Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.2 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 24187 982870 982860 2026-05-17T06:23:10Z Marvoir 1746 N'ayons pas l'air de dire qu'un groupe fini a toujours un générateur. 982870 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 22 | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] | page_liée = Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique }} Rappelons que nous avons défini les anneaux '''Z''' et '''Z'''/n'''Z''' au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1|Groupes commutatifs finis, 1]]. {{Clr}} {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément de '''Z'''/n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si c’est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu=Puisque [1] = 1 + n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il est clair qu'un élément [a] = a + n'''Z''' est un générateur de ce groupe si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que r [a] = [1], autrement dit si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que [r] [a] = [1], autrement dit si et seulement si [a] est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Théorème | titre = Autre forme du théorème précédent. | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément a + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Démonstration|contenu= C'est une conséquence immédiate du théorème précédent, puisque nous avons vu au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]] que a + n'''Z''' est inversible dans l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Remarque|contenu= Les deux théorèmes qui précèdent peuvent être considérés comme des variantes de la proposition suivante, démontrée dans le chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] : soient G un groupe cyclique d'ordre ''n'', ''g'' un générateur de G et ''r'' un entier rationnel; pour que g{{exp|r}} soit un générateur de G, il faut et il suffit que ''r'' soit premier avec ''n''. }} Nous appellerons groupe multiplicatif d'un anneau le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de cet anneau. {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel (≥ 0). Les automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' sont les applications x ↦ cx de '''Z'''/n'''Z''' dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut('''Z'''/n'''Z''') des automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout entier rationnel ''r'', désignons par [r] l'élément r + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z'''. On sait que [1] est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''f'' un automorphisme du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Puisque ''f'' est un homomorphisme, nous avons, pour tout nombre entier rationnel ''r'', :<math>(1) \qquad f([r]) = f(r[1]) = r f([1]) = [r] f([1])</math>. Puisque ''f'' est surjectif, il existe un élément [r] de '''Z'''/n'''Z''' tel que f([r]) = [1]. D'après (1), ceci s'écrit [r] f([1]) = [1], donc f([1]) est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''g'' l’application de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' qui applique ''f'' sur f([1]). Prouvons que ''g'' est un isomorphisme. Prouvons d’abord que ''g'' est une surjection. Soit [a] un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''; il s'agit de prouver qu’il existe un automorphisme ''f'' du groupe '''Z'''/n'''Z''' qui applique [1] sur [a]. Cela résulte par exemple du fait que [a] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''', et d'un théorème démontré au chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] (à savoir que si G et H sont des groupes monogènes de même ordre, ''g'' un générateur de G et ''h'' un générateur de H, il existe un isomorphisme de G sur H qui applique ''g'' sur ''h''). Ainsi, ''g'' est une surjection. Prouvons que ''g'' est une injection. Il s'agit de prouver que si f₁ et f₂ sont des automorphismes de '''Z'''/n'''Z''', si f₁([1]) = f₂([1]), alors f₁ = f₂. Cela résulte de ce que [1] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''' et de ce que deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H qui coïncident en tout point d'une partie génératrice de G sont égaux. (Voir [[../Groupes, premières notions#Parties génératrices|Groupes, premières notions]]. Nous avons donc prouvé que ''g'' est une bijection. Pour prouver que ''g'' est un isomorphisme, il reste à prouver que ''g'' est un homomorphisme de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Pour cela, il s'agit de prouver que :<math>(2) \qquad (f \circ g) ([1]) = f([1] g[1])</math>. Le premier membre est égal à f(g[1]). Choisissons un entier rationnel ''r'' tel que g([1]) = [r]. Alors le premier membre de (2) est égal à f([r]) et donc, d’après (1), à [r] f([1]), autrement dit à g([1]) f([1]), ce qui prouve (2). }} {{Corollaire | titre = Corollaire 1 | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n'', noté multiplicativement. Les automorphismes du groupe G sont les applications x ↦ x^c de G dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut(G) des automorphismes de G est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On sait que G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. L'énoncé se déduit donc facilement du théorème précédent. }} {{Corollaire | titre = Corollaire 2 | contenu = Le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est commutatif. }} {{Démonstration déroulante|contenu= D'après ce qui précède, le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est isomorphe au groupe multiplicatif d'un anneau commutatif. }} Nous allons maintenant expliciter la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''', ce qui explicitera en même temps la structure du groupe des automorphismes des groupes monogènes. Si n = 0, l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe à '''Z''', donc son groupe multiplicatif est formé des deux éléments 1 et - 1. Le cas n = 0 étant réglé, nous ne nous intéresserons plus qu'au cas n ≥ 1. On sait que dans ce cas, '''Z'''/n'''Z''' est fini et compte ''n'' éléments. {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul. L'ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi {{nobr|0, 1, ... , n - 1.}} }} {{Démonstration|contenu= On a vu au chapitre [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] que tout élément de '''Z'''/n'''Z''' est la classe d'un et un seul des nombres 0, 1, ... , n - 1. On a vu aussi (chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]]) que si ''a'' est un entier rationnel, a + n'''Z''' est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. L'énoncé en résulte. }} {{Définition | contenu = On appelle ''indicateur d'Euler'', ou encore ''indicatrice d'Euler'', et on note <math>\varphi</math> l’application de <math>\N\setminus\{0\}</math> dans <math>\N</math> qui à tout nombre naturel non nul ''n'' fait correspondre l’ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} D'après la proposition précédente, <math>\varphi (n) </math> est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi 0, 1, ... , n -1. Par exemple, <math>\varphi (1) = 1</math> et <math>\varphi (p) = p - 1</math> pour tout nombre premier ''p''. {{Proposition | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n''. Le nombre de générateurs de G (autrement dit le nombre d'éléments d'ordre ''n'' dans G) est égal à <math>\varphi(n)</math>. }} {{Démonstration|contenu= Puisque G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il suffit de le prouver dans le cas où G = '''Z'''/n'''Z'''. Or nous avons vu que <math>\varphi(n)</math> est le nombre des éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' et nous avons vu aussi que les éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' sont les générateurs du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Proposition | contenu = Si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, <math>\varphi (ab) = \varphi (a) \varphi (b).</math> }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ab, que nous noterons additivement. D'après un exemple donné au chapitre [[../Produit de groupes/]], G est somme directe interne de son sous-groupe (cyclique) A d'ordre ''a'' et de son sous-groupe (cyclique) B d'ordre ''b''. À tout élément ''x'' de G, faisons correspondre le couple (y, z) tel que x = y z, avec ''y'' dans A et ''z'' dans B. Nous définissons ainsi un isomorphisme <math>\sigma </math> de G sur la somme directe de A et B. L'ordre de ''x'' est le ppcm des ordres de ''y'' et de ''z'', l’ordre de ''y'' divise ''a'' et l’ordre de ''z'' divise ''b''. Il est donc clair que ''x'' est d'ordre ab si et seulement si ''y'' est d'ordre ''a'' et ''z'' d'ordre ''b''. Ainsi, <math>\sigma </math> induit une bijection de l’ensemble des générateurs de G sur le produit cartésien de l’ensemble des générateurs de A par l’ensemble des générateurs de B. Le nombre <math>\varphi(ab)</math> des générateurs de G est donc égal au produit du nombre <math>\varphi(a)</math> des générateurs de A par le nombre <math>\varphi(b)</math> des générateurs de B, ce qui prouve l'énoncé. }} {{Remarque|contenu= L'énoncé précédent peut aussi se déduire de ce théorème : si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/ab'''Z''' est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/a'''Z''' par le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/b'''Z'''. (Voir les exercices.) }} {{Lemme | contenu = Soient ''p'' un nombre premier et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Pour tout élément X de '''Z'''/pⁿ'''Z''', les trois conditions suivantes sont équivalentes : #Tous les éléments de X sont divisibles par ''p'' ; #X comprend (au moins) un élément divisible par ''p'' ; #X est un élément non inversible de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Les classes résiduelles modulo pⁿ possédant ces propriétés sont en quantité p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= La preuve de l'équivalence des conditions 1° à 3° est facile et laissée au lecteur. Prouvons la dernière assertion de l'énoncé. Première démonstration. D'après l'équivalence de 1° et 2° et le fait que toute classe modulo pⁿ comprend un et un seul des nombres naturels < pⁿ, la quantité des classes modulo pⁿ satisfaisant aux conditions 1° à 3° est égale à la quantité des nombres divisibles par ''p'' parmi 0, 1, ... , pⁿ - 1. Ces nombres sont les nombres de la forme p x, où ''x'' parcourt les nombres naturels tels que px < pⁿ, autrement dit les nombres naturels x < p^n-1. Ces nombres naturels ''x'' sont en quantité p^n-1, donc les nombres divisibles par ''p'' dans la suite 0, 1, ... , pⁿ sont en quantité p^n-1. Seconde démonstration. La démonstration qui précède repose sur l’ordre usuel défini dans '''N''' et dans '''Z'''. Voici une démonstration un peu différente, qui peut se généraliser à des anneaux où un ordre tel que celui de '''Z''' n’est pas défini. Deux entiers rationnels ''a'' et ''b'' sont congrus modulo p^n-1 si et seulement pa et pb sont congrus modulo pⁿ. On en déduit facilement 1° qu’il existe une et une seule application ''f'' de '''Z'''/p^n-1'''Z''' dans l’ensemble des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' telle que, pour tout entier rationnel ''x'', on ait f(x + p^n-1'''Z''') = p x + p^n-1'''Z''' ; 2° que ''f'' est une bijection. Le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' est donc égal au nombre p^n-1 des éléments de '''Z'''/p^n-1'''Z'''. }} {{Remarque|contenu= Les éléments non inversibles de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' forment donc un sous-groupe du groupe additif de cet anneau, ce qui n'est évidemment pas le cas dans tout anneau. }} {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul, soit <math>n = \prod_ip_i^{r_i}</math> la décomposition de ''n'' en facteurs premiers, les p_i étant les différents facteurs premiers de ''n'' et les r_i étant ≥ 1. Alors <math>\varphi(n) = \prod_i(p_i- 1) p_i^{r_i-1}</math>. }} {{Démonstration|contenu= D'après une proposition précédente, <math>\varphi(\prod_ip_i^{r_i}) = \prod_i\varphi(p_i^{r_i}),</math> donc il suffit de prouver que si ''p'' est un nombre premier et ''r'' un nombre naturel ≥ 1, alors <math>\varphi(p^r) = (p-1) p^{r-1}.</math> Puisque, d’après le lemme précédent, le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/p^r'''Z''' est égal à p^n-1, <math>\varphi(p^r) = p^{r} - p^{r-1} = (p-1) p^{r-1}.</math>. }} {{Lemme | contenu = Si G est un groupe fini d'ordre ''n'', :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n'' et où, pour tout ''d'', r_d désigne le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout groupe cyclique C, désignons par gén(C) l’ensemble des générateurs de C. Si C est un sous-groupe cyclique d'un groupe G, si ''x'' est un élément de gén(C), alors C est le sous-groupe de G engendré par ''x''; il en résulte évidemment que si C et D sont deux différents sous-groupes cycliques de G, alors gén(C) et gén(D) sont disjoints. D'autre part, puisque G est fini, tout élément de G engendre un sous-groupe cyclique de G et, en particulier, est contenu dans un tel sous-groupe. Donc G est réunion disjointe des ensembles gén(C), où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. On a donc :<math> \qquad \vert G \vert = \sum_C\mathrm{Card}(\mathrm{g \acute{e}n}(C)),</math> où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. Cela peut encore s'écrire :<math>(1) \qquad \vert G \vert = \sum _{d\mid n} \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) )</math> où, pour chaque ''d'', C parcourt les sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Il résulte d'une précédente proposition que pour un tel C, :<math>\mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = \varphi(d)</math>, d'où :<math> \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = r_d\varphi(d)</math>. En portant ceci dans (1), nous obtenons l'énoncé. }} {{ancre|phi*1}} {{Proposition | contenu = Si ''n'' est un nombre naturel non nul, :<math>n = \sum_{d\mid n} \varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ''n''. Nous savons que pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G admet un et un seul sous-groupe d'ordre ''d'' et que ce sous-groupe est cyclique. Donc, dans les notations du précédent lemme, r_d = 1 pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n''. Le précédent lemme fournit donc l'énoncé. }} {{ancre|ConditionSuffisanteCyclicité}} {{Lemme | contenu = Soit G un groupe fini d'ordre ''n''. Si pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G a au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d'', alors G est cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', désignons par r_d le nombre de sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Par hypothèse, r_d est égal à 0 ou à 1. D'après un précédent lemme, nous avons :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. D'après la précédente proposition, le premier membre peut être remplacé par <math> \sum_{d \vert n} \varphi(d), </math> d'où :<math>(1) \sum_{d\mid n} \varphi(d) = \sum_{d\mid n} r_d\varphi(d)</math>. Puisque chaque r_d est ≤ 1, le terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le second membre de (1) est inférieur ou égal au terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le premier membre. Vu l'égalité des deux membres, on doit donc avoir r_d = 1 pour tout ''d''. C'est vrai en particulier pour d = n, donc G a un sous-groupe cycique d'ordre ''n'', donc G est cyclique. }} {{Ancre|CyclicitéDansCorps}} {{Lemme | contenu = Soit F un corps commutatif. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F est cyclique<ref>Ce résultat s'étend facilement aux [[w:Corps gauche|corps gauches]] de [[Corps (mathématiques)/Définitions#Caractéristique|caractéristique]] non nulle ({{article|url=https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103051509|titre=Finite multiplicative subgroups in division rings|auteur=I. N. Herstein|revue=Pacific J. Math.|volume=3|issue=1|year=1953|page=121-126}}).</ref>. }} {{Démonstration|contenu= Soit G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F. Il s'agit de prouver que G est cyclique. Soit ''d'' un diviseur naturel de l’ordre de G. D'après la théorie des polynômes, le polynôme X^d - 1 admet au plus ''d'' racines dans F et donc au plus ''d'' racines dans G. Autrement dit, il y a dans G au plus ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1. Il en résulte clairement que G admet au plus un sous-groupe d'ordre ''d''. (Si G admettait deux sous-groupes distincts d'ordre ''d'', soient H et K, la réunion de H et de K serait un ensemble de plus de ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1.) A fortiori, G admet au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d''. D'après le lemme précédent, G est donc cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit F un corps commutatif fini. Le groupe multiplicatif de F est cyclique. }} {{Démonstration déroulante|contenu= C'est évidemment un cas particulier du lemme qui précède.}} {{Remarque|contenu= D'après un théorème de Wedderburn<ref>Pour une démonstration du théorème de Wedderburn, voir par exemple la démonstration de Witt reproduite dans André Weil, ''Basic Number Theory'', 3{{e}} éd., Springer, 1974, p. 1.</ref>, tout corps fini est commutatif. L'expression « corps commutatif fini » est donc pléonastique. }} {{Théorème | titre = Cas particulier | contenu = Si ''p'' est un nombre premier, le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique (d'ordre ''p'' - 1). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Cela résulte immédiatement de l'énoncé précédent, puisque nous avons vu que si ''p'' est un nombre premier, l'anneau '''Z'''/p'''Z''' est un corps (commutatif). }} {{Remarque|contenu= Soit ''p'' un nombre premier. Dire que le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique revient à dire qu’il existe au moins un entier rationnel ''r'' (non divisible par ''p'') tel que r{{exp|0}}, r{{exp|1}}, ... , r^p-2 représentent les p - 1 classes résiduelles non nulles modulo ''p''. Un tel entier rationnel est appelé « racine primitive modulo p ». En particulier, il y a au moins une racine primitive modulo ''p'' parmi les nombres naturels < p, et, d’après ce que nous avons vu sur le nombre de générateurs d'un groupe cyclique, il y en a exactement <math>\varphi(p-1) </math>. Par exemple, pour p = 7, les racines primitives < p sont les <math>\varphi(6) = 2</math> nombres 3 et 5. }} {{Corollaire | contenu = Si G est un groupe (cyclique) d'ordre premier ''p'', le groupe des automorphismes de G est cyclique (d'ordre ''p'' - 1). }} Démonstration. Le groupe G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/p'''Z''', donc le groupe des automorphismes de G est isomorphe au groupe des automorphismes du groupe additif '''Z'''/p'''Z''', et donc, d’après un théorème précédent, isomorphe au groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''', or nous venons de voir que ce groupe multiplicatif est cyclique. {{Remarque|contenu= La preuve donnée ici du fait que le groupe des automorphismes d'un groupe (cyclique) d'ordre premier est cyclique dépend de la notion de polynôme. Il existe une démonstration qui ne dépend pas de la notion de polynôme mais seulement de notions élémentaires de théorie des groupes. Voir H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups, An Introduction'', Springer, 2004, pp. 50-51. }} Dans la suite, nous allons distinguer entre le nombre 2 et les autres nombres premiers. Comme les nombres premiers distincts de 2 sont exactement les nombres premiers impairs et que « nombre premier impair » est plus bref que « nombre premier distinct de 2 », on a coutume de dire « nombre premier impair » plutôt que « nombre premier distinct de 2 ». {{Théorème | contenu = Soient ''p'' un nombre premier '''impair''' et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' est cyclique d'ordre (p - 1) p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= Pour alléger les notations, désignons par G le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Nous savons déjà que l’ordre de ce groupe est <math>\varphi (p^n) = (p-1) p^{n-1}</math>. Prouvons que ce groupe est cyclique. L'ensemble A = 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', formé par les classes d'éléments congrus à 1 modulo ''p'', est un sous-groupe (multiplicatif) de G. En effet, c’est clairement un sous-monoïde de G et, d’après un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], tout sous-monoïde fini d'un groupe est un groupe. (On pourrait aussi noter que la classe de 1 + xp modulo pⁿ'''Z''' admet pour inverse la classe de 1 - x p + x{{exp|2}} p{{exp|2}} - ... + (- 1)^n-1 x^n-1 p^n-1.) Nous avons vu que le nombre d'éléments de p '''Z'''/pⁿ'''Z''' est p^n-1, donc A, égal à 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', compte lui aussi p^n-1 éléments. Autrement dit, le groupe multiplicatif A est d'ordre p^n-1. Puisque p - 1 est premier avec p^n-1, il résulte d'un corollaire de la décomposition d'un groupe commutatif en somme directe de ses composantes primaires que G est somme directe <math>G = A \oplus B,</math> où B est un sous-groupe d'ordre p - 1 de G. Prouvons que chacun des groupes A et B est cyclique. Tout élément du groupe multiplicatif G de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''', étant une classe modulo pⁿ formée de nombres non divisibles par ''p'', est contenu dans un et un seul élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Désignons par ''f'' l’application de G dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui applique tout élément X de G sur l'unique élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui contient X. Autrement dit, f(a + pⁿ'''Z''') = a + p'''Z''' pour tout entier rationnel ''a'' non divisible par ''p''. On vérifie facilement que ''f'' est un homomorphisme surjectif de G sur le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et que le noyau de cet homomorphisme est A. Donc G/A est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Puisque G est somme directe (interne) de A et de B, G/A est isomorphe à B, donc B est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et est donc cyclique. Prouvons maintenant que A est cyclique et pour cela, prouvons que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A. Il s'agit de prouver que l’ordre de la classe de 1 + p est p^n-1. Comme cet ordre divise l’ordre p^n-1 de A et est donc une puissance de ''p'', il suffit de prouver le fait suivant : :(1) pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, <math>(1 + p)^{p^{m}} </math> n’est pas congru à 1 modulo pⁿ. Prouvons que pour tout nombre naturel m ≥ 0, :<math>(2) \qquad (1 + p)^{p^m} \equiv 1 + p^{m+1} \pmod{p^{m+2}}</math>. Pour m = 0, les deux membres de la congruence sont égaux à 1 + p, donc la congruence est vraie. Supposons qu'elle soit vraie pour un nombre naturel ''m'' et prouvons qu'elle est vraie avec m + 1 au lieu de ''m''. Par hypothèse de récurrence, nous avons :<math>(1 + p)^{p^m} = 1 + p^{m+1} + k p^{m+2}</math> pour un certain entier ''k''. En élevant à la p-ième puissance et en appliquant la formule du binôme, nous trouvons :<math>(3) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + \sum _{i = 1}^p{\binom pi}(p^{m+1} + k p^{m+2})^i</math>. On sait que <math>\binom p1= p </math> et que, pour tout ''i'' tel que 1 ≤ i ≤ p - 1, <math>\binom pi</math> est divisible par ''p''. Donc (3) donne :<math>(1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + p^{m+2} + k p^{m+3} + r p^{2m+3} + s p^{pm+p}</math>, avec ''r'' et ''s'' entiers. Puisque <math>p^{2m+3}</math> est multiple de <math>p^{m+3}</math>, nous avons donc :<math>(4) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} \equiv 1 + p^{m+2} + s p^{pm+p} \pmod{p^{m+3}}.</math> Du fait que p est supposé ≥ 3, il résulte que p m + p ≥ m + 3. (Ce ne serait pas vrai avec p = 2 et m = 0. L'énoncé du théorème est d'ailleurs faux pour p = 2.) Dès lors, (4) donne :<math> (1 + p)^{p^{m+1}} \equiv 1 + p^{m+2} \pmod{p^{m+3}}</math>, ce qui achève de démontrer (2) par récurrence. Dès lors, pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, la plus grande puissance de ''p'' qui divise <math>(1 + p)^{p^{m}} - 1</math> est p^m+1. La thèse (1) en résulte et, comme nous l'avons vu, elle entraîne que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A, donc A est cyclique. Nous avons donc prouvé que A est un groupe cyclique d'ordre p^n-1 et B un groupe cyclique d'ordre p - 1. Comme la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres premiers entre eux est un groupe cyclique, G est cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit ''m'' un nombre naturel ≥ 2. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un sous-groupe d'ordre 2 et d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2^m-2. Si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout nombre entier rationnel ''r'', nous désignerons par [r] la classe de ''r'' modulo 2^m'''Z'''. Déterminons l’ordre de [5]. Puisque le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est d'ordre <math>\varphi(2^{m}) = 2^{m-1},</math>, l’ordre de [5] doit être une puissance de 2. Prouvons que, pour tout nombre naturel j ≥ 0, :<math>(1) \qquad 5^{2^j} \equiv 1 + 2^{j+2} \pmod{2^{j+3}}</math>. C'est vrai pour j = 0. Prouvons que si c’est vrai pour un nombre naturel ''j'', c’est vrai pour j + 1 au lieu de j. La relation (1) signifie qu’il existe un entier ''k'' tel que :<math> \qquad 5^{2^j} = 1 + 2^{j+2} + k 2^{j+3}</math>. En élevant au carré, nous trouvons :<math>(2) \qquad 5^{2^{j+1}} = (1 + 2^{j+2})^2+ 2 (1 + 2^{j+2}) k 2^{j+3} + k^22^{2j + 6}</math>. Les deux derniers des trois termes du second membre sont clairement divisibles par <math>2^{j+4}</math>. Le premier terme, égal à <math>1 + 2^{j+3} + 2^{2j+4}</math>, est congru à <math>1 + 2^{j+3} </math> modulo <math>2^{j+4}</math>. La relation (2) entraîne donc :<math> \qquad 5^{2^{j+1}} \equiv 1 + 2^{j+3} \pmod{2^{j+4}}</math>. Ceci prouve la relation (1) par récurrence sur ''j''. Dès lors, pour tout nombre naturel j ≥ 0, <math>5^{2^j} - 1</math> est divisible exactement j + 2 fois par 2. Puisque nous supposons m ≥ 2, il en résulte que le plus petit nombre naturel ''j'' tel que <math>5^{2^j} - 1</math> soit divisible par 2^m est m - 2. L'ordre de [5] dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est donc 2^m-2. Ceci revient à dire que le sous-groupe <[5]> engendré par [5] est d'ordre 2^m-2. Puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] est distinct de [1], donc [1] et [-1] forment un sous-groupe d'ordre 2 du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z'''. Comme tout élément de <[5]> est évidemment la classe d'un nombre congru à 1 modulo 4, l'intersection de <[5]> avec le sous-groupe {[1], [-1]} est réduite à l'élément neutre. (En effet, puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] ne peut pas être la classe modulo 2^m d'un nombre congru à 1 modulo 4.) Donc le sous-groupe engendré par le sous-groupe {[1], [-1]} et le sous-groupe <[5]> est la somme directe de {[1], [-1]} et de <[5]> et est donc d'ordre 2^m-1, donc est égal à tout le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''', ce qui prouve la première partie de l'énoncé. Si ''m'' est au moins égal à 3, il résulte de ce qui précède que le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un groupe cyclique d'ordre 2 et d'un groupe cyclique d'ordre divisible par 2. On a vu au chapitre [[../Produit de groupes/]] que la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres non premiers entre eux n’est pas un groupe cyclique, donc, si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} On déterminera dans les exercices la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' pour tout nombre naturel n ≥ 1. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] }} humgmmgs9569opadc729t2uglxucfqs 982871 982870 2026-05-17T06:45:46Z Marvoir 1746 Ai divisé l'article en sections pour le rendre plus facile à modifier. 982871 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 22 | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] | page_liée = Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique }} == L'anneau '''Z'''/n'''Z''' == Rappelons que nous avons défini les anneaux '''Z''' et '''Z'''/n'''Z''' au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1|Groupes commutatifs finis, 1]]. {{Clr}} {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément de '''Z'''/n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si c’est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu=Puisque [1] = 1 + n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il est clair qu'un élément [a] = a + n'''Z''' est un générateur de ce groupe si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que r [a] = [1], autrement dit si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que [r] [a] = [1], autrement dit si et seulement si [a] est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Théorème | titre = Autre forme du théorème précédent. | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément a + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Démonstration|contenu= C'est une conséquence immédiate du théorème précédent, puisque nous avons vu au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]] que a + n'''Z''' est inversible dans l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Remarque|contenu= Les deux théorèmes qui précèdent peuvent être considérés comme des variantes de la proposition suivante, démontrée dans le chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] : soient G un groupe cyclique d'ordre ''n'', ''g'' un générateur de G et ''r'' un entier rationnel; pour que g{{exp|r}} soit un générateur de G, il faut et il suffit que ''r'' soit premier avec ''n''. }} Nous appellerons groupe multiplicatif d'un anneau le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de cet anneau. {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel (≥ 0). Les automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' sont les applications x ↦ cx de '''Z'''/n'''Z''' dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut('''Z'''/n'''Z''') des automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout entier rationnel ''r'', désignons par [r] l'élément r + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z'''. On sait que [1] est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''f'' un automorphisme du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Puisque ''f'' est un homomorphisme, nous avons, pour tout nombre entier rationnel ''r'', :<math>(1) \qquad f([r]) = f(r[1]) = r f([1]) = [r] f([1])</math>. Puisque ''f'' est surjectif, il existe un élément [r] de '''Z'''/n'''Z''' tel que f([r]) = [1]. D'après (1), ceci s'écrit [r] f([1]) = [1], donc f([1]) est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''g'' l’application de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' qui applique ''f'' sur f([1]). Prouvons que ''g'' est un isomorphisme. Prouvons d’abord que ''g'' est une surjection. Soit [a] un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''; il s'agit de prouver qu’il existe un automorphisme ''f'' du groupe '''Z'''/n'''Z''' qui applique [1] sur [a]. Cela résulte par exemple du fait que [a] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''', et d'un théorème démontré au chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] (à savoir que si G et H sont des groupes monogènes de même ordre, ''g'' un générateur de G et ''h'' un générateur de H, il existe un isomorphisme de G sur H qui applique ''g'' sur ''h''). Ainsi, ''g'' est une surjection. Prouvons que ''g'' est une injection. Il s'agit de prouver que si f₁ et f₂ sont des automorphismes de '''Z'''/n'''Z''', si f₁([1]) = f₂([1]), alors f₁ = f₂. Cela résulte de ce que [1] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''' et de ce que deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H qui coïncident en tout point d'une partie génératrice de G sont égaux. (Voir [[../Groupes, premières notions#Parties génératrices|Groupes, premières notions]]. Nous avons donc prouvé que ''g'' est une bijection. Pour prouver que ''g'' est un isomorphisme, il reste à prouver que ''g'' est un homomorphisme de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Pour cela, il s'agit de prouver que :<math>(2) \qquad (f \circ g) ([1]) = f([1] g[1])</math>. Le premier membre est égal à f(g[1]). Choisissons un entier rationnel ''r'' tel que g([1]) = [r]. Alors le premier membre de (2) est égal à f([r]) et donc, d’après (1), à [r] f([1]), autrement dit à g([1]) f([1]), ce qui prouve (2). }} {{Corollaire | titre = Corollaire 1 | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n'', noté multiplicativement. Les automorphismes du groupe G sont les applications x ↦ x^c de G dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut(G) des automorphismes de G est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On sait que G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. L'énoncé se déduit donc facilement du théorème précédent. }} {{Corollaire | titre = Corollaire 2 | contenu = Le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est commutatif. }} {{Démonstration déroulante|contenu= D'après ce qui précède, le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est isomorphe au groupe multiplicatif d'un anneau commutatif. }} Nous allons maintenant expliciter la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''', ce qui explicitera en même temps la structure du groupe des automorphismes des groupes monogènes. Si n = 0, l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe à '''Z''', donc son groupe multiplicatif est formé des deux éléments 1 et - 1. Le cas n = 0 étant réglé, nous ne nous intéresserons plus qu'au cas n ≥ 1. On sait que dans ce cas, '''Z'''/n'''Z''' est fini et compte ''n'' éléments. {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul. L'ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi {{nobr|0, 1, ... , n - 1.}} }} {{Démonstration|contenu= On a vu au chapitre [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] que tout élément de '''Z'''/n'''Z''' est la classe d'un et un seul des nombres 0, 1, ... , n - 1. On a vu aussi (chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]]) que si ''a'' est un entier rationnel, a + n'''Z''' est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. L'énoncé en résulte. }} == La fonction indicatrice d'Euler == {{Définition | contenu = On appelle ''indicateur d'Euler'', ou encore ''indicatrice d'Euler'', et on note <math>\varphi</math> l’application de <math>\N\setminus\{0\}</math> dans <math>\N</math> qui à tout nombre naturel non nul ''n'' fait correspondre l’ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} D'après la proposition précédente, <math>\varphi (n) </math> est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi 0, 1, ... , n -1. Par exemple, <math>\varphi (1) = 1</math> et <math>\varphi (p) = p - 1</math> pour tout nombre premier ''p''. {{Proposition | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n''. Le nombre de générateurs de G (autrement dit le nombre d'éléments d'ordre ''n'' dans G) est égal à <math>\varphi(n)</math>. }} {{Démonstration|contenu= Puisque G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il suffit de le prouver dans le cas où G = '''Z'''/n'''Z'''. Or nous avons vu que <math>\varphi(n)</math> est le nombre des éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' et nous avons vu aussi que les éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' sont les générateurs du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Proposition | contenu = Si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, <math>\varphi (ab) = \varphi (a) \varphi (b).</math> }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ab, que nous noterons additivement. D'après un exemple donné au chapitre [[../Produit de groupes/]], G est somme directe interne de son sous-groupe (cyclique) A d'ordre ''a'' et de son sous-groupe (cyclique) B d'ordre ''b''. À tout élément ''x'' de G, faisons correspondre le couple (y, z) tel que x = y z, avec ''y'' dans A et ''z'' dans B. Nous définissons ainsi un isomorphisme <math>\sigma </math> de G sur la somme directe de A et B. L'ordre de ''x'' est le ppcm des ordres de ''y'' et de ''z'', l’ordre de ''y'' divise ''a'' et l’ordre de ''z'' divise ''b''. Il est donc clair que ''x'' est d'ordre ab si et seulement si ''y'' est d'ordre ''a'' et ''z'' d'ordre ''b''. Ainsi, <math>\sigma </math> induit une bijection de l’ensemble des générateurs de G sur le produit cartésien de l’ensemble des générateurs de A par l’ensemble des générateurs de B. Le nombre <math>\varphi(ab)</math> des générateurs de G est donc égal au produit du nombre <math>\varphi(a)</math> des générateurs de A par le nombre <math>\varphi(b)</math> des générateurs de B, ce qui prouve l'énoncé. }} {{Remarque|contenu= L'énoncé précédent peut aussi se déduire de ce théorème : si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/ab'''Z''' est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/a'''Z''' par le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/b'''Z'''. (Voir les exercices.) }} {{Lemme | contenu = Soient ''p'' un nombre premier et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Pour tout élément X de '''Z'''/pⁿ'''Z''', les trois conditions suivantes sont équivalentes : #Tous les éléments de X sont divisibles par ''p'' ; #X comprend (au moins) un élément divisible par ''p'' ; #X est un élément non inversible de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Les classes résiduelles modulo pⁿ possédant ces propriétés sont en quantité p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= La preuve de l'équivalence des conditions 1° à 3° est facile et laissée au lecteur. Prouvons la dernière assertion de l'énoncé. Première démonstration. D'après l'équivalence de 1° et 2° et le fait que toute classe modulo pⁿ comprend un et un seul des nombres naturels < pⁿ, la quantité des classes modulo pⁿ satisfaisant aux conditions 1° à 3° est égale à la quantité des nombres divisibles par ''p'' parmi 0, 1, ... , pⁿ - 1. Ces nombres sont les nombres de la forme p x, où ''x'' parcourt les nombres naturels tels que px < pⁿ, autrement dit les nombres naturels x < p^n-1. Ces nombres naturels ''x'' sont en quantité p^n-1, donc les nombres divisibles par ''p'' dans la suite 0, 1, ... , pⁿ sont en quantité p^n-1. Seconde démonstration. La démonstration qui précède repose sur l’ordre usuel défini dans '''N''' et dans '''Z'''. Voici une démonstration un peu différente, qui peut se généraliser à des anneaux où un ordre tel que celui de '''Z''' n’est pas défini. Deux entiers rationnels ''a'' et ''b'' sont congrus modulo p^n-1 si et seulement pa et pb sont congrus modulo pⁿ. On en déduit facilement 1° qu’il existe une et une seule application ''f'' de '''Z'''/p^n-1'''Z''' dans l’ensemble des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' telle que, pour tout entier rationnel ''x'', on ait f(x + p^n-1'''Z''') = p x + p^n-1'''Z''' ; 2° que ''f'' est une bijection. Le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' est donc égal au nombre p^n-1 des éléments de '''Z'''/p^n-1'''Z'''. }} {{Remarque|contenu= Les éléments non inversibles de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' forment donc un sous-groupe du groupe additif de cet anneau, ce qui n'est évidemment pas le cas dans tout anneau. }} {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul, soit <math>n = \prod_ip_i^{r_i}</math> la décomposition de ''n'' en facteurs premiers, les p_i étant les différents facteurs premiers de ''n'' et les r_i étant ≥ 1. Alors <math>\varphi(n) = \prod_i(p_i- 1) p_i^{r_i-1}</math>. }} {{Démonstration|contenu= D'après une proposition précédente, <math>\varphi(\prod_ip_i^{r_i}) = \prod_i\varphi(p_i^{r_i}),</math> donc il suffit de prouver que si ''p'' est un nombre premier et ''r'' un nombre naturel ≥ 1, alors <math>\varphi(p^r) = (p-1) p^{r-1}.</math> Puisque, d’après le lemme précédent, le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/p^r'''Z''' est égal à p^n-1, <math>\varphi(p^r) = p^{r} - p^{r-1} = (p-1) p^{r-1}.</math>. }} {{Lemme | contenu = Si G est un groupe fini d'ordre ''n'', :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n'' et où, pour tout ''d'', r_d désigne le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout groupe cyclique C, désignons par gén(C) l’ensemble des générateurs de C. Si C est un sous-groupe cyclique d'un groupe G, si ''x'' est un élément de gén(C), alors C est le sous-groupe de G engendré par ''x''; il en résulte évidemment que si C et D sont deux différents sous-groupes cycliques de G, alors gén(C) et gén(D) sont disjoints. D'autre part, puisque G est fini, tout élément de G engendre un sous-groupe cyclique de G et, en particulier, est contenu dans un tel sous-groupe. Donc G est réunion disjointe des ensembles gén(C), où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. On a donc :<math> \qquad \vert G \vert = \sum_C\mathrm{Card}(\mathrm{g \acute{e}n}(C)),</math> où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. Cela peut encore s'écrire :<math>(1) \qquad \vert G \vert = \sum _{d\mid n} \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) )</math> où, pour chaque ''d'', C parcourt les sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Il résulte d'une précédente proposition que pour un tel C, :<math>\mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = \varphi(d)</math>, d'où :<math> \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = r_d\varphi(d)</math>. En portant ceci dans (1), nous obtenons l'énoncé. }} {{ancre|phi*1}} {{Proposition | contenu = Si ''n'' est un nombre naturel non nul, :<math>n = \sum_{d\mid n} \varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ''n''. Nous savons que pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G admet un et un seul sous-groupe d'ordre ''d'' et que ce sous-groupe est cyclique. Donc, dans les notations du précédent lemme, r_d = 1 pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n''. Le précédent lemme fournit donc l'énoncé. }} {{ancre|ConditionSuffisanteCyclicité}} {{Lemme | contenu = Soit G un groupe fini d'ordre ''n''. Si pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G a au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d'', alors G est cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', désignons par r_d le nombre de sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Par hypothèse, r_d est égal à 0 ou à 1. D'après un précédent lemme, nous avons :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. D'après la précédente proposition, le premier membre peut être remplacé par <math> \sum_{d \vert n} \varphi(d), </math> d'où :<math>(1) \sum_{d\mid n} \varphi(d) = \sum_{d\mid n} r_d\varphi(d)</math>. Puisque chaque r_d est ≤ 1, le terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le second membre de (1) est inférieur ou égal au terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le premier membre. Vu l'égalité des deux membres, on doit donc avoir r_d = 1 pour tout ''d''. C'est vrai en particulier pour d = n, donc G a un sous-groupe cycique d'ordre ''n'', donc G est cyclique. }} == Corps commutatifs, polynômes et fin du chapitre == {{Ancre|CyclicitéDansCorps}} {{Lemme | contenu = Soit F un corps commutatif. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F est cyclique<ref>Ce résultat s'étend facilement aux [[w:Corps gauche|corps gauches]] de [[Corps (mathématiques)/Définitions#Caractéristique|caractéristique]] non nulle ({{article|url=https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103051509|titre=Finite multiplicative subgroups in division rings|auteur=I. N. Herstein|revue=Pacific J. Math.|volume=3|issue=1|year=1953|page=121-126}}).</ref>. }} {{Démonstration|contenu= Soit G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F. Il s'agit de prouver que G est cyclique. Soit ''d'' un diviseur naturel de l’ordre de G. D'après la théorie des polynômes, le polynôme X^d - 1 admet au plus ''d'' racines dans F et donc au plus ''d'' racines dans G. Autrement dit, il y a dans G au plus ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1. Il en résulte clairement que G admet au plus un sous-groupe d'ordre ''d''. (Si G admettait deux sous-groupes distincts d'ordre ''d'', soient H et K, la réunion de H et de K serait un ensemble de plus de ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1.) A fortiori, G admet au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d''. D'après le lemme précédent, G est donc cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit F un corps commutatif fini. Le groupe multiplicatif de F est cyclique. }} {{Démonstration déroulante|contenu= C'est évidemment un cas particulier du lemme qui précède.}} {{Remarque|contenu= D'après un théorème de Wedderburn<ref>Pour une démonstration du théorème de Wedderburn, voir par exemple la démonstration de Witt reproduite dans André Weil, ''Basic Number Theory'', 3{{e}} éd., Springer, 1974, p. 1.</ref>, tout corps fini est commutatif. L'expression « corps commutatif fini » est donc pléonastique. }} {{Théorème | titre = Cas particulier | contenu = Si ''p'' est un nombre premier, le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique (d'ordre ''p'' - 1). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Cela résulte immédiatement de l'énoncé précédent, puisque nous avons vu que si ''p'' est un nombre premier, l'anneau '''Z'''/p'''Z''' est un corps (commutatif). }} {{Remarque|contenu= Soit ''p'' un nombre premier. Dire que le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique revient à dire qu’il existe au moins un entier rationnel ''r'' (non divisible par ''p'') tel que r{{exp|0}}, r{{exp|1}}, ... , r^p-2 représentent les p - 1 classes résiduelles non nulles modulo ''p''. Un tel entier rationnel est appelé « racine primitive modulo p ». En particulier, il y a au moins une racine primitive modulo ''p'' parmi les nombres naturels < p, et, d’après ce que nous avons vu sur le nombre de générateurs d'un groupe cyclique, il y en a exactement <math>\varphi(p-1) </math>. Par exemple, pour p = 7, les racines primitives < p sont les <math>\varphi(6) = 2</math> nombres 3 et 5. }} {{Corollaire | contenu = Si G est un groupe (cyclique) d'ordre premier ''p'', le groupe des automorphismes de G est cyclique (d'ordre ''p'' - 1). }} Démonstration. Le groupe G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/p'''Z''', donc le groupe des automorphismes de G est isomorphe au groupe des automorphismes du groupe additif '''Z'''/p'''Z''', et donc, d’après un théorème précédent, isomorphe au groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''', or nous venons de voir que ce groupe multiplicatif est cyclique. {{Remarque|contenu= La preuve donnée ici du fait que le groupe des automorphismes d'un groupe (cyclique) d'ordre premier est cyclique dépend de la notion de polynôme. Il existe une démonstration qui ne dépend pas de la notion de polynôme mais seulement de notions élémentaires de théorie des groupes. Voir H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups, An Introduction'', Springer, 2004, pp. 50-51. }} Dans la suite, nous allons distinguer entre le nombre 2 et les autres nombres premiers. Comme les nombres premiers distincts de 2 sont exactement les nombres premiers impairs et que « nombre premier impair » est plus bref que « nombre premier distinct de 2 », on a coutume de dire « nombre premier impair » plutôt que « nombre premier distinct de 2 ». {{Théorème | contenu = Soient ''p'' un nombre premier '''impair''' et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' est cyclique d'ordre (p - 1) p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= Pour alléger les notations, désignons par G le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Nous savons déjà que l’ordre de ce groupe est <math>\varphi (p^n) = (p-1) p^{n-1}</math>. Prouvons que ce groupe est cyclique. L'ensemble A = 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', formé par les classes d'éléments congrus à 1 modulo ''p'', est un sous-groupe (multiplicatif) de G. En effet, c’est clairement un sous-monoïde de G et, d’après un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], tout sous-monoïde fini d'un groupe est un groupe. (On pourrait aussi noter que la classe de 1 + xp modulo pⁿ'''Z''' admet pour inverse la classe de 1 - x p + x{{exp|2}} p{{exp|2}} - ... + (- 1)^n-1 x^n-1 p^n-1.) Nous avons vu que le nombre d'éléments de p '''Z'''/pⁿ'''Z''' est p^n-1, donc A, égal à 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', compte lui aussi p^n-1 éléments. Autrement dit, le groupe multiplicatif A est d'ordre p^n-1. Puisque p - 1 est premier avec p^n-1, il résulte d'un corollaire de la décomposition d'un groupe commutatif en somme directe de ses composantes primaires que G est somme directe <math>G = A \oplus B,</math> où B est un sous-groupe d'ordre p - 1 de G. Prouvons que chacun des groupes A et B est cyclique. Tout élément du groupe multiplicatif G de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''', étant une classe modulo pⁿ formée de nombres non divisibles par ''p'', est contenu dans un et un seul élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Désignons par ''f'' l’application de G dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui applique tout élément X de G sur l'unique élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui contient X. Autrement dit, f(a + pⁿ'''Z''') = a + p'''Z''' pour tout entier rationnel ''a'' non divisible par ''p''. On vérifie facilement que ''f'' est un homomorphisme surjectif de G sur le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et que le noyau de cet homomorphisme est A. Donc G/A est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Puisque G est somme directe (interne) de A et de B, G/A est isomorphe à B, donc B est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et est donc cyclique. Prouvons maintenant que A est cyclique et pour cela, prouvons que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A. Il s'agit de prouver que l’ordre de la classe de 1 + p est p^n-1. Comme cet ordre divise l’ordre p^n-1 de A et est donc une puissance de ''p'', il suffit de prouver le fait suivant : :(1) pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, <math>(1 + p)^{p^{m}} </math> n’est pas congru à 1 modulo pⁿ. Prouvons que pour tout nombre naturel m ≥ 0, :<math>(2) \qquad (1 + p)^{p^m} \equiv 1 + p^{m+1} \pmod{p^{m+2}}</math>. Pour m = 0, les deux membres de la congruence sont égaux à 1 + p, donc la congruence est vraie. Supposons qu'elle soit vraie pour un nombre naturel ''m'' et prouvons qu'elle est vraie avec m + 1 au lieu de ''m''. Par hypothèse de récurrence, nous avons :<math>(1 + p)^{p^m} = 1 + p^{m+1} + k p^{m+2}</math> pour un certain entier ''k''. En élevant à la p-ième puissance et en appliquant la formule du binôme, nous trouvons :<math>(3) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + \sum _{i = 1}^p{\binom pi}(p^{m+1} + k p^{m+2})^i</math>. On sait que <math>\binom p1= p </math> et que, pour tout ''i'' tel que 1 ≤ i ≤ p - 1, <math>\binom pi</math> est divisible par ''p''. Donc (3) donne :<math>(1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + p^{m+2} + k p^{m+3} + r p^{2m+3} + s p^{pm+p}</math>, avec ''r'' et ''s'' entiers. Puisque <math>p^{2m+3}</math> est multiple de <math>p^{m+3}</math>, nous avons donc :<math>(4) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} \equiv 1 + p^{m+2} + s p^{pm+p} \pmod{p^{m+3}}.</math> Du fait que p est supposé ≥ 3, il résulte que p m + p ≥ m + 3. (Ce ne serait pas vrai avec p = 2 et m = 0. L'énoncé du théorème est d'ailleurs faux pour p = 2.) Dès lors, (4) donne :<math> (1 + p)^{p^{m+1}} \equiv 1 + p^{m+2} \pmod{p^{m+3}}</math>, ce qui achève de démontrer (2) par récurrence. Dès lors, pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, la plus grande puissance de ''p'' qui divise <math>(1 + p)^{p^{m}} - 1</math> est p^m+1. La thèse (1) en résulte et, comme nous l'avons vu, elle entraîne que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A, donc A est cyclique. Nous avons donc prouvé que A est un groupe cyclique d'ordre p^n-1 et B un groupe cyclique d'ordre p - 1. Comme la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres premiers entre eux est un groupe cyclique, G est cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit ''m'' un nombre naturel ≥ 2. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un sous-groupe d'ordre 2 et d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2^m-2. Si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout nombre entier rationnel ''r'', nous désignerons par [r] la classe de ''r'' modulo 2^m'''Z'''. Déterminons l’ordre de [5]. Puisque le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est d'ordre <math>\varphi(2^{m}) = 2^{m-1},</math>, l’ordre de [5] doit être une puissance de 2. Prouvons que, pour tout nombre naturel j ≥ 0, :<math>(1) \qquad 5^{2^j} \equiv 1 + 2^{j+2} \pmod{2^{j+3}}</math>. C'est vrai pour j = 0. Prouvons que si c’est vrai pour un nombre naturel ''j'', c’est vrai pour j + 1 au lieu de j. La relation (1) signifie qu’il existe un entier ''k'' tel que :<math> \qquad 5^{2^j} = 1 + 2^{j+2} + k 2^{j+3}</math>. En élevant au carré, nous trouvons :<math>(2) \qquad 5^{2^{j+1}} = (1 + 2^{j+2})^2+ 2 (1 + 2^{j+2}) k 2^{j+3} + k^22^{2j + 6}</math>. Les deux derniers des trois termes du second membre sont clairement divisibles par <math>2^{j+4}</math>. Le premier terme, égal à <math>1 + 2^{j+3} + 2^{2j+4}</math>, est congru à <math>1 + 2^{j+3} </math> modulo <math>2^{j+4}</math>. La relation (2) entraîne donc :<math> \qquad 5^{2^{j+1}} \equiv 1 + 2^{j+3} \pmod{2^{j+4}}</math>. Ceci prouve la relation (1) par récurrence sur ''j''. Dès lors, pour tout nombre naturel j ≥ 0, <math>5^{2^j} - 1</math> est divisible exactement j + 2 fois par 2. Puisque nous supposons m ≥ 2, il en résulte que le plus petit nombre naturel ''j'' tel que <math>5^{2^j} - 1</math> soit divisible par 2^m est m - 2. L'ordre de [5] dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est donc 2^m-2. Ceci revient à dire que le sous-groupe <[5]> engendré par [5] est d'ordre 2^m-2. Puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] est distinct de [1], donc [1] et [-1] forment un sous-groupe d'ordre 2 du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z'''. Comme tout élément de <[5]> est évidemment la classe d'un nombre congru à 1 modulo 4, l'intersection de <[5]> avec le sous-groupe {[1], [-1]} est réduite à l'élément neutre. (En effet, puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] ne peut pas être la classe modulo 2^m d'un nombre congru à 1 modulo 4.) Donc le sous-groupe engendré par le sous-groupe {[1], [-1]} et le sous-groupe <[5]> est la somme directe de {[1], [-1]} et de <[5]> et est donc d'ordre 2^m-1, donc est égal à tout le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''', ce qui prouve la première partie de l'énoncé. Si ''m'' est au moins égal à 3, il résulte de ce qui précède que le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un groupe cyclique d'ordre 2 et d'un groupe cyclique d'ordre divisible par 2. On a vu au chapitre [[../Produit de groupes/]] que la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres non premiers entre eux n’est pas un groupe cyclique, donc, si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} On déterminera dans les exercices la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' pour tout nombre naturel n ≥ 1. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] }} qe567cgj6mo3sydr6s2yck9s6lhlsmo 0 34624 982863 959529 2026-05-16T13:07:50Z CommonsDelinker 472 Replacing CaptAmerica.jpg with [[File:Captain_America_cosplay.jpg]] (by [[:c:User:CommonsDelinker|CommonsDelinker]] because: [[:c:COM:FR|File renamed]]: [[:c:COM:FR#FR2|Criterion 2]] (meaningless or ambiguous name)). 982863 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | titre_leçon = Vocabulaire espéranto | idfaculté = langues | numéro = 24 | leçon = [[../|Vocabulaire en espéranto]] | précédent = [[../Jours de la semaine/]] | suivant = [[../Mois de l'année/]] | niveau = 2 }} {{clr}} <gallery> Image:Spiderman and child.jpg|'''Araneo-Viro kaj Kapitano Ameriko''' Image:2014 Dragon Con Cosplay - Doctor Fate (15123297952).jpg|'''Doktoro Fejt''' Image:Docteur strange.jpg|'''Doktoro Strenĝ''' Image:WW_Chicago_2013_-_Flash_(9521190162).jpg|'''Fulmulo''' Image:Captain America cosplay.jpg|'''Kapitano Ameriko''' Image:C2E2 2014 - Wonder Woman (14085144300).jpg|'''Miraklovirino''' Image:Long Beach Comic & Horror Con 2011 - Robin (6301708220).jpg|'''Ruĝgorĝulo''' Image:Sailor Moon cosplayer at FanimeCon 2010-05-30 3.JPG|'''Sejla Mun''' WonderCon 2012 - Sailor Mercury.jpg|'''Sejla Markuri''' Supercon-day1-1631.jpg|'''Sejla Mars''' Otakon 2012 180.JPG|'''Sejla Ĝupita''' Cosplay of Sailor Venus at Anime Expo (5117704271).jpg|'''Sejla Vinas''' Tuxedo Mask (Sailor Moon Cosplayer) @ HamaCon '12 Cosplay Contest.jpg|'''Taksido Kamen''' Image:Supergirl_cosplay.jpg|'''Superknabino''' Image:Jonathan Carroll as Superman.jpg|'''Superviro''' WonderCon 2012 - Green Arrow (7019457861).jpg|'''Verda Pafarkisto''' Image:Batgirl_cosplay_01.jpg|'''Vespertknabino''' Image:Batman cossplay.JPG|'''Verspertviro''' </gallery> {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../|Vocabulaire en espéranto]] | précédent = [[../Jours de la semaine/]] | suivant = [[../Mois de l'année/]] }} 7syt67gd4lnps3adppwrlv735ao76hn 0 65192 982877 982821 2026-05-17T09:32:51Z Marvoir 1746 /* Groupes linéaires réductibles, irréductibles, complètement réductibles */ 982877 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 38 | précédent = [[../Produit en couronne/]] | suivant = [[../Représentations complexes des groupes finis, 1/]] | page_liée = Exercices/Théorème de Maschke }} Dans ce chapitre, on va démontrer le théorème de Maschke, qui joue un rôle fondamental dans la théorie des représentations linéaires des groupes finis. On commencera par quelques rappels d'algèbre générale. == Rappels sur la caractéristique d'un corps == Soit K un corps (non forcément commutatif). L'unique homomorphisme du groupe <math>\mathbb{Z}, +</math> dans le groupe K, + qui applique l'élément 1 de <math>\mathbb{Z}</math> sur l'élément 1 de K est aussi l'unique homomorphisme d'anneaux de <math>\mathbb{Z}</math> dans K.<br /> Le noyau de cet homomorphisme est de la forme n <math>\mathbb{Z}</math>, pour un nombre naturel ''n'' défini de manière unique; ce nombre naturel ''n'' est appelé la caractéristique de K.<br /> La caractéristique de K est égale à 0 ou à un nombre premier ''p''.<br /> Si la caractéristique de K est nulle, l'homomorphisme d'anneaux <math>\mathbb{Z} \rightarrow K</math> est injectif et s'étend de façon unique en un homomorphisme injectif du corps <math>\mathbb{Q}</math> (corps des nombres rationnels) dans le corps K; par corestriction, cet homomorphisme définit un isomorphisme du corps <math>\mathbb{Q}</math> sur le sous-corps premier de K (plus petit sous-corps de K pour l'inclusion).<br /> Si maintenant la caractéristique de K est un nombre premier ''p'', l'homomorphisme d'anneaux <math>\mathbb{Z} \rightarrow K</math> a pour noyau <math>p\mathbb{Z},</math>, d'où un (unique) isomorphisme du corps <math>\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}</math> sur le sous-corps premier de K.<br /> Pour un entier rationnel ''n'', nous noterons parfois n_K l'image de ''n'' par l'unique homomorphisme d'anneaux de <math>\mathbb{Z}</math> dans K. (En particulier, 1_K désigne le neutre multiplicatif de K.) Nous dirons que n_K est l'image canonique de ''n'' dans K.<br /> De façon générale, si G est un groupe noté additivement, si ''n'' est un entier rationnel et ''x'' un élément de G, on désigne par ''nx'' l'image de ''n'' par l'unique homomorphisme du groupe <math>\mathbb{Z}, +</math> dans G qui applique 1 sur ''x''. (Pour ''n'' naturel, ''nx'' est la somme de ''n'' termes égaux à ''x''; pour n = -n' avec n' naturel, nx = - (n'x)= n'(-x).)<br /> En appliquant cette notation au cas où G est le groupe additif du corps K, on a nx = n_Kx, où, dans le second membre, le produit est pris relativement à la loi interne multiplicative de K.<br > Pour un entier rationnel, on écrit parfois ''n'' au lieu de n_K. Si on emploie cette notation, il faut garder présent à l'esprit que si la caractéristique de K n'est pas nulle, un entier rationnel non nul peut être « nul dans K ». == Anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel == Soit F un corps (non forcément commutatif) et V un F-espace vectoriel. On désigne par End_F(V), ou encore par End(V), l'ensemble des F-endomorphismes de V (transformations linéaires). {{Théorème |titre = Énoncé 1 |contenu = Soit V un espace vectoriel (sur un corps non forcément commutatif). L'addition point par point et la composition <math>(f, g) \mapsto f \circ g</math> dans End(V) font de End(V) un anneau. }} La vérification est laissée au lecteur. == Sous-espaces vectoriels supplémentaires dans un espace vectoriel == {{Définition | titre = Définition. Sous-espaces vectoriels supplémentaires | contenu = Soit V un espace vectoriel (à gauche ou à droite), soient W₁, W₂ des sous-espaces de V. On dit que W₂ est un supplémentaire de W₁ si V est somme directe (interne) de W₁ et W₂. W₁ est alors un supplémentaire de W₂ dans V et on dit aussi que W₁ et W₂ sont supplémentaires (dans V). }} {{Définition | titre = Définition. Projecteur | contenu = Soit V un espace vectoriel (à gauche ou à droite). Un endomorphisme ''f'' de V est appelé un projecteur de V si <math>f \circ f = f,</math> autrement dit si ''f'' est un élément idempotent de l'anneau End(V) des endomorphismes de V. }} {{Théorème | titre=Énoncé 2 |contenu= Soit V un espace vectoriel (à gauche ou à droite), soit ''f'' un projecteur de V. Alors Ker f et Im f sont des sous-espaces supplémentaires dans V. }} {{Démonstration | contenu= Soit ''x'' un élément de V. Nous avons :(1) x = f(x) + (x - f(x)) avec <math>f(x) \in \mathrm{Im} f.</math> De plus, x - f(x) appartient à Ker f; en effet, :<math>f(x - f(x)) = f(x) - f \circ f (x)</math> et, puisque <math>f \circ f (x) = f,</math> cela peut s'écrire f(x - f(x)) = f(x) - f(x) = 0, donc x - f(x) appartient à Ker f comme annoncé.<br /> La relation (1) montre donc que :(2) V = Im f + Ker f. Prouvons que <math>\mathrm{Im} f \cap \mathrm{Ker} f = 0.</math> Soit ''y'' un élément de <math>\mathrm{Im} f \cap \mathrm{Ker} f;</math> il s'agit de prouver que y = 0. Puisque ''y'' appartient à Im f, il existe un élément ''x'' de V tel quelconque :(3) y = f(x). Puisque, d'autre part, ''y'' appartient à Ker f, nous avons f(y) = 0, ce qui, d'après (3), peut s'écrire f(f(x)) = 0; puisque <math>f \circ f = f,</math> nous avons donc f(x) = 0, d'où, d'après (3), y = 0, ce qui, comme on l'a vu, prouve que <math>\mathrm{Im} f \cap \mathrm{Ker} f = 0.</math> Joint à (2), cela prouve que Ker f et Im f sont des sous-espaces supplémentaires dans V. }} Remarque. Il est clair que tout ce qui a été dit jusqu'ici sur les espaces vectoriels dans la présente section s'étend immédiatement aux modules. Ce n'est pas le cas de l'énoncé suivant : {{Théorème |titre = Énoncé 3 |contenu = Dans un espace vectoriel, tout sous-espace admet un supplémentaire. }} {{Démonstration |contenu = C'est une conséquence classique du fait que toute partie libre d'un espace vectoriel peut se compléter en une base de cet espace. }} == Algèbres sur un corps commutatif == {{Définition |titre = Définition. Algèbre sur un anneau commutatif |contenu = Soit F un anneau commutatif. (La commutativité est essentielle.) Une algèbre sur F, ou F-algèbre, est la donnée d'un ensemble A, d'une loi de composition interne <math>\underset{A}{+}</math>, dite addition dans A, d'une loi de composition interne <math>\underset{A}{\times}</math>, dite multiplication dans A, et d'une loi externe <math>* : F \times A \rightarrow A</math> telles que :1° la loi interne <math>\underset{A}{+}</math> et la loi externe <math>* : F \times A \rightarrow A</math> font de A un F-module; :2° la loi interne <math>\underset{A}{\times} : A \times A \rightarrow A : (a, b) \mapsto a \underset{A}{\times} b</math> est F-bilinéaire pour cette structure de F-module sur A. }} Dans les écritures, on donnera la précédence aux opérateurs <math>*</math> et <math>\underset{A}{\times}</math> sur l'opérateur <math>\underset{A}{+}</math>. Avec cette convention, la condition 2° signifie que pour tous éléments ''a'', ''b'', ''c'' de A, :<math>(a \underset{A}{+} b) \underset{A}{\times} c = a \underset{A}{\times} c \underset{A}{+} a \underset{A}{\times} c</math> et :<math> a \underset{A}{\times} (b \underset{A}{+} c) = a \underset{A}{\times} b \underset{A}{+} a \underset{A}{\times} c</math> et que pour tout ''f'' dans F et tous ''a'', ''b'' dans A, :<math>a \underset{A}{\times} (f * b) = (f *a) \underset{A}{\times} b = f * (a \underset{A}{\times} b).</math> En pratique, on note généralement par le même symbole + l'addition dans F et l'addition dans A. De même, on note généralement par simple juxtaposition la multiplication dans F, la multiplication dans A et la loi externe <math>F \times A \rightarrow A</math>. Avec cette convention, et l'usage correspondant du symbole <math>\sum </math>, on peut énoncer : :Soient <math>(f_{i})_{i \in I}</math> et <math>(g_{j})_{j \in J}</math> deux familles finies d'éléments de F, soient <math>(a_{i})_{i \in I}</math> et <math>(b_{j})_{j \in J}</math> deux familles d'éléments de A; alors :<math>(\sum _{i \in I} f_{i} a_{i}) (\sum _{j \in J} g_{j} b_{j}) = \sum _{(i,j) \in I \times J}(f_{i} g_{j}) (a_{i} b_{j}).</math> Les algèbres auxquelles nous nous intéresserons dans la suite de ce cours seront des algèbres sur des corps (commutatifs). Si F est un corps commutatif, l'expression « F-module » peut être remplacée par « F-espace vectoriel » dans la définition d'une F-algèbre. Si la multiplication d'une algèbre est associative, on dit que cette algèbre est associative. L'addition et la multiplication d'une algèbre associative A munissent A d'une structure de pseudo-anneau, que nous appellerons le pseudo-anneau sous-jacent de l'algèbre A. Toutes les algèbres que nous considérerons seront associatives. Si la multiplication d'une algèbre A admet un élément neutre (lequel est alors unique),on dit que cet élément neutre est l'unité de l'algèbre A et que cette algèbre est unifère. Si une algèbre A est à la fois associative et unifère, son pseudo-anneau sous-jacent est un anneau, qu'on appellera anneau sous-jacent de A. L'exemple suivant d'algèbre associative et unifère sur un corps commutatif sera utilisé dans la suite de ce chapitre. {{Théorème |titre = Énoncé 4 |contenu = Soit F un corps '''commutatif''' et V un F-espace vectoriel. On désigne par End(V) l'ensemble des F-endomorphismes de V (transformations linéaires). Si pour tout élément <math>\lambda</math> de F et tout élément ''h'' de End(V), on définit une application <math>\lambda h</math> de V dans lui-même en posant :<math>\lambda h : x \mapsto \lambda \cdot (h(x)),</math> où le point désigne la loi externe du F-espace vectoriel V, alors <math>\lambda h</math> appartient à End_F(V) et l'addition dans End(V), la loi externe :<math>F \times \mathrm{End}_{F}(V) \rightarrow \mathrm{End}_{F}(V) : (\lambda, h) \mapsto \lambda h</math> et la composition dans End_F(V) font de End_F(V) une F-algèbre associative unifère (l'unité de cette algèbre étant l'endomorphisme identité). }} {{Démonstration |contenu = On sait par l'énoncé 1 que l'addition point par point et la composition dans End(V) font de End(V) un anneau (même si F n'est pas supposé commutatif). Prouvons que si F est commutatif, alors, pour tout élément <math>\lambda</math> de F et tout élément ''h'' de End(V), l'application <math>\lambda h</math> est un F-endomorphisme de V. La relation <math>(\lambda h) (x + y) = (\lambda h) (x) + (\lambda h) (y)</math>, pour tous éléments ''x'', ''y'' de V, est vraie même si F n'est pas supposé commutatif, comme le lecteur le vérifiera facilement. Il reste à prouver que, pour tout élément <math>\mu</math> de F et tout élément ''x'' de V, :<math>(\lambda h) (\mu x) = \mu \cdot ((\lambda h) (x)).</math> Par définition de <math>\lambda h</math>, le premier membre de la thèse égale :<math>\lambda \cdot ((h) (\mu x)) = \lambda \cdot (\mu \cdot (h(x))) = (\lambda \mu) \cdot (h(x))</math>. D'autre part, toujours par définition de <math>\lambda h</math>, le second membre de la thèse égale :<math>\mu \cdot (\lambda \cdot (h(x)) = (\mu \lambda) \cdot (h(x)).</math> Puisque F est supposé commutatif, <math>\lambda \mu = \mu \lambda,</math> donc les deux membres de la thèse sont bien égaux. Il reste à prouver que, pour tout élément <math>\lambda</math> de F et tous éléments ''f'', ''g'' de End(V), :<math>\lambda (f \circ g) = (\lambda f) \circ g = f \circ (\lambda g)</math>, ce qui est laissé au lecteur. }} == Groupes linéaires réductibles, irréductibles, complètement réductibles == Dans la suite de ce chapitre, les corps sur lesquels on considérera des espaces vectoriels seront toujours supposés commutatifs, même si certains énoncés restent vrais sans cette hypothèse. Il n'y aura donc pas lieu de distinguer entre espaces vectoriels à gauche et à droite. Si V est un espace vectoriel sur un corps commutatif F, on désignera par GL(V) le groupe formé par les permutations F-linéaires de V (automorphismes de l'espace vectoriel V), la loi de groupe étant la composition :<math>GL(V) \times GL(V) \rightarrow GL(V) : (f, g) \mapsto f \circ g,</math> où <math>f \circ g</math> est définie par :<math>f \circ g : V \rightarrow V : v \mapsto f(g(v)).</math> Nous dirons qu'un groupe G est un groupe linéaire si c'est un sous-groupe de GL(V) pour un certain espace vectoriel V sur un corps commutatif. Si on définit un endomorphisme d'espace vectoriel de façon que la notion de l'endomorphisme englobe celle de l'espace vectoriel, alors V est défini de façon unique à partir de G. Si ''g'' est un élément de GL(V), un sous-espace W de V est dit stable par ''g'' si g(W) est contenu dans W. W est dit invariant par ''g'' si g(W) = W. (Si W est de dimension finie et stable par ''g'', il est invariant par ''g'', car W et g(W) ont la même dimension et un espace vectoriel de dimension finie ''n'' est son seul sous-espace de dimension ''n''.) {{Définition | titre = Définition. Sous-espace invariant par un groupe d'automorphismes | contenu = Soit V un espace vectoriel sur un corps commutatif. Si G est un sous-groupe de GL(V), si W est un sous-espace de V stable par tout élément de G, alors W est invariant par tout élément de G. (En effet, on a alors, pour tout élément ''g'' de G, <math>g(W) \leq W</math> et <math>g^{-1}(W) \leq W</math>, cette dernière relation entraînant <math>W \leq g(W).</math>) On dit alors que W est invariant par G. }} Dans ce cas, chaque élément de G admet une birestriction à W et ces birestrictions forment un sous-groupe de GL(W). {{Définition | titre = Définition. Groupe linéaire réductible | contenu = Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On dit que G est réductible s'il existe un sous-F-espace W de V invariant par G et tel que 0 < W < V. On dira dans le même cas que V est réductible pour G. }} Il est clair que s'il existe un sous-groupe réductible de GL(V), la dimension de V est au moins égale à 2. Exemples. 1° Si G est le sous-groupe trivial de GL(V), c'est-à-dire le sous-groupe de GL(V) réduit à l'automorphisme identique de V, tout sous-espace de V est invariant par G, donc si V est de dimension au moins égale à 2, V est réductible.<br /> 2° Si G est GL(V) tout entier, G n'est pas réductible. (En effet, si W est un sous-espace de V tel que 0 < W < V, on peut choisir un élément non nul ''x'' de W et un élément ''y'', forcément non nul, de V \ W; d'après la théorie des espaces vectoriels, il existe un automorphisme ''g'' de V qui applique ''x'' sur ''y''; alors W n'est pas invariant par ''g'' et n'est donc pas invariant par G = GL(V), ce qui prouve que GL(V) n'est pas réductible.) {{Définition | titre = Définition. Groupe linéaire irréductible | contenu = Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On dit que G est irréductible s'il n'est pas réductible et que V est non nul. Dans les mêmes conditions, on dit aussi que V est irréductible pour G. }} {{Définition | titre = Définition. Sous-espace réductible pour un groupe linéaire | contenu = Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On dit qu'un sous-espace W de V invariant par G est réductible pour G si W est réductible pour le sous-groupe de GL(W) formé par les birestrictions à W des éléments de G. Cela revient à dire qu’il existe un sous-espace T de W invariant par G et tel que 0 < T < W }} {{Définition | titre = Définition. Sous-espace irréductible pour un groupe linéaire | contenu = Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On dit qu'un sous-espace W de V invariant par G est irréductible pour G s'il est non nul et n'est pas réductible pour G. }} {{Définition | titre = Définitions. Groupe linéaire complètement réductible, espace complètement réductible | contenu = Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On dit que G est complètement réductible si V est somme directe d'une famille de sous-espaces irréductibles pour G. Dans le même cas, on dit aussi que V est complètement réductible pour G. }} Il est clair que si V est de dimension ''finie'' et qu' un sous-groupe G de GL(V) est complètement réductible, alors V est somme directe d'une famille ''finie'' de sous-espaces irréductibles pour G. Un groupe linéaire irréductible est complètement réductible, ce qui montre une certaine incohérence dans la terminologie. {{Théorème |titre = Énoncé 5. (Théorème de Maschke.) |contenu ={{Wikipédia|Théorème de Maschke}} Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel (de dimension finie ou infinie), soit G un sous-groupe fini de GL(V) dont l'ordre <math>\vert G \vert </math> n'est pas divisible par la caractéristique de F. (C'est le cas en particulier si F est de caractéristique nulle.) :1° Si W est un sous-espace vectoriel de V invariant par G, W admet un sous-espace supplémentaire dans V qui est invariant par G. :2° Si V est de dimension finie, il est somme directe <math>V = V_{1} \oplus \cdots \oplus V_{r}</math> d'une famille finie de sous-espaces invariants par G et irréductibles pour G, autrement dit G est complètement réductible. }} {{Démonstration |contenu = Démontrons le point 1° de l'énoncé. Choisissons un sous-espace X supplémentaire de W dans V, ce qui est possible d'après l'énoncé 3. Désignons par ''p'' l'endomorphisme d'espace vectoriel de V qui coïncide avec l'identité sur W et est nul en tout point de X. (Dans une certaine terminologie, ''p'' est la projection de V sur W relativement à la décomposition <math>V = W \oplus X.</math>)<br /> Désignons par <math>\vert G \vert _{F}</math> l'image canonique du nombre naturel <math>\vert G \vert _{F}</math> dans F. D'après les hypothèses, <math>\vert G \vert _{F}</math> est inversible dans F.<br /> Considérons l'endomorphisme de V :<math>P = \frac{1}{\vert G \vert _{F}} \sum _{g \in G} g \circ p \circ g^{-1},</math> endomorphisme correctement défini d'après l'énoncé 4.<br /> Par définition de ''p'', p(V) est contenu dans W. Donc, puisque W est invariant par G, :(1) P(V) est contenu dans W. De plus, si ''w'' est un élément de W, alors, pour tout élément ''g'' de G, <math>g^{-1}(w)</math> appartient à W, donc, par définition de ''p'', :<math>p \circ g^{-1}(w) = g^{-1}(w)</math> d'où :<math>g \circ p \circ g^{-1}(w) = w</math> d'où :<math>P(w) = \frac{1}{\vert G \vert _{F}} (\vert G \vert w)</math> :<math>P(w) = \frac{1}{\vert G \vert _{F}} (\vert G \vert_{F} w)</math> :<math>P(w) =w.</math> Joint à (1), cela entraîne <math>P \circ P = P</math> et P(W) = W, donc, d'après l'énoncé 2, :<math>V = W \oplus Ker P.</math> Ainsi, Ker P est un supplémentaire de W dans V. Pour prouver le point 1° de l'énoncé, il suffit donc de prouver que Ker P est invariant par G.<br /> Prouvons d'abord que, pour tout élément ''g'' de G, :(thèse 2) <math>\qquad g \circ P = P \circ g.</math> Nous avons :<math>g \circ P \circ g^{-1} = g \circ ( \frac{1}{\vert G \vert _{F}} \sum _{h \in G} h \circ p \circ h^{-1}) \circ g^{-1},</math> ce qui, dans l'algèbre définie à l'énoncé 4, peut s'écrire :<math>g \circ P \circ g^{-1} = \frac{1}{\vert G \vert _{F}} \sum _{h \in G} g \circ h \circ p \circ h^{-1} \circ g^{-1},</math> :<math>g \circ P \circ g^{-1} = \frac{1}{\vert G \vert _{F}} \sum _{h \in G} (g \circ h) \circ p \circ (g \circ h)^{-1}.</math> Puisque <math>h \mapsto g \circ h</math> définit une permutation de G, cela peut s'écrire :<math>g \circ P \circ g^{-1} = \frac{1}{\vert G \vert _{F}} \sum _{h \in G} h \circ p \circ h^{-1},</math> :<math>g \circ P \circ g^{-1} = P,</math> d'où :(3) <math>g \circ P = P \circ g,</math> ce qui est notre thèse (2).<br /> Soit maintenant ''v'' un élément de Ker P. Alors <math>g \circ P(v) = g(0)</math>, <math>g \circ P(v) = 0</math>, ce qui, d'après (3), peut s'écrire <math>P \circ g(v) = 0</math>, ou encore <math>g(v) \in \mathrm{Ker} P.</math> Ceci prouve que Ker P est invariant par G. Comme on l'a vu, le point 1° de l'énoncé en résulte. Le point 2° de l'énoncé se démontre facilement par récurrence sur la dimension de V. Les détails sont laissés au lecteur. }} <!-- == Notes et références == {{Références}} --> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Produit en couronne/]] | suivant = [[../Représentations complexes des groupes finis, 1/]] }} ewwfc75vwuj4eo81wirk8iiijx7fd1d 0 67157 982866 978392 2026-05-16T18:16:41Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982866 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 27 | niveau = 14 | précédent = [[../Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon/]] | suivant = }} == Puissance électrique instantanée reçue par une association série ou parallèle de dipôles == === Rappel : puissance électrique instantanée reçue par un dipôle === {{Al|5}}Considérant un dipôle en <u>convention récepteur</u> traversé par un courant d'intensité instantanée <math>\;i(t)\;</math> et aux bornes duquel la tension instantanée vaut <math>\;u(t)</math>, <center>la « puissance électrique instantanée qu'il reçoit » <ref> Correspondant à la puissance développée par les forces électriques exercées sur les porteurs de charge mobiles présents dans le dipôle à l'instant <math>\;t</math>.</ref> s'écrit <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}(t) = u(t)\;i(t)\;</math><ref> Voir l'« [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Expression,_en_convention_récepteur,_de_la_puissance_instantanée_électrique_reçue_par_une_portion_de_circuit_en_fonction_de_la_tension_entre_ses_bornes_et_de_l'intensité_du_courant_la_traversant|expression, en convention récepteur, de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>.</center> === Puissance électrique instantanée reçue par une association série de dipôles === {{Al|5}}« <u>La puissance électrique instantanée reçue par une association série de dipôles est égale à la somme des puissances électriques instantanées reçues individuellement par chaque dipôle</u> », en effet, chaque dipôle étant traversé par un courant de même intensité <math>\;i(t)\;</math> et la tension <math>\;u(t)\;</math> aux bornes de l'association série de dipôles étant la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle <math>\;u_k(t)\;</math> c'est-à-dire <math>\;u(t) =</math> <math>\sum\limits_k u_k(t)</math>, la puissance électrique instantanée reçue par l'association en convention récepteur s'écrit <math>\;\mathcal{P}_{e,\, r}(t) = u(t)\; i(t) = \left[ \sum\limits_k u_k(t) \right] i(t) = \left[ \sum\limits_k u_k(t)\;i(t) \right]\;</math> soit finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, r}(t) = \left[ \sum\limits_k \mathcal{P}_{e,\, r,\,k}(t) \right]\;</math>» C.Q.F.D. <ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> === Puissance électrique instantanée reçue par une association parallèle de dipôles === {{Al|5}}« <u>La puissance électrique instantanée reçue par une association parallèle de dipôles est égale à la somme des puissances électriques instantanées reçues individuellement par chaque dipôle</u> », en effet, chaque dipôle étant soumis à la même tension <math>\;u(t)\;</math> et l'intensité <math>\;i(t)\;</math> du courant traversant l'association parallèle de dipôles étant la somme des intensités des courants traversant dipôle individuellement <math>\;i_k(t)\;</math> c'est-à-dire <math>\;i(t) = \sum\limits_k i_k(t)</math>, la puissance électrique instantanée reçue par l'association en convention récepteur s'écrit <math>\;\mathcal{P}_{e,\, r}(t) = u(t)\; i(t) = u(t) \left[ \sum\limits_k i_k(t) \right] = \left[ \sum\limits_k u(t)\;i_k(t) \right]\;</math> soit finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, r}(t) = \left[ \sum\limits_k \mathcal{P}_{e,\, r,\,k}(t) \right]\;</math>» C.Q.F.D. <ref name="C.Q.F.D." />.</center> == Puissance électrique instantanée fournie par un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t) == {{Al|5}}« L'échelon de tension » d'amplitude <math>\;E</math>, de f.e.m. instantanée <math>\;e(t) = E\;Y(t)</math>, étant en convention générateur, la puissance électrique instantanée qu'il délivre s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = e(t)\;i(t) = E\;Y(t)\;i(t)\;</math>»<ref> Quand l'échelon correspond à l'interrupteur ouvert, l'intensité du courant délivré est nulle et quand l'interrupteur est fermé elle est usuellement non nulle, avec une continuité <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> à <math>\;t = 0</math>.</ref>{{,}}<ref name="Y(t)"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Échelon_unité_(ou_fonction_d'Heaviside)|échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Olivier_Heaviside|Oliver Heaviside]] (1850 - 1925)''' physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom <math>\;\big(</math>encore appelée échelon ou marche<math>\big)\;</math> utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.</ref>.</center> == Bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension et conséquences == === Bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t) === {{Al|5}}La puissance électrique instantanée <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t)\;</math> fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude <math>\;E</math>, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)\;</math> et en puissance calorifique <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math>» dans lequel</center> * «<math>\;\mathcal{E}_C(t) = \dfrac{1}{2}\;C\; \left[ u_C(t) \right]^2 = \dfrac{\left[ q(t) \right]^2}{2\;C}\;</math>», <math>\;u_C(t)\;</math> étant la tension instantanée aux bornes du condensateur <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)\;</math> et <math>\;q(t)\;</math> sa charge instantanée et * «<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R}(t) = R\; \left[ i(t) \right]^2 = \dfrac{\left[ u_R(t) \right]^2}{R}\;</math>», <math>\;i(t)\;</math> étant l'intensité instantanée du courant fournie par la source et <math>\;u_R(t)\;</math> la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique <math>\;\big(</math>en convention {{Nobr|récepteur<math>\big)</math>.}} === Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension === {{Al|5}}Nous avons vu dans le chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » que « <u>l'intensité du courant de charge du condensateur d'un</u><math>\;R\, C\;</math><u>série soumis à un échelon de tension</u> était <u>discontinue de 1^ère espèce en</u><math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Plus précisément voir « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Discontinuité_de_l'intensité_de_courant_traversant_un_condensateur_dans_un_circuit_résistif_soumis_à_un_échelon_de_tension|discontinuité de l'intensité de courant traversant un condensateur d'un circuit résistif soumis à un échelon de tension]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, cela entraîne une <u>discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> de</u> * <u>la puissance calorifique</u> <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R}(t) = R\; \left[ i(t) \right]^2\;</math> <u>dissipée dans le conducteur ohmique</u> en <math>\;t = 0\;</math> ainsi que de * <u>la puissance électrique instantanée</u> <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = e(t)\; i(t)\;</math><ref> Il ne suffit pas que <math>\;e(t)\;</math> soit discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math> pour que son produit avec <math>\;i(t)\;</math> le soit, il faut en plus que <math>\;i(0^{+}) \neq 0</math>, ce qui est réalisé dès lors que l'intensité est discontinue de 1^ère espèce compte tenu du fait que <math>\;i(0^{-}) = 0</math>.</ref> <u>fournie par l'échelon de tension</u> en <math>\;t = 0</math> ; {{Al|5}}le bilan de puissance <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)\;</math>» a « une discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> ou une continuité en <math>\;t = 0\;</math>» <ref name="discontinuité d'une différence"> Le 1^er membre étant discontinu de 1^ère espèce en <math>\;t = 0</math>, le 2^nd l'est de même, ce qui est assuré par le 2^ème terme du 2^nd membre et par suite autorisant son 1^er terme d'être discontinu de 1^ère espèce ou continu <math>\;\big[</math>mais en aucun cas discontinu de 2^ème espèce, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_d'une_excitation,_somme_d'excitations_discontinues_de_numéros_d'espèce_différents_pour_le_même_instant_initial|Nature de la discontinuité d'une excitation, somme d'excitations discontinues de numéros d'espèce différents pour le même instant initial]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)\;</math>» est * « continu si le condensateur est initialement déchargé » ou * « discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> s'il est initialement chargé » {{Al|5}}en effet explicitant la « dérivée temporelle » <ref name="sens des distributions"> Au sens de dérivée temporelle de distributions.</ref>, on obtient <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;C\;2\;u_C(t)\;\dot{u_C}(t) = u_C(t)\;C\;\dot{u_C}(t)\;</math> soit encore «<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t) =</math> <math>u_C(t)\;i(t)\;</math>» en utilisant la définition de l'intensité du courant de décharge du condensateur ; l'expression obtenue étant le produit, en <math>\;t = 0</math>, d'une grandeur continue <math>\;u_C(t)\;</math> et d'une autre discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> <math>\;i(t)</math>, est discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> dans la mesure où <math>\;u_C(0) \neq 0\;</math> <math>\big(</math>ce qui nécessite que le condensateur soit chargé initialement<math>\big)</math> ; {{Al|5}}dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)\;</math> soit continu ou discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par le condensateur <math>\;\mathcal{E}_C(t)\;</math> sous forme électrostatique. === Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension l'équation différentielle en tension de charge du condensateur, puis en son intensité de courant de charge === ==== Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en tension de charge u_C(t) du condensateur ==== {{Al|5}}Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique en fonction de sa tension de charge <math>\;u_C(t)\;</math> soit «<math>\;\mathcal{E}_C(t) = \dfrac{1}{2}\;C\; \left[ u_C(t) \right]^2\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;C\;2\;u_C(t)\;\dot{u_C}(t) = u_C(t)\;C\;\dot{u_C}(t) = u_C(t)\;i(t)\;</math>»<ref> Cette dernière expression résultant de la définition de l'intensité du courant de décharge du condensateur <math>\;i(t) = C\;\dfrac{d u_C}{dt}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}si on utilise une loi de Kirchhoff pour trouver l'équation différentielle, c'est une loi de maille, le résultat non normalisé va donc être exprimé en <math>\;V</math> ; le bilan de puissance s'exprimant en <math>\;W = V \times A</math>, il faudra donc simplifier par une intensité pour aboutir à l'équation différentielle cherchée d'où la nécessité de faire apparaître l'intensité dans l'explicitation du gain horaire de l'énergie stockée dans le condensateur.</ref> ; {{Al|5}}son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de tension et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de l'intensité, conduit à «<math>\;e(t)\;i(t) = u_C(t)\;i(t) + R\;\left[ i(t) \right]^2\;</math>» ou, après simplification par <math>\;i(t)\;</math><ref> Ceci nécessite <math>\;i(t) \neq 0</math>, c'est effectivement réalisé pour <math>\;t > 0\;</math> mais pour <math>\;t < 0\;</math> correspondant à <math>\;i(t) = 0</math>, la simplification ne peut être faite ; toutefois le résultat trouvé par abus de simplification pour <math>\;t < 0\;</math> reste exact car les termes des deux membres de la relation ainsi trouvée y sont nuls.</ref> et remplacement de l'expression de <math>\;i(t)\;</math> restante par <math>\;C\;\dfrac{d u_C}{dt}(t)</math>, on obtient <math>\;e(t)</math> <math>= u_C(t) + R\;C\;\dfrac{d u_C}{dt}(t)\;</math> soit en normalisant <center>«<math>\;\dfrac{d u_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;u_C(t) = \dfrac{e(t)}{R\;C}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{d u_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;u_C(t) = \dfrac{E}{R\;C}\;Y(t)\;\;\forall t\;</math>»<ref name="Y(t)" />.</center> ==== Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en intensité du courant de charge i(t) du condensateur ==== {{Al|5}}Ayant déterminé l'équation différentielle en tension de charge du condensateur, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à <math>\;t\;</math> et multiplier par <math>\;C\;</math> dans le but d'utiliser <math>\;i(t) = C\;\dfrac{d u_C}{dt}(t)</math> d'où l'équation différentielle cherchée <center>«<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;i(t) = \dfrac{\dot{e}(t)}{R}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;i(t) = \dfrac{E}{R}\;\delta(t)\;\;\forall t\;</math>»<ref name="delta(t)"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de Schrödinger et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de Heisenberg, deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' dans sa [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie des distributions]] ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Karl Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], ayant obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center> === Bilan d'énergie d'un « R C série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique === {{Al|5}}Multipliant le « bilan de puissance exprimé à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> par <math>\;dt</math>, on obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle <math>\;\left[ t\; ,\; t + dt \right]\;</math> soit <center>«<math>\;\delta W_{e,\,f,\,\text{source}} = d \mathcal{E}_C + \delta Q_{\text{cal},\,R}\;</math>»</center> {{Al|5}}c'est-à-dire « le travail électrique élémentaire fourni par la source » se retrouvant en « gain d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique » et en « énergie calorifique élémentaire dissipée dans le conducteur ohmique » <ref name="chaleur"> Ou « chaleur élémentaire dissipée dans le conducteur ohmique ».</ref> ou, en explicitant les différents termes <center>«<math>\;E\;Y(t)\;i(t)\;dt = d\! \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;C \left[ u_C(t) \right]^2 \right\rbrace + R\; \left[ i(t) \right]^2\;dt\;</math>» ;</center> {{Al|5}}écrivons maintenant le bilan d'énergie pour la durée totale de la charge du condensateur c'est-à-dire sur l'intervalle théorique <math>\;\left[ 0\; ;\; +\infty \right[\;</math> on obtient <center>«<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source}} = \Delta \mathcal{E}_C + Q_{\text{cal},\,R}\;</math>»</center> {{Al|5}}où «<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source}}\;</math> est le travail électrique fourni par la source pendant la durée de la charge » soit «<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source}} = \displaystyle\int_0^{+\infty} E\;Y(t)\;i(t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée"> Voir la notion d'« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|où }}«<math>\;\Delta \mathcal{E}_C = \mathcal{E}_C(+\infty) - \mathcal{E}_C(0^{+})\;</math><ref name="abus de notation"> Par abus on note <math>\;f(+\infty)\;</math> la limite de la fonction <math>\;f(t)\;</math> quand <math>\;t \rightarrow +\infty\;</math> soit <math>\;f(+\infty) = \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \left[ f(t) \right]</math>.</ref> le gain d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique » soit encore «<math>\;\Delta \mathcal{E}_C = \dfrac{1}{2}\;C\;E^{\,2} - 0 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\;E^{\,2}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|où }}«<math>\;Q_{\text{cal},\, R}\;</math> la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique » soit encore «<math>\;Q_{\text{cal},\, R} = \displaystyle\int_{0^{+}}^{+\infty} R\; \left[ i(t) \right]^2\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> ; {{Al|5}}explicitons le travail électrique fourni par la source pendant la durée complète de la charge en remarquant que <math>\;i(t) = \dfrac{dq}{dt}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i(t)\;dt = dq\;</math> on trouve «<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source}} = \displaystyle\int_0^{+\infty} E\;Y(t)\;i(t)\;dt =</math> <math>E\;\displaystyle\int_0^{+\infty} dq = E\; \left[ q(+\infty) - q(0^{+}) \right]\;</math>»<ref name="abus de notation" /> soit, avec <math>\;q(+\infty) = C\; E</math>, l'expression finale du travail électrique fourni par la source pendant la durée complète de la charge <center>«<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source}} = C\;E^{\,2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}du bilan d'énergie pendant la durée complète de la charge du condensateur, on en déduit la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique <math>\;Q_{\text{cal},\,R} =</math> <math>W_{e,\,f,\,\text{source}} - \Delta \mathcal{E}_C = C\;E^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\;E^{\,2}\;</math> soit <center>«<math>\;Q_{\text{cal},\,R} = \dfrac{1}{2}\;C\;E^{\,2}\;</math>» <ref> À partir de l'expression de l'intensité du courant de charge explicitée en fonction du temps «<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> avec <math>\;\tau = R\;C\;</math>» on aurait pu calculer directement <math>\;Q_{\text{cal},\, R}\;</math> selon <math>\;Q_{\text{cal},\, R} =</math> <math>\displaystyle\int_{0^{+}}^{+\infty} R\; \left[ \dfrac{E}{R}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]^2\;dt = \dfrac{E^{\,2}}{R}\;\displaystyle\int_{0^{+}}^{+\infty} \exp\! \left( -\dfrac{2\;t}{\tau} \right)\;dt = \dfrac{E^{\,2}}{R}\;\left[ -\dfrac{\tau}{2}\;\exp\! \left( -\dfrac{2\;t}{\tau} \right) \right]_{0^{+}}^{+\infty}\;</math> soit finalement «<math>\;Q_{\text{cal},\, R} = \dfrac{E^{\,2}}{R}\;\dfrac{R\;C}{2} = \dfrac{1}{2}\;C\;E^{\,2}\;</math>».</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le but étant de charger le condensateur, nous pouvons définir le rendement de cette charge comme le rapport de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique sur l'énergie fournie par la source, nous trouvons alors «<math>\;\rho = \dfrac{\Delta \mathcal{E}_C}{W_{e,\,f,\,\text{source}}} = \dfrac{1}{2}\;</math>», l'énergie dissipée sous forme calorifique dans le conducteur ohmique représentant donc <math>\;50\, \%</math>. == Bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension et conséquences == === Bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t) === {{Al|5}}La puissance électrique instantanée <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t)\;</math> fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude <math>\;E</math>, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)\;</math> et en puissance calorifique <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math>» dans lequel</center> * «<math>\;\mathcal{E}_L(t) = \dfrac{1}{2}\;L\; \left[ i(t) \right]^2\;</math>», <math>\;i(t)\;</math> étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)\;</math> et * «<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R}(t) = R\; \left[ i(t) \right]^2 = \dfrac{\left[ u_R(t) \right]^2}{R}\;</math>», <math>\;i(t)\;</math> étant aussi l'intensité instantanée du courant fournie par la source et <math>\;u_R(t)\;</math> la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)</math>. === Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension === {{Al|5}}Nous avons vu dans le chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » que « <u>l'intensité du courant traversant la bobine d'un</u><math>\;R\, L\;</math><u>série soumis à un échelon de tension</u> était <u>continue en</u><math>\;t = 0\;</math>», cela entraîne, dans la mesure où la bobine n'est traversée par aucun courant initialement<ref name="initialement"> C.-à-d. pour <math>\;t < 0</math>.</ref>, une <u>continuité, en</u><math>\;t = 0\;</math><u>, de</u> * <u>la puissance calorifique</u> <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R}(t) = R\; \left[ i(t) \right]^2\;</math> <u>dissipée dans le conducteur ohmique</u> ainsi que de * <u>la puissance électrique instantanée</u> <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = e(t)\; i(t)\;</math><ref> En effet <math>\;e(t)\;</math> étant discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math> avec <math>\;i(0^{+}) = i(0^{-}) = 0</math> <math>\;\big[</math>car il n'y a aucun courant initial dans la bobine<math>\big]</math>, le produit d'une grandeur discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math> avec une autre continue et nulle au même instant est continue en y prenant une valeur nulle.</ref> <u>fournie par l'échelon de tension</u> ; {{Al|5}}le bilan de puissance <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)\;</math>» est « continue en <math>\;t = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : si la bobine était initialement<ref name="initialement" /> traversée par un courant d'intensité non nulle, « <u>l'intensité du courant traversant la bobine d'un</u><math>\;R\, L\;</math><u>série soumis à un échelon de tension</u> étant <u>continue en</u><math>\;t</math> {{Nobr|<math>= 0\;</math>»,}} cela entraînerait, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\centerdot\;</math>une continuité de la puissance calorifique <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R}(t) = R\; \left[ i(t) \right]^2\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique en <math>\;t = 0\;</math> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\centerdot\;</math>une discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> en ce même instant de la puissance électrique instantanée <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = e(t)\; i(t)\;</math><ref> En effet <math>\;e(t)\;</math> étant discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math> avec <math>\;i(0^{+}) = i(0^{-}) \neq 0</math>, le produit d'une grandeur discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math> avec une autre continue mais non nulle au même instant est discontinu de 1^ère espèce en cet instant.</ref> fournie par l'échelon de tension ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le bilan de puissance <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> permettrait alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)\;</math>» a « une discontinuité de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>» <ref name="discontinuité de 1ère espèce" />{{,}}<ref name="discontinuité comparée des membres d'une égalité"> Le 1^er membre étant discontinu de 1^ère espèce en <math>\;t = 0</math>, le 2^nd doit nécessairement l'être aussi mais, comme le 2^ème terme de ce membre est continu, c'est le 1^er terme qui doit être discontinu de 1^ère espèce.</ref>. {{Al|5}}on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)\;</math>» est * « continu si la bobine n'est initialement traversée par aucun courant » <math>\;\big(</math>ce qui est le cas usuel<math>\big)\;</math> ou * « discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> si elle est initialement traversée par un courant » {{Al|5}}en effet explicitant la « dérivée temporelle » <ref name="sens des distributions" />, on obtient <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;L\;2\;i(t)\;\dfrac{di}{dt}(t) = i(t)\;L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> soit encore «<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t) =</math> <math>i(t)\;u_L(t)\;</math>» en utilisant la définition de la tension aux bornes de la bobine parfaite ; l'expression obtenue étant le produit, en <math>\;t = 0</math>, d'une grandeur continue <math>\;i(t)\;</math> et d'une autre discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> <math>\;u_L(t)</math>, est discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> dans la mesure où <math>\;i(0) \neq 0\;</math> <math>\big(</math>ce qui nécessite que la bobine soit initialement traversée par un courant<math>\big)</math> ; {{Al|5}}dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)\;</math> soit continu ou discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par la bobine <math>\;\mathcal{E}_L(t)\;</math> sous forme électromagnétique. === Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension l'équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine, puis en la tension entre ses bornes === ==== Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en intensité de courant i(t) traversant la bobine ==== {{Al|5}}Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique en fonction de l'intensité du courant <math>\;i(t)\;</math> la traversant soit «<math>\;\mathcal{E}_L(t) = \dfrac{1}{2}\;L\; \left[ i_L(t) \right]^2\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;L\;2\;i(t)\;\dfrac{di}{dt}(t) = i(t)\;L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de tension et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de l'intensité, conduit à «<math>\;e(t)\;i(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;i(t) + R\;\left[ i(t) \right]^2\;</math>» ou, après simplification par <math>\;i(t)\;</math><ref> Ceci nécessite <math>\;i(t) \neq 0</math>, c'est effectivement réalisé pour <math>\;t > 0\;</math> mais, pour <math>\;t < 0</math>, cela n'étant pas réalisé dans le cas usuel où l'intensité du courant traversant initialement la bobine est nulle, la simplification ne peut être faite ; toutefois le résultat trouvé par abus de simplification pour <math>\;t < 0\;</math> reste exact car les termes des deux membres de la relation ainsi trouvée y sont nuls.</ref>, on obtient <math>\;e(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t) + R\;i(t)\;</math> soit en normalisant <center>«<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;i(t) = \dfrac{e(t)}{L}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;i(t) = \dfrac{E}{L}\;Y(t)\;\;\forall t\;</math>»<ref name="Y(t)" />.</center> ==== Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en tension u_L(t) aux bornes de la bobine parfaite ==== {{Al|5}}Ayant déterminé l'équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à <math>\;t\;</math> et multiplier par <math>\;L\;</math> dans le but d'utiliser <math>\;u_L(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)</math> d'où l'équation différentielle cherchée <center>«<math>\;\dfrac{d u_L}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;u_L(t) = \dot{e}(t)\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{d u_L}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;u_L(t) = E\;\delta(t)\;\;\forall t\;</math>»<ref name="delta(t)" />.</center> === Bilan d'énergie d'un « R L série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique === {{Al|5}}Multipliant le « bilan de puissance exprimé à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> par <math>\;dt</math>, on obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle <math>\;\left[ t\; ,\; t + dt \right]\;</math> soit <center>«<math>\;\delta W_{e,\,f,\,\text{source}} = d \mathcal{E}_L + \delta Q_{\text{cal},\,R}\;</math>»</center> {{Al|5}}c'est-à-dire « le travail électrique élémentaire fourni par la source » se retrouvant en « gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique » et en « énergie calorifique élémentaire dissipée dans le conducteur ohmique » <ref name="chaleur" /> ou, en explicitant les différents termes <center>«<math>\;E\;Y(t)\;i(t)\;dt = d\! \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;L \left[ i(t) \right]^2 \right\rbrace + R\; \left[ i(t) \right]^2\;dt\;</math>» ;</center> {{Al|5}}si nous écrivions maintenant le bilan d'énergie pour la durée totale de l'établissement du courant dans la bobine c'est-à-dire sur l'intervalle théorique <math>\;\left[ 0\; ;\; +\infty \right[\;</math> nous obtiendrions <center>«<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source}} = \Delta \mathcal{E}_L + Q_{\text{cal},\,R}\;</math>» avec</center> {{Al|5}}«<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source}}\;</math> le travail électrique fourni par la source pendant la durée de l'établissement du courant » qui s'écrirait encore «<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source}} = \displaystyle\int_0^{+\infty} E\;Y(t)\;i(t)\;dt\;</math> <math>\big(</math>sous réserve de {{Nobr|convergence <ref> C.-à-d. si la limite de <math>\;\displaystyle\int_0^{\Delta t} E\;Y(t)\;i(t)\;dt\;</math> quand <math>\;\Delta t \rightarrow +\infty\;</math> est finie.</ref><math>\big)\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />,}} <br>{{Al|5}}«<math>\;\Delta \mathcal{E}_L = \mathcal{E}_L(+\infty) - \mathcal{E}_L(0^{+})\;</math><ref name="abus de notation" /> le gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique » soit encore «<math>\;\Delta \mathcal{E}_L = \dfrac{1}{2}\;L\;\left( \dfrac{E}{R} \right)^{\!2} - 0</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;L\;\left( \dfrac{E}{R} \right)^{\!2}\;</math>» et <br>{{Al|5}}«<math>\;Q_{\text{cal},\, R}\;</math> la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique » qui s'écrirait encore «<math>\;Q_{\text{cal},\, R}</math> <math>= \displaystyle\int_{0^{+}}^{+\infty} R\; \left[ i(t) \right]^2\;dt\;</math> <math>\big(</math>sous réserve de convergence <ref> C.-à-d. si la limite de <math>\;\displaystyle\int_0^{\Delta t} R\;\left[ i(t) \right]^2\;dt\;</math> quand <math>\;\Delta t \rightarrow +\infty\;</math> est finie.</ref><math>\big)\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />, mais <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|si nous écrivions }}les deux grandeurs «<math>\;\displaystyle\int_0^{+\infty} E\;Y(t)\;i(t)\;dt\;</math>» et «<math>\;\displaystyle\int_{0^{+}}^{+\infty} R\; \left[ i(t) \right]^2\;dt\;</math>» étant infinies<ref> Le caractère infini du travail électrique fourni par la source pendant la durée de l'établissement du courant et de la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la même durée est compatible avec le bilan d'énergie, leur différence correspondant au gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique étant finie <math>\;\big(</math>la compatibilité nécessitant qu'il y ait au moins une grandeur infinie dans chaque membre du bilan<math>\big)</math>.</ref>, il y a donc divergence des intégrales généralisées<ref name="divergence"> C.-à-d. que la limite est infinie.</ref> et il est nécessaire de restreindre la durée de l'établissement du courant dans la bobine pour travailler avec des grandeurs finies<ref> Même si le bilan d'énergie sur la durée théorique de l'établissement du courant dans la bobine reste exact <math>\big(</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_stockage_et_dissipation_d'énergie#cite_note-25|²⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, il ne peut nous être d'aucune utilité du fait de l'existence de deux grandeurs infinies sur les trois présentes.</ref> aussi <br>{{Al|5}}{{Transparent|si nous écrivions }}considérons un instant <math>\;t_1\;</math> à partir duquel nous pouvons estimer que le courant est « quasiment » <ref> « Quasiment » car l'expression de <math>\;i(t)\;</math> étant exponentielle, la durée pour établir le courant est infinie et l'instant <math>\;t_1\;</math> à partir duquel le courant est rigoureusement établi est infini ; <br>{{Al|3}}toutefois le raisonnement qui suit est valable si on considère l'instant <math>\;t_1</math> à partir duquel l'intensité du courant est égale à, par exemple, <math>\;99\, \%\;</math> de <math>\;\dfrac{E}{R}</math>, cet instant étant alors fini.</ref> établi et <br>{{Al|5}}{{Transparent|si nous écrivions }}décomposons la 1^ère intégrale selon «<math>\;\displaystyle\int_0^{\Delta t} E\;Y(t)\;i(t)\;dt = \displaystyle\int_0^{t_1} E\;i(t)\;dt + \displaystyle\int_{t_1}^{\Delta t} E\;i(t)\;dt\;\simeq</math> <math>\displaystyle\int_0^{t_1} E\;i(t)\;dt + \displaystyle\int_{t_1}^{\Delta t} E\;\dfrac{E}{R}\;dt = \displaystyle\int_0^{t_1} E\;i(t)\;dt + \dfrac{E^{\,2}}{R}\;\left[ \Delta t - t_1 \right]\;</math>» soit, en faisant tendre <math>\;\Delta t\;</math> vers <math>\;+\infty</math>, « une divergence » <ref name="divergence" /> à cause du « dernier terme <math>\;\dfrac{E^{\,2}}{R}\;\left[ \Delta t - t_1 \right]\;</math>», le « 1^er terme <math>\;\displaystyle\int_0^{t_1} E\;i(t)\;dt\;</math>» étant, quant à lui, fini et <br>{{Al|5}}{{Transparent|si nous écrivions décomposons }}la 2^ème intégrale selon «<math>\;\displaystyle\int_{0^{+}}^{\Delta t} \!R\, \left[ i(t) \right]^2\;dt = \displaystyle\int_0^{t_1} \!R\, \left[ i(t) \right]^2\;dt + \displaystyle\int_{t_1}^{\Delta t} \!R\, \left[ i(t) \right]^2\;dt\;\simeq</math> <math>\displaystyle\int_0^{t_1} \!R\, \left[ i(t) \right]^2\;dt + \displaystyle\int_{t_1}^{\Delta t} \!R\, \left[ \dfrac{E}{R} \right]^2\;dt = \displaystyle\int_0^{t_1} \!R\, \left[ i(t) \right]^2\;dt + \dfrac{E^{\,2}}{R}\,\left[ \Delta t - t_1 \right]\;</math>» soit, en faisant tendre <math>\;\Delta t\;</math> vers <math>\;+\infty</math>, « une divergence » <ref name="divergence" /> à cause du « dernier terme <math>\;\dfrac{E^{\,2}}{R}\;\left[ \Delta t - t_1 \right]\;</math>», le « 1^er terme <math>\;\displaystyle\int_0^{t_1} R\; \left[ i(t) \right]^2\;dt\;</math>» étant, quant à lui, fini. {{Al|5}}Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle <math>\;\left[0\, ;\, T_{x\, \%} \right]\;</math> où <math>\;T_{x\, \%}\;</math> est l'instant au-delà duquel la réponse forcée est établie à moins de <math>\;x\, \%\;</math> près, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ;\, T_{x\, \%} \right]}\;</math> }}en choisissant <math>\;x = 10\;</math> par exemple <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;T_{10\, \%} \simeq 2,3\; \tau\;</math><ref name="choix de 10 \%"> Nous choisissons <math>\;10\, \%\;</math> car, lorsque l'intensité est établie à <math>\;10\, \%\;</math> près, l'énergie stockée dans la bobine <math>\;\big(</math>qui est <math>\;\propto\;</math> au carré de l'intensité<math>\big)\;</math> l'est à <math>\;1\, \%\;</math> près <math>\big\{</math>en effet nous vérifions que <math>\;\exp(-2,3) \simeq 0,1\big\}</math>.</ref><math>\big)\;</math> d'où <center>«<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source},\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]} \simeq \Delta \mathcal{E}_L + Q_{\text{cal},\,R,\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]}\;</math>»</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ;\, T_{x\, \%} \right]}\;</math> }}où «<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source},\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]}\;</math> est le travail électrique fourni par la source pendant la durée de l'établissement du courant à <math>\;10\,\%\;</math> près », soit {{Nobr|«<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source},\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]}</math>}} <math>= \displaystyle\int_0^{T_{10\, \%}} E\;Y(t)\;i(t)\;dt \simeq</math> <math>\displaystyle\int_0^{2,3\,\tau} E\;i(t)\;dt\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ;\, T_{x\, \%} \right]}\;</math> où }}«<math>\;\Delta \mathcal{E}_L \simeq \mathcal{E}_L(+\infty) - \mathcal{E}_L(0^{+})\;</math><ref name="abus de notation" /> le gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique à moins de <math>\;1\,\%\;</math> près », soit «<math>\;\Delta \mathcal{E}_L \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;L\;\left( \dfrac{E}{R} \right)^{\!2} - 0</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;L\;\left( \dfrac{E}{R} \right)^{\!2}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ;\, T_{x\, \%} \right]}\;</math> où }}«<math>\;Q_{\text{cal},\,R,\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]}\;</math> la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la durée de <math>\;T_{10\, \%} \simeq 2,3\, \tau\;</math>» soit {{Nobr|«<math>\;Q_{\text{cal},\,R,\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]}</math>}} <math>= \displaystyle\int_0^{T_{10\, \%}} R\;\left[ i(t) \right]^2\;dt \simeq \displaystyle\int_0^{2,3\, \tau} R\;\left[ i(t) \right]^2\;dt\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ;\, T_{x\, \%} \right]}\;</math> }}à partir de l'expression de l'intensité du courant traversant la bobine «<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R} \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Condition_initiale_(C.I.)_et_réponse_transitoire_2|condition initiale et régime transitoire]] (de la réponse en intensité de courant traversant un R L série à un échelon de tension d'amplitude E) » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> nous pouvons évaluer * le travail électrique fourni par la source pendant la durée de <math>\;T_{10\, \%} \simeq 2,3\, \tau\;</math> selon «<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source},\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]} \simeq \displaystyle\int_0^{2,3\,\tau} \dfrac{E^{\,2}}{R} \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right] dt = \dfrac{E^{\,2}}{R} \left[ t + \tau\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]_0^{2,3\,\tau} =</math> <math>\dfrac{E^{\,2}}{R} \left[ 2,3\;\tau + \tau\;\exp\! \left( -2,3 \right) - \tau \right] \simeq \dfrac{E^{\,2}}{R}\; 1,4\;\tau\;</math>»<ref> Sachant que <math>\;\exp\! \left( -2,3 \right) \simeq 0,1</math>.</ref> ou encore, avec <math>\;\tau = \dfrac{L}{R}\;</math> et <math>\;i(+\infty) = \dfrac{E}{R}\;</math><ref name="abus de notation" />, <center>«<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source},\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]} \simeq 1,4\;L\; \left[ i(+\infty) \right]^{\,2}\;</math>» <ref> Ce résultat n'est pas à retenir, il donne simplement un ordre de grandeur : si on établit le courant à <math>\;10\, \%\;</math> près dans la bobine <math>\;\big(</math>c.-à-d. si l'énergie stockée est établie à <math>\;1\, \%\;</math> près<math>\big)\;</math> il faut la moitié du temps qui serait nécessaire pour établir le courant à <math>\;1\, \%\;</math> près <math>\;\bigg(</math>car <math>\;2,3\, \tau \simeq \dfrac{5\, \tau}{2}\bigg)\;</math> et le travail électrique fourni par la source représentant trois fois l'énergie stockée dans la bobine <math>\;\bigg\{</math>car <math>\;1,4\;L\; \left[ i(+\infty) \right]^{\,2} \simeq 3 \times \dfrac{1}{2}\;L\; \left[ i(+\infty) \right]^{\,2}\bigg\}</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}du bilan d'énergie «<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source},\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]} \simeq Q_{\text{cal},\,R,\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]} + \Delta \mathcal{E}_L\;</math>» nous déduisons la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la même durée <math>\;Q_{\text{cal},\,R,\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]} =</math> <math>W_{e,\,f,\,\text{source},\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]} - \Delta \mathcal{E}_L \simeq 1,4\;L\; \left[ i(+\infty) \right]^{\,2} - 0,5\;L\; \left[ i(+\infty) \right]^{\,2}\;</math> soit <center>«<math>\;Q_{\text{cal},\,R,\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]} \simeq 0,9\;L\; \left[ i(+\infty) \right]^{\,2}\;</math>»<ref> Ainsi l'énergie perdue sous forme calorifique est approximativement égale à deux fois l'énergie stockée dans la bobine <math>\;\bigg\{</math>car <math>\;0,9\;L\; \left[ i(+\infty) \right]^{\,2} \simeq</math> <math>2 \times \dfrac{1}{2}\;L\; \left[ i(+\infty) \right]^{\,2}\bigg\}</math>.</ref> ;</center> * la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la même durée de <math>\;T_{10\, \%} \simeq 2,3\, \tau\;</math> par calcul direct soit <math>\;Q_{\text{cal},\,R,\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]} \simeq \displaystyle\int_{0^{+}}^{2,3\,\tau} R\; \left\lbrace \dfrac{E}{R} \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right] \right\rbrace^2\;dt =</math> <math>\dfrac{E^{\,2}}{R}\;\displaystyle\int_{0^{+}}^{2,3\,\tau} \left[ 1 - 2\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) + \exp\! \left( -\dfrac{2\;t}{\tau} \right) \right]\;dt\;</math> que l'on intègre selon <math>\;\dfrac{E^{\,2}}{R}\; \left[ t + 2\;\tau\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) - \dfrac{\tau}{2}\;\exp\! \left( -\dfrac{2\;t}{\tau} \right) \right]_{0^{+}}^{2,3\,\tau} = \dfrac{E^{\,2}}{R}\;\tau\; \left[ 2,3 + 2 \;\exp\! \left( -2,3 \right) - 2 - \dfrac{1}{2}\;\exp\! \left( -5,6 \right) + \dfrac{1}{2} \right]</math> <math>\simeq \dfrac{E^{\,2}}{R}\;\tau\;</math><ref> Sachant que <math>\;\exp\! \left( -2,3 \right) \simeq 0,1\;</math> et <math>\;\exp\! \left( -5,6 \right) \simeq 0,01 \simeq 0</math>.</ref> ou encore, avec <math>\;\tau = \dfrac{L}{R}\;</math> et <math>\;i(+\infty) = \dfrac{E}{R}\;</math><ref name="abus de notation" />, <center>«<math>\;Q_{\text{cal},\,R,\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]} \simeq L\; \left[ i(+\infty) \right]^{\,2}\;</math>»<ref> On ne trouve pas exactement le même résultat qu'en utilisant le bilan d'énergie mais le même ordre de grandeur, la différence correspondant à une erreur d'arrondi, un calcul avec une approximation plus stricte conduirait évidemment au même résultat.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le but étant d'établir un courant dans la bobine à un pourcentage près <math>\;\big(</math>nous choisirons à <math>\;10\,\%\;</math> près<ref name="choix de 10 \%" /><math>\big)</math>, nous pouvons définir le rendement de cet établissement comme le rapport de l'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique pendant la durée <math>\;T_{10\, \%}\;</math> sur l'énergie fournie par la source pendant la même durée <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho_{10\, \%} = \dfrac{\Delta \mathcal{E}_{L,\,\text{à }1\,\%\,\text{près}}}{W_{e,\,f,\,\text{source},\,\text{sur}\,\left[0\, ;\, T_{10\, \%} \right]}} \simeq \dfrac{0,5}{1,4} \simeq</math> <math>36\,\% \simeq \dfrac{1}{3}\;</math>», l'énergie dissipée sous forme calorifique dans le conducteur ohmique pendant la durée <math>\;T_{10\, \%}\;</math> représentant donc approximativement <math>\;64\, \% \simeq \dfrac{2}{3}</math>. == Puissance électrique instantanée fournie par un échelon de courant d'amplitude I₀ imposant une tension u(t) == {{Al|5}}« L'échelon de courant » d'amplitude <math>\;I_0</math>, de c.e.m. instantané <math>\;\eta(t) = I_0\;Y(t)</math>, étant en convention générateur, la puissance électrique instantanée qu'il délivre s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \eta(t)\;u(t) = I_0\;Y(t)\;u(t)\;</math>»<ref name="Y(t)" />{{,}}<ref> On crée un échelon de courant par une association parallèle d'une source parfaite de courant et d'un interrupteur ; ainsi <br>{{Al|3}}quand l'interrupteur est fermé la tension imposée par l'échelon est nulle et <math>\;\eta(t) = 0</math>, <br>{{Al|3}}quand l'interrupteur est ouvert, <math>\;\eta(t) = I_0\;</math> et la tension est usuellement non nulle dépendant du dipôle alimenté par <math>\;I_0</math>, <br>{{Al|3}}la tension étant alors continue <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> à <math>\;t = 0\;</math> instant d'ouverture de l'interrupteur c.-à-d. d'imposition du courant traversant le dipôle extérieur.</ref>.</center> == Bilan dual du bilan de puissance d'un « R C ou R L série » soumis à un échelon de tension == {| class="wikitable" width="100%" | align="center" | association série | align="center" | association parallèle |- | align="center" | circuit <math>\;R\;C\;</math> série soumis à un « échelon de tension » d'amplitude <math>\;E\;</math><ref name="échelon de tension"> Un échelon de tension étant obtenu à l'aide d'une source de tension parfaite en série avec un interrupteur que l'on ferme en <math>\;t = 0</math>.</ref> | align="center" | circuit <math>\;R'\;L\;</math> parallèle<ref name="grandeurs duales"> Le dual d'un condensateur parfait est une bobine parfaite, <math>\;L\;</math> étant la grandeur duale de <math>\;C</math>, le dual d'un conducteur ohmique étant un conducteur ohmique, <math>\;G' = \dfrac{1}{R'}\;</math> étant la grandeur duale de <math>\;R</math>.</ref> soumis à un « échelon de courant » d'amplitude <math>\;I_0\;</math><ref name="échelon de courant"> Un échelon de courant étant obtenu à l'aide d'une source de courant parfaite en parallèle avec un interrupteur que l'on ouvre en <math>\;t = 0</math>.</ref> |- | align="center" | énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> <br>soumis à une tension <math>\;u_C</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électrostat. stockée dans }C} = \dfrac{1}{2}\;C\; u_C^2</math> | align="center" | énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> <br>traversée par un courant d'intensité <math>\;i_L</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électromagn. stockée dans }L} = \dfrac{1}{2}\;L\; i_L^2</math> |- | align="center" | puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> <br>traversé par un courant d'intensité <math>\;i</math> : <br><math>\;\mathcal{P}_{\text{cal. dissipée dans }R} = R\; i^2</math> | align="center" | puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de conductance <math>\;G'\;</math> <br>soumis à une tension <math>\;u</math> : <br><math>\;\mathcal{P}_{\text{cal. dissipée dans }G'} = G'\; u^2</math> |- | align="center" | puissance instantanée électrique fournie par un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> <br>délivrant un courant d'intensité <math>\;i(t)</math> : <br><math>\;\mathcal{P}_{\text{élect. fournie par l'échelon de tension}} = E\;Y(t)\; i(t)</math> | align="center" | puissance instantanée électrique fournie par une échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> <br>imposant une tension <math>\;u(t)</math> : <br><math>\;\mathcal{P}_{\text{élect. fournie par l'échelon de courant}} = I_0\;Y(t)\; u(t)</math> |- | align="center" | circuit <math>\;R\;L\;</math> série soumis à un « échelon de tension » d'amplitude <math>\;E\;</math><ref name="échelon de tension" /> | align="center" | circuit <math>\;R'\;C\;</math> parallèle<ref name="grandeurs duales" /> soumis à un « échelon de courant » d'amplitude <math>\;I_0\;</math><ref name="échelon de courant" /> |- | align="center" | énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> <br>traversée par un courant d'intensité <math>\;i</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électromagn. stockée dans }L} = \dfrac{1}{2}\;L\; i^2</math> | align="center" | énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> <br>soumis à une tension <math>\;u</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électrostat. stockée dans }C} = \dfrac{1}{2}\;C\; u^2</math> |} === Dual du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension : bilan de puissance d'un « R' C parallèle » soumis à un échelon de courant === {{Al|5}}<u>Bilan de puissance d'un</u><math>\;R\, L\;</math><u>série soumis à un échelon de tension</u> : La puissance électrique instantanée <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t)\;</math> fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude <math>\;E</math>, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)\;</math> et en puissance calorifique <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math>» dans lequel</center> * «<math>\;\mathcal{E}_L(t) = \dfrac{1}{2}\;L\; \left[ i(t) \right]^2\;</math>», <math>\;i(t)\;</math> étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)\;</math> et * «<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R}(t) = R\; \left[ i(t) \right]^2 = \dfrac{\left[ u_R(t) \right]^2}{R}\;</math>», <math>\;i(t)\;</math> étant aussi l'intensité instantanée du courant fournie par la source et <math>\;u_R(t)\;</math> la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Bilan de puissance d'un</u><math>\;R'\, C\;</math><u>parallèle soumis à un échelon de courant</u> <math>\;\big(</math>déterminé par dualité<math>\big)</math> : La puissance électrique instantanée <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t)\;</math> fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude <math>\;I_0</math>, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)\;</math> et en puissance calorifique <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\, R'}(t)\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R'}(t)\;</math>» dans lequel</center> * «<math>\;\mathcal{E}_C(t) = \dfrac{1}{2}\;C\; \left[ u(t) \right]^2\;</math>», <math>\;u(t)\;</math> étant la tension instantanée aux bornes du condensateur <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)\;</math> et * «<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R'}(t) = G'\; \left[ u(t) \right]^2 \left\lbrace = \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R'} \right\rbrace = \dfrac{\left[ i_{R'}(t) \right]^2}{G'} \left\lbrace = R'\; \left[ i_{R'}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>», <math>\;u(t)\;</math> étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et <math>\;i_{R'}(t)\;</math> l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)</math>. === Dual du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension : bilan de puissance d'un « R' L parallèle » soumis à un échelon de courant === {{Al|5}}<u>Bilan de puissance d'un</u><math>\;R\, C\;</math><u>soumis à un échelon de tension</u> : La puissance électrique instantanée <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t)\;</math> fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude <math>\;E</math>, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)\;</math> et en puissance calorifique <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math>» dans lequel</center> * «<math>\;\mathcal{E}_C(t) = \dfrac{1}{2}\;C\; \left[ u_C(t) \right]^2\;</math>», <math>\;u_C(t)\;</math> étant la tension instantanée aux bornes du condensateur <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)\;</math> et * «<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R}(t) = R\; \left[ i(t) \right]^2 = \dfrac{\left[ u_R(t) \right]^2}{R}\;</math>», <math>\;i(t)\;</math> étant aussi l'intensité instantanée du courant fournie par la source et <math>\;u_R(t)\;</math> la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Bilan de puissance d'un</u><math>\;R'\, L\;</math><u>soumis à un échelon de courant</u> <math>\;\big(</math>déterminé par dualité<math>\big)</math> : La puissance électrique instantanée <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t)\;</math> fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude <math>\;I_0</math>, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)\;</math> et en puissance calorifique <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\, R'}(t)\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R'}(t)\;</math>» dans lequel</center> * «<math>\;\mathcal{E}_L(t) = \dfrac{1}{2}\;L\; \left[ i_L(t) \right]^2\;</math>», <math>\;i_L(t)\;</math> étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)\;</math> et * «<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R'}(t) = G'\; \left[ u(t) \right]^2 = \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R'} = R'\; \left[ i_{R'}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;u(t)\;</math> étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et <math>\;i_{R'}(t)\;</math> l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier {{Nobr|<math>\;\big(</math>en}} convention récepteur<math>\big)</math>. == Obtention directe du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant et conséquences == === Bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ imposant une tension u(t) === {{Al|5}}La puissance électrique instantanée <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t)\;</math> fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude <math>\;I_0</math>, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)\;</math> et en puissance calorifique <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math>» dans lequel</center> * «<math>\;\mathcal{E}_C(t) = \dfrac{1}{2}\;C\; \left[ u(t) \right]^2\;</math>», <math>\;u(t)\;</math> étant la tension instantanée aux bornes du condensateur <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)\;</math> et * «<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R}(t) = \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R} = R\; \left[ i_R(t) \right]^2\;</math>», <math>\;u(t)\;</math> étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et <math>\;i_R(t)\;</math> l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)</math>. === Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant === {{Al|5}}Nous avons vu dans le chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » que « <u>la tension aux bornes du condensateur d'un</u><math>\;R\, C\;</math><u>parallèle soumis à un échelon de courant</u> était <u>continue en</u><math>\;t = 0\;</math>», cela entraîne, dans la mesure où le condensateur est initialement<ref name="initialement" /> déchargé, une <u>continuité, en</u><math>\;t = 0\;</math><u>, de</u> * <u>la puissance calorifique</u> <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R}(t) = \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R}\;</math> <u>dissipée dans le conducteur ohmique</u> ainsi que de * <u>la puissance électrique instantanée</u> <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \eta(t)\; u(t)\;</math><ref> En effet <math>\;\eta(t)\;</math> étant discontinu de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math> avec <math>\;u(0^{+}) = u(0^{-}) = 0</math> <math>\;\big[</math>car il n'y a aucune charge initiale dans le condensateur<math>\big]</math>, le produit d'une grandeur discontinue en <math>\;t = 0\;</math> avec une autre continue et nulle au même instant est continue en y prenant une valeur nulle.</ref> <u>fournie par l'échelon de courant</u> ; {{Al|5}}le bilan de puissance <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)\;</math>» est « continue en <math>\;t = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : si le condensateur était initialement<ref name="initialement" /> chargé par une tension non nulle, « <u>la tension aux bornes du condensateur d'un</u><math>\;R\, C\;</math><u>parallèle soumis à un échelon de courant</u> étant <u>continue en</u><math>\;t</math> {{Nobr|<math>= 0\;</math>»,}} cela entraînerait, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\centerdot\;</math>une continuité de la puissance calorifique <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R}(t) = \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R}\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique en <math>\;t = 0\;</math> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\centerdot\;</math>une discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> en ce même instant de la puissance électrique instantanée <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \eta(t)\; u(t)\;</math><ref> En effet <math>\;\eta(t)\;</math> étant discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math> avec <math>\;u(0^{+}) = u(0^{-}) \neq 0</math>, le produit d'une grandeur discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math> avec une autre continue mais non nulle au même instant est discontinu de 1^ère espèce en cet instant.</ref> fournie par l'échelon de courant ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le bilan de puissance <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> permettrait alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)\;</math>» a « une discontinuité de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>» <ref name="discontinuité de 1ère espèce" />{{,}} <ref name="discontinuité comparée des membres d'une égalité" />. {{Al|5}}on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)\;</math>» est * « continu si le condensateur est initialement déchargé » <math>\;\big(</math>ce qui est le cas usuel<math>\big)\;</math> ou * « discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> s'il est initialement chargé » {{Al|5}}en effet explicitant la « dérivée temporelle » <ref name="sens des distributions" />, on obtient <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;C\;2\;u(t)\;\dfrac{du}{dt}(t) = u(t)\;C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math> soit encore «<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t) =</math> <math>u(t)\;i_C(t)\;</math>» en utilisant la définition de l'intensité du courant traversant le condensateur parfait ; l'expression obtenue étant le produit, en <math>\;t = 0</math>, d'une grandeur continue <math>\;u(t)\;</math> et d'une autre discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> <math>\;i_C(t)</math>, est discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> dans la mesure où <math>\;u(0) \neq 0\;</math> <math>\big(</math>ce qui nécessite que le condensateur soit initialement chargé<math>\big)</math> ; {{Al|5}}dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)\;</math> soit continu ou discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par le condensateur <math>\;\mathcal{E}_C(t)\;</math> sous forme électrostatique. === Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur puis en son intensité de courant de charge d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant déduite du bilan de puissance === ==== Déduire du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ l'équation différentielle en tension u(t) aux bornes du condensateur ==== {{Al|5}}Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique en fonction de la tension <math>\;u(t)\;</math> à ses bornes soit «<math>\;\mathcal{E}_C(t) = \dfrac{1}{2}\;C\; \left[ u(t) \right]^2\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_C}{dt}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;C\;2\;u(t)\;\dfrac{du}{dt}(t) = u(t)\;C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de courant et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de la tension, conduit à «<math>\;\eta(t)\;u(t) = C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;u(t) + \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R}\;</math>» ou, après simplification par <math>\;u(t)\;</math><ref> Ceci nécessite <math>\;u(t) \neq 0</math>, c'est effectivement réalisé pour <math>\;t > 0\;</math> mais, pour <math>\;t < 0</math>, cela n'étant pas réalisé dans le cas usuel où la tension initiale aux bornes du condensateur est nulle, la simplification ne peut être faite ; toutefois le résultat trouvé par abus de simplification pour <math>\;t < 0\;</math> reste exact car les termes des deux membres de la relation ainsi trouvée y sont nuls.</ref>, on obtient <math>\;\eta(t) = C\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{1}{R}\;u(t)\;</math> soit en normalisant <center>«<math>\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;u(t) = \dfrac{\eta(t)}{C}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;u(t) = \dfrac{I_0}{C}\;Y(t)\;\;\forall t\;</math>»<ref name="Y(t)" />.</center> ==== Déduire du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ l'équation différentielle en intensité i_C(t) du courant de charge du condensateur ==== {{Al|5}}Ayant déterminé l'équation différentielle en tension aux bornes du condensateur, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à <math>\;t\;</math> et multiplier par <math>\;C\;</math> dans le but d'utiliser <math>\;i_C(t) = C\;\dfrac{du}{dt}(t)</math> d'où l'équation différentielle cherchée <center>«<math>\;\dfrac{d i_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;i_C(t) = \dot{\eta}(t)\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{d i_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{R\;C}\;i_C(t) = I_0\;\delta(t)\;\;\forall t\;</math>»<ref name="delta(t)" />.</center> == Obtention directe du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant et conséquences == === Bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ imposant une tension u(t) === {{Al|5}}La puissance électrique instantanée <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t)\;</math> fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude <math>\;I_0</math>, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)\;</math> et en puissance calorifique <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math>» dans lequel</center> * «<math>\;\mathcal{E}_L(t) = \dfrac{1}{2}\;L\; \left[ i_L(t) \right]^2\;</math>», <math>\;i_L(t)\;</math> étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine parfaite <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)\;</math> liée à la tension instantanée <math>\;u(t)\;</math> à ses bornes par <math>\;u(t) =</math> <math>L\;\dfrac{d i_L}{dt}(t)\;</math> et * «<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R}(t) = \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R} = R\; \left[ i_R(t) \right]^2\;</math>», <math>\;u(t)\;</math> étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et <math>\;i_R(t)\;</math> l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)</math>. === Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant === {{Al|5}}Nous avons vu dans le chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » que « <u>la tension aux bornes de la bobine parfaite d'un</u><math>\;R\, L\;</math><u>parallèle soumis à un échelon de courant</u> était <u>discontinue de 1^ère espèce en</u><math>\;t = 0\;</math>»<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />{{,}}<ref> Plus précisément voir « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Discontinuité_de_la_tension_aux_bornes_de_la_partie_inductive_d'une_bobine_dans_un_circuit_résistif_soumis_à_un_échelon_de_courant|discontinuité la tension aux bornes de la partie inductive d'une bobine d'un circuit résistif soumis à un échelon de courant]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, cela entraîne une <u>discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> de</u> * <u>la puissance calorifique</u> <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,R}(t) = \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R}\;</math> <u>dissipée dans le conducteur ohmique</u> en <math>\;t = 0\;</math> ainsi que de * <u>la puissance électrique instantanée</u> <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \eta(t)\; u(t)\;</math><ref> Il ne suffit pas que <math>\;\eta(t)\;</math> soit discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math> pour que son produit avec <math>\;u(t)\;</math> le soit, il faut en plus que <math>\;u(0^{+}) \neq 0</math>, ce qui est réalisé dès lors que la tension est discontinue de 1^ère espèce compte tenu du fait que <math>\;u(0^{-}) = 0</math>.</ref> <u>fournie par l'échelon de courant</u> en <math>\;t = 0</math> ; {{Al|5}}le bilan de puissance <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)\;</math>» a « une discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> ou une continuité en <math>\;t = 0\;</math>» <ref name="discontinuité d'une différence" /> ; {{Al|5}}on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)\;</math>» est * « continu si la bobine n'est initialement traversée par aucun courant » ou * « discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> si elle est initialement traversée par un courant d'intensité non nulle » {{Al|5}}en effet explicitant la « dérivée temporelle » <ref name="sens des distributions" />, on obtient <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;L\;2\;i_L(t)\;\dfrac{d i_L}{dt}(t) = i_L(t)\;L\;\dfrac{d i_L}{dt}(t)\;</math> soit encore «<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t) =</math> <math>i_L(t)\;u(t)\;</math>» en utilisant la définition de la tension aux bornes de la bobine parfaite ; l'expression obtenue étant le produit, en <math>\;t = 0</math>, d'une grandeur continue <math>\;i_L(t)\;</math> et d'une autre discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> <math>\;u(t)</math>, est discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> dans la mesure où <math>\;i_L(0)</math> <math>\neq 0\;</math> <math>\big(</math>ce qui nécessite que la bobine soit initialement traversée par un courant<math>\big)</math> ; {{Al|5}}dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)\;</math> soit continu ou discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par la bobine <math>\;\mathcal{E}_L(t)\;</math> sous forme électromagnétique. === Équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine puis en la tension à ses bornes d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant déduite du bilan de puissance === ==== Déduire du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ l'équation différentielle en intensité i_L(t) du courant traversant la bobine ==== {{Al|5}}Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique en fonction de l'intensité <math>\;i_L(t)\;</math> du courant la traversant soit «<math>\;\mathcal{E}_L(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;L\; \left[ i_L(t) \right]^2\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_L}{dt}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;L\;2\;i_L(t)\;\dfrac{d i_L}{dt}(t) = i_L(t)\;L\;\dfrac{d i_L}{dt}(t) = i_L(t)\;u(t)\;</math>»<ref> Cette dernière expression résultant de la définition de la tension aux bornes de la bobine parfaite <math>\;u(t) = L\;\dfrac{d u_L}{dt}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}si on utilise une loi de Kirchhoff pour trouver l'équation différentielle, c'est une loi de nœud, le résultat non normalisé va donc être exprimé en <math>\;A</math> ; le bilan de puissance s'exprimant en <math>\;W = V \times A</math>, il faudra donc simplifier par une tension pour aboutir à l'équation différentielle cherchée d'où la nécessité de faire apparaître la tension dans l'explicitation du gain horaire de l'énergie stockée dans la bobine parfaite. <br>{{Al|3}}'''[[w:Gustav_Kirchhoff|Gustav Robert Kirchhoff]] (1824 – 1887)''' est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande <math>\;\big(</math>prussienne<math>\big)\;</math> du XIX^ème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec '''[[w:Robert_Whilhelm_Bunsen|Robert Whilhelm Bunsen]] (1811 - 1899)''' chimiste allemand, de la [[w:Spectroscopie|spectroscopie]] qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.</ref> ; {{Al|5}}son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de courant et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de la tension, conduit à «<math>\;\eta(t)\;u(t) = i_L(t)\;u(t) + \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R}\;</math>» ou, après simplification par <math>\;u(t)\;</math><ref> Ceci nécessite <math>\;u(t) \neq 0</math>, c'est effectivement réalisé pour <math>\;t > 0\;</math> mais, pour <math>\;t < 0</math>, cela n'étant pas réalisé dans le cas où l'intensité initiale du courant traversant la bobine parfaite est constante, la simplification ne peut être faite ; toutefois le résultat trouvé par abus de simplification pour <math>\;t < 0\;</math> reste exact car les termes des deux membres de la relation ainsi trouvée y sont nuls.</ref>, on obtient <math>\;\eta(t) = i_L(t) + \dfrac{1}{R}\;u(t)\;</math> soit, en éliminant <math>\;u(t)\;</math> au profit de <math>\;i_L(t)\;</math> par définition de la tension aux bornes d'une bobine parfaite <math>\;u(t) = L\;\dfrac{d i_L}{dt}(t)</math> on trouve <math>\;\eta(t) = i_L(t) + \dfrac{L}{R}\;\dfrac{d i_L}{dt}(t)\;</math> puis en normalisant <center>«<math>\;\dfrac{d i_L}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;i_L(t) = \dfrac{R}{L}\;\eta(t)\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{d i_L}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;i_L(t) = \dfrac{R\;I_0}{L}\;Y(t)\;\;\forall t\;</math>»<ref name="Y(t)" />.</center> ==== Déduire du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ l'équation différentielle en tension u(t) aux bornes de la bobine ==== {{Al|5}}Ayant déterminé l'équation différentielle en intensité du courant traversant la bobine parfaite, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à <math>\;t\;</math> et multiplier par <math>\;L\;</math> dans le but d'utiliser <math>\;u(t) =</math> <math>L\;\dfrac{d i_L}{dt}(t)</math> d'où l'équation différentielle cherchée <center>«<math>\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;u(t) = R\;\dot{\eta}(t)\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{R}{L}\;u(t) = R\;I_0\;\delta(t)\;\;\forall t\;</math>»<ref name="delta(t)" />.</center> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon|Circuits lin. du 1^er ordre : régime libre et réponse à un échelon]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} fdrbc0u1c7z9p3eaxqnsc5gy1v1ruoa 0 67330 982867 978550 2026-05-16T18:36:59Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982867 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie | idfaculté = physique | numéro = 27 | chapitre = [[../../Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie/]] | précédent = [[../Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon/]] | suivant = [[../Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Établissement d'un équilibre électrique entre un condensateur chargé et un déchargé par bilan de puissance == {{Al|5}}On charge un condensateur de capacité <math>\;C\;</math> sous la tension <math>\;U</math>, et on relie ce condensateur ainsi chargé, puis isolé de la source de tension de charge, à un condensateur de capacité <math>\;C'</math>, initialement neutre, par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>. === Détermination, par bilan de puissance, de l'intensité du courant de charge du condensateur initialement déchargé === {{Al|5}}Faire un bilan de puissance du circuit, {{Al|5}}en déduire l'équation différentielle en <math>\;i(t)\;</math> <math>\big(</math>intensité du courant de charge du condensateur initialement déchargé<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}déterminer la variation de cette intensité <math>\;i\;</math> en fonction du temps <math>\;t</math>. {{Solution|contenu = [[File:Condensateurs chargé et déchargé - bis.png|thumb|300px|Circuit de décharge <math>\;\big(</math>partielle<math>\big)\;</math> d'un condensateur initialement chargé de capacité <math>\;C\;</math> dans un condensateur initialement déchargé de capacité <math>\;C'\;</math> par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>]] {{Al|5}}<u>Bilan de puissance, à l'instant</u><math>\;t</math><u>, dans le circuit ci-contre</u> : {{Al|5}}Soient <math>\;\mathcal{E}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{E}'(t)\;</math> les énergies électrostatiques des condensateurs à l'instant <math>\;t\;</math> de capacité respective <math>\;C\;</math> et <math>\;C'</math>, le bilan de puissance s'énonce <math>\;\big[</math>sachant qu'il n'y a pas de source de tension dans le circuit<ref name="absence de source dans le circuit"> Donc pas d'apport de puissance électrique fournie par un générateur.</ref> mais qu'il y a un conducteur ohmique<ref name="présence de partie résistive dans le circuit"> Donc perte de puissance de nature calorifique dissipée par effet Joule dans la partie résistive du circuit. <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Prescott_Joule|James Prescott Joule]] (1818 - 1889)''' physicien anglais à qui on doit une étude sur la nature de la chaleur et son lien avec le travail mécanique ainsi qu'une relation entre l'intensité du courant électrique traversant un conducteur ohmique et la chaleur dissipée dans ce dernier ; il a également travaillé avec le physicien britannique d'origine irlandaise '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|William Thomson]] (1824 - 1907)''' {{Nobr|<math>\;\big[</math>encore}} connu sous le nom de '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|Lord Kelvin]]'''<math>\big]\;</math> pour développer l'échelle absolue de température et a étudié la [[w:Magnétostriction|magnétostriction]] <math>\;\big(</math>propriété que possèdent les [[w:Ferromagnétisme#Matériaux_ferromagnétiques|matériaux ferromagnétiques]] de se déformer en fonction de l'orientation de leur aimantation, par exemple sous l'influence d'un champ magnétique<math>\big)</math>.</ref> et appelant <math>\;\mathcal{E}_{\text{tot}}(t) = \mathcal{E}(t) + \mathcal{E}'(t)\;</math> l'énergie électrostatique totale stockée dans les condensateurs<math>\big]</math> : {{Al|5}}« le gain <math>\;\big(</math>algébrique<math>\big)\;</math><ref> Algébrique car en fait <math>\;\mathcal{E}(t) \searrow\;</math> <math>\big(</math>le condensateur de capacité <math>\;C\;</math> jouant le rôle de source, son énergie stockée <math>\;\searrow\big)\;</math> alors que <math>\;\mathcal{E}'(t) \nearrow\;</math> <math>\big(</math>le condensateur de capacité <math>\;C'\;</math> étant en phase de charge, son énergie stockée <math>\;\nearrow\big)</math>.</ref> horaire d'énergie électrostatique stockée dans les condensateurs et la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique se compensent »<ref> Ou « la somme du gain horaire d'énergie stockée dans les condensateurs et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique reste toujours nulle ».</ref> ou «<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{tot}}}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal dissipée dans }R}(t) = 0\;</math>» ou encore «<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{tot}}}{dt}(t) + R\, i^2(t) = 0\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{E}_{\text{tot}}(t) = \dfrac{1}{2}\, C\, u^2(t) + \dfrac{1}{2}\, C'\, u'^2(t)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : la façon la plus pratique de faire un bilan de puissance est d'écrire symboliquement <center>« apport par les sources <math>\;=\;</math> augmentation horaire d'énergie stockée <math>\;+\;</math> perte calorifique »<ref name="sous-entendu"> Apport et perte : sous-entendu « de puissance ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}sans apport<ref name="sous-entendu" /> provenant d'un générateur, il faut qu'une partie au moins de l'énergie stockée <math>\;\searrow\;</math> pour compenser la perte<ref name="sous-entendu" /> calorifique, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : sans apport provenant d'un générateur, }}c'est le cas ici où le condensateur de capacité <math>\;C\;</math> restitue de l'énergie, il joue donc le rôle de générateur et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : sans apport provenant d'un générateur, c'est le cas ici }}on peut réécrire le bilan de puissance selon : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}« la diminution horaire de l'énergie stockée par le condensateur de capacité <math>\;C\;</math> est égale à la somme de l'augmentation horaire de l'énergie stockée par le condensateur de capacité <math>\;C'\;</math> et de la puissance calorifique dissipée par le conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math>» ou <center>«<math>\;-\dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}'}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal dissipée dans }R}(t)\;</math>»<ref> Il est évident que l'on obtient le même bilan.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Équation différentielle en</u><math>\;i(t)\;\big(</math><u>intensité du courant de charge du condensateur initialement déchargé</u><math>\big)</math> : {{Al|5}}On obtient l'équation différentielle en <math>\;i(t)\;</math> en évaluant la dérivée de <math>\;\mathcal{E}_{\text{tot}}(t) = \dfrac{1}{2}\, C\, u^2(t) + \dfrac{1}{2}\, C'\, u'^2(t)\;</math> soit <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{tot}}}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\, C\, 2\, u(t)\, \dot{u}(t) + \dfrac{1}{2}\, C'\, 2\, u'(t)\, \dot{u}'(t) = C\, u(t)\, \dot{u}(t) + C'\, u'(t)\, \dot{u}'(t)\;</math> d'où <center>l'explicitation du bilan de puissance «<math>\;C\, u(t)\, \dot{u}(t) + C'\, u'(t)\, \dot{u}'(t) + R\, i^2(t) = 0\;</math>» ; </center> {{Al|5}}le circuit étant en série, l'équation différentielle pouvant s'obtenir directement par équation de maille <math>\;\big(</math>suivie ou non d'une dérivation temporelle<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le circuit étant en série, }}son obtention par bilan de puissance nécessite de diviser ce dernier par une intensité<ref> En effet l'équation de maille est exprimée en <math>\;V</math>, le bilan de puissance l'étant en <math>\;W = V \times A</math>, il convient donc de diviser ce dernier par une grandeur exprimée en ampère c.-à-d. une intensité pour retrouver l'équation de maille.</ref> c'est-à-dire ici <math>\;i(t)\;\big(</math>suivie ou non d'une dérivation temporelle<math>\big)</math>, il faut donc la faire apparaître dans les deux 1^ers termes selon <math>\;i(t) = -C\, \dot{u}(t)\;</math> <ref> Correspondant à la convention générateur pour le condensateur de capacité <math>\;C\;</math> ou la convention de décharge de ce dernier.</ref> et <math>\;i(t) = C'\, \dot{u}'(t)\;</math> <ref> Correspondant à la convention récepteur pour le condensateur de capacité <math>\;C'\;</math> ou la convention de charge de ce dernier.</ref> soit «<math>\;-u(t)\, i(t) + u'(t)\, i(t) + R\, i^2(t) = 0\;</math>» et, après division par <math>\;i(t)</math>, «<math>\;-u(t) + u'(t) + R\, i(t) = 0\;</math>»<ref> C.-à-d. l'équation que l'on aurait obtenue par loi de maille.</ref> ; {{Al|5}}on dérive alors l'équation obtenue par rapport à <math>\;t\;</math> pour éliminer <math>\;u(t)\;</math> et <math>\;u'(t)\;</math> au profit de <math>\;i(t)\;</math> soit «<math>\;-\dot{u}(t) + \dot{u}'(t) + R\, \dfrac{di}{dt}(t) = 0\;</math>» ou, avec <math>\;i(t) = -C\, \dot{u}(t) = C'\, \dot{u}'(t)</math>, on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|on dérive alors l'équation obtenue par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> pour éliminer <math>\;\color{transparent}{u(t)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{u'(t)}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math> soit }}«<math>\;\dfrac{i(t)}{C} + \dfrac{i(t)}{C'} + R\, \dfrac{di}{dt}(t) = 0\;</math>» et finalement, en normalisant <br>{{Al|5}}{{Transparent|on dérive alors l'équation obtenue par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> pour éliminer <math>\;\color{transparent}{u(t)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{u'(t)}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math> soit }}«<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{R} \left( \dfrac{1}{C} + \dfrac{1}{C'} \right) i(t) = 0\;</math>». {{Al|5}}On peut simplifier l'équation précédente en posant «<math>\;\dfrac{1}{C_{\text{éq}}} = \dfrac{1}{C} + \dfrac{1}{C'}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;C_{\text{éq}} = \dfrac{C\, C'}{C + C'}\;</math>»<ref> <math>\;C_{\text{éq}}\;</math> ayant la même homogénéité que <math>\;C\;</math> et <math>\;C'</math>, peut être qualifiée de « capacité de condensateur équivalent à l'association envisagée ».</ref> et «<math>\;\tau_{\text{éq}} = R\, C_{\text{éq}}\;</math>»<ref> C.-à-d. la constante de temps du circuit <math>\;R\, C_{\text{éq}}\;</math> série <math>\;\big(</math>ou <math>\;\parallel\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau_{\text{éq}}}\;i(t) = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Variation de l'intensité en fonction du temps</u> : la solution de l'équation différentielle ci-dessus est de la forme «<math>\;i(t) = i_l(t) = A\, \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution }}avec <math>\;A\;</math> constante réelle d'intégration à déterminer par C.I<ref name="C.I."> Condition Initiale.</ref>. c'est-à-dire la valeur de <math>\;i(0^{+})\;</math> laquelle ne s'obtient pas a priori par continuité<ref> Les grandeurs continues dans un circuit série résistif contenant des condensateurs étant les charges instantanées des condensateurs ainsi que les tensions aux bornes de ces derniers <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Continuité_de_la_tension_aux_bornes_d'un_condensateur_parfait_dans_un_circuit_résistif|continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais a priori ni l'intensité du courant du circuit ni les tensions aux bornes des parties résistives.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution avec <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> constante réelle d'intégration à déterminer }}par circuit à <math>\;0^{+}\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce de i dans un circuit RC série"> Dans un circuit série résistif contenant uniquement deux condensateurs dont au moins un est chargé et un conducteur ohmique, l'intensité du courant de décharge du condensateur initialement chargé est a priori discontinu de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math> instant de formation du circuit <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel on utilise la continuité des tensions aux bornes des condensateurs<ref name="continuité de la tension uC dans un circuit résistif"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Continuité_de_la_tension_aux_bornes_d'un_condensateur_parfait_dans_un_circuit_résistif|continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution avec <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> constante réelle d'intégration à déterminer }}à savoir «<math>\;u(0^{+}) = u(0^{-}) = U\;</math>»<ref> Le condensateur de capacité <math>\;C\;</math> initialement chargé sous tension <math>\;U\;</math> est équivalent à l'instant <math>\;0^{+}\;</math> à une source de tension de f.e.m. <math>\;U</math>.</ref> et «<math>\;u'(0^{+}) = u'(0^{-}) = 0\;</math>»<ref> Le condensateur de capacité <math>\;C'\;</math> initialement déchargé est équivalent à l'instant <math>\;0^{+}\;</math> à un court-circuit.</ref> <math>\Rightarrow</math> dans le circuit à <math>\;0^{+}\;</math><ref name="à tracer réellement"> Tracé du circuit à <math>\;0^{+}\;</math> à ajouter par soi-même.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution avec <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> constante réelle d'intégration à déterminer }}on retrouve <math>\;U\;</math> aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;i(0^{+}) = \dfrac{U}{R}\;</math>» par loi d'Ohm<ref name="Ohm"> '''[[w:Georg_Ohm|Georg Simon Ohm]] (1789 - 1854)''' physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution avec <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> constante réelle d'intégration à déterminer }}soit <math>\;A\; \cancel{\exp\! \left( -\dfrac{0}{\tau_{\text{éq}}} \right)} = \dfrac{U}{R}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A = \dfrac{U}{R}\;</math>» et finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Variation de l'intensité en fonction du temps : la solution de l'équation différentielle ci-dessus est }}«<math>\;i(t) = \dfrac{U}{R}\, \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\;\;\text{pour } t > 0\;</math>».}} === Évaluation de la variation d'énergie du système composé des deux condensateurs lors de la charge complète du condensateur de capacité C' === {{Al|5}}Calculer, de deux façons différentes, la variation d'énergie du système composé des deux condensateurs lors de la charge complète du condensateur de capacité <math>\;C'</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Par calcul direct</u> : L'énergie électrostatique initiale est stockée uniquement dans le condensateur de capacité <math>\;C\;</math> soit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{tot}}(0) = \dfrac{1}{2}\, C\, U^2\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Par calcul direct : }}quand la charge complète du condensateur de capacité <math>\;C'\;</math> est terminée<ref> C.-à-d. théoriquement au bout d'une durée infinie et pratiquement au bout de <math>\;5\, \tau_{\text{éq}}</math>.</ref>, les deux condensateurs sont chargés en ayant une même tension entre leurs bornes <math>\;U_{\infty}</math>, l'énergie électrostatique finale, stockée dans les deux condensateurs, est alors «<math>\;\mathcal{E}_{\text{tot}}(\infty) = \dfrac{1}{2}\, C\, U_{\infty}^2 + \dfrac{1}{2}\, C'\, U_{\infty}^2 = \dfrac{1}{2}\, (C + C')\, U_{\infty}^2\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Par calcul direct : quand la charge complète du condensateur de capacité <math>\;\color{transparent}{C'}\;</math> est terminée, }}pour évaluer cette dernière il faut déterminer la tension commune aux bornes des condensateurs à l'équilibre <math>\;U_{\infty}\;</math> et {{Al|11}}{{Transparent|Par calcul direct : quand la charge complète du condensateur de capacité <math>\;\color{transparent}{C'}\;</math> est terminée, }}pour cela on écrit que « la charge entre les armatures supérieures des condensateurs de capacité <math>\;C\;</math> et <math>\;C'\;</math>»<ref> La partie de circuit entre ces armatures passant par le conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> est séparée du reste du circuit par deux isolants d'où la conservation de la charge.</ref> {{Al|11}}{{Transparent|Par calcul direct : quand la charge complète du condensateur de capacité <math>\;\color{transparent}{C'}\;</math> est terminée, pour cela on écrit que « la charge }}reste constante entre l'instant <math>\;0\;</math> et l'instant <math>\;\infty\;</math> c'est-à-dire «<math>\;q(0^{+}) + q'(0^{+}) =</math> <math>q(\infty) + q'(\infty)\;</math>» ou <math>\;C\, U = C\, U_{\infty} + C'\, U_{\infty}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;U_{\infty} = \dfrac{C}{C + C'}\, U\;</math>» d'où <math>\;\mathcal{E}_{\text{tot}}(\infty) = \dfrac{1}{2}\, (C + C')\, U_{\infty}^2 = \dfrac{1}{2}\, (C + C')\, \left( \dfrac{C}{C + C'} \right)^{\!2} U^2\;</math> et finalement «<math>\;\mathcal{E}_{\text{tot}}(\infty) = \dfrac{1}{2}\, \dfrac{C^2}{C + C'} U^2\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Par calcul direct : }}la variation d'énergie électrostatique des deux condensateurs lors de la charge complète du condensateur de capacité <math>\;C'\;</math> est donc <math>\;\Delta \mathcal{E}_{\text{tot}} = \dfrac{1}{2}\, \dfrac{C^2}{C + C'} U^2 - \dfrac{1}{2}\, C\, U^2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par calcul direct : la variation d'énergie électrostatique des deux condensateurs lors de la charge complète du condensateur de capacité <math>\;\color{transparent}{C'}\;</math> est donc <math>\;\color{transparent}{\Delta \mathcal{E}_{\text{tot}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\, C\, U^2 \left( \dfrac{C}{C + C'} - 1 \right)\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par calcul direct : la variation d'énergie électrostatique des deux condensateurs lors de la charge complète du condensateur de capacité <math>\;\color{transparent}{C'}\;</math> est donc }}«<math>\;\Delta \mathcal{E}_{\text{tot}} = -\dfrac{1}{2}\, \dfrac{C\, C'}{C + C'} U^2\;</math>». {{Al|5}}<u>Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie</u> : reprenant le bilan de puissance et l'intégrant sur l'intervalle <math>\;\left] 0\; ;\, +\infty \right[\;</math> on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : reprenant }}le bilan d'énergie lors de la charge complète du condensateur de capacité <math>\;C'\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : }}« <u>le gain<ref> Gain <math>\;< 0\;</math> car il s'agit en fait d'une perte.</ref> d'énergie électrostatique stockée dans les condensateurs et l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique se compensent</u> » ou encore « la perte d'énergie électrostatique stockée dans les condensateurs est égale à l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique » c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : }}«<math>\;\Delta \mathcal{E}_{\text{tot}} + W_{\text{cal dissipée dans }R} = 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : }}avec l'expression de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>, l'équation suivante <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : }}«<math>\;\Delta \mathcal{E}_{\text{tot}} + \displaystyle\int_0^{+\infty} R\, i^2(t)\, dt = 0\;</math>»<ref name="intégrale généralisée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : }}y reportant «<math>\;i(t) = \dfrac{U}{R}\, \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\;</math> avec <math>\;\tau_{\text{éq}} = R\, C_{\text{éq}} = R\,\dfrac{C\, C'}{C + C'}\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_stockage_et_dissipation_d'énergie#Détermination,_par_bilan_de_puissance,_de_l'intensité_du_courant_de_charge_du_condensateur_initialement_déchargé|détermination, par bilan de puissance, de l'intensité du courant de charge du condensateur initialement déchargé]] » plus haut dans l'exercice.</ref>, on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : }}«<math>\;\Delta \mathcal{E}_{\text{tot}} = -\displaystyle\int_0^{+\infty} R\, \dfrac{U^2}{R^2}\, \exp\! \left( -\dfrac{2\, t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\, dt = -\dfrac{U^2}{R} \displaystyle\int_0^{+\infty} \exp\! \left( -\dfrac{2\, t}{\tau_{\text{éq}}} \right)\, dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : «<math>\;\color{transparent}{\Delta \mathcal{E}_{\text{tot}}}</math> }}<math>= -\dfrac{U^2}{R} \left[ -\dfrac{\tau_{\text{éq}}}{2}\, \exp\! \left( -\dfrac{2\, t}{\tau_{\text{éq}}} \right) \right]_0^{+\infty} = -\dfrac{U^2\, \tau_{\text{éq}}}{2\ R}\;</math>» soit, avec <math>\;\dfrac{\tau_{\text{éq}}}{R} = C_{\text{éq}} = \dfrac{C\, C'}{C + C'}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par calcul de l'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique et bilan d'énergie : }}«<math>\;\Delta \mathcal{E}_{\text{tot}} = -\dfrac{1}{2}\, \dfrac{C\, C'}{C + C'}\; U^2\;</math>»<ref> L'énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique en étant l'opposé.</ref>.}} == Adaptation d'impédance == {{Al|5}}Un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> est alimenté par un générateur de tension permanente de f.e.m. <math>\;E\;</math> et de résistance interne <math>\;r</math>. === Détermination de la résistance R du conducteur ohmique pour que la puissance calorifique que ce dernier consomme soit maximale === {{Al|5}}Calculer la résistance <math>\;R\;</math> du conducteur ohmique pour que la puissance calorifique <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}\;</math> consommée par le conducteur ohmique soit maximale <math>\;\big(</math>on réalise ainsi une <u>adaptation d'impédance</u><math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>adapter l'impédance</u><ref name="impédance"> La notion d'impédance sera vue dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_régime_sinusoïdal_forcé,_impédance_complexe#Introduction_:_transformation_du_“_lien_d'équation_différentielle_à_cœfficients_réels_constants_entre_tension_aux_bornes_d'un_D.P.L._et_intensité_de_courant_le_traversant_du_r.s.f._”_en_“_loi_d'Ohm_de_l'électricité_«_complexe_»_associée_au_r.s.f._”,_notion_d'«_impédance_complexe_du_D.P.L._utilisé_en_r.s.f._»|introduction : transformation du “ lien d'équation différentielle à coefficients réels constants entre tension aux bornes d'un D.P.L. et intensité de courant le traversant du r.s.f. ” en “ loi d'Ohm de l'électricité complexe associée au r.s.f. ”, notion d'impédance complexe du D.P.L utilisé en r.s.f.]] » dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », elle généralise dans ce régime la notion de résistance ; en régime permanent elle représente est une simple résistance.</ref> d'un circuit série composé d'un récepteur et d'un générateur consiste donc à déterminer la valeur de l'impédance<ref name="impédance" /> du récepteur<ref> Ici un simple conducteur ohmique.</ref> pour qu'il reçoive le maximum de puissance. {{Solution|contenu =[[File:Adaptation d'impédance en régime permanent.png|thumb|Circuit série en régime permanent pour adaptation d'impédance]] {{Al|5}}Le générateur de tension permanente modélisé par « une source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;E\;</math> en série avec un conducteur ohmique de résistance <math>\;r\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le générateur de tension permanente }}est fermé sur un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le générateur de tension permanente est fermé sur un conducteur ohmique de résistance <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> }}l'intensité traversant ce dernier se calcule par loi de Pouillet<ref name="Pouillet"> '''[[w:Claude_Pouillet|Claude Servais Mathias Pouillet]] (1790 - 1868)''' physicien et homme politique français, on lui doit essentiellement des travaux portant sur la compressibilité des gaz et sur les lois expérimentales relatives à l'intensité du courant électrique dans un circuit fermé <math>\;\big(</math>il sut préciser la notion de résistance électrique, montrer que les générateurs sont composés d'une force électromotrice pure et d'une résistance intérieure et il établit la loi qui porte son nom<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref name="loi de Pouillet"> La loi de Pouillet s'applique pour déterminer l'intensité du courant circulant dans un circuit série en régime permanent, elle résulte de l'application de la loi des mailles avec choix du sens <math>\;+\;</math> de f.e.m. dans le sens <math>\;+\;</math> du courant <math>\;\big(</math>en accord avec l'algébrisation habituelle<math>\big)\;</math> et s'énonce «<math>\;i = \dfrac{\sum\limits_k e_k}{\sum\limits_l r_l}\;</math>» <math>\;\big(</math>à retenir et à savoir utiliser sans hésitation<math>\big)</math>.</ref> «<math>\;I = \dfrac{E}{R + r}\;</math>» ; {{Al|5}}la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> se calcule alors selon <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R} = R\; I^2\;</math> soit finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R} = R\; \dfrac{E^2}{(R + r)^2}\;</math>»<ref> C.-à-d. une fonction continue du paramètre <math>\;R</math>, à valeurs positives au sens large, tendant vers zéro quand <math>\;R \rightarrow 0\;\text{ou}\;+\infty</math>, prenant donc une valeur maximale pour au moins une valeur du paramètre <math>\;R</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> }}cette dernière sera extrémale si <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{dR}(R) = 0\;</math> et la dérivée de <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}\;</math> par rapport à <math>\;R\;</math> donnant <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> cette dernière sera extrémale si }}<math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{dR}(R) = E^2\, \dfrac{(R + r)^2 - R\, 2\, (R + r)}{(R + r)^4} = E^2\, \dfrac{r - R}{(R + r)^3}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> cette dernière sera extrémale si <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{dR}(R)}\;</math> }}s'annule pour <math>\;R = r</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> }}vérifions qu'il s'agit bien d'un maximum en étudiant le signe de <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{dR}(R) = E^2\, \dfrac{r - R}{(R + r)^3}</math> : {{Al|5}}{{Transparent|la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> vérifions qu'il s'agit bien d'un maximum }}<math>\succ\;</math>quand <math>\;R \rightarrow 0</math>, <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{dR}(R) \rightarrow \dfrac{E^2}{r^2} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{dR}(R) > 0\;\; \forall\; R \in \left[ 0\; ;\, r \right[\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> vérifions qu'il s'agit bien d'un maximum }}<math>\succ\;</math>quand <math>\;R \rightarrow +\infty</math>, <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{dR}(R) \sim -\dfrac{E^2}{R^2} \rightarrow 0^{-}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{dR}(R) < 0\;\; \forall\; R \in \left] r\; ;\, +\infty \right[\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|la puissance consommée par le conducteur ohmique de résistance <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> }}on vérifie donc bien que «<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}\;</math> est maximale pour <math>\;R = r\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La puissance reçue par le récepteur ohmique est maximale à caractéristiques du générateur <math>\;(E,\, r)\;</math> fixées, si on choisit une résistance <math>\;R\;</math> de valeur égale à la résistance interne du générateur ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : La puissance reçue par le récepteur ohmique est maximale à caractéristiques du générateur <math>\;\color{transparent}{(E,\, r)}\;</math> fixées, }}on dit alors qu'il y a « <u>adaptation d'impédance</u> ».}} === Valeur de la puissance maximale reçue par le conducteur ohmique === {{Al|5}}Que vaut alors cette puissance maximale notée <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}</math> ? {{Al|5}}La comparer à celle dissipée dans le générateur c'est-à-dire dans sa partie résistive de résistance interne <math>\;r</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La puissance maximale vaut alors <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R} = \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}(r) = r\, \dfrac{E^2}{(r + r)^2}\;</math> soit finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R} = \dfrac{E^2}{4\, r}\;</math>» ; {{Al|5}}les résistances <math>\;r\;</math> et <math>\;R\;</math> ayant même valeur et l'intensité du courant les traversant étant la même, la puissance dissipée sous forme calorifique dans la partie résistive du générateur de résistance <math>\;r\;</math> est égale à celle consommée par la charge de résistance <math>\;R\;</math> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal dissipée dans }r} = \mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R} = \dfrac{E^2}{4\, r}\;</math>»<ref> Dans ces conditions la puissance électrique fournie par la source de tension se répartit de façon identique entre <math>\;R\;</math> et <math>\;r</math>, la puissance reçue par <math>\;R\;</math> étant celle qui nous intéresse <math>\;\big(</math>c'est pour cela que l'on cherche à la rendre maximale<math>\big)\;</math> et celle reçue par <math>\;r\;</math> étant transformée en puissance calorifique dissipée dans le générateur <math>\;\big(</math>donc à considérer comme perte malheureusement aussi maximale<math>\big)</math>.</ref>.}} === Tracé de la courbe représentant le rapport de la puissance consommée dans le conducteur ohmique sur la puissance maximale qui peut être consommée en fonction du rapport de la résistance du conducteur ohmique sur la résistance interne du générateur === {{Al|5}}Exprimer la puissance consommée réduite<ref name="réduite"> Qualifiée de réduite car rapportée à la valeur maximale de la puissance.</ref> <math>\;\dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}}\;</math> en fonction de <math>\;x = \dfrac{R}{r}\;</math> puis {{Al|5}}tracer sa courbe représentative en fonction de <math>\;x</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La puissance réduite<ref name="réduite" /> s'écrit «<math>\;\dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}} = \dfrac{R\, \dfrac{E^2}{(R + r)^2}}{\dfrac{E^2}{4\, r}} = \dfrac{4\,R\,r}{(R + r)^2} = \dfrac{4\,\dfrac{R}{r}}{\left( \dfrac{R}{r} + 1 \right)^{\!\!2}}\;</math>» ou, en posant <math>\;x = \dfrac{R}{r}</math>, «<math>\;\dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}} = \dfrac{4\, x}{(1 + x)^2}\;</math>». [[File:Adaptation d'impédance en régime permanent - bis.png|thumb|400px|Courbe de variation de la puissance réduite<ref name="réduite" />{{,}}<ref> C.-à-d. le rapport <math>\;\dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}}\;</math> simplement noté sur le diagramme <math>\;\dfrac{\mathcal{P}}{\mathcal{P}_{\text{max}}}</math>.</ref> consommée par la charge en fonction du rapport « résistance de charge sur résistance interne » dans un circuit série « générateur - charge résistive »]] {{Al|5}}La variation s'obtient par étude de «<math>\;\dfrac{d\! \left\lbrace \dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}} \right\rbrace}{dx} = \dfrac{(1 + x)^2 \times 4 - 4\,x \times 2\,(1 + x)}{(1 + x)^4} = \dfrac{4\,(1 + x) - 8\,x}{(1 + x)^3} = \dfrac{4\, (1 - x)}{(x + 1 )^3}\;</math>» ; {{Al|5}}on vérifie que <math>\;\dfrac{d\! \left\lbrace \dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}} \right\rbrace}{dx}(x)\;</math> s'annule pour <math>\;x = 1\;</math> et on détermine son signe selon ce qui suit : * si <math>\;x \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;1</math>, la dérivée est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}} \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;1\;</math> puis * si <math>\;x \nearrow\;</math> de <math>\;1\;</math> à <math>\;+\infty</math>, la dérivée est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}} \searrow\;</math> de <math>\;1\;</math> à <math>\;0</math>, {{Al|5}}d'où le graphe ci-contre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pouvait obtenir l'expression de la dérivée <math>\;\dfrac{d\! \left\lbrace \dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}} \right\rbrace}{dx}(x)\;</math> en se servant du calcul de la dérivée <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{dR}(R)\;</math> fait dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_stockage_et_dissipation_d'énergie#Détermination_de_la_résistance_R_du_conducteur_ohmique_pour_que_la_puissance_calorifique_que_ce_dernier_consomme_soit_maximale|détermination de la résistance R du conducteur ohmique pour que la puissance calorifique que ce dernier consomme soit maximale]] » plus haut dans cet exercice, cela donnait : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;\dfrac{d\! \left\lbrace \dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}} \right\rbrace}{dx} = \dfrac{1}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}}\;\dfrac{d \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{dR}\; \dfrac{dR}{dx}\;</math>» ou, avec <math>\;R = r\, x\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dR}{dx} = r\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d\! \left\lbrace \dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}} \right\rbrace}{dx} = \dfrac{1}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}}\;\dfrac{d \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{dR}\; \dfrac{dR}{dx}}\;</math>» ou, avec }}<math>\;\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R} = \dfrac{E^2}{4\, r}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}} = \dfrac{4\, r}{E^2}\;</math>» et «<math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{dR} = E^2\, \dfrac{r - R}{(R + r)^3}\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_stockage_et_dissipation_d'énergie#Détermination_de_la_résistance_R_du_conducteur_ohmique_pour_que_la_puissance_calorifique_que_ce_dernier_consomme_soit_maximale|détermination de la résistance R du conducteur ohmique pour que la puissance calorifique que ce dernier consomme soit maximale]] » plus haut dans l'exercice.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;\dfrac{d\! \left\lbrace \dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}} \right\rbrace}{dx} = \dfrac{4\,r}{E^2}\; E^2\,\dfrac{r - R}{(R + r)^3}\;r = \dfrac{4\, r^2\, (r - R)}{(R + r)^3}\;</math>» ou encore, en divisant par <math>\;r^3\;</math> haut et bas de façon à faire apparaître <math>\;x</math>, «<math>\;\dfrac{d\! \left\lbrace \dfrac{\mathcal{P}_{\text{cal}\, \rightarrow\,R}}{\mathcal{P}_{\text{cal max}\, \rightarrow\,R}} \right\rbrace}{dx}(x) = \dfrac{4\, (1 - x)}{(x + 1 )^3}\;</math>».}} == Montage potentiométrique, rendement en puissance == [[File:Montage potentiométrique.png|thumb|300px|Schéma d'un montage potentiométrique alimentant une charge résistive]] === Générateur de Thévenin du dipôle actif AA' === {{Al|5}}On réalise le montage représenté sur la figure ci-contre avec les valeurs numériques suivantes : <br>{{Al|5}}<math>\;E = 24\, V</math>, <math>\;R = 80\, \Omega</math>, <math>\;r_1\;</math> et <math>\;r_2\;</math> telles que leur somme soit constante égale à <math>\;r_1 + r_2 = R' = 1\, k \Omega</math>. {{Al|5}}Déterminer la f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin"> '''[[w:Léon_Charles_Thévenin|Léon Charles Thévenin]] (1857 - 1926)''' ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Thévenin|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1883</math>.</ref><math>\big)</math> «<math>\;\alpha\, E\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la résistance interne <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)</math> «<math>\;r_i\;</math>» du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D.L.A<ref name="R.D.L.A."> Réseau Dipolaire Linéaire Actif.</ref>. <math>\;AA'\;</math> <math>\big(</math>encadré en tiretés ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}Exprimer <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;r_i\;</math> en fonction de <math>\;r_1\;</math> et <math>\;r_2</math>. <br><br> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. <math>\;AA'\;</math> <math>\big(</math>voir encadré en tiretés ci-dessus<math>\big)\;</math> étant le R.D<ref name="R.D."> Réseau Dipolaire.</ref>. formé d'un P.D.T<ref name="P.D.T."> Pont Diviseur de Tension.</ref>. alimenté en entrée par la source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;E</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le R.D.L.A. <math>\;\color{transparent}{AA'}\;</math> }}est équivalent au générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> <math>\succ\;</math>de f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)</math> «<math>\;e_{\text{Th}} = \dfrac{r_1}{r_1 + r_2}\, E\;</math>»<ref name="générateur de Thévenin équivalent"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Générateur_de_Thévenin_équivalent_au_réseau_dipolaire_«_pont_diviseur_de_tension_alimenté_en_entrée_par_uE(t)_et_vu_des_bornes_de_sortie_»|générateur de Thévenin équivalent au réseau dipolaire “pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_E(t) et vu des bornes de sortie”]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit, «<math>\;e_{\text{Th}} = \alpha\, E\;</math> avec <math>\;\alpha = \dfrac{r_1}{r_1 + r_2}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le R.D.L.A. <math>\;\color{transparent}{AA'}\;</math> est équivalent au générateur de Thévenin }}<math>\succ\;</math>de résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<ref name="Thévenin" /><math>\big)</math> «<math>\;r_{\text{Th}} = \dfrac{r_1\, r_2}{r_1 + r_2}\;</math>»<ref name="générateur de Thévenin équivalent" /> soit, «<math>\;r_{\text{Th}} = r_i\;</math> avec <math>\;r_i = \dfrac{r_1\, r_2}{r_1 + r_2}\;</math>».}} === Puissance calorifique dissipée dans la charge ohmique de résistance R === {{Al|5}}En déduire la puissance calorifique <math>\;\mathcal{P}_2\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> en fonction de <math>\;E</math>, <math>\;\alpha</math>, <math>\;R'\;</math> et <math>\;R</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Bien sûr il est nécessaire de refaire un schéma en ayant substitué le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A." />. formé du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par la source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;E\;</math> par son modèle générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" />. {{Al|5}}La puissance <math>\;\mathcal{P}_2\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique de charge de résistance <math>\;R\;</math> s'évalue par «<math>\;\mathcal{P}_2 = R\, i_2^2\;</math>» avec <math>\;i_2\;</math> déterminée par loi de Pouillet<ref name="Pouillet" /> du circuit équivalent «<math>\;i_2 = \dfrac{e_{\text{Th}}}{r_{\text{Th}} + R} = \dfrac{\alpha\, E}{r_i + R}\;</math>»<ref name="loi de Pouillet" /> ; {{Al|5}}en reportant dans l'expression de <math>\;\mathcal{P}_2\;</math> on obtient «<math>\;\mathcal{P}_2 = R \left[ \dfrac{\alpha\, E}{r_i + R} \right]^2\;</math>» dans laquelle, d'après l'énoncé, il convient d'« éliminer <math>\;r_i\;</math> au profit de <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;R' = r_1 + r_2\;</math>» ; {{Al|1}}{{Transparent|en reportant dans l'expression de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_2}\;</math> on obtient «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_2 = R \left[ \dfrac{\alpha\, E}{r_i + R} \right]^2}\;</math>» dans laquelle, d'après l'énoncé, il convient d'« éliminer }}or <math>\;r_i = \dfrac{r_1\, r_2}{r_1 + r_2} = \alpha\, r_2\;</math><ref> En effet «<math>\;\alpha = \dfrac{r_1}{r_1 + r_2}\;</math>» voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_stockage_et_dissipation_d'énergie#Générateur_de_Thévenin_du_dipôle_actif_AA'|générateur de Thévenin du dipôle actif AA']] » plus haut dans l'exercice.</ref> <br>{{Al|1}}{{Transparent|en reportant dans l'expression de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_2}\;</math> on obtient «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_2 = R \left[ \dfrac{\alpha\, E}{r_i + R} \right]^2}\;</math>» dans laquelle, d'après l'énoncé, il convient d'« éliminer }}et <math>\;r_2 = R' - r_1\;</math> avec <math>\;r_1 = \alpha\, R'\;</math><ref name="r1 fonction de alpha et R'"> En effet <math>\;\alpha = \dfrac{r_1}{r_1 + r_2}\;</math> se réécrit <math>\;\alpha = \dfrac{r_1}{R'}\;</math> voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_stockage_et_dissipation_d'énergie#Générateur_de_Thévenin_du_dipôle_actif_AA'|générateur de Thévenin du dipôle actif AA']] » plus haut dans l'exercice <math>\Rightarrow</math> <math>\;r_1 = \alpha\, R'</math>.</ref> d'où <math>\;r_2 = R'\, (1 - \alpha)\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|en reportant dans l'expression de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_2}\;</math> on obtient «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_2 = R \left[ \dfrac{\alpha\, E}{r_i + R} \right]^2}\;</math>» dans laquelle, d'après l'énoncé, il convient d'« éliminer }}<math>\;r_i = \alpha\, (1 - \alpha)\, R'\;</math><ref name="i2 en fonction de alpha"> Bien que non nécessaire dans cette question, on peut en déduire l'expression de <math>\;i_2\;</math> en éliminant <math>\;r_i\;</math> ce qui donne «<math>\;i_2 = \dfrac{\alpha\, E}{\alpha\, (1 - \alpha)\, R' + R}\;</math>», cette expression étant utilisée dans la solution de la question suivante.</ref> ; finalement on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|en reportant dans l'expression de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_2}\;</math> on obtient }}«<math>\;\mathcal{P}_2 = R \left[ \dfrac{\alpha\, E}{\alpha\, (1 - \alpha)\, R' + R} \right]^2\;</math>».}} === Puissance électrique fournie par la source de tension de f.e.m. E === {{Al|5}}Exprimer la puissance électrique <math>\;\mathcal{P}_1\;</math> fournie par la source de tension de f.e.m. <math>\;E\;</math> en fonction de <math>\;E</math>, <math>\;\alpha</math>, <math>\;R'\;</math> et <math>\;R</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La puissance <math>\;\mathcal{P}_1\;</math> fournie par la source de tension du circuit d'origine s'évalue selon «<math>\;\mathcal{P}_1 = E\, i\;</math>» où <math>\;i\;</math> est l'intensité du courant qu'elle fournit ; {{Al|5}}il faut donc exprimer «<math>\;i\;</math>» en fonction des paramètres précisés dans l'énoncé et pour cela, on reconnaît un P.D.C<ref name="P.D.C."> Pont Diviseur de Courant.</ref>. en sortie court-circuitée <math>\;\big[i_2\;</math> étant l'intensité du courant de sortie court-circuitée du pont et <br>{{Al|10}}{{Transparent|il faut donc exprimer «<math>\;\color{transparent}{i}\;</math>» en fonction des paramètres précisés dans l'énoncé et pour cela, on reconnaît un P.D.C. en sortie court-circuitée <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\;i\;</math> celle du courant d'entrée<ref> L'intensité du courant qui arrive par <math>\;r_2\;</math> au nœud d'où partent les branches <math>\;r_1\;</math> et <math>\;R\;</math> est effectivement <math>\;i\;</math> et c'est l'intensité du courant d'entrée du P.D.C. <math>\;\big(</math>pont diviseur de courant<math>\big)\;</math> en sortie court-circuitée.</ref><math>\big]\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|il faut donc exprimer «<math>\;\color{transparent}{i}\;</math>» en fonction des paramètres précisés dans l'énoncé et pour cela, on reconnaît un P.D.C. en sortie court-circuitée }}«<math>\;i_2 = \dfrac{r_1}{r_1 + R}\, i\;</math>»<ref name="P.D.C. en sortie court-circuitée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Cas_particulier_très_important_du_réseau_dipolaire_«_pont_diviseur_de_courant_alimenté_en_entrée_par_iE(t)_et_en_sortie_court-circuitée_»|cas particulier très important du réseau dipolaire pont diviseur de courant alimenté en entrée par i_E(t) et en sortie court-circuitée]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> d'où «<math>\;i = \dfrac{r_1 + R}{r_1}\, i_2 = \dfrac{\alpha\, R' + R}{\alpha\, R'}\, i_2\;</math>»<ref name="r1 fonction de alpha et R'" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il faut donc exprimer }}ce qui donne, avec l'expression de <math>\;i_2\;</math> en fonction de <math>\;\alpha\;</math> établie dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Circuits_lin%C3%A9aires_du_premier_ordre_:_stockage_et_dissipation_d%27%C3%A9nergie#cite_note-i2_en_fonction_de_alpha-44|⁴⁴]] » plus haut dans cet exercice à savoir <math>\;i_2 = \dfrac{\alpha\, E}{\alpha\, (1 - \alpha)\, R' + R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il faut donc exprimer }}«<math>\;i = \dfrac{\alpha\, R' + R}{\alpha\, R'}\, \dfrac{\alpha\, E}{\alpha\, (1 - \alpha)\, R' + R} = \dfrac{\alpha\, R' + R}{\alpha\, (1 - \alpha)\, R' + R}\, \dfrac{E}{R'}\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_1}\;</math> fournie par la source de tension du circuit d'origine s'évalue selon }}«<math>\;\mathcal{P}_1 = \dfrac{\alpha\, R' + R}{\alpha\, (1 - \alpha)\, R' + R}\, \dfrac{E^2}{R'}\;</math>».}} === Rendement en puissance du circuit === {{Al|5}}En déduire le rendement en puissance du circuit <math>\;\eta = \dfrac{\mathcal{P}_2}{\mathcal{P}_1}\;</math> en fonction de <math>\;\alpha</math>, <math>\;R'\;</math> et <math>\;R</math>. {{Al|5}}A.N<ref name="A.N."> Application Numérique.</ref>. : Calculer le rendement <math>\;\eta\;</math> pour <math>\;\alpha = \dfrac{3}{4}</math>. {{Al|11}}{{Transparent|A.N. : }}Que pensez vous de la valeur obtenue ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}Le rendement en puissance du circuit <math>\;\eta = \dfrac{\mathcal{P}_2}{\mathcal{P}_1}\;</math> s'évalue selon <math>\;\eta = \dfrac{R \left[ \dfrac{\alpha\, E}{\alpha\, (1 - \alpha)\, R' + R} \right]^2}{\dfrac{\alpha\, R' + R}{\alpha\, (1 - \alpha)\, R' + R}\, \dfrac{E^2}{R'}}\;</math> soit finalement, après simplification, «<math>\;\eta = \dfrac{\alpha^2\, R\, R'}{\left[ \alpha\, (1 - \alpha)\, R' + R \right] \left( \alpha\, R' + R \right)}\;</math>». {{Al|5}}<u>A.N.