Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.2 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 16299 982909 979225 2026-05-18T05:45:42Z Marvoir 1746 /* Somme restreinte d'une famille de groupes */ annoncé qu'un exemple servira dans un chapitre ultérieur 982909 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 9 | précédent = [[../Action de groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes caractéristiques/]] | page_liée = Exercices/Produit direct et somme restreinte }} Sauf mention contraire, les lois de groupe seront notées multiplicativement. Quand il sera question de plusieurs groupes, il nous arrivera de désigner leurs éléments neutres par le même symbole 1, ce qui, en pratique, ne prête pas à confusion. __TOC__ {{Clr}} == Produit direct de deux groupes == Soient <math>G_{1}</math> et <math>G_{2}</math> deux groupes. Désignons par <math>G_{1} \times G_{2}</math> leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Il est naturel de définir sur <math>G_{1} \times G_{2}</math> une loi de composition <math>\star </math> composante par composante : :<math>(x_{1}, x_{2}) \star (y_{1}, y_{2}) = (x_{1}y_{1}, x_{2}y_{2})</math>, le produit <math>x_{1}y_{1}</math> apparaissant dans le second membre étant calculé dans <math>G_{1}</math> et le produit <math>x_{2}y_{2}</math> dans <math>G_{2}</math>. On vérifie facilement que cette loi de composition munit <math>G_{1} \times G_{2}</math> d'une structure de groupe. Ce groupe est appelé produit direct externe (ou simplement produit direct, ou simplement produit) des groupes <math>G_{1}</math> et <math>G_{2}</math> et noté <math>G_{1} \times G_{2}</math>. Si <math>e_{1}</math> et <math>e_{2}</math> désignent respectivement les éléments neutres de <math>G_{1}</math> et de <math>G_{2}</math>, l'élément neutre de <math>G_{1} \times G_{2}</math> est <math>(e_{1}, e_{2})</math>. Le symétrique d'un élément <math>(x_{1}, x_{2})</math> de <math>G_{1} \times G_{2}</math> est l'élément <math>(x_{1}^{-1}, x_{2}^{-1})</math>. L'application <math>(g,h) \mapsto (h,g)</math> définit un isomorphisme de <math>G \times H</math> sur <math>H \times G</math> (« commutativité » du produit direct) et l’application <math>((g,h), k) \mapsto (g,(h,k))</math> définit un isomorphisme de <math>(G \times H)\times K</math> sur <math>G \times (H\times K)</math> (« associativité » du produit direct). Si les groupes <math>G_{1}</math> et <math>G_{2}</math> sont notés additivement, leur produit direct est plutôt appelé leur somme directe et est alors noté <math>G_{1} \oplus G_{2}</math>. == Produit direct d'une famille de groupes == En théorie des ensembles, on emploie le mot « famille » dans deux sens légèrement différents<ref>N. Bourbaki, Théorie des ensembles, Hermann, 1970, p. II.14.</ref>. Dans le premier sens, une famille est un graphe fonctionnel. Si on voit un graphe fonctionnel <math>\Gamma </math> comme une famille et que <math>I</math> désigne la première projection de ce graphe, on désigne la famille en question par <math>{(x_i)}_{i \in I}</math>, où <math>x_i</math> désigne l'unique élément tel que le couple <math>(i, x_i)</math> appartienne au graphe <math>\Gamma .</math> L'ensemble <math>I</math> est alors appelé l'ensemble des indices de la famille en question. Nous dirons aussi que cette famille est indexée par <math>I</math>. Dans le second sens, on définit une famille d'éléments d'un ensemble E comme une application dont l'ensemble d'arrivée est E. Dans le présent chapitre, nous emploierons le mot « famille » dans son premier sens. Par exemple, quand nous considérerons une famille <math>{(G_i)}_{i \in I}</math> de groupes, nous ne nous soucierons pas d'un ensemble dont chaque <math>G_i</math> soit élément. La définition qu'on a donnée plus haut du produit direct de deux groupes se généralise comme suit à une famille quelconque de groupes. {{Définition | contenu = Soit <math>(G_{i})_{i \in I}</math> une famille (finie ou infinie) de groupes. On appelle '''groupe produit''' de cette famille, ou '''produit''' de cette famille, ou '''produit direct''' de cette famille, et on note <math>\prod _{i \in I} G_{i}</math> le produit cartésien de la famille des (ensembles sous-jacents des) <math>G_{i}</math>, muni de la loi de composition composante par composante : :<math>(x_{i})_{i \in I} \star (y_{i})_{i \in I} = (x_{i}y_{i})_{i \in I}</math>, où, pour chaque i, le produit <math>x_{i}y_{i}</math> est calculé dans <math>G_{i}</math>. }} Il est clair que cette loi de composition est bien une loi de groupe. '''Remarque.''' Les notations ne sont pas tout à fait fixées. L'emploi ci-dessus du symbole <math>\prod </math> est conforme à Bourbaki<ref>''Algèbre'', ch. 1, § 4, déf. 12, p. 43.</ref>, à J.J. Rotman<ref>''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, tirage 1999, p. 308.</ref>, à D.S. Dummit et R.M. Foote<ref>''Abstract Algebra'', Wiley, 2004, p. 157.</ref> etc. Kurzweil et Stellmacher<ref>''The Theory of Finite Groups, An Introduction'', Springer, 2004, p. 27.</ref> notent <math>\underset{i=1}{\stackrel{n}{\times}}G_{i}</math> ou encore <math>\underset{i=1, ... , n}{\stackrel{}{\times}}G_{i}</math> ou encore <math>G_{1} \times \cdots \times G_{n}</math> le produit direct d'une famille finie <math>(G_{i})_{1 \leq i \leq n}</math> de groupes. Ils n'emploient le symbole <math>\prod </math> que pour désigner des opérations internes à un groupe<ref>Ouvr. cité, p. 28.</ref>. W.R. Scott, ''Group Theory'', 1964, réimpr. Dover, 1987, pp. 14-15 (exemples 11 et 12), désigne par <math>\pi \{G_{s} \vert s \in S \}</math> le produit direct d'une famille <math>\ (G_{s})_{s \in S}</math> de groupes. == Somme restreinte d'une famille de groupes == Dans le produit direct <math>\prod_{i\in I}G_i</math>, considérons les éléments <math>(x_i)_{i\in I}</math> possédant la propriété suivante : l’ensemble des éléments i de I tels que <math>x_i\neq1</math> (où 1 désigne le neutre de <math>G_i</math>) est fini. Ces éléments de <math>\prod_{i\in I}G_i</math>, appelés familles de support fini, forment un sous-groupe de <math>\prod_{i\in I}G_i</math>. {{Définition | contenu = Soit <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de groupes. On appelle '''somme restreinte externe''', ou simplement '''somme restreinte''' de la famille <math>(G_i)_{i\in I}</math> et on note <math>\sum_{i\in I}G_i</math> le sous-groupe de <math>\prod_{i\in I}G_i</math> formé par les familles de support fini. Si les groupes G_i sont commutatifs, on dit ''somme directe'' au lieu de ''somme restreinte''; dans ce cas, il nous arrivera d'écrire <math>\underset{i \in I} \oplus G_i</math> au lieu de <math>\sum_{i\in I}G_i</math>. }} Remarque. La définition qui précède est conforme à la terminologie de Bourbaki<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 4, {{numéro}}9, Paris, 1970, p. 46.</ref>. Là où nous disons « somme restreinte », de nombreux auteurs disent « somme directe », même s'il s'agit de groupes non commutatifs<ref>Voir par exemple P. Tauvel, ''Algèbre'', seconde édition, Dunod, 2010, p. 50.</ref>. Si l’ensemble I est fini, la somme restreinte et le produit direct coïncident. Dans la suite de ce chapitre, nous ne nous intéresserons plus au produit direct. '''Inclusions canoniques.''' Soient <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de groupes et S sa somme restreinte externe. Pour chaque élément i de I, désignons par <math>\varphi_i</math> l’application de <math>G_i</math> dans S qui à l'élément x de <math>G_i</math> fait correspondre la famille dont la i-ème valeur est x et dont les autres valeurs sont 1. Nous définissons ainsi un homomorphisme injectif <math>\varphi_i</math> de <math>G_i</math> dans S. Cet homomorphisme est appelé i-ème inclusion canonique de <math>G_i</math> dans S. L'image <math>\varphi_i(G_i)</math> de <math>G_i</math> par <math>\varphi_i</math> est isomorphe à <math>G_i</math> et on l'identifie souvent à <math>G_i</math>, disant par exemple que <math>G_i</math> est un sous-groupe de S. Pour la clarté de ce premier exposé, nous éviterons cet abus de langage. On vérifie facilement que les sous-groupes <math>\varphi_i(G_i)</math> de S sont distingués et qu’ils ont deux à deux des intersections réduites à l'élément neutre de S. Soient i et j deux éléments ''distincts'' de I. Tout élément de <math>\varphi_i(G_i)</math> commute avec tout élément de <math>\varphi_j(G_j)</math>. En effet, les produits <math>\varphi_i(x)\varphi_j(y)</math> et <math>\varphi_j(y)\varphi_i(x)</math> sont tous deux égaux à la famille dont la i-ème composante est x, la j-ème composante y et dont les autres composantes sont égales à 1. (L'hypothèse <math>i \neq j</math> est essentielle dans le cas où les <math>G_i</math> ne sont pas supposés commutatifs.) De façon générale, si G est un groupe, si <math>(g_i)_{i\in J}</math> est une famille finie d'éléments de G qui commutent deux à deux, on peut définir le produit de cette famille d'éléments de G sans se préoccuper d'un ordre dans l’ensemble J, car, vu la commutativité, le produit est indépendant de l’ordre choisi. Il est clair qu'on peut de même définir le produit d'une famille <math>(g_i)_{i\in J}</math> même infinie d'éléments de G qui commutent deux à deux si l’ensemble des i tels que <math>g_i\neq1</math> est fini. Avec cette définition, tout élément <math>(x_i)_i</math> de S est le produit de la famille <math>(\varphi_i(x_i))_i</math> d'éléments de S. En particulier, les <math>\varphi_i(G_i)</math> engendrent S. '''Projections canoniques.''' Soit <math>(G_i)_{i \in I}</math> une famille de groupes. Pour tout élément <math>j</math> de <math>I</math>, l'application <math>\mathrm{pr}_j : \sum_{i\in I}G_i \to G_j : (x_i)_{i\in I}\mapsto x_j</math> est un homomorphisme de <math>\sum_{i\in I}G_i</math> (somme restreinte externe) dans <math>G_j .</math> (Vérification facile.) Cet homomorphisme est surjectif, car pour tout élément <math>x</math> de G_j, <math>x</math> est l'image de <math>\varphi(x)</math> par <math>\mathrm{pr}_j .</math> (Autrement dit, <math>\mathrm{pr}_j \circ \varphi_j = id_{G_j} .</math>) L'homomorphisme <math>\mathrm{pr}_j </math> est appelé la j-ième projection canonique (ou simplement la j-ième projection) de <math>\sum_{i\in I}G_i</math> sur <math>G_j .</math> {{Théorème | titre = Théorème 1. Propriété universelle de la somme restreinte externe. | contenu ={{Wikipédia|Propriété universelle}} Soient <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de groupes, S sa somme restreinte externe, K un groupe et <math>(f_i:G_i\to K)_{i\in I}</math> une famille d'homomorphismes de groupes, telle que, pour tous éléments ''distincts'' ''i'', ''j'' de I, tout élément de <math>f_i(G_i)</math> commute avec tout élément de <math>f_j(G_j)</math>. Il existe un et un seul homomorphisme ''f'' de S dans K tel que, pour tout élément ''i'' de I, <math>f\circ\varphi_i=f_i</math>, où <math>\varphi_i</math> désigne la i-ème inclusion canonique de G_i dans S. Cet homomorphisme ''f'' applique la famille <math>(x_i)_{i\in I}</math> sur <math>\prod_{i\in I}f_i(x_i)</math>. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Considérons l’application ''f'' de S dans K qui applique la famille <math>(x_i)_{i\in I}</math> sur <math>\prod_{i\in I}f_i(x_i)</math> (ce produit est bien défini, vu les hypothèses de commutation). Il est clair que pour tout élément ''i'' de I, <math>f\circ\varphi_i=f_i</math>, comme requis dans l'énoncé. Le fait que ''f'' est un homomorphisme résulte du fait suivant, démontré dans [[Monoïde/Composé d'une séquence]] : soient M un monoïde et x₁, ... , x_n, y₁, ... , y_n des éléments de M. Si, pour tous indices ''distincts'' i, j, x_i commute avec y_j, alors :x₁ ... x_n y₁ ... y_n = x₁ y₁ ... x_n y_n. Donc ''f'' est un homomorphisme tel que requis dans l'énoncé. L'unicité de l'homomorphisme tel que requis dans l'énoncé se déduit facilement du fait que les images canoniques des G_i dans S engendrent S. }} Si tous les groupes <math>G_i</math> sont abéliens alors leur somme directe l'est aussi, et le théorème ci-dessus fournit la propriété universelle de la somme directe externe : :'''Propriété universelle de la somme directe externe.''' ''Soient <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de groupes abéliens, K un groupe abélien et <math>(f_i:G_i\rightarrow K)_{i\in I}</math> une famille d'homomorphismes. Il existe un et un seul homomorphisme ''f'' de <math>\sum_{i\in I}G_i</math> dans K tel que, pour tout élément ''j'' de I, <math>f\circ\varphi_j=f_j</math>, où <math>\varphi_j</math> désigne, comme plus haut, la j-ième inclusion canonique. Cet homomorphisme ''f'' applique la famille <math>(x_i)_{i\in I}</math> sur <math>\sum_{i\in I}f_i(x_i)</math>'' Dans le langage de la théorie des catégories, la propriété universelle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens revient à dire que si <math>(G_i)_{i\in I}</math> est une famille de groupes abéliens, le groupe <math>\underset{i \in I} \oplus G_i</math> et, dans les notations ci-dessus, la famille d'homomorphismes <math>(\varphi_i)_{i\in I}</math> constituent une somme (on dit aussi un « coproduit ») de la famille <math>(G_i)_{i\in I}</math> dans la catégorie des groupes abéliens<ref>Voir S. Lang, ''Algèbre'', Paris, Dunod, 2004, pp. 39 et 137.</ref>. Nous avons ainsi prouvé que les sommes existent dans la catégorie des groupes abéliens. Nous verrons dans un chapitre ultérieur ([[../Produit libre d'une famille de groupes/]]) que les sommes existent aussi dans la catégorie des groupes<ref>S. Lang, ''Algèbre'', {{3e}} éd., Paris, Dunod, 2004, p. 74.</ref>. {{Théorème | titre = Théorème 2 | contenu = Soient <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de groupes et <math>(H_i)_{i\in I}</math> une famille telle que, pour tout ''i'', H_i soit un sous-groupe de G_i. Alors la somme restreinte externe H des H_i est un sous-groupe de la somme restreinte externe G des G_i. }} La démonstration, facile, est laissée au lecteur. Des remarques faites plus haut sur la structure de la somme restreinte externe nous suggèrent la définition suivante : {{Définition | contenu = Soient G un groupe et <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille (finie ou infinie) de sous-groupes de G. On dit que G est '''somme restreinte interne''' (ou, abusivement, '''somme restreinte''' sans plus) de cette famille si pour tous éléments distincts i et j de I, chaque élément de <math>G_i</math> commute avec chaque élément de <math>G_j</math> et si l'homomorphisme de <math>\sum_{i\in I}G_i</math> dans G qui envoie <math>(x_i)_{i\in I}</math> sur <math>\prod_{i\in I}x_i</math> (homomorphisme qui existe et est unique d’après la propriété universelle de la somme restreinte externe, appliquée aux inclusions <math>G_i\to G:x\mapsto x</math>) est un isomorphisme. On appelle cet isomorphisme l'isomorphisme canonique de <math>\sum_{i\in I}G_i</math> sur G. L'isomorphisme réciproque est appelé isomorphisme canonique de G sur <math>\sum_{i\in I}G_i</math>. }} Il revient au même de dire que pour tous éléments distincts i et j de I, chaque élément de <math>G_i</math> commute avec chaque élément de <math>G_j</math> et que tout élément de G peut s'écrire d'une et une seule façon <math>\prod_{i\in I}x_i</math>, la famille <math>(x_i)_{i\in I}</math> étant une famille de support fini telle que <math>x_i\in G_i</math> pour tout i<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 4, {{numéros}} 8 et 9 ; Paris, 1970, pp. 45-46.</ref>. {{Théorème | titre= Théorème 3 | contenu = Soient G un groupe et <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de sous-groupes de G. Si G est somme restreinte interne de cette famille, chaque <math>G_i</math> est normal dans G. }} {{Démonstration déroulante | contenu = On peut dire par exemple que l'isomorphisme canonique de <math>\sum_{i\in I}G_i</math> sur G applique <math>\varphi_i(G_i)</math> sur <math>G_i</math> et que, comme on l'a vu, <math>\varphi_i(G_i)</math> est normal dans <math>\sum_{i\in I}G_i</math>. }} Donnons encore deux autres caractérisations de la somme restreinte interne. Le lecteur pourra les démontrer à l'aide de la remarque qui précède et du fait (démontré dans [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient/]]) que si deux sous-groupes normaux ont une intersection réduite à l'élément neutre, tout élément de l'un commute avec tout élément de l'autre. {{Théorème | titre = Théorème 4 | contenu = Soient G un groupe et <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de sous-groupes de G. Pour que G soit somme restreinte interne de cette famille, il faut et il suffit que les trois conditions suivantes soient satisfaites : 1° chaque G_i est normal dans G ; 2° les G_i engendrent G ; 3° pour tout ''i'' dans I, <math>G_i\ \cap\langle G_j\mid j\in I,j\neq i\rangle=1.</math> }} {{Théorème | titre = Théorème 5 | contenu = Soient G un groupe et <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de sous-groupes de G. Pour que G soit somme restreinte interne de cette famille, il faut et il suffit que les trois conditions suivantes soient satisfaites : 1° chaque G_i est normal dans G ; 2° les G_i engendrent G ; 3° si i₁, ... , i_n sont des éléments de I deux à deux distincts, si <math>x_1</math> est un élément de <math>G_{i_1}</math>, ... , si <math>x_n</math> est un élément de <math>G_{i_n}</math>, si <math>x_1\ldots x_n=1,</math> alors <math>x_1=\ldots=x_n=1.</math> }} Cette dernière caractérisation est utile comme condition ''suffisante'' pour que G soit somme restreinte interne des G_i. On vérifie facilement que la somme restreinte externe <math>\sum_{i\in I}G_i</math> est somme restreinte interne de la famille <math>(\varphi_i(G_i))_i</math> (où, comme plus haut, <math>\varphi_i</math> désigne la i-ième inclusion canonique de <math>G_i</math> dans la somme restreinte externe). Si l’ensemble I est fini, on remplace souvent l’expression « somme restreinte interne » par « produit direct interne », ou « produit direct », ou « produit ». Plutôt que de dire qu'un groupe est produit direct interne d'un couple (H, K) de ses sous-groupes, on préfère dire qu’il est produit direct interne de H et de K, etc. '''Projections de la somme restreinte interne.''' Soit <math>G</math> un groupe, somme restreinte interne d'une famille <math>(G_i)_{i\in I}</math> de sous-groupes. Pour tout élément ''j'' de I, on appelle j-ième projection de G sur G_j (relativement à la famille <math>(G_i)_{i\in I}</math>) l’application de G dans G_j qui, pour tout élément ''x'' de G, applique ''x'' sur l'élément x_j de G_j apparaissant dans l'unique expression de ''x'' sous la forme <math>\prod_{i\in I}x_i</math> avec <math>x_i\in G_i</math> pour chaque ''i''. Il est clair que cette projection est un homomorphisme de <math>G</math> dans <math>G</math>. Elle est d'ailleurs égale au composé <math>\mathrm{pr}_j\circ\sigma,</math> où <math>\sigma</math> désigne l'isomorphisme canonique de G sur <math>\sum_{i\in I}G_i</math> et où, comme plus haut, <math>\mathrm{pr}_j</math> désigne l'homomorphisme <math>(x_i)_{i\in I}\mapsto x_j</math> de <math>\sum_{i\in I}G_i</math> (somme restreinte externe) sur G_j. On a vu que l'homomorphisme <math>\mathrm{pr}_j</math> de <math>\sum_{i\in I}G_i</math> sur G_j est surjectif, donc la j-ième projection de G sur G_j, étant égale à <math>\mathrm{pr}_j\circ\sigma</math>, est un homomorphisme surjectif. Il est d'ailleurs clair que tout élément de G_j est sa propre image par la j-ième projection de G sur G_{j .} {{Théorème | titre = Théorème 6. « Commutativité » de la somme restreinte interne. | contenu = Soient G un groupe, <math>(H_i)_{i\in I}</math> une famille de sous-groupes de G et <math>\sigma</math> une permutation de l'index I. Si G est somme restreinte interne de la famille <math>(H_i)_{i\in I}</math>, il est somme restreinte interne de la famille <math>(H_{\sigma(i)})_{i\in I}</math>. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Pour tous éléments distincts i, j de I, tout élément de H_i commute avec tout élément de H_j ; il en résulte clairement que, pour tous éléments distincts i, j de I, tout élément de H_σ(i) commute avec tout élément de H_σ(j). Le sous-groupe de G engendré par les H_i est G tout entier ; il en résulte clairement que le sous-groupe engendré par les H_σ(i) est G tout entier. Enfin, si J est une partie finie de I, si <math>(x_j)_{j\in J}</math> est une famille telle que pour tout élément ''j'' de J, x_j appartienne à H_j, si <math>\prod_{j\in J}x_j=1</math>, alors chaque x_j est égal à 1 ; il en résulte clairement que si K est une partie finie de I, si <math>(y_k)_{k\in K}</math> est une famille telle que pour tout élément ''k'' de K, y_k appartienne à H_σ(k), si <math>\prod_{k\in K}y_k=1</math>, alors chaque y_k est égal à 1 (poser J = σ(K) et considérer la famille <math>(y_{\sigma^{-1}(j)})_{j\in J}</math>, en notant que, pour chaque ''j'' dans J, <math>y_{\sigma^{-1}(j)}</math> appartient à H_j). }} {{Théorème | titre = Théorème 7 | contenu = Soient <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de groupes et <math>(H_i)_{i\in I}</math> une famille telle que, pour tout ''i'', H_i soit un sous-groupe de G_i. Alors la somme restreinte externe H des H_i est un sous-groupe de la somme restreinte externe G des G_i. }} La démonstration, facile, est laissée au lecteur. Nous avons vu que si <math>(G_i)_{i\in I}</math> est une famille de groupes et <math>(H_i)_{i\in I}</math> une famille telle que, pour tout ''i'', H_i soit un sous-groupe de <math>G_i</math>, alors la somme restreinte externe des H_i est un sous-groupe de la somme restreinte externe es G_i. Une version interne de ce théorème (si un groupe G est somme directe interne d'une famille <math>(G_i)_{i\in I}</math> de sous-groupes, si pour tout ''i'', <math>H_i</math> désigne un sous-groupe de <math>G_i</math>, alors le sous-groupe engendré par les <math>H_i</math> est somme directe interne des <math>H_i</math>) peut s'obtient comme cas particulier du théorème suivant : {{Théorème | titre = Théorème 8 | contenu = Soient G un groupe, <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de sous-groupes de G dont G est somme restreinte interne, J une partie de I, <math>(H_j)_{j\in J}</math> une famille telle que, pour tout élément ''j'' de J, <math>H_j</math> soit un sous-groupe de G_j. Le sous-groupe de G engendré par les H_j est somme restreinte interne des H_j, ''j'' parcourant J. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Si ''j'' et ''k'' sont deux éléments distincts de J, tout élément de H_j est un élément de G_j et tout élément de H_k est un élément de G_k, donc tout élément de H_j commute avec tout élément de H_k. Si j₁, ... , j_r sont des éléments de J deux à deux distincts, si x₁ ... x_r = 1 avec <math>x_1\in H_{j_1},\ldots,x_r\in H_{j_r},</math> alors j₁, ... , j_r sont des éléments de I deux à deux distincts et x₁ ... x_r = 1 avec <math>x_1\in G_{j_1},\ldots,x_r\in G_{j_r},</math> donc x₁ = ... = x_r = 1. }} {{Théorème | titre = Théorème 9. « Associativité » de la somme restreinte interne. | contenu = Soient G un groupe et <math>(H_i)_{i\in I}</math> une famille de sous-groupes de G, soit <math>(J_k)_{k\in K}</math> une famille de parties de I deux à deux disjointes de I dont la réunion est I. Pour chaque élément ''k'' de K, soit L_k le sous-groupe de G engendré par les H_i où ''i'' parcourt J_k. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : 1° G est somme restreinte interne de la famille <math>(H_i)_{i\in I}</math> ; 2° G est somme restreinte interne de la famille <math>(L_k)_{k\in K}</math> et, pour chaque élément ''k'' de K, L_k est somme restreinte interne de la famille <math>(H_i)_{i\in J_k}</math>. }} Démonstration laissée au lecteur. {{Exemple | contenu = Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. On suppose que H est produit direct interne d'une famille finie de sous-groupes H₁, ..., H_n et que ⟨H, K⟩ (sous-groupe de G engendré par H et K) est produit direct interne de H et de K. Alors ⟨H, K⟩ est produit direct interne de la famille H₁, ..., H_n, K. }} {{Définition | contenu = On dit qu'un sous-groupe H d'un groupe G est facteur direct<ref>N. Bourbaki, ''Éléments de mathématique'', ''Algèbre'', ch. I, § 4 ; Paris, 1970, p. 45.</ref> de G s'il existe un sous-groupe K de G tel que G soit le produit direct (interne) H × K de H et K. }} D'après la « commutativité » et l'« associativité » de la somme restreinte interne, il est clair que si un groupe G est somme restreinte interne d'une famille (H_i)_i de sous-groupes, chaque H_i est facteur direct de G. {{Théorème | titre = Théorème 10 | contenu = Tout sous-groupe distingué d'un facteur direct d'un groupe G est sous-groupe distingué de G. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Soient H un facteur direct de G et N un sous-groupe distingué de H. Il s'agit de prouver que N est distingué dans G. Puisque H est facteur direct de G, il existe un sous-groupe K de G tel que G soit le produit direct H × K de H et K. Alors tout élément de K commute avec tout élément de H. En particulier, tout élément de K commute avec tout élément de N, donc K normalise N. D'autre part, puisque N est sous-groupe normal de H, H normalise N. Ainsi, H et K normalisent tous deux N. Puisque G est engendré par H et K, N est donc distingué dans G. }} {{Théorème | titre = Théorème 11. Propriété universelle de la somme restreinte interne. | contenu = Soient G un groupe, somme restreinte interne d'une famille <math>(G_i)_{i\in I}</math> de ses sous-groupes, K un groupe et <math>(f_i:G_i\to K)_{i\in I}</math> une famille d'homomorphismes de groupes, telle que, pour tous éléments ''distincts'' ''i'', ''j'' de I, tout élément de <math>f_i(G_i)</math> commute avec tout élément de <math>f_j(G_j)</math>. Il existe un et un seul homomorphisme ''f'' de G dans K tel que, pour tout élément ''i'' de I, ''f'' coïncide avec <math>f_i</math> sur <math>G_i</math>. Si <math>(x_i)_{i\in I}</math> est une famille de support fini telle que pour chaque ''i'', x_i appartienne à G_i, ''f'' applique <math>\prod_{i\in I}x_i</math> sur <math>\prod_{i\in I}f_i(x_i)</math>. }} {{Démonstration déroulante | contenu = D'après la propriété universelle de la somme restreinte externe, il existe un et un seul homomorphisme ''g'' de la somme restreinte externe S des G_i dans K qui applique la famille de support fini <math>(x_i)_{i\in I}</math> sur <math>\prod_{i\in I}f_i(x_i)</math>. D'autre part, puisque G est somme restreinte interne des G_i, il existe un et un seul isomorphisme <math>\varphi</math> de G sur S (à savoir l'isomorphisme canonique considéré plus haut) qui, pour toute famille de support fini <math>(x_i)_{i\in I}</math>, avec <math>x_i\in G_i</math> pour tout ''i'', applique <math>\prod_{i\in I}x_i</math> sur <math>(x_i)_{i\in I}</math>. Il est clair que <math>g\circ \varphi</math> convient pour ''f''. L'unicité de ''f'' résulte de ce que les G_i engendrent G. Elle peut aussi se déduire de l'unicité de g : si f₁ et f₂ sont tous deux tels que le ''f'' de l'énoncé, alors <math>f_1\circ\varphi^{-1}</math> et <math>f_2\circ\varphi^{-1}</math> satisfont tous deux aux conditions qui définissent ''g'', donc sont égaux, donc f₁ et f₂ sont égaux. }} {{Théorème | titre = Théorème 12. Projections de la somme restreinte interne. | contenu = Soient <math>G</math> un groupe, somme restreinte interne d'une famille <math>(G_i)_{i\in I}</math> de ses sous-groupes. Pour tout élément <math>j</math> de <math>I</math>, l'application f_j de <math>G</math> dans <math>G_j</math> qui applique l'élément <math>x = \prod_{i\in I}x_i</math> sur <math>x_j</math> (application correctement définie puisque la décomposition <math>x = \prod_{i\in I}x_i</math> est unique) est un homomorphisme surjectif de <math>G</math> sur <math>G_j .</math> Il nous arrivera de dire que cet homomorphisme est la j-ième projection correspondant à la décomposition de <math>G</math> en somme restreinte interne des <math>G_i .</math> }} {{Démonstration déroulante | contenu = Soit <math>j</math> un élément de <math>I</math>. Prouvons que l'application f_j de <math>G</math> dans <math>G_j</math> définie dans l'énoncé est un homomorphisme. Pour tout <math>i</math> dans <math>I</math>, considérons l'homomorphisme <math>f_{i, j} : G_i \to G_j</math> défini comme étant l'homomorphisme identité si <math>i = j</math> et comme étant l'homomorphisme nul si <math>i \not= j .</math> D'après la propriété universelle de la somme restreinte interne, appliquée à la famille <math>(f_{i, j})_{i \in I}</math>, il existe un (et un seul) homomorphisme <math>g_j</math> de <math>G</math> dans <math>G_j</math> qui, pour tout <math>i</math>, coïncide avec <math>f_{i, j}</math> sur <math>G_i .</math> Cela signifie que :(1)<math>\qquad g_j</math> coïncide avec l'identité dans <math>G_j</math> et que :(2)<math>\qquad </math> pour tout <math>i</math> dans <math>I \setminus \{j\}</math>, <math>g_j</math> est nul dans <math>G_i .</math><br /> Soit <math>x</math> un élément de <math>G.</math> Puisque <math>G</math> est somme restreinte des <math>G_i</math>, nous avons :(3)<math>\qquad x = \prod _{i \in I}x_i</math>, où <math>(x_i)_{i _in I}</math> est une famille de support fini avec <math>x_i \in G_i</math> pour tout <math>i</math> dans <math>I.</math> Puisque <math>g_j</math> est un homomorphisme, il résulte de (1), (2) et (3) que :<math>g_j(x) = x_j</math>, ce qui montre que l'homomorphisme <math>g_j</math> est égal à l'application <math>f_j</math> de l'énoncé. Cette application est donc bien un homomorphisme. Puisque, par définition, <math>g_j</math> coïncide avec l'identité sur <math>G_j</math>, chaque élément de <math>G_j</math> est sa propre image par <math>f_j = g_j</math>, donc l'homomorphisme <math>f_j</math> est surjectif. }} {{Théorème | titre = Théorème 13 | contenu = Soient <math>(G_i)_{i\in I}</math> et <math>(H_i)_{i\in I}</math> deux familles de groupes, indexées par le même ensemble <math>I</math>, soit <math>(f_i:G_i\to H_i)_{i\in I}</math> une famille d'homomorphismes de groupes. Pour chaque élément <math>(x_i)_{i\in I}</math> de la somme restreinte externe <math>\sum_{i\in I}G_i</math> des <math>G_i</math>, la famille <math>(f_i(x_i))_{i\in I}</math> est évidemment de support fini et est donc un élément de la somme restreinte externe <math>\sum_{i\in I}H_i</math> des <math>H_{i}.</math><br /> a) L’application <math>f:(x_i)_{i\in I} \mapsto(f_i(x_i))_{i\in I}</math> est un homomorphisme de <math>\sum_{i\in I} G_i</math> dans <math>\sum_{i\in I} H_i .</math><br /> b) L'image de <math>f</math> est <math>\sum_{i\in I} Im(f_i)</math> et le noyau de <math>f</math> est <math>\sum_{i\in I} Ker(f_i).</math><br /> c) L'homomorphisme <math>f</math> est surjectif (resp. injectif, resp. un isomorphisme) si et seulement si chaque <math>f_i</math> est surjectif (resp. injectif, resp. un isomorphisme). }} {{Démonstration déroulante | contenu = Soient <math>(x_{i})_{i \in I}</math> et <math>(y_{i})_{i \in I}</math> deux éléments de <math>G = \sum_{i\in I}G_i.</math> L'application <math>f</math>, d'après sa définition, envoie le produit <math>(x_i y_i)_{i\in I}</math> de <math>(x_i )_{i\in I}</math> et de <math>(y_i )_{i\in I}</math> sur l'élément <math>(f_{i}(x_i y_i))_{i \in I}</math> de <math>\sum_{i\in I}H_i .</math> Puisque chaque <math>f_i</math> est un homomorphisme, l'élément <math>(f_{i}(x_i y_i))_{i \in I}</math> en question est égal à la famille <math>( f_{i}(x_i) f_{i}(y_i) )_{i \in I}</math>, qui est le produit de <math>( f_{i}(x_i) )_{i \in I} = f( (x_i)_{i \in I} )</math> et de <math>( f_{i}(y_i) )_{i \in I} = f( (y_i)_{i \in I} ).</math> Cela montre que <math>f</math> est un homomorphisme.<br /> (Ce fait peut se mettre en relation avec la propriété universelle de la somme restreinte : dans cette propriété universelle telle qu'on l'a énoncée, prendre pour K la somme restreinte externe H des H_i et remplacer <math>f_i</math> par <math>\mathrm{incl}_{i,H_i,H}\ \circ f_i</math>, où <math>f_i</math> correspond aux présentes hypothèses et où <math>\mathrm{incl}_{i,H_i,H}</math> désigne la i-ième inclusion canonique de H_i dans <math>K = \sum_{i\in I} H_i.</math>.)<br /> On a donc démontré l'assertion a) de l'énoncé.<br /> Prouvons que <math>Im(f)</math> contient <math>\sum_{i\in I} Im(f_i).</math> Soit <math>(y_i)_{i\in I}</math> un élément de <math>\sum_{i\in I} Im(f_i)</math>; il s'agit de prouver que :(thèse 1)<math> \qquad (y_i)_{i\in I}</math> appartient à <math>Im(f).</math> Puisque la famille <math>(y_i)_{i\in I}</math> appartient à <math>\sum_{i\in I} Im(f_i)</math>, elle est de support fini, donc :il existe une partie finie <math>J</math> de <math>I</math> telle que, pour tout <math>i</math> dans <math>I \setminus J, y_i = 1.</math> Toujours du fait que la famille <math>(y_i)_{i\in I}</math> appartient à <math>\sum_{i\in I} Im(f_i)</math>, il résulte que :pour chaque <math>j</math> dans J, il existe un élément de <math>G_j</math> dont l'image par <math>f_j</math> est <math>y_j .</math> Donc :il existe une famille <math>(x_j)_{j \in J}</math> telle que, pour tout <math>j</math> dans <math>J</math>, <math>x_j</math> appartienne à <math>G_j</math> et <math>y_j = f_j (x_j).</math> (Cela ne dépend pas de l'axiome du choix, puisque <math>J</math> est fini.)<br /> On peut compléter la famille <math>(x_j)_{j\in J}</math> en une famille appartenant à <math>\sum_{i\in I}G_i</math> en ajoutant, pour chaque <math>i</math> dans <math>I \setminus J </math> une i-ième composante égale à l'élément neutre de <math>G_{i} .</math> On obtient ainsi un élément <math>(x_i)_{i\in I}</math> de <math>\sum_{i\in I}G_i</math> dont l'image par <math>f</math> est <math>(y_i)_{i\in I}</math>, ce qui prouve notre thèse (1). Nous avons donc prouvé que <math>Im(f)</math> contient <math>\sum_{i\in I} Im(f_i).</math> L'inclusion réciproque est immédiate, donc :<math>Im(f) = \sum_{i\in I} Im(f_i) .</math> La démonstration de la relation <math>Ker (f) = \sum_{i\in I} Ker(f_i) </math> est laissée au lecteur. Le point c) de l'énoncé résulte évidemment du point b). }} Dans les hypothèses et notations du théorème qui précède, nous dirons parfois que <math>f</math> est la ''somme restreinte'' (''somme directe'' dans le cas commutatif) de la famille <math>(f_i)_{i\in I}</math> (ou des <math>f_i</math>). Il est clair que si les <math>f_i</math> sont des isomorphismes, la somme restreinte des <math>f_i</math> a pour isomorphisme réciproque la somme restreinte des <math>{f_i}^{-1}.</math> {{Corollaire | titre = Corollaire 14 | contenu = Soient <math>(G_i)_{i\in I}</math> et <math>(H_i)_{i\in I}</math> deux familles de groupes. Si, pour tout ''i'', G_i est isomorphe à H_i, la somme restreinte externe des G_i est isomorphe à la somme restreinte externe des H_i. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Pour tout ''i'', il existe un isomorphisme de G_i sur H_i. D'après l'axiome du choix, il existe donc une famille <math>(g_i:G_i\to H_i)_{i\in I}</math> d'isomorphismes de groupes et la thèse résulte du théorème qui précède. }} {{Théorème | titre = Théorème 15 | contenu = Soient <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de groupes et <math>(H_i)_{i\in I}</math> une famille telle que, pour tout ''i'', H_i soit un sous-groupe distingué de G_i. Alors 1° la somme restreinte externe H des H_i est un sous-groupe distingué de la somme restreinte externe G des G_i ; 2° le quotient G/H est isomorphe à la somme restreinte externe des quotients G_i/H_i. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Le lecteur prouvera facilement le point 1°. Désignons par Q la somme restreinte externe des groupes quotients G_i/H_i. Pour tout élément <math>(x_i)_{i\in I}</math> de G, la famille <math>(x_iH_i)_{i\in I}</math> est de support fini et appartient donc à Q. Considérons l’application ''f'' de G dans Q qui à tout élément <math>(x_i)_{i\in I}</math> de G fait correspondre l'élément <math>(x_iH_i)_{i\in I}</math> de Q. Il est clair que ''f'' est un homomorphisme surjectif dont le noyau est H, donc ''f'' induit un isomorphisme de G/H sur Q, ce qui démontre le point 2°. }} Voici une version interne de ce théorème : {{Théorème | titre = Théorème 16 | contenu = Soient G un groupe, <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de sous-groupes de G dont G est somme restreinte interne et <math>(H_i)_{i\in I}</math> une famille telle que, pour tout ''i'', H_i soit un sous-groupe distingué de G_i. Alors 1° le sous-groupe H de G engendré par les H_i est somme restreinte interne des H_i et est un sous-groupe distingué de G ; 2° le quotient G/H est isomorphe à la somme restreinte externe des quotients G_i/H_i. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Le point 1° est un cas particulier d'un théorème démontré plus haut. Pour démontrer le point 2°, désignons par S_G la somme restreinte externe des G_i et par S_H la somme restreinte externe des H_i. L'isomorphisme <math>(x_i)_{i\in I}\mapsto\prod_{i\in I}x_i</math> de S_G sur G applique S_H sur H et induit donc un isomorphisme de S_G/S_H sur G/H. D'après le théorème précédent, S_G/S_H est isomorphe à la somme restreinte externe des quotients G_i/H_i donc G/H l'est aussi, ce qui démontre le point 2°. }} {{Corollaire | titre = Corollaire 17 | contenu = Soient <math>G</math> un groupe, <math>(G_i)_{i\in I}</math> une famille de sous-groupes de <math>G</math> dont <math>G</math> est somme restreinte interne, <math>J</math> et <math>K</math> deux parties de <math>I</math> formant une partition de <math>I</math>, <math>L_J</math> le sous-groupe de <math>G</math> engendré par les sous-groupes <math>G_j</math> où ''j'' parcourt <math>J</math>, et <math>L_K</math> le sous-groupe de <math>G</math> engendré par les sous-groupes <math>G_k</math> où ''k'' parcourt <math>K</math>. (Donc <math>L_J</math> est somme restreinte interne des <math>G_j</math> où ''j'' parcourt <math>J</math>, et <math>L_K</math> est somme restreinte interne des <math>G_k</math> où ''k'' parcourt <math>K</math>.) Alors <math>L_J</math> est sous-groupe distingué de <math>G</math> et le groupe quotient <math>G/L_J</math> est isomorphe à <math>L_K</math>. En particulier, si un groupe G est produit direct interne de deux sous-groupes G₁ et G₂, le groupe quotient G/G₁ est isomorphe à G₂. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Pour tout élément ''i'' de I, posons <math>H_i=G_i</math> si ''i'' appartient à J et <math>H_i=1</math> si ''i'' appartient à K. Pour tout ''i'' dans <math>I</math>, <math>H_i</math> est distingué dans <math>G_i</math>, donc, d’après le théorème précédent, le sous-groupe H de G engendré par les <math>H_i</math>, ''i'' parcourant <math>I</math>, est distingué dans G et G/H est isomorphe à la somme restreinte externe des <math>G_i/H_i</math>, ''i'' parcourant <math>I</math>. Il est clair que H est égal à <math>L_J</math>, donc :(1) <math>G/L_J</math> est isomorphe à la somme restreinte externe des <math>G_i/H_i</math>, ''i'' parcourant I. Dans la somme restreinte externe des <math>G_i/H_i</math>, les facteurs correspondant aux indices appartenant à J sont réduits à l'élément neutre, donc :(2) la somme restreinte externe des <math>G_i/H_i</math>, ''i'' parcourant I, est isomorphe à la somme restreinte externe des <math>G_k/H_k</math>, où ''k'' parcourt K. Pour un élément ''k'' de K, <math>G_k/H_k</math> est isomorphe à <math>G_k</math>, donc la somme restreinte externe des <math>G_k/H_k</math>, où ''k'' parcourt K, est isomorphe à la somme restreinte externe des <math>G_k</math>, où ''k'' parcourt K, et est donc isomorphe à <math>L_K</math>. Il résulte donc de (2) que la somme restreinte externe des <math>G_i/H_i</math>, ''i'' parcourant I, est isomorphe à <math>L_K</math>. D'après (1), <math>G/L_J</math> est donc isomorphe à <math>L_K</math>. Le cas particulier s'en déduit immédiatement. Remarque. Il y a évidemment plusieurs démonstrations possibles. On pourrait commencer par démontrer le cas particulier (en notant que si un groupe G est produit direct interne de deux sous-groupes G₁ et G₂, la seconde projection associée à cette décomposition est un homomorphisme surjectif de G sur G₂ admettant G₁ pour noyau) et passer au cas général en notant que d’après l'« associativité » de la somme restreinte interne, G est somme restreinte interne de <math>L_J</math> et de <math>L_K</math>. }} {{Théorème | titre = Théorème 18<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre, I, Chapitres 1 à 3'', Paris, 1970, ch. 1, § 4, {{numéro}}9, prop. 15, p. 46.</ref> | contenu = Soient ''G'' un groupe, H₁, H₂, ... , H_n des sous-groupes distingués de ''G'' tels que (H₁ H₂ ... H_i-1) ⋂ H_i = 1 pour tout ''i'' (2 ≤ ''i'' ≤ ''n''). Le sous-groupe {{nobr|H₁ H₂ ... H_n}} de ''G'' est produit direct interne de H₁, ..., H_n. }} {{Démonstration déroulante |contenu = Il suffit de le démontrer dans le cas où ''n'' = 2, l' « associativité » du produit direct interne permettant alors une démonstration par récurrence sur ''n''. Soient donc ''H₁'' et ''H₂'' des sous-groupes distingués de ''G'' tels que H₁ ⋂ H₂ = 1. Il s'agit de prouver que H₁ H₂ est produit direct interne de H₁ et H₂. D'après un problème de la série [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient/]] tout élément de ''H₁'' commute avec tout élément de ''H₂''. D'autre part, l'hypothèse H₁ ⋂ H₂ = 1 entraîne que l'écriture ''h₁h₂'' d'un élément de ''H₁H₂'' avec ''h₁'' dans ''H₁'' et ''h₂'' dans ''H₁'', est unique : en effet, si ''h'₁h'₂'' = ''h₁h₂'', avec ''h'₁'' dans ''H₁'' et ''h'₂'' dans ''H₁'', alors ''h₁{{exp|-1}}h'1'' = ''h₂h'₂{{exp|-1}}''. Comme le premier membre appartient à ''H₁'' et le second membre à ''H₂'', ''h₁{{exp|-1}}h'₁'' et ''h₂h'₂{{exp|-1}}'' appartiennent « tous deux » à H₁ ⋂ H₂ = 1, donc ''h'₁'' = ''h₁'' et ''h'₂'' = ''h₂''. Nous avons donc prouvé que tout élément de ''H'' commute avec tout élément de ''K'' et que tout élément de ''HK'' peut s'écrire d'une et une seule façon comme produit d'un élément de ''H'' par un élément de ''K'', donc ''HK'' est produit direct interne de ''H'' et de ''K''. }} {{Corollaire | titre = Corollaire 19 | contenu = Soient ''G'' un groupe fini, H₁, H₂, ... , H_n des sous-groupes distingués de ''G'' dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux. Le sous-groupe H₁ H₂ ... H_n de G est produit direct interne de H₁, H₂, ... , H_n. Si l’ordre de G est égal au produit des ordres des H_i, G est produit direct interne des H_i. }} {{Démonstration déroulante |contenu = Prouvons que H₁ H₂ ... H_n est produit direct interne de H₁, H₂, ... , H_n. D'après le théorème qui précède, il suffit de prouver que (H₁ H₂ ... H_i-1) ⋂ H_i= 1 pour tout ''i'' (2 ≤ ''i'' ≤ ''n'') et pour cela, il suffit de prouver que l’ordre de H_i est premier avec celui de H₁ H₂ ... H_i-1. (Deux sous-groupes finis d'ordres premiers entre eux ont une intersection réduite à l'élément neutre, car l’ordre d'un élément commun à ces sous-groupes divise l’ordre de chacun de ces sous-groupes et est donc égal à 1.) On peut par exemple raisonner par récurrence sur ''n''. Par hypothèse de récurrence, H₁ H₂ ... H_i-1 est produit direct interne de H₁, H₂, ... et H_i-1, donc son ordre est le produit des ordres de H₁, H₂, ... et H_i-1, donc est premier avec l’ordre de H_i. Nous avons donc démontré la première assertion de l'énoncé. Il en résulte que l’ordre de H₁ H₂ ... H_n est égal au produit des ordres des H_i. Si l’ordre de G est supposé égal au produit des ordres des H_i, on a donc G = H₁ H₂ ... H_n et G est le produit direct interne des H_i, ce qui prouve la seconde assertion de l'énoncé. }} '''Remarques.''' * Le corollaire qui précède nous servira dans l'étude des groupes nilpotents finis. * Dans la démonstration de ce corollaire, on aurait pu éviter le raisonnement par récurrence en utilisant le fait que si G est un groupe et K₁, K₂, ... , K_n des sous-groupes distingués finis de G, l'ordre de K₁ K₂ ... K_n divise le produit des ordres des K_i. (Voir « formule du produit » au chapitre [[../Classes modulo un sous-groupe/]].) {{Exemple | contenu = Soient G un groupe commutatif (dont tous les sous-groupes sont donc distingués), H et K deux sous-groupes de G. D'après ce qui précède, G est produit direct (interne) de H et de K si et seulement tout élément de G peut s'écrire d'une et une seule façon sous la forme hk, h appartenant à H et k à K. On vérifie facilement que la condition d'existence équivaut à G = HK et la condition d'unicité à H ⋂ K = 1. Soient a et b deux nombres naturels > 0 et premiers entre eux. Prenons pour G un groupe cyclique d'ordre ab. On sait que G admet un unique sous-groupe H d'ordre a (formé par les b-ièmes puissances) et un unique sous-groupe K d'ordre b (formé par les a-ièmes puissances). D'après le corollaire qui précède, G est produit direct interne de H et de K. Ceci montre que si a et b sont des nombres naturels > 0 premiers entre eux, « le » groupe cyclique d'ordre ab est produit direct interne de son sous-groupe d'ordre a et de son sous-groupe d'ordre b. }} Remarque. L'exemple qui précède nous servira au chapitre [[../Automorphismes d'un groupe cyclique|Automorphismes d'un groupe cyclique]]. {{Théorème | titre = Théorème 20 | contenu = Soient G₁, ... , G_n des groupes et, pour tout ''i'', x_i un élément d'ordre fini de G_i ; l’ordre de (x₁, ... , x_n) dans le produit des G_i est le ppcm des ordres des x_i. Si (K₁, ... , K_n) est une famille finie de groupes cycliques dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux, la somme directe (interne ou externe) de cette famille est un groupe cyclique. Si (G₁, ... , G_n) est une famille finie de groupes finis (non forcément cycliques) dont les ordres ne sont pas premiers entre eux deux à deux, la somme directe (interne ou externe) de cette famille n’est pas un groupe cyclique. }} {{Démonstration déroulante | contenu = On prouvera seulement que si G₁, ... , G_n sont des groupes finis dont les ordres ne sont pas premiers entre eux deux à deux, la somme directe des G_i n’est pas un groupe cyclique, le reste étant laissé au lecteur. Supposons d’abord n = 2. Il s'agit de prouver que si G₁ est un groupe fini d'ordre n₁ et G₂ un groupe fini d'ordre n₂, si n₁ et n₂ ne sont pas premiers entre eux, alors la somme directe de G₁ et de G₂ n’est pas un groupe cyclique. Soit (a, b) un élément de cette somme directe. D'après la première partie de l'énoncé, l’ordre de (a, b) est égal au ppcm des ordres de ''a'' et de ''b''. Comme l’ordre de ''a'' divise n₁ et que l’ordre de ''b'' divise n₂, le ppcm de n₁ et de n₂ est un multiple commun de l’ordre de ''a'' et de l’ordre de ''b'', donc est multiple du ppcm des ordres de ''a'' et de ''b''. Ainsi, l’ordre de (a, b) divise le ppcm de n₁ et de n₂. Puisque n₁ et n₂ ne sont pas premiers entre eux, leur ppcm est strictement plus petit que leur produit. Donc aucun élément (a, b) de la somme directe de G₁ et de G₂ n'a un ordre égal à l’ordre n₁ n₂ de cette somme directe, donc cette somme directe n’est pas cyclique. Notre thèse est donc prouvée dans le cas n = 2. Dans le cas général, il existe deux indices distincts ''j'' et ''k'' tels que les ordres de G_j et de G_k ne soient pas premiers entre eux. D'après la première partie de la démonstration, la somme directe de G_j et de G_k n’est pas cyclique, donc la somme directe de G₁, ... , G_n contient un sous-groupe non cyclique et n'est donc elle-même pas cyclique. }} == Groupes de Klein == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Groupe de Klein}} On appelle '''groupe de Klein''' un groupe isomorphe au produit direct (externe) <math>\Z/2\Z \times \Z/2\Z</math>, autrement dit un groupe qui est produit direct interne de deux sous-groupes isomorphes à <math>\Z/2\Z</math>. Comme tout groupe d'ordre 2 est isomorphe à <math>\Z/2\Z</math> (voir par exemple le chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]]), un groupe de Klein peut encore être défini comme un groupe qui est produit direct interne de deux goupes d'ordre 2. }} On verra dans les exercices que tout groupe d'ordre 4 est un groupe cyclique d'ordre 4 ou un groupe de Klein. == Facteurs directs d'un groupe abélien == Cette section peut être omise en première lecture. Les groupes supposés abéliens seront notés additivement. Dans un groupe abélien G, tous les sous-groupes sont normaux, ce qui entraîne que si H et K sont des sous-groupes de G, le sous-groupe de G engendré par H et K est H + K. Dès lors, d'après le théorème 4 (ou encore le théorème 18) : {{Théorème | titre = Théorème 21 | contenu = Soit G un groupe abélien, soient H et K des sous-groupes de G. Pour que G soit somme directe (interne) de H et K, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites : 1° <math>G = H + K</math> ; 2° <math>H \cap K = 0.</math> }} Si G est un groupe (non forcément abélien), si H et K sont des sous-groupes de G, la condition « HK = G » est symétrique en H et K (passer aux inverses). Donc la condition « <math>HK = G</math> et <math>H \cap K = 1</math>» est symétrique en H et K. {{Définition | contenu = Soit G un groupe (non forcément abélien), soient H et K des sous-groupes de G. On dit que H et K sont complémentaires dans G, ou encore que H est un complément de K dans H, ou encore que K est un complément de H dans G, si <math>HK = G</math> et <math>H \cap K = 1</math>. }} Le théorème 21 peut alors se formuler comme suit : {{Théorème | titre = Théorème 21 bis | contenu = Soit G un groupe abélien, soient H et K des sous-groupes de G. Pour que G soit somme directe (interne) de H et K, il faut et il suffit que H et K soient complémentaires dans G. }} {{Théorème | titre = Théorème 22 | contenu = Soit G un groupe (non forcément abélien), soient H et K des sous-groupes de G. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : :(i) H et K sont complémentaires dans G ; :(ii) tout élément de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme <math>hk</math>, avec <math>h \in H</math> et <math>k \in K.</math> }} {{Démonstration déroulante | contenu = Supposons que H et K sont complémentaires dans G. Alors tout élément <math>g</math>de G est de la forme <math>g = hk</math>, avec <math>h \in H</math> et <math>k \in K.</math> Si <math>h'</math> et <math>k'</math> sont respectivement des éléments de H et de K tels qu'on ait aussi <math>g = h' k'</math>, alors <math>h k = h' k'</math>, donc <math>h'^{-1} h = k' k^{-1}.</math> Le membre gauche appartient à H et le membre droit à K, donc (puisque H et K sont supposés complémentaires) les deux membres appartiennent à <math>H \cap K = 1</math>, donc <math>h' = h</math> et <math>k' = k .</math> Nous avons donc prouvé l'implication (i) <math>Rightarrow (ii)</math>, à savoir que si H et K sont complémentaires dans G, alors tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme <math>hk</math> avec <math>h \in H</math> et <math>k \in K.</math> Réciproquement, supposons que tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme <math>hk</math> avec <math>h \in H</math> et <math>k \in K</math> et prouvons que dans ce cas, H et K sont complémentaires dans G. On a évidemment G = HK. Si <math>g</math> est un élément de <math>H \cap K</math>, alors <math>g = 1 g</math> et <math>g = g 1</math> sont toutes deux des écritures de <math>g</math> sous la forme <math>h k</math> avec <math>h \in H</math> et <math>k \in K.</math> Puisqu'on suppose qu'une telle écriture est unique, il faut <math>g = 1</math>, ce qui prouve que <math>H \cap K = 1</math> et achève donc de prouver que H et K sont complémentaires dans G. }} {{Théorème | titre = Théorème 23 | contenu = Soient G un groupe abélien et H un sous-groupe de G. Les conditions suivantes sont équivalentes : :(i) H est facteur direct de G ; :(ii) il existe un sous-groupe K de G tel que tout élément de G s'écrive d'une et une seule façon <math>h + k</math> avec <math>h \in H</math> et <math>k \in K</math> ; :(iii) l'homomorphisme canonique <math>\varphi : G \to G/H</math> admet (au moins) un homomorphisme section, c'est-à-dire qu'il existe un homomorphisme <math>\sigma : G/H \mapsto G</math> tel que <math>\varphi \circ \sigma</math> soit l'automorphisme identique du groupe G/H ; :(iv) il existe un endomorphisme <math>\pi</math> de G tel que Ker<math>\pi</math> = H et que <math>\pi \circ \pi = \pi</math> ; :(v) il existe un homomorphisme (surjectif) de G dans H qui coïncide avec l'identité en tout élément de H. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Supposons (i) et tirons-en (ii). D'après l'hypothèse (i), il existe un sous-groupe K de G tel que <math>G = H \oplus K .</math> D'après le théorème 16 bis, H et K sont complémentaires dans G, donc, d'après le théorème 17, tout élément de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme <math>h +k</math> avec <math>h \in H</math> et <math>k \in K</math>, ce qui prouve que la condition (ii) est satisfaite. Cessons de supposer (i) mais supposons (ii) et tirons-en (iii). D'après l'hypothèse (ii), il existe un sous-groupe K de G tel que tout élément de G s'écrive d'une et une seule façon <math>h + k</math> avec <math>h</math> dans H et <math>k</math> dans K. Cela revient à dire que :(1)<math>\qquad</math> tout élément de G est congru à un et un seul élément de K modulo H. Soit X un élément de G/H. Il existe un élément <math>g</math> de G tel que X = gH, donc, d'après (1), :<math>\qquad </math>il existe un et un seul élément <math>k</math> de G tel que X = kH. Puisque K est contenu dans G, nous pouvons donc considérer l'application <math>\sigma</math> de G/H dans G qui, pour tout élément X de G/H, envoie X sur l'unique élément <math>k</math> de K tel que X = kH. Prouvons que <math>\sigma</math> est un homomorphisme de G/H dans G. Soient <math>g_1</math> et <math>g_2</math> des éléments de G. Alors :(2)<math>\qquad <math>\sigma</math> applique l'élément <math>(g_1 H) (g_2 H) = (g_1 g_2) H</math> sur l'unique élément <math>k</math> de K tel que <math>(g_1 g_2) H = kH .</math> Mais si <math>k_1</math> (resp. <math>k_2</math>) désigne l'unique élément de K tel que <math>g_1 H = k_1 H</math> (resp. <math>g_2 H = k_2 H</math>, alors :<math>\qquad g_1 g_2 H = g_1 k_2 H</math>, d'où, puisque G est abélien, :<math>\qquad g_1 g_2 H = k_2 g_1 H</math> :<math>\qquad g_1 g_2 H = k_2 k_1 H</math> :<math>\qquad g_1 g_2 H = k_1 k_2 H </math>, donc l'unique élément <math>k</math> de K tel que <math>g_1 g_2 H = k H</math> est <math>k_1 k_2 .</math> Donc, d'après (1), :<math>\sigma</math> applique l'élément <math>(g_1 H) (g_2 H)</math> de G/H sur <math>k_1 k_2 = \sigma (g_1 H) \sigma (g_2 H)</math>, donc <math>\sigma</math> est un homomorphisme de G/H dans G. Pour tout élément gH de G/H, nous avons, par définition de <math>\sigma</math>, :(3)<math>\qquad \varphi \circ \sigma (gH) = \varphi (k)</math>, où :(4)<math>\qquad k</math> est l'unique élément de K tel que gH = kH. La relation (3) peut encore s'écrire :<math>\qquad \varphi \circ \sigma (gH) = kH</math>, ou encore, d'après (4) :<math>\qquad \varphi \circ \sigma (gH) = gH</math>, donc <math>\varphi \circ \sigma</math> est l'automorphisme identique de G/H. Nous avons ainsi prouvé que la condition (ii) de l'énoncé entraîne (iii). Sans autres hypothèses que celles de l'énoncé, supposons (iii) et tirons-en (iv). Désignons par <math>\varphi</math> l'homomorphisme canonique de G sur G/H. D'après l'hypothèse (iii), il existe un homomorphisme <math>\sigma</math> de G/H dans G tel que :(5)<math>\qquad \varphi \circ \sigma </math> soit l'automorphisme identique de G/H. Désignons par <math>\pi</math> l'endomorphisme <math>\sigma \circ \varphi</math> de G. Alors :<math>\qquad \pi \circ \pi = \sigma \circ \varphi \circ \sigma \circ \varphi</math>, où, d'après (5), nous pouvons remplacer dans le membre droit <math>\varphi \circ \sigma </math> par l'automorphisme identique de G/H. Donc :<math>\qquad \pi \circ \pi = \sigma \circ \varphi</math> :(6)<math>\qquad \pi \circ \pi = \pi .</math> D'autre part, pour tout élément <math>h</math> de H, :<math>\pi(h) = \sigma \circ \varphi (h)</math>, :(7)<math>\qquad \pi(h) = \sigma (H) .</math> Puisque <math>\sigma</math> est un homomorphisme de G/H dans G et que H est l'élément neutre de G/H, le membre droit de (7) est l'élément nul de G, donc <math>\pi(h) = 0</math> pour tout élément <math>h</math> de G, autrement dit :(8)<math>\qquad </math>H est contenu dans le noyau de <math>\pi .</math> Prouvons l'inclusion réciproque. Si <math>g</math> est un élément du noyau de <math>\pi</math>, nos avons, par définition de <math>\pi</math> :<math>\sigma \circ \varphi (g) = 0.</math> Par exemple en composant à gauche avec <math>\varphi</math> et en tenant compte que <math>\varphi \circ \sigma</math> est l'automorphisme identique de G/H, on trouve <math>\varphi (g) = 0</math>, gH = 0, donc <math>g</math> appartient à H, ce qui prouve que le noyau de <math>\pi</math> est contenu dans H. Joint à (8), cela prouve que le noyau de <math>\pi</math> est égal à H. Avec (6), cela prouve que la condition (iv) de l'énoncé est satisfaite. Nous avons donc prouvé que (iii) entraîne (iv). Sans autres hypothèses que celles de l'énoncé, supposons (iv) et prouvons (v). D'après (iv), il existe un endomorphisme <math>\pi</math> de G tel que :(9)<math>\qquad \pi \circ \pi = \pi</math> et que :(10)<math>\qquad </math>le noyau de <math>\pi</math> soit égal à H. Alors, pour tout élément <math>g</math> de G, :<math>\qquad \pi (g) = \pi \circ \pi (g)</math>, :<math>\qquad \pi (g - \pi (g) ) = 0</math>, donc <math>g - \pi (g)</math> appartient à Ker(<math>\pi )</math>, c'est-à-dire, d'après (10), à H. Donc si <math>id_G</math> désigne l'automorphisme identique de G, :(11)<math>\qquad</math>l'endomorphisme <math>id_G - \pi : g \mapsto g - \pi (g)</math> de G (on vérifiera que c'est bien un endomorphisme, compte tenu que G est abélien) prend ses valeurs dans H. D'autre part, d'après (10), <math>\pi</math> s'annule en tout point de H, donc :(12) l'endomorphisme <math>id_G - \pi : g \mapsto g - \pi (g)</math> de G coïncide avec l'identité en tout élément de H. D'après (11), nous pouvons considérer la corestriction à H de l'endomorphisme <math>id_G - \pi : g \mapsto g - \pi (g)</math> de G. D'après (12), cette corestriction est un homomorphisme de G dans H qui coïncide avec l'identité sur H, donc la condition (v) de l'énoncé est satisfaite. Nous avons ainsi prouvé que la condition (iv) de l'énoncé entraîne la condition (v). (On peut noter que l'homomorphisme de G dans H mentionné dans (v) est évidemment surjectif.) Sans autres hypothèses que celles de l'énoncé, supposons que la condition (v) est satisfaite et prouvons que la condition (i) l'est aussi. D'après l'hypothèse (v), nous avons un homomorphisme <math>\lambda</math> de G dans H qui coïncide avec l'identité en tout élément de H. Il est clair que <math>\lambda</math> est surjectif : :(13)<math>\qquad \lambda (G) = H.</math> Posons <math>K = </math> Ker(<math>\lambda</math>). Nous allons prouver que :(thèse 14)<math>\qquad G = H \oplus K .</math> Pour tout élément <math>g</math> de G, nous avons :(15)<math>\qquad \lambda (g) \in H</math>, d'où, puisque <math>\lambda</math> coïncide avec l'identité en tout élément de H, :(16)<math>\qquad \lambda (\lambda (g)) = \lambda (g)</math>, :<math>\qquad \lambda (g - \lambda (g)) = 0</math>, donc, pour tout élément <math>g</math> de G, :<math>\qquad g - \lambda (g) \in </math> Ker(<math>\lambda</math>), :<math>\qquad g - \lambda (g) \in K</math>, :<math>\qquad g \in \lambda (g) + K</math>, d'où, d'après (13), :<math>\qquad g \in H + K</math>, donc :(17)<math> \qquad G = H + K.</math> Soit <math>t</math> un élément de <math>H \cap K.</math> Puisque <math>t</math> appartient à H, il existe, d'après (13), un élément <math>t'</math> de G tel que :(18)<math>\qquad t = \lambda (t')</math>, d'où :(19)<math>\qquad \lambda(t) = \lambda (\lambda (t')).</math> Puisque <math>t</math> appartient à <math>K = </math> Ker(<math>\lambda</math>), le membre gauche de (19) est nul, donc :<math>\qquad \lambda (\lambda (t')) = 0</math>, ce qui, d'après (16), peut s'écrire :<math>\qquad \lambda (t') = 0</math>, d'où, d'après (18), <math>t = 0</math>, ce qui prouve que :<math>H \cap K = 0.</math> Joint à (17) et au théorème 16bis, cela prouve notre thèse (14), à savoir <math>G = H \oplus K</math>, et donc l'implication (v) <math>\Rightarrow </math> (i). }} Remarques. # L'équivalence des conditions (i) à (iv) (mais non (v)) sera généralisée dans le chapitre [[../Produit semi-direct]]. # On utilisera le théorème qui précède dans un futur chapitre (non encore publié) sur les groupes abéliens libres. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Action de groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes caractéristiques/]] }} c3q7oxfqiqxdvnwj135mx4wzv5bm7nm 0 24187 982910 982871 2026-05-18T05:53:32Z Marvoir 1746 /* La fonction indicatrice d'Euler */ rappelé un théorème démontré comme exemple dans un chapitre antérieur 982910 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 22 | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] | page_liée = Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique }} == L'anneau '''Z'''/n'''Z''' == Rappelons que nous avons défini les anneaux '''Z''' et '''Z'''/n'''Z''' au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1|Groupes commutatifs finis, 1]]. {{Clr}} {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément de '''Z'''/n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si c’est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu=Puisque [1] = 1 + n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il est clair qu'un élément [a] = a + n'''Z''' est un générateur de ce groupe si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que r [a] = [1], autrement dit si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que [r] [a] = [1], autrement dit si et seulement si [a] est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Théorème | titre = Autre forme du théorème précédent. | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément a + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Démonstration|contenu= C'est une conséquence immédiate du théorème précédent, puisque nous avons vu au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]] que a + n'''Z''' est inversible dans l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Remarque|contenu= Les deux théorèmes qui précèdent peuvent être considérés comme des variantes de la proposition suivante, démontrée dans le chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] : soient G un groupe cyclique d'ordre ''n'', ''g'' un générateur de G et ''r'' un entier rationnel; pour que g{{exp|r}} soit un générateur de G, il faut et il suffit que ''r'' soit premier avec ''n''. }} Nous appellerons groupe multiplicatif d'un anneau le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de cet anneau. {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel (≥ 0). Les automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' sont les applications x ↦ cx de '''Z'''/n'''Z''' dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut('''Z'''/n'''Z''') des automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout entier rationnel ''r'', désignons par [r] l'élément r + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z'''. On sait que [1] est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''f'' un automorphisme du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Puisque ''f'' est un homomorphisme, nous avons, pour tout nombre entier rationnel ''r'', :<math>(1) \qquad f([r]) = f(r[1]) = r f([1]) = [r] f([1])</math>. Puisque ''f'' est surjectif, il existe un élément [r] de '''Z'''/n'''Z''' tel que f([r]) = [1]. D'après (1), ceci s'écrit [r] f([1]) = [1], donc f([1]) est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''g'' l’application de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' qui applique ''f'' sur f([1]). Prouvons que ''g'' est un isomorphisme. Prouvons d’abord que ''g'' est une surjection. Soit [a] un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''; il s'agit de prouver qu’il existe un automorphisme ''f'' du groupe '''Z'''/n'''Z''' qui applique [1] sur [a]. Cela résulte par exemple du fait que [a] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''', et d'un théorème démontré au chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] (à savoir que si G et H sont des groupes monogènes de même ordre, ''g'' un générateur de G et ''h'' un générateur de H, il existe un isomorphisme de G sur H qui applique ''g'' sur ''h''). Ainsi, ''g'' est une surjection. Prouvons que ''g'' est une injection. Il s'agit de prouver que si f₁ et f₂ sont des automorphismes de '''Z'''/n'''Z''', si f₁([1]) = f₂([1]), alors f₁ = f₂. Cela résulte de ce que [1] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''' et de ce que deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H qui coïncident en tout point d'une partie génératrice de G sont égaux. (Voir [[../Groupes, premières notions#Parties génératrices|Groupes, premières notions]]. Nous avons donc prouvé que ''g'' est une bijection. Pour prouver que ''g'' est un isomorphisme, il reste à prouver que ''g'' est un homomorphisme de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Pour cela, il s'agit de prouver que :<math>(2) \qquad (f \circ g) ([1]) = f([1] g[1])</math>. Le premier membre est égal à f(g[1]). Choisissons un entier rationnel ''r'' tel que g([1]) = [r]. Alors le premier membre de (2) est égal à f([r]) et donc, d’après (1), à [r] f([1]), autrement dit à g([1]) f([1]), ce qui prouve (2). }} {{Corollaire | titre = Corollaire 1 | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n'', noté multiplicativement. Les automorphismes du groupe G sont les applications x ↦ x^c de G dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut(G) des automorphismes de G est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On sait que G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. L'énoncé se déduit donc facilement du théorème précédent. }} {{Corollaire | titre = Corollaire 2 | contenu = Le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est commutatif. }} {{Démonstration déroulante|contenu= D'après ce qui précède, le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est isomorphe au groupe multiplicatif d'un anneau commutatif. }} Nous allons maintenant expliciter la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''', ce qui explicitera en même temps la structure du groupe des automorphismes des groupes monogènes. Si n = 0, l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe à '''Z''', donc son groupe multiplicatif est formé des deux éléments 1 et - 1. Le cas n = 0 étant réglé, nous ne nous intéresserons plus qu'au cas n ≥ 1. On sait que dans ce cas, '''Z'''/n'''Z''' est fini et compte ''n'' éléments. {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul. L'ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi {{nobr|0, 1, ... , n - 1.}} }} {{Démonstration|contenu= On a vu au chapitre [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] que tout élément de '''Z'''/n'''Z''' est la classe d'un et un seul des nombres 0, 1, ... , n - 1. On a vu aussi (chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]]) que si ''a'' est un entier rationnel, a + n'''Z''' est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. L'énoncé en résulte. }} == La fonction indicatrice d'Euler == {{Définition | contenu = On appelle ''indicateur d'Euler'', ou encore ''indicatrice d'Euler'', et on note <math>\varphi</math> l’application de <math>\N\setminus\{0\}</math> dans <math>\N</math> qui à tout nombre naturel non nul ''n'' fait correspondre l’ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} D'après la proposition précédente, <math>\varphi (n) </math> est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi 0, 1, ... , n -1. Par exemple, <math>\varphi (1) = 1</math> et <math>\varphi (p) = p - 1</math> pour tout nombre premier ''p''. {{Proposition | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n''. Le nombre de générateurs de G (autrement dit le nombre d'éléments d'ordre ''n'' dans G) est égal à <math>\varphi(n)</math>. }} {{Démonstration|contenu= Puisque G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il suffit de le prouver dans le cas où G = '''Z'''/n'''Z'''. Or nous avons vu que <math>\varphi(n)</math> est le nombre des éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' et nous avons vu aussi que les éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' sont les générateurs du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. }} Rappelons un théorème qui a été démontré dans un exemple du chapitre [[../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]] : {{Proposition | contenu = Si a et b sont des nombres naturels > 0 premiers entre eux, « le » groupe cyclique d'ordre ab est produit direct interne de son sous-groupe d'ordre a et de son sous-groupe d'ordre b. }} {{Proposition | contenu = Si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, <math>\varphi (ab) = \varphi (a) \varphi (b).</math> }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ab, que nous noterons additivement. D'après un exemple donné au chapitre [[../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]] et qu'on vient de rappeler, G est somme directe interne de son sous-groupe (cyclique) A d'ordre ''a'' et de son sous-groupe (cyclique) B d'ordre ''b''. À tout élément ''x'' de G, faisons correspondre le couple (y, z) tel que x = y z, avec ''y'' dans A et ''z'' dans B. Nous définissons ainsi un isomorphisme <math>\sigma </math> de G sur la somme directe de A et B. L'ordre de ''x'' est le ppcm des ordres de ''y'' et de ''z'', l’ordre de ''y'' divise ''a'' et l’ordre de ''z'' divise ''b''. Il est donc clair que ''x'' est d'ordre ab si et seulement si ''y'' est d'ordre ''a'' et ''z'' d'ordre ''b''. Ainsi, <math>\sigma </math> induit une bijection de l’ensemble des générateurs de G sur le produit cartésien de l’ensemble des générateurs de A par l’ensemble des générateurs de B. Le nombre <math>\varphi(ab)</math> des générateurs de G est donc égal au produit du nombre <math>\varphi(a)</math> des générateurs de A par le nombre <math>\varphi(b)</math> des générateurs de B, ce qui prouve l'énoncé. }} {{Remarque|contenu= L'énoncé précédent peut aussi se déduire de ce théorème : si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/ab'''Z''' est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/a'''Z''' par le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/b'''Z'''. (Voir les exercices.) }} {{Lemme | contenu = Soient ''p'' un nombre premier et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Pour tout élément X de '''Z'''/pⁿ'''Z''', les trois conditions suivantes sont équivalentes : #Tous les éléments de X sont divisibles par ''p'' ; #X comprend (au moins) un élément divisible par ''p'' ; #X est un élément non inversible de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Les classes résiduelles modulo pⁿ possédant ces propriétés sont en quantité p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= La preuve de l'équivalence des conditions 1° à 3° est facile et laissée au lecteur. Prouvons la dernière assertion de l'énoncé. Première démonstration. D'après l'équivalence de 1° et 2° et le fait que toute classe modulo pⁿ comprend un et un seul des nombres naturels < pⁿ, la quantité des classes modulo pⁿ satisfaisant aux conditions 1° à 3° est égale à la quantité des nombres divisibles par ''p'' parmi 0, 1, ... , pⁿ - 1. Ces nombres sont les nombres de la forme p x, où ''x'' parcourt les nombres naturels tels que px < pⁿ, autrement dit les nombres naturels x < p^n-1. Ces nombres naturels ''x'' sont en quantité p^n-1, donc les nombres divisibles par ''p'' dans la suite 0, 1, ... , pⁿ sont en quantité p^n-1. Seconde démonstration. La démonstration qui précède repose sur l’ordre usuel défini dans '''N''' et dans '''Z'''. Voici une démonstration un peu différente, qui peut se généraliser à des anneaux où un ordre tel que celui de '''Z''' n’est pas défini. Deux entiers rationnels ''a'' et ''b'' sont congrus modulo p^n-1 si et seulement pa et pb sont congrus modulo pⁿ. On en déduit facilement 1° qu’il existe une et une seule application ''f'' de '''Z'''/p^n-1'''Z''' dans l’ensemble des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' telle que, pour tout entier rationnel ''x'', on ait f(x + p^n-1'''Z''') = p x + p^n-1'''Z''' ; 2° que ''f'' est une bijection. Le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' est donc égal au nombre p^n-1 des éléments de '''Z'''/p^n-1'''Z'''. }} {{Remarque|contenu= Les éléments non inversibles de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' forment donc un sous-groupe du groupe additif de cet anneau, ce qui n'est évidemment pas le cas dans tout anneau. }} {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul, soit <math>n = \prod_ip_i^{r_i}</math> la décomposition de ''n'' en facteurs premiers, les p_i étant les différents facteurs premiers de ''n'' et les r_i étant ≥ 1. Alors <math>\varphi(n) = \prod_i(p_i- 1) p_i^{r_i-1}</math>. }} {{Démonstration|contenu= D'après une proposition précédente, <math>\varphi(\prod_ip_i^{r_i}) = \prod_i\varphi(p_i^{r_i}),</math> donc il suffit de prouver que si ''p'' est un nombre premier et ''r'' un nombre naturel ≥ 1, alors <math>\varphi(p^r) = (p-1) p^{r-1}.</math> Puisque, d’après le lemme précédent, le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/p^r'''Z''' est égal à p^n-1, <math>\varphi(p^r) = p^{r} - p^{r-1} = (p-1) p^{r-1}.</math>. }} {{Lemme | contenu = Si G est un groupe fini d'ordre ''n'', :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n'' et où, pour tout ''d'', r_d désigne le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout groupe cyclique C, désignons par gén(C) l’ensemble des générateurs de C. Si C est un sous-groupe cyclique d'un groupe G, si ''x'' est un élément de gén(C), alors C est le sous-groupe de G engendré par ''x''; il en résulte évidemment que si C et D sont deux différents sous-groupes cycliques de G, alors gén(C) et gén(D) sont disjoints. D'autre part, puisque G est fini, tout élément de G engendre un sous-groupe cyclique de G et, en particulier, est contenu dans un tel sous-groupe. Donc G est réunion disjointe des ensembles gén(C), où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. On a donc :<math> \qquad \vert G \vert = \sum_C\mathrm{Card}(\mathrm{g \acute{e}n}(C)),</math> où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. Cela peut encore s'écrire :<math>(1) \qquad \vert G \vert = \sum _{d\mid n} \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) )</math> où, pour chaque ''d'', C parcourt les sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Il résulte d'une précédente proposition que pour un tel C, :<math>\mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = \varphi(d)</math>, d'où :<math> \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = r_d\varphi(d)</math>. En portant ceci dans (1), nous obtenons l'énoncé. }} {{ancre|phi*1}} {{Proposition | contenu = Si ''n'' est un nombre naturel non nul, :<math>n = \sum_{d\mid n} \varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ''n''. Nous savons que pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G admet un et un seul sous-groupe d'ordre ''d'' et que ce sous-groupe est cyclique. Donc, dans les notations du précédent lemme, r_d = 1 pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n''. Le précédent lemme fournit donc l'énoncé. }} {{ancre|ConditionSuffisanteCyclicité}} {{Lemme | contenu = Soit G un groupe fini d'ordre ''n''. Si pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G a au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d'', alors G est cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', désignons par r_d le nombre de sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Par hypothèse, r_d est égal à 0 ou à 1. D'après un précédent lemme, nous avons :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. D'après la précédente proposition, le premier membre peut être remplacé par <math> \sum_{d \vert n} \varphi(d), </math> d'où :<math>(1) \sum_{d\mid n} \varphi(d) = \sum_{d\mid n} r_d\varphi(d)</math>. Puisque chaque r_d est ≤ 1, le terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le second membre de (1) est inférieur ou égal au terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le premier membre. Vu l'égalité des deux membres, on doit donc avoir r_d = 1 pour tout ''d''. C'est vrai en particulier pour d = n, donc G a un sous-groupe cycique d'ordre ''n'', donc G est cyclique. }} == Corps commutatifs, polynômes et fin du chapitre == {{Ancre|CyclicitéDansCorps}} {{Lemme | contenu = Soit F un corps commutatif. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F est cyclique<ref>Ce résultat s'étend facilement aux [[w:Corps gauche|corps gauches]] de [[Corps (mathématiques)/Définitions#Caractéristique|caractéristique]] non nulle ({{article|url=https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103051509|titre=Finite multiplicative subgroups in division rings|auteur=I. N. Herstein|revue=Pacific J. Math.|volume=3|issue=1|year=1953|page=121-126}}).</ref>. }} {{Démonstration|contenu= Soit G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F. Il s'agit de prouver que G est cyclique. Soit ''d'' un diviseur naturel de l’ordre de G. D'après la théorie des polynômes, le polynôme X^d - 1 admet au plus ''d'' racines dans F et donc au plus ''d'' racines dans G. Autrement dit, il y a dans G au plus ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1. Il en résulte clairement que G admet au plus un sous-groupe d'ordre ''d''. (Si G admettait deux sous-groupes distincts d'ordre ''d'', soient H et K, la réunion de H et de K serait un ensemble de plus de ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1.) A fortiori, G admet au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d''. D'après le lemme précédent, G est donc cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit F un corps commutatif fini. Le groupe multiplicatif de F est cyclique. }} {{Démonstration déroulante|contenu= C'est évidemment un cas particulier du lemme qui précède.}} {{Remarque|contenu= D'après un théorème de Wedderburn<ref>Pour une démonstration du théorème de Wedderburn, voir par exemple la démonstration de Witt reproduite dans André Weil, ''Basic Number Theory'', 3{{e}} éd., Springer, 1974, p. 1.</ref>, tout corps fini est commutatif. L'expression « corps commutatif fini » est donc pléonastique. }} {{Théorème | titre = Cas particulier | contenu = Si ''p'' est un nombre premier, le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique (d'ordre ''p'' - 1). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Cela résulte immédiatement de l'énoncé précédent, puisque nous avons vu que si ''p'' est un nombre premier, l'anneau '''Z'''/p'''Z''' est un corps (commutatif). }} {{Remarque|contenu= Soit ''p'' un nombre premier. Dire que le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique revient à dire qu’il existe au moins un entier rationnel ''r'' (non divisible par ''p'') tel que r{{exp|0}}, r{{exp|1}}, ... , r^p-2 représentent les p - 1 classes résiduelles non nulles modulo ''p''. Un tel entier rationnel est appelé « racine primitive modulo p ». En particulier, il y a au moins une racine primitive modulo ''p'' parmi les nombres naturels < p, et, d’après ce que nous avons vu sur le nombre de générateurs d'un groupe cyclique, il y en a exactement <math>\varphi(p-1) </math>. Par exemple, pour p = 7, les racines primitives < p sont les <math>\varphi(6) = 2</math> nombres 3 et 5. }} {{Corollaire | contenu = Si G est un groupe (cyclique) d'ordre premier ''p'', le groupe des automorphismes de G est cyclique (d'ordre ''p'' - 1). }} Démonstration. Le groupe G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/p'''Z''', donc le groupe des automorphismes de G est isomorphe au groupe des automorphismes du groupe additif '''Z'''/p'''Z''', et donc, d’après un théorème précédent, isomorphe au groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''', or nous venons de voir que ce groupe multiplicatif est cyclique. {{Remarque|contenu= La preuve donnée ici du fait que le groupe des automorphismes d'un groupe (cyclique) d'ordre premier est cyclique dépend de la notion de polynôme. Il existe une démonstration qui ne dépend pas de la notion de polynôme mais seulement de notions élémentaires de théorie des groupes. Voir H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups, An Introduction'', Springer, 2004, pp. 50-51. }} Dans la suite, nous allons distinguer entre le nombre 2 et les autres nombres premiers. Comme les nombres premiers distincts de 2 sont exactement les nombres premiers impairs et que « nombre premier impair » est plus bref que « nombre premier distinct de 2 », on a coutume de dire « nombre premier impair » plutôt que « nombre premier distinct de 2 ». {{Théorème | contenu = Soient ''p'' un nombre premier '''impair''' et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' est cyclique d'ordre (p - 1) p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= Pour alléger les notations, désignons par G le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Nous savons déjà que l’ordre de ce groupe est <math>\varphi (p^n) = (p-1) p^{n-1}</math>. Prouvons que ce groupe est cyclique. L'ensemble A = 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', formé par les classes d'éléments congrus à 1 modulo ''p'', est un sous-groupe (multiplicatif) de G. En effet, c’est clairement un sous-monoïde de G et, d’après un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], tout sous-monoïde fini d'un groupe est un groupe. (On pourrait aussi noter que la classe de 1 + xp modulo pⁿ'''Z''' admet pour inverse la classe de 1 - x p + x{{exp|2}} p{{exp|2}} - ... + (- 1)^n-1 x^n-1 p^n-1.) Nous avons vu que le nombre d'éléments de p '''Z'''/pⁿ'''Z''' est p^n-1, donc A, égal à 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', compte lui aussi p^n-1 éléments. Autrement dit, le groupe multiplicatif A est d'ordre p^n-1. Puisque p - 1 est premier avec p^n-1, il résulte d'un corollaire de la décomposition d'un groupe commutatif en somme directe de ses composantes primaires que G est somme directe <math>G = A \oplus B,</math> où B est un sous-groupe d'ordre p - 1 de G. Prouvons que chacun des groupes A et B est cyclique. Tout élément du groupe multiplicatif G de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''', étant une classe modulo pⁿ formée de nombres non divisibles par ''p'', est contenu dans un et un seul élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Désignons par ''f'' l’application de G dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui applique tout élément X de G sur l'unique élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui contient X. Autrement dit, f(a + pⁿ'''Z''') = a + p'''Z''' pour tout entier rationnel ''a'' non divisible par ''p''. On vérifie facilement que ''f'' est un homomorphisme surjectif de G sur le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et que le noyau de cet homomorphisme est A. Donc G/A est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Puisque G est somme directe (interne) de A et de B, G/A est isomorphe à B, donc B est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et est donc cyclique. Prouvons maintenant que A est cyclique et pour cela, prouvons que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A. Il s'agit de prouver que l’ordre de la classe de 1 + p est p^n-1. Comme cet ordre divise l’ordre p^n-1 de A et est donc une puissance de ''p'', il suffit de prouver le fait suivant : :(1) pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, <math>(1 + p)^{p^{m}} </math> n’est pas congru à 1 modulo pⁿ. Prouvons que pour tout nombre naturel m ≥ 0, :<math>(2) \qquad (1 + p)^{p^m} \equiv 1 + p^{m+1} \pmod{p^{m+2}}</math>. Pour m = 0, les deux membres de la congruence sont égaux à 1 + p, donc la congruence est vraie. Supposons qu'elle soit vraie pour un nombre naturel ''m'' et prouvons qu'elle est vraie avec m + 1 au lieu de ''m''. Par hypothèse de récurrence, nous avons :<math>(1 + p)^{p^m} = 1 + p^{m+1} + k p^{m+2}</math> pour un certain entier ''k''. En élevant à la p-ième puissance et en appliquant la formule du binôme, nous trouvons :<math>(3) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + \sum _{i = 1}^p{\binom pi}(p^{m+1} + k p^{m+2})^i</math>. On sait que <math>\binom p1= p </math> et que, pour tout ''i'' tel que 1 ≤ i ≤ p - 1, <math>\binom pi</math> est divisible par ''p''. Donc (3) donne :<math>(1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + p^{m+2} + k p^{m+3} + r p^{2m+3} + s p^{pm+p}</math>, avec ''r'' et ''s'' entiers. Puisque <math>p^{2m+3}</math> est multiple de <math>p^{m+3}</math>, nous avons donc :<math>(4) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} \equiv 1 + p^{m+2} + s p^{pm+p} \pmod{p^{m+3}}.</math> Du fait que p est supposé ≥ 3, il résulte que p m + p ≥ m + 3. (Ce ne serait pas vrai avec p = 2 et m = 0. L'énoncé du théorème est d'ailleurs faux pour p = 2.) Dès lors, (4) donne :<math> (1 + p)^{p^{m+1}} \equiv 1 + p^{m+2} \pmod{p^{m+3}}</math>, ce qui achève de démontrer (2) par récurrence. Dès lors, pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, la plus grande puissance de ''p'' qui divise <math>(1 + p)^{p^{m}} - 1</math> est p^m+1. La thèse (1) en résulte et, comme nous l'avons vu, elle entraîne que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A, donc A est cyclique. Nous avons donc prouvé que A est un groupe cyclique d'ordre p^n-1 et B un groupe cyclique d'ordre p - 1. Comme la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres premiers entre eux est un groupe cyclique, G est cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit ''m'' un nombre naturel ≥ 2. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un sous-groupe d'ordre 2 et d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2^m-2. Si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout nombre entier rationnel ''r'', nous désignerons par [r] la classe de ''r'' modulo 2^m'''Z'''. Déterminons l’ordre de [5]. Puisque le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est d'ordre <math>\varphi(2^{m}) = 2^{m-1},</math>, l’ordre de [5] doit être une puissance de 2. Prouvons que, pour tout nombre naturel j ≥ 0, :<math>(1) \qquad 5^{2^j} \equiv 1 + 2^{j+2} \pmod{2^{j+3}}</math>. C'est vrai pour j = 0. Prouvons que si c’est vrai pour un nombre naturel ''j'', c’est vrai pour j + 1 au lieu de j. La relation (1) signifie qu’il existe un entier ''k'' tel que :<math> \qquad 5^{2^j} = 1 + 2^{j+2} + k 2^{j+3}</math>. En élevant au carré, nous trouvons :<math>(2) \qquad 5^{2^{j+1}} = (1 + 2^{j+2})^2+ 2 (1 + 2^{j+2}) k 2^{j+3} + k^22^{2j + 6}</math>. Les deux derniers des trois termes du second membre sont clairement divisibles par <math>2^{j+4}</math>. Le premier terme, égal à <math>1 + 2^{j+3} + 2^{2j+4}</math>, est congru à <math>1 + 2^{j+3} </math> modulo <math>2^{j+4}</math>. La relation (2) entraîne donc :<math> \qquad 5^{2^{j+1}} \equiv 1 + 2^{j+3} \pmod{2^{j+4}}</math>. Ceci prouve la relation (1) par récurrence sur ''j''. Dès lors, pour tout nombre naturel j ≥ 0, <math>5^{2^j} - 1</math> est divisible exactement j + 2 fois par 2. Puisque nous supposons m ≥ 2, il en résulte que le plus petit nombre naturel ''j'' tel que <math>5^{2^j} - 1</math> soit divisible par 2^m est m - 2. L'ordre de [5] dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est donc 2^m-2. Ceci revient à dire que le sous-groupe <[5]> engendré par [5] est d'ordre 2^m-2. Puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] est distinct de [1], donc [1] et [-1] forment un sous-groupe d'ordre 2 du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z'''. Comme tout élément de <[5]> est évidemment la classe d'un nombre congru à 1 modulo 4, l'intersection de <[5]> avec le sous-groupe {[1], [-1]} est réduite à l'élément neutre. (En effet, puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] ne peut pas être la classe modulo 2^m d'un nombre congru à 1 modulo 4.) Donc le sous-groupe engendré par le sous-groupe {[1], [-1]} et le sous-groupe <[5]> est la somme directe de {[1], [-1]} et de <[5]> et est donc d'ordre 2^m-1, donc est égal à tout le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''', ce qui prouve la première partie de l'énoncé. Si ''m'' est au moins égal à 3, il résulte de ce qui précède que le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un groupe cyclique d'ordre 2 et d'un groupe cyclique d'ordre divisible par 2. On a vu au chapitre [[../Produit de groupes/]] que la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres non premiers entre eux n’est pas un groupe cyclique, donc, si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} On déterminera dans les exercices la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' pour tout nombre naturel n ≥ 1. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] }} 7atio3aw67f1tlmkwfxdgnldnu69ijn 104 57671 982905 982575 2026-05-17T19:09:19Z CroustyMiou 80387 /* Le Complexe d’Albion */ 982905 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = psychologie }} '''Le suicide parental''', est une recherche psychologique<ref group=Note>La psychogénétique de [[w:Jean Piaget|Jean Piaget]] s'inspire du travail d'[[w:Épistémologie génétique|Épistémologie génétique]] de [[w:James Mark Baldwin|James Mark Baldwin]] qui a influencé celui de [[w:Peggy Sastre|Peggy Sastre]] sur l’évoféminisme</ref> d'Alexandre Gilbert<ref group=Note>Alexandre Gilbert (né le [[w:30 octobre|30 octobre]] [[w:1980|1980]]), [http://galeriechappe.org marchand d'art], est le fils de [[w:en:Laurence_de_Cambronne|Laurence de Cambronne]] et [[w:Marc Gilbert|Marc Gilbert]], décédé par suicide.</ref>. == Problématique == Nous analyserons le développement psychique de l'enfant suicidaire<ref group=Note>Meurtre du [[w:Surmoi|Surmoi]] chez Freud ou du [[w:Dasein|Dasein]] chez [[w:Martin Heidegger|Martin Heidegger]] et [[w:Parallaxe|Parallaxe]] pour [[w:Slavoj Zizek|Slavoj Zizek]]</ref>, l'exposition de l'enfant à un parent suicidaire et le deuil après suicide, sujets étudiés notamment par Marie-Frédérique Bacqué et Cécile Paesmans. == Introduction : Statistiques & Définitions == 75% des décès par suicide (Acte réussi) concernent des hommes (principalement par pendaison puis armes à feu) et 65% des personnes hospitalisées suite à une tentative de suicide (parasuicide) sont des femmes (essentiellement par intoxication médicamenteuse)<ref>[http://www.caminteresse.fr/economie-societe/qui-se-suicide-le-plus-les-femmes-ou-les-hommes-1112114/ Qui se suicide le plus, les femmes ou les hommes ?], caminteresse</ref>{{,}}<ref>[http://www.theses.fr/s113514 Agressions sexuelles et tentatives de suicide chez les femmes par Juliette Leclercq], thèses.Fr</ref>{{,}}<ref>[https://www.memoireonline.com/08/08/1443/m_lien-tentative-suicide-perte-objet-hysterique.html Le lien entre la tentative de suicide et la perte d'objet chez l'hystérique], , Mémoire online</ref>. Les femmes sont davantage encline à passer à l’acte dans une logique d'infinitude tandis que les hommes semblent enfermés dans une logique de finitude<ref>[http://frblogs.timesofisrael.com/dialogue-avec-philippe-kong/ Dialogue avec Philippe Kong], Times of Israel</ref>. De 1980 à 2005, le taux de suicide a plus que doublé en France<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-cause-freudienne-2004-3-page-49.htm Le risque suicidaire par Jean-Pierre Deffieux], Cairn</ref>. Le suicide est pour les [[w:Philosophie du suicide|philosophes]], une liberté ([[w:Sénèque|Sénèque]]), un choix d'être ([[w:Jean-Paul Sartre|Sartre]]), un [[w:Lapalissade|truisme]] ([[w:Emmanuel Levinas|Emmanuel Levinas]]), un enthousiasme du "savoir-souffrir" ([[w:Germaine de Staël|Germaine de Staël]])<ref>https://www.cairn.info/revue-romantisme-2016-3-page-125.htm</ref>{{,}}<ref>https://hal.science/hal-03064012/document</ref>, ou encore un moyen à proscrire de résoudre l'absurde, recommandant de l'affronter par la révolte ([[w:Albert Camus|Albert Camus]]). Pour le généticien, le suicide serait associé au gène [[w:SKA2|SKA2]]. Il s’agit de la première cause de mortalité chez les Occidentaux de moins de 35 ans, laissant derrière eux cinq à dix proches endeuillés. Crosby et Sacks évaluent à 1,1% la population américaine endeuillée après un suicide<ref>[https://www.cairn.info/suicides-et-tentatives-de-suicide--9782257203984-page-253.htm La « postvention » : les interventions pour ceux qui restent, par Monique Séguin, Francine de Montigny, 2010], Cairn</ref>. À noter que le trouble bipolaire présente le risque suicidaire le plus élevé : trente fois supérieur à celui de la population générale, avec 15 à 19 % de suicides « réussis » et 25 à 50 % des personnes concernées ayant fait au moins une tentative au cours de leur vie. En 2014, [[w:Kathryn Abel|Kathryn Abel]] met en évidence l'effet d'un événement externe stressant sur la santé mentale d'un enfant, dans l'étude publiée par le British Medical Journal. Elle démontre que, tout comme les guerres ou les famines, la perte d’un parent ou d’un frère ou d’une sœur avant l’âge de 3 ans augmente de 84% le risque de développer une psychose. Si la mort est due à un suicide, le risque est multiplié par trois si elle survient avant l’âge de 2 ans, et par deux si c’est après. Le risque est plus élevé en cas d’accident qu’en cas de maladie. Aucun effet n’est observé avant la naissance, ce qui suggère que l’impact résulte des interactions précoces avec les parents. La mort de grands-parents n’a pas d’incidence sur ce risque. Les psychoses affectives, telles que la maniaco-dépression, sont davantage concernées, contrairement aux psychoses non affectives, comme la schizophrénie<ref>[https://www.lapresse.ca/actualites/sante/201401/24/01-4732266-le-deuil-en-bas-age-un-facteur-de-psychose-selon-une-etude.php Le deuil en bas âge, un facteur de psychose, selon une étude], La Presse</ref>. === Le [[w:Principe de nirvana|Principe de nirvana]] === [[w:Sigmund Freud|Sigmund Freud]] s'est suicidé mais n'a pas écrit explicitement sur le sujet qu’il place dans la rubrique des « méprises », soit des actes dont « l’effet manqué semble constituer l’élément essentiel »<ref>[http://agora.qc.ca/thematiques/mort/dossiers/freud_sigmund Sigmund Freud], Agora</ref>. Il décrit la [[w:pulsion de mort|pulsion de mort]] comme une éradication pure et simple de toute excitation dont « le moi ne peut se tuer que lorsqu’il peut, de par le retour de l’[[w:Théories de la relation d'objet|investissement d’objet]], se traiter lui-même comme un objet. »<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2008-1-page-181.htm S. Freud, « Deuil et mélancolie »], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-savoirs-et-cliniques-2004-2-page-11.htm Le suicide est-il un acte ? de Geneviève Morel ], Cairn</ref>{{,}}<ref group=Note>Pour Freud, « le suicide manifeste la victoire de la pulsion sexuelle sur la pulsion de vie (pulsion du Moi). Il postule, pour que le suicide soit possible, la nécessité d'une régression et d'une lutte contre la résistance au suicide ; il distingue donc bien ce qui est du registre de l'agir et ce qui appartient au symptôme névrotique. Le suicide est ainsi considéré comme un aboutissement et non comme une position d'équilibre, de compromis persistant : "Il ne faut pas oublier que le suicide n'est rien d’autre qu'une sortie, une action, un aboutissement de conflits psychiques, et qu’il s'agit d'expliquer le caractère de l'acte et comment le suicidé vient à bout de la résistance (contre l'acte du suicide). Or cet acte il le définit comme "un substitut" et non une conséquence de la psychose (séance du 20 avril 1910). Dans cette perspective, la tentative de suicide est considérée comme une alternative à ce que Freud nomme ici, avec ambiguité "psychose". » (Psychanalyse et résilience de Boris Cyrulnik et Philippe Duval)</ref>{{,}}<ref group=Note>Freud a dit : "Rien n’est moins mystérieux que le suicide du mélancolique, ce qui reste mystérieux, c’est la mélancolie elle-même", "et dans les deux situations opposées de l'amour le plus extrême et du suicide, le moi, par des chemins totalement différents, est subjugués par l'objet". (Sigmund Freud, Deuil et mélancolie, 1917)</ref>. === L'Acte réussi === Le suicide est analysé au cours du séminaire XI de [[w:Jacques Lacan|Jacques Lacan]], ''Les quatre concepts fondamentaux de la psychanalyse''<ref>http://www.valas.fr/IMG/pdf/S11_FONDEMENTS.pdf</ref>{{,}}<ref>[http://aejcpp.free.fr/lacan/1957-05-31.htm Les clefs de la psychanalyse, L’Express, par Madeleine Chapsal], AEJCPP</ref>{{,}}<ref>[https://laregledujeu.org/2014/11/28/18365/aux-prises-avec-le-reel/ Aux prises avec le Réel par Bernard-Henri Lévy], La règle du jeu</ref>. Seul acte qui puisse réussir sans ratage », il « procède du parti pris de ne rien savoir » , d'être ''inter-dit'' (rapport d’être qui ne peut pas se savoir). Jacques-Alain Miller parle de ''court-circuit''<ref>[http://wapol.org/ornicar/articles/lzm0095.htm Un court-circuit freudien par Catherine Lazarus-Matet], Wapol</ref> ou d{{'}}''échec au [[w:sinthome|sinthome]]'' (tautologie du singulier)<ref group=Note>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2011-2-page-47.htm Monique Lauret D'un rêve sinthome comme échec au suicide : "Le sinthome (du grec, (suntithémi), « mettre ensemble »), est un élément nouveau qui ne rentre pas dans la chaîne borroméenne à trois, Réel, Symbolique et Imaginaire." (Séminaire Le sinthome, le livre XXIII)]</ref>. Le ''ratage'' (essence de l'objet)<ref group=Note>Le plus-de-jouir est corrélatif de ce que j’appellerais, pour parler comme Damazzio — je me cultive —, un état du corps propre et, comme tel, le plus-de-jouir est asexué. Il commande, mais qu’est-ce qu’il commande? Il ne commande pas un “ ça marche ”, mais un “ ça rate ” que, précisément, nous écrivons $. Quand on barre une lettre, en général c’est parce qu’on s’est trompé, non? Ici, le plus-de-jouir commande un “ ça rate ” et précisément un “ ça rate ” dans l’ordre sexuel. Je ne vois pas ce qui empêche de considérer que ce $ écrit: il n’y a pas de rapport sexuel, d’autant que la lettre initiale, [[w:Sujet de l'inconscient|S]], est la même que celle de sexe. Ça conduirait à dire que l’inexistence du rapport sexuel précisément est devenue évidente, jusqu’à pouvoir être explicitée, écrite, à partir du moment où l’objet petit a (cause du désir) est monté au sociel. Tandis que dans le régime du discours du maître, c’était une vérité refoulée par le signifiant maître. Et on doit constater qu’aujourd’hui le signifiant maître, les signifiants maîtres, n’arrivent plus à faire exister le rapport sexuel. [http://www.congresoamp.com/fr/template.php?file=Textos/Conferencia-de-Jacques-Alain-Miller-en-Comandatuba.html Conférence de Jacques-Alain Miller en Comandatuba]</ref> est la « logique où la contingence prouve, ou au moins atteste, l’impossible » par un gain de savoir car « l’acte ne réussit jamais si bien qu’à rater » ou « tout acte manqué est un discours réussi ». Dans sa ''Leçon du 12 février 1958'', Jacques Lacan<ref name="article lacan">[http://af.bibliotherapie.free.fr/Article%20Lacan.htm Article Lacan sur Bibliotherapie]</ref>{{,}}<ref>Autres écrits, {{p.|542}}), Paris, PUF, 2001</ref> développe l’idée que l'enfant non désiré par sa mère a ''une irrésistible pente au suicide''. Selon lui, plus l'enfant cherche à sortir de cette ''chaîne signifiante'' plus il s'y inscrit. Par le suicide, il devient ''signe éternel'' à la beauté ''horrifique'' et ''contagieuse'' (ce qui est précieux, Agalma, [[w:Effet Werther|Effet Werther]], Effet Papageno de Thomas Niederkrotenthaler, [[w:Aokigahara|Aokigahara]], [[w:Pont du Golden Gate|Pont du Golden Gate]], [[w:Tour Eiffel|Tour Eiffel]])<ref group=Note>La fille de Jacques Lacan, Sybille, écrit dans son livre [http://www.lemonde.fr/disparitions/article/2013/11/09/mort-de-l-ecrivaine-sibylle-lacan_3511291_3382.html#ChzLEzwZ68Wf8gdb.99 ''Mon père''] : « Quand je suis née, mon père n'était déjà plus là. Je pourrais même dire, quand j’ai été conçue, qu’il ne vivait plus vraiment avec ma mère. Une rencontre à la campagne entre mari et femme, alors que tout était fini, est à l'origine de ma naissance. Je suis le fruit du désespoir, d'aucuns diront du désir, mais je ne le crois pas. » (…) A son compagnon Christian Valas, elle confie cette lettre datée du 7 janvier 2013 : « Si je me suicide, je veux que les circonstances de ma mort ne soient occultées en aucun cas (presse, amis, etc.) Cette demande doit être considérée comme faisant partie de mes dernières volontés… » </ref>. Pour Lacan, au ''savoir défaillant'' est substitué un acte comme ''suicide du sujet'', fruit d'un ''forçage'' : le ''passage à l’acte'' (acte sans parole, l'Objet a évacue le sujet dans le Réel, destitution subjective<ref>[http://banmarchive.org.uk/collections/newformations/09_07.pdf The undergrowth of enjoyment, de Slavoj Zizek], banmarchive</ref>), l{{'}}''acting out'' (passionnel selon Lacan, parade du phallus imaginaire, délirante mais qui aura un sens, black out, somnanbulisme<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-1995-2-page-513.htm?contenu=resume La perception somnambulique Marie-Claire Durieux], Cairn</ref>, [[w:Syndrome d'Elpénor|Syndrome d'Elpénor]])<ref>[https://www.cairn.info/load_pdf.php?ID_ARTICLE=FP_012_0045 Le concept d’aliénation en psychanalyse par Maria Cristina Poli], Cairn</ref>{{,}}<ref group=Note>Dans l'acte, nous dit Lacan, un sujet n'en existe pas moins comme divisé. Nous pouvons ainsi mesurer la difference entre un point d'acte. ou le sujet pour divisé qu'il soit n'assume pas moins les conséquences de ce qu'il a mis en œuvre. Il s'agit toujours de déni, "ce qui a affaire à l'ambiguité qui résulte des effets de l'acte comme tel. L'aliénation nait de la négation du Grand Autre, en passant hors du seuil et plus rien n'est assumable. (L'inconscient ignore la négation, donc la contradiction.)</ref>, ''seuil [[w:Signifiant (psychanalyse)|signifiant]] qui le fait devenir autre'', qu’il appelle ''[[w:Jouissance|Jouissance]]'' (problème du XXIe s, le désir étant celui du XXe s) et que Freud appelle les ''compulsions de répétition et de destin'', dans ''Au-delà du principe de plaisir''. === Le Parasuicide === [[w:Serge Lebovici|Serge Lebovici]] signale : « le goût de l'enfant pour les [[w:Comportement ordalique|conduites ordaliques]] d'essai, pas tant le résultat d'une dépression (appauvrissement du moi, affect de restriction, ignorance, ne rien vouloir savoir, lâcheté morale de celui qui cède sur son désir selon Lacan<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2005-1-page-63.htm La dépression est la vérité inversée du désir par Didier Robin], Cairn</ref>) que d'un jeu avec la violence et avec la mort, de conduites suicidaires aux conduites de mutilations du corps, troubles de l'appétit, ravage anorexique, boulimie, toxicomanie, le goût dangereux pour l’utilisation des véhicules rapides »<ref>[http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/handle/2042/8212/MURS_1989_16_65.pdf La mort chez l'enfant. Point de vue d'un pédopsychiatre, Serge Lebovici]</ref>, le soutien de l’expropriation<ref>[https://www.corriere.it/cultura/18_luglio_09/heidegger-quaderni-neri-donatella-di-cesare-d306a486-838d-11e8-b0f1-5852deebaad6.shtml Heidegger, i «Quaderni neri» 1948-51], Corriere</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2001-1-page-123.html La répressivité par Steven Wainrib], Cairn</ref> ou les cas de réassignation sexuelle ([[w:Complexe de Diane|Complexe de Diane]])<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2013-1.htm Passer à l'acte, par Philippe Kong], Cairn</ref>. == Le Suicide au risque de la psychanalyse == === La Phylogénèse === Nous analyserons la [[w:phylogénèse|phylogénèse]] (parenté entre êtres vivants) du suicide dans le [[w:Judaïsme|Judaïsme]], le monde [[w:Arabe|Arabe]] et en [[w:Asie|Asie]]. Nathalie de Kernier précise que le geste suicidaire à l’adolescence entraîne une fixation autour de l’infanticide<ref> https://www.theses.fr/2009PA05H013</ref>. ==== Le Complexe de Caïn ==== Pour Montaigne, on ne peut pas dire que D.ieu ne peut pas attenter à ses jours car c'est déjà un blasphème de dire ce que D;ieu peut ou ne peut pas faire<ref>https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1320789m/f1</ref>. En revanche le judaïsme, remonte au péché originel qui explique l'angoisse du manque symbolique, pendant la castration, et au complexe hystéroépileptique de Caïn abordé par [[w:Léopold Szondi|Léopold Szondi]], [[w:Gérard Haddad|Gérard Haddad]] et [[w:Antoine Vergote|Antoine Vergote]]. Eve, en devenant simple mortelle, est la mère du suicide ; [[w:Cain|Cain]], Abel et Seth, les premiers enfants endeuillés par un suicide virtuel. [[w:Abel|Abel]], berger nomade favori de [[w:Dieu|Dieu]], ne travaille pas, frappé de sidération obsessionnelle qui annonce son suicide virtuel symbolisé par la main de Cain, qui annonce [[w:Abraham|Abraham]] et [[w:Pilate|Pilate]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2005-2-page-199.htm Gisèle Chaboudez : Rapport sexuel et rapport des sexes par Olivier Douville], Cairn</ref>. La violence disruptive du sédentaire Cain, arrive par court circuit, due à sa patrimonialisation toute-puissante et maniaque<ref>[https://coborder.wordpress.com/2015/02/19/quelle-est-la-difference-entre-un-pervers-narcissique-et-un-bipolaire/ Quelle est la différence entre un Pervers Narcissique et un Bipolaire ?], Coborder</ref> d’être le fils de Dieu. Leur [[w:forclusion|forclusion]] (effacement qui refoule et abolit tout vestige ou effet secondaire de sa propre dynamique) du nom-du-père entraine le surgissement du [[w:Grand Autre|Grand Autre]] qui les condamne. [[w:Seth|Seth]], dont le nom signifie fondation est le premier enfant endeuillé par le suicide qui va vaincre son destin. La bible parle du désir d’en finir assouvi de [[w:Saül|Saül]], [[w:Achitophel|Achitophel]], [[w:Samson|Samson]] ou [[w:Judas|Judas]] ; et refoulé d'[[w:Elie|Elie]], [[w:Jonas|Jonas]] et [[w:Jérémie|Jérémie]], mais tous meurent sans descendance. Les auteurs survivants de la [[w:Shoah|Shoah]] qui se sont suicidés comme [[w:Paul Celan|Paul Celan]], [[w:Primo Levi|Primo Levi]] et [[w:Bruno Bettelheim|Bruno Bettelheim]] témoignent d'une intransmissibilité d'une histoire hors norme qui met en péril l'identité d'homme. Les traumas massifs des survivants de la [[w:Shoah|Shoah]], présentant des états dépressifs réactionnels aux ruptures dans la vie sentimentale comme dans les rapports amicaux, ne parviennent pas à vivre les déceptions et les séparations sans réactiver de terribles émotions qui bloquent l'enrichissement du narcissisme dont les capacités de fantasmatisation sont réduites par la reviviscence d'une imagerie terrifiante du passé et la permanence de deux attitudes psychiques, de deux réalités simultanées<ref>[http://www.bulletindepsychiatrie.com/shoah.htm Les syndromes des survivants de la Shoah, De la question des traumas massifs], Bulletin de psichiatrie</ref>. Pour [[w:Freud|Freud]], une des raisons de l'antisémitisme européen (maladie auto-immune pour [[w:Hanania Alain Amar|Hanania Alain Amar]]) provient de l'appréhension des enfants chrétiens face à la circoncision perçue comme une castration. Pour [[w:Gérard Huber|Gérard Huber]], le [[w:Mont du Temple|Mont du Temple]] où était récité le Nom de D.ieu en est le symbole<ref>[http://www.akadem.org/sommaire/cours/freud-et-l-egypte/freud-lecteur-de-la-bible-06-06-2007-6964_4231.php Freud, lecteur de la bible], Akadem</ref>. Pour [[w:Jean-François Lyotard|Jean-François Lyotard]], le judaïsme est structuré comme une psychose ("Figure forclose") et le [[w:Sophisme|sophisme]] de [[w:Robert Faurisson|Robert Faurisson]] "il n'y a pas eu de chambres à gaz" ne peut être réfuté, suivant le [[w:Syllogisme|syllogisme]] : "les témoins sont morts et ceux qui témoignent n'y étaient pas puisqu’ils sont non-morts." ("Le différend")<ref>Suzanna Achache-Wiznitzer, dans "Racisme extraordinaire ou l'art de tuer les métaphores"</ref>. Pour Jacques Lacan (Écrits, pp 107-108) : « À la différence du signe, de la fumée qui n’est pas sans feu, feu qu’elle indique avec appel éventuellement à l’éteindre, le symptôme ne s’interprète que dans l’ordre du signifiant. » ==== Le Complexe du Surmusulman ==== Le [[w:Liste des pays par taux de suicide|suicide]] est marginal en [[w:Afrique|Afrique]] avec un taux d'1/100k. Il monte à 2/100k au [[w:Maroc|Maroc]] et en [[w:Algérie|Algérie]], 4/100k en [[w:Tunisie|Tunisie]], proche des 5/100k en [[w:Grèce|Grèce]], et loin des 10/100k au [[w:Royaume-Uni|Royaume-Uni]], 26/100k en France et 73/100k en [[w:Biélorussie|Biélorussie]]<ref>{{lien web |langue=en|url=http://www.who.int/gho/mental_health/suicide_rates/en/ |titre=Rapports et graphiques disponibles pour chaque pays |consulté le= |série=Site de l'OMS - Santé mentale |éditeur=Organisation Mondiale de la Santé |date=2012}}.</ref>. [[w:René Laforgue|René Laforgue]], proche de [[w:Matthias Göring|Matthias Göring]], pendant la guerre, fonde l{{'}}''Institut de psychanalyse de Casablanca'', dans sa villa, ''La Clarté'', et développe les concepts de ''super ego individuel'', de ''super ego collectif'' et de ''névrose d’échec''<ref>[http://www.cairn.info/psychanalyse-en-terre-d-islam--9782749208848.htm Psychanalyse en terre d’islam, Introduction à la psychanalyse au Maghreb], Cairn</ref>. En Occident, le mal est inhérent à l’homme tandis que dans le monde arabo-musulman, la responsabilité de la maladie est imputée à l’« autre » (surnaturel ou interpersonnel) et toujours située à l’extérieur du moi, du domaine de la fatalité, du sort, de la volonté de Dieu, etc. Les régimes autocratiques et la crainte de la répression produit une personnalité [[w:paranoïaque|paranoïaque]] dont la vacance du sujet et la précaution langagière [[w:phobique|phobique]] (peur sans objet) provoquent une auto-occultation : « Que Dieu nous protège du mot “je” (âna)! » et les prénoms qui portent ‘Abd… (« esclave » de Dieu)<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2007-2-page-161.htm De quelques résistances à la pratique psychanalytique dans la culture arabo-musulmane], Cairn</ref>, nous dit Ali Aouattah, allant jusqu'au [[w:Trouble de la personnalité évitante|Trouble de la personnalité évitante]]. [[w:Fethi Benslama|Fethi Benslama]] s'interroge sur le dérèglement entre le réel et les ''formes symboliques'' des extrémismes de l’[[w:Islam|Islam]], comme l'affirmation [[w:coran|coran]]ique selon laquelle [[w:Allah|Allah]] n’est pas le père, où les personnages centraux sont des fils, considérés comme adultes à l'âge de quinze ans, induisant un refoulement de la mère<ref>[https://www.cairn.info/revue-essaim-2006-2-page-219.htm À propos du livre de Fethi Benslama, Déclaration d’insoumission à l’usage des musulmans et de ceux qui ne le sont pas], Cairn</ref>. Les « radicaux » sont victimes d’une désidentification devenue suridentification (voir aussi l'hyperidentification au ''floodlighting'' des [[w:Actualités cinématographiques|Actualités cinématographiques]] pendant la guerre et de l’[[w:Information en continu|Information en continu]], au XXIe s<ref>[https://www.telerama.fr/television/lors-des-attentats-les-chaines-d-info-fonctionnent-comme-un-cerveau-traumatise-marianne-kedia-psychologue,140140.php Attentat de Nice : “Les chaînes d'info fonctionnent comme un cerveau traumatisé”], Telerama</ref>). On ne peut mourir que pour une idée que l’on ne comprend pas, rappelle Paul-Laurent Assoun citant Hitler. Le fanatisme est « l’esprit de conséquence » poussé au maximum  qui n’avertit pas en vain de sa violence. Le pire ne l’arrêtera pas. Bien au contraire. Le « surmoi terroriste » n’est que la terrible invention du « moi humilié »<ref>[http://www.humanite.fr/du-moi-humilie-au-surmoi-terroriste-588993 Du « moi humilié » au « surmoi terroriste »], L’Humanite</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2010-2-page-41.htm La violence n’est pas l’agressivité : une perspective psychanalytique des liens, de Pierre Benghozi], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=XiYyXRkpJXo Tuer le mort, Le désir révolutionnaire], Études psychanalytiques</ref> ([[w:Fausse bannière|Fausse bannière]], [[w:Kompromat (renseignement)|Kompromat (renseignement)]], [[w:Slut-shaming|Slut-shaming]], [[w:Cancel culture|Cancel culture]], [[w:Public shaming|Public shaming]], [[w:Online shaming|Online shaming]]), du surmâle chez [[w:Alfred Jarry|Alfred Jarry]] puis [[w:Paul Audi|Paul Audi]]. [[w:Vamik Volkan|Vamik Volkan]], parle des [[w:Child suicide bombers in the Israeli–Palestinian conflict|enfants-martyrs dans le conflit israélo-palestinien]], choisis ''éduqués'', ''tout puissants'' et ''narcissiques'' dont l'identité est perturbée par la recherche d'un élément externe à internaliser, pour stabiliser leur monde interne, souvent une ''méthode d'enseignement'' qui ''force'' l'identité d'un groupe, ethnique ou religieux, dans les ''fissures'' de l'identité individuelle endommagée ou subjuguée de la personne. Bachelard parle aussi de ''Complexe d'Empédocle'', purification du monde par le feu. ==== Le Rossignol de l’empereur de Chine ==== La question du suicide en Asie commence avec l’histoire de [[w:Bouddha|Bouddha]] qui mit fin à ses jours en offrant son corps à une tigresse affamée allaitant cinq tigrons, qui deviennent les cinq premiers disciples de Bouddha. Ferenczi dit que la [[w:métempsychose|métempsychose]] ([[w:réincarnation|réincarnation]], [[w:karma|karma]]) pour « engendrer un corps » évite un processus mélancolique en actualisant un mouvement primaire de mort<ref>[https://www.cairn.info/resume.php?ID_ARTICLE=TOP_130_0113 Théories infantiles sur le suicide et tentative d’auto-engendrement], Cairn</ref>. Chez les hindous et les jaïns, il est considéré comme acceptable d’en finir avec la vie en jeûnant (''prayopavesha''). Pour Livio Boni, la grève de la faim pose « le rapport, entre oralité et phallicité chez [[w:Gandhi|Gandhi]], au point que la pratique du Brahamacharya est inconcevable dissociée du jeûne quasiment permanent, qui ne peut se limiter au végétarisme strict. Car la réactivation du désir oral déstabilisante se transpose ou coïncide, avec le désir génital pour se traduire en désir phallique et en agressivité moïque. Les transitivité et traductibilité pulsionnelles immédiates, depuis l'oralité jusqu'à l'agressivité, passent par l'analité (violentes dysenteries lors des grèves de la faim, sources le conduisant vers le désir génital et l'identification phallique<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2012-1-page-173.htm Aux sources du lien tyrannique d'Albert Ciccone, Revue française de psychanalyse 2012 (Vol. 76), pages 173 à 191], Cairn</ref>). » Il dira à la fin de sa vie devenir ''psychiquement une femme<ref>[http://www.ipa.org.uk/IPA_Docs/Livio_Boni.pdf De la psychanalyse à l'Inde, et retour. Formes et raisons de la réévaluation du féminin dans la modernité indienne, de Livio Boni], IPA</ref>.'' Pour [[w:Girindrasekhar Bose|Girindrasekhar Bose]], en Inde, « les premiers soins maternels, conduiraient l'enfant à vouloir prodiguer à sa mère exactement les mêmes soins, avant qu’il s'identifie, peu importe qu’il soit fille ou garçon, à sa mère, et prendrait plaisir à faire comme elle avec des poupées, faisant siens ses centres d’intérêt »<ref>[http://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2013-1-page-229.htm Livio Boni : L’Inde de la psychanalyse. Le sous-continent de l’inconscient], Cairn</ref>. Pour Michel Hanus, le recours à la crémation, tradition répandue en Inde est le résultat d'un suicide post-mortem<ref>[http://www.liberation.fr/evenement/1995/10/31/une-sorte-de-suicide-post-mortem-pour-le-psychanalyste-michel-hanus-la-cremation-rend-difficile-le-t_145564 Une sorte de suicide post mortem], Libération</ref>. Pour [[w:Léon Vandermeersch|Léon Vandermeersch]], le suicide en Chine découle de la « transmission de la signification de rites et dogmes séculaires n'attribuant aucune transcendance à la mort » dont « la banalisation du monde des esprits fait que vie et mort pourraient se côtoyer et s'interpénétrer sans fracture<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-en-je-lacanien-2003-1-page-187.htm Geneviève Morel, Clinique du suicide], Cairn</ref>. » Huo Datong, parle de la détresse hallucinatoire de la jeunesse chinoise dont l'idéogramme figuratif, provoque une contiguïté du symbolique et de l'imaginaire<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2009-2-p-247.htm Huo Datong : La Chine sur le divan], Cairn</ref>. Dans la suite de la leçon V, Jacques Lacan parle de la langue japonaise et de la lettre, l{{'}}''[[w:On'yomi|On'yomi]]'' et le ''[[w:Kun'yomi|Kun'yomi]]''. « C’est la lettre et non pas le signifiant qui fait appui de signifiant »<ref>[http://www.ali-provence.com/2012/06/lecon-v-du-seminaire-r-s-i-de-lacan-lituraterre-par-isabelle-heyman-14-mars-2012/ Seminaire RSI de Jacques Lacan], All Provence</ref>{{,}}<ref>Dictionnaire de la psychanalyse: 3e édition, d'Elisabeth Roudinesco, Michel Plon</ref>. Pour Kosuke Tsuiki, le ''sujet'' (opposé au ''verbe'' et au ''prédicat'', en grammaire) n'existe pas dans la langue japonaise, ce qui retire la possibilité de définir d{{'}}''où l’on parle''<ref>[https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2006-3-page-69.htm La psychanalyse au Japon], Cairn</ref> (cf [[w:Normopathie|Normopathie]]). Pour Janine Chasseguet-Spirel, le pervers avance masqué, il se recouvre de sa parure excrémentiel pour masquer sa nature anale, désengendrée et fausse. Elle prend l’exemple du rossignol de l’empereur de Chine pour illustrer le processus d’identification et d’introjection génital du stade sadique anal. === La Protogénèse === Nous analyserons la protogénèse (construction psychique par rapport au tiers exclu) du suicide à travers l'étude de Jacques Lacan qui reprend les notions de [[w:Roman Jakobson|Roman Jakobson]], [[w:Ferdinand de Saussure|Ferdinand de Saussure]] et de [[w:Claude Lévi-Strauss|Claude Lévi-Strauss]] : le [[w:Réel, symbolique et imaginaire|Réel, le Symbolique et l'Imaginaire]] pour analyser les [[w:Complexes familiaux|Complexes familiaux]] : *[[w:Complexe d'Œdipe|Complexe d'Œdipe]] (stade de la castration, régime de la croyance et de l'incertitude - superstition "négative" d’un désir impossible chez l’obsessionnel, absence de foi "positive" d'un désir insatisfait chez l’hystérique - être-au-monde, dénégation métaphysique, nécessaire solitude)<ref>http://paris2014.champlacanien.net/?p=762</ref>, *Complexe d'Intrusion (stade de la frustration, régime de la conviction, désir masochiste du pervers<ref>https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2006-1-page-47.htm</ref>, pauvre-en-monde, négation animaliste/grecque, salutaire solitude, dévastation, déprédation<ref>[http://associationpsychanalytiquedefrance.org/activites-ouvertes/journees-ouvertes/la-conviction-en-question/ La conviction en question], APF</ref>) *Complexe de Sevrage (stade de la privation, régime de la certitude, désir prévenu du phobique, être-sans-monde, forclusion juive, difficile solitude, désolation)<ref>[http://www.causefreudienne.net/croyance-et-certitude/ Croyance et certitude], Cause freudienne</ref>{{,}}<ref>[http://phaenex.uwindsor.ca/ojs/leddy/index.php/phaenex/article/download/3479/2718 L’Einsamkeit comme Grundbegriff D’une idée fragmentée chez Heidegger* de Christophe Perrin], uwindsor</ref>{{,}}<ref>[http://www.akadem.org/medias/documents/3_la_desolation.pdf La désolation], Akadem</ref>. La jonction du symbolique et de l’imaginaire, est l’amour (sens, le dire de l'Un tout-seul = ce qu’Heidegger nomme le soutien de l’expropriation), celle de l’imaginaire et du réel, la haine (jouissance de l'autre) et celle du réel et du symbolique, l’ignorance (jouissance phallique, ratage du sexuel et de la jouissance)<ref>[https://www.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2004-2-page-59.htm Passion de l’ignorancee, d'Alain Vanier], Cairn</ref>{{,}}<ref>[http://psychanalyse-paris.com/L-idiot-international.html L’idiot International], Psychanalyse Paris</ref>, dont la [[w:Grammaire Générative|Grammaire Générative]] Universelle de [[w:Noam Chomsky|Noam Chomsky]], zone de compétence innée, et inconsciente du développement du langage produit un raisonnement par abduction et une [[w:Théorie de l’information|théorie de l’information]] et [[w:Théorie du cygne noir|du cygne noir]]<ref>https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2014-2-p-63.htm</ref>. ==== Le Complexe d'Œdipe ==== Le stade de la [[w:Castration (psychanalyse)|Castration]], ou [[w:Stade phallique|Stade phallique]], est un manque symbolique (ek-sistence comprendre Dette symbolique : reconnaissance de l'héritage de nos ancêtres dont le [[w:péché originel|péché originel]] est une tentative d'explication de l'angoisse qu'elle procure) d'objet imaginaire (phallus), dont l'agent est le père réel. La dette est dette de sens, imprescriptible et inextinguible, jusqu’à la réparation et l’affranchissement<ref>https://www.cairn.info/revue-topique-2002-2-page-41.htm</ref>, dans la névrose. Dans la psychose, la dette n’est plus exprimable en valeur comptable<ref>https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2005-2-page-73.htm</ref> car c’est d’un manque réel d’objet symbolique qu’il est question (privation et forclusion de sa trace signifiante). Pour Lacan, « le rejet de la castration marque le délire (changement de sillon) de la pensée. » Les névroses hystériques (l’hystérie d'angoisse, l'hystérophobie et l’hystérie de conversion) frappent l'individu qui a buté sur le complexe d'Œdipe, obligé de faire un retour en arrière vers les stades antérieurs de son passé, refluant vers le stade oral et parallèlement vers le stade phallique (plaisir lié à l’exhibition, au voyeurisme concernant les organes génitaux : “ Ce que le voyeur cherche et trouve, ce n’est qu’une ombre, une ombre derrière le rideau. Il y fantasmera n’importe quelle magie de présence”<ref>Lacan, Les quatre concepts fondamentaux de la psychanalyse, p. 166)</ref>{{,}}<ref>[http://anjoumedecine.free.fr/PS2130.html Névroses et symptômes somatiques], Anjoumedecine</ref>. On parle alors de ratage du sexuel d’entrée (fixation au stade anal) ou de sortie (non-résolution du conflit) pouvant entrainer l’absence d’intériorisation de l’interdit de l’inceste ([[w:Otto Rank|Otto Rank]] face à [[w:Anaïs Nin|Anaïs Nin]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2002-4-page-96.htm Et aussi… Un marqueur fondamental], Cairn</ref>{{,}}<ref group=Note>"Ce qui rate de l'Autre donne naissance au langage. Mais le ratage dans la jouissance donne lieu à la répétition, car prendre un par un l’objet de la jouissance, c’est tout différent que l'Un de la fusion universelle. En même temps, l’objet se met à la place de ce qui rate de la relation à l'autre, et à partir de là, il donne lieu au fantasme. Le désir, c’est une relation au fantasme, il nait de l'écart entre le besoin et la demande. Alors que la demande se formule à autrui par la parole, dans ce manque laissé par le ratage de la recherche de la fusion, le besoin vise un objet spécifique et s'en satisfait en decà des mots. Il cherche à s'imposer sans tenir compte du langage, ni de l'inconscient de l'Autre. » ''Actualités psychopathologiques de l'adolescence'', d' Yves Morhain et René Roussillon, Chapitre 8)</ref>{{,}}<ref>[http://dimpsy.online.fr/dimensionsdelapsychanalyse/bibliotheque/2011/Rene-Lew_Colloque-Buenos-Aires_8-9-avril-2011_Echappement_2e-version-rouge.pdf L’échappement ou : Le ratage signifiant au centre de la cure, ou encore : Comment jouer de négativité à bon escient ? de René Lew], Caline</ref>. Lacan conclut, « l'hystérique (désir insatisfait) est un esclave qui cherche un maître sur qui régner. » Le complexe d'Œdipe se termine par la castration chez le garçon et commence par la castration chez la fille. S'appuyant sur le complexe d’[[w:Oreste|Oreste]] de Melanie Klein<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?p=5953 Mélanie Klein, ou le matricide comme douleur et comme créativité], Spp Asso</ref> et d'[[w: Complexe d'Electre|Électre]] de [[w:Carl Jung|Carl Jung]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-journal-des-psychologues-2009-3-page-67.htm Le matricide feminin], Cairn</ref>, Michèle Gastambide & Jean-Pierre Lebrun affirment qu'une femme préfère se suicider plutôt que d’attenter à la vie de sa mère. L'Œdipe inversé est un désir pour le parent de même sexe. Il entraîne une haine inconsciente de celui-ci et la recherche d'un conjoint lui ressemblant. Pour Freud, la prise de conscience du complexe d'Œdipe, est un tournant dans l'analyse et pour Lacan, par l{{'}}''identification au symptôme'', la fin de la cure<ref>[http://wapol.org/ornicar/articles/168sol.htm L'Identification au symptôme à la fin de l'analyse], Wapol</ref> car elle annule l{{'}}''absence de signification'' phallique qui cause la répulsion<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2010-1-page-109.htm La mélancolie d’Althusser], Cairn</ref> et permet d'accoucher du ''[[w:Surmoi|Surmoi]]'' (impératif de la jouissance, "tu dois être comme le père" et "tu ne dois pas être comme le père")<ref>[https://www.cairn.info/revue-che-vuoi-2006-1-page-143.htm Jouissance(s) et loi du surmoi de Monique Tricot], Cairn</ref>. ==== Le Complexe d'intrusion ==== Le stade de la Frustration est un manque imaginaire d'objet réel (sein maternel), dont l'agent est le père symbolique ou Nom-du-Père<ref>[http://www.edupsi.com/timone/J.J.Gorog.95...shtml.htm Castration, Frustration et Privation. Une lecture du séminaire IV, « La relation d'objet » Par Jean-Jacques Gorog], Edupsi</ref> : [[w:Angoisse de morcellement|angoisse de morcellement]], fétichisme (perversion des perversions), addiction (recherche du manque, [[w:La Psychanalyse du feu|complexe d’Hoffmann]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-carnet-psy-2001-1-page-17.htm Psychanalyse de l’« objet ». « Objet-drogue », « objet-alcool »], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-savoirs-et-cliniques-2011-1-page-99.htm?fbclid=IwAR2PNGXtqhKZEZChZVitDD6Lk0FKn6cA56sbeFJKpiMbAejn6N0Omq4tZ_E Présentation de l'ouvrage de François Perrier. L'alcool au singulier, L'eau de feu et la libido de Sylvette Ego], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/les-ivresses--2908206315-page-229.htm?contenu=resume# L'ivresse et la solitude une pathologie de la rencontre de Demetrio Barcia], Cairn</ref>, réification (traitement du sujet comme un objet) ou instrumentalisation. « Le dédoublement ainsi ébauché dans le sujet, c’est l’identification au frère qui lui permet de s’achever : elle fournit l’image qui fixe l’un des pôles du masochisme (désir sans jouissance) primaire. Ainsi la non-violence du suicide primordial engendre la violence du meurtre imaginaire du frère »<ref name="article lacan"/>{{,}}<ref>''L’Énigme du suicide à l'adolescence'', Annie Birraux, Philippe Givre, ''Clinique des suicides lents et non violents. La tendance à la mort comme objet d’appétit</ref> (frère réel ou frère-jouet, Là où Çà joue, le Je doit devenir auteur du jeu de son inconscient)<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?p=5889 L’efficacité symbolique de la psychanalyse], SPP</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2004-1-page-109.htmq Là où Çà joue], Cairn</ref>. « Le complexe d'intrusion est excessif dans la [[w:gémellité|gémellité]] », « comme dans une fratrie suffisamment rapprochée (moins de 18 mois, [[w:Folie à deux|Folie à deux]]) »<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2008-1-page-21.htm Fratrie, gémellité, folie à deux : comment devient-on thérapeute de famille ?], Cairn</ref> avec « un "ministre des affaires extérieures" qui gère la communication" et un "ministre des affaires intérieures" qui dirige la sphère privée ». Pendant le sevrage, elle le réactive et l'amène à une régression qui peut évoluer en psychose [[w:Schizophrénie|schizophrénique]] (inconscient à ciel ouvert), première cause de suicide chez les jeunes<ref>[http://www.apcof.fr/?texte=lironie-dans-la-psychose-sa-logique-et-sa-fonction-la-theorie-de-lironie-la-clinique-de-la-jouissance L’ironie dans la psychose : sa logique et sa fonction – 6eme Journée Atelier Histoire des concepts – La clinique de l’ironie et le dit-schizophrène], APCOF</ref>{{,}}<ref>[http://wapol.org/ornicar/articles/lng0082.htm Qu'est-ce qu'un enfant pour une femme schizophrène ? de Katty Langelez], Wapol</ref>{{,}}<ref>[http://www.causefreudienne.net/le-corps-du-schizophrene-quelques-references-theoriques/ Le corps du schizophrène : quelques références théoriques], Cause freudienne</ref>{{,}}<ref group=Note>Dans la population des personnes dont les deux parents sont schizophrènes, 27 personnes sur 100 sont susceptibles d'être touchées. Alors que chez les frères, sœurs et faux jumeaux des patients schizophrènes qui n'ont que la moitié de leurs gènes en commun, le risque est de 10%, il atteint 50% chez les vrais jumeaux, qui ont un génome quasi identique.</ref>, névrose hypocondriaque, destruction imaginaire en impulsions perverses ou culpabilité obsessionnelle (désir impossible<ref>[https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2016-1-page-25.htm Tentatives de feindre l’impossible et « faire désirer » par Luminitza Claudepierre Tigirlas], Cairn</ref>, [[w:Trouble obsessionnel compulsif|Trouble obsessionnel compulsif]], [[w:Trouble des habitudes et des impulsions|Trouble des habitudes et des impulsions]], [[w:Syllogomanie|Syllogomanie]], [[w:Syndrome de Diogène|Syndrome de Diogène]], inquiétante étrangeté, [[w:Culpabilité du survivant|Culpabilité du survivant]]). Lacan conclut : "l'obsessionnel a trouvé son maître et attend sa mort pour prendre sa place." La crise suicidaire est au cœur du problème de la "substitution"<ref>[https://www.cairn.info/revue-imaginaire-et-inconscient-2004-2-page-71.htm Réflexions autour du double fraternel par Régine Scelles], cairn</ref> ([[w:Lady Macbeth|Lady Macbeth]], [[w:Emmanuel Lévinas|Emmanuel Lévinas]])<ref>[https://tsunamicnublog.wordpress.com/2016/04/27/levinas-and-macbeth/ LEVINAS AND MACBETH]</ref>. Le « [[w:Stade anal|stade anal]] (satisfaction d'un besoin que pour la satisfaction d'un autre)<ref>[http://lexique-de-lacan.blogspot.fr/2010/08/analite.html Analité], Lexique de Lacan</ref> dans la musique Rock qui « arrache les tripes », « s'élabore autour d'un phallus puissant entraînant à sa suite une horde »<ref>Totem et tambour: Une petite histoire du rock’n roll et quelques réflexions, de Manuella Rebotini</ref>, le « fantasme d’éventration » au « fondement de la création littéraire »<ref>[http://www.cairn.info/revue-le-coq-heron-2005-1-page-100.htm Le cas Serge André : un psychanalyste écrivain atteint de cancer], Cairn</ref> », la [[w:mélancolie|mélancolie]], être d'objet, de [[w:déchet|déchet]] sans parole. Il nous faut faire intervenir à cet endroit les éléments proprement lacaniens concernant la notion d’objet. Le mécanisme vexatoire est lié à la présence matérielle de l’objet de rebut ("Le saint est le rebut de la jouissance", dit Lacan. Il dit, en novembre 1974, que la charité « c’est l’archi-raté » (comprendre acte archi-manqué et/ou "Donner" la mort est un archiratage forcément religieux.). Dans Télévision, le saint, « plutôt se met-il à faire le déchet : il décharite, ce pour réaliser ce que la structure impose, à savoir permettre au sujet, au sujet de l’inconscient, de le prendre pour cause de son désir. »), l’objet de déchet, l’objet a. C’est lui qui d’une maille à l’endroit fait une maille à l’envers. C’est lui qui prend le contre-pied systématique des penchants et des goûts du sujet, dévoilant en toute circonstance la cause nauséabonde de toute aspiration, toute élévation, toute inclination<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-revue-lacanienne-2009-1-page-71.htm Théorie et clinique psychanalytique. L’écho de l’automatisme mental de Jean-Jacques Tyszler]</ref>.{{,}}<ref>[http://www.vacarme.org/article2223.html Le psychotique et le psychanalyste, entretien avec Jacques Borie], Vacarme</ref> ; ou [[w:manie|maniaque]] (fantasme de réparation chez Mélanie Klein)<ref>[http://theses.univ-lyon2.fr/documents/getpart.php?id=lyon2.2008.gonin_a&part=146607 La réparation kleinienne], Univ Lyon 2</ref>{{,}}<ref>[http://eduardo.mahieu.free.fr/2008/legerete_ey.html Manie], Eduardo Mahieu</ref>, par un langage sans objet, parataxe, déliaison, jouissance impossible<ref>[http://www.pipolnews.eu/wp-content/uploads/2015/01/Les-six-paradigmes-de-la-jouissance-RETR.pdf Les six paradigmes de la jouissance], Pipolnews</ref>, relevant du [[w:Déplacement (psychanalyse)|déplacement]] comme métonymie infinie avant retour mortel (« Pêcher mortel où le moi est la métonymie du désir », dit Lacan car « le sujet n’est lesté par aucun a ») et ''désintrication pulsionnelle'' par sa propre ''exportation''<ref>[http://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2009-4-page-987.htm Pulsion de mort et destructivité, de Denys Ribas], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2001-3-page-921.htm “Du divan à l’écran. Montages cinématographiques, montages interprétatifs ”, de Murielle Gagnebin], Cairn</ref> : [[w:Mythomanie|Mythomanie]] (chiqué=artifice=beau=démonstration<ref>[http://aejcpp.free.fr/lacan/1977-02-26.htm Intervention de Jacques Lacan à Bruxelles, publiée dans Quarto (Supplément belge à La lettre mensuelle de l’École de la cause freudienne), 1981, n° 2.], AEJCPP</ref>{{,}}<ref>[http://journals.openedition.org/palimpsestes/67 De « Assez » à « Enough » ou l’androgynie comme figure du bilinguisme beckettien], Openedition</ref> à distinguer du [[w:Secret|secret]]), [[w:Oniomanie|Oniomanie]], [[w:Kleptomanie|Kleptomanie]], [[w:Nymphomanie|Nymphomanie]], [[w:Pyromanie|Pyromanie]] ([[w:La Psychanalyse du feu|Complexe d'Empédocle]], [[w:Ludomanie|Ludomanie]], [[w:Érotomanie|Érotomanie]], [[w:Toxicomanie|Toxicomanie]], [[w:Dipsomanie|Dipsomanie]], [[w:Bibliomanie|Bibliomanie]], [[w:Mélomane|Mélomanie]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-topique-2012-3-page-7.htm La mélo-manie ou la voix objet de passions], Cairn</ref>, [[w:Manie dansante|Manie dansante]], [[w:Traités internationaux de la guerre froide|Pactomanie]], [[w:Théories du complot maçonnique|Pyramidomanie]], [[w:Arithmomanie|Arithmomanie]], Cleftomanie etc ==== Le Complexe de sevrage ==== Le stade de la Privation est un manque réel (comprendre ''Trou''<ref group=Note>Le réel s’avère donc comme ce qui fait obstacle au symbolique, ce qui ré-siste à la trouure. Ce pourquoi le symbolique in-siste. Entre les deux l’imaginaire fait surface. Mais pas n’importe quelle surface : une surface orientée, par opposition à la surface inorientée que représente le réel. Seule une surface (tour du désir) peut boucher un trou. Ce qui fait « trou » au sens de défaut au symbolique dans la psychose, c’est une surface désorientée. Ce qui permet de s’en sortir c’est l’orientation. [http://une-psychanalyse.com/structure_du_borromeen.pdf Richard Abibon dans Structure du nœud borroméen ]</ref> ou ''Un n’espace/temps de l’âme-a-tiers'') d'objet symbolique (phallus), dont l'agent est le père imaginaire. Le signifiant, forclos, mortifie le corps, provoque perversité (l'échec de l'introjection de l'objet, jouissance sans libido) et psychose (peur du monde extérieur, menace de viol)<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-coq-heron-2007-1-page-81.htm Cramponnement, attachement et complexe de sevrage. Hermann et Bowlby avec Lacan. L’exemple des addictions], Cairn</ref> du « parlêtre (être qui parle mais qui se retrouve traumatisé par cette parole, ce « traumatisme », trou dans la langue qui fonde le trauma, point négatif qui ne peut être pensé que négativement, et entraine une jouissance de l'impasse). Le réel ne parvient pas à être symbolisé, faute de savoir adéquat et conduit au syllogisme. Au [[w:Stade oral|Stade oral]] et par complexe du sevrage, Lacan entend un processus de séparation, de rupture avec la vie parasitaire indépendant du processus de l'ablactation (fin de l'allaitement)<ref group=Note>La séparation, c'est le second moment après l'aliénation. Celui-ci est fondé sur la structure de l'intersection, (...) gîte de (...) la métonymie. C'est là que rampe, c'est là que glisse, c'est là que fuit, tel le furet, ce que nous appelons le désir. (...) La science se situe au point précis que je vous ai défini comme celui de la séparation, qu'elle peut soutenir aussi le mode d'existence du savant, de l'homme de science. - Ce corps de la science, nous n'en concevrons la pensée qu'à reconnaître qu'il est, dans la relation subjective, l'équivalent de ce que j'ai appelé ici l'objet petit "a". - 239 (Séparation, 1964 - Les quatre concepts de la psychanalyse, J.Lacan - 194 Et 195) Venons à la seconde opération, où se ferme la causation du sujet, pour y éprouver la structure du bord dans sa fonction de limite, mais aussi dans la torsion qui motive l'empiètement de l'inconscient. Cette opération nous l'appellerons: séparation. Nous y reconnaîtrons ce que Freud appelle ICHSPALTUNG ou refente du sujet, et saisirons pourquoi, dans le texte où Freud l'introduit, il la fonde dans une refente non du sujet, mais de l'objet (phallique nommément). La forme logique que vient à modifer dialectiquement cette seconde opération, s'appelle en logique symbolique : l'intersection - Par cette voie le sujet se réalise dans la perte où il a surgi comme ics, par le manque qu'il produit dans l'Autre, suivant le tracé que Freud découvre comme la pulsion la plus radicale et qu'il dénomme : pulsion de mort. (1964 - Position de l'inconscient J.Lacan- 840-844)</ref>{{,}}<ref>[http://patrickfrasellepsychanalyse.over-blog.com/2014/09/la-phase-orale-vue-par-la-psychanalyse.html La phase orale vue par la psychanalyse de Patrick Frasselle]</ref>{{,}}<ref group=Note>Le stade oral (de 0 à 8 mois) est caractérisé par une relation symbiotique, où l’objet est partiel (sein, lait). Ce stade est marqué par l’angoisse de dévoration (être dévoré), d’abandon et de persécution (paranoïde et schizoïde). Par exemple, la mélancolie intègre l’incorporation et la dévoration, puisqu’elle supprime l’existence de l’objet dans son individualité. C’est à ce stade qu’intervient le Surmoi de type kleinien, dont nous avons parlé (cf. IV.2.1.2., supra). La cruauté surmoïque de type mélancolique relève davantage du stade oral que du stade anal, contrairement à ce qu’ont pu théoriser certains auteurs. Car il s’agit d’une culpabilité délirante, et non névrotique (Surmoi oedipien) : « Chez les mélancoliques, il y a un véritable parallélisme entre la précision du côté de l’action et l’importance de la « peccadille » du côté de la faute. C’est la démesure dans l’appréciation du futile qui contribue à préparer le délire mégalomaniaque de culpabilité du mélancolique » (Binswanger, 1960, p. 254). De même, chez les patients bipolaires, le sujet est en pulsion orale : il se tourne avidemment vers le monde des objets qu’il tente de contrôler, c’est-à-dire ici de détruire (contrairement à l’emprise du stade anal). À ce niveau, le narcissisme est auto-érotique (il précède l’amour objectal), avec angoisse de morcellement, comme dans la schizophrénie. Le stade du miroir (vers 7-8 mois Lacan, 1949) échoue dans la psychose, car il ne permet pas l’instauration de l’acquisition du « Je », d’un Je sujet du discours. Cet échec est corollaire de l’absence de conscience du corps propre, des limites de ce corps, et du corps (donc du visage) de l’autre. Or, le stade du miroir est ce qui permet que la relation d’objet devienne anaclitique, sinon l’objet est total (la mère).</ref>{{,}}<ref>[http://theses.univ-lyon2.fr/documents/getpart.php?id=lyon2.2007.bilheran_a&part=126980 Temps, développement libidinal, psychoses], Thèse Lyon II</ref>. Dans le tome VII de l'encyclopédie de [[w:Lucien Febvre|Lucien Febvre]], Lacan nous dit que la tendance à la mort est vécue par l’homme comme ''objet d’un appétit'' que lui donne le sevrage, et se révèle dans des suicides très spéciaux qui se caractérisent comme ''non violents'', sous la forme orale du complexe : ''[[w:grève de la faim|grève de la faim]] de l’[[w:anorexie mentale|anorexie mentale]]'', ''empoisonnement lent de certaines toxicomanies par la bouche'', ''régime de famine des névroses gastriques''<ref>[http://aejcpp.free.fr/lacan/1938-03-00.htm Circonstances et objets de l'activité psychique], AEJCPP</ref>, idée développée par [[w:Massimo Recalcati|Massimo Recalcati]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2011-2-page-59.htm L’anorexie comme suicide différé par Massimo Recalcati], Cairn</ref>. Pour [[w:Pascal Fugier|Pascal Fugier]], la ''séparation prématurée'' est ''facteur de mort'' qu'on retrouve dans les pratiques symboliques comme la sépulture et les ''nostalgies de l’humanité'' : suicides, toxicomanies et anorexies<ref>[http://www.revue-interrogations.org/Jacques-Lacan-Les-complexes Jacques Lacan, Les complexes familiaux dans la formation de l’individu.Essai d’analyse d’une fonction en psychologie], Revue Interrogations</ref>. Il correspond chez Mélanie Klein au stade [[w:Envie et gratitude (psychanalyse)|Envie et gratitude]]. On pense à la dialectique de l'[[w:Agoraphobie|agoraphobie]] (peur du déconfinement, syndrome de la cabane) et de la [[w:Claustrophobie|claustrophobie]], du secret et de la révélation, ce qui parait sans apparaître, ce qui est séparé et qui se livre dans cette séparation<ref>[https://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=MEDIU_037_0299 2013/4 Ontologie du secret, de Pierre Boutang par Jérôme Besnard], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/la-pensee-interdite--9782130573500-page-127.htm Transparence et secret, par Alain Vanier, dans La pensée interdite (2009), pages 127 à 138], Cairn</ref>. === L’[[w:Ontogenèse|Ontogénèse]] === L’analyse ontogénétique (concept utilisé par [[w:Gilbert Simondon|Gilbert Simondon]] pour étudier les transformations structurelles de l'enfance à l'âge adulte et qui lui donne son organisation ou sa forme finale) de [[w:Serge Tisseron|Serge Tisseron]] nous dit que : « les images du monde virtuel sont indécidables, « avec elles tout est menacé de se dématérialiser, les rencontres, les objets, l’argent<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2012-1-page-11.htm# Argent, cadre et psychanalyse de Luiz Eduardo Prado de Oliveira], Cairn</ref>. » Avec [[w:Sylvain Missonnier|Sylvain Missonnier]], il s'interroge sur la « relation d'objet virtuel », (ROV), constituant le lien biopsychique établi en prénatal entre les (re)devenants parents et « l'enfant du dedans » qui annonce « transitionnalités et transformations »<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2009-4-page-75.htm De l’idéal virtuel à l’autre réel], Cairn</ref>. Le virtuel ne s'oppose pas au réel mais à l'actuel. L'enfant non désiré, né d'une relation d'objet virtuelle, a 3 fois plus de chance d’être suicidaire<ref>[http://www.nytimes.com/2010/05/04/health/research/04risk.html?_r=0 Children of Suicide Victims Are Vulnerable], [[w:The New York Times|The New York Times]]</ref>. ==== La [[w:Pédomorphose|Pédomorphose]], manque actuel d'objet virtuel ==== Sylvie Faure-Pragier nous dit : « Depuis les [[w:Grottes de Lascaux|grottes de Lascaux]], l'histoire de l'humanité s'écrit à partir du fil rouge de ces stratégies de simulation langagière et iconique pour combler l'absence et arrêter [[w:Chronos|Chronos]] en affinant de plus en plus les leurres perceptifs. La [[w:réalité virtuelle|réalité virtuelle]] d'aujourd'hui n'est que le visage actuel de cette longue histoire où l'ont précédée le [[w:dessin|dessin]], la [[w:peinture|peinture]], la [[w:photographie|photographie]], le [[w:cinéma|cinéma]] muet puis sonorisé, la simulation numérique<ref>[http://www.carnetpsy.com/article.php?id=1473&PHPSESSID=gafjuplmpith1hur66b30p28s3 Des souris, des écrans et des hommes (1). Une relation d'objet virtuelle ?], Carnetpsy</ref> ». [[w:Michel Thevoz|Michel Thevoz]] associe : « le [[w:maniérisme|maniérisme]] du XVIe siècle à des types de [[w:névrose obsessionnelle|névrose obsessionnelle]], l’âge [[w:baroque|baroque]] aux fonctions hallucinatoires, les utopies du [[w:siècle des Lumières|siècle des Lumières]] au délire rationnel, le [[w:Symbolisme|Symbolisme]] à la [[w:mélancolie|mélancolie]], l’[[w:Art Nouveau|Art Nouveau]] à l’[[w:Hystérie|hystérie]], le [[w:Cubisme|Cubisme]] à la [[w:schizophrénie|schizophrénie]], le [[w:Surréalisme|Surréalisme]] à la [[w:paranoïa|paranoïa]] et le [[w:Body art|Body art]] à la [[w:perversion|perversion]]<ref>[http://www.leseditionsdeminuit.fr/images/3/extrait_2277.pdf L’Esthetique du suicide], Les éditions de minuit</ref> ». [[w:Gilles Deleuze|Gilles Deleuze]] évoque la [[w:Pop philosophie|Pop'philosophie]] où "il s’agit de regarder tout objet non comme on regarderait l’intérieur d’une boîte, mais en envisageant tout ce qu’il y a autour, ce qui met la pensée à l’épreuve du monde. « Pop’ » est avant tout « le bruit que fait la boîte lorsque son couvercle saute ». D’où l’importance de l’apostrophe (en tuché, et italiques en automaton, version pop'analytique)<ref>https://www.philomag.com/les-livres/notre-selection/quest-ce-que-la-popphilosophie-36806?fbclid=IwAR3WeRnlHkyX1wBkvChg-TroIWlPni7Kz_AqJceC1iYt9wUL2ss394tfYvQ</ref>. Deleuze se défenestre en 1995 ([https://www.researchgate.net/publication/345377535_Approche_phenomenologique_de_la_defenestration Voir] L'approche phénoménologique de la défenestration). ==== Le Suicide, actualisation du manque d'objet virtuel ==== Dans le ''[[w:Crépuscule des idoles|Crépuscule des idoles]], Divagations d'un inactuel'', [[w:Friedrich Nietzsche|Friedrich Nietzsche]] voit « la mort choisie librement, la mort en temps voulu, avec lucidité et d’un cœur joyeux, accomplie au milieu d’enfants et de témoins, alors qu’un adieu réel est encore possible, alors que celui qui nous quitte existe encore et qu’il est véritablement capable d’évaluer ce qu’il a voulu, ce qu’il a atteint, de récapituler sa vie. » De la [[w:Vie intra-utérine|vie intra-utérine]], le moi précoce, protège « le sujet » des traumatismes « [[w:abject|abjects]] » (à chaque moi son objet, à chaque surmoi son abject), répulsion, pulsion violente, qui peuvent provenir « d’un dedans exorbitant » selon [[w:Julia Kristeva|Julia Kristeva]]<ref>[http://www.mikaversionglauque.fr/pages/abjection.html L'abjection selon Julia Kristeva], Mikaversionglauque</ref> que [[w:Mélanie Klein|Mélanie Klein]] repère dans « l’identification projective » (bons et mauvais objets) et « le [[w:Clivage de l'objet|clivage]] (pas de clivage sans collage.) »<ref>[http://cafe-psy.over-blog.com/article-prochains-debats-mercredi-11-et-25-mai-2011-73054285.html Prochains débats], Café Psy</ref>. L'excorporation : projection, identification projective (etc.) met en relief l'espace et non les objets qui se rencontrent en lui. Vomir n’est pas intentionnel (processus non graduel) mais la sensation physique intolérable de remplissage, débordement, perversion évidente quand la perlaboration est impossible et la réponse narcissique devant des objets ou les situations suscitent le rejet<ref>[http://www.imagoclinica.com/pdf/Le%20processus%20psychanalytique.pdf Le processus psychanalytique: du symptôme au trou émotionnel de Nicolás Caparrós], Imago Clinica</ref> ; incapacité à s’imposer quoi que ce soit, qui est l'essence de la veulerie, qui ne vise plus le nom mais le corps<ref>[http://www.psychologies.com/Moi/Se-connaitre/Comportement/Articles-et-Dossiers/Les-7-nouveaux-peches-capitaux/7 André Comte Sponville, Les 7 nouveaux péchés capitaux], Psychologies</ref>. Pour [[w:Jacques Derrida|Jacques Derrida]], "Partir sans laisser d'adresse devient alors la bénédiction ultime : laisser l'autre survivre sans la surcharge d'un héritage, sans le poids d'un deuil (« le deuil est le phénomène de la mort et c'est le seul phénomène derrière lequel il n'est rien »)", "Pouvoir hériter de ses écrits, nécessite qu’il se donne la mort." Il dit : le Cinéma, les médias et les télé-technologies mettent en scène des spectres dont on ne peut pas faire son deuil, On ne peut pas faire son deuil du dégoûtant : on ne peut que le vomir", comme "[[w:Antigone|Antigone]], qui est pour [[w:Hegel|Hegel]] l'inassimilable, l'indigeste absolu, inclassable et irrecevable". Dans Antitheos, Holderlin parle de l'impatience de Dieu. C'est également le cas des [[w:Spectres de Marx|Spectres de Marx]] qui contredisent la théorie de [[w:La Fin de l'histoire et le Dernier Homme|La Fin de l'histoire et le Dernier Homme]] de [[w:Francis Fukuyama|Francis Fukuyama]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-diogene-2009-4-page-72.htm Marxisme et déconstruction en Chine de Wei Xiaoping], Cairn</ref>. ==== Le Perpétuel Actuel, [[w:symbolisation|symbolisation]] du manque d'objet virtuel ==== Le lieu du symbolique n’est pas l'esprit mais le corps. Pour Anne-Laurence Coopman, le [[w:paraplégique|paraplégique]] vit dans un « perpétuel actuel » car aucun fil conducteur, moment porteur ou signifiant ne vient l'aider à s’inscrire dans une certaine temporalité. Ce « trop de réel », irreprésentable et impensable, que Freud voit comme l’instance du trauma  peut amener le patient au plus proche d’un éprouvé de destruction et d’anéantissement de soi<ref>[http://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2008-1-page-109.htm Traumatisme somatique : « l’esprit comme jouet du corps »], Cairn</ref>. "La (menace de déliaison<ref>[https://www.cairn.info/revue-libres-cahiers-pour-la-psychanalyse-2010-1-page-129.htm Le moi menacé de mort d'Annie Roux], Cairn</ref>) l'actuel découle donc d’un processus de désintrication pulsionnelle, autrement dit, de désorganisation psychique" dit Claude Smadja<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2014-5-page-1503.htm Le Psychanalyste face à la menace de l'actuel de Claude Smadja], Cairn</ref>. Un retour d'investissement d'objet dont le désir d'opulence entraine un surendettement moral, jusqu'à payer de sa personne<ref>[https://www.cairn.info/revue-psychotropes-2009-3-page-9.htm La dette… jusqu'à payer de sa personne de Christian Bucher], Cairn</ref>. == L'Enfant endeuillé par suicide ({{abréviation|EES|enfant endeuillé par suscide}}) == Pour [[w:Serge Lebovici|Serge Lebovici]], les « enfants ayant assisté à la mort violente d'un de leurs parents sont terriblement touchés sur le plan de leur avenir psychiatrique. Le suicide d'un des parents est souvent considéré comme un événement honteux qu’il faut cacher. Bien entendu les enfants connaissent rapidement la cause de la mort du suicidé et s'installe ainsi un lourd secret de famille qui pèse là encore sur les conditions de vie. (...) En dépit des apparences, la mort d'un parent entraîne toujours deuil et surtout sentiment de culpabilité chez l'enfant. On entend souvent pourtant le survivant accuser les enfants d'insouscience : «mon fils est égoïste, il continue à jouer etc.». Ces parents qui se plaignent de l'insensibilité de leurs enfants ne savent sans doute pas que la dépression est [[w:Dépression masquée|masquée]] par des moyens défensifs bien connus en psychiatrie qu'on appelle les défenses [[w:Manies|maniaques]]. On connaît la manie de deuil et on sait que «la vieille femme indigne», lorsqu'elle est veuve, commence à s'amuser<ref>[http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/handle/2042/8212/MURS_1989_16_65.pdf La mort chez l'enfant. Point de vue d'un pédopsychiatre, Serge Lebovici]</ref>. » Pour Michel Hanus : « Ce sont ces endeuillés qui ont le plus besoin d'aide et de soutien et qui en reçoivent le moins, victimes de stigmatisation sociale et sentiment de culpabilité qui entraine une culture du secret »<ref>Le deuil après suicide, Michel Hanus, Perspectives Psy, volume 47, n°4, octobre-décembre 2008</ref>. « Le deuil inhibé correspond à une absence des symptômes normaux du deuil dans un premier temps. Les perturbations affectives s’effacent au profit de nombreux troubles somatiques. Ce type de deuil est fréquent chez l’enfant et chez les personnes dont les capacités verbales et mentales sont faibles », dit [[w:Christophe Fauré|Christophe Fauré]]<ref>[http://www.psydoc-france.fr/conf&rm/conf/endeuilles/textesexperts/FAURE.pdf « Effets et conséquences du suicide sur l’entourage : modalités d’aide et de soutien » Question 1a : « Deuil normal, deuil difficile, deuil compliqué, deuil pathologique » Dr Christophe Fauré - Psychiatre], Psydoc France</ref>. Cecile Paesmans nous dit : « Si la littérature consacrée au deuil est abondante, le deuil après suicide, en particulier chez l'enfant, est un sujet, à ce jour, peu abordé dans la littérature scientifique, voire même inexistant, au vu de nos recherches, dans la littérature systémique<ref>[https://www.cairn.info/revue-etudes-sur-la-mort-2005-1-page-101.htm Enfants endeuillé par le suicide], Cairn</ref>. Le sentiment de honte et l’attitude provocatrice de la famille qui se « désolidarise » du suicidé dans une attitude de dissimulation réprobatrice a besoin de « réparer » d’une manière ou d’une autre ce qui s’est passé, se faire pardonner aux yeux des autres et à leurs propres yeux une faute qu’ils n’ont pas commise en s’occupant, par exemple, de façon assidue d’une personne qui ressemble au suicidé. L’illusion dérisoire de préserver une certaine stabilité par le silence qui apparaît au début comme la meilleure solution pour l’entourage et la famille, se transforme avec le temps en un véritable poison pour le corps et l’esprit ; chacun s’enferme à l’intérieur de lui-même »<ref>[http://www.systemique.be/spip/spip.php?article75 Le deuil après suicide], Systemique</ref>. === L’Épigénèse === Le risque de psychose augmente de 84% chez les enfants endeuillés. Le chiffre double, en cas de deuil par suicide après deux ans et triple avant deux ans<ref>[http://www.lapresse.ca/actualites/sante/201401/24/01-4732266-le-deuil-en-bas-age-un-facteur-de-psychose-selon-une-etude.php Le deuil en bas âge, un facteur de psychose, selon une étude], La presse.ca</ref>. Pour [[w:Boris Cyrulnik|Boris Cyrulnik]], la [[w:Résilience (psychologie)|Résilience]] permet de revenir d'un état de [[w:Trouble de stress post-traumatique|stress post traumatique]] mais il décèle aussi une pente vers le suicide chez l'enfant, assimilé à un accident, du à une carence plus importante en [[w:Sérotonine|Sérotonine]] ou à un environnement anxiogène, qui l'interroge sur le contexte épigénétique (mécanisme contextuel modulant le patrimoine génétique)<ref>[http://www.leparisien.fr/societe/le-suicide-des-enfants-un-phenomene-sous-estime-29-09-2011-1630658.php Le suicide des enfants, «un phénomène sous-estimé»], [[w:Le Parisien|Le Parisien]]</ref>{{,}}<ref>[http://www.lefigaro.fr/actualite-france/2011/09/28/01016-20110928ARTFIG00690-premiere-etude-sur-le-suicide-des-enfants.php Première étude sur le suicide des enfants], [[w:Le Figaro|Le Figaro]]</ref>. ==== La [[w:Physiopathologie|Physiopathogénèse]]<ref>[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0003448705002994 Suicide et schizophrénie : évaluation du risque et prévention], Science direct</ref> ==== Il existe trois forme de physiopathogénèse: le ''Complexe d'Hermione'' (système de pare-exciation déficient), le ''Complexe de Perséphone'' (angoisse de perte d'objet) et le ''Complexe de l’albatros'' (désengendrement). [[w:Jenny Aubry|Jenny Aubry]] a étudié les cas des enfant séparés: "Si la mère est névrosée, il témoigne de sa culpabilité, si elle est perverse, il lui sert de fétiche et si elle est psychotique, il incarne sa forclusion<ref>[https://www.cairn.info/revue-champ-lacanien-2006-2-page-41.htm Quelques remarques sur les notes de Lacan à Jenny Aubry et sur la psychose chez l’enfant de Patrick Barillot], Cairn</ref>." ===== Le [[w:Hermione|Complexe d’Hermione]] ===== Le suicide parental et/ou [[w:André Green|Complexe de la mère morte]] appliqué au deuil après suicide correspond au Complexe d’Hermione, suicidée sur le corps de Pyrrhus. Pour Freud, « le traumatisme arrive car quand les systèmes (psychiques) ne sont pas en mesure de lier les quantités d'excitation qui arrivent, les conséquences de l'effraction du pare stimuli s'installent d'autant plus facilement. Et l'expérience demeure dans le psychisme comme un corps étranger<ref>[http://www.cairn.info/revue-enfances-et-psy-2008-1-page-97.htm Parcours dans la mucoviscidose : un cas clinique], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://heroscontemporainsetpsychanalyse.wordpress.com/2012/10/02/les-chevaliers-du-zodiaque-ou-lhyperactivit/ Les chevaliers du zodiaque ou l'hyperactivité], Angélique Christaki</ref>. » Dans ''Suicide maternel et psychanalyse'', [[w:Marie-Frédérique Bacqué|Marie-Frédérique Bacqué]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-etudes-sur-la-mort-2005-1-page-79.htm Suicide Maternel et psychanalyse], Cairn</ref>, constate chez l'enfant endeuillé un système [[w:Homéostase|homéostatique]] de ''pare-excitation'' déficient, provoquant un sentiment agressif d{{'}}''abandon'' et un ''fonctionnement limite de la personnalité'' ne permettant pas d'atteindre la castration mais l'entrainant vers une pente suicidaire, non pas par ''identification'' mais pour rechercher la ''mêmeté'' ou l{{'}}''indifférenciation'', jusqu'à devenir ''greffon salvateur'', ''bébé antidépresseur'' parfois jusqu'à la ''stérilité psychogène.'' (Voir aussi syndrome de [[w:Pénélope|Pénélope]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-libres-cahiers-pour-la-psychanalyse-2003-2-page-129.htm Héroïnes de Miguel de Azambuja], Cairn</ref>. ===== Le Complexe de Perséphone ===== L’[[w:angoisse de perte d'objet|angoisse de perte d'objet]] de Perséphone<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-jungiens-de-psychanalyse-2003-3-page-21.htm Déméter au divan par Mariette Mignet], Cairn</ref> ou [[w:Caliban (Shakespeare)|Caliban]] (la perte d’objet est la définition du risque, comportement anobjectal, coefficient beta), angoisse d'abandon pour Sigmund Freud, dépression anaclitique pour [[w:René Spitz|René Spitz]] ou « syndrome d'abandon » pour [[w:Germaine Guex|Germaine Guex]] permet de distinguer les angoisses de castration et de morcellement, « organisations » plus fragiles dites « caractérielles », mettant sans cesse à l'épreuve la sollicitude et la bienveillance des adultes, par des attitudes provocatrices et agressives. La dépression obsessionnelle est par excellence le deuil du père, ou d'un objet assimilé au registre paternel. [[w:Octave Mannoni|Octave Mannoni]] parle de ''Complexe de Caliban'', d'[[w:Complexe d'infériorité|infériorité]] et de dépendance<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2002-2-page-181.htm La figure de l’otage Les organisateurs inconscients de la violence en institution], Cairn</ref> (Figure de l'otage, Complexe du martyr, "moi sans soi"<ref>[https://www.cairn.info/revue-pardes-2007-1-page-123.htm La substitution et la sollicitude, Comment [[w:Emmanuel Lévinas|Lévinas]] reprit [[w:Martin Heidegger|Heidegger]] par [[w:Jean-Luc Marion|Jean-Luc Marion]]], Cairn</ref>). Charlotte de Parseval, fait un parallèle entre les concepts de ''Faux self'' de Winnicott, de ''Nourrisson savant'' de Ferenczi, et de ''Personnalité comme si'' d'Hélène Deutsch, ou psychose ordinaire ([[w:Jacques Alain Miller|Jacques Alain Miller]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-information-psychiatrique-2010-5-page-405.htm Une clinique de la psychose ordinaire], Cairn</ref>{{,}}<ref>https://www.causefreudienne.net/la-psychose-ordinaire/</Ref>) survenant par crainte de l'effondrement du à un traumatisme narcissique précoce d'empiètement qu’il ne peut modifier de façon ''alloplastique'' (en modifiant son environnement). Le suicide, pris dans une pulsion infanticide/parricide<ref>[http://www.le-gout-de-la-psychanalyse.fr/?p=3011 Les aléas de la fonction paternelle dans la névrose et dans la perversion], Le goût de la psychanalyse</ref>, devient alors fantasme d'excommunicationn, de licenciement, d'expulsion ou ''auto-éjaculation homoérotique'' ([[w:Bernard Golse|Bernard Golse]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-topique-2011-4-page-117.htm Suicide ou meurtre en famille ? de Delphine Bonnichon], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-lettre-de-l-enfance-et-de-l-adolescence-2011-1-page-61.htm Le crachat adolescent, de Pascal Le Maléfan, La lettre de l'enfance et de l'adolescence], Cairn</ref>. Freud dit de l’identification dans la perte d’objet dans « Deuil et Mélancolie » (1917) à propos de l’énigme du suicide: « Dans les deux situations les plus opposées de la passion amoureuse et du suicide, le moi est subjugué par l’objet, quoique de deux manières totalement différentes<ref>[https://www.cairn.info/revue-libres-cahiers-pour-la-psychanalyse-2001-1-page-75.htm État amoureux et perte d’objet de Robert C. Bak], cairn</ref>. » Pour Lacan, l’amour est comique, menteur et une forme de suicide qui fait "de l’Un avec du deux ou du plus d’Un<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-en-je-lacanien-2008-1-page-139.htm Au nom de l’amourt par Stéphane Habib], Cairn</ref>. ===== Le Désengendrement ===== Les Complexes de l'Albatros (inhibition intellectuelle chez l'enfant intellectuellement précoce) et de ''Complexe de [[w:Jonas|Jonas]]'' (phobie de sa propre puissance), ou du ''Complexe d'[[w:Actéon|Actéon]]'' (phobie du savant, qui viole du regard dit [[w:Sartre|Jean-Paul Sartre]]), c’est en se transformant de façon ''autoplastique'' (tendance à la désorganisation inhibée par un clivage narcissique défensif et mutilant), que son ''hypermaturation intellectuelle'' peut devenir ''prostitution de l'intellect''<ref>[https://www.cairn.info/revue-travail-genre-et-societes-2003-2-page-129.htm Je suis une prostituée, tu seras un travailleur du sexe. Une filiation impossible], Cairn</ref> masquant sa ''déprivation'' et son ''amaturité'' cachée s'appuyant sur l{{'}}''introjection mimétique'' de son parent. L{{'}}''enfant thérapeute'' devient alors, selon Jean-Francois Rabain un ''Bébé météo'' à ne pas confondre avec le [[w:Bébé-médicament|Bébé-médicament]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-coq-heron-2007-2-page-122.htm De Ferenczi à Winnicott : le « nourrisson savant » et le faux self], Cairn</ref>. Pour [[w:Geneviève Delaisi de Parseval|Geneviève Delaisi de Parseval]], le désir d’avoir un enfant chez les hommes, leur permet de « s’assurer de leur fécondité, se démarquer de leur propre père ou médiatiser un deuil<ref>La Part du père de Geneviève Delaisi de Parseval. (Points Essais, Seuil, 2004).</ref>. » La [[w:Grossesse|grossesse]] et l'interruption ont la même fonction symbolique : un inconcevable<ref>Interruption volontaire de grossesse : la dynamique du sens de Bernadette Rondot-Mattauer. (Erès, 2003).