point de fonctionnement <math>\;(I_0 + \delta I\, ,\, U_0 + \delta U)\;</math>» étant appelé « <u>point de fonctionnement dynamique</u> du D.P. »<ref name="D.P." /> dans le circuit. === Dipôle actif dans un circuit en régime permanent et son point de fonctionnement de polarisation (ou de repos) === {{Al|5}}Considérons un dipôle actif dans un circuit<ref name="circuit quelconque" /> constitué au moins « de lui-même et d'un récepteur »<ref name="positionnement quelconque" /> ; {{Al|5}}en régime établi, le D.A<ref name="D.A." />. dans le circuit acquiert un « point de fonctionnement <math>\;(I_1\, ,\, U_1)\;</math>»<ref> Sous-entendu « en convention générateur », le dipôle étant actif.</ref> <ref name="notation point de fonctionnement de repos pour D.A."> Pour un D.A. on n'utilise pas la notation <math>\;U_0\;</math> pour la tension « de repos », celle-ci étant réservée à la tension à vide du D.A..</ref> appelé « <u>point de fonctionnement</u> de polarisation <math>\;\big(</math>ou <u>de repos</u><math>\big)\;</math> du D.A. »<ref name="D.A." /> dans le circuit. === Fluctuations de l'intensité du courant généré par le dipôle actif et de la tension à ses bornes dans un circuit en régime permanent, point de fonctionnement dynamique du D.A. === {{Al|5}}Considérons le D.A<ref name="D.A." />. précédent inséré dans le même circuit et de « point de fonctionnement de polarisation <math>\;\big(</math>ou de repos<math>\big)</math> <math>\;(I_1\, ,\, U_1)\;</math>» et envisageons une fluctuation d'intensité du courant généré par le D.A<ref name="D.A." />. de <math>\;I_1\;</math> à <math>\;I_1 + \delta I\;</math> résultant d'une modification « externe »<ref name="fluctuations pour D.A."> Une modification « externe » au D.A. suppose que la caractéristique statique courant - tension de ce dernier n'est pas modifiée ; <br>{{Al|3}}la raison de cette fluctuation provient donc d'une modification du récepteur <math>\;\big\{</math>par sa résistance ou par sa f.c.e.m. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_caractéristique_d'un_dipôle#Notion_de_force_contrélectromotrice_algébrisée_«_f.c.e.m._»_du_modèle_linéaire_de_Thévenin|notion de force contrélectromotrice algébrisée (f.c.e.m.) du modèle linéaire de Thévenin]] » plus loin dans ce chapitre définissant une tension à dépasser pour qu'il y ait passage de courant<math>\big]\big\}\;</math> ou de celle des éventuelles résistances additionnelles résultant d'une légère modification de température <math>\;T\;</math> <math>\big(</math>la f.c.e.m. ou les résistances dépendant de <math>\;T\big)\;</math> mais <br>{{Al|3}}là encore, pour que la caractéristique statique courant - tension du D.A. ne soit pas modifiée, il faut que la température du D.A. soit maintenue <math>\;\big(</math>c.-à-d. que le D.A. doit être en contact avec un {{Nobr|thermostat<math>\big)</math>.}}</ref> au D.A<ref name="D.A." />., simultanément nous observons une fluctuation de tension aux bornes du D.A<ref name="D.A." />. de <math>\;U_1\;</math> à <math>\;U_1 + \delta U</math>, le « nouveau point de fonctionnement <math>\;(I_1 + \delta I\, ,\, U_1 + \delta U)\;</math>» étant appelé « <u>point de fonctionnement dynamique</u> du D.A. »<ref name="D.A." /> dans le circuit. == Résistance statique, résistance dynamique d'un dipôle au point de fonctionnement de polarisation == === Résistance statique d'un dipôle passif en un point de fonctionnement de polarisation de ce dernier === [[File:Résistances statique et dynamique d'un DP.png|thumb|360px|Représentation de la résistance statique<ref> Dans l'exemple présenté <math>\;\mathcal{R}_S(M_0)\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;I_0\;</math> mais ce n'est pas toujours le cas.</ref> <math>\;\big(</math>ainsi que dynamique<ref> Dans l'exemple présenté <math>\;r_d(M_0)\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;I_0\;</math> mais ce n'est pas toujours le cas.</ref><math>\big)\;</math> d'un D.P<ref name="D.P." />. au point de fonctionnement <math>\;M_0\;</math> sur la caractéristique statique courant - tension <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> du D.P<ref name="D.P." />. en convention récepteur]] {{Al|5}}Le choix de la convention récepteur pour le D.P<ref name="D.P." />. ayant été fait, considérons « le point de fonctionnement de polarisation <math>\;\big(</math>ou de repos<math>\big)</math> <math>\;(I_0\, ,\, U_0)\;</math> du D.P. »<ref name="D.P." /> inséré dans un circuit, point noté <math>\;M_0\;</math> sur la caractéristique statique courant - tension du D.P<ref name="D.P." />. ci-contre ; {{Al|5}}on appelle « résistance statique du D.P<ref name="D.P." />. au point de fonctionnement de repos <math>\;M_0\;</math>» le rapport <center>«<math>\;\mathcal{R}_S(M_o) = \dfrac{U_0}{I_0}\;</math>» exprimée en <math>\;\Omega</math>, c'est aussi la « pente de la droite <math>\;OM_0\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Propriété</u> : la résistance statique dépend usuellement du point de fonctionnement<ref> Le seul cas où la résistance statique ne dépend pas du point de fonctionnement de repos est celui d'un conducteur ohmique.</ref>, voir ci-contre : === Résistance dynamique d'un dipôle passif en un point de fonctionnement de polarisation de ce dernier === {{Al|5}}Le choix de la convention récepteur pour le D.P<ref name="D.P." />. étant maintenu, considérons « le point de fonctionnement dynamique <math>\;M\, (I_0 + \delta I\, ,\, U_0 + \delta U)\;</math> du D.P. »<ref name="D.P." /> dans le circuit considéré précédemment, résultant d'une fluctuation externe<ref name="fluctuations pour D.P." /> à partir de son « point de fonctionnement de polarisation <math>\;\big(</math>ou de repos<math>\big)</math> <math>\;M_0\, (I_0\, ,\, U_0)\;</math>», {{Al|5}}on appelle « résistance dynamique du D.P<ref name="D.P." />. au point de fonctionnement de repos <math>\;M_0\;</math>»<ref name="définition pratique"> Il s'agit de la définition pratique de la résistance dynamique.</ref> le rapport <center>«<math>\;r_d(M_o) = \dfrac{\delta U}{\delta I}\;</math>» exprimée en <math>\;\Omega</math>, c'est aussi la « pente de la droite <math>\;M_0M\;</math>» <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}considérant une fluctuation infiniment petite, le rapport <math>\;\dfrac{\delta U}{\delta I} \rightarrow \left( \dfrac{\partial u}{\partial i} \right)_{\!(\Gamma)}(M_0)\;</math> d'où la « définition <math>\;\big(</math>théorique<math>\big)\;</math> de la résistance dynamique du D.P<ref name="D.P." />. au point de fonctionnement de polarisation <math>\;M_0\;</math>» <center>«<math>\;r_d(M_o) = \left( \dfrac{\partial u}{\partial i} \right)_{\!(\Gamma)}(M_0)\;</math>» exprimée en <math>\;\Omega</math>, c'est aussi la « pente de la tangente à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M_0\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Propriété</u> : la résistance dynamique dépend usuellement du point de fonctionnement<ref> Le seul cas où la résistance dynamique ne dépend pas du point de fonctionnement de repos est celui d'un D.P. dont la caractéristique statique courant - tension comporte une partie linéaire, le D.P. est alors linéaire pour un intervalle de valeurs d'intensité de courant.</ref>, voir ci-dessus<ref> Contrairement à ce qu'on observe sur l'exemple présenté, le sens de variation de la résistance dynamique avec le point de fonctionnement de repos <math>\;M_0\;</math> n'est pas toujours identique à celui de variation de la résistance statique avec <math>\;M_0</math>.</ref>. === Résistance dynamique d'un dipôle actif en un point de fonctionnement de polarisation de ce dernier === [[File:Résistance dynamique d'un DA.png|thumb|360px|Représentation de la résistance dynamique<ref> Dans l'exemple présenté <math>\;-r_d(M_0)\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;I_0\;</math> mais ce n'est pas toujours le cas.</ref> d'un D.A<ref name="D.A." />. au point de fonctionnement <math>\;M_0\;</math> sur la caractéristique statique courant - tension <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> du D.A<ref name="D.A." />. en convention générateur]] {{Al|5}}Le choix de la convention générateur pour le D.A<ref name="D.A." />. ayant été fait, considérons « le point de fonctionnement de polarisation <math>\;\big(</math>ou de repos<math>\big)</math> <math>\;(I_1\, ,\, U_1)\;</math><ref name="notation point de fonctionnement de repos pour D.A." /> du D.A. »<ref name="D.A." /> inséré dans un circuit, point noté <math>\;M_1\;</math> sur la caractéristique statique courant - tension du D.A<ref name="D.A." />. ci-contre ; {{Al|5}}considérons de même « le point de fonctionnement dynamique <math>\;M\, (I_1 + \delta I\, ,\, U_1 + \delta U)\;</math> du D.A. »<ref name="D.A." /> dans le circuit défini précédemment, résultant d'une fluctuation externe<ref name="fluctuations pour D.A." /> à partir de son « point de fonctionnement de polarisation <math>\;\big(</math>ou de repos<math>\big)</math> <math>\;M_1\, (I_1\, ,\, U_1)\;</math>», {{Al|5}}on appelle « résistance dynamique du D.A<ref name="D.A." />. au point de fonctionnement de repos <math>\;M_1\;</math>»<ref name="définition pratique" /> le rapport <center>«<math>\;r_d(M_1) = -\dfrac{\delta U}{\delta I}\;</math>» exprimée en <math>\;\Omega</math>, c'est aussi l'« opposé de la pente de la droite <math>\;M_1M\;</math>» <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}si on considère une fluctuation infiniment petite, le rapport <math>\;\dfrac{\delta U}{\delta I} \rightarrow \left( \dfrac{\partial u}{\partial i} \right)_{\!(\Gamma)}(M_1)\;</math> d'où la « définition <math>\;\big(</math>théorique<math>\big)\;</math> de la résistance dynamique du D.A<ref name="D.A." />. au point de fonctionnement de polarisation <math>\;M_1\;</math>» <center>«<math>\;r_d(M_1) = -\left( \dfrac{\partial u}{\partial i} \right)_{\!(\Gamma)}(M_1)\;</math>» exprimée en <math>\;\Omega</math>, c'est aussi l'« opposé de la pente de la tangente à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M_1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Propriété</u> : la résistance dynamique dépend usuellement du point de fonctionnement<ref> Mais le plus souvent les D.A. envisagés sont linéaires ou au moins linéarisables par morceaux ce qui fait que la résistance dynamique est alors constante <math>\;-\;</math> au moins sur la partie linéaire correspondant à un intervalle de valeurs d'intensité de courant.</ref>, voir ci-contre. == Modélisation linéaire par morceaux d'un dipôle == === Généralités === {{Al|5}}Certains dipôles <math>\;\big(</math>passifs ou actifs<math>\big)\;</math> ont une caractéristique statique courant - tension composée de parties quasi-linéaires ; dans ce cas on réalise une modélisation linéaire par morceaux comme cela a été fait au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_caractéristique_d'un_dipôle#Modélisation_linéaire_par_morceaux_de_la_caractéristique_statique_courant_-_tension_d'une_diode_Zener|modélisation linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener]] » plus haut dans ce chapitre. === Rappel de la modélisation linéaire par morceaux d'une diode Zener === [[File:Diode Zener - modèles linéaires.png|thumb|600px|Le modèle linéaire d'une diode Zener<ref name="Zener" /> fonctionnant en isolant<ref name="signe de tension et intensité" /> et les deux modèles linéaires de Thévenin<ref name="Thévenin" /> de la diode Zener<ref name="Zener" /> conductrice en polarisations directe ou indirecte<ref name="signe de tension et intensité" />]] {{Al|5}}L'équation du modèle linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension de la diode Zener<ref name="Zener" /> sur un exemple numérique<ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_caractéristique_d'un_dipôle#Modélisation_linéaire_par_morceaux_de_la_caractéristique_statique_courant_-_tension_d'une_diode_Zener|modélisation linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est, en convention récepteur : * <u>partie isolante</u> <center>«<math>\;I = 0\;</math>» pour «<math>\;U \in \left[ -U_{\text{Zener}} \simeq -2,5\, V \, ; \, 0,7\, V \simeq U_{\text{seuil}} \right]\;</math>», <br>la diode est alors équivalente à un interrupteur ouvert sous condition de « tension <math>\;\in \left[ -2,5\, V \, ; \, 0,7\, V \right]\;</math>»,</center> * <u>partie conductrice en polarisation directe</u> <center>«<math>\;U = 0,7\, +\, 1,0\; I\;</math>» pour «<math>\;U > U_{\text{seuil}} \simeq 0,7\, V\;</math>» ou «<math>\;I > 0\;</math>», <br>le « modèle linéaire de Thévenin »<ref name="Thévenin" />{{,}}<ref name="modèle linéaire de Thévenin" /> est <br>l'« association série d'une source idéale de tension à vide <math>\;U_{\text{seuil}} \simeq 0,7\, V\;</math> et <br>d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;r_d \simeq 1,0\, \Omega\;</math>» sous condition <math>\;U \gtrsim 0,7\, V\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;I > 0\;</math> et</center> * <u>partie conductrice en polarisation indirecte</u><math>\;\big(</math>ou inverse<math>\big)\;</math> <center>«<math>\;U = -2,5\, +\, 10,0\; I\;</math>» pour «<math>\;U < -U_{\text{Zener}} \simeq -2,5\, V\;</math>» ou «<math>\;I < 0\;</math>», <br>le « modèle linéaire de Thévenin »<ref name="Thévenin" />{{,}}<ref name="modèle linéaire de Thévenin" /> est l'« association série d'une source idéale de tension à vide <math>\;-U_{\text{Zener}} \simeq -2,5\, V\;</math> et <br>d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;r_Z \simeq 10,0\, \Omega\;</math>» sous condition <math>\;U \lesssim -2,5\, V\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;I < 0</math>.</center> === Notion de force contrélectromotrice algébrisée « f.c.e.m. » du modèle linéaire de Thévenin === {{Al|5}}<u>Dans le modèle linéaire de Thévenin<ref name="Thévenin" /> d'un D.A.</u><ref name="D.A." /> nous avons défini une <u>f.e.m. algébrisée</u> <math>\;e\;</math> s'identifiant à la tension à vide <math>\;U_0\;</math> en convention générateur <math>\;\big(</math>dans ce cas f.e.m. algébrisée et tension à vide sont toutes deux positives<ref name="sens adéquats"> À condition bien sûr que l'on choisisse les sens adéquats.</ref><math>\big)</math> ; l'introduction de cette f.e.m. algébrisée a un sens dans la mesure où le D.A<ref name="D.A." />. fonctionne réellement en générateur en délivrant le courant dans le circuit dans lequel il est inséré <math>\;\big(</math>ce qui a pour conséquence que la f.e.m. et l'intensité du courant sont toutes deux positives<ref name="sens adéquats" /><math>\big)\;</math> mais <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>si le D.A<ref name="D.A." />. fonctionne en récepteur</u> <math>\;\big(</math>par exemple un accumulateur en phase de charge<math>\big)</math>, le courant le traversant étant imposé par un générateur extérieur en sens inverse de celui que le D.A<ref name="D.A." />. peut délivrer de lui-même, il est alors logique de choisir la convention récepteur pour le D.A<ref name="D.A." />., l'intensité du courant le traversant étant positive tout comme la tension à ses bornes et par conséquent aussi la tension à vide <math>\;U_0\;</math> de son modèle linéaire de Thévenin<ref name="Thévenin" /> alors que la f.e.m. algébrisée <math>\;e\;</math> de ce dernier est négative<ref> Le sens <math>\;+\;</math> du courant sortant par la borne <math>\;-\;</math> du D.A..</ref> en accord avec <math>\;U_0 = -e\;</math> en convention récepteur ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|si le D.A. fonctionne en récepteur }}il est alors judicieux <math>\;-\;</math> mais non obligatoire <math>\;-\;</math> d'introduire une nouvelle grandeur remplaçant la notion de f.e.m. algébrisée et qui aurait le même signe que la tension à vide en convention récepteur, c'est la <u>f.c.e.m. algébrisée</u><ref> Lire « force contre-électromotrice » <math>\;\big(</math>comme dans « force électromotrice » l'appellation historique « force » est conservée bien que ne représentant pas une force au sens de la mécanique<math>\big)</math>.</ref> <math>\;e'\;</math> <u>de sens</u><math>\;+\;</math><u>contraire au sens</u><math>\;+\;</math><u> du courant</u><ref> Et donc dans le sens <math>\;+\;</math> de tension en convention récepteur.</ref> <math>\;\big(</math>donc de signe opposé à celui de la f.e.m. algébrisée <math>\;e\big)\;</math> dont la valeur absolue est égale à celle de la f.e.m. algébrisée d'où <center>«<math>\;e' = -e\;</math>» entraînant «<math>\;U_0 = e'\;</math> en convention récepteur ».</center> {{Al|5}}Dans les modèles linéaires de Thévenin<ref name="Thévenin" /> de la caractéristique statique courant - tension d'un <u>D.P<ref name="D.P." />. linéarisable par morceaux</u> on définit, dans le modèle linéaire de Thévenin<ref name="Thévenin" /> de chaque partie conductrice linéarisée, une « <u>f.c.e.m. algébrisée</u> » notée <math>\;e'\;</math> <math>\big(</math>de sens <math>\;+\;</math> contraire au sens <math>\;+\;</math> du courant<math>\big)\;</math> s'identifiant à la tension à vide <math>\;U_0\;</math> en convention récepteur soit <center>«<math>\;U_0 = e'\;</math>»<ref> L'introduction de la notion de f.e.m. algébrisée dans les modèles linéaires de Thévenin de la caractéristique statique courant - tension d'un D.P. linéarisable par morceaux reste possible mais n'est absolument pas judicieuse car elle n'a pas de signification physique contrairement à celle de f.c.e.m. algébrisée ; dans les modèles linéaires de Thévenin d'un D.P. linéarisable par morceaux en convention récepteur on utilise soit la notion de tension à vide soit celle de f.c.e.m. algébrisée, les deux valeurs étant égales.</ref>.</center> === Retour sur la modélisation linéaire de Thévenin d'une diode Zener conductrice === {{Al|5}}Quand la diode est polarisée en direct avec <math>\;U > U_{\text{seuil}}</math>, le modèle linéaire de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en convention récepteur est une <center>« association série d'une source de tension parfaite de f.c.e.m. <math>\;e' = U_{\text{seuil}} > 0\;</math><ref name="signe f.c.e.m. et intensité en convention récepteur"> De même signe que l'intensité du courant en convention récepteur.</ref> et d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;r_d\;</math>» ;</center> {{Al|5}}quand la diode est polarisée en inverse avec <math>\;U < -U_{\text{Zener}}</math>, le modèle linéaire de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en convention récepteur est une <center>« association série d'une source de tension parfaite de f.c.e.m. <math>\;e' = -U_{\text{Zener}} < 0\;</math><ref name="signe f.c.e.m. et intensité en convention récepteur" /> et d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;r_Z\;</math>»<ref name="f.c.e.m. négative"> La valeur de f.c.e.m. algébrisée correspond au même sens <math>\;+\;</math> de courant qu'en polarisation directe <math>\;\big(</math>et donc aussi au même sens <math>\;+\;</math> de tension<math>\big)\;</math> et non, comme cela avait été présenté lors du tracé des modèles de Thévenin d'une diode Zener plus haut dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_caractéristique_d'un_dipôle#Modélisation_linéaire_par_morceaux_de_la_caractéristique_statique_courant_-_tension_d'une_diode_Zener|modélisation linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener]] » où la polarisation indirecte était obtenue par inversion du branchement de la diode relativement au branchement correspondant à la polarisation directe, les sens <math>\;+\;</math> de tension et de courant étant conservés, ce qui donnait des tensions et des intensités positives et aurait conduit à une f.c.e.m. algébrisée également positive.</ref>.</center> === Exemples d'utilisation des modèles linéaires de Thévenin d'une diode Zener === {{Al|5}}L'utilisation de ces modélisations permet de simplifier les circuits utilisant des diodes Zener<ref name="Zener" /> mais elle est conditionnelle c'est-à-dire que les étapes de résolution sont les suivantes : * faire une hypothèse de fonctionnement pour modéliser la diode Zener<ref name="Zener" /> suivie de la simplification du circuit dans le but d'obtenir un circuit simple <math>\;\big(</math>le plus souvent série<math>\big)\;</math> et terminer le calcul nécessaire à la résolution du problème, * valider <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> l'hypothèse de fonctionnement ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si la validation est accomplie c'est fini mais <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si elle n'est pas réalisée, recommencer avec une 2^ème hypothèse de fonctionnement <math>\;\ldots\;</math> qu'il convient de valider <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|si elle n'est pas réalisée, recommencer avec une 2^ème hypothèse de fonctionnement }}<math>\;\triangleright\;</math>si la validation est accomplie c'est fini mais <br>{{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|si elle n'est pas réalisée, recommencer avec une 2^ème hypothèse de fonctionnement }}<math>\;\triangleright\;</math>si elle n'est pas réalisée, recommencer avec une 3^ème hypothèse de fonctionnement <math>\;\ldots\;</math> laquelle doit être nécessairement validée<ref> À vérifier néanmoins car si elle n'était pas validée cela voudrait dire qu'on a fait une erreur dans ce qui a précédé.</ref>. ==== 1^er exemple ==== [[File:Circuit série avec diode Zener polarisée en direct.png|thumb|280px|Diode Zener<ref name="Zener" /> en polarisation directe en série avec pile et résistance de protection]] [[File:Circuit série avec diode Zener polarisée en direct - bis.png|thumb|400px|Modélisation linéaire d'une diode Zener<ref name="Zener" /> en polarisation directe en série avec pile et résistance de protection]] {{Al|5}}La diode Zener<ref name="Zener" /> étudiée précédemment <math>\;\big[</math>tension de seuil <math>\;U_{\text{seuil}} = 0,7\, V\;</math> avec résistance interne dans le sens passant <math>\;r_d = 1,0\, \Omega</math>, tension Zener<ref name="Zener" /> <math>\;U_{\text{Zener}} = 2,5\, V\;</math> avec résistance interne dans le sens Zener<ref name="Zener" /> <math>\;r_Z =</math> <math>10\, \Omega\big]\;</math> est en série avec un conducteur ohmique de protection de résistance <math>\;R_p =</math> <math>100\, \Omega\;</math> branché aux bornes d'une pile de f.e.m. <math>\;e = 2,0\, V\;</math> et de résistance interne <math>\;r = 1,0\, \Omega</math> ; on cherche le point de fonctionnement de la diode Zener<ref name="Zener" /> {{Nobr|c'est-à-dire}} l'intensité <math>\;I\;</math> du courant la traversant ainsi que la tension <math>\;U_D\;</math> à ses bornes, quand elle est polarisée en direct <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}La diode étant polarisée en direct, <math>\;U_D\;</math> est <math>\;> 0</math> ; comme la tension de seuil est <math>\;0,7\, V\;</math> et que la tension imposée par la source à l’ensemble « diode, conducteurs ohmiques » est <math>\;2\, V</math>, la diode va être passante et il convient de faire l’hypothèse d’un fonctionnement « passant » pour la diode mais si on ne voyait pas cette évidence par « absence de sens physique », on aboutirait néanmoins au résultat ; pour montrer qu’il en est bien ainsi, nous allons faire la mauvaise hypothèse de fonctionnement pour commencer : * 1^ère hypothèse de fonctionnement : la diode est « bloquée » <math>\;\big(</math>ce qui nécessite que <math>\;U_D < U_{\text{seuil}} = 0,7\, V\big)</math> : on peut la remplacer par un « interrupteur ouvert » <math>\Rightarrow</math> <math>\;I = 0\;</math><ref name="schéma à ajouter"> Il conviendrait d'ajouter un schéma de situation.</ref> ; il faut alors valider <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> l’hypothèse <math>\;U_D < U_{\text{seuil}} = 0,7\, V\;</math> et pour cela calculer <math>\;U_D\;</math> en utilisant la loi de maille <math>\;U_D + (R_p + r)\,I - e = 0\;</math>» avec <math>\;I = 0\;</math> soit «<math>\;U_D = e = 2\, V \not< 0,7\, V\;</math>» <math>\Rightarrow</math> hypothèse non validée ; la diode n'est donc pas bloquée, mais « passante »<ref> Bien entendu, il fallait faire l'hypothèse de diode « passante » dès le début.</ref> ; * 2^ème hypothèse de fonctionnement : la diode est « passante »<ref name="validation non nécessaire"> Sauf erreur lors du calcul et de l'évaluation de la réponse dans le cadre de la 1^ère hypothèse, ce n’est plus une hypothèse mais il convient de faire une vérification, ne serait-ce que pour s’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs lors du 1^er essai.</ref> <math>\;\big(</math>la validation de l'hypothèse nécessitera de vérifier <math>\;U_D > U_{\text{seuil}}</math> <math>= 0,7\, V\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;I > 0\big)</math> : on adopte alors le modèle générateur de tension de la diode en sens direct <math>\;\big(</math>schéma ci-contre : source de tension parfaite de f.c.e.m. <math>\;U_{\text{seuil}} = 0,7\, V\;</math> en série avec conducteur ohmique de résistance <math>\;r_d = 1\, \Omega\big)</math> ; <br>{{Al|5}}on détermine <math>\;I\;</math> par loi de Pouillet<ref name="Pouillet"> '''[[w:Claude_Pouillet|Claude Servais Mathias Pouillet]] (1790 - 1868)''' physicien et homme politique français, on lui doit essentiellement des travaux portant sur la compressibilité des gaz et sur les lois expérimentales relatives à l'intensité du courant électrique dans un circuit fermé <math>\;\big(</math>il sut préciser la notion de résistance électrique, montrer que les générateurs sont composés d'une force électromotrice pure et d'une résistance intérieure et il établit la loi qui porte son nom<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref name="loi de Pouillet"> Voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#cite_note-110|¹¹⁰]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » explicitant la loi de Pouillet.</ref> <math>\;I = \dfrac{e - U_{\text{seuil}}}{r_d + R_p + r} = \dfrac{2,0 - 0,7}{1 + 100 + 1}\; = \dfrac{1,3}{102}</math> en <math>\;A\;</math> soit «<math>\;I \simeq 12,7\,10^{-3}\,A =</math> <math>12,7\,mA\;</math>» ; on valide l’hypothèse de fonctionnement car <math>\;I\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et on obtient <math>\;U_D\;</math> par loi d'Ohm généralisée appliquée à la diode <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_D =</math> <math>U_{\text{seuil}} + r_d\; I \simeq 0,7 + 1,0 \times 12,7\, 10^{-3}\;</math> en <math>\;V\;</math> soit «<math>\;U_D \simeq 0,713\, V\;</math>». <br> ==== 2^ème exemple ==== [[File:Diode Zener polarisée en inverse à la sortie d'un PDT.png|thumb|300px|Diode Zener<ref name="Zener" /> en polarisation inverse à la sortie d'un pont diviseur de tension alimenté en entrée par une pile]] {{Al|5}}La diode Zener<ref name="Zener" /> précédente est branchée à la sortie d'un pont diviseur de tension <math>\;\big(</math>P.D.T.<math>\big)\;</math> dans lequel « la résistance du conducteur ohmique reliée à l'entrée vaut <math>\;R_2 = 50\, \Omega\;</math> et celle entre les bornes de sortie <math>\;R_1 = 20\, \Omega\;</math>», l'entrée étant alimentée par une pile de f.e.m. <math>\;e = 5\, V\;</math> et de résistance interne <math>\;r = 1\, \Omega</math> ; la diode Zener<ref name="Zener" /> étant polarisée en inverse, on cherche son point de fonctionnement c'est-à-dire l’intensité <math>\;I\;</math> du courant la traversant ainsi que la tension <math>\;U_D\;</math> à ses bornes <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math><ref> Le but recherché avec cet exemple est de montrer que l'intuition est parfois défaillante.</ref>. {{Al|5}}La diode étant polarisée en inverse avec les branchements de la diode inversés, <math>U_D\;</math> est <math>\;> 0</math> ; comme la tension Zener<ref name="Zener" /> est <math>\;2,5\, V\;</math> et que la tension imposée par la source à l'ensemble « P.D.T<ref name="P.D.T."> Pont Diviseur de Tension.</ref>. <math>\;\big(</math> incluant <math>\;r\big)\;</math> fermé sur la diode » est <math>\;5\, V</math>, la diode Zener<ref name="Zener" /> devrait être passante dans le sens {{Nobr|Zener<ref name="Zener" />}} et il conviendrait de commencer par l'hypothèse d’un fonctionnement « passant dans le sens Zener »<ref name="Zener" /> pour la diode<ref> On fait d'abord cette hypothèse car la f.e.m. de la pile <math>\;e = 5\, V\;</math> est nettement supérieure à la tension Zener <math>\;U_{\text{Zener}} = 2,5\, V</math> ; <br>{{Al|3}}toutefois les habitué(e)s des ponts diviseur de tension pourraient éviter cette hypothèse en passant directement à celle d'une diode Zener bloquée en inverse car la tension de sortie ouverte du P.D.T. alimenté en entrée par la f.e.m. <math>\;e = 5\, V\;</math> étant <math>\;\dfrac{20}{71} \times 5 \simeq 1,41\;V\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Cas_particulier_très_important_du_réseau_dipolaire_«_pont_diviseur_de_tension_alimenté_en_entrée_par_uE(t)_et_en_sortie_ouverte_»|cas particulier très important du réseau dipolaire “ pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_E(t) et en sortie ouverte ”]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> est inférieure à la tension Zener <math>\;2,5\, V</math>, ce qui est incompatible avec le sens passant de la diode dans le sens Zener.</ref> : [[File:Diode Zener polarisée en inverse à la sortie d'un PDT - bis.png|thumb|320px|Modélisation linéaire d'une diode Zener<ref name="Zener" /> en polarisation inverse à la sortie d'un P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par une pile]] * 1^ère hypothèse de fonctionnement : la diode est « passante » en inverse <math>\;\big(</math>la validation de l'hypothèse nécessitera de vérifier <math>\;U_D > U_{\text{Zener}} =</math> <math>2,5\, V\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;I > 0\big)</math> : on adopte alors le modèle générateur de tension de la diode en sens Zener<ref name="Zener" /> <math>\;\big(</math>schéma ci-dessous : source de tension parfaite de f.c.e.m. <math>\;U_{\text{Zener}} =</math> <math>2,5\, V\;</math><ref> <math>\;U_{\text{Zener}}\;</math> et non <math>\;-U_{\text{Zener}}\;</math> car les sens <math>\;+\;</math> de tension <math>\;\big(</math>et de courant<math>\big)\;</math> sont inversés par rapport à ceux du modèle.</ref> en série avec conducteur ohmique de résistance <math>\;r_Z = 10\, \Omega\big)</math> ; <br>{{Al|5}}pour déterminer l'intensité <math>\;I\;</math> du courant sortant du P.D.T<ref name="P.D.T." />. <math>\;\big(</math>incluant <math>\;r\big)\;</math> alimenté en entrée par la f.e.m. de la source <math>\;e = 5\, V</math>, on prend le modèle générateur de Thévenin de ce P.D.T<ref name="P.D.T." />.{{,}}<ref name="générateur de Thévenin d'un P.D.T."> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Générateur_de_Thévenin_équivalent_au_réseau_dipolaire_«_pont_diviseur_de_tension_alimenté_en_entrée_par_uE(t)_et_vu_des_bornes_de_sortie_»|générateur de Thévenin équivalent au réseau dipolaire “ pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_E(t) et vu des bornes de sortie ”]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> c._à-d. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>une f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;e_{Th} = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2 + r}\;e = \dfrac{20}{20 + 50 + 1} \times 5 \simeq 1,408\;V\;</math>»<ref name="générateur de Thévenin d'un P.D.T." /> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>une résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;r_{Th} = \dfrac{R_1\;(R_2 + r)}{R_1 + (R_2 + r)} = \dfrac{20 \times (50 + 1)}{20 + (50 + 1)} \simeq 14,37\;\Omega\;</math>»<ref name="générateur de Thévenin d'un P.D.T." /> <br>soit le schéma du circuit série équivalent<ref> Qu'il convient de tracer par soi-même.</ref> « une source de tension parfaite de f.e.m. <math>\,e_{Th} \simeq 1,408\,V\,</math> en série avec deux conducteurs ohmiques de résistances <math>\,r_{Th} \simeq 14,37\,\Omega\,</math> et <math>\,r_Z = 10\,\Omega</math>, en série avec une f.c.e.m. <math>\,U_{\text{Zener}} = 2,5\, V\;</math><ref> Il faut dire le modèle de source parfaite de f.c.e.m. <math>\;U_{\text{Zener}} = 2,5\, V\;</math> pour être correct, il s'agit, bien sûr, d'un abus <math>\;\big(</math>habituel<math>\big)\;</math> de langage.</ref> » d'où, par application de la loi de Pouillet<ref name="Pouillet" />{{,}}<ref name="loi de Pouillet" /> <math>\;I = \dfrac{e_{Th} - U_{\text{Zener}}}{r_{Th} + r_Z} \simeq \dfrac{1,408 - 2,5}{14,37 + 10} \simeq -44,8\,10^{-3}\;A\;</math> soit <math>\;I \simeq -44,8\,mA\;</math> qu'il conviendrait de valider mais qui ne l'est pas car <math>\;I \not> 0\;</math> est incompatible avec l'hypothèse faite<ref> On peut d'ailleurs vérifier que la condition sur la tension <math>\;U_D\;</math> est elle aussi non validée car, en utilisant le modèle linéaire de la diode Zener en inverse, <math>\;U_D = U_{\text{Zener}} + r_Z\;I \simeq</math> <math>2,5 + 10 \times \left( -44,8\,10^{-3} \right) \simeq 2,052\;V \not> 2,5\;V</math>.</ref> ; la diode Zener<ref name="Zener" /> n'est donc pas « passante », mais « bloquée » dans le sens Zener<ref name="Zener" /> ; * 2^ème hypothèse de fonctionnement : la diode est « bloquée » en inverse<ref name="validation non nécessaire" /> <math>\;\big(</math>la validation de l'hypothèse nécessitera de vérifier <math>\;U_D < U_{\text{Zener}} =</math> <math>2,5\, V\big)</math> : on peut la remplacer par un « interrupteur ouvert » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;I = 0\;</math>»<ref name="schéma à ajouter" /> ; on valide l’hypothèse de fonctionnement car «<math>\;U_D\;</math> est la tension de sortie ouverte du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par la f.e.m. <math>\;e = 5\, V\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Cas_particulier_très_important_du_réseau_dipolaire_«_pont_diviseur_de_tension_alimenté_en_entrée_par_uE(t)_et_en_sortie_ouverte_»|cas particulier très important du réseau dipolaire “ pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_E(t) et en sortie ouverte ”]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit «<math>\;U_D = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2 + r}\;e</math> <math>= \dfrac{20}{20 + 50 + 1} \times 5 \simeq 1,408\;V\;</math>» effectivement inférieure à la tension Zener<ref name="Zener" /> <math>\;2,5\, V</math>. == Modélisation idéale en polarisations directe et inverse d'une diode Zener (ou modélisation idéale d'une « diode à jonction ») == === Modélisation idéale d'une diode Zener === {{Al|5}}<u>En polarisation directe</u> : la résistance dynamique étant toujours très faible on la considère nulle dans la « modélisation idéale <math>\;r_d \simeq 0\;</math>», la tension de seuil étant aussi modérée relativement aux tensions usuelles imposées, on la considère aussi comme nulle dans la « modélisation idéale <math>\;U_{\text{seuil}} \simeq 0\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|En polarisation directe : }}« en polarisation directe la diode Zener<ref name="Zener" /> idéale est donc équivalente à un court-circuit »<ref name="précision polarisation directe"> Ceci étant donc valable pour toute tension positive aux bornes de la diode puisque <math>\;U_{\text{seuil}} \simeq 0</math>.</ref>{{,}}<ref name="idéalisation avec seuil"> On peut aussi considérer une <u>modélisation idéale en polarisation directe avec défaut de seuil</u> correspondant à «<math>\;r_d \simeq 0\;</math> mais <math>\;U_{\text{seuil}} \not\simeq 0\;</math>», dans ce cas <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>« si <math>\;U_D\;</math> est <math>\;< U_{\text{seuil}}\;</math> la diode bloquée est équivalente à un interrupteur ouvert » et <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>« sinon la diode passante avec <math>\;U_D = U_{\text{seuil}}\;</math> est équivalente à une source de tension parfaite de f.c.e.m. <math>\;U_{\text{seuil}} \neq 0\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>En polarisation inverse</u> : la résistance dynamique étant encore faible on la considère nulle dans la « modélisation idéale <math>\;r_Z \simeq 0\;</math>», la tension Zener<ref name="Zener" /> étant quant à elle de valeur notable relativement aux tensions usuelles imposées, on ne la considère pas comme nulle dans la « modélisation idéale <math>\;U_{\text{Zener}} \neq 0\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|En polarisation inverse : }}« en polarisation inverse la diode Zener<ref name="Zener" /> idéale est donc équivalente à <br>{{Al|5}}{{Transparent|En polarisation inverse : }}<math>\succ\;</math>un « interrupteur ouvert si <math>\;U_D \in \left] -U_{\text{Zener}}\, ,\, 0 \right[\;</math>»<ref name="pas de changement de convention récepteur"> Ici nous considérons la polarisation inverse sans changer de convention récepteur relativement à la polarisation directe et sans inversion du branchement de la diode d'où des tensions négatives.</ref> car la diode est bloquée et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En polarisation inverse : }}<math>\succ\;</math>une « source de tension parfaite de f.c.e.m. <math>\;-U_{\text{Zener}} \neq 0\;</math>» car la diode est passante avec <math>\;U_D = -U_{\text{Zener}}\;</math><ref name="f.c.e.m. négative" /> ». === Modélisation idéale d'une diode à jonction === <center> La seule différence entre « diode Zener »<ref name="Zener" /> et « diode à jonction » est le comportement lorsqu'elles sont polarisées en inverse, <br>la diode à jonction restant toujours bloquée quelle que soit la tension<ref> Dans la mesure où la tension reste modérée car si la tension devient trop importante en valeur absolue, la diode à jonction « claque » c.-à-d. qu'elle devient <u>irréversiblement</u> passante sans relation quantitative <math>\;\big(</math>en gros elle est « fichue »<math>\big)\;\ldots</math></ref>.</center> {{Al|5}}<u>En polarisation directe</u> : la résistance dynamique étant toujours très faible on la considère nulle dans la « modélisation idéale <math>\;r_d \simeq 0\;</math>», la tension de seuil étant aussi modérée relativement aux tensions usuelles imposées, on la considère aussi comme nulle dans la « modélisation idéale <math>\;U_{\text{seuil}} \simeq 0\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|En polarisation directe : }}« en polarisation directe la diode à jonction idéale est donc équivalente à un court-circuit »<ref name="précision polarisation directe" />{{,}}<ref name="idéalisation avec seuil" />. {{Al|5}}<u>En polarisation inverse</u> : la diode à jonction restant bloquée, il n'y a pas besoin d'idéalisation, et elle est toujours « équivalente à un interrupteur ouvert ». == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : résistance de sortie, résistance d'entrée|Circuits élect. dans l'ARQS : résist. de sortie, résist. d'entrée]] | suivant = [[../Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon|Circuits lin. du 1^er ordre : régime libre, rép. à un échelon]] }} 16bkgrr2y7db8wvwgykyinab3h2qduq 0 66751 982849 978389 2026-05-15T14:50:37Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982849 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 26 | niveau = 14 | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle/]] | suivant = [[../Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie/]] }} == Exemples de circuits linéaires du 1^er ordre == === Rappel de la définition d'un circuit linéaire du 1^er ordre === {{Al|5}}Un circuit est linéaire du 1^er ordre si le lien entre la tension instantanée entre les bornes d'un dipôle passif et l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier est une « équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre »<ref name="équation différentielle linéaire à cœfficients constants"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Équation_différentielle_linéaire_à_coefficients_constants|équation différentielle linéaire à cœfficients constants]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, le dipôle passif étant fermé sur une source parfaite de tension ou de courant au sens de l'A.R.Q.S.<ref> L'une des sources les plus fréquentes étant celle créant un échelon de tension <math>\;\big(</math>ou un échelon de courant<math>\big)</math>.</ref>. === « R C série » === {{Al|5}}Le dipôle <math>\;R\;C\;</math> série est traversé par un même courant d'intensité instantanée <math>\;i(t)</math>, la tension <math>\;u(t)\;</math><ref name="convention récepteur"> En convention récepteur.</ref> entre ses bornes étant la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle soit «<math>\;u(t) =</math> <math>R\; i(t) + u_C(t)\;\; (\mathfrak{a})\;</math>» où «<math>\;u_C(t)\;</math> est la tension aux bornes du condensateur liée à l'intensité du courant le traversant par <math>\;i(t) = C\;\dfrac{d u_C}{dt}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}pour prouver que le dipôle <math>\;R\;C\;</math> série est linéaire du 1^er ordre, il faut montrer que <math>\;u(t)\;</math> et <math>\;i(t)\;</math> sont liées entre elles par une « équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre » et pour cela, il suffit d'éliminer <math>\;u_C(t)\;</math> en dérivant <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> par rapport au temps soit <center>«<math>\;\dfrac{du}{dt}(t) = R\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{C}\;i(t)\;</math>».