</u> : Calcul du rendement <math>\;\eta\;</math> pour <math>\;\alpha = \dfrac{3}{4}\;</math> avec les valeurs de résistances suivantes <math>\;R = 80\, \Omega\;</math> et <math>\;R' = 1\, k \Omega</math> : {{Al|5}}{{Transparent|A.N. : }}<math>\;\eta = \dfrac{0,75^2 \times 80 \times 10^3}{\left[ 0,75 \times (1 - 0,75) \times 10^3 + 80 \right] \left( 0,75 \times 10^3 + 80 \right)}\;</math> soit «<math>\;\eta \simeq 20,27\, \%\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|A.N. : }}Le rendement est <u>très faible</u>, correspondant à un effet Joule<ref name="Joule"> '''[[w:James_Prescott_Joule|James Prescott Joule]] (1818 - 1889)''' physicien anglais à qui on doit une étude sur la nature de la chaleur et son lien avec le travail mécanique ainsi qu'une relation entre l'intensité du courant électrique traversant un conducteur ohmique et la chaleur dissipée dans ce dernier ; il a également travaillé avec le physicien britannique d'origine irlandaise '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|William Thomson]] (1824 - 1907)''' {{Nobr|<math>\;\big[</math>encore}} connu sous le nom de '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|Lord Kelvin]]'''<math>\big]\;</math> pour développer l'échelle absolue de température et a étudié la [[w:Magnétostriction|magnétostriction]] <math>\;\big(</math>propriété que possèdent les [[w:Ferromagnétisme#Matériaux_ferromagnétiques|matériaux ferromagnétiques]] de se déformer en fonction de l'orientation de leur aimantation, par exemple sous l'influence d'un champ magnétique<math>\big)</math>.</ref> dans le potentiomètre très important <math>\;\big(</math>il est prédominant car il représente <math>\;79,73\, \%\big)</math>.}} == Moteur en régime permanent, fonctionnement stable == [[File:Moteur en régime permanent.png|thumb|250px|Schéma de circuit d'alimentation d'un moteur par une source idéale de tension permanente, la f.c.e.m. du moteur étant <math>\;\propto\;</math> à sa vitesse angulaire de rotation]] {{Al|5}}On schématise <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)\;</math> un moteur par un conducteur ohmique de résistance <math>\;R = 10\, \Omega\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On schématise <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> un moteur par }}une f.c.e.m. <math>\;e' = k\, \omega\;</math> <math>\big(\omega\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du moteur<math>\big)</math>. {{Al|5}}{{Transparent|On schématise <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}Ce moteur fournit une puissance mécanique notée <math>\;\mathcal{P}_m</math>. === Étude de la variation de la puissance mécanique fournie par le moteur === ==== En fonction de l'intensité I du courant traversant le moteur ==== {{Al|5}}Faire un bilan de puissance et {{Al|5}}en déduire <math>\;\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(I)</math>, puis {{Al|5}}tracer son graphe. <br><br><br><br> {{Solution|contenu = [[File:Moteur en régime permanent - bis.png|thumb|300px|Diagramme de la puissance mécanique fournie par le moteur en fonction de l'intensité du courant délivré par une source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;E = 100\, V</math>, la résistance interne du moteur étant <math>\;R = 10\, \Omega</math>]] {{Al|5}}La puissance électrique fournie par le générateur <math>\;\mathcal{P}_{e,\,f\, \text{par géné}} = E\, I\;</math> se retrouve dans le moteur sous forme mécanique <math>\;\mathcal{P}_{m,\, \text{dispo dans mot}} = e'\, I\;</math><ref> C'est cette puissance qui est demandée et qui est simplement notée <math>\;\mathcal{P}_m</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance électrique fournie par le générateur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{e,\,f\, \text{par géné}} = E\, I}\;</math> se retrouve dans le moteur }}sous forme calorifique <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal dissip dans }R} = R\, I^2\;</math><ref name="présence de partie résistive dans le circuit" /> <br>{{Al|5}}soit le bilan de puissance suivant «<math>\;\mathcal{P}_{e,\,f\, \text{par géné}} = \mathcal{P}_{m,\, \text{dispo dans mot}} + \mathcal{P}_{\text{cal dissip dans }R}\;</math>» ou encore «<math>\;E\, I = \mathcal{P}_m + R\, I^2\;</math>» ; on en déduit donc <center>«<math>\;\mathcal{P}_m = (E - R\, I)\, I\;</math>» <br>soit numériquement <br>«<math>\;\mathcal{P}_m = (100 - 10\, I)\, I\;</math>» ; </center> {{Al|5}}le graphe de la puissance mécanique fournie par le moteur en fonction de l'intensité du courant délivré par la source <br>{{Al|5}}{{Transparent|le graphe }}est donc une parabole dont la concavité est tournée vers les <math>\;\mathcal{P}_m < 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le graphe est donc une parabole }}passant par les points <math>\;(0,\, 0)\;</math> et <math>\;(10,\, 0)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le graphe est donc une parabole }}l'axe de symétrie correspondant à <math>\;I = 5\, A\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le graphe est donc une parabole }}le sommet ayant une ordonnée <math>\;\mathcal{P}_{\text{max}} = 250\, W\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le graphe est donc une parabole }}voir le tracé ci-contre.}} ==== En fonction de la vitesse angulaire ω de rotation du moteur ==== {{Al|5}}De l'équation électrique, déterminer le lien entre <math>\;\omega\;</math> et <math>\;I</math>, {{Al|5}}en déduire <math>\;\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(\omega)</math>, puis {{Al|5}}tracer son graphe. {{Solution|contenu = [[File:Moteur en régime permanent - ter.png|thumb|300px|Diagramme de la puissance mécanique fournie par le moteur en fonction de sa vitesse angulaire de rotation <math>\;\omega</math>, la f.c.e.m. du moteur étant <math>\;e' = k\, \omega</math>, sa résistance interne <math>\;R = 10\, \Omega\;</math> et la source de tension parfaite l'alimentant de f.e.m. <math>\;E = 100\, V</math>]] {{Al|5}}L'équation électrique s'écrivant «<math>\;E = R\, I + e'\;</math>»<ref> Obtenue par loi de maille mais pouvant être aussi obtenue par bilan de puissance suivie de la division par <math>\;I</math>.</ref> avec «<math>\;e' = k\, \omega\;</math>», on en tire l'intensité du courant en fonction, entre autres, de la f.c.e.m. du moteur soit <center>«<math>\;I = \dfrac{E - e'}{R} = \dfrac{E - k\, \omega}{R}\;</math>» soit numériquement <br>«<math>\;I = \dfrac{100 - k\, \omega}{10}\;</math>» ou encore «<math>\;I = 10 - 0,1\, k\, \omega\;</math>».</center> {{Al|5}}On reporte alors <math>\;I = I(\omega)\;</math> dans l'expression de la puissance mécanique «<math>\;\mathcal{P}_m = e'\, I = k\,\omega\;I\;</math>» d'où <center>«<math>\;\mathcal{P}_m = k\, \omega\, (10 - 0,1\, k\, \omega)\;</math>» soit encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_m = 0,1\, k\, \omega\, (100 - k\, \omega)\;</math>»</center> {{Al|5}}le graphe de la puissance mécanique fournie par le moteur en fonction de la vitesse angulaire de rotation de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|le graphe }}est une parabole dont la concavité est tournée vers les <math>\;\mathcal{P}_m < 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le graphe est une parabole }}passant par les points <math>\;(0,\, 0)\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{100}{k},\, 0 \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le graphe est une parabole }}l'axe de symétrie correspondant à <math>\;\omega = \dfrac{50}{k}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le graphe est une parabole }}le sommet ayant une ordonnée <math>\;\mathcal{P}_{\text{max}} = 250\, W\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le graphe est une parabole }}voir le tracé ci-contre.}} === Stabilité de fonctionnement du moteur === {{Al|5}}Pour <math>\;\mathcal{P}_m = 160\, W</math>, calculer les valeurs de <math>\;I\;</math> possibles ; {{Al|5}}le fonctionnement du moteur étant stable si <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}(\omega) < 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le fonctionnement du moteur étant }}instable si <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}(\omega) > 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|le fonctionnement du moteur étant stable }}pour quelle valeur de <math>\;I\;</math> précédemment calculée, le moteur a-t-il un fonctionnement stable ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}Pour <math>\;\mathcal{P}_m = 160\, W</math>, il y a deux intersections avec la parabole <math>\;\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(I)\;</math> située de part et d'autre de l'axe de symétrie que l'on peut déterminer <math>\succ\;</math>graphiquement ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_m = 160\, W}</math>, il y a deux intersections avec la parabole <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(I)}\;</math> située de part et d'autre de l'axe de symétrie que l'on peut déterminer }}<math>\succ\;</math>algébriquement par résolution de l'équation du 2^ème degré <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_m = 160\, W}</math>, il y a deux intersections avec la parabole <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(I)}\;</math> située de part et d'autre de l'axe de symétrie que l'on peut déterminer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>algébriquement par résolution de }}«<math>\;(100 - 10\, I)\, I = 160\;</math>» <br>{{Al|30}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_m = 160\, W}</math>, il y a deux intersections avec la parabole <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(I)}\;</math> située de part et d'autre de l'axe de symétrie que l'on peut déterminer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>algébriquement par résolution de }}<math>\Updownarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_m = 160\, W}</math>, il y a deux intersections avec la parabole <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(I)}\;</math> située de part et d'autre de l'axe de symétrie que l'on peut déterminer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>algébriquement par résolution de }}«<math>\;I^2 - 10\, I + 16 = 0\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_m = 160\, W}</math>, il y a deux intersections avec la parabole <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(I)}\;</math> située de part et d'autre de l'axe de symétrie que l'on peut déterminer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> }}les solutions trouvées sont alors «<math>\;I_1 = 2\, A\;</math> et <math>\;I_2 = 8\, A\;</math>». {{Al|5}}Un fonctionnement stable étant défini par <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}(\omega) < 0</math>, cherchons la condition de stabilité portant sur <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d I}(I)\;</math> par utilisation du lien avec <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}(\omega)\;</math> à savoir <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d I} = \dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}\, \dfrac{d \omega}{d I}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un fonctionnement stable étant défini par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}(\omega) < 0}</math>, cherchons la condition de stabilité portant sur <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d I}(I)}\;</math> }}or <math>\;\dfrac{d I}{d \omega}\;</math> s'obtenant en dérivant <math>\;I = 10 - 0,1\, k\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d I}{d \omega} = - 0,1\, k\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d \omega}{d I} = - \dfrac{10}{k} < 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un fonctionnement stable étant défini par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}(\omega) < 0}</math>, }}nous en déduisons que la condition de stabilité <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}(\omega) < 0\;</math> se réécrit «<math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d I}(I) > 0\;</math>» ; {{Al|5}}appliqué à la puissance de <math>\;160\, W</math>, le fonctionnement stable correspond à <math>\;I_1 = 2\, A\;</math> compte-tenu de la concavité de la parabole <math>\;\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(I)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|appliqué à la puissance de <math>\;\color{transparent}{160\, W}</math>, le fonctionnement stable correspond à <math>\;\color{transparent}{I_1 = 2\, A}\;</math> compte-tenu }}du fait que la pente de la tangente en la parabole doit y être positive ; {{Al|5}}en résumé, <math>\succ\;</math>si <math>\;I_1 = 2\, A</math>, <math>\;\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(I)\;</math> est localement <math>\;\nearrow\;</math> et simultanément <math>\;\omega_1 = \dfrac{80}{k}\;</math> avec <math>\;\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(\omega)\;</math> localement <math>\;\searrow\;</math> d'où la stabilité mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|en résumé, }}<math>\succ\;</math>si <math>\;I_2 = 8\, A</math>, <math>\;\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(I)\;</math> est localement <math>\searrow\;</math> et simultanément <math>\;\omega_2 = \dfrac{20}{k}\;</math> avec <math>\;\mathcal{P}_m = \mathcal{P}_m(\omega)\;</math> localement <math>\;\nearrow\;</math> d'où l'instabilité. {{Al|5}}<u>Justification de la condition de stabilité</u> : En régime permanent, la puissance mécanique motrice <math>\;\mathcal{P}_m\;</math> développée par le moteur compense intégralement la puissance résistive fournie par l'extérieur au moteur <math>\;\big[</math>en effet le régime permanent signifiant <math>\;\omega = cste</math>, la rotation ne serait pas uniforme si cette puissance motrice fournie par le moteur n'était pas intégralement compensée par une puissance résistive créée par l'action que l'opérateur cherche à faire<math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Justification de la condition de stabilité : }}prenant l'exemple d'une lame de scie circulaire entraînée par le moteur électrique utilisée pour découper un morceau de bois<ref> Dans ce cas il faut appuyer la lame sur le bois et le bois réagit en s'opposant à la rotation de la lame, le bois fournit donc à la lame une puissance résistive laquelle doit être exactement opposée à la puissance motrice que le moteur fournit à la lame pour que celle-ci tourne à vitesse constante.</ref> et faisons l'hypothèse dans un 1^er temps que la rotation de la lame circulaire « s'emballe »<ref> La raison de l'emballement étant que l'on appuie moins avec la lame sur le morceau de bois que l'on cherche à découper <math>\Rightarrow</math> <math>\;\omega \nearrow</math>.</ref> puis dans un 2^ème temps qu'elle ralentit par appui trop fort du morceau de bois sur la lame ; {{Al|5}}{{Transparent|Justification de la condition de stabilité : }}<math>\;\succ\;</math> avec <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}(\omega) < 0</math>, la <math>\;\nearrow\;</math> accidentelle ou voulue de <math>\;\omega\;</math> <math>\big(</math>due à la lame qui s'emballe<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> une <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\mathcal{P}_m</math>, c'est-à-dire que la puissance mécanique utilisable qui était excédentaire du fait du relâchement sur le morceau de bois <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'il y ait une nouvelle compensation de la puissance résistive ayant volontairement ou accidentellement diminué correspondant à <math>\;\mathcal{P}_m\;</math> {{Nobr|<math>\big[</math>devenue}} plus faible<math>\big]\;</math> intégralement utilisée pour la découpe plus "paresseuse" du morceau de bois<ref> Si l'on ne souhaitait pas de relâchement et que l'on s'en soit rendu compte <math>\;\big[</math>par exemple en observant une augmentation de vitesse angulaire de la lame<math>\big]</math>, on appuie alors de façon plus forte la lame de scie sur le morceau de bois <math>\Rightarrow</math> la puissance résistive que ce dernier exerce sur la lame est de valeur absolue plus grande que la puissance mécanique que fournit le moteur et par suite <math>\;\omega \searrow</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Justification de la condition de stabilité : }}<math>\;\succ\;</math> avec <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}(\omega) < 0</math>, la <math>\;\searrow\;</math> accidentelle ou voulue de <math>\;\omega\;</math> <math>\big(</math>due à un appui plus important du morceau de bois sur la lame<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> une <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\mathcal{P}_m</math>, c'est-à-dire que la puissance mécanique utilisable qui était en défaut du fait de l'appui plus intense <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'il y ait une nouvelle compensation de la puissance résistive ayant volontairement ou accidentellement augmenté correspondant à <math>\;\mathcal{P}_m\;\big[</math>devenue plus grande<math>\big]\;</math> intégralement utilisée pour la découpe plus "agressive" du morceau de bois ; {{Al|5}}{{Transparent|Justification de la condition de stabilité : }}<math>\;\succ\;</math> au contraire avec <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}(\omega) > 0</math>, dans le cas où la rotation de la lame circulaire s'emballerait pour la raison que l'on appuie moins avec la lame sur le morceau de bois que l'on cherche à découper, correspondant à <math>\;\omega \nearrow</math>, la <math>\;\nearrow\;</math> accidentelle ou voulue de <math>\;\omega\;</math> entraînerait une <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\mathcal{P}_m</math>, c'est-à-dire que la puissance mécanique utilisable, excédentaire du fait du relâchement sur le morceau de bois, continuerait de <math>\;\nearrow\;</math> et serait de plus en plus excédentaire avec absence de nouvelle compensation<ref> <math>\;\omega\;</math> <math>\nearrow</math>, si on relâchait brusquement l'appui du morceau de bois ou si on appuyait de moins en moins, ce réflexe entraînerait une poursuite de la croissance de <math>\;\omega\;</math> <math>\big[</math>correspondant effectivement à une instabilité du fonctionnement du moteur<math>\big]\;</math> qui atteindrait la vitesse angulaire <math>\;\dfrac{50}{k}\;</math> associée à une puissance mécanique maximale et poursuivrait vers la zone de stabilité <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}(\omega) < 0</math>, dans laquelle la puissance mécanique serait <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à une nouvelle compensation correspondant à <math>\;\mathcal{P}_m\;</math> nécessaire à la découpe plus "paresseuse" du morceau de bois ou à l'arrêt du moteur si on avait relâché l'appui.</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Justification de la condition de stabilité : }}<math>\;\succ\;</math>{{Transparent|au contraire }}avec <math>\;\dfrac{d \mathcal{P}_m}{d \omega}(\omega) > 0</math>, dans le cas où la rotation de la lame circulaire ralentirait pour la raison que l'on appuie plus avec la lame sur le morceau de bois que l'on cherche à découper correspondant à <math>\;\omega \searrow</math>, la <math>\;\searrow\;</math> accidentelle ou voulue de <math>\;\omega\;</math> entraînerait une <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\mathcal{P}_m</math>, c'est-à-dire que la puissance mécanique utilisable, qui était en défaut du fait de l'appui plus intense, continuerait de <math>\;\searrow\;</math> et serait de plus en plus déficitaire avec absence de nouvelle compensation et ceci jusqu'à l'arrêt du moteur dans l'hypothèse où l'intensité de l'appui sur le morceau de bois resterait la même.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon|Circuits lin. du 1^er ordre : régime libre et réponse à un échelon]] | suivant = [[../Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux|Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillat. mécan. amort. par frott. visqu.]] }} pqf6l9urnb8xzdsf1e67w70xgmdvwhu 0 68726 982868 978564 2026-05-16T18:55:22Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982868 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 23 | niveau = 14 | précédent = [[../Portrait de phase d'un système dynamique/]] | suivant = [[../Barycentre d'un système de points/]] }} {{Al|5}}La transformation de Laplace a été nommée ainsi en l'honneur de '''[[w:Pierre-Simon_de_Laplace|Pierre-Simon Laplace]]'''<ref name="Laplace"> '''[[w:Pierre-Simon_de_Laplace|Pierre-Simon Laplace]] (1749 - 1827)''' mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la [[w:Théorie_des_probabilités|théorie des probabilités]] ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'[[w:Adhésion_capillaire|attraction capillaire]] <math>\;\big(</math>expliquant ce qui se passe dans les [[w:Tube_capillaire|tubes capillaires]] ou dans les bulles d'air d'un liquide<math>\big)\;</math> ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de '''[[w:Isaac_Newton|Newton]]''' sur la vitesse du son sous-estime cette dernière. <br>{{Al|3}}'''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] <math>\;\big(</math>partagée de façon plus ou moins indépendante avec '''[[w:Gottfried_Leibniz|Gottfried Leibniz]]'''<math>\big)</math> ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Gottfried_Leibniz|Gottfried Leibniz]] (1646 - 1716)''' entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]]}} et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]<math>\big)\;</math> dont la paternité doit être partagée avec '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]]'''.</ref> pour son utilisation dans la [[w:Théorie_des_probabilités|théorie des probabilités]] qu'il a initiée, mais elle fut découverte par '''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]]'''<ref name="Euler"> '''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]], en optique et en astronomie.</ref>. == Transformée (monolatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle d'une variable réelle == {{Al|5}}Soit une fonction réelle <math>\;f\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math> ayant les propriétés suivantes : * « les valeurs de la fonction sont nulles pour <math>\;t < 0\;</math>»<ref name="support positif au sens large"> Le support d'une fonction numérique étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, la fonction est ici dite « à support positif » <math>\;\big(</math>a priori il s'agit de positif au sens large<math>\big)</math>.</ref> <math>\big(</math>la fonction est alors qualifiée de « causale »<ref name="causale"> En supposant que la fonction traduise les effets d'une cause qui ce serait produite à l'instant <math>\;t = 0</math>, les effets ne pouvant se produire qu'à un instant postérieur à l'instant de la création de la cause, les valeurs de la fonction pour tout <math>\;t < 0\;</math> sont alors effectivement nulles ; par généralisation on maintient le qualificatif « causal » même si la fonction ne traduit pas les effets d'une cause.</ref><math>\big)</math>, * « la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle <math>\;\left] 0\,;\,t_0 \right]\;</math>»<ref name="t0 quelconque positif"> <math>\;t_0\;</math> étant un réel quelconque <math>\;> 0</math>.</ref>{{,}}<ref name="non nécessairement définie pour 0"> Elle n'est donc pas nécessairement définie pour <math>\;t = 0</math>.</ref>, * « au voisinage de <math>\;t = 0</math>, <math>\;\exist\; \gamma \in \left ] 0\,; 1\right[\;</math> tels que <math>\;\lim\limits_{t\, \rightarrow\, 0} \left[ t^\gamma \;\vert f(t) \vert \right] = 0\;</math>»<ref> Ainsi <math>\;f(0^{+})\;</math> peut être fini, ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ainsi }}<math>\;f(t)\;</math> n'avoir aucune limite quand <math>\;t \rightarrow 0^{+}\;</math> en restant de valeur absolue bornée <math>\;\Big[</math>comme <math>\;\sin\!\left( \dfrac{A}{t} \right)\Big]\;</math> ou même <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ainsi <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}avoir une limite infinie à condition que son équivalent soit de la forme <math>\;\dfrac{A}{t^{\gamma'}}\;</math> avec <math>\;\gamma' < \gamma\;</math> tous deux <math>\;\in \left] 0\,,\,1 \right[</math>.</ref> et * « la fonction est “ d'ordre exponentiel <math>\;\alpha\;</math>” avec <math>\;\alpha\, \in\, \mathbb{R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace\;</math>» <br>{{Transparent|« la fonction est “ d'ordre expo }}<math>\Updownarrow</math> <br>{{Al|1}}«<math>\;\exist\; M > 0\;</math> tels que <math>\;\forall\, \beta\, \geqslant\, \alpha,\;\;\vert \exp\! \left( -\beta\;t \right)\;f(t) \vert < M,\;\;\forall\, t > \tau\;</math> et <math>\;\forall\,\tau > 0\;</math>»<ref> C.-à-d. que la fonction <math>\;\vert f(t) \vert\;</math> est majorée par <math>\;M\;\exp\! \left( \beta\;t \right)\;\;\forall\, \beta\, \geqslant\, \alpha\;</math> et <math>\;\forall\,t\, >\, 0</math>.</ref>. === Définition de la transformée (monolatérale) de Laplace de la fonction f(t) ci-dessus === {{Définition| contenu = {{Al|5}}La transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la fonction <math>\;f(t)</math> « causale »<ref name="causale" />{{,}}<ref name="support positif"> C.-à-d. à support positif <math>\;\big(</math>voir précision dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-support_positif_au_sens_large-3|³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de la fonction <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math> }}« continue par morceaux sur tout intervalle <math>\;\left] 0\,;\,t_0 \right]\;</math>»<ref name="t0 quelconque positif" />, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de la fonction <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math> }}« intégrable au <math>\;\mathcal{V}(0)\;</math>»<ref name="intégrable au voisinage de 0"> C.-à-d. au voisinage de <math>\;0</math>, la « condition d'existence de <math>\;\displaystyle\int_0^\varepsilon f(t)\;dt\;</math> <math>\;\big[\varepsilon\;\in\;\mathcal{V}(0)\big]\;</math>» est «<math>\;\exist\; \gamma\, \in\, \left ] 0\,; 1\right[\;</math> tels que <math>\;\lim\limits_{t\, \rightarrow\, 0} \left[ t^\gamma \;\vert f(t) \vert \right] = 0\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on en conclut, par exemple, qu'il n'existe pas de transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace de la fonction <math>\;f(t) = \dfrac{1}{t}\;</math> puisqu'elle ne respecte pas cette condition.</ref> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de la fonction <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math> }}« d'ordre exponentiel <math>\;\alpha\;</math>»<ref> Un exemple de fonction ne respectant pas cette condition est <math>\;f(t) = \exp(t^2)</math> <math>\;\big[</math>en effet <math>\;\forall\, \beta</math>, <math>\;\exp\! \left( -\beta\;t \right)\;\exp(t^2) \rightarrow +\infty\;</math> quand <math>\;t \rightarrow +\infty\;</math> n'est donc pas majorable<math>\big]</math>, on en conclut qu'il n'existe pas de transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace de la fonction <math>\;f(t) = \exp(t^2)</math>.</ref> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de la fonction <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math> }}est la fonction <math>\;F\;</math> de la variable complexe <math>\;p\;</math><ref name="p non souligné"> Bien que <math>\;p\;</math> soit complexe, l'usage veut qu'on ne l'écrive pas <math>\;\underline{p}\;</math> pour simplifier l'écriture.</ref> définie par <center>«<math>\;F(p) = \mathcal{L}\!\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>définie pour «<math>\;p \in \mathbb{C}\;</math> tel que <math>\;\Re(p) > \alpha\;</math>», <math>\;\alpha\;</math> étant appelée l'« abscisse de convergence » ;<br>on dit encore que <math>\;F(p)\;</math> est l'« image de <math>\;f(t)\;</math>» par transformation de Laplace<ref name="Laplace" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> d'une fonction à support positif<ref name="condition d'existence de transformée de Laplace"> Sous condition d'existence de transformée de Laplace.</ref> à celle <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}d'une fonction à support positif étendu à gauche de <math>\;0\;</math> c'est-à-dire de support <math>\;\left[ 0\,,\, +\infty \right[\; \cup\; \mathcal{V}(0^{-})\;</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\mathcal{V}(0^{-})\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de <math>\;\color{transparent}{0}\;</math> }}un voisinage ouvert à gauche de <math>\;0</math>, borné inférieurement, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de <math>\;\color{transparent}{0}\;</math> }}telle que la restriction de la fonction à <math>\;\left[ 0\,,\, +\infty \right[^{\,C}\;</math><ref name="complémentaire d'une partie d'un ensemble"> Le [[w:Complémentaire_(théorie_des_ensembles)|complémentaire]] d'une partie <math>\;A\;</math> d'un ensemble <math>\;E\;</math> est constitué de tous les éléments de <math>\;E\;</math> n'appartenant pas à <math>\;A</math>, ici il est noté <math>\;A^{\,C}</math>.</ref> dans <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de <math>\;\color{transparent}{0}\;</math> }}<math>\;\mathcal{V}(0^{-})\;</math><ref name="complémentaire particulier"> Le [[w:Complémentaire_(théorie_des_ensembles)|complémentaire]] de <math>\;\left[ 0\,,\, +\infty \right[\;</math> étant <math>\;\left] -\infty\,,\, 0 \right[\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}</math>, se limite, dans <math>\;\mathcal{V}(0^{-})</math>, à <math>\;\mathcal{V}(0^{-})</math> privé de <math>\;0</math>.</ref> est une fonction indéfiniment dérivable<ref name="f(0-) différent de 0"> Alors que <math>\;f(0^{-}) = 0\;</math> pour une fonction <math>\;f\;</math> à support positif, pour une fonction <math>\;f\;</math> à support <math>\;\left[ 0\,,\, +\infty \right[\; \cup\; \mathcal{V}(0^{-})</math>, <math>\;f(0^{-}) \neq 0</math>.</ref><math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] <math>\;\big(</math>telle que l'intégrale de définition<ref name="sens des distributions"> Au sens des distributions.</ref> de sa transformée de Laplace<ref name="Laplace" /> converge<ref name="convergence de transformée de Laplace d'une distribution"> Ceci nécessitant que <math>\;\exp\! \left( -\beta\;t \right)\;f(t)\;</math> où <math>\;f(t)\;</math> est la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] et <math>\;\beta\;</math> un réel quelconque <math>\;\geqslant \alpha\;</math> soit une [[w:Distribution_tempérée#Exemples_de_distributions_tempérées|distribution tempérée]] ^{niveau BAC + 3} comme par exemple une [[w:Distribution_tempérée#Distributions_à_support_compact|distribution à support compact]] <math>\;\big(</math>le support d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] étant le plus petit fermé en dehors duquel la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] est nulle, ce support est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}par exemple le [[w:Distribution_de_Dirac#Introduction_formelle|pic de Dirac]] d'impulsion unité <math>\;\delta(t)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> a pour support le singleton <math>\;\left\lbrace 0 \right\rbrace</math>, évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, et <br>{{Al|3}}{{Transparent|par exemple }}la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] <math>\;\exp\! \left( -\beta\;t \right)\;\delta(t)\;</math> a également pour support le singleton <math>\;\left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> évidemment compact et ceci pour tout <math>\;\beta \in \mathbb{R}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|par exemple }}on peut donc définir la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace du [[w:Distribution_de_Dirac#Introduction_formelle|pic de Dirac]] d'impulsion unité, son abscisse de convergence <math>\;\alpha\;</math> étant <math>\;-\infty</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-Dirac-22|²²]] » plus loin dans ce chapitre pour plus de détails. <br>{{Al|3}}'''[[w:Olivier_Heaviside|Oliver Heaviside]] (1850 - 1925)''' physicien britannique autodidacte, voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-Heaviside-20|²⁰]] » plus loin dans ce chapitre pour plus de détails.</ref><math>\big)</math>. === Premiers exemples de transformée (monolatérale) de Laplace de quelques fonctions ou distributions usuelles === * « Fonction de Heaviside<ref name="Heaviside"> '''[[w:Olivier_Heaviside|Oliver Heaviside]] (1850 - 1925)''' physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphie, développé de façon intuitive le [[w:Calcul_opérationnel|calcul opérationnel]] pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom <math>\;\big(</math>encore appelée échelon ou marche<math>\big)\;</math> utilisée dans l'étude de systèmes en [[w:Automatique|automatique]].</ref> <math>\;\big(</math>ou échelon unité<math>\big)</math> <math>\;Y(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1\;\text{si}\;t > 0\\ 0\;\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace Y(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{p}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="abscisse de convergence de Y(t)"> L'abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la fonction de Heaviside étant <math>\;\alpha = 0</math>.</ref> en effet le calcul conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Fonction de Heaviside <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou échelon unité<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{Y(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1\;\text{si}\;t > 0\\ 0\;\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace Y(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;Y(t)\;dt = \displaystyle\int_{0^{+}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;dt = \left[ \dfrac{\exp(-p\,t)}{-p} \right]_{0^{+}}^{+\infty} = \dfrac{1}{p}\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />. * « [[w:Distribution_de_Dirac#Introduction_formelle|Pic de Dirac]] <ref name="Dirac"> '''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de [[w:Erwin_Schrödinger|Schrödinger]] et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de [[w:Werner_Heisenberg|Heisenberg]], deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution-de-Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' dans sa [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie des distributions]] ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de [[w:Erwin_Schrödinger|Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de [[w:Erwin_Schrödinger|Schrödinger]] lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Karl Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], ayant obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> d'impulsion unité <math>\;\delta(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\qquad\text{si}\;t > 0\\ +\infty\;\;\,\text{si}\;t = 0\\ 0\qquad\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace = \dot{Y}(t)\;</math>»<ref name="impulsion unité du pic de Dirac"> Il s'agit d'une distribution telle que <math>\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} \delta(t)\;dt = 1\;</math> avec intégration ainsi que dérivation au sens des distributions, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \delta(t) \right\rbrace = 1\;\;\forall\; \Re (p) \in \mathbb{R}\;</math>»<ref> L'abscisse de convergence de la transformée de Laplace du [[w:Distribution_de_Dirac#Introduction_formelle|pic de Dirac]] d'impulsion unité étant <math>\;\alpha = -\infty</math>.</ref> en effet, <br>{{Al|17}}{{Transparent|« Pic de Dirac d'impulsion unité <math>\;\color{transparent}{\delta(t) = \dot{Y}(t)}\;</math>» }}si <math>\;\Re (p)\;</math> est <math>\;> 0</math>, on a «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \delta(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\delta(t)\;dt = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\dot{Y}(t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> donnant <br>{{Al|17}}{{Transparent|« Pic de Dirac d'impulsion unité <math>\;\color{transparent}{\delta(t) = \dot{Y}(t)}\;</math>» si <math>\;\color{transparent}{\Re (p)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, on a }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \delta(t) \right\rbrace = \cancel{\left[ \exp(-p\,t)\;Y(t) \right]_{0^{-}}^{+\infty}} - \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} -p\,\exp(-p\,t)\;Y(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> en intégrant par parties<ref name="sens des distributions" />{{,}}<ref name="Ipp"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|développement de quelques méthodes de calcul]] d'intégrale (exposé de la méthode d'intégration par parties) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|17}}{{Transparent|« Pic de Dirac d'impulsion unité <math>\;\color{transparent}{\delta(t) = \dot{Y}(t)}\;</math>» si <math>\;\color{transparent}{\Re (p)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, on a «}}<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \delta(t) \right\rbrace = p \displaystyle\int_{0^{+}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> <math>\;= p \left[ \dfrac{\exp(-p\,t)}{-p} \right]_{0^{+}}^{+\infty} = p\;\dfrac{1}{p} = 1\;</math>» mais le résultat reste le même <br>{{Al|17}}{{Transparent|« Pic de Dirac d'impulsion unité <math>\;\color{transparent}{\delta(t) = \dot{Y}(t)}\;</math>» }}si <math>\;\Re (p)\;</math> est <math>\;\leqslant 0</math>, ce qui s'établit en utilisant une autre démonstration que l'intégration par parties<ref> En effet d'une part le résultat autorise <math>\;p = 0\;</math> alors que la démonstration par intégration par parties <math>\;\big(</math>i.p.p.<math>\big)\;</math> utilise <math>\;\dfrac{1}{p}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}d'autre part l'i.p.p. fait intervenir successivement <math>\;\left[ \exp(-p\,t)\;Y(t) \right]_{0^{-}}^{+\infty}\;</math> et <math>\;\left[ \dfrac{\exp(-p\,t)}{-p} \right]_{0^{+}}^{+\infty}\;</math> qui diverge quand <math>\;\Re (p)\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sans mettre en évidence qu'il y a en fait compensation.</ref>{{,}}<ref> Démonstration que nous ne ferons pas car dépassant largement le cadre de ce cours.</ref>. * « Fonction rampe <math>\;f_{\text{rampe}}(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} a\;t\;\text{si}\;t \geqslant 0\\ 0\quad\text{si}\;t \leqslant 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t) \right\rbrace = \dfrac{a}{p^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref> L'abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la fonction rampe étant <math>\;\alpha = 0</math>.</ref> en effet le calcul conduit à <br>{{Transparent|« Fonction rampe <math>\;\color{transparent}{f_{\text{rampe}}(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} a\;t\;\text{si}\;t \geqslant 0\\ 0\quad\text{si}\;t \leqslant 0\end{array}\right\rbrace}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f_{\text{rampe}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{0^{+}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;a\;t\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> donnant, en intégrant par parties<ref name="Ipp" /> <br>{{Transparent|« Fonction rampe <math>\;\color{transparent}{f_{\text{rampe}}(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} a\;t\;\text{si}\;t \geqslant 0\\ 0\quad\text{si}\;t \leqslant 0\end{array}\right\rbrace}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «}}<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t) \right\rbrace = \cancel{\left[ \dfrac{\exp(-p\,t)}{-p}\;a\;t \right]_{0^{-}}^{+\infty}} - \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \dfrac{\exp(-p\,t)}{-p}\;a\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> <math>\;= \dfrac{a}{p}\;\left[ \dfrac{\exp(-p\,t)}{-p} \right]_{0^{-}}^{+\infty} = \dfrac{a}{p^2}\;</math> dès lors que <math>\;\Re (p)\;</math> est <math>\;> 0\;</math>». == Principales propriétés des transformées (monolatérales) de Laplace == === Théorème d'unicité des transformées (monolatérales) de Laplace === {{Théorème| titre = Théorème d'unicité (admis) |contenu = {{Al|5}}« Dans la mesure où elle existe, la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> d'une fonction <math>\;\big(</math>ou d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> est unique ».}} === Linéarité de la transformation (monolatérale) de Laplace === {{Al|5}}Soient «<math>\;f_1(t)\;</math> et <math>\;f_2(t)\;</math> deux fonctions <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distributions]]<math>\big)\;</math>» admettant pour « transformées <math>\;\big(</math>monolatérales<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> respectives <math>\;\mathcal{L} \left\lbrace f_1(t) \right\rbrace\;</math> et <math>\;\mathcal{L} \left\lbrace f_2(t) \right\rbrace\;</math>», avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient «<math>\;\color{transparent}{f_1(t)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{f_2(t)}\;</math>}}«<math>\;\alpha = \max \left\lbrace \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right\rbrace\;</math> la plus grande des abscisses de convergence » des deux transformées <math>\;\big(</math>monolatérales<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}«<math>\;a\;</math> un réel non nul quelconque », <br>{{Al|5}}on démontre les propriétés suivantes <math>\;\big\{</math>ces démonstrations utilisent la linéarité de l'intégration permettant de passer de la fonction <math>\;\big(</math>ou la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> à sa transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /><math>\big\}</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|on démontre les propriétés suivantes }}«<math>\;\mathcal{L} \left\lbrace f_1(t) + f_2(t) \right\rbrace = \mathcal{L} \left\lbrace f_1(t) \right\rbrace + \mathcal{L} \left\lbrace f_2(t) \right\rbrace\;</math>» pour «<math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on démontre les propriétés suivantes }}«<math>\;\mathcal{L} \left\lbrace a\;f_1(t) \right\rbrace = a\;\mathcal{L} \left\lbrace f_1(t) \right\rbrace\;</math>» pour «<math>\;\Re (p) > \alpha_1\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|on démontre les propriétés suivantes }}«<math>\;\mathcal{L} \left\lbrace a\;f_2(t) \right\rbrace = a\;\mathcal{L} \left\lbrace f_2(t) \right\rbrace\;</math>» pour «<math>\;\Re (p) > \alpha_2\;</math>». === Conséquence de la dérivation sur les transformées (monolatérales) de Laplace === {{Al|5}}Soit <math>\;f(t)\;</math> une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis"> Dans le cas d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]], l'intégration <math>\;\big(</math>ou la dérivation<math>\big)\;</math> doit être faite au sens des [[w:Distribution_(mathématiques)|distributions]].</ref> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> avec <br>{{Al|25}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;</math> }}«<math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\;\dot{f}(t)\;</math> la dérivée de la fonction <math>\;\big(</math>ou dérivée de la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<ref name="sens des distributions" /><math>\big)\;</math> admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\dot{f}(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha'\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> la dérivée de la fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou dérivée de la distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}avec «<math>\;\alpha'\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="domaine de convergence élargi par dérivation"> On vérifie, sur les exemples, que l'abscisse de convergence de la dérivée est <math>\;\leqslant\;</math> à l'abscisse de convergence de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> c.-à-d. «<math>\;\alpha' \leqslant \alpha\;</math>», ceci ayant pour conséquence que la dérivation de la fonction <math>\;\big\{</math>ou la dérivation de la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] <math>\;\big(</math>au sens des [[w:Distribution_(mathématiques)|distributions]]<math>\big)\big\}\;</math> élargit le domaine de validité de la transformée de Laplace associée.</ref> ; {{Al|5}}nous établissons ci-après la propriété suivante {{Proposition| titre = Influence de la dérivation sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution| contenu= {{Al|5}}Avec «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f(t)\;</math>»<ref name="sous conditions d'existence"> Dans la mesure où elle existe.</ref> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}\;</math> la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}d'« abscisse de convergence <math>\;\alpha\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace\;</math> celle de la dérivée de la fonction <math>\;\big(</math>ou de la dérivée de la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<ref name="sens des distributions - bis" /><math>\big)</math> <math>\;\dot{f}(t)\;</math>» <br>{{Al|12}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace}\;</math> celle de la dérivée de la fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de la dérivée de la distribution<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}d'« abscisse de convergence <math>\;\alpha'\;</math><ref name="domaine de convergence élargi par dérivation" /> », <br>{{Al|5}}ces deux transformées de Laplace<ref name="Laplace" /> sont liées par la relation suivante : <center>«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace - f(0^{-})\;</math> pour <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>» si «<math>\;\dot{f}(t)\;</math> diverge en <math>\;t = 0\;</math><ref name="dérivée divergeant en 0"> C.-à-d. <math>\;\lim_{t\,\rightarrow\,0} \dot{f}(t) = \infty</math> ou n'existe pas.</ref> »<ref> Si la fonction que l'on dérive est à support positif, <math>\;f(0^{-}) = 0\;</math> et le lien entre les deux transformées de Laplace se réécrit «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> pour <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|Si la fonction que l'on dérive est à support positif, <math>\;\color{transparent}{f(0^{-}) = 0}\;</math> }}c'est le cas de <math>\;f(t) = Y(t)\;</math> d'où, avec <math>\;\delta(t) = \dot{Y}(t)</math>, «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \delta(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace = p\;\dfrac{1}{p} = 1\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'une fonction à support positif étendu à gauche ou d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] il n'y a pas de simplification «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace - f(0^{-})\;</math> pour <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>».</ref> <br>ou <br>«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace - f(0^{+})\;</math> pour <math>\;\R (p) > \alpha\;</math>» si «<math>\;\dot{f}(t)\;</math> converge en <math>\;t = 0\;</math><ref name="dérivée convergeant en 0"> C.-à-d. pour <math>\;f(t)\;</math> une fonction à support positif, <math>\;\lim_{t\,\rightarrow\,0^{+}} \dot{f}(t)\;</math> existe et est finie <math>\;\Big\{\lim_{t\,\rightarrow\,0^{-}} \dot{f}(t)\;</math> étant nulle<math>\Big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|C.-à-d. }}pour <math>\;f(t)\;</math> une fonction à support positif étendu à gauche de <math>\;0</math>, <math>\;\lim_{t\,\rightarrow\,0^{+}} \dot{f}(t)\;</math> existe et est finie de même que <math>\;\lim_{t\,\rightarrow\,0^{-}} \dot{f}(t)\;</math> mais <math>\;\dot{f}(0^{+})\;</math> peut être <math>\;\neq\;</math> de <math>\;\dot{f}(0^{-})\;</math> en général non nulle.</ref> ».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : « pour calculer <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\dot{f}(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions"> Éventuellement au sens des [[w:Distribution_(mathématiques)|distributions]].</ref> dans le domaine de validité de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|17}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\dot{f}(t)\;dt}\;</math> }}dans le cas de «<math>\;\Re (p) > \alpha\;</math> avec <math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace}\;</math> }}dans l'hypothèse où «<math>\;\dot{f}(t)\;</math><ref name="dérivée d'une distribution ou d'une fonction"> Dérivée d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] <math>\;\big(</math>dérivée au sens des distributions<math>\big)\;</math> ou d'une fonction.</ref> diverge en <math>\;t = 0\;</math>», on intègre par parties<ref name="éventuellement au sens des distributions" />{{,}}<ref name="Ipp" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace}\;</math> dans l'hypothèse où «<math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> diverge en <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = \left[ \exp(-p\,t)\;f(t) \right]_{0^-}^\infty - \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} -p\;\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace}\;</math> dans l'hypothèse où «<math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> diverge en <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= -f(0^{-}) + p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="utilisation de f d'ordre exponentiel alpha"> En effet <math>\;\Re (p)\;</math> étant <math>\;> \alpha</math>, <math>\;\lim\limits_{\Re (p)\,\rightarrow\,+\infty} \left[ \exp(-p\,t)\;f(t) \right] = 0\;</math> compte-tenu du fait que <math>\;f(t)\;</math> est « d'ordre exponentiel <math>\;\alpha\;</math>».</ref> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace}\;</math> }}dans l'hypothèse où «<math>\;\dot{f}(t)\;</math><ref name="dérivée d'une distribution ou d'une fonction" /> converge en <math>\;t = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} \exp(-p\,t)\;\dot{f}(t)\;dt = 0\;</math>» car «<math>\;\dot{f}(t)\;</math> est discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace}\;</math> dans l'hypothèse où «<math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> converge en <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\exp(-p\,t)\;\dot{f}(t)\;dt = 0}\;</math>» car «<math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> est }}continue en <math>\;t = 0\;</math>»<ref> En effet la fonction à intégrer sur un voisinage de <math>\;t = 0\;</math> restant bornée en valeur absolue, la valeur de l'intégrale tend vers <math>\;0\;</math> avec la largeur de l'intervalle d'intégration.</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace}\;</math> dans l'hypothèse où «<math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> converge en <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = \cancel{\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} \exp(-p\,t)\;\dot{f}(t)\;dt\; +}\, \displaystyle\int_{0^{+}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\dot{f}(t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace}\;</math> dans l'hypothèse où «<math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> converge en <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{+}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\dot{f}(t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> que l'on intègre par parties<ref name="Ipp" /> selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace}\;</math> dans l'hypothèse où «<math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> converge en <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = \left[ \exp(-p\,t)\;f(t) \right]_{0^+}^\infty - \displaystyle\int_{0^{+}}^{+\infty} -p\;\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace}\;</math> dans l'hypothèse où «<math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> converge en <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= -f(0^{+}) + p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="utilisation de f d'ordre exponentiel alpha"/>{{,}}<ref> En effet si <math>\;\dot{f}(t)\;</math> est une fonction convergeant en <math>\;t = 0</math>, <math>\;f(t)\;</math> est une fonction à support positif ou à support positif étendu à gauche de <math>\;0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f(t)\;</math> est discontinue de 1^ère espèce <math>\;\big[</math>voir note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-discontinuité_de_1ère_espèce-38|³⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> ou continue en <math>\;t = 0\;</math> d'où «<math>\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>voir note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-39|³⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace de <math>\;f(t)\;</math> est telle que «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt = \displaystyle\int_{0^{+}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math>».</ref>. === Conséquence de l'intégration sur les transformées (monolatérales) de Laplace === {{Al|5}}Soit <math>\;f(t)\;</math> une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> avec <br>{{Al|25}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;</math> }}«<math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\;\displaystyle\int_0^t f(t')\;dt'\;</math> la primitive de la fonction <math>\;\big(</math>ou primitive de la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<ref name="sens des distributions" /><math>\big)\;</math> s'annulant en <math>\;t = 0\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int_0^t f(t')\;dt'}\;</math> la primitive de la fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou primitive de la distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int_0^t f(t')\;dt'}\;</math> la primitive de la fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou primitive de la distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t) \left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha''\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> avec {{Al|80}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int_0^t f(t')\;dt'}\;</math> la primitive de la fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou primitive de la distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant }}«<math>\;\alpha''\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace\;</math>»<ref name="domaine de convergence restreint par intégration"> On vérifie, sur les exemples, que l'abscisse de convergence de la primitive est <math>\;\geqslant\;</math> à l'abscisse de convergence de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> c.-à-d. «<math>\;\alpha'' \geqslant \alpha\;</math>», ceci ayant pour conséquence que l'intégration de la fonction <math>\;\big\{</math>ou l'intégration de la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] <math>\;\big(</math>au sens des [[w:Distribution_(mathématiques)|distributions]]<math>\big)\big\}\;</math> restreint le domaine de validité de la transformée de Laplace associée.</ref> ; {{Al|5}}nous établissons ci-après la propriété suivante {{Proposition| titre = Influence de l'intégration sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution| contenu= {{Al|5}}Avec «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f(t)\;</math>»<ref name="sous conditions d'existence" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}\;</math> la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}d'« abscisse de convergence <math>\;\alpha\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace\;</math> celle de la primitive de la fonction <math>\;\big(</math>ou de la primitive de la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<ref name="sens des distributions - bis" /><math>\big)</math> <math>\;\displaystyle\int_0^t f(t')\;dt'\;</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t')\;dt' \right\rbrace}\;</math> celle de la primitive de la fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de la primitive de la distribution<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}s'annulant en <math>\;t = 0\;</math>» <br>{{Al|15}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t')\;dt' \right\rbrace}\;</math> celle de la primitive de la fonction }}d'« abscisse de convergence <math>\;\alpha''\;</math><ref name="domaine de convergence restreint par intégration" /> », <br>{{Al|5}}ces deux transformées de Laplace<ref name="Laplace" /> sont liées par la relation suivante : <center>«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace = \dfrac{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{p}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > \alpha''\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : « pour calculer <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t) \left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> dans le domaine de validité de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t) \left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace dt}\;</math> dans le domaine de validité de }}<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|17}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t) \left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace dt}\;</math> }}dans le cas de «<math>\;\Re (p) > \alpha''\;</math> avec <math>\;\alpha''\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace}\;</math> }}on procède en intégrant par parties<ref name="éventuellement au sens des distributions" />{{,}}<ref name="Ipp" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace = \left[ \dfrac{\exp(-p\,t)}{-p}\;\displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right]_{0^-}^\infty - \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \dfrac{\exp(-p\,t)}{-p}\;f(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace}\;</math> on procède en intégrant par parties <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right\rbrace}</math> }}<math>= \dfrac{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{p}\;</math>»<ref name="utilisation de primitive de f d'ordre exponentiel alpha'' et nulle en 0"> En effet <math>\;\Re (p)\;</math> étant <math>\;> \alpha''</math>, <math>\;\lim\limits_{\Re (p)\,\rightarrow\,+\infty} \left[ \exp(-p\,t)\;\displaystyle\int_0^t f(t')\;dt' \right] = 0\;</math> compte-tenu du fait que <math>\;\displaystyle\int_0^t f(t')\;dt'\;</math> est « d'ordre exponentiel <math>\;\alpha''\;</math>» d'une part et s'annule en <math>\;t = 0\;</math> d'autre part.</ref>. === Conséquence d'une translation en t sur les transformées (monolatérales) de Laplace === {{Al|5}}Soit <math>\;f(t)\;</math> une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> avec <br>{{Al|25}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;</math> }}«<math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\;f'(t) = f(t')\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<ref name="sens des distributions" /><math>\big)\;</math> résultant de la translation <math>\;t' = t - t_0\;</math> sur la variable <math>\;t\;</math> avec <math>\;t_0 > 0\;</math><ref name="nécessité que t0 soit positif"> Dans le cas où <math>\;f(t)\;</math> est une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> à support positif, la condition <math>\;t_0 > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f'(t) = f(t') = f(t - t_0) = 0\;</math> pour <math>\;t - t_0 < 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;t < t_0\;</math>» et par suite « la fonction <math>\;f'(t)\;</math> est aussi à support positif » puisque étant nulle pour tout <math>\;t < t_0\;</math> <math>\big[> 0\big]\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> est une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> à support positif, }}la condition <math>\;t_0 < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f'(t) = f(t')\;</math> n'est a priori pas une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> à support positif » puisque <math>\;t < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;t' = t - t_0 < -t_0 =</math> <math>\vert t_0 \vert\;</math> et pour <math>\;t'\,\in\,\left[ 0\,,\, \vert t_0 \vert \right[</math>, <math>\;f(t')\;</math> <math>\big[</math>donc <math>\;f'(t)\big]\;</math> est a priori <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big[</math>alors que <math>\;t\;</math> est <math>\;< 0\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t) = f(t')}\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t) = f(t')}\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_0^{-}}^{+\infty} \exp\! \left[-p\,(t' + t_0) \right]\, f(t')\;dt'\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> {{Al|15}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t) = f(t')}\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}</math> }}<math>\big[</math>même condition de convergence que <math>\;f(t)\;</math><ref name="utilisation de f translaté d'ordre exponentiel alpha"> <math>\;f(t)\;</math> et <math>\;f'(t) = f(t - t_0)\;</math> étant de même « ordre exponentiel <math>\;\alpha\;</math>» dans la mesure où elles ont évidemment le même comportement à l'infini.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom du « théorème du retard » {{Proposition| titre = Théorème du retard <br>[ou influence d'une translation en t sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution]| contenu={{Al|5}}Avec «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f(t)\;</math>»<ref name="sous conditions d'existence" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}\;</math> la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}d'« abscisse de convergence <math>\;\alpha\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\;</math> celle de la translatée de la fonction <math>\;\big(</math>ou de la translatée de la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<ref name="sens des distributions - bis" /><math>\big)</math> <math>\;f'(t) = f(t - t_0)\;</math> avec <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}\;</math> celle de la translatée de la fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de la translatée de la distribution<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{f'(t) =}</math> }}<math>\;t_0 > 0\;</math>»<ref name="nécessité que t0 soit positif" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}\;</math> celle de la translatée de la fonction }}<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace\;</math> de « même abscisse de convergence <math>\;\alpha\;</math><ref name="utilisation de f translaté d'ordre exponentiel alpha" /> », <br>{{Al|5}}ces deux transformées de Laplace<ref name="Laplace" /> sont liées par la relation suivante : <center>«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace\;</math> avec <math>\;t_0 > 0\;</math> <br>{{Al|42}}<math>= \exp(-p\;t_0)\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> pour <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>», <br>{{Al|20}}le facteur <math>\;\exp(-p\;t_0)</math> étant appelé « facteur retard ».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : « pour calculer <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\; f(t - t_0)\;dt = \displaystyle\int_{-t_0^{-}}^{+\infty} \exp\! \left[-p\,(u + t_0) \right]\, f(u)\;du\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> dans le domaine de validité de la transformée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}</math> }}<math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\Re (p) > \alpha\;</math> avec <math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="utilisation de f translaté d'ordre exponentiel alpha" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}\;</math> }}« si <math>\;t_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» on décompose l'intervalle d'intégration<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> <math>\;\left[ -t_0^{-}\,,\, +\infty \right[\;</math> selon <math>\;\left[ -t_0^{-}\,,\, 0^{-} \right[ \cup \left[ 0^{-}\,,\, +\infty \right[\;</math> et on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}\;</math> « si <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{-t_0^{-}}^{0^{-}} \exp\! \left[-p\,(u + t_0) \right]\, f(u)\;du + \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp\! \left[-p\,(u + t_0) \right]\, f(u)\;du\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}\;</math> « si <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>» «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= \exp(-p\,t_0) \left[ \displaystyle\int_{t_0^{-}}^{0^{-}} \exp\! \left( -p\;u \right)\, f(u)\;du + \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp\! \left( -p\;u \right)\, f(u)\;du \right]\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}\;</math> « si <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>» «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \exp(-p\,t_0)}</math> }}la 1^ère intégrale est nulle <math>\;\big[</math>la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f(t)\;</math> étant à support positif<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}\;</math> « si <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>» «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \exp(-p\,t_0)}</math> }}la 2^nde est égale à <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}\;</math> « si <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \exp(-p\;t_0)\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> pour <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}\;</math> }}« si <math>\;t_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» on étend l'intervalle d'intégration<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> <math>\;\left[ -t_0^{-}\,,\, +\infty \right[\;</math> selon <math>\;\left[ 0^{-}\,,\, +\infty \right[\;</math> en soustrayant <math>\;\left[ 0^{-}\,,\, -t_0^{-} \right[\;</math> et on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}\;</math> « si <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp\! \left[-p\,(u + t_0) \right]\, f(u)\;du - \displaystyle\int_{0^{-}}^{-t_0^{-}} \exp\! \left[-p\,(u + t_0) \right]\, f(u)\;du\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}\;</math> « si <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>» «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= \exp(-p\,t_0) \left[ \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp\! \left( -p\;u \right)\, f(u)\;du - \displaystyle\int_{0^{-}}^{t_0^{-}} \exp\! \left( -p\;u \right)\, f(u)\;du \right]\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}\;</math> « si <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>» «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \exp(-p\,t_0)}</math> }}la 1^ère intégrale entre crochets est égale à <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}\;</math> « si <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>» «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \exp(-p\,t_0)}</math> }}la 2^nde est non nulle <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace \neq \exp(-p\;t_0)\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> même pour <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t - t_0) \right\rbrace}</math> }}d'où, pour vérifier «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \exp(-p\;t_0)\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>», la nécessité d'exiger <math>\;t_0 > 0</math>. === Conséquence d'un changement d'échelle de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace === {{Al|5}}Soit <math>\;f(t)\;</math> une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> avec <br>{{Al|25}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;</math> }}«<math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\;f'(t) = f(t')\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<ref name="sens des distributions" /><math>\big)\;</math> résultant du changement d'échelle <math>\;t' = k\;t\;</math> sur la variable <math>\;t\;</math> avec <math>\;k > 0\;</math><ref name="support positif - bis"> Dans le cas où <math>\;f(t)\;</math> est une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> à support positif, la condition <math>\;k > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f'(t) = f(t') = f(k\;t) = 0\;</math> pour <math>\;t < 0\;</math>» et par suite « la fonction <math>\;f'(t)\;</math> est aussi à support positif ».</ref> <math>\;\neq 1\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t) = f(t')}\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t) = f(t')}\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty}\exp(-p\,t)\; f(k\;t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" />{{,}}<ref name="intégrale généralisée" /> si <math>\;\Re (p) > k\;\alpha\;</math>»<ref name="utilisation de f changée d'échelle d'ordre exponentiel alpha"> <math>\;f(t)\;</math> étant d'« ordre exponentiel <math>\;\alpha\;</math>», <math>\;f'(t) = f(k\;t)\;</math> l'est d'« ordre <math>\;k\;\alpha\;</math>» en effet «<math>\;\vert f(t) \vert\;</math> étant majorée par <math>\;M\;\exp(\beta\;t)\;</math> <math>\forall\,\beta \geqslant \alpha\;</math> et <math>\;\forall\,t > 0\;</math>» nous en déduisons «<math>\;\vert f'(t) \vert =</math> <math>\vert f(k\;t) \vert\;</math> majorée par <math>\;M\;\exp(\beta\;k\;t)\;</math> <math>\forall\,\beta \geqslant \alpha\;</math> et <math>\;\forall\,t > 0\;</math>» ou «<math>\;\vert f'(t) \vert\;</math> majorée par <math>\;M\;\exp(\beta'\;t)\;</math> <math>\big[</math>avec <math>\;\beta' = k\;\beta\big]\;</math> <math>\forall\,\beta' \geqslant k\;\alpha\;</math> et <math>\;\forall\,t > 0\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom du « règle de similitude » {{Proposition| titre = Règle de similitude [ou influence d'un changement d'échelle de t sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution]| contenu= {{Al|5}}Avec «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f(t)\;</math>»<ref name="sous conditions d'existence" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}\;</math> la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}d'« abscisse de convergence <math>\;\alpha\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\;</math> celle de la changée d'échelle de la fonction <math>\;\big(</math>ou de la changée d'échelle de la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<ref name="sens des distributions - bis" /><math>\big)</math> <math>\;f'(t) = f(k\;t)\;</math> avec <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}\;</math> celle de la changée d'échelle de la fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de la changée d'échelle de la distribution<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}<math>\;k > 0\;</math><ref name="support positif - bis" /> <math>\;\neq 1\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}\;</math> celle de la changée d'échelle de la fonction }}<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(k\;t) \right\rbrace\;</math> d'« abscisse de convergence <math>\;k\;\alpha\;</math><ref name="utilisation de f changée d'échelle d'ordre exponentiel alpha" /> », <br>{{Al|5}}ces deux transformées de Laplace<ref name="Laplace" /> sont liées par la relation suivante : <center>«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace f(k\;t) \right\rbrace\!\left[ p \right]\;</math><ref name="indication de p"> Jusqu'à présent la variable <math>\;p\;</math> ne changeant pas, on ne la précisait pas dans la notation <math>\;\mathcal{L} \left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> mais avec la possibilité d'être modifiée on notera <math>\;\mathcal{L} \left\lbrace f(t) \right\rbrace\left[ p \right]</math>.</ref> avec <math>\;k > 0\;</math><ref name="support positif - bis" /> <math>\;\neq 1\;</math> <br>{{Al|34}}<math>= \dfrac{1}{k}\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\!\left[ \dfrac{p}{k} \right]\;</math><ref name="changement de variable p"> Dans le résultat ci-contre la variable de la transformée de Laplace passe de <math>\;p\;</math> dans <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(k\;t) \right\rbrace\;</math> à <math>\;\dfrac{p}{k}\;</math> dans <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> d'où la nécessité de l'indiquer <math>\;\big(</math>ce qu'on fait en mettant la variable entre crochets<math>\big)</math>.</ref> pour <math>\;\Re (p) > k\;\alpha\;</math><ref name="utilisation de f changée d'échelle d'ordre exponentiel alpha" /> ».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : « pour calculer <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace f(k\;t) \right\rbrace\!\left[ p \right]\;</math><ref name="indication de p" /> <math>= \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\; f(k\;t)\;dt = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp\! \left[-\dfrac{p}{k}\;k\;t \right]\, f(k\;t)\;\dfrac{d(k\;t)}{k}\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> dans le domaine de validité de la transformée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace f(k\;t) \right\rbrace\!\left[ p \right]}\;</math> }}<math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right]\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\Re (p) > k\;\alpha\;</math> avec <math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="utilisation de f changée d'échelle d'ordre exponentiel alpha" />, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace f(k\;t) \right\rbrace\!\left[ p \right]}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right]}\;</math>» }}ou encore, en remplaçant <math>\;k\;t\;</math> par <math>\;t'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer }}<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace f(t') \right\rbrace\!\left[ p \right]\;</math><ref name="indication de p" /> <math>= \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp\! \left[-\dfrac{p}{k}\;t' \right]\, f(t')\;\dfrac{dt'}{k} = \dfrac{1}{k}\,\displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp\! \left[-\dfrac{p}{k}\;t' \right]\, f(t')\;dt'\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> soit, en posant <math>\;p' = \dfrac{p}{k}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace f(t') \right\rbrace\!\left[ p \right]}\;</math> <math>\color{transparent}{= \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp\! \left[-\dfrac{p}{k}\;t' \right]\, f(t')\;\dfrac{dt'}{k}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{k}\,\displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p'\;t)\; f(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="t' variable muette"> <math>\;t'\;</math> étant une variable muette peut être remplacée par <math>\;t</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{k}\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\!\left[ p' \right]\;</math> dans la mesure où <math>\;\Re (p') > \alpha\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace f(t') \right\rbrace\!\left[ p \right]}\;</math> <math>\color{transparent}{= \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp\! \left[-\dfrac{p}{k}\;t' \right]\, f(t')\;\dfrac{dt'}{k}}</math> <math>\color{transparent}{= \dfrac{1}{k}\,\displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p'\;t)\; f(t)\;dt}\;</math> <math>\color{transparent}{= \dfrac{1}{k}\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\!\left[ p' \right]}\;</math> }}<math>\;\Re\left( \dfrac{p}{k} \right) > \alpha\;</math> ou <math>\;\Re (p) > k\;\alpha</math>. === Conséquence d'une multiplication par une fonction exponentielle réelle sur les transformées (monolatérales) de Laplace === {{Al|5}}Soit <math>\;f(t)\;</math> une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> avec <br>{{Al|25}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;</math> }}«<math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\;f'(t) = \exp(-a\;t)\;f(t)\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<ref name="sens des distributions" /><math>\big)\;</math> résultant de la multiplication de <math>\;f(t)\;</math> par la fonction exponentielle <math>\;\exp(-a\;t)\;</math> de <math>\;t\;</math> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}\;</math><ref name="support positif - ter"> Dans le cas où <math>\;f(t)\;</math> est une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> à support positif, il en est de même de <math>\;f'(t) = \exp(-a\;t)\;f(t)\;</math> car les valeurs de la fonction <math>\;\exp(-a\;t)\;</math> sur <math>\;\left] -\infty\,,\, 0 \right]\;</math> sont multipliées par <math>\;0</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t) = \exp(-a\;t)\;f(t)}\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t) = \exp(-a\;t)\;f(t)}\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp\!\left[-(p + a)\,t \right]\,f(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" />{{,}}<ref name="intégrale généralisée" /> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t) = \exp(-a\;t)\;f(t)}\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}</math> }}dans la mesure où <math>\;\Re (p) > \alpha - a\;</math>»<ref name="abscisse de convergence"> En effet la transformée monolatérale de Laplace de <math>\;f'(t) = \exp(-a\;t)\;f(t)\;</math> se déduisant de celle de <math>\;f(t)\;</math> en remplaçant <math>\;p\;</math> par <math>\;p + a</math>, la condition de validité se transforme en <math>\;\Re (p + a) > \alpha\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\Re (p) > \alpha - a</math>.</ref> ; {{Al|5}}nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom de « règle de translation en <math>\;p\;</math>» {{Proposition| titre = Règle de translation en p [ou conséquence de la multiplication par une fonction exponentielle sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution]| contenu={{Al|5}}Avec «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f(t)\;</math>»<ref name="sous conditions d'existence" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}\;</math> la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}d'« abscisse de convergence <math>\;\alpha\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\;</math> celle de la fonction <math>\;\big(</math>ou de la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<ref name="sens des distributions - bis" /><math>\big)</math> <math>\;f'(t) = \exp(-a\;t)\;f(t)\;</math> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}\;</math>»<ref name="support positif - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}\;</math> celle de la fonction }}<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t) \right\rbrace\;</math> d'« abscisse de convergence <math>\;\alpha' = \alpha - a\;</math><ref name="abscisse de convergence" /> », <br>{{Al|5}}ces deux transformées de Laplace<ref name="Laplace" /> sont liées par la relation suivante : <center>«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t) \right\rbrace\!\left[ p \right]\;</math><ref name="indication de p" /> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}\;</math> <br>{{Al|34}}<math>= \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\!\left[ p + a \right]\;</math><ref> Dans le résultat ci-contre la variable de la transformée de Laplace passe de <math>\;p\;</math> dans <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t) \right\rbrace\;</math> à <math>\;p + a\;</math> dans <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> d'où la nécessité de l'indiquer <math>\;\big(</math>ce qu'on fait en mettant la variable entre crochets<math>\big)</math>.</ref> pour <math>\;\Re (p) > \alpha - a\;</math><ref name="abscisse de convergence" /> ».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : « pour calculer <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t) \right\rbrace\!\left[ p \right]\;</math><ref name="indication de p" /> <math>= \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp\!\left[ -(p + a)\,t \right]\, f(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> dans le domaine de validité de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <br>{{Al|30}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t) \right\rbrace\!\left[ p \right]}\;</math> <math>\color{transparent}{= \exp\!\left[ -(p + a)\,t \right]\, f(t)\;dt}\;</math> dans le domaine de }}<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right]\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\Re (p) > \alpha - a\;</math> avec <br>{{Al|30}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t) \right\rbrace\!\left[ p \right]}\;</math> <math>\color{transparent}{= \exp\!\left[ -(p + a)\,t \right]\, f(t)\;dt}\;</math> dans le domaine de }}<math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="abscisse de convergence" />, ou encore, <br>{{Al|32}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t) \right\rbrace\!\left[ p \right]}\;</math> <math>\color{transparent}{= \exp\!\left[ -(p + a)\,t \right]\, f(t)\;dt}\;</math> }}en remplaçant <math>\;p + a\;</math> par <math>\;p'</math>, on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « pour calculer }}<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t) \right\rbrace\!\left[ p \right]\;</math><ref name="indication de p" /> <math>= \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p'\;t)\; f(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> s'identifiant à «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\!\left[ p' \right]\;</math><ref name="indication de p" /> si <math>\;\Re (p') > \alpha\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\Re (p) > \alpha - a\;</math>»<ref name="abscisse de convergence" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : « si <math>\;a\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» la fonction exponentielle <math>\;\exp(-a\;t)\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;t\;</math> traduisant un « amortissement exponentiel de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f'(t) = \exp(-a\;t)\;f(t)\;</math>» et simultanément « le domaine de validité de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> s'élargit » car la « nouvelle abscisse de convergence <math>\;\alpha' = \alpha - a < \alpha\;</math>» alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}« si <math>\;a\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» la fonction exponentielle <math>\;\exp(-a\;t)\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;t\;</math> traduisant une « amplification exponentielle de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f'(t) = \exp(-a\;t)\;f(t)\;</math>» et simultanément « le domaine de validité de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> s'amenuise » car la « nouvelle abscisse de convergence <math>\;\alpha' = \alpha - a > \alpha\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Envisageons maintenant <math>\;\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}\;</math> avec <math>\;\underline{a} = \Re (\underline{a}) + i\,\Im (\underline{a})\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\exp\! \left( -\underline{a}\;t \right) = \exp\! \left[ -\Re (\underline{a})\;t \right]\,\exp\! \left[ -i\,\Im (\underline{a})\;t \right]\;</math> définissant une fonction complexe dont les parties réelle et imaginaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\underline{a} = \Re (\underline{a}) + i\,\Im (\underline{a})}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\exp\! \left( -\underline{a}\;t \right) = \exp\! \left[ -\Re (\underline{a})\;t \right]\,\exp\! \left[ -i\,\Im (\underline{a})\;t \right]}\;</math> }}sont <math>\;\left\lbrace\begin{array}{r}\Re \left[ \exp\! \left( -\underline{a}\;t \right) \right] \!\!&=&\!\! \exp\! \left[ -\Re (\underline{a})\;t \right]\;\cos\! \left[ \Im (\underline{a})\;t \right]\\ \Im \left[ \exp\! \left( -\underline{a}\;t \right) \right] \!\!&=&\!\! -\exp\! \left[ -\Re (\underline{a})\;t \right]\;\sin\! \left[ \Im (\underline{a})\;t \right]\end{array}\right\rbrace</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> }}la « nouvelle fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> complexe <math>\;\underline{f'}(t) = \exp\! \left( -\underline{a}\;t \right)\;f(t)\;</math>» <math>\big\{</math>produit de la fonction ou <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> réelle <math>\;f(t)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> la « nouvelle fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}</math> complexe <math>\;\color{transparent}{\underline{f'}(t) = \exp\! \left( -\underline{a}\;t \right)\;f(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\big\{}</math>produit de la fonction }}par l'exponentielle complexe<math>\big\}\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> la « nouvelle fonction }}a pour « parties réelle et imaginaire <math>\;\left\lbrace\begin{array}{r}\Re \left[ \underline{f'}(t) \right] = \Re \left[ \exp\! \left( -\underline{a}\;t \right)\;f(t) \right] \!\!&=&\!\! \exp\! \left[ -\Re (\underline{a})\;t \right]\;\cos\! \left[ \Im (\underline{a})\;t \right]\;f(t)\\ \Im \left[ \underline{f'}(t) \right] = \Im \left[ \exp\! \left( -\underline{a}\;t \right)\;f(t) \right] \!\!&=&\!\! -\exp\! \left[ -\Re (\underline{a})\;t \right]\;\sin\! \left[ \Im (\underline{a})\;t \right]\;f(t)\end{array}\right\rbrace</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> la « nouvelle fonction a pour « parties réelle et imaginaire }}lesquelles admettent toutes deux une transformée {{Nobr|<math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math>}} de Laplace<ref name="Laplace" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> la « nouvelle fonction a pour « parties réelle et imaginaire }}sous la même « condition de convergence <math>\;\Re (p) > \alpha'\;</math> avec <math>\;\alpha' = \alpha - \Re (\underline{a})\;</math>»<ref> La multiplication de <math>\;f(t)\;</math> par <math>\;\cos\! \left[ \Im (\underline{a})\;t \right]\;</math> ou <math>\;\sin\! \left[ \Im (\underline{a})\;t \right]\;</math> qui sont deux fonctions de valeur absolue majorée par <math>\;1\;</math> ne modifie pas « l'ordre exponentiel <math>\;\alpha\;</math>», seule la multiplication par <math>\;\exp\! \left[ -\Re (\underline{a})\;t \right]\;</math> le modifie selon la même règle que celle obtenue dans le cas où <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> }}on en déduit la « définition de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;\underline{\mathcal{L}}\left\lbrace \right\rbrace\;</math> d'une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> complexe <math>\;\underline{f'}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> on en déduit }}à partir de celle des parties réelle et imaginaire de cette dernière selon <math>\;\Bigg\langle \begin{array}{c} \mathcal{L}\left\lbrace \Re\!\left[ \underline{f'}(t) \right] \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\;t)\;\Re\!\left[ \underline{f'}(t) \right]\,dt\\ \mathcal{L}\left\lbrace \Im\!\left[ \underline{f'}(t) \right] \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\;t)\;\Im\!\left[ \underline{f'}(t) \right]\,dt\end{array} \Bigg\rangle\;</math><ref name="Laplace de parties réelle ou imaginaire"> Attention la variable <math>\;p\;</math> étant complexe, la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace de la partie réelle d'une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> complexe est complexe en devenant réelle en restreignant <math>\;p\;</math> aux valeurs réelles et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Attention la variable <math>\;\color{transparent}{p}\;</math> étant complexe, }}la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace de la partie imaginaire d'une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> complexe est aussi complexe en devenant réelle <math>\;\big(</math>donc imaginaire pure si on la multiplie par <math>\;i\big)\;</math> en restreignant de même <math>\;p\;</math> aux valeurs réelles.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> on en déduit }}«<math>\;\underline{\mathcal{L}}\left\lbrace \underline{f'}(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace \Re\!\left[ \underline{f'}(t) \right] \right\rbrace + i\;\mathcal{L}\left\lbrace \Im\!\left[ \underline{f'}(t) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="construction de Laplace complexe à partir de Laplace de parties réelle et imaginaire"> Attention «<math>\;\Bigg\langle \begin{array}{c} \Re\!\left[ \underline{\mathcal{L}}\left\lbrace \underline{f'}(t) \right\rbrace \right] \neq \mathcal{L}\left\lbrace \Re\!\left[ \underline{f'}(t) \right] \right\rbrace\\ \Im\! \left[ \underline{\mathcal{L}}\left\lbrace \underline{f'}(t) \right\rbrace \right] \neq \mathcal{L}\left\lbrace \Im\!\left[ \underline{f'}(t) \right] \right\rbrace \end{array} \Bigg\rangle\;</math>» car la variable <math>\;p\;</math> est complexe, ce n'est que lorsqu'on restreint <math>\;p\;</math> aux valeurs réelles que les égalités deviennent correctes soit «<math>\;\Bigg\langle \begin{array}{c} \Re\!\left[ \underline{\mathcal{L}}\left\lbrace \underline{f'}(t) \right\rbrace \right] = \mathcal{L}\left\lbrace \Re\!\left[ \underline{f'}(t) \right] \right\rbrace\\ \Im\! \left[ \underline{\mathcal{L}}\left\lbrace \underline{f'}(t) \right\rbrace \right] = \mathcal{L}\left\lbrace \Im\!\left[ \underline{f'}(t) \right] \right\rbrace \end{array} \Bigg\rangle_{\!\!\text{pour }p\, =\, \Re (p)\,>\,\alpha'}\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> on en déduit }}«<math>\;\underline{\mathcal{L}}\left\lbrace \underline{f'}(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\;t)\;\Re\!\left[ \underline{f'}(t) \right]\,dt + i\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\;t)\;\Im\!\left[ \underline{f'}(t) \right]\,dt = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\;t)\;\underline{f'}(t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> on en déduit }}la même définition que celle d'une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> réelle ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> }}il est alors aisé d'établir «<math>\;\underline{\mathcal{L}}\left\lbrace \underline{f'}(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \underline{\mathcal{L}}\left\lbrace \exp(-\underline{a}\;t)\;f(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\!\left[ p + \underline{a} \right]\;</math> pour <math>\;\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}\;</math>»<ref> Pour établir <math>\;\underline{\mathcal{L}}\left\lbrace \exp(-\underline{a}\;t)\;f(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \underline{\mathcal{L}}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\!\left[ p + \underline{a} \right]\;</math> on procède comme indiqué dans le corps du paragraphe pour <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\!\left[ p + a \right]\;</math> avec <math>\;a \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pour établir }}avec <math>\;\underline{\mathcal{L}}\left\lbrace \, \right\rbrace\;</math> devenant <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \, \right\rbrace\;</math> puisque <math>\;f\;</math> est réelle.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> il est alors aisé }}d'en déduire la « convergence de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace <ref name="Laplace" /> complexe de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> complexe <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> il est alors aisé d'en déduire la « convergence de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace complexe de }}<math>\;\underline{f'}(t) = \exp(-\underline{a}\;t)\;f(t)\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : Envisageons maintenant <math>\;\color{transparent}{\underline{a} \in \mathbb{C}^{*}}\;</math> il est alors aisé d'en déduire la « convergence }}<math>\;\Re (p) > \alpha' = \alpha - \Re (\underline{a})\;</math> avec <math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>». === Holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace === {{Définition| titre = Fonction holomorphe en une valeur du domaine de définition|contenu = {{Al|5}}Une « fonction complexe <math>\;\underline{F}\;</math> d'une variable complexe <math>\;\underline{z}\;</math> définie sur un ouvert <math>\;\Omega \subset \mathbb{C}\;</math>» est dite « [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] en <math>\;\underline{z_0} \in \Omega\;</math>» * si, « pour <math>\;\underline{z} \in \Omega</math>, <math>\;\lim\limits_{\underline{z}\,\rightarrow\,\underline{z_0}} \dfrac{\underline{F}(\underline{z}) - \underline{F}(\underline{z_0})}{\underline{z} - \underline{z_0}}\;</math> existe en étant indépendante de la direction d'approche de <math>\;\underline{z_0}\;</math> à partir de <math>\;\underline{z}\;</math>», « cette limite définissant la dérivée de <math>\;\underline{F}(\underline{z})\;</math> en <math>\;\underline{z_0}\;</math>» et étant notée «<math>\;\underline{F}'(\underline{z_0})\;</math> ou <math>\;D\underline{F}(\underline{z_0})\;</math>»<ref name="notation différentielle de la dérivée de fonction complexe"> La dérivée de la fonction complexe en <math>\;\underline{z_0}\;</math> pouvant s'écrire encore, en adoptant la notation différentielle de la dérivée d'une fonction d'une variable réelle prolongée aux fonctions d'une variable complexe <math>\;\big[</math>mais ceci n'est possible que si la dérivée de <math>\;\underline{F}(\underline{z})\;</math> en <math>\;\underline{z_0}\;</math> est indépendante de la direction d'approche de <math>\;\underline{z_0}\;</math> à partir de <math>\;\underline{z}\big]</math>, «<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{d \underline{z}}(\underline{z_0})\;</math>», <br>{{Al|3}}la notion de différentielle de la fonction complexe ayant un sens dans la mesure où la dérivée de <math>\;\underline{F}(\underline{z})\;</math> en <math>\;\underline{z_0}\;</math> est indépendante de la direction d'approche de <math>\;\underline{z_0}\;</math> à partir de <math>\;\underline{z}\;</math> et pouvant s'écrire «<math>\;d \underline{F} = \underline{F}'(\underline{z_0})\;d \underline{z}\;</math>», « la grandeur <math>\;d \underline{z}\;</math> définissant cette direction d'approche ».</ref> ou * en explicitant la direction d'approche, <math>\;\big[\underline{h}\;</math> étant un complexe quelconque de module unité définissant une direction d'approche de <math>\;\underline{z_0}\;</math> à partir de <math>\;\underline{z}\big]</math>, si «<math>\;\lim\limits_{u\,\rightarrow\,0} \dfrac{\underline{F}(\underline{z_0} + u\,\underline{h}) - \underline{F}(\underline{z_0})}{u}\;</math> existe <math>\;\forall\,\underline{h}\;</math><ref name="dérivée d'une fonction complexe suivant une direction d'approche"> Dans la mesure où la limite dépend de <math>\;\underline{h}</math>, elle définit la dérivée de <math>\;\underline{F}(\underline{z})\;</math> en <math>\;\underline{z_0}\;</math> suivant la direction imposée par <math>\;\underline{h}\;</math> et est notée «<math>\;D\underline{F}_{\underline{h}}(\underline{z_0})\;</math>» <math>\;\big[</math>l'indice <math>\;\underline{h}\;</math> étant indispensable quand la dérivée en dépend<math>\big]</math>.</ref> et est indépendante de <math>\;\underline{h}\;</math>», « cette limite indepndante de la direction d'approche de <math>\;\underline{z_0}\;</math> à partir de <math>\;\underline{z}\;</math> définissant la dérivée de <math>\;\underline{F}(\underline{z})\;</math> en <math>\;\underline{z_0}\;</math>» et étant simplement notée <math>\;D\underline{F}(\underline{z_0})\;</math>»<ref name="notation différentielle de la dérivée de fonction complexe - bis"> Si « la dérivée de <math>\;\underline{F}(\underline{z})\;</math> en <math>\;\underline{z_0}\;</math> suivant la direction définie par <math>\;\underline{h}</math>, à savoir <math>\;D\underline{F}_{\underline{h}}(\underline{z_0})</math>, est indépendante de <math>\;\underline{h}\;</math>», la notation différentielle de la dérivée d'une fonction d'une variable réelle peut être prolongée aux fonctions d'une variable complexe et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Si « la dérivée de <math>\;\color{transparent}{\underline{F}(\underline{z})}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{\underline{z_0}}\;</math> suivant la direction définie par <math>\;\color{transparent}{\underline{h}}</math>, à savoir <math>\;\color{transparent}{D\underline{F}_{\underline{h}}(\underline{z_0})}</math>, est indépendante de <math>\;\color{transparent}{\underline{h}}\;</math>», }}la différentielle de <math>\;\underline{F}\;</math> en <math>\;\underline{z_0}\;</math> suivant la direction définie par <math>\;\underline{h}\;</math> <math>\big[</math>avec pour élément <math>\;d \underline{z}\;</math> suivant cette direction d'approche «<math>\;d \underline{z} = \underline{h}\;du\;</math>»<math>\big]\;</math> s'écrivant <math>\;d \underline{F} = D\underline{F}(\underline{z_0})\;d \underline{z}\;</math> c.-à-d. étant <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\underline{h}\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'adoption possible de la notation «<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{d \underline{z}}(\underline{z_0})\;</math> pour <math>\;D\underline{F}(\underline{z_0})\;</math>» puisque le quotient <math>\;\dfrac{d \underline{F}}{d \underline{z}}\;</math> est indépendant de <math>\;\underline{h}</math>.</ref>.}} {{Définition| titre = Fonction holomorphe sur un ouvert du domaine de définition|contenu = {{Al|5}}Une « fonction complexe <math>\;\underline{F}\;</math> d'une variable complexe <math>\;\underline{z}\;</math> définie sur un ouvert <math>\;\Omega \subset \mathbb{C}\;</math>» est dite « [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] sur <math>\;\Omega\;</math>» si « elle est [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] en tout point de <math>\;\Omega\;</math>» ; <br>{{Al|5}}on peut alors « définir la dérivée de <math>\;\underline{F}\;</math> en tout <math>\;\underline{z_0} \in \Omega\;</math>»<ref> D'où la nécessité que <math>\;\Omega\;</math> soit un ouvert éliminant le problème de la dérivée sur la frontière, celle-ci ne pouvant évidemment pas exister quelle que soit la direction d'approche.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans la mesure où la fonction complexe <math>\;\underline{F}(\underline{z})\;</math> est [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] sur l'ouvert <math>\;\Omega\;</math> sur laquelle elle est définie, on peut <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>définir la « fonction complexe dérivée <math>\;\underline{F}'(\underline{z}) = D\underline{F}(\underline{z}) = \dfrac{d \underline{F}}{d \underline{z}}(\underline{z})\;</math>» et étudier son éventuelle [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphie]] et si celle-ci est établie, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>définir la « fonction complexe dérivée seconde <math>\;\underline{F}''(\underline{z}) = D^2\underline{F}(\underline{z}) = \dfrac{d^2 \underline{F}}{d \underline{z}^2}(\underline{z})\;</math>» et étudier son éventuelle [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphie]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math> <math>\ldots</math> {{Proposition| titre = Holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction (ou d'une distribution)| contenu={{Al|5}}On admet que « la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> d'une fonction <math>\;\big(</math>ou d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f(t)\;</math><ref> Dans la mesure où <math>\;f(t)\;</math> satisfait aux conditions d'existence de sa transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|4}}{{Transparent|On admet que «}}<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\left[ p \right]\;</math>» est « <u>[[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] sur tout son domaine de définition</u> » <math>\;\big(</math>à l'exception de ses points singuliers<ref> Ici un point singulier de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace est un « point en lequel la transformée de Laplace n'est pas définie ».</ref><math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que « }}tel que «<math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>» <math>\;\big\{\alpha\;</math> abscisse de convergence de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de <math>\;f(t)\big\}\;</math> et <br>{{Transparent|On admet que «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\left[ p \right]}\;</math>» est « holomorphe sur tout son domaine de définition }}<u>ceci à n'importe quel ordre</u><ref> Ce qui signifie que la dérivée n^ème de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace existe quel que soit <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}</math>.</ref>. {{Al|5}}On démontre ci-dessous le résultat suivant «<math>\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;f(t) \right\rbrace\;</math> pour tout <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : Pour démontrer que la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> d'une fonction <math>\;\big(</math>ou d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f(t)\;</math> s'écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Pour démontrer que }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\left[ p \right] = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\;t)\; f(t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> est « [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] à n'importe quel ordre sur tout ouvert satisfaisant <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math> <br>{{Al|29}}{{Transparent|Démonstration : Pour démontrer que «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\left[ p \right] = \exp(-p\;t)\; f(t)\;dt}\;</math>» est « holomorphe à n'importe quel ordre }}avec <math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\left[ p \right]\;</math>», <br>{{Al|29}}{{Transparent|Démonstration : Pour démontrer que «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\left[ p \right] = \exp(-p\;t)\; f(t)\;dt}\;</math>» est « holomorphe }}on vérifie d'abord la propriété pour <math>\;n = 1\;</math> puis on l'établit par récurrence soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Pour démontrer }}<math>\succ\;</math>« pour <math>\;n = 1\;</math>», <math>\;\dfrac{d \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p} = \dfrac{d \left[ \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\;t)\; f(t)\;dt \right]}{d p}\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> soit, en permutant l'intégration sur <math>\;t\;</math> et la dérivation par rapport à <math>\;p</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Pour démontrer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{n = 1}\;</math>», <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \dfrac{d \exp(-p\;t)}{dp}\; f(t)\;dt = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} -t\;\exp(-p\;t)\; f(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> et finalement «<math>\;\dfrac{d \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p} = -\mathcal{L}\left\lbrace t\;f(t) \right\rbrace\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>., <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Pour démontrer }}<math>\succ\;</math>hypothèse de récurrence «<math>\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;f(t) \right\rbrace\;</math> pour <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> quelconque », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Pour démontrer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}on forme <math>\;\dfrac{d^{(n + 1)} \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p^{(n + 1)}} = \dfrac{d \left[ (-1)^n\displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\;t)\; t^n\;f(t)\;dt \right]}{d p}\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> soit, en permutant l'intégration sur <math>\;t\;</math> et la dérivation par rapport à <math>\;p</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Pour démontrer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on forme <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^{(n + 1)} \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p^{(n + 1)}}}</math> }}<math>= (-1)^n\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \dfrac{d \exp(-p\;t)}{dp}\; t^n\;f(t)\;dt = (-1)^n\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} -t\;\exp(-p\;t)\;t^n\; f(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="éventuellement au sens des distributions" /> et, en regroupant les facteurs, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Démonstration : Pour démontrer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on forme }}«<math>\;\dfrac{d^{(n + 1)} \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p^{(n + 1)}} = (-1)^{(n + 1)}\;\mathcal{L}\left\lbrace t^{(n + 1)}\;f(t) \right\rbrace\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />., <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Pour démontrer }}<math>\succ\;</math>la propriété <math>\;\mathcal{P}_n\;</math> «<math>\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;f(t) \right\rbrace\;</math>» étant « vraie pour <math>\;n = 1\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{P}_n\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{P}_{(n + 1)}\;</math>» est établie par récurrence pour tout <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}</math>. === Conséquence d'une multiplication par une fonction puissance de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace === {{Al|5}}Soit <math>\;f(t)\;</math> une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> avec <br>{{Al|25}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;</math> }}«<math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\;f'(t) = t^n\;f(t)\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<ref name="sens des distributions" /><math>\big)\;</math> résultant de la multiplication de <math>\;f(t)\;</math> par la fonction <math>\;t^n\;</math> puissance n^ème de <math>\;t\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math><ref name="support positif - tetra"> Dans le cas où <math>\;f(t)\;</math> est une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> à support positif, il en est de même de <math>\;f'(t) = t^n\;f(t)\;</math> car les valeurs de la fonction <math>\;t^n\;</math> sur <math>\;\left] -\infty\,,\, 0 \right]\;</math> sont multipliées par <math>\;0</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t) = t^n\;f(t)}\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t) = t^n\;f(t)}\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp\!\left(-p\;t \right)\;t^n\;f(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" />{{,}}<ref name="intégrale généralisée" /> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t) = t^n\;f(t)}\;</math> une nouvelle fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace}</math> }}dans la mesure où <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="abscisse de convergence - bis"> En effet la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f(t)\;</math> étant d'ordre exponentiel <math>\;\alpha\;</math> c.-à-d. que <math>\;\vert f(t) \vert\;</math> est majorée par <math>\;M\;\exp\! \left( \beta\;t \right)\;\forall\,\beta > \alpha\;</math> nous en déduisons que la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f'(t) =</math> <math>t^n\;f(t)\;</math> étant telle que <math>\;\vert f'(t) \vert\;</math> est majorée par <math>\;M\;t^n\;\exp\! \left( \beta\;t \right) = M\;\exp\! \left[ \beta\;t + n\;\ln(t) \right]\;</math> de terme prépondérant au voisinage de l'infini <math>\;M\;\exp\! \left( \beta\;t \right)\;\forall\,\beta > \alpha\;</math> est également d'ordre exponentiel <math>\;\alpha</math>.</ref> ; {{Al|5}}de la relation «<math>\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;f(t) \right\rbrace\;</math> pour tout <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» établie au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Holomorphie_de_la_transformée_(monolatérale)_de_Laplace|holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace]] » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|de la relation }}on en déduit «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace t^n\;f(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p^n}\;</math> pour <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» soit <math>\blacktriangleright\;</math>« pour <math>\;n = 1</math>, <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t\;f(t) \right\rbrace = -\dfrac{d \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{dp}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|de la relation on en déduit «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace t^n\;f(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p^n}}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» soit }}<math>\blacktriangleright\;</math>« pour <math>\;n = 2</math>, <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t^2\;f(t) \right\rbrace = \dfrac{d^2 \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{dp^2}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|de la relation on en déduit «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace t^n\;f(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p^n}}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» soit }}<math>\blacktriangleright\;</math>« pour <math>\;n = 3</math>, <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t^3\;f(t) \right\rbrace = -\dfrac{d^3 \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{dp^3}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|de la relation on en déduit «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace t^n\;f(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace}{d p^n}}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» soit }}<math>\blacktriangleright\;</math><math>\ldots</math> {{Al|5}}<u>Application</u> : soit à « évaluer <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> et <math>\;Y(t)\;</math> la fonction de Heaviside<ref name="Heaviside" /> connaissant <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{p}\;</math> si <math>\;\Re e(p) > 0\;</math>»<ref name="1ers exemples de transformées monolatérales de Laplace"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Premiers_exemples_de_transformée_(monolatérale)_de_Laplace_de_quelques_fonctions_ou_distributions_usuelles|1^ers exemples de transformée (monolatérale) de Laplace de quelques fonctions ou distributions usuelles]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, l'application du résultat ci-dessus nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Application : soit à évaluer }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;\dfrac{d^n \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}{d p^n}\;</math> si <math>\;\Re e(p) > 0\;</math>» soit successivement <math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t\;Y(t) \right\rbrace = -\dfrac{d \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}{d p} = \dfrac{1}{p^2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Application : soit à évaluer «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;\dfrac{d^n \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}{d p^n}}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{\Re e(p) > 0}\;</math>» soit successivement }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t^2\;Y(t) \right\rbrace = \dfrac{d^2 \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}{d p^2} = \dfrac{2}{p^3}\;</math>»<ref> On pouvait aussi écrire <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t^2\;Y(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace t\, \left[ t\;Y(t) \right] \right\rbrace = -\dfrac{d \mathcal{L}\left\lbrace t\;Y(t) \right\rbrace}{d p} = -\dfrac{d\! \left( \dfrac{1}{p^2} \right)}{d p} = \dfrac{2}{p^3}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Application : soit à évaluer «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;\dfrac{d^n \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}{d p^n}}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{\Re e(p) > 0}\;</math>» soit successivement }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t^3\;Y(t) \right\rbrace = -\dfrac{d^3 \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}{d p^3} = \dfrac{6}{p^4}\;</math>»<ref> On pouvait aussi écrire <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t^3\;Y(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace t\, \left[ t^2\;Y(t) \right] \right\rbrace = -\dfrac{d \mathcal{L}\left\lbrace t^2\;Y(t) \right\rbrace}{d p} = -\dfrac{d\! \left( \dfrac{2}{p^3} \right)}{d p} = \dfrac{6}{p^4}</math>.</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Application : soit à évaluer «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;d^n \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{\Re e(p) > 0}\;</math>» soit successivement }}<math>\bullet\;</math>hypothèse de récurrence «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace = \dfrac{n!}{p^{n + 1}}\;</math>» <br>{{Al|7}}{{Transparent|Application : soit à évaluer «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;d^n \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{\Re e(p) > 0}\;</math>» soit successivement <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>hypothèse de récurrence }}<math>\big(</math>vérifiée pour <math>\;n = 1\big)</math>, on en déduit <br>{{Al|7}}{{Transparent|Application : soit à évaluer «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;d^n \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{\Re e(p) > 0}\;</math>» soit successivement <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t^{(n + 1)}\;Y(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace t\, \left[ t^n\;Y(t) \right] \right\rbrace = -\dfrac{d \mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace}{d p}</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Application : soit à évaluer «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;d^n \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{\Re e(p) > 0}\;</math>» soit successivement <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace t^{(n + 1)}\;Y(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= -\dfrac{d\! \left[ \dfrac{n!}{p^{(n + 1)}} \right]}{d p}</math>, soit encore <br>{{Al|7}}{{Transparent|Application : soit à évaluer «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;d^n \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{\Re e(p) > 0}\;</math>» soit successivement <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace t^{(n + 1)}\;Y(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= (n + 1)\;\dfrac{n!}{p^{(n + 2)}} = \dfrac{(n + 1)!}{p^{(n + 2)}}\;</math>» <br>{{Al|7}}{{Transparent|Application : soit à évaluer «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;d^n \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{\Re e(p) > 0}\;</math>» soit successivement <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}ce qui valide l'hypothèse de récurrence d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Application : soit à évaluer «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace = (-1)^n\;\dfrac{d^n \mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace}{d p^n} = (-1)^n\;d^n \!\left( \dfrac{1}{p} \right)}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{\Re e(p) > 0}\;</math>» soit successivement <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace t^n\;Y(t) \right\rbrace = \dfrac{n!}{p^{(n + 1)}}\;</math> pour <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> et <math>\;\Re e(p) > 0\;</math>». === Conséquence de la dérivation (ou intégration) par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace === ==== Conséquence de la dérivation par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace ==== {{Al|5}}Soit <math>\;f(t,\, m)\;</math> une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> dépendant du paramètre <math>\;m\;</math> relativement auquel elle est dérivable<ref name="sens des distributions - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f(t,\, m)}\;</math> une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t,\,m) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> avec «<math>\;\alpha\;</math> abscisse <br>{{Al|25}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f(t,\,m)}\;</math> une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t,\,m) \right\rbrace = \exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt}\;</math> }}de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t,\,m) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\;f'(t,\,m) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m)\;</math> la dérivée de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> relativement au paramètre <math>\;m\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t,\,m) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m)}\;</math> la dérivée de la fonction }}admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t,\,m) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f'(t,\,m)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="sens des distributions - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t,\,m) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m)}\;</math> la dérivée de la fonction admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f'(t,\,m) \right\rbrace}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="sens des distributions - bis" /> avec, dans le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t,\,m) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m)}\;</math> la dérivée de la fonction admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}cas général, la même condition de convergence que celle de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t,\, m) \right\rbrace\;</math> soit <br>{{Al|15}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f'(t,\,m) = \left( \partial f \right)_{\!t}(t,\,m)}\;</math> la dérivée de la fonction admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace cas général, la même condition de convergence }}<math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="en absence d'élargissement de l'intervalle de convergence"> A priori la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f'(t,\,m) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m)\;</math> se comporte comme <math>\;f(t,\,m)\;</math> à l'infini puisque que la dérivation est faite par rapport au paramètre sans agir sur la variable, elles sont donc a priori toutes deux d'« ordre exponentiel <math>\;\alpha\;</math>», <br>{{Al|3}}toutefois il se pourrait que la dérivation par rapport au paramètre fasse disparaître des termes de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> en rendant la dérivée d'« ordre exponentiel plus faible » que celui de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math>, cas particulier que nous n'envisageons pas ici.</ref> ; {{Al|5}}nous établissons ci-dessous la propriété de « permutation de la transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> et de la dérivation par rapport à un paramètre » <center>«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f'(t,\,m) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace \left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m) \right\rbrace = \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}\left\lbrace f(t,\,m) \right\rbrace}{\partial m} \right)_{\!p}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : partant de «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />, on permute la dérivation par rapport à <math>\;m\;</math> et l'intégration par rapport à <math>\;t\;</math><ref> Ce qui est possible, la dérivation se faisant à <math>\;t\;</math> figé, il est possible d'intégrer sur <math>\;t\;</math> avant de dériver.</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration : partant de «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m)\;dt}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{\Re (p) > \alpha}\;</math>», }}on obtient «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m) \right\rbrace = \left( \dfrac{\partial \left[ \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt \right]}{\partial m} \right)_{\!p}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration : partant de «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m)\;dt}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{\Re (p) > \alpha}\;</math>», on obtient «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m) \right\rbrace}</math> }}<math>= \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}\left\lbrace f(t,\,m) \right\rbrace}{\partial m} \right)_{\!p}\;</math>» sous la même <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration : partant de «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial m} \right)_{\!t}(t,\,m)\;dt}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{\Re (p) > \alpha}\;</math>», on obtient }}condition de convergence <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math> dans le cas général<ref name="en absence d'élargissement de l'intervalle de convergence" />. ==== Conséquence de l'intégration par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace ==== {{Al|5}}Soit <math>\;f(t,\, m)\;</math> une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> dépendant du paramètre <math>\;m\;</math> relativement auquel elle est intégrable<ref name="sens des distributions - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f(t,\, m)}\;</math> une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t,\,m) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> avec «<math>\;\alpha\;</math> abscisse <br>{{Al|25}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f(t,\,m)}\;</math> une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t,\,m) \right\rbrace = \exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt}\;</math> }}de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t,\,m) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\;f''(t,\,m) = \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm'\;</math> la primitive de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> relativement au paramètre <math>\;m\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> s'annulant <math>\;m = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f''(t,\,m) = \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm'}\;</math> la primitive de la fonction }}admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f''(t,\,m) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f''(t,\,m)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="sens des distributions - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f''(t,\,m) = \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm'}\;</math> la primitive de la fonction admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f''(t,\,m) \right\rbrace}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\; \left[ \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right]\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="sens des distributions - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f''(t,\,m) = \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm'}\;</math> la promitive de la fonction admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}avec, dans le cas général, la même condition de convergence que <br>{{Al|20}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f''(t,\,m) = f(t,\,m')\;dm'}\;</math> la primitive de la fonction admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace avec, dans le cas général, }}celle de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t,\, m) \right\rbrace\;</math> soit <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="en absence de rétrécissement de l'intervalle de convergence"> A priori la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f''(t,\,m) = \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm'\;</math> se comporte comme <math>\;f(t,\,m)\;</math> à l'infini puisque que l'intégration est faite par rapport au paramètre sans agir sur la variable, elles sont donc a priori toutes deux d'« ordre exponentiel <math>\;\alpha\;</math>», <br>{{Al|3}}toutefois il se pourrait que l'intégration par rapport au paramètre fasse apparaître des termes de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> en rendant la primitive d'« ordre exponentiel plus grand » que celui de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math>, cas particulier que nous n'envisageons pas ici.</ref> ; {{Al|5}}nous établissons ci-dessous la propriété de « permutation de la transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> et de l'intégration par rapport à un paramètre » <center>«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f''(t,\,m) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right\rbrace = \displaystyle\int_0^m \mathcal{L}\left\lbrace f(t,\,m') \right\rbrace\,dm'\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : partant de «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\left[ \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right]\,dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />, on permute l'intégration par rapport à <math>\;m\;</math> et celle par rapport à <math>\;t\;</math><ref> Ce qui est possible, l'intégration par rapport à <math>\;m\;</math> se faisant à <math>\;t\;</math> figé, il est possible d'intégrer sur <math>\;t\;</math> avant d'intégrer sur <math>\;m</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration : partant de «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\left[ \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right]\,dt}\;</math> }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right\rbrace = \displaystyle\int_0^m \left[ \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t,\,m')\;dt \right]\, dm'</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration : partant de «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\left[ \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right]\,dt}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right\rbrace}</math> }}<math>= \displaystyle\int_0^m \mathcal{L}\left\lbrace f(t,\,m') \right\rbrace\,dm'\;</math>» sous la même condition de <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration : partant de «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;\left[ \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right]\,dt}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \displaystyle\int_0^m f(t,\,m')\;dm' \right\rbrace}</math> }}convergence <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math> dans le cas général<ref name="en absence de rétrécissement de l'intervalle de convergence" />. === Conséquence du caractère périodique d'une fonction (ou distribution) sur sa transformée (monolatérale) de Laplace === {{Al|5}}Soit <math>\;f(t)\;</math> une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> de période <math>\;T\;</math> c'est-à-dire telle que «<math>\;f(t + T) = f(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}admettant pour transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t,\,m) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> avec «<math>\;\alpha \geqslant 0\;</math><ref> La raison de cette condition est justifiée à la fin de la démonstration.</ref> abscisse <br>{{Al|32}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> une fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant pour transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;</math> }}de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}nous établissons ci-dessous la propriété « traduisant la périodicité de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> sur la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de cette dernière » <center>«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \dfrac{\displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}{1 - \exp(-p\;T)}\;</math>»<ref name="sens des distributions - bis" />.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : partant de «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> si <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />, on décompose l'intégrale sur chaque période selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : partant de }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt + \displaystyle\int_T^{2\,T} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt + \displaystyle\int_{2\,T}^{3\,T} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt + \cdots + \displaystyle\int_{n\,T}^{(n + 1)\,T} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt + \cdots\;</math>»<ref name="sens des distributions - bis" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}en faisant le « changement de variable <math>\;t = t_n + n\;T\;</math> sur l'intégrale <math>\;\displaystyle\int_{n\,T}^{(n + 1)\,T} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math> pour se ramener à une intégrale sur <math>\;\left[ 0\,,\, T \right]\;</math>» sachant que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}f(t) = f(t_n)\\ dt = dt_n\end{array}\right\rbrace\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : en faisant le « changement de variable <math>\;\color{transparent}{t = t_n + n\;T}\;</math> sur l'intégrale }}<math>\;\displaystyle\int_{n\,T}^{(n + 1)\,T} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt = \displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t_n)\;\exp(-p\,n\,T)\;f(t_n)\;dt_n\;</math> ou, <math>\;t_n\;</math> étant une variable muette et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : en faisant le « changement de variable <math>\;\color{transparent}{t = t_n + n\;T}\;</math> sur l'intégrale <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int_{n\,T}^{(n + 1)\,T} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt = \displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t_n)\;\exp(-p\,n\,T)\;f(t_n)\;dt_n}\;</math> ou, }}<math>\;\exp(-p\,n\,T)\;</math> une constante, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : en faisant le « changement de variable <math>\;\color{transparent}{t = t_n + n\;T}\;</math> sur l'intégrale }}<math>\;\displaystyle\int_{n\,T}^{(n + 1)\,T} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt = \exp(-p\,n\,T)\;\displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}après factorisation par <math>\;\displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math> dans la somme, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : partant de }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \left[ 1 + \sum\limits_{n\, \in\, \mathbb{N}^{*}}^{1\,..\,+\infty} \exp(-p\,n\;T) \right] \displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}en reconnaissant dans les termes entre crochets la « somme infinie d'une progression géométrique de 1^er terme <math>\;1\;</math> et de raison <math>\;\exp(-p\,T)\;</math> de module <math>\;< 1\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Suites_arithmétique_et_géométrique#Somme_des_premiers_termes_d'une_suite_géométrique_jusqu'au_rang_n|somme des 1^ers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » où «<math>\;u_0 = 1\;</math>» et <math>\;u_n =</math> <math>\exp(-p\,n\;T) = \left[ \exp(-p\,T) \right]^n = q^n\;</math> <math>\big(</math>«<math>\;q = \exp(-p\,T)\;</math> étant la raison »<math>\big)\;</math> donne «<math>\;S_{\left[ 0\,,\,n \right]} = u_0\;\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}\;</math>» avec «<math>\;\lim\limits_{n\,\rightarrow\,\infty} q^{n + 1} = 0\;</math> car <math>\;\vert q \vert = \vert \exp(-p\,T) \vert < 1\;</math> si <math>\;\Re (p)\;</math> est <math>\;> 0\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}<math>\big[</math>d'où la nécessité que l'abscisse de convergence <math>\;\alpha\;</math> de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> soit <math>\;\geqslant 0\;</math> pour que la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de <math>\;f(t)</math>, <math>\;T</math>-périodique, existe<math>\big]\;</math> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : partant de }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \dfrac{\displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}{1 - \exp(-p\;T)}\;</math>»<ref name="sens des distributions - bis" /> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. == Transformées (monolatérales) de fonctions (ou distributions) usuelles == <center> Liste évidemment non exhaustive.</center> === Fonction de Heaviside (ou échelon unité) === {{Al|5}}« Fonction de Heaviside<ref name="Heaviside" /> <math>\;\big(</math>ou échelon unité<math>\big)</math> <math>\;Y(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1\;\text{si}\;t > 0\\ 0\;\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace Y(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{p}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="déjà traité"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Premiers_exemples_de_transformée_(monolatérale)_de_Laplace_de_quelques_fonctions_ou_distributions_usuelles|1^ers exemples de transformée (monolatérale de Laplace de quelques fonctions ou distributions usuelles]] » plus haut dans le chapitre.</ref>. {{Al|5}}« Fonction de Heaviside<ref name="Heaviside" /> <math>\;\big(</math>ou échelon unité<math>\big)\;</math> retardé <math>\;Y(t - \tau) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1\;\text{si}\;t > \tau\\ 0\;\text{si}\;t < \tau\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace Y(t - \tau) \right\rbrace = \dfrac{\exp(-p\,\tau)}{p}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="translation en t"> Utilisation du résultat du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Conséquence_d'une_translation_en_t_sur_les_transformées_(monolatérales)_de_Laplace|conséquence d'une translation en t sur les transformées (monolatérales) de Laplace]] » plus haut dans le chapitre.</ref>. {{Al|5}}« Fonction créneau unité sur <math>\;\left[ 0\,,\, \tau \right]</math> : <math>\;C_{\left[ 0\,,\, \tau \right]}(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\;\;\text{si}\;t > \tau\\1\;\;\text{si}\;0 < t < \tau\\ 0\;\;\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace = Y(t) - Y(t - \tau)\;</math>» d'où <math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace C_{\left[ 0\,,\, \tau \right]}(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\!\left\lbrace Y(t) \right\rbrace - \mathcal{L}\!\left\lbrace Y(t - \tau) \right\rbrace\;</math><ref name="caractère linéaire de la transformation monolatérale de Laplace"> La transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace étant linéaire.</ref> soit <br>{{Al|8}}{{Transparent|« Fonction créneau unité sur <math>\;\color{transparent}{\left[ 0\,,\, \tau \right]}</math> : <math>\;\color{transparent}{C_{\left[ 0\,,\, \tau \right]}(t) = \left\lbrace 1\;\;\text{si}\;0 < t < \tau\right\rbrace = Y(t) - Y(t - \tau)}\;</math>» d'où }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace C_{\left[ 0\,,\, \tau \right]}(t) \right\rbrace = \dfrac{1 - \exp(-p\,\tau)}{p}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>». === Pic de Dirac d'impulsion unité === {{Al|5}}« [[w:Distribution_de_Dirac#Introduction_formelle|Pic de Dirac]]<ref name="Dirac" /> d'impulsion unité <math>\;\delta(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\qquad\text{si}\;t > 0\\ +\infty\;\;\,\text{si}\;t = 0\\ 0\qquad\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace = \dot{Y}(t)\;</math>»<ref name="impulsion unité du pic de Dirac" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \delta(t) \right\rbrace = 1,\;\;\forall\; \Re (p) \in \mathbb{R}\;</math>»<ref name="déjà traité" />. {{Al|5}}« [[w:Distribution_de_Dirac#Introduction_formelle|Pic de Dirac]]<ref name="Dirac" /> d'impulsion unité retardé <math>\;\delta(t - \tau) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\qquad\text{si}\;t > \tau\\ +\infty\;\;\,\text{si}\;t = \tau\\ 0\qquad\text{si}\;t < \tau\end{array}\right\rbrace = \dot{Y}(t - \tau)\;</math>»<ref> Il s'agit d'une distribution telle que «<math>\;\displaystyle\int_{\tau^{-}}^{\tau^{+}} \delta(t - \tau)\;dt = 1\;</math>» avec intégration ainsi que dérivation au sens des distributions.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \delta(t - \tau) \right\rbrace = \exp(-p\,\tau),\;\;\forall\; \Re (p) \in \mathbb{R}\;</math>»<ref name="translation en t" />. === Fonction rampe de pente a === {{Al|5}}« Fonction rampe <math>\;f_{\text{rampe}}(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} a\;t\;\text{si}\;t \geqslant 0\\ 0\quad\text{si}\;t \leqslant 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t) \right\rbrace = \dfrac{a}{p^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="déjà traité" />. {{Al|5}}« Fonction rampe retardée <math>\;f_{\text{rampe}}(t - \tau) = \left\lbrace \begin{array}{l} a\;t\;\text{si}\;t \geqslant \tau\\ 0\quad\text{si}\;t \leqslant \tau\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t - \tau) \right\rbrace = \dfrac{a\;\exp(-p\,\tau)}{p^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="translation en t" />. {{Al|5}}« Fonction triangle symétrique sur <math>\;\left[ 0\,,\, 2\,\tau \right]</math> : <math>\;f_{\text{triang sym}}(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\qquad\qquad\quad\text{si}\;t \geqslant 2\,\tau\\-a\;(t - 2\,\tau)\;\text{si}\;t \in \left[ \tau\,,\,2\,\tau \right]\\a\;t\qquad\qquad\;\text{si}\;t \in \left[ 0\,,\,\tau \right]\\ 0\qquad\qquad\quad\text{si}\;t \leqslant 0\end{array}\right\rbrace = f_{\text{rampe}}(t) - 2\,f_{\text{rampe}}(t - \tau) + f_{\text{rampe}}(t - 2\,\tau)\;</math>» soit, <br>{{Al|8}}{{Transparent|« Fonction triangle symétrique sur <math>\;\color{transparent}{\left[ 0\,,\, 2\,\tau \right]}</math> : <math>\;\color{transparent}{f_{\text{triang sym}}(t) = \left\lbrace -a\;(t - 2\,\tau)\;\text{si}\;t \in \left[ \tau\,,\,2\,\tau \right]\right\rbrace =}</math> }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{triang sym}}(t) \right\rbrace = \dfrac{a\, \left[ 1 - 2\,\exp(-p\,\tau) + \exp(-2\,p\,\tau) \right]}{p^2}\;</math><ref name="caractère linéaire de la transformation monolatérale de Laplace" />{{,}}<ref name="translation en t" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|« Fonction triangle symétrique sur <math>\;\color{transparent}{\left[ 0\,,\, 2\,\tau \right]}</math> : <math>\;\color{transparent}{f_{\text{triang sym}}(t) = \left\lbrace -a\;(t - 2\,\tau)\;\text{si}\;t \in \left[ \tau\,,\,2\,\tau \right]\right\rbrace =}</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{triang sym}}(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= \dfrac{a\, \left[ 1 - \exp(-p\,\tau) \right]^2}{p^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>». === Fonction exponentielle réelle === {{Al|5}}« Fonction exponentielle réelle <math>\;f_{\text{exp}}(t) = \exp(-a\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}\;</math>»<ref> Si <math>\;a\;</math> est <math>\;> 0\;</math> l'exponentielle est <math>\;\searrow\;</math> traduisant, lorsqu'elle est en facteur d'un autre signal, un amortissement de ce dernier, <math>\;\dfrac{1}{a}\;</math> étant appelé « constante de temps » de l'exponentielle et <br>{{Al|3}} si <math>\;a\;</math> est <math>\;< 0\;</math> l'exponentielle est <math>\;\nearrow\;</math> traduisant, lorsqu'elle est en facteur d'un autre signal, une amplification de ce dernier, <math>\;\dfrac{-1}{a}\;</math> ne portant aucun nom particulier.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{exp}}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{p + a}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="translation en p"> Utilisation du résultat du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Conséquence_d'une_multiplication_par_une_fonction_exponentielle_réelle_sur_les_transformées_(monolatérales)_de_Laplace|conséquence d'une multiplication par une fonction exponentielle réelle sur les transformées (monolatérales) de Laplace]] » plus haut dans le chapitre.</ref>. {{Al|5}}« Approche exponentielle réelle de l'échelon unité <math>\;f_{\text{app exp}}(t) = \left[ 1 - \exp(-a\,t) \right]\,Y(t) = Y(t) - \exp(-a\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;a \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math>»<ref name="réel strictement positif"> L'ensemble des réels non nuls étant noté <math>\;\mathbb{R}^{*}\;</math> on trouvera encore pour l'ensemble des réels strictement positifs <math>\;\mathbb{R}^{+\,*}\;</math> mais les mathématiciens notant l'ensemble des réels positifs ou nuls <math>\;\mathbb{R}_{+}\;</math> la notation attendue est celle utilisée.</ref> soit, «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{app exp}}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p + a}\;</math><ref name="caractère linéaire de la transformation monolatérale de Laplace" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|« Approche exponentielle réelle de l'échelon unité <math>\;\color{transparent}{f_{\text{app exp}}(t) = \left[ 1 - \exp(-a\,t) \right]\,Y(t) = Y(t) - \exp(-a\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{a \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» soit, «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{app exp}}(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= \dfrac{a}{p\;(p + a)}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref> Car il faut assurer la convergence de <math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace Y(t) \right\rbrace\;</math> plus stricte que celle de <math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \exp(-a\,t)\;Y(t) \right\rbrace</math>.</ref>. === Fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>« <u>Fonction cosinusoïdale</u><math>\;f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> s'obtenant en utilisant «<math>\;f_{\text{cos}}(t) = \Re \left[ \exp(i\,\omega\,t)\;Y(t) \right]\;</math>», «<math>\;\underline{\mathcal{L}}\!\left\lbrace \exp(i\,\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{p - i\,\omega}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="translation en p - bis"> Utilisation du résultat du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Conséquence_d'une_multiplication_par_une_fonction_exponentielle_réelle_sur_les_transformées_(monolatérales)_de_Laplace|conséquence d'une multiplication par une fonction exponentielle réelle sur les transformées (monolatérales) de Laplace]] (remarque 2) » plus haut dans le chapitre.</ref>{{,}}<ref name="transformée complexe monolatérale de Laplace d'une fonction exponentielle complexe"> On prolonge le résultat de la transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace d'une fonction exponentielle réelle obtenue au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Fonction_exponentielle_réelle|fonction exponentielle réelle]] » plus haut dans ce chapitre à la transformation complexe <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace d'une fonction exponentielle complexe.</ref> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» }}« si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;p</math>, <math>\;\Re \left\lbrace \underline{\mathcal{L}}\left[ \exp(i\,\omega\,t)\;Y(t) \right] \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace \Re \left[ \exp(i\,\omega\,t)\;Y(t) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="construction de Laplace complexe à partir de Laplace de parties réelle et imaginaire" /> c'est-à-dire <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» « si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;\color{transparent}{p}</math>, }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t) \right\rbrace = \Re\, \left[ \dfrac{1}{p - i\,\omega} \right]_{\text{pour }p\,=\,\Re (p)\,>\,0} = \Re\, \left[ \dfrac{p + i\,\omega}{p^2 + \omega^2} \right]_{\text{pour }p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» « si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;\color{transparent}{p}</math>, }}ou, «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t) \right\rbrace = \left[ \dfrac{p}{p^2 + \omega^2} \right]_{\text{pour }p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;</math>» et enfin, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» }}en étendant ce résultat aux valeurs complexes de <math>\;p\;</math><ref name="extension aux valeurs complexes"> On admet la validité de l'extension aux valeurs complexes de <math>\;p</math>.</ref> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \cos(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace = \dfrac{p}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re e(p) > 0\;</math>». {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» }}<u>Autre démonstration</u><math>\;\big(</math>utilisant le caractère périodique de la fonction cosinusoïdale<ref name="sans admettre que le résultat établi avec p réel reste valable avec p complexe"> L'avantage de cette autre démonstration est qu'il n'y a pas besoin d'admettre que l'extension aux valeurs complexes du résultat établi avec des valeurs réelles de <math>\;p\;</math> est valide.</ref><math>\big)</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}la fonction cosinusoïdale <math>\;f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> étant «<math>\;T</math>-périodique avec <math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega}\;</math>» on en déduit <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t) \right\rbrace = \dfrac{\displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t)\; f_{\text{cos}}(t)\;dt}{1 - \exp(-p\,T)}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="Laplace de fonction périodique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Conséquence_du_caractère_périodique_d'une_fonction_(ou_distribution)_sur_sa_transformée_(monolatérale)_de_Laplace|conséquence du caractère périodique d'une fonction (ou distribution) sur sa transformée (monolatérale) de Laplace]] » plus haut dans le chapitre.</ref> ou encore « pour <math>\;\Re (p) > 0</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration «}}<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t) \right\rbrace = \dfrac{\displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t)\; \cos(\omega\,t)\;dt}{1 - \exp(-p\,T)} = \dfrac{\displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t)\; \dfrac{\exp(i\,\omega\,t) + \exp(-i\,\omega\,t)}{2}\;dt}{1 - \exp(-p\,T)}\;</math><ref name="formule d'Euler du cosinus"> En utilisant la formule d'Euler du cosinus soit «<math>\;\cos(\omega\,t) = \dfrac{\exp(i\,\omega\,t) + \exp(-i\,\omega\,t)}{2}\;</math>».</ref> » <br>{{Al|6}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}ou «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t) \right\rbrace = \dfrac{\displaystyle\int_0^T \left\lbrace \exp\! \left[-(p - i\;\omega)\;t \right] + \exp\! \left[-(p + i\;\omega)\;t \right]\right\rbrace\,dt}{2\, \left[ 1 - \exp(-p\,T) \right]}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}le numérateur du 2^nd membre se réécrivant en somme de deux intégrales : <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}<math>\succ\;</math><math>\displaystyle\int_0^T \exp\! \left[-(p - i\;\omega)\;t \right]\;dt = \left[ -\dfrac{\exp\! \left[-(p - i\;\omega)\;t \right]}{p - i\;\omega} \right]_0^T = \dfrac{1 - \exp(-p\;T)\;\exp(i\;\omega\;T)}{p - i\;\omega}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\displaystyle\int_0^T \exp\! \left[-(p - i\;\omega)\;t \right]\;dt}</math> }}<math>= \dfrac{1 - \exp(-p\;T)}{p - i\;\omega}\;</math>» car <math>\;\exp(i\;\omega\;T) = \exp(i\;2\;\pi) = 1\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}<math>\succ\;</math><math>\displaystyle\int_0^T \exp\! \left[-(p + i\;\omega)\;t \right]\;dt = \left[ -\dfrac{\exp\! \left[-(p + i\;\omega)\;t \right]}{p + i\;\omega} \right]_0^T = \dfrac{1 - \exp(-p\;T)\;\exp(-i\;\omega\;T)}{p + i\;\omega}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\displaystyle\int_0^T \exp\! \left[-(p + i\;\omega)\;t \right]\;dt}</math> }}<math>= \dfrac{1 - \exp(-p\;T)}{p + i\;\omega}\;</math>» car <math>\;\exp(-i\;\omega\;T) = \exp(-i\;2\;\pi) = 1\;</math> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\,\left[ \dfrac{1}{p - i\;\omega} + \dfrac{1}{p + i\;\omega} \right]\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» après simplification évidente ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \cos(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace = \dfrac{p}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re e(p) > 0\;</math>» après réduction au même dénominateur et <br>{{Al|12}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos}}(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\!\left\lbrace \cos(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace = p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{\Re e(p) > 0}\;</math>» après }}simplification<ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{p - i\;\omega} + \dfrac{1}{p + i\;\omega} = \dfrac{p + i\;\omega + p - i\;\omega}{p^2 - (i\;\omega)^2} = \dfrac{2\;p}{p^2 + \omega^2}</math>.</ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>« <u>Fonction sinusoïdale</u><math>\;f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> s'obtenant en utilisant «<math>\;f_{\text{sin}}(t) = \Im \left[ \exp(i\,\omega\,t)\;Y(t) \right]\;</math>», «<math>\;\underline{\mathcal{L}}\!\left\lbrace \exp(i\,\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{p - i\,\omega}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="translation en p - bis" />{{,}}<ref name="transformée complexe monolatérale de Laplace d'une fonction exponentielle complexe" /> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» }}« si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;p</math>, <math>\;\Im \left\lbrace \underline{\mathcal{L}}\left[ \exp(i\,\omega\,t)\;Y(t) \right] \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace \Im \left[ \exp(i\,\omega\,t)\;Y(t) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="construction de Laplace complexe à partir de Laplace de parties réelle et imaginaire" /> c'est-à-dire <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» « si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;\color{transparent}{p}</math>, }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t) \right\rbrace = \Im\, \left[ \dfrac{1}{p - i\,\omega} \right]_{\text{pour }p\,=\,\Re (p)\,>\,0} = \Im\, \left[ \dfrac{p + i\,\omega}{p^2 + \omega^2} \right]_{\text{pour }p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» « si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;\color{transparent}{p}</math>, }}ou, «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t) \right\rbrace = \left[ \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2} \right]_{\text{pour }p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;</math>» et enfin, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» }}en étendant ce résultat aux valeurs complexes de <math>\;p\;</math><ref name="extension aux valeurs complexes" /> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \sin(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace = \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>». {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» }}<u>Autre démonstration</u><math>\;\big(</math>utilisant le caractère périodique de la fonction sinusoïdale<ref name="sans admettre que le résultat établi avec p réel reste valable avec p complexe" /><math>\big)</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}la fonction sinusoïdale <math>\;f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> étant «<math>\;T</math>-périodique avec <math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega}\;</math>» on en déduit <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t) \right\rbrace = \dfrac{\displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t)\; f_{\text{sin}}(t)\;dt}{1 - \exp(-p\,T)}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="Laplace de fonction périodique" /> ou encore « pour <math>\;\Re (p) > 0</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration «}}<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t) \right\rbrace = \dfrac{\displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t)\; \sin(\omega\,t)\;dt}{1 - \exp(-p\,T)} = \dfrac{\displaystyle\int_0^T \exp(-p\,t)\; \dfrac{\exp(i\,\omega\,t) - \exp(-i\,\omega\,t)}{2\;i}\;dt}{1 - \exp(-p\,T)}\;</math><ref name="formule d'Euler du sinus"> En utilisant la formule d'Euler du sinus soit «<math>\;\sin(\omega\,t) = \dfrac{\exp(i\,\omega\,t) - \exp(-i\,\omega\,t)}{2\;i}\;</math>».</ref> » <br>{{Al|6}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}ou «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t) \right\rbrace = \dfrac{\displaystyle\int_0^T \left\lbrace \exp\! \left[-(p - i\;\omega)\;t \right] - \exp\! \left[-(p + i\;\omega)\;t \right]\right\rbrace\,dt}{2\;i\, \left[ 1 - \exp(-p\,T) \right]}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}le numérateur du 2^nd membre se réécrivant en différence de deux intégrales : <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}<math>\succ\;</math><math>\displaystyle\int_0^T \exp\! \left[-(p - i\;\omega)\;t \right]\;dt \overset{\ldots}{\;=\;}\;\dfrac{1 - \exp(-p\;T)}{p - i\;\omega}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}<math>\succ\;</math><math>\displaystyle\int_0^T \exp\! \left[-(p + i\;\omega)\;t \right]\;dt\; \overset{\ldots}{\;=\;}\;\dfrac{1 - \exp(-p\;T)}{p + i\;\omega}\;</math> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2\;i}\,\left[ \dfrac{1}{p - i\;\omega} - \dfrac{1}{p + i\;\omega} \right]\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» après simplification évidente ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \sin(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace = \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re e(p) > 0\;</math>» après réduction au même dénominateur et <br>{{Al|12}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin}}(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» Autre démonstration «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\!\left\lbrace \sin(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace = p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{\Re e(p) > 0}\;</math>» après }}simplification<ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{p - i\;\omega} - \dfrac{1}{p + i\;\omega} = \dfrac{\left( p + i\;\omega \right) - \left( p - i\;\omega \right)}{p^2 - (i\;\omega)^2} = \dfrac{2\;i\;\omega}{p^2 + \omega^2}</math>.</ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math><u>Application</u> : soit à déterminer la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de «<math>\;f(t) = \cos(\omega\,t + \varphi)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math><ref name="réel strictement positif" /> et <math>\;\varphi \in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Application : }}pour cela on décompose la fonction modulant l'échelon unité selon «<math>\;\cos(\omega\,t + \varphi) = \cos(\omega\,t)\;\cos(\varphi) - \sin(\omega\,t)\;\sin(\varphi)\;</math>» ce qui revient à déterminer <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Application : soit à déterminer }}la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de «<math>\;f(t) = \cos(\varphi)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t) - \sin(\varphi)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math>» soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Application : soit à déterminer la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \cos(\omega\,t + \varphi)\;Y(t) \right\rbrace = \cos(\varphi)\;\mathcal{L}\left\lbrace \cos(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace - \sin(\varphi)\;\mathcal{L}\left\lbrace \sin(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="caractère linéaire de la transformation monolatérale de Laplace" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Application : soit à déterminer la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \cos(\omega\,t + \varphi)\;Y(t) \right\rbrace = \cos(\varphi)\;\dfrac{p}{p^2 + \omega^2} - \sin(\varphi)\;\dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>». === Fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>« <u>Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement</u><math>\;f_{\text{cos amort}}(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\\ a \in \mathbb{R}_{+}^{*} \end{array} \!\right\rbrace\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> s'obtenant en utilisant «<math>\;f_{\text{cos amort}}(t) = \Re \left[ \exp(-a\;t)\;\exp(i\,\omega\,t)\;Y(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos amort}}(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> }}«<math>\;\underline{\mathcal{L}}\!\left\lbrace \exp\! \left[ (-a + i\,\omega)\,t \right]\,Y(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{p + a - i\,\omega}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="translation en p - bis" />{{,}}<ref name="transformée complexe monolatérale de Laplace d'une fonction exponentielle complexe" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}</math> }}« si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;p</math>, <math>\;\Re \Big\langle \underline{\mathcal{L}}\!\left\lbrace \exp\! \left[ (-a + i\,\omega)\,t \right]\,Y(t) \right\rbrace \!\Big\rangle = \mathcal{L}\Big\langle \Re \left\lbrace \exp\! \left[ (-a + i\,\omega)\,t \right]\,Y(t) \right\rbrace \!\Big\rangle\;</math>»<ref name="construction de Laplace complexe à partir de Laplace de parties réelle et imaginaire" /> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}</math> « si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;\color{transparent}{p}</math>, }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t) \right\rbrace = \Re\, \left[ \dfrac{1}{p + a - i\,\omega} \right]_{\text{pour }p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}</math> « si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;\color{transparent}{p}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= \Re\, \left[ \dfrac{p + a + i\,\omega}{(p + a)^2 + \omega^2} \right]_{\text{pour }p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}</math> « si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;\color{transparent}{p}</math>, }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t) \right\rbrace = \left[ \dfrac{p + a}{(p + a)^2 + \omega^2} \right]_{\text{pour }p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;</math>» et enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement<math>\;\color{transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}</math> }}en étendant ce résultat aux valeurs complexes de <math>\;p\;</math><ref name="extension aux valeurs complexes" /> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace = \dfrac{p + a}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>». {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>« <u>Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement</u><math>\;f_{\text{sin amort}}(t) = \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\\ a \in \mathbb{R}_{+}^{*} \end{array} \!\right\rbrace\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> s'obtenant en utilisant «<math>\;f_{\text{sin amort}}(t) = \Im \left[ \exp(-a\;t)\;\exp(i\,\omega\,t)\;Y(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin amort}}(t) = \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> }}«<math>\;\underline{\mathcal{L}}\!\left\lbrace \exp\! \left[ (-a + i\,\omega)\,t \right]\,Y(t) \right\rbrace = = \dfrac{1}{p + a - i\,\omega}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="translation en p - bis" />{{,}}<ref name="transformée complexe monolatérale de Laplace d'une fonction exponentielle complexe" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}</math> }}« si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;p</math>, <math>\;\Im \Big\langle \underline{\mathcal{L}}\!\left\lbrace \exp\! \left[ (-a + i\,\omega)\,t \right]\,Y(t) \right\rbrace \!\Big\rangle = \mathcal{L}\Big\langle \Im \left\lbrace \exp\! \left[ (-a + i\,\omega)\,t \right]\,Y(t) \right\rbrace \!\Big\rangle\;</math>»<ref name="construction de Laplace complexe à partir de Laplace de parties réelle et imaginaire" /> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}</math> « si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;\color{transparent}{p}</math>, }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t) \right\rbrace = = \Im\, \left[ \dfrac{1}{p + a - i\,\omega} \right]_{\text{pour }p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}</math> « si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;\color{transparent}{p}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t) \right\rbrace}</math> }}<math>= \Im\, \left[ \dfrac{p + a + i\,\omega}{(p + a)^2 + \omega^2} \right]_{\text{pour }p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}</math> « si on se limite aux valeurs réelles de <math>\;\color{transparent}{p}</math>, }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t) \right\rbrace = \left[ \dfrac{\omega}{(p + a)^2 + \omega^2} \right]_{\text{pour }p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;</math>» et enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement<math>\;\color{transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}</math> }}en étendant ce résultat aux valeurs complexes de <math>\;p\;</math><ref name="extension aux valeurs complexes" /> «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace = \dfrac{\omega}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>». {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math><u>Application</u> : soit à déterminer la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de «<math>\;f(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t + \varphi)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\\ a \in \mathbb{R}_{+}^{*} \end{array} \!\right\rbrace\;</math><ref name="réel strictement positif" /> et <math>\;\varphi \in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Application : }}pour cela on décompose la fonction modulant l'échelon unité selon «<math>\;\exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t + \varphi) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;\cos(\varphi) - \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;\sin(\varphi)\;</math>» ce qui revient <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Application : soit }}à déterminer la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de «<math>\;f(t) = \cos(\varphi)\;\exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t) - \sin(\varphi)\;\exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math>» soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Application : soit à déterminer la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t + \varphi)\;Y(t) \right\rbrace = \cos(\varphi)\;\mathcal{L}\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t) \right\rbrace - \sin(\varphi)\;\mathcal{L}\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="caractère linéaire de la transformation monolatérale de Laplace" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Application : soit à déterminer la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t + \varphi)\;Y(t) \right\rbrace = \cos(\varphi)\;\dfrac{p + a}{(p + a)^2 + \omega^2} - \sin(\varphi)\;\dfrac{\omega}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>». == Transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction (ou distribution) complexe d'une variable complexe == {{Al|5}}Soit une fonction complexe <math>\;F\;</math><ref name="notation simplifiée pour complexe"> Bien que les grandeurs soient complexes l'usage veut qu'on ne les souligne pas dans l'utilisation des transformées directes ou inverses de Laplace.</ref> de la variable complexe <math>\;p\;</math><ref name="notation simplifiée pour complexe" /> [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] sur son domaine de définition. === Définition de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace de la fonction (ou distribution) complexe F(p) de la variable complexe p === {{Définition| contenu = {{Al|5}}La transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> de la fonction complexe <math>\;F(p)</math> de la variable complexe <math>\;p\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace de la fonction complexe <math>\;\color{transparent}{F(p)}</math> }}[[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] sur son domaine de définition <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace }}est la fonction réelle <math>\;f(t)\;</math> de la variable réelle <math>\;t</math>, de support positif, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace est la fonction réelle <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}continue par morceaux sur tout intervalle <math>\;\left] 0\,;\,t_0 \right]\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace }}telle que «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f(t) \right\rbrace = F(p)\;</math> pour <math>\;p\;</math> tel que <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref name="exception"> Si le domaine de définition de <math>\;F(p)\;</math> contient des valeurs de <math>\;p\;</math> telles que <math>\;\Re (p) \leqslant \alpha\;</math> alors, pour ces valeurs, elle n'est pas la transformée de Laplace d'une fonction.</ref> avec <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace telle que }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> » et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace }}<math>\alpha\;</math> abscisse de convergence de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> ; <center>on dit encore que <math>\;f(t)\;</math> est l'« originale de <math>\;F(p)\;</math>» par transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> d'une fonction complexe [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] dont l'originale est à support positif<ref name="condition d'existence de transformée de Laplace" /> à celle <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace }}d'une fonction complexe [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] dont l'originale est à support positif étendu à gauche de <math>\;0\;</math> c'est-à-dire de <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale }}support <math>\;\left[ 0\,,\, +\infty \right[\; \cup\; \mathcal{V}(0^{-})\;</math> <math>\big\{</math>avec <math>\;\mathcal{V}(0^{-})\;</math> un <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale }}voisinage ouvert à gauche de <math>\;0</math>, borné inférieurement, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale }}telle que la restriction de la fonction à <math>\;\left[ 0\,,\, +\infty \right[^{\,C}\;</math><ref name="complémentaire d'une partie d'un ensemble" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale }}dans <math>\;\mathcal{V}(0^{-})\;</math><ref name="complémentaire particulier" /> est indéfiniment dérivable<ref name="f(0-) différent de 0" /> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace }}d'une fonction complexe [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] dont l'originale est une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] <math>\;\big(</math>l'intégrale de définition<ref name="sens des distributions" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale }}de sa transformée de Laplace<ref name="Laplace" /> convergeant<ref name="convergence de transformée de Laplace d'une distribution" /><math>\big)</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Dans le domaine d'[[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphie]] de <math>\;F(p)\;</math> il peut y avoir des valeurs de <math>\;p\;</math> isolées pour lesquelles <math>\;F(p)\;</math> est discontinue de 1^ère ou 2^ème espèce, dans ce dernier cas <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Dans le domaine d'holomorphie de <math>\;\color{transparent}{F(p)}\;</math> il peut y avoir des valeurs de <math>\;\color{transparent}{p}\;</math> isolées pour lesquelles <math>\;\color{transparent}{F(p)}\;</math> est discontinue de 1^ère ou }}<math>F(p)\;</math> est alors une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]]<ref name="sens des distributions" />. === Théorème d'unicité des transformées (monolatérales) inverses de Laplace === {{Théorème| titre = Théorème (admis) d'unicité de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe | contenu= {{Al|5}}La transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> d'une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> complexe [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]]<ref name="sens des distributions - ter"> Dans le cas d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]], l'[[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphie]] doit être faite au sens des [[w:Distribution_(mathématiques)|distributions]].</ref> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverse de Laplace }}est<ref name="sous conditions d'existence" /> <u>unique</u> en dehors des éventuels points de discontinuité.}} === Linéarité de la transformation (monolatérale) inverse de Laplace === {{Al|5}}Soient «<math>\;F_1(p)\;</math> et <math>\;F_2(p)\;</math> deux fonctions <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distributions]]<math>\big)\;</math> complexes [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphes]]<ref name="sens des distributions - ter" /> » admettant pour « transformées <math>\;\big(</math>monolatérales<math>\big)\;</math> inverses de Laplace<ref name="Laplace" /> respectives <br>{{Al|15}}{{Transparent|Soient «<math>\;\color{transparent}{F_1(p)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_2(p)}\;</math> deux fonctions <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distributions<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> complexes holomorphes » admettant pour « transformées <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérales<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> inverses de Laplace }}<math>\;\mathcal{L}^{-1}\! \left\lbrace F_1(p) \right\rbrace\;</math> et <math>\;\mathcal{L}^{-1}\! \left\lbrace F_2(p) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Transparent|Soit }}avec «<math>\;\alpha = \max \left\lbrace \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right\rbrace\;</math> la plus grande des abscisses de convergence » des deux transformées <math>\;\big(</math>monolatérales<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> et <br>{{Al|4}}{{Transparent|Soient }}«<math>\;a\;</math> un réel non nul quelconque », {{Al|5}}on démontre les propriétés suivantes <math>\;\big\{</math>ces démonstrations utilisent la linéarité de l'intégration permettant de passer de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> à sa transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /><math>\big\}</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|on démontre les propriétés suivantes }}«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\! \left\lbrace F_1(p) + F_2(p) \right\rbrace = \mathcal{L}^{-1}\! \left\lbrace F_1(p) \right\rbrace + \mathcal{L}^{-1}\! \left\lbrace F_2(p) \right\rbrace\;</math>» pour «<math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on démontre les propriétés suivantes }}«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\! \left\lbrace a\;F_1(p) \right\rbrace = a\;\mathcal{L}^{-1}\! \left\lbrace F_1(p) \right\rbrace\;</math> pour <math>\;\Re (p) > \alpha_1\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|on démontre les propriétés suivantes }}«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\! \left\lbrace a\;F_2(p) \right\rbrace = a\;\mathcal{L}^{-1}\! \left\lbrace F_2(p) \right\rbrace\;</math> pour <math>\;\Re (p) > \alpha_2\;</math>». === Méthode analytique de calcul de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace de la fonction (ou distribution) F(p) holomorphe sur son domaine de définition === {{Al|5}}Il n'existe pas de formule analytique générale permettant de calculer <math>\;f(t)\;</math> connaissant <math>\;F(p)\;</math> car, pour une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;F(p)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il n'existe pas de formule analytique générale permettant de calculer }}la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f(t)\;</math> correspondante ne fait vraisemblablement pas partie des fonctions usuelles et même <br>{{Al|7}}{{Transparent|Il n'existe pas de formule analytique générale permettant de calculer la fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}sa définition peut nécessiter une forme intégrale <math>\;\big(</math>ou un [[w:Développement_en_série|développement en série]]<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Une façon de définir l'originale de la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;F(p)\;</math> [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] sur son domaine de définition est «<math>\;f(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\lbrace F(p) \right\rbrace = \dfrac{1}{2\;\pi\;i}\;\displaystyle\int_{\gamma\, - \,i\,\infty}^{\gamma\, + \,i\,\infty} \exp(p\,t)\;F(p)\;dp\;</math>»<ref> Formule donnée mais nous ne l'utiliserons pas car son utilisation nécessite des connaissances plus approfondies.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une façon de définir l'originale de la fonction <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distribution<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{F(p)}\;</math> holomorphe sur son domaine de définition est «<math>\;\color{transparent}{f(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\lbrace F(p) \right\rbrace}</math> }}<math>\;\gamma \in \mathbb{R}\;</math> est choisi tel que l'intégrale soit convergente<ref> Cela suppose que <math>\;\gamma\;</math> soit <math>\;>\;</math> à la partie réelle de tout point singulier de <math>\;F(p)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Cela suppose que <math>\;\color{transparent}{\gamma}\;</math> soit }}tel qu'à l'infini, <math>\;\vert F(p) \vert\;</math> tende vers <math>\;0\;</math> au moins aussi rapidement que <math>\;\dfrac{1}{\vert p \vert^2}</math> ; <br>{{Al|3}}si cette dernière condition n'est pas satisfaite, la formule dite de '''Bromwich-Mellin''' <math>\;\big[</math>'''[[w:Thomas_John_I'Anson_Bromwich|Thomas John I'Anson Bromwich]] (1875 - 1929)''' est un mathématicien anglais à qui on doit essentiellement cette formule permettant le calcul de la transformée de Laplace inverse et '''[[w:Hjalmar_Mellin|Hjalmar Mellin]] (1854 - 1933)''' mathématicien finlandais à qui on doit la [[w:Transformation de Mellin|transformation de Mellin]] et qui fut remarqué à la fin de sa carrière par son opposition critique à la théorie de la relativité<math>\big]\;</math> est encore applicable sous des conditions dont on trouvera le détail dans « [[w:Transformation inverse de Laplace#Méthodes analytiques|méthodes analytiques]] pour évaluer la transformée inverse de Laplace ».</ref>. === Méthode pratique de recherche de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction rationnelle F(p) dont le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : une fonction <math>\;F(p)\;</math> complexe de la variable <math>\;p\;</math> complexe est dite <u>[[w:Fonction_rationnelle|rationnelle]]</u> si elle est un rapport de [[w:Fonction_polynomiale|fonctions polynômes]] à valeurs dans <math>\;\mathbb{C}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}si <math>\;P\;</math> et <math>\;Q\;</math> sont deux [[w:Fonction_polynomiale|fonctions polynômes]] non identiquement nulles<ref> En fait si <math>\;Q\;</math> est la [[w:Fonction_polynomiale|fonction polynôme]] identiquement nulle, le domaine de définition de la fonction <math>\;F\;</math> est <math>\;\emptyset\;</math> <math>\big(</math>ce qu'on rejette évidemment<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|En fait }}si <math>\;P\;</math> est la [[w:Fonction_polynomiale|fonction polynôme]] identiquement nulle, le domaine de définition de la fonction <math>\;F\;</math> est <math>\;\mathbb{C}\;</math> avec <math>\;F\;</math> identiquement nulle <math>\;\big(</math>ce qu'on rejette aussi car physiquement sans intérêt<math>\big)</math>.</ref>, « la fonction <math>\;F = \dfrac{P}{Q}\;</math> est définie pour tout <math>\;p\;</math> tel que <math>\;Q(p) \neq 0\;</math> par <math>\;F(p) = \dfrac{P(p)}{Q(p)}\;</math>». {{Al|5}}Soit « la fonction complexe [[w:Fonction_rationnelle|rationnelle]] <math>\;F(p) = \dfrac{P(p)}{Q(p)}\;</math> telle que les [[w:Polynôme|polynômes]] <math>\;P\;</math> et <math>\;Q\;</math> sont à cœfficients réels avec le degré de <math>\;P(p)\;</math> <math><\;</math> au degré de <math>\;Q(p)\;</math>», <br>{{Al|10}}cette fonction effectivement « [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] sur <math>\;\mathbb{C}\;</math> privé des valeurs de <math>\;p\;</math> qui annulent <math>\;Q(p)\;</math>», « admet une transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;f(t) =</math> <math>\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace F(p \right\rbrace\;</math>»<ref> En restreignant éventuellement le domaine de définition de <math>\;F(p)\;</math> à <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math> où <math>\;\alpha\;</math> est l'abscisse de convergence de <math>\;F(p) = \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace</math>.</ref>. ==== Exposé de la méthode de recherche de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction rationnelle F(p) dont le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur ==== {{Al|5}}Soit «<math>\;F(p) = \dfrac{P(p)}{Q(p)}\;</math> écrite sous forme normalisée »<ref name="normalisée"> C.-à-d. telle que le cœfficient de plus haut degré de <math>\;Q\;</math> est égal à <math>\;1</math>.</ref> avec «<math>\;P\;</math> et <math>\;Q\;</math> à cœfficients réels et <math>\;\mathrm{deg}\left[ P \right] < \mathrm{deg}\left[ Q \right]\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{F(p) = P(p)}\;</math> }}la méthode pour déterminer <math>\;f(t)</math>, transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> de <math>\;F(p) = \dfrac{P(p)}{Q(p)}\;</math> est la suivante : <br>{{Al|7}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{F(p) = P(p)}\;</math> la méthode pour déterminer <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math>, }}<math>\bullet\;</math>rechercher les « zéros <math>\;z_k\;</math>» <math>\;\big[</math>racines complexes de <math>\;P(p)\big]\;</math><ref name="complexes conjugués"> Le polynôme étant à cœfficients réels, quand les racines du polynôme ne sont pas réelles elles sont couplées en étant complexes conjuguées.</ref> et les « pôles <math>\;q_l\;</math>» <math>\;\big[</math>racines complexes de <math>\;Q(p)\big]\;</math><ref name="complexes conjugués" /> pour écrire <br>{{Al|7}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{F(p) = P(p)}\;</math> la méthode pour déterminer <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;P(p) = A\;\prod\limits_{k} \left( p - z_k \right)\;</math>»<ref name="avec zéros complexes conjugués"> Si, dans le produit, deux zéros étaient complexes conjugués <math>\;\big[</math>voir la notation utilisée en physique du conjugué d'un complexe dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Notion_de_complexe_conjugué|notion de complexe conjugué]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, on remplacerait <math>\;\left( p - \underline{z} \right) \left( p - \underline{z}^{*} \right)\;</math> par <math>\;p^2 - \left( \underline{z} + \underline{z}^{*} \right) p + \underline{z}\;\underline{z}^{*}\;</math> ou encore par <math>\;p^2 - 2\;\Re (\underline{z})\; p + \vert \underline{z} \vert^2</math> <math>\;\big[</math>on rappelle que <math>\;\underline{z}\;\underline{z}^{*} = \vert \underline{z} \vert^2\;</math> c.-à-d. le carré du module du complexe<math>\big]</math>.</ref> ainsi que «<math>\;Q(p) = \prod\limits_{l} \left( p - q_l \right)\;</math>»<ref name="avec pôles complexes conjugués"> Si, dans le produit, deux pôles étaient complexes conjugués <math>\;\big[</math>voir la notation utilisée en physique du conjugué d'un complexe dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Notion_de_complexe_conjugué|notion de complexe conjugué]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, on remplacerait <math>\;\left( p - \underline{q} \right) \left( p - \underline{q}^{*} \right)\;</math> par <math>\;p^2 - \left( \underline{q} + \underline{q}^{*} \right) p + \underline{q}\;\underline{q}^{*}\;</math> ou encore par <math>\;p^2 - 2\;\Re (\underline{q})\; p + \vert \underline{q} \vert^2</math> <math>\;\big[</math>on rappelle que <math>\;\underline{q}\;\underline{q}^{*} = \vert \underline{q} \vert^2\;</math> c.-à-d. le carré du module du complexe<math>\big]</math>.</ref> d'où «<math>\;F(p) = A\;\dfrac{\prod\limits_{k} \left( p - z_k \right)}{\prod\limits_{l} \left( p - q_l \right)}\;</math>»<ref name="avec zéros complexes conjugués" />{{,}}<ref name="avec pôles complexes conjugués" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{F(p) = P(p)}\;</math> la méthode pour déterminer <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}après avoir fait les simplifications éventuelles de façon à ce que la [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] soit irréductible, puis <br>{{Al|7}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{F(p) = P(p)}\;</math> la méthode pour déterminer <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math>, }}<math>\bullet\;</math>décomposer la [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] irréductible en éléments simples soit, dans le cas où tous les pôles sont réels et simples, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{F(p) = P(p)}\;</math> la méthode pour déterminer <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;F(p) = A\;\sum\limits_{l} \dfrac{\rho_l}{p - q_l}\;</math> avec <math>\;\rho_l \in \mathbb{R}^{*}\;</math> constantes à déterminer »<ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples"> Voir le développement de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|quelques méthodes de calcul]] (façon la plus rapide pour déterminer la décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » exposant uniquement le cas de pôles simples.</ref>{{,}}<ref> Sont explicités par la suite le cas de pôles réels et multiples <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Exemple_de_détermination_de_la_transformée_(monolatérale)_inverse_de_Laplace_d'une_fonction_complexe_rationnelle_holomorphe_possédant_uniquement_des_pôles_réels_dont_un_est_multiple|exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant uniquement des pôles réels dont un est multiple]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big]\;</math> ainsi que celui de pôles complexes conjugués deux à deux <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Exemple_de_détermination_de_la_transformée_(monolatérale)_inverse_de_Laplace_d'une_fonction_complexe_rationnelle_holomorphe_possédant_des_pôles_complexes_conjugués|exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant des pôles complexes conjugués]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> et enfin, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{F(p) = P(p)}\;</math> la méthode pour déterminer <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math>, }}<math>\bullet\;</math>utiliser les connaissances ou un formulaire pour déterminer les originales des éléments simples de réduction comme par exemple <br>{{Al|7}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{F(p) = P(p)}\;</math> la méthode pour déterminer <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{\rho_l}{p - q_l} \right\rbrace = \rho_l\;\exp(q_l\,t)\;Y(t)\;</math> si <math>\;\Re (p) > q_l\;</math>»<ref name="originale de 1/(p + a)"> Voir le paragraphe « transformée de Laplace directe d'une [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Fonction_exponentielle_réelle|fonction exponentielle réelle]] » plus haut dans le chapitre.</ref> et donc, dans le cas où tous les pôles sont réels et simples, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{F(p) = P(p)}\;</math> la méthode pour déterminer <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace F(p) \right\rbrace = A \left[ \sum\limits_l \rho_l\;\exp(q_l\,t) \right] Y(t)\;</math> si <math>\;\Re (p) > \max\limits_l q_l\;</math>»<ref name="linéarité"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Linéarité_de_la_transformation_(monolatérale)_inverse_de_Laplace|linéarité de la transformation (monolatérale) inverse de Laplace]] » plus haut dans le chapitre.</ref> {{,}}<ref name="originale de 1/(p + a)" />. ==== Exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant uniquement des pôles réels simples ==== {{Al|5}}Soit à « déterminer l'originale <math>\;f(t)\;</math> de <math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{p^2 + 5\,p + 6}\;</math> par transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> », pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}on commence par <math>\bullet\;</math>déterminer les zéros de la [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] soit « un zéro <math>\;z_1 = -1\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>déterminer }}les pôles de cette dernière c'est-à-dire les solutions de <math>\;p^2 + 5\,p + 6 = 0\;</math> de discriminant <math>\;\Delta = 5^2 - 4 \times 6 = 1 > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>déterminer les pôles de cette dernière c'est-à-dire }}« deux pôles réels et simples <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} q_1 = \dfrac{-5 + \sqrt{1}}{2} = -2\\q_2 = \dfrac{-5 - \sqrt{1}}{2} = -3\end{array}\right\rbrace\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par }}<math>\bullet\;</math>déduire la « forme normalisée irréductible de la fonction complexe [[w:Fonction_rationnelle|rationnelle]] [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] <math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{(p + 2)\;(p + 3)}\;</math>» pour <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par }}<math>\bullet\;</math>la décomposer en éléments simples irréductibles «<math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{(p + 2)\;(p + 3)} = \dfrac{\rho_1}{p + 2} + \dfrac{\rho_2}{p + 3}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer en éléments simples irréductibles }}<math>\;\big[</math>les constantes <math>\;\rho_1\;</math> et <math>\;\rho_2\;</math> restant à évaluer<ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer }}<math>\succ\;</math>la constante <math>\;\rho_1\;</math> se déterminant en multipliant de part et d'autre par <math>\;p + 2\;</math> et en y faisant <math>\;p = -2\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\left[ \dfrac{p + 1}{p + 3} \right]_{\!p = -2} = \rho_1\; \cancel{+ \left[ \dfrac{\rho_2\;(p + 2)}{p + 3} \right]_{\!p = -2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho_1 = -1\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer }}<math>\succ\;</math>la constante <math>\;\rho_2\;</math> {{Transparent|se déterminant }}en multipliant de part et d'autre par <math>\;p + 3\;</math> et en y faisant <math>\;p = -3\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\left[ \dfrac{p + 1}{p + 2} \right]_{\!p = -3} = \cancel{\left[ \dfrac{\rho_1\;(p + 3)}{p + 2} \right]_{\!p = -3} +}\; \rho_2\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho_2 = 2\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer en éléments simples irréductibles }}«<math>\;F(p) = -\dfrac{1}{p + 2} + \dfrac{2}{p + 3}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par }}<math>\bullet\;</math>en déduire l'« originale <math>\;f(t)\;</math> de <math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{p^2 + 5\,p + 6}\;</math> par transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale }}«<math>\;f(t) = \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace F(p) \right\rbrace = -\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p + 2} \right\rbrace + 2\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p + 3} \right\rbrace\;</math><ref name="linéarité" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale «<math>\;\color{transparent}{f(t)}</math> }}<math>= \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{p + 1}{p^2 + 5\,p + 6} \right\rbrace = \left[ -\exp(-2\,t) + 2\;\exp(-3\,t) \right]\,Y(t)\;</math><ref name="originale de 1/(p + a)" /> si <math>\;\Re (p) > \max \left( -2\,;\, -3 \right) = -2\;</math>». ==== Exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant uniquement des pôles réels dont un est multiple ==== {{Al|5}}Soit à « déterminer l'originale <math>\;f(t)\;</math> de <math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{p\,(p^2 + 4\,p + 4)}\;</math> par transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> », pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}on commence par <math>\bullet\;</math>déterminer les zéros de la [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] soit « un zéro <math>\;z_1 = -1\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>déterminer }}les pôles de cette dernière c'est-à-dire les solutions de <math>\;p\,(p^2 + 4\,p + 4) = 0\;</math> donnant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>déterminer les pôles de cette dernière c'est-à-dire }}« un 1^er pôle réel simple <math>\;q_1 = 0\;</math>»<ref> Ce pôle est effectivement simple car il n'est pas solution de l'équation du 2^ème degré <math>\;p^2 + 4\,p + 4 = 0\;</math> déterminant les autres pôles.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>déterminer les pôles de cette dernière c'est-à-dire « }}d'autres pôles racines de <math>\;p^2 + 4\,p + 4 = 0\;</math> équation du 2^ème degré <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>déterminer les pôles de cette dernière c'est-à-dire « d'autres pôles racines de <math>\;\color{transparent}{p^2 + 4\,p + 4 = 0}\;</math> }}de discriminant réduit <math>\;\Delta' = 2^2 - 4 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>déterminer les pôles de cette dernière c'est-à-dire }}« un pôle réel double <math>\;q_2 = -2\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par }}<math>\bullet\;</math>déduire la « forme normalisée irréductible de la fonction complexe [[w:Fonction_rationnelle|rationnelle]] [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] <math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{p\;(p + 2)^2}\;</math>» pour <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par }}<math>\bullet\;</math>la décomposer en éléments simples irréductibles «<math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{p\;(p + 2)^2} = \dfrac{\rho_1}{p} + \dfrac{\rho_2}{(p + 2)^2} + \dfrac{{\rho'}_{\!2}}{p + 2}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer en éléments simples irréductibles }}<math>\;\big[</math>les constantes <math>\;\rho_1</math>, <math>\;\rho_2\;</math> et <math>\;{\rho'}_{\!2}\;</math> restant à évaluer<ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" />{{,}}<ref> L'évaluation de la constante <math>\;{\rho'}_{\!2}\;</math> nécessitant un traitement particulier exposé dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-110|¹¹⁰]] » plus bas dans ce chapitre.</ref><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer }}<math>\succ\;</math>la constante <math>\;\rho_1\;</math> se déterminant en multipliant de part et d'autre par <math>\;p\;</math> et en y faisant <math>\;p = 0\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\left[ \dfrac{p + 1}{(p + 2)^2} \right]_{\!p = 0} = \rho_1\; \cancel{+ \left[ \dfrac{\rho_2\;p}{(p + 2)^2} \right]_{\!p = 0} + \left[ \dfrac{{\rho'}_2\;p}{p + 2} \right]_{\!p = 0}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho_1 = \dfrac{1}{4}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer }}<math>\succ\;</math>la constante <math>\;\rho_2\;</math> {{Transparent|se déterminant }}en multipliant de part et d'autre par <math>\;(p + 2)^2\;</math> et en y faisant <math>\;p = -2\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\left[ \dfrac{p + 1}{p} \right]_{\!p = -2} = \cancel{\left[ \dfrac{\rho_1\;(p + 2)^2}{p} \right]_{\!p = -2} +}\; \rho_2\; \cancel{+ \left[ {\rho'}_2\;(p + 2) \right]_{p = -2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho_2 = \dfrac{1}{2}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer }}<math>\succ\;</math>la constante <math>\;{\rho'}_2\;</math> {{Transparent|se déterminant }}en multipliant de part et d'autre par <math>\;p + 2\;</math> et en y faisant <math>\;p \rightarrow \infty\;</math><ref> Multiplier par <math>\;p + 2\;</math> transformant le dernier élément simple du 2^ème membre en <math>\;{\rho'}_2\;</math> et simultanément <br>{{Al|3}}faire tendre <math>\;p\;</math> vers l'<math>\infty\;</math> annule le 1^ermembre et le 2^ème élément simple du 2^ème membre <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\cancel{\left[ \dfrac{p + 1}{p\,(p + 2)} \right]_{\!p \rightarrow \infty}}\; = \left[ \dfrac{\rho_1\;(p + 2)}{p} \right]_{\!p \rightarrow \infty}\; \cancel{+ \left[ \dfrac{\rho_2}{p + 2} \right]_{\!p \rightarrow \infty} +}\; {\rho'}_2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;{\rho'}_2 = -\rho_1\;</math> c'est-à-dire, avec <math>\;\rho_1 = \dfrac{1}{4}</math>, «<math>\;{\rho'}_2 = -\dfrac{1}{4}\;</math>» <br>{{Al|2}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer en éléments simples }}soit finalement «<math>\;F(p) = \dfrac{1}{4\;p} + \dfrac{1}{2\,(p + 2)^2} - \dfrac{1}{4\,(p + 2)}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par }}<math>\bullet\;</math>en déduire l'« originale <math>\;f(t)\;</math> de <math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{p\,(p^2 + 4\,p + 4)}\;</math> par transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale }}«<math>\;f(t) = \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace F(p) \right\rbrace = \dfrac{1}{4}\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p} \right\rbrace + \dfrac{1}{2}\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{(p + 2)^2} \right\rbrace - \dfrac{1}{4}\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p + 2} \right\rbrace\;</math><ref name="linéarité" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale «<math>\;\color{transparent}{f(t)}</math> }}<math>= \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{p + 1}{p\,(p^2 + 4\,p + 4)} \right\rbrace = \dfrac{1}{4} \left[ 1 + 2\;t\;\exp(-2\,t) - \exp(-2\,t) \right]\,Y(t)\;</math><ref name="originale de 1/(p + a)" />{{,}}<ref name="originale du carré de 1/(p + a)"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Conséquence_d'une_multiplication_par_une_fonction_puissance_de_t_sur_les_transformées_(monolatérales)_de_Laplace|conséquence d'une multiplication par une fonction puissance de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace]] » plus haut dans le chapitre.