</ref>{{,}}<ref>[http://www.psychologies.com/Famille/Maternite/Desir-d-enfant/Articles-et-Dossiers/Les-enjeux-inconscients-de-l-IVG Les enjeux inconscients de l'IVG], Psychologies</ref>, une pure contingence, bloquant « la double illusion de la complétude narcissique, de la bisexualité réalisée, du fantasme d’auto-engendrement : hermaphrodite dans son désir, à la fois homme et femme, le sujet n’est finalement plus ni homme ni femme (objet a ne remplissant pas sa fonction de bouche-trou, [[w:Association du syndrome de Benjamin|Syndrome de Benjamin]]) », dit Fern Nevjinsky<ref>[http://www.cairn.info/revue-bulletin-de-psychologie-2009-5-page-467.htm Que sait-on de l’infertilité psychogène masculine ?], Cairn</ref>. ==== L’Autogénèse ==== Il existe trois formes d'auto-engendrement : le ''Complexe de Périandre'' (inceste), le ''Complexe de Télémaque'' (invocation de la loi) et le ''Complexe de Prométhée'' (épistémophilie du paranoïaque). ===== Le [[w:Périandre|Complexe de Périandre]] ===== [[w:Paul-Claude Racamier|Paul-Claude Racamier]] oppose à l’Œdipe, l’[[w:Inceste|inceste]], pare-feu libidinal, irreprésentable, vide de la pensée, blanche et opératoire, engrènement de l’ordre de l’agir, du faire agir, circuit interactif, entrainant un ''saccage psychique''  (M. Hurni et G. Stoll), désobjectalisant ([[w:André Green|André Green]]), provoquant une indifférenciation transsubjective, antifantasmatique, antisymbolique. Désengendré, la représentation et le sexe du père sont exclus ». La mère tarit le désir de l'enfant devenu fétiche, « ''objet - non-objet'' » faire-valoir, instrument narcissique et combat le sexuel comme son ennemi le plus intime<ref>[http://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2002-1-page-179.htm L’incestuel dans les familles], Cairn</ref>. Le père devient la mère, la mère devient le père, le gendre devient le fils, l'enfant devient le parent pour poursuivre et revivifier une relation de séduction narcissique. Les enfants appellent leurs parents par leurs prénoms et la porte de leur chambre ne ferme pas. Il s’apparente au [[w:Complexe de Jocaste|Complexe de Jocaste]], qu'on retrouve chez certaines mères ménopausées (écoulement, assèchement)<ref>[https://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=RFP_694_1013 Quel retour d'âge ? Début de la fin ou fin du début ? par Jacqueline Schaeffer], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2001-2-page-99.htm Le réveil des angoisses précoces d'écoulement ou d'assèchement lors de l'apprentissage de la propreté Nathalie Barabé], Cairn</ref>. ===== Le [[w:Télémaque|Complexe de Télémaque]] ===== [[w:Massimo Recalcati|Massimo Recalcati]] l'oppose au complexe d'Œdipe. Il est transgresseur et "invocateur de la loi". L'autorité d'Ulysse, si elle s’autorécuse, devient incestuelle, dit [[w:Hannah Arendt|Hannah Arendt]], « pure culture de la pulsion de mort » et « omnipotence inanitaire », dit Racamier. Faire preuve d’humour en tenant à l’enfant un « discours plein de sollicitude consolatrice », repulsionnalise l’interdit et entraine une coexcitation sadomasochique incestuelle. Cette transgression expropriante dont parlent [[w:Georges Bataille|Georges Bataille]], [[w:Peter Sloterdjik|Peter Sloterdjik]] ou [[w:Mehdi Beladj Kacem|Mehdi Beladj Kacem]] invoque aussi le [[w:cynisme|cynisme]] stoîcien et son influence sur la psychanalyse. Il faut différencier le trait d’esprit ('''épargne de l’énergie psychique''' qui, par l’inhibition ou la répression, sert à maintenir inconsciente l’idée qu’exprime le mot d’esprit), du comique ('''épargne de représentation''', en mettant en scène de façon condensée des idées qui nécessiteraient une grande mobilisation de moyens verbaux) et de l’humour ('''épargne d’affects''')<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2005-1-page-63.htm L'humour des patients schizophrènes], Cairn</ref>. Le rire, comparable à la "honte anale (qui) vise le lâchage du contrôle (est une) honte sexuelle (qui) joint la décharge du rire à la décharge orgastique, et l’exhibition du rire rejoint l’exhibition du sexe féminin"<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2017-1-page-45.htm Le propre de la femme ? Le rire de Sarah et de Déméter], Cairn</ref>. Le triomphe et la culpabilité d’avoir inversé l’ordre générationnel personnifie dans le réel, pour le parent, l’autorité grand-parentale. Pour Freud, la crédulité de l’amour devient une source importante, sinon la source originelle de l’autorité. Le rapport moi/surmoi devient homomorphe (pareil et pas pareil) au rapport enfant/parent. (voir aussi la comparaison avec [[w:Louis XIV|Louis XIV]] de [[w:Fénelon|Fénelon]] dans [[w:Les Aventures de Télémaque (Fénelon)|Les Aventures de Télémaque (Fénelon)]], la grâce du suicide chez [[w:Catherine Millot|Catherine Millot]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2005-2-page-163.htm La passion du renoncement], Cairn</ref>, l'optimisme de [[w:Candide|Candide]] de [[w:Voltaire|Voltaire]] et la vision du videngeur d'excréments chez [[w:Yuko Mishima|Yuko Mishima]]) ===== Le [[w:La Psychanalyse du feu|Complexe de Prométhée]] ===== Prométhée signifie "celui qui pense avant" ; son jumeau, [[w:Épiméthée|Épiméthée]], "celui qui pense après". [[w:Gaston Bachelard|Gaston Bachelard]] en fait un complexe d'Œdipe de la vie intellectuelle<ref>[http://www.psydoc-france.fr/conf&rm/conf/endeuilles/textesexperts/WALTER.pdf Les mecanismes d'adaptation, de défense, de refoulement, Les sequelles psycho-pathologiques lors du deuil après suicide, Walter Brest], Psydoc France</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-telemaque-2012-1-page-19.htm Épistémophilie par Jacques Arveiller], Cairn</ref> [[w:Sublimation (psychanalyse)|épistemophilique]] (Lacan dit passion (terreur sans langage pour Anne Dufourmantelle) ''trumaine plutomythique'')<ref>[http://www.champlacanienfrance.net/IMG/pdf/L14MBousseyroux.pdf Un savoir comme enfer de Michel Bousseyroux], Champ Lacanien France</ref>{{,}}<ref>[http://www.cairn.info/revue-topique-2014-2-page-63.htm La pulsion épistémophilique : la place du savoir dans le transfert. Freud, Klein et Lacan], Cairn</ref>{{,}}<ref>[http://www.cairn.info/revue-champ-psychosomatique-2005-2-page-109.htm La vie sexuelle de Catherine M. ou la nouvelle « Belle au bois dormant »], Cairn</ref>. Pour Mireille Guittonneau-Bertholet, les théories infantiles sur le suicide, dans un jeu paradoxal permettent de s’auto-engendrer et se déprendre de la figure d’un mort à laquelle ils ont été précocement identifiés<ref>[https://www.cairn.info/resume.php?ID_ARTICLE=TOP_130_0113 Théories infantiles sur le suicide et tentative d’auto-engendrement], Cairn</ref> (reliance et déliance, sublimation, sexualité inactive ou homosexuelle après avoir converti sa sexualité inachevée (infantile) en une pulsion de savoir : voir [[w:Un souvenir d'enfance de Léonard de Vinci|Un souvenir d'enfance de Léonard de Vinci]], le syndrome de ''Trouble brain injury'' de Ruth Bettelheim, fille du psychanalyste suicidé<ref>[http://www.huffingtonpost.com/ruth-bettelheim/tbi-military-suicides_b_2108976.html Why Heroes Kill Themselves], Huffington Post</ref>, du [[w:graffiti|graffiti]] et des réseaux sociaux, désaffiliations provisoires, sans rémunération et/ou contre amende, du nom-du-père, père symbolique ou père mort<ref>[https://sejed.revues.org/185 Le psychologue à l’écoute des adolescents tagueurs], SEJED</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-perspectives-psy-2009-2-page-176.htm Scarifications et « représentation de peau »], Cairn</ref> « car en s'autographiant par la mise en scène d'un fantasme d'auto-engendrement, en surinvestissant (sentimental<ref>[http://leplus.nouvelobs.com/contribution/1237869-valerie-trierweiler-ou-le-tragique-surinvestissement-sentimental-des-femmes.html Valérie Trierweiler, ou le tragique surinvestissement sentimental des femmes], L’Obs</ref>, législatif<ref>[https://www.cairn.info/revue-archives-de-politique-criminelle-2012-1-page-31.htm Le surinvestissement législatif en matière d’infractions sexuelles], Cairn</ref>, numérique<ref>[https://www.cairn.info/devoreurs-d-ecrans--9782804702748-p-105.htm Le surinvestissement des espaces numériques], Cairn</ref>, éducatif<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-revue-internationale-de-l-education-familiale-2009-2-page-117.htm Le surinvestissement des mères coréennes pour la réussite scolaire des enfants], Cairn</ref>, sportif<ref>[https://www.cairn.info/revue-perspectives-psy-2006-2-p-157.htm Le surinvestissement sportif : une parade contre l’angoisse de la perte et l’intolérance à l’affect], Cairn</ref> ou du savoir<ref>[https://www.cairn.info/revue-enfances-et-psy-2002-1-p-105.htm De la phobie scolaire au surinvestissement du savoir], Cairn</ref>) sa signature, oraison funèbre et ex voto »<ref>''Psychologie de la violence », de Christophe Bormans, 2004</ref> puisque comme dit Lacan : « c’est aussi bien, comme désir de mort en effet que l'homme s'affirme pour les autres que dans l’ambiguïté vitale de son désir immédiat ». L’Ecclésiaste le dit : « qui accroît sa science, accroît sa douleur. » ==== La Parthénogénèse ==== Il existe trois forme de parthénogénèse: le ''Complexe d'Hamlet'' (autocannibalisme), le ''Complexe de Thésée'' (parricide) et le ''Syndrome de l'imposteur'' (cannibalisme). ===== [[w:Hamlet|Le Complexe d'Hamlet]] ===== Pour [[w:Goethe|Goethe]], la pensée d'Hamlet inhibe son acte<ref>[http://www.lacanquotidien.fr/blog/wp-content/uploads/2013/11/LQ-349.pdf Hamlet et le désir], Lacan Quotidien</ref>. Il pense trop... et trop bien<ref>https://www.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2002-1-page-221.htm</ref> avant de tuer Claudius (le frère de son père) qui a réalisé, son désir œdipien inconscient devenant alors ''phallus réel'', signifant en tant que tel de la puissance et cause de sa procrastination, après la rencontre avec le fantôme de son père qui entraîne sa "dépersonnalisation". Lacan fait dire à la mère d’Hamlet : « Je suis ce que je suis, avec moi il n’y a rien à faire, je suis une vraie [[w:Stade génital|génitale]]. Moi, je ne connais pas le deuil. Elle est simplement un con béant. Quand l’un est parti, l’autre arrive. C’est de cela qu’il s’agit. » Hamlet n’a plus de désir pour Ophélie qui a cessé d’être une femme mais une mère potentielle, ou le ''phallus''. (Voir le [https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2009-2-page-221.htm Complexe d’Oblomov]) L'indisponibilité de l'enfant désengendré par l’[[w:Incorporation (psychanalyse)|incorporation]] du parent de même sexe, détournant la composante incestueuse au profit d’un fantasme d’auto-engendrement, système défensif évitant le clivage, le deuil de la scène primitive et le sentiment d’usurpation, devient [[w:Parthénogénése|parthénogénétique]] (autocannibalique) et entraine un [[w:cannibalisme|cannibalisme]] polysémique rompant la chaîne transgénérationnelle en avalant son père et en s'accaparant sa toute-puissance<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2005-2-page-69.htm Apport de la clinique des groupes à la métapsychologie : le concept d’auto-engendrement de Jean-Bernard Chapelier], Cairn</ref>. » Selon René Kaës, « la parthénogénèse (reproduction monoparentale ou mono-engendrement) est une défense contre l'horreur de l'inceste : si l'enfant nait d'un coït, ce sera l'enfant abhorré d'un désir incestueux pour le frère<ref>[https://www.slate.fr/story/199503/inceste-fratries-freres-soeurs-cousin-tabou-parents-education-viol-agression-sexuelle-mineurs L'inceste fraternel, quand les parents de la victime sont aussi ceux de l'agresseur], Slate, 22 janvier 2021</ref>{{,}}<ref>[https://shs.cairn.info/revue-le-divan-familial-2003-1-page-145?lang=fr L'inceste fraternel, par Rosa Jaïtin], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://shs.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2013-1-page-99?lang=fr Filicide et destruction du lien fraternel, par Rosa Jaïtin et Philippe Robert], Cairn</ref> : par un rêve de parthénogénèse, la mère à venir se protège des dangers de ce désir<ref>Le travail de l'Inconscient, de René Kaës, p.26</ref>{{,}}<ref>[https://shs.cairn.info/revue-l-information-psychiatrique-2016-10-page-837?lang=fr Inceste fraternel ou abus sexuel dans la fratrie ?, par Emmanuel de Becker], Cairn</ref> », par la diffraction du transfert<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2005-2-page-109.htmLes configurations du lien, la chaîne associative groupale et la diffraction du transfert, par Claudine Vacheret], Carin</ref>. On retrouve aussi cette description dans le ''Complexe de la Madone et de la Putain''. ===== Le [[w:Thésée|Complexe de Thésée]] ===== Dans son livre [[w:Dostoïevski et le parricide|Dostoïevski et le parricide]], Freud évoque le masochisme appaisé par les situations les plus dures qui deviennent comme de véritables respirations<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-en-je-lacanien-2007-2-page-119.htm Dostoïevski et le parricide : du fantasme de l'amour du père au fantasme du meurtre du père par Annie Miriel], Cairn</ref>. Jean Ménéchal y voit la digestion du père par l'enfant endeuillé par le suicide<ref>[https://www.cairn.info/psychanalyse-et-politique--9782749209234-p-137.htm Le complexe de Thésée], Cairn</ref>. De la perversion à la sublimation (élévation symbolique d’un objet imaginaire à la dignité de la Chose réelle<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2002-2-page-57.htm À quoi sert la sublimation ? de Baldine Saint Girons], Cairn</ref>), s'élabore une structure hystérique et parricide<ref>[https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2009-1-page-5.htm L’hystérie masculine], Cairn</ref>, basée sur l'alliance et une fraternité dépassant le cadre familial. Pour [[w:René Girard|René Girard]], on ne peut aimer que par le truchement d'un tiers (ici le père), dans une configuration triangulaire et nihiliste, dont le désir mimétique et dégradé entraine la violence (ici le suicide)<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-telemaque-2007-2-page-93.htm Pour en finir avec le XXe siécle et ses éternelles adolescences, un roman d’éducation pour le troisième millénaire], Cairn</ref>. [[w:Bertrand Gervais|Bertrand Gervais]] y voit un [[w:Trouble dissociatif de l'identité|Trouble dissociatif de l'identité]] labyrinthique. [[w:René Kaës|René Kaës]] dit : "Comme Œdipe, Thésée part a la recherche de son pére et le tue, mais il sait au départ qui est son pére, et c’est indirectement qu’il provoque sa mort. De même. l'inceste de Thésée est déplacé de la mére sur une belle sœur ; celui de [[w:Phèdre (mythologie)|Phèdre]] est déplacé du fils sur le beau-fils, [[w:Hippolyte fils de Thésée|Hippolyte]]. Dans le destin de Thésée, le complexe d'Œdipe ne s'exprimera que par des actes manqués. Dans celui d'Œdipe, il ne s'exprimera que par des actes réussis (la réussite de l’acte fait l’échec du rapport)<ref>''Le travail de l'Inconscient: Textes choisis, présentés et annotés'', de René Kaës, Didier Anzieu</ref>." ===== Le [[w:Syndrome de l'imposteur|Syndrome de l'imposteur]] ===== L'indisponibilité et l'incorporation cannibalique et nihiliste est assimilable a ce que [[w:Karl Marx|Marx]] et [[w:Georg Lukacs|Lukacs]] nomment la [[w:réification|réification]] (traitement du sujet comme un objet propre à la [[w:Névrose obsessionnelle|Névrose obsessionnelle]] [[w:Toute-puissance (psychanalyse)|toute-puissante]]), contre laquelle, le suicide devient un pur acte précurseur philosophique (Lukacs) et une ambiguïté parfaite contre la [[w:Société du spectacle|Société du spectacle]] ([[w:Guy Debord|Debord]]). Elle est le fruit de la ''Société du Suicide'' ([[w:Jean Baudrillard|Baudrillard]]), de l’exclusion des journalistes dans l’entre-deux-guerres (Naït-Bouda)<ref>[http://communication.revues.org/5104 Vers un journalisme réifié ?], Revues</ref> et du processus d'[[w:Autofiction|autofiction]] de la [[w:Téléréalité|téléréalité]] (Bouchoux<ref>[http://www.huffingtonpost.fr/2015/10/21/mon-roi-maiwenn-echapper-pervers-narcissique_n_8345592.html "[[w:Mon Roi|Mon Roi]]" de [[w:Maïwenn|Maïwenn]]: Comment échapper au pervers narcissique ?], The Huffington Post</ref>), propre au perfectionnisme sceptique<ref>[https://www.cairn.info/stanley-cavell-le-cinema-et-le-scepticisme--9782130569732.htm Stanley Cavell, le cinéma et le scepticisme par Élise Domenach], Cairn</ref> qui voit dans l’[[w:Identification projective|Identification projective]] au ''faux père réel'', brouillage du [[w:Trait unaire|Trait unaire]], une forme de [[w:Perversion narcissique|perversion narcissique]], dont la victime machiavélique<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2007-1-page-203.htm Virilité en perte par Silvia Lipp], Cairn</ref> devient, selon Simone Korff-Sausse, [[w:cannibalisme|cannibale]]<ref>[http://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2003-3-page-943.htm Hystérie et perversion : le pervers narcissique], Cairn</ref>{{,}}<ref>[http://www.cairn.info/article.php?ID_REVUE=RFP&ID_NUMPUBLIE=RFP_673&ID_ARTICLE=RFP_673_0925 Korff-Sausse S., La femme du pervers narcissique, Revue française de psychanalyse 2003/3, Volume 67, p. 925-942.], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://fr.sott.net/article/3963-La-victime-oubliee-les-femmes-qui-aiment-les-psychopathes], Sott</ref>. L'imposteur doit à tout prix imposer sa certitude à la crédulité de sa victime<ref>[https://www.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2010-1-page-11.htm L'imposture héroïque], Cairn</ref>. On pense aussi au cas de maternités ou de paternités imposées. « Le héros est celui qui peut impunément être trahi » (Séminaire VII, p. 370)<ref>[https://lacanquotidien.fr/blog/2012/01/on-en-parle/ On en parle], Lacan quotidien</ref>. Les cas de « rage narcissique » ([[w:Heinz Kohut|Heinz Kohut]])<ref>[http://www.cairn.info/revue-recherches-en-psychanalyse-2004-2-page-41.htm Le crime d’amour-propre], Cairn</ref>{{,}}<ref>[http://www.adhes.net/la-perspective-de-heinz-kohut-paul-denis.aspx La perspective de Heinz Kohut Paul Denis], Adhes</ref>, de « narcissisme criminel » ([[w:Jean-Claude Romand|Jean-Claude Romand]]) fait dire à Freud, les criminels, conscients de leur culpabilité, passent à l’acte pour se libérer d'une tension afin d’obtenir une punition masochiste, elle aussi, source de soulagement contre la souffrance (le signifiant représente le sujet pour un autre signifiant, emprisonnement du sens non délivré par le surmoi, diplopie du moi, surimpression paraphrénique), propre aux affabulations de [[w:Pinocchio|Pinocchio]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-lettre-de-l-enfance-et-de-l-adolescence-2010-1-page-59.htm L’impensable mise à mort de Pinocchio. Quand la fiction échappe à son créateur], Cairn</ref>. "Dans cette occurrence, l’objet interne externalisé est frappé à mort. À l’inverse, lors du suicide mélancolique, c’est l’objet externe internalisé qui est visé", dit Guy Roger<ref>[https://www.cairn.info/revue-topique-2005-1-page-9.htm Désir d’amour], Cairn</ref>. === L’Épiphylogénèse === La question de la transmission du comportement suicidaire à l'enfant endeuillé par le suicide nous conduit à étudier dans ''Technique et Temps : La faute d’[[w:Épiméthée|Épiméthée]]'', ce que [[w:Bernard Stiegler|Bernard Stiegler]] nomme épiphylogénèse (passé hérité qui n'a pourtant pas été vécu, évolution non génétique supposant l’hérédité de l’acquis<ref>[http://arsindustrialis.org/epiphylogénèse- Epiphylogenese], Ars Industrialis</ref>, principe transformisme lamarckien<ref>https://www.youtube.com/watch?v=_0_OVnxfhw0</ref>) dite rétention tertiaire ou la mémoire extériorisée dans des organes mnémotechniques, des mémoires matérialisées et extériorisées (arraisonnées, stockées dans des mémoires artificielles, Autre de l’Autre réel, impossible, faire qui nous échappe<ref>[http://www.aefl.fr/pdf_journees_sinthome/Commentaire%20de%20la%20Leçon%20IV%20du%20séminaire%20Le%20Sinthome.pdf Le sinthome], AEFL</ref>.), font disparaître ce qui est là, remodèle le rapport de la conscience à ce qui arrive et supprime notre disponibilité au monde<ref>[http://rhuthmos.eu/IMG/pdf/benjamin_fernandez_le_temps_du_monde.pdf Benjamin Fernandez, Le temps du monde], Ruthmos</ref>. Nous partirons de la Parthénogénèse (stade oral) pour comprendre comment l’auto-désengendrement<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-carnet-psy-2003-4-page-27.htm# La parentalité : un nouveau concept pour quelles réalités ?, la place du père de François Marty], Cairn</ref> de l'enfant (stade anal) peut conduire à sa réification dit syndrome du kamikaze (stade phallique). ==== L’Auto-désengendrement ==== Il existe trois formes d'auto-désengendrements: ''Complexe de Laïos'' (avortement), ''Complexe de Médée'' (infanticide) ou ''Effet Golem'' (maltratance). ===== Le [[w:Laïos|Complexe de Laïos]]<ref>[https://www.cairn.info/resume.php?ID_ARTICLE=RFP_G1993_57N2_0551 Le complexe de Laïos selon John Munder Ross par Cléopâtre Athanassiou], Cairn</ref> ===== La réification de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}} par l’[[w:Infanticide|euthanasie néonatale]]<ref>[http://www.ieb-eib.org/fr/pdf/etude-je-ne-veux-pas-de-cet-enfant.pdf Je ne veux pas de cet enfant], Leb eib</ref>. [[w:Roland Gori|Roland Gori]] voit l’objet de la haine du sujet comme la part innommable de l’être échappant à l’appropriation, à jamais perdue au champ de la parole<ref>[https://www.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2003-2-page-131.htm Lacan, le symbolique et le signifiant de Patrick Juignet], Cairn</ref> et du langage. Pour Kyveli Vogiatzoglou, c’est la passion du sujet qui vise la destruction de son objet, pour éradiquer l'autre, jusqu'à forclore le terme même de l'altérité, en se retirant du lien social, fondé sur le symbolique, pour abolir la différence, et « lutter contre la désorganisation psychique et la dépersonnalisation (la non-reconnaissance de l’image spéculaire dit Lacan)», dit Paul Denis<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?publication_cdl=la-haine La Haine], SPP</ref>. Elle peut conduire au [[w:Syndrome de Silverman|Syndrome de Silverman]] et au [[w:Syndrome de Münchhausen par procuration|Syndrome de Münchhausen par procuration]]. ===== Le [[w:Médée|Complexe de Médée]] ===== Il illustre la réification de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}} par la réduction de l'enfant à un statut de pur objet réel, expression d’un fantasme d’[[w:anéantissement|anéantissement]] (question du sacrifice et de l’auto-appropriation chez [[w:Jean-Luc Marion|Jean-Luc Marion]] et [[w:Jan Patočka|Jan Patočka]]<ref>[https://www.bnf.fr/fr/mediatheque/jean-luc-marion-et-la-question-du-sacrifice Jean-Luc Marion et la question du sacrifice], BNF</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/le-complexe-de-medee--9782804159054.htm Le complexe de Médée : Quand une mère prive le père de ses enfants par Alain Depaulis], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-enfances-et-psy-2009-3-page-111.htm Infanticide et sacrifice], Cairn</ref>, rupture avec une solitude radicale ([[w:Dilemme du hérisson|Dilemme du hérisson]]), pas par l’isolement mais par la mise en spectacle de son irréductible différence, abréaction pour devenir « plus femme que mère », car « elle est tout simplement ailleurs » dit [[w:Caroline Eliacheff|Caroline Eliacheff]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-recherches-en-psychanalyse-2010-1-page-77.htm Médée, une lecture de la haine à la lumière de la clinique mère-enfant]</ref>. Elle est [[w:nécrophile|nécrophile]] (Sophie de Mijolla-Mellor), lorsque son prédateur, fasciné par son [[w:inquiétante étrangeté|inquiétante étrangeté]] (doute qu’une chose soit morte ou vivante), provoque un trouble désorganisateur du sujet dont la perversion se déplace du fétichisme (qui a trait au désaveu, ou à la « répudiation ») au masochisme originaire<ref>[https://www.cairn.info/revue-multitudes-2006-2-page-53.htm Deleuze avec Masoch par Éric Alliez], Cairn</ref>, ne pouvant s’appliquer à lui-même cette exigence de jouir sans libido, selon Lacan, il l’applique au partenaire, objet d’un forçage (sadisme, exhibitionnisme, voyeurisme, nécrophilie) par le [[w:racket|racket]], l’escroquerie, âme de la perversion (« Le voleur cherche sa mère », nous dit Winnicott<ref>[http://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2006-2-page-55.htm La (dé)mission perverse de Pierre Bruno], Cairn</ref>. Lacan disait "La perversion est l'essence de l'homme"<ref>[L’enfant, objet a de Lacan d'Alain Vanier], Cairn</ref>. Le viol sans prédation devient un viol induit, non captatif, sans rapt ni prise d'otage, sans effet de surprise, qui répond à un désir de [[w:Corruption de mineur|corruption]], de "dévastation" et de "déprédation" sans désir d'appropriation<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-information-psychiatrique-2008-3-page-193.htm 2008/3 La perversion narcissique, un concept en évolution d'Alberto Eiguer], Cairn</ref>. A contrario, la mère abandonneuse, abandonnée dans un premier temps, reproduit son propre déracinement, en livrant ses enfants à un orphelinat, à une vie sans père ou à une famille dysfonctionnelle. L’enfant abandonné, fruit d'un abandon social, est jalousé, a fortiori, associé à tort à une déficience voir un handicap<ref>https://shs.cairn.info/deficient-mental-et-la-psychanalyse--2913376428?lang=fr</ref>. ===== Le Complexe de l’[[w:Homo sacer|Homo sacer]] ===== L'[[w:Effet Golem|Effet Golem]], l'[[w:Acrasie|acrasie]], le management de l'intimidation, du découragement du plus faible<ref>[https://www.cairn.info/revue-sociologie-2015-2-page-195.htm?fbclid=IwAR3C1sYHiSKEVvS1yAQCZorrQh0xYaK6jhDTjgvWdBsQtSy-9Rqmk3x3YhA# Que peuvent dire les suicides au travail ? Christian Baudelot et Michel Gollac], Cairn</ref>, proche du ''Complexe de Prospero'' (paternalisme agressif), [[w:Syndrome Queen Bee|Syndrome Queen Bee]] (patronnes misogynes), ''Effet spectateur'' (ou [[w:Effet du témoin|Effet du témoin]]) ou [[w:Effet Matthieu|Effet Matthieu]] (encouragement du plus fort)<ref>[http://www.arches.ro/revue/no01/no1art8.htm Le passé de l'idéalisation Une interprétation du mythe de Pygmalion, de Corneliu Irimia], Arches</ref>, cette réification de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}}, [[w:solipsisme|solipsisme]], emprise, [[w:Pensée désidérative|Pensée désidérative]] [[w:biais d'optimisme|biais d'optimisme]] ou [[w:Effet Pygmalion|Effet Pygmalion]], perversion d'une jouissance sans libido (Verbicide<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-du-genre-2015-1-page-135.htm Verbicide. D’une vulnérabilité qui n’ose dire son nom d'Alyson Cole], Cairn</ref>, [[w:Faute de la victime (psychologie)|Faute de la victime]], non-dénonciation, disqualification [[w:Performativité|performative]]<ref>[https://www.idixa.net/Pixa/pagixa-1409071659.html], Idixa</ref>, [[w:Gaslighting|détournement cognitif]], déconstruction, dissociation, contre-initiation allant jusqu'au crime pédophile, voir aussi le ''Complexe de Cratée''), [[w:pulsion de mort|pulsion de mort]] de la possessivité car le gouffre entre le désir, toujours irréalisé et la demande toujours croissante pour tenter en vain de le rejoindre, ne peut alors que s’accroître. Son besoin d’emprise et de passiver, veut l’inclure comme une mère peut porter un enfant<ref>[https://www.cairn.info/revue-topique-2008-3-page-7.htm Le fantasme de Pygmalion, de Sophie de Mijolla-Mellor], Cairn</ref>. Lacan parle de jalouissance<ref>[http://www.franceculture.fr/emission-l-essai-et-la-revue-du-jour-la-jalousie-une-passion-inavouable-revue-la-clinique-lacanienne Jacques Munier], France Culture</ref>{{,}}<ref>[http://www.cairn.info/revue-l-en-je-lacanien-2008-1-page-93.htm La jalouissance et le plaisir], Cairn</ref> (mélange de la jalousie de la jouissance de l’autre et du plus-de-jouir<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2013-1-page-197.htm Le plus-de-jouir par Gisèle Chaboudez], Cairn</ref> que confère le sentiment de jalousie, une rivalité imaginaire) voir « le ravage<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2016-4-page-123.htm « La putain de sa mère ». Insulte et ravage dans le lien mère-fille], Cairn</ref> (jalousie inconsciente, cf [[w:Le Ravissement de Lol V. Stein|Le Ravissement de Lol V. Stein]], [[w:Pathological jealousy|syndrome d'Othello]])<ref>[http://atelierlorient.viabloga.com/files/BrassierLolVstein.pdf Lol V.Stein : du ravissement au ravage], Atelier Liorent</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2005-5-page-1613.htm Marguerite Obscur Donnadieu Duras : “ Sublime, forcément sublime ”], Cairn</ref>. Cette haine jalouse invente l’[[w:Objet a|Objet a]] et le fait surgir comme une tentative de rendre plus consistant l’objet du fantasme dans la névrose hystérique (ennui de vivre, « L’hystérique dit toujours la vérité. », dit Lacan). », nous dit Marie-Francois Haas<ref>[http://www.champlacanienfrance.net/IMG/pdf/Haas_M46.pdf La folie de l’amour : spécificité de la jalousie féminine], Champ lacanien</ref>, comme dans les cas de [[w:Trouble oppositionnel avec provocation|Trouble oppositionnel avec provocation]]. L'œdipe inversé contrarié, est un conflit avec le parent de sexe opposé et un désir homosexuel pour celui de même sexe, par défaut, qui lui est ensuite refusé, à nouveau. Pour [[w:Ariane Bilheran|Ariane Bilheran]], le [[w:Harcèlement|harcèlement]] (asymétrique) qui s'oppose au conflit (symétrique), même sexuel ou physique (torture), reste psychologique, vise la destruction psychologique et l'autodestruction, propre à la démocratie, où le harcèlement physique et sexuel, est interdit, propre au modèle totalitaire du sort de l'Homo sacer, décrit par [[w:Giorgio Agamben|Giorgio Agambenn]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-champ-psy-2015-2-page-141.htm Harcèlement sexuel et traumatisme psychique : aspects cliniques et psychopathologiques Khadija Chahraoui], Cairn</ref>. Christian Sommer rappelle que son étymologie arabe ''herse'', suggère qu'elle doit d'abord et pendant longtemps se faire précéder par une charrue<ref>[https://www.cairn.info/mythologie-de-l-evenement--9782130654339-page-165.htm Épilogue. Après le dernier dieu de Christian Sommer], Cairn</ref>. On distingue harcèlement moral (calomnie, placard, dénonciation, divulgation, Disclosure, Sharenting), du harcèlement de rue (Catcalling), de la traque furtive [[w:Stalking|Stalking]]: le « rejeté » pourchasse, le « rancunier » traque, se venge, terrorise, l' « âme-sœur » s’immisce, le « prétendant maladroit » va vers ceux en couple, le « prédateur » espionne, attaque). ==== L’[[w:Ontophylogenèse|Ontophylogénèse]] ==== La parenté phylogénétique, le rapport au tiers exclu protogénétique et la transformation finale ontogénétique, sont des causes endogamiques du suicide. Le rapport contextuel épigénétique, la transmission du non vécu ėpiphylogėnėtiques sont en revanche des effets exogamiques, où la séparation devient communication (stade oral primitif dans une perspective non kleinienne), ce que [[w:Simone Weil|Simone Weil]], après [[w:Platon|Platon]], nomme le [[w:Metaxu|Metaxu]], structure ontophylogénétique des EES. Il existe trois formes d'ontophilogénèse : le ''Syndrome de Bonnie & Clyde'' (identification à l’agresseur), l'Auto-réification (normopathie) et la ''Théorie du Kamikaze'' (devenir-media). ===== Le Syndrome de Bonnie & Clyde ===== L’[[w:Hybristophilie|Hybristophilie]] ou syndrome de Bonnie & Clyde, l’Enclitophilie, le [[w:Complexe de Cendrillon|Complexe de Cendrillon]] et ''[[w:Syndrome de Peter Pan|de Peter Pan]]'', participent au [[w:Identification à l'agresseur|processus d'Identification à l'agresseur]], propre à l’[[w:Hystérie|hystérique]], de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suscide}} peut s’apparenter alternativement au syndromes de [[w:Syndrome de Stockholm|Stockholm]] et de [[w:Syndrome de Lima|Lima]]. L'auto-réfication peut devenir un [[w:Syndrome de Münchhausen|Syndrome de Münchhausen]] dans le cas du désir de [[w:Myrrha|Myrrha]] pour son père, avant d’être métamorphosée en arbre, se fissurant pour donner vie à l’enfant œdipien, [[w:Adonis|Adonis]] qui, à son tour, séduira [[w:Vénus|Vénus]]. [[w:Axel Honneth|Axel Honneth]]<ref group=Note>Dans son [http://www.contretemps.eu/interventions/psychanalyse-théorie-sociale-psychanalyse-est-elle-facteur-émancipation article] « Le travail de la négativité. Une révision psychanalytique de la théorie de la reconnaissance », [[w:Axel Honneth|Axel Honneth]] dit de la psychanalyse qu'elle a un potentiel normatif et un potentiel explicatif. Sur le plan normatif, elle permet de répondre à l’exigence de ne pas « présumer trop des forces rationnelles du sujet », de donner une place aux forces de liaison inconscientes non rationnelles du sujet.</ref> distingue la réification « authentique » et inconsciente (le génocide, la guerre, l’esclavage économique…) et la réification « fictive » consciente (présentation instrumentale de soi, prostitution, cruauté interpersonnelle<ref>[http://www.cairn.info/revue-du-mauss-2011-2-page-259.htm Réification et reconnaissance. Une discussion avec Axel Honneth], Cairn</ref> et tendresse (question de la continence)<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2002-4-page-1073.htm La pulsion de cruauté de Dominique Cupa], Cairn</ref> alternées par autoconservation (oralité, faim)<ref>[https://www.spp.asso.fr/publication_cdl/tendresse-et-cruaute/ Tendresse et cruauté], stp asso</ref>, pitié, syndrome d'[[w:Antigone|Antigone]] (désengendrement comme chez Marie-Antoinette ou Annie Ernaux, dont le refus de transmission vient d’un défaut de transmission), syndrome d'[[w:Ismène|Ismène]] (sœur résignée d’[[w:Antigone|Antigone]]) du trouble psychique des femmes occidentales, nées entre 1950 et 1965, dite « génération de la misère sexuelle<ref>[http://www.youscribe.com/catalogue/ressources-pedagogiques/litterature/theatre/antigone-et-ismene-ou-le-conflit-entre-la-revolte-et-la-sagesse-2396490 Antigone et Ismene ou le conflit entre la revolte et la sagesse], Youscribe</ref>. ») ===== Le [[w:Appel à Galilée|Syndrome de Galilée]] ===== Honneth s'interroge sur le concept d{{'}}''auto-réification'', comme oubli de la reconnaissance de soi<ref>[http://www.revue-mitwelt.fr/publication-honneth-la-reification-comme-oubli-de-la-reconnaissance-1.html Honneth: La réification comme oubli de la reconnaissance], Revue Mitwelt</ref>, attitude objectivante par rapport à sa propre subjectivité. La réification devient le fruit abîmé et pourri de cet oubli<ref>[http://www.implications-philosophiques.org/ethique-et-politique/philosophie-politique/le-concept-de-reification-comme-absence-et-oubli/ Le concept de réification comme absence et oubli], Implications philosophiques</ref>. On peut y voir ici une forme de [[w:Normopathie|Normopathie]] et d’allusion aux travaux de [[w:Martin Heidegger|Martin Heidegger]], pour qui le « [[w:nihilisme|nihilisme]] », réduction de l'être à l'étant, corollaire de la « [[w:métaphysique|métaphysique]] » est « oubli de l'être », dans la [[w:technique|technique]] et où le Dasein serait un suicide qui dure toute la vie (volonté de puissance (Nietzsche), de volonté (Heidegger), de pureté ([[w:Bernard-Henri Lévy|Bernard-Henri Lévy]]) et d'oubli (Freud)) ; ou de [[w:Leo Strauss|Leo Strauss]], celui du [[w:positivisme|positivisme]] scientifique et l’[[w:historicisme|historicisme]], dans la lignée de [[w:Hegel|Hegel]] et d'[[w:Auguste Comte|Auguste Comte]]. C'est également la méthode qu'emploient les [[w:Négationnisme|négationnistes]] pour justifier leur sentiment de persécution<ref>https://www.conspiracywatch.info/negationnistes-quand-tombent-les-masques-1-2_a1005.html</ref>. ===== La Théorie du Kamikaze ===== L'homme dit non-civilisé ne serait alors pas un nihiliste (Arendt parlerait plus volontiers d'[[w:Acosmisme|acosmisme]]) qui nous renvoie au stade d'intrusion, de frustration, du miroir produisant fétichisme, addiciton et instrumentalisation. On pense au concept de Persona chez [[w:Carl Jung|Carl Jung]] et de ''Faux Self'' chez [[w:Donald Winnicott|Donald Winnicott]], à la deuxième peau des mannequins-chrysalides sans désir réel, auto-érotisés et narcissiques<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?publication_cdl=trendy-sexy-et-inconscient-regards-dune-psychanalyste-sur-la-mode Trendy, sexy et inconscient. Regards d’une psychanalyste sur la mode], SPP</ref>, aux casques des [[w:Daft Punk|Daft Punk]] ou de Winslow Leach dans [[w:Phantom of the Paradise|Phantom of the Paradise]], à [[w:Frankenstein|Frankenstein]] (cas des médecins déportés, créatures des médecins SS, à la manière de [[w:Magneto|Magneto]]<ref>https://www.cairn.info/revue-revue-d-histoire-de-la-shoah1-1997-2-page-81.htm</ref>), à la [[w:Collection de squelettes du professeur Hirt|collection de squelettes juifs du professeur Hirt]], au [[w:Clonage|clonage]], au transsexualisme, indifférentiation qui « prend l’organe pour le signifiant, le pénis réel pour le phallus symbolique » (Lacan)<ref>http://trans.info.free.fr/sm%20mingot.pdf</ref>{{,}}<ref>https://mondesfrancophones.com/espaces/psyches/linteret-pour-la-psychanalyse-dans-les-travaux-de-judith-butler-entretien-avec-livio-boni/</ref> sans passage du syndrome au sinthome<ref>[https://www.elan-retrouve.org/wp-content/uploads/2023/07/REP2_029_0021-Transidentite-et-psychanalyse-partir-dune-autre-base-HUBERT.pdf Transidentité et psychanalyse : partir d’une autre base par Hervé Hubert]</ref> permettant l'identification au symptôme "heureux"<ref>[https://shs.cairn.info/revue-champ-lacanien-2015-2-page-9?lang=fr Nouvelle économie sexuelle par Colette Soler]</ref> et atteindre la [[w:Complexe de castration|castration]], à la mort de [[w:Socrate|Socrate]] et au concept de [[w:Buzz (marketing)|Buzz]] : le consommateur potentiel devient lui-même le média dit [[w:Laurent de Sutter|Laurent de Sutter]] ; le média devient l'objet de la communication et non son moyen, sur le modèle de la théorie des médias de [[w:Marshall McLuhan|Marshall McLuhan]]<ref>[https://diacritik.com/2017/01/12/laurent-de-sutter-le-kamikaze-est-comme-nous-un-etre-mediatique-le-grand-entretien/ Laurent de Sutter : «Le kamikaze est comme nous, un être médiatique» (Le grand entretien)], Diacritik</ref>.{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-adolescence1-2010-2-page-331.htm Violon ». La tentative de suicide d’une adolescente : travail de deuil et sublimation], Cairn</ref>. ==== La [[w:Morphogenèse|Morphogenèse]] ==== Nous analyserons comment les enfants endeuillés par le suicide médiatisent leur rapport au parent suicidé par une volonté de savoir ([[w:épistémologie|épistémologie]] [[w:Morphogenèse|morphogénétique]]) (stade oral). L’enfant, comme dans les romans de [[w:Paul Claudel|Paul Claudel]], [[w:Gilles Deleuze|Gilles Deleuze]] ou [[w:Witold Gombrowicz|Witold Gombrowicz]], trahit le signifiant qu’il ne supporte plus (stade sadique oral dit de la morsure)<ref>[http://antioedipe.unblog.fr/2007/09/11/de-claudel-a-gombrowicz-ou-de-lacan-a-deleuze-deux-lectures-de-linconscient/ De Claudel à Gombrowicz, ou de Lacan à Deleuze-Guattari : la question de la dignité], Antioedipe</ref>, qui crée l'érosion du sujet et la question de son irremplaçabilité ([[w:Baïonnette intelligente|Baïonnette intelligente]]). Le concept de [[w:Champ_morphogénétique|Morphogenèse]]) de [[w:Ross Granville Harrison|Ross Granville Harrison]] et [[w:Alan Turing|Alan Turing]] qui ont influencé la ''[[w:Théorie des catastrophes|Théorie des catastrophes]]'' de [[w:René Thom|René Thom]], ''la généalogie morphologique du structuralisme'' de [[w:Jean Petitot (philosophe)|Jean Petitot]], la [[w:Formule canonique du mythe|Formule canonique du mythe]] de [[w:Claude Lévi-Strauss|Claude Lévi-Strauss]] et la [[w:Théorie du chaos|Théorie du chaos]] nous interrogeront sur les stades de développement de l'EES, en prénatal (stade des sirènes), au stade oral (stade de la morsure) et anal (syndrome d'Ulysse). ===== Le Stade des sirènes ===== Théoricien de l"’auto-accouplement" et de "l'appartement-monde"<ref>https://zone-critique.com/2022/12/21/nathan-devers-le-nom-du-joueur-est-un-nom-dauteur/</ref>, [[w:Peter Sloterdjik|Peter Sloterdjik]] y voit ''Le stade des sirènes. De la première alliance sonosphérique'' (olfactif/foetal chez [[w:Françoise Dolto|Françoise Dolto]]), en référence au personnage d'[[w:Ulysse|Ulysse]] (etymo. Oddyseus, "faché, énervé, hainteux"). L'oreille est l'orifice le plus important, le plus offert car il ne peut pas se clore (indépendance de la fonction symbolique<ref>[http://virole.pagesperso-orange.fr/NatStrucLSF.pdf La langue des signes des sourds], Benoit Virole</ref>). Devenir sourd est une castration qui fracture l'image spéculaire. La voix non entendue, qui reste en suspens créant des « mal-entendus » réduite à un ''flatus vocis'' qui ne peut que faire écho à celle des autres et les autres voix lui font écho<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2008-2-page-71.htm Psychanalyse et clinique de la surdité], Cairn</ref>. On pense au travaux de [[w:Francisco Goya|Francisco Goya]], [[w:Ludwig van Beethoven|Ludwig van Beethoven]], [[w:Helen Keller|Helen Keller]] et [[w:Thomas Edison|Thomas Edison]]. Pour [[w:Blaise Cendrars|Blaise Cendrars]], "Notre premier sens individuel est l’oreille qui perçoit les rythmes de notre vie particulière, individuelle. C’est pourquoi toutes les maladies commencent par des troubles auditifs qui sont, comme des éclosions de la vie sous-marine, la clé du passé et les prémices d’un devenir intarissable." {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:Années 580 av. J.-C.|580 av J.-C.]]: [[w:Arignote|Arignote]], [[w:Myia|Myia]], [[w:Damo (philosophe)|Damo]], Telauges, Mnesarchus, enfants de [[w:Pythagore|Pythagore]] * [[w:Ier siècle av. J.-C.|Ier s av. J.-C.]] : [[w:Alexandre Helios|Alexandre Helios]], [[w:Cleopatre Selene|Cleopatre Selene]] et [[w:Ptolemee Philadelphe|Ptolemee Philadelphe]], de [[w:Cleopatre|Cleopatre]] et [[w:Marc-Antoine|Marc-Antoine]]. * [[w:30|30]]-[[w:65|65]] : [[w:Claudia Augusta|Claudia Augusta]], fille de [[w:Néron|Néron]] et [[w:Poppée|Poppée]] * [[w:XVIe siècle|XVIe s]] : [[w:Yodo-dono|Yodo-dono]], [[w:Hatsu|Hatsu]] et [[w:Oeyo|Oeyo]], filles de [[w:Azai Nagamasa|Azai Nagamasa]] ** [[w:Oda Nobutada|Oda Nobutada]], [[w:Oda Nobukatsu|Nobukatsu]], [[w:Oda Nobutaka|Nobutaka]], [[w:Oda Katsunaga|Katsunaga]], [[w:Hashiba Hidekatsu|Hashiba Hidekatsu]], [[w:Tokuhime|Tokuhime]], enfants d'[[w:Oda Nobunaga|Oda Nobunaga]] * [[w:1863|1863]] : [[w:Victor Basch|Victor Basch]], fils de Fanny et [[w:Raphaël Basch|Raphaël Basch]] * [[w:1886|1886]] : [[w:Alexandre Stavisky|Alexandre]], fils d'Emmanuel Stavisky * [[w:1891|1891]] : Hélène Marie et Marcelle, filles de [[w:Georges Boulanger|Georges Boulanger]] * [[w:1893|1893]] : Frédéric et Mireille, enfants de [[w:Berty Albrecht|Berty Albrecht]] * [[w:1895|1895]] : Lucie, Louise, Marie, Denis, enfants de [[w:Jean Coutrot|Jean Coutrot]] * [[w:1900|1900]] : [[w:Wolfgang Pauli|Wolfgang Pauli]], fils de Bertha Camilla Schütz * [[w:1901|1901]] : [[w:Vassili Djougachvili|Vassili]] et [[w:Svetlana Allilouïeva|Svetlana]], fils de [[w:Nadejda Allilouïeva-Staline|Nadejda Staline]] * [[w:1903|1903]] : Anne&Claude-Pierre, de [[w:Pierre Brossolette|Pierre Brossolette]]<ref>[http://teleobs.nouvelobs.com/la-selection-teleobs/20150521.OBS9375/les-enfants-de-pierre-brossolette-temoignent.html Les enfants de Pierre Brosolette temoignent], Le Nouvel Observateur</ref> * [[w:1905|1905]] : Arnold, Adelheid et Olaf, enfants de [[w:Kurt Gerstein|Kurt Gerstein]] * [[w:1919|1919]] : Étienne, fils de [[w:Nicole Girard-Mangin|Nicole Girard-Mangin]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1927|1927]] : François, fils de [[w:Jean Fontenoy|Jean Fontenoy]] * [[w:1930|1930]] : Paul, Régis et Pierre de [[w:Gérard Blain|Gérard Blain]] * [[w:1934|1934]] : [[w:Wolf Rüdiger Hess|Wolf]], de [[w:Rudolf Hess|Rudolf Hess]] * [[w:1934|1934]] : [[w:Jacques Chessex|Jacques Chessex]] * [[w:1945|1945]] : Cristina Graetz, fille d'[[w:Arthur Koestler|Arthur Koestler]] * [[w:1921|1921]] : [[w:Harald Quandt|Harald Quandt]], fils de [[w:Magda Goebbels|Magda Goebbels]] * [[w:1928|1928]] : [[w:Manfred Rommel|Manfred Rommel]], fils d'[[w:Erwin Rommel|Erwin Rommel]]<ref>[http://www.atlantico.fr/pepites/erwin-rommel-fils-revele-details-mort-593102.html Manfred Rommel revele les details de la mort de son pere], Atlantico</ref> * [[w:1941|1941]] : Maria et Géza, enfants de [[w:Pál Teleki|Pál Teleki]] * [[w:1941|1941]] : [[w:Slobodan Milosevic|Slobodan Milosevic]], de Svetavar&Stanislava M. * [[w:1944|1944]] : [[w:Marie-France Pisier|Marie-France Pisier]] et [[w:Évelyne Pisier|Évelyne Pisier]] * [[w:1966|1966]] : [[w:en:Paula White|Paula White]] * [[w:1966|1966]] : [[w:Christophe Castaner|Christophe Castaner]] * [[w:1973|1973]] : [[w:Rula Jebreal|Rula Jebreal]] * [[w:1982|1982]] : [[w:Édouard Bergeon|Édouard Bergeon]] * [[w:1986|1986]] : [[w:Charlotte Le BoncCharlotte Le Bon]], de Richard Lebon * [[w:2007|2007]] : [[w:Affaire Leprincen|Dany Leprince]], de Renée Leprince * [[w:2021|2021]] : Carmen Vázquez-Vigo, de [[w:Verónica Forqué|Verónica Forqué]] * [[w:2022|2022]] : Léo, de [[w:Philippe Nassif|Philippe Nassif]] * [[w:2025|2025]] : [[w:Édouard Philippe|Édouard Philippe]] |} ===== Le Stade de la morsure ===== [[w:Donald Winicott|Donald Winicott]] parle de stade sadique-oral, stade de la morsure qui suit le stade du suçotement, origine de toute agressivités et de l'amour-lutte<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2002-4-page-1157.htm Freud, Winnicott : les pulsions de destruction ou le goût des passerelles], Cairn</ref>. Freud évoque "La migraine hystérique accompagnée d’une sensation de pression au sommet du crâne, aux tempes et autre, (…) caractéristique des scènes où la tête est maintenue dans un but de pratiques buccales (...) (comme la) répulsion envers les photographes qui emploient un serre-tête"<ref>[http://www.regardconscient.net/archives/0212jakobfreud.html Freud et son père], Regard conscient</ref>{{,}}<ref>[http://ww3.haverford.edu/psychology/ddavis/ffliess.html Masson, J.M. (1985) (Ed.) The complete letters of Sigmund Freud to Wilhelm Fliess, 1887-1904. Cambridge: Harvard University Press. excerpts.]</ref>{{,}}<ref>https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2001-5-page-1447.htm Oralité et attachement par Bernard Brusset], Cairn</ref>. Mais pour vivre, il faut pouvoir intriquer les différents aspects des pulsions : non plus seulement « avaler », comme c’était le cas in utero, mais bien « téter », avec ce que cela comporte de fermeture du sphincter buccal, puis, très vite, « mordre », avec ce que cela comporte de délicat discernement entre l’objet que l’on tète et celui que l’on mord. Les mères qui continuent à allaiter un bébé au cours et au-delà de sa poussée dentaire peuvent témoigner de cette intrication. [[w:Mélanie Klein|Mélanie Klein]] dit : "Le désir libidinal de sucer s’accompagne du but restrictif d’aspirer, de vider, d’épuiser en suçant (fécondation orale)<ref>cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2001-5-page-1447.htm</ref>." La mise en acte ou [[w:Abréaction|abréaction]] délivre le sujet des "connexions de la paranoïa avec le complexe fraternel [qui] se manifestent par la fréquence des thèmes de filiation, d'usurpation, de spoliation, comme sa structure narcissique se révèle dans les thèmes plus paranoïdes ([[w:Délire d'interprétation de Sérieux et Capgras|interprétations délirantes]]) de l'intrusion, de l'influence, du dédoublement, du double et de toutes les transmutations délirantes du corps. Ces connexions s'expliquent en ce que le groupe familial, réduit à la mère et à la fratrie, dessine un complexe psychique où la réalité tend à rester imaginaire", nous dit Lacan. {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1930|1930]] : [[w:André Malraux|André Malraux]] * [[w:1941|1941]] : [[w:Roland Jaccard|Roland Jaccard]] * [[w:1945|1945]] : [[w:Isabel Allende Bussi|Isabel Allende Bussi]], fille de [[w:Salvador Allende|Salvador Allende]] * [[w:1965|1965]] : [[w:Yoshiki|Yoshiki]] * [[w:1966|1966]] : Fils de [[w:Raoul Lévy|Raoul Lévy]] * [[w:1977|1977]] : Suse Baader, fille d'[[w:Andreas Baader|Andreas Baader]] * [[w:1979|1979]] : [[w:Bertrand Boulin|Bertrand]] et [[w:Fabienne Boulin-Burgeat|Fabienne]], de [[w:Robert Boulin|Robert Boulin]] * [[w:1981|1981]] : David, fils de Harry Mayen et [[w:Romy Schneider|Romy Schneider]] * [[w:1986|1986]] : Catherine Hutin-Blay, fille de [[w:Jacqueline Roque|Jacqueline Roque]] * [[w:1993|1993]] : Pierre Beregovoy, fils de [[w:Pierre Beregovoy|Pierre Beregovoy]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1993|1993]] : Juan-Pablo et Manuela, enfants de [[w:Pablo Escobar|Pablo Escobar]] * [[w:1994|1994]] : Yvonne, fille de [[w:Stella Goldschlag|Stella Goldschlag]] * [[w:1994|1994]] : Henri, fils de [[w:François de Grossouvre|François de Grossouvre]]<ref>[http://tempsreel.nouvelobs.com/societe/20100522.OBS4325/la-these-du-suicide-de-francois-de-grossouvre-contestee.html La these du suicide contestee], Le Nouvel Observateur</ref> * [[w:1998|1998]] : Pierre&Arthur, fils de [[w:Nino Ferrer|Nino Ferrer]] * [[w:2003|2003]] : Bérangère, Bastien&Blanche, de [[w:Bernard Loiseau|Bernard Loiseau]] * [[w:2009|2009]] : Enfants de [[w:Roh Moo-hyun|Moo-hyun]] * [[w:2010|2010]] : Milo et Alice, enfants de [[w:Krisztina Rády|Krisztina Rády]] * [[w:2013|2013]] : Roman de [[w:Kate Barry|Kate Barry]] * [[w:2015|2015]] : Paul Inder, fils de [[w:Lemmy Kilmister|Lemmy Kilmister]] * [[w:2017|2017]] : fils de [[w:Mark Fisher|Mark Fisher]] |} ===== Le Syndrome d'Ulysse ===== Le ''Syndrome d'[[w:Ulysse|Ulysse]]'' ([[w:Trouble de stress post-traumatique|stress]] extrême du personnage prototypique du [[w:Thriller (genre)|Thriller]] et enfant endeuillé par le suicide ({{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}}) de sa mère, déchet « sans nom dans aucune langue » fait du symptôme, s’acte en « tombant », hypocondrie narcissique, holophrastique (quand toute une phrase s'exprime par un seul mot), a-syntaxique et inter-jective comme maladie « [[w:Extimité|extime]] », « possédé » de lui-même et enfermé dehors, victime du [[w:Syndrome du voyageur|Syndrome du voyageur]] », loin de sa « domiciliation existentielle », rejoignant son corps pulsionnel et s’incarnant en « se déclarant », tout en « échouant », comme « colis en souffrance », « différentiel » entre le réel du corps et le « parlêtre »<ref>[http://www.ecarts-identite.org/french/numero/article/art_124-125.pdf Écarts d'identité N°124/125, Corps en exil, Le corps de l’exil, à l’épreuve de la psychanalyse, de Paul-Laurent Assoun, Professeur de psychologie à l’Université de Paris VII.]</ref>. {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:Ulysse|Ulysse]] et [[w:Ctimène|Ctimène]], enfants d'[[w:Anticlée|Anticlée]] et [[w:Laërte|Laërte]] (ou [[w:Sisyphe|Sisyphe]]). * [[w:Antiga one|Antigone]], [[w:Ismène|Ismène]], [[w:Étéocle|Étéocle]]&[[w:Polynice|Polynice]], d'[[w:Œdipe|Œdipe]]&[[w:Jocaste|Jocaste]]. * [[w:Thésée|Thésée]], fils d'[[w:Égée|Égée]]. * [[w:Démophon|Démophon]] et [[w:Acamas|Acamas]], fils de [[w:Phèdre|Phèdre]] * [[w:Nausinoos|Nausinoos]] et [[w:Nausithoos|Nausithoos]], fils d'[[w:Ulysse|Ulysse]] et [[w:Calypso|Calypso]] * [[w:Déipyle|Déipyle]], fille d'[[w:Adraste|Adraste]] * Hyllos, fils d'[[w:Héraclès|Héraclès]] et [[w:Déjanire|Déjanire]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:Eumélos|Eumélos]] et Périmèle, d'[[w:Alceste|Alceste]] et [[w:Admète|Admète]] * Polydora, d'[[w:Antigone (Phthie)|Antigone]] et [[w:Pélée|Pélée]] * Thersite, Onchestos, Prothoos, Céleutor, Lycopée et Mélanippos, d'[[w:Agrios fils de Porthaon|Agrios]] * Coronos, Phocos et Priasos, fils de [[w:Cénée|Cénée]] * [[w:Méléagre|Méléagre]], [[w:Tydée|Tydée]], Mélanippe, [[w:Déjanire|Déjanire]]&Agélas, de [[w:Althée|Althée]]&[[w:Œnée|Œnée]]. * Les enfants d'[[w:Alcinoé|Alcinoé]] </small> |} {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1844|1844]] : ''[[w:Le Comte de Monte-Cristo|Le Comte de Monte-Cristo]]'' : Edmond * [[w:1857|1857]] : ''[[w:Madame Bovary|Madame Bovary]]'' : Berth * [[w:1877|1877]] : ''[[w:Anna Karenine|Anna Karenine]]'', Serge * [[w:1919|1919]] : ''[[w:Ulysse (roman)|Ulysse]]'' : Milly Bloom, fille de [[w:Leopold Bloom|Leopold Bloom]] * [[w:1924|1924]] : ''[[w:Le Village indien|Le Village indien]]'' d'[[w:Ernest Hemingway|Ernest Hemingway]]<ref>[http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:hMeZjwme-E4J:departments.knox.edu/engdept/commonroom/Volume_Eleven/number_two/Gutmann-Gonzalez/print.doc+&cd=2&hl=fr&ct=clnk&gl=fr&client=safari A Lacanian Analysis of Hemingway’s Search for Spirituality], Mandy Gutmann-Gonzalez</ref>{{,}}<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=FsyjQ0f00zE#t=2.207140679 Running from crazy 2013 Running Documentary National Geographic Full New]</ref> * [[w:1949|1949]] : ''[[w:Mort d'un commis voyageur|Mort d'un commis voyageur]]'', Biff et Wily Loman * [[w:1954|1954]] : ''[[w:À l'est d'Éden|À l'est d'Éden]]'', Adam Trask * [[w:1958|1958]] : ''[[w:Sueurs froides|Sueurs froides]]'' : [[w:Kim Novak|Madeleine Elster]], de Carlotta Valdes * [[w:1963|1963]] : ''[[w:X-Men|X-Men]]'' : [[w:Rachel Summers|Rachel Summers]] fille de [[w:Jean Grey|Jean Grey]] ** Akihiro fils de [[w:Wolverine|Wolverine]] puis Akihira ** Lilith Drake fille de Zofia Dracula ** Morph fils de [[w:Moira McTaggert|Moira McTaggert]] ** Ana et Alyosha, de [[w:Kraven le chasseur (Serguei Kravinoff)|Kraven le chasseur]] ** Nathan Summers, fils de Madelyne Prior * [[w:1972|1972]] : ''Prisoner on the Hell Planet'', [[w:Art Spiegelman|Art Spiegelman]] * [[w:1976|1976]] : ''[[w:La Petite Fille au bout du chemin|La Petite Fille au bout du chemin]], Ryan Jacobs * [[w:1977|1977]] : ''[[w:Largo Winch (bande dessinée)|Largo Winch]]'' : June, fille de Dennis Tarrant * [[w:1979|1979]] : ''Papa'', [[w:Aude Picault|Aude Picault]] * [[w:1984|1984]] : ''[[w:XIII (bande dessinée)|XIII]]'' : Sean Mullway, fils de Francis Mullway * [[w:1984|1984]] : ''[[w:Dragon Ball Z|Dragon Ball Z]]'' : [[w:Sangohan|Sangohan]]&[[w:Trunk|Trunk]] * [[w:2002|2002]] : ''[[w:The Slaughter Rule|The Slaughter Rule]]'' : [[w:Ryan Gosling|Roy Chutney]] * [[w:2003|2003]] : ''[[w:Le Retour du roi|Le Retour du roi]]'', [[w:Boromir|Boromir]]&[[w:Faramir|Faramir]], de [[w:Denethor|Denethor]] * [[w:2003|2003]] : ''[[w:X-Men 2|X-Men 2]]'' : Cypher & [[w:William Stryker|Jason Stryker]] * [[w:2003|2003]] : ''[[w:Capturing the Friedmans|Capturing the Friedmans]]'' : D, J et Arnold Friedman * [[w:2004|2004]] : ''[[w:Lost : Les Disparus|Lost : Les Disparus]]'' : [[w:James Ford (Lost, les disparus)|James Ford]] * [[w:2005|2005]] : ''Falaises'' d'[[w:Olivier Adam|Olivier Adam]] : Adam * [[w:2005|2005]] : ''[[w:Caché|Caché]]'' : Walid Afidr, fils de Majid * [[w:2006|2006]] : ''[[w:Ne le dis à personne (film)|Ne le dis à personne]]'' : Margot Beck * [[w:2006|2006]] : ''[[w:Heroes|Heroes]]'' : [[w:Nathan Petrelli|Nathan]] et [[w:Peter Petrelli|Peter]], fils d'[[w:Arthur Petrelli|Arthur Petrelli]] * [[w:2008|2008]] : ''[[w:Gran Torino|Gran Torino]]'' : Mitch et Steve * [[w:2008|2008]] : ''[[w:The Wrestler|The Wrestler]]'' : [[w:Evan Rachel Wood|Stephanie]], de [[w:Mickey Rourke|Mickey Rourke]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:2011|2011]] : ''[[w:La piel que habito|La piel que habito]]'': Norma * [[w:2011|2011]] : ''L'Étoile polaire'' : [[w:Sara Forestier|Sara Forestier]] * [[w:2011|2011]] : ''[[w:Detachment|Detachment]]'' : [[w:Adrian Brody|Adrian Brody]], Henry Barthes * [[w:2012|2012]] : ''[[w:Mad Men|Mad Men]]'' : Nigel, de Lane Pryce * [[w:2014|2014]] : ''[[w:Trois souvenirs de ma jeunesse|Trois souvenirs de ma jeunesse]]'' : Paul Dédalus * [[w:2015|2015]] : ''[[w:Un amour impossible|Un amour impossible]]'' : Pierre Angot * [[w:2015|2015]] : ''[[w:007 Spectre|007 Spectre]]'' : Madeleine Swann, de [[w:Mr. White (James Bond)|Mr. White]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Fais de beaux rêves (film, 2016)|Fais de beaux rêves]]'': [[w:Massimo Gramellini|Massimo Gramellini]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Gods of Egypt|Gods of Egypt]]'' : [[w:Horus|Horus]], de [[w:Isis|Isis]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Bates Motel (série télévisée)|Bates Motel]]'' : Alex Romero * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Une Histoire d'Amour et de Ténèbres (film)|Une Histoire d'Amour&de Ténèbres]]'' : Amir Tessler * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Captain Fantastic|Captain Fantastic]]'' : Bodevan,Kyelyr,Vespyr,R,Z,N * [[w:2017|2017]] : ''[[w:Sage Femme (film)|Sage Femme]]'' : Claire Breton * [[w:2017|2017]] : ''[[w:How to get away with murder|How to get away with murder]]'' : Wes Gibbins, Asher Millstone * [[w:2017|2017]] : ''[[w:Marilyne|Marilyne]]'' : Marilyne, ([[w:Adeline d'Hermy|Adeline d'Hermy]]) * [[w:2017|2017]] : ''[[w:Paris, etc.|Paris, etc.]]'' : Marianne et Mathilde * [[w:2017|2017]] : ''[[w:D'après une histoire vraie (film)|D'après une histoire vraie]]'' : Delphine et Elle ([[w:Mathilde Seigner|Mathilde Seigner]], [[w:Eva Green|Eva Green]]) * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Three Billboards : Les Panneaux de la vengeance|Three Billboards : Les Panneaux de la vengeance]]'' : Polly & Jane * [[w:2018|2018]] : ''[[w:The Haunting of Hill House|The Haunting of Hill House]]'' : Steven, Shirley, Theodora, Luke, Nell * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Cold War (film, 2018)|Cold War]]'' : le fils de Zula * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Bird Box (film)|Bird Box]]'' : Olympia * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Sérotonine (roman)|Sérotonine]]'' : Florent-Claude * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Climax (film, 2018)|Climax]]'' : fils d'Emmanuelle * [[w:2019|2019]] : ''[[w:Leaving Neverland|Leaving Neverland]]'' : Wade Robson * [[w:2019|2019]] : ''[[w:Vice (film, 2018)|Vice]]'' : Lynne Cheney * [[w:2019|2019]] : ''[[w:Ad Astra|Ad Astra]]'' : Roy McBride * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Stillwater (film)|Stillwater]]'' : Allison Baker ([[w:Abigail Breslin|Abigail Breslin]]) * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Le Pouvoir du chien|Le Pouvoir du chien]]'' : Peter Gordon ([[w:Kodi Smit-McPhee|Kodi Smit-McPhee]]) * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Impardonnable (film, 2021)|Impardonnable]]'' : Ruth Slater * [[w:2023|2023]] : ''[[w:The Last of U|The Last of Us]]'' : Sam </small> |} == Conclusion : Le Risque [[w:Hyperlexie|Hyperlexique]], la sublimation épistémophile == La graphomanie hyperlexique suicidaire expose l'EES au ''Complexe d’Albion'', une impudence dégénérative du signifiant, au ''Stade de l’Expulsion'', débâcle du stade sadique anal, négation du désaveu, et au ''Complexe de Moïse'', rencontre du risque, perte d’objet et devenir-signifiant. === Le Complexe d’Albion === Les organes mnémotechniques d’indisponibilité de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}} comme le [[w:smartphone|smartphone]] (syndrome de [[w:Saint-Denis|Saint-Denis]]<ref>https://laregledujeu.org/2018/04/12/33718/smartphones-avons-nous-perdu-la-tete/</ref>, le Pad [[w:Bloomberg|Bloomberg]], le transhumanisme de [[w:Ray Kurzweil|Ray Kurzweil]]<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-pensee-de-midi-2010-1-page-18.htm La vie rêvée de l’homme], Cairn</ref> et le [[w:tatouage|tatouage]] traditionnel ou contemporain : « comme à l’envers de l’hystérie qui, par le symptôme de conversion détourne le corps comme site somatique, de sa consistance charnelle. Ce que le sujet hystérique abhorre, c’est le corps comme chair, comme matière corporelle animale brute, charnelle. Il y a du "se faire objet", c'est-à-dire une position activement passive et douloureuse qui si elle se décline comme plaisir, est une économie pulsionnelle qui s’apparente au masochisme, pour élever un bout de corps au rang de signifiant (stade anal)<ref>[http://www.cairn.info/revue-champ-psychosomatique-2004-4-page-159.htm Le tatouage, de la parure à l’œuvre de soi], Cairn</ref> », nous dit Simone Wiener. On retrouve ce type de profil impudent chez les acteurs<ref>http://www.pierresullivan.com/Site/Psychanalyse/Entrees/2009/9/27_Limpudique_Albion.html</ref>. La haine (volonté de détruire l’objet du désir du sujet) devient non pas lien interne trop sadomasochique mais désengendrement, nihilisme éthique, désaveu du pulsionnel entrainant des rapports de commensalité (se nourrissant l’un l’autre) pour « oublier » et transformer ses origines, négation (égocentrisme, manière ''divine'' de penser selon Nietzsche, retour dissolvant de la pulsion pour Kristeva) ou dénégation (action d'ignorer ou de faire semblant d'ignorer un objet). L’autorité devient le produit du travail de deuil originaire, nous dit André Carel<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2002-1-,page-21.htm Le processus d’autorité], Cairn</ref> qu'on pourrait qualifier d'anti-intraception selon le mot de [[w:Theodor W. Adorno|Theodor W. Adorno]]. Pour Lacan, la colère, nervosité née de l'anxiété, « c’est quand les petites chevilles ne vont pas dans les petits trous », c’est l’affect qui surgit quand du réel se met en travers des entreprises du désir ; la haine est liée au signifiant: "étouffer". La honte, affect social surgit du dévoilement de l’extime, ce qui me constitue sans être moi, désir, chose, objet, symptôme, qui ont ce que voile cet autre affect qu’est la pudeur. La rage narcissique, pendant agressif de la honte, dont le moteur est l'opprobre, se ramène à l’[[w:exhibitionnisme|exhibitionnisme]] (dont la finalité est l’effroi<ref>[http://www.oedipe.org/prixoedipe/2014/abelhauser Alain Abelhauser Mal de femme. La perversion au féminin], Œdipe</ref>, Attention seeking) sans bornes du Soi [[w:mégalomane|mégalomane]] ([[w:Narcissisme malfaisant|Narcissisme malfaisant]]), [tandis que] le trouble fondamental à l’origine de la rage se rattache à l’omnipotence de cette structure narcissique <ref>https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2003-5-page-1657.htm</ref>. L’impudence, impitoyable ou effrontée, honte nouvelle corrélative d’une dégénerescence du signifiant maitre (Nom-du-père, S1)<ref>[http://www.association-freudienne.be/pdf/11-Note.lecture.LES_AFFECTS_LACANIENS.pdf. Les affects lacaniens, Colette Soler], Association freudienne</ref>. {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1815|1815]] : [[w:Napoléon Alexandre Berthier|Napoléon Alexandre Berthier]]: fils de [[w:Louis-Alexandre Berthier|Louis-Alexandre Berthier]] * [[w:1844|1844]] : [[w:Ludwig Boltzmann|Ludwig Boltzmann]]: Arthur, Ida, Elsa * [[w:1889|1889]] : [[w:Jean Cocteau|Jean Cocteau]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-bulletin-de-psychologie-2006-4-page-421.htm À travers les livres], Cairn</ref>, fils de Georges Cocteau * [[w:1932|1932]] : [[w:Gerhard Richter|Gerhard Richter]] * [[w:1937|1937]] : [[w:Jane Fonda|Jane Fonda]], fille d'[[w:Henry Fonda|Henry Fonda]]<ref>[http://www.closermag.fr/people/people-anglo-saxons/jane-fonda-explique-pourquoi-sa-mere-s-est-suicidee-407892 Jane Fonda explique pourquoi sa mère s'est suicidée], Closer</ref> * [[w:1945|1945]] : Doon et Amy Arbus, filles de [[w:Diane Arbus|Diane Arbus]]<ref>[http://www.tabletmag.com/jewish-arts-and-culture/83088/the-other-arbus The other Arbus], Tabletmag</ref> * [[w:1945|1945]] : [[w:David Milch|David Milch]]<ref>[http://www.slate.fr/story/107571/fou-ecrire-serie-geniale Faut-il être fou pour ecrire une serie geniale], Slate</ref> * [[w:1952|1952]] : [[w:André Comte-Sponville|André Comte-Sponville]] * [[w:1956|1956]] : [[w:Michèle Bernier|Michèle Bernier]], fille du [[w:Professeur Choron|Pr. Choron]]&Odile Vaudelle * [[w:1962|1962]] : [[w:Alexandre Diego Gary|Alexandre]], de [[w:Jean Seberg|Jean Seberg]] et [[w:Romain Gary|Romain Gary]]<ref>[http://www.lemonde.fr/societe/article/2009/05/26/diego-gary-sa-vie-a-lui-enfin_1198160_3224.html Sa vie à lui, enfin], Le Monde</ref> * [[w:1962|1962]] : [[w:Demi Moore|Demi Moore]], de Dan Guynes * [[w:1964|1964]] : [[w:Emilie Deleuze|Emilie Deleuze]], fille de [[w:Gilles Deleuze|Gilles Deleuze]]<ref>[http://www.lesinrocks.com/2008/04/15/cinema/actualite-cinema/interview-demilie-deleuze-regarde-ces-ciels-1151929/ Interview d’Emilie Deleuze – “Regarde ces ciels”], Les Inrockuptibles</ref> * [[w:1964|1964]] : [[w:Melissa Gilbert|Melissa Gilbert]] * [[w:1961|1961]] : [[w:Élisabeth Borne|Élisabeth Borne]] * [[w:1964|1964]] : [[w:Olivier Delacroix|Olivier Delacroix]] * [[w:1966|1966]] : [[w:Darius Rochebin|Darius Rochebin]] * [[w:1967|1967]] : [[w:Laurent Mauvignier|Laurent Mauvignier]] * [[w:1970|1970]] : [[w:Axel Kahn|Axel]], [[w:Jean-François Kahn|Jean-François]], [[w:Olivier Kahn|Olivier]]: de [[w:Jean Kahn-Dessertenne|Jean Kahn-Dessertenne]] * [[w:1971|1971]] : [[w:Stanislas Merhar|Stanislas Merhar]]<ref>[http://www.purepeople.com/article/stanislas-merhar-evoque-avec-pudeur-le-suicide-de-son-pere_a94984/1 Stanislas Merhar évoque avec pudeur le suicide de son père], Pure People</ref> * [[w:1973|1973]] : [[w:Chloé Delaume|Chloé Delaume]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1975|1975]] : [[w:Alexandre Lacroix|Alexandre Lacroix]] * [[w:1978|1978]] : [[w:Amoreena Winkler|Amoreena Winkler]] * [[w:1979|1979]] : [[w:Jared Leto|Jared Leto]] * [[w:1980|1980]] : Anais Guertin-Lacroix * [[w:1981|1981]] : Boris Eustache, fils de [[w:Jean Eustache|Jean Eustache]]<ref>[http://www.revuezinzolin.com/2013/08/boris-eustache-suis-je-le-gardien-de-mon-pere/ Boris Eustache : Suis-je le gardien de mon père ?], Revue Zinzolin</ref> * [[w:1987|1987]] : [[w:Ronda Rousey|Ronda Rousey]] * [[w:1993|1993]] : William, Willie et Lydia Zavatta, d'[[w:Achille Zavatta|Achille Zavatta]] * [[w:1999|1999]] : [[w:Arnold et Willy|Arnold et Willy]] : Tyler Lambert, fils de [[w:Dana Plato|Dana Plato]] * [[w:1999|1999]] : Nicolas Buffet, fils de [[w:Bernard Buffet|Bernard Buffet]]<ref>[http://www.parismatch.com/Culture/Livres/franoise-sagan-nicolas-buffet-alcool-143654 Survivre à des parents terribles (Deuxième partie)], Paris Match</ref> * [[w:2009|2009]] : Jordan Chandler fils d'[[w:Evan Chandler|Evan Chandler]] * [[w:2011|2011]] : Nastya Carax, fille de [[w:Katerina Golubeva|Katerina Golubeva]] (et [[w:Leos Carax|Leos Carax]]) * [[w:2014|2014]] : Zelda Williams, de [[w:Robin Williams|Robin Williams]]<ref>[http://www.dailymail.co.uk/tvshowbiz/article-3223757/Zelda-Williams-posts-moving-message-year-father-Robin-Williams-s-suicide.html Zelda Williams posts moving messages], Dailymail</ref> * [[w:2014|2014]] : [[w:Les Filles d'à côté|Filles d'à côté]]: Romain&Jim, fils de [[w:Thierry Redler|Thierry Redler]] * [[w:2016|2016]] : Madison&Mackenzie, filles de [[w:Dave Mirra|Dave Mirra]] * [[w:2017|2017]] : Pauline, fille de [[w:Jean-Michel Lambert|Jean-Michel Lambert]] * [[w:2020|2020]] : [[w:Mehdi Belhaj Kacem|Mehdi Belhaj Kacem]] * [[w:2023|2023]] : [[w:Mona Achache|Mona Achache]] * [[w:2026|2026]] : [[w:Laurent Joffrin|Laurent Joffrin]] * [[w:2026|2026]] : [[w:Vincent Lemire|Vincent Lemire]] </small> |} === Le Stade de l’Expulsion === « Les altérations du discours témoignent d’un ''devenir signifiant'' de ces mots et donc de la transformation que le Moi a dû concéder à sa participation à l’expérience hallucinatoire, partie essentielle du processus du rêve, comme du processus analytique, nous dit [[w:Jean Claude Rolland|Jean Claude Rolland]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2007-4-page-1223.htm Le « devenir signifiant ».], Cairn</ref>. » Une forme de rage ou de va-tout, qui peut devenir une prise de risque, inespérée ou perte d’objet, nous disent [[w:Anne Dufourmantelle|Anne Dufourmantelle]]<ref>[http://www.lemonde.fr/m-perso/article/2016/10/19/faut-il-comme-trump-jouer-son-va-tout_5016604_4497916.html Faut-il, comme Trump, jouer son va-tout ?], Le Monde</ref> ou [[w:Baldine Saint Girons|Baldine Saint Girons]]<ref>[http://www.theses.fr/1992PA100017 Fiat lux : une philosophie du sublime], Theses</ref>, candidature pare-excitation ou identification paradoxale, selon [[w:Geneviève Delaisi de Parseval|Geneviève Delaisi de Parseval]]<ref>[http://rue89.nouvelobs.com/2016/11/15/trump-melenchon-kempf-legion-dhonneur-les-arts-lettres-265659 Trump, Mélenchon, Kempf, la Légion d’honneur et les Arts et Lettres], Nouvel Observateur</ref>, proche de l’acting out. Dans la saga [[w:Star Wars|Star Wars]], Shmi Skywalker ne pouvant rien dire du père d'[[w:Anakin Skywalker|Anakin Skywalker]] (métaphore paternelle, [[w:Gatekeeping|Gatekeeping]]<ref>https://www.cairn.info/revue-cahiers-critiques-de-therapie-familiale-2015-1-page-35.htm</ref>, provoque chez son fils la Forclusion du nom du Père, l'investit comme ''objet-secours-sauveur'' (voir le triangle dramatique "persécuteur-sauveur-victime", de [[w:Stephen Karpman|Stephen Karpman]]). Il ne peut pas diriger ses ressentiments contre cette mère trop aimante, non complétée par un Père qui puisse médiatiser le rapport d'Anakin à sa mère<ref>[https://www.cairn.info/star-wars-au-risque-de-la-psychanalyse--9782749216188.htm Star Wars au risque de la psychanalyse, Dark Vador, adolescent mélancolique ?], Cairn</ref>.{{,}}<ref>[https://psychologienumerique.wordpress.com/cinema/starwars/ Starwars : la chute du côté « obscure » de la Force], Psychologie Numérique</ref>{{,}}<ref>[http://www.scienceshumaines.com/dark-vador-chez-le-psy_fr_26074.htmlDark Vador chez le psy], Sciences Humaines</ref> La mort de Shmi, entraine la perte d’objet, l’oubli nécessaire, la prise de risque, la toute-puissance d'Anakin, sa tentative de cicatrisation, le risque d'effondrement psychique immobilisé par ''gèle'' provoque en lui un fonctionnement ''pervers'', une ''agonie primitive'', une ''terreur agonistique'' ([[w:Terreur nocturne|Terreur nocturne]], [[w:Paralysie du sommeil|Paralysie du sommeil]]), un ''court-circuit'' et un ''collapsus topique''<ref>[https://psychologienumerique.wordpress.com/cinema/starwars/ Star Wars], Psychologie Numérique</ref>{{,}}<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?p=9182 Adolescences, états critiques du moi], SPP</ref> dans une fuite et une prise d’autonomie (syndrome de l’erance). Selon Arthur Leroy<ref>[http://www.franceinter.fr/depeche-retour-aux-sources-de-la-mythologie-star-wars Retour aux sources de la mythologie Star Wars], France Inter</ref>, « [[w:Dark Vador|Dark Vador]] s’est enveloppé de sa peur initiale et, par son apparence, la fait partager aux autres ». Ferenczi dit que certaines formes d’[[w:asthme|asthme]] peuvent parfois prendre le sens d’une tentative de suicide. L'[[w:Étoile de la mort|Étoile de la mort]], clin d'eil à la ''La Voix des airs'' de [[w:René Magritte|René Magritte]], excorporation surréaliste, inerte et métonymique de l'absence de tranmission devenue démission du personnage suicidaire questionne sa relation à sa descendance, Pour Jacques Roisin, le suicide de la mère de Magritte : "C'est comme si les actions réalisées jusqu'alors par les uns et les autres n'avaient fait que déployer des lignes d'influence d'une force centripète. Le temps suivant avait été celui d'une force centrifuge"<ref>[http://www.levif.be/actualite/belgique/magritte-ce-jeune-tyran/article-normal-24253.html Magritte, ce jeune tyran], Le Vif</ref>{{,}}<ref>[http://www.szondiforum.org/m506.rtf René Magritte, un destin particulier de la pulsion scopique], Szondiforum</ref>{{,}}<ref group=Note>Le débordement par la jouissance et l'invasion du signifiant provoque le morcellement. « Tout le symbolique est réel » (comme dans l’[[w:Autisme|Autisme]], impossible de faire semblant); auto-érotisme archaïque antérieur au [[w:Stade du miroir|stade du miroir]] (Lacan énonce : « L’œil et le regard, telle est pour nous la schize dans laquelle se manifeste la pulsion au niveau du champ [[w:scopique|scopique]] » (Voir ce que nous ne pouvons pas voir, [[w:Méduse (mythologie)|La Méduse]]) où "le regard est au-dehors, je suis regardé, c'est-à-dire je suis tableau") où le corps-organisme apparaît morcelé, avec ses sensations et perceptions désorganisées et sans unité et dont la « fonction, sociale, [la maladie mentale], c’est l’ironie (...) à la racine de toute relation sociale. » Lire [http://lacanian.memory.online.fr/AQuinet_Troureg.htm Le trou du regard, d'Antonio Quinet]</ref>{{,}}<ref>[http://auriol.free.fr/psychanalyse/affaire_entendue.htm Affaire Entendue par Bernard Auriol>, Cairn</ref>. On peut y voir l'origine du [[w:Coît interrompu|Coît interrompu]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2010-1-page-45.htm# Le symptôme sexuel et son effet « neurasthénique » par Gérard Pommier], </ref> lié à l’[[w:asexualité|asexualité]] (impuissance ou Un puis Sens - masochiste de la libido sans objet<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2001-2-page-93.htm Hypothèses sur le masochisme par Jacques Sédat], Cairn</ref>) au [[w:Stade autoérotique|Stade autoérotique]]<ref>[http://www.cairn.info/revue-recherches-en-psychanalyse-2010-2-page-251.htm L’asexualité, phénomène contemporain ?], Cairn</ref> de l'effet de pousse-à-la-femme<ref>[http://www.cairn.info/revue-che-vuoi-2006-1-page-63.htm Du fantasme au pousse-à-la-femme, la psychose], Cairn</ref>. Il relance alors son désir par l’[[w:Aphanisis|Aphanisis]]. Elisabeth Ventura dit que le comédien fait l’expérience de la métamorphose du corps, médium de l’incarnation du verbe, pour transmettre l’expérience du sublime, comme symbolisation<ref>[http://www.theses.fr/2012PA100103 Le sublime du comédien], thèses</ref>. La mise en scène de Dolore (souffrance, ''en italien''), amuïssement du fils de [[w:Madame Butterfly|Madame Butterfly]], le personnage principal de l'opéra de [[w:Giacomo Puccini|Giacomo Puccini]], correspond lui à ce qu’[[w:Herbert Marcuse|Herbert Marcuse]] nomme une désymbolisation répressive, symbole du ''Ratage de l'Œdipe'', du Surmoi incestueux qui n'atteint pas la castration et entraine la régression vers les stades oral et anal (stade phallique). (Voir aussi [[w:Liste de suicides dans une œuvre d'opéra|Liste de suicides dans une œuvre d'opéra]]). {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1900|1900]] : Kristof, fils de [[w:Sándor Márai|Sándor Márai]] * [[w:1904|1904]] : Dolore fils de [[w:Madame Butterfly|Madame Butterfly]] ([[w:Daniel Auteuil|Daniel Auteuil]], [[w:Elli Medeiros|Elli Medeiros]]) * [[w:1914|1914]] : [[w:Béatrix Beck|Béatrix Beck]] * [[w:1918|1918]] : [[w:Jeanne Modigliani|Jeanne]], fille de [[w:Jeanne Hébuterne|Jeanne]] et [[w:Amedeo Modigliani|Amedeo Modigliani]] * [[w:1924|1924]] : [[w:Maud Linder|Maud Linder]] fille de [[w:Max Linder|Max Linder]]<ref>[http://www.telerama.fr/cinema/max-linder-l-histoire-tragique-d-un-genie-comique-sauve-par-sa-fille, 91128.php Max Linder, l'histoire tragique d'un génie comique sauvé par sa fille], Telerama</ref> * [[w:1930|1930]] : P.Thompson&G.Lavinsky, de [[w:Vladimir Maïakovski|Maïakovski]] * [[w:1937|1937]] : [[w:Francis Weber|Francis Weber]], de [[w:Georgette Paul|Georgette Paul]] * [[w:1959|1959]] : [[w:Perry Farrell|Perry Farrell]] * [[w:1963|1963]] : Frieda et Nicholas Hugues, enfants de [[w:Sylvia Plath|Sylvia Plath]] * [[w:1968|1968]] : [[w:Mariane Pearl|Mariane Pearl]] * [[w:1968|1968]] : [[w:Robin Douglas-Home|Robin Douglas-Home]]: Sholto * [[w:1968|1968]] : [[w:Tricky|Tricky]], Maxinquaye<ref>[http://www.theguardian.com/music/2010/sep/19/tricky-mixed-race-interview Mixed race interview], [[w:The Guardian|The Guardian]]</ref> * [[w:1976|1976]] : [[w:Freddie Prinze, Jr.|Freddie Prinze, Jr.]], son of [[w:Freddie Prinze|Freddie Prinze]] * [[w:1977|1977]] : [[w:Sarah Biasini|Sarah Biasini]], fille de [[w:Romy Schneider|Romy Schneider]] * [[w:1979|1979]] : [[w:Lola Dewaere|Lola Dewaere]], fille de [[w:Patrick Dewaere|Patrick Dewaere]]<ref>[http://www.closermag.fr/people/news-people/lola-dewaere-je-considere-le-suicide-de-mon-pere-comme-un-abandon-125786 Lola Dewaere : "Je considère le suicide de mon père comme un abandon"], Closer</ref> * [[w:1980|1980]] : Natalie, fille de [[w:Ian Curtis|Ian Curtis]] * [[w:1981|1981]] : [[w:Dimitri Rassam|Dimitri]], fils de [[w:Jean-Pierre Rassam|Jean-Pierre Rassam]]<ref>[http://www.purepeople.com/article/dimitri-rassam-fils-de-carole-bouquet-le-producteur-precoce-se-devoile_a159345/1 Dimitri Rassam, fils de Carole Bouquet : Le producteur précoce se dévoile], Purepeople</ref> * [[w:1992|1992]] : [[w:Frances Cobain|Frances Cobain]] fille de [[w:Kurt Cobain|Kurt Cobain]]<ref>[http://www.bfmtv.com/culture/frances-bean-cobain-je-sais-que-mon-pere-m-aimaitbr-875677.html Je sais que mon pere m'aimait], [[w:BFMTV|BFMTV]]</ref> * [[w:1995|1995]] : ''[[w:Élisa (film, 1995)|Élisa]]'' : [[w:Vanessa Paradis|Elisa]], de [[w:Florence Thomassin|Florence Thomassin]] * [[w:1997|1997]] : [[w:Thomas Langmann|Thomas Langmann]], fils de [[w:Anne-Marie Rassam|Anne-Marie Rassam]] * [[w:2003|2003]] : ''[[w:Les Invasions barbares|Les Invasions barbares]]'' : Guo Jing * [[w:2004|2004]] : ''[[w:Backstage|Backstage ]]'' : Lucie * [[w:2006|2006]] : ''[[w:Dexter|Dexter]]'' & [[w:Debra Morgan|Debra Morgan]], d'[[w:Harry Morgan|Harry Morgan]] * [[w:2008|2008]] : Matilda-Rose, fille de [[w:Heath Ledger|Heath Ledger]] * [[w:2011|2011]] : Culla May, fille de [[w:Johnny Lewis (acteur)|Johnny Lewis]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:La Loi d'Alexandre|La Loi d'Alexandre]]'' : [[w:Hande Kodja|Julia Del Sol]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Alliés (film)|Alliés]]'' : [[w:Anna|Anna]] fille de [[w:Marianne Beauséjour|Marianne Beauséjour]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:The OA|The OA]]'' : * [[w:2016|2016]] : ''[[w:StartUp (série télévisée)|StartUp]]'': Phil Rask * [[w:2017|2017]] : ''Rien n'est joué d'avance'', Patrick Bourdet * [[w:2017|2017]] : Lillian Jean, Toni, Christopher Nicholas, de [[w:Chris Cornell|Chris Cornell]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:2017|2017]] : Amandine Chancel, fille de Ludovic et petite fille de [[w:Sheila|Sheila]] * [[w:2017|2017]] : Tyler, Jaime, Lily & Lila, fils de [[w:Chester Bennington|Chester Bennington]] * [[w:2017|2017]] : ''[[w:The End of the F***ing World|The End of the F***ing World]]'' * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Cheba Louisa|Cheba Louisa]]'' : Zohra * [[w:2019|2019]] : ''[[w:Au nom de la terre|Au nom de la terre]]'': Thomas et Emma * [[w:2020|2020]] : ''[[w:Je ne rêve que de vous|Je ne rêve que de vous]]'': . Jean et Georges * [[w:2020|2020]] : ''[[w:Le bureau des légendes|Le bureau des légendes]]'': Anton Kharlov * [[w:2020|2020]] : ''[[w:Le Jeu de la Dame|Le Jeu de la Dame]]'': Beth Harmon * [[w:2020|2020]] : ''[[w:Lupin (série télévisée, 2021)|Lupin]]'': Assane Diop * [[w:2021|2021]] : ''[[w:The Last Paradiso|The Last Paradiso]]'': Bianca Schettino * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Innocent (série télévisée, 2021)|Innocent]]'': Lorena Ortiz * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Every Breath You Take (film) |Every Breath You Take]]'': Daphne * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Cruel Summer (série télévisée)|Cruel Summer]]'': Martin * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Schwarze Insel|Schwarze Insel]]'': Helena Yung * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Clickbait (miniseries)|Clickbait]]'': Nick and Sophie Brewer * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Transparent (série télévisée)|Transparent]]'': Colton * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Braqueurs (film, 2015)|Braqueurs]]'' (série): Kris * [[w:2022|2022]] : ''[[w:En thérapie|En thérapie]]'': Dr Philippe Dayan * [[w:2022|2022]] : ''[[w:Iosi, el espía arrepentido|Iosi, el espía arrepentido]]: Yosi * [[w:2023|2023]] : ''[[w:Follow (série télévisée)|Follow]]: Jeanne * [[w:2023|2023]] : ''[[w:Un Meurtre au Bout du Monde|Un Meurtre au Bout du Monde]]'' : [[w:Alice Braga|Sian]] * [[w:2024|2024]] : ''[[w:Pauvres Créatures|Pauvres Créatures]]'' : Bella Baxter * [[w:2024|2024]] : ''[[w:Silo (série télévisée)|Silo]]'' : Juliet * [[w:2024|2024]] : ''[[w:Kraven the Hunter (film)|Kraven]]'' : Kraven * [[w:2024|2024]] : ''[[w:Leurs enfants après eux (film)|Leurs enfants après eux]]'' : Anthony Casati : [[w:Paul Kircher|Paul Kircher]] * [[w:2025|2025]] : ''[[w:Valeur sentimentale|Valeur sentimentale]]'' : Gustav Borg * [[w:2025|2025]] : ''[[w:Avatar 3|Avatar 3]]'', Spider, de ''[[w:Miles Quaritch|Miles Quaritch]]'' : [[w:Stephen Lang|Stephen Lang]] * [[w:2026|2026]] : ''[[w:Heated Rivalry|Heated Rivalry]]'' : Rozanov : [[w:Connor Storrie |Connor Storrie ]] </small> |} === Le Complexe de Moïse === [[w:Karl Abraham|Karl Abraham]] distingue le stade sadique-anal de la [[w:rétention|rétention]] ([[w:constipation|constipation]] "réplétive", possessive due à un sentiment d'abandon et de méfiance, propre à la [[w:Névrose obsessionnelle|Névrose obsessionnelle]] [[w:Toute-puissance (psychanalyse)|toute-puissante]] (Mythe individuel, tenu par l'Œdipe, non morcellé du phorophobe)<ref>[http://e-learning-formation.com/plateforme/formation/local/cerfpa/secretaire-medicale/Mod2/chap5/pionniers.html Les pionniers de la psychosomatique], E-learning</ref> de l’avarice (épargne excessive) ou de la radinerie (manque de prodigalité) ; et le stade sadique-anal de l'expulsion ou [[w:débâcle|débâcle]], [[w:diarrhée|diarrhée]] "agressive", captative (débourser pour sur-posséder), rapt, [[w:acting-out|acting-out]] illusoire de contrôler la situation, syndrome d’agrippement<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-coq-heron-2007-1-page-73.htm], Cairn</ref> ([[w:Stage mother|Stage mother]], [[w:Helicopter parent|Helicopter parent]]), dépendance par l'activité et le besoin de donner, perversion ''in fine'' du ''[[w:Lien social (psychanalyse)|Discours capitaliste]]'' de l'enfant illégitime ou adopté, confronté à une double loyauté (voir les loyautés contextuelles de [[w:Ivan Boszormenyi-Nagy|Ivan Boszormenyi-Nagy]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2011-2-page-127.htm Propos sur le complexe de Moïse], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=TOP_118_0085&DocId=421211&hits=3583+3574+ De la lutte pour « rester vivant » à la création d’un « territoire rêvé ». À propos de La carte et le territoire de Michel Houellebecq De Christine Condamin], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=PSY_007_0027&DocId=344281&hits=8884+8878+8873+8868+6327+6319+8+5+ La possibilité d’une psychanalyse ? de Marie Jean Sauret], Cairn</ref>. C’est le cas du [[w:Bitcoin|Bitcoin]], selon l’analyse de Jacques Favier et Adli Takkal Bataille<ref>Bitcoin. La monnaie acéphale, de Jacques Favier, Adli Takkal Bataille</ref> et de [[w:Bartleby|Bartleby]]<ref>http://www.psychasoc.com/Textes/Formes-et-strategie-du-refus.-L-heureux-fuse</ref>. La disruption devient condensation capitaliste ([[w:Jean-Marie Dru|Jean-Marie Dru]]) et la débacle décondensation exosomatique ([[w:Bernard Stiegler|Bernard Stiegler]]). Dans le Séminaire XVII de Jacques Lacan : L’envers de la psychanalyse, il s’agit dans les quatre cas, d’un savoir porté, ou plutôt recelé par un sujet et qui subit une altération venant d’un autre sujet, qui tous deux en fait portent des fonctions: savoir extorqué et formalisé dans le discours du maître, savoir défié dans le discours de l’hystérique, savoir adressé et formalisé dans le discours de l’analyste, savoir imposé dans le discours universitaire. Ainsi le lien social serait une machine de transfert et d’altération du savoir à partir de la libido. Car le lien social est avant tout machine libidinale<ref>[https://blogs.mediapart.fr/rene-fiori/blog/260216/psychanalyse-en-politique Psychanalyse et Politique de René Fori]</ref>. Lacan a appelé l’objet, le nom ou la personne qui vous encouragent à demander de l’aide à un psychanalyste, le « signifiant du transfert »<ref>[https://www.cairn.info/revue-savoirs-et-cliniques-2005-1-page-191.html La psychanalyse depuis Samuel Beckett par Franz Kaltenbeck], Cairn</ref>. Pour [[w:Gérard Pommier|Gérard Pommier]], le don est l'objet du refoulement, ce que nous ne voulons pas savoir (et le surdon, ce que nous ne pouvons pas savoir<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-carnet-psy-2010-9-page-29.htm Enfants surdoués par Caroline Goldman], Cairn</ref>), car en naissant nous nous donnons et disparaissons comme sujet, c’est notre refoulement originaire. Le don est hallucinatoire, irréel, suicidiaire. Il faut donc donner pour ne pas se donner et échapper au risque suicidaire, de guerre et d'agression. Le prénom est notre vrai nom, parce qu’il correspond à un don singulier et qu’il est le symbole d’une séparation<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2011-2-page-97.htm Spécificité du « passage à l’acte » suicidaire], [[w:Gérard Pommier|Gérard Pommier]])</ref>. Chez le pervers, dont la frustration ou l’intrusion est un manque imaginaire d’objet réel, voit l’objet de son désir substitué par un don. {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1886|1886]] : ''[[w:Cinq psychanalyses|Cinq psychanalyses]]'' : [[w:Sergueï Pankejeff|Sergueï Pankejeff]] * [[w:1897|1897]] : [[w:Wilhelm Reich|Wilhelm Reich]], fils de Cecilia Roniger * [[w:1898|1898]] : [[w:René Magritte|René Magritte]], fils de Régina Bertinchamps * [[w:1902|1902]] : Marius Tausk, fils de [[w:Victor Tausk|Victor Tausk]] * [[w:1908|1908]] : Célia de La Serna, mère de [[w:Che Guevara|Che Guevara]]. * [[w:1922|1922]] : [[w:Kurt Vonnegut|Kurt Vonnegut]] * [[w:1939|1939]] : [[w:Anna Freud|Anna]] et Ernst Ludwig, de [[w:Sigmund Freud|Sigmund Freud]]<ref group=Note>The Nazi army had wanted to take Freud for interrogation, but Anna offered herself instead. Before she left, Freud placed in her daughter’s hand a poison, a strategy to kill herself in case they decided to torture her. Anna was released, in unknown circumstances, and the family emigrated to London. Anna took care of Freud, helping him with his medicine and treatment, and continued her work. Freud died in 1939. {{Cite book|title = The Death of Sigmund Freud: The Legacy of His Last Days|last = Edmundson|first = Mark|publisher = Bloomsbury|year = 2007|isbn = 978-1-58234-537-6|location = |pages = ?}}</ref> * [[w:1940|1940]] : Stefan Rafael, fils de [[w:Walter Benjamin|Walter Benjamin]] * [[w:1948|1948]] : [[w:Catherine Millet|Catherine Millet]], fille de Simone Millet * [[w:1966|1966]] : ''[[w:Rien ne s'oppose à la nuit|Rien ne s'oppose à la nuit]]'', [[w:Delphine de Vigan|Delphine de Vigan]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2012-1-page-139.htm Notes de lecture], Cairn</ref> * [[w:1970|1970]] : Noriko Tomita et Iichiro Hiraoka, de [[w:Yukio Mishima|Mishima]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1970|1970]] : Eric Celan, fils de [[w:Paul Celan|Paul Celan]]<ref>[http://next.liberation.fr/livres/2001/03/22/le-sixieme-sens_358744 Le sixieme sens], Libération</ref> * [[w:1971|1971]] : [[w:Benny Sela|Benny Sela]] * [[w:1977|1977]] : ''Mort d'un silence'' de [[w:Clémence Boulouque|Clémence Boulouque]] * [[w:1985|1985]] : Sophie, fille de [[w:Vladimir Jankelevitch|Vladimir Jankelevitch]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-telemaque-2003-2-page-155.htm Le Telemaque], Cairn</ref> * [[w:1987|1987]] : Renzo et Lisa Lorenza, enfants de [[w:Primo Levi|Primo Levi]] * [[w:1990|1990]] : Ruth et Bruno, enfants de [[w:Bruno Bettelheim|Bruno Bettelheim]] * [[w:2002|2002]] : [[w:Une Histoire d'Amour et de Ténèbres|Une Histoire d'Amour et de Ténèbres]], d'Amos Oz * [[w:2011|2011]] : ''Le Silence et la honte'', Solweig Ely * [[w:2012|2012]] : ''Onze ans avec Lou'', [[w:Bernard Chapuis|Bernard Chapuis]] * [[w:2017|2017]] : ''Parler'', [[w:Sandrine Rousseau|Sandrine Rousseau]] * [[w:2019|2019]] : [[w:Barbara Stiegler|Barbara Stiegler]], fille de [[w:Bernard Stiegler|Bernard Stiegler]] </small> |} == Notes == {{Références|groupe=Note|colonnes=2}} == Références == {{Références|colonnes=2}} 96jnw8p74pv5hm3oph6i1rhrh1kekvv 0 66409 982907 982842 2026-05-17T22:38:22Z ~2026-29696-20 80388 /* Interférences d'atomes d'hélium (Carnal et Mlynek 1991) */ 982907 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Introduction au monde quantique : dualité onde-particule | idfaculté = physique | numéro = 16 | chapitre = [[../../Introduction au monde quantique : dualité onde-particule/]] | précédent = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Interférences d'atomes d'hélium (Carnal et Mlynek 1991) == [[File:Interférences d'atomes d'hélium.jpg|left|frame|caption|Dispositif expérimental utilisé pour l'observation d'interférences d'atomes d'hélium par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young"> '''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module d'Young]] en [[w:Science_des_matériaux|science des matériaux]] et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]] en optique.</ref>]] [[File:Interférences d'atomes d'hélium – bis.jpg|right|frame|caption|Nombre d'atomes détectés pendant <math>\;10\;mn\;</math> en fonction de la position du détecteur dans l'expérience d'interférences d'atomes d'hélium]] {{clr}} {{Al|5}}'''Carnal''' et '''[[w:Jürgen_Mlynek|Mlynek]]'''<ref name="Mlynek"> '''[[w:Jürgen_Mlynek|Jürgen Mlynek]] (né en 1951)''' physicien allemand essentiellement connu pour cette expérience réalisée à l'[[w:Université_de_Constance|Université de Constance]] <math>\;\big(</math>Allemagne<math>\big)\;</math> avec '''Oliver Carnal''' en <math>\;1991</math>.</ref> ont réalisé, en <math>\;1991</math>, une expérience d'interférences par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> avec un faisceau homocinétique d'atomes d'hélium de [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] <ref name="L. de Broglie"> Se prononce « Brogle » ; '''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1929</math>.</ref> <math>\;\lambda_{d.B.} = 0,103\; nm</math> ; {{Al|5}}le faisceau entrant, limité par une fente <math>\;F\;</math> de largeur <math>\;s_0 = 2\; \mu m</math>, rencontre, à une distance <math>\;L = 64\; cm\;</math> de <math>\;F</math>, le système des deux [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> <math>\;F_1\;</math> et <math>\;F_2\; \parallel\;</math> à <math>\;F</math>, les [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> étant larges de <math>\;s = 1\; \mu m</math>, et séparées entre elles de <math>\;a = 8\; \mu m</math> ; {{Al|5}}à une distance <math>\;L' = 64\; cm\;</math> se trouve le plan de détection <math>\;\parallel\;</math> au plan des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" />, sur lequel est disposé un détecteur mobile large de <math>\;2\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>voir figure ci-dessus à gauche<math>\big)</math>. {{Al|5}}sur la figure ci-dessus à droite, est donné le diagramme du nombre d'atomes reçus par le détecteur pendant <math>\;10\; min\;</math> en fonction de sa position, le trait en pointillés représentant le « bruit de fond »<ref name="bruit de fond"> A priori le détecteur ne fournit une réponse que s'il reçoit un atome, mais il peut fournir de façon impromptue une réponse sans qu'aucun atome n'ait été reçu, c'est ce que représente le « bruit de fond ».</ref> de ce dernier que l'on mesure en occultant le faisceau à l'entrée du dispositif. === Vitesse des atomes dans l'expérience et conséquences === {{Al|5}}La masse d'un atome d'hélium étant <math>\;m_{He} = 6,70\; 10^{-27}\; kg</math>, déterminer la vitesse des atomes dans cette expérience<ref name="constante de Planck"> On rappelle la valeur de la [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]] <math>\;h = 6,62\; 10^{-34}\; J \cdot s</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Max_Plack|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''' physicien allemand à qui on doit principalement, vers <math>\;1900</math>, la [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]], théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1918</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|La masse d'un atome d'hélium étant <math>\;\color{transparent}{m_{He} = 6,70\; 10^{-27}\; kg}</math>, }}sont-ils relativistes ou non ? {{Al|5}}Estimer la durée du trajet d'un atome pour aller de <math>\;F\;</math> au détecteur. {{Solution|contenu ={{Al|5}}D'après la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|relation de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" />, la norme de la quantité de mouvement de la particule est liée à la longueur d'onde de son onde de matière associée par «<math>\;p = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.}}\;</math>» avec, en faisant l'hypothèse d'une particule non relativiste «<math>\;p = m_{He}\, v\;</math> où <math>\;v\;</math> est la vitesse de la particule », on en déduit donc la vitesse des atomes d'hélium du faisceau <center>«<math>\;v = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.}\, m_{He}}\;</math>» soit numériquement, «<math>\;v \simeq \dfrac{6,62\; 10^{-34}}{0,103\; 10^{-9} \times 6,70\; 10^{-27}}\;</math>»<ref name="constante de Planck" /> en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math> ou <br>«<math>\;v \simeq 959\; m \cdot s^{-1}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}on vérifie que <u>les atomes d'hélium ne sont pas relativistes</u> car leur « vitesse relative »<ref> C.-à-d la valeur de la vitesse en unité de vitesse limite <math>\;c</math>.</ref> est «<math>\;\beta = \dfrac{v}{c} \simeq \dfrac{959}{3\; 10^8} \simeq 3\; 10^{-6}\;</math>» nettement <math>\;<\;</math> à <math>\;0,14\;</math> <math>\big(</math>valeur à partir de laquelle la particule doit être considérée comme relativiste en ce qui concerne sa quantité de mouvement<math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] (établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}La distance de <math>\;F\;</math> au détecteur étant estimée à <math>\;L + L' \simeq 1,28\, m\;</math> et les atomes en tant que particules se déplaçant à la vitesse <math>\;v \simeq 959\; m \cdot s^{-1}</math>, la durée du trajet <math>\;\big(</math>ou temps de vol<math>\big)\;</math> est estimée à <center>«<math>\;\tau_{\text{vol}} \simeq \dfrac{L + L'}{v} \simeq \dfrac{1,28}{959} \simeq 1,33\; 10^{-3}\; s\;</math>» soit finalement <br>«<math>\;\tau_{\text{vol}} \simeq 1,33\; ms\;</math>».</center>}} === Diffraction de l'onde de matière par la fente F === {{Al|5}}Calculer le demi-angle d'ouverture <math>\;\theta\;</math> de diffraction de l'onde de matière par la fente <math>\;F</math> ; {{Al|5}}vérifier que les fentes <math>\;F_1\;</math> et <math>\;F_2\;</math> reçoivent bien cette onde. {{Solution|contenu = [[File:Interférences d'atomes d'hélium - ter.png|thumb|400px|Dispositif expérimental utilisé pour l'observation d'interférences d'atomes d'hélium par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> avec précision des demi angles d'ouverture de diffraction]] {{Al|5}}On connaît le lien entre ce demi-angle d'ouverture <math>\;\theta</math>, la largeur de la fente diffractante <math>\;s_0 = 2\; \mu m\;</math> et la longueur d'onde <math>\;\lambda_{d.B.} = 0,103\; nm\;</math> donné par «<math>\;\sin(\theta) = \dfrac{\lambda_{d.B.}}{s_0}\;</math>»<ref name="lien entre taille d'ouverture, longueur d'onde et demi angle d'ouverture"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Expression_du_lien_entre_la_taille_de_l'ouverture,_la_longueur_d'onde_et_l'échelle_angulaire_du_phénomène_de_diffraction|expression du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit numériquement <math>\;\sin(\theta) = \dfrac{0,103\; 10^{-9}}{2\; 10^{-6}} = 5,15\; 10^{-5} \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\theta \simeq 5,2\; 10^{-5}\, rad\;</math>»<ref name="DL à l'ordre un de sinus"> En effet la valeur du sinus étant petite, son argument est de détermination principale <math>\;\big(</math>c.-à-d. comprise entre <math>\;-\pi\;</math> et <math>\;+\pi\big)\;</math> petite et par suite le sinus peut être confondu, à l'ordre un, avec la valeur de l'angle en <math>\;rad</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la fonction sinus au voisinage de zéro<math>\big\}</math>.</ref> d'où <center>«<math>\;\theta \simeq 5,2\; 10^{-5}\, rad \simeq 0,18\;\text{'} \simeq 11\; \text{''}\;</math>»<ref name="degré, minute, seconde"> On rappelle que <math>\;1\;rad = \dfrac{180}{\pi}\;\text{°}\;</math> et qu'il y a <math>\;60\;\text{'}\;</math> dans <math>\;1\;\text{°}\;</math> et <math>\;60\;\text{''}\;</math> dans <math>\;1\;\text{'}</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}pour vérifier que les fentes <math>\;F_1\;</math> et <math>\;F_2\;</math> sont bien recouvertes par cette onde, il faut calculer la largeur <math>\;l\;</math> de la tache principale de diffraction sur le plan des deux fentes soit «<math>\;l = 2\; L\; \tan(\theta) \simeq 2\; L\; \theta\;</math>»<ref name="DL à l'ordre un de tangente"> En effet l'argument de la tangente étant petit, sa tangente peut être confondue, à l'ordre un, avec la valeur de l'angle en <math>\;rad</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la fonction tangente au voisinage de zéro<math>\big\}</math>.</ref> donnant numériquement <math>\;l \simeq 2 \times 0,64 \times 5,2\; 10^{-5} \simeq 67\; 10^{-6}\, m = 67\; \mu m\;</math>» et <center>comme «<math>\;l \simeq 67\; \mu m > a + s = 9\, \mu m\;</math>»<ref> C.-à-d. la distance entre les centres des fentes plus deux fois leur demi-largeur.</ref> nous en déduisons que <br><u>le faisceau diffracté recouvre</u> effectivement <math>\;\big(</math>et très largement<math>\big)\;</math> <u>les deux fentes</u>.</center>}} === Largeur de la zone d'interférences dans le plan de détection === {{Al|5}}Calculer le demi-angle d'ouverture <math>\;\theta'\;</math> de diffraction de l'onde de matière par la fente <math>\;F_1\;</math> ou <math>\;F_2</math> ; {{Al|5}}en déduire la largeur de la zone de recouvrement des deux ondes diffractées dans le plan de détection. {{Solution|contenu = [[File:Interférences d'atomes d'hélium - ter.png|thumb|400px|Dispositif expérimental utilisé pour l'observation d'interférences d'atomes d'hélium par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> avec précision des demi angles d'ouverture de diffraction]] {{Al|5}}Ce calcul se fait de la même façon que celle exposée dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Diffraction_de_l'onde_de_matière_par_la_fente_F|diffraction de l'onde de matière par la fente F]] » plus haut dans cet exercice, la largeur des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> étant <math>\;s = 1\; \mu m</math>, on obtient le demi-angle d'ouverture <math>\;\theta'\;</math> par «<math>\;\sin(\theta') = \dfrac{\lambda_{d.B.}}{s}\;</math>»<ref name="lien entre taille d'ouverture, longueur d'onde et demi angle d'ouverture" /> soit numériquement <math>\;\sin(\theta') = \dfrac{0,103\; 10^{-9}}{1\; 10^{-6}} = 10,3\; 10^{-5} \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\theta' \simeq 10,3\; 10^{-5}\, rad\;</math>»<ref name="DL à l'ordre un de sinus" /> d'où <center>«<math>\;\theta' \simeq 10,3\; 10^{-5}\; rad \simeq 0,36\;\text{'} \simeq 22\; \text{''}\;</math>»<ref name="degré, minute, seconde" /> ;</center> {{Al|5}}pour déterminer de la largeur de la zone de recouvrement des deux ondes diffractées dans le plan de détection, il faut calculer la largeur <math>\;l'\;</math> de la tache principale de diffraction par une des deux fentes sur le plan de détection soit «<math>\;l' = 2\; L'\; \tan(\theta') \simeq 2\; L'\; \theta'\;</math>»<ref name="DL à l'ordre un de tangente" /> donnant numériquement <center>«<math>\;l' \simeq 2 \times 0,64 \times 10,3\; 10^{-5} \simeq 134\; 10^{-6}\; m = 134\; \mu m\;</math>» et</center> {{Al|5}}d'après le schéma ci-contre, un faisceau se déduisant de l'autre par translation de la distance <math>\;a = 8\; \mu m\;</math> perpendiculairement aux fentes, <br>{{Al|5}}{{Transparent|d'après le schéma ci-contre }}la largeur de la zone de recouvrement est <math>\;\mathcal{L}_{\text{recouvrement}} = l' - a\;</math> soit numériquement <br>{{Al|2}}{{Transparent|d'après le schéma ci-contre la largeur de la zone de recouvrement est }}«<math>\;\mathcal{L}_{\text{recouvrement}} = 126\; \mu m\;</math>».}} === Nombre moyen d'atomes détectés pendant la durée de fonctionnement de l'expérience === {{Al|5}}Combien d'atomes détecte-t-on en moyenne pendant <math>\;10\;</math> minutes ? {{Al|5}}Trouver l'ordre de grandeur du nombre d'atomes traversant l'appareil pendant <math>\;10\;</math> minutes compte-tenu de la dimension du détecteur ; {{Al|5}}en déduire la durée moyenne entre deux envois successifs d'atomes et <br>{{Al|5}}conclure en comparant au résultat de la 1^ère question. {{Solution|contenu =[[File:Interférences d'atomes d'hélium – bis.jpg|thumb|350px|Nombre d'atomes détectés pendant <math>\;10\;mn\;</math> en fonction de la position du détecteur dans l'expérience d'interférences d'atomes d'hélium]] {{Al|5}}Sur la figure de droite de début de texte rappelée ci-contre, est donné le diagramme du nombre d'atomes reçus par le détecteur pendant <math>\;10\; min\;</math> en fonction de sa position, le trait en pointillés représentant le « bruit de fond »<ref name="bruit de fond" /> de ce dernier que l'on mesure en occultant le faisceau à l'entrée du dispositif ; {{Al|5}}le nombre d'atomes reçus par le détecteur en <math>\;10\; min\;</math> est en moyenne <math>\;65\;</math> et nous mesurons un bruit de fond égal à <math>\;20\;</math> atomes ; <br>{{Al|5}}ainsi le détecteur recevant en moyenne <math>\;65 - 20 = 45\;</math> atomes qui sont passés par les fentes sur une largeur de <math>\;2\; \mu m</math>, on déduit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}de la largeur de la zone de recouvrement <math>\;\mathcal{L}_{\text{recouvrement}} = 126\; \mu m\;</math> déterminée dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Largeur_de_la_zone_d'interférences_dans_le_plan_de_détection|largeur de la zone d'interférences dans le plan de détection]] » plus haut dans cet exercice, <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}le nombre d'atomes sur toute la largeur de la zone d'interférence <math>\;45 \times \dfrac{126}{2} \simeq 2835\;</math> soit <center>approximativement <math>\;2800\;</math> atomes qui sont passés par les fentes pendant <math>\;10\; min</math>.</center> {{Al|5}}En supposant un débit régulier d'envoi d'atomes, la durée moyenne entre deux envois se suivant est donc <math>\;\dfrac{10 \times 60}{2800}\;</math> en <math>\;s\;</math> soit <center>«<math>\;\tau_{\text{envois successifs}} \simeq 0,214\; s\;</math> séparant deux envois successifs » ;</center> {{Al|5}}le temps de vol d'un atome étant <math>\;\tau_{\text{vol}} \simeq 1,33\; ms\;</math><ref> D'après la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Vitesse_des_atomes_dans_l'expérience_et_conséquences|vitesse des atomes dans l'expérience et conséquences]] (temps de vol) » plus haut dans cet exercice.</ref> très petit relativement <math>\;\tau_{\text{envois successifs}} \simeq 214\, ms</math>, nous pouvons en déduire : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le temps de vol d'un atome }}il n'y a qu'<u>un seul atome à la fois dans le dispositif expérimental</u> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|le temps de vol d'un atome }}l'onde de matière associée à l'atome interfère avec elle-même et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le temps de vol d'un atome l'onde de matière associée à l'atome interfère }}non avec une autre onde de matière associée à un autre atome.}} === Raison de l'absence de l'observation pratique d'interférences destructives === {{Al|5}}Il y a des points du plan de détection où la probabilité de détection s'annule par interférences destructives ; {{Al|5}}comment se fait-il que sur la figure de début d'exercice à droite le nombre d'atomes détectés ne soit jamais nul ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ceci est dû à la largeur du détecteur <math>\;2\; \mu m\;</math> alors que l'interfrange peut être estimée à <math>\;8\, \mu m\;</math><ref> Correspondant à la distance moyenne séparant deux pics successifs sur la figure de début de texte à droite.</ref>, la 1^ère n'étant pas très petite par rapport à la 2^ème ; <br>{{Al|5}}le détecteur centré sur une frange « sombre » percevra donc les atomes au voisinage de cette frange sombre, ce qui correspondra à un nombre d'atomes perçus par le détecteur minimal mais non nul.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste/]] }} 7q932nxtqf497bz0hrvney2d145sv8p 0 69715 982885 978692 2026-05-17T12:49:05Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982885 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme | idfaculté = physique | numéro = 10 | chapitre = [[../../Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme/]] | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique/]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air/]] | niveau = 14 }} == Chute libre, portée, surface de sûreté == {{Al|5}}Un objet matériel supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> est lancé à partir d'une position <math>\;M_0\;</math> choisie comme origine des repérages cartésiens, avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> incliné vers le haut d'un angle <math>\;\alpha_0\;</math> relativement à l'horizontale ; il se déplace dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> supposé uniforme. === Étude de la chute libre du point === ==== Schéma de situation ==== {{Al|5}}Faire un schéma de situation, en choisissant un axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical ascendant orienté par <math>\;\vec{u}_z</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Faire un schéma de situation, en choisissant }}un axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> horizontal orienté par <math>\;\vec{u}_x\;</math> tel que <math>\;\vec{V}_0\;</math> soit dans le plan <math>\;xOz\;</math> avec une composante positive sur <math>\;\vec{u}_x</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Faire un schéma de situation, en choisissant }}le 3^ème axe <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> également horizontal orienté par <math>\;\vec{u}_y\;</math> lequel est tel que la base cartésienne <math>\;\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math> soit directe. {{Solution | contenu = [[File:Chute libre avec lancement oblique - repérage cartésien.png|thumb|300px|Schéma de situation représentant la chute libre d'un point <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> lancé vers le haut de façon inclinée par rapport à l'horizontale d'un angle <math>\;\alpha_0\;</math> avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> dont le plan est choisi comme plan vertical <math>\;xOz</math>, d'une position choisie comme origine <math>\;O</math>, l'axe vertical étant ascendant]] {{Al|5}}Voir schéma de situation ci-contre sur lequel figure aussi * en rouge le vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0 = V_0 \left[ \cos(\alpha_0)\;\vec{u}_x + \sin(\alpha_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math><ref name="V0"> Avec <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert</math>.</ref>{{,}}<ref name="sens + des angles du plan xOz"> Attention les angles du plan <math>\;xOz\;</math> sont orientés dans le sens trigonométrique direct <math>\;\big(</math>ou sens antihoraire<math>\big)\;</math> par le vecteur unitaire <math>\;-\vec{u}_y</math>.</ref> du point <math>\;M\;</math> et * en bleu la seule force s'exerçant sur le point <math>\;M\;</math> en chute libre à savoir son poids <math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_z\;</math> dans lequel <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math> est appelé intensité de la pesanteur terrestre.}} ==== Détermination des trois lois horaires scalaires cartésiennes du mouvement de chute libre de M ==== {{Al|5}}Supposant que l'objet n'est soumis qu'à son poids, déterminer : * par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>., le vecteur accélération de l'objet, * par intégrations successives, la loi horaire vectorielle du mouvement de <math>\;M\;</math> puis, * par projection sur les trois axes, les trois lois horaires scalaires cartésiennes de son mouvement. {{Solution | contenu ={{Al|5}}<u>Détermination, par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />., du vecteur accélération de l'objet</u> : appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on trouve, après simplification par <math>\;m\;</math><ref> On rappelle que le cœfficient de <math>\;\vec{g}\;</math> dans le poids définit la masse grave alors que celui de <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> dans la dérivée temporelle de la quantité de mouvement définit la masse inerte, mais que ces deux cœfficients étant identifiés par [[w:Principe_d'équivalence|principe d'équivalence]], revoir aussi la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#cite_note-3|³]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <math>\;\vec{a}_M(t) = \vec{g}</math>. {{Al|5}}<u>Détermination, par intégrations successives, de la loi horaire vectorielle du mouvement de l'objet</u> : Sachant que <math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{a}_M(t) = \vec{g}\;</math> d'autre part, on tire, par intégration de <math>\;\dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)</math> <math>= \vec{g}\;</math> par rapport au temps <math>\;t</math>, la loi horaire de vitesse <math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{g}\, t + \vec{V}_0\;</math><ref> La constante vectorielle se déterminant par C.I. <math>\;\big(</math>condition initiale<math>\big)</math> <math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0</math>.</ref> puis {{Al|5}}{{Transparent|Détermination, par intégrations successives, de la loi horaire vectorielle du mouvement de l'objet : }}sachant que <math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{g}\, t + \vec{V}_0\;</math> d'autre part, on tire, par intégration de <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t) = \vec{g}\, t + \vec{V}_0\;</math> par rapport au temps <math>\;t</math>, la loi horaire de position <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \dfrac{1}{2}\, \vec{g}\, t^2 + \vec{V}_0\, t\;</math><ref> La constante vectorielle du 2^nd membre étant déterminée par C.I. <math>\;\big(</math>condition initiale<math>\big)</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} = \vec{0}\;</math> car <math>\;M_0\;</math> a été choisi comme origine <math>\;O</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Détermination, par projection sur les trois axes, des trois lois horaires scalaires cartésiennes du mouvement de l'objet</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination, par projection sur les trois axes, }}les lois horaires scalaires cartésiennes de vitesse sont «<math>\;\vec{V}_M(t)\;\left\lbrace\begin{array}{l}V_{x,\,M}(t) = V_0\;\cos(\alpha_0)\\V_{y,\,M}(t) = 0\\V_{z,\,M}(t) = -g\;t + V_0\;\sin(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination, par projection sur les trois axes, }}les lois horaires scalaires cartésiennes de position sont «<math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;\left\lbrace\begin{array}{l}x_M(t) = V_0\;\cos(\alpha_0)\;t\\y_M(t) = 0\\z_M(t) = -\dfrac{1}{2}\; g\; t^2 + V_0\; \sin(\alpha_0)\; t\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Dans le cas d'un lancement vertical on obtiendrait <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;\left\lbrace\begin{array}{l}x_M(t) = 0\\y_M(t) = 0\\z_M(t) = -\dfrac{1}{2}\; g\; t^2 \pm V_0\; t\end{array}\right\rbrace\;</math>.</ref>.}} ==== Détermination de la nature de la trajectoire et de quelques propriétés de celle-ci ==== {{Al|5}}Quelle est la nature de la trajectoire ? {{Al|5}}La tracer et déterminer : * les coordonnées du sommet et * la portée c'est-à-dire la distance horizontale séparant la position de lancement <math>\;O\;</math> de la position de retombée <math>\;P\;</math> au même niveau que la position de lancement. {{Al|5}}Quel devrait être la valeur de <math>\;\alpha_0\;</math> pour que la portée soit maximale ? {{Solution | contenu = [[File:Chute libre dans champ de pesanteur uniforme - trajectoire sous lancement oblique vers le haut.png|thumb|300px|Représentation de la trajectoire du point <math>\;M\;</math> en chute libre dans le cas où <math>\;M\;</math> est lancé obliquement vers le haut, sommet <math>\;S\;</math> de la trajectoire et portée <math>\;OP\;</math> du tir]] {{Al|5}}<u>Nature de la trajectoire</u> : La trajectoire est <u>plane</u> dans le plan <math>\;xOz\;</math> d'équation scalaire cartésienne <math>\;y = 0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Nature de la trajectoire : }}dans le cas où <math>\;\alpha_0 \neq \pm\dfrac{\pi}{2}</math>, l'équation cartésienne de la trajectoire dans le plan <math>\;xOz\;</math> s'obtient en éliminant <math>\;t\;</math> entre les deux lois horaires scalaires cartésiennes de position <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}x_M(t) = V_0\;\cos(\alpha_0)\;t\\z_M(t) = -\dfrac{1}{2}\; g\; t^2 + V_0\; \sin(\alpha_0)\; t\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Lesquelles sont également les équations paramétriques de la trajectoire dans le plan <math>\;xOz</math>.</ref> d'où <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}t = \dfrac{x_M(t)}{V_0\;\cos(\alpha_0)}\\z_M(t) = -\dfrac{1}{2}\; g\; t^2 + V_0\; \sin(\alpha_0)\; t\end{array}\right\rbrace\;</math> et par suite, en reportant l'expression du paramètre dans la 2^ème équation, on obtient <math>\;z_M = -\dfrac{g}{2\, V_0^2\, \cos^2(\alpha_0)}\, x_M^2 + \tan(\alpha_0)\, x_M\;</math><ref> Ce résultat n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref> soit finalement <center>«<math>\;z = -\dfrac{g}{2\, V_0^2\, \cos^2(\alpha_0)}\, x^2 + \tan(\alpha_0)\, x\;</math>»<ref> Dans l'espace c'est l'équation d'un cylindre parabolique de génératrices <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oy</math>.</ref>, <br>équation cartésienne, dans le plan <math>\;xOz</math>, d'une <br><u>parabole</u> d'axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oz\;</math> et de concavité vers les <math>\;z < 0</math> ;<br> voir tracé de la trajectoire ci-contre.</center> {{Al|5}}<u>Détermination des coordonnées du sommet</u><math>\;S</math> : On peut écrire que le cœfficient directeur de la tangente à la trajectoire évalué au sommet est nul soit <br>{{Al|4}}{{Transparent|Détermination des coordonnées du sommet<math>\;\color{transparent}{S}</math> :}}<math>\;\dfrac{dz}{dx}(x_S) = -\dfrac{g}{V_0^2\, \cos^2(\alpha_0)}\, x_S + \tan(\alpha_0) = 0\;</math> d'où l’abscisse du sommet «<math>\;x_S = \dfrac{V_0^2\, \sin(\alpha_0)\, \cos(\alpha_0)}{g} = \dfrac{V_0^2\, \sin(2\, \alpha_0)}{2\, g}\;</math>», <br>{{Al|4}}{{Transparent|Détermination des coordonnées du sommet<math>\;\color{transparent}{S}</math> :<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dz}{dx}(x_S) = -\dfrac{g}{V_0^2\, \cos^2(\alpha_0)}\, x_S + \tan(\alpha_0) = 0}\;</math> d'où }}la cote s'obtenant par l'équation cartésienne de la trajectoire soit <br>{{Al|4}}{{Transparent|Détermination des coordonnées du sommet<math>\;\color{transparent}{S}</math> :<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dz}{dx}(x_S) = -\dfrac{g}{V_0^2\, \cos^2(\alpha_0)}\, x_S + \tan(\alpha_0) = 0}\;</math> d'où la cote }}«<math>\;z_S = -\dfrac{g}{2\, V_0^2\, \cos^2(\alpha_0)}\, \dfrac{V_0^4\, \sin^2(\alpha_0)\, \cos^2(\alpha_0)}{g^2} + \tan(\alpha_0)\, \dfrac{V_0^2\, \sin(\alpha_0)\, \cos(\alpha_0)}{g}\;</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Détermination des coordonnées du sommet<math>\;\color{transparent}{S}</math> :<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dz}{dx}(x_S) = -\dfrac{g}{V_0^2\, \cos^2(\alpha_0)}\, x_S + \tan(\alpha_0) = 0}\;</math> d'où la cote «<math>\;\color{transparent}{z_S}</math> }}<math>= \dfrac{V_0^2\, \sin^2(\alpha_0)}{2\, g}\;</math>» après simplification. {{Al|5}}<u>Détermination de la portée c'est-à-dire la distance horizontale séparant les positions de lancement et de retombée au même niveau</u> <math>\;OP</math> : Le point de retombée <math>\;P\;</math> au même niveau que le point de lancement <math>\;O\;</math> étant le symétrique de ce dernier relativement à l'axe de symétrie de la parabole <math>\;\big(</math>axe passant par le sommet et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;Oz\big)\;</math> on en déduit la « portée <math>\;OP = 2\, x_S = \dfrac{V_0^2\, \sin(2\, \alpha_0)}{g}\;</math>». {{Al|5}}<u>Valeur de l'angle d'inclinaison du vecteur vitesse initiale pour que la portée soit maximale</u> : La portée est maximale pour <math>\;\sin(2\;\alpha_0) = 1\;</math> ce qui donne «<math>\;\alpha_0 = \dfrac{\pi}{4}\, \text{rad} = 45\, \text{°}\;</math>».}} === Recherche de la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse === {{Al|5}}À partir de <math>\;O\;</math> on lance des projectiles dans toutes les directions possibles avec la même norme <math>\;V_0\;</math> de vecteur vitesse initiale, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir de <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}on cherche l'endroit où doivent être positionnées les cibles <math>\;A</math>, supposées ponctuelles, pour être hors de portée des projectiles ; <br>{{Al|5}}les endroits atteignables sont séparés des endroits hors de portée par la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de <math>\;O</math>. ==== Plan de lancement du projectile pour pouvoir atteindre une cible de position connue ==== {{Al|5}}Considérant une cible <math>\;A\;</math> de coordonnées <math>\;\left( X\,,\, Y\,,\, Z \right)</math>, comment faut-il choisir l'angle <math>\;\varphi = \widehat{ \left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{V_{0,\, xy}} \right)}\;</math><ref> <math>\;\overrightarrow{V_{0,\, xy}}\;</math> étant le projeté de <math>\;\vec{V}_0\;</math> sur le plan horizontal <math>\;Oxy</math>.</ref>{{,}}<ref name="nouveau repérage de V0"> Le vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> du projectile n'étant donc plus, a priori, dans le plan <math>\;xOz</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant une cible <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> de coordonnées <math>\;\color{transparent}{\left( X\,,\, Y\,,\, Z \right)}</math>, comment faut-il choisir l'angle }}pour que le projectile puisse atteindre la cible <math>\;\big(</math>on donnera <math>\;\varphi\;</math> en fonction de <math>\;X\;</math> et <math>\;Y\big)</math> ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Soit <math>\;A \left( X\,,\, Y\,,\, Z \right)\;</math> une cible ponctuelle, nous cherchons une trajectoire de projectile lancé de <math>\;O\;</math> avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> faisant l'angle <math>\;\alpha_0\;</math> avec l'horizontale dans le plan méridien d'angle <math>\;\varphi\;</math> relativement au plan méridien de référence <math>\;xOz\;</math><ref name="nouveau repérage de V0" />, trajectoire ayant pour propriété de passer par <math>\;A</math>, * s'il en existe au moins une, <math>\;A\;</math> est à l'intérieur de la surface de sûreté et * dans le cas contraire, <math>\;A\;</math> est à l'extérieur ; {{Al|5}}<u>C.N.</u><ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref> : la trajectoire étant plane, le plan la contenant doit aussi être le plan vertical contenant le vecteur vitesse initiale, c'est-à-dire que l'angle <math>\;\varphi\;</math> repérant le plan vertical contenant le vecteur vitesse initiale relativement au plan méridien de référence <math>\;xOz</math> est aussi l'angle repérant le plan vertical passant par <math>\;A\;</math> relativement au même plan méridien de référence <math>\;xOz</math>, soit tel que «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} \cos(\varphi) = \dfrac{X}{\sqrt{X^2 + Y^2}}\\ \sin(\varphi) = \dfrac{Y}{\sqrt{X^2 + Y^2}} \end{array} \right\rbrace\;</math>».}} ==== Changement de repère par rotation de -φ autour de Oz ==== {{Al|5}}On définit alors un nouveau repère <math>\;\left( O\,,\, \vec{u}_{X'}\,,\, \vec{u}_{Y'}\,,\, \vec{u}_{Z} \right)\;</math> se déduisant de <math>\;\left( O\,,\, \vec{u}_{x}\,,\, \vec{u}_{y}\,,\, \vec{u}_{z} \right)\;</math> par rotation d'angle <math>\;-\varphi\;</math> relativement <math>\;Oz\;</math> et <br>{{Al|5}}on appelle <math>\;\left( X'\,,\, Y'\,,\, Z \right)\;</math> les nouvelles coordonnées de la cible <math>\;A\;</math> dans le nouveau repère ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|on appelle }}préciser les valeurs de <math>\;X'\;</math> et <math>\;Y'\;</math> relativement à <math>\;X\;</math> et <math>\;Y</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Nous effectuons donc une rotation d'angle <math>\;-\varphi\;</math> autour de <math>\;Oz\;</math> d'où les nouvelles coordonnées de <math>\;A\;\left\lbrace X' = \sqrt{X^2 + Y^2}\,,\, Y' = 0\,,\, Z' = Z \right\rbrace\;</math><ref> Avec la rotation d'angle <math>\;-\varphi\;</math> autour de <math>\;Oz</math>, la nouvelle abscisse de <math>\;A\;</math> s'identifie à son rayon polaire dans l'ancien repérage <math>\;\big(</math>c.-à-d. à sa 1^ère coordonnée cylindro-polaire<math>\big)</math>, la nouvelle ordonnée de <math>\;A\;</math> étant alors nulle et sa cote inchangée.</ref>.}} ==== Détermination de l'équation suivie par l'angle d'inclinaison du vecteur vitesse initiale du projectile pour que ce dernier atteigne la cible ==== {{Al|5}}À quelle équation doit obéir l'angle <math>\;\alpha_0 = \widehat{ \left( \vec{u}_{X'}\,,\, \vec{V}_0 \right)}\;</math> pour que le projectile <math>\;M\;</math> atteigne la cible <math>\;A</math> ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}<u>Autre C.N.</u><ref name="C.N." /> : <math>\;A\;</math> devant appartenir à la trajectoire on en déduit, compte-tenu de son équation cartésienne, <math>\;Z' = -\dfrac{g}{2\, V_0^2\, \cos^2(\alpha_0)}\, X'^2 + \tan(\alpha_0)\, X'\;</math> qui se récrit à l'aide de <math>\;\dfrac{1}{\cos^2(\alpha_0)} = 1 + \tan^2(\alpha_0)\;</math> sous forme d'une équation algébrique du 2^ème degré en <math>\;\tan(\alpha_0)\;</math> soit <center>«<math>\;\dfrac{g\, X'^2}{2\, V_0^2} \tan^2(\alpha_0) - X'\, \tan(\alpha_0) + Z' + \dfrac{g\, X'^2}{2\, V_0^2} = 0\;</math>»<ref> Équation qui doit avoir au moins une solution pour que <math>\;A\;</math> soit atteint par le projectile.</ref>.</center>}} ==== Condition liant les coordonnées de la cible pour que le projectile M l'atteigne ==== {{Al|5}}En déduire la condition que <math>\;X'\;</math> et <math>\;Z\;</math> doivent suivre pour que le projectile <math>\;M\;</math> atteigne la cible <math>\;A\;</math><ref> Condition faisant intervenir <math>\;V_0\;</math> et <math>\;g</math>.</ref>, puis {{Al|5}}réécrire cette condition en fonction de <math>\;X</math>, <math>\;Y\;</math> et <math>\;Z\;</math> <math>\big[</math>condition notée <math>\;(\mathfrak{a})\big]</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}L'équation du 2^ème degré en <math>\;\tan(\alpha_0)\;</math> à savoir «<math>\;\dfrac{g\, X'^2}{2\, V_0^2} \tan^2(\alpha_0) - X'\, \tan(\alpha_0) + Z' + \dfrac{g\, X'^2}{2\, V_0^2} = 0\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation du 2^ème degré en <math>\;\color{transparent}{\tan(\alpha_0)}\;</math> }}a au moins une solution « si son discriminant <math>\;\Delta\;</math> est <math>\;\geqslant 0\;</math>», c'est-à-dire « si <math>\;\Delta = X'^2 - \dfrac{2\, g\, X'^2}{V_0^2} \left[ Z' + \dfrac{g\, X'^2}{2\, V_0^2} \right] \geqslant 0\;</math>» ou encore « si <math>\;Z' \leqslant \dfrac{V_0^2}{2\, g} - \dfrac{g}{2\, V_0^2} X'^2\;</math>» ; {{Al|5}}la condition ci-dessus se réécrit, en revenant au système initial de coordonnées, «<math>\;Z \leqslant \dfrac{V_0^2}{2\, g} - \dfrac{g}{2\, V_0^2} (X^2 + Y^2)\;</math> <math>\big[</math>condition <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\big]\;</math>».}} ==== Détermination de l'équation cylindro-polaire de la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse ==== {{Al|5}}On introduit alors les coordonnées cylindro-polaires d'axe <math>\;Oz\;</math> de la cible <math>\;A\, (\rho\,,\, \theta\,,\, Z)</math> ; rappelez les expressions de <math>\;\rho\;</math> et <math>\;\theta\;</math> en fonction de <math>\;X\;</math> et <math>\;Y\;</math> puis {{Al|5}}réécrire la condition <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> en fonction de <math>\;\rho\;</math> et <math>\;\theta</math> ; {{Al|5}}en déduire l'équation cylindro-polaire d'axe <math>\;Oz\;</math> de la surface de sûreté cherchée puis {{Al|5}}vérifier que cette surface est de révolution d'axe <math>\;Oz\;</math> et tracer la [[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]] qui l'engendre. {{Solution | contenu = [[File:Surface de sûreté.png|thumb|300px|Diagramme de la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de <math>\;O\;</math> avec une même norme de vitesse de <math>\;100\, m \cdot s^{-1}</math>, l'altitude maximale correspondant au tir vertical étant de <math>\;510\, m\;</math> et la surface de sûreté étant un [[w:Paraboloïde#Paraboloïde_elliptique|paraboloïde de révolution]] d'axe <math>\;Oz</math>]] [[File:Méridienne de la surface de sûreté.png|thumb|350px|[[w:Surface_de_révolution#Définitions|Demi-méridienne]] de la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de <math>\;O\;</math> avec une même norme de vitesse de <math>\;100\, m \cdot s^{-1}</math>, la [[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]] étant une demi-parabole d'axe <math>\;Oz\;</math> dont la rotation autour de cet axe engendre un [[w:Paraboloïde#Paraboloïde_elliptique|paraboloïde de révolution]]]] {{Al|5}}Le lien entre coordonnées cylindro-polaires d'axe <math>\;Oz\;</math> et coordonnées cartésiennes sont <math>\;\rho = \sqrt{X^2 + Y^2}\;</math> d'une part et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\cos(\theta) = \dfrac{X}{\sqrt{X^2 + Y^2}}\\ \sin(\theta) = \dfrac{Y}{\sqrt{X^2 + Y^2}}\end{array}\right\rbrace</math>, <math>\;Z\;</math> étant la même 3^ème coordonnée dans les deux systèmes de repérages. {{Al|5}}La condition <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> se réécrit donc «<math>\;Z \leqslant \dfrac{V_0^2}{2\, g} - \dfrac{g}{2\, V_0^2}\,\rho^2\;\;\forall\;\theta\;</math>» et {{Al|5}}nous en déduisons l'équation cylindro-polaire de la surface de sûreté «<math>\;Z = \dfrac{V_0^2}{2\, g} - \dfrac{g}{2\, V_0^2}\,\rho^2\;\;\forall\;\theta\;</math>», l'indépendance de cette équation relativement à <math>\;\theta\;</math> établissant qu'il s'agit effectivement d'une <u>[[w:Surface_de_révolution|surface de révolution]]</u> d'axe <math>\;Oz</math>, plus exactement d'un <u>[[w:Paraboloïde#Paraboloïde_elliptique|paraboloïde de révolution]]</u> car de <u>[[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]] <ref> La [[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]] d'une [[w:Surface_de_révolution|surface de révolution]] d'axe <math>\;Oz\;</math> étant la courbe engendrant la surface par sa rotation autour de <math>\;Oz</math>.</ref> parabolique</u> <math>\;\bigg(\!</math>voir ci-contre le diagramme représentant le [[w:Paraboloïde#Paraboloïde_elliptique|paraboloïde de révolution]], obtenu avec lancement de projectiles à partir de <math>\;O\;</math> à la vitesse <math>\;V_0 = 100\, m\! \cdot s^{-1}</math>, l'altitude maximale que l'on peut atteindre s'obtenant en tir vertical ascendant et valant <math>\;Z_{\text{max}} = \dfrac{V_0^2}{2\, g} = \dfrac{100^2}{2 \times 9,81} \simeq 510\, m\!\bigg)</math>. {{Al|5}}Ci-contre la [[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]] de la surface de sûreté, [[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]] d'équation <math>\;Z = \dfrac{V_0^2}{2\, g} - \dfrac{g}{2\, V_0^2}\,\rho^2\;</math> dans le demi-plan <math>\;\rho Oz\;</math> c'est-à-dire l'équation d'une demi-parabole d'axe <math>\;Oz\;</math> et de concavité vers les <math>\;Z < 0\;</math> dont la rotation autour de <math>\;Oz\;</math> engendre la surface de sûreté plus exactement le [[w:Paraboloïde#Paraboloïde_elliptique|paraboloïde de révolution]] d'axe <math>\;Oz</math> ; on y trouve * le point d'altitude maximale sur l'axe <math>\;Oz\;</math> de cote <math>\;Z_{\text{max}} = \dfrac{V_0^2}{2\, g} = \dfrac{100^2}{2 \times 9,81} \simeq 510\, m\;</math> et * le point de portée maximale sur l'axe <math>\;O \rho\;</math> de rayon polaire <math>\;\rho_{\text{max}} = \dfrac{V_0^2}{g} = \dfrac{100^2}{9,81} \simeq 1020\, m</math> ; {{Al|5}}sur le diagramme ci-contre figurent aussi les deux tirs possibles pour une cible située à l'intérieur de la surface de sûreté <math>\;\ldots</math>}} === Recherche des angles d'inclinaison possibles (relativement à l'horizontale) du vecteur vitesse initiale d'un projectile pour que ce dernier atteigne une cible située à l'intérieur de (ou sur) la surface de sûreté de ces dernières relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse === ==== Détermination des deux valeurs d'angles d'inclinaison (relativement à l'horizontale) du vecteur vitesse initiale d'un projectile pour que ce dernier atteigne une cible située à l'intérieur de la surface de sûreté de ces dernières relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse ==== {{Al|5}}On considère une cible ponctuelle <math>\;A\,\left( \rho = 175\,m\,;\, Z = 250\,m \right)\;</math> que l'on cherche à atteindre à l'aide d'un projectile tiré de <math>\;O\;</math> avec un vecteur vitesse initiale de norme égale à <math>\;V_0 = 100\,m \cdot s^{-1}</math> ; {{Al|5}}vérifier que cette cible est effectivement à l'intérieur de la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de <math>\;O\;</math> avec une même norme de vitesse <math>\;V_0 = 100\,m \cdot s^{-1}</math>, {{Al|5}}en déduire qu'il y a alors deux tirs possibles pour atteindre cette cible et déterminer les valeurs de <math>\;\alpha_0\;</math> nécessaires pour que l'objectif soit réalisé ; {{Al|5}}{{Transparent|en déduire qu'il y a alors deux tirs possibles pour atteindre cette cible et }}pour quelle valeur de <math>\;\alpha_0\;</math> le tir dure-t-il le moins longtemps ? {{Al|5}}Préciser la disposition de chaque trajectoire du projectile <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préciser la disposition }}relativement à la [[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]] de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles lancés de <math>\;O\;</math> avec une même norme de vitesse <math>\;V_0 = 100\,m \cdot s^{-1}</math>. {{solution |contenu ={{Al|5}}L'équation de [[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]] de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles lancés de <math>\;O\;</math> avec une même norme de vitesse <math>\;V_0 = 100\,m \cdot s^{-1}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation de demi-méridienne de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles }}étant «<math>\;Z = \dfrac{V_0^2}{2\, g} - \dfrac{g}{2\, V_0^2}\,\rho^2 = \dfrac{V_0^2}{2\, g} \left[ 1 - \dfrac{g^2}{V_0^4}\,\rho^2 \right] = \dfrac{V_0^2}{2\, g} \left[ 1 - \left( \dfrac{\rho}{\dfrac{V_0^2}{g}} \right)^{\!\!2} \right]\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation de demi-méridienne de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles étant }}«<math>\;Z = 510 \times \left[ 1 - \left( \dfrac{\rho}{1020} \right)^{\!2} \right]\;</math>» toutes les longueurs étant exprimées en <math>\;m</math>, <br>{{Al|5}}on vérifie que «<math>\;Z = 250 < 510 \times \left[ 1 - \left( \dfrac{175}{1020} \right)^{\!2} \right] \simeq 495\;</math>» établissant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|on vérifie que }}« la cible est effectivement à l'intérieur de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles lancés de <math>\;O\;</math> avec une même norme de vitesse <math>\;V_0 = 100\,m \cdot s^{-1\;}</math>» ; {{Al|5}}il y a donc deux tirs possibles du projectile pour atteindre la cible, la « pente <math>\;\tan(\alpha_0)\;</math> du vecteur vitesse initiale » étant solution de l'équation algébrique du 2^ème degré en la grandeur cherchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|il y a donc deux tirs possibles du projectile pour atteindre la cible, la « pente <math>\;\color{transparent}{\tan(\alpha_0)}\;</math> du vecteur vitesse initiale » étant solution de }}«<math>\;\dfrac{g\, \rho^2}{2\, V_0^2} \tan^2(\alpha_0) - \rho\, \tan(\alpha_0) + Z + \dfrac{g\,\rho^2}{2\, V_0^2} = 0\;</math>»<ref name="équation en tan(alpha)"> Voir, plus haut dans cet exercice, la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Détermination_de_l'équation_suivie_par_l'angle_d'inclinaison_du_vecteur_vitesse_initiale_du_projectile_pour_que_ce_dernier_atteigne_la_cible|détermination de l'équation suivie par l'angle d'inclinaison du vecteur vitesse initiale du projectile pour que ce dernier atteigne la cible]] » dans laquelle on a remplacé <math>\;X' = \sqrt{X^2 + Y^2}\;</math> par <math>\;\rho\;</math> et <math>\;Z'\;</math> par <math>\;Z</math>.</ref> dont le discriminant <math>\;\Delta = \rho^2 - \dfrac{2\, g\, \rho^2}{V_0^2} \left[ Z + \dfrac{g\, \rho^2}{2\, V_0^2} \right] = \dfrac{2\, g\, \rho^2}{V_0^2} \left[ \left( \dfrac{V_0^2}{2\;g} - \dfrac{g\, \rho^2}{2\, V_0^2} \right) - Z \right]\;</math> est <math>\;> 0\;</math> compte-tenu de la définition de l'intérieur de la surface de sûreté <math>\;Z < \dfrac{V_0^2}{2\;g} - \dfrac{g\, \rho^2}{2\, V_0^2}</math> ; {{Al|5}}les solutions sont «<math>\;\tan(\alpha_{0,\,\pm}) = \dfrac{\rho \pm \sqrt{\Delta}}{2\;\dfrac{g\, \rho^2}{2\;V_0^2}} = \dfrac{\rho \pm \sqrt{\dfrac{2\, g\, \rho^2}{V_0^2} \left[ \left( \dfrac{V_0^2}{2\;g} - \dfrac{g\, \rho^2}{2\, V_0^2} \right) - Z \right]}}{\dfrac{g\, \rho^2}{V_0^2}} = \dfrac{V_0^2}{g\, \rho} \pm \sqrt{\dfrac{V_0^2}{g\, \rho^2} \left[ \left( \dfrac{V_0^2}{g} - \dfrac{g\, \rho^2}{V_0^2} \right) - 2\;Z \right]}\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|les solutions dont }}«<math>\;\tan(\alpha_{0,\,\pm}) = \dfrac{V_0^2}{g\, \rho} \left[ 1 \pm \sqrt{ 1 - \dfrac{g^2\;\rho^2}{V_0^4} - \dfrac{2\;g}{V_0^2}\;Z} \right]\;</math>» soit finalement «<math>\;\tan(\alpha_{0,\,\pm}) = \dfrac{V_0^2}{g\, \rho} \left[ 1 \pm \sqrt{ 1 - \dfrac{2\;g}{V_0^2} \left( Z + \dfrac{g}{2\;V_0^2}\;\rho^2 \right)} \right]\;</math>» ; numériquement on obtient : {{Al|5}}{{Transparent|les solutions dont }}<math>\;\tan(\alpha_{0,\,\pm}) = \dfrac{1020}{175} \left\lbrace 1 \pm \sqrt{ 1 - \dfrac{1}{510} \left[ 250 + \dfrac{(175)^2}{2 \times 1020} \right]} \right\rbrace\;</math> soit <math>\succ\;</math>«<math>\;\tan(\alpha_{0,\,+}) = \dfrac{1020}{175} \left\lbrace 1 + \sqrt{ 1 - \dfrac{1}{510} \left[ 250 + \dfrac{(175)^2}{2 \times 1020} \right]} \right\rbrace \simeq 9,87\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\alpha_{0,\,+} \simeq 84,2\,\text{°}\;</math>» <math>\;\big(</math>tir en cloche<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les solutions dont <math>\;\color{transparent}{\tan(\alpha_{0,\,\pm}) = \dfrac{1020}{175} \left\lbrace 1 \pm \sqrt{ 1 - \dfrac{1}{510} \left[ 250 + \dfrac{(175)^2}{2 \times 1020} \right]} \right\rbrace}\;</math> soit }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\tan(\alpha_{0,\,-}) = \dfrac{1020}{175} \left\lbrace 1 - \sqrt{ 1 - \dfrac{1}{510} \left[ 250 + \dfrac{(175)^2}{2 \times 1020} \right]} \right\rbrace \simeq 1,79\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\alpha_{0,\,-} \simeq 60,8\,\text{°}\;</math>» <math>\;\big(</math>tir direct<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le temps nécessaire <math>\;t_{A,\,\pm} - t_O = t_{A,\,\pm}\;</math> pour que le projectile atteigne la cible <math>\;A\,\left( \rho\,,\,Z \right)\;</math> pouvant être déterminé par l'équation <math>\;\rho = V_0\;\cos(\alpha_0)\;t</math>, on en tire «<math>\;t_{A,\,\pm} = \dfrac{\rho}{V_0\;\cos(\alpha_{0,\,\pm})}\;</math>» et par suite, <br>{{Al|5}}<u>le tir durant le moins longtemps</u> est celui correspondant à la plus petite valeur de <math>\;\cos(\alpha_{0,\,\pm})\;</math> à savoir <math>\;\alpha_{0,\,-} \simeq 60,8\,\text{°}\;</math> correspondant au « <u>tir direct</u> »<ref> Numériquement <math>\;t_{A,\,-} = \dfrac{\rho}{V_0\;\cos(\alpha_{0,\,-})} \simeq \dfrac{175}{100 \times \cos(60,8\,\text{°})} \simeq 3,59\,s\;</math> alors que <br><span style="color:#ffffff;"><small>..</small> Numériquement</span> <math>\;t_{A,\,+} = \dfrac{\rho}{V_0\;\cos(\alpha_{0,\,+})} \simeq \dfrac{175}{100 \times \cos(84,2\,\text{°})} \simeq 17,32\,s</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Disposition de chaque trajectoire du projectile relativement à la [[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]] de la surface de sûreté des cibles</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Disposition de chaque trajectoire du projectile }}la trajectoire associée à l'une ou l'autre des valeurs <math>\;\alpha_{0,\,\pm}\;</math> d'équation «<math>\;z = -\dfrac{g}{2\;V_0^2\;\cos^2(\alpha_{0,\,\pm})}\;\rho^2 + \tan(\alpha_{0,\,\pm})\;\rho\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire }}<u>est entièrement à l'intérieur de la [[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]]</u> de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles lancés de <math>\;O\;</math> à <math>\;V_0 = 100\,m \cdot s^{-1}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne }}d'équation «<math>\;z = \dfrac{V_0^2}{2\;g} - \dfrac{g}{2\;V_0^2}\;\rho^2\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne }}<u>à l'exception du point de contact</u> de chaque trajectoire avec la [[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]], dont le rayon polaire vérifie <math>\;\left[ \dfrac{V_0^2}{2\;g} - \dfrac{g}{2\;V_0^2}\;\rho_{\text{cont}}^2 \right] - \left[ -\dfrac{g}{2\;V_0^2\;\cos^2(\alpha_{0,\,\pm})}\;\rho_{\text{cont}}^2 + \tan(\alpha_{0,\,\pm})\;\rho_{\text{cont}} \right] = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{g}{2\;V_0^2} \left[ -1 + \dfrac{1}{\cos^2(\alpha_{0,\,\pm})} \right] \rho^2_{\text{cont}} - \tan(\alpha_{0,\,\pm})\;\rho_{\text{cont}} + \dfrac{V_0^2}{2\;g} = 0</math>, équation algébrique du 2^ème ordre en <math>\;\rho_{\text{cont}}\;</math> se réécrivant <math>\;\dfrac{g}{2\;V_0^2}\; \tan^2(\alpha_{0,\,\pm})\; \rho^2_{\text{cont}} - \tan(\alpha_{0,\,\pm})\;\rho_{\text{cont}} + \dfrac{V_0^2}{2\;g} = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{g}{2\;V_0^2} \left[ \tan(\alpha_{0,\,\pm})\; \rho_{\text{cont}} - \dfrac{V_0^2}{g} \right]^2 = 0\;</math><ref> On vérifie effectivement que chaque trajectoire est entièrement à l'intérieur de la [[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]] car <math>\;\left[ \tan(\alpha_{0,\,\pm})\; \rho - \dfrac{V_0^2}{g} \right]^2 \geqslant 0\;</math> sauf au point de contact où <math>\;\left[ \tan(\alpha_{0,\,\pm})\; \rho_{\text{cont}} - \dfrac{V_0^2}{g} \right]^2 = 0</math>.</ref> d'où « le rayon polaire du point de contact <math>\;\rho_{\text{cont}} = \dfrac{V_0^2}{g\;\tan(\alpha_{0,\,\pm})}\;</math>» soit {{Al|5}}{{Transparent|Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne }}<math>\succ\;</math>pour le « tir en cloche » où <math>\;\alpha_{0,\,+} \simeq 84,2\,\text{°}\;</math> et <math>\;\tan(\alpha_{0,\,+}) \simeq 9,87</math>, <math>\;\rho_{\text{cont}\,+} \simeq \dfrac{1020}{9,87}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour le « tir en cloche » où }}«<math>\;\rho_{\text{cont}\,+} \simeq 103\,m\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour le « tir en cloche » où }}«<math>\;z_{\text{cont}\,+} \simeq \dfrac{(100)^2}{2 \times 9,81} - \dfrac{9,81}{2 \times (100)^2} \times (103)^2 \simeq 504\;m\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne }}<math>\succ\;</math>pour le « tir direct » où <math>\;\alpha_{0,\,-} \simeq 60,8\,\text{°}\;</math> et <math>\;\tan(\alpha_{0,\,-}) \simeq 1,79</math>, <math>\;\rho_{\text{cont}\,-} \simeq \dfrac{1020}{1,79}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour le « tir direct » où }}«<math>\;\rho_{\text{cont}\,-} \simeq 570\,m\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour le « tir direct » où }}«<math>\;z_{\text{cont}\,-} \simeq \dfrac{(100)^2}{2 \times 9,81} - \dfrac{9,81}{2 \times (100)^2} \times (570)^2 \simeq 350\;m\;</math>».}} ==== Détermination de la valeur d'angle d'inclinaison (relativement à l'horizontale) du vecteur vitesse initiale d'un projectile pour que ce dernier atteigne une cible située sur la surface de sûreté de ces dernières relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse ==== {{Al|5}}On considère une cible ponctuelle <math>\;A\,\left( \rho = 400\,m\,;\, Z = 432\,m \right)\;</math> que l'on cherche à atteindre à l'aide d'un projectile tiré de <math>\;O\;</math> avec un vecteur vitesse initiale de norme égale à <math>\;V_0 = 100\,m \cdot s^{-1}</math> ; {{Al|5}}vérifier que cette cible est effectivement sur la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de <math>\;O\;</math> avec une même norme de vitesse <math>\;V_0 =</math> <math>100\,m \cdot s^{-1}</math>, {{Al|5}}en déduire qu'il y a alors un seul tir possible pour atteindre cette cible et déterminer la valeur de <math>\;\alpha_0\;</math> nécessaire pour que l'objectif soit réalisé. {{solution | contenu ={{Al|5}}L'équation de [[w:Surface_de_révolution#Définitions|demi-méridienne]] de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles lancés de <math>\;O\;</math> avec une même norme de vitesse <math>\;V_0 = 100\,m \cdot s^{-1}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation de demi-méridienne de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles }}étant «<math>\;Z = \dfrac{V_0^2}{2\, g} - \dfrac{g}{2\, V_0^2}\,\rho^2\;</math>» <br>{{Al|5}}on vérifie que «<math>\;\dfrac{V_0^2}{2\, g} - \dfrac{g\,\rho^2}{2\, V_0^2} \simeq 510 - \dfrac{(400)^2}{2 \times 1020}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;\dfrac{V_0^2}{2\, g} - \dfrac{g\,\rho^2}{2\, V_0^2} \simeq 431,6\,m\;</math> approximativement égal à <math>\;Z = 432\,m\;</math>» établissant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|on vérifie que }}« la cible peut être considérée comme appartenant à la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de <math>\;O\;</math> avec une même norme de vitesse <math>\;V_0 = 100\,m \cdot s^{-1\;}</math>» ; {{Al|5}}il y a donc un tir possible du projectile pour atteindre la cible, la « pente <math>\;\tan(\alpha_0)\;</math> du vecteur vitesse initiale » étant solution double de l'équation algébrique du 2^ème degré en la grandeur cherchée <br>{{Al|5}}{{Transparent|il y a donc un tir possible du projectile pour atteindre la cible, la « pente <math>\;\color{transparent}{\tan(\alpha_0)}\;</math> du vecteur vitesse initiale » étant solution double de }}«<math>\;\dfrac{g\, \rho^2}{2\, V_0^2} \tan^2(\alpha_0) - \rho\, \tan(\alpha_0) + Z + \dfrac{g\,\rho^2}{2\, V_0^2} = 0\;</math>»<ref name="équation en tan(alpha)" /> dont le discriminant <math>\;\Delta = \rho^2 - \dfrac{2\, g\, \rho^2}{V_0^2} \left[ Z + \dfrac{g\, \rho^2}{2\, V_0^2} \right] = \dfrac{2\, g\, \rho^2}{V_0^2} \left[ \left( \dfrac{V_0^2}{2\;g} - \dfrac{g\, \rho^2}{2\, V_0^2} \right) - Z \right]\;</math> est <math>\;= 0\;</math> compte-tenu de la définition de la surface de sûreté <math>\;Z = \dfrac{V_0^2}{2\;g} - \dfrac{g\, \rho^2}{2\, V_0^2}</math> ; {{Al|5}}la solution double est donc «<math>\;\tan(\alpha_{0,\,d}) = \dfrac{\rho}{2\;\dfrac{g\, \rho^2}{2\;V_0^2}} = \dfrac{V_0^2}{g\, \rho}\;</math>» soit numériquement «<math>\;\tan(\alpha_{0,\,d}) \simeq \dfrac{1020}{400} \simeq 2,55\;</math>» correspondant à «<math>\;\alpha_{0,\,d} \simeq 68,6\,\text{°}\;</math>»<ref> Le temps nécessaire <math>\;t_{A,\,d} - t_O = t_{A,\,d}\;</math> pour que le projectile atteigne la cible sur la surface de sûreté pouvant être déterminé par l'équation <math>\;\rho = V_0\;\cos(\alpha_0)\;t</math>, on en tire <math>\;t_{A,\,d} = \dfrac{\rho}{V_0\;\cos(\alpha_{0,\,d})}</math> <math>\simeq \dfrac{400}{100 \times \cos(68,6\,\text{°})} \simeq 11\,s</math>.</ref>.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique/|Loi de la quantité de mouv. : P. f. d. et théorème de la résultante cinétique]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air/|Loi de la quantité de mouv. : Influence de la résistance de l'air]] }} 7hwas02e1qgzgafrtfwe1vp1zwwn9u4 0 69738 982886 978693 2026-05-17T13:01:20Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982886 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme/]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple/]] }} <center>Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Cas général de la résistance de l'air : notion de traînée et de portance == <center>Ce cas général<ref> Revoir une 1^ère notion de ce cas dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_forces_de_frottement_fluide_exercées_sur_un_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_mouvement_de_translation_relativement_au_fluide_immobile,_le_système_n'ayant_pas_d'axe_de_symétrie_ou,_s'il_en_a_un,_son_vecteur_vitesse_n'étant_pas_porté_par_l'axe|en complément, forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système n'ayant pas pas d'axe de symétrie ou, s'il en a un, son vecteur vitesse n'étant pas porté par l'axe]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> n'est pas explicitement précisé dans le programme de physique de P.C.S.I..</center> === Définitions de la traînée et de la portance exercées par l'air globalement immobile sur un système fermé (indéformable) de points matériels en translation === {{Al|5}}Nous nous plaçons dans le cas où le système fermé <math>\;\big(</math>indéformable<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en translation relativement au référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> n'a pas d’axe de symétrie ou, s'il en a un, que le vecteur vitesse de translation de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> n'est pas porté par cet axe, le système se déplaçant dans l'air supposé globalement immobile dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math> ; [[File:Résistance de l'air sur une aile d'avion.png|thumb|left|350px|Schéma de définition de la [[w:Traînée|traînée]] et de la [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]] sur une aile d'avion, la [[w:Traînée|traînée]] étant la projection de la résistance de l'air sur le vecteur vitesse de l'avion parallèlement à la verticale, et la [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]] la projection de la résistance de l'air sur la verticale parallèlement au vecteur vitesse de l'avion, la [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]] devant être ascendante]] [[File:Résistance de l'air sur une aile d'avion en situation de décrochage.png|thumb|right|350px||Schéma de définition de la [[w:Traînée|traînée]] et de la [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]] sur une aile d'avion en situation de décrochage, la [[w:Traînée|traînée]] étant la projection de la résistance de l'air sur le vecteur vitesse de l'avion parallèlement à la verticale et la [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]] la projection de la résistance de l'air sur la verticale parallèlement au vecteur vitesse de l'avion, la [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]] étant descendante quand l'avion décroche]] {{Al|5}}dans ce cas général, la résistance de l'air sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> notée «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\text{air}}\;</math>» n’étant pas colinéaire au vecteur vitesse de translation «<math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}\;</math>» de ce dernier, nous la décomposons en * une « composante <math>\;\vec{T}\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}\;</math>» appelée « <u>[[w:Traînée|traînée]]</u> » laquelle est, plus précisément, « la projection de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\text{air}}\;</math> sur <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}\;</math> parallèlement à la verticale » et * une « composante verticale <math>\;\vec{\pi}\;</math>» appelée « <u>[[w:Portance_(aérodynamique)|portance]]</u> » laquelle est, plus précisément, « la projection de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\text{air}}\;</math> sur la verticale parallèlement à <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}\;</math>», {{Al|5}}ci-contre à gauche, le « cas d'une [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]] <math>\;\vec{\pi}\;</math> <u>ascendante</u> » <math>\;\big[</math>correspondant à un vecteur vitesse de translation de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> « traversant » la direction « bord de fuite - bord d'attaque »<ref name="bords de fuite et d'attaque"> Nous supposons que le système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est cylindrique de section droite ayant un point anguleux appelé « bord de fuite » et un autre point à rayon de courbure minimal appelé « bord d'attaque », le 1^er étant toujours disposé derrière le 2^nd relativement au vecteur vitesse de translation de <math>\;(\mathcal{S})</math>.</ref> du système du dessus vers le dessous c'est-à-dire correspondant à un {{Nobr|angle<ref name="définition de alpha"> La direction « bord de fuite - bord d'attaque » de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et celle du vecteur vitesse de translation de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> différant l'une de l'autre, on définit un angle <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)\;</math> «<math>\;\vert \alpha \vert \neq 0\;</math>» entre ces deux directions.</ref>}} orienté<ref name="orientation de alpha"> Pour orienter l'angle entre la direction « bord de fuite - bord d'attaque » de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et celle du vecteur vitesse de translation de <math>\;(\mathcal{S})</math>, on définit le vecteur unitaire <math>\;\vec{N}\;</math> <math>\perp\;</math> à toute section droite de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> tel que le trièdre <math>\;\left\lbrace \vec{g}\,,\, \vec{V}_{(\mathcal{S})}\,,\,\vec{N} \right\rbrace\;</math> soit direct dans l'espace physique orienté à droite <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » ainsi que l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\alpha > 0\big]\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|ci-contre }}à droite, le « cas d'une [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]] <math>\;\vec{\pi}\;</math> <u>descendante</u> » <math>\;\big[</math>correspondant à un vecteur vitesse de translation de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> « traversant » la direction « bord de fuite - bord d'attaque »<ref name="bords de fuite et d'attaque" /> du système du dessous vers le dessus c'est-à-dire correspondant à un {{Nobr|angle<ref name="définition de alpha" />}} orienté<ref name="orientation de alpha" /> <math>\;\alpha < 0\big]</math>. === But recherché dans la création d'une portance === * Dans le cas d'un avion, la résultante des [[w:Portance_(aérodynamique)|portances]] agissant sur chaque aile d'avion doit bien sûr être <u>ascendante</u> de norme supérieure ou égale à celle du poids de l'avion<ref> Si l'angle <math>\;\alpha\;</math> devient <math>\;< 0</math>, la [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]] devenue descendante n'assure plus la condition de vol de l'avion, on dit que ce dernier décroche <math>\;\ldots</math></ref> ; * dans le cas d'un camion <math>\;\big(</math>ou d'une voiture de course<math>\big)</math>, la [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]] agissant sur l'aileron au-dessus de la cabine doit être <u>descendante</u> de façon à améliorer le contact des roues sur le sol. == Cas où le système fermé (indéformable) de points matériels possède un axe de symétrie et est en translation parallèlement à cet axe : portance nulle == {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forces_de_frottement_fluide_exercées_sur_un_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_mouvement_de_translation_relativement_au_fluide_immobile,_le_système_ayant_un_axe_de_symétrie_et_son_vecteur_vitesse_étant_porté_par_l'axe|forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé et indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour une 1^ère introduction. === Cas où le système fermé (indéformable) de points matériels possède un axe de symétrie et est en translation dans l'air globalement immobile de vecteur vitesse porté par cet axe === [[File:Résistance de l'air en absence de portance.png|thumb|300px|Résistance de l'air <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}\;</math> agissant sur un système <math>\;(\mathcal{S})\;</math> ayant un axe de symétrie et en translation dans l'air globalement immobile avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}\;</math> porté par cet axe]] {{Al|5}}Dans le cas d'un système fermé <math>\;\big(</math>indéformable<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <u>possédant un axe de symétrie et en mouvement de translation</u> dans l'air globalement immobile relativement à un référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terre}}\;</math> <u>avec</u>, à l'instant <math>\;t</math>, <u>un vecteur vitesse</u> <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}\;</math> <u>porté par cet axe</u>, :{{Al|5}}« <u>la résistance de l'air</u> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}\;</math> s'exerçant sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <u>est aussi portée par cet axe, de sens opposé au vecteur vitesse</u> », :{{Al|5}}ce qui implique « l'<u>identification de la résistance de l'air avec la [[w:Traînée|traînée]]</u>, ainsi que <u>la nullité de la [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]]</u> » ; :{{Al|5}}on peut écrire, à l'instant <math>\;t</math>, la résistance de l'air sous la forme <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} = -\mathcal{R}_{\text{air}}\!\!\left[ V_{(\mathcal{S})} \right]\;\vec{\tau}\;</math>» <br>avec «<math>\;\vec{\tau}\;</math> le vecteur unitaire dans la direction et le sens du mouvement de translation », <br>«<math>\;V_{(\mathcal{S})} = \Vert \vec{V}_{(\mathcal{S})} \Vert\;</math> la norme du vecteur vitesse de translation du système à l'instant <math>\;t\;</math>» <br>et «<math>\;\mathcal{R}_{\text{air}}\!\!\left[ V_{(\mathcal{S})} \right] = \Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} \Vert\;</math> la norme de la résistance de l'air à l'instant <math>\;t\;</math>» <br>laquelle est fonction de la norme du vecteur vitesse du système au même instant.</center> === Variation de la norme de la résistance de l'air avec la vitesse de translation du système fermé (indéformable) de points matériels === {{Al|5}}La façon dont la norme de la résistance de l'air <math>\;\mathcal{R}_{\text{air}}\!\!\left[ V_{(\mathcal{S})} \right]\;</math> varie avec la vitesse de translation <math>\;V_{(\mathcal{S})}\;</math> du système fermé <math>\;\big(</math>indéformable<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dépend de la valeur de cette dernière selon * les « <u>faibles vitesses</u> »<ref name="à préciser"> Domaine qui nécessite d'être précisé et qui le sera en compléments un peu plus loin dans ce paragraphe.</ref> où « la résistance de l'air est <u>linéaire</u> » <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> à savoir <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}_{(\mathcal{S})}(t) = -h\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» où <br>«<math>\;h\;</math> est une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la viscosité dynamique<ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la « [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa\;</math>», <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, « est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide » par «<math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math>» avec «<math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z\;</math>», ceci impliquant que « la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math>» <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="viscosité cinématique"> La [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> est à distinguer d'une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la 1^ère <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> ainsi que de la masse volumique du fluide <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon «<math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math>» s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » <math>\;\big\{</math>donné en hommage à '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' mathématicien et physicien britannique ayant mené, entre autres, d'importants travaux en mécanique des fluides<math>\big\}\;</math> de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math>.</ref> et de la densité de l'air » <br>ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels » en particulier, <br>« pour <math>\;(\mathcal{S})\;</math> de forme sphérique de rayon <math>\;R\;</math>», «<math>\;h\;</math> est donné par la formule de Stokes »<ref name="Stokes"> '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]] ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du théorème portant son nom mais en fait une 1^ère démonstration de ce théorème fût donnée vingt ans plus tôt par '''[[w:Mikhaïl_Ostrogradski|Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky]] (1801 - 1862)''' physicien et mathématicien russe <math>\;\big(</math>province de l'Ukraine<math>\big)\;</math> à qui on doit aussi, entre autres, un théorème portant son nom <math>\;\ldots</math></ref> <br>«<math>\;h_{\text{Stokes}} = 6\,\pi\,\eta_{\text{air}}\,R\;</math>» où «<math>\;\eta_{\text{air}}\;</math> est la viscosité dynamique<ref name="viscosité dynamique" /> de l'air » ;</center> * les « <u>vitesses moyennes</u> »<ref name="à préciser" /> où « la résistance de l'air est <u>quadratique</u> » <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_moyennes|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> à savoir <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}_{(\mathcal{S})}(t) = -h'\;V_{(\mathcal{S})}^2(t)\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» où <br> «<math>\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\big[</math>avec <math>\;V_{(\mathcal{S})}(t) = \Vert \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t) \Vert\big]\;</math> et <br>«<math>\;h'\;</math> est une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la viscosité dynamique<ref name="viscosité dynamique" /> et de la densité de l'air » <br>ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels » <ref> Dépendance exposée en détail au paragraphe suivant intitulé « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Cas_de_la_résistance_de_l'air_de_forme_quadratique|cas de la résistance de l'air de forme quadratique]] ».</ref> ; <br> la résistance de l'air s'écrit encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}_{(\mathcal{S})}(t) = -h'\;V_{(\mathcal{S})}(t)\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» avec «<math>\;V_{(\mathcal{S})}(t) = \Vert \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t) \Vert\;</math>»<ref> En effet <math>\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t) = \dfrac{\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)}{V_{(\mathcal{S})}(t)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_{(\mathcal{S})}^2(t)\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t) = V_{(\mathcal{S})}(t)\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)</math>.</ref>.</center> * les « <u>vitesses élevées</u> »<ref name="à préciser" />{{,}}<ref name="vitesses élevées"> A priori pratiquement jamais considéré même si cette situation devrait être la plus fréquente, la raison de ceci étant que cela complique grandement la résolution d'un problème avec certes une amélioration des résultats mais ne justifiant pas cette complication.</ref> où « la résistance de l'air <u>varie plus rapidement que quadratiquement</u> » <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_élevées|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> à savoir <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}_{(\mathcal{S})}(t) = -\mathcal{R}_{\text{air}_{(\mathcal{S})}}\!\!\left[ V_{(\mathcal{S})} \right](t)\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» où <br> «<math>\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\big[</math>avec <math>\;V_{(\mathcal{S})}(t) = \Vert \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t) \Vert\big]\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{R}_{\text{air}_{(\mathcal{S})}}\!\! \left[ V_{(\mathcal{S})} \right]\;</math> est une fonction positive de <math>\;V_{(\mathcal{S})}\;</math> croissant plus rapidement que <math>\;V_{(\mathcal{S})}^2\;</math>»<ref> Comme «<math>\;V_{(\mathcal{S})}^n\;</math> avec <math>\;n\, \in \mathbb{Q}\;</math> et <math>\;n > 2\;</math>».</ref> <br>« dépendant de la viscosité dynamique<ref name="viscosité dynamique" /> et de la densité de l'air » ainsi que <br>« de la forme et des dimensions du système de points matériels ».</center> === En complément, condition de vitesses faibles, moyennes ou élevées évaluée relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans l'air immobile === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour une introduction étendue à tout fluide. {{Al|5}}Pour choisir entre une forme linéaire ou quadratique voire une forme à variation encore plus rapide de frottement fluide dans l'air on évalue l'ordre de grandeur d'un « nombre sans dimension <math>\;\mathfrak{R}e\;</math>» appelé « nombre de Reynolds »<ref name="Reynolds"> '''[[w:Osborne_Reynolds|Osborne Reynolds]] (1842 - 1912)''' ingénieur et physicien irlandais ayant fait d'importantes contributions à l'hydrodynamique et la dynamique des fluides dont la plus importante fut l'introduction en <math>\;1883\;</math> du nombre qui porte son nom.</ref> et défini selon <center>«<math>\;\mathfrak{R}e = \dfrac{V_{(\mathcal{S})}\;L_{(\mathcal{S})}}{\nu_{\text{flu}}}\;</math>» avec «<math>\;V_{(\mathcal{S})}\;</math> la norme du vecteur vitesse de translation du système », <br>«<math>\;L_{(\mathcal{S})}\;</math> une longueur caractéristique de la dimension transversale du système » et «<math>\;\nu_{\text{air}}\;</math> la viscosité cinématique<ref name="viscosité cinématique" /> de l'air », <br>ou encore «<math>\;\mathfrak{R}e = \dfrac{\rho_{\text{flu}}\;V_{(\mathcal{S})}\;L_{(\mathcal{S})}}{\eta_{\text{air}}}\;</math>» avec «<math>\;\rho_{\text{air}}\;</math> et <math>\;\eta_{\text{air}}\;</math> respectivement la masse volumique et la viscosité dynamique<ref name="viscosité dynamique" /> de l'air ».</center> {{Al|5}}Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance de l'air s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable comme * « <u>linéaire</u> si <math>\;\mathfrak{R}e \lesssim 1\;</math>», l'écoulement de l'air autour de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant [[w:Écoulement_laminaire|laminaire]] ou * « <u>quadratique</u> si <math>\;10^3 \lesssim \mathfrak{R}e \lesssim 2\,10^5\;</math>», l'écoulement de l'air autour de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant alors [[w:Écoulement laminaire#Transition laminaire-turbulent|turbulent]]. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : « Que choisir si <math>\;1 \lesssim \mathfrak{R}e \lesssim 10^3\;</math>» ? En fait on pourrait considérer <math>\;\mathcal{R}_{\text{flu}_{(\mathcal{S})}}\;</math> variant comme <math>\;V_{(\mathcal{S})}^n\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{Q}\;</math> compris entre <math>\;1\;</math> et <math>\;2</math>, d'autant plus proche de <math>\;2\;</math> que le nombre de Reynolds est grand mais <math>\;\ldots\;</math> pour éviter une trop grande complication on choisira «<math>\;n = 1\;</math> pour <math>\;\mathfrak{R}e \lesssim 30\;</math>» et «<math>\;n = 2\;</math> pour le restant de l'intervalle » en étant conscient de commettre une erreur<ref name="comparer théorie et expérience"> Ce qui nécessitera de vérifier le résultat théorique obtenu avec le résultat expérimental.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}« Que choisir si <math>\;\mathfrak{R}e \gtrsim 2\,10^5\;</math>» ? On pourrait considérer <math>\;\mathcal{R}_{\text{flu}_{(\mathcal{S})}}\;</math> variant comme <math>\;V_{(\mathcal{S})}^n\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{Q}\;</math> supérieur à <math>\;2\;</math> et ceci d'autant plus que le nombre de Reynolds est grand mais <math>\;\ldots\;</math> pour éviter une trop grande complication on choisira «<math>\;n = 2\;</math> pour <math>\;\dfrac{\mathfrak{R}e}{2\,10^5}\;</math> restant de l'ordre de quelques unités » en étant conscient de commettre une erreur<ref name="comparer théorie et expérience" /> et si la comparaison au résultat expérimental n'était pas satisfaisante ou pourrait essayer <math>\;n = 3\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Application sur l'exemple d'une boule</u> : Nous envisageons le mouvement de translation d'une boule <math>\;(\mathcal{B})\;</math> de rayon <math>\;R\;</math> en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{B})}\;</math> dans l'air globalement immobile au niveau du sol dans les conditions de température <math>\;20\,\text{°}C\;</math> et de pression <math>\;1\,bar = 10^5\,Pa\;</math> dans lesquelles « la masse volumique de l'air vaut <math>\;\rho_{\text{air}} \simeq 1,20\,kg \cdot m^{-3}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Application sur l'exemple d'une boule : }}nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de <math>\;R\;</math> dans les conditions précédentes de température et de pression pour que la forme de la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique <math>\;\big(</math>voire à variation plus rapide<math>\big)\;</math> connaissant la valeur de « la viscosité dynamique<ref name="viscosité dynamique" /> de l'air <math>\;\eta_{\text{air}} \simeq 1,8\,10^{-5}\;kg \cdot m^{-1}\! \cdot s^{-1} = 18\; \mu Pl\;</math>»<ref> Micropoiseuille.</ref> ou celle de «sa viscosité cinématique<ref name="viscosité cinématique" /> <math>\;\nu_{\text{air}} = \dfrac{\eta_{\text{air}}}{\rho_{\text{air}}} \simeq \dfrac{1,8\,10^{-5}}{1,20} \simeq 1,5\,10^{-5}\,m^2\!\cdot s^{-1} =</math> <math>15\;cSt\;</math>»<ref name="centistokes"> Centistokes.</ref>, « la longueur transversale caractéristique d'une boule étant son diamètre <math>\;2\,R\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Application sur l'exemple d'une boule : }}nous évaluons alors le nombre de Reynolds de la boule <math>\;(\mathcal{B})\;</math> de rayon <math>\;R\;</math> en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{B})}\;</math> dans l'air globalement immobile selon «<math>\;\mathfrak{R}e = \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{\nu_{\text{air}}} \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{1,5\,10^{-5}}\;</math>» où <math>\;R\;</math> est exprimé en <math>\;m\;</math> et <math>\;V_{(\mathcal{B})}\;</math> en <math>\;m \cdot s^{-1}</math>. ==== Boule de dimension millimétrique ==== {{Al|5}}Le nombre de Reynolds d'une boule de «rayon <math>\;R = 0,5\,mm\;</math>» <math>\big(</math>correspondant à la dimension d'un grain de sable<math>\big)</math>, se réécrivant «<math>\;\mathfrak{R}e \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{1,5\,10^{-5}} =</math> <math>\dfrac{V_{(\mathcal{B})} \times 10^{-3}}{1,5\,10^{-5}} \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}}{1,5\,10^{-2}}\;</math>» où «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\;</math> est exprimée en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>», nous en déduisons la condition de vitesse pour que la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique <math>\;\big(</math>voire à variation plus rapide<math>\big)</math> : * condition des « <u>faibles vitesses</u> » correspondant à une « résistance de l'air <u>linéaire</u> » si <math>\;\mathfrak{R}e \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}}{1,5\,10^{-2}} \lesssim 1\;</math> soit <math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim 1,5\,10^{-2}\;m \cdot s^{-1}\;</math> ou encore «<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim 1,5\;cm \cdot s^{-1}\;</math>» ce qui est lent mais réalisable ; * condition des « <u>vitesses moyennes</u> » correspondant à une « résistance de l'air <u>quadratique</u> » si <math>\;10^3 \lesssim \mathfrak{R}e \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}}{1,5\,10^{-2}} \lesssim 2\,10^5\;</math> soit <math>\;V_{(\mathcal{B})}\;</math> telle que <math>\;15\;m \cdot s^{-1} \lesssim V_{(\mathcal{B})} \lesssim 3000\;m \cdot s^{-1}\;</math> ou encore «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\; \left[ 15\; m \cdot s^{-1}\;;\; 3\; km \cdot s^{-1} \right]\;</math>» ce qui est tout à fait réalisable <math>\;\ldots</math> ==== Boule de dimension métrique ==== {{Al|5}}Le nombre de Reynolds d'une boule de rayon «<math>\;R = 0,5\,m\;</math>» <math>\big(</math>correspondant à la dimension d'un homme replié sur lui-même<math>\big)</math>, se réécrivant «<math>\;\mathfrak{R}e \simeq</math> <math>\dfrac{V_{(\mathcal{B})}\;2\,R}{1,5\,10^{-5}} = \dfrac{V_{(\mathcal{B})} \times 1}{1,5\,10^{-5}} \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}}{1,5\,10^{-5}}\;</math>» où «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\;</math> est exprimée en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>», nous en déduisons la condition de vitesse pour que la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique <math>\;\big(</math>voire à variation plus rapide<math>\big)</math> : * condition des « <u>faibles vitesses</u> » correspondant à une « résistance de l'air <u>linéaire</u> » si <math>\;\mathfrak{R}e \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}}{1,5\,10^{-5}} \lesssim 1\;</math> soit <math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim 1,5\,10^{-5}\;m \cdot s^{-1}\;</math> ou encore «<math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim 15\;\mu m \cdot s^{-1}\;</math>» ce qui est beaucoup trop lent pour être réalisable ; * condition des « <u>vitesses moyennes</u> » correspondant à une « résistance de l'air <u>quadratique</u> » si <math>\;10^3 \lesssim \mathfrak{R}e \simeq \dfrac{V_{(\mathcal{B})}}{1,5\,10^{-5}} \lesssim 2\,10^5\;</math> soit <math>\;V_{(\mathcal{B})}\;</math> telle que <math>\;1,5\;10^{-2}\;m \cdot s^{-1} \lesssim V_{(\mathcal{B})} \lesssim 3\;m \cdot s^{-1}\;</math> ou encore «<math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\; \left[ 1,5\; cm \cdot s^{-1}\;;\; 3\; m \cdot s^{-1} \right]\;</math>» ce qui est réalisable<ref> En effet <math>\;3\;m \cdot s^{-1}\;</math> est la vitesse d'un athlète pratiquant la marche.