</center> === « R C parallèle » === {{Al|5}}Le dipôle <math>\;R\;C\;</math> parallèle est soumis à une même tension instantanée <math>\;u(t)</math>, l'intensité instantanée <math>\;i(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées des courants traversant chaque dipôle soit <center>«<math>\;i(t) = \dfrac{u(t)}{R} + C\;\dfrac{d u}{dt}(t)\;</math>» <br>prouvant que le dipôle <math>\;R\;C\;</math> parallèle est linéaire du 1^er ordre.</center> === « R L série » === {{Al|5}}Le dipôle <math>\;R\;L\;</math> série est traversé par un même courant d'intensité instantanée <math>\;i(t)</math>, la tension <math>\;u(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> entre ses bornes étant la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle soit <center>«<math>\;u(t) = R\; i(t) + L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math>» <br>prouvant que le dipôle <math>\;R\;L\;</math> série est linéaire du 1^er ordre.</center> === « R L parallèle » === {{Al|5}}Le dipôle <math>\;R\;L\;</math> parallèle est soumis à une même tension instantanée <math>\;u(t)</math>, l'intensité instantanée <math>\;i(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées des courants traversant chaque dipôle soit «<math>\;i(t) = \dfrac{u(t)}{R} + i_L(t)\;\; (\mathfrak{b})\;</math>» où «<math>\;i_L(t)\;</math> est l'intensité du courant traversant la bobine parfaite liée à la tension entre ses bornes par <math>\;u(t) = L\;\dfrac{d i_L}{dt}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}pour prouver que le dipôle <math>\;R\;L\;</math> parallèle est linéaire du 1^er ordre, il faut montrer que <math>\;u(t)\;</math> et <math>\;i(t)\;</math> sont liées entre elles par une « équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre » et pour cela, il suffit d'éliminer <math>\;i_L(t)\;</math> en dérivant <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> par rapport au temps soit <center>«<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = \dfrac{1}{R}\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{u(t)}{L}\;</math>».</center> == Relevés expérimentaux == === Relevés expérimentaux dans l'exemple du « R C série » soumis à un échelon de tension === ==== Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur dans l'exemple du « R C série » soumis à un échelon de tension, observation de sa continuité en t = 0 ==== [[File:RC série soumis à échelon de tension.png|thumb|left|400px|Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] [[File:RC série soumis à échelon de tension - bis.png|thumb|right|350px|Diagramme horaire de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] {{Al|5}}Pour enregistrer la « réponse en <math>\;u_C(t)\;</math> du <math>\;R\; C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à partir du schéma représenté ci-contre à gauche en faisant apparaître l'instant <math>\;0</math>, il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de <math>\;K</math> ; {{Al|5}}il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran soit, avec <math>\;R = 100\; k \Omega\;</math> et <math>\;C = 5\; \mu F\;</math><ref name="valeur de constante de temps"> La constante de temps vaut alors <math>\;\tau = R\;C = 0,5\; s\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Régime_libre_et_constante_de_temps_τ_du_«_R_C_série_»|régime libre et constante de temps τ du R C série]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et le régime forcé peut être estimé terminé au bout de <math>\;5\;\tau = 2,5\; s</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Amortissement_du_régime_libre_et_réponse_transitoire_tendant_vers_la_réponse_forcée|amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref>, une sensibilité de <math>\;500\; ms \cdot cm^{-1}\;</math><ref name="explication du choix de la sensibilité"> Avec cette sensibilité, le point lumineux décrit la largeur de l'écran de <math>\;10\; cm\;</math> en <math>\;5\; s > 2,5\; s</math>.</ref> ; {{Al|5}}enfin l'échelon de tension peut être créé par une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation stabilisée.</ref> à amplitude variable que l'on choisira par exemple à <math>\;5\; V</math>, dans ce cas le zéro de {{Nobr|l'A.S<ref name="A.S." />.}} est reliée à la Terre<ref name="masse reliée à la Terre"> Masse reliée à la Terre par l'intermédiaire du fil de secteur.</ref> et il est nécessaire de positionner le condensateur comme sur la figure ci-contre à gauche pour des raisons d'unicité de masses ; {{Al|5}}on observe alors le diagramme de <math>\;u_C(t)\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math> ci-contre à droite : * la charge du condensateur est estimée « terminée » <ref name="estimation de la fin du régime transitoire"> À moins de <math>\;1\, \%\;</math> près.</ref> au bout de <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="amortissement du régime libre d'un RC série"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Amortissement_du_régime_libre_et_réponse_transitoire_tendant_vers_la_réponse_forcée|amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\tau = R\;C\;</math> constante de temps du <math>\;R\, C\;</math> série »<ref name="constante de temps d'un RC série"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Régime_libre_et_constante_de_temps_τ_du_«_R_C_série_»|régime libre et constante de temps τ du R C série]] » plus bas dans ce chapitre.</ref>, la valeur de la tension est alors égale à l'amplitude de l'échelon ; * il y a continuité de la tension aux bornes du condensateur à <math>\;t = 0\;</math> instant de fermeture de l'interrupteur. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : il est possible d'automatiser « la création <math>\;\big(</math>et la suppression<math>\big)\;</math> d'un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à l'aide d'un G.B.F<ref name="G.B.F."> Générateur Basse Fréquence.</ref>. délivrant une tension « créneau » <ref> Supposée symétrique <math>\;\big(</math>c.-à-d. de même durée pour l'alternance de valeur haute que celle de valeur basse<math>\big)</math>.</ref> d'amplitude <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> à laquelle on ajoute une composante permanente <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> ainsi, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F<ref name="G.B.F." />. vaut <math>\;E\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}sur l'alternance de valeur basse elle vaut <math>\;0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la charge et la décharge du condensateur soient terminées c'est-à-dire qu'il faut choisir la durée d'une alternance supérieure à <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="amortissement du régime libre d'un RC série" /> soit, en appelant <math>\;T\;</math> la période du créneau, la condition <math>\;\dfrac{T}{2} > 5\; \tau\;</math> ou «<math>\;T > 10\; \tau\;</math>» <ref name="modification valeurs pour automatisation"> Il conviendrait alors de modifier les valeurs de <math>\;R\;</math> et <math>\;C</math>, ces dernières donnant une période de créneau <math>\;T > 5\; s\;</math> pratiquement trop grande pour une automatisation ; <br>{{Al|3}}choisir <math>\;R = 10\; k \Omega\;</math> et <math>\;C = 10\; nF\;</math> par exemple donnant une constante de temps <math>\;\tau = 100\; \mu s</math>, un créneau de période <math>\;T = 1\; ms\;</math> conviendrait, il correspondrait alors à une fréquence <math>\;f =</math> <math>1\; kHz\;</math> <math>\ldots</math></ref>. ==== Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant le condensateur dans l'exemple du « R C série » soumis à un échelon de tension, observation de sa discontinuité de 1^ère espèce en t = 0 ==== [[File:RC série soumis à échelon de tension - ter.png|thumb|left|400px|Schéma d'observation de la réponse en intensité du courant traversant le condensateur d'un <math>\;R\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] [[File:RC série soumis à échelon de tension - tetra.png|thumb|right|350px|Diagramme horaire de la réponse en intensité du courant traversant le condensateur d'un <math>\;R\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] {{Al|5}}Dans le but d'enregistrer la « réponse en <math>\;u_R(t) = R\;i(t)\;</math> du <math>\;R\; C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>»<ref> La réponse en intensité du courant traversant le condensateur est effectivement proportionnelle à la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique monté en série avec le condensateur avec un cœfficient de proportionnalité positif en convention récepteur.</ref> il est nécessaire de permuter le condensateur et le conducteur ohmique comme sur le schéma représenté ci-contre à gauche pour des raisons d'unicité de masses si l'échelon de tension est créé par une A.S<ref name="A.S." />. ou si on automatise « la création <math>\;\big(</math>et la suppression<math>\big)\;</math> d'un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à l'aide d'un G.B.F<ref name="G.B.F." />. délivrant une tension « créneau symétrique »<ref name="masse reliée à la Terre" /> ; {{Al|5}}dans le cas où on utilise une A.S<ref name="A.S." />. on enregistre <math>\;u_R(t) = R\;i(t)\;</math> en faisant apparaître l'instant <math>\;0</math>, ce qui s'obtient en lançant l'enregistrement légèrement avant la fermeture de <math>\;K</math> ; avec les valeurs <math>\;R = 100\; k \Omega\;</math> et <math>\;C = 5\; \mu F\;</math><ref name="valeur de constante de temps" />, on choisit une même sensibilité de <math>\;500\; ms \cdot cm^{-1}\;</math><ref name="explication du choix de la sensibilité" /> ; {{Al|5}}l'échelon de tension étant créé par une A.S. <ref name="A.S." /> à amplitude variable, on choisit cette dernière égale à <math>\;5\; V</math>, et on observe alors le diagramme de <math>\;u_R(t)\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math> ci-contre à droite : * l'intensité de courant de charge du condensateur est estimée « annulée »<ref name="estimation de la fin du régime transitoire" /> au bout de <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="amortissement du régime libre d'un RC série - bis"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Amortissement_du_régime_libre_et_annulation_de_la_réponse_transitoire|amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> avec « <math>\;\tau = R\;C\;</math> constante de temps du <math>\;R\, C\;</math> série » <ref name="constante de temps d'un RC série - bis"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Forme_de_la_réponse_transitoire_s'identifiant_au_régime_libre_et_rappel_de_la_constante_de_temps_τ_du_«_R_C_série_»|forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du R C série]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> ; * il y a variation très rapide de l'intensité de courant de charge du condensateur à <math>\;t = 0\;</math> instant de fermeture de l'interrupteur, variation très rapide modélisée par une discontinuité de 1^ère espèce à l'instant <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit finalement une « discontinuité de 1^ère espèce de l'intensité du courant de charge du condensateur à <math>\;t = 0</math>, instant de fermeture de l'interrupteur »<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, la valeur d'intensité à l'instant <math>\;0^{+}\;</math> étant <math>\;\dfrac{5\; V}{100\; k \Omega} = 50\; \mu A</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on peut réitérer la remarque du paragraphe précédent à savoir la possibilité d'automatiser « la création (et la suppression) d'un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à l'aide d'un G.B.F<ref name="G.B.F." />. délivrant une tension « créneau symétrique » d'amplitude <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> à laquelle on ajoute une composante permanente <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> ainsi, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F<ref name="G.B.F." />. vaut <math>\;E\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}sur l'alternance de valeur basse elle vaut <math>\;0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la création et la suppression sont indépendantes si la charge et la décharge du condensateur sont terminées c'est-à-dire si la durée d'une alternance est supérieure à <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="amortissement du régime libre d'un RC série - bis" /> soit, en appelant <math>\;T\;</math> la période du créneau, la condition <math>\;T > 10\; \tau\;</math><ref name="modification valeurs pour automatisation" />. === Relevés expérimentaux dans l'exemple du « R L série » soumis à un échelon de tension === ==== Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant une bobine dans l'exemple du « R L série » soumis à un échelon de tension, observation de sa continuité en t = 0 ==== [[File:RL série soumis à échelon de tension.png|thumb|left|400px|Schéma d'observation de la réponse en intensité du courant traversant la bobine d'un <math>\;R\, L\;</math> série soumis à un échelon de tension]] [[File:RL série soumis à échelon de tension - bis.png|thumb|right|350px|Diagramme horaire de la réponse en intensité du courant traversant la bobine d'un <math>\;R\, L\;</math> série soumis à un échelon de tension]] {{Al|5}}Dans le but d'enregistrer la « réponse en <math>\;u_R(t) = R\;i(t)\;</math> du <math>\;R\; L\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>»<ref> La réponse en intensité du courant traversant la bobine est effectivement proportionnelle à la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique monté en série avec la bobine avec un cœfficient de proportionnalité positif en convention récepteur.</ref> il est nécessaire de placer la bobine et le conducteur ohmique comme sur le schéma représenté ci-contre à gauche pour des raisons d'unicité de masses si l'échelon de tension est créé par une A.S<ref name="A.S." />. ou si on automatise « la création <math>\;\big(</math>et la suppression<math>\big)\;</math> d'un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à l'aide d'un G.B.F<ref name="G.B.F." />. délivrant une tension « créneau symétrique »<ref name="masse reliée à la Terre" /> ; {{Al|5}}dans le cas où on utilise une A.S<ref name="A.S." />. on enregistre <math>\;u_R(t) = R\;i(t)\;</math> en faisant apparaître l'instant <math>\;0</math>, ce qui s'obtient en lançant l'enregistrement légèrement avant la fermeture de <math>\;K\;</math><ref name="difficulté d'utiliser un seul échelon de tension"> En fait, comme nous le voyons ci-après, le circuit <math>\;R\, L\;</math> série réalisable pratiquement avec les bobines à noyau ferromagnétique ayant une constante de temps beaucoup plus courte que celle du circuit <math>\;R\, C\;</math> série réalisé aux paragraphes précédents, il devient très difficile de faire un enregistrement efficace car le temps de fermeture de l'interrupteur devient trop grand par rapport à la sensibilité de la base de temps <math>\;\big(</math>il aurait donc été souhaitable d'obtenir une constante de temps de même valeur que celle du circuit <math>\;R\, C\;</math> série mais, comme la 1^ère est inversement proportionnelle à la valeur de résistance, il aurait fallu diminuer fortement cette dernière, avec le risque que la partie résistive de la bobine ne soit plus négligeable<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}la meilleure façon de réaliser un enregistrement est donc de simuler « la création <math>\;\big(</math>et la suppression<math>\big)\;</math> d'un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau symétrique » comme on l'a vu aux précédemment.</ref> ; avec <math>\;R = 100\; \Omega\;</math><ref> Une bobine a toujours une partie résistive, elle n'est donc pas en pratique parfaite, aussi pour ne pas avoir à tenir compte de cette partie résistive il est nécessaire de choisir la résistance <math>\;R\;</math> du conducteur ohmique en série avec la bobine, grande devant la résistance <math>\;r \simeq 10\; \Omega\;</math> de la bobine, ce qui est approximativement réalisé avec <math>\;R \gtrsim 10\;r</math>.</ref> et <math>\;L = 0,1\; H\;</math><ref name="valeur de constante de temps bis"> Les bobines avec noyau ferromagnétique escamotable ont un cœfficient d'auto-inductance en absence de noyau de <math>\;0,13\; H\;</math> et avec noyau complet de <math>\;1,3\; H</math>, on a choisi <math>\;0,1 H\;</math> par souci de simplification.</ref>{{,}} <ref> La constante de temps du <math>\;R\, L\;</math> série vaut alors <math>\;\tau = \dfrac{L}{R} = 1\; ms\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Régime_libre_et_constante_de_temps_τ_du_«_R_L_série_»|régime libre et constante de temps τ du R L série]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]\;</math> <math>\big(</math>soit une valeur <math>\;500\;</math> fois plus petite que celle du circuit <math>\;R\, C\;</math> série réalisé aux paragraphes précédents et pour obtenir le même ordre de grandeur, par exemple <math>\;\tau \simeq</math> <math>0,1\;s</math>, avec la condition <math>\;R \gtrsim 100\;\Omega\;</math> il aurait fallu multiplier la valeur de <math>\;L\;</math> au moins par <math>\;100\;</math> ce qui, d'une part, était impossible avec les bobines usuelles et, d'autre part, aurait nécessité une forte intervention de noyau ferromagnétique avec l'apparition de phénomènes non linéaires nuisibles<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> le régime forcé peut être estimé terminé au bout de <math>\;5\; ms</math>.</ref>, on choisit une sensibilité de <math>\;1\; ms \cdot cm^{-1}\;</math><ref name="explication du choix de la sensibilité bis"> Avec cette sensibilité, le point lumineux décrit la largeur de l'écran de <math>\;10\; cm\;</math> en <math>\;10\; ms > 5\; ms</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'échelon de tension étant créé par une A.S. <ref name="A.S." /> à amplitude variable, on choisit cette dernière égale à <math>\;5\; V</math>, et on observe alors le diagramme de <math>\;u_R(t)\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math> ci-contre à droite : * l'intensité du courant traversant la bobine est estimée « établie »<ref name="estimation de la fin du régime transitoire" /> au bout de <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="amortissement du régime libre d'un RL série"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Amortissement_du_régime_libre_et_réponse_transitoire_tendant_vers_la_réponse_forcée_2|amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> où «<math>\;\tau = \dfrac{L}{R}\;</math> est la constante de temps du <math>\;R\, L\;</math> {{Nobr|série »<ref name="constante de temps d'un RL série"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Régime_libre_et_constante_de_temps_τ_du_«_R_L_série_»|régime libre et constante de temps τ du R L série]] » plus bas dans ce chapitre.</ref>,}} la valeur de la tension aux bornes du conducteur ohmique étant alors égale à l'amplitude de l'échelon<ref> Ce n'est en fait qu'une approximation car l'amplitude de l'échelon se retrouve aux bornes de l'association série du conducteur ohmique et de la partie résistive de la bobine.</ref> dont on tire une intensité de courant en régime établi égale à <math>\;I_0 = \dfrac{E}{R} =</math> <math>50\;mA\;</math><ref> En fait légèrement plus faible.</ref> ; * il y a continuité de l'intensité du courant traversant la bobine à <math>\;t = 0\;</math> instant de fermeture de l'interrupteur. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : comme on l'a déjà vu, il est possible <math>\;\big(</math>et même souhaitable<math>\big)\;</math> d'automatiser « la création <math>\;\big(</math>et la suppression<math>\big)\;</math> d'un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à l'aide d'un G.B.F<ref name="G.B.F." />. délivrant une tension « créneau symétrique » d'amplitude <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> à laquelle on ajoute une composante permanente <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> ainsi, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F<ref name="G.B.F." />. vaut <math>\;E\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}sur l'alternance de valeur basse elle vaut <math>\;0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la création et la suppression sont indépendantes si l'établissement et l'annulation du régime permanent du courant dans la bobine sont terminés c'est-à-dire si la durée d'une alternance est supérieure à <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="amortissement du régime libre d'un RL série" /> soit, en appelant <math>\;T\;</math> la période du créneau, la condition <math>\;T > 10\; \tau\;</math><ref name="conservation valeurs pour automatisation"> Les valeurs de <math>\;R\;</math> et <math>\;L</math> donnant une période de créneau <math>\;T > 10\; ms\;</math> restent convenables pour une automatisation, ce choix correspondant alors à une fréquence <math>\;f < 100\; Hz\;</math> <math>\ldots</math></ref>. ==== Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes de la bobine dans l'exemple du « R L série » soumis à un échelon de tension, observation de sa discontinuité de 1^ère espèce en t = 0 ==== [[File:RL série soumis à échelon de tension - ter.png|thumb|left|400px|Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes de la bobine d'un <math>\;R\,L\;</math> série soumis à un échelon de tension]] [[File:RL série soumis à échelon de tension - tetra.png|thumb|right|350px|Diagramme horaire de la réponse en tension aux bornes de la bobine d'un <math>\;R\,L\;</math> série soumis à un échelon de tension]] {{Al|5}}Enregistrer la « réponse en <math>\;u_L(t)\;</math> du <math>\;R\, L\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» est quasiment impossible car aucune bobine n'est parfaite, elle contient toujours un terme résistif<ref> En effet la tension aux bornes de la bobine s'écrit, en convention récepteur, <math>\;u_B(t) = u_L(t) + r\; i(t)\;</math> avec, pour terme auto-inductif que l'on souhaite enregistrer <math>\;u_L(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> et pour terme résistif inévitable <math>\;r\; i(t)\;</math> où <math>\;r \simeq 10\; \Omega\;</math> est la résistance de la bobine.</ref> ; {{Al|5}}pour obtenir une « réponse en <math>\;u_B(t) \simeq u_L(t)\;</math> du <math>\;R\, L\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» il faut que « le terme résistif soit négligeable relativement au terme auto-inductif » <ref> Pour cela, <math>\;i(t)\;</math> doit être suffisamment petite, même dans le cas où <math>\;\bigg\vert \dfrac{di}{dt}(t) \bigg\vert \ll 1\;</math> correspondant à l'établissement du régime permanent à la valeur approchée <math>\;I_0 \simeq \dfrac{E}{R}</math> <math>\;\big(</math>expression qui nécessite <math>\;R \gg r\big)</math>, de façon à ce que <math>\;r\;I_0\;</math> soit quasiment inobservable, ce qui peut être considéré réalisé si <math>\;r\;I_0 \lesssim 5\;mV\;</math> soit <math>\;I_0 \lesssim 0,5\;mA</math>, ce qui exige <math>\;R \simeq \dfrac{E}{I_0} \gtrsim 10\; k \Omega\;</math> si <math>\;E = 5\; V</math> ; <br>{{Al|3}}en choisissant <math>\;R = 10\; k \Omega</math>, la constante de temps avec une auto-inductance <math>\;L = 0,1\; H\;</math> vaut alors <math>\;\tau \simeq \dfrac{L}{R} \simeq 10\; \mu s</math> ; <br>{{Al|3}}avec ces valeurs conduisant à une constante de temps <math>\;\tau = 10\;\mu s</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Forme_de_la_réponse_transitoire_s'identifiant_au_régime_libre_et_rappel_de_la_constante_de_temps_τ_du_«_R_L_série_»|forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du R L série]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, le régime forcé pouvant être estimé établi au bout de <math>\;5\; \tau \simeq 50\; \mu s</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Amortissement_du_régime_libre_et_annulation_de_la_réponse_transitoire_2|amortissement du régime libre et annulation du régime transitoire]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, il faudrait utiliser une sensibilité de base de temps de <math>\;10\; \mu s \cdot cm^{-1}</math>.</ref> ; {{Al|5}}on peut alors créer l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math><ref> Choisie égale à <math>\;5\;V</math>.</ref> à l'aide d'une {{Nobr|A.S<ref name="A.S." />.}} ou à l'aide d'une tension créneau symétrique créée par un G.B.F<ref name="G.B.F." />., permettant de simuler « la création <math>\;\big(</math>et la suppression<math>\big)\;</math> de l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» ; dans le cas où on utilise une A.S<ref name="A.S." />. on enregistre <math>\;u_B(t) \simeq</math> <math>L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> en faisant apparaître l'instant <math>\;0</math>, ce qui s'obtient en lançant l'enregistrement légèrement avant la fermeture de <math>\;K\;</math><ref name="difficulté d'utiliser un seul échelon de tension" /> ; avec <math>\;R =</math> {{Nobr|<math>10\; k \Omega\;</math><ref> La partie résistive de la bobine est négligeable car sa résistance vaut <math>\;r \simeq 10\; \Omega\;</math> et <math>\;R \gtrsim 10\;r</math>.</ref>}} et <math>\;L = 0,1\; H\;</math><ref name="valeur de constante de temps bis" />{{,}}<ref> La constante de temps du <math>\;R\, L\;</math> série vaut alors <math>\;\tau = \dfrac{L}{R} = 10\; \mu s\;</math> <math>\big(</math>soit une valeur <math>\;50000\;</math> fois plus petite que celle du circuit <math>\;R\, C\;</math> série réalisé aux paragraphes précédents et pour obtenir le même ordre de grandeur, par exemple <math>\;\tau \simeq</math> <math>0,1\;s</math>, avec la condition <math>\;R \gtrsim 10\;k \Omega\;</math> il aurait fallu multiplier la valeur de <math>\;L\;</math> au moins par <math>\;1000\;</math> ce qui aurait été totalement irréalisable<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> le régime forcé peut être estimé terminé au bout de <math>\;50\; \mu s</math>.</ref>, on choisit une sensibilité de <math>\;10\; \mu s \cdot cm^{-1}\;</math><ref name="explication du choix de la sensibilité ter"> Avec cette sensibilité, le point lumineux décrit la largeur de l'écran de <math>\;10\; cm\;</math> en <math>\;100\; \mu s > 50\; \mu s</math>.</ref> ; {{Al|5}}dans ces conditions on observe alors le diagramme de <math>\;u_L(t)\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math> ci-contre à droite : * la tension aux bornes de la bobine supposée parfaite <ref> Plus exactement la partie auto-inductive de la tension aux bornes de la bobine, mais il restera la partie résistive valant <math>\;5\; mV\;</math> avec les valeurs précédemment choisies.</ref> est estimée « annulée »<ref name="estimation de la fin du régime transitoire" /> au bout de <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="amortissement du régime libre d'un RL série - bis"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Amortissement_du_régime_libre_et_annulation_de_la_réponse_transitoire_2|amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\tau = \dfrac{L}{R}\;</math> constante de temps du <math>\;R\, L\;</math> série »<ref name="constante de temps d'un RL série - bis"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Forme_de_la_réponse_transitoire_s'identifiant_au_régime_libre_et_rappel_de_la_constante_de_temps_τ_du_«_R_L_série_»|forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du R L série]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> ; * il y a variation très rapide de la tension aux bornes de la bobine supposée parfaite à <math>\;t = 0\;</math> instant de fermeture de l'interrupteur, variation très rapide modélisée par une discontinuité de 1^ère espèce à l'instant <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> soit finalement « discontinuité de 1^ère espèce de la tension aux bornes de la bobine <math>\;\big(</math>supposée parfaite<math>\big)\;</math> à <math>\;t = 0</math>, instant de fermeture de l'interrupteur »<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, la valeur de la tension aux bornes de la bobine à l'instant <math>\;0^{+}\;</math> étant <math>\;5\; V</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : comme on l'a déjà écrit, il est possible <math>\;\big(</math>et même souhaitable<math>\big)\;</math> d'automatiser « la création <math>\;\big(</math>et la suppression<math>\big)\;</math> d'un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à l'aide d'un G.B.F<ref name="G.B.F." />. délivrant une tension « créneau symétrique » d'amplitude <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> à laquelle on ajoute une composante permanente <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> ainsi, {{Al|5}}{{Transparent|>Remarque : }}sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F<ref name="G.B.F." />. vaut <math>\;E\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}sur l'alternance de valeur basse elle vaut <math>\;0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la création et la suppression sont indépendantes si l'annulation de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine lors de l'établissement ou de l'annulation du régime permanent du courant est terminée c'est-à-dire si la durée d'une alternance est supérieure à <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="amortissement du régime libre d'un RL série - bis"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Amortissement_du_régime_libre_et_annulation_de_la_réponse_transitoire_2|amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> soit, en appelant <math>\;T\;</math> la période du créneau, la condition <math>\;T > 10\; \tau\;</math><ref name="conservation valeurs pour automatisation bis"> Les valeurs de <math>\;R\;</math> et <math>\;L</math> donnant une période de créneau <math>\;T > 100\; \mu s\;</math> restent convenables pour une automatisation, ce choix correspondant alors à une fréquence <math>\;f < 10\; kHz\;</math> <math>\ldots</math></ref>. == Étude théorique du « R C série » soumis à un échelon de tension == === Recherche de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension === [[File:RC série soumis à échelon de tension - penta.png|thumb|400px|<math>\;R\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> et établissement de son équation différentielle en <math>\;u_C(t)</math>, tension aux bornes du condensateur]] ==== Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension ==== {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;u_C(t)</math>, tension aux bornes du condensateur, du circuit de charge ci-contre s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que <math>\;u_C(t)\;</math> comme inconnue, le circuit série étant traversé par un même courant d'intensité <math>\;i(t)</math> : {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;u_C(t) + R\; i(t) - E\;Y(t) = 0\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;i(t)\;</math> au profit de <math>\;u_C(t)\;</math> selon <math>\;i(t) = C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> d'où <math>\;u_C(t) + R\; C\;\dfrac{du_C}{dt}(t) = E\;Y(t)\;</math> soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en <math>\;u_C(t)\;</math> suivante <center>«<math>\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;u_C(t) = \dfrac{E}{R\;C}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;u_C(t)\;</math>.</ref> ; <br>on remarque que l'excitation est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce"/>.</center> ==== Continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif ==== {{Al|5}}<u>L'énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait</u> étant <u>toujours continue</u> dans un circuit « réel <math>\;\big(</math>ou résistif<math>\big)\;</math>» <ref name="circuit réel"> On rappelle qu'un circuit est dit « réel » s'il comprend des « parties résistives par rapport auxquelles la résistance des fils de connexion peut être négligée », pour cela il faut que les fils de connexion soient en série avec un <math>\;\big(</math>ou des<math>\big)\;</math> conducteur(s) ohmique(s).</ref>, <u>il en est de même de la tension instantanée</u><math>\;u_C(t)\;</math><u>aux bornes du condensateur parfait</u> ainsi que de sa charge instantanée <math>\;q(t)\;</math><ref name="continuité de la tension aux bornes d'un condensateur"> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Continuité_de_l'énergie_électrostatique_(instantanée)_stockée_dans_un_condensateur_parfait_d'un_circuit_«_réel_»_et_conséquences|continuité de l'énergie électrostatique instantanée stockée dans un condensateur parfait d'un circuit réel et conséquences]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> mais nous n'avons aucune information sur l'intensité du courant de charge <math>\;\big(</math>ou de décharge<math>\big)\;</math> du condensateur. ==== Établissement de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un « R C série », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire ==== ===== Rappel de l'équation différentielle en u_C(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1^ère espèce de l'excitation en t = 0 ===== {{Al|5}}Nous avons établi l'équation différentielle en <math>\,u_C(t)\,</math> suivante «<math>\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;u_C(t) = \dfrac{E}{R\;C}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle" /> dans laquelle nous remarquons que l'excitation est discontinue de 1^ère espèce en {{Nobr|<math>\,t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" />.}} {{Al|5}}Nous avons admis dans le chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref name="lien entre discontinuités de l'excitation et de la réponse"> Plus précisément dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_de_la_solution_générale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_hétérogène_du_1er_ordre_connaissant_la_nature_de_la_discontinuité_de_l'excitation|nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre hétérogène connaissant celle de l'excitation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] .</ref> que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1^er membre soit ici « la dérivée temporelle 1^ère de la solution générale est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, et que le numéro d'espèce de discontinuité <math>\;\searrow\;</math> d'une unité<ref name="condition de diminution effective"> Cette diminution ne devenant effective que dans la mesure où le numéro d'espèce à partir duquel la diminution sera faite n'est pas nul ; si le numéro d'espèce qui devrait être diminué d'une unité est nul, la diminution est remplacée par une stagnation à zéro.</ref> à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 0^ème espèce c'est-à-dire continue en <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}en conclusion on induit que «<math>\;u_C(t)\;</math> est continue en <math>\;t = 0\;</math>» et on justifie cette induction par la propriété de « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit “ réel ” » <ref name="rappel continuité de tension aux bornes de C"> Voir la propriété rappelée au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_1er_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Continuité_de_la_tension_aux_bornes_d'un_condensateur_parfait_dans_un_circuit_résistif|continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif]] » de ce chapitre.</ref>. ===== Régime libre et constante de temps τ du « R C série » ===== {{Al|5}}Le régime libre<ref name="régime libre"> Correspondant à la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène en n'importe quelle grandeur électrique.</ref> étant solution de <math>\;\dfrac{du_{C,\,l}}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;u_{C,\,l}(t) = 0</math>, on pose <center>«<math>\;\tau = R\;C\;</math>» définissant la « constante de temps du <math>\;R\, C\;</math> série » <ref name="grandeur canonique du RC série"> Grandeur canonique du <math>\;R\, C\;</math> série <math>\;\big(</math>on appelle grandeur canonique d'un système, une grandeur caractérisant l'évolution libre de ce dernier <math>\;-\;</math> pour un système suivant une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre, il s'agit d'une grandeur homogène à un temps <math>\;-\;</math> tous les différents systèmes ayant même grandeur canonique ont donc même évolution {{Nobr|libre<math>\big)</math>.}}</ref></center> {{Al|5}}d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre <center>«<math>\;\dfrac{du_{C,\,l}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;u_{C,\,l}(t) = 0\;</math>»</center> {{Al|5}}dont on déduit la solution libre <center>«<math>\;u_{C,\,l}(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <br>avec <math>\;A\;</math> constante réelle <math>\;\big(</math>d'intégration<math>\big)\;</math> a priori quelconque<ref name="régime libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre"> Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> ===== Équation différentielle en u_C(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée ===== {{Al|5}}Pour <math>\;t > 0</math>, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;u_C(t)\;</math> hétérogène s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;u_C(t) = \dfrac{E}{R\;C}\;</math>»</center> {{Al|5}}dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée<ref name="régime forcé"> Correspondant à la solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;u_C(t)\;</math> hétérogène de même forme que l'excitation <math>\;\big(</math>sauf, dans de très rares cas, il existe toujours une solution particulière de même forme que l'excitation<math>\big)</math>.</ref> est cherchée sous forme constante<ref name="régime forcé d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre à excitation constante"> Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Premier_ordre_à_excitation_constante|1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ce qui donne «<math>\;u_{C,\,f} = E\;</math>»<ref> En effet <math>\;u_{C,\,f}\;</math> étant constant sa dérivée temporelle est nulle d'où <math>\;\cancel{\dfrac{du_{C,\,f}}{dt}(t)} + \dfrac{1}{R\;C}\;u_{C,\,f}(t) = \dfrac{E}{R\;C}</math>.</ref>. ===== Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire ===== {{Al|5}}L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;u_C(t)\;</math> hétérogène, écrite pour <math>\;t > 0</math>, admet pour réponse transitoire<ref name="réponse transitoire"> C.-à-d. la solution de l'équation différentielle pour <math>\;t > 0</math> utilisant la <math>\;\big(</math>ou les<math>\big)\;</math> C.I. <math>\;\big\{</math>Condition(s) Initiale(s)<math>\big\}</math>.</ref> <center>«<math>\;u_C(t) = u_{C,\,f} + u_{C,\,l}(t)\;</math>»<ref name="lien entre réponses transitoire, libre et forcée"> Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;u_C(t) = E + A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <br>dans laquelle la constante <math>\;A\;</math> se détermine par C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. c'est-à-dire par l'utilisation de la valeur <math>\;u_C(0^{+})</math> ;</center> {{Al|5}}or on sait, d'une part que la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit réel est continue d'où «<math>\;u_C(0^{+}) = u_C(0^{-})\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|or on sait, }}d'autre part que le condensateur est initialement<ref name="initialement"> C.-à-d. pour tout instant avant la fermeture de l'interrupteur <math>\;K</math>.</ref> déchargé d'où «<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|or }}on en déduit donc «<math>\;u_C(0^{+}) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}utilisant cette condition on tire <math>\;u_C(0^{+}) = E + A\;\cancel{\exp\! \left(-\dfrac{0}{\tau} \right)}\;</math> ou <math>\;0 = E + A\;</math> soit <math>\;A = -E\;</math> et par suite la réponse transitoire s'écrit <center>«<math>\;u_C(t) = E \left[ 1 - \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;\;\forall t > 0\;</math>».</center> ===== Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée ===== {{Al|5}}Quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, d'une part le régime libre «<math>\;u_{C,\,l}(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \rightarrow 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand <math>\;\color{transparent}{t \rightarrow +\infty}</math>, }}d'autre part, la réponse transitoire «<math>\;u_C(t) = u_{C,\,f} + A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \rightarrow u_{C,\,f}\;</math>» c'est-à-dire qu'elle s'identifie à la « réponse forcée » <ref name="autre nom de réponse forcée"> La « réponse forcée » est encore appelée « réponse permanente » dans la mesure où elle ne dépend pas de <math>\;t</math>.</ref> ; {{Al|5}}au bout d'une durée théorique <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>et pratique de <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="annulation pratique du régime libre"> En effet <math>\;\exp(-5) \simeq 6,74\;10^{-3}</math>.</ref><math>\big)\;</math> le condensateur parfait est chargé et la tension entre ses bornes est l'amplitude de l'échelon de tension<ref> L'intensité du courant étant devenue nulle, la tension aux bornes du conducteur ohmique l'est aussi d'où l'identification entre la tension aux bornes du condensateur parfait et l'amplitude de l'échelon de tension.