</ref> si <math>\;\Re (p) > \max \left( 0\,;\, -2 \right)\;</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale «<math>\;\color{transparent}{f(t)}</math> <math>\color{transparent}{= \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace p\,(p^2 + 4\,p + 4) \right\rbrace = 1 \left[ 1 + 2\;t\;\exp(-2\,t) - \exp(-2\,t) \right]\,Y(t)}\;</math> }}ou <math>\;\Re (p) > 0\;</math>». ==== Exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant des pôles complexes conjugués ==== {{Al|5}}Soit à « déterminer l'originale <math>\;f(t)\;</math> de <math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{p\,(p^2 + p + 2)}\;</math> par transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> », pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}on commence par <math>\bullet\;</math>déterminer les zéros de la [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] soit « un zéro <math>\;z_1 = -1\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>déterminer }}les pôles de cette dernière c'est-à-dire les solutions de <math>\;p\,(p^2 + 4\,p + 4) = 0\;</math> donnant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>déterminer les pôles de cette dernière c'est-à-dire }}« un 1^er pôle réel simple <math>\;q_1 = 0\;</math>»<ref> Ce pôle est effectivement simple car il n'est pas solution de l'équation du 2^ème degré <math>\;p^2 + p + 2 = 0\;</math> déterminant les autres pôles.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>déterminer les pôles de cette dernière c'est-à-dire « }}d'autres pôles racines de <math>\;p^2 + p + 2 = 0\;</math> équation du 2^ème degré <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>déterminer les pôles de cette dernière c'est-à-dire « d'autres pôles racines de <math>\;\color{transparent}{p^2 + p + 2 = 0}\;</math> }}de discriminant <math>\;\Delta = 1^2 - 4 \times 2 = -7 < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>déterminer les pôles de cette dernière c'est-à-dire }}« deux pôles complexes conjugués qu'il n'est pas utiles de déterminer » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par }}<math>\bullet\;</math>déduire la « forme normalisée irréductible de la fonction complexe [[w:Fonction_rationnelle|rationnelle]] [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] <math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{p\;(p^2 + p + 2)}\;</math>»<ref> En fait il n'y a rien à faire car la fonction complexe [[w:Fonction_rationnelle|rationnelle]] [[Fonctions_d'une_variable_complexe/Fonctions_holomorphes#Fonction_holomorphe_et_dérivée|holomorphe]] <math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{p\;(p^2 + p + 2)}\;</math> est déjà sous sa forme normalisée factorisée sur <math>\;\mathbb{R}</math>.</ref> pour <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par }}<math>\bullet\;</math>la décomposer en éléments simples irréductibles «<math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{p\;(p^2 + p + 2)} = \dfrac{\rho_1}{p} + \dfrac{\rho_2\;p + {\rho'}_2}{p^2 + p + 2}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer en éléments simples irréductibles }}<math>\;\big[</math>les constantes <math>\;\rho_1</math>, <math>\;\rho_2\;</math> et <math>\;{\rho'}_{\!2}\;</math> restant à évaluer<ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" />{{,}}<ref> L'évaluation des constantes <math>\;\rho_2\;</math> et <math>\;{\rho'}_{\!2}\;</math> nécessitant un traitement particulier exposé dans les notes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-115|¹¹⁵]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-116|¹¹⁶]] » plus bas dans ce chapitre.</ref><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer }}<math>\succ\;</math>la constante <math>\;\rho_1\;</math> se déterminant en multipliant de part et d'autre par <math>\;p\;</math> et en y faisant <math>\;p = 0\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\left[ \dfrac{p + 1}{p^2 + p + 2} \right]_{\!p = 0} = \rho_1\; \cancel{+ \left[ \dfrac{\left( \rho_2\;p + {\rho'}_2 \right)\,p}{p^2 + p + 2} \right]_{\!p = 0}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho_1 = \dfrac{1}{2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer }}<math>\succ\;</math>la constante <math>\;\rho_2\;</math> {{Transparent|se déterminant }}en multipliant de part et d'autre par <math>\;p\;</math> et en y faisant <math>\;p \rightarrow \infty\;</math><ref> Multiplier par <math>\;p\;</math> et faire tendre <math>\;p\;</math> vers l'<math>\infty\;</math> transformant le dernier élément simple du 2^ème membre en <math>\;\rho_2\;</math> et annulant le 1^ermembre <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\cancel{\left[ \dfrac{p + 1}{p^2 + p + 2} \right]_{\!p \rightarrow \infty}} = \rho_1\; + \left[ \dfrac{\left( \rho_2\;p + {\rho'}_2 \right)\,p}{p^2 + p + 2} \right]_{\!p \rightarrow \infty}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\rho_2 = -\rho_1\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho_2 = -\dfrac{1}{2}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer }}<math>\succ\;</math>la constante <math>\;{\rho'}_2\;</math> {{Transparent|se déterminant }}en donnant une valeur particulière à <math>\;p\;</math> par exemple <math>\;p = -1\;</math><ref> Donner la valeur <math>\;-1\;</math> à <math>\;p\;</math> annulant le 1^er membre <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\cancel{\left[ \dfrac{p + 1}{p\;(p^2 + p + 2)} \right]_{\!p = -1}} = \left[ \dfrac{\rho_1}{p} + \dfrac{\rho_2\;p + {\rho'}_2}{p^2 + p + 2} \right]_{\!p = -1}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{{\rho'}_2}{2} = \rho_1 + \dfrac{\rho_2}{2} = \dfrac{\rho_1}{2}\;</math><ref> On rappelle que «<math>\;\rho_2 = -\rho_1\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;{\rho'}_2 = \rho_1\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;{\rho'}_2 = \dfrac{1}{2}\;</math>» <br>{{Al|2}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la décomposer en éléments simples }}soit finalement «<math>\;F(p) = \dfrac{1}{2\;p} - \dfrac{1}{2}\;\dfrac{p - 1}{p^2 + p + 2}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par }}<math>\bullet\;</math>en déduire l'« originale <math>\;f(t)\;</math> de <math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{p\,(p^2 + p + 2)}\;</math> par transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale }}«<math>\;f(t) = \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace F(p) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p} \right\rbrace - \dfrac{1}{2}\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{p - 1}{p^2 + p + 2} \right\rbrace\;</math><ref name="linéarité" /> » <math>\;\Bigg\{\!</math>à ce stade il devient utile de réécrire le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale « }}2^ème élément simple correspondant aux pôles complexes conjugués de façon à utiliser les transformées <math>\;\big(</math>monolatérales<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale « }}inverses de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{p + a}{(p + a)^2 + \omega^2} \right\rbrace = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t) \\ \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{\omega}{(p + a)^2 + \omega^2} \right\rbrace = \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\end{array} \right]\;</math>»<ref name="transformée de Laplace d'un cos ou sin à amplitude exponentielle"> Voir le paragraphe de détermination de la « transformée (monolatérale) de Laplace des [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Fonctions_sinusoïdale_et_cosinusoïdale_amorties_exponentiellement|fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement]] » plus haut dans le chapitre.</ref> soit, le dénominateur de ce 2^ème <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale « }}élément simple se réécrivant selon «<math>\;p^2 + p + 2 = \left( p + \dfrac{1}{2} \right)^{\!2} - \dfrac{1}{4} + 2 = \left( p + \dfrac{1}{2} \right)^{\!2} + \left( \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)^{\!2}\;</math>» induisant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale « }}<math>\left[ \begin{array}{c} a = \dfrac{1}{2}\\ \omega = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\end{array} \right]</math>, suggérant la réécriture du numérateur de ce 2^ème élément simple selon «<math>\;p - 1 = \left( p + \dfrac{1}{2} \right) - \dfrac{3}{2}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale « }}soit «<math>\;p - 1 = \left( p + \dfrac{1}{2} \right) - \dfrac{3}{\sqrt{7}} \;\dfrac{\sqrt{7}}{2}\;</math>» d'où la réécriture de ce 2^ème élément simple selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale « }}«<math>\;\dfrac{p - 1}{p^2 + p + 2} = \dfrac{p + \dfrac{1}{2}}{\left( p + \dfrac{1}{2} \right)^{\!2} + \left( \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)^{\!2}} - \dfrac{3}{\sqrt{7}}\;\dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{2}}{\left( p + \dfrac{1}{2} \right)^{\!2} + \left( \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)^{\!2}}\;</math>»<math>\Bigg\}\;</math> soit, avec «<math>\;f(t) = \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace F(p) \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale }}«<math>\;f(t) = \dfrac{1}{2} \left[ \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p} \right\rbrace - \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{p + \dfrac{1}{2}}{\left( p + \dfrac{1}{2} \right)^{\!2} + \left( \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)^{\!2}} \right\rbrace + \dfrac{3}{\sqrt{7}}\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{2}}{\left( p + \dfrac{1}{2} \right)^{\!2} + \left( \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)^{\!2}} \right\rbrace \right]\;</math>» <ref name="linéarité" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale }}«<math>\;f(t) = \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace F(p) \right\rbrace = \dfrac{1}{2} \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{1}{2}\; t \right)\,\cos\! \left( \dfrac{\sqrt{7}}{2}\;t \right) + \dfrac{3}{\sqrt{7}}\;\exp\! \left( -\dfrac{1}{2}\; t \right)\,\sin\! \left( \dfrac{\sqrt{7}}{2}\;t \right) \right]\,Y(t)\;</math>» <ref name="originale de 1/(p + a)" />{{,}} <ref name="transformée de Laplace d'un cos ou sin à amplitude exponentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à « déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> on commence par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en déduire l'originale «<math>\;\color{transparent}{f(t) = \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace F(p) \right\rbrace =}</math> }}sous la condition <math>\;\Re (p) > \max \left( 0\,;\, -\dfrac{1}{2} \right) = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : il est possible de mettre l'expression «<math>\;g(t) = \cos\! \left( \dfrac{\sqrt{7}}{2}\;t \right) - \dfrac{3}{\sqrt{7}}\;\sin\! \left( \dfrac{\sqrt{7}}{2}\;t \right)\;</math>» sous la forme «<math>\;g(t) = C\;\cos\! \left( \dfrac{\sqrt{7}}{2}\;t + \varphi \right)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Fourier#Passage_du_premier_au_second_développement_en_série_de_Fourier|passage du 1^er au 2^nd développement en série de Fourier]] (établissemnt du lien permettant d'obtenir “C_n, φ_n” à partir de “A_n, B_n”) » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> en posant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;C = \sqrt{ (1)^2 + \dfrac{(-3)^2}{7}} = \dfrac{4}{\sqrt{7}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;g(t) = \dfrac{4}{\sqrt{7}} \left[ \dfrac{\sqrt{7}}{4}\;\cos\! \left( \dfrac{\sqrt{7}}{2}\;t \right) - \dfrac{3}{4}\;\sin\! \left( \dfrac{\sqrt{7}}{2}\;t \right) \right]\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\left\lbrace \begin{array}{c} \cos(\varphi) = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\\ \sin(\varphi) = \dfrac{3}{4}\end{array}\right\rbrace\;</math>» correspondant à «<math>\;\varphi = \arctan\! \left( \dfrac{3}{\sqrt{7}} \right)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;g(t) = \dfrac{4}{\sqrt{7}}\;\cos\! \left[ \dfrac{\sqrt{7}}{2}\;t + \arctan\! \left( \dfrac{3}{\sqrt{7}} \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}permettant de réécrire l'« originale de <math>\;F(p) = \dfrac{p + 1}{p\;(p^2 + p + 2)}\;</math>» par transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> sous la forme <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : permettant de réécrire l'« originale }}«<math>\;f(t) = \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{p + 1}{p\,(p^2 + p + 2)} \right\rbrace = \dfrac{1}{2} \left\lbrace 1 - \dfrac{4}{\sqrt{7}}\;\exp\! \left( -\dfrac{1}{2}\; t \right)\,\cos\! \left[ \dfrac{\sqrt{7}}{2}\;t + \arctan\! \left( \dfrac{3}{\sqrt{7}} \right) \right] \right\rbrace\,Y(t)\;</math>»<ref> La partie cosinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;f_{\text{cos amort}}(t)\;</math> correspond aux pôles complexes conjugués de la fonction <math>\;F(p)\;</math> c.-à-d. aux racines de <math>\;p^2 + p + 2 = 0\;</math> de discriminant <math>\;\Delta = -7\;</math> conduisant aux pôles <math>\;\underline{\rho_{\pm}} = \dfrac{-1 \pm i\,\sqrt{7}}{2}\;</math> dont la partie réelle est le cœfficient de <math>\;t\;</math> de l'argument de l'exponentielle de <math>\;f_{\text{cos amort}}(t)\;</math> et dont la valeur absolue de la partie imaginaire est le cœfficient de <math>\;t\;</math> de l'argument de la partie cosinusoïdale de <math>\;f_{\text{cos amort}}(t)</math>.</ref> si <math>\;\Re (p) > 0\;</math> ou numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : permettant de réécrire l'« originale }}«<math>\;f(t) \simeq \dfrac{1}{2} \left[ 1 - 1,512\;\exp\! \left( -0,5\; t \right)\,\cos\! \left( 1,323\;t + 0,848 \right) \right]\,Y(t)\;</math>» sous la condition <math>\;\Re (p) > 0</math>. == Théorèmes aux limites applicables dans la transformation (monolatérale) de Laplace == === Théorème de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace === ==== Énoncé du théorème de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace ==== {{Théorème| titre = Théorème (admis) de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace| contenu ={{Al|5}}Soit une « fonction réelle causale<ref name="causale" />{{,}}<ref name="support positif" /> <math>\;f(t)\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math>»<ref name="domaine temporel"> Le domaine de définition de <math>\;f(t)\;</math> étant appelé « domaine temporel ».</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}convergeant en <math>\;t = 0\;</math><ref name="convergeant en 0"> Donc ayant une limite finie pour <math>\;t \rightarrow 0^{+}</math>.</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}telle qu'une transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;F(p) = \mathcal{L}\! \left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|14}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> telle qu'une }}d'abscisse de convergence <math>\;\alpha \in \mathbb{R}\, \cup\, -\infty\;</math><ref name="domaine de variation de p non vide"> Donc «<math>\;\alpha \neq +\infty\;</math>», <math>\;\big[\alpha = +\infty\;</math> signifierait que le domaine de variation de la variable <math>\;p\;</math> de Laplace est vide puisque <math>\;\Re(p)\;</math> devrait être <math>\;>\;</math> à <math>\;+\infty\big]</math>.</ref> lui est associée<ref name="conditions d'existence de transformée monolatérale de Laplace"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Transformée_(monolatérale)_de_Laplace_(sous_condition_d'existence)_d'une_fonction_réelle_d'une_variable_réelle|transformée (monolatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle d'une variable réelle]] » plus haut dans ce chapitre exposant les conditions sur <math>\;f(t)\;</math> pour que cette dernière admette une transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace.</ref>, <br>{{Al|5}}nous admettons<ref name="démonstration du théorème de la valeur initiale"> Nous l'admettons mais la démonstration ne présente aucune difficulté majeure et les lecteurs intéressés peuvent trouver la démonstration au paragraphe « théorème de la [[w:Transformation_de_Laplace#Valeur_initiale|valeur initiale]] » dans l'article de wikipédia traitant de la transformée de Laplace.</ref> la propriété suivante «<math>\;\lim\limits_{t\,\rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ f(t) \right] = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}\;</math>».}} ==== Vérification du théorème de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace sur des exemples ==== {{Al|5}}À défaut de démonstration<ref name="démonstration du théorème de la valeur initiale" />, on peut vérifier le « théorème de la [[w:Transformation_de_Laplace#Valeur_initiale|valeur initiale]] » sur des exemples : * « fonction de Heaviside<ref name="Heaviside" /> <math>\;\big(</math>ou échelon unité<math>\big)</math> <math>\;f(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1\;\text{si}\;t > 0\\ 0\;\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{1}{p}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="1ers exemples de transformées monolatérales de Laplace" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|« fonction de Heaviside <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou échelon unité<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{f(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1\;\text{si}\;t > 0\\ 0\;\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace}\;</math>» }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 1 = f(0^{+})\;</math>», * « fonction rampe <math>\;f(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} a\;t\;\text{si}\;t \geqslant 0\\ 0\quad\text{si}\;t \leqslant 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{a}{p^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="1ers exemples de transformées monolatérales de Laplace" />, <br>{{Transparent|« fonction rampe <math>\;\color{transparent}{f(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} a\;t\;\text{si}\;t \geqslant 0\\ 0\quad\text{si}\;t \leqslant 0\end{array}\right\rbrace}\;</math>» }}on vérifie que <math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 0 = f(0^{+})\;</math>», * « fonction exponentielle réelle <math>\;f(t) = \exp(-a\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}\;</math>» de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{1}{p + a}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="originale de 1/(p + a)" />, <br>{{Transparent|« fonction exponentielle réelle <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{a \in \mathbb{R}^{*}}\;</math>» }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 1 = f(0^{+})\;</math>», * « fonction cosinusoïdale <math>\;f(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{p}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale"> Voir le paragraphe « transformées <math>\;\big(</math>monolatérales<math>\big)\;</math> de Laplace des [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Fonctions_sinusoïdale_et_cosinusoïdale|fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« fonction cosinusoïdale <math>\;\color{transparent}{f(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 1 = f(0^{+})\;</math>», * « fonction sinusoïdale <math>\;f(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« fonction sinusoïdale <math>\;\color{transparent}{f(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 0 = f(0^{+})\;</math>», * « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;f(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \\ a \in \mathbb{R}_{+}^{*}\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{p + a}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|« fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \right\rbrace}\;</math>» de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Fonctions_sinusoïdale_et_cosinusoïdale_amorties_exponentiellement|fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|« fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \right\rbrace}\;</math>» }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 1 = f(0^{+})\;</math>» et * « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;f(t) = \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \\ a \in \mathbb{R}_{+}^{*}\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{\omega}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|« fonction sinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \right\rbrace}\;</math>» de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement" />, <br>{{Al|8}}{{Transparent|« fonction sinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \right\rbrace}\;</math>» }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 0 = f(0^{+})\;</math>» * <math>\;\ldots</math> ==== Généralisation à la détermination de la valeur initiale de la dérivée temporelle dans la transformation (monolatérale) de Laplace ==== {{Proposition| titre = Valeur initiale de la dérivée temporelle dans la transformation (monolatérale) de Laplace| contenu ={{Al|5}}Soit une « fonction réelle causale<ref name="causale" />{{,}}<ref name="support positif" /> <math>\;f(t)\;</math> et sa dérivée temporelle<ref> Également causale selon les notes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-causale-4|⁴]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-support_positif-9|⁹]] » explicitées plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\dot{f}(t)\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math>»<ref name="domaine temporel" />, <br>{{Al|22}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> et sa dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> }}convergeant toutes deux en <math>\;t = 0\;</math><ref name="convergeant en 0" /> et <br>{{Al|22}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> et sa dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> }}telle qu'une transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de <br>{{Al|22}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> et sa dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> }}Laplace<ref name="Laplace" /> leur est respectivement associée<ref name="conditions d'existence de transformée monolatérale de Laplace" /> soit <br>{{Al|22}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> et sa dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{L}\! \left\lbrace f(t) \right\rbrace = F(p)\;</math>» d'abscisse de convergence <br>{{Al|22}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> et sa dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«}}<math>\;\alpha \in \mathbb{R}\, \cup\, -\infty\;</math><ref name="domaine de variation de p non vide" /> et <br>{{Al|22}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> et sa dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{L}\! \left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = p\;F(p) - f(0^{+})</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de dérivée de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Conséquence_de_la_dérivation_sur_les_transformées_(monolatérales)_de_Laplace|conséquence de la dérivation sur les transformées (monolatérales) de Laplace]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'abscisse <br>{{Al|22}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> et sa dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«}}de convergence <math>\;\alpha \in \mathbb{R}\, \cup\, -\infty\;</math><ref name="domaine de variation de p non vide" />, <br>{{Al|5}}nous admettons la validité de la propriété suivante<ref> Ne figurant pas dans l'article de wikipédia traitant des [[w:Transformation_de_Laplace#Propriétés|propriétés de la transformée de Laplace]] <math>\;\big(</math>une éventuelle démonstration ne peut donc pas y être trouvée<math>\big)\;</math> mais, à ma connaissance, propriété valide au moins dans les cas apparaissant en physique.</ref> «<math>\;\lim\limits_{t\,\rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ \dot{f}(t) \right] = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p) - p\;f(0^{+}) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}</math>».}} ==== Application à la détermination de la valeur initiale de la dérivée temporelle dans la transformation (monolatérale) de Laplace sur des exemples ==== {{Al|5}}Reprenant les exemples des fonctions usuelles ayant servi à vérifier le théorème de la [[w:Transformation_de_Laplace#Valeur_initiale|valeur initiale]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Reprenant les exemples des fonctions usuelles }}à l'exception de la fonction de Heaviside<ref name="Heaviside" /> <math>\;\big(</math>car sa dérivée diverge en <math>\;t = 0\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Reprenant les exemples des fonctions usuelles }}pour justifier la validité de la détermination de la [[w:Transformation_de_Laplace#Valeur_initiale|valeur initiale]] de la dérivée temporelle utilisant la transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> : * « fonction rampe <math>\;f(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} a\;t\;\text{si}\;t \geqslant 0\\ 0\quad\text{si}\;t \leqslant 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>«<math>\;f(0^{+}) = 0\;</math>»<math>\big]\;</math> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{a}{p^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="1ers exemples de transformées monolatérales de Laplace" />, de <br>« dérivée temporelle<ref name="sens des fonctions"> Dérivée temporelle au sens des fonctions.</ref> <math>\;\dot{f}(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} a\quad\text{si}\;t > 0\\ 0\quad\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\big(</math>discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /><math>\big)\;</math>» de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;G(p) = p\; F(p)\;</math><ref name="transformée monolatérale de Laplace de dérivée de fonction" /> <math>= \dfrac{a}{p}\;</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace a\quad\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>discontinue de 1^ère espèce en <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math><math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{G(p) = p\; F(p)}\;</math> }}pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math><ref> En effet <math>\;F(p) = \dfrac{a}{p^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math> et <math>\;f(0^{+}) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;G(p) = \mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace - f(0^{+}) = p\;\dfrac{a}{p^2} = \dfrac{a}{p}\;</math> pour <math>\;\R (p) > 0</math>.</ref> » <br>{{Al|13}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} a\quad\text{si}\;t > 0\\ 0\quad\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>discontinue de 1^ère espèce en <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math><math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p)\; \cancel{- p\;f(0^{+})} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = a = \dot{f}(0^{+})\;</math>», * « fonction exponentielle réelle <math>\;f(t) = \exp(-a\,t)\;Y(t) = \left\lbrace \begin{array}{c l} \exp(-a\,t)\!\!&\text{si}\;t > 0\\ 0\!\!&\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}\;</math>» <math>\;\big[</math>«<math>\;f(0^{+}) = 1\;</math>»<math>\big]\;</math> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{1}{p + a}\;</math> pour <br>{{Al|13}}{{Transparent|« fonction exponentielle réelle <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;Y(t) = \left\lbrace \exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{a \in \mathbb{R}^{*}}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{f(0^{+}) = 1}\;</math>»<math>\color{transparent}{\big]}\;</math> de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}<math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="originale de 1/(p + a)" />, de <br>« dérivée temporelle<ref name="sens des fonctions" /> <math>\;\dot{f}(t) = \left\lbrace \begin{array}{c l} -a\;\exp(-a\,t)\!\!&\text{si}\;t > 0\\ 0\!\!&\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace = -a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)\;</math> <math>\big(</math>discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /><math>\big)\;</math>», de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;G(p) =</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace -a\;\exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0\right\rbrace = -a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>discontinue de 1^ère espèce en <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math><math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», de « }}<math>p\; F(p) - 1\;</math><ref name="transformée monolatérale de Laplace de dérivée de fonction" /> <math>= \dfrac{-a}{p + a}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math><ref> En effet <math>\;F(p) = \dfrac{1}{p + a}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math> et <math>\;f(0^{+}) = 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;G(p) = \mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace - f(0^{+}) = p\;\dfrac{1}{p + a} - 1 = \dfrac{-a}{p + a}\;</math> pour <math>\;\R (p) > -a</math>.</ref> » <br>{{Al|17}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace -a\;\exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0\right\rbrace = -a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;</math> }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p) - p\;f(0^{+}) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ \dfrac{p^2}{p + a} - p \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ \dfrac{-p\;a)}{p + a} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace -a\;\exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0\right\rbrace = -a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;</math> on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p) - p\;f(0^{+}) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}}</math> }}<math>= -a = \dot{f}(0^{+})\;</math>», * « fonction cosinusoïdale <math>\;f(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t) = \left\lbrace \begin{array}{c l} \cos(\omega\,t)\!\!&\text{si}\;t > 0\\ 0\!\!&\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> avec <math>\;\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> <math>\;\big[</math>«<math>\;f(0^{+}) = 1\;</math>»<math>\big]\;</math> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{p}{p^2 + \omega^2}\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|« fonction cosinusoïdale <math>\;\color{transparent}{f(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t) = \left\lbrace \cos(\omega\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{f(0^{+}) = 1}\;</math>»<math>\color{transparent}{\big]}\;</math> de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale" />, de <br>« dérivée temporelle<ref name="sens des fonctions" /> <math>\;\dot{f}(t) = \left\lbrace \begin{array}{c l} -\omega\;\sin(\omega\,t)\!\!&\text{si}\;t > 0\\ 0\!\!&\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace = -\omega\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math><ref> Dérivée temporelle continue en <math>\;t = 0\;</math> bien que la fonction y est discontinue de 1^ère espèce <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> », de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;G(p) = p\; F(p) - 1\;</math><ref name="transformée monolatérale de Laplace de dérivée de fonction" /> <math>= \dfrac{-\omega^2}{p^2 + \omega^2}\;</math> <br>{{Al|33}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace -\omega\;\sin(\omega\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace = -\omega\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> », de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{G(p) = p\; F(p) - 1}\;</math> }}pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math><ref> En effet <math>\;F(p) = \dfrac{p}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math> et <math>\;f(0^{+}) = 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;G(p) = \mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace - f(0^{+}) = p\;\dfrac{p}{p^2 + \omega^2} - 1 = \dfrac{-\omega^2}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\R (p) > 0</math>.</ref> » <br>{{Al|17}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace -\omega\;\sin(\omega\,t)\!\!\text{si}\;t > 0\right\rbrace = -\omega\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p) - p\;f(0^{+}) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ \dfrac{p^3}{p^2 + \omega^2} - p \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ \dfrac{- p\;\omega^2}{p^2 + \omega^2} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace -\omega\;\sin(\omega\,t)\!\!\text{si}\;t > 0\right\rbrace = -\omega\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p) - p\;f(0^{+}) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}}</math> }}<math>= 0 = \dot{f}(0^{+})\;</math>», * « fonction sinusoïdale <math>\;f(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t) = \left\lbrace \begin{array}{c l} \sin(\omega\,t)\!\!&\text{si}\;t > 0\\ 0\!\!&\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> avec <math>\;\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> <math>\;\big[</math>«<math>\;f(0^{+}) = 0\;</math>»<math>\big]\;</math> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|« fonction sinusoïdale <math>\;\color{transparent}{f(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t) = \left\lbrace \sin(\omega\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{f(0^{+}) = 0}\;</math>»<math>\color{transparent}{\big]}\;</math> de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale" />, de <br>« dérivée temporelle<ref name="sens des fonctions" /> <math>\;\dot{f}(t) = \left\lbrace \begin{array}{c l} \omega\;\cos(\omega\,t)\!\!&\text{si}\;t > 0\\ 0\!\!&\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace = \omega\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> <math>\big\{</math>discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /><math>\big\}\;</math>», de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;G(p) = p\; F(p)\;</math><ref name="transformée monolatérale de Laplace de dérivée de fonction" /> <br>{{Al|21}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \omega\;\cos(\omega\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace = \omega\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> », <math>\color{transparent}{\big\{}</math>discontinue de 1^ère espèce<math>\color{transparent}{\big\}}\;</math>», de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{G(p)}\;</math> }}<math>= \dfrac{p\;\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \omega\;\cos(\omega\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace = \omega\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> », <math>\color{transparent}{\big\{}</math>discontinue de 1^ère espèce<math>\color{transparent}{\big\}}\;</math>», de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{G(p)}\;</math> }}pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math><ref> En effet <math>\;F(p) = \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math> et <math>\;f(0^{+}) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;G(p) = \mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace - f(0^{+}) = p\;\dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2} = \dfrac{p\;\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\R (p) > 0</math>.</ref> » <br>{{Al|17}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \omega\;\cos(\omega\,t)\!\!\text{si}\;t > 0\right\rbrace = \omega\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p)\; \cancel{- p\;f(0^{+})}\; \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ \dfrac{p^2\;\omega}{p^2 + \omega^2} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \omega =</math> <math>\dot{f}(0^{+})\;</math>», * « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;f(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\\ a \in \mathbb{R}_{+}^{*} \end{array} \!\right\rbrace\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> <math>\;\big[</math>«<math>\;f(0^{+}) = 1\;</math>»<math>\big]\;</math> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|« fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace\! \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \!\right\rbrace}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{f(0^{+}) = 1}\;</math>»<math>\color{transparent}{\big]}\;</math> de « }}<math>\;F(p) = \dfrac{p + a}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement" />, de <br>« dérivée temporelle<ref name="sens des fonctions" /> <math>\;\dot{f}(t) = \left\lbrace \begin{array}{c l} \left[ -a\;\cos(\omega\,t) - \omega\;\sin(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\!\!&\text{si}\;t > 0\\ 0\!\!&\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace = \left[ -a\;\cos(\omega\,t) - \omega\;\sin(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\;Y(t)\;</math> <math>\big\{</math>discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /><math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|15}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \left[ -a\;\cos(\omega\,t) - \omega\;\sin(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}</math> }}de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;G(p) = p\; F(p) - f(0^{+})\;</math><ref name="transformée monolatérale de Laplace de dérivée de fonction" /> <math>= -\dfrac{a\;(p + a) + \omega^2}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \left[ -a\;\cos(\omega\,t) - \omega\;\sin(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}</math> de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{G(p) =}</math> }}pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math><ref> En effet <math>\;F(p) = \dfrac{p + a}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math> et <math>\;f(0^{+}) = 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;G(p) = \mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace - f(0^{+}) = p\;\dfrac{p + a}{(p + a)^2 + \omega^2} - 1 = -\dfrac{a\;(p + a) + \omega^2}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\R (p) > -a</math>.</ref> » <br>{{Al|15}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \left[ -a\;\cos(\omega\,t) - \omega\;\sin(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}</math> }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p) - p\;f(0^{+}) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ \dfrac{p^2\,(p + a)}{(p + a)^2 + \omega^2} - p \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \left[ -a\;\cos(\omega\,t) - \omega\;\sin(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}</math> on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p) - p\;f(0^{+}) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}}</math> }}<math>= \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ \dfrac{p^2\,(p + a) - p\, (p + a)^2 - p\;\omega^2}{(p + a)^2 + \omega^2} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \left[ -a\;\cos(\omega\,t) - \omega\;\sin(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}</math> on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p) - p\;f(0^{+}) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}}</math> }}<math>= \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ \dfrac{-p^2\;a - p\, (a^2 + \omega^2)}{(p + a)^2 + \omega^2} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \left[ -a\;\cos(\omega\,t) - \omega\;\sin(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}</math> on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p) - p\;f(0^{+}) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}}</math> }}<math>= -a = \dot{f}(0^{+})\;</math>» et * « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;f(t) = \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\\ a \in \mathbb{R}_{+}^{*} \end{array} \!\right\rbrace\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> <math>\;\big[</math>«<math>\;f(0^{+}) = 0\;</math>»<math>\big]\;</math> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|« fonction sinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace\! \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \!\right\rbrace}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{f(0^{+}) = 0}\;</math>»<math>\color{transparent}{\big]}\;</math> de « }}<math>\;F(p) = \dfrac{\omega}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement" />, de <br>« dérivée temporelle<ref name="sens des fonctions" /> <math>\;\dot{f}(t) = \left\lbrace \begin{array}{c l} \left[ -a\;\sin(\omega\,t) + \omega\;\cos(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\!\!&\text{si}\;t > 0\\ 0\!\!&\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace = \left[ -a\;\sin(\omega\,t) + \omega\;\cos(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\;Y(t)\;</math> <math>\big\{</math>discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /><math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|15}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \left[ -a\;\sin(\omega\,t) + \omega\;\cos(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}</math> }}de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;G(p) = p\; F(p)\;</math><ref name="transformée monolatérale de Laplace de dérivée de fonction" /> <math>= \dfrac{p\;\omega}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \left[ -a\;\sin(\omega\,t) + \omega\;\cos(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}</math> de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{G(p) =}</math> }}pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math><ref> En effet <math>\;F(p) = \dfrac{\omega}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math> et <math>\;f(0^{+}) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;G(p) = \mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace - f(0^{+}) = p\;\dfrac{\omega}{(p + a)^2 + \omega^2} = \dfrac{p\;\omega}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\R (p) > -a</math>.</ref> » <br>{{Al|15}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \left[ -a\;\sin(\omega\,t) + \omega\;\cos(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}</math> }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p) - p\;f(0^{+}) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ \dfrac{p^2\,\omega}{(p + a)^2 + \omega^2} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|« dérivée temporelle <math>\;\color{transparent}{\dot{f}(t) = \left\lbrace \left[ -a\;\sin(\omega\,t) + \omega\;\cos(\omega\,t) \right]\, \exp(-a\,t)\!\!\text{si}\;t > 0 \right\rbrace}</math> on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p^2\;F(p) - p\;f(0^{+}) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}}</math> }}<math>= \omega = \dot{f}(0^{+})\;</math>». === Théorème de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace === ==== Énoncé du théorème de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace ==== {{Théorème| titre = Théorème (admis) de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace| contenu ={{Al|5}}Soit une « fonction réelle causale<ref name="causale" />{{,}}<ref name="support positif" /> <math>\;f(t)\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math>»<ref name="domaine temporel" />, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}convergeant pour <math>\;t \rightarrow +\infty\;</math><ref name="convergeant à l'infini"> Donc ayant une limite finie quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>.</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}localement intégrable au voisinage de <math>\;t = 0\;</math><ref name="localement intégrable au voisinage de 0"> C.-à-d. <math>\;\exist\; \gamma \in \left ] 0\,; 1\right[\;</math> tels que <math>\;\lim\limits_{t\, \rightarrow\, 0} \left[ t^\gamma \;\vert f(t) \vert \right] = 0</math>.</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}telle qu'une transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> «<math>\;F(p) = \mathcal{L}\! \left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|14}}{{Transparent|Soit une « fonction réelle causale <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}d'abscisse de convergence <math>\;\alpha \in \mathbb{R}^{-}\, \cup\, -\infty\;</math><ref name="domaine de variation de p"> Donc «<math>\;\alpha \ngtr 0\;</math>», <math>\;\Big\{</math>en effet «<math>\;\lim\limits_{t\,\rightarrow\, +\infty}\! \left[ f(t) \right]\;</math> existant et étant finie » <math>\Rightarrow</math> <math>\;\big[</math>dans la mesure où <math>\;f(t)\;</math> admet une transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<math>\big]\;</math> « l'abscisse de convergence de cette dernière est <math>\;\alpha \leqslant 0\;</math>»<math>\Big\}</math>.</ref> lui est associée<ref name="conditions d'existence de transformée monolatérale de Laplace" />, <br>{{Al|5}}nous admettons<ref name="démonstration du théorème de la valeur finale"> Nous l'admettons mais la démonstration ne présente aucune difficulté majeure et les lecteurs intéressés peuvent trouver la démonstration au paragraphe « théorème de la [[w:Transformation_de_Laplace#Valeur_finale|valeur finale]] » dans l'article de wikipédia traitant de la transformée de Laplace.</ref> la propriété suivante «<math>\;\lim\limits_{t\,\rightarrow\, +\infty}\! \left[ f(t) \right] = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}\;</math>».}} ==== Vérification du théorème de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace sur des exemples ==== {{Al|5}}À défaut de démonstration<ref name="démonstration du théorème de la valeur finale" />, on peut vérifier le « théorème de la [[w:Transformation_de_Laplace#Valeur_finale|valeur finale]] » sur des exemples : * « fonction de Heaviside<ref name="Heaviside" /> <math>\;\big(</math>ou échelon unité<math>\big)</math> <math>\;f(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1\;\text{si}\;t > 0\\ 0\;\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{1}{p}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="1ers exemples de transformées monolatérales de Laplace" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|« fonction de Heaviside <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou échelon unité<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{f(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1\;\text{si}\;t > 0\\ 0\;\text{si}\;t < 0\end{array}\right\rbrace}\;</math>» }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 1 = \lim\limits_{t\,\rightarrow\, +\infty}\! \left[ f(t) \right]\;</math>», * « fonction rampe <math>\;f(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} a\;t\;\text{si}\;t \geqslant 0\\ 0\quad\text{si}\;t \leqslant 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{a}{p^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="1ers exemples de transformées monolatérales de Laplace" />, <br><u>on ne peut lui appliquer le théorème de la [[w:Transformation_de_Laplace#Valeur_finale|valeur finale]]</u>, cette fonction divergeant à l'infini, néanmoins on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;\dfrac{a}{p^2} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \infty\;</math>», * « fonction exponentielle réelle <math>\;f(t) = \exp(-a\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}\;</math>» de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{1}{p + a}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>» <ref name="originale de 1/(p + a)" />{{,}}<ref name="alpha négative ou nulle"> Effectivement <math>\;\leqslant 0</math>.</ref>, <br>{{Transparent|« fonction exponentielle réelle <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{a \in \mathbb{R}^{*}}\;</math>» }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ \dfrac{p}{p + a} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 0 = \lim\limits_{t\,\rightarrow\, +\infty}\! \left[ f(t) \right]\;</math>»<ref> Bien que <math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ \dfrac{p}{p + a} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 0\;</math> soit encore valable pour <math>\;a < 0</math>, le théorème de la [[w:Transformation_de_Laplace#Valeur_finale|valeur finale]] n'est pas applicable à la fonction exponentielle <math>\;\nearrow</math> <math>\;\big(</math>divergeant à l'<math>\infty\big)</math>, en effet la valeur <math>\;0^{+}\;</math> pour la partie réelle de la variable de Laplace étant inférieure à l'abscisse de convergence <math>\;-a > 0</math>, la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace n'y a aucun sens d'où, l'absurdité qui conduirait à l'application du théorème de [[w:Transformation_de_Laplace#Valeur_finale|valeur finale]] pour <math>\;a < 0</math>.</ref>, * « fonction cosinusoïdale <math>\;f(t) = \cos(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{p}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale" />, <br><u>on ne peut lui appliquer le théorème de la [[w:Transformation_de_Laplace#Valeur_finale|valeur finale]]</u>, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;\dfrac{p}{p^2 + \omega^2} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 0\;</math> alors que <br>{{Transparent|on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car «}}<math>\;\lim\limits_{t\,\rightarrow\, +\infty}\! \left[ f(t) \right]\;</math> n'existe pas », * « fonction sinusoïdale <math>\;f(t) = \sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale" />, <br><u>on ne peut lui appliquer le théorème de la [[w:Transformation_de_Laplace#Valeur_finale|valeur finale]]</u>, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;\dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 0\;</math> alors que <br>{{Transparent|on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car «}}<math>\;\lim\limits_{t\,\rightarrow\, +\infty}\! \left[ f(t) \right]\;</math> n'existe pas », * « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;f(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\\ a \in \mathbb{R}_{+}^{*} \end{array} \!\right\rbrace\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{p + a}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|« fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace\! \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \!\right\rbrace}\;</math>» de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement" />{{,}}<ref name="alpha négative ou nulle" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|« fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace\! \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \!\right\rbrace}\;</math>» }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;\dfrac{p + a}{(p + a)^2 + \omega^2} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 0</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|« fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace\! \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \!\right\rbrace}\;</math>» on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}}</math> }}<math>= \lim\limits_{t\,\rightarrow\, +\infty}\! \left[ f(t) \right]\;</math>»<ref> Bien que <math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;\dfrac{p + a}{(p + a)^2 + \omega^2} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 0\;</math> soit encore valable pour <math>\;a < 0</math>, le théorème de la valeur finale n'est pas applicable à la fonction cosinusoïdale amplifiée exponentiellement <math>\;\big(</math>divergeant à l'infini<math>\big)</math>, en effet la valeur <math>\;0^{+}\;</math> pour la partie réelle de la variable de Laplace étant inférieure à l'abscisse de convergence <math>\;-a > 0</math>, la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace n'y a aucun sens d'où, l'absurdité qui conduirait à l'application du théorème de valeur finale pour <math>\;a < 0</math>.</ref> et * « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;f(t) = \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*}\\ a \in \mathbb{R}_{+}^{*} \end{array} \!\right\rbrace\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> de « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;F(p) = \dfrac{\omega}{(p + a)^2 + \omega^2}\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|« fonction sinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace\! \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \!\right\rbrace}\;</math>» de « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement" />{{,}}<ref name="alpha négative ou nulle" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|« fonction sinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;\cos(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace\! \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \!\right\rbrace}\;</math>» }}on vérifie que «<math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;\dfrac{\omega}{(p + a)^2 + \omega^2} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 0</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|« fonction sinusoïdale amortie exponentiellement <math>\;\color{transparent}{f(t) = \exp(-a\,t)\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace\! \omega \in \mathbb{R}_{+}^{*} \!\right\rbrace}\;</math>» on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\lim\limits_{p\, \rightarrow\, +\infty}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}}}</math> }}<math>= \lim\limits_{t\,\rightarrow\, +\infty}\! \left[ f(t) \right]\;</math>»<ref> Bien que <math>\;\lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;F(p) \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = \lim\limits_{p\, \rightarrow\, 0^{+}}\! \left[ p\;\dfrac{\omega}{(p + a)^2 + \omega^2} \right]_{p\,\in\,\mathbb{R}} = 0\;</math> soit encore valable pour <math>\;a < 0</math>, le théorème de la valeur finale n'est pas applicable à la fonction sinusoïdale amplifiée exponentiellement <math>\;\big(</math>divergeant à l'infini<math>\big)</math>, en effet la valeur <math>\;0^{+}\;</math> pour la partie réelle de la variable de Laplace étant inférieure à l'abscisse de convergence <math>\;-a > 0</math>, la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace n'y a aucun sens d'où, l'absurdité qui conduirait à l'application du théorème de valeur finale pour <math>\;a < 0</math>.</ref> <math>\;\ldots</math> == Utilisation de la transformation (monolatérale) de Laplace pour la résolution des équations différentielles linéaires à cœfficients constants == {{Al|5}}Nous cherchons des « solutions réelles causales »<ref name="causale" />{{,}}<ref name="support positif" /> d'« équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants homogènes ou hétérogènes » <br>{{Al|14}}{{Transparent|Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« }}par utilisation de la transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;\big[</math>tous les termes du 1^er et 2^nd membre de l'équation devant être pourvus <br>{{Al|18}}{{Transparent|Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}d'une transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" />, <math>\Rightarrow</math> l'excitation du 2^nd <br>{{Al|18}}{{Transparent|Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}membre de l'équation doit être continue, discontinue de 1^ère ou 2^ème <br>{{Al|18}}{{Transparent|Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" />{{,}}<ref name="discontinuité de 2ème espèce"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_2ème_espèce_du_pic_de_Dirac_de_tension_d'impulsion_E|discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|18}}{{Transparent|Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}en aucun cas “ discontinue de 3^ème espèce ”<ref name="échelle de discontinuité"> Notion introduite pour définir une échelle de discontinuité hors mathématiques voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Dérivée_seconde_de_la_tension_aux_bornes_de_l'association_série_d'un_interrupteur_K_et_d'une_source_de_tension_parfaite_de_f.e.m._E_lors_de_la_fermeture_de_K_et_tentative_de_modélisation|dérivée seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et tentative de modélisation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="discontinuité de 3ème espèce"> “ Discontinu de 3^ème espèce ” comme l'est la dérivée temporelle du [[w:Distribution_de_Dirac#Introduction_formelle|pic de Dirac]] d'impulsion unité <math>\;\dot{\delta}(t)\;</math> n'admettant pas de transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace car <math>\;\dot{\delta}(0^{-}) = +\infty</math>.</ref><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous cherchons des « }}solutions pouvant être continues ou discontinues de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> pour une équation différentielle du 1^er ordre<ref name="discontinuité de la solution connaissant celle de l'excitation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_de_la_solution_générale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_hétérogène_du_1er_ordre_connaissant_la_nature_de_la_discontinuité_de_l'excitation|nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big[</math>l'excitation étant continue, discontinue de 1^ère ou 2^ème espèce en <math>\;t = 0\big]</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous cherchons des « }}solutions nécessairement continues en <math>\;t = 0\;</math> pour une équation différentielle du 2^ème ordre ou plus<ref name="discontinuité de la solution connaissant celle de l'excitation - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_de_la_solution_générale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_hétérogène_du_2ème_ordre_connaissant_la_nature_de_la_discontinuité_de_l'excitation|nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big[</math>l'excitation étant continue, discontinue de 1^ère ou 2^ème espèce en <math>\;t = 0\big]</math>, l'exposé fait pour une équation différentielle d'ordre deux restant applicable <math>\;\big(</math>sans modification<math>\big)\;</math> pour n'importe quel ordre entier <math>\;> 2</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si cette méthode par transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> est pratique, elle n'est toutefois pas applicable dans toutes les configurations<ref> Même si le nombre de configurations où elle ne peut pas être utilisée est très faible <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Par exemple le cas où l'excitation est “ discontinue de 3^ème espèce ” <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-échelle_de_discontinuité-149|¹⁴⁹]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-discontinuité_de_3ème_espèce-150|¹⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> comme dans l'exemple du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Étude_théorique_du_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_réponse_en_tension_aux_bornes_de_la_bobine_(parfaite)|étude théorique du R L C série soumis à un échelon de tension, réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » <math>\;\big\{</math>l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène étant du 2^ème ordre avec un terme d'excitation <math>\;\propto\;</math> à un “ double pic de Dirac inversé ” <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Dérivée_seconde_de_la_tension_aux_bornes_de_l'association_série_d'un_interrupteur_K_et_d'une_source_de_tension_parfaite_de_f.e.m._E_lors_de_la_fermeture_de_K_et_tentative_de_modélisation|dérivée seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et tentative de modélisation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, cette équation différentielle ne pouvant pas être résolue par transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace <math>\;\big(</math>le “ double pic de Dirac inversé ” étant “ discontinu de 3^ème espèce ” n'en a pas<math>\big)</math>, se résout par la recherche de solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des conditions initiales<math>\big\}</math>.</ref> et surtout <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : Si cette méthode par transformation <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace est pratique, }}elle ne doit pas être employée en physique par un étudiant de P.C.S.I. car <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : Si cette méthode par transformation <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace est pratique, elle ne doit pas être employée }}en physique il est exigé que ce soit par recherche de solutions libre et forcée <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : Si cette méthode par transformation <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace est pratique, elle ne doit pas être employée en physique }}suivie d'utilisation des C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>. que la résolution soit faite<ref> Par contre un étudiant de P.C.S.I. peut l'utiliser en S.I. <math>\;\big(</math>science de l'ingénieur<math>\big)\;</math> car la transformée de Laplace fait partie du programme de S.I..</ref>. === Rappel des propriétés utilisées === {{Al|5}}« Linéarité de la transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace »<ref name="Laplace" /> soit «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \lambda\;f(t) + \mu\;g(t) \right\rbrace = \lambda\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace + \mu\;\mathcal{L}\left\lbrace g(t) \right\rbrace,\;</math><ref name="linéarité" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|« Linéarité de la transformation <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace » soit « }}<math>\forall \left( \lambda\,,\, \mu \right) \in \mathbb{R}^2\;</math> et <math>\;\forall \left\lbrace f(t)\,,\, g(t) \right\rbrace\;</math> fonctions <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distributions]]<math>\big)\;</math> admettant des transformées <math>\;\big(</math>monolatérales<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|« Linéarité de la transformation <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace » soit «<math>\;\color{Transparent}{\forall \left( \lambda\,,\, \mu \right) \in \mathbb{R}^2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\forall \left\lbrace f(t)\,,\, g(t) \right\rbrace}\;</math> fonctions <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou distributions<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> admettant }}d'abscisses de convergence finies ou égales à <math>\;-\infty\;</math>». {{Al|5}}« Transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la fonction de Heauvide<ref name="Heaviside" /> » «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{p}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="1ers exemples de transformées monolatérales de Laplace" />. {{Al|5}}« Transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> du [[w:Distribution_de_Dirac#Introduction_formelle|pic de Dirac]]<ref name="Dirac" /> d'impulsion unité » «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \delta(t) \right\rbrace = 1\;</math> pour <math>\;\forall\; \Re (p)\,\in\, \mathbb{R}\;</math>»<ref name="1ers exemples de transformées monolatérales de Laplace" />. {{Al|5}}« Transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la dérivée temporelle 1^ère d'une fonction <math>\;f(t)\;</math> à support positif<ref name="condition d'existence de transformée de Laplace" /> telle que <math>\;f(t)\;</math> soit convergente en <math>\;t = 0\;</math>», soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|« Transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de la dérivée temporelle 1^ère }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace =</math> <math>p\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace - f(0^{+})\;</math> pour <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math><ref name="transformée monolatérale de Laplace de dérivée de fonction" /> avec <math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}« Transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la dérivée temporelle 2^nde d'une fonction <math>\;f(t)\;</math> à support positif<ref name="condition d'existence de transformée de Laplace" /> telle que <math>\;\dot{f}(t)\;</math> soit convergente en <math>\;t = 0\;</math>», soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|« Transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de la dérivée temporelle 2^nde }}«<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \ddot{f}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace - \dot{f}(0^{+})\;</math> pour <math>\;\Re (p) > \alpha'\;</math><ref name="transformée monolatérale de Laplace de dérivée de fonction" /> avec <math>\;\alpha'\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{f} \right\rbrace\;</math> ou encore <br>{{Al|9}}{{Transparent|« Transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de la dérivée temporelle 2^nde «}}<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \ddot{f}(t) \right\rbrace = p^2\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace - p\;f(0^{+}) - \dot{f}(0^{+})\;</math> pour <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math> avec <math>\;\alpha\;</math> abscisse de convergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|« Transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de la dérivée temporelle 2^nde «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace \ddot{f}(t) \right\rbrace = p^2\;\mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace - p\;f(0^{+}) - \dot{f}(0^{+})}\;</math> pour }}avec <math>\;\alpha \geqslant \alpha'\;</math>»<ref name="domaine de convergence élargi par dérivation" />. === Méthode de résolution exposée sur un 1^er exemple : équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en y(t) hétérogène, sans terme du 1^erordre, à excitation sinusoïdale === {{Al|5}}Soit à résoudre, dans le domaine des fonctions à support positif<ref name="condition d'existence de transformée de Laplace" /> convergeant en <math>\;t = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à résoudre, }}l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> hétérogène, sans terme du 1^erordre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire }}à « excitation sinusoïdale <math>\;e(t) = E\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)</math>, <math>\;\left( E\,,\,\omega \right) \in \left( \mathbb{R}_{+}^{*} \right)^2\;</math>»<ref name="réel strictement positif" />{{,}}<ref name="absence de considération de dimension"> Dans tout ce paragraphe nous ne faisons aucune considération de dimension sur les grandeurs introduites, c.-à-d. que nous prenons le point de vue d'un mathématicien et non d'un physicien <math>\;\big(</math>lequel se sert des dimensions pour éventuellement déterminer des erreurs de calcul par obtention de résultats non homogènes à ceux que la considération de dimension exige<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire }}avec les « C.I<ref name="C.I." />. <math>\;y(0^{+})</math> <math>= y_0\;</math> et <math>\;\dot{y}(0^{+}) = \dot{y}_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à résoudre, }}l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> hétérogène, sans terme du 1^erordre, s'écrivant sous forme normalisée <center>«<math>\;\ddot{y}(t) + c\;y(t) = e(t) = E\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;c \in \mathbb{R}^{*}\;</math>»<ref name="absence de considération de dimension" />.</center> ==== Réécriture de l'équation différentielle dans le « domaine de Laplace » ==== {{Al|5}}« La transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de l'excitation sinusoïdale <math>\;e(t) = E\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math>» s'écrivant «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace e(t) \right\rbrace = E\;\sqrt{2}\;\mathcal{L}\left\lbrace \sin(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace = E\;\sqrt{2}\;\dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|« La transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de l'excitation sinusoïdale <math>\;\color{transparent}{e(t) = E\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)}\;</math>» s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}\left\lbrace e(t) \right\rbrace = E\;\sqrt{2}\;\mathcal{L}\left\lbrace \sin(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace =}</math> }}pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale" />, <br>{{Al|5}}nous obtenons, en utilisant le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Rappel_des_propriétés_utilisées|rappel des propriétés utilisées]] énoncé plus haut dans ce chapitre et en notant «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace y(t) \right\rbrace = \underline{Y}(p)\;</math>»<ref name="soulignement de Y"> Bien que, dans ce chapitre, nous avons pris l'initiative de ne pas souligner les grandeurs complexes, nous le faisons pour <math>\;Y\;</math> pour éviter une éventuelle confusion avec la fonction de Heaviside.</ref> pour simplifier l'écriture, <center>«<math>\;\left[ p^2\;\underline{Y}(p) - p\;y_0 - \dot{y}_0 \right] + c\;\underline{Y}(p) = E\;\sqrt{2}\;\dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>».</center> ==== Détermination de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle avec C.I. ==== {{Al|5}}De l'équation précédente on tire aisément «<math>\;\underline{Y}(p) = E\;\sqrt{2}\;\dfrac{\omega}{(p^2 + \omega^2)\;(p^2 + c)} + \dfrac{p}{p^2 + c}\;y_0 + \dfrac{1}{p^2 + c}\;\dot{y}_0\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» à condition que «<math>\;p^2 + c\;</math> soit <math>\;\neq 0\;</math>». ==== Détermination de la solution de l'équation différentielle avec C.I. ==== {{Al|5}}Il reste donc à déterminer l'« originale de <math>\;\underline{Y}(p)\;</math><ref name="soulignement de Y" /> dans l'hypothèse <math>\;p^2 + c \neq 0\;</math>» <math>\big[</math>nécessairement réalisée si <math>\;c\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref> Car <math>\;p^2 + c = 0\;</math> avec <math>\;c > 0\;</math> donne <math>\;p = \pm i\;\sqrt{c}\;</math> telle que <math>\;\Re (p) = 0\;</math> ce qui donnerait la divergence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace y(t) \right\rbrace\;</math> dans la mesure où l'existence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace e(t) \right\rbrace\;</math> nécessite <math>\;\Re (p) > 0</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il reste donc à déterminer l'« originale de <math>\;\color{transparent}{\underline{Y}(p)}\;</math> dans l'hypothèse où <math>\;\color{transparent}{p^2 + c \neq 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}mais qui nécessite une restriction de domaine de <math>\;p\;</math> si <math>\;c\;</math> est <math>\;< 0\;</math><ref> En effet <math>\;p^2 + c = 0\;</math> avec <math>\;c < 0\;</math> donnant <math>\;p = \pm \sqrt{-c}</math>, de l'existence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace e(t) \right\rbrace\;</math> nécessitant <math>\;\Re (p) > 0</math>, nous en déduisons que la valeur <math>\;p = \sqrt{-c}\;</math> est dans le domaine d'existence de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace e(t) \right\rbrace\;</math> et par conséquent, pour que <math>\;p^2 + c = 0\;</math> avec <math>\;c < 0\;</math> soit à rejeter, il est nécessaire de restreindre le domaine de <math>\;p\;</math> à <math>\;\Re (p) > \sqrt{-c}\;</math> pour que la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace de la solution existe dans le cas où <math>\;c\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref><math>\big]</math>. ===== Décomposition de la 1^ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où c est > 0 ===== {{Al|5}}Si <math>\;c\;</math> est <math>\;> 0</math>, les « pôles de la [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] <math>\;A(p) = \dfrac{1}{(p^2 + \omega^2)\;(p^2 + c)}\;</math> étant deux à deux complexes conjugués » sa décomposition en éléments irréductibles simples s'écrit : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\succ\;</math>dans la mesure où «<math>\;c \neq \omega^2\;</math>», <math>\;A(p) = \dfrac{\rho_1\,p + {\rho'}_1}{p^2 + \omega^2} + \dfrac{\rho_2\,p + {\rho'}_2}{p^2 + c}\;</math> dans lequel on détermine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans la mesure où «<math>\;\color{transparent}{c \neq \omega^2}\;</math>», }}«<math>\;\left( \rho_1\,,\,{\rho'}_1 \right)\;</math>» en multipliant les deux membres par <math>\;p^2 + \omega^2\;</math> et en y faisant <math>\;p = \pm i\;\omega\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{1}{c - \omega^2} = \left\lbrace \begin{array}{c} \rho_1\,i\,\omega + {\rho'}_1\;\text{pour}\;p = i\,\omega\\ -\rho_1\,i\,\omega + {\rho'}_1\;\text{pour}\;p = -i\,\omega\end{array}\right\rbrace\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans la mesure où «<math>\;\color{transparent}{c \neq \omega^2}\;</math>», «<math>\;\color{transparent}{\left( \rho_1\,,\,{\rho'}_1 \right)}\;</math>» en multipliant les deux membres par <math>\;\color{transparent}{p^2 + \omega^2}\;</math> et en y faisant <math>\;\color{transparent}{p = \pm i\;\omega}\;</math> }}d'où «<math>\;\rho_1 = 0\;</math> et <math>\;{\rho'}_1 = \dfrac{1}{c - \omega^2}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans la mesure où «<math>\;\color{transparent}{c \neq \omega^2}\;</math>», }}«<math>\;\left( \rho_2\,,\,{\rho'}_2 \right)\;</math>» en multipliant les membres par <math>\;p^2 + c\;</math> et en y faisant <math>\;p = \pm i\;\sqrt{c}\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{1}{-c + \omega^2} = \left\lbrace \begin{array}{c} \rho_2\,i\,\sqrt{c} + {\rho'}_2\;\text{pour}\;p = i\,\sqrt{c}\\ -\rho_2\,i\,\sqrt{c} + {\rho'}_2\;\text{pour}\;p = -i\,\sqrt{c}\end{array}\right\rbrace\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans la mesure où «<math>\;\color{transparent}{c \neq \omega^2}\;</math>», «<math>\;\color{transparent}{\left( \rho_2\,,\,{\rho'}_2 \right)}\;</math>» en multipliant les membres par <math>\;\color{transparent}{p^2 + c}\;</math> et en y faisant <math>\;\color{transparent}{p = \pm i\;\sqrt{c}}\;</math> }}d'où «<math>\;\rho_2 = 0\;</math> et <math>\;{\rho'}_2 = \dfrac{-1}{c - \omega^2}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans la mesure où «<math>\;\color{transparent}{c \neq \omega^2}\;</math>», }}soit finalement «<math>\;A(p) = \dfrac{1}{(p^2 + \omega^2)\;(p^2 + c)} = \dfrac{1}{c - \omega^2}\, \left[ \dfrac{1}{p^2 + \omega^2} - \dfrac{1}{p^2 + c} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\succ\;</math>dans la mesure où «<math>\;c = \omega^2\;</math>», <math>\;A(p) = \dfrac{1}{(p^2 + \omega^2)\;(p^2 + c)}\;</math> se réécrivant «<math>\;A(p) = \dfrac{1}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2} = \dfrac{1}{\left( p^2 + c \right)^2}\;</math>» est déjà décomposée en éléments irréductibles simples. ===== Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où c est > 0 ===== {{Al|5}}Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;\underline{Y}(p) = E\;\sqrt{2}\;\dfrac{\omega}{(p^2 + \omega^2)\;(p^2 + c)} + \dfrac{p}{p^2 + c}\;y_0 + \dfrac{1}{p^2 + c}\;\dot{y}_0\;</math><ref name="soulignement de Y" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{\underline{Y}(p)}</math> }}pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» avec «<math>\;p^2 + c \neq 0\;</math>»<ref> Ce qui est nécessairement vérifié si <math>\;c\;</math> est <math>\;> 0</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-158|¹⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale }}<math>\succ\;</math>« pour <math>\;c > 0\;</math> en étant <math>\;\neq \omega^2\;</math>», «<math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E\;\sqrt{2}}{c - \omega^2}\, \left[ \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2} - \dfrac{\omega}{\sqrt{c}}\;\dfrac{\sqrt{c}}{p^2 + c} \right] + \dfrac{p}{p^2 + c}\;y_0 + \dfrac{\sqrt{c}}{p^2 + c}\;\dfrac{\dot{y}_0}{\sqrt{c}}\;</math>»<ref name="soulignement de Y" />{{,}}<ref> On fait apparaître «<math>\;\dfrac{\sqrt{c}}{p^2 + c}\;</math> qui est la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace de <math>\;\sin(\sqrt{c}\,t)\;Y(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « transformées (monolatérales) de Laplace des [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Fonctions_sinusoïdale_et_cosinusoïdale|fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> dont on tire, en reconnaissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{\neq \omega^2}\;</math>», }}des originales de transformées <math>\;\big(</math>monolatérales<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> classiques, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{\neq \omega^2}\;</math>», }}«<math>\;y(t) = \left\lbrace \dfrac{E\;\sqrt{2}}{c - \omega^2}\, \left[ \sin(\omega\;t) - \dfrac{\omega}{\sqrt{c}}\;\sin(\sqrt{c}\;t) \right] + y_0\;\cos(\sqrt{c}\;t) + \dfrac{\dot{y}_0}{\sqrt{c}}\;\sin(\sqrt{c}\;t) \right\rbrace Y(t)\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{\neq \omega^2}\;</math>», }}«<math>\;y(t) = \left\lbrace y_0\,\cos(\sqrt{c}\;t) + \left[ \dfrac{\dot{y}_0}{\sqrt{c}} - \dfrac{E\;\sqrt{2}}{c - \omega^2}\;\dfrac{\omega}{\sqrt{c}} \right] \sin(\sqrt{c}\;t) + \dfrac{E\;\sqrt{2}}{c - \omega^2}\;\sin(\omega\,t) \right\rbrace Y(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale }}<math>\succ\;</math>« pour <math>\;c > 0\;</math> en étant <math>\;= \omega^2\;</math>», «<math>\;\underline{Y}(p) = E\;\sqrt{2}\; \dfrac{\omega}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2} + \dfrac{p}{p^2 + \omega^2}\;y_0 + \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}\;\dfrac{\dot{y}_0}{\omega}\;</math>»<ref name="soulignement de Y" />{{,}}<ref> On fait apparaître «<math>\;\dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math> qui est la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace de <math>\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « transformées (monolatérales) de Laplace des [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Fonctions_sinusoïdale_et_cosinusoïdale|fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> dont on tire, en reconnaissant des originales de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», }}transformées <math>\;\big(</math>monolatérales<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> classiques à l'« exception du 1^er terme du 2^nd membre <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\dfrac{\omega}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», }}«<math>\;y(t) = E\;\sqrt{2}\; \mathcal{L}^{-1}\!\!\left\lbrace \dfrac{\omega}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2} \right\rbrace + \left\lbrace y_0\;\cos(\omega\;t) + \dfrac{\dot{y}_0}{\omega}\;\sin(\omega\;t) \right\rbrace Y(t)\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», }}pour déterminer l'originale de <math>\;B(p) = \dfrac{\omega}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2}\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\!\left\lbrace B(p) \right\rbrace = \mathcal{L}^{-1}\!\!\left\lbrace \dfrac{\omega}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2} \right\rbrace\;</math>» remarquons que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», pour déterminer l'originale }}<math>\;\dfrac{d \left[ \dfrac{p}{p^2 + \omega^2} \right]}{dp} = \dfrac{\left( p^2 + \omega^2 \right) - p\;2\;p}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2} = \dfrac{\omega^2 - p^2}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2} = -\dfrac{\omega^2 + p^2}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2} + \dfrac{2\;\omega^2}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2}</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», pour déterminer l'originale <math>\;\color{transparent}{d \left[ p^2 + \omega^2 \right]}</math> }}<math>= -\dfrac{1}{p^2 + \omega^2} + \dfrac{2\;\omega^2}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2}\;</math> dont nous tirons <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», pour déterminer l'originale de}}«<math>\;B(p) = \dfrac{\omega}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2} = \dfrac{1}{2\;\omega}\;\dfrac{d \left[ \dfrac{p}{p^2 + \omega^2} \right]}{dp} + \dfrac{1}{2\;\omega^2}\;\dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}\;</math>» puis utilisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», pour déterminer l'originale de}}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \mathcal{L}\!\left[ \cos(\omega\,t)\;Y(t) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{p}{p^2 + \omega^2} \\ \dfrac{d \mathcal{L}\!\left[ f(t) \right]}{dp} \!\!&=&\!\! -\mathcal{L}\!\left[ t\;f(t) \right]\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale" />{{,}}<ref name="multiplication par une puissance de t"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Conséquence_d'une_multiplication_par_une_fonction_puissance_de_t_sur_les_transformées_(monolatérales)_de_Laplace|conséquence d'une multiplication par une puissance de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace]] » plus haut dans le chapitre.</ref> pour en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», pour déterminer l'originale de}}«<math>\;B(p) = \dfrac{\omega}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2} = -\dfrac{1}{2\;\omega}\;\mathcal{L}\!\left\lbrace t\;\cos(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace + \dfrac{1}{2\;\omega^2}\;\mathcal{L}\! \left\lbrace \sin(\omega\,t)\;Y(t) \right\rbrace\;</math><ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», pour déterminer l'originale de«<math>\;\color{transparent}{B(p)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2\;\omega^2}\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \left[ \sin(\omega\;t) - \omega\;t\;\cos(\omega\;t) \right]\,Y(t) \right\rbrace\;</math>» d'où l'originale de <math>\;B(p) = \dfrac{\omega}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2}\;</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», pour déterminer l'originale de}}«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\! \left\lbrace \dfrac{\omega}{\left( p^2 + \omega^2 \right)^2} \right\rbrace = \dfrac{1}{2\;\omega^2}\,\left[ \sin(\omega\;t) - \omega\;t\;\cos(\omega\;t) \right]\,Y(t)\;</math>» ; finalement la solution est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», }}«<math>\;y(t) = \left\lbrace \dfrac{E\;\sqrt{2}}{2\;\omega^2}\, \left[ \sin(\omega\,t) - \omega\;t\;\cos(\omega\,t) \right] + y_0\;\cos(\omega\;t) + \dfrac{\dot{y}_0}{\omega}\;\sin(\omega\;t) \right\rbrace Y(t)\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« pour <math>\;\color{transparent}{c > 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», }}«<math>\;y(t) = \left\lbrace y_0\,\cos(\omega\;t) + \left[ \dfrac{\dot{y}_0}{\omega} + \dfrac{E}{\sqrt{2}\;\omega^2} \right] \sin(\omega\;t) - \dfrac{E}{\sqrt{2}\;\omega}\;t\;\cos(\omega\,t) \right\rbrace Y(t)\;</math>». ===== Décomposition des fonctions rationnelles en éléments irréductibles simples dans le cas où c est < 0 ===== {{Al|5}}<u>Rappel</u> : D'après la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-159|¹⁵⁹]] » plus haut dans ce chapitre, pour que <math>\;p^2 + c\;</math> reste <math>\;\neq 0\;</math> avec <math>\;c < 0</math>, il faut restreindre le domaine de <math>\;p\;</math> à <math>\;\Re (p) > \sqrt{-c}\;</math> et dans ce cas <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel : D'après la note « ¹⁵⁹ » plus haut dans ce chapitre, pour que <math>\;\color{transparent}{p^2 + c}\;</math> reste <math>\;\color{transparent}{\neq 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{c < 0}</math>, }}«<math>\;\underline{Y}(p) = E\;\sqrt{2}\;\dfrac{\omega}{(p^2 + \omega^2)\;(p^2 + c)} + \dfrac{p}{p^2 + c}\;y_0 + \dfrac{1}{p^2 + c}\;\dot{y}_0\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > \sqrt{-c}\;</math>». {{Al|5}}«<math>\;c\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>», <math>\blacktriangleright\;</math>les « pôles de la [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] <math>\;A'(p) = \dfrac{1}{(p^2 + \omega^2)\;(p^2 + c)} = \dfrac{1}{(p^2 + \omega^2)\;(p + \sqrt{-c})\;(p - \sqrt{-c})}\;</math> sont complexes conjugués d'une part et <br>{{Al|8}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>les « pôles de la fonction rationnelle <math>\;\color{transparent}{A'(p) = (p^2 + \omega^2)\;(p^2 + c) = (p^2 + \omega^2)\;(p + \sqrt{-c})\;(p - \sqrt{-c})}\;</math> sont }}réels simples opposés d'autre part » <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}sa décomposition en éléments irréductibles simples est «<math>\;A'(p) = \dfrac{1}{(p^2 + \omega^2)\;(p + \sqrt{-c})\;(p - \sqrt{-c})} = \dfrac{\rho_1\,p + {\rho'}_1}{p^2 + \omega^2} + \dfrac{\rho_2}{p + \sqrt{-c}} + \dfrac{\rho_3}{p - \sqrt{-c}}\;</math>» dans lequel on détermine <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa décomposition }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left( \rho_1\,,\,{\rho'}_1 \right)\;</math>» en multipliant chaque membre par <math>\;p^2 + \omega^2</math>, puis en y faisant <math>\;p = \pm i\;\omega\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{1}{c - \omega^2} = \left\lbrace \begin{array}{c} \rho_1\,i\,\omega + {\rho'}_1\;\text{pour}\;p = i\,\omega\\ -\rho_1\,i\,\omega + {\rho'}_1\;\text{pour}\;p = -i\,\omega\end{array}\right\rbrace\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa décomposition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\left( \rho_1\,,\,{\rho'}_1 \right)}\;</math>» en multipliant chaque membre par <math>\;\color{transparent}{p^2 + \omega^2}\;</math> puis en y faisant <math>\;\color{transparent}{p = \pm i\;\omega}\;</math> }}d'où «<math>\;\rho_1 = 0\;</math> et <math>\;{\rho'}_1 = -\dfrac{1}{\omega^2 - c}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa décomposition }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\rho_2\;</math>» en multipliant les membres par <math>\;p + \sqrt{-c}</math>, puis en y faisant <math>\;p = -\;\sqrt{-c}\;</math> soit <math>\;\dfrac{1}{(-c + \omega^2)\,(-2\;\sqrt{-c})} = \rho_2\;</math> d'où «<math>\;\rho_2 = -\dfrac{1}{2\;(\omega^2 - c)\;\sqrt{-c})}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa décomposition }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\rho_3\;</math>» en multipliant les membres par <math>\;p - \sqrt{-c}</math>, puis en y faisant <math>\;p = \;\sqrt{-c}\;</math> soit <math>\;\dfrac{1}{(-c + \omega^2)\,(2\;\sqrt{-c})} = \rho_3\;</math> d'où «<math>\;\rho_3 = \dfrac{1}{2\;(\omega^2 - c)\;\sqrt{-c})}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa décomposition }}<math>\bullet\;</math>soit finalement «<math>\;A'(p) = \dfrac{1}{(p^2 + \omega^2)\;(p^2 + c)} = \dfrac{1}{\omega^2 - c}\, \left\lbrace -\dfrac{1}{p^2 + \omega^2} + \dfrac{1}{2\;\sqrt{-c}}\, \left[ \dfrac{1}{p - \sqrt{-c}} - \dfrac{1}{p + \sqrt{-c}} \right] \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», }}<math>\blacktriangleright\;</math>les « pôles de la [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] <math>\;B'(p) = \dfrac{p}{p^2 + c} = \dfrac{p}{(p + \sqrt{-c})\;(p - \sqrt{-c})}\;</math> sont réels simples opposés » <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}sa décomposition en éléments irréductibles simples s'écrit est «<math>\;B'(p) = \dfrac{p}{(p + \sqrt{-c})\;(p - \sqrt{-c})} = \dfrac{\zeta_1}{p + \sqrt{-c}} + \dfrac{\zeta_2}{p - \sqrt{-c}}\;</math>» dans lequel on détermine <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa décomposition }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\zeta_1\;</math>» en multipliant les membres par <math>\;p + \sqrt{-c}</math>, puis en y faisant <math>\;p = -\;\sqrt{-c}\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{-\;\sqrt{-c}}{-2\;\sqrt{-c}} = \zeta_1\;</math> d'où «<math>\;\zeta_1 = \dfrac{1}{2}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa décomposition }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\zeta_2\;</math>» en multipliant les membres par <math>\;p - \sqrt{-c}</math>, puis en y faisant <math>\;p = \;\sqrt{-c}\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{\sqrt{-c}}{2\;\sqrt{-c})} = \zeta_2\;</math> d'où «<math>\;\zeta_2 = \dfrac{1}{2}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa décomposition }}<math>\bullet\;</math>soit finalement «<math>\;B'(p) = \dfrac{p}{p^2 + c} = \dfrac{1}{2}\, \left[ \dfrac{1}{p + \sqrt{-c}} + \dfrac{1}{p - \sqrt{-c}} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», }}<math>\blacktriangleright\;</math>les « pôles de la [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] <math>\;C'(p) = \dfrac{1}{p^2 + c} = \dfrac{1}{(p + \sqrt{-c})\;(p - \sqrt{-c})}\;</math> sont réels simples opposés » <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}sa décomposition en éléments irréductibles simples est «<math>\;C'(p) = \dfrac{1}{(p + \sqrt{-c})\;(p - \sqrt{-c})} = \dfrac{\zeta_3}{p + \sqrt{-c}} + \dfrac{\zeta_4}{p - \sqrt{-c}}\;</math>» dans lequel on détermine <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa décomposition }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\zeta_3\;</math>» en multipliant les membres par <math>\;p + \sqrt{-c}</math>, puis en y faisant <math>\;p = -\;\sqrt{-c}\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{1}{-2\;\sqrt{-c}} = \zeta_3\;</math> d'où «<math>\;\zeta_3 = -\dfrac{1}{2\;\sqrt{-c}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa décomposition }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\zeta_4\;</math>» en multipliant les membres par <math>\;p - \sqrt{-c}</math>, puis en y faisant <math>\;p = \;\sqrt{-c}\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{1}{2\;\sqrt{-c}} = \zeta_4\;</math> d'où «<math>\;\zeta_4 = \dfrac{1}{2\;\sqrt{-c}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa décomposition }}<math>\bullet\;</math>soit finalement «<math>\;C'(p) = \dfrac{1}{p^2 + c} = \dfrac{1}{2\;\sqrt{-c}}\, \left[ \dfrac{1}{p - \sqrt{-c}} - \dfrac{1}{p + \sqrt{-c}} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{c}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», }}<math>\blacktriangleright\;</math>nous en déduisons la décomposition de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérlae<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la solution dans le cas où <math>\;c\;</math> est <math>\;< 0\;</math> selon <center>«<math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E\;\sqrt{2}}{\omega^2 - c}\, \left\lbrace -\dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2} + \dfrac{\omega}{2\;\sqrt{-c}}\, \left[ \dfrac{1}{p - \sqrt{-c}} - \dfrac{1}{p + \sqrt{-c}} \right] \right\rbrace + \dfrac{y_0}{2}\, \left[ \dfrac{1}{p + \sqrt{-c}} + \dfrac{1}{p - \sqrt{-c}} \right] + \dfrac{\dot{y}_0}{2\;\sqrt{-c}}\, \left[ \dfrac{1}{p - \sqrt{-c}} - \dfrac{1}{p + \sqrt{-c}} \right]\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > \sqrt{-c}\;</math>» <br>ou, après regroupement de termes semblables, <br>«<math>\;\underline{Y}(p) = -\dfrac{E\;\sqrt{2}}{\omega^2 - c}\;\dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2} + \left[ \dfrac{E\;\omega}{(\omega^2 - c)\,\sqrt{-2\;c}} + \dfrac{\dot{y}_0 + y_0\;\sqrt{-c}}{2\;\sqrt{-c}} \right] \, \dfrac{1}{p - \sqrt{-c}} - \left[ \dfrac{E\;\omega}{(\omega^2 - c)\,\sqrt{-2\;c}} + \dfrac{\dot{y}_0 - y_0\;\sqrt{-c}}{2\;\sqrt{-c}} \right]\, \dfrac{1}{p + \sqrt{-c}}\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > \sqrt{-c}\;</math>».</center> ===== Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où c est < 0 ===== {{Al|5}}Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;\underline{Y}(p)\;</math><ref name="soulignement de Y" /> avec <math>\;c < 0</math>, pour <math>\;\Re (p) > \sqrt{-c}</math>, cette dernière étant somme de trois termes indépendants <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de }}<math>\underline{Y}(p) = -\dfrac{E\;\sqrt{2}}{\omega^2 - c}\;\dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2} + \left[ \dfrac{E\;\omega}{(\omega^2 - c)\,\sqrt{-2\;c}} + \dfrac{\dot{y}_0 + y_0\;\sqrt{-c}}{2\;\sqrt{-c}} \right] \, \dfrac{1}{p - \sqrt{-c}} - \left[ \dfrac{E\;\omega}{(\omega^2 - c)\,\sqrt{-2\;c}} + \dfrac{\dot{y}_0 - y_0\;\sqrt{-c}}{2\;\sqrt{-c}} \right]\, \dfrac{1}{p + \sqrt{-c}}\;</math><ref name="soulignement de Y" /> » <br>{{Al|15}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\;\color{transparent}{\underline{Y}(p)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{c < 0}</math>, }}en reconnaissant des originales de transformées <math>\;\big(</math>monolatérales<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> classiques <center>d'où «<math>\;y(t) = \left\lbrace -\dfrac{E\;\sqrt{2}}{\omega^2 - c}\;\sin(\omega\;t) + \left[ \dfrac{E\;\omega}{(\omega^2 - c)\,\sqrt{-2\;c}} + \dfrac{\dot{y}_0 + y_0\;\sqrt{-c}}{2\;\sqrt{-c}} \right]\, \exp\! \left( \sqrt{-c}\,t \right) - \left[ \dfrac{E\;\omega}{(\omega^2 - c)\,\sqrt{-2\;c}} + \dfrac{\dot{y}_0 - y_0\;\sqrt{-c}}{2\;\sqrt{-c}} \right]\,\exp\! \left( -\sqrt{-c}\,t \right) \right\rbrace\;Y(t)\;</math>»<ref name="transformée monolatérale de Laplace de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale" />{{,}}<ref name="originale de 1/(p + a)" />.</center> ==== Comparaison de la méthode classique de résolution d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants hétérogènes et de la méthode par transformées (monolatérales) de Laplace ==== {{Al|5}}Nous rappelons que la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène ou hétérogène <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous rappelons que la méthode de résolution }}par transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> est un complément de P.C.S.I. pour le domaine de la physique<ref name="programme de PCSI"> Alors qu'elle fait partie du programme de P.C.S.I. pour le domaine de la S.I. <math>\;\big(</math>science de l'ingénieur<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous rappelons }}que seule la méthode de résolution par solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I<ref name="C.I." />. peut être utilisée dans le domaine de la physique ; {{Al|5}}nous allons donc vérifier, dans l'exemple de «<math>\;\ddot{y}(t) + c\;y(t) = e(t) = E\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;c \in \mathbb{R}^{*}\;</math> ainsi que <math>\;\left( E\,,\,\omega \right) \in {\mathbb{R}^{+\;*}}^2\;</math>»<ref name="absence de considération de dimension" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous allons donc vérifier, }}que nous trouvons le même résultat dans l'ensemble des fonctions réelles « causales »<ref name="causale" />{{,}}<ref name="support positif" /> avec les « C.I<ref name="C.I." />. <math>\;y(0^{+}) = y_0\;</math> et <math>\;\dot{y}(0^{+}) = \dot{y}_0\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous allons donc vérifier, }}en reprenant la résolution par méthode classique de recherche des solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I<ref name="C.I." />. ===== Recherche de la solution libre y_l(t) ===== {{Al|5}}Soit à résoudre «<math>\;\ddot{y_l}(t) + c\;y_l(t) = 0\;</math>» d'équation caractéristique<ref name="équation caractéristique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Méthode_de_recherche_d'une_(ou_de_deux_indépendantes)_solution(s)_particulière(s)_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_(ou_deuxième)_ordre_homogène|méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er (ou 2^ème) ordre homogène]] (équation caractéritique) » du chap.<math>2</math> « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;s^2 + c = 0\;</math>»<ref name="solution libre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_deuxième_ordre_homogène_sans_terme_du_premier_ordre|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> de racines différentes suivant le signe de <math>\;c</math> : * « si <math>\;c\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», l'équation caractéristique<ref name="équation caractéristique" /> a « deux racines imaginaires distinctes <math>\;\underline{s_\pm} = \pm i\,\sqrt{c}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la solution libre «<math>\;y_l(t) = A\,\cos(\sqrt{c}\;t + \varphi)\;</math> avec <math>\;\left( A\,,\, \varphi \right) \in \mathbb{R}^2\;</math>»<ref> Dans la pratique la solution libre doit être donnée sans résoudre l'équation caractéristique car il s'agit de l'équation différentielle d'un [[w:Oscillateur_harmonique#Oscillateur_harmonique_libre_unidimensionnel|oscillateur harmonique non amorti]] dont la solution doit être connue <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Résolution_de_l'équation_différentielle_d'un_oscillateur_harmonique|résolution de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique]] (remarque) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques]] »<math>\big]</math>.</ref> et * « si <math>\;c\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», {{Al|41}}elle a « deux racines réelles distinctes <math>\;s_\pm = \pm \sqrt{-c}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la solution libre «<math>\;y_l(t) = A_{+}\,\exp(\sqrt{-c}\;t) + A_{-}\,\exp(-\sqrt{-c}\;t)\;</math> avec <math>\;\left( A_{+}\,,\, A_{-} \right) \in \mathbb{R}^2\;</math>». ===== Recherche de la solution forcée y_f(t) ===== {{Al|5}}Soit à déterminer la « solution forcée <math>\;y_f(t)\;</math> solution particulière de <math>\;\ddot{y_f}(t) + c\;y_f(t) = E\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math> de même forme<ref name="sous condition d'existence"> Sous condition d'existence.</ref> que l'excitation <math>\;e(t) = E\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>» <br>{{Al|6}}{{Transparent|Soit à déterminer la « solution forcée }}c'est-à-dire sous forme générale «<math>\;y_f(t) = Y\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t + \varphi_y)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_complexe_de_l'équation_différentielle_(1')_du_2ème_ordre|solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 2^ème ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » développant la méthode classique à utiliser bien qu'ici nous ne l'utilisons pas compte-tenu de l'absence du terme du 1^er ordre rendant la recherche directe sous forme sinusoïdale plus aisée.</ref>, avec <math>\;\left( Y\,,\, \varphi_y \right) \in \mathbb{R}\;</math> à déterminer, ou mieux, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Soit à déterminer la « solution forcée <math>\;\color{transparent}{y_f(t)}\;</math> }}sous forme particulière «<math>\;y_f(t) = Y\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>» <math>\big[</math>en raison de l'absence de terme du 1^er ordre dans l'équation différentielle<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à déterminer la « solution forcée <math>\;\color{transparent}{y_f(t)}\;</math> sous forme particulière «<math>\;\color{transparent}{y_f(t) = Y\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0}\;</math>» }}le choix de <math>\;\varphi_y = 0\;</math> étant validée par le résultat trouvé : * « si <math>\;c\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», le report de <math>\;y_f(t) = Y\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;</math> dans l'équation nous conduit à «<math>\;\left( -\omega^2 + c \right)\,Y\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t) = E\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;\;\forall\;t > 0\;</math>» d'où la discussion suivante <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», }}<math>\succ\;</math>« si <math>\;c \neq \omega^2\;</math>» on en déduit «<math>\;Y = \dfrac{E}{c - \omega^2}\;</math>» et par suite la solution forcée «<math>\;y_f(t) = \dfrac{E}{c - \omega^2}\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>» et <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», }}<math>\succ\;</math>« si <math>\;c = \omega^2\;</math>» on en déduit l'absence de solution forcée de même forme que l'excitation puisque cela conduirait à <math>\;Y\;</math> infinie ; <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{c = \omega^2}\;</math>» }}on cherche alors une « solution particulière de la forme<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_de_l'échec_de_la_méthode_de_recherche_de_la_solution_forcée_sinusoïdale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_réels_constants_hétérogène_à_excitation_sinusoïdale,_le_polynôme_caractéristique_s'annulant_pour_la_pulsation_(spatiale)_envisagée|cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big[</math>«<math>\;y\;</math> ici étant une fonction de <math>\;t\;</math> et non de <math>\;x\;</math>», la pulsation est temporelle et non spatiale mais la méthode reste la même<math>\big]</math>.</ref> <math>\;y_f(t) = Y'\;\sqrt{2}\;t\;\sin(\omega\,t + \varphi_{y'})\;</math>»<ref> «<math>\;\varphi_{y'}\;</math> étant a priori <math>\;\neq\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;\pi\;</math> près », le caractère « en phase ou en opposition de phase avec l'excitation » de la solution forcée <math>\;\big(</math>non sinusoïdale<math>\big)\;</math> n'ayant d'ailleurs plus de sens.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{c = \omega^2}\;</math>» }}«<math>\;\dot{y_f}(t) = Y'\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t + \varphi_{y'}) + \omega\;Y'\;\sqrt{2}\;t\;\cos(\omega\,t + \varphi_{y'})\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{y_f}(t) = 2\;\omega\;Y'\;\sqrt{2}\;\cos(\omega\,t + \varphi_{y'}) - \omega^2\;Y'\;\sqrt{2}\;t\;\sin(\omega\,t + \varphi_{y'})\;</math>» soit, <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{c = \omega^2}\;</math>» }}en reportant dans l'équation différentielle et en tenant compte de «<math>\;c = \omega^2\;</math>», l'équation en <math>\;\left( Y'\,,\, \varphi_{y'} \right)\;</math> simplifiée suivante <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{c = \omega^2}\;</math>» }}«<math>\;2\;\omega\;Y'\;\sqrt{2}\;\cos(\omega\,t + \varphi_{y'})\; \cancel{-\; \omega^2\;Y'\;\sqrt{2}\;t\;\sin(\omega\,t + \varphi_{y'}) + c\;Y'\;\sqrt{2}\;t\;\sin(\omega\,t + \varphi_{y'})}\; = E\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;\;\forall\;t > 0\;</math>» d'où <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{c = \omega^2}\;</math>» }}«<math>\;\varphi_{y'} = -\dfrac{\pi}{2}\;</math>»<ref> On rappelle que «<math>\;\cos\! \left( a - \dfrac{\pi}{2} \right) = \cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - a \right) = \sin(a)\;</math>».</ref> et «<math>\;Y' = \dfrac{E}{2\,\omega} = \dfrac{E}{2\,\sqrt{c}}\;</math>» et par suite «<math>\;y_f(t) =</math> <math>\dfrac{E}{2\,\omega}\;\sqrt{2}\;t\;\sin\! \left( \omega\,t - \dfrac{\pi}{2} \right) = -\dfrac{E}{2\,\omega}\;\sqrt{2}\;t\;\cos(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>»<ref> On rappelle que «<math>\;\sin\! \left( a - \dfrac{\pi}{2} \right) = -\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - a \right) = -\cos(a)\;</math>».</ref> ; * « si <math>\;c\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», le report de <math>\;y_f(t) = Y\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;</math> dans l'équation nous conduit à «<math>\;\left( -\omega^2 + c \right)\,Y\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t) = E\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;\;\forall\;t > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;Y = -\dfrac{E}{\omega^2 - c}\;</math>» d'où <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», }}«<math>\;y_f(t) =</math> <math>-\dfrac{E\;\sqrt{2}}{\omega^2 - c}\;\sin(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>». ===== Forme de la solution complète y(t) avant utilisation des C.I. ===== {{Al|5}}La solution complète avant utilisation des C.I<ref name="C.I." />. s'obtient par «<math>\;y(t) = y_l(t) + y_f(t)\;</math> avec <math>\;y_l(t)\;</math> solution libre<ref name="solution libre du 1er exemple"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Recherche_de_la_solution_libre_yl(t)|recherche de la solution libre y_l(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <math>\;y_f(t)\;</math> solution forcée<ref name="solution forcée du 1er exemple"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Recherche_de_la_solution_forcée_yf(t)|recherche de la solution forcée y_f(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. * « Si <math>\;c\;</math> est <math>\;> 0\;</math> en étant <math>\;\neq \omega^2\;</math>», «<math>\;y(t) = y_l(t) + y_f(t) = A\,\cos(\sqrt{c}\;t + \varphi) + \dfrac{E}{c - \omega^2}\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>», avec <math>\;\left( A\,,\, \varphi \right) \in \mathbb{R}^2\;</math> à déterminer par C.I<ref name="C.I." />. ; * « si <math>\;c\;</math> est <math>\;> 0\;</math> en étant <math>\;= \omega^2\;</math>», «<math>\;y(t) = y_l(t) + y_f(t) = A\,\cos(\omega\;t + \varphi) - \dfrac{E}{2\,\omega}\;\sqrt{2}\;t\;\cos(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>»<ref> On rappelle que <math>\;\sqrt{c}= \omega</math>.</ref>, avec <math>\;\left( A\,,\, \varphi \right) \in \mathbb{R}^2\;</math> à déterminer par C.I<ref name="C.I." />. ; * « si <math>\;c\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», «<math>\;y(t) = y_l(t) + y_f(t) = A_{+}\,\exp(\sqrt{-c}\;t) + A_{-}\,\exp(-\sqrt{-c}\;t) - \dfrac{E}{\omega^2 - c}\;\sqrt{2}\;\sin(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>», avec <math>\;\left( A_{+}\,,\, A_{-} \right)</math> <math>\in \mathbb{R}^2\;</math> à déterminer par C.I<ref name="C.I." />. ===== Utilisation des C.I. pour déterminer la solution complète y(t) ===== {{Al|5}}Il faut donc écrire dans les expressions précédentes «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} y(0^{+}) = y_0\\ \dot{y}(0^{+}) = \dot{y}_0\end{array}\right\rbrace\;</math>» soit : * « si <math>\;c\;</math> est <math>\;> 0\;</math> en étant <math>\;\neq \omega^2\;</math>», «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} y(0^{+}) = A\,\cos(\varphi) \qquad\qquad\qquad\qquad\quad= y_0\\ \dot{y}(0^{+}) = -A\,\sqrt{c}\,\sin(\varphi) + \dfrac{E}{c - \omega^2}\;\sqrt{2}\;\omega = \dot{y}_0\end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A\,\cos(\varphi) = y_0\\ A\,\sin(\varphi) = \dfrac{E}{c - \omega^2}\;\sqrt{2}\;\dfrac{\omega}{\sqrt{c}} - \dfrac{\dot{y}_0}{\sqrt{c}}\end{array}\right\rbrace\;</math>» soit, <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{\neq \omega^2}\;</math>», }}en utilisant <math>\;A\,\cos(\sqrt{c}\;t + \varphi) = A\,\cos(\varphi)\,\cos(\sqrt{c}\;t) - A\,\sin(\varphi)\,\sin(\sqrt{c}\;t)</math>, la solution trouvée par transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <center>«<math>\;y(t) = y_0\,\cos(\sqrt{c}\;t) + \left[ \dfrac{\dot{y}_0}{\sqrt{c}} - \dfrac{E\;\sqrt{2}}{c - \omega^2}\;\dfrac{\omega}{\sqrt{c}} \right] \sin(\sqrt{c}\;t) + \dfrac{E\;\sqrt{2}}{c - \omega^2}\;\sin(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>» ;</center> * « si <math>\;c\;</math> est <math>\;> 0\;</math> en étant <math>\;= \omega^2\;</math>», «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} y(0^{+}) = A\,\cos(\varphi) \qquad\qquad\quad\quad = y_0\\ \dot{y}(0^{+}) = -A\,\omega\,\sin(\varphi) - \dfrac{E}{2\, \omega}\;\sqrt{2} = \dot{y}_0\end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A\,\cos(\varphi) = y_0\\ A\,\sin(\varphi) = -\dfrac{E}{2\,\omega^2}\;\sqrt{2} - \dfrac{\dot{y}_0}{\omega}\end{array}\right\rbrace\;</math>» soit, <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> en étant <math>\;\color{transparent}{= \omega^2}\;</math>», }}en utilisant <math>\;A\,\cos(\omega\;t + \varphi) = A\,\cos(\varphi)\,\cos(\omega\;t) - A\,\sin(\varphi)\,\sin(\omega\;t)</math>, la solution trouvée par transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <center>«<math>\;y(t) = y_0\,\cos(\omega\;t) + \left[ \dfrac{\dot{y}_0}{\omega} + \dfrac{E}{\sqrt{2}\;\omega^2} \right] \sin(\omega\;t) - \dfrac{E}{\sqrt{2}\;\omega}\;t\;\cos(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>» ;</center> * « si <math>\;c\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} y(0^{+}) = A_{+} + A_{-} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\, = y_0\\ \dot{y}(0^{+}) = A_{+}\,\sqrt{- c} - A_{-}\,\sqrt{- c} - \dfrac{E}{\omega^2 - c}\;\sqrt{2}\;\omega = \dot{y}_0\end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{+} + A_{-} = y_0\\ A_{+} - A_{-} = \dfrac{E}{\omega^2 - c}\;\sqrt{2}\;\dfrac{\omega}{\sqrt{- c}} + \dfrac{\dot{y}_0}{\sqrt{-c}}\end{array}\right\rbrace\;</math>» dont on tire aisément les constantes cherchées <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{+} = \dfrac{1}{2} \left[ y_0 + \dfrac{E}{\omega^2 - c}\;\sqrt{2}\;\dfrac{\omega}{\sqrt{- c }} + \dfrac{\dot{y}_0}{\sqrt{- c}} \right]\\ A_{-} = \dfrac{1}{2} \left[ y_0 - \dfrac{E}{\omega^2 - c}\;\sqrt{2}\;\dfrac{\omega}{\sqrt{- c}} - \dfrac{\dot{y}_0}{\sqrt{- c}} \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» donnant effectivement la solution trouvée par transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <center>«<math>\;y(t) = \left[ \dfrac{E\;\omega}{(\omega^2 - c)\;\sqrt{- 2\;c}} + \dfrac{\dot{y}_0 + y_0\,\sqrt{- c}}{2\,\sqrt{- c}} \right] \exp\! \left( \sqrt{- c}\,t \right) - \left[ \dfrac{E\;\omega}{(\omega^2 - c)\;\sqrt{- 2\;c}} + \dfrac{\dot{y}_0 - y_0\,\sqrt{- c}}{2\,\sqrt{- c}} \right] \exp\! \left( -\sqrt{- c}\,t \right) - \dfrac{E\,\sqrt{2}}{\omega^2 - c}\, \sin(\omega\,t)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>».</center> === Résolution exposée sur un 2^ème exemple : équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en y(t) hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce === {{Al|5}}Soit à résoudre, dans le domaine des fonctions à support positif<ref name="condition d'existence de transformée de Laplace" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à résoudre, }}l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> hétérogène <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire }}à « excitation <math>\;e(t) = E\;Y(t) + E'\;\delta(t)</math>, <math>\;\left( E\,,\,E' \right) \in {\mathbb{R}^{*}}^{2}\;</math>»<ref name="absence de considération de dimension" /> discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire }}avec les « C.I<ref name="C.I." />. <math>\;y(0^{-}) = 0\;</math> et <math>\;\dot{y}(0^{-}) = 0\;</math>»<ref name="initialement au repos"> Le système décrit par <math>\;y(t)\;</math> avec <math>\;y(0^{-}) = 0\;</math> et <math>\;\dot{y}(0^{-}) = 0\;</math> est alors qualifié de « initialement au repos ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à résoudre, }}l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> s'écrivant <center>«<math>\;\ddot{y}(t) + b\;\dot{y}(t) + c\;y(t) = e(t) = E\;Y(t) + E'\;\delta(t)\;</math>»<ref name="nature de la discontinuité de la fonction et de ses dérivées"> L'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée seconde <math>\;\ddot{y}(t)\;</math> l'est aussi <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_de_la_solution_générale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_hétérogène_du_2ème_ordre_connaissant_la_nature_de_la_discontinuité_de_l'excitation|nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <br>{{Al|25}}{{Transparent|L'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée seconde <math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t)}\;</math> l'est aussi }}impliquant sa divergence à <math>\;t = 0\;</math> et par suite <br>{{Al|25}}{{Transparent|L'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée seconde <math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t)}\;</math> l'est aussi impliquant }}la nécessité, lors de l'introduction des transformées <math>\;\big(</math>monolatérales<math>\big)\;</math> de Laplace, <br>{{Al|25}}{{Transparent|L'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée seconde <math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t)}\;</math> l'est aussi impliquant la nécessité, }}d'utiliser la règle de dérivation applicable aux fonctions à support positif divergeant à <math>\;t = 0\;</math> vue plus haut dans le chapitre dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Conséquence_de_la_dérivation_sur_les_transformées_(monolatérales)_de_Laplace|conséquence de la dérivation sur les transformées (monolatérales) de Laplace]] » «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \ddot{f}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace - \dot{f}(0^{-})\;</math>» et <br>{{Al|25}}{{Transparent|L'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée seconde <math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t)}\;</math> l'est aussi impliquant la nécessité, }}non celle de dérivation applicable aux fonctions à support positif convergeant à <math>\;t = 0\;</math> laquelle aurait donné «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace \ddot{f}(t) \right\rbrace =</math> <math>\cancel{p\;\mathcal{L}\! \left\lbrace \dot{f}(t) \right\rbrace - \dot{f}(0^{+})\;}</math>» ce qui aurait conduit à une erreur dans la mesure où <math>\;\dot{f}(t)\;</math> étant discontinue de 1^ère espèce <math>\;\dot{f}(0^{+}) \neq \dot{f}(0^{-})\;</math> <math>\big\{</math>on note, en appliquant la règle de détermination de la nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène connaissant celle de l'excitation <math>\;\big[</math>vue au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_de_la_solution_générale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_hétérogène_du_2ème_ordre_connaissant_la_nature_de_la_discontinuité_de_l'excitation|nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, que <math>\;y(t)\;</math> est continue en <math>\;t = 0\big\}</math>.</ref> avec «<math>\;\left( b\,,\,c \right) \in \left( \mathbb{R}_{+}^{*} \right)^2\;</math>»<ref name="réel strictement positif" />{{,}}<ref name="absence de considération de dimension" /> ou, <br>en notation de physique, posant «<math>\;c = \omega_0^2\;</math> avec <math>\;\omega_0 \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math>»<ref name="réel strictement positif" /> et «<math>\;b = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math> avec <math>\;\sigma \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math>»<ref name="réel strictement positif" />, <br>«<math>\;\ddot{y}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{y}(t) + \omega_0^2\;y(t) = e(t) = E\;Y(t) + E'\;\delta(t)\;</math>».</center> ==== Réécriture de l'équation différentielle dans le « domaine de Laplace » ==== {{Al|5}}La « transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de l'excitation <math>\;e(t) = E\;Y(t) + E'\;\delta(t)\;</math>» s'écrivant «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace e(t) \right\rbrace = E\;\mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace + E'\;\mathcal{L}\left\lbrace \delta(t) \right\rbrace\;</math><ref name="linéarité" /> <math>= \dfrac{E}{p} + E'\;</math><ref name="1ers exemples de transformées monolatérales de Laplace" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref> C.-à-d. le domaine de convergence le plus restrictif à savoir celui de <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace Y(t) \right\rbrace</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de l'excitation }}nous obtenons, en utilisant le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Rappel_des_propriétés_utilisées|rappel des propriétés utilisées]] » énoncé plus haut dans ce chapitre ainsi que <br>{{Al|10}}{{Transparent|La « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de l'excitation nous obtenons, en utilisant }}le caractère divergent en <math>\;t = 0\;</math> de <math>\;\ddot{y}(t)\;</math><ref name="nature de la discontinuité de la fonction et de ses dérivées" /> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|La « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de l'excitation nous obtenons, }}en notant «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace y(t) \right\rbrace = \underline{Y}(p)\;</math><ref name="soulignement de Y" /> » pour simplifier l'écriture, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de l'excitation nous obtenons, }}«<math>\;\left[ p^2\;\underline{Y}(p) \cancel{- p\;y(0^{-}) - \dot{y}(0^{-})} \right] + b\, \left[ p\;\underline{Y}(p) \cancel{- y(0^{-})} \right] + c\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{p} + E'\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="soulignement de Y" />{{,}}<ref> <math>\dot{y}(t)\;</math> convergeant en <math>\;t = 0\;</math> car elle est discontinue de 1^ère espèce, on aurait donc pu écrire «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{y}(t) \right\rbrace = p\;\underline{Y}(p) - y(0^{+})\;</math> au lieu de <math>\;p\;\underline{Y}(p) - y(0^{-})\;</math>» mais cela aurait donné la même chose du fait de la continuité de <math>\;y(t)\;</math> en <math>\;t = 0</math> ; <br>{{Al|3}}de même, s'il fallait écrire «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \ddot{y}(t) \right\rbrace = p\;\mathcal{L}\left\lbrace \dot{y}(t) \right\rbrace - \dot{y}(0^{-})\;</math>» compte-tenu du caractère divergent de <math>\;\ddot{y}(t)\;</math> en <math>\;t = 0</math> <math>\;\big(</math>discontinuité de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|de même }}on aurait pu écrire «<math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \ddot{y}(t) \right\rbrace = p\, \left[ p\;\underline{Y}(p) - y(0^{+}) \right] - \dot{y}(0^{-})\;</math> au lieu de <math>\;p\, \left[ p\;\underline{Y}(p) - y(0^{-}) \right] - \dot{y}(0^{-})\;</math>» mais cela aurait donné la même chose compte-tenu de la continuité de <math>\;y(t)\;</math> en <math>\;t = 0</math>.</ref> soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|La « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de l'excitation nous obtenons, }}«<math>\;p^2\;\underline{Y}(p) + b\; p\;\underline{Y}(p) + c\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{p} + E'\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» ou, en notation de physique, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La « transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace de l'excitation nous obtenons, }}«<math>\;p^2\;\underline{Y}(p) + 2\;\sigma\;\omega_0\; p\;\underline{Y}(p) + \omega_0^2\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{p} + E'\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>». ==== Détermination de la transformée de Laplace de la solution de l'équation différentielle avec C.I. ==== {{Al|5}}De l'équation précédente on tire aisément «<math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{p\;(p^2 + b\,p + c)} + \dfrac{E'}{p^2 + b\,p + c}\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» à condition que «<math>\;p^2 + b\,p + c\;</math> soit <math>\;\neq 0\;</math>» ou, en notation de physique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|De l'équation précédente on tire aisément }}«<math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{p\;(p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2)} + \dfrac{E'}{p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2}\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» à condition que «<math>\;p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2\;</math> soit <math>\;\neq 0\;</math>».</center> ==== Détermination de la solution de l'équation différentielle avec C.I. ==== {{Al|5}}Il reste donc à déterminer l'« originale de <math>\;\underline{Y}(p)\;</math><ref name="soulignement de Y" /> sous <math>\;\Re (p) > 0\;</math> dans l'hypothèse <math>\;p^2 + b\,p + c \neq 0\;</math>» <math>\;\big[</math>nécessairement réalisée pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math><ref> En effet le discriminant du trinôme valant <math>\;\Delta = b^2 - 4\,c</math>, si ce dernier est <math>\;> 0</math>, les racines s'écrivent <math>\;p_{\pm} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}\;</math> toutes deux <math>\;< 0\;</math> <math>\big(</math>leur somme étant <math>\;< 0\;</math> et leur produit <math>\;> 0\big)\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet le discriminant du trinôme valant <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\,c}</math>, si ce dernier est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, les racines s'écrivent }}donc hors domaine de convergence de <math>\;\underline{Y}(p)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet le discriminant du trinôme valant <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\,c}</math>, }}si le discriminant est nul la racine double s'écrit <math>\;p_{d} = \dfrac{-b}{2} < 0\;</math> donc hors domaine de convergence de <math>\;\underline{Y}(p)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet le discriminant du trinôme valant <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\,c}</math>, }}si le discriminant est <math>\;< 0\;</math> les racines complexes conjuguées s'écrivent <math>\;\underline{p_{\pm}} = \dfrac{-b \pm i\,\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;</math> à partie réelle négative <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet le discriminant du trinôme valant <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\,c}</math>, si le discriminant est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> les racines complexes conjuguées s'écrivent }}donc hors domaine de convergence de <math>\;\underline{Y}(p)</math>.</ref><math>\big]</math>. ===== Décomposition en éléments irréductibles simples dans le cas où b² - 4 c est > 0 ===== ====== Décomposition de la 1^ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est > 0 ====== {{Al|5}}Si <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;> 0</math>, « le trinôme <math>\;p^2 + b\;p + c\;</math> ayant deux racines réelles distinctes <math>\;q_{(\pm)} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}la décomposition de <math>\;A(p) = \dfrac{1}{p\,(p^2 + b\,p + c)} = \dfrac{1}{p\;(p - q_{(+)})\;(p - q_{(-)})}\;</math> en éléments irréductibles simples s'écrit <math>\;A(p) = \dfrac{\rho_1}{p} + \dfrac{\rho_{(+)}}{p - q_{(+)}} + \dfrac{\rho_{(-)}}{p - q_{(-)}}\;</math> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}on détermine <math>\bullet\;</math>«<math>\;\rho_1\;</math>» en multipliant chaque membre par <math>\;p\;</math> puis en y faisant <math>\;p = 0\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{1}{c} = \rho_1\;</math> d'où «<math>\;\rho_1 = \dfrac{1}{c}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, on détermine }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\rho_{(+)}\;</math>» en multipliant chaque membre par <math>\;p - q_{(+)}\;</math> puis en y faisant <math>\;p = q_{(+)}\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{1}{q_{(+)}\,[q_{(+)} - q_{(-)}]} = \rho_{(+)}\;</math> ou <math>\;\dfrac{1}{q_{(+)}\;\sqrt{b^2 - 4\;c}} = \rho_{(+)}\;</math><ref name="différence des racines"> En effet <math>\;q_{(+)} - q_{(-)} = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2} - \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2} = \sqrt{b^2 - 4\;c}</math>.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, on détermine <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\rho_{(+)} = \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\;c}}\;\dfrac{1}{q_{(+)}}\;</math>» ou encore, avec <math>\;q_{(+)} = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho_{(+)} = \dfrac{2}{\sqrt{b^2 - 4\;c} \left( - b + \sqrt{b^2 - 4\;c} \right)}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, on détermine }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\rho_{(-)}\;</math>» en multipliant chaque membre par <math>\;p - q_{(-)}\;</math> puis en y faisant <math>\;p = q_{(-)}\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{1}{q_{(-)}\,[q_{(-)} - q_{(+)}]} = \rho_{(-)}\;</math> ou <math>\;\dfrac{-1}{q_{(-)}\;\sqrt{b^2 - 4\;c}} = \rho_{(-)}\;</math><ref name="différence des racines" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, on détermine <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\rho_{(-)} = \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\;c}}\;\dfrac{-1}{q_{(-)}}\;</math>» ou encore, avec <math>\;q_{(-)} = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho_{(-)} = \dfrac{2}{\sqrt{b^2 - 4\;c} \left( b + \sqrt{b^2 - 4\;c} \right)}</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}soit finalement la décomposition de <math>\;A(p)\;</math> en éléments irréductibles simples dans le cas où <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;> 0\;</math> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, soit finalement la décomposition de }}«<math>\;A(p) = \dfrac{1}{p\,(p^2 + b\,p + c)} = \dfrac{1}{c}\;\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\;c}}\, \left[ \dfrac{\dfrac{1}{q_{(+)}}}{p - q_{(+)}} - \dfrac{\dfrac{1}{q_{(-)}}}{p - q_{(-)}} \right]\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} q_{(+)} = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2} \\q_{(-)} = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2} \end{array}\right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En adoptant la notation physique, « le discriminant <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta = 4\;\omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>», « la condition <math>\;b^2 - 4\;c > 0\;</math> correspond à <math>\;\sigma > 1\;</math>»<ref name="sigma positif"> <math>\;\sigma\;</math> étant <math>\;> 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}la décomposition de la 1^ère [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] <math>\;A(p) = \dfrac{1}{p\,(p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2)}\;</math> en éléments irréductibles simples s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}«<math>\;A(p) = \dfrac{1}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{2\,\omega_0^2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}}\, \left[ \dfrac{q_{(-),\,\text{réd}}}{p - \omega_0\;q_{(+),\,\text{réd}}} - \dfrac{q_{(+),\,\text{réd}}}{p - \omega_0\;q_{(-),\,\text{réd}}} \right]\;</math>»<ref name="produit des pôles réduits égal à 1"> En effet le produit des racines du trinôme <math>\;q_{(+)}\;q_{(-)} = c = \omega_0^2\;</math> d'où <math>\;q_{(+),\,\text{réd}}\;q_{(-),\,\text{réd}} = 1\;</math> et par suite <math>\;\dfrac{1}{q_{(+),\,\text{réd}}} = q_{(-),\,\text{réd}}\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{1}{q_{(-),\,\text{réd}}} = q_{(+),\,\text{réd}}\;</math> <math>\ldots</math></ref> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}q_{(+),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(+)}}{\omega_0} = -\left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right) \\ q_{(-),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(-)}}{\omega_0} = -\left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>». ====== Décomposition de la 2^ème fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est > 0 ====== {{Al|5}}Si <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;> 0</math>, « le trinôme <math>\;p^2 + b\;p + c\;</math> ayant deux racines réelles distinctes <math>\;q_{(\pm)} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}la décomposition de <math>\;B(p) = \dfrac{1}{p^2 + b\,p + c} = \dfrac{1}{(p - q_{(+)})\;(p - q_{(-)})}\;</math> en éléments irréductibles simples s'écrit <math>\;B(p) = \dfrac{{\rho'}_{(+)}}{p - q_{(+)}} + \dfrac{{\rho'}_{(-)}}{p - q_{(-)}}\;</math> dans lequel on détermine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;{\rho'}_{(+)}\;</math>» en multipliant chaque membre par <math>\;p - q_{(+)}\;</math> et en y faisant <math>\;p = q_{(+)}\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{q_{(+)} - q_{(-)}} = {\rho'}_{(+)}\;</math> ou <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\;c}} = {\rho'}_{(+)}\;</math><ref name="différence des racines" /> soit «<math>\;{\rho'}_{(+)} = \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\;c}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;{\rho'}_{(-)}\;</math>» en multipliant les deux membres par <math>\;p - q_{(-)}\;</math> et en y faisant <math>\;p = q_{(-)}\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{q_{(-)} - q_{(+)}} = {\rho'}_{(-)}\;</math> ou <math>\;\dfrac{-1}{\sqrt{b^2 - 4\;c}} = {\rho'}_{(-)}\;</math><ref name="différence des racines" /> soit «<math>\;{\rho'}_{(-)} = \dfrac{-1}{\sqrt{b^2 - 4\;c}}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En adoptant la notation physique, « le discriminant <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta = 4\;\omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>», « la condition <math>\;b^2 - 4\;c > 0\;</math> correspond à <math>\;\sigma > 1\;</math>»<ref name="sigma positif" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}la décomposition de la 2^ème [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] <math>\;B(p) = \dfrac{1}{p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2}\;</math> en éléments irréductibles simples s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}«<math>\;B(p) = \dfrac{1}{2\,\omega_0^2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}}\, \left[ \dfrac{1}{p - \omega_0\;q_{(+),\,\text{réd}}} - \dfrac{1}{p - \omega_0\;q_{(-),\,\text{réd}}} \right]\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}q_{(+),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(+)}}{\omega_0} = -\left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right) \\ q_{(-),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(-)}}{\omega_0} = -\left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>». ====== Décomposition de la transformée de Laplace de la solution globale en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est > 0 ====== {{Al|5}}En reportant les décompositions précédentes en éléments irréductibles simples dans <math>\;\underline{Y}(p) = E\;A(p) + E'\;B(p)\;</math><ref name="soulignement de Y" /> nous obtenons, après regroupement des éléments irréductibles simples identiques <center>«<math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{c}\;\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\,c}} \left[ \dfrac{\dfrac{E}{q_{(+)}} + E'}{p - q_{(+)}} - \dfrac{\dfrac{E}{q_{(-)}} + E'}{p - q_{(-)}} \right]\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} q_{(+)} = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2} \\q_{(-)} = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2} \end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En adoptant la notation physique, « le discriminant <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta = 4\;\omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>», « la condition <math>\;b^2 - 4\;c > 0\;</math> correspond à <math>\;\sigma > 1\;</math>»<ref name="sigma positif" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}la décomposition de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la solution globale en éléments irréductibles simples s'écrit <center>«<math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{2\,\omega_0^2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ \dfrac{\dfrac{E}{q_{(+),\,\text{réd}}} + \omega_0\; E'}{p - \omega_0\,q_{(+),\,\text{réd}}} - \dfrac{\dfrac{E}{q_{(-),\,\text{réd}}} + \omega_0\; E'}{p - \omega_0\,q_{(-),\,\text{réd}}} \right]\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}q_{(+),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(+)}}{\omega_0} = -\left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right) \\ q_{(-),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(-)}}{\omega_0} = -\left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> ===== Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b² - 4 c est > 0 ===== {{Al|5}}Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{c}\;\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\,c}} \left[ \dfrac{\dfrac{E}{q_{(+)}} + E'}{p - q_{(+)}} - \dfrac{\dfrac{E}{q_{(-)}} + E'}{p - q_{(-)}} \right]\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» sachant que <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p} \right\rbrace = Y(t)\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="1ers exemples de transformées monolatérales de Laplace" /> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p + a} \right\rbrace = \exp(-a\,t)\;Y(t)\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="originale de 1/(p + a)" /> donc a fortiori <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p + a} \right\rbrace = \exp(-a\,t)\;Y(t)}\;</math> }}pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math> dans la mesure où <math>\;a\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref> <math>\;q_{(+)}\;</math> et <math>\;q_{(-)}\;</math> étant toutes deux <math>\;< 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}nous en déduisons, compte-tenu de la linéarité de la transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" />{{,}}<ref name="linéarité" /> et dans le cas où <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;> 0\;</math> c'est-à-dire dans le cas d'un régime apériodique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons, }}la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> : <center>«<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c}\;Y(t) + \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\,c}} \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{q_{(+)}} + E' \right] \exp\! \left[ q_{(+)}\;t \right] - \left[ \dfrac{E}{q_{(-)}} + E' \right] \exp\! \left[ q_{(-)}\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math>» <br>avec «<math>\;q_{(+)} = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2} < 0\;</math> et <math>\;q_{(-)} = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2} < 0\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En adoptant la notation physique, « le discriminant <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta = 4\;\omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>», « la condition <math>\;b^2 - 4\;c > 0\;</math> correspond à <math>\;\sigma > 1\;</math>»<ref name="sigma positif" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> hétérogène <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre}} à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}s'écrit «<math>\;y(t) = \dfrac{E}{\omega_0^2}\;Y(t) + \dfrac{1}{2\,\omega_0^2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{q_{(+),\,\text{réd}}} + \omega_0\; E' \right] \exp\! \left[ \omega_0\;q_{(+),\,\text{réd}}\;t \right] - \left[ \dfrac{E}{q_{(-),\,\text{réd}}} + \omega_0\; E' \right] \exp\! \left[ \omega_0\;q_{(-),\,\text{réd}}\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, s'écrit }}«<math>\;q_{(+),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(+)}}{\omega_0} = -\left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\;</math> et <math>\;q_{(-),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(-)}}{\omega_0} = -\left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial</u><ref name="post-initial"> C.-à-d. à l'instant <math>\;0^{+}</math>.</ref> : Faisons <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans la solution de }}hétérogène à excitation constante dans le cas où <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;> 0\;</math> puis <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> }}dans sa dérivée temporelle 1^ère <math>\;\dot{y}(t)\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> nous obtenons : <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;y(0^{+}) = \dfrac{E}{c} + \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\;c}} \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{q_{(+)}} + E' \right] - \left[ \dfrac{E}{q_{(-)}} + E' \right] \right\rbrace = \dfrac{E}{c} + \dfrac{E}{\sqrt{b^2 - 4\;c}}\;\dfrac{q_{(-)} - q_{(+)}}{q_{(+)}\;q_{(-)}}</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{y(0^{+})}</math> }}<math>= \dfrac{E}{c} + \dfrac{E}{\sqrt{b^2 - 4\;c}}\;\dfrac{-\sqrt{b^2 - 4\;c}}{c} = 0\;</math>»<ref> En effet <math>\;q_{(+)} - q_{(-)} = \sqrt{b^2 - 4\;c}\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-différence_des_racines-182|¹⁸²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et <math>\;q_{(+)}\;q_{(-)} = c\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-produit_des_pôles_réduits_égal_à_1-184|¹⁸⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ou, en adoptant la notation physique, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;y(0^{+}) = \dfrac{E}{\omega_0^2} + \dfrac{1}{2\,\omega_0^2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{q_{(+),\,\text{réd}}} + \omega_0\; E' \right] - \left[ \dfrac{E}{q_{(-),\,\text{réd}}} + \omega_0\; E' \right] \right\rbrace</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{y(0^{+})}</math> }}<math>= \dfrac{E}{\omega_0^2} \left\lbrace 1 + \dfrac{1}{2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ \dfrac{1}{q_{(+),\,\text{réd}}} - \dfrac{1}{q_{(-),\,\text{réd}}} \right] \right\rbrace\;</math> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{y(0^{+})}</math> }}<math>= \dfrac{E}{\omega_0^2} \left\lbrace 1 + \dfrac{1}{2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ q_{(-),\,\text{réd}} - q_{(+),\,\text{réd}} \right] \right\rbrace\;</math> car <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{q_{(+),\,\text{réd}}} = q_{(-),\,\text{réd}}\\ \dfrac{1}{q_{(-),\,\text{réd}}} = q_{(+),\,\text{réd}} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="produit des pôles réduits égal à 1" />, soit, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{y(0^{+})}</math> }}<math>= \dfrac{E}{\omega_0^2} \left\lbrace 1 + \dfrac{1}{2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ -2\,\sqrt{\sigma^2 - 1} \right] \right\rbrace = 0\;</math>»<ref> En effet d'après la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-différence_des_racines-182|¹⁸²]] » plus haut dans ce chapitre, <math>\;q_{(+)} - q_{(-)} = \sqrt{b^2 - 4\;c}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;q_{(+),\,\text{réd}} - q_{(-),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(+)} - q_{(-)}}{\omega_0} = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4\;c}}{\omega_0} = \dfrac{\sqrt{4\;\sigma^2\;\omega_0^2 - 4\;\omega_0^2}}{\omega_0} = 2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}</math>.</ref>, soit «<math>\;y(0^{+}) = 0\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}une valeur post-initiale de la solution en accord avec la continuité de la solution à l'instant <math>\;t = 0</math> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dot{y}(0^{+})\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> contient deux termes <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\dot{Y}(0^{+}) = \delta(0^{+}) = 0\;</math><ref name="sens des distributions - bis" />{{,}}<ref name="propriété du pic de Dirac d'impulsion unité"> Car le [[w:Distribution_de_Dirac#Introduction_formelle|pic de Dirac]] d'impulsion unité est nul pour toute valeur <math>\;\neq\;</math> de <math>\;0</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="les deux termes de la dérivée initiale"> Ces deux termes résultent de <math>\;\dfrac{E}{c}\;\dot{Y}(t) + \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\,c}} \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{q_{(+)}} + E' \right] \exp\! \left[ q_{(+)}\;t \right] - \left[ \dfrac{E}{q_{(-)}} + E' \right] \exp\! \left[ q_{(-)}\;t \right] \right\rbrace \dot{Y}(t)\;</math> s'annulant en <math>\;t = 0^{+}\;</math> ou, en adoptant la notation physique, <br>{{Al|22}}{{Transparent|Ces deux termes résultent de }}<math>\;\dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dot{Y}(t) + \dfrac{1}{2\,\omega_0^2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{q_{(+),\,\text{réd}}} + \omega_0\; E' \right] \exp\! \left[ \omega_0\;q_{(+),\,\text{réd}}\;t \right] - \left[ \dfrac{E}{q_{(-),\,\text{réd}}} + \omega_0\; E' \right] \exp\! \left[ \omega_0\;q_{(-),\,\text{réd}}\;t \right] \right\rbrace \dot{Y}(t)\;</math> s'annulant en <math>\;t = 0^{+}</math>.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\dot{y}(0^{+})}\;</math> contient }}un dernier terme <math>\;= E'\;\dfrac{q_{(+)} - q_{(-)}}{\sqrt{b^2 - 4\,c}}\;</math><ref name="le dernier terme de la dérivée initiale"> En effet ce dernier terme résulte de <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\,c}} \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{q_{(+)}} + E' \right]\,q_{(+)} \exp\! \left[ q_{(+)}\;t \right] - \left[ \dfrac{E}{q_{(-)}} + E' \right]\,q_{(-)} \exp\! \left[ q_{(-)}\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math> de valeur à l'instant post-initial <math>\;t = 0^{+}\;</math> égale à <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\,c}} \left\lbrace \left[ E + E'\,q_{(+)} \right] \exp\! \left[ q_{(+)}\;0^{+} \right] - \left[ E + E'\,q_{(-)} \right] \exp\! \left[ q_{(-)}\;0^{+} \right] \right\rbrace Y(0^{+}) = \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\,c}} \left\lbrace \left[ E + E'\,q_{(+)} \right] - \left[ E + E'\,q_{(-)} \right] \right\rbrace = E'\;\dfrac{q_{(+)} - q_{(-)}}{\sqrt{b^2 - 4\,c}}\;</math> ou, avec la notation de physique, <br>{{Al|22}}{{Transparent|En effet de dernier terme résulte de }}<math>\;\dfrac{1}{2\,\omega_0\,\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left\lbrace \left[ E + \omega_0\; E'\;q_{(+),\,\text{réd}} \right] \exp\! \left[ \omega_0\;q_{(+),\,\text{réd}}\;t \right] - \left[ E + \omega_0\; E'\;q_{(-),\,\text{réd}} \right] \exp\! \left[ \omega_0\;q_{(-),\,\text{réd}}\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math> de valeur à l'instant post-initial égale à <math>\;\dfrac{1}{2\,\omega_0\,\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left\lbrace \left[ E + \omega_0\; E'\;q_{(+),\,\text{réd}} \right] \exp\! \left[ \omega_0\;q_{(+),\,\text{réd}}\;0^{+} \right] - \left[ E + \omega_0\; E'\;q_{(-),\,\text{réd}} \right] \exp\! \left[ \omega_0\;q_{(-),\,\text{réd}}\;0^{+} \right] \right\rbrace Y(0^{+}) = E'\;\dfrac{q_{(+),\,\text{réd}} - q_{(-),\,\text{réd}}}{2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}}</math>.</ref> <math>\;= E'\;\dfrac{\sqrt{b^2 - 4\,c}}{\sqrt{b^2 - 4\,c}}\;</math><ref name="différence des racines" /> <math>\;= E'\;</math> d'où <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{y}(0^{+}) = E'\;</math>»<ref name="sens des distributions - bis" /> qu'on retrouve également en adoptant la notation physique, selon <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{y}(0^{+})\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> contient deux termes <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\dot{Y}(0^{+}) = \delta(0^{+}) = 0\;</math><ref name="sens des distributions - bis" />{{,}} <ref name="propriété du pic de Dirac d'impulsion unité" />{{,}} <ref name="les deux termes de la dérivée initiale" /> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\dot{y}(0^{+})}\;</math> contient }}un dernier terme <math>\;= E'\;\dfrac{q_{(+),\,\text{réd}} - q_{(-),\,\text{réd}}}{2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}}\;</math><ref name="le dernier terme de la dérivée initiale" /> <math>\;= E'\;\dfrac{2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\,\sqrt{\sigma^2 - 1}}\;</math><ref name="différence des racines" /> <br>{{Al|18}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\dot{y}(0^{+})}\;</math> contient un dernier terme }}<math>\;= E'\;</math>» soit finalement «<math>\;\dot{y}(0^{+}) = E'\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}une valeur post-initiale de <math>\;\dot{y}(t)\;</math> en accord avec sa discontinuité de 1^ère espèce <ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> à <math>\;t = 0\;</math><ref name="valeur post-initiale de la dérivée de la solution obtenue par intégration"> On retrouve cette valeur en intégrant <math>\;\big(</math>au sens des distributions<math>\big)\;</math> l'équation différentielle écrite pour tout <math>\;t\;</math> entre <math>\;0^{-}\;</math> et <math>\;0^{+}\;</math> ce qui donne, compte-tenu des discontinuités déjà énoncées, «<math>\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} \ddot{y}(t)\,dt\; \cancel{+ b\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} \dot{y}(t)\,dt + c\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} y(t)\,dt}\; =\;</math> <math>\cancel{E\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} Y(t)\,dt +}\; E'\;\cancel{\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} \delta(t)\,dt}\;</math> soit <math>\;\dot{y}(0^{+}) = E'\;</math>».</ref>. ===== Décomposition en éléments irréductibles simples dans le cas où b² - 4 c est = 0 ===== ====== Décomposition de la 1^ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est = 0 ====== {{Al|5}}Si <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;= 0</math>, « le trinôme <math>\;p^2 + b\;p + c\;</math> ayant une racine double réelle <math>\;q_{(d)} = \dfrac{-b}{2} = -\sqrt{c}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}</math>, }}la décomposition de <math>\;A'(p) = \dfrac{1}{p\,(p^2 + b\,p + c)} = \dfrac{1}{p\,\left[ p - q_{(d)} \right]^2}\;</math> en éléments irréductibles simples s'écrit <math>\;A'(p) = \dfrac{\rho_2}{p} + \dfrac{\rho_{(d),\,1}}{\left[ p - q_{(d)} \right]^2} + \dfrac{\rho_{(d),\,2}}{p - q_{(d)}}\;</math> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}</math>, }}on détermine <math>\bullet\;</math>«<math>\;\rho_2\;</math>» en multipliant chaque membre par <math>\;p\;</math> puis en y faisant <math>\;p = 0\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{1}{c} = \rho_2\;</math> d'où «<math>\;\rho_2 = \dfrac{1}{c}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}</math>, on détermine }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\rho_{(d),\,1}\;</math>» en multipliant chaque membre par <math>\;\left[ p - q_{(d)} \right]^2\;</math> puis en y faisant <math>\;p = q_{(d)}\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{1}{q_{(d)}} = \rho_{(d),\,1}\;</math> ou «<math>\;\rho_{(d),\,1} = \dfrac{1}{q_{(d)}} = -\dfrac{1}{\sqrt{c}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}</math>, on détermine }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\rho_{(d),\,2}\;</math>» en multipliant chaque membre par <math>\;p - q_{(d)}\;</math> puis en y faisant <math>\;p \rightarrow \infty\;</math> soit <math>\;0 = \rho_2 + \rho_{(d),\,2}\;</math> d'où «<math>\;\rho_{(d),\,2} = -\rho_2 = -\dfrac{1}{c}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}</math>, }}soit finalement la décomposition de <math>\;A'(p)\;</math> en éléments irréductibles simples dans le cas où <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;= 0\;</math> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}</math>, soit finalement la décomposition de }}«<math>\;A'(p) = \dfrac{1}{p\,(p^2 + b\,p + c)} = \dfrac{1}{c}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{\sqrt{c}}\, \dfrac{1}{\left[ p - q_{(d)} \right]^2} - \dfrac{1}{c}\;\dfrac{1}{p - q_{(d)}}\;</math>» avec «<math>\;q_{(d)} = \dfrac{-b}{2} = -\sqrt{c}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En adoptant la notation physique, « le discriminant <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta = 4\;\omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>», « la condition <math>\;b^2 - 4\;c = 0\;</math> correspond à <math>\;\sigma = 1\;</math>»<ref name="sigma positif" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}la décomposition de la 1^ère [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] <math>\;A'(p) = \dfrac{1}{p\,(p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2)}\;</math> en éléments irréductibles simples s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}«<math>\;A'(p) = \left[ \dfrac{1}{p\,(p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2)} \right]_{\sigma = 1} = \dfrac{1}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{\omega_0}\, \dfrac{1}{\left[ p - \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}} \right]^2} - \dfrac{1}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p - \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}}\;</math>» avec «<math>\;q_{(d),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(d)}}{\omega_0} = -1\;</math>», soit {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}«<math>\;A'(p) = \left[ \dfrac{1}{p\,(p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2)} \right]_{\sigma = 1} = \dfrac{1}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{\omega_0}\, \dfrac{1}{\left[ p + \omega_0 \right]^2} - \dfrac{1}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p + \omega_0}\;</math>». ====== Décomposition de la 2^ème fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est = 0 ====== {{Al|5}}Si <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;= 0</math>, « le trinôme <math>\;p^2 + b\;p + c\;</math> ayant une racine double réelle <math>\;q_{(d)} = \dfrac{-b}{2} = -\sqrt{c}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}</math>, }}la décomposition de <math>\;B'(p) = \dfrac{1}{p^2 + b\,p + c} = \dfrac{1}{\left[ p - q_{(d)} \right]^2}\;</math> en éléments irréductibles simples s'écrit «<math>\;B'(p) = \dfrac{1}{\left[ p - q_{(d)} \right]^2}\;</math>» avec «<math>\;q_{(d)} = \dfrac{-b}{2} = -\sqrt{c}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En adoptant la notation physique, « le discriminant <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta = 4\;\omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>», « la condition <math>\;b^2 - 4\;c = 0\;</math> correspond à <math>\;\sigma = 1\;</math>»<ref name="sigma positif" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}la décomposition de la 2^ème fonction rationnelle <math>\;B'(p) = \left[ \dfrac{1}{p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2} \right]_{\sigma = 1}\;</math> s'écrit <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la 2^ème fonction rationnelle }}«<math>\;B'(p) = \dfrac{1}{\left[ p - \omega_0\,q_{(d),\,\text{réd}} \right]^2} = \dfrac{1}{\left[ p + \omega_0 \right]^2}\;</math>» car «<math>\;q_{(d),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(d)}}{\omega_0} = -1\;</math>». ====== Décomposition de la transformée de Laplace de la solution globale en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est = 0 ====== {{Al|5}}En reportant les décompositions précédentes en éléments irréductibles simples dans <math>\;\underline{Y}(p) = E\;A'(p) + E'\;B'(p)\;</math><ref name="soulignement de Y" /> nous obtenons, après regroupement des éléments irréductibles simples identiques <center>«<math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{c}\;\dfrac{1}{p} - \left[ \dfrac{E}{\sqrt{c}} - E' \right] \dfrac{1}{\left[ p - q_{(d)} \right]^2} - \dfrac{E}{c}\;\dfrac{1}{p - q_{(d)}}\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» avec «<math>\;q_{(d)} = \dfrac{-b}{2} = -\sqrt{c}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En adoptant la notation physique, « le discriminant <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta = 4\;\omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>», « la condition <math>\;b^2 - 4\;c = 0\;</math> correspond à <math>\;\sigma = 1\;</math>»<ref name="sigma positif" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}la décomposition de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la solution globale en éléments irréductibles simples s'écrit <center>«<math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p} - \left[ \dfrac{E}{\omega_0} - E' \right] \dfrac{1}{\left[ p - \omega_0\,q_{(d),\,\text{réd}} \right]^2} - \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p - \omega_0\,q_{(d),\,\text{réd}}} = \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p} - \left[ \dfrac{E}{\omega_0} - E' \right] \dfrac{1}{\left[ p + \omega_0 \right]^2} - \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p + \omega_0}\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» car «<math>\;q_{(d),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(d)}}{\omega_0} = -1\;</math>».</center> ===== Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b² - 4 c est = 0 ===== {{Al|5}}Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{c}\;\dfrac{1}{p} - \left[ \dfrac{E}{\sqrt{c}} - E' \right] \dfrac{1}{\left[ p - q_{(d)} \right]^2} - \dfrac{E}{c}\;\dfrac{1}{p - q_{(d)}}\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» sachant que <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p} \right\rbrace = Y(t)\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="1ers exemples de transformées monolatérales de Laplace" />, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p + a} \right\rbrace = \exp(-a\,t)\;Y(t)\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="originale de 1/(p + a)" /> donc a fortiori <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p + a} \right\rbrace = \exp(-a\,t)\;Y(t)}\;</math> }}pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math> dans la mesure où <math>\;a\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="qd négatif"> <math>\;q_{(d)}\;</math> étant <math>\;< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}<math>\bullet\;</math><math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{(p + a)^2} \right\rbrace = t\;\exp(-a\,t)\;Y(t)\;</math><ref name="multiplication par une puissance de t" /> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math> donc a fortiori <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p + a} \right\rbrace = \exp(-a\,t)\;Y(t)}\;</math> }}pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math> dans la mesure où <math>\;a\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="qd négatif" /> ; {{Al|5}}nous en déduisons, compte-tenu de la linéarité de la transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" />{{,}}<ref name="linéarité" /> et dans le cas où <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;= 0\;</math> c'est-à-dire dans le cas d'un régime apériodique critique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons, }}la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> : <center>«<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c}\;Y(t) - \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{\sqrt{c}} - E' \right] t\;\exp\! \left[ q_{(d)}\;t \right] + \dfrac{E}{c}\;\exp\! \left[ q_{(d)}\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math>» <br>avec «<math>\;q_{(d)} = \dfrac{-b}{2} = -\sqrt{c} < 0\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En adoptant la notation physique, « le discriminant <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta = 4\;\omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>», « la condition <math>\;b^2 - 4\;c = 0\;</math> correspond à <math>\;\sigma = 1\;</math>»<ref name="sigma positif" /> et la solution globale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> s'écrit <center>«<math>\;y(t) = \dfrac{E}{\omega_0^2}\;Y(t) - \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{\omega_0} - E' \right] t\;\exp\! \left[ \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}\;t \right] + \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\exp\! \left[ \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math>» avec «<math>\;q_{(d),\,\text{réd}} = \dfrac{q_{(d)}}{\omega_0} = -1\;</math>» <br>ou «<math>\;y(t) = \dfrac{E}{\omega_0^2}\;Y(t) - \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{\omega_0} - E' \right] t\;\exp\! \left[ -\omega_0\;t \right] + \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\exp\! \left[ -\omega_0\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial</u><ref name="post-initial" /> : Faisons <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans la solution de }}hétérogène à excitation constante dans le cas où <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;= 0\;</math> puis <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> }}dans celle de sa dérivée temporelle <math>\;\dot{y}(t)\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> nous obtenons : <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;y(0^{+}) = \dfrac{E}{c} - \dfrac{E}{c} = 0\;</math>» ou, en adoptant la notation physique, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;y(0^{+}) = \dfrac{E}{\omega_0^2} - \dfrac{E}{\omega_0^2} = 0\;</math>» c'est-à-dire une valeur post-initiale de la solution en accord avec la <br>{{Al|16}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{y(0^{+}) = \omega_0^2 - \omega_0^2 = 0}\;</math>» c'est-à-dire une valeur post-initiale }}continuité de la solution à l'instant <math>\;t = 0</math> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dot{y}(0^{+})\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> contient deux termes <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\dot{Y}(0^{+}) = \delta(0^{+}) = 0\;</math><ref name="sens des distributions - bis" />{{,}}<ref name="propriété du pic de Dirac d'impulsion unité" />{{,}}<ref name="les deux termes de la dérivée initiale - bis"> Ces deux termes résultent de <math>\;\dfrac{E}{c}\;\dot{Y}(t) - \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{\sqrt{c}} - E' \right] t\;\exp\! \left[ q_{(d)}\;t \right] + \dfrac{E}{c}\;\exp\! \left[ q_{(d)}\;t \right] \right\rbrace \dot{Y}(t)\;</math> s'annulant en <math>\;t = 0^{+}\;</math> ou, en adoptant la notation physique, <br>{{Al|22}}{{Transparent|Ces deux termes résultent de }}<math>\;\dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dot{Y}(t) - \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{\omega_0} - E' \right] t\;\exp\! \left[ \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}\;t \right] + \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\exp\! \left[ \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}\;t \right] \right\rbrace \dot{Y}(t)\;</math> s'annulant en <math>\;t = 0^{+}</math>.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\dot{y}(0^{+})}\;</math> contient }}un dernier terme <math>\;= E' - \dfrac{E}{\sqrt{c}} \left[ 1 + \dfrac{q_{(d)}}{\sqrt{c}} \right]\;</math><ref name="le dernier terme de la dérivée initiale - bis"> En effet ce dernier terme résulte de <math>\;- \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{\sqrt{c}} - E' \right]\,\exp\! \left[ q_{(d)}\;t \right] + \left[ \dfrac{E}{\sqrt{c}} - E' \right]\,q_{(d)}\;t\; \exp\! \left[ q_{(d)}\;t \right] + \dfrac{E}{c}\;q_{(d)}\;\exp\! \left[ q_{(d)}\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math> de valeur à l'instant post-initial <math>\;t = 0^{+}\;</math> égale à <math>\;- \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{\sqrt{c}} - E' \right]\,\exp\! \left[ q_{(d)}\;0^{+} \right]\;\cancel{ + \left[ \dfrac{E}{\sqrt{c}} - E' \right]\,q_{(d)}\;0^{+}\; \exp\! \left[ q_{(d)}\;0^{+} \right]} + \dfrac{E}{c}\;q_{(d)}\;\exp\! \left[ q_{(d)}\;0^{+} \right] \right\rbrace Y(0^{+}) = E' - \dfrac{E}{\sqrt{c}} \left[ 1 + \dfrac{q_{(d)}}{\sqrt{c}} \right]\;</math> ou, en adoptant la notation de physique, <br>{{Al|22}}{{Transparent|En effet de dernier terme résulte de }}<math>\;- \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{\omega_0} - E' \right] \exp\! \left[ \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}\;t \right] + \left[ \dfrac{E}{\omega_0} - E' \right]\, \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}\;t\;\exp\! \left[ \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}\;t \right] + \dfrac{E}{\omega_0}\;q_{(d),\,\text{réd}}\;\exp\! \left[ \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math> de valeur à l'instant post-initial égale à <math>\;- \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{\omega_0} - E' \right] \exp\! \left[ \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}\;0^{+} \right] \cancel{+ \left[ \dfrac{E}{\omega_0} - E' \right]\, \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}\;0^{+}\;\exp\! \left[ \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}\;0^{+} \right]} + \dfrac{E}{\omega_0}\;q_{(d),\,\text{réd}}\;\exp\! \left[ \omega_0\;q_{(d),\,\text{réd}}\;0^{+} \right] \right\rbrace\, Y(0^{+}) =</math> <math>E' - \dfrac{E}{\omega_0}\, \left[ 1 + q_{(d),\,\text{réd}} \right]</math>.</ref> <math>\;= E'\;</math> car <math>\;q_{(d)} = -\sqrt{c}\;</math> d'où <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{y}(0^{+}) = E'\;</math>»<ref name="sens des distributions - bis" /> qu'on retrouve également en adoptant la notation physique, selon <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{y}(0^{+})\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> contient deux termes <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\dot{Y}(0^{+}) = \delta(0^{+}) = 0\;</math><ref name="sens des distributions - bis" />{{,}}<ref name="propriété du pic de Dirac d'impulsion unité" />{{,}}<ref name="les deux termes de la dérivée initiale - bis" /> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\dot{y}(0^{+})}\;</math> contient }}un terme <math>\;= E' - \dfrac{E}{\omega_0}\, \left[ 1 + q_{(d),\,\text{réd}} \right]\;</math><ref name="le dernier terme de la dérivée initiale - bis" /> <math>\;= E'\;</math> car <math>\;q_{(d),\,\text{réd}} = -1\;</math> d'où <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{y}(0^{+}) = E'\;</math>» c'est-à-dire une valeur post-initiale de <math>\;\dot{y}(t)\;</math> en accord avec sa <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\dot{y}(0^{+}) = E'}\;</math>» c'est-à-dire une valeur post-initiale }}discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> à <math>\;t = 0\;</math><ref name="valeur post-initiale de la dérivée de la solution obtenue par intégration" />. ===== Décomposition en éléments irréductibles simples dans le cas où b² - 4 c est < 0 ===== ====== Décomposition de la 1^ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est < 0 ====== {{Al|5}}Si <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;< 0</math>, « le trinôme <math>\;p^2 + b\;p + c\;</math> ayant deux racines complexes conjuguées <math>\;\underline{q_{(\pm)}} = \dfrac{-b \pm i\,\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2} = q_{re} \pm i\,q_{im}\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} q_{re} = \Re\! \left[\underline{q_{(\pm)}} \right] = -\dfrac{b}{2} < 0 \\ q_{im} = \Im\! \left[\underline{q_{(\pm)}} \right] = \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2} > 0\end{array} \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, }}la décomposition de <math>\;A''(p) = \dfrac{1}{p\,(p^2 + b\,p + c)}\;</math> en éléments irréductibles simples s'écrit <math>\;A''(p) = \dfrac{\rho_3}{p} + \dfrac{\rho_{c,\,1}\,p + \rho_{c,\,2}}{p^2 + b\,p + c} = \dfrac{\rho_3}{p} + \dfrac{\rho_{c,\,1}\,p + \rho_{c,\,2}}{\left[ p + \dfrac{b}{2} \right]^2 + c - \dfrac{b^2}{4}}</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, la décomposition de <math>\;\color{transparent}{A''(p) = p\,(p^2 + b\,p + c)}\;</math> en éléments irréductibles simples s'écrit <math>\;\color{transparent}{A''(p)}</math> }}<math>= \dfrac{\rho_3}{p} + \dfrac{\rho_{c,\,1}\,p + \rho_{c,\,2}}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2}\;</math> dans lequel on détermine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, la décomposition }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\rho_3\;</math>» en multipliant chaque membre par <math>\;p\;</math> puis en y faisant <math>\;p = 0\;</math><ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> soit <math>\;\dfrac{1}{c} = \rho_3\;</math> d'où «<math>\;\rho_3 = \dfrac{1}{c}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, la décomposition }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\rho_{c,\,1}\;</math>» en multipliant chaque membre par exemple par <math>\;p\;</math> puis en y faisant <math>\;p \rightarrow \infty\;</math> soit <math>\;0 = \rho_3 + \rho_{c,\,1}\;</math> d'où selon «<math>\;\rho_{c,\,1} = -\rho_3 = -\dfrac{1}{c}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, la décomposition }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\rho_{c,\,2}\;</math>» en multipliant chaque membre par exemple par <math>\;p - q_{re} - i\,q_{im}\;</math> puis en y faisant <math>\;p = q_{re} + i\,q_{im}\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, la décomposition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\rho_{c,\,2}}\;</math>» en multipliant }}<math>\;\dfrac{1}{(q_{re} + i\,q_{im})\;(2\,i\,q_{im})} = \dfrac{\rho_{c,\,1}\;(q_{re} + i\,q_{im}) + \rho_{c,\,2}}{2\,i\,q_{im}}\;</math><ref name="conséquence de la réécriture du trinôme"> Avec «<math>\;p^2 + b\,p + c = (p - q_{re} - i\,q_{im})\;(p - q_{re} + i\,q_{im})\;</math>», <math>\;\dfrac{p - q_{re} - i\,q_{im}}{p\;(p^2 + b\,p + c)} = \dfrac{1}{p\;(p - q_{re} + i\,q_{im})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left[ \dfrac{p - q_{re} - i\,q_{im}}{p\;(p^2 + b\,p + c)} \right]_{p\, =\, q_{re} + i\,q_{im}} = \dfrac{1}{(q_{re} + i\,q_{im})\;(2\,i\,q_{im})}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec «<math>\;\color{transparent}{p^2 + b\,p + c = (p - q_{re} - i\,q_{im})\;(p - q_{re} + i\,q_{im})}\;</math>», }}<math>\;\dfrac{(p - q_{re} - i\,q_{im})\;(\rho_{c,\,1}\,p + \rho_{c,\,2})}{p^2 + b\,p + c} = \dfrac{\rho_{c,\,1}\,p + \rho_{c,\,2}}{p - q_{re} + i\,q_{im}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left[ \dfrac{\rho_{c,\,1}\,p + \rho_{c,\,2}}{p - q_{re} + i\,q_{im}} \right]_{p\, =\, q_{re} + i\,q_{im}} = \dfrac{\rho_{c,\,1}\;(q_{re} + i\,q_{im}) + \rho_{c,\,2}}{(2\,i\,q_{im})}</math></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\rho_{c,\,1}\;(q_{re} + i\,q_{im}) + \rho_{c,\,2} = \dfrac{1}{q_{re} + i\,q_{im}} = \dfrac{q_{re} - i\,q_{im}}{q_{re}^2 + q_{im}^2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, la décomposition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\rho_{c,\,2}}\;</math>» en multipliant }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_{c,\,1}\;q_{re} + \rho_{c,\,2} = \dfrac{q_{re}}{q_{re}^2 + q_{im}^2}\\ \rho_{c,\,1}\;\cancel{(i\,q_{im})} = -\dfrac{\cancel{i\,q_{im}}}{q_{re}^2 + q_{im}^2}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit, avec <math>\;q_{re}^2 + q_{im}^2 = \left( \dfrac{-b}{2} \right)^{\!2} + \dfrac{\vert \Delta \vert}{4} = \dfrac{b^2}{4} + \left( c - \dfrac{b^2}{4} \right) = c\;</math><ref name="rhoc,1"> On retrouve donc l'expression de <math>\;\rho_{c,\,1}\;</math> par la 2^ème équation du système «<math>\;\rho_{c,\,1}\;\cancel{(i\,q_{im})} = -\dfrac{\cancel{i\,q_{im}}}{q_{re}^2 + q_{im}^2}\;</math> soit <math>\;\rho_{c,\,1} = -\dfrac{1}{q_{re}^2 + q_{im}^2} = -\dfrac{1}{c}\;</math>».</ref>, la 1^ère équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, la décomposition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\rho_{c,\,2}}\;</math>» en multipliant }}du système s'écrit <math>\;\rho_{c,\,1}\;q_{re} + \rho_{c,\,2} = \dfrac{q_{re}}{c}\;</math> ou «<math>\;\rho_{c,\,2} = \dfrac{q_{re}}{c} - \rho_{c,\,1}\;q_{re}\;</math>» et, avec <math>\;\rho_{c,\,1} = -\dfrac{1}{c}\;</math><ref name="rhoc,1" />, «<math>\;\rho_{c,\,2} = \dfrac{2\;q_{re}}{c} = -\dfrac{b}{c}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, }}soit finalement la décomposition de <math>\;A''(p)\;</math> en éléments irréductibles simples dans le cas où <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;< 0\;</math> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, soit finalement la décomposition de }}«<math>\;A''(p) = \dfrac{1}{p\,(p^2 + b\,p + c)} = \dfrac{1}{c}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{c}\, \dfrac{p + b}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2}\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} q_{re} = -\dfrac{b}{2} < 0 \\ q_{im} = \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2} > 0\end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En adoptant la notation physique, « le discriminant <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta = 4\;\omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>», « la condition <math>\;b^2 - 4\;c < 0\;</math> correspond à <math>\;\sigma < 1\;</math>»<ref name="sigma positif" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}la décomposition de la 1^ère [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] <math>\;A''(p) = \dfrac{1}{p\,(p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2)}\;</math> en éléments irréductibles simples s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}«<math>\;A''(p) = \dfrac{1}{p\,(p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2)} = \dfrac{1}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{\omega_0^2}\, \dfrac{p + 2\,\sigma\,\omega_0}{\left[ p + \sigma\;\omega_0 \right]^2 + \omega_0^2 \left( 1 - \sigma^2 \right)}\;</math>» ou, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \alpha = \sigma\;\omega_0 \\ \omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}«<math>\;A''(p) = \dfrac{1}{p\,(p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2)} = \dfrac{1}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{\omega_0^2}\, \dfrac{p + 2\;\alpha}{\left[ p + \alpha \right]^2 + \omega^2}\;</math>». ====== Décomposition de la 2^ème fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est < 0 ====== {{Al|5}}Si <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;< 0</math>, « le trinôme <math>\;p^2 + b\;p + c\;</math> ayant deux racines complexes conjuguées <math>\;\underline{q_{(\pm)}} = \dfrac{-b \pm i\,\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2} = q_{re} \pm i\,q_{im}\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} q_{re} = \Re\! \left[\underline{q_{(\pm)}} \right] = -\dfrac{b}{2} < 0 \\ q_{im} = \Im\! \left[\underline{q_{(\pm)}} \right] = \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2} > 0\end{array} \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, }}la décomposition de <math>\;B''(p) = \dfrac{1}{p^2 + b\,p + c}\;</math> en éléments irréductibles simples est déjà réalisée<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Décomposition_de_la_1ère_fonction_rationnelle_en_éléments_irréductibles_simples_dans_le_cas_où_la_grandeur_b2_-_4_c_est_<_0|décomposition de la 1sup>ère</sup> fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est < 0]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, la décomposition de }}«<math>\;B''(p) = \dfrac{1}{p^2 + b\,p + c} = \dfrac{1}{\left[ p + \dfrac{b}{2} \right]^2 + c - \dfrac{b^2}{4}} = \dfrac{1}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2}\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} q_{re} = -\dfrac{b}{2} < 0 \\ q_{im} = \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2} > 0\end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En adoptant la notation physique, « le discriminant <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta = 4\;\omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>», « la condition <math>\;b^2 - 4\;c < 0\;</math> correspond à <math>\;\sigma < 1\;</math>»<ref name="sigma positif" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}la décomposition de la 2^ème [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]] <math>\;B''(p) = \dfrac{1}{p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2}\;</math> s'écrit <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la 2^ème fonction rationnelle }}«<math>\;B''(p)= \dfrac{1}{p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2} = \dfrac{1}{\left[ p + \sigma\;\omega_0 \right]^2 + \omega_0^2 \left( 1 - \sigma^2 \right)}\;</math>» ou, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \alpha = \sigma\;\omega_0 \\ \omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2} \end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la 2^ème fonction rationnelle }}«<math>\;B''(p) = \dfrac{1}{p^2 + 2\,\sigma\,\omega_0\,p + \omega_0^2} = \dfrac{1}{\left[ p + \alpha \right]^2 + \omega^2}\;</math>». ====== Décomposition de la transformée de Laplace de la solution globale en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est < 0 ====== {{Al|5}}En reportant les décompositions précédentes en éléments irréductibles simples dans <math>\;\underline{Y}(p) = E\;A''(p) + E'\;B''(p)\;</math><ref name="soulignement de Y" /> nous obtenons, après regroupement des éléments simples identiques <center>«<math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{c}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{E}{c}\;\dfrac{p + b}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2} + E'\; \dfrac{1}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2}\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} q_{re} = -\dfrac{b}{2} < 0 \\ q_{im} = \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2} > 0\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En adoptant la notation physique, « le discriminant <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta = 4\;\omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>», « la condition <math>\;b^2 - 4\;c < 0\;</math> correspond à <math>\;\sigma < 1\;</math>»<ref name="sigma positif" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En adoptant la notation physique, }}la décomposition de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> de la solution globale en éléments irréductibles simples s'écrit <center>«<math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{p + 2\;\sigma\;\omega_0}{\left[ p + \sigma\;\omega_0 \right]^2 + \omega_0^2 \left( 1 - \sigma^2 \right)} + E' \; \dfrac{1}{\left[ p + \sigma\;\omega_0 \right]^2 + \omega_0^2 \left( 1 - \sigma^2 \right)}\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» ou <br>«<math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{p + 2\;\alpha}{\left[ p + \alpha \right]^2 + \omega^2} + E' \; \dfrac{1}{\left[ p + \alpha \right]^2 + \omega^2}\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \alpha = \sigma\;\omega_0 \\ \omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2} \end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> ===== Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b² - 4 c est < 0 ===== {{Al|5}}Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> <math>\;\underline{Y}(p) = \dfrac{E}{c}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{E}{c}\;\dfrac{p + b}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2} + E' \; \dfrac{1}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2}\;</math><ref name="soulignement de Y" /> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>» sachant que <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p} \right\rbrace = Y(t)\;</math> pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math>»<ref name="1ers exemples de transformées monolatérales de Laplace" />, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{p + a}{(p + a)^2 + b^2} \right\rbrace = \exp(-a\,t)\;\cos(b\;t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;b > 0\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="transformée de Laplace d'un cos ou sin à amplitude exponentielle" /> donc a fortiori <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{p + a}{(p + a)^2 + b^2} \right\rbrace = \exp(-a\,t)\;\cos(b\;t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}\;</math> }}pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math> si <math>\;a\;</math> est <math>\;> 0</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{b}{(p + a)^2 + b^2} \right\rbrace = \exp(-a\,t)\;\sin(b\;t)\;Y(t)\;</math> avec <math>\;b > 0\;</math> pour <math>\;\Re (p) > -a\;</math>»<ref name="transformée de Laplace d'un cos ou sin à amplitude exponentielle" /> donc a fortiori <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>monolatérale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Laplace <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{p + a}{(p + a)^2 + b^2} \right\rbrace = \exp(-a\,t)\;\cos(b\;t)\;Y(t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}\;</math> }}pour <math>\;\Re (p) > 0\;</math> si <math>\;a\;</math> est <math>\;> 0</math> ; {{Al|5}}nous en déduisons, compte-tenu de la linéarité de la transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> inverse de Laplace<ref name="Laplace" />{{,}}<ref name="linéarité" /> et dans le cas où <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;< 0\;</math> c'est-à-dire dans le cas d'un régime pseudo-périodique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons, }}la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> : <center>«<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c}\;Y(t) - \left[ \dfrac{E}{c}\;\exp\! \left( q_{re}\;t \right)\;\cos\! \left( q_{im}\;t \right) - \left( \dfrac{E}{c}\;\dfrac{q_{re}}{q_{im}} + \dfrac{E'}{q_{im}} \right) \exp\! \left( q_{re}\;t \right)\;\sin\! \left( q_{im}\;t \right) \right] Y(t)\;</math>»<ref> En effet, compte-tenu de «<math>\;q_{re} = -\dfrac{b}{2}\;</math>», <math>\;Y(p)\;</math> se réécrit <math>\;Y(p) = \dfrac{E}{c}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{E}{c}\;\dfrac{p - 2\;q_{re}}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2} + E' \; \dfrac{1}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2} = \dfrac{E}{c}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{E}{c}\;\dfrac{p - q_{re}}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2} + \dfrac{E' + \dfrac{E}{c}\;q_{re}}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2}\;</math> soit encore <math>\;Y(p) = \dfrac{E}{c}\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{E}{c}\;\dfrac{p - q_{re}}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2} + \left( \dfrac{E'}{q_{im}} + \dfrac{E}{c}\;\dfrac{q_{re}}{q_{im}} \right)\,\dfrac{q_{im}}{\left[ p - q_{re} \right]^2 + q_{im}^2}\;</math> d'où l'expression de l'originale cherchée.</ref> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} q_{re} = -\dfrac{b}{2} < 0 \\ q_{im} = \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2} > 0\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En adoptant la notation physique, « le discriminant <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta = 4\;\omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>», « la condition <math>\;b^2 - 4\;c < 0\;</math> correspond à <math>\;\sigma < 1\;</math>»<ref name="sigma positif" /> et la solution globale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> s'écrit <center>«<math>\;y(t) = \dfrac{E}{\omega_0^2}\;Y(t) - \left[ \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\exp\! \left( -\alpha\;t \right)\;\cos\! \left( \omega\;t \right) + \left( \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{\alpha}{\omega} - \dfrac{E'}{\omega} \right) \exp\! \left( -\alpha\;t \right)\;\sin\! \left( \omega\;t \right) \right] Y(t)\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \alpha = \sigma\;\omega_0 \\ \omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2} \end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial</u><ref name="post-initial" /> : Faisons <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;y(t)\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans la solution de }}hétérogène à excitation constante dans le cas où <math>\;b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;< 0\;</math> puis <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> }}dans celle de sa dérivée temporelle <math>\;\dot{y}(t)\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> nous obtenons : <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;y(0^{+}) = \dfrac{E}{c} - \dfrac{E}{c} = 0\;</math>» ou, en adoptant la notation physique, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;y(0^{+}) = \dfrac{E}{\omega_0^2} - \dfrac{E}{\omega_0^2} = 0\;</math>» c'est-à-dire une valeur post-initiale de la solution en accord avec la <br>{{Al|16}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{y(0^{+}) = \omega_0^2 - \omega_0^2 = 0}\;</math>» c'est-à-dire une valeur post-initiale }}continuité de la solution à l'instant <math>\;t = 0</math> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dot{y}(0^{+})\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> contient deux termes <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\dot{Y}(0^{+}) = \delta(0^{+}) = 0\;</math><ref name="sens des distributions - bis" />{{,}}<ref name="propriété du pic de Dirac d'impulsion unité" />{{,}}<ref name="les deux termes de la dérivée initiale - ter"> Ces deux termes résultent de <math>\;\dfrac{E}{c}\;\dot{Y}(t) - \left[ \dfrac{E}{c}\;\exp\! \left( q_{re}\;t \right)\;\cos\! \left( q_{im}\;t \right) - \left( \dfrac{E}{c}\;\dfrac{q_{re}}{q_{im}} + \dfrac{E'}{q_{im}} \right) \exp\! \left( q_{re}\;t \right)\;\sin\! \left( q_{im}\;t \right) \right]\, \dot{Y}(t)\;</math> s'annulant en <math>\;t = 0^{+}\;</math> ou, avec la notation physique, <br>{{Al|22}}{{Transparent|Ces deux termes résultent de }}<math>\;\dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dot{Y}(t) - \left[ \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\exp\! \left( -\alpha\;t \right)\;\cos\! \left( \omega\;t \right) + \left( \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{\alpha}{\omega} - \dfrac{E'}{\omega} \right) \exp\! \left( -\alpha\;t \right)\;\sin\! \left( \omega\;t \right) \right]\, \dot{Y}(t)\;</math> s'annulant en <math>\;t = 0^{+}</math>.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\dot{y}(0^{+})}\;</math> contient }}un dernier terme <math>\;= -\dfrac{E}{c}\; q_{re} + \left( \dfrac{E}{c}\;\dfrac{q_{re}}{q_{im}} + \dfrac{E'}{q_{im}} \right)\; q_{im}\;</math><ref name="le dernier terme de la dérivée initiale - ter"> Terme résultant de <math>\;\left\lbrace -\dfrac{E}{c}\,\left[ q_{re}\;\exp\! \left( q_{re}\;t \right)\;\cos\! \left( q_{im}\;t \right) - q_{im}\;\exp\! \left( q_{re}\;t \right)\;\sin\! \left( q_{im}\;t \right) \right] + \left( \dfrac{E}{c}\;\dfrac{q_{re}}{q_{im}} + \dfrac{E'}{q_{im}} \right)\, \left[ q_{re}\;\exp\! \left( q_{re}\;t \right)\;\sin\! \left( q_{im}\;t \right) + q_{im}\;\exp\! \left( q_{re}\;t \right)\;\cos\! \left( q_{im}\;t \right) \right] \right\rbrace\, Y(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace -\dfrac{E}{c} \left[ q_{re}\;\exp\! \left( q_{re}\;0^{+} \right)\;\cos\! \left( q_{im}\;0^{+} \right) \cancel{- q_{im}\;\exp\! \left( q_{re}\;0^{+} \right)\;\sin\! \left( q_{im}\;0^{+} \right)} \right] + \left( \dfrac{E}{c}\;\dfrac{q_{re}}{q_{im}} + \dfrac{E'}{q_{im}} \right) \left[ \cancel{q_{re}\;\exp\! \left( q_{re}\;0^{+} \right)\;\sin\! \left( q_{im}\;0^{+} \right) +}\, q_{im}\;\exp\! \left( q_{re}\;0^{+} \right)\;\cos\! \left( q_{im}\;0^{+} \right) \right] \right\rbrace Y(0^{+})\;</math> ou, en adoptant la notation de physique, <br>{{Al|24}}{{Transparent|Terme résultant de }}<math>\;\left\lbrace \dfrac{E}{\omega_0^2} \left[ \alpha\;\exp\! \left( -\alpha\;t \right)\;\cos\! \left( \omega\;t \right) + \omega\;\exp\! \left( -\alpha\;t \right)\;\sin\! \left( \omega\;t \right) \right] + \left( \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{\alpha}{\omega} - \dfrac{E'}{\omega} \right) \left[ \alpha\;\exp\! \left( -\alpha\;t \right)\;\sin\! \left( \omega\;t \right) - \omega\;\exp\! \left( -\alpha\;t \right)\;\cos\! \left( \omega\;t \right) \right] \right\rbrace Y(t)\;</math> de valeur à l'instant <math>\;0^{+}\;</math> égale à <math>\;\left\lbrace \dfrac{E}{\omega_0^2} \left[ \alpha\;\exp\! \left( -\alpha\;0^{+} \right)\;\cos\! \left( \omega\;0^{+} \right) \cancel{+ \omega\;\exp\! \left( -\alpha\;0^{+} \right)\;\sin\! \left( \omega\;0^{+} \right)} \right] + \left( \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{\alpha}{\omega} - \dfrac{E'}{\omega} \right) \left[ \cancel{\alpha\;\exp\! \left( -\alpha\;0^{+} \right)\;\sin\! \left( \omega\;0^{+} \right)} - \omega\;\exp\! \left( -\alpha\;0^{+} \right)\;\cos\! \left( \omega\;0^{+} \right) \right] \right\rbrace Y(0^{+})</math>.</ref> <math>\;= E'\;</math> d'où <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{y}(0^{+}) = E'\;</math>»<ref name="sens des distributions - bis" /> qu'on retrouve également en adoptant la notation physique, selon <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{y}(0^{+})\;</math><ref name="sens des distributions - bis" /> contient deux termes <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\dot{Y}(0^{+}) = \delta(0^{+}) = 0\;</math><ref name="sens des distributions - bis" />{{,}}<ref name="propriété du pic de Dirac d'impulsion unité" />{{,}}<ref name="les deux termes de la dérivée initiale - ter" /> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\dot{y}(0^{+})}\;</math> contient }}un terme <math>\;= \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\alpha - \left( \dfrac{E}{\omega_0^2}\;\dfrac{\alpha}{\omega} - \dfrac{E'}{\omega} \right)\,\omega\;</math><ref name="le dernier terme de la dérivée initiale - ter" /> <math>\;= E'\;</math> d'où <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{y}(0^{+}) = E'\;</math>» c'est-à-dire une valeur post-initiale de <math>\;\dot{y}(t)\;</math> en accord avec sa <br>{{Al|13}}{{Transparent|Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\dot{y}(0^{+}) = E'}\;</math>» c'est-à-dire une valeur post-initiale }}discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> à <math>\;t = 0\;</math><ref name="valeur post-initiale de la dérivée de la solution obtenue par intégration" />. ==== Comparaison de la méthode classique de résolution d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants hétérogènes et de la méthode par transformées (monolatérales) de Laplace ==== {{Al|5}}Nous rappelons que la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène ou hétérogène <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous rappelons que la méthode de résolution }}par transformation <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> est un complément de P.C.S.I. pour le domaine de la physique<ref name="programme de PCSI" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous rappelons }}que seule la méthode de résolution par solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I<ref name="C.I." />. peut être utilisée dans le domaine de la physique ; {{Al|5}}nous allons donc vérifier, dans l'exemple «<math>\;\ddot{y}(t) + b\;\dot{y}(t) + c\;y(t) = e(t) = E\;Y(t) + E'\;\delta(t)</math>, <math>\;\left( E\,,\,E' \right) \in {\mathbb{R}^{*}}^{2}\;</math>»<ref name="absence de considération de dimension" /> discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous allons donc vérifier, }}que nous trouvons le même résultat dans l'ensemble des fonctions réelles « causales »<ref name="causale" />{{,}}<ref name="support positif" /> avec les « C.I<ref name="C.I." />. <math>\;y(0^{+}) = 0\;</math> et <math>\;\dot{y}(0^{+}) = 0\;</math>»<ref name="initialement au repos" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous allons donc vérifier, }}en reprenant la résolution par méthode classique de recherche des solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I<ref name="C.I." />. ===== Recherche de la solution libre y_l(t) ===== {{Al|5}}Soit à résoudre «<math>\;\ddot{y_l}(t) + b\;\dot{y}_l(t) + c\;y_l(t) = 0\;</math>» d'équation caractéristique<ref name="équation caractéristique" /> «<math>\;s^2 + b\;s + c = 0\;</math>»<ref name="solution libre - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> de racines différentes suivant le signe de <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c</math> : * « si <math>\;\Delta\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», l'équation caractéristique<ref name="équation caractéristique" /> a « deux racines réelles distinctes <math>\;s_{(\pm)} = \dfrac{-b \pm\,\sqrt{\Delta}}{2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la solution libre «<math>\;y_l(t) = A_{(+)}\,\exp\! \left[ s_{(+)}\;t \right] + A_{(-)}\,\exp\! \left[ s_{(-)}\;t \right]\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», l'équation caractéristique a « deux racines réelles distinctes <math>\;\color{transparent}{s_{(\pm)} = -b \pm\,\sqrt{\Delta}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> la solution libre }}avec les deux constantes d'intégration <math>\;\left\lbrace( A_{(+)}\,,\, A_{(-)} \right\rbrace \in \mathbb{R}^2\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_discriminant_Δ_est_positif,_solution_libre_apériodique|cas où le discriminant Δ est positif, solution libre apériodique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, * « si <math>\;\Delta\;</math> est <math>\;= 0\;</math>», {{Al|41}}elle a « une racine réelle double <math>\;s_{(d)} = \dfrac{-b}{2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la solution libre «<math>\;y_l(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left[ s_{(d)}\;t \right]\;</math> avec <math>\;\left\lbrace( A\,,\, B \right\rbrace \in \mathbb{R}^2\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_discriminant_Δ_est_nul,_solution_libre_apériodique_critique|cas où le discriminant Δ est nul, solution libre apériodique critique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et * « si <math>\;\Delta\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», {{Al|41}}elle a « deux racines complexes conjuguées distinctes <math>\;\underline{s}_{(c,\,\pm)} = \dfrac{-b \pm\,i\,\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la solution libre «<math>\;y_l(t) = A\,\exp\! \left( -\dfrac{b}{2}\;t \right) \,\cos\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t + \varphi \right)\;</math> <br>{{Al|47}}{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», elle a « deux racines complexes conjuguées distinctes <math>\;\color{transparent}{s_{(c,\,\pm)} = -b \pm\,i\,\sqrt{\Delta}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> la solution libre }}avec <math>\;\left( A\,,\, \varphi \right) \in \mathbb{R}^2\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_discriminant_Δ_est_négatif,_solution_libre_pseudo-périodique|cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. ===== Recherche de la solution forcée y_f(t) ===== {{Al|5}}Soit à déterminer la « solution forcée <math>\;y_f(t)\;</math> solution particulière de <math>\;\ddot{y_f}(t) + b\;\dot{y_f}(t) + c\;y_f(t) = E\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math> de même forme<ref name="sous condition d'existence" /> que l'excitation <math>\;e(t) = E\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit à déterminer la « solution forcée <math>\;\color{transparent}{y_f(t)}\;</math> }}sous forme générale «<math>\;y_f(t) = cste\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}le report de <math>\;y_f(t) = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dot{y_f}(t) = 0\\ \ddot{y_f}(t) = 0\end{array} \right\rbrace\;</math> dans l'équation nous conduit à «<math>\;c \times cste = E\;\;\forall\;t > 0\;</math>» d'où la solution forcée «<math>\;y_f(t) = \dfrac{E}{c}\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>». ===== Forme de la solution complète y(t) avant utilisation des C.I. ===== {{Al|5}}La solution complète avant utilisation des C.I<ref name="C.I." />. s'obtient par «<math>\;y(t) = y_l(t) + y_f(t)\;</math> avec <math>\;y_l(t)\;</math> solution libre<ref name="solution libre du 2ème exemple"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Recherche_de_la_solution_libre_yl(t)_2|recherche de la solution libre y_l(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <math>\;y_f(t)\;</math> solution forcée<ref name="solution forcée du 2ème exemple"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Recherche_de_la_solution_forcée_yf(t)_2|recherche de la solution forcée y_f(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. * « Si <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», «<math>\;y(t) = y_l(t) + y_f(t) = A_{(+)}\,\exp\! \left[ \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2}\;t \right] + A_{(-)}\,\exp\! \left[ \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2}\;t \right] + \dfrac{E}{c}\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace( A_{(+)}\,,\, A_{(-)} \right\rbrace \in \mathbb{R}^2\;</math>» à déterminer par C.I<ref name="C.I." />., * « si <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;= 0\;</math>», «<math>\;y(t) = y_l(t) + y_f(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left[ -\dfrac{b}{2}\;t \right] + \dfrac{E}{c}\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace( A\,,\, B \right\rbrace \in \mathbb{R}^2\;</math>» à déterminer par C.I<ref name="C.I." />. et * « si <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», «<math>\;y(t) = y_l(t) + y_f(t) = A\,\exp\! \left( -\dfrac{b}{2}\;t \right) \,\cos\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t + \varphi \right) + \dfrac{E}{c}\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>» avec «<math>\;\left( A\,,\, \varphi \right) \in \mathbb{R}^2\;</math>» à déterminer par C.I<ref name="C.I." />. ===== Utilisation des C.I. pour déterminer la solution complète y(t) ===== {{Al|5}}Pour déterminer les deux constantes d'intégration il faut faire <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans les expressions précédentes et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour }}établir au préalable les valeurs de «<math>\;y(0^{+})\;</math> et <math>\;\dot{y}(0^{+})\;</math>» connaissant celles de «<math>\;y(0^{-})\;</math> et <math>\;\dot{y}(0^{-})\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir au préalable les valeurs de «<math>\;\color{transparent}{y(0^{+})}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\dot{y}(0^{+})}\;</math>» connaissant }}la nature de la « discontinuité de <math>\;y(t)\;</math> et celle de <math>\;\dot{y}(t)\;</math><ref name="sens des fonctions" /> »<ref>Pour cela voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_de_la_solution_générale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_hétérogène_du_2ème_ordre_connaissant_la_nature_de_la_discontinuité_de_l'excitation|nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}l'équation différentielle pour tout <math>\;t\;</math> s'écrivant «<math>\;\ddot{y}(t) + b\;\dot{y}(t) + c\;y(t) = e(t) = E\;Y(t) + E'\;\delta(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle pour tout <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t) + b\;\dot{y}(t) + c\;y(t) =}</math> }}avec l'excitation discontinue de 2^ème espèce<ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{y}(t)\;</math> discontinue de 2^ème espèce »<ref name="discontinuité de 2ème espèce" />, <br>{{Al|13}}{{Transparent|l'équation différentielle pour tout <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t) + b\;\dot{y}(t) + c\;y(t) =}</math> avec l'excitation discontinue de 2^ème espèce <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dot{y}(t)\;</math> discontinue de 1^ère espèce »<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dot{y}(0^{+}) - \dot{y}(0^{-})\;</math> finie » <br>{{Al|13}}{{Transparent|l'équation différentielle pour tout <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t) + b\;\dot{y}(t) + c\;y(t) =}</math> avec l'excitation discontinue de 2^ème espèce <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Bigg[</math>pour cela il suffit d'intégrer <math>\;\big(</math>au sens des [[w:Distribution_(mathématiques)|distributions]]<math>\big)\;</math> l'équation <br>{{Al|13}}{{Transparent|l'équation différentielle pour tout <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t) + b\;\dot{y}(t) + c\;y(t) =}</math> avec l'excitation discontinue de 2^ème espèce <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{\Bigg[}</math>}}différentielle écrite pour tout <math>\;t\;</math> entre <math>\;0^{-}\;</math> et <math>\;0^{+}\;</math> ce qui donne, <br>{{Al|13}}{{Transparent|l'équation différentielle pour tout <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t) + b\;\dot{y}(t) + c\;y(t) =}</math> avec l'excitation discontinue de 2^ème espèce <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{\Bigg[}</math>}}«<math>\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} \ddot{y}(t)\,dt\; \cancel{+\; b\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} \dot{y}(t)\,dt + c\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} y(t)\,dt}\; =\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|l'équation différentielle pour tout <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t) + b\;\dot{y}(t) + c\;y(t) =}</math> avec l'excitation discontinue de 2^ème espèce <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{\Bigg[}</math>« }}<math>\cancel{E\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} Y(t)\,dt\; +}\; E'\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} \delta(t)\,dt = E'\;</math><ref name="impulsion unité du pic de Dirac" /> soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|l'équation différentielle pour tout <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t) + b\;\dot{y}(t) + c\;y(t) =}</math> avec l'excitation discontinue de 2^ème espèce <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{\Bigg[}</math>« }}<math>\dot{y}(0^{+}) - \dot{y}(0^{-}) = E'\;</math>» ou, avec <math>\;\dot{y}(0^{-}) = 0</math>, «<math>\;\dot{y}(0^{+}) = E'\;</math>»<math>\Bigg]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|l'équation différentielle pour tout <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t) + b\;\dot{y}(t) + c\;y(t) =}</math> avec l'excitation discontinue de 2^ème espèce <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;y(t)\;</math> continue » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;y(0^{+}) = y(0^{-})\;</math>» soit, avec <math>\;y(0^{-}) = 0</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|l'équation différentielle pour tout <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{y}(t) + b\;\dot{y}(t) + c\;y(t) =}</math> avec l'excitation discontinue de 2^ème espèce <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;y(0^{+}) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}utilisant les « valeurs de <math>\;y(0^{+}) = 0\;</math> et <math>\;\dot{y}(0^{+}) = E'\;</math>» dans les expressions de <math>\;y(t)\;</math> et <math>\;\dot{y}(t)\;</math> obtenues précédemment suivant la valeur de <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> nous obtenons : {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\bullet\;</math>1^ère C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;y(0^{+}) = A_{(+)} + A_{(-)} + \dfrac{E}{c} = 0\;</math>»<ref name="y(0+)"> Obtenu en faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;y(t)\;</math> acquise dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Forme_de_la_solution_complète_y(t)_avant_utilisation_des_C.I._2|forme de la solution complète y(t) avant utilisation des C.I.