</ref> <math>\;\ldots</math> ==== Conclusion ==== {{Al|5}}<u>En conclusion</u>, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;1\;m\;</math> en translation rectiligne uniforme dans l'air, la forme de la résistance de l'air choisie ne peut pas être linéaire, elle doit être au mieux quadratique<ref> Si néanmoins on vous impose une résistance de l'air de forme linéaire pour traiter le problème posé, vous ne devez pas remettre en cause cette forme <math>\;\big(</math>sauf si la question est posée en fin de problème et à condition que soit rappelée la définition du nombre de Reynolds et ses valeurs nécessaires pour avoir une forme linéaire ou quadratique<math>\big)</math>.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, }}pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à <math>\;1\;mm\;</math> en translation rectiligne uniforme dans l'air, la forme de la résistance de l'air choisie peut être linéaire si l'objet est très lent, sinon elle doit raisonnablement être quadratique <math>\;\ldots</math> === Cas de la résistance de l'air de forme quadratique === [[File:Maître couple d'un objet en translation relative dans un fluide.png|thumb|300px|Définition du maître-couple d'un objet en translation relative dans un fluide sur l'exemple d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de hauteur <math>\;H\;</math> se déplaçant perpendiculairement à son axe]] {{Al|5}}<u>Définition du [[w:Maître-couple|maître-couple]] d'un objet en translation relative dans l'air</u> : Le [[w:Maître-couple|maître-couple]] d'un système fermé indéformable de points matériels <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en translation dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}\;</math> dans l'air globalement immobile est le « projeté orthogonal du solide sur un plan transverse <math>\;\big[</math>c'est-à-dire un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}\big]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Définition du maître-couple d'un objet en translation relative dans l'air : }}sur l'exemple ci-contre représentant un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de hauteur <math>\;H\;</math> se déplaçant perpendiculairement à son axe avec un vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{(\mathcal{S})}</math>, le [[w:Maître-couple|maître-couple]] est un rectangle de hauteur <math>\,H\,</math> et de largeur <math>\,2\;R</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définition du maître-couple d'un objet en translation relative dans l'air : }}notant <math>\;S\;</math> l'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]], on obtient, dans l'exemple ci-contre, <math>\;S =</math> <math>2\;R\;H</math>. {{Al|5}}<u>Résistance de l'air de forme quadratique détaillée</u> : La forme quadratique de la résistance de l'air agissant sur un système fermé indéformable de points matériels <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en translation dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> avec un « vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans l'air globalement immobile <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» s'écrivant, à l'aide de «<math>\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» et «<math>\;V_{(\mathcal{S})}(t) = \Vert \vec{V}_{(\mathcal{S})}(t) \Vert\;</math>», selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}_{(\mathcal{S})}(t) =</math> <math>-h'\;V_{(\mathcal{S})}^2(t)\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>»<ref> Ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}_{(\mathcal{S})}(t) = -h'\;V_{(\mathcal{S})}(t)\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math>» en effet <math>\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t) = \dfrac{\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)}{V_{(\mathcal{S})}(t)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_{(\mathcal{S})}^2(t)\;\vec{\tau}_{(\mathcal{S})}(t) = V_{(\mathcal{S})}(t)\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)</math>.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Résistance de l'air de forme quadratique détaillée : }}avec «<math>\;h'\;</math> une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la viscosité dynamique<ref name="viscosité dynamique" /> et de la densité de l'air » ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », dont l'expression est explicitée ci-dessous : {{Al|5}}{{Transparent|Résistance de l'air de forme quadratique détaillée : }}pour préciser la dépendance de <math>\;h'\;</math> avec les quantités énoncées ci-dessus on pose <center>«<math>\;h' = \dfrac{1}{2}\;C_x\;S\;\rho_{\text{air}}\;</math>»<ref> L'introduction du facteur <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> est historique et conservée, même si elle ne semble pas indispensable.</ref> dans laquelle les différents facteurs sont <br>«<math>\;\rho_{\text{air}}\;</math> la <u>masse volumique de l'air</u> dans les conditions de température et de pression de l'expérience », <br><math>\;S\;</math> l'aire du « <u>[[w:Maître-couple|maître-couple]]</u> » de l'objet en translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}(t)\;</math> et <br>«<math>\;C_x\;</math> le <u>[[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]]</u> de l'objet en translation » <math>\;\big[</math>c'est-à-dire une grandeur sans dimension <br>caractéristique de l'aérodynamisme de l'objet lors de son déplacement<ref> Le <u>[[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]]</u> de l'objet en translation est d'autant plus faible que la forme aérodynamique de l'objet est meilleure.</ref><math>\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Quelques valeurs de [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] suivant la forme de l'objet</u> <ref> En fait les valeurs du [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] <math>\;C_x\;</math> ne sont pas des constantes pour une forme donnée, elles dépendent aussi du type d'écoulement autour de l'objet, ce dernier étant caractérisé par son nombre de Reynolds <math>\;\mathcal{R}e\;</math> précédemment introduit en compléments ; les valeurs fournies ci-après donnent simplement un ordre de grandeur nécessitant que les conditions d'écoulement soient plus précises <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>les commentaires entre parenthèses correspondant à un système de points matériels fermé immobile, le fluide se déplaçant en direction du système<math>\big)</math> : * «<math>\;C_{x,\,\text{corps profilé}} \simeq 0,05\;</math>»<ref> Un corps est dit « profilé » s'il possède une surface d'attaque convexe à rayon de courbure faible et une surface de fuite plus anguleuse.</ref> <math>\;\big(</math>l'un des plus faibles [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] caractéristique d'un bon aérodynamisme<math>\big)</math>, * «<math>\;C_{x,\,\text{boule}} = C_{x,\,\text{sphère}} = C_{x,\,\text{hémisphère avec front convexe}} \simeq 0,5\;</math>»<ref> La surface de front étant convexe, l'air peut « couler » sur l'objet.</ref>, * «<math>\;C_{x,\,\text{cylindre en translation }\perp\;\text{à l'axe}}</math><math>= C_{x,\,\text{hémicylindre avec surface cylindrique de front}}</math><math>= C_{x,\,\text{demi tuyau cylindrique avec surface cylindrique de front}} \simeq</math><math>1,0\;</math>»<ref> Le vecteur vitesse de translation étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cylindre ou sortant perpendiculairement à la surface cylindrique de l'hémicylindre ou du demi tuyau cylindrique, l'aérodynamisme est alors médiocre car la face de front est cylindrique.</ref>, * «<math>\;C_{x,\,\text{cylindre avec base de front}} = C_{x,\,\text{demi-boule avec plan de coupe de front}} \simeq 1,2\;</math>»<ref> Le vecteur vitesse de translation étant suivant l'axe du cylindre ou sortant perpendiculairement au plan de coupe de la demi-boule, l'aérodynamisme est alors médiocre car la face de front est plane.</ref>, * «<math>\;C_{x,\,\text{hémisphère avec front concave}} \simeq 1,4\;</math>»<ref> La surface de front étant concave, l'air « s'engouffre » à l'intérieur de l'hémisphère ce qui crée plus difficulté pour qu'il se retrouve à l'extérieur d'où un aérodynamisme assez mauvais.</ref>, * «<math>\;C_{x,\,\text{hémicylindre avec plan de coupe de front}} \simeq 2,0\;</math>»<ref> Le vecteur vitesse de translation sortant perpendiculairement à la surface plane de l'hémicylindre, l'aérodynamisme est mauvais car la face de front est plane d'une part et d'autre part deux surfaces latérales le sont aussi.</ref>, * «<math>\;C_{x,\,\text{demi tuyau cylindrique avec intérieur de la surface cylindrique de front}} \simeq 2,3\;</math>»<ref> Le vecteur vitesse de translation sortant perpendiculairement de l'intérieur de la surface cylindrique du demi tuyau cylindrique, l'aérodynamisme est très mauvais car, la face de front étant concave, l'air « s'engouffre » à l'intérieur de la surface cylindrique avec, quand il se retrouve à l'extérieur, plus de difficulté à « s'écouler » compte-tenu d'une direction retiligne.</ref> et * «<math>\;C_{x,\,\text{parachute}} \in \left[ 1,4\,;\, 2,3 \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>mauvais aérodynamisme mais c'est le but recherché, la surface de front est alors concave d'où une difficulté de l'air de pouvoir « couler » à l'intérieur du parachute pour se retrouver à l'extérieur<math>\big)</math>. == Problème du parachutiste : observation d'une vitesse limite de chute, établissement, par approche numérique, de la nécessité de prendre en compte une forme quadratique de résistance de l'air == === Problème du parachutiste === {{Al|5}}Le parachutiste est assimilé à un système fermé <math>\;\big(</math>indéformable<math>\big)\;</math> de points matériels de C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. <math>\;G\;</math> de masse <math>\;m_{\text{para}}\;</math> en « translation dans l'air globalement immobile » ; {{Al|28}}il est largué « sans vitesse initiale » relativement au référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> supposé galiléen<ref name="parachutiste non largué d'un avion"> Le parachutiste n'est donc pas largué d'un avion sinon le parachutiste aurait pour vitesse initiale relativement au référentiel terrestre la vitesse de l'avion à l'instant du largage <math>\;\ldots</math></ref> d'un « point <math>\;G_0\;</math> situé à l'altitude <math>\;h\;</math>» ; {{Al|5}}lors de sa chute, il est soumis à deux forces : * « son poids <math>\;m_{\text{para}}\;\vec{g}\;</math>» où <math>\;\vec{g}\;</math> est le champ de pesanteur terrestre supposé uniforme et * « la résistance de l'air <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}\;</math>». === Observation d'une vitesse limite de chute === {{Al|5}}Le parachutiste tombe initialement sans résistance de l'air <math>\;\big(</math>la vitesse initiale étant nulle<math>\big)\;</math> avec, d'après l'application du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />., une accélération initiale égale à l'accélération de la pesanteur, dont découle une vitesse <math>\;\nearrow\;</math> à partir de la valeur nulle et par suite une résistance de l'air <math>\;\nearrow\;</math> également ; {{Al|5}}une 1^ère conséquence est une <math>\;\searrow\;</math> de l'accélération par nouvelle application du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />., mais tant que celle-ci reste dirigée vers le bas, la vitesse continue de <math>\;\nearrow\;</math> ainsi que la résistance de l'air et l'accélération de <math>\;\searrow\;</math> <math>\ldots</math> {{Al|5}}pratiquement on constate assez rapidement que « <u>l'accélération atteint la valeur nulle quand la résistance de l'air compense le poids du parachutiste</u> », la chute continuant alors de se faire à vitesse constante, appelée « <u>vitesse limite de chute du parachutiste</u> ». === Approche numérique et nécessité de prendre en compte la résistance de l'air sous forme quadratique === {{Al|5}}La vitesse limite de chute d'un parachutiste « à parachute ouvert » est de <math>\;5\;</math> à <math>\;8\;m \cdot s^{-1}\;</math><ref> Ou encore de <math>\;18\;</math> à <math>\;28,8 \simeq 30\;km \cdot h^{-1}</math>.</ref> ; {{Al|5}}la vitesse limite de chute « libre » d'un parachutiste<ref name="sens du parachutisme"> Chute libre au sens du parachutisme c.-à-d. sans ouverture de parachute.</ref> est de <math>\;50\;</math> à <math>\;60\;m \cdot s^{-1}\;</math><ref> Ou encore de <math>\;180\;</math> à <math>\;216 \simeq 220\;km \cdot h^{-1}</math>.</ref>. {{Al|5}}En utilisant l'ordre de grandeur des valeurs de vitesses possibles pour une « forme linéaire ou quadratique de la résistance de l'air agissant sur une [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Boule_de_dimension_métrique|boule de dimension métrique]] » établies plus haut dans ce chapitre, à savoir : * « si <math>\;V_{(\mathcal{B})} \lesssim 15\;\mu m \cdot s^{-1}\;</math>» la forme de la résistance de l'air est « <u>linéaire</u> », * « si <math>\;V_{(\mathcal{B})}\; \underset{\sim}{\in}\; \left[ 1,5\; cm \cdot s^{-1}\;;\; 3\; m \cdot s^{-1} \right]\;</math>» la forme de la résistance de l'air est « <u>quadratique</u> » et * sinon c'est-à-dire pratiquement « si <math>\;V_{(\mathcal{B})} \gtrsim 30\; m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="vitesses élevées" />, la forme de la résistance de l'air est telle qu'elle « <u>varie plus rapidement que quadratiquement</u> », {{Al|5}}Il semble que la vitesse de chute d'un parachutiste « à parachute ouvert » autorise une « <u>résistance de l'air de forme quadratique</u> »<ref> Bien que le [[w:Maître-couple|maître-couple]] du parachutiste « à parachute ouvert » soit d'aire assez nettement supérieure à celle du [[w:Maître-couple|maître-couple]] de la boule considérée dans l'étude précédente <math>\;\big[</math>si on considère l'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]] d'un parachute ouvert de <math>\;81\;m^2\;</math> soit la même aire que celle d'un carré de <math>\;9\;m\;</math> de côté, il faut remplacer la longueur <math>\;L_{(\mathcal{S})}\;</math> intervenant dans le nombre de Reynolds <math>\;\big(</math>revoir la définition de ce nombre et son utilisation dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#En_complément,_condition_de_vitesses_faibles,_moyennes_ou_élevées_évaluée_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_l'air_immobile|conditions de vitesses faibles, moyennes ou élevées évaluée relativement aux dimensions du systèmes de points matériels fermé indéformable en translation dans l'air immobile]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;</math> de valeur <math>\;2\;R = 1\;m\;</math> de la boule par <math>\;L = 9\;m\;</math> pour le parachutiste « parachute ouvert »<math>\big]</math> et que ceci a pour conséquence une diminution des bornes de l'intervalle de vitesses pour que la forme de la résistance de l'air soit quadratique <math>\;\big\{</math>si la longueur <math>\;L_{(\mathcal{S})}\;</math> est multipliée par un facteur <math>\;9\;</math> les bornes de l'intervalle de vitesses sont divisées par le même facteur <math>\;9\;</math> ce qui conduit à l'intervalle de vitesses pour une forme quadratique de <math>\;\left[ 1,7\; mm \cdot s^{-1}\;;\; 33\; cm \cdot s^{-1} \right]\big\}</math>, nous nous contenterons d'une forme quadratique de la résistance de l'air car le choix d'une forme variant plus rapidement que quadratiquement entraînerait des complications beaucoup trop importantes pour le peu de gain que cela apporterait <math>\;\ldots</math></ref> et que {{Al|6}}{{Transparent|Il semble que la vitesse de }}celle d'un parachutiste en chute « libre »<ref name="sens du parachutisme" /> autorise aussi une « <u>résistance de l'air de forme quadratique</u> »<ref> Le [[w:Maître-couple|maître-couple]] du parachutiste en chute « libre » et replié sur lui-même étant d'aire assez voisine de celle du [[w:Maître-couple|maître-couple]] de la boule considérée dans l'étude précédente, les bornes de l'intervalle de vitesses pour une forme quadratique restent donc de même ordre de grandeur que celles trouvées avec une boule de dimensions métriques, la vitesse limite de chute « libre » dépasse alors d'un facteur <math>\;20\;</math> la vitesse maximale autorisée pour une forme quadratique de la résistance de l'air mais les complications engendrées par le choix d'une forme variant plus rapidement que quadratiquement étant trop grandes relativement à la faible amélioration des résultats, nous nous contenterons d'une forme quadratique de la résistance de l'air <math>\;\ldots</math></ref>. == Problème du parachutiste : détermination, par récurrence, de la nature verticale du mouvement de chute == === Préliminaire === {{Al|5}}Nous ne pouvons démontrer simplement la nature verticale du mouvement de chute en raisonnant sur la direction des forces car {{Al|5}}<u>seule l'une des deux forces extérieures appliquées</u> « le poids du parachutiste » <u>est verticale</u> quel que soit le mouvement de chute, {{Al|5}}{{Transparent|seule }}l'autre « la résistance de l'air » étant colinéaire et de sens contraire au vecteur vitesse du parachutiste <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <ref> Le parachutiste modélisé étant supposé en translation, sa vitesse est celle de son C.D.I. <math>\;G</math>.</ref> <u>n'est verticale que dans la mesure où la vitesse du parachutiste l'est</u> et chercher à établir la verticalité du mouvement c'est ne pas être autorisé à utiliser que <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> serait vertical puisque c'est ce que nous cherchons à démontrer <math>\;\ldots\;</math> par conséquent nous ne connaissons pas, a priori, la verticalité de « la résistance de l'air » à tout instant<ref> Toute hypothèse de verticalité de « la résistance de l'air » quel que soit l'instant considéré contient, en hypothèse sous-jacente, la verticalité de la vitesse aux mêmes instants et ne peut donc être utilisée pour démontrer la verticalité de cette dernière quel que soit l'instant considéré sous peine de « voir le chat se mordre la queue ».</ref> <math>\;\ldots</math> === Établissement de la nature verticale du mouvement de chute === {{Al|5}}Appliquant le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. au parachutiste on trouve, après division de part et d'autre par la masse <math>\;\big(</math>inerte ou grave<math>\big)\;</math> de ce dernier : <center>«<math>\;\vec{a}_{G_{\text{para}}}(t) = \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t)}{m_{\text{para}}}\;</math>»<ref name="parachutiste en translation"> Le parachutiste étant en translation <math>\;\big(</math>nous ne savons pas, pour l'instant, que cette translation est rectiligne, c'est ce que nous cherchons à démontrer<math>\big)</math>, l'accélération du parachutiste est celle de son centre d'inertie <math>\;\big(</math>de même pour sa vitesse<math>\big)</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t) = \mathcal{R}_{\text{air}}\!\! \left[ V_{G_{\text{para}}}(t) \right]\;\vec{\tau}_{G_{\text{para}}}(t)\;</math>»<ref name="définition de vecteur tau"> «<math>\;\vec{\tau}_{G_{\text{para}}}(t)\;</math> est le vecteur unitaire de la direction du mouvement choisi dans le sens de ce dernier » <math>\;\big(</math>nous ne savons pas encore qu'il s'agit de la direction verticale dans le sens descendant<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}«<math>\;\mathcal{R}_{\text{air}}\!\! \left[ V_{G_{\text{para}}}(t) \right]\;</math> étant la norme de la résistance de l'air » <math>\;\big[</math>nous avons déjà établi, en utilisant les données expérimentales, que la forme serait quadratique mais le caractère quadratique n'intervenant pas dans la démonstration, nous ne nous en servirons pas<math>\big]</math>.</ref> et <br>«<math>\;\mathcal{R}_{\text{air}}\!\! \left[ V_{G_{\text{para}}} \right]\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\; V_{G_{\text{para}}}\;</math>».</center> ==== Initiation de la récurrence sur un 1^er intervalle de temps ==== {{Al|5}}« Au départ de la chute, c'est-à-dire à <math>\;t_0 = 0\;</math>», la vitesse initiale du parachutiste étant nulle soit <math>\;V_{G_{\text{para}}}(t_0) = 0</math>, nous en déduisons la nullité de la résistance de l'air initiale c'est-à-dire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_0) = \vec{0}\;</math>» d'où le vecteur accélération initiale du parachutiste «<math>\;\vec{a}_{G_{\text{para}}}(t_0) = \vec{g}\; \cancel{+\; \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_0)}{m_{\text{para}}}}\;</math>» ou, « en choisissant pour vecteur de base cartésienne <math>\;\vec{u}_z\;</math> le vecteur unitaire vertical descendant » <math>\;\big[</math>et, pour les deux autres vecteurs de base cartésienne, des vecteurs unitaires horizontaux orthogonaux <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> tel que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> de l'espace physique orienté à droite<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit directe<ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Au départ de la chute, c'est-à-dire à <math>\;\color{transparent}{t_0 = 0}\;</math>», la vitesse initiale du parachutiste étant nulle soit <math>\;\color{Transparent}{V_{G_{\text{para}}}(t_0) = 0}</math>, nous en déduisons }}les relations à l'instant initial suivantes : <center>«<math>\;\vec{a}_{G_{\text{para}}}(t_0) = \vec{g} \left\lbrace \begin{array}{l} a_{x,\,G_{\text{para}}}(t_0) = 0\\a_{y,\,G_{\text{para}}}(t_0) = 0\\a_{z,\,G_{\text{para}}}(t_0) = g\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \vec{V}_{G_{\text{para}}}}{dt}(t_0) = \vec{g} \left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d V_{x,\,G_{\text{para}}}}{dt}(t_0) = 0\\ \dfrac{d V_{y,\,G_{\text{para}}}}{dt}(t_0) = 0\\ \dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}(t_0) = g\end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Approximation permettant de déterminer la vitesse du parachutiste à un instant légèrement postérieur à un instant où sa vitesse est connue</u> <math>\;(\mathfrak{a})</math> : l'hypothèse qui permettra d'évaluer le vecteur vitesse du parachutiste à l'instant <math>\;t + \delta t\;</math><ref name="définition de delta t"> <math>\;\delta t\;</math> étant un infiniment petit macroscopique.</ref> connaissant celle à l'instant <math>\;t\;</math> consiste à supposer que « <u>son accélération moyenne sur l’intervalle</u> «<math>\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]\;</math>»<ref name="définition de delta t" /> <u>est son accélération à l'instant</u> <math>\;t\;</math>» <math>\big[</math>accélération connue dans la mesure où la vitesse à cet instant l'est<ref> En effet si la vitesse du parachutiste à l'instant <math>\;t\;</math> est connue, la résistance de l'air l'est aussi et par suite, le théorème du mouvement du C.D.I. du parachutiste appliqué à l'instant <math>\;t\;</math> permet de déterminer l'accélération du parachutiste à cet instant.</ref><math>\big]</math> et à intégrer une fois par rapport au temps sur l’intervalle «<math>\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]\;</math>» pour en déduire la vitesse à l'instant <math>\;t + \delta t\;</math><ref name="définition de delta t" /> connaissant celle à {{Nobr|l'instant <math>\;t</math>.}} {{Al|5}}<u>Application de l'approximation </u> <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_0 = 0\,,\, t_1 = \delta t \right]</math> : l'approximation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> à savoir «<math>\;\vec{a}_{G_{\text{para}},\,\text{moy sur }\left[ 0\,,\, \delta t \right]} \simeq \vec{a}_{G_{\text{para}}}(0) = \vec{g}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{\vec{V}_{G_{\text{para}}}(\delta t)\; \cancel{- \vec{V}_{G_{\text{para}}}(0)}}{\delta t} \simeq \vec{g}\;</math>» nous en déduisons <center>«<math>\;\vec{V}_{G_{\text{para}}}(\delta t) \simeq \vec{g}\;\delta t\;</math>» ou «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_{x,\,G_{\text{para}}}(\delta t) = 0\\ V_{y,\,G_{\text{para}}}(\delta t) = 0\\ V_{z,\,G_{\text{para}}}(\delta t) \simeq g\;\delta t\end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>c'est-à-dire « <u>la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste</u> à l'instant <math>\;t_1 = \delta t\;</math>».</center> ==== Raisonnement sur l'intervalle de temps suivant ==== {{Al|5}}De la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste à l'instant <math>\;t_1 = \delta t\;</math> on en déduit celle de la résistance de l'air au même instant soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_1 = \delta t)\;</math> vertical » ou encore «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_1 = \delta t) =</math> <math>-\mathcal{R}_{\text{air}}(t_1 = \delta t)\;\vec{u}_z\;</math>» ; {{Al|5}}appliquant le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. au parachutiste à l'instant <math>\;t_1 = \delta t\;</math> on trouve, après division de part et d'autre par la masse <math>\;\big(</math>inerte ou grave<math>\big)\;</math> de ce dernier, «<math>\;\vec{a}_{G_{\text{para}}}(t_1) =</math> <math>\vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_1)}{m_{\text{para}}}\;</math><ref name="parachutiste en translation" /> vertical comme somme de deux composantes verticales » c'est-à-dire «<math>\;\vec{a}_{G_{\text{para}}}(t_1) = \left[ g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air}}(t_1)}{m_{\text{para}}} \right] \vec{u}_z\;</math>». {{Al|5}}<u>Application de l'approximation</u> <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_1 = \delta t\,,\, t_2 = 2\,\delta t \right]</math> : l'approximation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> à savoir «<math>\;\vec{a}_{G_{\text{para}},\,\text{moy sur }\left[ \delta t\,,\, 2\,\delta t \right]} \simeq \vec{a}_{G_{\text{para}}}(t_1)\;</math> vertical » se réécrivant «<math>\;\dfrac{\vec{V}_{G_{\text{para}}}(2\,\delta t) - \vec{V}_{G_{\text{para}}}(\delta t)}{\delta t} \simeq</math> <math>\vec{a}_{G_{\text{para}}}(t_1)\;</math>» nous en déduisons <center>«<math>\;\vec{V}_{G_{\text{para}}}(2\,\delta t) \simeq \vec{a}_{G_{\text{para}}}(t_1)\;\delta t + \vec{V}_{G_{\text{para}}}(\delta t)\;</math>» ou «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_{x,\,G_{\text{para}}}(2\,\delta t) = 0\\ V_{y,\,G_{\text{para}}}(2\,\delta t) = 0\\ V_{z,\,G_{\text{para}}}(2\,\delta t) \simeq a_{z,\,G_{\text{para}}}(t_1)\;\delta t + V_{z,\,G_{\text{para}}}(\delta t)\end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>c'est-à-dire « <u>la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste</u> à l'instant <math>\;t_2 = 2\,\delta t\;</math>» <br>soit encore «<math>\;\vec{V}_{G_{\text{para}}}(t_2 = 2\,\delta t) \simeq \left\lbrace \left[ g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air}}(t_1)}{m_{\text{para}}} \right] \delta t + V_{G_{\text{para}}}(t_1) \right\rbrace \vec{u}_z\;</math>».</center> ==== Exposé de la récurrence ==== {{Al|5}}Ayant vérifié la propriété <math>\;\mathcal{P}\;</math> à savoir « vecteur vitesse de chute du parachutiste vertical » pour <math>\;n = 1\;</math><ref> C.-à-d. pour l'instant <math>\;t_1 = \delta t\;</math> <math>\;\big[</math>et aussi pour <math>\;n = 2\;</math> c.-à-d. pour l'instant <math>\;t_2 = 2\,\delta t\;</math> bien que cela ne soit pas utile<math>\big]</math>.</ref>, nous allons montrer que <math>\;\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n + 1)</math>. * <u>Hypothèse de récurrence</u> : propriété <math>\;\mathcal{P}(n)</math> « le mouvement est vertical à l'instant <math>\;n\;\delta t</math>, le vecteur vitesse du parachutiste y étant vertical (descendant) c'est-à-dire tel que <math>\;\vec{V}_{G_{\text{para}}}(n\,\delta t) = V_{G_{\text{para}}}(n\,\delta t)\; \vec{u}_z\;</math>». * <u>Corps de la démonstration</u> : de la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste à l'instant «<math>\;t_n = n\,\delta t\;</math>» on en déduit celle de la résistance de l'air au même instant soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_n = n\,\delta t)\;</math> vertical » ou encore «<math>\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_n = n\,\delta t) = -\mathcal{R}_{\text{air}}(n\,\delta t)\; \vec{u}_z\;</math>» ; <br>{{Transparent|Corps de la démonstration : }}appliquant le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. au parachutiste à l'instant «<math>\;t_n = n\,\delta t\;</math>» on trouve, après division de part et d'autre par la masse <math>\;\big(</math>inerte ou grave<math>\big)\;</math> de ce dernier, «<math>\;\vec{a}_{G_{\text{para}}}(t_n = n\,\delta t) = \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_n)}{m_{\text{para}}}\;</math><ref name="parachutiste en translation" /> vertical comme somme de deux composantes verticales » c'est-à-dire «<math>\;\vec{a}_{G_{\text{para}}}(t_n) = \left[ g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air}}(t_n)}{m_{\text{para}}} \right] \vec{u}_z\;</math>» ; <br>{{Transparent|Corps de la démonstration : }}utilisant l'approximation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_n = n\,\delta t\,,\, t_{n + 1} = (n + 1)\,\delta t \right]\;</math> à savoir «<math>\;\vec{a}_{G_{\text{para}},\,\text{moy sur }\left[ n\,\delta t\,,\, (n + 1)\,\delta t \right]} \simeq</math> <math>\vec{a}_{G_{\text{para}}}(t_n)</math> vertical » qui se réécrit {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\vec{V}_{G_{\text{para}}}\!\left[ (n + 1)\,\delta t \right] - \vec{V}_{G_{\text{para}}}\! \left[ n\,\delta t \right]}{\delta t}</math>}} <math>\simeq \vec{a}_{G_{\text{para}}}(t_n)\;</math>», nous en déduisons <center>«<math>\;\vec{V}_{G_{\text{para}}}\!\left[ (n + 1)\,\delta t \right] \simeq \vec{a}_{G_{\text{para}}}(t_n)\;\delta t + \vec{V}_{G_{\text{para}}}\!\left[ n\, \delta t\right]\;</math>» ou «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_{x,\,G_{\text{para}}}\!\left[ (n + 1)\,\delta t \right] = 0\\ V_{y,\,G_{\text{para}}}\!\left[ (n + 1)\,\delta t \right] = 0\\ V_{z,\,G_{\text{para}}}\!\left[ (n + 1)\,\delta t \right] \simeq a_{z,\,G_{\text{para}}}(t_n)\;\delta t + V_{z,\,G_{\text{para}}}\!\left[ n\,\delta t \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>c'est-à-dire « <u>la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste</u> à l'instant <math>\;t_{n + 1} = (n + 1)\,\delta t\;</math>» <math>\;\big[</math>propriété <math>\;\mathcal{P}(n + 1)\big]</math>, <br>soit encore «<math>\;\vec{V}_{G_{\text{para}}}\!\left[ t_{n + 1} = (n + 1)\,\delta t \right] \simeq \left\lbrace \left[ g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air}}(t_n)}{m_{\text{para}}} \right] \delta t + V_{G_{\text{para}}}(t_n) \right\rbrace \vec{u}_z\;</math>».</center> * <u>Conclusion</u> : la propriété <math>\;\mathcal{P}\;</math> étant vérifiée pour <math>\;n = 0\;</math> et telle que «<math>\;\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n + 1)\;</math> pour <math>\;n\;</math> quelconque », est démontrée par récurrence. ==== Conclusion ==== <center>« Le mouvement de chute du parachutiste sans vitesse initiale et freinée par résistance de l'air est <u>vertical</u> »<ref> La chute freinée par résistance de l'air mais avec une vitesse initiale verticale sera également verticale, la démonstration se faisant également par récurrence, la seule différence étant qu'initialement il y a résistance de l'air qui est verticale de sens opposé au vecteur vitesse initial <math>\;\ldots</math></ref>.</center> ==== Commentaire ==== {{Al|5}}La méthode exposée ci-dessus <math>\;\big[</math>pour déterminer le vecteur vitesse à l'instant <math>\;(n + 1)\, \delta t\;</math> connaissant le vecteur vitesse à l'instant <math>\;n\,\delta t\big]\;</math> est celle utilisée lors de la « résolution numérique d'une équation différentielle » ; {{Al|5}}« on fixe un pas d'incrémentation <math>\;\delta t\;</math>» puis {{Al|5}}« on intègre » successivement sur <math>\;\left[ 0\,,\, \delta t \right]</math>, <math>\;\left[ \delta t\,,\, 2\,\delta t \right]\;</math> <math>\ldots</math> <math>\;\left[ n\,\delta t\,,\, (n + 1)\,\delta t \right]\;</math> « en considérant sur chaque intervalle que le vecteur accélération est constant égal à celui du début de l'intervalle » <math>\;\big[</math>et comme le vecteur accélération est supposé constant sur chaque intervalle il peut aussi être assimilé au vecteur accélération moyen sur l'intervalle considéré<math>\big]\;</math> {{Al|5}}soit « pour <math>\;t \in \left[ n\,\delta t\,,\, (n + 1)\,\delta t \right]</math>, le vecteur accélération <math>\;\vec{a}(t) \simeq \vec{a}(n\,\delta t)\;</math>» d'une part et «<math>\;\vec{a}(t) \simeq \dfrac{\vec{V}(t) - \vec{V}(n\,\delta t)}{t - n\,\delta t}\;</math>» d'autre part permettant de déduire <center>«<math>\;\vec{V}(t) \simeq \vec{a}(n\,\delta t)\,\left( t - n\,\delta t \right) + \vec{V}(n\,\delta t)\;</math>».</center> == Problème du parachutiste : établissement d'une vitesse limite de chute == === Équation différentielle du mouvement vertical du parachutiste === {{Al|5}}« Le mouvement de chute du parachutiste étant, après démonstration du paragraphe précédent, vertical selon <math>\;\vec{u}_z\;</math> descendant », on projette le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du parachutiste sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> et on obtient, après division de chaque membre par la masse <math>\;\big(</math>inerte ou grave<math>\big)\;</math> du parachutiste <math>\;m_{\text{par}}</math>, <center>«<math>\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(t) = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{G_{\text{para}}}(t) \right]}{m_{\text{para}}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{G_{\text{para}}} \right]\;</math> une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;V_{G_{\text{para}}}\;</math>»<ref> Nous avons déjà établi la nécessité de choisir une forme quadratique de résistance de l'air mais le caractère quadratique n'intervenant pas dans la recherche d'une vitesse limite nous ne l'utiliserons pas pour l'instant.</ref> dans laquelle «<math>\;V_{G_{\text{para}}}(t) = \Vert \vec{V}_{G_{\text{para}}}(t) \Vert = V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\;</math>» <br>ou encore «<math>\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}(t) = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{z,\,G_{\text{para}}}(t) \right]}{m_{\text{para}}}\;</math>».</center> === Établissement de la croissance « continue » de la vitesse du parachutiste et de la décroissance « continue » de la résistance de l'air === <center>Il s'agit de la <math>\;\nearrow\;</math> et <math>\;\searrow\;</math> d'une fonction mathématique <u>au sens large</u>.</center> {{Al|5}}Initialement «<math>\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(0) = \dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}(0) = g\;\cancel{- \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{z,\,G_{\text{para}}}(0) \right]}{m_{\text{para}}}} = g > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t) \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{G_{\text{para}}} \right](t) \nearrow\;</math> aussi à partir de <math>\;0\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Initialement }}«<math>\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(t) = \dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}(t) = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{z,\,G_{\text{para}}}(t) \right]}{m_{\text{para}}} \searrow\;</math> à partir de <math>\;g\;</math> mais en restant <math>\;\geqslant 0\;</math>»<ref name="évolution avec le temps"> L'accélération étant en effet continue par le fait que les forces extérieures appliquées « le poids » et « la résistance de l'air » sont continues <math>\;\big[</math>cette dernière étant continue par continuité de la vitesse et aucune modification des paramètres caractérisant l'ensemble « parachutiste à parachute ouvert »<math>\big]\;</math>, elle ne pourra donc devenir négative sans passer par la valeur nulle ; <br>{{Al|3}}ainsi une accélération strictement positive ne peut être suivie que d'une accélération strictement positive ou nulle mais non négative.</ref> ce qui assure, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Initialement }}« pour <math>\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(t) > 0\;</math>», la poursuite de la «<math>\;\nearrow\;</math> de la vitesse et de la résistance de l'air » suivie de celle de la «<math>\;\searrow\;</math> de l'accélération en restant <math>\;\geqslant 0\;</math>»<ref name="évolution avec le temps" /> et <math>\;\ldots</math> === Existence d'une vitesse limite de chute du parachutiste pratiquement accessible === {{Al|5}}Admettant qu'« il existe un instant <math>\;t_1\;</math> tel que <math>\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(t_1) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « la vitesse y devient stationnaire »<ref name="stationnaire"> « Stationnaire à un instant » signifiant « à dérivée nulle à cet instant ».</ref> ce qui entraîne la « stationnarité<ref name="stationnaire" /> de la résistance de l'air à ce même instant » d'où « l'accélération garde alors la valeur nulle pour tout instant postérieur à <math>\;t_1\;</math>», ceci ayant pour conséquence que « la vitesse garde la valeur <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t_1)\;</math> pour tout instant postérieur à <math>\;t_1\;</math>», cette valeur définissant la « <u>vitesse limite de chute</u> » du parachutiste notée <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}</math>. {{Al|5}}En fait le mouvement décrit ci-dessus est un mouvement « asymptotique » dans la mesure où on démontrera que la valeur nulle de l'accélération du parachutiste ne peut être rigoureusement atteinte qu'au bout d'une « durée infinie »<ref> La valeur <math>\;t_1\;</math> à partir de laquelle <math>\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(t_1) = 0\;</math> étant <math>\;+\infty</math>.</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En fait }}pratiquement, le parachutiste atteignant sa vitesse limite à <math>\;1\, \%\;</math> près à un instant <math>\;t_{1,\,\text{prat}}\;</math> fini, on peut estimer qu'à partir de cet instant <math>\;t_{1,\,\text{prat}}\;</math> la vitesse du parachutiste restant quasiment constante et par conséquent son accélération restant pratiquement nulle, le mouvement « asymptotique » du parachutiste est pratiquement réalisé <math>\;\ldots\;</math> si <math>\;t_{1,\,\text{prat}}\;</math> est supérieur à la durée nécessaire de chute jusqu'au {{Nobr|sol<ref> Sinon le parachutiste prenant contact avec le sol avant que sa vitesse limite ne soit atteinte, il n'acquiert pas son mouvement « asymptotique » <math>\;\ldots</math></ref>.}} === Expression de la vitesse limite de chute d'un parachutiste soumis à la résistance de l'air de forme quadratique === {{Al|5}}La vitesse limite de chute du parachutiste <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;</math> est donc définie par «<math>\;a_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} \right]}{m_{\text{para}}} = 0\;</math>» ou <center>«<math>\;\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} \right] = m_{\text{para}}\;g\;</math>» </center> {{Al|5}}avec, comme nous l'avons suggéré précédemment, une forme quadratique de résistance de l'air <center>«<math>\;\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} \right] = h'\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\;2}\;</math>» dans laquelle «<math>\;h' = \dfrac{1}{2}\;C_x\;\mu_{\text{air}}\;S\;</math>»<ref> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Cas_de_la_résistance_de_l'air_de_forme_quadratique|cas de la résistance de l'air de forme quadratique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref></center> {{Al|5}}où «<math>\;C_x\;</math> est le [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] du parachutiste », «<math>\;\mu_{\text{air}}\;</math> la masse volumique de l'air dans les conditions de température et de pression locales de la chute » et «<math>\;S\;</math> l'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]] »<ref name="maître couple"> Revoir la définition du [[w:Maître-couple|maître-couple]] dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Cas_de_la_résistance_de_l'air_de_forme_quadratique|cas de la résistance de l'air de forme quadratique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}finalement « la vitesse limite <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;</math> de chute du parachutiste à résistance de l'air quadratique » se calcule par <center>«<math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} = \sqrt{\dfrac{2\;m_{\text{para}}\;g}{C_x\;\mu_{\text{air}}\;S}}\;</math>»<ref> Ce résultat n'est évidemment pas à retenir mais à retrouver <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Vérification numérique === {{Al|5}}<u>Parachutiste à parachute ouvert</u> : Considérons un parachutiste de « masse <math>\;m_{\text{para}} = 100\;kg\;</math> équipements compris », dont « l'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]]<ref name="maître couple" /> du parachute ouvert est <math>\;S \simeq 74\;m^2\;</math>»<ref> Voilure actuelle des parachutes militaires.</ref>, de « [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] <math>\;C_x \simeq 1,4\;</math> en chute freinée » par l'atmosphère composée d'« air de masse volumique <math>\;\mu_{\text{air}} \simeq</math> <math>1,2\;kg \cdot m^{-3}\;</math>» dans le « champ de pesanteur terrestre d’intensité <math>\;g \simeq</math> {{Nobr|<math>9,8\;m \cdot s^{-2}\;</math>»,}} l'application numérique de la formule de la vitesse limite de chute du parachutiste précédemment établie nous donne <center>«<math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} = \sqrt{\dfrac{2\;m_{\text{para}}\;g}{C_x\;\mu_{\text{air}}\;S}} \simeq \sqrt{\dfrac{2 \times 100 \times 9,8}{1,4 \times 1,2 \times 74}} \simeq 4,0\;m \cdot s^{-1}\;</math>» <br>légèrement « au-dessous »<ref> L'écart résulte essentiellement de l'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]] surestimé pour la plupart des parachutes.</ref> des vitesses réelles situées entre <math>\;5\;</math> et <math>\;8\; m \cdot s^{-1}\;</math><ref> Avec <math>\;S \simeq 47\;m^2\;</math> on obtiendrait <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} \simeq 5\;m \cdot s^{-1}\;</math> et il faudrait <math>\;S \simeq 18\;m^2\;</math> pour obtenir <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} \simeq 8\;m \cdot s^{-1}</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center> {{Al|5}}<u>Parachutiste en chute libre</u><ref name="sens du parachutisme" /> : Considérons le même parachutiste de « masse <math>\;m_{\text{para}} = 100\;kg\;</math> équipements compris »<ref> En effet, si le parachutiste n'a pas besoin d'équipements pour faire sa chute libre, il n'a pas pour but ultime d'atterrir sans parachute <math>\;\ldots</math></ref>, dont « l'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]]<ref name="maître couple" /> du parachutiste à parachute replié est <math>\;S \simeq 1\;m^2\;</math>», de « [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] <math>\;C_x \simeq 0,4\;</math> en chute freinée » par l'atmosphère composée d'« air de masse volumique <math>\;\mu_{\text{air}} \simeq</math> <math>1,2\;kg \cdot m^{-3}\;</math>» dans le « champ de pesanteur terrestre d'intensité <math>\;g \simeq 9,8\;m \cdot s^{-2}\;</math>», l'application numérique de la formule de la vitesse limite de chute libre<ref name="sens du parachutisme" /> du parachutiste précédemment établie nous donne <center>«<math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} = \sqrt{\dfrac{2\;m_{\text{para}}\;g}{C_x\;\mu_{\text{air}}\;S}} \simeq \sqrt{\dfrac{2 \times 100 \times 9,8}{0,4 \times 1,2 \times 1}} \simeq 64\;m \cdot s^{-1}\;</math>» <br>légèrement « au-dessus »<ref> L'écart résulte essentiellement de l'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]] et du [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] lesquels sont très sensibles à la position adoptée par le parachutiste en chute libre.</ref> des vitesses réelles situées entre <math>\;50\;</math> et <math>\;60\; m \cdot s^{-1}</math>.</center> == Problème du parachutiste : mise en équation de sa chute verticale freinée par résistance de l'air quadratique : lois horaires de vitesse et de position == === Équation différentielle du mouvement vertical du parachutiste avec résistance de l'air quadratique === {{Al|5}}Ayant établi précédemment, pour un parachutiste tombant sans vitesse initiale dans l'air globalement immobile, * la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Conclusion_2|nature rectiligne verticale de son mouvement de chute]] suivant <math>\;Oz\;</math> descendant », ainsi que * son « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Équation_différentielle_du_mouvement_vertical_du_parachutiste|accélération]] suivant <math>\;Oz\;</math> descendant <math>\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(t) = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{G_{\text{para}}}(t) \right]}{m_{\text{para}}}\;</math> »<ref> Obtenue par projection du théorème du mouvement du C.D.I. du parachutiste sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> descendant.</ref> ou «<math>\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}(t) = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{z,\,G_{\text{para}}}(t) \right]}{m_{\text{para}}}\;</math>» dans laquelle <math>\;g\;</math> est l'intensité du champ de pesanteur terrestre et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{z,\,G_{\text{para}}}(t) \right]\;</math>}} la norme de la résistance de l'air s'exerçant sur le parachutiste », {{Al|5}}on en déduit l'équation différentielle du mouvement de chute du parachutiste en remplaçant, dans l'expression de <math>\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}(t)</math>, la résistance de l'air par sa forme quadratique «<math>\;\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left[ V_{z,\,G_{\text{para}}}(t) \right] =</math> <math>h'\; V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}(t)\;</math>» avec «<math>\;h' = \dfrac{1}{2}\;C_x\;\mu_{\text{air}}\;S\;</math>» dans laquelle «<math>\;C_x\;</math> est le [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]]<ref name="cœfficient de traînée"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Cas_de_la_résistance_de_l'air_de_forme_quadratique|cas de la résistance de l'air de forme quadratique]] (détaillée) >» plus haut dans ce chapitre.</ref> du parachutiste lors de sa chute », «<math>\;\mu_{\text{air}}\;</math> la masse volumique de l'air dans les conditions de la chute » et {{Nobr|«<math>\;S\;</math>}} l'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]]<ref name="maître couple" /> du parachutiste », ce qui donne <center>«<math>\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}(t) = g - \dfrac{h'}{m_{\text{para}}}\;V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}(t)\;</math>» <br>c'est-à-dire une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)</math>.</center> {{Al|5}}On peut réécrire cette équation différentielle en faisant intervenir la « vitesse limite de chute du parachutiste <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;</math>» laquelle, étant obtenue pour une accélération nulle c'est-à-dire <math>\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt} = 0</math>, est définie selon «<math>\;g = \dfrac{h'}{m_{\text{para}}}\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}\;</math>» d'où, en éliminant <math>\;g\;</math> par son expression en fonction de la vitesse limite, <center>«<math>\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}(t) = \dfrac{h'}{m_{\text{para}}} \left[ V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2} - V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}(t) \right]\;</math>».</center> === Détermination de la loi horaire de vitesse du parachutiste === {{Al|5}}L'équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\;</math> étant non linéaire s'intègre en « séparant les variables »<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Exemple_d'une_équation_différentielle_non_linéaire_du_1er_ordre|exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <center>«<math>\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2} - V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}} = \dfrac{h'}{m_{\text{para}}}\;dt\;</math>»,</center> {{Al|5}}le 1^er membre nécessitant de décomposer la fonction rationnelle<ref> Quotient irréductible de deux polynômes exprimés à l'aide d'une variable.</ref> «<math>\;\dfrac{1}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2} - V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}} = \dfrac{1}{\left( V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} - V_{z,\,G_{\text{para}}} \right) \left( V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} + V_{z,\,G_{\text{para}}} \right)}\;</math>» en éléments simples<ref> Voir méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|développement de quelques méthodes de calcul]] (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2} - V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}}</math>}} <math>= \dfrac{\alpha}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} - V_{z,\,G_{\text{para}}}} + \dfrac{\beta}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} + V_{z,\,G_{\text{para}}}}\;</math>», les constantes <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;\beta\;</math> se déterminant * « en multipliant chaque membre par <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} - V_{z,\,G_{\text{para}}}\;</math> puis en y faisant <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}} = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;</math>» d'où «<math>\;\dfrac{1}{2\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}} = \alpha\;</math>» et * « en multipliant chaque membre par <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} + V_{z,\,G_{\text{para}}}\;</math> puis en y faisant <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}} = -V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;</math>» d'où «<math>\;\dfrac{1}{2\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}} = \beta\;</math>» ; {{Al|5}}l'équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\;</math> se réécrit donc «<math>\;\dfrac{1}{2\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}} \left[ \dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} - V_{z,\,G_{\text{para}}}} + \dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} + V_{z,\,G_{\text{para}}}} \right] = \dfrac{h'}{m_{\text{para}}}\;dt\;</math>» ou <center>«<math>\;\dfrac{d \varpi}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} - \varpi} + \dfrac{d \varpi}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} + \varpi} = \dfrac{2\;h'\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{m_{\text{para}}}\;dt'\;</math> avec <math>\;\varpi = V_{z,\,G_{\text{para}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}elle s'intègre en «<math>\;\left[ -\ln\! \vert V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} - \varpi \vert + \ln\! \vert V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} + \varpi \vert \right]_0^{V_{z,\,G_{\text{para}}}} = \left[ \dfrac{2\;h'\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{m_{\text{para}}}\;t' \right]_0^t\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left[ \ln\! \Bigg\vert \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} + \varpi}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} - \varpi} \Bigg\vert \right]_0^{V_{z,\,G_{\text{para}}}} =</math> <math>\left[ \dfrac{2\;h'\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{m_{\text{para}}}\;t' \right]_0^t\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;\ln\! \left( \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} + V_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} - V_{z,\,G_{\text{para}}}} \right)</math>}} <math>= \dfrac{2\;h'\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{m_{\text{para}}}\;t\;</math>»<ref> La valeur absolue de l'argument du logarithme a été omise car son argument est positif, en effet <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}\;</math> est toujours <math>\;<\;</math> à <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;</math> dans la mesure où <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}} \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> et que <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;</math> est sa valeur limite.</ref> et finalement on obtient <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>une 1^ère forme de loi horaire de vitesse «<math>\;t =</math> <math>\dfrac{m_{\text{para}}}{2\;h'\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}\;\ln\! \left( \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} + V_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} - V_{z,\,G_{\text{para}}}} \right)\;</math>» que l'on peut réécrire selon <center>«<math>\;t = \tau\;\ln\! \left( \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} + V_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} - V_{z,\,G_{\text{para}}}} \right)\;</math>» avec «<math>\;\tau = \dfrac{m_{\text{para}}}{2\;h'\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}} = \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{2\;g}\;</math><ref> En effet la vitesse limite est définie par <math>\;g = \dfrac{h'\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}}{m_{\text{para}}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{g}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}} = \dfrac{h'\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{m_{\text{para}}}</math>.</ref> la constante de temps de cette loi » ;</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>une 2^ème forme de cette loi de vitesse s'obtient en l'inversant pour expliciter <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math> soit «<math>\;\dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} + V_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} - V_{z,\,G_{\text{para}}}} = \exp\! \left( \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» ou encore «<math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} + V_{z,\,G_{\text{para}}} =</math> <math>V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\exp\! \left( \dfrac{t}{\tau} \right) - V_{z,\,G_{\text{para}}}\;\exp\! \left( \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}} = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\dfrac{\exp\! \left( \dfrac{t}{\tau} \right) - 1}{\exp\! \left( \dfrac{t}{\tau} \right) + 1}\;</math>» soit enfin, en mettant haut et bas <math>\;\exp\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)\;</math> en facteur ce qui permet une simplification d'une part et de faire apparaître la fonction tangente hyperbolique<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Tangente_hyperbolique|tangente hyperbolique]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'autre part <center>«<math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}} = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\dfrac{\exp\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) - \exp\! \left( -\dfrac{t}{2\;\tau} \right)}{\exp\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) + \exp\! \left( -\dfrac{t}{2\;\tau} \right)} = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\tanh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)\;</math>» avec <br>«<math>\;\tau = \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{2\;g}\;</math> la constante de temps de la loi horaire de vitesse ».</center> === Tracé du diagramme horaire de vitesse du parachutiste et commentaires === [[File:Parachutiste - diagramme horaire de vitesse si résistance de l'air quadratique.png|thumb|500px|Tracé du diagramme horaire de vitesse d'un parachutiste chutant, sans vitesse initiale, dans l'air globalement immobile avec une résistance de l'air de forme quadratique]] {{Al|5}}Voir ci-contre le graphe de la loi horaire de vitesse de chute du parachutiste «<math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}} = V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}« la constante de temps <math>\;\tau = \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{2\;g}\;</math>» caractérise la durée de l’établissement de la vitesse limite <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;</math>» {{Nobr|<math>\big(</math>plus}} exactement « il faut approximativement <math>\;5\,\tau\;</math> pour atteindre la vitesse limite à <math>\;1\,\%</math> près »<ref> En effet <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\;</math> a atteint sa valeur limite à <math>\;1\,\%</math> près pour «<math>\;t\;</math> tel que <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t) > V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} \left( 1 - 10^{-2} \right)\;</math>» soit, avec l'expression de <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t) = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\tanh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)\;</math> la condition suivante «<math>\;\tanh\!\left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) > 1 - 10^{-2}\;</math>» ou <math>\;\dfrac{t}{2\;\tau} > \mathrm{argtanh}\! \left( 1 - 10^{-2} \right)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{t}{2\;\tau} > \dfrac{1}{2}\,\ln\! \left[ \dfrac{1 + \left( 1 - 10^{-2} \right)}{1 - \left( 1 - 10^{-2} \right)} \right]\;</math>» <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Fonction_argument_tangente_hyperbolique|fonction argument tangente hyperbolique]] (forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique) » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et finalement «<math>\;t > \tau\;\ln(199)\;</math>» ou «<math>\;t \gtrsim 5,3\;\tau\;</math> arrondi à <math>\;5\;\tau\;</math>».</ref><math>\big)</math>. {{Al|5}}Numériquement le parachutiste précédemment introduit atteindra sa vitesse limite de chute verticale<ref name="parachutiste non largué d'un avion" /> * à parachute déployé «<math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} \simeq 4,0\;m \cdot s^{-1}\;</math>» à l'instant <math>\;t_{\text{lim}} \simeq 5\;\tau = 5\;\dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{2\;g} \simeq 5 \times \dfrac{4,0}{2 \times 9,8}\;</math> en <math>\;s\;</math> soit « après une durée de chute <math>\;t_{\text{lim}} - t_0 \simeq 1,02\; s\;</math>»<ref name="définition de t0"> <math>\;t_0 = 0\;</math> étant l'instant de début de chute, le parachutiste y ayant une vitesse initiale nulle.</ref> c'est-à-dire « quasi-instantanément »<ref> Toutefois il faudrait tenir compte de la durée de déploiement du parachute pendant laquelle l'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]] croît ainsi que le [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]], phase correspondant à une vitesse limite nettement plus grande mais décroissante avec la progression du déploiement du parachute, en pratique on observe donc une durée d’établissement de la vitesse limite plus grande.</ref>, ou * en chute libre «<math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} \simeq 64\;m \cdot s^{-1}\;</math>» à l'instant <math>\;t_{\text{lim}} \simeq 5\;\tau = 5\;\dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{2\;g} \simeq 5 \times \dfrac{64}{2 \times 9,8}\;</math> en <math>\;s\;</math> soit « après une durée de chute <math>\;t_{\text{lim}} - t_0 \simeq 16,33\;s \simeq 16,3\; s\;</math>»<ref name="définition de t0" /> c'est-à-dire plus longue qu'à parachute déployé d'un facteur égal au rapport de vitesse limite en chute libre sur la vitesse limite à parachute déployé. === Détermination de la loi horaire de position du parachutiste === {{Al|5}}Pour obtenir la loi horaire de position du parachutiste on intègre <math>\;\dot{z}_{G_{\text{para}}}(t) = V_{z,\,G_{\text{para}}}(t) = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\tanh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)\;</math> par rapport <math>\;t\;</math> soit «<math>\;\dfrac{d z_{G_{\text{para}}}}{dt}(t) =</math> <math>V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\dfrac{\sinh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}{\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}\;</math>» ou «<math>\;d z_{G_{\text{para}}} = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\dfrac{\sinh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) dt}{\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)} =</math> <math>V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;2\;\tau\;\dfrac{d\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right]}{\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}\;</math>»<ref> Dans la fraction initiale <math>\;\dfrac{\sinh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) dt}{\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}\;</math> le numérateur étant, à un facteur multiplicatif près, la différentielle du dénominateur, on forme d'autorité <math>\;\dfrac{d\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right]}{\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}\;</math> et on constate, en évaluant la différentielle du numérateur <math>\;d\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right] = \sinh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \dfrac{dt}{2\;\tau}</math>, qu'il y a un facteur supplémentaire <math>\;\dfrac{1}{2\;\tau}\;</math> par rapport à la fraction initiale d'où la nécessité de multiplier par <math>\;2\;\tau\;</math> pour compenser.</ref> d'où, en reconnaissant dans la fraction <math>\;\dfrac{d\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right]}{\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}\;</math> la différentielle de <math>\;\ln\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right]\;</math> et en prenant pour origine des <math>\;z\;</math> la position initiale du parachutiste, <center>la loi horaire de position du parachutiste <br>«<math>\;z_{G_{\text{para}}} = 2\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\tau\;\ln\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right]\;</math>»<ref> La constante d'intégration étant nulle car <math>\;\left\lbrace 2\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\tau\;\ln\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right] \right\rbrace_{t = 0} = 0\;</math> de même que <math>\;\left\lbrace z_{G_{\text{para}}} \right\rbrace_{t = 0} = 0</math>.</ref> avec «<math>\;\tau = \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{2\;g}\;</math>».</center> === Tracé du diagramme horaire de position du parachutiste et commentaires === [[File:Parachutiste - diagramme horaire de position si résistance de l'air quadratique.png|thumb|500px|Tracé du diagramme horaire de position d'un parachutiste chutant, sans vitesse initiale et à partir d'une position choisie comme origine, dans l'air globalement immobile avec une résistance de l'air de forme quadratique]] {{Al|5}}Voir ci-contre le graphe de la loi horaire de position de chute du parachutiste «<math>\;z_{G_{\text{para}}} = z_{G_{\text{para}}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}compte-tenu du fait que la vitesse de chute du parachutiste tend vers une vitesse limite, on doit « vérifier que le graphe <math>\;z_{G_{\text{para}}} = z_{G_{\text{para}}}(t)\;</math> admet une asymptote quand <math>\;t \rightarrow \infty\;</math>» <math>\big(</math>c'est-à-dire en pratique quand <math>\;t \gtrsim 5\;\tau\big)</math>, asymptote d'équation <math>\;z_{\text{asymp},\,G_{\text{para}}} = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\; t + cste</math> ; {{Al|5}}on retrouve ce résultat mathématiquement en utilisant «<math>\;\xi \rightarrow +\infty \Rightarrow \cosh(\xi) \sim \dfrac{\exp(\xi)}{2}\;</math>» ce qui donne ici, « quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, <math>\;\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \sim \dfrac{\exp\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}{2}\;</math>» soit «<math>\;\ln\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right]\; \stackrel{t\, \rightarrow\, \infty}{\simeq}\; \dfrac{t}{2\;\tau} - \ln(2)\;</math>»<ref> Le symbole <math>\;\big(</math>d'utilisation personnelle<math>\big)</math> «<math>\;\stackrel{t\, \rightarrow\, \infty}{\simeq}\;</math>» peut encore être remplacé par «<math>\;\sim_{+\infty}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou simplement <math>\;\sim\big)\;</math> <math>\big(</math>d'utilisation courante<math>\big)\;</math> signifiant que les deux expressions situées de chaque côté sont équivalentes <math>\;\big[</math>voir [[w:Équivalent#Définition|définition de l'équivalence de deux fonctions]]<math>\big]</math>.</ref> d'où {{Nobr|«<math>\;z_{G_{\text{para}}}(t)\; \stackrel{t\, \rightarrow\, \infty}{\simeq}\;</math>}} <math> 2\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\tau\, \left[ \dfrac{t}{2\;\tau} - \ln(2) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;z_{\text{asymp},\,G_{\text{para}}} = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\, \left[ t - 2\,\ln(2)\,\tau \right] \simeq V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\, \left[ t - 1,4\,\tau \right]\;</math>»<ref> Pour <math>\;t \gtrsim 5\;\tau</math>, le graphe de la loi horaire de position du parachutiste se confondant avec son asymptote, il est possible de déterminer la position de ce dernier à l'aide de son mouvement de chute à vitesse limite à condition de retarder ce mouvement de <math>\;1,4\;\tau</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour <math>\;t = 10\;\tau\;</math> la position du parachutiste est <math>\;z_{G_{\text{para}}}(10\,\tau) \simeq V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} \times 8,6\;\tau</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Si le sol se trouve à la distance verticale <math>\;h\;</math> de la position initiale du parachutiste lorsqu'il ouvre son parachute en absence de vitesse initiale, « l'instant où le parachutiste atteint le sol est <math>\;t_{\text{sol}}\;</math> défini par <math>\;h =</math> <math>2\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\tau\;\ln\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t_{\text{sol}}}{2\;\tau} \right) \right]\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\cosh\! \left( \dfrac{t_{\text{sol}}}{2\;\tau} \right) = \exp\! \left( \dfrac{h}{2\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\tau} \right)</math>, soit encore, en inversant la fonction cosinus hyperbolique, «<math>\;t_{\text{sol}} = 2\;\tau\;\mathrm{argcosh}\! \left[ \exp\! \left( \dfrac{h}{2\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\tau} \right) \right]\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Fonction_argument_cosinus_hyperbolique|fonction argument cosinus hyperbolique]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou, en adoptant la forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Fonction_argument_cosinus_hyperbolique|fonction argument cosinus hyperbolique]] (forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique) » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », plus précisément «<math>\;\mathrm{argcosh}(x) = \ln\! \left[ x + \sqrt{x^2 - 1} \right]\;</math>».</ref>, «<math>\;t_{\text{sol}} = 2\;\tau\;\ln\! \left[ \exp\! \left( \dfrac{h}{2\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\tau} \right) + \sqrt{\exp\! \left( \dfrac{h}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\tau} \right) - 1} \right]\;</math>» et enfin, en éliminant <math>\;\tau\;</math> au profit de <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;</math> par <math>\;\tau = \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{2\;g}\;</math> dans les exponentielles, l'expression de l'instant de contact avec le sol <center>«<math>\;t_{\text{sol}} = 2\;\tau\;\ln\! \left[ \exp\! \left( \dfrac{g\;h}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}} \right) + \sqrt{\exp\! \left( \dfrac{2\;g\;h}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}} \right) - 1} \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}« dans l'hypothèse où <math>\;t_{\text{sol}}\;</math> est <math>\;\gtrsim 5\;\tau\;</math>», il est alors possible de remplacer la loi horaire de position du parachutiste par l'équation de son asymptote <math>\Rightarrow</math> «<math>\;t_{\text{sol}} \simeq 1,4\;\tau + \dfrac{h}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : « dans l'hypothèse où <math>\;\color{transparent}{t_{\text{sol}}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\gtrsim 5\;\tau}\;</math>», }}toutefois ce résultat nécessite de « valider l'hypothèse <math>\;t_{\text{sol}} \gtrsim 5\;\tau\;</math>», correspondant à <math>\;\dfrac{h}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}} \gtrsim 3,6\;\tau\;</math> ou encore <math>\;h \gtrsim 3,6\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;\tau\;</math> soit, compte-tenu de <math>\;\tau = \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{2\;g}</math>, la condition «<math>\;h \gtrsim 1,8\;\dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}}{g}\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}Numériquement, en supposant que le parachutiste précédemment introduit ait ouvert son parachute en absence de vitesse initiale à une altitude «<math>\;h = 1000\, m\;</math>», sa vitesse limite étant {{Nobr|«<math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}</math>}} <math>\simeq 4,0\; m \cdot s^{-1}\;</math>» et la constante de temps «<math>\;\tau = \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{2\;g} \simeq \dfrac{4,0}{2 \times 9,8} \simeq 0,2\;s\;</math>», «son instant de contact avec le sol <math>\;t_{\text{sol}}\;</math> peut être déterminé en utilisant la loi horaire de position asymptotique du parachutiste si <math>\;t_{\text{sol}}\;</math> est <math>\;\gtrsim 5\;\tau \simeq 1,0\;s\;</math>»<ref> Ce qui est une hypothèse qui doit être réalisée compte-tenu de l'altitude et de la vitesse limite <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> La condition sur l'altitude pour utiliser la loi horaire de position asymptotique du parachutiste étant «<math>\;h \gtrsim 1,8\;\dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}}{g} \simeq 1,8 \times \dfrac{\left( 4,0 \right)^{2}}{9,8} \simeq 3\;m\;</math>» est évidemment réalisée avec <math>\;h = 1000\;m</math>.</ref>, on obtient alors «<math>\;t_{\text{sol}} \simeq 1,4\;\tau + \dfrac{h}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}} \simeq 1,4 \times 0,2 + \dfrac{1000}{4,0} \simeq 250,3\;s\;</math>»<ref> Avec la loi horaire de position réelle du parachutiste on obtenait «<math>\;t_{\text{sol}} = 2\;\tau\;\ln\! \left[ \exp\! \left( \dfrac{g\;h}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}} \right) + \sqrt{\exp\! \left( \dfrac{2\;g\;h}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}} \right) - 1} \right]\;</math>» soit, en injectant les valeurs numériques des grandeurs dont dépend <math>\;t_{\text{sol}}</math>, «<math>\;t_{\text{sol}} \simeq</math> <math>2 \times 0,2 \times \ln\! \left\lbrace \exp\! \left[ \dfrac{9,8 \times 1000}{\left( 4,0 \right)^2} \right] + \sqrt{\exp\! \left[ \dfrac{2 \times 9,8 \times 1000}{\left( 4,0 \right)^2} \right] - 1} \right\rbrace \simeq 245,3\;s\;</math>» <math>\big[</math>l'écart avec le résultat obtenu par utilisation de la loi horaire de position asymptotique résulte du manque de précision sur <math>\;\tau\;</math> arrondi à <math>\;0,2\;s\;</math> alors qu'un calcul plus précis donne <math>\;0,204\;s</math>, l'utilisation de cette dernière valeur conduirait à <math>\;t_{\text{sol}} \simeq 250,2\;s\;</math> quasiment le même résultat qu'avec utilisation de la loi horaire de position asymptotique<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big[1\;s\;</math> pour atteindre la vitesse limite et <math>\;249,3\;s\;</math> de chute à vitesse constante<math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : Numériquement, }}supposant le parachutiste précédemment introduit en chute libre<ref name="sens du parachutisme" /> sans vitesse initiale à partir d'une altitude «<math>\;h_i = 3000\, m\;</math>» avec fin de la chute libre par ouverture du parachute à l'altitude «<math>\;h_f = 1000\;m\;</math>», la vitesse limite du parachutiste en chute libre ayant été déterminée à «<math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} \simeq 64,0\; m \cdot s^{-1}\;</math>» et la constante de temps à «<math>\;\tau = \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}}{2\;g} \simeq \dfrac{64,0}{2 \times 9,8} \simeq</math> <math>3,27\;s \simeq 3,3\;s\;</math>», « l'instant d'ouverture du parachute <math>\;t_{\text{ouv para}}\;</math> peut être déterminé en utilisant la loi horaire de position asymptotique du parachutiste si <math>\;t_{\text{ouv para}}\;</math> est <math>\;\gtrsim 5\;\tau \simeq 16,3\;s\;</math>»<ref> La condition sur la différence d'altitude entre l'endroit de début de chute libre et celui d'ouverture du parachute pour utiliser la loi horaire de position asymptotique du parachutiste s'explicitant selon {{Nobr|«<math>\;h_i - h_f \gtrsim 1,8\;\dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}}{g}</math>}} <math>\simeq 1,8 \times \dfrac{\left( 64,0 \right)^{2}}{9,8} \simeq 750\;m\;</math>» est réalisée avec <math>\;h_i - h_f = 2000\;m</math>.</ref>, on obtient alors {{Nobr|«<math>\;t_{\text{ouv para}} \simeq</math>}} <math>2\,\ln(2)\;\tau + \dfrac{h_i - h_f}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}} \simeq 1,39 \times 3,27 + \dfrac{2000}{64,0} \simeq 35,80\;s \simeq 35,8\;s\;</math>»<ref> Avec la loi horaire de position réelle du parachutiste on obtenait «<math>\;t_{\text{ouv para}} = 2\;\tau\;\ln\! \left[ \exp\! \left( \dfrac{g\;(h_i - h_f)}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}} \right) + \sqrt{\exp\! \left( \dfrac{2\;g\;(h_i - h_f)}{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}} \right) - 1} \right]\;</math>» soit, en injectant les valeurs numériques des grandeurs dont dépend <math>\;t_{\text{ouv para}}</math>, «<math>\;t_{\text{ouv para}} \simeq</math> <math>2 \times 3,27 \times \ln\! \left\lbrace \exp\! \left[ \dfrac{9,8 \times 2000}{\left( 64,0 \right)^2} \right] + \sqrt{\exp\! \left[ \dfrac{2 \times 9,8 \times 2000}{\left( 64,0 \right)^2} \right] - 1} \right\rbrace \simeq 35,83\;s\;</math>» <math>\big[</math>l'écart avec le résultat obtenu par utilisation de la loi horaire de position asymptotique étant relativement faible<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big[16,3\;s\;</math> pour atteindre la vitesse limite puis <math>\;19,5\;s\;</math> à vitesse constante<math>\big]</math>. == Problème du parachutiste : exploitation du portrait de phase de sa chute verticale freinée par résistance de l'air quadratique == === Établissement de l'équation du portrait de phase du parachutiste lâché sans vitesse initiale dans un référentiel terrestre et freiné par résistance de l'air quadratique === {{Al|5}}L'équation différentielle du mouvement de chute verticale du parachutiste freiné par [[w:Traînée|traînée]] quadratique étant «<math>\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt} = g - \dfrac{h'}{m_{\text{para}}}\; V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}\;</math>», on multiplie de part et d'autre par <math>\;\dfrac{dt}{dz_{G_{\text{para}}}} =</math> <math>\dfrac{1}{V_{z,\,G_{\text{para}}}}\;</math> dans le but de remplacer la variable <math>\;t\;</math> par la variable <math>\;z_{G_{\text{para}}}\;</math> ce qui donne, après simplification évidente, «<math>\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dz_{G_{\text{para}}}} = \dfrac{g}{V_{z,\,G_{\text{para}}}} - \dfrac{h'}{m_{\text{para}}}\; V_{z,\,G_{\text{para}}}\;</math>» ou, en introduisant la vitesse limite <math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\;</math> telle que <math>\;g = \dfrac{h'}{m_{\text{para}}}\; V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}</math>, l'équation se réécrit selon «<math>\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dz_{G_{\text{para}}}} = \dfrac{h'}{m_{\text{para}}} \left[ \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}}{V_{z,\,G_{\text{para}}}} - V_{z,\,G_{\text{para}}} \right]\;</math>» puis, en multipliant de part et d'autre par <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}</math>, on obtient, avec <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}}{dz_{G_{\text{para}}}} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}}{dz_{G_{\text{para}}}}\;</math> l'équation suivante «<math>\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}}{dz_{G_{\text{para}}}} = \dfrac{2\;h'}{m_{\text{para}}} \left[ V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2} - V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2} \right]\;</math>» c'est-à-dire <center>une équation différentielle linéaire du 1^er ordre en <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}\!\!\left( z_{G_{\text{para}}} \right)\;</math> à cœfficients constants hétérogène <br>«<math>\;\dfrac{d V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}}{dz_{G_{\text{para}}}}\!\!\left( z_{G_{\text{para}}} \right) + \dfrac{2\;h'}{m_{\text{para}}}\;V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}\!\!\left( z_{G_{\text{para}}} \right) = \dfrac{2\;h'}{m_{\text{para}}}\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la résolution nous conduit à «<math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}\!\!\left( z_{G_{\text{para}}} \right) = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2} + A\; \exp\! \left( -\dfrac{z_{G_{\text{para}}}}{\lambda} \right)\;</math>» avec «<math>\;\lambda = \dfrac{m_{\text{para}}}{2\;h'}\;</math> constante de longueur », le 1^er terme étant la solution forcée<ref> Voir le paragraphe « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) dans le cas d'une équation différentielle du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Premier_ordre_à_excitation_constante|1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et le 2^nd la solution libre<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour la détermination de la solution libre.</ref>, la constante d'intégration <math>\;A\;</math> se déterminant à l'aide de la C.A.L.<ref name="C.A.L."> Condition À la Limite <math>\;\big(</math>ou Conditions Aux Limites quand il y en a deux<math>\big)</math>.</ref> «<math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}\!\!\left( z_{G_{\text{para}}} = 0 \right) = 0\;</math>» soit <math>\;0 = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2} + A\;</math> d'où <math>\;A = -V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}\;</math> et finalement <center>«<math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}\!\!\left( z_{G_{\text{para}}} \right) = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2} \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{z_{G_{\text{para}}}}{\lambda} \right) \right]\;</math>» ou, la vitesse étant positive, <br>l'équation du portrait de phase<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Portrait_de_phase_d'un_système_dynamique#Définition_du_portrait_de_phase_d'un_système_dynamique_classique_à_un_degré_de_liberté|définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> du parachutiste lâché sans vitesse initiale et freiné par résistance de l'air quadratique s'écrit <br>«<math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}\!\!\left( z_{G_{\text{para}}} \right) = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\; \sqrt{1 - \exp\! \left( -\dfrac{z_{G_{\text{para}}}}{\lambda} \right)}\;</math>» avec <br>«<math>\;\lambda = \dfrac{m_{\text{para}}}{2\;h'} = \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}}{2\;g}\;</math><ref> En effet la vitesse limite est telle que <math>\;g = \dfrac{h'}{m_{\text{para}}}\; V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}</math>.</ref> constante de longueur caractéristique du mouvement ».</center> === Tracé du portrait de phase du parachutiste en début de chute puis sur la chute complète et commentaires === [[File:Parachutiste début de chute - portrait de phase si résistance de l'air quadratique.png|thumb|left|400px|Tracé du début du portrait de phase d'un parachutiste chutant, sans vitesse initiale et à partir d'une position choisie comme origine, dans l'air globalement immobile avec une résistance de l'air de forme quadratique]] [[File:Parachutiste chute complète - portrait de phase si résistance de l'air quadratique.png|thumb|right|400px|Tracé complet du portrait de phase d'un parachutiste chutant, sans vitesse initiale et à partir d'une position choisie comme origine, dans l'air globalement immobile avec une résistance de l'air de forme quadratique]] {{Al|5}}Ci-contre le portrait de phase du parachutiste précédemment introduit lâché sans vitesse initiale d'une altitude de <math>\;1000\;m\;</math> à partir de laquelle il ouvre son parachute, la résistance de l'air s'exerçant sur lui étant quadratique <math>\;\Bigg[</math>sa vitesse limite étant «<math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} \simeq</math> <math>4,0\;m \cdot s^{-1}\;</math>», « la constante de longueur caractéristique de la chute du parachutiste, parachute déployé, vaut <math>\;\lambda = \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}}{2\;g} \simeq</math> <math>\dfrac{\left( 4,0 \right)^2}{2 \times 9,8} \simeq 0,8\;m\;</math>» et on peut estimer que « la vitesse limite du parachutiste est atteinte à <math>\;1\,\%\;</math> près si <math>\;z_{G_{\text{para}}}\;</math> est <math>\;\gtrsim\;</math> à <math>\;3,9\;\lambda \simeq</math> <math>4\;\lambda\;</math>»<ref name="distance parcourue pour atteindre la vitesse limite"> En effet <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}\!\!\left( z_{G_{\text{para}}} \right) = V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}\; \sqrt{1 - \exp\! \left( -\dfrac{z_{G_{\text{para}}}}{\lambda} \right)} > V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}} \left[ 1 - 10^{-2} \right]\;</math> est équivalent, après simplification évidente, à l'inégalité <math>\;1 - \exp\! \left( -\dfrac{z_{G_{\text{para}}}}{\lambda} \right) > \left[ 1 - 10^{-2} \right]^2 \simeq 1 - 2\;10^{-2}\;</math> <math>\big\{</math>par utilisation du D.L. à l'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math> de <math>\;\left( 1 + \varepsilon \right)^n \simeq 1 - n\;\varepsilon\;</math> où <math>\;n \in \mathbb{Q}^{*}</math>, plus exactement ici <math>\;n = 2\;</math> et <math>\;\varepsilon = -10^{-2}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\;</math> d'où <math>\;\exp\! \left( -\dfrac{z_{G_{\text{para}}}}{\lambda} \right) \lesssim 2\;10^{-2}\;</math> ou, en inversant <math>\;\dfrac{z_{G_{\text{para}}}}{\lambda} \gtrsim -\ln(2\;10^{-2}) \simeq 3,9\;</math> soit finalement, en arrondissant, <math>\;z_{G_{\text{para}}} \gtrsim 4\;\lambda</math>.</ref> c'est-à-dire dès que la hauteur de chute dépasse <math>\;4 \times 0,8\; m \simeq</math> <math>3,2\;m\;</math> arrondis à <math>4\;m\;\Bigg]</math>, <br>{{Al|5}}à gauche pour les cinq premiers mètres de chute et <br>{{Al|5}}à droite pour la chute complète jusqu'au sol. [[File:Parachutiste en chute libre - portrait de phase si résistance de l'air quadratique.png|thumb|400px|Tracé du portrait de phase d'un parachutiste chutant librement<ref name="sens du parachutisme" />, sans vitesse initiale et à partir d'une altitude de <math>\;3000\; m\;</math> choisie comme origine, dans l'air globalement immobile avec une résistance de l'air de forme quadratique, la chute libre<ref name="sens du parachutisme" /> se terminant à l'altitude de <math>\;1000\; m\;</math> par déploiement d'un parachute]] {{Al|5}}Ci-contre à droite le portrait de phase du parachutiste précédemment introduit lâché sans vitesse initiale d'une altitude de <math>\;3000\;m\;</math> à partir de laquelle commence sa chute libre<ref name="sens du parachutisme" />, la résistance de l'air s'exerçant sur lui étant quadratique <math>\;\Bigg[</math>sa vitesse limite en chute libre<ref name="sens du parachutisme" /> étant {{Nobr|«<math>\;V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}</math>}} <math>\simeq 64,0\;m \cdot s^{-1}\;</math>», « la constante de longueur caractéristique de la chute libre<ref name="sens du parachutisme" /> du parachutiste vaut <math>\;\lambda = \dfrac{V_{G_{\text{para}},\,\text{lim}}^{\,2}}{2\;g}</math> <math> \simeq \dfrac{\left( 64,0 \right)^2}{2 \times 9,8} \simeq 210\;m\;</math>» et on peut estimer que « la vitesse limite du parachutiste en chute libre<ref name="sens du parachutisme" /> est atteinte à <math>\;1\,\%\;</math> près si <math>\;z_{G_{\text{para}}}\;</math> est <math>\;\gtrsim\;</math> à <math>\;3,9\;\lambda \simeq 4\;\lambda\;</math>»<ref name="distance parcourue pour atteindre la vitesse limite" /> c'est-à-dire dès que la hauteur de chute dépasse <math>\;4 \times 210\; m</math> <math>\simeq 820\;m\;</math> arrondis à <math>800\;m\;\Bigg]</math>, la chute libre<ref name="sens du parachutisme" /> étant arrêtée par ouverture d'un parachute à l'altitude de <math>\;1000\;m\;</math><ref> Le parachutiste a alors très peu de temps pour ouvrir son parachute car, en cas de non déploiement de ce dernier, il parcourra les <math>\;1000\; m\;</math> le séparant du sol à la vitesse de <math>\;64\; m \cdot s^{-1}\;</math> en <math>\;\dfrac{1000}{64} \simeq 15,6\; s\;</math> <math>\ldots\;</math> heureusement un parachutiste saute aussi avec un parachute de secours !</ref>, la chute suivant l'ouverture du parachute n'étant pas étudiée<ref> Si on suppose instantané le déploiement du parachute, la résistance de l'air subit, lors de cette ouverture de parachute, une discontinuité de 1^ère espèce <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Exemples_d'échelon_dans_d'autres_domaines_que_l'électricité|exemples d'échelon dans d'autres domaines que l'électricité]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> en supposant la continuité de la vitesse du parachutiste lors du déploiement, le [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] étant, quant à lui, multiplié par <math>\;3,5\;</math> et l'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]], quant à elle, par <math>\;74</math>, <math>\;\big\{</math>l'hypothèse de continuité de vitesse se justifie en effet, les deux forces s'exerçant sur le parachute étant le poids continu et la résistance de l'air discontinue de 1^ère espèce, l'application du théorème du mouvement du C.D.I. du parachutiste conduit à une discontinuité de 1^ère espèce de <math>\;a_{z,\,G_{\text{para}}}\;</math> donc une continuité de <math>\;V_{z,\,G_{\text{para}}}\;</math> compte-tenu de la propriété « diminution du numéro d'espèce de discontinuité de une unité par intégration à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_de_la_solution_générale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_hétérogène_du_1er_ordre_connaissant_la_nature_de_la_discontinuité_de_l'excitation|nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation]] » du {{Nobr|chap.<math>21</math>}} de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}l'application du théorème du mouvement du C.D.I. du parachutiste donnant «<math>\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(0^{+}) = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air},\,\text{avec para}}(0^{+})}{m_{\text{para}}}\;</math>», l'instant <math>\;0^{+}\;</math> suivant immédiatement l'ouverture du parachute <math>\;\big(</math>choisi comme instant <math>\;0\big)\;</math> avec «<math>\;\mathcal{R}_{\text{air},\,\text{avec para}}(0^{+}) > \mathcal{R}_{\text{air},\,\text{sans para}}(0^{-}) = m_{\text{para}}\;g\;</math>», nous en déduisons «<math>\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(0^{+}) = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air},\,\text{avec para}}(0^{+})}{m_{\text{para}}} < 0\;</math>» et par suite une <math>\;\searrow\;</math> de la vitesse du parachutiste <math>\Rightarrow</math> une <math>\;\searrow\;</math> de la résistance de l'air qu'il subit <math>\Rightarrow</math> une <math>\;\searrow\;</math> de la valeur absolue de l'accélération de ce dernier <math>\;\ldots\;</math> cette succession d'implications s'achevant pratiquement avec une accélération quasi nulle du parachutiste correspondant à une nouvelle vitesse limite de ce dernier <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> == Problème du parachutiste, approche numérique : utilisation des résultats fournis par « logiciel d'intégration numérique » quand le parachutiste subit une résistance de l'air quadratique == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : A priori ce paragraphe n'a pas de raison d'être car il est possible d'intégrer, sans difficultés apparentes, l'équation différentielle du mouvement du parachutiste en absence de vitesse initiale dans l'air globalement immobile, la résistance de l'air agissant sur le parachutiste étant de forme quadratique mais c'est une exigence du programme de physique de PCSI <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Pour répondre à cette demande on résout l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;z_{G_{\text{para}}}(t)\;</math> en utilisant n'importe quel logiciel de résolution numérique <math>\;\big[</math>celui utilisé ici est un de ceux proposés par le programme de physique à savoir « Scilab »<ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref><math>\big]</math>, le programme utilisé<ref name="aide logiciel"> Vous pourrez trouver les explications dans l'aide du logiciel <math>\;\ldots</math></ref> est donné ci-dessous après avoir rappelé, en remarque, le principe de résolution d'une équation différentielle du 2^ème ordre utilisé par « Scilab »<ref name="Scilab" />, les graphes tracés ci-après résultant de l'utilisation de ce programme ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le principe de résolution d'une équation différentielle d'ordre deux utilisé par « Scilab »<ref name="Scilab" /> consiste à se ramener à un système d'équations différentielles d'ordre un et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : }}pour «<math>\;\dfrac{d^2 z_{G_{\text{para}}}}{dt^2}(t) = g - \dfrac{h'}{m_{\text{para}}} \left[ \dfrac{d z_{G_{\text{para}}}}{dt}(t) \right]^2\;</math>» cela donne «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} \dfrac{d z_{G_{\text{para}}}}{dt}(t) = V_{G_{\text{para}}}(t)\\ \dfrac{d V_{G_{\text{para}}}}{dt}(t) = g - \dfrac{h'}{m_{\text{para}}} \left[ V_{G_{\text{para}}}(t) \right]^2\end{array}\right\rbrace\;</math>», système d'équations différentielles du 1^er ordre<ref> Bien que la 1^ère équation ne puisse être résolue que lorsque <math>\;V_{G_{\text{para}}}(t)\;</math> est connue, le système ne peut être qualifié de « couplé », car la 2^ème équation ne dépendant pas de <math>\;z_{G_{\text{para}}}(t)\;</math> peut être résolue sans connaître <math>\;z_{G_{\text{para}}}(t)</math>.</ref> en les fonctions <math>\;V_{G_{\text{para}}}(t)\;</math> et <math>\;z_{G_{\text{para}}}(t)\;</math> que l'on cherche à résoudre simultanément <math>\;\ldots</math> [[File:Parachutiste - diagrammes horaires de vitesse et de position par intégration numérique.png|thumb|500px|Tracés simultanés obtenus par intégration numérique du diagramme horaire de vitesse et de celui de position d'un parachutiste chutant, sans vitesse initiale et à partir d'une position choisie comme origine, dans l'air globalement immobile avec une résistance de l'air quadratique : <center>en vert la vitesse et en bleu la position</center>]] {{Al|5}}<u>Programme</u> : g = 9.8 ; C = 1.4 ; S = 74 ; %mu = 1.2 ; m = 100 ; h = C*%mu*S/2 ; deff('vdot = fct(t, v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = g - h/m*v(2)^2') t0 = 0 ; v0 = [0 ; 0] ; t = 0 :0.1 :2.5 ; u = ode(v0 , t0 , t , fct) ; plot(t, u) ; {{Al|5}}<u>Commentaires du programme</u> : le cœfficient de proportionnalité du carré de la vitesse dans la résistance de l'air <math>\;h'\;</math> est noté <math>\;h\;</math> pour des raisons de syntaxe ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\mathrm{vdot}\;</math> est le vecteur colonne dérivé (temporel)<ref> Le paramètre par rapport auquel la dérivation est effectuée est indiqué dans le 1^er argument de la fonction <math>\;\mathrm{deff}()</math>.</ref> du vecteur colonne <math>\;\text{v} = \left( \begin{array}{l} z_{G_{\text{para}}}\\ V_{G_{\text{para}}}\end{array} \right)\;</math> {{Nobr|c'est-à-dire}} </span><math>\;\mathrm{vdot} = \left( \begin{array}{l} \dfrac{d z_{G_{\text{para}}}}{dt}\\ \dfrac{d V_{G_{\text{para}}}}{dt}\end{array} \right)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\text{v}(i)\;</math> et <math>\;\mathrm{vdot}(i)\;</math> sont respectivement le i^ème élément des vecteurs colonnes <math>\;\text{v}\;</math> et <math>\;\mathrm{vdot}\;</math> ainsi <math>\;\text{v}(1) = z_{G_{\text{para}}}\;</math> et <math>\;\text{v}(2) = V_{G_{\text{para}}}\;</math> alors que <math>\;\mathrm{vdot}(1) = \dfrac{d z_{G_{\text{para}}}}{dt}\;</math> et <math>\;\mathrm{vdot}(2) = \dfrac{d V_{G_{\text{para}}}}{dt}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\mathrm{deff}()\;</math> permet de définir le système des deux équations différentielles du 1^er ordre en les éléments du vecteur colonne <math>\;\text{v}</math>, le 1^er argument rappelant que la dérivation de <math>\;\text{v}\;</math> pour obtenir <math>\;\mathrm{vdot}\;</math> se fait par rapport à <math>\;t</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\text{v0}\;</math> stocke les C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>., la 1^ère concernant le 1^er élément du vecteur colonne <math>\;\text{v}\;</math> à savoir <math>\;z_{G_{\text{para}}}\;</math> et la 2^ème le 2^ème élément du vecteur colonne <math>\;\text{v}\;</math> à savoir <math>\;V_{G_{\text{para}}}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\text{t = 0 :0.1 :2.5}\;</math> donnant respectivement l'instant initial, le pas et l'instant final ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\mathrm{ode}()\;</math> résolvant le système en donnant <math>\;26\;</math> vecteurs colonnes <math>\;\text{v}_k = \left( \begin{array}{l} z_{G_{\text{para}},\,k}\\ V_{G_{\text{para}},\,k}\end{array} \right)\;</math> stockées dans la variable <math>\;\text{u}</math>, les arguments de la fonction <math>\;\mathrm{ode}()\;</math> étant les C.I<ref name="C.I." />., l'instant initial, la suite des valeurs d'itération et bien sûr l'équation différentielle liant les vecteurs colonnes ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\mathrm{plot}(\text{t, u})\;</math> traçant simultanément <math>\;z_{G_{\text{para}}} = z_{G_{\text{para}}}(t)\;</math> et <math>\;V_{G_{\text{para}}} = V_{G_{\text{para}}}(t)\;</math> <math>\ldots</math> == Mise en équations de la chute freinée par résistance de l'air quadratique d'un objet lancé avec une vitesse initiale, système d'équations différentielles « couplées » et établissement de la nature plane du mouvement dans le cas où la vitesse initiale n'est pas verticale == {{Al|5}}<u>Si la vitesse initiale</u> de l'objet lancé dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et freiné par résistance de l'air est <u>verticale</u>, le problème est identique à celui du parachutiste à la valeur de la vitesse initiale près, en particulier * la nature rectiligne du mouvement s'établit par récurrence, * il existe une vitesse limite de chute de l'objet correspondant à un mouvement uniforme descendant et obéissant à l'égalité entre résistance de l'air pour cette vitesse limite et poids de l'objet, * l'équation différentielle en <math>\;V_z\;</math> ne dépendant pas des C.I<ref name="C.I." />. est la même que celle du parachutiste et par suite la loi horaire de vitesse est de même forme mais avec une constante d'intégration différente car elle dépend de la vitesse initiale<ref> Ce qui fait que la loi horaire de vitesse ne se met pas a priori sous la forme d'une tangente hyperbolique à un facteur multiplicatif près.</ref>, la loi horaire de position s'obtient par intégration de celle de vitesse <math>\;\ldots\;</math> {{Al|5}}À savoir adapter. === Mise en équations, dans un référentiel terrestre, de la chute freinée par résistance de l'air quadratique d'un objet lancé avec une vitesse initiale === {{Al|5}}L'objet de C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> est lancé avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> « non vertical » d'une position choisie comme origine des espaces <math>\;O</math>, l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> est choisi vertical ascendant<ref> Attention dans le problème du parachutiste il était vertical descendant.</ref> et le plan <math>\;xOz\;</math> tel que <math>\;\vec{V}_0\;</math> soit dans ce plan avec le sens de l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> tel que la composante <math>\;V_{0,\,x}\;</math> soit positive, l'angle d'inclinaison initiale du vecteur vitesse étant «<math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{V}_0 \right)}\;</math>» orienté dans le sens trigonométrique direct du plan <math>\;xOz\;</math> <math>\big[</math>c'est-à-dire orienté par le sens du vecteur <math>\;-\vec{u}_y \perp\;</math> au plan <math>\;xOz\;</math> tel que <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> soit direct dans l'espace physique orienté à droite<ref name="direct dans l'espace orienté à droite"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » ainsi que l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref> Bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Si <math>\;\vec{u}_x\;</math> est représenté orienté vers la droite, <math>\;\vec{u}_y\;</math> s'enfonce dans le plan de la feuille et par suite <math>\;-\vec{u}_y\;</math> sortant de la feuille définit effectivement un sens <math>\;+\;</math> des angles dans le sens trigonométrique direct.</ref><math>\big]</math>. {{Al|5}}Appliquant le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. à l'objet on trouve donc «<math>\;\vec{a}_G = \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}}{m}\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} = -\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left( V_G \right)\;\vec{\tau}\;</math>» dans lequel «<math>\;V_G = \Vert \vec{V}_G \Vert\;</math>» et «<math>\;\vec{\tau} = \dfrac{\vec{V}_G}{V_G}\;</math> est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet »<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref>, «<math>\;\mathcal{R}_{\text{air}}\!\left( V_G \right)\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;V_G\;</math>» ; {{Al|5}}nous adoptons, pour les mêmes raisons que celles exposées dans le mouvement de chute du parachutiste, une résistance de l'air de forme quadratique soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} = -h'\;V_G^2\;\vec{\tau} = -h'\;V_G\;\vec{V}_G\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;h'</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;C_\tau\;\mu_{\text{air}}\;S\;</math>»<ref name="h'"> Usuellement le [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] est noté <math>\;C_x\;</math> <math>\big(</math>même quand le mouvement ne se fait pas suivant l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> pourvu que l'indice <math>\;{_x}\;</math> n'ait pas déjà une signification différente, voir l'exemple du mouvement du parachutiste<math>\big)\;</math> mais ici <math>\;x'x\;</math> ne définissant pas la direction du mouvement d'une part et l'indice <math>\;{_x}\;</math> ayant déjà une signification différente d'autre part, nous préférons le nommé <math>\;C_\tau</math> ;<br>{{Al|3}}<math>\;\mu_{\text{air}}\;</math> est la masse volumique de l'air dans les conditions de l'expérience et <math>\;S\;</math> l'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]] de l'objet <math>\;\big[</math>revoir « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Cas_de_la_résistance_de_l'air_de_forme_quadratique|cas de la résistance de l'air de forme quadratique]] (définition du maître-couple d'un objet en translation relative dans l'air) » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref> et la projection de l'équation différentielle vectorielle «<math>\;\vec{a}_G = \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}}{m}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d \vec{V}_G}{dt}(t) = \vec{g} - \dfrac{h'\;V_G(t)\;\vec{V}_G(t)}{m}\;</math>» nous conduit au système d'équations différentielles scalaires <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c} \dfrac{d V_{G,\,x}}{dt}(t) \!\!&=&\!\! -\dfrac{h'}{m}\;\sqrt{V_{G,\,x}^{\,2}(t) + V_{G,\,y}^{\,2}(t) + V_{G,\,z}^{\,2}(t)}\;V_{G,\,x}(t) &(\mathfrak{1})\\ \dfrac{d V_{G,\,y}}{dt}(t) \!\!&=&\!\! -\dfrac{h'}{m}\;\sqrt{V_{G,\,x}^{\,2}(t) + V_{G,\,y}^{\,2}(t) + V_{G,\,z}^{\,2}(t)}\;V_{G,\,y}(t) &(\mathfrak{2})\\ \dfrac{d V_{G,\,z}}{dt}(t) \!\!&=&\!\! -g -\dfrac{h'}{m}\;\sqrt{V_{G,\,x}^{\,2}(t) + V_{G,\,y}^{\,2}(t) + V_{G,\,z}^{\,2}(t)}\;V_{G,\,z}(t) &(\mathfrak{3})\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>système d’équations différentielles non linéaires « couplées »<ref> Le découplage du fait du caractère non linéaire des trois équations avec un couplage des trois équations à la fois est impossible simplement dans le cas général <math>\;\ldots</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Exemple_de_couplage_de_système_de_trois_équations_différentielles_non_linéaires_de_trois_fonctions_indépendantes_d'une_même_variable_et_découplage_complet_impossible_dans_le_cas_général|exemple de couplage de système de trois équations différentielles non linéaires de trois fonctions indépendantes d'une même variable et découplage complet impossible dans le cas général]] » du chap.<math>30</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Établissement de la nature plane de la trajectoire du centre d'inertie de l'objet en chute freinée par résistance de l'air quadratique quand ce dernier est lancé avec un vecteur vitesse non vertical === {{Al|5}}Les équations différentielles <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> étant identiques, on peut utiliser ce caractère pour éliminer la variable <math>\;t\;</math> entre elles <math>\Rightarrow</math> une « équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;V_{G,\,y}\!\left( V_{G,\,x} \right)\;</math>»<ref name="2nde possibilité éliminée"> Nous aurions pu choisir d'obtenir une équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;V_{G,\,x}\!\left( V_{G,\,y} \right)\;</math> mais le but étant d'établir que <math>\;V_{G,\,y} = 0\;\;\forall\; V_{G,\,x}\;</math> ça n'aurait pas été un choix judicieux <math>\;\ldots</math></ref> et en déduire que «<math>\;V_{G,\,y} = 0\;\;\forall\; V_{G,\,x}\;</math>»<ref> Revoir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#cite_note-2nde_possibilité_éliminée-103|¹⁰³]] » précédente.</ref>{{,}}<ref> Cela revient à trouver une relation de liaison entre deux des trois fonctions recherchées <math>\;\left\lbrace V_{G,\,x}(t),\,V_{G,\,y}(t),\,V_{G,\,z}(t) \right\rbrace\;</math> de façon à réaliser un découplage partiel des trois équations différentielles non linéaires couplées en <math>\;\left\lbrace V_{G,\,x}(t),\,V_{G,\,y}(t),\,V_{G,\,z}(t) \right\rbrace\!</math>, c.-à-d. trouver un nouveau système équivalent de deux équations différentielles non linéaires couplées en <math>\;\left\lbrace V_{G,\,x}(t),\,V_{G,\,z}(t) \right\rbrace</math> <math>\;\big[</math>méthode exposée avec plus de détail dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Établissement_d'une_relation_entre_f1(x)_et_f2(x)_indépendante_de_f3(x)_et_découplage_partiel_du_système_des_trois_équations_différentielles_non_linéaires_couplées|établissement d'une relation entre f₁(x) et f₂(x) indépendante de f₃(x) et découplage partiel du système des trois équations différentielles non linéaires couplées]] » du chap.<math>30</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> c'est-à-dire établir que le mouvement se fait dans le plan de lancement de l'objet en effet : {{Al|5}}on divise «<math>\;(\mathfrak{2})\;</math> par <math>\;(\mathfrak{1})\;</math>»<ref> Initialement <math>\;V_{G,\,x} \neq 0</math>, ce que l'on fait est donc valable tant que <math>\;V_{G,\,x}\;</math> reste <math>\;\neq 0</math>.</ref> soit «<math>\;\dfrac{d V_{G,\,y}}{d V_{G,\,x}} = \dfrac{V_{G,\,y}}{V_{G,\,x}}\;</math>»<ref> Attention comme on cherche à établir que <math>\;V_{G,\,y} = 0</math>, il ne faut, en aucun cas, que <math>\;V_{G,\,y}\;</math> se retrouve comme dénominateur d'un quotient, en particulier séparer les variables <math>\;( x\;,\; y)\;</math> comme ceci <math>\;\cancel{\dfrac{d V_{G,\,y}}{V_{G,\,y}} = \dfrac{d V_{G,\,x}}{V_{G,\,x}}}\;</math> serait tout à fait inadapté <math>\;\big(</math>raison pour laquelle cette relation a été barrée<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;V_{G,\,x}\; d V_{G,\,y} - V_{G,\,y}\;d V_{G,\,x} = 0\;</math>» et, en supposant que <math>\;V_{G,\,x}\;</math> reste <math>\;\neq 0</math>, on peut réécrire l'équation différentielle en divisant par le carré de ce dernier selon «<math>\;\dfrac{V_{G,\,x}\; d V_{G,\,y} - V_{G,\,y}\;d V_{G,\,x}}{V_{G,\,x}^{\,2}} = 0\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;d\! \left( \dfrac{V_{G,\,y}}{V_{G,\,x}} \right) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{V_{G,\,y}}{V_{G,\,x}} = cste\;</math>» valeur déterminée à l'aide des « C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_{G,\,y}(0) = V_{0,\,y} &=& 0\\ V_{G,\,x}(0) = V_{0,\,x} = V_0\;\cos(\alpha_0) &\neq& 0\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où <math>\;cste = 0\;</math> et par suite <math>\;\dfrac{V_{G,\,y}}{V_{G,\,x}} = 0\;\;\forall\;V_{G,\,x} \neq 0\;</math>» soit finalement, <center>sous réserve que <math>\;V_{G,\,x}\;</math> ne s'annule jamais <math>\;\big(</math>ce qui sera vérifié par la suite<math>\big)</math>, <br>la loi horaire de vitesse «<math>\;V_{G,\,y} = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <br>c'est-à-dire une absence de dérive perpendiculairement au plan de lancement ;</center> {{Al|5}}une nouvelle intégration nous conduit à «<math>\;y_G = cste'\;</math>» ou, avec la dernière « C.I<ref name="C.I." />. <math>\;y_G(0) = 0\;</math>», la loi horaire de position «<math>\;y_G = 0\;\;\forall\;t\;</math>» c'est-à-dire <center>la nature plane du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> de l'objet, mouvement se faisant dans son plan de lancement <math>\;xOz</math>.</center> {{Al|5}}<u>Autre démonstration de la nature plane du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet</u> : on peut établir la nature plane du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet en faisant un raisonnement par récurrence, comme cela a été fait pour établir la nature rectiligne du mouvement du parachutiste ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><u>initiation de la récurrence sur un 1^er intervalle de temps</u> : au départ du mouvement, c'est-à-dire à <math>\;t_0 = 0</math>, la vitesse initiale du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet <math>\;\vec{V}_0\;</math> étant dans le plan <math>\;xOz</math>, nous en déduisons que « la résistance de l'air initiale <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_0)\;</math> y est aussi » et par suite « le vecteur accélération initiale du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet <math>\;\vec{a}_{G}(t_0) = \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_0)}{m}\;</math> est également contenu dans le plan <math>\;xOz\;</math>» ; <br>{{Al|12}}<u>rappel</u> <math>\;(\mathfrak{a})</math> : pour évaluer le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet à l'instant <math>\;t + \delta t\;</math><ref name="définition de delta t" /> connaissant celle à l'instant <math>\;t</math>, on suppose que son accélération moyenne sur l'intervalle «<math>\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]\;</math>»<ref name="définition de delta t" /> s'identifie à son accélération à l'instant <math>\;t\;</math> <math>\big[</math>accélération connue dans la mesure où la vitesse à cet instant l'est<ref> En effet si la vitesse du C.D.I. de l'objet à l'instant <math>\;t\;</math> est connue, la résistance de l'air l'est aussi et par suite, le théorème du mouvement du C.D.I. de l'objet appliqué à l'instant <math>\;t\;</math> permet de déterminer l'accélération de l'objet à cet instant.</ref><math>\big]</math> et on intègre une fois par rapport au temps sur l'intervalle «<math>\;\left[ t\,,\, t + \delta t \right]\;</math>» pour en déduire la vitesse à l'instant <math>\;t + \delta t\;</math><ref name="définition de delta t" /> connaissant celle à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|rappel <math>\;\color{Transparent}{(\mathfrak{a})}</math> : }}appliqué à partir de l'instant <math>\;t_0 = 0</math>, on obtient «<math>\;\vec{a}_{G,\,\text{moy sur }\left[ 0\,,\, \delta t \right]} \simeq \vec{a}_G(0) = \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_0)}{m}\;</math>» ou, en explicitant le vecteur accélération moyenne «<math>\;\dfrac{\vec{V}_G(\delta t) - \vec{V}_G(0)}{\delta t} \simeq</math> <math>\vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_0)}{m}\;</math>» d'où «<math>\;\vec{V}_G(\delta t) \simeq \vec{V}_G(0) + \left[ \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_0)}{m} \right] \delta t\;</math> contenu dans le plan <math>\;xOz\;</math>» dans la mesure où tous les vecteurs composants y sont ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><u>raisonnement sur l'intervalle de temps suivant</u> : le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet à l'instant <math>\;t_1 = \delta t\;</math> étant contenu dans le plan <math>\;xOz\;</math> on en déduit que « la résistance de l'air au même instant <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_1 = \delta t)\;</math> l'est aussi » ; appliquant le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. à l'objet à l'instant <math>\;t_1 = \delta t\;</math> on trouve « le vecteur accélération du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet à cet instant, <math>\;\vec{a}_G(t_1) =</math> <math>\vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_1)}{m}\;</math> contenu dans le plan <math>\;xOz\;</math>», les vecteurs composants y étant ; <br>{{Al|12}}appliquant le rappel <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> à partir de l'instant <math>\;t_1 = \delta t</math>, on obtient «<math>\;\vec{a}_{G,\,\text{moy sur }\left[ \delta t\,,\, 2\,\delta t \right]} \simeq \vec{a}_G(t_1) = \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_1)}{m}\;</math>» ou, en explicitant le vecteur accélération moyenne «<math>\;\dfrac{\vec{V}_G(2\,\delta t) - \vec{V}_G(\delta t)}{\delta t} \simeq</math> <math>\vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_1)}{m}\;</math>» d'où «<math>\;\vec{V}_G(t_2 = 2\,\delta t) \simeq \vec{V}_G(t_1 = \delta t) + \left[ \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_1)}{m} \right] \delta t\;</math> contenu dans le plan <math>\;xOz\;</math>» dans la mesure où tous les vecteurs composants y sont ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><u>exposé de la récurrence</u> : ayant vérifié la propriété <math>\;\mathcal{P}\;</math> « vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet contenu dans le plan <math>\;xOz\;</math>» pour <math>\;n = 1\;</math><ref> C.-à-d. pour l'instant <math>\;t_1 = \delta t\;</math> <math>\;\big[</math>et aussi pour <math>\;n = 2\;</math> c.-à-d. pour l'instant <math>\;t_2 = 2\,\delta t\;</math> bien que cela ne soit pas utile<math>\big]</math>.</ref>, nous allons montrer que «<math>\;\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n + 1)\;</math>» ; : {{Al|5}}<math>\;\bullet\;</math><u>hypothèse de récurrence</u> : propriété <math>\;\mathcal{P}(n)</math> « le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(n\,\delta t)\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet à l'instant <math>\;n\;\delta t\;</math> est contenu dans le plan <math>\;xOz\;</math>» ; : {{Al|5}}<math>\;\bullet\;</math><u>corps de la démonstration</u> : le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet à l'instant <math>\;t_n = n\,\delta t\;</math> étant contenu dans le plan <math>\;xOz\;</math> on en déduit que « la résistance de l'air au même instant <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_n = n\,\delta t)\;</math> l'est aussi » ; appliquant le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. à l'objet à l'instant <math>\;t_n = n\,\delta t\;</math> on trouve « le vecteur accélération du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet à cet instant, <math>\;\vec{a}_G(t_n) =</math> <math>\vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_n)}{m}\;</math> contenu dans le plan <math>\;xOz\;</math>», les vecteurs composants y étant ; <br>{{Al|12}}appliquant le rappel <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> à partir de l'instant <math>\;t_n = n\,\delta t</math>, on obtient «<math>\;\vec{a}_{G,\,\text{moy sur }\left[ n\,\delta t\,,\, (n + 1)\,\delta t \right]} \simeq \vec{a}_G(t_n) = \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_n)}{m}\;</math>» ou, en explicitant le vecteur accélération moyenne {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\vec{V}_G[(n + 1)\,\delta t] - \vec{V}_G[n\,\delta t]}{\delta t}</math>}} <math>\simeq \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_n)}{m}\;</math>» d'où «<math>\;\vec{V}_G[(n + 1)\,\delta t] \simeq \vec{V}_G[n\,\delta t] + \left[ \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t_n)}{m} \right] \delta t\;</math> contenu dans le plan <math>\;xOz\;</math>» dans la mesure où tous les vecteurs composants y sont, ce qui valide l'hypothèse de récurrence ; : {{Al|5}}<math>\;\bullet\;</math><u>conclusion de la récurrence</u> : la propriété <math>\;\mathcal{P}\;</math> étant vérifiée pour <math>\;n = 0\;</math> et telle que «<math>\;\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n + 1)\;</math> pour <math>\;n\;</math> quelconque », est démontrée par récurrence. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><u>Conclusion</u> : ainsi le mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet lancé dans un champ de pesanteur terrestre uniforme avec une vitesse initiale non verticale et freiné par résistance de l'air est toujours plan, le plan vertical du mouvement étant le plan vertical de lancement. === Réécriture du système d'équations différentielles du mouvement du centre d'inertie de l'objet en chute freinée par résistance de l'air quadratique tenant compte de la nature plane de sa trajectoire quand l'objet est lancé avec un vecteur vitesse non vertical === {{Al|5}}Compte-tenu de «<math>\;V_{G,\,y} = 0\;\;\forall\;t\;</math>» le système d’équations différentielles couplées se simplifie selon <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c} \dfrac{d V_{G,\,x}}{dt}(t) \!\!&=&\!\! -\dfrac{h'}{m}\;\sqrt{V_{G,\,x}^{\,2}(t) + V_{G,\,z}^{\,2}(t)}\;V_{G,\,x}(t) &(\mathfrak{1})\\ \dfrac{d V_{G,\,z}}{dt}(t) \!\!&=&\!\! -g - \dfrac{h'}{m}\;\sqrt{V_{G,\,x}^{\,2}(t) + V_{G,\,z}^{\,2}(t)}\;V_{G,\,z}(t) &(\mathfrak{3})\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Le découplage reste néanmoins impossible simplement, les deux équations restantes étant non linéaires et fortement couplées ; <br>{{Al|3}}la seule façon envisageable est donc une résolution numérique introduite au paragraphe suivant.</ref>.</center> == Chute freinée par résistance de l'air quadratique d'un objet lancé avec une vitesse initiale, approche numérique : utilisation des résultats fournis par « logiciel d'intégration numérique » == === Exposé du problème === {{Al|5}}Soit un objet de C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 1\, kg\;</math>», « lancé obliquement quand <math>\;G\;</math> est au point <math>\;O\;</math>»<ref> Choisi comme origine du repère.</ref> avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0</math>, de « norme <math>\;V_0 =</math> <math>500\, m \cdot s^{-1}\;</math>», de direction inclinée vers le haut et « faisant un angle <math>\;\alpha_0 = 60\, \text{°}\;</math> avec l'horizontale du lieu » ; {{Al|5}}l'objet n'est soumis qu'à l’action d'un « champ de pesanteur <math>\;\vec{g}\;</math> supposé uniforme <math>\;\big[</math>l'intensité de la pesanteur <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la norme du champ de pesanteur<math>\big)\;</math> <math>g\;</math> est prise égale à <math>\;9,8\, m \cdot s^{-2}\big]\;</math>» et à une « résistance de l'air <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}\;</math> de forme quadratique <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} =</math> <math>-h'\;V_G\;\vec{V}_G\;</math>» avec «<math>\;h' = \dfrac{1}{2}\;C_\tau\;\mu_{\text{air}}\;S\;</math>» dans laquelle la «masse volumique de l'air <math>\;\mu_{\text{air}}\;</math> est supposée uniforme et égale à <math>\;1,2\, kg \cdot m^{-3}\;</math>», le solide a une forme aérodynamique de « [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] <math>\;C_\tau = 0,4\;</math>» et un « [[w:Maître-couple|maître-couple]] d'aire <math>\;S = 1\, dm^2\;</math>»<ref name="h'" /> ; {{Al|5}}l'axe <math>\overrightarrow{Oz}\;</math> est choisi vertical ascendant et l'axe <math>\overrightarrow{Ox}\;</math> horizontal tel que <math>\;V_{0,\,x} > 0\;</math><ref> Bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation.</ref>. === Utilisation d'un logiciel de calcul numérique pour déterminer le mouvement de chute freinée de l'objet par résistance de l'air quadratique ainsi que la trajectoire de son centre d'inertie et l'hodographe de pôle O du mouvement de ce dernier === {{Al|5}}Le logiciel de calcul numérique utilisé pour résoudre le système d'équations différentielles couplées est l'un de ceux proposés par le programme à savoir « Scilab »<ref name="Scilab" />, le programme utilisé<ref name="aide logiciel" /> est donné ci-dessous, les graphes tracés ci-après résultant de l'utilisation de ce programme <math>\;\ldots</math> [[File:Chute avec vitesse initiale freinée par résistance quadratique - trajectoire par intégration numérique.png|thumb|500px|Tracé, à l'aide d'un logiciel de calcul, de la trajectoire du C.D.I<ref name="C.D.I." />. d'un objet lancé avec une vitesse initiale de direction inclinée vers le haut dans un champ de pesanteur uniforme et soumis à une résistance de l'air quadratique]] {{Al|5}}<u>Programme</u> : le début du programme assurant la résolution numérique et le tracé de la trajectoire ; g = 9.8 ; C = 0.4 ; S = 0.01 ; %mu = 1.3 ; m = 1 ; h = C*%mu*S/2 ; V0 = 500 ; %alpha = 60*%pi/180 ; deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -h/m*sqrt(v(2)^2 + v(4)^2)*v(2) , vdot(3) = v(4) ; vdot(4) = -g - h/m*sqrt(v(2)^2 + v(4)^2)*v(4)') t0 = 0 ; v0 = [0 ; V0*cos(%alpha) ; 0 ; V0*sin(%alpha)] ; t = 0 : 0.1 : 30 ; u = ode(v0 , t0 , t , fct) ; x = u(1 , :) ; z = u(3 , :) ; plot(x , z) ; [[File:Chute avec vitesse initiale freinée par résistance quadratique - hodographe par intégration numérique.png|thumb|500px|Tracé, à l'aide d'un logiciel de calcul, de l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe"> Voir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Généralités#Définition_de_l'hodographe_de_pôle_O_du_mouvement_de_M|définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M]] » au chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. d'un objet lancé avec une vitesse initiale de direction inclinée vers le haut dans un champ de pesanteur uniforme et soumis à une résistance de l'air quadratique]] {{Al|5}}<u>Suite du programme</u> : traçant successivement l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement de <math>\;G\;</math> ci-contre, puis la superposition des diagrammes horaires de position en abscisse et altitude ci-dessous à gauche et enfin la superposition des diagrammes horaires de vitesse suivant l'axe des abscisses et celui des altitudes ci-dessous à droite <math>\;\ldots</math> drawlater clf() vx = u(2 , :) ; vz = u(4 , :) ; plot(vx , vz) ; drawnow drawlater clf() plot(t , x ,"b" , t, z, "r") ; drawnow drawlater clf() plot(t, vx, "b", t, vz, "r") ; drawnow {{Al|5}}<u>Commentaires sur le programme</u> : tout d'abord revoir, si besoin, est le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Problème_du_parachutiste,_approche_numérique_:_utilisation_des_résultats_fournis_par_«_logiciel_d'intégration_numérique_»_quand_le_parachutiste_subit_une_résistance_de_l'air_quadratique|problème du parachutiste, approche numérique : utilisation des résultats fournis par logiciel d'intégration numérique quand le parachutiste subit une résistance de l'air quadratique]] (commentaires du programme) » plus haut dans le chapitre ; [[File:Chute avec vitesse initiale freinée par résistance quadratique - diagrammes horaires de position par intégration numérique.png|thumb|left|500px|Tracé, à l'aide d'un logiciel de calcul, des diagrammes horaires de position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. d'un objet lancé avec une vitesse initiale de direction inclinée vers le haut dans un champ de pesanteur uniforme et soumis à une résistance de l'air quadratique]] [[File:Chute avec vitesse initiale freinée par résistance quadratique - diagrammes horaires de vitesse par intégration numérique.png|thumb|right|500px|Tracé, à l'aide d'un logiciel de calcul, des diagrammes horaires de vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. d'un objet lancé avec une vitesse initiale de direction inclinée vers le haut dans un champ de pesanteur uniforme et soumis à une résistance de l'air quadratique]] *{{Al|5}}les arguments de la fonction <math>\;\mathrm{deff}()\;</math> définissent quatre équations différentielles du 1^er ordre en les quatre éléments du vecteur colonne <math>\;\text{v}\;</math> avec <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>«<math>\;\text{v}(1) = x_G</math>, <math>\;\text{v}(2) = V_{x,\,G}</math>, <math>\;\text{v}(3) = z_G\;</math> et <math>\;\text{v}(4) = V_{z,\,G}\;</math>» d'une part ainsi que <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>«<math>\;\text{vdot}(1) = \dfrac{d x_G}{dt}</math>, <math>\;\text{vdot}(2) = \dfrac{d V_{x,\,G}}{dt}</math>, <math>\;\text{vdot}(3) = \dfrac{d z_G}{dt}\;</math> et <math>\;\text{vdot}(4) = \dfrac{d V_{z,\,G}}{dt}\;</math>» d'autre part ; *{{Al|5}}<math>\;\text{v0}\;</math> doit stocker quatre C.I<ref name="C.I." />., la i^ème concernant le i^ème élément du vecteur colonne <math>\;\text{v}\;</math> c'est-à-dire «<math>\;x_G</math>, <math>\;V_{x,\,G}</math>, <math>\;z_G\;</math> et <math>\;V_{z,\,G}\;</math>» ; *{{Al|5}}<math>\;\text{t = 0 :0.1 :30}\;</math> donnant respectivement « l'instant initial, le pas et l'instant final », nous « obtenons la position et la vitesse pour <math>\;301\;</math> valeurs de temps » ; *{{Al|5}}<math>\;\mathrm{drawlater}\;</math> permet de suspendre le tracé jusqu'à ce qu'apparaisse <math>\;\mathrm{drawnow}</math>, <math>\;\mathrm{clf}()\;</math> permettant d'effacer le tracé <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Commentaires des résultats</u> : « Le sommet <math>\;S\;</math> de la trajectoire du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'objet a pour coordonnées <math>\;\left( x_S \simeq 525\,m\;;\; z_S \simeq 705\,m \right)\;</math>», sommet « atteint à l'instant <math>\;t_S \simeq 8,3\,s\;</math>» correspondant à une « composante horizontale de vitesse <math>\;V_{x,\,S} \simeq 29\,m \cdot s^{-1}\;</math>» <math>\;\big[</math>initialement la composante horizontale de vitesse était <math>\;V_0\;\cos(\alpha_0) = 500 \times \cos(60\,\text{°}) = 250\,m \cdot s^{-1}\;</math> soit « une <math>\;\searrow\;</math> d'un facteur <math>\;8,5\;</math> obtenue au sommet »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires des résultats : }}« la portée <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la distance horizontale séparant la position de lancement de celle de retombée à la même altitude<math>\big)\;</math> vaut <math>\;x_P \simeq</math> <math>760\,m\;</math>» et est « obtenue après une durée de parcours <math>\;t_P - t_0 = t_P \simeq 24,1\,s\;</math>», les « composantes horizontale et verticale de la vitesse en <math>\;P\;</math> valant <math>\;V_{x,\,P} \simeq</math> <math>4,5\,m \cdot s^{-1}\;</math> et <math>\;V_{z,\,P} \simeq -62,5\,m \cdot s^{-1}\;</math>» y donnent un « vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_P\;</math> incliné vers le bas sur l'horizontale d'un angle <math>\;\alpha_P = \arctan\! \left( \dfrac{V_{z,\,P}}{V_{x,\,P}} \right) \simeq</math> <math>\arctan\! \left( \dfrac{-62,5}{4,5} \right) \simeq -86\,\text{°}\;</math>» c'est-à-dire quasi vertical <math>\;\big[</math>on remarque sur le diagramme horaire de vitesse <math>\;V_z(t)\;</math> que « la vitesse limite verticale est pratiquement atteinte à l'instant <math>\;t_P \simeq 24\,s\;</math>»<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il est aisé de comparer les portées avec et « sans résistance de l'air quadratique »<ref> Il suffit dans le programme précédent de remplacer <math>\;C = 0,4\;</math> par <math>\;C = 0\;</math> sans oublier d’élargir l'intervalle d'intégration.</ref> et « on observe, en absence de résistance de l'air quadratique, une portée de <math>\;\simeq 22100\, m\;</math> soit <math>\;\simeq 30\;</math> fois plus grande » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}on peut également comparer l'altitude maximale atteinte et « on trouve, en absence de résistance de l’air quadratique, une altitude maximale de <math>\;\simeq 9550\, m\;</math> soit <math>\;\simeq 14\;</math> fois plus élevée » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la conclusion est donc qu'<u>ignorer la résistance de l'air pour étudier un lancement d'objet dans un champ de pesanteur uniforme</u> dès lors que la vitesse initiale est non petite est <u>totalement irréaliste</u>. == Protocole expérimental de mesure des frottements « fluides » == {{Al|5}}Au lieu de déplacer un objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans l'air globalement immobile, on crée un courant d’air généré dans une « soufflerie »<ref> Un simple sèche-cheveux peut suffire à condition qu'il soit suffisamment puissant.</ref> autour de l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> restant immobile<ref name="coussin d'air"> Pour éliminer les frottements solides entre l'objet et son support, on place l'objet sur un rail à coussin d'air.</ref> ; « si le courant est de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{air}}\;</math> horizontal à une distance éloignée<ref name="signification pratique d'éloigné"> Correspondant à une distance de l'ordre du mètre.</ref> de l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> immobile », « les frottements de l'air seront équivalents à ceux obtenus pour l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en translation horizontale de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})} = -\vec{V}_{\text{air}}\;</math> dans l'air globalement immobile » ; [[File:Dynamometres poids.svg|thumb|400px|{{Al|5}}dynamomètre à ressort à vide et à charge sur la gauche <br>{{Al|5}}dynamomètre à ressort spiral à vide et à charge sur la droite]] {{Al|5}}pour mesurer la force de poussée horizontale de l'air sur l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> immobile, on peut utiliser un « dynamomètre à ressort » <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)\;</math> à axe horizontal dont une extrémité est fixe du côté de la soufflerie et l'autre reliée à l'objet ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour mesurer la force de poussée horizontale de l'air sur l'objet <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> immobile, }}choisissant un axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> horizontal dans le sens de <math>\;\vec{V}_{\text{air}}</math>, l'objet étant en équilibre, « la force de poussée de l'air <math>\;\vec{F}_{\text{air}}\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{u}_x\;</math>» est compensée par « la tension du ressort du dynamomètre <math>\;\vec{T}_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,\text{dynamomètre}}\;</math> dans le sens de <math>\;-\vec{u}_x\;</math>» laquelle est, par principe des actions réciproques, l'opposée de la force que l'objet exerce sur le dynamomètre d'où «<math>\;\vec{T}_{(\mathcal{S})\,\rightarrow\,\text{dynamomètre}} =</math> <math>\vec{F}_{\text{air}}\;</math>», ce qui permet de lire directement <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour mesurer la force de poussée horizontale de l'air sur l'objet <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> immobile, }}« la force de poussée de l'air sur le dynamomètre » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour mesurer la force de poussée horizontale de l'air sur l'objet <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> immobile, }}« la résistance de l'air qui serait exercée sur l'objet en translation dans l'air globalement immobile »<ref name="retour à l'objet en translation"> Si l'objet était en translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})} = -\vec{V}_{\text{air}}\;</math> dans le sens de <math>\;-\vec{u}_x\;</math> dans l'air globalement immobile, la résistance de l'air serait dans le sens de <math>\;\vec{u}_x\;</math> c.-à-d. égale en direction, sens et norme à la force de poussée de l'air sur l'objet immobile <math>\;\ldots</math></ref> ; [[File:Dispositif expérimental de mesure résistance de l'air.png|thumb|left|600px|Schéma d'un dispositif expérimental permettant de mesurer la force de poussée de l'air exercée par le courant d'une soufflerie sur un objet en équilibre sur un plan incliné, mesure effectuée à l'aide d'un dynamomètre à ressort]] {{Al|5}}si la force de poussée de l'air est de norme trop grande pour être mesurée par le dynamomètre, on peut remplacer le plan horizontal par un plan incliné sur lequel réaliser l'expérience <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le courant généré par la soufflerie étant incliné vers le haut d'un angle <math>\;\alpha\;</math> par rapport à l'horizontal de façon à être <math>\;\parallel\;</math> à la ligne de plus grande pente du plan incliné, ligne orientée par le choix d'un axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> remontant le plan incliné <math>\Rightarrow</math> « le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{air}}</math>, à une distance éloignée<ref name="signification pratique d'éloigné" /> de l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> immobile<ref name="coussin d'air" />{{,}}<ref> Objet positionné sur le plan incliné à une abscisse plus grande que celle de la soufflerie.</ref>, est dans le sens de <math>\;\vec{u}_x\;</math>», <br>{{Al|5}}le « dynamomètre à ressort » est positionné de façon à ce que son axe soit <math>\;\parallel\;</math> à la ligne de plus grande pente du plan incliné, une extrémité reliée à l'objet du côté opposé à la soufflerie, l'autre extrémité étant fixée en un point plus en amont ; <br>{{Al|5}}l'objet étant en équilibre, « la force de poussée de l'air <math>\;\vec{F}_{\text{air}}\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{u}_x\;</math>» est compensée par « la composante du poids de l'objet le long du plan incliné dans le sens ascendant <math>\;-m_{(\mathcal{S})}\;g\;\sin(\alpha)\;\vec{u}_x\;</math>» et « la tension du ressort du dynamomètre <math>\;\vec{T}_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,\text{dynamomètre}}\;</math> dans le sens de <math>\;-\vec{u}_x\;</math>» <math>\big[</math>cette dernière étant, par principe des actions réciproques, l'opposée de la force que l'objet exerce sur le dynamomètre «<math>\;\vec{T}_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,\text{dynamomètre}} = -\vec{T}_{(\mathcal{S})\,\rightarrow\,\text{dynamomètre}}\;</math>»<math>\big]\;</math> d'où {{Al|5}}«<math>\;\vec{F}_{\text{air}} = m_{(\mathcal{S})}\;g\;\sin(\alpha)\;\vec{u}_x - \vec{T}_{(\mathcal{S})\,\leftarrow\,\text{dynamomètre}} =</math> <math>m_{(\mathcal{S})}\;g\;\sin(\alpha)\;\vec{u}_x + \vec{T}_{(\mathcal{S})\,\rightarrow\,\text{dynamomètre}}\;</math>» dont on tire «<math>\;\vec{T}_{(\mathcal{S})\,\rightarrow\,\text{dynamomètre}} = \left[ \Vert \vec{F}_{\text{air}} \Vert - m_{(\mathcal{S})}\;g\;\sin(\alpha) \right]\,\vec{u}_x\;</math> lequel doit être dans le sens de <math>\;-\vec{u}_x\;</math> pour que le dynamomètre fournisse une indication<ref> Si on constate que le dynamomètre ne fournit aucune indication c'est que l'angle du plan incliné doit être augmenter <math>\;\big(</math>ou qu'il aurait fallu laisser le dynamomètre du côté de la soufflerie mais ce n'est pas ce qui a été adopté<math>\big)</math>.</ref> égale à <math>\;\Vert \vec{T}_{(\mathcal{S})\,\rightarrow\,\text{dynamomètre}} \Vert = m_{(\mathcal{S})}\;g\;\sin(\alpha) - \Vert \vec{F}_{\text{air}} \Vert\;</math>» ce qui donne finalement <br>{{Al|5}}« la norme de la force de poussée de l'air <math>\;\Vert \vec{F}_{\text{air}} \Vert =</math> <math>m_{(\mathcal{S})}\;g\;\sin(\alpha) - \Vert \vec{T}_{(\mathcal{S})\,\rightarrow\,\text{dynamomètre}} \Vert\;</math>» ou encore <br>{{Al|11}}« celle de la résistance de l'air qui serait exercée sur l'objet en translation dans l'air globalement immobile »<ref name="retour à l'objet en translation" />. {{Al|5}}La vitesse du courant créé par la soufflerie à l'endroit de l'équilibre peut être mesurée par un « [[w:Anémomètre|anémomètre]] » comme « l'[[w:Anémomètre#Anémomètre à tube|anémomètre à tube]] »<ref> [[File:Tube de Pitot dans un courant d'air.png|thumb|500px|Schéma de fonctionnement d'un tube de Pitot immergé dans un courant d'air dont la vitesse est évaluée par différence de pression entre la pression statique <math>\;\big(</math>au point d'arrêt de l'air<math>\big)\;</math> et la pression dynamique <math>\;\big(</math>au point où l'air s'écoule à la vitesse du courant<math>\big)</math>]] Et en particulier l'[[w:Anémomètre#Anémomètre à tube|anémomètre à tube]] de Pitot qui permet de déterminer la mesure d'une vitesse par une mesure de pression voir l'article de wikipédia dans le « [[w:Tube de Pitot#Cas de l'écoulement incompressible|cas d'un écoulement incompressible]] » <math>\;\big[</math>cette explication nécessite des connaissances de mécanique des fluides qui ne sont étudiées qu'en 2^ème année de C.P.G.E.S. <math>\;\big(</math>Classes Préparatoires aux Grandes Écoles Scientifiques<math>\big)\;</math> mais dont les grandes lignes sont évoquées ci-dessous<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}le principe de fonctionnement d'un tube de Pitot consiste à mesurer la différence de pression entre * le point d'entrée de front du tube <math>\;O</math>, point d'arrêt du courant <math>\;\big(</math>car <math>\;\vec{v}_O = \vec{0}\big)</math>, la pression y étant dite statique, égale à <math>\;p_O\;</math> et * le point d'entrée latérale du tube <math>\;A\;</math> où le courant a retrouvé la vitesse <math>\;\vec{v}</math>, la pression y étant dite dynamique, égale à «<math>\;p\;</math> plus faible que <math>\;p_O\;</math>» ; {{Al|3}}la mesure de «<math>\;p_O - p\;</math>» par manomètre permet d'évaluer <math>\;v = \Vert \vec{v} \Vert\;</math> par application du [[w:Théorème_de_Bernoulli|théorème de Bernoulli]] appliqué sur la ligne de courant stationnaire passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;A\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{2}\,\mu_{\text{air}}\,v^2 + \mu_{\text{air}}\,g\,z + p = cste\;</math>» donnant ici «<math>\;\dfrac{1}{2}\,\mu_{\text{air}}\,v_A^2 + \mu_{\text{air}}\,g\,z_A + p_A = \; \cancel{\dfrac{1}{2}\,\mu_{\text{air}}\,v_O^2 +}\; \mu_{\text{air}}\,g\,z_O + p_O\;</math>» ou, <math>\;A\;</math> et <math>\;O\;</math> pouvant être considérés à la même altitude, «<math>\;\dfrac{1}{2}\,\mu_{\text{air}}\,v_A^2 + p_A = p_O\;</math>» soit la vitesse <math>\;v\;</math> cherchée «<math>\;v = \sqrt{\dfrac{2 \left( p_O - p \right)}{\mu_{\text{air}}}}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Pitot|Henri Pitot]] (1695 - 1771)''' ingénieur hydraulique français à qui on doit l'invention du tube portant son nom, dont le principe de fonctionnement fut découvert intuitivement par lui en mesurant l'écoulement de la Seine ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Daniel_Bernoulli|Daniel Bernoulli]] (1700 - 1782)''' médecin, physicien et mathématicien suisse à qui on doit de nombreuses contributions dont le théorème portant son nom applicable en régime stationnaire de la [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]] et trouvé par lui en <math>\;1738</math>.</ref>, on peut alors « étudier le lien entre force de poussée de l'air et vitesse du courant engendrant cette poussée » et « vérifier le caractère quadratique de ce lien pour les vitesses de courant mesurées » ; {{Al|5}}on peut aussi modifier « l'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]] »<ref name="maître couple" /> <math>\;\big(</math>facilement mesurable<math>\big)\;</math> ainsi que « le [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] »<ref> On rappelle la forme quadratique de la résistance de l'air <math>\;\mathcal{R}_{\text{air}} = h'\;V_{(\mathcal{S})}^{\;2}\;</math> dans laquelle «<math>\;h' = \dfrac{1}{2}\;C_x\;\mu_{\text{air}}\;S\;</math>» <math>\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Cas_de_la_résistance_de_l'air_de_forme_quadratique|cas de la résistance de l'air de forme quadratique]] » plus haut dans ce chapitre où <math>\;C_x\;</math> est le [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] de l'objet, <math>\;\mu_{\text{air}}\;</math> la masse volumique de l'air dans les conditions de température et de pression locales de la translation de l'objet et <math>\;S\;</math> l'aire de son [[w:Maître-couple|maître-couple]]<math>\big]</math>.</ref> pour « étudier l'influence de ces différents paramètres » <math>\;\ldots</math> == Mise en équations de la chute freinée par résistance de fluide linéaire d'un objet lancé avec une vitesse initiale, système d'équations différentielles « découplées » du mouvement de son centre d'inertie, lois horaires de vitesse et de position == === Exposé du problème === {{Al|5}}Comme le déplacement d'un objet macroscopique dans l'air subit une résistance de l'air « au minimum » quadratique, pour étudier l'influence d'une résistance linéaire de fluide, il convient de remplacer l'air par un fluide nettement plus visqueux comme la glycérine <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}C'est donc la seule modification que nous ferons dans les hypothèses d'expérience par rapport à celles exposées dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Mise_en_équations_de_la_chute_freinée_par_résistance_de_l'air_quadratique_d'un_objet_lancé_avec_une_vitesse_initiale,_système_d'équations_différentielles_«_couplées_»_et_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_dans_le_cas_où_la_vitesse_initiale_n'est_pas_verticale|mise en équations de la chute freinée par résistance de l'air quadratique d'un objet lancé avec une vitesse initiale, système d'équations différentielles couplées et établissement de la nature plane du mouvement dans le cas où la vitesse initiale n'est pas verticale]] » plus haut dans ce chapitre, « la résistance du fluide de forme linéaire étant alors <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(t) = -h\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> de l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en translation dans la glycérine globalement immobile », «<math>\;h\;</math> étant une constante <math>\;> 0\;</math> caractéristique de la forme et de la dimension de l'objet ainsi que du fluide dans lequel il se déplace » ; {{Al|5}}les C.I<ref name="C.I." />. sont identiques à celles du « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Mise_en_équations_de_la_chute_freinée_par_résistance_de_l'air_quadratique_d'un_objet_lancé_avec_une_vitesse_initiale,_système_d'équations_différentielles_«_couplées_»_et_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_dans_le_cas_où_la_vitesse_initiale_n'est_pas_verticale|paragraphe précité]] » <math>\;\big[</math>à <math>\;t = 0</math>, « le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> est en <math>\;O\;</math>» et « son vecteur vitesse vaut <math>\;\vec{V}_0\;</math>»<math>\big]</math>, le repère cartésien étant également le même <math>\;\big[</math>« origine du repère <math>\;O\;</math>», « axe vertical <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> ascendant », « l'axe horizontal <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> tel que <math>\;\vec{V}_0\;</math> soit dans le plan <math>\;xOz\;</math>», « l'axe horizontal <math>\;\overrightarrow{Oy}\; \perp\;</math> au plan <math>\;xOz\;</math> tel que le trièdre <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{Oy}\,,\,\overrightarrow{Oz} \right\rbrace\;</math> soit direct dans l'espace physique orienté à droite » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » ainsi que l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, « l'angle <math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{V}_0 \right)}\;</math> étant orienté dans le sens trigonométrique direct » correspondant au « choix de sens <math>\;+\;</math> de mesure des angles du plan <math>\;xOz\;</math> défini par le vecteur <math>\;-\vec{u}_y\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> Bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation.</ref>. === Mise en équations de la chute freinée par résistance de fluide linéaire d'un objet lancé avec une vitesse initiale === {{Al|5}}Le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. appliqué à l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> conduit à «<math>\;\vec{a}_{G_{(\mathcal{S})}}(t) = \vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R_{\text{flu}}}}(t)}{m_{(\mathcal{S})}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{d \vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}}{dt}(t) = \vec{g} - \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\dfrac{d \vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}}{dt}(t) + \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t) = \vec{g}\;</math>» c'est-à-dire <br>une équation différentielle linéaire à coefficients constants du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}\;</math> hétérogène.</center> === Résolution de l'équation différentielle vectorielle du mouvement du centre d'inertie de l'objet === {{Al|5}}L'équation différentielle vectorielle du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> de l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}\;</math> hétérogène, « la solution <math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t)\;</math> est la superposition d'un régime libre <math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})},\,l}(t)\;</math> <math>\big(</math>solution générale de l'équation homogène<math>\big)\;</math> et d'un régime forcé <math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})},\,f}\;</math> <math>\big(</math>solution particulière de l'équation hétérogène, de même forme que l'excitation c'est-à-dire <math>\;\overrightarrow{\text{cste}}\big)\;</math><ref> Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Premier_ordre_à_excitation_constante|1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », les résultats énoncés pour une équation différentielle scalaire se prolongeant sans restriction pour une équation différentielle vectorielle, la seule différence étant que les constantes scalaires d'intégration deviennent des vecteurs constants d'intégration.</ref> » soit <center>«<math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t) = \vec{V}_{G_{(\mathcal{S})},\,l}(t) + \vec{V}_{G_{(\mathcal{S})},\,f}\;</math>» avec, </center> {{Al|5}}pour le régime forcé, «<math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})},\,f} = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h}\;</math>» et, <br>{{Al|5}}pour le régime libre, «<math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})},\,l}(t) = \vec{A}\, \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>»<ref> Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », les résultats énoncés pour une équation différentielle scalaire homogène se prolongeant sans restriction pour une équation différentielle vectorielle homogène, en particulier l'équation caractéristique reste scalaire car elle s'obtient en cherchant des solutions de la forme <math>\;\vec{u}\,\exp(s\,t)\;</math> où <math>\;\vec{u}\;</math> est un vecteur quelconque <math>\;\ldots</math></ref> où «<math>\;\tau = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}\;</math> est la constante de temps d'amortissement du régime libre », d'où <br>{{Al|5}}«<math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t) = \vec{A}\, \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\,\vec{g}}{h}\;</math>», le vecteur constant <math>\;\vec{A}\;</math> se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(0) = \vec{V}_0\;</math>» soit «<math>\;\vec{V}_0 = \vec{A} + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{A} = \vec{V}_0 - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h}\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}la loi horaire vectorielle de vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> de l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t) = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h} + \left[ \vec{V}_0 - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h} \right]\, \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>»<ref> Quand <math>\;t \rightarrow \infty</math>, «<math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})},\,l}(t) \rightarrow \vec{0}\;</math>» et «<math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t) \sim \vec{V}_{G_{(\mathcal{S})},\,f} = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h}\;</math>», la vitesse forcée s'identifie donc à la vitesse limite de chute sans vitesse initiale.</ref>.</center> {{Al|5}}Sachant que «<math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OG_{(\mathcal{S})}}}{dt}(t)\;</math>», on intègre une nouvelle fois pour obtenir la loi horaire vectorielle de position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> de l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{OG_{(\mathcal{S})}}(t) =</math> <math>\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h}\;t - \tau \left[ \vec{V}_0 - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h} \right]\, \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right) + \overrightarrow{\text{cste}}\;</math>» et on détermine le vecteur constant d'intégration à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\overrightarrow{OG_{(\mathcal{S})}}(0) = \vec{0}\;</math>» soit «<math>\;\vec{0} = -\tau \left[ \vec{V}_0 - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h} \right] + \overrightarrow{\text{cste}}\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{\text{cste}} =</math> <math>\tau \left[ \vec{V}_0 - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h} \right] = \left[ \vec{V}_0 - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h} \right] \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}\;</math>» soit finalement la loi horaire vectorielle de position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> de l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\overrightarrow{OG_{(\mathcal{S})}}(t) = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h}\;t + \left[ \vec{V}_0 - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h} \right] \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h} \left[ 1 - \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;</math>»<ref> Quand <math>\;t \rightarrow \infty</math>, «<math>\;\overrightarrow{OG_{(\mathcal{S})}}(t) \simeq \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h}\;t + \left[ \vec{V}_0 - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h} \right] \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h} = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h} \left[ t - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h} \right] + \vec{V}_0\;\dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}\;</math>» ou, en réintroduisant <math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})},\,f} =</math> <math>\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h}\;</math> et <math>\;\tau = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}</math>, la loi horaire de position asymptotique «<math>\;\overrightarrow{OG_{(\mathcal{S})}}(t) \simeq \vec{V}_{G_{(\mathcal{S})},\,f}\;(t - \tau) + \vec{V}_0\;\tau = \vec{V}_{G_{(\mathcal{S})},\,f}\;t + \left[ \vec{V}_0 - \vec{V}_{G_{(\mathcal{S})},\,f} \right] \tau\;</math>».</ref>.</center> === Lois horaires scalaires de vitesse et de position du mouvement du centre d'inertie de l'objet === {{Al|5}}Il suffit de projeter chaque loi horaire vectorielle du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> de l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> précédemment déterminée sur chacun des trois axes du repère cartésien et on obtient l'ensemble des trois lois horaires scalaires cartésiennes de vitesse et de position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> de l'objet <math>\;(\mathcal{S})</math>. ==== Lois horaires scalaires de vitesse du mouvement du centre d'inertie de l'objet ==== {{Al|5}}En projetant sur les trois axes cartésiens la loi horaire vectorielle «<math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t) = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h} + \left[ \vec{V}_0 - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h} \right]\, \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» on obtient donc <center>«<math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l c c} V_{G_{(\mathcal{S})},\,x}(t) \!\!&=&\!\! V_0\;\cos(\alpha_0)\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\\ V_{G_{(\mathcal{S})},\,y}(t) \!\!&=&\!\! 0\\ V_{G_{(\mathcal{S})},\,z}(t) \!\!&=&\!\! -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} + \left[ V_0\;\sin(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} \right]\, \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Si <math>\;\alpha_0 \neq \pm \dfrac{\pi}{2}</math>, le mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> est <u>plan</u> dans le plan de lancement <math>\;xOz</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : Si <math>\;\color{transparent}{\alpha_0 \neq \pm \dfrac{\pi}{2}}</math>, }}la composante de la vitesse de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;Ox</math> <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à devenir nulle à l'infini alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : Si <math>\;\color{transparent}{\alpha_0 \neq \pm \dfrac{\pi}{2}}</math>, }}la composante sur <math>\;Oz</math>, également <math>\;\searrow</math>, est d'abord positive si <math>\;\alpha_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="sinon"> Sinon elle est directement négative <math>\;\ldots</math></ref> puis négative <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à une valeur limite correspondant au poids compensé par la résistance du fluide<ref name="justification vitesse limite"> C.-à-d. «<math>\;\mathcal{R}_{\text{flu},\,z} = -h\,V_{G_{(\mathcal{S})},\,z}\;</math>» telle que «<math>\;\mathcal{R}_{\text{flu},\,z} = -m_{(\mathcal{S})}\;g_z = -\left[ -m_{(\mathcal{S})}\;g \right]\;</math>» d'où «<math>\;V_{G_{(\mathcal{S})},\,z} = -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h}\;</math>», il s'agit donc de la vitesse limite laquelle est effectivement verticale descendante.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}si <math>\;\alpha_0 = \pm \dfrac{\pi}{2}</math>, le mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> est <u>rectiligne vertical</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : si <math>\;\color{transparent}{\alpha_0 = \pm \dfrac{\pi}{2}}</math>, }}la composante sur <math>\;Oz</math>, <math>\;\searrow</math>, en étant d'abord positive si <math>\;\alpha_0 = +\dfrac{\pi}{2}\;</math><ref name="sinon" /> puis négative <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à une valeur limite correspondant au poids compensé par la résistance du fluide<ref name="justification vitesse limite" />. ==== Lois horaires scalaires de position du mouvement du centre d'inertie de l'objet ==== {{Al|5}}En projetant sur les trois axes cartésiens la loi horaire vectorielle «<math>\;\overrightarrow{OG_{(\mathcal{S})}}(t) = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h}\;t + \left[ \vec{V}_0 - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;\vec{g}}{h} \right] \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h} \left[ 1 - \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;</math>» on obtient <center>«<math>\;\overrightarrow{OG_{(\mathcal{S})}}(t)\;\left\lbrace \begin{array}{l c c} x_{G_{(\mathcal{S})}}(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}\;V_0\;\cos(\alpha_0) \left[ 1 - \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right) \right]\\ y_{G_{(\mathcal{S})}}(t) \!\!&=&\!\! 0\\ z_{G_{(\mathcal{S})}}(t) \!\!&=&\!\! -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h}\;t + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h} \left[ V_0\;\sin(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} \right] \left[ 1 - \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right) \right]\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Si <math>\;\alpha_0 \neq \pm \dfrac{\pi}{2}</math>, le mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> est <u>plan</u> dans le plan de lancement <math>\;xOz</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : Si <math>\;\color{transparent}{\alpha_0 \neq \pm \dfrac{\pi}{2}}</math>, }}l'abscisse de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> est <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à devenir constante à l'infini alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : Si <math>\;\color{transparent}{\alpha_0 \neq \pm \dfrac{\pi}{2}}</math>, }}sa cote est d'abord <math>\;\nearrow\;</math> si <math>\;\alpha_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="sinon-bis"> Sinon elle est directement <math>\;\searrow</math> <math>\;\ldots</math></ref> puis, après passage par une altitude maximale, <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à <math>\;-\infty</math>, d'où l'existence pour la trajectoire de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> d'une « asymptote verticale d'équation <math>\;x_{G_{(\mathcal{S})},\,\text{asympt}} = \lim\limits_{t\,\rightarrow\,+\infty} x_{G_{(\mathcal{S})}}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}si <math>\;\alpha_0 = \pm \dfrac{\pi}{2}</math>, le mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> est <u>rectiligne vertical</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : si <math>\;\color{transparent}{\alpha_0 = \pm \dfrac{\pi}{2}}</math>, }}sa cote est d'abord <math>\;\nearrow\;</math> si <math>\;\alpha_0 = +\dfrac{\pi}{2}\;</math><ref name="sinon-bis" /> puis, après passage par une altitude maximale, <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à <math>\;-\infty</math>. === Trajectoire du centre d'inertie de l'objet dans le cas où le lancement n'est pas vertical === {{Al|5}}Les équations paramétriques cartésiennes de la trajectoire du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> de l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> s'identifiant aux lois horaires scalaires cartésiennes de position de <math>\;G_{(\mathcal{S})}</math>, elles se réécrivent, dans le plan <math>\;xOz\;</math> de la trajectoire <center>«<math>\;G_{(\mathcal{S})}\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} x_{G_{(\mathcal{S})}} \!\!&=&\!\! \!\!& &\!\! \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}\;V_0\;\cos(\alpha_0) \left[ 1 - \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right) \right]\\ z_{G_{(\mathcal{S})}} \!\!&=&\!\! -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h}\;t \!\!&+&\!\! \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h} \left[ V_0\;\sin(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} \right] \left[ 1 - \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right) \right]\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : La détermination de l'équation cartésienne par élimination du paramètre pourrait être faite<ref> Pour cela il suffirait de tirer <math>\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> en fonction de <math>\;x_{G_{(\mathcal{S})}}\;</math> et par suite <math>\;t\;</math> en fonction de <math>\;\ln\! \left[ x_{G_{(\mathcal{S})}} \right]\;</math> que l'on reporterait dans l'expression de <math>\;z_{G_{(\mathcal{S})}}(t)\;</math> et on obtiendrait <math>\;z_{G_{(\mathcal{S})}}\;</math> en fonction de <math>\;x_{G_{(\mathcal{S})}}\;</math> et aussi de <math>\;\ln\! \left[ x_{G_{(\mathcal{S})}} \right]</math>.</ref> mais elle ne serait pas d'un grand secours car conduirait à une équation qualifiée de « [[w:Équation_transcendante|transcendante]] »<ref name="transcendante"> Les fonctions les plus simples construites à partir de la variable <math>\;x\;</math> utilisent des opérations élémentaires <math>\;\big(</math>addition, multiplication etc.<math>\big)</math>, ces opérations permettent d'aboutir à des polynômes et à des fractions rationnelles ; en ajoutant des extractions de racines carrées ou autres, et plus généralement des solutions d'[[w:Équation_polynomiale|équations polynomiales]], on obtient des fonctions plus variées, comme <math>\;x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}</math>, toutes ces fonctions étant qualifiées d'« <u>[[w:Fonction_algébrique|algébriques]]</u> », les manipulations polynomiales relevant du domaine de l'algèbre générale ; <br>{{Al|3}}mais de telles fonctions ne suffisant pas pour les besoins de l'analyse, on construit à partir de ces dernières d'autres fonctions qui ne relèvent pas de la définition d'une fonction « [[w:Fonction_algébrique|algébrique]] » dans le but, par exemple, de résoudre des équations différentielles, ces nouvelles fonctions sont alors qualifiées de « <u>[[w:Fonction_transcendante|transcendantes]]</u> » si leur définition ne relève pas du domaine algébrique, c’est l’exemple de la fonction « logarithme » primitive de la fonction algébrique <math>\;x \mapsto \dfrac{1}{x}\;</math> ou de la fonction inverse de la fonction logarithme c.-à-d. la fonction « exponentielle » <math>\;\ldots\;</math> il y a de nombreux autres exemples ; <br>{{Al|3}}par prolongement une équation est dite « <u>[[w:Équation_transcendante|transcendante]]</u> » si elle n’est pas « algébrique », c.-à-d. si elle n'est pas de la forme <math>\;P(x) = 0\;</math> où <math>\;P\;</math> est un polynôme, ces équations n'étant évidemment pas solubles algébriquement nécessitent souvent <math>\;\big(</math>sans que ce soit systématique<math>\big)\;</math> une résolution numérique.</ref>. [[File:Chute avec vitesse initiale freinée par résistance linéaire - trajectoire.png|thumb|300px|Allure de la trajectoire du C.D.I<ref name="C.D.I." />. d'un objet lancé avec une vitesse initiale de direction inclinée vers le haut dans un champ de pesanteur uniforme et soumis à la résistance linéaire d'un fluide]] {{Al|5}}Voir le tracé ci-contre donnant l'allure de la trajectoire du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> de l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans le cas <math>\;\alpha_0 > 0</math>. {{Al|5}}<u>Sommet de la trajectoire</u> : le sommet <math>\;S\;</math> est déterminé par <math>\;V_z(S) = 0\;</math> soit, en explicitant <math>\;V_{G_{(\mathcal{S})},\,z}(t)</math>, l'équation transcendante suivante <center>«<math>\;0 = -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} + \left[ V_0\;\sin(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} \right]\, \exp\! \left( - \dfrac{t_S}{\tau} \right)\;</math>»</center> {{Al|5}}{{Transparent|Sommet de la trajectoire : }}dont on tire «<math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t_S}{\tau} \right) =</math> <math>\dfrac{\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h}}{V_0\;\sin(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h}} = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g}\;</math>» soit finalement l'instant <math>\;t_S\;</math> de passage au sommet «<math>\;t_S =</math> <math>\tau\;\ln\! \left[ \dfrac{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g}{m_{(\mathcal{S})}\;g} \right]\;</math>»<ref> Nous pouvons montrer que «<math>\;t_S < t_{S,\,\text{sans résist}} = \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g}\;</math>», en remplaçant <math>\;\tau\;</math> par <math>\;\dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}\;</math> d'où «<math>\;t_S = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}\;\ln\! \left[ 1 + \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} \right]\;</math>» fonction de la variable «<math>\;\xi = \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;</math>» de la forme «<math>\;t_S = \dfrac{1}{\xi}\; \ln(1 + a\;\xi)\;</math>» avec «<math>\;a = \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} = t_{S,\,\text{sans résist}}\;</math>», fonction dont la dérivée par rapport à <math>\;\xi\;</math> vaut «<math>\;\dfrac{dt_S}{d \xi}(\xi) = \dfrac{-1}{\xi^2}\; \ln(1 + a\;\xi) + \dfrac{1}{\xi}\; \dfrac{a}{1 + a\;\xi} =</math> <math>\dfrac{-1}{\xi^2} \left[ \ln(1 + a\;\xi) - \dfrac{a\;\xi}{1 + a\;\xi} \right]\;</math>» dans laquelle « la fonction entre crochets, ayant pour dérivée par rapport à <math>\;\xi</math>, <math>\;\dfrac{a}{1 + a\;\xi} - \dfrac{a}{1 + a\;\xi} + \dfrac{a^2\;\xi}{(1 + a\;\xi)^2} = \dfrac{a^2\;\xi}{(1 + a\;\xi)^2} \geqslant 0</math>, est <math>\;\nearrow\;</math> à partir de <math>\;\xi = 0\;</math> pour laquelle elle prend la valeur nulle, ce qui établit qu'elle est positive pour toute valeur de <math>\;\xi > 0\;</math>» d'où «<math>\;\dfrac{dt_S}{d \xi}(\xi) < 0\;\;\forall\;\xi > 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;t_S\;</math> fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\xi\;</math> donc de <math>\;h\;</math>» et par suite « quand <math>\;h \nearrow</math>, <math>\;t_S \searrow\;</math>» <math>\;\big[</math>cela peut sembler étonnant mais l'objet a moins de distance à parcourir pour atteindre le sommet en présence de frottements<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}on peut retrouver «<math>\;t_{S,\,\text{sans résist}} = \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g}\;</math>» à partir de l'expression de «<math>\;t_S = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}\;\ln\! \left[ 1 + \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} \right]\;</math>» en cherchant « sa limite pour <math>\;h \rightarrow 0\;</math>», cette limite s'obtenant en utilisant l'« équivalent de <math>\;\ln\! \left[ 1 + \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} \right] \sim \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g}\;</math>» soit, en reportant l'équivalent dans l'expression de <math>\;t_S</math>, «<math>\;t_S \sim \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}\; \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} = \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g}\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sommet de la trajectoire : }}« l'abscisse <math>\;x_S = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}\;V_0\;\cos(\alpha_0) \left[ 1 - \exp\! \left( - \dfrac{t_S}{\tau} \right) \right]\;</math>» se réécrivant, par report de <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t_S}{\tau} \right) =</math> <math>\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g}</math>, «<math>\;x_S =</math> <math>\dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}\;V_0\;\cos(\alpha_0) \left[ 1 - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g} \right] = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}\;V_0\;\cos(\alpha_0)\;\dfrac{h\;V_0\;\sin(\alpha_0)}{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;x_S = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;V_0^2\;\cos(\alpha_0)\;\sin(\alpha_0)}{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g}\;</math>»<ref> Nous pouvons montrer aisément que «<math>\;x_S < x_{S,\,\text{sans résist}} = \dfrac{V_0^2\;\cos(\alpha_0)\;\sin(\alpha_0)}{g}\;</math>» en effet il suffit de diviser haut et bas par <math>\;m_{(\mathcal{S})}\;</math> dans l’expression de «<math>\;x_S =</math> <math>\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;V_0^2\;\cos(\alpha_0)\;\sin(\alpha_0)}{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g}\;</math>» et on obtient «<math>\;x_S = \dfrac{V_0^2\;\cos(\alpha_0)\;\sin(\alpha_0)}{\dfrac{h\;V_0\;\sin(\alpha_0)}{m_{(\mathcal{S})}} + g} < \dfrac{V_0^2\;\cos(\alpha_0)\;\sin(\alpha_0)}{g}\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> ; </center> {{Al|5}}{{Transparent|Sommet de la trajectoire : }}« la cote <math>\;z_S\;</math> du sommet de la trajectoire est alors <math>\;z_S =</math> <math>-\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h}\;t_S + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h} \left[ V_0\;\sin(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} \right] \left[ 1 - \exp\! \left( - \dfrac{t_S}{\tau} \right) \right]\;</math>» ou encore «<math>\;z_S =</math> <math>-\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h}\;\tau\;\ln\! \left[ \dfrac{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g}{m_{(\mathcal{S})}\;g} \right] + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h} \left[ V_0\;\sin(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} \right] \left[ 1 - \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g} \right]\;</math>» soit, après simplification évidente et remplacement de <math>\;\tau\;</math> par <math>\;\dfrac{m_{(\mathcal{S})}}{h}</math>, <center>«<math>\;z_S = -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}^2\;g}{h^2}\;\ln\! \left[ \dfrac{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g}{m_{(\mathcal{S})}\;g} \right] + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;V_0\;\sin(\alpha_0)}{h}\;</math>»<ref> Nous pouvons montrer que «<math>\;z_S < z_{S,\,\text{sans résist}} = \dfrac{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{2\;g}\;</math>» en procédant comme pour <math>\;t_S\;</math> soit, à l'aide de la variable «<math>\;\xi = \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;</math>», la réécriture de la cote du sommet «<math>\;z_S =</math> <math>-\dfrac{m_{(\mathcal{S})}^2\;g}{h^2}\;\ln\! \left[ \dfrac{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g}{m_{(\mathcal{S})}\;g} \right] + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;V_0\;\sin(\alpha_0)}{h} = -\dfrac{g}{\xi^2}\; \ln(1 + a\;\xi) + \dfrac{a\;g}{\xi}\;</math>» avec «<math>\;a = \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g}\;</math>», fonction <math>\;z_S(\xi)\;</math> dont la dérivée par rapport à <math>\;\xi\;</math> vaut «<math>\;\dfrac{dz_S}{d \xi}(\xi) =</math> <math>\dfrac{2\;g}{\xi^3}\; \ln(1 + a\;\xi) - \dfrac{g}{\xi^2}\; \dfrac{a}{1 + a\;\xi} - \dfrac{a\;g}{\xi^2}\;</math>» soit encore <math>\;\dfrac{dz_S}{d \xi}(\xi) = \dfrac{g}{\xi^3} \left[ 2\;\ln(1 + a\;\xi) - \dfrac{a\;\xi}{1 + a\;\xi} - a\;\xi \right]\;</math> dans laquelle « la fonction entre crochets, ayant pour dérivée par rapport à la variable <math>\;\xi</math>, <math>\;\dfrac{2\;a}{1 + a\;\xi} - \dfrac{a}{1 + a\;\xi} + \dfrac{a^2\;\xi}{(1 + a\;\xi)^2} - a = \dfrac{a}{1 + a\;\xi} + \dfrac{a^2\;\xi}{(1 + a\;\xi)^2} - a = \dfrac{a\;(1 + a\;\xi) + a^2\;\xi - a\;(1 + a\;\xi)^2}{(1 + a\;\xi)^2} = -\dfrac{a^3\;\xi^2}{(1 + a\;\xi)^2} \leqslant 0</math>, est <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\xi = 0\;</math> pour laquelle elle prend la valeur nulle, ce qui établit qu'elle est <math>\;< 0\;</math> pour toute valeur de <math>\;\xi > 0\;</math>» d'où «<math>\;\dfrac{dz_S}{d \xi}(\xi) < 0\;\;\forall\;\xi > 0\;</math>» c.