</ref>. ==== Déduction de l'intensité du courant de charge du condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension et sa discontinuité de 1^ère espèce ==== {{Al|5}}On sait que l'intensité du courant de charge du condensateur est «<math>\;i(t) = C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math>»<ref name="convention récepteur" />, il suffit donc de dériver l'expression de <math>\;u_C(t) =</math> <math>E \left[ 1 - \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;\;\forall t > 0\;</math> ce qui donne <math>\;i(t) =</math> <math>C\; E\; \dfrac{1}{\tau}\; \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\forall t > 0\;</math> ou, en utilisant <math>\;\tau = R\; C</math>, <center>«<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\; \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\forall t > 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la valeur <math>\;i(0^{+})\;</math> s'obtenant par limite de l'expression précédente quand <math>\;t \rightarrow 0\;</math> soit «<math>\;i(0^{+}) = \dfrac{E}{R}\;</math>» et «<math>\;i(0^{-})\;</math> étant <math>\;= 0\;</math>», on en déduit <center>« <u>la discontinuité de 1^ère espèce de</u><math>\;i(t)\;</math><u>en</u><math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, <br>le saut étant fini et valant «<math>\;\Delta i(0) = i(0^{+}) - i(0^{-}) = \dfrac{E}{R}\;</math>».</center> === Recherche de la réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension === ==== Équation différentielle en intensité de courant traversant le condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension ==== {{Al|5}}L'équation différentielle en intensité de courant <math>\;i(t)\;</math> traversant le condensateur d'un <math>\;R\; C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que <math>\;i(t)\;</math> comme inconnue ; {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;u_C(t) + R\; i(t) - E\;Y(t) = 0\;\;(\mathfrak{a})\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;u_C(t)\;</math> au profit de <math>\;i(t)\;</math> selon <math>\;i(t) = C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" />, ce qui nécessite de dériver la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> par rapport au temps d'où <math>\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + R\;\dfrac{di}{dt}(t) = E\;\delta(t)\;</math><ref name="pic de Dirac d'impulsion unité"> Avec <math>\;\delta(t)\;</math> pic de Dirac d'impulsion unité, dérivée temporelle, au sens des distributions, de l'échelon unité <math>\;\big(</math>ou fonction d'Heaviside<math>\big)</math> <math>\;Y(t)\;</math> que nous notons <math>\;\delta(t) = \dot{Y}(t)\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Olivier_Heaviside|Oliver Heaviside]] (1850 - 1925)''' physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom <math>\;\big(</math>encore appelée échelon ou marche<math>\big)\;</math> utilisée dans l'étude de systèmes en automatique. <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de Schrödinger et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de Heisenberg, deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' dans sa [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie des distributions]] ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Karl Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], ayant obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> soit, en y reportant <math>\;\dfrac{du_C}{dt}(t) = \dfrac{i(t)}{C}\;</math> et en normalisant <center>«<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;i(t) = \dfrac{E}{R}\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle bis"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;i(t)</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie que le 1^er membre de cette équation est le même que celui de l'équation différentielle en <math>\;u_C(t)\;</math> <math>\big(</math>au nom de l'inconnue près<math>\big)</math>, le 1^er membre des équations différentielles en toutes grandeurs relatives au dipôle <math>\;R\, C\;</math> série est toujours le même car il est caractéristique de ce dipôle, le 2^ème membre dépendant, quant à lui, de la source à laquelle est soumise le dipôle, sera différent suivant la grandeur considérée.</ref> ; <br>on remarque que l'excitation est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="pic de Dirac et discontinuité"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] (discontinuité de 2^ème espèce) » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}Voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#cite_note-pic_de_Dirac_d'impulsion_unité-57|⁵⁷]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails sur '''[[w:Olivier_Heaviside|Oliver Heaviside]] (1850 - 1925)''' physicien britannique ainsi que '''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique et '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien avec qui il partagea le prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' ayant inventé, pour les besoins du formalisme quantique, la notion, sans fondement mathématique précis, de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' dans sa [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie des distributions]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' mathématicien français du XX^ème siècle qui reçut la médaille Fields en <math>\;1950</math>, pour la finalisation de la [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie des distributions]] ; <br>{{Al|3}}outre un très grand mathématicien, '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]]''' fut un ardent défenseur des droits de l'homme, dénonçant la torture pratiquée pendant la guerre d'Algérie, ayant été l'un des fondateurs du comité {{Nobr|“ Maurice}} Audin ” <math>\;\big[</math>'''[[w:Maurice_Audin|Maurice Audin]] (1932 - 1957)''' mathématicien français, militant de l'indépendance algérienne, arrêté par les militaires français le '''11 juin 1957''' pendant la bataille d'Alger et maintenu en détention pour être interrogé par des parachutistes<math>\big]</math>, ayant organisé la soutenance de thèse de '''[[w:Maurice_Audin|Maurice Audin]]''' en l'absence de ce dernier dans le grand amphithéâtre de la Sorbonne en '''décembre 1957''', alors que le chercheur et militant anti-colonialiste avait disparu depuis '''juin 1957''' et, apprit-on plus tard, était mort sous la torture lors de sa détention ; <br>{{Al|3}}ses positions hostiles à la guerre d'Algérie et plus généralement à la colonisation lui valurent quelques déboires dans sa vie professionnelle.</ref>.</center> ==== Discontinuité de l'intensité de courant traversant un condensateur dans un circuit résistif soumis à un échelon de tension ==== {{Al|5}}Dans un circuit « réel » dans lequel il y a une discontinuité de 1^ère espèce de la source à l'instant <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'un condensateur parfait, la tension aux bornes de ce dernier étant continue, la discontinuité de 1^ère espèce de la source<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> doit être compensée par une autre discontinuité de 1^ère espèce de la tension aux bornes des conducteurs ohmiques<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, c'est-à-dire une discontinuité de 1^ère espèce de l'intensité du courant<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> circulant dans le circuit à l'instant <math>\;t = 0\;</math><ref name="loi d'Ohm"> La raison étant que tension aux bornes d'un conducteur ohmique est proportionnelle à l'intensité du courant le traversant <math>\;\big(</math>loi d'Ohm<math>\big)</math>.</ref>. ==== Établissement direct de la réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un « R C série », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire ==== ===== Rappel de l'équation différentielle en i(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1^ère espèce de l'excitation en t = 0 ===== {{Al|5}}Nous avons établi l'équation différentielle en <math>\;i(t)\;</math> suivante «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;i(t) = \dfrac{E}{R}\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle bis" /> dans laquelle nous remarquons que l'excitation est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_2ème_espèce_du_pic_de_Dirac_de_tension_d'impulsion_E|discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », plus exactement une généralisation de cette discontinuité à des grandeurs analogues.</ref>. {{Al|5}}Nous avons admis dans le chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref name="lien entre discontinuités de l'excitation et de la réponse" /> que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1^er membre soit ici « la dérivée temporelle 1^ère de la solution générale est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 2ème espèce" />, et que le numéro d'espèce de discontinuité <math>\;\searrow\;</math> d'une unité<ref name="condition de diminution effective" /> à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> ; {{Al|5}}en conclusion nous induisons que «<math>\;i(t)\;</math> est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> et cette induction nous permet de savoir que « nous obtiendrons <math>\;i(0^{+})\;</math> en traçant le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel nous utiliserons la continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit “ réel ” <ref name="rappel continuité de tension aux bornes de C" /> ». ===== Équation différentielle en i(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée ===== {{Al|5}}Pour <math>\;t > 0</math>, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;i(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;i(t) = 0\;</math>» est homogène, ceci impliquant une <u>absence de réponse forcée</u>. ===== Forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du « R C série » ===== {{Al|5}}Le régime libre<ref name="régime libre" /> étant solution de <math>\;\dfrac{di_l}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;i_l(t) = 0</math>, on pose <center>«<math>\;\tau = R\;C\;</math>» définissant la « constante de temps du <math>\;R\, C\;</math> série » <ref name="grandeur canonique du RC série" /></center> {{Al|5}}d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre <center>«<math>\;\dfrac{di_l}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;i_l(t) = 0\;</math>»</center> {{Al|5}}dont on déduit la solution libre laquelle, en absence de réponse forcée, s'identifie à la réponse transitoire <center>«<math>\;i(t) = i_l(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <br>avec <math>\;A\;</math> constante réelle <math>\;\big(</math>d'intégration<math>\big)\;</math> a priori quelconque<ref name="régime libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre" />.</center> ===== Détermination de la condition initiale (C.I.) par tracé du circuit à 0⁺ et réponse transitoire ===== [[File:RC série soumis à échelon de tension - hexa.png|thumb|300px|Circuit à <math>\;0^{+}\;</math> d'un <math>\;R\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> avec un condensateur initialement déchargé]] {{Al|5}}Ci-contre on a tracé le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> en utilisant « la continuité de la tension aux bornes du condensateur parfait » c'est-à-dire «<math>\;u_C(0^{+}) = u_C(0^{-})\;</math>» avec la condition d'absence de charge « pré-initiale » <ref> C.-à-d. absence de charge pour <math>\;t < 0</math>, le préfixe « pré- » permettant de souligner que c'est l'absence de charge avant la fermeture de <math>\;K</math>.</ref> du condensateur «<math>\;u_C(0^{-}) = 0\;</math>» d'où la condition initiale <math>\;\big(</math>C.I.<math>\big)</math> «<math>\;u_C(0^{+}) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}de <math>\;u_C(0^{+}) = 0\;</math> nous déduisons que « le condensateur parfait est équivalent, à l'instant <math>\;0^{+}</math>, à un court-circuit » d'où le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> ci-contre à partir duquel on établit aisément «<math>\;i(0^{+}) = \dfrac{E}{R}\;</math>». {{Al|5}}Utilisant cette condition dans <math>\;i(0^{+}) = A\;\cancel{\exp\! \left(-\dfrac{0}{\tau} \right)}\;</math> on tire <math>\;\dfrac{E}{R} = A\;</math> soit <math>\;A = \dfrac{E}{R}\;</math> et par suite la réponse transitoire s'écrit <center>«<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\; \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\forall t > 0\;</math>».</center> ===== Amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire ===== {{Al|5}}Quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, d'une part le régime libre «<math>\;i_l(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \rightarrow 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand <math>\;\color{transparent}{t \rightarrow +\infty}</math>, }}d'autre part, la réponse transitoire «<math>\;i(t) = \cancel{i_f} + i_l(t) \rightarrow 0\;</math>» par absence de réponse forcée c'est-à-dire qu'elle s'annule ; {{Al|5}}au bout d'une durée théorique <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>et pratique de <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="annulation pratique du régime libre" /><math>\big)\;</math> le condensateur parfait est chargé et l'intensité du courant le traversant est nulle. == Étude théorique du « R L série » soumis à un échelon de tension == === Recherche de la réponse en intensité de courant traversant la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension === [[File:RL série soumis à échelon de tension - penta.png|thumb|400px|<math>\;R\,L\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> et établissement de son équation différentielle en <math>\;i(t)</math>, intensité du courant traversant la bobine]] ==== Équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension ==== {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;i(t)</math>, intensité du courant traversant la bobine du circuit ci-contre<ref> Le circuit étant monté en série tous les dipôles sont traversés par un courant de même intensité.</ref> s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que <math>\;i(t)\;</math> comme inconnue : {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;u_L(t) + R\; i(t) - E\;Y(t) = 0\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;u_L(t)\;</math> au profit de <math>\;i(t)\;</math> selon <math>\;u_L(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> d'où <math>\;L\; \dfrac{di}{dt}(t) + R\; i(t) = E\;Y(t)\;</math> soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en <math>\;i(t)\;</math> suivante <center>«<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;i(t) = \dfrac{E}{L}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle ter"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;i(t)</math>.</ref> ; <br>on remarque que l'excitation est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce"/>.</center> ==== Continuité de l'intensité de courant traversant une bobine parfaite dans un circuit résistif ==== {{Al|5}}<u>L'énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite</u> étant <u>toujours continue</u> dans un circuit « réel <math>\;\big(</math>ou résistif<math>\big)\;</math>» <ref name="circuit réel" />, <u>il en est de même de l'intensité instantanée du courant</u><math>\;i(t)\;</math><u>traversant la bobine parfaite</u><ref name="continuité de l'intensité du courant traversant une bobine"> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Continuité_de_l'énergie_électromagnétique_(instantanée)_stockée_dans_une_bobine_parfaite_d'un_circuit_«_réel_»_et_conséquences|continuité de l'énergie électromagnétique instantanée stockée dans une bobine parfaite d'un circuit réel et conséquences]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> mais nous n'avons aucune information sur la tension aux bornes de la bobine. ==== Établissement de la réponse en intensité de courant traversant la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un « R L série », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire ==== ===== Rappel de l'équation différentielle en i(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1^ère espèce de l'excitation en t = 0 ===== {{Al|5}}Nous avons établi l'équation différentielle en <math>\;i(t)\;</math> suivante «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;i(t) = \dfrac{E}{L}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle ter" /> dans laquelle nous remarquons que l'excitation est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" />. {{Al|5}}Nous avons admis dans le chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref name="lien entre discontinuités de l'excitation et de la réponse" /> que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1^er membre soit ici « la dérivée temporelle 1^ère de la solution générale est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, et que le numéro d'espèce de discontinuité <math>\;\searrow\;</math> d'une unité<ref name="condition de diminution effective" /> à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 0^ème espèce c'est-à-dire continue en <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}en conclusion on induit que «<math>\;i(t)\;</math> est continue en <math>\;t = 0\;</math>» et on justifie cette induction par la propriété de « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit “ réel ” »<ref name="rappel continuité de intensité du courant traversant L"> Voir la propriété rappelée au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_1er_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Continuité_de_l'intensité_de_courant_traversant_une_bobine_parfaite_dans_un_circuit_résistif|continuité de l'intensité de courant traversant une bobine parfaite dans un circuit résistif]] » de ce chapitre.</ref>. ===== Régime libre et constante de temps τ du « R L série » ===== {{Al|5}}Le régime libre<ref name="régime libre" /> étant solution de <math>\;\dfrac{di_l}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;i_l(t) = 0</math>, on pose <center>«<math>\;\tau = \dfrac{L}{R}\;</math>» définissant la « constante de temps du <math>\;R\, L\;</math> série » <ref name="grandeur canonique du RL série"> Grandeur canonique du <math>\;R\, L\;</math> série <math>\;\big(</math>on appelle grandeur canonique d'un système, une grandeur caractérisant l'évolution libre de ce dernier <math>\;-\;</math> pour un système suivant une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre, il s'agit d'une grandeur homogène à un temps <math>\;-\;</math> tous les différents systèmes ayant même grandeur canonique ont donc même évolution {{Nobr|libre<math>\big)</math>.}}</ref></center> {{Al|5}}d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre <center>«<math>\;\dfrac{di_l}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;i_l(t) = 0\;</math>»</center> {{Al|5}}dont on déduit la solution libre <center>«<math>\;i_l(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <br>avec <math>\;A\;</math> constante réelle <math>\;\big(</math>d'intégration<math>\big)\;</math> a priori quelconque<ref name="régime libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre" />.</center> ===== Équation différentielle en i(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée ===== {{Al|5}}Pour <math>\;t > 0</math>, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;i(t)\;</math> hétérogène s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;i(t) = \dfrac{E}{L}\;</math>»</center> {{Al|5}}dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée<ref name="régime forcé bis"> Correspondant à la solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;i(t)\;</math> hétérogène de même forme que l'excitation <math>\;\big(</math>sauf, dans de très rares cas, il existe toujours une solution particulière de même forme que l'excitation<math>\big)</math>.</ref> est cherchée sous forme constante<ref name="régime forcé d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre à excitation constante" /> ce qui donne «<math>\;i_f = \dfrac{E}{R}\;</math>»<ref> En effet <math>\;i_f\;</math> étant constant sa dérivée temporelle est nulle d'où <math>\;\cancel{\dfrac{di_f}{dt}(t)} + \dfrac{R}{L}\;i_f(t) = \dfrac{E}{L}</math>.</ref>. ===== Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire ===== {{Al|5}}L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;i(t)\;</math> hétérogène, écrite pour <math>\;t > 0</math>, admet pour réponse transitoire<ref name="réponse transitoire" /> <center>«<math>\;i(t) = i_f + i_l(t)\;</math>»<ref name="lien entre réponses transitoire, libre et forcée" /> ou «<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R} + A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <br>dans laquelle la constante <math>\;A\;</math> se détermine par C.I<ref name="C.I." />. c'est-à-dire par l'utilisation de la valeur <math>\;i(0^{+})</math> ;</center> {{Al|5}}or on sait, d'une part que l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit réel est continue d'où «<math>\;i(0^{+}) = i(0^{-})\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|or on sait, }}d'autre part que la bobine est initialement<ref name="initialement" /> traversée par aucun courant d'où «<math>\;i(0^{-}) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|or }}on en déduit donc «<math>\;i(0^{+}) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}utilisant cette condition on tire <math>\;i(0^{+}) = \dfrac{E}{R} + A\;\cancel{\exp\! \left(-\dfrac{0}{\tau} \right)}\;</math> ou <math>\;0 = \dfrac{E}{R} + A\;</math> soit <math>\;A = -\dfrac{E}{R}\;</math> et par suite la réponse transitoire s'écrit <center>«<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R} \left[ 1 - \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;\;\forall t > 0\;</math>».</center> ===== Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée ===== {{Al|5}}Quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, d'une part le régime libre «<math>\;i_l(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \rightarrow 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand <math>\;\color{transparent}{t \rightarrow +\infty}</math>, }}d'autre part, la réponse transitoire «<math>\;i(t) = i_f + A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \rightarrow i_f\;</math>» c'est-à-dire qu'elle s'identifie à la « réponse forcée » <ref name="autre nom de réponse forcée" /> ; {{Al|5}}au bout d'une durée théorique <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>et pratique de <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="annulation pratique du régime libre" /><math>\big)\;</math> le courant traversant la bobine parfaite est établi, son intensité étant l'amplitude de l'échelon de tension divisée par la résistance<ref> La f.e.m. auto-induite dans la bobine étant devenue nulle, la tension aux bornes du conducteur ohmique est égale à l'amplitude de l'échelon de tension d'où l'intensité du courant permanent.</ref>. ==== Déduction de la tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension et sa discontinuité de 1^ère espèce ==== {{Al|5}}On sait que la tension aux bornes de la bobine parfaite est «<math>\;u_L(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math>»<ref name="convention récepteur" />, il suffit donc de dériver l'expression de <math>\;i(t) =</math> <math>\dfrac{E}{R} \left[ 1 - \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;\;\forall t > 0\;</math> ce qui donne <math>\;u_L(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t) =</math> <math>L\; \dfrac{E}{R}\; \dfrac{1}{\tau}\; \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\forall t > 0\;</math> ou, en utilisant <math>\;\tau = \dfrac{L}{R}</math>, <center>«<math>\;u_L(t) = E\; \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\forall t > 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la valeur <math>\;u_L(0^{+})\;</math> s'obtenant par limite de l'expression précédente quand <math>\;t \rightarrow 0\;</math> soit «<math>\;u_L(0^{+}) = E\;</math>» et «<math>\;u_L(0^{-})\;</math> étant <math>\;= 0\;</math>», on en déduit <center>« <u>la discontinuité de 1^ère espèce de</u><math>\;u_L(t)\;</math><u>en</u><math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, <br>le saut étant fini et valant «<math>\;\Delta u_L(0) = u_L(0^{+}) - u_L(0^{-}) = E\;</math>».</center> === Recherche de la réponse en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension === ==== Équation différentielle en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension ==== {{Al|5}}L'équation différentielle en tension <math>\;u_L(t)\;</math> aux bornes de la bobine parfaite d'un <math>\;R\; L\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que <math>\;u_L(t)\;</math> comme inconnue ; {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;u_L(t) + R\; i(t) - E\;Y(t) = 0\;\;(\mathfrak{a})\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;i(t)\;</math> au profit de <math>\;u_L(t)\;</math> selon <math>\;u_L(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" />, ce qui nécessite de dériver la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> par rapport au temps d'où <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) + R\;\dfrac{di}{dt}(t) = E\;\delta(t)\;</math><ref name="pic de Dirac d'impulsion unité" /> soit, en y reportant <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = \dfrac{u_L(t)}{L}\;</math> et en normalisant <center>«<math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;u_L(t) = \dfrac{E}{L}\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle tetra"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;u_L(t)</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie que le 1^er membre de cette équation est le même que celui de l'équation différentielle en <math>\;i(t)\;</math> <math>\big(</math>au nom de l'inconnue près<math>\big)</math>, le 1^er membre des équations différentielles en toutes grandeurs relatives au dipôle <math>\;R\, L\;</math> série est toujours le même car il est caractéristique de ce dipôle, le 2^ème membre dépendant, quant à lui, de la source à laquelle est soumise le dipôle, sera différent suivant la grandeur considérée.</ref> ; <br>on remarque que l'excitation est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="pic de Dirac et discontinuité" />.</center> ==== Discontinuité de la tension aux bornes de la partie inductive d'une bobine dans un circuit résistif soumis à un échelon de tension ==== {{Al|5}}Dans un circuit « réel » dans lequel il y a une discontinuité de 1^ère espèce de la source à l'instant <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'une bobine parfaite, l'intensité du courant traversant cette dernière étant continue, la tension aux bornes des conducteurs ohmiques l'est aussi<ref name="loi d'Ohm" />, la discontinuité de 1^ère espèce de la source<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> doit être compensée par une autre discontinuité de 1^ère espèce de tension<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, c'est-à-dire une discontinuité de 1^ère espèce de la tension aux bornes de la bobine parfaite à l'instant <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" />. ==== Établissement direct de la réponse en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un « R L série », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire ==== ===== Rappel de l'équation différentielle en u_L(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1^ère espèce de l'excitation en t = 0 ===== {{Al|5}}Nous avons établi l'équation différentielle en <math>\;u_L(t)\;</math> suivante «<math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;u_L(t) = \dfrac{E}{L}\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle tetra" /> dans laquelle nous remarquons que l'excitation est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" />. {{Al|5}}Nous avons admis dans le chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref name="lien entre discontinuités de l'excitation et de la réponse" /> que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1^er membre soit ici « la dérivée temporelle 1^ère de la solution générale est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 2ème espèce" />, et que le numéro d'espèce de discontinuité <math>\;\searrow\;</math> d'une unité<ref name="condition de diminution effective" /> à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> ; {{Al|5}}en conclusion nous induisons que «<math>\;u_L(t)\;</math> est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> et cette induction nous permet de savoir que « nous obtiendrons <math>\;u_L(0^{+})\;</math> en traçant le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel nous utiliserons la continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit “ réel ” <ref name="rappel continuité de intensité du courant traversant L" /> ». ===== Équation différentielle en u_L(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée ===== {{Al|5}}Pour <math>\;t > 0</math>, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;u_L(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;u_L(t) = 0\;</math>» est homogène, ceci impliquant une <u>absence de réponse forcée</u>. ===== Forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du « R L série » ===== {{Al|5}}Le régime libre<ref name="régime libre" /> étant solution de <math>\;\dfrac{du_{L,\,l}}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;u_{L,\,l}(t) = 0</math>, on pose <center>«<math>\;\tau = \dfrac{L}{R}\;</math>» définissant la « constante de temps du <math>\;R\, L\;</math> série » <ref name="grandeur canonique du RL série" /></center> {{Al|5}}d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre <center>«<math>\;\dfrac{du_{L,\,l}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;u_{L,\,l}(t) = 0\;</math>»</center> {{Al|5}}dont on déduit la solution libre laquelle, en absence de réponse forcée, s'identifie à la réponse transitoire <center>«<math>\;u_L(t) = u_{L,\,l}(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <br>avec <math>\;A\;</math> constante réelle <math>\;\big(</math>d'intégration<math>\big)\;</math> a priori quelconque<ref name="régime libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre" />.</center> ===== Détermination de la condition initiale (C.I.) par tracé du circuit à 0⁺ et réponse transitoire ===== [[File:RL série soumis à échelon de tension - hexa.png|thumb|340px|Circuit à <math>\;0^{+}\;</math> d'un <math>\;R\, L\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> avec une bobine traversée initialement par aucun courant]] {{Al|5}}Ci-contre on a tracé le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> en utilisant « la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine parfaite » c'est-à-dire «<math>\;i(0^{+}) = i(0^{-})\;</math>» avec la condition d'absence de courant « pré-initial » <ref> C.-à-d. absence de courant pour <math>\;t < 0</math>, le préfixe « pré- » permettant de souligner que c'est l'absence de courant avant la fermeture de <math>\;K</math>.</ref> dans la bobine «<math>\;i(0^{-}) = 0\;</math>» d'où la condition initiale <math>\;\big(</math>C.I.<math>\big)\;</math> «<math>\;i(0^{+}) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}de <math>\;i(0^{+}) = 0\;</math> nous déduisons que « la bobine parfaite est équivalent, à l'instant <math>\;0^{+}</math>, à un interrupteur ouvert » d'où le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> ci-contre à partir duquel on établit aisément «<math>\;u_L(0^{+}) = E\;</math>». {{Al|5}}Utilisant cette condition dans <math>\;u_L(0^{+}) = A\;\cancel{\exp\! \left(-\dfrac{0}{\tau} \right)}\;</math> on tire <math>\;E = A\;</math> soit <math>\;A = E\;</math> et par suite la réponse transitoire s'écrit <center>«<math>\;u_L(t) = E\; \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\forall t > 0\;</math>».</center> ===== Amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire ===== {{Al|5}}Quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, d'une part le régime libre «<math>\;u_{L,\,l}(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \rightarrow 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand <math>\;\color{transparent}{t \rightarrow +\infty}</math>, }}d'autre part, la réponse transitoire «<math>\;u_L(t) = \cancel{u_{L,\,f}} + i_{L,\,l}(t) \rightarrow 0\;</math>» par absence de réponse forcée c'est-à-dire qu'elle s'annule ; {{Al|5}}au bout d'une durée théorique <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>et pratique de <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="annulation pratique du régime libre" /><math>\big)\;</math> la bobine n'est le siège d'aucune f.e.m. auto-induite et la tension à ses bornes est nulle. == Portraits de phase == === Rappel de la notion de portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté === {{Al|5}}La notion de [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] a été intriduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Portrait_de_phase_d'un_système_dynamique#Définition_du_portrait_de_phase_d'un_système_dynamique_classique_à_un_degré_de_liberté|définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », elle est rappelée ci-dessous dans son application au domaine électrique : {{Al|5}}Le « [[w:Prtrait_de_phase|portrait de phase]] » d'un système dynamique classique à un degré de liberté<ref name="système dynamique classique à un degré de liberté"> Voir « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Portrait_de_phase_d'un_système_dynamique#Exemples_de_système_dynamique_classique_à_un_degré_de_liberté|exemples de système dynamique classique à un degré de liberté]] » dans le chap.<math>22</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est une représentation géométrique, dans l'espace des phases du système<ref name="espace des phases"> Voir « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Portrait_de_phase_d'un_système_dynamique#Espace_des_phases_sur_les_exemples_précédents_de_système_dynamique_classique_à_un_degré_de_liberté|espace des phases d'un système dynamique classique à un degré de liberté]] (sur les exmples du paragraphe précédent) » dans le chap.<math>22</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, des trajectoires des points caractérisant l'état du système pour chaque ensemble de C.I<ref name="C.I." />. ; {{Al|5}}cette représentation géométrique est * soit une courbe liant la variable descriptive d'état <math>\;\big[</math>comme la charge <math>\;\big(</math>ou la tension<math>\big)\;</math> pour un condensateur et l'intensité pour une bobine<math>\big]\;</math> à la variable de modification d'état <math>\;\big(</math>usuellement la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état<ref> Mais pouvant être aussi proportionnelle à cette dérivée temporelle avec un cœfficient de proportionnalité positif.</ref><math>\big)\;</math> pour des C.I<ref name="C.I." />. impliquant une évolution du système, * soit un point correspondant nécessairement à la variable de modification d'état nulle, la variable descriptive d'état étant alors constante pour des C.I<ref name="C.I." />. caractérisant un état de repos du système. === Portait de phase de la charge d'un condensateur dans un « R C série » soumis à un échelon de tension === ==== Portrait de phase de la charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un « R C série » soumis à un échelon de tension ==== {{Al|5}}On le définit comme étant le diagramme de l'intensité du courant de charge <math>\;i(t)\;</math> du condensateur dans un <math>\;R\, C\;</math> série soumis à l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>, en fonction de la charge instantanée du condensateur <math>\;q(t)\;</math> ou de la tension aux bornes du condensateur <math>\;u_C(t) = \dfrac{q(t)}{C}\;</math> <math>\big\{</math>voir ci-dessous à gauche le 1^er portrait de phase avec choix de la charge comme variable descriptive d'état et {{Nobr|ci-dessous}} à droite le 2^ème portrait de phase avec choix de la tension<math>\big\}\;</math> et pour cela on dispose de l'équation différentielle «<math>\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;u_C(t) = \dfrac{E}{R\;C}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>» que l'on peut réécrire en termes de charge instantanée <math>\;q(t)\;</math> grâce à <math>\;u_C(t) = \dfrac{q(t)}{C}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{C}\;\dfrac{dq}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C^2}\;q(t) = \dfrac{E}{R\;C}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math> ou «<math>\;\dfrac{dq}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;q(t) = \dfrac{E}{R}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>» soit enfin, avec <math>\;i(t) = \dfrac{dq}{dt}(t)</math>, l'équation du portrait de phase de la charge <math>\;q\;</math> du condensateur <math>\;\big(</math>initialement déchargé<math>\big)\;</math> dans un <math>\;R\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math> <center>«<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\;Y(t) - \dfrac{1}{R\;C}\;q(t)\;\; \forall\;t\;</math>» ;</center> [[File:Portrait de phase d'un RC série soumis à échelon de tension.png|thumb|left|380px|Portrait de phase de la charge d'un condensateur <math>\;\big(</math>initialement déchargé<math>\big)\;</math> dans un <math>\;R\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension avec choix de <math>\;q(t)\;</math> comme variable descriptive d'état]] [[File:Portrait de phase d'un RC série soumis à échelon de tension - bis.png|thumb|right|380px|Portrait de phase de la charge d'un condensateur <math>\;\big(</math>initialement déchargé<math>\big)\;</math> dans un <math>\;R\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension avec choix de <math>\;u_C(t)\;</math> comme variable descriptive d'état]] {{Al|5}}le portrait de phase <math>\;\big(</math>représenté ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> étant d'équation, pour <math>\;t > 0</math>, «<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R} - \dfrac{1}{R\;C}\;q(t)\;</math>», est porté par une droite * de « pente <math>\;-\dfrac{1}{R\;C} = -\dfrac{1}{\tau}\;</math>» et * d'« ordonnée à l'origine <math>\;i(0^{+}) = \dfrac{E}{R}\;</math>»<ref> En effet à <math>\;0^{+}\;</math> la charge du condensateur est nulle car elle l'est pour <math>\;0^{-}\;</math> et c'est une grandeur continue, <math>\;E\;</math> se retrouve donc aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;\ldots</math></ref>, * son abscisse à l'origine <ref name="abscisse à l'origine"> C.-à-d. la valeur d'abscisse pour l'ordonnée nulle.</ref> étant «<math>\;q_f = C\;E\;</math>»<ref> En effet l'ordonnée nulle correspondant à une absence de courant, la charge du condensateur est terminée et prend sa valeur forcée.</ref>. {{Al|5}}Avec le choix de la tension <math>\;u_C\;</math> aux bornes du condensateur comme variable descriptive d'état liée à la charge <math>\;q\;</math> par <math>\;u_C(t) = \dfrac{q(t)}{C}</math>, l'équation du portrait de phase de la tension <math>\;u_C\;</math> aux bornes du condensateur {{Nobr|<math>\;\big(</math>initialement}} déchargé<math>\big)\;</math> dans un <math>\;R\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math> se réécrit selon <center>«<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\;Y(t) - \dfrac{1}{R}\;u_C(t)\;\; \forall\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}le portrait de phase <math>\;\big(</math>représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> étant d'équation, pour <math>\;t > 0</math>, «<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R} - \dfrac{1}{R}\;u_C(t)\;</math>», est porté par une droite * de « pente <math>\;-\dfrac{1}{R}\;</math>»<ref> Cette pente ne s'exprime pas en fonction de la constante de temps du <math>\;R\, C\;</math> série car la variable de modification d'état n'est pas la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état mais simplement proportionnelle.</ref> et * d'« ordonnée à l'origine <math>\;i(0^{+}) = \dfrac{E}{R}\;</math>»<ref name="intensité initiale"> En effet à <math>\;0^{+}\;</math> la tension aux bornes du condensateur est nulle car elle l'est pour <math>\;0^{-}\;</math> et c'est une grandeur continue, <math>\;E\;</math> se retrouve donc aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;\ldots</math></ref>, * son abscisse à l'origine <ref name="abscisse à l'origine" /> étant «<math>\;u_{C,\,f}</math> <math>= E\;</math>»<ref> En effet l'ordonnée nulle correspondant à une absence de courant, la charge du condensateur est terminée et la tension à ses bornes prend sa valeur forcée.</ref>. {{Al|5}}Il faut savoir « lire » un portrait de phase c'est-à-dire décrire l'« évolution du système dynamique à partir du portrait de phase » <ref> En plus de ce qui sera dit ci-dessous, on remarque que la décroissance linéaire caractérise une solution libre exponentielle ; si la variable de modification d'état est la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état <math>\;\big(</math>ce qui est le cas si on choisit la charge instantanée du condensateur comme variable descriptive d'état<math>\big)</math>, la constante de temps est l'opposé de l'inverse de la pente du portrait de phase <math>\;\bigg\{</math>en effet la réponse libre obéit à <math>\;\dot{q}(t) = -\dfrac{q(t)}{\tau}\;</math> d'où l'affirmation<math>\bigg\}</math>.