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A_{(+)} + A_{(-)} = -\dfrac{E}{c}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», }}<math>\bullet\;</math>2^ème C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\dot{y}(0^{+}) = A_{(+)} \left[ \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2} \right] + A_{(-)} \left[ \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2} \right] = E'\;</math>»<ref name="y.(0+)"> Obtenu en faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de la dérivée temporelle de <math>\;y(t)\;</math> acquise dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Forme_de_la_solution_complète_y(t)_avant_utilisation_des_C.I._2|forme de la solution complète y(t) avant utilisation des C.I.]] » plus haut dans ce chapitre <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dot{y}(t) = A_{(+)} \left[ \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2} \right] \exp\! \left[ \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2}\;t \right] + A_{(-)} \left[ \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2} \right] \exp\! \left[ \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2}\;t \right]\;</math>» avec «<math>\;\dot{y}(0^{+}) = E'\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ A_{(+)} + A_{(-)} \right] \dfrac{-b}{2} + \left[ A_{(+)} - A_{(-)} \right] \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2} = E'\;</math>» soit encore, <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>2^ème C.I. }}«<math>\;A_{(+)} - A_{(-)} = \dfrac{2\;E'}{\sqrt{\Delta}} + \dfrac{b}{\sqrt{\Delta}} \left[ A_{(+)} + A_{(-)} \right]\;</math>» d'où à résoudre <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», }}<math>\bullet\;</math>le système de deux équations linéaires aux deux inconnues <math>\;\left\lbrace A_{(+)} + A_{(-)}\;,\; A_{(+)} - A_{(-)} \right\rbrace</math>, <math>\left\lbrace \begin{array}{l} A_{(+)} + A_{(-)} = -\dfrac{E}{c}\\ A_{(+)} - A_{(-)} = \dfrac{2\;E'}{\sqrt{\Delta}} + \dfrac{b}{\sqrt{\Delta}} \left[ A_{(+)} + A_{(-)} \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{(+)} + A_{(-)} = -\dfrac{E}{c}\\ A_{(+)} - A_{(-)} = \dfrac{2\;E' - b\;\dfrac{E}{c}}{\sqrt{\Delta}}\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="résolution par substitution"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_par_substitution|résolution par substitution]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{(+)} = \dfrac{E'}{\sqrt{\Delta}} - \dfrac{\left( b + \sqrt{\Delta} \right)\,\dfrac{E}{c}}{2\;\sqrt{\Delta}}\\A_{(-)} = -\dfrac{E'}{\sqrt{\Delta}} + \dfrac{\left( b - \sqrt{\Delta} \right)\,\dfrac{E}{c}}{2\;\sqrt{\Delta}}\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="résolution par C.L."> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_par_combinaison_(linéaire)|résolution par combinaison (linéaire)]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> » soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c} + \dfrac{1}{\sqrt{\Delta}} \left\lbrace \left[ E' - \left( b + \sqrt{\Delta} \right)\,\dfrac{E}{2\;c} \right] \exp\! \left[ \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2}\;t \right] + \left[ -E' + \left( b - \sqrt{\Delta} \right)\,\dfrac{E}{2\;c} \right] \exp\! \left[ \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2}\;t \right] \right\rbrace\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>»<ref> En effet la solution trouvée par transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace «<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c}\;Y(t) + \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - 4\,c}} \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{q_{(+)}} + E' \right] \exp\! \left[ q_{(+)}\;t \right] - \left[ \dfrac{E}{q_{(-)}} + E' \right] \exp\! \left[ q_{(-)}\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math>» avec <math>\;b^2 - 4\;c = \Delta\;</math> et <math>\;q_{(\pm)} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\;c}}{2}\;</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Détermination_de_l'originale_de_la_transformée_(monolatérale)_de_Laplace_de_la_solution_de_l'équation_différentielle_dans_le_cas_où_la_grandeur_b2_-_4_c_est_>_0|détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b² - 4c est > 0]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> se réécrivant «<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c}\;Y(t) + \dfrac{1}{\sqrt{\Delta}} \left\lbrace \left[ \dfrac{2\;E}{-b + \sqrt{\Delta}} + E' \right] \exp\! \left[ \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2}\;t \right] + \left[ \dfrac{2\;E}{b + \sqrt{\Delta}} - E' \right] \exp\! \left[ \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2}\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math>» ou, en supprimant les expressions irrationnelles aux dénominateurs <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{2\;E}{-b + \sqrt{\Delta}} = \dfrac{2\;E \left( b + \sqrt{\Delta} \right)}{-b^2 + \Delta} = \dfrac{2\;E \left( b + \sqrt{\Delta} \right)}{-b^2 + b^2 - 4\;c} = -\dfrac{E \left( b + \sqrt{\Delta} \right)}{2\;c}\\ \dfrac{2\;E}{b + \sqrt{\Delta}} = \dfrac{2\;E \left( -b + \sqrt{\Delta} \right)}{-b^2 + \Delta} = \dfrac{2\;E \left( -b + \sqrt{\Delta} \right)}{-b^2 + b^2 - 4\;c} = \dfrac{E \left( b - \sqrt{\Delta} \right)}{2\;c}\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la réécriture de la solution trouvée par transformée {{Nobr|<math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math>}} de Laplace «<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c}\;Y(t) + \dfrac{1}{\sqrt{\Delta}} \left\lbrace \left[ E' - \left( b + \sqrt{\Delta} \right)\,\dfrac{E}{2\;c} \right] \exp\! \left[ \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2}\;t \right] + \left[ -E' + \left( b - \sqrt{\Delta} \right)\,\dfrac{E}{2\;c} \right] \exp\! \left[ \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2}\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;= 0\;</math>», <math>\bullet\;</math>1^ère C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;y(0^{+}) = A + \dfrac{E}{c} = 0\;</math>»<ref name="y(0+)" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A = -\dfrac{E}{c}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}\;</math>», }}<math>\bullet\;</math>2^ème C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\dot{y}(0^{+}) = B - \dfrac{b}{2}\; A = E'\;</math>»<ref name="y.(0+) - bis"> Obtenu en faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de la dérivée temporelle de <math>\;y(t)\;</math> acquise dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Forme_de_la_solution_complète_y(t)_avant_utilisation_des_C.I._2|forme de la solution complète y(t) avant utilisation des C.I.]] » plus haut dans ce chapitre <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dot{y}(t) = B\;\exp\! \left[ -\dfrac{b}{2}\;t \right] - \dfrac{b}{2} \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left[ -\dfrac{b}{2}\;t \right]\;</math>» avec «<math>\;\dot{y}(0^{+}) = E'\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;B = E' + \dfrac{b}{2}\; A\;</math>» soit, par report de <math>\;A = -\dfrac{E}{c}</math>, «<math>\;B = E' - \dfrac{b}{2\;c}\; E\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c} + \left[ -\dfrac{E}{c} + \left( E' - \dfrac{b}{2\;c}\;E \right)\,t \right] \exp\! \left[ -\dfrac{b}{2}\;t \right]\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>» ou, sachant que «<math>\;b = 2\;\sqrt{c}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c} + \left[ -\dfrac{E}{c} + \left( E' - \dfrac{E}{\sqrt{c}} \right)\,t \right] \exp\! \left[ -\dfrac{b}{2}\;t \right]\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>»<ref> En effet la solution trouvée par transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace «<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c}\;Y(t) - \left\lbrace \left[ \dfrac{E}{\sqrt{c}} - E' \right] t\;\exp\! \left[ q_{(d)}\;t \right] + \dfrac{E}{c}\;\exp\! \left[ q_{(d)}\;t \right] \right\rbrace Y(t)\;</math>» avec <math>\;b = 2\;\sqrt{c}\;</math> et <math>\;q_{(d)} = -\dfrac{b}{2}\;</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Détermination_de_l'originale_de_la_transformée_(monolatérale)_de_Laplace_de_la_solution_de_l'équation_différentielle_dans_le_cas_où_la_grandeur_b2_-_4_c_est_=_0|détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b² - 4c est = 0]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> se réécrivant «<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c}\;Y(t) + \left\lbrace \left[ E' - \dfrac{E}{\sqrt{c}} \right] t - \dfrac{E}{c} \right\rbrace\,\exp\! \left[ -\dfrac{b}{2}\;t \right]\, Y(t)\;</math>» s'identifie effectivement à la solution trouvée par la méthode utilisée dans ce paragraphe.</ref> ; {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\Delta = b^2 - 4\;c\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\bullet\;</math>1^ère C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;y(0^{+}) = A\;\cos(\varphi) + \dfrac{E}{c} = 0\;</math>»<ref name="y(0+)" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A\;\cos(\varphi) = -\dfrac{E}{c}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», }}<math>\bullet\;</math>2^ème C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\dot{y}(0^{+}) = -\dfrac{b}{2}\;A\;\cos(\varphi) - \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;A\;\sin(\varphi) = E'\;</math>»<ref name="y.(0+) - ter"> Obtenu en faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de la dérivée temporelle de <math>\;y(t)\;</math> acquise dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Forme_de_la_solution_complète_y(t)_avant_utilisation_des_C.I._2|forme de la solution complète y(t) avant utilisation des C.I.]] » plus haut dans ce chapitre <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dot{y}(t) = -\dfrac{b}{2}\;A\;\exp\! \left( -\dfrac{b}{2}\;t \right)\,\cos\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t + \varphi \right) - \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;A\;\exp\! \left( -\dfrac{b}{2}\;t \right)\,\sin\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t + \varphi \right)\;</math>» avec «<math>\;\dot{y}(0^{+}) = E'\;</math>».</ref> soit, avec <math>\;A\;\cos(\varphi) = -\dfrac{E}{c}</math>, «<math>\;A\;\sin(\varphi) = -\dfrac{2\;E'}{\sqrt{\vert \Delta \vert}} + \dfrac{b\;E}{c\;\sqrt{\vert \Delta \vert}}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», }}<math>\bullet\;</math>il resterait à résoudre le système non linéaire des deux équations aux deux inconnues <math>\;\left\lbrace A\;,\; \varphi \right\rbrace\;</math> «<math>\left\lbrace \begin{array}{l} A\;\cos(\varphi) = -\dfrac{E}{c}\\ A\;\sin(\varphi) = \dfrac{b\;E}{c\;\sqrt{\vert \Delta \vert}} - \dfrac{2\;E'}{\sqrt{\vert \Delta \vert}} \end{array} \right\rbrace\;</math>» par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il resterait à résoudre le système non linéaire des deux équations aux deux inconnues <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A\;,\; \varphi \right\rbrace}\;</math> }}<math>\;A = \sqrt{\left[ A\;\cos(\varphi) \right]^2 + \left[ A\;\sin(\varphi) \right]^2}\;</math> d'une part et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il resterait à résoudre le système non linéaire des deux équations aux deux inconnues <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A\;,\; \varphi \right\rbrace}\;</math> }}<math>\;\varphi\,\in \left] -\pi\,,\, \pi \right]\;</math> d'autre part<ref> Si <math>\;\cos(\varphi)\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\varphi\,\in \left] -\dfrac{\pi}{2}\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> et peut se mettre sous la forme d'un arctangente <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> selon <math>\;\varphi = \arctan\! \left[ \dfrac{A\;\sin(\varphi)}{A\;\cos(\varphi)} \right]</math>, <br>{{Al|3}}si <math>\;\cos(\varphi)\;</math> est <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;\sin(\varphi) > 0</math>, <math>\;\varphi\,\in \left] +\dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math> et <math>\;\varphi = \arctan\! \left[ \dfrac{A\;\sin(\varphi)}{A\;\cos(\varphi)} \right] + \pi\;</math> et <br>{{Al|3}}si <math>\;\cos(\varphi)\;</math> est <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;\sin(\varphi) < 0</math>, <math>\;\varphi\,\in \left] -\pi\,,\, -\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> et <math>\;\varphi = \arctan\! \left[ \dfrac{A\;\sin(\varphi)}{A\;\cos(\varphi)} \right] - \pi</math>.</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», }}<math>\bullet\;</math>comme nous cherchons à identifier <math>\;y(t)\;</math> obtenue avec l'originale de la transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace<ref name="Laplace" /> et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>comme nous cherchons à identifier <math>\;\color{transparent}{y(t)}\;</math> obtenue avec }}celle-ci a été exprimée en fonction de <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t \right)\;</math> et <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t \right)</math>, nous en déduisons finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>comme nous cherchons à identifier <math>\;\color{transparent}{y(t)}\;</math> }}en utilisant <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t + \varphi \right) = \cos\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t \right)\;\cos(\varphi) - \sin\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t \right)\;\sin(\varphi)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\Delta = b^2 - 4\;c}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c} - \dfrac{E}{c}\;\exp\! \left( -\dfrac{b}{2}\;t \right)\, \cos\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t \right) + \left( - \dfrac{b\;E}{c\;\sqrt{\vert \Delta \vert}} + \dfrac{2\;E'}{\sqrt{\vert \Delta \vert}} \right)\,\exp\! \left( -\dfrac{b}{2}\;t \right)\, \sin\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t \right)\;\;\text{pour}\;t > 0\;</math>»<ref> La solution trouvée par transformée <math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math> de Laplace «<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c}\;Y(t) - \left[ \dfrac{E}{c}\;\exp\! \left( q_{re}\;t \right)\;\cos\! \left( q_{im}\;t \right) - \left( \dfrac{E}{c}\;\dfrac{q_{re}}{q_{im}} + \dfrac{E'}{q_{im}} \right) \exp\! \left( q_{re}\;t \right)\;\sin\! \left( q_{im}\;t \right) \right] Y(t)\;</math>» avec «<math>\;q_{re} = -\dfrac{b}{2}\;</math> et <math>\;q_{im} = \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Détermination_de_l'originale_de_la_transformée_(monolatérale)_de_Laplace_de_la_solution_de_l'équation_différentielle_dans_le_cas_où_la_grandeur_b2_-_4_c_est_<_0|détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b² - 4c est < 0]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> se réécrivant «<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c}\;Y(t) - \left[ \dfrac{E}{c}\;\exp\! \left( -\dfrac{b}{2}\;t \right)\;\cos\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t \right) - \left( -\dfrac{E}{c}\;\dfrac{b}{\sqrt{\vert \Delta \vert}} + \dfrac{2\;E'}{\sqrt{\vert \Delta \vert}} \right) \exp\! \left( -\dfrac{b}{2}\;t \right)\;\sin\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t \right) \right] Y(t)\;</math>» d'où la réécriture de la solution trouvée par transformée {{Nobr|<math>\;\big(</math>monolatérale<math>\big)\;</math>}} de Laplace «<math>\;y(t) = \dfrac{E}{c}\;Y(t) - \dfrac{E}{c}\;\exp\! \left( -\dfrac{b}{2}\;t \right)\, \cos\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t \right)\,Y(t) + \left( - \dfrac{b\;E}{c\;\sqrt{\vert \Delta \vert}} + \dfrac{2\;E'}{\sqrt{\vert \Delta \vert}} \right)\,\exp\! \left( -\dfrac{b}{2}\;t \right)\, \sin\! \left( \dfrac{\sqrt{\vert \Delta \vert}}{2}\;t \right)\, Y(t)\;</math>».</ref>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Portrait de phase d'un système dynamique/]] | suivant = [[../Barycentre d'un système de points/]] }} 09xcr3oplyepcogt1kt8ir4qu1rsxzd 0 69086 982869 978638 2026-05-16T18:55:48Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982869 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 1 | niveau = 14 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées/]] }} == Espace et temps classiques en cinématique newtonienne == === Caractère « absolu » de l'espace et du temps en cinématique newtonienne === {{Al|5}}'''[[w:Issac_Newton|Newton]]'''<ref name="Newton"> '''[[w:Issac_Newton|Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> postule <math>\;\big(</math>de façon implicite<math>\big)\;</math> le caractère absolu de l'espace : <br>{{Al|10}}{{Transparent|'''Newton''' postule }}« l'espace existerait indépendamment de la matière et de l'énergie et servirait de cadre dans lequel se positionneraient ces derniers » <ref> Trois siècles plus tard, '''[[w:Albert_Einstein|Einstein]]''' postule que l'espace a une géométrie dépendant de la matière et de l'énergie qu'il contient, l'espace n'est donc pas considéré par lui comme absolu mais dépendant de son contenu ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> ; </center> {{Al|7}}{{Transparent|'''Newton''' }}il postule <math>\;\big(</math>également de façon implicite<math>\big)\;</math> le caractère absolu du temps : <br>{{Al|7}}{{Transparent|'''Newton''' il postule }}« selon lui, le temps préexiste à l'Univers, il " s'écoule " toujours dans le même sens et <br>{{Al|7}}{{Transparent|'''Newton''' il postule « selon lui, le temps préexiste à l'Univers, }}cet " écoulement " est indépendant de l'espace et du contenu de ce dernier » <ref> Trois siècles plus tard, '''[[w:Albert_Einstein|Einstein]]''' postule que le temps n'est pas absolu, * d'une part il n'est pas le même pour deux observateurs en mouvement l'un par rapport à l'autre <math>\;\big\{</math>le temps " s'écoule " plus lentement pour un observateur immobile que pour un observateur mobile relativement à l'espace c'est ce qui est appelé la « [[w:Dilatation_du_temps|dilatation du temps]] »<math>\big\}</math>, * d'autre part il dépend de l'espace dans la mesure où il n'est pas le même dans le vide stellaire et dans le champ d'une planète ou d'une étoile <math>\;\big\{</math>le temps " s'écoulant " plus lentement voire beaucoup plus lentement dans le champ d'une très grosse étoile <math>\;\big(</math>à tel point que son écoulement s'arrête sur l'[[w:Horizon_(trou_noir)|horizon]] d'un [[w:Trou_noir|trou noir]]<math>\big)\big\}</math> ; {{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>. === Référentiel d'espace === {{Al|5}}Un référentiel d'espace est un « solide » <ref> Un solide <math>\;\big(</math>au sens de la mécanique<math>\big)\;</math> est un système de points matériels indéformable.</ref> de référence par rapport auquel on repère le point ; {{Al|5}}{{Transparent|Un référentiel d'espace }}pour quantifier le repérage du point il faudra attacher au référentiel d'espace un repère d'espace <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un référentiel d'espace pour quantifier le repérage du point il faudra attacher au référentiel d'espace }}<math>\big(</math>c'est-à-dire une origine et trois vecteurs de base<math>\big)</math>. === Référentiel de temps === {{Al|5}}Un référentiel de temps est une « horloge » <ref> Une horloge est un appareil reproduisant un phénomène répétitif.</ref> de référence utilisée pour repérer l’événement ; {{Al|5}}{{Transparent|Un référentiel de temps }}pour quantifier le repérage de l’événement il faudra attacher au référentiel de temps un repère de temps <math>\;\big(</math>c'est-à-dire une origine des temps et une unité<ref> Le sens est en effet toujours choisi du passé vers le futur.</ref><math>\big)</math>. === Référentiel d'espace-temps === {{Al|5}}Le choix simultané des deux référentiels définit un « référentiel d'espace - temps »<ref> Toutefois, en cinématique newtonienne, l'espace et le temps restant indépendants, on peut se contenter de parler de référentiel d'espace et de référentiel de temps ; <br>{{Al|3}}par contre ceci n'est plus vrai en cinématique relativiste <math>\;\big(</math>l'espace dépendant du temps et inversement<math>\big)</math>, il est alors nécessaire d'introduire un référentiel d'espace - temps.</ref>. == Référentiel d'observation, caractère relatif du mouvement == === Choix d'un référentiel d'observation (ou d'étude) pour définir le mouvement d'un point === {{Al|5}}Décrire le mouvement d'un point c'est <u>donner sa position relativement à son environnement aux différents instants successifs de son évolution</u> ; {{Al|5}}il faut donc préciser le référentiel d'espace relativement auquel la position du point est décrite et {{Al|5}}{{Transparent|il faut donc préciser }}le référentiel de temps relativement auquel les événements sont repérés, c'est-à-dire {{Al|5}}{{Transparent|il faut donc préciser }}<u>choisir un référentiel d'espace-temps</u> appelé « référentiel d'étude <math>\;\big(</math>ou d'observation<math>\big)\;</math>». === Choix d'un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation) pour quantifier le mouvement du point === {{Al|5}}Pour décrire quantitativement le mouvement d'un point, on choisit * un repère d'espace <math>\;\big\{</math>c'est-à-dire une origine d'espace et une base orthonormée <math>\;\big(</math>usuellement directe<ref name="base directe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » dans le chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big\{</math>son orientation suivant la « règle de la main droite » décrite dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chapitre précité<math>\big\}</math>.</ref>, l'espace étant supposé orienté à droite<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\big\}\;</math> lié à la composante d'espace du référentiel d'étude et * un repère de temps <math>\;\big(</math>encore appelé « [[w:Chronologie|chronologie]] »<math>\big)\;\big\{</math>c'est-à-dire une origine de temps et « unité de temps » <ref> Le sens d'évolution du temps étant fixé du passé vers le futur, le vecteur unitaire de repérage du temps se limite au choix d'une unité.</ref><math>\big\}\;</math> lié à la composante de temps du référentiel d'étude. === Repérage d'un événement ponctuel dans un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation) === {{Al|5}}Le repérage d'un événement ponctuel dans un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude <math>\;\big(</math>ou d'observation<math>\big)\;</math> nécessite le repérage * dans l'espace qui se fait par <math>\succ\;</math>un vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> appelé « vecteur position du lieu »<ref name="vecteur position"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_intrinsèque_d'un_point_dans_l'espace|repérage intrinsèque d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> où <math>\;O\;</math> est en général l'origine du repère d'espace<ref> Mais en fait il suffit que <math>\;O\;</math> soit un point fixe du repère.</ref> et <math>\;M\;</math> le lieu où se produit l'événement ponctuel <br>{{Transparent|dans l'espace qui se fait par <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\big(</math>on parle de repérage intrinsèque<ref> C.-à-d. de repérage n'utilisant pas de base.</ref><math>\big)\;</math> ou <br>{{Transparent|dans l'espace qui se fait par }}<math>\succ\;</math>trois scalaires appelés « coordonnées du lieu » <math>\;\big(</math>le repérage utilisant la base choisie<math>\big)\;</math> et * dans le temps qui se fait par un scalaire <math>\;t\;</math> appelé « date de l'événement ». === Définition de l'unité légale de temps « la seconde » (symbole « s ») === {{Al|5}}L'unité légale de mesure du temps est « la seconde » <math>\;\big(</math>symbole <math>\;s\big)\;</math> dont la définition est donnée ci-dessous : {{Définition|titre = unité légale de temps « la seconde » |contenu={{Al|5}}La seconde est la « durée de <math>\;9\,192\,631\,770\;</math> périodes » de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux « hyperfins » <ref> Les niveaux « hyperfins » de l'état fondamental résultent du dédoublement de cet état par l'interaction de leurs électrons avec le noyau ; sans tenir compte de cette interaction il n'y aurait qu'un niveau et avec elle, on obtient deux niveaux très proches l'un de l'autre, d'où le qualificatif « hyperfins » fournis à ces niveaux pour traduire la nécessité d'une observation « très fine » ; <br>{{Al|3}}on nomme ces niveaux « hyperfins » et non « fins » car on réserve le qualificatif « fins » aux niveaux obtenus par levée de dégénérescence <math>\;\big(</math>c.-à-d. dédoublement ou détriplement ou autres <math>\;\ldots\big)\;</math> due à l'interaction entre le moment cinétique <math>\;\big(</math>voir fin de note<math>\big)\;</math> et le spin des électrons, la séparation des niveaux ainsi obtenus ne nécessitant qu'une observation « fine » et non « très fine » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Le moment cinétique d'un électron <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> est une grandeur caractérisant « sa rotation orbitale », d'autant plus grande que le nombre quantique secondaire <math>\;l\;</math> l'est.</ref> de l'état fondamental de l'atome de Césium 133 «<math>\;^{133}Cs\;</math>».}} === Définition de l'unité légale de longueur « le mètre » (symbole « m ») === {{Al|5}}L'unité légale de mesure du longueur est « le mètre » <math>\;\big(</math>symbole <math>\;m\big)\;</math> dont la définition est donnée ci-dessous : {{Définition|titre = unité légale de longueur « le mètre » |contenu={{Al|5}}Le mètre est la « longueur du trajet parcouru par lumière dans le vide pendant une durée <math>\;\dfrac{1}{299\,792\,458}\;s\;</math>» <ref> Une conséquence de cette définition du <math>\;m\;</math> est que la vitesse de la lumière dans le vide s'en déduit, sa valeur étant <math>\;c = 299\, 792\, 458\; m \cdot s^{-1}</math>.</ref>.}} === Caractère relatif du mouvement du point === {{Al|5}}Si on considère deux référentiels dont les repères d'espace sont en mouvement l'un par rapport à l'autre et un point <math>\;M\;</math> immobile relativement au 1^er, ce point <math>\;M\;</math> étant un point lié au 1^er repère d'espace se déplace relativement au 2^ème comme tout point lié au 1^er repère ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> n'a donc pas le même mouvement relativement aux deux repères d'espace, son mouvement est donc <u>relatif</u>. {{Al|5}}<u>Exemple</u> : vous êtes assis dans un train <math>\;\big(</math>définissant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_1\big)\;</math> lequel se déplace sur Terre <math>\;\big(</math>définissant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_2\big)</math>, vous êtes <u>immobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> et <u>mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}_2</math>. {{Al|5}}<u>Autre exemple</u> : Un train s'apprête à sortir de gare : il avance à une vitesse de <math>\;3\, km \cdot h^{-1}\;</math> ''par rapport au sol''. {{Al|5}}{{Transparent|Autre exemple : }}Un passager, noté <math>\;A</math>, avance vers l'arrière du train à une vitesse de <math>\;3\, km \cdot h^{-1}\;</math> ''par rapport au train''. {{Al|5}}{{Transparent|Autre exemple : }}À l'arrière du train se trouve un autre passager, noté <math>\;C</math>, qui fait signe à son ami, noté <math>\;B</math>, resté sur le quai. {{Al|5}}{{Transparent|Autre exemple : }}Pour <math>\;C</math>, <math>\;A\;</math> avance à <math>\;3\, km \cdot h^{-1}\;</math> alors que pour <math>\;B</math>, <math>\;A\;</math> est immobile ! {{Al|5}}{{Transparent|Autre exemple : }}<u>Le mouvement</u> de <math>\;A\;</math> <u>dépend</u> donc <u>de l'observateur</u> : c'est ce qu'on appelle la <u>relativité du mouvement</u>. == Description « intrinsèque » du mouvement d'un point, loi horaire vectorielle == <center>On rappelle que « intrinsèque » signifie « indépendant du choix d'une base ».</center> === Repérage intrinsèque du point M dans le référentiel d'espace, vecteur position de M === {{Al|5}}Le repérage intrinsèque du point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'espace se fait par un vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}</math> appelé « <u>vecteur position</u><ref name="vecteur position" /> du point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'espace », <math>\;O\;</math> étant un point fixe du référentiel d'espace choisi en général à l'origine du repère d'espace associé au référentiel. === Repérage d'un événement lié à M dans le référentiel de temps, date de l'événement === {{Al|5}}Le repérage d'un évènement lié au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel de temps se fait par un scalaire <math>\;t\;</math> appelé « <u>date</u> de l'événement » <ref> L'événement étant l'occupation par le point d'une position de l'espace.</ref>, l'origine des temps étant a priori arbitraire <math>\;\big[</math>souvent choisie au début du mouvement du point <math>\;M\;\big(</math>l'événement origine étant alors l'occupation par le point <math>\;M\;</math> de sa position de départ<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;t \geqslant 0\;</math> mais ce n'est pas une nécessité<math>\big]\;</math> <br>{{Al|5}}dans le cas où le choix de l'origine des temps est arbitraire, <math>\;t\;</math> est un réel de signe quelconque, * <math>\;t < 0\;</math> correspondant à la date d'un événement « antérieur » à l'événement origine et * <math>\;t > 0\;</math> {{Transparent|correspondant }}à la date d'un événement « postérieur » à l'événement origine. === Loi horaire vectorielle décrivant le mouvement de M relativement au référentiel d'étude === {{Al|5}}Le mouvement de <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude est caractérisé par la donnée de la fonction «<math>\;t\; \overset{\overrightarrow{OM}}{\longmapsto}\; \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM}(t)\;</math>»<ref name="abus de notation"> En mathématique on note différemment la fonction et la valeur de la fonction pour une valeur de variable selon «<math>\;t\; \overset{f}{\longmapsto}\; y = f(t)\;</math>», <br>{{Al|3}}en physique on adopte le plus souvent une même notation pour éviter l'inflation des notations «<math>\;t\; \overset{y}{\longmapsto}\; y = y(t)\;</math>».</ref>, fonction vectorielle de la variable scalaire <math>\;t\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champs_(ou_fonctions)_scalaire_et_vectoriel(le)_de_l'espace,_différentielle_d'un_champ_de_deux_variables#Définition_intrinsèque_d'un_champ_(ou_d'une_fonction)_vectoriel(le)_de_l'espace|définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> définissant la <u>loi horaire vectorielle du mouvement du point</u> <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude. === Trajectoire du mouvement de M dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}La trajectoire <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> du mouvement du point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'espace est <u>l'ensemble des points du référentiel d'espace représentant les positions successives de</u><math>\;M\;</math><u>au cours du temps</u> ; {{Al|5}}«<math>\;\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM}(t)\;</math>» est aussi l'« <u>équation paramétrique vectorielle de la trajectoire</u><math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math> » <ref> De paramètre <math>\;t</math>.</ref>. == Définition du vecteur vitesse du point, évaluation à partir d'un enregistrement régulier des positions et notion d'hodographe de pôle O du mouvement du point == {{Al|5}}On utilise ici la notion de dérivée d'une fonction vectorielle de la variable <math>\;t\;</math> introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Définition_intrinsèque_de_la_dérivée_d'une_fonction_vectorielle_d'une_variable|définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable]] réelle » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». {{Al|5}}La notion d'[[w:Hodographe|hodographe]] de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement d'un point n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., elle est à considérer comme un complément. === Définition (intrinsèque) du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, noté <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est <u>la dérivée temporelle du vecteur position</u> soit «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{\overrightarrow{OM}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\;</math>»<ref> Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles sont notées en surmontant la fonction d'un point, mais <br>{{Al|3}}on peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée » en introduisant le rapport des deux différentielles celle du vecteur position <math>\;d \overrightarrow{OM}\;</math> et celle du temps <math>\;dt\;</math> notions qui ont été introduites dans les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Définition_intrinsèque_de_la_différentielle_d'une_fonction_vectorielle_d'une_variable|définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable]] réelle » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Élément_différentiel_d'une_variable|élément différentiel d'une variable]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur vitesse du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}la norme du vecteur vitesse <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math> s'exprime en <math>\;m \cdot s^{-1}</math>. === Évaluation du vecteur vitesse du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point === [[File:Enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers.png|thumb|300px|Détermination du vecteur vitesse du point à chaque instant d'un enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers <math>\;\big(</math>à l'exception du 1^er et du dernier<math>\big)\;</math><ref name="Tracé de la trajectoire"> On a tracé la trajectoire par continuité associée à une certaine régularité mais ce tracé ne figure pas sur l'enregistrement.</ref>]] {{Al|5}}Si on suit la position de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> aux instants successifs espacés de <math>\;\delta t\;</math> <math>\big(</math>voir enregistrement ci-contre<math>\big)</math>, on évaluera le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t_0)\;</math> du point <math>\;M\;</math> à un instant <math>\;t_0\;</math> quasi-quelconque de l'enregistrement<ref name="Sauf initial et final"> À l'exception des instants initial et final <math>\;\ldots</math></ref> par <center>«<math>\;\vec{V}_M(t_0) \simeq \dfrac{\overrightarrow{OM}(t_0 + \delta t) - \overrightarrow{OM}(t_0 - \delta t)}{2\;\delta t} = \dfrac{\overrightarrow{M_{t_0 - \delta t}M_{t_0 + \delta t}}}{2\;\delta t}\;</math>»<ref name="justification de l'obtention d'un vecteur vitesse"> La justification résultant de la définition de la dérivée du vecteur position à l'instant <math>\;t_0^{+}\;</math> selon «<math>\;\vec{V}_M(t_0^{+}) = \lim\limits_{\delta t \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\overrightarrow{OM}(t_0 + \delta t) - \overrightarrow{OM}(t_0)}{\delta t}\;</math>» ainsi que <br>{{Al|13}}{{Transparent|La justification résultant de }}celle de la dérivée du vecteur position à l'instant <math>\;t_0^{-}\;</math> selon «<math>\;\vec{V}_M(t_0^{-}) = \lim\limits_{\delta t \rightarrow 0^{-}} \dfrac{\overrightarrow{OM}(t_0 + \delta t) - \overrightarrow{OM}(t_0)}{\delta t} = \lim\limits_{\delta t' \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\overrightarrow{OM}(t_0 - \delta t') - \overrightarrow{OM}(t_0)}{-\delta t'}\;</math>», <br>{{Al|3}}ces deux dérivées étant égales par continuité du vecteur vitesse <math>\;\big(</math>ce que nous présupposons<math>\big)\;</math> on peut réécrire le vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> à la date <math>\;t_0\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t_0) = \dfrac{\vec{V}_M(t_0^{+}) + \vec{V}_M(t_0^{-})}{2}</math> <math>= \dfrac{\lim\limits_{\delta t \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\overrightarrow{OM}(t_0 + \delta t) - \overrightarrow{OM}(t_0)}{\delta t} + \lim\limits_{\delta t' \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\overrightarrow{OM}(t_0) - \overrightarrow{OM}(t_0 - \delta t')}{\delta t'}}{2}\;</math>» soit, en posant <math>\;\delta t' = \delta t\;</math> pour symétriser l'expression, «<math>\;\vec{V}_M(t_0) = \lim\limits_{\delta t \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\overrightarrow{OM}(t_0 + \delta t) - \overrightarrow{OM}(t_0 - \delta t)}{2\;\delta t}\;</math>» et enfin, on trouve une expression approchée en confondant le taux de variation précédent de <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> pour <math>\;\delta t\;</math> petit avec sa limite quand <math>\;\delta t \rightarrow 0</math>.</ref> soit,</center> {{Al|5}}avec l'échelle des vitesses «<math>\;1\,cm \cdot \left( 2\,\delta t \right)^{-1}\; \widehat{=}\; 1\,cm\;</math>»<ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau"> Le symbole «<math>\;\widehat{=}\;</math>» signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'échelle des vitesses }}«<math>\;\vec{V}_M(t_0)\;</math> est obtenu en reportant <math>\;\overrightarrow{M_{t_0 - \delta t}M_{t_0 + \delta t}}\;</math> à partir de <math>\;M(t_0)\;</math>» voir figure ci-contre <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Tous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode expliquée précédemment et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode }}explicitée ci-contre en <math>\;M_6\;</math> <math>\big(</math>en <math>\;M_6\;</math> on a reporté <math>\;M_5M_7\big)</math> ; {{Al|5}}il n'est pas possible de déterminer les vecteurs vitesse en <math>\;M_0\;</math> et en <math>\;M_7\;</math> par cette méthode <math>\;\ldots</math> === Définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M === [[File:Hodographe de pôle O associé à un enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers.png|thumb|left|300px|Tracé de l'[[w:Hodographe|hodographe]] de pôle <math>\;O\;</math> après détermination annexe du vecteur vitesse du point à chaque instant d'un enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers <math>\;\big(</math>à l'exception du 1^er et du dernier<math>\big)\;</math><ref name="Tracé de l'hodographe"> On a tracé l'[[w:Hodographe|hodographe]] par continuité associée à une certaine régularité de ce dernier.</ref>]] <center>« L'[[w:Hodographe|hodographe]] <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math><ref name="pôle de l'hodographe"> Point fixe du référentiel qui n'est pas nécessairement l'origine du vecteur position de <math>\;M</math>, nous adoptons la même notation pour simplifier l'exposé.</ref> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» est <br>« l'ensemble des positions <math>\;P\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\;\vec{V}_M(t)\;</math>»<ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" />{{,}}<ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau"> Par abus d'écriture on écrira «<math>\;\overrightarrow{OP}(t) = \vec{V}_M(t)\;</math>» sans oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.</ref>.</center> <br> === Construction de l'hodographe de pôle O du mouvement de M à partir d'un enregistrement régulier des positions du point === {{Al|5}}Il suffit <math>\;\big(</math>à partir d'un même pôle <math>\;O\;</math><ref name="pôle de l'hodographe" /><math>\big)\;</math> de reporter les vecteurs vitesse de <math>\;M\;</math> obtenus aux différents instants de l'enregistrement régulier <br>{{Al|10}}{{Transparent|Il suffit <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>à partir d'un même pôle <math>\;\color{transparent}{O\;\big)}\;</math> de reporter les vecteurs vitesse de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<math>\big(</math>obtenus sur le schéma ci-dessus à droite<math>\big)</math>, et <br>{{Al|5}}on obtient alors une succession régulière de positions <math>\;P\;</math> permettant d'en déduire « l'[[w:Hodographe|hodographe]] de pôle <math>\;O\;</math><ref name="pôle de l'hodographe" /> du mouvement de <math>\;M\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient alors une succession régulière de positions <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> permettant d'en déduire }}<math>\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)</math>. {{Al|5}}Les positions <math>\;P\;</math> ne peuvent être obtenues aux instants extrêmes de l'enregistrement des positions de <math>\;M</math>. <br> === Vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_intrinsèque_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue|définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », l'introduction y étant faite en repérant le point <math>\;M\;</math> par son abscisse curviligne <math>\;s_M\;</math><ref name="abscisse curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d'un_point_sur_une_courbe_continue|abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}nous la reproduisons en repérant la position du point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire par l'instant d'occupation <math>\;t\;</math><ref> Cette façon de procéder nécessitant un mouvement sur la courbe continue représente une « définition cinématique du vecteur déplacement élémentaire » alors que celle qui a été introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d'un_point_sur_une_courbe_continue|abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » représente une « définition géométrique du vecteur déplacement élémentaire » indépendante de tout mouvement sur la courbe.</ref> : [[File:Vecteur déplacement élémentaire - bis.png|thumb|300px|Introduction cinématique au vecteur déplacement élémentaire d'un point mobile le long d'une courbe]] {{Al|5}}Si le point mobile se déplace sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> avec un paramétrage cinématique, * <math>\;M\;</math> étant la position <math>\;\big(</math>supposée non [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|anguleuse]] <ref name="non anguleux"> Position non [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|anguleuse]] sur la trajectoire <math>\;\big(</math>on rappelle qu'en un [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|point anguleux]] d'une courbe continue on définit deux [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|demi-tangentes]] ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, alors que pour un point non [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|anguleux]] il n'existe qu'une seule tangente, nous n'envisageons pas le cas de figure avec un [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|point anguleux]]<math>\big)</math>.</ref><math>\big)\;</math> du point à l'instant <math>\;t\;</math> et * <math>\;M'\;</math> celle <math>\;\big(</math>supposée également non [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|anguleuse]]<ref name="non anguleux" /><math>\big)\;</math> à l'instant infiniment proche <math>\;t + dt</math>, {{Al|5}}« le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> à partir de la date <math>\;t\;</math>» s'écrit «<math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{OM'} - \overrightarrow{OM}\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|« le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> à partir de la date <math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» s'écrit }}«<math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{OM}(t + dt) - \overrightarrow{OM}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|« le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> à partir de la date <math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» s'écrit }}ce qui peut être traduit par <br>{{Al|5}}{{Transparent|« le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> à partir de la date <math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» s'écrit }}« la différentielle de <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math>»<ref> On utilise la propriété de la différentielle appliquée à un champ vectoriel d'une variable valable dans la mesure où <math>\;dt\;</math> est un infiniment petit <math>\;\big[</math>la définition quant à elle étant rappelée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Définition_intrinsèque_de_la_différentielle_d'une_fonction_vectorielle_d'une_variable|définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|« le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> à partir de la date <math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» s'écrit }}«<math>\;\overrightarrow{MM'} = d\! \left[ \overrightarrow{OM} \right]\;</math>» usuellement noté <br>{{Al|5}}{{Transparent|« le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> à partir de la date <math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» s'écrit }}«<math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math>»<ref> Car la différentielle est en fait indépendante du choix de <math>\;O</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire</u> : « si <math>\;\overrightarrow{dM} \neq \vec{0}\;</math>» il est « tangent à la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Propriété_géométrique_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue|propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Évaluation du vecteur déplacement élémentaire par utilisation du paramétrage cinématique</u> : on différencie le vecteur position considéré comme fonction de <math>\;t\;</math> et on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Évaluation du vecteur déplacement élémentaire par utilisation du paramétrage cinématique : on différencie }}«<math>\;d \overrightarrow{OM} = \dot{\overrightarrow{OM}}(t)\;dt = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\;dt\;</math>»<ref> Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Définition_intrinsèque_de_la_différentielle_d'une_fonction_vectorielle_d'une_variable|définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable]] réelle et sa façon de la calculer » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{dM} = \vec{V}_M(t)\;dt\;</math>»<ref> L'instant où le vecteur déplacement élémentaire est défini n'est pas usuellement indiqué dans la notation <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> mais il en dépend évidemment.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Évaluation du vecteur déplacement élémentaire par utilisation du paramétrage cinématique : }}le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> <math>\big(</math>quand il n'est pas nul<math>\big)\;</math> est <u>tangent à la trajectoire en</u><math>\underline{\;M}</math>. {{Al|5}}<u>Autre définition du vecteur vitesse du point</u><math>\underline{\;M}</math> : «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{\overrightarrow{dM}(t)}{dt}\;</math>»<ref> Contrairement à ce qu'on fait usuellement l'instant de définition du vecteur déplacement élémentaire a été précisé sous la forme <math>\;\overrightarrow{dM}(t)\;</math> pour que la dépendance relativement à <math>\;t\;</math> du vecteur vitesse soit également présente dans le 2^nd membre.</ref> c'est-à-dire « le taux de variation horaire du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}(t)</math> » obtenu en divisant ce dernier par <math>\;dt</math>. == Définition du vecteur accélération du point, évaluation à partir de la détermination régulière des points de l'hodographe du mouvement de pôle O (ou directement sur la trajectoire) == {{Al|5}}On prolonge la notion de dérivée 2^nde d'une fonction scalaire de la variable <math>\;t\;</math> introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Dérivées_successives_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_réelle#Définition|définition]] (de la dérivée 2^nde d'une fonction scalaire) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » à celle de dérivée 2^nde d'une fonction vectorielle de la variable <math>\;t</math>, la dérivée 1^ère ayant été introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Définition_intrinsèque_de_la_dérivée_d'une_fonction_vectorielle_d'une_variable|définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable]] réelle » du chap.<math>4</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». {{Al|5}}On rappelle que la notion d'[[w:Hodographe|hodographe]] de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement d'un point n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. <br>{{Al|5}}{{Transparent|On rappelle que la notion d'hodographe de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> du mouvement d'un point }}doit être introduite pour être utilisée, c'est en effet un complément. === Définition (intrinsèque) du vecteur accélération du point M dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur accélération du point <math>\;M\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, noté <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> est <u>la dérivée temporelle du vecteur vitesse</u> soit «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dot{\vec{V}}_M(t) = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math>»<ref> Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles sont notées en surmontant la fonction d'un point, mais <br>{{Al|3}}on peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée » en introduisant le rapport des deux différentielles celle du vecteur vitesse <math>\;d \vec{V}_M\;</math> et celle du temps <math>\;dt\;</math> notions qui ont été introduites dans les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Définition_intrinsèque_de_la_différentielle_d'une_fonction_vectorielle_d'une_variable|définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable]] réelle » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Élément_différentiel_d'une_variable|élément différentiel d'une variable]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur accélération du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}c'est aussi <u>la dérivée temporelle 2^nde du vecteur position</u> soit «<math>\;\vec{a}_M(t) = \ddot{\overrightarrow{OM}}(t) = \dfrac{d^2 \overrightarrow{OM}}{dt^2}(t)\;</math>»<ref> Usuellement, en mécanique, les dérivées temporelles 2^ndes sont notées en surmontant la fonction de deux points successifs, mais <br>{{Al|3}}on peut aussi utiliser la 2^ème notation dite « forme différentielle de la dérivée seconde » dont nous nous contenterons de dire qu'il s'agit de la notation contractée de «<math>\;\dfrac{d \dot{f}}{dt}(t) = \dfrac{d \dfrac{df}{dt}}{dt}(t)\;</math>» sans chercher une autre signification, ce qui nécessiterait d'introduire trop de notions nouvelles <math>\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur accélération du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}la norme du vecteur accélération <math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert\;</math> s'exprime en <math>\;m \cdot s^{-2}</math>. === Lien avec l'hodographe de pôle O du mouvement de M === {{Al|5}}De la définition de « l’[[w:Hodographe|hodographe]] <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math><ref name="pôle de l'hodographe" /> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» à savoir « ensemble des positions <math>\;P\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" />{{,}}<ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau" /> », on déduit, en effectuant la dérivation temporelle de chaque membre, «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{OP}}{dt}(t)\;\widehat{=}\;\vec{a}_M(t)\;</math>» soit, en remarquant que «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{OP}}{dt}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point <math>\;P\;</math> de l'[[w:Hodographe|hodographe]] <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>», <center>«<math>\;\vec{V}_P(t)\;\widehat{=}\;\vec{a}_M(t)\;</math>» <br><math>\Downarrow</math> <br>au même instant <math>\;t</math>, le vecteur vitesse de <math>\;P\;</math> sur l'[[w:Hodographe|hodographe]] <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> représente <br>le vecteur accélération de <math>\;M\;</math> sur la trajectoire <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>.</center> [[File:Enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers - ter.png|thumb|300px|Détermination du vecteur vitesse du point <math>\;P\;</math> de l'[[w:Hodographe|hodographe]] de pôle <math>\;O\;</math> à chaque instant d'un enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers <math>\;\big(</math>à l'exception du 1^er et du dernier de l'[[w:Hodographe|hodographe]]<math>\big)\;</math><ref name="Tracé de l'hodographe" />]] {{Al|5}}Suivant la position de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire tous les <math>\;\delta t</math>, on a pu tracer les vecteurs vitesse aux différents instants, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Suivant la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur sa trajectoire tous les <math>\;\color{transparent}{\delta t}</math>, on a pu tracer }}l'[[w:Hodographe|hodographe]] <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> correspondant <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}on transpose aux points <math>\;P\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> l'opération d'évaluation des vecteurs vitesse des points <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Généralités#Évaluation_du_vecteur_vitesse_du_point_M_à_des_instants_d'un_enregistrement_régulier_des_positions_du_point|évaluation du vecteur vitesse du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on transpose aux points <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{H} \right)}\;</math> }}pour déterminer le vecteur vitesse d'un point <math>\;P\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> à un instant <math>\;t_0\;</math> quasi-quelconque<ref name="Sauf initial et final" /> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|on transpose aux points <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{H} \right)}\;</math> }}«<math>\;\vec{V}_P(t_0) \simeq \dfrac{\overrightarrow{OP}(t_0 + \delta t) - \overrightarrow{OP}(t_0 - \delta t)}{2\;\delta t} = \dfrac{\overrightarrow{P_{t_0 - \delta t}P_{t_0 + \delta t}}}{2\;\delta t}\;</math>»<ref name="justification de l'obtention d'un vecteur vitesse - bis"> La justification résultant de la définition de la dérivée du vecteur position à l'instant <math>\;t_0^{+}\;</math> selon «<math>\;\vec{V}_P(t_0^{+}) = \lim\limits_{\delta t \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\overrightarrow{OP}(t_0 + \delta t) - \overrightarrow{OP}(t_0)}{\delta t}\;</math>» ainsi que <br>{{Al|7}}{{Transparent|La justification résultant de la définition de la dérivée du position }}celle à l'instant <math>\;t_0^{-}\;</math> selon «<math>\;\vec{V}_P(t_0^{-}) = \lim\limits_{\delta t \rightarrow 0^{-}} \dfrac{\overrightarrow{OP}(t_0 + \delta t) - \overrightarrow{OP}(t_0)}{\delta t} = \lim\limits_{\delta t' \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\overrightarrow{OP}(t_0 - \delta t') - \overrightarrow{OP}(t_0)}{-\delta t'}\;</math>», <br>{{Al|3}}ces deux dérivées étant égales par continuité du vecteur vitesse sur l'[[w:Hodographe|hodographe]] <math>\;\big(</math>et donc par continuité du vecteur accélération sur la trajectoire, ce que nous présupposons<math>\big)\;</math> d'où «<math>\;\vec{V}_P(t_0) =</math> <math>\dfrac{\vec{V}_P(t_0^{+}) + \vec{V}_P(t_0^{-})}{2} = \dfrac{\lim\limits_{\delta t \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\overrightarrow{OP}(t_0 + \delta t) - \overrightarrow{OP}(t_0)}{\delta t} + \lim\limits_{\delta t' \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\overrightarrow{OP}(t_0) - \overrightarrow{OP}(t_0 - \delta t')}{\delta t'}}{2}\;</math>» ou, avec <math>\;\delta t' = \delta t</math>, «<math>\;\vec{V}_P(t_0) = \lim\limits_{\delta t \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\overrightarrow{OP}(t_0 + \delta t) - \overrightarrow{OP}(t_0 - \delta t)}{2\;\delta t}\;</math>» et enfin, on trouve une expression approchée en confondant le taux de variation précédent de <math>\;\overrightarrow{OP}\;</math> pour <math>\;\delta t\;</math> petit avec sa limite quand <math>\;\delta t \rightarrow 0</math>.</ref> soit, {{Al|5}}avec l'échelle des vitesses sur l'[[w:Hodographe|hodographe]] «<math>\;1\,cm \cdot \left( 2\,\delta t \right)^{-1}\; \widehat{=}\; 1\,cm\;</math>»<ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'échelle des vitesses }}«<math>\;\vec{V}_P(t_0)\;</math> est obtenu en reportant <math>\;\overrightarrow{P_{t_0 - \delta t}P_{t_0 + \delta t}}\;</math> à partir de <math>\;P(t_0)\;</math>» voir figure ci-contre <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Tous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode expliquée précédemment et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode }}explicitée ci-contre en <math>\;P_5\;</math> <math>\big(</math>ainsi en <math>\;P_5\;</math> on a reporté <math>\;P_4P_6\big)</math> ; {{Al|5}}il n'est pas possible de déterminer les vecteurs vitesse en <math>\;P_1\;</math> et en <math>\;P_6\;</math> par cette méthode <math>\;\ldots</math> === Évaluation du vecteur accélération du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point === [[File:Enregistrement de mouvement à intervalles de temps réguliers - tetra.png|thumb|left|300px|Report sur l'enregistrement de mouvement de <math>\;M\;</math> à intervalles de temps réguliers du vecteur accélération du point <math>\;M\;</math> obtenu sur l'[[w:Hodographe|hodographe]] de pôle <math>\;O\;</math> de cet enregistrement comme vecteur vitesse du point <math>\;P\;</math> considéré au même instant <math>\;\big(</math>à l'exception des deux 1^ers et des deux derniers de l'enregistrement<math>\big)\;</math><ref name="Tracé de la trajectoire" />]] {{Al|5}}Après détermination de l'[[w:Hodographe|hodographe]] et du vecteur vitesse d'un point <math>\;P\;</math> à un instant <math>\;t_0\;</math> quasi {{Nobr|quelconque<ref name="Sauf initial et final" />}} du repérage sur l'[[w:Hodographe|hodographe]] <math>\;\big(</math>voir ci-contre à droite<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}il suffit alors de reporter «<math>\;\vec{V}_{P_0}(t)\;\widehat{=}\;\vec{a}_{M_0}(t)\;</math> en <math>\;M_0\;</math>» sur <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, le vecteur accélération étant alors représenté avec l'échelle des accélérations «<math>\;1\,cm \cdot \left( 2\,\delta t \right)^{-2}\; \widehat{=}\; 1\,cm\;</math>»<ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" /> <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre à gauche avec le report en bleu des vecteurs vitesse des points de l'[[w:Hodographe|hodographe]], lesquels vecteurs vitesse s'identifient aux vecteurs accélérations des points de la trajectoire correspondants<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Contournement de l'utilisation de l'[[w:Hodographe|hodographe]] de pôle</u><math>\;O\;</math><u>du mouvement de</u><math>\;M\;</math><ref> La notion d'[[w:Hodographe|hodographe]] de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> est un complément de programme de physique de P.C.S.I. mais l'évaluation du vecteur accélération du point <math>\;M\;</math> directement sur l'enregistrement en est une exigence.</ref> : on peut déterminer directement sur l'enregistrement du mouvement de <math>\;M\;</math> à intervalles de temps réguliers, le vecteur accélération en un point <math>\;M(t_0)\;</math> sans faire le tracé de l'[[w:Hodographe|hodographe]] ; pour cela <br>{{Al|10}}{{Transparent|Contournement de l'utilisation de l'hodographe de pôle<math>\;\color{transparent}{O}\;</math>du mouvement de<math>\;\color{transparent}{M}\;</math> : }}on détermine les vecteurs vitesse dans les deux positions précédant et suivant le point <math>\;M(t_0)\;</math> soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{V}_M(t_0 - \delta t) \simeq \dfrac{\overrightarrow{M_{t_0 - 2\,\delta t}M_{t_0}}}{2\;\delta t} \\ \vec{V}_M(t_0 + \delta t) \simeq \dfrac{\overrightarrow{M_{t_0}M_{t_0 + 2\,\delta t}}}{2\;\delta t}\end{array}\right\rbrace\;</math>» puis on utilise «<math>\;\vec{a}_M(t_0) \simeq \dfrac{\vec{V}_M(t_0 + \delta t) - \vec{V}_M(t_0 - \delta t)}{2\;\delta t}\;</math>»<ref> La justification reproduit celle qui a été donnée pour «<math>\;\vec{V}_M(t_0) \simeq \dfrac{\overrightarrow{OM}(t_0 + \delta t) - \overrightarrow{OM}(t_0 - \delta t)}{2\;\delta t}\;</math>» en remplaçant «<math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math> par <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» et «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> par <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> ou, avec le report des expressions de <math>\;\vec{V}_M(t_0 + \delta t)\;</math> et <math>\;\vec{V}_M(t_0 - \delta t)</math>, «<math>\;\vec{a}_M(t_0) \simeq \dfrac{\dfrac{\overrightarrow{M_{t_0}M_{t_0 + 2\,\delta t}}}{2\;\delta t} - \dfrac{\overrightarrow{M_{t_0 - 2\,\delta t}M_{t_0}}}{2\;\delta t}}{2\;\delta t} = \dfrac{\overrightarrow{M_{t_0}M_{t_0 + 2\,\delta t}} - \overrightarrow{M_{t_0 - 2\,\delta t}M_{t_0}}}{4 \left( \delta t \right)^2}\;</math>» soit, <center>avec l'échelle des accélérations «<math>\;1\,cm \cdot \left( 2\,\delta t \right)^{-2}\; \widehat{=}\; 1\,cm\;</math>»<ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" />, <br>«<math>\;\vec{a}_M(t_0)\;</math> déterminé en formant, à partir de <math>\;M(t_0)</math>, la différence entre <math>\;\overrightarrow{M_{t_0}M_{t_0 + 2\,\delta t}}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{M_{t_0 - 2\,\delta t}M_{t_0}}\;</math>» <math>\;\ldots</math></center> {{Al|5}}Sur la figure ci-dessus à gauche, la construction sans référence à l'[[w:Hodographe|hodographe]] de pôle <math>\;O\;</math> de l'enregistrement du mouvement de <math>\;M\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur la figure ci-dessus à gauche, la construction }}a été explicitée en vert, avec l'échelle des accélérations précédemment définie, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur la figure ci-dessus à gauche, la construction a été explicitée en vert, }}pour le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_{M_2}\;</math> en formant, à partir de <math>\;M_2</math>, la différence entre <math>\;\overrightarrow{M_2M_4}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{M_0M_2}\;\ldots</math> == Exploitation d'un enregistrement vidéo pour déterminer quantitativement l'évolution temporelle des vecteurs vitesse et accélération == {{Al|5}}Il est possible de travailler sur un enregistrement vidéo <math>\;\big(</math>fait par vous-même<ref> Vous pouvez disposer, dans ce cas, du logiciel « AviStep » permettant de faire les pointages et les mesures, ce dernier est téléchargeable gratuitement à l'adresse « http://mcpd.pagesperso-orange.fr/Avistep/Avistep.html ».</ref> ou téléchargé<ref> À l'adresse « http://mcpd.pagesperso-orange.fr/Avistep/Avistep.html » il est aussi possible de télécharger des exemples de vidéo et de les traiter à l'aide du logiciel « AviStep » ;<br>{{Al|3}}un autre exemple se trouve à l'adresse « http://scphysiques.free.fr/TS/physiqueTS/vaTS.swf » où on trouve un enregistrement vidéo à télécharger permettant de suivre le tracé d'un vecteur vitesse à partir des positions régulières du mouvement d'un ballon de basket puis le tracé d'un vecteur accélération <math>\;\big(</math>les fichiers d'extension « .swf » étant en désuétude, le lecteur qui permettait initialement de les ouvrir n'est plus disponible, toutefois on trouve encore des lecteurs pour les ouvrir voir le site « https://recoverit.wondershare.fr/video-recovery/what-is-swf-file.html »<math>\big)</math>.</ref><math>\big)\;</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il est possible de travailler sur un enregistrement vidéo }}pour déterminer le vecteur vitesse ainsi que le vecteur accélération du point à un instant quasi quelconque<ref name="Sauf initial et final" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Il est possible de travailler sur un enregistrement vidéo pour déterminer }}les échelles des vitesses et des accélérations pouvant être différentes de celles simplificatrices utilisées précédemment <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées/]] }} 3spfl3qggik32h2jtyhd9nxfhfkeqzi 0 69098 982872 978650 2026-05-17T06:49:23Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982872 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 2 | niveau = 14 | précédent = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités/]] | suivant = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant/]] }} {{Al|5}}Ce chapitre ayant un support mathématique important a déjà été grandement introduit dans le chap.<math>16</math> « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace|Divers repérages d'un point dans l'espace]] » de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». == Système de coordonnées cartésiennes == <center>Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cartésien_d'un_point_dans_l'espace|Repérage cartésien d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » en particulier pour :</center> === Choix d'un repère cartésien associé à la composante d'espace du référentiel d'étude === {{Al|5}}Au « référentiel d'espace » <math>\;\mathcal{R}</math>, on associe un « <u>repère cartésien</u> » c'est-à-dire * une « <u>origine</u> » <math>\;O\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et * une « <u>base orthonormée</u> » <math>\;\big(</math>usuellement directe<ref name="base directe"> Voir définition d'une « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » dans le chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big\{</math>son orientation suivant la « règle de la main droite » décrite dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chapitre précité<math>\big\}</math>.</ref>, l'espace étant supposé orienté à droite<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <math>\;\left( \vec{u}_x,\, \vec{u}_y,\, \vec{u}_z \right)\;</math> <u>également fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>. === Coordonnées cartésiennes d'un point === {{Al|5}}Le vecteur position de <math>\;M\;</math> se décompose dans la base cartésienne selon «<math>\;\overrightarrow{OM} = x\; \vec{u}_x + y\; \vec{u}_y + z\; \vec{u}_z\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( x,\, y,\, z \right)\;</math>» définissent les « <u>coordonnées cartésiennes</u> du point <math>\;M\;</math>», <math>\;\big(</math>avec {{Nobr|«<math>\;x\;</math>}} son abscisse », «<math>\;y\;</math> son ordonnée » et «<math>\;z\;</math> sa cote »<math>\big)</math>. == Système de coordonnées cylindriques (ou cylindro-polaires), base cylindrique liée au point repéré == <center>Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » en particulier pour :</center> [[File:Repérage cylindrique - perspective.jpg|thumb|right|400px|Vue en perspective du repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)\;</math> d'un point <math>\;M</math>]] === Principe du repérage cylindro-polaire d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude === {{Al|5}}Pour définir un repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> pour le point <math>\;M</math>, on conserve le repérage cartésien du projeté orthogonal <math>\;M_z\;</math> de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> et on modifie le repérage du projeté orthogonal <math>\;M_{xy}\;</math> de <math>\;M\;</math> sur le plan <math>\;(xOy)\;</math> en le repérant, dans ce plan, par sa distance à <math>\;O\;</math> et par l'angle que fait <math>\;\overrightarrow{OM_{xy}}\;</math> avec l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;\ldots</math> === Repérage cylindro-polaire d'axe fixé d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude === [[File:Repérage cylindrique - vues projetées.jpg|thumb|right|500px|Vues projetées du repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)\;</math> d'un point <math>\;M</math> : demi-plan méridien et vue de dessus]] {{Al|5}}Les « <u>coordonnées cylindro-polaires</u><math>\;\big(</math><u>ou cylindriques</u><math>\big)\;</math> de <math>\;M\;</math>» sont «<math>\;(\rho,\, \theta,\, z)\;</math>» avec * «<math>\;\rho = \left\Vert \overrightarrow{OM_{xy}} \right\Vert \geqslant 0\;</math>» sa « ''coordonnée radiale'' » <ref> Ou encore « rayon <math>\;\big(</math>polaire<math>\big)\;</math>» s'exprimant en <math>\;m</math>.</ref>, * «<math>\;\theta = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\, \text{,}\, \overrightarrow{OM_{xy}} \right)} \in \left] -\pi\, \text{,}\, +\pi \right]\;</math>» sa « ''coordonnée angulaire'' » <ref> Ou « abscisse angulaire » ou encore « angle polaire » s'exprimant en <math>\;rad</math>, sa détermination principale pouvant encore être choisie sur <math>\;\left[ 0\, \text{,}\, +2\, \pi \right[</math>.</ref>{{,}}<ref name="orientation des angles de xOy"> Angle orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z</math>.</ref> et * «<math>\;z = \overline{OM_z}\;</math>» sa « ''cote'' » ; {{Al|5}}On définit la « <u>base cylindro-polaire</u><math>\;\big(</math><u>ou cylindrique</u><math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math>», «<math>\;(\vec{u}_\rho,\, \vec{u}_\theta,\, \vec{u}_z)\;</math>»<ref> Cette base est liée à <math>\;M\;</math> car les deux 1^ers vecteurs de la base dépendent de <math>\;\theta</math> : * le 1^er «<math>\;\vec{u}_\rho = \vec{u}_\rho(\theta)\;</math>» est appelé « ''vecteur radial'' », * le 2^nd «<math>\;\vec{u}_\theta = \vec{u}_\theta(\theta)\;</math>» {{Al|16}} « ''vecteur orthoradial'' » et * le 3^ème constant «<math>\;\vec{u}_z\;</math>» {{Al|14}} « ''vecteur axial'' ».</ref> orthonormée directe<ref name="base directe" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>l'espace}} étant orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big)\;</math> avec * le 1^er vecteur de la base «<math>\;\vec{u}_\rho = \dfrac{\overrightarrow{OM_{xy}}}{\rho}\;</math>», * le 2^nd vecteur de la base «<math>\;\vec{u}_\theta\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> directement <math>\;\perp\;</math> au précédent » <ref> Ce qui signifie que «<math>\;\widehat{(\vec{u}_\rho\, \text{,}\, \vec{u}_\theta)} = +\dfrac{\pi}{2}\;</math>», les angles du plan <math>\;xOy\;</math> étant orientés par <math>\;\vec{u}_z</math>.</ref> <math>\;\big(</math>on peut encore le définir par {{Nobr|«<math>\;\vec{u}_\theta</math>}} <math>= \vec{u}_z \wedge \vec{u}_\rho\;</math>»<ref name="propriété des vecteurs d'une base orthonormée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriété_des_vecteurs_de_base_d'une_base_orthonormée|propriété des vecteurs de base d'une base orthonormée]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\;</math> et * le 3^ème vecteur de la base «<math>\;\vec{u}_z\;</math> identique au 3^ème vecteur de la base cartésienne ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : comme la base orthonormée cartésienne <math>\;(\vec{u}_x,\, \vec{u}_y)\;</math> du plan <math>\;xOy</math>, la base orthonormée polaire <math>\;(\vec{u}_\rho,\, \vec{u}_\theta)\;</math> permet d'exprimer tout vecteur du plan <math>\;xOy</math>, à la différence près que ces vecteurs de base polaire dépendent de l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> du point alors que les vecteurs de base cartésienne sont constants. === Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur position du point <math>\;M\;</math> s'écrit dans la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{OM} = \rho\; \vec{u}_\rho + z\; \vec{u}_z\;</math>»<ref name="dépendance cylindro-polaire du vecteur position"> Le vecteur position dépend explicitement de <math>\;(\rho,\, z)\;</math> et implicitement de <math>\;\theta\;</math> par l'intermédiaire de <math>\;\vec{u}_\rho</math>.</ref>. === Lien entre repérages cylindro-polaire (ou cylindrique) et cartésien === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Lien_entre_repérages_cylindro-polaire_et_cartésien_d'un_point|lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez jamais revenir au repérage cartésien quand vous êtes en repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)\;</math> car, si vous avez choisi ce dernier <math>\;\big(</math>ou s'il vous a été imposé<math>\big)</math>, c'est parce qu'il simplifie l'étude <math>\;\ldots</math> == Système de coordonnées sphériques, base sphérique liée au point repéré == <center>Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_sphérique_d'un_point_dans_l'espace|repérage sphérique d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » en particulier pour :</center> [[File:Repérage sphérique - perspective.jpg|thumb|right|400px|Vue en perspective du repérage sphérique d'un point <math>\;M</math>]] === Principe du repérage sphérique d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude === {{Al|5}}Pour définir un repérage sphérique de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> pour le point «<math>\;M\; \not\in \left( Oz \right)\;</math>», on définit le « demi-plan contenant l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> et passant par <math>\;M</math>, appelé demi-plan méridien », repéré par l'angle qu'il fait avec le demi-plan méridien de référence {{Nobr|<math>\;\left( \overrightarrow{Ox}\, ,\, \overrightarrow{Oz} \right)\;</math><ref> Cet angle est l'analogue géographique de la longitude.</ref>{{,}}<ref> L'angle entre deux demi-plans est l'angle entre les demi-droites d'une même section droite <math>\;\big(</math>une section droite est la figure obtenue en réalisant une coupe par un plan <math>\;\perp\;</math> à la droite d'intersection des deux demi-plans<math>\big)</math>, cet angle est algébrisé selon le vecteur unitaire de <math>\;\overrightarrow{Oz}</math>.</ref> ;}} la position du point <math>\;M\;</math> est alors repérée dans ce demi-plan méridien par sa distance au pôle <math>\;O\;</math><ref> Cette distance est l'analogue géographique de l'altitude à laquelle on ajoute le rayon de la Terre.</ref> et par l'angle positif que fait <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> avec l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math><ref> Cet angle est l'analogue géographique de la colatitude.</ref> ; dans ce cas le repérage sphérique utilise une longueur et deux angles ; {{Al|5}}si le point «<math>\;M \in \left( Oz \right)\;</math>», le « demi-plan méridien n'est pas défini <math>\;\big[</math>en fait tous les demi-plans contenant <math>\;\left( Oz \right)\;</math> conviennent<math>\big]\;</math>» et on repère le point <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( Oz \right)\;</math> par sa distance au pôle <math>\;O\;</math> et par l'angle positif que fait <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> avec l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> <math>\big[</math>cet angle valant <math>\;0\;</math> si <math>\;M\;</math> est du côté positif de l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> et <math>\;\pi\;</math> s'il est du côté négatif<math>\big]</math> ; dans ce cas un des angles restant indéfini, le repérage sphérique utilise une longueur et un angle. === Repérage sphérique de pôle et d'axe fixés d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude === [[File:Repérage sphérique - vues projetées.jpg|thumb|right|500px|Vues projetées du repérage sphérique d'un point <math>\;M</math> : demi-plan méridien et vue de dessus]] {{Al|5}}Les « <u>coordonnées sphériques</u> de <math>\;M\;</math>» sont «<math>\;(r,\, \theta,\, \varphi)\;</math>» avec * «<math>\;r = \left\Vert \overrightarrow{OM} \right\Vert \geqslant 0\;</math>» son « ''rayon'' <math>\;\big(</math>''polaire''<math>\big)\;</math>» <ref> Ou encore « ''coordonnée radiale'' » s'exprimant en <math>\;m</math>.</ref>, * «<math>\;\theta = \widehat{\left( \overrightarrow{Oz}\, \text{,}\, \overrightarrow{OM} \right)} \in \left[ 0\, \text{,}\, +\pi \right]\;</math>» sa « ''colatitude'' » <ref> Domaine de définition large de <math>\;\pi\;</math> seulement car on décrit un demi-plan méridien, la « ''colatitude'' » s'exprimant en <math>\;rad</math>.</ref>{{,}}<ref> Angle orienté par le 3^ème vecteur de la base sphérique <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> lié au point <math>\;M</math>.</ref> et * «<math>\;\varphi = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\, \text{,}\, \overrightarrow{OM_{xy}} \right)} \in \left] -\pi\, \text{,}\, +\pi \right]\;</math>» sa « ''longitude'' »<ref> Domaine de définition large de <math>\;2\, \pi</math>, on peut choisir encore une détermination comprise entre <math>\;0\;</math> et <math>\;2\, \pi</math>.</ref>{{,}}<ref name="orientation des angles de xOy" /> ; {{Al|5}}On définit la « <u>base sphérique</u> liée à <math>\;M\;</math>», «<math>\;(\vec{u}_r,\, \vec{u}_\theta,\, \vec{u}_\varphi)\;</math>»<ref> Cette base est liée à <math>\;M\;</math> car les deux 1^ers vecteurs de la base dépendent de <math>\;\theta\;</math> et de <math>\;\varphi</math>, le 3^ème dépendant uniquement de <math>\;\varphi</math> : * le 1^er «<math>\;\vec{u}_r = \vec{u}_r(\theta,\,\varphi)\;</math>» est appelé « ''vecteur radial'' », * le 2^nd «<math>\;\vec{u}_\theta = \vec{u}_\theta(\theta,\,\varphi)\;</math>» {{Transparent|est appelé}}« ''vecteur orthoradial'' » et * le 3^ème «<math>\;\vec{u}_\varphi = \vec{u}_\varphi(\varphi)\;</math>» {{Transparent|est appelé }}« ''vecteur longitudal'' ».</ref> orthonormée directe<ref name="base directe" /> <math>\;\big(</math>l'espace étant orienté à {{Nobr|droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big)\;</math>}} avec * le 1^er vecteur de la base «<math>\;\vec{u}_r = \dfrac{\overrightarrow{OM}}{r}\;</math>», * le 2^nd vecteur de la base «<math>\;\vec{u}_\theta\;</math> dans le demi-plan méridien directement <math>\;\perp\;</math> au précédent » <ref> Ce qui signifie que «<math>\;\widehat{(\vec{u}_r\, \text{,}\, \vec{u}_\theta)} = +\dfrac{\pi}{2}\;</math>», les angles du demi-plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref>{{,}}<ref> Soit encore, en remarquant que les demi-plans méridiens dans les repérages sphérique et cylindro-polaire étant identiques <math>\;\big[</math>la seule différence étant qu'en repérage cylindro-polaire le demi-plan est repéré par son angle polaire <math>\;\theta_{\text{cyl}}\;</math> et qu'en repérage sphérique il l'est par sa longitude <math>\;\varphi\;</math> <math>\big(\!\Rightarrow</math> quand les deux repérages sont utilisés simultanément on note <math>\;\varphi\;</math> à la place de <math>\;\theta_{\text{cyl}}\;</math> et par suite «<math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire » directement <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> le 1^er vecteur de base cylindro-polaire<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Soit encore, }}une définition équivalente du 2^ème vecteur de la base sphérique «<math>\;\vec{u}_\theta = \vec{u}_\varphi \wedge \vec{u}_r\;</math>».</ref> et * le 3^ème vecteur de la base «<math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> <math>\perp\;</math> au demi-plan méridien et orientant ce dernier » soit «<math>\;\vec{u}_\varphi = \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta\;</math>»<ref> On rappelle que ce 3^ème vecteur de base sphérique est identique au 2^ème vecteur de base cylindro-polaire.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : comme la base orthonormée cylindro-polaire <math>\;(\vec{u}_z,\, \vec{u}_\rho)\;</math> du demi-plan méridien orienté par <math>\;\vec{u}_\varphi</math>, la base orthonormée sphérique <math>\;(\vec{u}_r,\, \vec{u}_\theta)\;</math> de ce même demi-plan méridien orienté par <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> permet d'exprimer tout vecteur du demi-plan méridien, à la différence près que ces vecteurs de base sphérique dépendent de la colatitude <math>\;\theta\;</math> du point alors que les vecteurs de base cylindro-polaire sont constants pour un demi-plan méridien fixé. === Composantes sphériques du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur position du point <math>\;M\;</math> s'écrit dans la base sphérique liée à <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{OM} = r\; \vec{u}_r\;</math>»<ref> Le vecteur position dépend explicitement de <math>\;r\;</math> et implicitement de <math>\;\left( \theta,\,\varphi \right)\;</math> par l'intermédiaire de <math>\;\vec{u}_r</math>.</ref>. === Interprétation géographique du repérage sphérique de pôle et d'axe fixés === {{Al|5}}Pour un « repérage sphérique de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math>», l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> est identifié à l'axe « pôle Sud <math>-</math> pôle Nord » de la Terre, * «<math>\;r\;</math> est l'altitude augmentée du rayon de la Terre », «<math>\;\vec{u}_r\;</math> le vecteur unitaire vertical ascendant », * «<math>\;\theta\;</math> la colatitude »<ref> En géographie on utilise préférentiellement la « latitude notée <math>\;\lambda\;</math>» pour repérer le point dans un demi-plan méridien à partir du « point d'intersection <math>\;E\;</math> de ce demi-plan avec le plan de l'équateur » ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En géographie }}« la latitude est orientée en sens inverse de la colatitude » c.-à-d. « comptée positivement du pôle Sud vers le pôle Nord », elle est définie selon «<math>\;\lambda = \widehat{(\overrightarrow{OE}\, {,}\, \overrightarrow{OM})}\;</math>», nulle quand <math>\;M\;</math> est sur l'équateur, valant <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> au pôle Nord et <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> au pôle Sud ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En géographie }}son lien avec la colatitude est «<math>\;\theta = \dfrac{\pi}{2} - \lambda\;</math>» donnant effectivement une valeur nulle au pôle Nord, <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> à l'équateur et <math>\;\pi\;</math> au pôle Sud.</ref>, «<math>\;\vec{u}_\theta\;</math> le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud », * «<math>\;\varphi\;</math> la longitude » et «<math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est ». === Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire (ou cylindrique) === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Lien_entre_repérages_sphérique_et_cylindro-polaire_d'un_point|lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez jamais revenir au repérage cylindro-polaire quand vous êtes en repérage sphérique car, si vous avez choisi ce dernier <math>\;\big(</math>ou s'il vous a été imposé<math>\big)</math>, c'est parce qu'il simplifie l'étude <math>\;\ldots</math> === Lien entre repérages sphérique et cartésien === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Lien_entre_repérages_sphérique_et_cartésien_d'un_point|lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez en aucun cas revenir au repérage cartésien quand vous êtes en repérage sphérique car, si vous avez choisi ce dernier <math>\;\big(</math>ou s'il vous a été imposé<math>\big)</math>, c'est parce qu'il simplifie énormément l'étude <math>\;\ldots</math> == Composantes cartésiennes du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude == === Composantes cartésiennes du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur position s'exprimant en repérage cartésien sous la forme «<math>\;\overrightarrow{OM} = x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y + z\;\vec{u}_z\;</math>» a pour « composantes cartésiennes <math>\;\left( x,\,y,\,z \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur position s'exprimant en repérage cartésien sous la forme «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM} = x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y + z\;\vec{u}_z}\;</math>» a pour }}<math>\;\big[</math>s'identifiant aux coordonnées cartésiennes de <math>\;M\big]</math> ; {{Al|5}}le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'« équation horaire vectorielle paramétrique <math>\;\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM}(t)\;</math>» l'est, de façon équivalente, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement du point défini de façon intrinsèque }}par la donnée des « <u>trois équations horaires scalaires paramétriques</u> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = x(t)\\ y = y(t)\\ z = z(t) \end{array}\right\rbrace\;</math>» lesquelles sont encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée }}les « trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> du point <math>\;M\;</math>» ; {{Al|5}}pour déterminer les « deux équations cartésiennes scalaires de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math>» <ref> On rappelle qu'une équation cartésienne scalaire est l'équation d'une surface, il faut donc deux équations cartésiennes pour définir une courbe, celle-ci étant l'intersection de deux surfaces.</ref> il convient d'éliminer le paramètre <math>\;t\;</math> entre ces trois équations <math>\;\ldots\;</math> [[File:Parabole - perspective bis.jpg|thumb|right|400px|Tracé des deux surfaces <math>\;\big(</math>un plan et un [[w:Cylindre_parabolique|cylindre parabolique]] de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] coupant le plan<math>\big)\;</math> dont la [[w:Parabole|parabole]] est l'intersection]] {{Al|5}}Voir l'exemple «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x = \dfrac{t}{2}\\y = t^2 - 1\\z = 2\, t + 1 \end{array}\right\rbrace\;</math>» traité dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_paramétrique_d'une_courbe|repérage paramétrique d'une courbe]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans lequel on établit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir l'exemple }}«<math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math>» étant l'intersection <math>\succ\;</math>d'un « [[w:Cylindre_parabolique|cylindre parabolique]] <math>\;y = 4\,x^2 - 1\;</math> de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;Oz\;</math>»<ref> En effet toute équation cartésienne [[w:Fonction_implicite|implicite]] <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> d'un espace à trois dimensions dans laquelle <math>\;z\;</math> n'apparaît pas est un [[w:Cylindre|cylindre]] de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;(Oz)</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] de ce [[w:Cylindre|cylindre]] <math>\;\big\{</math>la [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] étant la courbe d'un plan <math>\;\nparallel\;</math> à la direction des [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] par laquelle passent toutes les [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] pour engendrer le [[w:Cylindre|cylindre]]<math>\big\}\;</math> étant une [[w:Parabole|parabole]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Équation_cartésienne|équation cartésienne]] (d'une parabole de sommet O et d'axe Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » en réécrivant l'équation <math>\;y + 1 =</math> <math>4\;x^2</math>, montrant que le sommet est déplacé en <math>\;A\, \left( 0\,,\,-1 \right)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir l'exemple «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}\;</math>» étant l'intersection }}<math>\succ\;</math>d'un « plan <math>\;z = 4\,x + 1\;</math> <math>\parallel\;</math> à l'axe <math>\;Oy\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir l'exemple «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}\;</math>» }}est une « [[w:Parabole|parabole]] » <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>. === Composantes cartésiennes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}La définition intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\;</math>» et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur vitesse en dérivant par rapport à <math>\;t\;</math> l'équation horaire vectorielle de <math>\;M\;</math> «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = x(t)\;\vec{u}_x + y(t)\;\vec{u}_y + z(t)\;\vec{u}_z\;</math>» et en utilisant la linéarité de l'opération dérivation temporelle, soit <br>{{Al|5}}«<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{x}(t)\;\vec{u}_x + \dot{y}(t)\;\vec{u}_y + \dot{z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>», les « composantes cartésiennes de <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_x = \dot{x}(t)\\V_y = \dot{y}(t)\\V_z = \dot{z}(t)\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t) = \dot{x}(t)\;\vec{u}_x + \dot{y}(t)\;\vec{u}_y + \dot{z}(t)\;\vec{u}_z}\;</math>», }}la « norme du vecteur vitesse se calculant selon <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{V_x^2(t) + V_y^2(t) + V_z^2(t)}\;</math> et s'exprime en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemple</u> : mouvement du point <math>\;M\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x = \dfrac{t}{2}\\y = t^2 - 1\\z = 2\, t + 1 \end{array}\right\rbrace\;</math>», le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> a pour « composantes cartésiennes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_x = \dfrac{1}{2}\\V_y = 2\,t\\V_z = 2\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|46}}{{Transparent|Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires }}sa norme valant «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{\dfrac{1}{4} + 4\,t^2 + 4} = \sqrt{\dfrac{17}{4} + 4\,t^2}\;</math>». === Composantes cartésiennes du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}La définition intrinsèque du vecteur accélération de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math>» et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur accélération en dérivant «<math>\;\vec{V}_M(t) = V_x(t)\;\vec{u}_x + V_y(t)\;\vec{u}_y + V_z(t)\;\vec{u}_z\;</math>» par rapport à <math>\;t\;</math> et en utilisant la linéarité de l'opération dérivation temporelle, soit <center>«<math>\;\vec{a}_M(t) = \dot{V}_x(t)\;\vec{u}_x + \dot{V}_y(t)\;\vec{u}_y + \dot{V}_z(t)\;\vec{u}_z = \ddot{x}(t)\;\vec{u}_x + \ddot{y}(t)\;\vec{u}_y + \ddot{z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>», <br>les « composantes cartésiennes de <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a_x = \dot{V}_x(t) = \ddot{x}(t)\\a_y = \dot{V}_y(t) = \ddot{y}(t)\\a_z = \dot{V}_z(t) = \ddot{z}(t)\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>la « norme du vecteur accélération se calculant selon <math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = \sqrt{a_x^2(t) + a_y^2(t) + a_z^2(t)}\;</math> et s'exprimant en <math>\;m \cdot s^{-2}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Exemple</u> : mouvement du point <math>\;M\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x = \dfrac{t}{2}\\y = t^2 - 1\\z = 2\, t + 1 \end{array}\right\rbrace\;</math>», le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> a pour « composantes cartésiennes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a_x = 0\\a_y = 2\\a_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|46}}{{Transparent|Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires }}il est donc constant, <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oy</math>, et sa norme vaut «<math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = 2\;</math>». == Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude == === Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur position s'exprimant en repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)\;</math> d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> sous la forme «<math>\;\overrightarrow{OM} = \rho\; \vec{u}_\rho + z\; \vec{u}_z\;</math>»<ref name="dépendance cylindro-polaire du vecteur position" /> a pour « composantes cylindro-polaires <math>\;\left( \rho,\,0,\,z \right)\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le vecteur position s'exprimant en repérage cylindro-polaire <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou cylindrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> d'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}\;</math> sous la forme «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM} = \rho\; \vec{u}_\rho + z\; \vec{u}_z}\;</math>» a pour }}<math>\big[\neq\;</math>des « coordonnées cylindro-polaires <math>\;\left( \rho,\,\theta,\,z \right)\;</math>» de <math>\;M\big]</math> ; {{Al|5}}le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'« équation horaire vectorielle paramétrique <math>\;\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM}(t)\;</math>» l'est, de façon équivalente, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement du point défini de façon intrinsèque }}par la donnée des « <u>trois équations horaires scalaires paramétriques</u><math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \rho = \rho(t)\\ \theta = \theta(t)\\ z = z(t) \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Il s'agit donc des coordonnées cylindro-polaires de <math>\;M\;</math> exprimées en fonction du paramètre <math>\;t\;</math> et non des composantes cylindro-polaires de <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> en fonction du paramètre <math>\;t\;</math> qui ne fournirait pas la dépendance de <math>\;\theta(t)</math>.</ref> lesquelles sont encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée }}les « trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> du point <math>\;M\;</math>» ; {{Al|5}}pour déterminer les « deux équations cylindro-polaires scalaires de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math>» <ref> Une équation scalaire cylindro-polaire est l'équation d'une surface par exemple <br>{{Al|3}}<math>\;\rho = R\;</math> est l'équation du tuyau cylindrique de révolution d'axe <math>\;Oz\;</math> de rayon <math>\;R</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\theta = \alpha\;</math> est l'équation du demi-plan méridien repéré par l'abscisse angulaire constante <math>\;\alpha</math>, <br>{{Al|3}}pour obtenir une courbe il faut deux équations scalaires cylindro-polaires par exemple <math>\;\left\lbrace \rho = R\,,\, \theta = \alpha \right\rbrace\;</math> est l'équation de la droite parallèle à <math>\;Oz\;</math> passant par le point du plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de coordonnées radiale et angulaire respectives <math>\;R\;</math> et <math>\;\alpha</math>.</ref> il convient d'éliminer le paramètre <math>\;t\;</math> entre ces trois équations <math>\;\ldots\;</math> [[File:Hélice circulaire droite - perspective.jpg|thumb|right|400px|[[w:Hélice#Hélice_circulaire|Hélice circulaire]] droite caractérisée comme intersection d'un [[w:Cylindre_de_révolution|cylindre de révolution]] et d'une "nappe en colimaçon" - ensemble de demi-droites <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;xOy\;</math> issues d'un point de l'axe <math>\;z'z\;</math> de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire <math>\;\big(</math>la cote étant fonction de cette dernière<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Exemple : soit le mouvement d'un point <math>\;M\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires cylindro-polaires «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\rho = R\\\theta = \omega\;t\\z = v\; t\end{array}\right\rbrace\;</math>» lesquelles sont aussi les trois équations scalaires cylindro-polaires paramétriques de la trajectoire <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> du point <math>\;M</math>, nous nous proposons de déterminer la nature de la trajectoire en établissant ses deux équations cylindro-polaires ; {{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}une 1^ère équation sans calcul «<math>\;\rho = R\;</math> équation cylindro-polaire d'un tuyau cylindrique d'axe <math>\;Oz\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}une 2^ème équation s'obtient en éliminant <math>\;t\;</math> entre les deux dernières équations paramétriques soit <math>\;t = \dfrac{\theta}{\omega}\;</math> que l'on reporte dans <math>\;z = v\;t\;</math> donnant «<math>\;z = \dfrac{v}{\omega}\;\theta\;</math> équation cylindro-polaire d'une nappe en colimaçon »<ref> En fait la surface d'équation «<math>\;z \propto \theta,\; \forall\; \rho\;</math>» n'a pas de nom mathématique <math>\;\big(</math>c'est donc une appellation personnelle<math>\big)</math>, elle est constituée de demi-droites <math>\;\perp\;</math> à <math>\;z'z</math>, dans la direction <math>\;\theta\;</math> et issues du point de l'axe <math>\;z'z</math> de côte <math>\;z \propto \theta\;</math> c.-à-d. d'autant plus grande que <math>\;\theta\;</math> l'est.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}la trajectoire <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> étant d'équations cylindro-polaires «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}\rho = R\\z = h\;\dfrac{\theta}{2\;\pi} \end{array}\right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;h = 2\;\pi\;\dfrac{v}{\omega}\;</math> constante » c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : la trajectoire <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}\;</math> étant }}l'intersection d'un tuyau cylindrique d'axe <math>\;Oz\;</math> et d'une « nappe en colimaçon » <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : la trajectoire <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}\;</math> }}est une [[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] « droite »<ref> Elle est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec <math>\;z \propto \theta\;</math> <math>\big[</math>si on « développe » le tuyau cylindrique de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, l'[[w:Hélice|hélice]] devient une droite de pente égale au cœfficient de proportionnalité entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\big]</math>, <br>{{Al|3}}elle est qualifiée de « dextre » ou « droite » si le cœfficient de proportionnalité entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\;</math> est positif, ce qui correspond au fait qu'elle « monte » dans le sens trigonométrique, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant, « monter de gauche à droite » ; <br>{{Al|3}}elle serait qualifiée de « senestre » ou « gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\;</math> était négatif, elle « monterait » dans le sens trigonométrique indirect ou rétrograde <math>\;\big(</math>ou encore dans le sens horaire<math>\big)</math>.</ref> dont la constante <math>\;\vert h \vert\;</math> définit le « pas de l'[[w:Hélice|hélice]] »<ref> C.-à-d. la valeur absolue de la différence de cotes pour une augmentation d'abscisse angulaire de <math>\;2\;\pi</math>.</ref>. === Repérage polaire de M_xy, base polaire qui lui est liée, dérivée de ses vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy repéré dans le référentiel d'étude === ==== Notion de repérage polaire de M_xy, base polaire liée à M_xy ==== {{Al|5}}Le « repérage de <math>\;M_{xy}</math>, projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math>», utilisant les « coordonnées partielles <math>\;\left( \rho,\,\theta \right)\;</math>» des coordonnées cylindro-polaires <math>\;\big(</math>ou cylindriques<math>\big)</math> <math>\;\left( \rho,\,\theta,\,z \right)\;</math> de <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « repérage de <math>\;\color{transparent}{M_{xy}}</math>, }}est appelé « <u>repérage polaire</u> de <math>\;M_{xy}\;</math>», <br>{{Al|5}}la « base partielle <math>\;\left( \vec{u}_\rho,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» de la base cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)</math> <math>\;\left( \vec{u}_\rho,\,\vec{u}_\theta,\,\vec{u}_z \right)\;</math> liée à <math>\;M\;</math> définit la « <u>base polaire</u> liée à <math>\;M_{xy}\;</math>». ==== Dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy repéré dans le référentiel d'étude ==== {{Al|5}}Les « vecteurs de base polaires <math>\;\left\lbrace \vec{u}_\rho,\, \vec{u}_\theta \right\rbrace\;</math> de <math>\;M_{xy}\;\left( \rho,\,\theta \right)\;</math>» dépendant de l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de <math>\;M_{xy}\;</math>, leur dérivée par rapport à cette dernière est a priori non nulle ; {{Al|5}}pour évaluer chacune d'elle on utilise leur décomposition dans la base cartésienne <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x,\, \vec{u}_y \right\rbrace\;</math> du plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r}\vec{u}_\rho \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\; \vec{u}_x \!\!&+&\!\! \sin(\theta)\; \vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta \!\!&=&\!\! \cos\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\, \vec{u}_x \!\!&+&\!\! \sin\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\, \vec{u}_y\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> On écrit <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> sous cette forme car il est directement <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_\rho</math>.</ref>, {{Al|5}}leur dérivée par rapport à <math>\;\theta\;</math> donnant, compte-tenu du fait que les vecteurs de base cartésiennes sont constants d'une part et <br>{{Al|5}}{{Transparent|leur dérivée par rapport à <math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> donnant, compte-tenu du fait }}que la dérivée d'un <math>\;\sin()\;</math> ou d'un <math>\;\cos()\;</math> par rapport à son argument s'obtient en ajoutant <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> à l'argument<ref> En effet <math>\;y(x) = \sin(x) \Rightarrow y'(x) = \cos(x) = \sin\! \left( x + \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math> et <math>\;y(x) = \cos(x) \Rightarrow y'(x) = -\sin(x) = \cos\! \left( x + \dfrac{\pi}{2} \right)</math>.</ref> d'autre part, <br>{{Al|5}}{{Transparent|leur dérivée par rapport à <math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> donnant, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r c r}\dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta} \!\!&=&\!\! \cos\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\, \vec{u}_x \!\!&+&\!\! \sin\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\, \vec{u}_y \!\!&=&\!\! \vec{u}_\theta\\ \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta} \!\!&=&\!\! \cos\! \left( \theta + \pi \right)\, \vec{u}_x \!\!&+&\!\! \sin\! \left( \theta + \pi \right)\, \vec{u}_y \!\!&=&\!\! -\vec{u}_\rho\end{array}\right\rbrace\;</math>». {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> dérivées des vecteurs de base <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> et <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> par rapport à <math>\;\theta</math> : |contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \vec{u}_\rho \right]}{d \theta} = \vec{u}_\theta\;</math>»{{Al|10}}et{{Al|10}}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \vec{u}_\theta \right]}{d \theta} = -\vec{u}_\rho\;</math>» ;</div> {{Al|5}}quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur initial, ainsi <br>{{Al|10}}<math>\succ\;</math>dérivant <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> par rapport à l'angle <math>\;\theta\;</math> qu'il fait avec <math>\;\vec{u}_x</math>, on obtient <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> se déduisant de <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}</math>, <br>{{Al|10}}<math>\succ\;</math>dérivant <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> par rapport à l'angle <math>\;\theta\;</math> qu'il fait avec <math>\;\vec{u}_y</math>, on obtient <math>\;-\vec{u}_\rho\;</math> se déduisant de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}</math> ; <br>{{Al|5}}on peut encore écrire <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> le vecteur unitaire <math>\;\perp\;</math> au plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> et orientant les angles de ce dernier<math>\big]</math> <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \vec{u}_\rho \right]}{d \theta} = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_\rho = \vec{u}_\theta\;</math>»{{Al|10}}et{{Al|10}}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \vec{u}_\theta \right]}{d \theta} = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_\theta = -\vec{u}_\rho\;</math>».</div>}} === Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}La définition intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\;</math>» et les « vecteurs de base cylindro-polaires<ref name="sauf le dernier"> À l'exception du dernier <math>\;\vec{u}_z\;</math> constant.</ref> dépendant de <math>\;\theta\;</math> fonction de <math>\;t\;</math>», on trouve les composantes cylindro-polaires <math>\;\big(</math>ou cylindriques<math>\big)</math> du vecteur vitesse en dérivant « <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \rho(t)\;\vec{u}_\rho(t) + z(t)\;\vec{u}_z\;</math>» par rapport à <math>\;t</math>, avec «<math>\;\dfrac{d\! \left[ f\;\vec{A} \right]}{dt}(t) = \dot{f}(t)\;\vec{A}(t) + f(t)\;\dot{\vec{A}}(t)\;</math>»<ref name="dérivée d'un produit de fonctions scalaire et vectorielle"> Généralisation de la dérivation de produit de fonctions scalaires.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}«<math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t) = \dfrac{d \rho}{dt}(t)\;\vec{u}_\rho(t) + \rho(t)\;\dfrac{d \vec{u}_\rho}{dt}(t) + \dfrac{dz}{dt}(t)\;\vec{u}_z\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}on évalue <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho}{dt}(t)\;</math> en utilisant la formule de dérivation de fonction composée appliquée à <math>\;\vec{u}_\rho\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}«<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho}{dt}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta}\! \left[ \theta(t) \right]\;\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>»<ref> En effet la dérivation <math>\;\big[</math>dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\big]\;</math> du vecteur de base polaire <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> par rapport à l'angle <math>\;\theta\;</math> qu'il fait avec la direction fixe <math>\;\vec{u}_x\;</math> étant équivalente à une rotation d'un angle de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> en restant dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> conduit à <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Dérivée_des_vecteurs_de_base_polaires_relativement_à_l'abscisse_angulaire_de_Mxy_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy repéré dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> d'où finalement l'expression du vecteur vitesse en repérage cylindro-polaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}«<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{\rho}(t)\;\vec{u}_\rho + \rho(t)\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>»<ref name="omission partielle de la dépendance en t"> Pour simplifier nous n'avons pas rappelé que les vecteurs de base polaires <math>\;\big(</math>ou sphériques<math>\big)\;</math> dépendent eux aussi de <math>\;t</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}les « composantes cylindro-polaires de <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l c r} \text{vitesse radiale}\; &V_\rho \!\!&=&\!\! \dot{\rho}(t)\\\text{vitesse orthoradiale}\; &V_\theta \!\!&=&\!\! \rho(t)\;\dot{\theta}(t)\\\text{vitesse axiale}\; &V_z \!\!&=&\!\! \dot{z}(t)\\\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> À connaître sans hésiter <math>\;\big[</math>chaque composante <math>\;\left( V_\rho,\;V_\theta,\;V_z \right)\;</math> devant être homogène à une vitesse linéaire et faisant intervenir respectivement la dérivée temporelle de la grandeur scalaire associée à la composante de la vitesse à savoir <math>\;\left( \dot{\rho},\;\dot{\theta},\;\dot{z} \right)</math>, seule la 2^ème n'a pas la bonne homogénéité, il lui manque une longueur et c'est <math>\;\rho\big]\;</math> et évidemment à savoir aussi redémontrer.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}la norme du vecteur vitesse se calculant selon «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{V_\rho^2(t) + V_\theta^2(t) + V_z^2(t)}\;</math> et s'exprimant en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemple</u> : mouvement de <math>\;M\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\rho = R\\\theta = \omega\;t\\z = v\;t \end{array}\right\rbrace\;</math>» qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme », <br>{{Al|35}}{{Transparent|Exemple : mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques }}le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> a pour « composantes cylindriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_\rho = 0\\V_\theta = R\;\omega\\V_z = v\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> L'[[w:Hélice|hélice]] étant tracée sur le tuyau cylindrique de rayon <math>\;R\;</math> et le vecteur vitesse étant tangent à l'[[w:Hélice|hélice]], il n'a pas de composante radiale car il est tangent au tuyau cylindrique.</ref>, <br>{{Al|35}}{{Transparent|Exemple : mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques }}sa norme valant «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{R^2\;\omega^2 + v^2}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|35}}{{Transparent|Exemple : mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques }}en introduisant le pas <math>\;\vert h \vert\;</math> de l'[[w:Hélice|hélice]], «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \vert \omega \vert\;\sqrt{R^2 + \dfrac{h^2}{4\,\pi^2}}\;</math>»<ref> L'introduction de la grandeur «<math>\;h = 2\,\pi\;\dfrac{v}{\omega}\;</math>» dont la valeur absolue est le pas de l'[[w:Hélice|hélice]] conduisant à «<math>\;v = \dfrac{h}{2\,\pi}\;\omega\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref>. === Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}La définition intrinsèque du vecteur accélération de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math>» et les vecteurs de base cylindro-polaires<ref name="sauf le dernier" /> dépendant de <math>\;\theta\;</math> qui est fonction de <math>\;t</math>, on trouve les composantes cylindro-polaires <math>\;\big(</math>ou cylindriques<math>\big)</math> du vecteur accélération en dérivant «<math>\;\vec{V}_M(t) = V_\rho(t)\,\vec{u}_\rho(t) + V_\theta(t)\,\vec{u}_\theta(t) + V_z(t)\,\vec{u}_z = \dot{\rho}(t)\,\vec{u}_\rho(t) + \rho(t)\,\dot{\theta}(t)\,\vec{u}_\theta(t) + V_z(t)\,\vec{u}_z\;</math>» par rapport à <math>\;t\;</math> en utilisant {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d\! \left[ f\;\vec{A} \right]}{dt}(t)</math>}} <math>= \dot{f}(t)\;\vec{A}(t) + f(t)\;\dot{\vec{A}}(t)\;</math>»<ref name="dérivée d'un produit de fonctions scalaire et vectorielle" /> ce qui nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur accélération de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}«<math>\;\vec{a}_M(t) = \ddot{\rho}(t)\,\vec{u}_\rho(t) + \dot{\rho}(t)\,\dfrac{d \vec{u}_\rho}{dt}(t) + \dot{\rho}(t)\,\dot{\theta}(t)\,\vec{u}_\theta(t) + \rho(t)\,\ddot{\theta}(t)\,\vec{u}_\theta(t) + \rho(t)\,\dot{\theta}(t)\,\dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}(t) + \ddot{z}(t)\,\vec{u}_z\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur accélération de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}on évalue <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}(t)\;</math> en utilisant la formule de dérivation de fonction composée appliquée à <math>\;\vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur accélération de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}«<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}\! \left[ \theta(t) \right]\;\dfrac{d \theta}{dt}(t) = -\vec{u}_\rho\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>»<ref> En effet la dérivation <math>\;\big[</math>dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\big]\;</math> du vecteur de base polaire <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> par rapport à l'angle <math>\;\theta\;</math> qu'il fait avec la direction fixe <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant équivalente à une rotation d'un angle de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> en restant dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> conduit à <math>\;-\vec{u}_\rho\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Dérivée_des_vecteurs_de_base_polaires_relativement_à_l'abscisse_angulaire_de_Mxy_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy repéré dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref>, <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho}{dt}(t)\;</math> évaluée précédemment valant «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho}{dt}\! \left[ \theta(t) \right] = \vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur accélération de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}d'où une 1^ère expression du vecteur accélération en repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>nécessitant un regroupement de termes<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur accélération de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}«<math>\;\vec{a}_M(t) = \ddot{\rho}(t)\,\vec{u}_\rho(t) + \dot{\rho}(t)\,\vec{u}_\theta(t)\,\dot{\theta}(t) + \dot{\rho}(t)\,\dot{\theta}(t)\,\vec{u}_\theta(t) + \rho(t)\,\ddot{\theta}(t)\,\vec{u}_\theta(t) - \rho(t)\,\dot{\theta}(t)\,\vec{u}_\rho(t)\,\dot{\theta}(t) + \ddot{z}(t)\,\vec{u}_z\;</math>», ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur accélération de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}en regroupant les termes ayant même vecteur de base polaire, l'expression finale du vecteur accélération en repérage cylindro-polaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur accélération de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}«<math>\;\vec{a}_M(t) = \left[ \ddot{\rho}(t) - \rho(t)\,\dot{\theta}^2\!(t) \right] \,\vec{u}_\rho + \left[ \rho(t)\,\ddot{\theta}(t) + 2\,\dot{\rho}(t)\,\dot{\theta}(t) \right]\,\vec{u}_\theta + \ddot{z}(t)\,\vec{u}_z\;</math>»<ref name="omission partielle de la dépendance en t" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur accélération de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}les « composantes cylindro-polaires de <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l c r c r} \text{accélération radiale}\; &a_\rho \!\!&=&\!\! \ddot{\rho}(t) \!\!&-&\!\! \rho(t)\,\dot{\theta}^2\!(t)\\\text{accélération orthoradiale}\; &a_\theta \!\!&=&\!\! \rho(t)\,\ddot{\theta}(t) \!\!&+&\!\! 2\,\dot{\rho}(t)\,\dot{\theta}(t)\\\text{accélération axiale}\; &a_z \!\!&=&\!\! \ddot{z}(t) \!\!& &\!\! \\\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> À connaître sans hésiter <math>\;\big(</math>en utilisant les moyens mnémotechniques exposés ci-après<math>\big)\;</math> et évidemment à savoir aussi redémontrer ; <br>{{Al|3}}chaque composante <math>\;\left( a_\rho,\;a_\theta,\;a_z \right)\;</math> homogène à une accélération linéaire contient au moins un terme faisant intervenir la dérivée temporelle seconde de la grandeur scalaire associée à la composante de l'accélération à savoir <math>\;\left( \ddot{\rho},\;\ddot{\theta},\;\ddot{z} \right)\;</math> ce qui satisfait à l'homogénéité sauf pour la 2^ème, laquelle doit être multipliée par une longueur pour avoir la bonne homogénéité, cette longueur étant <math>\;\rho</math> ; <br>{{Al|3}}à l'exception de la 3^ème composante où l'accélération axiale est la dérivée temporelle de la vitesse axiale <math>\;a_z(t) = \dfrac{dV_z}{dt}(t)</math>, l'accélération radiale <math>\;\big(</math>respectivement orthoradiale<math>\big)\;</math> n'est en général pas la dérivée temporelle de la vitesse radiale <math>\;\big(</math>respectivement orthoradiale<math>\big)\;</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} a_\rho(t) \neq \dfrac{dV_\rho}{dt}(t)\\a_\theta(t) \neq \dfrac{dV_\theta}{dt}(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> sauf cas particuliers ;<br>{{Al|3}}dans chacune des deux 1^ères composantes il y a un terme additif à <math>\;\left[ \ddot{\rho}(t),\;\rho(t)\;\ddot{\theta}(t) \right]\;</math> <math>\big\{</math>lesquels sont respectivement nuls, le 1^er dans un mouvement circulaire et le 2^nd dans un mouvement {{Nobr|uniforme<math>\big\}\;</math>}} pour obtenir <math>\;\left[ a_\rho(t),\;a_\theta(t) \right]</math> : <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>dans la 1^ère <math>\;a_\rho(t)</math>, ce terme <math>\;\big[</math>le seul restant dans un mouvement circulaire où <math>\;\rho = cste\big]</math>, dépend du carré de la vitesse angulaire multiplié par <math>\;\rho\;</math> de façon à justifier l'homogénéité et précédé d'un signe <math>\;-</math> <math>\big(\!\Rightarrow\;</math>dans un mouvement circulaire la composante radiale est centripète<math>\big)</math>, le 1^er terme <math>\;\ddot{\rho}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de la vitesse radiale <math>\;V_\rho(t) = \dot{\rho}(t)\;</math> nous pouvons écrire l'accélération radiale selon «<math>\;a_\rho(t) = \dfrac{dV_\rho}{dt}(t) - \rho(t)\;\dot{\theta}^2\!(t)</math>» ;<br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>dans la 2^ème <math>\;a_\theta(t)</math>, ce terme <math>\;\big[</math>le seul restant dans un mouvement uniforme où <math>\;\dot{\theta} = cste\big]</math>, dépend de la vitesse radiale <math>\;\dot{\rho}(t)\;</math> multipliée par la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> de façon à justifier l'homogénéité et précédé d'un facteur <math>\;2\;</math> <math>\big(</math>pour lequel il n'y a pas de moyen mnémotechnique pour le retenir<math>\big)</math>, on peut aussi remarquer que la vitesse orthoradiale étant <math>\;V_\theta(t) = \rho(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> et sa dérivée temporelle <math>\;\dfrac{d V_\theta}{dt}(t) = \rho(t)\;\ddot{\theta}(t) + \dot{\rho}(t)\;\dot{\theta}(t)</math>, l'accélération orthoradiale peut se réécrire selon «<math>\;a_\theta(t) = \dfrac{d V_\theta}{dt}(t) + \dot{\rho}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>», « le terme additif à ajouter à <math>\;\rho(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math> pour obtenir <math>\;a_\theta(t)\;</math> est le double du terme à ajouter à la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale <math>\;\dfrac{d V_\theta}{dt}(t)\;</math> pour obtenir le même <math>\;a_\theta(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|La définition intrinsèque du vecteur accélération de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant }}la norme du vecteur accélération se calculant selon «<math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = \sqrt{a_\rho^2(t) + a_\theta^2(t) + a_z^2(t)}\;</math> et s'exprimant en <math>\;m \cdot s^{-2}\;</math>». {{Al|5}}<u>Autre forme de l'accélération orthoradiale</u> <math>\;\big(</math>forme « semi-intégrée »<ref> C'est une appellation « personnelle » fondée sur le fait que cette forme étant <math>\;\propto\;</math> à la dérivée temporelle d'une fonction du temps permet d'intégrer facilement <math>\;a_\theta(t) = 0\;\ldots</math></ref><math>\big)</math> : à partir de «<math>\;a_\theta(t) = \rho(t)\,\ddot{\theta}(t) + 2\,\dot{\rho}(t)\,\dot{\theta}(t)\;</math>» on met «<math>\;\dfrac{1}{\rho(t)}\;</math> en facteur »<ref> Ce qui suppose que <math>\;\rho(t) \neq 0</math>.</ref> de façon à pouvoir reconnaître, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre forme de l'accélération orthoradiale <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>forme « semi-intégrée »<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}dans le facteur restant, la dérivée temporelle d'une fonction du temps soit «<math>\;a_\theta(t) = \dfrac{1}{\rho(t)} \left[ \rho^2\!(t)\,\ddot{\theta}(t) + 2\,\rho(t)\;\dot{\rho}(t)\,\dot{\theta}(t) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre forme de l'accélération orthoradiale <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>forme « semi-intégrée »<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}dans laquelle on vérifie que le facteur entre crochets «<math>\;\rho^2\!(t)\,\ddot{\theta}(t) + 2\,\rho(t)\;\dot{\rho}(t)\,\dot{\theta}(t)\;</math> est égal à <math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho^2\,\dot{\theta} \right]}{dt}(t)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre forme de l'accélération orthoradiale <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>forme « semi-intégrée »<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}la forme « <u>semi-intégrée</u> » de l'<u>accélération orthoradiale</u> «<math>\;a_\theta(t) = \dfrac{1}{\rho(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho^2\,\dot{\theta} \right]}{dt}(t)\;</math>»<ref> Applicable si <math>\;\rho(t) \neq 0</math>.</ref>{{,}}<ref> On retient « un 1^er facteur <math>\;\dfrac{1}{\rho}\;</math>» donc en <math>\;m^{-1}</math>, « le 2^nd facteur étant une dérivée par rapport à <math>\;t\;</math> d'une grandeur devant, pour des raisons d'homogénéité, être exprimée en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math>» c.-à-d. homogène à une vitesse aréolaire <math>\;\dfrac{\text{aire}}{\text{temps}}\;</math> <math>\big(</math>la dérivation temporelle donnant des <math>\;m^2 \cdot s^{-2}\;</math> et la division par <math>\;\rho\;</math> des <math>\;m \cdot s^{-2}\;</math> effectivement homogène à une accélération<math>\big)</math>, « la grandeur que l'on dérive dépendant du rayon et de la vitesse angulaire et devant être en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big(</math>homogène une vitesse aréolaire<math>\big)\;</math>» ne peut être que le « produit du carré du rayon <math>\;\rho\;</math>» <math>\big(</math>seul facteur apportant des <math>\;m\big)\;</math> « et de la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}\;</math>» <math>\;\big(</math>seul facteur apportant des <math>\;s^{-1}\big)\;</math> d'où « la grandeur à dériver <math>\;\rho^2\;\dot{\theta}\;</math>» et le « 2^nd facteur <math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho^2\;\dot{\theta} \right]}{dt}\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Exemple</u> : mouvement de <math>\;M\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\rho = R\\\theta = \omega\;t\\z = v\;t \end{array}\right\rbrace\;</math>» qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme », <br>{{Al|35}}{{Transparent|Exemple : mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques }}le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> a pour « composantes cylindriques <br>{{Al|35}}{{Transparent|Exemple : mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques le vecteur accélération }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r c r} a_\rho \!\!&=&\!\! \cancel{\ddot{\rho}(t)} \!\!&-&\!\! \rho^2\!(t)\;\dot{\theta}(t) \!\!&=&\!\! -R\;\omega^2 \\a_\theta \!\!&=&\!\! \cancel{\rho(t)\;\ddot{\theta}(t)} \!\!&+&\!\! \cancel{2\;\dot{\rho}(t)\;\dot{\theta}(t)} \!\!&=&\!\! 0 \\a_z \!\!&=&\!\! \cancel{\ddot{z}(t)} \!\!& &\!\! \!\!&=&\!\! 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> L'[[w:Hélice|hélice]] étant tracée sur le tuyau cylindrique de rayon <math>\;R\;</math> et le mouvement étant uniforme <math>\;\big[\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{R^2\;\omega^2 + v^2} = cste\big]</math>, il n'y a qu'une composante radiale de l'accélération laquelle, étant toujours dirigée vers l'axe <math>\;\left( z'z \right)</math>, pourrait être qualifiée de « axipète » <math>\;\big(</math>appellation « personnelle » traduisant un vecteur de support coupant un axe fixe et de sens toujours dirigé vers ce dernier, appellation construite sur « centripète » traduisant un vecteur de support passant par un point fixe et de sens toujours dirigé vers ce dernier<math>\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|35}}{{Transparent|Exemple : mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques }}sa norme valant «<math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = R\;\omega^2\;</math>»<ref> Elle dépend du rayon du tuyau cylindrique sur laquelle est tracée l'[[w:Hélice|hélice]], de la vitesse angulaire de rotation sur ce tuyau, et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Elle }}ne dépend pas de la vitesse de translation parallèlement à l'axe du tuyau et par conséquent ne dépend pas non plus du pas de l'[[w:Hélice|hélice]].</ref>. == Détermination géométrique des composantes cartésiennes et cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse == === Rappel de la notion de déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe ainsi que du lien entre vecteur déplacement élémentaire et vecteur vitesse === {{Al|5}}La notion de vecteur déplacement élémentaire a déjà été introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Définition_intrinsèque|définition intrinsèque]] du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point <math>\;M\;</math>» du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La notion de vecteur déplacement élémentaire }}a été identifiée à celle du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_intrinsèque_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue|définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » : <center>«<math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> est la différentielle du vecteur position <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> du point <math>\;M\;</math> décrivant la courbe soit <math>\;\overrightarrow{dM} = d\! \left[ \overrightarrow{OM} \right]\;</math>»<ref> Ce vecteur est unique à condition que <math>\;M\;</math> ne soit pas un [[w:Tangente (géométrie)#Demi-tangentes|point anguleux]] de la courbe.</ref> ; <br>le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> est <u>tangent à la courbe</u> en <math>\;M</math>, dans la mesure où <math>\;\overrightarrow{dM} \neq \vec{0}\;</math><ref> Dans le cas général, le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue n'est pas nul, ceci n'arrivant que très rarement.</ref>.</center> === Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_géométrique_des_composantes_cartésiennes_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point|détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » où cela a été traité en détails <math>\;\big(</math>à savoir refaire<math>\big)</math> ; <center>à retenir «<math>\;\overrightarrow{dM} = dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z\;</math>».</center> === Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur-déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_géométrique_des_composantes_cylindro-polaires_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point|détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » où cela a été traité en détails <math>\;\big(</math>à savoir refaire<math>\big)</math> ; <center>à retenir «<math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z\;</math>».</center> === Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Généralités#Vecteur_déplacement_élémentaire_du_point_M,_autre_définition_de_son_vecteur_vitesse|vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ayant établi «<math>\;\overrightarrow{dM} = \vec{V}_M(t)\;dt\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dM}}{dt}\;</math>», on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en divisant le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> défini à partir du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> par la durée élémentaire <math>\;dt\;</math> correspondant au déplacement d'où l'expression du vecteur vitesse : * en repérage cartésien «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{\overrightarrow{dM}}{dt} = \dfrac{dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z}{dt} = \dfrac{dx}{dt}\;\vec{u}_x + \dfrac{dy}{dt}\;\vec{u}_y + \dfrac{dz}{dt}\;\vec{u}_z = \dot{x}(t)\;\vec{u}_x + \dot{y}(t)\;\vec{u}_y + \dot{z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>»<ref name="passage du vecteur déplacement élémentaire au vecteur vitesse"> Ce qui revient à remplacer l'élément différentiel de chaque variable par sa dérivée temporelle.</ref> et * en repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)</math> «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{\overrightarrow{dM}}{dt} = \dfrac{d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z}{dt} = \dfrac{d \rho}{dt}\;\vec{u}_\rho + \rho\;\dfrac{d \theta}{dt}\;\vec{u}_\theta + \dfrac{dz}{dt}\;\vec{u}_z\;</math> soit <math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{\rho}(t)\;\vec{u}_\rho + \rho(t)\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>»<ref name="passage du vecteur déplacement élémentaire au vecteur vitesse" />{{,}}<ref name="omission partielle de la dépendance en t" />. == Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse == === Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_géométrique_des_composantes_sphériques_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point|détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » où cela a été traité en détails <math>\;\big(</math>à savoir refaire<math>\big)</math> ; <center>à retenir «<math>\;\overrightarrow{dM} = dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi\;</math>»<ref> C'est cette détermination géométrique qui est au programme de physique de P.C.S.I. et c'est elle qu'il faut savoir refaire.</ref>.</center> === Équations horaires sphériques du mouvement du point repéré dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}L'équation horaire vectorielle du mouvement de <math>\;M\;</math> repéré dans le référentiel d'étude étant «<math>\;\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM}(t)\;</math>» ou, en utilisant la base sphérique liée à <math>\;M</math> «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_r(\theta,\,\varphi)\;;\;\vec{u}_\theta(\theta,\,\varphi)\;;\;\vec{u}_\varphi(\varphi) \right\rbrace\;</math>»<ref> On rappelle que les deux 1^ers vecteurs de base sphériques dépendent de la colatitude <math>\;\theta\;</math> et de la longitude <math>\;\varphi\;</math> alors que le dernier ne dépend que de la longitude <math>\;\varphi</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OM} =</math>}} <math>r\;\vec{u}_r(\theta,\,\varphi)\;</math>» égal à la fonction vectorielle du temps «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r\! \left[ \theta(t),\,\varphi(t) \right]\;</math>» établissant que la connaissance de l'équation horaire du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation horaire vectorielle du mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}est équivalente à celle des « <u>trois équations horaires sphériques paramétriques</u> de <math>\;M\;\left\lbrace \begin{array}{l} r = r(t)\\ \theta = \theta(t)\\ \varphi = \varphi(t)\end{array}\right\rbrace\;</math>» dans le référentiel d'étude, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation horaire vectorielle du mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est équivalente à celle }}ces « trois équations horaires sphériques étant aussi les trois équations sphériques paramétriques de la trajectoire de <math>\;M\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on rappelle que le vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude a pour composantes sphériques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \overline{OM}_r = r = r(t)\\ \overline{OM}_\theta = 0\quad\;\forall\;t\\ \overline{OM}_\varphi = 0\quad\;\forall\;t\end{array}\right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}utilisant « uniquement la 1^ère équation horaire sphérique <math>\;r = r(t)\;</math>» du point mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}« les deux autres équations horaires sphériques <math>\;\left\lbrace \theta = \theta(t)\,,\, \varphi = \varphi(t) \right\rbrace\;</math>» du point sont néanmoins nécessaires pour savoir dans quelle direction positionner le point à l'instant <math>\;t\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : « les deux autres équations horaires sphériques }}<math>\big(</math>celle de <math>\;\vec{u}_r</math>, <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> étant toujours colinéaire à <math>\;\vec{u}_r\big)</math>, ce qui nécessite de connaître «<math>\;\vec{u}_r(t) = \vec{u}_r\! \left[ \theta(t),\,\varphi(t) \right]\;</math>» <math>\;\ldots</math> === Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Généralités#Vecteur_déplacement_élémentaire_du_point_M,_autre_définition_de_son_vecteur_vitesse|vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ayant établi «<math>\;\overrightarrow{dM} = \vec{V}_M(t)\;dt\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dM}}{dt}\;</math>», on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en divisant le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> défini à partir du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> par la durée élémentaire <math>\;dt\;</math> correspondant au déplacement d'où {{Al|5}}l'expression du vecteur vitesse en repérage sphérique «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{\overrightarrow{dM}}{dt} = \dfrac{dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi}{dt} = \dfrac{dr}{dt}\;\vec{u}_r + r\;\dfrac{d \theta}{dt}\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;\dfrac{d \varphi}{dt}\;\vec{u}_\varphi\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\,\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta + r(t)\,\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="passage du vecteur déplacement élémentaire au vecteur vitesse" />{{,}}<ref name="omission partielle de la dépendance en t" />, <br>les « composantes sphériques de <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} \text{vitesse radiale}\; &V_r &=& \dot{r}(t)\\\text{vitesse orthoradiale}\; &V_\theta &=& r(t)\,\dot{\theta}(t)\\\text{vitesse longitudale}\; &V_\varphi &=& r(t)\,\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\varphi}(t)\\\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="commentaires sur les composantes sphériques du vecteur vitesse"> À connaître sans hésiter <math>\;\big[</math>chaque composante <math>\;\left( V_r,\;V_\theta,\;V_\varphi \right)\;</math> devant être homogène à une vitesse linéaire et faisant intervenir respectivement la dérivée temporelle de la grandeur scalaire associée à la composante de la vitesse à savoir <math>\;\left( \dot{r},\;\dot{\theta},\;\dot{\varphi} \right)</math>, seule la 1^ère a la bonne homogénéité, mais dans la 2^nde il lui manque une longueur, c'est <math>\;r</math>, le rayon du méridien et dans la 3^ème il lui manque aussi une longueur, c'est <math>\;r\,\sin(\theta)</math>, le rayon du parallèle<math>\big]\;</math> et évidemment à savoir aussi retrouver à partir des composantes sphériques de <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> obtenues par détermination géométrique.</ref> ; <br>la « norme du vecteur vitesse se calculant selon <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{V_r^2(t) + V_\theta^2(t) + V_\varphi^2(t)}\;</math> et s'exprimant en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>».</center> [[File:Loxodromie de la sphère et projetée sur le plan équatorial.jpg|thumb|325px|Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de pente <math>\;30\,\text{°}\;</math> par rapport aux parallèles <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "une [[w:Spirale_de_Poinsot|spirale de Poinsot]]"<ref name="Poinsot"> '''[[w:Louis_Poinsot|Louis Poinsot]] (1777 - 1859)''' mathématicien français surtout connu pour ses travaux en [[w:Mécanique rationnelle|mécanique rationnelle]] et aussi quelques travaux de géométrie.</ref> <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Exemple</u> : mouvement du point <math>\;M\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires sphériques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}r = a\\\theta = \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t\qquad\text{avec }\qquad\omega > 0\\\varphi = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \ln\! \left[ \tan\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}qualifié de « mouvement [[w:Loxodromie|loxodromique]] de sphère uniforme »<ref name="justification de loxodromie de sphère"> En effet les deux équations sphériques de la trajectoire obtenues en éliminant le paramètre <math>\;t\;</math> entre les trois équations sphériques paramétriques sont «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}r = a\\\varphi = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \ln\! \left[ \tan\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>», lesquelles définissent une [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère de pente <math>\;\dfrac{\pi}{6}\;</math> par rapport aux parallèles <math>\;\big[</math>une [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère est une courbe tracée sur une sphère telle qu'elle coupe les parallèles de cette sphère à angle constant, l'angle valant ici <math>\;30\, \text{°}</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Application_au_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_connue_par_ses_équations_sphériques|application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations sphériques]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le caractère « uniforme » du mouvement supposant <math>\;\Vert \vec{V}_M \Vert = cste</math>.</ref>, le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> ayant pour « composantes sphériques <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_r = \cancel{\dot{r}}\\V_\theta = r\;\dot{\theta}\\V_\varphi = r\;\sin(\theta)\;\dot{\varphi}\end{array}\right\rbrace\;</math>» soit, avec «<math>\;\dot{\theta} = -\omega\;</math>», «<math>\;\dot{\varphi} = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\;\dfrac{1 + \tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right)}{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right)}\;\dfrac{-\omega}{2}\;</math>»<ref name="justification de la dérivée de la longitude du mouvement loxodromique"> Dérivation de fonctions composées : on dérive « le logarithme népérien par rapport à son argument » d'où <math>\;\dfrac{1}{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right)}</math>, on multiplie par « la dérivée de l'argument <math>\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right)\;</math> par rapport à l'argument de ce dernier <math>\;\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2}\;</math>» soit <math>\;1 + \tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right)\;</math> et on termine en multipliant par « la dérivée de <math>\;\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2}\;</math> par rapport à <math>\;t\;</math>» soit <math>\;\dfrac{-\omega}{2}\;</math> <math>\ldots</math></ref> et «<math>\;\sin(\theta) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}<math>\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right) = \dfrac{2\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right)}{1 + \tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right)}\;</math>» dont on déduit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : mouvement du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}les « composantes sphériques de <math>\;\vec{V}_M(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_r = 0\\V_\theta = -a\;\omega\\V_\varphi = a\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\omega\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="justification absence de vitesse radiale"> La [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère étant tracée sur la sphère de rayon <math>\;a\;</math> et le vecteur vitesse étant tangent à la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère, il n'a pas de composante radiale car il est tangent à la sphère ;<br>{{Al|3}}le rapport «<math>\;\dfrac{V_\theta}{V_\varphi} = -\dfrac{1}{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} = -\mathrm{cotan}\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\;</math>» établit que la direction du vecteur vitesse fait l'angle <math>\;\dfrac{\pi}{6}\;</math> avec les parallèles <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : mouvement du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}sa norme valant «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{a^2\;\omega^2 + a^2\,\tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\omega^2} = \dfrac{a}{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}\;\omega = 2\;a\;\omega\;</math>», c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : mouvement du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sa norme valant }}une constante, justifiant le caractère « uniforme » du mouvement. == Compléments : détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier, conséquences sur l'étude du mouvement du point en repérage sphérique == === Détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier === {{Al|5}}À partir de la notion de dérivées partielles d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes<ref name="généralisable au cas de plus de deux"> Généralisable aisément au cas de plus de deux variables indépendantes.</ref> à revoir dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Définition_des_dérivées_partielles|définition des dérivées partielles]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref> Mais, contrairement à ce qui est fait dans le paragraphe précité, les dérivées partielles seront définies à l'aide des coordonnées sphériques et non cartésiennes.</ref>, on introduit celle de dérivées partielles d'une fonction vectorielle de deux variables indépendantes<ref name="généralisable au cas de plus de deux" /> de la même façon c'est-à-dire en figeant une variable et en dérivant la fonction vectorielle de la variable laissée libre par rapport à cette dernière<ref name="généralisable au cas de plus de deux - bis"> Si la fonction vectorielle dépend de plus de deux variables indépendantes, on fige toutes les variables sauf une et on dérive la fonction vectorielle de la variable laissée libre par rapport à cette dernière.</ref>. ==== Détermination des dérivées partielles du premier vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude ==== [[File:Repérage sphérique - vues projetées.jpg|thumb|right|500px|Vues projetées du repérage sphérique d'un point <math>\;M</math> : demi-plan méridien et vue de dessus]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_premier_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », on y a établi : * «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_r \right)}{\partial \theta} \right]_\varphi = \vec{u}_\theta\;</math>» en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive ” et * «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_r \right)}{\partial \varphi} \right]_\theta = \sin(\theta)\; \vec{u}_\varphi\;</math>» en utilisant la « décomposition de <math>\;\vec{u}_r\;</math> dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien à savoir <math>\;\left[ \vec{u}_z,\; \vec{u}_\rho(\varphi) \right]\;</math>» selon «<math>\;\vec{u}_r = \cos(\theta)\;\vec{u}_z + \sin(\theta)\;\vec{u}_\rho(\varphi)\;</math>», suivi de l'utilisation de «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \varphi}(\varphi) =</math> <math>\vec{u}_\varphi(\varphi)\;</math>», les autres facteurs ne dépendant pas de <math>\;\varphi</math>. ==== Détermination des dérivées partielles du second vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude ==== {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_second_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », on y a établi : * «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_\theta \right)}{\partial \theta} \right]_\varphi = -\vec{u}_r\;</math>» en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive ” et * «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_\theta \right)}{\partial \varphi} \right]_\theta = \cos(\theta)\; \vec{u}_\varphi\;</math>» en utilisant la « décomposition de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien à savoir <math>\;\left[ \vec{u}_z,\; \vec{u}_\rho(\varphi) \right]\;</math>» selon «<math>\;\vec{u}_\theta =</math> <math>-\sin(\theta)\;\vec{u}_z + \cos(\theta)\;\vec{u}_\rho(\varphi)\;</math>», suivi de l'utilisation de «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \varphi}(\varphi) = \vec{u}_\varphi(\varphi)\;</math>», les autres facteurs ne dépendant pas de <math>\;\varphi</math>. ==== Détermination de la dérivée du troisième vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude ==== {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_de_la_dérivée_du_troisième_vecteur_de_base_sphérique|détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », on y a établi {{Al|5}}«<math>\;\dfrac{d \left( \vec{u}_\varphi \right)}{d \varphi} = -\sin(\theta)\;\vec{u}_r - \cos(\theta)\;\vec{u}_\theta\;</math>» en utilisant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive ” soit «<math>\;\dfrac{d \left( \vec{u}_\varphi \right)}{d \varphi}(\varphi) =</math> <math>-\vec{u}_\rho(\varphi)\;</math>»<ref> <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe <math>\;\overrightarrow{Oy}\;\ldots</math></ref> suivi de la « décomposition du 1^er vecteur de base cylindro-polaire, vecteur du demi-plan méridien, dans la base sphérique de ce demi-plan à savoir <math>\;\left[ \vec{u}_r,\; \vec{u}_\theta \right]\;</math>» selon «<math>\;\vec{u}_\rho = \sin(\theta)\;\vec{u}_r + \cos(\theta)\;\vec{u}_\theta\;</math>». === Obtention des composantes sphériques du vecteur vitesse du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur position du point === {{Al|5}}Le vecteur position de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, en repérage sphérique, «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\;\vec{u}_r\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right]\;</math>», on obtient son vecteur vitesse au même instant <math>\;t\;</math> par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> s'écrivant, en repérage sphérique, }}«<math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t) = \dot{r}(t)\;\;\vec{u}_r\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] + r(t)\;\;\dfrac{d \vec{u}_r}{dt}\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right]\;</math>» ; {{Al|5}}la « détermination de <math>\;\dfrac{d \vec{u}_r}{dt}\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right]\;</math> s'établit en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées » dans laquelle la 1^ère fonction est une fonction vectorielle de deux variables {{Nobr|indépendantes<ref name="formule de dérivation de fonctions composées"> Soit une fonction scalaire <math>\;f\;</math> <math>\big(</math>ou vectorielle <math>\;\vec{F}\big)\;</math> de deux <math>\;\big(</math>ou plus<math>\big)\;</math> variables indépendantes <math>\;\left( x,\,y \right)\;</math> lesquelles dépendent individuellement d'une 3^ème variable <math>\;t</math>, la formule de dérivation de fonctions composées s'écrit «<math>\;\dfrac{df}{dt}(t) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\!y}\!\! \left[ x(t),\,y(t) \right]\;\dfrac{dx}{dt}(t) + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x}\!\! \left[ x(t),\,y(t) \right]\;\dfrac{dy}{dt}(t)\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{d \vec{F}}{dt}(t) = \left( \dfrac{\partial \vec{F}}{\partial x} \right)_{\!\!y}\!\! \left[ x(t),\,y(t) \right]\;\dfrac{dx}{dt}(t) + \left( \dfrac{\partial \vec{F}}{\partial y} \right)_{\!\!x}\!\! \left[ x(t),\,y(t) \right]\;\dfrac{dy}{dt}(t)\;</math>».</ref>}} soit «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_r}{dt}\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] = \left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!\varphi}\!\! \left[ \theta(t),\,\varphi(t) \right]\;\dfrac{d \theta}{dt}(t) + \left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!\theta}\!\! \left[ \theta(t),\,\varphi(t) \right]\;\dfrac{d \varphi}{dt}(t)\;</math>» dans laquelle on utilise «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!\varphi} = \vec{u}_\theta\\ \left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!\theta} = \sin(\theta)\;\vec{u}_\varphi \end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où <center>«<math>\;\dfrac{d \vec{u}_r}{dt}\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] = \vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t),\,\varphi(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\vec{u}_\varphi\! \left[ \varphi(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;</math>» ; <br>le report dans l'expression du vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> nous conduit à <br>«<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta + r(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="omission partielle de la dépendance en t" /> ; <br>les « composantes sphériques de <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} \text{vitesse radiale}\; &V_r &=& \dot{r}(t)\\\text{vitesse orthoradiale}\; &V_\theta &=& r(t)\,\dot{\theta}(t)\\\text{vitesse longitudale}\; &V_\varphi &=& r(t)\,\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\varphi}(t)\\\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="commentaires sur les composantes sphériques du vecteur vitesse" /> ; <br>la « norme du vecteur vitesse se calculant selon <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{V_r^2(t) + V_\theta^2(t) + V_\varphi^2(t)}\;</math> et s'exprimant en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>».</center> === Quelques indications pour avoir la possibilité de déterminer les composantes sphériques du vecteur accélération du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur vitesse du point === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : les composantes sphériques du vecteur accélération ne doivent « <u>JAMAIS</u> être utilisées <u>de votre propre chef</u> » car beaucoup trop compliquées<ref> Et hors programme de physique de P.C.S.I..</ref>. {{Al|5}}Le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, en repérage sphérique, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\;\vec{u}_r\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] + r(t)\;\dot{\theta}(t)\;\;\vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] + r(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\;\vec{u}_\varphi\! \left[ \varphi(t) \right]\;</math>», on obtient son vecteur accélération au même instant <math>\;t\;</math> en dérivant temporellement <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> soit <center>«<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t) = \ddot{r}(t)\;\;\vec{u}_r\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] + \dot{r}(t)\;\;\dfrac{d \vec{u}_r}{dt}\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] + \dot{r}(t)\;\dot{\theta}(t)\;\;\vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] + r(t)\;\ddot{\theta}(t)\;\;\vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] + r(t)\;\dot{\theta}(t)\;\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] + \cdots</math> <br>{{Al|45}}<math>\dot{r}(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\;\vec{u}_\varphi\! \left[ \varphi(t) \right] + r(t)\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;\dot{\varphi}(t)\;\;\vec{u}_\varphi\! \left[ \varphi(t) \right] + r(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\ddot{\varphi}(t)\;\;\vec{u}_\varphi\! \left[ \varphi(t) \right] + r(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\;\dfrac{d \vec{u}_\varphi}{dt}\! \left[ \varphi(t) \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>la dérivée «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_r}{dt}\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right]\;</math>» a été établie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Obtention_des_composantes_sphériques_du_vecteur_vitesse_du_point_M_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_par_dérivation_temporelle_du_vecteur_position_du_point|obtention des composantes sphériques du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur position du point]] » plus haut dans ce chapitre <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_r}{dt}\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] = \vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t),\,\varphi(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\vec{u}_\varphi\! \left[ \varphi(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>on adopte la même démarche pour évaluer «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right]\;</math>» en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1^ère fonction est une fonction vectorielle de deux variables indépendantes<ref name="formule de dérivation de fonctions composées" /> soit «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] = \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\!\varphi}\!\! \left[ \theta(t),\,\varphi(t) \right]\;\dfrac{d \theta}{dt}(t) + \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!\!\theta}\!\! \left[ \theta(t),\,\varphi(t) \right]\;\dfrac{d \varphi}{dt}(t)\;</math>» dans laquelle on utilise «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\!\varphi} = -\vec{u}_r\\ \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!\!\theta} = \cos(\theta)\;\vec{u}_\varphi \end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où <center>«<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}\! \left[ \theta(t),\, \varphi(t) \right] = -\vec{u}_r\! \left[ \theta(t),\,\varphi(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + \cos\! \left[ \theta(t) \right]\;\vec{u}_\varphi\! \left[ \varphi(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>on adopte une démarche analogue mais simplifiée pour «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\varphi}{dt}\! \left[ \varphi(t) \right]\;</math>» en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1^ère fonction est une fonction vectorielle d'une seule variable<ref name="formule de dérivation de fonctions composées - bis"> Soit une fonction scalaire <math>\;f\;</math> <math>\big(</math>ou vectorielle <math>\;\vec{F}\big)\;</math> d'une variable <math>\;x\;</math> laquelle dépend d'une 2^ème variable <math>\;t</math>, la formule de dérivation de fonctions composées s'écrit «<math>\;\dfrac{df}{dt}(t) = \dfrac{df}{dx}\! \left[ x(t) \right]\;\dfrac{dx}{dt}(t)\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \vec{F}}{dt}(t) =</math>}} <math>\dfrac{d \vec{F}}{dx}\! \left[ x(t) \right]\;\dfrac{dx}{dt}(t)\;</math>».</ref> soit «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\varphi}{dt}\! \left[ \varphi(t) \right] = \dfrac{d \vec{u}_\varphi}{d \varphi}\! \left[ \varphi(t) \right]\;\dfrac{d \varphi}{dt}(t)\;</math>» dans laquelle on utilise «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\varphi}{d \varphi} = -\sin(\theta)\;\vec{u}_r - \cos(\theta)\;\vec{u}_\theta\;</math>» d'où <center>«<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\varphi}{dt}\! \left[ \varphi(t) \right] = -\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\vec{u}_r\! \left[ \theta(t),\,\varphi(t) \right]\;\dot{\varphi}(t) - \cos\! \left[ \theta(t) \right]\;\vec{u}_\theta\! \left[ \varphi(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le report dans l'expression du vecteur accélération de <math>\;M\;</math> et le regroupement des composantes de même vecteur de base nous conduit à <center>«<math>\;\vec{a}_M(t) = \left\lbrace \ddot{r}(t) - r(t)\,\dot{\theta}^2(t) - r(t)\,\sin^2\!\left[ \theta(t) \right]\,\dot{\varphi}^2(t) \right\rbrace\;\vec{u}_r + \left\lbrace r(t)\;\ddot{\theta}(t) + 2\,\dot{r}(t)\,\dot{\theta}(t) - r(t)\,\sin\!\left[ \theta(t) \right]\,\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\varphi}^2(t) \right\rbrace\;\vec{u}_\theta + \cdots</math> <math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\left\lbrace 2\,\dot{r}(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t) + 2\,r(t)\,\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;\dot{\varphi}(t) + r(t)\,\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\ddot{\varphi}(t) \right\rbrace\;\vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="omission partielle de la dépendance en t" /> ; <br>les « composantes sphériques de <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} \text{accélération radiale}\; &a_r &=& \ddot{r} - r\,\dot{\theta}^2 - r\,\sin^2(\theta)\,\dot{\varphi}^2 \\\text{accélération orthoradiale}\; &a_\theta &=& r\;\ddot{\theta} + 2\,\dot{r}\,\dot{\theta} - r\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)\,\dot{\varphi}^2\\\text{accélération longitudale}\; &a_\varphi &=& 2\,\dot{r}\;\sin(\theta)\;\dot{\varphi} + 2\,r\,\cos(\theta)\;\dot{\theta}\;\dot{\varphi} + r\,\sin(\theta)\;\ddot{\varphi}\\\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="commentaires sur la dépendance de t"> Pour simplifier on n'indique pas que toutes les grandeurs dépendent de <math>\;t</math>.</ref> ; <br>la « norme du vecteur accélération se calculant selon <math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = \sqrt{a_r^2(t) + a_\theta^2(t) + a_\varphi^2(t)}\;</math> et s'exprimant en <math>\;m \cdot s^{-2}\;</math>».</center> [[File:Loxodromie de la sphère et projetée sur le plan équatorial.jpg|thumb|325px|Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de pente <math>\;30\,\text{°}\;</math> par rapport aux parallèles <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "une [[w:Spirale_de_Poinsot|spirale de Poinsot]]"<ref name="Poinsot" /> <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Exemple</u> : mouvement du point <math>\;M\;</math> défini par les trois équations horaires scalaires sphériques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}r = a\\\theta = \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t\qquad\text{avec }\qquad\omega > 0\\\varphi = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \ln\! \left[ \tan\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}qualifié de « mouvement [[w:Loxodromie|loxodromique]] de sphère uniforme »<ref name="justification de loxodromie de sphère" />, le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> ayant pour « composantes sphériques <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}déterminées précédemment<ref name="vecteur vitesse du point décrivant une loxodromie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (exemple) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\vec{V}_M(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_r = 0\\V_\theta = -a\;\omega\\V_\varphi = a\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\omega\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="justification absence de vitesse radiale" />, sa « norme ayant pour valeur également déterminée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}précédemment<ref name="vecteur vitesse du point décrivant une loxodromie" /> <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{a^2\;\omega^2 + a^2\,\tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\omega^2} = \dfrac{a}{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}\;\omega = 2\;a\;\omega\;</math>» c'est-à-dire constante, justifiant le caractère <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}« uniforme » du mouvement. {{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}Pour déterminer les composantes sphériques du vecteur accélération du point, il faut évaluer les dérivées 1^ère et 2^nde temporelles de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}ses coordonnées sphériques soit «<math>\;\dot{r} = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{r} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : ses coordonnées sphériques soit }}«<math>\;\dot{\theta} = -\omega\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : ses coordonnées sphériques soit }}«<math>\;\dot{\varphi} = \tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\;\dfrac{1 + \tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right)}{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right)}\;\dfrac{\omega}{2}\;</math>»<ref name="justification de la dérivée de la longitude du mouvement loxodromique" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dot{\varphi} = \tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\;\dfrac{\omega}{\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;</math>»<ref> En effet <math>\;\sin(\theta) = \sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right) = \dfrac{2\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right)}{1 + \tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right)}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : ses coordonnées sphériques soit }}«<math>\;\ddot{\varphi} = \tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\;\dfrac{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)\,\omega^2}{\sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}«<math>\;\vec{a}_M(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l} a_r = \cancel{\ddot{r}} - r\,\dot{\theta}^2 - r\,\sin^2(\theta)\,\dot{\varphi}^2\\a_\theta = \cancel{r\;\ddot{\theta} + 2\,\dot{r}\,\dot{\theta}} - r\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)\,\dot{\varphi}^2\\a_\varphi = \cancel{2\,\dot{r}\;\sin(\theta)\;\dot{\varphi}} + 2\,r\,\cos(\theta)\;\dot{\theta}\;\dot{\varphi} + r\,\sin(\theta)\;\ddot{\varphi}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ou, en explicitant les colatitude et longitude ainsi que les vitesses associées, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}les « composantes sphériques de <math>\;\vec{a}_M(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l} a_r = -a\;\omega^2 - a\;\tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\omega^2 = -\dfrac{a}{\cos^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}\;\omega^2\\a_\theta = -a\;\tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\dfrac{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\,\omega^2\\ a_\varphi = -a\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\dfrac{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;\omega^2\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En effet l'accélération longitudale vaut <math>\;a_\varphi = 2\,r\,\cos(\theta)\;\dot{\theta}\;\dot{\varphi} + r\,\sin(\theta)\;\ddot{\varphi} = 2\,a\,\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)\,(-\omega) \left[ \tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\;\dfrac{\omega}{\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)} \right] + a\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\dfrac{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;\omega^2\;</math> soit, après simplification, {{Nobr|«<math>\;a_\varphi =</math>}} <math>-a\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\dfrac{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;\omega^2\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}sa « norme valant <math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = \sqrt{\dfrac{a^2}{\cos^4\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}\;\omega^4 + a^2\,\tan^4\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\dfrac{\cos^2\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}{\sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;\omega^4 + \left[ -a\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\dfrac{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;\omega^2 \right]^2}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}ou, après factorisation par «<math>\;a\;\omega^2\;</math>» ainsi que par «<math>\;\tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\dfrac{\cos^2\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}{\sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}</math> entre les deux derniers termes sous le radical », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}«<math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = a\;\omega^2\,\sqrt{\dfrac{1}{\cos^4\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} + \tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\dfrac{\cos^2\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}{\sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\,\left[ 1 + \tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \right]}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}ou encore, en évaluant numériquement la tangente et le cosinus de l'angle que fait la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère avec le demi-plan méridien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}«<math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = a\;\omega^2\,\sqrt{16 + \dfrac{12}{\tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}} = 2\;a\;\omega^2\;\sqrt{4 + \dfrac{3}{\tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}la complication du vecteur accélération de <math>\;M\;</math> dans son mouvement [[w:Loxodromie|loxodromique]] de sphère uniforme montre qu'en ce qui concerne l'accélération le repérage sphérique n'est pas le bon<ref> Le bon repérage sera vu en complément plus loin dans le chapitre, c'est le repérage de Frenet.</ref>. == Choix du système de coordonnées adapté au problème == {{Al|5}}Voir, pour plus de détails, le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Choix_du_système_de_coordonnées_adapté_au_problème|choix du système de coordonnées adapté au problème]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » où ceci a déjà été traité, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir, pour plus de détails, }}ci-dessous sont rappelées les grandes lignes du choix <math>\;\big(</math>en se limitant aux seuls repérages au programme de physique de PCSI<ref> C.-à-d. que l'on ne considère pas le repérage de Frenet introduit en complément ci-après, même si c'est ce dernier qui est le mieux adapté <math>\;\big(</math>si c'est le cas on donnera aussi la solution l'utilisant<math>\big)</math>.</ref><math>\big)</math> : * choix du <u>repérage cylindro-polaire</u><math>\;\big(</math><u>ou cylindrique</u><math>\big)\;</math> pour un problème « invariant par symétrie de révolution d'axe <math>\;Oz\;</math>», * choix du <u>repérage sphérique</u> pour un problème « invariant par symétrie sphérique de centre <math>\;O\;</math>» <math>\;\big(</math>à condition que l'on n'ait pas besoin d'expliciter le vecteur accélération<ref> Si ce n'est pas le cas, on choisira le repérage s'en rapprochant le plus à savoir le repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)</math>.</ref><math>\big)\;</math> et * choix du <u>repérage cartésien</u> pour un problème « sans invariance par symétries de révolution ou sphérique ». == Compléments : Repérage de Frenet d'un point sur une courbe du référentiel d'étude, base locale de Frenet lié au point == {{Al|5}}<u>Commentaires préliminaires</u> : L'introduction du repérage de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> est présentée « en complément »<ref> Il n'est donc pas exigible pour un étudiant de classe préparatoire <math>\;\big(</math>option PCSI<math>\big)</math>.</ref>, toutefois <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires préliminaires : }}il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions de la vie quotidienne comme la « longueur parcourue sur une courbe » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires préliminaires : il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions de la vie quotidienne comme }}la « vitesse lue sur un [[w:Tachymètre|tachymètre]] » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires préliminaires : il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions de la vie quotidienne comme }}l'« accélération <math>\;\big(</math>tangentielle<math>\big)\;</math> le long d'une courbe »<ref> Traduisant le fait que la vitesse lue sur le [[w:Tachymètre|tachymètre]] augmente ou diminue.</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires préliminaires : }}La particularité du repérage de Frenet<ref name="Frenet" /> est qu'il nécessite de connaître la trajectoire <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> suivie par le point <math>\;M</math>, cette courbe pouvant être « plane » ou « gauche »<ref> Une courbe non plane étant qualifiée de « gauche ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires préliminaires : La particularité }}ce repérage nécessite de choisir sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> une origine notée <math>\;A\;</math> et un sens <math>\;+\;</math> arbitraire pour orienter la courbe. {{Al|5}}Notion déjà introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#En_complément,_repérage_de_Frenet_d'un_point_sur_une_courbe|en complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notion déjà introduite }}ci-dessous sont rappelées les grandes lignes nécessaires à la définition du repérage de Frenet<ref name="Frenet" /> : === Notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue === [[File:Vecteur déplacement élémentaire.jpg|thumb|330px|Abscisse curviligne d'un point le long d'une courbe et 1^er vecteur de base de Frenet<ref name="Frenet" /> associé <math>\;\big(</math>en marron<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d'un_point_sur_une_courbe_continue|abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » : {{Al|5}}le « point générique » <math>\;M\;</math> de <math>\;(\Gamma)\;</math> est repéré par son « abscisse curviligne <math>\;s = \overset{\curvearrowright}{AM}\;</math> <math>\big[</math>longueur algébrique parcourue dans le sens <math>\;+\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math> depuis l'origine <math>\;A\big]\;</math>»<ref> La distance non algébrisée séparant <math>\;A\;</math> de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math> étant <math>\;\vert s \vert = \left\vert \overset{\curvearrowright}{AM} \right\vert = \overset{\frown}{AM}</math>.</ref>. === Notion de premier vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|1^er vecteur de base de Frenet]] »<ref name="Frenet" /> du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » : {{Al|5}}On définit, en tout point <math>\;M\;</math> non anguleux de <math>\;(\Gamma)</math>, un vecteur unitaire <math>\;\vec{\tau}\;</math> tangent à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> orienté dans le sens <math>\;+\;</math> appelé « vecteur unitaire tangentiel » et constituant le « 1^er vecteur de la base locale de Frenet »<ref name="Frenet" /> ; {{Al|5}}la relation «<math>\;\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM}(s)\;</math>» caractérisant la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> et représentant l'« équation vectorielle paramétrique » de cette dernière, on définit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|la relation «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM}(s)}\;</math>» }}le 1^er vecteur de base de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\big(</math>équivalente à celle qui a été donnée précédemment<math>\big)\;</math> par «<math>\;\vec{\tau} = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{ds}(s)\;</math>» c'est-à-dire que <br>{{Al|5}}{{Transparent|la relation «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM}(s)}\;</math>» }}le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}(s)\;</math> peut être obtenu en dérivant par rapport <math>\;s\;</math> l'équation vectorielle paramétrique de la courbe <math>\;\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM}(s)</math>. === Composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point d'une courbe continue === {{Al|5}}Le « vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point <math>\;M\;</math> de la courbe continue <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> d'équation vectorielle <math>\;\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM}(s)\;</math>» étant « la différentielle de <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> en suivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math>», on en déduit <br>{{Al|3}}{{Transparent|Le « vecteur déplacement élémentaire }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = d\! \left[\overrightarrow{OM} \right] = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{ds}(s)\;ds\;</math>» soit, en utilisant la définition mathématique précédente de <math>\;\vec{\tau}(s)</math>, «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}(s)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une autre présentation a été proposée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Rappel,_composante_de_Frenet_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_de_la_courbe_étudiée|rappel : composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire d'un point de la courbe étudiée]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}« on détermine géométriquement le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\vec{\tau}\;</math> défini comme vecteur unitaire tangentiel à la courbe <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;M\;</math> dans le sens <math>\;+</math>, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}on justifie la 2^ème définition <math>\;\big(</math>mathématique<math>\big)\;</math> de <math>\;\vec{\tau}\;</math> par «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau} \Rightarrow \vec{\tau} = \dfrac{\overrightarrow{dM}}{ds} = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{ds}\;</math>» <math>\;\ldots</math> === Notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, de centre et de rayon de courbure en ce point, 1^ère définition du rayon de courbure d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Notion_de_cercle_osculateur_en_un_point_d'une_courbe_plane,_centre_et_rayon_de_courbure_en_ce_point|notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, centre et rayon de courbure en ce point]] » ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Définition_du_rayon_de_courbure_en_un_point_non_anguleux_d'une_courbe_plane|définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane]] »<ref name="spécifique à une courbe plane"> Cette définition <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> n'est pas applicable à une courbe « gauche » <math>\;\big(</math>c.-à-d. non plane<math>\big)</math>.</ref> du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » : {{Al|5}}Le <u>[[W:Cercle osculateur|cercle osculateur]]</u> en <math>\;M\;</math> d'une courbe plane <math>\;(\Gamma)\;</math> est le cercle du plan de la courbe qui lui est « <u>tangent et localement le plus proche</u> » <ref name="cercle osculateur"> Une définition plus précise <math>\;\big(</math>également valable pour une courbe gauche<math>\big)\;</math> pourrait être : <br>{{Al|20}}« soient <math>\;M\;</math> un point de <math>\;(\Gamma)\;</math> et <math>\;M''\;</math> un point voisin de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)</math>, le [[W:Cercle osculateur|cercle osculateur]] <math>\;\big(</math>encore appelé cercle de courbure<math>\big)\;</math> de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> au point <math>\;M\;</math> est la limite du cercle passant par <math>\;M\;</math> et <math>\;M''\;</math> en étant tangent à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> quand <math>\;M''\;</math> tend vers <math>\;M\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir aussi le paragraphe « [[W:Cercle osculateur#Définitions et propriétés|Définitions et propriétés]] » de l'article « [[W:Cercle osculateur|cercle osculateur]] » de « wikipédia »<math>\big\}</math>.</ref>{{,}}<ref> Pour définir un « [[W:Cercle osculateur|cercle osculateur]] » il faut qu'il existe une tangente unique au point <math>\;M</math>, on ne peut donc pas définir un « [[W:Cercle osculateur|cercle osculateur]] » en un [[w:Tangente (géométrie)#Demi-tangentes|point anguleux]] où existe une [[w:Tangente (géométrie)#Demi-tangentes|demi-tangente]] à gauche différente de la [[w:Tangente (géométrie)#Demi-tangentes|demi-tangente]] à droite <math>\;\big(</math>mais on peut définir un « [[W:Cercle osculateur|cercle osculateur]] » à gauche et un à droite<math>\big)</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Autres notions</u> : <math>\blacktriangleright\;</math>le « centre <math>\;C\;</math> du « [[W:Cercle osculateur|cercle osculateur]] » à la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math>» définit le <u>''centre de courbure''</u> de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres notions : }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « rayon <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>CM\big)\;</math>» du « [[W:Cercle osculateur|cercle osculateur]] » à la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math>» définit le <u>''[[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]]''</u><math>\;\mathcal{R}_M\;</math><ref name="positivité du rayon de courbure"> Comme <math>\;\mathcal{R}_M = CM \geqslant 0</math>, un [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] est une grandeur positive ou nulle.</ref> de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M</math>. [[File:Rayon de courbure - courbe plane.jpg|thumb|350px|Schéma introductif de la définition du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] en un point d'une courbe plane]] {{Al|5}}<u>Définition du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure }}Le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="vecteur unitaire tangentiel de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> en <math>\;M</math>, point non anguleux de <math>\;( \Gamma)</math>, étant <br>{{Al|10}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure Le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}\;</math> }}de direction repérée par l'angle <math>\;\alpha\;</math> avec la direction fixe <math>\;\vec{u}_x\;</math> du plan de <math>\;(\Gamma)</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure Le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}\;</math> }}c'est-à-dire «<math>\;\alpha = \widehat{(\vec{u}_x\, {,}\, \vec{\tau})}\;</math>», on définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure }}l'angle algébrisé formé entre les vecteurs unitaires tangentiels<ref name="vecteur unitaire tangentiel de Frenet" /> en deux points voisins <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> de <math>\;(\Gamma)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure }}«<math>\;\delta \alpha = \widehat{(\vec{\tau}_1\, {,}\, \vec{\tau}_2)} = \alpha_2 - \alpha_1\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure }}les vecteurs unitaires normaux <math>\;\big(</math>principaux<math>\big)\;</math> de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{n}\;</math><ref name="vecteur unitaire normal principal en un point d'une courbe plane"> Le vecteur unitaire normal <math>\;\big(</math>principal<math>\big)\;</math> de Frenet <math>\;\vec{n}\;</math> en un point <math>\;M\;</math> non anguleux d'une courbe plane <math>\;(\Gamma)\;</math> est défini, dans le plan de cette courbe <math>\;(\Gamma)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Le vecteur unitaire normal <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>principal<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Frenet <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> non anguleux d'une courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> est }}de direction <math>\;\perp\;</math> au vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math> au même point <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|Le vecteur unitaire normal <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>principal<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Frenet <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> non anguleux d'une courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> est }}de sens vers le centre de courbure associé ; <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le vecteur unitaire normal <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>principal<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Frenet <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> non anguleux d'une courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> }}il est directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math> en <math>\;M\;</math> de <math>\;(\Gamma)</math> {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>« directement »}} car on choisit d'orienter le plan de la courbe tel que l'angle algébrisé <math>\;\widehat{\left( \vec{\tau}\,,\, \vec{n} \right)} = +\dfrac{\pi}{2}</math>, le vecteur unitaire normal secondaire <math>\;\vec{b} = \vec{\tau} \wedge \vec{n}\;</math> <math>\perp\;</math> au plan de la courbe orientant ces angles étant, dans le cas de la figure, de sens opposé à <math>\;\vec{u}_z\;</math> <math>\big\{</math>il serait dans le sens de <math>\;\vec{u}_z\;</math> si la courbure de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> était inversée, c.-à-d. si le centre de courbure associé était de l'autre côté de <math>\;M\big\}\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Pour une courbe plane, le vecteur unitaire normal secondaire <math>\;\vec{b}</math>, de direction indépendante de <math>\;M</math>, ne nécessitant pas usuellement d'introduction particulière <math>\Rightarrow</math> le qualificatif « normal secondaire » est usuellement non utilisé et par suite, pour le vecteur unitaire normal principal <math>\;\vec{n}\;</math> le qualificatif « principal » est omis <math>\;\big(</math>d'où sa mise entre parenthèses<math>\big)</math>.</ref> en chacun de ces deux points voisins<ref name="voisin"> Le caractère « voisin » doit être précisé pour que les vecteurs normaux <math>\;\big(</math>principaux<math>\big)\;</math> en ces deux points voisins soient définis relativement à un même sens <math>\;+\;</math> de la courbe plane de <math>\;(\Gamma)</math>, ceci nécessitant qu'il n'y ait <u>pas de [[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de</u><math>\;(\Gamma)\;</math><u>entre ces deux points</u> <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#cite_note-vecteur_unitaire_normal_principal_en_un_point_d'une_courbe_plane-83|<sup>83]] » plus haut dans ce chapitre sur le sens du vecteur normal secondaire <math>\;\vec{b}\;</math> par rapport au sens de <math>\;\vec{u}_z\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure les vecteurs unitaires normaux <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>principaux<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}formant le même angle algébrisé «<math>\;\widehat{(\vec{n}_1\, {,}\, \vec{n}_2)} = \delta \alpha\;</math>»<ref name="égalité des angles entre normales et entre tangentes"> <math>\;\widehat{(\vec{n}_1\, {,}\, \vec{n}_2)} = \widehat{(\vec{\tau}_1\, {,}\, \vec{\tau}_2)}\;</math> par égalité d'angles à côtés respectivement <math>\;\perp</math>, cette propriété étant applicable à condition qu'il n'y ait pas de [[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de <math>\;(\Gamma)\;</math> entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> c.-à-d. que ces points soient voisins au sens précisé par la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#cite_note-voisin-84|⁸⁴]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure }}le [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] moyen sur l'arc de courbe <math>\;\overset{\frown}{M_1M_2}\;</math> par «<math>\;\mathcal{R}_{\text{moy sur }\overset{\frown}{M_1M_2}} = \dfrac{\delta s}{\delta \alpha}\;</math>»<ref name="égalité des angles entre normales et entre tangentes" /> ; on en déduit {{Al|5}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure }}la définition du « [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math>» <math>\;\big\{\!\neq\;</math> d'un [[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de <math>\;(\Gamma)\big\}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure la définition du « rayon de courbure de <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}comme la « limite du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] moyen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure la définition du « rayon de courbure de <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» comme la « }}quand on fait tendre l'écart angulaire entre normales vers zéro » soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure la définition du « rayon de courbure de <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{R}_{M_1} = \lim\limits_{M_2 \rightarrow M_1} \left[ \mathcal{R}_{\text{moy sur }\overset{\frown}{M_1M_2}} \right] = \lim\limits_{\delta \alpha \rightarrow 0} \left[ \dfrac{\delta s}{\delta \alpha} \right]\;</math>»<ref> À chaque valeur d'abscisse curviligne «<math>\;s\;</math>» on associe un point «<math>\;M\;</math>» que la courbe soit ouverte ou fermée et <br>{{Al|3}}à chaque point «<math>\;M\;</math> non anguleux », on associe une valeur de «<math>\;\alpha\;</math>», <br>{{Al|3}}aussi peut-on définir de façon unique la fonction «<math>\;\alpha = \alpha(s)\;</math>» sur toute courbe plane sans [[w:Tangente (géométrie)#Demi-tangentes|point anguleux]] ; <br>{{Al|3}}en restreignant éventuellement le domaine de définition de <math>\;s\;</math> il est toujours possible d'inverser la fonction pour obtenir la fonction inverse «<math>\;s = s(\alpha)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans «<math>\;\lim\limits_{\delta \alpha \rightarrow 0} \left[ \dfrac{\delta s}{\delta \alpha} \right]\;</math>» on reconnaît alors la définition de la « dérivée par rapport à <math>\;\alpha\;</math> de <math>\;s =</math> <math>s(\alpha)\;</math>».</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition du rayon de courbure }}une 1^ère définition du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] de la courbe plane <math>\;(\Gamma)\;</math> en un point <math>\;M\;</math> non anguleux «<math>\;\mathcal{R}_{M} = \dfrac{ds}{d \alpha}(\alpha)\;</math>»<ref name="spécifique à une courbe plane" />{{,}}<ref> L'établissement de cette formule a nécessité que <math>\;M\;</math> ne soit pas un [[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de <math>\;(\Gamma)\;</math> mais <br>{{Al|3}}dans le cas où <math>\;M\;</math> serait un [[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de <math>\;(\Gamma)</math>, le [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] y étant infini et <math>\;\dfrac{d \alpha}{ds}\;</math> y étant [[w:Point_stationnaire|stationnaire]] <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{ds}{d \alpha}\;</math> infini d'où l'applicabilité de la formule en un [[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de <math>\;(\Gamma)</math>.</ref> avec «<math>\;\alpha = \widehat{(\vec{u}_x\, {,}\, \vec{\tau})}\;</math>». === Deuxième et troisième vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Définition_du_rayon_de_courbure_en_un_point_non_anguleux_d'une_courbe_plane|définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane]] à la suite de laquelle est défini le vecteur unitaire normal <math>\;\big(</math>principal<math>\big)\;</math>» du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » : {{Al|5}}<u>Propriété du vecteur unitaire normal</u><math>\;\big(</math><u>principal</u><math>\big)\;</math><ref name="principal entre parenthèses"> Pour une courbe plane, le qualificatif « principal » n'est pas utile car dans le plan de la courbe il n'y a qu'une normale à la courbe en un point non anguleux d'où la mise entre parenthèses.