-à-d. «<math>\;z_S\;</math> fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\xi\;</math> donc de <math>\;h\;</math>» et par suite quand «<math>\;h \nearrow</math>, <math>\;z_S \searrow\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on peut retrouver «<math>\;z_{S,\,\text{sans résist}} = \dfrac{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{2\;g}\;</math>» à partir de «<math>\;z_S = -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}^2\;g}{h^2}\;\ln\! \left[ \dfrac{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g}{m_{(\mathcal{S})}\;g} \right] + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;V_0\;\sin(\alpha_0)}{h}\;</math>» en cherchant « sa limite pour <math>\;h \rightarrow 0\;</math>», cette limite s'obtenant en prenant le développement limité <math>\;\big(</math>D.L.<math>\big)\;</math> à l'ordre deux en «<math>\;\dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} \ll 1\;</math>» de «<math>\;\ln\! \left[ 1 + \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} \right]\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le D.L. de <math>\;\ln(1 + x)\;</math> dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Principaux_développements_limités_au_voisinage_de_0|principaux D.L. au voisinage de 0]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> «<math>\;\ln\! \left[ 1 + \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} \right] \simeq \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} - \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} \right]^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>l'ordre deux est indispensable à cause du facteur en <math>\;\dfrac{1}{h^2}\;</math> du logarithme<math>\bigg]\;</math> soit «<math>\;z_S \simeq</math> <math>-\dfrac{m_{(\mathcal{S})}^2\;g}{h^2} \left[ \dfrac{h}{m_{(\mathcal{S})}}\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g} - \dfrac{h^2}{m_{(\mathcal{S})}^{\,2}}\;\dfrac{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{2\;g^2} \right] + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;V_0\;\sin(\alpha_0)}{h} = \dfrac{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{2\;g}\;</math>».</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Portée du lancer de l'objet</u> : la détermination de la portée <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la distance horizontale séparant la position de lancement de celle de retombée à la même altitude<math>\big)\;</math> ne peut se faire de façon algébrique car {{Nobr|«<math>\;P\;</math>}} défini par <math>\;z_P = 0\;</math> avec <math>\;x_P \neq 0\;</math> ou <math>\;t_P \neq 0\;</math>» correspond à l'équation « transcendante »<ref name="transcendante" /> en <math>\;t_P\;</math> suivante «<math>\;g\; t_P = \left[ V_0\;\sin(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} \right] \left[ 1 - \exp\! \left( - \dfrac{t_P}{\tau} \right) \right]\;</math>» pour laquelle il n'existe pas de solution algébrique ; on peut, par contre, déterminer numériquement la portée par exemple en utilisant la « [[w:Méthode_de_dichotomie|méthode de dichotomie]] ». === Hodographe de pôle O du mouvement du centre d'inertie de l'objet dans le cas où le lancement n'est pas vertical === {{Al|5}}L'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I. />. <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant défini comme l'« ensemble des positions <math>\;Q\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I. />. <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> de l'objet <math>\;(\mathcal{S})\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{OQ}(t)\;\widehat{=}\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau"> Le symbole <math>\;\widehat{=}\;</math> signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte.</ref> <math>\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t)\;</math>»<ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau"> Par abus d'écriture on pourra écrire <math>\;\overrightarrow{OQ}(t) = \vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t)\;</math> <math>\big[</math>ou <math>\;X_{Q,\,i}(t) = V_{G_{(\mathcal{S})},\,x_i}(t)\;</math> dans laquelle <math>\;X_{Q,\,i}(t)\;</math> est la i^ème composante de <math>\;\overrightarrow{OQ}(t)\;</math> et <math>\;V_{G_{(\mathcal{S})},\,x_i}(t)\;</math> la i^ème composante de <math>\;\vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t)\big]\;</math> à condition de ne pas oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.</ref>, on en déduit les équations paramétriques de l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> par utilisation des lois horaires scalaires de vitesse de ce dernier soit <center>«<math>\;Q\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c} X_Q \!\!&\widehat{=}&!\! V_{G_{(\mathcal{S})},\,x}(t) \!\!&=&\!\! V_0\;\cos(\alpha_0)\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\\ Y_Q \!\!&\widehat{=}&!\! V_{G_{(\mathcal{S})},\,y}(t) \!\!&=&\!\! 0\\ Z_Q \!\!&\widehat{=}&!\! V_{G_{(\mathcal{S})},\,z}(t) \!\!&=&\!\! -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} + \left[ V_0\;\sin(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} \right]\, \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" /> ;</center> {{Al|5}}de <math>\;Y_Q = 0\;</math><ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau" /> on déduit que « l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> est <u>plan</u>, plus précisément contenu dans le plan <math>\;X_QOZ_Q\;</math>» ; {{Al|5}}pour trouver l'équation cartésienne de l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> dans le plan <math>\;X_QOZ_Q</math>, il faut éliminer le paramètre <math>\;t\;</math> entre les deux équations paramétriques restantes selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c l} \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right) \!\!&=&\!\! \dfrac{X_Q}{V_0\;\cos(\alpha_0)}\\ Z_Q \!\!&=&\!\! -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} + \left[ V_0\;\sin(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} \right]\, \exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau" /> d'où, par report de l'expression de <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> dans celle de <math>\;Z_Q</math>, on obtient, pour équation cartésienne de l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> dans le plan <math>\;X_QOZ_Q</math>, l'équation suivante «<math>\;Z_Q = -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} + \left[ V_0\;\sin(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} \right]\, \dfrac{X_Q}{V_0\;\cos(\alpha_0)}\;</math>» soit encore [[File:Chute avec vitesse initiale freinée par résistance linéaire - hodographe.png|thumb|300px|Allure de l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. d'un objet lancé avec une vitesse initiale de direction inclinée vers le haut dans un champ de pesanteur uniforme et soumis à la résistance linéaire d'un fluide]] <center>«<math>\;Z_Q = -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} + \left[ \tan(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h\;V_0\;\cos(\alpha_0)} \right]\, X_Q\;</math>» c'est-à-dire l'équation d'une droite<ref> En fait la droite n'est décrite que partiellement, ce qui fait que l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> est plutôt un segment de droite <math>\;\ldots</math></ref> <br>de « pente <math>\;\tan(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h\;V_0\;\cos(\alpha_0)} > 0\;</math>» et de « cote à l'origine <math>\;-\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} < 0\;</math>», <br>voir ci-contre l'allure de l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> dans le cas <math>\;\alpha_0 > 0</math>.</center> {{Al|5}}<u>Description de l'hodographe</u> de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> dans le cas <math>\;\alpha_0 > 0</math> : * À <math>\;t = 0</math>, «<math>\;Q\;</math> est en <math>\;Q_0\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{OQ_0}\;\widehat{=}\;\vec{V}_0\;</math>», « le vecteur <math>\;\overrightarrow{OQ_0}\;</math> fait donc l'angle <math>\;\alpha_0\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{OX_Q}\;</math>», les angles du plan <math>\;X_QOZ_Q\;</math> étant orienté dans le sens trigonométrique direct ; * <math>\;Q\;</math> a une abscisse et une ordonnée qui <math>\;\searrow</math>, dans un 1^er temps jusqu'en <math>\;Q_S\;</math> correspondant au sommet <math>\;S\;</math> de la trajectoire avec «<math>\;Z_{Q_S} = V_{S,\,z} = 0\;</math>»<ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau" /> puis, * {{Transparent|<math>\;\color{transparent}{Q}\;</math> a une abscisse et une ordonnée qui <math>\;\color{transparent}{\searrow}</math>, }}dans un 2^nd temps jusqu'en <math>\;Q_{\text{asympt}}\;</math> correspondant à un mouvement à vitesse limite sur la trajectoire tel que {{Nobr|«<math>\;Z_{Q_{\text{asympt}}}</math>}} <math>= V_{G_{(\mathcal{S})},\,\text{lim}} = -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h}\;</math>»<ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau" />. {{Al|5}}<u>Propriété étonnante de l'hodographe</u> de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> dans le cas <math>\;\alpha_0 > 0</math> : « La vitesse de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> devient minimale lorsque <math>\;Q\;</math> passe par <math>\;Q_{\text{min}}\;</math> projeté orthogonal de <math>\;O\;</math> sur l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math>», en effet «<math>\;\Vert \overrightarrow{OQ}(t) \Vert = \Vert \vec{V}_{G_{(\mathcal{S})}}(t) \Vert\;</math>»<ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau" /> et {{Nobr|«<math>\;\Vert \overrightarrow{OQ}(t) \Vert\;</math>}} est minimale en <math>\;Q_{\text{min}}\;</math>» ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Propriété étonnante de l'hodographe de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G_{(\mathcal{S})}}\;</math> dans le cas <math>\;\color{transparent}{\alpha_0 > 0}</math> : }}la cote de <math>\;Q_{\text{min}}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, la composante du vecteur vitesse de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math> correspondante <math>\;V_{G_{(\mathcal{S})},\,z}\;</math> l'est aussi et par suite que « <u>la vitesse devient minimale dans la partie descendante de la trajectoire</u> <math>\;\big(</math>donc après le passage par le sommet<math>\big)\;</math>», étonnant non ! {{Al|12}}{{Transparent|Propriété étonnante de l'hodographe de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G_{(\mathcal{S})}}\;</math> dans le cas <math>\;\color{transparent}{\alpha_0 > 0}</math> : }}On peut d'ailleurs déterminer la valeur de cette vitesse minimale en cherchant la distance orthogonale de <math>\;O\;</math> à l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}</math>, ce qui est aisé connaissant l'équation cartésienne de ce dernier<ref> On rappelle que l’équation <math>\;a\;x + b\;y + c = 0\;</math> d'une droite passant par un point <math>\;A\;</math> et dont un vecteur normal est <math>\;\vec{n}</math>, peut s'obtenir comme l'« ensemble des points <math>\;M\;</math> tel que <math>\;\vec{n} \cdot \overrightarrow{AM} = 0\;</math>», c.-à-d. <math>\;n_x\,(x - x_A) + n_y\,(y - y_A) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;n_x\,x + n_y\,y = n_x\,x_A + n_y\,y_A</math>, ce qui permet d'« identifier les composantes de <math>\;\vec{n}\;</math> à <math>\;(a,\, b)\;</math>» et «<math>\;\vec{n} \cdot \overrightarrow{OA}\;</math> à <math>\;-c\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour déterminer la distance orthogonale séparant <math>\;O\;</math> de cette droite <math>\;\Delta</math>, on peut alors utiliser «<math>\;d(O,\,\Delta) = \dfrac{\Big\vert \vec{n} \cdot \overrightarrow{OA} \Big\vert}{\Vert \vec{n} \Vert} = \dfrac{\vert c \vert}{\sqrt{a^2 + b^2}}\;</math>».</ref> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Propriété étonnante de l'hodographe de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G_{(\mathcal{S})}}\;</math> dans le cas <math>\;\color{transparent}{\alpha_0 > 0}</math> : }}on trouve pour vitesse minimale «<math>\;V_{\text{min}} = \dfrac{\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h}}{\sqrt{\left\lbrace - \left[ \tan(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h\;V_0\;\cos(\alpha_0)} \right] \right\rbrace^2 + 1^2}}\;</math>»<ref name="autre forme équation hodographe"> L'équation de l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}</math> «<math>\;Z_Q = -\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} + \left[ \tan(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h\;V_0\;\cos(\alpha_0)} \right]\, X_Q\;</math>» se réécrivant sous forme imp:licite selon {{Nobr|«<math>\;-\left[ \tan(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h\;V_0\;\cos(\alpha_0)} \right]\,X_Q + Z_Q + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h} = 0\;</math>»,}} on en déduit les valeurs de «<math>\;a = -\left[ \tan(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h\;V_0\;\cos(\alpha_0)} \right]\;</math>», de «<math>\;b = 1\;</math>» et de «<math>\;c = \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h}\;</math>» permettant d'appliquer d'une part «<math>\;d(O,\,\mathcal{H}) =</math> <math>\dfrac{\vert c \vert}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math>» et d'autre part d'évaluer la « pente de la direction normale à <math>\;\mathcal{H}\;</math> par <math>\;\dfrac{b}{a}\;</math>» <math>\big[(a,\,b)\;</math> étant les composantes d'un vecteur normal à <math>\;\mathcal{H}\big]</math>.</ref> <center>soit «<math>\;V_{\text{min}} = \dfrac{\dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h}}{\sqrt{1 + \left[ \tan(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h\;V_0\;\cos(\alpha_0)} \right]^2}}\;</math>» <math>\;\ldots</math></center> {{Al|12}}{{Transparent|Propriété étonnante de l'hodographe de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G_{(\mathcal{S})}}\;</math> dans le cas <math>\;\color{transparent}{\alpha_0 > 0}</math> : }}« Le vecteur vitesse au point où la vitesse est minimale est alors incliné d'un angle algébrique <math>\;\beta\;</math> tel que <math>\;\tan(\beta)\;</math> est la pente de <math>\;\overrightarrow{OQ_{\text{min}}}\;</math>» et comme ce dernier est un vecteur normal à l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math><ref name="hodographe" /> du mouvement de <math>\;G_{(\mathcal{S})}\;</math><ref> On rappelle que, dans l'équation <math>\;a\;x + b\;y + c = 0\;</math> d'une droite passant par un point <math>\;A\;</math> et de vecteur normal <math>\;\vec{n}</math>, <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> sont proportionnelles aux composantes correspondantes de <math>\;\vec{n}\;</math> et par suite la pente de la direction <math>\;\perp\;</math> à la droite se calcule par <math>\;\dfrac{b}{a}\;</math> <math>\bigg[</math>la pente de la droite étant <math>\;-\dfrac{a}{b}\bigg]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{1}{\tan(\alpha_0) + \dfrac{m_{(\mathcal{S})}\;g}{h\;V_0\;\cos(\alpha_0)}}\;</math>»<ref name="autre forme équation hodographe" /> ou <center>«<math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{h\;V_0\;\cos(\alpha_0)}{h\;V_0\;\sin(\alpha_0) + m_{(\mathcal{S})}\;g}\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme|Loi de la quantité de mouvement : Mouv. dans le champ de pesanteur uniforme]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] }} 8bg7trwr40gphkvyrhhhv4bn4pkznb0 0 70120 982887 978702 2026-05-17T13:13:14Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982887 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air | idfaculté = physique | numéro = 11 | chapitre = [[../../Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air/]] | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme/]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple/]] | niveau = 14 }} == Mouvement d'un parachutiste initialement en chute libre après déploiement de son parachute == {{Al|5}}On considère un parachutiste assimilable à un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m = 100\,kg</math>, largué d'un point <math>\;O</math>, situé à une altitude <math>\;h_1 = 3000\,m\;</math> du sol, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère un parachutiste assimilable à un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m = 100\,kg}</math>, }}largage se faisant sans vitesse initiale par rapport au référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> supposé galiléen ; {{Al|5}}on admet que le champ de pesanteur <math>\;\vec{g}\;</math> dans lequel le parachutiste chute est uniforme ; {{Al|5}}l'air étant supposé globalement immobile par rapport à <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math>, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par la résistance de l'air supposée quadratique <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'air étant supposé globalement immobile par rapport à <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{terr}}}</math>, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R_{\text{air}}}} = -h'\,V_M^2\,\vec{\tau}_M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'air étant supposé globalement immobile par rapport à <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{terr}}}</math>, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «}}<math>\;\vec{\tau}_M\;</math> étant le vecteur unitaire tangentiel dans le sens du mouvement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'air étant supposé globalement immobile par rapport à <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{terr}}}</math>, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «}}<math>\;V_M\;</math> la vitesse du parachutiste dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'air étant supposé globalement immobile par rapport à <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{terr}}}</math>, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «}}<math>\;h'\;</math> un cœfficient dépendant de la masse volumique de l'air <math>\;\mu_{\text{air}} \simeq 1,2\,kg \cdot m^{-3}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'air étant supposé globalement immobile par rapport à <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{terr}}}</math>, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «<math>\;\color{transparent}{h'}\;</math> un cœfficient dépendant }}de l'aire <math>\;S\;</math> du [[w:Maître-couple|maître-couple]] <ref name="maître-couple"> Revoir la définition du [[w:Maître-couple|maître-couple]] dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Cas_de_la_résistance_de_l'air_de_forme_quadratique|cas de la résistance de l'air de forme quadratique]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> du parachutiste et <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'air étant supposé globalement immobile par rapport à <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{terr}}}</math>, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «<math>\;\color{transparent}{h'}\;</math> un cœfficient dépendant }}de <math>\;C_x\;</math> [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] traduisant l'aérodynamisme <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'air étant supposé globalement immobile par rapport à <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{terr}}}</math>, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «<math>\;\color{transparent}{h'}\;</math> un cœfficient dépendant }}du parachutiste <math>\;\bigg[</math>on a <math>\;h' = \dfrac{1}{2}\,C_x\,\mu_{\text{air}}\,S\bigg]</math>. {{Al|5}}Le but de cet exercice n'étant pas de refaire l'étude complète de la descente du parachutiste en chute libre<ref name="sens du parachutisme"> Chute libre au sens du parachutisme c.-à-d. sans ouverture de parachute.</ref> ou à parachute déployé, mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but de cet exercice }}consistant à reprendre les résultats, établis en cours, du parachutiste en chute libre<ref name="sens du parachutisme" /> jusqu'à l'altitude <math>\;h_2 = 1000\,m\;</math><ref> Résultats qui ne sont usuellement pas à retenir mais à retrouver, ici ces résultats sont admis pour ne pas alourdir la résolution.</ref> pour étudier la suite de sa descente jusqu'au sol<ref> Supposée d'altitude nulle.</ref> sachant qu'à l'altitude <math>\;h_2 = 1000\,m\;</math> il ouvre son parachute ; {{Al|5}}pour cela nous rappelons les propriétés suivantes <math>\succ\;</math>la descente du parachutiste est rectiligne verticale<ref name="mouvement du parachutiste rectiligne vertical"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Établissement_de_la_nature_verticale_du_mouvement_de_chute|établissement de la nature verticale du mouvement de chute]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour cela nous rappelons les propriétés suivantes }}<math>\succ\;</math>en chute libre le parachutiste ayant un [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] <math>\;C_{x,\,1} = 0,4\;</math> et l'aire de son [[w:Maître-couple|maître-couple]]<ref name="maître-couple" /> valant <math>\;S_1 = 1\,m^2</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour cela nous rappelons les propriétés suivantes <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en chute libre le parachutiste }}acquiert pratiquement<ref name="pratiquement"> C.-à-d. acquise à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref> une vitesse limite <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,1} \simeq 64\,m \cdot s^{-1}\;</math><ref name="vitesse limite du parachutiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Problème_du_parachutiste_:_établissement_d'une_vitesse_limite_de_chute|problème du parachutiste : établissement d'une vitesse limite de chute]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> après une chute de <math>\;16,3\,s\;</math><ref name="dates en chute libre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Tracé_du_diagramme_horaire_de_vitesse_du_parachutiste_et_commentaires|tracé du diagramme horaire de vitesse du parachutiste et commentaires]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour cela nous rappelons les propriétés suivantes <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en chute libre le parachutiste }}le trouvant à l'altitude de <math>\;2200\,m\;</math><ref> Car, pour atteindre pratiquement sa vitesse limite, il chute sur <math>\;800\,m\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Tracé_du_portrait_de_phase_du_parachutiste_en_début_de_chute_puis_sur_la_chute_complète_et_commentaires|tracé du portrait de phase du parachutiste en début de chute puis sur la chute complète et commentaires]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}il continue alors à descendre à vitesse quasi limite pendant une durée de <math>\;19,5\,s\;</math><ref name="dates en chute libre" /> pour atteindre l'altitude <math>\;h_2 = 1000\,m\;</math> où il ouvre son parachute <math>\;\big(</math>déploiement du parachute supposé instantané<math>\big)</math> ; {{Al|5}}après ouverture du parachute, le parachutiste acquiert instantanément un [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] <math>\;C_{x,\,2} = 1,4\;</math> et l'aire de son [[w:Maître-couple|maître-couple]]<ref name="maître-couple" /> prend pour valeur <math>\;S_2 = 74\,m^2</math>. === Continuité et discontinuité à l'ouverture du parachute et conséquences === {{Al|5}}Préciser comment varient les forces appliquées au parachutiste lors de l'ouverture du parachute, c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préciser comment varient les forces }}indiquer leur continuité ou discontinuité de 1^ère ou 2^ème espèce<ref name="discontinuités"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^èreespèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_2ème_espèce_du_pic_de_Dirac_de_tension_d'impulsion_E|discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E]] » ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Exemples_de_pic_de_Dirac_dans_d'autres_domaines_que_l'électricité|exemples de pic de Dirac dans d'autres domaines que l'électricité]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> en faisant l'hypothèse de continuité de la vitesse lors de l'ouverture du parachute ; {{Al|5}}que peut-on déduire des affirmations précédentes sur la variation de l'accélération du parachutiste lors du déploiement du parachute, c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|que peut-on déduire des affirmations précédentes sur la variation de l'accélération }}indiquer sa continuité ou discontinuité de 1^ère ou 2^ème espèce<ref name="discontinuités" /> ? {{Al|5}}Vérifier que cette dernière affirmation valide l'hypothèse de continuité de la vitesse du parachutiste lors de l'ouverture du parachute. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Les forces appliquées au parachutiste lors de l'ouverture du parachute à l'instant <math>\;t_2</math>, sont : * le poids du parachutiste avec son matériel <math>\;m\;\vec{g}</math>, force <u>continue</u> et * la résistance de l'air <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R_{\text{air}}}} = -h'\,V_M^2\,\vec{\tau}_M</math>, force <u>discontinue de 1^ère espèce</u><ref name="discontinuité de 1ère espèce"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^èreespèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> car <math>\;V_M\;</math> étant supposée continue il en est de même du 2^ème facteur <math>\;V_M^2</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|la résistance de l'air <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R_{\text{air}}}} = -h'\,V_M^2\,\vec{\tau}_M}</math>, force discontinue de 1^ère espèce car }}le 3^ème facteur <math>\;\vec{\tau}_M = \vec{u}_z\;</math><ref> Le mouvement étant vertical descendant et orientant l'axe vertical <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> par le vecteur unitaire vertical <math>\;\vec{u}_z\;</math> dans le sens descendant.</ref> étant constant et <br>{{Al|6}}{{Transparent|la résistance de l'air <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R_{\text{air}}}} = -h'\,V_M^2\,\vec{\tau}_M}</math>, force discontinue de 1^ère espèce car }}le 1^er facteur <math>\;h' = \dfrac{1}{2}\,C_x\,\mu_{\text{air}}\,S\;</math> discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> <math>\;\bigg[</math>ce facteur passant de la valeur <math>\;\dfrac{1}{2}\,C_{x,\,1}\,\mu_{\text{air}}\,S_1 =</math> <math>\dfrac{1}{2} \times 0,4 \times 1,2 \times 1 = 0,24\;kg \cdot m^{-1}\;</math> à <math>\;\dfrac{1}{2}\,C_{x,\,2}\,\mu_{\text{air}}\,S_2 = \dfrac{1}{2} \times 1,4 \times 1,2 \times 74 \simeq 62,2\;kg \cdot m^{-1}\bigg]</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|la résistance de l'air <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R_{\text{air}}}} = -h'\,V_M^2\,\vec{\tau}_M}</math>, force discontinue de 1^ère espèce }}en utilisant la propriété suivante « le produit de deux facteurs continus et d'un facteur discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> est discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> » <math>\;\bigg[</math>la résistance de l'air est donc multipliée, lors du déploiement instantané du parachute, par un facteur <math>\;\simeq \dfrac{62,2}{0,24} \simeq 259\;</math> correspondant à une force ascendante de norme égale à <math>\;259\;</math> fois le poids du parachutiste<ref> On rappelle qu'à l'instant d'ouverture du parachute, le parachutiste ayant pratiquement acquis la vitesse limite en chute libre, la résistance de l'air juste avant ouverture est de norme égale à celle du poids du parachutiste <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Cette force est de norme trop grande pour permettre à un humain d'y résister sans dommage mais l'hypothèse du déploiement instantané du parachute est peu réaliste car celui-ci met au moins une seconde pour se réaliser, durée pendant laquelle la vitesse diminue progressivement et par suite conduit à une norme de résistance de l'air quand le parachute est entièrement déployé plus faible <math>\;\ldots</math></ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}par utilisation de la propriété suivante « la somme d'un terme continu et d'un terme discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> est discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> »<ref name="somme de grandeurs discontinues"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_d'une_excitation,_somme_d'excitations_discontinues_de_numéros_d'espèce_différents_pour_le_même_instant_initial|nature de la discontinuité d'une excitation, somme d'escitations discontinues de numéros d'espèce différents pour le même instant initial]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit que la somme des forces appliquées est <u>discontinue de 1^ère espèce</u><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> d'où, par utilisation de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. du point, le vecteur accélération du parachutiste <math>\;\vec{a}_M\;</math> égal à <math>\;\vec{g} + \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R_{\text{air}}}}}{m}\;</math> est aussi <u>discontinu de 1^ère espèce</u><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> ; {{Al|5}}de «<math>\;\vec{a}_M = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}\;</math> discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> » on induit <math>\;\vec{V}_M\;</math> continu en utilisant la propriété suivante « l'intégration<ref name="sens des distributions"> Au sens des distributions <math>\;\big[</math>voir aussi la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#cite_note-définition_de_distribution-16|¹⁶]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)}} »<math>\big]</math>.</ref> d'une grandeur discontinue de n^ème espèce diminue le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint sinon il y a stagnation du numéro d'espèce de discontinuité <math>\;\big(</math>une grandeur discontinue de 0^ème espèce étant une grandeur continue<math>\big)\;</math>»<ref> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_de_la_solution_générale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_hétérogène_du_1er_ordre_connaissant_la_nature_de_la_discontinuité_de_l'excitation|nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|de «<math>\;\color{transparent}{\vec{a}_M = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}}\;</math> discontinu de 1^ère espèce » on induit <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M}\;</math> continu }}ce qui valide l'hypothèse de continuité de la vitesse du parachutiste lors de l'ouverture du parachute.}} === Étude de la chute du parachutiste, parachute déployé, jusqu'au sol === {{Al|5}}On choisit pour nouvelle origine des temps l'instant d'ouverture du parachute c'est-à-dire que l'on pose <math>\;t' = t - t_2\;</math> dans laquelle * <math>\;t\;</math> est l'instant compté à partir du largage du parachutiste à l'altitude <math>\;h_1 = 3000\,m\;</math> et * <math>\;t_2 \simeq 16,3\,s + 19,5\,s \simeq 35,8\,s\;</math> l'instant d'arrivée à l'altitude <math>\;h_2 = 1000\,m\;</math> repéré avec l'ancienne origine des temps ; {{Al|5}}on choisit la position d'ouverture du parachute comme nouvelle origine <math>\;O'\;</math> du repère cartésien associé au référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> et on oriente l'axe vertical par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z\;</math> descendant {{Nobr|<math>\;\big[</math>bien}} sûr le mouvement de <math>\;M\;</math> reste vertical après ouverture du parachute, la démonstration par récurrence restant valable<ref name="mouvement du parachutiste rectiligne vertical" /><math>\big]</math>. ==== Acquisition d'une nouvelle vitesse limite du parachutiste ==== {{Al|5}}Montrer que le parachutiste va acquérir une nouvelle vitesse limite <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2}\;</math> que l'on exprimera en fonction de <math>\;m</math>, <math>\;g</math>, <math>\;\mu_{\text{air}}</math>, <math>\;S_2\;</math> et <math>\;C_{x,\,2}</math> ; {{Al|5}}faire l'application numérique <math>\;\big(</math>on prendra <math>\;g \simeq 9,8\;m \cdot s^{-2}\;</math> comme valeur d'intensité de la pesanteur<math>\big)</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Juste avant l'ouverture du parachute, la vitesse limite de la chute libre du parachutiste <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,1} \simeq 64\,m \cdot s^{-1}\;</math><ref name="vitesse limite du parachutiste" /> étant pratiquement atteinte, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Juste avant l'ouverture du parachute, la vitesse limite de la chute libre }}ce dernier a un vecteur accélération quasi nul de composante sur l'axe vertical descendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Juste avant l'ouverture du parachute, la vitesse limite de la chute libre ce dernier a un vecteur accélération quasi nul de composante }}«<math>\;a_{M,\,z,\,1}(t' = 0^{-}) = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air},\,1}(t' = 0^{-})}{m} \simeq 0\;</math>» et {{Al|5}}juste après l'ouverture du parachute, il acquiert instantanément un vecteur accélération dirigé vers le haut de composante sur l'axe vertical descendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|juste après l'ouverture du parachute, il acquiert instantanément un vecteur accélération dirigé vers le haut de composante }}«<math>\;a_{M,\,z,\,2}(t' = 0^{+}) = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air},\,2}(t' = 0^{+})}{m} \simeq -258\;g < 0\;</math>»<ref name="modification de la résistance de l'air à l'ouverture du parachute"> La résistance de l'air juste après ouverture du parachute valant <math>\;\mathcal{R}_{\text{air},\,2}(t' = 0^{+}) = -259\,m\,g\;\vec{u}_z\;</math> voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Continuité_et_discontinuité_à_l'ouverture_du_parachute_et_conséquences|continuité et discontinuité à l'ouverture du parachute et conséquences]] » plus haut dans cet exercice.</ref> d'où, <br>{{Al|5}}{{Transparent|juste après l'ouverture du parachute, }}à partir de cet instant, la composante de la vitesse sur l'axe vertical descendant <math>\;V_{M,\,z,\,2}(t') > 0\;\searrow\;</math> à partir de sa valeur initiale <math>\;V_{M,\,z,\,2}(t' = 0^{+}) \simeq 64\;m \cdot s^{-1}</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|juste après l'ouverture du parachute, à partir de cet instant, }}la résistance de l'air <math>\;\mathcal{R}_{\text{air},\,2}(t') \searrow\;</math> à partir de sa valeur initiale <math>\;\mathcal{R}_{\text{air},\,2}(t' = 0^{+}) \simeq 259\,m\,g\;</math><ref name="modification de la résistance de l'air à l'ouverture du parachute" /> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|juste après l'ouverture du parachute, à partir de cet instant, }}la composante de l'accélération sur l'axe vertical descendant <math>\;a_{M,\,z,\,2}(t') = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air},\,2}(t')}{m} \nearrow\;</math> à partir de sa valeur initiale <br>{{Al|5}}{{Transparent|juste après l'ouverture du parachute, à partir de cet instant, la composante de l'accélération sur l'axe vertical descendant <math>\;\color{transparent}{a_{M,\,z,\,2}(t') = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air},\,2}(t')}{m} \nearrow}\;</math> à partir de }}<math>\;a_{M,\,z,\,2}(t' = 0^{+}) \simeq -258\;g < 0\;</math><ref name="modification de la résistance de l'air à l'ouverture du parachute" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|juste après l'ouverture du parachute, à partir de cet instant, }}une <math>\;\searrow\;</math> de la décélération <math>\;\vert a_{M,\,z,\,2}(t') \vert = \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air},\,2}(t')}{m} - g > 0\;</math> à partir de sa valeur initiale <math>\;\vert a_{M,\,z,\,2}(t' = 0^{+}) \vert \simeq 258\;g</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|juste après l'ouverture du parachute, }}la <math>\;\searrow\;</math> de la composante de la vitesse sur l'axe vertical descendant <math>\;V_{M,\,z,\,2}(t') > 0\;</math> se poursuivra tant que la composante du vecteur accélération sur ce même axe <math>\;a_{M,\,z,\,2}(t')</math> <math>= g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air},\,2}(t')}{m}\;</math> restera <math>\;< 0</math>, la décélération <math>\;\vert a_{M,\,z,\,2}(t') \vert = \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air},\,2}(t')}{m} - g > 0\;</math> étant d'autant plus faible que <math>\;V_{M,\,z,\,2}(t') > 0\;</math> le sera <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|juste après l'ouverture du parachute, }}Ainsi il est raisonnable de penser que la décélération du parachutiste finira par devenir pratiquement nulle, ceci s'accompagnant alors d'une stationnarité de la composante de la vitesse sur l'axe vertical descendant <math>\;V_{M,\,z,\,2} > 0\;</math> de valeur définissant une nouvelle vitesse limite <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2}\;</math> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a_{M,\,z,\,2}({t'}_{\text{lim}}) = g - \dfrac{\mathcal{R}_{\text{air},\,2}({t'}_{\text{lim}})}{m} = 0\;\;\text{et}\\ \mathcal{R}_{\text{air},\,2}({t'}_{\text{lim}}) = \dfrac{1}{2}\;C_{x,\,2}\;\mu_{\text{air}}\;S_2\;V_{M,\,\text{lim},\,2}^{\,2}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit <center>«<math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2} = \sqrt{\dfrac{2\;m\;g}{C_{x,\,2}\;\mu_{\text{air}}\;S_2}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 100 \times 9,8}{1,4 \times 1,2 \times 74}} \simeq 4,0 \;m \cdot s^{-1}\;</math>».</center>}} ==== Loi horaire de vitesse du parachutiste et conséquences ==== {{Al|5}}Après avoir précisé l'équation différentielle en vitesse algébrique du parachutiste <math>\;V_{M,\,2,\,z}(t')\;</math> sur son axe vertical descendant, {{Al|5}}déterminer sa loi horaire de vitesse en fonction du temps <math>\;t'\;</math> et des autres paramètres <math>\;\succ</math><math>\;V_{M,\,\text{lim},\,1}</math>, <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2}\;</math> et <math>\;g\;</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer sa loi horaire de vitesse en fonction du temps <math>\;\color{transparent}{t'}\;</math> et des autres paramètres }}<math>\;\succ</math><math>\;\alpha = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}</math>, <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2}\;</math> et <math>\;g</math> ; {{Al|5}}donner l'allure du diagramme horaire de vitesse <math>\;V_{M,\,z}(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} V_{M,\,z,\,1}(t) = V_{M,\,\text{lim},\,1}\;\tanh\! \left( \dfrac{g\;t}{V_{M,\,\text{lim},\,1}} \right)&\;\text{si }t \leqslant t_2\\ V_{M,\,z,\,2}(t) = V_{M,\,z,\,2}(t' + t_2)&\;\text{si }t \geqslant t_2 \end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Détermination_de_la_loi_horaire_de_vitesse_du_parachutiste|détermination de la loi horaire de vitesse du parachutiste]] (largué sans vitesse initiale) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour l'expression de <math>\;V_{M,\,z,\,1}(t)</math>.</ref> sur toute la chute ; {{Al|5}}préciser à quel instant <math>\;{t'}_{\text{lim}}\;</math> la nouvelle vitesse limite est atteinte à <math>\;1\;\%\;</math> près et faire l'application numérique. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Appliquant au parachutiste la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. projetée sur <math>\;\vec{u}_z</math>, on obtient «<math>\;m\;a_{M,\,z,\,2}(t') = m\;g - \mathcal{R}_{\text{air},\,2}(t')\;</math>» dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_{\text{air},\,2}(t') = {h'}_2\;V_{M,\,z,\,2}^{\,2}(t')\;</math>», soit finalement, avec <math>\;a_{M,\,z,\,2}(t') = \dfrac{d V_{M,\,2,\,z}}{dt'}(t')</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Appliquant au parachutiste la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_z}</math>, on obtient }}l'équation différentielle <math>\;\big(</math>non linéaire<math>\big)\;</math> du 1^er ordre en vitesse algébrique du parachutiste sur l'axe vertical descendant c'est-à-dire en <math>\;V_{M,\,2,\,z}(t')</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Appliquant au parachutiste la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_z}</math>, on obtient }}«<math>\;\dfrac{d V_{M,\,2,\,z}}{dt'}(t') = g - \dfrac{{h'}_2}{m}\;V_{M,\,z,\,2}^{\,2}(t')\;</math>» avec «<math>\;{h'}_2 = \dfrac{1}{2}\;C_{x,\,2}\;\mu_{\text{air}}\;S_2\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Appliquant au parachutiste la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_z}</math>, on obtient }}pour éliminer <math>\;\dfrac{{h'}_2}{m}\;</math> au profit de <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2}\;</math> on utilise la définition de cette dernière <math>\;g - \dfrac{{h'}_2}{m}\;V_{M,\,\text{lim},\,2}^{\,2} = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{{h'}_2}{m} = \dfrac{g}{V_{M,\,\text{lim},\,2}^{\,2}}\;</math> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Appliquant au parachutiste la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_z}</math>, on obtient }}l'équation différentielle réécrite selon «<math>\;\dfrac{d V_{M,\,2,\,z}}{dt'}(t') = g \left[ 1 - \dfrac{V_{M,\,z,\,2}^{\,2}(t')}{V_{M,\,\text{lim},\,2}^{\,2}} \right]\;</math>» ou encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Appliquant au parachutiste la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_z}</math>, on obtient l'équation différentielle réécrite selon }}«<math>\;\dfrac{d V_{M,\,2,\,z}}{dt'}(t') = \dfrac{g}{V_{M,\,\text{lim},\,2}^{\,2}} \left[ V_{M,\,\text{lim},\,2}^{\,2} - V_{M,\,z,\,2}^{\,2}(t') \right]\;</math>» ; {{Al|5}}cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;V_{M,\,z,\,2}(t')\;</math> se résout en séparant les variables selon «<math>\;\dfrac{d V_{M,\,2,\,z}}{V_{M,\,\text{lim},\,2}^{\,2} - V_{M,\,z,\,2}^{\,2}} = \dfrac{g}{V_{M,\,\text{lim},\,2}^{\,2}}\;dt'\;</math>»<ref name="équation différentielle du 1er ordre non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Exemple_d'une_équation_différentielle_non_linéaire_du_1er_ordre|exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre }}le 1^er membre s'intègre en décomposant la [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]]<ref name="fonction rationnelle"> Quotient irréductible de deux polynômes exprimés à l'aide d'une variable.</ref> en éléments simples<ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|développement de quelques méthodes de calcul]] (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre le 1^er membre s'intègre en décomposant la fonction rationnelle }}<math>\dfrac{1}{V_{M,\,\text{lim},\,2}^{\,2} - V_{M,\,z,\,2}^{\,2}} = \dfrac{1}{2\;V_{M,\,\text{lim},\,2}}\, \left[ \dfrac{1}{V_{M,\,\text{lim},\,2} - V_{M,\,z,\,2}} + \dfrac{1}{V_{M,\,\text{lim},\,2} + V_{M,\,z,\,2}} \right]\;</math><ref> Sachant que <math>\;\dfrac{1}{V_{M,\,\text{lim},\,2}^{\,2} - V_{M,\,z,\,2}^{\,2}} = \dfrac{A}{V_{M,\,\text{lim},\,2} - V_{M,\,z,\,2}} + \dfrac{B}{V_{M,\,\text{lim},\,2} + V_{M,\,z,\,2}}</math>, on détermine * <math>\;A\;</math> en multipliant les deux membres par <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2} - V_{M,\,z,\,2}\;</math> et en faisant <math>\;V_{M,\,z,\,2} = V_{M,\,\text{lim},\,2}\;</math> et * <math>\;B\;</math> en multipliant les deux membres par <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2} + V_{M,\,z,\,2}\;</math> et en faisant <math>\;V_{M,\,z,\,2} = -V_{M,\,\text{lim},\,2}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre le 1^er membre }}l'équation à variables séparées se réécrivant, après avoir multiplié chaque membre par <math>\;2\;V_{M,\,\text{lim},\,2}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre le 1^er membre l'équation à variables séparées se réécrivant, }}«<math>\;\dfrac{d V_{M,\,z,\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,2} - V_{M,\,z,\,2}} + \dfrac{d V_{M,\,z,\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,2} + V_{M,\,z,\,2}} = \dfrac{2\;g}{V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;dt'\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre le 1^er membre l'équation à variables séparées se réécrivant, }}«<math>\;-\dfrac{d \left[ V_{M,\,z,\,2} - V_{M,\,\text{lim},\,2} \right]}{V_{M,\,z,\,2} - V_{M,\,\text{lim},\,2}} + \dfrac{d \left[ V_{M,\,\text{lim},\,2} + V_{M,\,z,\,2} \right]}{V_{M,\,\text{lim},\,2} + V_{M,\,z,\,2}} = \dfrac{2\;g}{V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;dt'\;</math>»<ref> La modification dans le 1^er terme du 1^er membre a été fait pour avoir un dénominateur positif, on rappelle en effet que <math>\; V_{M,\,z,\,2}(t')\;</math> <math>\searrow</math> avec pour valeur limite inférieure <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2}</math>.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre }}«<math>\;\displaystyle\int_{V_{M,\,\text{lim},\,1}}^{V_{M,\,z,\,2}} -\dfrac{d \left[ {V'}_{M,\,z,\,2} - V_{M,\,\text{lim},\,2} \right]}{{V'}_{M,\,z,\,2} - V_{M,\,\text{lim},\,2}} + \displaystyle\int_{V_{M,\,\text{lim},\,1}}^{V_{M,\,z,\,2}} \dfrac{d \left[ {V'}_{M,\,z,\,2} + V_{M,\,\text{lim},\,2} \right]}{{V'}_{M,\,z,\,2} + V_{M,\,\text{lim},\,2}} = \displaystyle\int_0^{t'} -\dfrac{2\;g}{V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;d{t''}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre }}«<math>\;-\ln\! \left[ \dfrac{V_{M,\,z,\,2} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}} \right] + \ln\! \left[ \dfrac{V_{M,\,z,\,2} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}} \right] = \dfrac{2\;g}{V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;t'\;</math>» que l'on peut écrire encore selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre }}«<math>\;\left( \mathfrak{a}\right)\;</math> : <math>\;\dfrac{2\;g}{V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;t' = \ln\! \left[ \dfrac{V_{M,\,z,\,2} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,z,\,2} - V_{M,\,\text{lim},\,2}} \right] - \ln\! \left[ \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}} \right]\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a}\right)}\;</math> : }}«<math>\;\ln\! \left[ \dfrac{V_{M,\,z,\,2} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,z,\,2} - V_{M,\,\text{lim},\,2}} \right] = \ln\! \left[ \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}} \right] + \dfrac{2\;g}{V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;t'\;</math>» que l'on inverse selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a}\right)}\;</math> : }}«<math>\;\dfrac{V_{M,\,z,\,2} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,z,\,2} - V_{M,\,\text{lim},\,2}} = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;\exp\! \left( \dfrac{2\;g}{V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;t' \right)\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{V_{M,\,z,\,2} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,z,\,2} + V_{M,\,\text{lim},\,2}} = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{2\;g}{V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;t' \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a}\right)}\;</math> : }}soit enfin, en posant «<math>\;\tau_2 = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,2}}{2\;g}\;</math>» et «<math>\;\beta = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a}\right)}\;</math> : }}«<math>\;\dfrac{V_{M,\,z,\,2} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,z,\,2} + V_{M,\,\text{lim},\,2}} = \beta\;\exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;V_{M,\,z,\,2} - V_{M,\,\text{lim},\,2} = \left[ V_{M,\,z,\,2} + V_{M,\,\text{lim},\,2} \right]\,\beta\;\exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a}\right)}\;</math> : }}«<math>\;V_{M,\,z,\,2} \left[ 1 - \beta\;\exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right) \right] = V_{M,\,\text{lim},\,2} \left[ 1 + \beta\;\exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right) \right]\;</math>» soit «<math>\;V_{M,\,z,\,2} = V_{M,\,\text{lim},\,2}\;\dfrac{1 + \beta\;\exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)}{1 - \beta\;\exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)}\;</math>» ; finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a}\right)}\;</math> : }}la loi horaire de vitesse du parachutiste après déploiement du parachute s'écrit «<math>\;V_{M,\,z,\,2}(t') = V_{M,\,\text{lim},\,2}\;\dfrac{\alpha + \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)}{\alpha - \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a}\right)}\;</math> : la loi horaire de vitesse du parachutiste après déploiement du parachute s'écrit }}«<math>\;\alpha = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}} = \dfrac{1}{\beta}\;</math>» et «<math>\;\tau_2 = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,2}}{2\;g}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a}\right)}\;</math> : }}numériquement on obtient <math>\;\alpha \simeq \dfrac{64 + 4,0}{64 - 4,0} \simeq 1,13\;</math> et <math>\;\tau_2 \simeq \dfrac{4,0}{2 \times 9,8} \simeq 0,204\;s</math>. [[File:Diagramme horaire de vitesse d'un parachutiste.png|thumb|right|400px|Tracé du diagramme horaire de vitesse d'un parachutiste tombant d'abord en chute libre<ref name="sens du parachutisme" /> puis avec parachute déployé]] [[File:Diagramme horaire de vitesse d'un parachutiste - bis.png|thumb|left|400px|Tracé du diagramme horaire de vitesse d'un parachutiste tombant d'abord en chute libre<ref name="sens du parachutisme" /> puis avec parachute déployé avec effet de loupe autour de l'instant d'ouverture du parachute]] {{Al|5}}Voir ci-contre à droite le tracé du diagramme horaire de vitesse sur toute la chute et {{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}à gauche le tracé du diagramme de vitesse autour de l'instant d'ouverture du parachute : {{Al|5}}on vérifie que «<math>\;V_{M,\,z,\,2}(t' = 0) = V_{M,\,\text{lim},\,2}\;\dfrac{\alpha + 1}{\alpha - 1} = V_{M,\,\text{lim},\,1}\;</math>» car <math>\;\dfrac{\alpha + 1}{\alpha - 1} = \dfrac{\dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}} + 1}{\dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}} - 1} = \dfrac{\cancel{2}\;V_{M,\,\text{lim},\,1}}{\cancel{2}\;V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|on vérifie que }}«<math>\;\lim\limits_{t'\,\rightarrow\;\infty} V_{M,\,z,\,2}(t') = V_{M,\,\text{lim},\,2}\;</math>» utilisant <math>\;\lim\limits_{t'\,\rightarrow\;\infty} \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right) = 0\;</math> d'où « le diagramme horaire de vitesse admet comme asymptote <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des temps <math>\;V_{M,\,z,\,2\,\text{asympt}} = V_{M,\,\text{lim},\,2}\;</math>». <br><br> {{Al|5}}<u>Instant à partir duquel la vitesse limite à parachute ouvert est pratiquement atteinte</u> <math>\;{t'}_{\text{lim}}</math> : reprenant la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> en y reportant <math>\;\tau_2 = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,2}}{2\;g}\;</math> et <math>\;\alpha = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}</math>, on obtient <math>\;\dfrac{t'}{\tau_2} =</math> <math>\ln\! \left[ \dfrac{V_{M,\,z,\,2}(t') + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,z,\,2}(t') - V_{M,\,\text{lim},\,2}} \right] - \ln(\alpha)\;</math> soit, avec <math>\;{t'}_{\text{lim}}\;</math> tel que <math>\;V_{M,\,z,\,2}({t'}_{\text{lim}}) = 1,01\;V_{M,\,\text{lim},\,2}</math>, l'équation suivante <math>\;\dfrac{{t'}_{\text{lim}}}{\tau_2} = \ln\! \left[ \dfrac{2,01\; V_{M,\,\text{lim},\,2}}{0,01\; V_{M,\,\text{lim},\,2}} \right] - \ln(\alpha) = \ln(201) - \ln(1,13) \simeq</math> <math>5,18\;</math> c'est-à-dire <math>\;{t'}_{\text{lim}} \simeq 5\;\tau_2</math>, la nouvelle vitesse limite est donc atteinte à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près après une durée de <math>\;\simeq 5\;\tau_2 \simeq 1\;s\;</math> soit quasi instantanément.}} ==== Loi horaire de position du parachutiste et conséquences ==== {{Al|5}}Déterminer la loi horaire de position <math>\;{z'}_{M,\,2}(t')\;</math> du parachutiste comptée à partir de la nouvelle origine <math>\;O'\;</math> du repère cartésien associé au référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math>, <math>\;\big[</math>c'est-à-dire telle que <math>\;{z'}_{M,\,2} =</math> <math>z_{M,\,2} - \left( h_1 - h_2 \right)\;</math> dans laquelle <math>\;z_{M,\,2}\;</math> est la cote du parachutiste comptée à partir de sa position de largage<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer la loi horaire de position <math>\;\color{transparent}{{z'}_{M,\,2}(t')}\;</math> }}en fonction du temps <math>\;t'\;</math> ainsi que des paramètres <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2}</math>, <math>\;\alpha = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;</math> et <math>\;g</math> ; {{Al|5}}donner l'allure du diagramme horaire de position <math>\;z_{M}(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} z_{M,\,1}(t) = 2\;V_{M,\,\text{lim},\,1}\;\tau_1\;\ln\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau_1} \right) \right]&\;\text{si }t \leqslant t_2\\ z_{M,\,2}(t) = {z'}_{M,\,2}(t' + t_2) + \left( h_1 - h_2 \right)&\;\text{si }t \geqslant t_2 \end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Détermination_de_la_loi_horaire_de_position_du_parachutiste|détermination de la loi horaire de position du parachutiste]] (largué sans vitesse initiale) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour l'expression de <math>\;V_{M,\,z,\,1}(t)</math>.</ref> sur toute la chute ; {{Al|5}}préciser l'équation permettant de déterminer l'instant <math>\;{t'}_{\text{sol}}\;</math> auquel le parachutiste atteint le sol en fonction des paramètres <math>\;\alpha = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}</math>, <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2}</math>, <math>\;g</math> et <math>\;h_2</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|préciser }}l'équation obtenue étant « [[w:Équation_transcendante|transcendante]] »<ref name="transcendante"> Les fonctions les plus simples sont celles que l'on peut construire à partir de la variable <math>\;x\;</math> en utilisant des opérations élémentaires <math>\;\big(</math>addition, multiplication etc.<math>\big)</math>, ces opérations permettant d'aboutir aux polynômes et aux [[w:Fraction_rationnelle|fractions rationnelles]] ; en ajoutant des extractions de racines carrées ou autres, et plus généralement des solutions d'[[w:Équation_polynomiale|équations polynomiales]], on obtient des fonctions plus variées, comme <math>\;x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}</math>, toutes ces fonctions étant qualifiées d'« <u>[[w:Fonction_algébrique|algébriques]]</u> », les manipulations polynomiales relevant du domaine de l'algèbre générale ; <br>{{Al|3}}mais de telles fonctions ne suffisant pas pour les besoins de l'analyse, on construit à partir de ces dernières d'autres fonctions qui ne relèvent pas de la définition d'une fonction « [[w:Fonction_algébrique|algébrique]] » dans le but, par exemple, de résoudre des équations différentielles, ces nouvelles fonctions sont alors qualifiées de « <u>[[w:Fonction_transcendante|transcendantes]]</u> » si leur définition ne relève pas du domaine algébrique, c’est l’exemple de la fonction « logarithme » primitive de la fonction algébrique <math>\;x \mapsto \dfrac{1}{x}\;</math> ou de la fonction inverse de la fonction logarithme c.-à-d. la fonction « exponentielle » <math>\;\ldots\;</math> il y a de nombreux autres exemples ; <br>{{Al|3}}par prolongement une équation est dite « <u>[[w:Équation_transcendante|transcendante]]</u> » si elle n’est pas « [[w:Équation_polynomiale|algébrique]] », c.-à-d. si elle n'est pas de la forme <math>\;P(x) = 0\;</math> où <math>\;P\;</math> est un polynôme, ces équations n'étant évidemment pas solubles algébriquement nécessitent souvent <math>\;\big(</math>sans que ce soit toujours le cas<math>\big)\;</math> une résolution numérique.</ref> n'admet pas de résolution algébrique, sa résolution nécessiterait d'être numérique ou, à défaut, <br>{{Al|11}}{{Transparent|préciser l'équation obtenue étant « transcendante » n'admet pas de résolution algébrique, sa résolution nécessiterait }}d'être approchée par une [[w:Équation_polynomiale|équation algébrique]], c'est l'option choisie ci-après ; {{Al|5}}dans l'hypothèse où <math>\;{t'}_{\text{sol}}\;</math> est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, le mouvement du parachutiste s'identifie à son mouvement à vitesse limite <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans l'hypothèse où <math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;</math> est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, }}on peut confondre sa loi horaire de position avec l'expression asymptotique de cette dernière ; en faisant cela, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans l'hypothèse où <math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;</math> est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, }}on peut trouver l'[[w:Équation_polynomiale|équation algébrique]] approchée pour déterminer la date <math>\;{t'}_{\text{sol}}\;</math> où le parachutiste atteint le sol <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans l'hypothèse où <math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;</math> est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, on peut trouver l'équation }}en fonction des paramètres <math>\;\alpha = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}</math>, <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2}</math>, <math>\;g</math> et <math>\;h_2</math>, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans l'hypothèse où <math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;</math> est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, }}faire l'application numérique. {{Solution | contenu ={{Al|5}}On obtient la loi horaire de position du parachutiste à parachute ouvert <math>\;{z'}_{M,\,2}(t')</math>, comptée à partir de la nouvelle origine <math>\;O'\;</math> d'espace située à l'altitude d'ouverture du parachute, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On obtient la loi horaire de position du parachutiste à parachute ouvert <math>\;\color{transparent}{{z'}_{M,\,2}(t')}</math>, }}en intégrant, par rapport à <math>\;t'</math>, la loi horaire de vitesse <math>\;V_{M,\,z,\,2}(t') = \dfrac{d {z'}_{M,\,2}}{dt'}(t') = V_{M,\,\text{lim},\,2}\;\dfrac{\alpha + \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)}{\alpha - \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On obtient la loi horaire de position du parachutiste à parachute ouvert <math>\;\color{transparent}{{z'}_{M,\,2}(t')}</math>, }}ou, avec la transformation suivante permettant une intégration plus aisée, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On obtient la loi horaire de position du parachutiste à parachute ouvert <math>\;\color{transparent}{{z'}_{M,\,2}(t')}</math>, en intégrant, }}<math>\;\dfrac{d {z'}_{M,\,2}}{dt'}(t') = V_{M,\,\text{lim},\,2} \left[ 1 + \dfrac{2\; \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)}{\alpha - \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)} \right] = V_{M,\,\text{lim},\,2} \left\lbrace 1 + 2\;\tau_2\; \dfrac{\dfrac{d}{dt'} \left[ \alpha - \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right) \right]}{\alpha - \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)} \right\rbrace\;</math><ref> Dans le terme <math>\;\dfrac{2\; \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)}{\alpha - \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)}\;</math> on fait apparaître au numérateur la dérivée temporelle du dénominateur, quotient qui s'intégrera en logarithme népérien de la valeur absolue du dénominateur soit <math>\;\dfrac{\dfrac{d}{dt'} \left[ \alpha - \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right) \right]}{\alpha - \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)}\;</math> mais en faisant cela on obtient <math>\;\dfrac{1}{\tau_2}\;\dfrac{\exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)}{\alpha - \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right)}\;</math> d'où le facteur supplémentaire <math>\;2\;\tau_2\;</math> pour retrouver l'expression initiale.</ref> <br>{{Transparent|On obtient la loi horaire de position du parachutiste à parachute ouvert }}d'où <math>\;{z'}_{M,\,2}(t') = V_{M,\,\text{lim},\,2} \left\lbrace t' + 2\;\tau_2\; \left[ \ln\! \bigg\vert \alpha - \exp\! \left( -\dfrac{{t''}}{\tau_2} \right) \bigg\vert \right]_0^{t'} \right\rbrace\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|On obtient }}la loi horaire de position du parachutiste à parachute ouvert «<math>\;{z'}_{M,\,2}(t') = V_{M,\,\text{lim},\,2} \left\lbrace t' + 2\;\tau_2\; \ln\! \left[ \dfrac{\bigg\vert \alpha - \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right) \bigg\vert}{\vert \alpha - 1 \vert} \right] \right\rbrace\;</math>» avec <math>\;\alpha = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;</math> et <math>\;\tau_2 = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,2}}{2\;g}</math>. [[File:Diagramme horaire de position d'un parachutiste.png|thumb|right|400px|Tracé du diagramme horaire de position d'un parachutiste tombant d'abord en chute libre<ref name="sens du parachutisme" /> puis avec parachute déployé]] [[File:Diagramme horaire de position d'un parachutiste - bis.png|thumb|left|450px|Tracé du diagramme horaire de position d'un parachutiste tombant d'abord en chute libre<ref name="sens du parachutisme" /> puis avec parachute déployé avec effet de loupe autour de l'instant d'ouverture du parachute]] {{Al|5}}Voir ci-contre à droite le tracé du diagramme horaire de position sur toute la chute et {{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}à gauche le tracé du diagramme de position autour de l'instant d'ouverture du parachute : {{Al|5}}On détermine le comportement asymptotique de <math>\;{z'}_{M,\,2}(t')\;</math> en faisant tendre <math>\;t'\;</math> vers l'infini soit, avec <math>\;\lim\limits_{t'\,\rightarrow\,+\infty} \exp\! \left( -\dfrac{t'}{\tau_2} \right) = 0</math>, {{Nobr|«<math>\;{z'}_{M,\,2}(t')\;</math>}} <math>\stackrel{t'\, \rightarrow\, \infty}{\simeq}\; V_{M,\,\text{lim},\,2} \left\lbrace t' + 2\;\tau_2\; \ln\! \left[ \dfrac{\vert \alpha \vert}{\vert \alpha - 1 \vert} \right] \right\rbrace\;</math>»<ref> Le symbole <math>\;\sim\;</math> ici serait malvenu car il est réservé à une équivalence c.-à-d. qu'il n'est utilisé que pour le terme principal, ce qui donnerait ici <math>\;z'(t') \sim</math> <math>V_{M,\,\text{lim},\,2}\; t'</math>, ceci ne donnerait alors que la direction asymptotique et non l'asymptote ; pour obtenir cette dernière il convient donc d'associer au terme principal le terme secondaire <math>\; 2\;V_{M,\,\text{lim},\,2}\;\tau_2\; \ln\! \left[ \dfrac{\vert \alpha \vert}{\vert \alpha - 1 \vert} \right]\;</math> ce qui n'est plus une équivalence mais un développement limité <math>\;\ldots</math></ref> ou, avec <math>\;\dfrac{\alpha}{\alpha - 1} = \dfrac{\dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}}}{\dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{V_{M,\,\text{lim},\,1} - V_{M,\,\text{lim},\,2}} - 1}\;</math> qui se simplifie encore selon <math>\;\dfrac{\alpha}{\alpha - 1} = \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{2\;V_{M,\,\text{lim},\,2}}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;{z'}_{M,\,2}(t')\;</math>}} <math>\stackrel{t'\, \rightarrow\, \infty}{\simeq}\; V_{M,\,\text{lim},\,2} \left\lbrace t' + 2\;\tau_2\; \ln\! \left[ \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{2\;V_{M,\,\text{lim},\,2}} \right] \right\rbrace\;</math>» ou encore, en explicitant <math>\;2\;\ln\! \left[ \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{2\;V_{M,\,\text{lim},\,2}} \right] \simeq 2 \times \ln\! \left[ \dfrac{64 + 4}{2 \times 4} \right] \simeq 4,28</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On détermine }}l'équation de l'asymptote en variables adaptées «<math>\;{z'}_{M,\,2,\,\text{asympt}}(t') \simeq V_{M,\,\text{lim},\,2} \left( t' + 4,28\;\tau_2 \right)\;</math>»<ref> Pour <math>\;t' \gtrsim 5\;\tau_2</math>, le graphe de la loi horaire de position du parachutiste se confondant avec son asymptote, il est possible de déterminer la position de ce dernier à l'aide de son mouvement de chute à vitesse limite à condition d'avancer ce mouvement de <math>\;4,28\;\tau_2</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour <math>\;t' = 10\;\tau_2\;</math> la position du parachutiste est <math>\;{z'}_{M,\,2}(10\,\tau_2) \simeq V_{M,\,\text{lim},\,2} \times 14,28\;\tau_2</math>.</ref> ou, avec <math>\;\tau_2 \simeq 0,2\;s\;</math> et <math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2} \simeq 4,0\;m \cdot s^{-1}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On détermine l'équation de l'asymptote en variables adaptées }}«<math>\;{z'}_{M,\,2,\,\text{asympt}}(t') \simeq 4,0 \times \left( t' + 0,86 \right)\;</math> en <math>\;m\;</math>»<ref> Ainsi la position du parachutiste en utilisant l'asymptote de son diagramme horaire de position pour l'instant <math>\;t' = 10\;\tau_2 \simeq 2\;s\;</math> sera <math>\;{z'}_{M,\,2}(10\,\tau_2)</math> <math>\simeq 4,0 \times 2,86\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;{z'}_{M,\,2}(10\,\tau_2) \simeq</math> <math>11,44\;m</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Instant de contact du parachutiste avec le sol</u><math>\;{t'}_{\text{sol}}</math> : cet instant est défini par l'équation «<math>\;{z'}_{M,\,2}({t'}_{\text{sol}}) = h_2\;</math>» soit, en explicitant la loi horaire de position du parachutiste <br>{{Al|5}}{{Transparent|Instant de contact du parachutiste avec le sol <math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}</math> : cet instant est défini par l'équation }}«<math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2} \left\lbrace {t'}_{\text{sol}} + 2\;\tau_2\; \ln\! \left[ \dfrac{\bigg\vert \alpha - \exp\! \left( -\dfrac{{t'}_{\text{sol}}}{\tau_2} \right) \bigg\vert}{\vert \alpha - 1 \vert} \right] \right\rbrace = h_2\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Instant de contact du parachutiste avec le sol <math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}</math> : cet instant est défini par l'équation }}«<math>\;\dfrac{h_2}{2\;V_{M,\,\text{lim},\,2}\;\tau_2} - \dfrac{{t'}_{\text{sol}}}{2\;\tau_2} = \ln\! \left[ \dfrac{\bigg\vert \alpha - \exp\! \left( -\dfrac{{t'}_{\text{sol}}}{\tau_2} \right) \bigg\vert}{\vert \alpha - 1 \vert} \right]\;</math>» [[w:Équation_transcendante|équation transcendante]]<ref name="transcendante" /> <math>\;\big(</math>elle n'admet donc pas de résolution algébrique mais la résolution doit être numérique ou à défaut être approchée par une [[w:Équation_polynomiale|équation algébrique]]<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Instant de contact du parachutiste avec le sol<math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}</math> : }}dans la mesure où <math>\;{t'}_{\text{sol}}\;</math> serait <math>\;\gtrsim 5\;\tau_2 \simeq 1,0\;s\;</math><ref> Compte-tenu du diagramme horaire de position du parachutiste, cette hypothèse sera validée sans souci.</ref> on peut affirmer que <math>\;{z'}_{M,\,2}({t'}_{\text{sol}}) \simeq {z'}_{M,\,2,\,\text{asympt}}({t'}_{\text{sol}})\;</math> et en déduire <br>{{Al|11}}{{Transparent|Instant de contact du parachutiste avec le sol<math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}</math> : dans la mesure où <math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;</math> serait <math>\;\color{transparent}{\gtrsim 5\;\tau_2 \simeq 1,0\;s}\;</math> }}l'[[w:Équation_polynomiale|équation algébrique]] approchée de définition de <math>\;{t'}_{\text{sol}}\;</math> «<math>\;V_{M,\,\text{lim},\,2} \left\lbrace {t'}_{\text{sol}} + 2\;\tau_2\; \ln\! \left[ \dfrac{\alpha}{\alpha - 1} \right] \right\rbrace \simeq h_2\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Instant de contact du parachutiste avec le sol<math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}</math> : dans la mesure où <math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;</math> serait <math>\;\color{transparent}{\gtrsim 5\;\tau_2 \simeq 1,0\;s}\;</math> }}d'où «<math>\;{t'}_{\text{sol}} \simeq \dfrac{h_2}{V_{M,\,\text{lim},\,2}} - 2\;\tau_2\; \ln\! \left[ \dfrac{\alpha}{\alpha - 1} \right]\;</math>» ou «<math>\;{t'}_{\text{sol}} \simeq \dfrac{h_2}{V_{M,\,\text{lim},\,2}} - 4,28\;\tau_2\;</math>»<ref> Voir plus haut dans ce paragraphe <math>\;2\; \ln\! \left[ \dfrac{\alpha}{\alpha - 1} \right] = 2\;\ln\! \left[ \dfrac{V_{M,\,\text{lim},\,1} + V_{M,\,\text{lim},\,2}}{2\;V_{M,\,\text{lim},\,2}} \right] \simeq 4,28</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Instant de contact du parachutiste avec le sol<math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}</math> : dans la mesure où <math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;</math> serait <math>\;\color{transparent}{\gtrsim 5\;\tau_2 \simeq 1,0\;s}\;</math> }}donnant numériquement «<math>\;{t'}_{\text{sol}} \simeq \dfrac{1000}{4,0} - 4,28 \times 0,2 \simeq 249,1\;s\;</math>»<ref> Ce qui valide effectivement <math>\;{t'}_{\text{sol}} \gtrsim 5\;\tau_2 \simeq 1,0\;s</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Instant de contact du parachutiste avec le sol<math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}</math> : dans la mesure où <math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;</math> serait <math>\;\color{transparent}{\gtrsim 5\;\tau_2 \simeq 1,0\;s}\;</math> }}soit une durée de chute depuis la position de largage <br>{{Al|11}}{{Transparent|Instant de contact du parachutiste avec le sol<math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}</math> : dans la mesure où <math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;</math> serait <math>\;\color{transparent}{\gtrsim 5\;\tau_2 \simeq 1,0\;s}\;</math> soit une durée de chute }}«<math>\;\Delta t_{\text{sol}} \simeq 35,8\;s + 249,1\;s \simeq 284,9\;s \simeq 285\;s = 4\;min\;45\;s\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Instant de contact du parachutiste avec le sol<math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}</math> : dans la mesure où <math>\;\color{transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;</math> serait <math>\;\color{transparent}{\gtrsim 5\;\tau_2 \simeq 1,0\;s}\;</math> }}la chute avec parachute étant de durée huit fois plus grande que celle de la chute libre<ref name="sens du parachutisme" />.}} == Chute d'une boule lancée verticalement vers le bas avec résistance d'avancement de forme quadratique == {{Al|5}}Une boule de masse <math>\;m</math>, assimilable à un point matériel <math>\;M</math>, est lancée verticalement vers le bas avec une vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> supposé galiléen ; {{Al|5}}le frottement de l'air agissant sur la boule en mouvement dans l'air globalement immobile relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> est modélisable par un vecteur force de norme <math>\;\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} \Vert = k\;S\;V_M^2\;</math> dans laquelle <math>\;k\;</math> est un cœfficient dépendant de l'aérodynamisme de la boule ainsi que de la compacité du fluide dans lequel elle se déplace <math>\;\bigg[</math>plus précisément <math>\;k = \dfrac{1}{2}\,C_x\,\mu_{\text{air}}\;</math> avec <math>\;C_x\;</math> [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] de la boule et <math>\;\mu_{\text{air}}\;</math> masse volumique de l'air<math>\bigg]</math>, <math>\;S\;</math> l'aire de son [[w:Maître-couple|maître-couple]]<ref name="maître-couple" /> et <math>\;V_M\;</math> la norme de son vecteur vitesse dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math>. {{Al|5}}Initialement la boule étant soumise à deux forces verticales, nous admettrons que le mouvement reste vertical<ref> Il n'est donc pas demandé de le démontrer, ce qui se ferait par récurrence comme dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Établissement_de_la_nature_plane_de_la_trajectoire_du_centre_d'inertie_de_l'objet_en_chute_freinée_par_résistance_de_l'air_quadratique_quand_ce_dernier_est_lancé_avec_un_vecteur_vitesse_non_vertical|établissement de la nature plane de la trajectoire du C.D.I. de l'objet en chute freinée par résistance de l'air quadratique quand ce dernier est lancé avec un vecteur vitesse non vertical]] (autre démonstration de la nature plane …) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant “contenu dans le plan <math>\;xOz</math>” par “vertical” <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}après une durée de chute suffisamment longue<ref name="à préciser"> Laquelle sera à préciser.</ref>, elle tombe alors avec une vitesse limite <math>\;V_{M,\,\text{lim}}</math>. <center>Dans ce qui suit l'axe vertical est orienté dans le sens descendant et l'origine des cotes choisie en la position de lancer de la boule.</center> === Introduction de variables sans dimension === {{Al|5}}On introduit les variables sans dimension suivantes <math>\succ\;</math>vitesse relative <math>\;u_M = \dfrac{V_M}{V_{M,\,\text{lim}}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On introduit les variables sans dimension suivantes }}<math>\succ\;</math>temps relatif <math>\;\xi = \dfrac{t}{\tau}\;</math> avec <math>\;\tau = \dfrac{V_{M,\,\text{lim}}}{2\;g}\;</math> constante de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée par résistance de l'air quadratique<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Détermination_de_la_loi_horaire_de_vitesse_du_parachutiste|détermination de la loi horaire de vitesse du parachutiste]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On introduit les variables sans dimension suivantes }}<math>\succ\;</math>cote relative <math>\;\zeta_M = \dfrac{z_M}{\lambda}\;</math> avec <math>\;\lambda = \dfrac{V_{M,\,\text{lim}}^{\,2}}{2\;g}\;</math> constante de longueur du portrait de phase de chute freinée par résistance de l'air quadratique<ref name="introduction de lambda"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Établissement_de_l'équation_du_portrait_de_phase_du_parachutiste_lâché_sans_vitesse_initiale_dans_un_référentiel_terrestre_et_freiné_par_résistance_de_l'air_quadratique|établissement de l'équation du portrait de phase du parachutiste lâché sans vitesse initiale dans un référentiel terrestre et freiné par résistance de l'air quadratique]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|On introduit les variables sans dimension }}Quel intérêt présentent ces changements de variables ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}L'intérêt de l'utilisation de ces grandeurs sans dimension est d'obtenir un <u>problème unique indépendant de l'objet, de la planète créant le champ de pesanteur et des conditions de lancement de l'objet</u> car faisant intervenir une vitesse, un temps et une longueur relatifs, respectivement <math>\;u_M</math>, <math>\;\xi\;</math> et <math>\;\zeta_M</math>, c'est-à-dire une vitesse, un temps et une longueur exprimés respectivement en unités de vitesse <math>\;V_{M,\,\text{lim}}</math>, de temps <math>\;\tau\;</math> et de longueur <math>\;\lambda = V_{M,\,\text{lim}}\; \tau\;</math> caractérisant le problème particulier ; {{Al|5}}après avoir fait ceci <u>on obtient, en grandeurs relatives, des équations différentielles et des équations horaires toutes identiques</u> quel que soit le problème. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En raisonnant sur la vitesse, nous savons que la vitesse limite correspond à <math>\;m\; g = k\; S\; V_{M,\,\text{lim}}^{\,2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_{M,\,\text{lim}} = \sqrt{\dfrac{m\; g}{k\; S}}\;</math> <math>\Rightarrow\;</math> cette vitesse limite dépend de la masse <math>\;m\;</math> de l'objet, de l'aire <math>\;S\;</math> de son [[w:Maître-couple|maître-couple]]<ref name="maître-couple" />, de <math>\;k\;</math> <math>\big(</math>ou encore de la masse volumique du fluide ainsi que du [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] de l'objet<math>\big)\;</math> et de l'intensité <math>\;g\;</math> de la pesanteur créée par la planète ; {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}<math>\succ\;</math>un objet en chute dans l'atmosphère terrestre sur laquelle l'intensité de la pesanteur <math>\;g_{\text{♁}} = 9,8\; m\! \cdot s^{-1}</math>, la masse volumique de l'air <math>\;\mu_{\text{air}} = 1,3\; kg\! \cdot m^{-3}</math>, de masse <math>\;m = 1\; kg</math>, d'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]]<ref name="maître-couple" /> <math>\;S = 1\; m^2</math>, de [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] <math>\;C_x = 0,4\;</math><ref> Correspondant à une forme sphérique.</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}<math>\succ\;</math>un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne sur laquelle l'intensité de la pesanteur <math>\;g_{\text{♀}} = 8,9\; m\! \cdot s^{-1}</math>, la masse volumique de l'atmosphère <math>\;\mu_{\text{atm}} = 70\, kg\! \cdot m^{-3}\;</math><ref> L'atmosphère sur Vénus est composée essentiellement de <math>\;CO_2</math>, sa température de surface <math>\;\simeq 750\; K\;</math> et sa pression en surface <math>\;\simeq 100\; bar</math>.</ref>, de masse <math>\;m = 5\; kg</math>, d'aire du [[w:Maître-couple|maître-couple]]<ref name="maître-couple" /> <math>\;S = 3\; m^2</math>, de [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] <math>\;C_x = 2,0\;</math><ref> Correspondant à une forme cubique.</ref> {{Al|5}}{{Transparent|Complément : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne }}n'ont pas, a priori, la même vitesse limite et l'étude de leur chute constitue deux problèmes différents avant d'avoir fait ce changement de variables ; {{Al|5}}{{Transparent|Complément : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne }}néanmoins nous pourrons affirmer que l'objet sur Terre aura atteint sa vitesse limite <math>\;V_{\text{lim (objet sur Terre)}} = \sqrt{\dfrac{m\; g_{\text{♁}}}{\dfrac{C_x\; \mu_{\text{air}}\; S}{2}}} = \sqrt{\dfrac{1 \times 9,8}{\dfrac{0,4 \times 1,3 \times 1}{2}}} \simeq</math> <math>4,3\; m\! \cdot s^{-1}\;</math> à moins de <math>\;1\; \%\;</math> près à l'instant <math>\;t \simeq 5\; \tau_{\text{(objet sur Terre)}} = 5\; \dfrac{V_{\text{lim (objet sur Terre)}}}{2\, g_{\text{♁}}} \simeq 2,5 \times \dfrac{4,3}{9,8} \simeq 1,1\; s\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Complément : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne néanmoins nous pourrons affirmer }}que l'objet sur Vénus aura atteint sa vitesse limite <math>\;V_{\text{lim (objet sur Vénus)}} = \sqrt{\dfrac{m\; g_{\text{♀}}}{\dfrac{C_x\; \mu_{\text{atm}}\, S}{2}}} = \sqrt{\dfrac{5 \times 8,9}{\dfrac{2,0 \times 70 \times 3}{2}}}</math> <math>\simeq 0,46\; m\! \cdot s^{-1}\;</math> à moins de <math>\;1\; \%\;</math> près à l'instant <math>\;t \simeq 5\; \tau_{\text{(objet sur Vénus)}} = 5\; \dfrac{V_{\text{lim (objet sur Vénus)}}}{2\; g_{\text{♀}}} \simeq 2,5 \times \dfrac{0,46}{8,9} \simeq 0,13\; s</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Complément : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne }}ces résultats différents sont en fait identiques en valeurs relatives, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne néanmoins nous pourrons affirmer que }}l'objet sur Terre et celui sur Vénus ont atteint la vitesse limite relative <math>\;u_{\text{lim}} = 1\;</math> à moins de <math>\;1\; \%\;</math> près <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne néanmoins nous pourrons affirmer que l'objet sur Terre et celui sur Vénus ont atteint la vitesse limite relative }}au temps relatif <math>\;\xi = 5</math>.}} === Détermination de l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif u_M(ξ) du mouvement de la boule et résolution === {{Al|5}}Déterminer l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif <math>\;u_M(\xi)\;</math><ref name="abus de notation"> Usuellement en physique on note de la même façon la fonction et la valeur de la fonction comme par exemple <math>\;y = y(x)\;</math> où <math>\;y\;</math> du membre de gauche est la valeur de la fonction <math>\;y\;</math> du membre de droite <math>\big[</math>en mathématique on noterait <math>\;y = f(x)\;</math> avec <math>\;y\;</math> la valeur de la fonction <math>\;f\big]\;</math> mais en physique l'emploi de deux notations différentes pour valeur de fonction et fonction conduirait rapidement à une inflation de notations d'où la confusion ; ici <math>\;u_M\! \left[ t(\xi) \right]\;</math> est notée <math>\;u_M(\xi)\;</math> bien que ce ne soit évidemment pas la même fonction mais la même valeur <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}en déduire la vitesse relative de la boule <math>\;u_M\;</math> en fonction du temps relatif <math>\;\xi</math>, puis {{Al|5}}{{Transparent|en déduire }}la vitesse de la boule <math>\;V_M\;</math> en fonction du temps <math>\;t</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}L'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à l'objet <math>\;M\;</math> donne : «<math>\;m\; \vec{g} - k\; S\; V_M^2(t)\; \vec{u}_z = m\; \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|L'application de la r.f.d.n. à l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}projetée sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> on obtient, avec <math>\;V_{M,\,z}(t)\;</math> égale à <math>\;V_M(t) = \Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math> compte-tenu du sens du mouvement de <math>\;M\;</math> sur la verticale descendante : <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'application de la r.f.d.n. à l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> donne : }}«<math>\;m\; g - k\; S\; V_M^2(t) = m\; \dot{V}_M(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\dot{V}_M(t) + \dfrac{k\; S}{m}\; V_M^2(t) = g\;</math>», équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;V_M(t)\;</math> non linéaire. {{Al|11}}{{Transparent|L'application de la r.f.d.n. à l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> donne : }}Posant alors <math>\;V_{M,\,\text{lim}} = \sqrt{\dfrac{m\; g}{k\; S}}\;</math> correspondant à la vitesse limite de chute de l'objet selon sa définition obéissant à <math>\;m\;g = k\;S\;V_{M,\,\text{lim}}^{\,2}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'application de la r.f.d.n. à l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> donne : }}introduisant sa vitesse relative <math>\;u_M(t) = \dfrac{V_M(t)}{V_{M,\,\text{lim}}}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_M(t) = V_{M,\,\text{lim}}\;u_M(t)\;</math> que l'on reporte dans l'équation différentielle ci-dessus d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'application de la r.f.d.n. à l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> donne : }}«<math>\;V_{M,\,\text{lim}}\;\dot{u}_M(t) + \dfrac{k\; S}{m}\; V_{M,\,\text{lim}}^{\,2}\;u_M^2(t) = g\;</math>» ou, en reconnaissant dans le cœfficient de <math>\;u_M^2(t)\;</math> le quotient <math>\;\dfrac{\mathcal{R}_{air}(V_{M,\,\text{lim}})}{m} = g</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'application de la r.f.d.n. à l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> donne : }}«<math>\;V_{M,\,\text{lim}}\;\dot{u}_M(t) + g\;u_M^2(t) = g\;</math>» soit, en divisant de part et d'autre par <math>\;V_{M,\,\text{lim}}\;</math> pour normalisation, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'application de la r.f.d.n. à l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> donne : }}«<math>\;\dot{u}_M(t) + \dfrac{g}{V_{M,\,\text{lim}}}\;u_M^2(t) = \dfrac{g}{V_{M,\,\text{lim}}}\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|L'application de la r.f.d.n. à l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> donne : }}posant ensuite <math>\;\tau = \dfrac{V_{M,\,\text{lim}}}{2\;g}\;</math> constante de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée par résistance de l'air quadratique et <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'application de la r.f.d.n. à l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> donne : }}introduisant le temps relatif <math>\;\xi = \dfrac{t}{\tau}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;t = \tau\;\xi\;</math> ainsi que <math>\;dt = \tau\;d \xi\;</math> que l'on reporte dans l'équation différentielle précédemment transformée d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'application de la r.f.d.n. à l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> donne : }}«<math>\;\dfrac{du_M}{\tau\, d \xi}(\tau\;\xi) + \dfrac{1}{2\; \tau}\; u_M^2(\tau\;\xi) = \dfrac{1}{2\; \tau}\;</math>» ou, en multipliant de part et d'autre par <math>\;\tau\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'application de la r.f.d.n. à l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> donne : «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{du_M}{\tau\, d \xi}(\tau\;\xi) + \dfrac{1}{2\; \tau}\; u_M^2(\tau\;\xi) = \dfrac{1}{2\; \tau}}\;</math>» ou, }}en notant par la même lettre <math>\;u_M\;</math> la fonction composée de <math>\;t(\xi) = \tau\;\xi\;</math> et la fonction directe de <math>\;\xi\;</math><ref name="abus de notation" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'application de la r.f.d.n. à l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> donne : }}«<math>\;\dfrac{du_M}{d \xi}(\xi) + \dfrac{1}{2}\; u_M^2(\xi] = \dfrac{1}{2}\;</math>» équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;u_M(\xi)\;</math> non linéaire. {{Al|5}}Cette équation différentielle s'intègre par séparation des variables selon «<math>\;\dfrac{du_M}{1 - u_M^2} = \dfrac{d \xi}{2}\;</math>»<ref name="équation différentielle du 1er ordre non linéaire" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre }}on décompose alors <math>\;\dfrac{1}{1 - u_M^2}\;</math> en éléments simples selon «<math>\;\dfrac{1}{1 - u_M^2} = \dfrac{\alpha}{1 - u_M} + \dfrac{\beta}{1 + u_M}\;</math>»<ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre on décompose alors <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{1 - u_M^2}}\;</math> en éléments simples selon }}<math>\;\alpha\;</math> se déterminant en multipliant de part et d'autre par <math>\;1 - u_M\;</math> et en faisant <math>\;u_M = 1\;</math> soit «<math>\;\alpha = \dfrac{1}{2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre on décompose alors <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{1 - u_M^2}}\;</math> en éléments simples selon }}<math>\;\beta\;</math> en multipliant de part et d'autre par <math>\;1 + u_M\;</math> et en faisant <math>\;u_M = -1\;</math> soit «<math>\;\beta = \dfrac{1}{2}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre on décompose alors <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{1 - u_M^2}}\;</math> en éléments simples selon }}«<math>\;\dfrac{1}{1 - u_M^2} = \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{1}{1 - u_M} + \dfrac{1}{1 + u_M} \right]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{du_M}{1 - u_M^2} = \dfrac{1}{2} \left[ -\dfrac{d(1 - u_M)}{1 - u_M} + \dfrac{d(1 + u_M)}{1 + u_M} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre }}l'équation à intégrer se réécrit, après simplification : «<math>\;-\dfrac{d(1 - u_M)}{1 - u_M} + \dfrac{d(1 + u_M)}{1 + u_M} = d \xi\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre }}on intègre entre «<math>\;u_0 = \dfrac{v_0}{V_{M,\,\text{lim}}}\;</math> et <math>\;u_M\;</math>» d'une part et entre «<math>\;0\;</math> et <math>\;\xi\;</math>» d'autre part soit : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre }}«<math>\;\left[ \ln \bigg| \dfrac{1 + {u'}_M}{1 - {u'}_M} \bigg| \right]_{u_0}^{u_M} = \xi\;</math>» ou «<math>\;\xi = \ln \Bigg| \dfrac{(1 + u_M)(1 - u_0)}{(1 - u_M)(1 + u_0)} \Bigg|\;</math>» ou encore, en inversant partiellement «<math>\;\bigg| \dfrac{1 + u_M}{1 - u_M} \bigg| = \bigg| \dfrac{1 + u_0}{1 - u_0} \bigg|\; \exp(\xi)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre }}on peut alors lever les valeurs absolues, <math>\;\dfrac{1 + u_M}{1 - u_M}\;</math> et <math>\;\dfrac{1 + u_0}{1 - u_0}\;</math> étant de même signe <math>\;\big(</math>les numérateurs sont <math>\;> 0\;</math> et les dénominateurs simultanément <math>\;> 0\;</math> ou <math>\;< 0\big)\;</math><ref> En effet si <math>\;V_{M,\,\text{lim}}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;V_0\;</math> correspondant à <math>\;u_0 = \dfrac{V_0}{V_{M,\,\text{lim}}} < 1</math>, l'objet accélérera et sa vitesse se rapprochera asymptotiquement de <math>\;V_{M,\,\text{lim}}\;</math> en restant au-dessous, correspondant à sa vitesse relative <math>\;u_M\;</math> <math>\nearrow</math> en se rapprochant asymptotiquement de <math>\;1\;</math> en restant au-dessous, d'où <math>\;u_M < 1\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si <math>\;V_{M,\,\text{lim}}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;V_0\;</math> correspondant à <math>\;u_0 = \dfrac{V_0}{V_{M,\,\text{lim}}} > 1</math>, l'objet décélérera et sa vitesse se rapprochera asymptotiquement de <math>\;V_{M,\,\text{lim}}\;</math> en restant au-dessus, correspondant à sa vitesse relative <math>\;u_M\;</math> <math>\searrow</math> en se rapprochant asymptotiquement de <math>\;1\;</math> en restant au-dessus, d'où <math>\;u_M > 1</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre }}finalement on peut écrire «<math>\;\dfrac{1 + u_M}{1 - u_M} = \dfrac{1 + u_0}{1 - u_0}\; \exp(\xi)\;</math>» ou encore «<math>\;\dfrac{1 + u_M}{1 - u_M} = A\; \exp(\xi)\;</math>» en posant «<math>\;A = \dfrac{1 + u_0}{1 - u_0}\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre finalement on peut écrire }}«<math>\;1 + u_M = \left( 1 - u_M \right)\,A\;\exp(\xi)\;</math>» dont on tire <math>\;u_M\, \left[ 1 + A\;\exp(\xi) \right] = A\;\exp(\xi) - 1\;</math> soit «<math>\;u_M(\xi) = \dfrac{A\;\exp(\xi) - 1}{A\;\exp(\xi) + 1}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre finalement on peut écrire }}en réinjectant l'expression de <math>\;A = \dfrac{1 + u_0}{1 - u_0}\;</math> et en multipliant haut et bas par <math>\;1 - u_0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre finalement on peut écrire }}l'expression de la loi horaire de vitesse relative en fonction du temps relatif «<math>\;u_M(\xi) = \dfrac{(1 + u_0)\;\exp(\xi) - (1 - u_0)}{(1 + u_0)\;\exp(\xi) + (1 - u_0)}\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle s'intègre finalement on peut écrire l'expression de la loi horaire de vitesse relative en fonction du temps relatif }}«<math>\;u_M(\xi) = \dfrac{1 + u_0 + (u_0 - 1)\;\exp(-\xi)}{1 + u_0 - (u_0 - 1)\;\exp(-\xi)}\;</math>»<ref> La dernière expression étant obtenue en multipliant haut et bas par <math>\;\exp(-\xi)</math>.</ref>. {{Al|5}}En revenant à <math>\;V_M\;</math> et <math>\;t\;</math> on obtient «<math>\;\dfrac{V_M}{V_{M,\,\text{lim}}} = \dfrac{1 + \dfrac{V_0}{V_{M,\,\text{lim}}} + \left( \dfrac{V_0}{V_{M,\,\text{lim}}} - 1 \right)\,\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)}{1 + \dfrac{V_0}{V_{M,\,\text{lim}}} - \left( \dfrac{V_0}{V_{M,\,\text{lim}}} - 1 \right)\,\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)} = \dfrac{V_{M,\,\text{lim}} + V_0 + \left( V_0 - V_{M,\,\text{lim}} \right)\,\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)}{V_{M,\,\text{lim}} + V_0 - \left( V_0 - V_{M,\,\text{lim}} \right)\,\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)}\;</math>»<ref> La dernière expression étant obtenue en multipliant haut et bas par <math>\;V_{M,\,\text{lim}}</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|En revenant à <math>\;\color{transparent}{V_M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> on obtient }}«<math>\;V_M(t) = V_{M,\,\text{lim}}\;\dfrac{V_{M,\,\text{lim}} + V_0 + \left( V_0 - V_{M,\,\text{lim}} \right)\,\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)}{V_{M,\,\text{lim}} + V_0 - \left( V_0 - V_{M,\,\text{lim}} \right)\,\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)}\;</math>»<ref> Il convient de vérifier le bon accord de cette loi avec les valeurs connue ou attendue à <math>\;t = 0\;</math> et <math>\;t \rightarrow \infty\;</math> ce qui donne : * à <math>\;t = 0</math>, <math>\;V_M(0) = V_{M,\,\text{lim}}\;\dfrac{V_{M,\,\text{lim}} + V_0 + \left( V_0 - V_{M,\,\text{lim}} \right)}{V_{M,\,\text{lim}} + V_0 - \left( V_0 - V_{M,\,\text{lim}} \right)} = V_{M,\,\text{lim}}\;\dfrac{2\;V_0}{2\;V_{M,\,\text{lim}}} = V_0\;</math> et * quand <math>\;t \rightarrow \infty</math>, <math>\;\lim\limits_{t\,\rightarrow\,\infty} V_M(t) = V_{M,\,\text{lim}}\;\dfrac{V_{M,\,\text{lim}} + V_0\;\; \cancel{+ \left( V_0 - V_{M,\,\text{lim}} \right)\,\lim\limits_{t\,\rightarrow\,\infty} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)}}{V_{M,\,\text{lim}} + V_0\;\; \cancel{- \left( V_0 - V_{M,\,\text{lim}} \right)\,\lim\limits_{t\,\rightarrow\,\infty} \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)}} = V_{M,\,\text{lim}}</math>.</ref> avec <math>\;\tau = \dfrac{V_{M,\,\text{lim}}}{2\;g}\;</math> constante de temps de chute freinée de la boule.}} === Détermination de l'équation différentielle en carré de vitesse relative fonction de la cote relative du mouvement de la boule et résolution === {{Al|5}}Déduire, de l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif <math>\;u_M(\xi)</math>, celle en carré de vitesse relative fonction de la cote relative <math>\;u_M^2(\zeta_M)</math> ; {{Al|5}}par résolution de cette nouvelle équation différentielle en <math>\;u_M^2(\zeta_M)</math>, déterminer la vitesse relative de la boule <math>\;u_M\;</math> en fonction de la cote relative <math>\;\zeta_M</math>, puis {{Al|5}}{{Transparent|par résolution de cette nouvelle équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{u_M^2(\zeta_M)}</math>, déterminer }}la vitesse de la boule <math>\;V_M\;</math> en fonction de la cote <math>\;z_M</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Les constantes de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée par résistance de l'air quadratique étant définie par <math>\;\tau = \dfrac{V_{M,\,\text{lim}}}{2\;g}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les constantes }}de longueur du portrait de phase de même chute freinée définie par <math>\;\lambda = \dfrac{V_{M,\,\text{lim}}^{\,2}}{2\;g}</math>, on en déduit le lien entre ces deux constantes du mouvement de chute freinée «<math>\;\lambda = V_{M,\,\text{lim}}\;\tau\;</math>» ; {{Al|5}}la vitesse <math>\;V_M(t)\;</math> étant définie par «<math>\;V_M(t) = \dfrac{dz_M}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la vitesse relative «<math>\;u_M(t) = \dfrac{V_M(t)}{V_{M,\,\text{lim}}} = \dfrac{1}{V_{M,\,\text{lim}}}\;\dfrac{dz_M}{dt}(t)\;</math>» ou, avec le temps relatif <math>\;\xi = \dfrac{t}{\tau}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;t = \tau\;\xi\;</math> et «<math>\;dt = \tau\;d \xi\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|la vitesse <math>\;\color{transparent}{V_M(t)}\;</math> étant définie par «<math>\;\color{transparent}{V_M(t) = \dfrac{dz_M}{dt}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> la vitesse relative «<math>\;\color{transparent}{u_M(t) = \dfrac{V_M(t)}{V_{M,\,\text{lim}}} = \dfrac{1}{V_{M,\,\text{lim}}}\;\dfrac{dz_M}{dt}(t)}\;</math>» ou, avec }}la cote relative <math>\;\zeta_M = \dfrac{z_M}{\lambda}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;z_M = \lambda\;\zeta\;</math> et «<math>\;dz_M = \lambda\;d \zeta_M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|la vitesse <math>\;\color{transparent}{V_M(t)}\;</math> étant définie par «<math>\;\color{transparent}{V_M(t) = \dfrac{dz_M}{dt}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> la vitesse relative «<math>\;\color{transparent}{u_M(t) = \dfrac{V_M(t)}{V_{M,\,\text{lim}}} = \dfrac{1}{V_{M,\,\text{lim}}}\;\dfrac{dz_M}{dt}(t)}\;</math>» ou, avec }}<math>\dfrac{dz_M}{dt}(t) = \dfrac{\lambda\;d \zeta_M}{\tau\;d \xi}(\tau\;\xi) = \dfrac{\lambda}{\tau}\;\dfrac{d \zeta_M}{d \xi}(\tau\;\xi) = V_{M,\,\text{lim}}\;\dfrac{d \zeta_M}{d \xi}(\tau\;\xi)\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|la vitesse <math>\;\color{transparent}{V_M(t)}\;</math> étant définie par «<math>\;\color{transparent}{V_M(t) = \dfrac{dz_M}{dt}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la vitesse relative se réécrit «<math>\;u_M(\tau\;\xi) = \dfrac{d \zeta_M}{d \xi}(\tau\;\xi)\;</math>» ou plus simplement «<math>\;u_M(\xi) = \dfrac{d \zeta_M}{d \xi}(\xi)\;</math>»<ref name="abus de notation" /> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|la vitesse <math>\;\color{transparent}{V_M(t)}\;</math> étant définie par «<math>\;\color{transparent}{V_M(t) = \dfrac{dz_M}{dt}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la vitesse relative est la dérivée de la cote relative par rapport au temps relatif. {{Al|5}}Souhaitant obtenir une équation différentielle en <math>\;u_M(\zeta_M)</math>, on part de «<math>\;\dfrac{du_M}{d \xi} = \dfrac{1 - u_M^2}{2}\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Détermination_de_l'équation_différentielle_en_vitesse_relative_fonction_du_temps_relatif_uM(ξ)_du_mouvement_de_la_boule_et_résolution|détermination de l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif u_M(ξ) du mouvement de la boule et résolution]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Souhaitant obtenir une équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{u_M(\zeta_M)}</math>, }}on « multiplie membre à membre par <math>\;\dfrac{d \xi}{d \zeta_M} = \dfrac{1}{u_M}\;</math>» pour faire apparaître dans le membre de gauche «<math>\;\dfrac{du_M}{d \xi} \times \dfrac{d \xi}{d \zeta_M} = \dfrac{du_M}{d \zeta_M}\;</math>» avec <br>{{Transparent|Souhaitant obtenir une équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{u_M(\zeta_M)}</math>, on « multiplie membre à membre par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \xi}{d \zeta_M} = \dfrac{1}{u_M}}\;</math>» pour faire apparaître dans }}pour membre de droite «<math>\;\dfrac{1 - u_M^2}{2} \times \dfrac{1}{u_M} = \dfrac{1 - u_M^2}{2\;u_M}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Souhaitant obtenir une équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{u_M(\zeta_M)}</math>, on part de }}«<math>\;\dfrac{du_M}{d \zeta_M} = \dfrac{1 - u_M^2}{2\;u_M}\;</math>» ou encore «<math>\;2\; u_M\; \dfrac{du_M}{d \zeta_M} = 1 - u_M^2\;</math>» soit finalement, avec <math>\;2\; u_M\; \dfrac{du_M}{d \zeta_M} = \dfrac{d (u_M^2)}{d \zeta_M}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Souhaitant obtenir une équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{u_M(\zeta_M)}</math>, on part de }}«<math>\;\dfrac{d (u_M^2)}{d \zeta_M} = 1 - u_M^2\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d (u_M^2)}{d \zeta_M}(\zeta_M) + u_M^2(\zeta_M) = 1\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Souhaitant obtenir une équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{u_M(\zeta_M)}</math>, on part de «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d (u_M^2)}{d \zeta_M} = 1 - u_M^2}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}une équation différentielle linéaire du 1^er ordre en <math>\;u_M^2(\zeta_M)\;</math> à cœfficients réels constants hétérogène. {{Al|5}}La résolution de l'équation donne «<math>\;u_M^2(\zeta_M) = 1 + A\; \exp(-\zeta_M)\;</math>»<ref> La solution forcée étant cherchée sous la même forme que l'excitation c.-à-d. sous la forme d'une constante, on trouve <math>\;u_{M,\,f} = 1\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Premier_ordre_à_excitation_constante|1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et la solution libre <math>\;u_{M,\,l}(\zeta_M)\;</math> solution de <math>\;\dfrac{d (u_{M,\,l}^{\,2})}{d \zeta_M}(\zeta_M) + u_{M,\,l}^{\,2}(\zeta_M) = 0\;</math> nécessitant de résoudre d'abord l'équation caractéristique <math>\;s + 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;s = -1</math>, s'écrit <math>\;u_{M,\,l}(\zeta_M) = A\;\exp(-\zeta_M)\;</math> avec <math>\;A\;</math> constante réelle d'intégration <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la solution générale de l'équation différentielle hétérogène étant la somme des deux {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> avec <math>\;A\;</math> se déterminant à l'aide de la « C.A.L.<ref name="C.A.L."> Condition À la Limite <math>\;\big(</math>ou Conditions Aux Limites<math>\big)</math>.</ref> <math>\;u_M^2(\zeta_M = 0) = u_0^2\;</math>»<ref> L'origine des cotes étant prise au point de lancement <math>\;\Rightarrow\;</math> la condition initiale <math>\;t = 0\;</math> est équivalente à la condition à la limite <math>\;z_M = 0</math>.</ref> soit <math>\;u_0^2 = 1 + A\;</math> dont on tire «<math>\;A = u_0^2 - 1\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résolution de l'équation donne }}«<math>\;u_M^2(\zeta_M) = 1 + (u_0^2 - 1)\; \exp(-\zeta_M)\;</math>» soit finalement «<math>\;u_M(\zeta_M) = \sqrt{1 + (u_0^2 - 1)\; \exp(-\zeta_M)}\;</math>». {{Al|5}}En revenant à <math>\;V_M\;</math> et <math>\;z_M\;</math> on obtient «<math>\;\dfrac{V_M}{V_{M,\,\text{lim}}} = \sqrt{1 + \left[ \left( \dfrac{V_0}{V_{M,\,\text{lim}}} \right)^{\!2} - 1 \right]\; \exp\! \left( -\dfrac{z_M}{\lambda} \right)}\;</math>» soit <math>\;V_M(z_M) = V_{M,\,\text{lim}}\;\sqrt{1 + \left[ \left( \dfrac{V_0}{V_{M,\,\text{lim}}} \right)^{\!2} - 1 \right]\; \exp\! \left( -\dfrac{z_M}{\lambda} \right)}\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|En revenant à <math>\;\color{transparent}{V_M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{z_M}\;</math> on obtient }}«<math>\;V_M(z_M) = \sqrt{V_{M,\,\text{lim}}^{\,2} + \left( V_0^2 - V_{M,\,\text{lim}}^{\,2} \right)\, \exp\! \left( -\dfrac{z_M}{\lambda} \right)}\;</math>»<ref> Il convient de vérifier le bon accord de cette loi avec les valeurs connue ou attendue à <math>\;z_M = 0\;</math> et <math>\;z_M \rightarrow \infty\;</math> ce qui donne : * à <math>\;z_M = 0</math>, <math>\;V_M(0) = \sqrt{V_{M,\,\text{lim}}^{\,2} + \left( V_0^2 - V_{M,\,\text{lim}}^{\,2} \right)} = V_0\;</math> et * quand <math>\;z_M \rightarrow \infty</math>, <math>\;\lim\limits_{z_M\,\rightarrow\,\infty} V_M(z_M) = \sqrt{V_{M,\,\text{lim}}^{\,2}\;\; \cancel{+ \left( V_0^2 - V_{M,\,\text{lim}}^{\,2} \right)\, \lim\limits_{z_M\,\rightarrow\,\infty} \exp\! \left( -\dfrac{z_M}{\lambda} \right)}} = V_{M,\,\text{lim}}</math>.</ref> avec «<math>\;\lambda = \dfrac{V_{M,\,\text{lim}}^{\,2}}{2\;g}\;</math> constante de longueur de chute freinée de la boule »<ref name="introduction de lambda" />.}} === Détermination de la distance parcourue pour que la boule acquiert pratiquement sa vitesse limite === {{Al|5}}Admettant que la vitesse limite est acquise pratiquement par la boule si la vitesse de celle-ci atteint sa valeur limite à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Admettant que la vitesse limite est acquise pratiquement par la boule }}déterminer la distance parcourue correspondante en fonction de <math>\;u_0 = \dfrac{V_0}{V_{M,\,\text{lim}}}\;</math> et de <math>\;\lambda\;</math><ref name="introduction de lambda" />. {{Solution | contenu ={{Al|5}}La valeur de <math>\;V_M\;</math> quand celle-ci atteint <math>\;V_{M,\,\text{lim}}\;</math> à <math>\;1\;\%\;</math> près étant <math>\;V_M(z_{M,\,\text{prat lim}}) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,99\; V_{M,\,\text{lim}}\;\;\text{pour }V_0 < V_{M,\,\text{lim}}\\ 1,01\; V_{M,\,\text{lim}}\;\;\text{pour }V_0 > V_{M,\,\text{lim}} \end{array}\right.\;</math> dans laquelle <math>\;z_{M,\,\text{prat lim}}\;</math> est la cote associée, on en déduit <br>{{Al|5}}la valeur de sa vitesse relative «<math>\;u_M(\zeta_{M,\,\text{prat lim}}) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,99\;\;\text{pour }u_0 < 1\\ 1,01\;\;\text{pour }u_0 > 1 \end{array}\right.\;</math>» à la cote relative <math>\;\zeta_{M,\,\text{prat lim}} = \dfrac{z_{M,\,\text{prat lim}}}{\lambda}\;</math> correspondante ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la valeur de sa vitesse relative }}«<math>\;u_M(\zeta_{M,\,\text{prat lim}}) = 1 + \mathrm{sgn}(u_0 - 1)\;10^{-2}\;</math>» avec la fonction «<math>\;\mathrm{sgn}(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} +1\;\;\text{pour }x > 0\\ -1\;\;\text{pour }x < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}ayant trouvé «<math>\;u_M(\zeta_M) = \sqrt{1 + (u_0^2 - 1)\; \exp(-\zeta_M)}\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Détermination_de_l'équation_différentielle_en_carré_de_vitesse_relative_fonction_de_la_cote_relative_du_mouvement_de_la_boule_et_résolution|détermination de l'équation différentielle en carré de vitesse relative fonction de la cote relative [u_M]²(ζ) du mouvement de la boule et résolution]] » plus haut dans cet exercice.</ref> on en déduit l'équation en <math>\;\zeta_{M,\,\text{prat lim}}\;</math> suivante «<math>\;\sqrt{1 + (u_0^2 - 1)\; \exp(-\zeta_{M,\,\text{prat lim}})} = 1 + \mathrm{sgn}(u_0 - 1)\;10^{-2}\;</math>» ou, en élevant au carré, <br>{{Al|11}}{{Transparent|ayant trouvé «<math>\;\color{transparent}{u_M(\zeta_M) = \sqrt{1 + (u_0^2 - 1)\; \exp(-\zeta_M)}}\;</math>» on en déduit l'équation en <math>\;\color{transparent}{\zeta_{M,\,\text{prat lim}}}\;</math> suivante }}«<math>\;1 + (u_0^2 - 1)\; \exp(-\zeta_{M,\,\text{prat lim}}) \simeq 1 + 2\;\mathrm{sgn}(u_0 - 1)\;10^{-2}\;</math>»<ref> En utilisant le D.L. à l'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math> suivant <math>\;(1 + \varepsilon)^2 \simeq 1 + 2\;\varepsilon\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités (D.L.) à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|ayant trouvé «<math>\;\color{transparent}{u_M(\zeta_M) = \sqrt{1 + (u_0^2 - 1)\; \exp(-\zeta_M)}}\;</math>» on en déduit l'équation en <math>\;\color{transparent}{\zeta_{M,\,\text{prat lim}}}\;</math> suivante }}«<math>\;\exp(-\zeta_{M,\,\text{prat lim}}) \simeq \dfrac{2\;\mathrm{sgn}(u_0 - 1)\;10^{-2}}{u_0^2 - 1} = \dfrac{2\;10^{-2}}{\vert u_0^2 - 1 \vert}\;</math>»<ref> En effet pour <math>\;u_0 > 1</math>, <math>\;\exp(-\zeta_{M,\,\text{prat lim}}) \simeq \dfrac{2\;\mathrm{sgn}(u_0 - 1)\;10^{-2}}{u_0^2 - 1} = \dfrac{2\;10^{-2}}{\vert u_0^2 - 1 \vert}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}pour <math>\;u_0 < 1</math>, <math>\;\exp(-\zeta_{M,\,\text{prat lim}}) \simeq \dfrac{2\;\mathrm{sgn}(u_0 - 1)\;10^{-2}}{u_0^2 - 1} = \dfrac{-2\;10^{-2}}{u_0^2 - 1} = \dfrac{-2\;10^{-2}}{-\vert u_0^2 - 1 \vert}</math>.</ref> et finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|ayant trouvé «<math>\;\color{transparent}{u_M(\zeta_M) = \sqrt{1 + (u_0^2 - 1)\; \exp(-\zeta_M)}}\;</math>» on en déduit l'équation en <math>\;\color{transparent}{\zeta_{M,\,\text{prat lim}}}\;</math> suivante }}«<math>\;\zeta_{M,\,\text{prat lim}} \simeq -\ln\! \left[ \dfrac{2\;10^{-2}}{\vert u_0^2 - 1 \vert} \right] = \ln(50) + \ln\! \vert u_0^2 - 1 \vert \simeq 3,9 + \ln\! \vert u_0^2 - 1 \vert\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit donc la distance parcourue par la boule depuis l'endroit de son lancer pour que sa vitesse limite soit pratiquement acquise à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près <center>«<math>\;z_{M,\,\text{prat lim}} \simeq \left[ 3,9 + \ln\! \vert u_0^2 - 1 \vert \right]\,\lambda\;</math>» avec <math>\;\lambda = \dfrac{V_{M,\,\text{lim}}^{\,2}}{2\;g}\;</math> constante de longueur de chute freinée de la boule<ref name="introduction de lambda" />, soit</center> * pour <math>\;u_0 = 0\;</math> <math>\big[</math>chute sans vitesse initiale<math>\big]</math>, <math>\;z_{M,\,\text{prat lim}}(u_0 = 0) \simeq 3,9\;\lambda \simeq 4\;\lambda</math>, * pour <math>\;u_0 = 2\;</math> <math>\big[</math>chute avec une vitesse initiale double de la vitesse limite<math>\big]</math>, <math>\;z_{M,\,\text{prat lim}}(u_0 = 2) \simeq 3,9\;\lambda \simeq 4\;\lambda\;</math> <math>\big(</math>même résultat que celui trouvé pour une chute sans vitesse initiale<math>\big)</math>, * pour <math>\;u_0 = 3\;</math> <math>\big[</math>chute avec une vitesse initiale triple de la vitesse limite<math>\big]</math>, <math>\;z_{M,\,\text{prat lim}}(u_0 = 3) \simeq \left[ 3,9 + \ln(8) \right]\,\lambda \simeq 6\;\lambda</math>, * pour <math>\;u_0 = 5\;</math> <math>\big[</math>chute avec une vitesse initiale quintuple de la vitesse limite<math>\big]</math>, <math>\;z_{M,\,\text{prat lim}}(u_0 = 5) \simeq \left[ 3,9 + \ln(24) \right]\,\lambda \simeq 7,1\;\lambda</math>, <math>\;\big[</math>distance parcourue d'autant plus grande que la vitesse initiale est éloignée de la vitesse limite par valeur supérieure<math>\big]</math>, * pour <math>\;u_0 = 0,5\;</math> <math>\big[</math>chute avec une vitesse initiale moitié de la vitesse limite<math>\big]</math>, <math>\;z_{M,\,\text{prat lim}}(u_0 = 0,5) \simeq \left[ 3,9 + \ln(0,75) \right]\,\lambda \simeq 3,6\;\lambda</math>, * pour <math>\;u_0 = 0,8\;</math> <math>\big[</math>chute avec une vitesse initiale de <math>\;80\;\%\;</math> de la vitesse limite<math>\big]</math>, <math>\;z_{M,\,\text{prat lim}}(u_0 = 0,8) \simeq \left[ 3,9 + \ln(0,36) \right]\,\lambda \simeq 2,9\;\lambda\;</math> et * pour <math>\;u_0 = 0,9\;</math> <math>\big[</math>chute avec une vitesse initiale de <math>\;90\;\%\;</math> de la vitesse limite<math>\big]</math>, <math>\;z_{M,\,\text{prat lim}}(u_0 = 0,9) \simeq \left[ 3,9 + \ln(0,19) \right]\,\lambda \simeq 2,25\;\lambda</math> <math>\;\big[</math>distance parcourue d'autant plus petite que la vitesse initiale est proche de la vitesse limite par valeur inférieure<math>\big]</math> <math>\;\ldots</math>}} === Modification des résultats des questions précédentes avec le rayon de la boule === {{Al|5}}Comment les résultats des questions précédentes sont-ils modifiés pour une boule de même masse volumique, mais deux fois plus lourde ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Sachant qu'une boule de même masse volumique que la boule initiale mais deux fois plus lourde a un volume deux fois plus grand et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sachant qu'une boule de même masse volumique que la boule initiale mais deux fois plus lourde a }}ce dernier est <math>\;\propto\;</math> au cube de son rayon<ref> On rappelle le volume d'une boule de rayon <math>\;R</math>, «<math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3\;</math>».</ref>, on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sachant qu'une boule de même masse volumique que la boule initiale mais deux fois plus lourde a }}le rayon de la boule nouvellement étudiée est multiplié par <math>\;\sqrt[3]{2} \simeq 1,26\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sachant qu'une boule de même masse volumique que la boule initiale mais deux fois plus lourde a }}l'aire <math>\;S\;</math> de son [[w:Maître-couple|maître-couple]]<ref name="maître-couple" /> <math>\;\propto\;</math> au carré du rayon<ref> Le [[w:Maître-couple|maître-couple]] d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant un disque de même rayon dont l'aire vaut <math>\;\pi\;R^2</math>.</ref> est multipliée par <math>\;\left( \sqrt[3]{2} \right)^{\!2} \simeq 1,587</math> ; {{Al|5}}la vitesse limite de chute freinée d'une boule étant <math>\;V_{M,\,\text{lim}} = \sqrt{\dfrac{m\; g}{k\; S}}\;</math> avec <math>\;k = \dfrac{1}{2}\;C_x\;\mu_{\text{air}}\;</math> indépendant du rayon de la boule, est donc multipliée, lors de l'utilisation de la boule nouvellement étudiée, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la vitesse limite de chute freinée d'une boule étant <math>\;\color{transparent}{V_{M,\,\text{lim}} = \sqrt{\dfrac{m\; g}{k\; S}}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{k = \dfrac{1}{2}\;C_x\;\mu_{\text{air}}}\;</math> indépendant du rayon de la boule, est donc multipliée, }}par <math>\;\sqrt{\dfrac{2}{\left( \sqrt[3]{2} \right)^{\!2}}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[6]{2^3}}{\sqrt[6]{2^2}} = \sqrt[6]{2} \simeq 1,1225 \simeq 1,12\;</math> ; {{Al|5}}la constante de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée d'une boule par résistance de l'air quadratique étant <math>\;\tau = \dfrac{v_{M,\,\text{lim}}}{2\; g}\;</math> est donc aussi multipliée, lors de l'utilisation de la boule nouvellement étudiée, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la constante de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée d'une boule par résistance de l'air quadratique étant <math>\;\color{transparent}{\tau = \dfrac{v_{M,\,\text{lim}}}{2\; g}}\;</math> est donc aussi multipliée, }}par <math>\;\sqrt[6]{2} \simeq 1,1225 \simeq 1,12\;</math> et {{Al|5}}la constante de longueur du portrait de phase de la même chute freinée d'une boule étant <math>\;\lambda = \dfrac{v_{M,\,\text{lim}}}{2\; g}\;</math><ref name="introduction de lambda" /> est multipliée, lors de l'utilisation de cette même boule nouvellement étudiée, <br>{{Al|10}}{{Transparent|la constante de longueur du portrait de phase de la même chute freinée d'une boule étant <math>\;\color{transparent}{\lambda = \dfrac{v_{M,\,\text{lim}}}{2\; g}}\;</math> est multipliée, }}par <math>\;\left( \sqrt[6]{2} \right)^{\!2} = \sqrt[3]{2} \simeq 1,26</math>.}} == Skieur soumis à une résistance de l’air quadratique glissant sans puis avec frottement sur une piste inclinée == {{Al|5}}Un skieur de masse <math>\;m = 80\; kg</math>, assimilable à un solide de C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. <math>\;G</math>, glisse<ref> Il a donc un mouvement de translation.</ref> sans frottement <math>\;\big(</math>solide<math>\big)\;</math> sur une piste rectiligne faisant un angle <math>\;\alpha = 45\;\text{°}\;</math> avec l'horizontale ; {{Al|5}}le skieur part sans vitesse initiale et {{Al|5}}{{Transparent|le skieur }}subit, de la part de l'air globalement immobile dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> supposé galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le skieur subit, }}une force de résistance à l'avancement de norme <math>\;\Big\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} \Big\Vert = \dfrac{1}{2}\;k\;S\;V_G^2\;</math> dans laquelle <math>\;k \simeq 0,8\;kg \cdot m^{-3}\;</math> est un cœfficient dépendant de l'aérodynamisme du skieur ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|le skieur subit, une force de résistance à l'avancement de norme <math>\;\color{transparent}{\Big\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} \Big\Vert = \dfrac{1}{2}\;k\;S\;V_G^2}\;</math> dans laquelle <math>\;\color{transparent}{k \simeq 0,8\;kg \cdot m^{-3}}\;</math> est un cœfficient dépendant }}de la compacité du fluide l'enveloppant<ref> Plus précisément <math>\;k = C_x\,\mu_{\text{air}}\;</math> avec <math>\;C_x \simeq 0,67\;</math> [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] du skieur et <math>\;\mu_{\text{air}} = 1,2\;kg \cdot m^{-3}\;</math> masse volumique de l'air.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le skieur subit, une force de résistance à l'avancement de norme <math>\;\color{transparent}{\Big\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} \Big\Vert = \dfrac{1}{2}\;k\;S\;V_G^2}\;</math> dans laquelle }}<math>\;S \simeq 0,4\;m^2\;</math> l'aire de son [[w:Maître-couple|maître-couple]]<ref name="maître-couple" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le skieur subit, une force de résistance à l'avancement de norme <math>\;\color{transparent}{\Big\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} \Big\Vert = \dfrac{1}{2}\;k\;S\;V_G^2}\;</math> dans laquelle }}<math>\;V_G\;</math> la norme du vecteur vitesse de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math>. === Détermination de la vitesse limite du skieur glissant sur la pente inclinée === {{Al|5}}En admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de la ligne de plus grande pente de la piste inclinée<ref name="mouvement rectiligne le long de la ligne de plus grande pente"> Il n'est donc pas demandé de le démontrer, cela se ferait par récurrence <math>\;\big(</math>initialement, c.-à-d. en absence de résistance de l'air, le skieur est soumis à deux forces situées dans le plan vertical <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox}\big)\;</math> et la démonstration pourrait être calquée, tant que le skieur reste en contact avec la piste, sur celle du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Établissement_de_la_nature_plane_de_la_trajectoire_du_centre_d'inertie_de_l'objet_en_chute_freinée_par_résistance_de_l'air_quadratique_quand_ce_dernier_est_lancé_avec_un_vecteur_vitesse_non_vertical|établissement de la nature plane de la trajectoire du C.D.I. de l'objet en chute freinée par résistance de l'air quadratique quand ce dernier est lancé avec un vecteur vitesse non vertical]] (autre démonstration de la nature plane …) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En admettant que le mouvement du skieur est rectiligne }}montrer qu'il acquiert, au bout d'une durée suffisamment longue<ref name="à préciser" />, une vitesse limite <math>\;V_{G,\,\text{lim}}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En admettant que le mouvement du skieur est rectiligne }}évaluer numériquement cette dernière sachant que l'intensité de la pesanteur terrestre est uniforme, égale à <math>\;9,81\;m \cdot s^{-2}</math>. {{Al|5}}Comparer au record mondial de vitesse à skis déterminé dans les mêmes conditions d'expérience de <math>\;210\; km \cdot h^{-1}</math>. {{Solution | contenu = [[File:Solide glissant sans frottement sur plan incliné.png|thumb|300px|Schéma de situation d'un skieur glissant sans frottement <math>\;\big(</math>solide<math>\big)\;</math> <math>\big\{</math>et sans se déformer<math>\big\}\;</math> le long de la ligne de plus grande pente d'une piste inclinée]] {{Al|5}}Voir schéma de situation ci-contre avec <math>\;\vec{u}_x\;</math> vecteur unitaire orienté dans le sens descendant de la ligne de plus grande pente de la piste incliné ainsi que <math>\;\vec{u}_y\;</math> vecteur unitaire normal à la piste inclinée et orienté en sortant du sol : {{Al|5}}Le skieur étant soumis aux trois forces <math>\succ\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\sin(\alpha)\;\vec{u}_x - m\;g\;\cos(\alpha)\;\vec{u}_y\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le skieur étant soumis aux trois forces }}<math>\succ\;</math>la réaction de la piste <math>\;\vec{R}\;</math> <math>\big(\perp\;</math> à cette dernière par absence de frottement solide<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\vec{R} = R\;\vec{u}_y\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le skieur étant soumis aux trois forces }}<math>\succ\;</math>une force de résistance à l'avancement «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t) = -\dfrac{1}{2}\;k\;S\;V_G^2(t)\;\vec{u}_x\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le skieur étant soumis aux trois forces <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une force de résistance à l'avancement}}<math>\big(</math>le mouvement se faisant le long de la ligne de plus grande pente<math>\big)</math>, {{Al|5}}l'application du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du skieur <math>\;\big(</math>assimilé à un solide<math>\big)\;</math> dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> supposé galiléen, nous donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|l'application du théorème du mouvement du C.D.I. du skieur }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R} + \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t) = m\;\vec{a}_{G}(t)\;</math>»<ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, {{Al|5}}sa projection sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> nous conduit à «<math>\;m\;g\;\sin(\alpha) - \dfrac{1}{2}\;k\;S\;V_G^2(t) = m\;a_{G,\,x}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> nous conduit à }}une accélération le long de la ligne de plus grande comptée dans le sens descendant égale à «<math>\;a_{G,\,x}(t) = g\;\sin(\alpha) - \dfrac{k\;S}{2\;m}\;V_G^2(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> nous conduit à une accélération }}de valeur initiale <math>\;a_{G,\,x}(0) = g\;\sin(\alpha) > 0</math> <math>\;\big(</math>la vitesse initiale du skieur étant nulle<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> nous conduit à une accélération de valeur initiale <math>\;\color{transparent}{a_{G,\,x}(0) = g\;\sin(\alpha) > 0}</math> }}<math>\Rightarrow</math> une <math>\;\nearrow\;</math> de la vitesse à partir de sa valeur nulle et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> nous conduit à une accélération de valeur initiale <math>\;\color{transparent}{a_{G,\,x}(0) = g\;\sin(\alpha) > 0}</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}une <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;a_{G,\,x}(t) = g\;\sin(\alpha) - \dfrac{k\;S}{2\;m}\;V_G^2(t)</math>, ceci se poursuivant tant que cette dernière reste <math>\;> 0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> nous conduit à une accélération de valeur initiale <math>\;\color{transparent}{a_{G,\,x}(0) = g\;\sin(\alpha) > 0}</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la <math>\;\nearrow\;</math> de la vitesse cessera donc si elle atteint la valeur <math>\;V_{G,\,\text{lim}}\;</math> telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> nous conduit à une accélération de valeur initiale <math>\;\color{transparent}{a_{G,\,x}(0) = g\;\sin(\alpha) > 0}</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> la <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de la vitesse cessera donc si }}«<math>\;m\;a_{G,\,x}(t_{V_{G,\,\text{lim}}}) = m\;g\;\sin(\alpha) - \dfrac{1}{2}\;k\;S\;V_{G,\,\text{lim}}^{\,2} = 0\;</math>» c'est-à-dire <center>dans la mesure où il n'y a pas de limitation dans le temps du mouvement du skieur, ce dernier acquiert pratiquement <br>une vitesse limite égale à «<math>\;V_{G,\,\text{lim}} = \sqrt{\dfrac{2\;m\;g\;\sin(\alpha)}{k\;S}}\;</math>» <br>donnant numériquement «<math>\;V_{G,\,\text{lim}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 80 \times 9,81 \times \sin(45\,\text{°})}{0,8 \times 0,4}} \simeq 58,9\;m \cdot s^{-1} \simeq 212\;km \cdot h^{-1}\;</math>»<ref name="changement d'unité de vitesse"> Une vitesse exprimée en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math> s'exprime en <math>\;km \cdot h^{-1}\;</math> en multipliant par <math>\;3,6\;</math> en effet <br>{{Al|3}}<math>\;1\;km \cdot h^{-1} = \dfrac{1000\;m}{3600\;s} = \dfrac{1}{3,6}\;m \cdot s^{-1}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;1\;m \cdot s^{-1} = 3,6\;km \cdot h^{-1}\;</math> et par suite <br>{{Al|3}}la mesure d'une même vitesse <math>\;V\;</math> dans chaque unité étant liée par <math>\;V = V_{\text{en }\,m \cdot s^{-1}}\;m \cdot s^{-1} =</math> <math>V_{\text{en }\,km \cdot h^{-1}}\;km \cdot h^{-1}\;</math> on déduit de <math>\;1\;m \cdot s^{-1} =</math> <math>3,6\;km \cdot h^{-1}\;</math> en multipliant de part et d'autre par <math>\;V_{\text{en }\,m \cdot s^{-1}}\;</math> la relation <math>\;V_{\text{en }\,m \cdot s^{-1}} \times 1\;m \cdot s^{-1} =</math> <math>V_{\text{en }\,m \cdot s^{-1}}\times 3,6\;km \cdot h^{-1}\;</math> à identifier à <math>\;V_{\text{en }\,km \cdot h^{-1}}\;km \cdot h^{-1}\;</math> d'où <math>\;V_{\text{en }\,km \cdot h^{-1}} = 3,6 \times V_{\text{en }\,m \cdot s^{-1}}\;</math> C.Q.F.D. (Ce Qu'il Fallait Démontrer).</ref> ;</center> {{Al|5}}en conclusion, le résultat théorique ci-dessus <math>\;V_{G,\,\text{lim},\,th} \simeq 212\;km \cdot h^{-1}\;</math> est de même ordre de grandeur que le record mondial à skis mesuré dans les même conditions d'expérience <math>\;V_{G,\,\text{lim},\,exp} \simeq 210\;km \cdot h^{-1}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion }}ceci prédit donc que l'influence des frottements des skis sur la neige doit être faible relativement à celle de la force de résistance à l'avancement due à l'air mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion }}ceci sera proposé à la validation dans la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Influence_du_cœfficient_de_frottement_des_skis_sur_la_neige|influence du cœfficient de frottement des skis sur la neige]] » plus bas dans l'exercice.}} === Détermination de la loi horaire de vitesse du skieur et conséquences === {{Al|5}}Cherchant à déterminer la loi horaire de vitesse du skieur glissant sur la pente inclinée, on choisit un axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> le long de la ligne de plus grande pente dans le sens descendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cherchant à déterminer la loi horaire de vitesse du skieur glissant sur la pente inclinée, on choisit }}avec <math>\;O\;</math> position à partir de laquelle le skieur commence à glisser ; {{Al|5}}en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math><ref name="mouvement rectiligne le long de la ligne de plus grande pente" />, établir l'équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;V_{G,\,x} = \Vert \vec{V}_G \Vert</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Ox}}\;</math>, }}simplifier son expression en utilisant <math>\;V_{G,\,\text{lim}}\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Ox}}\;</math>, }}en déduire la loi horaire de vitesse du skieur sous la forme «<math>\;V_{G,\,x} = V_{G,\,\text{lim}}\;\tanh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)\;</math>»<ref name="tanh"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Tangente_hyperbolique|tangente hyperbolique]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Ox}}\;</math>, en déduire la loi horaire de vitesse du skieur }}avec <math>\;\tau = \dfrac{V_{G,\,\text{lim}}}{2\;g\;\sin(\alpha)}\;</math> constante de temps caractérisant la loi horaire de vitesse <br>{{Al|12}}{{Transparent|en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Ox}}\;</math>, en déduire la loi horaire de vitesse du skieur avec <math>\;\color{transparent}{\tau = 2\;g\;\sin(\alpha)}\;</math>}}<math>\big(</math>constante dont on donnera une valeur numérique<math>\big)</math>. {{Al|10}}{{Transparent|en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Ox}}\;</math>, }}Quelle durée faut-il au skieur pour atteindre la vitesse limite au pour cent près ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}L'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;V_{G,\,x} = \Vert \vec{V}_G \Vert\;</math> se déduit de «<math>\;a_{G,\,x}(t) = g\;\sin(\alpha) - \dfrac{k\;S}{2\;m}\;V_{G,\,x}^{\,2}(t)\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Détermination_de_la_vitesse_limite_du_skieur_glissant_sur_la_pente_inclinée|détermination de la vitesse limite du skieur glissant sur la pente inclinée]] » plus haut dans cet exercice.</ref> en utilisant «<math>\;a_{G,\,x}(t) = \dfrac{d V_{G,\,x}}{dt}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x} = \Vert \vec{V}_G \Vert}\;</math> }}«<math>\;\dfrac{d V_{G,\,x}}{dt}(t) = g\;\sin(\alpha) - \dfrac{k\;S}{2\;m}\;V_{G,\,x}^2(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x} = \Vert \vec{V}_G \Vert}\;</math> }}il est souhaitable de la symétriser en introduisant la vitesse limite <math>\;V_{G,\,\text{lim}}\;</math> par <math>\;g\;\sin(\alpha) = \dfrac{k\;S}{2\;m}\;V_{G,\,\text{lim}}^{\,2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{k\;S}{2\;m} = \dfrac{g\;\sin(\alpha)}{V_{G,\,\text{lim}}^{\,2}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x} = \Vert \vec{V}_G \Vert}\;</math> }}«<math>\;\dfrac{d V_{G,\,x}}{dt}(t) = g\;\sin(\alpha) - g\;\sin(\alpha)\;\dfrac{V_{G,\,x}^2(t)}{V_{G,\,\text{lim}}^{\,2}}\;</math>» ou encore «<math>\;\dfrac{d V_{G,\,x}}{dt}(t) = \dfrac{g\;\sin(\alpha)}{V_{G,\,\text{lim}}^{\,2}}\, \left[ V_{G,\,\text{lim}}^{\,2} - V_{G,\,x}^2(t) \right]\;</math>». {{Al|5}}Cette équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;V_{G,\,x}\;</math> étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon «<math>\;\dfrac{d V_{G,\,x}}{V_{G,\,\text{lim}}^{\,2} - V_{G,\,x}^2} = \dfrac{g\;\sin(\alpha)}{V_{G,\,\text{lim}}^{\,2}}\;dt\;</math>»<ref name="équation différentielle du 1er ordre non linéaire" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> étant non linéaire }}l'intégration du membre de gauche en fonction de <math>\;V_{G,\,x}\;</math> nécessite de décomposer la [[w:Fonction_rationnelle|fonction rationnelle]]<ref name="fonction rationnelle" /> en éléments simples<ref name="décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples" /> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> étant non linéaire l'intégration du membre de gauche en fonction de <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> nécessite }}<math>\dfrac{1}{V_{G,\,\text{lim}}^{\,2} - V_{G,\,x}^2} = \dfrac{1}{2\;V_{G,\,\text{lim}}}\,\left[ \dfrac{1}{V_{G,\,\text{lim}} - V_{G,\,x}} + \dfrac{1}{V_{G,\,\text{lim}} + V_{G,\,x}} \right]\;</math><ref> Sachant que <math>\;\dfrac{1}{V_{G,\,\text{lim}}^{\,2} - V_{G,\,x}^{\,2}} = \dfrac{A}{V_{G,\,\text{lim}} - V_{G,\,x}} + \dfrac{B}{V_{G,\,\text{lim}} + V_{G,\,x}}</math>, on détermine * <math>\;A\;</math> en multipliant les deux membres par <math>\;V_{G,\,\text{lim}} - V_{G,\,x}\;</math> et en faisant <math>\;V_{G,\,x} = V_{G,\,\text{lim}}\;</math> et * <math>\;B\;</math> en multipliant les deux membres par <math>\;V_{G,\,\text{lim}} + V_{G,\,x}\;</math> et en faisant <math>\;V_{G,\,x} = -V_{G,\,\text{lim}}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> étant non linéaire l'intégration du membre de gauche en fonction de <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> nécessite }}permettant de réécrire l'équation à variables séparées selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon }}«<math>\;\dfrac{1}{2\;V_{G,\,\text{lim}}}\,\left[ \dfrac{d V_{G,\,x}}{V_{G,\,\text{lim}} - V_{G,\,x}} + \dfrac{d V_{G,\,x}}{V_{G,\,\text{lim}} + V_{G,\,x}} \right] = \dfrac{g\;\sin(\alpha)}{V_{G,\,\text{lim}}^{\,2}}\;dt\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon }}«<math>\;-\dfrac{d \left[ V_{G,\,\text{lim}} - V_{G,\,x} \right]}{V_{G,\,\text{lim}} - V_{G,\,x}} + \dfrac{d \left[ V_{G,\,\text{lim}} + V_{G,\,x} \right]}{V_{G,\,\text{lim}} + V_{G,\,x}} = \dfrac{2\;g\;\sin(\alpha)}{V_{G,\,\text{lim}}}\;dt\;</math>» s'intègrant de part et d'autre en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon }}«<math>\;\left[ -\ln\! \left( V_{G,\,\text{lim}} - {V'}_{G,\,x}\right) + \ln\! \left( V_{G,\,\text{lim}} + {V'}_{G,\,x} \right) \right]_0^{V_{G,\,x}} = \dfrac{2\;g\;\sin(\alpha)}{V_{G,\,\text{lim}}}\;t\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon }}«<math>\;\ln\! \left[ \dfrac{V_{G,\,\text{lim}} + V_{G,\,x}}{V_{G,\,\text{lim}} - V_{G,\,x}} \right] = \dfrac{2\;g\;\sin(\alpha)}{V_{G,\,\text{lim}}}\;t\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon }}avec «<math>\;\tau = \dfrac{V_{G,\,\text{lim}}}{2\;g\;\sin(\alpha)}\;</math>» constante de temps caractérisant la vitesse du skieur sur la piste inclinée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon avec }}de valeur numérique «<math>\;\tau = \dfrac{58,9}{2 \times 9,81 \times \sin(45\,\text{°})} \simeq 4,2\;s\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon }}une forme de la loi horaire de vitesse de ce dernier «<math>\;t = \tau\;\ln\! \left[ \dfrac{V_{G,\,\text{lim}} + V_{G,\,x}}{V_{G,\,\text{lim}} - V_{G,\,x}} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{V_{G,\,x}}\;</math> étant non linéaire }}on obtient l'expression de la vitesse en fonction du temps en inversant <math>\;t = t(V_{G,\,x})\;</math> selon <math>\;\dfrac{V_{G,\,\text{lim}} + V_{G,\,x}}{V_{G,\,\text{lim}} - V_{G,\,x}} = \exp\! \left( \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> ou encore <math>\;V_{G,\,\text{lim}} + V_{G,\,x} = \left( V_{G,\,\text{lim}} - V_{G,\,x} \right)\,\exp\! \left( \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> soit «<math>\;V_{G,\,x} = V_{G,\,\text{lim}}\;\dfrac{\exp\! \left( \dfrac{t}{\tau} \right) - 1}{\exp\! \left( \dfrac{t}{\tau} \right) + 1}\;</math>» et finalement, en divisant haut et bas par <math>\;\exp\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)\;</math> pour faire apparaître une fonction « tangente hyperbolique »<ref name="tanh" /> selon «<math>\;V_{G,\,x} = V_{G,\,\text{lim}}\;\dfrac{\exp\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) - \exp\! \left( -\dfrac{t}{2\;\tau} \right)}{\exp\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) + \exp\! \left( -\dfrac{t}{2\;\tau} \right)}\;</math>», d'où la loi horaire de vitesse sous sa forme usuelle «<math>\;V_{G,\,x} = V_{G,\,\text{lim}}\;\tanh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)\;</math><ref name="tanh" /> ». {{Al|5}}L'instant <math>\;t_{99\,\%}\;</math> auquel la vitesse du skieur atteint sa vitesse limite à <math>\;1\,\%\;</math> près est défini par l'équation «<math>\;t_{99\,\%} = \tau\;\ln\! \left[ \dfrac{1 + ( 1 - 10^{-2} )}{1 - ( 1 - 10^{-2} )} \right] = \tau\;\ln(199) \simeq 5,3\;\tau\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'instant <math>\;\color{transparent}{t_{99\,\%}}\;</math> auquel la vitesse du skieur atteint sa vitesse limite à <math>\;\color{transparent}{1\,\%}\;</math> près est défini par l'équation }}«<math>\;t_{99\,\%} \simeq 5,3 \times 4,2\;</math> en <math>\;s\;</math>» et finalement «<math>\;t_{99\,\%} \simeq 22,3\;s\;</math>».}} === Détermination de la loi horaire de position du skieur === {{Al|5}}Déduire de ce qui précède la loi horaire de position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du skieur c'est-à-dire <math>\;x_G = x_G(t)\;</math> et {{Al|5}}commenter. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Pour obtenir la loi horaire de position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du skieur on intègre «<math>\;\dot{x}_G(t) = V_{G,\,x}(t) = V_{G,\,\text{lim}}\;\tanh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)\;</math>»<ref name="tanh" /> par rapport <math>\;t\;</math> soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour obtenir la loi horaire de position du C.D.I. du skieur on intègre }}«<math>\;\dfrac{d x_G}{dt}(t) = V_{G,\,\text{lim}}\;\dfrac{\sinh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}{\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}\;</math>»<ref name="sinh et cosh"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Sinus_hyperbolique|sinus hyperbolique]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Cosinus_hyperbolique|cosinus hyperbolique]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;d x_G = V_{G,\,\text{lim}}\;\dfrac{\sinh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) dt}{\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)} = V_{G,\,\text{lim}}\;2\;\tau\;\dfrac{d\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right]}{\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}\;</math>»<ref> Dans la fraction initiale <math>\;\dfrac{\sinh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) dt}{\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}\;</math> le numérateur étant, à un facteur multiplicatif près, la différentielle du dénominateur, on forme d'autorité <math>\;\dfrac{d\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right]}{\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}\;</math> et on constate, en évaluant la différentielle du numérateur <math>\;d\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right] = \sinh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \dfrac{dt}{2\;\tau}</math>, qu'il y a un facteur supplémentaire <math>\;\dfrac{1}{2\;\tau}\;</math> par rapport à la fraction initiale d'où la nécessité de multiplier par <math>\;2\;\tau\;</math> pour compenser.</ref> d'où, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour obtenir la loi horaire de position du C.D.I. du skieur on intègre }}en reconnaissant dans la fraction <math>\;\dfrac{d\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right]}{\cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}\;</math> la différentielle de <math>\;\ln\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour obtenir la loi horaire de position du C.D.I. du skieur on intègre }}en prenant pour origine des <math>\;x_G\;</math> la position initiale du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du skieur, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour obtenir la loi horaire de position du C.D.I. du skieur on intègre }}la loi horaire de position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du skieur «<math>\;x_G(t) = 2\;V_{G,\,\text{lim}}\;\tau\;\ln\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right]\;</math>»<ref> La constante d'intégration étant nulle car <math>\;\left\lbrace 2\;V_{G,\,\text{lim}}\;\tau\;\ln\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right] \right\rbrace_{t = 0} = 0\;</math> de même que <math>\;\left\lbrace x_G \right\rbrace_{t = 0} = 0</math>.</ref> avec «<math>\;\tau = \dfrac{V_{G,\,\text{lim}}}{2\;g\;\sin(\alpha)}\;</math>». {{Al|5}}<u>Commentaire</u> : au-delà de <math>\;t \gtrsim t_{99\,\%} \simeq 5\;\tau \simeq 21\;s\;</math><ref> En arrondissant <math>\;t_{99\,\%} \simeq 5,3\;\tau\;</math> à <math>\;t_{99\,\%} \simeq 5\;\tau\;</math> pour simplifier.</ref> le skieur a pratiquement un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse limite, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Commentaire : au-delà de <math>\;\color{transparent}{t \gtrsim t_{99\,\%} \simeq 5\;\tau \simeq 21\;s}\;</math> le skieur a pratiquement un }}mouvement correspondant à une loi horaire de position asymptotique que l'on va déterminer ; {{Al|10}}{{Transparent|Commentaire : au-delà de <math>\;\color{transparent}{t \gtrsim t_{99\,\%} \simeq 5\;\tau \simeq 21\;s}\;</math> }}tout d'abord <math>\;t \rightarrow +\infty \Rightarrow \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \sim \dfrac{\exp\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right)}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ln\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right]\; \stackrel{t\, \rightarrow\, \infty}{\simeq}\; \dfrac{t}{2\;\tau} - \ln(2)\;</math><ref> Le symbole <math>\;\sim\;</math> ici serait malvenu car il est réservé à une équivalence c.-à-d. qu'il n'est utilisé que pour le terme principal, ce qui donnerait ici <math>\;\ln\! \left[ \cosh\! \left( \dfrac{t}{2\;\tau} \right) \right] \sim \dfrac{t}{2\;\tau}</math>, ceci ne donnerait alors que la direction asymptotique et non l'asymptote ; pour obtenir cette dernière il convient donc d'associer au terme principal le terme secondaire <math>\;-\ln(2)\;</math> ce qui n'est plus une équivalence mais un développement limité <math>\;\ldots</math></ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Commentaire : au-delà de <math>\;\color{transparent}{t \gtrsim t_{99\,\%} \simeq 5\;\tau \simeq 21\;s}\;</math> }}la loi horaire de position asymptotique suivante «<math>\;x_{G,\,\text{asymp}} = V_{G,\,\text{lim}}\, \left[ t - 2\,\ln(2)\,\tau \right] \simeq V_{G,\,\text{lim}}\, \left[ t - 1,4\,\tau \right]\;</math>»<ref> Pour <math>\;t \gtrsim 5,3\;\tau\;</math> <math>\big[</math>on reprend cette valeur de façon à être un peu plus précis<math>\big]</math>, la loi horaire de position du skieur se confondant avec sa loi horaire de position asymptotique, il est possible de déterminer la position de ce dernier à l'aide de son mouvement à vitesse limite à condition de retarder ce mouvement de <math>\;1,4\;\tau</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour <math>\;t \simeq 5,3\;\tau\;</math> la position du skieur est <math>\;x_G(5,3\,\tau) \simeq V_{G,\,\text{lim}} \times 3,9\;\tau \simeq 58,9 \times 3,9 \times 4,2\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;x_G(5,3\,\tau \simeq 22,3\,s) \simeq</math> <math>965\;m\;</math> c.-à-d. qu'il a fallu approximativement <math>\;1\;km\;</math> pour que le skieur atteigne pratiquement sa vitesse limite.</ref>.}} === Influence du cœfficient de frottement des skis sur la neige === {{Al|5}}Le cœfficient de frottement des skis sur la neige n'est plus considéré comme nul mais vaut <math>\;f = 0,05</math> ; {{Al|5}}en considérant que ce frottement <math>\;\big(</math>solide<math>\big)\;</math> suit la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb"> '''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec glissement<ref name="lois empiriques de Coulomb"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, montrer que le skieur acquiert, lors de sa descente sur la pente inclinée, <br>{{Al|17}}{{Transparent|en considérant que ce frottement <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>solide<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> suit la loi empirique de Coulomb avec glissement, montrer que le skieur acquiert, }}une nouvelle vitesse limite <math>\;V_{G,\,\text{lim},\,\text{air et neige}}\;</math> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|en considérant que ce frottement <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>solide<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> suit la loi empirique de Coulomb avec glissement, montrer que le skieur acquiert, une nouvelle vitesse limite }}l'évaluer numériquement. {{Al|5}}Conclure : le record de vitesse est-il un problème de glisse ou d’aérodynamique ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste sur le skieur «<math>\;\vec{R}\;</math> n'est plus <math>\;\perp\;</math> à la piste » mais a maintenant deux composantes, une normale et une tangentielle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste }}la normale <math>\;R_n\;\vec{u}_y\;</math> avec <math>\;R_n > 0\;</math> assurant le maintien du contact du skieur sur la piste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste }}la tangentielle <math>\;-R_\tau\;\vec{u}_x\;</math> avec <math>\;R_\tau = f\;R_n > 0\;</math> traduisant les frottements solides de la neige sur les skis selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste la tangentielle <math>\;\color{transparent}{-R_\tau\;\vec{u}_x}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{R_\tau = f\;R_n > 0}\;</math> traduisant }}la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb"/> avec glissement <ref name="lois empiriques de Coulomb" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste sur le skieur }}«<math>\;\vec{R} = -f\;R_n\;\vec{u}_x + R_n\;\vec{u}_y\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste sur le skieur «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}}</math> }}les autres forces agissant sur le skieur restant les mêmes<ref> Bien sûr il convient de refaire un schéma de situation avec les trois forces appliquées et les vecteurs unitaires cartésiens choisis <math>\;\ldots</math></ref> à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste sur le skieur «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}}</math> les autres forces }}<math>\succ\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\sin(\alpha)\;\vec{u}_x - m\;g\;\cos(\alpha)\;\vec{u}_y\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste sur le skieur «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}}</math> les autres forces }}<math>\succ\;</math>la résistance à l'avancement du skieur dans l'air <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t) = -\dfrac{1}{2}\;k\;S\;V_G^2(t)\;\vec{u}_x</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, }}le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du skieur <math>\;\big(</math>assimilé à un solide<math>\big)\;</math> dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> supposé galiléen conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, le théorème du mouvement du C.D.I. du skieur }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R} + \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t) = m\;\vec{a}_{G}(t)\;</math>»<ref name="théorème du mouvement du C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, }}<math>\succ\;</math>sa projection sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> donne, en absence de mouvement normal à la piste, <math>\;- m\;g\;\cos(\alpha) + R_n = 0\;</math> soit «<math>\;R_n = m\;g\;\cos(\alpha)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, }}<math>\succ\;</math>sa projection sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> donne <math>\;m\;g\;\sin(\alpha) - f\;R_n -\dfrac{1}{2}\;k\;S\;V_G^2(t) = m\;a_{G,\,x}(t)\;</math> ou, par report de <math>\;R_n = m\;g\;\cos(\alpha)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> donne }}<math>\;m\;g\;\sin(\alpha) - f\;m\;g\;\cos(\alpha) -\dfrac{1}{2}\;k\;S\;V_G^2(t) = m\;a_{G,\,x}(t)\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}une accélération le long de la ligne de plus grande comptée dans le sens descendant égale à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une accélération }}«<math>\;a_{G,\,x}(t) = g\, \left[ \sin(\alpha) - f\;\cos(\alpha) \right] - \dfrac{k\;S}{2\;m}\;V_G^2(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}de valeur initiale «<math>\;a_{G,\,x}(0) = g\, \left[ \sin(\alpha) - f\;\cos(\alpha) \right] > 0\;</math>» en présence de glissement<ref> En effet la descente du skieur ne peut démarrer que si la piste est suffisamment inclinée pour que <math>\;a_{G,\,x}(0) = g\, \left[ \sin(\alpha) - f\;\cos(\alpha) \right]\;</math> soit <math>\;> 0</math>, sinon le skieur resterait « planté sur place » car on suppose qu'il ne pousse à aucun moment sur ses bâtons <math>\;\big(</math>le fait de faire cela ajoutant une force parallèle à la ligne de plus grande pente dans le sens descendant lui permettrait de démarrer à condition que cette force soit suffisamment grande<math>\big)</math>, la pente de la piste <math>\;\tan(\alpha)\;</math> doit donc être <math>\;>\;</math> à <math>\;f\;</math> pour que la descente du skieur démarre ce qui est réalisé ici car <math>\;\tan(45\,\text{°}) = 1\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;f = 0,05</math>.</ref>, la vitesse initiale étant nulle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>de valeur initiale <math>\;\color{transparent}{a_{G,\,x}(0) = g\, \left[ \sin(\alpha) - f\;\cos(\alpha) \right] > 0}\;</math> }}<math>\Rightarrow</math> une <math>\;\nearrow\;</math> de la vitesse à partir de sa valeur nulle et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>de valeur initiale <math>\;\color{transparent}{a_{G,\,x}(0) = g\, \left[ \sin(\alpha) - f\;\cos(\alpha) \right] > 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}une <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;a_{G,\,x}(t) = g\, \left[ \sin(\alpha) - f\;\cos(\alpha) \right] - \dfrac{k\;S}{2\;m}\;V_G^2(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>de valeur initiale <math>\;\color{transparent}{a_{G,\,x}(0) = g\, \left[ \sin(\alpha) - f\;\cos(\alpha) \right] > 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> }}ceci se poursuivant tant que cette dernière reste <math>\;> 0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}la <math>\;\nearrow\;</math> de la vitesse cessera si elle atteint la valeur <math>\;V_{G,\,\text{lim},\,\text{air et neige}}\;</math> telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de la vitesse cessera si }}«<math>\;a_{G,\,x}(t_{V_{G,\,\text{lim},\,\text{air et neige}}}) = g \left[ \sin(\alpha) - f\;\cos(\alpha) \right] - \dfrac{k\;S}{2\;m}\;V_{G,\,\text{lim},\,\text{air et neige}}^{\;2} = 0\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de la vitesse cessera }}dans la mesure où il n'y a pas de limitation dans le temps du mouvement du skieur, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de la vitesse cessera }}la vitesse limite du skieur devient «<math>\;V_{G,\,\text{lim},\,\text{air et neige}} = \sqrt{\dfrac{2\;m\;g\, \left[ \sin(\alpha) - f\;\cos(\alpha) \right]}{k\;S}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de la vitesse cessera }}donnant numériquement «<math>\;V_{G,\,\text{lim},\,\text{air et neige}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 80 \times 9,81 \times \left[ \sin(45\,\text{°}) - 0,05 \times \cos(45\,\text{°}) \right]}{0,8 \times 0,4}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de la vitesse cessera donnant numériquement «<math>\;\color{transparent}{V_{G,\,\text{lim},\,\text{air et neige}}}</math> }}<math>\simeq 57,4\;m \cdot s^{-1} \simeq 207\;km \cdot h^{-1}\;</math>»<ref name="changement d'unité de vitesse" />. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : nous constatons donc que l'influence du cœfficient de frottement est très réduite puisqu'elle ne diminue la vitesse limite que de <math>\;5\;km \cdot h^{-1}\;</math> soit approximativement une diminution de <math>\;2,5\;\%</math>, aussi le record de vitesse est-il un problème d'aérodynamique et non de glisse, pour l'améliorer il convient donc de faciliter la pénétration du skieur dans l'air <math>\;\big[</math>en tentant de diminuer le cœfficient aérodynamique <math>\;\big(</math>travail sur les matériaux et les formes du casque, des chaussures et des combinaisons<math>\big)\big]</math>.}} == Ralentissement d'une voiture, moteur débrayé sur route horizontale, dû aux frottements solides sur le sol et à la résistance de l'air de forme quadratique == {{Al|5}}On assimile une voiture de masse <math>\;m\;</math> se déplaçant sur route horizontale à un solide de C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="C.D.M."> Ou encore centre de masse.</ref> <math>\;G\;</math> en translation sur cette route horizontale ; {{Al|16}}sur cette voiture s'exerce, parmi d'éventuelles autres forces, <br>{{Al|16}}{{Transparent|sur cette voiture s'exerce }}<math>\succ\;</math>une force de frottement solide <math>\;\vec{F}_{\text{frott solide}}</math>, au contact avec le sol, obéissant aux lois empiriques de Coulomb<ref name="lois empiriques de Coulomb" />{{,}}<ref name="Coulomb" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|sur cette voiture s'exerce <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une force de frottement solide <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{frott solide}}}</math>, }}de norme, sur route horizontale, <math>\;\Vert \vec{F}_{\text{frott solide}} \Vert = f\;m\;g\;</math> avec «<math>\;f\;</math> cœfficient de frottement solide entre pneus et route » <br>{{Al|16}}{{Transparent|sur cette voiture s'exerce <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une force de frottement solide <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{frott solide}}}</math>, de norme, sur route horizontale, <math>\;\color{transparent}{\Vert \vec{F}_{\text{frott solide}} \Vert = f\;m\;g}\;</math> avec }}et «<math>\;g\;</math> intensité de la pesanteur terrestre locale » ainsi que <br>{{Al|16}}{{Transparent|sur cette voiture s'exerce }}<math>\succ\;</math>une résistance de l'air <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}\;</math> de forme quadratique <br>{{Al|16}}{{Transparent|sur cette voiture s'exerce <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une résistance de l'air <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}}\;</math> }}de norme <math>\;\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} \Vert = k\;m\;V_G^2\;</math><ref name="forme particulière de résistance de l'air"> En fait la résistance de l'air ne dépend pas directement de la masse de l'objet qui la subit, la présence du facteur <math>\;m\;</math> dans celle-ci ne doit pas vous tromper, son seul but est d'assurer une simplification dans la suite de l'exposé mais si <math>\;k\;m\;</math> est indépendant de <math>\;m\;</math> c'est que la grandeur <math>\;k\;</math> est inversement proportionnelle à <math>\;m</math>, cette grandeur <math>\;k\;</math> n'a en fait aucun intérêt physique, seule la grandeur <math>\;k\;m\;</math> en a un <math>\;\ldots</math></ref> avec «<math>\;k\;m\;</math> cœfficient de frottement fluide dépendant de l'aérodynamisme de la voiture ainsi que <br>{{Al|21}}{{Transparent|sur cette voiture s'exerce <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une résistance de l'air <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}}\;</math> de norme <math>\;\color{transparent}{\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} \Vert = k\;m\;V_G^2}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{k\;m}\;</math> cœfficient de frottement fluide dépendant }}de la compacité du fluide l'enveloppant »<ref> Plus précisément <math>\;k\;m = \dfrac{C_x\;\mu_{\text{air}}\;S}{2}\;</math> avec <math>\;C_x\;</math> [[w:Cœfficient_de_traînée|cœfficient de traînée]] de la voiture, <math>\;S\;</math> l'aire de son [[w:Maître-couple|maître-couple]] et <math>\;\mu_{\text{air}}\;</math> masse volumique de l'air.</ref> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|sur cette voiture s'exerce <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une résistance de l'air <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}}\;</math> de norme <math>\;\color{transparent}{\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}} \Vert = k\;m\;V_G^2}\;</math> avec }}«<math>\;V_G\;</math> la norme de la vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="C.D.M." /> <math>\;G\;</math> de la voiture » ; {{Al|5}}à l'instant <math>\;t = 0</math>, le moteur est débrayé et la norme de la vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="C.D.M." /> <math>\;G\;</math> de la voiture vaut <math>\;V_0</math>. === Détermination de l'instant d'arrêt de la voiture === {{Al|5}}Déterminer à quel instant la voiture s'arrête. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation avec représentation de toutes les forces extérieures appliquées ; <br>{{Al|4}}{{Transparent|Bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation avec représentation de }}seules les composantes horizontales, c'est-à-dire les forces de frottement solide et fluide, ont une influence sur la modification du mouvement, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation avec représentation de seules }}les composantes verticales, c'est-à-dire le poids et la composante normale de la réaction du sol se compensant ; {{Al|5}}la projection du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de la voiture<ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> <math>\big[</math>vecteur unitaire le long de la route horizontale dans le sens du mouvement<math>\big]\;</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|la projection du théorème du mouvement du C.D.I. de la voiture sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> }}s'écrivant «<math>\;-f\;m\;g - k\;m\;V_G^2(t) = m\; a_{G,\,x}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;V_G(t) = \Vert \vec{V}_G(t) \Vert\;</math> ou, <br>{{Al|18}}{{Transparent|la projection du théorème du mouvement du C.D.I. de la voiture sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> }}avec utilisation de la définition de l'accélération <math>\;a_{G,\,x}(t) = \dfrac{d V_{G,\,x}}{dt}(t) = \dfrac{d V_G}{dt}(t)\;</math><ref> <math>\;V_{G,\,x}(t)\;</math> étant toujours <math>\;\geqslant 0\;</math> s'identifie à <math>\;V_G(t)</math>.</ref> et après simplification évidente, <br>{{Al|18}}{{Transparent|la projection du théorème du mouvement du C.D.I. de la voiture sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> }}l'équation différentielle du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="C.D.M." /> de la voiture s'écrit selon «<math>\;\dfrac{d V_G}{dt}(t) = -\left[ f\;g + k\;V_G^2(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|18}}{{Transparent|la projection du théorème du mouvement du C.D.I. de la voiture sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> l'}}équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;V_G(t)</math> ; {{Al|5}}l'équation différentielle ci-dessus s'intègre par séparation des variables<ref name="équation différentielle du 1er ordre non linéaire" /> selon «<math>\;\dfrac{d V_G}{f\;g + k\; V_G^2} = -dt\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d V_G}{1 + \dfrac{k}{f\;g}\, V_G^2} = -f\;g\; dt\;</math>» et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle ci-dessus s'intègre }}en introduisant la « nouvelle variable <math>\;\varpi_G = V_G\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}}\;</math>» dont on tire le lien entre les différentielles «<math>\;dV_G = d \varpi_G\; \sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\;</math>», {{Al|5}}l'équation différentielle à variables séparées se réécrit «<math>\;\sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\; \dfrac{d \varpi_G}{1 + \varpi_G^2} = -f\;g\; dt\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \varpi_G}{1 + \varpi_G^2} = -\sqrt{f\;g\;k}\; dt\;</math>» s'intégrant en «<math>\;\arctan(\varpi_G) = -\sqrt{f\;g\;k}\; t + cste\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] <math>\bigg(</math>primitive de <math>\;\dfrac{1}{1 + x^2}\bigg)</math> » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle à variables séparées se réécrit «<math>\;\color{transparent}{\sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\; \dfrac{d \varpi_G}{1 + \varpi_G^2} = -f\;g\; dt}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \varpi_G}{1 + \varpi_G^2} = -\sqrt{f\;g\;k}\; dt}\;</math>» }}la constante d'intégration se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I."> Condition Initiale.</ref>. <math>\;V_G(0) = V_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle à variables séparées se réécrit «<math>\;\color{transparent}{\sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\; \dfrac{d \varpi_G}{1 + \varpi_G^2} = -f\;g\; dt}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \varpi_G}{1 + \varpi_G^2} = -\sqrt{f\;g\;k}\; dt}\;</math>» }}<math>\;\varpi_G(0) = \varpi_0 = V_0\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}}\;</math> d'où <math>\;cste =</math> <math>\arctan(\varpi_0)\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle à variables séparées se réécrit «<math>\;\color{transparent}{\sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\; \dfrac{d \varpi_G}{1 + \varpi_G^2} = -f\;g\; dt}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \varpi_G}{1 + \varpi_G^2} = -\sqrt{f\;g\;k}\; dt}\;</math>» s'intégrant en }}«<math>\;\arctan(\varpi_G) = -\sqrt{f\;g\;k}\; t + \arctan(\varpi_0)\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle à variables séparées se réécrit «<math>\;\color{transparent}{\sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\; \dfrac{d \varpi_G}{1 + \varpi_G^2} = -f\;g\; dt}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \varpi_G}{1 + \varpi_G^2} = -\sqrt{f\;g\;k}\; dt}\;</math>» s'intégrant en }}en revenant à la variable d'origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle à variables séparées se réécrit «<math>\;\color{transparent}{\sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\; \dfrac{d \varpi_G}{1 + \varpi_G^2} = -f\;g\; dt}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \varpi_G}{1 + \varpi_G^2} = -\sqrt{f\;g\;k}\; dt}\;</math>» s'intégrant en }}«<math>\;\arctan\! \left[ V_G(t)\, \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}} \right] = -\sqrt{f\;g\;k}\; t + \arctan\! \left[ V_0\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}inversant la relation ci-dessus on obtient «<math>\;V_G(t) = \sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\; \tan\! \left[ \arctan\! \left( V_0\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}} \right) - \sqrt{f\;g\;k}\; t \right]\;</math>» et la vitesse devient nulle<ref> Caractérisant l'arrêt de la voiture.</ref> à l'instant <math>\;t_{\text{arrêt}}\;</math> tel que <br>{{Al|10}}{{Transparent|inversant la relation ci-dessus on obtient «<math>\;\color{transparent}{V_G(t) = \sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\; \tan\! \left[ \arctan\! \left( V_0\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}} \right) - \sqrt{f\;g\;k}\; t \right]}\;</math>» et la vitesse devient nulle à l'instant}}«<math>\;t_{\text{arrêt}} = \dfrac{1}{\sqrt{f\;g\;k}}\; \arctan\! \left( V_0\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}} \right)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] <math>\big[</math>graphe de <math>\;\arctan(x)\;</math> et valeur d'annulation<math>\big]</math> » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'expression de la loi horaire de vitesse peut se réécrire à l'aide de <math>\;t_{\text{arrêt}}\;</math> selon «<math>\;V_G(t) = \sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\; \tan\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right]\;</math>».}} === Détermination de la distance parcourue par la voiture moteur débrayé === {{Al|5}}Quelle est alors la distance parcourue depuis le débrayage du moteur jusqu'à l'arrêt de la voiture ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Pour cela il faut intégrer «<math>\;\dot{x_G}(t) = V_G(t) = \sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\; \tan\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right]\;</math>» soit, en séparant les variables<ref name="recherche d'une primitive par séparation des variables"> La recherche d'une primitive ne nécessite pas la séparation des variables mais cette dernière permet un traitement plus facile à exposer <math>\;\ldots</math></ref>, «<math>\;dx_G = \sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\; \dfrac{\sin\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right] dt}{\cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right]}\;</math>» ou, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il faut intégrer «<math>\;\color{transparent}{\dot{x_G}(t) =}</math> }}en reconnaissant au numérateur la différentielle du dénominateur à un facteur près, «<math>\;dx_G = \sqrt{\dfrac{f\;g}{k}}\; \dfrac{1}{\sqrt{f\; g\;k}}\; \dfrac{d\! \left\lbrace \cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right] \right\rbrace}{\cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right]}\;</math>» se simplifiant selon <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il faut intégrer «<math>\;\color{transparent}{\dot{x_G}(t) =}</math> en reconnaissant au numérateur la différentielle du dénominateur à un facteur près, }}«<math>\;dx_G = \dfrac{1}{k}\; \dfrac{d\! \left\lbrace \cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right] \right\rbrace}{\cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right]}\;</math>» et s'intégrant en <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il faut intégrer }}«<math>\;x_G(t) = \dfrac{1}{k}\; \ln\! \Big\vert \cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right]\! \Big\vert + cste\;</math>», la constante d'intégration se déterminant avec choix de l'origine de l'axe au point de départ <math>\;x_G(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il faut intégrer «<math>\;\color{transparent}{x_G(t) = \dfrac{1}{k}\; \ln\! \Big\vert \cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right]\! \Big\vert + cste}\;</math>», }}<math>\;0 = \dfrac{1}{k}\; \ln\! \Big\vert \cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; t_{\text{arrêt}} \right]\! \Big\vert + cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = \dfrac{1}{k}\;\ln\!