</ref> : * à <math>\;0^{+}\;</math> l'intensité est <math>\;> 0\;</math> entraînant une <math>\;\nearrow\;</math> de la charge à partir de sa valeur nulle, cette <math>\;\nearrow\;</math> s'accompagne d'une <math>\;\searrow\;</math> de l'intensité et <math>\;\ldots</math> * tant que l'intensité reste <math>\;> 0</math>, la charge continue de <math>\;\nearrow\;</math> et l'intensité de <math>\;\searrow\;</math> <math>\ldots</math> * Quand l'intensité devient nulle, la charge cesse alors d'augmenter ce qui correspond à un « état d'équilibre » <ref> On dit qu'un état d'équilibre est atteint quand la variable descriptive d'état <math>\;\big(</math>ici la charge<math>\big)\;</math> ne varie plus, cela correspond nécessairement à un point de l'axe des abscisses, l'ordonnée <math>\;\big(</math>c.-à-d. {{Nobr|l'intensité<math>\big)\;</math>}} devant y être nulle.</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaire</u> : le temps n'apparaissant pas explicitement sur un portrait de phase, nous ne pouvons tirer aucune information sur les durées écoulées entre deux points quelconques du portrait de phase en particulier nous ne savons pas qu'il faut en théorie une durée infinie pour passer du point initial au point final du portrait de phase. ==== Portrait de phase de l'intensité du courant de charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un « R C série » soumis à un échelon de tension ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Il s'agit d'une généralisation, la variable descriptive d'état du condensateur, à savoir « la charge <math>\;q\;</math>» <math>\;\big(</math>ou « la tension <math>\;u_C\;</math>»<math>\big)\;</math> n'apparaissant pas mais étant remplacée par la variable de modification d'état du condensateur, à savoir « l'intensité du courant <math>\;i\;</math>», permettant de repérer la façon dont le condensateur se charge, la variable de modification d'état correspondant alors à « la dérivée temporelle de l'intensité du courant <math>\;\dfrac{di}{dt}\;</math>» traduisant la variabilité de la façon dont le condensateur se charge ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le diagramme représentant <math>\;\dfrac{di}{dt}\;</math> en fonction de <math>\;i</math>, soit «<math>\;\dfrac{di}{dt} = \dfrac{di}{dt}(i)\;</math>», peut être considéré comme un « portrait de phase avec pour variables dynamiques <math>\;\left( i\, ,\, \dfrac{di}{dt} \right)\;</math>»<ref> Mais, sauf avis contraire, le choix des variables dynamiques <math>\; \left( q\, ,\, i \right)\;</math> ou <math>\; \left( u_C\, ,\, i \right)\;</math> sera toujours fait.</ref>. [[File:Portrait de phase d'un RC série soumis à échelon de tension - ter.png|thumb|380px|Portrait de phase de l'intensité du courant de charge d'un condensateur <math>\;\big(</math>initialement déchargé<math>\big)\;</math> dans un <math>\;R\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension nécessitant le choix de <math>\;i(t)\;</math> comme variable descriptive d'état]] {{Al|5}}Le portrait de phase de l'intensité du courant de charge d'un condensateur <math>\;\big(</math>initialement déchargé<math>\big)\;</math> dans un <math>\;R\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> est défini comme le diagramme du taux horaire de variation de l'intensité du courant de charge <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> du condensateur en fonction de l'intensité du courant de charge <math>\;i(t)\;</math> du condensateur et pour cela on dispose de l'équation différentielle <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;i(t) = \dfrac{E}{R}\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math> donnant l'équation du portrait de phase cherché «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = \dfrac{E}{R}\;\delta(t) - \dfrac{1}{R\;C}\;i(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="définition au sens des distributions"> Cette équation englobant l'instant <math>\;0\;</math> est définie dans le cadre des distributions.</ref> ; {{Al|5}}le portrait de phase <math>\big(</math>représenté ci-contre<math>\big)\;</math> de l'intensité <math>\;i\;</math> du courant de charge d'un condensateur <math>\;\big(</math>initialement déchargé<math>\big)\;</math> dans un <math>\;R\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> étant d'équation, pour <math>\;t > 0</math>, «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = -\dfrac{1}{R\;C}\;i(t)\;</math>», est porté par une droite * de « pente <math>\;-\dfrac{1}{R\;C} = -\dfrac{1}{\tau}\;</math>»<ref name="var.modif.d'état = dérivée var.descript.d'état"> Ceci caractérisant un régime libre décroissant exponentiellement avec une constante de temps <math>\;\tau</math>.</ref> * aboutissant à l'« origine <math>\;\left\lbrace i_\infty = 0\, ,\, \left( \dfrac{di}{dt} \right)_{\!\infty} = 0 \right\rbrace\;</math>», * le « point de départ étant <math>\;\left\lbrace i_{0^{+}} = \dfrac{E}{R}\, ,\, \left( \dfrac{di}{dt} \right)_{\!0^{+}} = -\dfrac{E}{R\;\tau} = -\dfrac{E}{R^2\;C} \right\rbrace\;</math>»<ref name="intensité initiale" />{{,}}<ref> La valeur initiale du taux horaire de variation de l'intensité du courant de charge <math>\;\dfrac{di}{dt}(0^{+})\;</math> du condensateur se détermine par injection de celle de l'intensité initiale <math>\;i(0^{+})\;</math> du courant de charge dans l'équation du portrait de phase pour <math>\;t > 0</math>.</ref>. === Portrait de phase de l'établissement de l'intensité du courant traversant une bobine dans un « R L série » soumis à un échelon de tension === ==== Portrait de phase de l'établissement de l'intensité du courant traversant une bobine (initialement traversée par aucun courant) dans un « R L série » soumis à un échelon de tension ==== [[File:Portrait de phase d'un RL série soumis à échelon de tension.png|thumb|380px|Portrait de phase de l'intensité du courant s'établissant dans une bobine <math>\;\big(</math>initialement traversée par aucun courant<math>\big)\;</math> d'un <math>\;R\, L\;</math> série soumis à un échelon de tension avec choix de <math>\;u_L(t)\;</math> comme variable de modification d'état]] {{Al|5}}On le définit comme étant le diagramme de la tension <math>\;u_L(t)\;</math> aux bornes de la bobine parfaite dans un <math>\;R\, L\;</math> série soumis à l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>, en fonction de l'intensité traversant la bobine <math>\;i(t)\;</math> <math>\big\{</math>voir ci-contre le portrait de phase avec choix de la tension <math>\;u_L\;</math> aux bornes de la bobine parfaite comme variable de modification d'état, la variable descriptive d'état étant l'intensité <math>\;i\;</math> du courant traversant la {{Nobr|bobine<ref> On aurait pu conserver la même variable descriptive d'état, à savoir l'intensité du courant <math>\;i(t)\;</math> traversant la bobine, et remplacer la variable de modification d'état par le taux horaire de variation de l'intensité du courant traversant la bobine <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = \dfrac{u_L(t)}{L}\;\ldots</math></ref><math>\big\}\;</math>}} et pour cela on dispose de l'équation différentielle «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;i(t) = \dfrac{E}{L}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>» que l'on peut réécrire en éliminant <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> au profit de <math>\;u_L(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = \dfrac{u_L(t)}{L}\;</math> d'où «<math>\;\dfrac{u_L(t)}{L} + \dfrac{R}{L}\;i(t) =</math> <math>\dfrac{E}{L}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>» et finalement l'équation du portrait de phase de l'intensité <math>\;i\;</math> du courant traversant la bobine <math>\;\big(</math>initialement traversée par aucun courant<math>\big)\;</math> d'un <math>\;R\, L\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> <math>\big\{</math>la variable de modification d'état étant la tension <math>\;u_L\;</math> aux bornes de la bobine parfaite<math>\big\}\;</math> s'écrit <center>«<math>\;u_L(t) = E\;Y(t) - R\;i(t)\;\; \forall\;t\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le portrait de phase <math>\;\big(</math>représenté ci-contre<math>\big)\;</math> étant d'équation, pour <math>\;t > 0</math>, «<math>\;u_L(t) = E - R\;i(t)\;</math>», est porté par une droite * de « pente <math>\;-R\;</math> »<ref> Si nous avions choisi comme variable de modification d'état le taux horaire de variation de l'intensité du courant traversant la bobine <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{u_L(t)}{L}\;\ldots\;</math> en conservant la même variable descriptive d'état à savoir l'intensité <math>\;i(t)</math>, nous aurions trouvé comme pente de la droite <math>\;-\dfrac{R}{L} =</math> <math>-\dfrac{1}{\tau}</math>.</ref> et * d'« ordonnée à l'origine <math>\;u_L(0^{+}) = E\;</math>»<ref name="tension initiale"> En effet à <math>\;0^{+}\;</math> l'intensité du courant traversant la bobine est nulle car elle l'est pour <math>\;0^{-}\;</math> et c'est une grandeur continue, <math>\;E\;</math> se retrouve donc aux bornes de la bobine parfaite.</ref>, * son abscisse à l'origine <ref name="abscisse à l'origine" /> étant «<math>\;i_f = \dfrac{E}{R}\;</math>»<ref> En effet l'ordonnée nulle correspondant à une absence de tension aux bornes de la bobine parfaite, l'amplitude de l'échelon se retrouvant aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>.</ref>. {{Al|5}}Il faut savoir « lire » un portrait de phase c'est-à-dire décrire l'« évolution du système dynamique à partir du portrait de phase » <ref> La décroissance linéaire du portrait de phase caractérise une solution libre exponentielle, la variable de modification d'état étant proportionnelle à la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état avec un cœfficient de proportionnalité positif, la réponse libre obéit à <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) \propto -i(t)\;</math> d'où une décroissance exponentielle de la solution libre.</ref> : * à <math>\;0^{+}\;</math> la tension aux bornes de la bobine parfaite est <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> le taux horaire de variation de l'intensité du courant traversant la bobine l'est aussi entraînant une <math>\;\nearrow\;</math> de l'intensité à partir de sa valeur nulle, cette <math>\;\nearrow\;</math> s'accompagne d'une <math>\;\searrow\;</math> de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine et <math>\;\ldots</math> * tant que la tension aux bornes de la bobine parfaite reste <math>\;> 0</math>, l'intensité du courant continue de <math>\;\nearrow\;</math> et la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine de <math>\;\searrow</math> <math>\;\ldots</math> * Quand la tension aux bornes de la bobine parfaite devient nulle, l'intensité du courant cesse alors d'augmenter ce qui correspond à un « état d'équilibre » <ref> On rappelle qu'un état d'équilibre est atteint quand la variable descriptive d'état <math>\;\big(</math>ici l'intensité du courant<math>\big)\;</math> ne varie plus, cela correspond nécessairement à un point de l'axe des abscisses, l'ordonnée {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} la tension aux bornes de la bobine parfaite<math>\big)\;</math> devant y être nulle.</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaire</u> : on rappelle que le temps n'apparaissant pas explicitement sur un portrait de phase, nous ne pouvons tirer aucune information sur les durées écoulées entre deux points quelconques du portrait de phase. ==== Portrait de phase de l'établissement de la tension aux bornes d'une bobine parfaite (initialement traversée par aucun courant) dans un « R L série » soumis à un échelon de tension ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Il s'agit d'une généralisation, la variable descriptive d'état de la bobine parfaite, à savoir « l'intensité du courant <math>\;i\;</math>» n'apparaissant pas mais étant remplacée par la variable de modification d'état de la bobine parfaite, à savoir « la tension à ses bornes <math>\;u_L\;</math>», permettant de repérer la façon dont le courant traversant la bobine est créé, la variable de modification d'état correspondant alors à « la dérivée temporelle de la partie inductive de la tension <math>\;\dfrac{du_L}{dt}\;</math>» traduisant la variabilité de la façon dont le courant traversant la bobine est créé ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le diagramme représentant <math>\;\dfrac{du_L}{dt}\;</math> en fonction de <math>\;u_L</math>, soit «<math>\;\dfrac{du_L}{dt} = \dfrac{du_L}{dt}(u_L)\;</math>», peut être considéré comme un « portrait de phase avec pour variables dynamiques <math>\;\left( u_L\, ,\, \dfrac{du_L}{dt} \right)\;</math>»<ref> Mais, sauf avis contraire, le choix des variables dynamiques <math>\; \left( i\, ,\, u_L \right)\;</math> ou <math>\; \left( i\, ,\, \dfrac{di}{dt} \right)\;</math> sera toujours fait.</ref>. [[File:Portrait de phase d'un RL série soumis à échelon de tension - bis.png|thumb|380px|Portrait de phase de l'établissement de la tension aux bornes d'une bobine parfaite <math>\;\big(</math>initialement traversée par aucun courant<math>\big)\;</math> dans un <math>\;R\, L\;</math> série soumis à un échelon de tension nécessitant le choix de <math>\;u_L(t)\;</math> comme variable descriptive d'état]] {{Al|5}}Le portrait de phase de l'établissement de la tension aux bornes d'une bobine parfaite <math>\;\big(</math>initialement traversée par aucun courant<math>\big)\;</math> dans un <math>\;R\, L\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> est défini comme le diagramme du taux horaire de variation de la tension <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t)\;</math> aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la partie inductive de la tension <math>\;u_L(t)\;</math> aux bornes de la bobine et pour cela on dispose de l'équation différentielle <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;u_L(t) = E\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math> donnant l'équation du portrait de phase cherché «<math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) =</math> <math>E\;\delta(t) - \dfrac{R}{L}\;u_L(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="définition au sens des distributions" /> ; {{Al|5}}le portrait de phase <math>\big(</math>représenté ci-contre<math>\big)\;</math> de la tension <math>\;u_L\;</math> aux bornes d'une bobine parfaite <math>\;\big(</math>initialement traversée par aucun {{Nobr|courant<math>\big)\;</math>}} dans un <math>\;R\, L\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> étant d'équation, pour <math>\;t > 0</math>, «<math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) = -\dfrac{R}{L}\;u_L(t)\;</math>», est porté par une droite * de « pente <math>\;-\dfrac{R}{L} = -\dfrac{1}{\tau}\;</math>»<ref name="var.modif.d'état = dérivée var.descript.d'état" /> * aboutissant à l'« origine <math>\;\left\lbrace u_{L,\,\infty} = 0\, ,\, \left( \dfrac{du_L}{dt} \right)_{\!\infty} = 0 \right\rbrace\;</math>», * le « point de départ étant <math>\;\left\lbrace u_{L,\,0^{+}} = E\, ,\, \left( \dfrac{du_L}{dt} \right)_{\!0^{+}} = -\dfrac{E}{\tau} = -\dfrac{R\;E}{L} \right\rbrace\;</math>»<ref name="tension initiale" />{{,}}<ref> La valeur initiale du taux horaire de variation de la tension <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(0^{+})\;</math> aux bornes de la bobine parfaite se détermine par injection de celle de la tension initiale <math>\;u_L(0^{+})\;</math> aux bornes de la bobine parfaite dans l'équation du portrait de phase pour <math>\;t > 0</math>.</ref>. == Initiation à la dualité « série - parallèle » en électricité == === Introduction à la dualité « série - parallèle » === {{Al|5}}On remarque, d'une part, pour deux dipôles en série, que « l'intensité du courant traversant ces deux dipôles est la même » et que « la tension aux bornes de l'association de ces deux dipôles est la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle » <ref> Déduit de la loi de maille.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|On remarque, }}d'autre part, pour deux dipôles en parallèle, que « la tension aux bornes de ces deux dipôles est la même » et que « l'intensité du courant traversant l'association parallèle de ces deux dipôles est la somme des intensités des courants traversant de chaque dipôle » <ref> Déduit de la loi de nœud.</ref> ; {{Al|5}}cette analogie électrique est connue sous le nom de « dualité série - parallèle », un exposé <math>\;\big(</math>partiel<math>\big)\;</math> des « grandeurs duales série - parallèle » est donné dans le paragraphe suivant. === Grandeurs duales « série - parallèle » === {| class="wikitable" | align="center" | association série | align="center" | association parallèle |- | align="center" | intensité <math>\;i\;</math> commune traversant les dipôles | align="center" | tension <math>\;u\;</math> commune aux bornes des dipôles |- | align="center" | tension <math>\;u_k\;</math> aux bornes du dipôle <math>\;_k\;</math> et tension <math>\;u = \sum\limits_k u_k\;</math> aux bornes de l'association <br><math>\;\big(</math>loi des mailles<math>\big)\;</math><ref name="déduit de"> Plus exactement déduit de <math>\;\ldots</math></ref> | align="center" | intensité <math>\;i_k\;</math> du courant traversant le dipôle <math>\;_k\;</math> et intensité <math>\;i = \sum\limits_k i_k\;</math> traversant l'association <br><math>\;\big(</math>loi des nœuds<math>\big)\;</math><ref name="déduit de" /> |- | align="center" | association court-circuitée <math>\;u = 0\;</math> ou en <math>\;\parallel\;</math> avec un interrupteur fermé | align="center" | association en sortie ouverte <math>\;i = 0\;</math> ou en série avec un interrupteur ouvert |- | align="center" | association en sortie ouverte <math>\;i = 0\;</math> ou en série avec un interrupteur ouvert | align="center" | association court-circuitée <math>\;u = 0\;</math> ou en <math>\;\parallel\;</math> avec un interrupteur fermé |- | align="center" | association soumise à une source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;e</math> | align="center" | association alimentée par une source de courant parfaite de c.e.m. <math>\;\eta</math> |- | align="center" | association soumise à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math><ref> Source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;E\;</math> en série avec un interrupteur que l'on ferme à <math>\;t = 0</math>.</math>.</ref> | align="center" | association alimentée par un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0</math> <ref name="échelon de courant"> Source de courant parfaite de c.e.m. <math>\;I_0\;</math> en <math>\;\parallel\;</math> avec un interrupteur que l'on ouvre à <math>\;t = 0</math> ;<br>{{Al|3}}l'échelon de courant correspond donc, pour tout instant <math>\;t</math>, à un c.e.m. <math>\;\eta(t) = I_0\;Y(t) = \left\lbrace \begin{array}{l}I_0\;\text{pour }t > 0\\0\;\;\text{pour }t < 0\end{array}\right.\;\big(</math>en effet, pour <math>\;t < 0</math>, l'interrupteur étant fermé, le courant d'intensité <math>\;I_0\;</math> le traverse entièrement, ne laissant aucun courant disponible pour l'extérieur<math>\big)</math>.</ref> |- | align="center" | conducteur ohmique de résistance <math>\;R = \dfrac{u}{i}</math> | align="center" | conducteur ohmique de conductance <math>\;G = \dfrac{i}{u}</math> |- | align="center" | condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> telle que <math>\;i = C\; \dfrac{du}{dt}</math> | align="center" | bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> telle que <math>\;u = L\; \dfrac{di}{dt}</math> |- | align="center" | bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> telle que <math>\;u = L\; \dfrac{di}{dt}</math> | align="center" | condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> telle que <math>\;i = C\; \dfrac{du}{dt}</math> |} === Principales relations du dualité « série - parallèle » === {{Al|5}}Compte-tenu des grandeurs duales énoncées au paragraphe précédent, nous pouvons induire un certain nombre de relations restant valables par transformation duale, les principales étant les suivantes : {| class="wikitable" | align="center" | association série | align="center" | association parallèle |- | align="center" | dans un circuit réel<ref name="caractère réel pour association série"> Nécessité qu'il y ait un conducteur ohmique en série.</ref> « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait » | align="center" | dans un circuit réel<ref name="caractère réel pour association parallèle"> Nécessité qu'il y ait un conducteur ohmique en parallèle.</ref> « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite » |- | align="center" | dans un circuit réel<ref name="caractère réel pour association série" /> « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite » | align="center" | dans un circuit réel<ref name="caractère réel pour association parallèle" /> « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait » |- | align="center" | résistance équivalente à une association série <math>\;R_{\text{éq}} = \sum\limits_k R_k</math> | align="center" | conductance équivalente à une association parallèle <math>\;G_{\text{éq}} = \sum\limits_k G_k</math> |- | align="center" | modèle générateur de tension <math>\;\big(</math>ou de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin"> '''[[w:Léon_Charles_Thévenin|Léon Charles Thévenin]] (1857 - 1926)''' ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Thévenin|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1883</math>.</ref> : <br>association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;e_{\text{Th}}\;</math><ref> Tension à vide de l'association.</ref> et <br>{{Al|12}}d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;r_{\text{Th}}\;</math> <br><math>\Updownarrow</math> <br><math>\;u = e_{\text{Th}} - r_{\text{Th}}\; i\;</math> <math>\big(</math>en convention générateur<math>\big)</math> | align="center" | modèle générateur de courant <math>\;\big(</math>ou de Norton<math>\big)\;</math><ref name="Norton"> '''[[w:Edward_Lawry_Norton|Edward Lawry Norton]] (1898 - 1983)''' ingénieur en électricité américain, à qui on doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Norton|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1926</math>.</ref> : <br>association parallèle d'une source de courant parfaite de c.e.m. <math>\;\eta_{\text{N}}\;</math><ref> « Courant de court-circuit » de l'association.</ref> et <br>{{Al|21}}d'un conducteur ohmique de conductance <math>\;g_{\text{N}}\;</math> <br><math>\Updownarrow</math> <br><math>\;i = \eta_{\text{N}} - g_{\text{N}}\; u\;</math> <math>\big(</math>en convention générateur<math>\big)</math> |- | align="center" | modèle générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent au modèle générateur de tension <math>\;\left( e_{\text{Th}}\,,\, r_{\text{Th}} \right)\;</math> : <br><math>\;\eta_N = \dfrac{e_{\text{Th}}}{r_{\text{Th}}}\;</math> et <math>\;g_N = \dfrac{1}{r_{\text{Th}}}</math> | align="center" | modèle générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au modèle générateur de courant <math>\;\left( \eta_N\,,\, g_N \right)\;</math> : <br><math>\;e_{\text{Th}} = \dfrac{\eta_N}{g_N}\;</math> et <math>\;r_{\text{Th}} = \dfrac{1}{g_N}</math> soit encore <math>\;e_{\text{Th}} = \eta_N\; r_{\text{Th}}</math> |- | align="center" | P.D.T<ref name="P.D.T."> Pont Diviseur de Tension.</ref>. alimenté en entrée par une tension <math>\;u_E\;</math> et <br>{{Al|59}}de tension de sortie <math>\;u_S\;</math><ref> Tension <math>\;u_E\;</math> aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R_1\;</math> en série avec « un conducteur ohmique de résistance <math>\;R_2\;</math> en <math>\;\parallel\;</math> sur la sortie ».</ref> : <br>équivalent, vu de la sortie, à un générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> <br>de f.e.m. <math>\;e_{\text{Th}} = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;u_E\;</math><ref name="explication résultat P.D.T."> C'est encore la tension de sortie ouverte d'une part et la résistance équivalente vue de la sortie quand on court-circuite l'entrée d'autre part.</ref> et <br>de résistance <math>\;r_{\text{Th}} = R_1 \parallel R_2 =</math> <math>\dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2}\;</math><ref name="explication résultat P.D.T." /> | align="center" | P.D.C<ref name="P.D.C."> Pont Diviseur de Courant.</ref>. alimenté en entrée par un courant d'intensité <math>\;i_E\;</math> et <br>{{Al|61}}d'intensité de courant de sortie <math>\;i_S\;</math><ref> Courant d'intensité <math>\;i_E\;</math> alimentant un conducteur ohmique de conductance <math>\;G_1\;</math> en <math>\;\parallel\;</math> avec « un conducteur ohmique de conductance <math>\;G_2\;</math> en série avec la sortie ».</ref> : <br>équivalent, vu de la sortie, à un générateur de Norton<ref name="Norton" /> <br>de c.e.m. <math>\;\eta_N = \dfrac{G_2}{G_1 + G_2}\;i_E\;</math><ref name="explication résultat P.D.C."> C'est encore l'intensité du courant de sortie court-circuitée d'une part et la conductance équivalente vue de la sortie quand on remplace l'entrée par un interrupteur ouvert d'autre part.</ref>{{,}}<ref name="en terme de résistances"> En terme de résistances le c.e.m. de Norton s'écrit <math>\;\eta_N = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\;i_E\;</math> d'une part et la résistance de Norton <math>\;r_N = R_1 + R_2\;</math> d'autre part.</ref> et <br>de conductance <math>\;g_N = G_1 \text{ série } G_2 = \dfrac{G_1\;G_2}{G_1 + G_2}\;</math><ref name="explication résultat P.D.C." />{{,}}<ref name="en termes de résistances" /> |- | align="center" | puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> <br>traversé par un courant d'intensité <math>\;i</math> : <br><math>\;\mathcal{P}_{\text{cal. dissipée dans }R} = R\; i^2</math> | align="center" | puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de conductance <math>\;G\;</math> <br>soumis à une tension <math>\;u</math> : <br><math>\;\mathcal{P}_{\text{cal. dissipée dans }G} = G\; u^2</math> |- | align="center" | énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> <br>soumis à une tension <math>\;u_C</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électrostat. stockée dans }C} = \dfrac{1}{2}\;C\; u_C^2</math> | align="center" | énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> <br>traversée par un courant d'intensité <math>\;i_L</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électromagn. stockée dans }L} = \dfrac{1}{2}\;L\; i_L^2</math> |- | align="center" | énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> <br>traversée par un courant d'intensité <math>\;i</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électromagn. stockée dans }L} = \dfrac{1}{2}\;L\; i^2</math> | align="center" | énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> <br>soumis à une tension <math>\;u</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électrostat. stockée dans }C} = \dfrac{1}{2}\;C\; u^2</math> |- | align="center" | puissance instantanée électrique fournie par une source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;e\;</math> <br>délivrant un courant d'intensité <math>\;i</math> : <br><math>\;\mathcal{P}_{\text{élect. fournie par la source de tension parfaite}} = e\; i</math> | align="center" | puissance instantanée électrique fournie par une source de courant parfaite de c.e.m. <math>\;\eta\;</math> <br>imposant une tension <math>\;u</math> : <br><math>\;\mathcal{P}_{\text{élect. fournie par la source de courant parfaite}} = \eta\; u</math> |} === Circuits parallèle duaux des circuits série « R C série et R L série soumis à un échelon de tension » === {{Al|5}}L'intérêt de reconnaître le circuit dual d'un circuit déjà étudié est que les résultats de ce dernier peuvent fournir les résultats du 1^er par simples relations de dualité. ==== « Circuit R' L parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ » dual d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E, réponses en i_L et en u obtenues par dualité ==== [[File:RC série soumis à échelon de tension - penta.png|thumb|left|400px|Schéma d'un <math>\;R\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> avec réponses en <math>\;u_C\;</math> ou en <math>\;i\;</math>]] [[File:RL parallèle soumis à échelon de courant.png|thumb|right|380px|Schéma d'un <math>\;R'\, L\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> avec réponses en <math>\;i_L\;</math> ou en <math>\;u\;</math>]] {{Al|5}}Le circuit dual d'un <math>\;R\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> <math>\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le circuit dual d’}}un <math>\;R'\, L\;</math> parallèle<ref name="usage en dualité"> Bien que le dual d'une résistance soit une conductance, on précise toujours la résistance du conducteur ohmique en parallèle et non la conductance.</ref> soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math><ref name="échelon de courant" /> <math>\;\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)</math> ; {{Al|5}}les réponses duales en <math>\;u_C\;</math> ou en <math>\;i\;</math> sont <br>{{Al|5}}{{Transparent|les réponses }}celles en <math>\;i_L\;</math> ou en <math>\;u</math> ; <center>les relations duales sont précisées dans le tableau ci-dessous :</center> {{clr}} {| class="wikitable" width="100%" | width="50%" align="center" | <math>\;R\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> | width="50%" align="center" | <math>\;R'\, L\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> |- | align="center" | constante de temps d'un <math>\;R\, C\;</math> série : <math>\;\tau = R\;C</math> | align="center" | constante de temps d'un <math>\;R'\, L\;</math> parallèle : <math>\;\tau = G'\;L = \dfrac{L}{R'}\;</math><ref name="constante de temps d'un RL"> La constante de temps d'un <math>\;R'\, L\;</math> parallèle est la même que celle d'un <math>\;R'\, L\;</math> série.</ref> |- | align="center" | équation différentielle en <math>\;u_C</math>, tension aux bornes du condensateur parfait : <math>\;\dfrac{d u_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;u_C(t) = \dfrac{1}{\tau}\;E\;Y(t)\;\;\forall t</math> <br>obtenue par loi de maille et normalisation | align="center" | équation différentielle en <math>\;i_L</math>, intensité du courant traversant la bobine parfaite : <math>\;\dfrac{d i_L}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;i_L(t) = \dfrac{1}{\tau}\;I_0\;Y(t)\;\;\forall t</math> <br>à obtenir par loi de nœud et normalisation |- | align="center" | réponse en <math>\;u_C</math>, tension aux bornes du condensateur parfait : <math>\;u_C(t) = E \left[ 1 - \exp\!\left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;\;\text{pour }t > 0</math> | align="center" | réponse en <math>\;i_L</math>, intensité du courant traversant la bobine parfaite : <math>\;i_L(t) = I_0 \left[ 1 - \exp\!\left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;\;\text{pour }t > 0</math> |- | align="center" | continuité de <math>\;u_C</math>, tension aux bornes du condensateur parfait | align="center" | continuité de <math>\;i_L</math>, intensité du courant traversant la bobine parfaite |- | align="center" | équation différentielle en <math>\;i</math>, intensité du courant de charge du condensateur parfait : <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;i(t) = \dfrac{E}{R}\;\delta(t)\;\;\forall t</math> <br>obtenue par dérivation temporelle de loi de maille et division par <math>\;R\;</math> | align="center" | équation différentielle en <math>\;u</math>, tension aux bornes de la bobine parfaite : <math>\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;u(t) = \dfrac{I_0}{G'}\;\delta(t)\;\;\forall t\;</math><ref> Ou encore <math>\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;u(t) = R'\;I_0\;\delta(t)\;\;\forall t</math>.</ref> <br>à obtenir par dérivation temporelle de loi de nœud et division par <math>\;G'\;</math><ref> Ou si <math>\;R'\;</math> est utilisée à la place de <math>\;G'</math>, à obtenir par dérivation temporelle de loi de nœud et multiplication par <math>\;R'</math>.</ref> |- | align="center" | réponse en <math>\;i</math>, intensité du courant de charge du condensateur parfait : <math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\; \exp\!\left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\text{pour }t > 0</math> | align="center" | réponse en <math>\;u</math>, tension aux bornes de la bobine parfaite : <math>\;u(t) = \dfrac{I_0}{G'}\; \exp\!\left( -\dfrac{t}{\tau} \right) = R'\;I_0\; \exp\!\left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\text{pour }t > 0</math> |- | align="center" | discontinuité de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> de <math>\;i</math>, intensité du courant de charge du condensateur parfait | align="center" | discontinuité de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> de <math>\;u</math>, tension aux bornes de la bobine parfaite |} ==== « Circuit R' C parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ » dual d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E, réponses en u et en i_C obtenues par dualité ==== [[File:RL série soumis à échelon de tension - penta.png|thumb|left|400px|Schéma d'un <math>\;R\,L\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> avec réponses en <math>\;i\;</math> ou en <math>\;u_L\;</math>]] [[File:RC parallèle soumis à échelon de courant.png|thumb|right|400px|Schéma d'un <math>\;R'\, C\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> avec réponses en <math>\;u\;</math> ou en <math>\;i_C\;</math>]] {{Al|5}}Le circuit dual d'un <math>\;R\, L\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> <math>\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le circuit dual d’}}un <math>\;R'\, C\;</math> parallèle<ref name="usage en dualité" /> soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math><ref name="échelon de courant" /> <math>\;\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)</math> ; {{Al|5}}les réponses duales en <math>\;i\;</math> ou en <math>\;u_L\;</math> sont <br>{{Al|5}}{{Transparent|les réponses }}celles en <math>\;u\;</math> ou en <math>\;i_C</math> ; <center>les relations duales sont précisées dans le tableau ci-dessous :</center> {{clr}} {| class="wikitable" width="100%" | width="50%" align="center" | <math>\;R\, L\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> | width="50%" align="center" | <math>\;R'\, C\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> |- | align="center" | constante de temps d'un <math>\;R\, L\;</math> série : <math>\;\tau = \dfrac{L}{R}</math> | align="center" | constante de temps d'un <math>\;R'\, C\;</math> parallèle : <math>\;\tau = \dfrac{C}{G'} = R'\;C\;</math><ref name="constante de temps RC"> La constante de temps d'un <math>\;R'\, C\;</math> parallèle est la même que celle d'un <math>\;R'\, C\;</math> série.</ref> |- | align="center" | équation différentielle en <math>\;i</math>, intensité du courant traversant la bobine parfaite : <math>\;\dfrac{d i}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;i(t) = \dfrac{E}{L}\;Y(t)\;\;\forall t</math> <br>obtenue par loi de maille et normalisation | align="center" | équation différentielle en <math>\;u</math>, tension aux bornes du condensateur parfait : <math>\;\dfrac{d u}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;u(t) = \dfrac{I_0}{C}\;Y(t)\;\;\forall t</math> <br>à obtenir par loi de nœud et normalisation |- | align="center" | réponse en <math>\;i</math>, intensité du courant traversant la bobine parfaite : <math>\;i(t) = \dfrac{E}{R} \left[ 1 - \exp\!\left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;\;\text{pour }t > 0</math> | align="center" | réponse en <math>\;u</math>, tension aux bornes du condensateur parfait : <math>\;u(t) = \dfrac{I_0}{G'} \left[ 1 - \exp\!\left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right] = R'\;I_0 \left[ 1 - \exp\!\left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;\;\text{pour }t > 0</math> |- | align="center" | continuité de <math>\;i</math>, intensité du courant traversant la bobine parfaite | align="center" | continuité de <math>\;u</math>, tension aux bornes du condensateur parfait |- | align="center" | équation différentielle en <math>\;u_L</math>, tension aux bornes de la bobine parfaite : <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;u_L(t) = E\;\delta(t)\;\;\forall t</math> <br>obtenue par dérivation temporelle de loi de maille | align="center" | équation différentielle en <math>\;i_C</math>, intensité du courant de charge du condensateur parfait : <math>\;\dfrac{di_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;i_C(t) = I_0\;\delta(t)\;\;\forall t</math> <br>à obtenir par dérivation temporelle de loi de nœud |- | align="center" | réponse en <math>\;u_L</math>, tension aux bornes de la bobine parfaite : <br><math>\;u_L(t) = E\; \exp\!\left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\text{pour }t > 0</math> | align="center" | réponse en <math>\;i_C</math>, intensité du courant de charge du condensateur parfait : <br><math>\;i_C(t) = I_0\; \exp\!\left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\text{pour }t > 0</math> |- | align="center" | discontinuité de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> de <math>\;u_L</math>, <br>tension aux bornes de la bobine parfaite | align="center" | discontinuité de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> de <math>\;i_C</math>, <br>intensité du courant de charge du condensateur parfait |} == Étude théorique d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ == === Recherche de la réponse en tension aux bornes du condensateur parfait d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant === [[File:RC parallèle soumis à échelon de courant.png|thumb|400px|Schéma d'un <math>\;R'\, C\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> avec réponses en <math>\;u\;</math> ou en <math>\;i_C\;</math>]] ==== Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant ==== {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;u(t)</math>, tension aux bornes du condensateur du circuit ci-contre<ref> Le circuit étant monté en parallèle tous les dipôles sont soumis à la même tension.</ref> s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que <math>\;u(t)\;</math> comme inconnue : {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;i_C(t) + \dfrac{u(t)}{R'} = \eta(t)\;</math><ref name="échelon de courant" /> où il convient d'éliminer <math>\;i_C(t)\;</math> au profit de <math>\;u(t)\;</math> selon <math>\;i_C(t) =</math> <math>C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> d'où <math>\;C\; \dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{u(t)}{R'} = I_0\;Y(t)\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;u(t)\;</math> suivante <center>«<math>\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{1}{R'\;C}\;u(t) = \dfrac{I_0}{C}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle penta"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;u(t)\;</math>.</ref> ; <br>on remarque que l'excitation est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce"/>.</center> ==== Continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif ==== {{Al|5}}<u>L'énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait</u> étant <u>toujours continue</u> dans un circuit « réel <math>\;\big(</math>ou résistif<math>\big)\;</math>» <ref name="circuit réel" />, <u>il en est de même de la tension</u><math>\;u(t)\;</math><u>aux bornes du condensateur parfait</u><ref name="continuité de la tension aux bornes d'un condensateur" /> mais nous n'avons aucune information sur l'intensité du courant traversant le condensateur. ==== Établissement de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant, régime libre et constante de temps d'un « R C parallèle », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire ==== ===== Rappel de l'équation différentielle en u(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1^ère espèce de l'excitation en t = 0 ===== {{Al|5}}Nous avons établi l'équation différentielle en <math>\;u(t)\;</math> suivante «<math>\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{1}{R'\;C}\;u(t) = \dfrac{I_0}{C}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle penta" /> dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce"/>. {{Al|5}}Nous avons admis dans le chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref name="lien entre discontinuités de l'excitation et de la réponse" /> que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1^er membre soit ici « la dérivée temporelle 1^ère de la solution générale est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, et que le numéro d'espèce de discontinuité <math>\;\searrow\;</math> d'une unité<ref name="condition de diminution effective" /> à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 0^ème espèce c'est-à-dire continue en <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}en conclusion on induit que «<math>\;u(t)\;</math> est continue en <math>\;t = 0\;</math>» et on justifie cette induction par la propriété de « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit “ réel ”<ref name="rappel continuité de tension aux bornes de C" /> ». ===== Régime libre et constante de temps τ du « R C parallèle » ===== {{Al|5}}Le régime libre<ref name="régime libre" /> étant solution de <math>\;\dfrac{du_l}{dt}(t) + \dfrac{1}{R'\;C}\;u_l(t) = 0</math>, on pose <center>«<math>\;\tau = R'\;C\;</math>» définissant la « constante de temps du <math>\;R'\, C\;</math> parallèle »<ref name="constante de temps RC" /></center> {{Al|5}}d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre <center>«<math>\;\dfrac{du_l}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;u_l(t) = 0\;</math>»</center> {{Al|5}}dont on déduit la solution libre <center>«<math>\;u_l(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <br>avec <math>\;A\;</math> constante réelle <math>\;\big(</math>d'intégration<math>\big)\;</math> a priori quelconque<ref name="régime libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre" />.