</ref> en un point non anguleux d'une courbe plane : «<math>\;\alpha\;</math> étant l'angle que fait le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="vecteur unitaire tangentiel de Frenet" /> <math>\big(</math>1^er vecteur de la base de Frenet<ref name="Frenet" /><math>\big)\;</math> avec <math>\;\vec{u}_x\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>un}} vecteur unitaire quelconque de direction fixe dans le plan de la courbe<math>\big)\;</math>» <math>\big\{</math>voir « schéma du paragraphe [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_cercle_osculateur_en_un_point_d'une_courbe_plane,_de_centre_et_de_rayon_de_courbure_en_ce_point,_1ère_définition_du_rayon_de_courbure_d'une_courbe_plane_en_un_point_non_anguleux_de_celle-ci|notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, de centre et de rayon de courbure en ce point, 1^ère définition d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, si on dérive <math>\;\vec{\tau}\;</math> par rapport à <math>\;\alpha</math>, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur unitaire que l'on dérive c'est-à-dire le vecteur unitaire normal <math>\;\big(</math>principal<math>\big)\;</math><ref name="principal entre parenthèses" /> <math>\;\vec{n}\;</math><ref name="vecteur unitaire normal principal en un point d'une courbe plane" /> <math>\big(</math>2^ème vecteur de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /><math>\big)\;</math> soit «<math>\;\dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{d \alpha}(\alpha) = \vec{n}\;</math>»<ref name="spécifique à une courbe plane" /> avec «<math>\;\alpha = \widehat{(\vec{u}_x\, {,}\, \vec{\tau})}\;</math>». {{Al|5}}<u>3^ème vecteur de la base locale de Frenet</u><ref name="Frenet" /> en un point <math>\;\big(</math>non anguleux<math>\big)\;</math> d'une courbe plane : ce vecteur unitaire <math>\;\vec{b}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> au plan de la courbe et son sens est choisi tel que le sens <math>\;+\;</math> des angles du plan de la courbe rende le 2^ème vecteur de la base de Frenet<ref name="Frenet" /> directement <math>\;\perp\;</math> au 1^er vecteur de cette même base<ref> <math>\;\vec{b}\;</math> est donc égal à <math>\;\pm \vec{u}_z\;</math> si la courbe est dans le plan <math>\;(xOy)</math>, sa direction étant fixe, le baptiser n'apporterait rien de nouveau, ce n'est que le vecteur unitaire orientant les angles du plan de la courbe.</ref>, la « base de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\left\lbrace \vec{\tau}_M\,,\,\vec{n}_M\,,\,\vec{b} \right\rbrace\;</math> étant directe »<ref name="base directe" /> dans l'espace physique supposé orienté à droite<ref name="orienté à droite" />, on en déduit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} \vec{\tau}_M \!\!&\wedge&\!\! \vec{n}_M \!\!&=&\!\! \vec{b}\\ \vec{n}_M \!\!&\wedge&\!\! \vec{b} \!\!&=&\!\! \vec{\tau}_M\\ \vec{b} \!\!&\wedge&\!\! \vec{\tau}_M \!\!&=&\!\! \vec{n}_M\end{array}\right\rbrace\;</math>». === Notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe « gauche », de centre et de rayon de courbure en ce point, définition simultanée du rayon de courbure et du 2^ème vecteur de la base locale de Frenet en un point non anguleux d'une courbe quelconque, complétion de la base locale de Frenet === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Notion_de_plan_et_de_cercle_osculateurs_en_un_point_d'une_courbe_gauche,_centre_et_rayon_de_courbure_en_ce_point|notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en ce point]] » ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Définition_simultanée_du_2ème_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_et_du_rayon_de_courbure_en_un_point_non_anguleux_d'une_courbe_quelconque_(gauche_ou_plane)|définition simultanée du 2^ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe quelconque (gauche ou plane)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » : ==== Notion de plan et cercle osculateurs en un point d'une courbe « gauche », de centre et de rayon de courbure en ce point ==== {{Al|5}}Le <u>[[w:Plan_osculateur|plan osculateur]]</u> en <math>\;M\;</math> à la courbe gauche <math>\;(\Gamma)\;</math> est le plan qui lui est « <u>tangent et localement le plus proche</u> » <ref> Pour définir un [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] il faut bien sûr que les plans tangents existent <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'il existe une tangente unique au point <math>\;M</math>, tout plan contenant cette tangente <math>-</math> et il y en a une infinité <math>-</math> définissant alors un plan tangent particulier<math>\big)</math>, parmi tous ces plans il en existe un se rapprochant localement le plus de la courbe c'est le [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] ; <br>{{Al|3}}pour qu'il existe une tangente unique à la courbe au point <math>\;M\;</math> il est nécessaire que ce dernier n'y soit pas un [[w:Tangente (géométrie)#Demi-tangentes|point anguleux]], dans le cas contraire on y définit usuellement des [[w:Tangente (géométrie)#Demi-tangentes|demi-tangentes]] distinctes à gauche et à droite permettant d'introduire des demi-plans tangents distincts à gauche et à droite et par suite des demi-plans osculateur distincts à gauche et à droite.</ref>{{,}}<ref> La notion de [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] a été introduite par '''[[w:Alexis_Claude_Clairaut|Alexis Claude Clairaut]] (1713 - 1765)''' <math>\;\big[</math>mathématicien français particulièrement précoce <math>\;\big(</math>à l'âge de douze ans il écrit un mémoire sur quatre courbes géométriques et entre à l'Académie des Sciences à dix-huit ans<math>\big)</math>, on lui doit des travaux en [[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], en [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] et en [[w:Géodésie|géodésie]] <math>\;\big(</math>science s'attachant à résoudre les dimensions et la forme de la Terre<math>\big)\big]</math>.</ref>{{,}}<ref> Cette définition est encore applicable à une courbe plane mais elle est d'un intérêt limité car le [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] d'une courbe plane en chacun de ses points est le plan de la courbe.</ref>. {{Al|5}}Le <u>« [[W:Cercle osculateur|cercle osculateur]] »</u> à la courbe gauche <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> est le cercle du [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] à la courbe gauche <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> qui lui est « <u>tangent et localement le plus proche</u> » <ref name="cercle osculateur" />. {{Al|5}}<u>Autres notions</u><ref> Identiques à celles définies pour une courbe plane dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_cercle_osculateur_en_un_point_d'une_courbe_plane,_de_centre_et_de_rayon_de_courbure_en_ce_point,_1ère_définition_du_rayon_de_courbure_d'une_courbe_plane_en_un_point_non_anguleux_de_celle-ci|notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, de centre et de rayon de courbure en ce point, 1^ère définition du rayon de courbure d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> : <math>\blacktriangleright\;</math>le « centre <math>\;C\;</math> du « [[W:Cercle osculateur|cercle osculateur]] » à la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math>» définit le <u>''centre de courbure''</u> de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autres notions : }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « rayon du [[W:Cercle osculateur|cercle osculateur]] à la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire <math>CM\big)\;</math>», définit le <u>''[[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]]''</u> <math>\;\mathcal{R}_M\;</math><ref name="positivité du rayon de courbure" /> de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M</math>. ==== Définition simultanée du rayon de courbure et du 2^ème vecteur de la base locale de Frenet en un point non anguleux d'une courbe plane, généralisation à une courbe « gauche » ==== {{Al|5}}Nous avons vu, dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » plus haut dans ce chapitre, que le 1^er vecteur de base de Frenet<ref name="Frenet" /> pouvait être défini, pour une courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> quelconque, par «<math>\;\vec{\tau}_M = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{ds}(s)\;</math>» où «<math>\;\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM}(s)\;</math> est l'équation paramétrique vectorielle de <math>\;(\Gamma)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons vu, }}en définissant l'angle <math>\;\alpha = \widehat{( \vec{u}_x\,,\,\vec{\tau})}\;</math> pour une courbe plane, que la [[w:Courbure|courbure]] en <math>\;M\;</math><ref name="courbure"> C.-à-d. l'inverse du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] en <math>\;M</math>.</ref> pouvait être définie par «<math>\;\dfrac{1}{\mathcal{R}_M}(s) = \dfrac{d \alpha}{ds}(s)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_cercle_osculateur_en_un_point_d'une_courbe_plane,_de_centre_et_de_rayon_de_courbure_en_ce_point,_1ère_définition_du_rayon_de_courbure_d'une_courbe_plane_en_un_point_non_anguleux_de_celle-ci|notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, de centre et de rayon de courbure en ce point, 1^ère définition du rayon de courbure d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> où «<math>\;\alpha = \alpha(s)\;</math> est la fonction associant à toute valeur d'abscisse curviligne <math>\;s\;</math> une valeur unique <math>\;\alpha\;</math>»<ref> En effet, à toute valeur de <math>\;s\;</math> on peut associer un point <math>\;M\;</math> unique <math>\;\big(</math>que la courbe plane soit ouverte ou fermée<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}à tout point <math>\;M\;</math> non anguleux, on peut associer une valeur de <math>\;\alpha\;</math> unique, <br>{{Al|3}}d'où, par transitivité, « à toute valeur de <math>\;s\;</math> on peut associer une valeur de <math>\;\alpha\;</math> unique » ce qui définit la fonction «<math>\;\alpha = \alpha(s)\;</math>» sans avoir besoin de restreindre le domaine de définition de <math>\;s</math>.</ref> d'une part et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons vu, en définissant l'angle <math>\;\color{transparent}{\alpha = \widehat{( \vec{u}_x\,,\,\vec{\tau})}}\;</math> pour une courbe plane, }}que le 2^ème vecteur de base de Frenet<ref name="Frenet" /> pouvait l'être, d'autre part, par «<math>\;\vec{n}_M = \dfrac{d \vec{\tau}_M}{d \alpha}(\alpha)\;</math>» <reF> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_plane_continue|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|5}}formant «<math>\;\dfrac{d \vec{\tau}_M}{ds}\! \left[ \alpha(s) \right]\;</math> dans le cas d'une courbe plane » et utilisant la formule de dérivation de fonction composée, nous en déduisons «<math>\;\dfrac{d \vec{\tau}_M}{ds}\! \left[ \alpha(s) \right] =</math> <math>\dfrac{d \vec{\tau}_M}{d \alpha}\! \left[ \alpha(s) \right]\;\dfrac{d \alpha}{ds}(s) = \vec{n}_M\;\dfrac{1}{\mathcal{R}_M}(s)\;</math>» soit finalement une expression pouvant servir de « définition simultanée du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] et du 2^ème vecteur de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> en un point non anguleux d'une courbe plane » soit <center>«<math>\;\dfrac{d \vec{\tau}_M}{ds}(s) = \dfrac{\vec{n}_M}{\mathcal{R}_M}(s)\;</math>»<ref name="homogénéité de la dérivée de tau par rapport à s"> On vérifie l'homogénéité «<math>\;\left\Vert \dfrac{d \vec{\tau}_M}{ds} \right\Vert\;</math> étant en <math>\;m^{-1}\;</math>» et «<math>\;\left\Vert \dfrac{\vec{n}_M}{\mathcal{R}_M} \right\Vert\;</math> en <math>\;m^{-1}\;</math>», «<math>\;\left\Vert \vec{\tau}_M \right\Vert\;</math> et <math>\;\left\Vert \vec{n}_M \right\Vert\;</math> étant sans dimension ».</ref>{{,}}<ref> Bien sûr cette formule démontrée pour une courbe plane est moins intéressante que les deux formules individuelles à partir desquelles elle est établie «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l } \dfrac{1}{\mathcal{R}_M}(s) \!\!&=&\!\! \dfrac{d \alpha}{ds}(s)\\ \vec{n}_M \!\!&=&\!\! \dfrac{d \vec{\tau}_M}{d \alpha}(\alpha) \end{array}\right\rbrace\;</math>» mais <br>{{Al|7}}{{Transparent|Bien sûr cette }}elle devient intéressante par sa généralisation <math>\;\big(</math>admise<math>\big)\;</math> à toute courbe non plane alors que les formules individuelles n'ont plus aucune signification.</ref>.</center> {{Al|5}}On généralise la <u>définition simultanée du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] et du 2^ème vecteur de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> en un point non anguleux d'une courbe non plane</u> : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{d \vec{\tau}_M}{ds}(s) = \dfrac{\vec{n}_M}{\mathcal{R}_M}(s)\;</math>»<ref name="homogénéité de la dérivée de tau par rapport à s" />{{,}}<ref> La généralisation à une courbe « gauche » du résultat trouvé pour une courbe plane est admise, elle sert en fait de seule définition possible et simultanée du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] et du 2^ème vecteur de base de Frenet pour une courbe « gauche » car <math>\;\dfrac{1}{\mathcal{R}_M}(s) = \dfrac{d \alpha}{ds}(s)\;</math> et <math>\;\vec{n}_M = \dfrac{d \vec{\tau}_M}{d \alpha}(\alpha)</math> ne peuvent pas être utilisés pour une courbe « gauche ».</ref> avec «<math>\;\mathcal{R}_M > 0\;</math>»<ref> Plus exactement <math>\;\mathcal{R}_M > 0\;</math> fini ou infini ; la définition simultanée du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] et du 2^ème vecteur de base de Frenet, seule définition possible pour une courbe « gauche », ne permet pas de choisir le sens de <math>\;\vec{n}_M\;</math> si on n'impose pas le signe du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] <math>\;\bigg[</math>la difficulté ne se pose pas pour une courbe plane car la définition «<math>\;\mathcal{R}_M = \dfrac{ds}{d \alpha}\;</math> assure le signe du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] » et celle «<math>\;\vec{n}_M = \vec{b} \wedge \vec{\tau}_M\;</math> le sens de <math>\;\vec{n}_M\;</math> vers le centre de courbure »<math>\bigg]</math>.</ref>.</div> === Deuxième et troisième vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe « gauche » continue === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#2ème_et_3ème_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_associée_à_un_point_de_la_courbe_étudiée|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe]] continue quelconque » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » : * <u>le 2^ème vecteur de base locale de Frenet</u><ref name="Frenet" /> en un point <math>\;M\;</math> de la courbe <math>\;(\Gamma)</math>, noté «<math>\;\vec{n}_M\;</math>» et appelé « <u>vecteur</u><math>\;\big(</math><u>unitaire</u><math>\big)\;</math><u>normal principal</u> »<ref> Ou simplement « <u>vecteur</u><math>\;\big(</math><u>unitaire</u><math>\big)\;</math><u>normal</u> » pour une courbe plane.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le 2^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, }}est le « <u>vecteur unitaire porté par la normale principale</u> » à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|le 2^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, est le « vecteur unitaire }}<math>\big[</math>la normale principale étant la direction <math>\;(MC)\;</math> où <math>\;C\;</math> est le centre de courbure<ref> La normale principale à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> est encore la direction normale dans le [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] ou le plan de la courbe si cette dernière est plane.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|le 2^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<u>de sens dirigé vers le centre de courbure</u><math>\;C</math> ; * <u>le 3^ème vecteur de base locale de Frenet</u><ref name="Frenet" /> en un point <math>\;M\;</math> de la courbe <math>\;(\Gamma)</math>, noté «<math>\;\vec{b}_M\;</math>» et appelé « <u>vecteur</u><math>\;\big(</math><u>unitaire</u><math>\big)\;</math><u>normal secondaire</u> » <br>{{Al|6}}{{Transparent|le 3^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, }}est le « <u>vecteur unitaire porté par la normale secondaire</u> » à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|le 3^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, est le « vecteur unitaire }}<math>\big[</math>la normale secondaire étant la direction <math>\;\perp\;</math> au [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math><ref> Ou, si cette dernière est plane, <math>\;\perp\;</math> au plan de la courbe.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|le 3^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » }}de sens tel que la « <u>base</u><math>\;\left( \vec{\tau}_M,\; \vec{n}_M,\; \vec{b}_M \right)\;</math><u>est directe</u> »<ref name="base directe" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le 3^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » }}l'espace étant supposé orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|le 3^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, }}<u>remarque</u> : les angles du [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> sont orientés par le vecteur normal secondaire <math>\;\vec{b}_M\;</math><ref> Ainsi l'angle entre le vecteur unitaire tangentiel et le vecteur normal principal est «<math>\;\widehat{\left( \vec{\tau}_M,\; \vec{n}_M \right)} = +\dfrac{\pi}{2}\;</math>». <br>{{Al|3}}Si la courbe est plane dans le plan <math>\;xOy</math>, le « sens <math>\;+\;</math> des mesures d'angle de ce plan » doit être tel que «<math>\;\widehat{\left( \vec{\tau}_M,\; \vec{n}_M \right)} = +\dfrac{\pi}{2}\;</math>» ; or ce sens <math>\;+\;</math> est déterminé par le sens du vecteur normal secondaire, d'où ce dernier est <math>\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Big[</math>si <math>\;\widehat{\left( \vec{\tau}_M,\; \vec{n}_M \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_x,\; \vec{u}_y \right)}\Big]\;</math> ou <math>\;{\vec{u}'}_z = -\vec{u}_z\;</math> <math>\Big[</math>si <math>\;\widehat{\left( \vec{\tau}_M,\; \vec{n}_M \right)} =</math> <math>-\widehat{\left( \vec{u}_x,\; \vec{u}_y \right)}\Big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|le 3^ème vecteur de base locale de Frenet }}une définition équivalente de «<math>\;\vec{b}_M\;</math>», les deux autres vecteurs de base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> étant au préalable définis, est «<math>\;\vec{b}_M = \vec{\tau}_M \wedge \vec{n}_M\;</math>». == Compléments : composantes locales de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude == === Composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point === {{Al|5}}Le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> à la date <math>\;t\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> peut s'obtenir en divisant « son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}_M\;</math> pendant la durée <math>\;dt\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_de_Frenet_du_vecteur_déplacement_élémentaire_à_partir_d'un_point_d'une_courbe_continue|composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point d'une courbe continue]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à la date <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}\;</math> peut s'obtenir en divisant }}par « la durée élémentaire correspondante <math>\;dt\;</math>» soit «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{\overrightarrow{dM}}{dt} = \dfrac{ds\;\vec{\tau}_M}{dt}\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à la date <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}\;</math> }}s'obtient finalement par «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{ds}{dt}(t)\;\vec{\tau}_M(t) = \dot{s}(t)\;\vec{\tau}_M(t)\;</math>» ; {{Al|5}}la composante <math>\;\big(</math>tangentielle<math>\big)\;</math><ref> Entre parenthèses car il est inutile de le rappeler dans la mesure où il n'y a pas d'autres composantes.</ref> de Frenet du vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire définissant la <u>vitesse instantanée</u><math>\;v_M(t)\;</math> de ce dernier, on en déduit <center>«<math>\;\vec{V}_M(t) = v_M(t)\; \vec{\tau}_M(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;v_M(t) = \vec{V}_M(t) \cdot \vec{\tau}_M(t)\;</math>»<ref> Contrairement à <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math> qui est évidemment positive, la vitesse instantanée <math>\;v_M(t)\;</math> est algébrique, <br>{{Al|3}}si <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est dans le sens <math>\;+\;</math> du mouvement sur la trajectoire, <math>\;v_M(t)\;</math> est positive selon <math>\;v_M(t) = \Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math> et <br>{{Al|3}}si <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est dans le sens <math>\;-\;</math> du mouvement sur la trajectoire, <math>\;v_M(t)\;</math> est négative selon <math>\;v_M(t) = -\Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math> d'où <br>{{Al|3}}«<math>\;\vert v_M(t) \vert = \Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math>» ou «<math>\;v_M(t) = \pm \Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math>» suivant le sens du mouvement.</ref> soit <br>l'expression de la vitesse instantanée du point <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\mathcal{T})</math> : «<math>\;v_M(t) = \dot{s}(t)\;</math>».</center> === Composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point === {{Al|5}}Le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> à la date <math>\;t\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> s'obtient en « dérivant l'expression de Frenet<ref name="Frenet" /> du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t) = v_M(t)\;\vec{\tau}_M(t)\;</math> par rapport à <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à la date <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}\;</math> s'obtient }}<math>\Big\{\!\vec{\tau}_M(t)\;</math> considéré comme une fonction vectorielle composée de <math>\;s_M(t)\;</math> c'est-à-dire <math>\;\vec{\tau}_M(t) = \vec{\tau}_M\!\left[ s_M(t) \right]\!\Big\}\;</math> d'où <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à la date <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}\;</math> s'obtient en }}«<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ v_M(t)\;\vec{\tau}_M \right]}{dt}(t) = \dfrac{dv_M}{dt}(t)\;\vec{\tau}_M(t) + v_M(t)\;\dfrac{d \vec{\tau}_M}{dt}(t)</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à la date <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}\;</math> s'obtient en «<math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}</math> }}<math>= \dot{v}_M(t)\;\vec{\tau}_M(t) + v_M(t)\;\dfrac{d \vec{\tau}_M}{ds_M}(t)\;\dfrac{d s_M}{dt}(t)\;</math>» soit, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\dfrac{d \vec{\tau}_M}{ds_M}(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{\vec{n}_M}{\mathcal{R}_M}(t) \\ \dfrac{d s_M}{dt}(t) \!\!&=&\!\! v_M(t) \end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à la date <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}\;</math> s'obtient en }}«<math>\;\vec{a}_M(t) = \dot{v}_M(t)\;\vec{\tau}_M + \dfrac{v_M^2(t)}{\mathcal{R}_M(t)}\;\vec{n}_M\;</math>»<ref> Pour simplifier nous n'avons pas indiqué que les vecteurs de base de Frenet dépendent eux aussi de <math>\;t</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Le « vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> est dans le [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] de la trajectoire en <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}il s'écrit «<math>\;\vec{a}_M(t) = a_{\tau,\,M}(t)\;\vec{\tau}_M + a_{n,\,M}(t)\;\vec{n}_M\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace a_{\tau,\,M}(t)\,,\,a_{n,\,M}(t) \right\rbrace\;</math> les accélérations respectivement tangentielle et normale », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}les « composantes de Frenet de <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> sont donc respectivement <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \text{accélération tangentielle}\;\; a_{\tau,\,M}(t) = \dot{v}_M(t) = \ddot{s}_M(t)\\ \text{accélération normale}\qquad a_{n,\,M}(t) = \dfrac{v_M^2}{\mathcal{R}_M}(t) \geqslant 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> L'accélération tangentielle est algébrique, elle est positive si la vitesse instantanée est <math>\;\nearrow\;</math> <math>\big(</math>on dit que le mouvement est « accéléré »<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'accélération tangentielle est algébrique, elle est }}négative si la vitesse instantanée est <math>\;\searrow\;</math> <math>\big(</math>le mouvement est alors dit « freiné »<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'accélération tangentielle est algébrique, elle est }}nulle pour tout instant si la vitesse instantanée est constante <math>\big(</math>le mouvement est alors « uniforme »<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'accélération tangentielle est algébrique, }}elle s'annule lorsque la vitesse instantanée est <math>\;\big(</math>algébriquement<math>\big)\;</math> extrémale <math>\;\big(</math>maximale ou minimale<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}l'accélération normale étant toujours <math>\;\geqslant 0\;</math> le vecteur accélération est donc toujours dirigé vers la concavité de la trajectoire, <br>{{Al|3}}{{Transparent|l'accélération normale étant toujours <math>\;\color{transparent}{\geqslant 0}\;</math> }}elle est nulle pour tout <math>\;t\;</math> si la trajectoire est rectiligne, le [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] étant infini en tout point, <br>{{Al|3}}{{Transparent|l'accélération normale étant toujours <math>\;\color{transparent}{\geqslant 0}\;</math> }}sur une trajectoire non rectiligne elle s'annule temporairement quand le point y rebrousse chemin <math>\;\big(</math>la vitesse instantanée y étant nulle<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'accélération normale étant toujours <math>\;\color{transparent}{\geqslant 0}\;</math> sur une trajectoire non rectiligne elle s'annule temporairement quand le point y rebrousse chemin }}l'accélération y étant alors uniquement tangentielle.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}la norme du vecteur accélération se calcule selon «<math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = \sqrt{a_{\tau,\,M}^2(t) + a_{n,\,M}^2(t)}\;</math> et s'exprime en <math>\;m \cdot s^{-2}\;</math>». === Exemple d'utilisation du repérage de Frenet : mouvement loxodromique de sphère uniforme === [[File:Loxodromie de la sphère et projetée sur le plan équatorial.jpg|thumb|400px|Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de pente <math>\;30\,\text{°}\;</math> par rapport aux parallèles <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "une [[w:Spirale_de_Poinsot|spirale de Poinsot]]"<ref name="Poinsot" /> <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Nous revenons sur le « mouvement [[w:Loxodromie|loxodromique]] de sphère uniforme » défini par les trois équations horaires scalaires sphériques {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}r = a\\ \theta = \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t\qquad\text{avec }\qquad\omega > 0\\ \varphi = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \ln\! \left[ \tan\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega\;t}{2} \right) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="justification de loxodromie de sphère" />}} pour lequel nous avons évalué les « composantes sphériques du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>»<ref> Voir l'exemple du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes (c.-à-d. sphériques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> par «<math>\left\lbrace \begin{array}{l} V_r = 0\\V_\theta = -a\;\omega\\V_\varphi = a\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\omega\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="justification absence de vitesse radiale" />, sa norme valant «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{a^2\;\omega^2 + a^2\,\tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\,\omega^2} = \dfrac{a}{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}\;\omega =</math> <math>2\;a\;\omega = cste\;</math>»<ref> Justifiant le caractère « uniforme » du mouvement.</ref> ; {{Al|5}}compte-tenu de l'extrême complication des composantes sphériques du vecteur accélération et dans la mesure où la trajectoire est connue, nous reprenons l'étude avec le repérage de Frenet<ref name="Frenet" /> en orientant la trajectoire dans le sens du mouvement c'est-à-dire en identifiant la vitesse instantanée avec la norme du vecteur vitesse soit «<math>\;v_M(t) = \Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \dfrac{a\;\omega}{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} = 2\;a\;\omega\;</math>» d'où les « composantes sphériques du vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}_M(t) = \dfrac{\vec{V}_M(t)}{v_M(t)}\;</math><ref> Découle de «<math>\;\vec{V}_M(t) = v_M(t)\;\vec{\tau}_M(t)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="composante locale de Frenet du vecteur vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} \tau_{r,\,M} = 0\\ \tau_{\theta,\,M} = -\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) = -\dfrac{1}{2}\\\tau_{\varphi,\,M} = \sin\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Ce résultat est en accord avec la définition de la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère de pente <math>\;30\,\text{°} = \dfrac{\pi}{6}\;rad\;</math> par rapport aux parallèles, le mouvement se faisant de l'Équateur <math>\;\Bigg[</math>d'équations <math>\;\left. \begin{array}{l}r = a\\ \theta = \dfrac{\pi}{2}\end{array}\right. \Bigg]\;</math> vers le pôle Nord <math>\;\bigg[</math>de coordonnées <math>\;\left. \begin{array}{l}r = a\\ \theta = 0\end{array}\right. \bigg]\;</math> d'où <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce résultat est en accord }}«<math>\;\vec{\tau}_M\, \perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big(\vec{\tau}_M\;</math> étant tangent à la sphère <math>\;r = a\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\tau_{r,\,M} = 0\;</math>» puis, <center>les angles du plan <math>\;\left( M\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\varphi \right)\;</math> tangent à la sphère en <math>\;M\;</math> étant orientés par <math>\;\vec{u}_r</math>,</center> {{Al|3}}{{Transparent|Ce résultat est en accord }}«<math>\;\widehat{(\vec{u}_\varphi\,,\,\vec{\tau}_M)} = \dfrac{\pi}{6}\;</math>» <math>\;\big(</math>chaque parallèle étant tangent à <math>\;\vec{u}_\varphi\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\tau_{\varphi,\,M} = \cos\! \left( \dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce résultat est en accord }}«<math>\;\widehat{(\vec{u}_\theta\,,\,\vec{\tau}_M)} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2\;\pi}{3}\;</math>» <math>\;\bigg(\!\vec{\tau}_M\;</math> montant vers le pôle en faisant l'angle <math>\;\dfrac{\pi}{6}\;</math> avec <math>\;\vec{u}_\varphi</math>, <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> descendant vers l'Équateur en étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_\varphi\!\bigg)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\tau_{\theta,\,M} =</math> <math>\cos\! \left( \dfrac{2\;\pi}{3} \right) = -\dfrac{1}{2}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le mouvement étant uniforme, l'« accélération tangentielle <math>\;a_{\tau,\,M} = 0\;</math>», et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, }}le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> est porté par le vecteur unitaire normal principal de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{n}_M(t)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est porté par }}que l'on peut déterminer simultanément au [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] de la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère par «<math>\;\dfrac{d \vec{\tau}_M}{ds_M}(t) = \dfrac{\vec{n}_M}{\mathcal{R}_M}(t)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Définition_simultanée_du_rayon_de_courbure_et_du_2ème_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_en_un_point_non_anguleux_d'une_courbe_plane,_généralisation_à_une_courbe_«_gauche_»|définition simultanée du rayon de courbure et du 2^ème vecteur de la base de Frenet en un point non anguleux d'une courbe plane, généralisation à une courbe gauche]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est porté par }}avec «<math>\;ds_M = v_M(t)\;dt\;</math><ref name="composante locale de Frenet du vecteur vitesse" /> <math>= \dfrac{a\;\omega}{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}\;dt = 2\,a\,\omega\;dt\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dt}{ds_M} = \dfrac{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a\,\omega} = \dfrac{1}{2\,a\,\omega}\;</math> et <math>\;\dfrac{d \vec{\tau}_M}{ds_M} = \dfrac{d \vec{\tau}_M}{dt}\;\dfrac{dt}{ds_M}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est porté par }}d'où «<math>\;\dfrac{\vec{n}_M}{\mathcal{R}_M}(t) = \dfrac{d \vec{\tau}_M}{ds_M}(t) = \dfrac{d \vec{\tau}_M}{dt}(t)\;\dfrac{dt}{ds_M} = \dfrac{d\! \left[ -\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \vec{u}_\theta(t) + \sin\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \vec{u}_\varphi(t) \right]}{dt}\;\dfrac{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a\;\omega}\;</math> <br>{{Al|76}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est porté par d'où }}<math>= \left[ -\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}(t) + \sin\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \dfrac{d \vec{u}_\varphi}{dt}(t) \right]\;\dfrac{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a\;\omega}\;</math>» ; {{boîte déroulante|titre=<center>dérivées temporelles des 2^ème et 3^ème vecteurs de la base sphérique liée à M</center>| contenu= {{Al|5}}<u>dérivée temporelle du 2^ème vecteur de base sphérique liée au point</u><math>\;M</math> : la formule de dérivation de fonction composée, fonction de deux variables indépendantes dépendant d'une variable commune <br>{{Al|5}}{{Transparent|dérivée temporelle du 2^ème vecteur de base sphérique liée au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> : la formule de dérivation de fonction composée, }}appliquée à <math>\;\vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t)\,,\, \varphi(t) \right]\;</math> donne «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}(t) = \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\varphi}\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!\theta}\!(t)\;\dot{\varphi}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|dérivée temporelle du 2^ème vecteur de base sphérique liée au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t)\,,\, \varphi(t) \right]}\;</math> donne }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\varphi} = -\vec{u}_r\\ \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!\theta} = \cos(\theta)\;\vec{u}_\varphi \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Détermination_des_dérivées_partielles_du_second_vecteur_de_base_sphérique_lié_au_point_M_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dérivée temporelle du 2^ème vecteur de base sphérique liée au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t)\,,\, \varphi(t) \right]}\;</math> donne }}«<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}(t) = -\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_r + \cos\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_\varphi\;</math>» ; {{Al|5}}<u>dérivée temporelle du 3^ème vecteur de base sphérique liée au point</u><math>\;M</math> : la formule de dérivation de fonction composée, fonction d'une variable dépendant d'une autre variable <br>{{Al|5}}{{Transparent|dérivée temporelle du 3^ème vecteur de base sphérique liée au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> : la formule de dérivation de fonction composée, }}appliquée à <math>\;\vec{u}_\varphi\! \left[ \varphi(t) \right]\;</math> donne «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\varphi}{dt}(t) = \dfrac{d \vec{u}_\varphi}{d \varphi}\!\left[ \varphi(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|dérivée temporelle du 3^ème vecteur de base sphérique liée au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi\! \left[ \varphi(t) \right]}\;</math> donne }}dans laquelle «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\varphi}{d \varphi} = -\sin(\theta)\;\vec{u}_r - \cos(\theta)\;\vec{u}_\theta\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Détermination_de_la_dérivée_du_troisième_vecteur_de_base_sphérique_lié_au_point_M_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dérivée temporelle du 3^ème vecteur de base sphérique liée au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi\! \left[ \varphi(t) \right]}\;</math> donne }}«<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\varphi}{dt}(t) = -\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_r - \cos\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_\theta\;</math>» ; {{Al|5}}<u>conclusion</u> : les dérivées temporelles du 2^ème et 3^ème vecteurs de la base sphérique liée à <math>\;M\;</math> se calculent selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c l c l} \dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}(t) \!\!&=&\!\! -\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_r \!\!& &\!\! \!\!\!\!\!\!&+&\!\! \cos\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_\varphi\\ \dfrac{d \vec{u}_\varphi}{dt}(t) \!\!&=&\!\! -\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_r \!\!&-&\!\! \cos\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_\theta\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; }} <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est porté par d'où }}reportant dans «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}(t) = -\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_r + \cos\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="boîte déroulante"> Voir le contenu de la boîte déroulante de ce paragraphe.</ref> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\dot{\theta}(t) \!\!&=&\!\! -\omega \\ \dot{\varphi}(t) \!\!&=&\!\! \tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \dfrac{\omega}{\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)} \\ \theta(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="composantes sphériques sur l'exemple"> Voir la forme explicitée dans l'exemple du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Quelques_indications_pour_avoir_la_possibilité_de_déterminer_les_composantes_sphériques_du_vecteur_accélération_du_point_M_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_par_dérivation_temporelle_du_vecteur_vitesse_du_point|quelques indications pour avoir la possibilité de déterminer les composantes sphériques du vecteur accélération du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur vitesse du point]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est porté par d'où }}on obtient «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}(t) = \omega\;\vec{u}_r + \cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \dfrac{\omega}{\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;\vec{u}_\varphi = \omega \left[ \vec{u}_r + \dfrac{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est porté par d'où }}reportant dans «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\varphi}{dt}(t) = - \left\lbrace \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\vec{u}_r + \cos\! \left[ \theta(t) \right]\;\vec{u}_\theta \right\rbrace\;\dot{\varphi}(t)\;</math>»<ref name="boîte déroulante" /> les expressions évaluées précédemment <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est porté par d'où }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\dot{\varphi}(t) \!\!&=&\!\! \tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \dfrac{\omega}{\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)} \\ \theta(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="composantes sphériques sur l'exemple" /> on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est porté par d'où }}«<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\varphi}{dt}(t) = -\left[ \sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right) \vec{u}_r + \cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right) \vec{u}_\theta \right] \tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \dfrac{\omega}{\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est porté par d'où }}<math>= -\omega\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \left[ \vec{u}_r + \dfrac{\vec{u}_\theta}{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est porté par d'où }}reportant dans «<math>\;\dfrac{\vec{n}_M}{\mathcal{R}_M}(t) = \left[ -\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}(t) + \sin\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \dfrac{d \vec{u}_\varphi}{dt}(t) \right]\;\dfrac{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a\;\omega}\;</math>» les expressions de <math>\;\left\lbrace \!\!\begin{array}{c} \dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}(t) \\ \dfrac{d \vec{u}_\varphi}{dt}(t) \end{array}\!\! \right\rbrace\;</math> {{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est porté par d'où }}on obtient «<math>\;\dfrac{\vec{n}_M}{\mathcal{R}_M}(t)\;\left\lbrace\begin{array}{l} \text{sur }\;\vec{u}_r\;\text{:}\;-\dfrac{\cos\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a} \left[ \cos\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right) + \tan\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right) \sin\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right) \right] = -\dfrac{1}{a}\\ \text{sur }\;\vec{u}_\theta\;\text{:}\;-\dfrac{\cos\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right) \sin\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a}\;\dfrac{\tan\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{\tan\!\left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)} = -\dfrac{\sin^2\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a\;\tan\!\left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\\ \text{sur }\;\vec{u}_\varphi\;\text{:}\;-\dfrac{\cos^2\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a}\;\dfrac{\tan\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{\tan\!\left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)} = -\dfrac{\sin\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right) \cos\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a\;\tan\!\left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, }}la [[w:Courbure|courbure]]<ref name="courbure" /> «<math>\;\dfrac{1}{\mathcal{R}_M} = \bigg\Vert \dfrac{\vec{n}_M}{\mathcal{R}_M}(t) \bigg\Vert = \dfrac{1}{a}\;\sqrt{1 + \dfrac{\sin^4\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right) + \sin^2\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right) \cos^2\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{\tan^2\!\left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}} = \dfrac{1}{a}\;\sqrt{1 + \dfrac{\sin^2\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{\tan^2\!\left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}}\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, }}le « [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] » exprimé en fonction de la « colatitude <math>\;\theta = \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t\;</math>», «<math>\;\mathcal{R}_M(\theta) = \dfrac{a\;\tan(\theta)}{\sqrt{\tan^2(\theta) + \sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}} = \dfrac{2\;a\;\tan(\theta)}{\sqrt{4\;\tan^2(\theta) + 3}}\;</math>»<ref> Lequel <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;a\;</math> au départ de l'Équateur jusqu'à <math>\;0\;</math> à l'arrivée au pôle Nord.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, }}on en déduit les « composantes sphériques de <math>\;\vec{n}_M\;\left\lbrace\begin{array}{l} n_{r,\,M} = -\dfrac{1}{a}\;\dfrac{a\;\tan(\theta)}{\sqrt{\tan^2(\theta) + \sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}} = -\dfrac{\tan(\theta)}{\sqrt{\tan^2(\theta) + \sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}}\\ n_{\theta,\,M} = -\dfrac{\sin^2\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a\;\tan(\theta)}\;\dfrac{a\;\tan(\theta)}{\sqrt{\tan^2(\theta) + \sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}} = -\dfrac{\sin^2\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{\sqrt{\tan^2(\theta) + \sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}}\\ n_{\varphi,\,M} = -\dfrac{\sin\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right) \cos\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a\;\tan(\theta)}\;\dfrac{a\;\tan(\theta)}{\sqrt{\tan^2(\theta) + \sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}} = -\dfrac{\sin\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right) \cos\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{\sqrt{\tan^2(\theta) + \sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}}\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> De «<math>\;\dfrac{\vec{n}_M}{\mathcal{R}_M}(t) = -\dfrac{1}{a}\;\vec{u}_r - \dfrac{\sin^2\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a\;\tan\!\left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;\vec{u}_\theta - \dfrac{\sin\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right) \cos\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a\;\tan\!\left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;\vec{u}_\varphi\;</math>» on tire «<math>\;\dfrac{\vec{n}_M}{\mathcal{R}_M}(\theta) = -\dfrac{1}{a}\;\vec{u}_r - \dfrac{\sin^2\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a\;\tan\!\left( \theta \right)}\;\vec{u}_\theta - \dfrac{\sin\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right) \cos\!\left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{a\;\tan\!\left( \theta \right)}\;\vec{u}_\varphi\;</math>». <br>{{Al|3}}En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction vectorielle « 2^ème vecteur de la base locale de Frenet au point <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math>» dont la valeur est <math>\;\vec{n}_M\;</math> est notée <math>\;\vec{n}_M(t)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\vec{n}_M = \vec{n}_M(t)\;</math> <math>\big[</math>alors qu'en mathématique la fonction « 2^ème vecteur de la base locale de Frenet au point <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math>» dont la valeur est <math>\;\vec{n}_M\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;\vec{A}(t)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\vec{n}_M = \vec{A}(t)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, lors d'un changement de variable, }}par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, }}la fonction « 2^ème vecteur de la base locale de Frenet au point <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math>» dont la valeur est <math>\;\vec{n}_M\;</math> et la fonction « 2^ème vecteur de la base locale de Frenet au point <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;\theta\;</math> <math>\big(</math>fonction de <math>\;t\big)\;</math>» de même valeur <math>\;\vec{n}_M\;</math> sont respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{n}_M(t) \\ \vec{n}_M(\theta)\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{n}_M = \vec{n}_M(t) \\ \vec{n}_M = \vec{n}_M(\theta)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>alors qu'en mathématique la fonction « 2^ème vecteur de la base locale de Frenet au point <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math>» dont la valeur est <math>\;\vec{n}_M\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;\vec{A}(t)\;</math> et la fonction « 2^ème vecteur de la base locale de Frenet au point <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;\theta\;</math> <math>\big(</math>fonction de <math>\;t\big)\;</math>» de même valeur <math>\;\vec{n}_M\;</math> seraient notées, par exemple, <math>\;\vec{B}(\theta)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{n}_M = \vec{A}(t) \\ \vec{n}_M = \vec{B}(\theta)\end{array}\right\rbrace\Bigg]</math>.</ref> soit {{Al|52}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, }}numériquement, «<math>\;\vec{n}_M \;\left\lbrace\begin{array}{l} n_{r,\,M} = -\dfrac{2\;\tan(\theta)}{\sqrt{4\;\tan^2(\theta) + 3}}\\ n_{\theta,\,M} = -\dfrac{3}{2\;\sqrt{4\;\tan^2(\theta) + 3}}\\ n_{\varphi,\,M} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2\;\sqrt{4\;\tan^2(\theta) + 3}}\end{array}\right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\vec{n}_M = -\dfrac{4\;\tan(\theta)\;\vec{u}_r + 3\;\vec{u}_\theta + \sqrt{3}\;\vec{u}_\varphi}{2\;\sqrt{4\;\tan^2(\theta) + 3}}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, }}l'« accélération normale vaut donc <math>\;a_{n,\,M}(t) = \dfrac{v^2(t)}{\mathcal{R}_M(t)} = \dfrac{a^2\;\omega^2}{\cos^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}\;\dfrac{\sqrt{\tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right) + \sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}}{a\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)} = \dfrac{a\;\omega^2\;\sqrt{\tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right) + \sin^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}}{\cos^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \tan\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;</math>» ou encore <br>{{Al|4}}{{Transparent|le mouvement étant uniforme, l'« accélération normale vaut donc }}«<math>\;a_{n,\,M}(t) = \dfrac{2\;a\;\omega^2\;\sqrt{4\;\tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right) + 3}}{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \omega\;t \right)}\;</math>»<ref> Laquelle <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;4\;a\;\omega^2\;</math> au départ de l'Équateur à <math>\;+\infty</math> à l'arrivée au pôle Nord.</ref>{{,}}<ref> Ce résultat s'identifie avec celui de <math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert\;</math> trouvé dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Quelques_indications_pour_avoir_la_possibilité_de_déterminer_les_composantes_sphériques_du_vecteur_accélération_du_point_M_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_par_dérivation_temporelle_du_vecteur_vitesse_du_point|quelques indications pour avoir la possibilité de déterminer les composantes sphériques du vecteur accélération du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur vitesse du point]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités|Descript. et paramét. du mouv. d'un point : Généralités]] | suivant = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant|Descript. et paramét. du mouv. d'un point : Mouv. de vect. accélér. constant]] }} d0iq3qbn1aw86ckuv54xfte6qappuab 0 69148 982876 978651 2026-05-17T09:30:00Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982876 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées | idfaculté = physique | numéro = 2 | chapitre = [[../../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées/]] | précédent = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités/]] | suivant = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant/]] | niveau = 14 }} == Exemple de mouvement rectiligne défini par son abscisse horaire == {{Al|5}}Un point matériel se déplace le long de l'axe <math>\;Ox</math>, son abscisse étant donnée en fonction du temps par la loi horaire : <math>\;x = 3\, t^3 - t\;</math> <math>\big(t\;\in\; \mathbb{R}\big)</math>. === Explicitation des grandeurs cinématiques du mouvement du point === {{Al|5}}Calculer, en fonction du temps <math>\;t</math>, la vitesse <math>\;v = V_x(t)\;</math> et l'accélération <math>\;a = a_x(t)\;</math> du point le long de l'axe <math>\;Ox</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}La vitesse <math>\;v = V_x(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> le long de l'axe <math>\;Ox\;</math> s'obtient par <math>\;v = \dot{x}(t) = 9\,t^2 -1</math>. {{Al|5}}L'accélération <math>\;a = a_x(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> le long de l'axe <math>\;Ox\;</math> s'obtient par <math>\;a = \dot{v}(t) = 18\,t</math>.}} === Tracé des diagrammes horaires de vitesse et de position === {{Al|5}}Tracer les diagrammes horaires * de vitesse à savoir le graphe de l'équation horaire de vitesse <math>\;v = V_x(t)\;</math> en fonction du temps et * de position à savoir le graphe de l'équation horaire de position <math>\;x = x(t)\;</math> en fonction du temps ; {{Al|5}}Préciser la nature accélérée ou retardée du mouvement suivant les valeurs de <math>\;t</math>. {{Solution | contenu = [[File:Mouvement rectiligne défini par son abscisse horaire - diagramme horaire de vitesse.png|thumb|left|350px|Diagramme horaire de la vitesse <math>\;v(t) = 9\, t^2 - 1</math> : parabole d'axe <math>\;t = 0</math>, de concavité tournée vers les <math>\;v > 0</math>, coupant l'axe des temps pour <math>\;t = -\dfrac{1}{3}\;</math> et <math>\;t = +\dfrac{1}{3}</math>]] [[File:Mouvement rectiligne défini par son abscisse horaire - diagramme horaire de position.png|thumb|right|400px|Diagramme horaire de l'abscisse <math>\;x(t) = 3\, t^3 - t</math> : courbe de centre de symétrie <math>\;(t = 0\,,\, x = 0)</math>, extrémale pour <math>\;t = -\dfrac{1}{3}\;</math> et <math>\;t = +\dfrac{1}{3}\;</math> et s'annulant pour <math>\;t = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}</math>, <math>\;t = 0\;</math> et <math>\;t = +\dfrac{1}{\sqrt{3}}</math>]] {{Al|5}}L'étude du signe de <math>\;a(t)\;</math> nous conduit à * <math>\;v \searrow\;</math> pour <math>\;t < 0</math>, * <math>\;v \nearrow\;</math> pour <math>\;t > 0</math> ; {{Al|5}}le graphe représentant le diagramme horaire de la vitesse <math>\;\big(</math>voir ci-contre à {{Nobr|gauche<math>\big)\;</math>}} est une parabole d'axe <math>\;t = 0\;</math> et de concavité tournée vers les <math>\;v > 0</math>, <math>\;v\;</math> s'annulant pour <math>\;t = \pm \dfrac{1}{3}</math>. {{Al|5}}D'une part le graphe de <math>\;v = v(t)\;</math> nous donne le signe de <math>\;\dot{x}(t)\;</math> d'où : * <math>\;x \nearrow\;</math> pour <math>\;t < -\dfrac{1}{3}</math>, * <math>\;x \searrow\;</math> pour <math>\;-\dfrac{1}{3} < t < \dfrac{1}{3}\;</math> et * <math>\;x \nearrow\;</math> pour <math>\;t > +\dfrac{1}{3}</math> {{Al|5}}d'autre part <math>\;x(t)\;</math> s'annule pour <math>\;t = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\;</math> et pour <math>\;t = 0\;</math> <br>{{Al|5}}et enfin, <math>\;x(t)\;</math> étant impaire, le point <math>\;(0,\, 0)\;</math> est centre de symétrie de ce diagramme horaire d'où <br>{{Al|5}}le graphe représentant le diagramme horaire de l'abscisse <math>\;\big(</math>voir ci-contre à {{Nobr|droite<math>\big)</math>.}} <br> {{Al|5}}<u>Nature accélérée ou retardée du mouvement suivant les valeurs de</u><math>\;t</math> : voir sur les diagrammes, {{Al|5}}{{Transparent|Nature accélérée ou retardée du mouvement }}il suffit de se souvenir de la définition d'une <u>phase accélérée</u> réalisée si <math>\;a\, v > 0\;</math> ou {{Al|5}}{{Transparent|Nature accélérée ou retardée du mouvement il suffit de se souvenir de la définition }}d'une <u>phase retardée</u> réalisée si <math>\;a\, v < 0</math>.}} == Exemple de mouvement plan défini par ses positions horaires == {{Al|5}}But de cet exercice : déterminer le rayon de courbure de la trajectoire plane d'un point<ref name="cercle osculateur, rayon et centre de courbure d'une courbe plane"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_cercle_osculateur_en_un_point_d'une_courbe_plane,_de_centre_et_de_rayon_de_courbure_en_ce_point,_1ère_définition_du_rayon_de_courbure_d'une_courbe_plane_en_un_point_non_anguleux_de_celle-ci|notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, de centre et de rayon de courbure en ce point, 1^ère définition du rayon de courbure d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en repérage cartésien en fonction de sa position sur la trajectoire. {{Al|5}}Un point <math>\;M\;</math> a pour lois horaires cartésiennes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = 2\, t - 2\\ y = t^2 - 2\, t + 3\\z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math> dans lesquelles <math>\;t\;</math> représente la date en <math>\;s\;</math> et les longueurs sont exprimées en <math>\;cm</math>. === Détermination de l'équation cartésienne de la trajectoire === {{Al|5}}Vérifier que le mouvement est plan en précisant le plan dans lequel il se produit et {{Al|5}}déduire, des lois horaires cartésiennes du point, l'équation cartésienne de sa trajectoire. {{Solution | contenu = [[File:Exemple de trajectoire parabolique.png|thumb|350px|Trajectoire d'équations paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = 2\, t - 2\\ y = t^2 - 2\, t + 3\end{array}\right\rbrace\;</math> parabolique dans le plan <math>\;(xOy)</math>, d'axe <math>\;Ox</math>, de concavité tournée vers les <math>\;y > 0\;</math> et de sommet <math>\;S\, \left(0,\, 2\right)\;</math> atteint à l'instant <math>\;t = 1\, s</math>]] {{Al|5}}L'équation <math>\;z = 0\;</math> étant celle du plan <math>\;(xOy)</math>, on en conclut que la trajectoire du point <math>\;M\;</math> est plane contenue dans le plan <math>\;(xOy)</math> ; {{Al|5}}pour déterminer l'équation cartésienne de la trajectoire dans le plan <math>\;(xOy)\;</math> il suffit d'éliminer <math>\;t\;</math> entre les deux 1^ères équations paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = 2\, t - 2\\y = t^2 - 2\, t + 3\end{array}\right\rbrace</math>, ce qui donne <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} t = \dfrac{x}{2} + 1\\ y = \left( \dfrac{x}{2} + 1 \right)^2 - 2 \left( \dfrac{x}{2} + 1 \right) + 3\end{array}\right\rbrace\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour déterminer }}l'équation cartésienne <math>\;y = \dfrac{x^2}{4} + 2\;</math> caractérisant une <u>parabole</u> <math>\succ\;</math>d'axe <math>\;Ox</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour déterminer l'équation cartésienne <math>\;\color{transparent}{y = \dfrac{x^2}{4} + 2}\;</math> caractérisant une parabole }}<math>\succ\;</math>de concavité vers les <math>\;y > 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour déterminer l'équation cartésienne <math>\;\color{transparent}{y = \dfrac{x^2}{4} + 2}\;</math> caractérisant une parabole }}<math>\succ\;</math>de sommet <math>\;S\;\left( 0\,,\, 2 \right)\;</math> <math>\bigg[</math>le sommet <math>\;S\;</math> étant tel que <math>\;x_S = 0\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour déterminer l'équation cartésienne <math>\;\color{transparent}{y = \dfrac{x^2}{4} + 2}\;</math> caractérisant une parabole <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>de sommet <math>\;\color{transparent}{S\;\left( 0\,,\, 2 \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bigg[}</math>}}atteint à l'instant <math>\;t_S = \dfrac{x_S}{2} + 1 = 1\, s\bigg]</math> : {{Al|5}}{{Transparent|pour déterminer l'équation cartésienne <math>\;\color{transparent}{y = \dfrac{x^2}{4} + 2}\;</math> caractérisant une parabole }}<math>\succ\;</math>de concavité vers les <math>\;y > 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour déterminer l'équation cartésienne <math>\;\color{transparent}{y = \dfrac{x^2}{4} + 2}\;</math> caractérisant une parabole }}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>voir tracé ci-contre.}} === Détermination des grandeurs cinématiques du mouvement du point === {{Al|5}}Déterminer, en fonction du temps <math>\;t</math>, les grandeurs cinématiques vectorielles <math>\;\big(</math>par leurs composantes dans le plan du mouvement du point<math>\big)\;</math> ou scalaires ci-dessous : * les composantes cartésiennes du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, * la vitesse instantanée <math>\;v_M(t)\;</math><ref name="vitesse instantanée"> On rappelle qu'il s'agit de la composante de Frenet du vecteur vitesse, celle-ci étant <math>\;> 0\;</math> si le mouvement se fait dans le sens <math>\;+\;</math> choisi sur la trajectoire et <math>\;< 0\;</math> s'il se fait dans le sens opposé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref>, * les composantes cartésiennes du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)</math>, * l'accélération tangentielle <math>\;a_{\tau,\,M}(t)\;</math><ref name="accélération tangentielle"> On rappelle qu'il s'agit de la composante de Frenet du vecteur accélération suivant le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}_M</math>, celle-ci s'évaluant à partir de la variation de la vitesse instantanée {{Nobr|<math>\;v_M(t)</math>,}} voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_locales_de_Frenet_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_accélérations_tangentielle_et_normale_du_point|composantes locales de Frenet du vecteur accélération du points repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français, voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#cite_note-vitesse_instantanée-1|¹]] » plus haut dans cet exercice pour plus de détails.</ref> et * l'accélération normale <math>\;a_{n,\,M}(t)\;</math><ref name="accélération normale"> On rappelle qu'il s'agit de la composante de Frenet du vecteur accélération suivant le vecteur unitaire normal <math>\;\big(</math>principal<math>\big)</math> <math>\;\vec{n}_M</math>, celle-ci dépendant de la vitesse instantanée <math>\;v_M(t)\;</math> ainsi que du rayon de courbure <math>\;\mathcal{R}_M\;</math> de la trajectoire en la position du point à l'instant <math>\;t</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_locales_de_Frenet_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_accélérations_tangentielle_et_normale_du_point|composantes locales de Frenet du vecteur accélération du points repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français, voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#cite_note-vitesse_instantanée-1|¹]] » plus haut dans cet exercice pour plus de détails.</ref>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}<u>Composantes cartésiennes du vecteur vitesse</u> : elles s'obtiennent par dérivation temporelle des lois horaires cartésiennes soit <math>\;\vec{V}_M(t)\;\left\lbrace\begin{array}{l}V_x(t) = \dot{x}(t) = 2\\V_y(t) = \dot{y}(t) = 2\;t - 2\\V_z(t) = \dot{z}(t) = 0\end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|5}}<u>vitesse instantanée</u><ref name="vitesse instantanée" /> : sa valeur absolue s'identifie à la norme du vecteur vitesse soit <math>\;\vert v_M(t) \vert = \Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{V_x^2(t) + V_y^2(t) + V_z^2(t)} = \sqrt{4 + 4\,\left( t - 1 \right)^2} = 2\;\sqrt{t^2 - 2\;t + 2}</math> ; <br>{{Al|9}}{{Transparent|vitesse instantanée : }}cherchons les éventuels zéros de <math>\;\vert v_M(t) \vert</math>, le polynôme du 2^ème degré admettant pour discriminant réduit <math>\;\Delta' = (-1)^2 - 2 = -1 < 0</math>, n'a pas de zéros réels et par suite, le mouvement ne change pas de sens sur la trajectoire, <math>\;v_M(t)\;</math> sera donc <math>\;> 0\;</math> si on choisit le sens <math>\;+\;</math> dans le sens du mouvement, à savoir dans le sens des <math>\;x \nearrow\;</math> d'où <math>\;v_M(t) = 2\;\sqrt{t^2 - 2\;t + 2}</math> ; {{Al|5}}<u>composantes cartésiennes du vecteur accélération</u> : elles s'obtiennent par dérivation temporelle des lois horaires cartésiennes de vitesse <math>\;\big(</math>ou en prenant les dérivées temporelles 2^ndes des lois horaires {{Nobr|cartésiennes<math>\big)\;</math>}} soit <math>\;\vec{a}_M(t)\;\left\lbrace\begin{array}{l}a_x(t) = \dot{V_x}(t) = \ddot{x}(t) = 0\\a_y(t) = \dot{V_y}(t) = \ddot{y}(t) = 2\\a_z(t) = \dot{V_z}(t) = \ddot{z}(t) = 0\end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|5}}<u>accélération tangentielle</u><ref name="accélération tangentielle" /> : elle s'obtient par dérivation temporelle de la vitesse instantanée soit <math>\;a_{\tau,\,M}(t) = \dot{v}_M(t) = 2\; \dfrac{1}{2} \left( t^2 - 2\, t + 2 \right)^{-\frac{1}{2}} \left( 2\, t - 2 \right)\;</math> et finalement <math>\;a_{\tau,\,M}(t) = \dfrac{2 \left( t - 1 \right)}{\sqrt{t^2 - 2\, t + 2}}</math> ; {{Al|5}}<u>accélération normale</u><ref name="accélération normale" /> : utilisant <math>\;a_{n,\,M}(t) = \sqrt{\Vert \vec{a}_M(t) \Vert^2 - a_{\tau,\,M}^2(t)}\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{a}_M(t) = a_{\tau,\,M}(t)\;\vec{\tau}_M + a_{n,\,M}(t)\;\vec{n}_M\;</math> avec <math>\;\left( \vec{\tau}_M\,,\,\vec{n}_M \right)\;</math> la base orthonormée de Frenet liée au point <math>\;M\;</math> d'où le résultat énoncé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français, voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#cite_note-vitesse_instantanée-1|¹]] » plus haut dans cet exercice pour plus de détails.</ref>, il faut commencer par déterminer <math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert\;</math> mais, sans calcul, on trouve <math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = 2 </math> ; <br>{{Al|9}}{{Transparent|accélération normale : }}on en déduit <math>\;a_{n,\,M}(t) = \sqrt{(2)^2 - \left[ \dfrac{2 \left( t - 1 \right)}{\sqrt{t^2 - 2\, t + 2}} \right]^2} = 2\;\sqrt{\dfrac{\left( t^2 - 2\, t + 2 \right) - \left( t - 1 \right)^2}{t^2 - 2\, t + 2}} = \dfrac{2}{\sqrt{t^2 - 2\, t + 2}}</math>.}} === Détermination du rayon de courbure de la trajectoire du point en fonction de la position de ce dernier === {{Al|5}}Déduire, de ce qui précède, l'expression du rayon de courbure <math>\;\mathcal{R}_M(t)\;</math> de la trajectoire du point<ref name="cercle osculateur, rayon et centre de courbure d'une courbe plane" /> quand ce dernier est positionné à la date <math>\;t</math>, {{Al|5}}évaluer le aux dates <math>\;t_0 = 0\;</math> et <math>\;t_1 = 1\;s\;</math> puis {{Al|5}}commenter les résultats obtenus. {{Solution | contenu ={{Al|5}}On utilise <math>\;a_{n,\,M}(t) = \dfrac{\left[ v_M(t) \right]^2}{\mathcal{R}_M(t)}\;</math><ref name="accélération normale" /> soit <math>\;\mathcal{R}_M(t) = \dfrac{\left[ v_M(t) \right]^2}{a_{n,\,M}(t)} = \dfrac{4 \left( t^2 - 2\, t + 2 \right)}{\dfrac{2}{\sqrt{t^2 - 2\, t + 2}}} = 2\, \left( t^2 - 2\, t + 2 \right)^{\frac{3}{2}}</math>. {{Al|5}}<u>Évaluation du rayon de courbure de la parabole<ref name="cercle osculateur, rayon et centre de courbure d'une courbe plane" /> à des instants particuliers</u> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \mathcal{R}(t = 0) = 4\, \sqrt{2}\\\mathcal{R}(t = 1) = 2\end{array} \right\rbrace\;</math> nous conduit à <math>\;\mathcal{R}(t = 1) < \mathcal{R}(t = 0)</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|Évaluation du rayon de courbure de la parabole à des instants particuliers : }}ceci est en accord avec le fait que <math>\;M\;</math> est au sommet de la parabole à <math>\;t = 1\, s\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Évaluation du rayon de courbure de la parabole à des instants particuliers : ceci est en accord avec le fait }}que c'est au sommet que le rayon de courbure<ref name="cercle osculateur, rayon et centre de courbure d'une courbe plane" /> est minimal sur une parabole.}} == Lancement d'une torpille sur un navire == [[File:Lancement d'une torpille sur un navire.png|thumb|350px|Schéma de situation initiale lorsqu'un sous-marin immobile, stationnant en surface, lance une torpille en direction d'un navire en mouvement rectiligne uniforme]] {{Al|5}}Un navire <math>\;N\;</math> est animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}\;</math> le long d'une droite <math>\;(D)</math>. {{Al|5}}Un sous-marin immobile <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>que nous supposerons en surface pour simplifier l'étude<ref> Sans se poser de questions sur la possibilité qu'a le commandant du navire de détecter le sous-marin.</ref> et bien sûr en dehors de la trajectoire du navire<math>\big)\;</math> tire une torpille <math>\;T\;</math> à l'instant où l'angle <math>\;\widehat{(\vec{V},\, \overrightarrow{NS})}\;</math> a la valeur <math>\;\alpha\;</math> <math>\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math>. === Détermination de la valeur de l'angle de tir θ pour que la torpille coule le navire === {{Al|5}}La torpille lancée <math>\;T\;</math> étant animée d'un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse de norme <math>\;U</math>, quelle doit être la valeur de l'angle de tir <math>\;\theta = \widehat{(\overrightarrow{SN},\, \vec{U})}\;</math> si le commandant du sous-marin veut couler le navire <math>\;N</math>. <br> {{Solution | contenu = [[File:Lancement d'une torpille sur un navire - bis.png|thumb|350px|Schéma de situation initiale lorsqu'un sous-marin immobile, stationnant en surface, lance une torpille en direction d'un navire en mouvement rectiligne uniforme avec choix d'une base cartésienne et d'une origine des espaces]] {{Al|5}}On choisit un repérage de la position du navire à l'instant <math>\;t\;</math> que l'on note <math>\;N_t\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On choisit un repérage }}de celle de la torpille au même instant que l'on note <math>\;T_t\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On choisit un repérage }}de façon à faire apparaître aisément les angles <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;\theta\;</math> <math>\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On choisit un repérage }}<math>\Rightarrow</math> le choix <math>\succ\;</math>de la base cartésienne <math>\;(\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On choisit un repérage <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le choix }}<math>\succ\;</math>de l'origine <math>\;O\;</math> en <math>\;N_0</math>, position du navire à l'instant <math>\;0</math>, la position de la torpille au même instant <math>\;T_0\;</math> étant confondue avec celle du sous-marin <math>\;S\;</math> située à la distance <math>\;d\;</math> de <math>\;N_0</math>. {{Al|5}}La torpille <math>\;T_t\;</math> atteindra son objectif <math>\;N_t\;</math> si elle arrive au même endroit <math>\;I\;</math> au même instant <math>\;t_I</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La torpille <math>\;\color{transparent}{T_t}\;</math> atteindra son objectif <math>\;\color{transparent}{N_t}\;</math> }}pour cela il est nécessaire de connaître les lois horaires des mouvements de <math>\;T_t\;</math> et <math>\;N_t</math> : * <u>lois horaires du mouvement de</u><math>\;N_t</math> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_N(t) = \left[ V\, \cos(\alpha) \right]\, t\\y_N(t) = \left[ V\, \sin(\alpha) \right]\, t\end{array}\right\rbrace\;</math> et * <u>lois horaires du mouvement de</u><math>\;T_t</math> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_T(t) = -\left[ U\, \cos(\theta) \right]\, t + d\\y_T(t) = \left[ U\, \sin(\theta) \right]\, t\end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|5}}transcrivons que <math>\;T_t\;</math> et <math>\;N_t</math> ont même position <math>\;I\;</math> au même instant <math>\;t_I\;</math> soit <math>\; I\, \left\lbrace \begin{array}{l} \left[ V\, \cos(\alpha) \right]\, t_I = -\left[ U\, \cos(\theta) \right]\, t_I + d\\ \left[ V\, \sin(\alpha) \right]\, t_I = \left[ U\, \sin(\theta) \right]\, t_I\end{array}\right\rbrace</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>la 2^nde équation nous fournit la relation cherchée <math>\;V\, \sin(\alpha) = U\, \sin(\theta)\;\;(\mathfrak{a})\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>la 1^ère la durée <math>\;t_I\;</math> nécessaire pour que la torpille atteigne son but <math>\;t_I = \dfrac{d}{V\, \cos(\alpha) + U\, \cos(\theta)}\;\; (\mathfrak{b})</math> ; {{Al|5}}il est possible, à partir de <math>\;(\mathfrak{a})</math>, de déduire <math>\;\theta\;</math> en fonction de <math>\;\alpha</math>, <math>\;U\;</math> et <math>\;V\;</math> d'où <center>«<math>\;\sin(\theta) = \dfrac{V}{U}\; \sin(\alpha)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\theta = \arcsin\! \left[ \dfrac{V}{U}\; \sin(\alpha) \right]\;</math>».</center>}} === Détermination de la valeur de l'angle α pour minimaliser la durée de tir de la torpille === {{Al|5}}Le commandant du sous-marin souhaitant que la torpille <math>\;T\;</math> atteigne le navire <math>\;N\;</math> en un temps minimal, attend que l'angle <math>\;\alpha\;</math> acquiert une valeur <math>\;\alpha_0\;</math><ref> Le sous-marin étant immobile et le navire se déplaçant sur la droite <math>\;(D)</math>, <math>\;\alpha \nearrow\;</math> avec le temps <math>\;\big(</math>phase d'approche de <math>\;N\big)\;</math> pour ensuite continuer de <math>\;\nearrow\;</math> en étant obtus <math>\;\big(</math>phase d'éloignement de <math>\;N\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}déterminer la valeur <math>\;\alpha_0\;</math> de <math>\;\alpha\;</math> pour qu'il en soit ainsi ; {{Al|5}}calculer alors la valeur de l'angle de tir <math>\;\theta_0\;</math> correspondant ; {{Al|5}}discuter suivant les normes des vitesses comparées du navire et de la torpille. {{Solution | contenu ={{Al|5}}On souhaite maintenant que <math>\;t_I\;</math> soit <u>minimal</u> ; pour cela il faut que le sous-marin <math>\;S\;</math> attende que <math>\;N\;</math> occupe une position telle que la distance <math>\;SI\;</math> soit minimale c'est-à-dire <math>\;\perp\;</math> à la direction du mouvement de <math>\;N\;</math><ref> <math>\;S\;</math> étant immobile et <math>\;N\;</math> mobile, le fait que <math>\;S\;</math> attende correspond à une <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\alpha\;</math> à partir de la valeur <math>\;0\;</math> <math>\big[</math>valeur de départ avec <math>\;N\;</math> éloigné à l'infini de <math>\;S\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit que <math>\;\alpha_0 + \theta_0 = \dfrac{\pi}{2}\;</math><ref> On note avec un indice <math>\;_0\;</math> les valeurs correspondantes à une durée minimale de tir.</ref> d'où <math>\;\theta_0 = \dfrac{\pi}{2} - \alpha_0\;</math> que l'on reporte dans <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> soit <math>\;V\, \sin(\alpha_0) = U\, \sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \alpha_0 \right)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;V\, \sin(\alpha_0) = U\, \cos(\alpha_0)\;</math> et finalement <center>«<math>\;\tan(\alpha_0) = \dfrac{U}{V}\;</math>» ou, en inversant, «<math>\;\alpha_0 = \arctan\! \left[ \dfrac{U}{V} \right]\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Valeur de l'angle de tir</u><math>\;\theta_0\;</math><u>correspondant</u> : <math>\;\theta_0 = \dfrac{\pi}{2} - \alpha_0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\alpha_0 = \dfrac{\pi}{2} - \theta_0\;</math> avec <math>\;\tan(\alpha_0) = \dfrac{U}{V}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \theta_0 \right) = \dfrac{U}{V}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\cot(\theta_0) = \dfrac{U}{V}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{\tan(\theta_0)} = \dfrac{U}{V}\;</math> et par suite <center>«<math>\;\tan(\theta_0) = \dfrac{V}{U}\;</math>» ou, en inversant, «<math>\;\theta_0 = \arctan \left[ \dfrac{V}{U} \right]\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Discussion</u> : si <math>\;U \gg V</math>, <math>\;\alpha_0 \simeq \dfrac{\pi}{2}\;</math> et <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> la moindre petite erreur sur la direction de lancement de la torpille fera que cette dernière manquera son but<ref> En fait, comme le navire n'est pas ponctuel, cela n'est pas très grave car la trajectoire de la torpille peut couper la droite <math>\;(D)\;</math> en beaucoup de points <math>\;I\;</math> entourant le projeté orthogonal de <math>\;S\;</math> sur <math>\;(D)\;</math> et le risque encouru par le commandant du navire reste entier.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Discussion : }}si <math>\;U \simeq V\;</math><ref> Ce qui n'est pas très réaliste car, en principe une torpille est beaucoup plus rapide qu'un navire.</ref>, <math>\;\alpha_0 \simeq \dfrac{\pi}{4}\;</math> et <math>\;\theta_0 \simeq \dfrac{\pi}{4}</math>, <math>\;\theta_0\;</math> n'étant plus très petit, la réussite du tir autorise une petite erreur sur la direction de lancement de la torpille. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On pouvait aussi écrire la condition pour que <math>\;t_I\;</math> fonction de <math>\;\alpha\;</math> et de <math>\;\theta(\alpha)\;</math><ref> La solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Détermination_de_la_valeur_de_l'angle_de_tir_θ_pour_que_la_torpille_coule_le_navire|détermination de la valeur de l'angle de tir θ pour que la torpille coule le navire]] » plus haut dans l'exercice ayant permis d'obtenir la relation <math>\;\theta = \theta(\alpha)</math>.</ref>, soit minimale par la C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. <math>\;\dfrac{d t_I}{d \alpha} = 0\;</math> voir exposé ci-dessous : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le plus simple serait alors de différencier <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> ainsi que <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> <math>\ldots</math> mais la distance <math>\;d\;</math> n'est pas constante dans <math>\;(\mathfrak{b})</math>, mais fonction de <math>\;\alpha</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> <math>\color{transparent}{\ldots}</math> mais la distance <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> n'est pas constante }}<math>\bigg[</math>ce qui reste constant c'est la distance orthogonale <math>\;h\;</math> entre <math>\;S\;</math> et la trajectoire de <math>\;N\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> <math>\color{transparent}{\ldots}</math> mais la distance <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> n'est pas constante <math>\color{transparent}{\bigg[}</math>ce qui reste constant }}<math>\;h = d\, \sin(\alpha)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;d = \dfrac{h}{\sin(\alpha)}\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> <math>\color{transparent}{\ldots}</math> }}il convient donc de commencer par éliminer <math>\;d\;</math> au profit de <math>\;h\;</math> d'où la nouvelle expression <math>\;(\mathfrak{b'})\;</math> de <math>\;t_I\;</math> en fonction de <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;\theta</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> <math>\color{transparent}{\ldots}</math> il convient donc de commencer par éliminer <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{h}\;</math> d'où }}«<math>\;t_I = \dfrac{h}{\sin(\alpha)\left[ V\, \cos(\alpha) + U\, \cos(\theta) \right]}\;\; (\mathfrak{b'})\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> }}<math>\;t_I\;</math> s'écrivant <math>\;\dfrac{h}{D\! \left[ \alpha,\, \theta(\alpha) \right]}\;</math> avec <math>\;h\;</math> constant et le dénominateur <math>\;D\! \left[ \alpha,\, \theta(\alpha) \right] = \sin(\alpha) \left[ V\, \cos(\alpha) + U\, \cos(\theta) \right]\;\; (\mathfrak{c})\;</math> variable, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> }}<math>\;t_I\;</math> sera minimal si <math>\;D\! \left[ \alpha,\, \theta(\alpha) \right]\;</math> est maximal, il serait donc plus judicieux d'écrire cette dernière exigence par la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\dfrac{d D}{d \alpha} = 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> <math>\;\color{transparent}{t_I}\;</math> sera minimal si <math>\;\color{transparent}{D\! \left[ \alpha,\, \theta(\alpha) \right]}\;</math> est maximal, il serait donc plus judicieux }}pour cela de différencier <math>\;(\mathfrak{c})\;</math> <math>\big\{</math>au lieu de <math>\;(\mathfrak{b})\big\}\;</math> ainsi que <math>\;(\mathfrak{a})</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> }}<math>\;d(\mathfrak{c})\;\text{:}\; d D = \cos(\alpha)\, d \alpha \left[ V\, \cos(\alpha) + U\, \cos(\theta) \right] + \sin(\alpha) \left[ -V\, \sin(\alpha)\, d \alpha - U\, \sin(\theta)\, d \theta \right]\;</math> se réécrivant, après regroupement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> }}<math>\;d(\mathfrak{c})\;\text{:}\; d D = \left\lbrace V \left[ \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \right] + U\, \cos(\alpha)\, \cos(\theta) \right\rbrace d \alpha - U\, \sin(\alpha)\, \sin(\theta)\, d \theta\;</math> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> }}<math>\;d(\mathfrak{a})\;\text{:}\; V\, \cos(\alpha)\, d \alpha = U\, \cos(\theta)\, d \theta\;</math> dont on tire <math>\;d \theta\;</math> en fonction de <math>\;d \alpha\;</math> selon «<math>\;d \theta = \dfrac{V\, \cos(\alpha)}{U\, \cos(\theta)}\; d \alpha\;</math>» puis, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> }}en reportant dans <math>\;d(\mathfrak{c})</math>, on obtient «<math>\;d D = \left\lbrace V \left[ \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \right] + U\, \cos(\alpha)\, \cos(\theta) \right\rbrace d \alpha - U\, \sin(\alpha)\, \sin(\theta)\, \dfrac{V\, \cos(\alpha)}{U\, \cos(\theta)}\, d \alpha\;</math>», <br>{{Al|76}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> en reportant dans <math>\;\color{transparent}{d(\mathfrak{c})}</math>, on obtient }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : le plus simple serait alors de différencier <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> ainsi que <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> en reportant dans <math>\;\color{transparent}{d(\mathfrak{c})}</math>, on obtient }}«<math>\;\dfrac{dD}{d \alpha} = V \left[ \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \right] + U\, \cos(\alpha)\, \cos(\theta) - V\, \sin(\alpha)\, \cos(\alpha)\, \tan(\theta)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}il faut maintenant éliminer <math>\;\cos(\theta)\;</math> et <math>\;\tan(\theta)\;</math> au profit de <math>\;\alpha\;</math> à l'aide de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math><ref> Laquelle, ne faisant intervenir que <math>\;\sin(\theta)</math>, suggère d'expliciter <math>\;\cos(\theta)\;</math> et <math>\;\tan(\theta)\;</math> uniquement en fonction de <math>\;\sin(\theta)</math>.</ref>, d'où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)}\\ \tan(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \dfrac{\sin(\theta)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} \end{array} \right\rbrace\;</math> et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : il faut maintenant }}en y reportant l'expression de <math>\;\sin(\theta)\;</math> en fonction de <math>\;\sin(\alpha)\;</math> c'est-à-dire <math>\;\sin(\theta) = \dfrac{V}{U}\,\sin(\alpha)\;</math><ref> Tirée de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>.</ref>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \cos(\theta) = \sqrt{1 - \dfrac{V^2}{U^2} \sin^2(\alpha)} = \dfrac{\sqrt{U^2 - V^2\, \sin^2(\alpha)}}{U}\\ \tan(\theta) = \dfrac{\dfrac{V}{U} \sin(\alpha)}{\sqrt{1 - \dfrac{V^2}{U^2} \sin^2(\alpha)}} = \dfrac{V\, \sin(\alpha)}{\sqrt{U^2 - V^2\, \sin^2(\alpha)}}\end{array}\right\rbrace</math>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : il faut maintenant en y reportant l'expression de <math>\;\color{transparent}{\sin(\theta)}\;</math> en fonction de <math>\;\color{transparent}{\sin(\alpha)}\;</math> }}«<math>\;\dfrac{dD}{d \alpha} = V \left[ \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \right] + \cos(\alpha)\, \sqrt{U^2 - V^2\, \sin^2(\alpha)} - \dfrac{V^2\, \sin^2(\alpha)\, \cos(\alpha)}{\sqrt{U^2 - V^2\, \sin^2(\alpha)}}\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : il faut maintenant en y reportant l'expression de <math>\;\color{transparent}{\sin(\theta)}\;</math> en fonction de <math>\;\color{transparent}{\sin(\alpha)}\;</math> }}«<math>\;\dfrac{dD}{d \alpha} = V \left[ \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \right] - \dfrac{\left[ 2\, V^2\, \sin^2(\alpha) - U^2 \right] \cos(\alpha)}{\sqrt{U^2 - V^2\, \sin^2(\alpha)}}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la C.N<ref name="C.N." />. de maximum de <math>\;D\;</math> à savoir <math>\;\dfrac{dD}{d \alpha} = 0\;</math> s'écrit donc «<math>\;V \left[ \cos^2(\alpha_0) - \sin^2(\alpha_0) \right] \sqrt{U^2 - V^2\, \sin^2(\alpha_0)} = \left[ 2\, V^2\, \sin^2(\alpha_0) - U^2\, \right] \cos(\alpha_0)\;</math>» ou encore <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : la C.N. de maximum de <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> à savoir <math>\;\color{transparent}{\dfrac{dD}{d \alpha} = 0}\;</math> s'écrit donc }}«<math>\;\sqrt{U^2 - V^2\, \sin^2(\alpha_0)} = \dfrac{\left[ 2\, V^2\, \sin^2(\alpha_0) - U^2 \right] \cos(\alpha_0)}{V \left[ \cos^2(\alpha_0) - \sin^2(\alpha_0) \right]}\;</math>» soit, en élevant au carré <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : la C.N. de maximum de <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> à savoir <math>\;\color{transparent}{\dfrac{dD}{d \alpha} = 0}\;</math> s'écrit donc }}«<math>\; U^2 - V^2\, \sin^2(\alpha_0) = \dfrac{\left[ 2\, V^2\, \sin^2(\alpha_0) - U^2 \right]^2 \cos^2(\alpha_0)}{V^2 \left[ \cos^2(\alpha_0) - \sin^2(\alpha_0) \right]^2}\;</math>», puis en multipliant par le dénominateur du 2^nd membre <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : la C.N. de maximum de <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> à savoir <math>\;\color{transparent}{\dfrac{dD}{d \alpha} = 0}\;</math> s'écrit donc }}«<math>\;\left[ U^2 - V^2\, \sin^2(\alpha_0) \right] V^2 \left[ \cos^2(\alpha_0) - \sin^2(\alpha_0) \right]^2 = \left[ 2\, V^2\, \sin^2(\alpha_0) - U^2 \right]^2 \cos^2(\alpha_0)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}après développement et simplification on obtient «<math>\left[ U^2 - V^2\, \sin^2(\alpha_0) \right] V^2 \left[ \cos^4(\alpha_0) + \sin^4(\alpha_0) - 2\, \sin^2(\alpha_0)\, \cos^2(\alpha_0) \right] = \left[ 4\, Y^4\, \sin^4(\alpha_0) + U^4 - 4\, U^2\, V^2\, \sin^2(\alpha_0) \right] \cos^2(\alpha_0)\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;U^2\, V^2 \left[ \cos^4(\alpha_0) + \sin^4(\alpha_0) - 2\, \sin^2(\alpha_0)\, \cos^2(\alpha_0) \right] - V^4\, \sin^2(\alpha_0) \left[ \cos^4(\alpha_0) + \sin^4(\alpha_0) - 2\, \sin^2(\alpha_0)\, \cos^2(\alpha_0) \right] = \cdots</math> <br>{{Al|180}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\cdots\;4\, V^4\, \sin^4(\alpha_0)\, \cos^2(\alpha_0) + U^4\, \cos^2(\alpha_0) - 4\, U^2\, V^2\, \sin^2(\alpha_0)\, \cos^2(\alpha_0)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;U^2\, V^2 \left[ \cos^4(\alpha_0) + \sin^4(\alpha_0) + 2\, \sin^2(\alpha_0)\, \cos^2(\alpha_0) \right] - V^4\, \sin^2(\alpha_0) \left[ \cos^4(\alpha_0) + \sin^4(\alpha_0) + 2\, \sin^2(\alpha_0)\, \cos^2(\alpha_0) \right] = U^4\, \cos^2(\alpha_0)\;</math>» et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en reconnaissant le développement de <math>\;\left[ \sin^2(\alpha_0) + \cos^2(\alpha_0) \right]^2 = 1\;</math> dans l'expression <math>\;\cos^4(\alpha_0) + \sin^4(\alpha_0) + 2\, \sin^2(\alpha_0)\, \cos^2(\alpha_0)\;</math> on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;U^2\, V^2 - V^4\, \sin^2(\alpha_0) = U^4\, \cos^2(\alpha_0)\;</math>» ; pour terminer, on peut diviser par <math>\;\cos^2(\alpha_0)\;</math> pour faire apparaître <math>\;\tan^2(\alpha_0)\;</math> soit «<math>\;\dfrac{U^2\, V^2}{\cos^2(\alpha_0)} - V^4\, \tan^2(\alpha_0) = U^4\;</math>» ou, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en utilisant <math>\;\dfrac{1}{\cos^2(\alpha_0)} = 1 + \tan^2(\alpha_0)</math>, l'équation se réécrit «<math>\;U^2\, V^2 \left[ 1 + \tan^2(\alpha_0) \right] - V^4 \tan^2(\alpha_0) = U^4\;</math>» ou «<math>\;V^2\, \tan^2(\alpha_0) \left[ U^2 - V^2 \right] = U^2 \left[ U^2 - V^2 \right]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\tan^2(\alpha_0) = \dfrac{U^2}{V^2}\;</math>» ; <center>l'angle <math>\;\alpha_0\;</math> algébrisé étant choisi aigu, on en déduit «<math>\;\tan(\alpha_0) = \dfrac{U}{V}\;</math>»<ref> Ce n'était évidemment pas la bonne méthode, mais on pouvait y arriver, même si c'est quant même beaucoup trop compliqué.</ref>.</center>}} == Vol d'insecte == [[File:Vol d'insecte, repérage polaire.png|thumb|Schéma de situation, à l'instant <math>\;t</math>, du vol d'un insecte <math>\;M\;</math> à norme de vecteur vitesse constante et à angle entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux <math>\;O\;</math> constant, le repérage de <math>\;M\;</math> étant polaire de pôle <math>\;O</math>]] {{Al|5}}Un insecte assimilé un point mobile <math>\;M\;</math> en mouvement plan dans le plan <math>\;xOy</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un insecte }}vole à vitesse de norme constante <math>\;\Vert \vec{V}_M \Vert = v_0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un insecte vole }}de sorte que l'angle <math>\;\alpha\;</math> entre <math>\;\vec{V}_M\;</math> et la visée d'un point lumineux <math>\;O\;</math> <math>\big(</math>visée de l'insecte définie par <math>\;\overrightarrow{MO}\big)\;</math> soit constant ; {{Al|5}}on suppose <math>\;\widehat{(\vec{V}_M,\, \overrightarrow{MO})} = \alpha > 0\;</math> <math>\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math>. === Détermination des composantes polaires du vecteur vitesse de l'insecte et de la loi horaire donnant la distance séparant ce dernier de son point de visée === {{Al|5}}Exprimer, en fonction de <math>\;v_0\;</math> et <math>\;\alpha</math>, les composantes polaires du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M\;</math> de l'insecte ; {{Al|5}}sachant qu'à l'instant initial <math>\;t = 0</math>, la distance <math>\;\rho\;</math> séparant l'insecte de son point de visée vaut <math>\;\rho_0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sachant }}que l'on choisit l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> passant par la position initiale de l'insecte c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sachant }}que l'angle polaire de l'insecte vaut <math>\;\theta_0 = 0</math>, <br>{{Al|5}}déduire, de l'expression de la vitesse radiale, la loi horaire <math>\;\rho = \rho(t)\;</math> en fonction de <math>\;v_0</math>, <math>\;\rho_0</math>, <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;t</math>. {{Solution | contenu = [[File:Vol d'insecte, repérage polaire - bis.png|thumb|Schéma de situation, à l'instant <math>\;t</math>, du vol d'un insecte <math>\;M\;</math> à norme de vecteur vitesse constante et à angle entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux <math>\;O\;</math> constant, le repérage de <math>\;M\;</math> étant polaire de pôle <math>\;O\;</math> et de base polaire représentée en rouge]] {{Al|5}}Les composantes polaires du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> s'obtiennent par projection de ce dernier sur la base polaire <math>\;(\vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\theta)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les composantes polaires du vecteur vitesse }}<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> étant de norme <math>\;v_0\;</math> constante et faisant un angle <math>\;\alpha\;</math> constant<ref> <math>\;> 0\;</math> sur le schéma comme l'angle <math>\;\theta</math>.</ref> avec <math>\;\overrightarrow{MO} = -\rho\, \vec{u}_\rho</math>, on en tire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les composantes polaires du vecteur vitesse }}d'une part, par projection, les composantes polaires de <math>\;\vec{V}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l} V_\rho(t) = -v_0\, \cos(\alpha)\\V_\theta(t) = v_0\, \sin(\alpha)\end{array}\right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les composantes polaires du vecteur vitesse }}d'autre part, par définition du vecteur vitesse, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_\rho(t) = \dot{\rho}(t)\\V_\theta(t) = \rho(t)\;\dot{\theta}(t)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> d'où <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c r} V_\rho(t) \!\!&=&\!\! \dot{\rho}(t) \!\!&=&\!\! -v_0\, \cos(\alpha) \\ V_\theta(t) \!\!&=&\!\! \rho(t)\;\dot{\theta}(t) \!\!&=&\!\! v_0\, \sin(\alpha) \end{array} \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour déterminer la loi horaire <math>\;\rho = \rho(t)</math>, il suffit d'intégrer l'expression de <math>\;\dot{\rho} = -v_0\, \cos(\alpha)\;</math> soit <math>\;\rho(t) = -v_0\, \cos(\alpha)\, t + cste\;</math> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer la loi horaire <math>\;\color{transparent}{\rho = \rho(t)}</math>, il suffit d'intégrer }}avec la C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. adaptée à savoir <math>\;\rho(0) = \rho_0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer }}la loi horaire se réécrit selon «<math>\;\rho = \rho_0 - v_0\, \cos(\alpha)\, t\;</math>».}} === Détermination des composantes polaires du vecteur accélération de l'insecte === {{Al|5}}Exprimer les composantes polaires du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M\;</math> de l'insecte * en fonction de <math>\;v_0</math>, <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;\rho\;</math><ref> Il sera judicieux de penser à la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale et de faire apparaître, dans les composantes polaires du vecteur accélération, les composantes polaires du vecteur vitesse (lesquelles sont connues).</ref> puis * en fonction de <math>\;v_0</math>, <math>\;\rho_0</math>, <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;t</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Les composantes polaires du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> s'obtiennent par <math>\;\vec{a}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l} a_\rho(t) = \ddot{\rho}(t) - \rho(t) \left[ \dot{\theta}(t) \right]^{\!2}\\ a_\theta(t) = \dfrac{1}{\rho(t)}\, \dfrac{d\! \left[ \rho^2(t)\, \dot{\theta}(t) \right]}{dt} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale"> On utilise la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale, voir le sous paragraphe « autre forme de l'accélération orthoradiale » du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », mais le calcul aurait pu être fait avec la forme “non semi-intégrée” de l'accélération orthoradiale.</ref> ou, avec <math>\;\dot{\rho}(t) = -v_0\,\cos(\alpha) = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{\rho}(t) = 0\;</math> ainsi que <br>{{Al|69}}{{Transparent|Les composantes polaires du vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> s'obtiennent par <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> ou, avec }}<math>\rho(t)\, \dot{\theta}(t) = v_0\,\sin(\alpha) = cste'\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \rho(t) \left[ \dot{\theta}(t) \right]^{\!2} = \dfrac{\left[ v_0\,\sin(\alpha) \right]^{2}}{\rho(t)}\\ \rho^2(t)\, \dot{\theta}(t) = \rho(t)\, v_0\,\sin(\alpha) \end{array}\right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les composantes polaires du vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> s'obtiennent par }}<math>\;\vec{a}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l c l c r} a_\rho(t) \!\!&=&\!\! 0 - \dfrac{v_0^2\, \sin^2(\alpha)}{\rho(t)} \!\!&=&\!\! -\dfrac{v_0^2\, \sin^2(\alpha)}{\rho(t)}\\ a_\theta(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{1}{\rho(t)}\, \dfrac{d\! \left[ \rho(t)\, v_0\, \sin(\alpha) \right]}{dt} \!\!&=&\!\! v_0\, \sin(\alpha)\, \dfrac{\dot{\rho}(t)}{\rho(t)} \end{array} \right\rbrace\;</math> et enfin, en remplaçant <math>\;\dot{\rho}(t)\;</math> par sa valeur, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les composantes polaires du vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> s'obtiennent par }}<math>\; \vec{a}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l} a_\rho(t) = -\dfrac{v_0^2\, \sin^2(\alpha)}{\rho(t)}\\ a_\theta(t) = -\dfrac{v_0^2\, \sin(\alpha)\, \cos(\alpha)}{\rho(t)} \end{array} \right\rbrace</math> ; {{Al|5}}en reportant l'expression de <math>\;\rho = \rho(t)\;</math> dans les composantes polaires du vecteur accélération, on détermine les nouvelles expressions cherchées soit «<math>\; \vec{a}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l} a_\rho(t) = -\dfrac{v_0^2\, \sin^2(\alpha)}{\rho_0 - v_0\, \cos(\alpha)\, t}\\ a_\theta(t) = -\dfrac{v_0^2\, \sin(\alpha)\, \cos(\alpha)}{\rho_0 - v_0\, \cos(\alpha)\, t} \end{array} \right\rbrace\;</math>».}} === Détermination de la loi horaire donnant l'angle polaire de l'insecte puis de la trajectoire de celui-ci === {{Al|5}}Déterminer la 2^ème loi horaire du mouvement de l'insecte donnant l'angle polaire de ce dernier <math>\;\theta = \theta(t)\;</math> puis {{Al|5}}déduire des deux lois horaires de <math>\;M\;</math> l'équation polaire de la trajectoire de l'insecte ; {{Al|5}}terminer en traçant cette dernière. {{Solution | contenu =[[File:Vol d'insecte, repérage polaire - ter.png|thumb|400px|Différentes trajectoires du vol d'insecte à norme de vecteur vitesse constante et à angle <math>\;\alpha\;</math> entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux <math>\;O\;</math> constant, les trajectoires "des spirales logarithmiques de centre asymptotique <math>\;O</math>" ayant été tracées par calculateur numérique pour les valeurs de <math>\;\alpha\;</math> égales à <math>\;60\,\text{°}\;</math> <math>\big(</math>en gras<math>\big)</math>, <math>\;45\,\text{°}\;</math> <math>\big(</math>en continu<math>\big)\;</math> et <math>\;30\,\text{°}\;</math> <math>\big(</math>en tiretés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}La 2^nde loi horaire s'obtient en intégrant <math>\;\rho(t)\, \dot{\theta}(t) = v_0\, \sin(\alpha)\;</math> soit, en isolant <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> et en y reportant <math>\;\rho(t)</math>, l'expression à intégrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|La 2^nde loi horaire s'obtient en intégrant }}<math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{v_0\, \sin(\alpha)}{\rho_0 - v_0\, \cos(\alpha)\, t}</math> ; pour cela on sépare les variables<ref> Une primitive de <math>\;\dfrac{\text{cste}}{\text{fonction affine}}\;</math> étant <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\ln\! |\text{fonction affine}|</math>, on sépare les variables <math>\;\theta\;</math> et <math>\;t\;</math> pour limiter les erreurs dans le cœfficient de proportionnalité.</ref> selon {{Al|5}}{{Transparent|La 2^nde loi horaire s'obtient en intégrant }}<math>\;d \theta = \dfrac{v_0\, \sin(\alpha)\, dt}{\rho_0 - v_0\, \cos(\alpha)\, t} = -\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\, \dfrac{d \left[ \rho_0 - v_0\, \cos(\alpha)\, t \right]}{\rho_0 - v_0\, \cos(\alpha)\, t}\;</math><ref> Avec une fonction affine <math>\;u(t) = a - b\;t\;</math> au dénominateur on fait apparaître la différentielle du celle-ci <math>\;du = -b\;dt\;</math> au numérateur soit <math>\;\dfrac{du}{u} =</math> <math>\dfrac{-b\;dt}{a - b\;t}\;</math> et on en déduit le ccœfficient à placer devant cette fraction pour ne pas engendrer d'erreur ainsi <br>{{Al|3}}l'expression à intégrer <math>\;\dfrac{c\;dt}{a - b\;t}\;</math> permettant d'induire qu'une primitive sera proportionnelle à <math>\;\ln\! \vert a - b\;t \vert</math>, <math>\;\big(</math>d'où l'idée du changement de variable <math>\;u = a - b\;t\;</math> mais sans baptiser cette nouvelle variable<math>\big)\;</math> on écrit <math>\;\dfrac{c\;dt}{a - b\;t} = \text{?}\;\dfrac{-b\;dt}{a - b\;t}</math>, le facteur succédant à <math>\;\text{?}\;</math> étant ainsi la différentielle de <math>\;\ln\! \vert a - b\;t \vert</math>, et on en déduit aisément <math>\;\text{?} = \dfrac{c}{-b}\;</math> d'où <math>\;\big(</math>et ceci est fait en une seule étape<math>\big)\;</math> <math>\dfrac{c\;dt}{a - b\;t} = \dfrac{c}{-b}\;\dfrac{-b\;dt}{a - b\;t}\;</math> expression que l'on intègre en <math>\;\dfrac{c}{-b}\;\ln\! \vert a - b\;t \vert + cste\;</math> <math>\big(</math>cette façon de faire peut être utilisée à l'oral car on peut aisément expliquer ce qu'on fait à l'auditoire si ce dernier ne comprend pas mais, à l'écrit, il est plus sûr d'exposer concrètement le changement de variable<math>\big)</math>.</ref> que l'on intègre en <br>{{Al|5}}{{Transparent|La 2^nde loi horaire s'obtient en intégrant }}«<math>\;\theta = -\tan(\alpha)\, \ln\! \vert \rho_0 - v_0\, \cos(\alpha)\, t \vert + A\;</math>», <math>\;A\;</math> constante à déterminer par la C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\theta(0) = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La 2^nde loi horaire s'obtient en intégrant «<math>\;\color{transparent}{\theta = -\tan(\alpha)\, \ln\! \vert \rho_0 - v_0\, \cos(\alpha)\, t \vert + A}\;</math>», }}<math>\;0 = -\tan(\alpha)\, \ln(\rho_0) + A</math> <math>\Rightarrow</math> <math>A = \tan(\alpha)\, \ln(\rho_0)</math>, <br>{{Al|5}}la 2^nde loi horaire s'écrivant finalement selon «<math>\;\theta(t) = \tan(\alpha)\; \ln\! \bigg\vert \dfrac{\rho_0}{\rho_0 - v_0\, \cos(\alpha)\, t} \bigg\vert\;</math>». {{Al|5}}Nous disposons des deux équations polaires paramétriques de la trajectoire <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \rho = \rho_0 - v_0\, \cos(\alpha)\, t\\ \theta = \tan(\alpha)\; \ln\! \bigg \vert \dfrac{\rho_0}{\rho_0 - v_0\, \cos(\alpha)\, t}\bigg\vert \end{array} \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }}obtenons l'équation polaire en éliminant le paramètre <math>\;t\;</math> entre ces deux équations<ref> Ce qui est particulièrement simple dans la mesure où dans l'expression de <math>\;\theta = \theta(t)</math>, le paramètre <math>\;t\;</math> n'apparaît que sous la forme <math>\;\rho = \rho(t)</math>.</ref> selon «<math>\;\theta = \tan(\alpha)\; \ln\! \bigg \vert\dfrac{\rho_0}{\rho}\bigg\vert\;</math>» ou en inversant <br>{{Al|10}}{{Transparent|Nous obtenons l'équation polaire en éliminant le paramètre <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> entre ces deux équations selon }}«<math>\;\dfrac{\rho_0}{\rho} = \exp \left[ \theta\, \cot(\alpha) \right]\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous obtenons l'équation polaire }}«<math>\;\rho = \rho_0\, \exp \left[ - \theta\, \cot(\alpha) \right]\;</math>» c'est-à-dire l'équation polaire d'une <u>[[w:Spirale_logarithmique#Équations|spirale logarithmique]]</u>. {{Al|5}}Ci-dessus à droite les tracés de la trajectoire de l'insecte réalisés à l'aide d'un calculateur numérique pour des valeurs particulières de l'angle <math>\;\alpha</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessus à droite }}en traits gras <math>\;\alpha = 60\,\text{°}</math>, en traits continus <math>\;\alpha = 45\,\text{°}\;</math> et en tiretés <math>\;\alpha = 30\,\text{°}</math>.}} === Détermination de la durée nécessaire à l'insecte pour atteindre le point de visée O ainsi que la norme de son vecteur accélération === {{Al|5}}Au bout de combien de temps, l'insecte atteint-il le point de visée <math>\;O</math> ? {{Al|5}}Que vaut la norme de son vecteur accélération <math>\;\Vert \vec{a}_M \Vert\;</math> à cet instant ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Pour calculer la durée <math>\;\Delta t_O = t_O - 0\;</math> pour que l'insecte atteigne le point <math>\;O</math>, il suffit d'écrire <math>\;\rho(t_O) = 0\;</math> soit <math>\;t_O = \dfrac{\rho_0}{v_0\, \cos(\alpha)}\;</math> et par suite «<math>\;\Delta t_O = \dfrac{\rho_0}{v_0\, \cos(\alpha)}\;</math>». {{Al|5}}La valeur de <math>\;\Vert \vec{a}_M(t_O) \Vert\;</math> s'obtient par <math>\;\Vert \vec{a}_M(t_O) \Vert = \sqrt{a_\rho^2(t_O) + a_\theta^2(t_O)} = \sqrt{\left[ - \dfrac{v_0^2\, \sin^2(\alpha)}{\rho(t_O)} \right]^2 + \left[ - \dfrac{v_0^2\, \sin(\alpha)\, \cos(\alpha)}{\rho(t_O)} \right]^2} = \dfrac{v_0^2\, \sin(\alpha)}{\rho(t_O)}\;</math> laquelle <math>\;\rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;t \rightarrow t_O\;</math> d'où «<math>\;\Vert \vec{a}_M(t_O) \Vert \sim \infty\;</math>».}} === Détermination de l'angle polaire de l'insecte quand ce dernier est encore à la distance ρ_f du point de visée === {{Al|5}}De quel angle <math>\;\theta_f\;</math> l'insecte aura-t-il tourné entre l'instant initial <math>\;t = 0\;</math> et l'instant <math>\;t_f\;</math> où il se trouve encore à la distance <math>\;\rho_f\;</math> de son point de visée <math>\;O</math> ? {{Al|5}}Commenter le cas où <math>\;\rho_f = 0</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}L'angle <math>\;\theta_f\;</math> dont <math>\;M\;</math> a tourné entre <math>\;t = 0\;</math> et <math>\;t_f\;</math> où il se trouve à la distance <math>\;\rho_f\;</math> de son point de visée <math>\;O\;</math> se calcule par utilisation de l'équation polaire écrite sous la forme <math>\;\theta = \tan(\alpha)\; \ln\! \bigg\vert \dfrac{\rho_0}{\rho(t)}\bigg\vert\;</math><ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Détermination_de_la_loi_horaire_donnant_l'angle_polaire_de_l'insecte_puis_de_la_trajectoire_de_celui-ci|détermination de la loi horaire donnant l'angle polaire de l'insecte puis de la trajectoire de celui-ci]] » plus haut dans cet exercice.</ref> soit <center>«<math>\;\theta_f = \tan(\alpha)\; \ln\! \left( \dfrac{\rho_0}{\rho_f} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<u>cas où</u><math>\;\rho_f = 0</math> : <math>\;\theta_f \sim \infty\;</math> en accord avec le fait que <math>\;O\;</math> est le point asymptote de la spirale.}} == Étude du mouvement plan d'un point de trajectoire connue par son équation polaire et de loi de variation de vitesse angulaire connue en fonction de l'angle polaire de ce dernier == {{Al|5}}Un point mobile <math>\;M\;</math> a un mouvement dans le plan <math>\;xOy\;</math> de trajectoire connue <math>\;(\mathcal{C})\;</math> par son équation polaire <math>\;\rho = 2\, R\, \cos(\theta)</math>, <math>\;R\;</math> étant une constante positive homogène à une longueur. {{Al|5}}Au cours de ce mouvement, l'angle polaire <math>\;\theta\;</math> varie en étant lié à sa vitesse angulaire par la loi de variation <math>\;\dot{\theta} = \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left(\theta \right)}\;</math> avec <math>\;\Omega\;</math> constante positive homogène à une vitesse angulaire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Au cours de ce mouvement, }}l'angle polaire <math>\;\theta\;</math> décrivant l'intervalle <math>\;\left] - \dfrac{\pi}{2}\, ;\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> et la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}\;</math> n'étant pas définie pour <math>\;\theta = \pm \dfrac{\pi}{2}</math>. === Nature de la trajectoire === {{Al|5}}Déterminer la nature de la trajectoire <math>\;(\mathcal{C})\;</math> du point<ref> On justifiera l'affirmation en établissant son équation cartésienne.</ref> puis {{Al|5}}tracer la courbe correspondante. {{Solution | contenu = [[File:Cercle passant par O.png|thumb|300px|Mouvement d'un point <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une courbe d'équation polaire <math>\;\rho = 2\, R\, \cos(\theta)</math>, à vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta} = \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left(\theta \right)}\;</math> où <math>\;\theta\;</math> est l'abscisse angulaire de <math>\;M</math>]] {{Al|5}}L'équation polaire de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> étant <math>\;\rho = 2\, R\, \cos(\theta)</math>, et les liens entre les coordonnées polaires et cartésiennes du point générique <math>\;M\;</math> étant <math>\; \left\lbrace \begin{array}{l} x = \rho\, \cos(\theta)\\ y = \rho\, \sin(\theta) \end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C})}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\rho = 2\, R\, \cos(\theta)}</math>, }}on cherche d'abord à éliminer <math>\;\cos(\theta)\;</math> dans l'équation polaire et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C})}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\rho = 2\, R\, \cos(\theta)}</math>, }}on la multiplie de part et d'autre par <math>\;\rho\;</math> de façon à faire apparaître <math>\;x\;</math> dans le membre de droite d'où : <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C})}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\rho = 2\, R\, \cos(\theta)}</math>, }}<math>\;\rho^2 = 2\, R \left[ \rho\, \cos(\theta) \right]\;</math> ou, avec <math>\;\rho^2 = x^2 + y^2</math>, l'équation cartésienne «<math>\;x^2 + y^2 =</math> <math>2\, R\, x\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C})}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\rho = 2\, R\, \cos(\theta)}</math>, <math>\;\color{transparent}{\rho^2 = 2\, R \left[ \rho\, \cos(\theta) \right]}\;</math> ou, avec <math>\;\color{transparent}{\rho^2 = x^2 + y^2}</math>, l'équation cartésienne }}«<math>\;\left( x - R \right)^2 + y^2 = R^2\;</math>», c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C})}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\rho = 2\, R\, \cos(\theta)}</math>, }}l'équation cartésienne du cercle de centre <math>\;C\, (R,\, 0)\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>voir courbe ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on vérifie que le cercle de diamètre <math>\;OB\;</math> a effectivement pour équation polaire <math>\;\rho = 2\, R\, \cos(\theta)\;</math> car <math>\;\dfrac{OM}{OB} = \cos(\theta)</math>, le triangle <math>\;OMB\;</math> étant rectangle en <math>\;M</math>, avec <math>\;OM = \rho\;</math> et <math>\;OB = 2\, R\; \ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : on vérifie que }}<math>M\;</math> passe par toutes les positions de <math>\;(\mathcal{C})</math>, car si «<math>\;\vert \theta \vert \nearrow\;</math> continûment à partir de <math>\;0\;</math>», «<math>\;\rho \searrow\;</math> continûment de <math>\;2\,R\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : on vérifie que <math>\color{transparent}{M}\;</math> passe par toutes les positions de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C})}</math>, en effet }}<math>\succ\;</math>pour <math>\;\theta\,\in\,\left] - \dfrac{\pi}{2}\, ;\, 0 \right[</math>, <math>\;M\;</math> se déplace au-dessous de <math>\;Ox\;</math> de <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> à <math>\;B\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : on vérifie que <math>\color{transparent}{M}\;</math> passe par toutes les positions de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C})}</math>, en effet }}<math>\succ\;</math>pour <math>\;\theta\,\in\,\left] 0\, ;\, +\dfrac{\pi}{2} \right[</math>, <math>\;M\;</math> se déplace au-dessus de <math>\;Ox\;</math> de <math>\;B\;</math> à <math>\;O_{\text{sup}}</math>.}} === Propriétés des grandeurs cinématiques du point === {{Al|5}}Déterminer le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M\;</math> du point mobile, en repérage polaire, en fonction de <math>\;\Omega</math>, <math>\;R\;</math> et <math>\;\theta</math> ; {{Al|5}}montrer que le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M\;</math> du point mobile est centripète <math>\;\big(</math>c'est-à-dire colinéaire et de même sens que <math>\;\overrightarrow{MO}\big)</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Les composantes polaires du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> sont <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c r} V_\rho(t) \!\!&=&\!\! \dot{\rho}(t) \!\!&=&\!\! -2\, R\, \sin\! \left[ \theta(t) \right]\, \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right])}\\ V_\theta(t) \!\!&=&\!\! \rho(t)\, \dot{\theta}(t) \!\!&=&\!\! 2\, R\, \cos\! \left[ \theta(t) \right]\, \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]}\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse" /> soit finalement «<math>\;\vec{V}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l c r} V_\rho(t) \!\!&=&\!\! -2\, R\, \Omega\, \dfrac{\sin\! \left[ \theta(t) \right]}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]}\\ V_\theta(t) \!\!&=&\!\! 2\, R\, \Omega\, \dfrac{1}{\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}Pour montrer que <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> est <u>central</u> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire colinéaire à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big]</math>, il suffit de montrer que <math>\;a_\theta(t) = 0\;\;\forall\;t</math> et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour montrer que <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est central <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>c'est-à-dire colinéaire à <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}(t)\big]}</math>, il suffit }}de calculer la composante orthoradiale de <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> par sa forme semi-intégrée <math>\;a_\theta(t) = \dfrac{1}{\rho(t)} \dfrac{d\! \left[ \rho^2(t)\, \dot{\theta}(t) \right]}{dt}\;</math><ref name="forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour montrer que <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est central <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>c'est-à-dire colinéaire à <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}(t)\big]}</math>, il suffit de calculer la composante orthoradiale de <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> }}<math>\rho^2(t)\, \dot{\theta}(t) = \left\lbrace 2\, R\, \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2 \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]} = 4\, R^2\, \Omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho^2(t)\, \dot{\theta}(t) \right]}{dt} = 0\;</math><ref> <math>\;\rho^2(t)\, \dot{\theta}(t)\;</math> étant en fait une constante.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour montrer que <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est central <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>c'est-à-dire colinéaire à <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}(t)\big]}</math>, il suffit de calculer la composante orthoradiale de <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> }}d'où «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>», c'est-à-dire le caractère <u>central</u> du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)</math> ; {{Al|5}}il reste à montrer que <math>\;a_\rho(t)\;</math> est <math>\;< 0\;\;\forall\;t\;</math> pour en déduire que <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> est <u>centripète</u> soit avec <math>\;a_\rho(t) = \ddot{\rho}(t) - \rho(t)\, \dot{\theta}^2(t) = \dot{V}_\rho - \dfrac{V_\theta^2(t)}{\rho(t)}\;</math><ref name="composantes cylindro-polaires du vecteur accélération"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à montrer que <math>\;\color{transparent}{a_\rho(t)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0\;\;\forall\;t}\;</math> pour en déduire que <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est centripète soit avec }}<math>\;a_\rho(t) = -2\, R\, \Omega\, \dfrac{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]\, \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \sin\! \left[ \theta(t) \right] \left\lbrace -2\, \cos\! \left[ \theta(t) \right]\, \sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace}{\cos^4\! \left[ \theta(t) \right]}\, \dot{\theta}(t) - \dfrac{\left\lbrace 2\, R\, \Omega\, \dfrac{1}{\cos\! \left[ \theta(t) \right]} \right\rbrace^2}{2\, R\, \cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math><ref> Attention <math>\;\dot{V}_\rho(t) = \dfrac{d V_\rho}{d \theta}\left[ \theta(t) \right]\, \dfrac{d \theta}{dt}(t) = \dfrac{d V_\rho}{d \theta}\left[ \theta(t) \right]\, \dot{\theta}(t)\;</math> <math>\big(</math>oublier <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> reviendrait à confondre la dérivation par rapport à <math>\;t\;</math> avec celle par rapport à <math>\;\theta\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à montrer que <math>\;\color{transparent}{a_\rho(t)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0\;\;\forall\;t}\;</math> pour en déduire que <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est centripète }}ou, reportant l'expression de <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> et réduisant au même dénominateur, on trouve <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à montrer que <math>\;\color{transparent}{a_\rho(t)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0\;\;\forall\;t}\;</math> pour en déduire que <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est centripète soit avec }}<math>\;a_\rho(t) = -2\, R\, \Omega^2\, \dfrac{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right] + 2 \sin^2\! \left[ \theta(t) \right] + \cos^2\! \left[ \theta(t) \right]}{\cos^5\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à montrer que <math>\;\color{transparent}{a_\rho(t)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0\;\;\forall\;t}\;</math> pour en déduire que <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est centripète soit avec }}«<math>\;a_\rho(t) = \dfrac{-4\, R\, \Omega^2}{\cos^5\! \left[ \theta(t) \right]} < 0\;\;\forall\;t\;</math>» laquelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à montrer que <math>\;\color{transparent}{a_\rho(t)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0\;\;\forall\;t}\;</math> pour en déduire que <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> est centripète soit }}avec <math>\;a_\theta(t) = 0\;\;\forall\;t</math>, permet d'affirmer le caractère <u>centripète</u> du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)</math>.}} === Établissement de la nature périodique du mouvement du point et évaluation de sa période === {{Al|5}}Montrer que le mouvement du point est périodique sur sa trajectoire<ref> Le point décrivant sa trajectoire un nombre infini de fois, il suffit de montrer que la durée de parcours du point sur sa trajectoire étant indépendante de l'instant de passage par <math>\;O</math>.</ref> et simultanément {{Al|5}}évaluer la période de parcours c'est-à-dire la durée nécessaire pour un parcours complet de cette trajectoire. {{Solution | contenu ={{Al|5}}La vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math> étant toujours <math>\;> 0</math>, le mouvement se poursuit indéfiniment dans le sens des <math>\;\theta \nearrow\;</math> et celle-ci <br>{{Al|5}}{{Transparent|La vitesse angulaire <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t) = \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]}}\;</math> }}ne s'annulant jamais <math>\;\bigg[</math>elle est en effet minorée par <math>\;\Omega\;</math> car <math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]} \geqslant \Omega\bigg]</math>, on observe successivement des tours complets de cercle ; {{Al|5}}pour montrer le caractère « périodique » du mouvement il suffit d'évaluer la durée du n^ème tour et de constater que cette durée est indépendante de <math>\;n</math> ; {{Al|5}}à partir de <math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t) = \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math> inversé en <math>\;\dfrac{dt}{d \theta}(\theta) = \dfrac{\cos^2(\theta)}{\Omega}\;</math><ref> Le mouvement se faisant toujours dans le même sens il est possible d'inverser la loi horaire angulaire <math>\;\theta = \theta(t)\;</math> <math>\big(</math>dans laquelle le nombre de tours effectués sont comptabilisés dans <math>\;\theta\big)\;</math> en <math>\;t = t(\theta)\;</math> car il y a une correspondance biunivoque entre <math>\;t\;</math> et <math>\;\theta</math>.</ref> que l'on va intégrer après séparation des variables selon «<math>\;dt = \dfrac{1}{\Omega}\, \cos^2(\theta)\, d \theta\;</math>», <br>{{Al|9}}{{Transparent|}à partir de <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t) = \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]}}\;</math> inversé en <math>\;\color{transparent}{\dfrac{dt}{d \theta}(\theta) = \dfrac{\cos^2(\theta)}{\Omega}}\;</math> }}le n^ème tour complet correspondant à une variation de <math>\;\theta\;</math> de <math>\;(2\, n - 3)\; \dfrac{\pi}{2}\;</math> à <math>\;(2\, n - 1)\; \dfrac{\pi}{2}\;</math><ref> Le 1^er tour correspondant à une variation de <math>\;\theta\;</math> de <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> à <math>\;\dfrac{\pi}{2}</math>, <br>{{Al|3}}le 2^ème tour, à une variation de <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2} + \pi\;</math> à <math>\;3\;\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + \pi\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Le n^ème tour, à une variation de <math>\;\theta\;</math> de <math>\;-\dfrac{\pi}{2} + (n - 1)\;\pi = (2\, n - 3)\; \dfrac{\pi}{2}\;</math> à <math>\;\dfrac{\pi}{2} + (n - 1)\;\pi = (2\, n - 1)\; \dfrac{\pi}{2}\;\ldots</math></ref>, on en déduit <br>{{Al|9}}{{Transparent|}à partir de <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t) = \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]}}\;</math> inversé en <math>\;\color{transparent}{\dfrac{dt}{d \theta}(\theta) = \dfrac{\cos^2(\theta)}{\Omega}}\;</math> }}la durée du n^ème tour complet «<math>\;\left( \Delta t \right)_n = \displaystyle\int_{\frac{(2\,n - 3)\,\pi}{2}}^{\frac{(2\,n - 1)\,\pi}{2}} \dfrac{1}{\Omega}\; \cos^2(\theta)\; d \theta\;</math>» ou, en utilisant <math>\;2\, \cos^2(\theta) = 1 + \cos\! \left( 2\, \theta \right)\;</math> pour linéariser, <br>{{Al|9}}{{Transparent|}à partir de <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t) = \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]}}\;</math> inversé en <math>\;\color{transparent}{\dfrac{dt}{d \theta}(\theta) = \dfrac{\cos^2(\theta)}{\Omega}}\;</math> la durée du n^ème tour complet }}«<math>\;\left( \Delta t \right)_n = \displaystyle\int_{\frac{(2\,n - 3)\,\pi}{2}}^{\frac{(2\,n - 1)\,\pi}{2}} \dfrac{1}{2\, \Omega}\, \left[ 1 + \cos \left( 2\, \theta \right) \right]\, d \theta = \dfrac{1}{2\, \Omega}\, \left[ \theta + \dfrac{\sin\! \left( 2\, \theta \right)}{2} \right]_{\frac{(2\,n - 3)\,\pi}{2}}^{\frac{(2\,n - 1)\,\pi}{2}} = \dfrac{\pi}{2\, \Omega}\;</math>» soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|}à partir de <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t) = \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]}}\;</math> inversé en <math>\;\color{transparent}{\dfrac{dt}{d \theta}(\theta) = \dfrac{\cos^2(\theta)}{\Omega}}\;</math> }}<u>une durée indépendante de</u><math>\;n\;</math> établissant le caractère <u>périodique</u> du mouvement de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire ;<br>{{Al|9}}{{Transparent|}à partir de <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t) = \dfrac{\Omega}{\cos^2\! \left[ \theta(t) \right]}}\;</math> inversé en <math>\;\color{transparent}{\dfrac{dt}{d \theta}(\theta) = \dfrac{\cos^2(\theta)}{\Omega}}\;</math> }}la période du mouvement valant donc «<math>\;\left( \Delta t \right)_{\cancel{n}} = \dfrac{\pi}{2\, \Omega}\;</math>».}} == Exemple de mouvement hélicoïdal uniforme, détermination du rayon de courbure de l'hélice == [[File:Hélice circulaire droite évoquée.png|thumb|350px|Schéma de situation de mouvement uniforme d'un point sur une hélice circulaire droite<ref name="hélice circulaire"> Elle est tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec <math>\;z \propto \theta\;</math> <math>\big[</math>si on « développe » le tuyau cylindrique de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, l'hélice devient une droite de pente égale au cœfficient de proportionnalité entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\big]</math>, <br>{{Al|3}}elle est qualifiée de « dextre » ou « droite » si le cœfficient de proportionnalité entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\;</math> est positif, ce qui correspond au fait qu'elle « monte » dans le sens trigonométrique, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant, « monter de gauche à droite » ; <br>{{Al|3}}elle serait qualifiée de « senestre » ou « gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\;</math> était négatif, elle « monterait » dans le sens trigonométrique indirect ou rétrograde <math>\;\big(</math>ou encore dans le sens horaire<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>non tracée mais simplement évoquée<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Un point mobile <math>\;M\;</math> décrit l'hélice « circulaire »<ref name="circulaire"> Terminologie non indispensable, le qualificatif « circulaire » rappelant simplement que l'hélice est tracée sur un cylindre de révolution d'axe <math>\;Oz\;</math> <math>\big(</math>mais une hélice est toujours tracée sur un cylindre de révolution<math>\big)</math>.</ref> « droite »<ref name="hélice circulaire" /> définie par ses équations paramétriques cartésiennes<ref> De paramètre <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;t</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Un point mobile <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> décrit l'hélice « circulaire » « droite » définie par }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c r} x \!\!&=&\!\! R\, \cos \left( \theta \right) \!\!&=&\!\! R\, \cos \left( \omega \, t \right)\\ y \!\!&=&\!\! R\, \sin \left( \theta \right) \!\!&=&\!\! R\, \sin \left( \omega \, t \right)\\ z &=& h\; \theta &=& h\, \times \left( \omega \, t \right) \end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|15}}{{Transparent|Un point mobile <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> décrit l'hélice « circulaire » « droite » }}avec la vitesse angulaire <math>\;\omega = cste > 0\;</math><ref> Le sens de parcours entraînant que l'hélice doit être effectivement qualifiée de « droite » voir l'explication de la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#cite_note-hélice_circulaire-32|³²]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math>. === Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'axe Oz de la trajectoire du point === {{Al|5}}Déterminer, en fonction de <math>\;t</math>, les coordonnées cylindro-polaires <math>\;\big(</math>ou cylindriques<math>\big)\;</math> d'axe <math>\;Oz\;</math> du point <math>\;M\;</math> quand il décrit sa trajectoire hélicoïdale. <br><br><br><br><br><br> {{Solution | contenu ={{Al|5}}On évalue <math>\;\rho\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math> en formant <math>\;\sqrt{x^2(t) + y^2(t)}\;</math> soit <math>\;\rho(t) = \sqrt{\left[ R\, \cos\! \left( \omega \, t \right) \right]^2 + \left[ R\, \sin\! \left( \omega \, t \right) \right]^2}\;</math> ou finalement «<math>\;\rho(\cancel{t}) = R\;</math>», 1^ère loi horaire cylindro-polaire, laquelle est aussi une 1^ère équation horaire cylindro-polaire paramétrique de la trajectoire<ref> Laquelle étant indépendante de <math>\;t\;</math> est aussi une des deux équations cylindro-polaires de la trajectoire, plus précisément l'équation cylindro-polaire du tuyau cylindrique d'axe <math>\;Oz\;</math> et de rayon <math>\;R</math>.</ref> ; {{Al|5}}on évalue <math>\;\theta\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math> à partir de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l c r} \cos(\theta) \!\!&=&\!\! \dfrac{x(t)}{\rho(t)} \!\!&=&\!\! \dfrac{R\, \cos\! \left( \omega \, t \right)}{R} \!\!&=&\!\! \cos(\omega\, t)\\ \sin(\theta) \!\!&=&\!\! \dfrac{y(t)}{\rho(t)} \!\!&=&\!\! \dfrac{R\, \sin\! \left( \omega \, t \right)}{R} \!\!&=&\!\! \sin(\omega\, t)\end{array} \right\rbrace\;</math> soit finalement «<math>\;\theta(t) = \omega\, t\;</math>», 2^ème loi horaire cylindro-polaire, laquelle est aussi une 2^ème équation horaire cylindro-polaire paramétrique de la trajectoire et {{Al|5}}l'évaluation de <math>\;z\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math> est fournie par le texte soit «<math>\;z(t) = h\,\omega\, t\;</math>», 3^ème loi horaire cylindro-polaire, laquelle est aussi une 3^ème équation horaire cylindro-polaire paramétrique de la trajectoire. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : l'élimination de <math>\;t\;</math> entre les deux dernières lois horaires <math>\;\big(</math>lesquelles sont aussi les dernières équations cylindriques paramétriques de la trajectoire<math>\big)\;</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : l'élimination de <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> entre les deux dernières lois horaires }}donnant «<math>\;z = h\,\theta\;</math>» c'est-à-dire la 2^ème équation cylindro-polaire de la trajectoire appelée « nappe en colimaçon »<ref name="nappe en colimaçon"> En fait la surface d'équation <math>\;z \propto \theta,\; \forall\; \rho\;</math> n'a pas de nom mathématique <math>\;\big(</math>c'est donc une appellation personnelle<math>\big)</math>, elle est constituée de demi-droites <math>\;\perp\;</math> à <math>\;z'z</math>, dans la direction <math>\;\theta\;</math> et issues du point de l'axe <math>\;z'z</math> de côte <math>\;z \propto \theta\;</math> c.-à-d. d'autant plus grande que <math>\;\theta\;</math> l'est.</ref>{{,}}<ref> Voir l'exemple traité dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_position_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : l'élimination de <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> entre les deux dernières lois horaires donnant «<math>\;\color{transparent}{z = h\,\theta}\;</math>» }}laquelle associée avec «<math>\;\rho = R\;</math>» c'est-à-dire la 1^ère équation cylindro-polaire de la trajectoire, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : l'élimination de <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> entre les deux dernières lois horaires donnant «<math>\;\color{transparent}{z = h\,\theta}\;</math>» laquelle associée avec «<math>\;\color{transparent}{\rho = R}\;</math>» }}justifie que la trajectoire est bien une hélice <math>\big(</math>circulaire droite<ref name="hélice circulaire" /> d'axe <math>\;Oz\big)\;</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : l'élimination de <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> entre les deux dernières lois horaires donnant «<math>\;\color{transparent}{z = h\,\theta}\;</math>» laquelle associée avec «<math>\;\color{transparent}{\rho = R}\;</math>» justifie que la trajectoire est bien une hélice }}de « pas<ref name="pas d'une hélice"> C.-à-d. la valeur absolue de la différence de cotes pour une augmentation d'abscisse angulaire de <math>\;2\;\pi</math>.</ref> égal à <math>\;h\;2\,\pi\;</math>».}} === Détermination des composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis l'angle d'inclinaison de la tangente à l'hélice en M relativement à Oz === {{Al|5}}Déterminer les composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M\;</math> du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis {{Al|5}}montrer que l'angle <math>\;\alpha\;</math> que fait le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> est constant et enfin {{Al|5}}calculer <math>\;\tan\!\left( \alpha \right)</math>. {{Solution | contenu =[[File:Hélice circulaire droite évoquée - bis.png|thumb|350px|Schéma de situation de mouvement uniforme du point <math>\;M\;</math> sur une hélice circulaire droite<ref name="hélice circulaire" /> <math>\;\big(</math>non tracée mais simplement évoquée<math>\big)\;</math> avec représentation du vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans la base cylindro-polaire liée à <math>\;M</math>]] {{Al|5}}Les composantes cylindro-polaires <math>\;\big(</math>ou cylindriques<math>\big)\;</math> du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> du point courant <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire hélicoïdale se calculent par <br>{{Al|3}}{{Transparent|Les composantes cylindro-polaires <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou cylindriques<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> du vecteur vitesse }}«<math>\;\vec{V}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l c l c r} V_\rho(t) \!\!&=&\!\! \dot{\rho}(t) \!\!&=&\!\! 0\\ V_\theta(t) \!\!&=&\!\! \rho(t)\, \dot{\theta}(t) \!\!&=&\!\! R\, \omega\\ V_z(t) \!\!&=&\!\! \dot{z}(t) \!\!&=&\!\! h\, \omega \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse" />. {{Al|5}}Notant <math>\;\alpha = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{u}_z, \overrightarrow{V}_M(t) \right\rbrace}\;</math> l'angle que fait le vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> avec l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant <math>\;\color{transparent}{\alpha = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{u}_z, \overrightarrow{V}_M(t) \right\rbrace}}\;</math> }}on évalue son cosinus par <math>\;\cos(\alpha) = \dfrac{V_z(t)}{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}\;</math> avec <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{V_\theta^2(t) + V_z^2(t)} = \sqrt{R^2 + h^2}\, \omega = cste\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant <math>\;\color{transparent}{\alpha = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{u}_z, \overrightarrow{V}_M(t) \right\rbrace}}\;</math> on évalue son cosinus par <math>\;\color{transparent}{\cos(\alpha) = \dfrac{V_z(t)}{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}}\;</math> }}ainsi que <math>\;V_z(t) = h\;\omega = cste'\;</math> et on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant <math>\;\color{transparent}{\alpha = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{u}_z, \overrightarrow{V}_M(t) \right\rbrace}}\;</math> on évalue son }}<math>\;\cos(\alpha) = cste''\;</math> <math>\Rightarrow</math> <u>α reste constant</u> ; {{Al|5}}voir ci-contre la disposition du vecteur vitesse de <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> relativement à la base cylindro-polaire <math>\;\left[ \vec{u}_\rho\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_z \right]\;</math> liée à <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|voir ci-contre la disposition }}le vecteur vitesse étant contenu dans le plan tangent en <math>\;M\;</math> au tuyau cylindrique d'axe <math>\;Oz\;</math> c'est-à-dire <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|voir ci-contre la disposition le vecteur vitesse étant contenu dans le plan tangent en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> au tuyau cylindrique d'axe <math>\;\color{transparent}{Oz}\;</math> }}de base <math>\;\left[ \vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_z \right]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|voir ci-contre }}la valeur de la tangente de l'angle <math>\;\alpha\;</math> se détermine par <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{V_\theta}{V_z} = \dfrac{R\;\omega}{h\;\omega}\;</math> soit «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{R}{h}\;</math>».}} === Détermination des composantes cylindro-polaires du vecteur accélération du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis du rayon de courbure de l'hélice en M === {{Al|5}}Déterminer les composantes cylindro-polaires du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M\;</math> du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis {{Al|5}}en déduire le rayon de courbure <math>\;\mathcal{R}_M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_plan_et_cercle_osculateurs_en_un_point_d'une_courbe_«_gauche_»,_de_centre_et_de_rayon_de_courbure_en_ce_point|notion de plan et cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, de centre et de rayon de courbure en ce point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> de l'hélice en <math>\;M\;</math> et enfin {{Al|5}}commenter le résultat. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Les composantes cylindro-polaires du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire s'évaluent par «<math>\;\vec{a}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l c l c r} a_\rho(t) \!\!&=&\!\! \ddot{\rho}(t) - \rho(t) \left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 \!\!&=&\!\! -R\;\omega^2\\ a_\theta(t) \!\!&=&\!\! \rho(t)\, \ddot{\theta}(t) + 2\, \dot{\rho}(t)\, \dot{\theta}(t) \!\!&=&\!\! 0\\ a_z(t) \!\!&=&\!\! \ddot{z}(t) \!\!&=&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="composantes cylindro-polaires du vecteur accélération" />. {{Al|5}}Introduisant la base locale de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="base locale de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_«_gauche_»_continue|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe gauche continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> vérifie <math>\;\vec{\tau}_M = \dfrac{\vec{V}_M(t)}{v_M(t)}\;</math> avec <math>\;v_M(t)\;</math> vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> du point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire et <br>{{Al|23}}{{Transparent|Introduisant la base locale de Frenet dont le vecteur unitaire tangentiel de Frenet vérifie <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}_M = \dfrac{\vec{V}_M(t)}{v_M(t)}}\;</math> }}évaluant <math>\;\vert v_M(t) \vert\;</math> par <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{R^2 + h^2}\, \omega = cste > 0</math>, on en déduit que <br>{{Al|23}}{{Transparent|Introduisant la base locale de Frenet dont le vecteur unitaire tangentiel de Frenet vérifie <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}_M = \dfrac{\vec{V}_M(t)}{v_M(t)}}\;</math> }}le mouvement ne change pas de sens<ref> On rappelle qu'une condition pour qu'un mouvement puisse changer de sens est que la vitesse instantanée puisse s'annuler.</ref> d'où, en choisissant le sens <math>\;+\;</math> sur l'hélice dans le sens du mouvement <math>\;\big(</math>c'est-à-dire dans le sens des <math>\;\theta \nearrow\big)\;</math> on en déduit la positivité de la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> c'est-à-dire «<math>\;v_M = \vert v_M \vert = \sqrt{R^2 + h^2}\, \omega\;</math>» et par suite <center>l'accélération tangentielle du point <math>\;M\;</math> est nulle selon «<math>\;a_{\tau,\,M} = \dot{v}_M = 0\;</math>»<ref name="composantes de Frenet du vecteur accélération"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_locales_de_Frenet_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_accélérations_tangentielle_et_normale_du_point|composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Ce qui caractérise un mouvement à vitesse instantanée constante, mouvement qualifié de « uniforme ».</ref> ;</center> {{Al|5}}le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M = -R\;\omega^2\;\vec{u}_\rho\;</math> étant dans le [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] de l'hélice en <math>\;M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" />, on en déduit que ce dernier contient <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> le 1^er vecteur de base cylindro-polaire lié à <math>\;M\;</math> ainsi que <br>{{Al|9}}{{Transparent|le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M = -R\;\omega^2\;\vec{u}_\rho}\;</math> étant dans le plan osculateur de l'hélice en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>, on en déduit que ce dernier contient }}<math>\;\vec{\tau}_M\;</math> le 1^er vecteur de base de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" /> lié à <math>\;M</math> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M = -R\;\omega^2\;\vec{u}_\rho}\;</math> étant dans le plan osculateur de l'hélice en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>, }}il contient aussi, par définition, <math>\;\vec{n}_M\;</math> le vecteur unitaire normal principal de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" /> en <math>\;M\;</math><ref name="plan osculateur et base locale de Frenet"> La base locale de Frenet générant le [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] étant <math>\;\left[ \vec{\tau}_M\,,\,\vec{n}_M \right]</math>, le vecteur unitaire <math>\;\perp\;</math> au [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] et orientant les angles de ce dernier définissant le vecteur unitaire normal secondaire <math>\;\vec{b}_M = \vec{\tau}_M \wedge \vec{n}_M</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M = -R\;\omega^2\;\vec{u}_\rho}\;</math> étant dans le plan osculateur de l'hélice en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>, il contient aussi, }}par propriété, le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M\;</math> du point <math>\;M\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M = -R\;\omega^2\;\vec{u}_\rho}\;</math> étant dans le plan osculateur de l'hélice en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>, il contient aussi, par propriété, }}lequel se décompose sur la base locale de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" /> du [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]]<ref name="plan osculateur et base locale de Frenet"/> <br>{{Al|10}}{{Transparent|le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M = -R\;\omega^2\;\vec{u}_\rho}\;</math> étant dans le plan osculateur de l'hélice en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>, il contient aussi, par propriété, lequel se décompose }}selon «<math>\;\vec{a}_M = \cancel{a_{\tau,\,M}\;\vec{\tau}_M\; +}\; a_{n,\,M}\;\vec{n}_M\;</math>», on en déduit donc <center>l'accélération normale <math>\;a_{n,\,M} > 0\;</math> de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire par «<math>\;a_{n,\,M} = \Vert \vec{a}_M \Vert = R\;\omega^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}pour finir il reste à « identifier l'accélération normale <math>\;a_{n,\,M}\;</math> du point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire avec <math>\;\dfrac{\left( v_M \right)^2}{\mathcal{R}_M}\;</math>»<ref name="composantes de Frenet du vecteur accélération" /> où <math>\;\mathcal{R}_M\;</math> est le [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] de l'hélice au point <math>\;M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" />, d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|pour finir il reste à « identifier l'accélération normale <math>\;\color{transparent}{a_{n,\,M}}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur sa trajectoire avec <math>\;\color{transparent}{\dfrac{\left( v_M \right)^2}{\mathcal{R}_M}}\;</math>» où }}<math>\;\mathcal{R}_M = \dfrac{\left( v_M \right)^2}{a_{n,\,M}} = \dfrac{\left( \sqrt{R^2 + h^2}\, \omega \right)^{\!2}}{R\, \omega^2}\;</math> soit finalement «<math>\;\mathcal{R}_M = \dfrac{R^2 + h^2}{R}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : Le rayon de courbure de l'hélice « circulaire »<ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> est <u>constant</u> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}il y a deux courbes à [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]]<ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> constant : <math>\succ\;</math>une courbe plane « le cercle » et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Conclusion : il y a deux courbes à rayon de courbure constant : }}<math>\succ\;</math>une courbe non plane<ref> Éviter le synonyme « gauche » pour qualifier une courbe « non plane » si le qualificatif « gauche » peut avoir aussi un autre sens comme c'est le cas pour une hélice.</ref> « l'hélice ». [[File:Hélice circulaire droite évoquée - ter.png|thumb|450px|Schéma de situation de mouvement uniforme du point <math>\;M\;</math> sur une hélice circulaire droite<ref name="hélice circulaire" /> <math>\;\big(</math>non tracée mais simplement évoquée<math>\big)\;</math> avec représentation de la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> ainsi que de la base de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" /> et le [[w:Cercle_osculateur|centre de courbure]] <math>\;C_M\;</math> de l'hélice en <math>\;M</math>]] {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Le [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]]<ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> de l'hélice <math>\;\mathcal{R} = \dfrac{R^2 + h^2}{R}\;</math><ref> Inutile de préciser le point <math>\;M\;</math> en indice puisque le [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] est constant.</ref> est <math>\;\neq\;</math> du rayon <math>\;R\;</math> du tuyau cylindrique de révolution sur lequel elle est tracée et ceci d'autant plus que son pas<ref name="pas d'une hélice" /> <math>\;h\;2\,\pi\;</math> est grand ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}on peut écrire <math>\;\mathcal{R} = R\, \dfrac{R^2 + h^2}{R^2} > R\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : on peut }}l'exprimer en utilisant <math>\;\alpha\;</math> l'angle d'inclinaison de la tangente à l'hélice relativement à l'axe du cylindre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : on peut l'exprimer en utilisant <math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math> }}sachant que <math>\;\sin(\alpha) = \dfrac{V_\rho}{\Vert \vec{V}_M \Vert} = \dfrac{R\, \omega}{\sqrt{R^2 + h^2}\, \omega} = \dfrac{R}{\sqrt{R^2 + h^2}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : on peut écrire }}<math>\;\mathcal{R} = \dfrac{R}{\sin^2(\alpha)} > R</math>, d'autant plus grand que <math>\;\alpha\;</math> est petit, c'est-à-dire que l'hélice est étirée ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : on peut écrire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R} = \dfrac{R}{\sin^2(\alpha)} > R}</math>, d'autant plus grand que <math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math> est petit, c'est-à-dire }}que son pas<ref name="pas d'une hélice" /> est grand<ref> En effet on définit le pas <math>\;p\;</math> de l'hélice comme la variation de <math>\;\vert z \vert\;</math> pour un tour soit <math>\;p = 2\, \pi\, h</math>, ce qui permet de réécrire <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{2\, \pi\, R}{p}\;</math> montrant que l'angle <math>\;\alpha\;</math> est donc d'autant plus petit que <math>\;p\;</math> est grand relativement à <math>\;R</math>.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}De «<math>\;\vec{a}_M = -R\;\omega^2\;\vec{u}_\rho = a_{n,\,M}\;\vec{n}_M\;</math> avec <math>\;a_{n,\,M} = R\;\omega^2\;</math>» on en déduit «<math>\;\vec{n}_M = -\vec{u}_\rho\;</math>» et avec {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : De «<math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M = -R\;\omega^2\;\vec{u}_\rho = a_{n,\,M}\;\vec{n}_M}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{a_{n,\,M} = R\;\omega^2}\;</math>» on en déduit }}«<math>\;\vec{\tau}_M = \sin(\alpha)\;\vec{u}_\theta + \cos(\alpha)\;\vec{u}_z\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}on en déduit «<math>\;\vec{b}_M = \vec{\tau}_M \wedge \vec{n}_M = \left[ \sin(\alpha)\;\vec{u}_\theta + \cos(\alpha)\;\vec{u}_z \right] \wedge \left[ -\vec{u}_\rho \right] = -\cos(\alpha)\;\vec{u}_\theta + \sin(\alpha)\;\vec{u}_z\;</math>»<ref> Par distributivité de la multiplication vectorielle de vecteurs relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et par utilisation de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\vec{u}_\theta \wedge \vec{u}_\rho = -\vec{u}_z\\ \vec{u}_z \wedge \vec{u}_\rho = \vec{u}_\theta\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriété_des_vecteurs_de_base_d'une_base_orthonormée|propriété des vecteurs de base d'une base orthonormée]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Voir ci-contre le positionnement de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" /> liée au point courant <math>\;M\;</math> de l'hélice relativement à la base cylindro-polaire liée au même point ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Voir ci-contre }}le positionnement du [[w:Cercle_osculateur|centre de courbure]] <math>\;C_M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> de l'hélice en <math>\;M</math>.}} === Détermination de la trajectoire décrite par le centre de courbure C_M de l'hélice en M === {{Al|5}}Déterminer les coordonnées cylindro-polaires du [[w:Cercle_osculateur|centre de courbure]] <math>\;C_M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> de la trajectoire hélicoïdale au point <math>\;M\;</math> puis {{Al|5}}en déduire que la trajectoire suivie par <math>\;C_M\;</math> est aussi une hélice <math>\;\big(</math>circulaire<math>\big)\;</math><ref name="circulaire" /> droite<ref name="hélice circulaire" /> d'axe <math>\;Oz\;</math> en précisant le rayon du tuyau cylindrique sur lequel elle est tracée ainsi que son pas<ref name="pas d'une hélice" />. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Le [[w:Cercle_osculateur|centre de courbure]] <math>\;C_M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> de la trajectoire hélicoïdale au point <math>\;M\;</math> étant sur la normale au tuyau cylindrique en <math>\;M\;</math> à la distance <math>\;\mathcal{R} > R\;</math> de ce dernier dans le sens de <math>\;\vec{n}_M\;</math><ref> Voir schéma dans la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Détermination_des_composantes_cylindro-polaires_du_vecteur_accélération_du_point_sur_sa_trajectoire_hélicoïdale_puis_du_rayon_de_courbure_de_l'hélice_en_M|détermination des composantes cylindro-polaires du vecteur accélération du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis du rayon de courbure de l'hélice en M]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}les « coordonnées orthoradiale et axiale de <math>\;C_M\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c r} \theta_{C_M} \!\!&=&\!\! \theta - \pi \!\!& &\!\!\\ z_{C_M} \!\!&=&\!\! z \!\!&=&\!\! h\;\theta\end{array}\right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left[ \theta\,,\,z \right]\;</math> les coordonnées orthoradiale et axiale de <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}la « coordonnée radiale de <math>\;C_M\;</math> étant égale à <math>\;\rho_{C_M} = M_zC_M = \mathcal{R} - R = \dfrac{R}{\sin^2(\alpha)} - R = \dfrac{R \left[ 1 - \sin^2(\alpha) \right]}{\sin^2(\alpha)} = R\;\dfrac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \dfrac{R}{\tan^2(\alpha)}\;</math>», d'où <center>les « coordonnées cylindro-polaires de <math>\;C_M\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c r} \rho_{C_M} \!\!&=&\!\! \dfrac{R}{\tan^2(\alpha)} \!\!& &\!\! \\ \theta_{C_M} \!\!&=&\!\! \theta - \pi \!\!& &\!\! \\ z_{C_M} \!\!&=&\!\! h\;\theta \!\!&=&\!\! h\;\theta_{C_M} + h\;\pi\end{array}\right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}on reconnaît dans les deux équations cylindro-polaires de la trajectoire de <math>\;C_M</math>, à savoir «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_{C_M} = \dfrac{R}{\tan^2(\alpha)}\\ z_{C_M} = h\;\theta_{C_M} + h\;\pi\end{array}\right\rbrace\;</math>», les équations d'une <u>hélice</u><math>\;\big(</math><u>circulaire</u><math>\big)\;</math><ref name="circulaire" /><u> droite</u><ref name="hélice circulaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on reconnaît dans les deux équations cylindro-polaires de la trajectoire de <math>\;\color{transparent}{C_M}</math>, }}<math>\succ\;</math>tracée sur un tuyau cylindrique d'axe <math>\;Oz\;</math> de rayon <math>\;\dfrac{R}{\tan^2(\alpha)} = \dfrac{h^2}{R} = \dfrac{h}{\tan(\alpha)}\;</math><ref> En effet <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{R}{h}\;</math> d'où la 2^ème expression en éliminant <math>\;\alpha\;</math> et la 3^ème en éliminant <math>\;R</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on reconnaît dans les deux équations cylindro-polaires de la trajectoire de <math>\;\color{transparent}{C_M}</math>, }}<math>\succ\;</math>de même pas<ref name="pas d'une hélice" /> «<math>\;h\;2\,\pi\;</math>» que celui de la trajectoire de <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on reconnaît dans les deux équations cylindro-polaires de la trajectoire de <math>\;\color{transparent}{C_M}</math>, }}<math>\succ\;</math>« en opposition avec cette dernière »<ref> La signification de « hélice en opposition avec une autre hélice de même axe » étant que les points respectifs de même cote des deux hélices ont des abscisses angulaires séparées de <math>\;\pi\;</math> <math>\big(</math>c'est une appellation personnelle<math>\big)</math>.</ref>.}} == Étude, en repérage polaire, du mouvement uniforme d'un point sur une spirale logarithmique et détermination du rayon de courbure de cette dernière en fonction du rayon polaire du point == {{Al|5}}Un point <math>\;M</math>, de coordonnées polaires <math>\;\left( \rho\,,\,\theta \right)</math>, décrit une [[w:Spirale_logarithmique#Équations|spirale logarithmique]] d'équation polaire <math>\;\rho = \rho_0\, \exp \left[ \theta\, \cot\! \left( \alpha \right) \right]\;</math> avec <math>\;\rho_0\;</math> une constante homogène à une longueur et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}</math>, de coordonnées polaires <math>\;\color{transparent}{\left( \rho\,,\,\theta \right)}</math>, décrit une spirale logarithmique d'équation polaire <math>\;\color{transparent}{\rho = \rho_0\, \exp \left[ \theta\, \cot\! \left( \alpha \right) \right]}\;</math> avec }}<math>\;\alpha\;</math> une constante angulaire <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } \dfrac{\pi}{2} \right[</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}</math>, de coordonnées polaires <math>\;\color{transparent}{\left( \rho\,,\,\theta \right)}</math>, }}la base polaire liée au point <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\theta \right)</math>. === Détermination des composantes polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire et du vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à ce point === {{Al|5}}Exprimer le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> du point dans la base polaire lié à ce dernier en fonction de <math>\;\rho_0</math>, <math>\;\alpha</math>, <math>\;\theta(t)\;</math> et la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)</math> ; {{Al|5}}choisissant d'orienter la [[w:Spirale_logarithmique#Équations|spirale logarithmique]] dans le sens des <math>\;\theta\;\nearrow</math>, déduire, de ce qui précède, <math>\succ\;</math>la vitesse instantanée <math>\;v_M(t)\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> du point sur sa trajectoire puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|choisissant d'orienter la spirale logarithmique dans le sens des <math>\;\color{transparent}{\theta\;\nearrow}</math>, déduire, de ce qui précède, }}<math>\succ\;</math>les composantes polaires du vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}_M\;</math> au point <math>\;M\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|choisissant d'orienter la spirale logarithmique dans le sens des <math>\;\color{transparent}{\theta\;\nearrow}</math>, déduire, de ce qui précède, }}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>préciser l'angle que fait le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}_M\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" /> au point <math>\;M\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|choisissant d'orienter la spirale logarithmique dans le sens des <math>\;\color{transparent}{\theta\;\nearrow}</math>, déduire, de ce qui précède, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>préciser l'angle }}avec le 1^er vecteur de base polaire <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> lié au même point, {{Al|5}}{{Transparent|choisissant d'orienter la spirale logarithmique dans le sens des <math>\;\color{transparent}{\theta\;\nearrow}</math>, déduire, de ce qui précède, }}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>commenter le résultat obtenu caractéristique d'une [[w:Spirale_logarithmique#Équations|spirale logarithmique]]. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Bien sûr il convient de faire un schéma de situation en rappelant la base polaire. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur vitesse du point</u><math>\;M\;</math><u>sur sa trajectoire</u> : Le point <math>\;M\;</math> décrivant la [[w:Spirale_logarithmique#Équations|spirale logarithmique]] d'équation polaire <math>\;\rho = \rho_0\, \exp\! \left[ \theta\, \cot\! \left( \alpha \right) \right]\;</math> dans laquelle l'abscisse angulaire suit la loi horaire <math>\;\theta = \theta(t)</math>, les composantes polaires du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M\;</math> se calculent selon <math>\; \vec{V}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l c l c r} V_\rho(t) \!\!&=&\!\! \dot{\rho}(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{d \rho}{d \theta} \left[ \theta(t) \right]\, \dot{\theta}(t)\\ V_\theta(t) \!\!&=&\!\! \rho \left[ \theta(t) \right]\, \dot{\theta}(t) \!\!& &\!\! \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse" />{{,}}<ref> Attention, <math>\;\dot{\rho}(t)\;</math> nécessite de dériver <math>\;\rho\;</math> par rapport à <math>\;t\;</math> et non par rapport à <math>\;\theta\;</math> d'où l'utilisation de la formule de dérivation des fonctions composées.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\; \vec{V}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l} V_\rho(t) = \rho_0\, \cot(\alpha)\, \exp \left[ \theta(t)\, \cot(\alpha) \right]\, \dot{\theta}(t)\\ V_\theta(t) = \rho_0\, \exp \left[ \theta(t)\, \cot(\alpha) \right]\, \dot{\theta}(t) \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> On remarque que <math>\;V_\rho(t) = V_\theta(t)\, \cot(\alpha)</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression de la vitesse instantanée du point</u><math>\;M\;</math><u>sur sa trajectoire</u><ref name="vitesse instantanée" /> quand celle-ci est orientée dans le sens des <math>\;\theta \nearrow</math> : pour cela on utilise <math>\;\vert v_M(t) \vert = \Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math> soit, avec les composantes polaires de <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> préalablement déterminées, <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{\left\lbrace \rho\left[ \theta(t) \right]\, \dot{\theta}(t)\, \cot(\alpha) \right\rbrace^2 + \left\lbrace \rho\left[ \theta(t) \right]\, \dot{\theta}(t) \right\rbrace^2} = \rho\left[ \theta(t) \right]\, \vert \dot{\theta}(t) \vert\, \sqrt{\cot^2(\alpha) + 1}\;</math> ou encore <math>\;\vert v_M(t) \vert = \dfrac{\rho\left[ \theta(t) \right]\, \vert \dot{\theta}(t) \vert}{\sin(\alpha)}\;</math><ref> Cette dernière égalité utilisant la formule de trigonométrie <math>\;1 + \cot^2(\alpha) = \dfrac{1}{\sin^2(\alpha)}\;</math> avec <math>\;\sin(\alpha) > 0</math>.</ref> ; {{Al|9}}{{Transparent|Expression de la vitesse instantanée du point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>sur sa trajectoire : }}la trajectoire étant orientée dans le sens des <math>\;\theta \nearrow</math>, «<math>\;v_M(t)\;</math> et <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> sont de même signe » d'où <br>{{Al|9}}{{Transparent|Expression de la vitesse instantanée du point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>sur sa trajectoire : la trajectoire étant orientée dans le sens des <math>\;\color{transparent}{\theta \nearrow}</math>, }}«<math>\;v_M(t) = \dfrac{\rho\left[ \theta(t) \right]\, \dot{\theta}(t)}{\sin(\alpha)} = \dfrac{\rho_0\, \exp \left[ \theta(t)\, \cot\! \left( \alpha \right) \right]\, \dot{\theta}(t)}{\sin(\alpha)}\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="1er vecteur de base de Frenet" /> lié au point</u><math>\;M\;</math><u>de sa trajectoire</u> quand celle-ci est orientée dans le sens des <math>\;\theta \nearrow</math> : <br>{{Al|18}}{{Transparent|Expression du vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié au point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>de sa trajectoire }}le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}_M(t)\;</math> lié au point <math>\;M\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" /> sur la trajectoire de ce dernier se détermine à partir du vecteur vitesse du point <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> et de sa vitesse instantanée <math>\;v_M(t)\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> par <math>\;\vec{\tau}_M(t) = \dfrac{\vec{V}_M(t)}{v_M(t)}\;</math><ref name="composante de Frenet du vecteur vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <math>\;\vec{\tau}_M(t)\;\left\lbrace\begin{array}{l}\tau_{\rho,\,M}(t) = \dfrac{\rho_0\, \cot(\alpha)\, \exp \left[ \theta(t)\, \cot(\alpha) \right]\, \dot{\theta}(t)}{\dfrac{\rho_0\, \exp \left[ \theta(t)\, \cot\! \left( \alpha \right) \right]\, \dot{\theta}(t)}{\sin(\alpha)}}\\ \tau_{\theta,\,M}(t) = \dfrac{\rho_0\, \exp \left[ \theta(t)\, \cot(\alpha) \right]\, \dot{\theta}(t)}{\dfrac{\rho_0\, \exp \left[ \theta(t)\, \cot\! \left( \alpha \right) \right]\, \dot{\theta}(t)}{\sin(\alpha)}} \end{array}\right\rbrace\;</math> et au final «<math>\;\vec{\tau}_M\;\left\lbrace\begin{array}{l}\tau_{\rho,\,M} = \cos(\alpha)\\ \tau_{\theta,\,M} = \sin(\alpha) \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Compte-tenu de <math>\;\cot(\alpha) = \dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \Rightarrow \cot(\alpha)\, \sin(\alpha) = \cos(\alpha)</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Angle entre le 1^er vecteur de base de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="1er vecteur de base de Frenet" /> et le 1^er vecteur de base polaire, tous deux liés au point</u><math>\;M\;</math><u>de sa trajectoire</u> : de la composante radiale du vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}_M\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" /> on en déduit «<math>\;\vec{\tau}_M \cdot \vec{u}_{\rho,\,M} = \cos(\alpha)\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{\tau}_M \cdot \vec{u}_{\rho,\,M} = \Vert \vec{\tau}_M \Vert\;\Vert \vec{u}_{\rho,\,M} \Vert\;\cos\! \widehat{\left\lbrace \vec{u}_{\rho,\,M}\,,\,\vec{\tau}_M \right\rbrace}\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= \cos\! \widehat{\left\lbrace \vec{u}_{\rho,\,M}\,,\,\vec{\tau}_M \right\rbrace}\;</math>»<ref> Les deux vecteurs <math>\;\vec{\tau}_M\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math> étant unitaires.</ref> d'où <math>\;\widehat{\left\lbrace \vec{u}_{\rho,\,M}\,,\,\vec{\tau}_M \right\rbrace}</math> <math>= \pm \alpha</math> ; {{Al|18}}{{Transparent|Angle entre le 1^er vecteur de base de Frenet et le 1^er vecteur de base polaire, tous deux liés au point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>de sa trajectoire : }}de la composante orthoradiale du vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}_M\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" /> on en déduit «<math>\;\vec{\tau}_M \cdot \vec{u}_{\theta,\,M} = \sin(\alpha)\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{\tau}_M \cdot \vec{u}_{\theta,\,M} = \Vert \vec{\tau}_M \Vert\;\Vert \vec{u}_{\theta,\,M} \Vert\;\cos\! \widehat{\left\lbrace \vec{u}_{\theta,\,M}\,,\,\vec{\tau}_M \right\rbrace}\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs" /> <math>= \cos\! \widehat{\left\lbrace \vec{u}_{\theta,\,M}\,,\,\vec{\tau}_M \right\rbrace}\;</math><ref> Les deux vecteurs <math>\;\vec{\tau}_M\;</math> et <math>\;\vec{u}_{\theta,\,M}\;</math> étant unitaires.</ref> <math>= \cos\! \left[ \widehat{\left\lbrace \vec{u}_{\rho,\,M}\,,\,\vec{\tau}_M \right\rbrace} - \dfrac{\pi}{2} \right]\;</math> <math>\big\{\vec{u}_{\theta,\,M}\;</math> étant directement <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_{\rho,\,M}\big\}\;</math> <math>= \sin\! \widehat{\left\lbrace \vec{u}_{\rho,\,M}\,,\,\vec{\tau}_M \right\rbrace}\;</math>»<ref> Car <math>\;\cos\! \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right) = \cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - x \right) = \sin(x)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin\! \widehat{\left\lbrace \vec{u}_{\rho,\,M}\,,\,\vec{\tau}_M \right\rbrace} = \sin(\alpha)\;</math> d'où <math>\;\widehat{\left\lbrace \vec{u}_{\rho,\,M}\,,\,\vec{\tau}_M \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha\;\; \text{ou}\\ \pi - \alpha\end{array} \right]</math> ; {{Al|18}}{{Transparent|Angle entre le 1^er vecteur de base de Frenet et le 1^er vecteur de base polaire, tous deux liés au point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>de sa trajectoire : }}l'utilisation des deux informations nous conduise à «<math>\;\widehat{\left\lbrace \vec{u}_{\rho,\,M}\,,\,\vec{\tau}_M \right\rbrace} = \alpha\;</math>» ; <center><u>conclusion</u> : la tangente à une [[w:Spirale_logarithmique#Équations|spirale logarithmique]] fait un angle constant avec le rayon vecteur<ref> Autre nom du vecteur position utilisé hors cinématique.</ref> <math>\;\overrightarrow{OM}</math>.</center>}} === Détermination du lien entre accélération et vitesse angulaires du point quand ce dernier décrit un mouvement uniforme sur sa trajectoire === {{Al|5}}On suppose que le mouvement s'effectue à vitesse instantanée <math>\;v\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> constante<ref> Caractéristique d'un mouvement qualifié d'« uniforme ».</ref> ; {{Al|5}}déterminer l'expression de la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> du point en fonction de <math>\;v</math>, <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;\rho(t)</math> ; {{Al|5}}en tenant compte de <math>\;v = cste\;</math> et à partir de l'expression précédente de la vitesse angulaire, déduire une expression de l'accélération angulaire <math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> en fonction de <math>\;\succ</math><math>\;v</math>, <math>\;\alpha</math>, <math>\;\rho(t)\;</math> et <math>\;\dot{\rho}(t)</math>, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|en tenant compte de <math>\;\color{transparent}{v = cste}\;</math> et à partir de l'expression précédente de la vitesse angulaire, déduire une expression de l'accélération angulaire <math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t)}\;</math> en fonction de }}<math>\;\succ</math><math>\;v</math>, <math>\;\alpha</math>, <math>\;\rho(t)\;</math> et <math>\;\dot{\theta}(t)</math>, et enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|en tenant compte de <math>\;\color{transparent}{v = cste}\;</math> et à partir de l'expression précédente de la vitesse angulaire, déduire une expression de l'accélération angulaire <math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t)}\;</math> en fonction de }}<math>\;\succ</math><math>\;\alpha\;</math> et <math>\;\dot{\theta}(t)</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}<u>Expression de la vitesse angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme</u> : de l'expression de la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> «<math>\;v_M(t) = \dfrac{\rho(t)\, \dot{\theta}(t)}{\sin(\alpha)}\;</math>»<ref name="solution de la 1ère question"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Détermination_des_composantes_polaires_du_vecteur_vitesse_du_point_sur_sa_trajectoire_et_du_vecteur_unitaire_tangentiel_de_Frenet_lié_à_ce_point|détermination des composantes polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire et du vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à ce point]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression de la vitesse angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : }}de sa valeur constante égale à <math>\;v\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression de la vitesse angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : }}on en déduit la vitesse angulaire cherchée «<math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{v\, \sin(\alpha)}{\rho(t)}\;</math>». {{Al|5}}<u>1^ère expression de l'accélération angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme</u> : on obtient cette expression en dérivant celle de la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> par rapport à <math>\;t\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|1^ère expression de l'accélération angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) = \dfrac{-v\, \sin(\alpha)\, \dot{\rho}(t)}{\rho^2(t)}\;</math>» ; {{Al|5}}<u>2^ème expression de l'accélération angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme</u> : pour cela on y reporte l'expression de la vitesse radiale déterminée dans la solution de la question précédente <math>\;\dot{\rho}(t) = V_\rho(t) = V_\theta(t)\, \cot(\alpha) = \rho(t)\, \cot(\alpha)\, \dot{\theta}(t)\;</math><ref name="solution de la 1ère question" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{\theta}(t) = \dfrac{-v\, \sin(\alpha)\, \rho(t)\, \cot(\alpha)\, \dot{\theta}(t)}{\rho(t)^2}\;</math> et finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|2^ème expression de l'accélération angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) = \dfrac{-v\, \cos(\alpha)\, \dot{\theta}(t)}{\rho(t)}\;</math>» ; {{Al|5}}<u>3^ème expression de l'accélération angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme</u> : il reste à « éliminer <math>\;v\;</math> et <math>\;\rho(t)\;</math> au profit de <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» par une nouvelle utilisation de l'expression de la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> «<math>\;v = v_M(t) = \dfrac{\rho(t)\, \dot{\theta}(t)}{\sin(\alpha)}\;</math>»<ref name="solution de la 1ère question" /> ou <math>\;\dfrac{v}{\rho(t)} = \dfrac{\dot{\theta}(t)}{\sin(\alpha)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{\theta}(t) = -\cos(\alpha)\, \dot{\theta}(t)\, \dfrac{v}{\rho(t)} = -\cos(\alpha)\, \dot{\theta}(t)\, \dfrac{\dot{\theta}(t)}{\sin(\alpha)}\;</math> et finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|3^ème expression de l'accélération angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) = -\cot(\alpha)\; \dot{\theta}^2(t)\;</math>»<ref> On souligne que cette expression n'est valable qu'en supposant un mouvement uniforme.</ref>.}} === Détermination des composantes polaires du vecteur accélération du point dans le cas précédent où ce dernier décrit un mouvement uniforme sur sa trajectoire === {{Al|5}}Exprimer les composantes polaires du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> du point dont le mouvement s'effectue à vitesse instantanée <math>\;v\;</math> constante<ref> On pensera à utiliser l'expression de <math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> en fonction de <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> et <math>\;\alpha\;</math> demandée dans la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Détermination_du_lien_entre_accélération_et_vitesse_angulaires_du_point_quand_ce_dernier_décrit_un_mouvement_uniforme_sur_sa_trajectoire|détermination du lien entre accélération et vitesse angulaires du point quand ce dernier décrit un mouvement uniforme sur sa trajectoire]] » plus haut dans cet exercice.</ref> ; {{Al|5}}préciser son orientation. {{Solution | contenu ={{Al|5}}On utilise les expressions des composantes polaires du vecteur accélération<ref name="composantes cylindro-polaires du vecteur accélération" /> «<math>\; \vec{a}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l c l c l} a_\rho(t) \!\!&=&\!\! \ddot{\rho}(t) - \rho(t)\, \dot{\theta}^2(t) \!\!&=&\!\! \dot{V}_\rho(t) - \dfrac{V_\theta^2(t)}{\rho(t)}\\ a_\theta(t) \!\!&=&\!\! \rho(t)\, \ddot{\theta}(t) + 2\, \dot{\rho}(t)\, \dot{\theta}(t) \!\!&=&\!\! \rho(t) \left[ -\cot(\alpha)\, \dot{\theta}^2(t) \right] + 2\, V_\rho(t)\, \dot{\theta}(t)\end{array} \right\rbrace\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|On utilise }}celle de la composante locale de Frenet<ref name="Frenet" /> du vecteur vitesse<ref name="composante de Frenet du vecteur vitesse" /> utilisant les composantes polaires du vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="1er vecteur de base de Frenet" /> «<math>\;\vec{V}_M(t) = v\, \vec{\tau}_M(t)\, \left\lbrace \begin{array}{l} V_\rho(t) = v\, \cos(\alpha)\\ V_\theta(t) = v\, \sin(\alpha) \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="solution de la 1ère question" /> dont on tire d'une part «<math>\;\dot{V}_\rho(t) = 0\;</math>»<ref> En effet <math>\;V_\rho(t) = v\, \cos(\alpha)\;</math> est constant.</ref> et d'autre part «<math>\;V_\rho(t) = V_\theta(t)\;\cot(\alpha)\;</math>»<ref> Ce résultat restant valable même si le mouvement sur la trajectoire n'est pas uniforme, voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#cite_note-56|⁵⁶]] » de la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Détermination_des_composantes_polaires_du_vecteur_vitesse_du_point_sur_sa_trajectoire_et_du_vecteur_unitaire_tangentiel_de_Frenet_lié_à_ce_point|détermination des composantes polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire et du vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à ce point]] » plus haut dans cet exercice.</ref> soit <math>\;\vec{a}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l c l c l c l} a_\rho(t) \!\!\!&=&\!\!\! - \dfrac{V_\theta^2(t)}{\rho(t)} \!\!\!&=&\!\!\! - V_\theta(t)\,\dfrac{V_\theta(t)}{\rho(t)}\!\!\!&=&\!\!\! V_\theta(t)\, \dot{\theta}(t)\\ a_\theta(t) \!\!\!&=&\!\!\! -\left[ \rho(t)\,\dot{\theta}(t)\,\cot(\alpha) \right] \dot{\theta}(t) + 2\, V_\rho(t)\, \dot{\theta}(t) \!\!\!&=&\!\!\! -V_\rho(t)\, \dot{\theta}(t) + 2\, V_\rho(t)\, \dot{\theta}(t) \!\!\!&=&\!\!\! V_\rho(t)\, \dot{\theta}(t)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{V_\theta(t)}{\rho(t)} = \dot{\theta}(t)\;</math> d'après l'expression de la composante orthoradiale du vecteur vitesse dans le repérage polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\;\left[ \rho(t)\,\dot{\theta}(t)\,\cot(\alpha) \right] \dot{\theta}(t) = \left[ V_\theta(t)\,\cot(\alpha) \right] \dot{\theta}(t) = V_\rho(t)\, \dot{\theta}(t)</math> d'après la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#cite_note-70|⁷⁰]] » plus haut dans l'exercice.</ref> ou encore «<math>\;\vec{a}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l c l} a_\rho(t) \!\!&=&\!\! - v\, \sin(\alpha)\, \dot{\theta}(t)\\ a_\theta(t) \!\!&=&\!\! v\, \cos(\alpha)\, \dot{\theta}(t) \end{array} \right\rbrace\;</math>» ; finalement on obtient «<math>\; \vec{a}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l c l c l} a_\rho(t) \!\!&=&\!\! -v\, \sin(\alpha)\, \dot{\theta}(t) \!\!&=&\!\! -\dfrac{v^2\, \sin^2(\alpha)}{\rho(t)} \quad < 0\\ a_\theta(t) \!\!&=&\!\! v\, \cos(\alpha)\, \dot{\theta}(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{v^2\, \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{\rho(t)} > 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Les 2^èmes relations obtenues à l'aide de <math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{v\, \sin(\alpha)}{\rho(t)}\;</math> sont explicitées pour déterminer le signe des composantes.</ref> ; <center>on constate que le vecteur accélération a toujours une composante radiale <math>\;< 0\;</math> et une composante orthoradiale <math>\;> 0</math>.</center>}} === Détermination du rayon de courbure de la spirale logarithmique en fonction du rayon polaire du point === {{Al|5}}Déduire, de la résolution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Détermination_des_composantes_polaires_du_vecteur_accélération_du_point_dans_le_cas_précédent_où_ce_dernier_décrit_un_mouvement_uniforme_sur_sa_trajectoire|détermination des composantes polaires du vecteur accélération du point dans le cas précédent où ce dernier décrit un mouvement uniforme sur sa trajectoire]] » plus haut dans cet exercice, le rayon de courbure <math>\;\mathcal{R}_M\;</math><ref name="cercle osculateur, rayon et centre de courbure d'une courbe plane" /> de la trajectoire de <math>\;M\;</math> en fonction de son rayon polaire <math>\;\rho\;</math> et de l'angle <math>\;\alpha</math> ; {{Al|5}}le résultat obtenu étant indépendant de la nature uniforme du mouvement, vérifiez-le sur l'expression finale. {{Solution | contenu ={{Al|5}}La vitesse instantanée <math>\;v_M(t)\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> étant constante égale à <math>\;v</math>, l'accélération tangentielle<ref name="accélération tangentielle" /> est nulle «<math>\;a_{\tau,\,M} = \dot{v_M}(t) = 0\;</math>» et le vecteur accélération est normal, sa norme étant égale à l'accélération normale<ref name="accélération normale" /> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;a_{n,\,M}</math>}} <math>= \Vert \vec{a}_M(t) \Vert = \sqrt{\left[ -\dfrac{v^2\, \sin^2(\alpha)}{\rho(t)} \right]^2 + \left[ \dfrac{v^2\, \sin(\alpha)\, \cos(\alpha)}{\rho(t)} \right]^2} = \dfrac{v^2\, \sin(\alpha)}{\rho(t)}\;</math>»<ref> En effet le développement sous le radical donne <math>\;v^4\ \sin^4(\alpha) + v^4\, \sin^2(\alpha)\, \cos^2(\alpha) = v^4\, \sin^2(\alpha) \left[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) \right] = v^4\, \sin^2(\alpha)</math>.</ref> que l'on identifie à «<math>\;\dfrac{v^2}{\mathcal{R}_M(t)}\;</math>»<ref name="accélération normale" /> d'où «<math>\;\mathcal{R}_M(\theta) = \dfrac{\rho(\theta)}{\sin(\alpha)}\;</math>»<ref> Le rayon de courbure est indépendant de la nature <math>\;\big(</math>uniforme<math>\big)\;</math> du mouvement, car c'est une propriété de la courbe et non du mouvement, on a remplacé le dépendance de <math>\;\rho\;</math> en <math>\;t\;</math> par celle en <math>\;\theta</math>.</ref>. [[File:Spirale logarithmique - propriété du centre de courbure.png|thumb|320px|Schéma exposant la propriété du centre de courbure <math>\;C_M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> d'une [[w:Spirale_logarithmique#Équations|spirale logarithmique]] de centre asymptotique <math>\;O\;</math> telle que sa tangente en <math>\;M\;</math> fait l'angle <math>\;\alpha\;</math> avec <math>\;OM</math> : le projeté orthogonal de <math>\;C_M\;</math> sur la direction <math>\;OM\;</math> est le point asymptotique <math>\;O\;</math> de la [[w:Spirale_logarithmique#Équations|spirale logarithmique]]]] {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}_M\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" /> faisant l'angle <math>\;\alpha\;</math> avec <math>\;\vec{u}_{\rho,\,M}</math>, il en est de même du vecteur unitaire normal principal de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{n}_M\;</math><ref name="base locale de Frenet" /> avec <math>\;\vec{u}_{\theta,\,M}\;</math> <math>\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}on peut placer le centre de courbure <math>\;C_M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> à la [[w:Spirale_logarithmique#Équations|spirale logarithmique]] sur la normale principale en <math>\;M\;</math><ref name="normale principale"> C.-à-d. sur la droite passant par <math>\;M\;</math> et de [[w:Vecteur_directeur|vecteur directeur]] tout vecteur colinéaire au vecteur unitaire normal principal de Frenet <math>\;\vec{n}_M</math>.</ref> à la distance <math>\;MC_M = \mathcal{R}_M\;</math> de <math>\;M\;</math> et, comme <math>\;\mathcal{R}_M = \dfrac{\rho(\theta)}{\sin(\alpha)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\rho(\theta) = \mathcal{R}_M\, \sin(\alpha)</math>, on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<u>le projeté orthogonal du centre de courbure</u><math>\;C_M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /><u> sur la direction du vecteur position est le point asymptote</u><math>\;O\;</math><u>de la [[w:Spirale_logarithmique#Équations|spirale logarithmique]]</u> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}d'après le schéma ci-contre on en déduit les coordonnées polaires du centre de courbure <math>\;C_M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" />, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : d'après le schéma ci-contre on en déduit }}<math>\succ\;</math>son abscisse angulaire «<math>\;\theta_{C_M} = \theta_M + \dfrac{\pi}{2}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : d'après le schéma ci-contre on en déduit }}<math>\succ\;</math>son rayon <math>\;\big(</math>polaire<math>\big)</math> «<math>\;\rho_{C_M} = OC_M = \mathcal{R}_M\;\cos(\alpha) = \dfrac{\rho_M}{\sin(\alpha)}\;\cos(\alpha) = \rho_M \;\cot(\alpha)</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : d'après le schéma ci-contre on en déduit <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>son rayon <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>polaire<math>\color{transparent}{\big)}</math> «}}<math>\;\rho_{C_M} = \rho_0\,\cot(\alpha)\, \exp \left[ \theta_M\, \cot\! \left( \alpha \right) \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}l'équation polaire du centre de courbure<ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> s'écrit donc «<math>\;\rho_{C_M} = \rho_{C_M,\,0}\,\exp \left[ \left( \theta_{C_M} - \dfrac{\pi}{2} \right)\, \cot\! \left( \alpha \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : l'équation polaire du centre de courbure s'écrit donc }}avec «<math>\;\rho_{C_M,\,0} = \rho_0\,\cot(\alpha)\;</math> valeur de <math>\;OC_M\;</math> quand <math>\;\theta_M = 0\;</math> ou <math>\;\theta_{C_M} = \dfrac{\pi}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}nous en déduisons que le centre de courbure<ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> décrit aussi une [[w:Spirale_logarithmique#Équations|spirale logarithmique]] de point asymptotique <math>\;O\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : nous en déduisons que le centre de courbure décrit aussi une spirale logarithmique }}avec une même inclinaison de la tangente relativement au rayon vecteur que celle décrite par <math>\;M\;</math><ref> Plus précisément la [[w:Spirale_logarithmique#Équations|spirale logarithmique]] décrite par <math>\;C_M\;</math> se déduit de celle décrite par <math>\;M\;</math> par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;O\;</math> suivie d'une homothétie de centre <math>\;O\;</math> et de rapport <math>\;\cot(\alpha)</math>.</ref><math>\;\ldots</math>}} == Étude, en repérage polaire, du mouvement à vitesse angulaire constante d'un point sur une demi cardioïde et détermination du rayon de courbure de cette dernière en fonction de l'angle polaire du point == [[File:Demi cardioïde, repérage polaire.png|thumb|350px|Schéma de situation, à l'instant <math>\;t</math>, du déplacement d'un point <math>\;M\;</math> à vitesse angulaire constante sur une demi [[w:Cardioïde|cardioïde]], l'abscisse angulaire variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;\pi</math>]] {{Al|5}}Un point <math>\;M</math>, de coordonnées polaires <math>\;\left( \rho\,,\,\theta \right)</math>, se déplace, d'un mouvement à vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta} = \omega_0\;</math> constante <math>\;> 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}</math>, de coordonnées polaires <math>\;\color{transparent}{\left( \rho\,,\,\theta \right)}</math>, se déplace, }}sur une [[w:Cardioïde|cardioïde]] d'équation polaire «<math>\;\rho = a \left[ 1 + \cos(\theta) \right]\;</math>» avec <math>\;a\;</math> une constante homogène à une longueur ; {{Al|5}}l'origine des temps étant choisie quand l'abscisse angulaire du point est nulle, on en déduit la loi horaire angulaire «<math>\;\theta = \omega_0\; t\;</math>», <br>{{Al|8}}{{Transparent|l'origine }}le temps <math>\;t\;</math> évoluant de <math>\;0\;</math> à <math>\;\dfrac{\pi}{\omega_0}\;</math> <math>\big(</math>ce qui correspond à l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;\pi\big)</math>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|l'origine le temps <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> évoluant de <math>\;\color{transparent}{0}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\dfrac{\pi}{\omega_0}}\;</math> }}le mobile ne décrit alors que la demi [[w:Cardioïde|cardioïde]] représentée ci-contre. === Détermination de la vitesse instantanée du mobile sur sa trajectoire et déduction de la longueur de cette dernière === {{Al|5}}Évaluer la vitesse instantanée <math>\;v_M(t)\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> du mobile sur la demi [[w:Cardioïde|cardioïde]] en fonction de <math>\;a</math>, <math>\;\omega_0\;</math> et du temps <math>\;t</math> ; {{Al|5}}en déduire la longueur <math>\;\mathcal{L}\;</math> de la trajectoire en l'exprimant sous forme d'une intégrale curviligne<ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Notion_d'intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|5}}« transformer cette dernière en une intégrale d'une fonction du temps <math>\;t\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ 0\,;\, \dfrac{\pi}{\omega_0} \right]\;</math>»<ref name="méthode de calcul d'une intégrale curviligne"> La méthode de calcul d'une intégrale curviligne étant d'utiliser un paramétrage de la courbe de façon à transformer l'intégrale curviligne en une intégrale sur un segment voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Méthode_de_calcul_d'une_intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et la calculer. {{Solution | contenu ={{Al|5}}<u>Détermination de la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> du point</u><math>\;M\;</math><u>sur sa trajectoire, la demi [[w:Cardioïde|cardioïde]]</u> : On évalue d'abord les composantes polaires du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> du mobile <math>\;M\;</math> sur la demi [[w:Cardioïde|cardioïde]] de façon à déterminer sa norme <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math> s'identifiant à la valeur absolue de la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;\vert v_M(t) \vert\;</math> soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|Détermination de la vitesse instantanée du point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>sur sa trajectoire, }}<math>\;\vec{V}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l c l c l c l c l} V_\rho(t) \!\!\!&=&\!\! \dot{\rho}(t) \!\!\!&=&\!\! \dfrac{d \rho}{d \theta}\!\left[ \theta(t) \right]\, \dfrac{d \theta}{dt}(t) \!\!\!&=&\!\! -a\, \omega_0\, \sin\! \left[ \theta(t) \right] \!\!\!\!\!&=&\!\!\!\! -2\,a\, \omega_0\, \sin\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]\,\cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]\\ V_\theta(t) \!\!\!&=&\!\! \rho\! \left[ \theta(t) \right]\, \dot{\theta}(t) \!\!\!&=&\!\! a\, \omega_0\, \left\lbrace 1 + \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace \!\!\!&=&\!\! 2\,a\, \omega_0\,\cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \!\!\!\!\!& &\!\!\!\!\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse" />{{,}}<ref name="passage en angle moitié"> Le passage en angle moitié pourra trouver son intérêt par la suite <math>\;\big(</math>même s'il n'est pas indispensable<math>\big)\;</math> on se sert des formules de trigonométrie parmi les suivantes <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}\sin(2\,\alpha) = 2\,\sin\!\left( \dfrac{\alpha}{2} \right)\,\cos\!\left( \dfrac{\alpha}{2} \right)\\1 + \cos(\alpha) = 2\,\cos^2\!\left( \dfrac{\alpha}{2} \right)\end{array}\right\rbrace</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Détermination de la vitesse instantanée du point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>sur sa trajectoire, }}«<math>\;\vert v_M(t) \vert = \Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{V_\rho^2(t) + V_\theta^2(t)} = a\, \omega_0\, \sqrt{\sin^2\! \left[ \theta(t) \right] + \left\lbrace 1 + \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2} = a\, \omega_0\, \sqrt{2\, \left\lbrace 1 + \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace}\;</math>» ou encore <br>{{Al|9}}{{Transparent|Détermination de la vitesse instantanée du point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>sur sa trajectoire, }}«<math>\;\vert v_M(t) \vert = 2\,a\, \omega_0\, \bigg\vert \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \bigg\vert\;</math>»<ref name="passage en angle moitié" /> ; {{Al|9}}{{Transparent|Détermination de la vitesse instantanée du point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>sur sa trajectoire, }}comme <math>\;\theta \in \left[ 0\, ;\, \pi \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{\theta}{2} \in \left[ 0\, ;\, \dfrac{\pi}{2} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \geqslant 0\;</math> on en tire «<math>\;\vert v_M(t) \vert = 2\, a\, \omega_0\, \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]\;</math>» ; {{Al|9}}{{Transparent|Détermination de la vitesse instantanée du point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>sur sa trajectoire, }}constatant que <math>\;\vert v_M(t) \vert = 2\, a\, \omega_0\, \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]\;</math> ne s'annule qu'à la borne supérieure de l'intervalle de variation de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> on en déduit que <br>{{Al|9}}{{Transparent|Détermination de la vitesse instantanée du point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>sur sa trajectoire, }}le mobile <math>\;M\;</math> ne change pas de sens de déplacement sur sa trajectoire et par suite, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Détermination de la vitesse instantanée du point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>sur sa trajectoire, }}si on choisit le sens <math>\;+\;</math> sur cette dernière dans le sens du mouvement <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le sens des <math>\;\theta \nearrow\big)\;</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Détermination de la vitesse instantanée du point<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>sur sa trajectoire, }}la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> s'écrit «<math>\;v_M(t) = 2\, a\, \omega_0\, \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] = 2\, a\, \omega_0\, \cos\! \left( \dfrac{\omega_0\;t}{2} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Détermination de la longueur de la trajectoire de</u><math>\;M</math> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la longueur de la demi [[w:Cardioïde|cardioïde]]<math>\big)</math> : «<math>\;\mathcal{L} = \displaystyle\int_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_f} \overset{\curvearrowright}{dM}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;(\mathcal{C})\;</math> est la trajectoire de <math>\;M\;</math> c'est-à-dire la demi [[w:Cardioïde|cardioïde]] et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination de la longueur de la trajectoire de<math>\;\color{transparent}{M}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire la longueur de la demi cardioïde<math>\color{transparent}{\big)}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L} = \displaystyle\int_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_f} \overset{\curvearrowright}{dM}}\;</math>» où }}<math>\;\overset{\curvearrowright}{dM}\;</math> la longueur élémentaire algébrique définie à partir du point <math>\;M\;</math> de la demi [[w:Cardioïde|cardioïde]] orientée <math>\;\Big(\overset{\curvearrowright}{dM}\;</math> s'identifiant à l'abscisse curviligne élémentaire <math>\;ds_M\;</math><ref name="abscisse curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d'un_point_sur_une_courbe_continue|abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> définie à partir du même point <math>\;M\Big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la longueur de la trajectoire de<math>\;\color{transparent}{M}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire la longueur de la demi cardioïde<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}intégrale paramétrable en <math>\;t\;</math> à l'aide de la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;v_M(t) = \dot{s}_M(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overset{\curvearrowright}{dM} = ds_M = v_M(t)\,dt\;</math>» soit finalement la « transformation de l'intégrale curviligne<ref name="intégrale curviligne" /> en l'intégrale de la fonction <math>\;v_M(t)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ 0\,;\, \dfrac{\pi}{\omega_0} \right]\;</math>»<ref name="méthode de calcul d'une intégrale curviligne" /> suivante <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la longueur de la trajectoire de<math>\;\color{transparent}{M}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire la longueur de la demi cardioïde<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}«<math>\;\mathcal{L} = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{\omega_0}} v_M(t)\;dt = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{\omega_0}} 2\, a\, \omega_0\, \cos\! \left( \dfrac{\omega_0\;t}{2} \right)\;dt\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la longueur de la trajectoire de<math>\;\color{transparent}{M}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire la longueur de la demi cardioïde<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}en faisant le changement de variable d'intégration <math>\;\theta = \omega_0\;t\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d \theta =</math> <math>\omega_0\;dt</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la longueur de la trajectoire de<math>\;\color{transparent}{M}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire la longueur de la demi cardioïde<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}le segment d'intégration sur <math>\;\theta\;</math> devenant <math>\;\left[ 0\,;\, \pi \right]</math>, la longueur de la demi [[w:Cardioïde|cardioïde]] se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la longueur de la trajectoire de<math>\;\color{transparent}{M}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire la longueur de la demi cardioïde<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}«<math>\;\mathcal{L} = \displaystyle\int_0^\pi 2\, a\, \cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;d \theta\;</math>»<ref> La disparition explicite de la grandeur cinématique <math>\;\omega_0\;</math> est en accord avec le fait que la longueur ne dépend que des propriétés géométriques de la demi [[w:Cardioïde|cardioïde]], si cette disparition n'avait pas été observée, elle serait apparue néanmoins dans le résultat final.