\left[ \dfrac{1}{\Big\vert \cos\! \left( \sqrt{f\; g\;k}\; t_{\text{arrêt}} \right)\! \Big\vert} \right]\;</math> d'où la loi horaire de position selon <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il faut intégrer }}«<math>\;x_G(t) = \dfrac{1}{k}\; \ln\! \left\lbrace \dfrac{\Big\vert \cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right] \Big\vert}{\Big\vert \cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; t_{\text{arrêt}} \right] \Big\vert}\! \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : en posant «<math>\;\varphi = \sqrt{f\; g\;k}\; t_{\text{arrêt}} = \arctan\! \left( V_0\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}} \right)\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\tan(\varphi) = V_0\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}}\;</math> et <math>\;\varphi \in \left] 0\, ;\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>», on peut simplifier <math>\;\cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; t_{\text{arrêt}} \right] = \cos(\varphi) > 0\;</math> à l'aide de «<math>\;\cos(\varphi) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\varphi)}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + V_0^2\, \dfrac{k}{f\;g}}} = \sqrt{\dfrac{f\;g}{f\;g + k\; V_0^2}}\;</math>» d'une part et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en }}utilisant «<math>\;\sin(\varphi) = \cos(\varphi)\; \tan(\varphi) = \dfrac{\tan(\varphi)}{\sqrt{1 + \tan^2(\varphi)}} = \dfrac{V_0\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}}}{\sqrt{1 + V_0^2\; \dfrac{k}{f\;g}}}\;</math>» on en déduit «<math>\;\sin(\varphi) = \sqrt{\dfrac{k\;V_0^2}{f\;g + k\; V_0^2}}\;</math>» d'autre part ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}dans «<math>\;\cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right] = \cos\! \left[ \varphi - \sqrt{f\; g\;k}\;t \right] = \cos(\varphi)\; \cos(\sqrt{f\; g\;k}\;t) + \sin(\varphi)\; \sin(\sqrt{f\; g\;k}\;t)\;</math>» on réinjecte les expressions de <math>\;\cos(\varphi)\;</math> et <math>\;\sin(\varphi)\;</math> précédemment établies, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans }}«<math>\;\cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right] = \sqrt{\dfrac{f\;g}{f\;g + k\; V_0^2}}\; \cos(\sqrt{f\; g\;k}\;t) + \sqrt{\dfrac{k\;V_0^2}{f\;g + k\; V_0^2}}\; \sin(\sqrt{f\; g\;k}\;t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; \left( t_{\text{arrêt}} - t \right) \right]}{\cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; t_{\text{arrêt}} \right]} = \cos(\sqrt{f\; g\;k}\;t) + \sqrt{\dfrac{k\; V_0^2}{f\;g}}\; \sin(\sqrt{f\; g\;k}\;t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}d'où une autre expression de la loi horaire de position du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="C.D.M." /> de la voiture «<math>\;x_G(t) = \dfrac{1}{k}\; \ln\! \Bigg\vert \cos(\sqrt{f\; g\;k}\;t) + \sqrt{\dfrac{k\; V_0^2}{f\;g}}\; \sin(\sqrt{f\; g\;k}\;t) \Bigg\vert\;</math>». {{Al|5}}La distance parcourue depuis le débrayage du moteur jusqu'à l'arrêt de la voiture est l'abscisse «<math>\;x_G(t_{\text{arrêt}}) = \dfrac{1}{k}\; \ln\! \left\lbrace \dfrac{1}{\Big\vert \cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; t_{\text{arrêt}} \right] \Big\vert}\! \right\rbrace\;</math>» en utilisant la 1^ère expression de la loi horaire de position, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La distance parcourue depuis le débrayage du moteur jusqu'à l'arrêt de la voiture }}en utilisant le changement de variable introduit dans la remarque ci-dessus <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos\! \left[ \sqrt{f\; g\;k}\; t_{\text{arrêt}} \right] = \cos(\varphi) = \sqrt{\dfrac{f\;g}{f\;g + k\; V_0^2}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La distance parcourue depuis le débrayage du moteur jusqu'à l'arrêt de la voiture est l'abscisse }}«<math>\;x_G(t_{\text{arrêt}}) = \dfrac{1}{k}\; \ln\! \left[ \sqrt{\dfrac{f\;g + k\; V_0^2}{f\;g}} \right]\;</math>» ou encore «<math>\;x_G(t_{\text{arrêt}}) = \dfrac{1}{2\;k}\; \ln\! \left[ 1 + \dfrac{k}{f\;g}\;V_0^2 \right]\;</math>».}} === Comparaison des résultats précédents avec ceux que l'on obtiendrait sans frottement solide === {{Al|5}}Que deviendraient les résultats précédents si la résistance de l'air entrait seule en jeu ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Si on suppose que la résistance de l'air est seule c'est-à-dire si <math>\;f = 0</math>, les résultats précédents ne s'appliquent plus tels quels et nécessitent d'être redéterminés ; {{Al|5}}{{Transparent|Si on suppose que la résistance de l'air est seule }}l'équation différentielle en <math>\;V_G(t)\;</math> devient «<math>\;\dot{V}_G(t) = -k\; V^2(G)(t)\;</math>» c'est-à-dire toujours une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;V_G(t)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on suppose que la résistance de l'air est seule l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{V_G(t)}\;</math> devient «<math>\;\color{transparent}{\dot{V}_G(t) = -k\; V^2(G)(t)}\;</math>» }}qui s'intègre en séparant les variables<ref name="équation différentielle du 1er ordre non linéaire" /> selon «<math>\;-\dfrac{dV_G}{V_G^2} = k\; dt\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on suppose que la résistance de l'air est seule l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{V_G(t)}\;</math> devient «<math>\;\color{transparent}{\dot{V}_G(t) = -k\; V^2(G)(t)}\;</math>» }}en intégrant à gauche entre <math>\;V_0\;</math> et <math>\;V_G(t)</math>, et à droite entre <math>\;0\;</math> et <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on suppose que la résistance de l'air est seule }}une 1^ère forme de la loi horaire de vitesse de la voiture «<math>\;\dfrac{1}{V_G(t)} - \dfrac{1}{V_0} = k\; t\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Si on suppose que la résistance de l'air est seule }}l'instant de l'arrêt <math>\;t_{\text{arrêt}}\;</math> étant défini par <math>\;V_G(t_{\text{arrêt}}) = 0\;</math> et <math>\;V_G(t)\;</math> se trouvant au dénominateur d'une fraction à numérateur constant, nous en déduisons que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on suppose que la résistance de l'air est seule }}la voiture s'arrête à l'instant «<math>\;t_{\text{arrêt}} = \infty\;</math>»<ref name="abus"> Le signe <math>\;=\;</math> est bien sûr un abus d'écriture <math>\;\ldots</math>.</ref>{{,}}<ref> Ce qui correspond à la limite de l'expression trouvée précédemment avec frottement solide <math>\;t_{\text{arrêt}} = \dfrac{1}{\sqrt{f\;g\;k}}\; \arctan\! \left( V_0\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}} \right)\;</math> quand <math>\;f \rightarrow 0\;</math> en effet <math>\;V_0\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}} \rightarrow +\infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\arctan\! \left( V_0\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}} \right) \rightarrow +\dfrac{\pi}{2}\;</math> et par suite <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{f\;g\;k}}\; \arctan\! \left( V_0\; \sqrt{\dfrac{k}{f\;g}} \right) \sim \dfrac{\pi}{2\;\sqrt{f\;g\;k}} \rightarrow \infty</math>.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Si on suppose que la résistance de l'air est seule }}On poursuit l'intégration en explicitant «<math>\;V_G(t) = \dfrac{V_0}{1 + k\; V_0\; t} = \dfrac{dx_G}{dt}(t)\;</math>» soit, en séparant les variables<ref name="recherche d'une primitive par séparation des variables" /> «<math>\;dx_G = \dfrac{V_0\; dt}{1 + k\; V_0\; t} = \dfrac{1}{k}\; \dfrac{d\! \left( 1 + k\; V_0\; t \right)}{1 + k\; V_0\; t}\;</math>»<ref> Dans la fraction initiale <math>\;\dfrac{V_0\; dt}{1 + k\; V_0\; t}\;</math> le numérateur étant, à un facteur multiplicatif près, la différentielle du dénominateur, on forme d'autorité <math>\;\dfrac{d\! \left( 1 + k\; V_0\; t \right)}{1 + k\; V_0\; t}\;</math> et on constate, en évaluant la différentielle du numérateur <math>\;d\! \left( 1 + k\; V_0\; t \right) = k\;V_0\;dt</math>, qu'il y a un facteur supplémentaire <math>\;k\;</math> par rapport à la fraction initiale d'où la nécessité de multiplier par <math>\;\dfrac{1}{k}\;</math> pour compenser.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on suppose que la résistance de l'air est seule On poursuit l'intégration en explicitant «<math>\;\color{transparent}{V_G(t) = \dfrac{V_0}{1 + k\; V_0\; t} = \dfrac{dx_G}{dt}(t)}\;</math>» soit, }} qu'on intègre à gauche entre <math>\;0\;</math> et <math>\;x_G(t)</math>, et à droite entre <math>\;0\;</math> et <math>\;t</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on suppose que la résistance de l'air est seule }}la loi horaire de position de la voiture «<math>\;x_G(t) = \dfrac{1}{k}\, \ln(1 + k\; V_0\; t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Si on suppose que la résistance de l'air est seule }}en conclusion la voiture acquiert, en théorie, une « vitesse nulle à l'instant <math>\;t_{\text{arrêt}} = \infty\;</math>»<ref name="abus" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on suppose que la résistance de l'air est seule en conclusion la voiture }}s'arrête, toujours en théorie, à l'« abscisse <math>\;x_G(t_{\text{arrêt}}) = \infty\;</math>»<ref name="abus" />{{,}}<ref> Ce qui correspond à la limite de l'expression trouvée précédemment avec frottement solide <math>\;x_G(t_{\text{arrêt}}) = \dfrac{1}{2\;k}\; \ln\! \left[ 1 + \dfrac{k}{f\;g}\;V_0^2 \right]\;</math> quand <math>\;f \rightarrow 0\;</math> en effet <math>\;\dfrac{k}{f\;g} \rightarrow +\infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left[ 1 + \dfrac{k}{f\;g}\;V_0^2 \right] \rightarrow +\infty\;</math> et <math>\;\dfrac{1}{2\;k}\; \ln\! \left[ 1 + \dfrac{k}{f\;g}\;V_0^2 \right] \rightarrow +\infty</math>.</ref>.}} == Expérience (de la gouttelette d'huile) de Millikan == {{Al|5}}<u>Introduction</u> : L'expérience de Millikan<ref name="Millikan"> '''[[w:Robert_Andrews_Millikan|Robert Andrews Millikan]] (1868 - 1953)''' physicien états-unien surtout connu pour ses mesures précises de la charge de l'électron, l'étude de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]] et celle des [[w:Rayonnement_cosmique|rayons cosmiques]] ; il obtint le prix Nobel de physique en <math>\;1923\;</math> pour ses travaux sur la charge élémentaire de l'électricité et l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> réalisée au début du XX^ème siècle a permis, pour la 1^ère fois, d'établir que la charge de gouttelettes d'huile électrisées par [[w:Rayon_X|rayons X]] est toujours quantifiée et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Introduction : L'expérience de Millikan réalisée au début du XX^ème siècle a permis, pour la 1^ère fois, }}de donner une 1^ère valeur du « quantum de charge », connu de nos jours sous le nom de <br>{{Al|11}}{{Transparent|Introduction : L'expérience de Millikan réalisée au début du XX^ème siècle a permis, pour la 1^ère fois, de donner une 1^ère valeur du }}« charge élémentaire ». {{Al|5}}Des gouttelettes d'huile sphériques électrisées se déplacent dans l'espace champ de pesanteur terrestre <math>\;\big(</math>de vecteur champ de pesanteur <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Des gouttelettes d'huile sphériques électrisées se déplacent }}dans l'espace champ électrostatique d'un condensateur plan <math>\;\big(</math>de vecteur champ électrostatique <math>\;\vec{E}\;</math> vertical et uniforme<math>\big)</math>. {{Al|5}}Entre les deux plaques, il y a de l'air et par suite une gouttelette d'huile de rayon <math>\;r\;</math> se déplaçant avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}(t)\;</math> dans l'air <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre les deux plaques, il y a de l'air et par suite une gouttelette d'huile de rayon <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> }}subit de la part de ce dernier une « résistance à l'avancement <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t) = -6\;\pi\;\eta_{\text{air}}\;r\;\vec{V}(t)\;</math>»<ref name="formule de Stokes"> Expression connue sous le nom de formule de Stokes applicable pour un corps sphérique et une expression linéaire de la résistance à l'avancement ;<br>{{Al|3}}'''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]] ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème portant son nom]] mais en fait une 1^ère démonstration de ce [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème]] fût donnée vingt ans plus tôt par '''[[w:Mikhaïl_Ostrogradski|Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradski]] (1801 - 1862)''' physicien et mathématicien russe (province de l'Ukraine) à qui on doit aussi, entre autres, un [[w:Théorème_de_la_divergence|théorème portant son nom]] <math>\;\ldots</math></ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre les deux plaques, il y a de l'air et par suite une gouttelette d'huile de rayon <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> subit de la part de ce dernier une « résistance à l'avancement }}<math>\;\eta_{\text{air}}\;</math> le cœfficient de [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math></ref> de l'air. {{Al|5}}De plus la gouttelette subit, de la part de l'air, une autre force appelée « [[w:Poussée_d'Archimède|poussée d'Archimède]] »<ref name="Archimède" > '''[[w:Archimède|Archimède]] de Syracuse (vers 287 av.J.C. - 212 av.J.C.)''' physicien, mathématicien et ingénieur sicilien (de la Grande Grèce) considéré comme l'un des principaux scientifiques de l'Antiquité Classique ; dans le domaine de la physique, a étudié l'hydrostatique, la mécanique statique et a expliqué le principe du levier ; dans le domaine des mathématiques, a utilisé la [[w:Méthode_d'exhaustion|méthode d'exhaustion]] pour calculer l'aire sous un arc de parabole, a donné un encadrement de <math>\;\pi\;</math> avec une grande précision, a également introduit la [[w:Spirale_d'Archimède|spirale portant son nom]] d'équation polaire <math>\;\rho = a\;\theta</math>.</ref>, force résultant de la variation de pression exercée par l'air sur la surface limitant la gouttelette<ref> Force existant même s'il n'y a pas de mouvement relatif du corps par rapport à l'air.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|De plus la gouttelette subit, de la part de l'air, une autre force appelée « poussée d'Archimède », }}de direction verticale ascendante et de norme égale au poids d’« air déplacé »<ref name="fluide déplacé"> On appelle « fluide déplacé » le fluide hypothétique positionné au même endroit et occupant le même volume que le solide sans que la répartition de pression dans le fluide extérieur au fluide déplacé ou extérieur au solide ne soit modifiée.</ref>{{,}}<ref name="poussée d'Archimède"> La pression dans un fluide augmentant avec la profondeur est plus grande “sous” le corps que “sur” ce dernier et par suite le fluide dans lequel est entièrement plongé le corps exerce une force verticale ascendante appelée « [[w:Poussée_d'Archimède|poussée d'Archimède]] » voir plus de détail dans le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Poussée_d'Archimède#En_complément,_démonstration_du_théorème_d'Archimède|en complément, démonstration du théorème d'Archimède]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Dans la suite on notera <math>\;\mu_{\text{air}}\;</math> la masse volumique de l'air dans les conditions de température et de pression de l'expérience, <math>\;\mu_{\text{huile}}\;</math> celle de l'huile et <math>\;q\;</math> la charge de la gouttelette. {{Al|5}}La d.d.p<ref name="d.d.p."> Différence De Potentiels.</ref>. entre les armatures du condensateur est notée <math>\;U > 0\;</math> <math>\big(</math>le potentiel <math>\;\nearrow\;</math> selon la verticale ascendante<math>\big)\;</math><ref> On rappelle que le champ électrostatique est dans le sens <math>\;\searrow\;</math> des potentiels <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La différence de potentiels entre }}ces dernières étant séparées de <math>\;d</math>, la norme du vecteur champ électrostatique se calcule par <math>\;\Vert \vec{E} \Vert = \dfrac{U}{d}</math>. === Observation du mouvement vertical des gouttelettes d'huile à l'aide d'un microscope === {{Al|5}}On observe le mouvement vertical des gouttelettes à l'aide d'un microscope d'axe horizontal muni d'un micromètre oculaire. {{Al|5}}Faire un schéma succinct du dispositif d'observation <math>\;\big(</math>en particulier indiquer l'objectif et l'oculaire du microscope, placer le micromètre par rapport à l'oculaire pour que l'œil observe sans accommoder et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Faire un schéma succinct du dispositif d'observation <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>en particulier }}positionner le plan d'observation par rapport au micromètre et à l'objectif<math>\big)</math>. {{Al|5}}Le grandissement transverse de l'objectif étant égal à <math>\;G_t = 50</math>, qu'observe-t-on dans le plan du micromètre pour une goutte qui se déplace de <math>\;50\;\mu m\;</math> en <math>\;1\;s</math>. {{Solution | contenu = [[File:Microscope utilisé dans expérience de Millikan.png|thumb|650px|Schéma de placement du microscope pour observer la chute des gouttelettes d'huile dans l'expérience de Millikan<ref name="Millikan" />]] {{Al|5}}Le micromètre doit être dans le plan focal objet de l'oculaire <math>\;\big(</math>plan transverse passant par <math>\;F_o\big)\;</math> pour que son image, par ce dernier, soit rejetée à l'infini et par suite que l'œil la voit nette sans accommoder ; {{Al|5}}le plan focal objet de l'oculaire doit être conjugué, par l'objectif, du plan d’observation et par suite l'image, par l'objectif, de la gouttelette d'huile suivie se superposant au micromètre enverra son image, par l'oculaire, à l'infini et son image définitive, par l'œil n'accommodant pas, sur la rétine de ce dernier. {{Al|5}}Avec un grandissement transverse de <math>\;G_t = 50\;</math> pour l'objectif, on en déduit qu'une distance de <math>\;50\; \mu m\;</math> du plan d'observation correspond à une distance image de <math>\;50 \times 50\; \mu m = 2,5\;mm\;</math> et ainsi on voit l'image de la goutte, par l'objectif, se déplacer de <math>\;2,5\;mm\;</math> en <math>\;1\;s\;</math> dans le plan focal objet de l'oculaire. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour ne pas être obligé de tenir compte du grandissement transverse de l'objectif, il serait judicieux de graduer le micromètre avec une échelle <math>\;\dfrac{1}{50}\;</math> soit pour <math>\;1\;mm\;</math> réel du micromètre, de graduer <math>\;0,02\;mm = 20\;\mu m\;</math> mais, ce n'est pas ce qui a été fait <math>\;\ldots</math>}} === Établissement de l'équation différentielle du mouvement d'une gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales === {{Al|5}}On s'intéresse plus précisément au mouvement de la gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales. {{Al|5}}Déterminer l'équation différentielle de son mouvement en fonction de <math>\;r</math>, <math>\;\mu_{\text{huile}}</math>, <math>\;\mu_{\text{air}}</math>, <math>\;\eta_{\text{air}}</math>, <math>\;q</math>, <math>\;g\;</math> intensité de la pesanteur terrestre, <math>\;U</math>, <math>\;d\;</math> et <math>\;\vec{V}(t)\;</math> vecteur vitesse de chute de la gouttelette à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que de sa dérivée temporelle. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation en représentant les forces appliquées sur la gouttelette d'huile étudiée ainsi que le repère cartésien associé au référentiel terrestre supposé galiléen. {{Al|5}}Le vecteur champ électrostatique <math>\;\vec{E}\;</math> à l'intérieur du condensateur plan à armatures horizontales y étant uniforme et <math>\;\perp\;</math> aux armatures <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur champ électrostatique }}est <u>vertical</u> et <u>dans le sens descendant</u> <math>\;\big(\vec{E}\;</math> étant dans le sens <math>\;\searrow\;</math> des potentiels et la d.d.p<ref name="d.d.p." />. entre les armatures <math>\;U > 0\;</math> comptée positivement dans le sens ascendant<math>\big)\;</math> d'où, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur champ électrostatique }}«<math>\;\vec{E} = \Vert \vec{E} \Vert\;\vec{u}_z\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire de la verticale dans le sens descendant, ou encore, sachant que <math>\;\Vert \vec{E} \Vert = \dfrac{U}{d}</math>, «<math>\;\vec{E} = \dfrac{U}{d}\;\vec{u}_z\;</math>». {{Al|5}}<u>Bilan des forces appliquées sur une gouttelette d'huile électrisée entre les deux armatures horizontales du condensateur plan</u> : <math>\succ\;</math>son poids «<math>\;m_{\text{goutte}}\;\vec{g} = \mu_{\text{huile}}\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;r^3\;g\;\vec{u}_z\;</math>»<ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;r\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;r^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Bilan des forces appliquées sur une gouttelette d'huile électrisée entre les deux armatures horizontales du condensateur plan : }}<math>\succ\;</math>la [[w:Poussée_d'Archimède|poussée d'Archimède]]<ref name="Archimède" /> «<math>\;\vec{\Pi}_{\text{Archimède}} = -m_{\text{air déplacé}}\;\vec{g}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Bilan des forces appliquées sur une gouttelette d'huile électrisée entre les deux armatures horizontales du condensateur plan : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la poussée d'Archimède «<math>\;\color{transparent}{\vec{\Pi}_{\text{Archimède}}}</math> }}<math>= -\mu_{\text{air}}\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;r^3\;g\;\vec{u}_z\;</math>»<ref name="poussée d'Archimède" />{{,}}<ref name="volume d'une boule" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Bilan des forces appliquées sur une gouttelette d'huile électrisée entre les deux armatures horizontales du condensateur plan : }}<math>\succ\;</math>la force électrostatique «<math>\;q\;\vec{E} = q\;\dfrac{U}{d}\;\vec{u}_z\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Bilan des forces appliquées sur une gouttelette d'huile électrisée entre les deux armatures horizontales du condensateur plan : }}<math>\succ\;</math>la résistance à l'avancement dans l'air «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t) = -6\;\pi\;\eta_{\text{air}}\;r\;\vec{V}(t)\;</math>»<ref name="formule de Stokes" />. {{Al|5}}<u>Application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la gouttelette d'huile électrisée se déplaçant entre les deux armatures horizontales du condensateur plan</u> : «<math>\;m_{\text{goutte}}\;\vec{g} + \vec{\Pi}_{\text{Archimède}} + q\;\vec{E} + \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t) = m_{\text{goutte}}\;\vec{a}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{a}(t) = \dfrac{d \vec{V}}{dt}(t)\;</math> est le vecteur accélération de la gouttelette à l'instant <math>\;t</math>, soit finalement l'équation différentielle en <math>\;\vec{V}(t)\;</math> cherchée <center>«<math>\;\mu_{\text{huile}}\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;r^3\;\dfrac{d \vec{V}}{dt}(t) + 6\;\pi\;\eta_{\text{air}}\;r\;\vec{V}(t) = \left[ \left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,\dfrac{4}{3}\;\pi\;r^3\;g + q\;\dfrac{U}{d} \right] \vec{u}_z\;</math>» ou, <br>en normalisant, «<math>\;\dfrac{d \vec{V}}{dt}(t) + \dfrac{9\;\eta_{\text{air}}}{2\;\mu_{\text{huile}}\;r^2}\;\vec{V}(t) = \left[ \left( 1 - \dfrac{\mu_{\text{air}}}{\mu_{\text{huile}}} \right)\,g + \dfrac{3\;q}{4\;\mu_{\text{huile}}\;\pi\;r^3}\;\dfrac{U}{d} \right] \vec{u}_z\;</math>».</center>}} === Détermination de l'équation horaire de la vitesse de chute (composante verticale descendante du vecteur vitesse) d'une gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales === {{Al|5}}Résoudre l'équation différentielle en <math>\;\vec{V}(t)\;</math> vecteur vitesse de chute de la gouttelette à l'instant <math>\;t</math>, l'instant origine étant choisi au moment où la gouttelette étudiée démarre son mouvement de chute c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résoudre l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> vecteur vitesse de chute de la gouttelette à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, l'instant origine étant choisi }}au moment où sa vitesse est nulle, {{Al|5}}en déduire la composante verticale descendante <math>\;v(t)\;</math> du vecteur vitesse de chute de la gouttelette à l'instant <math>\;t\;</math> en fonction des paramètres décrivant le problème et de <math>\;t</math> ; {{Al|5}}<u>A.N.</u><ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : <math>\;r = 1\;\mu m</math>, <math>\;\mu_{\text{huile}} = 900\;kg \cdot m^{-3}</math>, <math>\;\mu_{\text{air}} = 1,2\;kg \cdot m^{-3}</math>, <math>\;\eta_{\text{air}} = 1,8\; 10^{-5}\;Pl\;</math><ref> <math>\;1\;Pl\;</math> <math>\big(</math>poiseuille<math>\big)</math> <math>\;= 1\; Pa \cdot s</math> ; ce nom a été donné à l'unité de [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\;g = 9,8\;m \cdot s^{-2}</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : }}montrer que <math>\;v(t)\;</math> atteint très rapidement une vitesse limite <math>\;v_{\text{lim}}\;</math> que l'on exprimera littéralement. {{Solution | contenu ={{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;\vec{V}(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{d \vec{V}}{dt}(t) + \dfrac{9\;\eta_{\text{air}}}{2\;\mu_{\text{huile}}\;r^2}\;\vec{V}(t) = \left[ \left( 1 - \dfrac{\mu_{\text{air}}}{\mu_{\text{huile}}} \right)\,g + \dfrac{3\;q}{4\;\mu_{\text{huile}}\;\pi\;r^3}\;\dfrac{U}{d} \right] \vec{u}_z\;</math>» étant linéaire du 1^er ordre à cœfficients réels constants hétérogène se résout comme rappelé aux paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Premier_ordre_à_excitation_constante|1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », le fait que la fonction recherchée soit vectorielle ne changeant pas la méthode de résolution, la seule différence étant que les constantes d'intégration sont des vecteurs constants d'intégration d'où <math>\;\vec{V}(t) = \vec{V}_{\text{libre}}(t) + \vec{V}_{\text{forcé}}\;</math> avec respectivement <math>\;\vec{V}_{\text{libre}}(t)\;</math> solution générale de l'équation homogène et <math>\;\vec{V}_{\text{forcé}}\;</math> solution particulière de l'équation hétérogène choisie de même forme que l'excitation, à savoir sous forme d'un vecteur constant ; {{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> }}définissant «<math>\;\tau = \dfrac{2\;\mu_{\text{huile}}\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}}\;</math> constante de temps d'amortissement du régime libre », l'équation différentielle homogène se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> }}«<math>\;\dfrac{d \vec{V}_{\text{libre}}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;\vec{V}_{\text{libre}}(t) = \vec{0}\;</math>» dont on déduit la solution libre «<math>\;\vec{V}_{\text{libre}}(t) = \vec{A}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» avec <math>\;\vec{A}\;</math> vecteur constant d'intégration à déterminer et {{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> définissant «<math>\;\color{transparent}{\tau = \dfrac{2\;\mu_{\text{huile}}\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}}}\;</math> constante de temps d'amortissement du régime libre », }}l'équation différentielle hétérogène selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> }}«<math>\;\dfrac{d \vec{V}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;\vec{V}(t) = \left[ \left( 1 - \dfrac{\mu_{\text{air}}}{\mu_{\text{huile}}} \right)\,g + \dfrac{3\;q}{4\;\mu_{\text{huile}}\;\pi\;r^3}\;\dfrac{U}{d} \right] \vec{u}_z\;</math>», la recherche d'une solution forcée de même forme que l'excitation nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> }}«<math>\;\cancel{\dfrac{d \vec{V}_{\text{forcé}}}{dt}(t)\; +}\; \dfrac{1}{\tau}\;\vec{V}_{\text{forcé}} = \left[ \left( 1 - \dfrac{\mu_{\text{air}}}{\mu_{\text{huile}}} \right)\,g + \dfrac{3\;q}{4\;\mu_{\text{huile}}\;\pi\;r^3}\;\dfrac{U}{d} \right] \vec{u}_z\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{\text{forcé}} = \left[ \left( 1 - \dfrac{\mu_{\text{air}}}{\mu_{\text{huile}}} \right)\,g + \dfrac{3\;q}{4\;\mu_{\text{huile}}\;\pi\;r^3}\;\dfrac{U}{d} \right] \tau\;\vec{u}_z\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\cancel{\dfrac{d \vec{V}_{\text{forcé}}}{dt}(t)\; +}\; \dfrac{1}{\tau}\;\vec{V}_{\text{forcé}} = \left[ \left( 1 - \dfrac{\mu_{\text{air}}}{\mu_{\text{huile}}} \right)\,g + \dfrac{3\;q}{4\;\mu_{\text{huile}}\;\pi\;r^3}\;\dfrac{U}{d} \right] \vec{u}_z}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{\text{forcé}} = \left[ \left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,\dfrac{2\,g\,r^2}{9\,\eta_{\text{air}}} + \dfrac{q}{6\,\pi\,\eta_{\text{air}}\,r}\,\dfrac{U}{d} \right]\, \vec{u}_z\;</math>» en réinjectant l'expression de <math>\;\tau</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> }}la solution générale de l'équation hétérogène s'écrit donc «<math>\;\vec{V}(t) = \vec{A}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) + \vec{V}_{\text{forcé}}\;</math>» avec «<math>\;\vec{A}\;</math> se déterminant par C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\vec{V}(0) = \vec{0}\;</math>» soit <math>\;\vec{0} = \vec{A} + \vec{V}_{\text{forcé}}\;</math> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> la solution générale de l'équation hétérogène s'écrit donc «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t) = \vec{A}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) + \vec{V}_{\text{forcé}}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{\vec{A}}\;</math> se déterminant par C.I. <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(0) = \vec{0}}\;</math>» soit }}<math>\;\vec{A} = -\vec{V}_{\text{forcé}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> }}la loi horaire vectorielle du vecteur vitesse «<math>\;\vec{V}(t) = \vec{V}_{\text{forcé}}\, \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;</math>» avec «<math>\;\tau = \dfrac{2\;\mu_{\text{huile}}\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}}\;</math>» et «<math>\;\vec{V}_{\text{forcé}} = \left[ \left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,\dfrac{2\;g\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}} + \dfrac{q}{6\;\pi\;\eta_{\text{air}}\;r}\;\dfrac{U}{d} \right]\, \vec{u}_z\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> }}la composante verticale <math>\;\big(</math>descendante<math>\big)\;</math> du vecteur vitesse de chute de la gouttelette d'huile à l'instant <math>\;t\;</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> la composante verticale <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>descendante<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}«<math>\;v(t) = \vec{V}(t) \cdot \vec{u}_z = \left[ \left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,\dfrac{2\;g\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}} + \dfrac{q}{6\;\pi\;\eta_{\text{air}}\;r}\;\dfrac{U}{d} \right]\, \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;</math>» avec «<math>\;\tau = \dfrac{2\;\mu_{\text{huile}}\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}}</math>», {{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> }}on en déduit qu'« elle atteint sa valeur limite <math>\;v_{\text{lim}} = \left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,\dfrac{2\;g\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}} + \dfrac{q}{6\;\pi\;\eta_{\text{air}}\;r}\;\dfrac{U}{d}\;</math> à <math>\;1\;\%\;</math> près à l'instant <math>\;t_{\text{lim}} \simeq 5\;\tau\;</math><ref> En effet <math>\;\exp\! \left( -5 \right) \simeq 0,0067\;</math> diffère de <math>\;0\;</math> de moins de <math>\;1\;\%</math>.</ref> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\vec{V}(t)}\;</math> on en déduit qu'}}avec la constante de temps d'amortissement du régime libre «<math>\;\tau = \dfrac{2\;\mu_{\text{huile}}\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}} = \dfrac{2 \times 900 \times \left( 1,0\;10^{-6} \right)^2}{9 \times 1,8\;10^{-5}} \simeq 1,1\;10^{-5}\;s\;</math> soit <math>\;\tau \simeq 11\;\mu s\;</math>» et par suite <center>«<math>\;t_{\text{lim}} \simeq 55\;\mu s\;</math>», ce qui est effectivement très rapide car non décelable par un simple humain.</center>}} === Étude du mouvement de chute de la gouttelette d'huile précédente en absence de champ électrostatique créé dans le condensateur plan à armatures horizontales === {{Al|5}}On supprime l'espace champ électrostatique entre les armatures horizontales du condensateur plan en imposant <math>\;U = 0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|On supprime l'espace champ électrostatique }}en choisissant encore pour instant origine le moment où la gouttelette d'huile étudiée démarre son mouvement de chute, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On supprime l'espace champ électrostatique }}montrer que <math>\;v'(t)</math>, la nouvelle composante verticale descendante de son vecteur vitesse de chute, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On supprime l'espace champ électrostatique montrer que <math>\;\color{transparent}{v'(t)}</math>, }}atteint très rapidement une nouvelle vitesse limite <math>\;{v'}_{\text{lim}}\;</math> que l'on exprimera aussi littéralement puis {{Al|5}}{{Transparent|On supprime l'espace champ électrostatique }}vérifier que la détermination de <math>\;{v'}_{\text{lim}}\;</math> permet de connaître le rayon <math>\;r\;</math> de la gouttelette. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Le mouvement de chute de la gouttelette d'huile en absence de champ électrostatique étant un cas particulier de son mouvement de chute en présence de champ électrostatique dans lequel <math>\;U = 0</math>, on en déduit : * l'équation différentielle en <math>\;\vec{V}'(t)\;</math> vecteur vitesse de chute de la gouttelette «<math>\;\dfrac{d \vec{V}'}{dt}(t) + \dfrac{9\;\eta_{\text{air}}}{2\;\mu_{\text{huile}}\;r^2}\;\vec{V}'(t) = \left( 1 - \dfrac{\mu_{\text{air}}}{\mu_{\text{huile}}} \right)\,g\;\vec{u}_z\;</math>»<ref name="cas particulier avec U = 0"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Détermination_de_l'équation_horaire_de_la_vitesse_de_chute_(composante_verticale_descendante_du_vecteur_vitesse)_d'une_gouttelette_d'huile_électrisée_dans_le_condensateur_plan_à_armatures_horizontales|détermination de l'équation horaire de chute (composante verticale descendante du vecteur vitesse) d'une gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales]] » plus haut dans cet exercice en y faisant <math>\;U = 0</math>.</ref>, * la solution de cette équation différentielle «<math>\;\vec{V}'(t) = {\vec{V}'}_{\text{forcé}}\, \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;</math>» avec «<math>\;\tau = \dfrac{2\;\mu_{\text{huile}}\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}}\;</math>» et «<math>\;{\vec{V}'}_{\text{forcé}} = \left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,\dfrac{2\;g\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}}\; \vec{u}_z\;</math>»<ref name="cas particulier avec U = 0" />, * la composante verticale <math>\;\big(</math>descendante<math>\big)\;</math> du vecteur vitesse de chute de la gouttelette «<math>\;v'(t) = \left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,\dfrac{2\;g\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}} \, \left[ 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \right]\;</math>»<ref name="cas particulier avec U = 0" /> avec «<math>\;\tau = \dfrac{2\;\mu_{\text{huile}}\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}}\;</math>» et * l'existence d'une vitesse limite <math>\;{v'}_{\text{lim}}\;</math> obtenue quasi instantanément après le début de la chute <math>\;\big(</math>l'instant d'atteinte de la vitesse limite à <math>\;1\,\%\;</math> près étant <math>\;t_{\text{lim}} = 5\;\tau\;</math><ref> En effet la vitesse limite est atteinte à <math>\;1\,\%\;</math> près au bout de la même durée qu'en présence de champ électrostatique car la constante de temps d'amortissement du régime libre <math>\;\tau\;</math> a la même valeur {{Nobr|«<math>\;t_{\text{lim}} \simeq 55\;\mu s\;</math>}} <math>\big(</math>correspondant à une durée effectivement très courte<math>\big)\;</math>» voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Détermination_de_l'équation_horaire_de_la_vitesse_de_chute_(composante_verticale_descendante_du_vecteur_vitesse)_d'une_gouttelette_d'huile_électrisée_dans_le_condensateur_plan_à_armatures_horizontales|détermination de l'équation horaire de chute (composante verticale descendante du vecteur vitesse) d'une gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales]] » plus haut dans cet exercice.</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'existence }}la vitesse limite s'écrivant «<math>\;{v'}_{\text{lim}} = \left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,\dfrac{2\;g\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}}\;</math>»<ref name="cas particulier avec U = 0" /> ; {{Al|5}}de «<math>\;{v'}_{\text{lim}} = \left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,\dfrac{2\;g\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}}\;</math>» on en tire aisément le rayon de la gouttelette «<math>\;r = \sqrt{\dfrac{9\;\eta_{\text{air}}\;{v'}_{\text{lim}}}{2\,\left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,g}}\;</math>», ce qui montre que <br>{{Al|5}}la détermination de <math>\;{v'}_{\text{lim}}\;</math> permet d'en déduire le rayon de la gouttelette si la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] de l'air, les masses volumiques de l'huile et de l'air, ainsi que l'intensité de la pesanteur terrestre sont connues.}} === Détermination de la charge de la gouttelette d'huile dont on a déterminé le mouvement de chute en présence puis en absence de champ électrostatique et conséquence === {{Al|5}}Déduire, des expressions de <math>\;v_{\text{lim}}\;</math> et de <math>\;{v'}_{\text{lim}}\;</math> de la gouttelette d'huile, l'expression de sa charge <math>\;q\;</math> en fonction de <math>\;\mu_{\text{huile}}</math>, <math>\;\mu_{\text{air}}</math>, <math>\;\eta_{\text{air}}</math>, <math>\;g</math>, <math>\;U</math>, <math>\;d</math>, <math>\;v_{\text{lim}}\;</math> et <math>\;{v'}_{\text{lim}}</math>. {{Al|5}}<u>A.N.</u><ref name="A.N." /> : Sachant que <math>\;U = 10\;V</math>, <math>\;d = 5\;mm</math>, <math>\;v_{\text{lim}} = 85,0\;\mu m \cdot s^{-1}\;</math> et <math>\;{v'}_{\text{lim}} = 88,2\;\mu m \cdot s^{-1}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : Sachant que }}calculer numériquement la charge <math>\;q\;</math> de la gouttelette d'huile puis {{Al|10}}{{Transparent|A.N. : }}en admettant que l'électrisation de la gouttelette d'huile par [[w:Rayon_X|rayons X]] s'est faite par apport ou retrait d'électrons <math>\;\big(</math>évidemment en nombre entier<math>\big)\;</math> vérifier que cette hypothèse est en accord avec la valeur de la charge de l'électron connue de nos jours <math>\;q_{\text{électron}} \simeq -1,602\;10^{-19}\;C\;</math> et enfin {{Al|10}}{{Transparent|A.N. : }}en déduire la mesure obtenue de la charge élémentaire par cette expérience ; {{Al|10}}{{Transparent|A.N. : }}commenter la phrase affirmant que « l'expérience <math>\;\big(</math>de la gouttelette d'huile<math>\big)\;</math> de Millikan<ref name="Millikan" /> a permis d'obtenir la valeur de la charge élémentaire avec une très bonne précision » <math>\;\big(</math>par exemple en évaluant la précision de la mesure c'est-à-dire l'écart relatif entre la mesure et la valeur admise de nos jours<ref> Écart relatif évalué par rapport à la valeur admise de nos jours.</ref><math>\big)</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Reportant l'expression du rayon de la gouttelette en fonction de sa vitesse limite de chute en absence de champ électrostatique «<math>\;r = \sqrt{\dfrac{9\;\eta_{\text{air}}\;{v'}_{\text{lim}}}{2\,\left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,g}}\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Étude_du_mouvement_de_chute_de_la_gouttelette_d'huile_précédente_en_absence_de_champ_électrostatique_créé_dans_le_condensateur_plan_à_armatures_horizontales|étude du mouvement de chute de la gouttelette d'huile précédente en absence de champ électrostatique créé dans le condensateur plan à armatures horizontales]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Reportant l'expression du rayon de la gouttelette }}dans celle de sa vitesse de chute en présence du champ électrostatique «<math>\;v_{\text{lim}} = \left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,\dfrac{2\;g\;r^2}{9\;\eta_{\text{air}}} + \dfrac{q}{6\;\pi\;\eta_{\text{air}}\;r}\;\dfrac{U}{d}\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Détermination_de_l'équation_horaire_de_la_vitesse_de_chute_(composante_verticale_descendante_du_vecteur_vitesse)_d'une_gouttelette_d'huile_électrisée_dans_le_condensateur_plan_à_armatures_horizontales|détermination de l'équation horaire de la vitesse de chute (composante verticale descendante du vecteur vitesse) d'une gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales]] » plus haut dans cet exercice.</ref> on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Reportant l'expression du rayon de la gouttelette dans celle de sa vitesse de chute en présence du champ électrostatique }}«<math>\;v_{\text{lim}} = {v'}_{\text{lim}} + \dfrac{q}{6\;\pi\;\eta_{\text{air}}}\;\sqrt{\dfrac{2\,\left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,g}{9\;\eta_{\text{air}}\;{v'}_{\text{lim}}}}\;\dfrac{U}{d}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Reportant }}l'expression de la charge de la gouttelette «<math>\;q = 18\;\pi\;\eta_{\text{air}}\,\left( v_{\text{lim}} - {v'}_{\text{lim}} \right)\,\sqrt{\dfrac{\eta_{\text{air}}\;{v'}_{\text{lim}}}{2\,\left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,g}}\;\dfrac{d}{U}\;</math>» ou, après simplification, «<math>\;q = \dfrac{18\;\pi}{\sqrt{2}}\;\eta_{\text{air}}^{\,\frac{3}{2}}\;\dfrac{\left( v_{\text{lim}} - {v'}_{\text{lim}} \right)\;\sqrt{{v'}_{\text{lim}}}}{\sqrt{\left( \mu_{\text{huile}} - \mu_{\text{air}} \right)\,g}}\;\dfrac{d}{U}\;</math>» ; {{Al|5}}avec les mesures de vitesse limite de chute de la gouttelette avec et sans champ électrostatique «<math>\;v_{\text{lim}} = 85,0\;\mu m \cdot s^{-1}\;</math>» et «<math>\;{v'}_{\text{lim}} = 88,2\;\mu m \cdot s^{-1}\;</math>» pour «<math>\;U = 10\;V\;</math> et <math>\;d = 5\;mm\;</math>», on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Reportant l'expression de la charge de la gouttelette }}«<math>\;q = \dfrac{18 \times \pi}{\sqrt{2}} \times \left( 1,8\; 10^{-5} \right)^{\frac{3}{2}} \times \dfrac{\left( 85,0\;10^{-6} - 88,2\;10^{-6} \right) \times \sqrt{88,2\;10^{-6}}}{\sqrt{\left( 900 - 1,2 \right) \times 9,8}} \times \dfrac{5\;10^{-3}}{10} \simeq -4,889\;10^{-19}\;C\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Reportant l'expression de la charge de la gouttelette }}ce résultat étant de « valeur absolue pratiquement égale à <math>\;3\;</math> fois la charge élémentaire » nous en déduisons une mesure de cette dernière <br>{{Al|7}}{{Transparent|Reportant l'expression de la charge de la gouttelette ce résultat étant de « valeur absolue pratiquement égale à <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> fois la charge élémentaire nous en déduisons }}«<math>\;e_{\text{exp}} \simeq \dfrac{\vert q \vert}{3} \simeq 1,630\;10^{-19}\;C\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Reportant l'expression de la charge de la gouttelette }}comparant la valeur expérimentale ci-dessus «<math>\;e_{\text{exp}} \simeq 1,630\;10^{-19}\;C\;</math>» à la valeur connue de nos jours «<math>\;e_{\text{actuel}} \simeq 1,602\;10^{-19}\;C\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Reportant l'expression de la charge de la gouttelette comparant }}l'écart relatif de la mesure expérimentale obtenue par expérience de Millikan<ref name="Millikan" /> relativement à la valeur connue de nos jours s'évalue par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Reportant l'expression de la charge de la gouttelette comparant l'écart relatif }}«<math>\;\dfrac{e_{\text{exp}} - e_{\text{actuel}}}{e_{\text{actuel}}} \simeq \dfrac{1,630\;10^{-19} - 1,602\;10^{-19}}{1,602\;10^{-19}} \simeq 0,0175 = 1,75\,\%\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Reportant l'expression de la charge de la gouttelette comparant l'écart relatif }}la mesure expérimentale de <math>\;e\;</math> par expérience de Millikan<ref name="Millikan" /> peut effectivement être considérée comme une très bonne 1^ère mesure <math>\;\ldots</math>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme/|Loi de la quantité de mouv. : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple/|Loi de la quantité de mouv. : Pendule pesant simple]] }} 5dd53n2o3h3c8uaxkymwus4dn70rgqq 0 70195 982888 978824 2026-05-17T13:55:45Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982888 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air/]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement/]] }} <center>Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Pendule pesant, description et cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement == === Définitions du pendule pesant (P.P.) et de son cas limite « le pendule pesant simple (P.P.S.) » === {{Définition|titre=Définition d'un pendule pesant (P.P.)| contenu={{Al|5}}Un pendule pesant <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> est un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> placé dans un champ de pesanteur <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme dont un point <math>\;O\;</math> autre que son centre d'inertie <math>\;G\;</math> est fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié à la source du champ de pesanteur<ref> Usuellement la source du champ de pesanteur étant la Terre, le référentiel d'étude est le référentiel terrestre.</ref> ; {{Al|5}}le P.P<ref name="P.P."> Pendule Pesant.</ref>. est caractérisé par la masse <math>\;m\;</math> du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|le P.P. est caractérisé par }}la distance <math>\;a\;</math> entre le C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. <math>\;G\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et son point fixe <math>\;O\;</math> c'est-à-dire <math>\;a = OG</math>.}} {{Définition|titre=Définition d'un pendule pesant simple (P.P.S.)| contenu={{Al|5}}Un P.P<ref name="P.P." />. est qualifié de « simple » si son solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> se réduit à l'« association d'une tige inextensible sans masse et d'un point matériel {{Nobr|<math>\;M\;</math>»<ref name="remplacement de la tige sans masse"> La tige inextensible sans masse peut être remplacée par un fil idéal <math>\;\big(</math>c.-à-d. inextensible et sans masse<math>\big)\;</math> mais dans ce cas, il faut que le fil soit tendu pour que l'ensemble « point matériel – fil idéal » soit un P.P.S. <math>\;\big(</math>pendule pesant simple<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}c'est pour éviter d'avoir à vérifier que le fil reste tendu <math>\;\big(</math>c.-à-d. que la force que le fil exerce sur <math>\;M\;</math> soit dirigée de <math>\;M\;</math> vers <math>\;O\big)\;</math> que l'on remplace le fil par une tige inextensible sans masse pour laquelle la force que la tige exerce sur <math>\;M\;</math> peut être dirigée de <math>\;M\;</math> vers <math>\;O\;</math> ou de <math>\;O\;</math> vers <math>\;M\;</math> ou même nulle.</ref>{{,}}<ref> Le point matériel <math>\;M\;</math> est alors confondu avec le C.D.I. <math>\;G\;</math> du solide <math>\;(\mathcal{S})</math>, la tige <math>\;\big(</math>ou le fil<math>\big)\;</math> étant sans masse.</ref> ;}} {{Al|5}}le P.P.S<ref name="P.P.S."> Pendule Pesant Simple.</ref>. est caractérisé par sa masse <math>\;m\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire la masse de son point matériel <math>\;M\;</math><ref> Qui est aussi la masse du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> du P.P. <math>\;\big(</math>pendule pesant<math>\big)</math>, la tige (ou le fil) étant sans masse.</ref><math>\big)\;</math> et sa longueur <math>\;l\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire la longueur de la tige sans masse<ref> Ou la longueur du fil idéal <math>\;\big(</math>c.-à-d. inextensible et sans masse<math>\big)</math>.</ref><math>\big)\;</math> à savoir <math>\;l = OM\;</math><ref> Se substituant à la distance <math>\;a = OG\;</math> du P.P. <math>\;\big(</math>pendule pesant<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.}} === Conditions initiales (C.I.) de lancement « 1a » ou « 1b » induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>. de lancement du P.P.S<ref name="P.P.S." />. notées «<math>\;1a\;</math>»<ref name="pourquoi 1 ?"> On note <math>\;1\;</math> car le P.P.S. dans ces conditions initiales de lancement sera à un degré de liberté.</ref> sont les suivantes : * on écarte le P.P.S<ref name="P.P.S." />. de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable"> C.-à-d. <math>\;M\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier <math>\;\big[</math>résultat intuitif mais qui sera établi aux paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_des_positions_d'équilibre_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Stabilité_et_instabilité_des_équilibres_en_terme_de_force_sur_l'exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|stabilité et instabilité des équilibres en terme de force sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> et * on le lâche sans « vitesse initiale » dans le référentiel d'étude. {{Al|5}}On pourra aussi utiliser les C.I<ref name="C.I." />. de lancement du P.P.S<ref name="P.P.S." />. notées «<math>\;1b\;</math>»<ref name="pourquoi 1 ?" /> suivantes : * on écarte le P.P.S<ref name="P.P.S." />. de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable" /> et * on lui communique une « vitesse initiale » de vecteur situé dans le plan vertical de lancement du référentiel d'étude. === Établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a » ou « 1b » === {{Al|5}}Nous considérons dans un 1^er temps les C.I<ref name="C.I." />. de lancement «<math>\;1a\;</math>» <math>\;\big(</math>les conditions les plus usuelles<math>\big)\;</math> et nous étudions son mouvement ultérieur dans le référentiel terrestre supposé galiléen, puis {{Al|5}}nous préciserons les modifications de l'étude dans les C.I<ref name="C.I." />. de lancement «<math>\;1b\;</math>». ==== Bilan des forces agissant sur le P.P.S. ==== [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant simple avec repérage sphérique de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_sphérique_d'un_point_dans_l'espace|repérage sphérique d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du {{Nobr|P.P.S<ref name="P.P.S." />.}}]] {{Al|5}}Le point <math>\;M</math>, repéré par ses coordonnées sphériques de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math><ref name="repérage sphérique" /> vertical descendant, à savoir <math>\;\left( r = l\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math> de base sphérique associée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)</math>, est soumis à deux forces <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> : * une force à distance, le poids de <math>\;M</math>, <math>\;m\;\vec{g}\;</math> et * une force de contact, le vecteur tension de la tige <math>\;\vec{T}(t)\;</math> « central »<ref> Centripète ou centrifuge <math>\;\big(</math>centripète signifiant « dirigée vers le point <math>\;O\;</math>» et centrifuge « s'éloignant de <math>\;O\;</math>»<math>\big)\;</math> suivant que la tige empêche le point <math>\;M\;</math> de s'éloigner ou de se rapprocher de <math>\;O</math>.</ref> dans la mesure où la tige est sans masse<ref> Nous admettons, pour l'instant, la nécessité que la tige soit sans masse <math>\;\big(</math>et donc sans poids<math>\big)\;</math> pour que son vecteur tension soit central, l'établissement de cette propriété nécessitant l'utilisation du théorème du moment cinétique <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> appliqué à un solide en rotation <math>\;\big(</math>à savoir la tige<math>\big)\;</math> autour d'un point fixe <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la notion de moment cinétique <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> d'un solide en rotation étant vue au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et celle de moment <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> de force vue au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>. ==== Démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement « 1a » (ou « 1b ») ==== [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées en perspective.png|thumb|left|400px|Schéma en perspective d'un pendule pesant simple avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S<ref name="P.P.S." />.]] {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La courbe décrite par <math>\;M\;</math> s'inscrivant sur la sphère de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;l</math>, le meilleur système de coordonnées est effectivement le système sphérique de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe {{Nobr|<math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math><ref name="repérage sphérique" />}} mais <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l'utilisation de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. appliquée à <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen nécessitant de connaître les composantes sphériques de <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> et celles-ci étant beaucoup trop complexes <math>\;\big(</math>de plus hors programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)</math>, on va se rabattre sur le système de coordonnées cylindro-polaires le plus proche du système sphérique à savoir le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}avec le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> le point <math>\;M\;</math> a pour coordonnées cylindro-polaires <math>\;\left\lbrace \rho = l\;\sin(\theta),\, \varphi\,,\, z = l\;\cos(\theta) \right\rbrace\;</math><ref> On rappelle que la 2^ème coordonnée cylindro-polaire s'identifie à la 3^ème coordonnée sphérique associée.</ref> de base cylindro-polaire associée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_\rho = \sin(\theta)\;\vec{u}_r + \cos(\theta)\;\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z = \cos(\theta)\;\vec{u}_r - \sin(\theta)\;\vec{u}_\theta \right\rbrace\;</math><ref> On rappelle que le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire s'identifie au 3^ème vecteur de base sphérique associé.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}voir schéma refait en perspective ci-contre à gauche. <br><br>{{Al|5}}La r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» projetée sur <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> nous conduit à «<math>\;m\;g_\varphi + T_\varphi(t) = m\;a_{\varphi,\,M}(t)\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> }}les composantes de <math>\;\vec{g}\;</math> et de <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> étant nulles<ref> En effet <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> est <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> donc <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{g}\;</math> et à <math>\;\vec{T}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> }}après simplification par <math>\;m</math>, «<math>\;a_{\varphi,\,M}(t) = 0\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou encore, {{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> }}pour les valeurs de <math>\;t\;</math> telles que <math>\;\rho(t) \neq 0\;</math><ref> C.-à-d. <math>\;t \neq t_{\text{éq stable}}\;</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du P.P.S. <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#cite_note-équilibre_stable-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> pour lesquels <math>\;\theta(t_{\text{éq stable}}) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\rho(t_{\text{éq stable}}) = 0</math>.</ref> et avec utilisation de la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale «<math>\;a_{\varphi,\,M}(t) = \dfrac{1}{\rho(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]}{dt}(t)\;</math>»<ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\;\theta\;</math> doit être remplacée par <math>\;\varphi</math>.</ref> et après simplification par <math>\;\dfrac{1}{\rho(t)} \neq 0\;\;\forall\;t</math>, l'équation différentielle suivante <br>{{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]}{dt}(t) = 0\;</math>» pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\;\not\ni\;</math> une des valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> qui s'intègre, }}en «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = cste\;</math>»<ref> Constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br>{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps <math>\;\not\ni\;</math> une des valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|3}}montrant, dans la suite du corps du paragraphe annoté, la continuité de la grandeur <math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t)\;</math> <math>\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'unicité des constantes d'intégration <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#cite_note-26|²⁶]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref> et dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\;\dot{\varphi}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\;\dot{\varphi}(t)\;</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\;\rho(t)\;\dot{\varphi}(t)\;</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\;\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t)\;</math><ref> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> qui s'intègre, en }}«<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = cste\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> }}on détermine la constante d'intégration par utilisation partielle des C.I<ref name="C.I." />. à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r} \theta(0) = \theta_0\!\!&\text{et }&\!\!\varphi(0) = 0\\ \dot{\theta}(0) = 0\!\!&\text{et }&\!\!\dot{\varphi}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\;xOz\;</math> on en déduit <math>\;\varphi(0) = 0</math>.</ref>{{,}}<ref> Par absence de vitesse initiale on a <math>\;V_\theta(0) = l\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> d'où <math>\;\dot{\theta}(0) = 0\;</math> et <math>\;V_\varphi(0) = l\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi}(0) = 0\;</math> d'où <math>\;\dot{\varphi}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho(t) = l\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>», la réécriture de la C.I<ref name="C.I." />. selon «<math>\;l^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi}(0) = cste\;</math>» ou «<math>\;0 = cste\;</math>» et par suite <br>{{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> qui s'intègre, en }}«<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = 0\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, {{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> }}en simplifiant par <math>\;\rho^2(t)\;</math> non identiquement nul, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> qui s'intègre, en }}«<math>\;\dot{\varphi}(t) = 0\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou enfin, {{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> }}après intégration «<math>\;\varphi(t) = cste'\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> }}valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\varphi(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> qui s'intègre, en }}«<math>\;\varphi(t) = 0\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c'est-à-dire <br>{{Al|11}}{{Transparent|La r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)}\;</math>» projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> }}la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Modifications avec les C.I. de lancement</u><math>\;(1b)</math> : aucune modification avant l'intervention des C.I<ref name="C.I." />. c'est-à-dire qu'on établit «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = cste\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» par une 1^ère intégration par rapport au temps de la projection de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. sur <math>\;\vec{u}_\varphi</math>, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi(0) = 0\\ \dot{\theta}(0) = \dfrac{V_0}{l}\;&\text{et }&\dot{\varphi}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}}<ref> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\;V_\theta(0) = l\;\dot{\theta}(0) = V_0\;</math> d'où <math>\;\dot{\theta}(0) = \dfrac{V_0}{l}\;</math> et <math>\;V_\varphi(0) = l\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi}(0) = 0\;</math> d'où <math>\;\dot{\varphi}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho(t) = l\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>», la réécriture de la C.I<ref name="C.I." />. selon «<math>\;l^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi}(0) = cste\;</math>» ou «<math>\;0 = cste\;</math>» et par suite «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = 0\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\;\rho^2(t)\;</math> non identiquement nul, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Modifications avec les C.I. de lancement<math>\;\color{transparent}{(1b)}</math> : aucune modification avant l'intervention des C.I. c'est-à-dire qu'on établit }}«<math>\;\dot{\varphi}(t) = 0\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Modifications avec les C.I. de lancement<math>\;\color{transparent}{(1b)}</math> : aucune modification avant l'intervention des C.I. c'est-à-dire }}après intégration «<math>\;\varphi(t) = cste'\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Modifications avec les C.I. de lancement<math>\;\color{transparent}{(1b)}</math> : aucune modification avant l'intervention des C.I. c'est-à-dire }}valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\varphi(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0</math>, soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|Modifications avec les C.I. de lancement<math>\;\color{transparent}{(1b)}</math> : aucune modification avant l'intervention des C.I. c'est-à-dire qu'on établit }}«<math>\;\varphi(t) = 0\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Modifications avec les C.I. de lancement<math>\;\color{transparent}{(1b)}</math> : aucune modification avant l'intervention des C.I. c'est-à-dire }}la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le plan de lancement. === En complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. « 1a » ou « 1b » === {{Al|5}}Si le P.P.S<ref name="P.P.S." />. se déplace dans un fluide suffisamment visqueux pour que la force de résistance à l'avancement soit linéaire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si }}le P.P.S<ref name="P.P.S." />. est qualifié d'« <u>amorti</u> » <math>\;\big(</math>P.P.S.A.<math>\big)\;</math><ref name="P.P.S.A."> Pendule Pesant Simple Amorti.</ref> c'est-à-dire qu'<u>aux forces précédentes s'exerçant sur un P.P.S.</u><ref name="P.P.S." /> à savoir <math>\;m\;\vec{g}\;</math> le poids de <math>\;M\;</math> et <math>\;\vec{T}(t)\;</math> le vecteur tension de la tige sans masse, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> c'est-à-dire qu'aux forces précédentes }}<u>s'ajoute une force de frottement fluide linéaire</u><math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(t) = -h\;\vec{V}_M(t)\;</math> avec <br>{{Al|14}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> c'est-à-dire qu'aux forces précédentes s'ajoute une force de frottement fluide linéaire }}<math>\;h > 0\;</math> constante dépendant du fluide enveloppant le P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. ; {{Al|14}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. de lancement «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>», le P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. a encore un <u>mouvement plan dans le plan vertical de lancement</u>, en effet : {{Al|14}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. }}projetée sur <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-h\;V_{\varphi,\,M}(t) = m\;a_{\varphi,\,M}(t)\;</math>»<ref> Les composantes de <math>\;\vec{g}\;</math> et de <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> étant nulles car <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> est <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> donc est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{g}\;</math> et à <math>\;\vec{T}(t)</math>.</ref>{{,}}<ref> Nous savons peu de chose sur <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> sinon que la rigidité de la tige implique une 1^ère composante sphérique de vitesse nulle <math>\;\big(</math>composante radiale<math>\big)\;</math> mais a priori les deux autres composantes sphériques peuvent ne pas être nulles et en particulier « supposer la composante sur <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> nulle » reviendrait à « supposer le mouvement plan », à <u>surtout ne pas faire pour démontrer la nature plane du mouvement</u> <math>\;\ldots</math></ref> ou, avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> ainsi que <br>{{Al|33}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{-h\;V_{\varphi,\,M}(t) = m\;a_{\varphi,\,M}(t)}\;</math>» ou, avec }}l'expression de la vitesse orthoradiale <math>\;V_{\varphi,\,M}(t) = \rho(t)\;\dot{\varphi}(t)\;</math> et <br>{{Al|33}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{-h\;V_{\varphi,\,M}(t) = m\;a_{\varphi,\,M}(t)}\;</math>» ou, avec }}la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|33}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{-h\;V_{\varphi,\,M}(t) = m\;a_{\varphi,\,M}(t)}\;</math>» ou, avec la forme semi intégrée }}<math>a_{\varphi,\,M}(t) = \dfrac{1}{\rho(t)}\,\dfrac{d\! \left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]}{dt}(t)\;</math><ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />{{,}}<ref> Applicable pour tout <math>\;t \neq t_{\text{éq stable}}\;</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du P.P.S.A. pour lesquels <math>\;\theta(t_{\text{éq stable}}) = 0\;</math> et donc <math>\;\rho(t_{\text{éq stable}}) = 0</math>.</ref>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;-h\;\rho(t)\;\dot{\varphi}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]}{dt}(t)\;</math>» soit, en multipliant par <math>\;\rho(t)\;</math><ref> Ce qui est licite pour les instants <math>\;t \neq t_{\text{éq stable}}\;</math> car, à ces instants, <math>\;\rho(t) \neq 0\;\ldots</math></ref> et en normalisant, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en <math>\;\left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]\!(t)\;</math> homogène suivante <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h}{m}\, \left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]\!(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}on intègre cette équation différentielle sur l'intervalle de temps continu <math>\;\left[ 0\,,\, t_{\text{éq stable},\,1} \right[\;</math> où <math>\;t_{\text{éq stable},\,1}\;</math> est le 1^er instant correspondant au passage du P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. par sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et on obtient <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]\!(t) = A_1\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>»<ref name="solution d'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans lequel <math>\;k = \dfrac{h}{m}\;</math> et <math>\;x\;</math> devant être remplacé par <math>\;t</math>, la grandeur <math>\;k\;x\;</math> sans dimension confère à <math>\;k\;</math> la dimension de l'inverse d'un temps <math>\;\ldots</math></ref> où <math>\;A_1\;</math> est une constante réelle d'intégration et <br>{{Al|26}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]\!(t) = A_1\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)}\;</math>» où }}<math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math> la constante de temps d'amortissement de la solution, avec <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;A_1\;</math> déterminée par utilisation partielle des C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r} \theta(0) = \theta_0\!\!&\!\!\text{et }\!\!&\!\!\varphi(0) = 0\\ \dot{\theta}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c} 0\;\;\;\text{pour C.I. }\,1a\\ \dfrac{V_0}{l}\;\;\text{pour C.I. }\,1b\end{array}\right\rbrace\!\!&\!\!\text{et }\!\!&\!\!\dot{\varphi}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\;xOz\;</math> on en déduit <math>\;\varphi(0) = 0</math>.</ref>{{,}}<ref> De la vitesse initiale <math>\;\big(</math>éventuellement nulle<math>\big)\;</math> on déduit <math>\;V_\theta(0) = l\;\dot{\theta}(0)\;</math> d'où <math>\;\dot{\theta}(0) = \frac{V_0}{l}\;</math> et <math>\;V_\varphi(0) = l\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi}(0) = 0\;</math> d'où <math>\;\dot{\varphi}(0) = 0</math>.</ref> soit, avec «<math>\;\rho(t) = l\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>», la réécriture de la C.I<ref name="C.I." />. selon «<math>\;l^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi}(0) = A_1\;</math>» ou «<math>\;0 = A_1\;</math>» et par suite «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \left[ 0\,,\, t_{\text{éq stable},\,1} \right[\;</math>» ; {{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}de la continuité des grandeurs <math>\;\rho(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, on en déduit celle de <math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t)\;</math> en particulier pour <math>\;t_{\text{éq stable},\,1}\;</math> d'où le prolongement de la définition de <math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t)\;</math> selon «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \left[ 0\,,\, t_{\text{éq stable},\,1} \right]\;</math>» ; {{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}on poursuit l'intégration de l'équation différentielle sur l'intervalle de temps continu suivant <math>\;\left[ t_{\text{éq stable},\,1}\,,\, t_{\text{éq stable},\,2} \right[\;</math> où <math>\;t_{\text{éq stable},\,2}\;</math> est l'instant suivant qui correspond au passage du P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. par sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et on obtient <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]\!(t) = A_2\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>»<ref name="solution d'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène" /> où <math>\;A_2\;</math> est une constante réelle d'intégration et <br>{{Al|26}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]\!(t) = A_2\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)}\;</math>» où }}<math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math> constante de temps d'amortissement de la solution, avec <math>\;A_2\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}déterminée par utilisation de la continuité de <math>\,\left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]\!(t)\,</math> à l'instant <math>\,t_{\text{éq stable},\,1}\,</math> soit, avec «<math>\;\left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]\!(t_{\text{éq stable},\,1}^{\,-})</math> <math>= 0\;</math>» et «<math>\;\left[ \rho^2\,\dot{\varphi} \right]\!(t_{\text{éq stable},\,1}^{\,+}) = A_2\;\exp\! \left( -\dfrac{t_{\text{éq stable},\,1}^{\,+}}{\tau} \right)\;</math>», «<math>\;A_2 = 0\;</math>» et par suite «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \left[ 0\,,\, t_{\text{éq stable},\,2} \right[\;</math>» puis, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}par continuité en <math>\;t_{\text{éq stable},\,2}</math>, «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \left[ 0\,,\, t_{\text{éq stable},\,2} \right]\;</math>» ; {{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}poursuivant l'intégration sur l'intervalle de temps continu suivant <math>\;\left[ t_{\text{éq stable},\,2}\,,\, t_{\text{éq stable},\,3} \right[\;</math> et déterminant la constante d'intégration par utilisation de la continuité en <math>\;t_{\text{éq stable},\,2}</math>, on obtient la « nullité de <math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t)\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, t_{\text{éq stable},\,3} \right[\;</math>», « nullité que l'on prolonge sur <math>\;\left[ 0\,,\, t_{\text{éq stable},\,3} \right]\;</math>» par continuité <math>\;\ldots</math> {{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}Après un nombre suffisant d'intégrations sur les intervalles de temps continus <math>\;\left[ t_{\text{éq stable},\,i}\,,\, t_{\text{éq stable},\,i + 1} \right[\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> Après }}utilisation de la continuité aux deux bornes de l'intervalle on en déduit <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\;\rho^2(t)\;</math> non identiquement nul, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\dot{\varphi}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou enfin, après une dernière intégration temporelle «<math>\;\varphi(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», la valeur <math>\;cste'\;</math> étant déterminée par C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\varphi(0) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;cste' = 0\;</math>», soit finalement <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>P.P.S.A.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\varphi(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c'est-à-dire la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le plan de lancement. === Conséquence de la nature plane du mouvement du P.P.S. dans les C.I. de lancement « 1a » ou « 1b » === {{Al|5}}Le mouvement du P.P.S<ref name="P.P.S." />. <math>\;\big[</math>et en complément celui du P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />.<math>\big]\;</math> étant plan si ses C.I<ref name="C.I." />. de lancement sont «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>», le point <math>\;M\;</math> associé au P.P.S<ref name="P.P.S." />. <math>\;\big[</math>ou en complément au {{Nobr|P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />.<math>\big]\;</math>}} décrit un <u>mouvement circulaire</u> de centre <math>\;O\;</math> compte-tenu de la rigidité de la tige <math>\;\big[</math>ou du caractère inextensible du fil tendu<math>\big]</math>, c'est donc un mouvement à un degré de liberté<ref> Ce qui signifie qu'il est décrit par un seul paramètre qui est ici l'angle <math>\;\theta</math>.</ref>. == Choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle « le centre du mouvement circulaire du P.P.S. » == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. à mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> <math>\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> du point <math>\;M\;</math> du P.P.S<ref name="P.P.S." />. et représentation des deux forces s'appliquant sur <math>\;M</math>]] {{Al|5}}Le mouvement est <u>plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige</u>, plus exactement, en notant <math>\;\Delta\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est <u>circulaire d'axe</u> <math>\;\Delta</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant de reprendre le repérage du point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées sphériques <math>\;\left( l\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math> ou, puisque <math>\;\varphi\;</math> reste constant et que <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> l'est aussi s'identifiant à <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, par <u>les deux 1^ères coordonnées sphériques</u> <math>\left( l\,,\, \theta \right)\;</math> de <math>\;M\;</math> <u>s'identifiant</u> alors <u>à ses coordonnées polaires de pôle</u> <math>\;O\;</math> <math>\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> du plan vertical initial, la base polaire de ce plan liée au point <math>\;M\;</math> étant <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\,</math> et l'angle polaire <math>\;\theta\;</math> de <math>\;M\;</math> étant orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> est alors entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire <math>\;\theta = \theta(t)\;</math> où <math>\;\theta\;</math> l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le « paramètre de position de ce dernier ». == Mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n., équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre, absence de solution analytique (d'où nécessité de résolution numérique dans le cas général) == === Mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n. === {{Al|5}}La r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen s'écrivant «<math>\;\vec{T}(t) + m\;\vec{g} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>», projetons la sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> pour éliminer <math>\;\vec{T}(t) \perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_\theta</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} schéma ci-contre<math>\big)\;</math> d'où «<math>\;0 - m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = m\;a_{\theta,\,M}(t)\;</math>» avec l'accélération orthoradiale en repérage polaire «<math>\;a_\theta(t) = r(t)\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\dot{r}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>»<ref name="accélération en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel <math>\;\rho(t)\;</math> est remplacé par <math>\;r(t)</math>.</ref> ou, en utilisant <math>\;r = l = cste</math>, «<math>\;a_{\theta,\,M}(t) = l\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;m\;l\;\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ou finalement, sous forme normalisée, <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» c'est-à-dire <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : La projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen nous permettrait de déterminer la « tension » <math>\;T(t)\;</math> de la tige<ref name="tension"> On appelle « tension » de la tige la grandeur <math>\;T(t)\;</math> telle que <math>\;\vec{T}(t) = -T(t)\;\vec{u}_r</math>, elle est, dans la majorité des situations, positive et représente, dans ces situations, la norme du vecteur tension mais, dans le cas d'une tige rigide sans masse, il n'y a aucune nécessité que <math>\;T(t)\;</math> soit positive et si <math>\;T(t)\;</math> est négative à certains instants c'est sa valeur absolue qui représente la norme du vecteur tension ; dans tous les cas, <math>\;T(t)\;</math> est la mesure algébrique de <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur la tige orientée de <math>\;M\;</math> vers <math>\;O</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_r}\;</math> de la r.f.d.n. }}selon «<math>\;-T(t) + m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = m\;a_{r,\,M}(t)\;</math>» avec l'accélération radiale en repérage polaire «<math>\;a_r(t) = \ddot{r}(t) - r(t)\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>»<ref name="accélération en cylindro-polaire" /> ou, en utilisant <math>\;r = l</math> <math>= cste</math>, «<math>\;a_{r,\,M}(t) = -l\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» soit encore «<math>\;-T(t) + m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = -m\;l\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» donnant l'expression de la « tension » de la tige<ref name="tension" /> suivante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_r}\;</math> de la r.f.d.n. selon }}«<math>\;T(t) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + l\;\dot{\theta}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}usuellement <math>\;T(t)\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> s'identifie à la norme <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> du vecteur tension, il n'y a alors aucun changement si on remplace la tige par un fil idéal, celui-ci restant tendu, mais <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : usuellement }}si <math>\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> devient <math>\;< 0\;</math> correspondant à une abscisse angulaire de valeur absolue <math>\;>\;</math> à <math>\;90\,\text{°}</math>, <math>\;T(t)\;</math> correspondant pourrait peut être prendre des valeurs négatives <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : usuellement si <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math> devient <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> correspondant à une abscisse angulaire de valeur absolue <math>\;\color{transparent}{>}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{90\,\text{°}}</math>, }}<math>\big(</math>la tige empêchant alors le point <math>\;M\;</math> de se rapprocher de l'axe<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : usuellement si <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math> devient <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> }}si <math>\;T(t)\;</math> peut devenir <math>\;< 0</math>, la valeur de <math>\;\vert \theta \vert\;</math> pour laquelle <math>\;T(t)\;</math> s'annule en changeant de signe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : usuellement si <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math> devient <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{T(t)}\;</math> peut devenir <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, la valeur de <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert}\;</math> }}correspondra, dans le cas où on remplace la tige rigide sans masse par un fil idéal, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : usuellement si <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math> devient <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{T(t)}\;</math> peut devenir <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, la valeur de <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert}\;</math> correspondra, }}à une position pour laquelle le fil cessera d'être tendu, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : usuellement si <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math> devient <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> si <math>\;\color{transparent}{T(t)}\;</math> peut devenir <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, la valeur de <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert}\;</math> correspondra, à une position pour laquelle }}le mouvement ultérieur n'étant alors plus circulaire. === Absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S. === {{Al|5}}Cette équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» n'étant pas linéaire, sa résolution est, a priori, nettement plus compliquée et est même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>» n'étant pas linéaire, sa résolution est, }}a postériori, impossible avec les fonctions usuelles connues à ce jour, en effet {{Al|13}}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)\;</math> sans terme du 1^er ordre, «<math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math>» <u>n'a pas de [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]]</u><ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaine solution d'équation différentielle dite de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref>{{,}}<ref name="intégrale 1ère"> Toutefois, pour cette équation différentielle sans terme du 1^er ordre, il est possible d'intégrer une 1^ère fois et d'obtenir une [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] pour <math>\;\dfrac{df}{dx}(x)\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Exemple_d'une_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre_sans_terme_du_1er_ordre|exemple d'une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math></ref> d'où la nécessité d'une résolution numérique<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » en fin de chapitre.</ref> qui est alors la seule façon possible d'obtenir une solution. === En complément, mise en équation du « P.P.S.A. » === {{Al|5}}Nous considérons maintenant un P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. c'est-à-dire qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, en plus des deux autres forces agissant sur un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref>., <br>{{Al|11}}{{Transparent|Nous considérons maintenant un P.P.S.A. c'est-à-dire qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, }}une « force de résistance à l'avancement linéaire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(t) = -h\;\vec{V}_M(t)\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Nous considérons maintenant un P.P.S.A. c'est-à-dire qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, une }}«<math>\;h > 0\;</math> constante dépendant, entre autres, du fluide dans lequel se déplace le P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. » ; {{Al|5}}nous avons vu que le P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. de lancement «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» conserve un <u>mouvement plan dans le plan vertical de lancement</u><ref name="mouvement plan du P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1a ou 1b"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “ 1a ” ou “ 1b ”]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, ce qui permet de choisir comme système de repérage du point <math>\;M\;</math> associé au P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. dans ce plan, le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> lié à <math>\;M</math>, « les coordonnées polaires de ce dernier, de même que les vecteurs de base associés, étant les mêmes que celles et ceux précédemment introduit(e)s dans un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “ le centre du mouvement circulaire du P.P.S. ”]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» soit, en projetant sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> dans le but d'éliminer <math>\;\vec{T}(t)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|appliquant la r.f.d.n. à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen on obtient }}«<math>\;-m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - h\;V_{\theta,\,M}(t) = m\;a_{\theta,\,M}(t)\;</math>» avec la vitesse et l'accélération orthoradiales en polaire s'écrivant <br>{{Al|9}}{{Transparent|appliquant la r.f.d.n. à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - h\;V_{\theta,\,M}(t) = m\;a_{\theta,\,M}(t)}\;</math>» avec }}<math>\;V_\theta(t) = r(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="vitesse en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel <math>\;\rho(t)\;</math> est remplacé par <math>\;r(t)</math>.</ref> et <math>\;a_\theta(t) = r(t)\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\dot{r}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="accélération en cylindro-polaire" /> ou, en utilisant <math>\;r = l = cste</math>, «<math>\;V_\theta(t) = l\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et «<math>\;a_{\theta,\,M}(t) = l\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» soit encore «<math>\;m\;l\;\ddot{\theta}(t) + h\;l\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ou finalement, sous forme normalisée, <br>{{Al|11}}{{Transparent|appliquant la r.f.d.n. à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen on obtient }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|11}}{{Transparent|appliquant la r.f.d.n. à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen on obtient }}une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme du 1^er ordre. {{Al|5}}L'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre n'ayant pas de [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]]<ref name="analytique" />, il en est de même de « l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme du 1^er ordre <math>\;\big(</math>linéaire<math>\big)\;</math><ref> C'est le terme du 1^er ordre qui est linéaire.</ref> »<ref> De plus la possibilité d'intégrer une 1^ère fois dans le but de trouver une [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] pour <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> n'existe plus, contrairement à la possibilité que l'on a dans le cas d'une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre <math>\;\ldots</math></ref> qui est donc <u>sans [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]]</u><ref name="analytique" /> et nécessite une résolution numérique<ref> Laquelle ne pose pas plus de problème qu'en absence de terme du 1^er ordre mais qui ne sera pas exposée dans ce chapitre car il ne s'agit que d'un complément <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> == Approximation linéaire, dans le cadre des « petites élongations angulaires », du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des « petites élongations angulaires » == === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires »<ref name="petites élongations angulaires"> On devrait dire « petites valeurs absolues d'élongations angulaires » mais personne ne le fait par abus de langage, toutefois il faut se souvenir qu'une grandeur petite relativement à une autre grandeur positive doit nécessairement être positive pour que cette affirmation est une signification <math>\;\ldots</math></ref> est de lancer le P.P.S<ref name="P.P.S." />. avec les C.I. «<math>\;1a\;</math>» soit sans vitesse angulaire initiale «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>» et <br>{{Al|15}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer le P.P.S. avec les C.I. «<math>\;\color{transparent}{1a}\;</math>» soit }}l'abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue «<math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math>»<ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\;rad</math>.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\Rightarrow</math> « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépasse pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>»<ref> La nature oscillatoire entre <math>\;-\theta_0\;</math> et <math>\;+\theta_0\;</math> du P.P.S. <math>\;\big(</math>pendule pesant simple<math>\big)\;</math> lancé dans les C.I. <math>\;1a\;</math> <math>\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> sera établie dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._par_«_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » mais dès à présent elle est justifiée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#2ème_C.I._de_lancement_pour_que_le_P.P.S._ait_un_mouvement_oscillatoire_et_propriétés_du_portrait_de_phase_correspondant|2^ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement oscillatoire et propriétés du portrait de phase correspondant]] » plus loin dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « la valeur absolue de l'élongation angulaire }}reste petite <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.S. dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires »<ref name="petites élongations angulaires" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1,\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <br>{{Al|20}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\;\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll 1,\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> de }}«<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'équation différentielle suivie par le P.P.S<ref name="P.P.S." />. devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme d'amortissement et homogène. === Approximation linéaire du P.P.S. dans le cadre des « petites élongations angulaires » et oscillateur harmonique === {{Al|5}}Le P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires »<ref name="petites élongations angulaires" /> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.S.N.A. est donc linéarisable }}dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math>» de pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math> appelée <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le P.P.S.N.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» de }}<u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u><ref name="petites élongations angulaires" />. === Période des « petites élongations angulaires » du P.P.S. === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u><ref name="petites élongations angulaires" /> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à un degré de liberté <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;</math>»<ref> À connaître sans hésitation <math>\;\big(</math>on rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\;\theta_m\;</math> reste petite c.-à-d. <math>\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;</math> si on travaille à <math>\;1\; \%\;</math> près<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}on constate qu'en un lieu fixé, le P.P.S<ref name="P.P.S." />. « bat plus vite »<ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref> pour une longueur de pendule <math>\;l\;</math> plus courte et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on constate }}qu'un même P.P.S<ref name="P.P.S." />. « bat plus vite »<ref name="bât plus vite" /> pour une intensité de pesanteur <math>\;g\;</math> plus grande <math>\;\big[</math>ainsi le P.P.S<ref name="P.P.S." />. sur Terre « bat un peu plus rapidement »<ref name="bât plus vite" /> aux pôles qu'à l'équateur<ref> L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;</math> et <math>\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;</math> on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur.</ref> et <br>{{Al|18}}{{Transparent|on constate qu'un même P.P.S. bat plus vite » pour une intensité de pesanteur <math>\;\color{transparent}{g}\;</math> plus grande <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>ainsi }}le même P.P.S<ref name="P.P.S." />. « bat nettement plus vite »<ref name="bât plus vite" /> sur Terre (♁) que sur la Lune (☽)<ref> Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>{{,}}<ref> L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> sur Terre battra à la période de <math>\;2,45\;s\;</math> sur la Lune.</ref><math>\big]</math>. === En complément, P.P.S.A. dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires »<ref name="petites élongations angulaires" /> on a toujours <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1,\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" />{{,}}<ref name="élongation angulaire inférieure ou égale à l'élongation initiale"> Si on suppose le P.P.S.A. lancé dans les C.I. «<math>\;1a\;</math>» avec <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1</math>, en effet on démontrera dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément,_prolongement_de_l'utilisation_du_diagramme_des_énergies_potentielle_et_mécanique_d'un_point_à_mouvement_non_conservatif_sur_l'exemple_d'un_«_pendule_pseant_simple_amorti_(P.P.S.A.)_à_un_degré_de_liberté_»|en complément, prolongement de l'utilisation du diagramme des énergies potentielle et mécanique d'un point à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un P.P.S.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » que <math>\;\vert \theta(t) \vert\;</math> ne dépasse jamais <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> qu'il y ait pseudo oscillations ou non mais la propriété est aussi justifiée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#2ème_C.I._de_lancement_pour_que_le_P.P.S._ait_un_mouvement_oscillatoire_et_propriétés_du_portrait_de_phase_correspondant|2^ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement oscillatoire et propriétés du portrait de phase correspondant]] » plus loin dans ce chapitre.</ref> permettant d'effectuer un D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <br>{{Al|27}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a toujours <math>\;\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll 1,\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> de }}«<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'équation différentielle suivie par le P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|5}}Le P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires »<ref name="petites élongations angulaires" /> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.S.A. est donc linéarisable }}dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique amorti</u> » de pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math> appelée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » de }}<u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u><ref name="petites élongations angulaires" /> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » }}dont le mouvement est « apériodique », « apériodique critique » ou « pseudo périodique » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » dont le mouvement est }}suivant la valeur du cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma = \dfrac{h}{2\;m\;\omega_0}\;</math><ref> En effet on définit <math>\;\sigma\;</math> par <math>\;\dfrac{h}{m} = 2\;\sigma\;\omega_0</math>, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] (réduction canonique du P.E.V.A., 2^èmes grandeurs canoniques) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Discussion identique à celle exposée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.S.A. est donc linéarisable }}dans le cas le plus fréquent <math>\;\sigma < 1</math>, le mouvement est pseudo périodique de « pseudo pulsation des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /> <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2} < \omega_0\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Réponses_transitoires_en_élongation_du_P.E.V.A._suivant_le_cœfficient_d'amortissement_σ|réponses transitoires en élongation du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans le cas le plus fréquent <math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}</math>, le mouvement est pseudo périodique }}et de « pseudo période associée <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}} > \mathcal{T}_0\;</math>» avec <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans le cas le plus fréquent <math>\;\color{transparent}{\sigma < 1}</math>, le mouvement est pseudo périodique de }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;</math> la période <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. », <math>\;\big[</math>la pseudo période <math>\;\mathcal{T}\;</math> des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /> du P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. pour une même période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> étant d'autant plus grande que son cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math> l'est<math>\big]</math>. == Détermination de l'équation du portrait de phase (« intégrale 1^ère du mouvement ») dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté == {{Al|5}}Compte-tenu de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Portrait_de_phase_d'un_système_dynamique#Définition_du_portrait_de_phase_d'un_système_dynamique_classique_à_un_degré_de_liberté|définition du portrait de phase d'un système dynamique à un degré de liberté]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », on peut obtenir <br>{{Al|3}}{{Transparent|Compte-tenu de la « }}l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]], dans le cas présent, en cherchant un lien entre <math>\;\dot{\theta}\;</math> et <math>\;\theta\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> sans que ce dernier n'intervienne c'est-à-dire <br>{{Al|3}}{{Transparent|Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, dans le cas présent, }}en intégrant une 1^ère fois l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Exemple_d'une_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre_sans_terme_du_1er_ordre|exemple d'une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, l'intégration une 1^ère fois <br>{{Al|3}}{{Transparent|Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, }}par rapport à <math>\;t\;</math> <math>\blacktriangleright\;</math>de <math>\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> nécessitant de multiplier les deux membres de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math><ref> Ainsi une primitive de «<math>\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» relativement à <math>\;t\;</math> est «<math>\;-\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>».</ref> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>de <math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> devenu <math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> après avoir multiplié les deux membres de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>de <math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t)}\;</math> devenu <math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)}\;</math> }}n'introduisant aucune difficulté<ref> L'opération de multiplication des deux membres de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> ne nuit pas à l'intégration une 1^ère fois par rapport à <math>\;t\;</math> car une primitive de {{Nobr|«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>»}} relativement à <math>\;t\;</math> est «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>».</ref>. {{Al|3}}{{Transparent|Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, }}<u>Remarque</u> : par contre s'il y avait un terme du 1^er ordre dans l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> comme c'est le cas pour un P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />., <br>{{Al|3}}{{Transparent|Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre }}multiplier les deux membres de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres }}conduirait à une impossibilité d'intégrer une 1^ère fois par rapport à <math>\;t\;</math> car <br>{{Al|3}}{{Transparent|Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres}}<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> devenu <math>\;\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> après avoir multiplié les deux membres de l'équation différentielle par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math> devenu <math>\;\color{transparent}{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}\;</math> }}n'admet pas de primitive relativement à <math>\;t\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> a priori inconnue. {{Al|5}}<u>En conclusion</u> on obtient l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. en intégrant une fois par rapport à <math>_;t\;</math> son équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion on obtient }}le résultat étant alors une équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> dépendant des C.I<ref name="C.I." />. de lancement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion on obtient le résultat étant alors une }}équation que l'on appelle « <u>intégrale 1^ère du mouvement</u> » du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. mais {{Transparent|conclusion }}on n'obtient pas d'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. en intégrant une fois par rapport à <math>\;t\;</math> son équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme du 1^er ordre<ref> En effet l'intégration une fois par rapport au temps de l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme du 1^er ordre «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» n'aboutit pas, voir la remarque plus haut dans ce paragraphe.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|conclusion on n'obtient pas d'équation du portrait de phase d'un P.P.S.A. }}la détermination de l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] suivant C.I<ref name="C.I." />. de lancement ne pouvant se faire que numériquement <math>\;\ldots</math> === C.I. de lancement pour un P.P.S. à un degré de liberté === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cas général d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le plus simple }}est de lancer le P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. avec les C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;1b \cup 1a\;</math>» c'est-à-dire <math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.S<ref name="P.P.S." />. de <math>\;\theta_0\;\neq 0\;</math> de sa position d'équilibre stable »<ref name="équilibre stable" /> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le plus simple est de lancer le P.P.S.N.A. avec les C.I. «<math>\;\color{transparent}{1b \cup 1a}\;</math>» c'est-à-dire }}<math>\blacktriangleright\;</math>on le lâche avec un « vecteur vitesse initial dans le plan de lancement » correspondant à <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le plus simple est de lancer le P.P.S.N.A. avec les C.I. «<math>\;\color{transparent}{1b \cup 1a}\;</math>» c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>on le lâche avec }}une vitesse angulaire initiale <math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;\left\lbrace \begin{array}{l}\neq 0\;\; \text{si C.I. }\;1b\\= 0\;\; \text{si C.I. }\;1a\end{array}\right\rbrace\;</math>». === Intégrale 1^ère du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté === {{Al|5}}Partant de l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre du mouvement du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»<ref name="équation différentielle d'un P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant de l'équation différentielle non linéaire }}on multiplie de part et d'autre par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> pour intégrer une fois par rapport à <math>\;t\;</math> soit «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math> }}le membre de gauche étant « la dérivée temporelle de <math>\;\dfrac{\dot{\theta}^2\!(t)}{2} - \dfrac{g}{l}\; \cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>», d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math> }}l'intégrale 1^ère du mouvement cherchée «<math>\;\dfrac{\dot{\theta}^2\!(t)}{2} - \dfrac{g}{l}\; \cos\! \left[ \theta(t) \right] = cste\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math> }}la constante d'intégration se déterminant par C.I<ref name="C.I." />. soit «<math>\;cste = \dfrac{\dot{\theta}^2_0}{2} - \dfrac{g}{l}\; \cos\! \left[ \theta_0 \right]\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math> }}la réécriture de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. «<math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dot{\theta}^2_0 + 2\;\dfrac{g}{l}\, \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="utilisation considération énergétique"> Cette intégrale 1^ère du mouvement se déterminera plus rapidement par des considérations énergétiques dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_«_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_»|écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. === Équation du portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les C.I. « 1b U 1a » === {{Al|5}}L'équation, sous forme implicite, du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à un degré de liberté lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;1b \cup 1a\;</math>» correspondant à l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier<ref name="intégrale 1ère du mouvement d'un P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Intégrale_1ère_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|intégrale 1^ère du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'équation, sous forme implicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. «<math>\;\color{transparent}{1b \cup 1a}\;</math>» }}s'écrit donc «<math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dot{\theta}^2_0 + 2\;\dfrac{g}{l}\, \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="utilisation considération énergétique" />. === Cas particulier des « petites élongations angulaires » du P.P.S.(N.A.) dans les C.I. de lancement « 1a » === {{Al|5}}Les « petites élongations angulaires »<ref name="petites élongations angulaires" /> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. sont assurées dans les C.I<ref name="C.I." />. de lancement «<math>\;1a\;</math>»<ref> En effet les C.I. de lancement «<math>\;1b\;</math>» avec <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math> et <math>\;\dot{\theta}_0 \neq 0</math>, même si la valeur absolue de cette vitesse angulaire reste petite, entraîneront, dans le cas d'oscillations, une amplitude <math>\;\theta_m > \vert \theta_0 \vert\;</math> qui ne serait pas assurée d'être <math>\;\ll 1</math>, raison pour laquelle nous nous plaçons, a priori, dans les C.I. de lancement <math>\;1a\;\ldots</math><br>{{Al|3}}En effet l'amplitude <math>\;\theta_m\;</math> d'oscillations se produisant aux instants <math>\;t_m\;</math> tels que <math>\;\dot{\theta}(t_m) = 0</math>, l'intégrale 1^ère du mouvement entre n'importe lequel de ces instants et l'instant initial nous conduit à <math>\;0 =</math> <math>\dot{\theta}^2_0 + 2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ \cos(\theta_m) - \cos(\theta_0) \right]\;</math> <math>\big(</math>sous condition d'existence d'oscillations exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b]] » plus loin dans le chapitre<math>\big)\;</math> soit <math>\;\cos(\theta_m) = \cos(\theta_0) - \dfrac{l\;\dot{\theta}^2_0}{2\;g} < \cos(\theta_0)\;</math> et par suite <math>\;\theta_m > \vert \theta_0 \vert</math>.</ref> d'où l'intégrale 1^ère de son mouvement selon «<math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = 2\;\dfrac{g}{l}\, \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos\! \left[ \theta_0 \right] \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|28}}{{Transparent|Les « petites élongations angulaires » du P.P.S.N.A. sont assurées dans les C.I. de lancement «<math>\;\color{transparent}{1a}\;</math>» d'où }}avec <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" /> et <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" /> conséquence de <math>\;\vert \theta(t) \vert \leqslant \vert \theta_0 \vert\;</math><ref name="élongation angulaire inférieure ou égale à l'élongation initiale" /> ; {{Al|11}}{{Transparent|Les « petites élongations angulaires » }}nous pouvons alors faire un D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> et <math>\;\cos\! \left[ \theta_0 \right]\;</math> à l'ordre deux respectivement en <math>\;\theta(t)\;</math> et <math>\;\theta_0\;</math> au voisinage de <math>\;0\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] (remarque) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|15}}{{Transparent|Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de }}«<math>\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \simeq 1 - \dfrac{\theta^2\!(t)}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\theta(t)\;</math>» et «<math>\;\cos(\theta_0) \simeq 1 - \dfrac{\theta_0^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\theta_0\;</math>», {{Al|15}}{{Transparent|Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de }}dont on tire, par report dans l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. étudié, <br>{{Al|15}}{{Transparent|Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de }}«<math>\;\dot{\theta}^2\!(t) \simeq 2\;\dfrac{g}{l}\, \left\lbrace \left[ 1 - \dfrac{\theta^2\!(t)}{2} \right] - \left[ 1 - \dfrac{\theta_0^2}{2} \right] \right\rbrace = \dfrac{g}{l}\,\left[ \theta_0^2 - \theta^2\!(t) \right]\;</math>» que l'on peut réécrire selon <br>{{Al|15}}{{Transparent|Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de }}«<math>\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{g}{l}\; \theta^2\!(t) \simeq \dfrac{g}{l}\; \theta_0^2\;</math>» ou encore «<math>\;\dfrac{\dot{\theta}^2\!(t)}{\dfrac{g}{l}\; \theta_0^2} + \dfrac{\theta^2\!(t)}{\theta_0^2} \simeq 1\;</math>» et au final, <br>{{Al|15}}{{Transparent|Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de }}en introduisant la pulsation des « petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /> <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math>», «<math>\;\dfrac{\dot{\theta}^2\!(t)}{\omega_0^2\; \theta_0^2} + \dfrac{\theta^2\!(t)}{\theta_0^2} = 1\;</math>»<ref> Usuellement on met le signe <math>\;=\;</math> à la place du signe <math>\;\simeq\;</math> par abus d'écriture pour traduire une équation de [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] dans le cas où celle-ci n'est qu'une approximation, sans oublier la condition nécessaire d'emploi de cette équation <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1,\;\;\forall\;t</math>, élongation angulaire exprimée en <math>\;rad</math>.</ref>. == Portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particulier des petites élongations angulaires == === Propriétés des portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1b U 1a » === {{Al|5}}Rappelant l'équation, sous forme implicite, du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1b \cup 1a\;</math> «<math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos(\theta_0) \right\rbrace\;</math>» et {{Al|5}}constatant que «<math>\;\dot{\theta}^2\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\vert \theta \vert\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\,\pi \right]\;</math>», on en déduit deux tracés possibles suivant que cette fonction peut ou non s'annuler, plus précisément : * « si le 2^nd membre est <math>\;> 0,\;\;\forall\; \vert \theta \vert \in \left[ 0\,,\,\pi \right]\;</math>»<ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de lancement <math>\;1b\;</math> puisque le 2^nd membre est nul pour <math>\;\theta_0\;</math> dans les C.I. de lancement <math>\;1a</math>.</ref>, «<math>\;\dot{\theta}^2(t)\;</math> ne s'annule jamais » et « comme <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> est une fonction continue, elle gardera le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» c'est-à-dire que <br>{{Al|6}}{{Transparent|« si le 2^nd membre est <math>\;\color{transparent}{> 0,\;\;\forall\; \vert \theta \vert \in \left[ 0\,,\,\pi \right]}\;</math>», }}« nous aurons un mouvement continu dans un même sens, celui du lancement » ; * « si le 2^nd membre s'annule pour une valeur <math>\;\theta_m\;</math> de <math>\;\vert \theta \vert \in \left[ 0\,,\,\pi \right]\;</math>»<ref> Dans les C.I. de lancement <math>\;1a</math>, <math>\;\theta_m\;</math> s'identifie à <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> et dans les C.I. de lancement <math>\;1b</math>, <math>\;\theta_m\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\vert \theta_0 \vert</math>.</ref>, «<math>\;\dot{\theta}^2(t)\;</math> s'annulant pour cette valeur, il en est de même de <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> ce qui correspond à un extremum de <math>\;\theta(t)\;</math> ou <br>{{Al|6}}{{Transparent|« si le 2^nd membre s'annule pour une valeur <math>\;\color{transparent}{\theta_m}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert \in \left[ 0\,,\,\pi \right]}\;</math>», «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}^2(t)}\;</math> s'annulant pour cette valeur, il en est de même de <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math> ce qui correspond }}à une valeur de stationnarité<ref name="stationnarité"> Une fonction d'une variable est dite stationnaire pour une valeur de son domaine de dérivabilité si sa dérivée par rapport à la variable y est nulle pour cette valeur et de même signe de part et d'autre de la valeur, ce qui correspond, en terme de représentation graphique de la fonction, à un point d'inflexion à tangente <math>\;\parallel\;</math> à l'axe de la variable.</ref> », <br>{{Al|6}}{{Transparent|« si le 2^nd membre s'annule pour une valeur <math>\;\color{transparent}{\theta_m}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert \in \left[ 0\,,\,\pi \right]}\;</math>», }}mais, comme il est impossible que <math>\;\vert \theta(t) \vert\;</math> continue de <math>\;\nearrow\;</math> au-delà de <math>\;\theta_m\;</math><ref name="carré ne pouvant être négatif"> En effet cela entraînerait la stricte négativité du 2^nd membre et donc celle de <math>\;\dot{\theta}^2(t)</math>.</ref>, on en déduit que <br>{{Al|6}}{{Transparent|« si le 2^nd membre s'annule pour une valeur <math>\;\color{transparent}{\theta_m}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert \in \left[ 0\,,\,\pi \right]}\;</math>», mais, }}«<math>\;\theta_m\;</math> est un extremum de <math>\;\theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>et non une valeur de stationnarité<ref name="stationnarité" /><math>\big]</math>, {{Nobr|c'est-à-dire}} qu'arrivé en <math>\;\theta = \theta_m\;</math> où la vitesse angulaire est nulle, le seul mouvement possible est la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\theta(t)\;</math> dans le sens négatif jusqu'à <math>\;\theta = -\theta_m\;</math> où la vitesse angulaire est de nouveau nulle, le seul mouvement possible étant alors la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\theta(t)\;</math> dans le sens positif <math>\;\ldots</math> ==== 2^ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement révolutif et propriétés du portrait de phase correspondant ==== {{Al|5}}Pour que le « 2^nd membre de l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1b\;</math><ref name="C.I. 1b ou 1a"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, soit strictement positif <math>\;\forall\;\vert \theta(t) \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]\;</math>» c'est-à-dire pour avoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase }}«<math>\;\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos(\theta_0) \right\rbrace > 0,\;\;\forall\;\vert \theta(t) \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]\;</math>»<ref name="équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans C.I. 1b U 1a"> L'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. <math>\;1b\;</math> étant «<math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos(\theta_0) \right\rbrace\;</math>» voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Équation_du_portrait_de_phase_d'un_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. “ 1b U 1a ”]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> laquelle est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\vert \theta(t) \vert\;</math> sur <math>\;\left[0\,,\,\pi \right]</math>, <u>il suffit que</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase }}<u>le minimum de cette fonction</u> de variable <math>\;\vert \theta(t) \vert\;</math> sur <math>\;\left[0\,,\,\pi \right]\;</math><u>soit strictement positif</u> c'est-à-dire <math>\;\min\limits_{\vert \theta \vert\, \in\, \left[ 0\,,\, \pi \right]} \left\lbrace \dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right] \right\rbrace > 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase }}ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\vert \theta \vert = \pi</math>, <u>il suffit que la condition</u><math>\;\dot{\theta}_0^2 - 2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right] > 0\;</math><u>soit réalisée</u> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}il suffit d'avoir pour 2^ème C.I<ref name="C.I." />. de lancement «<math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}«<math>\;\dot{\theta}^2(t)\;</math> ne s'annulant jamais <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}(t) \neq 0\;\;\forall\;t\;</math> laquelle, étant une fonction continue de <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}^2(t)}\;</math> ne s'annulant jamais <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}</math> }}gardera le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» c'est-à-dire que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}nous aurons un « <u>mouvement révolutif dans le sens du lancement</u> » : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\dot{\theta}_0 > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», la forme explicite de l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. en « mouvement révolutif dans le sens positif » est «<math>\;\dot{\theta} = \sqrt{\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», avec les propriétés suivantes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>«<math>\;\theta \nearrow\;</math> à partir de <math>\;\theta_0\;</math> jusqu'à <math>\;\infty\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>« le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>« le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est constitué du motif de l'intervalle <math>\;\left[ \theta_0\,,\,\pi \right]\;</math> et de la répétition infinie dans le sens des <math>\;\theta \nearrow\;</math> du motif de l'intervalle <math>\;\left] +\pi\,,\, 3\;\pi \right]\;</math>» <math>\;\Bigg[</math>minimum de <math>\;\dot{\theta}\;</math> obtenu pour <math>\;\theta_{n,\,\text{min}} = (2\;n + 1)\; \pi,\;\;n \in \mathbb{N}\;</math> et valant <math>\;\dot{\theta}_{\text{min}} = \sqrt{\dot{\theta}_0^2 - 2\;\dfrac{g}{l} \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math> et maximum de <math>\;\dot{\theta}\;</math> obtenu pour <math>\;\theta_{n,\,\text{max}} = 2\;n\; \pi,\;\;n \in \left\lbrace \begin{array}{l} \mathbb{N}\;\;\text{pour }\;\theta_0 < 0\\ \mathbb{N}^{*}\,\text{pour }\;\theta_0 > 0\end{array}\right.\;</math> et valant <math>\;\dot{\theta}_{\text{max}} = \sqrt{\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]}\Bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;\dot{\theta}_0 < -\sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», la forme explicite de l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. en « mouvement révolutif dans le sens négatif » est «<math>\;\dot{\theta} = -\sqrt{\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», avec les propriétés suivantes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>«<math>\;\theta \searrow\;</math> à partir de <math>\;\theta_0\;</math> jusqu'à <math>\;-\infty\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>« le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>« le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est constitué du motif de l'intervalle <math>\;\left[ -\pi\,,\,\theta_0 \right]\;</math> et de la répétition infinie dans le sens des <math>\;\theta \searrow\;</math> du motif de l'intervalle <math>\;\left] -3\;\pi\,,\, \pi \right]\;</math>» <math>\;\Bigg[</math>minimum de <math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math> obtenu pour <math>\;\theta_{n,\,\text{min}} = -(2\;n + 1)\; \pi,\;\;n \in \mathbb{N}\;</math> et valant <math>\;\vert \dot{\theta} \vert_{\text{min}} =</math> <math>\sqrt{\dot{\theta}_0^2 - 2\;\dfrac{g}{l} \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math><ref> Soit une valeur maximale pour la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> valant <math>\;\dot{\theta}_{\text{max}} = -\vert \dot{\theta} \vert_{\text{min}} = -\sqrt{\dot{\theta}_0^2 - 2\;\dfrac{g}{l} \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}</math>.</ref> et maximum de <math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math> obtenu pour <math>\;\theta_{n,\,\text{max}} = -2\;n\; \pi,\;\;n \in \left\lbrace \begin{array}{l} \mathbb{N}^{*}\,\text{pour }\;\theta_0 < 0\\ \mathbb{N}\;\;\text{pour }\;\theta_0 > 0\end{array}\right.\;</math> et valant <math>\;\vert \dot{\theta} \vert_{\text{max}} = \sqrt{\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]}\;</math><ref> Soit une valeur minimale pour la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> valant <math>\;\dot{\theta}_{\text{min}} = -\vert \dot{\theta} \vert_{\text{max}} = -\sqrt{\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]}</math>.</ref><math>\Bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] associés à <math>\;\left( \theta_0\,,\,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math> et <math>\;\left( -\theta_0\,,\,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarque : portraits de phase }}<u>symétriques l'un de l'autre relativement à</u><math>\;\left( 0\,,\,0 \right)\;</math><ref> D'une part il y a invariance de la forme implicite de l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en changeant les C.I. <math>\;1b\;</math> en leurs opposés et <br>{{Al|3}}d'autre part, en changeant simultanément <math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math> et <math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}</math>, ce changement associé à celui de C.I. <math>\;1b\;</math> précédemment évoqué fait passer le 2^nd membre de la forme explicite de l'équation de phase en son opposé, ce qui a aussi pour conséquence le caractère symétrique par rapport au point origine <math>\;\left( 0\,,\,0 \right)\;</math> des sens de description des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]].</ref>{{,}}<ref> Le symétrique par rapport au point origine <math>\;\left( 0\,,\,0 \right)\;</math> de la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\theta\;</math> du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] à <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> <math>\big(</math>correspondant à un déplacement du point générique du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] au-dessus de l'axe des élongations angulaires dans le sens des <math>\;\theta \nearrow\big)\;</math> étant la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\theta\;</math> du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] à <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math> <math>\big(</math>correspondant à un déplacement du point générique du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] au-dessous de l'axe des élongations angulaires dans le sens des <math>\;\theta \searrow\big)</math>.</ref>. ==== 2^ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement oscillatoire et propriétés du portrait de phase correspondant ==== {{Al|5}}Pour que le « 2^nd membre de l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1b \cup 1a\;</math><ref name="C.I. 1b ou 1a" /> soit <math>\;< 0</math> <math>\;\forall\;\vert \theta(t) \vert \in \left[\theta_m\,,\,\pi \right]\;</math>», <br>{{Al|23}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. <math>\;\color{transparent}{1b \cup 1a}\;</math> soit <math>\;\color{transparent}{< 0}</math> }}avec <math>\;\theta_m\;</math> valeur de <math>\;\vert \theta \vert\;</math> annulant ce 2^nd membre c'est-à-dire pour avoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase }}«<math>\;\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos(\theta_0) \right\rbrace < 0,\;\;\forall\;\vert \theta(t) \vert \in \left[\theta_m\,,\,\pi \right]\;</math>»<ref name="équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans C.I. 1b U 1a" /> laquelle est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\vert \theta(t) \vert\;</math> sur <math>\;\left[0\,,\,\pi \right]</math>, <u>il suffit que</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase }}<u>le minimum de cette fonction</u> de variable <math>\;\vert \theta(t) \vert\;</math> sur <math>\;\left[0\,,\,\pi \right]\;</math><u>soit</u><math>\;< 0\;</math> c'est-à-dire <math>\;\min\limits_{\vert \theta \vert\, \in\, \left[ 0\,,\, \pi \right]} \left\lbrace \dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right] \right\rbrace < 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase }}<u>le maximum de cette fonction</u> de variable <math>\;\vert \theta(t) \vert\;</math> sur <math>\;\left[0\,,\,\pi \right]\;</math><u>soit</u><math>\;> 0\;</math> c'est-à-dire <math>\;\max\limits_{\vert \theta \vert\, \in\, \left[ 0\,,\, \pi \right]} \left\lbrace \dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right] \right\rbrace > 0\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase }}comme le minimum est atteint pour <math>\;\vert \theta \vert = \pi\;</math> et le maximum pour <math>\;\theta = 0</math>, <u>il suffit que les conditions</u><math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dot{\theta}_0^2 - 2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right] < 0\\ \dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] > 0\end{array}\right\rbrace\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}\;</math> et le maximum pour <math>\;\color{transparent}{\theta = 0}</math>, il suffit que les conditions }}<u>soient simultanément réalisées</u> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}\;</math> et le maximum pour <math>\;\color{transparent}{\theta = 0}</math>, }}il suffit d'avoir pour 2^ème C.I<ref name="C.I." />. de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}\;</math> et le maximum pour <math>\;\color{transparent}{\theta = 0}</math>, il suffit d'avoir }}«<math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert < \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>»<ref> En effet, par définition <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dot{\theta}_0^2 \geqslant 0\\ 1 - \cos(\theta_0) \geqslant 0\end{array}\right\rbrace\;</math> avec l'un au moins des termes non nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] > 0\;</math> réalisé sans autre condition, il suffit que <math>\;\dot{\theta}_0^2 - 2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right] < 0\;</math> soit réalisé.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}<math>\;\dot{\theta}^2(t)\;</math> s'annulant pour une valeur particulière <math>\;\theta_m\;</math> de <math>\;\vert \theta \vert \in \left[ 0\,,\,\pi \right]</math>, il en est de même pour <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> ce qui correspond à un extremum de <math>\;\theta(t)\;</math> ou à une valeur de stationnarité<ref name="stationnarité" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}mais, comme il est impossible que <math>\;\vert \theta(t) \vert\;</math> continue de <math>\;\nearrow\;</math> au-delà de <math>\;\theta_m\;</math><ref name="carré ne pouvant être négatif" />, on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, mais, }}«<math>\;\theta_m\;</math> est un extremum de <math>\;\theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>et non une valeur de stationnarité<ref name="stationnarité" /><math>\big]</math>, c'est-à-dire que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}nous aurons un « <u>mouvement oscillatoire</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. d'amplitude</u><math>\;\theta_m\;</math><ref name="amplitude thetam"> L'amplitude <math>\;\theta_m\;</math> est solution de l'équation <math>\;\dot{\theta}^2\!(\theta_m) = 0\;</math> plus précisément de <math>\;\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ \cos(\theta_m) - \cos(\theta_0) \right] = 0\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left] 0\,,\,\pi \right[\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos(\theta_m) = \cos(\theta_0) - \dfrac{l\;\dot{\theta}_0^2}{2\;g}\;</math> soit «<math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{l\;\dot{\theta}_0^2}{2\;g} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> » : {{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\dot{\theta}_0 < \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», la forme explicite de l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. en « mouvement oscillatoire » est «<math>\;\dot{\theta} = \pm \sqrt{\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}\;</math>»<ref name="forme explicite du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire"> Dans le cas d'un mouvement oscillatoire du P.P.S.N.A., il n'est pas judicieux de tirer l'équation de son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] sous forme explicite car celle-ci serait conditionnelle avec <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>une forme explicite dans le cas où la vitesse angulaire est positive selon «<math>\;\dot{\theta}_{\text{si positive}} = \sqrt{\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}\;</math>» et <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>une autre forme explicite dans le cas où la vitesse angulaire est négative selon «<math>\;\dot{\theta}_{\text{si négative}} = -\sqrt{\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», <br>{{Al|3}}usuellement on se contente donc de la forme implicite de celle-ci «<math>\;\dot{\theta}^2 = \dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]\;</math>».</ref>, avec les propriétés suivantes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>«<math>\;\theta \nearrow\;</math> à partir de <math>\;\theta_0\;</math> jusqu'à <math>\;\theta_m\;</math> où <math>\;\dot{\theta}\;</math> s'annule » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\theta}</math> }}<math>\searrow\;</math> jusqu'à <math>\;-\theta_m\;</math> où <math>\;\dot{\theta}\;</math> s'annule de nouveau » ensuite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\theta}</math> }}<math>\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;\theta_m\;</math> où <math>\;\dot{\theta}\;</math> s'annule encore » et ainsi de suite <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>« [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <u>fermé</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>« }}<u>décrit par son point générique</u> <math>\;\left( \theta\,,\,\dot{\theta} \right)\;</math> <u>dans le sens horaire</u><ref name="sens horaire"> Ou trigonométrique indirect, en effet quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et, d'après l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s'annule, puis <math>\;\dot{\theta}\;</math> devenant {{Nobr|<math>\;< 0</math>,}} <math>\;\theta \searrow\;</math> et, d'après l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s'annule de nouveau ;<br>{{Al|3}}ainsi quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> s'annule en passant d'une valeur positive <math>\;\big(</math>c.-à-d. une valeur correspondant à une <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\theta\big)\;</math> à une valeur négative <math>\;\big(</math>c.-à-d. une valeur correspondant à une <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\theta\big)</math>, cela correspond effectivement à une rotation du point générique du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] dans le sens horaire en passant par le maximum de <math>\;\theta\;</math> et il en est de même <br>{{Al|3}}{{Transparent|ainsi }}quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> s'annule en passant d'une valeur négative <math>\;\big(</math>c.-à-d. une valeur correspondant à une <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\theta\big)\;</math> à une valeur positive <math>\;\big(</math>c.-à-d. une valeur correspondant à une <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\theta\big)</math>, cela correspond effectivement à une rotation du point générique du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] dans le sens horaire en passant par le minimum de <math>\;\theta</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>« [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <u>symétrique par rapport à</u><math>\;\left( 0\,,\,0 \right)\;</math>»<ref name="invariance de la forme implicite du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire"> D'une part l'équation, sous forme implicite, d'un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] associé à un mouvement oscillatoire est invariante par changement simultané de <math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math> et de <math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part les sens de description du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en deux points génériques symétriques par rapport au point origine <math>\;\left( 0\,,\,0 \right)\;</math> sont eux-mêmes symétriques l'un de l'autre.</ref>{{,}}<ref name="déplacement du point générique du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire"> Un point générique d'ordonnée située au-dessus de l'axe des élongations <math>\;\big(</math>donc tel que <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0\big)\;</math> se déplace dans le sens des <math>\;\theta \nearrow\;</math> alors que le point générique symétrique du précédent par rapport au point origine <math>\;\left( 0\,,\,0 \right)\;</math> étant d'ordonnée située au-dessous de l'axe des élongations <math>\;\big(</math>donc tel que <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0\big)\;</math> se déplace dans le sens des <math>\;\theta \searrow\;</math> effectivement le sens symétrique du précédent par rapport au point origine <math>\;\left( 0\,,\,0 \right)</math>.</ref>{{,}}<ref name="symétrie centrale du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire"> Le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.N.A. associé à un mouvement oscillatoire est <u>antisymétrique par rapport à l'axe des élongations angulaires</u> <math>\;\big[</math>son équation sous forme implicite étant invariante par changement de <math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math> et les sens de description du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en deux points génériques symétriques par rapport à l'axe des élongations angulaires <math>\;\big(</math>c.-à-d. de même élongation angulaire et de vitesse angulaire opposée<math>\big)\;</math> étant contraires sont effectivement antisymétriques l'un de l'autre relativement à ce même axe<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|27}}{{Transparent|Le portrait de phase d'un P.P.S.N.A. associé à un mouvement oscillatoire est }}<u>antisymétrique par rapport à l'axe des vitesses angulaires</u> <math>\;\big[</math>son équation sous forme implicite étant invariante par changement de <math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math> et les sens de description du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en deux points génériques symétriques par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>c.-à-d. de même vitesse angulaire et d'élongations angulaires respectives <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\pi - \theta\big)\;</math> étant contraires sont effectivement antisymétriques l'un de l'autre relativement à ce même axe<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}<u>la composition des deux antisymétries axiales orthogonales</u> précédentes du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.N.A. associé à un mouvement oscillatoire <u>conduit à une symétrie centrale</u> de ce [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <u>par rapport au point d'intersection des deux axes</u> à savoir le point origine <math>\;\left( 0\,,\,0 \right)\;</math> <math>\big[</math>il s'agit bien d'une symétrie car si on considère les sens de description en deux points génériques du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <math>\;Q\;</math> et <math>\;Q''\;</math> symétriques l'un de l'autre par rapport au point origine <math>\;\big(</math>c.-à-d. obtenus en prenant d'abord le symétrique <math>\;Q'\;</math> d'un point générique <math>\;Q\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> des élongations angulaires puis en prenant le symétrique <math>\;Q''\;</math> du point <math>\;Q'\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta'\;</math> des vitesses angulaires<math>\big)\;</math> on les trouve de sens contraire conforme à une symétrie centrale en effet <br>{{Al|3}}l'application de la 1^ère antisymétrie relativement à l'axe <math>\;\Delta\;</math> des élongations angulaires sur le sens de description du portrait en <math>\;Q\;</math> considéré comme un vecteur garde la composante <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;\Delta</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>donc}} <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\big)\;</math> et change la composante <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta\;</math> <math>\big(</math>donc <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta'\big)\;</math> en son opposé, puis <br>{{Al|3}}{{Transparent|l'applic}}celle de la 2^ème antisymétrie relativement à l'axe <math>\;\Delta'\;</math> des vitesses angulaires sur le sens de description du portrait en <math>\;Q'\;</math> considéré comme un vecteur garde la composante <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;\Delta'\;</math> laquelle avait été changée en son opposé par la 1^ère antisymétrie et change la composante <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta'\;</math> en son opposé laquelle avait été gardée par la 1^ère antisymétrie d'où <br>{{Al|3}}effectivement un changement de sens par composition de ces deux antisymétries axiales orthogonales confirmant qu'il s'agit bien d'une symétrie centrale<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}Voir, pour plus d'informations sur les propriétés d'une antisymétrie axiale, le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Invariance_par_antisymétrie_axiale_d'un_champ_vectoriel_d'un_espace_à_deux_dimensions_plan|invariance par antisymétrie axiale d'un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan]] (propriété de la composante axiale et de la composante normale du champ vectoriel) » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;\dot{\theta}_0 > -\sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», la forme explicite de l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. en « mouvement oscillatoire » est «<math>\;\dot{\theta} = \pm \sqrt{\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}\;</math>»<ref name="forme explicite du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire" />, avec les propriétés suivantes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>«<math>\;\theta \searrow\;</math> à partir de <math>\;\theta_0\;</math> jusqu'à <math>\;-\theta_m\;</math> où <math>\;\dot{\theta}\;</math> s'annule » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\theta}</math> }}<math>\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;\theta_m\;</math> où <math>\;\dot{\theta}\;</math> s'annule de nouveau » ensuite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\theta}</math> }}<math>\searrow\;</math> jusqu'à <math>\;-\theta_m\;</math> où <math>\;\dot{\theta}\;</math> s'annule encore » et ainsi de suite <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>« [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <u>fermé</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>« }}<u>décrit par son point générique</u> <math>\;\left( \theta\,,\,\dot{\theta} \right)\;</math> <u>dans le sens horaire</u><ref name="sens horaire" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>« [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <u>symétrique par rapport à</u><math>\;\left( 0\,,\,0 \right)\;</math>»<ref name="invariance de la forme implicite du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire" />{{,}}<ref name="déplacement du point générique du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire" />{{,}}<ref name="symétrie centrale du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;= 0\;</math><ref> Nous sommes alors dans les C.I. de lancement <math>\;1a\;</math> et la 2^ème C.I. supplémentaire <math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert < \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math> est alors automatiquement réalisée, <math>\;\dot{\theta}_0 \;</math> étant nulle.</ref>{{,}}<ref name="amplitude dans le cas 1a"> Dans les C.I. de lancement <math>\;1a</math>, <math>\;\dot{\theta}_0 \;</math> étant nulle, ceci a pour conséquence <math>\;\theta_m = \vert \theta_0 \vert</math>.</ref> », la forme explicite de l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du {{Nobr|P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.}} en « mouvement oscillatoire » est «<math>\;\dot{\theta} = \pm \sqrt{2\;\dfrac{g}{l} \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}\;</math>»<ref name="forme explicite du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire" />, avec les propriétés suivantes, dans la mesure où <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref> Et, dans la mesure où <math>\;\theta_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, dans le corps du paragraphe annoté, les phases de <math>\;\nearrow\;</math> et <math>\;\searrow\;</math> sont échangées avec <math>\;\theta_m\;</math> maintenant égale à <math>\;-\theta_0</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Et, dans la mesure où <math>\;\color{transparent}{\theta_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, dans le corps du paragraphe annoté, }}le caractère fermé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] et sa propriété de symétrique relativement à <math>\;\left( 0\,,\,0 \right)\;</math> restant inchangés.</ref> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>«<math>\;\theta \searrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> jusqu'à <math>\;-\theta_m = -\theta_0\;</math> où <math>\;\dot{\theta}\;</math> s'annule<ref name="amplitude dans le cas 1a" /> » puis <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\theta}</math> }}<math>\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;\theta_m = \theta_0\;</math> où <math>\;\dot{\theta}\;</math> s'annule de nouveau<ref name="amplitude dans le cas 1a" /> » ensuite <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\theta}</math> }}<math>\searrow\;</math> jusqu'à <math>\;-\theta_m = -\theta_0\;</math> où <math>\;\dot{\theta}\;</math> s'annule encore<ref name="amplitude dans le cas 1a" /> » etc<math>\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>« [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <u>fermé</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>« }}<u>décrit par son point générique</u> <math>\;\left( \theta\,,\,\dot{\theta} \right)\;</math> <u>dans le sens horaire</u><ref name="sens horaire" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour <math>\;\color{transparent}{\vert \theta \vert = \pi}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> }}<math>\;\succ\;</math>« [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <u>symétrique par rapport à</u><math>\;\left( 0\,,\,0 \right)\;</math>»<ref name="invariance de la forme implicite du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire" />{{,}}<ref name="déplacement du point générique du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire" />{{,}}<ref name="symétrie centrale du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire" />. ==== 2^ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. s'arrête en sa position d'équilibre instable et propriétés du portrait de phase correspondant ==== {{Al|5}}La 2^ème C.I<ref name="C.I." />. de lancement d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1b \cup 1a\;</math> pour que le P.P.S<ref name="P.P.S." />. s'arrête en sa position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S."> C.-à-d. correspondant à «<math>\;\theta \equiv \pi \pmod {2\,\pi}\;</math>», en effet <math>\;M\;</math> doit être sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier <math>\;\big[</math>résultat intuitif mais qui sera établi aux paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_des_positions_d'équilibre_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Stabilité_et_instabilité_des_équilibres_en_terme_de_force_sur_l'exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|stabilité et instabilité des équilibres en terme de force sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; bien entendu il ne peut y avoir d'équilibre instable si on remplace la tige sans masse par un fil idéal, ce dernier en cette position ne pouvant être tendu !</ref> est «<math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>»<ref> En effet cette 2^ème C.I. de lancement d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. <math>\;1b \cup 1a\;</math> pour que le P.P.S. s'arrête en sa position d'équilibre instable <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet cette 2^ème C.I. de lancement d'un P.P.S.N.A. }}doit être complémentaire de la 2^ème C.I. de lancement d'un P.P.S.N.A. en mouvement révolutif à savoir «<math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#2ème_C.I._de_lancement_pour_que_le_P.P.S._ait_un_mouvement_révolutif_et_propriétés_du_portrait_de_phase_correspondant|2^ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement révolutif et propriétés du portrait de phase correspondant]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet cette 2^ème C.I. de lancement d'un P.P.S.N.A. doit être complémentaire }}de celle d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire à savoir «<math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert < \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#2ème_C.I._de_lancement_pour_que_le_P.P.S._ait_un_mouvement_oscillatoire_et_propriétés_du_portrait_de_phase_correspondant|2^ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement oscillatoire et propriétés du portrait de phase correspondant]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref> «<math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math> étant nécessairement <math>\;\neq 0\;</math> <math>\big\{</math>sauf si <math>\;\theta_0 \equiv \pi \pmod {2\,\pi}\big\}\;</math>», le P.P.S.N.A. est nécessairement lancé dans les C.I. <math>\;1b\;</math> <math>\big\{</math>sauf si <math>\;\theta_0 \equiv \pi \pmod {2\,\pi}</math>, le P.P.S.N.A. étant alors lancé dans les C.I. <math>\;1a\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La 2^ème C.I. de lancement }}cette condition assurant que « le 2^ème membre de l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. <math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l} \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos(\theta_0) \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La 2^ème C.I. de lancement cette condition assurant que « le 2^ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. }}s'annule pour <math>\;\vert \theta \vert = \pi\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|17}}{{Transparent|La 2^ème C.I. de lancement cette condition assurant que « le 2^ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. s'annule }}à la position d'équilibre instable du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.{{,}}<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> et, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La 2^ème C.I. de lancement cette condition assurant que « le 2^ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. }}par suite de la nullité de la vitesse angulaire en cette position, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La 2^ème C.I. de lancement cette condition }}assurant une <u>position d'arrêt en la position d'équilibre instable</u><ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> ; {{Al|10}}{{Transparent|La 2^ème C.I. de lancement cette condition }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», plus exactement « si <math>\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», l'équation, sous forme explicite, du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. précitées s'écrit selon «<math>\;\dot{\theta} = \sqrt{\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l}\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», l'élongation angulaire <math>\;\theta \nearrow\;</math> de <math>\;\theta_0\;</math> jusqu'à <math>\;\pi\;</math> correspondant à la position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. où il s'arrête, y ayant une vitesse angulaire nulle<ref name="perturbations sur équilibre instable"> Toutefois l'équilibre étant instable, l'arrêt n'est effectif qu'en absence de perturbations extérieures qui pourraient déloger le P.P.S.N.A. de cet équilibre.</ref> ; {{Al|10}}{{Transparent|La 2^ème C.I. de lancement cette condition }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», plus exactement « si <math>\;\dot{\theta}_0 = -\sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», l'équation, sous forme explicite, du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. précitées s'écrit selon «<math>\;\dot{\theta} = -\sqrt{\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l}\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», l'élongation angulaire <math>\;\theta \searrow\;</math> de <math>\;\theta_0\;</math> jusqu'à <math>\;-\pi\;</math> correspondant à la position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. où il s'arrête, y ayant une vitesse angulaire nulle<ref name="perturbations sur équilibre instable" />. === Tracé des portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1b U 1a » === <gallery mode="packed" heights="284px"> Pendule pesant simple - portraits de phase.png|<div style="text-align: left;">Tracé superposé de deux [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> dans le cas de mouvements oscillatoires avec les C.I. <ref name="C.I." /> suivantes : absence de vitesse angulaire initiale pour les deux, écart initial de <math>\,60\,\text{°}\,</math> pour l'un et de <math>\,120\,\text{°}\,</math> pour l'autre</div> Pendule pesant simple - portraits de phase - bis.png|<div style="text-align: left;">Tracé superposé de deux [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> dans le cas de mouvements révolutifs avec les C.I. <ref name="C.I." /> suivantes : écart initial de <math>\,-120\,\text{°}\,</math> pour les deux, vitesse angulaire initiale de <math>\,3,2\; rad \cdot s^{-1}\,</math> pour l'un et de <math>\,4,2\; rad \cdot s^{-1}\,</math> pour l'autre, comparaison avec un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] dans le cas d'un mouvement oscillatoire avec le même écart initial et absence de vitesse angulaire initiale</div> Pendule pesant simple - portraits de phase - ter.png|<div style="text-align: left;">Tracé superposé de [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> dans le cas d'un mouvement oscillatoire, de mouvements avec arrêt en position d'équilibre instable <ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> et d'un mouvement révolutif, les C.I. <ref name="C.I." /> étant diverses</div> </gallery> * Ci-dessus à gauche deux [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1a\;</math> <math>\big(</math>correspondant donc à un mouvement oscillatoire<math>\big)\;</math> d'élongation angulaire initiale respective <math>\;\dfrac{\pi}{3}\;rad = 60\,\text{°}\;</math> pour l'un et <math>\;\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = 120\,\text{°}\;</math> pour l'autre ; * ci-dessus au centre deux [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1b\;</math> <math>\big(</math>telles que le mouvement obtenu soit révolutif<math>\big)\;</math> à savoir une même élongation angulaire initiale de <math>\;-\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad</math> <math>= -120\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale positive de <math>\;3,2\;rad \cdot s^{-1} \simeq 183\,\text{°}\! \cdot s^{-1}\;</math> pour l'un et <math>\;4,2\;rad \cdot s^{-1} \simeq 241\,\text{°}\! \cdot s^{-1}\;</math> pour l'autre ; <br>{{Al|3}}figure aussi, pour comparaison, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du même P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1a\;</math> <math>\big(</math>correspondant donc à un mouvement oscillatoire<math>\big)\;</math> et de même élongation angulaire initiale que les deux autres ; * ci-dessus à droite le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1b\;</math> telles que son mouvement s'arrête en sa position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> à savoir une vitesse angulaire initiale estimée à <math>\;3,13\;rad \cdot s^{-1} \simeq 179,5\,\text{°}\! \cdot s^{-1}\;</math> pour une élongation angulaire initiale de <math>\;-\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = -120\,\text{°}\;</math> <math>\big[</math>il s'agit du tracé correspondant à <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> pour une variation de <math>\;\theta\;</math> partant de <math>\;-\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad =</math> <math>-120\,\text{°}\;</math> et s'arrêtant à <math>\;\pi\;rad = 180\,\text{°}</math>, mais on a aussi représenté, en traits pleins<ref> En tiretés, figure la fin du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du même P.P.S.N.A. lancé dans les mêmes C.I. qui serait, après ruptures successives d'équilibres instables par perturbations extérieures, arrêté temporairement en <math>\;3\;\pi\;rad = 540\,\text{°}</math>, position d'équilibre instable et dont le mouvement se serait poursuivi, par nouvelle perturbation extérieure, dans le sens négatif, faisant <math>\;\searrow \theta\;</math> de <math>\;3\;\pi\;rad = 540\,\text{°}\;</math> à <math>\;\pi\;rad = 180\,\text{°}</math> où le P.P.S.N.A. retrouve une position d'arrêt <math>\;\ldots</math></ref>, l'amorce de la suite de ce [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] si une perturbation extérieure faisait sortir le P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. de cette position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> avec une vitesse angulaire<ref> Nécessairement de faible valeur absolue pour que cela ne perturbe pas le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] engendré <math>\;\ldots</math></ref> négative <math>\;\big(\theta \searrow\;</math> à partir de <math>\;\pi\;rad = 180\,\text{°}\;</math> en s'arrêtant à <math>\;-\pi\;rad = -180\,\text{°}\;</math> nouvelle position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /><math>\big)\;</math> ou positive <math>\;\big(\theta \nearrow\;</math> à partir de <math>\;\pi\;rad = 180\,\text{°}\;</math> en passant par la position d'équilibre stable <math>\;2\;\pi\;rad = 360\,\text{°}\;</math> et en s'arrêtant à <math>\;3\;\pi\;rad</math> <math>= 540\,\text{°}\;</math> nouvelle position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /><math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}figure aussi, pour comparaison, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du même P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1a\;</math> <math>\big(</math>correspondant donc à un mouvement oscillatoire<math>\big)\;</math> et de même élongation angulaire initiale que le précédent ainsi que celui du même P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1b\;</math> <math>\big(</math>telles que son mouvement soit révolutif<math>\big)\;</math> à savoir une élongation angulaire initiale de <math>\;\dfrac{4\;\pi}{3}\;rad = 240\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale de <math>\;-4,2\;rad \cdot s^{-1} \simeq -241\,\text{°}\! \cdot s^{-1}</math>. {{Al|5}}<u>Description du mouvement d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à partir de son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]</u><ref> À savoir faire, c'est une des exigences du programme de physique de P.C.S.I..</ref> : exemple du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé sous C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1a\;</math> avec «<math>\;\theta_0 = -\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad \simeq -2,09\;rad</math> <br>{{Al|31}}{{Transparent|Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. à partir de son portrait de phase : exemple du portrait de phase du P.P.S.N.A. lancé sous C.I. <math>\;\color{transparent}{1a}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{\theta_0}</math> }}<math>= -120\,\text{°}\;</math>» <math>\big(</math>ci-dessus à droite<math>\big)</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. }}<math>\succ\;</math>partant de <math>\;\theta_0 = -\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad \simeq -2,09\;rad = -120\,\text{°}\;</math> et <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, point de l'axe des élongations angulaires le plus à gauche du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]], correspondant à la position du P.P.S<ref name="P.P.S." />. la plus déviée dans le sens négatif, le point du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] remonte vers <math>\;\theta = 0\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \simeq 5,4\; rad \cdot s^{-1}</math>, point de l'axe des vitesses angulaires le plus haut du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]], correspondant au passage par la position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> avec une vitesse angulaire positive, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. }}<math>\succ\;</math>puis le point du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] redescend vers <math>\;\theta \simeq 2,09\; rad\;</math> et <math>\;\dot{\theta} = 0</math>, point de l'axe des élongations angulaires le plus à droite du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]], correspondant à la position du P.P.S<ref name="P.P.S." />. la plus déviée dans le sens positif, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. }}<math>\succ\;</math>ensuite le point du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] redescend vers <math>\;\theta = 0\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \simeq -5,4\; rad \cdot s^{-1}</math>, point de l'axe des vitesses angulaires le plus bas du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]], correspondant au passage par la position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> avec une vitesse angulaire négative, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. }}<math>\succ\;</math>enfin le point du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] remonte vers <math>\;\theta_0 = -\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad \simeq -2,09\;rad = -120\,\text{°}\;</math> et <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, point de l'axe des élongations angulaires le plus à gauche du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]], correspondant à la position du P.P.S<ref name="P.P.S." />. la plus déviée dans le sens négatif <br>{{Al|11}}{{Transparent|Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. }}<math>\succ\;</math>et ainsi de suite <math>\;\ldots</math> === Nature des portraits de phase dans le cas particulier des « petites élongations angulaires » d’un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a » === {{Al|5}}L'équation, sous forme implicite, d'un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1a\;</math> pour être sous « petites élongations angulaires »<ref name="petites élongations angulaires" /> étant «<math>\;\dfrac{\dot{\theta}^2\!(t)}{\omega_0^2\; \theta_0^2} + \dfrac{\theta^2\!(t)}{\theta_0^2} = 1\;</math>»<ref name="équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. dans le cas des petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»_du_P.P.S.(N.A.)_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»|cas particulier des petites élongations angulaires du P.P.S.(N.A.) dans les C.I. de lancement 1a]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L'équation, sous forme implicite, d'un portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. <math>\;\color{transparent}{1a}\;</math> pour être sous }}«<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math> la pulsation des petites élongations angulaires »<ref name="petites élongations angulaires" />, on en déduit {{Al|40}}la nature de ce [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> : <math>\succ\;</math>une <u>ellipse centrée au point origine</u><math>\;\left( 0\,\,0 \right)\;</math> et <u>d'axes confondus avec l'axe des élongations angulaires et celui des vitesses angulaires</u>, <br>{{Al|47}}{{Transparent|la nature de ce portrait de phase : }}<math>\succ\;</math>le demi axe sur le 1^er<ref name="grand ou petit"> Les coordonnées étant exprimées dans des unités différentes, on ne peut pas savoir lequel de ces axes est le grand axe ou le petit axe, il faut au moins définir une échelle sur l'axe des vitesses angulaires pour conclure, mais en fait savoir lequel d'entre eux est l'axe focal n'a aucun intérêt dans le cas présent, les foyers n'y jouant aucun rôle.</ref> étant de valeur <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> et sur le 2^nd<ref name="grand ou petit" /> de valeur <math>\;\omega_0\;\vert \theta_0 \vert</math>, <br>{{Al|47}}{{Transparent|la nature de ce portrait de phase : }}<math>\succ\;</math>l'ellipse étant <u>décrite dans le sens horaire</u><ref name="sens horaire" />. === Tracé des portraits de phase dans le cas particulier des « petites élongations angulaires » d’un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a » === [[File:Pendule pesant simple - portrait de phase - tetra.png|thumb|350px|Tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. dans le cadre des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" />, le {{Nobr|P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.}} étant lancé sans vitesse angulaire initiale d'une position d'abscisse angulaire <math>\;\theta_0</math>]] {{Al|5}}Chaque [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1a\;</math> telles que ce dernier oscille dans le cadre des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /> est une <u>ellipse centrée au point origine</u><math>\;( 0\,,\, 0)</math>, <u>dont les axes de symétrie sont les axes du repère</u> dans lequel il est tracé, de demi axes<ref name="grand ou petit" /> <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> sur l'axe des élongations angulaires <math>\;\big[\theta_0\;</math> étant l'élongation angulaire initiale<math>\big]\;</math> et <math>\;\omega_0\;\vert \theta_0 \vert\;</math> sur l'axe des vitesses angulaires <math>\;\bigg[\omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math> étant la pulsation <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /><math>\bigg]\;</math>, l'ellipse étant <u>décrite dans le sens horaire</u><ref name="sens horaire" /> <math>\;\big(</math>voir ci-contre, <math>\;\theta_0\;</math> y étant positive<math>\big)</math> ; {{Al|5}}nous allons, une nouvelle fois, faire le lien entre le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] et le mouvement de l'oscillateur sur l'exemple du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. dont le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est représenté ci-contre : * <math>\;\dot{\theta} = \omega_0\;\theta_0 > 0\;</math> et <math>\;\theta = 0\;</math> correspond au passage du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. par sa position d'équilibre <math>\;\big(</math>stable<math>\big)\;</math><ref name="équilibre stable" /> dans le sens positif, puis * <math>\;\dot{\theta} = 0\;</math> et <math>\;\theta = \theta_0 > 0\;</math> correspond à la position extrême du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. dans le sens positif <math>\;\big[\theta_0\;</math> est donc l'amplitude d'oscillations du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.<math>\big]</math>, ensuite * <math>\;\dot{\theta} = -\omega_0\;\theta_0 < 0\;</math> et <math>\;\theta = 0\,</math> correspond au retour du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. par sa position d'équilibre <math>\;\big(</math>stable<math>\big)\;</math><ref name="équilibre stable" /> dans le sens négatif, enfin * <math>\;\dot{\theta} = 0\;</math> et <math>\;\theta = -\theta_0 < 0\;</math> correspond à la position extrême du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. dans le sens négatif <math>\;\big[</math>on retrouve ainsi que <math>\;\theta_0\;</math> est bien l'amplitude d'oscillations du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.