</center> ===== Équation différentielle en u(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée ===== {{Al|5}}Pour <math>\;t > 0</math>, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;u(t)\;</math> hétérogène s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{1}{R'\;C}\;u(t) = \dfrac{I_0}{C}\;</math>»</center> {{Al|5}}dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée<ref name="régime forcé" /> est cherchée sous forme constante<ref name="régime forcé d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre à excitation constante" /> ce qui donne «<math>\;u_f = R'\;I_0\;</math>»<ref> En effet <math>\;i_f\;</math> étant constant sa dérivée temporelle est nulle d'où <math>\;\cancel{\dfrac{du_f}{dt}(t)} + \dfrac{1}{R'\;C}\;u_f(t) = \dfrac{I_0}{C}</math>.</ref>. ===== Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire ===== {{Al|5}}L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;u(t)\;</math> hétérogène, écrite pour <math>\;t > 0</math>, admet pour réponse transitoire<ref name="réponse transitoire" /> <center>«<math>\;u(t) = u_f + u_l(t)\;</math>»<ref name="lien entre réponses transitoire, libre et forcée" /> ou «<math>\;u(t) = R'\;I_0 + A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <br>dans laquelle la constante <math>\;A\;</math> se détermine par C.I<ref name="C.I." />. c'est-à-dire par l'utilisation de la valeur <math>\;u(0^{+})</math> ;</center> {{Al|5}}or on sait, d'une part que la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit réel est continue d'où «<math>\;u(0^{+}) = u(0^{-})\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|or on sait, }}d'autre part que le condensateur est initialement<ref name="initialement" /> déchargé donc soumis à une tension nulle d'où «<math>\;u(0^{-}) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|or }}on en déduit donc «<math>\;u(0^{+}) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}utilisant cette condition on tire <math>\;u(0^{+}) = R'\;I_0 + A\;\cancel{\exp\! \left(-\dfrac{0}{\tau} \right)}\;</math> ou <math>\;0 = R'\;I_0 + A\;</math> soit <math>\;A = -R'\;I_0\;</math> et par suite la réponse transitoire s'écrit <center>«<math>\;u(t) = R'\;I_0 \left[ 1 - \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;\;\forall t > 0\;</math>».</center> ===== Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée ===== {{Al|5}}Quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, d'une part le régime libre «<math>\;u_l(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \rightarrow 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand <math>\;\color{transparent}{t \rightarrow +\infty}</math>, }}d'autre part, la réponse transitoire «<math>\;u(t) = u_f + A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \rightarrow u_f\;</math>» c'est-à-dire qu'elle s'identifie à la « réponse forcée » <ref name="autre nom de réponse forcée" /> ; {{Al|5}}au bout d'une durée théorique <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>et pratique de <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="annulation pratique du régime libre" /><math>\big)\;</math> la tension aux bornes du condensateur parfait est établie, égale à celle aux bornes du conducteur ohmique dont l'intensité du courant le traversant est l'amplitude de l'échelon de courant<ref> L'intensité du courant de charge du condensateur étant devenue nulle.</ref>. ==== Déduction de l'intensité du courant traversant le condensateur d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant et sa discontinuité de 1^ère espèce ==== {{Al|5}}On sait que l'intensité du courant de charge du condensateur parfait est «<math>\;i_C(t) = C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math>»<ref name="convention récepteur" />, il suffit donc de dériver l'expression de <math>\;u(t) =</math> <math>R'\;I_0 \left[ 1 - \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;\;\forall t > 0\;</math> ce qui donne <math>\;i_C(t) = C\; R'\;I_0\; \dfrac{1}{\tau}\; \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\forall t > 0\;</math> ou, en utilisant <math>\;\tau = R'\;C</math>, <center>«<math>\;i_C(t) = I_0\; \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\forall t > 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la valeur <math>\;i_C(0^{+})\;</math> s'obtenant par limite de l'expression précédente quand <math>\;t \rightarrow 0\;</math> soit «<math>\;i_C(0^{+}) = I_0\;</math>» et «<math>\;i_C(0^{-})\;</math> étant <math>\;= 0\;</math>», on en déduit <center>« <u>la discontinuité de 1^ère espèce de</u><math>\;i_C(t)\;</math><u>en</u><math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, <br>le saut étant fini et valant «<math>\;\Delta i_C(0) = i_C(0^{+}) - i_C(0^{-}) = I_0\;</math>».</center> === Recherche de la réponse en intensité du courant traversant le condensateur d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant === ==== Équation différentielle en intensité du courant traversant le condensateur d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant ==== {{Al|5}}L'équation différentielle en intensité <math>\;i_C(t)\;</math> de courant de charge du condensateur parfait d'un <math>\;R'\; C\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que <math>\;i_C(t)\;</math> comme inconnue ; {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;i_C(t) + \dfrac{u(t)}{R'} = I_0\;Y(t)\;\;(\mathfrak{a})\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;u(t)\;</math> au profit de <math>\;i_C(t)\;</math> selon <math>\;i_C(t) = C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" />, ce qui nécessite de dériver la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> par rapport au temps d'où <math>\;\dfrac{di_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{R'}\;\dfrac{du}{dt}(t) = I_0\;\delta(t)\;</math><ref name="pic de Dirac d'impulsion unité" /> soit, en y reportant <math>\;\dfrac{du}{dt}(t) = \dfrac{i_C(t)}{C}\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{di_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{R'\;C}\;i_C(t) = I_0\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle hexa"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;i_C(t)</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie que le 1^er membre de cette équation est le même que celui de l'équation différentielle en <math>\;u(t)\;</math> (au nom de l'inconnue près), le 1^er membre des équations différentielles en toutes grandeurs relatives au dipôle <math>\;R'\, C\;</math> parallèle est toujours le même car il est caractéristique de ce dipôle, le 2^ème membre dépendant, quant à lui, de la source à laquelle est soumise le dipôle, sera différent suivant la grandeur considérée.</ref> ; <br>on remarque que l'excitation est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="pic de Dirac et discontinuité" />.</center> ==== Discontinuité de l'intensité du courant traversant un condensateur dans un circuit résistif soumis à un échelon de courant ==== {{Al|5}}Dans un circuit « réel » dans lequel il y a une discontinuité de 1^ère espèce de la source à l'instant <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'un condensateur parfait, la tension aux bornes de ce dernier étant continue, il en est de même de celle aux bornes des conducteurs ohmiques et de l'intensité des courants les traversant<ref name="loi d'Ohm" />, la discontinuité de 1^ère espèce de la source<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> doit être compensée par une autre discontinuité de 1^ère espèce d'intensité de courant<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, soit une discontinuité de 1^ère espèce de l'intensité de courant de charge du condensateur parfait à l'instant <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" />. ==== Établissement direct de la réponse en intensité du courant traversant le condensateur d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant, régime libre et constante de temps d'un « R C parallèle », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire ==== ===== Rappel de l'équation différentielle en i_C(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1^ère espèce de l'excitation en t = 0 ===== {{Al|5}}Nous avons établi l'équation différentielle en <math>\;i_C(t)\;</math> suivante «<math>\;\dfrac{di_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{R'\;C}\;i_C(t) = I_0\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle hexa" /> dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" />. {{Al|5}}Nous avons admis dans le chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref name="lien entre discontinuités de l'excitation et de la réponse" /> que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1^er membre soit ici « la dérivée temporelle 1^ère de la solution générale est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 2ème espèce" />, et que le numéro d'espèce de discontinuité <math>\;\searrow\;</math> d'une unité<ref name="condition de diminution effective" /> à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>» <ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> ; {{Al|5}}en conclusion nous induisons que «<math>\;i_C(t)\;</math> est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> et cette induction nous permet de savoir que « nous obtiendrons <math>\;i_C(0^{+})\;</math> en traçant le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel nous utiliserons la continuité de la tension aux bornes du condensateur parfait dans un circuit “ réel ”<ref name="rappel continuité de tension aux bornes de C" /> ». ===== Équation différentielle en i_C(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée ===== {{Al|5}}Pour <math>\;t > 0</math>, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;i_C(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{di_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{R'\;C}\;i_C(t) = 0\;</math>» est homogène, ceci impliquant une <u>absence de réponse forcée</u>. ===== Forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du « R C parallèle » ===== {{Al|5}}Le régime libre<ref name="régime libre" /> étant solution de <math>\;\dfrac{di_{C,\,l}}{dt}(t) + \dfrac{1}{R'\;C}\;i_{C,\,l}(t) = 0</math>, on pose <center>«<math>\;\tau = R'\;C\;</math>» définissant la « constante de temps du <math>\;R'\, C\;</math> parallèle » <ref name="constante de temps RC" /></center> {{Al|5}}d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre <center>«<math>\;\dfrac{di_{C,\,l}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;i_{C,\,l}(t) = 0\;</math>»</center> {{Al|5}}dont on déduit la solution libre laquelle, en absence de réponse forcée, s'identifie à la réponse transitoire <center>«<math>\;i_C(t) = i_{C,\,l}(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <br>avec <math>\;A\;</math> constante réelle <math>\;\big(</math>d'intégration<math>\big)\;</math> a priori quelconque<ref name="régime libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre" />.</center> ===== Détermination de la condition initiale (C.I.) par tracé du circuit à 0⁺ et réponse transitoire ===== [[File:RC parallèle soumis à échelon de courant - bis.png|thumb|340px|Circuit à <math>\;0^{+}\;</math> d'un <math>\;R'\, C\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> avec un condensateur initialement déchargé]] {{Al|5}}Ci-contre on a tracé le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> en utilisant « la continuité de la tension aux bornes du condensateur parfait » c'est-à-dire «<math>\;u(0^{+}) = u(0^{-})\;</math>» avec la condition d'absence de tension « pré-initiale » <ref> C.-à-d. absence de tension pour <math>\;t < 0</math>, le préfixe « pré- » permettant de souligner que c'est l'absence de tension avant la fermeture de <math>\;K</math>.</ref> aux bornes du condensateur «<math>\;u(0^{-}) = 0\;</math>» d'où la condition initiale <math>\;\big(</math>C.I.<math>\big)\;</math> {{Nobr|«<math>\;u(0^{+})</math>}} <math>= 0\;</math>» ; {{Al|5}}de <math>\;u(0^{+}) = 0\;</math> nous déduisons que « le condensateur parfait est équivalent, à l'instant <math>\;0^{+}</math>, à un interrupteur fermé » d'où le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> ci-contre à partir duquel on établit aisément «<math>\;i_C(0^{+}) = I_0\;</math>». {{Al|5}}utilisant cette condition dans <math>\;i_C(0^{+}) = A\;\cancel{\exp\! \left(-\dfrac{0}{\tau} \right)}\;</math> on tire <math>\;I_0 = A\;</math> soit <math>\;A = I_0\;</math> et par suite la réponse transitoire s'écrit <center>«<math>\;i_C(t) = I_0\; \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\forall t > 0\;</math>».</center> ===== Amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire ===== {{Al|5}}Quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, d'une part le régime libre «<math>\;i_{C,\,l}(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \rightarrow 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand <math>\;\color{transparent}{t \rightarrow +\infty}</math>, }}d'autre part, la réponse transitoire «<math>\;i_C(t) = \cancel{i_{C,\,f}} + i_{L,\,l}(t) \rightarrow 0\;</math>» par absence de réponse forcée c'est-à-dire qu'elle s'annule ; {{Al|5}}au bout d'une durée théorique <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>et pratique de <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="annulation pratique du régime libre" /><math>\big)\;</math> le condensateur n'est traversé par aucun courant. == Étude théorique du « R L parallèle » soumis à un échelon de courant == === Recherche de la réponse en intensité du courant traversant la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant === [[File:RL parallèle soumis à échelon de courant.png|thumb|400px|Schéma d'un <math>\;R'\, L\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> avec réponses en <math>\;i_L\;</math> ou en <math>\;u\;</math>]] ==== Équation différentielle en intensité du courant traversant la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant ==== {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;i_L(t)</math>, intensité du courant traversant la bobine parfaite, du circuit ci-contre s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que <math>\;i_L(t)\;</math> comme inconnue, le circuit parallèle étant soumis à une même tension <math>\;u(t)</math> : {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;i_L(t) + \dfrac{u(t)}{R'} = I_0\;Y(t)\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;u(t)\;</math> au profit de <math>\;i_L(t)\;</math> selon <math>\;u(t) =</math> <math>L\;\dfrac{di_L}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> d'où <math>\;i_L(t) + \dfrac{L}{R'}\;\dfrac{di_L}{dt}(t) = I_0\;Y(t)\;</math> soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en <math>\;i_L(t)\;</math> suivante <center>«<math>\;\dfrac{di_L}{dt}(t) + \dfrac{R'}{L}\;i_L(t) = \dfrac{R'}{L}\;I_0\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle hepta"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;i_L(t)\;</math>.</ref> ; <br>on remarque que l'excitation est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce"/>.</center> ==== Continuité de l'intensité du courant traversant une bobine dans un circuit résistif ==== {{Al|5}}<u>L'énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite</u> étant <u>toujours continue</u> dans un circuit « réel <math>\;\big(</math>ou résistif<math>\big)\;</math>» <ref name="circuit réel" />, <u>il en est de même de l'intensité instantanée du courant</u><math>\;i_L(t)\;</math><u>traversant la bobine parfaite</u><ref name="continuité de l'intensité du courant traversant une bobine" /> mais nous n'avons aucune information sur la tension aux bornes de la bobine. ==== Établissement de la réponse en intensité du courant traversant la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant, régime libre et constante de temps d'un « R L parallèle », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire ==== ===== Rappel de l'équation différentielle en i_L(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1^ère espèce de l'excitation en t = 0 ===== {{Al|5}}Nous avons établi l'équation différentielle en <math>\;i_L(t)\;</math> suivante «<math>\;\dfrac{di_L}{dt}(t) + \dfrac{R'}{L}\;i_L(t) = \dfrac{R'}{L}\;I_0\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle hepta" /> dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" />. {{Al|5}}Nous avons admis dans le chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref name="lien entre discontinuités de l'excitation et de la réponse" /> que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1^er membre soit ici « la dérivée temporelle 1^ère de la solution générale est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, et que le numéro d'espèce de discontinuité <math>\;\searrow\;</math> d'une unité<ref name="condition de diminution effective" /> à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 0^ème espèce c'est-à-dire continue en <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}en conclusion on induit que «<math>\;i_L(t)\;</math> est continue en <math>\;t = 0\;</math>» et on justifie cette induction par la propriété de « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit “ réel ” <ref name="rappel continuité de intensité du courant traversant L" /> ». ===== Régime libre et constante de temps τ du « R L parallèle » ===== {{Al|5}}Le régime libre<ref name="régime libre" /> étant solution de <math>\;\dfrac{di_{L,\,l}}{dt}(t) + \dfrac{R'}{L}\;i_{L,\,l}(t) = 0</math>, on pose <center>«<math>\;\tau = \dfrac{L}{R'}\;</math>» définissant la « constante de temps du <math>\;R\, L\;</math> parallèle » <ref name="constante de temps d'un RL" /></center> {{Al|5}}d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre <center>«<math>\;\dfrac{di_{L,\,l}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;i_{L,\,l}(t) = 0\;</math>»</center> {{Al|5}}dont on déduit la solution libre <center>«<math>\;i_{L,\,l}(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <br>avec <math>\;A\;</math> constante réelle <math>\;\big(</math>d'intégration<math>\big)\;</math> a priori quelconque<ref name="régime libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre" />.</center> ===== Équation différentielle en i_L(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée ===== {{Al|5}}Pour <math>\;t > 0</math>, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;i_L(t)\;</math> hétérogène s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{di_L}{dt}(t) + \dfrac{R'}{L}\;i_L(t) = \dfrac{R'}{L}\;I_0\;</math>»</center> {{Al|5}}dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée<ref name="régime forcé ter"> Correspondant à la solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;i_L(t)\;</math> hétérogène de même forme que l'excitation <math>\;\big(</math>sauf, dans de très rares cas, il existe toujours une solution particulière de même forme que l'excitation<math>\big)</math>.</ref> est cherchée sous forme constante<ref name="régime forcé d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre à excitation constante" /> ce qui donne «<math>\;i_{L,\,f} = I_0\;</math>»<ref> En effet <math>\;i_{L,\,f}\;</math> étant constant sa dérivée temporelle est nulle d'où <math>\;\cancel{\dfrac{di_{L,\,f}}{dt}(t)} + \dfrac{R'}{L}\;i_{L,\,f}(t) = \dfrac{R'}{L}\;I_0</math>.</ref>. ===== Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire ===== {{Al|5}}L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;i_L(t)\;</math> hétérogène, écrite pour <math>\;t > 0</math>, admet pour réponse transitoire<ref name="réponse transitoire" /> <center>«<math>\;i_L(t) = i_{L,\,f} + i_{L,\,l}(t)\;</math>»<ref name="lien entre réponses transitoire, libre et forcée" /> ou «<math>\;i_L(t) = I_0 + A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <br>dans laquelle la constante <math>\;A\;</math> se détermine par C.I<ref name="C.I." />. c'est-à-dire par l'utilisation de la valeur <math>\;i_L(0^{+})</math> ;</center> {{Al|5}}or on sait, d'une part que l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit réel est continue d'où «<math>\;i_L(0^{+}) = i_L(0^{-})\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|or on sait, }}d'autre part que la bobine est initialement<ref name="initialement" /> traversée par aucun courant d'où «<math>\;i_L(0^{-}) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|or }}on en déduit donc «<math>\;i_L(0^{+}) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}utilisant cette condition on tire <math>\;i_L(0^{+}) = I_0 + A\;\cancel{\exp\! \left(-\dfrac{0}{\tau} \right)}\;</math> ou <math>\;0 = I_0 + A\;</math> soit <math>\;A = -I_0\;</math> et par suite la réponse transitoire s'écrit <center>«<math>\;i_L(t) = I_0 \left[ 1 - \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;\;\forall t > 0\;</math>».</center> ===== Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée ===== {{Al|5}}Quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, d'une part le régime libre «<math>\;i_{L,\,l}(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \rightarrow 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand <math>\;\color{transparent}{t \rightarrow +\infty}</math>, }}d'autre part, la réponse transitoire «<math>\;i_L(t) = i_{L,\,f} + A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \rightarrow i_{L,\,f}\;</math>» c'est-à-dire qu'elle s'identifie à la « réponse forcée » ; {{Al|5}}au bout d'une durée théorique <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>et pratique de <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="annulation pratique du régime libre" /><math>\big)\;</math> l'intensité du courant traversant la bobine parfaite est devenue égale à l'amplitude de l'échelon de courant<ref> La f.e.m. auto-induite dans la bobine étant devenue nulle, la tension à ses bornes l'est aussi ainsi que celle aux bornes du conducteur ohmique et l'intensité du courant traversant ce dernier d'où l'intensité du courant traversant la bobine parfaite égale à l'amplitude de l'échelon de courant.</ref>. ==== Déduction de la tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant et sa discontinuité de 1^ère espèce ==== {{Al|5}}On sait que la tension aux bornes de la bobine parfaite est «<math>\;u(t) = L\;\dfrac{di_L}{dt}(t)\;</math>»<ref name="convention récepteur" />, il suffit donc de dériver l'expression de <math>\;i_L(t) =</math> <math>I_0 \left[ 1 - \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;\;\forall t > 0\;</math> ce qui donne <math>\;u(t) =</math> <math>L\; I_0\; \dfrac{1}{\tau}\; \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\forall t > 0\;</math> ou, en utilisant <math>\;\tau = \dfrac{L}{R'}</math>, <center>«<math>\;u(t) = R'\;I_0\; \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\forall t > 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la valeur <math>\;u(0^{+})\;</math> s'obtenant par limite de l'expression précédente quand <math>\;t \rightarrow 0\;</math> soit «<math>\;u(0^{+}) = R'\;I_0\;</math>» et «<math>\;u(0^{-})\;</math> étant <math>\;= 0\;</math>», on en déduit <center>« <u>la discontinuité de 1^ère espèce de</u><math>\;u(t)\;</math><u>en</u><math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, <br>le saut étant fini et valant «<math>\;\Delta u(0) = u(0^{+}) - u(0^{-}) = R'\;I_0\;</math>».</center> === Recherche de la réponse en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant === ==== Équation différentielle en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant ==== {{Al|5}}L'équation différentielle en tension <math>\;u(t)\;</math> aux bornes de la bobine parfaite d'un <math>\;R'\; L\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que <math>\;u(t)\;</math> comme inconnue ; {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;i_L(t) + \dfrac{u(t)}{R'} = I_0\;Y(t)\;\;(\mathfrak{a})\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;i_L(t)\;</math> au profit de <math>\;u(t)\;</math> selon <math>\;u(t) = L\;\dfrac{di_L}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" />, ce qui nécessite de dériver la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> par rapport au temps d'où <math>\;\dfrac{di_L}{dt}(t) + \dfrac{1}{R'}\;\dfrac{du}{dt}(t) = I_0\;\delta(t)\;</math><ref name="pic de Dirac d'impulsion unité" /> soit, en y reportant <math>\;\dfrac{di_L}{dt}(t) = \dfrac{u(t)}{L}\;</math> et en normalisant <center>«<math>\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{R'}{L}\;u(t) = R'\;I_0\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle octa"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;u(t)</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie que le 1^er membre de cette équation est le même que celui de l'équation différentielle en <math>\;i_L(t)\;</math> <math>\big(</math>au nom de l'inconnue près<math>\big)</math>, le 1^er membre des équations différentielles en toutes grandeurs relatives au dipôle <math>\;R'\, L\;</math> parallèle est toujours le même car il est caractéristique de ce dipôle, le 2^ème membre dépendant, quant à lui, de la source à laquelle est soumise le dipôle, sera différent suivant la grandeur considérée.</ref> ; <br>on remarque que l'excitation est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="pic de Dirac et discontinuité" />.</center> ==== Discontinuité de la tension aux bornes de la partie inductive d'une bobine dans un circuit résistif soumis à un échelon de courant ==== {{Al|5}}Dans un circuit « réel » dans lequel il y a une discontinuité de 1^ère espèce de la source à l'instant <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'une bobine parfaite, l'intensité du courant traversant cette dernière étant continue, la discontinuité de 1^ère espèce de la source<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> doit être compensée par une autre discontinuité de 1^ère espèce de l'intensité de courant aux bornes des conducteurs ohmiques<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, c'est-à-dire une discontinuité de 1^ère espèce de la tension aux bornes des dipôles montés en parallèle<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> dans le circuit à l'instant <math>\;t = 0\;</math><ref name="loi d'Ohm" />. ==== Établissement direct de la réponse en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant, régime libre et constante de temps d'un « R L parallèle », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire ==== ===== Rappel de l'équation différentielle en u(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1^ère espèce de l'excitation en t = 0 ===== {{Al|5}}Nous avons établi l'équation différentielle en <math>\;u(t)\;</math> suivante «<math>\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{R'}{L}\;u(t) = R'\;I_0\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle octa" /> dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" />. {{Al|5}}Nous avons admis dans le chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref name="lien entre discontinuités de l'excitation et de la réponse" /> que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1^er membre soit ici « la dérivée temporelle 1^ère de la solution générale est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 2ème espèce" />, et que le numéro d'espèce de discontinuité <math>\;\searrow\;</math> d'une unité<ref name="condition de diminution effective" /> à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>» <ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> ; {{Al|5}}en conclusion nous induisons que «<math>\;u(t)\;</math> est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> et cette induction nous permet de savoir que « nous obtiendrons <math>\;u(0^{+})\;</math> en traçant le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel nous utiliserons la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine parfaite dans un circuit “ réel ” <ref name="rappel continuité de intensité du courant traversant L" /> ». ===== Équation différentielle en u(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée ===== {{Al|5}}Pour <math>\;t > 0</math>, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;u(t)\;</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{R'}{L}\;u(t) = 0\;</math>» est homogène, ceci impliquant une <u>absence de réponse forcée</u>. ===== Forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du « R L parallèle » ===== {{Al|5}}Le régime libre<ref name="régime libre" /> étant solution de <math>\;\dfrac{du_l}{dt}(t) + \dfrac{R'}{L}\;u_l(t) = 0</math>, on pose <center>«<math>\;\tau = \dfrac{L}{R'}\;</math>» définissant la « constante de temps du <math>\;R\, L\;</math> parallèle » <ref name="constante de temps d'un RL" /></center> {{Al|5}}d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre <center>«<math>\;\dfrac{du_l}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;u_l(t) = 0\;</math>»</center> {{Al|5}}dont on déduit la solution libre laquelle, en absence de réponse forcée, s'identifie à la réponse transitoire <center>«<math>\;u(t) = u_l(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <br>avec <math>\;A\;</math> constante réelle <math>\;\big(</math>d'intégration<math>\big)\;</math> a priori quelconque<ref name="régime libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre" />.</center> ===== Détermination de la condition initiale (C.I.) par tracé du circuit à 0⁺ et réponse transitoire ===== [[File:RL parallèle soumis à échelon de courant - bis.png|thumb|300px|Circuit à <math>\;0^{+}\;</math> d'un <math>\;R'\, L\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> avec une bobine initialement traversée par aucun courant]] {{Al|5}}Ci-contre on a tracé le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> en utilisant « la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine parfaite » c'est-à-dire «<math>\;i_L(0^{+}) = i_L(0^{-})\;</math>» avec la condition d'absence de courant « pré-initial » <ref> C.-à-d. absence de courant pour <math>\;t < 0</math>, le préfixe « pré- » permettant de souligner que c'est l'absence de courant avant la fermeture de <math>\;K</math>.</ref> dans la bobine «<math>\;i_L(0^{-}) = 0\;</math>» d'où la condition initiale <math>\;\big(</math>C.I.<math>\big)</math> «<math>\;i_L(0^{+}) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}de <math>\;i_L(0^{+}) = 0\;</math> nous déduisons que « la bobine parfaite est équivalente, à l'instant <math>\;0^{+}</math>, à un interrupteur ouvert » d'où le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> ci-contre à partir duquel on établit aisément «<math>\;u(0^{+}) = R'\;I_0\;</math>». {{Al|5}}utilisant cette condition dans <math>\;u(0^{+}) = A\;\cancel{\exp\! \left(-\dfrac{0}{\tau} \right)}\;</math> on tire <math>\;R'\;I_0 = A\;</math> soit <math>\;A = R'\;I_0\;</math> et par suite la réponse transitoire s'écrit <center>«<math>\;u(t) = R'\;I_0\; \exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right)\;\;\forall t > 0\;</math>».</center> ===== Amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire ===== {{Al|5}}Quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, d'une part le régime libre «<math>\;u_l(t) = A\;\exp\! \left(-\dfrac{t}{\tau} \right) \rightarrow 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand <math>\;\color{transparent}{t \rightarrow +\infty}</math>, }}d'autre part, la réponse transitoire «<math>\;u(t) = \cancel{u_f} + u_l(t) \rightarrow 0\;</math>» par absence de réponse forcée c'est-à-dire qu'elle s'annule ; {{Al|5}}au bout d'une durée théorique <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>et pratique de <math>\;5\; \tau\;</math><ref name="annulation pratique du régime libre" /><math>\big)\;</math> le courant traversant la bobine parfaite est établi et la tension aux bornes de cette dernière est nulle. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle|Circuits élect. dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle]] | suivant = [[../Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie|Circuits lin. du 1^er ordre : stockage et dissipation d'énergie]] }} 1sdelp6ai0xdb3etj55q0fkhs6m4j2k 0 67049 982861 978391 2026-05-16T07:38:23Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982861 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon | idfaculté = physique | numéro = 26 | chapitre = [[../../Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon/]] | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle/]] | suivant = [[../Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Résistance de fuite d'un condensateur == {{Al|5}}On charge un condensateur de capacité <math>\;C = 1\, \mu F\;</math> sous <math>\;10\, V</math>, puis {{Al|5}}on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance équivalente <math>\;R_V</math>. === Décharge du condensateur à travers le voltmètre === {{Al|5}}Considérant le condensateur comme parfait, déterminer <math>\;R_V\;</math> sachant qu'après <math>\;2\;</math> minutes, le voltmètre indique une différence de potentiel de <math>\;2,3\, V</math>. {{Al|5}}Si le condensateur possède une résistance de fuite <math>\;R_f</math>, quelle relation doit-elle vérifier pour que le condensateur puisse être considéré comme parfait dans l'expérience précédente ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}Le condensateur de capacité <math>\;C = 1\, \mu F\;</math> ayant été chargé sous <math>\;U = 10\, V\;</math> puis isolé, on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance équivalente <math>\;R_V\;</math><ref name="ajout d'un schéma"> Bien sûr il faut ajouter les schémas des circuits en définissant, sur ces derniers, toutes les grandeurs électriques introduites.</ref> ; il s'agit donc d'un circuit <math>\;R_V\, C\;</math> série court-circuité <math>\;\big(</math>c'est-à-dire sans générateur<math>\big)</math> avec <math>\;C\;</math> initialement chargé ; {{Al|5}}à <math>\;t = 0</math>, le condensateur fermé sur <math>\;R_V\;</math> va se décharger à travers cette dernière d'où, en notant <math>\;u_C(t)\;</math> la tension aux bornes de <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref> Sens choisi tel que <math>\;u_C(0^{-}) = U</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|à <math>\;\color{transparent}{t = 0}</math>, le condensateur fermé sur <math>\;\color{transparent}{R_V}\;</math> va se décharger à travers cette dernière d'où, }}en choisissant la « convention de décharge du condensateur »<ref> De façon à avoir <math>\;i > 0</math>.</ref> correspondant aussi à <br>{{Al|5}}{{Transparent|à <math>\;\color{transparent}{t = 0}</math>, le condensateur fermé sur <math>\;\color{transparent}{R_V}\;</math> va se décharger à travers cette dernière d'où, en choisissant }}la « convention générateur pour le condensateur » c'est-à-dire <math>\;i(t) = -\dfrac{dq}{dt}(t) = -C\, \dfrac{du_C}{dt}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|à <math>\;\color{transparent}{t = 0}</math>, le condensateur fermé sur <math>\;\color{transparent}{R_V}\;</math> va se décharger à travers cette dernière d'où, }}par application de la « loi de maille orientée dans le sens de <math>\;u_C(t)\;</math>»<ref> J'insiste : il est impératif de faire un schéma.</ref> <math>\;u_C(t) + R_V\, C\, \dfrac{du_C}{dt}(t) = 0\;</math> soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|à <math>\;\color{transparent}{t = 0}</math>, le condensateur fermé sur <math>\;\color{transparent}{R_V}\;</math> va se décharger à travers cette dernière d'où, }}en normalisant «<math>\;\dot{u}_C(t) + \dfrac{1}{\tau}\, u_C(t) = 0\;</math>» avec «<math>\;\tau = R_V\, C\;</math> constante de temps du circuit » ; on en déduit {{Al|5}}{{Transparent|à <math>\;\color{transparent}{t = 0}</math>, le condensateur fermé sur <math>\;\color{transparent}{R_V}\;</math> va se décharger à travers cette dernière d'où, }}la solution de l'équation différentielle «<math>\;u_C(t) = A\, \exp \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la constante d'intégration <math>\;A\;</math> se déterminant en utilisant la continuité de <math>\;u_C(t)\;</math> à l'instant <math>\;0\;</math><ref name="continuité de la tension uC dans un circuit résistif"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Continuité_de_la_tension_aux_bornes_d'un_condensateur_parfait_dans_un_circuit_résistif|continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;u_C(0^{+}) = u_C(0^{-}) = U = 10\,V\;</math>» d'où «<math>\;u_C(t) = U\, \exp \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) = 10\,\exp \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> en <math>\;V\;</math>» ; {{Al|5}}à <math>\;t = t_1 = 120\, s</math>, <math>\;u_C(t_1) = U_1 = 2,3\, V\;</math> d'où <math>\;\dfrac{t_1}{\tau} = \ln \left( \dfrac{U}{U_1} \right) \Rightarrow \tau = \dfrac{t_1}{\ln \left( \dfrac{U}{U_1} \right)} = \dfrac{120}{\ln \left( \dfrac{10}{2,3} \right)} \simeq 81,65\, s\;</math> dont on déduit «<math>\;R_V =</math> <math>\dfrac{\tau}{C} \simeq \dfrac{81,65}{10^{-6}}\;</math> soit <math>\;R_V \simeq 82\, M \Omega\;</math>». {{Al|5}}Si le condensateur n'est pas parfait, il se décharge, même s'il n'est pas relié à un voltmètre, à travers sa résistance de fuite <math>\;R_f</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le condensateur n'est pas parfait, }}on peut modéliser un condensateur non parfait par un condensateur parfait en <math>\;\parallel\;</math> sur un conducteur ohmique de résistance <math>\;R_f</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le condensateur n'est pas parfait, }}aussi, quand le condensateur non parfait est branché sur un voltmètre de résistance <math>\;R_V</math>, le circuit équivalent formé à partir de <math>\;t = 0\;</math><ref> Instant d'isolement du condensateur de sa source de charge, le voltmètre étant déjà en <math>\;\parallel\;</math> sur le condensateur pendant la charge, reste seul branché quand on retire la source de charge.</ref> est un condensateur parfait fermé sur deux conducteurs ohmiques en <math>\;\parallel\;</math> de résistances respectives <math>\;R_V\;</math> et <math>\;R_f\;</math> et le traitement précédent reste applicable à condition de « remplacer <math>\;R_V\;</math> par <math>\;R_{\text{éq}} = \dfrac{R_V\, R_f}{R_V + R_f}\;</math>» d'où «<math>\;R_{\text{éq}} \simeq 82\, M \Omega\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le condensateur n'est pas parfait, }}or «<math>\;R_{\text{éq}} = \dfrac{R_V\, R_f}{R_V + R_f} \simeq R_V\;</math> si <math>\;R_f \gg R_V\;</math>» et, dans la mesure où ceci serait valable, «<math>\;R_V \simeq 82\, M \Omega\;</math> nécessite <math>\;R_f \gg 82\, M \Omega\;</math>» soit «<math>\;R_f \gtrsim 820\, M \Omega\;</math>»<ref> En admettant que «<math>\;\gg\quad \Leftrightarrow\quad \gtrsim 10 \times\;</math>», on travaille alors à <math>\;10\, \%\;</math> près.</ref>.}} === Décharge du condensateur à travers sa résistance de fuite === {{Al|5}}En fait la condition précédente n'est pas vérifiée car le condensateur présente une résistance de fuite <math>\;R_f\;</math> de même ordre de grandeur que <math>\;R_V</math>. {{Al|5}}Pour mesurer <math>\;R_f</math>, nous isolons le condensateur après l'avoir rechargé sous <math>\;10\, V\;</math> et <math>\;2\;</math> minutes après, nous branchons le voltmètre à ses bornes pendant un court instant. Nous mesurons alors une différence de potentiel de <math>\;7,9\, V</math>. {{Al|5}}Déterminer <math>\;R_f\;</math> et <math>\;R_V</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}En fait la condition précédente <math>\;R_f \gtrsim 820\, M \Omega\;</math> n'étant pas vérifiée, le condensateur reste isolé pendant <math>\;t_2 = 2\, min = 120\, s\;</math> avant d'être relié au voltmètre ; {{Al|5}}on y fait alors la mesure instantanée <math>\;\big(</math>donc à l'instant <math>\;t_2 = 2\, min = 120\, s\;</math> mais sans que le condensateur ait le temps de se décharger dans la résistance équivalente <math>\;R_{\text{éq}}\big)\;</math> et on trouve <math>\;u_C(t_2^{+}) = 7,9\, V</math> ; {{Al|5}}sur l'intervalle <math>\;\left] 0\, \text{ ; } t_2^{-} \right[</math>, on retrouve le circuit de la 1^ère question avec <math>\;R_f\;</math> se substituant à <math>\;R_V\;</math> d'où, avec «<math>\;\tau_f = R_f\, C\;</math>» et «<math>\;u_C(t_2^{-}) = u_C(t_2^{+}) = 7,9\, V\;</math>»<ref> Continuité de <math>\;u_C(t)\;</math> dans un circuit réel à l'instant <math>\;t_2\;</math> de branchement du voltmètre, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Continuité_de_la_tension_aux_bornes_d'un_condensateur_parfait_dans_un_circuit_résistif|continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur l'intervalle <math>\;\color{transparent}{\left] 0\, \text{ ; } t_2^{-} \right[}</math>, on retrouve le circuit de la 1^ère question }}«<math>\;\tau_f = \dfrac{t_2}{\ln\!