</ref> et se calcule selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la longueur de la trajectoire de<math>\;\color{transparent}{M}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire la longueur de la demi cardioïde<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}«<math>\;\mathcal{L} = \displaystyle\int_{\theta = 0}^{\theta = \pi} 4\, a\, \cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\,d\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) = \left[ 4\,a\,\sin\!\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]_0^\pi\;</math>» donnant finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la longueur de la trajectoire de<math>\;\color{transparent}{M}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire la longueur de la demi cardioïde<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}la longueur de la demi [[w:Cardioïde|cardioïde]] égale à «<math>\;\mathcal{L} = 4\;a\;</math>».}} === Détermination des composantes polaires du vecteur accélération du point sur la demi cardioïde === {{Al|5}}Déterminer les composantes polaires du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> du point sur sa trajectoire en fonction de <math>\;a</math>, <math>\;\omega_0\;</math> et <math>\;\theta = \omega_0\,t</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Les composantes polaires du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> du mobile <math>\;M\;</math> sur la demi [[w:Cardioïde|cardioïde]] sont «<math>\;\vec{a}_M(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} a_\rho(t) \!\!\!&=&\!\! \ddot{\rho}(t) - \rho(t) \left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 \!\!\!&=&\!\! \dot{V_\rho}(t) - \rho(t)\; \omega_0^2\\ a_\theta(t) \!\!\!&=&\!\! \cancel{\rho(t)\, \ddot{\theta}(t)\; +}\; 2\, \dot{\rho}(t)\, \dot{\theta}(t) \!\!\!&=&\!\! 2\, V_\rho(t)\, \omega_0\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="composantes cylindro-polaires du vecteur accélération" /> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les composantes polaires du vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> du mobile <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la demi cardioïde sont }}«<math>\;\vec{a}_M(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l} a_\rho(t) = -a\, \omega_0^2\, \cos\! \left[ \theta(t) \right] - a\,\omega_0^2 \left\lbrace 1 + \cos\! \left[\theta(t) \right] \right\rbrace\\ a_\theta(t) = -2\, a\, \omega_0^2\, \sin\! \left[\theta(t) \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Car «<math>\;V_\rho(t) = -a\, \omega_0\, \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Détermination_de_la_vitesse_instantanée_du_mobile_sur_sa_trajectoire_et_déduction_de_la_longueur_de_cette_dernière|détermination de la vitesse instantanée du mobile sur sa trajectoire et déduction de la longueur de cette dernière]] » plus haut dans cet exercice ; on en déduit aussi «<math>\;\dot{V_\rho}(t) = \dfrac{d \left[ -a\, \omega_0\, \sin(\theta) \right]}{d \theta}\;\dot{\theta}(t) = -a\, \omega_0\, \cos(\theta)\;\omega_0 = -a\, \omega_0^2\, \cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>».</ref> ou finalement, avec <math>\;\theta = \omega_0\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les composantes polaires du vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> du mobile <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la demi cardioïde sont }}«<math>\;\vec{a}_M(t) \left\lbrace \begin{array}{l} a_\rho(t) = -a\, \omega_0^2 \left[ 1 + 2\, \cos(\omega_0\,t) \right]\\ a_\theta(t) = -2\, a\, \omega_0^2\, \sin(\omega_0\,t) \end{array} \right\rbrace\;</math>».}} === Détermination du rayon de courbure de la demi cardioïde en fonction de l'abscisse angulaire du point === {{Al|5}}Question préliminaire : Former le produit vectoriel <math>\;\vec{V}_M \wedge \vec{a}_M\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> lié au point <math>\;M\;</math><ref name="base locale de Frenet" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Question préliminaire : }}en déduire la norme <math>\;\Vert \vec{V}_M \wedge \vec{a}_M \Vert\;</math> en fonction de la vitesse instantanée <math>\;v_M\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> et de l'accélération normale <math>\;a_{n,\,M}\;</math><ref name="accélération normale" />, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Question préliminaire : en déduire la norme <math>\;\color{transparent}{\Vert \vec{V}_M \wedge \vec{a}_M \Vert}\;</math> }}en fonction de <math>\;v_M\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> et du rayon de courbure <math>\;\mathcal{R}_M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> au point <math>\;M\;</math> de la trajectoire suivie ; {{Al|5}}{{Transparent|Question préliminaire : }}la norme d'un produit vectoriel étant indépendante de la base de calcul, <math>\;\Vert \vec{V}_M \wedge \vec{a}_M \Vert</math> en fonction de <math>\;v_M\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> et du rayon de courbure <math>\;\mathcal{R}_M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> au point <math>\;M\;</math> de la trajectoire suivie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Question préliminaire : la norme d'un produit vectoriel étant indépendante de la base de calcul, <math>\;\color{transparent}{\Vert \vec{V}_M \wedge \vec{a}_M \Vert}</math> }}garde la même valeur en calculant le produit vectoriel dans la base cylindro-polaire liée à <math>\;M</math>. {{Al|5}}Déduire, de la résolution de la question précédente « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Détermination_des_composantes_polaires_du_vecteur_accélération_du_point_sur_la_demi_cardioïde|détermination des composantes polaires du vecteur accélération du point sur la demi cardioïde]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déduire, de la résolution de la question précédente }}avec utilisation du résultat de la question préliminaire exposée ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déduire, }}le rayon de courbure <math>\;\mathcal{R}_M\;</math><ref name="plan osculateur, rayon et centre de courbure" /> de la trajectoire de <math>\;M\;</math> en fonction de son abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> et de la longueur <math>\;a</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : on forme <math>\;\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)\;</math> en repérage de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" /> soit, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \vec{V}_M(t) \!\!&=&\!\! v_M(t)\;\vec{\tau}_M\\ \vec{a}_M(t) \!\!&=&\!\! a_{\tau,\,M}(t)\;\vec{\tau}_M + a_{n,\,M}(t)\;\vec{n}_M \end{array}\right\rbrace\;</math> où d'une part <math>\;v_M(t)\;</math> est la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" />, d'autre part <math>\;a_{\tau,\,M}(t)\;</math> et <math>\;a_{n,\,M}(t)\;</math> sont respectivement les accélérations tangentielle<ref name="accélération tangentielle" /> et normale<ref name="accélération normale" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l'évaluation du produit vectoriel <math>\;\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs" /> en base locale de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" /> donne <math>\;\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t) = v_M(t)\;\vec{\tau}_M \wedge \left[ a_{\tau,\,M}(t)\;\vec{\tau}_M + a_{n,\,M}(t)\;\vec{n}_M \right] = v_M(t)\;a_{n,\,M}(t)\; \vec{b}\;</math><ref name="définition du produit vectoriel de deux vecteurs par leurs composantes"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriété_des_vecteurs_de_base_d'une_base_orthonormée|propriété des vecteurs de base d'une base orthonormée]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : l'évaluation du produit vectoriel }}«<math>\;\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t) = \dfrac{v_M^3(t)}{\mathcal{R}_M}\;\vec{b}\;</math>»<ref> Compte-tenu de <math>\;a_{n,\,M}(t) = \dfrac{v_M^2(t)}{\mathcal{R}_M}</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_locales_de_Frenet_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_accélérations_tangentielle_et_normale_du_point|composantes locales de Frenet du vecteur accélération du points repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t) \Vert = \dfrac{\vert v_M(t) \vert^3}{\mathcal{R}_M}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}la norme du produit vectoriel <math>\;\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs" /> étant indépendante de la base de calcul, on calcule ce dernier dans la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : la norme du produit vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)}\;</math> étant indépendante de la base de calcul, on calcule ce dernier }}pour en déduire <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t) \Vert\;</math> qui peut alors être identifiée à <math>\;\dfrac{\vert v_M(t) \vert^3}{\mathcal{R}_M}</math>. [[File:Demi cardioïde, repérage polaire et de Frenet.png|thumb|350px|Schéma de situation, à l'instant <math>\;t</math>, du déplacement d'un point <math>\;M\;</math> à vitesse angulaire constante sur une demi [[w:Cardioïde|cardioïde]], l'abscisse angulaire variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;\pi</math>, avec positionnement des bases locales polaire et de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" />]] {{Al|5}}Les composantes cylindro-polaires de <math>\;\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)\;</math> se déduisent de celles de ses vecteurs composants «<math>\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>V_\rho(t)\;\vec{u}_\rho + V_\theta(t)\;\vec{u}_\theta\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les composantes cylindro-polaires de <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)}\;</math> se déduisent de celles de ses vecteurs composants }}«<math>\;\vec{a}_M(t) = a_\rho(t)\;\vec{u}_\rho + a_\theta(t)\;\vec{u}_\theta\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les composantes cylindro-polaires de <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)}\;</math> se déduisent }}selon la règle de calcul suivante<ref> Appelée par certains physiciens « règle du gamma » <math>\;\ldots</math> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> : * selon <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> <math>\left\lbrace\begin{array}{c}&\vec{V}_M(t) &\wedge &\vec{a}_M(t)&=&\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)\\\text{sur}\;\vec{u}_\rho& V_\rho(t)& & a_\rho(t)& & V_\theta(t) \times 0 - 0 \times a_\theta(t) = 0\\\text{sur}\;\vec{u}_\theta& V_\theta(t)& ^{+}\searrow & a_\theta(t)& & \\\text{sur}\;\vec{u}_z& 0& _{-}\nearrow & 0& & \end{array}\right\rbrace</math>, * selon <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> <math>\left\lbrace\begin{array}{c}&\vec{V}_M(t) &\wedge &\vec{a}_M(t)&=&\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)\\\text{sur}\;\vec{u}_\rho& V_\rho(t)& & a_\rho(t)& & \\\text{sur}\;\vec{u}_\theta& V_\theta(t)& & a_\theta(t)& & 0 \times a_\rho(t) - V_\rho(t) \times 0 = 0\\\text{sur}\;\vec{u}_z& 0& ^{+}\searrow & 0& & \\\text{sur}\;\vec{u}_\rho& V_\rho(t)& _{-}\nearrow & a_\rho(t)& & \end{array}\right\rbrace</math>, * selon <math>\;\vec{u}_z\;</math> <math>\left\lbrace\begin{array}{c}&\vec{V}_M(t) &\wedge &\vec{a}_M(t)&=&\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)\\\text{sur}\;\vec{u}_\rho& V_\rho(t)& ^{+}\searrow & a_\rho(t)& & \\\text{sur}\;\vec{u}_\theta& V_\theta(t)& _{-}\nearrow & a_\theta(t)& & \\\text{sur}\;\vec{u}_z& 0& & 0& & V_\rho(t)\;a_\theta(t) - V_\theta(t)\;a_\rho(t)\end{array}\right\rbrace</math> et par suite, {{Al|5}}la seule composante cylindro-polaire non nulle de <math>\;\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)\;</math> est la composante axiale «<math>\;\left[ \vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t) \right]_z = V_\rho(t)\;a_\theta(t) - V_\theta(t)\;a_\rho(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|la seule composante cylindro-polaire non nulle de <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)}\;</math> est la composante axiale }}se réécrivant, en réinjectant les expressions radiales et orhtoradiales des vecteurs composants<ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Détermination_des_composantes_polaires_du_vecteur_accélération_du_point_sur_la_demi_cardioïde|détermination des composantes polaires du vecteur accélération du point sur la demi cardioïde]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la seule composante cylindro-polaire non nulle de <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)}\;</math> est la composante axiale }}«<math>\;\left[ \vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t) \right]_z = \left[ -a\,\omega_0\,\sin(\theta) \right] \left[ -2\,a\,\omega_0^2\,\sin(\theta) \right] - \left[ a\,\omega_0 \left\lbrace 1 + \cos(\theta) \right\rbrace \right] \left[ -a\,\omega_0^2 \left\lbrace 1 + 2\,\cos(\theta) \right\rbrace \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la seule composante cylindro-polaire non nulle de <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)}\;</math> est la composante axiale «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t) \right]_z}</math>}} <math>= 2\,a^2\,\omega_0^3\,\sin^2(\theta) + a^2\,\omega_0^3 + 2\,a^2\,\omega_0^3\,\cos^2(\theta) + 3\,a^2\,\omega_0^3\,\cos(\theta)\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|la seule composante cylindro-polaire non nulle de <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t)}\;</math> est la composante axiale }}«<math>\;\left[ \vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t) \right]_z = 3\,a^2\,\omega_0^3 \left[ 1 + \cos(\theta) \right] = 6\,a^2\,\omega_0^3\;\cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math>»<ref name="passage en angle moitié" /> ; {{Al|5}}on en déduit «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t) \Vert = \bigg\vert \left[ \vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t) \right]_z \bigg\vert = 6\,a^2\,\omega_0^3\;\cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math> à identifier à <math>\;\dfrac{\vert v_M(t) \vert^3}{\mathcal{R}_M}\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{R}_M = \dfrac{\vert v_M(t) \vert^3}{\Vert \vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t) \Vert}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit }}avec le report de <math>\;\vert v_M(t) \vert = 2\,a\,\omega_0\,\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math> dans l'expression du rayon de courbure simultanément à celui de la norme <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \wedge \vec{a}_M(t) \Vert\;</math> du produit vectoriel précédemment déterminée, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit }}«<math>\;\mathcal{R}_M = \dfrac{8\,a^2\,\omega_0^3\,\cos^3\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{6\,a^3\,\omega_0^3\;\cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}\;</math>» soit finalement un rayon de courbure de la demi [[w:Cardioïde|cardioïde]] au point <math>\;M\;</math> d'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> valant «<math>\;\mathcal{R}_M = \dfrac{4}{3}\;a\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math>» ; <center>c'est pour <math>\;\theta = 0\;</math> que le rayon de courbure est le plus grand valant <math>\;\dfrac{4\, a}{3}\;</math> et il devient nul <math>\;\big(</math>point anguleux<math>\big)\;</math> pour <math>\;\theta = \pi</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On pouvait utiliser l'autre méthode cinématique en calculant l'accélération tangentielle <math>\;a_{\tau,\,M}(t) = \dot{v_M}(t)\;</math><ref name="accélération tangentielle" /> à partir de <math>\;v_M(t) = 2\, a\, \omega_0\, \cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math> soit <math>\;a_{\tau,\,M}(t) = -2\, a\, \omega_0\, \sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \dfrac{\dot{\theta}(t)}{2}\;</math> ou <math>\;a_{\tau,\,M}(t) = -a\, \omega_0^2\, \sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On pouvait utiliser l'autre méthode cinématique }}en évaluant la norme du vecteur accélération <math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = \sqrt{\left\lbrace -a\, \omega_0^2\, \left[ 1 + 2\, \cos(\theta) \right] \right\rbrace^2 + \left\lbrace -2\, a\, \omega_0^2 \sin(\theta) \right\rbrace^2}</math> que l'on simplifie aisément après développement en <math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = a\, \omega_0^2\, \sqrt{5 + 4\, \cos(\theta)} = a\, \omega_0^2\, \sqrt{9 - 8\, \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}\;</math><ref> Cette dernière expression étant obtenue en utilisant <math>\;\cos(\theta) = 1 - 2\, \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)</math>.</ref> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On pouvait utiliser l'autre méthode cinématique }}en déterminant l'accélération normale <math>\;a_{n,\,M}(t)\;</math><ref name="accélération normale" /> par <math>\;a_{n,\,M}(t() = \sqrt{\Vert \vec{a}_M(t) \Vert^2 - a_{\tau,\,M}^2(t)}\;</math> donnant, après simplification évidente <math>\;a_{n,\,M}(t() =</math> <math>3\, a\, \omega_0^2\, \sqrt{1 - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)} = 3\, a\, \omega_0^2\, \cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}identifiant <math>\;a_{n,\,M}(t)\;</math> à <math>\;\dfrac{v_M^2(t)}{\mathcal{R}_M}\;</math><ref name="accélération normale" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{R}_M = \dfrac{v_M^2(t)}{a_{n,\,M}(t)} = \dfrac{4\,a^2\,\omega_0^2\,\cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{3\, a\, \omega_0^2\, \cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> on retrouve effectivement le résultat précédent «<math>\;\mathcal{R}_M = \dfrac{4\, a}{3} \cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math>».}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités/|Descript. et paramét. du mouv. d'un point : Généralités]] | suivant = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant/|Descript. et paramét. du mouv. d'un point : Mouv. de vecteur accélération constant]] }} 60vv7z0q2ctmcs7xkindwmitm4sga8c 0 69214 982878 978653 2026-05-17T09:38:22Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982878 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées/]] | suivant = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non/]] }} == Expression du vecteur vitesse en fonction du temps, déduction de ses composantes cartésiennes == === Mouvement à vecteur accélération constant === {{Al|5}}Se dit du mouvement d'un point <math>\;M\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> constant noté <math>\;\vec{a}_0</math>, soit <center>«<math>\;\vec{a}_M(t) = \vec{a}_0\;\;\forall\;t\;</math>».</center> === Expression du vecteur vitesse du point M === {{Al|5}}Le vecteur vitesse de <math>\;M</math>, noté <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, étant lié au vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t) = \vec{a}_0\;</math> par <math>\;\dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t) = \vec{a}_M(t) = \vec{a}_0\;\;\forall\;t</math>, on en déduit par intégration {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_M(t)</math>}} <math>= \vec{a}_0\; t + \overrightarrow{\text{cste}}\;</math>», le vecteur <math>\;\overrightarrow{\text{cste}}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. à savoir <math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0\;</math> d'où <math>\;\vec{V}_M(0) = \overrightarrow{\text{cste}} = \vec{V}_0\;</math> et par suite <center>«<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{a}_0\; t + \vec{V}_0\;</math>» <br>avec «<math>\;\vec{V}_0\;</math> le vecteur vitesse initiale du point <math>\;M\;</math>».</center> == Expression du vecteur position en fonction du temps, déduction de ses composantes cartésiennes == === Expression du vecteur position du point M === {{Al|5}}Le vecteur position de <math>\;M</math>, noté <math>\;\overrightarrow{OM}(t)</math>, étant lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{a}_0\;t + \vec{V}_0\;</math> par <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t) = \vec{V}_M(t) = \vec{a}_0\;t + \vec{V}_0\;\;\forall\;t</math>, on en déduit par intégration {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) =</math>}} <math>\vec{a}_0\; \dfrac{t^2}{2} + \vec{V}_0\;t + \overrightarrow{\text{cste'}}\;</math>», le vecteur <math>\;\overrightarrow{\text{cste'}}\;</math> se déterminant à l'aide des C.I<ref name="C.I." />. à savoir <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0}\;</math> d'où <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{\text{cste'}}</math> <math>= \overrightarrow{OM_0}\;</math> et par suite la loi horaire vectorielle de position s'écrit <center>«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \dfrac{1}{2}\;\vec{a}_0\; t^2 + \vec{V}_0\;t + \overrightarrow{OM_0}\;</math>» <br>avec «<math>\;\left\lbrace \vec{V}_0\,,\,\overrightarrow{OM_0} \right\rbrace\;</math> les vecteurs vitesse initiale et position initiale du point <math>\;M\;</math>».</center> === Choix du repère cartésien associé au référentiel d'étude === {{Al|5}}On choisit<ref> Les choix faits sont simplificateurs, ils ne sont pas obligatoires et peuvent être autres.</ref>, l'espace de l'étude étant orienté à droite<ref name="orienté à droite"> Orientation de l'espace définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteur]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour [[w:Équations_de_Maxwell|ses équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell|distribution des vitesses]] utilisée dans une [[w:Statistique_de_Maxwell-Boltzmann|description statistique]] de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, <math>\succ\;</math>l'origine <math>\;O\;</math> en la position initiale <math>\;M_0</math>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, }}<math>\succ\;</math>l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> colinéaire au vecteur accélération <math>\;\vec{a}_0\;</math> et de même sens, <br>{{Al|14}}{{Transparent|On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, }}<math>\succ\;</math>l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> tel que le vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> soit dans le plan <math>\;xOz\;</math><ref> Cela suppose que le vecteur-vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> n’est pas colinéaire à <math>\;\vec{a}_0</math>, si ce n'est pas le cas <math>\;\big(</math>c.-à-d. si <math>\;\vec{V}_0\;</math> est colinéaire à <math>\;\vec{a}_0\big)\;</math> l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> est simplement <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> sans autre exigence <math>\;\big(</math>il y a donc, dans ce cas, un caractère arbitraire à ce choix<math>\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Ox}}</math> <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> à l'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}\;</math> tel que }}la composante de sa projection sur <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> étant <math>\;\geqslant 0\;</math><ref> Elle est nulle dans le cas où <math>\;\vec{V}_0\;</math> est colinéaire à <math>\;\vec{a}_0</math>, ce qui conduit, rappelons-le, à un choix arbitraire de <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Oz}</math>.</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, }}<math>\succ\;</math>l'axe <math>\;\overrightarrow{Oy}</math> <math>\;\perp\;</math> au plan formé par <math>\;\left\lbrace \vec{a}_0\,,\, \vec{V}_0 \right\rbrace\;</math><ref> Cela suppose que les vecteurs accélération et vitesse initiale <math>\;\left\lbrace \vec{a}_0\,,\, \vec{V}_0 \right\rbrace\;</math> forment un plan, si ce n'est pas le cas <math>\;\big(</math>c.-à-d. si <math>\;\vec{V}_0\;</math> est colinéaire à <math>\;\vec{a}_0\big)\;</math> l'axe <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> est simplement <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> avec la même exigence énoncée par la suite du caractère direct du trièdre <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{Ox}\,,\, \overrightarrow{Oy}\,,\, \overrightarrow{Oz}) \right\rbrace</math>.</ref> et tel que le trièdre <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{Ox}\,,\, \overrightarrow{Oy}\,,\, \overrightarrow{Oz}) \right\rbrace\;</math> soit direct<ref> revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la <br>{{Al|29}}{{Transparent|On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oy}}</math> <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> au plan formé par <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{a}_0\,,\, \vec{V}_0 \right\rbrace}\;</math> et tel que le trièdre <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Ox}\,,\, \overrightarrow{Oy}\,,\, \overrightarrow{Oz})}\;</math> soit direct <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>}}« règle de la main droite »<ref name="règle de la main droite"> Levant le pouce de la main droite dans le sens du 1^er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2^ème vecteur, « le sens du 3^ème vecteur est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » <math>\;\big(</math>ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient encore appeler cette règle « la règle de l'apprenti cow-boy droitier »<math>\big)</math> ; il existe d'autres règles équivalentes : <br> {{Al|3}}« ''règle de l'auto-stoppeur (droitier)'' » : l'avant bras <math>\;\big(</math>droit<math>\big)\;</math> étant dans le sens du 1^er vecteur, la poigne de la main <math>\;\big(</math>droite<math>\big)\;</math> courbée dans le sens du 2^ème vecteur, le pouce est alors levé dans le sens du 3^ème vecteur, <br> {{Al|3}}« ''règle du tire-bouchon de Maxwell'' » : le tire-bouchon tournant du 1^er vecteur vers du 2^ème, il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de du 3^ème vecteur, <br>{{Al|3}}« ''règle du bonhomme d'Ampère'' » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur la direction du 1^er vecteur, ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens du 2^ème vecteur, il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens du 3^ème vecteur, <br> {{Al|3}}et ''bien d'autres règles'' que vous pouvez vous-même inventer. <br> {{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur. <br>{{Al|3}}'''[[w:André-Marie_Ampère|André-Marie Ampère]] (1775 - 1836)''', mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'[[w:Électronique|électronique]] de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.</ref><math>\big)\;</math><ref> Voir note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_de_vecteur_accélération_constant#cite_note-5|⁵]] précédente » dans le cas où les vecteurs accélération et vitesse initiale <math>\;\left\lbrace \vec{a}_0\,,\, \vec{V}_0 \right\rbrace\;</math> sont colinéaires <math>\;\ldots</math>.</ref>, <center>voir schéma du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_de_vecteur_accélération_constant#Cas_où_le_vecteur_vitesse_initiale_n'est_pas_colinéaire_au_vecteur_accélération|cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération]] » ci-dessous dans le cas où <math>\;\vec{V}_0 \wedge \vec{a}_0 \neq \vec{0}\;</math><ref> On rappelle que cette condition traduit la non colinéarité des deux vecteurs revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> === Déduction des composantes cartésiennes du vecteur position du point M === ==== Cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération ==== [[File:Mouvement à vecteur accélération constant - repère cartésien.png|thumb|400px|Choix du repère cartésien dans le référentiel d'étude pour décrire le mouvement d'un point à vecteur accélération constant ayant un vecteur vitesse initiale non colinéaire au précédent]] {{Al|5}}Voir le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_de_vecteur_accélération_constant#Choix_du_repère_cartésien_associé_au_référentiel_d'étude|choix du repère cartésien associé au référentiel d'étude]] dans le paragraphe précédent » utilisé dans le schéma ci-contre, <br>{{Al|5}}les angles du plan <math>\;(zOx)\;</math> étant orientés par le sens <math>\;+\;</math> précisé sur le schéma et défini par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_y\;</math> qui lui est <math>\;\perp</math>, <br>{{Al|5}}l'angle que fait le vecteur vitesse initiale avec le vecteur accélération est noté <math>\;\widehat{\left( \vec{a}_0\,,\,\vec{V}_0 \right)} = \alpha_0 > 0\;</math><ref> <math>\;\alpha_0 \in \left] 0\;,\; +\pi \right[\;</math> bornes exclues, les deux vecteurs n'étant pas colinéaires.</ref> ; <br>{{Al|5}}ci-contre les composantes cartésiennes <math>\succ\;</math>du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_0\;\left\lbrace \begin{array}{l} a_{0,\,x} = 0\\a_{0,\,y} = 0\\a_{0,\,z} = a_0 \end{array}\right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre les composantes cartésiennes }}<math>\succ\;</math>du vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_{0,\,x} = V_0\;\sin(\alpha_0)\\V_{0,\,y} = 0\\V_{0,\,z} = V_0\;\cos(\alpha_0) \end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|5}}les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \dfrac{1}{2}\;\vec{a}_0\; t^2 + \vec{V}_0\;t + \overrightarrow{OM_0}\;</math>» donnent <br>{{Al|5}}{{Transparent|les projections respectives sur chaque axe }}«<math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l} x(t) = V_0\;\sin(\alpha_0)\;t\\ y(t) = 0\\ z(t) = \dfrac{1}{2}\;a_0\;t^2 + V_0\;\cos(\alpha_0)\;t\end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|les projections respectives sur chaque axe }}correspondant aux trois lois horaires scalaires de position<ref name="équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire"> Ou aux trois équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire du point <math>\;M</math>.</ref>, la 2^ème établissant la nature plane du mouvement dans le plan <math>\;(zOx)\;</math><ref> Qu'on appellera par la suite « plan de lancement » car il est commun au vecteur accélération et au vecteur vitesse initiale.</ref>. ==== Cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération ==== {{Al|5}}On rappelle que les conditions du problème définissent une direction privilégiée, celle qui est commune à <math>\;\vec{a}_0\;</math> et <math>\;\vec{V}_0</math>, sur laquelle on a choisi un axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> orienté dans le sens de <math>\;\vec{a}_0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On rappelle que les conditions du problème définissent une direction privilégiée, }}le vecteur vitesse initiale étant alors dans le même sens ou dans le sens opposé, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On rappelle que les conditions du problème définissent une direction privilégiée, }}les deux autres axes <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> respectivement <math>\;\perp\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> avec l'origine <math>\;O\;</math> en <math>\;M_0</math> ; {{Al|5}}ci-contre les composantes cartésiennes <math>\succ\;</math>du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_0\;\left\lbrace \begin{array}{l} a_{0,\,x} = 0\\a_{0,\,y} = 0\\a_{0,\,z} = a_0 \end{array}\right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre les composantes cartésiennes }}<math>\succ\;</math>du vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_{0,\,x} = 0\\V_{0,\,y} = 0\\V_{0,\,z} = \overline{V_0} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Avec <math>\;\overline{V_0} > 0\;</math> si <math>\;\vec{V}_0\;</math> est de même sens que <math>\;\vec{a}_0\;</math> et <math>\;\overline{V_0} < 0\;</math> si <math>\;\vec{V}_0\;</math> est de sens opposé à <math>\;\vec{a}_0</math>.</ref> ; {{Al|5}}les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \dfrac{1}{2}\;\vec{a}_0\; t^2 + \vec{V}_0\;t + \overrightarrow{OM_0}\;</math>» donnent «<math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l} x(t) = 0\\ y(t) = 0\\ z(t) = \dfrac{1}{2}\;a_0\;t^2 + \overline{V_0}\;t\end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|88}}{{Transparent|les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position }}correspondant aux trois lois horaires scalaires de position<ref name="équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire" />, <br>{{Al|88}}{{Transparent|les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position }}les deux 1^ères <math>\Rightarrow</math> la nature rectiligne du mouvement le long de <math>\;(Oz)</math>. == Équations cartésiennes paramétrées de la trajectoire, nature de celle-ci == === Cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération === {{Al|5}}Les lois horaires scalaires <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x(t) = V_0\;\sin(\alpha_0)\;t\\ y(t) = 0\\ z(t) = \dfrac{1}{2}\;a_0\;t^2 + V_0\;\cos(\alpha_0)\;t\end{array}\right\rbrace\;</math> sont aussi les équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire, * celle-ci est donc plane dans le plan <math>\;(zOx)\;</math> d'équation cartésienne <math>\;y = 0\;</math> et * sa 2^ème équation cartésienne<ref> On rappelle qu'une courbe est déterminée par deux équations cartésiennes, chacune d'elles définissant une surface, <br>{{Al|3}}{{Transparent|On rappelle qu'une courbe est déterminée par }}la 1^ère équation cartésienne étant <math>\;y = 0\;</math> définissant le plan <math>\;(zOx)</math>, nous cherchons à déterminer <br>{{Al|3}}{{Transparent|On rappelle qu'une courbe est déterminée par }}la 2^ème équation cartésienne et à préciser la nature de la surface qu'elle décrit.</ref> s'obtient en exprimant <math>\;t\;</math> à l'aide de la 1^ère équation paramétrique <math>\;t = \dfrac{x}{V_0\; \sin(\alpha_0)}\;</math> et en reportant dans la 3^ème ce qui donne, après simplification évidente, <br>{{Al|5}}{{Transparent|sa 2^ème équation cartésienne }}«<math>\;z = \dfrac{a_0}{2\; V_0^2\; \sin^2(\alpha_0)}\;x^2 + \cot(\alpha_0)\;x\;</math>», équation d'un [[w:Cylindre_parabolique|cylindre parabolique]] de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;(Oy)\;</math><ref> En effet toute équation cartésienne [[w:Fonction_implicite|implicite]] <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> d'un espace à trois dimensions dans laquelle <math>\;y\;</math> n'apparaît pas est un [[w:Cylindre|cylindre]] de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;(Oy)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le système des deux équations cartésiennes de la trajectoire <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} y = 0\\ z = \dfrac{a_0}{2\; V_0^2\; \sin^2(\alpha_0)}\;x^2 + \cot(\alpha_0)\;x\end{array}\right\rbrace\;</math> définit une « <u>[[w:Parabole|parabole]]</u><ref name="équation cartésienne d'une parabole"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Équation_cartésienne|équation cartésienne]] (d'une parabole de sommet O et d'axe Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » en substituant <math>\;z\;</math> à <math>\;y\;</math> et en faisant les transformations simplement évoquées sur l'équation annotée <math>\;z - \beta = \dfrac{a_0}{2\; V_0^2\; \sin^2(\alpha_0)} \left( x - \alpha \right)^2</math>, <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;\beta\;</math> restant à déterminer.</ref> de concavité vers les <math>\;z \nearrow\;</math><ref> C.-à-d. dans le sens de <math>\;\vec{a}_0\;</math> compte-tenu du choix de <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> dans le même sens que <math>\;\vec{a}_0</math>.</ref> », <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_de_vecteur_accélération_constant#Retour_sur_le_cas_où_le_vecteur_vitesse_initiale_n'est_pas_colinéaire_au_vecteur_accélération|retour sur le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération]] » plus loin dans ce chapitre où les figures présentées dépendent du signe de <math>\;V_{0,\,z}\big]</math>. === Cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération === {{Al|5}}Les lois horaires scalaires <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x(t) = 0\\ y(t) = 0\\ z(t) = \dfrac{1}{2}\;a_0\;t^2 + \overline{V_0}\;t\end{array}\right\rbrace\;</math> sont aussi les équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire dont on tire, sans faire quoi que soit, les deux équations cartésiennes de cette dernière <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = 0\\ y = 0\end{array}\right\rbrace</math>, système d'équations cartésiennes définissant une « trajectoire <u>rectiligne</u> le long de <math>\;(Oz)\;</math>». === Retour sur le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération === {{Al|5}}La trajectoire étant parabolique d'équation cartésienne dans le plan <math>\;(zOx)\;</math> de la trajectoire <math>\;z = \dfrac{a_0}{2\; V_0^2\; \sin^2(\alpha_0)}\;x^2 + \cot(\alpha_0)\;x</math>, nous allons déterminer quelques propriétés de cette parabole : * elle possède un axe de symétrie <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;(Oz)\;</math> sur lequel se trouve son sommet <math>\;S\;</math> d'abscisse <math>\;x_S\;</math> déterminée par la nullité du cœfficient directeur de la tangente à la parabole en ce point soit <br>{{Transparent|elle possède un axe de symétrie <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe <math>\;\color{transparent}{(Oz)}\;</math> sur lequel se trouve son sommet <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x_S}\;</math> déterminée par }}<math>z'(x_S) = 0\;</math> avec <math>\;z'(x) = \dfrac{a_0}{V_0^2\; \sin^2(\alpha_0)}\;x + \cot(\alpha_0)\;</math> et par suite <br>{{Transparent|elle possède un axe de symétrie <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe <math>\;\color{transparent}{(Oz)}\;</math> sur lequel se trouve son sommet <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> d'abscisse }}<math>\;x_S = -\cot(\alpha_0)\;\dfrac{V_0^2\; \sin^2(\alpha_0)}{a_0} = -\dfrac{V_0^2\;\sin(\alpha_0)\;\cos(\alpha_0)}{a_0}\;</math> d'où <br>{{Transparent|elle possède }}l'axe de symétrie d'équation «<math>\;x = -\dfrac{V_0^2\;\sin(\alpha_0)\;\cos(\alpha_0)}{a_0} = -\dfrac{V_0^2\;\sin(2\,\alpha_0)}{2\;a_0}\;</math>»<ref name="sinus 2a"> On rappelle la formule de trigonométrie suivante <math>\;\sin(2\,a) = 2\,\sin(a)\,\cos(a)</math>.</ref> ; * son sommet <math>\;S\;</math> a pour abscisse «<math>\;x_S = -\dfrac{V_0^2\;\sin(\alpha_0)\;\cos(\alpha_0)}{a_0}\;</math>» et sa cote <math>\;z_S\;</math> s'obtient par report de son abscisse dans l'équation cartésienne de la parabole soit <br>{{Transparent|son sommet <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> a pour abscisse «<math>\;\color{transparent}{x_S = -V_0^2\;\sin(\alpha_0)\;\cos(\alpha_0)}\;</math>» et sa cote }}«<math>\;z_S = \dfrac{a_0}{2\; V_0^2\; \sin^2(\alpha_0)}\, \left[ -\dfrac{V_0^2\;\sin(\alpha_0)\;\cos(\alpha_0)}{a_0} \right]^2 + \cot(\alpha_0)\, \left[ -\dfrac{V_0^2\;\sin(\alpha_0)\;\cos(\alpha_0)}{a_0} \right] = -\dfrac{V_0^2\;\cos^2(\alpha_0)}{2\;a_0}\;</math>» <br>{{Transparent|son sommet <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> }}d'où les coordonnées du sommet de la parabole : «<math>\;S\;\left\lbrace\begin{array}{l} x_S = -\dfrac{V_0^2\;\sin(2\,\alpha_0)}{2\;a_0}\\ z_S = -\dfrac{V_0^2\;\cos^2(\alpha_0)}{2\;a_0}\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="sinus 2a" />. {{Al|5}}Ci-dessous la trajectoire dans le cas où <math>\;a_0 = 1\; m \cdot s^{-2}\;</math> et <math>\;V_0 = 0,2\; m \cdot s^{-1}</math>, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant <math>\succ\;</math>«<math>\;\alpha_0 = \dfrac{\pi}{3}\;</math>» pour le graphe de gauche<ref> Le sommet <math>\;S\;</math> correspondant à une position antérieure à la position initiale n'apparaît pas si on représente la trajectoire à partir de cette dernière.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous la trajectoire dans le cas où <math>\;\color{transparent}{a_0 = 1\; m \cdot s^{-2}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{V_0 = 0,2\; m \cdot s^{-1}}</math>, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\alpha_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\;</math>» pour le graphe de droite<ref> Le sommet <math>\;S\;</math> correspondant à une position postérieure à la position initiale apparaît dans la mesure où on représente la trajectoire à partir de cette dernière.</ref>. <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="314px"> Mouvement à vecteur accélération constant - trajectoire.png|Trajectoire d'un point de vecteur accélération constant, l'axe <math>\;Oz\;</math> ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle <math>\;60\;\text{°}\;</math> avec lui et l'origine du repère étant choisi en la position initiale : trajectoire parabolique de concavité dans le sens du vecteur accélération, le sommet étant d'abscisse négative Mouvement à vecteur accélération constant - trajectoire - bis.png|Trajectoire d'un point de vecteur accélération constant, l'axe <math>\;Oz\;</math> ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle <math>\;60\;\text{°}\;</math> avec lui et l'origine du repère étant choisi en la position initiale : trajectoire parabolique de concavité dans le sens du vecteur accélération, le sommet étant d'abscisse positive <math>\;\big(</math>et de cote négative<math>\big)</math> </gallery></div> == En complément, équations cartésiennes paramétrées de l'hodographe de pôle O du mouvement, nature de celui-ci == === Équations cartésiennes paramétrées de l’hodographe de pôle O du mouvement du point M === {{Al|5}}L'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref> <math>\;O\;</math> est un point fixe du référentiel d'étude, non nécessairement l'origine du repère associé au référentiel <math>\;\ldots</math></ref> du mouvement du point <math>\;M\;</math> étant l'ensemble des positions <math>\;P\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\; \vec{V}_M(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau"> Le symbole <math>\;\widehat{=}\;</math> signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte, avec définition d'une échelle adaptée.</ref>{{,}}<ref> Revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Généralités#Définition_de_l'hodographe_de_pôle_O_du_mouvement_de_M|définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M]] dans un référentiel d'étude » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}notant <math>\;\left( X\,,\,Y\,,\,Z \right)\;</math> les coordonnées cartésiennes du point générique <math>\;P\;</math> de l'hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> <br>{{Al|5}}nous obtenons, en projetant <math>\;\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\; \vec{V}_M(t) = \vec{a}_0\;t + \vec{V}_0\;</math> sur chaque axe «<math>\;P\;\left\lbrace\begin{array}{l} X(t)\;\widehat{=}\; V_{x,\,M}(t) = V_0\; \sin(\alpha_0)\\Y(t)\;\widehat{=}\; V_{y,\,M}(t) = 0\\Z(t)\;\widehat{=}\; V_{z,\,M}(t) = a_0\;t + V_0\; \cos(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" />{{,}}<ref> Ces lois horaires sont valables pour <math>\;\alpha_0 \in \left[ 0\,,\, + \pi \right]</math>.</ref>. === Équations cartésiennes de l’hodographe de pôle O du mouvement du point M === {{Al|5}}Les équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} X(t)\;\widehat{=}\; V_{x,\,M}(t) = V_0\; \sin(\alpha_0)\\Y(t)\;\widehat{=}\; V_{y,\,M}(t) = 0\\Z(t)\;\widehat{=}\; V_{z,\,M}(t) = a_0\;t + V_0\; \cos(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" /> de l'hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> permettent d'obtenir, sans aucun calcul, les deux équations cartésiennes de l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;\left\lbrace \begin{array}{l} X\;\widehat{=}\;V_0\; \sin(\alpha_0)\\ Y\;\widehat{=}\;0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" />. === Nature de l’hodographe de pôle O du mouvement du point M === {{Al|5}}L'hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> étant d'équations cartésiennes «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} X\;\widehat{=}\;V_0\; \sin(\alpha_0)\\ Y\;\widehat{=}\;0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'hodographe <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{H} \right)}\;</math> de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> du mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}est <u>porté par la droite</u><math>\;\parallel\;</math><u>à</u><math>\;( OZ )\;</math> et passant par le point de <math>\;(XOY)\;</math> de coordonnées représentées par <math>\;\left\lbrace V_0 \sin(\alpha_0)\,,\, 0 \right\rbrace</math> ; {{Al|5}}tracés de <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> représentés dans le plan <math>\;(ZOX)</math>, avec <math>\;a_0 = 1\; m \cdot s^{-2}\;</math> et <math>\;V_0 = 0,2\; m \cdot s^{-1}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|tracés de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{H} \right)}\;</math> représentés dans le plan <math>\;\color{transparent}{(ZOX)}</math>, }}l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant <math>\succ\;</math>«<math>\;\alpha_0 = \dfrac{\pi}{3}\;</math>» pour l'hodographe de gauche correspondant à une <u>demi-droite</u> <br>{{Al|27}}{{Transparent|tracés de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{H} \right)}\;</math> représentés dans le plan <math>\;\color{transparent}{(ZOX)}</math>, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}issue de <math>\;P_0\;</math> du quadrant supérieur droite du plan <math>\;(ZOX)\;</math> et <br>{{Al|27}}{{Transparent|tracés de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{H} \right)}\;</math> représentés dans le plan <math>\;\color{transparent}{(ZOX)}</math>, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}allant vers <math>\;P_\infty\;</math> d'ordonnée <math>\;+\infty\;</math><ref name="mouvement sur l'hodographe"> Le mouvement de <math>\;P\;</math> sur l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math> de celui de <math>\;M</math>, étant régi par la loi horaire <math>\;Z = a_0\;t + V_0\;\cos(\alpha_0)</math>, correspond à une montée d'un mouvement uniforme sur la demi-droite.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|tracés de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{H} \right)}\;</math> représentés dans le plan <math>\;\color{transparent}{(ZOX)}</math>, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\alpha_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\;</math>» pour l'hodographe de droite correspondant à une <u>demi-droite</u> <br>{{Al|30}}{{Transparent|tracés de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{H} \right)}\;</math> représentés dans le plan <math>\;\color{transparent}{(ZOX)}</math>, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}issue de <math>\;P_0\;</math> du quadrant inférieur droite du plan <math>\;(ZOX)\;</math> et <br>{{Al|30}}{{Transparent|tracés de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{H} \right)}\;</math> représentés dans le plan <math>\;\color{transparent}{(ZOX)}</math>, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}allant vers <math>\;P_\infty\;</math> d'ordonnée <math>\;+\infty\;</math><ref name="mouvement sur l'hodographe" /> ; <br>{{Al|30}}{{Transparent|tracés de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{H} \right)}\;</math> représentés dans le plan <math>\;\color{transparent}{(ZOX)}</math>, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le point <math>\;P_S\;</math> correspondant au sommet <math>\;S\;</math> de la trajectoire <br>{{Al|30}}{{Transparent|tracés de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{H} \right)}\;</math> représentés dans le plan <math>\;\color{transparent}{(ZOX)}</math>, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}est ici observable, c'est le point de <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> placé sur l'axe <math>\;(OX)</math>. <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="244px"> Mouvement à vecteur accélération constant - hodographe de pôle O.png|Hodographe de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement d'un point de vecteur accélération constant, l'axe <math>\;Oz\;</math> ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle <math>\;60\;\text{°}\;</math> avec lui, le sommet de la trajectoire n'est pas observable sur l'hodographe car correspondrait à <math>\;t < 0</math> Mouvement à vecteur accélération constant - hodographe de pôle O - bis.png|Hodographe de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement d'un point de vecteur accélération constant, l'axe <math>\;Oz\;</math> ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle <math>\;120\;\text{°}\;</math> avec lui, le sommet de la trajectoire correspond au point <math>\;P_S\;</math> de l'hodographe </gallery></div> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : De <math>\;\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\; \vec{V}_M(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" /> on en déduit que <math>\succ\;</math>le cœfficient directeur de la direction <math>\;(OP)\;</math> défini par <math>\;\tan\! \widehat{\left( \overrightarrow{OX}\,,\,\overrightarrow{OP}\right)}\;</math> permet de visualiser la pente du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarques : De <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\; \vec{V}_M(t)}\;</math> on en déduit que <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}sur la trajectoire du point <math>\;M</math>, ceci permettant de constater sur l'hodographe de gauche l'absence de sommet accessible sur la trajectoire <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarques : De <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\; \vec{V}_M(t)}\;</math> on en déduit que <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}et sur l'hodographe de droite l'accessibilité du sommet de la trajectoire correspondant à la position <math>\;P_S\;</math> de l'hodographe, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarques : De <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\; \vec{V}_M(t)}\;</math> on en déduit que }}<math>\succ\;</math>la norme de <math>\;\overrightarrow{OP}\;</math> représente celle de <math>\;\vec{V}_M\;</math> soit <math>\;\Vert \overrightarrow{OP} \Vert\;\widehat{=}\; \Vert \vec{V}_M \Vert\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" /> montrant <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarques : De <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\; \vec{V}_M(t)}\;</math> on en déduit que <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}sur l'hodographe de gauche que <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \nearrow\;</math> jusqu'à l'infini<ref name="mouvement sur l'hodographe"/> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarques : De <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\; \vec{V}_M(t)}\;</math> on en déduit que <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}sur l'hodographe de droite que <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \searrow\;</math> jusqu'à <math>\;\Vert \vec{V}_S \Vert\;\widehat{=}\;\Vert \overrightarrow{OP_S} \Vert\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" /> <math>\big(</math>vitesse minimale obtenue au sommet <math>\;S\;</math>de la trajectoire<math>\big)\;</math> puis <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarques : De <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\; \vec{V}_M(t)}\;</math> on en déduit que <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur l'hodographe de droite que <math>\;\color{transparent}{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}</math> }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'infini<ref name="mouvement sur l'hodographe" />. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées|Descript. et paramét. du mouv. d'un point : Syst. de coordonnées]] | suivant = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non|Descript. et paramét. du mouv. d'un point : Mouv. circulaire ou non]] }} jglizk833mt007ua3842wfmgj7dzwkz 0 69224 982879 978655 2026-05-17T09:39:29Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982879 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 4 | niveau = 14 | précédent = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant/]] | suivant = [[../Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers/]] }} == Définition d'un mouvement circulaire, repérage intrinsèque par « rayon vecteur » == [[File:Trajectoire circulaire en perspective.png|thumb|350px|Schéma représentant une trajectoire circulaire de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math> sur lequel a été choisi un sens <math>\;+\;</math> pour orienter les angles du plan contenant le cercle<ref name="orientation de l'axe"> Si on oriente <math>\;\Delta\;</math> par un vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, le choix du sens d'orientation de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> définit le sens <math>\;+\;</math> des angles du plan du cercle <math>\;\big\{</math>le lien entre les deux est régi par la règle de « l'autostoppeur droitier » ou du « tire-bouchon de Maxwell » dans la mesure où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour la signification de « orienté à droite »<math>\big]\;</math> et revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Orientation_des_angles_du_plan_tangent_à_la_surface_en_M|orientation des angles du plan tangent à la surface en M]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour l'exposé de la règle de « l'autostoppeur droitier », celle du « tire-bouchon de Maxwell » est rappelée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-tire-bouchon_de_Maxwell-10|¹⁰]] » du chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>]] === Définition d'un mouvement circulaire du point M === {{Al|5}}Le mobile <math>\;M\;</math> décrit un <u>mouvement circulaire</u>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>si sa trajectoire est portée par un cercle</u> ; nous noterons * <math>\;C\;</math><ref> Point fixe de <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> le centre du cercle, * <math>\;\Delta\;</math><ref> Droite fixe de <math>\;\mathcal{R}\;</math> passant par <math>\;C</math>.</ref> son axe <math>\;\big(</math>lequel est <math>\;\perp\;</math> au plan du cercle<ref name="orientation de l'axe" /><math>\big)\;</math> et * <math>\;R\;</math> son rayon. === Repérage intrinsèque du point M sur sa trajectoire circulaire par son « rayon vecteur » === {{Al|5}}Dans le cas général le point <math>\;M\;</math> est repéré de façon intrinsèque par son vecteur position <math>\;\overrightarrow{OM}</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas général }}lorsqu'on choisit le centre <math>\;C\;</math> du cercle pour origine du vecteur position, celui-ci devient <math>\;\overrightarrow{CM}\;</math> usuellement nommé « rayon vecteur » ; <center>la « loi horaire vectorielle du mouvement de <math>\;M\;</math> est alors <math>\;\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CM}(t)\;</math>».</center> == Vecteur rotation instantanée, expression intrinsèque du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme == === Définition du vecteur rotation instantanée === [[File:Mouvement circulaire en perspective - vecteur rotation instantanée.png|thumb|360px|Schéma de définition du vecteur rotation instantanée du mouvement circulaire d'un point <math>\;M</math>, de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math> sur lequel a été choisi un sens <math>\;+\;</math><ref name="orientation de l'axe" /> pour orienter l'angle <math>\;\alpha(t)\;</math> que fait le rayon vecteur du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> avec le rayon vecteur de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> position de <math>\;M\;</math> à un instant de référence ; figure aussi le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}L’axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> étant orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe" />, avec <math>\;\overrightarrow{CM_{\text{réf}}}\;</math> un « rayon vecteur de référence » permettant de repérer le point <math>\;M\;</math> à la date <math>\;t\;</math> sur sa trajectoire circulaire par <center>l'« angle orienté <math>\;\alpha(t) = \widehat{\left( \overrightarrow{CM_{\text{réf}}}\,,\, \overrightarrow{CM} \right)}\;</math><ref> Exprimé en <math>\;rad</math>.</ref> définissant l'<u>abscisse angulaire</u> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>le « <u>vecteur rotation instantanée</u> au même instant <math>\;t\;</math>» est défini par «<math>\;\vec{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\; \vec{u}_\Delta\;</math>» avec <br>«<math>\;\dot{\alpha}(t) = \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math><ref> Encore notée <math>\;\omega(t)</math>.</ref> appelée <u>vitesse angulaire</u> du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» ; </center> {{Al|5}}<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> est porté par l'axe <math>\;\Delta\;</math> et est de même sens que <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> dans l'hypothèse d'un mouvement se faisant dans le sens <math>\;+</math>. === Expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t === {{Al|5}}On vérifie aisément l’« expression intrinsèque <math>\;\big(</math>à mémoriser<math>\big)\;</math> du vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire » <center>«<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>»<ref> On rappelle que <math>\;C\;</math> est le centre du cercle.</ref>,</center> {{Al|5}}en prenant les direction, sens et norme de ce produit vectoriel<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> : * la direction étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left\lbrace \vec{\Omega}(t)\,,\, \overrightarrow{CM}(t) \right\rbrace\;</math> est tangente au cercle, * le sens étant tel que <math>\;\left\lbrace \vec{\Omega}(t)\,,\, \overrightarrow{CM}(t)\,,\, \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right\rbrace\;</math> soit direct<ref name="espace orienté à droite"> L'espace étant orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math>.</ref> est dans le sens indiqué sur le schéma et * la norme étant «<math>\;\Vert \vec{\Omega}(t) \Vert\; \big\Vert \overrightarrow{CM}(t) \big\Vert\; \Bigg\vert \sin\! \widehat{\left[ \vec{\Omega}(t)\,,\, \overrightarrow{CM}(t) \right]} \Bigg\vert = R\; \vert \omega(t) \vert\;</math>»<ref> L'angle <math>\;\widehat{\left[ \vec{\Omega}(t)\,,\, \overrightarrow{CM}(t) \right]}\;</math> étant droit.</ref> définit effectivement la vitesse linéaire du mouvement du point sur le cercle. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : même si la meilleure origine du vecteur position est le centre <math>\;C\;</math> de la trajectoire circulaire décrite par <math>\;M</math>, il peut être intéressant, pour préciser le mouvement de ce dernier, de prendre pour origine du vecteur position un point <math>\;A \neq C\;</math> fixe de l'axe <math>\;\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la loi horaire vectorielle s'écrit alors «<math>\;\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AM}(t)\;</math>»<ref> Le vecteur <math>\;\overrightarrow{AM}\;</math> étant nommé « vecteur position », l'appellation « rayon vecteur » étant réservée au vecteur <math>\;\overrightarrow{CM}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> dans un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> se détermine de façon intrinsèque en fonction du vecteur position <math>\;\overrightarrow{AM}(t)\;</math> selon <center>«<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;\;\forall\;A\;\text{fixe sur }\Delta\;</math>»<ref> C.-à-d. que c'est la même forme que celle obtenue avec le rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{CM}(t)</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>justification</u> : partant de l'expression établie avec le rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math> à savoir «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» puis utilisant la [[w:Relation_de_Chasles#Calcul_vectoriel|relation de Chasles]]<ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles#Calcul_vectoriel|relation de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> «<math>\;\overrightarrow{CM}(t) = \overrightarrow{AM}(t) - \overrightarrow{AC}\;</math>» que l'on reporte dans l'expression de <math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \left[ \overrightarrow{AM}(t) - \overrightarrow{AC} \right]\;</math> avec emploi de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_M(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) - \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AC}\;</math>» et, le 2^nd produit vectoriel étant nul car « les deux vecteurs le composant <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> et <math>\;\overrightarrow{AC}\;</math> sont colinéaires »<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs" />, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» C.Q.F.D<ref> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.. === Expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t === {{Al|5}}Pour obtenir l’expression intrinsèque du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)</math>, on dérive par rapport à <math>\;t\;</math> celle de «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) + \vec{\Omega}(t) \wedge \dfrac{d \overrightarrow{CM}}{dt}(t)\;</math>»<ref name="dérivation de produit scalaire ou vectoriel de fonctions vectorielles"> La règle de dérivation d'un produit de fonctions scalaires par rapport à la variable dont elles dépendent se généralise à un produit scalaire <math>\;\big(</math>ou vectoriel<math>\big)\;</math> de fonctions vectorielles mais dans le cas de la dérivation d'un produit vectoriel, il ne faut pas oublier que ce dernier n'est pas commutatif <math>\;\big(</math>il est en fait anticommutatif<math>\big)</math>.</ref> ; [[File:Mouvement circulaire en perspective - vecteur accélération.png|thumb|360px|Schéma de définition du vecteur rotation instantanée du mouvement circulaire d'un point <math>\;M</math>, de centre <math>\;C\;</math> et d'axe <math>\;\Delta\;</math> sur lequel a été choisi un sens <math>\;+\;</math><ref name="orientation de l'axe" /> pour orienter l'angle <math>\;\alpha(t)\;</math> que fait le rayon vecteur du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> avec le rayon vecteur de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> position de <math>\;M\;</math> à un instant de référence ; figurent aussi le vecteur vitesse ainsi que le vecteur accélération de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}de plus «<math>\;\overrightarrow{CM}(t) = \overrightarrow{OM}(t) - \overrightarrow{OC}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{CM}}{dt}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\; \cancel{- \dfrac{d \overrightarrow{OC}}{dt}} = \vec{V}_M(t)\;</math>»<ref> En effet, le centre <math>\;C\;</math> du cercle est un point fixe du référentiel d'où son vecteur vitesse est identiquement nul.</ref> d'où <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> se réécrit «<math>\;\vec{a}_M(t) =</math> <math>\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) + \vec{\Omega}(t) \wedge \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) + \vec{\Omega}(t) \wedge \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» obtenu en reportant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}pour simplifier l'expression de <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> ci-dessus, on applique à <math>\;\vec{\Omega}(t) \wedge \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math> la formule du double produit vectoriel<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant <math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math> avec la parenthèse ouvrante devant le 2^ème des trois vecteurs du membre de gauche.</ref> soit {{Nobr|«<math>\;\vec{\Omega}(t) \wedge \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]</math>}} <math>= \cancel{\left[ \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{CM}(t) \right] \vec{\Omega}(t)}\; - \left[ \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) \right] \overrightarrow{CM}(t)\;</math>»<ref> En effet le produit scalaire entre le rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math> et le vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> est nul car les deux vecteurs orthogonaux.</ref> ou encore «<math>\;\vec{\Omega}(t) \wedge \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right] =</math> <math>-\vec{\Omega}^2\!(t)\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math>»<ref> Le carré scalaire <math>\;\vec{\Omega}^2\!(t)\;</math> est aussi le carré de la norme du vecteur rotation instantanée <math>\;\Vert \vec{\Omega}(t) \Vert^2\;</math> ou le carré de la vitesse angulaire <math>\;\omega^2(t)\;</math> cette dernière étant <math>\;\omega(t) = \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta</math>.</ref> ; {{Al|5}}finalement l'« expression intrinsèque <math>\;\big(</math>à mémoriser<math>\big)\;</math> du vecteur accélération du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> sur sa trajectoire circulaire » s'écrit <center>«<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) - \vec{\Omega}^2\!(t)\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math>»<ref> Ou «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) - \Vert \vec{\Omega}(t) \Vert^2\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math>» <br>{{Al|3}}ou encore «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) - \omega^2(t)\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math>» avec «<math>\;\omega(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;M\;</math> dans son mouvement circulaire ».</ref> ;</center> {{Al|5}}on y observe deux termes <math>\;\big[</math>voir sur la figure ci-contre<math>\big]</math>, <math>\blacktriangleright\;</math>le 1^er terme «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» est « <u>tangentiel</u> et <u>n'existe que si la vitesse</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on y observe deux termes <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>voir sur la figure ci-contre<math>\color{transparent}{\big]}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>angulaire varie</u> »<ref> Sur la figure du paragraphe en cours, la vitesse angulaire a été supposée croissante à l'instant considéré d'où une composante tangentielle du vecteur accélération dans le même sens que le vecteur vitesse.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on y observe deux termes <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>voir sur la figure ci-contre<math>\color{transparent}{\big]}</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>le 2^ème terme «<math>\;-\vec{\Omega}^2\!(t)\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math>» est « <u>normal</u> plus précisément <u>centripète</u> »<ref> C.-à-d. de direction passant par le centre <math>\;C\;</math> et dont le sens se dirige toujours vers ce dernier.</ref>, de norme <math>\;\propto\;</math> au rayon du cercle et <br>{{Al|11}}{{Transparent|on y observe deux termes <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>voir sur la figure ci-contre<math>\color{transparent}{\big]}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 2^ème terme «<math>\;\color{transparent}{-\vec{\Omega}^2\!(t)\;\overrightarrow{CM}(t)}\;</math>» est « normal plus précisément centripète », de norme <math>\;\color{transparent}{\propto}\;</math> }}au carré de la vitesse angulaire<ref> Ceci permettant de satisfaire à la dimension d'une accélération.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : même si cela ne présente qu'un intérêt très limité on peut obtenir l'expression intrinsèque du vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> en dérivant par rapport à <math>\;t\;</math> celle de «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <math>\;\big(A\;</math> étant un point fixe de l'axe <math>\;\Delta\;</math> avec <math>\;A \neq C\big)</math>, soit «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) + \vec{\Omega}(t) \wedge \dfrac{d \overrightarrow{AM}}{dt}(t)\;</math>»<ref name="dérivation de produit scalaire ou vectoriel de fonctions vectorielles" /> avec «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{AM}}{dt}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\; \cancel{- \dfrac{d \overrightarrow{OA}}{dt}} = \vec{V}_M(t)\;</math>»<ref> La propriété découle de la [[w:Relation_de_Chasles#Calcul_vectoriel|relation de Chasles]] et du fait que le point <math>\;A\;</math> est fixe, sinon, <br>{{Al|3}}avec «<math>\;A\;</math> mobile nous aurions <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{AM}}{dt}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\; - \dfrac{d \overrightarrow{OA}}{dt}(t) = \vec{V}_M(t) - \vec{V}_A(t)\;</math>».</ref> d'où, par report, {{Nobr|«<math>\;\vec{a}_M(t) =</math>}} <math>\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) + \vec{\Omega}(t) \wedge \vec{V}_M(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}dans le 2^ème terme «<math>\;\vec{\Omega}(t) \wedge \vec{V}_M(t)\;</math>» on reconnaît celui qui a conduit au terme d'accélération centrale «<math>\;-\vec{\Omega}^2\!(t)\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math>» en utilisant une formule du double produit vectoriel après remplacement de «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> par <math>\;\vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>»<ref> Il aurait été maladroit de remplacer <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> par <math>\;\vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math> par complication de l'exposé en effet cela aurait donné <br>{{Al|3}}«<math>\;\vec{\Omega}(t) \wedge \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right] = \left[ \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{AM}(t) \right] \vec{\Omega}(t) - \left[ \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) \right] \overrightarrow{AM}(t) = \left[ \omega(t)\;\overline{AC} \right] \omega(t)\;\vec{u}_\Delta - \omega^2\!(t) \left[ \overline{AC}\;\vec{u}_\Delta + \overrightarrow{CM}(t) \right] = -\omega^2\!(t)\;\overrightarrow{CM}(t) = - \vec{\Omega}^2\!(t)\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math>» après simplification évidente, obtenu moins rapidement qu'avec le remplacement de <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> par <math>\;\vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)</math>.</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}dans le 1^er terme «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» on doit donc reconnaître le terme d'accélération tangentielle «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», l'égalité entre les deux résultant de l'utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles#Calcul_vectoriel|relation de Chasles]]<ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}\;</math>», de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle" /> et enfin du fait que «<math>\;\vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{0}\;</math>» les deux vecteurs étant colinéaires. === Cas particulier du mouvement uniforme === {{Al|5}}<u>Définition</u> : un mouvement circulaire est qualifié d'« <u>uniforme</u> » du point de vue intrinsèque si son vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> est constant soit «<math>\;\vec{\Omega}(t) = \vec{\Omega_0}\;\;\forall\;t\;</math>». {{Al|5}}<u>1^ère conséquence</u> : le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire uniforme s'écrivant «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega_0} \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|1^ère conséquence : le vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en mouvement circulaire uniforme }}a pour seule particularité le fait d'être de norme constante <br>{{Al|5}}{{Transparent|1^ère conséquence : le vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en mouvement circulaire uniforme }}«<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \Big\Vert \vec{\Omega_0} \wedge \overrightarrow{CM}(t) \Big\Vert = \Big\Vert \vec{\Omega_0} \Big\Vert\; \Big\Vert \overrightarrow{CM}(t) \Big\Vert = R\;\Big\Vert \vec{\Omega_0} \Big\Vert\;</math>». {{Al|5}}<u>2^ème conséquence</u> : le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire uniforme s'écrivant «<math>\;\vec{a}_M(t) = -\vec{\Omega_0}^2\; \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» du fait de <math>\;\dfrac{d \vec{\Omega_0}}{dt}(t) = \vec{0}\;</math> <math>\Rightarrow</math> la « <u>nullité de l'accélération</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|2^ème conséquence : le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en mouvement circulaire uniforme }}<u>tangentielle</u> <math>\;\dfrac{d \vec{\Omega_0}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», a pour particularité de rendre <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math><u>centripète</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|2^ème conséquence : le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en mouvement circulaire uniforme }}«<math>\;\vec{a}_M(t) = -\vec{\Omega_0}^2\; \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» et <u>de norme constante</u> «<math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = \Big\Vert \vec{\Omega_0} \Big\Vert^2\;R\;</math>». == Repérage plan polaire ayant le centre du cercle pour pôle, définition de l'abscisse angulaire, de la vitesse angulaire et de l'accélération angulaire du point M, expressions des composantes polaires du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme == === Introduction === [[File:Mouvement circulaire - repérage polaire de pôle le centre du cercle.png|thumb|360px|Schéma décrivant le mouvement circulaire d'un point <math>\;M</math>, avec choix du plan du cercle comme plan <math>\;xOy</math>, et du centre du cercle comme pôle <math>\;O\;</math> du repérage polaire de <math>\;M</math>, les angles étant orientés par l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}</math>]] {{Al|5}}Dans le cas où le point mobile étudié décrit un mouvement circulaire, il est en effet judicieux de choisir le plan <math>\;xOy\;</math> du repère lié au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> confondu avec le plan du cercle, l'origine <math>\;O\;</math> étant identifiée avec le centre de ce dernier, et l'axe <math>\;Oz\;</math> avec l'axe du cercle <math>\;\big[</math>l'axe de ce dernier étant orienté par <math>\;\vec{u}_z\big]\;</math> voir schéma ci-contre : === Repérage plan polaire de pôle « le centre du cercle », les angles du plan étant orientés par « l'axe (orienté) du cercle » === {{Al|5}}Le cercle étant de rayon <math>\;R</math>, les « coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> sont <math>\;M\;\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_M = R\\ \theta_M = \theta(t)\end{array}\right\rbrace\;</math>» et la « base polaire liée à <math>\;M\;</math> est <math>\;\left\lbrace \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\theta \right\rbrace\;</math>» respectivement appelé vecteurs unitaires radial et orthoradial<ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point de l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}parmi les deux paramètres de position du point <math>\;M</math>, l'un est fixé <math>\;\rho_M = R\;</math> et l'autre «<math>\;\theta_M = \theta(t)\;</math> décrit la loi horaire scalaire de position du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire ». ==== Abscisse angulaire de M ==== {{Al|5}}L'« <u>abscisse angulaire</u> de <math>\;M\;</math> est sa 2^èmecoordonnée polaire », exprimée en fonction du temps <math>\;t</math>, elle définit la « <u>loi horaire scalaire de position</u> du mouvement de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire » <center>«<math>\;\theta_M = \theta(t)\;</math> exprimées en <math>\;rad\;</math>».</center> ==== Vitesse angulaire de M ==== {{Al|5}}On définit la « <u>vitesse angulaire</u> <math>\;\omega_M\;</math> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» comme la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire <math>\;\theta_M = \theta(t)\;</math> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> soit «<math>\;\omega_M =</math> <math>\dot{\theta}(t)\;</math>» ; on obtient ainsi la « <u>loi horaire scalaire de vitesse</u> <math>\;\big(</math>angulaire<math>\big)\;</math> du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire » <center>«<math>\;\omega_M = \omega(t)\;</math> en notant <math>\;\omega(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> exprimées en <math>\;rad \cdot s^{-1}\;</math>».</center> ==== Accélération angulaire de M ==== {{Al|5}}On définit l'« <u>accélération angulaire</u><ref> Il n'y a aucune notation propre reconnue par tous pour représenter l'accélération angulaire.</ref> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» comme la dérivée temporelle de la vitesse angulaire <math>\;\omega_M = \omega(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d'où l'« accélération angulaire de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égale à <math>\;\dot{\omega}(t) = \ddot{\theta}(t)\;</math>» ; on obtient ainsi la « <u>loi horaire scalaire d'accélération</u> <math>\;\big(</math>angulaire<math>\big)\;</math> du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire » <center>«<math>\;\ddot{\theta}_M = \dot{\omega}(t) = \ddot{\theta}(t)\;</math><ref name="notations usuelles de l'accélération angulaire"> Le plus souvent l'accélération angulaire est simplement notée <math>\;\ddot{\theta}_M\;</math> ou moins souvent <math>\;\dot{\omega}_M\;\ldots</math></ref> exprimées en <math>\;rad \cdot s^{-2}\;</math>».</center> === Expressions des composantes polaires du vecteur position (ou rayon vecteur), du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M === ==== Composantes polaires du vecteur position (ou rayon vecteur) de M ==== {{Al|5}}Par définition du « vecteur unitaire radial <math>\;\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math> le 1^er vecteur de la base polaire liée à <math>\;M\;</math>»<ref name="coordonnées cylindro-polaires et base locale associée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit le « vecteur position <math>\;\big(</math>ou rayon vecteur<math>\big)\;</math> de <math>\;M\;</math>» <center>«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \rho_M\;\vec{u}_{\rho,\,M} = R\;\vec{u}_\rho\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>».</center> ==== Composantes polaires du vecteur vitesse de M ==== {{Al|5}}Le « vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire » ayant pour « composantes polaires <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_{\rho,\,M} = \cancel{\dot{\rho}_M} \quad = 0\\ V_{\theta,\,M} = \rho_M\;\dot{\theta}_M = R\;\omega(t)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit que <center>« le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> est <u>orthoradial</u><ref> En accord avec le fait qu'il doit être tangent au cercle.</ref> <math>\;\vec{V}_M(t) = V_{\theta,\,M}\;\vec{u}_{\theta,\,M} = R\;\omega(t)\;\vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>»<ref> Peut se retrouver à partir de l'expression intrinsèque du vecteur vitesse, en remarquant que la vitesse angulaire <math>\;\omega(t)\;</math> est la composante du vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> sur l'axe du cercle orienté par <math>\;\vec{u}_z</math>, en effet «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OM}(t) = \omega(t)\;\vec{u}_z \wedge R\;\vec{u}_{\rho,\,M} = R\;\omega(t)\;\vec{u}_{\theta,\,M}\;</math>».</ref> exprimés en <math>\;m \cdot s^{-1}</math>.</center> ==== Composantes polaires du vecteur accélération de M ==== {{Al|5}}Le « vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire » ayant pour « composantes polaires <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a_{\rho,\,M} = \cancel{\ddot{\rho}_M} - \rho_M\;\dot{\theta}_M^2 = -R\;\omega^2(t)\\ a_{\theta,\,M} = \rho_M\;\ddot{\theta}_M + \cancel{2\;\dot{\rho}_M\;\dot{\theta}_M} = R\;\ddot{\theta}(t)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="composantes cylindro-polaires du vecteur accélération"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit que <center>« le vecteur accélération de <math>\;M\;</math> a toujours une composante <u>radiale</u><ref> En accord avec le fait que le vecteur accélération étant toujours dirigé vers l'intérieur de la concavité, cette propriété ne peut provenir que d'une composante radiale.</ref> et éventuellement une composante <u>orthoradiale</u> »<ref> Celle-ci existant dès lors que la vitesse angulaire du point n'est pas constante.</ref> <br>«<math>\;\vec{a}_M(t) = a_{\rho,\,M}\;\vec{u}_{\rho,\,M} + a_{\theta,\,M}\;\vec{u}_{\theta,\,M} = -R\;\omega^2(t)\;\vec{u}_\rho\! \left[ \theta(t) \right] + R\;\ddot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>»<ref> Peut se retrouver à partir de l'expression intrinsèque du vecteur accélération, en remarquant que la vitesse angulaire <math>\;\omega(t)\;</math> est la composante du vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> sur l'axe du cercle orienté par <math>\;\vec{u}_z</math>, en effet «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{OM}(t) - \vec{\Omega}^2\!(t)\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math>», <math>\;O\;</math> étant le centre du cercle soit encore «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dot{\omega}(t)\;\vec{u}_z \wedge R\;\vec{u}_{\rho,\,M} - \omega^2(t)\;R\;\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math> et finalement <math>\;\vec{a}_M(t)</math> <math>= R\;\ddot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta,\,M} - R\;\omega^2(t)\;\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math>».</ref> exprimés en <math>\;m \cdot s^{-2}</math>.</center> === Cas particulier du mouvement circulaire uniforme === {{Al|5}}<u>Définitions équivalentes</u> : un mouvement circulaire est qualifié d'« <u>uniforme</u> » du point de vue repérage polaire si * sa vitesse angulaire <math>\;\omega(t)\;</math> est constante soit {{Al|34}}«<math>\;\omega(t) = \omega_0\;\;\forall\;t\;</math>», * son accélération angulaire <math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> est identiquement nulle soit {{Al|8}}«<math>\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>», * son abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> est une fonction affine du temps soit «<math>\;\theta(t) = \omega_0\;t + \theta_0\;\;\forall\;t\;</math>». {{Al|5}}<u>1^ère conséquence</u> : « le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire uniforme s'écrivant <math>\;\vec{V}_M(t) = R\;\omega_0\;\vec{u}_{\theta,\,M}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|1^ère conséquence : « le vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en mouvement circulaire uniforme }}a pour seule particularité le fait d'être de norme constante «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = R\;\vert \omega_0 \vert\;</math>». {{Al|5}}<u>2^ème conséquence</u> : « le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire uniforme s'écrivant <math>\;\vec{a}_M(t) = -R\;\omega_0^2\;\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math>»<ref> Du fait de la <u>nullité de l'accélération orthoradiale</u> <math>\;a_{\theta,\,M}(t) = R\;\ddot{\theta}(t) = 0\;</math> dans la mesure où l'accélération angulaire est nulle pour un mouvement circulaire uniforme.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|2^ème conséquence : « le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en mouvement circulaire uniforme }}a pour particularité le fait d'être <u>centripète</u> «<math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> direction et sens de <math>\;-\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|2^ème conséquence : « le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en mouvement circulaire uniforme a pour particularité le fait d'être }}<u>de norme constante</u> «<math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = R\;\omega_0^2\;</math>». == En complément, repérage de Frenet, abscisse curviligne, vitesse instantanée, accélération tangentielle, composante(s) de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme == === Introduction === [[File:Mouvement circulaire - repérage de Frenet.png|thumb|360px|Schéma décrivant le mouvement circulaire d'un point <math>\;M\;</math> par repérage de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref>, avec choix de l'origine <math>\;A\;</math><ref name="choix de A"> On le choisit n'importe où sur le cercle puis, si besoin est, le centre du cercle étant choisi comme origine <math>\;O\;</math> du repère cartésien associé au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, on choisit l'axe <math>\;Ox\;</math> passant par <math>\;A\;</math> tel que l'abscisse de ce dernier soit <math>\;x_A = R\;</math> le rayon du cercle <math>\;\big[</math>en fait seul le choix de <math>\;A\;</math> est indispensable dans le repérage de Frenet<math>\big]</math>.</ref> et de celui du sens <math>\;+\;</math> de mesure de l'« abscisse curviligne <math>\;s\;</math> de <math>\;M\;</math>»<ref name="abscisse curviligne de M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans le sens trigonométrique direct]] {{Al|5}}On choisit l'« origine <math>\;A\;</math> des abscisses curvilignes sur le cercle »<ref name="choix de A" /> et <br>{{Al|5}}on oriente ce dernier par le « 1^er vecteur de base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="1er vecteur de base locale de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> choisi tangent au cercle dans le « sens direct »<ref> Choix arbitraire, on aurait pu choisir l'autre sens « indirect ou rétrograde ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on oriente ce dernier par }}le « 2^ème vecteur de base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{n}\;</math>»<ref name="2ème et 3ème vecteurs de base locale de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_plane_continue|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> vecteur unitaire normal principal de Frenet<ref name="Frenet" /> étant toujours dirigé vers la concavité, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on oriente ce dernier par }}le « 3^ème vecteur de base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{b}\;</math>»<ref name="2ème et 3ème vecteurs de base locale de Frenet" /> vecteur unitaire normal secondaire de Frenet<ref name="Frenet" /> est <math>\;\perp\;</math> au plan du cercle pointant vers nous selon «<math>\;\vec{\tau} \wedge \vec{n} = \vec{b}\;</math>»<ref> Dans la mesure où les choix secondaires de repère cartésien <math>\;\big(</math>lesquels, rappelons-le, ne sont pas indispensables au repérage de Frenet<math>\big)\;</math> se sont poursuivis par celui d'axe <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> directement <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> et d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\perp\;</math> aux deux précédents tel que <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> pointe vers nous, si <math>\;\vec{\tau}\;</math> a été choisi dans le sens direct comme suggéré, alors <math>\;\vec{b} = \vec{u}_z\;</math> <math>\big[</math>mais si <math>\;\vec{\tau}\;</math> est choisi dans le sens indirect ou rétrograde, alors <math>\;\vec{b} = -\vec{u}_z\big]</math>.</ref> <math>\;\big[</math>on rappelle que c'est le sens de <math>\;\vec{b}\;</math> qui définit le sens <math>\;+\;</math> de mesure des angles dans le plan du {{Nobr|cercle <math>\big]\;</math>}} voir schéma ci-contre : === Abscisse curviligne, vitesse instantanée et accélération tangentielle du point M sur sa trajectoire === {{Al|5}}On rappelle que le point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire est repéré par une seule coordonnée de Frenet<ref name="Frenet" /> son « abscisse curviligne <math>\;s_M = \overset{\curvearrowright}{AM}\;</math> exprimée en <math>\;m\;</math>»<ref name="abscisse curviligne de M" />. ==== Abscisse curviligne du point M sur sa trajectoire ==== {{Al|5}}L'« <u>abscisse curviligne</u> de <math>\;M\;</math>»<ref name="abscisse curviligne de M" /> est sa seule coordonnée de Frenet<ref name="Frenet" />, exprimée en fonction du temps <math>\;t</math>, elle définit la « <u>loi horaire scalaire de position</u> du mouvement de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire » <center>«<math>\;s_M = s(t)\;</math>» exprimées en <math>\;m</math>.</center> ==== Vitesse instantanée du point M sur sa trajectoire ==== {{Al|5}}La « <u>vitesse instantanée</u> <math>\;v_M\;</math> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» est la dérivée temporelle de l'abscisse curviligne <math>\;s_M = s(t)\;</math> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vitesse instantanée de M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit «<math>\;v_M =</math> <math>\dot{s}(t)\;</math>» ; on obtient ainsi la « <u>loi horaire scalaire de vitesse instantanée</u> du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire » <center>«<math>\;v_M = v(t)\;</math> en notant <math>\;v(t) = \dot{s}(t)\;</math>» exprimées en <math>\;m \cdot s^{-1}</math>.</center> ==== Accélération tangentielle du point M sur sa trajectoire ==== {{Al|5}}L'« <u>accélération tangentielle</u> <math>\;a_{\tau,\,M}\;</math> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» est la dérivée temporelle de la vitesse instantanée <math>\;v_M = v(t) = \dot{s}(t)\;</math> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="accélérations tangentielle et normale de M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_locales_de_Frenet_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_accélérations_tangentielle_et_normale_du_point|composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> d'où «<math>\;a_{\tau,\,M} = \dot{v}(t) = \ddot{s}(t)\;</math>» ; on obtient ainsi la « <u>loi horaire scalaire d'accélération tangentielle</u> du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire » <center>«<math>\;a_{\tau,\,M} = \dot{v}(t) = \ddot{s}(t)\;</math>» exprimées en <math>\;m \cdot s^{-2}</math>.</center> === Expression des composantes de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire === ==== Composante de Frenet du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire ==== {{Al|5}}Par définition de la vitesse instantanée <math>\;v_M\;</math><ref name="vitesse instantanée de M" /> du point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire, on en déduit le « vecteur vitesse de <math>\;M\;</math>» <center>«<math>\;\vec{V}_M(t) = v_M\;\vec{\tau}_M = v(t)\;\vec{\tau}\! \left[ s(t) \right]\;</math> avec <math>\;v(t) = \dot{s}(t)\;</math>» exprimées en <math>\;m \cdot s^{-1}</math>.</center> ==== Composantes de Frenet du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire ==== {{Al|5}}En plus de l'« accélération tangentielle traduisant la variation de la vitesse instantanée sur sa trajectoire »<ref name="accélérations tangentielle et normale de M" />, il y a une « accélération normale qui décrit la courbure <math>\;\dfrac{1}{R}\;</math><ref name="rayon de courbure d'une courbe plane"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Définition_du_rayon_de_courbure_en_un_point_non_anguleux_d'une_courbe_plane|définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> de la trajectoire simultanément à la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée de M" /> sur celle-ci par <math>\;a_{n,\,M} = \dfrac{v^2(t)}{R}\;</math>»<ref name="accélérations tangentielle et normale de M" /> d'où le « vecteur accélération de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire » selon <center>«<math>\;\vec{a}_M(t) = a_{\tau,\,M}\;\vec{\tau}_M + a_{n,\,M}\;\vec{n}_M = a_\tau(t)\;\vec{\tau}\! \left[ s(t) \right] + a_n(t)\;\vec{n}\! \left[ s(t) \right]\;</math>» avec <br> «<math>\;a_\tau(t) = \dot{v}(t) = \ddot{s}(t)\;</math>» et «<math>\;a_n(t) = \dfrac{v^2(t)}{R} \geqslant 0\;</math>» exprimées en <math>\;m \cdot s^{-2}</math>.</center> === Cas particulier du mouvement circulaire uniforme === {{Al|5}}<u>Définitions équivalentes</u> : un mouvement circulaire est qualifié d'« <u>uniforme</u> » du point de vue repérage de Frenet<ref name="Frenet" /> si * sa vitesse instantanée <math>\;v(t)\;</math><ref name="vitesse instantanée de M" /> est constante soit {{Al|37}}«<math>\;v(t) = v_0\;\;\forall\;t\;</math>», * son accélération tangentielle <math>\;a_\tau(t)\;</math><ref name="accélérations tangentielle et normale de M" /> est identiquement nulle soit {{Al|8}}«<math>\;a_\tau(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>», * son abscisse curviligne <math>\;s(t)\;</math><ref name="abscisse curviligne de M" /> est une fonction affine du temps soit {{Al|5}}«<math>\;s(t) = v_0\;t + s_0\;\;\forall\;t\;</math>». {{Al|5}}<u>1^ère conséquence</u> : « le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire uniforme s'écrivant <math>\;\vec{V}_M(t) = v_0\;\vec{\tau}_M\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|1^ère conséquence : « le vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en mouvement circulaire uniforme }}a pour seule particularité le fait d'être de norme constante «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert =\vert v_0 \vert\;</math>». {{Al|5}}<u>2^ème conséquence</u> : « le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire uniforme s'écrivant <math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{v_0^2}{R}\;\vec{n}_M\;</math>» du fait de la <u>nullité de l'accélération tangentielle</u><ref name="accélérations tangentielle et normale de M" /> <math>\;a_{\tau,\,M}(t) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|2^ème conséquence : « le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en mouvement circulaire uniforme }}a pour particularité le fait d'être <u>centripète</u> «<math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> de direction et sens de <math>\;\vec{n}_M\;</math>»<ref> En effet le vecteur unitaire normal principal de Frenet est lui même centripète.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|2^ème conséquence : « le vecteur accélération <math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en mouvement circulaire uniforme a pour particularité le fait d'être }}<u>de norme constante</u> «<math>\;\Vert \vec{a}_M(t) \Vert = \dfrac{v_0^2}{R}\;</math>». == En complément, liens entre repérage plan polaire ayant le centre du cercle pour pôle et repérage de Frenet tel que l'origine des abscisses curvilignes coïncide avec l'origine des abscisses angulaires == === Préliminaire === {{Al|5}}Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer «<math>\;\theta_M > 0 \Leftrightarrow s_M > 0\;</math>»<ref> C'est le choix qui a été fait puisque le sens <math>\;+\;</math> des abscisses angulaires a été choisi dans le sens trigonométrique direct du plan <math>\;xOy\;</math> et que celui des abscisses curvilignes a été choisi dans le même sens.</ref> dont une conséquence est que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer }}« le 1^er vecteur de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}_M\;</math>»<ref name="1er vecteur de base locale de Frenet" /> c'est-à-dire le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer « le 1^er vecteur de la base locale de Frenet <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}_M}\;</math>» }}est identique « au 2^ème vecteur de la base polaire <math>\;\vec{u}_{\theta,\,M}\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|13}}{{Transparent|Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer « le 1^er vecteur de la base locale de Frenet <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}_M}\;</math>» est identique « au 2^ème }}le vecteur unitaire orthoradial<ref name="repérage cylindro-polaire" /> soit <br>{{Al|17}}{{Transparent|Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer « le 1^er vecteur de la base locale de Frenet <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}_M}\;</math>» est identique }}«<math>\;\vec{\tau}_M = \vec{u}_{\theta,\,M}\;</math>» ; {{Al|5}}pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens <math>\;\big(</math>trigonométrique direct<math>\big)\;</math> dans les deux repérages, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens }}« le 3^ème vecteur de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{b}_M\;</math>»<ref name="2ème et 3ème vecteurs de base locale de Frenet" /> c'est-à-dire le vecteur unitaire normal secondaire de Frenet<ref name="Frenet" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens « le 3^ème vecteur de la base locale de Frenet <math>\;\color{transparent}{\vec{b}_M}\;</math>» }}doit être identique « au 3^ème vecteur de la base cylindro-polaire <math>\;\vec{u}_z\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens « le 3^ème vecteur de la base locale de Frenet <math>\;\color{transparent}{\vec{b}_M}\;</math>» doit être identique }}c'est-à-dire le vecteur unitaire axial soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens « le 3^ème vecteur de la base locale de Frenet <math>\;\color{transparent}{\vec{b}_M}\;</math>» doit être identique }}«<math>\;\vec{b}_M = \vec{u}_z\;</math>»<ref> Ce choix est possible dans la mesure où le lien entre le 2^ème vecteur de base de Frenet <math>\;\vec{n}_M</math>, le vecteur unitaire normal principal <math>\;\big(</math>nécessairement dirigé dans le sens de la concavité du cercle comme cela a été rappelé dans l'« [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Introduction_2|introduction]] du paragraphe [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#En_complément,_repérage_de_Frenet,_abscisse_curviligne,_vitesse_instantanée,_accélération_tangentielle,_composante(s)_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_et_du_vecteur_accélération_du_point_M,_cas_particulier_du_mouvement_uniforme|en complément, repérage de Frenet, abscisse curviligne, vitesse instantanée, accélération tangentielle, composante(s) de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> et les vecteurs de la base cylindro-polaire du plan du cercle <math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math> reste à définir.</ref> ; {{Al|5}}les deux bases étant orthonormées directes<ref name="espace orienté à droite" /> on en déduit le lien entre « le 2^ème vecteur de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{n}_M\;</math>»<ref name="2ème et 3ème vecteurs de base locale de Frenet" /> c'est-à-dire le vecteur unitaire normal principal de Frenet<ref name="Frenet" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « le 2^ème vecteur de la base locale }}<math>\big(</math>défini par rapport aux deux autres vecteurs de la base de Frenet<ref name="Frenet" /> par <math>\;\vec{n}_M = \vec{b}_M \wedge \vec{\tau}_M\big)</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre }}« les vecteurs de base cylindro-polaire » en utilisant «<math>\;\vec{n}_M = \vec{b}_M \wedge \vec{\tau}_M = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\theta,\,M} = -\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math>» d'où <br>{{Al|9}}{{Transparent|les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre }}« le 2^ème vecteur de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{n}_M\;</math>»<ref name="2ème et 3ème vecteurs de base locale de Frenet" /> est identique à « l'opposé du 1^er vecteur de la base polaire <math>\;\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math>» <br>{{Al|23}}{{Transparent|les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « le 2^ème vecteur de la base locale de Frenet <math>\;\color{transparent}{\vec{n}_M}\;</math>» est identique à }}c'est-à-dire l'opposé du vecteur unitaire radial soit <br>{{Al|21}}{{Transparent|les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « le 2^ème vecteur de la base locale de Frenet <math>\;\color{transparent}{\vec{n}_M}\;</math>» est identique à }}«<math>\;\vec{n}_M = -\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math>»<ref> On aurait pu introduire le vecteur unitaire normal principal de Frenet <math>\;\vec{n}_M\;</math> juste après l'introduction du vecteur unitaire tangentiel de Frenet <math>\;\vec{\tau}_M\;</math> et avant celle du vecteur unitaire normal secondaire <math>\;\vec{b}_M\;</math> de la façon suivante : <br>{{Al|3}}d'une part le 2^ème vecteur de la base de Frenet <math>\;\vec{n}_M\;</math> devant être centripète et le 1^er vecteur de la base polaire <math>\;\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math> étant centrifuge on doit faire l'identification «<math>\;\vec{n}_M = -\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math>» et <br>{{Al|3}}d'autre part le 3^ème vecteur de la base de Frenet <math>\;\vec{b}_M\;</math> <math>\big(</math>le vecteur unitaire normal secondaire<math>\big)\;</math> étant lié aux deux autres vecteurs de base de Frenet par «<math>\;\vec{b}_M = \vec{\tau}_M \wedge \vec{n}_M\;</math>» on en déduit son lien avec les vecteurs de base cylindro-polaire par «<math>\;\vec{b}_M = \vec{\tau}_M \wedge \vec{n}_M = \vec{u}_{\theta,\,M} \wedge \left[ -\vec{u}_{\rho,\,M} \right] = \vec{u}_z\;</math>».</ref>. {{Al|5}}On choisit, de préférence, l’origine <math>\;A\;</math> des abscisses curvilignes en liaison avec l’origine des abscisses angulaires c'est-à-dire telle que «<math>\;\theta_M = 0 \Leftrightarrow s_M = 0\;</math>». === Lien entre abscisses curviligne et angulaire, vitesses instantanée et angulaire, accélérations tangentielle et angulaire du point M === {{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : compte-tenu des unités des grandeurs cinématiques correspondantes intervenant dans les repérages polaire et de Frenet<ref name="Frenet" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : compte-tenu des unités }}une grandeur cinématique de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\big[</math>abscisse curviligne, vitesse instantanée et accélération tangentielle<math>\big]\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : compte-tenu des unités }}s'obtient à partir de la grandeur cinématique polaire associée <math>\;\big[</math>abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire<math>\big]\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : compte-tenu des unités s'obtient }}en multipliant cette dernière par une longueur, laquelle ne peut être que le rayon du cercle <math>\;\ldots</math> ==== Lien entre abscisses curviligne et angulaire du point M sur sa trajectoire ==== {{Al|5}}Sachant que la « longueur d'un arc de cercle <math>\;\overset{\frown}{AB}\;</math> de rayon <math>\;R\;</math> tel que l'angle au centre correspondant soit <math>\;\widehat{\left( \overrightarrow{OA}\,,\, \overrightarrow{OB} \right)}\;</math> exprimé en <math>\;rad\;</math>» se calcule par «<math>\;\overset{\frown}{AB} = R\;\widehat{\left( \overrightarrow{OA}\,,\, \overrightarrow{OB} \right)}_{\text{en rad}}\;</math>»<ref> La définition du radian étant la mesure d'un angle au centre telle que la longueur de l'arc de cercle correspondant soit égal au rayon du cercle.</ref>, {{Al|5}}on en déduit le « lien entre l'abscisse curviligne <math>\;s(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire et l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> correspondante » «<math>\;s(t) = R\;\theta(t)\;</math>». ==== Lien entre vitesses instantanée et angulaire du point M sur sa trajectoire ==== {{Al|5}}Par dérivation temporelle du lien entre abscisses curviligne <math>\;s(t)\;</math> et angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire on obtient «<math>\;\dot{s}(t) = R\;\dot{\theta}(t)\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par dérivation temporelle }}le « lien entre la vitesse instantanée <math>\;v(t)\;</math><ref name="vitesse instantanée de M" /> du point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire et la vitesse angulaire <math>\;\omega(t)\;</math> correspondante » «<math>\;v(t) = R\;\omega(t)\;</math>». ==== Lien entre accélérations tangentielle et angulaire du point M sur sa trajectoire ==== {{Al|5}}Par dérivation temporelle du lien entre vitesse instantanée <math>\;v(t)\;</math><ref name="vitesse instantanée de M" /> et angulaire <math>\;\omega(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire on obtient «<math>\;\dot{v}(t) = R\;\dot{\omega}(t)\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par dérivation temporelle }}le « lien entre l'accélération tangentielle <math>\;a_\tau(t)\;</math><ref name="accélérations tangentielle et normale de M" /> du point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire et l'accélération angulaire <math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math><ref name="notations usuelles de l'accélération angulaire" /> correspondante » «<math>\;a_\tau(t) = R\;\ddot{\theta}(t)\;</math>»<ref name="notations usuelles de l'accélération angulaire" />. === Lien entre composantes de Frenet et polaires du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire === {{Al|5}}Pour trouver ces liens il suffit d'utiliser les identifications des vecteurs de base de Frenet<ref name="Frenet" /> avec ceux de base polaire à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{\tau}_M = \vec{u}_{\theta,\,M}\\ \vec{n}_M = -\vec{u}_{\rho,\,M}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="lien entre bases polaire et de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Préliminaire|préliminaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : ==== Lien entre composantes de Frenet et polaire du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire ==== {{Al|5}}De <math>\;\vec{V}_M(t) = v(t)\;\vec{\tau}_M\;</math> on y reporte <math>\;\vec{\tau}_M = \vec{u}_{\theta,\,M}\;</math><ref name="lien entre bases polaire et de Frenet" /> et on en déduit <math>\;\vec{V}_M(t) = v(t)\;\vec{u}_{\theta,\,M}\;</math> à identifier à <math>\;\vec{V}_M(t) = V_\theta(t)\;\vec{u}_{\theta,\,M}\;</math> d'où <center>« les vitesses instantanée <math>\;v(t)\;</math><ref name="vitesse instantanée de M" /> et orthoradiale <math>\;V_\theta(t)\;</math> sont identiques » «<math>\;v(t) = V_\theta(t) = R\;\omega(t)\;</math>».</center> ==== Lien entre composantes de Frenet et polaire du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire ==== {{Al|5}}De <math>\;\vec{a}_M(t) = a_\tau(t)\;\vec{\tau}_M + a_n(t)\;\vec{n}_M\;</math> on y reporte <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{\tau}_M = \vec{u}_{\theta,\,M}\\ \vec{n}_M = -\vec{u}_{\rho,\,M}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="lien entre bases polaire et de Frenet" /> et on en déduit <math>\;\vec{a}_M(t) = a_\tau(t)\;\vec{u}_{\theta,\,M} - a_n(t)\;\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math> à identifier à <math>\;\vec{a}_M(t) = a_\theta(t)\;\vec{u}_{\theta,\,M} + a_\rho(t)\;\vec{u}_{\rho,\,M}\;</math> d'où <center>« les accélérations tangentielle <math>\;a_\tau(t)\;</math><ref name="accélérations tangentielle et normale de M" /> et orthoradiale <math>\;a_\theta(t)\;</math> sont identiques » «<math>\;a_\tau(t) = a_\theta(t) = R\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» et <br>« les accélérations normale <math>\;a_n(t)\;</math><ref name="accélérations tangentielle et normale de M" /> et radiale <math>\;a_\rho(t)\;</math> sont opposées » «<math>\;a_n(t) = -a_\rho(t) = R\;\omega^2(t) = \dfrac{v^2(t)}{R}\;</math>».</center> == Essai de repérage cartésien == === Introduction === [[File:Mouvement circulaire - repérage cartésien d'origine le centre du cercle.png|thumb|360px|Schéma décrivant le mouvement circulaire d'un point <math>\;M</math>, avec choix du plan du cercle comme plan <math>\;xOy</math>, et du centre du cercle comme origine <math>\;O\;</math> du repérage cartésien de <math>\;M</math>, les angles étant orientés par l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}</math>]] {{Al|5}}Le choix d'un repérage cartésien, même avec origine le centre du cercle, reste un <u>très mauvais choix</u>, l'une des raisons étant qu'« il faut, pour décrire le mouvement du point <math>\;M\;</math> sur le cercle, deux lois horaires cartésiennes scalaires » là où « une seule loi horaire scalaire est suffisante lors d'un repérage polaire ou de Frenet<ref name="Frenet" /> » ; en effet {{Al|5}}ayant choisi le plan du cercle comme plan <math>\;xOy</math>, la cote de <math>\;M\;</math> est «<math>\;z_M = 0\;\;\forall\; t\;</math>», pour compléter la connaissance du mouvement de <math>\;M\;</math> il reste à « préciser les deux lois horaires scalaires donnant l'abscisse et l'ordonnée de <math>\;M\;</math> en fonction du temps <math>\;t\;</math>» soit «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}x_M = x(t)\\y_M = y(t)\end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Ayant choisi le plan du cercle comme plan xOy, }}si l'origine <math>\;O\;</math> du repère a été choisie au centre du cercle, l'utilisation du paramètre angulaire <math>\;\theta_M =</math> <math>\widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{OM} \right)}\;</math> exprimée en fonction du temps <math>\;t\;</math> permet d'« écrire les deux lois horaires scalaires <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}x_M = R\;\cos\! \left[ \theta_M(t) \right]\\y_M = R\;\sin\! \left[ \theta_M(t) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>», « l'abscisse et l'ordonnée de <math>\;M\;</math> étant liées par l'équation cartésienne de la trajectoire » à savoir celle du cercle de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> «<math>\;x_M^2 + y_M^2 = R^2\;</math>» ; {{Al|5}}dans le cas où <u>le mouvement circulaire n'est pas uniforme</u>, la complication est réelle car «<math>\;\dot{\theta}_M(t) \neq cste\;</math>», <math>\Rightarrow</math> <u>le mouvement des projetés</u> <math>\;M_x\;</math> et <math>\;M_y\;</math> de <math>\;M\;</math> respectivement sur les axes <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy\;</math> <u>n'est pas sinusoïdal</u>, l'argument du cosinus ou du sinus n'étant pas une fonction affine du temps, {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où le mouvement circulaire n'est pas uniforme, }}la complication est accrue dans les lois horaires scalaires de vitesse, <u>chaque composante du vecteur vitesse</u> s'écrivant «<math>\;\vec{V}_M(t)\; \left\lbrace\begin{array}{c}V_{x,\,M}(t) = R\;\dot{\theta}_M(t)\;\cos\! \left[ \theta_M(t) + \dfrac{\pi}{2} \right]\\V_{y,\,M}(t) = R\;\dot{\theta}_M(t)\;\sin\! \left[ \theta_M(t) + \dfrac{\pi}{2} \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire <u>égale à une fonction pseudo-sinusoïdale</u> <math>\;\big[</math>ou pseudo-cosinusoïdale<math>\big]\;</math> <u>d'une fonction non affine du temps</u> <math>\;\big\{</math>pseudo-sinusoïdale <math>\;\big[</math>ou pseudo-cosinusoïdale<math>\big]\;</math> dans la mesure où le cœfficient multiplicateur de <math>\;\sin()</math> <math>\;\big[</math>ou de <math>\;\cos()\big]\;</math> est une fonction du temps donc une pseudo-amplitude<math>\big\}\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où le mouvement circulaire n'est pas uniforme, }}la complication est encore plus grande dans les lois horaires scalaires d'accélération, <u>chaque composante du vecteur accélération</u> s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{a}_M(t)\;</math>}} <math>\left\lbrace\begin{array}{c}a_{x,\,M}(t) = R\;\ddot{\theta}_M(t)\;\cos\! \left[ \theta_M(t) + \dfrac{\pi}{2} \right] + R\;\dot{\theta}_M^2(t)\;\cos\! \left[ \theta_M(t) + \pi \right]\\a_{y,\,M}(t) = R\;\ddot{\theta}_M(t)\;\sin\! \left[ \theta_M(t) + \dfrac{\pi}{2} \right] + R\;\dot{\theta}_M^2(t)\;\sin\! \left[ \theta_M(t) + \pi \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire <u>égale à une somme de deux fonctions pseudo-sinusoïdales</u> <math>\;\big[</math>ou pseudo-cosinusoïdales<math>\big]\;</math> <u>de fonctions non affines du temps différentes</u> <math>\;\big\{</math>pseudo-sinusoïdale <math>\;\big[</math>ou pseudo-cosinusoïdale<math>\big]\;</math> dans la mesure où les cœfficients multiplicateurs des <math>\;\sin()</math> <math>\;\big[</math>ou des <math>\;\cos()\big]\;</math> sont des fonctions du temps <math>\;\big(</math>différentes<math>\big)\;</math> donc des pseudo-amplitudes <math>\;\big(</math>différentes<math>\big)\big\}\;</math> <math>\ldots</math> === Cas particulier d’un mouvement circulaire uniforme === {{Al|5}}Ayant choisi le plan du cercle comme plan <math>\;xOy\;</math> et le centre du cercle comme origine <math>\;O</math>, le caractère uniforme du mouvement entraîne * une « vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}_M(t) = cste\;</math> notée <math>\;\omega_0\;</math>» correspondant à * une « accélération angulaire nulle c'est-à-dire <math>\;\ddot{\theta}_M(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» et * une « abscisse angulaire fonction affine du temps <math>\;\theta_M(t) = \omega_0\;t + \theta_0\;</math>» ; {{Al|5}}les « composantes cartésiennes du rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;\left\lbrace \begin{array}{c} x_M(t) = R\; \cos\! \left( \omega_0\; t + \theta_0 \right)\\y_M(t) = R\; \sin\! \left( \omega_0\; t + \theta_0 \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» se traduisent par le <u>caractère sinusoïdal du mouvement des projetés</u> de <math>\;M\;</math> sur les axes <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy</math>, respectivement <math>\;M_x\;</math> et <math>\;M_y</math>, <u>de même amplitude</u> <math>\;R\;</math> et <u>de même pulsation</u> <math>\;\vert \omega_0 \vert\;</math><ref name="pulsation nécessairement positive"> La pulsation étant une grandeur physiquement positive.</ref>, <u>en quadrature de phase l'un relativement à l'autre</u>, plus précisément : {{Al|5}}{{Transparent|les « composantes cartésiennes du rayon vecteur }}<math>\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\omega_0 > 0\;</math>», les « composantes cartésiennes du rayon vecteur se réécrivent <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_M(t) = R\; \cos\! \left( \omega_0\; t + \theta_0 \right)\\y_M(t) = R\; \cos\! \left( \omega_0\; t + \theta_0 - \dfrac{\pi}{2} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En effet <math>\;\sin(\alpha) = \cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos\! \left( \alpha - \dfrac{\pi}{2} \right)</math>.</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|les « composantes cartésiennes du rayon vecteur <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\omega_0 > 0}\;</math>», les « composantes cartésiennes du rayon vecteur se réécrivent }}«<math>\;M_y\;</math> vibre en quadrature retard sur <math>\;M_x\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|les « composantes cartésiennes du rayon vecteur }}<math>\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\omega_0 < 0\;</math>», les « composantes cartésiennes du rayon vecteur se réécrivent <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c} x_M(t) \!\!&=&\!\! R\; \cos\! \left( -\omega_0\; t - \theta_0 \right) \!\!&=&\!\! \\y_M(t) \!\!&=&\!\! -R\; \sin\! \left( -\omega_0\; t - \theta_0 \right) \!\!&=&\!\! \end{array}\right.</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les « composantes cartésiennes du rayon vecteur <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\omega_0 < 0}\;</math>», }}<math>\left. \begin{array}{l c l} R\; \cos\! \left( \vert \omega_0 \vert\; t - \theta_0 \right) \!\!&=&\!\! R\; \cos\! \left( \vert \omega_0 \vert\; t - \theta_0 \right) \\ -R\; \sin\! \left( \vert \omega_0 \vert\; t - \theta_0 \right) \!\!&=&\!\! R\; \cos\! \left( \vert \omega_0 \vert\; t - \theta_0 + \dfrac{\pi}{2} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En effet <math>\;-\sin(\alpha) = \cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} + \alpha \right)</math>.</ref>, soit «<math>\;M_y\;</math> vibre en quadrature avance sur <math>\;M_x\;</math>» ; {{Al|5}}les « composantes cartésiennes des vecteurs vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> et accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> s'obtiennent en dérivant temporellement celles de <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math> une ou deux fois successivement » soit : * <math>\;\vec{V}_M(t)\;\left\lbrace \begin{array}{c} V_{x,\,M}(t) = R\; \omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\; t + \theta_0 + \dfrac{\pi}{2} \right)\\V_{y,\,M}(t) = R\; \omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\; t + \theta_0 + \dfrac{\pi}{2} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> c'est-à-dire le caractère sinusoïdal de la vitesse des projetés de <math>\;M\;</math> sur les axes <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy</math>, respectivement <math>\;M_x\;</math> et <math>\;M_y</math>, de même amplitude <math>\;R\;\vert \omega_0 \vert\;</math><ref> L'amplitude étant une grandeur physiquement positive.</ref> et de même pulsation <math>\;\vert \omega_0 \vert\;</math><ref name="pulsation nécessairement positive" />, en quadrature de phase l'une relativement à l'autre et * <math>\;\vec{a}_M(t)\;\left\lbrace \begin{array}{c} a_{x,\,M}(t) = R\; \omega_0^2\;\cos\! \left( \omega_0\; t + \theta_0 + \pi \right)\\a_{y,\,M}(t) = R\; \omega_0^2\;\sin\! \left( \omega_0\; t + \theta_0 + \pi \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> c'est-à-dire le caractère sinusoïdal de l'accélération des projetés de <math>\;M\;</math> sur les axes <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy</math>, respectivement <math>\;M_x\;</math> et <math>\;M_y</math>, de même amplitude <math>\;R\;\omega_0^2\;</math> et de même pulsation <math>\;\vert \omega_0 \vert\;</math><ref name="pulsation nécessairement positive" />, en quadrature de phase l'une par rapport à l'autre, ces composantes se réécrivant <math>\;\vec{a}_M(t)\;\left\lbrace \begin{array}{c} a_{x,\,M}(t) = -R\; \omega_0^2\;\cos\! \left( \omega_0\; t + \theta_0 \right) = -\omega_0^2\;x_M(t)\\a_{y,\,M}(t) = -R\; \omega_0^2\;\sin\! \left( \omega_0\; t + \theta_0 \right) = -\omega_0^2\;y_M(t)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Peut se déduire aussi de la forme intrinsèque du vecteur accélération d'un mouvement circulaire uniforme <math>\;\vec{a}_M(t) = -\vec{\Omega}_0^2\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math> avec <math>\;O\;</math> centre du cercle et <math>\;\Omega_0 = \omega_0\;\vec{u}_z</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : on déduit aisément de ce qui précède que <u>le projeté d'un mouvement circulaire uniforme sur un diamètre quelconque du cercle est en mouvement rectiligne sinusoïdal de pulsation égale à la valeur absolue de la vitesse angulaire et d'amplitude égale au rayon du cercle</u> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : }}on emploie cette propriété lors de l'utilisation d'un système « bielle - excentré » pour transformer un mouvement circulaire uniforme en mouvement rectiligne quasi sinusoïdal <math>\;\big[</math>à condition que la bielle soit de longueur grande devant le rayon décrit par l'excentré<math>\big]</math>. === Composition de deux mouvements rectilignes sinusoïdaux sur des directions orthogonales de même centre O, de même pulsation, de même amplitude et en quadrature de phase === {{Al|5}}La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal sur l'axe <math>\;Ox\;</math> de <math>\;M_x\;</math> à la fréquence <math>\;f_0\;</math> <math>\big(</math>ou la pulsation <math>\;2\,\pi\,f_0\big)</math>, d'amplitude <math>\;A\;</math> soit «<math>\;M_x\;\text{:}\; x(t) = A\; \cos\! \left( 2\,\pi\,f_0\; t + \varphi \right)\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|La composition }}du mouvement rectiligne sinusoïdal sur l'axe <math>\;Oy\;</math> de <math>\;M_y\;</math> à la fréquence <math>\;f_0\;</math> <math>\big(</math>ou la pulsation <math>\;2\,\pi\,f_0\big)</math>, d'amplitude <math>\;A\;</math> mais en quadrature de phase par rapport au précédent soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal sur l'axe <math>\;\color{transparent}{Oy}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M_y}\;</math> à la fréquence <math>\;\color{transparent}{f_0}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>ou la pulsation <math>\;\color{transparent}{2\,\pi\,f_0\big)}</math>, d'amplitude <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> soit }}«<math>\;M_y\;\text{:}\; y(t) = A\; \cos\! \left( 2\,\pi\,f_0\; t + \varphi \pm \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math>» {{Al|5}}{{Transparent|La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal }}est un <u>mouvement circulaire uniforme</u> <math>\;\big(</math>M.C.U.<math>\big)\;</math> de centre <math>\;O</math>, de rayon <math>\;A\;</math> et de vitesse angulaire <math>\;\omega_0 = \pm 2\,\pi\,f_0\;</math><ref name="lien entre M.C.U. et mouvements composants"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Cas_particulier_d’un_mouvement_circulaire_uniforme|cas particulier d'un mouvement circulaire]] (conséquence) » plus haut dans ce chapitre <math>\;\big\{</math>il s'agit plutôt de la réciproque de la propriété établie dans le paragraphe précité<math>\big\}</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme }}<math>\succ\;</math>si <math>\;M_y\;</math> vibre en quadrature retard sur <math>\;M_x</math>, la vitesse angulaire du M.C.U<ref name="M.C.U."> Mouvement Circulaire Uniforme.</ref>. est égale à la pulsation <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{M_y}\;</math> vibre en quadrature retard sur <math>\;\color{transparent}{M_x}</math>, }}«<math>\;\omega_0 = 2\,\pi\,f_0 > 0\;</math>»<ref name="lien entre M.C.U. et mouvements composants" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme }}<math>\succ\;</math>si <math>\;M_y\;</math> vibre en quadrature avance sur <math>\;M_x</math>, la vitesse angulaire du M.C.U<ref name="M.C.U." />. est l'opposé de la pulsation <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{M_y}\;</math> vibre en quadrature avance sur <math>\;\color{transparent}{M_x}</math>, }}«<math>\;\omega_0 = -2\,\pi\,f_0 < 0\;</math>»<ref name="lien entre M.C.U. et mouvements composants" />. == Rappel de propriété : la direction du vecteur accélération du point M est toujours dans la concavité de la trajectoire suivie par le point == {{Al|5}}La propriété « <u>la direction du vecteur accélération</u><math>\;\vec{a}_M(t)\;</math><u>du point</u><math>\;M\;</math><u>est dans la concavité de la trajectoire suivie par le point</u> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La propriété }}établie dans le cas d'un mouvement circulaire et qui découle du fait que le vecteur unitaire normal principal de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{n}_M\;</math><ref name="2ème et 3ème vecteurs de base locale de Frenet" /> est, par définition, dans la concavité du cercle <br>{{Al|5}}{{Transparent|La propriété établie dans le cas d'un mouvement circulaire et qui découle du fait }}simultanément au caractère <math>\;\geqslant 0\;</math> de l'accélération normale <math>\;a_{n,\,M}(t)\;</math><ref name="accélérations tangentielle et normale de M" />{{,}}<ref> Nulle si la vitesse instantanée l'est sinon <math>\;> 0</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La propriété }}reste valable <u>quel que soit le mouvement considéré et quelle que soit la trajectoire suivie par ce mouvement</u>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant|Descript. et paramét. du mouv. d'un point : Mouv. de vect. accélér. constant]] | suivant = [[../Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers|Descript. du mouv. d'un solide dans deux cas particuliers]] }} 4oqulr38mp0zhi24c0r4qwve881ln1b 0 69332 982880 978658 2026-05-17T10:38:53Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982880 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 5 | niveau = 14 | précédent = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non/]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques/]] }} == Système de points matériels déformable ou non, fermé ou ouvert, centre d'inertie d'un système fermé de points matériels, cas particulier d'un solide == {{Al|5}}Nous considérerons que tout système d'expansion tridimensionnelle finie peut être modélisé, à l'échelle non microscopique<ref name="non microscopique"> C.-à-d. à l'échelle macroscopique ou mésoscopique <math>\;\big[</math>revoir la définition signalée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_sources_lumineuses,_milieu_transparent,_approximation_de_l'optique_géométrique#Modèle_de_la_source_ponctuelle_monochromatique|modèle de la source ponctuelle monochromatique]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, par un système discret de points matériels dans la mesure où le nombre d'atomes le constituant est dénombrable<ref> Ce qui est réalisé dans la mesure où l'expansion tridimensionnelle est finie.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous considérerons }}qu'il est possible de modéliser, à l'échelle non microscopique<ref name="non microscopique" />, chaque atome par un point matériel. <center>Sauf avis contraire, le système de points matériels envisagé sera discret<ref> D'où le qualificatif « discret » mis entre parenthèses dans les paragraphes qui suivent, puisque nous n'y envisageons pas d'autre modèle.</ref>.</center> === Définition d'un système (discret) de points matériels === {{Al|5}}Un système <math>\;\big(</math>discret<math>\big)\;</math> de points matériel est donc un ensemble discret de « points matériels »<ref> Pour un objet d'échelle mésoscopique <math>\;\big(</math>revoir la définition signalée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_sources_lumineuses,_milieu_transparent,_approximation_de_l'optique_géométrique#Modèle_de_la_source_ponctuelle_monochromatique|modèle de la source ponctuelle monochromatique]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big)\;</math> les points matériels peuvent être les atomes ou molécules constituant le système, <br>{{Al|3}}pour un objet d’échelle macroscopique, les points matériels peuvent être les objets mésoscopiques précédents et <br>{{Al|3}}ainsi de suite, par exemple, le système solaire peut être considéré comme un ensemble de points matériels modélisant chaque planète <math>\;\ldots</math></ref>, le qualificatif « discret » assurant le caractère « fini » du nombre de points matériels<ref> Nombre pouvant être très grand par exemple un objet mésoscopique contient un nombre très grand d’atomes même si l'objet lui-même est considéré comme un infiniment petit macroscopique.</ref> ; {{Al|5}}un objet macroscopique<ref name="macroscopique ou mésoscopique"> Revoir la définition signalée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_sources_lumineuses,_milieu_transparent,_approximation_de_l'optique_géométrique#Modèle_de_la_source_ponctuelle_monochromatique|modèle de la source ponctuelle monochromatique]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> peut être considéré comme une juxtaposition d'un grand nombre d'objets mésoscopiques<ref name="macroscopique ou mésoscopique" />, chacun d'entre eux étant modélisé par un point matériel, ce sera la modélisation utilisée par la suite <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<ref name="système continu de matière"> En effet il est possible de remplacer le système discret de points matériels <math>\;M_i\,(m_i)\;</math> séparés par du vide par un système continu de matière, chaque objet mésoscopique de volume <math>\;d \mathcal{V}\;</math> et de masse <math>\;dm</math>, actuellement modélisé par un point <math>\;M_i\;</math> de volume nul, de masse <math>\;m_i\;</math> à identifier à <math>\;dm</math>, étant remplacé par un fond continu de matière de masse volumique <math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d \mathcal{V}}</math>, cette masse volumique variant en général avec <math>\;M</math>, la masse de l'objet macroscopique n'étant plus calculé par <math>\;m = \sum\limits_{i = 1}^N m_i\;</math> mais par <math>\;m = \displaystyle\iiint_{(\mathcal{V})} \mu(M)\; d \mathcal{V}\;</math> <math>\big[</math>revoir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Notions_d'intégrale_volumique|notion d'intégrale volumique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big)</math>. === Système (discret) déformable ou non de points matériels === {{Al|5}}Un système <math>\;\big(</math>discret<math>\big)\;</math> de points matériels est dit « <u>déformable</u> » si la distance entre deux points matériels quelconques peut varier<ref> C'est donc le cas le plus fréquent.</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Un système <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>discret<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de points matériels est dit }}« <u>indéformable</u> » si la distance <math>\;d_{i,\,j} = M_iM_j = cste\;\forall \left( i\,,\, j \right)\;</math> avec <math>\;\left( i\,,\, j \neq i \right) \in \left[ \vert 1\,,\,N \vert \right]^2</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u>, modélisation en système continu de matière : comme nous l'avons vu à la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#cite_note-système_continu_de_matière-7|⁷]] » plus haut dans ce chapitre, il est possible de modéliser un système de points matériels en système continu de matière<ref name="système continu de matière" />, dans ce cas un système continu de matière sera dit « <u>indéformable</u> » si le volume de son expansion tridimensionnelle est constant d'une part et si la masse volumique du milieu au point générique <math>\;M\;</math> ne dépend pas de l'instant où on considère le système continu de matière. === Système (discret) fermé ou ouvert de points matériels === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : dans ce qui suit, au lieu de considérer un système <math>\;\big(</math>discret<math>\big)\;</math> de points matériels à nombre fixé, nous envisageons le système <math>\;\big(</math>discret<math>\big)\;</math> de points matériels situé à l'intérieur d'une surface fermée <math>\;(\Sigma)\;</math> appelée <u>surface de contrôle</u>, celle-ci étant usuellement considérée comme fixe dans l'espace affine euclidien d'étude. {{Al|5}}Un système <math>\;\big(</math>discret<math>\big)\;</math> de points matériels limité par la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> est dit « <u>fermé</u> » s'il reste constitué des mêmes points à tout instant d'observation du système à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> <math>\big[</math>dans ce cas le nombre de points matériels du système ne varie pas<math>\big]\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Un système <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>discret<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de points matériels limité par la surface de contrôle <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> est dit }}« <u>ouvert</u> » si le contenu du système à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> peut dépendre de l'instant d'observation du système <math>\big[</math>dans ce cas le nombre de points matériels du système ouvert limité par <math>\;(\Sigma)\;</math> peut varier<ref> Exemple de l'air contenu dans un pneumatique dans le cas où la valve est ouverte <math>\;\big[</math>l'ouverture de cette dernière étant équivalente à la création d'un trou dans la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> constituant le pneumatique<math>\big]</math> : ainsi par l'intermédiaire de la valve ouverte on peut laisser fuiter de l'air ou en injecter grâce à une pompe ;<br>{{Al|3}}autre exemple d'un fluide s'écoulant dans un tuyau, ce dernier limité par deux sections fixes <math>\;S_1\;</math> et <math>\;S_2\;</math> constituant la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)</math>, chaque section fixe <math>\;S_1\;</math> et <math>\;S_2\;</math> <math>\big[</math>jouant le rôle de trous à travers <math>\;(\Sigma)\big]\;</math> autorisant l'échange de fluide avec l'extérieur de <math>\;(\Sigma)</math>, avec entrée par l'intermédiaire de <math>\;S_1\;</math> et sortie par <math>\;S_2</math>.</ref>, * il <math>\;\nearrow\;</math> si le nombre de points matériels entrant dans <math>\;(\Sigma)\;</math> est <math>\;>\;</math> au nombre de points matériels en sortant<ref> C'est ce qui se passe dans l'exemple du pneumatique à valve ouverte avec injection d'air grâce à une pompe, dans ce cas le nombre de molécules d'air entrant par la valve est positif alors que le nombre de molécules d'air en sortant est nul.</ref>, * il <math>\;\searrow\;</math> si au contraire le nombre de points matériels entrant dans <math>\;(\Sigma)\;</math> est <math>\;<\;</math> au nombre de points matériels en sortant<ref> C'est ce qui se passe dans l'exemple du pneumatique à valve ouverte avec fuite d'air, dans ce cas le nombre de molécules d'air sortant par la valve est positif alors que le nombre de molécules d'air y entrant est nul.</ref> et enfin * il reste constant si le nombre de points matériels entrant dans <math>\;(\Sigma)\;</math> est <math>\;=\;</math> au nombre de points matériels en sortant, on parle alors d'« écoulement stationnaire » du système ouvert à travers <math>\;(\Sigma)\;</math> <ref> C'est ce qui se passe dans l'exemple de l'écoulement d'air ou d'eau à travers un tuyau, le système ouvert étant l'intérieur de la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> constitué du tuyau et des deux sections fixes <math>\;S_1\;</math> et <math>\;S_2</math>, le nombre de molécules de fluide entrant par unité de temps à travers <math>\;S_1\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d. le débit moléculaire entrant dans <math>\;(\Sigma)\big]\;</math> étant égal au nombre de molécules de fluide sortant par unité de temps à travers <math>\;S_2\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d. le débit moléculaire sortant de <math>\;(\Sigma)\big]</math>, l'égalité des débits entrant et sortant assurant la stationnarité de l'écoulement.</ref><math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u>, modélisation en système continu de matière, suite<ref> Suite de la remarque du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Système_(discret)_déformable_ou_non_de_points_matériels|système (discret) déformable ou non de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> : comme vu précédemment il est possible de modéliser un système de points matériels en système continu de matière<ref name="système continu de matière" />, dans ce cas un système continu de matière sera qualifié de « <u>fermé</u> ou <u>ouvert</u> » relativement à la surface fixe de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'intérieur de laquelle il est limité, selon la même définition à savoir * « <u>fermé</u> » si aucune quantité de matière n'est échangée avec l'extérieur <math>\bigg[</math>dans ce cas la masse du système reste constante égale à <math>\;m = \displaystyle\iiint_{\mathcal{V}} \mu(M)\;d \mathcal{V}\;</math><ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;\mathcal{V} = \text{int de }(\Sigma)\bigg]\;</math> et * « <u>ouvert</u> » s'il y a échange de quantité de matière avec l'extérieur par l'intermédiaire d'un ou deux trous dans la surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> <math>\bigg[</math>dans ce cas la masse du système peut varier car la masse volumique au point générique <math>\;M\;</math> du système ouvert dépend du temps <math>\;t\;</math> selon <math>\;m(t) = \displaystyle\iiint_{\mathcal{V}} \mu(M,\,t)\;d \mathcal{V}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec <math>\;\mathcal{V} = \text{int de }(\Sigma)\bigg]</math>. === Centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels === {{Al|5}}On appelle « <u>centre d'inertie</u> <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math>» d'un système <math>\;\big(</math>discret<math>\big)\;</math> fermé<ref> Déformable ou non.</ref> de <math>\;N\;</math> points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}\;</math><ref name="masse d'un point"> <math>\;m_i\;</math> étant la masse du point matériel <math>\;M_i</math>.</ref>, le barycentre <math>\;G\;</math> de ce système de points pondérés par leur masse<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Définition_du_barycentre_d'un_système_de_n_points_pondérés|définition du barycentre d'un système de n points pondérés]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; la condition d'existence et d'unicité du barycentre étant que la somme des cœfficients affectés aux points soit non nulle est évidemment réalisée car la masse de chaque point qui joue le rôle de cœfficient affecté étant strictement positive, la somme de toutes les masses l'est aussi.</ref> soit <center>«<math>\;\exists!\;G\;\;\text{tel que}\;\;\sum\limits_{i = 1}^N m_i\;\overrightarrow{GM_i} = \vec{0}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Propriété</u> : choisissant un point <math>\;A\;</math> de l'espace affine euclidien tridimensionnel dans lequel baigne le système <math>\;\big(</math>discret<math>\big)\;</math> fermé <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}\;</math><ref name="masse d'un point" /> comme origine <math>\;\big(</math>non nécessairement fixe<math>\big)\;</math> pour repérer les points<ref name="A non fixe"> Si <math>\;A\;</math> n'est pas fixe, le vecteur <math>\;\overrightarrow{AM}\;</math> ne caractérise plus le mouvement de <math>\;M\;</math> puisqu'il dépend aussi du mouvement de <math>\;A</math>, on évitera donc de l'appeler « vecteur position de <math>\;M</math> ».</ref>, on peut écrire la relation «<math>\;\overrightarrow{AG} = \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^N m_i\;\overrightarrow{AM_i}}{\sum\limits_{i = 1}^N m_i}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Notion_de_fonction_vectorielle_de_Leibniz|notion de fonction vectorielle de Leibniz]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\overrightarrow{AG} = \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^N m_i\;\overrightarrow{AM_i}}{m}\;</math>» avec «<math>\;m = \sum\limits_{i = 1}^N m_i\;</math> la masse du système de points »<ref name="masse constante"> La masse du système de points étant constante puisque le système est fermé.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u>, modélisation en système continu de matière, fin<ref> Suite de la remarque du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Système_(discret)_déformable_ou_non_de_points_matériels|système (discret) déformable ou non de points matériels]] » et de celle du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Système_(discret)_fermé_ou_ouvert_de_points_matériels|système (discret) fermé ou ouvert de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> : comme vu précédemment il est possible de modéliser un système « <u>fermé</u> » de points matériels en système continu « <u>fermé</u> » de {{Nobr|matière<ref name="système continu de matière" />,}} le système étant défini relativement à la surface <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'intérieur de laquelle il est limité, et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : }}son centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)</math> <math>\;G\;</math> défini selon «<math>\;\exists!\;G\;\;\text{tel que}\;\;\displaystyle\iiint_{\mathcal{V}} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V} = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; la condition d'existence et d'unicité du barycentre étant que la somme des cœfficients affectés aux points soit non nulle <math>\;\big(</math>ce qui représente la masse du système<math>\big)\;</math> est évidemment réalisée car la masse volumique au point générique du système qui joue le rôle de densité volumique de cœfficient affecté étant strictement positive, la masse du système <math>\;m = \displaystyle\iiint_{\mathcal{V}} \mu(M)\;d \mathcal{V}\;</math> l'est aussi.</ref> avec <math>\;\mathcal{V} = \text{int de }(\Sigma)</math>, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>C.D.I.<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> }}est repérable par rapport à un point <math>\;A\;\big(</math>non nécessairement fixe<ref name="A non fixe" /><math>\big)\;</math> de l'espace affine euclidien <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>C.D.I.<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> }}à trois dimensions dans lequel baigne le système continu fermé, selon la relation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>C.D.I.<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{AG} = \dfrac{\displaystyle\iiint_{\mathcal{V}} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}\;d \mathcal{V}}{\displaystyle\iiint_{\mathcal{V}} \mu(M)\;d \mathcal{V}}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\overrightarrow{AG} = \dfrac{\displaystyle\iiint_{\mathcal{V}} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}\;d \mathcal{V}}{m}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;m =</math> <br>{{Al|100}}{{Transparent|Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>C.D.I.<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> }}<math>\displaystyle\iiint_{\mathcal{V}} \mu(M)\;d \mathcal{V}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> la masse du système »<ref name="masse constante" />. === Cas particulier d'un solide dans le cadre des systèmes (discrets) de points matériels === {{Al|5}}Un <u>solide</u> <math>\;\big(</math>au sens de la mécanique<math>\big)\;</math> est un système de points matériels « <u>fermé et indéformable</u> »<ref> La définition étant donnée pour un système <math>\;\big(</math>discret<math>\big)\;</math> de points matériels mais restant valable pour un système continu de matière.</ref>. == Solide en translation, définition, propriété du mouvement d'un point quelconque, exemples de translation rectiligne et de translation circulaire == {{Al|5}}L'exposé ci-dessous est fait dans le cadre des systèmes <math>\;\big(</math>discrets<math>\big)\;</math> « fermés et indéformables » de points matériels c'est-à-dire dans le cadre des solides constitués d'un nombre fini de points matériels<ref name="prolongement aux systèmes continus de matière"> Mais les résultats trouvés pourront aisément être prolongés aux solides à matière continue, lesquels sont le cas le plus fréquent en mécanique.</ref>. === Définition d'un solide en translation === {{Al|5}}Le solide <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}\;</math><ref name="masse d'un point" /> est « <u>en translation</u> » si tout bipoint non nul <math>\;\overrightarrow{M_iM_j}\;</math><ref name="bipoint"> Un bipoint non nul est un ensemble ordonné de deux points distincts, il est donc caractérisé par la direction passant par les deux points, le sens sur cette direction et la distance séparant les deux points, il peut être représenté par le vecteur déplacement relatif allant du 1^er point vers le 2^nd.</ref> du solide<ref> Du caractère « indéformable » du solide, on en déduit que la norme de tout bipoint reste constante soit <math>\;\Vert \overrightarrow{M_iM_j} \Vert = cste</math>.</ref> se déplace <math>\;\big(</math>dans le référentiel d'étude<math>\big)\;</math> <u>parallèlement à lui-même</u>. === Propriété du mouvement d'un point quelconque d'un solide en translation === {{Al|5}}Soient <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> deux points quelconques distincts du solide en translation, le bipoint <math>\;\overrightarrow{M_iM_j}\;</math><ref name="bipoint" /> se déplaçant parallèlement à lui-même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M_j}\;</math> deux points quelconques distincts du solide en translation, }}sa dérivée temporelle dans le référentiel d'étude est identiquement nulle soit <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{M_iM_j}}{dt}(t) = \vec{0}\;</math> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M_j}\;</math> deux points quelconques distincts du solide en translation, }}avec <math>\;O\;</math> point fixe du référentiel d'étude, en utilisant la [[w:Relation_de_Chasles#Calcul_vectoriel|relation de Chasles]]<ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles#Calcul_vectoriel|relation de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> et la propriété de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M_j}\;</math> deux points quelconques distincts du solide en translation, avec <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> point fixe du référentiel d'étude, en utilisant }}la « commutation de la dérivation et de la prise de différence », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M_j}\;</math> deux points quelconques distincts du solide en translation, sa dérivée temporelle dans le référentiel d'étude est identiquement nulle soit }}<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) = \vec{0}\;</math> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M_j}\;</math> deux points quelconques distincts du solide en translation, avec <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> point fixe du référentiel d'étude, en utilisant }}par définition du vecteur vitesse des points <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M_j}\;</math> deux points quelconques distincts du solide en translation, }}la propriété suivante «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{M_j}(t)\;\;\forall\,\left( i\,,\, j \right)\,\in \left[ \vert 1\,\ldots\,N \vert \right]\;</math> avec <math>\;j \neq i\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M_j}\;</math> deux points quelconques distincts du solide en translation, la propriété suivante }}c'est-à-dire <u>tous les points du solide en translation ont même vecteur vitesse</u> <math>\;\vec{V}_{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}}(t)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M_j}\;</math> deux points quelconques distincts du solide en translation, la propriété suivante }}<u>définissant le vecteur vitesse du solide en translation</u> à l'instant <math>\;t</math>. {{Al|5}}Montrons maintenant que le vecteur vitesse du solide en translation est aussi le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>.{{,}}<ref name="G point hors matière"> Le C.D.I. du solide peut ne pas être un point du solide <math>\;\big(</math>c'est le cas d'une boule creuse homogène, le C.D.I. est le centre de la boule mais comme il n'y a pas de matière au centre, le C.D.I. est donc dans le vide<math>\big)\;</math> mais le solide étant indéformable, la position relative du C.D.I. par rapport aux autres points du solide ne change pas, <u>le C.D.I. est donc fixe relativement au solide</u> ;<br>{{Al|3}}dans le cas où le C.D.I. du solide serait un point particulier <math>\;M_k\;</math> de ce dernier, le point <math>\;M_i\;</math> est choisi tel que <math>\;i \neq k</math>.</ref> de ce dernier et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons maintenant }}pour cela considérons <math>\;M_i\;</math> un point quelconque du solide en translation et <math>\;G\;</math> son C.D.I<ref name="C.D.I." />. ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons maintenant pour cela }}le bipoint <math>\;\overrightarrow{GM_i}\;</math><ref name="bipoint" /> se déplaçant parallèlement à lui-même, sa dérivée temporelle dans le référentiel d'étude est identiquement nulle soit <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{GM_i}}{dt}(t) = \vec{0}\;</math> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons maintenant pour cela }}avec <math>\;O\;</math> point fixe du référentiel d’étude, en utilisant la [[w:Relation_de_Chasles#Calcul_vectoriel|relation de Chasles]]<ref name="Chasles" /> et la propriété de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons maintenant pour cela avec <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> point fixe du référentiel d’étude, en utilisant }}la « commutation de la dérivation et de la prise de différence », <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OG}}{dt}(t) = \vec{0}\;</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons maintenant pour cela avec <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> point fixe du référentiel d’étude, en utilisant }}par définition des vecteurs vitesse du point <math>\;M_i\;</math> et du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du solide, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons maintenant }}la propriété suivante «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_G(t)\;\;\forall\,i\,\in \left[ \vert 1\,,\,N \vert \right]\;</math>»<ref> Dans le cas où le C.D.I. serait un point particulier <math>\;M_k\;</math> du solide, nous avons supposé <math>\;i \neq k\;</math> pour établir <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> mais ce dernier étant aussi <math>\;\vec{V}_{M_k}(t)</math>, nous avons évidemment <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) =</math> <math>\vec{V}_G(t)\;</math> pour <math>\;i = k</math>.</ref> établissant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons maintenant la propriété suivante }}« <u>le vecteur vitesse du solide en translation</u><math>\;\vec{V}_{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}}(t)\;</math><u>est aussi celui de son C.D.I.</u><ref name="C.D.I." /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math>». === Exemples de translation === ==== Translation rectiligne ==== {{Al|5}}La trajectoire d'un point quelconque du solide en translation rectiligne est une <u>droite</u>, les trajectoires des différents points étant confondues ou parallèles, on définit le plus souvent le mouvement de translation rectiligne du solide par le mouvement de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G</math> ; {{Al|5}}un cas particulier est une <u>translation rectiligne uniforme</u> si le vecteur vitesse du solide en translation reste constant <math>\;\ldots</math> [[File:Translation circulaire d'un solide.png|thumb|300px|Schéma représentant différentes positions d'un point quelconque <math>\;M_i\;</math> et du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> d'un solide <math>\;\big(</math>cubique représenté en bleu<math>\big)\;</math> en translation circulaire]] ==== Translation circulaire ==== {{Al|5}}La trajectoire d'un point quelconque du solide en translation circulaire est un <u>cercle</u>, les trajectoires des différents points étant de « même rayon »<ref> Si ce n’était pas le cas, le bipoint joignant deux points quelconques ne resterait pas constant au cours du temps.</ref> mais de « centre différent »<ref> Pour le bipoint <math>\;\overrightarrow{M_iM_j}</math>, les centres <math>\;C_i\;</math> et <math>\;C_j\;</math> des trajectoires de <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> sont tels que <math>\;\overrightarrow{C_iC_j} = \overrightarrow{M_iM_j}</math>.</ref>, le mouvement des différents points sur leur trajectoire respective est de « même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> {{Nobr|<math>\;\big[</math>donc}} de « même vitesse angulaire <math>\;\omega(t)\;</math>»<math>\big]</math>, on définit le plus souvent le mouvement de translation circulaire du solide par le mouvement de son {{Nobr|C.D.I<ref name="C.D.I." />.}} <math>\;G\;</math> de « vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="vecteur rotation instantanée" /> sur sa trajectoire c'est-à-dire le cercle de centre <math>\;C\;</math> et de rayon <math>\;R = CG</math>, d'où <center>«<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CG}(t)\;</math>»<ref name="vecteur vitesse d'un solide en translation circulaire"> Pour un point <math>\;M\;</math> du solide décrivant un cercle de centre <math>\;C_M</math>, le vecteur vitesse est «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{C_MM}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et «<math>\;\vec{a}_G(t) = \dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{CG}(t) - \omega^2(t)\;\overrightarrow{CG}(t)\;</math>»<ref name="vecteur d'un solide en translation circulaire"> Pour un point <math>\;M\;</math> du solide décrivant un cercle de centre <math>\;C_M</math>, le vecteur accélération «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{C_MM}(t) - \omega^2(t)\;\overrightarrow{C_MM}(t) = \vec{a}_G(t)\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_accélération_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : <u>translation circulaire uniforme</u> si le vecteur rotation instantanée<ref name="vecteur rotation instantanée" /> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du solide en translation circulaire<ref> Réserver l'appellation « vecteur rotation instantanée du solide » quand ce dernier est en rotation, cas étudié dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe,_définition,_propriété_de_la_vitesse_angulaire_d'un_point_quelconque,_expression_de_la_vitesse_instantanée_en_fonction_de_la_vitesse_angulaire_et_de_la_distance_à_l'axe|solide en rotation autour d'un axe fixe, définition, propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque, expression de la vitesse instantanée en fonction de la vitesse angulaire et de la distance à l'axe]] » plus loin dans ce chapitre.</ref> est constant <math>\;\ldots</math> ==== Autres translations ==== {{Al|5}}Il y a autant de translations possibles qu'il y a de courbes planes ou gauches, par exemple un ballon ne tournant pas sur lui-même et qui subit une chute libre avec vitesse initiale est en translation parabolique <math>\;\ldots</math> == Solide en rotation autour d'un axe fixe, définition, propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque, expression de la vitesse instantanée en fonction de la vitesse angulaire et de la distance à l'axe == {{Al|5}}L'exposé ci-dessous est fait dans le cadre des systèmes <math>\;\big(</math>discrets<math>\big)\;</math> « fermés et indéformables » de points matériels c'est-à-dire dans le cadre des solides constitués d'un nombre fini de points matériels<ref name="prolongement aux systèmes continus de matière" />. === Définition d'un solide en rotation autour d'un axe fixe === {{Al|5}}Le solide <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}\;</math><ref name="masse d'un point" /> est « <u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» si tout point <math>\;M_i\;</math> se déplace <math>\;\big(</math>dans le référentiel d'étude<math>\big)\;</math> <u>sur un cercle d'axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)</math>. === Propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe === {{Al|5}}<u>Deux points quelconques d'un même plan</u><math>\;\perp\;</math><u>à l'axe</u><math>\;( \Delta )</math>, <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> avec <math>\;j \neq i</math>, doivent nécessairement avoir « <u>même centre</u><math>\;H\;</math><u>de rotation</u> »<ref> Qui est le projeté orthogonal commun de <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> sur l'axe <math>\;(\Delta)</math>.</ref> de plus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Deux points quelconques d'un même plan<math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math>à l'axe<math>\;\color{transparent}{( \Delta )}</math>, }}le solide ne se déformant pas, l'angle <math>\;\widehat{\left( \overrightarrow{HM_i}\,,\,\overrightarrow{HM_j} \right)}\;</math> doit rester constant <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d \widehat{\left( \overrightarrow{HM_i}\,,\,\overrightarrow{HM_j} \right)}}{dt}(t) = 0\;</math> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Deux points quelconques d'un même plan<math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math>à l'axe<math>\;\color{transparent}{( \Delta )}</math>, }}en notant <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> un point fixe du référentiel dans le plan des deux trajectoires circulaires et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Deux points quelconques d'un même plan<math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math>à l'axe<math>\;\color{transparent}{( \Delta )}</math>, }}en définissant les abscisses angulaires de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} M_i \\ M_j \end{array} \right\rbrace\;</math> par <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \alpha_i(t) = \widehat{\left( \overrightarrow{HM_{\text{réf}}}\,,\,\overrightarrow{HM_i} \right)}(t) \\ \alpha_j(t) = \widehat{\left( \overrightarrow{HM_{\text{réf}}}\,,\,\overrightarrow{HM_j} \right)}(t) \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\widehat{\left( \overrightarrow{HM_i}\,,\,\overrightarrow{HM_j} \right)} = \alpha_j - \alpha_i\;</math><ref> Par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles#Angles_orientés|relation de Chasles]] pour les angles d'un même plan, <br>{{Al|3}}'''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français du XIX^ème siècle, voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#cite_note-Chasles-28|²⁸]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Deux points quelconques d'un même plan<math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math>à l'axe<math>\;\color{transparent}{( \Delta )}</math>, }}la réécriture de la nullité de la dérivée temporelle de l'angle <math>\;\widehat{\left( \overrightarrow{HM_i}\,,\,\overrightarrow{HM_j} \right)}\;</math> selon <math>\;\dfrac{d \alpha_j}{dt}(t) - \dfrac{d \alpha_i}{dt}(t) = 0\;</math> ou <math>\;\dfrac{d \alpha_j}{dt}(t) = \dfrac{d \alpha_i}{dt}(t)\;</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Deux points quelconques d'un même plan<math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math>à l'axe<math>\;\color{transparent}{( \Delta )}</math>, }}par définition de la vitesse angulaire des points <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j</math>, la propriété suivante <br>{{Al|5}}{{Transparent|Deux points quelconques d'un même plan<math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math>à l'axe<math>\;\color{transparent}{( \Delta )}</math>, }}«<math>\;\omega_{M_i}(t) = \omega_{M_j}(t)\;</math>» avec <math>\;M_j\;</math> et <math>\;M_i\;</math> quelconques<ref> La restriction <math>\;M_j \neq M_i\;</math> était nécessaire dans la démonstration, mais la relation restant évidemment vraie pour <math>\;j = i\;</math>, cette restriction est supprimée.</ref> de même projeté orthogonal sur l'axe <math>\;(\Delta)\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Deux points quelconques d'un même plan<math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math>à l'axe<math>\;\color{transparent}{( \Delta )}</math>, }}<u>tous les points du solide d'un même plan</u><math>\;\perp\;</math><u>à l'axe fixe</u><math>\;( \Delta )\;</math><u>en rotation autour de ce dernier ont même vitesse angulaire</u> ; {{Al|5}}<u>deux points quelconques d'un même plan</u><math>\;(\Pi)\;</math><u>contenant l'axe</u><math>\;(\Delta)</math>, <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_k\;</math> avec <math>\;k \neq i</math>, doivent nécessairement, par absence de déformation lors de la rotation autour de l'axe <math>\;(\Delta)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|deux points quelconques d'un même plan<math>\;\color{transparent}{(\Pi)}\;</math>contenant l'axe<math>\;\color{transparent}{(\Delta)}</math>, <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M_k}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{k \neq i}</math>, doivent nécessairement, }}rester dans le même plan <math>\;(\Pi)\;</math> contenant <math>\;(\Delta)\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|deux points quelconques d'un même plan<math>\;\color{transparent}{(\Pi)}\;</math>contenant l'axe<math>\;\color{transparent}{(\Delta)}</math>, <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M_k}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{k \neq i}</math>, doivent nécessairement, }}avoir la même vitesse angulaire de rotation autour de <math>\;( \Delta )</math> <math>\;\omega_{M_i}(t) = \omega_{M_k}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|deux points quelconques d'un même plan<math>\;\color{transparent}{(\Pi)}\;</math>contenant l'axe<math>\;\color{transparent}{(\Delta)}</math>, }}d'où, en appelant <math>\;\omega_{(\Pi)}(t)\;</math> la vitesse angulaire de rotation de ce plan <math>\;(\Pi)</math>, la propriété suivante <br>{{Al|5}}{{Transparent|deux points quelconques d'un même plan<math>\;\color{transparent}{(\Pi)}\;</math>contenant l'axe<math>\;\color{transparent}{(\Delta)}</math>, }}«<math>\;\omega_{M_i}(t) = \omega_{M_k}(t) = \omega_{(\Pi)}(t)\;</math>» avec <math>\;M_k\;</math> et <math>\;M_i\;</math> quelconques<ref> La restriction <math>\;M_k \neq M_i\;</math> était nécessaire dans la démonstration, mais la relation restant évidemment vraie pour <math>\;k = i\;</math>, cette restriction est supprimée.</ref> d'un même plan <math>\;(\Pi)\;</math> contenant l'axe fixe <math>\;(\Delta)\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|deux points quelconques d'un même plan<math>\;\color{transparent}{(\Pi)}\;</math>contenant l'axe<math>\;\color{transparent}{(\Delta)}</math>, }}<u>tous les points du solide d'un même plan</u><math>\;(\Pi)\;</math><u>contenant l'axe fixe</u><math>\;( \Delta )\;</math><u>en rotation autour de ce dernier ont même vitesse angulaire</u> ; {{Al|5}}nous en déduisons, par [[w:Relation_transitive|transitivité]] de la propriété « même vitesse angulaire », l'énoncé suivant <center><u>deux points quelconques<ref> Quelconques c.-à-d., ni situés dans un même plan contenant l'axe <math>\;(\Delta)</math>, ni situés dans un même plan <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;(\Delta)</math>.</ref> du solide en rotation autour de l'axe</u><math>\;(\Delta)\;</math><u>ont même vitesse angulaire</u> «<math>\;\omega_{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}}(t)\;</math>» à un instant <math>\;t\;</math> fixé.</center> {{Al|5}}En conclusion, le mouvement de rotation du solide autour de l'axe fixe <math>\;(\Delta)\;</math> est caractérisé par <u>le vecteur rotation instantanée du solide</u> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, le mouvement de rotation du solide autour de l'axe fixe <math>\;\color{transparent}{(\Delta)}\;</math> est caractérisé par }}«<math>\;\vec{\Omega}_{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}}(t) = \omega_{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}}(t)\; \vec{u}_\Delta\;</math>» ou plus simplement <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, le mouvement de rotation du solide autour de l'axe fixe <math>\;\color{transparent}{(\Delta)}\;</math> est caractérisé par }}«<math>\;\vec{\Omega}(t) = \omega(t)\; \vec{u}_\Delta\;</math>» en absence d'ambiguïté possible. === Expression intrinsèque du vecteur vitesse et du vecteur accélération d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe === {{Al|5}}Avec <math>\;A\;</math> un point fixe de l'axe de rotation <math>\;(\Delta)\;</math> et <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> le vecteur rotation instantanée du solide <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}\;</math><ref name="masse d'un point" /> autour de l'axe fixe <math>\;(\Delta)</math>, les expressions intrinsèques du vecteur vitesse et du vecteur accélération de <math>\;M_i</math>, point quelconque du solide <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}\;</math><ref name="masse d'un point" /> s'écrivent respectivement * pour le vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> selon «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM_i}(t)\;</math>»<ref name="vecteur vitesse d'un point de solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et * pour le vecteur accélération de <math>\;M_i\;</math> selon «<math>\;\vec{a}_{M_i}(t) = \dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{AM_i}(t) - \vec{\Omega}^2\!(t)\;\overrightarrow{C_{M_i}M_i}(t)\;</math>» où <math>\;C_{M_i}\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe de rotation <math>\;(\Delta)\;</math><ref> C'est aussi le centre du cercle décrit par <math>\;M_i</math>.</ref>{{,}}<ref name="vecteur accélération d'un point de solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_accélération_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>. === Expression de la vitesse instantanée d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe en fonction de la vitesse angulaire du solide et de la distance orthogonale du point à l'axe === {{Al|5}}Soit <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale du point <math>\;M_i\;</math> à l'axe <math>\;(\Delta)</math>, axe fixe autour duquel le solide <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}\;</math><ref name="masse d'un point" /> tourne <math>\;\big[r_i\;</math> est aussi le rayon du cercle décrit par <math>\;M_i\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\;\omega(t)\;</math> la vitesse angulaire de rotation du solide <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}\;</math><ref name="masse d'un point" /> autour de <math>\;(\Delta)</math>, <br>{{Al|5}}l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> s'écrivant <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{C_{M_i}M_i}(t)\;</math> avec <math>\;C_{M_i}\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe <math>\;(\Delta)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_et_du_vecteur_accélération_d'un_point_quelconque_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe|expression intrinsèque du vecteur vitesse et du vecteur accélération d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> }}se réécrit, en choisissant de repérer le point <math>\;M_i\;</math> par un système de coordonnées cylindro-polaires d'axe <math>\;(\Delta)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point de l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> se réécrit, en }}définissant les coordonnées du point <math>\;M_i\;</math> suivant <math>\;M_i\, \left( r_i\,,\, \theta_i\,,\, z_i \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> se réécrit, }}selon <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \omega(t)\,\vec{u}_\Delta \wedge r_i\,\vec{u}_r(M_i)\;</math><ref> <math>\;\vec{u}_r(M_i) = \dfrac{\overrightarrow{C_{M_i}M_i}}{r_i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base cylindro-polaire liée au point <math>\;M_i</math>.</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = r_i\,\omega(t)\;\vec{u}_\theta(M_i)\;</math>»<ref> <math>\;\vec{u}_\theta(M_i) = \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r(M_i)\;</math> étant le vecteur unitaire orthoradial de la base cylindro-polaire liée au point <math>\;M_i</math>.</ref> ; {{Al|5}}orientant la trajectoire de <math>\;M_i\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{u}_\theta(M_i)\;</math> c'est-à-dire choisissant le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\vec{\tau}(M_i)\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lié au point <math>\;M_i\;</math> tel que <math>\;\vec{\tau}(M_i) = \vec{u}_\theta(M_i)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Préliminaire|préliminaire]] (en complément, lien entre repérages de Frenet et polaire de pôle O centre du cercle) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, nous en déduisons <center>la vitesse instantanée de <math>\;M_i\;</math> sur sa trajectoire selon «<math>\;v_{M_i}(t) = r_i\, \omega(t)\;</math>»<ref> On rappelle qu'il s’agit de la composante du vecteur vitesse sur le 1^er vecteur de base de Frenet, le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}(M_i)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}<u>remarque</u> : en particulier la vitesse instantanée de tout point de l'axe est nulle, l'axe étant fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : en particulier }}la vitesse instantanée d'un point hors de l'axe est d'autant plus grande que le point est éloigné de l'axe. == Comparaison d'un mouvement de translation d'un solide et de celui de rotation autour d'un axe fixe du même solide == {{Al|5}}La comparaison ci-dessous est faite dans le cadre des systèmes <math>\;\big(</math>discrets<math>\big)\;</math> « fermés et indéformables » de points matériels c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|La comparaison ci-dessous est faite }}dans le cadre des solides constitués d'un nombre fini de points matériels<ref name="prolongement aux systèmes continus de matière" />. {{Al|5}}Dans le cas du solide <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}\;</math><ref name="masse d'un point" /> en translation, il suffit de préciser le mouvement de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> pour en déduire le mouvement d'un point quelconque <math>\;M_i\;</math> du solide car <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans le cas du solide <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}}\;</math> en translation, il suffit de préciser }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_G(t),\;\;\forall\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cas du solide <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}\;</math><ref name="masse d'un point" /> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;(\Delta)</math>, le mouvement de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> n'est pas utile<ref> Il peut d'ailleurs avoir un mouvement quelconque, être par exemple immobile si l'axe de rotation passe par le C.D.I. du solide, ou avoir une vitesse instantanée plus ou moins grande suivant la distance le séparant de l'axe de rotation dans le cas où ce dernier ne passe pas par le C.D.I. du solide.</ref> pour déterminer le mouvement d'un point quelconque mais, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans le cas du solide <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}}\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\color{transparent}{(\Delta)}</math>, }}il faut connaître le vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) = \omega(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> du solide avec <math>\;\omega(t)\;</math> sa vitesse angulaire et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans le cas du solide <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}}\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\color{transparent}{(\Delta)}</math>, il faut connaître }}la distance <math>\;r_i\;</math> séparant ce point quelconque de l'axe de rotation soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans le cas du solide <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}}\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\color{transparent}{(\Delta)}</math>, }}le vecteur vitesse du point quelconque <math>\;M_i\;</math> du solide «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge r_i\;\vec{u}_r(M_i) = r_i\,\omega(t)\;\vec{u}_\theta(M_i)\;</math>»<ref name="repérage cylindro-polaire" /> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans le cas du solide <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i = 1\,\ldots\,N}}\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\color{transparent}{(\Delta)}</math>, le vecteur vitesse du point quelconque <math>\;\color{transparent}{M_i}\;</math> du solide }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \left[ -r_i\;\vec{n}(M_i) \right] = r_i\,\omega(t)\;\vec{\tau}(M_i)\;</math>»<ref> En utilisant la base de Frenet liée au point <math>\;M_i</math>, le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}(M_i)\;</math> étant tangent au cercle décrit par <math>\;M_i\;</math> dans le sens des <math>\;\theta \nearrow\;</math> et le vecteur unitaire normal principal <math>\;\vec{n}(M_i)\;</math> centripète relativement au cercle décrit par <math>\;M_i\;</math> c.-à-d. tel que <math>\;\vec{n}(M_i) = -\vec{u}_r(M_i)\;</math> où <math>\;\vec{u}_r(M_i)\;</math> est le vecteur unitaire radial de la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Préliminaire|préliminaire]] (en complément, lien entre repérages de Frenet et polaire de pôle O centre du cercle) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : il convient donc de distinguer nettement <math>\succ\;</math>un mouvement de rotation du solide autour d'un axe fixe qui est décrit par le vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> de ce dernier, le vecteur vitesse d'un point quelconque du solide dépendant de la disposition du point relativement à l'axe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : il convient donc de distinguer nettement }}<math>\succ\;</math>un mouvement de translation circulaire du solide qui est décrit par le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de ce dernier, le vecteur vitesse d'un point quelconque du solide étant égal au vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref> Même si le vecteur vitesse d'un point quelconque <math>\;M_i\;</math> du solide en translation circulaire peut s'écrire sous forme du produit vectoriel <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{\Omega}_G(t) \wedge \overrightarrow{C_{M_i}M_i}(t)\;</math> identique à <math>\;\vec{V}_G(t) =</math> <math>\vec{\Omega}_G(t) \wedge \overrightarrow{CG}(t)\;</math> car <math>\;\overrightarrow{C_{M_i}M_i}(t) = \overrightarrow{CG}(t)\;</math> caractéristique de la translation circulaire, comme <br>{{Al|3}}{{Transparent|Même si }}le vecteur vitesse d'un point quelconque <math>\;M_i\;</math> du solide en rotation autour d'un axe fixe s'écrit sous forme du produit vectoriel <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge r_i\;\vec{u}_r(M_i)\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Même si }}la différence fondamentale est que * dans le cas d'une translation circulaire le vecteur vitesse est indépendant du point <math>\;M_i</math>, le rayon du cercle décrit par ce dernier étant le même que celui décrit par le C.D.I. alors que * dans le cas d'une rotation autour d'un axe fixe le vecteur vitesse dépend du point <math>\;M_i</math>, le rayon du cercle décrit par ce dernier dépendant de la distance le séparant de l'axe de rotation ; {{Al|3}}c'est donc la raison pour laquelle on réserve l'appellation « vecteur rotation instantanée d'un solide » au cas où ce dernier est en rotation autour d'un axe fixe et on parle de « vecteur rotation instantanée du C.D.I. du solide » quand ce dernier est en translation circulaire.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non|Descript. et paramét. du mouv. d'un point : Mouv. circul. unif. ou non]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques|Loi de la quant. de mouv. : Forces, principe des actions réciproques]] }} ajfsg0ewd1jnn7x8tdyrgijd5946lqf 0 69335 982881 972167 2026-05-17T10:49:27Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982881 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers | idfaculté = physique | numéro = 5 | chapitre = [[../../Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers/]] | précédent = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non/]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques/]] | niveau = 14 }} == Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan == [[File:Quart de disque homogène.png|thumb|Schéma d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> et par les deux rayons <math>\;\perp\;</math> <math>CA\;</math> et <math>\;CB</math>, <math>\;C\;</math> étant le centre de l'arc de cercle de rayon <math>\;R</math>]] {{Al|5}}On considère le quart de disque homogène <math>\;\mathcal{D}\;</math> limité par le quart de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> et les deux rayons <math>\;CA\;</math> et <math>\;CB\;</math> respectivement <math>\;\perp</math>, avec <math>\;C\;</math> centre du quart de cercle et <math>\;R\;</math> le rayon de ce dernier, et appelant <math>\;\sigma_0\;</math> la masse surfacique constante du quart de disque, on se propose * de déterminer la position du C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. <math>\;G\;</math> du quart de disque <math>\;\mathcal{D}\;</math> en définissant son vecteur position <math>\;\overrightarrow{CG}\;</math> relativement au vecteur position <math>\;\overrightarrow{CM}\;</math> du point courant <math>\;M\;</math> du quart de disque d'une part et * d'autre part de vérifier le résultat par utilisation du [[w:Théorèmes_de_Guldin#Second_énoncé|2^nd théorème de Guldin]] <ref name="Guldin"> '''Paul Guldin (1577 - 1643)''' mathématicien et astronome suisse, devenu jésuite à l'âge de <math>20</math> ans, poussé par sa congrégation et à cause de ses compétences à commencer des études mathématiques à l'âge de <math>32</math> ans, l'essentiel de ses travaux portent sur les barycentres et de nos jours il reste connu pour les deux théorèmes portant son nom.</ref> relatif à une portion de surface<ref name="théorèmes de Guldin"> Ce théorème est l'un des deux théorèmes de Guldin encore connu sous le nom de théorèmes de Pappus-Guldin car '''Pappus d'Alexandrie (ayant vécu au IV^ème après J.C.)''', l'un des plus importants mathématiciens de la Grèce Antique, né à Alexandrie en Égypte, qui s'est intéressé essentiellement à la [[w:Géométrie|géométrie]], les [[w:Mathématiques_récréatives|mathématiques récréatives]] ainsi qu'aux [[w:Polygone|polygones]] et [[w:Polyèdre|polyèdres]], devait vraisemblablement connaître ces théorèmes.</ref>. === Détermination de la position du centre d'inertie du quart de disque homogène et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin === {{Al|5}}Ayant choisi le centre <math>\;C\;</math> de l'arc de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> limitant le quart de disque <math>\;\mathcal{D}\;</math> comme origine de vecteur position, rappeler l'expression du vecteur position <math>\;\overrightarrow{CG}\;</math> du {{Nobr|C.D.I<ref name="C.D.I." />.}} <math>\;G\;</math> sous la forme d'une intégrale surfacigue<ref name="intégrale surfacique"> Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Notions_d'intégrale_surfacique|notion d'intégrale surfacique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> faisant intervenir le vecteur position <math>\;\overrightarrow{CM}\;</math> du point courant <math>\;M\;</math> du quart de disque puis {{Al|5}}évaluer cette intégrale pour déterminer la position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G</math>. {{Al|5}}Vérifier le résultat précédent en utilisant le [[w:Théorèmes_de_Guldin#Second_énoncé|2^nd théorème de Guldin]]<ref name="Guldin" /> relatif à un portion de surface<ref name="théorèmes de Guldin" /> dont l'énoncé est le suivant : {{Théorème| titre= théorème de Guldin relatif à une portion de surface| contenu ={{Al|5}}La mesure du volume <math>\;\mathcal{V}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle engendrée par la révolution d'une portion de surface plane <math>\;\mathcal{D}\;</math> autour d'un axe <math>\;(\Delta)\;</math> de son plan, et ne coupant pas la portion de surface<ref> C.-à-d. <math>\;(\Delta)\; \cap\; \text{int}_{\mathcal{D}} = \emptyset\;</math> avec <math>\;\text{int}_{\mathcal{D}}\;</math> intérieur strict de <math>\;\mathcal{D}\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d. ensemble de points à l'intérieur de la portion de surface et hors courbes limitant celle-ci<math>\big]</math>, la raison de cette exigence étant la nécessité qu'il n'y ait pas de recouvrement de l'expansion tridimensionnelle lors de la révolution de la portion de surface autour de l'axe de révolution.</ref> est égale au produit de l'aire de la portion de surface <math>\;\mathcal{A}_{\mathcal{D}}\;</math> par la longueur de la circonférence décrite par son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> soit <math>\;\alpha\;d\!\left( \Delta\,,\,G \right)\;</math> dans laquelle <math>\;d\!\left( \Delta\,,\,G \right)\;</math> est la distance orthogonale séparant le C.D.I<ref name="C.D.I." />. de la portion de surface plane à l'axe <math>\;(\Delta)\;</math> de révolution et <math>\;\alpha\;</math> l'angle de rotation exprimé en <math>\;rad\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{V} = \mathcal{A}_{\mathcal{D}}\;\times\;\alpha\;d\!\left( \Delta\,,\,G \right)\;</math>».</center>}} {{Solution | contenu = [[File:Centre d'inertie d'un quart de disque.png|thumb|300px|Schéma d'évaluation du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> et par les deux rayons <math>\;\perp\;</math> <math>CA\;</math> et <math>\;CB</math>, <math>\;C\;</math> étant le centre de l'arc de cercle de rayon <math>\;R</math>, avec choix du repérage polaire du point courant <math>\;M\;</math> du quart de disque, l'axe polaire <math>\;Cx\;</math> étant l'axe de symétrie du quart de disque]] {{Al|5}}Le quart de disque homogène <math>\;\mathcal{D}\;</math> étant symétrique par rapport à l'axe <math>\;Cx\;</math> issu du centre <math>\;C\;</math> du quart de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> et passant par le milieu de ce dernier, nous pourrions affirmer que le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du quart de disque homogène <math>\;\mathcal{D}\;</math> est sur l'axe de symétrie <math>\;Cx\;</math> de ce dernier mais ce résultat sera démontré ci-dessous ; <br>{{Al|5}}nous repérons le point générique <math>\;M\;</math> par ses coordonnées polaires relativement à l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Cx}</math>, l'axe <math>\;\overrightarrow{Cy}\;</math> étant choisi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Cx}\;</math> dans le plan du quart de disque <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, <math>\;M\;</math> a pour coordonnées polaires <math>\;\left( \rho\,,\,\theta \right)\;</math> avec <math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;-\dfrac{\pi}{4}\;</math> à <math>\;+\dfrac{\pi}{4}\;</math> et <math>\;\rho\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;R</math> ; {{Al|5}}la définition du vecteur position <math>\;\overrightarrow{CG}\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du quart de disque homogène étant «<math>\;\overrightarrow{CG} = \dfrac{\displaystyle\iint_{\mathcal{D}} \overrightarrow{CM}\;\sigma_0\;dS_M}{\displaystyle\iint_{\mathcal{D}} \sigma_0\;dS_M}\;</math>»<ref name="dSM"> <math>\;dS_M\;</math> étant l'aire de la surface élémentaire centrée en <math>\;M\,\left( \rho\,,\,\theta \right)\;</math> s'écrit, en repérage polaire <math>\;dS_M = \rho\;d \rho\;d \theta\;</math> revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_cylindro-polaire|expressions en paramétrage cylindro-polaire]] du vecteur surface élémentaire <math>\;\big(</math>plus précisément dans le cas d'une surface plane dans le plan <math>\;xOy\big)\;</math>» du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="définition du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Centre_d'inertie_d'un_système_(discret)_fermé_de_points_matériels|centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet aisément le prolongement de la définition aux systèmes continus de matière à répartition de masse surfacique.</ref> <math>\;\big(</math>avec <math>\;\sigma_0\;</math> la masse surfacique du quart de disque<math>\big)\;</math> dans laquelle «<math>\;\displaystyle\iint_{\mathcal{D}} dS_M\;</math><ref name="dSM" />{{,}}<ref name="intégrale surfacique" />, étant l'aire du quart de disque, vaut <math>\;\displaystyle\iint_{\mathcal{D}} dS_M = \dfrac{\pi\;R^2}{4}\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|la définition }}le vecteur position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du quart de disque se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{CG} = \dfrac{4}{\pi\;R^2}\;\displaystyle\iint_{\mathcal{D}} \overrightarrow{CM}\;dS_M\;</math>»<ref name="dSM" />{{,}}<ref name="intégrale surfacique" /> ; {{Al|5}}le calcul de l'intégrale surfacique ci-dessus se fait par décomposition en deux intégrales emboîtées, chacune sur un intervalle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le calcul de l'intégrale surfacique }}<math>\succ\;</math>la 1^ère réalisant une intégration sur un des deux paramètres, le 2^ème restant figé, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le calcul de l'intégrale surfacique }}<math>\succ\;</math>la 2^ème intégrale se faisant sur le 2^ème paramètre après l'avoir libéré<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrale_surfacique_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="cas le plus fréquent d'intégrale surfacique en physique"> En fait les intégrales sur un intervalle ne sont pas nécessairement emboîtées, elles le sont si au moins une des bornes d'intégration de la 1^ère intégrale dépendent du 2^ème paramètre figé et, <br>{{Al|3}}si tel n'est pas le cas, on obtient un produit de deux intégrales sur un segment, chaque intégrale réalisant une intégration sur un des deux paramètres, les bornes de l'intégrale étant indépendantes de l'autre paramètre <math>\;\big[</math>c'est d'ailleurs le cas le plus fréquent que l'on rencontre dans le calcul d'intégrale surfacique dans le domaine de la physique<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le calcul de l'intégrale surfacique }}l'ordre d'intégration étant en fait usuellement indifférent comme le précise le [[w:Théorème_de_Fubini#Énoncés|théorème de Fubini]]<ref name="Fubini"> '''Guido Fubini (1879 - 1943)''' mathématicien italien surtout connu pour ses travaux sur les intégrales.</ref> ; {{Al|5}}l'explicitation de l'intégrale surfacique ci-dessus donne <math>\;\overrightarrow{\mathcal{I}} = \displaystyle\iint_{\mathcal{D}} \overrightarrow{CM}\;dS_M = \displaystyle\iint_{\mathcal{D}} \rho\;\vec{u}_\rho\;\rho\, d \rho\, d \theta\;</math><ref name="dSM en polaire"> En effet «<math>\;dS_M = dM_\rho\; dM_\theta = d \rho\;\rho\,d \theta\;</math>» Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_cylindro-polaire|expressions en paramétrage cylindro-polaire]] (aire élémentaire du plan xOy repéré en cylindro-polaire) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="intégrale surfacique" /> dans laquelle les deux paramètres étant <math>\;\left( \rho\;,\; \theta \right)\;</math> avec les bornes d'intégration sur un des paramètres indépendante de l'autre paramètre, l'intégrale surfacique ci-dessus se réécrit en produit de deux intégrales sur un segment selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{I}} = \displaystyle\int_0^R \rho^2\;d \rho \times \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} \vec{u}_\rho\! \left( \theta \right)\,d \theta\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'explicitation de l'intégrale surfacique ci-dessus }}la 1^ère intégrale ne présentant aucune difficulté et la 2^nde se simplifiant en décomposant <math>\;\vec{u}_\rho(\theta)\;</math> dans la base cartésienne soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'explicitation de l'intégrale surfacique ci-dessus }}<math>\;\overrightarrow{\mathcal{I}} = \dfrac{R^3}{3}\;\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} \left[ \cos(\theta)\;\vec{u}_x + \sin(\theta)\;\vec{u}_y \right]\,d \theta = \dfrac{R^3}{3}\,\left[ \sin(\theta)\;\vec{u}_x - \cos(\theta)\;\vec{u}_y \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} = \dfrac{R^3}{3}\,\left[ 2\,\sin\! \left( \dfrac{\pi}{4} \right)\,\vec{u}_x \right]\;</math><ref name="parité du cosinus"> En effet <math>\;\left[ - \cos(\theta)\;\vec{u}_y \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} = 0</math>.</ref> et finalement «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{I}} = \dfrac{R^3}{3}\,\sqrt{2}\;\vec{u}_x\;</math>»<ref name="valeur de sinus pi sur 4"> En effet <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>.</ref>{{,}}<ref name="Autre façon d'intégrer"> Il était aussi possible d'intégrer <math>\;\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} \vec{u}_\rho\! \left( \theta \right)\,d \theta\;</math> sans décomposer le vecteur unitaire radial de la base polaire dans la base cartésienne mais en utilisant <math>\;-\vec{u}_\rho(\theta) = \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}(\theta)</math>, on obtenait alors <math>\;\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} \vec{u}_\rho\! \left( \theta \right)\,d \theta = \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} -\dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}(\theta)\,d \theta = \left[ -\vec{u}_\theta(\theta) \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} = \vec{u}_\theta\!\left( -\dfrac{\pi}{4} \right) - \vec{u}_\theta\!\left( +\dfrac{\pi}{4} \right)\;</math> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\vec{u}_\rho\!\left( -\dfrac{\pi}{4} \right) = \vec{u}_{C\,\rightarrow\,B}\; \Rightarrow \;\vec{u}_\theta\!\left( -\dfrac{\pi}{4} \right) = \vec{u}_{C\,\rightarrow\,A}\\ \vec{u}_\rho\!\left( +\dfrac{\pi}{4} \right) = \vec{u}_{C\,\rightarrow\,A}\; \Rightarrow\;\vec{u}_\theta\!\left( -\dfrac{\pi}{4} \right) = - \vec{u}_{C\,\rightarrow\,B}\end{array}\right\rbrace</math>, on obtenait <math>\;\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} \vec{u}_\rho\! \left( \theta \right)\,d \theta =</math> <math>\vec{u}_{C\,\rightarrow\,A} + \vec{u}_{C\,\rightarrow\,B} = \sqrt{2}\;\vec{u}_x</math>.</ref> d'où <center>«<math>\;\overrightarrow{CG} = \dfrac{4}{\pi\;R^2}\;\displaystyle\iint_{\mathcal{D}} \overrightarrow{CM}\;dS_M = \dfrac{4}{\pi\;R^2}\;\dfrac{R^3}{3}\,\sqrt{2}\;\vec{u}_x = \dfrac{4\;R\;\sqrt{2}}{3\;\pi}\;\vec{u}_x\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> positionnant le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du quart de disque <math>\;\mathcal{D}\;</math> <br>sur son axe de symétrie <math>\;Cx\;</math> à une distance du centre <math>\;C\;</math> de l'arc de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> égale à <math>\;\dfrac{4\;\sqrt{2}}{3\;\pi}\;R \simeq 0,6002\;R</math>.</center> [[File:CDI d'un quart de disque par th de Guldin.png|thumb|300px|Schéma d'application du [[w:Théorèmes_de_Guldin#Second_énoncé|2^nd théorème de Guldin]]<ref name="Guldin" /> au quart de disque homogène <math>\;\big(</math>en grisé sur la figure<math>\big)\;</math> limité par l'arc de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> et par les deux rayons <math>\;\perp\;</math> <math>CA\;</math> et <math>\;CB</math>, <math>\;C\;</math> étant le centre de l'arc de cercle de rayon <math>\;R</math>, pour déterminer la position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du quart de disque en effectuant une révolution complète de ce dernier autour de <math>\;CA</math>]] {{Al|5}}Dans le but d'appliquer le [[w:Théorèmes_de_Guldin#Second_énoncé|théorème de Guldin]]<ref name="Guldin" /> relatif à une portion de surface, en l'occurrence le quart de disque <math>\;\mathcal{D}</math>, on effectue une révolution complète de ce dernier autour de l'axe <math>\;(\Delta) = CA\;</math> dans le but de déterminer la distance orthogonale <math>\;d\!