<math>\big]</math> etc<math>\ldots</math> === En complément, allure des portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. « 1b U 1a » === {{Al|5}}Les équations des portraits de phase d'un P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. ne pouvant pas être déterminées analytiquement l'ont été numériquement à l'aide d'un logiciel de calcul ; {{Al|5}}la résistance à l'avancement exercée par le fluide dans lequel peut se déplacer le P.P.S<ref name="P.P.S." />. est linéaire et suffisamment modérée pour observer * des pseudo oscillations du P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1a\;</math> autour de la position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> de ce dernier d'élongation angulaire <math>\;\theta = 0\;</math> ou, * un mouvement révolutif amorti sur un ou plusieurs tours dans le sens positif ou négatif<ref> Suivant le signe de la vitesse angulaire initiale, laquelle doit être de valeur absolue suffisante pour que le P.P.S.A. puisse passer la position d'équilibre instable repérée par une élongation angulaire <math>\;\theta \equiv \pi\!\! \pmod{2\;\pi}</math>.</ref> d'un P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1b</math>, <br>{{Transparent|un mouvement révolutif amorti }}suivi de pseudo oscillations autour de la position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> d'élongation angulaire <math>\;\theta = 2\;k\;\pi,\;\; k \in \mathbb{Z}^{*}\;</math> avec <math>\;\vert k \vert\;</math> nombre de tours du mouvement révolutif amorti précédant les pseudo oscillations. <gallery mode="packed" heights="330px"> Pendule pesant simple amorti - portrait de phase.png|<div style="text-align: left;">Tracé d'un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> lâché sans vitesse angulaire initiale avec un écart angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> relativement à sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /></div> Pendule pesant simple amorti - portrait de phase - bis.png|<div style="text-align: left;">Tracé de deux [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> lancé d'une même position initiale mais avec une vitesse angulaire différente telle que l'un ait un mouvement oscillatoire amorti et l'autre un mouvement révolutif amorti avant d'être oscillatoire amorti</div> </gallery> * Ci-dessus à gauche le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1a\;</math> avec une élongation angulaire initiale <math>\;\theta_0 = -\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = -120\,\text{°}</math>, la longueur du P.P.S.A. <math>\;l = 1\;m\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sqrt{\dfrac{g}{l}} \simeq</math> <math>3,13\;s^{-1}\;</math> et le cœfficient de frottement fluide ainsi que la masse du P.P.S. tels que <math>\;\dfrac{h}{m} = 0,1\;s^{-1}\;</math> <math>\bigg[</math>pour rappel l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. étant {{Nobr|«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]</math>}} <math>= 0\;</math>»<ref name="équation différentielle d'un P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}on y observe des « pseudo-oscillations autour de la position d'équilibre stable »<ref name="équilibre stable" /> d'élongation angulaire <math>\;\theta = 0\;</math> c'est-à-dire un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] « <u>ouvert</u> », « <u>spiralant autour du point origine</u><math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)\;</math>», <u>point asymptotique du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]</u> représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre stable<ref name="équilibre stable" />, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] étant <u>décrit dans le sens horaire</u><ref name="sens horaire" /> ; * Ci-dessus à droite deux [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] du même P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1b\;</math> avec une élongation angulaire initiale <math>\;\theta_0 = -\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = -120\,\text{°}</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la vitesse angulaire initiale du 1^er étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 3,8\;rad \cdot s^{-1}\;</math><ref> Qui est suffisante pour obtenir un mouvement révolutif d'un P.P.S.N.A., la vitesse angulaire initiale pour une élongation initiale <math>\;\theta_0 = -\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad\;</math> étant telle que <math>\;\dot{\theta}_0 > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} =</math> <math>\sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 - \dfrac{1}{2} \right]} = \sqrt{\dfrac{g}{l}} \simeq 3,13\;rad \cdot s^{-1}</math>.</ref> ne conduisant qu'à des pseudo oscillations du P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. autour de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> <math>\;\theta = 0\;</math> avec les élongations angulaires extrêmes de la 1^ère pseudo oscillation <math>\;-\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad \simeq 2,09\;rad \curvearrowright 1,89\;rad \curvearrowright -1,79\;rad\;</math> ou en degrés <math>\;-120\,\text{°} \curvearrowright 108\,\text{°} \curvearrowright -102,5\,\text{°}</math>, [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] « <u>ouvert</u> », « <u>spiralant autour du point origine</u><math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)\;</math>», <u>point asymptotique du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]</u> représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre stable<ref name="équilibre stable" />, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] étant <u>décrit dans le sens horaire</u><ref name="sens horaire" /> et <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la vitesse angulaire initiale du 2^nd étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 4,0\;rad \cdot s^{-1}\;</math> conduisant à un mouvement révolutif amorti du P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. sur un seul tour <math>\;\big[</math>au passage à la position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> le {{Nobr|P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />.}} a encore une vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta} \simeq 1,0\;rad \cdot s^{-1}\big]\;</math> suivi de pseudo oscillations autour de la position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> repérée par <math>\;\theta = 2\;\pi</math>, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] étant « <u>ouvert</u> », tout d'abord « <u>décrit d'un même côté de l'axe des élongations angulaires</u> »<ref> Ici le début de mouvement révolutif <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le 1^er tour<math>\big]\;</math> se faisant dans le sens positif, la partie correspondante du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] se trouve au-dessus de l'axe des élongations angulaires ; si la vitesse angulaire avait été plus grande le début de mouvement révolutif <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> aurait été de plusieurs tours par exemple <math>\;k\;</math> et la partie correspondante du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] aurait contenu <math>\;k\;</math> motifs du type de celui présenté sur la figure avec une vitesse angulaire au passage par la position d'équilibre instable ainsi que celle au passage par la position d'équilibre stable d'autant plus faible que le nombre de tours effectué se rapproche de <math>\;k</math>.</ref> puis « <u>spiralant autour du point</u><math>\;\left( 2\;\pi\,,\, 0 \right)\;</math><ref> Si le début de mouvement révolutif <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> avait été de <math>\;k\;</math> tours, après la partie du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] au-dessus de l'axe des élongations angulaires correspondant au mouvement révolutif {{Nobr|<math>\;\big(</math>amorti<math>\big)</math>,}} le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralerait autour du point <math>\;\left( 2\;k\;\pi\,,\, 0 \right)</math>.</ref> », <u>point asymptotique du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]</u> représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre {{Nobr|stable<ref name="équilibre stable" />,}} le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] étant <u>décrit dans le sens horaire</u><ref name="sens horaire" />. == En complément, absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté, expression empirique de « de Borda » de la période dans le cas général d’oscillations == === Définition d'« isochronisme » d'un oscillateur === {{Al|5}}Si « <u>la période d'un oscillateur est indépendante de l'amplitude des oscillations de ce dernier</u> », on dit qu'il possède la propriété d'« <u>[[w:Isochrone#Physique_et_horlogerie|isochronisme]]</u> » ; {{Al|5}}c’est le cas d'un oscillateur harmonique de pulsation propre <math>\;\omega_0</math>, la période de ce dernier étant <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0}\;</math> quelle que soit son amplitude d'oscillations. === Absence d'« isochronisme » d'un P.P.S.(N.A.) === {{Al|5}}Expérimentalement on observe que la période d'oscillations <math>\;\mathcal{T}\;</math> d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé sous C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1a\;</math> «<math>\;\nearrow\;</math> avec l'amplitude de ses oscillations »<ref> Sera justifié dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] du P.P.S. (pendule pesant simple) à un degré de liberté » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établira en effet <math>\;\mathcal{T} =</math> <math>\mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) \sin^2\!(u)}}\;</math> avec <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;</math> période <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> des petites élongations angulaires, montrant effectivement la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\mathcal{T}\;</math> avec l'amplitude <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> des oscillations car la fonction à intégrer <math>\;\nearrow\;</math> quand <math>\;\vert \theta_0 \vert \nearrow\;</math> d'une part et les bornes de l'intégrale n'en dépendent pas d'autre part.</ref>{{,}}<ref> C.-à-d. avec la valeur absolue de l'élongation angulaire initiale <math>\;\vert \theta_0 \vert</math>.</ref>, cette <math>\;\nearrow\;</math> étant mesurable, par exemple, {{Al|5}}on trouve que la période pour une amplitude de <math>\;60\,\text{°}\;</math> est de <math>\;6\,\%\;</math> plus grande que celle pour une amplitude de <math>\;15\,\text{°}\;</math><ref> Pour laquelle on peut appliquer la formule de la période des petites élongations angulaires.</ref> soit «<math>\;\mathcal{T}(\theta_0 = 60\,\text{°}) = 1,06 \times \mathcal{T}(\theta_0 = 15\,\text{°})\;</math>»<ref> Si la période des petites élongations angulaires est de <math>\;1\,s</math>, le P.P.S.(N.A.) battra à la période de <math>\;1,06\,s\;</math> avec une amplitude de <math>\;60\,\text{°}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|on trouve que la période pour une amplitude de <math>\;\color{transparent}{60\,\text{°}}\;</math> est de <math>\;\color{transparent}{6\,\%}\;</math> plus grande que celle pour une amplitude de <math>\;\color{transparent}{15\,\text{°}}\;</math> }}ce qui met bien en évidence l'<u>absence d'[[w:Isochrone#Physique_et_horlogerie|isochronisme]] d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.</u><ref> L'absence d'[[w:Isochrone#Physique_et_horlogerie|isochronisme]] du P.P.S.(N.A.) n'est pas explicitement précisée dans le programme de physique de P.C.S.I. mais c'est néanmoins une propriété importante qui distingue un P.P.S.(N.A.) d'un oscillateur harmonique <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, certes ce n'est pas la seule <math>\;\ldots</math></ref>. === Expression empirique dite de « de Borda » de la période d'oscillations d’un P.P.S. à un degré de liberté === {{Al|5}}On dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à un degré de liberté, trouvée empiriquement et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté, }}connue à l'heure actuelle sous le nom de « formule de de Borda »<ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l'Académie des Sciences, en collaboration avec '''Coulomb''' <math>\;\big[</math>'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés<math>\big]</math>, d'étudier la longueur du pendule battant la seconde <math>\;\big[</math>pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long <math>\;\big(</math>un pied de l'époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' <math>\;\big(</math>également membres de l'Académie des Sciences<math>\big)\;</math> il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l'arc de méridien de '''[[w:Dunkerque|Dunkerque]]''' à '''[[w:Barcelone|Barcelone]]'''.</ref>{{,}}<ref name="formule de Borda"> L'usage est de réaliser une contraction dans le nom donné à cette formule en la nommant « formule de Borda ».</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|On dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. }}«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math>» avec <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;</math> période <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T} = \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)}\;</math>» avec }}<math>\;\theta_m\;</math> l'amplitude des oscillations<ref> Égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> pour un P.P.S. <math>\;\big(</math>pendule pesant simple<math>\big)\;</math> lancé dans les C.I. <math>\;1a</math>.</ref> <math>\;\big(</math>a priori non petite<math>\big)\;</math> exprimée en <math>\;rad</math> ; {{Al|5}}cette formule donne un résultat en accord avec le « calcul <math>\;\big(</math>numérique<math>\big)\;</math> par intégrale » qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|détermination de la nature périodique du mouvement d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et expression de sa période sous forme intégrale]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites : plus précisément <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette formule donne un résultat en accord avec le « calcul <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>numérique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> par intégrale » }}si <math>\;\theta_m \leqslant \dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}</math>, l'écart entre le résultat exact donné par le calcul d’intégrale et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette formule donne un résultat en accord avec le « calcul <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>numérique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> par intégrale » si <math>\;\color{transparent}{\theta_m \leqslant \dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}}</math>, l'écart entre }}celui approché donné par la formule de de Borda<ref name="de Borda" />{{,}}<ref name="formule de Borda" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette formule donne un résultat en accord avec le « calcul <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>numérique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> par intégrale » si <math>\;\color{transparent}{\theta_m \leqslant \dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}}</math>, l'écart }}est <math>\;< 1\, \%</math>, <math>\;\big(</math>résultat approché par formule de de Borda<ref name="de Borda" />{{,}}<ref name="formule de Borda" /> par défaut<math>\big)</math> ; <center>on peut donc estimer correct le résultat par formule de de Borda<ref name="de Borda" />{{,}}<ref name="formule de Borda" /> pour <math>\;\theta_m \leqslant \dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}</math>.</center> == En complément, « résolution numérique » de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1a » puis « 1b », tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant == {{Al|5}}Le logiciel de calcul numérique utilisé pour résoudre l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> est l'un de ceux proposés par le programme à savoir « Scilab »<ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref>, le programme {{Nobr|utilisé<ref name="aide logiciel"> Vous pourrez trouver les explications dans l'aide du logiciel <math>\;\ldots</math></ref>}} est donné dans les paragraphes ci-dessous, les graphes tracés dans chacun d'eux résultant de l'utilisation de ce programme<ref> C'est effectivement un complément non spécifié dans le programme de physique de P.C.S.I., toutefois l'allure des tracés doit aider à mieux comprendre le mouvement d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et les lignes de programmes correspondantes devraient permettre au lecteur de se rendre autonome dans l'utilisation de « Scilab » ; <br>{{Al|3}}figure toutefois dans le programme une approche numérique d'un oscillateur non linéaire <math>\;\big(</math>non imposé et pouvant par conséquent être un P.P.S. à un degré de liberté<math>\big)\;</math> qui sera traitée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#Approche_numérique_:_utiliser_les_résultats_fournis_par_une_méthode_numérique_pour_mettre_en_évidence_des_effets_non_linéaires|approche numérique : utiliser les résultats fournis par une méthode numérique pour mettre en évidence des effets non linéaires]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots\;</math> ce qui est traité ici peut donc être considéré comme un avant goût de ce qui se fera dans le chapitre précité.</ref> <math>\;\ldots</math> === Résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1a » avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant === {{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : le principe de résolution d'une équation différentielle d'ordre deux utilisé par « Scilab »<ref name="Scilab" /> consiste à se ramener à un système d'équations différentielles d'ordre un, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}ainsi pour «<math>\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t) = -\dfrac{g}{l}\, \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» cela donne «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} \dfrac{d \theta}{dt}(t) = \varpi(t)\\ \dfrac{d \varpi}{dt}(t) = -\dfrac{g}{l}\, \sin\! \left[ \theta(t) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>», système d'équations différentielles du 1^er ordre<ref> Le système peut être qualifié de « couplé », car la 1^ère équation ne peut être résolue que lorsque <math>\;\varpi(t)\;</math> est connue, de même que la résolution de la 2^ème équation nécessite de connaître <math>\;\theta(t)</math>.</ref> en les fonctions <math>\;\varpi(t)\;</math> et <math>\;\theta(t)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque préliminaire : ainsi pour «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t) = -\dfrac{g}{l}\, \sin\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» cela donne «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \dfrac{d \varpi}{dt}(t) = -\dfrac{g}{l}\, \sin\! \left[ \theta(t) \right]\right\rbrace}\;</math>», système d'équations différentielles }}que l'on doit résoudre simultanément <math>\;\ldots</math> [[File:Pendule pesant simple - diagramme horaire de position par intégration numérique.png|thumb|600px|Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de position d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. lâché sans vitesse angulaire initiale <math>\;\big(\dot{\theta}_0 = 0\big)\;</math> avec un écart angulaire initial par rapport à sa position d'équilibre {{Nobr|stable<ref name="équilibre stable" />}} de <math>\;\theta_0 =</math> <math>-120\,\text{°}</math>]] [[File:Pendule pesant simple - diagramme horaire de vitesse par intégration numérique.png|thumb|600px|Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de vitesse d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. lâché sans vitesse angulaire initiale <math>\;\big(\dot{\theta}_0 = 0\big)\;</math> avec un écart angulaire initial par rapport à sa position d'équilibre {{Nobr|stable<ref name="équilibre stable" />}} de <math>\;\theta_0 =</math> <math>-120\,\text{°}</math>]] [[File:Pendule pesant simple - portrait de phase par intégration numérique.png|thumb|600px|Tracé, obtenu par intégration numérique, du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. lâché sans vitesse angulaire initiale <math>\;\big(\dot{\theta}_0 = 0\big)\;</math> avec une élongation angulaire initiale relativement à sa position d'équilibre {{Nobr|stable<ref name="équilibre stable" />}} de <math>\;\theta_0 = -120\,\text{°}</math>]] {{Al|5}}Les C.I<ref name="C.I." />. de lancement <math>\;1a\;</math> du P.P.S.(N.A.) choisies sont <math>\;\theta_0 = -\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = -120\,\text{°}\;</math> <math>\big(</math>et <math>\;\dot{\theta}_0</math> <math>= 0\big)</math>, l'intensité de la pesanteur valant <math>\;g = 9,81\; m \cdot s^{-2}\;</math> et la longueur du pendule <math>\;l = 1,000\; m</math> ; {{Al|5}}ci-dessous les lignes de programme de « Scilab » permettant la résolution et <br>{{Al|5}}ci-contre le tracé du diagramme horaire de position puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre le tracé }}du diagramme horaire de vitesse suivi <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre le tracé }}du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] : g = 9.81 ; L = 1.0 ; %theta0 = -2*%pi/3 ; %varpi0 = 0 ; clf() deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -g/L*sin(v(1))') t0 = 0 ; v0 = [%theta0 ; %varpi0] ; t = 0 :0.1 :3 ; u = ode(v0 , t0 , t , fct) ; %theta1 = u(1, :) ; %varpi1 = u(2, :) ; plot(t , %theta1) ; drawlater clf() plot(t , %varpi1) ; drawnow drawlater clf() plot(%theta1 , %varpi1) ; drawnow {{Al|5}}<u>Commentaires du programme</u> : <math>\;\mathrm{vdot}\;</math> est le vecteur colonne dérivé <math>\;\big(</math>temporel<math>\big)\;</math><ref> Le paramètre par rapport auquel la dérivation est effectuée est indiqué dans le 1^er argument de la fonction <math>\;\mathrm{deff}()</math>.</ref> du vecteur colonne <math>\;\text{v} = \left( \begin{array}{l} \theta\\ \varpi\end{array} \right)\;</math> ce qui donne </span><math>\;\mathrm{vdot} = \left( \begin{array}{l} \dfrac{d \theta}{dt}\\ \dfrac{d \varpi}{dt}\end{array} \right)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\text{v}(i)\;</math> et <math>\;\mathrm{vdot}(i)\;</math> sont respectivement le i^ème élément des vecteurs colonnes <math>\;\text{v}\;</math> et <math>\;\mathrm{vdot}\;</math> ainsi <math>\;\text{v}(1) = \theta\;</math> et <math>\;\text{v}(2) = \varpi\;</math> alors que <math>\;\mathrm{vdot}(1) = \dfrac{d \theta}{dt}\;</math> et <math>\;\mathrm{vdot}(2) = \dfrac{d \varpi}{dt}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\mathrm{deff}()\;</math> permet de définir le système des deux équations différentielles du 1^er ordre en les éléments du vecteur colonne <math>\;\text{v}</math>, le 1^er argument rappelant que la dérivation de <math>\;\text{v}\;</math> pour obtenir <math>\;\mathrm{vdot}\;</math> se fait par rapport à <math>\;t</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\text{v0}\;</math> stocke les C.I<ref name="C.I." />., la 1^ère concernant le 1^er élément du vecteur colonne <math>\;\text{v}\;</math> à savoir <math>\;\theta\;</math> et la 2^ème le 2^ème élément du vecteur colonne <math>\;\text{v}\;</math> à savoir <math>\;\varpi</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\text{t = 0 :0.1 :3}\;</math> donnant respectivement l'instant initial, le pas et l'instant final ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\mathrm{ode}()\;</math> résolvant le système en donnant <math>\;31\;</math> vecteurs colonnes <math>\;\text{v}_k = \left( \begin{array}{l} \theta_k\\ \varpi_k\end{array} \right)\;</math> stockées dans la variable <math>\;\text{u}</math>, les arguments de la fonction <math>\;\mathrm{ode}()\;</math> étant les C.I<ref name="C.I." />., l'instant initial, la suite des valeurs d'itération et bien sûr l'équation différentielle liant les vecteurs colonnes ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}tous les 1^ers éléments des <math>\;31\;</math> vecteurs colonnes <math>\;\text{v}_k\;</math> stockés dans la variable <math>\;\text{u}</math> sont réunis dans la variable <math>\;\%\text{theta1}\;</math> et tous les 2^nds éléments de ces <math>\;31\;</math> vecteurs colonnes <math>\;\text{v}_k\;</math> stockés dans la variable <math>\;\text{u}</math> sont réunis dans la variable <math>\;\%\text{varpi1}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\mathrm{plot}(\text{t}, \%\text{theta1})\;</math> trace le diagramme horaire de position <math>\;\theta = \theta(t)\;</math> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />., <math>\;\mathrm{plot}(\text{t}, \%\text{varpi1})\;</math> trace son diagramme horaire de vitesse <math>\;\dot{\theta} = \dot{\theta}(t)\;</math> et <math>\;\mathrm{plot}(\%\text{theta1}, \%\text{varpi1})\;</math> trace son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <math>\;f(\theta\,,\,\dot{\theta}) = 0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires du programme : }}<math>\;\mathrm{clf}()\;</math> permet d'effacer le tracé et <math>\;\mathrm{drawlater}\;</math> de le suspendre jusqu'à ce qu'apparaisse <math>\;\mathrm{drawnow}</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Conséquences</u> : Il est très difficile sur le diagramme horaire de position d'observer que la fonction « élongation angulaire » n'est pas sinusoïdale et pourtant elle ne l'est pas <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}Par contre sur le diagramme horaire de vitesse on observe nettement que la fonction « vitesse angulaire » n’est pas sinusoïdale <math>\;\big(</math>elle est plus proche d'une fonction triangulaire<math>\big)\;</math> et cela implique que la fonction primitive « élongation angulaire » n'est pas non plus sinusoïdale ; {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}sur les diagrammes horaires de position et de vitesse on observe une période de <math>\;\mathcal{T} \simeq 2,75\, s</math>, l'application <math>\;\big(</math>non appropriée<math>\big)\;</math> de la formule de de Borda<ref name="de Borda" />{{,}}<ref name="formule de Borda" /> donnant <math>\;\mathcal{T}_{\text{Borda}} \simeq</math> <math>\mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> avec <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{l}{g}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{1,000}{9,81}} \simeq 2,00\, s\;</math> soit <math>\;\mathcal{T}_{\text{Borda}} \simeq</math> <math>2,00 \times \left[ 1 + \dfrac{(2,09)^2}{16} \right]</math> <math>\simeq 2,55\,s\;</math> au lieu de <math>\;2,75\,s</math>, « l'application de la formule de {{Nobr|de Borda<ref name="de Borda" />{{,}}<ref name="formule de Borda" />}} pour une amplitude de <math>\;120\, \text{°}\;</math>» entraînant une erreur de <math>\;7\, \%\;</math><ref> On rappelle que l'erreur est inférieure à <math>\;1\, \%\;</math> à condition que l'amplitude soit inférieure à <math>\;75\, \text{°}</math>.</ref> est donc effectivement indue. {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}On observe aussi une légère déformation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] relativement à celui des « petites élongations angulaires »<ref name="petites élongations angulaires" /> <math>\;\big[</math>lequel, rappelons-le, est une ellipse centrée au point origine <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> et ayant pour axes les axes du repère<math>\big]</math>, la courbe gardant les propriétés de <u>fermeture</u>, de <u>symétrie centrale</u> relativement au point origine <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> et d'<u>antisymétries axiales</u> relativement aux axes du repère. === Résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1b » telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant === [[File:Pendule pesant simple - diagramme horaire de position par intégration numérique - bis.png|thumb|600px|Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de position d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> de <math>\;\theta_0 =</math> <math>-120\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale positive juste nécessaire pour qu'il s'arrête en sa position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." />]] [[File:Pendule pesant simple - diagramme horaire de vitesse par intégration numérique - bis.png|thumb|600px|Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de vitesse d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> de <math>\;\theta_0 =</math> <math>-120\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale positive juste nécessaire pour qu'il s'arrête en sa position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." />]] [[File:Pendule pesant simple - portrait de phase par intégration numérique - bis.png|thumb|600px|Tracé, obtenu par intégration numérique, du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> de <math>\;\theta_0</math> <math>= -120\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale positive juste nécessaire pour qu'il s'arrête en sa position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." />]] {{Al|5}}Les C.I<ref name="C.I." />. de lancement <math>\;1b\;</math> du même P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. sont telles que, pour une même élongation angulaire initiale <math>\;\theta_0 =</math> <math>-\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = -120\,\text{°}</math>, on choisit une vitesse angulaire initiale de valeur absolue imposant l'arrêt de ce P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. en sa position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> soit <math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert =</math> <math>\sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math> ou, plus exactement, pour que le mouvement se fasse dans le sens positif et que la position d'arrêt soit d'élongation angulaire <math>\;\theta = \pi</math>, on choisit une vitesse angulaire initiale <math>\;\dot{\theta}_0 =</math> <math>\sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} = \sqrt{2\;\dfrac{9,81}{1,000}\, \left[ 1 + \dfrac{-1}{2} \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1}</math> ; {{Al|5}}ci-dessous les lignes de programme de « Scilab » permettant la résolution et <br>{{Al|5}}ci-contre le tracé du diagramme horaire de position puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre le tracé }}du diagramme horaire de vitesse suivi <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre le tracé }}du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] : g = 9.81 ; L = 1.0 ; %theta0 = -2*%pi/3 ; %varpi0 = 3.132092 ; clf() deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -g/L*sin(v(1))') t0 = 0 ; v0 = [%theta0 ; %varpi0] ; t = 0 :0.1 :3 ; w = ode(v0 , t0 , t , fct) ; %theta2 = w(1, :) ; %varpi2 = w(2, :) ; plot(t , %theta2) ; drawlater clf() plot(t , %varpi2) ; drawnow drawlater clf() plot(%theta2 , %varpi2) ; drawnow {{Al|5}}<u>Commentaires du programme</u> : revoir le paragraphe précédent « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S.(N.A.) dans les C.I. 1a avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] (commentaires du programme) », les lignes de programme étant identiques à l'exception de * la valeur de la vitesse angulaire initiale stockée dans la variable <math>\;\%\text{varpi}0</math>, * le nom de la variable <math>\;\text{w}\;</math> stockant les <math>\;31\;</math> vecteurs colonnes <math>\;\text{v}_k = \left( \begin{array}{l} \theta_k\\ \varpi_k\end{array} \right)\;</math> solutions du système d'équations différentielles à résoudre, * le nom de la variable <math>\;\%\text{theta2}\;</math> stockant tous les 1^ers éléments des <math>\;31\;</math> vecteurs colonnes <math>\;\text{v}_k\;</math> stockés dans la variable <math>\;\text{w}</math> ainsi que * le nom de la variable <math>\;\%\text{varpi2}\;</math> stockant tous les 2^nds éléments des <math>\;31\;</math> vecteurs colonnes <math>\;\text{v}_k\;</math> stockés dans la variable <math>\;\text{w}</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Conséquences</u> : On observe sur le diagramme horaire de position la stagnation de la fonction « élongation angulaire » à la valeur <math>\;\pi\;rad\;</math> correspondant à une asymptote parallèle à l'axe des élongations angulaires et repérant la position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : On observe }}sur le diagramme horaire de vitesse une limite nulle de la fonction « vitesse angulaire » correspondant à une asymptote confondue avec l'axe des élongations angulaires et repérant une position d'arrêt du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. ; {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}on observe aussi sur le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. un arrêt du point générique de ce dernier pour l'élongation angulaire correspondant à la position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." />, la courbe étant donc de longueur finie située d'un même côté de l'axe des élongations angulaires. {{clr}} === Résolution numérique de l’équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1b » telles que le pendule acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant === [[File:Pendule pesant simple - diagramme horaire de position par intégration numérique - ter.png|thumb|600px|Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de position d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> de <math>\;\theta_0 =</math> <math>-120\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale de <math>\;3,5\, rad \cdot s^{-1}\;</math> suffisante pour un mouvement révolutif du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.]] [[File:Pendule pesant simple - diagramme horaire de vitesse par intégration numérique - ter.png|thumb|600px|Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de vitesse d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> de <math>\;\theta_0 =</math> <math>-120\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale de <math>\;3,5\, rad \cdot s^{-1}\;</math> suffisante pour un mouvement révolutif du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.]] [[File:Pendule pesant simple - portrait de phase par intégration numérique - ter.png|thumb|600px|Tracé, obtenu par intégration numérique, du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> de <math>\;\theta_0 =</math> <math>-120\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale de <math>\;3,5\, rad \cdot s^{-1}\;</math> suffisante pour un mouvement révolutif du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.]] {{Al|5}}Les C.I<ref name="C.I." />. de lancement <math>\;1b\;</math> du même P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. sont telles que, pour une même élongation angulaire initiale <math>\;\theta_0 =</math> <math>-\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = -120\,\text{°}</math>, on puisse observer un mouvement révolutif du {{Nobr|P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.}} et pour cela il est nécessaire de choisir une vitesse angulaire initiale de valeur absolue <math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math> ou, pour que le mouvement révolutif se fasse dans le sens positif, on choisit une vitesse angulaire initiale <math>\;\dot{\theta}_0 = 3,5\, rad \cdot s^{-1} > 3,13\, rad \cdot s^{-1}</math> ; {{Al|5}}ci-dessous les lignes de programme de « Scilab » permettant la résolution et <br>{{Al|5}}ci-contre le tracé du diagramme horaire de position puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre le tracé }}du diagramme horaire de vitesse suivi <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre le tracé }}du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] : g = 9.81 ; L = 1.0 ; %theta0 = -2*%pi/3 ; %varpi0 = 3.5 ; clf() deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -g/L*sin(v(1))') t0 = 0 ; v0 = [%theta0 ; %varpi0] ; t = 0 :0.1 :3 ; x = ode(v0 , t0 , t , fct) ; %theta3 = x(1, :) ; %varpi3 = x(2, :) ; plot(t , %theta3) ; drawlater clf() plot(t , %varpi3) ; drawnow drawlater clf() plot(%theta3 , %varpi3) ; drawnow {{Al|5}}<u>Commentaires du programme</u> : revoir le paragraphe précédent « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S.(N.A.) dans les C.I. 1a avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] (commentaires du programme) », les lignes de programme étant identiques à l'exception de * la valeur de la vitesse angulaire initiale stockée dans la variable <math>\;\%\text{varpi}0</math>, * le nom de la variable <math>\;\text{x}\;</math> stockant les <math>\;31\;</math> vecteurs colonnes <math>\;\text{v}_k = \left( \begin{array}{l} \theta_k\\ \varpi_k\end{array} \right)\;</math> solutions du système d'équations différentielles à résoudre, * le nom de la variable <math>\;\%\text{theta3}\;</math> stockant tous les 1^ers éléments des <math>\;31\;</math> vecteurs colonnes <math>\;\text{v}_k\;</math> stockés dans la variable <math>\;\text{x}</math> ainsi que * le nom de la variable <math>\;\%\text{varpi3}\;</math> stockant tous les 2^nds éléments des <math>\;31\;</math> vecteurs colonnes <math>\;\text{v}_k\;</math> stockés dans la variable <math>\;\text{x}</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Conséquences</u> : On observe sur le diagramme horaire de position une <math>\;\nearrow\;</math> de la fonction « élongation angulaire » avec un rythme de <math>\;\nearrow\;</math> minimal au voisinage de <math>\;\theta \equiv \pi\!\! \pmod{2\;\pi}\;</math> correspondant au passage par la position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> et maximal au voisinage de <math>\;\theta \equiv 0\!\! \pmod{2\;\pi}\;</math> correspondant au passage par la position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> effectivement en accord avec un mouvement révolutif du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. dans le sens positif ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : On observe }}sur le diagramme horaire de vitesse une périodicité de la fonction « vitesse angulaire » avec une valeur minimale positive de <math>\;1,6\,rad \cdot s^{-1}\;</math> correspondant au passage par la position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> et maximale positive de <math>\;6,3\,rad \cdot s^{-1}\;</math> correspondant au passage par la position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> ; on mesure sur ce diagramme une période de révolution du {{Nobr|P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.}} de <math>\;\mathcal{T} =</math> <math>1,75\,s\;</math><ref> Nous verrons dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._lancé_dans_des_C.I._(1b)_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans des C.I. (1b) par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] (démonstration de la nature périodique dans un mouvement révolutif du P.P.S. à un degré de liberté et expression de sa période sous forme intégrale) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » l'expression de la période de révolution sous forme intégrale et pourrons vérifier cette valeur numérique à l'aide du logiciel de calcul numérique « Scilab ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}on observe aussi sur le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. une périodicité angulaire de ce dernier <math>\;\big(</math>de période <math>\;2\;\pi\big)</math>, le minimum positif de la vitesse angulaire correspondant au passage par la position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> et le maximum positif au passage par la position d'équilibre {{Nobr|stable<ref name="équilibre stable" />,}} la courbe étant « <u>ouverte</u> » située d'un même côté de l'axe des élongations angulaires. {{clr}} === Superposition des trois portraits de phase précédemment tracés === [[File:Pendule pesant simple - portraits de phase par intégration numérique - tetra.png|thumb|600px|Superposition des tracés, obtenus par intégration numérique, des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. lâché avec une élongation angulaire initiale de <math>\;\theta_0 = -120\, \text{°}\;</math> <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>sans vitesse angulaire initiale <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>avec une vitesse angulaire initiale positive conduisant à l'arrêt en la position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>en}} vert<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>avec une vitesse angulaire initiale positive de <math>\;\dot{\theta}_0 = 3,5\, rad \cdot s^{-1}\;</math> conduisant à un mouvement révolutif <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Il s'agit ici de regrouper sur un même diagramme <math>\;\big(</math>et avec des couleurs différentes<math>\big)\;</math> les trois [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. précédent lâché à partir d'une élongation angulaire initiale <math>\;\theta_0 = -120\,\text{°}\;</math> * sans vitesse angulaire initiale <math>\;\big[</math>en rouge<math>\big]</math>, * avec une vitesse angulaire initiale positive <math>\;\dot{\theta}_0 = 3,13\,rad \cdot s^{-1}\;</math> permettant l'arrêt en la position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable d'un P.P.S." /> <math>\;\big[</math>en vert<math>\big]\;</math> et enfin * avec une vitesse angulaire initiale plus grande <math>\;\dot{\theta}_0 = 3,5\,rad \cdot s^{-1}\;</math> créant un mouvement révolutif du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. <math>\;\big[</math>en bleu<math>\big]\;</math> {{Al|5}}en ajoutant les quelques lignes de programme à celles déjà exposées dans les trois paragraphes précédents. {{Al|5}}<u>Lignes de programme s'ajoutant aux lignes précédentes pour la superposition des trois [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]</u> : clf() plot(%theta1 , %varpi1 , "r" , %theta2 , %varpi2 , "g" , %theta3 , %varpi3 , "b") ; {{Al|5}}<u>Commentaires du programme</u> : On trace plusieurs courbes sur un même diagramme en mettant ces courbes comme argument d'une même fonction <math>\;\mathrm{plot}()</math>, la couleur de tracé de chaque courbe étant mise en 3^ème argument après l'abscisse et l'ordonnée, selon * “r” pour rouge, * “g” pour vert et * “b” pour bleu. {{clr}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air|Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement|Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement]] }} 0zc2w7214thq9iqowlyaj2v9cbmyshn 0 70246 982889 978826 2026-05-17T14:35:25Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982889 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple | idfaculté = physique | numéro = 12 | chapitre = [[../../Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple/]] | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air/]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement/]] | niveau = 14 }} == Pendule conique == [[File:Pendule conique.png|thumb|Schéma de description d'un pendule conique <math>\;OA\;</math> tournant autour d'un axe vertical <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> à vitesse angulaire <math>\;\omega\;</math> constante]] {{Al|5}}Une tige rigide <math>\;OA</math>, de masse négligeable, de longueur <math>\;l\;</math> constante, mobile autour d'un point fixe <math>\;O</math>, tourne autour d'un axe vertical <math>\;(\Delta)\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec une vitesse angulaire <math>\;\omega\;</math> constante <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire est comptée positivement dans le sens indiqué sur le schéma, ce sens correspondant à l'orientation de l'axe <math>\;(\Delta)\;</math> par <math>\;\vec{u}_z\;</math> vertical ascendant<math>\big]</math>. {{Al|5}}À l'extrémité <math>\;A\;</math> de la tige est fixée une boule assimilable à un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m</math>, l'ensemble « tige rigide - boule » étant placé dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme. {{Al|5}}On désigne par <math>\;\theta\;</math> l'angle <math>\;\widehat{\left( -\vec{u}_z\,,\, \overrightarrow{OA} \right)}\;</math> que la tige <math>\;OA\;</math> fait avec l'axe vertical <math>\;(\Delta)\;</math> orienté dans le sens descendant. === Démonstration de l'invariabilité de l'inclinaison de la tige rigide relativement à l'axe vertical de rotation dans la mesure où le mouvement de cette dernière est uniforme === {{Al|5}}Montrer que le caractère constant de la vitesse angulaire du « pendule conique »<ref name="conique"> Dans la mesure où on démontre <math>\;\omega = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta = cste'\;</math> <math>\big(</math>et c'est l'objet de cette question<math>\big)</math>, ceci a pour conséquence que l'ensemble « tige rigide - boule » se déplace sur un cône d'où le qualificatif « conique » attribué <math>\;\big(</math>historiquement<math>\big)\;</math> au pendule.</ref> entraîne celui de son inclinaison <math>\;\theta\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Le meilleur repérage serait sphérique de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe <math>\;(\Delta)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_z</math>, la boule <math>\;M\;</math> étant alors de coordonnées sphériques <math>\;(l\,,\, \pi - \theta\,,\, \varphi)</math>, mais l'expression du vecteur accélération en sphérique étant trop compliquée, on se tournera vers <br>{{Al|17}}le repérage cylindro-polaire de même axe <math>\;(\Delta)</math>, la boule <math>\;M\;</math> étant alors de coordonnées cylindro-polaires <math>\;\left\lbrace \rho = l\, \sin(\theta)\,,\, \varphi\,,\, z = -l\, \cos(\theta) \right\rbrace</math> ; <br>{{Al|3}}pour montrer que <math>\;\theta\;</math> reste constant, il suffit de démontrer que <math>\;\rho\;</math> ou (et) <math>\;z\;</math> ne varie(nt) pas, ou encore de montrer que le mouvement de <math>\;M\;</math> reste circulaire en utilisant <math>\;\omega = \dot{\varphi} = cste\;</math> <math>\big[</math>mais attention à ne pas utiliser le caractère circulaire tant que celui-ci n'a pas été établi<math>\big]</math>.</ref>. <br> {{Solution | contenu =[[File:Pendule conique - repérage cylindro-polaire.png|thumb|300px|Schéma de description d'un pendule conique <math>\;OA\;</math> tournant autour d'un axe vertical <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> à vitesse angulaire <math>\;\omega\;</math> constante, repérage cylindro-polaire d'axe vertical ascendant de la boule fixée en <math>\;A\;</math> et représentation des forces qui lui sont appliquées]] {{Al|5}}Rappelons, pour commencer, le caractère galiléen du référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport auquel la vitesse angulaire du pendule est mesurée ; {{Al|5}}choisissant de repérer le point matériel <math>\;M\;</math> assimilant la boule fixée en <math>\;A\;</math> en cylindro-polaire d'axe <math>\;(\Delta)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_z\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />, ses coordonnées cylindro-polaires sont <math>\;\left\lbrace \rho = l\, \sin(\theta)\,,\, \varphi\,,\, z = -l\, \cos(\theta) \right\rbrace\;</math>, la base cylindro-polaire associée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> étant choisie « directe »<ref name="base directe orientée à droite"> L'espace physique étant supposé « orienté à droite » <math>\;\big[</math>voir l'introduction du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la notion de base directe est définie dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>bilan des forces appliquées au point</u><math>\;M</math> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> : <math>\succ\;</math>son poids <math>\;m\; \vec{g}\;</math> vertical descendant soit encore «<math>\;m\; \vec{g} = -m\; g\; \vec{u}_z\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|bilan des forces appliquées au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}<math>\succ\;</math>le vecteur tension de la tige rigide <math>\;\vec{T}\;</math> porté par <math>\;OA\;</math> et usuellement de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{OA}\;</math><ref name="sens du vecteur tension de la tige rigide"> Il est néanmoins possible que le vecteur tension de la tige rigide <math>\;\vec{T}\;</math> porté par <math>\;OA\;</math> soit dans le sens de <math>\;\overrightarrow{OA}</math>, correspondant au cas où les autres forces agissant sur <math>\;M\;</math> tendent à rapprocher ce dernier de <math>\;O</math>, la tige maintenant <math>\;M\;</math> à une distance constante de <math>\;O\;</math> en exerçant une force centrifuge relativement à <math>\;O</math>.</ref> dans le demi-plan méridien <math>\;\left( A\,,\, \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math> repéré par <math>\;\varphi</math>, soit «<math>\;\vec{T} = -T\; \sin(\theta)\; \vec{u}_\rho + T\; \cos(\theta)\; \vec{u}_z\;</math>»<ref name="signification de T"> Dans le cas usuel où le vecteur tension de la tige rigide «<math>\;\vec{T}\;</math> est dans le sens contraire de <math>\;\overrightarrow{OA}\;</math>», <math>\;T\;</math> est la norme de <math>\;\vec{T}\;</math> c.-à-d. «<math>\;T = \Vert \vec{T} \Vert \geqslant 0\;</math>» mais <br>{{Al|17}}dans le cas exceptionnel où le vecteur tension de la tige rigide «<math>\;\vec{T}\;</math> est dans le sens de <math>\;\overrightarrow{OA}\;</math>», <math>\;T\;</math> est la composante de <math>\;\vec{T}\;</math> sur <math>\;\overrightarrow{AO}\;</math> c.-à-d. «<math>\;T = -\Vert \vec{T} \Vert \leqslant 0\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}<u>application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. au point</u><math>\;M</math> : «<math>\;\sum\limits_k \vec{F}_k = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» avec «<math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> vecteur accélération du point <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », donnant ici <br>{{Al|9}}{{Transparent|application de la r.f.d.n. au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> : }}«<math>\;\vec{T} + m\; \vec{g} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» et, comme aucune des forces n'a de composantes sur <math>\;\vec{u}_\varphi</math>, on en déduit «<math>\;a_{M,\,\varphi}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ; {{Al|9}}{{Transparent|application de la r.f.d.n. au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> : }}la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale étant «<math>\;a_{M,\,\varphi}(t) = \dfrac{1}{\rho(t)} \dfrac{d \left[ \rho^2\, \dot{\varphi} \right]}{dt}(t)\;</math>»<ref name="forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1(PCSI)]] » <math>\;\big(</math>dans le paragraphe précité, la 2^ème coordonnée cylindro-polaire de <math>\;M\;</math> était <math>\;\theta</math>, ici elle est <math>\;\varphi</math>, il faut donc substituer <math>\;\theta\;</math> par <math>\;\varphi\;</math> dans la formule semi-intégrée<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>applicable si <math>\;\rho \neq 0\big)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|application de la r.f.d.n. au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> : }}on déduit de l'intégration de <math>\;a_{M,\,\varphi}(t) = 0</math>, une intégrale 1^ère du mouvement du pendule <br>{{Al|9}}{{Transparent|application de la r.f.d.n. au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> : on déduit de l'intégration de <math>\;\color{transparent}{a_{M,\,\varphi}(t) = 0}</math>, }}«<math>\;\rho^2(t)\, \dot{\varphi}(t) = cste\;</math>» ou, avec «<math>\;\dot{\varphi}(t) = \omega\;</math> constante », <br>{{Al|9}}{{Transparent|application de la r.f.d.n. au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> : on déduit de l'intégration de <math>\;\color{transparent}{a_{M,\,\varphi}(t) = 0}</math>, }}«<math>\;\rho(t) = cste'\;</math>» c'est-à-dire la <u>nature circulaire</u> du mouvement de <math>\;M\;</math> ou encore, {{Al|9}}{{Transparent|application de la r.f.d.n. au point<math>\;\color{transparent}{M}</math> : on déduit de l'intégration de <math>\;\color{transparent}{a_{M,\,\varphi}(t) = 0}</math>, }}«<math>\;\theta = cste''\;</math>» <math>\;\big[</math>compte tenu de «<math>\;\rho = l\;\sin(\theta) = cste'\;</math>»<math>\big]\;</math> c'est-à-dire la constance de l'angle d'inclinaison de la tige rigide <math>\;OA\;</math> par rapport à la verticale descendante dans la mesure où le mouvement de rotation de <math>\;OA\;</math> autour de la verticale reste à vitesse angulaire constante<ref> La variation de l'inclinaison de la tige <math>\;OA\;</math> avec la verticale ne pouvant se manifester que par une modification de la vitesse angulaire, on peut se servir de cette propriété pour vérifier le caractère uniforme de la rotation <math>\;\ldots</math></ref> soit <center>«<math>\;\dot{\varphi} = \omega\;</math> constante <math>\Rightarrow</math> <math>\;\widehat{\left( -\vec{u}_z\,,\, \overrightarrow{OA} \right)} = \theta\;</math> constante »<ref> Ou, tant que le mouvement de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;(\Delta)\;</math> est uniforme, il reste circulaire <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Détermination de la relation entre l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire de rotation autour de l'axe vertical === {{Al|5}}Déterminer la relation liant l'inclinaison <math>\;\theta\;</math> du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire <math>\;\omega\;</math> de rotation autour de l'axe vertical ; {{Al|5}}on précisera la valeur critique <math>\;\omega_c\;</math> à partir de laquelle l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu est possible c'est-à-dire telle que <math>\;\theta\;</math> peut être <math>\;\neq 0</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Pour trouver la relation demandée nous allons projeter la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. sur les deux autres vecteurs unitaires non encore utilisés soit : * sur <math>\;\vec{u}_\rho</math>, «<math>\;-T\; \sin(\theta) + 0 = m\; a_{M,\,\rho}(t)\;</math>» avec «<math>\;a_{M,\,\rho}(t) = \left[ \ddot{\rho} - \rho\, \dot{\varphi}^2 \right]\!(t)\;</math>»<ref name="vecteur accélération en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1(PCSI)]] » {{Nobr|<math>\;\big(</math>dans}} le paragraphe précité, la 2^ème coordonnée cylindro-polaire de <math>\;M\;</math> était <math>\;\theta</math>, ici elle est <math>\;\varphi</math>, il faut donc substituer <math>\;\theta\;</math> par <math>\;\varphi\big)</math>.</ref> donnant, dans le cas présent où <math>\;\rho = cste'\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\varphi} = \omega\;</math> constante, «<math>\;T\; \sin(\theta) = m\; \rho\;\omega^2\;</math>» ou encore, avec <math>\;\rho =</math> <math>l\;\sin(\theta)</math>, l'équation suivante «<math>\;T\; \sin(\theta) = m\; l\;\sin(\theta)\;\omega^2\;</math>»<ref> Attention à ne pas simplifier inconsidérément par <math>\;\sin(\theta)\;</math> qui pourrait être nul <math>\;\big(</math>et qui le sera sous conditions<math>\big)</math>.</ref> soit finalement «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c} \sin(\theta) \!\!&=&\!\! 0 & \\ \text{ou,}\!\!&\!\! \text{si } \!\!&\!\! \sin(\theta) \neq 0 \!\!& \Downarrow \\ T \!\!&=&\!\! m\; l\;\omega^2 \!\!&(\mathfrak{1}) \end{array}\right\rbrace\;</math>» et * sur <math>\;\vec{u}_z</math>, «<math>\;T\; \cos(\theta) - m\;g = m\; a_{M,\,z}(t)\;</math>» avec «<math>\;a_{M,\,z}(t) = \ddot{z}(t)\;</math>»<ref name="vecteur accélération en cylindro-polaire" /> donnant, dans le cas présent où <math>\;z = -l\;\cos(\theta)\;</math> avec <math>\;\theta = cste''\;</math> donc <math>\;z\;</math> constante, l'équation suivante «<math>\;T\; \cos(\theta) = m\; g\;\;\;(\mathfrak{2})\;</math>». {{Al|5}}<u>Détermination de la relation cherchée</u> : En supposant la tige rigide effectivement inclinée par rapport à la verticale nous avons <math>\;\sin(\theta) \neq 0\;</math> et par suite les deux équations «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c}T \!\!&=&\!\! m\; l\;\omega^2 \!\!& (\mathfrak{1})\\T\; \cos(\theta) \!\!&=&\!\! m\; g \!\!& (\mathfrak{2})\end{array}\right\rbrace\;</math>», la 1^ère imposant le caractère strictement positif de <math>\;T\;</math> et la 2^nde celui de <math>\;\cos(\theta)\;</math> c'est-à-dire imposant <math>\;\theta \in \left] 0\,,\,\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math><ref> La borne inférieure étant exclue par l'hypothèse <math>\;\sin(\theta) \neq 0</math>.</ref> d'où, de <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> on tire «<math>\;T = \dfrac{m\;g}{\cos(\theta)}\;</math>» alors que <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> s'écrit «<math>\;T = m\; l\;\omega^2\;</math>», l'élimination de <math>\;T\;</math> entre les deux donnant finalement la relation cherchée «<math>\;\dfrac{m\;g}{\cos(\theta)} = m\; l\;\omega^2\;</math>» ou encore «<math>\;\cos(\theta) = \dfrac{g}{l\;\omega^2}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la relation cherchée : }}<u>remarque</u> : la relation ci-dessus n'est valide que si son 2^nd membre est strictement inférieur à <math>\;1\;</math> c'est-à-dire si «<math>\;\dfrac{g}{l\;\omega^2} < 1\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\omega > \sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math>», « cette limite inférieure étant donc la vitesse angulaire critique <math>\;\omega_c\;</math> à partir de laquelle la position inclinée du pendule conique <math>\;\big(</math>relativement à la verticale<math>\big)\;</math> est possible » soit «<math>\;\omega_c = \sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math>» <math>\bigg[</math>la solution «<math>\;\cos(\theta) = \dfrac{g}{l\;\omega^2}\;</math>» nécessite donc «<math>\;\omega > \omega_c\;</math>»<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la relation cherchée : }}« Si <math>\;\omega \leqslant \omega_c = \sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math>», la solution ci-dessus n'étant pas possible, nous avons nécessairement «<math>\;\sin(\theta) = 0\;</math> et <math>\;T = \dfrac{m\;g}{\cos(\theta)}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la relation cherchée : « Si <math>\;\color{transparent}{\omega \leqslant \omega_c = \sqrt{\dfrac{g}{l}}}\;</math>», }}la 1^ère équation conduisant à «<math>\;\theta = 0\;\text{ou}\;\pi\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la relation cherchée : « Si <math>\;\color{transparent}{\omega \leqslant \omega_c = \sqrt{\dfrac{g}{l}}}\;</math>», }}la 2^nde équation à «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \text{si}\;\theta = 0,\;\;T = m\;g\\ \text{si}\;\theta = \pi,\;\;T = -m\;g \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="signification de T" /> <math>\;\big(\theta = \pi\;</math> impliquant <math>\;T < 0\;</math> est possible car <math>\;OA\;</math> est une tige rigide<ref> Toutefois on pourrait montrer que seul le mouvement avec <math>\;\theta = 0\;</math> est stable <math>\;\big(</math>c.-à-d. insensible aux petites perturbations extérieures<math>\big)</math>, le mouvement avec <math>\;\theta = \pi\;</math> étant qualifié d'instable <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'une petite perturbation extérieure suffira pour que <math>\;\theta\;</math> devienne nul<math>\big)</math>.</ref> mais <br>{{Al|13}}{{Transparent|Détermination de la relation cherchée : « Si <math>\;\color{transparent}{\omega \leqslant \omega_c = \sqrt{\dfrac{g}{l}}}\;</math>», la 2^nde équation à «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \text{si}\;\theta = \pi,\;\;T = -m\;g \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>}}si la tige rigide était remplacée par un fil idéal, seule <math>\;\theta = 0\;</math> resterait possible<ref> Le vecteur tension du fil idéal <math>\;\vec{T}</math>, dans le cas où le fil est tendu, devant être nécessairement dans le sens contraire de <math>\;\overrightarrow{OA}</math>.</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Détermination de la relation cherchée : « Si <math>\;\color{transparent}{\omega \leqslant \omega_c = \sqrt{\dfrac{g}{l}}}\;</math>», la 2^nde équation à «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \text{si}\;\theta = \pi,\;\;T = -m\;g \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>}}comme seul mouvement satisfaisant au caractère tendu du fil c'est-à-dire à <math>\;T > 0\big)</math>.}} == Pendule cycloïdal, traitement par utilisation de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) == [[File:Pendule cycloïdal - base locale de Frenet.png|thumb|400px|Schéma d'un pendule cycloïdal <math>\;\big(</math>[[w:Cycloïde|cycloïde droite]] inversée<ref name="cycloïde droite"> Une [[w:Cycloïde|cycloïde droite]], aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est la courbe plane, trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite <math>\;\big(</math>appelée [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] de la [[w:Cycloïde|cycloïde droite]]<math>\big)</math> ; ici la [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] est dite inversée car sa [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] se trouve au-dessus de la [[w:Cycloïde|cycloïde]]. [[File:Paradoxe de la roue d'Aristote.png|thumb|500px|Schéma explicatif du paradoxe de la roue d'Aristote : si le cercle bleu roulait sur une droite <math>\;\big(</math>violette<math>\big)\;</math> il roulerait en glissant]] {{Al|3}}Appeler « roue d'Aristote » une [[w:Cycloïde|cycloïde]] est en fait un abus de langage faisant référence * d'une part à la construction de cette dernière comme trajectoire d'un point <math>\;M\;</math> fixé sur un disque <math>\;\mathcal{D}\;</math> de centre <math>\;C</math>, <math>\;M\;</math> étant <math>\;\neq C</math>, <math>\;\mathcal{D}\;</math> roulant sans glisser sur une droite <math>\;\big(</math>la [[w:Cycloïde|cycloïde]] étant « droite » si <math>\;M\;</math> est choisi sur la circonférence du disque<math>\big)\;</math> et * d'autre part au paradoxe de la « roue d'Aristote » c.-à-d. <br>{{Transparent| d'autre part }}une roue de rayon <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>représentée ci-contre par le cercle rouge<math>\big)\;</math> roulant sans glisser sur une route <math>\;\big(</math>représentée ci-contre par la droite marron<math>\big)\;</math> parcourant une longueur <math>\;L = 2\;\pi\;R\;</math> par tour et <br>{{Transparent| d'autre part }}son moyeu de rayon <math>\;r\;</math> <math>\big(</math>représenté ci-contre par le cercle bleu<math>\big)</math>, évidemment solidaire de la roue, parcourant la même longueur <math>\;l\;</math> par tour soit <math>\;l = 2\;\pi\;R\;</math> mais <br>{{Transparent| d'autre part }}pourquoi n'a-t-on pas <math>\;\cancel{l = 2\;\pi\;r}\;</math> ? <br>{{Transparent| d'autre part }}<u>Réponse</u> : si le cercle bleu roulait sur une droite <math>\;\big(</math>violette<math>\big)</math>, il roulerait en y glissant <math>\;\ldots</math> {{Al|3}}'''[[w:Aristote|Aristote (384 av J.C. - 322 av J.C.)]]''' philosophe grec de l'Antiquité, il est l'un des rares à avoir abordé presque tous les domaines de connaissance de son temps : la biologie, la physique, la [[w:Métaphysique|métaphysique]], la logique, la poétique, la politique, la [[w:Rhétorique|rhétorique]] et même l'économie <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Une [[w:Cycloïde|cycloïde]] est encore appelée « roulette de Pascal » par référence au titre de l'ouvrage que '''[[w:Blaise_Pascal|Blaise Pascal]]''' lui consacra en <math>\;1659\;</math> à savoir le [[w:Traité_de_la_roulette|traité de la roulette]] <math>\;\big[</math>signé avec son nom de plume '''Amos Dettonville''' <math>\;\big(</math>anagramme de '''Louis de Montalte''' qui était le pseudonyme sous lequel il avait écrit ses « lettres à un provincial » voir [[w:Les_Provinciales|Les Provinciales]]<math>\big)\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Blaise_Pascal|Blaise Pascal]] (1623 - 1662)''' mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français ; ses 1^ers travaux contribuèrent à clarifier la notion de pression et de vide mais il est aussi l'inventeur de la 1^ère machine à calculer et aussi un mathématicien de premier ordre <math>\;\big(</math>il a publié à <math>\;16\;ans\;</math> un traité de [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]], a développé en <math>\;1654\;</math> une méthode de résolution du [[w:Problème_des_partis|problème des partis]] ayant donné naissance, au siècle suivant, au calcul des [[w:Probabilité|probabilités]]<math>\big)</math> ; on lui doit aussi une réflexion philosophique et théologique voir [[w:Les_Provinciales|Les Provinciales]] et les [[w:Pensées|Pensées]] qui ne furent publiées qu'après sa mort.</ref><math>\big)\;</math> avec représentation de la base locale de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="base locale de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] », « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_plane_continue|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>]] {{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> est assujetti à se déplacer dans le plan vertical <math>\;xOy\;</math> sur la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] dont les équations paramétriques sont : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} x \!\!&=&\!\! a\, \left[ \theta + \sin(\theta) \right]\\ y \!\!&=&\!\! a\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\theta \in \left[ -\pi\,,\,\pi \right]\;</math><ref name="signification de theta"> <math>\;\theta\;</math> n'a pas de signification directe sur la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] mais nécessite de revenir à la construction de celle-ci comme trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite (appelée [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] de la [[w:Cycloïde|cycloïde droite]]), <math>\;\theta\;</math> repérant le point sur le cercle.</ref> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}À la date <math>\;t = 0</math>, on lâche <math>\;M\;</math> de <math>\;A\;</math> sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À la date <math>\;\color{transparent}{t = 0}</math>, on lâche <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> sans vitesse initiale ; il }}se déplace en liaison bilatérale sans frottement sur la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]]. === Expression de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M === {{Al|5}}Déterminer l'expression de <math>\;\varphi = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{\tau} \right)}\;</math> en fonction de <math>\;\theta\;</math> <math>\big[</math>il s'agit d'une question de géométrie voire de cinématique <math>\;\big(</math>si on fait intervenir le temps mais nous ne le ferons pas<math>\big)\;</math> indépendante des forces appliquées<math>\big]</math> ; {{Al|5}}ci-après on rappelle la méthode d'obtention du vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> en un point <math>\;M\;</math> d'une courbe continue, <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-après }}déterminer <math>\succ\;</math>les « composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math>» en fonction de <math>\;d \theta\;</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-après déterminer }}<math>\succ\;</math>la « valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne <math>\;\vert ds \vert = \Vert \overrightarrow{dM} \Vert\;</math>» suivi de <math>\;ds\;</math> après choix de l'orientation de la courbe<ref name="abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-après déterminer }}<math>\succ\;</math>le « vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> au point <math>\;M\;</math> défini par <math>\;\vec{\tau} = \dfrac{\overrightarrow{dM}}{ds}\;</math>»<ref name="1er vecteur unitaire de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en fonction de <math>\;\theta\;</math> dont on peut tirer «<math>\;\cos(\varphi) = \vec{\tau}\! \cdot \vec{u}_x\;</math>» en fonction de <math>\;\theta\;\ldots</math> {{solution| contenu =[[File:Pendule cycloïdal - base locale de Frenet et forces.png|thumb|400px|Schéma d'un pendule cycloïdal <math>\;\big(</math>[[w:Cycloïde|cycloïde droite]] inversée<ref name="cycloïde droite" /><math>\big)\;</math> avec représentation de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" /> <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> et des forces appliquées <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)</math>]] {{Al|5}}À partir des équations cartésiennes paramétriques de la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} x \!\!&=&\!\! a\, \left[ \theta + \sin(\theta) \right]\\ y \!\!&=&\!\! a\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}on détermine <math>\succ\;</math>le vecteur déplacement élémentaire par différenciation de «<math>\;\overrightarrow{OM} = x(\theta)\;\vec{u}_x + y(\theta)\;\vec{u}_y\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{dM} = dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} dx \!\!&=&\!\! a\, \left[ 1 + \cos(\theta) \right]\,d \theta\\ dy \!\!&=&\!\! a\, \left[ 0 + \sin(\theta) \right]\,d \theta\end{array} \right\rbrace\;</math>» d'où «<math>\;\overrightarrow{dM} = a\, \left[ 1 + \cos(\theta) \right]\,d \theta\;\vec{u}_x + a\; \sin(\theta)\;d \theta\;\vec{u}_y\;</math>», puis {{Al|5}}{{Transparent|on détermine }}<math>\succ\;</math>la valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne <math>\;s\;</math> repérant le point <math>\;M</math>, l'origine du repérage ayant été choisie en <math>\;O\;</math><ref name="abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue" /> on utilisant l'expression du « vecteur déplacement élémentaire dans la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_de_Frenet_du_vecteur_déplacement_élémentaire_à_partir_d'un_point_d'une_courbe_continue|composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont on tire {{Nobr|«<math>\;\vert ds \vert</math>}} <math>= \Vert \overrightarrow{dM} \Vert = \sqrt{\left\lbrace a\, \left[ 1 + \cos(\theta) \right]\,d \theta \right\rbrace^2 + \left\lbrace a\; \sin(\theta)\;d \theta \right\rbrace^2} = a\;\vert d \theta \vert\;\sqrt{1 + 2\;\cos(\theta) + \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)}\;</math>» soit, après simplification évidente «<math>\;\vert ds \vert = a\;\sqrt{2}\;\vert d \theta \vert\;\sqrt{1 + \cos(\theta)}\;</math>» ou, en « utilisant la formule de trigonométrie <math>\;\cos(2\;\xi) = 2\;\cos^2(\xi) - 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 + \cos(2\;\xi) =</math> <math>2\;\cos^2(\xi)\;</math>», l'expression finale «<math>\;\vert ds \vert = 2\;a\;\vert d \theta \vert\;\Bigg\vert \cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\! \Bigg\vert\;</math>», ensuite {{Al|5}}{{Transparent|on détermine }}<math>\succ\;</math>la variation élémentaire de l'abscisse curviligne <math>\;s\;</math> repérant le point <math>\;M\;</math> sachant que <math>\;\theta \in \left[ -\pi\,,\,\pi \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{\theta}{2} \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}\,,\,\dfrac{\pi}{2} \right]\;</math> et par suite <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \geqslant 0</math>, d'où, <u>orientant la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] dans le sens des</u><math>\;\theta\;\nearrow</math>, «<math>\;ds = 2\;a\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\,d \theta\;</math>» et enfin {{Al|5}}{{Transparent|on détermine }}<math>\succ\;</math>le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\vec{\tau} = \dfrac{\overrightarrow{dM}}{ds}\;</math>»<ref name="1er vecteur unitaire de Frenet" /> se déduisant de <math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en Frenet" /> d'où «<math>\;\vec{\tau} = \dfrac{\overrightarrow{dM}}{ds} = \dfrac{a\, \left[ 1 + \cos(\theta) \right]\,d \theta\;\vec{u}_x + a\; \sin(\theta)\;d \theta\;\vec{u}_y}{2\;a\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\,d \theta}\;</math>» dans lequel on utilise <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l c l}1 + \cos(\theta) \!\!&=&\!\! 2\;\cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\\ \sin(\theta) \!\!&=&\!\! 2\;\sin\!\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \cos\!\left( \dfrac{\theta}{2} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> la simplification suivante «<math>\;\vec{\tau} = \cos\!\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \vec{u}_x + \sin\!\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \vec{u}_y\;</math>» et par suite «<math>\;\cos(\varphi) = \vec{\tau}\! \cdot \vec{u}_x = \cos\!\left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math>» ; {{Al|10}}{{Transparent|on détermine <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}constatant sur le schéma que «<math>\;\varphi \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}\,,\,\dfrac{\pi}{2} \right]\;</math> comme <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math>» et que «<math>\;\varphi\;</math> est <math>\;> 0\;</math> quand <math>\;\theta \in \left] 0\,,\,\pi \right]\;</math>», on en déduit que le lien de l'angle <math>\;\varphi = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{\tau} \right)}\;</math> <math>\big(</math>ayant une signification directe sur la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]]<math>\big)\;</math> avec le paramètre <math>\;\theta\;</math> <math>\big(</math>sans signification directe sur la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]]<ref name="signification de theta" /><math>\big)\;</math> est «<math>\;\varphi = \dfrac{\theta}{2}\;</math>».}} === Expression, en fonction de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M, de l'abscisse curviligne du point sur la portion de cycloïde, puis du rayon de courbure de cette dernière au même point === {{Al|5}}Déduire, de la question précédente, l'abscisse curviligne <math>\;s = \overset{\curvearrowright}{OM}\;</math><ref name="abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue" /> du point <math>\;M\;</math> sur la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] <br>{{Al|10}}{{Transparent|Déduire, de la question précédente, l'abscisse curviligne <math>\;\color{transparent}{s = \overset{\curvearrowright}{OM}}\;</math> }}en fonction de <math>\;\varphi\;</math> angle d'inclinaison avec <math>\;Ox\;</math> du vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}\;</math> au même point <math>\;M\;</math><ref name="1er vecteur unitaire de Frenet" />{{,}}<ref> Ayant déterminé <math>\;ds\;</math> en fonction de <math>\;d \theta</math>, puis <math>\;\varphi\;</math> en fonction de <math>\;\theta</math>, on en déduit <math>\;ds\;</math> en fonction de <math>\;d \varphi\;\ldots</math></ref> puis, {{Al|5}}{{Transparent|Déduire, de la question précédente, }}le rayon de courbure <math>\;\mathcal{R}\;</math> de la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] au point <math>\;M\;</math><ref name="rayon de courbure d'une courbe plane"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_cercle_osculateur_en_un_point_d'une_courbe_plane,_de_centre_et_de_rayon_de_courbure_en_ce_point,_1ère_définition_du_rayon_de_courbure_d'une_courbe_plane_en_un_point_non_anguleux_de_celle-ci|notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, de centre et de rayon de courbure en ce point, 1^ère définition du rayon de courbure d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en fonction de <math>\;\varphi\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déduire, de la question précédente, le rayon de courbure <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}<math>\bigg[</math>on rappelle que le rayon de courbure pour une courbe plane peut se déterminer par «<math>\;\mathcal{R} = \dfrac{ds}{d \alpha}\;</math> avec <math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{\tau} \right)}\;</math>»<ref name="rayon de courbure d'une courbe plane" />{{,}}<ref> Dans le cas présent <math>\;\alpha = \varphi</math>.</ref><math>\bigg]</math>. {{solution| contenu ={{Al|5}}Pour déterminer l'abscisse curviligne <math>\;s = \overset{\curvearrowright}{OM}\;</math><ref name="abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue" /> du point <math>\;M\;</math> sur la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]], il suffit d'« intégrer <math>\;ds = 2\;a\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\,d \theta = 4\;a\;\cos\! \left( \varphi \right)\,d \varphi\;</math><ref> En effet <math>\;\varphi = \dfrac{\theta}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d \theta = 2\;d \varphi</math>.</ref> entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\varphi\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer l'abscisse curviligne }}<math>\;s = \displaystyle\int_0^\varphi 4\;a\;\cos\! \left( \varphi' \right)\,d \varphi'\;</math> donnant finalement «<math>\;s = 4\;a\;\sin\! \left( \varphi \right)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer }}le rayon de courbure au point <math>\;M\;</math> de la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] s'évaluant par «<math>\;\mathcal{R} = \dfrac{ds}{d \varphi}\;</math>»<ref name="rayon de courbure d'une courbe plane" />{{,}}<ref> En effet ici l'angle <math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{\tau} \right)}\;</math> est noté <math>\;\varphi</math>.</ref> avec <math>\;ds = 4\;a\;\cos\! \left( \varphi \right)\,d \varphi</math>, on en déduit aisément «<math>\;\mathcal{R} = 4\;a\;\cos\! \left( \varphi \right)\;</math>»<ref> De <math>\;\theta \in \left[ -\pi\,,\,+\pi \right]\;</math> on tire <math>\;\varphi \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}\,,\,+\dfrac{\pi}{2} \right]\;</math> et par suite <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <math>\;\geqslant 0</math>, le rayon de courbure étant nul en <math>\;A\;</math> et en son symétrique relativement à <math>\;Oy</math>.</ref>.}} === Détermination de la nature oscillatoire du mouvement de M sur la portion de cycloïde déterminée par r.f.d.n. et expression de sa période d'oscillations === {{Al|5}}En repérant le point <math>\;M\;</math> par son abscisse curviligne <math>\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}en appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre supposé galiléen dans lequel la courbe est fixe, <br>{{Al|9}}{{Transparent|en appliquant la r.f.d.n. à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}trouver, par projection sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> lié à <math>\;M\;</math><ref name="1er vecteur unitaire de Frenet" />, <br>{{Al|9}}{{Transparent|en appliquant la r.f.d.n. à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> trouver, }}<math>\succ\;</math>l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;s(t)\;</math> du mouvement de <math>\;M</math>, puis <br>{{Al|9}}{{Transparent|en appliquant la r.f.d.n. à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> trouver, }}<math>\succ\;</math>la nature de ce mouvement par résolution de l'équation différentielle précédente et enfin, <br>{{Al|9}}{{Transparent|en appliquant la r.f.d.n. à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> trouver, }}<math>\succ\;</math>l'expression de la période <math>\;T\;</math> de ce mouvement. {{solution| contenu =[[File:Pendule cycloïdal - base locale de Frenet et forces.png|thumb|400px|Schéma d'un pendule cycloïdal <math>\;\big(</math>[[w:Cycloïde|cycloïde droite]] inversée<ref name="cycloïde droite" /><math>\big)\;</math> avec représentation de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" /> <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> et des forces appliquées <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Les forces appliquées au point <math>\;M\;</math> glissant sans frottement sur la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_y = -m\;g\;\sin(\varphi)\;\vec{\tau} - m\;g\;\cos(\varphi)\;\vec{n}\;</math>» en utilisant la base locale de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" /> dans laquelle «<math>\;\vec{u}_y =</math> <math>\sin(\varphi)\;\vec{\tau} + \cos(\varphi)\;\vec{n}\;</math>» <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> et * la réaction de la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] <math>\;\vec{R} \perp\;</math> à <math>\;\vec{\tau}\;</math> par absence de frottement soit «<math>\;\vec{R} = R\;\vec{n}\;</math>», <math>\;R(t)\;</math> pouvant être a priori <math>\;> 0</math>, <math>\;= 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> compte-tenu de la nature bilatérale de la liaison, {{Al|5}}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> supposé galiléen dans lequel la courbe est fixe, nous conduit à <center>«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» dans laquelle <br><math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> est le vecteur accélération de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> défini à l'instant <math>\;t</math> ;</center> {{Al|5}}projetant la relation ci-dessus sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> lié à <math>\;M\;</math><ref name="1er vecteur unitaire de Frenet" /> et <br>{{Al|5}}sachant que la composante de <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> sur ce vecteur définit l'« accélération tangentielle de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\vec{a}_M \cdot \vec{\tau} = a_{\tau,\,M}\;</math>» liée à l'abscisse curviligne du point à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;a_{\tau,\,M}(t) = \ddot{s}(t)\;</math>»<ref name="accélérations tangentielle et normale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_locales_de_Frenet_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_accélérations_tangentielle_et_normale_du_point|composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient <center>«<math>\;-m\;g\;\sin\! \left[ \varphi(t) \right] = m\;\ddot{s}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}en éliminant <math>\;\varphi(t)\;</math> au profit de <math>\;s(t)\;</math> par «<math>\;s = 4\;a\;\sin\! \left( \varphi \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin\! \left[ \varphi(t) \right] = \dfrac{s(t)}{4\;a}\;</math>», on obtient l'équation différentielle en <math>\;s(t)\;</math> cherchée <center>soit «<math>\;-m\;g\;\dfrac{s(t)}{4\;a} = m\;\ddot{s}(t)\;</math>» ou, en simplifiant «<math>\;\ddot{s}(t) + \dfrac{g}{4\;a}\;s(t) = 0\;</math>» c'est-à-dire <br>une équation différentielle linéaire homogène du 2^ème ordre à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre.</center> {{Al|5}}On reconnaît l'équation différentielle d'un « oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{4\, a}}\;</math>»<ref name="équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On reconnaît l'équation différentielle }}dont la solution s'écrit «<math>\;s(t) = c\; \cos(\omega_0\, t) + d\; \sin(\omega_0\, t)\;</math>»<ref name="équation horaire d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Résolution_de_l'équation_différentielle_d'un_oscillateur_harmonique|résolution de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;c\;</math> et <math>\;d\;</math> constantes d'intégration à déterminer par C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>. «<math>\;M\;</math> lâché de <math>\;A\;</math> sans vitesse initiale » <br>{{Al|17}}{{Transparent|On reconnaît l'équation différentielle dont la solution est de forme «<math>\;\color{transparent}{s(t) = c\; \cos(\omega_0\, t) + d\; \sin(\omega_0\, t)}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> constantes d'intégration à déterminer par C.I. }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} s(0) \!\!&=&\!\! 4\;a\\ \dot{s}(0) \!\!&=&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace\;</math><ref> En effet la 1^ère condition initiale correspondant à <math>\;M\;</math> en <math>\;A\;</math> soit <math>\;\theta(0) = \pi\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi(0) = \dfrac{\theta(0)}{2} = \dfrac{\pi}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;s(0) = 4\;a\;\sin\left[ \varphi(0) \right] = 4\;a\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}la 2^ème condition initiale correspondant à l'absence de vitesse initiale <math>\;v_M(0)\;</math> <math>\big[</math>composante de Frenet du vecteur vitesse <math>\;\big(</math>composante évidemment tangentielle<math>\big)</math> «<math>\;v_M = \vec{V}_M \cdot \vec{\tau}\;</math>» liée à l'abscisse curviligne du point <math>\;M\;</math> à l'instant considéré par «<math>\;v_{M} = \dot{s}\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> soit «<math>\;v_M(0) = \dot{s}(0) = 0\;</math>».</ref> » dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|On reconnaît l'équation différentielle dont la solution est de forme }}en utilisant la 1^ère C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;c = 4\;a\;</math>» et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On reconnaît l'équation différentielle dont la solution est de forme }}en utilisant la 2^ème C.I<ref name="C.I." />. avec «<math>\;\dot{s}(t) = -c\; \omega_0\;\sin(\omega_0\, t) + d\; \omega_0\; \cos(\omega_0\, t)\;</math>», <math>\;d\; \omega_0 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d = 0\;</math>», d'où <center>l'équation horaire en <math>\;s(t)\;</math> «<math>\;s(t) = 4\;a\;\cos(\omega_0\, t)\;</math>».</center> {{Al|5}}On en déduit la période <math>\;T\;</math> du pendule cycloïdal identique à la période propre de l'oscillateur harmonique non amorti qu'il définit soit «<math>\;T = T_0 = \dfrac{2\; \pi}{\omega_0} = 4\; \pi\; \sqrt{\dfrac{a}{g}}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : la période d'un oscillateur harmonique non amorti étant indépendante de l'amplitude d'oscillations, il en est de même de celle du pendule cycloïdal défini ici d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : la période d'un oscillateur harmonique non amorti étant indépendante de l'amplitude d'oscillations, }}l'<u>[[w:Isochrone#Physique_et_horlogerie|isochronisme]] des oscillations<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> d'un pendule cycloïdal</u>.}} === Expression de la réaction de la cycloïde sur le point M === {{Al|5}}Trouver, par projection sur <math>\;\vec{n}\;</math> vecteur unitaire normal principal de Frenet<ref name="Frenet" /> lié à <math>\;M\;</math><ref name="2ème et 3ème vecteurs unitaires de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_plane_continue|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Trouver, }}la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de la [[w:Cycloïde|cycloïde]] agissant sur <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>on l'exprimera en fonction de <math>\;t\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Trouver, la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> de la cycloïde agissant sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>on l'exprimera en fonction }}de <math>\;\varphi\;</math> seul<ref> Dans un 1^er temps, la projection fait apparaître <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\dot{s}\;</math> <math>\big(</math>laquelle s'exprime en fonction de <math>\;t\big)</math>, cela répond donc à la 1^ère demande et <br>{{Al|3}}dans un 2^ème temps il faut éliminer <math>\;t\;</math> au profit de <math>\;\varphi\;</math> et pour cela connaître la variation de <math>\;\varphi\;</math> en fonction de <math>\;t\;</math> en utilisant simultanément <math>\;s = s(t)\;</math> et <math>\;s = s(\varphi)\;</math> d'où on peut tirer <math>\;t = t(\varphi)\;\ldots</math></ref><math>\big]</math>. {{solution| contenu ={{Al|5}}On détermine la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] sur <math>\;M\;</math> en projetant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;M\;</math> sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{n}\;</math><ref name="2ème et 3ème vecteurs unitaires de Frenet" /> <math>\;\big(</math>voir le schéma de la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_de_M_sur_la_portion_de_cycloïde_déterminée_par_r.f.d.n._et_expression_de_sa_période_d'oscillations|détermination de la nature oscillatoire du mouvement de M sur la portion de cycloïde déterminée par r.f.d.n. et expression de sa période d'oscillations]] » plus haut dans cet exercice<math>\big)\;</math> soit : <center>«<math>\;R - m\; g\; cos\! \left[ \varphi(t) \right] = m\; a_{n,\,M}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;a_{n,\,M}\;</math> accélération normale de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\vec{a}_M \cdot \vec{n} = a_{n,\,M}\;</math>», <br>liée à la « vitesse instantanée <math>\;v_M(t) = \dot{s}(t)\;</math> du point à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> par «<math>\;a_{n,\,M}(t) = \dfrac{v_M^2(t)}{\mathcal{R}(t)}\;</math>»<ref name="accélérations tangentielle et normale" />, <br>«<math>\;\mathcal{R}(t) = 4\;a\;\cos\! \left[ \varphi(t) \right]\;</math><ref name="expression de l'abscisse curviligne et du rayon de courbure en M de la portion de cycloïde"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Expression,_en_fonction_de_l'angle_d'inclinaison_avec_l'axe_Ox_du_vecteur_unitaire_tangentiel_de_Frenet_au_point_M,_de_l'abscisse_curviligne_du_point_sur_la_portion_de_cycloïde,_puis_du_rayon_de_courbure_de_cette_dernière_au_même_point|expression, en fonction de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M, de l'abscisse curviligne du point sur la portion de cycloïde, puis du rayon de courbure de cette dernière au même point]] » plus haut dans cet exercice.</ref> étant le rayon de courbure de la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref name="rayon de courbure d'une courbe plane" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|On détermine }}de la projection de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. sur <math>\;\vec{n}\;</math><ref name="2ème et 3ème vecteurs unitaires de Frenet" /> avec remplacement de l'expression de <math>\;\mathcal{R}(t)\;</math> on en déduit «<math>\;R = m \left\lbrace g\; cos\! \left[ \varphi(t) \right] + \dfrac{v_M^2(t)}{4\;a\;\cos\! \left[ \varphi(t) \right]} \right\rbrace\;</math>» ou, {{Al|14}}{{Transparent|On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> }}avec <math>\;v_M(t) = \dot{s}(t) = -4\;a\;\omega_0\;\sin(\omega_0\,t)\;</math><ref name="vitesse instantanée" />{{,}}<ref name="loi horaire de l'abscisse curviligne en M de la portion de cycloïde"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_de_M_sur_la_portion_de_cycloïde_déterminée_par_r.f.d.n._et_expression_de_sa_période_d'oscillations|détermination de la nature oscillatoire du mouvement de M sur la portion de cycloïde déterminée par r.f.d.n. et expression de sa période d'oscillations]] » plus haut dans cet exercice.</ref>{{Al|10}}«<math>\;R = m \left\lbrace g\; cos\! \left[ \varphi(t) \right] + \dfrac{16\;a^2\;\omega_0^2\;\sin^2(\omega_0\,t)}{4\;a\;\cos\! \left[ \varphi(t) \right]} \right\rbrace\;</math>» ou encore, <br>{{Al|14}}{{Transparent|On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{v_M(t) = \dot{s}(t) = -4\;a\;\omega_0\;\sin(\omega_0\,t)}\;</math> on en déduit }}«<math>\;R = m \left\lbrace g\; cos\! \left[ \varphi(t) \right] + \dfrac{4\;a\;\omega_0^2\;\sin^2(\omega_0\,t)}{\cos\! \left[ \varphi(t) \right]} \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|On détermine }}en identifiant <math>\;s(t) = 4\;a\;\cos(\omega_0\,t)\;</math><ref name="loi horaire de l'abscisse curviligne en M de la portion de cycloïde" /> avec <math>\;s(\varphi) = 4\;a\;\sin(\varphi)\;</math><ref name="expression de l'abscisse curviligne et du rayon de courbure en M de la portion de cycloïde" /> on en déduit <math>\;\cos(\omega_0\,t) = \sin(\varphi) = \cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \varphi \right)\;</math> soit «<math>\;\omega_0\,t \equiv \dfrac{\pi}{2} - \varphi\!\! \pmod {2\,\pi}\;</math>»<ref> L'autre solution «<math>\;\omega_0\,t \equiv \varphi - \dfrac{\pi}{2}\!\! \pmod {2\,\pi}\;</math>» étant à rejeter, en effet à <math>\;t = 0\;</math> <math>M\;</math> est en <math>\;A\;</math> avec <math>\;\varphi = \dfrac{\pi}{2}\;</math> et quand <math>\;t \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0</math>, <math>\;\varphi \searrow\;</math> à partir de <math>\;\dfrac{\pi}{2}</math>.</ref> dont on déduit <br>{{Al|15}}{{Transparent|On détermine en identifiant <math>\;\color{transparent}{s(t) = 4\;a\;\cos(\omega_0\,t)}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{s(\varphi) = 4\;a\;\sin(\varphi)}\;</math> on en déduit <math>\;\color{transparent}{\cos(\omega_0\,t) = \sin(\varphi) = \cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \varphi \right)}\;</math> soit }}«<math>\;\sin(\omega_0\,t) = \sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \varphi \right) = \cos(\varphi)\;</math>» d'où, par report, {{Al|14}}{{Transparent|On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{v_M(t) = \dot{s}(t) = -4\;a\;\omega_0\;\sin(\omega_0\,t)}\;</math> on en déduit }}«<math>\;R = m \left\lbrace g\; cos\! \left( \varphi \right) + \dfrac{4\;a\;\omega_0^2\;\cos^2(\varphi)}{\cos\! \left( \varphi \right)} \right\rbrace = m\, \left( g + 4\;a\;\omega_0^2 \right)\,\cos(\varphi)\;</math>» soit, <br>{{Al|14}}{{Transparent|On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> }}avec «<math>\;\omega_0^2 = \dfrac{g}{4\;a}\;</math>»<ref name="loi horaire de l'abscisse curviligne en M de la portion de cycloïde" /> et après une simplification évidente, «<math>\;R = 2\;m\;g\; \cos(\varphi)\;</math>»<ref> Évidemment <math>\;\geqslant 0\;</math> dans la mesure où <math>\;\varphi \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right]</math>, la réaction étant nulle aux points extrêmes de la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] c.-à-d. <math>\;A\;</math> et son symétrique par rapport à <math>\;Oy\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Évidemment <math>\;\color{transparent}{\geqslant 0}\;</math> dans la mesure où <math>\;\color{transparent}{\varphi \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right]}</math>, la réaction étant }}maximale, de valeur <math>\;2\;m\,g</math>, au passage à la position d'équilibre stable <math>\;O</math>.</ref>.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air/|Loi de la quantité de mouv. : Influence de la résistance de l'air]] | suivant = [[../Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement/|Loi de la quantité de mouv. : Frottement de glissement]] }} lfjaruz1qhytgv3z2bpaajthadhdtoy 0 70255 982890 978851 2026-05-17T14:36:37Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982890 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force/]] }} <center>Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Contact d’un solide sur un autre dans le cas de « liaisons unilatérale ou bilatérale avec frottement » == {{Al|5}}Introduit une 1^ère fois dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#3ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_solide,_liaisons_unilatérale_ou_bilatérale,_idéales_(c'est-à-dire_sans_frottement)_ou_non_idéales_(c'est-à-dire_avec_frottement)|3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéale {{Nobr|(c'est-à-dire}} sans frottement) ou non idéale (c'est-à-dire avec frottement)]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Rappel : liaisons unilatérale ou bilatérale d’un solide sur un autre === {{Al|5}}Introduit une 1^ère fois dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Notions_de_liaisons_unilatérale_ou_bilatérale|notions de liaisons unilatérale et bilatérale]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». ==== Liaison unilatérale ==== <center>Voir aussi « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Liaison_unilatérale|liaison unilatérale]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}Le solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en contact éventuel avec le solide support <math>\;(\Sigma)\;</math> peut être * <u>en contact effectif</u>, dans ce cas <math>\;(\Sigma)\;</math> exerce des forces de contact sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> de résultante appelée « <u>réaction de</u><math>\;(\Sigma)\;</math><u>sur</u><math>\;(\mathcal{S})\;</math>»<ref name="abus d'appellation pour réaction"> Il s'agit d'un abus usuellement utilisé pour parler de « vecteur réaction<math>\;\ldots</math>»</ref>, cette dernière étant <u>dirigée de</u><math>\;(\Sigma)\;</math><u>vers</u><math>\;(\mathcal{S})\;</math> ou * « <u>au-dessus de</u><math>\;(\Sigma)\;</math>»<ref> Plus précisément dans l'espace non occupé par <math>\;(\Sigma)</math>.</ref> sans point de contact avec lui, dans ce cas « <u>la réaction de</u><math>\;(\Sigma)\;</math><u>sur</u><math>\;(\mathcal{S})\;</math>»<ref name="abus d'appellation pour réaction" /> <u>est nulle</u>. ==== Liaison bilatérale ==== <center>Voir aussi « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Liaison_bilatérale|liaison bilatérale]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}<u>Le solide</u><math>\;(\mathcal{S})\;</math><u>est toujours en contact avec le solide support</u><math>\;(\Sigma)\;</math> <math>\big[</math>plus précisément constitué de deux solides supports «<math>\;(\Sigma_{\text{inf}})\;</math> et <math>\;(\Sigma_{\text{sup}})\;</math>»<math>\big]\;</math> guidant le solide <math>\;(\mathcal{S})</math>, l'un ou l'autre des solides supports de part et d'autre de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> exerçant sur lui des forces de contact de résultante appelée « <u>réaction de</u><math>\;(\Sigma)\;</math><u>sur</u><math>\;(\mathcal{S})\;</math>»<ref name="abus d'appellation pour réaction" /> <u>pouvant avoir n'importe quelle direction</u><math>\;\big(</math><u>et même être nulle</u><math>\big)</math>. === Rappel : composantes normale et tangentielle de la réaction du support solide sur le système indéformable étudié === <center> Voir aussi « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Composante_normale_de_réaction_et_force_de_frottement_solide|composante normale de réaction et force de frottement solide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}Définissant <math>\;\vec{n}\;</math> un vecteur unitaire normal au(x) support(s) solide(s) <math>\;(\Sigma)\;</math> défini au « point d'application de la réaction de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math>»<ref> Le système des forces de contact que <math>\;(\Sigma)\;</math> exerce sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est le plus souvent équivalent à une force unique égale à la résultante des forces de contact à condition d'appliquer cette force unique en un point bien choisi définissant le « point d’application de la réaction de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math>».</ref>, point que nous appellerons par la suite « <u>point de contact</u> »<ref> Ceci, bien sûr, n'ayant de signification que s'il y a contact effectif <math>\;\ldots</math></ref>, le sens de <math>\;\vec{n}\;</math> étant choisi usuellement « vers l'extérieur du support solide <math>\;(\Sigma)\;</math> en cas de liaison unilatérale » et dans un « sens arbitraire en cas de liaison bilatérale », nous notons : * <math>\;\vec{R}_n\;</math> la projection de <math>\;\vec{R}\;</math> sur la normale, soit «<math>\;\vec{R}_n = R_n\;\vec{n}\;</math>» où «<math>\;R_n = \vec{R} \cdot \vec{n}\;</math>» est appelée « <u>composante normale de la réaction</u> » et * <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> la projection de <math>\;\vec{R}\;</math> sur le plan tangent à <math>\;(\Sigma)\;</math> au point de contact, soit «<math>\;\vec{R}_\tau = R_\tau\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur unitaire tangentiel"> Pour l’instant <math>\;\vec{\tau}\;</math> est simplement un vecteur unitaire du plan tangent à <math>\;(\Sigma)\;</math> défini au point de contact et choisi selon la direction de la projection de <math>\;\vec{R}\;</math> sur le plan tangent, son sens étant encore, pour l’instant, arbitraire ; par suite ce dernier sera défini plus précisément <math>\;\ldots</math></ref>, où «<math>\;R_\tau = \vec{R} \cdot \vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur unitaire tangentiel" /> est appelée « <u>composante tangentielle de la réaction</u> » <math>\;\big(</math>ou encore « force de frottement solide »<math>\big)</math> ; <center>on peut alors écrire «<math>\;\vec{R} = R_n\;\vec{n} + R_\tau\;\vec{\tau}\;</math>» avec <br>«<math>\;R_n \geqslant 0\;</math> en liaison unilatérale » et <br>«<math>\;R_n\;</math> de signe quelconque<ref> Ou nulle dans des cas particuliers.</ref> en liaison bilatérale ».</center> === Rappel : « liaison avec frottement solide » === <center> Voir aussi « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Notions_de_liaisons_«_idéale_»_(ou_sans_frottement)_et_«_non_idéale_»_(ou_avec_frottement)|notions de liaisons idéale (ou sans frottement) et non idéale (ou avec frottement)]] »<ref> Une « liaison non idéale » étant encore appelée « liaison non parfaite ».</ref> du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}La puissance développée par la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> que <math>\;(\Sigma)\;</math> exerce sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans un référentiel lié à <math>\;(\Sigma)\;</math> s'écrit, avec <math>\;M\;</math> point d'application de <math>\;\vec{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}(\vec{R}) = \vec{R} \cdot \vec{V}_M</math> <math>= \vec{R}_n \cdot \vec{V}_M + \vec{R}_\tau \cdot \vec{V}_M\;</math>»<ref> En utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> que <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> exerce sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}or <math>\;\vec{R}_n \cdot \vec{V}_M = 0\;</math> car, en cas de non glissement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)</math>, <math>\;\vec{V}_M = \vec{0}\;</math> et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> que <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> exerce sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> or <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_n \cdot \vec{V}_M = 0}\;</math> car, }}en cas de glissement, <math>\;\vec{V}_M \neq \vec{0}\;</math> dans le plan tangent à <math>\;(\Sigma)\;</math> en <math>\;M\;</math> donc <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{R}_n\;</math> d'où au final {{Al|5}}la puissance développée par la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> que <math>\;(\Sigma)\;</math> exerce sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans un référentiel lié à <math>\;(\Sigma)\;</math> se réécrit, avec <math>\;M\;</math> point d'application de <math>\;\vec{R}</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}(\vec{R}) = \vec{R}_\tau \cdot \vec{V}_M\;</math>»<ref name="condition de validité de puissance de la réaction"> Ceci n'ayant de sens que si <math>\;\vec{R}\;</math> existe c.-à-d. s'il y a contact entre <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;(\Sigma)</math>, toujours réalisé en liaison bilatérale mais conditionnel en liaison unilatérale.</ref>. {{Al|5}}On dit que la liaison est « <u>avec frottement</u> » <math>\;\big(</math>ou « non idéale » ou encore « non parfaite »<math>\big)\;</math> si <math>\blacktriangleright\;</math>en envisageant diverses situations de repos de <math>\;(\mathcal{S})</math>, on en trouve <u>au moins une où</u><math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est <math>\;\neq \vec{0}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On dit que la liaison est « avec frottement » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou « non idéale » ou encore « non parfaite »<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> si }}<math>\blacktriangleright\;</math>dans tous les états de translation de <math>\;(\mathcal{S})</math>, <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est <u>toujours</u> <math>\;\neq \vec{0}</math> ; {{Al|6}}{{Transparent|On dit que la liaison est « avec frottement » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou « non idéale » }}ou <math>\;\big(</math>ce qui est équivalent<math>\big)\;</math> si <math>\blacktriangleright\;</math><u>il existe</u> des cas de repos de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> où <math>\;\vec{R}\;</math> est <math>\;\not\perp\;</math> au plan tangent de <math>\;(\Sigma)\;</math> en <math>\;M\;</math><ref> Dans l'exemple d'une caisse au repos sur un plan horizontal, la seule force pouvant engendrer un mouvement de la caisse c.-à-d. « son poids » étant <math>\;\perp\;</math> au plan, l'équilibre de la caisse se traduit par le fait que la réaction du plan est opposée au poids c.-à-d. <math>\;\perp\;</math> au plan que la liaison soit ou ne soit pas idéale, ceci constitue donc un exemple de liaison avec frottement où <math>\;\vec{R}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> au plan, mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Dans l'exemple d'une caisse au repos sur un plan horizontal, }}si on cherche à déplacer la caisse vers la droite sans y arriver <math>\;\big(</math>ce qui n'est possible que si la liaison est avec frottement<math>\big)</math>, elle est donc toujours en équilibre ce qui se traduit par l'existence d'une composante tangentielle de la réaction opposée à la force tangentielle exercée pour tenter de déplacer la caisse, ceci constitue donc un exemple de liaison avec frottement où <math>\;\vec{R}\;</math> est <math>\;\not\perp\;</math> au plan <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|On dit que la liaison est « avec frottement » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou « non idéale » ou <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ce qui est équivalent<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> si }}<math>\blacktriangleright\;</math>dans l'hypothèse de translation de <math>\;(\mathcal{S})</math>, <math>\;\vec{R}\;</math> est <u>toujours</u> <math>\;\not\perp\;</math> au plan tangent de <math>\;(\Sigma)\;</math> en <math>\;M</math>. {{Al|5}}Il est équivalent de définir une liaison « <u>avec frottement</u> » <math>\;\big(</math>ou « non idéale » ou encore « non parfaite »<math>\big)\;</math> comme une <u>liaison telle que</u><math>\;\mathcal{P}(\vec{R}) \neq 0\;</math><u>en cas de mouvement de translation de</u><math>\;(\mathcal{S})\;</math><u>sur</u><math>\;(\Sigma)</math>. == Énoncé des lois empiriques de « Coulomb » du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement, cœfficients de frottement statique et dynamique caractérisant le contact == === Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre === <center> Voir aussi « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_sans_glissement_de_Coulomb|loi de frottement solide sans glissement de Coulomb]]<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}Le solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est donc au repos sur le support solide <math>\;(\Sigma)\;</math> avec, a priori, « présence d'une force de frottement solide »<ref> Laquelle peut accessoirement être nulle.</ref> et absence de glissement ; {{Al|5}}si une force <math>\;\vec{F}_m\;</math> tend à faire glisser <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math> tangentiellement à ce dernier suivant <math>\;\vec{V}_{\text{hyp, mouv}}\;</math><ref> À ce stade, le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math> du plan tangent à <math>\;(\Sigma)\;</math> au point de contact, choisi suivant la direction de la projection de <math>\;\vec{R}\;</math> sur le plan tangent, mais de sens jusqu'à présent arbitraire, pourra maintenant être précisé ; <br>{{Al|3}}on choisira <u>le sens de</u><math>\;\vec{\tau}\;</math><u>dans</u> le sens de la force qui pourrait créer le déplacement, ce qui est encore le sens de <math>\;\vec{V}_{\text{hyp, mouv}}\;</math> c.-à-d. <u>le sens du mouvement de glissement susceptible de se produire</u>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> }}le support solide <math>\;(\Sigma)\;</math> réagit en exerçant sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> une force de frottement solide <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> s’opposant à la mise en mouvement, c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> réagit en exerçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> une force de frottement solide <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau}\;</math> }}de même direction mais de sens contraire à <math>\;\vec{V}_{\text{hyp, mouv}}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> réagit en exerçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}comme il n'y a pas glissement, <math>\;\vec{R}_\tau = -\vec{F}_m\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> }}<u>en choisissant le vecteur unitaire tangentiel</u><math>\;\vec{\tau}\;</math> du plan tangent à <math>\;(\Sigma)\;</math> au point de contact <u>suivant la direction et le sens de</u><math>\;\vec{F}_m\;</math><ref> C.-à-d. suivant la direction et le sens du mouvement de glissement susceptible de se produire.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> }}c'est-à-dire tel que <math>\;\vec{F}_m = F_m\;\vec{\tau}\;</math> avec <math>\;F_m > 0\;</math> et <math>\;\vec{R}_\tau = R_\tau\;\vec{\tau}\;</math> où <math>\;R_\tau\;</math> est la valeur algébrique de la « force de frottement solide »<ref> Plus exactement la valeur algébrique de la projection tangentielle de la force de frottement solide <math>\;\vec{R}_\tau</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> réagit en exerçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}on déduit, de la condition de non glissement, «<math>\;R_\tau = -F_m < 0\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> réagit en exerçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}si on fait <math>\;\nearrow \Vert F_m \Vert = F_m</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_\tau = -F_m < 0\;</math> telle que <math>\;\vert R_\tau \vert = \Vert \vec{R}_\tau \Vert = F_m \nearrow\;</math> mais <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> réagit en exerçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> si on fait <math>\;\color{transparent}{\nearrow \Vert F_m \Vert = F_m}</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\vert R_\tau \vert = \Vert \vec{R}_\tau \Vert\;</math> ne peut <math>\;\nearrow\;</math> indéfiniment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> réagit en exerçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> si on fait <math>\;\color{transparent}{\nearrow}</math>, }}il existe une valeur de <math>\;F_m = \Vert \vec{F}_m \Vert\;</math> à partir de laquelle le glissement s'amorcera, <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> réagit en exerçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> si on fait <math>\;\color{transparent}{\nearrow}</math>, il existe }}cette force seuil définissant le « <u>seuil d'adhérence de</u><math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> }}parallèlement la composante normale de la réaction <math>\;\vec{R}_n = R_n\;\vec{n}\;</math> s’oppose à la pénétration de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans <math>\;(\Sigma)\;</math><ref> Ceci dans le cas d'une liaison unilatérale sinon, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ceci }}dans le cas d'une liaison bilatérale, <math>\;\vec{R}_n\;</math> s’oppose à la pénétration de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans <math>\;(\Sigma_{\text{sup}})\;</math> ou <math>\;(\Sigma_{\text{inf}})\;</math> suivant que le contact se fait sur l'un ou sur l'autre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> parallèlement }}la force tendant à la pénétration étant appelée « force pressante de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math>» et notée <math>\;\vec{F}_p\;</math><ref> Dans la mesure où le plan tangent à <math>\;(\Sigma)\;</math> au point de contact est horizontal, la force pressante de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math> est le plus souvent le poids de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> que la liaison soit unilatérale ou bilatérale <math>\;\big[</math>dans ce dernier cas, il y a alors contact avec le support <math>\;(\Sigma_{\text{inf}})\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> parallèlement la force tendant à la pénétration }}comme il n'y a pas pénétration, <math>\;\vec{R}_n = -\vec{F}_p</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> }}<u>en choisissant le vecteur unitaire normal</u><math>\;\vec{n}\;</math> au plan tangent à <math>\;(\Sigma)\;</math> au point de contact <u>en sens contraire de</u><math>\;\vec{F}_p\;</math> si le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> ne varie pas ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> en choisissant le vecteur unitaire normal<math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> au plan tangent à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> au point de contact }}<u>de sens a priori arbitraire</u> si le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> peut varier<ref name="choix du vecteur unitaire normal"> En se plaçant dans le cas le plus fréquent où le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> ne change pas <math>\;\big(</math>comme cela se produit usuellement avec une liaison unilatérale<math>\big)</math>, dans ce cas le sens de <math>\;\vec{n}\;</math> est aussi le sens contraire à la pénétration susceptible de se produire ; <br>{{Al|20}}{{Transparent|En se plaçant }}dans le cas où le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> peut changer <math>\;\big(</math>comme cela peut se produire avec une liaison bilatérale<math>\big)</math> le sens de la pénétration susceptible de se produire étant a priori inconnu, le sens de <math>\;\vec{n}\;</math> est alors choisi arbitrairement <math>\;\ldots</math></ref> et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> }}en posant <math>\;\vec{F}_p = -F_p\;\vec{n}\;</math> quel que soit le sens choisi pour <math>\;\vec{n}\;</math><ref> Si le sens de <math>\;\vec{n}\;</math> est choisi de sens contraire à celui de <math>\;\vec{F}_p</math>, <math>\;F_p\;</math> étant égale à <math>\;\Vert \vec{F}_p \Vert\;</math> <math>\big(</math>cas usuel d'une liaison unilatérale<math>\big)\;</math> on a <math>\;F_p > 0\;</math> mais <br>{{Al|3}}si le sens de <math>\;\vec{n}\;</math> est choisi de façon arbitraire <math>\;\big(</math>cas possible d'une liaison bilatérale<math>\big)</math> <math>\;\succ\;</math><math>\;F_p\;</math> s'identifie à <math>\;\Vert \vec{F}_p \Vert\;</math> en étant alors <math>\;> 0\;</math> si le sens de <math>\;\vec{n}\;</math> est de sens contraire à <math>\;\vec{F}_p\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|si le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> est choisi de façon arbitraire <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>cas possible d'une liaison bilatérale<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\;\color{transparent}{F_p}\;</math> s'identifie à <math>\;\color{transparent}{\Vert \vec{F}_p \Vert}\;</math> en étant alors <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}de sens contraire à la pénétration susceptible de se produire, <br>{{Al|3}}{{Transparent|si le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> est choisi de façon arbitraire <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>cas possible d'une liaison bilatérale<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}<math>\;\succ\;</math> <math>F_p = -\Vert \vec{F}_p \Vert < 0</math> si <math>\;\vec{n}\;</math> est dans le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|si le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> est choisi de façon arbitraire <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>cas possible d'une liaison bilatérale<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> <math>\color{transparent}{F_p = -\Vert \vec{F}_p \Vert < 0}</math> si <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> est }}dans le sens de la pénétration susceptible de se produire <math>\;\ldots</math></ref> ainsi que <math>\;\vec{R}_n = R_n\;\vec{n}\;</math> où <math>\;R_n\;</math> est la « réaction normale au support », <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> parallèlement la force tendant à la pénétration }}on déduit, de la condition de non pénétration, «<math>\;R_n = F_p\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> parallèlement la force tendant à la pénétration }}si <u>le sens de</u><math>\;\vec{n}\;</math><u>est choisi de sens contraire à</u><math>\;\vec{F}_p\;</math> quand le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> ne varie pas, «<math>\;R_n > 0\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> parallèlement la force tendant à la pénétration }}si <u>le sens de</u><math>\;\vec{n}\;</math><u>est arbitraire</u>, «<math>\;R_n > 0\;</math> si le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math><ref name="sens de Fp"> C.-à-d. le sens de la pénétration susceptible de se produire.</ref> est contraire au sens de <math>\;\vec{n}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|si une force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> tend à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> parallèlement la force tendant à la pénétration si le sens de<math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math>est arbitraire, }}«<math>\;R_n < 0\;</math> si le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math><ref name="sens de Fp" /> est dans le sens de <math>\;\vec{n}\;</math>» ; {{Al|5}}supposant que <u>la force</u><math>\;\vec{F}_m\;</math><u>tendant à faire glisser</u><math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math> tangentiellement à ce dernier <u>ne modifie pas la force pressante</u><math>\;\vec{F}_p\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math><ref> Ce n’est pas toujours le cas en particulier, <br>{{Al|3}}si la surface de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur laquelle <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est en contact n’est pas plane et que la force pressante est la composante du poids de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur la normale à <math>\;(\Sigma)\;</math> au point de contact, la normale changeant de direction avec la position du point de contact, la composante normale <math>\;F_p\;</math> du poids varie mais <br>{{Al|3}}simultanément dans la mesure où la force <math>\;\vec{F}_m\;</math> susceptible d'engendrer un glissement est due au poids de <math>\;(\mathcal{S})</math>, sa composante tangentielle <math>\;F_m\;</math> <math>\big[</math>qui est aussi celle du poids de <math>\;(\mathcal{S})\big]\;</math> varie aussi car la tangente change aussi de direction avec la position du point de contact d'où <br>{{Al|3}}dans ce cas quand <math>\;\vec{F}_m\;</math> varie, <math>\;\vec{F}_p\;</math> varie simultanément <math>\;\ldots</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposant que }}la «<math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;F_m = \Vert \vec{F}_m \Vert\;</math> à <math>\;F_p\;</math> constant »<ref name="lien de Fp et de sa norme"> On rappelle que <math>\;\vec{F}_p = -F_p\;\vec{n}\;</math> quel que soit le sens de <math>\;\vec{n}\;</math> choisi et <math>\succ\;</math>«<math>\;F_p = \Vert \vec{F}_p \Vert\;</math>» si le sens choisi de <math>\;\vec{n}\;</math> s'identifie au sens contraire de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|On rappelle que <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_p = -F_p\;\vec{n}}\;</math> quel que soit le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> choisi et <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{F_p = \Vert \vec{F}_p \Vert}\;</math>» si le sens choisi de <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> }}de sens contraire à <math>\;\vec{F}_p\;</math> <math>\big(</math>ce qu'on choisit toujours si le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> ne varie pas<math>\big)</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|On rappelle que <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_p = -F_p\;\vec{n}}\;</math> quel que soit le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> choisi et }}<math>\succ\;</math>«<math>\;F_p = -\Vert \vec{F}_p \Vert\;</math>» si le sens choisi de <math>\;\vec{n}\;</math> s'identifie au sens de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|On rappelle que <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_p = -F_p\;\vec{n}}\;</math> quel que soit le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> choisi et <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{F_p = -\Vert \vec{F}_p \Vert}\;</math>» si le sens choisi de <math>\;\color{transparent}{\vec{n}}\;</math> }}au sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> <math>\big(</math>ceci pouvant se produire par choix arbitraire du sens de <math>\;\vec{n}\;</math> qui est fait quand le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> peut varier, comme dans l'exemple d'une liaison bilatérale<math>\big)</math>.</ref> entraîne une «<math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\vert R_\tau \vert\;</math> à <math>\;R_n\;</math> constant »<ref name="lien de Rn et de sa norme"> On rappelle que <math>\;\vec{R}_n = R_n\;\vec{n}\;</math> quel que soit le sens de <math>\;\vec{n}\;</math> choisi et par suite, de la condition de non pénétration <math>\;R_n = F_p\;</math> on tire * <math>\;R_n = F_p = \Vert \vec{F}_p \Vert = \Vert \vec{R}_n \Vert\;</math> si le sens choisi de <math>\;\vec{n}\;</math> s'identifie au sens contraire de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d. de sens contraire à <math>\;\vec{F}_p\;</math> <math>\big(</math>ce qu'on choisit toujours si le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> ne varie pas<math>\big)\;</math> alors que * <math>\;R_n = F_p = -\Vert \vec{F}_p \Vert = -\Vert \vec{R}_n \Vert\;</math> si le sens choisi de <math>\;\vec{n}\;</math> s'identifie au sens de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d. au sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> <math>\big(</math>ceci pouvant se produire par choix arbitraire du sens de <math>\;\vec{n}\;</math> qui est fait quand le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> peut varier, comme dans l'exemple d'une liaison bilatérale<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Supposant que la «<math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{F_m = \Vert \vec{F}_m \Vert}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{F_p}\;</math> constant » entraîne }}un « <u>démarrage du glissement pour une valeur critique</u><math>\;\vert R_{\tau,\,c} \vert\;</math> de <math>\;\vert R_\tau \vert\;</math> à <math>\;R_n\;</math> constant », <br>{{Al|11}}{{Transparent|Supposant que la «<math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{F_m = \Vert \vec{F}_m \Vert}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{F_p}\;</math> constant » entraîne }}« le rapport de cette valeur critique <math>\;\vert R_{\tau,\,c} \vert\;</math> sur <math>\;\vert R_n \vert\;</math>» définissant le « <u>cœfficient de frottement statique</u> » noté <math>\;\mu_s\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Supposant que la «<math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{F_m = \Vert \vec{F}_m \Vert}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{F_p}\;</math> constant » entraîne }}«<math>\;\mu_s = \dfrac{\vert R_{\tau,\,c} \vert}{\vert R_n \vert}\;</math> sans unité et dépendant de l'adhérence de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math>» encore égal à «<math>\;\mu_s = \dfrac{F_{m,\,c}}{\vert F_p \vert}\;</math>»<ref name="signe de R_tau et de Rn sans glissement"> On rappelle que <math>\;\vec{\tau}\;</math> étant choisi dans le sens de <math>\;\vec{F}_m</math>, <math>\;F_m\;</math> est <math>\;> 0\;</math> alors que <math>\;\vec{R}_\tau = R_\tau\;\vec{\tau}\;</math> avec la condition de non glissement <math>\;R_\tau = -F_m\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_\tau < 0\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|On rappelle que }}si <math>\;\vec{n}\;</math> est choisi dans le sens contraire de <math>\;\vec{F}_p\;</math> <math>\big(</math>quand le sens de cette dernière ne varie pas<math>\big)\;</math> avec <math>\;\vec{F}_p = -F_p\;\vec{n}</math>, <math>\;F_p\;</math> est <math>\;> 0\;</math> alors que <math>\;\vec{R}_n =</math> <math>R_n\;\vec{n}\;</math> avec la condition de non pénétration <math>\;R_n = F_p\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_n > 0\;</math> ou <br>{{Al|16}}{{Transparent|On rappelle que }}si <math>\;\vec{n}\;</math> est choisi de sens arbitraire <math>\;\big(</math>quand le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> peut varier c.-à-d. essentiellement dans le cas d'une liaison bilatérale<math>\big)\;</math> avec <math>\;\vec{F}_p = -F_p\;\vec{n}</math>, <math>\;F_p\;</math> est <math>\;< 0\;</math> quand le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> est dans le sens de <math>\;\vec{n}\;</math> alors que <math>\;\vec{R}_n = R_n\;\vec{n}\;</math> avec la condition de non pénétration <math>\;R_n = F_p\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_n < 0</math>.</ref>. {{théorème | titre= 1^er énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement solide sans glissement| contenu ={{Al|5}}Dans la mesure où <math>\;(\mathcal{S})\;</math> reste en équilibre sur <math>\;(\Sigma)</math>, les composantes tangentielle <math>\;R_\tau\;</math> et normale <math>\;R_n\;</math> de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sont liées par la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> du frottement solide sans glissement <center><math>\;\vert R_\tau \vert < \mu_s\; \vert R_n \vert\;</math><ref name="signe de R_tau et de Rn sans glissement" /> où <br><math>\;\mu_s > 0\;</math> est le <u>cœfficient de frottement statique</u> caractérisant l'adhérence de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)</math>,</center> {{Al|5}}la composante tangentielle <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> étant toujours de direction et de sens contraire au mouvement de glissement susceptible de se produire.}} === Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement === <center> Voir aussi « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]]<ref name="Coulomb" /> » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}Le solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> a donc été « mis en mouvement sur le support solide <math>\;(\Sigma)\;</math> par l'action d'une force tangentielle <math>\;\vec{F}_m\;</math> suffisante pour faire glisser <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math> suivant <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}\;</math>»<ref> Il faut, pour qu'il y ait glissement, que <math>\;F_m = \vec{F}_m \cdot \vec{\tau} = \Vert \vec{F}_m \Vert\;</math> soit <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;\vert R_{\tau,\,c} \vert</math>, valeur critique à partir de laquelle l'équilibre n'est plus possible et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Il faut, pour qu'il y ait glissement, que <math>\;\color{transparent}{F_m = \vec{F}_m \cdot \vec{\tau} = \Vert \vec{F}_m \Vert}\;</math> soit <math>\;\color{transparent}{\geqslant}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\vert R_{\tau,\,c} \vert}</math>, valeur critique }}égale au « seuil d'adhérence de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math>» c.-à-d. <math>\;\vert R_{\tau,\,c} \vert = \mu_s\; \vert R_n \vert\;</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|Il faut, pour qu'il y ait glissement, que <math>\;\color{transparent}{F_m = \vec{F}_m \cdot \vec{\tau} = \Vert \vec{F}_m \Vert}\;</math> soit <math>\;\color{transparent}{\geqslant}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\vert R_{\tau,\,c} \vert}</math>, valeur critique égale au « seuil d'adhérence de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math>» c.-à-d. }}<math>\;\mu_s\;</math> cœfficient de frottement statique et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Il faut, pour qu'il y ait glissement, que <math>\;\color{transparent}{F_m = \vec{F}_m \cdot \vec{\tau} = \Vert \vec{F}_m \Vert}\;</math> soit <math>\;\color{transparent}{\geqslant}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\vert R_{\tau,\,c} \vert}</math>, valeur critique égale au « seuil d'adhérence de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math>» c.-à-d. }}<math>\;R_n\;</math> composante normale de la réaction <br>{{Al|3}}{{Transparent|Il faut, pour qu'il y ait glissement, que <math>\;\color{transparent}{F_m = \vec{F}_m \cdot \vec{\tau} = \Vert \vec{F}_m \Vert}\;</math> soit <math>\;\color{transparent}{\geqslant}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\vert R_{\tau,\,c} \vert}</math>, valeur critique égale au « seuil d'adhérence de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math>» c.-à-d. <math>\;\color{transparent}{R_n}\;</math> }}<math>\big(</math>laquelle est <math>\;> 0\;</math> si le sens de la force pressante <math>\;\vec{F}_p\;</math> ne variant pas, celui du vecteur unitaire normal <math>\;\vec{n}\;</math> est choisi contraire au sens de la force pressante <math>\;\vec{F}_p\;</math> et peut être <math>\;< 0\;</math> dans le cas où le sens de la force pressante <math>\;\vec{F}_p\;</math> variant, celui du vecteur unitaire normal <math>\;\vec{n}\;</math> est choisi de façon arbitraire, <math>\;R_n\;</math> étant alors <math>\;< 0\;</math> si le choix arbitraire coïncide avec le sens de <math>\;\vec{F}_p\big)</math> ; <br>{{Al|3}}il faut donc, pour qu'il y ait glissement, «<math>\;F_m \geqslant \mu_s\; \vert R_n \vert\;</math>» ou «<math>\;F_m \geqslant \mu_s\; \vert F_p \vert\;</math>» car <math>\;\vec{F}_p\;</math> est opposée à <math>\;\vec{R}_n\;</math> en cas de non glissement, avec <math>\;F_p = -\vec{F}_p \cdot \vec{n}\;</math> soit plus précisément <br>{{Al|9}}{{Transparent|il faut donc, pour qu'il y ait glissement, «<math>\;\color{transparent}{F_m \geqslant \mu_s\; \vert R_n \vert}\;</math>» ou «<math>\;\color{transparent}{F_m \geqslant}</math> }}<math>\;F_p = \left\lbrace \begin{array}{l l l l} \Vert \vec{F}_p \Vert \!\!&\text{si sens de}\;\vec{n} \!\!&\text{contraire au sens de}\;\vec{F}_p \!\!&\text{(cas usuel d'une liaison unilatérale)} \\ \Vert \vec{F}_p \Vert \!\!&\text{si sens (arbitraire) de}\;\vec{n} \!\!&\text{contraire au sens de}\;\vec{F}_p \!\!&\text{(cas possible d'une liaison bilatérale)} \\ -\Vert \vec{F}_p \Vert \!\!&\text{si sens (arbitraire) de}\;\vec{n} \!\!&\text{identique au sens de}\;\vec{F}_p \!\!&\text{(cas possible d'une liaison bilatérale)}\end{array}\right\rbrace</math>.</ref>, il s'en suit que {{Al|5}}{{Transparent|Le solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> a donc été « mis en mouvement sur le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> }}le support solide <math>\;(\Sigma)\;</math> réagit en exerçant sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <math>\big[</math>en plus de la composante normale de la réaction <math>\;\vec{R}_n\;</math><ref> Celle-ci n’est opposée à la force pressante <math>\;\vec{F}_p\;</math> <math>\big[</math>usuellement la composante normale du poids de <math>\;(\mathcal{S})\big]\;</math> que si la surface de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur laquelle glisse <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est plane, sinon la somme <math>\;\vec{R}_n + \vec{F}_p\;</math> est a priori non nulle mais égale à <math>\;m_{(\mathcal{S})}\;\vec{a}_{n,\, (\mathcal{S})} = m_{(\mathcal{S})}\;\vec{a}_{(\mathcal{S})} \cdot \vec{n}\;</math> <math>\big[</math>attention, l'oubli de l'accélération normale est fréquente, on ne peut écrire <math>\;\vec{R}_n + \vec{F}_p = \vec{0}\;</math> que dans une translation rectiligne de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)</math>, ce dernier étant alors nécessairement plan avec <math>\;\vec{n}\;\perp\;</math> à ce plan<math>\big]</math>.</ref><math>\big]\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> a donc été « mis en mouvement sur le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> réagit en exerçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}une « <u>force de frottement solide</u><math>\;\vec{R}_\tau\;</math><u>s'opposant au mouvement</u> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> a donc été « mis en mouvement sur le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> le support solide <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> réagit en exerçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> une « }}<math>\big[</math>c'est-à-dire <u>de même direction et de sens contraire à</u><math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Le solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> a donc été « mis en mouvement }}lors du glissement « le rapport <math>\;\dfrac{\vert R_\tau \vert}{\vert R_n \vert}\;</math> reste constant »<ref name="signe de R_tau et de Rn avec glissement"> On rappelle que <math>\;R_\tau\;</math> est <math>\;< 0\;</math> compte-tenu de <math>\;\vec{R}_\tau = R_\tau\;\vec{\tau}\;</math> toujours de sens contraire à <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}\;</math> avec <math>\;\vec{\tau}\;</math> choisi dans le sens de <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}</math> ; <br>{{Al|20}}{{Transparent|On rappelle que }}<math>\;R_n = \vec{R}_n \cdot \vec{n}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> si, le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> ne variant pas, celui de <math>\;\vec{n}\;</math> est choisi de sens contraire à <math>\;\vec{F}_p\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{F}_p = -F_p\;\vec{n}\;</math> avec <math>\;F_p > 0</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|On rappelle que }}<math>\;R_n = \vec{R}_n \cdot \vec{n}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> si, le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> variant, celui de <math>\;\vec{n}\;</math> <math>\big(</math>arbitraire<math>\big)\;</math> est de sens contraire à <math>\;\vec{F}_p\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{F}_p = -F_p\;\vec{n}\;</math> avec <math>\;F_p > 0\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|On rappelle que }}<math>\;R_n = \vec{R}_n \cdot \vec{n}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> si, le sens de <math>\;\vec{F}_p\;</math> variant, celui de <math>\;\vec{n}\;</math> <math>\big(</math>arbitraire<math>\big)\;</math> est de même sens que <math>\;\vec{F}_p\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{F}_p = -F_p\;\vec{n}\;</math> avec <math>\;F_p < 0</math>.</ref>, constante positive définissant le « <u>cœfficient de frottement dynamique</u> » noté <math>\;\mu_d\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Le solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> a donc été « mis en mouvement lors du glissement « le rapport <math>\;\color{transparent}{\vert R_\tau \vert}\;</math> reste constant », constante positive }}toujours <math>\;\lesssim\;</math> au cœfficient de frottement statique <math>\;\mu_s\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\mu_d \lesssim \mu_s\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> a donc été « mis en mouvement }}ainsi, quand il y a glissement «<math>\;\dfrac{\vert R_\tau \vert}{\vert R_n \vert} = \mu_d\;</math>» sans unité et dépendant de la nature des deux solides en présence <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> a donc été « mis en mouvement ainsi, quand il y a glissement }}avec «<math>\;\mu_d \lesssim \mu_s = \dfrac{\vert R_{\tau,\,c} \vert}{\vert R_n \vert}\;</math>» <math>\big[</math>sans unité et dépendant de l'adhérence de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\big]\;</math> «<math>\;\mu_s\;</math> encore égal à <math>\;\dfrac{F_{m,\,c}}{\vert F_p \vert}\;</math>»<ref> Ou «<math>\;\mu_s\;</math> encore égal à <math>\;\dfrac{F_{m,\,c}}{\vert R_n \vert}\;</math>» car, dans ce cas critique, nous sommes en statique et par suite <math>\;\vert F_p \vert = \vert R_n \vert</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : pour que le glissement démarre il est nécessaire de <math>\;F_m\;</math> soit <math>\;>\;</math> à <math>\;F_{m,\,c}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}mais une fois le glissement amorcé <math>\;F_m\;</math> peut devenir <math>\;<\;</math> à <math>\;F_{m,\,c}</math> sans que le glissement cesse ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par contre si ce dernier s'arrête, il faudra de nouveau que <math>\;F_m\;</math> soit <math>\;>\;</math> à <math>\;F_{m,\,c}\;</math> pour qu'il redémarre. {{théorème | titre= 1^er énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement solide avec glissement| contenu ={{Al|5}}Dans la mesure où <math>\;(\mathcal{S})\;</math> glisse sur <math>\;(\Sigma)</math>, les composantes tangentielle <math>\;R_\tau\;</math> et normale <math>\;R_n\;</math> de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sont liées par la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> du frottement solide avec glissement <center><math>\;\vert R_\tau \vert = \mu_d\; \vert R_n \vert\;</math><ref name="signe de R_tau et de Rn avec glissement" /> où <br><math>\;\mu_d > 0\;</math> est le <u>cœfficient de frottement dynamique</u> caractérisant le collé relativement au glissé de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)</math>,</center> {{Al|5}}la composante tangentielle <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> étant toujours de direction et de sens contraire au mouvement de glissement effectif.}} === Approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique === {{Al|5}}Comme on l'a affirmé précédemment le cœfficient de frottement dynamique <math>\;\mu_d\;</math> est toujours inférieur au cœfficient de frottement statique <math>\;\mu_s\;</math> soit <center><math>\;\mu_d < \mu_s\;</math> mais,</center> {{Al|5}}dans les cas les plus fréquents, ces cœfficients restant proches, on peut alors « les confondre »<ref> C’est d'ailleurs ce qu'on a exposé au chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et c’est ce qu'on continuera à utiliser en dehors de ce chapitre <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> On avait précédemment écrit <math>\;\mu_d \lesssim \mu_s\;</math> pour englober l'approximation explicitée ici mais, avec suffisamment de précision, l'inégalité est stricte <math>\;\ldots</math></ref> et, dans ce cas, usuellement on pose <center><math>\;f = \mu_d \simeq \mu_s</math>.</center> === Étude du démarrage du glissement d'un système indéformable sur un support solide dans le cas où les cœfficients de frottement statique et dynamique sont suffisamment distincts === {{Al|5}}Supposons le solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> reposant initialement sur le plan support horizontal <math>\;(\Sigma)\;</math> et <br>{{Al|5}}supposons qu'on cherche à faire glisser <math>\;(\mathcal{S})\;</math> le long d'un axe horizontal <math>\;x'x\;</math> du plan support <math>\;(\Sigma)\;</math> dans le sens <math>\;+\;</math> de cet axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|supposons qu'on cherche à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}en exerçant sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> une force <math>\;\vec{F}_m\;</math> horizontale dirigée dans le sens <math>\;+\;</math> de l'axe <math>\;x'x</math> ; {{Al|5}}sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> s'exercent trois forces<ref> Il convient bien sûr d'ajouter un schéma de situation en représentant les forces appliquées <math>\;\ldots</math></ref> : <math>\succ\;</math>le poids de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <math>\big[</math>comme cette force est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;(\Sigma)\;</math> elle s'identifie à la force pressante <math>\;\vec{F}_p\;</math> tendant à la pénétration de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans <math>\;(\Sigma)\big]\;</math> soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> s'exercent trois forces : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le poids de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\;m_{(\mathcal{S})}\; \vec{g}\;</math> vertical descendant <math>\;\big[</math>on choisit alors <math>\;\vec{n}</math>, le vecteur unitaire normal à <math>\;(\Sigma)</math>, dans le sens vertical ascendant <br>{{Al|14}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> s'exercent trois forces : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le poids de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> <math>\;\color{transparent}{m_{(\mathcal{S})}\; \vec{g}}\;</math> vertical descendant }}<math>\;\big(</math>pour que le sens de <math>\;\vec{n}\;</math> soit dans le sens contraire de la force pressante<math>\big)\;</math> et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> s'exercent trois forces : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le poids de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> <math>\;\color{transparent}{m_{(\mathcal{S})}\; \vec{g}}\;</math> vertical descendant }}«<math>\;\vec{F}_p = -F_p\;\vec{n}\;</math>» se réécrit «<math>\;m_{(\mathcal{S})}\; \vec{g} = -m_{(\mathcal{S})}\; g\;\;\vec{n}\;</math>» avec «<math>\;F_p = m_{(\mathcal{S})}\; g > 0\;</math>»<math>\big]</math>, {{Al|12}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> s'exercent trois forces : }}<math>\succ\;</math>la force <math>\;\vec{F}_m\;</math> s'exerçant tangentiellement à <math>\;(\Sigma)</math>, plus exactement le long de l'axe horizontal <math>\;x'x\;</math> dans le sens <math>\;+\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> s'exercent trois forces : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> s'exerçant tangentiellement à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}</math>, }}<math>\big[</math>on choisit alors <math>\;\vec{\tau}</math>, le vecteur unitaire tangentiel à <math>\;(\Sigma)</math>, dans le sens <math>\;+\;</math> de <math>\;x'x\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> s'exercent trois forces : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> s'exerçant tangentiellement à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}</math>, }}<math>\;\big(</math>pour que le sens de <math>\;\vec{\tau}\;</math> soit dans le sens de l'éventuel glissement<math>\big)\;</math> et par suite <br>{{Al|14}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> s'exercent trois forces : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> s'exerçant tangentiellement à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}</math>, }}«<math>\;\vec{F}_m = F_m\;\vec{\tau}\;</math>» avec «<math>\;F_m > 0\;</math>»<math>\big]\;</math> et {{Al|12}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> s'exercent trois forces : }}<math>\succ\;</math>la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> de composantes normale «<math>\;\vec{R}_n = R_n\;\vec{n}\;</math>» et tangentielle «<math>\;\vec{R}_\tau = R_\tau\;\vec{\tau}\;</math>» <math>\big(</math>encore appelée force de frottement solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}la composante normale de la réaction <math>\;\vec{R}_n\;</math> compensant le poids nous en déduisons «<math>\;R_n = m_{(\mathcal{S})}\; g > 0\;</math>» et, {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>tant que la force <math>\;\vec{F}_m\;</math> n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, la composante tangentielle de la réaction <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> compense alors <math>\;\vec{F}_m\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>tant que la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, }}«<math>\;R_\tau = -F_m < 0\;</math>» <math>\big(</math>la force de frottement solide dans le sens contraire <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>tant que la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, «<math>\;\color{transparent}{R_\tau = -F_m < 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\big(}</math>la force de frottement solide }}du glissement possible<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>tant que la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, }}l'absence de glissement <math>\Rightarrow</math> selon la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> de frottement solide sans glissement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>tant que la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, l'absence de glissement <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vert R_\tau \vert < \mu_s\; R_n\;</math>»<ref name="loi de Coulomb de frottement solide sans glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_d’équilibre|rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}}<ref name="Rn positive"> <math>\;R_n\;</math> étant ici <math>\;> 0</math>, <math>\;\vert R_n \vert = R_n</math>.</ref> soit encore «<math>\;F_m < \mu_s\; m_{(\mathcal{S})}\; g\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>tant que la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_m}\;</math> n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, }}la force motrice critique permettant la mise en mouvement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est de norme «<math>\;F_{m,\,c} = \mu_s\; m_{(\mathcal{S})}\; g\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>notant <math>\;t = 0\;</math> l'instant où <math>\;F_m\;</math> atteint sa valeur critique <math>\;F_{m,\,c}</math>, le glissement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur le plan support horizontal <math>\;(\Sigma)\;</math> commence alors à <math>\;t = 0^{+}\;</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>notant <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math> l'instant où <math>\;\color{transparent}{F_m}\;</math> atteint sa valeur critique <math>\;\color{transparent}{F_{m,\,c}}</math>, }}avec la composante normale de la réaction compensant toujours le poids de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> soit «<math>\;R_n = m_{(\mathcal{S})}\; g > 0\;</math>»<ref> Le mouvement étant rectiligne il n'y a aucune accélération normale <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>notant <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math> l'instant où <math>\;\color{transparent}{F_m}\;</math> atteint sa valeur critique <math>\;\color{transparent}{F_{m,\,c}}</math>, avec }}la composante tangentielle de la réaction déterminée par la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> de frottement solide avec glissement <br>{{Al|6}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>notant <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math> l'instant où <math>\;\color{transparent}{F_m}\;</math> atteint sa valeur critique <math>\;\color{transparent}{F_{m,\,c}}</math>, avec }}«<math>\;\vert R_\tau \vert = \mu_d\;R_n\;</math>»<ref name="loi de Coulomb de frottement solide avec glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_effectif_de_glissement|rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}}<ref name="Rn positive" /> ou encore «<math>\;\vert R_\tau \vert = \mu_d\;m_{(\mathcal{S})}\; g\;</math>» avec «<math>\;R_\tau < 0\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>notant <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math> l'instant où <math>\;\color{transparent}{F_m}\;</math> atteint sa valeur critique <math>\;\color{transparent}{F_{m,\,c}}</math>, avec «<math>\;\color{transparent}{\vert R_\tau \vert = \mu_d\;R_n}\;</math>» }}<math>\big(</math>la force de frottement solide étant toujours dans le sens contraire du glissement effectif<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la projection sur <math>\;\vec{u}_x = \vec{\tau}\;</math> du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. appliquée à <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;F_m + R_\tau = m_{(\mathcal{S})}\; a_{(\mathcal{S}),\,x}\;</math>»<ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l c l} F_m \!\!&=&\!\! F_{m,\,c} \!\!&=&\!\! \mu_s\; m_{(\mathcal{S})}\; g \!\!&>&\!\! 0 \\ R_\tau !\!&=&\!\! -\mu_d\;R_n \!\!&=&\!\! -\mu_d\;m_{(\mathcal{S})}\; g \!\!&<&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>on obtient l'équation différentielle du mouvement de glissement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> selon «<math>\;\mu_s\; m_{(\mathcal{S})}\; g - \mu_d\;m_{(\mathcal{S})}\; g = m_{(\mathcal{S})}\; a_{(\mathcal{S}),\,x}\;</math>» soit finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>on obtient }}une accélération horizontale constante pour <math>\;(\mathcal{S})\;</math> égale à «<math>\;a_{(\mathcal{S}),\,x} = \left( \mu_s - \mu_d \right)\, g > 0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>ainsi, bien que l'on ait imposé la force minimale pour la mise en mouvement, le solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> a acquis une accélération non nulle dès <math>\;t = 0^{+}</math>, d'autant plus grande que <math>\;\mu_s - \mu_d\;</math> l'est<ref> Dans l'approximation où on confond les deux cœfficients de frottement statique et dynamique, l'accélération acquise par le solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est nulle, le glissement correspond donc à un mouvement rectiligne uniforme.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>ainsi, bien que l'on ait imposé la force minimale pour la mise en mouvement, }}<math>\big[</math>le solide subit donc une accélération possédant une discontinuité de 1^ère espèce<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à l'instant du démarrage<math>\big]</math>. == Angles limites de frottement statique et dynamique, autres énoncés des lois empiriques de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement == <center>Voir aussi « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Expressions_empiriques_des_lois_de_frottement_«_solide_»_de_Coulomb|expressions empiriques des lois de frottement solide de Coulomb]]<ref name="Coulomb" /> » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> === Inclinaison de la réaction que le support solide exerce sur le système indéformable étudié relativement à la normale au support solide au point d’application de la réaction === <center>Voir aussi « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_sans_glissement_de_Coulomb|loi de frottement solide sans glissement de Coulomb]]<ref name="Coulomb" /> » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}Notant <math>\;\alpha\;</math><ref> Angle non orienté.</ref> l'inclinaison de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> relativement au vecteur unitaire <math>\;\vec{n}\;</math> normal à <math>\;(\Sigma)\;</math> au point de contact de ce dernier avec <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="choix du vecteur unitaire normal" />, on en déduit «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{\vert R_\tau \vert}{\vert R_n \vert}\;</math>» ; {{Al|5}}si on cherche à faire glisser <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'aide d’une force tangentielle <math>\;\vec{F}_m\;</math> dont on fait <math>\;\nearrow\;</math> la norme à partir de la valeur nulle et <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on cherche à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> }}tant que <math>\;(\mathcal{S})\;</math> reste en équilibre, il y a compensation entre <math>\;\blacktriangleright\;</math>la composante tangentielle <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> de la réaction avec <math>\;\vec{F}_m\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on cherche à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> tant que <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> reste en équilibre, il y a compensation entre }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>la composante normale <math>\;\vec{R}_n\;</math> de la réaction avec la force pressante <math>\;\vec{F}_p\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on cherche à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> tant que <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> reste en équilibre, il y a compensation entre <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la composante normale <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_n}\;</math> de la réaction avec }}<math>\big[\vec{F}_p\;</math> étant très souvent due au poids de <math>\;(\mathcal{S})\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|si on cherche à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> tant que <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> reste en équilibre, }}si <math>\;R_n\;</math> reste constante <math>\;\big(</math>réalisé si <math>\;F_p\;</math> ne varie pas<math>\big)</math>, l'angle <math>\;\alpha \nearrow\;</math> simultanément avec la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;F_m</math>, c'est-à-dire que <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on cherche à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> tant que <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> reste en équilibre, si <math>\;\color{transparent}{R_n}\;</math> reste constante <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>réalisé si <math>\;\color{transparent}{F_p}\;</math> ne varie pas<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}l'inclinaison de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on cherche à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> tant que <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> reste en équilibre, si <math>\;\color{transparent}{R_n}\;</math> reste constante <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>réalisé si <math>\;\color{transparent}{F_p}\;</math> ne varie pas<math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'inclinaison }}par rapport à la normale à <math>\;(\Sigma)\;</math> au point de contact <math>\;\nearrow\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on cherche à faire glisser <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> tant que <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> reste en équilibre, si <math>\;\color{transparent}{R_n}\;</math> reste constante <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>réalisé si <math>\;\color{transparent}{F_p}\;</math> ne varie pas<math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'angle <math>\;\color{transparent}{\alpha \nearrow}\;</math> }}simultanément à la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;F_m\;</math><ref> Cette <math>\;\nearrow\;</math> de l'inclinaison de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> par rapport à la normale à <math>\;(\Sigma)\;</math> au point de contact simultanément à la <math>\;\nearrow\;</math> de la norme de la force horizontale <math>\;\vec{F}_m\;</math> imposée dans le but de créer un glissement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)</math> n'est valable que s'il n'y a pas glissement <math>\;\ldots</math></ref>. === Angle limite de frottement statique et angle limite de frottement dynamique === <center>Voir aussi « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_sans_glissement_de_Coulomb|loi de frottement solide sans glissement de Coulomb]]<ref name="Coulomb" /> » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]]<ref name="Coulomb" /> » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}Tant que <math>\;F_m = \Vert \vec{F}_m \Vert\;</math> tentant de créer un glissement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math> n'a pas atteint sa valeur critique <math>\;F_{m,\,c}\;</math> correspondant au seuil d’adhérence, l'<u>équilibre de</u><math>\;(\mathcal{S})\;</math><u>sur</u><math>\;(\Sigma)\;</math><u>perdure</u> ; dans ce cas {{Al|5}}<u>l’inclinaison</u><math>\;\alpha\;</math><u>de la réaction</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>par rapport à la normale à</u><math>\;(\Sigma)\;</math><u>au point de contact est</u><math>\;<\;</math><u>à une inclinaison limite</u> définissant l'« <u>angle limite de frottement statique</u> » noté <math>\;\varphi_s</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|l’inclinaison<math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math>de la réaction<math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math>par rapport à la normale à<math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math>au point de contact est<math>\;\color{transparent}{<}\;</math>à une inclinaison limite }}la condition de non glissement «<math>\;\alpha < \varphi_s\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|l’inclinaison<math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math>de la réaction<math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math>par rapport à la normale à<math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math>au point de contact est<math>\;\color{transparent}{<}\;</math>à une inclinaison limite }}l'angle limite de frottement statique <math>\;\varphi_s\;</math> étant lié au cœfficient de frottement statique <math>\;\mu_s\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|l’inclinaison<math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math>de la réaction<math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math>par rapport à la normale à<math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math>au point de contact est<math>\;\color{transparent}{<}\;</math>à une inclinaison limite l'angle limite de frottement stat }}par «<math>\;\varphi_s = \arctan(\mu_s)\;</math>»<ref name="arctangente"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\mu_s = \tan(\varphi_s)\;</math>»<ref name="en inversant"> Obtenu en inversant.</ref>. {{Al|5}}Pour que la mise en mouvement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> se produise, il faut que l'inclinaison <math>\;\alpha\;</math> de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> relativement à la normale à <math>\;(\Sigma)\;</math> au point de contact atteigne la valeur limite <math>\;\varphi_s\;</math> et, {{Al|5}}{{Transparent|Pour que la mise en mouvement de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> se produise, }}dès que le glissement commence, <u>l'inclinaison</u><math>\;\alpha\;</math><u>de la réaction</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>relativement à la normale à</u><math>\;(\Sigma)\;</math><u>au point de contact</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que la mise en mouvement de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison<math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math>}}<u>chute à une nouvelle inclinaison limite</u> définissant l'« <u>angle limite de frottement dynamique</u><math>\;\varphi_d\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que la mise en mouvement de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison<math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math>chute à une nouvelle inclinaison limite }}d'où la condition de glissement «<math>\;\alpha = \varphi_d < \varphi_s\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour que la mise en mouvement de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison<math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math>chute à une nouvelle inclinaison limite d'où }}l'angle limite de frottement dynamique <math>\;\varphi_d\;</math> étant lié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que la mise en mouvement de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison<math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math>chute à une nouvelle inclinaison limite d'où }}au cœfficient de frottement dynamique <math>\;\mu_d\;</math> par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que la mise en mouvement de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison<math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math>chute à une nouvelle inclinaison limite l'angle limite de frottement }}«<math>\;\varphi_d = \arctan(\mu_d)\;</math>»<ref name="arctangente" />{{,}}<ref> Comme <math>\;\mu_d < \mu_s\;</math> et que la fonction <math>\;\arctan()\;</math> est <math>\;\nearrow\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, on vérifie bien que <math>\;\varphi_d < \varphi_s</math>.</ref> <br>{{Transparent|Pour que la mise en mouvement de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison<math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math>chute à une nouvelle inclinaison limite l'angle limite de frottement }}ou «<math>\;\mu_d = \tan(\varphi_d)\;</math>»<ref name="en inversant" />. === Autre énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre === {{théorème | titre= 2^ème énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement solide sans glissement| contenu ={{Al|5}}Dans la mesure où <math>\;(\mathcal{S})\;</math> reste en équilibre sur <math>\;(\Sigma)</math>, la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est inclinée, relativement à la normale à <math>\;(\Sigma)\;</math> en son point d'application, d'un angle non orienté <math>\;\alpha\;</math> selon la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> du frottement solide sans glissement <center>«<math>\;\alpha < \varphi_s\;</math>» où <br><math>\;\varphi_s > 0\;</math> est l'<u>angle limite de frottement statique</u> caractérisant l'adhérence de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)</math>,</center> {{Al|5}}la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> étant toujours dans « le plan contenant la normale et la direction du glissement susceptible de se produire, inclinée de sens contraire à ce dernier »<ref> C.-à-d. de même direction et de sens contraire à la force <math>\;\vec{F}_m\;</math> tentant de le créer.</ref>.}} === Autre énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement === {{théorème | titre= 2^ème énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement solide avec glissement| contenu ={{Al|5}}Dans la mesure où <math>\;(\mathcal{S})\;</math> glisse sur <math>\;(\Sigma)</math>, la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est inclinée, relativement à la normale à <math>\;(\Sigma)\;</math> en son point d'application, d'un angle non orienté <math>\;\alpha\;</math> selon la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> du frottement solide avec glissement <center>«<math>\;\alpha = \varphi_d\;</math>» où <br><math>\;\varphi_d > 0\;</math> est l'<u>angle limite de frottement dynamique</u> caractérisant le collé relativement au glissé de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)</math>,</center> {{Al|5}}la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> étant toujours dans « le plan contenant la normale et la direction du glissement effectif, inclinée de sens contraire à ce dernier »<ref> C.-à-d. de même direction et de sens contraire à <math>\;\vec{V}_{(\mathcal{S})}\;</math> <math>\big[</math>ou de même direction et de sens contraire à la force <math>\;\vec{F}_m\;</math> ayant créé le glissement au démarrage <math>\;\big(</math>mais non nécessairement de sens contraire à la force <math>\;\vec{F}_m\;</math> à un autre instant car il se pourrait que celle-ci change de sens et devienne résistive, alors la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> restant inclinée de sens contraire au mouvement de glissement deviendrait inclinée dans le sens de <math>\;\vec{F}_m\;</math> aux instants où cette dernière serait devenue résistive<math>\big)\big]</math>.</ref>.}} === Notion de cône limite de frottement statique et de cône limite de frottement dynamique === <center>Voir aussi « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_sans_glissement_de_Coulomb|loi de frottement solide sans glissement de Coulomb]]<ref name="Coulomb" /> » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]]<ref name="Coulomb" /> » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}Dans la mesure où <math>\;(\mathcal{S})\;</math> reste en équilibre sur <math>\;(\Sigma)</math>, <u>la réaction</u><math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant inclinée relativement à la normale à <math>\;(\Sigma)\;</math> en son point d’application <math>\;I\;</math> d'un angle non orienté <math>\;\alpha < \varphi_s\;</math> avec <math>\;\varphi_s\;</math> angle limite de frottement statique, « <u>reste strictement à l'intérieur d'un cône de révolution</u> de sommet <math>\;I</math>, d’axe “la normale à <math>\;(\Sigma)\;</math> en <math>\;I</math>” et de demi-angle au sommet <math>\;\varphi_s\;</math>», cône appelé « <u>cône limite de frottement statique</u> » et caractérisant l’adhérence de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math> en <math>\;I</math>. {{Al|5}}Dans la mesure où <math>\;(\mathcal{S})\;</math> glisse sur <math>\;(\Sigma)</math>, <u>la réaction</u> <math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant inclinée relativement à la normale à <math>\;(\Sigma)\;</math> en son point d’application <math>\;I\;</math> d'un angle non orienté <math>\;\alpha = \varphi_d\;</math> avec <math>\;\varphi_d\;</math> angle limite de frottement dynamique, « <u>reste sur un cône de révolution</u> de sommet <math>\;I</math>, d’axe “la normale à <math>\;(\Sigma)\;</math> en <math>\;I</math>” et de demi-angle au sommet <math>\;\varphi_d\;</math>», cône appelé « <u>cône limite de frottement dynamique</u> » et caractérisant le collé relativement au glissé de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math> en <math>\;I</math>. {{Al|5}}De <math>\;\varphi_d < \varphi_s\;</math> on déduit que <u>le cône limite de frottement dynamique est inclus dans celui de frottement statique</u>, la mise en mouvement se traduisant par le passage instantané de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;(\Sigma)\;</math> sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> de la surface du cône limite de frottement statique<ref> La réaction <math>\;\vec{R}\;</math> s'étant effectivement inclinée jusqu'à la surface latérale du cône limite de frottement statique lors du démarrage du glissement.</ref> à celle du cône limite de frottement dynamique en restant dans un même demi-plan méridien ; {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\varphi_d < \varphi_s}\;</math> on déduit que }}<u>lors d'un démarrage il y a donc un léger redressement instantané de</u><math>\;\vec{R}</math>, l'inclinaison de cette dernière restant constante par la suite. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans les cas les plus fréquents où on peut confondre <math>\;\varphi_d\;</math> et <math>\;\varphi_s</math>, de valeur commune notée <math>\;\varphi\;</math> et simplement appelée « <u>angle limite de frottement</u> », cet angle limite étant lié au cœfficient de frottement solide <math>\;f = \mu_d \simeq \mu_s\;</math> par <math>\;\varphi = \arctan(f)\;</math><ref name="arctangente" /> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\tan(\varphi) = f</math>, les deux cônes limites de frottement statique et dynamique se confondent également et le cône commun est simplement appelé « <u>cône limite de frottement</u> ». == Méthode de traitement d’une liaison « unilatérale (ou bilatérale) » avec frottement == {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{1}</math>. Faire l'hypothèse d'équilibre de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)</math>, {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{2}</math>. utiliser la C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. d’équilibre pour évaluer les composantes normale et tangentielle de la réaction<ref name="Maintien du contact"> Dans le cas d'une liaison unilatérale il faut vérifier que le contact entre <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;(\Sigma)\;</math> n'est pas rompu c.-à-d. vérifier que le sens de la composante normale de la réaction va de <math>\;(\Sigma)\;</math> vers <math>\;(\mathcal{S})\;</math> ou que <math>\;R_n = \vec{R}_n \cdot \vec{n}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\vec{n}\;</math> vecteur unitaire normal de sens choisi contraire au sens de la force pressante ; <br>{{Al|3}}si de plus il y a glissement de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)</math>, <math>\;R_n\;</math> peut dépendre de la vitesse de glissement et la validation du maintien du contact <math>\;\big(R_n > 0\big)\;</math> peut nécessiter une discussion suivant la valeur de la vitesse de glissement <math>\;\ldots</math></ref> puis {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{3}</math>. valider <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> l’hypothèse d'équilibre par vérification <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> de la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> du frottement sans glissement d’un solide sur un autre<ref name="loi de Coulomb de frottement solide sans glissement" /> ; {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{4}</math>. dans le cas où l’hypothèse d’équilibre ne serait pas vérifiée, le solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est alors en translation sur l'autre <math>\;(\Sigma)</math>, faire l'hypothèse de glissement dans un sens, {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{5}</math>. utiliser la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> du frottement avec glissement d’un solide sur un autre<ref name="loi de Coulomb de frottement solide avec glissement" /> pour exprimer la norme de la composante tangentielle de la réaction en fonction de celle de la composante normale puis {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{6}</math>. {{Transparent|utiliser }}le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> pour en déduire, en tenant compte des C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. la vitesse de glissement du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math> <math>\big[</math>dans les cas usuels où <math>\;(\Sigma)\;</math> est plan, la norme de la composante normale de la réaction<ref name="Maintien du contact" /> ne dépend pas de la vitesse de glissement, ce qui simplifie fortement la détermination de cette dernière mais, dans les cas où <math>\;(\Sigma)\;</math> n'est pas plan, la norme de la composante normale de la réaction<ref name="Maintien du contact" /> dépendant de la vitesse de glissement, la détermination de cette dernière se complique et peut même nécessiter une résolution numérique par calculateur<math>\;\ldots\big]\;</math> et enfin {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{7}</math>. valider <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> le sens du glissement <math>\;\big[</math>on rappelle que la vitesse doit être de sens contraire à la composante tangentielle de la réaction<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{8}</math>. dans le cas où le sens de glissement ne serait pas le bon, refaire le traitement en inversant le sens du glissement <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force|Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force]] }} gmf7um7w7vwsjki0k6cl65vi1ccgs54 0 70286 982891 978852 2026-05-17T14:43:27Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982891 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement/]] | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force/]] | niveau = 14 }} == Glissement sur un plan incliné en présence de frottement solide == {{Al|5}}Un objet de masse <math>\;m\;</math> est lancé, dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme, avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> incliné vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d'un plan incliné faisant un angle non orienté <math>\;\alpha\;</math> avec l'horizontale ; {{Al|5}}le contact de l'objet avec le plan incliné est supposé avec frottement solide de coefficients statique et dynamique confondus, de valeur commune notée <math>\;f</math>. === Durée écoulée avant l'arrêt et distance parcourue correspondante === {{Al|5}}À cause des frottements solides et de l'absence de force de propulsion, l'objet va s'arrêter au bout d'une certaine durée ; {{Al|5}}déterminer cette durée ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la distance parcourue pendant cette dernière. {{Solution | contenu = [[File:Solide lancé sur plan incliné avec frottement solide.png|thumb|Schéma d'un solide en liaison unilatérale avec un plan incliné sur lequel le contact est avec frottement solide et représentation des forces appliquées au solide quand ce dernier glisse vers le haut]] {{Al|5}}L'objet étant en translation est assimilé à son C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. noté <math>\;M</math>, son mouvement le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné est repéré par son équation horaire scalaire <math>\;x(t)\;</math> où <math>\;x\;</math> est l'abscisse de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> dont la direction est la ligne de plus grande pente et dont le sens est ascendant, l'origine <math>\;O\;</math> de l'axe étant la position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. à l'instant de lancement de l'objet avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math>, l'instant de lancement étant choisi comme origine des temps. {{Al|5}}Les forces extérieures s'exerçant sur l'objet de C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;M\;</math> étant * son poids <math>\;m\; \vec{g}\;</math> vertical descendant selon «<math>\;m\; \vec{g} = -m\;g\;\sin(\alpha)\;\vec{u}_x - m\;g\;\cos(\alpha)\;\vec{u}_y\;</math>» où <math>\;\vec{u}_x\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> et <math>\;\vec{u}_y</math>, le vecteur unitaire normal au plan incliné choisi dans le sens des altitudes <math>\;\nearrow\;</math> ainsi que * la réaction du plan «<math>\;\vec{R} = \vec{R}_\tau + R_n\;\vec{n}\;</math>» avec <math>\;\vec{n}</math>, le vecteur unitaire normal au plan, de sens opposé à celui de la pénétration <math>\;\big(</math>susceptible de se produire<math>\big)\;</math> de l'objet dans le plan <math>\;\big[\Rightarrow R_n > 0\big]\;</math> correspondant encore à <math>\;\vec{n} = \vec{u}_y</math>, {{Al|5}}l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre supposé galiléen<ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> nous conduit à «<math>\;m\; \vec{g} + \vec{R} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» soit, en projection sur chaque axe, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} -m\;g\;\sin(\alpha) + R_{\tau,\,x} !\!&=&\!\! m\;a_{M,\,x}(t)\\ -m\;g\;\cos(\alpha) + R_n !\!&=&\!\! 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Par absence de mouvement suivant <math>\;\vec{u}_y</math>.</ref> et, en utilisant la loi de frottement de Coulomb<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec glissement «<math>\;\vert R_{\tau,\,x} \vert = f\;R_n\;</math>»<ref name="loi de Coulomb de frottement solide avec glissement"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_effectif_de_glissement|rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> où <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> étant de sens contraire au mouvement de <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R_{\tau,\,x} < 0\;</math> d'où la réécriture de la loi de frottement de Coulomb<ref name="Coulomb" /> avec glissement «<math>\;R_{\tau,\,x} = -f\;R_n\;</math>» et par suite les deux équations se réécrivent «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} -m\;g\;\sin(\alpha) - f\;R_n \!\!&=&\!\! m\;a_{M,\,x}(t)\\ R_n \!\!&=&\!\! m\;g\;\cos(\alpha)\end{array}\right\rbrace\;</math>» puis, en reportant l'expression de <math>\;R_n\;</math> dans l'équation différentielle du mouvement de <math>\;M\;</math> et après simplification évidente <center>«<math>\;\ddot{x}(t) = -g\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right] < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}on en déduit, par intégration, la loi horaire scalaire de vitesse de l'objet «<math>\;V_{M,\,x}(t) = -g\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]\,t + cste\;</math>» soit, en déterminant la constante d'intégration par la C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. <math>\;V_{M,\,x}(0) = V_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = V_0</math>, la réécriture de la loi horaire de vitesse de l'objet selon «<math>\;V_{M,\,x}(t) = V_0 - g\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]\,t\;</math>» et par suite, l'arrêt de l'objet étant caractérisé par une vitesse nulle, l'instant d'arrêt <math>\;t_{\text{arrêt}}\;</math> de ce dernier est défini par «<math>\;V_{M,\,x}(t_{\text{arrêt}}) = V_0 - g\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]\,t_{\text{arrêt}} = 0\;</math>» soit «<math>\;t_{\text{arrêt}} = \dfrac{V_0}{g\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]}\;</math>» correspondant à une durée de parcours de l'objet avant son arrêt égale à <center>«<math>\;\left[ \Delta t \right]_{\text{arrêt}} = t_{\text{arrêt}} - 0 = \dfrac{V_0}{g\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}intégrant la loi horaire scalaire de vitesse de l'objet <math>\;\dot{x}(t) = V_{M,\,x}(t) = V_0 - g\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]\,t\;</math> on en déduit sa loi horaire scalaire de position «<math>\;x(t) = V_0\;t - \dfrac{g\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]}{2}\;t^2 + cste'\;</math>» soit, en déterminant la constante d'intégration par la C.I<ref name="C.I." />. <math>\;x(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0</math>, la réécriture de la loi horaire de position de l'objet suivant «<math>\;x(t) = V_0\;t - \dfrac{g}{2}\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]\,t^2\;</math>» et par suite, l'abscisse de la position d'arrêt <math>\;x_{\text{arrêt}}\;</math> de ce dernier étant défini par son abscisse à l'instant d'arrêt «<math>\;x_{\text{arrêt}} = x(t_{\text{arrêt}}) = V_0\;t_{\text{arrêt}} - \dfrac{g}{2}\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]\,t_{\text{arrêt}}^{\,2}\;</math>» soit, en reportant l'expression précédemment déterminée de <math>\;t_{\text{arrêt}} = \dfrac{V_0}{g\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]}</math>, on trouve «<math>\;x_{\text{arrêt}} = V_0\;\dfrac{V_0}{g\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]} - \dfrac{g}{2}\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]\,\dfrac{V_0^2}{g^2\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]^2} = \dfrac{V_0^2}{2\;g\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]}\;</math>» correspondant à une distance parcourue par l'objet avant son arrêt égale à <center>«<math>\;d = x_{\text{arrêt}} - 0 = \dfrac{V_0^2}{2\;g\, \left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]}\;</math>».</center>}} === Condition d'inclinaison du plan incliné pour que l'objet ne descende pas après son arrêt === {{Al|5}}À quelle condition sur <math>\;\alpha\;</math> l'objet restera-t-il immobile sur le plan incliné après son mouvement de montée ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Il convient bien sûr de refaire un schéma de situation en représentant les forces. {{Al|5}}À partir de l'état final de repos précédent, « la force tendant à faire redescendre l'objet de C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;M\;</math> est la composante de <math>\;m\; \vec{g}\;</math> le long du plan incliné, composante qui est dans le sens descendant » <math>\;\big[</math>de norme égale à <math>\;m\; g\; \sin(\alpha)\big]\;</math> et par suite « la force de frottement <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est maintenant dans le sens ascendant », s'opposant à la composante de <math>\;m\; \vec{g}\;</math> le long du plan incliné ; {{Al|5}}s'il n'y a pas glissement c'est que ces deux composantes se compensent soit «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = m\; g\; \sin(\alpha)\;</math>» et {{Al|5}}comme il n'y a toujours pas lévitation de l'objet de C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;M\;</math> au-dessus du plan incliné, on a encore « les deux composantes <math>\;\perp\;</math> au plan incliné qui se compensent » c'est-à-dire «<math>\;R_n\;\vec{n}\;</math>» <math>\big[</math>dirigée vers le haut <math>\;\Rightarrow\;R_n > 0\big]\;</math> et « la composante du poids <math>\;\perp\;</math> au plan incliné <math>\;-m\; g\; \cos(\alpha)\;\vec{u}_y\;</math>»<ref> Le vecteur de base cartésienne <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant le vecteur unitaire normal au plan incliné choisi dans le sens des altitudes <math>\;\nearrow\;</math> et le vecteur unitaire <math>\;\vec{n}\;</math> normal au plan, de sens opposé à celui de la pénétration <math>\;\big(</math>susceptible de se produire<math>\big)\;</math> de l'objet dans le plan, nous en déduisons <math>\;\vec{u}_y = \vec{n}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>dirigée vers le bas<math>\big]\;</math> d'où «<math>\;R_n = m\; g\; \cos(\alpha)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application de la loi de frottement de Coulomb<ref name="Coulomb" /> dans le cas de non glissement s'écrivant «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert < f\;R_n\;</math>»<ref name="loi de Coulomb de frottement solide sans glissement"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_d'équilibre|rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> devient ici «<math>\;m\; g\; \sin(\alpha) < f\;m\; g\; \cos(\alpha)\;</math>» soit, après simplification évidente <center>«<math>\;\tan(\alpha) < f\;</math>» ou, <br>en introduisant l'angle limite de frottement<ref name="angle limite de frottement solide"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Angle_limite_de_frottement_statique_et_angle_limite_de_frottement_dynamique|angle limite de frottement statique et angle limite de frottement dynamique]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\varphi = \arctan(f)\;</math><ref name="arctangente"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>«<math>\;\alpha < \varphi\;</math>».</center>}} == Pendule élastique horizontal et frottement solide == [[File:Pendule élastique horizontal.png|thumb|270px|Schéma d'un P.E.H<ref name="P.E.H."> Pendule Élastique Horizontal.</ref>. constitué d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal"> C.-à-d. sans masse et parfaitement élastique <math>\;\big[</math>on peut donc lui appliquer la [[w:Loi_de_Hooke#Loi_de_Hooke_pour_les_ressorts|loi de Hooke]]<math>\big]</math> ;<br> {{Al|3}}'''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> à spires non jointives<ref name="ressort à spires non jointives"> Ce qui a pour conséquence que le ressort peut aussi être comprimé relativement à sa longueur à vide.</ref> dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I<ref name="C.D.I." />. noté <math>\;M\;</math> pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du ressort]] {{Al|5}}Un solide, assimilé à son C.D.I<ref name="C.D.I." />. noté <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m</math>, est reliée à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" />, à spires non jointives<ref name="ressort à spires non jointives" />, de longueur à vide <math>\;l_0\;</math> et de raideur <math>\;k</math> ; {{Al|5}}un dispositif <math>\;\big(</math>non représenté<math>\big)\;</math> ne permet le déplacement du solide que le long de l'axe horizontal <math>\;x'x\;</math> du ressort orienté selon le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_x\;</math> de la gauche vers la droite <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}Lorsque le ressort présente sa longueur à vide <math>\;l_0</math>, le C.D.I<ref name="C.D.I." />. du solide se trouve en <math>\;M_0\;</math> de l'axe et sa position à l'instant <math>\;t\;</math> est repérée relativement à <math>\;M_0\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{M_0M}(t) = x(t)\; \vec{u}_x</math>. {{Al|5}}La liaison du solide avec le support plan horizontal le soutenant est unilatérale et avec frottement solide de cœfficients statique et dynamique confondus de valeur commune constante <math>\;f = \tan(\varphi)\;</math><ref name="cœfficients statique et dynamique confondus"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> où <math>\;\varphi\;</math> est la valeur commune des angles limites de frottement statique et dynamique confondus<ref name="angle limite de frottement solide" /> ; {{Al|5}}nous admettrons que la réaction du support plan horizontal sur le solide se réduit à une force unique «<math>\;\vec{R} = N\; \vec{u}_y + \vec{R}_\tau\;</math>» avec «<math>\;N > 0\;</math>» et «<math>\;\vec{R}_\tau\;</math> porté par l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math>», <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant le vecteur unitaire ascendant normal au support plan horizontal, « la composante tangentielle <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> obéissant aux lois expérimentales de Coulomb<ref name="Coulomb" /> du frottement de glissement dans le cas d'équilibre<ref name="loi de Coulomb de frottement solide sans glissement" /> ou dans celui de glissement effectif<ref name="loi de Coulomb de frottement solide avec glissement" /> ». === Recherche des positions initiales d'équilibre du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide === {{Al|5}}Sachant que la position initiale du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du solide <math>\;M_i\;</math> est repérée par son abscisse <math>\;x_i\;</math> avec absence de vitesse initiale, {{Al|5}}{{Transparent|Sachant que }}montrer qu'il existe un intervalle ouvert <math>\;\left] -a_1\,,\, +a_1 \right[\;</math> de valeurs <math>\;x_i\;</math> correspondant à un état d'équilibre du solide et {{Al|5}}{{Transparent|Sachant que }}expliciter la valeur de <math>\;a_1\;</math> en fonction de <math>\;m</math>, <math>\;g\;</math> <math>\big(</math>intensité de la pesanteur<math>\big)</math>, <math>\;k\;</math> et <math>\;f</math>. {{Solution | contenu = [[File:Pendule élastique horizontal - bis.png|thumb|300px|Schéma de situation initiale d'un P.E.H<ref name="P.E.H." />. constitué d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> à spires non jointives<ref name="ressort à spires non jointives" /> dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I<ref name="C.D.I." />. noté <math>\;M\;</math> pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du ressort avec ajout des forces extérieures s'exerçant sur le solide]] {{Al|5}}Le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;M\;</math> du solide étant écarté de <math>\;x_i\;</math> de sa position initiale <math>\;M_0\;</math> correspondant au ressort à vide et lâché sans vitesse initiale, on se place, a priori, dans une C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. d'équilibre dont une C.N<ref name="C.N." />. est la nullité de la somme des forces extérieures appliquées ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>nullité de la somme des forces extérieures verticales c'est-à-dire le poids du solide <math>\;m\;\vec{g}\;</math> et la composante normale de la réaction du plan support <math>\;\vec{N}\;</math> d'où, en projection sur <math>\;\vec{u}_y</math>, «<math>\;N - m\; g = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;N = m\; g\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>nullité de la somme des forces extérieures horizontales c'est-à-dire la force que le ressort exerce sur le solide <math>\;\vec{T} = -k\;x_i\;\vec{u}_x\;</math><ref> D'après la [[w:Loi_de_Hooke#Loi_de_Hooke_pour_les_ressorts|loi de Hooke]], sur le schéma <math>\;x_i > 0\;</math> représente l'allongement initial effectif du ressort par rapport à sa longueur à vide, ce dernier exerce donc une force de rappel dans le sens de <math>\;-\vec{u}_x\;</math> de norme égale à <math>\;k\;x_i</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|D'après la loi de Hooke, }}de même, <math>\;x_i < 0\;</math> <math>\big(</math>facilement concevable sur schéma<math>\big)\;</math> représente l'allongement initial algébrique du ressort par rapport à sa longueur à vide <math>\;\big(</math>sa compression initiale étant <math>\;-x_i > 0\big)</math>, ce dernier exerce une force de rappel dans le sens de <math>\;\vec{u}_x\;</math> de norme égale à <math>\;-k\;x_i > 0</math> ; <br> {{Al|3}}'''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> et la composante tangentielle de réaction du plan support<ref name="force de frottement solide"> Encore appelée force de frottement solide.</ref> <math>\;\vec{R}_\tau = R_{\tau,\, x}\;\vec{u}_x\;</math><ref> Sur le schéma <math>\;x_i > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> le ressort étant étiré relativement à sa longueur à vide tend à faire glisser <math>\;M\;</math> vers la gauche d'où le sens de la force de frottement solide vers la droite dans le sens de <math>\;\vec{u}_x\;</math> de mesure algébrique <math>\;R_{\tau,\, x} > 0</math> ; <br>{{Al|3}}de même, <math>\;x_i < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> le ressort étant comprimé relativement à sa longueur à vide tend à faire glisser <math>\;M\;</math> vers la droite d'où le sens de la force de frottement solide vers la gauche dans le sens de <math>\;-\vec{u}_x\;</math> ou, en maintenant l'orientation selon <math>\;\vec{u}_x\;</math> de mesure algébrique <math>\;R_{\tau,\, x} < 0</math>.</ref> d'où, en projection <math>\;\vec{u}_x</math>, «<math>\;-k\;x_i + R_{\tau,\, x} = 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;R_{\tau,\, x} = k\; x_i\;</math>» ; {{Al|5}}il reste à écrire la loi de frottement de Coulomb<ref name="Coulomb" /> dans le cas d'un non glissement «<math>\;\vert R_{\tau,\, x} \vert < f\; N\;</math>»<ref name="loi de Coulomb de frottement solide sans glissement" /> soit ici <br>{{Al|10}}{{Transparent|il reste à écrire la loi de frottement de Coulomb dans le cas d'un non glissement }}«<math>\;k\; \vert x_i \vert < f\; m\; g\;</math>» ou «<math>\;-f\; m\; g < k\, x_i < f\; m\; g\;</math>» soit enfin <center>«<math>\;-\dfrac{f\; m\; g}{k} < x_i < \dfrac{f\; m\; g}{k}\;</math>».</center> {{Al|5}}Il existe donc bien un intervalle ouvert <math>\;\left] -a_1\,,\, +a_1 \right[\;</math> de valeurs de <math>\;x_i</math>, abscisse de la position initiale du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du solide sans vitesse initiale, correspondant à un état d'équilibre du solide, la valeur absolue commune des bornes étant «<math>\;a_1 = \dfrac{f\; m\; g}{k}\;</math>».}} === Étude du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide quand il est initialement hors état d'équilibre === {{Al|5}}On se place dans le cas où les C.I<ref name="C.I." />. sont «<math>\;x_i = \beta\; a_1\;</math> avec <math>\;\beta > 1\;</math>» et «<math>\;\left( \dfrac{dx}{dt} \right)_{\! i} = 0\;</math>». ==== Étude de la 1^ère phase du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide ==== {{Al|5}}Après avoir vérifié que les C.I<ref name="C.I." />. ont placé <math>\;M\;</math> hors plage d'équilibre, préciser dans quel sens le mouvement peut s'effectuer et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Après avoir vérifié que les C.I. ont placé <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> hors plage d'équilibre, préciser }}la conséquence que cela a sur la composante tangentielle <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> de la réaction <math>\;\big(</math>sens et norme<math>\big)</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|Après avoir vérifié que les C.I. ont placé <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> hors plage d'équilibre, }}en déduire l'équation différentielle du mouvement de <math>\;M\;</math> dans l'hypothèse où ce dernier s'effectue effectivement dans le sens prédit ; {{Al|9}}{{Transparent|Après avoir vérifié que les C.I. ont placé <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> hors plage d'équilibre, }}résoudre cette équation différentielle et valider l'hypothèse du sens du mouvement ; {{Al|9}}{{Transparent|Après avoir vérifié que les C.I. ont placé <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> hors plage d'équilibre, }}à partir de quel instant <math>\;t_1\;</math> cette hypothèse n'est-elle plus valable ? {{Solution | contenu = [[File:Pendule élastique horizontal - ter.png|thumb|300px|Schéma de situation instantanée d'un P.E.H<ref name="P.E.H." />. constitué d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> à spires non jointives<ref name="ressort à spires non jointives" /> dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I<ref name="C.D.I." />. noté <math>\;M\;</math> pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du ressort avec ajout des forces extérieures s'exerçant sur le solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque]] {{Al|5}}Les C.I<ref name="C.I." />. placent effectivement <math>\;M\;</math> hors plage d'équilibre, «<math>\;x_i = \beta\; a_1\;</math> avec <math>\;\beta > 1\;</math>» étant <math>\;> a_1</math>, le mouvement s'effectuera tout d'abord dans le sens des <math>\;x \searrow\;</math> c'est-à-dire avec <math>\;\dot{x}(t) < 0</math> ; {{Al|5}}le sens de la composante tangentielle <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> de la réaction du plan support<ref name="force de frottement solide" /> est alors dans le sens contraire de celui du mouvement du solide c'est-à-dire le sens de <math>\;\vec{u}_x\;</math> et sa norme, selon la loi de frottement de Coulomb<ref name="Coulomb" /> dans le cas d'un glissement, s'écrit selon «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = f\; N\;</math>»<ref name="loi de Coulomb de frottement solide avec glissement" /> ; {{Al|5}}compte-tenu de l'absence de mouvement vertical on a toujours «<math>\;N - m\; g = 0\;</math>» ou encore «<math>\;N = m\; g\;</math>» permettant de réécrire la force de frottement solide selon «<math>\;\vec{R}_\tau = R_{\tau,\, x}\;\vec{u}_x\;</math> avec <math>\;R_{\tau,\, x} = f\; m\; g\;</math>» <math>\big[</math>expression restant valable tant que <math>\;\dot{x}(t)\;</math> reste <math>\;< 0\big]</math> ; {{Al|5}}l'application du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. au solide<ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> et sa projection sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> donne «<math>\;T_x + R_{\tau,\, x} = m\; \ddot{x}(t)\;</math>» ou, avec «<math>\;T_x = -k\; x(t)\;</math>», l'équation différentielle en <math>\;x(t)\;</math> suivante «<math>\;- k\; x(t) + f\; m\; g = m\; \ddot{x}(t)\;</math>» ou finalement, en ordonnant et normalisant <center>«<math>\;\ddot{x}(t) + \dfrac{k}{m}\; x(t) = f\; g\;</math>» <br>c'est-à-dire une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> hétérogène sans terme du 1^er ordre ;</center> {{Al|5}}la solution générale <math>\;x(t)\;</math> de l'équation ci-dessus<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire hétérogène"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant la somme de la solution libre <math>\;x_l(t)\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire la solution générale de l'équation homogène<math>\big)\;</math> et de la solution forcée <math>\;x_f(t)\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire une solution particulière de l'équation hétérogène cherchée de même forme que l'excitation<math>\big)</math>, nous commençons par les déterminer individuellement : * <u>solution forcée</u> : l'excitation <math>\;f\; g\;</math> étant constante, nous cherchons <math>\;x_f\;</math> sous forme d'une constante <math>\Rightarrow \ddot{x}_f = 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{k}{m}\; x_f = f\; g\;</math> ou «<math>\;x_f = \dfrac{f\; m\; g}{k} = a_1\;</math>» ; * <u>solution libre</u> : solution générale de l'équation «<math>\;\ddot{x}_l(t) + \dfrac{k}{m}\; x_l(t) = 0\;</math>» <math>\;\bigg[</math>équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\bigg]</math>, ou encore «<math>\;\ddot{x}_l(t) + \omega_0^2\; x_l(t) = 0\;</math>», la solution libre s'écrivant alors «<math>\;x_l(t) = A\; \cos(\omega_0\; t) + B\; \sin(\omega_0\; t)\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant des constantes réelles d'intégration à déterminer par C.I<ref name="C.I." />. sur la solution générale de l'équation hétérogène ; {{Al|5}}<u>solution générale</u><math>\;x(t)\;</math><u>de l'équation hétérogène</u><ref name="solution d'une équation différentielle linéaire hétérogène" /> : on en déduit «<math>\;x(t) = A\; \cos(\omega_0\; t) + B\; \sin(\omega_0\; t) + a_1\;</math>» et on détermine <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> en utilisant les C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;x(0) = x_i = \beta\;a_1\;</math> et <math>\;\dot{x}(0) = 0\;</math>» soit : <br>{{Al|11}}{{Transparent|solution générale<math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math>de l'équation hétérogène : on en déduit «<math>\;\color{transparent}{x(t) = A\; \cos(\omega_0\; t) + B\; \sin(\omega_0\; t) + a_1}\;</math>» et on détermine }}<math>\succ\;</math>«<math>\;x(0) = A + a_1 = \beta\;a_1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A = \left( \beta - 1 \right)\,a_1\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|solution générale<math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math>de l'équation hétérogène : on en déduit «<math>\;\color{transparent}{x(t) = A\; \cos(\omega_0\; t) + B\; \sin(\omega_0\; t) + a_1}\;</math>» et on détermine }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\dot{x}(0) = B\; \omega_0 = 0\;</math>» <math>\big[</math>car <math>\;\dot{x}(t) = -A\;\omega_0\;\sin(\omega_0\;t) + B\;\omega_0\;\cos(\omega_0\;t)\big]\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|solution générale<math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math>de l'équation hétérogène : on en déduit «<math>\;\color{transparent}{x(t) = A\; \cos(\omega_0\; t) + B\; \sin(\omega_0\; t) + a_1}\;</math>» et on détermine <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\dot{x}(0) = B\; \omega_0 = 0}\;</math>» }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;B = 0\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|solution générale<math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math>de l'équation hétérogène : }}on en déduit la loi horaire de position de <math>\;M\;</math> dans cette 1^ère phase de son mouvement «<math>\;x(t) = \left( \beta - 1 \right)\, a_1\; \cos(\omega_0\; t) + a_1\;</math>» ou encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|solution générale<math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math>de l'équation hétérogène : on en déduit la loi horaire de position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans cette 1^ère phase de son mouvement }}«<math>\;x(t) = a_1\, \left[ 1 + \left( \beta - 1 \right)\, \cos(\omega_0\; t) \right]\;</math>». {{Al|5}}Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\dot{x}(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>, il reste donc à valider <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> cette hypothèse et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, il reste donc }}à évaluer <math>\;\dot{x}(t)\;</math> soit «<math>\;\dot{x}(t) = -\left( \beta - 1 \right)\, a_1\; \omega_0\; \sin(\omega_0\; t)\;</math>» {{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, il reste donc à évaluer <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t)}\;</math> }}qui est «<math>\;< 0\;</math>» si «<math>\;\left( \beta - 1 \right)\, a_1\; \omega_0\; \sin(\omega_0\; t)\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» ou, comme <math>\;\beta\;</math> est <math>\;> 1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, il reste donc à évaluer <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t)}\;</math> qui est «<math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>» }}si «<math>\;\sin(\omega_0\; t)\;</math> est <math>\;> 0\;</math> à partir de <math>\;t = 0\;</math>» soit pour «<math>\;\omega_0\; t \in \left] 0\,,\, \pi \right[\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;t \in \left] 0\,,\, \dfrac{\pi}{\omega_0} \right[\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, il reste donc à évaluer <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t)}\;</math> }}en définissant la période propre de l'oscillateur non amorti «<math>\;T_0 = \dfrac{2\; \pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, il reste donc à évaluer <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t)}\;</math> qui est «<math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>» }}si «<math>\;t \in \left] 0\,,\, \dfrac{T_0}{2} = \pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}} \right[\;</math>» ; {{Al|5}}l'instant <math>\;t_1\;</math> à partir duquel l'équation du mouvement précédent «<math>\;x(t) = a_1\, \left[ 1 + \left( \beta - 1 \right)\, \cos(\omega_0\; t) \right]\;</math>» n'est plus valable est donc «<math>\;t_1 = \dfrac{T_0}{2} = \pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math>».}} ==== Condition d'arrêt définitif du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide après cette 1^ère phase ==== {{Al|5}}Quelle doit-être la condition sur <math>\;\beta\;</math> pour que la position d'arrêt de fin de 1^ère phase soit dans la plage d'équilibre ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}La condition sur <math>\;\beta\;</math> pour que la position d'arrêt de fin de 1^ère phase d'abscisse <math>\;x(t_1^{-})\;</math> soit dans la plage d'équilibre «<math>\;-a_1 < x(t_1^{-}) < a_1\;</math>» avec «<math>\;x(t_1^{-}) = a_1\, \left[ 1 + \left( \beta - 1 \right)\, \cos(\pi^{-}) \right] = a_1\, \left( 2 - \beta \right)\;</math>», <br>{{Al|6}}{{Transparent|La condition sur <math>\;\color{transparent}{\beta}\;</math> pour que la position d'arrêt de fin de 1^ère phase d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x(t_1^{-})}\;</math> soit dans la plage }}se réécrit «<math>\;-a_1 < a_1\, \left( 2 - \beta \right) < a_1\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;1 < \beta < 3\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition sur <math>\;\color{transparent}{\beta}\;</math> pour que la position d'arrêt de fin de 1^ère phase }}si «<math>\;\beta \in \left] 1\,,\, 3 \right[\;</math>» le P.E.H<ref name="P.E.H." />. amorti par frottement solide s'arrête définitivement à l'instant «<math>\;t_1 = \dfrac{T_0}{2} = \pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math>» en l'abscisse <br>{{Al|10}}{{Transparent|La condition sur <math>\;\color{transparent}{\beta}\;</math> pour que la position d'arrêt de fin de 1^ère phase si «<math>\;\color{transparent}{\beta \in \left] 1\,,\, 3 \right[}\;</math>» le P.E.H. amorti par frottement solide s'arrête définitivement à l'instant }}«<math>\;x(t_1) = a_1\, \left( 2 - \beta \right) \left\lbrace \begin{array}{c} \leqslant 0\;\text{pour}\;\beta\;\in\;\left[ 2\,,\, 3 \right[\\ \geqslant 0\;\text{pour}\;\beta\;\in\;\left] 1\,,\, 2 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>».}} ==== Étude de la 2^ème phase du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide sous condition de son existence ==== {{Al|5}}La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement se poursuit ; il est alors judicieux pour traiter la suite de faire un changement d'origine des temps en posant <math>\;t' = t - t_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement se poursuit ; }}préciser dans quel sens le mouvement peut se poursuivre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement se poursuit ; préciser }}la conséquence que cela a sur la composante tangentielle <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> de la réaction <math>\;\big(</math>sens et norme<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement se poursuit ; }}en déduire l'équation différentielle en <math>\;x(t')\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans l'hypothèse où ce dernier se poursuit dans le sens prédit ; {{Al|5}}{{Transparent|La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement se poursuit ; }}résoudre cette équation différentielle et valider l'hypothèse du sens du mouvement ; {{Al|5}}{{Transparent|La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement se poursuit ; }}à partir de quel instant <math>\;{t'}_2\;</math> correspondant à <math>\;t_2 = t_1 + {t'}_2\;</math> cette hypothèse n'est-elle plus valable ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : En physique }}la fonction « abscisse en fonction du temps <math>\;t\;</math>» dont la valeur est <math>\;x\;</math> est notée <math>\;x(t)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;x = x(t)\;</math><ref> Alors qu'en mathématique la fonction « abscisse en fonction du temps <math>\;t\;</math>» dont la valeur est <math>\;x\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(t)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;x = f(t)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : en physique, lors d'un changement de variable, }}par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : en physique, }}la fonction « abscisse en fonction du temps <math>\;t\;</math>» dont la valeur est <math>\;x\;</math> et la fonction « abscisse en fonction du temps <math>\;t' = t - t_1\;</math>» de même valeur <math>\;x\;</math> sont <center>respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x(t) \\ x(t')\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = x(t) \\ x = x(t')\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Alors qu'en mathématique la fonction « abscisse en fonction du temps <math>\;t\;</math>» dont la valeur est <math>\;x\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(t)\;</math> et la fonction « abscisse en fonction du temps <math>\;t' = t - t_1\;</math>» de même valeur <math>\;x\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;g(t')\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = f(t) \\ x = g(t')\end{array}\right\rbrace</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\beta \geqslant 3\;</math>», le mouvement se poursuit dans le sens des <math>\;x \nearrow\;</math> correspondant à <math>\;\dot{x}(t) > 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», }}la force de frottement <math>\;\vec{R}_\tau</math>, de sens opposé à celui du mouvement c'est-à-dire opposé au sens de <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, est dans le sens de <math>\;-\vec{u}_x</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», la force de frottement <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau}</math>, }}sa norme étant toujours «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = f\; N = f\; m\; g\;</math>»<ref> En effet d'une part, par absence de mouvement vertical on a toujours «<math>\;N - m\; g = 0\;</math>» soit «<math>\;N = m\; g\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}d'autre part la loi de Coulomb de frottement avec glissement <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_effectif_de_glissement|rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> reste applicable soit la relation «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = f\; N\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en regroupant les deux «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = f\; m\; g\;</math>».</ref> d'où «<math>\;\vec{R}_\tau = -f\; m\; g\; \vec{u}_x\;</math>»<ref> Le schéma serait à refaire, le ressort est maintenant initialement <math>\;\big(</math>c.-à-d. au début de cette nouvelle phase<math>\big)\;</math> comprimé <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{T}\;</math> est initialement dans le sens de <math>\;\vec{u}_x\;</math> <math>\;\big(</math>mais ceci n'étant vrai qu'aux instants où le ressort est comprimé<math>\big)\;</math> et <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> dans le sens de <math>\;-\vec{u}_x\;</math> pendant la durée totale de la nouvelle phase.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», }}Comme proposé dans le texte, on fait un changement d'origine des temps, posant «<math>\;t' = t - t_1\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», }}l'application du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. au solide<ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> et sa projection sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> donne «<math>\;T_x + R_{\tau,\, x} = m\; \ddot{x}(t')\;</math>» ou, avec {{Nobr|«<math>\;T_x</math>}} <math>= -k\; x(t')\;</math>», l'équation différentielle en <math>\;x(t')\;</math> suivante «<math>\;- k\; x(t') - f\; m\; g = m\; \ddot{x}(t')\;</math>» ou finalement, en ordonnant et normalisant <center>«<math>\;\ddot{x}(t') + \dfrac{k}{m}\; x(t') = -f\; g\;</math>» <br>c'est-à-dire une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;x(t')\;</math> hétérogène sans terme du 1^er ordre ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», }}la solution générale <math>\;x(t')\;</math> de l'équation ci-dessus<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire hétérogène" /> étant la somme de la solution libre <math>\;x_l(t')\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire la solution générale de l'équation homogène<math>\big)\;</math> et de la solution forcée <math>\;x_f(t')\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire une solution particulière de l'équation hétérogène cherchée de même forme que l'excitation<math>\big)</math>, nous commençons par les déterminer individuellement : {{Al|5}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», }}<math>\blacktriangleright\;</math><u>solution forcée</u> : l'excitation <math>\;-f\; g\;</math> étant constante, nous cherchons <math>\;x_f\;</math> sous forme d'une constante <math>\Rightarrow \ddot{x}_f = 0\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>solution forcée : l'excitation <math>\;\color{transparent}{-f\; g}\;</math> étant constante, }}<math>\;\dfrac{k}{m}\; x_f = -f\; g\;</math> ou «<math>\;x_f = -\dfrac{f\; m\; g}{k} = -a_1\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», }}<math>\blacktriangleright\;</math><u>solution libre</u> : solution générale de l'équation «<math>\;\ddot{x}_l(t') + \dfrac{k}{m}\; x_l(t') = 0\;</math>» déjà déterminée dans la 1^ère phase<ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Étude_de_la_1ère_phase_du_mouvement_du_pendule_élastique_horizontal_amorti_par_frottement_solide|étude de la 1^ère phase du mouvement du P.E.H. amorti par frottement solide]] » plus haut dans cet exercice.</ref> d'où «<math>\;x_l(t') =</math> <math>A'\; \cos(\omega_0\; t') + B'\; \sin(\omega_0\; t')\;</math>» avec <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> pulsation propre de l'oscillateur harmonique non amorti, <math>\;A'\;</math> et <math>\;B'\;</math> étant des constantes réelles d'intégration à déterminer par C.I<ref name="C.I." />. sur la solution générale de l'équation hétérogène ; {{Al|5}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», }}<u>solution générale</u><math>\;x(t)\;</math><u>de l'équation hétérogène</u><ref name="solution d'une équation différentielle linéaire hétérogène" /> : on en déduit «<math>\;x(t') = A'\; \cos(\omega_0\; t') + B'\; \sin(\omega_0\; t') - a_1\;</math>» et on détermine <math>\;A'\;</math> et <math>\;B'\;</math> en utilisant les C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l c l} x(t' = 0^{+}) \!\!&=&\!\! x(t_1^{+}) \!\!&=&\!\! x(t_1^{-}) \!\!&=&\!\! a_1\, \left( 2 - \beta \right) \\ \dot{x}(t'= 0^{+}) \!\!&=&\!\! \dot{x}(t_1^{+}) \!\!&=&\!\! \dot{x}(t_1^{-}) \!\!&=&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>en effet il y a continuité de la position et de la vitesse à l'instant du changement de phase de mouvement<ref name="continuité de position et de vitesse"> Lors du passage de la 1^ère phase du mouvement à la 2^nde toutes les forces extérieures agissant sur l'objet de C.D.I. <math>\;M\;</math> étant continues à l'exception de la force de frottement solide <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> qui est discontinue de 1^ère espèce <math>\;\big[</math>passant de «<math>\;\vec{R}_\tau = f\; m\; g\;\vec{u}_x\;</math>» à «<math>\;\vec{R}_\tau = -f\; m\; g\;\vec{u}_x\;</math>», voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la discontinuité portant sur la composante scalaire <math>\;R_{\tau,\,x}\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Lors du passage de la 1^ère phase du mouvement à la 2^nde }}la discontinuité de la résultante dynamique se reportant sur l'accélération du C.D.I. de l'objet avec conservation du numéro d'espèce <math>\Rightarrow</math> l'accélération du C.D.I. <math>\;M\;</math> est discontinue de 1^ère espèce et par suite la vitesse et la position sont « discontinues de 0^ème espèce » c.-à-d. continues <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_de_la_solution_générale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_hétérogène_du_2ème_ordre_connaissant_la_nature_de_la_discontinuité_de_l'excitation|nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la nature de la discontinuité de l'excitation découlant de celle de la résultante dynamique projetée sur <math>\;\vec{u}_x\big]</math>.</ref><math>\big]</math> soit : {{Al|11}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», solution générale<math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math>de l'équation hétérogène : on en déduit }}<math>\succ\;</math>«<math>\;x(t' = 0) = A' - a_1 = a_1\, \left( 2 - \beta \right)\;</math>» soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», solution générale<math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math>de l'équation hétérogène : on en déduit <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{x(t' = 0)}\;</math> }}«<math>\;A' = a_1\, \left( 3 - \beta \right) = -a_1\,\left( \beta - 3 \right)\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», solution générale<math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math>de l'équation hétérogène : on en déduit }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\dot{x}(t' = 0) = B'\; \omega_0 = 0\;</math>» <math>\big[</math>découlant de <math>\dot{x}(t') =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», solution générale<math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math>de l'équation hétérogène : on en déduit <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t' = 0) = B'\;\omega_0}</math>}}<math>-A\;\omega_0\;\sin(\omega_0\;t') + B\;\omega_0\;\cos(\omega_0\;t')\big]\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», solution générale<math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math>de l'équation hétérogène : on en déduit <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t' = 0) = B'\; \omega_0 = 0}\;</math>» }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;B' = 0\;</math>» d'où {{Al|11}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», solution générale<math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math>de l'équation hétérogène : }}la loi horaire de position de <math>\;M\;</math> dans cette 2^ème phase de son mouvement <br>{{Al|11}}{{Transparent|La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «<math>\;\color{transparent}{\beta \geqslant 3}\;</math>», solution générale<math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math>de l'équation hétérogène : la loi horaire de position }}«<math>\;x(t') = -\left( \beta - 3 \right)\, a_1\; \cos(\omega_0\; t') - a_1\;</math>» ou encore <center>«<math>\;x(t') = -a_1\, \left[ 1 + \left( \beta - 3 \right)\, \cos(\omega_0\; t') \right]\;</math>».</center> {{Al|5}}Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\dot{x}(t')\;</math> est <math>\;> 0</math>, il reste donc à valider <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> cette hypothèse et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t')}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, il reste donc }}à évaluer <math>\;\dot{x}(t')\;</math> soit «<math>\;\dot{x}(t') = \left( \beta - 3 \right)\, a_1\; \omega_0\; \sin(\omega_0\; t')\;</math>» {{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t')}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, il reste donc à évaluer <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t')}\;</math> }}qui est «<math>\;> 0\;</math>» si «<math>\;\left( \beta - 3 \right)\, a_1\; \omega_0\; \sin(\omega_0\; t')\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» ou, pour <math>\;\beta > 3</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t')}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, il reste donc à évaluer <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t')}\;</math> qui est «<math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>» }}pour <math>\;\sin(\omega_0\; t')\;> 0\;</math> à partir de <math>\;t' = 0\;</math> soit pour «<math>\;\omega_0\; t' \in \left] 0\,,\, \pi \right[\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;t' \in \left] 0\,,\, \dfrac{\pi}{\omega_0} \right[\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t')}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, il reste donc à évaluer <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t')}\;</math> }}en définissant la période propre de l'oscillateur non amorti «<math>\;T_0 = \dfrac{2\; \pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t')}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, il reste donc à évaluer <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t')}\;</math> qui est «<math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>» }}pour «<math>\;t' \in \left] 0\,,\, \dfrac{T_0}{2} = \pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}} \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;t = t' + t_1 \in \left] \dfrac{T_0}{2} = \pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\,,\, T_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}} \right[\;</math>» ; {{Al|5}}l'instant <math>\;{t'}_2\;</math> à partir duquel l'équation du mouvement précédent «<math>\;x(t') = -a_1\, \left[ 1 + \left( \beta - 3 \right)\, \cos(\omega_0\; t') \right]\;</math>» n'est plus valable est donc «<math>\;{t'}_2 = \dfrac{T_0}{2} = \pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math>» soit «<math>\;t_2 = {t'}_2 + t_1 = T_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le cas <math>\;\beta = 3\;</math> permettant a priori un glissement du solide dans une 2^ème phase de mouvement s'avère fournir une amplitude nulle pour cette 2^ème phase oscillatoire<ref> Et donc aussi une vitesse nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le cas <math>\;\color{transparent}{\beta = 3}\;</math> }}ainsi, en théorie, c'est encore un cas d'arrêt définitif après la 1^ère phase mais cela suppose les cœfficients de frottement statique et dynamique confondus, sinon il y a mouvement <math>\;\ldots</math>}} ==== Condition d'arrêt définitif du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide après cette 2^ème phase ==== {{Al|5}}Quelle doit-être la condition sur <math>\;\beta\;</math> pour que la position d'arrêt de fin de 2^ème phase soit dans la plage d'équilibre ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}La condition sur <math>\;\beta\;</math> pour que la position d'arrêt de fin de 2^ème phase d'abscisse <math>\;x({t'}_2^{-})\;</math> soit dans la plage d'équilibre «<math>\;-a_1 < x({t'}_2^{-}) < a_1\;</math>» avec «<math>\;x({t'}_2^{-}) = -a_1\, \left[ 1 + \left( \beta - 3 \right)\, \cos(\pi^{-}) \right] = a_1\, \left( \beta - 4 \right)\;</math>», <br>{{Al|6}}{{Transparent|La condition sur <math>\;\color{transparent}{\beta}\;</math> pour que la position d'arrêt de fin de 2^ème phase d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x({t'}_2^{-})}\;</math> soit dans la plage }}se réécrit «<math>\;-a_1 < a_1\, \left( \beta - 4 \right) < a_1\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;3 < \beta < 5\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition sur <math>\;\color{transparent}{\beta}\;</math> pour que la position d'arrêt de fin de 2^ème phase }}si «<math>\;\beta \in \left] 3\,,\, 5 \right[\;</math>» le P.E.H<ref name="P.E.H." />. amorti par frottement solide s'arrête définitivement à la date «<math>\;t_2 = T_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math>» à l'abscisse <br>{{Al|10}}{{Transparent|La condition sur <math>\;\color{transparent}{\beta}\;</math> pour que la position d'arrêt de fin de 2^ème phase si «<math>\;\color{transparent}{\beta \in \left] 3\,,\, 5 \right[}\;</math>» le P.E.H. amorti par frottement solide s'arrête définitivement à la date }}«<math>\;x({t'}_2) = a_1\, \left( \beta - 4 \right) \left\lbrace \begin{array}{c} \leqslant 0\;\text{pour}\;\beta\,\in\,\left[ 4\,,\, 5 \right[\\ \geqslant 0\;\text{pour}\;\beta\,\in\,\left] 3\,,\, 4 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Comme il a été vu avec <math>\;\beta = 3\;</math> qui devait être considéré comme un cas d'arrêt théorique après la fin de la 1^ère phase<ref name="beta = 3"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Étude_de_la_2ème_phase_du_mouvement_du_pendule_élastique_horizontal_amorti_par_frottement_solide_sous_condition_de_son_existence|étude de la 2^ème phase du mouvement du P.E.H. amorti par frottement solide sous condition de son existence]] (remarque) » plus haut dans cet exercice.</ref>, il en sera de même de <math>\;\beta = 5\;</math> qui devra aussi être considéré comme un cas d'arrêt théorique après la fin de la 2^ème phase car l'amplitude des oscillations d'une 3^ème phase serait nulle<ref name="beta = 3" />.}} ==== Application au cas β = 5,5 ==== {{Al|5}}Appliquer l'étude précédente au cas <math>\;\beta = 5,5\;</math> et {{Al|5}}tracer, sur un même graphe, le diagramme horaire <math>\;x = x(t)\;</math> pour chacune des phases effectivement décrites. {{Solution | contenu ={{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : revoir celle de la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Étude_de_la_2ème_phase_du_mouvement_du_pendule_élastique_horizontal_amorti_par_frottement_solide_sous_condition_de_son_existence|étude de la 2^ème phase du mouvement du P.E.H. amorti par frottement solide sous condition de son existence]] » plus haut dans cet exercice. {{Al|5}}Nous sommes donc dans le cas <math>\;\beta > 5</math>, il y a donc une 3^ème phase dans le sens des <math>\;x \searrow</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous sommes donc dans le cas <math>\;\color{transparent}{\beta > 5}</math>, }}pour faciliter la résolution <math>\;\big(</math>à calquer sur celle de la 1^ère phase aux C.I<ref name="C.I." />. près<math>\big)</math>, on fait le changement d'origine des temps suivant «<math>\;t'' = t - t_2 = t' - t'_2\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous sommes donc dans le cas <math>\;\color{transparent}{\beta > 5}</math>, }}l'équation différentielle en <math>\;x(t'')\;</math> est «<math>\;\ddot{x}(t'') + \dfrac{k}{m}\; x(t'') = f\; g\;</math>» et sa résolution conduit à «<math>\;x(t'') = A''\; \cos(\omega_0\; t'') + B''\; \sin(\omega_0\; t'') + a_1\;</math>» avec <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> pulsation propre de l'oscillateur harmonique non amorti, les C.I<ref name="C.I." />. étant maintenant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l c l} x(t'' = 0^{+}) \!\!&=&\!\! x({t'}_2^{+}) \!\!&=&\!\! x({t'}_2^{-}) \!\!&=&\!\! a_1\, \left( \beta - 4 \right) \\ \dot{x}(t'' = 0^{+}) \!\!&=&\!\! \dot{x}({t'}_2^{+}) \!\!&=&\!\! \dot{x}({t'}_2^{-}) \!\!&=&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>en effet il y a continuité de la position et de la vitesse à l'instant du changement de phase de mouvement<ref name="continuité de position et de vitesse - bis"> Lors du passage de la 2^ème phase du mouvement à la 3^ème toutes les forces extérieures agissant sur l'objet de C.D.I. <math>\;M\;</math> étant continues à l'exception de la force de frottement solide <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> qui est discontinue de 1^ère espèce <math>\;\big[</math>passant de «<math>\;\vec{R}_\tau = -f\; m\; g\;\vec{u}_x\;</math>» à «<math>\;\vec{R}_\tau = f\; m\; g\;\vec{u}_x\;</math>», voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la discontinuité portant sur la composante scalaire <math>\;R_{\tau,\,x}\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Lors du passage de la 2^ème phase du mouvement à la 3^ème }}la discontinuité de la résultante dynamique se reportant sur l'accélération du C.D.I. de l'objet avec conservation du numéro d'espèce <math>\Rightarrow</math> l'accélération du C.D.I. <math>\;M\;</math> est discontinue de 1^ère espèce et par suite la vitesse et la position sont « discontinues de 0^ème espèce » c.-à-d. continues <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_de_la_solution_générale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_hétérogène_du_2ème_ordre_connaissant_la_nature_de_la_discontinuité_de_l'excitation|nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la nature de la discontinuité de l'excitation découlant de celle de la résultante dynamique projetée sur <math>\;\vec{u}_x\big]</math>.</ref><math>\big]\;</math> soit : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous sommes donc dans le cas <math>\;\color{transparent}{\beta > 5}</math>, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;x(t'' = 0) = A'' + a_1 = a_1\, \left( \beta - 4 \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A'' = a_1\, \left( \beta - 5 \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous sommes donc dans le cas <math>\;\color{transparent}{\beta > 5}</math>, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\dot{x}(t'' = 0) = B''\; \omega_0 = 0\;</math>» <math>\big[</math>en utilisant <math>\;\dot{x}(t'') = -A''\;\omega_0\;\sin(\omega_0\;t'') + B''\;\omega_0\;\cos(\omega_0\;t'')\big]\;</math> soit finalement «<math>\;B'' = 0\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous sommes donc dans le cas <math>\;\color{transparent}{\beta > 5}</math>, }}on en déduit la loi horaire de position de <math>\;M\;</math> dans cette 3^ème phase de son mouvement «<math>\;x(t'') = \left( \beta - 5 \right)\, a_1\; \cos(\omega_0\; t') + a_1\;</math>» ou encore <center>«<math>\;x(t'') = a_1\, \left[ 1 + \left( \beta - 5 \right)\, \cos(\omega_0\; t'') \right]\;</math>».</center> {{Al|5}}Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\dot{x}(t')\;</math> est <math>\;< 0</math>, il reste donc à valider <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> cette hypothèse et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t')}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, il reste donc }}à évaluer <math>\;\dot{x}(t'')\;</math> soit «<math>\;\dot{x}(t'') = -\left( \beta - 5 \right)\, a_1\; \omega_0\; \sin(\omega_0\; t'')\;</math>» {{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t'')}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, il reste donc à évaluer <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t')}\;</math> }}qui est «<math>\;< 0\;</math>» si «<math>\;\left( \beta - 5 \right)\, a_1\; \omega_0\; \sin(\omega_0\; t'')\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» ou, pour <math>\;\beta > 5</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t'')}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, il reste donc à évaluer <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t'')}\;</math> qui est «<math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>»}}pour <math>\;\sin(\omega_0\; t'')\;> 0\;</math> à partir de <math>\;t'' = 0\;</math> soit «<math>\;\omega_0\; t'' \in \left] 0\,,\, \pi \right[\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;t'( \in \left] 0\,,\, \dfrac{\pi}{\omega_0} \right[\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t'')}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, il reste donc à évaluer <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t'')}\;</math> }}en définissant la période propre de l'oscillateur non amorti «<math>\;T_0 = \dfrac{2\; \pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t'')}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, il reste donc à évaluer <math>\;\color{transparent}{\dot{x}(t'')}\;</math> qui est «<math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>»}}pour «<math>\;t'' \in \left] 0\,,\, \dfrac{T_0}{2} = \pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}} \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;t \in \left] T_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\,,\, \dfrac{3\;T_0}{2} = 3\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}} \right[\;</math>»<ref> On rappelle que <math>\;t = t'' + {t'}_2\;</math> avec <math>\;{t'}_2 = T_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'instant <math>\;{t''}_3\;</math> à partir duquel l'équation du mouvement précédent «<math>\;x(t'') = a_1\, \left[ 1 + \left( \beta - 5 \right)\, \cos(\omega_0\; t'') \right]\;</math>» n'est plus valable est donc «<math>\;{t''}_3 = \dfrac{T_0}{2} = \pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math>» soit «<math>\;t_3 = {t''}_3 + t_2 = \dfrac{3\;T_0}{2} = 3\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math>». {{Al|5}}L'abscisse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;M\;</math> de l'objet ayant, à l'instant <math>\;t_3^{-}</math>, pour valeur «<math>\;x({t''}_3^{-}) = a_1\, \left[ 1 + \left( \beta - 5 \right)\, \cos(\pi^{-}) \right] = a_1\,\left( 6 - \beta \right)\;</math>» soit, avec <math>\;\beta = 5,5\;</math> la valeur numérique «<math>\;x({t''}_3^{-}) = 0,5\;a_1\; \in\, \left] -a_1\,,\, a_1 \right[\;</math>», nous en concluons que l'objet a atteint une « position d'équilibre à l'instant <math>\;t_3 = \dfrac{3\;T_0}{2} = 3\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math> de la fin de la 3^ème phase » et qu'il restera indéfiniment en «<math>\;x_{\text{éq}} = \dfrac{a_1}{2}\;</math>» sans perturbations extérieures. [[File:Pendule élastique horizontal - tetra.png|thumb|left|400px|Diagramme horaire de position d'un P.E.H<ref name="P.E.H." />. constitué d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> à spires non jointives<ref name="ressort à spires non jointives" /> dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité reliée à un solide assimilé à son C.D.I<ref name="C.D.I." />. noté <math>\;M\;</math> pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du ressort, <math>\;M\;</math> étant initialement écarté de sa position à ressort à vide de <math>\;5,5\;a_1\;</math> et lâché sans vitesse initiale, <math>\;a_1\;</math> étant l'écart maximal compatible avec l'équilibre]] [[File:Pendule élastique horizontal - penta.png|thumb|right|400px|Diagramme horaire de position d'un P.E.H<ref name="P.E.H." />. constitué d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> à spires non jointives<ref name="ressort à spires non jointives" /> dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité reliée à un solide assimilé à son C.D.I<ref name="C.D.I." />. noté <math>\;M\;</math> pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du ressort, <math>\;M\;</math> étant initialement écarté de sa position à ressort à vide de <math>\;19,5\;a_1\;</math> et lâché sans vitesse initiale, <math>\;a_1\;</math> étant l'écart maximal compatible avec l'équilibre]] {{Al|5}}<u>Tracé du diagramme horaire de position pour</u><math>\;\beta = 5,5\;</math> <math>\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)</math>. * 1^ère phase : loi horaire de position «<math>\;x(t) = a_1\, \left[ 1 + 4,5\; \cos(\omega_0\; t) \right]\;</math>» correspondant à une demi-oscillation autour de <math>\;x = a_1\;</math> d'amplitude de <math>\;4,5\;a_1</math>, * 2^ème phase : loi horaire de position «<math>\;x(t') =</math> <math>-a_1\, \left[ 1 + 2,5\; \cos(\omega_0\; t') \right]\;</math>» correspondant à une demi-oscillation autour de <math>\;x = -a_1\;</math> d'amplitude de <math>\;2,5\;a_1</math>, * 3^ème phase : loi horaire de position «<math>\;x(t'') =</math> <math>a_1\, \left[ 1 + 0,5\; \cos(\omega_0\; t'') \right]\;</math>» correspondant à une demi-oscillation autour de <math>\;x = a_1\;</math> d'amplitude de <math>\;0,5\;a_1</math>, * position d'arrêt à l'abscisse <math>\;x_{\text{éq}} = 0,5\;a_1</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si <math>\;\beta\;</math> est nettement plus grand de façon à ce qu'on puisse observer beaucoup plus de demi-oscillations successives, on observerait un amortissement qui, pratiquement, pourrait être qualifié de « linéaire » voir ci-contre à droite avec le cas <math>\;\beta = 19,5\;a_1</math>.}} == Condition de propulsion verticale d'un objet posé sur un ressort idéal comprimé (principe de la catapulte verticale) == [[File:Catapulte verticale.png|thumb|Principe de la propulsion verticale d'un objet posé sur un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme]] {{Al|5}}Un objet assimilable à un point matériel <math>\;A</math>, de masse <math>\;m</math>, est posé sur un plateau horizontal assimilable à son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;P</math>, de masse <math>\;M</math>, soutenu par des ressorts verticaux équivalents à un ressort unique idéal<ref name="ressort idéal" /> de raideur <math>\;k\;</math>et de longueur à vide <math>\;l_0</math> ; {{Al|5}}l'ensemble « ressort, plateau, objet posé » est guidé verticalement, dans un champ de pesanteur <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme, par un système non représenté sur le schéma ci-contre ; {{Al|5}}la liaison entre l'objet posé et le plateau est unilatérale avec ou sans frottement solide, l'existence d'un éventuel frottement solide ne jouant aucun rôle dans la mesure où toutes les forces actives qui interviennent dans le problème étant verticales<ref> À l'exception des éventuelles forces exercées par le système de guidage dont le but est de compenser les éventuelles forces horizontales parasites s'exerçant sur le ressort équivalent <math>\;\ldots</math></ref>, les réactions tangentielles que le plateau exerce sur l'objet ou que l'objet exerce sur le plateau sont nulles. {{Al|5}}On appuie sur le plateau qui se déplace verticalement d'une longueur <math>\;a\;</math> comptée à partir de sa position d'équilibre initiale, et on le lâche sans vitesse initiale. {{Al|5}}À partir de quelle valeur de <math>\;a\;</math> l'objet assimilé au point matériel <math>\;A\;</math> quittera-t-il le plateau au cours du mouvement ? <br> {{ solution | contenu = [[File:Catapulte verticale - bis.png|thumb|350px|Schémas à l'équilibre et à l'instant <math>\;t\;</math> relatifs à la propulsion verticale d'un objet posé sur un plateau lié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme, avec représentation des forces extérieures appliquées à l'ensemble « objet - plateau » à l'instant <math>\;t\;</math> si le contact entre les deux est effectif]] {{Al|5}}Toutes les études sont faites dans le référentiel lié au sol, référentiel supposé galiléen. {{Al|5}}Tant que la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;P\;</math> sur <math>\;A\;</math> existe<ref> En liaison unilatérale, la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;P\;</math> sur <math>\;A\;</math> doit être de sens s'opposant à la pénétration de <math>\;A\;</math> dans <math>\;P\;</math> susceptible de se produire c.-à-d. dirigée vers le haut.</ref> et est <math>\;\neq 0</math>, le point <math>\;A\;</math> reste solidaire du plateau de C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;P\;</math><ref> Et par suite, forme un tout dont chaque partie a même mouvement éventuel donc même accélération éventuelle.</ref>, c'est dans cette hypothèse que nous nous plaçons dans la suite ; {{Al|5}}pour déterminer <math>\;\vec{R}\;</math> on appliquera la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. à <math>\;A\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{R}\;</math> étant une force directement appliquée à <math>\;A\;</math> et cette dernière n'étant qu'une force intérieure à l'ensemble <math>\;A \cup P\;</math> l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à cet ensemble ne la fera par intervenir <math>\;\ldots</math></ref> ce qui permettra d'exprimer <math>\;\vec{R}\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\vec{a}_A(t)\;</math> accélération éventuelle de <math>\;A</math>, laquelle est égale à celle de <math>\;P\;</math> ou de l'ensemble <math>\;A \cup P\;</math> tant que <math>\;A\;</math> n'a pas quitté le plateau ; {{Al|5}}pour déterminer le mouvement éventuel de <math>\;A\;</math> ou de <math>\;P\;</math> ou de l'ensemble <math>\;A \cup P\;</math> dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> n'a pas quitté le plateau, on appliquera le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. à l'ensemble <math>\;A \cup P\;</math><ref> De façon à ce que <math>\;\vec{R}</math>, force intérieure à l'ensemble, n'y apparaisse pas.</ref>{{,}}<ref name="théorème du mouvement du C.D.I." />, ce qui permettra d'exprimer l'accélération éventuelle commune en fonction des données. {{Al|5}}<u>Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau »</u> : soit <math>\;C_{\text{éq}} = l_0 - l_{\text{éq}}\;</math> la compression du ressort à l'équilibre de l'ensemble <math>\;A \cup P\;</math><ref> <math>\;l_{\text{éq}}\;</math> étant la longueur du ressort à l'équilibre est <math>\;<\;</math> à sa longueur à vide <math>\;l_0</math>, ce qui définit effectivement une compression <math>\;C_{\text{éq}} > 0\;</math> qui est l'opposé de son allongement <math>\;\Delta l_{\text{éq}} = l_{\text{éq}} - l_0\;</math> lequel est donc <math>\;< 0</math>.</ref>, l'étude de l'équilibre de ce dernier nous fournit «<math>\;C_{\text{éq}} = \dfrac{(M + m)\; g}{k}\;</math>»<ref> En effet la somme des forces extérieures étant nulle à l'équilibre nous avons «<math>\;\left( M + m \right)\,\vec{g} + \vec{T}_{\text{éq}} = \vec{0}\;</math>» avec <math>\;\vec{T}_{\text{éq}}\;</math> vecteur force que le ressort exerce sur l'ensemble <math>\;A \cup P\;</math> à l'équilibre, dirigé vers le haut et égal à «<math>\;\vec{T}_{\text{éq}} = -k\;C_{\text{éq}}\;\vec{u}_x\;</math>» <math>\;\big(</math>le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_x\;</math> de l'axe étant orienté vers le bas<math>\big)\;</math> et <math>\;\left( M + m \right)\,\vec{g}\;</math> le poids de l'ensemble <math>\;A \cup P\;</math> égal à «<math>\;\left( M + m \right)\,\vec{g} = \left( M + m \right)\,g\;\vec{u}_x\;</math>» d'où «<math>\;\left( M + m \right)\,g - k\;C_{\text{éq}} = 0\;</math>» <math>\;\ldots</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : }}cette position d'équilibre servant d'origine pour le repérage du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de l'ensemble « objet - plateau »<ref> Nous négligerons la dimension longitudinale de l'objet et du plateau c.-à-d. que le C.D.I. de l'ensemble « objet - plateau » est confondu avec le point matériel <math>\;A\;</math> modélisant l'objet et avec le C.D.I. <math>\;P\;</math> du plateau.</ref>, la force <math>\;\vec{T}(t)\;</math> que le ressort exerce sur <math>\;A \cup P\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est dirigée vers le haut tant que le ressort est comprimé et la compression totale à cet instant s'écrivant <math>\;C_t = C_{\text{éq}} + x(t)\;</math> avec <math>\;x\;</math> abscisse de <math>\;A \cup P</math>, on en déduit «<math>\;\vec{T}(t) = -k\; C_t\;\vec{u}_x = -k\, \left[ C_{\text{éq}} + x(t) \right]\, \vec{u}_x\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : }}la seule autre force extérieure s'exerçant sur l'ensemble « objet - plateau » étant le poids de ce dernier «<math>\;\left( M + m \right)\,\vec{g} = \left( M + m \right)\,g\;\vec{u}_x\;</math>», l'application du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. à <math>\;A \cup P\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> donne, en projetant sur <math>\;\vec{u}_x</math>, l'équation différentielle en <math>\;x(t)\;</math> suivante «<math>\;-k\, \left[ C_{\text{éq}} + x(t) \right] + \left( M + m \right)\,g = \left( M + m \right)\,\ddot{x}(t)\;</math>», soit, après simplification utilisant la condition d'équilibre «<math>\;C_{\text{éq}} =</math> <math>\dfrac{(M + m)\; g}{k}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left( M + m \right)\,g = k\;C_{\text{éq}}\;</math>» et normalisation, la réécriture de l'équation différentielle en <math>\;x(t)\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : }}«<math>\;\ddot{x}(t) + \dfrac{k}{M + m}\; x(t) = 0\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : }}c'est-à-dire une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : c'est-à-dire }}une équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{M + m}}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : }}on en déduit la forme de la solution «<math>\;x(t) = A\; \cos(\omega_0\; t) + B\; \sin(\omega_0\; t)\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er homogène"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] (d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre homogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> constantes d'intégration se déterminant par utilisation des C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x(0) = a \\ \dot{x}(0) = 0\end{array} \right\rbrace\;</math>», la 1^ère conduisant à «<math>\;A = a\;</math>» et la 2^nde à <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref> En effet <math>\;\dot{x}(t) = -A\;\omega_0\;\sin(\omega_0\;t) + B\;\omega_0\;\cos(\omega_0\;t)</math>.</ref> soit «<math>\;B = 0\;</math>» d'où finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : }}«<math>\;x(t) = a\; \cos(\omega_0\; t)\;</math>» et par suite l'accélération de <math>\;A \cup P\;</math> et aussi celle de <math>\;A\;</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : }}«<math>\;a_{x,\,A\, \cup\, P}(t) = a_{x,\,A}(t) = \ddot{x}(t) = -\omega_0^2\;x(t) = -\dfrac{k}{M + m}\;x(t) = -\dfrac{k\;a}{M + m}\;\cos(\omega_0\;t)\;</math>». [[File:Catapulte verticale - ter.png|thumb|Schéma à l'instant <math>\;t\;</math> relatif à la propulsion verticale d'un objet posé sur un plateau lié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme, avec représentation des forces appliquées à l'objet à l'instant <math>\;t\;</math> dans l'hypothèse où le contact entre l'objet et le plateau est effectif]] {{Al|5}}<u>Détermination de la réaction que le plateau exerce sur l'objet</u> : <math>\;A\;</math> étant soumis à deux forces, son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_x\;</math>» et la réaction du plateau <math>\;\vec{R}\;</math> de sens opposé à celui de la pénétration de l'objet dans le plateau susceptible de se produire à savoir de sens contraire à <math>\;\vec{u}_x\;</math> d'où «<math>\;\vec{R} = -R_n\;\vec{u}_x\;</math> avec <math>\;R_n > 0\;</math> pour un contact effectif » <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;A\;</math> et projetée sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> donne «<math>\;-R_n(t) + m\; g = m\; \ddot{x}(t)\;</math>» ou, en reportant l'expression «<math>\;\ddot{x}(t) = -\dfrac{k\;a}{M + m}\;\cos(\omega_0\;t)\;</math>» précédemment trouvée on en déduit l'expression de la composante normale de la réaction «<math>\;R_n(t) = m\, \left[ g - \ddot{x}(t) \right] = m\, \left[ g + \dfrac{k\;a}{M + m}\;\cos(\omega_0\;t) \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Détermination de la condition de maintien de contact entre l'objet et la plateau</u> : Cette condition s'écrit «<math>\;R_n(t) > 0, \;\; \forall\;t\;</math>» avec «<math>\;R_n(t)\;</math> fonction continue <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;t \in \left[ 0\,,\, \dfrac{T_0}{2} \right]\;</math>» dans lequel «<math>\;T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{M + m}{k}}\;</math> est la période propre de l'oscillateur harmonique non amorti constitué de l'ensemble lié <math>\;A \cup P\;</math> fixé au ressort » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la condition de maintien de contact entre l'objet et la plateau : }}on utilise alors la C.N<ref name="C.N." />. de positivité d'une fonction continue d'une variable sur un intervalle, {{Nobr|c'est-à-dire}} « minimum de cette fonction sur cet intervalle positif » soit ici <math>\;R_n(t) > 0, \;\; \forall\;t\;</math> réalisé si «<math>\;\min\limits_{t \in \left[ 0\,,\, \frac{T_0}{2} \right]} \left\lbrace m\, \left[ g + \dfrac{k\;a}{M + m}\;\cos(\omega_0\;t) \right] \right\rbrace = m\, \left[ g - \dfrac{k\;a}{M + m} \right] > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la condition de maintien de contact entre l'objet et la plateau : }}la condition de maintien du contact entre l'objet et le plateau «<math>\;a < \dfrac{\left( M + m \right)\,g}{k} = C_{\text{éq}}\;</math>»<ref> On peut remarquer qu'avec cette condition le ressort reste toujours comprimé puisque la compression à l'instant <math>\;t\;</math> à savoir <math>\;C_t = C_{\text{éq}} + x(t)\;</math> est minimale quand <math>\;x(t)\;</math> l'est c.-à-d. quand <math>\;x(t)\;</math> prend la valeur <math>\;-a\;</math> ce qui donne alors une compression minimale égale à <math>\;C_{\text{min}} = C_{\text{éq}} - a > 0</math>, l'annulation correspondant à la valeur maximale de <math>\;a\;</math> pour que le contact soit maintenu <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : Le point <math>\;A\;</math> décollera donc du plateau pour une compression initiale supplémentaire relativement à la compression à l'équilibre de «<math>\;a \geqslant \dfrac{(M + m)\; g}{k} = C_{\text{éq}}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}il n'y a plus contact entre <math>\;A\;</math> et le plateau à l'instant où le ressort cesse d'être comprimé dans le mouvement de l'oscillateur harmonique non amorti constitué de l'ensemble supposé lié <math>\;A \cup P\;</math> fixé au ressort<ref> Ou encore quand le ressort atteint sa longueur à vide dans le courant du mouvement de l'oscillateur harmonique non amorti constitué de l'ensemble supposé lié <math>\;A \cup P\;</math> fixé au ressort.</ref>.}} == Condition de maintien de contact d'un objet lors de son passage, à vitesse constante, sur une bosse == [[File:Voiture franchissant une bosse à vitesse constante.png|thumb|350px|Schéma d'un objet franchissant, à vitesse constante, une bosse assimilée à un arc de cercle]] {{Al|5}}Une automobile, assimilée à un point matériel, circule à la vitesse instantanée <math>\;v\;</math> uniforme, sur une piste au profil accidenté, l'assimilation de l'automobile à un point matériel ayant pour conséquence que son mouvement peut être considéré comme un glissement ; {{Al|5}}la liaison entre l'automobile et la piste est unilatérale avec frottement solide mais la composante tangentielle de la réaction de la piste sur l'automobile ne jouera aucun rôle car la force motrice <math>\;\big(</math>tangentielle<math>\big)\;</math> s'exerçant sur cette dernière est adaptée pour compenser toutes les autres composantes tangentielles de façon que l'accélération tangentielle soit nulle et donc la vitesse instantanée constante. {{Al|5}}À un instant considéré comme instant origine, la voiture franchit, dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme, une bosse modélisée par deux portions rectilignes raccordées par un arc de cercle de rayon <math>\;l\;</math> et d'ouverture angulaire <math>\;2\; \alpha\;</math> <math>\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}À quelle condition de vitesse l'automobile garde-t-elle le contact avec le sol ? {{Al|5}}<u>Données</u> : <math>\alpha = 10\, \text{°}</math>, <math>\;l = 5\; m\;</math> et l'intensité de la pesanteur terrestre est prise égale à <math>\;g = 9,81\;m \cdot s^{-2}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Données : }}déterminer numériquement la vitesse instantanée minimale pour que l'automobile décolle de la piste et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Données : }}préciser à quel endroit le décollage se produit. {{solution | contenu = [[File:Voiture franchissant une bosse à vitesse constante - bis.png|thumb|350px|Schéma d'un objet franchissant, à vitesse constante, une bosse assimilée à un arc de cercle avec représentation des forces extérieures appliquées et base locale de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="base locale de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] », « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_plane_continue|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>]] {{Al|5}}Le référentiel terrestre dans lequel on étudie le mouvement de la voiture assimilée à un point matériel <math>\;M\;</math> lors du passage sur la bosse est supposé galiléen et on y utilisera la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> liée à <math>\;M\;</math> à savoir <math>\;\left( \vec{\tau}\,,\, \vec{n} \right)\;</math><ref name="base locale de Frenet" /> <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}bilan des forces appliquées à <math>\;M\;</math> simulant la voiture : <math>\blacktriangleright\;</math>son poids «<math>\;m\; \vec{g} = m\;g\;\sin(\theta)\;\vec{\tau} + m\;g\;\cos(\theta)\;\vec{n}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|bilan des forces appliquées à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> simulant la voiture : }}<math>\blacktriangleright\;</math>la force motrice «<math>\;\vec{F}_{\text{mot}} = F_{\text{mot},\,\tau}\;\vec{\tau}\;</math>»<ref> Lors de la montée, la force est effectivement motrice mais dès que la descente est amorcée elle devient une force de freinage en sens contraire du mouvement, le véhicule devant garder une vitesse constante <math>\;\big(</math>c'est le cas de la figure<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|bilan des forces appliquées à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> simulant la voiture : }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction de la piste «<math>\;\vec{R} = R_{\tau}\;\vec{\tau} - R_n\;\vec{n}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|bilan des forces appliquées à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> simulant la voiture : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}la composante normale étant « de sens contraire à celui de la pénétration de la voiture dans la piste » qui est susceptible de se produire c'est-à-dire « de sens contraire à <math>\;\vec{n}\;</math>» ce qui a pour conséquence «<math>\;R_n > 0\;</math> tant que le contact est maintenu » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|bilan des forces appliquées à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> simulant la voiture : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}la composante tangentielle <math>\;\big(</math>ou force de frottement solide<math>\big)\;</math> « de sens contraire au mouvement » c'est-à-dire « de sens contraire à <math>\;\vec{\tau}\;</math>» ce qui a pour conséquence «<math>\;R_\tau < 0\;</math>» avec la loi de frottement de Coulomb<ref name="Coulomb" /> avec glissement <math>\;\vert R_\tau \vert =</math> <math>f\;R_n\;</math><ref name="loi de Coulomb de frottement solide avec glissement" /> dans laquelle <math>\;f\;</math> est le cœfficient commun de frottement solide statique et dynamique<ref name="cœfficients statique et dynamique confondus" /> ; {{Al|5}}la condition de maintien de contact du véhicule sur la piste lors du passage de la bosse étant «<math>\;R_n(\theta) > 0,\;\;\forall\;\theta \in \left[ -\alpha\,,\, +\alpha \right]\;</math>», il convient de déterminer <math>\;R_n(\theta)\;</math> en appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. au point <math>\;M\;</math> simulant la voiture et en la projetant sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="2ème et 3ème vecteurs unitaires de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_plane_continue|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit «<math>\;-R_n(\theta) + m\; g\; \cos(\theta) = m\; a_n = m\; \dfrac{v^2}{l}\;</math>»<ref name="accélérations tangentielle et normale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_locales_de_Frenet_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_accélérations_tangentielle_et_normale_du_point|composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont on tire la composante normale scalaire de la réaction «<math>\;R_n(\theta) = m \left[ g\;\cos(\theta) - \dfrac{v^2}{l} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;R_n(\theta)\;</math> étant une fonction paire de <math>\;\theta</math>, elle sera «<math>\;> 0,\;\;\forall\;\theta \in \left[ -\alpha\,,\, +\alpha \right]\;</math>» si «<math>\;R_n(\theta) > 0,\;\;\forall\;\theta \in \left[ 0\,,\, +\alpha \right]\;</math>» ce qui sera réalisé si «<math>\;\min\limits_{\theta\,\in\,\left[ 0\,,\,\alpha \right]} R_n(\theta) = R_n(\alpha) > 0\;</math>»<ref> <math>\;R_n(\theta)\;</math> étant <math>\;\searrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\alpha \right]</math>.</ref> ou «<math>\;m \left[ g\;\cos(\alpha) - \dfrac{v^2}{l} \right] > 0\;</math>» et finalement le contact du véhicule sur la piste est maintenu si la vitesse instantanée de l'automobile est telle que «<math>\;v < \sqrt{g\;l\;\cos(\alpha)}\;</math>». {{Al|5}}Numériquement on obtient <math>\;v < \sqrt{9,81 \times 5 \times \cos(10\, \text{°})} \simeq 6,95\; m \cdot s^{-1}\;</math> soit «<math>\;v \lesssim 25,0\; km \cdot h^{-1}\;</math>»<ref> On multiplie par <math>\;3,6\;</math> pour passer des <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math> aux <math>\;km \cdot h^{-1}</math>.</ref>. {{Al|5}}Pour que le véhicule décolle de la piste « il suffit qu'il existe une valeur de <math>\;\theta\;</math> pour laquelle <math>\;R_n(\theta) = m \left[ g\;\cos(\theta) - \dfrac{v^2}{l} \right]\;</math> soit <math>\;\lesssim 0\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ -\alpha\,,\, +\alpha \right]\;</math>» c'est-à-dire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le véhicule décolle de la piste «}}<math>\;R_n(\theta)\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ -\alpha\,,\, 0 \right]\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\alpha \right]</math>, il suffit que «<math>\;R_n(-\alpha) = m \left[ g\;\cos(\alpha) - \dfrac{v^2}{l} \right] \lesssim 0\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le véhicule décolle de la piste « }}le véhicule décollera de la piste pour «<math>\;\theta = -\alpha\;</math> si <math>\;v \gtrsim \sqrt{g\;l\;\cos(\alpha)} \simeq 25,0\; km \cdot h^{-1}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Les trois composantes tangentielles à savoir la force motrice, la composante tangentielle du poids et la force de frottement solide se compensent car la vitesse instantanée étant constante, l'accélération tangentielle est nulle, soit <math>\;F_{\text{mot},\,\tau} + m\;g\;\cos(\theta) - \vert R_\tau \vert = 0\;</math> ou <math>\;F_{\text{mot},\,\tau} = f\;R_n(\theta) - m\;g\;\cos(\theta)\;</math> soit finalement «<math>\;F_{\text{mot},\,\tau} = m \left\lbrace f \left[ g\;\cos(\theta) - \dfrac{v^2}{l} \right] - g\;\cos(\theta) \right\rbrace\;</math>».}} == Corde idéale enroulée sur une tige avec présence de frottement solide entre la corde et la tige == [[File:Corde enroulée sur une tige.png|thumb|250px|Schéma descriptif d'une corde idéale<ref name="corde idéale"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> enroulée sur une tige horizontale avec frottement solide entre la corde et la tige]] {{Al|5}}Une corde idéale<ref name="corde idéale" /> passe autour d'une tige cylindrique de rayon <math>\;R</math>, horizontale, immobile, en faisant exactement un demi-tour sur la tige comme on peut le voir sur le schéma ci-contre. {{Al|5}}Npus nous proposons de calculer la valeur minimale <math>\;F_0\;</math> de la norme de la force <math>\;\vec{F}\;</math> verticale descendante qu’il faut exercer à l'extrémité <math>\;A\;</math> de la corde pour empêcher la charge <math>\;\mathcal{P}</math>, de masse <math>\;m</math>, accrochée à l’autre extrémité <math>\;B\;</math> de la corde, de tomber, le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> étant uniforme d'intensité <math>\;g</math> ; {{Al|5}}nous supposons que le coefficient de frottement de glissement de la corde sur la tige est égal à <math>\;f\;</math><ref name="cœfficients statique et dynamique confondus" /> et {{Al|5}}{{Transparent|nous supposons }}que la corde est tendue c'est-à-dire qu'elle est rectiligne quand elle ne repose pas sur la tige et circulaire de rayon <math>\;R\;</math> quand elle y est en contact. {{Al|5}}En appliquant le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. à un élément de corde en contact avec la tige, puis <br>{{Al|5}}en intégrant l’équation obtenue, évaluer «<math>\;\dfrac{F_0}{m\;g}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|en intégrant l'équation obtenue, }}faire l'A.N<ref name="A.N."> Application Numérique.</ref>. pour <math>\;f = 0,2</math>. {{Al|5}}Supposant maintenant que la corde est enroulée de <math>\;n\;</math> tours sur la tige en plus du demi-tour, établir comment «<math>\;\dfrac{F_0}{m\;g}\;</math>» varie avec <math>\;n\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Supposant maintenant que la corde est enroulée de <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> tours sur la tige en plus du demi-tour, }}reprendre l'A.N<ref name="A.N." />. avec <math>\;f = 0,2\;</math> pour <math>\;n = 1\;</math> puis <math>\;2</math>. {{solution | contenu = [[File:Corde enroulée sur une tige - bis.png|thumb|400px|Bilan de forces appliquées à un élément de idéale<ref name="corde idéale" /> enroulée sur une tige horizontale avec frottement solide entre la corde et la tige]] {{Al|5}}Considérons l’élément «<math>\;\overset{\frown}{II'}\;</math> de longueur <math>\;R\;d \theta\;</math>», de la corde au contact de la tige, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérons l'élément }}«<math>\;I\;</math> étant repéré par l’angle polaire <math>\;\widehat{\left( \overrightarrow{Cx}\,,\,\overrightarrow{CI} \right)} = \theta - \dfrac{d \theta}{2}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérons l'élément }}«<math>\;I'\;</math> repéré par l'angle polaire <math>\;\widehat{\left( \overrightarrow{Cx}\,,\,\overrightarrow{CI'} \right)} = \theta + \dfrac{d \theta}{2}\;</math>», <br>{{Al|5}}les forces extérieures exercées sur cet élément <math>\;\big(</math>dans la mesure où le poids de l'élément est nul, sa masse l'étant de par l'une des propriétés d'une corde idéale<ref name="corde idéale" /><math>\big)\;</math> sont * les tensions <math>\;\vec{T}\;</math> et <math>\;\vec{T}'\;</math> exercées par le restant de la corde située respectivement avant l'extrémité <math>\;I\;</math> et après l'extrémité <math>\;I'\;</math> de l'élément de corde <math>\;\overset{\frown}{II'}</math>, avec «<math>\;\vec{T} = -T\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right)\, \vec{u}_\theta\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right)\;</math>» et «<math>\;\vec{T}' = T\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right)\, \vec{u}_\theta\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right)\;</math>» dans lesquelles <math>\;T(\theta)\;</math> est la norme de la tension de la corde au C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G_{\overset{\frown}{II'}}\;</math> de l'élément <math>\;\overset{\frown}{II'}</math>, <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> étant le vecteur unitaire orthoradial du repérage polaire de pôle <math>\;C\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Cx}\;</math> des points de la section droite de la tige contenant la corde <math>\;\big(\vec{u}_r\;</math> étant le vecteur unitaire radial du même repérage<math>\big)\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Repérage_cylindro-polaire_d'axe_fixé_d'un_point_dans_la_composante_d'espace_du_référentiel_d'étude|repérage cylindro-polaire d'exe fixé d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et * la réaction <math>\;d \vec{R}\;</math> de la tige sur l'élément de corde <math>\;\overset{\frown}{II'}</math>, <math>\;d \vec{R}\;</math> se décomposant en « une composante normale <math>\;d \vec{R}_n = dR_n(\theta)\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;dR_n(\theta) > 0\;</math>» et « une composante tangentielle <math>\;d \vec{R}_\tau = \overline{dR_\tau}(\theta)\;\vec{u}_\theta\;</math> avec <math>\;\overline{dR_\tau} > 0\;</math> si la corde tend à glisser dans le sens <math>\;-</math> <math>\;\big(</math>cas de la figure<math>\big)</math> <math>\;\big\{\overline{dR_\tau} < 0\;</math> si la corde tend à glisser dans le sens <math>\;+\big\}\;</math>» ; {{Al|5}}appliquant le théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. à l'élément de corde <math>\;\overset{\frown}{II'}\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." />, nous obtenons «<math>\;\vec{T} + \vec{T}' + d \vec{R}_n + d \vec{R}_\tau = dm_{\overset{\frown}{II'}}\; \vec{a}(G_{\overset{\frown}{II'}})</math> <math>= \vec{0}\;</math>» car <math>\;dm_{\overset{\frown}{II'}} = 0\;</math> <math>\big(</math>selon une propriété d'une corde idéale<ref name="corde idéale" /><math>\big)\;</math> soit, en projetant sur chaque vecteur de base polaire lié à <math>\;G_{\overset{\frown}{II'}}</math>, * sur <math>\;\vec{u}_r</math> : «<math>\;-T\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right)\, \vec{u}_\theta\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) \cdot \vec{u}_r(\theta) + T\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right)\, \vec{u}_\theta\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right) \cdot \vec{u}_r(\theta) + dR_n(\theta) = 0\;</math>» et, <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_r}</math> : }}en utilisant l'approximation linéaire d'une fonction <math>\;\big(</math>vectorielle<math>\big)\;</math> d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs<ref name="approximation linéaire d'une fonction au voisinage d'une valeur"> Généralisation à une fonction vectorielle du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Rappel_de_l'approximation_linéaire_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs|rappel de l'approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs]] (concernant les fonctions scalaires) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_r}</math> : en utilisant l'approximation linéaire }}«<math>\;\vec{u}_\theta\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) \simeq \vec{u}_\theta(\theta) - \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}(\theta)\;\dfrac{d \theta}{2}\;</math>» avec <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}(\theta) = -\vec{u}_r(\theta)\;</math><ref name="dérivée des vecteurs de base cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] (à retenir → dérivées des vecteurs de base radial et orthoradial par rapport à θ) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <math>\;\rho\;</math> devant être remplacé ici par <math>\;r</math>.</ref> d'où «<math>\;\vec{u}_\theta\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) \simeq \vec{u}_\theta(\theta) + \dfrac{d \theta}{2}\;\vec{u}_r(\theta)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_\theta\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) \cdot \vec{u}_r(\theta) \simeq \dfrac{d \theta}{2}\;</math>» et <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_r}</math> : en utilisant l'approximation linéaire }}«<math>\;\vec{u}_\theta\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right) \simeq \vec{u}_\theta(\theta) + \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}(\theta)\;\dfrac{d \theta}{2} = \vec{u}_\theta(\theta) - \dfrac{d \theta}{2}\;\vec{u}_r(\theta)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_\theta\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right) \cdot \vec{u}_r(\theta) \simeq -\dfrac{d \theta}{2}\;</math>», <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_r}</math> : }}la réécriture de la projection du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> «<math>\;-T\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right)\, \dfrac{d \theta}{2} + T\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right) \left( -\dfrac{d \theta}{2} \right) + dR_n(\theta) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;dR_n(\theta) \simeq \dfrac{T\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) + T\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right)}{2}\;d \theta\;</math>» ou, <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_r}</math> : }}en utilisant de nouveau l'approximation linéaire à la fonction en facteur de <math>\;d \theta\;</math> «<math>\;dR_n(\theta) \simeq T(\theta)\;d \theta\;</math>»<ref name="approximation linéaire de la fonction tension du câble"> En effet les approximations linéaires de la fonction <math>\;T\;</math> au voisinage de la valeur <math>\;\theta\;</math> donne «<math>\;T\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) \simeq T(\theta) - \dfrac{d T}{d \theta}(\theta)\;\dfrac{d \theta}{2}\;</math>» et <br>{{Al|20}}{{Transparent|En effet les approximations linéaires de la fonction <math>\;\color{transparent}{T}\;</math> au voisinage de la valeur <math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> donne }}«<math>\;T\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right) \simeq T(\theta) + \dfrac{d T}{d \theta}(\theta)\;\dfrac{d \theta}{2}\;</math>» d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|En effet les approximations linéaires de la fonction <math>\;\color{transparent}{T}\;</math> au voisinage de la valeur <math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> donne }}<math>\succ\;</math>«<math>\;T\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) + T\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right) \simeq 2\;T(\theta)\;</math>» d'une part et <br>{{Al|20}}{{Transparent|En effet les approximations linéaires de la fonction <math>\;\color{transparent}{T}\;</math> au voisinage de la valeur <math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> donne }}<math>\succ\;</math>«<math>\;T\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) - T\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right) \simeq -2\;\dfrac{d T}{d \theta}(\theta)\;\dfrac{d \theta}{2}\;</math>» d'autre part.</ref> et * sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> : «<math>\;-T\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right)\, \vec{u}_\theta\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) \cdot \vec{u}_\theta(\theta) + T\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right)\, \vec{u}_\theta\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right) \cdot \vec{u}_\theta(\theta) + \overline{dR_\tau}(\theta) = 0\;</math>» et sachant que <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{u}_\theta\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) \simeq \vec{u}_\theta(\theta) + \dfrac{d \theta}{2}\;\vec{u}_r(\theta)\\ \vec{u}_\theta\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right) \simeq \vec{u}_\theta(\theta) - \dfrac{d \theta}{2}\;\vec{u}_r(\theta)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{u}_\theta\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) \cdot \vec{u}_\theta(\theta) \simeq 1\\ \vec{u}_\theta\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right) \cdot \vec{u}_\theta(\theta) \simeq 1\end{array}\right\rbrace</math>, <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : }}la réécriture de la projection du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> «<math>\;-T\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) + T\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right) + \overline{dR_\tau}(\theta) \simeq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{dR_\tau}(\theta) \simeq T\! \left( \theta - \dfrac{d \theta}{2} \right) - T\! \left( \theta + \dfrac{d \theta}{2} \right)\;</math>» ou, <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : }}en utilisant de nouveau l'approximation linéaire à la fonction <math>\;T(\theta)\;</math> «<math>\;\overline{dR_\tau}(\theta) \simeq -\dfrac{d T}{d \theta}(\theta)\;d \theta\;</math>»<ref name="approximation linéaire de la fonction tension du câble" /> ; <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : }}<math>\succ\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;-</math>, «<math>\;\overline{dR_\tau}(\theta)\;</math> étant <math>\;> 0\;</math>» nous en déduisons «<math>\;\dfrac{d T}{d \theta}(\theta) < 0\;</math>» correspondant à une tension de corde <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;I(\theta = 0)\;</math> à <math>\;I(\theta = \pi)</math>, <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, }}la loi empirique de frottement de Coulomb<ref name="Coulomb" /> dans le cas d'un glissement «<math>\;\Big\vert \overline{dR_\tau}(\theta) \Big\vert = f\;\vert dR_n(\theta) \vert\;</math>»<ref name="loi de Coulomb de frottement solide avec glissement" /> s'écrivant ici «<math>\;\overline{dR_\tau}(\theta) = f\;dR_n(\theta)\;</math>»<ref name="dR(theta) positif"> <math>\;dR(\theta)\;</math> étant <math>\;> 0</math>.</ref> <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement}}ou «<math>\;-\dfrac{d T}{d \theta}(\theta)\;d \theta = f\;T(\theta)\;d \theta\;</math>» et, en simplifiant et ordonnant, l'équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}«<math>\;\dfrac{d T}{d \theta}(\theta) + f\;T(\theta) = 0\;</math>» s'intégrant en «<math>\;T(\theta) = A\;\exp\! \left( -f\;\theta \right)\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}<math>\;A\;</math> constante d'intégration à déterminer à l'aide de la C.A.L<ref name="C.A.L."> Condition À la Limite.</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> constante d'intégration à déterminer à l'aide de }}«<math>\;T(\theta = 0) = T_B\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}où «<math>\;T_B\;</math> est la tension de la corde exercée sur la charge <math>\;\mathcal{P}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}«<math>\;T_B = m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\;</math>»<ref name="étude du mouvement de la charge"> S'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. à la charge <math>\;\mathcal{P}\;</math> soit, projeté sur un axe vertical descendant «<math>\;-T_B + m\;g = m\;a_{B,\,z}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;T_B = m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\;</math>», la composante de l'accélération de <math>\;B\;</math> sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> restant à déterminer.</ref> <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la C.A.L<ref name="C.A.L." />. <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «<math>\;\color{transparent}{T_B = m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> la }}«<math>\;T(\theta = 0) = m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}donnant «<math>\;A = m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}«<math>\;T(\theta) = m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\,\exp\! \left( -f\;\theta \right)\;</math>» <math>\;\big(a_{B,\,z}\;</math> restant à déterminer<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}«<math>\;T(\theta = \pi) = m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\,\exp\! \left( -f\;\pi \right)\;</math>» avec «<math>\;T(\theta = \pi) = T_A\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}où «<math>\;T_A\;</math> est la tension de la corde exercée sur l'extrémité <math>\;A\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}«<math>\;T_A = F\;</math>»<ref name="étude du mouvement de A"> S'obtenant par application de la r.f.d.n. à l'extrémité <math>\;A\;</math> de la corde soit, projeté sur un axe vertical ascendant <math>\;T_A - F = 0 \times a_{A,\,z'} = 0\;</math> <math>\big(A\;</math> étant de masse nulle<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;T_A = F\;</math>».</ref> et par suite «<math>\;F = T(\theta = \pi)</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «<math>\;\color{transparent}{T_A = F}\;</math>» et par suite «<math>\;\color{transparent}{F}\;</math> }}<math>= m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\,\exp\! \left( -f\;\pi \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, }}l'accélération verticale descendante de <math>\;\mathcal{P}\;</math> «<math>\;a_{B,\,z} = g - \dfrac{F}{m}\;\exp\! \left( f\;\pi \right)\;</math>» effectivement <math>\;> 0\;</math><ref> Correspondant à la charge <math>\;\mathcal{P}\;</math> insuffisamment retenue par la corde et par suite subissant une chute retenue.</ref> si <math>\;m\,g > F\,\exp\! \left( f\,\pi \right)\;</math> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, l'accélération verticale descendante de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{a_{B,\,z} = g - F\;\exp\! \left( f\;\pi \right)}\;</math>» effectivement <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}si «<math>\;F < m\,g \,\exp\! \left( -f\,\pi \right)\;</math>»<ref name="Valeur de F pour glissement dans le sens -"> Dans la mesure où un glissement dans le sens <math>\;-\;</math> est amorcé, ce dernier perdure si « la norme de la force <math>\;\vec{F}\;</math> exercée sur l'extrémité <math>\;A\;</math> de la corde vérifie le relation suivante <math>\;\Vert \vec{F} \Vert < F_{(0,\,\downarrow)} = m\,g \,\exp\! \left( -f\,\pi \right)\;</math>».</ref> ; <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : }}<math>\succ\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;-</math>, «<math>\;\overline{dR_\tau}(\theta)\;</math> étant <math>\;> 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d T}{d \theta}(\theta) < 0\;</math>» correspondant à une tension de corde <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;I(\theta = 0)\;</math> à <math>\;I(\theta = \pi)</math>, <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, }}la loi empirique de frottement de Coulomb<ref name="Coulomb" /> d'un non glissement «<math>\;\Big\vert \overline{dR_\tau}(\theta) \Big\vert < f\;\vert dR_n(\theta) \vert\;</math>»<ref name="loi de Coulomb de frottement solide sans glissement" /> s'écrivant ici <br>{{Al|4}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb d'un non glissement }}«<math>\;\overline{dR_\tau}(\theta) < f\;dR_n(\theta)\;</math>»<ref name="dR(theta) positif" /> avec «<math>\;\overline{dR_\tau}(\theta) \simeq</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb d'un non glissement «<math>\;\color{transparent}{\overline{dR_\tau}(\theta) < f\;dR_n(\theta)}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{\overline{dR_\tau}(\theta)}</math>}}<math>-\dfrac{d T}{d \theta}(\theta)\;d \theta\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb d'un non glissement }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;-\dfrac{d T}{d \theta}(\theta)\;d \theta < f\;T(\theta)\;d \theta\;</math>» et, dans le cas limite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb d'un non glissement <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;-\dfrac{d T_{\text{non gliss., lim}}}{d \theta}(\theta)\;d \theta = f\;T_{\text{non gliss., lim}}(\theta)\;d \theta\;</math>»<ref name="cas limite"> L'égalité limite correspondant au cas d'un glissement dans le sens <math>\;-\;</math> avec accélération de charge nulle en effet, la transition limite du non glissement au glissement se faisant sans discontinuité de force de frottement solide du fait de la confusion des cœfficients de frottement statique et dynamique donc sans discontinuité d'accélération de charge, nous pouvons affirmer que pour une même norme de <math>\;\vec{F}\;</math> égale à <math>\;F_{(0,\,\downarrow)} = m\,g \,\exp\! \left( -f\,\pi \right)\;</math> <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#cite_note-61|⁶¹]] » plus haut dans ce paragraphe<math>\big)</math>, «<math>\;T_{\text{non gliss., lim}}(\theta) = T_{\text{gliss. avec }a_{B,\,z}\, =\, 0}(\theta)\;</math>» et «<math>\;-\dfrac{d T_{\text{non gliss., lim}}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-\dfrac{d T_{\text{gliss. avec }a_{B,\,z}\, =\, 0}}{d \theta}(\theta)\;</math>» d'où «<math>\;-\dfrac{d T_{\text{gliss. avec }a_{B,\,z}\, =\, 0}}{d \theta}(\theta) = f\;T_{\text{gliss. avec }a_{B,\,z}\, =\, 0}(\theta)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-\dfrac{d T_{\text{non gliss., lim}}}{d \theta}(\theta)\;d \theta = f\;T_{\text{non gliss., lim}}(\theta)\;d \theta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb d'un non glissement <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}cas limite obtenu avec «<math>\;F_{(0,\,\downarrow)} = m\,g \,\exp\! \left( -f\,\pi \right)\;</math>»<ref name="cas limite" />, <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, }}partant du cas limite de glissement avec accélération de charge nulle obtenu pour <math>\;F_{(0,\,\downarrow)} = m\,g \,\exp\! \left( -f\,\pi \right)\;</math><ref name="Valeur de F pour glissement dans le sens -" />, il faut, <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, }}pour passer au cas de non glissement, faire <math>\;\nearrow\; \Vert \vec{F} \Vert\;</math> <math>\big(</math>sa <math>\;\searrow\;</math> ayant pour effet de fournir une accélération de charge non nulle<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, }}d'où, en écrivant les C.N<ref name="C.N." />. d'équilibre de <math>\;A\;</math> et de la charge <math>\;B</math>, «<math>\;T_{\text{non gliss.}}(\theta = 0) = m\;g\;</math> constante » et <br>{{Al|6}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, d'où, en écrivant les C.N. d'équilibre de <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> et de la charge <math>\;\color{transparent}{B}</math>, }}«<math>\;T_{\text{non gliss.}}(\theta = \pi) = F\;</math> <math>\nearrow\;</math>», nous en déduisons que <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, }}«<math>\;T_{\text{non gliss.}}(\theta)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;T_{\text{non gliss., lim}}(\theta) = T_{\text{gliss. avec }a_{B,\,z}\, =\, 0}(\theta)\;</math>» soit, en faisant <math>\;\theta = \pi</math>, <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, }}«<math>\;F = T_{\text{non gliss.}}(\theta = \pi) > T_{\text{non gliss., lim}}(\theta = \pi) = T_{\text{gliss. avec }a_{B,\,z}\, =\, 0}(\theta = \pi) = F_{(0,\,\downarrow)} = m\,g \,\exp\! \left( -f\,\pi \right)\;</math>»<ref name="cas limite" /> d'où <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, }}il y a non glissement pour «<math>\;F > F_{(0,\,\downarrow)} = m\,g \,\exp\! \left( -f\,\pi \right)\;</math>» et <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens <math>\;\color{transparent}{-}</math>, il y a non glissement }}à condition que <math>\;F\;</math> ne soit pas trop grande pour engendrer un glissement dans le sens <math>\;+</math> ; <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : }}<math>\succ\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;+\;</math><ref name="en complément"> Traité en complément car ce cas n'est pas envisagé dans la question posée.</ref>, «<math>\;\overline{dR_\tau}(\theta)\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>» nous en déduisons «<math>\;\dfrac{d T}{d \theta}(\theta) > 0\;</math>» correspondant à une tension de corde <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;I(\theta = 0)\;</math> à <math>\;I(\theta = \pi)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, }}la loi empirique de frottement de Coulomb<ref name="Coulomb" /> dans le cas d'un glissement «<math>\;\Big\vert \overline{dR_\tau}(\theta) \Big\vert = f\;\vert dR_n(\theta) \vert\;</math>»<ref name="loi de Coulomb de frottement solide avec glissement" /> s'écrivant ici «<math>\;\overline{dR_\tau}(\theta) = -f\;dR_n(\theta)\;</math>»<ref name="dR(theta) négatif"> <math>\;dR(\theta)\;</math> étant <math>\;< 0</math>.</ref> <br>{{Al|4}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}ou «<math>\;-\dfrac{d T}{d \theta}(\theta)\;d \theta = -f\;T(\theta)\;d \theta\;</math>» ou, en simplifiant et ordonnant, <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}«<math>\;\dfrac{d T}{d \theta}(\theta) - f\;T(\theta) = 0\;</math>» qui s'intègre en «<math>\;T(\theta) = A'\;\exp\! \left( f\;\theta \right)\;</math>»<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}<math>\;A'\;</math> constante d'intégration à déterminer à l'aide de la C.A.L<ref name="C.A.L." />. «<math>\;T(\theta = 0)</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}<math>= T_B\;</math>» où «<math>\;T_B\;</math> est la tension de la corde exercée sur la charge <math>\;\mathcal{P}\;</math>» avec <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}«<math>\;T_B = m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\;</math>»<ref name="étude du mouvement de la charge" /> <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la C.A.L<ref name="C.A.L." />. «<math>\;T(\theta = 0) =</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}<math>m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\;</math>» donnant «<math>\;A' = m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\;</math>» et par suite <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}«<math>\;T(\theta) = m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\,\exp\! \left( f\;\theta \right)\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;a_{B,\,z}\;</math> restant à déterminer<math>\big)\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;T(\theta = \pi) = m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\,\exp\! \left( f\;\pi \right)\;</math>» avec «<math>\;T(\theta = \pi) = T_A\;</math>» <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}où «<math>\;T_A\;</math> est la tension de la corde exercée sur l'extrémité <math>\;A\;</math>» avec <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement }}«<math>\;T_A = F\;</math>»<ref name="étude du mouvement de A" /> et par suite «<math>\;F = T(\theta = \pi)</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «<math>\;\color{transparent}{T_A = F}\;</math>» et par suite «<math>\;\color{transparent}{F}\;</math> }}<math>= m\, \left[ g - a_{B,\,z} \right]\,\exp\! \left( f\;\pi \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, }}l'accélération verticale descendante de <math>\;\mathcal{P}\;</math> «<math>\;a_{B,\,z} = g - \dfrac{F}{m}\;\exp\! \left( -f\;\pi \right)\;</math>» effectivement <math>\;< 0\;</math><ref> Correspondant à la charge <math>\;\mathcal{P}\;</math> subissant une ascension ralentie.</ref> si <math>\;m\,g < F\,\exp\! \left( -f\,\pi \right)\;</math> ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas d'un glissement effectif dans le sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math>, l'accélération verticale descendante de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{a_{B,\,z} = g - F\;\exp\! \left( -f\;\pi \right)}\;</math>» effectivement <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> }}si «<math>\;F > m\,g \,\exp\! \left( f\,\pi \right)\;</math>»<ref name="Valeur de F pour glissement dans le sens +"> Dans la mesure où un glissement dans le sens <math>\;+\;</math> est amorcé, ce dernier perdure si « la norme de la force <math>\;\vec{F}\;</math> exercée sur l'extrémité <math>\;A\;</math> de la corde vérifie <math>\;\Vert \vec{F} \Vert > F_{(0,\,\uparrow)} = m\,g \,\exp\! \left( f\,\pi \right)\;</math>».</ref> ; <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : }}<math>\succ\;</math>en conclusion il y a <u>non glissement de la corde sur la tige cylindrique</u> pour une norme de <math>\;\vec{F}\;</math> vérifiant «<math>\;\Vert \vec{F} \Vert = F\; \in\; \left] F_{(0,\,\downarrow)} = m\,g \,\exp\! \left( -f\,\pi \right)\; ,\, F_{(0,\,\uparrow)} = m\,g \,\exp\! \left( f\,\pi \right) \right[\;</math>» soit encore pour <br>{{Transparent|sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math> : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en conclusion il y a non glissement de la corde sur la tige cylindrique pour une norme de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}}\;</math> vérifiant <math>\color{transparent}{\Vert \vec{F} \Vert =}</math>}}«<math>\dfrac{F}{m\;g}\; \in\; \left] \dfrac{F_{(0,\,\downarrow)}}{m\;g} = \exp\! \left( -f\,\pi \right)\; ,\, \dfrac{F_{(0,\,\uparrow)}}{m\;g} = \exp\! \left( f\,\pi \right) \right[\;</math>»<ref name="valeur de F0 sur mg"> La valeur notée <math>\;\dfrac{F_0}{m\;g}\;</math> dans la question de l'exercice étant «<math>\;\dfrac{F_{(0,\,\downarrow)}}{m\;g} = \exp\! \left( -f\,\pi \right)\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>A.N.</u><ref name="A.N." /> : avec <math>\;f = 0,2</math>, la force minimale à exercer à l'extrémité <math>\;A\;</math> de la corde pour maintenir la charge <math>\;\mathcal{P}\;</math> en équilibre avec un demi-tour d'enroulement de corde frottant sur la tige est de norme <center>«<math>\;F_0 = m\;g\;\exp\! \left( -0,2 \times \pi \right) \simeq 0,533\;m\;g\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{F_0}{m\;g} \simeq 0,533\;</math>»<ref name="valeur de F0 sur mg" />.</center> {{Al|11}}{{Transparent|A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, }}la force maximale à exercer à l'extrémité <math>\;A\;</math> de la corde pour maintenir la charge <math>\;\mathcal{P}\;</math> en équilibre avec un demi-tour d'enroulement de corde frottant sur la tige est de norme <center>«<math>\;F_{(0,\,\uparrow)} = m\;g\;\exp\! \left( 0,2 \times \pi \right) \simeq 1,874\;m\;g\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{F_{(0,\,\uparrow)}}{m\;g} \simeq 1,874\;</math>»<ref name="en complément" />.</center> {{Al|5}}<u>Cas de la corde enroulée de</u><math>\;n + \dfrac{1}{2}\;</math><u>tours sur la tige avec</u><math>\;n\,\in\,\mathbb{N}^{*}</math> : la norme minimale de la force <math>\;F_{0,\,\downarrow,\,n}\;</math> à exercer pour que l'objet reste en équilibre s'établit exactement de la même manière qu'avec un demi-tour à la différence que la tension de la corde en <math>\;A\;</math> <math>\big[=\;</math> à <math>\;F\big]\;</math> s'obtient à partir de la tension <math>\;T(\theta)\;</math> en faisant <math>\;\theta = \left( 2\;n + 1 \right)\,\pi\;</math> <math>\big[</math>et non plus <math>\;\theta = \pi\big]</math>, la tension de la corde en <math>\;B\;</math> étant toujours <math>\;=\;</math> à <math>\;m\;g</math> ; {{Al|7}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : }}on en déduit donc «<math>\;F_{(0,\,\downarrow,\,n)} = m\,g \,\exp\! \left[ -f\,\left( 2\;n + 1 \right)\,\pi \right]\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{F_{(0,\,\downarrow,\,n)}}{m\;g} = \exp\! \left[ -f\,\left( 2\;n + 1 \right)\,\pi \right]\;</math>» ; {{Al|7}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : }}de même la norme maximale de la force <math>\;F_{0,\,\uparrow,\,n}\;</math> à exercer pour que l'objet reste en équilibre<ref name="en complément" /> s'établit exactement de la même manière qu'avec un demi-tour à la même différence que celle de détermination de la norme minimale à savoir la tension de la corde en <math>\;A\;</math> <math>\big[=\;</math> à <math>\;F\big]\;</math> obtenue à partir de la tension <math>\;T(\theta)\;</math> en faisant <math>\;\theta = \left( 2\;n + 1 \right)\,\pi\;</math> <math>\big[</math>et non plus <math>\;\theta = \pi\big]\;</math> et la tension de la corde en <math>\;B\;</math> toujours <math>\;=\;</math> à <math>\;m\;g</math> ; {{Al|7}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : de même }}on en déduit donc «<math>\;F_{(0,\,\uparrow,\,n)} = m\,g \,\exp\! \left[ f\,\left( 2\;n + 1 \right)\,\pi \right]\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{F_{(0,\,\uparrow,\,n)}}{m\;g} = \exp\! \left[ f\,\left( 2\;n + 1 \right)\,\pi \right]\;</math>»<ref name="en complément" />. {{Al|7}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : }}<u>A.N.</u><ref name="A.N." /> : avec <math>\;f = 0,2</math>, la force minimale à exercer à l'extrémité <math>\;A\;</math> de la corde pour maintenir la charge <math>\;\mathcal{P}\;</math> en équilibre <br>{{Al|12}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, la force minimale à exercer }}avec <u>un tour et demi d'enroulement</u> de corde frottant sur la tige <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, la force minimale }}est de norme «<math>\;F_{(0,\,\downarrow,\,1)} = m\,g \,\exp\! \left[ -f\,\left( 3\,\pi \right) \right] = m\;g\;\exp\! \left( -0,2 \times 3\;\pi \right) \simeq \left( 0,533 \right)^3\;m\;g</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, la force minimale est de norme «<math>\;\color{transparent}{F_{(0,\,\downarrow,\,1)}}</math> }}<math>\simeq 0,152\;m\;g\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{F_{(0,\,\downarrow,\,1)}}{m\;g} \simeq 0,152\;</math>» ; {{Al|7}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : }}<u>A.N.</u><ref name="A.N." /> : avec <math>\;f = 0,2</math>, la force minimale à exercer à l'extrémité <math>\;A\;</math> de la corde pour maintenir la charge <math>\;\mathcal{P}\;</math> en équilibre <br>{{Al|12}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, la force minimale à exercer }}avec <u>deux tours et demi d'enroulement</u> de corde frottant sur la tige <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, la force minimale }}est de norme «<math>\;F_{(0,\,\downarrow,\,2)} = m\,g \,\exp\! \left[ -f\,\left( 5\,\pi \right) \right] = m\;g\;\exp\! \left( -0,2 \times 5\;\pi \right) \simeq \left( 0,533 \right)^5\;m\;g</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, la force minimale est de norme «<math>\;\color{transparent}{F_{(0,\,\downarrow,\,2)}}</math> }}<math>\simeq 0,043\;m\;g\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{F_{(0,\,\downarrow,\,2)}}{m\;g} \simeq 0,043\;</math>»<ref> C.-à-d. plus de <math>\;10\;</math> fois moins qu'avec un simple demi-tour de corde frottant sur la tige.</ref> ; {{Al|7}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : }}<u>A.N.</u><ref name="A.N." /> : avec <math>\;f = 0,2</math>, la force maximale à exercer à l'extrémité <math>\;A\;</math> de la corde pour maintenir la charge <math>\;\mathcal{P}\;</math> en équilibre<ref name="en complément" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, la force maximale à exercer }}avec <u>un tour et demi d'enroulement</u> de corde frottant sur la tige <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, la force maximale }}est de norme «<math>\;F_{(0,\,\uparrow,\,1)} = m\,g \,\exp\! \left[ f\,\left( 3\,\pi \right) \right] = m\;g\;\exp\! \left( 0,2 \times 3\;\pi \right) \simeq \left( 1,874 \right)^3\;m\;g</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, la force maximale est de norme «<math>\;\color{transparent}{F_{(0,\,\uparrow,\,1)}}</math> }}<math>\simeq 6,586\;m\;g\;</math>»<ref name="en complément" /> soit «<math>\;\dfrac{F_{(0,\,\uparrow,\,1)}}{m\;g} \simeq 6,586\;</math>» ; {{Al|7}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : }}<u>A.N.</u><ref name="A.N." /> : avec <math>\;f = 0,2</math>, la force maximale à exercer à l'extrémité <math>\;A\;</math> de la corde pour maintenir la charge <math>\;\mathcal{P}\;</math> en équilibre<ref name="en complément" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, la force maximale à exercer }}avec <u>deux tours et demi d'enroulement</u> de corde frottant sur la tige <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, la force maximale }}est de norme «<math>\;F_{(0,\,\uparrow,\,2)} = m\,g \,\exp\! \left[ f\,\left( 5\,\pi \right) \right] = m\;g\;\exp\! \left( 0,2 \times 5\;\pi \right) \simeq \left( 1,874 \right)^5\;m\;g</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas de la corde enroulée de<math>\;\color{transparent}{n + 2}\;</math>tours sur la tige avec<math>\;\color{transparent}{n\,\in\,\mathbb{N}^{*}}</math> : A.N. : avec <math>\;\color{transparent}{f = 0,2}</math>, la force maximale est de norme «<math>\;\color{transparent}{F_{(0,\,\uparrow,\,2)}}</math> }}<math>\simeq 23,14\;m\;g\;</math>»<ref name="en complément" /> soit «<math>\;\dfrac{F_{(0,\,\uparrow,\,2)}}{m\;g} \simeq 23,14\;</math>»<ref> C.-à-d. plus de <math>\;10\;</math> fois plus qu'avec un simple demi-tour de corde frottant sur la tige.</ref>.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple/|Loi de la quantité de mouv. : Pendule pesant simple]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force/|Approche énergétique du mouv. d'un point mat. : Puissance et travail d'une force]] }} 6e37c13g60wrkf68q3jccqzx06fge3v 0 70325 982892 978861 2026-05-17T14:49:15Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982892 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 15 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique/]] }} <center>Toutes les notions de ce chapitre sont applicables en dynamique newtonienne ou relativiste.</center> == Définition de l'énergie et de la puissance cinétiques == === Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Entrevue une 1^ère fois <math>\;\big(</math>uniquement dans le cadre newtonien<math>\big)\;</math> dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Énergie_cinétique,_conséquence_de_l'existence_d'un_mouvement|Énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ». {{Al|5}}Il s'agit de la 2^ème grandeur cinétique introduite dans la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de }}la 1^ère l'ayant été dans le chap.<math>7</math>, plus précisément dans le paragraphe « vecteur [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Quantité_de_mouvement_d'un_point_matériel,_lien_avec_son_vecteur_vitesse|quantité de mouvement d'un point matériel, lien avec son vecteur vitesse]] » du chapitre précité et traduisant une « réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité »<ref> On parle de « réserve de mouvement inertiel » pour le vecteur quantité de mouvement car cette grandeur dépend non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie contrairement au vecteur vitesse qui pourrait être interprété comme « réserve de mouvement », la « réserve de mouvement inertiel » étant en direction, sens et intensité car il s'agit d'une grandeur vectorielle.</ref>. ==== Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point ==== {{Al|5}}L'énergie cinétique d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;\big(</math>inerte<math>\big)\;</math><ref name="masses inerte et grave"> On ajoute le qualificatif « inerte » ou « d'inertie » à cette grandeur « masse » pour la distinguer d'une autre grandeur également appelée « masse » mais qui caractérise le point dans ses propriétés d'attraction gravitationnelle et pour laquelle on ajoute alors le qualificatif « grave » ou « de gravitation » ; <br>{{Al|3}}bien que la « masse grave » et la « masse inerte » caractérisent des propriétés différentes d'un point, elles ont <math>\;\big(</math>à l'heure actuelle<math>\big)\;</math> des mesures identiques à <math>\;10^{-13}\;</math> près <math>\;\big(</math>on a en effet vérifié à <math>\;10^{-13}\;</math> près le fait que l'accélération de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme est indépendant de la nature de l'objet, ceci entraînant que le rapport « masse grave » sur « masse inerte » est une constante pour tous les objets à <math>\;10^{-13}\;</math> près, il est alors possible, par choix d'unités, de choisir cette constante égale à <math>\;1\;</math> et d'identifier les deux masses<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}des mesures plus poussées sont prévues <math>\;\big[</math>lancement en avril <math>2016</math> du satellite français « [[w:Microscope_(satellite)|Microscope]] » <math>\;\big(</math>acronyme de '''<span style="color:red">Micro-s</span>'''atellite à traînée '''<span style="color:red">co</span>'''mpensée pour l'observation du '''<span style="color:red">p</span>'''rincipe d''''<span style="color:red">é</span>'''quivalence<math>\big)\;</math> pour une mission financée et pilotée par le '''CNES'''<math>\big]\;</math> dans le but de confirmer ou d'infirmer l'identité des mesures à <math>\;10^{-15}\;</math> près <math>\;\big[</math>en décembre <math>2017</math> de premiers résultats intermédiaires suggèrent une identité des mesures à au moins <math>\;2\,10^{-14}\;</math> près <math>\;\ldots\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'identité des masses « grave » et « inerte », connue sous le nom de « <u>principe d'équivalence</u> » est un des piliers de la théorie de la ''[[w:Relativité générale#Vulgarisation|Relativité Générale]]'' énoncée par '''Albert Einstein''' en <math>1916</math> <math>\;\big[</math>'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en 1905, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique<math>\big]\;\ldots</math></ref> <math>\;m\;</math> en mouvement dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la grandeur scalaire notée <math>\;K_M(t)\;</math> définie à partir * de la grandeur cinématique vectorielle représentant le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à savoir le « vecteur vitesse du point dans ce référentiel {{Nobr|<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>»}} et * de la grandeur d'inertie scalaire à savoir la « masse <math>\;\big(</math>inerte<math>\big)\;</math><ref name="masses inerte et grave" /> <math>\;m\;</math> du point », {{Al|5}}la définition dans le cadre de la <u>cinétique newtonienne</u> étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^2(t)\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|la déf }}celle dans le cadre de la <u>cinétique relativiste</u><ref name="définition non explicitement dans le cadre du programme"> La définition dans le cadre de la cinétique relativiste n'est pas explicitement au programme de physique de PCSI, toutefois cette notion apparaissant dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Approche_documentaire,_analyse_de_documents_scientifiques_montrant_les_limites_relativistes_avec_utilisation_des_formules_relativistes_de_l’énergie_cinétique_et_de_la_quantité_de_mouvement_:_microscopie_électronique|approche documentaire, analyse de documents scientifiques montrant les limites relativistes avec utilisation des formules relativistes de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement : microscopie électronique]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », il semble utile la connaître.</ref> {{Al|11}}«<math>\;K_M(t) = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right]\, m\;c^2\;</math>»<ref name="énergie totale d'un point matériel isolé"> Dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Applications_actuelles|Applications actuelles]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » on a introduit la notion d'énergie de masse «<math>\;E^{\,0} =</math> <math>m\;c^2\;</math>» d'un point matériel <math>\;M\;</math> ainsi que celle d'énergie totale de ce point matériel «<math>\;E_M(t) = E^{\,0} + K_M(t)\;</math>» dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Microscopie_électronique|microscopie électronique]] » du même chapitre de la même leçon, on en déduit * le lien entre l'énergie totale et la vitesse du point matériel <math>\;M\;</math> à savoir «<math>\;E_M(t) = E^{\,0} + \left[ \gamma_M(t) - 1 \right] E^{\,0}\;</math>» soit finalement «<math>\;E_M(t) = \gamma_M(t) \;E^{\,0}\;</math>» ainsi que * le lien entre l'énergie totale et la quantité de mouvement de <math>\;M\;</math> à savoir «<math>\;E_M(t) = E^{\,0} + \left[ \sqrt{\left( E^{\,0} \right)^{\!2} + p_{\!M}^2(t)\;c^2} - E^{\,0} \right]\;</math>» d'où «<math>\;E_M(t) = \sqrt{\left( E^{\,0} \right)^{\!2} + p_{\!M}^2(t)\;c^2}\;</math>» ; {{Al|3}}dans les deux approches on constate que la substitution de l'énergie cinétique <math>\;K_M(t)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> par son énergie totale <math>\;E_M(t)\;</math> simplifie leur relation avec la vitesse <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert\;</math> ou la quantité de mouvement <math>\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert</math> <math>\;\big[</math>de plus ce n'est pas qu'un simple artifice mathématique mais aussi une réalité physique dans la mesure où de la masse <math>\;\big(</math>par son énergie de masse<math>\big)\;</math> peut être transformée en énergie cinétique et inversement<math>\big]</math>.</ref> dans laquelle <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}}\;</math> est le [[w:Facteur_de_Lorentz|facteur de Lorentz]] <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M\;</math> dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;c\;</math> la célérité de la lumière dans le vide<ref name="valeur maximale de vitesse"> Valeur maximale indépassable de la vitesse de tout point matériel par rapport à n'importe quel référentiel d'étude <math>\;\big(</math>dans le cadre de la cinématique relativiste<math>\big)</math>.</ref> ; <center>l'énergie cinétique est exprimée en joules <math>\;\big[</math>symbole <math>\;J\;</math> avec <math>\;1\;J = 1\;kg \times \left( 1\;m \cdot s^{-1} \right)^2\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'énergie cinétique d'un point matériel traduit une « réserve de mouvement inertiel en intensité »<ref name="réserve de mouvement inertiel en intensité"> On parle encore de « réserve de mouvement inertiel » pour l'énergie cinétique car cette grandeur dépend non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie contrairement au carré scalaire du vecteur vitesse qui pourrait être interprété comme « réserve de mouvement », la « réserve de mouvement inertiel » étant uniquement en intensité car il s'agit d'une grandeur scalaire.</ref>{{,}}<ref name="non unité de cette réserve de mouvement inertiel en intensité"> Bien sûr ce n'est pas la seule « réserve de mouvement inertiel en intensité » possible à introduire <math>\;\big[</math>on aurait par exemple aussi <math>\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert\big]\;</math> mais c'est celle qui aura une utilisation importante dans la suite de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne</u> : nous nous plaçons dans le cas où «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \ll c\;</math>» ou, en introduisant le vecteur vitesse relative «<math>\;\vec{\beta}_M(t) = \dfrac{\vec{V}_M(t)}{c}\;</math>» de norme notée <math>\;\beta_M(t)</math>, nous nous plaçons dans le cas d'une vitesse relative «<math>\;\beta_M(t) \ll 1\;</math>»<ref name="beta infiniment petit"> <math>\;\beta_M(t)\;</math> est donc un infiniment petit, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, le [[w:Facteur_de_Lorentz|facteur de Lorentz]]<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta_M^2(t)}}</math> <math>= \left[ 1 - \beta_M^2(t) \right]^{-\frac{1}{2}}\;</math> ayant pour D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre deux<ref name="choix de l'ordre 2 pour le D.L."> On choisit l'ordre deux car l'ordre un ne permettrait que de retrouver la forme newtonienne de l'énergie cinétique à partir de sa forme relativiste alors que le but recherché est de déterminer la différence entre les deux pour écrire à quelle condition cette différence est inférieure à <math>\;1\,\%\;</math> de l'énergie cinétique <math>\;\ldots</math></ref> en l'infiniment petit <math>\;\beta_M^2(t)\;</math><ref name="beta2 choisi comme infiniment petit d'ordre un"> Choisi comme infiniment petit d'ordre un.</ref> «<math>\;\gamma_M(t) \simeq 1 - \dfrac{1}{2} \left[ -\beta_M^{\,2}(t) \right] + \dfrac{3}{8} \left[ -\beta_M^{\,2}(t) \right]^2 = 1 + \dfrac{1}{2}\; \beta_M^{\,2}(t) + \dfrac{3}{8}\;\beta_M^{\,4}(t)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre 2 de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|D.L. d'ordre 2 de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » où l'on trouve le D.L. à l'ordre deux de <math>\;(1 + x)^n,\; n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> plus exactement ici <math>\;n = -\dfrac{1}{2}\;</math> soit «<math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq 1 + n\, \varepsilon + \dfrac{n\,(n - 1)}{2}\,\varepsilon^2\;</math>».</ref> d'où l'énergie cinétique relativiste du point <math>\;M\;</math> «<math>\;K_{M,\,\text{relat}}(t) = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right]\, m\;c^2 \simeq</math> <math>\left[ \dfrac{1}{2}\; \beta_M^{\,2}(t) + \dfrac{3}{8}\;\beta_M^{\,4}(t) \right] m\;c^2\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : }}tout d'abord on vérifie bien, en tronquant le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;K_{M,\,\text{relat}}(t)\;</math> à l'ordre un en <math>\;\beta_M^{\,2}(t)</math>, que l'énergie cinétique relativiste s'identifie à l'énergie cinétique newtonienne car «<math>\;K_{M,\,\text{relat}}(t) \simeq \left[ \dfrac{1}{2}\; \beta_M^{\,2}(t) \right] m\;c^2 = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^2(t) = K_{M,\,\text{newt}}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : }}la différence entre l'énergie cinétique relativiste et celle newtonienne vaut, à l'ordre deux en <math>\;\beta_M^{\,2}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : la différence entre l'énergie cinétique relativiste et celle newtonienne vaut }}<math>\;K_{M,\,\text{relat}}(t) - K_{M,\,\text{newt}}(t) \simeq \left[ \dfrac{3}{8}\;\beta_M^{\,4}(t) \right] m\;c^2\;</math> {{Nobr|c'est-à-dire}} un infiniment petit d'ordre deux en <math>\;\beta_M^{\,2}(t)\;</math> soit, en rapportant cette différence à l'énergie cinétique relativiste, un écart relatif de <math>\;\dfrac{K_{M,\,\text{relat}}(t) - K_{M,\,\text{newt}}(t)}{K_{M,\,\text{relat}}(t)}\;</math> dont on souhaite déterminer le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un en <math>\;\beta_M^{\,2}(t)\;</math> <math>\big\{</math>comme le numérateur est un infiniment petit d'ordre deux en <math>\;\beta_M^{\,2}(t)\;</math> il suffit de prendre le D.L<ref name="D.L." />. du dénominateur à l'ordre un en <math>\;\beta_M^{\,2}(t)\;</math> soit <math>\;K_{M,\,\text{relat}}(t) \simeq K_{M,\,\text{newt}}(t)\big\}\;</math><ref> En effet on cherche le D.L. d'un quotient dont le numérateur <math>\;K_{M,\,\text{relat}}(t) - K_{M,\,\text{newt}}(t)\;</math> est un infiniment petit d'ordre deux et dont le D.L. à l'ordre deux du dénominateur <math>\;K_{M,\,\text{relat}}(t)\;</math> a pour terme prépondérant un infiniment petit ordre un ou, ce qui est équivalent après simplification haut et bas par un infiniment petit d'ordre un commun <math>\;\alpha\;\beta_M^{\,2}(t)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}on cherche le D.L. d'un quotient dont le nouveau numérateur <math>\;\dfrac{K_{M,\,\text{relat}}(t) - K_{M,\,\text{newt}}(t)}{\alpha\;\beta_M^{\,2}(t)}\;</math> est un infiniment petit d'ordre un et dont le D.L. à l'ordre un du nouveau dénominateur <math>\;\dfrac{K_{M,\,\text{relat}}(t)}{\alpha\;\beta_M^{\,2}(t)}\;</math> a pour terme prépondérant un ordre zéro ; <br>{{Al|3}}or nous avons vu dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit|déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » la propriété suivante « pour déterminer le D.L. à l'ordre un d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre le D.L. du dénominateur à l'ordre zéro » et comme le dénominateur ici est <math>\;\dfrac{K_{M,\,\text{relat}}(t)}{\alpha\;\beta_M^{\,2}(t)}</math>, il suffit de se limiter au terme prépondérant d'ordre zéro <math>\;\dfrac{K_{M,\,\text{newt}}(t)}{\alpha\;\beta_M^{\,2}(t)}</math>.</ref> d'où la réécriture de <math>\;\dfrac{K_{M,\,\text{relat}}(t) - K_{M,\,\text{newt}}(t)}{K_{M,\,\text{relat}}(t)}\;</math> en <math>\;\dfrac{K_{M,\,\text{relat}}(t) - K_{M,\,\text{newt}}(t)}{K_{M,\,\text{newt}}(t)} \simeq \dfrac{\left[ \dfrac{3}{8}\;\beta_M^{\,4}(t) \right] m\;c^2}{\left[ \dfrac{1}{2}\; \beta_M^{\,2}(t) \right] m\;c^2}\;</math> soit finalement «<math>\;\dfrac{K_{M,\,\text{relat}}(t) - K_{M,\,\text{newt}}(t)}{K_{M,\,\text{relat}}(t)} \simeq \dfrac{3}{4}\;\beta_M^{\,2}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : }}l'énergie cinétique relativiste étant égale à l'énergie cinétique newtonienne à <math>\;1\,\%\;</math> près si <math>\dfrac{K_{M,\,\text{relat}}(t) - K_{M,\,\text{newt}}(t)}{K_{M,\,\text{relat}}(t)} \lesssim 10^{-2}\;</math> on en déduit la condition sur la vitesse relative <math>\;\dfrac{3}{4}\;\beta_M^{\,2}(t) \lesssim 10^{-2}\;</math> ou <math>\;\beta_M(t) \lesssim \dfrac{2}{\sqrt{3}}\;10^{-1} \simeq 0,115\;</math> soit finalement «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \lesssim \dfrac{c}{10} \simeq 30\, 000\;km \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="comparaison des conditions de vitesse pour appliquer la cinétique newtonienne"> La condition pour utiliser une forme newtonienne de l'énergie cinétique est donc plus contraignante que celle pour une forme newtonienne de vecteur quantité de mouvement qui est <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \lesssim 0,14\;c \simeq 42\, 000\;km \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|Définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] (établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. ==== Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point ==== {{Al|5}}L'énergie cinétique d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;\big(</math>inerte<math>\big)\;</math><ref name="masses inerte et grave" /> <math>\;m\;</math> en mouvement dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la grandeur scalaire notée <math>\;K_M(t)\;</math> définie à partir * de la grandeur cinétique vectorielle représentant une « réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité »<ref name="réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité"> On parle de « réserve de mouvement inertiel » pour une grandeur dépendant non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie, la « réserve de mouvement inertiel » étant en direction, sens et intensité car il s'agit d'une grandeur vectorielle.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à savoir le « vecteur quantité de mouvement du point dans ce référentiel <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math>»<ref name="quantité de mouvement"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_newtonienne|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et * de la grandeur d'inertie scalaire à savoir la « masse <math>\;\big(</math>inerte<math>\big)\;</math><ref name="masses inerte et grave" /> <math>\;m\;</math> du point », {{Al|5}}la définition dans le cadre de la <u>cinétique newtonienne</u> étant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_{\!M}^2(t)}{2\;m}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|la déf }}celle dans le cadre de la <u>cinétique relativiste</u><ref name="définition non explicitement dans le cadre du programme" /> {{Al|11}}«<math>\; K_M(t) = \sqrt{\vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2 + m^2\;c^4} - m\;c^2\;</math>»<ref name="énergie totale d'un point matériel isolé" /> dans laquelle <math>\;c\;</math> est la célérité de la lumière dans le vide<ref name="valeur maximale de vitesse" /> ; <center>l'énergie cinétique est exprimée en joules <math>\;\big[</math>symbole <math>\;J\;</math> avec <math>\;1\;J = 1\;kg \times \left( 1\;m \cdot s^{-1} \right)^2\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Bien sûr dans cette nouvelle définition l'énergie cinétique d'un point matériel traduit toujours une « réserve de mouvement inertiel en intensité »<ref name="réserve de mouvement inertiel en intensité" />{{,}}<ref name="non unité de cette réserve de mouvement inertiel en intensité" />. {{Al|5}}<u>Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique newtonienne du point</u> : nous avons vu que « l'énergie cinétique du point <math>\;M\;</math> sous la forme newtonienne <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^2(t)\;</math> est applicable si <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \lesssim 0,1\;c \simeq 30\,000\;km \cdot s^{-1}\;</math>» et que « le vecteur quantité de mouvement du même point <math>\;M\;</math> sous la forme newtonienne <math>\;\vec{p}_M(t) = m\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math><ref name="quantité de mouvement newtonienne"> On rappelle l'expression newtonienne du vecteur quantité de mouvement du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{p}_M(t) = m\;\vec{V}_M(t) \Leftrightarrow \vec{V}_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)}{m}\;</math>».</ref> l'est si <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \lesssim 0,14\;c \simeq</math> {{Nobr|<math>42\,000\;km \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="comparaison des conditions de vitesse pour appliquer la cinétique newtonienne" />,}} aussi, en nous plaçant « dans les conditions les plus restrictives d'application de ces formules à savoir <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \lesssim 0,1\;c \simeq 30\,000\;km \cdot s^{-1}\;</math>» et en reportant <math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)}{m}\;</math> dans <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^2(t)\;</math> nous en déduisons «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \dfrac{\vec{p}_M(t)}{m} \right]^2 = \dfrac{\vec{p}_{\!M}^2(t)}{2\;m}\;</math>» c'est-à-dire la 2^ème définition de l'énergie cinétique newtonienne ; {{Al|5}}{{Transparent|Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique newtonienne du point : }}en nous plaçant « dans les conditions où <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \lesssim 0,1\;c \simeq 30\,000\;km \cdot s^{-1}\;</math>», les formules <math>\;\vec{p}_M(t) = m\;\vec{V}_M(t)\;</math> et <math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_{\!M}^2(t)}{2\;m}\;</math> étant applicables, le report de la 1^ère dans la 2^nde donne «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_{\!M}^2(t)}{2\;m} = \dfrac{\left[ m\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;m} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^2(t)\;</math>» c'est-à-dire établissant la réciproque d'où l'équivalence des deux définitions. {{Al|5}}<u>Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point</u> : partant de la 1^ère définition de l'énergie cinétique relativiste <math>\;K_M(t) = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right] m\;c^2\;</math> avec <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le [[w:Facteur_de_Lorentz|facteur de Lorentz]]<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et sachant que le vecteur quantité de mouvement relativiste du même point au même instant est <math>\;\vec{p}_M(t) = \gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="quantité de mouvement relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|Définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit la 2^ème définition de l'énergie cinétique relativiste en exprimant <math>\;\gamma_M(t)\;</math> en fonction de <math>\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert\;</math> <math>\big\{</math>sans que n'intervienne <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert\big\}\;</math> et en reportant cette expression dans 1^ère définition de <math>\;K_M(t)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : }}de <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}}\;</math> on tire <math>\;\gamma_{\!M}^2(t) \left[ 1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2} \right] = 1\;</math> ou encore <math>\;\gamma_{\!M}^2(t) =</math> <math>1 + \left[ \dfrac{\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)}{c} \right]^2\;</math> dans le 2^ème membre duquel on remplace <math>\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;</math> par <math>\;\dfrac{\vec{p}_M(t)}{m}\;</math> d'où <math>\;\gamma_{\!M}^2(t) = 1 + \left[ \dfrac{\vec{p}_M(t)}{m\;c} \right]^2\;</math> et finalement l'expression du [[w:Facteur_de_Lorentz|facteur de Lorentz]]<ref name="Lorentz" /> du point en fonction du vecteur quantité de mouvement de ce dernier<ref name="quantité de mouvement relativiste - bis"> On rappelle l'expression relativiste du vecteur quantité de mouvement du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\vec{p}_M(t) = \gamma_M\;m\;\vec{V}_M(t)\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|Définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{\sqrt{m^2\;c^2 + \vec{p}_{\!M}^2(t)}}{m\;c}\;</math>» que l'on reporte dans <math>\;K_M(t) = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right] m\;c^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;K_M(t) = \left[ \dfrac{\sqrt{m^2\;c^2 + \vec{p}_{\!M}^2(t)}}{m\;c} - 1 \right] m\;c^2 = \sqrt{m^2\;c^4 + \vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2} - m\;c^2\;</math>» c'est-à-dire la 2^ème définition de l'énergie cinétique relativiste ; {{Al|5}}{{Transparent|Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : }}la réciproque s'établit sans souci majeur à partir de <math>\;K_M(t) = \sqrt{m^2\;c^4 + \vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2} - m\;c^2\;</math> et du lien entre <math>\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert\;</math> et <math>\;\gamma_M(t)\;</math> obtenu précédemment à savoir <math>\;\gamma_{\!M}^2(t) = 1 + \left[ \dfrac{\vec{p}_M(t)}{m\;c} \right]^2\;</math> dont on tire <math>\;\vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2 = m^2\;c^4 \left[ \gamma_{\!M}^2(t) - 1 \right]\;</math> que l'on reporte dans l'expression de <math>\;K_M(t) = \sqrt{m^2\;c^4 + \vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2} - m\;c^2\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;K_M(t)</math>}} <math>= \sqrt{m^2\;c^4 + m^2\;c^4 \left[ \gamma_{\!M}^2(t) - 1 \right]} - m\;c^2 = m\;c^2\;\gamma_M(t) - m\;c^2\;</math>» c'est-à-dire la 1^ère définition de l'énergie cinétique relativiste d'où l'équivalence des deux définitions. === Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<u>La puissance cinétique d'un point matériel</u> <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est, dans le cadre de la cinétique newtonienne ou relativiste<ref name="définition non explicitement dans le cadre du programme" />, <u>la dérivée temporelle de l'énergie cinétique du point</u> <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> c'est-à-dire <math>\;\dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math> <math>\big[</math>comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance cinétique nous utiliserons la notation compacte <math>\;\dot{K}_M(t)\big]</math>. ==== Expressions de la puissance cinétique newtonienne d'un point matériel dans le référentiel d'étude ==== {{Al|5}}Ayant deux expressions équivalentes de l'énergie cinétique newtonienne du point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, expressions dont la validité présuppose que la vitesse du point soit telle que <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert \lesssim 0,1\;c \simeq 30\,000\;km \cdot s^{-1}</math>, nous en déduisons deux expressions équivalentes de la puissance cinétique newtonienne du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans ce référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="puissance cinétique à retrouver"> Ces expressions de puissance cinétique doivent être retrouvées à partir de celles de l'énergie cinétique lesquelles sont à retenir.</ref> : * <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^2(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ 2\;\vec{V}_{M}(t) \cdot \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t) \right] = m\;\vec{V}_M(t) \cdot \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math> soit encore «<math>\;\dot{K}_M(t) = \vec{p}_M(t) \cdot \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math>»<ref name="quantité de mouvement newtonienne" /> * <math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_{\!M}^2(t)}{2\;m}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dfrac{1}{2\;m} \left[ 2\;\vec{p}_{M}(t) \cdot \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t) \right] = \dfrac{\vec{p}_M(t)}{m} \cdot \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math> soit encore «<math>\;\dot{K}_M(t) = \vec{V}_M(t) \cdot \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math>»<ref name="quantité de mouvement newtonienne" />. ==== Expressions de la puissance cinétique relativiste d'un point matériel dans le référentiel d'étude ==== {{Al|5}}Ayant deux expressions équivalentes de l'énergie cinétique relativiste<ref name="définition non explicitement dans le cadre du programme" /> du point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, nous en déduisons deux expressions équivalentes de la puissance cinétique relativiste<ref name="définition non explicitement dans le cadre du programme" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans ce référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="puissance cinétique à retrouver" /> : * <math>\;K_M(t) = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right]\, m\;c^2\;</math> avec <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;m\;c^2\;</math> avec <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) = -\dfrac{1}{2}\;\dfrac{\dfrac{-2\;\vec{V}_M(t) \cdot \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)}{c^2}}{\left(1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}\right)^{\!\!\frac{3}{2}}} = \dfrac{\gamma_M^3(t)}{c^2}\;\vec{V}_M(t) \cdot \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math> soit <math>\;\dfrac{d K_M}{dt}(t) =</math> <math>\gamma_M^2(t) \left[ \gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math> ou encore «<math>\;\dot{K}_M(t) = \gamma_M^2(t)\; \vec{p}_M(t) \cdot \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t) \cdot \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)}{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}\;</math>»<ref name="quantité de mouvement relativiste - bis" /> * <math>\;K_M(t) = \sqrt{\vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2 + m^2\;c^4} - m\;c^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{2\;\vec{p}_M(t) \cdot \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;c^2}{\sqrt{\vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2 + m^2\;c^4}} = \left[ \dfrac{\vec{p}_M(t)\;c^2}{\sqrt{\vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2 + m^2\;c^4}} \right] \cdot \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math> ou, en faisant intervenir la vitesse dans le 1^er facteur de la multiplication scalaire, <math>\;\dfrac{d K_M}{dt}(t) = \left\lbrace \dfrac{\gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_M(t)\;c^2}{\gamma_M(t)\; m\;c^2} \right\rbrace \cdot \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math><ref name="quantité de mouvement relativiste - bis" />{{,}}<ref> De <math>\;K_M(t) = \sqrt{\vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2 + m^2\;c^4} - m\;c^2 = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right]\, m\;c^2\;</math> on déduit <math>\;\sqrt{\vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2 + m^2\;c^4} = \gamma_M(t)\; m\;c^2\;</math> <math>\big[</math>c'est d'ailleurs <math>\;E_M(t)\;</math> « énergie totale du point matériel » définie comme la somme de son énergie cinétique <math>\;K_M(t)\;</math> et de son énergie de masse <math>\;E^{\,0} = m\;c^2</math>, notions respectivement introduites dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Applications_actuelles|Applications actuelles]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » pour l'énergie de masse «<math>\;E^{\,0} =</math> <math>m\;c^2\;</math>» d'un point matériel <math>\;M\;</math> et dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Microscopie_électronique|microscopie électronique]] » du même chapitre de la même leçon pour l'énergie totale de ce point matériel «<math>\;E_M(t) = E^{\,0} + K_M(t)\;</math>»<math>\big]</math>.</ref> soit finalement «<math>\;\dot{K}_M(t) = \vec{V}_M(t) \cdot \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math>»<ref name="comparaison des formes de puissances cinétiques en relativiste et newtonien"> L'expression de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude faisant intervenir <math>\;\dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math> et <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est la même dans la cinétique relativiste ou newtonienne, « avec <math>\;\dot{K}_{(M,\,\text{newt})}(t) = \vec{V}_M(t) \cdot \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math> on a <math>\;\dot{K}_{(M,\,\text{relat})}(t) = \dot{K}_{(M,\,\text{newt})}(t)\;</math>» alors que <br>{{Al|35}}celle de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude faisant intervenir <math>\;\dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math> et <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> est différente suivant la nature relativiste ou newtonienne de la cinétique, « avec <math>\;\dot{K}_{(M,\,\text{newt})}(t) = \vec{p}_M(t) \cdot \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t)\;</math> on a <math>\;\dot{K}_{(M,\,\text{relat})}(t) = \gamma_M^2(t)\;\dot{K}_{(M,\,\text{newt})}(t)\;</math>».</ref>. == Théorème de la puissance cinétique, énoncé, démonstration à partir de la r.f.d. == === Préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel === {{Al|5}}De façon symbolique tout théorème de la dynamique du point matériel doit s’exprimer selon l'énoncé suivant {{Al|5}}« dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle d’une des grandeurs cinétiques d’un point matériel est égale à la somme des causes susceptibles de faire varier cette grandeur cinétique »<ref> C'est la généralisation <math>\;\big(</math>admise<math>\big)\;</math> de la forme symbolique du principe fondamental de la dynamique <math>\;\big(</math>p.f.d.<math>\big)\;</math> vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_le_«_p.f.d._»|commentaires sur le p.f.d.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}dans le cas de la r.f.d<ref name="r.f.d."> Relation Fondamentale de la Dynamique.</ref>. la grandeur cinétique est le <u>vecteur quantité de mouvement du point</u><math>\;M\;</math> soit <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math><ref name="quantité de mouvement" /> et les causes susceptibles de le faire varier sont les <u>forces appliquées sur le point</u><math>\;M\;</math> à savoir <math>\;\sum\limits_k \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}</math>, la r.f.d<ref name="r.f.d." />. s’énonçant alors dans un référentiel galiléen selon «<math>\;\sum\limits_k \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} = \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math>»<ref name='énoncé du p.f.d."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_«_p.f.d._»|énoncé du p.f.d.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. === Expression énergétique de la r.f.d. === {{Al|5}}L’expression énergétique de la r.f.d<ref name="r.f.d." />. nécessite d’obtenir, dans le membre de droite, la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du point <math>\;M</math>, c'est-à-dire encore la « puissance cinétique du point <math>\;M\;</math>» et pour cela on utilisera la <u>relation commune aux cadres newtonien et relativiste de la puissance cinétique du point</u><math>\;M\;</math> à savoir «<math>\;\dot{K}_M(t) = \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»<ref name="comparaison des formes de puissances cinétiques en relativiste et newtonien" /> ; {{Al|5}}on observe donc qu'il suffit de multiplier scalairement les deux membres de la r.f.d<ref name="r.f.d." />. écrite sous la forme applicable en dynamique newtonienne et relativiste à savoir <math>\;\sum\limits_k \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} = \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math> par <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> pour obtenir dans celui de droite la puissance cinétique du point <math>\;M\;</math> soit <math>\;\left[ \sum\limits_k \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \right] \cdot \vec{V}_M(t) = \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math> ou encore, en distribuant la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans le membre de gauche et en reconnaissant la puissance cinétique du point dans le membre de droite, <math>\;\sum\limits_k \left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \cdot \vec{V}_M(t) \right] = \dot{K}_M(t)</math> ; {{Al|5}}dans cette dernière expression on reconnaît dans le membre de gauche la somme des puissances développées par les forces appliquées au point <math>\;M\;</math><ref name="puissance développée par une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSO)]] ».</ref> et on en déduit que « <u>les causes susceptibles de faire varier l’énergie cinétique d’un point sont les puissances développées par les forces qui lui sont appliquées</u> <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}l’expression énergétique de la r.f.d<ref name="r.f.d." />. dans le cadre de la <u>dynamique newtonienne ou relativiste</u> s’écrit dans un référentiel galiléen selon «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>». === Énoncé du théorème de la puissance cinétique === {{théorème | titre= Théorème de la puissance cinétique | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est égale à la somme des puissances des forces appliquées au point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}ce théorème<ref> C’est un théorème car il se démontre à partir de la r.f.d. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique<math>\big)\;</math> laquelle est une loi incluse dans le p.f.d. <math>\;\big(</math>principe fondamental de la dynamique<math>\big)</math>.</ref> est applicable en <u>dynamique newtonienne et relativiste</u>, la puissance cinétique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> s'évaluant par dérivation temporelle de son énergie cinétique <math>\;K_M(t)\;</math> au même instant et dans le même référentiel<ref name="puissance cinétique à retrouver" /> avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes * en dynamique newtonienne «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_{\!M}^2(t)}{2\;m} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^2(t)\;</math>» et * en dynamique relativiste «<math>\;K_M(t) = \sqrt{m^2\;c^4 + \vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2} - m\;c^2 = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right] m\;c^2\;</math>» où <math>\;\gamma_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}}\;</math> est le [[w:Facteur_de_Lorentz|facteur de Lorentz]]<ref name="Lorentz" /> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>.}} === Démonstration du théorème de la puissance cinétique à partir de la r.f.d. === {{Al|5}}Pour démontrer le théorème de la puissance cinétique il suffit de partir de la forme de la r.f.d<ref name="r.f.d." />. écrite applicable en dynamiques newtonienne et relativiste à savoir «<math>\;\sum\limits_k \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} = \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math>» puis de multiplier scalairement chaque membre de la r.f.d<ref name="r.f.d." />. par <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> et enfin de reconnaître, dans chaque membre, les grandeurs adaptées <math>\;\big(</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Expression_énergétique_de_la_r.f.d.|expression énergétique de la r.f.d.]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. == Forme locale et forme intégrale associée de la dynamique == === Différence entre « forme locale de la dynamique » et « forme intégrée associée à cette forme locale » === {{Al|5}}Une « <u>forme locale de la dynamique</u> » est un lien, écrit à un instant <math>\;t</math>, entre la variation temporelle d'une grandeur cinétique et la cause ayant engendré cette variation ; {{Al|5}}on connaît pour l'instant deux « formes locales de la dynamique » * <math>\;\bigcirc\!\!\!\!\!1\;\;</math> la « r.f.d<ref name="r.f.d." />. » qui lie la variation temporelle du vecteur quantité de mouvement du point<ref name="quantité de mouvement" /> et les forces qui lui sont appliquées, causes de variation de son vecteur quantité de mouvement et * <math>\;\bigcirc\!\!\!\!\!2\;\;</math> le « théorème de la puissance cinétique » qui lie la variation temporelle de l'énergie cinétique du point<ref name="puissance cinétique"> C.-à-d. la puissance cinétique du point, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_la_puissance_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude|définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et la puissance des forces qui lui sont appliquées<ref name="puissance développée par une force" />, causes de variation de son énergie cinétique ; {{Al|5}}leur caractère <u>local</u> provient du fait qu'elles sont écrites pour une date précise <math>\;\big(</math>pouvant être quelconque<math>\big)</math> <math>\;\Rightarrow\;</math> leur application conduit à une équation différentielle du 2^ème ordre en la position du point. {{Al|5}}En intégrant une fois par rapport au temps entre deux instants <math>\;t_1\;</math> et <math>\;t_2\;</math> une forme locale de la dynamique, on aboutit à la « <u>forme intégrée de la dynamique</u> »<ref name="intégrale"> On pourra aussi remplacer cette expression par « forme intégrale de la dynamique ».</ref> associée à cette forme locale <math>\;\big(</math>écrite sur l'intervalle <math>\;\left[ t_1\,,\, t_2 \right]\big)</math> ; {{Al|5}}on peut donc définir pour l'instant deux « formes intégrées de la dynamique » dont la plus connue <math>\;\big(</math>et la seule inscrite dans le programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)\;</math> est * celle associée à la forme locale <math>\;\bigcirc\!\!\!\!\!2\;\;</math> « théorème de la puissance cinétique » donnant <span style="color:#ff0000;">la forme intégrée</span> <math>\;\color{red}{\bigcirc\!