\! \left[ \dfrac{U}{u_C(t_2^{+})} \right]} = \dfrac{120}{\ln\! \left( \dfrac{10}{7,9} \right)} \simeq 509\, s\;</math>» dont on tire <math>\;R_f = \dfrac{\tau_f}{C} \simeq \dfrac{509}{10^{-6}}\;</math> soit «<math>\;R_f \simeq 510\, M \Omega\;</math>». {{Al|5}}On utilise alors le résultat de la 1^ère question soit «<math>\;R_{\text{éq}} = \dfrac{R_V\, R_f}{R_V + R_f} \simeq 82\, M \Omega\;</math>» pour en déduire <math>\;R_V\;</math> selon <math>\;R_{\text{éq}}\, (R_V + R_f) = R_V\, R_f\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|On utilise alors le résultat de la 1^ère question soit «<math>\;\color{transparent}{R_{\text{éq}} = \dfrac{R_V\, R_f}{R_V + R_f} \simeq 82\, M \Omega}\;</math>» pour en déduire }}<math>\;R_V = \dfrac{R_{\text{éq}}\, R_f}{R_f - R_{\text{éq}}} \simeq \dfrac{82 \times 509}{509 - 82} \simeq 97,7\, M \Omega\;</math> soit «<math>\;R_V \simeq 98\, M \Omega\;</math>».}} == Condition pour que l'intensité du courant délivré par un générateur dans un circuit parallèle soit constante dès la fermeture de l'interrupteur == [[File:RC série en parallèle sur R'L série soumis à échelon de tension.png|thumb|300px|Schéma d'un «<math>\;R_1\; C\;</math> série » en <math>\;\parallel\;</math> sur un «<math>\;R_2\; L\;</math> série » soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>, réponse en intensité délivrée par la source]] {{Al|5}}On relie, par l'intermédiaire d'un interrupteur <math>\;K</math>, un générateur de tension sans résistance interne et de f.e.m. <math>\;E\;</math> à deux circuits montés en <math>\;\parallel</math>, * l'un, composé d'un condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> et d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R_1\;</math> et * l'autre, d'une bobine parfaite d'auto-inductance <math>\;L\;</math> et d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R_2</math> ; {{Al|5}}initialement le condensateur étant déchargé et la bobine n'étant traversée par aucun courant, on ferme l'interrupteur à <math>\;t = 0\;</math><ref> Ainsi on impose aux deux circuits montés en <math>\;\parallel\;</math> un échelon de tension <math>\;e(t) = E\;Y(t)\;</math> d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>. === Détermination de l'intensité du courant délivré par le générateur === {{Al|5}}Déterminer les intensités <math>\;i_1(t)\;</math> et <math>\;i_2(t)\;</math> des courants traversant respectivement les dipôles «<math>\;R_1\; C\;</math> série » et «<math>\;R_2\; L\;</math> série » ; {{Al|5}}en déduire <math>\;i(t)</math>, l'intensité du courant délivré par la source. <br> {{Solution|contenu = [[File:RC série en parallèle sur R'L série soumis à échelon de tension - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un «<math>\;R_1\; C\;</math> série » en <math>\;\parallel\;</math> sur un {{Nobr|«<math>\;R_2\; L\;</math>}} série » soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>, réponses en intensité de courant dans chaque branche]] {{Al|5}}Sachant que le générateur est sans résistance interne<ref name="source de tension parfaite"> C'est donc une source de tension parfaite.</ref>, on a donc deux circuits classiques * <math>\;R_1\, C\;</math> série soumis à une tension <math>\;e(t) = E\;Y(t)\;</math> et * <math>\;R_2\, L\;</math> série soumis à une même tension <math>\;e(t) = E\;Y(t)</math>, {{Al|9}}{{Transparent|Sachant que le générateur est sans résistance interne, on a donc deux }}circuits que l'on peut résoudre indépendamment l'un de l'autre. {{Al|5}}<u>Circuit</u><math>\;R_1\, C\;</math><u> série soumis à échelon de tension</u> : <math>\;i_1(t)\;</math> étant la réponse en intensité de courant d'un <math>\;R_1\, C\;</math> série soumis à <math>\;e(t) = E\;Y(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Circuit <math>\;\color{transparent}{R_1\, C}\;</math> série soumis à échelon de tension : }}l'équation différentielle en <math>\;i_1(t)\;</math> s'écrit «<math>\;\dfrac{d i_1}{dt}(t) + \dfrac{1}{R_1\, C}\, i_1(t) = \dfrac{E}{R_1}\;\delta(t)\;</math>»<ref name="équation différentielle en i(t) d'un RC série soumis à échelon de tension"> À retrouver en dérivant l'équation de maille par rapport au temps et en divisant par <math>\;R_1\;</math> pour normaliser, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Équation_différentielle_en_intensité_de_courant_traversant_le_condensateur_d'un_«_R_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension|équation différentielle en intensité de courant traversant le condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Pour <math>\;t > 0\;</math> l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre est homogène, le 2^nd membre étant nul, <math>\;\delta(t)\;</math> étant le pic de Dirac d'impulsion unité, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de Schrödinger et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de Heisenberg, deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' dans sa [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie des distributions]] ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Karl Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], ayant obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' mathématicien français du XX^ème siècle qui reçut, pour le développement de sa [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie des distributions]], la médaille Fields en <math>\;1950</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Circuit <math>\;\color{transparent}{R_1\, C}\;</math> série soumis à échelon de tension : }}la solution est de la forme «<math>\;i_1(t) = A\, \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_1} \right)\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène" /> avec «<math>\;\tau_1 = R_1\, C\;</math> constante de temps du circuit », <math>\;A\;</math> se déterminant à l'aide de la C.I. <math>\;i_1(0^{+}) = \dfrac{E}{R_1}\;</math><ref> Par circuit à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel on utilise la continuité de la tension aux bornes du condensateur dans ce circuit réel à l'instant <math>\;0</math>, et comme le condensateur était initialement déchargé, il le reste encore à l'instant <math>\;0^{+}</math>, on peut donc, à cet instant, remplacer le condensateur par un court-circuit <math>\;\big(</math>le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> doit être tracé effectivement<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> on retrouve <math>\;E\;</math> aux bornes de <math>\;R\;</math> d'où le résultat de <math>\;i_1(0^{+})\;</math> par loi d'Ohm.</ref> soit «<math>\;i_1(t) = \dfrac{E}{R_1}\, \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_1} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Circuit</u><math>\;R_2\, L\;</math><u> série soumis à échelon de tension</u> : <math>\;i_2(t)\;</math> étant la réponse en intensité de courant d'un <math>\;R_2\,L\;</math> série soumis à <math>\;e(t) = E\;Y(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Circuit <math>\;\color{transparent}{R_2\, L}\;</math> série soumis à échelon de tension : }}l'équation différentielle en <math>\;i_2(t)\;</math> s'écrit «<math>\;\dfrac{d i_2}{dt}(t) + \dfrac{R_2}{L}\, i_2(t) = \dfrac{E}{L}\;Y(t)\;</math>»<ref> À retrouver en écrivant l'équation de maille et en divisant par <math>\;L\;</math> pour normaliser, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Équation_différentielle_en_intensité_de_courant_traversant_la_bobine_d'un_«_R_L_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension|équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine d'un R L série soumis à un échelon de tension]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Pour <math>\;t > 0\;</math> l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre est hétérogène à excitation constante, le 2^nd membre valant <math>\;\dfrac{E}{L}</math>, <math>\;Y(t)\;</math> étant l'échelon unité <math>\;\big(</math>ou fonction {{Nobr|d'Heaviside<math>\big)</math>,}} voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Échelon_unité_(ou_fonction_d'Heaviside)|échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Olivier_Heaviside|Oliver Heaviside]] (1850 - 1925)''' physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom <math>\;\big(</math>encore appelée échelon ou marche<math>\big)\;</math> utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Circuit <math>\;\color{transparent}{R_2\, L}\;</math> série soumis à échelon de tension : }}la solution est de la forme «<math>\;i_2(t) = \dfrac{E}{R} + B\, \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_2} \right)\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre hétérogène à excitation constante"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Premier_ordre_à_excitation_constante|1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\tau_2 = \dfrac{L}{R_2}\;</math> constante de temps du circuit », <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide de la C.I. <math>\;i_2(0^{+})</math> <math>= 0\;</math><ref> En effet il y a continuité de l'intensité du courant traversant une bobine dans un circuit réel à l'instant <math>\;0</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Continuité_de_la_tension_aux_bornes_d'une_bobine_parfaite_dans_un_circuit_résistif|continuité de la tension aux bornes d'une bobine parfaite dans un circuit résistif]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, et comme celle-ci était initialement nulle, elle l'est encore à l'instant l'instant <math>\;0^{+}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_2(0^{+}) = 0 = \dfrac{E}{R} + B\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;B = -\dfrac{E}{R}\;</math> soit «<math>\;i_2(t) = \dfrac{E}{R_2} \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_2} \right) \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Intensité du courant délivré par la source</u> : On écrit alors la loi des nœuds <math>\;i(t) = i_1(t) + i_2(t)\;</math> et on en déduit «<math>\;i(t) = E\! \left[ \dfrac{\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_1} \right)}{R_1} + \dfrac{1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_2} \right)}{R_2} \right]\;</math>»<ref> On observe que la discontinuité de 1^ère espèce de <math>\;i_1(t)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'intensité du courant traversant le condensateur à l'instant <math>\;0</math>, se reporte sur <math>\;i(t)</math>, l'intensité <math>\;i_2(t)\;</math> du courant traversant la bobine étant continue à ce même instant.</ref>.}} === Détermination de la condition pour que l'intensité du courant délivré par le générateur soit constante === {{Al|5}}Quelle doit être la condition sur <math>\;R_1</math>, <math>\;R_2</math>, <math>\;C\;</math> et <math>\;L\;</math> pour que l'intensité <math>\;i(t)\;</math> du courant délivré par le générateur soit constante ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}On veut que «<math>\;i(t)\;</math> soit <math>\;cste\;\;\forall\; t\;</math>» ce qui est « réalisé si <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = 0\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|5}}or «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = E\! \left[ -\dfrac{1}{R_1\, \tau_1} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_1} \right) + \dfrac{1}{R_2\, \tau_2} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_2} \right) \right] = 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{R_1^2\, C} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_1} \right) = \dfrac{1}{L} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_2} \right)\; \forall\; t\;</math>», « réalisé si <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\tau_1 = \tau_2\;\;\text{et}\\R_1^2\, C = L\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La 1^ère condition est nécessaire pour que l'égalité soit réalisée pour tout <math>\;t\;</math> car les exponentielles varient différemment suivant ce paramètre et <br>{{Al|3}}la 2^ème {{Transparent|condition est nécessaire}}pour que l'égalité soit aussi réalisée à l'instant <math>\;0</math>.</ref> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|or «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{di}{dt}(t) = E\! \left[ -\dfrac{1}{R_1\, \tau_1} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_1} \right) + \dfrac{1}{R_2\, \tau_2} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_2} \right) \right] = 0}\;</math>» }}en réécrivant la 2^ème C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. <math>\;L = R_1^2\, C\;</math> en utilisant l'expression de <math>\;\tau_1 = R_1\,C\;</math> selon «<math>\;L = R_1\, \tau_1\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|or «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{di}{dt}(t) = E\! \left[ -\dfrac{1}{R_1\, \tau_1} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_1} \right) + \dfrac{1}{R_2\, \tau_2} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_2} \right) \right] = 0}\;</math>» }}en réinjectant dans <math>\;\tau_2 = \dfrac{L}{R_2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\tau_2 = \dfrac{R_1 \tau_1}{R_2}\;</math>» à identifier à <math>\;\tau_1\;</math> par la 1^ère C.N<ref name="C.N." />. d'où «<math>\;R_2 = R_1\;</math>» d'une part et <br>{{Al|5}}{{Transparent|or «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{di}{dt}(t) = E\! \left[ -\dfrac{1}{R_1\, \tau_1} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_1} \right) + \dfrac{1}{R_2\, \tau_2} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_2} \right) \right] = 0}\;</math>» en réinjectant dans <math>\;\color{transparent}{\tau_2 = \dfrac{L}{R_2}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\tau_2 = \dfrac{R_1 \tau_1}{R_2}}\;</math>» à identifier à <math>\;\color{transparent}{\tau_1}\;</math> }}<math>\;L = R_1^2\, C\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;R_1 = \sqrt{\dfrac{L}{C}}\;</math>» d'autre part, <center>soit finalement «<math>\;R_2 = R_1 = \sqrt{\dfrac{L}{C}}\;</math>».</center> {{Al|5}}L'intensité du courant délivré par la source est alors constante, après la discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à l'instant <math>\;0</math>, selon <center>«<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R_1} = \dfrac{E}{R_2} = E\, \sqrt{\dfrac{C}{L}} = cste\; \forall\; t\;</math>».</center>}} == Établissement d'un équilibre électrique entre un condensateur chargé et un déchargé == {{Al|5}}On charge un condensateur de capacité <math>\;C\;</math> sous la tension <math>\;U</math>, et on relie ce condensateur ainsi chargé, puis isolé de la source de tension de charge, à un condensateur de capacité <math>\;C'</math>, initialement neutre, par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>. === Détermination des charges instantanées des condensateurs === {{Al|5}}Déterminer les charges <math>\;q(t)\;</math> et <math>\;q'(t)\;</math> des deux condensateurs et {{Al|5}}en déduire l'intensité <math>\;i(t)\;</math> du courant circulant dans le circuit. {{Solution|contenu = [[File:Condensateurs chargé et déchargé.png|thumb|350px|Circuit de décharge <math>\;\big(</math>partielle<math>\big)\;</math> d'un condensateur initialement chargé de capacité <math>\;C\;</math> dans un condensateur initialement déchargé de capacité <math>\;C'\;</math> par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>]] {{Al|5}}Les deux armatures et le conducteur ohmique constituent un conducteur isolé du reste <math>\;\big(</math>partie encadrée sur le schéma ci-contre<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <u>conservation de la charge du conducteur isolé</u> soit «<math>\;q(t) + q'(t) = cste = q(0^{+}) + q'(0^{+})\;</math>» ou encore, les charges des condensateurs d'un circuit réel<ref name="circuit réel"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_de_circuit_«_réel_»_et_propriété_de_la_puissance_instantanée_électrique_fournie_par_les_générateurs_d'un_circuit_«_réel_»|notion de circuit réel et propriété de la puissance instantanée électrique fournie par les générateurs d'un circuit réel]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> étant {{Nobr|continues<ref name="continuité de la charge q d'un condensateur dans un circuit résistif"> Car la charge d'un condensateur est égale à la tension à ses bornes divisée par la capacité de ce dernier et la tension aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif est toujours continue <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Continuité_de_la_tension_aux_bornes_d'un_condensateur_parfait_dans_un_circuit_résistif|continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>,}} «<math>\;q(t) + q'(t) = q(0^{-}) + q'(0^{-})\;</math>» ; {{Al|5}}notant «<math>\;Q = C\, U\;</math> la charge initiale du condensateur de capacité <math>\;C\;</math>», c'est-à-dire la valeur de <math>\;q(0^{-})</math>, <math>\;\big[</math>celle de <math>\;q'(0^{-})\;</math> étant nulle<math>\big]</math>, la conservation de la charge du conducteur isolé correspondant à la partie encadrée sur le schéma ci-contre se réécrit «<math>\;q(t) + q'(t) = Q\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;q'(t) = Q - q(t)\;</math> relation <math>(\mathfrak{a})\;</math>». {{Al|5}}<u>Convention de charge pour</u><math>\;C'</math> : «<math>\;i(t) = \dot{q'}(t)\;</math>»<ref name="convention de charge d'un condensateur"> Le sens <math>\;+\;</math> de <math>\;i(t)\;</math> arrivant sur l'armature portant la charge <math>\;q'(t)</math>, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Symbole_d'un_condensateur_parfait|symbole d'un condensateur parfait]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et en dérivant la relation <math>(\mathfrak{a})\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{q'}(t) = -\dot{q}(t)\;</math> soit finalement «<math>\;i(t) = -\dot{q}(t)\;</math>»<ref name="convention de décharge d'un condensateur"> Le sens <math>\;+\;</math> de <math>\;i(t)\;</math> partant de l'armature portant la charge <math>\;q(t)</math>, ceci correspondant à la <u>convention de décharge de</u><math>\;C</math>, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Modification_avec_le_choix_de_la_convention_générateur|modification avec le choix de la convention générateur]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Loi de maille</u> : «<math>\;\dfrac{q(t)}{C} - R\, i(t) - \dfrac{q'(t)}{C'} = 0\;</math>» d'où l'équation en <math>\;q(t)\;</math> en utilisant la relation <math>(\mathfrak{a})\;</math> ainsi que la définition de <math>\;i(t)\;</math> relativement à <math>\;q(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Loi de maille : }}«<math>\;\dfrac{q(t)}{C} + R\, \dot{q}(t) - \dfrac{Q - q(t)}{C'} = 0\;</math>» soit encore l'équation différentielle en <math>\;q(t)\;</math> normalisée «<math>\;\dot{q}(t) + \dfrac{1}{R} \left( \dfrac{1}{C} + \dfrac{1}{C'} \right) q(t) = \dfrac{Q}{R\, C'}\;</math>». {{Al|5}}<u>Réécriture de l'équation différentielle en</u><math>\;q(t)\;</math><u>normalisée</u> : on simplifie l'équation en posant «<math>\;\dfrac{1}{C_{\text{éq}}} = \dfrac{1}{C} + \dfrac{1}{C'}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;C_{\text{éq}} = \dfrac{C\, C'}{C + C'}\;</math>»<ref> <math>\;C_{\text{éq}}\;</math> ayant la même homogénéité que <math>\;C\;</math> et <math>\;C'</math>, peut être qualifiée de « capacité de condensateur équivalent à l'association envisagée ».</ref>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Réécriture de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{q(t)}\;</math>normalisée : on simplifie l'équation en posant }}«<math>\;\tau_{\text{éq}} = R\, C_{\text{éq}}\;</math>»<ref> C.-à-d. la constante de temps du circuit <math>\;R\, C_{\text{éq}}\;</math> série <math>\;\big(</math>ou <math>\;\parallel\big)</math>.</ref> ainsi que «<math>\;\tau' = R\, C'\;</math>»<ref> C.-à-d. la constante de temps du circuit <math>\;R\, C'\;</math> série <math>\;\big(</math>ou <math>\;\parallel\big)</math>.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Réécriture de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{q(t)}\;</math>normalisée : }}la réécriture de l'équation différentielle en <math>\;q(t)\;</math> normalisée «<math>\;\dot{q}(t) + \dfrac{q(t)}{\tau_{\text{éq}}} = \dfrac{Q}{\tau'}\;</math>». {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle en</u><math>\;q(t)\;</math><u>normalisée</u> : la solution de l'équation différentielle est de la forme «<math>\;q(t) = q_l(t) + q_f\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre hétérogène à excitation constante" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{q(t)}\;</math>normalisée : }}<math>\;q_f\;</math> solution forcée de même forme que l'excitation c'est-à-dire constante <math>\Rightarrow</math> «<math>\;q_f = \dfrac{\tau_{\text{éq}}}{\tau'}\, Q\;</math>» ou «<math>\;q_f = \dfrac{C_{\text{éq}}}{C'}\, Q = \dfrac{C}{C + C'}\, Q\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{q(t)}\;</math>normalisée : }}<math>\;q_l(t)\;</math> solution libre vérifiant <math>\;\dot{q}_l(t) + \dfrac{q_l(t)}{\tau_{\text{éq}}} = 0\;</math> d'équation caractéristique <math>\;s + \dfrac{1}{\tau_{\text{éq}}} = 0\;</math> soit finalement «<math>\;q_l(t) = A\, \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{q(t)}\;</math>normalisée : }}la forme de la charge instantanée du condensateur initialement chargé «<math>\;q(t) = A\, \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right) + \dfrac{C}{C + C'}\, Q\quad(\mathfrak{b})\;</math>» ; {{Al|5}}<u>Solution en</u><math>\;q(t)\;</math><u>avec utilisation de C.I<ref name="C.I."> Condition initiale.</ref>.</u> : on détermine <math>\;A\;</math> à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. nécessitant de connaître <math>\;q(0^{+})</math>, or <math>\;q(0^{+}) = q(0^{-})\;</math><ref name="continuité de la charge q d'un condensateur dans un circuit résistif" /> d'où «<math>\;q(0^{+}) = Q\;</math>» soit, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Solution en<math>\;\color{transparent}{q(t)}\;</math>avec utilisation de C.I. : }}en reportant dans la relation <math>(\mathfrak{b})</math>, <math>\;Q = A\, \cancel{\exp\! \left( -\dfrac{0}{\tau_{\text{éq}}} \right)} + \dfrac{C}{C + C'}\, Q\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A = \left(1 - \dfrac{C}{C + C'} \right)\, Q = \dfrac{C'}{C + C'}\, Q\;</math>» et par suite une 1^ère expression de <math>\;q(t)\;</math> <center>«<math>\;q(t) = Q \left[ \dfrac{C}{C + C'} + \dfrac{C'}{C + C'} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right) \right]\;</math>»</center> {{Al|10}}{{Transparent|Solution en<math>\;\color{transparent}{q(t)}\;</math>avec utilisation de C.I. : }}ou encore, en éliminant <math>\;Q\;</math> au profit de la tension initiale de charge <math>\;U\;</math> liée par <math>\;Q = C\, U</math>, une 2^ème expression de <math>\;q(t)\;</math> <center>«<math>\;q(t) = \dfrac{C + C' \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)}{C + C'}\; C\, U\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Solution en</u><math>\;q'(t)\;</math> : On en déduit alors la charge instantanée <math>\;q'(t)\;</math> du condensateur initialement déchargé à l'aide de la relation <math>\;q'(t) = Q - q(t)\;</math> soit encore, en utilisant la 1^ère expression de <math>\;q(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Solution en<math>\;\color{transparent}{q'(t)}\;</math> : }}<math>\;q'(t) = Q - Q \left[ \dfrac{C}{C + C'} + \dfrac{C'}{C + C'} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right) \right] = Q \dfrac{C'}{C + C'} - Q \dfrac{C'}{C + C'} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\;</math> soit finalement une 1^ère expression de <math>\;q'(t)\;</math> <center>«<math>\;q'(t) = Q \dfrac{C'}{C + C'} \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right) \right]\;</math>»</center> {{Al|5}}{{Transparent|Solution en<math>\;\color{transparent}{q'(t)}\;</math> : }}ou encore, en éliminant <math>\;Q\;</math> au profit de la tension initiale de charge <math>\;U\;</math> liée par <math>\;Q = C\, U</math>, une 2^ème expression de <math>\;q'(t)\;</math> <center>«<math>\;q'(t) = \dfrac{C\, C'}{C + C'}\, U \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right) \right]\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Expression de</u><math>\;i(t)\;</math> : pour obtenir <math>\;i(t)</math>, il suffit de dériver l'expression de <math>\;q'(t)\;</math><ref> Ou prendre l'opposé de la dérivée temporelle de <math>\;q(t)</math>.</ref> et on obtient aisément <math>\;i(t) = \dot{q'}(t) = \dfrac{C\, C'}{C + C'}\, U \left[ - \dfrac{-1}{\tau_{\text{éq}}} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right) \right] =</math> <math>C_{\text{éq}} \dfrac{1}{\tau_{\text{éq}}}\, U\, \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\;</math> soit <center>«<math>\;i(t) = \dfrac{U}{R}\, \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On constate une discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> de <math>\;i(t)\;</math> à <math>\;t = 0\;</math> car <math>\;i(0^{+}) = \dfrac{U}{R}\;</math> alors que <math>\;i(0^{-}) = 0</math>.}} === Détermination directe de l'intensité du courant === {{Al|5}}Reprendre l'exercice en déterminant directement l'intensité <math>\;i(t)\;</math> du courant circulant dans le circuit<ref> Directement c.-à-d. sans chercher à expliciter au préalable les charges instantanées de l'un ou l'autre des deux condensateurs en fonction du temps mais on déterminant l'équation différentielle en <math>\;i(t)\;</math> puis en la résolvant.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Équation différentielle en</u><math>\;i(t)\;</math> : même début, loi de maille <math>\;\overset{\ldots}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\dfrac{q(t)}{C} - R\, i(t) - \dfrac{q'(t)}{C'} = 0\;</math>», que l'on dérive par rapport au temps <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\dot{q}(t)}{C} - R\, \dfrac{di}{dt}(t) - \dfrac{\dot{q'}(t)}{C'} = 0\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math> : }}avec le lien entre <math>\;\dot{q}(t),\; \dot{q'}(t)\;</math> et <math>\;i(t)</math>, à savoir «<math>\;i(t) = \dot{q'}(t) = -\dot{q}(t)\;</math>», permettant d'éliminer <math>\;\dot{q}(t)\;</math> et <math>\;\dot{q'}(t)</math>, <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{-i(t)}{C} - R\, \dfrac{di}{dt}(t) - \dfrac{i(t)}{C'} = 0\;</math>» et finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math> : }}on obtient la forme normalisée de l'équation différentielle en <math>\;i(t)</math> «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{R} \left( \dfrac{1}{C} + \dfrac{1}{C'} \right) i(t) = 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math> : on obtient }}avec introduction de la constante de temps <math>\;\tau_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\dfrac{1}{\tau_{\text{éq}}} = \dfrac{1}{R} \left( \dfrac{1}{C} + \dfrac{1}{C'} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\tau_{\text{éq}} = R\;\dfrac{C\, C'}{C + C'}\;</math>», «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau_{\text{éq}}} i(t) = 0\;</math>». [[File:Condensateurs chargé et déchargé - circuit initial.png|thumb|300px|Circuit de décharge <math>\;\big(</math>partielle<math>\big)\;</math> d'un condensateur initialement chargé de capacité <math>\;C\;</math> dans un condensateur initialement déchargé de capacité <math>\;C'\;</math> par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> à l'instant <math>\;0^{+}</math>]] {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle en</u><math>\;i(t)\;</math><u>normalisée</u> : la solution de l'équation différentielle s'identifie à la solution libre «<math>\;i(t) = A' \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math>normalisée : }}il reste alors à déterminer <math>\;A'\;</math> à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. c'est-à-dire la valeur de <math>\;i(0^{+})\;</math> et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math>normalisée : il reste alors à déterminer <math>\;\color{transparent}{A'}\;</math> }}celle-ci ne résultant pas d'une continuité de grandeur dans un circuit réel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math>normalisée : il reste alors à déterminer <math>\;\color{transparent}{A'}\;</math> }}nous la cherchons par circuit à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel nous remplaçons les deux condensateurs par leur modèle équivalent à <math>\;0^{+}\;</math><ref> Résultant de la continuité de la tension aux bornes des condensateurs dans un circuit réel <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Continuité_de_la_tension_aux_bornes_d'un_condensateur_parfait_dans_un_circuit_résistif|continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, soit : * le condensateur de capacité <math>\;C\;</math> étant initialement chargé sous tension <math>\;U</math>, peut être remplacé, dans le circuit à <math>\;0^{+}</math>, par une source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;U</math>, * le condensateur de capacité <math>\;C'\;</math> étant initialement déchargé, peut être remplacé, dans le circuit à <math>\;0^{+}</math>, par un court-circuit.</ref> d'où le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> ci-contre : {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math>normalisée : il reste alors à déterminer <math>\;\color{transparent}{A'}\;</math> }}on retrouve <math>\;U\;</math> aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> et par application de la loi d'Ohm<ref name="Ohm"> '''[[w:Georg_Ohm|Georg Simon Ohm]] (1789 - 1854)''' physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.</ref> on en déduit la valeur de l'intensité initiale <math>\;i(0^{+})\;</math> du courant dans le circuit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math>normalisée : il reste alors à déterminer <math>\;\color{transparent}{A'}\;</math> }}«<math>\;i(0^{+}) = \dfrac{U}{R}\;</math>» égale à <math>\;i(0^{+}) = A' \cancel{\exp\! \left( -\dfrac{0}{\tau_{\text{éq}}} \right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A' = \dfrac{U}{R}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math>normalisée : }}et finalement «<math>\;i(t) = \dfrac{U}{R} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On obtient évidemment le même résultat que dans la solution de la question précédente <math>\;\big(</math>de façon plus rapide<ref> Car il n'y a pas à déterminer les charges instantanées des condensateurs.</ref><math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}on vérifie la présence d'une discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> de <math>\;i(t)\;</math> à <math>\;t = 0\;</math> car <math>\;i(0^{+}) = \dfrac{U}{R}\;</math> alors que <math>\;i(0^{-}) = 0</math>.}} == Oscillations de relaxation d'une lampe au néon == [[File:Oscillations de relaxation d'une lampe au néon.png|thumb|300px|Circuit d'oscillations de relaxation d'une lampe au néon <math>\;\big(</math>de tension d'allumage <math>\;V_a</math>, de tension d'extinction <math>\;V_e\;</math> et de résistance dynamique <math>\;\rho\big)\;</math> générées par la charge et la décharge d'un condensateur de capacité <math>\;C\;</math> soumis, à travers un conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>, à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>]] {{Al|5}}<u>Notions préliminaires sur une lampe au néon</u> : * une ampoule au néon ne s'allume que si la tension <math>\;u(t)\;</math> à laquelle elle est soumise est <math>\;>\;</math> à sa tension d'allumage <math>\;V_a</math>, soit «<math>\;u(t) > V_a\;</math>», la lampe allumée étant alors équivalente à une résistance dynamique <math>\;\rho</math> ; * l'ampoule au néon ne s'éteint que si la tension <math>\;u(t)\;</math> à laquelle elle est soumise devient <math>\;<\;</math> à sa tension d'extinction <math>\;V_e</math>, soit «<math>\;u(t) < V_e\;</math>», la lampe éteinte étant équivalente à un interrupteur ouvert<ref> La résistance dynamique de la lampe est alors infinie.</ref>. {{Al|5}}On considère le circuit ci-contre dans lequel on ferme l'interrupteur <math>\;K\;</math> à <math>\;t = 0\;</math><ref> On impose donc au réseau dipolaire passif « conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> en série avec l'association <math>\;\parallel\;</math> du condensateur de capacité <math>\;C\;</math> et de l'ampoule au néon » un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\; \ldots</math></ref>, le condensateur étant déchargé pour <math>\;t < 0</math>. === Étude d'une 1^ère phase de fonctionnement de la lampe et condition sur E pour qu'elle s'allume === {{Al|5}}À <math>\;t = 0\;</math> la lampe étant éteinte, le condensateur se charge alors à travers le conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|À <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math> la lampe étant éteinte, }}déterminer la loi de variation de la tension <math>\;u(t)\;</math> aux bornes du condensateur en fonction du temps <br>{{Al|5}}{{Transparent|À <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math> la lampe étant éteinte, déterminer la loi de variation de la tension <math>\;\color{transparent}{u(t)}\;</math> }}dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte ; {{Al|5}}{{Transparent|À <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math> la lampe étant éteinte, }}en déduire une condition sur l'amplitude <math>\;E\;</math> de l'échelon de tension pour que la lampe s'allume à la fin de cette phase et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math> la lampe étant éteinte, }}dans l'hypothèse où cette condition est réalisée, déterminer la durée <math>\;\Delta t_1\;</math> de cette 1^ère phase. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Il s'agit d'un simple circuit <math>\;R\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension <math>\;e(t) = E\, Y(t)\;</math><ref name="ajout d'un schéma" /> dont l'équation différentielle en <math>\;u(t)\;</math> est «<math>\;R\, C\, \dot{u} + u = E\quad \text{pour }t > 0\;</math>»<ref> S'obtenant par loi de maille avec utilisation de <math>\;i(t) = C\, \dot{u}(t)</math>, le sens du courant traversant le condensateur de capacité <math>\;C\;</math> correspondant à la convention récepteur associée à <math>\;u(t)</math>.</ref> ; {{Al|9}}{{Transparent|Il s'agit d'un simple circuit <math>\;\color{transparent}{R\, C}\;</math> série soumis à un échelon de tension <math>\;\color{transparent}{e(t) = E\, Y(t)}\;</math> }}l'instant initial correspondant à la fermeture de <math>\;K</math>, cette phase perdurera tant que <math>\;u(t) < V_a\;</math><ref> Dès que <math>\;u(t)\;</math> franchit ce seuil la lampe s'allume.</ref>. {{Al|5}}<u>Solution de l'équation différentielle en</u><math>\;u(t)</math> : «<math>\;u(t) = u_f + u_l(t) = E + A\, \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre hétérogène à excitation constante" /> avec «<math>\;\tau = R\, C\;</math> constante de temps du <math>\;R\, C\;</math> série » et <math>\;A\;</math> constante réelle d'intégration à déterminer par C.I<ref name="C.I." />. ; {{Al|5}}{{Transparent|Solution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{u(t)}</math> : }}C.I<ref name="C.I." />. utilisant la continuité de la tension <math>\;u(t)\;</math> aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif<ref name="continuité de la tension uC dans un circuit résistif" /> soit <math>\;u(0^{+}) = u(0^{-}) = 0\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Solution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{u(t)}</math> : C.I. }}d'où <math>\;E + A\, \cancel{\exp\! \left( -\dfrac{0}{\tau} \right)} = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A = -E\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Solution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{u(t)}</math> : }}l'équation valable jusqu'à l'éventuel allumage de la lampe au néon s'écrit «<math>\;u(t) = E \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Condition sur</u><math>\;E\;</math><u>pour que la lampe au néon s'allume</u> : <math>\;u(t)\;</math> étant une fonction continue <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> jusqu'à <math>\;\lim\limits_{t \rightarrow \infty} u(t) = E\;</math> <math>\Rightarrow</math> la lampe au néon s'allumera si l'amplitude de l'échelon de tension est <math>\;>\;</math> à la tension d'allumage de la lampe c'est-à-dire si «<math>\;E > V_a\;</math>» <math>\;\big(</math>par utilisation du [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires#Énoncé|théorème des valeurs intermédiaires]] <ref name="énoncé équivalent"> Utilisé sous la forme équivalente « pour toute application continue <math>\;f\;:\;\left[ a\;,\;b \right]\; \rightarrow\; \mathbb{R}\;</math> et tout réel <math>\;v\;</math> compris entre <math>\;f(a)\;</math> et <math>\;f(a)</math>, il existe au moins un réel <math>\;c\;\in\, \left[ a\;,\;b \right]\;</math> tel que <math>\;f(c) = v\;</math>».</ref><math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Durée</u><math>\;\Delta t_1\;</math><u>de la 1^ère phase sous condition précédente</u> : sous cette condition l'expression de la tension <math>\;u(t)\;</math> reste valable jusqu'à l'instant <math>\;t_1\;</math> tel que <math>\;E \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t_1}{\tau} \right) \right] = V_a\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;t_1 = \tau\, \ln\! \left( \dfrac{E}{E - V_a} \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Durée<math>\;\color{transparent}{\Delta t_1}\;</math>de la 1^ère phase sous condition précédente : sous cette condition l'expression de la tension <math>\;\color{transparent}{u(t)}\;</math> reste valable jusqu'à l'instant <math>\;\color{transparent}{t_1}\;</math> }}date à partir de laquelle la lampe au néon s'allume ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Durée<math>\;\color{transparent}{\Delta t_1}\;</math>de la 1^ère phase sous condition précédente : sous cette condition }}la durée de la 1^ère phase est donc «<math>\;\Delta t_1 = \tau\, \ln\! \left( \dfrac{E}{E - V_a} \right)\;</math>».}} === Étude d'une 2^ème phase de fonctionnement de la lampe et choix de (E, R) pour qu'elle s'éteigne === {{Al|5}}La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 2^ème phase et pour cela on fait un changement d'origine des temps <math>\;t' = t - \Delta t_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, }}faire un schéma équivalent correspondant à la lampe au néon allumée et {{Al|5}}{{Transparent|La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, }}déterminer la loi de variation de la tension <math>\;u(t')\;</math> en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste allumée<ref> Pour simplifier l'étude, il est intéressant de permuter les positions du condensateur et de la lampe au néon allumée dans le but de modéliser le R.D.L.A. aux bornes du condensateur <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, }}en déduire une condition sur le choix de <math>\;(E, \, R)\;</math> pour que la lampe s'éteigne et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, }}dans l'hypothèse où cette condition est réalisée, déterminer la durée <math>\;\Delta t'_2\;</math> de cette 2^ème phase. {{Solution|contenu = [[File:Oscillations de relaxation d'une lampe au néon - bis.png|thumb|500px|Circuit d'oscillations de relaxation d'une lampe au néon dans la phase de décharge d'un condensateur de capacité <math>\;C\;</math> soumis, à travers un conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>, à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>, la lampe au néon étant allumée]] {{Al|5}}L'instant initial de cette 2^ème phase correspondant à l'allumage de la lampe au néon <math>\;\bigg[</math>correspondant à <math>\;t_1 = \tau\, \ln\! \left( \dfrac{E}{E - V_a} \right)\bigg]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'instant initial de cette 2^ème phase }}on y repère la date à partir de ce nouvel instant initial soit «<math>\;t' = t - t_1\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'instant initial de cette 2^ème phase }}cette phase perdurera tant que <math>\;u(t') > V_e\;</math> en-deçà de laquelle la lampe s'éteint. {{Al|5}}Le circuit équivalent est représenté ci-contre <math>\;\big(</math>1^er schéma<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}on met en évidence, aux bornes du condensateur, un P.D.T<ref name="P.D.T."> Pont Diviseur de Tension.</ref>. en permutant <math>\;\rho\;</math> et <math>\;C\;</math> <math>\;\big(</math>2^ème schéma au-dessous du 1^er<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}on en prend alors le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin"> '''[[w:Léon_Charles_Thévenin|Léon Charles Thévenin]] (1857 - 1926)''' ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Thévenin|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1883</math>.