\left( \Delta\,,\,G \right) = C_GG\;</math> séparant le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du quart de disque à l'axe <math>\;(\Delta)\;</math> de révolution, <math>\;C_G\;</math> étant ainsi le projeté orthogonal de <math>\;G\;</math> sur <math>\;CA\;</math> mais aussi le centre du cercle décrit par <math>\;G\;</math> pendant la révolution complète <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}lors de la révolution complète de <math>\;\mathcal{D}\;</math> autour de <math>\;(\Delta) = CA\;</math> l'expansion tridimensionnelle obtenue est la demi-boule supérieure de centre <math>\;C\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|lors de la révolution complète de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}}\;</math> autour de <math>\;\color{transparent}{(\Delta) = CA}\;</math> l'expansion tridimensionnelle obtenue est }}de volume <math>\;\mathcal{V} = \dfrac{2\;\pi}{3}\;R^3\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|lors de la révolution complète de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}}\;</math> autour de <math>\;\color{transparent}{(\Delta) = CA}\;</math> }}la surface du quart de disque étant d'aire <math>\;\mathcal{A}_{\mathcal{D}} = \dfrac{\pi\;R^2}{4}</math>, {{Al|5}}{{Transparent|lors de la révolution complète de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}}\;</math> autour de <math>\;\color{transparent}{(\Delta) = CA}\;</math> }}l'application du [[w:Théorèmes_de_Guldin#Second_énoncé|théorème de Guldin]]<ref name="Guldin" /> à la portion de surface <math>\;\mathcal{D}\;</math> lors de cette révolution complète autour de <math>\;(\Delta) = CA\;</math> <math>\big(</math>correspondant à un angle de révolution en <math>\;rad\;</math> égal à <math>\;\alpha = 2\;\pi\big)\;</math> nous conduit à «<math>\;\mathcal{V} = \mathcal{A}_{\mathcal{D}}\;\times\;2\,\pi\;C_GG\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{2\;\pi}{3}\;R^3</math> <math>= \dfrac{\pi\;R^2}{4} \times 2\,\pi\;C_GG\;</math>» dont on déduit l'expression de «<math>\;C_GG = \dfrac{1}{2\,\pi}\;\dfrac{2\;\pi}{3}\;R^3\;\dfrac{4}{\pi\;R^2} = \dfrac{4}{3\;\pi}\;R \simeq 0,4244\;R\;</math>» ; {{Al|9}}{{Transparent|Dans le but d'appliquer le théorème de Guldin }}on vérifie ainsi la position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du quart de disque <math>\;\mathcal{D}\;</math> en utilisant le fait que <math>\;G\;</math> se trouve sur l'axe de symétrie noté précédemment <math>\;Cx\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'angle entre <math>\;CG\;</math> et <math>\;CA\;</math> vaut <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;</math> d'où «<math>\;\dfrac{C_GG}{CG} = \sin\! \left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;CG = C_GG\;\sqrt{2}\;</math>» et finalement <center>«<math>\;CG = \dfrac{4\;\sqrt{2}}{3\;\pi}\;R \simeq 0,6002\;R\;</math>».</center>}} === Détermination de la vitesse instantanée du C.D.I. G du quart de disque homogène limité par le quart de cercle AB de centre C et les deux rayons CA et CB respectivement perpendiculaires quand le quart de disque tourne autour de l'axe CA avec une vitesse angulaire fixée === {{Al|5}}Considérant la rotation du quart de disque <math>\;\big(</math>limité par le quart de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> et les deux rayons respectivement <math>\;\perp\;</math> <math>CA\;</math> et <math>\;CB\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant la rotation du quart de disque }}autour de l'axe <math>\;(CA)\;</math> avec <math>\;C\;</math> centre de l'arc de cercle, à la vitesse angulaire constante <math>\;\omega_0</math>, * exprimer le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du quart de disque <math>\;\mathcal{D}\;</math> en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega} = \omega_0\;\vec{u}_{(CA)}\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> où <math>\;\vec{u}_{(CA)}\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation puis * en déduire la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée"> On rappelle que la vitesse instantanée est la composante du vecteur vitesse sur le vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié au point considéré. <br>{{Al|3}}'''Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> <math>\;v_G(t)\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> sur sa trajectoire en fonction, entre autres, de la vitesse angulaire <math>\;\omega_0</math>. {{Solution | contenu =[[File:Quart de disque en rotation uniforme.png|thumb|300px|Schéma de situation d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> et par les deux rayons <math>\;\perp\;</math> <math>CA\;</math> et <math>\;CB</math>, <math>\;C\;</math> étant le centre de l'arc de cercle de rayon <math>\;R</math>, le quart de disque étant en rotation uniforme autour de l'axe <math>\;CA\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;\omega_0</math>]] {{Al|5}}Le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du quart de disque homogène <math>\;\mathcal{D}\;</math> <math>\big(</math>limité par le quart de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> et les deux rayons respectivement <math>\;\perp\;</math> <math>CA\;</math> et <math>\;CB\big)</math>, avec <math>\;C\;</math> centre du quart de cercle et <math>\;R\;</math> le rayon de ce dernier, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> }}restant à distance constante <math>\;\rho_G = \dfrac{4}{3\;\pi}\;R\;</math> de l'axe de rotation <math>\;CA\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> }}décrit le cercle d'axe <math>\;\overrightarrow{Cz}\;</math> et de rayon <math>\;\rho_G = \dfrac{4}{3\;\pi}\;R\;</math> avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega} = \omega_0\;\vec{u}_{(CA)} = \omega_0\;\vec{u}_z\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <math>\Big[</math>choisissant de repérer le point <math>\;G\;</math> par le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe <math>\;CA\;</math> appelé <math>\;\overrightarrow{Cz}</math>, la base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_\rho(G)\,,\,\vec{u}_\theta(G)\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace</math>, les coordonnées cylindro-polaires de <math>\;G\;</math> valent respectivement <math>\;\rho_G = \dfrac{4}{3\;\pi}\;R</math>, <math>\;\theta_G = \omega_0\;t + \theta_{G,\,0}\;</math> et <math>\;z_G = \rho_G = \dfrac{4}{3\;\pi}\;R\Big]</math> ; {{Al|5}}on en déduit l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;G\;</math> en rotation autour de <math>\;CA\;</math> sous la forme <br>{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> }}«<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{CG}(t) = \omega_0\;\vec{u}_z \wedge \overrightarrow{CG}(t)\;</math>»<ref name="expression intrinsèque du vecteur vitesse lors d'une rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> }}«<math>\;\vec{V}_G(t) = \omega_0\;\vec{u}_z \wedge \left[ \rho_G\;\vec{u}_\rho(G) + z_G\;\vec{u}_z \right] = \rho_G\;\omega_0\;\vec{u}_\theta(G) = \dfrac{4}{3\;\pi}\;R\;\omega_0\;\vec{u}_\theta(G)\;</math>»<ref> En effet on rappelle que <math>\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}\rho(G) = \vec{u}_\theta(G)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriété_des_vecteurs_de_base_d'une_base_orthonormée|propriété des vecteurs de base d'une base orthonormée]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Passant en repérage de Frenet<ref name="Frenet"> '''Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> de <math>\;G\;</math> sur sa trajectoire circulaire, avec les deux 1^ers vecteurs de base de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet d'une courbe plane"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_plane_continue|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> liés à <math>\;G\;</math> respectivement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Passant en repérage de Frenet de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> sur sa trajectoire circulaire, avec }}le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}(G) = \vec{u}_\theta(G)\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Passant en repérage de Frenet de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> sur sa trajectoire circulaire, avec }}le vecteur unitaire normal principal <math>\;\vec{n}(G) = -\vec{u}_\rho(G)\;</math><ref name="2nd et 3ème vecteurs de base de Frenet d'une courbe plane"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_plane_continue|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Passant en repérage de Frenet de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> sur sa trajectoire circulaire, }}on en déduit l'expression de Frenet<ref name="Frenet" /> du vecteur vitesse de <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \rho_G\;\omega_0\;\vec{\tau}(G)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Passant en repérage de Frenet de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> sur sa trajectoire circulaire, on en déduit }}et, par suite, la vitesse instantanée du point <math>\;G\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> «<math>\;v_G(t) = \rho_G\;\omega_0 = \dfrac{4}{3\;\pi}\;R\;\omega_0\;</math>».}} == Centre d'inertie d'un quart de cercle homogène A_ρB_ρ de centre C et de rayon ρ puis, par utilisation de la notion de barycentre partiel, centre d'inertie d'un quart de disque homogène limité par le quart de cercle AB de centre C et de rayon R == [[File:Quart de cercle homogène.png|thumb|Schéma d'un quart de cercle homogène <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}</math>, de centre <math>\;C\;</math> et de rayon <math>\;\rho</math>]] {{Al|5}}On considère le quart de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}</math>, de centre <math>\;C</math>, de rayon <math>\;\rho</math>, homogène, de masse linéique constante <math>\;\lambda_0\;</math> dont on se propose * de déterminer la position de son C.D.I<ref name="C.D.I."/>. <math>\;G_\rho\;</math> en définissant son vecteur position <math>\;\overrightarrow{CG_\rho}\;</math> relativement au vecteur position <math>\;\overrightarrow{CM_\rho}\;</math> du point courant <math>\;M_\rho\;</math> du quart de cercle d'une part et * d'autre part de vérifier le résultat par utilisation du [[w:Théorèmes_de_Guldin#Premier_énoncé|1^er théorème de Guldin]]<ref name="Guldin" /> relatif à un arc de courbe<ref name="théorèmes de Guldin" />. === Détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin === {{Al|5}}Ayant choisi le centre <math>\;C\;</math> de l'arc de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}\;</math> comme origine de vecteur position, rappeler l'expression du vecteur position <math>\;\overrightarrow{CG_\rho}\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_\rho\;</math> sous la forme d'une intégrale curviligne<ref name="intégrale curviligne"> Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Notion_d'intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> faisant intervenir le vecteur position <math>\;\overrightarrow{CM_\rho}\;</math> du point courant <math>\;M_\rho\;</math> du quart de cercle puis {{Al|5}}évaluer cette intégrale pour déterminer la position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_\rho</math>. {{Al|5}}Vérifier le résultat précédent en utilisant le [[w:Théorèmes_de_Guldin#Premier_énoncé|1^er théorème de Guldin]]<ref name="Guldin" /> relatif à un arc de courbe<ref name="théorèmes de Guldin" /> dont l'énoncé est le suivant : {{Théorème| titre= théorème de Guldin relatif à un arc de courbe| contenu ={{Al|5}}La mesure de l'aire <math>\;\mathcal{A}\;</math> de la surface engendrée par la rotation d'un arc de courbe plane <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> autour d'un axe <math>\;(\Delta)\;</math> de son plan, et ne traversant pas l'arc de courbe<ref> La raison de cette exigence étant la nécessité qu'il n'y ait pas de recouvrement de la surface lors de la rotation de l'arc de courbe autour de l'axe de rotation, cela n'interdit pas que <math>\;(\Delta)\;</math> passe par l'un des points extrêmes <math>\;A\;</math> ou <math>\;B</math>.</ref>, est égale au produit de la longueur de l'arc de courbe <math>\;\mathcal{L}_{\overset{\;\frown}{\!AB}}\;</math> par la longueur de la circonférence décrite par son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> soit <math>\;\alpha\;d\!\left( \Delta\,,\,G \right)\;</math> dans laquelle <math>\;d\!\left( \Delta\,,\,G \right)\;</math> est la distance orthogonale séparant le C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'arc de courbe à l'axe <math>\;(\Delta)\;</math> de rotation et <math>\;\alpha\;</math> l'angle de rotation exprimé en <math>\;rad\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{A} = \mathcal{L}_{\overset{\;\frown}{\!AB}}\;\times\;\alpha\;d\!\left( \Delta\,,\,G \right)\;</math>».</center>}} {{Solution | contenu =[[File:Centre d'inertie d'un quart de cercle.png|thumb|300px|Schéma d'évaluation du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> d'un quart de cercle homogène <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}\;</math> de centre <math>\;C\;</math> et de rayon <math>\;\rho</math>, avec choix du repérage polaire du point courant <math>\;M_\rho\;</math> du quart de cercle, l'axe polaire <math>\;Cx\;</math> étant l'axe de symétrie de ce dernier]] {{Al|5}}Le quart de cercle homogène <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}</math>, de centre <math>\;C</math>, de rayon <math>\;\rho</math>, étant symétrique par rapport à l'axe <math>\;Cx\;</math> issu du centre <math>\;C\;</math> du quart de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}\;</math> et passant par le milieu de ce dernier, nous pourrions affirmer que le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_\rho\;</math> du quart de cercle homogène <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}\;</math> est sur l'axe de symétrie <math>\;Cx\;</math> de ce dernier mais ce résultat sera démontré ci-dessous ; <br>{{Al|5}}nous repérons le point générique <math>\;M_\rho\;</math> par ses coordonnées polaires relativement à l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Cx}</math>, l'axe <math>\;\overrightarrow{Cy}\;</math> étant choisi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Cx}\;</math> dans le plan du quart de cercle <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, <math>\;M_\rho\;</math> a pour coordonnées polaires <math>\;\left( \rho\,,\,\theta \right)\;</math> avec <math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;-\dfrac{\pi}{4}\;</math> à <math>\;+\dfrac{\pi}{4}</math> ; {{Al|5}}la définition du vecteur position <math>\;\overrightarrow{CG_\rho}\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_\rho\;</math> du quart de cercle homogène étant «<math>\;\overrightarrow{CG_\rho} = \dfrac{\displaystyle\int_{\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}} \overrightarrow{CM_\rho}\;\lambda_0\;ds_{M_\rho}}{\displaystyle\int_{\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}} \lambda_0\;ds_{M_\rho}}\;</math>»<ref name="dsMrho"> <math>\;ds_{M_\rho}\;</math> étant l'abscisse curviligne élémentaire centrée en <math>\;M_\rho\,\left( \rho\,,\,\theta \right)\;</math> s'identifie, en repérage polaire, à <math>\;ds_{M_\rho} = \rho\;d \theta\;</math> c.-à-d. à la composante orthoradiale du vecteur déplacement élémentaire revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="définition du C.D.I. bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Centre_d'inertie_d'un_système_(discret)_fermé_de_points_matériels|centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dont on admet aisément le prolongement de la définition aux systèmes continus de matière à répartition de masse linéique.</ref> <math>\;\big(</math>avec <math>\;\lambda_0\;</math> la masse linéique du quart de cercle<math>\big)\;</math> dans laquelle «<math>\;\displaystyle\int_{\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}} ds_{M_\rho}\;</math><ref name="dsMrho" />{{,}}<ref name="intégrale curviligne" />, étant la longueur du quart de cercle, vaut <math>\;\displaystyle\int_{\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}} ds_{M_\rho} = \dfrac{2\;\pi\;\rho}{4} = \dfrac{\pi\;\rho}{2}\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|la définition }}le vecteur position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du quart de cercle se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{CG_\rho} = \dfrac{2}{\pi\;\rho}\;\displaystyle\int_{\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}} \overrightarrow{CM_\rho}\;ds_{M_\rho}\;</math>»<ref name="dsMrho" />{{,}}<ref name="intégrale curviligne" /> ; {{Al|5}}le calcul de l'intégrale curviligne<ref name="intégrale curviligne" /> ci-dessus se ramène à celui d'une intégrale sur un intervalle, ici l'intégrale se faisant sur le paramètre <math>\;\theta\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{I}} = \displaystyle\int_{\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}} \overrightarrow{CM_\rho}\;ds_{M_\rho} = \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} \overrightarrow{CM_\rho}(\theta)\;\rho\;d \theta\;</math>»<ref name="dsMrho" /> ou encore <math>\;\overrightarrow{\mathcal{I}} = \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} \rho\;\vec{u}_\rho(\theta)\;\rho\;d \theta = \rho^2\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} \vec{u}_\rho(\theta)\;d \theta = \rho^2\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} \left[ \cos(\theta)\;\vec{u}_x + \sin(\theta)\;\vec{u}_y \right]\,d \theta = \rho^2\;\left[ \sin(\theta)\;\vec{u}_x - \cos(\theta)\;\vec{u}_y \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}} = \rho^2\left[ 2\,\sin\! \left( \dfrac{\pi}{4} \right)\,\vec{u}_x \right]\;</math><ref name="parité du cosinus" /> et finalement «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{I}} = \rho^2\;\sqrt{2}\;\vec{u}_x\;</math>»<ref name="valeur de sinus pi sur 4" />{{,}}<ref name="Autre façon d'intégrer" /> d'où <center>«<math>\;\overrightarrow{CG_\rho} = \dfrac{2}{\pi\;\rho}\;\displaystyle\int_{\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}} \overrightarrow{CM_\rho}\;ds_{M_\rho} = \dfrac{2}{\pi\;\rho}\;\rho^2\;\sqrt{2}\;\vec{u}_x = \dfrac{2\;\rho\;\sqrt{2}}{\pi}\;\vec{u}_x\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> positionnant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.<math>\;G_\rho\;</math> du quart de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}\;</math> <br>sur son axe de symétrie <math>\;Cx\;</math> à une distance du centre <math>\;C\;</math> de l'arc de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}\;</math> égale à <math>\;\dfrac{2\;\sqrt{2}}{\pi}\;\rho \simeq 0,9003\;\rho</math>.</center> [[File:CDI d'un quart de cercle par th de Guldin.png|thumb|300px|Schéma d'application du [[w:Théorèmes_de_Guldin#Premier_énoncé|1^er théorème de Guldin]]<ref name="Guldin" /> au quart de cercle homogène <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}</math>, de centre C et de rayon ρ, pour déterminer la position du C.D.I. du quart de cercle en effectuant une rotation complète de ce dernier autour de CA_ρ]] {{Al|5}}Dans le but d'appliquer le [[w:Théorèmes_de_Guldin#Premier_énoncé|théorème de Guldin]]<ref name="Guldin" /> relatif à une portion de courbe, en l'occurrence le quart de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}</math>, on effectue une rotation complète de ce dernier autour de l'axe <math>\;(\Delta) = CA_\rho\;</math> dans le but de déterminer la distance orthogonale <math>\;d\!\left( \Delta\,,\,G_\rho \right) = C_{G_\rho}G_\rho\;</math> séparant le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_\rho\;</math> du quart de cercle à l'axe <math>\;(\Delta)\;</math> de rotation, <math>\;C_{G_\rho}\;</math> étant ainsi le projeté orthogonal de <math>\;G_\rho\;</math> sur <math>\;CA_\rho\;</math> mais aussi le centre du cercle décrit par <math>\;G_\rho\;</math> pendant la rotation complète {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} schéma ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}lors de la rotation complète de <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}\;</math> autour de <math>\;(\Delta) = CA_\rho\;</math> la surface obtenue est la demi-sphère supérieure de centre <math>\;C\;</math> et de rayon <math>\;\rho</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|lors de la rotation complète de <math>\;\color{transparent}{\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}}\;</math> autour de <math>\;\color{transparent}{(\Delta) = CA_\rho}\;</math> la surface obtenue est }}d'aire <math>\;\mathcal{A} = 2\;\pi\;\rho^2\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|lors de la rotation complète de <math>\;\color{transparent}{\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}}\;</math> autour de <math>\;\color{transparent}{(\Delta) = CA_\rho}\;</math> }}le quart de cercle étant de longueur <math>\;\mathcal{L}_{\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}} = \dfrac{2\;\pi\;\rho}{4} = \dfrac{\pi\;\rho}{2}</math>, {{Al|5}}{{Transparent|lors de la rotation complète de <math>\;\color{transparent}{\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}}\;</math> autour de <math>\;\color{transparent}{(\Delta) = CA_\rho}\;</math> }}l'application du [[w:Théorèmes_de_Guldin#Premier_énoncé|1^er théorème de Guldin]]<ref name="Guldin" /> à la portion de courbe <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}\;</math> lors de cette rotation complète autour de <math>\;(\Delta) = CA_\rho\;</math> <math>\big(</math>correspondant à un angle de rotation en <math>\;rad\;</math> égal à <math>\;\alpha = 2\;\pi\big)\;</math> nous conduit à «<math>\;\mathcal{A} = \mathcal{L}_{\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}}\;\times\;2\,\pi\;C_{G_\rho}G_\rho\;</math>» se réécrivant «<math>\;2\;\pi\;\rho^2 = \dfrac{\pi\;\rho}{2} \times 2\,\pi\;C_{G_\rho}G_\rho\;</math>» dont on déduit l'expression de «<math>\;C_{G_\rho}G_\rho = \dfrac{1}{2\,\pi}\;2\;\pi\;\rho^2\;\dfrac{2}{\pi\;\rho} = \dfrac{2}{\pi}\;\rho \simeq 0,6366\;\rho\;</math>» ; {{Al|9}}{{Transparent|Dans le but d'appliquer le théorème de Guldin }}on vérifie ainsi la position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_\rho\;</math> du quart de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{A_{\rho}B_{\rho}}\;</math> utilisant le fait que <math>\;G_\rho\;</math> se trouvant sur l'axe de symétrie noté précédemment <math>\;Cx\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'angle entre <math>\;CG_\rho\;</math> et <math>\;CA_\rho\;</math> vaut <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;</math> d'où «<math>\;\dfrac{C_{G_\rho}G_\rho}{CG_\rho} = \sin\! \left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;CG_\rho = C_{G_\rho}G_\rho\;\sqrt{2}\;</math>» et finalement <center>«<math>\;CG_\rho = \dfrac{2\;\sqrt{2}}{\pi}\;\rho \simeq 0,9003\;\rho\;</math>».</center>}} === Position du centre d'inertie d'un quart de disque homogène limité par un quart de cercle AB de centre C, de rayon R et par deux rayons CA et CB respectivement perpendiculaires, en considérant le quart de disque comme association de surfaces élémentaires semi-intégrées, construites à partir d'un quart de cercle A_ρB_ρ de même centre C, de rayon ρ variable et d'épaisseur dρ === {{Al|5}}On se propose de retrouver le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> d'un quart de disque homogène <math>\;\mathcal{D}\;</math> limité par le quart de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> et les deux rayons <math>\;CA\;</math> et <math>\;CB\;</math> respectivement <math>\;\perp</math>, avec <math>\;C\;</math> centre du quart de cercle, <math>\;R\;</math> le rayon de ce dernier et <math>\;\sigma_0\;</math> la masse surfacique constante du quart de disque,<ref name="position du G du quart de disque"> La position du C.D.I. <math>\;G\;</math> ayant été établi dans la résolution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Détermination_de_la_position_du_centre_d'inertie_du_quart_de_disque_homogène_et_vérification_par_l'un_des_deux_théorèmes_de_Guldin|détermination de la position du centre d'inertie du quart de disque homogène et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin]] » plus haut dans l'exercice précédent.</ref> en considérant <br>{{Al|13}}{{Transparent|On se propose de retrouver le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> }}le quart de disque homogène <math>\;\mathcal{D}\;</math> comme une association de quarts de couronnes planes de même centre <math>\;C</math>, de rayon <math>\;\rho \in \left[ 0\,,\, R \right]\;</math> et de largeur <math>\;d \rho</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|On se propose de retrouver le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> le quart de disque homogène <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}}\;</math> comme une association }}le « quart de couronne plane de rayon <math>\;\rho\;</math> et de faible largeur <math>\;d \rho\;</math>» pouvant être modélisé par <br>{{Al|13}}{{Transparent|On se propose de retrouver le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> le quart de disque homogène <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}}\;</math> comme une association }}un « quart de cercle de rayon <math>\;\rho\;</math> et de masse linéique <math>\;\sigma_0\;d \rho\;</math>»<ref> <math>\;\sigma_0\;</math> étant en <math>\;kg \cdot m^{-2}\;</math> et <math>\;d \rho\;</math> en <math>\;m</math>, <math>\;\sigma_0\;d \rho\;</math> a bien l'homogénéité d'une masse linéique c.-à-d. en <math>\;kg \cdot m^{-1}</math>.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|On se propose de retrouver le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> le quart de disque homogène <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}}\;</math> comme une association }}cette modélisation reposant sur la détermination de la position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_\rho\;</math> du quart de cercle de rayon <math>\;\rho\;</math> dans la résolution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Détermination_de_la_position_du_centre_d'inertie_du_quart_de_cercle_et_vérification_par_l'un_des_deux_théorèmes_de_Guldin|détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin]] » plus haut dans cet exercice, <br>{{Al|13}}{{Transparent|On se propose de retrouver le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> le quart de disque homogène <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}}\;</math> comme une association cette modélisation }}permet de remplacer le « quart de couronne plane de rayon <math>\;\rho\;</math> et de faible largeur <math>\;d \rho\;</math>» par son barycentre partiel <math>\;G_\rho\;</math> affecté de la masse «<math>\;\sigma_0\;d \rho\;\dfrac{\pi\;\rho}{2}\;</math>»<ref name="masse du quart de couronne plane"> La masse du quart de couronne plane de rayon <math>\;\rho\;</math> et de faible largeur <math>\;d \rho\;</math> s'obtenant en multipliant la masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> par l'aire de la surface à savoir la longueur du quart de cercle bordant intérieurement la couronne <math>\;\dfrac{\pi\;\rho}{2}\;</math> par la largeur de la couronne <math>\;d \rho</math>.</ref>. {{Al|5}}Ayant choisi le centre <math>\;C\;</math> de l'arc de cercle <math>\;\overset{\;\frown}{\!AB}\;</math> limitant le quart de disque <math>\;\mathcal{D}\;</math> comme origine de vecteur position, exprimer le vecteur position <math>\;\overrightarrow{CG}\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du quart de disque <math>\;\mathcal{D}\;</math> sous la forme d'une intégrale sur un intervalle faisant intervenir le vecteur position <math>\;\overrightarrow{CG_\rho}\;</math> du barycentre partiel <math>\;G_\rho\;</math> du quart de couronne plane de rayon <math>\;\rho\;</math> et de faible largeur <math>\;d \rho\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Ayant choisi le centre <math>\;\color{transparent}{C}\;</math> de l'arc de cercle <math>\;\color{transparent}{\overset{\;\frown}{\!AB}}\;</math> limitant le quart de disque <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}}\;</math> comme origine de vecteur position, }}évaluer cette intégrale pour retrouver la position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du quart de disque<ref name="position du G du quart de disque" />. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Le vecteur position <math>\;\overrightarrow{CG}\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du quart de disque <math>\;\mathcal{D}\;</math> considéré comme une association de surfaces élémentaires semi-intégrées<ref name="surface élémentaire semi-intégrée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Notion_de_surface_élémentaire_semi-intégrée|notion de surface élémentaire semi-intégrée]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, modélisées par <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le vecteur position <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{CG}}\;</math> du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du quart de disque <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}}\;</math> considéré comme une association }}des quarts de cercle de rayon <math>\;\rho\;</math> variable et de masse linéique <math>\;\sigma_0\;d \rho\;</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le vecteur position <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{CG}}\;</math> du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du quart de disque <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}}\;</math> }}peut s'obtenir en remplaçant le quart de cercle générique de rayon <math>\;\rho\;</math> par son barycentre partiel <math>\;G_\rho\;</math> affecté de sa masse «<math>\;\sigma_0\;d \rho\;\dfrac{\pi\;\rho}{2}\;</math>»<ref name="masse du quart de couronne plane" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le vecteur position <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{CG}}\;</math> du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du quart de disque <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}}\;</math> peut s'obtenir en remplaçant le quart de cercle générique de rayon <math>\;\color{transparent}{\rho}\;</math> }}le vecteur position de <math>\;G_\rho\;</math> étant égal à «<math>\;\overrightarrow{CG_\rho} = \dfrac{2\;\rho\;\sqrt{2}}{\pi}\;\vec{u}_x\;</math>»<ref name="vecteur position de Grho"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Détermination_de_la_position_du_centre_d'inertie_du_quart_de_cercle_et_vérification_par_l'un_des_deux_théorèmes_de_Guldin|détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <br>{{Al|5}}le vecteur position <math>\;\overrightarrow{CG}\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du quart de disque <math>\;\mathcal{D}\;</math> peut s'obtenir par «<math>\;\overrightarrow{CG} = \dfrac{\displaystyle\int_0^R \overrightarrow{CG_\rho}(\rho)\;\sigma_0\;d \rho\;\dfrac{\pi\;\rho}{2}}{\displaystyle\int_0^R \sigma_0\;d \rho\;\dfrac{\pi\;\rho}{2}} = \dfrac{\displaystyle\int_0^R \dfrac{2\;\rho\;\sqrt{2}}{\pi}\;d \rho\;\dfrac{\pi\;\rho}{2}}{\displaystyle\int_0^R d \rho\;\dfrac{\pi\;\rho}{2}}\;\vec{u}_x = \dfrac{\displaystyle\int_0^R \rho^2\,\sqrt{2}\;d \rho}{\displaystyle\int_0^R \dfrac{\pi\;\rho}{2}\;d \rho}\;\vec{u}_x\;</math>» ; {{Al|5}}le calcul de l'intégrale nous conduit à «<math>\;\overrightarrow{CG} = \dfrac{\left[ \dfrac{\rho^3}{3}\,\sqrt{2} \right]_0^R}{\left[ \dfrac{\pi\;\rho^2}{4} \right]_0^R}\;\vec{u}_x = \dfrac{R^3}{3}\,\sqrt{2}\;\dfrac{4}{\pi\;R^2}\;\vec{u}_x = \dfrac{4\;R\;\sqrt{2}}{3\;\pi}\;\vec{u}_x\;</math>», identique au résultat précédemment trouvé<ref name="position du G du quart de disque" />.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non/|Descript. et paramét. du mouv. d'un point : Mouv. circul. unif. ou non]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques/|Loi de la quantité de mouv. : Forces, principe des actions réciproques]] }} 9pblocec0d88pzv942fbgvwts4ez7z1 0 69344 982882 978659 2026-05-17T11:00:53Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982882 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers/]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement/]] }} == Systèmes des forces extérieures et des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels, exemples == <center>Bien que nous devrions parler de « vecteur force », l'usage suggère de dire simplement « force ».</center> === Distinction entre extérieur et intérieur à un système de points matériels === {{Al|5}}Un système de points matériels fermé étant limité par sa surface latérale et un ouvert par la surface de contrôle le définissant, nous observons que dans les deux cas, <u>la surface latérale ou de contrôle sépare l'espace en deux demi-espaces</u> définissant l'intérieur et l'extérieur au système de points matériels ; {{Al|5}}toutefois il y a une « différence fondamentale entre systèmes fermé et ouvert en ce qui concernent les définitions d'intérieur et d'extérieur », * pour un système de points matériels <u>fermé</u>, « l'extérieur et l'intérieur ne changent pas avec le temps » alors que * pour un système de points matériels <u>ouvert</u>, « ce qui est à l'extérieur peut passer à l'intérieur et vice-versa » <math>\;\ldots</math> === Système des forces extérieures et système des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé === ==== Système des forces extérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé ==== {{Al|5}}Une force extérieure est une force que l'extérieur du système exerce sur un point du système, <br>{{Al|5}}le système des forces extérieures est défini par l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>. ==== Système des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé ==== {{Al|5}}Une force intérieure est une force qu'un point du système exerce sur un autre point du système, <br>{{Al|5}}le système de forces intérieures est défini par l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{i\, \leftarrow\, j}\;</math><ref name="notation de l'action entre deux points"> La force décrivant l'action de <math>\;M_j\;</math> sur <math>\;M_i\;</math> est notée <math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,j}\;</math> ou plus simplement <math>\;\vec{F}_{i\,,\,j}\;</math> et celle décrivant l'action de <math>\;M_i\;</math> sur <math>\;M_j\;</math> notée <math>\;\vec{F}_{j\,\leftarrow\,i}\;</math> ou plus simplement <math>\;\vec{F}_{j\,,\,i}\;</math> avec l'objet subissant l'action en 1^er indice et l'objet source de l'action en 2^nd.</ref> que chaque point <math>\;M_j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>. === Exemples === ==== Exemples de forces extérieures ==== {{Al|5}}Ce sont des forces de champ « poids, forces électriques <math>\;\ldots\;</math>» dans la mesure où la source de « champ de pesanteur ou de champ électrique <math>\;\ldots\;</math>» est extérieure au système de points matériels<ref> Le poids sera donc une force extérieure si la Terre est extérieure au système de points matériels, <br>{{Al|3}}la force électrique sera une force extérieure si la source du champ électrique c.-à-d. le système de charges l'engendrant est extérieure au système de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ce sont }}des forces de contact<ref> Résultant du contact du système de points matériel avec son extérieur.</ref> comme « la tension d'un ressort, la réaction d'un fluide, la réaction d'un support solide ou la tension d'un fil »<ref> Cela nécessite donc que le ressort, le fluide, le support solide ou le fil soient extérieurs au système de points matériel.</ref>. ==== Exemples de forces intérieures ==== {{Al|5}}Ce sont des forces d'interaction entre les différentes parties du système de points matériels, elles sont principalement d'origine électrostatique « forces d'attraction maintenant la cohésion du système » ou « forces de répulsion si le système est très fortement comprimé » mais elles peuvent être également <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ce sont }}des forces de contact entre deux parties du système comme celles précédemment citées parmi les forces extérieures <math>\;\big[</math>exemple de la « tension d'un ressort sur un solide » et de l’« action que le solide exerce sur le ressort » si ressort et solide sont tous deux dans le système de points matériels <math>\;\ldots\big]</math>. == Définition de la résultante dynamique s'exerçant sur un système de points matériels fermé == {{Définition|titre=Résultante dynamique appliquée à un système de points matériels fermé|contenu={{Al|5}}La <u>résultante dynamique</u> <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}\;</math> appliquée à un système de points matériels fermé est la <u>résultante des forces extérieures</u> s'exerçant sur ce système de points soit encore <center><math>\;\vec{F}_{\text{ext}} = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}}\;</math> avec <br><math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math> la somme des forces <br>que chaque système <math>\;(\Sigma_k)\;</math> extérieur exerce sur <math>\;M_i</math>.</center>}} == Énoncé du principe des actions réciproques et commentaires == === Énoncé du principe des actions réciproques === <center>Cet énoncé est connu par les anglo-saxons sous le nom de 3^ème loi de Newton<ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref>.</center> {{Théorème|titre=Principe des actions réciproques|contenu={{Al|5}}Pour deux points matériels <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> en interaction telle que <math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2}\;</math> décrive l'action de <math>\;M_2\;</math> sur <math>\;M_1\;</math><ref name="notation de l'action entre deux points" /> et <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\;</math> l'action de <math>\;M_1\;</math> sur <math>\;M_2\;</math><ref name="notation de l'action entre deux points" />, on a à tout instant et quels que soient les mouvements de <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2</math> : <center>«<math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} + \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}\;</math>» <br>et<br>«<math>\;\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} = \vec{0}\;</math>»<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Et, ce qui est équivalent à <math>\;\overrightarrow{M_2M_1} \wedge \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}</math>.</ref>.</center>}} === Commentaires sur le principe des actions réciproques === {{Al|5}}En « <u>dynamique newtonienne</u> »<ref name="dynamique newtonienne" > C.-à-d. utilisant un référentiel d'espace temps dans lequel les vitesses des points matériels restent petites devant la vitesse de la lumière dans le vide soit approximativement <math>\;v_i \lesssim \dfrac{c}{10} \simeq</math> <math>30000\;km \cdot s^{-1}</math>, la dynamique dans un référentiel d'espace temps ne vérifiant pas cette condition étant appelée « dynamique relativiste ».</ref> les forces étant <u>invariantes par changement de référentiel</u> et le déplacement relatif <math>\;\overrightarrow{M_1M_2}\;</math> en étant indépendant également, <br>{{Al|9}}{{Transparent|En « dynamique newtonienne » }}le principe est applicable dans n'importe quel référentiel</u><ref> En <u>dynamique relativiste</u>, <u>le [[w:Lois_du_mouvement_de_Newton#Troisième_loi_de_Newton_ou_principe_d'action-réaction|principe des actions réciproques]] reste applicable</u> dans la mesure où les forces utilisées sont <u>invariantes par changement de référentiel</u> <math>\;\big(</math>et elles le sont toutes, même les forces électromagnétiques à condition de considérer le champ électromagnétique <math>\;\left\lbrace \vec{E}\,,\,\vec{B} \right\rbrace\;</math> dans sa globalité<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}la 2^ème relation «<math>\;\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} = \vec{0}\;</math>» peut s'écrire encore, en utilisant la 1^ère relation, «<math>\;\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|la 2^ème relation «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} = \vec{0}}\;</math>» }}ces deux formes équivalentes traduisent le fait que les supports de <math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\;</math> sont identiques, de support commun <math>\;\left( M_1M_2 \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la 2^ème relation «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} = \vec{0}}\;</math>» }}la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} + \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}\;</math>» ajoutant que les forces sont de sens opposées et de même norme ; {{Al|5}}une des forces étant appelée arbitrairement « action », l'autre est appelée « réaction ». == Résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé == === Définition de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé === {{Al|5}}La <u>résultante des forces intérieures</u> <math>\;\vec{F}_{\text{int}}\;</math> s’exerçant sur un système de points matériels fermé est définie selon <center>«<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right] = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, i - 1}^{j\, =\, i + 1\, ..\, N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]\;</math>».</center> === 1^ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé === {{Al|5}}Une 1^ère conséquence du [[w:Lois_du_mouvement_de_Newton#Troisième_loi_de_Newton_ou_principe_d'action-réaction|principe des actions réciproques]] en dynamique newtonienne est « <u>la nullité de la résultante des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système de points matériels fermé <u>en dynamique newtonienne</u> » soit <center>«<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right] = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, i - 1}^{j\, =\, i + 1\, ..\, N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right] = \vec{0}\;</math>», <br>ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système fermé<ref> En particulier le système de points matériels fermé peut être déformable ou indéformable.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : on peut coupler les forces intérieures selon <math>\;\vec{F}_{i\, \leftarrow\, j}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{j\, \leftarrow\, i}</math>, <math>\;\vec{F}_{\text{int}}\;</math> se réécrit alors «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, >\, i} \left( \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} + \vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} \right) \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}d’après la 1^ère relation du [[w:Lois_du_mouvement_de_Newton#Troisième_loi_de_Newton_ou_principe_d'action-réaction|principe de l'action et de la réaction]] en dynamique newtonienne, on a <math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} + \vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} = \vec{0}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}d’où la propriété énoncée «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarques</u> : <math>\succ\;</math>pour un instant <math>\;t_0\;</math> fixé, le [[w:Lois_du_mouvement_de_Newton#Troisième_loi_de_Newton_ou_principe_d'action-réaction|principe des actions réciproques]] est applicable en dynamique newtonienne à un système de points matériels ouvert puisqu'il n'est alors pas envisagé d'entrée et de sortie de points à travers la surface de contrôle définissant le système ouvert, on peut donc affirmer qu'à cet instant <math>\;t_0\;</math> fixé, <math>\;\vec{F}_{\text{int}}(t_0) = \vec{0}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}toujours en dynamique newtonienne, dès lors qu'on fait varier l'instant <math>\;t_0\;</math> initialement fixé, il peut y avoir entrée et sortie de points à travers la surface de contrôle définissant le système ouvert, ceci entraînant une modification de la définition de la résultante des forces intérieures à un système de points matériels ouvert<ref> Raison pour laquelle on limite l'étude, dans le cadre de la mécanique, aux systèmes fermés <math>\;\big[</math>l'étude des systèmes ouverts étant plus délicate elle sera éventuellement considérée ponctuellement<math>\big]</math>.</ref> dès lors que l'on considère l'instant d'étude non figé, par exemple, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>toujours en dynamique newtonienne, }}s'il y a sortie du point <math>\;M_k\;</math> pendant <math>\;\left[ t_0\,,\,t_0^{+} \right]</math>, cela élimine <math>\;\sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N}^{i\,\neq\,k} \left( \vec{F}_{i\,\leftarrow\,k} + \vec{F}_{k\,\leftarrow\,i} \right)\;</math> initialement présent dans <math>\;\vec{F}_{\text{int}}(t_0)\;</math> mais cette somme <math>\;\sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N}^{i\,\neq\,k} \left( \vec{F}_{i\,\leftarrow\,k} + \vec{F}_{k\,\leftarrow\,i} \right)\;</math> étant nulle à l'instant <math>\;t_0</math>, cela ne change pas le reste de la somme non éliminée dans <math>\;\vec{F}_{\text{int}}(t_0^{+})\;</math> qui demeure nulle à l'instant <math>\;t_0^{+}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>toujours en dynamique newtonienne, }}s'il y a entrée du point <math>\;M_k\;</math> pendant <math>\;\left[ t_0\,,\,t_0^{+} \right]</math>, cela ajoute <math>\;\sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N}^{i\,\neq\,k} \left( \vec{F}_{i\,\leftarrow\,k} + \vec{F}_{k\,\leftarrow\,i} \right)\;</math> initialement absent dans <math>\;\vec{F}_{\text{int}}(t_0)\;</math> mais cette somme <math>\;\sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N}^{i\,\neq\,k} \left( \vec{F}_{i\,\leftarrow\,k} + \vec{F}_{k\,\leftarrow\,i} \right)\;</math> étant nulle à l'instant <math>\;t_0^{+}\;</math> et s'ajoutant à <math>\;\vec{F}_{\text{int}}(t_0)\;</math> qui est initialement nulle, on en déduit <math>\;\vec{F}_{\text{int}}(t_0^{+}) = \vec{0}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en conclusion, si la définition de la résultante des forces intérieures à un système de points matériels ouvert change avec l'instant <math>\;t_0\;</math> considéré, la propriété de « <u>nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels ouvert en dynamique newtonienne</u> » reste applicable pourvu que l'on définisse correctement la résultante des forces intérieures à l'instant d'étude <math>\;t_0</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>Qu'en est-il en dynamique relativiste ? Dans la mesure où le <u>choix du référentiel d'étude de la dynamique relativiste</u> n'influe pas sur <u>l'applicabilité du [[w:Lois_du_mouvement_de_Newton#Troisième_loi_de_Newton_ou_principe_d'action-réaction|principe des actions réciproques]]</u> alors la propriété de « <u>nullité de la résultante des forces intérieures</u> s’exerçant sur le système de points matériels fermé » reste <u>applicable en dynamique relativiste</u><ref> Et il en serait de même de la propriété de « nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système de points matériels ouvert » pourvu que l'on définisse correctement la résultante des forces intérieures à l'instant d'étude <math>\;t_0</math>.</ref>. == Bilan de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé == {{Al|5}}Il y a deux types de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé : === 1^er type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé, les forces de champ === {{Al|5}}Le 1^er type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé est l'« ensemble des <u>forces de champ</u> » comme : * le poids du système <math>\;m_{\text{syst}}\; \vec{g}\;</math> appliqué au « centre de gravité »<ref> C’est le nom historique du « point d'application de la résultante des poids de tous les points matériels », défini comme le « barycentre des positions des points matériels affectés de la norme de leur poids comme cœfficient » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Définition_du_barycentre_d'un_système_de_n_points_pondérés|définition du barycentre d'un système de n points pondérés]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}le C.D.I. <math>\;\big(</math>centre d’inertie<math>\big)\;</math> étant le barycentre des positions des points matériels affectés de leur masse comme cœfficient, et le poids d’un point matériel étant <math>\;\propto\;</math> à sa masse avec comme cœfficient de proportionnalité le champ de pesanteur terrestre du lieu considéré, le centre de gravité est confondu avec le C.D.I. <math>\;\big(</math>centre d’inertie<math>\big)</math>.</ref>, <math>\;\vec{g}\;</math> étant le champ de pesanteur terrestre au lieu envisagé, * la force électrique <math>\;q_{\text{syst}}\; \vec{E}\;</math> appliqué au « centre de charge »<ref> Le « point d’application de la résultante des forces électriques s’exerçant sur tous les points matériels » est défini comme le « barycentre des positions des points matériels affectés de la norme de leur force électrique comme cœfficient » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Définition_du_barycentre_d'un_système_de_n_points_pondérés|définition du barycentre d'un système de n points pondérés]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique]] {{Nobr|[[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|(PCSI)]] »<math>\big]</math> ;}} <br>{{Al|3}}la force électrique s’exerçant sur un point matériel étant <math>\;\propto\;</math> à sa charge avec comme cœfficient de proportionnalité le champ électrique du lieu considéré, ce barycentre est aussi le « barycentre des positions des points matériels affectés de leur charge comme cœfficient » ce qui définit le « centre de charge ».</ref>, dans l'hypothèse où les points matériels seraient chargés et soumis à un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> localement uniforme sur la répartition des points matériels chargés, * <math>\;\ldots</math> === 2^ème type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé, les forces de contact === {{Al|5}}Le 2^ème type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé est l'« ensemble des <u>forces de contact</u> », pour déterminer ces dernières il suffit de réfléchir à ce qui est au contact du système de points matériels fermé, voir les exemples exposés ci-après. == 1^er exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un ressort, cas du ressort idéal == {{Al|5}}Revoir le paragraphe traitant de « l'action d'un ressort idéal sur l'objet avec lequel il est en contact, [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » ; on rappelle les grandes lignes ci-dessous : {{Al|5}}on considère systématiquement<ref> Sauf avis contraire.</ref> un ressort « <u>idéal</u> » c'est-à-dire de « <u>masse négligeable</u> » et « <u>parfaitement élastique</u> », sa longueur à vide étant <math>\;l_0\;</math> et sa raideur <math>\;k\;</math><ref> La raideur <math>\;k\;</math> du ressort étant définie comme le « cœfficient de proportionnalité permettant de passer de la valeur absolue de l'allongement du ressort par rapport à sa longueur à vide à la norme de la tension de ce dernier », dans la mesure où on reste dans le domaine d'élasticité du ressort soit <math>\;k = \dfrac{\left\Vert \vec{T} \right\Vert}{\left\vert \Delta l \right\vert}</math>.</ref>, il suit la <u>loi de Hooke</u><ref name="Hooke"> '''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> à savoir <center>la « force que le ressort exerce sur le système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> au point de liaison <math>\;M\;</math>» s’écrit <br>«<math>\;\vec{T}_{(\mathcal{S})\, \leftarrow\, \text{ressort}}(M) = - k\;\Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math>» avec <br><math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> le vecteur unitaire orientant l’axe du ressort de <math>\;A\;</math> vers <math>\;M\;</math><ref><math>\;A\;</math> étant l’autre extrémité du ressort laquelle peut être mobile.</ref> et <br>«<math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> l'allongement du ressort », <math>\;l = AM\;</math> étant la longueur à charge du ressort.</center> == 2^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fluide, résistance à l'avancement (ou force de frottement fluide) linéaire ou quadratique == === Généralités === {{Al|5}}Il convient tout d'abord de faire la distinction entre : * <u>forces statiques</u> qui existent par simple contact du fluide et du système de points matériels fermé, que ce dernier soit immobile ou en mouvement relativement au fluide ; ce sont des forces de pression dont un exemple est la « [[w:Poussée_d'Archimède|poussée d'Archimède]] »<ref name="Archimède"> '''[[w:Archimède|Archimède de Syracuse]] (vers 287 av J.C. - vers 212 av J.C.)''' est un grand scientifique grec de Sicile, physicien, mathématicien et ingénieur ; <br>{{Al|3}}en physique on lui doit des avancées dans le domaine de l'[[w:Hydrostatique|hydrostatique]], de la mécanique statique et l'explication du principe du levier ;<br>{{Al|3}}en mathématiques il a, entre autres, établi des formules pour calculer des volumes d'expansion tridimensionnelle de révolution, a obtenu un encadrement de <math>\;\pi\;</math> avec une remarquable précision et a introduit la [[w:Spirale_d'Archimède|spirale d'Archimède]] d'équation polaire <math>\;\rho = a\;\theta + b</math>.</ref>{{,}}<ref name="poussée d'Archimède"> Le qualificatif « [[w:Poussée_d'Archimède|poussée d'Archimède]] » est réservé à la résultante des forces de pression exercée par le fluide sur le système de points matériels fermé quand ce dernier est indéformable, sinon il convient de parler de « résultante d'Archimède ».</ref> quand le système est entièrement immergé dans le fluide <math>\;\big[</math>la [[w:Poussée_d'Archimède|poussée d'Archimède]] est une force verticale ascendante s’exerçant sur le système de points matériels fermé, indéformable<ref name="poussée d'Archimède" /> et entièrement immergé dans le fluide, égale au poids de « fluide déplacé »<ref name="fluide déplacé"> C-à-d. le fluide qu'il faudrait mettre à la place du système de points matériels fermé et indéformable sans qu'aucune autre modification ne soit perceptible <math>\;\big(</math>il s'agit d'une opération fictive consistant à retirer le système de points matériels fermé, indéformable et à ajouter du fluide occupant le même volume, cette opération fictive se faisant sans modification de pression en n'importe quel point du fluide initialement présent<math>\big)</math>.</ref> et appliquée au « centre de poussée » c'est-à-dire le C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. du « fluide {{Nobr|déplacé »<ref name="fluide déplacé" />{{,}}<ref> Le C.D.I. <math>\;\big(</math>centre d’inertie<math>\big)\;</math> du « fluide déplacé » est a priori différent du C.D.I. <math>\;\big(</math>centre d’inertie<math>\big)\;</math> du système, ils ne sont confondus que si le système est homogène mais ce n’est en général pas le cas : par exemple un sous-marin contient de la tôle, de l'air, du matériel divers, de l'eau dans les ballastes et <math>\;\ldots\;</math> des humains, alors que le « fluide déplacé » ne contient que de l’eau d'où un centre de poussée différent du C.D.I. <math>\;\big(</math>centre d’inertie<math>\big)\;</math> du sous-marin.</ref>,}} voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Poussée_d'Archimède#Énoncé_du_théorème_d'Archimède_appliqué_à_un_corps_indéformable|énoncé du théorème d'Archimède appliqué à un corps indéformable]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * <u>forces dynamiques</u> qui nécessitent un « mouvement du système de points matériels fermé relativement au fluide »<ref> Ce mouvement est relatif, on peut aussi envisager le « système de points matériels fermé immobile » et le « fluide se déplaçant » comme dans l'exemple de l'action du vent sur un obstacle immobile.</ref> ; ci-dessous nous nous intéresserons à ces « forces de frottement fluide » que nous noterons <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M)</math>, <math>\;M\;</math> étant le point de contact du fluide avec le système de points matériels. === En complément, forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système n'ayant pas d'axe de symétrie ou, s'il en a un, son vecteur vitesse n'étant pas porté par l'axe === {{Al|5}}Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> relativement au fluide immobile <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\succ\;</math><u>n'admet pas d'axe de symétrie de la répartition des masses</u> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\succ\;</math><u>en admet un mais avec un vecteur vitesse de translation non porté par cet axe</u>, {{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}la résultante des forces de frottement fluide exercées sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> notée <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> la résultante des forces de frottement fluide exercées sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<u>n'est pas colinéaire</u> à <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)</math> ; on décompose alors <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> {{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>sur la direction de <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math><ref> Parallèlement à la direction verticale.</ref>, la composante obtenue étant appelée « <u>[[w:Traînée|traînée]]</u> » <u>toujours de sens opposé</u> à <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>sur la direction verticale<ref> Parallèlement à la direction <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)</math>.</ref>, la composante obtenue étant appelée « <u>[[w:Portance_(aérodynamique)|portance]]</u> », celle-ci étant orientée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur la direction verticale, la composante }}<math>\succ\;</math>vers le haut <math>\;\big(</math>exemple : aile d'avion<ref> De façon à permettre la compensation du poids de l'avion.</ref><math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur la direction verticale, la composante }}<math>\succ\;</math>vers le bas <math>\;\big(</math>exemple : aileron de camion ou de voiture de course de <math>\;F_1\;</math><ref> De façon à assurer une bonne tenue de route, la [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]] « plaquant » le camion ou la voiture de course sur celle-ci.</ref><math>\big)</math>. === Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe === {{Al|5}}Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> admet un axe de symétrie de la répartition des masses et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}est en mouvement de translation relativement au fluide immobile avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> porté par cet axe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}la résultante des forces de frottement fluide exercées sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> notée <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> la résultante des forces de frottement fluide }}est <u>colinéaire et dans le sens contraire au vecteur vitesse</u> <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> la résultante des forces de frottement fluide }}la forme de sa variation dépendant toutefois de la norme du vecteur vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> la résultante des forces de frottement fluide la forme de sa variation }}avec les propriétés communes suivantes : {{Al|5}}la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à savoir <math>\;\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t) \Vert\;</math> varie dans le même sens que <math>\succ\;</math>la norme du vecteur vitesse de translation <math>\;\Vert \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t) \Vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> à savoir <math>\;\color{transparent}{\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t) \Vert}\;</math> varie dans le même sens que }}<math>\succ\;</math>« la dimension transversale de <math>\;(\mathcal{S})\;</math>»<ref> C.-à-d. la dimension de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <math>\perp\;</math> à son vecteur vitesse.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> à savoir <math>\;\color{transparent}{\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t) \Vert}\;</math> varie dans le même sens que }}<math>\succ\;</math>« la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide »<ref> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> notée <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en {{Nobr|<math>\;Pa</math>,}} <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> à savoir <math>\;\color{transparent}{\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t) \Vert}\;</math> varie dans le même sens que }}<math>\succ\;</math>« la densité du fluide »<ref> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref>. ==== Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses ==== {{Al|5}}Dans le <u>domaine des faibles vitesses</u><ref name="à préciser"> Domaine qui nécessite d'être précisé et qui le sera dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> de translation du système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> relativement au fluide immobile<ref name="vitesse portée par axe de symétrie de répartition des masses"> On rappelle que <math>\;(\mathcal{S})\;</math> doit avoir un axe de symétrie de répartition des masses d'une part et que son vecteur vitesse de translation doit être porté par cet axe d'autre part ;<br>{{Al|3}}dans le cas où ces nécessités ne seraient pas réalisées, on décompose <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> sur les directions verticale et du vecteur vitesse, la composante sur cette dernière direction définissant la « [[w:Traînée|traînée]] » exercée par le fluide et c'est uniquement sur cette dernière qu'on peut appliquer ce qui est dit, ci-après, sur la résultante des forces de frottement.</ref>, la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <math>\big(</math>encore appelée « résistance du fluide »<math>\big)</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> est de <u>forme linéaire</u> à savoir <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t) = -h\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» où <br><math>\;h\;</math> est une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] et de la densité du fluide <br>ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels » <ref> Par exemple si <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est de forme sphérique de rayon <math>\;R</math>, la résultante des forces de frottement fluide linéaire est donnée par la formule de Stokes «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t) = -6\,\pi\,\eta_{\text{flu}}\,R\,\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» où <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> est la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big(</math>s'exprimant en <math>\;kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}\big)</math>, le cœfficient <math>\;h\;</math> égal à <math>\;6\,\pi\,\eta_{\text{flu}}\,R\;</math> dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\big[</math>mais en apparence ne dépendant pas de sa densité <math>\;\ldots\;</math> ne pas oublier que cette formule n'est valable qu'à faible vitesse, et si celle-ci <math>\;\nearrow</math>, la forme linéaire n'est plus applicable et la densité apparaît<math>\big]</math>, de la dimension transversale de l'objet mais aussi de sa forme par le facteur <math>\;6\,\pi</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]] ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème portant son nom]] mais en fait une 1^ère démonstration de ce théorème fût donnée vingt ans plus tôt par '''[[w:Mikhaïl_Ostrogradski|Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky]] (1801 - 1862)''' physicien et mathématicien russe (province de l'Ukraine) à qui on doit aussi, entre autres, le [[w:Théorème_de_la_divergence|théorème portant son nom]] <math>\;\ldots</math>.</ref>.</center> ==== Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes ==== {{Al|5}}Dans le <u>domaine des vitesses moyennes</u><ref name="à préciser" />, la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <math>\big(</math>encore appelée « résistance du fluide »<math>\big)</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> est de <u>forme quadratique</u> à savoir <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t) = -h'\;V_{(\mathcal{S})}^2(t)\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» où <br> <math>\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> <math>\big[</math>avec <math>\;V_{(\mathcal{S})}(t) = \Vert \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t) \Vert\big]\;</math> et <br><math>\;h'\;</math> est une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] et de la densité du fluide <br>ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels » <ref> Pour faire apparaître la dépendance précisée dans le texte on pose <math>\;h' = \dfrac{1}{2}\;C_x\;S\;\rho_{\text{flu}}\;</math> où <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> est la <u>masse volumique du fluide</u>, <math>\;S\;</math> l'aire du « <u>[[w:Maître-couple|maître couple]]</u> » de l'objet <math>\;\big[</math>le [[w:Maître-couple|maître couple]] étant la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\big]\;</math> et <math>\;C_x\;</math> son <u>[[w:Coefficient de traînée#Définition|cœfficient de traînée]]</u> <math>\;\big[</math>grandeur sans dimension caractéristique de l'aérodynamisme de l'objet lors de son déplacement, il est d'autant plus faible que l'objet a une forme aérodynamique<math>\big]\;</math> <math>\;\big\{h'\;</math> semble en apparence indépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <math>\;\ldots\;</math> ne pas oublier que cette formule n'est valable qu'à vitesse moyenne, et si celle-ci <math>\searrow</math>, la forme quadratique n'est plus applicable cédant la place à la forme linéaire dans laquelle la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] apparaît<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}<u>Quelques valeurs de [[w:Coefficient de traînée#Définition|cœfficient de traînée]] suivant la forme de l'objet</u> <math>\;\big(</math>les commentaires entre parenthèses correspondant à un système de points matériels fermé immobile, le fluide se déplaçant en direction du système<math>\big)</math> : * <math>\;C_{x,\,\text{corps profilé}} \simeq 0,05\;</math> <math>\big[</math>un corps est dit « profilé » s'il possède une surface d'attaque convexe à rayon de courbure faible et une surface de fuite plus anguleuse<math>\big]</math>, <math>\;\big(</math>c'est l'un des plus faibles [[w:Coefficient de traînée#Définition|cœfficients de traînée]] caractéristique d'un bon aérodynamisme<math>\big)</math>, * <math>\;C_{x,\,\text{boule}} \simeq 0,5\;</math> <math>\big(</math>la surface de front étant convexe, le fluide peut « couler » sur l'objet<math>\big)</math>, * <math>\;\!C_{x,\,\text{cylindre avec base de front}} \simeq 1,2\;\!</math> <math>\big(</math>son vecteur vitesse étant suivant l'axe du cylindre, l'aérodynamisme est médiocre car la face de front est plane<math>\big)</math>, * <math>\;C_{x,\,\text{parachute}} \in \left[ 1,4\,;\, 2,3 \right]\;</math> <math>\big(</math>mauvais aérodynamisme mais c'est le but recherché, la surface de front est alors concave d'où une difficulté de l'air de pouvoir « couler » à l'intérieur du parachute pour se retrouver à l'extérieur<math>\big)</math>.</ref> ; <br> la résistance du fluide s'écrit encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t) = -h'\;V_{(\mathcal{S})}(t)\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» avec «<math>\;V_{(\mathcal{S})}(t) = \Vert \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t) \Vert\;</math>»<ref> En effet <math>\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t) = \dfrac{\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)}{V_{(\mathcal{S})}(t)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_{(\mathcal{S})}^2(t)\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t) = V_{(\mathcal{S})}(t)\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)</math>.</ref>.</center> ==== Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées ==== {{Al|5}}Dans le <u>domaine des vitesses élevées</u><ref name="à préciser" />{{,}}<ref> A priori pratiquement jamais considéré même si cette situation devrait être la plus fréquente, la raison de ceci étant que cela complique grandement la résolution d'un problème avec certes une amélioration des résultats mais ne justifiant pas cette complication.</ref>, la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <math>\big(</math>encore appelée « résistance du fluide »<math>\big)</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> est de <u>forme variant plus rapidement que quadratiquement</u> à savoir <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t) = -\mathcal{R}_{\text{flu}_{(\mathcal{S})}}\!\! \left[ V_{(\mathcal{S})} \right](t)\,\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» où <br> <math>\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> <math>\big[</math>avec <math>\;V_{(\mathcal{S})}(t) = \Vert \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t) \Vert\big]\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{R}_{\text{flu}_{(\mathcal{S})}}\!\! \left[ V_{(\mathcal{S})} \right]\;</math> est une fonction <math>\;> 0\;</math> de <math>\;V_{(\mathcal{S})}\;</math> <math>\nearrow\;</math> plus rapidement que <math>\;V_{(\mathcal{S})}^2\;</math>»<ref> Comme <math>\;V_{(\mathcal{S})}^n\;</math> avec <math>\;n\, \in \mathbb{Q}\;</math> et <math>\;n > 2</math>.</ref> <br>dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] et de la densité du fluide ainsi que <br>« de la forme et des dimensions du système de points matériels ».</center> === En complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide === {{Al|5}}Pour choisir entre une forme linéaire ou quadratique voire une forme à variation encore plus rapide de frottement fluide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour choisir }}on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension <math>\;\mathfrak{R}e\;</math> appelé « [[w:Nombre_de_Reynolds|nombre de Reynolds]] »<ref name="Reynolds"> '''[[w:Osborne_Reynolds|Osborne Reynolds]] (1842 - 1912)''' ingénieur et physicien irlandais ayant fait d'importantes contributions à l'[[w:Hydrodynamique_navale|hydrodynamique]] et la [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]] dont la plus importante fut l'introduction en <math>\;1883\;</math> du [[w:Nombre_de_Reynolds|nombre qui porte son nom]].</ref> et défini selon «<math>\;\mathfrak{R}e = \dfrac{V_{(\mathcal{S})}\;L_{(\mathcal{S})}}{\nu_{\text{flu}}}\;</math>» avec <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{R}e}\;</math> appelé « nombre de Reynolds » }}«<math>\;V_{(\mathcal{S})}\;</math> la norme du vecteur vitesse de translation du système », <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{R}e}\;</math> appelé « nombre de Reynolds » }}«<math>\;L_{(\mathcal{S})}\;</math> une longueur caractéristique de la dimension transversale du système » et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{R}e}\;</math> appelé « nombre de Reynolds » }}«<math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> la [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] du fluide », ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{R}e}\;</math> appelé « nombre de Reynolds » et }}défini selon «<math>\;\mathfrak{R}e = \dfrac{\rho_{\text{flu}}\;V_{(\mathcal{S})}\;L_{(\mathcal{S})}}{\eta_{\text{flu}}}\;</math>» avec <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{R}e}\;</math> appelé « nombre de Reynolds » }}«<math>\;V_{(\mathcal{S})}\;</math> la norme du vecteur vitesse de translation du système », <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{R}e}\;</math> appelé « nombre de Reynolds » }}«<math>\;L_{(\mathcal{S})}\;</math> une longueur caractéristique de la dimension transversale du système », <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{R}e}\;</math> appelé « nombre de Reynolds » }}«<math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> la masse volumique du fluide » et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{R}e}\;</math> appelé « nombre de Reynolds » }}«<math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide ». {{Al|5}}Suivant la valeur du [[w:Nombre_de_Reynolds|nombre de Reynolds]]<ref name="Reynolds" /> il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable comme <br>{{Al|10}}{{Transparent|Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide }}<math>\succ\;</math><u>linéaire</u> si <math>\;\mathfrak{R}e \lesssim 1</math>, l'écoulement du fluide autour de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant [[w:Écoulement_laminaire|laminaire]] ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide }}<math>\succ\;</math><u>quadratique</u> si <math>\;10^3 \lesssim \mathfrak{R}e \lesssim 2\,10^5</math>, l'écoulement du fluide autour de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant [[w:Écoulement laminaire#Transition laminaire-turbulent|turbulent]]. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Que choisir si <math>\;1 \lesssim \mathfrak{R}e \lesssim 10^3</math> ? En fait on pourrait considérer <math>\;\mathcal{R}_{\text{flu}_{(\mathcal{S})}}\;</math> variant comme <math>\;V_{(\mathcal{S})}^n\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{Q}\;</math> compris entre <math>\;1\;</math> et <math>\;2</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Que choisir si <math>\;\color{transparent}{1 \lesssim \mathfrak{R}e \lesssim 10^3}</math> ? En fait on pourrait considérer <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{flu}_{(\mathcal{S})}}}\;</math> variant comme <math>\;\color{transparent}{V_{(\mathcal{S})}^n}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{n \in \mathbb{Q}}\;</math> }}d'autant plus proche de <math>\;2\;</math> que le [[w:Nombre_de_Reynolds|nombre de Reynolds]]<ref name="Reynolds" /> est grand mais <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Que choisir si <math>\;\color{transparent}{1 \lesssim \mathfrak{R}e \lesssim 10^3}</math> ? }}pour éviter une trop grande complication on choisira <math>\;1\;</math> pour <math>\;\mathfrak{R}e \lesssim 30\;</math> et <math>\;2\;</math> pour le restant de l'intervalle en étant conscient de commettre une erreur<ref name="comparer théorie et expérience"> Ce qui nécessitera de vérifier le résultat théorique obtenu avec le résultat expérimental.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Que choisir si <math>\;\mathfrak{R}e \gtrsim 2\,10^5</math> ? On pourrait considérer <math>\;\mathcal{R}_{\text{flu}_{(\mathcal{S})}}\;</math> variant comme <math>\;V_{(\mathcal{S})}^n\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{Q}\;</math> supérieur à <math>\;2\;</math> et ceci d'autant plus que le [[w:Nombre_de_Reynolds|nombre de Reynolds]]<ref name="Reynolds" /> est grand mais <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Que choisir si <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{R}e \gtrsim 2\,10^5}</math> ? }}pour éviter une trop grande complication on choisira <math>\;2\;</math> pour <math>\;\dfrac{\mathfrak{R}e}{2\,10^5}\;</math> restant de l'ordre de quelques unités en étant conscient de commettre une erreur<ref name="comparer théorie et expérience" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Que choisir si <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{R}e \gtrsim 2\,10^5}</math> ? }}si la comparaison au résultat expérimental n'est pas satisfaisante ou pourra essayer <math>\;n = 3</math>. ==== Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans l'air ==== {{Al|5}}On considère une boule <math>\;(\mathcal{B})</math>, de rayon <math>\;R</math>, en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{B})}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, }}se déplaçant dans l'air pris dans les conditions de température <math>\;20\,\text{°}C\;</math> et de pression <math>\;1\,bar = 10^5\,Pa</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, }}nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de <math>\;R\;</math> dans les conditions précédentes de température et de pression <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> }}pour que la forme de la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher }}connaissant la valeur de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] de l'air «<math>\;\eta_{\text{air}} \simeq 1,8\,10^{-5}\;kg \cdot m^{-1}\! \cdot s^{-1} = 18\; \mu Pl\;</math>»<ref name="micropoiseuille"> Micropoiseuille.</ref> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher connaissant }}sa masse volumique «<math>\;\rho_{\text{air}} \simeq 1,20\,kg \cdot m^{-3}\;</math> dans ces conditions de température et de pression » donnant <br>{{Al|2}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de }}une [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] de l'air «<math>\;\nu_{\text{air}} = \dfrac{\eta_{\text{air}}}{\rho_{\text{air}}} \simeq \dfrac{1,8\,10^{-5}}{1,20} \simeq 1,5\,10^{-5}\,m^2\!\cdot s^{-1} = 15\;cSt\;</math>»<ref name="centistokes"> Centistokes.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher connaissant }}la « longueur transversale <math>\;L_{(\mathcal{B})}\;</math> caractéristique d'une boule étant son diamètre <math>\;2\,R\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, }}le [[w:Nombre_de_Reynolds|nombre de Reynolds]]<ref name="Reynolds" /> de la boule en translation rectiligne uniforme dans l'air s'écrivant «<math>\;\mathfrak{R}e = \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{\nu_{\text{air}}} \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{1,5\,10^{-5}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, }}la forme de la résistance de l'air sera <math>\blacktriangleright\;</math><u>linéaire</u> si «<math>\;\mathfrak{R}e \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{1,5\,10^{-5}} \lesssim 1\;</math>» correspondant à une vitesse «<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim \dfrac{1,5\,10^{-5}}{2\,R}\;</math> en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'air sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>linéaire }}<math>\succ\;</math>pour une boule de rayon <math>\;R = 0,5\,mm\;</math><ref name="grain de sable"> Correspondant à la dimension d'un grain de sable.</ref>, «<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim \dfrac{1,5\,10^{-5}}{1\,10^{-3}} \simeq 1,5\,10^{-2}\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'air sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>linéaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,mm}\;</math>, }}«<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim 1,5\;cm \cdot s^{-1}\;</math>» ce qui est lent mais réalisable <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'air sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>linéaire }}<math>\succ\;</math>pour une boule de rayon <math>\;R = 0,5\,m\;</math><ref name="homme roulé en boule"> Correspondant à la dimension d'un homme replié sur lui-même.</ref>, «<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim \dfrac{1,5\,10^{-5}}{1} \simeq 1,5\,10^{-5}\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'air sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>linéaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,m}\;</math>, }}«<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim 15\;\mu m \cdot s^{-1}\;</math>» ce qui est beaucoup trop lent pour être réalisable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'air sera }}<math>\blacktriangleright\;</math><u>quadratique</u> si «<math>\;10^3 \lesssim \mathfrak{R}e \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{1,5\,10^{-5}} \lesssim 2\,10^5\;</math>» correspondant à «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ \dfrac{1,5\,10^{-2}}{2\,R}\;,\;\dfrac{3}{2\,R} \right]\;</math> en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="appartenant approximativement"> Le symbole <math>\;\underset{\sim}{\in}\;</math> est personnel, il signifie « appartenant approximativement à ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'air sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique }}<math>\succ\;</math>pour une boule de rayon <math>\;R = 0,5\,mm\;</math><ref name="grain de sable" />, «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ \dfrac{1,5\,10^{-2}}{10^{-3}} \simeq 15\;,\;\dfrac{3}{10^{-3}} \simeq 3000 \right]\;</math> en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'air sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,mm}\;</math>, }}«<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ 15\; m \cdot s^{-1}\;,\;3,0\; km \cdot s^{-1} \right]\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> tout à fait réalisable <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'air sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique }}<math>\succ\;</math>pour une boule de rayon <math>\;R = 0,5\,m\;</math><ref name="homme roulé en boule" />, «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ \dfrac{1,5\,10^{-2}}{1} \simeq 1,5\,10^{-2}\;,\;\dfrac{3}{1} \simeq 3 \right]\;</math> en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'air sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,m}\;</math>, }}«<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ 1,5\; cm \cdot s^{-1}\;,\; 3\; m \cdot s^{-1} \right]\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> ce qui est réalisable<ref> En effet <math>\;3\;m \cdot s^{-1}\;</math> est la vitesse d'un athlète pratiquant la marche.</ref>. {{Al|5}}<u>En conclusion</u>, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;1\;m\;</math> en translation rectiligne uniforme dans l'air, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;\color{transparent}{1\;m}\;</math> }}la forme de la résistance de l'air choisie ne peut pas être linéaire, elle doit être au mieux quadratique, {{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, }}pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;1\;mm\;</math> en translation rectiligne uniforme dans l'air, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;\color{transparent}{1\;mm}\;</math> }}la forme de la résistance de l'air choisie peut être linéaire si l'objet est très lent, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;\color{transparent}{1\;mm}\;</math> la forme de la résistance de l'air }}sinon elle doit raisonnablement être quadratique. ==== Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans l'eau ==== {{Al|5}}On considère une boule <math>\;(\mathcal{B})</math>, de rayon <math>\;R</math>, en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{B})}\;</math> se déplaçant dans l'eau ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, }}nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de <math>\;R\;</math> pour que la forme de la résistance de l'eau soit linéaire ou quadratique <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher }}connaissant la valeur de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] de l'eau «<math>\;\eta_{\text{eau}} \simeq 10^{-3}\;kg \cdot m^{-1}\! \cdot s^{-1} = 1,0\; mPl\;</math>»<ref name="millipoiseuille"> Millipoiseuille.</ref> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher connaissant }}sa masse volumique «<math>\;\rho_{\text{eau}} \simeq 10^3\,kg \cdot m^{-3}\;</math>» donnant <br>{{Al|2}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de }}une [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] de l'eau «<math>\;\nu_{\text{eau}} = \dfrac{\eta_{\text{eau}}}{\rho_{\text{eau}}} \simeq \dfrac{10^{-3}}{10^3} \simeq 10^{-6}\,m^2\!\cdot s^{-1} = 1,0\;cSt\;</math>»<ref name="centistokes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher connaissant }}la « longueur transversale <math>\;L_{(\mathcal{B})}\;</math> caractéristique d'une boule étant son diamètre <math>\;2\,R\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, }}le [[w:Nombre_de_Reynolds|nombre de Reynolds]]<ref name="Reynolds" /> de la boule en translation rectiligne uniforme dans l'eau s'écrivant «<math>\;\mathfrak{R}e = \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{\nu_{\text{eau}}} \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{1,0\,10^{-6}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, }}la forme de la résistance de l'eau sera <math>\blacktriangleright\;</math><u>linéaire</u> si «<math>\;\mathfrak{R}e \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{1,0\,10^{-6}} \lesssim 1\;</math>» correspondant à une vitesse «<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim \dfrac{1,0\,10^{-6}}{2\,R}\;</math> en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'eau sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>linéaire }}<math>\succ\;</math>pour une boule de rayon <math>\;R = 0,5\,mm\;</math><ref name="grain de sable" />, «<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim \dfrac{1,0\,10^{-6}}{1,0\,10^{-3}} \simeq 1,0\,10^{-3}\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'eau sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>linéaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,mm}\;</math>, }}«<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim 1,0\;mm \cdot s^{-1}\;</math>» ce qui est très lent mais réalisable <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'eau sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>linéaire }}<math>\succ\;</math>pour une boule de rayon <math>\;R = 0,5\,m\;</math><ref name="homme roulé en boule" />, «<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim \dfrac{1,0\,10^{-6}}{1,0} \simeq 1,0\,10^{-6}\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'eau sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>linéaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,m}\;</math>, }}«<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim 1,0\;\mu m \cdot s^{-1}\;</math>» beaucoup trop lent pour être réalisable ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'eau sera }}<math>\blacktriangleright\;</math><u>quadratique</u> si «<math>\;10^3 \lesssim \mathfrak{R}e \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{1,0\,10^{-6}} \lesssim 2\,10^5\;</math>» correspondant à «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ \dfrac{1,0\,10^{-3}}{2\,R}\;,\;\dfrac{0,20}{2\,R} \right]\;</math> en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'eau sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique }}<math>\succ\;</math>pour une boule de rayon <math>\;R = 0,5\,mm\;</math><ref name="grain de sable" />, «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ \dfrac{1,0\,10^{-3}}{1,0\,10^{-3}} \simeq 1,0\;;\,\dfrac{0,20}{1,0\,10^{-3}} \simeq 200 \right]</math> en <math>m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> <br>{{Al|6}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'eau sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,mm}\;</math>, }}ou «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ 1,0\; m \cdot s^{-1}\;,\;200\; m \cdot s^{-1} \right]\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> tout à fait réalisable <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'eau sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique }}<math>\succ\;</math>pour une boule de rayon <math>\;R = 0,5\,m\;</math><ref name="homme roulé en boule" />, «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ \dfrac{1,0\,10^{-3}}{1,0} \simeq 10^{-3}\;,\,\dfrac{0,20}{1,0} \simeq 0,20 \right]</math> en <math>m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de l'eau sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,m}\;</math>, }}«<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ 1,0\; mm \cdot s^{-1}\;,\; 20\; cm \cdot s^{-1} \right]\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> ce qui est réalisable en étant toutefois un peu faible voire très faible<ref> En effet <math>\;20\;cm \cdot s^{-1}\;</math> est la vitesse d'un nageur se déplaçant lentement dans l'eau.</ref>. {{Al|5}}<u>En conclusion</u>, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;1\;m\;</math> en translation rectiligne uniforme dans l'eau, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;\color{transparent}{1\;m}\;</math> }}la forme de la résistance de l'eau choisie ne peut pas être linéaire, elle doit être au mieux quadratique, {{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, }}pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;1\;mm\;</math> en translation rectiligne uniforme dans l'eau, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;\color{transparent}{1\;mm}\;</math> }}la forme de la résistance de l'eau choisie peut être linéaire si l'objet est très lent, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;\color{transparent}{1\;mm}\;</math> la forme de la résistance de l'eau }}sinon elle doit raisonnablement être quadratique. ==== Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans la glycérine ==== {{Al|5}}On considère une boule <math>\;(\mathcal{B})</math>, de rayon <math>\;R</math>, en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{B})}\;</math> se déplaçant dans la [[w:Glycérol|glycérine]] ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, }}nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de <math>\;R\;</math> pour que la forme de la résistance de la [[w:Glycérol|glycérine]] soit linéaire ou quadratique <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher }}connaissant la valeur de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] de la [[w:Glycérol|glycérine]] «<math>\;\eta_{\text{glyc}} \simeq 1,49\;kg \cdot m^{-1}\! \cdot s^{-1} = 1,49\; Pl\;</math><ref> Poiseuille.</ref> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher connaissant }}sa masse volumique «<math>\;\rho_{\text{glyc}} \simeq 1,26\,10^3\,kg \cdot m^{-3}\;</math>» donnant <br>{{Al|2}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de }}une [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] de [[w:Glycérol|glycérine]] «<math>\;\nu_{\text{glyc}} = \dfrac{\eta_{\text{glyc}}}{\rho_{\text{glyc}}} \simeq \dfrac{1,49}{1,26\,10^3} \simeq 1,18\,10^{-3}\,m^2\!\cdot s^{-1} = 11,8\;St\;</math><ref> Stokes.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, nous nous proposons de chercher connaissant }}la « longueur transversale <math>\;L_{(\mathcal{B})}\;</math> caractéristique d'une boule étant son diamètre <math>\;2\,R\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, }}le [[w:Nombre_de_Reynolds|nombre de Reynolds]]<ref name="Reynolds" /> de la boule en translation rectiligne uniforme dans la [[w:Glycérol|glycérine]] s'écrivant «<math>\;\mathfrak{R}e = \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{\nu_{\text{glyc}}} \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{1,18\,10^{-3}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, }}la forme de la résistance de la [[w:Glycérol|glycérine]] sera <math>\blacktriangleright\;</math><u>linéaire</u> si «<math>\;\mathfrak{R}e \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{1,18\,10^{-3}} \lesssim 1\;</math>» correspondant à une vitesse «<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim \dfrac{1,18\,10^{-3}}{2\,R}\;</math> en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de la glycérine sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>linéaire }}<math>\succ\;</math>pour une boule de rayon <math>\;R = 0,5\,mm\;</math><ref name="grain de sable" />, «<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim \dfrac{1,18\,10^{-3}}{1,0\,10^{-3}} \simeq 1,18\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de la glycérine sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>linéaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,mm}\;</math>, }}«<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim 1,18\;m \cdot s^{-1}\;</math>» réalisable même si les objets de taille millimétrique se déplacent usuellement beaucoup plus rapidement <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de la glycérine sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>linéaire }}<math>\succ\;</math>pour une boule de rayon <math>\;R = 0,5\,m\;</math><ref name="homme roulé en boule" />, «<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim \dfrac{1,18\,10^{-3}}{1,0} \simeq 1,18\,10^{-3}\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de la glycérine sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>linéaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,m}\;</math>, }}«<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim 1,18\;mm \cdot s^{-1}\;</math>» ce qui est très lent mais néanmoins réalisable même si la vitesse reste « escargotesque »<ref name="escargotesque"> Dont la signification serait « habituel pour un escargot » mais c'est inutile de chercher la définition dans un dictionnaire vous ne la trouverez pas !</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de la glycérine sera }}<math>\blacktriangleright\;</math><u>quadratique</u> si «<math>\;10^3 \lesssim \mathfrak{R}e \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{1,18\,10^{-3}} \lesssim 2\,10^5\;</math>» correspondant à «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ \dfrac{1,18}{2\,R}\;,\;\dfrac{236}{2\,R} \right]\;</math> en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de la glycérine sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique }}<math>\succ\;</math>pour une boule de rayon <math>\;R = 0,5\,mm\;</math><ref name="grain de sable" />, «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ \dfrac{1,18}{1,0\,10^{-3}} \simeq 1,18\,10^3\;;\;\dfrac{236}{1,0\,10^{-3}} \simeq 236\,10^3 \right]\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de la glycérine sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,mm}\;</math>, «<math>\;\color{transparent}{V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}}\;</math> }}en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> <br>{{Al|6}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de la glycérine sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,mm}\;</math>, }}ou «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ 1,18\; km \cdot s^{-1}\;,\;236\; km \cdot s^{-1} \right]\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> <br>{{Al|13}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de la glycérine sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,mm}\;</math>, «<math>\;\color{transparent}{V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}}\;</math> }}ce qui est réalisable<ref> En restant dans le début de l'intervalle car si la vitesse proche de la fin d'intervalle est réalisable pour des petits météoroïdes <math>\;\big(</math>leur vitesse dans l'espace se trouve, pour la plupart d'entre eux, entre <math>\;12\;</math> et <math>\;72\;km \cdot s^{-1}\;</math> suivant la taille<math>\big)\;</math> mais il est évidemment rare qu'ils se déplacent dans la glycérine !</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de la glycérine sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique }}<math>\succ\;</math>pour une boule de rayon <math>\;R = 0,5\,m\;</math><ref name="homme roulé en boule" />, «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ \dfrac{1,18}{1,0} \simeq 1,18\;,\;\dfrac{236}{1,0} \simeq 236 \right]\;</math> en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de la glycérine sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,m}\;</math>, }}«<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\;\left[ 1,18\; m \cdot s^{-1}\;,\; 236\; m \cdot s^{-1} \right]\;</math>»<ref name="appartenant approximativement" /> <br>{{Al|13}}{{Transparent|On considère une boule <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{B})}</math>, la forme de la résistance de la glycérine sera <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>quadratique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour une boule de rayon <math>\;\color{transparent}{R = 0,5\,m}\;</math>, «<math>\;\color{transparent}{V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}}\;</math> }}ce qui est réalisable. {{Al|5}}<u>En conclusion</u>, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;1\;m\;</math> en translation rectiligne uniforme dans la [[w:Glycérol|glycérine]], <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;\color{transparent}{1\;m}\;</math> }}la forme de la résistance de la [[w:Glycérol|glycérine]] choisie peut certes être linéaire pour un objet de vitesse « escargotesque »<ref name="escargotesque" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;\color{transparent}{1\;m}\;</math> la forme de la résistance de la glycérine }}mais, plus vraisemblablement, elle doit être quadratique, {{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, }}pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;1\;mm\;</math> en translation rectiligne uniforme dans la [[w:Glycérol|glycérine]], <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;\color{transparent}{1\;mm}\;</math> }}la forme de la résistance de la [[w:Glycérol|glycérine]] choisie peut encore linéaire aux faibles vitesses, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;\color{transparent}{1\;mm}\;</math> la forme de la résistance de la glycérine }}mais elle doit raisonnablement être quadratique. ==== Conclusion ==== {{Al|5}}L'étude précédente nous montre qu'une forme linéaire de résistance de fluide est rare car nécessitant, le plus souvent, des vitesses trop faibles, à l'exception de fluide très visqueux comme la [[w:Glycérol|glycérine]], <u>il est donc vraisemblable que la résistance du fluide soit quadratique</u><ref> Si néanmoins on vous impose une résistance de fluide de forme linéaire pour traiter le problème posé avec un fluide modérément visqueux comme l'eau ou l'air, vous ne devez pas remettre en cause cette forme <math>\;\big(</math>sauf si la question est posée en fin de problème et à condition que soit rappelée la définition du [[w:Nombre_de_Reynolds|nombre de Reynolds]] et ses valeurs nécessaires pour avoir une forme linéaire ou {{Nobr|quadratique<math>\big)</math>.}}</ref>. == 3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c'est-à-dire sans frottement) ou non idéales (c'est-à-dire avec frottement) == === Notions de liaisons unilatérale ou bilatérale === {{Al|5}}Nous supposons que le système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est en contact avec un ou deux support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposons }}suivant le nombre de supports en contact « un » ou « deux » <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est dit en liaisons « unilatérale » ou « bilatérale » soit, plus précisément : ==== Liaison unilatérale ==== [[File:Liaison unilatérale.png|thumb|Schéma de positionnement d'un système de points matériels fermé <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en liaison unilatérale avec un support solide <math>\;\left( \Sigma \right)</math>, position en contact et position hors contact]] {{Al|5}}Lorsqu'un système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est au contact de la surface d'un support solide <math>\;(\Sigma)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lors}}qu'il peut occuper toute position située d'un côté de cette surface <math>\;\big(</math>en général l'extérieur du support<ref> Mais ce peut aussi être l'intérieur.</ref><math>\big)</math>, on dit qu'il est en « <u>liaison unilatérale</u> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'il peut occuper toute position située d'un côté de cette surface }}<math>\;\big(</math>voir figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le support solide <math>\;(\Sigma)\;</math> exerce en tout point de contact avec le système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> exerce }}une force empêchant ce dernier de traverser la surface de contact, <br>{{Al|5}}la résultante des forces exercées par <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est appelée « réaction de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math>» et notée <math>\;\vec{R}_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,(\Sigma)}\;</math> ou plus simplement <br>{{Al|5}}{{Transparent|la résultante des forces exercées par <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> est appelée « réaction de <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math>» et notée }}<math>\;\vec{R}\;</math> quand il n'y a pas d'ambiguïté ; {{Al|5}}quand il y a contact effectif entre <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;(\Sigma)</math>, «<math>\;\vec{R}\;</math> est dirigée vers l'extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> si le domaine non interdit de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est l'extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math>»<ref name="ou l'intérieur"> Et vers l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> si le domaine non interdit de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est l'intérieur de <math>\;(\Sigma)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}quand il n'y a plus contact entre <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;(\Sigma)</math>, «<math>\;\vec{R}= \vec{0}\;</math>» <center><math>\;\big(</math>voir figure ci-contre à droite<math>\big)</math>.</center> ==== Liaison bilatérale ==== [[File:Liaison bilatérale.png|thumb|left|Schéma de positionnement d'un système de points matériels fermé en liaison bilatérale avec deux supports solides de surface en regard <math>\;\Sigma_{\text{int}}\;</math> et <math>\;\Sigma_{\text{ext}}</math>, <br>position en contact sur <math>\;\Sigma_{\text{int}}\;</math> et <br>{position en contact sur <math>\;\Sigma_{\text{ext}}</math>]] {{Al|5}}Lorsqu'un système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est au contact des surfaces voisines <math>\;\Sigma_{\text{int}}\;</math> et <math>\;\Sigma_{\text{ext}}\;</math> de deux supports solides et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lors}}qu'il ne peut occuper que les positions situées entre ces deux surfaces, on dit qu'il est en « <u>liaison bilatérale</u> » <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; {{Al|5}}pratiquement le contact est assuré avec l'une ou l'autre des surfaces des supports solides <math>\;(\Sigma_{\text{int}})\;</math> et <math>\;(\Sigma_{\text{ext}})</math>, mais pas les deux simultanément<ref> Il y a « du jeu » à l'échelle mésoscopique permettant au système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> de se déplacer entre les deux surfaces et c’est « ce jeu » qui fait que le contact n'existe qu'avec une des deux surfaces à la fois.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pratiquement }}quand l'un d'entre eux <math>\;(\Sigma_{\text{int}})\;</math> ou <math>\;(\Sigma_{\text{ext}})\;</math> est en contact effectif avec le système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pratiquement quand l'un d'entre eux }}<math>\;(\Sigma_{\text{int}})\;</math> ou <math>\;(\Sigma_{\text{ext}})\;</math> exerce, en tout point de ce contact, une force empêchant <math>\;(\mathcal{S})\;</math> de traverser la surface de contact, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pratiquement quand l'un d'entre eux }}la résultante des forces exercées par l'une ou l'autre des surfaces des supports solides <math>\;(\Sigma_{\text{int}})\;</math> ou <math>\;(\Sigma_{\text{ext}})\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pratiquement quand l'un d'entre eux la résultante des forces }}est appelée « réaction de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math>»<ref> Pour éviter la lourdeur d'écriture on note <math>\;(\Sigma)\;</math> la réunion <math>\;(\Sigma_{\text{int}}) \cup (\Sigma_{\text{ext}})</math>.</ref> et notée <math>\;\vec{R}_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,(\Sigma)}\;</math> ou plus simplement <br>{{Al|10}}{{Transparent|pratiquement quand l'un d'entre eux la résultante des forces est appelée « réaction de <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math>» et notée }}<math>\;\vec{R}\;</math> quand il n'y a pas d'ambiguïté ; {{Al|5}}«<math>\;\vec{R}\;</math> est donc dans un sens ou un autre suivant que le contact effectif est avec l'une ou l'autre des surfaces des supports solides <math>\;(\Sigma_{\text{int}})\;</math> ou <math>\;(\Sigma_{\text{ext}})\;</math>»<ref name="contact effectif"> Mais à l'échelle macroscopique il est a priori impossible de savoir sur quelle surface il y a contact.</ref> : {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact effectif de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est avec <math>\;(\Sigma_{\text{int}})\;</math><ref name="contact effectif" />, «<math>\;\vec{R}\;</math> est dirigé vers <math>\;(\Sigma_{\text{ext}})\;</math>» <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact effectif de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est avec <math>\;(\Sigma_{\text{ext}})\;</math><ref name="contact effectif" />, «<math>\;\vec{R}\;</math> est dirigé vers <math>\;(\Sigma_{\text{int}})\;</math>» <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre à gauche<math>\big)</math>. <br><br> === Composante normale de réaction et force de frottement solide === {{Al|5}}Soit <math>\;\vec{n}\;</math> un vecteur unitaire normal à la surface <math>\;\big(</math>commune<math>\big)</math> <math>\;\Sigma\;</math> du ou des support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)\;</math><ref> Dans le cas d'une liaison bilatérale, les deux surfaces en regard <math>\;\Sigma_{\text{int}}\;</math> et <math>\;\Sigma_{\text{ext}}\;</math> étant proches l'une de l'autre sont considérées superposées et appelées d'un nom unique <math>\;\Sigma</math>.</ref> défini au « point d’application de la réaction de <math>\;\vec{R}\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math>»<ref> Si <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est une boule, le contact est alors ponctuel et le point d’application est alors parfaitement défini ; <br>{{Al|3}}si <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est un parallélépipède rectangle avec la surface <math>\;\Sigma\;</math> du ou des support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)\;</math> plane, le contact est étendu et dans la mesure où les forces de réaction aux différents points de contact sont uniformes, le point d’application de la résultante est le centre de symétrie de la surface de contact <math>\;\big[</math>centre de la base rectangulaire de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> par exemple si le contact est assuré sur toute la base<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}c’est le point d’application de la résultante que nous appellerons par la suite « point de contact ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> }}son sens est choisi usuellement, « en cas de liaison unilatérale, vers l'extérieur du support solide de surface <math>\;\Sigma\;</math> si le domaine non interdit de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est l'extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="ou l'intérieur" /> » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> son sens est choisi }}arbitrairement « en cas de liaison bilatérale » ; {{Al|5}}nous notons <math>\;\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\vec{R}_n\;</math> la projection de <math>\;\vec{R}\;</math> sur la normale » soit «<math>\;\vec{R}_n = R_n\; \vec{n}\;</math>» où <math>\;R_n\;</math> est appelée « composante normale de la réaction » <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous notons <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\vec{R}_n}\;</math> la projection de <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> sur la normale » soit «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}_n = R_n\; \vec{n}}\;</math>» où <math>\;\color{transparent}{R_n}\;</math> }}laquelle est <math>\;\geqslant 0\;</math><ref> Nulle en cas d'absence de contact.</ref> pour une liaison unilatérale et de valeur réelle quelconque pour une liaison bilatérale<ref> <math>\;> 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> suivant la surface qui est en contact effectif <math>\;\big[</math>si <math>\;\vec{n}\;</math> est orienté vers <math>\;( \Sigma_{\text{ext}} )</math>, «<math>\;R_n\;</math> est <math>\;> 0\;</math> si <math>\;\vec{R}_n\;</math> est orienté vers <math>\;( \Sigma_{\text{ext}} )\;</math>», «<math>\;< 0\;</math> sinon »<math>\big]\;</math> ou <br>{{Al|3}}nulle si <math>\;(\mathcal{S})\;</math> « lévite » entre les deux surfaces en regard.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous notons }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\vec{R}_\tau\;</math> la projection de <math>\;\vec{R}\;</math> sur le plan tangent à <math>\;(\Sigma)\;</math> au point de contact » soit «<math>\;\vec{R}_\tau = R_\tau\; \vec{\tau}\;</math>»<ref> Pour l'instant <math>\;\vec{\tau}\;</math> est simplement un vecteur unitaire du plan tangent à <math>\;(\Sigma)\;</math> défini au point de contact et choisi suivant la direction de la projection de <math>\;\vec{R}\;</math> sur le plan tangent, son sens étant encore, pour l’instant, arbitraire ; par suite il sera défini plus précisément, voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_sans_glissement_de_Coulomb|loi de frottement solide sans glissement de Coulomb]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]] » plus loin dans ce chapitre.</ref> où <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est appelée « force de frottement solide »<ref> <math>\;R_\tau\;</math> étant la « composante tangentielle de la réaction ».</ref> ; {{Al|5}}finalement «<math>\;\vec{R} = R_n\; \vec{n} + \vec{R}_\tau\;</math>» avec «<math>\;R_n \geqslant 0\;</math> en liaison unilatérale et <math>\;R_n\;</math> quelconque en liaison bilatérale ». === Notions de liaisons « idéale » (ou sans frottement) et « non idéale » (ou avec frottement) === <center>On peut encore remplacer « liaison idéale » par « liaison parfaite » et{{Al|10}} <br>{{Transparent|On peut encore remplacer }}« liaison non idéale » par « liaison non parfaite ».<br>Ci-dessous on utilise la définition de la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_:_Puissance_et_travail#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » à voir au chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}La puissance développée par la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> du support <math>\;(\Sigma)\;</math> sur le système de points matériels fermé indéformable <math>\;( \mathcal{S} )\;</math> dans un référentiel lié à <math>\;(\Sigma)\;</math> s'écrivant «<math>\;\mathcal{P}(\vec{R}) = \vec{R} \cdot \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du support <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> sur }}le système de points matériels fermé indéformable <math>\;( \mathcal{S} )\;</math> étant en translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> relativement à <math>\;(\Sigma)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> }}se réécrit, en utilisant la décomposition de <math>\;\vec{R}\;</math> précédemment introduite<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Composante_normale_de_réaction_et_force_de_frottement_solide|composante normale de réaction et force de frottement solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\mathcal{P}(\vec{R}) = \left[ R_n\;\vec{n} + \vec{R}_\tau \right]\! \cdot \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t) = \cancel{R_n\;\vec{n} \cdot \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\; +}\; \vec{R}_\tau \cdot \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|La puissance développée par la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> se réécrit, en utilisant la décomposition de <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> précédemment introduite }}<math>\;\big[</math>le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> étant nécessairement dans le plan tangent à <math>\;(\Sigma)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> se réécrit, }}«<math>\;\mathcal{P}(\vec{R}) = \vec{R}_\tau \cdot \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>»<ref> Ceci n'ayant de sens que si <math>\;\vec{R}\;</math> existe c.-à-d. s'il y a contact entre <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;(\Sigma)</math>, toujours réalisé en liaison bilatérale mais conditionnel en liaison unilatérale.</ref> ; on distingue alors deux types de liaisons : ==== Liaison idéale (ou sans frottement) ==== {{Al|5}}Le système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est dit « <u>en liaison idéale</u><math>\;\big(</math><u>ou sans frottement</u><math>\big)\;</math>» avec la surface <math>\;\Sigma\;</math> du ou des support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)</math> si «<math>\;\vec{R}_\tau = \vec{0}\;</math>»<ref name="valable au repos ou en mouvement"> Cette définition est valable dans le cas où <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est au repos mais aussi dans celui où il est en translation relativement au référentiel lié à <math>\;(\Sigma)</math>.</ref> ; <center>la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de la surface <math>\;\Sigma\;</math> sur le système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est donc « <u>toujours</u><math>\;\perp\;</math><u>à la surface</u><math>\;\Sigma\;</math>» du ou des support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)</math>.</center> {{Al|5}}Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est en mouvement de translation relativement au référentiel lié à <math>\;(\Sigma)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où }}il est équivalent de définir la liaison de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> avec la surface <math>\;\Sigma\;</math> du ou des support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)</math> comme « <u>idéale</u><math>\;\big(</math><u>ou sans frottement</u><math>\big)\;</math>» si «<math>\;\mathcal{P}(\vec{R}) = 0\;</math>». ==== Liaison non idéale (ou avec frottement) ==== {{Al|5}}Le système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est dit « <u>en liaison non idéale</u><math>\;\big(</math><u>ou avec frottement</u><math>\big)\;</math>» avec la surface <math>\;\Sigma\;</math> du ou des support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)</math> si, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> est dit « en liaison non idéale}}<math>\succ\;</math>en envisageant toute situation de repos de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> par rapport à <math>\;(\Sigma)</math>, « il y en a au moins une où <math>\;\vec{R}_\tau \neq \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> est dit « en liaison non idéale}}<math>\succ\;</math>dans tout état de translation de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> par rapport à <math>\;(\Sigma)</math>, « la force de frottement solide <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est toujours <math>\;\neq \vec{0}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> est dit « en liaison non idéale}}la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de la surface <math>\;\Sigma\;</math> sur le système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est donc telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> est dit « en liaison non idéale la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math>}}<math>\blacktriangleright\;</math>il existe « au moins un cas de repos de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> relativement à <math>\;(\Sigma)\;</math> où <math>\;\vec{R}\; \not\perp\;</math> à <math>\;\Sigma\;</math>»<ref> Dans l'exemple d’une caisse au repos sur un plan horizontal et en liaison non idéale avec ce dernier, la seule force pouvant engendrer un mouvement de la caisse « son poids » étant <math>\;\perp\;</math> au plan, elle est en équilibre avec la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> opposée au poids donc <math>\;\vec{R}\; \perp\;</math> au plan, bien que la liaison ne soit pas idéale, mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}si on cherche à déplacer la caisse vers la droite sans y arriver, elle est donc toujours en équilibre, il existe alors une composante tangentielle de la réaction opposée à la force tangentielle exercée pour tenter de déplacer la caisse et <math>\;\vec{R}\; \not\perp\;</math> au plan.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> est dit « en liaison non idéale la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math>}}<math>\blacktriangleright\;</math>dans l'hypothèse de translation de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> par rapport à <math>\;(\Sigma)</math>, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Le système de points matériels fermé indéformable <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> est dit « en liaison non idéale la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>dans l'hypothèse de translation de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}« la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est toujours <math>\;\not\perp\;</math> à <math>\;\Sigma\;</math>». {{Al|5}}Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est en mouvement de translation relativement au référentiel lié à <math>\;(\Sigma)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où }}il est équivalent de définir la liaison de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> avec la surface <math>\;\Sigma\;</math> du ou des support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)</math> comme « <u>non idéale</u><math>\;\big(</math><u>ou avec frottement</u><math>\big)\;</math>» si «<math>\;\mathcal{P}(\vec{R}) \neq 0\;</math>». === Expressions empiriques des lois de frottement « solide » de Coulomb === <center>lois expérimentales s’appliquant à une liaison « non idéale » quelle soit unilatérale ou bilatérale, lois dites « de Coulomb »<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> en hommage à ce dernier.</center> {{Al|5}}En toute rigueur il y a toujours des frottements naturels dus à la rugosité entre <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;(\Sigma)</math>, indispensables dans certaines situations <math>\;\big(</math>sans frottements, nous ne pourrions pas marcher sur Terre<math>\big)\;</math> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En toute rigueur il y a toujours des frottements naturels dus à la rugosité entre <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}</math>, }}indésirables dans d’autres ; {{Al|5}}pour éliminer les frottements naturels si tel est le cas, il est nécessaire d'avoir des surfaces très polies <math>\;\big(</math>comme des surfaces verglacées<math>\big)\;</math> ou <math>\;\big(</math>et<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour éliminer les frottements naturels si tel est le cas, il est nécessaire }}de mettre une « couche de fluide <math>\;\big(</math>coussin d’air ou film d’huile<math>\big)\;</math> entre <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;(\Sigma)\;</math>»<ref> Dans ce cas, en toute rigueur, l’ajout de fluide remplace les frottements de type solide par ceux de type fluide mais, si la vitesse n’est pas trop élevée, la force de frottement fluide est nettement plus faible que celle de frottement solide due à la rugosité.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour éliminer les frottements naturels si tel est le cas, il est nécessaire de mettre }}ceci entraînant une «<math>\;\searrow\;</math> importante des forces de frottement solide »<ref> Ou le remplacement par des forces de frottement fluide nettement plus faibles que celles de frottement solide.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour éliminer les frottements naturels si tel est le cas, il est nécessaire de mettre }}il devient légitime de négliger les frottements initialement solides c'est-à-dire de considérer la liaison comme idéale. {{Al|5}}Dans le cas d'une liaison réellement non idéale, on doit distinguer la situation de « repos » de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur le ou les support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)\;</math> de surface <math>\;\Sigma\;</math> dans le référentiel lié à cette dernière <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas d'une liaison réellement non idéale, on doit distinguer }}de celle du « mouvement de translation » de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur le ou les support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)\;</math> de surface <math>\;\Sigma\;</math> dans le référentiel lié à <math>\;( \Sigma )</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas d'une liaison réellement non idéale, on doit distinguer }}pour énoncer les lois empiriques de frottement solide de Coulomb<ref name="Coulomb" /> : ==== Loi de frottement « solide » sans glissement de Coulomb ==== [[File:Liaison non idéale sans glissement - vue de profil.png|thumb|300px|Schéma de profil d'une liaison unilatérale non idéale entre un système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et un support solide de surface <math>\;\Sigma</math>, situation de repos malgré une force <math>\;\vec{F}_m\;</math> tendant à faire glisser le système, propriété de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> par rapport à la normale ainsi que de la force de frottement solide <math>\;\vec{R}_\tau</math>]] {{Al|5}}<math>\;(\mathcal{S})\;</math> est au repos sur le ou les support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)\;</math> de surface <math>\;\Sigma\;</math> dans le référentiel lié à cette dernière <math>\big[</math>a priori « présence de force de frottement solide <math>\;\vec{R}_\tau\;</math>»<ref> Mais celle-ci peut accessoirement être nulle.</ref> avec absence de glissement<math>\big]</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre où la liaison est unilatérale<ref name="non indispensable"> Mais le caractère unilatéral n'est pas indispensable, les propriétés trouvées restent applicables <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> dans le cas d'une liaison bilatérale.</ref><math>\big)</math> ; {{Al|5}}si une force <math>\;\vec{F}_m\;</math> tend à faire glisser <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math> suivant <math>\;\vec{V}_{\text{mouv. hyp}_(\mathcal{S})}\;</math> <math>\big[\!\Rightarrow</math> choix du vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math> dans le « sens de la force qui pourrait créer le déplacement » c'est-à-dire le « sens de <math>\;\vec{V}_{\text{mouv. hyp}_(\mathcal{S})}\;</math>» ou encore le « sens du mouvement de glissement susceptible de se produire »<ref name="choix de tau"> Jusqu'à présent le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math> était simplement choisi, de façon arbitraire, dans le plan tangent à <math>\;(\Sigma)\;</math> au point de contact de <math>\;( \mathcal{S} )\;</math> en supposant que ce choix de direction correspondrait à celle de la projection de <math>\;\vec{R}\;</math> sur le plan tangent, <br>{{Al|3}}maintenant ce choix est précisé dans le cas d'une situation de repos de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> suivant <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\text{mouv. hyp}_(\mathcal{S})}}\;</math> }}le support solide <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="cas de liaison bilatérale"> Dans le cas d'une liaison bilatérale il s'agit du support solide sur lequel le contact avec <math>\;( \mathcal{S} )\;</math> est effectif c.-à-d. <math>\;(\Sigma_{\text{int}})\;</math> ou <math>\;(\Sigma_{\text{ext}})</math>.</ref> réagit en exerçant sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> une force de frottement solide <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> s'opposant à la mise en mouvement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;\Sigma</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire de même direction et de sens contraire à <math>\;\vec{V}_{\text{mouv. hyp}_(\mathcal{S})}\big]</math> ; {{Al|5}}sur l'exemple ci-contre, la force <math>\;\vec{F}_m\;</math> tendant à déplacer <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est exercée vers la gauche <math>\Rightarrow</math> la création, de la part de <math>\;(\Sigma)</math>, d'une force de frottement solide <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> orientée vers la droite ; {{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, }}s'il n'y a pas glissement, <math>\;\vec{R}_\tau = -\vec{F}_m</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, }}si on fait <math>\;\nearrow\, \Vert \vec{F}_m \Vert</math>, la norme de la force de frottement solide <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert\, \nearrow\;</math> pour maintenir le repos <math>\;\ldots\;</math> mais <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert\;</math> ne pouvant <math>\;\nearrow\;</math> indéfiniment, on observe qu'il existe une valeur de <math>\;\Vert \vec{F}_m \Vert\;</math> à partir de laquelle le glissement s'amorcera ; {{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, }}de même la composante normale de la réaction <math>\;R_n\,\vec{n}\;</math> s’oppose à la pénétration de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans <math>\;(\Sigma)</math>, or <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, de même }}la force pressante <math>\;\vec{F}_p\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="distinction Fp de Fm"> <math>\;\vec{F}_m\;</math> étant la composante tangentielle de la somme des forces extérieures exercées sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en dehors de la réaction de <math>\;(\Sigma)</math>, <math>\;\vec{F}_p\;</math> en est la composante normale.</ref> s'exerçant normalement <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_n\,\vec{n} = -\vec{F}_p\;</math> en absence de pénétration <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, de même }}et si la force <math>\;\vec{F}_m\;</math> tangentielle varie sans modifier la force pressante <math>\;\vec{F}_p\;</math> de direction normale<ref> Pour faire <math>\;\nearrow\, \Vert \vec{F}_m \Vert</math>, il suffit d'ajouter une force tangentiellement et par conséquent cela ne modifie aucunement la composante normale de la somme des forces extérieures exercées sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en dehors de la réaction de <math>\;(\Sigma)</math>.</ref>, <math>\;R_n\,\vec{n} = -\vec{F}_p\;</math> en absence de pénétration reste applicable <math>\Rightarrow</math> la norme de la composante normale de la réaction <math>\;R_n\;</math> reste une constante indépendante de <math>\;\Vert \vec{F}_m \Vert</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, }}en résumé, tant que <math>\;(\mathcal{S})\;</math> ne glisse pas sur <math>\;(\Sigma)</math>, la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{F}_m \Vert\;</math> sans modifier <math>\;\vec{F}_p\;</math> s'accompagne d'une <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert\;</math> à <math>\;R_n\;</math> constant c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, en résumé, tant que <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> ne glisse pas sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}</math>, la <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\Vert \vec{F}_m \Vert}\;</math> sans modifier <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_p}\;</math> s'accompagne }}d'une <math>\;\nearrow\;</math> de l'inclinaison de <math>\;\vec{R}\;</math> relativement à la normale ; [[File:Liaison non idéale sans glissement - vue de perspective.png|thumb|300px|Schéma de perspective d'une liaison unilatérale non idéale entre un système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et un support solide de surface <math>\;\Sigma</math>, situation de repos malgré une force <math>\;\vec{F}_m\;</math> tendant à faire glisser le système, propriété de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> relativement au cône limite de frottement défini au point de contact]] {{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, }}la « valeur maximale de <math>\;\Vert \vec{F}_m \Vert\;</math> pour laquelle le non glissement est maintenu », définit un « angle maximal d’inclinaison de <math>\;\vec{R}\;</math> par rapport à la normale pour qu'il n'y ait pas glissement » ; cet angle maximal d'inclinaison est noté <math>\;\varphi\;</math> et appelé « <u>angle limite de frottement</u><math>\;\big(</math>solide<math>\big)\;</math>»<ref> Il caractérise le frottement solide entre <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;(\Sigma)</math>, dépendant de la nature de chaque solide ainsi que de la plus ou moins grande rugosité de chacun d'entre pris individuellement mais aussi collectivement <math>\;\big[</math>dans le cas d'une liaison bilatérale il faut remplacer <math>\;(\Sigma)\;</math> par <math>\;(\Sigma_{\text{int}})\;</math> ou <math>\;(\Sigma_{\text{ext}})\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, }}on définit aussi le « <u>cône limite de frottement</u><math>\;\big(</math>solide<math>\big)\;</math>» au point de contact <math>\;M\;</math><ref> <math>\;M\;</math> étant le point d'application de la résultante des réactions de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})</math>, <math>\;\big[</math>dans le cas d'une liaison bilatérale il faut remplacer <math>\;(\Sigma)\;</math> par <math>\;(\Sigma_{\text{int}})\;</math> ou <math>\;(\Sigma_{\text{ext}})</math>, <math>\;M\;</math> étant alors situé sur la surface de ces derniers à savoir <math>\;\Sigma_{\text{int}}\;</math> ou <math>\;\Sigma_{\text{ext}}\big]</math>.</ref>, comme le « cône de révolution, de sommet <math>\;M</math>, d’axe normal à <math>\;(\Sigma)\;</math> en <math>\;M\;</math> et de demi angle au sommet <math>\;\varphi\;</math>» <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, }}la condition de non glissement s'énonce alors selon : <center>« tant qu'il n'y a pas glissement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="cas de liaison bilatérale" />, la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> reste strictement à l'intérieur du cône limite de frottement » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, }}d'après le schéma précédent ci-dessus à droite, <math>\;\vec{R}\;</math> reste strictement à l'intérieur du cône limite de frottement <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, d'après le schéma précédent ci-dessus à droite, }}« ssi <math>\;\alpha < \varphi\;</math> avec <math>\;\alpha\;</math> l'angle non orienté entre <math>\;\vec{R}\;</math> et <math>\;\vec{n}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, d'après le schéma précédent ci-dessus à droite, }}ce qui est une 2^nde écriture de la condition de non glissement<ref> La 1^ère étant <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert < \Vert \vec{F}_m \Vert_{\text{max pour non glissement}}</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, }}on en déduit encore, avec «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{\Vert \vec{R}_\tau \Vert}{R_n}\;</math>» et en introduisant le « <u>cœfficient de frottement solide</u> <math>\;f = \tan(\varphi)\;</math>»<ref name="f sans dimension"> <math>\;f\;</math> est une grandeur <u>sans dimension</u>, ce <u>n’est en aucun cas une force</u> et en particulier <u>ce n'est pas la force de frottement solide</u> <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur l'exemple ci-contre, on en déduit encore, }}que la condition de non glissement <math>\;\alpha < \varphi\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\alpha) < \tan(\varphi)\;</math> se réécrit «<math>\;\dfrac{\Vert \vec{R}_\tau \Vert}{R_n} < f\;</math>» et au final <center>la loi de frottement « solide » sans glissement de Coulomb<ref name="Coulomb" /> s'énonce selon <br>«<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert < f\; R_n\;</math>» avec «<math>\;f\;</math> le cœfficient de frottement solide entre <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="cas de liaison bilatérale" /> ».</center> ==== Loi de frottement « solide » avec glissement de Coulomb ==== [[File:Liaison non idéale avec glissement - vue de perspective.png|thumb|300px|Schéma de perspective d'une liaison unilatérale non idéale entre un système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et un support solide de surface <math>\;\Sigma</math>, situation de glissement du système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur la surface <math>\;\Sigma\;</math> du support solide due à une force <math>\;\vec{F}_m</math>, propriété de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> relativement au cône limite de frottement défini au point de contact]] [[File:Liaison non idéale avec glissement - vue de profil.png|thumb|300px|Schéma de profil d'une liaison unilatérale non idéale entre un système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et un support solide de surface <math>\;\Sigma</math>, situation de glissement du système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur la surface <math>\;\Sigma\;</math> du support solide due à une force <math>\;\vec{F}_m</math>, propriété de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> par rapport à la normale ainsi que de la force de frottement solide <math>\;\vec{R}_\tau</math>]] {{Al|5}}Si une force <math>\;\vec{F}_m\;</math> tend à faire glisser <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur le ou les support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)\;</math> de surface <math>\;\Sigma\;</math> dans le référentiel lié à cette dernière suivant <math>\;\vec{V}_{\text{mouv. hyp}_(\mathcal{S})}</math>, le support solide <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="cas de liaison bilatérale" /> réagit en exerçant sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> une force de frottement <math>\;\big(</math>solide<math>\big)</math> <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> s'opposant à sa mise en mouvement <math>\;\big[</math>c'est-à-dire de même direction et de sens contraire à <math>\;\vec{V}_{\text{mouv. hyp}_(\mathcal{S})}\big]</math> <math>\;\big(</math>dernier schéma dans « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_sans_glissement_de_Coulomb|loi de frottement solide sans glissement de Coulomb]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}si <math>\;\Vert \vec{F}_m \Vert\;</math> dépasse la valeur maximale de non glissement <math>\;\Vert \vec{F}_m \Vert_{\text{max pour non glissement}}</math>, le système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> se met à glisser sur <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="cas de liaison bilatérale" /> dans la direction et le sens de <math>\;\vec{F}_m\;</math> <math>\big[</math>qui sont aussi la direction et le sens de <math>\;\vec{V}_{\text{mouv. hyp}_(\mathcal{S})}</math>, le mouvement hypothétique devenant ainsi réel<math>\big]\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> dépendant de l'instant <math>\;t\;</math> repéré à partir du début du glissement ; {{Al|5}}{{Transparent|Si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}pendant le temps du glissement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="cas de liaison bilatérale" />, la force de frottement <math>\;\big(</math>solide<math>\big)</math> <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> garde la direction de <math>\;\vec{F}_m\;</math> et le sens opposé à celui de cette dernière <math>\;\big[\vec{R}_\tau\;</math> a pour direction celle de <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> et pour sens le sens opposé à <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\big]</math>, elle s'oppose donc au mouvement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="cas de liaison bilatérale" /> dans le référentiel lié au<math>\big(</math>x<math>\big)</math> support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)</math> ; reste à évaluer la norme de la force de frottement <math>\;\big(</math>solide<math>\big)</math> <math>\;\vec{R}_\tau</math>, on vérifie alors expérimentalement que celle-ci garde la valeur qu'elle a prise quand le glissement a démarré ; {{Al|5}}{{Transparent|Si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}la condition de glissement <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="distinction Fp de Fm" /> peut se traduire d'une 1^ère façon selon : <center>« tant qu'il y a glissement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="distinction Fp de Fm" />, la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> reste sur le cône limite de frottement » <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> pendant le temps du glissement de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}</math>, }}la force pressante <math>\;\vec{F}_p\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="distinction Fp de Fm" /> s'exerçant normalement reste de norme constante<ref> En effet seule la composante tangentielle de la somme des forces extérieures exercées sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en dehors de la réaction de <math>\;(\Sigma)</math>, c.-à-d. <math>\;\vec{F}_m</math>, est modifiée, la composante normale <math>\;\vec{F}_p\;</math> reste donc constante.</ref>, en absence de pénétration <math>\;R_n\,\vec{n} = -\vec{F}_p\;</math> et par suite, la norme de la composante normale de la réaction <math>\;R_n\;</math> reste une constante indépendante de <math>\;\Vert \vec{F}_m \Vert</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}d'après le schéma ci-dessous à droite<ref> Ou ci-dessus à droite pour un schéma en perspective.</ref>, <math>\;\vec{R}\;</math> reste sur le cône limite de frottement <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> d'après le schéma ci-dessous à droite, }}« ssi <math>\;\alpha = \varphi\;</math> avec <math>\;\alpha\;</math> l'angle non orienté entre <math>\;\vec{R}\;</math> et <math>\;\vec{n}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> d'après le schéma ci-dessous à droite, }}ce qui est une 2^nde écriture de la condition de glissement<ref> Cette 2^ème écriture de condition de glissement étant équivalente à <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = \Vert \vec{F}_m \Vert_{\text{max pour non glissement}}</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}on en déduit, avec «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{\Vert \vec{R}_\tau \Vert}{R_n}\;</math>» et le « <u>cœfficient de frottement solide</u><math>\;f = \tan(\varphi)\;</math>»<ref name="f sans dimension" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> on en déduit, }}que la condition de glissement <math>\;\alpha = \varphi \Rightarrow \tan(\alpha) = \tan(\varphi)\;</math> se réécrit «<math>\;\dfrac{\Vert \vec{R}_\tau \Vert}{R_n} = f\;</math>» <center>d'où la loi de frottement « solide » avec glissement de Coulomb<ref name="Coulomb" /> s'énonce selon <br>«<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = f\; R_n\;</math>» avec «<math>\;f\;</math> le cœfficient de frottement solide entre <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="cas de liaison bilatérale" /> », <br><math>\;\vec{R}_\tau\;</math> ayant pour direction celle de <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> et pour sens le sens opposé à <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : on observe que, pendant le glissement du système de points matériels fermé indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur le ou les support<math>\big(</math>s<math>\big)</math> solide<math>\big(</math>s<math>\big)\;</math> de surface <math>\;\Sigma</math>, <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert\;</math> reste constante quelle que soit la norme de la force <math>\;\vec{F}_m\;</math> à condition que la norme <math>\;R_n\;</math> de la composante normale de la réaction soit constante, cette dernière exigence nécessitant que la norme de la force pressante de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="distinction Fp de Fm" />, à savoir <math>\;\Vert \vec{F}_p \Vert\;</math> le soit<ref> Ce qui peut aisément ne pas être le cas comme sur l'exemple d'un parallélépipède rectangle sur un plan incliné d'un angle <math>\;\beta\;</math> par rapport à l'horizontale, angle d'inclinaison dont on fait varier la valeur : <br>{{Al|3}}la force pressante normale étant la composante du poids du système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur cette normale vaut <math>\;\vec{F}_p = -m_{(\mathcal{S})}\;g\;\cos(\beta)\;\vec{n}</math>, sa norme <math>\;\Vert \vec{F}_p \Vert =</math> <math>m_{(\mathcal{S})}\;g\;\cos(\beta)\;</math> variant avec <math>\;\beta\;</math> ne reste donc pas constante et il en est de même de la norme <math>\;R_n\;</math> de la composante normale de la réaction qui, valant <math>\;R_n = m_{(\mathcal{S})}\;g\;\cos(\beta)</math>, <math>\;\searrow\;</math> quand <math>\;\beta\,\nearrow</math> ; <br>{{Al|3}}la force <math>\;\vec{F}_m\;</math> tendant à faire glisser le système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur le plan incliné étant la composante du poids du système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné <math>\;\big[</math>ligne orientée selon l'altitude <math>\;\searrow\;</math> par <math>\;\vec{\tau}\big]\;</math> c.-à-d. <math>\;\vec{F}_m = m_{(\mathcal{S})}\;g\;\sin(\beta)\;\vec{\tau}\;</math> étant de norme <math>\;\Vert \vec{F}_m \Vert = m_{(\mathcal{S})}\;g\;\sin(\beta)</math> <math>\;\nearrow\;</math> quand <math>\;\beta\,\nearrow</math> ; <br>{{Al|3}}on peut alors affirmer qu'il existe une valeur <math>\;\beta_{\text{début glissement}}\;</math> à partir de laquelle le système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> se met à glisser sur le plan incliné, pour cette valeur, la norme de la force de frottement solide <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert</math> <math>= \Vert \vec{F}_m \Vert_{\text{min début glissement}} = m_{(\mathcal{S})}\;g\;\sin(\beta_{\text{début glissement}})\;</math> et celle de la composante normale de la réaction valant <math>\;R_n =</math> <math>m_{(\mathcal{S})}\;g\;\cos(\beta_{\text{début glissement}})\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{\Vert \vec{R}_\tau \Vert}{R_n} = \tan(\beta_{\text{début glissement}})\;</math> avec la condition de glissement <math>\;\dfrac{\Vert \vec{R}_\tau \Vert}{R_n} =</math> <math>f = \tan(\varphi)\;</math> soit finalement <math>\;\beta_{\text{début glissement}} = \varphi\;</math> l'angle limite de frottement solide ; <br>{{Al|3}}pour <math>\;\beta > \beta_{\text{début glissement}} = \varphi</math>, la norme de la force de frottement solide vaut <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = f\;R_n\;</math> avec <math>\;R_n = m_{(\mathcal{S})}\;g\;\cos(\beta)\;</math> <math>\big[</math>en effet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> ne s'enfonçant pas dans le plan incliné les composantes normales du poids de ce dernier et de la réaction du plan incliné se compensent<math>\big]\;</math> d'où <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = f\;m_{(\mathcal{S})}\;g\;\cos(\beta)\;</math> qui <math>\;\searrow\;</math> quand <math>\;\beta \nearrow\;</math> et comme <math>\;\Vert \vec{F}_m \Vert = m_{(\mathcal{S})}\;g\;\sin(\beta)\;</math> qui <math>\;\nearrow\;</math> quand <math>\;\beta \nearrow</math>, la résultante des forces appliquées le long de la ligne de plus grande pente du plan inclinée vaut <math>\;m_{(\mathcal{S})}\;g\, \left[ \sin(\beta) - f\;\cos(\beta) \right]\, \vec{\tau}\;</math> de norme <math>\;\nearrow\;</math> quand <math>\;\beta \nearrow</math>, c.-à-d. qu'on peut conclure à l'accélération du mouvement de glissement avec une augmentation de l'inclinaison du plan incliné <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}En fait le cœfficient de frottement <math>\;f\;</math> défini comme le rapport <math>\;\dfrac{\Vert \vec{R}_\tau \Vert}{R_n}\;</math> de la norme de la force de frottement solide sur celle de la composante normale de la réaction quand il y a glissement est légèrement <math>\;\neq\;</math> de la valeur maximale du rapport <math>\;\dfrac{\Vert \vec{R}_\tau \Vert}{R_n}\;</math> de la norme de la force de frottement solide sur celle de la composante normale de la réaction pour qu'il n'y ait pas glissement, le 1^er étant légèrement <math>\;<\;</math> au 2^nd mais dans la pratique on ne fait pas la différence ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction en appelant « cœfficient de frottement dynamique <math>\;f_d\;</math>» le 1^er et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction en appelant }}« cœfficient de frottement statique <math>\;f_s\;</math>» le 2^nd <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction en appelant }}avec «<math>\;f_d \lesssim f_s\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction }}la condition de non glissement s'écrit alors «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert < f_s\; R_n\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction }}la condition de glissement {{Transparent|s'écrit alors }}«<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = f_d\; R_n\;</math>» qui est alors «<math>\;\lesssim f_s\;R_n\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. }}il faut aussi faire la distinction entre angles limites de frottement dynamique <math>\;\varphi_d\;</math> et statique <math>\;\varphi_s\;</math> avec «<math>\;\varphi_d \lesssim \varphi_s\;</math>» tout comme <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. il faut aussi faire la distinction }}entre cônes limites de frottement dynamique et statique, le 1^er étant d'angle au sommet <math>\;\lesssim\;</math> à celui du 2^nd <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Puissance développée par la réaction</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>du support solide</u><math>\;( \Sigma )\;</math><ref name="cas de liaison bilatérale" /><u> sur le système</u><math>\;( \mathcal{S} )\;</math><u>lors du glissement de ce dernier sur la surface du 1^er</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Puissance développée par la réaction<math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math>}}sachant que «<math>\;\mathcal{P}(\vec{R}) = \vec{R}_\tau \cdot \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Notions_de_liaisons_«_idéale_»_(ou_sans_frottement)_et_«_non_idéale_»_(ou_avec_frottement)|notions de liaisons idéale (ou sans frottement) et non idéale (ou avec frottement)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et que «<math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est de même direction que <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> mais de sens opposé », on en déduit «<math>\;\mathcal{P}(\vec{R}) < 0\;</math>» puis, {{Al|5}}{{Transparent|Puissance développée par la réaction<math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math>}}sachant que «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = f\;R_n\;</math>» <math>\;\big(</math>loi de frottement « solide » avec glissement de Coulomb<ref name="Coulomb" /><math>\big)\;</math> il en découle «<math>\;\mathcal{P}(\vec{R}) = -f\;R_n\;v_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Puissance développée par la réaction<math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math>sachant que }}«<math>\;v_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> la vitesse instantanée de glissement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="cas de liaison bilatérale" /> ». == 4^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil idéal == === Notion de fil idéal === {{Al|5}}Un fil est dit « idéal » si sa masse peut être négligée relativement aux autres masses et si sa longueur est considérée comme constante ; <center>un fil « idéal » est donc « <u>sans masse et inextensible</u> ».</center> === Liaison d'un système de points matériels fermé à un fil idéal === [[File:Liaison avec un fil idéal libre entre ses deux extrémités.png|thumb|350px|Schéma de liaison d'un système de points matériels <math>\;(\mathcal{S})\;</math> fermé, indéformable, avec un fil idéal <math>\;(\mathit{f})</math>, libre entre ses deux extrémités et tendu par action sur son extrémité non liée au système <math>\;(\mathcal{S})</math>, par une force <math>\;\vec{F}_m</math>]] {{Al|5}}Supposons un système de points matériels <math>\;(\mathcal{S})\;</math> fermé, indéformable et attaché en <math>\;M\;</math> à une extrémité d'un fil idéal <math>\;(\mathit{f})</math>, ce fil étant libre entre ses deux extrémités et tendu par action sur l'autre extrémité non attachée au système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> d'une force <math>\;\vec{F}_m\;</math> <math>\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}on constate que le fil est rectiligne de direction identique à celle de la force <math>\;\vec{F}_m\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|on constate }}qu'il exerce une force sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> notée <math>\;\vec{F}_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,(\mathit{f})}\;</math> <math>\succ\;</math>de support « la direction du fil en <math>\;M\;</math>»<ref> C'est aussi, dans la mesure où le fil est libre entre ses deux extrémités, le support de <math>\;\vec{F}_m</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on constate qu'il exerce une force sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> notée <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,(\mathit{f})}}\;</math> }}<math>\succ\;</math>de sens « de <math>\;M\;</math> vers <math>\;(\mathit{f})\;</math>»<ref> C'est aussi, dans la mesure où le fil est libre entre ses deux extrémités, le sens de <math>\;\vec{F}_m</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on constate qu'il exerce une force sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> notée <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,(\mathit{f})}}\;</math> }}<math>\succ\;</math>de norme « non nulle dans la mesure où le fil est tendu »<ref> Si le fil n'était pas tendu, il n'exercerait aucune force sur le système <math>\;(\mathcal{S})</math>.</ref>{{,}}<ref> Nous verrons que, dans la mesure où le fil est libre entre ses deux extrémités, cette norme est constante le long du fil et qu'elle est égale à la norme de <math>\;\vec{F}_m</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Fil_idéal_tendu,_libre_entre_ses_extrémités,_notion_de_tension_en_un_point_du_fil|fil idéal tendu, libre entre ses extrémités, notion de tension en un point du fil]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}en appelant <math>\;\vec{u}_{(\mathcal{S})\,\rightarrow\,(\mathit{f})}\;</math><ref> Quand il n'y a pas d'ambiguïté on notera simplement <math>\;\vec{u}</math>.</ref> le vecteur unitaire orientant le fil en <math>\;M\;</math> lié à <math>\;(\mathcal{S})\;</math> vers <math>\;(\mathit{f})</math>, on peut écrire «<math>\;\vec{F}_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,(\mathit{f})} = F_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,(\mathit{f})}\;\vec{u}_{(\mathcal{S})\,\rightarrow\,(\mathit{f})}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|en appelant <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_{(\mathcal{S})\,\rightarrow\,(\mathit{f})}}\;</math> le vecteur unitaire orientant le fil en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> lié à <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> vers <math>\;\color{transparent}{(\mathit{f})}</math>, on peut écrire }}avec «<math>\;F_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,(\mathit{f})} > 0\;</math>»<ref> Si le fil est tendu, sinon on pourra écrire <math>\;F_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,(\mathit{f})} = 0\;\ldots</math></ref> appelé <br>{{Al|11}}{{Transparent|en appelant <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_{(\mathcal{S})\,\rightarrow\,(\mathit{f})}}\;</math> le vecteur unitaire orientant le fil en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> lié à <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> vers <math>\;\color{transparent}{(\mathit{f})}</math>, on peut écrire }}« <u>tension du fil</u> en <math>\;M\;</math>»<ref> La tension du fil est donc la norme du vecteur force que le fil <math>\;(\mathit{f})\;</math> exerce sur le système de points matériels fermé, indéformable <math>\;(\mathcal{S})\;</math> auquel il est relié.</ref>. === Fil idéal tendu, libre entre ses extrémités, notion de tension en un point du fil === [[File:Tension d'un fil idéal libre entre ses deux extrémités.png|thumb|350px|Schéma de définition de la tension d'un fil idéal <math>\;(\mathit{f})</math>, libre entre ses deux extrémités]] {{Al|5}}La cohésion d'un fil idéal <math>\;(\mathit{f})</math>, libre entre ses deux extrémités, suppose qu'un élément de longueur <math>\;dl\;</math> situé en n'importe quel point du fil, subit de la part du reste du fil deux forces notées respectivement sur le schéma ci-contre <math>\;\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}</math>, telles que la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. du point<ref name="énoncé de la r.f.d.n."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Autre_forme_de_la_relation_fondamentale_spécifique_à_la_dynamique_newtonienne,_la_«_r.f.d.n._»|autre forme de la relation fondamentale spécifique à la dynamique newtonienne, la r.f.d.n.]] (forme la plus usitée de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou r.f.d.n.) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> appliquée à l'« élément de longueur <math>\;dl\;</math> »<ref name="élément de longueur quasi-ponctuel"> Cet élément de longueur de petite dimension étant quasi-ponctuel, on suppose que la r.f.d.n. réservée aux points lui est applicable.</ref> détermine son mouvement ; {{Al|5}}compte-tenu du fait que le fil est supposé sans masse <math>\;\big(</math>dans un champ de pesanteur il est donc également sans poids<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|compte-tenu du fait }}qu'il est libre entre ses deux extrémités, <br>{{Al|5}}{{Transparent|compte-tenu }}l'élément de longueur <math>\;dl\;</math> n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, en appelant <math>\;\vec{a}_{dl}(t)\;</math> son vecteur accélération, <br>{{Al|5}}{{Transparent|compte-tenu l'élément de longueur <math>\;\color{transparent}{dl}\;</math> n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, }}la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|compte-tenu l'élément de longueur <math>\;\color{transparent}{dl}\;</math> n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, }}«<math>\;\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})} + \vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})} = 0 \times \vec{a}_{dl}(t)\;</math>»<ref name="énoncé de la r.f.d.n." />{{,}}<ref name="masse de l'élément de longueur"> La masse de l'élément de longueur étant supposée nulle.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|compte-tenu l'élément de longueur <math>\;\color{transparent}{dl}\;</math> n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})} + \vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}}</math>}}<math>\;= \vec{0}\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})} = -\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» ; {{Al|5}}les deux forces ont donc une direction commune « celle du fil au point <math>\;P</math>, centre de l'élément de longueur <math>\;dl\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les deux forces ont donc une direction commune }}et appelant «<math>\;\vec{\tau}_P\;</math> le vecteur unitaire tangentiel au point <math>\;P\;</math> orienté de la gauche vers la droite », il vient «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})} = F_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}\;\vec{\tau}_P\\ \vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})} = -F_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})}\;\vec{\tau}_P\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Avec <math>\;F_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})} > 0\;</math> définissant la tension du fil à l'extrémité droite de l'élément de longueur <math>\;dl\;</math> et <math>\;F_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})} > 0\;</math> la tension du fil à l'extrémité gauche de l'élément de longueur <math>\;dl</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les deux forces ont donc une direction commune et appelant «<math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}_P}\;</math> le vecteur unitaire tangentiel au point <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> orienté de la gauche vers la droite », }}traduisant le sens des forces sur la direction de <math>\;\vec{\tau}_P</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|les deux forces ont donc une direction commune }}avec la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> on en déduit «<math>\;F_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})} = F_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}\;</math>» c'est-à-dire <u>la même tension du fil aux deux extrémités</u> de l'élément de longueur <math>\;dl</math>. {{Al|5}}En conclusion, un « fil <u>idéal</u>, <u>tendu</u>, <u>libre entre ses deux extrémités</u>, est <u>rectiligne</u> et <u>la tension en ses différents points est la même</u> »<ref> Le fait que la tension en les différents points d'un fil idéal de longueur non élémentaire soit constante s'obtient par transitivité en décomposant le fil en ses différents éléments de longueur successifs <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Il est indispensable que le fil soit sans masse pour que la tension du fil, libre entre ses deux extrémités, soit indépendante du point considéré, en effet : <br>{{Al|3}}supposons une corde pesante qu'on laisse pendre, elle adopte une direction verticale à l’équilibre, l’extrémité inférieure n’étant relié à rien, la tension en ce point est nulle mais l'extrémité supérieure devant supporter tout le poids de la corde, la tension en ce point est égale au poids de cette dernière ; en conclusion la tension d'une corde pesante qu'on laisse pendre <math>\;\searrow\;</math> de son extrémité supérieure à son extrémité inférieure.</ref>. === Fil idéal tendu, au contact « parfait » d'un support solide entre ses deux extrémités, notion de tension en un point du fil reposant sur le support solide === [[File:Tension d'un fil idéal au contact parfait d'un support solide entre ses deux extrémités.png|thumb|350px|Schéma de définition de la tension d'un fil idéal <math>\;(\mathit{f})\;</math> au contact parfait d'un support solide entre ses deux extrémités]] {{Al|5}}Nous supposons un contact « parfait », c'est-à-dire sans frottement solide, entre le fil idéal <math>\;(\mathit{f})\;</math> et le support solide <math>\;\big(</math>sur l'exemple ci-contre le support solide est un cylindre de révolution d'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan de la figure contenant le fil<math>\big)</math> ; {{Al|5}}nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal au contact parfait du support solide, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal }}tendu entre les deux points de contact extrêmes avec le support <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math><ref> Le schéma est fait avec un support cylindrique, les points de contact extrêmes y étant notés <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>, mais les conclusions sont indépendantes de la forme du support solide <math>\;\big[</math>on a choisi un support cylindrique en pensant au cas usuel d'un fil passant dans la gorge d'une poulie<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal }}<math>\succ\;</math><u>suit la courbure du support entre ces deux points</u><ref> En fait le fil suit le plus court chemin entre ces deux points de contact extrêmes, le plus court chemin entre deux points définissant la <u>[[w:Géodésique|géodésique]]</u> passant par ces points : <br>{{Al|3}}dans un espace euclidien la [[w:Géodésique|géodésique]] passant par deux points est la droite joignant ces deux points, <br>{{Al|3}}dans un espace à deux dimensions comme la surface de la Terre, la [[w:Géodésique|géodésique]] passant par deux points est le grand cercle <math>\;\big(</math>cercle centré au centre de la Terre<math>\big)\;</math> passant par ces deux points ou, <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans un espace à deux dimensions }}comme la surface d'un cylindre de révolution, la [[w:Géodésique|géodésique]] passant par deux points quelconques <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> de la surface latérale du cylindre est l'ellipse dont le centre <math>\;O\;</math> est situé sur l'axe du cylindre, <math>\;O\;</math> étant le milieu de <math>\;\left[ H_AH_B \right]\;</math> avec <math>\;H_A\;</math> et <math>\;H_B\;</math> respectivement les projetés orthogonaux de <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sur l'axe et, dans le cas où <math>\;H_A = H_B</math>, la [[w:Géodésique|géodésique]] passant par ces deux points d'une même section droite est un cercle de centre <math>\;O = H_A = H_B</math>, <br>{{Al|3}}etc. <math>\ldots</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal }}<math>\succ\;</math>que « <u>la tension du fil y est constante</u> »<ref> La tension du fil au point <math>\;P</math>, centre de l'élément de longueur <math>\;dl</math>, étant toujours la norme de la force que le fil <math>\;\big(</math>de gauche ou de droite<math>\big)\;</math> exerce sur l'élément de longueur <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="égalité des normes"> Nous admettons, pour l'instant, <math>\big(</math>ou induisons dans la 1^ère remarque, plus loin dans ce paragraphe<math>\big)</math>, cette propriété car elle nécessite l'utilisation d'un théorème régissant les mouvements de rotation <math>\;\big(</math>théorème du moment cinétique<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen]] » <math>\;\big[</math>ainsi que son cas particulier « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] »<math>\big]\;</math> du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous reviendrons sur la démonstration à ce moment là.</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}\;</math> s'exerçant sur l'élément de longueur <math>\;dl\;</math> n’ont pas la même direction, en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}}\;</math> }}l'élément de longueur <math>\;dl\;</math> suivant la courbure du support solide, ce dernier exerce sur lui, en absence de frottement solide, une réaction <math>\;\vec{R} \neq \vec{0}\;</math> de direction <math>\perp\;</math> à la surface du support et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}}\;</math> }}l’application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. du point appliquée à l'« élément de longueur <math>\;dl\;</math> »<ref name="élément de longueur quasi-ponctuel" /> donne, <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}}\;</math> l’application de la r.f.d.n. }}compte-tenu du fait que le fil est supposé sans masse<ref> Dans un champ de pesanteur il est donc également sans poids.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}}\;</math> l’application de la r.f.d.n. }}«<math>\;\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})} + \vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})} + \vec{R} = 0 \times \vec{a}_{dl}(t)\;</math>»<ref name="énoncé de la r.f.d.n." />{{,}}<ref name="masse de l'élément de longueur" /> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}}\;</math> l’application de la r.f.d.n. «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})} + \vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})} + \vec{R}}</math>}}<math>\;= \vec{0}\;</math>» d'où <center>«<math>\;\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})} + \vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})} = -\vec{R} \neq \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}\;</math> de direction différente.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans le cas du schéma ci-dessus <math>\;\big(</math>c'est-à-dire d'un support solide cylindrique de révolution<math>\big)</math>, le support de la réaction <math>\;\vec{R}</math>, en absence de frottement solide, passe par <math>\;O\;</math><ref> Car la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> est, en absence de frottement solide, <math>\;\perp\;</math> à la surface du cylindre de révolution.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Dans le cas du schéma ci-dessus <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire d'un support solide cylindrique de révolution<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}ce support étant localement axe de symétrie de la figure, il est donc licite d'induire une même symétrie entre <math>\;\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})}</math> et par suite l'égalité de leur norme<ref name="égalité des normes" />, cette valeur commune définissant alors la tension du fil au point <math>\;P\;</math> centre de l'élément de longueur <math>\;dl</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement <math>\;\big(</math>solide<math>\big)\;</math>»<ref> Ceci étant indispensable si on souhaite utiliser une corde pour faire tourner une poulie sur son axe, la corde ne devant évidemment pas glisser dans la gorge de la poulie, il est donc indispensable qu'il y ait des frottements solides.</ref>, le fil « suit toujours la courbure du support entre les deux points de contact extrême » mais <br>{{Al|12}}{{Transparent|Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>solide<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», }}« la tension n’y est plus rigoureusement constante » car la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> du support sur le fil au point <math>\;P\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>solide<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», « la tension n’y est plus rigoureusement constante » car la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> }}est <math>\;\cancel{\perp}\;</math> au support : en effet <br>{{Al|12}}{{Transparent|Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>solide<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», }}si le fil tend à glisser vers la droite <math>\;\big[</math>parce qu'une force plus importante y est exercée<math>\big]\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>solide<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», si le fil tend à glisser vers la droite }}la réaction est inclinée vers la gauche correspondant à <br>{{Al|13}}{{Transparent|Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>solide<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», si le fil tend à glisser vers la droite }}une force de frottement solide <math>\;\vec{R}_\tau\;</math><ref> Projetée tangentielle de la réaction <math>\vec{R}</math>.</ref> orientée vers la gauche<ref> Telle que <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert < f\;R_n\;</math> avec <math>\;R_n\;</math> la composante normale de <math>\;\vec{R}\;</math> et <math>\;f\;</math> le cœfficient de frottement solide entre le support et le fil, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_sans_glissement_de_Coulomb|loi de frottement solide sans glissement de Coulomb]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, d'où <br>{{Al|13}}{{Transparent|Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>solide<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», si le fil tend à glisser vers la droite }}«<math>\;\Vert \vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{gauche}})} \Vert\;</math> est légèrement plus faible que <math>\;\Vert \vec{F}_{dl\,\leftarrow\,(\mathit{f}_{\text{droite}})} \Vert\;</math>»<ref> Mais pratiquement la différence entre les deux étant au maximum <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert < f\;R_n\;</math> avec <math>\;R_n\;</math> la composante normale de <math>\;\vec{R}\;</math> et <math>\;f\;</math> le cœfficient de frottement solide entre le support et le fil, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Mais pratiquement la différence entre les deux }}est le plus souvent négligée, ce qui permet de parler de tension du fil au contact du support solide sans préciser à quel endroit cette tension est définie.</ref>. == Protocole expérimental pour étudier une loi de force == {{Al|5}}On veut étudier une « loi de force »<ref> C.-à-d. déterminer de quels paramètres dépend la force ainsi que la façon dont elle en dépend.</ref> en statique ou en dynamique, dans chaque cas <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, }}il convient de préciser sans ambiguïté le système de points matériels fermé subissant la force que l'on cherche à étudier ainsi que <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, il convient de préciser sans ambiguïté }}le référentiel d’étude lequel, pour l'instant, doit être « galiléen »<ref name="galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Retour_sur_la_recherche_de_référentiels_galiléens|retour sur la recherche de référentiels galiléens]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » où un référentiel galiléen est défini comme un référentiel dans lequel la r.f.d.n. {{Nobr|<math>\;\big(</math>ou}} relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> du point s'applique après avoir été introduit comme référentiel dans lequel le principe de l'inertie <math>\;\big\{</math>voir l'énoncé dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_de_l'inertie_et_référentiels_galiléens#Principe_de_l'inertie|principe de l'inertie]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> s'applique, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_de_l'inertie_et_référentiels_galiléens#Référentiels_galiléens|référentiels galiléens]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; dans un 1^er temps, <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, }}<math>\succ\;</math>faire le bilan des forces appliquées, en conservant uniquement les forces prédominantes parmi lesquelles doit figurer <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faire le bilan des forces appliquées, en conservant }}la force dont on recherche la loi de force puis <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, }}<math>\succ\;</math>en statique, déterminer les expressions de toutes les forces prédominantes autres que celle que l'on étudie et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en statique, }}en déduire cette dernière en écrivant la condition d’équilibre c'est-à-dire « la nullité de la somme des forces appliquées » ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en statique, }}éventuellement changer quelques conditions paramétrables comme la pression ou la température imposées et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en statique, éventuellement }}en déduire la conséquence correspondante sur la loi de force trouvée ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, }}<math>\succ\;</math>en dynamique, déterminer les expressions de toutes les forces prédominantes autres que celle que l'on étudie ainsi que <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en dynamique, déterminer }}le vecteur accélération de translation du système de points matériels fermé et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en dynamique, déterminer }}la masse de ce dernier puis <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en dynamique, }}en déduire la loi de force cherchée en écrivant la « r.f.d.n. »<ref name="r.f.d.n." />{{,}}<ref> A priori la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>ou relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> ne s'applique qu'à un point matériel mais celle-ci se prolonge à un système de points matériels fermé en translation voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels (cadre de la dynamique newtonienne)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> c'est-à-dire « l'égalité entre la somme des forces appliquées et le produit de la masse du système par le vecteur accélération de ce dernier » ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en dynamique, }}éventuellement changer quelques conditions paramétrables comme la pression ou la température imposées et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en dynamique, éventuellement }}en déduire la conséquence correspondante sur la loi de force trouvée. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers|Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement|Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement]] }} 5ovjkve3ryqz528cglcqnui6bq2vn96 0 69398 982883 978660 2026-05-17T11:03:15Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982883 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 7 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques/]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens/]] }} == Quantité de mouvement d'un point matériel, lien avec son vecteur vitesse == <center>Bien que nous devrions parler de « vecteur quantité de mouvement », l'usage suggère de dire simplement « quantité de mouvement ».</center> === 1^ère grandeur d'inertie d'un point matériel, la masse du point matériel === {{Al|5}}La 1^ère grandeur d'inertie<ref> Les grandeurs d'inertie d'un point étant des grandeurs caractérisant le point dans sa possibilité de s'opposer à son mouvement, plus une grandeur d'inertie sera grande, plus le mouvement du point sera difficile à modifier.</ref> d'un point matériel est « sa <u>masse</u> » notée <math>\;m</math>, grandeur scalaire <math>\;> 0\;</math> et exprimée en <math>\;kg</math> ; <br>{{Al|5}}cette grandeur dépend de <u>la nature et de la quantité de matière</u> de l'objet modélisé par le point<ref> Bien que la notion de quantité de matière nécessite une certaine étendue de l'objet de façon à pouvoir dénombrer <math>\;\big(</math>en théorie<math>\big)\;</math> les entités le constituant, cela n'interdit pas que ce dernier soit modélisé par un point dans une étude particulière, en effet la modélisation est considérée comme possible si la taille de l'objet est petite relativement aux autres longueurs intervenant dans le problème, par exemple la Terre peut être assimilée à un point matériel si on étudie son déplacement dans le système solaire.</ref>. {{Al|5}}<u>Signification physique</u> : Deux points distincts qui ont le même mouvement mais des masses différentes ne doivent pas être considérés comme équivalents du point de vue de la mécanique car ils n'ont pas les mêmes « réserves », il est en effet « plus difficile de dévier le point ayant la plus grande masse »<ref> La difficulté de modifier le mouvement d'un point définit son « <u>inertie</u> », plus c'est difficile pour un mouvement donné plus l'inertie du point est grande ; <br>{{Al|3}}on peut d'ailleurs ajouter le qualificatif « inerte » ou « d'inertie » à cette grandeur « masse » pour la distinguer d'une autre grandeur également appelée « masse » mais qui caractérise le point dans ses propriétés d'attraction gravitationnelle et pour laquelle on ajoute alors le qualificatif « grave » ou « de gravitation » ; <br>{{Al|3}}bien que la « masse grave » et la « masse inerte » caractérisent des propriétés différentes d'un point, elles ont <math>\;\big(</math>à l'heure actuelle<math>\big)\;</math> des mesures identiques à <math>\;10^{-13}\;</math> près <math>\;\big(</math>on a en effet vérifié à <math>\;10^{-13}\;</math> près le fait que l'accélération de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme est indépendant de la nature de l'objet, ceci entraînant que le rapport « masse grave » sur « masse inerte » est une constante pour tous les objets à <math>\;10^{-13}\;</math> près, il est alors possible, par choix d'unités, de choisir cette constante égale à <math>\;1\;</math> et d'identifier les deux masses<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}des mesures plus poussées ont été prévues <math>\;\big[</math>placement en [[w:Orbite_héliosynchrone|orbite héliosynchrone]] le <math>\;25\;\text{avril}\;2016\;</math> du satellite français « [[w:Microscope_(satellite)|Microscope]] » <math>\;\big(</math>acronyme de '''<span style="color:red">Micro-s</span>'''atellite à traînée '''<span style="color:red">co</span>'''mpensée pour l'observation du '''<span style="color:red">p</span>'''rincipe d'<span style="color:red">'''é'''</span>quivalence<math>\big)\;</math> pour une mission financée et pilotée par le [[w:Centre_national_d'études_spatiales|CNES]] <math>\;\big(</math>Centre national d'études spatiales<math>\big)\big]\;</math> dans le but de confirmer ou d'infirmer l'identité des mesures à <math>\;10^{-15}\;</math> près <math>\;\big[</math>en décembre <math>\;2017\;</math> de 1^ers résultats intermédiaires suggèrent une identité des mesures à au moins <math>\;2\,10^{-14}\;</math> près <math>\;\ldots\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'identité des masses « grave » et « inerte », connue sous le nom de « <u>[[w:Principe_d'équivalence#Le_principe_d'équivalence_faible|principe d'équivalence]]</u> » est un des piliers de la théorie de la ''[[w:Relativité générale#Vulgarisation|Relativité Générale]]'' énoncée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1916\;</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]}} (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]]<math>\big]\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Signification physique : }}on en déduit la nécessité d'introduire, pour caractériser ces comportements différents du point, des grandeurs « cinétiques associées au point »<ref> Vous en connaissez déjà une « l'énergie cinétique » vue dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Énergie_cinétique,_conséquence_de_l'existence_d'un_mouvement|énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » et « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_en_terme_de_puissance_et_d'énergie_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique en terme de puissance et d'énergie entre le pendule élastique vertical amorti lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] » concernant l'oscillateur harmonique <math>\;\big(</math>amorti ou non<math>\big)</math>.</ref> et qui décrivent simultanément le « mouvement »<ref> Mouvement défini grâce à une grandeur cinématique comme « le vecteur-vitesse », sa norme intervenant effectivement dans la définition de la grandeur cinétique déjà vue l'« énergie cinétique ».</ref> et l'« inertie »<ref> Inertie définie grâce à une grandeur d'inertie comme « la masse <math>\;\big(</math>inerte<math>\big)\;</math>» qui intervient effectivement dans la définition de la grandeur cinétique déjà vue l'« énergie cinétique ».</ref>. {{Al|5}}La masse « d'inertie » caractérise le point et « garde la même valeur par changement de référentiel », on dit que « <u>la masse inerte est invariante par changement de référentiel</u> »<ref> ''<span style="color:red"><u>Cela reste vrai en cinétique relativiste</u></span>'' <math>\;\big(</math>contrairement à ce qu'on entend parfois disant que la masse <math>\;\nearrow\;</math> avec la vitesse mais '''<span style="color:red"><u>ceci est faux</u></span>''', la masse dépend de la quantité de matière et celle-ci reste la même quel que soit le référentiel choisi<math>\big)</math>.</ref>. === 1^ère grandeur cinétique d'un point matériel, le (vecteur) quantité de mouvement du point matériel === {{Al|5}}Le <math>\;\big(</math>vecteur<math>\big)\;</math> quantité de mouvement du point matériel <math>\;M\,(m)\;</math> est usuellement noté <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> <math>\big[</math>ou <math>\;\vec{p}(M)\;</math> sans rappeler l'instant de définition ou encore <math>\;\vec{p}(t)\;</math> quand il n'y a pas d'ambiguïté sur le {{Nobr|point<math>\big]</math>,}} il est défini dans le référentiel d'étude cinématique où le point possède, à l'instant <math>\;t</math>, un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)</math>. ==== Définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne ==== {{Al|5}}En <u>cinétique newtonienne</u> <math>\;\bigg[</math>c'est-à-dire si le point <math>\;M\;</math> étudié est de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> de norme petite relativement à <math>\;c</math>, la vitesse de la lumière dans le vide, soit <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \ll c\;</math> ou, en pratique et approximativement, <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \lesssim \dfrac{c}{10}\;</math> en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près<ref> Plus précisément <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \lesssim 0,14\;c \simeq 42\,000\;km \cdot s^{-1}\;</math> pour que l'erreur commise en utilisant la cinétique newtonienne au lieu de la cinétique relativiste soit inférieure à <math>\;1\,\%</math>, justification au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » plus loin de ce chapitre.</ref><math>\bigg]</math>, le <math>\;\big(</math>vecteur<math>\big)\;</math> quantité de mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;\big(</math>inerte<math>\big)</math> <math>\;m\;</math> et de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{p}_M(t) = m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne }}on peut donc dire que cette grandeur traduit une « <u>réserve de mouvement inertiel</u> »<ref> C'est encore le cas en cinétique relativiste avec une dépendance au mouvement différente.</ref> dans la mesure où elle tient compte de l'inertie d'une part <math>\;\big[</math>elle est <math>\;\propto\;</math> à la masse d'inertie du point<math>\big]\;</math> et du mouvement d'autre part <math>\;\big[</math>elle est <math>\;\propto\;</math> au vecteur vitesse du point c'est-à-dire qu'elle a la même direction, le même sens <math>\;\big(</math>le cœfficient de proportionnalité étant <math>\;> 0\big)\;</math> et que sa norme est <math>\;\propto\;</math> à celle du vecteur vitesse du point<math>\big]</math>. {{Al|5}}Le <math>\;\big(</math>vecteur<math>\big)\;</math> quantité de mouvement de <math>\;M\;</math> <u>dépend</u>, comme son vecteur vitesse, <u>du référentiel d'étude</u><ref> La dépendance de la quantité de mouvement relativement au changement de référentiel résulte de l'indépendance de la masse inerte et de la dépendance du vecteur vitesse <math>\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}ses composantes <math>\;\big(</math>et sa norme<math>\big)\;</math> s'expriment en <math>\;kg \cdot m \cdot s^{-1}</math> ; {{Al|5}}en cinétique newtonienne, cette grandeur cinétique vectorielle « quantité de mouvement » est liée à la grandeur cinématique vectorielle « vitesse » et à la grandeur d'inertie scalaire « masse » selon <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{grandeur cinétique}\\\text{vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{grandeur d'inertie}\\\text{scalaire}\end{array}\right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c}\text{grandeur cinématique}\\\text{vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> ==== Définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La définition dans le cadre de la cinétique relativiste n'est pas explicitement au programme de physique de PCSI, toutefois cette notion apparaissant, sous forme d'approche documentaire, dans l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique ou magnétique<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Approche_documentaire,_analyse_de_documents_scientifiques_montrant_les_limites_relativistes_avec_utilisation_des_formules_relativistes_de_l’énergie_cinétique_et_de_la_quantité_de_mouvement_:_microscopie_électronique|approche documentaire, analyse de documents scientifiques montrant les limites relativistes avec utilisation des formules relativistes de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement : microscopie électronique]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, il semble utile la connaître. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Si la cinétique newtonienne ne s'applique pas <math>\;\bigg[</math>c'est-à-dire si le point <math>\;M\;</math> étudié est de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> de norme non petite relativement à <math>\;c</math>, la vitesse de la lumière dans le vide, soit <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \not\ll c\;</math> ou, en pratique et approximativement, <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \not\lesssim \dfrac{c}{10}\;</math> en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près<ref> Plus précisément <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \not\lesssim 0,14\;c \simeq 42\,000\;km \cdot s^{-1}\;</math> pour que l'erreur commise en utilisant la cinétique newtonienne au lieu de la cinétique relativiste ne soit pas inférieure à <math>\;1\,\%</math>, justification ci-dessous dans ce paragraphe.</ref><math>\bigg]</math>, on définit, dans le cadre de la <u>cinétique relativiste</u>, le <math>\;\big(</math>vecteur<math>\big)\;</math> quantité de mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;\big(</math>inerte<math>\big)</math> <math>\;m\;</math> et de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, comme la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{p}_M(t) = \gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left( \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right)^{\!\!2}}}\;</math>» <br>est appelé « <u>facteur de Lorentz</u> »<ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M\;</math> dans son mouvement dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}en <u>cinétique relativiste</u>, la grandeur cinétique vectorielle « quantité de mouvement » peut toujours être considérée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : en cinétique relativiste, }}comme le produit de la grandeur cinématique vectorielle « vitesse » par une grandeur d'inertie scalaire «<math>\;\gamma_M(t)\;m\;</math>» nommée « masse apparente » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : en cinétique relativiste, }}la « masse apparente » est non invariante par changement de référentiel<ref> Par contre on rappelle que la masse d'inertie <math>\;m\;</math> est invariante par changement de référentiel.</ref> en effet «<math>\;m_{\text{app}}(t) = \gamma_M(t)\;m = \dfrac{m}{\sqrt{1 - \left( \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right)^{\!\!2}}} \nearrow\;</math> quand <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \nearrow\;</math>»<ref> Mais notez bien que ce n'est absolument pas la masse d'un objet qui croît avec la norme du vecteur vitesse de ce dernier car sa masse d'inertie garde une valeur constante quelle que soit la vitesse de l'objet <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : en cinétique relativiste, }}la masse apparente devenant <math>\;\infty\;</math> quand <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \rightarrow c</math>, vitesse de la lumière dans le vide<ref> Dans toutes les situations la masse apparente d'un objet est supérieure ou égale à sa masse d'inertie.</ref>. {{Al|5}}<u>Établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable</u><ref> À la quantité de mouvement et à moins de <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref> : si la particule est non relativiste c'est-à-dire si <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \ll c</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse }}on peut alors définir <math>\;\dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \ll 1\;</math> comme infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petits d'ordre successif"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordre successif]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse on peut }}développer le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left( \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right)^{\!\!2}}}\;</math> relativement à cet infiniment petit soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse on peut }}<math>\;\gamma_M(t) = \left[ 1 - \left( \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right)^{\!\!2} \right]^{-\frac{1}{2}} \simeq 1 - \left( -\dfrac{1}{2} \right) \left( \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right)^{\!\!2}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\left( \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right)^{\!\!2}\;</math><ref> Voir « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » utilisé ici pour <math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq 1 + n\, \varepsilon\;</math> à l'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math> avec <math>\;n = -\dfrac{1}{2}</math>.</ref> ou à l'ordre deux en <math>\;\dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c}</math> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse on peut }}«<math>\;\gamma_M(t) \simeq 1 + \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert^2}{2\;c^2}\;</math> à l'ordre deux en l'infiniment petit d'ordre un <math>\;\dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse on peut }}«<math>\;\gamma_M(t) \simeq 1\;</math> à <math>\;10^{-2}\;</math> près si <math>\;\dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert^2}{2\;c^2} < 10^{-2}\;</math>» soit finalement si «<math>\;\dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \lesssim \sqrt{2}\;10^{-1} \simeq 0,14\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse }}<u>En conclusion</u> : <math>\succ\;</math>« si <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \lesssim 0,14\;c\;</math>» ou, en introduisant la notion relativiste de vitesse relative définie selon <math>\;\beta_M(t) = \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c}\;</math><ref name="vitesse relative"> C.-à-d. la mesure de la vitesse exprimée en unité <math>\;c\;</math> <math>\big(</math>utilisée exclusivement en cinématique relativiste<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse En conclusion : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« si <math>\;\beta_M(t) \lesssim 0,14\;</math>» <u>la cinétique newtonienne est applicable à moins de</u><math>\;1\, \%\;</math><u>près</u> d'où «<math>\;\vec{p}_M(t) \simeq m\; \vec{V}_M(t)\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse En conclusion : }}<math>\succ\;</math>« si <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \not\lesssim 0,14\;c\;</math>» ou, en introduisant la notion relativiste de vitesse relative définie selon <math>\;\beta_M(t) = \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c}\;</math><ref name="vitesse relative" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse En conclusion : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« si <math>\;\beta_M(t) \not\lesssim 0,14\;</math>» <u>la cinétique relativiste doit être utilisée</u><ref> L'utilisation de la cinétique newtonienne à mauvais escient entraînant une erreur de plus de <math>\;1\,\%</math>.</ref> d'où «<math>\;\vec{p}_M(t) = \gamma_M(t)\;m\, \left[ \beta_M(t)\;c\;\vec{\tau}_M(t) \right]\;</math>»<ref> Pouvant encore s'écrire «<math>\;\vec{p}_M(t) = m_{\text{app}}(t)\,\left[ \beta_M(t)\;c\;\vec{\tau}_M(t) \right]\;</math>» avec «<math>\;m_{\text{app}}(t) = \gamma_M(t)\;m\;</math>» la “ masse apparente ” », «<math>\;\beta_M(t)\;c\;\vec{\tau}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse », «<math>\;\beta_M(t)\;c\;</math> étant la vitesse instantanée » et «<math>\;\beta_M(t)\;</math> la vitesse relative c.-à-d. la mesure de la vitesse instantanée en unité <math>\;c\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse En conclusion : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\beta_M(t) \not\lesssim 0,14}\;</math>» la cinétique relativiste doit être utilisée }}«<math>\;\vec{\tau}_M(t) = \dfrac{\vec{V}_M(t)}{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}\;</math> vecteur unitaire tangentiel à la trajectoire », <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse En conclusion : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\beta_M(t) \not\lesssim 0,14}\;</math>» la cinétique relativiste doit être utilisée }}«<math>\;\beta_M(t)\;c = \Vert \vec{V}_M(t) \Vert \gtrsim 0,14\;c\;</math> la norme de la vitesse » et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse En conclusion : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\beta_M(t) \not\lesssim 0,14}\;</math>» la cinétique relativiste doit être utilisée }}«<math>\;\gamma_M(t)\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> s'écrivant avec la vitesse relative <math>\;\beta(t)\;</math><ref name="vitesse relative" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement de la condition de vitesse En conclusion : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\beta_M(t) \not\lesssim 0,14}\;</math>» la cinétique relativiste doit être utilisée }}selon <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta_M^2(t)}}\;</math> toujours <math>\;> 1,01\;</math><ref> En effet <math>\;\beta_M(t) \gtrsim 0,14\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\beta_M^2(t) \gtrsim 0,02\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 - \beta_M^2(t) \lesssim 0,98\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta_M^2(t)}} \gtrsim \dfrac{1}{\sqrt{0,98}} \simeq 1,01\;</math> valeur par défaut.</ref> ». {{Al|5}}<u>Cinétique ultra relativiste</u> c'est-à-dire quand la norme du vecteur vitesse <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math> est voisine de sa valeur maximale <math>\;c\;</math> <math>\big[</math>ou quand sa vitesse relative <math>\;\beta_M(t)\;</math> est voisine de <math>\;1\big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cinétique ultra relativiste }}la notion de vitesse instantanée n'a plus réellement de sens car une <math>\;\nearrow\;</math> notable de <math>\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert\;</math> entraîne une <math>\;\nearrow\;</math> infime de <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math><ref> La vitesse instantanée ayant pratiquement atteint sa valeur limite ne peut <math>\;\nearrow\;</math> que d'une quantité très petite.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cinétique ultra relativiste }}la <math>\;\nearrow\;</math> notable de <math>\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert = m_{\text{app}}(t)\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math> ne peut se manifester que par une <math>\;\nearrow\;</math> importante de la masse apparente <math>\;\big(</math>c'est-à-dire de l'inertie<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Cinétique ultra relativiste }}vérifions cela quantitativement en posant «<math>\;\beta_M(t) = 1 - \varepsilon_M(t)\;</math>»<ref> <math>\;\varepsilon_M(t)\;</math> étant évidemment <math>\;> 0</math>.</ref> avec «<math>\;\varepsilon_M(t) \ll 1\;</math> définissant un infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petits d'ordre successif" /> » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cinétique ultra relativiste }}exprimons le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta_M^2(t)}}\;</math> en fonction de <math>\;\varepsilon(t)\;</math> soit <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left[ 1 - \varepsilon_M(t) \right]^2}}\;</math> ou, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz }}en prenant le D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. de <math>\;\left[ 1 - \varepsilon_M(t) \right]^2\;</math> à l'ordre un en <math>\;\varepsilon(t)</math>, «<math>\;\left[ 1 - \varepsilon_M(t) \right]^2 \simeq 1 - 2\;\varepsilon_M(t)\;</math>»<ref> Voir « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » utilisé ici pour <math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq 1 + n\, \varepsilon\;</math> à l'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math> avec <math>\;n = 2\;</math> et <math>\;\varepsilon\;</math> changé en son opposé.</ref> dont on déduit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz }}«<math>\;\dfrac{1}{\gamma_M^2(t)} = 1 - \left[ 1 - \varepsilon_M(t) \right]^2 \simeq 2\;\varepsilon_M(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\gamma_M(t) \simeq \dfrac{1}{\sqrt{2\;\varepsilon_M(t)}}\;</math>» c._à_d. un infiniment grand et par suite <br>{{Al|12}}{{Transparent|Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz }}la masse apparente définie selon «<math>\;m_{\text{app}}(t) = \gamma_M(t)\;m\;</math> devient <math>\;\simeq \dfrac{m}{\sqrt{2\;\varepsilon_M(t)}}\;</math>» c._à_d. également un infiniment grand ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cinétique ultra relativiste }}on en déduit «<math>\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert = m_{\text{app}}(t)\;\beta_M(t)\;c \simeq \dfrac{m}{\sqrt{2\;\varepsilon(t)}}\, \left[ 1 - \varepsilon(t) \right]\,c \simeq \dfrac{m\;c}{\sqrt{2\;\varepsilon(t)}}\; \cancel{- \dfrac{m\;c\;\sqrt{\varepsilon(t)}}{\sqrt{2}}}\;</math>»<ref> Quand on fait des développements limités <math>\;\big(</math>D.L.<math>\big)\;</math> successifs, il faut toujours s'assurer que l'on n'a pas supprimé auparavant des infiniment petits de même ordre ou d'ordre inférieur à ceux qui apparaissent à cet instant, ainsi dans le cas présent, ; <br>{{Al|3}}si on garde <math>\;\beta_M^2(t) = \left[ 1 - \varepsilon_M(t) \right]^2 = 1 - 2\;\varepsilon_M(t) + \varepsilon_M^2(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 - \beta_M^2(t) = 2\;\varepsilon_M(t) - \varepsilon_M^2(t) = 2\;\varepsilon_M(t) \left[ 1 - \dfrac{\varepsilon_M(t)}{2} \right]\;</math> d'où <math>\;\gamma_M(t) = \left[ 1 - \beta_M^2(t) \right]^{-\frac{1}{2}}\;</math> se réécrit <math>\;\gamma_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{2\;\varepsilon_M(t)}} \left[ 1 - \dfrac{\varepsilon_M(t)}{2} \right]^{-\frac{1}{2}} \simeq \dfrac{1}{\sqrt{2\;\varepsilon_M(t)}} \left[ 1 + \dfrac{\varepsilon_M(t)}{4} \right]\;</math> <math>\bigg\{</math>utilisant le D.L. de <math>\;\left[ 1 - \dfrac{\varepsilon_M(t)}{2} \right]^{-\frac{1}{2}}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{\varepsilon_M(t)}{2}\;</math> voir « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » utilisé ici pour <math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq 1 + n\, \varepsilon\;</math> à l'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math> avec <math>\;n = -\dfrac{1}{2}\;</math> et <math>\;\varepsilon\;</math> remplacé par <math>\;-\dfrac{\varepsilon_M(t)}{2}\bigg\}\;</math> soit finalement <math>\;\gamma_M(t) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{2\;\varepsilon_M(t)}} + \dfrac{\sqrt{\varepsilon_M(t)}}{4\;\sqrt{2}}</math>, ce dernier terme <math>\;\dfrac{\sqrt{\varepsilon_M(t)}}{4\;\sqrt{2}}\;</math> supprimé dans le D.L. de <math>\;\gamma_M(t)\;</math> étant de même ordre que le 2^ème terme <math>\;- \dfrac{m\;c\;\sqrt{\varepsilon_M(t)}}{\sqrt{2}}\;</math> qui apparaît dans le D.L. de <math>\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert</math>, il est impératif de supprimer ce 2^ème terme <math>\;- \dfrac{m\;c\;\sqrt{\varepsilon_M(t)}}{\sqrt{2}}\;</math> du D.L. de <math>\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert\;</math> sous peine d'erreurs dans le D.L. final de <math>\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert\;</math> concernant cet ordre <math>\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cinétique ultra relativiste on en déduit }}«<math>\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert \simeq \dfrac{m}{\sqrt{2\;\varepsilon(t)}}\;c \rightarrow \infty\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon(t) = 1 - \beta_M(t) \ll 1\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>«<math>\;\dfrac{m}{\sqrt{2\;\varepsilon(t)}} \rightarrow \infty\;</math> étant le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;m_{\text{app}} = \dfrac{m}{\sqrt{1 - \beta_M^2(t)}} \rightarrow \infty\;</math>»<ref> En cinétique ultra relativiste, pratiquement seule la masse apparente varie, la vitesse restant quasiment constante n'a plus aucun intérêt ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En cinétique ultra relativiste, }}une <math>\;\nearrow\;</math> notable de <math>\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert\;</math> s’accompagne d'une stagnation de la vitesse et d'une <math>\;\nearrow\;</math> importante de l'inertie.</ref><math>\Bigg\}</math>. == Résultante cinétique d'un système de points matériels, définition == <center>Le programme de physique de PCSI parle de « quantité de mouvement » d'un système de points matériels au lieu de « résultante cinétique »<ref> L'avantage de l'emploi du terme « résultante cinétique » est de rappeler qu'il s'agit d'une somme des quantités de mouvement de chaque point matériel ; <br>{{Al|3}}toutefois, le programme rend licite l'emploi de « quantité de mouvement d'un système de points matériels » même si je ne partage pas ce point de vue.</ref>.</center> === Masse d'un système de points matériels (définie comme 1^ère grandeur d'inertie associée au système) === {{Al|5}}La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,(m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> est définie comme la somme des masses des points matériels le constituant c'est-à-dire «<math>\;m_{\text{syst}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» ; {{Al|5}}si le système est <u>fermé</u>, c'est-à-dire si <math>\;N = cste</math>, <u>sa masse est constante</u> ; {{Al|5}}si le système est <u>ouvert</u>, étant défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)</math>, <math>\;N\;</math> pouvant varier, il en est de même de la masse du système : <br>{{Al|5}}{{Transparent|si le système est ouvert, }}<math>\succ</math><math>\;m_{\text{syst}} \nearrow\;</math> s'il y a entrée de points matériels à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|si le système est ouvert, }}<math>\succ</math><math>\;m_{\text{syst}} \searrow\;</math> s'il y a sortie de points matériels à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|si le système est ouvert, }}<math>\succ</math><math>\;m_{\text{syst}}\;</math> restant constante s'il y a écoulement stationnaire à travers <math>\;(\Sigma)</math>, la masse des points entrant étant égale à la masse des points sortant pendant la même durée<ref> On peut également définir l'écoulement stationnaire comme un écoulement tel que le débit massique entrant <math>\;D_{m,\,\text{ent}} = \dfrac{\delta m_{\text{ent}}}{\delta t}\;</math> est égal au débit massique sortant <math>\;D_{m,\,\text{sort}} = \dfrac{\delta m_{\text{sort}}}{\delta t}\;</math> <math>\big(</math>les deux s'exprimant en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)</math>, <math>\;\delta m_{\text{ent}}\;</math> et <math>\;\delta m_{\text{ent}}\;</math> étant respectivement les masses entrante et sortante pendant la durée <math>\;\delta t</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limité par la surface <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="surface limitante ou de contrôle"> Celle-ci étant la surface limitant l'expansion tridimensionnelle d'un système fermé ou la surface de contrôle dont l'intérieur définit un système ouvert.</ref>, <u>la masse d'un système fermé</u><math>\;m_{(\mathcal{S})}\;</math><u>reste conservée</u> mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> }}la masse d'un système ouvert <math>\;m_{(\mathcal{S})}\;</math> varie comme celle d'un système discret de points matériels ouvert : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la masse d'un système ouvert }}<math>\succ</math><math>\;m_{(\mathcal{S})} \nearrow\;</math> s'il y a globalement entrée de matière à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la masse d'un système ouvert }}<math>\succ</math><math>\;m_{(\mathcal{S})} \searrow\;</math> s'il y a globalement sortie de matière de l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la masse d'un système ouvert }}<math>\succ</math><math>\;m_{(\mathcal{S})} = cste\;</math> pour des entrées de matière à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la masse d'un système ouvert <math>\color{transparent}{\succ}</math><math>\;\color{transparent}{m_{(\mathcal{S})} = cste}\;</math> pour }}globalement compensées par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la masse d'un système ouvert <math>\color{transparent}{\succ}</math><math>\;\color{transparent}{m_{(\mathcal{S})} = cste}\;</math> pour }}des sorties de matière de l'intérieur de <math>\;(\Sigma)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> }}<u>la masse d'un système continu de matière fermé</u> limité par la surface <math>\;(\Sigma)\;</math> est définie par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la masse d'un système continu de matière fermé }}«<math>\;m_{(\mathcal{S})} = \displaystyle\iiint\limits_{\text{int de }(\mathcal{S})_t} \rho(M,\,t)\;d \mathcal{V}\;</math>»<ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\rho(M,\,t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la masse d'un système continu de matière fermé }}la masse volumique au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref> La surface limite <math>\;(\Sigma)\;</math> devant aussi dépendre de <math>\;t\;</math> si la masse volumique en dépend car la masse d'un système fermé doit rester constante, <br>{{Al|3}}par exemple le système constitué d'un ballon de baudruche contenant de l'air et montant dans l'atmosphère a son enveloppe se dilatant simultanément à la masse volumique de l'air intérieur au ballon diminuant pendant l'ascension de ce dernier, la surface limitant son contenu devant évidemment croître de façon à assurer la constance de la masse d'air.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> }}<u>un système continu de matière fermé indéformable</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire un solide<math>\big)</math>, a une masse se définissant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> un système continu de matière fermé indéformable }}«<math>\;m_{(\mathcal{S})} = \displaystyle\iiint\limits_{\text{int de }(\mathcal{S})} \rho(M)\;d \mathcal{V}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\rho(M)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> un système continu de matière fermé indéformable }}la masse volumique au point <math>\;M\;</math> ne dépendant pas de <math>\;t\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> un système continu de matière fermé indéformable }}et la surface <math>\;(\Sigma)\;</math> limitant le système non plus ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> }}<u>la masse d'un système continu de matière ouvert</u> de surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> est définie, à l'instant <math>\;t\;</math> par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la masse d'un système continu de matière ouvert }}«<math>\;m_{(\mathcal{S})}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\text{int de }(\mathcal{S})_t} \rho(M,\,t)\;d \mathcal{V}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\rho(M,\,t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la surface <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la masse d'un système continu de matière ouvert }}la masse volumique au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref> La surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> étant fixe ne dépend pas de <math>\;t\;</math> mais dans la mesure où il peut y avoir entrée ou sortie de matière, le système continu de matière ouvert dépend de <math>\;t\;</math> d'où la notation <math>\;(\mathcal{S})_t\;</math> et la masse volumique au point <math>\;M\;</math> en dépend aussi ; <br>{{Al|3}}s'il y a entrée de matière <math>\;m_{(\mathcal{S})_t} \nearrow</math>, s'il y a sortie de matière <math>\;m_{(\mathcal{S})_t} \searrow\;</math> et en cas d'écoulement stationnaire <math>\;m_{(\mathcal{S})_t}\;</math> reste constante.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion bidimensionnelle <math>\;\big(</math>c'est-à-dire surfacique<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion }}unidimensionnelle <math>\;\big(</math>c'est-à-dire curviligne<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limité par la courbe <math>\;(\mathcal{C})\;</math><ref name="courbe limitante ou de contrôle"> Celle-ci étant la courbe limitant l'expansion bidimensionnelle d'un système fermé ou la courbe de contrôle dont l'intérieur définit un système ouvert.</ref> a une masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}\;</math> définie par «<math>\;m_{(\mathcal{S})} = \displaystyle\iint\limits_{\text{int de }(\mathcal{S})_t} \sigma(M,\,t)\;d S\;</math>»<ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\sigma(M,\,t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la courbe <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C})}\;</math> a une masse <math>\;\color{transparent}{m_{(\mathcal{S})}}\;</math> définie par }}la masse surfacique au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref> La courbe limite <math>\;(\mathcal{C})\;</math> d'un système fermé devant aussi dépendre de <math>\;t\;</math> si la masse surfacique en dépend car sa masse doit rester constante, <br>{{Al|3}}par contre, pour un système ouvert, la courbe limite <math>\;(\mathcal{C})\;</math> ne dépend pas de <math>\;t\;</math> mais le plus souvent la masse surfacique en dépend ce qui entraîne que la masse du système ouvert en dépend aussi.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limité par les points <math>\;(A\,,\,B)\;</math><ref name="couple de points limitant ou de contrôle"> Celui-ci étant le couple d'extrémités limitant l'expansion unidimensionnelle d'un système fermé ou le couple d'extrémités de contrôle dont l'intérieur définit un système ouvert.</ref> a une masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}\;</math> définie par «<math>\;m_{(\mathcal{S})} = \displaystyle\int\limits_{\text{int de }(\overset{\frown}{AB})_t} \lambda(M,\,t)\;d \mathit{l}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\lambda(M,\,t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par les points <math>\;\color{transparent}{(A\,,\,B)}\;</math> a une masse <math>\;\color{transparent}{m_{(\mathcal{S})}}\;</math> définie par }}la masse linéique au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref> Le couple de points <math>\;(A\,,\,B)\;</math> d'un système fermé devant aussi dépendre de <math>\;t\;</math> si la masse linéique en dépend car sa masse doit rester constante, <br>{{Al|3}}par contre, pour un système ouvert, le couple de points <math>\;(A\,,\,B)\;</math> est fixe donc ne dépend pas de <math>\;t\;</math> mais le plus souvent la masse linéique en dépend ce qui entraîne que la masse du système ouvert en dépend aussi.</ref>. === Définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système === {{Al|5}}La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d'un système de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,(m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> en mouvement dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, chaque point <math>\;M_i\;</math> étant de quantité de mouvement <math>\;\vec{p}_{M_i}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}est définie, à cet instant <math>\;t</math>, par la somme des quantités de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> des points matériels le constituant c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> est définie, à cet instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, par }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \vec{p}_{M_i}(t)\;</math>» applicable en cinétiques newtonienne ou relativiste ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}en cinétique newtonienne la résultante cinétique se réécrit «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> en cinétique newtonienne la résultante cinétique se réécrit }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}en cinétique relativiste la résultante cinétique se réécrit «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>»<ref> Cette expression n'est pratiquement jamais utilisée car, en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>pour un point matériel il s'agit de la dynamique faisant le lien entre cause du mouvement inertiel <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> et ce dernier quand la norme du vecteur vitesse est <math>\not\ll\,c\big]</math>, la cinématique perd toute son importance au profit de la cinétique <math>\;\bigg[</math>en particulier en cinétique newtonienne d'un point matériel le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> alors qu'en cinétique relativiste le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math> est a priori <math>\;\not\propto\;</math> à la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>, cette dernière étant <math>\;\propto\;</math> à la dérivée temporelle de la quantité de mouvement <math>\;\dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math> d'où la perte d'intérêt de la cinématique au profit de la cinétique<math>\bigg]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> en cinétique relativiste la résultante cinétique se réécrit }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> en cinétique relativiste la résultante cinétique se réécrit }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left( \dfrac{\Vert \vec{V}_{M_i}(t) \Vert}{c} \right)^{\!\!2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|La résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}si le système est <u>fermé</u>, c'est-à-dire si <math>\;N = cste</math>, <u>sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant</u> ; {{Al|5}}{{Transparent|La résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}si le système est <u>ouvert</u>, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)</math>, <math>\;N\;</math> pouvant varier, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> si le système est ouvert, }}sa résultante cinétique peut varier : <math>\succ\;</math>par entrée ou sortie de la quantité de mouvement des points matériels entrant ou sortant et <math>\;\big(</math>ou<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> si le système est ouvert, sa résultante cinétique peut varier : }}<math>\succ\;</math>par modification de la quantité de mouvement des points initialement présents. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limité par la surface <math>\;(\Sigma)\;</math><ref name="surface limitante ou de contrôle" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> peut varier comme celle d'un système discret de points matériels : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<u>la résultante cinétique d'un système fermé</u> limité par la surface <math>\;(\Sigma)\;</math> est définie par «<math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\text{int de }(\mathcal{S})_t} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> la résultante cinétique d'un système }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\,t)\;</math> la quantité de mouvement volumique en <math>\;M</math>, à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref> La surface limite <math>\;(\Sigma)\;</math> dépendant de <math>\;t\;</math> si le volume du système fermé varie.</ref>{{,}}<ref> La quantité de mouvement volumique s'écrit encore, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \rho(M,\,t)\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où «<math>\;\rho(M,\,t)\;</math> est la masse volumique du milieu au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<u>un système continu de matière fermé indéformable</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire un solide<math>\big)</math>, a une résultante cinétique se définissant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> un système continu de matière fermé indéformable }}«<math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\text{int de }(\mathcal{S})} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\,t)\;</math> <br>{{Al|27}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> un système continu de matière fermé indéformable }}la quantité de mouvement volumique en <math>\;M</math>, à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|27}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> un système continu de matière fermé indéformable }}la surface <math>\;(\Sigma)\;</math> limitant <math>\;(\mathcal{S})\;</math> ne dépendant pas de <math>\;t\;</math> ainsi que <br>{{Al|27}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> un système continu de matière fermé indéformable }}la masse volumique au point <math>\;M\;</math> notée <math>\;\rho(M)\;</math><ref> Une conséquence est que la quantité de mouvement volumique s'écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \rho(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math>» mais cette dernière dépend a priori de <math>\;t\;</math> dans la mesure où <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> en dépend.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<u>la résultante cinétique d'un système ouvert</u> de surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> est définie, à l'instant <math>\;t\;</math> par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> la résultante cinétique d'un système ouvert }}«<math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\text{int de }(\mathcal{S})_t} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\,t)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> la résultante cinétique d'un système ouvert }}la quantité de mouvement volumique au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref> La surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> étant fixe ne dépend pas de <math>\;t\;</math> mais dans la mesure où il peut y avoir entrée ou sortie de matière, la quantité de mouvement volumique au point <math>\;M\;</math> doit, quant à elle et à l'exception de cas très particuliers, dépendre de <math>\;t</math>.</ref>{{,}}<ref> En cinétique newtonienne la quantité de mouvement volumique s'écrit «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \rho(M,\,t)\;\vec{V}_M(t)\;</math>», avec la masse volumique <math>\;\rho(M,\,t)\;</math> au point <math>\;M\;</math> devant dépendre de <math>\;t\;</math> dans la mesure où il peut y avoir entrée ou sortie de matière.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion bidimensionnelle <math>\;\big(</math>c'est-à-dire surfacique<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion }}unidimensionnelle <math>\;\big(</math>c'est-à-dire curviligne<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limité par la courbe <math>\;(\mathcal{C})\;</math><ref name="courbe limitante ou de contrôle" /> est de résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> telle que «<math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\text{int de }(\mathcal{S})_t} \!\!\!\vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\;d S\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref> La courbe limite <math>\;(\mathcal{C})\;</math> d'un système fermé pouvant dépendre de <math>\;t\;</math> est la raison pour laquelle le domaine d'intégration est noté <math>\;\text{int de }(\mathcal{S})_t</math>, <br>{{Al|3}}par contre, pour un système ouvert, la courbe limite <math>\;(\mathcal{C})\;</math> ne dépend pas de <math>\;t\;</math> mais l'intérieur du système a priori en dépend d'où cette même notation <math>\;\text{int de }(\mathcal{S})_t</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par la courbe <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C})}\;</math> }}avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{dS}(M,\,t)\;</math> la quantité de mouvement surfacique en <math>\;M</math>, à <math>\;t\;</math>»<ref> La quantité de mouvement surfacique s'écrit encore, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t) = \sigma(M,\,t)\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où «<math>\;\sigma(M,\,t)\;</math> est la masse surfacique du milieu au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limité par <math>\;(A\,,\,B)\;</math><ref name="couple de points limitant ou de contrôle" /> est de résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> telle que «<math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t) = \!\!\!\displaystyle\int\limits_{\text{int de }(\overset{\frown}{AB})_t} \!\!\!\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref> Le couple de points <math>\;(A\,,\,B)\;</math> limitant un système fermé pouvant dépendre de <math>\;t\;</math> est la raison pour laquelle le domaine d'intégration est noté <math>\;\text{int de }(\overset{\frown}{AB})_t</math>, <br>{{Al|3}}par contre, pour un système ouvert, le couple de points <math>\;(A\,,\,B)\;</math> limitant le système ouvert ne dépend pas de <math>\;t\;</math> mais l'intérieur du système a priori en dépend d'où cette même notation <math>\;\text{int de }(\mathcal{S})_t</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> limité par <math>\;\color{transparent}{(A\,,\,B)}\;</math> }}avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\,t)\;</math> la quantité de mouvement linéique en <math>\;M</math>, à <math>\;t\;</math>»<ref> La quantité de mouvement linéique s'écrit encore, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \lambda(M,\,t)\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où «<math>\;\lambda(M,\,t)\;</math> est la masse linéique du milieu au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</ref>. == Lien entre la résultante cinétique et le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé == <center>Le programme de physique de PCSI n'exige la démonstration de ce lien que pour un système de deux points matériels, mais <br>celle-ci n'étant pas plus compliquée pour un système de <math>\;N\;</math> points avec <math>\;N > 2</math>, nous n'utiliserons pas cette restriction.</center> === Énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé === {{Al|5}}Dans le cadre de la <u>cinétique newtonienne</u>, <u>la résultante cinétique</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math><u>d'un système de points matériels fermé</u> définie à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math>}}<u>est liée au vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>.</u><math>\;G\;</math><u>du système</u> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math>}}par «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref> C'est aussi la quantité de mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> du point fictif <math>\;G\;</math> affecté du cœfficient « masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="Lien entre résultante cinétique et vitesse du CDI pour un système continu de matière"> Pour que cette propriété soit encore applicable à un système continu de matière fermé, celui-ci doit être aussi indéformable.</ref>. === Démonstration === {{Al|5}}<math>\;O\;</math> étant un point fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système de points matériels fermé <math>\;\left\lbrace M_i\,(m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant un point fixe du référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, le vecteur position du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> }}est tel que «<math>\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{OM_i}(t)\;</math>»<ref name="centre d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Centre_d'inertie_d'un_système_(discret)_fermé_de_points_matériels|centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels]] (propriété) » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant un point fixe du référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}dérivant cette relation par rapport à <math>\;t\;</math> et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant un point fixe du référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}on obtient «<math>\;m_{\text{syst}}\;\dfrac{d \overrightarrow{OG}}{dt}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t)\;</math>»<ref> <math>\;m_{\text{syst}} = cste\;</math> pour un système fermé, la dérivée temporelle de <math>\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math> est donc <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> que multiplie la dérivée temporelle de <math>\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math> mais <u>ce serait faux pour un système ouvert</u>, c'est donc la raison pour laquelle <u>le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du C.D.I. n'est applicable que pour un système fermé</u>.</ref> ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant un point fixe du référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient }}«<math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant un point fixe du référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient }}le 2^ème membre définissant la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système de points matériels fermé <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant un point fixe du référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient le 2^ème membre définissant }}en cinétique newtonienne, la propriété énoncée est donc démontrée. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : considérant un <u>système continu de matière fermé et indéformable</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire un solide<math>\big)</math>, le vecteur position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;(\mathcal{V})\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire un solide<math>\color{transparent}{\big)}</math>, le vecteur position du C.D.I. }}est tel que «<math>\;m_{(\mathcal{S})}\;\overrightarrow{OG}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{(\mathcal{V})} \rho(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref> La masse volumique <math>\;\rho(M)\;</math> au point <math>\;M\;</math> est indépendante de <math>\;t\;</math> car le système est supposé indéformable.</ref>{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable }}dérivant cette relation par rapport à <math>\;t\;</math> et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation<ref name="encore applicable envers les intégrations"> Encore applicable envers les opérations d'intégration.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}on obtient «<math>\;m_{(\mathcal{S})}\;\dfrac{d \overrightarrow{OG}}{dt}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{(\mathcal{V})} \rho(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\;d \mathcal{V}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref> Le système continu de matière étant fermé sa masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}\;</math> est constante et le système étant indéformable sa masse volumique au point générique <math>\;M\;</math> est indépendante de <math>\;t\;</math> d'où l'explication de la dérivée temporelle de chaque membre.</ref> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}en utilisant la définition des vecteurs vitesse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient }}«<math>\;m_{(\mathcal{S})}\;\vec{V}_G(t) = \displaystyle\iiint\limits_{(\mathcal{V})} \rho(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />, le 2^ème membre étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient }}la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> du système continu de matière fermé et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient la résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t)}\;</math> }}indéformable en cinétique newtonienne ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}considérant un <u>système continu de matière fermé et indéformable</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire un solide<math>\big)</math>, le vecteur position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système bidimensionnel <math>\;(\mathcal{S})\;</math> de surface <math>\;(S)\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire un solide<math>\color{transparent}{\big)}</math>, le vecteur position du C.D.I. }}est tel que «<math>\;m_{(\mathcal{S})}\;\overrightarrow{OG}(t) = \displaystyle\iint\limits_{(S)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref> La masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> au point <math>\;M\;</math> est indépendante de <math>\;t\;</math> car le système est supposé indéformable.</ref>{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable }}dérivant cette relation par rapport à <math>\;t\;</math> et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation<ref name="encore applicable envers les intégrations" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}on obtient «<math>\;m_{(\mathcal{S})}\;\dfrac{d \overrightarrow{OG}}{dt}(t) = \displaystyle\iint\limits_{(S)} \sigma(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\;d S\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref> Le système continu de matière étant fermé sa masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}\;</math> est constante et le système étant indéformable sa masse surfacique au point générique <math>\;M\;</math> est indépendante de <math>\;t\;</math> d'où l'explication de la dérivée temporelle de chaque membre.</ref> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}en utilisant la définition des vecteurs vitesse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient }}«<math>\;m_{(\mathcal{S})}\;\vec{V}_G(t) = \displaystyle\iint\limits_{(S)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />, le 2^ème membre étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient }}la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> du système continu de matière fermé et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient la résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t)}\;</math> }}indéformable en cinétique newtonienne ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}considérant un <u>système continu de matière fermé et indéformable</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire un solide<math>\big)</math>, le vecteur position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système unidimensionnel <math>\;(\mathcal{S})\;</math> de courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire un solide<math>\color{transparent}{\big)}</math>, le vecteur position du C.D.I. }}est tel que «<math>\;m_{(\mathcal{S})}\;\overrightarrow{OG}(t) = \displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref> La masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> au point <math>\;M\;</math> est indépendante de <math>\;t\;</math> car le système est supposé indéformable.</ref>{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable }}dérivant cette relation par rapport à <math>\;t\;</math> et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation<ref name="encore applicable envers les intégrations" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}on obtient «<math>\;m_{(\mathcal{S})}\;\dfrac{d \overrightarrow{OG}}{dt}(t) = \displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \lambda(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\;d \mathit{l}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref> Le système continu de matière étant fermé sa masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}\;</math> est constante et le système étant indéformable sa masse linéique au point générique <math>\;M\;</math> est indépendante de <math>\;t\;</math> d'où l'explication de la dérivée temporelle de chaque membre.</ref> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}en utilisant la définition des vecteurs vitesse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient }}«<math>\;m_{(\mathcal{S})}\;\vec{V}_G(t) = \displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />, le 2^ème membre étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient }}la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> du système continu de matière fermé et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient la résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t)}\;</math> }}indéformable en cinétique newtonienne ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable }}<u>conclusion</u> : la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <u>fermé et indéformable</u> s'écrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable conclusion : }}à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon «<math>\;\vec{P}_{(\mathcal{S})}(t) = m_{(\mathcal{S})}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» en cinétique newtonienne. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques|Loi de la quantité de mouv. : Forces, principe des actions réciproques]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens|Loi de la quantité de mouv. : Principe de l'inertie et réf. galiléens]] }} phz66gpfhs3n5vv4vd2jdcwl7ez2htx 0 69639 982884 978691 2026-05-17T11:57:33Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982884 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique/]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air/]] }} <center>Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Définition et condition de réalisation de la chute libre d'un système fermé de points matériels dans un champ de pesanteur uniforme == === Définition === {{Al|5}}Un système fermé de points matériels au voisinage de la Terre est « <u>en chute libre</u> » si la seule force extérieure s'appliquant sur lui est « <u>son poids</u> <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{g}\;</math>» <math>\;\big(\vec{g}\;</math> étant le champ de pesanteur terrestre au lieu considéré<math>\big)\;</math><ref> Pour que « le poids <math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{g}(M_i)\;</math> s'écrive <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{g} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right] \vec{g}\;</math>», avec «<math>\;\vec{g} = \vec{g}(G)\;</math>» où <math>\;G\;</math> est le centre de gravité du système <math>\;\big(</math>lequel s'identifie au centre d'inertie, les masses grave et inerte étant mesurées par le même nombre d'après le [[w:Principe_d'équivalence#Le_principe_d'équivalence_faible|principe d'équivalence]]<math>\big)</math>, il est nécessaire de supposer que, sur toute l'expansion tridimensionnelle du système fermé de points matériels, le champ de pesanteur est quasi uniforme «<math>\;\vec{g}(M_i) = \vec{g}\;\;\forall\;i\;</math>».</ref>. === Conditions de réalisation === ==== Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : On rappelle que la verticale en un lieu de la surface terrestre ne passe pas rigoureusement par le centre <math>\;O_{(\text{♁})}\;</math> de la Terre sauf aux pôles et à l'équateur<ref> Par exemple à Paris l'écart entre les deux directions est de <math>\;5\,\text{'}\;</math> d'angle, ce qui revient à dire que la verticale à Paris passe à <math>\;10\,km\;</math> du centre <math>\;O_{\text{♁}}\;</math> de la Terre.</ref>, le poids dont la direction définit la verticale en un lieu<ref> On rappelle que la verticale en un lieu est la direction d'un « fil à plomb » en équilibre, c.-à-d. la direction du fil soutenant le solide en équilibre, lequel n'étant soumis qu'à son poids <math>\;m_{\text{solide}}\;\vec{g}\;</math> et la tension du fil <math>\;\vec{T}</math>, est en équilibre si <math>\;\vec{T} = -m_{\text{solide}}\;\vec{g}</math>.</ref> ne s'identifiant pas rigoureusement à la force de gravitation terrestre de direction passant par le centre <math>\;O_{(\text{♁})}\;</math> de la Terre ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le poids «<math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{g}\;</math>» est en fait la somme de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}<math>\;\succ\;</math>de la force de gravitation terrestre «<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}\;m_{\text{syst}}}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» dans laquelle <math>\;r\;</math> est la distance séparant le C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. <math>\;G\;</math> du système fermé de points matériels du centre <math>\;O_{(\text{♁})}\;</math> de la Terre et <math>\;\vec{u}_r\;</math> le 1^er vecteur de base sphérique liée à <math>\;G</math>, de pôle <math>\;O_{(\text{♁})}\;</math> et d'axe « l'axe pôle Sud - pôle Nord de rotation propre de la Terre » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}<math>\;\succ\;</math>de la « pseudo force d'inertie d'entraînement » de rotation de la Terre relativement au référentiel géocentrique définie au lieu considéré «<math>\;m_{\text{syst}}\;\Omega_{(\text{♁})}^2\;\overrightarrow{C_GG} =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\Omega_{(\text{♁})}^2\;\rho\;\vec{u}_\rho\;</math>»<ref> La notion de « pseudo force d'inertie » n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais elle a été introduite en complément dans le paragraphe intitulé « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Cas_où_le_référentiel_d'entraînement_est_en_rotation_uniforme_autour_d'un_axe_fixe_du_référentiel_galiléen|cas où le référentiel d'entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel galiléen]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ;<br>{{Al|3}}dans le cas du référentiel géocentrique quasi galiléen, le référentiel terrestre étant en rotation uniforme de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{(\text{♁})}\;</math> autour de l'axe « pôle Sud - pôle Nord » dans le référentiel géocentrique, la « pseudo force d'inertie d'entraînement » de rotation de la Terre relativement au référentiel géocentrique définie au point <math>\;G\;</math> s'écrit «<math>\;\vec{f}_{G,\,\text{in. e}}(t) = m_{\text{syst}}\;\Omega_{(\text{♁})}^2\;\overrightarrow{C_GG}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;C_G\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;G\;</math> sur l'axe « pôle Sud - pôle Nord ».</ref> dans laquelle «<math>\;\Omega_{(\text{♁})}\;</math> est la vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de son axe égale à <math>\;\Omega_{(\text{♁})} = \dfrac{2\;\pi}{T_{(\text{♁}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}})}} = \dfrac{2\;\pi}{24 \times 3600}</math> <math>\simeq 7,27\;10^{-5}\;rad \cdot s^{-1}\;</math>», «<math>\;\rho = r\;\cos(\lambda)\;</math> la distance séparant le point <math>\;G\;</math> de l'axe de rotation pôle Sud – pôle Nord » avec «<math>\;\lambda\;</math> la latitude du lieu », «<math>\;\vec{u}_\rho\;</math> le 1^er vecteur de base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> d'axe pôle Sud – pôle Nord » se décomposant, dans la base sphérique de pôle <math>\;O_{(\text{♁})}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> selon «<math>\;\vec{u}_\rho =</math> <math>\vec{u}_r\;\cos(\lambda) + \vec{u}_\theta\;\sin(\lambda)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> le 2^ème vecteur de base sphérique liée à <math>\;G</math>, de pôle <math>\;O_{(\text{♁})}\;</math> et d'axe « l'axe pôle Sud - pôle Nord de rotation propre de la Terre » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}on en déduit la « composante de <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> égale à <math>\;m_{\text{syst}}\;\Omega_{(\text{♁})}^2\;r\;\cos(\lambda)\;\sin(\lambda)\;</math>», composante qui est à l'origine de l'écart de la direction de la verticale par rapport à la direction de <math>\;\vec{u}_r\;</math> c'est-à-dire de la direction passant par le centre <math>\;O_{(\text{♁})}\;</math> de la Terre, écart non nul sauf aux pôles et à l'équateur pour lesquels <math>\;\cos(\lambda)\;\sin(\lambda) = 0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}toutefois nous ne tiendrons pas compte de la différence entre le poids et la force de gravitation terrestre car <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : toutefois }}le terme correctif sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> à savoir «<math>\;m_{\text{syst}}\;\Omega_{(\text{♁})}^2\;r\;\cos^2(\lambda)\;</math>» ne représente, à Paris et au niveau du sol, que <math>\;0,3\,\%\;</math> en norme et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : toutefois }}l'écart de <math>\;5\,\text{'}\;</math> d'angle au même endroit entre la verticale et la direction passant par le centre <math>\;O_{(\text{♁})}\;</math> de la Terre ne représente que <math>\;0,15\,\%\;</math> en direction<ref> Car «<math>\;\tan(5\,\text{'}) = \tan\! \left( \dfrac{5}{60}\!\color{white}{\dfrac{\color{black}{\text{°}}}{\text{°}}}\! \right) \simeq 1,5\;10^{-3}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}aussi considérons nous, dans ce paragraphe, que <center>«<math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{g} \simeq -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}\;m_{\text{syst}}}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme</u> : du préliminaire précédent on déduit la variation du champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}(M)\;</math> avec la position <math>\;M\;</math> considérée au voisinage de la Terre soit <center>«<math>\;\vec{g}(M) \simeq -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>»</center> {{Al|5}}dans laquelle «<math>\;\vec{u}_r\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique liée à <math>\;M</math>, de pôle <math>\;O_{(\text{♁})}\;</math> et d'axe “ l'axe pôle Sud - pôle Nord de rotation propre de la Terre ” », est aussi, localement, « le vecteur unitaire vertical ascendant noté <math>\;\vec{u}_z\;</math> en la position <math>\;M\;</math> considérée » et «<math>\;r = \Vert \overrightarrow{O_{(\text{♁})}M} \Vert\;</math> la 1^ère coordonnée sphérique de <math>\;M</math>, encore égale à <math>\;r = R_{(\text{♁})} + z\;</math>» dans laquelle <math>\;R_{(\text{♁})}\;</math> est le rayon de la Terre et <math>\;z \ll R_{(\text{♁})}\;</math> l'altitude locale de <math>\;M</math>, les deux autres coordonnées sphériques de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\theta = \dfrac{\pi}{2} - \lambda\;</math> avec <math>\;\lambda\;</math> sa latitude » et «<math>\;\varphi = \mu\;</math> avec <math>\;\mu\;</math> sa longitude » ; {{Al|5}}{{Transparent|Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : }}« pour que <math>\;\vec{g}(M)\;</math> soit uniforme à <math>\;1\, \%\;</math> près », il faut donc que sa norme <math>\;\big(</math>dépendant de {{Nobr|l'altitude<math>\big)\;</math>}} ainsi que sa direction <math>\;\big(</math>dépendant de la latitude et de la longitude<ref> En effet <math>\;\vec{u}_r\;</math> <math>\big(</math>identifié localement à <math>\;\vec{u}_z\big)\;</math> dépend de <math>\;\theta\;</math> et de <math>\;\varphi</math>.</ref><math>\big)\;</math> varient de moins de <math>\;1\, \%</math>, ce qui donne les conditions suivantes : :* « quand <math>\;M\;</math> est déplacé verticalement », «<math>\;g(z) = \Vert \vec{g}(M) \Vert \simeq \Bigg\Vert -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{\left[ R_{(\text{♁})} + z \right]^{\!2}}\;\vec{u}_r \Bigg\Vert = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{\left[ R_{(\text{♁})} + z \right]^{\!2}}\;</math> reste constant à <math>\;1\, \%\;</math> près » si « le déplacement vertical <math>\;z\;</math> est inférieur à <math>\;h\;</math>» tel que {{Nobr|«<math>\;\dfrac{g(0) - g(h)}{g(0)}</math>}} <math>= 10^{-2}\;</math>» ou, avec «<math>\;g(0) \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{\left[ R_{(\text{♁})} \right]^{\!2}} \Rightarrow \mathcal{G}\;m_{(\text{♁})} \simeq g(0)\;R_{(\text{♁})}^{\,2}\;</math>» permettant de réécrire «<math>\;g(h) \simeq</math> <math>\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{\left[ R_{(\text{♁})} + h \right]^{\!2}} \simeq g(0) \left[ \dfrac{R_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} + h} \right]^2 = g(0) \left[ 1 + \dfrac{h}{R_{(\text{♁})}} \right]^{-2}\;</math>»<ref> Obtenu en divisant haut et bas par <math>\;R_{(\text{♁})}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{R_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} + h} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{h}{R_{(\text{♁})}}} = \left[ 1 + \dfrac{h}{R_{(\text{♁})}} \right]^{-1}\;\ldots</math></ref> soit encore, en considérant «<math>\;\dfrac{h}{R_{(\text{♁})}} \ll 1\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un »<ref name="Infiniment petit d'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et en faisant un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. d'ordre un de <math>\;\dfrac{g(h)}{g(0)} = \left[ 1 + \dfrac{h}{R_{(\text{♁})}} \right]^{-2} \simeq 1 - 2\;\dfrac{h}{R_{(\text{♁})}}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans lequel, au voisinage de zéro, <math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq 1 + n\, \varepsilon\;</math> si <math>\;n \in \mathbb{Q}^{*}</math>, ici <math>\;n\;</math> valant <math>\;-2</math>.</ref> d'où, comme «<math>\;\dfrac{g(0) - g(h)}{g(0)} =</math> <math>1 - \dfrac{g(h)}{g(0)}</math> <math>\simeq 2\;\dfrac{h}{R_{(\text{♁})}}\;</math>», on en déduit le déplacement vertical maximal toléré <math>\;h\;</math> pour que la variation de la norme du champ de pesanteur terrestre soit inférieure à <math>\;1\;\%</math>, soit <math>\;2\;\dfrac{h}{R_{(\text{♁})}} = 10^{-2}\;</math> ou <center>«<math>\;h = 5\;10^{-3}\;R_{(\text{♁})} \simeq 30\;km\;</math>»<ref> Avec <math>\;R_{(\text{♁})} \simeq 6400\;km\;</math> on trouve <math>\;5\;10^{-3}\;R_{(\text{♁})} \simeq 32\;km\;</math> que l'on arrondit à <math>\;30\;km</math>.</ref> ;</center> :* « quand <math>\;M\;</math> est déplacé horizontalement », « la direction de <math>\;\vec{g}(M)\;</math> reste la même à <math>\;1\, \%\;</math> près » si « le point <math>\;M\;</math> décrit moins de <math>\;1\, \%\;</math> de grand cercle de circonférence <math>\;2\;\pi\;R_{(\text{♁})} \simeq 40000\; km\;</math>» {{Nobr|c'est-à-dire}} si « le déplacement horizontal<ref> Déplacement le long d'un grand cercle.</ref> est <math>\;\lesssim l_{\text{horiz}} = 10^{-2}\;2\;\pi\;R_{(\text{♁})}\;</math>» soit <center>«<math>\;l_{\text{horiz}} \simeq 10^{-2} \times 40000\; km \simeq 400\; km\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : }}en conclusion le champ de pesanteur terrestre pourra être considéré « uniforme » à <math>\;1\, \%\;</math> près « dans un parallélépipède rectangle haut de <math>\;30\;km\;</math> et dont la base est un carré de <math>\;400\;km\;</math> de côté ». ==== Condition de réalisation du caractère libre de la chute ==== {{Al|5}}Pour qu'un objet puisse être considéré « en chute libre » il faut que « chaque force <math>\;\big(</math>autres que le poids de l'objet<math>\big)\;</math> réellement appliquée soit de norme négligeable devant celle du poids de l'objet » {{Nobr|c'est-à-dire,}} en travaillant à <math>\;1\;\%\;</math> près, que « leur norme soit <math>\;\lesssim 10^{-2}\;m_{\text{syst}}\;g\;</math>»<ref> Il serait même préférable de travailler à <math>\;1\;^o\!\!/_{\!oo} = 0,1\;\%\;</math> près, sous cette condition une force sera négligeable si sa norme est <math>\;\lesssim 10^{-3}\;m_{\text{syst}}\;g</math>.</ref>, en particulier, si l'objet se déplace dans l'air, les deux forces de contact de l'objet avec l'air doivent pouvoir être négligées à savoir : * « la [[w:Poussée_d'Archimède|poussée d'Archimède]] »<ref> Force ascendante qu'un fluide exerce sur un objet totalement immergé, de norme égale au poids de « fluide déplacé » <math>\;\big[</math>c.-à-d. le fluide <math>\;\big(</math>hypothétique<math>\big)\;</math> qu'il faudrait mettre à la place de l'objet sans que le champ de pression dans le fluide sans trouve modifié, et pour cela la quantité de fluide extérieur à l'objet <math>\;\big(</math>ou extérieur au fluide remplaçant l'objet<math>\big)\;</math> doit rester la même<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Poussée_d'Archimède#«_Rappel_»_sur_l'équivalence_du_système_des_forces_pressantes_s’exerçant_sur_un_corps_sphérique_(indéformable)_totalement_immergé_dans_un_fluide_incompressible_et_homogène_en_équilibre_isotherme_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme_avec_une_force_unique_et_1ère_notion_de_poussée_d'Archimède|Rappel sur l'équivalence du système des forces pressantes s'exerçant sur un corps sphérique (indéformable) totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme avec une force unique et 1^ère notion de poussée d'Archimède]] (2^ème conclusion) » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="Archimède"> '''[[w:Archimède|Archimède de Syracuse]] (vers 287 avant J.C. - 212 avant J.C.)''' physicien, mathématicien et ingénieur grec de [[w:Sicile|Sicile]] <math>\;\big(</math>[[w:Grande-Grèce|Grande-Grèce]]<math>\big)</math>, considéré comme l'un des principaux scientifiques de l'[[w:Antiquité_classique|Antiquité classique]] ; <br>{{Al|3}}on lui doit, dans le domaine de la physique, des résultats en [[w:Hydrostatique|hydrostatique]], en [[w:Mécanique_statique|statique des solides]] et l'explication du principe du [[w:Levier_(mécanique)|levier]] ; <br>{{Al|3}}en tant qu'ingénieur, il est crédité de plusieurs outils innovants comme la [[w:Vis_d'Archimède|vis d'Archimède]] ; <br>{{Al|3}}il est considéré comme le plus grand mathématicien de l'Antiquité et comme l'un des plus grands de tous les temps, on lui doit l'emploi de la [[w:Méthode_d'exhaustion|méthode d'exhaustion]] pour calculer l'aire sous un arc de parabole, un encadrement de <math>\;\pi\;</math> avec une remarquable précision, l'introduction de la [[w:Spirale_d'Archimède|spirale qui porte son nom]], des formules évaluant les volumes d'expansions tridimensionnelles limitées par des surfaces de révolution <math>\;\ldots</math></ref>, « considérée comme négligeable si la masse volumique de l'air <math>\;\rho_{\text{air}}\;</math> est <math>\;\lesssim 10^{-2}\;\rho_{\text{moy. syst}}\;</math>» où <math>\;\rho_{\text{moy. syst}}\;</math> est la masse volumique moyenne de l'objet<ref> Ou, si on travaille à <math>\;1\;^o\!\!/_{\!oo} = 0,1\;\%\;</math> près, <math>\;\rho_{\text{air}} \lesssim 10^{-3}\;\rho_{\text{moy. syst}}\;\ldots</math></ref> soit, avec «<math>\;\rho_{\text{air}} \simeq 1,2\;kg \cdot m^{-3}\;</math><ref> Valeur sous pression de <math>\;1,013\;bar\;</math> et à la température de <math>\;21\;\text{°C}</math>.</ref> dans des conditions usuelles de température et de pression », « la nécessité d'utiliser un objet de masse volumique moyenne <math>\;\rho_{\text{moy. syst}} \gtrsim 120\;kg \cdot m^{-3}\;</math><ref> Ou, si on travaille à <math>\;1\;^o\!\!/_{\!oo} = 0,1\;\%\;</math> près, <math>\;\rho_{\text{moy. syst}} \gtrsim 1200\;kg \cdot m^{-3}\;\ldots</math></ref> ou de densité moyenne <math>\;d_{\text{moy. syst}} \gtrsim 0,120\;</math>»<ref> La densité d'un objet solide ou liquide est définie relativement à l'eau liquide selon <math>\;d_{\text{syst}} = \dfrac{\rho_{\text{syst}}}{\rho_{\text{eau}}}\;</math> où <math>\;\rho_{\text{eau}} \simeq 1000\;kg \cdot m^{-3}\;</math> est la masse volumique de l'eau liquide, celle-ci étant prise dans les mêmes conditions de température et de pression que l'objet solide ou liquide <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Ou, si on travaille à <math>\;1\;^o\!\!/_{\!oo} = 0,1\;\%\;</math> près, <math>\;d_{\text{syst}} \gtrsim 1,20\;\ldots</math></ref> et * « la résistance de l'air »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forces_de_frottement_fluide_exercées_sur_un_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_mouvement_de_translation_relativement_au_fluide_immobile,_le_système_ayant_un_axe_de_symétrie_et_son_vecteur_vitesse_étant_porté_par_l'axe|forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, dépendant de la forme plus ou moins aérodynamique de l'objet <math>\;\big(</math>ceci n'étant pas réellement un obstacle si on sélectionne une forme aérodynamique « pointue en amont et convexe en aval » ou même un peu moins aérodynamique comme une « boule »<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|« la résistance de l'air », dépendant }}de la vitesse de ce dernier, le caractère négligeable de la résistance de l'air dépendant surtout de la limitation de la vitesse, on pourra être amené à envisager uniquement un début de chute sans vitesse initiale pour pouvoir considérer la chute comme « libre » mais, même avec cette restriction, cela constituera toujours une mauvaise approximation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : La seule façon d'obtenir une bonne approximation est de réaliser une chute dans le vide, par exemple en utilisant un [[w:Tube_de_Newton|tube à vide de Newton]]<ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref>. == Application du théorème du mouvement du C.D.I. dans le référentiel terrestre galiléen == === Conditions de « lancement » du système fermé (indéformable) de points matériels et choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre supposé galiléen === {{Al|5}}Le système fermé de points matériels <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="indéformable ou non"> Bien que, dans la pratique, le système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> soit indéformable, ce caractère n'est pas nécessaire quand il s'agit de déterminer le mouvement de son centre d'inertie <math>\;\ldots</math></ref>, de C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G</math>, est lancé « à un instant choisi comme origine des temps », « d'un endroit fixe du référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math> <math>\;\big[</math>le C.D.I<ref name="C.D.I." />. de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant en la position fixe de <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> notée <math>\;G_0\big]\;</math> avec un vecteur vitesse initiale du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> égal à <math>\;\vec{V}_0\;</math><ref> Lequel étant quelconque <math>\;\big(</math>dans la limite d'utilisation de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> peut aussi être nul.</ref> ». [[File:Chute libre dans champ de pesanteur uniforme - choix de repère cartésien.png|thumb|300px|Choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre dans le cas où le vecteur vitesse initial de l'objet en chute libre n'est pas vertical]] {{Al|5}}<u>Choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre</u> : on choisit l'origine <math>\;O\;</math> du repère confondu avec <math>\;G_0</math>, l'axe vertical <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> étant choisi ascendant, <math>\;xOy\;</math> est le plan horizontal passant par <math>\;G_0\;</math> et les axes horizontaux <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> y sont choisis de façon que le trièdre <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{Oy}\,,\,\overrightarrow{Oz} \right\rbrace\;</math> soit orthogonal direct<ref name="base directe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » ainsi que l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, d'une part et d'autre part selon la règle suivante : * « si <math>\;\vec{V}_0\;</math> n'est pas vertical », l'axe horizontal <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> est choisi dans le plan vertical de lancement initial <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le plan vertical passant par <math>\;G_0\;</math> et contenant <math>\;\vec{V}_0\big)\;</math> tel que «<math>\;V_{0,\,x}\;</math> soit <math>\; > 0\;</math>» et on notera «<math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{V}_0 \right)}\;</math>», « les angles du plan <math>\;xOz\;</math> étant orientés par <math>\;-\vec{u}_y\;</math>»<ref name="orientation des angles du plan xOz"> Attention, comme on a choisi la base cartésienne <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> directe dans l'espace physique orienté à droite <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#cite_note-base_directe-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et qu'on définit un angle orienté du plan <math>\;xOz</math>, la convention usuelle consisterait à ce que les angles de ce plan soient orientés par le vecteur <math>\;\vec{u}_y\;</math> correspondant à un angle positif de <math>\;\vec{u}_z\;</math> vers <math>\;\vec{u}_x\;</math> c.-à-d. dans le sens rétrograde ; pour éviter cela et obtenir des angles orientés positifs dans le sens direct, on oriente les angles du plan <math>\;xOz</math> par le vecteur <math>\;-\vec{u}_y\;\ldots</math></ref>, angle de valeur absolue aigüe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; * « si <math>\;\vec{V}_0\;</math> est vertical », les axes horizontaux <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> sont choisis quelconques<ref> Avec toutefois le trièdre <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{Oy}\,,\,\overrightarrow{Oz} \right\rbrace\;</math> orthogonal direct de l'espace physique orienté à droite <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#cite_note-base_directe-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;\ldots</math></ref>. === Équations différentielles (scalaires) du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels === {{Al|5}}Le référentiel terrestre étant supposé galiléen, l'application du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. nous conduit à «<math>\;m_{\text{syst}}\; \vec{g} = m_{\text{syst}}\;\vec{a}_G\;</math>» soit finalement, la masse inerte étant identifiée à la masse grave<ref> Sans identification de ces <math>\;2\;</math> grandeurs « masse inerte <math>\;m_{\text{syst},\,i}\;</math>» et « masse grave <math>\;m_{\text{syst},\,g}\;</math>», le théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big(</math>centre d'inertie<math>\big)\;</math> se serait écrit «<math>\;m_{\text{syst},\,g}\; \vec{g} = m_{\text{syst},\,i}\;\vec{a}_G\;</math>».</ref> d'après le [[w:Principe_d'équivalence#Le_principe_d'équivalence_faible|principe d'équivalence]] <ref> Revoir aussi la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#cite_note-3|³]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, «<math>\;\vec{a}_G = \vec{g}\;</math>» dont nous pouvons déduire que <u>le mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système</u> <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <u>lors de sa chute libre est un mouvement à vecteur accélération constant</u><ref> Voir chap.<math>3</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_de_vecteur_accélération_constant|Description et paramétrage d'un point : mouvement de vecteur accélération constant]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}compte-tenu de «<math>\;\vec{a}_G = \dfrac{d \vec{V}_G}{dt}(t)\;</math>» d'une part et «<math>\;\vec{V}_G(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OG}}{dt}(t)\;</math>» d'autre part, nous pouvons :* trouver les équations vectorielles horaires de vitesse et de position de <math>\;G\;</math> par deux intégrations successives puis projeter ces équations vectorielles horaires sur les trois axes pour en déduire les trois équations scalaires horaires de vitesse ainsi que les trois de position de <math>\;G\;</math><ref> C'est cette façon qui a été adoptée au chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » puis précisément aux paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_de_vecteur_accélération_constant#Expression_du_vecteur_vitesse_du_point_M|expression du vecteur vitesse du point]] », « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_de_vecteur_accélération_constant#Expression_du_vecteur_position_du_point_M|expression du vecteur position du point]] » et « déduction des composantes cartésiennes dans le [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_de_vecteur_accélération_constant#Cas_où_le_vecteur_vitesse_initiale_n'est_pas_colinéaire_au_vecteur_accélération|cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération]] » <math>\;\big(</math>attention l'angle <math>\;\alpha_0\;</math> n'y a pas la même définition que celle adoptée dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref> ou :* projeter cette équation différentielle vectorielle en <math>\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math> sur les trois axes pour en déduire les trois équations différentielles scalaires en <math>\;x_G(t)</math>, <math>\;y_G(t)\;</math> et <math>\;z_G(t)\;</math> puis, par deux intégrations successives chacune, déterminer les trois équations scalaires horaires de vitesse ainsi que les trois de position de <math>\;G\;</math><ref> C'est cette façon que nous adopterons pour que les deux méthodes soient, au final, exposées dans la leçon <math>\;\big(</math>même si l'intégration vectorielle avant projection me semble plus rapide<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}projetons l'équation différentielle vectorielle «<math>\;\vec{a}_G = \vec{g}\;</math>» sur les trois axes pour obtenir les trois équations différentielles scalaires du mouvement de <math>\;G\;</math> soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a_{x,\,G} = 0\\ a_{y,\,G} = 0\\ a_{z,\,G} = -g\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> La grandeur <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math> étant appelé « intensité de la pesanteur terrestre » au lieu considéré.</ref>. == Cas particulier de mouvement à vecteur accélération constant, lois horaires de vitesse et de position du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels == === Conséquence de l'expression de l'équation différentielle vectorielle du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels === {{Al|5}}Le mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système fermé de points matériels <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant un cas particulier de mouvement à vecteur accélération constant, nous pouvons dès à présent affirmer la nature <u>plane</u> {{Nobr|<math>\;\big(</math>ou}} <u>rectiligne</u><math>\big)\;</math> du mouvement de <math>\;G</math>, la « trajectoire de ce dernier, dans le <u>cas d'un mouvement plan</u>, étant une <u>parabole</u> »<ref> Voir les paragraphes « mouvement de vecteur accélération constant dans le [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_de_vecteur_accélération_constant#Cas_où_le_vecteur_vitesse_initiale_n'est_pas_colinéaire_au_vecteur_accélération_2|cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération]] conduisant à un mouvement plan et à une trajectoire parabolique » et « dans le [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_de_vecteur_accélération_constant#Cas_où_le_vecteur_vitesse_initiale_est_colinéaire_au_vecteur_accélération_2|cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération]] conduisant à un mouvement rectiligne » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. === Lois horaires de vitesse du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels === {{Al|5}}Intégrant les équations différentielles «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dot{V}_{x,\,G} = 0\\ \dot{V}_{y,\,G} = 0\\ \dot{V}_{z,\,G} = -g\end{array}\right\rbrace\;</math>» par rapport à <math>\;t</math>, on trouve «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_{x,\,G} = cste_x\\ V_{y,\,G} = cste_y\\ V_{z,\,G} = -g\;t + cste_z\end{array}\right\rbrace\;</math>», les constantes se déterminant à l'aide de la « C.I<ref name="C.I."> Condition Initiale.</ref>. <math>\;\vec{V}_G(0) = \vec{V}_0\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_{x,\,G}(0) \\ V_{y,\,G}(0) \\ V_{z,\,G}(0) \end{array}\right.</math> <math>\left. \begin{array}{l} = V_0\;\cos(\alpha_0)\\ = 0\\ = V_0\;\sin(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math>», d'où les lois horaires de vitesse de <math>\;G</math> <center>«<math>\;\vec{V}_G(t)\;\left\lbrace\begin{array}{l} V_{x,\,G}(t) = V_0\;\cos(\alpha_0)\\ V_{y,\,G}(t) = 0\\ V_{z,\,G}(t) = -g\;t + V_0\;\sin(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> === Lois horaires de position du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels === {{Al|5}}Intégrant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dot{x}_G = V_0\;\cos(\alpha_0)\\ \dot{y}_G = 0\\ \dot{z}_G = -g\;t + V_0\;\sin(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math>» par rapport à <math>\;t\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_G = V_0\;\cos(\alpha_0)\;t + {cste'}_x\\ y_G = {cste'}_y\\ z_G = -\dfrac{1}{2}\;g\;t^2 + V_0\;\sin(\alpha_0)\;t + {cste'}_z\end{array}\right\rbrace\;</math>», les constantes se déterminant à l'aide de la « C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\overrightarrow{OG}(0) = \vec{0}\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_G(0)\\ y_G(0)\\ z_G(0)\end{array}\right.</math> <math>\left. \begin{array}{l} = 0\\ = 0\\ = 0\end{array}\right\rbrace\;</math>», d'où les lois horaires de position de <math>\;G</math> <center>«<math>\;\overrightarrow{OG}(t)\;\left\lbrace\begin{array}{l} x_G(t) = V_0\;\cos(\alpha_0)\;t\\ y_G(t) = 0\\ z_G(t) = -\dfrac{1}{2}\;g\;t^2 + V_0\;\sin(\alpha_0)\;t\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>ces dernières constituant aussi les équations paramétriques de la trajectoire de <math>\;G</math>.</center> == Trajectoire du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels et quelques propriétés de la trajectoire == === Cas de lancement vertical === <center>Correspondant à «<math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{V}_0 \right)} = \alpha_0 = \pm \dfrac{\pi}{2}\;</math>».</center> {{Al|5}}Les équations scalaires horaires de position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sont donc «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_G(t) = 0\\y_G(t) = 0\\z_G(t) = -\dfrac{1}{2}\;g\;t^2 \pm V_0\;t\end{array}\right\rbrace\;</math>», lesquelles représentant aussi les équations paramétriques scalaires de la trajectoire de <math>\;G</math>, nous obtenons aisément les deux équations scalaires cartésiennes de la trajectoire de <math>\;G\;</math> par élimination évidente du paramètre <math>\;t</math>, ce qui donne «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_G = 0\\y_G = 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire l'« équation de la droite <math>\;(Oz)\;</math>» correspondant à <center>une « <u>trajectoire</u> suivie par <math>\;G</math> <u>verticale</u> passant par <math>\;O\;</math>» ;</center> * « dans le cas d'un lancement vers le haut c'est-à-dire <math>\;\alpha_0 = +\dfrac{\pi}{2}\;</math>», l'équation horaire de position de <math>\;G\;</math> sur sa trajectoire étant «<math>\;z_G(t) = -\dfrac{1}{2}\;g\;t^2 + V_0\;t\;</math>» et celle de vitesse «<math>\;V_{z,\,G}(t) = -g\;t + V_0\;</math>» on observe : {{Al|5}}une 1^ère phase de mouvement <u>retardé</u> vers le haut <math>\;\bigg[</math>l'accélération <math>\;a_{z,\,G} = -g\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et la vitesse <math>\;V_{z,\,G}(t) = -g\;t + V_0 \searrow\;</math> en restant <math>\;> 0\;</math> pour tout <math>\;t < \dfrac{V_0}{g} = t_S\bigg]\;</math> puis : {{Al|5}}une 2^ème phase de mouvement <u>accéléré</u> vers le bas <math>\;\bigg[</math>l'accélération <math>\;a_{z,\,G} = -g\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et la vitesse <math>\;V_{z,\,G}(t) = -g\;t + V_0\;</math> devenue <math>\;< 0\;</math> pour tout <math>\;t > \dfrac{V_0}{g} = t_S\;</math> est <math>\;\nearrow\;</math> en valeur absolue<math>\bigg]</math> ; * « dans le cas d'un lancement vers le bas c'est-à-dire <math>\;\alpha_0 = -\dfrac{\pi}{2}\;</math>», l'équation horaire de position de <math>\;G\;</math> sur sa trajectoire étant «<math>\;z_G(t) = -\dfrac{1}{2}\;g\;t^2 - V_0\;t\;</math>» et celle de vitesse «<math>\;V_{z,\,G}(t) = -g\;t - V_0\;</math>» on n'observe qu'une seule phase de mouvement <u>accéléré</u> vers le bas <math>\;\bigg[</math>l'accélération <math>\;a_{z,\,G} = -g\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et la vitesse <math>\;V_{z,\,G}(t) = -g\;t - V_0\;</math> est aussi <math>\;< 0\;</math> pour tout <math>\;t \geqslant 0\;</math> en étant <math>\;\nearrow\;</math> en valeur absolue<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}<u>Cas particulier de chute libre sans vitesse initiale</u> : « la trajectoire de <math>\;G\;</math> est verticale passant par <math>\;O\;</math>», les équations horaires de position et de vitesse de <math>\;G\;</math> sur sa trajectoire étant «<math>\;z_G(t) =</math> {{Nobr|<math>-\dfrac{1}{2}\;g\;t^2\;</math>»}} et «<math>\;V_{z,\,G}(t) = -g\;t\;</math>», on n'observe qu'une seule phase de mouvement <u>accéléré</u> vers le bas <math>\;\ldots</math> === Cas de lancement oblique === <center>Correspondant à «<math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{V}_0 \right)} = \alpha_0 \neq \pm \dfrac{\pi}{2}\;</math>».</center> {{Al|5}}Les équations scalaires horaires de position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sont donc «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_G(t) = V_0\;\cos(\alpha_0)\;t\\y_G(t) = 0\\z_G(t) = -\dfrac{1}{2}\;g\;t^2 + V_0\;\sin(\alpha_0)\;t\end{array}\right\rbrace\;</math>», lesquelles représentant aussi les équations paramétriques scalaires de la trajectoire de <math>\;G</math>, nous obtenons aisément que <center>la « <u>trajectoire</u> de <math>\;G\;</math> est <u>plane</u><ref> En effet une des deux équations cartésiennes de la trajectoire étant <math>\;y = 0\;</math> c.-à-d. l'équation du plan <math>\;xOz</math>.</ref>, dans le <u>plan</u><math>\;\big(</math><u>vertical</u><math>\big)\;</math><u>de lancement</u> <math>\;\left( O\,,\,\vec{V}_0 \right)\;</math> d'équation <math>\;y = 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le mouvement de <math>\;G\;</math> sur sa trajectoire résulte alors de la « composition de deux mouvements rectilignes » :* « celui de <math>\;G_x</math>, projeté de <math>\;G\;</math> sur <math>\;Ox</math>, uniforme le long de <math>\;Ox\;</math>» et :* « celui de <math>\;G_z</math>, projeté de <math>\;G\;</math> sur <math>\;Oz</math>, uniformément varié le long de <math>\;Oz\;</math>». ==== Nature de la trajectoire ==== [[File:Chute libre dans champ de pesanteur uniforme - trajectoire sous lancement oblique vers le haut.png|thumb|300px|Représentation de la trajectoire du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> d'un système fermé de points matériels <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en chute libre dans le cas où le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> est lancé obliquement vers le haut, sommet <math>\;S\;</math> de la trajectoire et portée <math>\;OP\;</math> du tir]] {{Al|5}}Les équations paramétriques de la trajectoire étant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_G(t) = V_0\;\cos(\alpha_0)\;t \\ y_G(t) = 0\\z_G(t) = -\dfrac{1}{2}\;g\;t^2 + V_0\;\sin(\alpha_0)\;t\end{array}\right\rbrace\;</math>» et l'une des <math>\;2\;</math> équations scalaires cartésiennes étant {{Nobr|«<math>\;y_G = 0\;</math>»,}} on détermine l'autre en « éliminant le paramètre <math>\;t\;</math> entre les <math>\;2\;</math> autres équations paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_G(t) = V_0\;\cos(\alpha_0)\;t \\z_G(t) = -\dfrac{1}{2}\;g\;t^2 + V_0\;\sin(\alpha_0)\;t \end{array}\right\rbrace\;</math>» {{Nobr|c'est-à-dire}} «<math>\;t = \dfrac{x_G}{V_0\;\cos(\alpha_0)}\;</math>» reporté dans l'équation paramétrique non utilisée soit «<math>\;z_G = -\dfrac{1}{2}\;g \left[ \dfrac{x_G}{V_0\;\cos(\alpha_0)} \right]^2 + V_0\;\sin(\alpha_0)\;\dfrac{x_G}{V_0\;\cos(\alpha_0)}\;</math>» donnant finalement <center>«<math>\;z_G = -\dfrac{g}{2\;V_0^2\;\cos^2(\alpha_0)}\;x_G^2 + \tan(\alpha_0)\;x_G\;</math>» {{Nobr|c'est-à-dire}} l'« équation cartésienne d'un cylindre parabolique de génératrices <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oy\;</math>» ;</center> {{Al|5}}les deux équations cartésiennes de la trajectoire de <math>\;G\;</math> étant «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}y_G = 0\\z_G = -\dfrac{g}{2\;V_0^2\;\cos^2(\alpha_0)}\;x_G^2 + \tan(\alpha_0)\;x_G\end{array}\right\rbrace\;</math>», celle-ci est l'intersection d'un cylindre parabolique de génératrices <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oy\;</math> avec le plan <math>\;xOz\;\perp\;</math> aux génératrices c'est-à-dire que <center>la « <u>trajectoire</u> de <math>\;G\;</math> est une <u>parabole</u> du plan <math>\;xOz</math>, d'axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oz\;</math> et de concavité vers les <math>\;z < 0\;</math>» <math>\big(</math>voir schéma ci-dessus à droite<math>\big)</math>.</center> ==== Définition du sommet de la trajectoire ==== {{Al|5}}Le « sommet <math>\;S\,\left( x_S\,,\,z_S \right)\;</math> de la trajectoire » peut être déterminé comme le « point d'altitude maximale atteint à l'instant <math>\;t_S\;</math> tel que <math>\;V_{z,\,G}(t_S) = 0\;</math>» ou <math>\;-g\;t_S + V_0\;\sin(\alpha_0) = 0\;</math> donnant finalement {{Nobr|«<math>\;t_S =</math>}} <math>\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g}\;</math>» ; * « si le lancement oblique est dirigé vers le haut c'est-à-dire si <math>\;\alpha_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», l'instant <math>\;t_S\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et « le sommet <math>\;S\;</math> est atteint car d'instant postérieur à celui du lancement » d'où <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}x_S = x_G(t_S) = \color{transparent}{\dfrac{V_0}{g}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\z_S = z_G(t_S) = \color{transparent}{\left[ \dfrac{V_0}{g} \right]^2}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\end{array}\right.</math> <math>\left.\begin{array}{r} V_0\;\cos(\alpha_0)\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g}\\ -\dfrac{1}{2}\;g \left[ \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} \right]^2 + V_0\;\sin(\alpha_0)\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}x_S = \dfrac{V_0^2\;\sin(\alpha_0)\;\cos(\alpha_0)}{g}\\z_S = \dfrac{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{2\;g}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore <center>«<math>\;S\;\left\lbrace\begin{array}{l}x_S = \dfrac{V_0^2\;\sin(2\;\alpha_0)}{2\;g}\\z_S = \dfrac{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{2\;g}\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="sin(2a)"> En utilisant <math>\;\sin(2\;\mathfrak{a}) = 2\;\sin(\mathfrak{a})\;\cos(\mathfrak{a})</math>.</ref> ;</center> * « si le lancement oblique est dirigé vers le bas c'est-à-dire si <math>\;\alpha_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», l'instant <math>\;t_S\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et « le sommet <math>\;S\;</math> n'est pas accessible car d'instant antérieur à celui du lancement » <math>\;\ldots</math> ==== Définition de la portée ==== {{Al|5}}La « <u>portée</u> est la <u>distance horizontale séparant les points de lancement et de retombée à la même altitude</u> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système <math>\;(\mathcal{S})\;</math>» c'est-à-dire la « distance <math>\;OP = x_P\;</math> où <math>\;P\;</math> est le point de la trajectoire de <math>\;G\;</math> de cote <math>\;z_P = z_O = 0\;</math> et d'abscisse <math>\;x_P \neq x_0 = 0\;</math>» ; {{Al|5}}de <math>\;z_P = 0\;</math> on déduit l'équation algébrique «<math>\;-\dfrac{g}{2\;V_0^2\;\cos^2(\alpha_0)}\;x_P^2 + \tan(\alpha_0)\;x_P = 0\;</math> avec <math>\;x_P \neq 0\;</math>» soit, après simplification par <math>\;x_P</math>, la nouvelle équation algébrique «<math>\;\dfrac{g}{2\;V_0^2\;\cos^2(\alpha_0)}\;x_P =</math> <math>\tan(\alpha_0)\;</math>» d'où «<math>\;x_P = \tan(\alpha_0)\;\dfrac{2\;V_0^2\;\cos^2(\alpha_0)}{g} = \dfrac{2\;V_0^2\;\cos(\alpha_0)\;\sin(\alpha_0)}{g}\;</math>» et finalement une <u>portée</u> <center>«<math>\;OP = x_P = \dfrac{V_0^2\;\sin(2\;\alpha_0)}{g}\;</math>»<ref name="sin(2a)" />{{,}}<ref> Dans le plan <math>\;xOz</math>, « le point <math>\;P\;</math> étant le symétrique du point <math>\;O\;</math> sur la trajectoire parabolique dont l'axe de symétrie a pour équation <math>\;x = x_S =</math> <math>\dfrac{V_0^2\;\sin(2\;\alpha_0)}{g}\;</math>», les abscisses des deux points <math>\;P\;</math> et <math>\;O\;</math> sont reliées par <math>\;PS = SO\;</math> ou <math>\;x_P - x_S = x_S - x_O\;</math> soit encore «<math>\;x_P = 2\;x_S - x_O</math> <math>= 2\;\dfrac{V_0^2\;\sin(2\;\alpha_0)}{g} - 0 = \dfrac{V_0^2\;\sin(2\;\alpha_0)}{g}\;</math>».</ref>.</center> {{Al|5}}Le temps mis par <math>\;G\;</math> pour atteindre <math>\;P\;</math> est «<math>\;t_P - t_O = t_P\;</math>» avec «<math>\;t_P\;</math> déterminé par <math>\;x_P = x_G(t_P)\;</math> ou <math>\;\dfrac{V_0^2\;\sin(2\;\alpha_0)}{g} = V_0\;\cos(\alpha_0)\;t_P\;</math>» dont on déduit <math>\;t_P = \dfrac{V_0^2\;\sin(2\;\alpha_0)}{g\;V_0\;\cos(\alpha_0)}\;</math> soit finalement <center>«<math>\;t_P = \dfrac{2\;V_0\;\sin(\alpha_0)}{g}\;</math>»<ref name="sin(2a)" />{{,}}<ref> On remarque que <math>\;t_P\;</math> est égal à <math>\;2\;t_S\;</math> établissant que la durée de la montée du point de lancement jusqu'au sommet est égale à la durée de la descente du sommet jusqu'au point de retombée à la même altitude que le point de lancement.</ref>.</center> ==== Vitesse de retombée au point correspondant à la portée ==== {{Al|5}}On cherche donc le vecteur vitesse au point de retombée <math>\;P\;</math> à la même altitude que le point de lancement <math>\;O\;</math> et pour cela il suffit * d'« évaluer les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de <math>\;G\;</math> à l'instant <math>\;t_P = \dfrac{2\;V_0\;\sin(\alpha_0)}{g}\;</math>» soit «<math>\;\vec{V}_P\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_{x,\,P} = V_0\;\cos(\alpha_0)\\ V_{z,\,P} = -g\;t_P + V_0\;\sin(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math>» avec <br>{{Transparent|d'« évaluer les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t_P = \dfrac{2\;V_0\;\sin(\alpha_0)}{g}}\;</math>» soit «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_P}\;</math> }}«<math>\;V_{z,\,P} = -g\;\dfrac{2\;V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} + V_0\;\sin(\alpha_0)</math> <math>= - V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>» d'où <center>«<math>\;\vec{V}_P\;\left\lbrace \begin{array}{c} V_{x,\,P} = V_0\;\cos(\alpha_0)\\ V_{z,\,P} = -V_0\;\sin(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math>» ou </center> * d'« utiliser le fait que <math>\;P\;</math> étant le symétrique de <math>\;O\;</math> sur la trajectoire parabolique de <math>\;G\;</math>», « la pente de la tangente à la trajectoire en <math>\;P\;</math> est opposée à celle de la tangente à la trajectoire en <math>\;O\;</math>» c'est-à-dire que «<math>\;\widehat{ \left( \vec{u}_x\,,\,\vec{V}_P \right)} = -\widehat{ \left( \vec{u}_x\,,\,\vec{V}_0 \right)} = -\alpha_0\;</math>» et comme <math>\;V_{x,\,P} = \left\lbrace \begin{array}{c} \Vert \vec{V}_P \Vert\;\cos(-\alpha_0)\\ \text{ainsi que}\\V_0\;\cos(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit «<math>\;\Vert \vec{V}_P \Vert =</math> <math>V_0\;</math>» établissant ainsi «<math>\;V_{z,\,P} = \Vert \vec{V}_P \Vert\;\sin(-\alpha_0) = -V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\vec{V}_P\;\left\lbrace \begin{array}{c} V_{x,\,P} = V_0\;\cos(\alpha_0)\\ V_{z,\,P} = -V_0\;\sin(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire <br>«<math>\;\vec{V}_P\;</math> antisymétrique<ref name="antisymétrie de vecteurs"> Deux vecteurs coplanaires sont symétriques relativement à un axe du plan s'ils ont même composante le long de l'axe et des composantes opposées perpendiculairement à l'axe et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Deux vecteurs coplanaires sont }}antisymétriques relativement à un axe du plan s'ils ont même composante perpendiculairement à l'axe et des composantes opposées le long de l'axe <math>\;\big\{</math>on peut aussi dire qu'un vecteur est l'antisymétrique d'un autre s'il est opposé au symétrique de cet autre, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Antisymétrie_axiale_agissant_sur_un_champ_scalaire_ou_vectoriel_d'un_espace_à_deux_dimensions_plan|antisymétrie axiale agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à deux dimensions plan]] » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> de <math>\;\vec{V}_0\;</math> relativement à l'axe de symétrie de la trajectoire parabolique ».</center> == Hodographe de pôle O du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels == <center>Revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Généralités#Définition_de_l'hodographe_de_pôle_O_du_mouvement_de_M|définition de l'hodographe de pôle du mouvement d'un point]] » dans le chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<ref> La notion d'hodographe de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement d'un point n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., elle est à considérer comme un complément.</ref>.</center> {{Al|5}}Ainsi l'« hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math><ref name="pôle de l'hodographe"> Point fixe du référentiel qui n'est pas nécessairement l'origine du vecteur position du point repéré, nous adoptons la même notation pour simplifier l'exposé.</ref> du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;(\mathcal{S})\;</math> de points matériels dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math>» est l'« ensemble des positions <math>\;Q\;</math><ref> Usuellement on utilise <math>\;P\;</math> mais ici <math>\;P\;</math> étant réservé pour définir la position de retombée à la même altitude que la position de lancement <math>\;\ldots</math></ref> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{OQ}(t)\;\widehat{=}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau"> Le symbole <math>\;\widehat{=}\;</math> signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte, nécessitant de préciser l'échelle de représentation <math>\;\big(</math>ici des vitesses<math>\big)\;</math> en cas d'utilisation pratique <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau"> Par abus d'écriture on écrira <math>\;\overrightarrow{OQ}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> au lieu de <math>\;\overrightarrow{OQ}(t)\;\widehat{=}\;\vec{V}_G(t)\;</math> sans oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.</ref> ». === Équations paramétriques de l'hodographe de pôle O du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels === {{Al|5}}De la définition de l'hodographe <math>\;(\mathcal{H})\;</math> de pôle <math>\;O\;</math><ref name="pôle de l'hodographe" /> du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;(\mathcal{S})\;</math> de points matériels dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math>, nous en déduisons les équations paramétriques de l'hodographe du mouvement de <math>\;G\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> <center>«<math>\;\overrightarrow{OQ}(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l}X_Q(t) = V_0\;\cos(\alpha_0)\\Y_Q(t) = 0\\Z_Q(t) = -g\;t + V_0\;\sin(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau" />{{,}}<ref> On note les coordonnées de <math>\;Q\;</math> en majuscule pour souligner que ce ne sont pas des grandeurs exprimées avec la même unité que les coordonnées ordinaires repérant <math>\;G</math>.</ref>.</center> === Nature de l'hodographe du mouvement de G de pôle O === [[File:Chute libre dans champ de pesanteur uniforme - hodographe sous lancement oblique vers le haut.png|thumb|300px|Représentation de l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> d'un système fermé <math>\;(\mathcal{S})\;</math> de points matériels en chute libre dans le cas où le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> est lancé obliquement vers le haut, <br>{{Al|3}}repérage des points de l'hodographe représentatif du point <math>\;O\;</math> de lancement, du sommet <math>\;S\;</math> de la trajectoire et du point <math>\;P\;</math> de celle-ci définissant la portée <math>\;OP\;</math> du tir]] {{Al|5}}La nature de <math>\;(\mathcal{H})\;</math> pouvant être obtenue en précisant les deux équations cartésiennes le définissant, équations nécessitant d'éliminer le paramètre <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La nature de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{H})}\;</math> }}observant que, parmi les trois équations paramétriques, deux ne dépendent pas du paramètre <br>{{Al|5}}nous en déduisons « les deux équations cartésiennes de <math>\;(\mathcal{H})\;</math> <math>\;Q\;\left\lbrace \begin{array}{l}X_Q = V_0\;\cos(\alpha_0)\\Y_Q = 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|nous }}concluons que l'« hodographe <math>\;(\mathcal{H})\;</math> est une droite intersection du plan <math>\;XOZ\;</math> d'équation <math>\;Y = 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous concluons que l'« hodographe <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{H})}\;</math> est une droite intersection }}du plan <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;YOZ\;</math> d'équation <math>\;X = V_0\;\cos(\alpha_0)\;</math>» ; <center>il s'agit donc d'« une droite contenue dans le plan <math>\;XOZ\;</math> et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;OZ\;</math> d'abscisse <math>\;X = V_0\;\cos(\alpha_0)\;</math>» <br><math>\;\big(</math>voir graphe ci-contre dans le cas d'un lancement oblique vers le haut<math>\big)</math>.</center> === Description de l'hodographe du mouvement de G de pôle O === * À «<math>\;t = 0</math>, <math>\;Q\;</math> est en <math>\;Q_0\;</math> de cote <math>\;Z_{Q_0} = V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>», * à «<math>\;t = t_S</math>, <math>\;Q\;</math> est en <math>\;Q_S\;</math> de cote <math>\;Z_{Q_S} = 0\;</math>» et * à «<math>\;t = t_P</math>, <math>\;Q\;</math> est en <math>\;Q_P\;</math> de cote <math>\;Z_{Q_P} = -V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>» symétrique de <math>\;Q_0\;</math> relativement à l'axe <math>\;Z = 0</math>. {{Al|5}}La partie ascendante de la trajectoire <math>\;V_{z,\,G} > 0 \Leftrightarrow Z_Q > 0\;</math> correspond à <math>\;(Q_0Q_S)\;</math> de l'hodographe et <br>{{Al|5}}la partie descendante de la trajectoire <math>\;V_{z,\,G} < 0 \Leftrightarrow Z_Q < 0\;</math> correspond à la partie de l'hodographe située au dessous de <math>\;Q_S</math>. {{Al|5}}Sur l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;G\;</math> on peut en déduire * « la variation de la vitesse de <math>\;G\;</math> en suivant celle de <math>\;\Vert \overrightarrow{OQ} \Vert\;</math>» et * « la variation de l'angle que fait le vecteur vitesse de <math>\;G\;</math> avec la direction horizontale du plan de lancement en suivant celle de <math>\;\widehat{\left( \overrightarrow{OX}\,,\,\overrightarrow{OQ} \right)}\;</math>» <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique|Loi de la quantité de mouvement : P. f. d. et th. de la résultante cinétique]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air|Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air]] }} o32slsetjxx4w7saia5bxyuanwal9sa 104 76203 982873 981856 2026-05-17T07:01:24Z Marvoir 1746 /* L'homme et la femme du banc ont-ils été exposés au novichok ou avaient-ils pris du Fentanyl ? */ 982873 wikitext text/x-wiki == La femme a-t-elle été transportée par ambulance aérienne (hélicoptère) ? == === Il y a bien eu un hélicoptère qui a atterri === Il y a bien eu une ambulance aérienne qui a atterri à Salisbury, d'après [https://www.salisburyjournal.co.uk/news/16064949.major-incident-at-salisbury-district-hospital-linked-to-medical-emergency-at-maltings-police-confirm/ le Salisbury Journal du 5 mars 2018], qui donne une vidéo intitulée "Air ambulance at Salisbury Central Car Park", mais ne précise pas la date. Mais cet hélicoptère a-t-il transporté quelqu'un à l'hôpital ? === On dit d'abord que l'hélicoptère a transporté la femme à l'hôpital === D'après [https://www.salisburyjournal.co.uk/news/16064166.two-in-hospital-after-medical-emergency-at-maltings-in-salisbury/ le Salisbury Journal du 4 mars 2018], "The woman, who was unconscious at the scene, was airlifted to Salisbury District Hospital at about 5.15pm. The man, a former Russian spy, was transported to SDH by road and is understood to be conscious." Plus loin, cet article cite la police comme ayant dit : "Colleagues from the ambulance service are in attendance and the air ambulance has landed at the scene. " Dans [https://www.theguardian.com/uk-news/2018/mar/05/salisbury-hospital-police-fire-crews-attend-major-incident cet article du Guardian, daté du 5 mars 2018 à 18:20 GMT], on lit : "The woman, who was unconscious, was airlifted to Salisbury district hospital and the man taken there by road." De même, : [https://www.thesun.co.uk/news/5733372/ex-russian-spy-sergei-skripal-poisoned-salisbury-feared-life-cops/ le Sun du 6 mars 2018] dit : "Skripal was taken to the city’s hospital by ambulance while Yulia was flown by air ambulance and their arrival sparked the shutdown of the hospital’s A&E department." De même, le Daily Mail du 6 mars 2018 (mis à jour le 7)<ref>Claire Duffin, "How the 'poisoned' spy plot unfolded: Sergei Skripal and his daughter left Zizzi after arguing over a risotto before being found collapsed on a bench", Daily Mail, 6 mars 2018, mis à jour le 7 mars 2018 à 8:05 BST, [https://www.dailymail.co.uk/news/article-5470455/How-poisoned-spy-plot-unfolded-Salisbury.html en ligne].</ref> : "An air ambulance landed on a nearby shopping centre car park and Miss Skripal was taken to hospital while her father was taken by road." Le 10 mars 2018, le Guardian<ref>[https://www.theguardian.com/uk-news/2018/mar/10/salisbury-poisoning-sergei-skripal-local-news-international-incident en ligne].</ref> dit encore : " An air ambulance landed in the central car park. At 5.10pm, it took off, ferrying the woman to Salisbury district hospital. The man went by ambulance." === Inquiétudes dans le public sur l'état sanitaire de l'hélicoptère === Le 5 mars 2018, le compte Twitter de Wiltshire Air Ambulance publie un tweet<ref>[https://twitter.com/WiltsAirAmbu/status/970622040196767749 en ligne].</ref> disant : "Thank you for the landing site at The Manor Primary School Melksham, hope you enjoyed the tour of the aircraft." Faut-il comprendre que les enfants de l'école avaient visité l'hélicoptère ? Le 11 mars 2018, un nouveau tweet de Wiltshire Air Ambulance<ref>[https://twitter.com/WiltsAirAmbu/status/972879516346585095 en ligne].</ref> dit : "Great parking available for us in the middle of Bath today, thanks to all who said hi" Une des réponses à ce tweet (Olid~star @lidstar 11 mars 2018) pose la question : "Don't you have to be decontaminated like the ambulances in Salisbury?" Le 14 mars 2018, on peut lire dans Spire FM<ref>[https://www.spirefm.co.uk/news/local-news/2527336/air-ambulance-not-used-to-take-skripal-pair-to-hospital/ en ligne].</ref> : "A number of people have voiced concerns the emergency helicopter may have been contaminated after it was called to the Maltings on the 4th March where the former Russian agent and his daughter had collapsed." === Ouf ! L'hélicoptère n'a transporté personne === Dans ce même article du 14 mars 2018<ref>[https://www.spirefm.co.uk/news/local-news/2527336/air-ambulance-not-used-to-take-skripal-pair-to-hospital/ en ligne].</ref>, Spire FM peut rassurer le public : "Wiltshire Air Ambulance has confirmed neither Sergei or Yulia Skripal were flown to Salisbury District Hospital. A number of people have voiced concerns the emergency helicopter may have been contaminated after it was called to the Maltings on the 4th March where the former Russian agent and his daughter had collapsed It's now been confirmed both were taken by land ambulance to our hospital. (...) Public Health England have reiterated the message that the risk to the public remains low." Cet article ne dit pas quel a été le rôle exact de l'hélicoptère lors de l'incident Skripal. En résumé : le 14 mars 2018, après qu'un certain nombre de personnes ont exprimé la crainte que l'hélicoptère n'ait été contaminé, on annonce que, contrairement à ce que tous les journaux avaient publié, l'hélicoptère n'a transporté ni Sergueï ni Ioulia Skripal à l'hôpital. Public Health England redit au public que le risque est faible. En faveur de la thèse du non-transport, on peut évidemment arguer que si l'hélicoptère avait transporté la femme, il aurait été risqué de prétendre publiquement le contraire, puisqu'un photographe ou cinéaste, professionnel ou amateur, aurait pu avoir photographié ou filmé l'embarquement de la femme puis le décollage de l'hélicoptère. Mais si on admet que l'hélicoptère n'a transporté personne, il reste deux questions : est-il fréquent que Wiltshire Air Ambulance déplace son hélicoptère pour rien ? quel était le motif exact de la présence de l'hélicoptère ? == L'homme et la femme du banc ont-ils été exposés au novichok ou avaient-ils pris du Fentanyl ? == :Jamie Paine, un jeune homme de Salisbury qui a apporté des premiers soins à la femme et a aussi observé l'homme, a donné deux interviews où il attestait qu'ils sont tous deux devenus raides. Dans le film de la première interview, on l'a montré attestant la rigidité de l'homme, mais on a coupé ce qu'il disait de la rigidité de la femme (et qui est reproduit dans des extraits texte de l'interview). Dans la seconde interview, on le voit et l'entend attester la rigidité des deux : :[https://www.bbc.com/news/uk-43295134 (BBC 6 mars 2018)] :[https://www.bbc.com/news/uk-43326734 (BBC 8 mars 2018)] :[https://www.euronews.com/2018/03/06/uk-was-critically-ill-former-russian-spy-poisoned- Euronews, 6 mars 2018] :[https://www.itv.com/news/2018-03-22/britain-v-russia-a-new-cold-war-tonight/ ITV News 22 mars 2018] :[https://www.facebook.com/itvnews/videos/2092891704072758/ vidéo d'ITV News 22 mars 2018] :Il y a ici deux autres attestations de la rigidité de l'homme, formulées dans les premiers jours de l'affaire : :[https://www.dailymail.co.uk/news/article-5470455/How-poisoned-spy-plot-unfolded-Salisbury.html Daily Mail, 6mars 2018, mis à jour le 7.] :Plus tard, le 14 décembre 2018, une policière attestera elle aussi la rigidité de l'homme : :[https://www.theguardian.com/uk-news/2018/dec/14/we-did-our-best-police-who-rushed-to-skripal-scene-tell-of-shock-and-pride Guardian, 14 décembre 2018] :Le fentanyl peut causer de la rigidité musculaire, comme on le voit en faisant une recherche Internet de " fentanyl-induced muscle rigidity", "Muscle Rigidity a Sign of Fentanyl Overdose"... (Cette dernière expression est le titre de [https://www.stopoverdose.gov.bc.ca/theweekly/muscle-rigidity-sign-fentanyl-overdose l'article que voici.] :Les agents innervants, au contraire, sont dits provoquer de la flaccidité musculaire, comme le montre [https://fas.org/nuke/guide/usa/doctrine/army/mmcch/NervAgnt.htm#TIME%20COURSE%20OF%20EFFECTS ce passage] (où il s'agit des agents innervants) : :"A large amount of liquid on the skin causes effects within minutes. Commonly there is an asymptomatic period of one to 30 minutes, and then the sudden onset of an overwhelming cascade of events, including loss of consciousness, seizure activity, apnea, and muscular flaccidity." :À l'hôpital de Salisbury, où on savait sûrement que les agents innervants provoquent de la flaccidité et non de la rigidité, on a diagnostiqué une overdose de Fentanyl. :L'hôpital était sûr de son diagnostic, comme on le voit par sa première annonce d'un "major incident" : :"Salisbury District Hospital declared a "major incident" on Monday 5 March after two patients were exposed to an opioid. (...) It followed an incident hours earlier in which a man and a woman were exposed to the drug Fentanyl in the city centre. The opioid is 10,000 times stronger than heroin." :La forme initiale de l'annonce a été reproduite le 26 avril 2018 dans un [https://twitter.com/dgaytandzhieva/status/989616317484421125?ref_src=twsrc%5Etfw tweet de Dilyana Gaytandzhieva]. :Le jour même de la publication du tweet de D. Gaytandzhieva, l'hôpital modifia son annonce (en reconnaissant cette modification). L'annonce disait maintenant : :"Salisbury District Hospital declared a “major incident” on Monday 5 March, after two patients were exposed to what is believed to be an opioid. The fire service was called to decontaminate the hospital’s Accident & Emergency unit, as paramedics treated the casualties. Emergency personnel arrived to the scene, wearing full-body hazardous materials protective and an incident response unit was on site. It followed an incident hours earlier in which a man and a woman were exposed to a substance in the city centre." Et il y avait cette note : "Note: This story was updated on 26 April 2018 to remove suggestion (which was widely speculated and reported at the time of writing) that the substance found was fentanyl." :Si on en croit [https://www.bbc.com/news/uk-44278609 cet article], l'hôpital a modifié son diagnostic à l'initiative de la police. :Noter qu'en réaction à un article du ''[[w:The Times|Times]]'' du 14 mars, Stephen Davies, conseiller en médecine d'urgence à l'hôpital de Salisbury, disait encore, dans une lettre rectificative adressée au Times (et publiée par ce journal le 16 mars 2018) qu' « aucun patient n'a présenté des symptômes d'empoisonnement par agent innervant à Salisbury<ref>Lettre de Stephen Davies, Consultant in emergency medicine, Salisbury NHS Foundation Trust, sous ''Letters to the editor'', « British retaliation against Russia’s actions », ''[[w:The Times]]'', 16 mars 2018, [https://www.thetimes.co.uk/article/british-retaliation-against-russia-s-actions-p5hmpj8jh en ligne].</ref>. » :La rigidité attestée par plusieurs témoins semble embarrassante pour la propagande du gouvernement britannique. Mark Urban est journaliste à la BBC. Au sujet de la BBC et de ses liens avec les services secrets britanniques, voyez l'article de Wikipédia [[w:British Broadcasting Corporation#Liens avec les services secrets britanniques]]. Bien sûr, penser que ce qui a existé pourrait exister encore est du pur "complotisme". Mark Urban, donc, ne s'est pas contenté de réaliser [https://www.bbc.com/news/uk-46290989 une émission BBC] (diffusée en novembre 2018) où aucun des témoins de la scène du banc nommés par la presse à l'époque des faits n'avait été invité, mais il a publié (première édition en octobre 2018) un livre, ''The Skripal Files'', où, décrivant censément les symptômes que montraient les Skripal lors de la scène du banc, il n'a visiblement pour but que de persuader le lecteur que tous ces symptômes "d'agent innervant" pouvaient être pris pour des symptômes d'opioïde, ce qui, n'est-ce pas, explique parfaitement l' "erreur" de l'hôpital. À cette fin, il utilise deux tours de passe-passe : il ne dit pas un mot de la rigidité attestée par plusieurs témoins et il allègue la contraction des pupilles, qui est un symptôme commun aux agents innervants et à certains opioïdes (parmi lesquels le fentanyl), mais qui n'a pas été attestée par les témoins de la scène du banc nommés par la presse à l'époque des faits. Le passage de son livre peut être consulté sur [https://books.google.be/books?id=ldBiDwAAQBAJ&pg=PT193#v=onepage&q&f=false Google livres], à partir de la page 193. En résumé : les agents innervants provoquent de la flaccidité et non de la rigidité, l'homme et la femme du banc présentaient de la rigidité, donc ils n'étaient pas sous l'influence d'un agent innervant, comme le dit la propagande du gouvernement britannique, mais plus vraisemblablement sous l'influence du Fentanyl. Puisque la version officielle est que le diagnostic initial de l'hôpital (Fentanyl) était erroné, on peut trouver étonnant que l'homme et la femme en aient réchappé, car le traitement d'urgence contre une overdose de Fentanyl n'est pas le traitement d'urgence qui convient contre une exposition au novichok. En 2024, on apporta une réponse à cette question, au moins quant à l'homme : pendant que l'ambulance conduisait celui-ci à l'hôpital, un infirmier, par une erreur providentielle, crut lui administrer du naloxone (remède contre une intoxication par Fentanyl) mais lui administra en réalité de l'atropine, remède contre les "agents innervants", en particulier le novichok<ref>Steven Morris, « Paramedic gave Sergei Skripal novichok antidote by chance, inquiry hears », ''The Guardian'', 30 octobre 2024, [https://www.theguardian.com/uk-news/2024/oct/30/paramedic-gave-sergei-skripal-novichok-antidote-by-chance-inquiry-hears en ligne].</ref>. L'article du ''Guardian'' qui fait cette révélation ne parle que de l'homme (censé être Sergueï Skripal) et non de la femme (censée être Ioulia Skripal). Cela suggère que la femme n'a pas été transportée dans la même ambulance que l'homme. Peut-être a-t-elle été transportée par hélicoptère ? == Notes et références == {{Références}} 87tyz8z20ajg3yvvf2w4unczu1ygdsf 982874 982873 2026-05-17T08:18:02Z Marvoir 1746 /* L'homme et la femme du banc ont-ils été exposés au novichok ou avaient-ils pris du Fentanyl ? */ 982874 wikitext text/x-wiki == La femme a-t-elle été transportée par ambulance aérienne (hélicoptère) ? == === Il y a bien eu un hélicoptère qui a atterri === Il y a bien eu une ambulance aérienne qui a atterri à Salisbury, d'après [https://www.salisburyjournal.co.uk/news/16064949.major-incident-at-salisbury-district-hospital-linked-to-medical-emergency-at-maltings-police-confirm/ le Salisbury Journal du 5 mars 2018], qui donne une vidéo intitulée "Air ambulance at Salisbury Central Car Park", mais ne précise pas la date. Mais cet hélicoptère a-t-il transporté quelqu'un à l'hôpital ? === On dit d'abord que l'hélicoptère a transporté la femme à l'hôpital === D'après [https://www.salisburyjournal.co.uk/news/16064166.two-in-hospital-after-medical-emergency-at-maltings-in-salisbury/ le Salisbury Journal du 4 mars 2018], "The woman, who was unconscious at the scene, was airlifted to Salisbury District Hospital at about 5.15pm. The man, a former Russian spy, was transported to SDH by road and is understood to be conscious." Plus loin, cet article cite la police comme ayant dit : "Colleagues from the ambulance service are in attendance and the air ambulance has landed at the scene. " Dans [https://www.theguardian.com/uk-news/2018/mar/05/salisbury-hospital-police-fire-crews-attend-major-incident cet article du Guardian, daté du 5 mars 2018 à 18:20 GMT], on lit : "The woman, who was unconscious, was airlifted to Salisbury district hospital and the man taken there by road." De même, : [https://www.thesun.co.uk/news/5733372/ex-russian-spy-sergei-skripal-poisoned-salisbury-feared-life-cops/ le Sun du 6 mars 2018] dit : "Skripal was taken to the city’s hospital by ambulance while Yulia was flown by air ambulance and their arrival sparked the shutdown of the hospital’s A&E department." De même, le Daily Mail du 6 mars 2018 (mis à jour le 7)<ref>Claire Duffin, "How the 'poisoned' spy plot unfolded: Sergei Skripal and his daughter left Zizzi after arguing over a risotto before being found collapsed on a bench", Daily Mail, 6 mars 2018, mis à jour le 7 mars 2018 à 8:05 BST, [https://www.dailymail.co.uk/news/article-5470455/How-poisoned-spy-plot-unfolded-Salisbury.html en ligne].</ref> : "An air ambulance landed on a nearby shopping centre car park and Miss Skripal was taken to hospital while her father was taken by road." Le 10 mars 2018, le Guardian<ref>[https://www.theguardian.com/uk-news/2018/mar/10/salisbury-poisoning-sergei-skripal-local-news-international-incident en ligne].</ref> dit encore : " An air ambulance landed in the central car park. At 5.10pm, it took off, ferrying the woman to Salisbury district hospital. The man went by ambulance." === Inquiétudes dans le public sur l'état sanitaire de l'hélicoptère === Le 5 mars 2018, le compte Twitter de Wiltshire Air Ambulance publie un tweet<ref>[https://twitter.com/WiltsAirAmbu/status/970622040196767749 en ligne].</ref> disant : "Thank you for the landing site at The Manor Primary School Melksham, hope you enjoyed the tour of the aircraft." Faut-il comprendre que les enfants de l'école avaient visité l'hélicoptère ? Le 11 mars 2018, un nouveau tweet de Wiltshire Air Ambulance<ref>[https://twitter.com/WiltsAirAmbu/status/972879516346585095 en ligne].</ref> dit : "Great parking available for us in the middle of Bath today, thanks to all who said hi" Une des réponses à ce tweet (Olid~star @lidstar 11 mars 2018) pose la question : "Don't you have to be decontaminated like the ambulances in Salisbury?" Le 14 mars 2018, on peut lire dans Spire FM<ref>[https://www.spirefm.co.uk/news/local-news/2527336/air-ambulance-not-used-to-take-skripal-pair-to-hospital/ en ligne].</ref> : "A number of people have voiced concerns the emergency helicopter may have been contaminated after it was called to the Maltings on the 4th March where the former Russian agent and his daughter had collapsed." === Ouf ! L'hélicoptère n'a transporté personne === Dans ce même article du 14 mars 2018<ref>[https://www.spirefm.co.uk/news/local-news/2527336/air-ambulance-not-used-to-take-skripal-pair-to-hospital/ en ligne].</ref>, Spire FM peut rassurer le public : "Wiltshire Air Ambulance has confirmed neither Sergei or Yulia Skripal were flown to Salisbury District Hospital. A number of people have voiced concerns the emergency helicopter may have been contaminated after it was called to the Maltings on the 4th March where the former Russian agent and his daughter had collapsed It's now been confirmed both were taken by land ambulance to our hospital. (...) Public Health England have reiterated the message that the risk to the public remains low." Cet article ne dit pas quel a été le rôle exact de l'hélicoptère lors de l'incident Skripal. En résumé : le 14 mars 2018, après qu'un certain nombre de personnes ont exprimé la crainte que l'hélicoptère n'ait été contaminé, on annonce que, contrairement à ce que tous les journaux avaient publié, l'hélicoptère n'a transporté ni Sergueï ni Ioulia Skripal à l'hôpital. Public Health England redit au public que le risque est faible. En faveur de la thèse du non-transport, on peut évidemment arguer que si l'hélicoptère avait transporté la femme, il aurait été risqué de prétendre publiquement le contraire, puisqu'un photographe ou cinéaste, professionnel ou amateur, aurait pu avoir photographié ou filmé l'embarquement de la femme puis le décollage de l'hélicoptère. Mais si on admet que l'hélicoptère n'a transporté personne, il reste deux questions : est-il fréquent que Wiltshire Air Ambulance déplace son hélicoptère pour rien ? quel était le motif exact de la présence de l'hélicoptère ? == L'homme et la femme du banc ont-ils été exposés au novichok ou avaient-ils pris du Fentanyl ? == :Jamie Paine, un jeune homme de Salisbury qui a apporté des premiers soins à la femme et a aussi observé l'homme, a donné deux interviews où il attestait qu'ils sont tous deux devenus raides. Dans le film de la première interview, on l'a montré attestant la rigidité de l'homme, mais on a coupé ce qu'il disait de la rigidité de la femme (et qui est reproduit dans des extraits texte de l'interview). Dans la seconde interview, on le voit et l'entend attester la rigidité des deux : :[https://www.bbc.com/news/uk-43295134 (BBC 6 mars 2018)] :[https://www.bbc.com/news/uk-43326734 (BBC 8 mars 2018)] :[https://www.euronews.com/2018/03/06/uk-was-critically-ill-former-russian-spy-poisoned- Euronews, 6 mars 2018] :[https://www.itv.com/news/2018-03-22/britain-v-russia-a-new-cold-war-tonight/ ITV News 22 mars 2018] :[https://www.facebook.com/itvnews/videos/2092891704072758/ vidéo d'ITV News 22 mars 2018] :Il y a ici deux autres attestations de la rigidité de l'homme, formulées dans les premiers jours de l'affaire : :[https://www.dailymail.co.uk/news/article-5470455/How-poisoned-spy-plot-unfolded-Salisbury.html Daily Mail, 6mars 2018, mis à jour le 7.] :Plus tard, le 14 décembre 2018, une policière attestera elle aussi la rigidité de l'homme : :[https://www.theguardian.com/uk-news/2018/dec/14/we-did-our-best-police-who-rushed-to-skripal-scene-tell-of-shock-and-pride Guardian, 14 décembre 2018] :Le fentanyl peut causer de la rigidité musculaire, comme on le voit en faisant une recherche Internet de " fentanyl-induced muscle rigidity", "Muscle Rigidity a Sign of Fentanyl Overdose"... (Cette dernière expression est le titre de [https://www.stopoverdose.gov.bc.ca/theweekly/muscle-rigidity-sign-fentanyl-overdose l'article que voici.] :Les agents innervants, au contraire, sont dits provoquer de la flaccidité musculaire, comme le montre [https://fas.org/nuke/guide/usa/doctrine/army/mmcch/NervAgnt.htm#TIME%20COURSE%20OF%20EFFECTS ce passage] (où il s'agit des agents innervants) : :"A large amount of liquid on the skin causes effects within minutes. Commonly there is an asymptomatic period of one to 30 minutes, and then the sudden onset of an overwhelming cascade of events, including loss of consciousness, seizure activity, apnea, and muscular flaccidity." :À l'hôpital de Salisbury, où on savait sûrement que les agents innervants provoquent de la flaccidité et non de la rigidité, on a diagnostiqué une overdose de Fentanyl. :L'hôpital était sûr de son diagnostic, comme on le voit par sa première annonce d'un "major incident" : :"Salisbury District Hospital declared a "major incident" on Monday 5 March after two patients were exposed to an opioid. (...) It followed an incident hours earlier in which a man and a woman were exposed to the drug Fentanyl in the city centre. The opioid is 10,000 times stronger than heroin." :La forme initiale de l'annonce a été reproduite le 26 avril 2018 dans un [https://twitter.com/dgaytandzhieva/status/989616317484421125?ref_src=twsrc%5Etfw tweet de Dilyana Gaytandzhieva]. :Le jour même de la publication du tweet de D. Gaytandzhieva, l'hôpital modifia son annonce (en reconnaissant cette modification). L'annonce disait maintenant : :"Salisbury District Hospital declared a “major incident” on Monday 5 March, after two patients were exposed to what is believed to be an opioid. The fire service was called to decontaminate the hospital’s Accident & Emergency unit, as paramedics treated the casualties. Emergency personnel arrived to the scene, wearing full-body hazardous materials protective and an incident response unit was on site. It followed an incident hours earlier in which a man and a woman were exposed to a substance in the city centre." Et il y avait cette note : "Note: This story was updated on 26 April 2018 to remove suggestion (which was widely speculated and reported at the time of writing) that the substance found was fentanyl<ref>[https://www.clinicalservicesjournal.com/story/25262/response-unit-called-as-salisbury-hospital-declares-major-incident Clinical Service Journal, 5 mars 2018 et note rectificative du 28 avril 2018.]</ref>." :Si on en croit [https://www.bbc.com/news/uk-44278609 cet article], l'hôpital a modifié son diagnostic à l'initiative de la police. :Noter qu'en réaction à un article du ''[[w:The Times|Times]]'' du 14 mars, Stephen Davies, conseiller en médecine d'urgence à l'hôpital de Salisbury, disait encore, dans une lettre rectificative adressée au Times (et publiée par ce journal le 16 mars 2018) qu' « aucun patient n'a présenté des symptômes d'empoisonnement par agent innervant à Salisbury<ref>Lettre de Stephen Davies, Consultant in emergency medicine, Salisbury NHS Foundation Trust, sous ''Letters to the editor'', « British retaliation against Russia’s actions », ''[[w:The Times]]'', 16 mars 2018, [https://www.thetimes.co.uk/article/british-retaliation-against-russia-s-actions-p5hmpj8jh en ligne].</ref>. » :La rigidité attestée par plusieurs témoins semble embarrassante pour la propagande du gouvernement britannique. Mark Urban est journaliste à la BBC. Au sujet de la BBC et de ses liens avec les services secrets britanniques, voyez l'article de Wikipédia [[w:British Broadcasting Corporation#Liens avec les services secrets britanniques]]. Bien sûr, penser que ce qui a existé pourrait exister encore est du pur "complotisme". Mark Urban, donc, ne s'est pas contenté de réaliser [https://www.bbc.com/news/uk-46290989 une émission BBC] (diffusée en novembre 2018) où aucun des témoins de la scène du banc nommés par la presse à l'époque des faits n'avait été invité, mais il a publié (première édition en octobre 2018) un livre, ''The Skripal Files'', où, décrivant censément les symptômes que montraient les Skripal lors de la scène du banc, il n'a visiblement pour but que de persuader le lecteur que tous ces symptômes "d'agent innervant" pouvaient être pris pour des symptômes d'opioïde, ce qui, n'est-ce pas, explique parfaitement l' "erreur" de l'hôpital. À cette fin, il utilise deux tours de passe-passe : il ne dit pas un mot de la rigidité attestée par plusieurs témoins et il allègue la contraction des pupilles, qui est un symptôme commun aux agents innervants et à certains opioïdes (parmi lesquels le fentanyl), mais qui n'a pas été attestée par les témoins de la scène du banc nommés par la presse à l'époque des faits. Le passage de son livre peut être consulté sur [https://books.google.be/books?id=ldBiDwAAQBAJ&pg=PT193#v=onepage&q&f=false Google livres], à partir de la page 193. En résumé : les agents innervants provoquent de la flaccidité et non de la rigidité, l'homme et la femme du banc présentaient de la rigidité, donc ils n'étaient pas sous l'influence d'un agent innervant, comme le dit la propagande du gouvernement britannique, mais plus vraisemblablement sous l'influence du Fentanyl. Puisque la version officielle est que le diagnostic initial de l'hôpital (Fentanyl) était erroné, on peut trouver étonnant que l'homme et la femme en aient réchappé, car le traitement d'urgence contre une overdose de Fentanyl n'est pas le traitement d'urgence qui convient contre une exposition au novichok. En 2024, on apporta une réponse à cette question, au moins quant à l'homme : pendant que l'ambulance conduisait celui-ci à l'hôpital, un infirmier, par une erreur providentielle, crut lui administrer du naloxone (remède contre une intoxication par Fentanyl) mais lui administra en réalité de l'atropine, remède contre les "agents innervants", en particulier le novichok<ref>Steven Morris, « Paramedic gave Sergei Skripal novichok antidote by chance, inquiry hears », ''The Guardian'', 30 octobre 2024, [https://www.theguardian.com/uk-news/2024/oct/30/paramedic-gave-sergei-skripal-novichok-antidote-by-chance-inquiry-hears en ligne].</ref>. L'article du ''Guardian'' qui fait cette révélation ne parle que de l'homme (censé être Sergueï Skripal) et non de la femme (censée être Ioulia Skripal). Cela suggère que la femme n'a pas été transportée dans la même ambulance que l'homme. Peut-être a-t-elle été transportée par hélicoptère ? == Notes et références == {{Références}} qyu1gfk0ziug4z68aok3bt0eniysck5 982875 982874 2026-05-17T08:55:23Z Marvoir 1746 /* L'homme et la femme du banc ont-ils été exposés au novichok ou avaient-ils pris du Fentanyl ? */ coquille + typographie 982875 wikitext text/x-wiki == La femme a-t-elle été transportée par ambulance aérienne (hélicoptère) ? == === Il y a bien eu un hélicoptère qui a atterri === Il y a bien eu une ambulance aérienne qui a atterri à Salisbury, d'après [https://www.salisburyjournal.co.uk/news/16064949.major-incident-at-salisbury-district-hospital-linked-to-medical-emergency-at-maltings-police-confirm/ le Salisbury Journal du 5 mars 2018], qui donne une vidéo intitulée "Air ambulance at Salisbury Central Car Park", mais ne précise pas la date. Mais cet hélicoptère a-t-il transporté quelqu'un à l'hôpital ? === On dit d'abord que l'hélicoptère a transporté la femme à l'hôpital === D'après [https://www.salisburyjournal.co.uk/news/16064166.two-in-hospital-after-medical-emergency-at-maltings-in-salisbury/ le Salisbury Journal du 4 mars 2018], "The woman, who was unconscious at the scene, was airlifted to Salisbury District Hospital at about 5.15pm. The man, a former Russian spy, was transported to SDH by road and is understood to be conscious." Plus loin, cet article cite la police comme ayant dit : "Colleagues from the ambulance service are in attendance and the air ambulance has landed at the scene. " Dans [https://www.theguardian.com/uk-news/2018/mar/05/salisbury-hospital-police-fire-crews-attend-major-incident cet article du Guardian, daté du 5 mars 2018 à 18:20 GMT], on lit : "The woman, who was unconscious, was airlifted to Salisbury district hospital and the man taken there by road." De même, : [https://www.thesun.co.uk/news/5733372/ex-russian-spy-sergei-skripal-poisoned-salisbury-feared-life-cops/ le Sun du 6 mars 2018] dit : "Skripal was taken to the city’s hospital by ambulance while Yulia was flown by air ambulance and their arrival sparked the shutdown of the hospital’s A&E department." De même, le Daily Mail du 6 mars 2018 (mis à jour le 7)<ref>Claire Duffin, "How the 'poisoned' spy plot unfolded: Sergei Skripal and his daughter left Zizzi after arguing over a risotto before being found collapsed on a bench", Daily Mail, 6 mars 2018, mis à jour le 7 mars 2018 à 8:05 BST, [https://www.dailymail.co.uk/news/article-5470455/How-poisoned-spy-plot-unfolded-Salisbury.html en ligne].</ref> : "An air ambulance landed on a nearby shopping centre car park and Miss Skripal was taken to hospital while her father was taken by road." Le 10 mars 2018, le Guardian<ref>[https://www.theguardian.com/uk-news/2018/mar/10/salisbury-poisoning-sergei-skripal-local-news-international-incident en ligne].</ref> dit encore : " An air ambulance landed in the central car park. At 5.10pm, it took off, ferrying the woman to Salisbury district hospital. The man went by ambulance." === Inquiétudes dans le public sur l'état sanitaire de l'hélicoptère === Le 5 mars 2018, le compte Twitter de Wiltshire Air Ambulance publie un tweet<ref>[https://twitter.com/WiltsAirAmbu/status/970622040196767749 en ligne].</ref> disant : "Thank you for the landing site at The Manor Primary School Melksham, hope you enjoyed the tour of the aircraft." Faut-il comprendre que les enfants de l'école avaient visité l'hélicoptère ? Le 11 mars 2018, un nouveau tweet de Wiltshire Air Ambulance<ref>[https://twitter.com/WiltsAirAmbu/status/972879516346585095 en ligne].</ref> dit : "Great parking available for us in the middle of Bath today, thanks to all who said hi" Une des réponses à ce tweet (Olid~star @lidstar 11 mars 2018) pose la question : "Don't you have to be decontaminated like the ambulances in Salisbury?" Le 14 mars 2018, on peut lire dans Spire FM<ref>[https://www.spirefm.co.uk/news/local-news/2527336/air-ambulance-not-used-to-take-skripal-pair-to-hospital/ en ligne].</ref> : "A number of people have voiced concerns the emergency helicopter may have been contaminated after it was called to the Maltings on the 4th March where the former Russian agent and his daughter had collapsed." === Ouf ! L'hélicoptère n'a transporté personne === Dans ce même article du 14 mars 2018<ref>[https://www.spirefm.co.uk/news/local-news/2527336/air-ambulance-not-used-to-take-skripal-pair-to-hospital/ en ligne].</ref>, Spire FM peut rassurer le public : "Wiltshire Air Ambulance has confirmed neither Sergei or Yulia Skripal were flown to Salisbury District Hospital. A number of people have voiced concerns the emergency helicopter may have been contaminated after it was called to the Maltings on the 4th March where the former Russian agent and his daughter had collapsed It's now been confirmed both were taken by land ambulance to our hospital. (...) Public Health England have reiterated the message that the risk to the public remains low." Cet article ne dit pas quel a été le rôle exact de l'hélicoptère lors de l'incident Skripal. En résumé : le 14 mars 2018, après qu'un certain nombre de personnes ont exprimé la crainte que l'hélicoptère n'ait été contaminé, on annonce que, contrairement à ce que tous les journaux avaient publié, l'hélicoptère n'a transporté ni Sergueï ni Ioulia Skripal à l'hôpital. Public Health England redit au public que le risque est faible. En faveur de la thèse du non-transport, on peut évidemment arguer que si l'hélicoptère avait transporté la femme, il aurait été risqué de prétendre publiquement le contraire, puisqu'un photographe ou cinéaste, professionnel ou amateur, aurait pu avoir photographié ou filmé l'embarquement de la femme puis le décollage de l'hélicoptère. Mais si on admet que l'hélicoptère n'a transporté personne, il reste deux questions : est-il fréquent que Wiltshire Air Ambulance déplace son hélicoptère pour rien ? quel était le motif exact de la présence de l'hélicoptère ? == L'homme et la femme du banc ont-ils été exposés au novichok ou avaient-ils pris du Fentanyl ? == :Jamie Paine, un jeune homme de Salisbury qui a apporté des premiers soins à la femme et a aussi observé l'homme, a donné deux interviews où il attestait qu'ils sont tous deux devenus raides. Dans le film de la première interview, on l'a montré attestant la rigidité de l'homme, mais on a coupé ce qu'il disait de la rigidité de la femme (et qui est reproduit dans des extraits texte de l'interview). Dans la seconde interview, on le voit et l'entend attester la rigidité des deux : :[https://www.bbc.com/news/uk-43295134 (BBC 6 mars 2018)] :[https://www.bbc.com/news/uk-43326734 (BBC 8 mars 2018)] :[https://www.euronews.com/2018/03/06/uk-was-critically-ill-former-russian-spy-poisoned- Euronews, 6 mars 2018] :[https://www.itv.com/news/2018-03-22/britain-v-russia-a-new-cold-war-tonight/ ITV News 22 mars 2018] :[https://www.facebook.com/itvnews/videos/2092891704072758/ vidéo d'ITV News 22 mars 2018] :Il y a ici deux autres attestations de la rigidité de l'homme, formulées dans les premiers jours de l'affaire : :[https://www.dailymail.co.uk/news/article-5470455/How-poisoned-spy-plot-unfolded-Salisbury.html Daily Mail, 6mars 2018, mis à jour le 7.] :Plus tard, le 14 décembre 2018, une policière attestera elle aussi la rigidité de l'homme : :[https://www.theguardian.com/uk-news/2018/dec/14/we-did-our-best-police-who-rushed-to-skripal-scene-tell-of-shock-and-pride Guardian, 14 décembre 2018] :Le fentanyl peut causer de la rigidité musculaire, comme on le voit en faisant une recherche Internet de " fentanyl-induced muscle rigidity", "Muscle Rigidity a Sign of Fentanyl Overdose"... (Cette dernière expression est le titre de [https://www.stopoverdose.gov.bc.ca/theweekly/muscle-rigidity-sign-fentanyl-overdose l'article que voici.] :Les agents innervants, au contraire, sont dits provoquer de la flaccidité musculaire, comme le montre [https://fas.org/nuke/guide/usa/doctrine/army/mmcch/NervAgnt.htm#TIME%20COURSE%20OF%20EFFECTS ce passage] (où il s'agit des agents innervants) : :"A large amount of liquid on the skin causes effects within minutes. Commonly there is an asymptomatic period of one to 30 minutes, and then the sudden onset of an overwhelming cascade of events, including loss of consciousness, seizure activity, apnea, and muscular flaccidity." :À l'hôpital de Salisbury, où on savait sûrement que les agents innervants provoquent de la flaccidité et non de la rigidité, on a diagnostiqué une overdose de Fentanyl. :L'hôpital était sûr de son diagnostic, comme on le voit par sa première annonce d'un "major incident" : :"Salisbury District Hospital declared a "major incident" on Monday 5 March after two patients were exposed to an opioid. (...) It followed an incident hours earlier in which a man and a woman were exposed to the drug Fentanyl in the city centre. The opioid is 10,000 times stronger than heroin." :La forme initiale de l'annonce a été reproduite le 26 avril 2018 dans un [https://twitter.com/dgaytandzhieva/status/989616317484421125?ref_src=twsrc%5Etfw tweet de Dilyana Gaytandzhieva]. :On notera que dans la capture prise par Dilyana Gaytandzhieva, l'hôpital disait affirmativement : « after two patients were exposed to an opioid. » :Le jour même de la publication du tweet de D. Gaytandzhieva, l'hôpital modifia son annonce (en reconnaissant cette modification). L'annonce disait maintenant : :"Salisbury District Hospital declared a “major incident” on Monday 5 March, after two patients were exposed to '''what is believed to be''' an opioid. The fire service was called to decontaminate the hospital’s Accident & Emergency unit, as paramedics treated the casualties. Emergency personnel arrived to the scene, wearing full-body hazardous materials protective and an incident response unit was on site. It followed an incident hours earlier in which a man and a woman were exposed to a substance in the city centre." Et il y avait cette note : "Note: This story was updated on 26 April 2018 to remove suggestion (which was widely speculated and reported at the time of writing) that the substance found was fentanyl<ref>[https://www.clinicalservicesjournal.com/story/25262/response-unit-called-as-salisbury-hospital-declares-major-incident Clinical Service Journal, 5 mars 2018 et note rectificative du 26 avril 2018.]</ref>." :Si on en croit [https://www.bbc.com/news/uk-44278609 cet article], l'hôpital a modifié son diagnostic à l'initiative de la police. :Noter qu'en réaction à un article du ''[[w:The Times|Times]]'' du 14 mars, Stephen Davies, conseiller en médecine d'urgence à l'hôpital de Salisbury, disait encore, dans une lettre rectificative adressée au Times (et publiée par ce journal le 16 mars 2018) qu' « aucun patient n'a présenté des symptômes d'empoisonnement par agent innervant à Salisbury<ref>Lettre de Stephen Davies, Consultant in emergency medicine, Salisbury NHS Foundation Trust, sous ''Letters to the editor'', « British retaliation against Russia’s actions », ''[[w:The Times]]'', 16 mars 2018, [https://www.thetimes.co.uk/article/british-retaliation-against-russia-s-actions-p5hmpj8jh en ligne].</ref>. » :La rigidité attestée par plusieurs témoins semble embarrassante pour la propagande du gouvernement britannique. Mark Urban est journaliste à la BBC. Au sujet de la BBC et de ses liens avec les services secrets britanniques, voyez l'article de Wikipédia [[w:British Broadcasting Corporation#Liens avec les services secrets britanniques]]. Bien sûr, penser que ce qui a existé pourrait exister encore est du pur "complotisme". Mark Urban, donc, ne s'est pas contenté de réaliser [https://www.bbc.com/news/uk-46290989 une émission BBC] (diffusée en novembre 2018) où aucun des témoins de la scène du banc nommés par la presse à l'époque des faits n'avait été invité, mais il a publié (première édition en octobre 2018) un livre, ''The Skripal Files'', où, décrivant censément les symptômes que montraient les Skripal lors de la scène du banc, il n'a visiblement pour but que de persuader le lecteur que tous ces symptômes "d'agent innervant" pouvaient être pris pour des symptômes d'opioïde, ce qui, n'est-ce pas, explique parfaitement l' "erreur" de l'hôpital. À cette fin, il utilise deux tours de passe-passe : il ne dit pas un mot de la rigidité attestée par plusieurs témoins et il allègue la contraction des pupilles, qui est un symptôme commun aux agents innervants et à certains opioïdes (parmi lesquels le fentanyl), mais qui n'a pas été attestée par les témoins de la scène du banc nommés par la presse à l'époque des faits. Le passage de son livre peut être consulté sur [https://books.google.be/books?id=ldBiDwAAQBAJ&pg=PT193#v=onepage&q&f=false Google livres], à partir de la page 193. En résumé : les agents innervants provoquent de la flaccidité et non de la rigidité, l'homme et la femme du banc présentaient de la rigidité, donc ils n'étaient pas sous l'influence d'un agent innervant, comme le dit la propagande du gouvernement britannique, mais plus vraisemblablement sous l'influence du Fentanyl. Puisque la version officielle est que le diagnostic initial de l'hôpital (Fentanyl) était erroné, on peut trouver étonnant que l'homme et la femme en aient réchappé, car le traitement d'urgence contre une overdose de Fentanyl n'est pas le traitement d'urgence qui convient contre une exposition au novichok. En 2024, on apporta une réponse à cette question, au moins quant à l'homme : pendant que l'ambulance conduisait celui-ci à l'hôpital, un infirmier, par une erreur providentielle, crut lui administrer du naloxone (remède contre une intoxication par Fentanyl) mais lui administra en réalité de l'atropine, remède contre les "agents innervants", en particulier le novichok<ref>Steven Morris, « Paramedic gave Sergei Skripal novichok antidote by chance, inquiry hears », ''The Guardian'', 30 octobre 2024, [https://www.theguardian.com/uk-news/2024/oct/30/paramedic-gave-sergei-skripal-novichok-antidote-by-chance-inquiry-hears en ligne].</ref>. L'article du ''Guardian'' qui fait cette révélation ne parle que de l'homme (censé être Sergueï Skripal) et non de la femme (censée être Ioulia Skripal). Cela suggère que la femme n'a pas été transportée dans la même ambulance que l'homme. Peut-être a-t-elle été transportée par hélicoptère ? == Notes et références == {{Références}} qdg7rigopt58awszwrthna4zjzzbbra 104 84552 982864 978862 2026-05-16T13:31:57Z Psychoslave 2753 982864 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''affenpinscher''<ref>{{Lien web|titre=Page introuvable|url=https://chien.ouest-atlantis.com/avis-affenpinscher.html|site=chien.ouest-atlantis.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Affenpinscher à donner : adoption et rescues Québec [2024]|url=https://lebernard.ca/chiens/refuges/adoption-affenpinscher/|site=lebernard.ca|date=2023-02-04|consulté le=2026-02-17}}</ref>, ''africander, afrikander, alzheimer''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Claude|nom1=Couturier|titre=Puzzle: journal d'une Alzheimer|éditeur=J. 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H.|titre=La belle histoire d'amour entre un nain bodybuilder et une femme transgenre|url=https://www.dhnet.be/medias/dh-radio/2015/03/30/la-belle-histoire-damour-entre-un-nain-bodybuilder-et-une-femme-transgenre-2PGEOCSPKRFSHAPVYSNZJJA2LM/|site=DHnet|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|nom1=WokeUpandChoseViolence|titre=L'odyssée d'une bodybuilder olympienne {{!}} Ep. 108: Mimi Capes|url=https://www.youtube.com/watch?v=F3wH4kpyvug|date=2024-07-10|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookcrosser''<ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Mazag de Robert Solé|isbn=978-2-02-039280-8|lire en ligne=https://livraddict.com/biblio/livre/mazag.html|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Rires D'homme Entre Deux Pluies De Claude Duneton|url=https://inter-commerce.de/1196925/Entre-Deux-Pluies-De-Claude-Duneton|extrait=Découverte grâce à une bookcrosser canadienne}}</ref>'', booker''<ref>{{Lien web|nom1=Souilem|prénom1=Ichrak|titre=[Interview] Connaissez vous Les Bookers ?|url=https://www.surfntaste.com/2012/06/interview-connaissez-vous-les-bookers.html|site=Surf 'n' Taste|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Back in the Dayz recrute un.e booker musique pop / variété|url=https://www.facebook.com/backinthedayz.be/posts/back-in-the-dayz-recrute-une-booker-musique-pop-vari%C3%A9t%C3%A9-fran%C3%A7aise/1410990631038110/}}</ref>'', bookmaker''<ref>{{Lien web|titre=Les Soprano - Saison 5|url=https://www.primevideo.com/-/fr/detail/The-Sopranos/0PTDULHB1XZY6O4QPUD6VMVXYR|extrait=Sack n'accepte pas le plan de partage du pouvoir que propose Tony et le lui fait savoir par une bookmaker du nom de Lorraine Calluzo.}}</ref>'', boomer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Pourquoi le terme « boomer » fait polémique|url=https://www.20minutes.fr/societe/3029587-20210426-pourquoi-terme-boomer-fait-polemique|site=20 Minutes|date=2021-04-26|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Bon à savoir 🤔 - C&#39;est quoi un “boomer” ? Un “boomer” est quelqu&#39;un né pendant le baby-boom, c’est une période de forte hausse (explosion) des naissances entre 1945 et 1975. (d&#39;où le terme « baby »… {{!}} Antoine Gérard {{!}} 27 commentaires|url=https://fr.linkedin.com/posts/antoine-g%C3%A9rard_bon-%C3%A0-savoir-cest-quoi-un-boomer-activity-7151482980757041152-deWI|site=fr.linkedin.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bootlegger''<ref>{{Lien web|langue=fr-ca|nom1=ICI.Radio-Canada.ca|prénom1=Zone Arts-|titre=Bootlegger : tout le pouvoir aux femmes|url=https://ici.radio-canada.ca/espaces-autochtones/1439606/bootlegger-kitigan-zibi-caroline-monnet-film|site=Radio-Canada|date=2019-12-23|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=AlloCine|titre=Hunger Games 6 : voici le casting complet du prochain film de la saga aux 3,3 milliards de dollars !|url=https://www.allocine.fr/article/fichearticle_gen_carticle=1000144157.html|site=AlloCiné|date=2025-05-15|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', bouncer''<ref>{{Lien web|titre=Laa - Encyclopédie Star Wars HoloNet|url=https://www.starwars-holonet.com/encyclopedie/personnage-laa.html|site=www.starwars-holonet.com|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Ty peluche vache Bouncers Daisy Cow White jouet en peluche Planet Happy BE|url=https://www.planethappy.be/fr/produit/410804/ty-peluche-vache-bouncers-daisy-cow-white-jouet-en-peluche.html|site=www.planethappy.be|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Olivia-Jeri Pizzuco-Ennis et Alice Young, auteur sur Montréal Campus|url=https://montrealcampus.ca/author/olivia-jeripizz/|site=Montréal Campus|date=2024-03-12|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', broker''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les marchés financiers, des métiers passionnants|url=https://www.jinvestislavenir.fr/actualites/les-marches-financiers-des-metiers-passionnants|site=J’investis l’avenir|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|titre=broker indelicat|url=https://www.hisse-et-oh.com/sailing/broker-indelicat|site=www.hisse-et-oh.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', buzzer''<ref>{{Lien web|titre=COMMISSAIRE TETINE passe à la télé aujourd'hui...|url=https://m.facebook.com/1339423339536398/photos/a.1363027137176018/2734202833391768/?type=3&locale=hi_IN|extrait=... une buzzer, une faiseur de buzz encore moins une buzziste, elle est encore trop jeune, ,laissez la grandir et apprendre , ne lui faite pas ...}}</ref>'', challenger''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Martinez|prénom1=Nicolas|titre=Aperçu : Aryna Sabalenka et Iga Swiatek s'affrontent en demi-finale de l'Open de Cincinnati 2024 - Open 6ème Sens - Tennis|url=https://www.open6emesens.fr/tennis/apercu-aryna-sabalenka-et-iga-swiatek-saffrontent-en-demi-finale-de-lopen-de-cincinnati-2024/|site=Open 6ème Sens|date=2024-08-17|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cheerleader''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Qu’est-ce que le cheerleading – FANATIC CHEER 19|url=https://www.fanaticcheer19.fr/quest-ce-que-le-cheerleading/|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', clubber''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Toulouse en panne d'endroits pour les plus de 30 ans|url=https://www.ladepeche.fr/article/2008/12/23/512102-toulouse-panne-endroits-plus-30-ans.html|site=ladepeche.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', co-designer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Isabel Marant s'offre une seconde directrice artistique|url=https://www.marieclaire.fr/kim-bekker-directrice-artistique-isabel-marant,1400742.asp|site=Marie Claire|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=FR|prénom1=FashionNetwork com|titre=The Kooples valide et amplifie sa stratégie de développement sur le sac|url=https://fr.fashionnetwork.com/news/The-kooples-valide-et-amplifie-sa-strategie-de-developpement-sur-le-sac,999832.html|site=FashionNetwork.com|date=2018-07-22|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', codesigner, coleader''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=à 07h00|prénom1=Par Le 31 mars 2012|titre=Fournier sait où elle va|url=https://www.leparisien.fr/hauts-de-seine-92/fournier-sait-ou-elle-va-31-03-2012-1932219.php|site=leparisien.fr|date=2012-03-31|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cosplayer, cost-killer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Dalila Zein, une « cost killer » devient directrice générale de l'AFP|url=https://www.acrimed.org/Dalila-Zein-une-cost-killer-devient-directrice|site=Acrimed {{!}} Action Critique Médias|date=2018-07-19|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', couchsurfer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Couchsurfing|url=https://www.couchsurfing.com/|site=Couchsurfing|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cracker''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Access denied - Cristina Rodriguez|url=https://www.babelio.com/livres/Rodriguez-Access-denied/195530|site=Babelio|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', crooner''<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Doris Day|titre ouvrage=Wikipédia|date=2026-01-18|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Doris_Day&oldid=232549107|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', crossgolfer, dealer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Une dealer arrêté avec près d'un million d'euros|url=https://www.sudouest.fr/faits-divers/une-dealer-arrete-avec-pres-d-un-million-d-euros-8796791.php|site=SudOuest.fr|date=2013-02-19|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Littoral|prénom1=P. C. F.|titre=Une dealer républicaine|url=http://pcf-littoral.over-blog.com/2019/08/une-dealer-republicaine.html|site=Le blog de PCF Littoral|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', debater''<ref>{{Lien web|titre=Et oui, je prends le temps de lire les contrats. Le premier ministre, M. Legault pourrait en faire autant avant de les signer. Ça nous permettrait d’éviter d’autres fiascos financiers avec notre argent!|url=https://www.facebook.com/marwahrizqymtl/posts/et-oui-je-prends-le-temps-de-lire-les-contrats-le-premier-ministre-m-legault-pou/1240978227836763/|extrait=Une femme brillante, intègre, une "debater" excellente... Legault ne fait pas le poids devant Marwah Rizqy.}}</ref>'', designer, disliker, dissenter''<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Valentina|nom1=Altopiedi|champ libre=En citant le verset biblique d’Isaïe (43 : 6) qui a pour signification l’unification de tous les peuples de la Terre sous un seul Dieu, la dissenter Williams célébrait la liberté qui aurait unifié tous les peuples dans un rêve quasiment millénariste d’une république universelle.|titre=Une Révolution pour tous ? Comment des femmes anglaises ont vécu et écrit la Révolution française : le cas de Mary Wollstonecraft et Helen Maria Williams|périodique=La Révolution française|numéro=22|date=2022/janv./20|issn=2105-2557|doi=10.4000/lrf.6206|lire en ligne=https://journals.openedition.org/lrf/6206|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', dogsitter''<ref>{{Article|langue=fr|titre=Roncq - Marie, dogsitter professionnelle, pallie l’absence des maîtres|périodique=La Voix du Nord|lire en ligne=https://www.lavoixdunord.fr/592911/article/2019-06-03/marie-dogsitter-professionnelle-pallie-l-absence-des-maitres|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', doppelgänger''<ref>{{Lien web|titre=[Ecologie] Doppelgänger / Changelins|url=https://www.donjondudragon.fr/forum/vos-creations/illustrations/vos-creations-graphiques/precis-d-histoires-naturelles-carnets-ecologiques/ecologie-doppelganger-changelins-6173.html|site=www.donjondudragon.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Commentaire de chisalockhart sur Les Royaumes sans lune, Tome 1 : Le Porterune|url=https://booknode.com/les_royaumes_sans_lune_tome_1_le_porterune_03671487/commentaires/25027854|site=booknode.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', drifter''<ref>{{Lien web|nom1=Destrohido|titre=😍 Guide Drifter/Voyageuse SEXY ! 😍{{!}} Warframe [FR]|url=https://www.youtube.com/watch?v=0uvCDkn-HUo|date=2022-05-11|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', driver''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=En Mayenne, une grosse opération du PMU dans plusieurs bars pour redonner envie aux turfistes de parier - ICI|url=https://www.francebleu.fr/pays-de-la-loire/mayenne-53/laval/en-mayenne-une-grosse-operation-du-pmu-dans-plusieurs-bars-pour-faire-redonner-envie-aux-turfistes-de-parier-1177235|site=ICI, le média de la vie locale|date=2025-09-13|consulté le=2026-02-18|extrait=Joël est fan d'une driver en particulier. "Il y en a une, quand elle est dans la charrette, je le joue à chaque fois !", lance-t-il en parlant de Clarisse Lelièvre, originaire d'Ernée.}}</ref>'', droughtmaster, drummer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=DAWSON4|url=https://www.bandmix.fr/dawson4/|site=BandMix|consulté le=2026-02-18|extrait=Je recherche un ou une bassiste un ou une Drummer un ou une pianiste.}}</ref>'', e-merchandiser, fabmanager''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le Carrefour numérique de la Cité des sciences et de l'industrie recrute un/une Fabmanager/Fabmanageuse|url=https://forum.rfflabs.fr/topic/504/le-carrefour-num%C3%A9rique-de-la-cit%C3%A9-des-sciences-et-de-l-industrie-recrute-un-une-fabmanager-fabmanageuse|site=Réseau Fr. des FabLabs|date=2021-10-04|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', facebooker''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=SaId.A|titre=Houssaine Obrim : » C’est fini, j’arrête. «|url=https://lionsdelatlas.ma/houssaine-obrim-c-est-fini-j-arrete/|date=2017-09-27|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Top dix des incivilités des Algériens.|url=https://www.algerie-dz.com/forums/algerie/260487-top-dix-des-incivilit%C3%A9s-des-alg%C3%A9riens|site=Algerie-dz.com|date=2012-10-20|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', fighter''<ref>{{Lien web|titre=LP est une "Fighter" avec Imanbek dans un clip futuriste|url=https://www.chartsinfrance.net/Imanbek/news-118908.html|site=chartsinfrance.net|date=2021-10-03|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', fixer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Romance Panam Cyberpunk 2077 : comment vivre le grand amour avec elle ?|url=https://www.jeuxvideo.com/news/1806152/romance-panam-cyberpunk-2077-comment-vivre-le-grand-amour-avec-elle.htm|site=Jeuxvideo.com|date=2023-10-05|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=R&ocirc;liste|prénom1=Senior|titre=Récit de partie Cyberpunk: Pour 500 eddies... - Senior Rôliste - Blog JDR (Jeu de rôle)|url=https://senioroliste.com/cyberpunk/pour-500-eddies|site=Senior Rôliste|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Netflix : les nouveautés à voir en avril 2023|url=http://www.ellequebec.com/style-de-vie/cinema-et-tele/netflix-les-nouveautes-a-voir-en-avril-2023|site=Magazine ELLE Québec {{!}} Tendances mode, beauté, lifestyle et célébrités|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', flanker, flyer''<ref>{{Lien web|titre=05/03/2022 - PERTH ASCOT: Pronostics, Cotes & Résultats|url=https://www.zeturf.fr/fr/reunion-du-jour/2022-03-05/R9-perth-ascot#a-l-affiche-tab|site=www.zeturf.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', follower''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=J'ai Eu Ma Première GROSSE Commande Grâce à Une Follower!|url=https://www.youtube.com/shorts/SOQFdyC2V_w|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', freerider''<ref>{{Lien web|titre=Welcome to the team Casey!|url=https://www.swatch.com/fr-fr/athlete-casey-brown.html?srsltid=AfmBOorEVey699qy0MAAFVnCEHL1s_uz1Ewmfyd7bHCiEI8MfjXiiSoW|site=www.swatch.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', freerunner''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Orion|prénom1=Maryam|titre=Lilou Ruel, star du parkour et freerunning à 17 ans nous partage ses secrets !|url=https://laruche.wizbii.com/interview-de-lilou-ruel-une-freerunner-girl-de-17-ans|site=WIZBII Blog|date=2020-10-05|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-ch|titre=https://we.tl/t-CKlLTf0DDy|url=https://www.redbull.com/ch-fr/red-bull-art-of-motion-2022-qualifications|site=Red Bull|date=2022-04-19|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', führer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le FN, un parti "dictatorial", Marine, une "Führer": les perles de Jean-Marie Le Pen|url=https://www.lexpress.fr/politique/rn/le-fn-un-parti-dictatorial-marine-une-fuhrer-les-perles-de-jean-marie-le-pen_1688798.html|site=L'Express|date=2015-06-11|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', Führer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=My Cute Fuhrer sur Steam|url=https://store.steampowered.com/app/1205960/My_Cute_Fuhrer/|site=store.steampowered.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', gabber''<ref>{{Lien web|langue=en-US|nom1=Staelens|prénom1=Stefanie|titre=Une après-midi à danser le hakken dans le shop gabber le plus culte du Benelux|url=https://www.vice.com/fr/article/une-apres-midi-a-danser-le-hakken-dans-le-shop-gabber-le-plus-culte-du-benelux/|site=VICE|date=2018-06-14|consulté le=2026-05-16|extrait=Le groupe qui me semble le plus amical est une famille constituée d'une gabber mama, Antilla, et de ses sept fils.}}</ref>'', gamer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Academos|titre=Academos a posé 10 questions à un gamer pur et dur|url=https://academos.qc.ca/blogue-jeunes/entrevues/10-questions-pour-passionne-jeux-video/|site=Academos|date=2019-08-16|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', globe-trotter, greeter, hacker, hinterwälder, hipster, homeschooler, looser, merchandiser, planner, ranger, rocker, teen-ager, teenager, trader, viewer, webmaster, youngtimer''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== Majoritairement, ce sont des termes issus d’emprunts à l’anglais. Souvent la forme épicène est concourante à l’emploi de variations avec alternance suffixale en -euse, ''-ère'', ''-eresse ou -resse'' : ''africandère''<ref>{{Ouvrage|nom1=Getty Research Institute|titre=Le rire : journal humoristique paraissant le samedi|éditeur=Paris : F. Juven|date=1894|lire en ligne=http://archive.org/details/lerirejournalhum07unse|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', Alzheimeresse''<ref>{{Lien web|titre=Bimbo com's - Ma-bimbo.com, jeu de mode ! Jeu de filles et jeu pour filles|url=https://ma-bimbo.com/profile/lolissou,coms,1583364,63.htm|site=ma-bimbo.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', baby-boomeuse,'' baby-sitteuse<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Guillot|prénom1=Justine|titre=Baby-Sitting : quel statut, quel salaire ?|url=https://info-jeunes.fr/baby-sitting-quel-statut-quel-salaire/|site=Info-Jeunes|date=2024-01-17|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Tina, nounou est à la recherche d'un emploi à Strasbourg|url=https://yoopies.fr/nounou/strasbourg/baby-sitteuse-douce-experimentee-strasbourg/6343547|site=Yoopies|consulté le=2026-02-17}}</ref>, ''bartendresse'', ''bikeuse,'' ''bodybuildeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Sikagz|titre=Une bodybuildeuse de 47 ans balaye les critiques sur son physique|url=https://www.gentsu.fr/actu-urbaine/une-bodybuildeuse-de-47-ans-balaye-les-critiques-sur-son-physique/|site=Gentsu|date=2023-07-04|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Article|langue=en|titre=Immersion - Avec une bodybuildeuse {{!}} TV5MONDE États-Unis|périodique=TV5MONDE États-Unis|lire en ligne=https://usa.tv5monde.com/en/tv-guide/documentaries/immersion/avec-une-bodybuildeuse-728259|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Une bodybuildeuse et influenceuse retrouvée morte après une chute de son immeuble, elle avait le corps lacéré|url=https://www.ladepeche.fr/2025/11/14/une-bodybuildeuse-et-influenceuse-retrouvee-morte-apres-une-chute-de-son-immeuble-elle-avait-le-corps-lacere-13052748.php|site=ladepeche.fr|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookcrosseuse''<ref>{{Lien web|titre=Marie-Paule Douaud, première « bookcrosseuse »|url=https://www.ouest-france.fr/pays-de-la-loire/aizenay-85190/marie-paule-douaud-premiere-bookcrosseuse-3799563}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=A Lille, le "bookcrossing" fait voyager les livres {{!}} TF1 Info|url=https://www.tf1info.fr/conso/a-lille-le-bookcrossing-fait-voyager-les-livres-1519899.html|site=www.tf1info.fr|date=2015-01-12|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Comment trouver un bookeur, un agent, un tourneur, bref des dates autrement que par soi-même|url=https://confliktarts.com/blogs/news/comment-trouver-un-bookeur-un-agent-un-tourneur-bref-des-dates-autrement-que-par-soi-meme|site=Confliktarts|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookmakeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Ducarre|prénom1=Antoine|titre=USA : Donald Trump destitué, le pari fou des bookmakers|url=https://vl-media.fr/usa-trump-destitue-pari-fou-bookmakers/|site=VL Média|date=2017-05-11|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Message du 1er janvier 2026 réservé aux hommes|url=https://atypikal.life/2026/01/01/message-du-1er-janvier-2026-reserve-aux-hommes/|site=Atypikal Life|date=2025-12-31|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookmakeresse''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Auguste|nom1=Lepère|champ libre=p.142 : les paris pris par la bookmakeresse au Grand Prix hippique de Paris.|titre=[Illustrations de Paris au hasard]|date=1895|lire en ligne=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b2000080w|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', boomeuse, boomeresse''<ref>{{Lien web|titre=Reddit - Le cœur d’Internet|url=https://www.reddit.com/r/TropPeurDeDemander/comments/1perfmz/vous_%C3%AAtes_l%C3%A0_les_petitsenfants_de_boomers/|site=www.reddit.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', binge-watcheuse, coronère''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=À la poursuite de la santé - Des communautés autochtones {{!}} Savoir média {{!}} Lea-Chloe Bilodeau|url=https://fr.linkedin.com/posts/lea-chloe-bilodeau-3679741aa_%C3%A0-la-poursuite-de-la-sant%C3%A9-des-communaut%C3%A9s-activity-7334629045785038848-2PD2|site=fr.linkedin.com|consulté le=2026-02-16|extrait=Dans les jours qui suivent la publication du rapport de la coronère Stephanie Gamache sur le décès de Raphaël André, je suis tombée sur ce reportage de Savoir Média :}}</ref>'','' ''designeuse, globe-trotteuse, quakeresse''.<blockquote>ℹ️ ''Alzheimère'' ne semble employé que dans un jeu de mot avec mère<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Luna Théâtres|url=https://www.luna-theatres.fr/spectacle/alzheimere-fils-563|site=Luna Théâtres|consulté le=2026-02-17}}</ref>, qui dans le même registre alterne avec ''Alzheipère''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Hoang|prénom1=Van|titre=Alzheipère de Xavier Benout aux Riches Claires jusqu'au 28 octobre • Le Suricate|url=https://www.lesuricate.org/alzheipere-de-xavier-benout/|site=Le Suricate|date=2017-10-16|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Alzheipère de Xavier Benout : Peut-on rire de tout ? - RTBF Actus|url=https://www.rtbf.be/article/alzheipere-de-xavier-benout-peut-on-rire-de-tout-9741731|site=RTBF|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=F.Le|titre=Alzheipère, histoire d'en rire!|url=https://www.lavenir.net/regions/wallonie-picarde/2019/02/04/alzheipere-histoire-den-rire-ZDBRS2P6FBCCXHE3KCJ7RBWXX4/|site=lavenir.net|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref>. De même pour alzheimeuse, qui a servi de nom à une association chargée de promouvoir et développer le lien social des personnes souffrant de la maladie d'Alzheimer dans la Meuse<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=F.Le|titre=Alzheipère, histoire d'en rire!|url=https://www.lavenir.net/regions/wallonie-picarde/2019/02/04/alzheipere-histoire-den-rire-ZDBRS2P6FBCCXHE3KCJ7RBWXX4/|site=lavenir.net|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref>. À noter également les dérivés ''Alzheimerienne'' et ''Alzheimerien''. De même pour ''boomère''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Anne-Laure|titre=Les mots qu’il nous faut / Jeanne Henin|url=https://www.agence-dejademain.fr/les-mots-quil-nous-faut-jeanne-henin/|site=Agence Déjà Demain|date=2024-11-04|consulté le=2026-02-18}}</ref>'','' auquel une alternance en ''boopère'' n'est pas attesté en ce sens malgré la constatation de l'emploi d'un terme homéomorphe<ref>{{Ouvrage|prénom1=France)|nom1=University of Michigan|titre=Bulletins de la Société des antiquaires de l'Ouest|éditeur=Poitiers : Chez tous les libraires ; Paris : Chez Derache, Libraire|lire en ligne=http://archive.org/details/bulletindelasoc157unkngoog|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=en|titre=Michel Sévigny Obituary {{!}} 2025 - 2025 {{!}} Sudbury Star|url=https://thesudburystar.remembering.ca/obituary/michel-sevigny-1076249989|site=thesudburystar.remembering.ca|consulté le=2026-02-18}}</ref>. </blockquote><blockquote>ℹ️ Outre ''bartendresse'', du côté anglophone la forme ''bartendereresse'' est attestée<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les 50 meilleurs bars et boissons dans Riga|url=https://wanderlog.com/fr/list/geoCategory/6425/les-meilleurs-bars-et-boissons-dans-riga|site=Wanderlog|consulté le=2026-02-17|extrait=The service was welcoming and the bartenderesse skills impressive.}}</ref>, et les formes ''barmaid'' à l'ambigu et ''barman'' à l'équivoque sont également en usage dans la francophonie.</blockquote> ====== Défectivités ====== La forme ''barebacker'' ne semble employé qu'à l'équivoque, en revanche il existe une alternance avec ''barebackeuse''<ref>{{Lien web|titre=Liste des barebackeuses - Page 2 - tg-forum.com|url=https://tg-forum.com/forum/viewtopic.php?t=15726&start=15|site=tg-forum.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Beatriz hilton - tg-forum.com|url=https://tg-forum.com/forum/viewtopic.php?t=12260|site=tg-forum.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=la salope a queues - CuckoldPlace.com|url=https://www.cuckoldplace.com/16_61375_1.html|site=www.cuckoldplace.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>''.'' La forme ''be-boper'' ne semble employé qu'à l'équivoque, en revanche il existe une alternance avec be-bopeuse<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=CultureJazz.fr|prénom1=Équipe de rédaction de|titre=L'Appeal Du Disque - Décembre 2020|url=https://www.culturejazz.fr/spip.php?article3600|site=CultureJazz.fr|date=2020-12-15|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Guitare Jazz Manouche • Voir le sujet - Rare: Emily Remler playin' "Hot House"|url=https://guitarejazzmanouche.com/forum/viewtopic.php?t=21417&p=238714|site=guitarejazzmanouche.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=en|titre=#alain gerber {{!}} Explore Tumblr posts and blogs {{!}} Tumgik|url=https://www.tumgik.com/tag/alain%20gerber|site=www.tumgik.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Follow Me|url=https://www.faq-drone.com/topic/22294-follow-me/|site=Forum Drones & Voitures RC|date=2018-11-03|consulté le=2026-02-17}}</ref>. Le terme ''buumdroeger'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''crossgolfer'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''freefighter'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''wasenmeister'' n’est attesté qu’à l'équivoque. ====== Métaphores et métonymies haplogestes ====== ''Un bloomer'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un blaster,'' arme, et par suite personne qui l'utilise. ''Un blazer'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un bomber'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un cruiser,'' véhicule et par suite personne qui le conduit. ''Un dumper,'' véhicule et par suite personne qui le conduit. ====== Biotiques haplogestse ====== * ''un backer, oiseau&nbsp;;'' * ''un borer,'' insecte&nbsp;; * ''un burger,'' cépage&nbsp;; * ''un duiker,'' mammifère&nbsp;; ====== Références ====== <references /> gwyr1r1ooy8hg7ary4pal0pntlc20io 982865 982864 2026-05-16T13:36:37Z Psychoslave 2753 982865 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''affenpinscher''<ref>{{Lien web|titre=Page introuvable|url=https://chien.ouest-atlantis.com/avis-affenpinscher.html|site=chien.ouest-atlantis.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Affenpinscher à donner : adoption et rescues Québec [2024]|url=https://lebernard.ca/chiens/refuges/adoption-affenpinscher/|site=lebernard.ca|date=2023-02-04|consulté le=2026-02-17}}</ref>, ''africander, afrikander, alzheimer''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Claude|nom1=Couturier|titre=Puzzle: journal d'une Alzheimer|éditeur=J. Lyon|date=2004|isbn=978-2-84319-089-6|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', Alzheimer, baby-boomer, babyboomer, baby-sitter, bartender, biker''<ref>{{Article|langue=fr-FR|prénom1=Issam|nom1=Charhi|titre=Nina Agdal : une biker sexy et glamour qui n’a plus rien à prouver !|périodique=Public|date=2014-04-09|lire en ligne=https://www.public.fr/nina-agdal-une-biker-sexy-et-glamour-qui-n-a-plus-rien-a-prouver|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', binge-watcher, biohacker''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Biohacking : qu’est-ce que c’est et comment ça fonctionne ? {{!}} BIOGENA France|url=https://biogena.com/fr-fr/savoir/guide/biohacking_bba_5612051|site=biogena.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Biohacking, l’art de doper sa routine !|url=https://www.parismatch.com/vivre/art-de-vivre/biohacking-lart-de-doper-sa-routine-234579|site=parismatch.com|date=2024-02-14|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|auteur1=Gabriel Dorthe|titre=Lepht Anonym : transhumanisme de cuisine|url=https://shs.cairn.info/le-transhumanisme-une-anthologie--9791037005717-page-303?lang=fr.}}</ref>'', bodybuilder''<ref>{{Lien web|titre=Mon poids, ma transformation + Entraînement Powerlifting|url=https://www.youtube.com/watch?v=8F5qyPu_6Lg|extrait=Je répond aussi à la question: est-ce qu'une femme qui s'entraine en musculation deviendra automatiquement comme une bodybuilder de haut niveau.}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Radio|prénom1=D. H.|titre=La belle histoire d'amour entre un nain bodybuilder et une femme transgenre|url=https://www.dhnet.be/medias/dh-radio/2015/03/30/la-belle-histoire-damour-entre-un-nain-bodybuilder-et-une-femme-transgenre-2PGEOCSPKRFSHAPVYSNZJJA2LM/|site=DHnet|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|nom1=WokeUpandChoseViolence|titre=L'odyssée d'une bodybuilder olympienne {{!}} Ep. 108: Mimi Capes|url=https://www.youtube.com/watch?v=F3wH4kpyvug|date=2024-07-10|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookcrosser''<ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Mazag de Robert Solé|isbn=978-2-02-039280-8|lire en ligne=https://livraddict.com/biblio/livre/mazag.html|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Rires D'homme Entre Deux Pluies De Claude Duneton|url=https://inter-commerce.de/1196925/Entre-Deux-Pluies-De-Claude-Duneton|extrait=Découverte grâce à une bookcrosser canadienne}}</ref>'', booker''<ref>{{Lien web|nom1=Souilem|prénom1=Ichrak|titre=[Interview] Connaissez vous Les Bookers ?|url=https://www.surfntaste.com/2012/06/interview-connaissez-vous-les-bookers.html|site=Surf 'n' Taste|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Back in the Dayz recrute un.e booker musique pop / variété|url=https://www.facebook.com/backinthedayz.be/posts/back-in-the-dayz-recrute-une-booker-musique-pop-vari%C3%A9t%C3%A9-fran%C3%A7aise/1410990631038110/}}</ref>'', bookmaker''<ref>{{Lien web|titre=Les Soprano - Saison 5|url=https://www.primevideo.com/-/fr/detail/The-Sopranos/0PTDULHB1XZY6O4QPUD6VMVXYR|extrait=Sack n'accepte pas le plan de partage du pouvoir que propose Tony et le lui fait savoir par une bookmaker du nom de Lorraine Calluzo.}}</ref>'', boomer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Pourquoi le terme « boomer » fait polémique|url=https://www.20minutes.fr/societe/3029587-20210426-pourquoi-terme-boomer-fait-polemique|site=20 Minutes|date=2021-04-26|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Bon à savoir 🤔 - C&#39;est quoi un “boomer” ? Un “boomer” est quelqu&#39;un né pendant le baby-boom, c’est une période de forte hausse (explosion) des naissances entre 1945 et 1975. (d&#39;où le terme « baby »… {{!}} Antoine Gérard {{!}} 27 commentaires|url=https://fr.linkedin.com/posts/antoine-g%C3%A9rard_bon-%C3%A0-savoir-cest-quoi-un-boomer-activity-7151482980757041152-deWI|site=fr.linkedin.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bootlegger''<ref>{{Lien web|langue=fr-ca|nom1=ICI.Radio-Canada.ca|prénom1=Zone Arts-|titre=Bootlegger : tout le pouvoir aux femmes|url=https://ici.radio-canada.ca/espaces-autochtones/1439606/bootlegger-kitigan-zibi-caroline-monnet-film|site=Radio-Canada|date=2019-12-23|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=AlloCine|titre=Hunger Games 6 : voici le casting complet du prochain film de la saga aux 3,3 milliards de dollars !|url=https://www.allocine.fr/article/fichearticle_gen_carticle=1000144157.html|site=AlloCiné|date=2025-05-15|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', bouncer''<ref>{{Lien web|titre=Laa - Encyclopédie Star Wars HoloNet|url=https://www.starwars-holonet.com/encyclopedie/personnage-laa.html|site=www.starwars-holonet.com|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Ty peluche vache Bouncers Daisy Cow White jouet en peluche Planet Happy BE|url=https://www.planethappy.be/fr/produit/410804/ty-peluche-vache-bouncers-daisy-cow-white-jouet-en-peluche.html|site=www.planethappy.be|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Olivia-Jeri Pizzuco-Ennis et Alice Young, auteur sur Montréal Campus|url=https://montrealcampus.ca/author/olivia-jeripizz/|site=Montréal Campus|date=2024-03-12|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', broker''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les marchés financiers, des métiers passionnants|url=https://www.jinvestislavenir.fr/actualites/les-marches-financiers-des-metiers-passionnants|site=J’investis l’avenir|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|titre=broker indelicat|url=https://www.hisse-et-oh.com/sailing/broker-indelicat|site=www.hisse-et-oh.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', buzzer''<ref>{{Lien web|titre=COMMISSAIRE TETINE passe à la télé aujourd'hui...|url=https://m.facebook.com/1339423339536398/photos/a.1363027137176018/2734202833391768/?type=3&locale=hi_IN|extrait=... une buzzer, une faiseur de buzz encore moins une buzziste, elle est encore trop jeune, ,laissez la grandir et apprendre , ne lui faite pas ...}}</ref>'', challenger''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Martinez|prénom1=Nicolas|titre=Aperçu : Aryna Sabalenka et Iga Swiatek s'affrontent en demi-finale de l'Open de Cincinnati 2024 - Open 6ème Sens - Tennis|url=https://www.open6emesens.fr/tennis/apercu-aryna-sabalenka-et-iga-swiatek-saffrontent-en-demi-finale-de-lopen-de-cincinnati-2024/|site=Open 6ème Sens|date=2024-08-17|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cheerleader''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Qu’est-ce que le cheerleading – FANATIC CHEER 19|url=https://www.fanaticcheer19.fr/quest-ce-que-le-cheerleading/|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', clubber''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Toulouse en panne d'endroits pour les plus de 30 ans|url=https://www.ladepeche.fr/article/2008/12/23/512102-toulouse-panne-endroits-plus-30-ans.html|site=ladepeche.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', co-designer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Isabel Marant s'offre une seconde directrice artistique|url=https://www.marieclaire.fr/kim-bekker-directrice-artistique-isabel-marant,1400742.asp|site=Marie Claire|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=FR|prénom1=FashionNetwork com|titre=The Kooples valide et amplifie sa stratégie de développement sur le sac|url=https://fr.fashionnetwork.com/news/The-kooples-valide-et-amplifie-sa-strategie-de-developpement-sur-le-sac,999832.html|site=FashionNetwork.com|date=2018-07-22|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', codesigner, coleader''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=à 07h00|prénom1=Par Le 31 mars 2012|titre=Fournier sait où elle va|url=https://www.leparisien.fr/hauts-de-seine-92/fournier-sait-ou-elle-va-31-03-2012-1932219.php|site=leparisien.fr|date=2012-03-31|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cosplayer, cost-killer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Dalila Zein, une « cost killer » devient directrice générale de l'AFP|url=https://www.acrimed.org/Dalila-Zein-une-cost-killer-devient-directrice|site=Acrimed {{!}} Action Critique Médias|date=2018-07-19|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', couchsurfer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Couchsurfing|url=https://www.couchsurfing.com/|site=Couchsurfing|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cracker''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Access denied - Cristina Rodriguez|url=https://www.babelio.com/livres/Rodriguez-Access-denied/195530|site=Babelio|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', crooner''<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Doris Day|titre ouvrage=Wikipédia|date=2026-01-18|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Doris_Day&oldid=232549107|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', crossgolfer, dealer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Une dealer arrêté avec près d'un million d'euros|url=https://www.sudouest.fr/faits-divers/une-dealer-arrete-avec-pres-d-un-million-d-euros-8796791.php|site=SudOuest.fr|date=2013-02-19|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Littoral|prénom1=P. C. F.|titre=Une dealer républicaine|url=http://pcf-littoral.over-blog.com/2019/08/une-dealer-republicaine.html|site=Le blog de PCF Littoral|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', debater''<ref>{{Lien web|titre=Et oui, je prends le temps de lire les contrats. Le premier ministre, M. Legault pourrait en faire autant avant de les signer. Ça nous permettrait d’éviter d’autres fiascos financiers avec notre argent!|url=https://www.facebook.com/marwahrizqymtl/posts/et-oui-je-prends-le-temps-de-lire-les-contrats-le-premier-ministre-m-legault-pou/1240978227836763/|extrait=Une femme brillante, intègre, une "debater" excellente... Legault ne fait pas le poids devant Marwah Rizqy.}}</ref>'', designer, disliker, dissenter''<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Valentina|nom1=Altopiedi|champ libre=En citant le verset biblique d’Isaïe (43 : 6) qui a pour signification l’unification de tous les peuples de la Terre sous un seul Dieu, la dissenter Williams célébrait la liberté qui aurait unifié tous les peuples dans un rêve quasiment millénariste d’une république universelle.|titre=Une Révolution pour tous ? Comment des femmes anglaises ont vécu et écrit la Révolution française : le cas de Mary Wollstonecraft et Helen Maria Williams|périodique=La Révolution française|numéro=22|date=2022/janv./20|issn=2105-2557|doi=10.4000/lrf.6206|lire en ligne=https://journals.openedition.org/lrf/6206|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', dogsitter''<ref>{{Article|langue=fr|titre=Roncq - Marie, dogsitter professionnelle, pallie l’absence des maîtres|périodique=La Voix du Nord|lire en ligne=https://www.lavoixdunord.fr/592911/article/2019-06-03/marie-dogsitter-professionnelle-pallie-l-absence-des-maitres|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', doppelgänger''<ref>{{Lien web|titre=[Ecologie] Doppelgänger / Changelins|url=https://www.donjondudragon.fr/forum/vos-creations/illustrations/vos-creations-graphiques/precis-d-histoires-naturelles-carnets-ecologiques/ecologie-doppelganger-changelins-6173.html|site=www.donjondudragon.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Commentaire de chisalockhart sur Les Royaumes sans lune, Tome 1 : Le Porterune|url=https://booknode.com/les_royaumes_sans_lune_tome_1_le_porterune_03671487/commentaires/25027854|site=booknode.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', drifter''<ref>{{Lien web|nom1=Destrohido|titre=😍 Guide Drifter/Voyageuse SEXY ! 😍{{!}} Warframe [FR]|url=https://www.youtube.com/watch?v=0uvCDkn-HUo|date=2022-05-11|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', driver''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=En Mayenne, une grosse opération du PMU dans plusieurs bars pour redonner envie aux turfistes de parier - ICI|url=https://www.francebleu.fr/pays-de-la-loire/mayenne-53/laval/en-mayenne-une-grosse-operation-du-pmu-dans-plusieurs-bars-pour-faire-redonner-envie-aux-turfistes-de-parier-1177235|site=ICI, le média de la vie locale|date=2025-09-13|consulté le=2026-02-18|extrait=Joël est fan d'une driver en particulier. "Il y en a une, quand elle est dans la charrette, je le joue à chaque fois !", lance-t-il en parlant de Clarisse Lelièvre, originaire d'Ernée.}}</ref>'', droughtmaster, drummer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=DAWSON4|url=https://www.bandmix.fr/dawson4/|site=BandMix|consulté le=2026-02-18|extrait=Je recherche un ou une bassiste un ou une Drummer un ou une pianiste.}}</ref>'', e-merchandiser, fabmanager''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le Carrefour numérique de la Cité des sciences et de l'industrie recrute un/une Fabmanager/Fabmanageuse|url=https://forum.rfflabs.fr/topic/504/le-carrefour-num%C3%A9rique-de-la-cit%C3%A9-des-sciences-et-de-l-industrie-recrute-un-une-fabmanager-fabmanageuse|site=Réseau Fr. des FabLabs|date=2021-10-04|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', facebooker''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=SaId.A|titre=Houssaine Obrim : » C’est fini, j’arrête. «|url=https://lionsdelatlas.ma/houssaine-obrim-c-est-fini-j-arrete/|date=2017-09-27|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Top dix des incivilités des Algériens.|url=https://www.algerie-dz.com/forums/algerie/260487-top-dix-des-incivilit%C3%A9s-des-alg%C3%A9riens|site=Algerie-dz.com|date=2012-10-20|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', fighter''<ref>{{Lien web|titre=LP est une "Fighter" avec Imanbek dans un clip futuriste|url=https://www.chartsinfrance.net/Imanbek/news-118908.html|site=chartsinfrance.net|date=2021-10-03|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', fixer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Romance Panam Cyberpunk 2077 : comment vivre le grand amour avec elle ?|url=https://www.jeuxvideo.com/news/1806152/romance-panam-cyberpunk-2077-comment-vivre-le-grand-amour-avec-elle.htm|site=Jeuxvideo.com|date=2023-10-05|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=R&ocirc;liste|prénom1=Senior|titre=Récit de partie Cyberpunk: Pour 500 eddies... - Senior Rôliste - Blog JDR (Jeu de rôle)|url=https://senioroliste.com/cyberpunk/pour-500-eddies|site=Senior Rôliste|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Netflix : les nouveautés à voir en avril 2023|url=http://www.ellequebec.com/style-de-vie/cinema-et-tele/netflix-les-nouveautes-a-voir-en-avril-2023|site=Magazine ELLE Québec {{!}} Tendances mode, beauté, lifestyle et célébrités|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', flanker, flyer''<ref>{{Lien web|titre=05/03/2022 - PERTH ASCOT: Pronostics, Cotes & Résultats|url=https://www.zeturf.fr/fr/reunion-du-jour/2022-03-05/R9-perth-ascot#a-l-affiche-tab|site=www.zeturf.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', follower''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=J'ai Eu Ma Première GROSSE Commande Grâce à Une Follower!|url=https://www.youtube.com/shorts/SOQFdyC2V_w|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', freerider''<ref>{{Lien web|titre=Welcome to the team Casey!|url=https://www.swatch.com/fr-fr/athlete-casey-brown.html?srsltid=AfmBOorEVey699qy0MAAFVnCEHL1s_uz1Ewmfyd7bHCiEI8MfjXiiSoW|site=www.swatch.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', freerunner''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Orion|prénom1=Maryam|titre=Lilou Ruel, star du parkour et freerunning à 17 ans nous partage ses secrets !|url=https://laruche.wizbii.com/interview-de-lilou-ruel-une-freerunner-girl-de-17-ans|site=WIZBII Blog|date=2020-10-05|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-ch|titre=https://we.tl/t-CKlLTf0DDy|url=https://www.redbull.com/ch-fr/red-bull-art-of-motion-2022-qualifications|site=Red Bull|date=2022-04-19|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', führer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le FN, un parti "dictatorial", Marine, une "Führer": les perles de Jean-Marie Le Pen|url=https://www.lexpress.fr/politique/rn/le-fn-un-parti-dictatorial-marine-une-fuhrer-les-perles-de-jean-marie-le-pen_1688798.html|site=L'Express|date=2015-06-11|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', Führer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=My Cute Fuhrer sur Steam|url=https://store.steampowered.com/app/1205960/My_Cute_Fuhrer/|site=store.steampowered.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', gabber''<ref>{{Lien web|langue=en-US|nom1=Staelens|prénom1=Stefanie|titre=Une après-midi à danser le hakken dans le shop gabber le plus culte du Benelux|url=https://www.vice.com/fr/article/une-apres-midi-a-danser-le-hakken-dans-le-shop-gabber-le-plus-culte-du-benelux/|site=VICE|date=2018-06-14|consulté le=2026-05-16|extrait=Le groupe qui me semble le plus amical est une famille constituée d'une gabber mama, Antilla, et de ses sept fils.}}</ref>'', gamer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Academos|titre=Academos a posé 10 questions à un gamer pur et dur|url=https://academos.qc.ca/blogue-jeunes/entrevues/10-questions-pour-passionne-jeux-video/|site=Academos|date=2019-08-16|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', globe-trotter''<ref>{{Lien web|titre=Sarthe. Une globe-trotter vient en aide aux jeunes Africaines|url=https://www.ouest-france.fr/pays-de-la-loire/la-chartre-sur-le-loir-72340/sarthe-une-globe-trotter-vient-en-aide-aux-jeunes-africaines-771895e6-4ede-11ed-84de-086d7f92e6be}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Nouaillé-Maupertuis : le documentaire d’une globe-trotter|url=https://www.lanouvellerepublique.fr/vienne/commune/nouaille-maupertuis/nouaille-maupertuis-le-documentaire-d-une-globe-trotter|site=lanouvellerepublique.fr|date=2024-10-01|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', greeter''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Les greeters, guides bénévoles qui nous font aimer le patrimoine de leur ville|url=https://www.franceinfo.fr/culture/patrimoine/les-greeters-guides-benevoles-qui-nous-font-aimer-le-patrimoine-de-leur-ville_3368661.html|site=franceinfo|date=2017-08-11|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', hacker, hinterwälder, hipster, homeschooler, looser, merchandiser, planner, ranger, rocker, teen-ager, teenager, trader, viewer, webmaster, youngtimer''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== Majoritairement, ce sont des termes issus d’emprunts à l’anglais. Souvent la forme épicène est concourante à l’emploi de variations avec alternance suffixale en -euse, ''-ère'', ''-eresse ou -resse'' : ''africandère''<ref>{{Ouvrage|nom1=Getty Research Institute|titre=Le rire : journal humoristique paraissant le samedi|éditeur=Paris : F. Juven|date=1894|lire en ligne=http://archive.org/details/lerirejournalhum07unse|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', Alzheimeresse''<ref>{{Lien web|titre=Bimbo com's - Ma-bimbo.com, jeu de mode ! Jeu de filles et jeu pour filles|url=https://ma-bimbo.com/profile/lolissou,coms,1583364,63.htm|site=ma-bimbo.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', baby-boomeuse,'' baby-sitteuse<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Guillot|prénom1=Justine|titre=Baby-Sitting : quel statut, quel salaire ?|url=https://info-jeunes.fr/baby-sitting-quel-statut-quel-salaire/|site=Info-Jeunes|date=2024-01-17|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Tina, nounou est à la recherche d'un emploi à Strasbourg|url=https://yoopies.fr/nounou/strasbourg/baby-sitteuse-douce-experimentee-strasbourg/6343547|site=Yoopies|consulté le=2026-02-17}}</ref>, ''bartendresse'', ''bikeuse,'' ''bodybuildeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Sikagz|titre=Une bodybuildeuse de 47 ans balaye les critiques sur son physique|url=https://www.gentsu.fr/actu-urbaine/une-bodybuildeuse-de-47-ans-balaye-les-critiques-sur-son-physique/|site=Gentsu|date=2023-07-04|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Article|langue=en|titre=Immersion - Avec une bodybuildeuse {{!}} TV5MONDE États-Unis|périodique=TV5MONDE États-Unis|lire en ligne=https://usa.tv5monde.com/en/tv-guide/documentaries/immersion/avec-une-bodybuildeuse-728259|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Une bodybuildeuse et influenceuse retrouvée morte après une chute de son immeuble, elle avait le corps lacéré|url=https://www.ladepeche.fr/2025/11/14/une-bodybuildeuse-et-influenceuse-retrouvee-morte-apres-une-chute-de-son-immeuble-elle-avait-le-corps-lacere-13052748.php|site=ladepeche.fr|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookcrosseuse''<ref>{{Lien web|titre=Marie-Paule Douaud, première « bookcrosseuse »|url=https://www.ouest-france.fr/pays-de-la-loire/aizenay-85190/marie-paule-douaud-premiere-bookcrosseuse-3799563}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=A Lille, le "bookcrossing" fait voyager les livres {{!}} TF1 Info|url=https://www.tf1info.fr/conso/a-lille-le-bookcrossing-fait-voyager-les-livres-1519899.html|site=www.tf1info.fr|date=2015-01-12|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Comment trouver un bookeur, un agent, un tourneur, bref des dates autrement que par soi-même|url=https://confliktarts.com/blogs/news/comment-trouver-un-bookeur-un-agent-un-tourneur-bref-des-dates-autrement-que-par-soi-meme|site=Confliktarts|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookmakeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Ducarre|prénom1=Antoine|titre=USA : Donald Trump destitué, le pari fou des bookmakers|url=https://vl-media.fr/usa-trump-destitue-pari-fou-bookmakers/|site=VL Média|date=2017-05-11|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Message du 1er janvier 2026 réservé aux hommes|url=https://atypikal.life/2026/01/01/message-du-1er-janvier-2026-reserve-aux-hommes/|site=Atypikal Life|date=2025-12-31|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookmakeresse''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Auguste|nom1=Lepère|champ libre=p.142 : les paris pris par la bookmakeresse au Grand Prix hippique de Paris.|titre=[Illustrations de Paris au hasard]|date=1895|lire en ligne=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b2000080w|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', boomeuse, boomeresse''<ref>{{Lien web|titre=Reddit - Le cœur d’Internet|url=https://www.reddit.com/r/TropPeurDeDemander/comments/1perfmz/vous_%C3%AAtes_l%C3%A0_les_petitsenfants_de_boomers/|site=www.reddit.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', binge-watcheuse, coronère''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=À la poursuite de la santé - Des communautés autochtones {{!}} Savoir média {{!}} Lea-Chloe Bilodeau|url=https://fr.linkedin.com/posts/lea-chloe-bilodeau-3679741aa_%C3%A0-la-poursuite-de-la-sant%C3%A9-des-communaut%C3%A9s-activity-7334629045785038848-2PD2|site=fr.linkedin.com|consulté le=2026-02-16|extrait=Dans les jours qui suivent la publication du rapport de la coronère Stephanie Gamache sur le décès de Raphaël André, je suis tombée sur ce reportage de Savoir Média :}}</ref>'','' ''designeuse, globe-trotteuse, quakeresse''.<blockquote>ℹ️ ''Alzheimère'' ne semble employé que dans un jeu de mot avec mère<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Luna Théâtres|url=https://www.luna-theatres.fr/spectacle/alzheimere-fils-563|site=Luna Théâtres|consulté le=2026-02-17}}</ref>, qui dans le même registre alterne avec ''Alzheipère''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Hoang|prénom1=Van|titre=Alzheipère de Xavier Benout aux Riches Claires jusqu'au 28 octobre • Le Suricate|url=https://www.lesuricate.org/alzheipere-de-xavier-benout/|site=Le Suricate|date=2017-10-16|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Alzheipère de Xavier Benout : Peut-on rire de tout ? - RTBF Actus|url=https://www.rtbf.be/article/alzheipere-de-xavier-benout-peut-on-rire-de-tout-9741731|site=RTBF|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=F.Le|titre=Alzheipère, histoire d'en rire!|url=https://www.lavenir.net/regions/wallonie-picarde/2019/02/04/alzheipere-histoire-den-rire-ZDBRS2P6FBCCXHE3KCJ7RBWXX4/|site=lavenir.net|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref>. De même pour alzheimeuse, qui a servi de nom à une association chargée de promouvoir et développer le lien social des personnes souffrant de la maladie d'Alzheimer dans la Meuse<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=F.Le|titre=Alzheipère, histoire d'en rire!|url=https://www.lavenir.net/regions/wallonie-picarde/2019/02/04/alzheipere-histoire-den-rire-ZDBRS2P6FBCCXHE3KCJ7RBWXX4/|site=lavenir.net|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref>. À noter également les dérivés ''Alzheimerienne'' et ''Alzheimerien''. De même pour ''boomère''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Anne-Laure|titre=Les mots qu’il nous faut / Jeanne Henin|url=https://www.agence-dejademain.fr/les-mots-quil-nous-faut-jeanne-henin/|site=Agence Déjà Demain|date=2024-11-04|consulté le=2026-02-18}}</ref>'','' auquel une alternance en ''boopère'' n'est pas attesté en ce sens malgré la constatation de l'emploi d'un terme homéomorphe<ref>{{Ouvrage|prénom1=France)|nom1=University of Michigan|titre=Bulletins de la Société des antiquaires de l'Ouest|éditeur=Poitiers : Chez tous les libraires ; Paris : Chez Derache, Libraire|lire en ligne=http://archive.org/details/bulletindelasoc157unkngoog|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=en|titre=Michel Sévigny Obituary {{!}} 2025 - 2025 {{!}} Sudbury Star|url=https://thesudburystar.remembering.ca/obituary/michel-sevigny-1076249989|site=thesudburystar.remembering.ca|consulté le=2026-02-18}}</ref>. </blockquote><blockquote>ℹ️ Outre ''bartendresse'', du côté anglophone la forme ''bartendereresse'' est attestée<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les 50 meilleurs bars et boissons dans Riga|url=https://wanderlog.com/fr/list/geoCategory/6425/les-meilleurs-bars-et-boissons-dans-riga|site=Wanderlog|consulté le=2026-02-17|extrait=The service was welcoming and the bartenderesse skills impressive.}}</ref>, et les formes ''barmaid'' à l'ambigu et ''barman'' à l'équivoque sont également en usage dans la francophonie.</blockquote> ====== Défectivités ====== La forme ''barebacker'' ne semble employé qu'à l'équivoque, en revanche il existe une alternance avec ''barebackeuse''<ref>{{Lien web|titre=Liste des barebackeuses - Page 2 - tg-forum.com|url=https://tg-forum.com/forum/viewtopic.php?t=15726&start=15|site=tg-forum.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Beatriz hilton - tg-forum.com|url=https://tg-forum.com/forum/viewtopic.php?t=12260|site=tg-forum.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=la salope a queues - CuckoldPlace.com|url=https://www.cuckoldplace.com/16_61375_1.html|site=www.cuckoldplace.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>''.'' La forme ''be-boper'' ne semble employé qu'à l'équivoque, en revanche il existe une alternance avec be-bopeuse<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=CultureJazz.fr|prénom1=Équipe de rédaction de|titre=L'Appeal Du Disque - Décembre 2020|url=https://www.culturejazz.fr/spip.php?article3600|site=CultureJazz.fr|date=2020-12-15|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Guitare Jazz Manouche • Voir le sujet - Rare: Emily Remler playin' "Hot House"|url=https://guitarejazzmanouche.com/forum/viewtopic.php?t=21417&p=238714|site=guitarejazzmanouche.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=en|titre=#alain gerber {{!}} Explore Tumblr posts and blogs {{!}} Tumgik|url=https://www.tumgik.com/tag/alain%20gerber|site=www.tumgik.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Follow Me|url=https://www.faq-drone.com/topic/22294-follow-me/|site=Forum Drones & Voitures RC|date=2018-11-03|consulté le=2026-02-17}}</ref>. Le terme ''buumdroeger'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''crossgolfer'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''freefighter'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''wasenmeister'' n’est attesté qu’à l'équivoque. ====== Métaphores et métonymies haplogestes ====== ''Un bloomer'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un blaster,'' arme, et par suite personne qui l'utilise. ''Un blazer'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un bomber'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un cruiser,'' véhicule et par suite personne qui le conduit. ''Un dumper,'' véhicule et par suite personne qui le conduit. ====== Biotiques haplogestse ====== * ''un backer, oiseau&nbsp;;'' * ''un borer,'' insecte&nbsp;; * ''un burger,'' cépage&nbsp;; * ''un duiker,'' mammifère&nbsp;; ====== Références ====== <references /> 7rgabvqqy4tpucpmt335qnfi2twxirp