</ref> équivalent de f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)</math> <math>\;e_{\text{Th}} = \dfrac{\rho}{\rho + R}\, E\;</math><ref name="générateur de Thévenin équivalent"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Générateur_de_Thévenin_équivalent_au_réseau_dipolaire_«_pont_diviseur_de_tension_alimenté_en_entrée_par_uE(t)_et_vu_des_bornes_de_sortie_»|générateur de Thévenin équivalent au réseau dipolaire “pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_E(t) et vu des bornes de sortie”]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|on en prend alors le générateur de Thévenin équivalent }}de résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)</math> <math>\;r_{\text{Th}} = \dfrac{\rho\, R}{\rho + R}\;</math><ref name="générateur de Thévenin équivalent" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|on en prend alors le générateur de Thévenin équivalent }}d'où le 3^ème schéma équivalent ci-contre à droite du 2^ème ; {{Al|5}}on obtient alors un simple <math>\;R\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension <math>\;\big(</math>mais avec un condensateur initialement chargé<math>\big)\;</math> dont l'équation différentielle est «<math>\;r_{\text{Th}}\, C\, \dot{u}(t) + u(t) = e_{\text{Th}}\quad \text{pour }t' > 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Solution de l'équation différentielle en</u><math>\;u(t')</math> : «<math>\;u(t') = u_f + u_l(t') = e_{\text{Th}} + A'\, \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau'} \right)\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre hétérogène à excitation constante" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Solution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{u(t')}</math> : }}«<math>\;\tau' = r_{\text{Th}}\, C\;</math> constante de temps du nouveau <math>\;R\, C\;</math> série » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Solution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{u(t')}</math> : }}«<math>\;A'\;</math> constante réelle d'intégration » à déterminer par C.I<ref name="C.I." />. ; {{Al|5}}{{Transparent|Solution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{u(t')}</math> : }}C.I<ref name="C.I." />. utilisant la continuité de la tension <math>\;u(t)\;</math> aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif<ref name="continuité de la tension uC dans un circuit résistif" /> soit <math>\;u(t' = 0^{+}) = u(t' = 0^{-}) = V_a\;</math> d'où <math>\;e_{\text{Th}} + A'\, \cancel{\exp\! \left( -\dfrac{0}{\tau} \right)} = V_a\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A' = V_a - e_{\text{Th}}\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Solution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{u(t')}</math> : }}l'équation valable jusqu'à l'éventuelle extinction de la lampe au néon s'écrit «<math>\;u(t') = e_{\text{Th}} + \left( V_a - e_{\text{Th}} \right) \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau'} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Condition sur</u><math>\;(E\;,\;R)\;</math><u>pour que la lampe au néon s'éteigne</u> : une C.N<ref name="C.N." />. pour que la lampe s'éteigne est que <math>\;u(t)\;</math> soit <math>\;\searrow\;</math> et pour cela il faut que <math>\;e_{\text{Th}} = \dfrac{\rho}{\rho + R}\, E\;</math> soit <math>\;<\;</math> à la tension d'allumage <math>\;V_a\;</math> soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Condition sur<math>\;\color{transparent}{(E\;,\;R)}\;</math>pour que la lampe au néon s'éteigne : une C.N. pour que la lampe s'éteigne est que }}«<math>\;\dfrac{\rho}{\rho + R}\, E < V_a\;</math>» ; dans ce cas <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition sur<math>\;\color{transparent}{(E\;,\;R)}\;</math>pour que la lampe au néon s'éteigne : }}<math>u(t)\;</math> étant une fonction continue <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;V_a\;</math> jusqu'à <math>\;\lim\limits_{t' \rightarrow \infty} u(t') = e_{\text{Th}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> la lampe au néon s'éteindra si la f.e.m. de Thévenin<ref name="Thévenin" /> est <math>\;<\;</math> à la tension d'extinction de la lampe c'est-à-dire si «<math>\;e_{\text{Th}} = \dfrac{\rho}{\rho + R}\, E < V_e\;</math>»<ref> Seule condition à retenir car plus stricte que la précédente «<math>\;\dfrac{\rho}{\rho + R}\, E < V_a\;</math>».</ref> <math>\;\big(</math>par utilisation du [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires#Énoncé|théorème des valeurs intermédiaires]]<ref name="énoncé équivalent" /><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition sur<math>\;\color{transparent}{(E\;,\;R)}\;</math>pour que la lampe au néon s'éteigne : }}en conclusion la lampe au néon s'éteindra dans cette 2^ème phase pour <math>\;E < \left( 1 + \dfrac{R}{\rho} \right) V_e\;</math> soit encore «<math>\;E < V_e + R \dfrac{V_e}{\rho}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : pour que la lampe au néon s'allume il est nécessaire d'avoir <math>\;E > V_a\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour qu'elle s'éteigne {{Transparent|il est nécessaire d'avoir }}{{Al|23}}<math>\;E < V_e + R \dfrac{V_e}{\rho}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}cette 2^ème condition n'est compatible avec la 1^ère que si on a «<math>\;V_e + R \dfrac{V_e}{\rho} > V_a\;</math>» ce qui nécessite «<math>\;R > \rho \dfrac{V_a - V_e}{V_e}\;</math>». {{Al|5}}<u>Durée</u><math>\;\Delta {t'}_2\;</math><u>de la 2^ème phase sous condition précédente</u> : avec <math>\;E < V_e + R \dfrac{V_e}{\rho}</math>, l'expression de la tension <math>\;u(t')\;</math> reste valable jusqu'à l'instant <math>\;{t'}_2\;</math> tel que <math>\;e_{\text{Th}} + \left( V_a - e_{\text{Th}} \right) \exp\! \left( -\dfrac{t'_2}{\tau'} \right) = V_e\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|2}}{{Transparent|Durée<math>\;\color{transparent}{\Delta {t'}_2}\;</math>de la 2^ème phase sous condition précédente : avec <math>\;\color{transparent}{E < V_e + R \dfrac{V_e}{\rho}}</math>, l'expression de la tension <math>\;\color{transparent}{u(t')}\;</math> reste valable jusqu'à l'instant }}«<math>\;{t'}_2 = \tau'\, \ln\! \left( \dfrac{V_a - e_{\text{Th}}}{V_e - e_{\text{Th}}} \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Durée<math>\;\color{transparent}{\Delta {t'}_2}\;</math>de la 2^ème phase sous condition précédente : avec <math>\;\color{transparent}{E < V_e + R \dfrac{V_e}{\rho}}</math>, l'expression de la tension <math>\;\color{transparent}{u(t')}\;</math> reste valable jusqu'à l'instant }}date à partir de laquelle la lampe au néon s'éteint ; {{Al|5}}{{Transparent|Durée<math>\;\color{transparent}{\Delta {t'}_2}\;</math>de la 2^ème phase sous condition précédente : avec <math>\;\color{transparent}{E < V_e + R \dfrac{V_e}{\rho}}</math>, }}la durée de cette 2^ème phase est donc «<math>\;\Delta {t'}_2 = \tau'\, \ln\! \left( \dfrac{V_a - e_{\text{Th}}}{V_e - e_{\text{Th}}} \right)\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Durée<math>\;\color{transparent}{\Delta {t'}_2}\;</math>de la 2^ème phase sous condition précédente : avec <math>\;\color{transparent}{E < V_e + R \dfrac{V_e}{\rho}}</math>, }}en reportant les expressions de <math>\;e_{\text{Th}} = \dfrac{\rho}{\rho + R}\, E\;</math> et <math>\;r_{\text{Th}} = \dfrac{\rho\, R}{\rho + R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Durée<math>\;\color{transparent}{\Delta {t'}_2}\;</math>de la 2^ème phase sous condition précédente : avec <math>\;\color{transparent}{E < V_e + R \dfrac{V_e}{\rho}}</math>, }}la durée de cette phase se réécrit «<math>\;\Delta t'_2 = \dfrac{\rho\, R}{\rho + R}\,C\, \ln\! \left( \dfrac{V_a - \dfrac{\rho}{\rho + R}\, E}{V_e - \dfrac{\rho}{\rho + R}\, E} \right)\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Durée<math>\;\color{transparent}{\Delta {t'}_2}\;</math>de la 2^ème phase sous condition précédente : avec <math>\;\color{transparent}{E < V_e + R \dfrac{V_e}{\rho}}</math>, la durée de cette phase se réécrit}} «<math>\;\Delta {t'}_2 = \dfrac{\rho\, R}{\rho + R}\,C\, \ln\! \left[ \dfrac{(\rho + R)\, V_a - \rho\, E}{(\rho + R)\, V_e - \rho\, E} \right]\;</math>».}} === Étude d'une 3^ème phase de fonctionnement de la lampe et durée de cette 3^ème phase === {{Al|5}}La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 3sup>ème</sup> phase et pour cela on fait un nouveau changement d'origine des temps définissant <math>\;t'' = t' - \Delta {t'}_2</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, }}déterminer la loi de variation de la tension <math>\;u(t'')\;</math> en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte puis {{Al|5}}{{Transparent|La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, déterminer }}la durée <math>\;\Delta {t''}_3\;</math> de cette 3^ème phase. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'instant initial de cette 3^ème phase correspondant à l'extinction précédente de la lampe au néon <math>\;\bigg[</math>correspondant à <math>\;t_2 = t_1 + {t'}_2 = \tau\, \ln\! \left( \dfrac{E}{E - V_a} \right) + \tau'\, \ln\! \left( \dfrac{V_a - e_{\text{Th}}}{V_e - e_{\text{Th}}} \right)\bigg]</math>, {{Al|5}}{{Transparent|L'instant initial de cette 3^ème phase }}on y repère la date à partir de ce nouvel instant initial soit «<math>\;t'' = t' - {t'}_2 = t - (t_1 + {t'}_2)\;</math>», <br>{{Transparent|L'instant initial de cette 3^ème phase }}cette nouvelle phase perdurera tant que <math>\;u(t'') < V_a\;</math> au-delà de laquelle la lampe s'allumera. {{Al|5}}Il s'agit du même circuit que pour la 1^ère phase <math>\;\big(</math>mais avec un condensateur initialement chargé<math>\big)\;</math><ref name="ajout d'un schéma" /> dont l'équation différentielle est «<math>\;R\, C\, \dot{u}(t'') + u(t'') = E\quad \text{pour }t'' > 0\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Étude_d'une_1ère_phase_de_fonctionnement_de_la_lampe_et_condition_sur_E_pour_qu'elle_s'allume|étude d'une 1^ère phase de fonctionnement de la lampe et condition sur E pour qu'elle s'allume]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. {{Al|5}}<u>Solution de l'équation différentielle en</u><math>\;u(t'')</math> : «<math>\;u(t'') = u_f + u_l(t'') = E + A''\, \exp\! \left( -\dfrac{t''}{\tau} \right)\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre hétérogène à excitation constante" /> avec «<math>\;\tau = R\, C\;</math> constante de temps du <math>\;R\, C\;</math> série » et <math>\;A''\;</math> constante réelle d'intégration à obtenir par C.I<ref name="C.I." />. ; {{Al|5}}{{Transparent|Solution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{u(t'')}</math> : }}C.I<ref name="C.I." />. utilisant la continuité de la tension <math>\;u(t'')\;</math> aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif<ref name="continuité de la tension uC dans un circuit résistif" /> soit <math>\;u(t'' = 0^{+}) = u(t'' = 0^{-}) = V_e\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Solution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{u(t'')}</math> : C.I. }}d'où <math>\;E + A''\, \cancel{\exp\! \left( -\dfrac{0}{\tau} \right)} = V_e\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A'' = V_e - E\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Solution de l'équation différentielle en<math>\;\color{transparent}{u(t'')}</math> : }}l'équation valable jusqu'au nouvel allumage de la lampe au néon<ref> La lampe au néon s'allume effectivement une nouvelle fois car <math>\;u(t'')\;</math> est une fonction continue <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;V_e\;</math> jusqu'à <math>\;\lim\limits_{t'' \rightarrow \infty} u(t'') = E\;</math>s'écrit «<math>\;u(t) = E \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;</math>» et, par [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires#Énoncé|théorème des valeurs intermédiaires]] <math>\;\big(</math>plus exactement l'énoncé équivalent rappelé dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#cite_note-énoncé_équivalent-40|⁴⁰]] » plus haut dans cet exercice<math>\big)</math>, <math>\;u(t'')\;</math> peut donc prendre la valeur <math>\;V_a\;</math> comprise entre <math>\;V_e\;</math> et <math>\;E</math>.</ref> s'écrit «<math>\;u(t'') = E - (E - V_e) \exp\! \left( -\dfrac{t''}{\tau} \right)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>Durée</u><math>\;\Delta {t''}_3\;</math><u>de la 3^ème phase</u> : l'expression de la tension <math>\;u(t'')\;</math> reste valable jusqu'à l'instant <math>\;{t''}_3\;</math> tel que <math>\;E - (E - V_e) \exp\! \left( -\dfrac{t''_3}{\tau} \right) = V_a\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;{t''}_3 = \tau\, \ln\! \left( \dfrac{E - V_e}{E - V_a} \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Durée<math>\;\color{transparent}{\Delta {t''}_3}\;</math>de la 3^ème phase : l'expression de la tension <math>\;\color{transparent}{u(t'')}\;</math> reste valable jusqu'à l'instant <math>\;\color{transparent}{{t''}_3}\;</math> }}date à partir de laquelle la lampe au néon s'allume de nouveau ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Durée<math>\;\color{transparent}{\Delta {t''}_3}\;</math>de la 3^ème phase : }}la durée de cette 3^ème phase est donc «<math>\;\Delta {t''}_3 = \tau\, \ln\! \left( \dfrac{E - V_e}{E - V_a} \right)\;</math>».}} === Oscillations de relaxation de la lampe au néon et explicitation de leur période === {{Al|5}}La phase succédant à la 3^ème phase s'identifiant à la 2^ème phase et celle-ci étant suivie par la 3^ème phase on observe, après une 1^ère phase d'initiation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La phase succédant à la 3^ème phase s'identifiant à la 2^ème phase et celle-ci étant suivie par la 3^ème phase on observe, }}une succession périodique de 2^ème et 3^ème phases<ref> Cette succession constitue des [[w:Oscillation_de_relaxation|oscillations de relaxation]], c.-à-d. des oscillations obtenues par augmentation continue d'une contrainte, puis relâchement subi de celle-ci ; si vous voulez observer une animation d'[[w:Oscillation_de_relaxation|oscillations de relaxation]] d'une lampe au néon vous pouvez vous rendre sur le site https://phyanim.sciences.univ-nantes.fr/Elec/Transitoire/neon_FJ.php </ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|La phase succédant à la 3^ème phase s'identifiant à la 2^ème phase et celle-ci étant suivie par la 3^ème phase }}déduire de ce qui précède la période <math>\;T\;</math> des [[w:Oscillation_de_relaxation|oscillations de relaxation]] de la lampe au néon et {{Al|5}}{{Transparent|La phase succédant à la 3^ème phase s'identifiant à la 2^ème phase et celle-ci étant suivie par la 3^ème phase }}tracer l'allure du graphe de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec les valeurs numériques ci-dessous : {{Al|5}}{{Transparent|La phase succédant à la 3^ème phase s'identifiant à la 2^ème phase et celle-ci étant suivie par la 3^ème phase }}<u>A.N.</u><ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : <math>\;V_a = 100\, V</math>, <math>\;V_e = 80\, V</math>, <math>\;\rho = 100\, \Omega</math>, <math>\;E = 150\, V</math>, <math>\;R = 100\, \Omega\;</math> et <math>\;C = 1\, mF</math>. {{Solution|contenu =[[File:Oscillations de relaxation d'une lampe au néon - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire des [[w:Oscillation_de_relaxation|oscillations de relaxation]] d'une lampe au néon <math>\;\big(</math>de tension d'allumage <math>\;V_a = 100,V</math>, de tension d'extinction <math>\;V_e = 80\, V\;</math> et de résistance dynamique <math>\;\rho = 100\, \Omega\big)\;</math> générées par la charge et la décharge d'un condensateur de capacité <math>\;C = 1\, mF\;</math> soumis, à travers un conducteur ohmique de résistance <math>\;R = 100\, \Omega</math>, à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E = 150\, V</math>]] {{Al|5}}À la date «<math>\;t_1 = \tau\, \ln\! \left( \dfrac{E}{E - V_a} \right)\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\tau = R\, C = 100 \times 10^{-3} = 0,1\, s = 100\, ms\big)\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|À la date }}«<math>\;t_1 = 100 \times \ln\! \left( \dfrac{150}{150 - 100} \right) \simeq 109,9\;ms\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|À la date «<math>\;\color{transparent}{t_1}\;</math> }}nous obtenons une succession périodique de 2^ème et 3^ème phases correspondant à des [[w:Oscillation_de_relaxation|oscillations de relaxation]] dont la période est la somme des durées de chacune des 2^ème et 3^ème phases <math>\;\big[</math>voir l'allure du graphe de <math>\;u(t)\;</math> ci-contre<math>\big]</math>, {{Al|5}}{{Transparent|À la date «<math>\;\color{transparent}{t_1}\;</math> }}la 2^ème phase étant de durée «<math>\;\Delta {t'}_2 = \tau'\, \ln\! \left( \dfrac{V_a - e_{\text{Th}}}{V_e - e_{\text{Th}}} \right)\;</math>» <math>\;\bigg(\!</math>avec <math>\;\tau' = r_{\text{Th}}\, C</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À la date «<math>\;\color{transparent}{t_1}\;</math> la 2^ème phase étant de durée «<math>\;\color{transparent}{\Delta {t'}_2 = \tau'\, \ln\! \left( \dfrac{V_a - e_{\text{Th}}}{V_e - e_{\text{Th}}} \right)}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\bigg(\!}</math>avec }}<math>\;r_{\text{Th}} = \dfrac{\rho\, R}{\rho + R} = \dfrac{100 \times 100}{100 + 100} = 50\,\Omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|À la date «<math>\;\color{transparent}{t_1}\;</math> la 2^ème phase étant de durée «<math>\;\color{transparent}{\Delta {t'}_2 = \tau'\, \ln\! \left( \dfrac{V_a - e_{\text{Th}}}{V_e - e_{\text{Th}}} \right)}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\bigg(\!}</math>avec }}<math>\;\tau' = 50 \times 10^{-3} = 0,05\, s = 50\, ms\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À la date «<math>\;\color{transparent}{t_1}\;</math> la 2^ème phase étant de durée «<math>\;\color{transparent}{\Delta {t'}_2 = \tau'\, \ln\! \left( \dfrac{V_a - e_{\text{Th}}}{V_e - e_{\text{Th}}} \right)}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\bigg(\!}</math>avec }}<math>\;e_{\text{Th}} = \dfrac{\rho}{\rho + R}\, E = \dfrac{100}{100 + 100} \times 150</math> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|À la date «<math>\;\color{transparent}{t_1}\;</math> la 2^ème phase étant de durée «<math>\;\color{transparent}{\Delta {t'}_2 = \tau'\, \ln\! \left( \dfrac{V_a - e_{\text{Th}}}{V_e - e_{\text{Th}}} \right)}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\bigg(\!}</math>avec }}<math>\;e_{\text{Th}} = 75\,V\bigg)\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|À la date «<math>\;\color{transparent}{t_1}\;</math> la 2^ème phase étant de durée }}«<math>\;\Delta {t'}_2 = 50 \times \ln\! \left( \dfrac{100 - 75}{80 - 75} \right) \simeq 80,5\;ms\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|À la date «<math>\;\color{transparent}{t_1}\;</math> }}la 3^ème phase de durée «<math>\;\Delta {t''}_3 = \tau\, \ln\! \left( \dfrac{E - V_e}{E - V_a} \right)\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\tau = R\, C = 100 \times 10^{-3} = 0,1\, s = 100\, ms\big)\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|À la date «<math>\;\color{transparent}{t_1}\;</math> la 3^ème phase de durée }}«<math>\;\Delta {t''}_3 = 100 \times \ln\! \left( \dfrac{150 - 80}{150 - 100} \right) \simeq 33,6\;ms\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|À la date «<math>\;\color{transparent}{t_1}\;</math> }}la 2^ème phase s'étend donc entre les instants <math>\;t_1 \simeq 109,9\;ms\;</math> et <math>\;t_2 = t_1 + \Delta {t'}_2 \simeq 109,9 + 80,5 \simeq 190,4\;ms</math> et {{Al|5}}{{Transparent|À la date «<math>\;\color{transparent}{t_1}\;</math> }}la 3^ème phase {{Transparent|s'étend donc }}entre les instants <math>\;t_2 \simeq 190,4\;ms\;</math> et <math>\;t_3 = t_2 + \Delta {t''}_3 \simeq 190,4 + 33,6 \simeq 224,0\;ms</math>.}} === Application numérique === {{Al|5}}Calculer la période <math>\;T\;</math> avec les valeurs numériques du paragraphe précédent : <math>\;V_a = 100\, V</math>, <math>\;V_e = 80\, V</math>, <math>\;\rho = 100\, \Omega</math>, <math>\;E = 150\, V</math>, <math>\;R = 100\, \Omega\;</math> et <math>\;C = 1\, mF</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Calcul de la période <math>\;T\;</math> dans le cas où <math>\;V_a = 100\, V</math>, <math>\;V_e = 80\, V</math>, <math>\;\rho = 100\, \Omega</math>, <math>\;E = 150\, V</math>, <math>\;R = 100\, \Omega\;</math> et <math>\;C = 1\, mF</math> : {{Al|4}}{{Transparent|Calcul de la période}}«<math>\;T = \Delta {t'}_2 + \Delta {t''}_3 = \dfrac{\rho\, R}{\rho + R}\,C\, \ln\! \left[ \dfrac{(\rho + R)\, V_a - \rho\, E}{(\rho + R)\, V_e - \rho\, E} \right] + \tau\, \ln\! \left( \dfrac{E - V_e}{E - V_a} \right) \simeq 80,5 + 33,6 \simeq 114,1\;ms\;</math>»<ref> Voir les valeurs numériques de <math>\;\Delta {t'}_2\;</math> et <math>\;\Delta {t''}_3\;</math> dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Oscillations_de_relaxation_de_la_lampe_au_néon_et_explicitation_de_leur_période|oscillations de relaxation de la lampe au néon et explicitation de leur période]] » plus haut dans cet exercice.</ref>}} == Changement d'état d'un circuit avec condensateurs parfaits == === Charge et intensité du courant de charge de chaque condensateur d'une batterie « série et parallèle » === [[File:Batterie de condensateurs soumis à échelon de tension.png|thumb|300px|Schéma d'une batterie de condensateurs parfaits <math>\;\big(</math>initialement déchargés<math>\big)\;</math> en charge, à travers un conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>, sous une tension <math>\;U_0</math>]] {{Al|5}}À la date <math>\;t = 0</math>, on établit la tension <math>\;U_0\;</math> dans le circuit ci-contre, les condensateurs étant initialement déchargés ; {{Al|5}}exprimer les charges instantanées des divers condensateurs en fonction du temps. puis {{Al|5}}en déduire, également en fonction du temps, les intensités instantanées de chaque courant de charge de ces condensateurs. {{Al|5}}<u>Propriété préliminaire pour simplifier la résolution</u><ref> La propriété précise qu'une association <math>\;\parallel\;</math> ou série de condensateurs parfaits initialement non chargés est équivalente à un condensateur parfait ainsi que la valeur de la capacité équivalente relativement aux valeurs de chaque capacité.</ref> : <math>\succ\;</math>association <math>\;\parallel\;</math> de deux condensateurs parfaits de capacité <math>\;C_1\;</math> et <math>\;C_2\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente <math>\;C_{\text{éq}} = C_1 + C_2\;</math><ref name="condensateurs en parallèle"> La tension instantanée commune aux bornes des deux condensateurs parfaits étant <math>\;u(t)\;</math> avec pour charges instantanées respectives de chaque condensateur <math>\;q_1(t) = C_1\;u(t)\;</math> et <math>\;q_2(t) = C_2\;u(t)</math>, on définit la charge instantanée de l'association <math>\;\parallel\;</math> des deux condensateurs par <math>\;q_{\text{éq}}(t)</math> <math>= q_1(t) + q_2(t)\;</math> et <br>{{Al|3}}cette association <math>\;\parallel\;</math> est équivalente à un condensateur parfait si <math>\;q_{\text{éq}}(t) \propto u(t)\;</math> avec un cœfficient de proportionnalité positif définissant la capacité équivalente ; <br>{{Al|3}}on trouve ainsi <math>\;q_{\text{éq}}(t) = q_1(t) + q_2(t) = C_1\;u(t) + C_2\;u(t) = \left( C_1 + C_2 \right) u(t)\;</math> d'où <math>\;C_{\text{éq}} = C_1 + C_2</math>.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : }}<math>\succ\;</math>association série de deux condensateurs parfaits de capacité <math>\;C_1\;</math> et <math>\;C_2\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente <math>\;C_{\text{éq}} = \dfrac{C_1\;C_2}{C_1 + C_2}\;</math><ref> Dans la mesure où l'association série des deux condensateurs est formée à partir de deux condensateurs non chargés, l'armature inférieure du 1^er condensateur et l'armature supérieure du 2^ème étant reliée par un simple fil de connexion portent nécessairement des charges instantanées opposées quand les condensateurs sont devenus chargés <math>\;\big[</math>ainsi, appelant <math>\;q(t)\;</math> la charge instantanée de l'armature supérieure du 1^er condensateur, la charge instantanée de son armature inférieure étant alors <math>\;-q(t)\;</math> et celle de l'armature supérieure du 2^ème condensateur <math>\;q(t)\;</math> car opposée à la précédente, celle de son armature inférieure étant <math>\;-q(t)\big]</math> ; la tension instantanée aux bornes du 1^er condensateur parfait étant <math>\;u_1(t) = \dfrac{q(t)}{C_1}\;</math> et celle aux bornes du 2^ème condensateur parfait <math>\;u_2(t) = \dfrac{q(t)}{C_2}</math>, on définit la charge instantanée de l'association série des deux condensateurs par <math>\;q(t)</math>, la tension instantanée aux bornes de cette association série étant <math>\;u_{\text{éq}}(t) = u_1(t) + u_2(t)</math> ; <br>{{Al|3}}cette association série est équivalente à un condensateur parfait si <math>\;u_{\text{éq}}(t) \propto q(t)\;</math> avec un cœfficient de proportionnalité positif définissant l'inverse de la capacité équivalente ; <br>{{Al|3}}on trouve ainsi <math>\;u_{\text{éq}}(t) = u_1(t) + u_2(t) = \dfrac{q(t)}{C_1} + \dfrac{q(t)}{C_2}</math> <math>= q(t) \left( \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} \right)\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{C_{\text{éq}}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}\;</math> donnant aisément <math>\;C_{\text{éq}} = \dfrac{C_1\;C_2}{C_1 + C_2}</math>.</ref> <br><br><br><br> {{Solution|contenu = [[File:Batterie de condensateurs soumis à échelon de tension - ter.png|thumb|300px|Schéma d'une batterie de condensateurs parfaits {{Nobr|<math>\;\big(</math>initialement}} déchargés<math>\big)\;</math> en charge, à travers un conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>, sous une tension <math>\;U_0\;</math> avec définition des charges et intensité des courants instantanées]] {{Al|5}}Les condensateurs étant initialement déchargés, on peut leur appliquer les lois d'association rappelées dans le texte de la question : * les deux condensateurs parfaits <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> étant montés en <math>\;\parallel</math>, leur association est équivalente à un condensateur parfait unique de capacité équivalente {{Nobr|«<math>\;C_{1,\, 2}</math>}} <math>= C_1 + C_2 = 2\, C\;</math>» ; * ce dernier étant monté en série avec le 3^ème, leur association série est équivalente à un condensateur parfait unique de capacité équivalente «<math>\;C_{\text{éq}} =</math> <math>\dfrac{C_{1,\, 2}\,C_3}{C_{1,\, 2} + C_3} = \dfrac{2\, C^2}{2\, C + C} = \dfrac{2\, C}{3}\;</math>» ; {{Al|5}}la charge instantanée du 3^ème condensateur étant notée <math>\;q(t)</math>, <br>{{Transparent|charge instantanée}}celle de l'association <math>\;\parallel\;</math> des deux 1^ers de capacité équivalente <math>\;C_{1,\, 2}\;</math> est également <math>\;q(t)\;</math><ref name="charge instantanée d'une association série"> Car des condensateurs parfaits montés en série et initialement déchargés ont la même charge instantanée, laquelle définit la charge instantanée de l'association série.</ref>, avec <math>\;q(t) = q_1(t) + q_2(t)</math>, et <br>{{Transparent|charge instantanée celle de l'association <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> des deux 1^ers}}comme il y a symétrie entre <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math><ref> Correspondant à deux condensateurs de même capacité soumis à la même tension.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;q_1(t) = q_2(t)\;</math> de valeur commune <math>\;\dfrac{q(t)}{2}</math> ; enfin {{Al|5}}le 3^ème condensateur et l'association <math>\;\parallel\;</math> des deux 1^ers étant en série et de charge individuelle <math>\;q(t)</math>, celle du condensateur équivalent de capacité équivalente <math>\;C_{\text{éq}}\;</math> est aussi <math>\;q(t)\;</math><ref name="charge instantanée d'une association série" />. {{Al|5}}Nous obtenons alors un circuit <math>\;R\, C_{\text{éq}}\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;U_0</math>, l'instant <math>\;t = 0\;</math> étant celui de fermeture du circuit<ref> Il convient de tracer le schéma du circuit équivalent.</ref> avec le condensateur de capacité <math>\;C_{\text{éq}}\;</math> initialement déchargé, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous obtenons }}l'équation différentielle en <math>\;q(t)\;</math><ref name="équation différentielle en q(t) du circuit RC série soumis à un échelon de tension"> Obtenue par loi de maille avec la convention de charge du condensateur <math>\;i(t) = \dot{q}(t)</math>, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Équation_différentielle_en_tension_aux_bornes_du_condensateur_d'un_«_R_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension|équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », l'équation différentielle en la charge instantanée <math>\;q(t)\;</math> du condensateur découlant du lien de cette dernière avec la tension instantanée <math>\;u_C(t)\;</math> aux bornes du condensateur «<math>\;q(t) = \dfrac{u_C(t)}{C}\;</math>».</ref> <math>\;R\, \dot{q}(t) + \dfrac{1}{C_{\text{éq}}}\, q(t) = U_0\;Y(t)\;</math> ou, sous forme normalisée, «<math>\;\dot{q}(t) + \dfrac{1}{R\, C_{\text{éq}}}\, q(t) = \dfrac{U_0}{R}\;Y(t)\;</math>»<ref> Pour <math>\;t > 0\;</math> l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre est hétérogène à excitation constante, le 2^nd membre valant <math>\;\dfrac{U_0}{R}</math>, <math>\;Y(t)\;</math> étant l'échelon unité <math>\;\big(</math>ou fonction {{Nobr|d'Heaviside<math>\big)</math>,}} voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Échelon_unité_(ou_fonction_d'Heaviside)|échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Olivier_Heaviside|Oliver Heaviside]] (1850 - 1925)''' physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom <math>\;\big(</math>encore appelée échelon ou marche<math>\big)\;</math> utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous obtenons }}la solution de l'équation différentielle du circuit équivalent est de la forme «<math>\;q(t) = C_{\text{éq}}\;U_0 + A\, \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre hétérogène à excitation constante" /> avec <math>\;\tau_{\text{éq}} = R\, C_{\text{éq}}\;</math> et <math>\;A\;</math> constante réelle d'intégration se déterminant par utilisation de la C.I<ref name="C.I." />. à savoir <math>\;q(0^{+}) = 0\;</math> <math>\big[</math>continuité de la charge d'un condensateur dans un circuit « réel »<ref name="continuité de la charge q dans un circuit résistif"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Continuité_de_la_tension_aux_bornes_d'un_condensateur_parfait_dans_un_circuit_résistif|continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », la continuité de la charge instantanée <math>\;q(t)\;</math> du condensateur dans un circuit résistif découlant du lien de cette dernière avec la tension instantanée <math>\;u_C(t)\;</math> aux bornes du condensateur «<math>\;q(t) = \dfrac{u_C(t)}{C}\;</math>».</ref> <math>\;q(0^{+}) = q(0^{-})\;</math> et caractère déchargé du condensateur dans son état initial <math>\;q(0^{-}) = 0\big]\;</math> d'où <math>\;C_{\text{éq}}\;U_0 + A = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A = -C_{\text{éq}}\;U_0\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous obtenons }}la solution de l'équation différentielle du circuit équivalent se réécrit «<math>\;q(t) = C_{\text{éq}}\, U_0\, \left[ 1 - \exp \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right) \right]\;</math>» ou «<math>\;q(t) = \dfrac{2\, C\, U_0}{3} \left[ 1 - \exp \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right) \right]\;</math>»<ref> Il s'agit de la charge du condensateur équivalent mais aussi de la charge du 3^ème condensateur.</ref> avec «<math>\;\tau_{\text{éq}} = \dfrac{2\, R\, C}{3}\;</math>» ; {{Al|5}}les condensateurs <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> ayant même charge instantanée <math>\;q_1(t) = q_2(t) = \dfrac{q(t)}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;q_1(t) = q_2(t) = \dfrac{C\, U_0}{3} \left[ 1 - \exp \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right) \right]\;</math>» avec même constante de temps «<math>\;\tau_{\text{éq}} = \dfrac{2\, R\, C}{3}\;</math>». {{Al|5}}Nous déterminons l'intensité du courant circulant dans le circuit équivalent par <math>\;i(t) = \dot{q}(t)\;</math><ref> On rappelle le choix de la convention de charge du condensateur équivalent.</ref> soit «<math>\;i(t) = \dfrac{U_0}{R}\, \exp \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\;</math>»<ref> C'est aussi l'intensité de charge du 3^ème condensateur.</ref> avec même constante de temps «<math>\;\tau_{\text{éq}} = \dfrac{2\, R\, C}{3}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Nous déterminons }}l'intensité du courant ayant traversé chaque branche <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> par <math>\;i_1(t) = i_2(t) = \dfrac{i(t)}{2}\;</math><ref> Cela résulte de <math>\;q_1(t) = q_2(t) = \dfrac{q(t)}{2}\;</math> que l'on dérive temporellement, avec choix de convention de charge pour chaque condensateur.</ref> «<math>\;i_1(t) = i_2(t) = \dfrac{U_0}{2\, R}\, \exp \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)</math>» avec même constante de temps «<math>\;\tau_{\text{éq}} = \dfrac{2\, R\, C}{3}\;</math>».}} === Ajout d'un condensateur initialement chargé === [[File:Batterie de condensateurs soumis à échelon de tension - bis.png|thumb|300px|Ajout d'un condensateur chargé sous une tension <math>\;U_0\;</math> en <math>\;\parallel\;</math> sur le dernier condensateur de la batterie de condensateurs précédente initialement en équilibre sous la tension <math>\;U_0</math>]] {{Al|5}}Une fois l'équilibre atteint, on branche entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>, par l'intermédiaire d'un interrupteur <math>\;K\;</math> initialement<ref> L'instant initial étant, ici, n'importe quel instant post-équilibre de la batterie des trois condensateurs précédents.</ref> ouvert <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> un condensateur de capacité <math>\;C</math>, préalablement chargé sous la tension <math>\;U_0\;</math> et on ferme l'interrupteur. ==== Établissement d'un équilibre quasi-instantané ==== {{Al|5}}Montrer qu'immédiatement après fermeture de l'interrupteur <math>\;K</math>, il s'établit un 1^er équilibre quasi-instantané entre les quatre condensateurs, équilibre que l'on qualifiera de local dans la mesure où il se réalise sans circulation de courant dans la résistance <math>\;R\;</math><ref> L'équilibre à envisager se réalisant dans un circuit non résistif, la continuité de la charge <math>\;\big(</math>et de la tension<math>\big)\;</math> aux bornes de chaque condensateur n'est donc pas applicable.</ref> et {{Al|5}}déterminer les valeurs des charges des divers condensateurs après l'établissement de cet équilibre local quasi-instantané <math>\;\big(</math>l'instant de fin d'établissement de cet équilibre local sera noté <math>\;0^{+}\big)</math> ; {{Al|5}}quel risque encourent les fils de connexion ? <br><br> {{Solution|contenu = [[File:Batterie de condensateurs soumis à échelon de tension - tetra.png|thumb|320px|Ajout d'un condensateur chargé sous une tension <math>\;U_0\;</math> en <math>\;\parallel\;</math> sur le dernier condensateur de la batterie de condensateurs précédente initialement en équilibre sous la tension <math>\;U_0</math>, situation avant nouvel équilibre instantané]] {{Al|5}}Une fois l'équilibre de la batterie des trois condensateurs précédente atteint, les tensions aux bornes des différents condensateurs « entre <math>\;A'\;</math> et <math>\;D'\;</math>», « entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D\;</math>», « entre <math>\;B'\;</math> et <math>\;A'\;</math>» sont celles indiquées sur le schéma ci-contre ; {{Al|5}}{{Transparent|Une fois l'équilibre de la batterie des trois condensateurs précédente atteint, }}on branche alors « entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math>», par l'intermédiaire d'un interrupteur <math>\;K\;</math> initialement ouvert<ref> L'instant précédant la fermeture de l'interrupteur étant noté <math>\;0^{-}</math>.</ref>, un condensateur de capacité <math>\;C</math>, préalablement chargé sous la tension <math>\;U_0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une fois l'équilibre de la batterie des trois condensateurs précédente atteint, }}on ferme l'interrupteur<ref> L'instant de fermeture de l'interrupteur étant noté <math>\;0</math>.</ref>. {{Al|5}}On constate alors que <math>\;U_{A'B'} \neq U_{AB}</math>, alors que <math>\;U_{D'A'} = U_{DA}</math>, ce fait va se manifester par une décharge partielle du condensateur <math>\;AB\;</math> dans le condensateur <math>\;A'B'\;</math> à travers les fils de connexion <math>\;AA'\;</math> et <math>\;BB'</math>, par contre rien ne se produira a priori entre les condensateurs <math>\;D'A'\;</math> et <math>\;DA</math> ; {{Al|5}}or <math>\;AA'\;</math> et <math>\;BB'\;</math> étant des fils de connexion de résistance supposée nulle, cette décharge se fait en une durée nulle c'est-à-dire qu'elle est « instantanée »<ref> L'intensité du courant de décharge dans les fils étant infinie, ce n'est donc pas une situation réelle, et pour revenir à un cas réel, il faudrait tenir compte de la résistance des fils de connexion, le temps de décharge serait alors très petit mais non nul et, par suite, l'intensité très grande mais non infinie ; pour la pratique, cela ne changerait pas grand chose au fait que les fils fondraient, mais ici on reste dans la théorie avec des fils qui ne fondent jamais.</ref> jusqu'à l'égalité des tensions <math>\;U_{A'B'}\;</math> et <math>\;U_{AB}\;</math> de valeur commune <math>\;U_{AB,\, \text{équil}}</math> ; {{Al|5}}cette tension commune «<math>\;U_{AB,\, \text{équil}}\;</math>» se détermine en écrivant que l'ensemble des armatures <math>\;A\;</math> et <math>\;A'\;</math> reliées par le fil de connexion <math>\;AA'\;</math> est isolé <math>\;\big(</math>le caractère isolé dure le temps de cette mise à équilibre c'est-à-dire qu'il est de durée quasi nulle<math>\big)\;</math> soit <math>\;C\, \dfrac{2\, U_0}{3} + C\, U_0 =</math> <math>C\, U_{AB,\, \text{équil}} + C\, U_{AB,\, \text{équil}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette tension commune }}«<math>\;U_{AB,\, \text{équil}} = \dfrac{5\, U_0}{6}\;</math>»<ref name="définition de l'instant 0+"> L'instant postérieur à la fermeture de l'interrupteur à partir duquel un nouvel équilibre instantané s'est établi étant noté <math>\;0^{+}</math>.</ref> ; [[File:Batterie de condensateurs soumis à échelon de tension - penta.png|thumb|320px|Ajout d'un condensateur chargé sous une tension <math>\;U_0\;</math> en <math>\;\parallel\;</math> sur le dernier condensateur de la batterie de condensateurs précédente initialement en équilibre sous la tension <math>\;U_0</math>, situation juste après nouvel équilibre instantané]] {{Al|5}}à l'instant <math>\;0^{+}\;</math><ref name="définition de l'instant 0+" /> les valeurs de charge des condensateurs <math>\;DA'\;</math> et <math>\;DA\;</math> sont <math>\;\dfrac{C\, U_0}{3}\;</math> chacune, correspondant à une tension commune <math>\;\dfrac{U_0}{3}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|à l'instant <math>\;\color{transparent}{0^{+}}\;</math> les valeurs de }}celles des condensateurs <math>\;A'B'\;</math> et <math>\;AB\;</math> {{Transparent|sont}} <math>\;\dfrac{5\, C\, U_0}{6}\;</math> chacune, correspondant à une tension commune <math>\;\dfrac{5\,U_0}{6}\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|à l'instant <math>\;\color{transparent}{0^{+}}\;</math>}}<math>\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|à l'instant <math>\;\color{transparent}{0^{+}}\;</math>}}on constate alors l'absence d'équilibre global, la tension initiale aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> étant non nulle, orientée de droite à gauche elle vaut «<math>\;U_{R,\;\leftarrow}(0^{+}) = \left( \dfrac{U_0}{3} + \dfrac{5\,U_0}{6} \right) - U_0 = \dfrac{U_0}{6}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Comme nous l'avons déjà signalé dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#cite_note-68|⁶⁸]] » plus haut dans cet exercice, les fils de connexion <math>\;AA'\;</math> et <math>\;BB'</math>, traversés par un courant d'intensité théoriquement infinie pendant la décharge partielle du condensateur <math>\;AB\;</math> dans le condensateur <math>\;A'B'</math>, dans la pratique, fondraient, par contre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}les autres fils de connexion<ref> Par exemple <math>\;DD'\;</math> ou ceux qui relient le conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> ou la source de tension <math>\;U_0</math>.</ref>, resteraient intacts pendant l'établissement de cet équilibre quasi-instantané car traversés par aucun courant.}} ==== Évolution ultérieure ==== {{Al|5}}Déterminer l'évolution ultérieure du système <math>\;\big(</math>intensités instantanées des courants de charge ainsi que charges instantanées des divers condensateurs en fonction du temps<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}préciser son état final <math>\;\big(</math>charge de chaque condensateur ainsi que tension à leurs bornes<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = [[File:Batterie de condensateurs soumis à échelon de tension - hexa.png|thumb|300px|Après ajout d'un condensateur chargé sous une tension <math>\;U_0\;</math> en <math>\;\parallel\;</math> sur le dernier condensateur de la batterie de condensateurs précédente initialement en équilibre sous la tension <math>\;U_0</math>, évolution vers l'équilibre final]] {{Al|5}}Les deux condensateurs supérieurs de même charge initiale<ref name="définition de initial"> C.-à-d. définie à l'instant <math>\;0^{+}</math>.</ref> <math>\;\dfrac{q_0}{3}\;</math><ref name="définition de q0"> En notant <math>\;q_0 = C\;U_0</math>.</ref> et montés en <math>\;\parallel\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Les deux condensateurs supérieurs de même charge initiale <math>\;\color{transparent}{\dfrac{q_0}{3}}\;</math> et montés en <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}peuvent être remplacés par un seul condensateur de capacité <math>\;C_{1,\, 2} = 2\, C\;</math><ref name="condensateurs en parallèle" /> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Les deux condensateurs supérieurs de même charge initiale <math>\;\color{transparent}{\dfrac{q_0}{3}}\;</math> et montés en <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> peuvent être remplacés par un seul condensateur }}de charge initiale<ref name="définition de initial" /> <math>\;\dfrac{2\, q_0}{3}\;</math><ref name="condensateurs en parallèle" /> ; {{Al|5}}les deux condensateurs inférieurs de même charge initiale<ref name="définition de initial" /> <math>\;\dfrac{5\,q_0}{6}\;</math><ref name="définition de q0" /> et montés en <math>\;\parallel\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Les deux condensateurs inférieurs de même charge initiale <math>\;\color{transparent}{\dfrac{5\,q_0}{6}}\;</math> et montés en <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}peuvent être remplacés par un condensateur de capacité <math>\;C_{3,\, 4} = 2\, C\;</math><ref name="condensateurs en parallèle" /> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Les deux condensateurs inférieurs de même charge initiale <math>\;\color{transparent}{\dfrac{5\,q_0}{6}}\;</math> et montés en <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> peuvent être remplacés par un condensateur }}de charge initiale<ref name="définition de initial" /> <math>\;\dfrac{5\, q_0}{3}\;</math><ref name="condensateurs en parallèle" /> ; <center>nous obtenons alors, ci-contre, le schéma équivalent à un instant <math>\;t' > 0^{+}\;</math><ref> On a fait un changement d'origine des temps en posant <math>\;t' = t - \Delta t_1\;</math> où <math>\;\Delta t_1\;</math> est la durée pratique nécessaire pour que le 1^er équilibre <math>\;\big(</math>sans ajout du 4^ème condensateur<math>\big)\;</math> soit réalisé, durée pouvant être estimée à <math>\;\Delta t_1 \simeq 5\,\tau_{\text{éq}} = \dfrac{10\, R\, C}{3}</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}Par conservation de la charge globale de l'armature inférieure du condensateur supérieur et de l'armature supérieure du condensateur inférieur<ref> Cet ensemble d'armatures étant isolé du reste par les isolants de chaque condensateur parfait.</ref> du schéma équivalent ci-contre, nous déduisons «<math>\;-q(t') + q'(t') = - \dfrac{2\, q_0}{3} + \dfrac{5\, q_0}{3} = q_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;q'(t') = q_0 + q(t')\;</math>» et par suite, <br>{{Al|5}}en ayant choisi la convention de décharge pour les deux condensateurs<ref> Ici on prend la convention de décharge car celle-ci conduit à une intensité de courant positive compte tenu de <math>\;U_{R,\;\leftarrow}(0^{+}) = \dfrac{U_0}{6}</math>, la valeur de la tension initiale précédemment obtenue aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>.</ref> du schéma équivalent «<math>\;i(t') = -\dot{q}(t') = -\dot{q'}(t')\;</math>». {{Al|5}}L'équation de maille s'écrit : «<math>\;U_0 + R\, i(t') - \dfrac{q(t')}{2\, C} - \dfrac{q'(t')}{2\, C} = 0\;</math>» ou en remplaçant <math>\;q'(t')\;</math> par <math>\;q_0 + q(t')</math>, et en regroupant les termes en <math>\;q(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation de maille s'écrit : }}«<math>\;-R\, i(t') + \dfrac{q(t')}{C} + \dfrac{q_0}{2\, C} = U_0\;</math>» soit <br>{{Al|5}}l'équation différentielle en <math>\;q(t)\;</math> «<math>\;R\, \dot{q}(t') + \dfrac{1}{C}\, q(t')= </math> <math>U_0 - \dfrac{q_0}{2\, C}\;</math>» ou, l'excitation se réécrivant <math>\;U_0 - \dfrac{q_0}{2\, C} = U_0 - \dfrac{U_0}{2}\;</math><ref name="définition de q0" /> c'est-à-dire <math>\;\dfrac{U_0}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'équation différentielle <math>\;q(t)\;</math> sous forme normalisée <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{q(t)}\;</math> }}«<math>\;\dot{q}(t') + \dfrac{1}{R\, C}\, q(t') = \dfrac{U_0}{2\, R}\;</math>» ; {{Al|5}}la solution de l'équation différentielle est de la forme «<math>\;q(t') = q_l(t') + q_f\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre hétérogène à excitation constante" /> avec <math>\;q_f\;</math> solution forcée de même forme que l'excitation c'est-à-dire constante <math>\Rightarrow</math> «<math>\;q_f = \dfrac{C\, U_0}{2}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|la solution de l'équation différentielle est de la forme «<math>\;\color{transparent}{q(t') = q_l(t') + q_f}\;</math>» avec }}<math>\;q_l(t')\;</math> solution libre vérifiant <math>\;\dot{q}_l(t') + \dfrac{1}{R\, C}\, q_l(t') = 0\;</math> d'équation caractéristique <math>\;s + \dfrac{1}{R\, C} = 0\;</math> soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|la solution de l'équation différentielle est de la forme «<math>\;\color{transparent}{q(t') = q_l(t') + q_f}\;</math>» avec }}<math>\;q_l(t') = A\, \exp\! \left( -\dfrac{t'}{R\, C} \right)\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|la solution de l'équation différentielle est de la forme }}«<math>\;q(t') = \dfrac{C\, U_0}{2} + A\, \exp \left( -\dfrac{t'}{R\, C} \right)\;</math>», <math>\;A\;</math> étant une constante réelle d'intégration déterminée par C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;q(0^{+}) = \dfrac{2\, C\, U_0}{3} = \dfrac{2\, q_0}{3}\;</math>»<ref name="définition de q0" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|la solution de l'équation différentielle est de la forme «<math>\;\color{transparent}{q(t') = \dfrac{C\, U_0}{2} + A\, \exp \left( -\dfrac{t'}{R\, C} \right)}\;</math>», }}l'équation algébrique <math>\;\dfrac{2\, C\, U_0}{3} = \dfrac{C\, U_0}{2} + A\, \cancel{\exp \left( -\dfrac{0}{R\, C} \right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A = \dfrac{2\, C\, U_0}{3} - \dfrac{C\, U_0}{2} = \dfrac{C\, U_0}{6}\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|la solution de l'équation différentielle est }}«<math>\;q(t') = \dfrac{C\, U_0}{2} + \dfrac{C\, U_0}{6}\, \exp \left( -\dfrac{t'}{R\, C} \right)\;</math>» ; {{Al|5}}par report de l'expression de <math>\;q(t)\;</math> dans <math>\;q'(t') = q_0 + q(t') = C\, U_0 + q(t')\;</math> nous obtenons, après simplification évidente, «<math>\;q'(t') = \dfrac{3\, C\, U_0}{2} + \dfrac{C\, U_0}{6}\, \exp \left( -\dfrac{t'}{R\, C} \right)\;</math>» ; {{Al|5}}les deux condensateurs initiaux supérieurs <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> ont donc une charge individuelle «<math>\;q_1(t') = q_2(t') = \dfrac{q(t')}{2} = \dfrac{C\, U_0}{4} + \dfrac{C\, U_0}{12}\, \exp \left( -\dfrac{t'}{R\, C} \right)\;</math>» et {{Al|5}}les deux condensateurs initiaux inférieurs <math>\;(\mathfrak{3})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{4})\;</math> {{Transparent|ont donc }}une charge individuelle «<math>\;q_3(t') = q_4(t') = \dfrac{q'(t')}{2} = \dfrac{3\, C\, U_0}{4} + \dfrac{C\, U_0}{12}\, \exp \left( -\dfrac{t'}{R\, C} \right)\;</math>» ; {{Al|5}}l'intensité du courant circulant dans le conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> s'obtient en prenant l'opposé de la dérivée temporelle de l'expression de <math>\;q(t')</math>, soit «<math>\;i(t') = -\dot{q}(t') = \dfrac{U_0}{6\, R} \exp \left( -\dfrac{t'}{R\, C} \right)\;</math>». {{Al|5}}Le nouvel état d'équilibre <math>\;\big(</math>obtenu quand <math>\;t \rightarrow \infty\big)\;</math> est donc «<math>\;q_{1,\, \infty} = q_{2,\, \infty} = \dfrac{C\, U_0}{4}\;</math>», correspondant à une tension commune de <math>\;\dfrac{U_0}{4}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le nouvel état d'équilibre }}<math>\;\big\{</math>les condensateurs <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> se sont déchargés par rapport à la situation existant avant l'ajout du 4^ème condensateur initialement chargé sous tension <math>\;U_0\;</math> dans le circuit<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le nouvel état d'équilibre <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>obtenu quand <math>\;\color{transparent}{t \rightarrow \infty\big)}\;</math> est donc }}«<math>\;q_{3,\, \infty} = q_{4,\, \infty} = \dfrac{3\, C\, U_0}{4}\;</math>», correspondant à une tension commune de <math>\;\dfrac{3\,U_0}{4}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le nouvel état d'équilibre }}<math>\;\big\{</math>le condensateur <math>\;(\mathfrak{3})\;</math> s'est chargé par rapport à la situation existant avant l'ajout du 4^ème condensateur initialement chargé sous tension <math>\;U_0\;</math> dans le circuit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le nouvel état d'équilibre <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}alors que le condensateur <math>\;(\mathfrak{4})\;</math> s'est déchargé par rapport à la situation précédent son ajout dans le circuit<math>\big\}</math>.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle/]] | suivant = [[../Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie/]] }} 94vbloifx19ibhdinqab6jn5rdft9qi 4 80727 982862 982527 2026-05-16T11:43:06Z Alexis Jazz 61000 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 982862 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Les données suivantes sont en cache et ont été mises à jour pour la dernière fois le 2026-05-13T12:20:59Z. {{PLURAL:5000|1=Un seul résultat|5000 résultats}} au maximum {{PLURAL:5000|est disponible|sont disponibles}} dans le cache. {| class="sortable wikitable" ! 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3 mars 1884)/]] | suivant = [[../La descente à la fosse Renard : le moment fondateur/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == ''Mes Notes sur Anzin'' : la naissance du regard romanesque == Il vaut la peine de s'arrêter un moment sur ce que sont précisément ces... » 982850 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 7 | précédent = [[../Le voyage à Anzin (23 février - 3 mars 1884)/]] | suivant = [[../La descente à la fosse Renard : le moment fondateur/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == ''Mes Notes sur Anzin'' : la naissance du regard romanesque == Il vaut la peine de s'arrêter un moment sur ce que sont précisément ces ''Notes sur Anzin'', car elles permettent de saisir sur le vif la manière dont Zola observait. Elles occupent environ cent feuillets, numérotés du folio 209 au folio 308, avec quelques ajouts ultérieurs jusqu'au feuillet 316<ref>Marel, ''op. cit.'', p. 81 et 101.</ref>. Elles s'ouvrent sur cette description, qu'il vaut la peine de lire attentivement : <blockquote>« Anzin, hors des fortifications de Valenciennes. Dans la zone militaire, maison en bois, mais où des briques entrent par tolérance. Les grandes routes droites, allant par le pays largement ondulé, grandes courbes douces, des descentes et des montées lentes. À droite et à gauche, des maisons basses à un seul étage. [...] La route est pavée ; l'été, poussière noire ; l'hiver, à la moindre pluie, boue noire et collante. »<ref>''Mes Notes sur Anzin'', f° 209/1, dans Becker, ''op. cit.''</ref></blockquote> Que retient-on de ce passage ? Tout y figure déjà, même si en germe : la rectitude des routes, la couleur noire qui contamine tout (poussière l'été, boue l'hiver), le contraste des saisons. Mais surtout, et c'est le point capital, dès les premières pages des notes prises à chaud, la métaphore du puits dévorateur qui va structurer le roman entier est déjà présente. Mitterand l'a démontré : « les notes prises à Anzin sont déjà dominées par la métaphore du puits dévorateur »<ref>Mitterand, dans la Pléiade, ''op. cit.'', cité par Smethurst, ''op. cit.''</ref>. Le « Voreux » du roman, avec son nom inventé qui suggère la voracité, n'apparaît donc pas après coup comme une décoration littéraire : il est déjà en germe dans la perception même que Zola a de la mine. Cette observation est riche d'enseignements, car elle contredit le schéma habituel que l'on se fait de l'écriture. On pourrait croire, intuitivement, que la métaphore vient après l'observation, comme un travail de stylisation littéraire opéré sur des matériaux préalablement neutres : on observerait d'abord, on poétiserait ensuite. La vérité est plus retorse : le regard du romancier est déjà romanesque au moment où il observe, et la fiction inflige à l'observation sa propre orientation. C'est sans doute pourquoi ''Mes Notes sur Anzin'' constituent une enquête de journaliste, certes, mais une enquête conduite par un romancier qui sait déjà ce qu'il cherche. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../Le voyage à Anzin (23 février - 3 mars 1884)/]] | suivant = [[../La descente à la fosse Renard : le moment fondateur/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> rtfp7zpax97a0ng533hhtds0ndlk3a0 0 87052 982851 2026-05-16T04:24:32Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 8 | précédent = [[../Mes Notes sur Anzin : la naissance du regard romanesque/]] | suivant = [[../Retour à Paris et compléments politiques/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La descente à la fosse Renard : le moment fondateur == Au sein du voyage, un épisode joue un rôle absolument décisif et mérite qu'on s... » 982851 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 8 | précédent = [[../Mes Notes sur Anzin : la naissance du regard romanesque/]] | suivant = [[../Retour à Paris et compléments politiques/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La descente à la fosse Renard : le moment fondateur == Au sein du voyage, un épisode joue un rôle absolument décisif et mérite qu'on s'y arrête longuement : la descente de Zola dans la fosse Renard. Pourquoi cet épisode est-il si important ? Pour comprendre, il faut savoir une chose sur Zola : il souffrait depuis longtemps d'une phobie de l'enfouissement, c'est-à-dire d'une peur intense d'être enterré vivant<ref>Sur cette phobie, voir Henri Mitterand, ''Zola'', Fayard, 1999-2002 ; et Pagès, GF, 2008, ''op. cit.''</ref>. Cette peur, qui revient dans plusieurs de ses livres, n'est pas une simple appréhension mais une véritable angoisse profonde. La descente à 476 mètres au fond de la mine vient donc réactiver cette hantise personnelle, et Zola, loin de la chasser, va la transformer en matériau littéraire. Il la transmettra à Étienne au deuxième chapitre du roman avant de la dramatiser, jusqu'à l'enfouissement final dans le Voreux effondré qui clôt l'œuvre. C'est ce qu'on appelle une transposition autobiographique : un trait personnel du romancier passe dans le personnage. Le mineur Maheu, dans le roman, ne ressent pas cette peur (il est habitué) ; mais Étienne, le néophyte, oui ; et c'est sa sensibilité, qui est en réalité celle de Zola, qui devient le filtre à travers lequel le lecteur perçoit la mine. Le passage des notes correspondantes est éloquent à cet égard, car il change brusquement de ton. Les notes habituellement objectives, presque administratives, deviennent ici un récit subjectif : <blockquote>« Au jour, quand on voit, sensation d'enfoncement, de fuite sous vous, par la disparition rapide des objets. Puis une fois dans le noir, plus rien. Monte-t-on, descend-on ? Par moments, il semble qu'on monte. Il y a comme des immobilités, quand la cage file droit sans toucher aux guides. Puis de légères secousses, un dansement dans les guides, des heurts (inquiétude). [...] On ne voit absolument rien, pas même le cuvelage. [...] Deux minutes au plus, pour descendre 476 mètres. »<ref>''Mes Notes sur Anzin'', dans Becker, ''op. cit.'' ; voir aussi Pagès, GF, 2008, ''op. cit.''</ref></blockquote> Ce ne sont plus des notes objectives, c'est presque déjà du roman : le présent de l'indicatif, la phrase nominale qui restitue la sensation à vif, le passage à la première personne du pluriel (« quand on voit »), la mention entre parenthèses de l'« inquiétude ». La récurrence du mot « enfin » dans toute la suite du passage trahit la hâte de revenir à la lumière du jour. Zola a éprouvé dans sa chair ce que ressentent les mineurs, et cette vérification physique passera dans l'écriture : la mine, dans ''Germinal'', ne sera pas seulement vue de l'extérieur, comme un décor, elle sera vécue, ressentie, presque subie par le lecteur. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../Mes Notes sur Anzin : la naissance du regard romanesque/]] | suivant = [[../Retour à Paris et compléments politiques/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> nsycq1udwdotm89f4z6gwd1215bgig4 0 87053 982852 2026-05-16T04:24:52Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 9 | précédent = [[../La descente à la fosse Renard : le moment fondateur/]] | suivant = [[../Les vérifications livresques de la seconde phase/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Retour à Paris et compléments politiques == Sitôt rentré à Paris le 3 mars, Zola comprend qu'il lui manque encore quelque chose po... » 982852 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 9 | précédent = [[../La descente à la fosse Renard : le moment fondateur/]] | suivant = [[../Les vérifications livresques de la seconde phase/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Retour à Paris et compléments politiques == Sitôt rentré à Paris le 3 mars, Zola comprend qu'il lui manque encore quelque chose pour écrire son roman. Il a vu la mine, il a parlé aux mineurs, il a observé une grève. Mais une grève d'ouvriers ne se comprend pas seulement à partir de l'observation directe : elle s'inscrit dans des courants de pensée, dans des doctrines politiques, dans une histoire intellectuelle. Les conversations avec Giard, Basly et Fauviau l'ont sensibilisé à ces questions qu'il connaissait mal, et il demande à son ami l'écrivain Paul Alexis (membre comme lui du « groupe de Médan ») d'organiser une rencontre avec Jules Guesde, fondateur du Parti des travailleurs socialistes de France et principal théoricien marxiste français de l'époque. Une lettre d'Alexis du 6 mars 1884, expédiée à 11 heures du soir, atteste de cette démarche. Zola assistera à une réunion contradictoire (c'est-à-dire un débat public où s'opposent des contradicteurs) opposant Tony Révillon et un autre radical, d'un côté, à Guesde et à Paul Lafargue (le gendre de Karl Marx, ce qui dit l'envergure des adversaires), de l'autre. Les notes de cette réunion, prises pour Zola par Paul Alexis, sont datées du 9 mars 1884 et figurent dans le dossier au manuscrit Ms 10 308, folios 418 à 424, sous le titre « Premières notes sur Guesde »<ref>Marel, ''op. cit.'', p. 12-13.</ref>. Cette imprégnation politique est décisive pour comprendre Étienne Lantier dans le roman. Le personnage portera la marque directe de Guesde : il est, selon les commentateurs, « le porte-parole des thèses collectivistes, telles que les exposait Jules Guesde en 1884 ». Le programme guesdiste, qui prône la propriété collective des moyens de production, l'internationale ouvrière et l'abolition du salariat, passe pratiquement intact dans les harangues d'Étienne au Plan-des-Dames (la grande scène de réunion nocturne en pleine forêt à la fin de la quatrième partie du roman). Autrement dit, ce qu'Étienne dit aux mineurs en 1866 dans le roman est en réalité ce que Guesde disait aux ouvriers parisiens en 1884 : on touche ici à une transposition idéologique légèrement anachronique, qu'on retrouvera plus en détail dans la dialectique de la documentation et de l'invention (section 13). À ces démarches s'ajoutent des entretiens avec le peintre Alfred Roll, auteur d'une grande toile, ''La Grève des mineurs'', exposée au Salon de 1880 et longtemps conservée au musée de Valenciennes. Léon Hennique, autre membre du cercle de Médan, écrivait à Zola dans une note du 18 février 1884 : « Vous n'oubliez pas, n'est-ce pas ? que je vous attends demain dans l'après-midi pour aller chez Roll. » Avant même son voyage à Anzin, Zola avait donc vu l'œuvre du peintre dans son atelier ; il avait sous les yeux une représentation visuelle de ce qu'il s'apprêtait à raconter<ref>Marel, ''op. cit.''</ref>. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../La descente à la fosse Renard : le moment fondateur/]] | suivant = [[../Les vérifications livresques de la seconde phase/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 6uxfeyolnvprdjtmrh5ncv97qksoizl 0 87054 982853 2026-05-16T04:25:30Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 10 | précédent = [[../Retour à Paris et compléments politiques/]] | suivant = [[../Seconde Ébauche, plans et personnages/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Les vérifications livresques de la seconde phase == Une fois le voyage et les contacts politiques digérés, Zola se lance dans une seconde campagne de le... » 982853 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 10 | précédent = [[../Retour à Paris et compléments politiques/]] | suivant = [[../Seconde Ébauche, plans et personnages/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Les vérifications livresques de la seconde phase == Une fois le voyage et les contacts politiques digérés, Zola se lance dans une seconde campagne de lectures, beaucoup plus systématique que la première. Pourquoi reprendre la documentation à ce moment, alors qu'il a déjà tant lu ? Parce qu'il s'agit maintenant non plus de découvrir un sujet, mais de vérifier des points précis, de couvrir les arrière-plans qu'il ne pouvait pas observer en personne, et notamment les aspects économiques, médicaux, politiques et législatifs de la question minière. Cette campagne est révélatrice de la rigueur de Zola : pour faire parler les bourgeois et les ouvriers de ''Germinal'', il s'oblige à lire ce que les uns et les autres lisaient eux-mêmes. C'est presque un travail de comédien qui apprendrait deux rôles à la fois. On y trouve d'abord ''La Science économique'' d'Yves Guyot (1881), où Zola pioche les éléments d'un discours économique libéral qui passera dans la bouche de Hennebeau et de Deneulin (les patrons du roman parlent comme parlaient les économistes libéraux du temps). Vient ensuite le ''Traité pratique des maladies, des accidents et des difformités des houilleurs'' du docteur Boëns-Boisseau (1862), source essentielle pour décrire les pneumoconioses (les maladies pulmonaires causées par l'inhalation de poussière de charbon), les accidents et les déformations physiques des mineurs : c'est là que Zola apprend la toux du père Bonnemort, ses maladies pulmonaires, ses crachats noirs (« la houille » qu'il crache continûment dans le roman vient directement de ce traité médical). ''Le Socialisme contemporain'' d'Émile de Laveleye lui fournit la mise en contexte théorique du mouvement socialiste européen, tandis que l'''Enquête parlementaire sur l'état de l'industrie houillère'', rapport de Nicolas Ducarre, lui sert de source pour les débats sur le salaire, les pensions et les conditions de travail. Les ''Cahiers de doléances des mineurs français'', publiés par Georges Stell à Paris en 1883, sont un recueil exact des revendications ouvrières que Zola transposera dans la délégation à Hennebeau au chapitre 2 de la quatrième partie : la liste précise des griefs des mineurs dans le roman vient pratiquement mot pour mot de ce recueil. ''La Question ouvrière au XIXe siècle'' de Paul Leroy-Beaulieu (1872) lui donne enfin le point de vue des économistes libéraux, qu'il prêtera à ses bourgeois. Deux brochures plus locales complètent l'ensemble : ''La Grève d'Anzin de février-mars-avril 1884'' d'E. Vuillemin (Lille, Danel, 1884) et ''Les Mines d'Anzin, étude historique et technique'' d'A. Garcenot. À ces ouvrages s'ajoutent, classés sous le titre « Grève d'Anzin 84. Journaux », des coupures de presse prélevées dans ''Le Figaro'', ''Le Temps'', ''Le Voltaire'', ''L'Événement'', ''Le Gaulois'', ''Le Cri du peuple'' et ''Le Sémaphore de Marseille'', toutes datées de février, mars ou avril 1884. La chronique au jour le jour du conflit fournit en partie son scénario au roman, et notamment l'épisode dit des « troubles de Denain » du 7 avril 1884, où la conférence de l'orateur intransigeant Roche, accompagné par Basly, met le feu aux poudres et donnera à Zola le modèle de la grande émeute de la cinquième partie du roman<ref>Pagès, GF, 2008, ''op. cit.'', dossier critique.</ref>. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../Retour à Paris et compléments politiques/]] | suivant = [[../Seconde Ébauche, plans et personnages/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> l8rr3si4ewpdm6gj38a8uveift0ith6 0 87055 982854 2026-05-16T04:27:11Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 11 | précédent = [[../Les vérifications livresques de la seconde phase/]] | suivant = [[../La rédaction : dix mois, à un rythme régulier/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Seconde Ébauche, plans et personnages == Sur cette base considérablement enrichie, Zola reprend son Ébauche et la transforme. Le change... » 982854 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 11 | précédent = [[../Les vérifications livresques de la seconde phase/]] | suivant = [[../La rédaction : dix mois, à un rythme régulier/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Seconde Ébauche, plans et personnages == Sur cette base considérablement enrichie, Zola reprend son Ébauche et la transforme. Le changement est spectaculaire et mérite qu'on s'y arrête, car il révèle comment un personnage de roman se construit progressivement, par essais, repentirs et déplacements. Premier changement, la famille ouvrière change de nom : la famille Durand devient les Maheu (le nom de Maheu vient sans doute d'un mineur réel rencontré sur place, Laurent, dont nous avons parlé à la section 6). Deuxième changement, leurs deux enfants en deviennent sept (la grande famille nombreuse du coron, qui correspond à la réalité démographique des houillères du Nord). Troisième changement, le grand-père Bonnemort apparaît, qui n'existait pas du tout dans la première Ébauche. Quatrième changement, le plus important pour l'équilibre du roman, Étienne est promu de comparse à protagoniste. La transformation décisive concerne ce dernier, dont Zola redéfinit la fonction : <blockquote>« Je veux en faire un révolté, un criminel plus tard. [...] Enfin, il faut le faire sortir de la mine, encore plus révolté qu'il n'y entre, le préparer pour le crime de mon roman sur les chemins de fer, et surtout pour la Commune. »<ref>Ébauche, Ms 10 307, citée par Smethurst, ''op. cit.'', p. 28.</ref></blockquote> Le destin homicide de Lantier, prévu à l'origine, sera finalement détaché : Zola le donnera à un autre personnage, Jacques Lantier, le frère cadet d'Étienne, qui sera le héros de ''La Bête humaine'' en 1890 (un autre roman des ''Rougon-Macquart''). Étienne, débarrassé de cette charge meurtrière, deviendra un « homme très complexe dans une nature simple », ou encore, comme le note Zola dans une jolie formule qu'il s'adresse à lui-même : « tout un personnage central maintenant, beaucoup plus mouvementé. Un héros enfin »<ref>Ébauche, citée par Smethurst, ''op. cit.''</ref>. Suivent dans l'ordre les différents plans du roman, qui constituent la phase la plus longue du travail préparatoire. Le plan général par parties passe au cours de l'élaboration de six à sept parties, et le passage à sept parties est lui-même une décision esthétique d'envergure puisqu'elle commande le rythme du livre (chaque partie est rythmée comme un mouvement de symphonie). Vient ensuite un premier plan détaillé, chapitre par chapitre, qui donne les esquisses sommaires des scènes ; puis un second plan détaillé, beaucoup plus précis, où s'agencent enfin le matériau de l'enquête et celui de l'imagination. À ces plans s'ajoutent les fiches de personnages, particulièrement développées pour Étienne, la Maheude, Catherine, Souvarine, Hennebeau et Bonnemort. Celle d'Étienne, par exemple, le situe explicitement dans l'arbre généalogique de la famille Macquart, en rappelant l'hérédité dont il est le porteur (l'hérédité étant un thème central du cycle des ''Rougon-Macquart'', qui reprend les théories scientifiques du temps sur la transmission des tares) : « Né en 1846, à Plassans, de Gervaise Macquart et de Lantier. Élection de la mère. Ressemblance physique de la mère, puis du père. Hérédité de l'ivrognerie se tournant en folie homicide. État de crime. »<ref>Fiche de personnage, Ms 10 308, citée par Becker, ''op. cit.''</ref> Lorsque Zola commence enfin la rédaction proprement dite, vers le début d'avril 1884, le roman est entièrement architecturé : les personnages ont leur biographie, les scènes leur place, les enjeux idéologiques leur formulation. Il ne reste plus qu'à écrire, ce qui, paradoxalement, est presque la partie la moins importante de tout le processus. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../Les vérifications livresques de la seconde phase/]] | suivant = [[../La rédaction : dix mois, à un rythme régulier/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> b14r123am9971ilpl7x79j2y0buq1r6 0 87056 982855 2026-05-16T04:27:50Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 12 | précédent = [[../Seconde Ébauche, plans et personnages/]] | suivant = [[../La dialectique de la documentation et de l'invention/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La rédaction : dix mois, à un rythme régulier == La rédaction proprement dite, c'est-à-dire la phase pendant laquelle Zola écrit véritable... » 982855 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 12 | précédent = [[../Seconde Ébauche, plans et personnages/]] | suivant = [[../La dialectique de la documentation et de l'invention/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La rédaction : dix mois, à un rythme régulier == La rédaction proprement dite, c'est-à-dire la phase pendant laquelle Zola écrit véritablement le texte de ''Germinal'' tel que nous le lisons, occupe environ dix mois, d'avril 1884 à janvier 1885. Zola travaille à Médan, dans la propriété qu'il avait acquise en 1878 grâce au succès de ''L'Assommoir'', au bord de la Seine, à une trentaine de kilomètres de Paris. (Cette propriété est aujourd'hui un musée que l'on peut visiter.) Sa discipline d'écriture est devenue célèbre : il écrit ses pages tous les matins, à raison d'un nombre de feuillets prédéfini ; les révisions et corrections se font l'après-midi. Ce rythme régulier et soutenu est typique de la production zolienne, qui livrera un roman par an pendant une vingtaine d'années. Pour situer cela dans la pratique éditoriale du temps, c'est un rythme exceptionnel mais pas isolé : Balzac avait travaillé à un rythme comparable au début du XIXe siècle. ''Germinal'' paraît d'abord en feuilleton dans le quotidien ''Gil Blas'' à partir du 26 novembre 1884, avant de paraître en volume chez Charpentier (l'éditeur attitré de Zola) en mars 1885. Le feuilleton, c'est-à-dire la prépublication du roman dans la presse à raison d'un fragment chaque jour ou chaque semaine, est, jusqu'à la fin de la carrière de Zola, un mode de publication à part entière. Il a un avantage économique pour l'auteur (il est payé deux fois, par le journal puis par l'éditeur) mais aussi des contraintes. Le feuilleton exerce sa propre contrainte sur le découpage et le rythme du texte : c'est l'une des raisons pour lesquelles le roman comporte, comme l'a noté Henry Céard avec finesse, « toute la dramaturgie facile et les effets artificiels du roman-feuilleton »<ref>Henry Céard, ''Sud-America'', 14 mars 1885, repris dans ''Les Cahiers naturalistes'', n° 36, 1968.</ref>. Concrètement, les fins de chapitre sont souvent organisées comme des suspens (ce que les Anglo-Saxons appellent des cliffhangers) destinés à faire revenir le lecteur le lendemain. Si vous remarquez en lisant ''Germinal'' que beaucoup de chapitres se terminent sur une question ouverte ou un coup de théâtre, c'est en partie pour cette raison. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../Seconde Ébauche, plans et personnages/]] | suivant = [[../La dialectique de la documentation et de l'invention/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> gxmakw3a50rq3kuktx23hfxzcvv4vik 0 87057 982856 2026-05-16T04:28:29Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 13 | précédent = [[../La rédaction : dix mois, à un rythme régulier/]] | suivant = [[../Conclusion : ce que la genèse nous apprend/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La dialectique de la documentation et de l'invention == Au terme de ce parcours, on peut maintenant se poser une question difficile mais essenti... » 982856 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 13 | précédent = [[../La rédaction : dix mois, à un rythme régulier/]] | suivant = [[../Conclusion : ce que la genèse nous apprend/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La dialectique de la documentation et de l'invention == Au terme de ce parcours, on peut maintenant se poser une question difficile mais essentielle : quel rapport y a-t-il, finalement, entre la documentation accumulée et l'invention romanesque ? Zola est-il un copiste du réel, comme on le croit parfois (en particulier dans les manuels de littérature un peu sommaires), ou bien un imaginant qui se sert de la documentation comme d'un alibi ? La réponse, comme nous allons le voir, n'est ni l'un ni l'autre. L'apport le plus précieux de la critique génétique contemporaine, depuis Becker et Mitterand jusqu'à Marel et Pagès, n'est pas tant l'inventaire des sources que la mise en évidence d'une dialectique constante entre documentation et invention. Trois remarques suffisent à en résumer la leçon, et elles permettent de comprendre ce qu'il y a de spécifique dans la méthode de Zola. Premièrement, la documentation n'est pas neutre. Comme l'a noté Colette Becker, « Zola se démarque nettement de ses sources » : il ne cherche pas la reconstitution exacte d'un milieu donné, mais sélectionne dans la documentation « essentiellement des jugements qui s'accordent aux siens »<ref>Becker, ''La Fabrique de « Germinal »'', ''op. cit.''</ref>. Autrement dit, la documentation chez Zola justifie plus qu'elle n'engendre ; elle offre des cautions à des intuitions déjà arrêtées dans l'Ébauche. Pour qui croit que le naturalisme consiste simplement à « copier le réel », c'est un démenti utile : un naturaliste, tel que Zola le pratique, n'enregistre pas, il sélectionne, et il sélectionne ce qui confirme ses convictions. Deuxièmement, et c'est encore plus surprenant, l'imagination précède en partie l'observation. La preuve en est que Zola, avant de partir à Anzin, avait déjà prévu la catastrophe finale (« l'éboulement du puits avec tout coulant à l'abîme »), la mort du père de famille et la fuite finale du héros. L'invention précède donc la vérification, et le voyage à Anzin sert à valider et à colorer une fiction déjà esquissée. Cet ordre paradoxal invalide les lectures trop rapides du naturalisme comme « simple décalque » du réel : Zola n'a pas découvert son roman à Anzin, il y est allé chercher de la matière pour un roman déjà imaginé. Cette inversion de l'ordre habituel (l'imagination avant l'observation) est l'une des grandes leçons de la critique génétique de la fin du XXe siècle. Troisièmement, des anachronismes subsistent dans le roman achevé, et ils révèlent la pression de la documentation contemporaine sur l'invention historique. Qu'est-ce qu'un anachronisme ? C'est un élément qui ne devrait pas être là à l'époque où l'action est censée se passer. ''Germinal'' situe son action en 1866-1867, à la fin du Second Empire, mais beaucoup des éléments dont Zola s'est servi sont postérieurs à cette date. L'idée de propriété collective que professe Étienne ne s'est diffusée en France qu'à partir de 1878, et ne pouvait guère, en 1866, figurer dans le discours d'un mineur autodidacte. Le personnage de Souvarine est plus invraisemblable encore : les attentats anarchistes ne secouent vraiment la France qu'après 1892, et son personnage évoque, pour le lecteur de 1885, plutôt les attentats russes de 1878-1881 contre le tsar Alexandre II et ses ministres. Enfin, la concentration des catastrophes infligées à la seule famille Maheu (la mort d'Alzire de faim, celle de Maheu sous les balles de la troupe, celle de Catherine au fond de la mine, l'étranglement de Cécile par Bonnemort, la mort de Zacharie au grisou) est un « concentré » de faits qui se sont réellement produits, mais sur plusieurs décennies et dans plusieurs bassins houillers<ref>Erre, ''op. cit.''</ref>. Aucune famille minière n'a connu, en réalité, autant de catastrophes en si peu de temps. Faut-il le reprocher à Zola ? Non. Il ne s'agit pas d'erreurs au sens strict, mais des marques d'une vérité que les critiques appellent « synthétique » : une vérité qui transcende la chronologie pour produire un effet d'intensité dramatique et de signification symbolique. Le roman, chez Zola, n'est pas un document d'historien : c'est une condensation, un raccourci, un emblème. Comprendre cela, c'est comprendre la nature même de ''Germinal''. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../La rédaction : dix mois, à un rythme régulier/]] | suivant = [[../Conclusion : ce que la genèse nous apprend/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> kgwybvlmef1fconjoc4r5hrwbevll3v 0 87058 982857 2026-05-16T04:29:32Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 14 | précédent = [[../La dialectique de la documentation et de l'invention/]] | suivant = | page_liée = | page_liée2 = }} == Conclusion : ce que la genèse nous apprend == L'examen du laboratoire de Zola confirme deux paradoxes que la critique contemporaine a beaucoup commentés et qu'il vaut la peine de retenir co... » 982857 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 14 | précédent = [[../La dialectique de la documentation et de l'invention/]] | suivant = | page_liée = | page_liée2 = }} == Conclusion : ce que la genèse nous apprend == L'examen du laboratoire de Zola confirme deux paradoxes que la critique contemporaine a beaucoup commentés et qu'il vaut la peine de retenir comme bilan de toute cette section. Si vous deviez ne garder que deux idées de tout ce parcours, ce sont ces deux paradoxes. Le premier tient à un « coup de génie » identifié par Henri Marel : « Le coup de génie, pour ''Germinal'', c'est l'identification de Zola et de Lantier. Ainsi le roman se déroule-t-il à travers le héros et à travers l'écrivain. C'était le moyen de donner vie à une brève expérience personnelle et à une documentation livresque importante »<ref>Marel, ''op. cit.'', p. 277.</ref>. Pour comprendre cette idée, il suffit de remarquer qu'Étienne, néophyte qui apprend la mine en même temps que le lecteur, sert de relais à l'expérience du romancier descendu dix jours plus tôt dans une fosse étrangère. Quand Étienne descend pour la première fois au Voreux dans le roman, le lecteur partage à la fois sa peur et sa découverte ; or cette peur et cette découverte sont, à peu près mot pour mot, celles de Zola lui-même à la fosse Renard. Étienne est un mineur de fond, mais il vient d'ailleurs : c'est cette position d'« étranger qui apprend » qui lui permet d'être notre guide dans la mine. « Étienne devient mon lien conducteur pour exposer toute la mine », écrit Zola dans l'Ébauche, et c'est par cet angle, par le regard étranger qui s'aguerrit progressivement, que la documentation passe naturellement dans la fiction. Le second paradoxe est que la documentation, si massive soit-elle (rappelez-vous : 962 feuillets), ne fait pas le roman. Ce qui fait le roman, c'est ce que Zola appelle son « tempérament lyrique », son « agrandissement de la vérité », sa capacité à transformer le détail en symbole. Il s'en explique mieux que personne dans la lettre célèbre qu'il adresse à Henry Céard le 22 mars 1885, quelques jours après la sortie du roman : <blockquote>« J'agrandis, cela est certain ; mais je n'agrandis pas comme Balzac, pas plus que Balzac n'agrandit comme Hugo. [...] J'ai l'hypertrophie du détail vrai, le saut dans les étoiles sur le tremplin de l'observation exacte. La vérité monte d'un coup d'aile jusqu'au symbole. »<ref>Lettre à Henry Céard, 22 mars 1885, ''Correspondance'', éd. cit., t. V, p. 248-250.</ref></blockquote> Cette formule de Zola, « le saut dans les étoiles sur le tremplin de l'observation exacte », mérite d'être retenue par cœur, car elle définit sans doute le mieux la méthode du romancier. Elle explique aussi pourquoi ''Germinal'', ce roman si scrupuleusement documenté, est paradoxalement devenu un mythe. La documentation est le tremplin ; le roman, lui, est dans le saut. Si l'on devait retenir une chose de cette traversée du laboratoire, ce serait celle-là : un grand roman réaliste n'est pas un livre qui copie le réel, c'est un livre qui s'élance à partir du réel pour atteindre quelque chose qui dépasse le réel : le symbole, le mythe, la vérité. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../La dialectique de la documentation et de l'invention/]] | suivant = }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> b2qrk2zdnkk3aya4hs83tz36vy6wow0