\!\!\!\!2}\;\;</math> <span style="color:#ff0000;">« théorème de l'énergie cinétique »</span> alors que * celle associée à la forme locale <math>\;\bigcirc\!\!\!\!\!1\;\;</math> « r.f.d<ref name="r.f.d." />. » qui donne <span style="color:#ff0000;">la forme intégrée</span> <math>\;\color{red}{\bigcirc\!\!\!\!\!1}\;\;</math> <span style="color:#ff0000;">« théorème de l'impulsion »</span><ref name="théorème de l'impulsion"> Ou encore plus simplement « r.f.d. sous forme intégrée ».</ref> est hors programme de physique de P.C.S.I<ref> Mais qui sera néanmoins exposée en complément dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#En_complément,_«_forme_intégrée_»_associée_à_la_forme_locale_«_r.f.d._»|en complément, “ forme intégrée ” associée à la forme locale “ r.f.d. ”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>.. === Notion d’intégrale 1^ère du mouvement associée à une forme locale de la dynamique === {{Al|5}}Si on écrit la forme intégrée entre un instant initial <math>\;t_0\;</math> et un instant <math>\;t\;</math> quelconque, on obtient une équation différentielle du 1^er ordre en la position du point <math>\;M\;</math> appelée « <u>intégrale 1^ère du mouvement du point</u> <math>\;M\;</math>» ; {{Al|5}}ainsi l'intégrale 1^ère du mouvement du point <math>\;M\;</math> associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique »<ref name="théorème de la puissance cinétique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> n'est rien d'autre que l'application du « théorème de l'énergie cinétique » entre un instant initial <math>\;t_0\;</math> et un instant <math>\;t\;</math> quelconque<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] » plus loin dans ce chapitre.</ref> <math>\;\ldots</math> == Théorème de l’énergie cinétique, énoncé, démonstration à partir du théorème de la puissance cinétique == === Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique » === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué au point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans un référentiel galiléen «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>»<ref name="théorème de la puissance cinétique" />, * on multiplie de part et d'autre par <math>\;dt\;</math> d’où <math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] \right\rbrace dt = \dot{K}_M(t)\;dt\;</math> ou «<math>\;\sum\limits_k \left\lbrace \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] dt \right\rbrace = dK_M\;</math>» qui s’écrit encore, en reconnaissant la définition du travail élémentaire de force dans chaque terme entre accolades du membre de gauche<ref name="travail élémentaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, «<math>\;\sum\limits_k \delta W\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] = dK_M\;</math>» puis * on intègre sur <math>\;\left[ t_1\,,\, t_2 \right]\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \left\lbrace \sum\limits_k \delta W\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] \right\rbrace = K_M(t_2) - K_M(t_1)\;</math> ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales «<math>\;\sum\limits_k \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \delta W\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] =</math> <math>K_M(t_2) - K_M(t_1)\;</math>» soit enfin, le travail d'une force sur un intervalle de temps de durée finie étant la somme<ref name="signification particulière de somme"> Le substantif « somme » est usuellement utilisé quand on ajoute un nombre fini de termes à variation discrète, ici il s'agit d'ajouter un nombre infini de termes à variation continue, c'est donc un abus de langage, la somme s'obtenant en écrivant une intégrale.</ref> des travaux élémentaires de la force développés par chaque durée élémentaire de l'intervalle de temps, «<math>\;\sum\limits_k W_{\text{sur}\,\left[ t_1\,,\, t_2 \right]}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \right] = K_M(t_2) - K_M(t_1)\;</math>» ; {{Al|5}}ainsi, sous forme intégrée, les « <u>causes de variation de l'énergie cinétique d'un point sur l'intervalle</u><math>\;\left[ t_1\,,\, t_2 \right]\;</math><ref> C.-à-d. les grandeurs qui créent la variation d'énergie cinétique <math>\;\Delta K_M = K_M(t_2) - K_M(t_1)</math>.</ref> » sont les « <u>travaux développés par les forces appliquées à ce point sur le même intervalle</u> », ceci étant applicable en <u>dynamiques newtonienne et relativiste</u>. === Énoncé du « théorème de l’énergie cinétique » === ==== Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire ==== {{théorème | titre= Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire de l'énergie cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est égale à la somme des travaux élémentaires des forces appliquées au point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math><ref name="travail élémentaire d'une force" /> soit <center>«<math>\;\sum\limits_k \delta W\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] = dK_M\;</math>» ;</center> {{Al|5}}ce théorème<ref name="théorème"> C’est un théorème car il se démontre à partir du théorème de la puissance cinétique.</ref> est applicable en <u>dynamique newtonienne et relativiste</u>, la variation élémentaire de l'énergie cinétique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> s'évaluant par différenciation de son énergie cinétique <math>\;K_M(t)\;</math> au même instant et dans le même référentiel<ref name="puissance cinétique à retrouver" /> avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes * en dynamique newtonienne «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_{\!M}^2(t)}{2\;m} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^2(t)\;</math>» et * en dynamique relativiste «<math>\;K_M(t) = \sqrt{m^2\;c^4 + \vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2} - m\;c^2 = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right] m\;c^2\;</math>» où <math>\;\gamma_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}}\;</math> est le [[w:Facteur_de_Lorentz|facteur de Lorentz]]<ref name="Lorentz" /> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire est considéré comme une forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique »<ref name="théorème de la puissance cinétique" /> bien qu'il n'y ait pas de phase d'intégration car la variation élémentaire de l'énergie cinétique évaluée à partir de l'instant <math>\;t\;</math> est sa variation sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> et que le travail élémentaire d'une force appliquée est aussi son travail sur le même intervalle de temps. ==== Théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie ==== {{théorème | titre= Théorème de l'énergie cinétique sous un intervalle de durée finie | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation de l'énergie cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]\;</math> est égale à la somme des travaux des forces appliquées au point <math>\;M\;</math> sur ce même intervalle <math>\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum\limits_k W_{\text{sur}\;\left[ t_1\,,\, t_2 \right]}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \right] = \Delta K_M\;</math>» où «<math>\;\Delta K_M = K_M(t_2) - K_M(t_1)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}ce théorème<ref name="théorème" /> est applicable en <u>dynamique newtonienne et relativiste</u>, la variation de l'énergie cinétique du point <math>\;M\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> s'évaluant par différence d'énergie cinétique <math>\;K_M\;</math> aux instants extrêmes et dans le même référentiel<ref name="puissance cinétique à retrouver" /> avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes * en dynamique newtonienne «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_{\!M}^2(t)}{2\;m} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^2(t)\;</math>» et * en dynamique relativiste «<math>\;K_M(t) = \sqrt{m^2\;c^4 + \vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2} - m\;c^2 = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right] m\;c^2\;</math>» où <math>\;\gamma_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}}\;</math> est le [[w:Facteur_de_Lorentz|facteur de Lorentz]]<ref name="Lorentz" /> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>.}} === Démonstration du théorème de l’énergie cinétique à partir du théorème de la puissance cinétique === {{Al|5}}Pour démontrer le théorème de l'énergie cinétique il suffit de partir du théorème de la puissance cinétique<ref name="théorème de la puissance cinétique" /> <math>\;\big(</math>applicable en dynamiques newtonienne et relativiste<math>\big)\;</math> à savoir «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] =</math> <math>\dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» puis de multiplier chaque membre de ce théorème par <math>\;dt\;</math> ce qui permet d'obtenir le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire «<math>\;\sum\limits_k \delta W\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] = d K_M\;</math>»<ref name="théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sous_forme_élémentaire|théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> puis {{Al|5}}d'intégrer chaque membre sur l'intervalle <math>\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]\;</math> pour obtenir le théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie «<math>\;\sum\limits_k W_{\text{sur}\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \right] = \Delta K_M\;</math>»<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Recherche_de_la_forme_intégrée_associée_à_la_forme_locale_«_théorème_de_la_puissance_cinétique_»|recherche de la forme intégrée associée à la forme locale “théorème de la puissance cinétique”]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Conditions d’utilisation du théorème de l’énergie cinétique === {{Al|5}}Pour appliquer le théorème de l’énergie cinétique<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie - bis" />, il faut bien sûr que le référentiel soit <u>galiléen</u> puis, {{Al|5}}après avoir défini le système <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le point matériel étudié<math>\big)\;</math> et précisé les forces appliquées sur un schéma, {{Al|5}}on indique nettement l’état initial ainsi que l’état final d’application du théorème de l’énergie cinétique ; {{Al|5}}on doit penser au théorème de l’énergie cinétique quand <u>on cherche des liens entre vitesses et positions sans référence aux dates</u> … == Intégrale 1^ère du mouvement correspondant au théorème de l’énergie cinétique appliqué entre un instant fixé et un instant quelconque == {{Al|5}}Si le théorème de l'énergie cinétique<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie - bis" /> est appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> entre un « état initial d'instant <math>\;t_0\;</math>» et un « état final d'instant <math>\;t\;</math> quelconque », on obtient une « équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\overrightarrow{OM}(t)</math> »<ref> Toujours non linéaire car l’énergie cinétique est une forme « non linéaire de <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\;</math>».</ref> appelée « intégrale 1^ère du mouvement du point »<ref name="intégrale 1ère du mouvement associée à une forme locale de la dynamique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Notion_d’intégrale_1ère_du_mouvement_associée_à_une_forme_locale_de_la_dynamique|notion d'intégrale 1^ère du mouvement associée à une forme locale de la dynamique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}}<ref> Cette intégrale 1^ère du mouvement du point <math>\;M\;</math> étant non linéaire est rarement simple à intégrer, son utilisation n'a donc pas pour raison 1^ère d'être intégrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}D'ailleurs on l'écrit le plus souvent sans remplacer <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> par <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)</math>.</ref> ; * en dynamique newtonienne elle peut s'écrire «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^2 + \sum\limits_k W_{\text{sur}\;\left[ t_0\,,\,t \right]}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \right]\;</math>» où <math>\;\vec{V}_0 = \vec{V}_M(t_0)\;</math> et * en dynamique relativiste {{Transparent|elle peut s'écrire }}{{Al|5}}«<math>\;\left[ \gamma_M(t) - 1 \right] m\;c^2 = \left[ \gamma_{M,\,0} - 1 \right] m\;c^2 + \sum\limits_k W_{\text{sur}\;\left[ t_0\,,\,t \right]}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \right]\;</math>» où <math>\;\gamma_{M,\,0} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_0^2}{c^2}}}\;</math> est le [[w:Facteur_de_Lorentz|facteur de Lorentz]]<ref name="Lorentz" /> de l'état initial dans lequel <math>\;\vec{V}_0 = \vec{V}_M(t_0)\;</math> et <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}}\;</math> celui de l'état quelconque, intégrale 1^ère du mouvement du point qui s'écrit, après simplification «<math>\;\gamma_M(t) = \gamma_{M,\,0} +\dfrac{\sum\limits_k W_{\text{sur}\;\left[ t_0\,,\,t \right]}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \right]}{m\;c^2}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans le cadre de la dynamique relativiste on utilise le plus souvent la 2^ème définition équivalente de l'énergie cinétique du point<ref name="2ème définition de l'énergie cinétique relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] (dans le cadre de la cinétique relativiste) » plus haut dans ce chapitre.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans le cadre de la dynamique relativiste }}l'intégrale 1^ère du mouvement du point s'écrit «<math>\;\sqrt{m^2\;c^4 + \vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2} - m\;c^2 = \sqrt{m^2\;c^4 + \vec{p}_0^2\;c^2} - m\;c^2 + \sum\limits_k W_{\text{sur}\;\left[ t_0\,,\,t \right]}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \right]\;</math>» avec <math>\;\vec{p}_0 = \vec{p}_M(t_0)\;</math> ou, après simplification évidente, «<math>\;\sqrt{m^2\;c^4 + \vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2} = \sqrt{m^2\;c^4 + \vec{p}_0^2\;c^2} + \sum\limits_k W_{\text{sur}\;\left[ t_0\,,\,t \right]}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \right]\;</math>». == En complément, « forme intégrée » associée à la forme locale « r.f.d. » == === Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d. » === {{Al|5}}Partant de la r.f.d<ref name="r.f.d." />. appliquée dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> au point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> sous la forme valide en dynamiques newtonienne et relativiste «<math>\;\sum\limits_k \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;</math>»<ref name='énoncé du p.f.d." />,}} * on multiplie de part et d'autre par <math>\;dt\;</math> d’où <math>\;\left[ \sum\limits_k \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] dt = \dfrac{d \vec{p}_M}{dt}(t)\;dt\;</math> ou «<math>\;\sum\limits_k \left\lbrace \left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] dt \right\rbrace = d \vec{p}_M\;</math>» dans laquelle « chaque terme entre accolades du membre de gauche <math>\;\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] dt\;</math> définit une grandeur élémentaire de force, appelée impulsion élémentaire de force et notée <math>\;\delta \vec{I}\!\left[ \vec{F} \right]\;</math>»<ref name="abus pour impulsion élémentaire"> La notation historique <math>\;\delta \vec{I}\;</math> <math>\big(</math>comme celle du travail élémentaire <math>\;\delta W\big)\;</math> est en fait incorrecte au regard de l'utilisation habituelle du symbole <math>\;\delta\;</math> précédant une grandeur <math>\;\xi\;\big(</math>définie à chaque instant<math>\big)\;</math> dont la signification est « petite variation de la grandeur » c.-à-d. <math>\;\delta \xi = \xi(t + \delta t) - \xi(t)</math>, or ici il n'y a pas de grandeur <u>instantanée</u><math>\;\vec{I}(t)\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}il serait préférable de noter cette impulsion élémentaire <math>\;\vec{I}_{\left[ t\,,\, t + dt \right]}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math> mais on ne le fera jamais pour des raisons historiques <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Impulsion_élémentaire_de_force_exercée_par_un_système_sur_un_point_matériel|impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big\}</math>, soit «<math>\;\sum\limits_k \delta \vec{I}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] = d \vec{p}_M\;</math>» puis * on intègre sur <math>\;\left[ t_1\,,\, t_2 \right]\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \left\lbrace \sum\limits_k \delta \vec{I}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] \right\rbrace = \vec{p}_M(t_2) - \vec{p}_M(t_1)\;</math> ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales «<math>\;\sum\limits_k \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \delta \vec{I}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] =</math> <math>\vec{p}_M(t_2) - \vec{p}_M(t_1)\;</math>» dans laquelle « chaque terme de la somme discrète du membre de gauche <math>\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \delta \vec{I}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] =</math> <math>\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] dt\;</math> définit une grandeur de force sur l'intervalle de temps <math>\;\left[ t_1\,,\, t_2 \right]\;</math> appelée impulsion de force sur cet intervalle de temps <math>\;\left[ t_1\,,\, t_2 \right]\;</math> et notée <math>\;\vec{I}_{\text{sur}\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]}\!\left[ \vec{F} \right]\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Impulsion_de_force_exercée_par_un_système_sur_un_point_matériel_pendant_une_durée_finie|impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big\}</math>, permettant de réécrire la relation selon «<math>\;\sum\limits_k \vec{I}_{\text{sur}\,\left[ t_1\,,\, t_2 \right]}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)} \right] = \vec{p}_M(t_2) - \vec{p}_M(t_1)\;</math>» ; {{Al|5}}ainsi, sous forme intégrée, les « <u>causes de variation du vecteur quantité de mouvement d'un point<ref name="quantité de mouvement" /> sur l'intervalle</u> <math>\;\left[ t_1\,,\, t_2 \right]\;</math><ref> C.-à-d. les grandeurs qui créent la variation de quantité de mouvement <math>\;\Delta \vec{p}_M = \vec{p}_M(t_2) - \vec{p}_M(t_1)</math>.</ref> » sont les « <u>impulsions développées par les forces appliquées à ce point sur le même intervalle</u><ref> Voir le paragraphe « [[#Impulsion_de_force_exercée_par_un_système_sur_un_point_matériel_pendant_une_durée_finie|Impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie]] » plus loin dans ce chapitre.</ref> », ceci étant applicable en <u>dynamiques newtonienne et relativiste</u>. === Notion d'impulsion de force === ==== Impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel ==== {{Al|5}}L'impulsion élémentaire de la force <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)\;</math><ref name="abus pour force"> Appellation usuelle pour vecteur force <math>\;\vec{F}(M,\,t)\;</math> résultant d'un abus <math>\;\ldots</math></ref> que le système <math>\;(\Sigma)\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> pendant la durée élémentaire <math>\;dt\;</math> à partir de l'instant <math>\;t\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'impulsion élémentaire de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)}\;</math> }}est notée usuellement «<math>\;\delta \vec{I}\!\left[ \vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t) \right]\;</math>»<ref name="abus pour impulsion élémentaire" /> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'impulsion élémentaire de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)}\;</math> }}est définie selon «<math>\;\delta \vec{I}\!\left[ \vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t) \right] = \vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)\;dt\;</math>», « l'unité d'impulsion étant le <math>\;N \cdot s\;</math> ou encore le <math>\;kg \cdot m \cdot s^{-1}</math>»<ref name="unité d'impulsion"> c.-à-d. l'unité de quantité de mouvement.</ref>. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : « Si la force <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)\;</math> est de norme finie », « son impulsion élémentaire <math>\;\delta \vec{I}\!\left[ \vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t) \right] \rightarrow \vec{0}\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\;</math>» d'où la propriété suivante {{Al|5}}{{Transparent|Propriété : }}« <u>à l'ordre 0 en</u><math>\;dt</math>, <u>les impulsions élémentaires des forces de norme finie sont nulles</u> »<ref name="impulsion élémentaire de force de norme finie non nulle"> On peut ajouter que si les forces sont de norme finie non nulle leur impulsion élémentaire est d'ordre un en <math>\;dt</math>.</ref>. ==== Impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie ==== {{Al|5}}L'impulsion de la force <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)\;</math><ref name="abus pour force" /> que le système <math>\;(\Sigma)\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> pendant la durée de l'intervalle de temps <math>\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'impulsion de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)}\;</math> }}est notée usuellement «<math>\;\vec{I}_{\text{sur}\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]}\!\left[ \vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t) \right]\;</math>» <math>\Big\{</math>ou, avec <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> les positions de <math>\;M\;</math> aux instants respectifs <math>\;t_1\;</math> et <math>\;t_2\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'impulsion de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)}\;</math> est }}notée {{Transparent|usuellement }}«<math>\;\vec{I}_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\!\left[ \vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t) \right]\;</math>»<math>\Big\}\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'impulsion de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)}\;</math> }}est définie selon «<math>\;\vec{I}_{\text{sur}\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]}\!\left[ \vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t) \right] = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)\;dt\;</math>»<ref> En absence d'ambiguïté, l'impulsion de la force <math>\;\vec{F}\;</math> sera simplement noté «<math>\;\vec{I}\!\left[ \vec{F} \right]\;</math>» sans rappeler les bornes de l'intervalle de temps.</ref> <math>\;\bigg\{</math>ou «<math>\;\vec{I}_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\!\left[ \vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t) \right] = \displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2} \vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale curviligne"> Voir la notion d'intégrale curviligne introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que la méthode de calcul d'une telle intégrale dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Méthode_de_calcul_d'une_intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du même chapitre de la même leçon.</ref>{{,}}<ref> En absence d'ambiguïté, l'impulsion de la force <math>\;\vec{F}\;</math> sera simplement noté <math>\;\vec{I}\!\left[ \vec{F} \right]\;</math> sans rappeler la courbe suivie ni les bornes de la portion de courbe.</ref><math>\bigg\}</math>. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : « Si la force <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)\;</math> reste de norme finie sur l'intervalle <math>\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]\;</math>» <math>\big[</math>la force pouvant y être continue ou discontinue de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_de_l'échelon_de_tension_d'amplitude_E|discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon de tension d'amlitude E]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Exemples_d'échelon_dans_d'autres_domaines_que_l'électricité|exemples d'échelon dans d'autres domaines que l'électricité]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : « Si la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t)}\;</math> reste de norme finie sur l'intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[ t_1\,,\,t_2 \right]}\;</math>» }}« son impulsion sur cet intervalle <math>\;\vec{I}_{\text{sur}\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]}\!\left[ \vec{F}_{M \leftarrow (\Sigma)}(t) \right]\;</math> est également de norme finie<ref> Qui peut néanmoins être nulle.</ref> ». ==== Modélisation d’une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire ==== {{Al|5}}Lorsqu'un point <math>\;M\;</math> subit une collision à un instant <math>\;t_0\;</math> avec un support solide <math>\;(\Sigma)</math>, on dit que <math>\;(\Sigma)\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> une force « <u>de collision</u> » <math>\;\vec{F}_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;</math> s'identifiant à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> }}<math>\succ\;</math>une force « <u>nulle</u> hors durée <math>\;\delta t\;</math> de la collision » <math>\;\big(</math>durée toujours très courte<ref> C.-à-d. une durée d'échelle mésoscopique <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Échelles_macroscopique,_mésoscopique_et_microscopique_de_temps|échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> }}<math>\succ\;</math>une force « de direction fixée et de <u>norme très grande</u> pendant la <u>très courte</u> durée <math>\;\delta t\;</math> de la collision » ; {{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> }}<u>la grandeur utile</u><ref> C.-à-d. ayant une signification physique.</ref> ici <u>étant</u> « <u>l'impulsion de la force de collision</u><math>\;\vec{F}_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t) = F_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;\vec{u}\;</math><ref> <math>\;\vec{u}\;</math> étant le vecteur unitaire de la direction fixe de la force de collision choisi dans le sens de celle-ci pendant la durée de la collision ; <br>{{Al|3}}<math>\;F_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;</math> étant donc la norme de la force de collision pendant la durée de la collision.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> la grandeur utile ici étant « l'impulsion de la force de collision }}que <math>\;(\Sigma)\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> pendant la durée de la collision » définie selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> la grandeur utile ici étant }}«<math>\;\vec{I}_{\text{sur}\;\left[ t_0\,,\, t_0 + \delta t \right]}\! \left[ \vec{F}_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t) \right] = \displaystyle\int_{t_0}^{t_0 + \delta t} \vec{F}_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;dt</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> la grandeur utile ici étant «<math>\;\color{transparent}{\vec{I}_{\text{sur}\;\left[ t_0\,,\, t_0 + \delta t \right]}\! \left[ \vec{F}_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t) \right]}</math> }}<math>= \left[ \displaystyle\int_{t_0}^{t_0 + \delta t} F_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;dt \right] \vec{u}\;</math>» et notée plus simplement <br>{{Al|11}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> la grandeur utile ici étant }}«<math>\;\vec{I}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;</math>»<ref> En effet l'impulsion de la force de collision <math>\;\vec{F}_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\displaystyle\int_{t_1 < t_0}^{t_2 > t_0 + \delta t} \vec{F}_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;dt\;</math> compte-tenu de la nullité de la force de collision hors durée de celle-ci, c'est donc essentiellement l'instant <math>\;t_0\;</math> de début de collision qui importe et non sa durée qui est toujours très courte.</ref> <math>\;= I_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;\vec{u}\;</math> avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> la grandeur utile ici étant «<math>\;\color{transparent}{\vec{I}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{=}</math> }}<math>\;I_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0) = \displaystyle\int_{t_0}^{t_0 + \delta t} F_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;dt\;</math> c'est-à-dire égale à <br>{{Al|17}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> la grandeur utile ici étant «<math>\;\color{transparent}{\vec{I}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{=}</math> }}l'<u>aire de la surface sous le pic du graphe de</u><math>\;F_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;</math> en fonction de <math>\;t</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> }}la durée <math>\;\delta t\;</math> étant très petite simultanément à la norme de <math>\;F_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;</math> très grande pendant la collision et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> }}compte-tenu de la signification géométrique de <math>\;I_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;</math><ref> C.-à-d. grandeur égale à l'aire de la surface sous le pic du graphe de <math>\;F_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;</math> en fonction de <math>\;t</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> }}on peut modéliser la force réelle de collision «<math>\;\vec{F}_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t) = F_{\text{choc réel},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;\vec{u}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> on peut modéliser }}en utilisant le « <u>pic de Dirac</u><ref name="Dirac"> '''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de '''Schrödinger''' et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de '''Heisenberg''', deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' dans sa [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie des distributions]] ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la [[w:Théorie_atomique|théorie atomique]], l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation d'onde dite de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la [[w:Théorie_atomique|théorie atomique]] ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], a obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création d'une forme de [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connue sous le nom de [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]]<math>\big)</math>, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés [[w:Allotropie|allotropiques]] de l'hydrogène <math>\;\big(</math>le dihydrogène existe sous deux formes [[w:Allotropie|allotropiques]] « ortho » où les spins sont <math>\;\parallel\;</math> et « para » où ils sont anti<math>\;\parallel</math>, le dihydrogène ortho étant présent à <math>\;75\;\%\;</math> à température élevée et sa proportion <math>\;\searrow\;</math> quand sa température <math>\;\searrow\big)</math>.</ref> <u>d'impulsion unité</u> centré à l'instant <math>\;t_0\;</math> à savoir <math>\;\delta(t - t_0)\;</math>»<ref name="pic de Dirac d'impulsion unité"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> conduisant à la <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> on peut }}modélisation de la force de collision en «<math>\;\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t) = F_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;\vec{u}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> on peut modélisation de la force de collision en «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}</math> }}«<math>\;F_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t) = I_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;\delta(t - t_0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> on peut modélisation }}en utilisant la propriété du pic de Dirac<ref name="Dirac" /> d'impulsion unité «<math>\;\displaystyle\int_{t_0^{-}}^{t_0^{+}} \delta(t - t_0)\;dt = 1\;</math>»<ref name="au sens des distributions"> Intégrale au sens des distributions.</ref>{{,}}<ref name="pic de Dirac d'impulsion unité" /> on vérifie aisément <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> on peut modélisation }}«<math>\;\displaystyle\int_{t_0^{-}}^{t_0^{+}} F_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_0^{-}}^{t_0^{+}} I_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;\delta(t - t_0)\;dt\;</math><ref name="au sens des distributions" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> on peut modélisation «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int_{t_0^{-}}^{t_0^{+}} F_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;dt}\;</math> }}<math>= I_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0) \left[ \displaystyle\int_{t_0^{-}}^{t_0^{+}} \delta(t - t_0)\;dt \right]\;</math><ref name="au sens des distributions" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsqu'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> subit une collision à un instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> on peut modélisation «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int_{t_0^{-}}^{t_0^{+}} F_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;dt}\;</math> }}<math>= I_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;</math>» ce qui est en accord avec la signification de <math>\;I_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)</math>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : « <u>une force de collision</u> étant modélisée en utilisant un pic de Dirac<ref name="Dirac" /> d'impulsion unité<ref name="pic de Dirac d'impulsion unité" />, est <u>discontinue de 2^ème espèce</u><ref name="discontinuité de 2ème espèce"> Revoir la définition dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_2ème_espèce_du_pic_de_Dirac_de_tension_d'impulsion_E|discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="modèle et non force"> Plus exactement c'est son modèle qui est discontinu de 2^ème espèce.</ref> », {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}« <u>son impulsion</u><ref> Plus exactement celle de son modèle discontinu de 2^ème espèce.</ref> <u>sur n'importe quel intervalle de temps englobant l'instant de collision</u> est une constante <math>\;I_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0) \neq 0\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Conclusion : son impulsion sur n'importe quel intervalle de temps englobant l'instant de collision }}c'<u>est aussi son impulsion sur la durée élémentaire</u><math>\;\delta t\;</math><u>de collision</u><ref name="impulsion sur durée élémentaire"> Une impulsion tendant vers une constante non nulle quand l'infiniment petit <math>\;\delta t \rightarrow 0</math>, n'est pas nommée « impulsion élémentaire » <math>\;\big(</math>qui sous-entendrait qu'elle tende vers zéro simultanément à <math>\;\delta t\big)\;</math> mais « impulsion sur la durée élémentaire <math>\;\delta t\;</math>», de plus elle n'est pas notée <math>\;\delta \vec{I}\!\left[ \vec{F} \right]\;</math> mais <math>\;\vec{I}_{\text{sur}\;\delta t}\!\left[ \vec{F} \right]</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Conclusion : son impulsion sur n'importe quel intervalle de temps englobant l'instant de collision c'est aussi }}valeur <u>non nulle à l'ordre zéro</u> en l'infiniment petit <math>\;\delta t</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}contrairement aux forces hors collision <math>\;\big(</math>continues ou discontinues de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /><math>\big)\;</math> dont les impulsions élémentaires sont nulles à l'ordre zéro en l'infiniment petit de durée élémentaire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : contrairement }}<u>les forces de collisions</u> <math>\;\big(</math>discontinues de 2^ème espèce<ref name="discontinuité de 2ème espèce" />{{,}}<ref name="modèle et non force" /> en l'instant de collision<math>\big)\;</math> <u>sont telles que leur impulsion sur la durée élémentaire</u><math>\;\big(</math>de collision<math>\big)\;</math><ref name="impulsion sur durée élémentaire" /> <u>est non nulle à l'ordre zéro en cette durée élémentaire</u> et ce sont les seules. === Énoncé des théorèmes de l'impulsion (ou r.f.d. sous forme intégrée) === ==== Théorème de l'impulsion sous forme élémentaire ==== {{théorème | titre= Théorème de l'impulsion sous forme élémentaire | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire de quantité de mouvement d’un point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="quantité de mouvement" /> est égale à la somme des impulsions élémentaires des forces appliquées au point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math><ref name="définition de l'impulsion élémentaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Impulsion_élémentaire_de_force_exercée_par_un_système_sur_un_point_matériel|implusion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et pendant la même durée élémentaire {{Nobr|<math>\;\delta t\;</math><ref name="abus relatif aux forces de collision"> Par abus et pour éviter la complication dans l'énoncé du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire, on parlera d'« impulsion élémentaire pour une force de collision » <math>\;\big(</math>ce qui est incorrect car elle ne tend pas vers zéro simultanément à la durée de collision<math>\big)\;</math> et non d'« impulsion de la force de collision sur la durée élémentaire » <math>\;\big(</math>qui est l'appellation correcte<math>\big)\;</math> et on la notera <math>\;\delta \vec{I}\! \left[ \vec{F}_{\text{collision}} \right]\;</math> <math>\big(</math>normalement réservé aux impulsions tendant vers zéro simultanément à la durée élémentaire<math>\big)\;</math> et non <math>\;\vec{I}_{\text{sur}\;\delta t}\! \left[ \vec{F}_{\text{collision}} \right]\;</math> <math>\big(</math>notation correcte à utiliser pour les impulsions ne tendant pas vers zéro simultanément à la durée élémentaire<math>\big)</math>.</ref>}} soit «<math>\;\sum\limits_k \delta \vec{I}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] = d \vec{p}_M\;</math>» ; {{Al|5}}ce théorème<ref name="théorème - bis"> C’est un théorème car il se démontre à partir de la relation fondamentale de la dynamique <math>\;\big(</math>r.f.d.<math>\big)</math>.</ref> est applicable en <u>dynamique newtonienne et relativiste</u>, la variation élémentaire de la quantité de mouvement du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math><ref name="quantité de mouvement" /> s'évaluant par différenciation de sa quantité de mouvement <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> au même instant et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, la définition suivante dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math> * en dynamique newtonienne «<math>\;\vec{p}_M(t) = m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» et * en dynamique relativiste «<math>\;\vec{p}_M(t) = \gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le [[w:Facteur_de_Lorentz|facteur de Lorentz]]<ref name="Lorentz" /> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire est considéré comme une forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d<ref name="r.f.d." />. » bien qu'il n'y ait pas de phase d'intégration car <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire }}la variation élémentaire de la quantité de mouvement évaluée à partir de l'instant <math>\,t\;</math><ref name="quantité de mouvement" /> est sa variation sur l'intervalle de temps <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire }}l'impulsion élémentaire d'une force appliquée<ref name="abus relatif aux forces de collision" /> est aussi son impulsion sur le même intervalle de temps. ===== Application en absence de forces de collision et conséquence ===== {{Al|5}}En absence de forces de collision<ref name="force de collision"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Modélisation_d’une_force_de_collision_et_conséquence_sur_son_impulsion_élémentaire|modélisation d'une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, toutes les forces appliquées à l'instant <math>\;t\;</math> au point <math>\;M\;</math> sont continues ou discontinues de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|En absence de forces de collision, }}leurs impulsions élémentaires sont toutes nulles à l'ordre zéro en la durée élémentaire <math>\;\delta t\;</math> considérée à partir de l'instant <math>\;t\;</math> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|En absence de forces de collision, }}«<math>\;\sum\limits_k \delta \vec{I}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] \simeq 0\;</math> à l'ordre zéro en <math>\;\delta t\;</math>» <math>\;\big(</math>valable de dynamique newtonienne ou relativiste<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|En absence de forces de collision, }}par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire<ref name="théorème de l'impulsion sous forme élémentaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'impulsion_sous_forme_élémentaire|théorème de l'impulsion sous forme élémentaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d \vec{p}_M \simeq 0\;</math> à l'ordre zéro en <math>\;\delta t\;</math>» <math>\;\big(</math>en dynamique newtonienne ou relativiste<math>\big)\;</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{p}_M(t + \delta t) \simeq \vec{p}_M(t)\;</math> à l'ordre zéro en <math>\;\delta t\;</math>»<ref name="valable en dynamique newtonienne ou relativiste"> Valable en dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> c'est-à-dire finalement <br>{{Al|16}}{{Transparent|En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<u>la continuité de la quantité de mouvement</u><math>\;\vec{p}_M(t)\;</math><u>pour tout</u><math>\;t\;</math><u>hors collision</u><ref name="valable en dynamique newtonienne ou relativiste" />{{,}}<ref> Ce résultat confirme ce que donnerait l'application de la r.f.d. sous forme locale : la somme de forces continues et discontinues de 1^ère espèce étant discontinue de 1^ère espèce il est de même de la dérivée temporelle de la quantité de mouvement dont on peut induire la continuité de la quantité de mouvement.</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<u>la continuité de la vitesse</u><math>\;\vec{V}_M(t)\;</math><u>en tout instant hors collision</u><ref name="valable en dynamique newtonienne ou relativiste" />{{,}}<ref> Dans le cadre de la cinétique newtonienne, de <math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)}{m}\;</math> et de la continuité de <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> pour tout <math>\;t\;</math> hors collision, on en déduit celle de <math>\;\vec{V}_M(t)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cadre de la cinétique relativiste, de <math>\;\vec{p}_M(t) = \gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_M(t)\;</math> avec <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le [[w:Facteur_de_Lorentz|facteur de Lorentz]] de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> et de la continuité de <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> pour tout <math>\;t\;</math> hors collision, on en déduit celle de <math>\;\vec{V}_M(t)</math> <math>\;\bigg\{</math>en effet l'énergie totale du point s'écrivant <math>\;E_M(t) = \gamma_M(t)\;m\;c^2\;</math> <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-énergie_totale_d'un_point_matériel_isolé-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> on en déduit <math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\;c}{E_M(t)}\;</math> ou, l'énergie totale du point s'écrivant encore <math>\;E_M(t) = \sqrt{m^2\;c^4 + \left[ \vec{p}_M(t)\;c \right]^2}\;</math> <math>\big(</math>voir la même note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-énergie_totale_d'un_point_matériel_isolé-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, <math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\;c}{\sqrt{m^2\;c^4 + \left[ \vec{p}_M(t)\;c \right]^2}}\;</math> et par suite la continuité de <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> celle de <math>\;\vec{V}_M(t)\bigg\}</math>.</ref> et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<u>la continuité de la position</u><math>\;M\;</math><u>pour tout</u><math>\;t\;</math><u>hors collision</u><ref name="valable en dynamique newtonienne ou relativiste" />. ===== Application en présence d'une force de collision et conséquence ===== {{Al|5}}En présence d'une force de collision<ref name="force de collision" /> <math>\;\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)\;</math> discontinue de 2^ème espèce à l'instant <math>\;t_0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" />{{,}}<ref name="modèle et non force" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En présence d'une force de collision <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}\;</math> }}dont l'impulsion sur la durée élémentaire <math>\;\delta t\;</math> de collision est «<math>\;\vec{I}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;</math> non nulle à l'ordre zéro en la durée élémentaire <math>\;\delta t\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|En présence d'une force de collision <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}\;</math> }}et, sachant que les autres forces appliquées à l'instant <math>\;t_0\;</math> au point <math>\;M\;</math> étant continues ou discontinues de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> en cet instant, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En présence d'une force de collision <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}\;</math> et, sachant que }}leurs impulsions élémentaires sont toutes nulles à l'ordre zéro en la durée élémentaire <math>\;\delta t\;</math> à partir de l'instant <math>\;t_0</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En présence d'une force de collision <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}\;</math> }}on en déduit que la somme des impulsions élémentaires de toutes les forces appliquées y compris la force de collision<ref name="abus relatif aux forces de collision" /> est égale à <br>{{Al|11}}{{Transparent|En présence d'une force de collision <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}\;</math> on en déduit que }}«<math>\;\vec{I}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;</math> non nulle à l'ordre zéro en <math>\;\delta t\;</math>» <math>\;\big(</math>valable de dynamique newtonienne ou relativiste<math>\big)</math>, soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|En présence d'une force de collision <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}\;</math> on en déduit que }}«<math>\;\sum\limits_k \delta \vec{I}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] \simeq \vec{I}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;</math> à l'ordre zéro en <math>\;\delta t\;</math>»<ref name="valable en dynamique newtonienne ou relativiste" /> et par application du <br>{{Al|11}}{{Transparent|En présence d'une force de collision <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}\;</math> }}théorème de l'impulsion sous forme élémentaire<ref name="théorème de l'impulsion sous forme élémentaire" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d \vec{p}_M \simeq \vec{I}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;</math> à l'ordre zéro en <math>\;\delta t\;</math>»<ref name="valable en dynamique newtonienne ou relativiste" /> soit encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|En présence d'une force de collision <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}\;</math> théorème de l'impulsion sous forme élémentaire <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{p}_M(t + \delta t) - \vec{p}_M(t) \simeq \vec{I}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;</math> à l'ordre zéro en <math>\;\delta t\;</math>»<ref name="valable en dynamique newtonienne ou relativiste" /> c'est-à-dire <br>{{Al|17}}{{Transparent|En présence d'une force de collision <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}\;</math> théorème de l'impulsion sous forme élémentaire <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<u>une discontinuité de la quantité de mouvement</u><math>\;\vec{p}_M(t)\;</math><u>à l'instant de collision</u><ref name="valable en dynamique newtonienne ou relativiste" />{{,}}<ref> Ce résultat confirme ce que donnerait l'application de la r.f.d. sous forme locale : la somme de forces continues, discontinues de 1^ère et de 2^ème espèces étant discontinue de 2^ème espèce il est de même de la dérivée temporelle de la quantité de mouvement dont on peut induire la discontinuité de 1^ère espèce de la quantité de mouvement.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|En présence d'une force de collision <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}\;</math> théorème de l'impulsion sous forme élémentaire <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}plus précisément «<math>\;\vec{p}_M(t_0^{+}) - \vec{p}_M(t_0^{-}) = \vec{I}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;</math>»<ref name="valable en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ainsi que <br>{{Al|17}}{{Transparent|En présence d'une force de collision <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}\;</math> théorème de l'impulsion sous forme élémentaire <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<u>la discontinuité de 1^ère espèce de la vitesse</u><math>\;\vec{V}_M(t)\;</math><u>à l'instant de collision</u><ref name="valable en dynamique newtonienne ou relativiste" />{{,}}<ref> Dans le cadre de la cinétique newtonienne, de <math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)}{m}\;</math> et de la discontinuité de 1^ère espèce <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> à l'instant de collision, on en déduit celle de <math>\;\vec{V}_M(t)</math> «<math>\;\vec{V}_M(t_0^{+}) - \vec{V}_M(t_0^{-})</math> <math>= \dfrac{\vec{p}_M(t_0^{+}) - \vec{p}_M(t_0^{-})}{m} = \dfrac{\vec{I}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)}{m}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cadre de la cinétique relativiste, de <math>\;\vec{p}_M(t) = \gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_M(t)\;</math> avec <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le [[w:Facteur_de_Lorentz|facteur de Lorentz]] de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> et de la discontinuité de 1^ère espèce de <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> à l'instant de collision, on en déduit celle de <math>\;\vec{V}_M(t)</math> <math>\;\Bigg\{</math>en effet l'énergie totale du point s'écrivant <math>\;E_M(t) = \gamma_M(t)\;m\;c^2\;</math> <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-énergie_totale_d'un_point_matériel_isolé-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> on en déduit <math>\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\dfrac{\vec{p}_M(t)\;c}{E_M(t)}\;</math> ou, l'énergie totale du point s'écrivant encore <math>\;E_M(t) = \sqrt{m^2\;c^4 + \left[ \vec{p}_M(t)\;c \right]^2}\;</math> <math>\big(</math>voir la même note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-énergie_totale_d'un_point_matériel_isolé-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, <math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\;c}{\sqrt{m^2\;c^4 + \left[ \vec{p}_M(t)\;c \right]^2}}\;</math> et par suite la discontinuité de 1^ère espèce de <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> celle de <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> selon «<math>\;\vec{V}_M(t_0^{+}) - \vec{V}_M(t_0^{-}) = \dfrac{\vec{p}_M(t_0^{+})\;c}{\sqrt{m^2\;c^4 + \left[ \vec{p}_M(t_0^{+})\;c \right]^2}} - \dfrac{\vec{p}_M(t_0^{-})\;c}{\sqrt{m^2\;c^4 + \left[ \vec{p}_M(t_0^{-})\;c \right]^2}}\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{p}_M(t_0^{+}) =</math> <math>\vec{p}_M(t_0^{-}) + \vec{I}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;</math>»<math>\Bigg\}</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|En présence d'une force de collision <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{collision},\,M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t)}\;</math> théorème de l'impulsion sous forme élémentaire <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<u>la continuité de la position</u><math>\;M\;</math><u>à l'instant de collision</u><ref name="valable en dynamique newtonienne ou relativiste" />. ==== Théorème de l'impulsion sur une durée finie ==== {{théorème | titre= Théorème de l'impulsion sur une durée finie | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation de quantité de mouvement d’un point matériel <math>\;M\;</math><ref name="quantité de mouvement" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]\;</math> est égale à la somme des impulsions des forces appliquées au point <math>\;M\;</math><ref name="définition de l'impulsion d'une force pendant une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Impulsion_de_force_exercée_par_un_système_sur_un_point_matériel_pendant_une_durée_finie|implusion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur ce même intervalle <math>\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum\limits_k \vec{I}_{\text{sur}\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]}\!\left[ \vec{F}_{M\,\leftarrow\,(\Sigma_k)}(t) \right] = \Delta \vec{p}_M\;</math>» où «<math>\;\Delta \vec{p}_M = \vec{p}_M(t_2) - \vec{p}_M(t_1)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}ce théorème<ref name="théorème - bis" /> est applicable en <u>dynamique newtonienne et relativiste</u>, la variation de la quantité de mouvement du point <math>\;M\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_1\,,\,t_2 \right]\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math><ref name="quantité de mouvement" /> s'évaluant par différence de sa quantité de mouvement <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> aux instants extrêmes et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, la définition suivante * en dynamique newtonienne «<math>\;\vec{p}_M(t) = m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» et * en dynamique relativiste «<math>\;\vec{p}_M(t) = \gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le [[w:Facteur_de_Lorentz|facteur de Lorentz]]<ref name="Lorentz" /> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.}} === Discontinuité de la puissance d'une force de collision === {{Al|5}}Ayant modélisé la force de collision que <math>\;(\Sigma)\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t_0\;</math> de collision selon <math>\;\vec{F}_{\text{collision}\;M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t) = \vec{I}_{\text{collision}\;M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;\delta(t - t_0)\;</math><ref name="force de collision" /> c'est-à-dire <br>{{Al|6}}{{Transparent|Ayant modélisé la force de collision que <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t_0}\;</math> de collision selon }}une force discontinue de 2^ème espèce à l'instant <math>\;t_0\;</math><ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> et {{Al|5}}{{Transparent|Ayant }}établi, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire au point <math>\;M\;</math><ref name="théorème de l'impulsion sous forme élémentaire" />, la discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> de la quantité de mouvement de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t_0\;</math><ref name="conséquence en présence d'une force de collision"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Application_en_présence_d'une_force_de_collision_et_conséquence|application en présence d'une force de collision et conséquence]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et par suite <br>{{Al|14}}{{Transparent|Ayant établi, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>, la discontinuité de 1^ère }}celle de la vitesse de <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t_0\;</math><ref name="conséquence en présence d'une force de collision" />, {{Al|5}}on observe, à partir de la définition de la puissance de la force de collision «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\text{collision}\;M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t) \right] = \vec{F}_{\text{collision}\;M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en supposant que la direction et le sens de la force de collision est identique à la direction et le sens du mouvement du point, «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\text{collision}\;M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t) \right] = I_{\text{collision}\;M\,\leftarrow\,(\Sigma)}(t_0)\;\delta(t - t_0) \; V_M(t)\;</math>», la propriété suivante {{Al|5}}{{Transparent|on observe }}la <u>puissance de la force de collision est discontinue de 2^ème espèce</u><ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> car elle est le produit d'un facteur discontinu de 2^ème espèce<ref name="discontinuité de 2ème espèce" /> et d'un facteur discontinu de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Puissance et travail d'une force]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Énerg. potent. et énerg. mécan.]] }} devatwpmsphog4npfp0elzqjs3rx5po 0 70502 982893 978922 2026-05-17T15:11:59Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982893 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques | idfaculté = physique | numéro = 15 | chapitre = [[../../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques/]] | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique/]] | niveau = 14 }} == Point se déplaçant sans frottement sur un plan horizontal tiré par un fil idéal vers un trou du plan == <center>Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> [[File:Point sans frottement sur un plan horizontal tiré vers un trou du plan.png|thumb|280px|Schéma descriptif représentant un point <math>\;M\;</math> glissant sans frottement sur un plan horizontal percé en <math>\;O</math>, le point étant tiré vers le trou par un fil idéal<ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> à l'extrémité duquel s'exerce une force telle que la longueur du fil tendu sur le plan horizontal soit une fonction affine du temps]] {{Al|5}}Sur un plan horizontal, percé d'un trou <math>\;O</math>, un point <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> se déplace sans frottements en étant lié à un fil idéal<ref name="fil idéal" /> passant par le trou. {{Al|5}}On exerce sur l'extrémité de la portion de fil verticale une force de traction <math>\;\vec{T}(t)\;</math> de direction verticale et de sens descendant telle que la longueur de la portion horizontale tendue du fil soit <math>\;\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Vert = l(t) = a - b\;t\;</math> dans laquelle <math>\;a > 0\;</math> est la longueur initiale de la portion horizontale tendue du fil et <math>\;b > 0\;</math> la vitesse de descente de l'extrémité de la portion de fil verticale sur laquelle on exerce la force de traction <math>\;\vec{T}(t)</math> ; {{Al|5}}on suppose que le mouvement de <math>\;M\;</math> démarre avec une vitesse angulaire initiale <math>\;\omega_0</math> <math>\;\bigg[</math>on utilisera le repérage polaire de <math>\;M\;</math> dans le plan relativement au vecteur position initiale <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> choisi comme vecteur directeur de l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>, l'angle polaire de <math>\;M\;</math> étant <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{OM_0}\,,\,\overrightarrow{OM}(t) \right\rbrace}\;</math> et son rayon polaire <math>\;\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Vert = l(t)</math>, la vitesse angulaire initiale étant définie selon <math>\;\omega_0 = \dot{\theta}(0)\bigg]</math>. === Détermination du mouvement du point M dans le plan horizontal === ==== Détermination d'une intégrale 1^ère du mouvement de M sur le plan horizontal ==== {{Al|5}}Par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. au point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel lié au plan horizontal supposé galiléen, déterminer une intégrale 1^ère de son mouvement et {{Al|5}}en déduire la loi horaire de vitesse angulaire <math>\;\omega = \dot{\theta}(t)\;</math> suivie par le point <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;\omega_0</math>, <math>\;a</math>, <math>\;b\;</math> et <math>\;t</math>. {{Solution | contenu = [[File:Point sans frottement sur un plan horizontal tiré vers un trou du plan - bis.png|thumb|400px|Schéma descriptif représentant un point <math>\;M\;</math> glissant sans frottement sur un plan horizontal percé en <math>\;O</math>, le point étant tiré vers le trou par un fil idéal<ref name="fil idéal" /> à l'extrémité duquel s'exerce une force telle que la longueur du fil tendu sur le plan horizontal soit une fonction affine du temps, ajout des forces intervenant ainsi que des vecteurs de la base polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Repérage_cylindro-polaire_d'axe_fixé_d'un_point_dans_la_composante_d'espace_du_référentiel_d'étude|repérage cylindro-polaire d'axe fixé d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>]] {{Al|5}}Dans le référentiel lié au plan horizontal galiléen, le bilan des forces appliquées au point matériel <math>\;M\;</math> est le suivant : * son « poids <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire vertical descendant, * la « réaction du plan sur le point <math>\;\big[\perp\;</math> au plan par absence de frottement<math>\big]</math> <math>\;\vec{R} = -R\;\vec{u}_z\;</math>» avec <math>\;R = \Vert \vec{R} \Vert\;</math> et * la « force de tension du fil idéal<ref name="fil idéal" /> exercée sur le point <math>\;\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t) = -\mathcal{T}\!(t)\;\vec{u}_l\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_l\;</math> le 1^er vecteur de la base polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la « force de tension du fil idéal exercée sur le point <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t) = -\mathcal{T}\!(t)\;\vec{u}_l}\;</math>» avec }}<math>\;\mathcal{T}\!(t) = \Vert \overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t) \Vert\;</math> la tension du fil à l'instant <math>\;t</math> ; {{Al|5}}on applique alors la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M\;</math> ce qui donne «<math>\;m\;\vec{g} + \overrightarrow{\mathcal{T}}(t) + \vec{R} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» soit en projetant sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> le 2^ème vecteur de la base polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />, «<math>\;0 = m\;a_{M,\,\theta}(t)\;</math> avec <math>\;a_{M,\,\theta}(t)\;</math> accélération orthoradiale de <math>\;M\;</math>» soit finalement «<math>\;a_{M,\,\theta}(t) = 0;</math>» ; {{Al|5}}utilisant la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale<ref name="accélération orthoradiale sous forme semi-intégrée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le paramètre <math>\;\rho\;</math> du paragraphe précité étant à remplacer par <math>\;l</math>.</ref> soit ici «<math>\;a_{M,\,\theta}(t) = \dfrac{1}{l(t)}\;\dfrac{d\! \left[l^2\;\dot{\theta}\right]}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>applicable si <math>\;l(t) \neq 0\big]</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{d\! \left[l^2\;\dot{\theta}\right]}{dt}(t) = 0\;</math>» et en intégrant on obtient l'« intégrale 1^ère du mouvement cherchée <math>\;\left[l^2\;\dot{\theta}\right]\!(t) = cste\;</math>», valeur de constante que l'on détermine avec les « C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} l(0) = a\\ \dot{\theta}(0) = \omega_0\end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;cste = a^2\;\omega_0\;</math> d'où <br>{{Al|5}}la réécriture de l'« intégrale 1^ère du mouvement de <math>\;M\;</math> selon <math>\;l^2(t)\;\dot{\theta}(t) = a^2\;\omega_0\;</math>» ; {{Al|5}}reportant l’expression de <math>\;l(t) = a - b\;t</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la loi horaire de rayon polaire du point<math>\big]\;</math> dans l'intégrale 1^ère ci-dessus on en déduit la loi horaire de vitesse angulaire du point «<math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{a^2\;\omega_0}{\left( a - b\;t \right)^2}\;</math>».}} ==== Détermination de la loi horaire d'angle polaire suivie par le point M sur le plan horizontal ==== {{Al|5}}En intégrant la loi horaire de vitesse angulaire suivie par le point <math>\;\omega = \dot{\theta}(t)</math>, en déduire celle d'abscisse angulaire <math>\;\theta = \theta(t)\;</math> en fonction de <math>\;\omega_0</math>, <math>\;a</math>, <math>\;b\;</math> et <math>\;t</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}L'intégration <math>\;\big(</math>simple prise de primitive<math>\big)\;</math> de «<math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{a^2\;\omega_0}{\left( a - b\;t \right)^2}\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_d'une_intégrale_1ère_du_mouvement_de_M_sur_le_plan_horizontal|détermination d'une intégrale 1^ère du mouvement de M sur le plan horizontal]] » plus haut dans cet exercice.</ref> donne l’abscisse angulaire horaire «<math>\;\theta(t) = \dfrac{1}{b}\; \dfrac{a^2\;\omega_0}{\left( a - b\;t \right)} + cste\;</math>»<ref> Pour intégrer sans faire apparaître de façon explicite un changement de variable, commencer par séparer les variables selon <math>\;d \theta = a^2\;\omega_0\;\dfrac{dt}{\left( a - b\;t \right)^2}</math>, expression dans laquelle, reconnaissant une intégration du type <math>\;\dfrac{du}{u^2}\;</math> dont une primitive est <math>\;\dfrac{-1}{u}</math>, on fait apparaître au numérateur la différentielle du terme entre parenthèses du dénominateur, soit <math>\;\dfrac{d\! \left( a - b\;t \right)}{\left( a - b\;t \right)^2} = -b\;\dfrac{dt}{\left( a - b\;t \right)^2}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{dt}{\left( a - b\;t \right)^2} = \dfrac{-1}{b}\;\dfrac{d\! \left( a - b\;t \right)}{\left( a - b\;t \right)^2}\;</math> dont une primitive est <math>\;\dfrac{1}{b}\;\dfrac{1}{a - b\;t}</math>.</ref>, valeur de constante que l'on détermine par C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\theta(0)</math> <math>= 0\;</math> d’où <math>\;0 = \dfrac{a\;\omega_0}{b} + cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = -\dfrac{a\;\omega_0}{b}\;</math> et par suite <math>\;\theta(t) = \dfrac{1}{b}\; \dfrac{a^2\;\omega_0}{\left( a - b\;t \right)} - \dfrac{a\;\omega_0}{b} = \dfrac{a\;\omega_0}{b} \left( \dfrac{a}{a - b\;t} - 1 \right) = \dfrac{a\;\omega_0}{b}\; \dfrac{b\;t}{a - b\;t}\;</math> soit finalement <center>la loi horaire d'abscisse angulaire du mouvement du point <math>\;M\;</math> «<math>\;\theta(t) = \dfrac{a\;\omega_0\;t}{a - b\;t}\;</math>».</center>}} ==== Détermination de l'équation polaire de la trajectoire du point sur le plan horizontal ==== {{Al|5}}En éliminant <math>\;t\;</math> entre la loi horaire d'abscisse angulaire <math>\;\theta = \theta(t)\;</math> et celle du rayon polaire <math>\;l = l(t)\;</math> du point <math>\;M</math>, en déduire l'équation polaire de la trajectoire de <math>\;M\;</math> sur le plan horizontal <br>{{Al|5}}{{Transparent|En éliminant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> entre la loi horaire d'abscisse angulaire <math>\;\color{transparent}{\theta = \theta(t)}\;</math> et celle du rayon polaire <math>\;\color{transparent}{l = l(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}</math>, en déduire l'équation polaire }}«<math>\;l = l(\theta)\;</math>» en fonction de <math>\;\omega_0</math>, <math>\;a</math>, <math>\;b\;</math> et <math>\;\theta</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|En éliminant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> entre la loi horaire d'abscisse angulaire <math>\;\color{transparent}{\theta = \theta(t)}\;</math> et celle du rayon polaire <math>\;\color{transparent}{l = l(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{M}</math>, en déduire l'équation polaire }}préciser la nature de la trajectoire de <math>\;M</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}En éliminant <math>\;t\;</math> entre la loi horaire d'abscisse angulaire «<math>\;\theta = \dfrac{a\;\omega_0\;t}{a - b\;t}\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_de_la_loi_horaire_d'angle_polaire_suivie_par_le_point_M_sur_le_plan_horizontal|détermination de la loi horaire d'angle polaire suivie par le point de M sur le plan horizontal]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et celle du rayon polaire «<math>\;l = a - b\;t\;</math>» du point <math>\;M</math>, on obtient <math>\;t = \dfrac{a - l}{b}\;</math> que l'on reporte dans l'autre loi <math>\;\theta = \dfrac{a\;\omega_0}{l}\;\dfrac{a - l}{b}\;</math> soit l'équation polaire suivante «<math>\;\theta = \dfrac{a\;\omega_0}{b} \left( \dfrac{a}{l} - 1 \right)\;</math>» de la trajectoire ou, de façon à inverser l'équation, <math>\;\dfrac{a}{l} = 1 + \dfrac{b}{a\;\omega_0}\;\theta\;</math> et finalement la réécriture de l'équation polaire de la trajectoire selon <center>«<math>\;l = \dfrac{a}{1 + \dfrac{b\;\theta}{a\;\omega_0}}\;</math>», équation d'une [[w:Spirale_hyperbolique|spirale hyperbolique]] <ref name="spirale hyperbolique"> [[Image:hyperspiral.svg|thumb|200px|right|[[w:Spirale_hyperbolique|Spirale hyperbolique]] d'équation polaire <math>\;\rho = \dfrac{2}{\theta}</math>]] L'équation polaire de la [[w:Spirale_hyperbolique|spirale hyperbolique]] de base étant <math>\;\rho = \dfrac{cste}{\theta}</math>, on peut transformer l'équation trouvée pour reconnaître une [[w:Spirale_hyperbolique|spirale hyperbolique]] selon <math>\;l =</math> <math>\dfrac{\dfrac{a^2\;\omega_0}{b}}{\dfrac{a\;\omega_0}{b} + \theta}\;</math> soit, après une rotation d'angle <math>\;-\dfrac{a\;\omega_0}{b}\;</math> de l'axe polaire définissant une nouvelle abscisse angulaire <math>\;\theta' = \dfrac{a\;\omega_0}{b} + \theta\;</math> la réécriture de l'équation polaire selon <math>\;l = \dfrac{cste'}{\theta'}</math> ; <br>{{Al|3}}cette [[w:Spirale_hyperbolique|spirale hyperbolique]] a le point origine <math>\;O\;</math> comme point asymptote correspondant à <math>\;\lim\limits_{\theta'\, \rightarrow\, \infty} l = 0\;</math> ou <math>\;\lim\limits_{\theta\, \rightarrow\, \infty} l = 0</math> ; <br>{{Al|3}}elle admet aussi une asymptote, pour l'établir on passe en repérage cartésien après le changement d'axe polaire selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x' = l\;\cos(\theta') = cste'\;\dfrac{\cos(\theta')}{\theta'}\\ y' = l\;\sin(\theta') = cste'\;\dfrac{\sin(\theta')}{\theta'}\end{array}\right\rbrace\;</math> et on constate que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \lim\limits_{\theta'\, \rightarrow\, 0} \left[ x'(\theta') \right] = \infty\\ \lim\limits_{\theta'\, \rightarrow\, 0} \left[ y'(\theta') \right] = cste'\end{array}\right\rbrace\;</math> car <math>\;\lim\limits_{\theta'\, \rightarrow\, 0} \dfrac{\sin(\theta')}{\theta'} = 1\;</math> ou encore <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \lim\limits_{\theta\, \rightarrow\, -\frac{a\;\omega_0}{b}} \left[ x'(\theta) \right] = \infty\\ \lim\limits_{\theta\, \rightarrow\, -\frac{a\;\omega_0}{b}} \left[ y'(\theta) \right] = cste'\end{array}\right\rbrace\;</math> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|elle admet aussi une asymptote, }}l'abscisse angulaire <math>\;\theta_a = -\dfrac{a\;\omega_0}{b}\;</math> étant hors du domaine de variation physique de <math>\;\theta</math>, cette asymptote n'est pas accessible dans l'exercice <math>\;\bigg[</math>mathématiquement elle a pour équation cartésienne, après changement d'axe polaire, <math>\;y' = cste' = \dfrac{a^2\;\omega_0}{b}\;\ldots\bigg]</math>.</ref>.</center>}} === Détermination, par deux façons différentes, du travail de la force de traction exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal en fonction de la longueur l₁ de la portion horizontale du fil === ==== 1^ère méthode par calcul direct ==== {{Al|5}}Déterminer la force de tension du fil <math>\;\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t)\;</math> s'exerçant sur le point <math>\;M\;</math> en lui appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. en fonction de <math>\;m</math>, <math>\;\omega_0</math>, <math>\;a</math>, <math>\;l(t)\;</math> et le 1^er vecteur de base polaire <math>\;\vec{u}_l\;</math> lié au point<ref name="repérage cylindro-polaire" /> puis {{Al|5}}en déduire la force de traction <math>\;\vec{T}(t)\;</math> exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal<ref name="fil idéal" /> <math>\;\big[</math>on orientera cette portion par un vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z\;</math> vertical descendant<ref name="orientation des angles du plan horizontal"> Les angles du plan horizontal étant orientés dans le sens trigonométrique direct, le vecteur unitaire définissant le sens <math>\;+\;</math> de mesure des angles de ce plan doit être le vecteur unitaire vertical ascendant c.-à-d. <math>\;-\vec{u}_z</math>.</ref><math>\big]</math> en poursuivant par {{Al|5}}{{Transparent|en déduire }}l'évaluation de son travail élémentaire <math>\;\delta W(\vec{T})\;</math> en fonction de <math>\;m</math>, <math>\;\omega_0</math>, <math>\;a</math>, <math>\;l\;</math> et le déplacement élémentaire de l'extrémité libre <math>\;N\;</math> de la portion verticale du fil <math>\;dz_N = -dl > 0\;</math><ref name="déplacements élémentaires comparés de M et N"> En effet le fil étant inextensible la longueur totale s'écrit <math>\;l + z_N\;</math> où <math>\;z_N\;</math> représente la cote de l'extrémité libre <math>\;N\;</math> de la portion verticale du fil.</ref> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|en déduire }}l'expression de son travail entre la position initiale et celle correspondant à une longueur <math>\;l_1\;</math> de portion horizontale du fil en fonction de <math>\;m</math>, <math>\;\omega_0</math>, <math>\;a\;</math> et <math>\;l_1</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Par projection de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;M\;</math> sur le 1^er vecteur de base polaire <math>\;\vec{u}_l\;</math> lié au point <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />, on obtient «<math>\;-\mathcal{T}\!(t) = m\;a_{M,\,l}(t)\;</math>» avec <math>\;a_{M,\,l}(t) = \cancel{\ddot{l}(t)}\; - l(t)\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math><ref name="accélération radiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le paramètre <math>\;\rho\;</math> du paragraphe précité étant à remplacer par <math>\;l\;</math> lequel, étant une fonction affine du temps, entraîne la nullité du 1^er terme.</ref> soit, <br>{{Al|15}}{{Transparent|Par projection de la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le 1^er vecteur de base polaire <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_l}\;</math> lié au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>, on obtient }}<math>\;\mathcal{T}\!(t) = m\;l(t)\;\dot{\theta}^2\!(t) = m \left( a - b\;t \right) \dfrac{a^4\;\omega_0^2}{\left( a - b\;t \right)^4} = m\;\dfrac{a^4\;\omega_0^2}{\left( a - b\;t \right)^3}\;</math> d'où <center>l'expression de la force de tension du fil s'exerçant sur le point <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;l(t)\;</math> entre autres <br>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t) = -m\;\dfrac{a^4\;\omega_0^2}{\left[ l(t) \right]^3}\;\vec{u}_l\;</math>» ;</center> {{Al|5}}sachant que la tension d'un fil idéal<ref name="fil idéal" /> est uniforme le long du fil<ref name="tension d'un fil idéal uniforme"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Fil_idéal_tendu,_libre_entre_ses_extrémités,_notion_de_tension_en_un_point_du_fil|fil idéal tendu, libre entre ses extrémités, notion de tension en un point du fil]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Fil_idéal_tendu,_au_contact_«_parfait_»_d'un_support_solide_entre_ses_deux_extrémités,_notion_de_tension_en_un_point_du_fil_reposant_sur_le_support_solide|fil idéal tendu, au contact parfait d'un support solide entre ses deux extrémités, notion de tension en un point du fil reposant sur le support solide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="fil idéal passant par un trou"> La conservation de la tension du fil idéal tendu quand ce dernier passe par un trou est un cas particulier de l'application du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Fil_idéal_tendu,_au_contact_«_parfait_»_d'un_support_solide_entre_ses_deux_extrémités,_notion_de_tension_en_un_point_du_fil_reposant_sur_le_support_solide|fil idéal tendu, au contact parfait d'un support solide entre ses deux extrémités, notion de tension en un point du fil reposant sur le support solide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le support solide sur lequel le fil a un contact parfait étant ponctuel.</ref>, on en déduit que la force de tension que l'extrémité libre <math>\;N\;</math> de la portion verticale du fil exerce sur l'opérateur <br>{{Al|22}}{{Transparent|sachant que la tension d'un fil idéal est uniforme le long du fil, on en déduit que la force de tension }}est également de norme égale à la tension du fil <math>\;\mathcal{T}\;</math> et par principe des actions réciproques<ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|sachant que }}la force de traction <math>\;\vec{T}(t)\;</math> exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre <math>\;N\;</math> de la portion verticale du fil s'écrit «<math>\;\vec{T}(t) = \mathcal{T}\!(t) \;\vec{u}_z = m\;\dfrac{a^4\;\omega_0^2}{\left[ l(t) \right]^3}\;\vec{u}_z\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|sachant que la force de traction <math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t)}\;</math> exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre <math>\;\color{transparent}{N}\;</math> de la portion verticale du fil s'écrit « }}dans laquelle le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z\;</math> est vertical descendant ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>son travail élémentaire <math>\;\delta W(\vec{T})\;</math> étant défini par «<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T}(t) \cdot \overrightarrow{dN}\;</math>»<ref name="travail élémentaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;N\;</math> l'extrémité libre de la portion verticale du fil à l'instant <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>son travail élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T})}\;</math> étant défini par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = \vec{T}(t) \cdot \overrightarrow{dN}}\;</math>» avec }}<math>\;\overrightarrow{dN}\;</math> son vecteur déplacement élémentaire égal à <math>\;\overrightarrow{dN} = dz_N\;\vec{u}_z = -dl\;\vec{u}_z\;</math><ref name="déplacements élémentaires comparés de M et N" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>son travail élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T})}\;</math> étant défini par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = \vec{T}(t) \cdot \overrightarrow{dN}}\;</math>» }}<math>\Rightarrow</math> le travail élémentaire de la force de traction <math>\;\vec{T}(t)\;</math> exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre <math>\;N\;</math> de la portion verticale du fil <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>son travail élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T})}\;</math> étant défini par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = \vec{T}(t) \cdot \overrightarrow{dN}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le travail élémentaire de la force de traction <math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t)}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = -m\;\dfrac{a^4\;\omega_0^2}{l^3}\; dl\;</math>» d'où {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>le travail de la force de traction <math>\;\vec{T}(t)\;</math> exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre <math>\;N\;</math> de la portion verticale du fil entre les instants initial et <math>\;t_1\;</math> <math>\big(</math>associé à une portion horizontale de fil tendu de longueur <math>\;l_1\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>le travail de la force de traction <math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t)}\;</math> }}«<math>\;W_{l(0)\,\rightarrow\,l(t_1)}(\vec{T}) = \displaystyle\int_a^{l_1} m\;a^4\;\omega_0^2\;\dfrac{-dl}{l^3}\;</math>»<ref name="travail d'une force sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_d'une_force_sur_la_portion_de_trajectoire_définie_entre_deux_positions_extrêmes|définition du travail d'une force sur la portion de trajectoire définie entre deux positions extrêmes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Ici l'intégrale curviligne de définition du travail d'une force sur une portion de trajectoire suivie par le point d'application de la force vue dans la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-travail_d'une_force_sur_une_durée_finie-17|¹⁷]] » plus haut dans cet exercice est une simple intégrale sur un segment car la portion de trajectoire est rectiligne.</ref> ou «<math>\;W_{l(0)\,\rightarrow\,l(t_1)}(\vec{T}) = m\;a^4\;\omega_0^2 \left[ \dfrac{1}{2\;l^2} \right]_a^{l_1}\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{-1}{l^3} = -l^{-3}\;</math> a pour primitive <math>\;-\dfrac{l^{-3 +1}}{-3 + 1} = \dfrac{1}{2\;l^2}</math>.</ref> soit «<math>\;W_{l(0)\,\rightarrow\,l(t_1)}(\vec{T}) = \dfrac{m\;a^4\;\omega_0^2}{2} \left( \dfrac{1}{l_1^2} - \dfrac{1}{a^2} \right)\;</math>» et finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le travail de la force de traction <math>\;\vec{T}(t)\;</math> exercée par l'opérateur entre l'instant initial et l'instant <math>\;t_1\;</math> tel que <math>\;l(t_1) = l_1\;</math> vaut «<math>\;W_{l(0)\,\rightarrow\,l(t_1)}(\vec{T}) = \dfrac{m\;a^2\;\omega_0^2}{2} \left( \dfrac{a^2}{l_1^2} - 1 \right) > 0\;</math>».}} ==== 2^ème méthode par utilisation du théorème de l'énergie cinétique ==== {{Al|5}}Comme dans la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#1ère_méthode_par_calcul_direct|méthode précédente]] » on détermine la force de tension du fil <math>\;\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t)\;</math> s'exerçant sur le point <math>\;M\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme dans la « méthode précédente » on détermine la force de tension du fil <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t)}\;</math> }}en lui appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. en fonction de <math>\;m</math>, <math>\;\omega_0</math>, <math>\;a</math>, <math>\;l(t)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Comme dans la « méthode précédente » on détermine la force de tension du fil <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t)}\;</math> en lui appliquant la r.f.d.n. en fonction de }}le 1^er vecteur de base polaire <math>\;\vec{u}_l\;</math> lié au point<ref name="repérage cylindro-polaire" /> puis {{Al|5}}{{Transparent|Comme dans la « méthode précédente » }}on en déduit la force de traction <math>\;\vec{T}(t)\;</math> exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal<ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme dans la « méthode précédente » on en déduit la force de traction <math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t)}\;</math> }}<math>\big[</math>en orientant cette portion par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z\;</math> vertical descendant<ref name="orientation des angles du plan horizontal" /><math>\big]</math> ; {{Al|5}}remarquant que les travaux <math>\;\big(</math>élémentaires ou non<math>\big)\;</math> de la force de tension du fil <math>\;\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t)\;</math> s'exerçant sur le point <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarquant que les travaux <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>élémentaires ou non<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}de la force de traction <math>\;\vec{T}(t)\;</math> exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal<ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarquant que les travaux <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>élémentaires ou non<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}sont égaux <math>\;\big(</math>à justifier<math>\big)</math>, on peut calculer le travail de cette dernière force par l'intermédiaire de celui de la 1^ère force ; {{Al|5}}{{Transparent|remarquant }}déterminer le travail de la force de tension du fil <math>\;\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t)\;</math> s'exerçant sur le point <math>\;M\;</math> entre la position initiale et celle correspondant à une longueur <math>\;l_1\;</math> de portion horizontale du fil <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarquant déterminer le travail de la force de tension du fil <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t)}\;</math> }}par application du théorème de l'énergie cinétique au point <math>\;M\;</math> entre ces états extrêmes<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|remarquant }}vérifier, compte-tenu de l'identification de ce travail avec celui de la force de traction <math>\;\vec{T}(t)\;</math> exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal<ref name="fil idéal" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarquant vérifier }}que l'on obtient le même résultat qu'avec la 1^ère méthode. {{Solution | contenu ={{Al|5}}L'expression de la force de tension du fil s'exerçant sur le point <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;l(t)\;</math> entre autres a déjà été déterminée «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t) = -m\;\dfrac{a^4\;\omega_0^2}{\left[ l(t) \right]^3}\;\vec{u}_l\;</math>»<ref name="sol de la question 1ère méthode"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#1ère_méthode_par_calcul_direct|1^ère méthode par calcul direct]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, de même {{Al|17}}celle de la force de traction <math>\;\vec{T}(t)\;</math> exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre <math>\;N\;</math> de la portion verticale du fil idéal<ref name="fil idéal" /> «<math>\;\vec{T}(t) = \mathcal{T}\!(t) \;\vec{u}_z = m\;\dfrac{a^4\;\omega_0^2}{\left[ l(t) \right]^3}\;\vec{u}_z\;</math>»<ref name="sol de la question 1ère méthode" /> avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire vertical <math>\;\downarrow</math> ; {{Al|5}}les travaux <math>\;\big(</math>élémentaires ou non<math>\big)\;</math> de la force de tension du fil <math>\;\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t)\;</math> s'exerçant sur le point <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les travaux <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>élémentaires ou non<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}de la force de traction <math>\;\vec{T}(t)\;</math> exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre <math>\;N\;</math> de la portion verticale du fil idéal<ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les travaux <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>élémentaires ou non<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}sont égaux <math>\;\big(</math>en effet ils sont tous deux moteurs avec une même projection de force sur leur direction respective de déplacement et un même déplacement<ref name="déplacements élémentaires comparés de M et N" /><math>\big)</math>, plus précisément <br>{{Al|5}}{{Transparent|les travaux <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>élémentaires ou non<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}«<math>\;W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{t = 0}^{t = t_1} \vec{T} \cdot \overrightarrow{dN} = \displaystyle\int_{t = 0}^{t = t_1} m\;\dfrac{a^4\;\omega_0^2}{\left[ l(t) \right]^3}\;dz_N = \displaystyle\int_{t = 0}^{t = t_1} m\;\dfrac{a^4\;\omega_0^2}{\left[ l(t) \right]^3}\;(-dl)\;</math><ref name="déplacements élémentaires comparés de M et N" /> <math>= \displaystyle\int_{t = 0}^{t = t_1} -m\;\dfrac{a^4\;\omega_0^2}{\left[ l(t) \right]^3}\;dl = \displaystyle\int_{t = 0}^{t = t_1} \overrightarrow{\mathcal{T}} \cdot \overrightarrow{dM} = W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})\;</math>» ; {{Al|5}}l'évaluation de <math>\;W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})\;</math> peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique au point <math>\;M\;</math><ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" /> entre l'état initial <math>\;\big[</math>de vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_{\!M}(0) =</math> <math>-b\;\vec{u}_l + a\;\omega_0\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="vitesse radiale"> La vitesse radiale étant <math>\;\dot{l}(t) = -b</math>.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|l'évaluation de <math>\;\color{transparent}{W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})}\;</math> peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> entre }}l'état final où la longueur de portion horizontale du fil vaut <math>\;l_1</math> <math>\;\bigg[</math>de vecteur vitesse <br>{{Al|10}}{{Transparent|l'évaluation de <math>\;\color{transparent}{W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})}\;</math> peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> entre l'état final }}<math>\;\vec{V}_{\!M}(t_1) = -b\;\vec{u}_l + l_1\;\dot{\theta}(t_1)\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="vitesse radiale" /> <math>= -b\;\vec{u}_l + \dfrac{a^2\;\omega_0}{l_1}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref> En effet l'intégrale 1^ère du mouvement de <math>\;M\;</math> trouvée dans la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_d'une_intégrale_1ère_du_mouvement_de_M_sur_le_plan_horizontal|détermination d'une intégrale 1^ère du mouvement de M sur le plan horizontal]] » plus haut dans l'exercice est {{Nobr|«<math>\;l_1^2\;\dot{\theta}(t_1)</math>}} <math>= a^2\;\omega_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;l_1\;\dot{\theta}(t_1) = \dfrac{a^2\;\omega_0}{l_1}\;</math>».</ref><math>\bigg]\;</math> d'où, <br>{{Al|10}}{{Transparent|l'évaluation de <math>\;\color{transparent}{W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})}\;</math> peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}en remarquant que seule <math>\;\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t)\;</math> travaille<ref> En effet le poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> de <math>\;M\;</math> et la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> du plan sur <math>\;M\;</math> se déplaçant perpendiculairement à leur support, leur travail respectif est nul.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'évaluation de <math>\;\color{transparent}{W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})}\;</math> peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique }}«<math>\;W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})\; \cancel{+\; W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(m\;\vec{g})} \cancel{+\; W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\vec{R})}\; = \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{\!M}^{\,2}(t_1) - \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{\!M}^{\,2}(0)\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'évaluation de <math>\;\color{transparent}{W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})}\;</math> peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique «}}<math>\;W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}}) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \left( -b \right)^2 + \left( \dfrac{a^2\;\omega_0}{l_1} \right)^2 \right] - \dfrac{1}{2}\;m \left[ \left( -b \right)^2 + \left( a\;\omega_0 \right)^2 \right]\;</math>» et, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'évaluation de <math>\;\color{transparent}{W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})}\;</math> peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique }}l'expression du travail de la force de tension du fil <math>\;\overrightarrow{\mathcal{T}}\!(t)\;</math> s'exerçant sur <math>\;M\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'évaluation de <math>\;\color{transparent}{W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})}\;</math> peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique l'expression du travail de la force de tension du fil }}entre les positions initiale et finale correspondant à <math>\;l(t_1) = l_1\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'évaluation de <math>\;\color{transparent}{W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})}\;</math> peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique l'expression du travail de la force de tension du fil }}«<math>\;W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}}) = \dfrac{m\;a^2\;\omega_0^2}{2} \left( \dfrac{a^2}{l_1^2} - 1 \right) > 0\;</math>» ; {{Al|5}}finalement, compte-tenu de «<math>\;W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\vec{T}) = W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'expression du travail de la force de traction <math>\;\vec{T}(t)\;</math> exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre <math>\;N\;</math> de la portion verticale du fil idéal<ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement, compte-tenu de «<math>\;\color{transparent}{W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\vec{T}) = W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'expression du travail de la force de traction <math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t)}\;</math> }}entre les positions initiale et finale correspondant à <math>\;l(t_1) = l_1\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement, compte-tenu de «<math>\;\color{transparent}{W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\vec{T}) = W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'expression du travail de la force de traction <math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t)}\;</math> }}«<math>\;W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\vec{T}) = \dfrac{m\;a^2\;\omega_0^2}{2} \left( \dfrac{a^2}{l_1^2} - 1 \right) > 0\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement, compte-tenu de «<math>\;\color{transparent}{W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\vec{T}) = W_{t = 0\,\rightarrow\, t = t_1}(\overrightarrow{\mathcal{T}})}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'expression du travail de la force de traction <math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t)}\;</math> }}la même expression que celle trouvée par la 1^ère méthode de détermination directe<ref name="sol de la question 1ère méthode" />.}} == Glissement sans (puis avec) frottements solides d'un point matériel lancé à partir du « sommet » d'une boule == <center>Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> {{Al|5}}Un point matériel <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, soumis au champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> supposé uniforme, glisse sur la surface d'une boule de rayon <math>\;a\;</math> et de centre <math>\;O</math> ; {{Al|5}}nous considérons d'abord l'absence de frottement solide entre le point et la boule puis, {{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}dans un 2^nd temps l'existence d'un frottement solide de cœfficients de frottements dynamique et statique communs <math>\;f\;</math><ref name="cœfficients de frottements dynamique et statique communs"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottements statique et dynamique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est lancé avec une vitesse initiale horizontale <math>\;\vec{V}_0\;</math> d'une position <math>\;M_0\;</math> située au « sommet » de la boule<ref name="sommet"> C.-à-d. la position de plus haute altitude.</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est }}repéré relativement au repère cartésien <math>\;\left\lbrace M_0\,,\, \overrightarrow{M_0x}\,,\,\overrightarrow{M_0y}\,,\,\overrightarrow{M_0z} \right\rbrace\;</math> associé au référentiel d'étude supposé galiléen dans lequel la boule est fixe, <br>{{Al|8}}{{Transparent|le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est repéré relativement au repère cartésien }}les axes étant respectivement <math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\overrightarrow{M_0z}\;</math> vertical descendant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z\;</math>», <br>{{Al|8}}{{Transparent|le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\overrightarrow{M_0x}\;</math> horizontal, support du vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> et orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_x\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{M_0x}}\;</math> horizontal, support du vecteur vitesse initiale <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0}\;</math> et orienté par }}choisi dans le sens de <math>\;\vec{V}_0\;</math>» et <br>{{Al|8}}{{Transparent|le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\overrightarrow{M_0y}\;</math> horizontal, <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement et orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_y\;</math> de sens tel que <br>{{Al|8}}{{Transparent|le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{M_0y}}\;</math> horizontal, <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> au plan vertical de lancement et }}la base cartésienne <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> est directe »<ref name="base directe dans un espace orienté à droite"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI]] », la notion d'espace orienté à droite <math>\;\big(</math>orientation sous-entendue quand ce n'est pas précisé<math>\big)\;</math> est exposée dans l'introduction du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du même chapitre de la même leçon.</ref> ; {{Al|5}}la direction de la normale à la boule au point <math>\;M\;</math> est repérée par rapport à celle en la position <math>\;M_0\;</math> par l'angle «<math>\;\widehat{M_0OM} = \theta \in \left[ 0\,,\, \pi \right]\;</math>». === Établissement de la nature plane du mouvement du point en absence de frottement solide et maintien de contact === {{Al|5}}Montrer que le mouvement du point <math>\;M\;</math> en liaison unilatérale sur la boule est plan tant que son contact avec cette dernière est maintenu <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrer que le mouvement du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en liaison unilatérale sur la boule est plan}}<math>\big[</math>pour cela en repérant le point <math>\;M\;</math> sur la boule par ses coordonnées cylindro-polaires d'« axe <math>\;\overrightarrow{M_0z}\;</math>» <br>{{Al|6}}{{Transparent|Montrer que le mouvement du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela }}avec pour « méridien de référence <math>\;xM_0z\;</math>», les coordonnées cylindro-polaires de <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrer que le mouvement du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela avec pour « méridien de référence <math>\;\color{transparent}{xM_0z}\;</math>», }}<math>\;\left\lbrace \rho = a\;\sin(\theta)\,,\,\varphi\,,\,z = a\;\cos(\theta) \right\rbrace\;</math> ainsi que <br>{{Al|6}}{{Transparent|Montrer que le mouvement du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela avec pour « méridien de référence <math>\;\color{transparent}{xM_0z}\;</math>», }}la base cylindro-polaire directe<ref name="base directe dans un espace orienté à droite" /> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrer que le mouvement du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela avec pour « méridien de référence <math>\;\color{transparent}{xM_0z}\;</math>», }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{u}_\rho = \cos(\varphi)\;\vec{u}_x + \sin(\varphi)\;\vec{u}_y\,, \\ \vec{u}_\varphi = \cos\! \left( \varphi + \dfrac{\pi}{2} \right)\;\vec{u}_x + \sin\! \left( \varphi + \dfrac{\pi}{2} \right)\;\vec{u}_y\,, \\ \vec{u}_z \end{array} \right\rbrace</math>, {{Al|6}}{{Transparent|Montrer que le mouvement du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela }}il est judicieux d'appliquer la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M\;</math> restant en contact avec la boule, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Montrer que le mouvement du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela }}pour établir que le demi-plan méridien contenant <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est le méridien de référence à savoir <br>{{Al|6}}{{Transparent|Montrer que le mouvement du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela pour établir }}«<math>\;\varphi(t) = 0\;</math>»<math>\big]</math> et par suite {{Al|5}}montrer que la trajectoire de <math>\;M</math>, tant que son contact avec la boule est maintenu, est circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a</math>. {{Solution | contenu = [[File:Point lancé au sommet d'une boule - nature plane du mouvement.png|thumb|350px|Schéma d'un point <math>\;M\;</math> lancé horizontalement du sommet <math>\;M_O\;</math> d'une boule de centre <math>\;O</math>, avec représentation des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="couleur des forces"> En bleu sur le schéma.</ref> et utilisation de la base cylindro-polaire liée à {{Nobr|<math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />}} d'axe <math>\;(M_OO)\;</math> et de méridien de référence <math>\;(xM_0z)\;</math> contenant le vecteur vitesse initiale du point<ref name="couleur de la vitesse initiale"> En rouge sur le schéma.</ref> pour établir la nature plane de son mouvement sur la boule en cas de maintien du contact entre les deux]] {{Al|5}}Voir ci-contre la base locale cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_\rho = \cos(\varphi)\;\vec{u}_x + \sin(\varphi)\;\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\varphi = \cos\! \left( \varphi + \dfrac{\pi}{2} \right)\;\vec{u}_x + \sin\! \left( \varphi + \dfrac{\pi}{2} \right)\;\vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> d’axe <math>\;\overrightarrow{M_0z}\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> de coordonnées <math>\;\left\lbrace \rho = a\;\sin(\theta)\,,\,\varphi\,,\,z = a\;\cos(\theta) \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\theta = \widehat{M_0OM}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> <math>\;\big(</math>non représenté ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}les seules forces s'exerçant sur le point <math>\;M\;</math> quand il est au contact de la boule à l'instant <math>\;t\;</math> sont : * son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> vertical descendant soit «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» et * la réaction de la boule <math>\;\vec{R}(t)\;</math> normale à celle-ci en absence de frottements solides et de sens opposé à la pénétration possible du point <math>\;M\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;\vec{R}(t) =</math>}} <math>R_{x\,y}(t)\;\vec{u}_\rho + R_z(t)\;\vec{u}_z = R(t)\;\sin\!\left[ \theta(t) \right]\;\vec{u}_\rho - R(t)\;\cos\!\left[ \theta(t) \right]\;\vec{u}_z\;</math>» dans lequel <math>\;R(t) = \Vert \vec{R}(t) \Vert</math> ; {{Al|5}}appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre lié à la boule, référentiel supposé galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, quand le contact entre le point et la boule est maintenu soit «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» et la projetant sur <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> nous obtenons «<math>\;0 + 0 = m\;a_\varphi(t)\;</math>» d'où «<math>\;a_\varphi(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}or, dans la mesure où <math>\;\rho(t)\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math><ref> C.-à-d. si <math>\;M \neq M_0\;</math> ce qui est le cas dès <math>\;t = 0^{+}\;</math> pour lequel la vitesse à cet instant est égale à celle à l'instant <math>\;t = 0\;</math> car la vitesse reste continue en absence de collision d'où <math>\;\vec{V}(0^{+}) = \vec{V}_0</math>.</ref>, l'accélération orthoradiale s'écrit aussi <math>\;a_\varphi(t) = \dfrac{1}{\rho(t)}\;\dfrac{d \left[\rho^2\;\dot{\varphi} \right]}{dt}(t)\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire sa forme semi-intégrée<ref name="forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le paramètre <math>\;\theta\;</math> du paragraphe précité étant à remplacer par <math>\;\varphi</math>.</ref><math>\big)\;</math> d’où «<math>\;a_\varphi(t) = \dfrac{1}{\rho(t)}\;\dfrac{d \left[\rho^2\;\dot{\varphi} \right]}{dt}(t) = 0\;</math>» s'intégrant en «<math>\;\rho^2(t)\;\dot{\varphi}(t) = cste\;</math>», cste se déterminant par C.I<ref name="C.I." />. <math>\;V_\varphi(0^{+}) = 0\;</math><ref> En effet on rappelle qu'en absence de collision il y a continuité du vecteur vitesse d'où <math>\;\vec{V}(0^{+}) = \vec{V}_0\;</math> avec <math>\;\vec{V}_0 = v_0\;\vec{u}_x = v_0\;\vec{u}_\rho(0)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Application_en_absence_de_forces_de_collision_et_conséquence|application en absence de forces de collision et conséquence]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;V_\varphi(t) =</math> <math>\rho(t)\;\dot{\varphi}(t)\;</math> d'où «<math>\;V_\varphi(0^{+}) = \rho(0^{+})\;\dot{\varphi}(0^{+}) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(0^{+})\;\dot{\varphi}(0^{+}) = \rho(0^{+}) \left[ \rho(0^{+})\;\dot{\varphi}(0^{+}) \right] = 0 = cste\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\;\dot{\varphi}(t) = 0,\;\;\forall\;t > 0\;</math>» dont on déduit, pour <math>\;\rho(t) \neq 0\;</math><ref> C.-à-d. pour <math>\;M \neq M_0</math>.</ref>, «<math>\;\dot{\varphi}(t) = 0,\;\;\forall\;t > 0\;</math>» ; {{Al|5}}une 2^ème intégration temporelle donne «<math>\;\varphi(t) = cste',\;\;\forall\;t > 0\;</math>» ou, le vecteur position étant toujours continu<ref> Ceci étant vrai même en présence de force de collision <math>\;\big(</math>ce qui n'est pas le cas ici<math>\big)</math>, en effet une discontinuité nécessiterait une vitesse infinie, voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Application_en_absence_de_forces_de_collision_et_conséquence|application en absence de forces de collision et conséquence]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Application_en_présence_d'une_force_de_collision_et_conséquence|application en présence d'une force de collision et conséquence]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, «<math>\;\varphi(t) = cste',\;\;\forall\;t \geqslant 0\;</math>», la valeur de <math>\;cste'\;</math> se déterminant par C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\varphi(0) = 0\;</math> d'où {{Nobr|«<math>\;cste'</math>}} <math>= 0\;</math>» et par suite «<math>\;\varphi(t) = 0,\;\;\forall\;t \geqslant 0\;</math>» correspondant au fait que <center>le mouvement de <math>\;M\;</math> se fait, dans la mesure où le contact entre le point et la boule est maintenu, dans le plan <math>\;xM_0z\;</math> ou, <br>la trajectoire de <math>\;M\;</math> étant l’intersection de ce plan et de la surface de la boule, <br>le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a\;</math> tant que le contact entre le point et la boule est maintenu.</center>}} === Établissement de l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottement solide et détermination de l'angle θ₁ repérant cette position en fonction de la vitesse initiale de lancement du point === {{Al|5}}Déterminer, tant que <math>\;M\;</math> reste en contact avec la boule, par application successive, au point <math>\;M</math>, de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer, tant que <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> reste en contact avec la boule, par application successive, au point <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}du théorème de l'énergie cinétique entre la position initiale et celle à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer, }}l'expression de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de la boule sur le point <math>\;M</math> ; {{Al|5}}en déduire alors l'existence d'une position de rupture de contact <math>\;M_1\;</math> du point <math>\;M\;</math> avec la boule ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|en déduire alors }}la valeur de l'angle repérant cette position <math>\;\theta_1 = \widehat{M_0OM_1}\;</math> en fonction de <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert</math>. {{Al|5}}Pour quelles valeurs de <math>\;V_0\;</math> le contact du point <math>\;M\;</math> avec la boule disparaît-il dès la position initiale <math>\;M_0\;</math><ref> C.-à-d. qu'il n'y a alors plus de réaction en la position <math>\;M_0</math>.</ref> ? {{Solution | contenu = [[File:Point lancé au sommet d'une boule - rupture de contact.png|thumb|300px|Schéma d'un point <math>\;M\;</math> lancé horizontalement du sommet <math>\;M_O\;</math> d'une boule de centre <math>\;O</math>, avec représentation des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et utilisation de la base de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> liée à <math>\;M\;</math><ref name="base locale de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] », « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_plane_continue|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour déterminer la position de rupture de contact entre le point et la boule<ref name="choix sens + des angles"> À l'origine l'angle <math>\;\theta\;</math> est non orienté, sur le schéma il a été représenté orienté mais le sens <math>\;+\;</math> des angles du demi plan méridien correspondant au vecteur unitaire <math>\;-\vec{u}_y</math>, <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>]] {{Al|5}}On utilise le repérage de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" /> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <math>\;\bigg[</math>repérage polaire d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{M_0z}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{u}_r = -\vec{n} \\ \vec{u}_\theta = \vec{\tau}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="lien entre repérage de Frenet et polaire pour mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Préliminaire|préliminaire]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> aussi possible<math>\bigg]\;</math> puis, <br>{{Al|5}}on applique la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié à la boule, avec contact entre <math>\;M\;</math> et la boule maintenu «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}pour déterminer la norme de la réaction <math>\;R(t) = \Vert \vec{R}(t) \Vert\;</math> de la boule sur <math>\;M\;</math> on projette la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. sur <math>\;\vec{n}\;</math> «<math>\;-R(t) + m\;g\;cos\! \left[ \theta(t) \right] = m\;a_{n,\,M}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;a_{n,\,M}(t)\;</math> est l'accélération normale du point <math>\;M\;</math> égale à «<math>\;a_{n,\,M}(t) = \dfrac{v_M^2(t)}{a}\;</math>»<ref name="accélération de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_locales_de_Frenet_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_accélérations_tangentielle_et_normale_du_point|composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> où <math>\;v_M(t)\;</math> est la vitesse instantanée du point<ref name="vitesse instantanée"> C.-à-d. la composante de Frenet du vecteur vitesse qui est encore la norme du vecteur vitesse dans la mesure où on oriente la trajectoire dans le sens du mouvement <math>\;\big(</math>ce qui est le cas ici<math>\big)</math>.</ref> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;a\;</math> d'où «<math>\;R(t) = m \left\lbrace g\;cos\! \left[ \theta(t) \right] - \dfrac{v_M^2(t)}{a} \right\rbrace\;</math>»<ref> En repérage polaire la projection de la r.f.d.n. aurait conduit, avec <math>\;\vec{R}(t) = R(t)\;\vec{u}_r</math>, à «<math>\;R(t) - m\;g\;cos\! \left[ \theta(t) \right] = m\;a_{r,\,M}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;a_{r,\,M}(t)\;</math> est l'accélération radiale du point <math>\;M\;</math> égale à <math>\;a_{r,\,M}(t) = \cancel{\ddot{r}(t)} - a\;\dot{\theta}^2\!(t)</math>, le mouvement étant circulaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où finalement «<math>\;R(t) =</math> <math>m \left\lbrace g\;cos\! \left[ \theta(t) \right] - a\;\dot{\theta}^2\!(t) \right\rbrace\;</math>» en accord avec le résultat trouvé en repérage de Frenet car «<math>\;v_M(t) = a\;\dot{\theta}(t)\;</math>».</ref> <math>\;\big[M\;</math> restant sur la surface de la boule tant que <math>\;R(t)\;</math> est<math>\;> 0\big]</math> ; {{Al|5}}on applique à <math>\;M</math>, dans l’hypothèse de contact maintenu, le théorème de l’énergie cinétique entre <math>\;M_0\;</math> et <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" /> dans le but de déterminer le carré de la vitesse instantanée <math>\;v_M^2(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^2(t) - \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 = W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ m\;\vec{g} \right]\; \cancel{+ W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ \vec{R}(t) \right]}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Le vecteur unitaire de Frenet <math>\;\vec{\tau}\;</math> étant dans le sens du mouvement de <math>\;M\;</math> sur le cercle, la vitesse instantanée initiale <math>\;v_0\;</math> est égale à la norme du vecteur vitesse initiale <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert</math>.</ref>{{,}}<ref> Le déplacement de <math>\;M\;</math> étant toujours <math>\;\perp\;</math> à la réaction <math>\;\vec{R}(t)</math>, le travail effectué par cette dernière est nulle <math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ \vec{R}(t) \right] = 0</math>.</ref> avec le travail du poids «<math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ m\;\vec{g} \right] = \displaystyle\int_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M} m\;g\;\vec{u}_z \cdot \overrightarrow{dM'}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{\theta'\, =\, 0}^{\theta'\, =\, \theta(t)} m\;g\;\vec{u}_z \cdot \left[ a\;d \theta'\;\vec{\tau}' \right]\;</math>»<ref name="intégrale curviligne - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Méthode_de_calcul_d'une_intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou, avec «<math>\;\vec{u}_z = \sin(\theta)\;\vec{\tau} + \cos(\theta)\;\vec{n}\;</math>» <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, «<math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ m\;\vec{g} \right] = \displaystyle\int_{\theta'\, =\, 0}^{\theta'\, =\, \theta(t)} m\;g\;\sin(\theta')\; a\;d \theta' = \left[ -m\;g\;a\;\cos(\theta') \right]_0^{\theta(t)}\;</math>» soit enfin «<math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ m\;\vec{g} \right] = m\;g\;a \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et, par report dans l'application du théorème de l'énergie cinétique<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" />, «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^2(t) - \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 = m\;g\;a \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» on en déduit «<math>\;v_M^2(t) =</math> <math>V_0^2 + 2\;g\;a \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref> En terme de vitesse angulaire on aurait obtenu «<math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dfrac{V_0^2}{a^2} + \dfrac{2\;g}{a} \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}reportant cette expression dans celle de <math>\;R(t)\;</math> précédemment établie, on obtient «<math>\;R(t) = m \left\lbrace g\;cos\! \left[ \theta(t) \right] - \dfrac{V_0^2 + 2\;g\;a \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace}{a} \right\rbrace\;</math>» soit encore, après simplification, «<math>\;R(t) = m \left\lbrace 3\;g\;cos\! \left[ \theta(t) \right] - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a} \right\rbrace\;</math>»<ref> Le report de <math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dfrac{V_0^2}{a^2} + \dfrac{2\;g}{a} \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math> <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-47|⁴⁷]] » plus haut dans l'exercice<math>\big)\;</math> dans l'expression de <math>\;R(t) = m \left\lbrace g\;cos\! \left[ \theta(t) \right] - a\;\dot{\theta}^2\!(t) \right\rbrace\;</math> obtenue en utilisant le repérage polaire <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-42|⁴²]] » plus haut dans l'exercice<math>\big)\;</math> donne «<math>\;R(t) = m \left[ g\;cos\! \left[ \theta(t) \right] - \dfrac{V_0^2}{a} - 2\;g\; \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace \right] = m \left\lbrace 3\;g\;cos\! \left[ \theta(t) \right] - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a} \right\rbrace\;</math>» avec <math>\;\vec{R}(t) = R(t)\;\vec{u}_r\;</math> en accord avec le résultat trouvé en repérage de Frenet car <math>\vec{u}_r = -\vec{n}</math>.</ref> avec <math>\;\vec{R}(t) = -R(t)\;\vec{n}</math> <math>\;\big\{</math>par la suite nous écrirons <math>\;\vec{R}(\theta) = -R(\theta)\;\vec{n}</math> par abus<ref name="abus de notation"> En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction « réaction en fonction du temps <math>\;t\;</math>» dont la valeur est <math>\;\vec{R}\;</math> est notée <math>\;\vec{R}(t)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\vec{R} = \vec{R}(t)\;</math> <math>\big[</math>alors qu'en mathématique la fonction « réaction en fonction du temps <math>\;t\;</math>» dont la valeur est <math>\;\vec{R}\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;\vec{G}(t)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\vec{R} = \vec{G}(t)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, lors d'un changement de variable, }}par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, }}la fonction « réaction en fonction du temps <math>\;t\;</math>» dont la valeur est <math>\;\vec{R}\;</math> et la fonction « réaction en fonction de l'abscisse angulaire <math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» de même valeur <math>\;\vec{R}\;</math> sont respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R}(t) \\ \vec{R}(\theta)\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = \vec{R}(t) \\ \vec{R} = \vec{R}(\theta)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>alors qu'en mathématique la fonction « réaction en fonction du temps <math>\;t\;</math>» dont la valeur est <math>\;\vec{R}\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;\vec{G}(t)\;</math> et la fonction « réaction en fonction de l'abscisse angulaire <math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» de même valeur <math>\;\vec{R}\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;\vec{H}(\theta)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = \vec{G}(t) \\ \vec{R} = \vec{H}(\theta)\end{array}\right\rbrace\Bigg]</math>.</ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}Le contact de <math>\;M\;</math> sur la boule en la position initiale <math>\;M_0\;</math> se traduisant par «<math>\;R(\theta = 0) > 0\;</math>»<ref name="abus de notation" /> se réécrit «<math>\;R(\theta = 0) = m \left[ 3\;g\;cos(0) - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a} \right] = m \left[ g - \dfrac{V_0^2}{a} \right] > 0\;</math>»<ref name="abus de notation" /> vrai si «<math>\;V_0 < \sqrt{g\;a}\;</math>» ; {{Al|5}}aussi, en supposant le contact entre <math>\;M\;</math> et la boule maintenu à l'instant <math>\;t</math>, la « C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. <math>\;\big(</math>mais non S.<ref name="C.S."> <math>\big(</math>Condition<math>\big)</math> Suffisante.</ref><math>\big)\;</math> sur la vitesse initiale pour qu'il en soit ainsi est <math>\;V_0 < \sqrt{g\;a}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;R(\theta) > 0\;</math><ref name="abus de notation" /> pour <math>\;\theta = 0\;</math>» et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|aussi, en supposant le contact entre <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et la boule maintenu à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, }}comme «<math>\;R(\theta) = m \left[ 3\;g\;cos(\theta) - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a} \right]\;</math><ref name="abus de notation" /> est une fonction strictement <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\theta\;</math>» de valeur minimale sur <math>\;\left[ 0\,,\, \pi \right]\;</math> égale à <br>{{Al|5}}{{Transparent|aussi, en supposant le contact entre <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et la boule maintenu à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, comme }}«<math>\;R(\pi) = m \left[ 3\;g\;cos(\pi) - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a} \right] = -m \left[ 5\;g + \dfrac{V_0^2}{a} \right] < 0\;</math>», on en déduit, d'après le [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires#Énoncé|théorème de Bolzano]] <ref name="Bolzano"> '''[[w:Bernard_Bolzano|Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano]] (1781 - 1848)''' ou plus simplement '''[[w:Bernard_Bolzano|Bernard Bolzano]]''' est un mathématicien, logicien, philosophe et théologien allemand <math>\;\big(</math>né, ayant vécu et mort en ce qui est maintenant la Tchéquie<math>\big)</math>, à qui on doit en mathématiques deux théorèmes dont [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires|celui des valeurs intermédiaires]] avec son [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires#Énoncé|cas particulier]] portant son nom et un autre connu sous le nom de [[w:Théorème_de_Bolzano-Weierstrass|théorème de Balzano-Weierstrass]] en [[w:Topologie|topologie]] des [[w:Espace_métrique|espaces métriques]] dont une démonstration plus rigoureuse fut établie par '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]] <math>\;\big[</math>on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de [[w:Fonction_de_Weierstrass|fonction de Weierstrass]] continue partout et dérivable nulle part<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref> Le [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires#Énoncé|théorème de Bolzano]] est un cas particulier du [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires|théorème des valeurs intermédiaires]], ce dernier pouvant être énoncé selon « pour toute application continue <math>\;f\;\text{:}\; \left[ a\,,\, b \right]\, \longmapsto\, \mathbb{R}\;</math> et tout réel <math>\;u\;</math> compris entre <math>\;f(a)\;</math> et <math>\;f(b)</math>, il existe au moins un réel <math>\;c\;</math> compris entre <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> tel que <math>\;f(c) = u\;</math>» ;<br>{{Al|3}}son cas particulier connu sous le nom de [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires#Énoncé|théorème de Bolzano]] s'énonce selon « pour toute application continue <math>\;f\;\text{:}\; \left[ a\,,\, b \right]\, \longmapsto\, \mathbb{R}\;</math> telle que le produit <math>\;f(a)\;f(b)\;</math> est <math>\leqslant 0</math>, il existe au moins un réel <math>\;c\;</math> compris entre <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> tel que <math>\;f(c) = 0\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans les deux théorèmes si l'application continue est strictement monotone, elle est donc [[w:Injectivité_(mathématiques)|injective]] et il y a unicité de la valeur de <math>\;c</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|aussi, en supposant le contact entre <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et la boule maintenu à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, }}l'existence d'une position unique de rupture <math>\;M_1\;</math><ref> La fonction <math>\;R(\theta)\;</math> définie sur <math>\;\left[ 0\,,\, \pi \right]\;</math> étant continue et strictement <math>\;\searrow\;</math> est donc [[w:Injectivité_(mathématiques)|injective]] ce qui permet d'affirmer l'unicité de la position de rupture <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-53|⁵³]] » plus haut dans l'exercice<math>\big)</math>.</ref> définie par l'angle <math>\;\theta_1 = \widehat{M_0OM_1}\;</math> tel que «<math>\;R(\theta_1) = 0\;</math>»<ref name="abus de notation" /> soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|aussi, en supposant le contact entre <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et la boule maintenu à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, l'existence d'une position unique de rupture <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> définie par l'angle <math>\;\color{transparent}{\theta_1 = \widehat{M_0OM_1}}\;</math> tel que }}«<math>\;m \left[ 3\;g\;cos(\theta_1) - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a} \right] = 0\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|aussi, en supposant le contact entre <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et la boule maintenu à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, }}dont on déduit la valeur de l'angle de rupture «<math>\;\theta_1 = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} + \dfrac{V_0^2}{3\;g\;a} \right] \leqslant \arccos\left( \dfrac{2}{3} \right) \simeq 48,2\;\text{°}\;</math>»<ref name="fonction arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon.</ref>{{,}}<ref> La fonction <math>\;\arccos()\;</math> étant une fonction <math>\;\searrow\;</math> de son argument, le maximum de <math>\;\theta_1\;</math> est obtenu avec le minimum de <math>\;V_0\;</math> à savoir <math>\;V_0 = 0</math> ;<br>{{Al|3}}on retrouve la condition de vitesse initiale pour que le contact existe en d'autres positions que celle initiale par le fait que l'argument de la fonction <math>\;\arccos()\;</math> dans la définition de <math>\;\theta_1\;</math> doit être <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math> soit <math>\;\dfrac{2}{3} + \dfrac{V_0^2}{3\;g\;a} < 1\;</math> ou <math>\; \dfrac{V_0^2}{3\;g\;a} < \dfrac{1}{3}\;</math> et finalement <math>\;V_0 < \sqrt{g\;a}</math>.</ref>. {{Al|5}}Le contact de <math>\;M\;</math> avec la boule disparaît dès <math>\;M_0\;</math> si <math>\;V_0 \geqslant \sqrt{g\;a}\;</math><ref> C'est la proposition contraposée de « le contact de <math>\;M\;</math> avec la boule existe en d'autre positions que <math>\;M_0\;</math> si <math>\;V_0 < \sqrt{g\;a}\;</math>».</ref>{{,}}<ref> Pour <math>\;V_0 = \sqrt{g\;a}\;</math> l'hypothèse d'un contact en <math>\;M_0\;</math> conduirait à <math>\;R(\theta = 0) = 0\;</math> c.-à-d. à une absence de contact ; <br>{{Al|3}}pour <math>\;V_0 > \sqrt{g\;a}\;</math> l'hypothèse d'un contact en <math>\;M_0\;</math> conduirait à <math>\;R(\theta = 0) < 0\;</math> c.-à-d. une absurdité car <math>\;R(\theta) = \Vert \vec{R}(\theta) \Vert\;</math> d'où une absence de contact.</ref>.}} === Étude du mouvement ultérieur du point après sa rupture de contact avec la boule en absence de frottement solide entre les deux === {{Al|5}}Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale où le contact du point <math>\;M\;</math> avec la boule est rompu pour <math>\;\theta_1(V_0) \neq 0</math>, nous pouvons affirmer que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale }}le point <math>\;M\;</math> décolle de la boule en la position <math>\;M_1\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale }}préciser la nature du mouvement ultérieur du point <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale préciser }}<math>\big[</math>il est judicieux de changer d'origine des temps en prenant pour celle-ci l'instant <math>\;t_1\;</math> de décollage de <math>\;M\;</math> de la boule<ref> On ne cherchera pas à expliciter l'expression de <math>\;t_1\;</math> en fonction des données.</ref><math>\big]</math>, en particulier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale }}expliciter <math>\blacktriangleright\;</math>la norme <math>\;V_1\;</math> et l'angle d'inclinaison <math>\;\alpha_1\;</math> relativement à l'horizontale du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale expliciter }}<math>\blacktriangleright\;</math>les coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_1\,,\,y_1\,,\,z_1 \right)\;</math> de <math>\;M_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale expliciter }}<math>\blacktriangleright\;</math>les lois horaires cartésiennes de vitesse et de position du mouvement ultérieur de <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale expliciter }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'équation permettant de calculer la portée <math>\;x_B\;</math> de l'impact <math>\;B\;</math> du point <math>\;M\;</math> avec le sol horizontal sur lequel repose la boule <math>\;\big[</math>on donnera cette équation sans chercher à la résoudre<ref> Bien que cela ne poserait aucune difficulté <math>\;\ldots</math></ref> mais on précisera quelle solution choisir dans la mesure où il y en aurait plusieurs<math>\big]</math>. {{Solution | contenu = [[File:Point lancé au sommet d'une boule - mouvement après rupture de contact.png|thumb|400px|Schéma d'un point <math>\;M\;</math> lancé horizontalement du sommet <math>\;M_O\;</math> d'une boule de centre <math>\;O</math>, avec rupture de contact en <math>\;M_1\;</math> repéré par <math>\;\theta_1\;</math><ref name="choix sens + des angles" /> et tracé de la trajectoire de chute libre après rupture]] {{Al|5}}Si <math>\;V_0 < \sqrt{g\;a}</math>, le point <math>\;M\;</math> quitte la surface de la boule en «<math>\;M_l \left\lbrace x_1 = a\;\sin(\theta_1)\;,\;y_1 = 0\;,\; z_1 = a \left[ 1 - \cos(\theta_1) \right] \right\rbrace\;</math>» dans lequel «<math>\;\theta_1</math> <math>= \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} + \dfrac{V_0^2}{3\;g\;a} \right]\;</math>»<ref name="caractéristiques de la position de rupture en absence de frottement solide"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Établissement_de_l'existence_d'une_position_de_rupture_de_contact_du_point_avec_la_boule_en_absence_de_frottement_solide_et_détermination_de_l'angle_θ1_repérant_cette_position_en_fonction_de_la_vitesse_initiale_de_lancement_du_point|établissement de l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottement solide et détermination de l'angle θ₁ repérant cette position en fonction de la vitesse initiale de lancement du point]] » plus haut dans cet exercice.</ref> avec une vitesse de norme «<math>\;V_1 = \sqrt{V_0^2 + 2\;g\;a \left[ 1 - \cos(\theta_1) \right]}\;</math><ref name="caractéristiques de la position de rupture en absence de frottement solide" /> <math>= \sqrt{V_0^2 + 2\;g\;a \left[ 1 - \dfrac{2}{3} - \dfrac{V_0^2}{3\;g\;a} \right]}\;</math>» soit finalement «<math>\;V_1 = \sqrt{\dfrac{V_0^2 + 2\;g\;a}{3}}\;</math>» et de direction inclinée de «<math>\;\alpha_1 = \theta_1\;</math>»<ref name="choix sens + des angles" /> vers le bas sur l’horizontale<ref name="sens + de alpha"> Si l'angle <math>\;\alpha_1\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\alpha_2\big)\;</math> est orienté, il est <math>\;> 0\;</math> dans la mesure où les angles orientés du demi plan méridien le sont par le vecteur unitaire <math>\;-\vec{u}_y</math>.</ref> <math>\;\Bigg[</math>voir schéma ci-contre avec <math>\;V_0 =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g\;a}{2}}\;</math> conduisant à <math>\;\alpha_1 = \theta_1 = \arccos\left( \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} \right) = \arccos\left( \dfrac{5}{6} \right) \simeq 33,6\;\text{°}\;</math> et à <math>\;V_1 =</math> <math>\sqrt{\dfrac{0,5\;g\;a + 2\;g\;a}{3}} = \sqrt{\dfrac{5\;g\;a}{6}}\Bigg]</math> ; {{Al|5}}le mouvement ultérieur de <math>\;M\;</math> étant un mouvement de chute libre<ref name="sens de libre"> Au sens où la seule force s'appliquant à <math>\;M\;</math> est son poids.</ref> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, on en déduit ses lois horaires de vitesse et de position en choisissant comme nouvelle origine des temps l'instant <math>\;t_1\;</math> où <math>\;M\;</math> décolle de la surface de la boule<ref name="t1"> L'expression de l'instant <math>\;t_1\;</math> n'est pas déterminable algébriquement, seule celle de <math>\;\theta_1\;</math> l'est par <math>\;\theta_1 = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} + \dfrac{V_0^2}{3\;g\;a} \right]</math>, pour en déduire <math>\;t_1\;</math> il faudrait connaître la loi horaire angulaire de <math>\;M\;</math> quand ce dernier est en contact avec la boule c.-à-d. <math>\;\theta = \theta(t)\;</math> laquelle est, entre autres, solution de <math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dfrac{V_0^2}{a^2} + \dfrac{2\;g}{a} \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math> <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-47|⁴⁷]] » plus haut dans l'exercice<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}la loi horaire angulaire de <math>\;M\;</math> quand ce dernier est en contact avec la boule <math>\;\theta = \theta(t)\;</math> est aussi solution de <math>\;\ddot{\theta}(t) - \dfrac{g}{a}\;\sin\!\left[ \theta(t) \right] = 0\;</math> <math>\bigg\{</math>pour cela dériver <math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dfrac{V_0^2}{a^2} + \dfrac{2\;g}{a} \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math> par rapport à <math>\;t\;</math> et simplifier par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle ou, autre façon, projeter la r.f.d.n. <math>\;m\;\vec{g} + R(t)\;\vec{u}_r = m\;\vec{a}_M(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> avec <math>\;a_{M,\,\theta}(t) = a\;\ddot{\theta}(t)</math>, le mouvement de <math>\;M\;</math> étant circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a\bigg\}</math>.</ref> {{Nobr|c'est-à-dire}} <math>\;t' = t - t_1</math> d'où : * lois horaires de vitesse «<math>\;\vec{V}_M(t') \left\lbrace V_x(t') = V_1\;\cos(\alpha_1)\;,\; V_y(t') = 0\;,\; V_z(t') = g\;t' + V_1\;\sin(\alpha_1) \right\rbrace\;</math>»<ref name="lois horaires de vitesse de chute libre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Lois_horaires_de_vitesse_du_C.D.I._du_système_fermé_(indéformable)_de_points_matériels|lois horaires de vitesse du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le sens du vecteur unitaire vertical y étant ascendant alors qu'ici il est descendant et la vitesse de lancement inclinée vers le haut alors qu'ici <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\vec{V}_1\big)\;</math> elle l'est vers le bas.</ref> et * lois horaires de position «<math>\;\overrightarrow{M_1M}(t') \left\lbrace x(t') = V_1\;\cos(\alpha_1)\;t' + x_1,\; y(t') = 0\;,\; z(t') = \dfrac{1}{2}\;g\;{t'}^2 + V_1\;\sin(\alpha_1)\;t' + z_1 \right\rbrace</math>»<ref name="lois horaires de position de chute libre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Lois_horaires_de_position_du_C.D.I._du_système_fermé_(indéformable)_de_points_matériels|lois horaires de position du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le sens du vecteur unitaire vertical y étant ascendant alors qu'ici il est descendant, la vitesse de lancement inclinée vers le haut alors qu'ici <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\vec{V}_1\big)\;</math> elle l'est vers le bas, l'origine du repère y étant choisi au point de lancement alors qu'ici ce n'est pas le cas.</ref> lesquelles sont aussi les équations paramétriques cartésiennes de la trajectoire de <math>\;M\;</math> correspondant à la portion de parabole du demi-plan méridien tangent au demi-cercle méridien de la surface de la boule en <math>\;M_1</math>. [[File:Point lâché sans vitesse du sommet d'une boule - mouvement après rupture de contact.png|thumb|400px|Schéma d'un point <math>\;M\;</math> lâché sans vitesse initiale du sommet <math>\;M_O\;</math> d'une boule de centre <math>\;O</math>, avec rupture de contact en <math>\;M_1\;</math> repéré par <math>\;\theta_1\;</math><ref name="choix sens + des angles" /> et tracé de la trajectoire de chute libre après rupture]] [[File:Point lancé du sommet d'une boule avec vitesse initiale minimale de décollage au sommet - mouvement ultérieur.png|thumb|400px|Schéma d'un point <math>\;M\;</math> lancé horizontalement du sommet <math>\;M_O\;</math> d'une boule de centre <math>\;O</math>, avec une vitesse initiale minimale pour que la rupture de contact se fasse dès le sommet <math>\;M_O\;</math> et tracé de la trajectoire de chute libre après rupture]] [[File:Point lancé au sommet d'une boule - mouvement après rupture de contact - bis.png|thumb|400px|Schéma d'un point <math>\;M\;</math> lancé horizontalement du sommet <math>\;M_0\;</math> d'une boule de centre <math>\;O</math>, avec trois vitesses initiales différentes donnant trois positions différentes de rupture de contact <math>\;M_1\;</math> repéré par <math>\;\theta_1\;</math> et tracé des trois trajectoires de chute libre après rupture]] {{Al|5}}Le point <math>\;M\;</math> heurtant le sol horizontal sur lequel repose la boule en la position <math>\;B\;</math><ref> Non indiquée sur le schéma.</ref> d'abscisse <math>\;x_B\;</math><ref name="portée"> Cette abscisse définit effectivement la portée puisque celle-ci est la distance horizontale séparant <math>\;B\;</math> de la verticale passant par <math>\;M_0</math>.</ref>, solution de <math>\;z(x) = 2\;a\;</math> dans laquelle <math>\;z = z(x)\;</math> est l'équation cartésienne de la trajectoire de <math>\;M\;</math> dans le demi-plan méridien, équation obtenue en éliminant <math>\;t'\;</math> entre <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x(t') = V_1\;\cos(\alpha_1)\;t' + x_1\\z(t') = \dfrac{1}{2}\;g\;{t'}^2 + V_1\;\sin(\alpha_1)\;t' + z_1 \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} t' = \dfrac{x - x_1}{V_1\;\cos(\alpha_1)}\\z = \dfrac{1}{2}\;g \left[ \dfrac{x - x_1}{V_1\;\cos(\alpha_1)} \right]^2 + V_1\;\sin(\alpha_1)\;\dfrac{x - x_1}{V_1\;\cos(\alpha_1)} + z_1 \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <math>\;z =</math> <math>\dfrac{g}{2\;V_1^2\;\cos^2(\alpha_1)} \left[ x - x_1 \right]^2 + \tan(\alpha_1) \left[ x - x_1 \right] + z_1</math>, équation cartésienne se réécrivant avec <math>\;V_1^2\;\cos^2(\alpha_1) = \dfrac{V_0^2 + 2\;g\;a}{3} \left[ \dfrac{2}{3} + \dfrac{V_0^2}{3\;g\;a} \right]^2</math> <math>= \dfrac{\left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^3}{27\;g^2\;a^2}\;</math> et <math>\;\tan(\alpha_1) = \sqrt{\left[ 1 + \tan^2(\alpha_1) \right] - 1} = \sqrt{\dfrac{1}{\cos^2(\alpha_1)} - 1} = \sqrt{\dfrac{1}{\left[ \dfrac{2}{3} + \dfrac{V_0^2}{3\;g\;a} \right]^2} - 1} = \sqrt{\dfrac{9\;g^2\;a^2}{\left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^2} - 1} =</math> <math>\dfrac{\sqrt{9\;g^2\;a^2 - \left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^2}}{V_0^2 + 2\;g\;a} = \dfrac{\sqrt{\left( g\;a - V_0^2 \right) \left( V_0^2 + 5\;g\;a \right)}}{V_0^2 + 2\;g\;a}\;</math> d'où finalement l'équation cartésienne suivante <center>«<math>\;z = \dfrac{27\;g^3\;a^2}{2 \left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^3} \left[ x - x_1 \right]^2 + \dfrac{\sqrt{\left( g\;a - V_0^2 \right) \left( V_0^2 + 5\;g\;a \right)}}{V_0^2 + 2\;g\;a} \left[ x - x_1 \right] + z_1\;</math>»,</center> {{Al|5}}dont on tire l'équation algébrique définissant la portée <math>\;x_B</math>, équation du 2^ème degré en <math>\;x_B\;</math> ou en <math>\;x_B - x_1</math> <center>«<math>\;\dfrac{27\;g^3\;a^2}{2 \left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^3} \left[ x_B - x_1 \right]^2 + \dfrac{\sqrt{\left( g\;a - V_0^2 \right) \left( V_0^2 + 5\;g\;a \right)}}{V_0^2 + 2\;g\;a} \left[ x_B - x_1 \right] - \left[ 2\;a - z_1 \right] = 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le discriminant de cette équation du 2^ème degré «<math>\;\Delta = \left[ \dfrac{\sqrt{\left( g\;a - V_0^2 \right) \left( V_0^2 + 5\;g\;a \right)}}{V_0^2 + 2\;g\;a} \right]^2 + 4\;\dfrac{27\;g^3\;a^2}{2 \left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^3} \left[ 2\;a - z_1 \right]\;</math> étant clairement <math>\;> 0\;</math>» compte-tenu de la positivité de <math>\;2\;a - z_1</math>, l'équation a donc deux solutions réelles distinctes de signe contraire, « leur produit égal à <math>\;\dfrac{-\left[ 2\;a - z_1 \right]}{\dfrac{27\;g^3\;a^2}{2 \left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^3}}\;</math> étant en effet <math>\;< 0\;</math>», on retient donc la solution <math>\;> 0\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Exposé</u><math>\;\big(</math>non demandé<math>\big)\;</math><u>de la résolution</u> : on peut réécrire le discriminant à l'aide de «<math>\;2\;a - z_1 = 2\;a - a \left[ 1 - \cos(\theta_1) \right] = a \left[ 1 + \cos(\theta_1) \right]</math> <math>= a \left[ 1 + \left( \dfrac{2}{3} + \dfrac{V_0^2}{3\;g\;a} \right) \right] = a\;\dfrac{5\;g\;a + V_0^2}{3\;g\;a}\;</math>» d'où <math>\;\Delta\;</math> se réécrit selon «<math>\;\Delta = \dfrac{\left( g\;a - V_0^2 \right) \left( V_0^2 + 5\;g\;a \right)}{\left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^2} + \dfrac{54\;g^3\;a^2}{\left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^3} \left[ 2\;a - z_1 \right]</math> <math>= \dfrac{\left( g\;a - V_0^2 \right) \left( V_0^2 + 5\;g\;a \right)}{\left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^2} + \dfrac{18\;g^2\;a^2 \left( 5\;g\;a + V_0^2 \right)}{\left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^3} =</math> <math>\left( V_0^2 + 5\;g\;a \right) \dfrac{\left( g\;a - V_0^2 \right) \left( V_0^2 + 2\;g\;a \right) + 18\;g^2\;a^2}{\left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^3}\;</math>» et par suite «<math>\;x_B - x_1</math> <math>= \dfrac{\sqrt{\Delta} - \dfrac{\sqrt{\left( g\;a - V_0^2 \right) \left( V_0^2 + 5\;g\;a \right)}}{V_0^2 + 2\;g\;a}}{2\;\dfrac{27\;g^3\;a^2}{2 \left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^3}}\;</math>»<ref> On rappelle que l'on conserve la solution positive.</ref> ou, en explicitant le discriminant <math>\;\Delta\;</math> de l'équation du 2^ème degré en <math>\;x_B - x_1</math>, «<math>\;x_B - x_1 =</math> <math>\left[ \sqrt{\dfrac{V_0^2 + 5\;g\;a}{V_0^2 + 2\;g\;a}}\;\dfrac{\sqrt{\left( g\;a - V_0^2 \right) \left( V_0^2 + 2\;g\;a \right) + 18\;g^2\;a^2}}{V_0^2 + 2\;g\;a} - \dfrac{\sqrt{\left( g\;a - V_0^2 \right) \left( V_0^2 + 5\;g\;a \right)}}{V_0^2 + 2\;g\;a} \right] \dfrac{\left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^3}{27\;g^3\;a^2}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;x_B - x_1 = \left[ \sqrt{\dfrac{V_0^2 + 5\;g\;a}{V_0^2 + 2\;g\;a}}\; \sqrt{\left( g\;a - V_0^2 \right) \left( V_0^2 + 2\;g\;a \right) + 18\;g^2\;a^2} - \sqrt{\left( g\;a - V_0^2 \right) \left( V_0^2 + 5\;g\;a \right)} \right] \dfrac{\left[ V_0^2 + 2\;g\;a \right]^2}{27\;g^3\;a^2}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Exposé<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>non demandé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de la résolution : }}on vérifie la portée sur les trajectoires du point <math>\;M\;</math> après rupture de contact avec la surface de la boule représentées dans trois cas de vitesses initiales différentes : * d'abord «<math>\;V_0 = \sqrt{\dfrac{g\;a}{2}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\theta_1 = \arccos\left( \dfrac{5}{6} \right) \simeq 33,6\;\text{°}\;</math>» et «<math>\;V_1 = \sqrt{\dfrac{5\;g\;a}{6}}\;</math>» correspondant au 1^er schéma où la trajectoire après rupture est représentée en magenta, on trouve «<math>\;x_B - x_1 = \left[ \sqrt{\dfrac{11}{5}}\; \sqrt{\dfrac{5}{4}\;g^2\;a^2 + 18\;g^2\;a^2} - \sqrt{\dfrac{11}{4}\;g^2\;a^2} \right] \dfrac{\left[ \dfrac{5}{2}\;g\;a \right]^2}{27\;g^3\;a^2} =</math> <math>\left[ \sqrt{\dfrac{11}{5}}\; \sqrt{\dfrac{77}{4}} - \sqrt{\dfrac{11}{4}} \right] \dfrac{25\;a}{108} = \dfrac{25\;\sqrt{11}\;a}{216} \left[ \sqrt{\dfrac{77}{5}} - 1 \right] \simeq 1,123\;a\;</math>» d'où, avec «<math>\;x_1 = a\;\sin(\theta_1) \simeq a\;\sin(33,6\,\text{°}) \simeq 0,553\;</math>», la portée cherchée «<math>\;x_B \simeq 1,676\;a\;</math>», * ensuite «<math>\;V_0 = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\theta_1 = \arccos\left( \dfrac{2}{3} \right) \simeq 48,2\;\text{°}\;</math>» et «<math>\;V_1 = \sqrt{\dfrac{2\;g\;a}{3}}\;</math>» correspondant au 2^ème schéma où la trajectoire après rupture est représentée en marron, on trouve «<math>\;x_B - x_1 = \left[ \sqrt{\dfrac{5}{2}}\; \sqrt{20\;g^2\;a^2} - \sqrt{5\;g^2\;a^2} \right] \dfrac{\left[ 2\;g\;a \right]^2}{27\;g^3\;a^2} = \left[ \sqrt{\dfrac{5}{2}}\; \sqrt{20} - \sqrt{5} \right] \dfrac{4\;a}{27} = \dfrac{4\;\sqrt{5}\;a}{27} \left[ \sqrt{10} - 1 \right] \simeq 0,716\;a\;</math>» d'où, avec «<math>\;x_1 = a\;\sin(\theta_1) \simeq</math> <math>a\;\sin(48,2\,\text{°}) \simeq 0,745\;</math>», la portée cherchée «<math>\;x_B \simeq 1,462\;a\;</math>», * suivi de «<math>\;V_0 = \sqrt{g\;a}\;</math>»<ref> Le contact n'existe pas à l'instant <math>\;0\;</math> car la réaction y est nulle, mais si <math>\;V_0 = \left[ \sqrt{g\;a} \right]^{-}\;</math> la réaction existe en y étant infiniment petite d'où l'étude pour cette valeur.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\theta_1 = 0\;</math>» et «<math>\;V_1 = \sqrt{g\;a}\;</math>» correspondant au 3^ème schéma où la trajectoire après rupture est représentée en rouge, on trouve «<math>\;x_B - x_1 = \left[ \sqrt{2}\; \sqrt{18\;g^2\;a^2} - 0 \right] \dfrac{\left[ 3\;g\;a \right]^2}{27\;g^3\;a^2}</math> <math>= 2\;a\;</math>» d'où, avec «<math>\;x_1 = a\;\sin(\theta_1) = 0\;</math>», la portée cherchée «<math>\;x_B = 2\;a\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Exposé<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>non demandé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de la résolution : }}sur le 4^ème schéma sont superposés les trois tracés précédents ce qui permet de comparer les portées entre elles.}} === Reprise de l'étude en présence de frottements solides du point avec la boule === ==== Établissement de la nature plane du mouvement du point en présence de frottements solides et maintien de contact ==== {{Al|5}}Reprendre l'étude avec présence d'un frottement solide de cœfficients de frottements dynamique et statique communs <math>\;f\;</math><ref name="cœfficients de frottements dynamique et statique communs" /> quand le point <math>\;M\;</math> est contact avec la boule <br>{{Al|5}}{{Transparent|Reprendre l'étude avec présence d'un frottement solide }}pour établir que cette présence de frottements solides ne modifie pas la nature plane du mouvement éventuel<ref name="mouvement éventuel"> En effet les frottements solides autorisant la présence de positions d'équilibre en d'autres endroits qu'en <math>\;M_0\;</math> si la composante tangentielle de la réaction est liée à sa composante normale par la loi de frottement de Coulomb sans glissement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_d’équilibre|rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide sur un autre solide dans le cas d'équilibre]] » du {{Nobr|chap.<math>13</math>}} de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, il est donc possible que le lancement de <math>\;M\;</math> à partir de <math>\;M_0\;</math> ne démarre pas <math>\;\big(</math>dans ce cas la vitesse initiale reste nulle<math>\big)\;</math> ou s'arrête très rapidement si sa vitesse initiale est trop faible <math>\;\big(</math>dans ce cas les frottements l'arrêtent en une position de pente faible où la loi de frottement de Coulomb sans glissement est vérifiée<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}alors que le point <math>\;M</math>, lâché de <math>\;M_0\;</math> sans vitesse initiale et en absence de frottements solides, est en équilibre, ce dernier est instable et il suffit de perturbations extérieures <math>\;\big(</math>même très faibles<math>\big)\;</math> pour la mise en mouvement de <math>\;M\;</math> sans vitesse initiale mais, il n'en est pas de même <br>{{Al|3}}{{Transparent|alors que le point <math>\;\color{transparent}{M}</math>, lâché de <math>\;\color{transparent}{M_0}\;</math> sans vitesse initiale et }}en présence de frottements solides, même s'il s'agit toujours d'une position d'équilibre, ce dernier nécessitera une force motrice appliquée en <math>\;M_0\;</math> suffisamment importante pour qu'il soit rompu, or nous n'envisageons pas d'application de force motrice sur le point <math>\;M\;</math> ce qui veut dire que le point <math>\;M</math>, lâché de <math>\;M_0\;</math> sans vitesse initiale et en présence de frottements solides, restera toujours en <math>\;M_0</math>.</ref> de <math>\;M\;</math> sur la boule et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Reprendre l'étude avec présence d'un frottement solide pour établir que cette présence de frottements solides ne modifie pas }}la nature circulaire de sa trajectoire éventuelle<ref name="mouvement éventuel" /> pour un contact maintenu {{Nobr|<math>\;\big[</math>on}} utilisera le même repérage cylindro-polaire d'« axe <math>\;\overrightarrow{M_0z}\;</math>» avec pour « méridien de référence <math>\;xM_0z\;</math>» du point <math>\;M\;</math> sur la boule<ref name="même repérage cylindro-polaire"> Voir la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_point_en_absence_de_frottement_solide_et_maintien_de_contact|établissement de la nature plane du mouvement du point en absence de frottement solide et maintien de contact]] » plus haut dans cet exercice.</ref> en effectuant une démonstration par récurrence <math>\;\ldots\big]</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Le point <math>\;M\;</math> lancé du « sommet <math>\;M_0\;</math> de la boule » avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> horizontal dans le sens de <math>\;\overrightarrow{M_0x}\;</math> <math>\big[</math>le glissement de <math>\;M\;</math> sur la boule étant alors initialement effectif<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}est, à la date <math>\;0^{+}</math>, soumis à deux forces, dans la mesure où le contact entre le point et la boule n'est pas rompu dès cet instant initial, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, soumis à deux forces, }}<math>\blacktriangleright\;</math>le poids du point <math>\;m\;\vec{g}\;</math> vertical descendant soit «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» et <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, soumis à deux forces, }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction de la boule sur <math>\;M</math>, à la date <math>\;0^{+}</math>, «<math>\;\vec{R}(0^{+})\;</math>» laquelle a deux composantes en présence de frottements solides <br>{{Al|3}}{{Transparent|Le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, soumis à deux forces, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction de la boule sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}(0^{+})}\;</math>» }}<math>\succ\;</math>une composante normale à la boule en <math>\;M_0</math>, de sens opposé à la pénétration possible de <math>\;M\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, soumis à deux forces, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction de la boule sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}(0^{+})}\;</math>» <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une composante normale à la boule en <math>\;\color{transparent}{M_0}</math>, }}«<math>\;\vec{R}_n(0^{+}) = -R_n(0^{+})\;\vec{u}_z\;</math>» avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|Le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, soumis à deux forces, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction de la boule sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}(0^{+})}\;</math>» <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une composante normale à la boule en <math>\;\color{transparent}{M_0}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}_n(0^{+}) = -}</math>}}<math>R_n(0^{+}) = \Vert \vec{R}_n(0^{+}) \Vert > 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, soumis à deux forces, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction de la boule sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}(0^{+})}\;</math>» }}<math>\succ\;</math>une composante tangentielle<ref name="force de frottement"> Ou force de frottement solide.</ref> à la boule en <math>\;M_0</math>, de même direction et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, soumis à deux forces, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction de la boule sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}(0^{+})}\;</math>» <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une composante tangentielle à la boule en <math>\;\color{transparent}{M_0}</math>, }}de sens contraire à <math>\;\vec{V}_0\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, soumis à deux forces, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction de la boule sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}(0^{+})}\;</math>» <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une composante tangentielle à la boule en <math>\;\color{transparent}{M_0}</math>, }}«<math>\;\vec{R}_\tau(0^{+}) = -R_\tau(0^{+})\;\vec{u}_x\;</math>» avec <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, soumis à deux forces, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction de la boule sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, à la date <math>\;\color{transparent}{0^{+}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}(0^{+})}\;</math>» <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une composante tangentielle à la boule en <math>\;\color{transparent}{M_0}</math>, «}}<math>\;R_\tau(0^{+}) = \Vert \vec{R}_\tau(0^{+}) \Vert = f\,R_n(0^{+})\;</math><ref name="loi de frottement de Coulomb avec glissement"> Loi de frottement de Coulomb avec glissement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_effectif_de_glissement|rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide sur un autre solide dans le cas effectif de glissement]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> dans le cas où les cœfficients de frottements dynamique et statique sont communs <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottements statique et dynamique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M\;</math> à la date initiale dans le référentiel terrestre galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié à la boule, nous conduit au vecteur accélération initiale de <math>\;M\;</math> «<math>\;\vec{a}_M(0^{+}) = g\,\vec{u}_z - \dfrac{R_n(^{+})}{m}\,\vec{u}_z - f\,\dfrac{R_n(^{+})}{m}\,\vec{u}_x\;</math>» contenu dans le demi plan méridien <math>\;xM_0z\;</math> de référence et dont la composante tangentielle <math>\;- f\;\dfrac{R_n(0)}{m}\;\vec{u}_x\;</math> est dirigée vers l'axe <math>\;\overrightarrow{M_0z}\;</math> ou, <br>{{Al|10}}{{Transparent|l'application de la r.f.d.n. à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à la date initiale }}en confondant ce vecteur accélération instantanée avec le vecteur accélération moyenne sur l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\, t_1 = \delta t \right]\;</math> c'est-à-dire <math>\;\vec{a}_M(0^{+}) \simeq \dfrac{\vec{V}_M(\delta t) - \vec{V}_0}{\delta t}\;</math> dont on déduit «<math>\;\vec{V}_M(\delta t) \simeq \vec{V}_0 + \vec{a}_M(0^{+})\;\delta t\;</math><u>contenu dans le demi plan méridien de référence</u> » comme C.L<ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref>. de deux vecteurs <math>\;\vec{V}_0\;</math> et <math>\;\vec{a}_M(0^{+})\;</math> de ce demi-plan <math>\;\big[</math>de plus comme <math>\;\delta t\;</math> est une durée très petite et <math>\;\Vert \vec{a}_M(0^{+}) \Vert\;</math> finie, le sens de <math>\;\vec{V}_M(\delta t)\;</math> s'éloigne de l'axe <math>\;\overrightarrow{M_0z}\;</math> comme celui de <math>\;\vec{V}_0\;</math> et sa norme est légèrement plus faible à celle de <math>\;\vec{V}_0\big]</math>. {{Al|5}}Faisons l'hypothèse de récurrence «<math>\;\vec{V}_M(t_n = n\;\delta t)\;</math> contenu dans le demi plan méridien de référence<ref name="si vecteur nul"> Cela n'exclut pas que le vecteur vitesse soit nul puisque <math>\;\vec{0}_M\;</math> appartient à tout plan passant par <math>\;M</math>.</ref>{{,}}<ref name="demi plan méridien de référence"> Quand le demi plan méridien repéré par <math>\;\varphi = cste\;</math> est le demi plan méridien de référence, <math>\;\varphi = 0\;</math> et <math>\;\vec{u}_\rho = \vec{u}_x\;</math> ainsi que <math>\;\vec{u}_\varphi = \vec{u}_y</math>.</ref> s'éloignant, au sens large, de l'axe <math>\;\overrightarrow{M_0z}\;</math><ref name="éloignement au sens large"> C.-à-d. que le vecteur vitesse est nul ou de sens s'éloignant de l'axe <math>\;\overrightarrow{M_0z}</math>.</ref> » et <br>{{Al|5}}déduisons en que «<math>\;\vec{V}_M(t_{n + 1} = t_n + \delta t)\;</math> est contenu dans le demi plan méridien de référence<ref name="si vecteur nul" />{{,}}<ref name="demi plan méridien de référence" /> s'éloignant, au sens large, de l'axe <math>\;\overrightarrow{M_0z}\;</math><ref name="éloignement au sens large" /> », en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Faisons l'hypothèse de récurrence }}à l'instant <math>\;t_n</math>, le point <math>\;M\;</math> est toujours soumis à deux forces <math>\blacktriangleright\;</math>le poids du point <math>\;m\;\vec{g}\;</math> vertical descendant soit «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Faisons l'hypothèse de récurrence à l'instant <math>\;\color{transparent}{t_n}</math>, le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est toujours soumis à deux forces }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction de la boule sur <math>\;M\;</math> «<math>\;\vec{R}(t_n)\;</math>» laquelle a deux composantes en présence de frottements solides <br>{{Al|5}}{{Transparent|Faisons l'hypothèse de récurrence à l'instant <math>\;\color{transparent}{t_n}</math>, le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est toujours soumis à deux forces <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction de la boule sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t_n)}\;</math>» }}<math>\succ\;</math>une composante normale à la boule en <math>\;M</math>, de sens opposé à la pénétration possible du point, «<math>\;\vec{R}_n(t_n) = R_n(t_n)\;\sin\!\left[ \theta(t_n) \right]\;\vec{u}_\rho(t_n) - R_n(t_n)\;\cos\!\left[ \theta(t_n) \right]\;\vec{u}_z\;</math>» dans lequel <math>\;R_n(t_n) = \Vert \vec{R}_n(t_n) \Vert \neq 0\;</math> <math>\big(</math>car nous supposons le maintien du contact entre le point et la boule<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Faisons l'hypothèse de récurrence à l'instant <math>\;\color{transparent}{t_n}</math>, le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est toujours soumis à deux forces <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction de la boule sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t_n)}\;</math>» }}<math>\succ\;</math>une composante tangentielle<ref name="force de frottement" /> de même direction et de sens contraire à <math>\;\vec{V}_M(t_n)\;</math> si <math>\;\vec{V}_M(t_n) \neq \vec{0}\;</math> <math>\big[</math>le cas où <math>\;\vec{V}_M(t_n) = \vec{0}\;</math> sera traité à part<math>\big]</math>, «<math>\;\vec{R}_\tau(t_n) =</math> <math>-R_\tau(t_n)\;\cos\!\left[ \theta(t_n) \right]\;\vec{u}_\rho(t_n) - R_\tau(t_n)\;\sin\!\left[ \theta(t_n) \right]\;\vec{u}_z\;</math>» dans lequel <math>\;R_\tau(t_n) = \Vert \vec{R}_\tau(t_n) \Vert = f\;R_n(t_n)\;</math><ref name="loi de frottement de Coulomb avec glissement" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Faisons l'hypothèse de récurrence }}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. au point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t_n\;</math> dans le référentiel terrestre galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié à la boule avec <math>\;\vec{V}_M(t_n) \neq \vec{0}</math>, nous conduit au vecteur accélération de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t_n\;</math> soit «<math>\;\vec{a}_M(t_n) = g\;\vec{u}_z + \dfrac{R_n(t_n)}{m}\;\sin\!\left[ \theta(t_n) \right]\;\vec{u}_\rho(t_n) - \dfrac{R_n(t_n)}{m}\;\cos\!\left[ \theta(t_n) \right]\;\vec{u}_z - f\;\dfrac{R_n(t_n)}{m}\;\cos\!\left[ \theta(t_n) \right]\;\vec{u}_\rho(t_n) - f\;\dfrac{R_n(t_n)}{m}\;\sin\!\left[ \theta(t_n) \right]\;\vec{u}_z\;</math>» contenu dans le demi plan méridien <math>\;xM_0z\;</math> de référence<ref name="demi plan méridien de référence" /> <math>\;\Bigg\{</math>d'où <math>\;\vec{a}_M(t_n)\;</math> réécrit dans la base polaire de <math>\;xM_0z\;</math> d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{M_0z}\;</math> «<math>\;\vec{a}_M(t_n) = -g\;\cos\!\left[ \theta(t_n) \right] \vec{u}_r(t_n) + g\;\sin\!\left[ \theta(t_n) \right] \vec{u}_\theta(t_n) + \dfrac{R_n(t_n)}{m}\;\vec{u}_r(t_n) - f\;\dfrac{R_n(t_n)}{m}\;\vec{u}_\theta(t_n)\;</math>»<ref> En effet <math>\;\vec{u}_r(t_n) = \dfrac{\overrightarrow{OM}(t_n)}{a} = -\cos\! \left[ \theta(t_n) \right] \vec{u}_z + \sin\! \left[ \theta(t_n) \right] \vec{u}_\rho(t_n)\;</math> et <math>\;\vec{u}_\theta(t_n) = \sin\! \left[ \theta(t_n) \right] \vec{u}_z + \cos\! \left[ \theta(t_n) \right] \vec{u}_\rho(t_n)\;</math> car unitaire et directement <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_r(t_n)\;</math> dans le demi plan méridien de référence <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z = -\cos\!\left[ \theta(t_n) \right] \vec{u}_r(t_n) + \sin\!\left[ \theta(t_n) \right] \vec{u}_\theta(t_n)\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="accélération tangentielle"> L'accélération tangentielle <math>\;\vec{a}_M(t) \cdot \vec{u}_\theta(t) = g\;\sin\!\left[ \theta(t) \right] - f\;\dfrac{R_n(t)}{m}\;</math> initialement <math>\;< 0\;</math> <math>\bigg[</math>en effet initialement <math>\;M\;</math> étant en contact avec la boule <math>\;a_M(0^{+})\cdot \vec{u}_r(0^{+}) = 0\;</math> avec <math>\;\vec{a}_M(t) \cdot \vec{u}_r(t) = -g\;\cos\!\left[ \theta(t) \right] + \dfrac{R_n(t)}{m}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{R_n(t)}{m} = g\;\cos\!\left[ \theta(t) \right]\;</math> et par suite <math>\;\vec{a}_M(0^{+}) \cdot \vec{u}_\theta(0^{+}) = g\;\sin\!\left[ \theta(0^{+}) \right] - f\;g\;\cos\!\left[ \theta(t) \right] = -f\;g < 0\bigg]\;</math> <math>\Rightarrow</math> une <math>\;\searrow\;</math> initiale de <math>\;\Vert \vec{V}_M \Vert</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|L'accélération tangentielle }}<math>\vec{a}_M(t_n) \cdot \vec{u}_\theta(t_n)\;</math> pouvant être encore <math>\;< 0\;</math> <math>\big(</math>d'où poursuite de la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{V}_M \Vert\;</math> pouvant conduire à un vecteur vitesse nul et à un arrêt du mouvement<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|L'accélération tangentielle <math>\color{transparent}{\vec{a}_M(t_n) \cdot \vec{u}_\theta(t_n)}\;</math> pouvant }}être devenue nulle <math>\;\big(</math>correspondant à une stationnarité de <math>\;\Vert \vec{V}_M \Vert\big)\;</math> ou même <br>{{Al|20}}{{Transparent|L'accélération tangentielle <math>\color{transparent}{\vec{a}_M(t_n) \cdot \vec{u}_\theta(t_n)}\;</math> pouvant }}être <math>\;> 0\;</math> <math>\big[</math>à condition qu'elle soit devenue nulle auparavant<math>\big]\;</math> <math>\big(</math>cas hypothétique correspondant alors à une <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{V}_M \Vert\big)</math>.</ref><math>\Bigg\}\;</math> ou, {{Al|10}}{{Transparent|Faisons l'hypothèse de récurrence l'application de la r.f.d.n. au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t_n}\;</math> }}en confondant <math>\;\vec{a}_M(t_n)\;</math> avec le vecteur accélération moyenne sur l'intervalle <math>\;\left[ t_n\,,\, t_n + \delta t \right]\;</math> c'est-à-dire <math>\;\vec{a}_M(t_n) \simeq</math> <math>\dfrac{\vec{V}_M(t_n + \delta t) - \vec{V}_M(t_n)}{\delta t}\;</math> dont on déduit «<math>\;\vec{V}_M(t_n + \delta t) \simeq \vec{V}_M(t_n) + \vec{a}_M(t_n)\;\delta t\;</math><u>contenu dans le demi plan méridien de référence</u> »<ref name="si vecteur nul" /> comme C.L<ref name="C.L." />. de deux vecteurs <math>\;\vec{V}_M(t_n)\;</math> et <math>\;\vec{a}_M(t_n)\;</math> de ce demi-plan {{Nobr|<math>\;\big[</math>d'une}} part, <math>\;\delta t\;</math> étant une durée très petite et <math>\;\Vert \vec{V}_M(t_n) \Vert\;</math> de valeur finie <math>\;\big(</math>éventuellement petite<math>\big)\;</math> non nulle, <math>\;\vec{V}_M(t_n + \delta t)\;</math> ne peut pas être de sens inversé relativement à <math>\;\vec{V}_M(t_n)</math>, d'autre part, suivant la valeur de l'accélération tangentielle <math>\;\vec{a}_M(t_n) \cdot \vec{u}_\theta(t_n)\;</math><ref name="accélération tangentielle" />, <math>\;\Vert \vec{V}_M(t_n + \delta t) \Vert\;</math> peut être <math>\;<</math>, <math>\;=\;</math> ou <math>\;>\;</math> à <math>\;\Vert \vec{V}_M(t_n) \Vert\big]</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|Faisons l'hypothèse de récurrence l'application de la r.f.d.n. au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t_n}\;</math> }}cas où <math>\;\vec{V}_M(t_n) = \vec{0}\;</math><ref> Avec <math>\;\vec{V}_M(t_{n - 1}) \neq \vec{0}\;</math> mais de norme très petite.</ref>, faisant l'hypothèse que la position à cet instant <math>\;t_n\;</math> correspond à un équilibre, la somme des forces appliquées au point <math>\;M\;</math> à cet instant doit y être nulle d'où «<math>\;-m\;g\;\cos\!\left[ \theta(t_n) \right] \vec{u}_r(t_n) + m\;g\;\sin\!\left[ \theta(t_n) \right] \vec{u}_\theta(t_n) + R_n(t_n)\;\vec{u}_r(t_n) - R_\tau(t_n)\;\vec{u}_\theta(t_n)</math> <math>= \vec{0}\;</math>» dont on tire «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} R_n(t_n) = m\;g\;\cos\!\left[ \theta(t_n) \right]\\R_\tau(t_n) = m\;g\;\sin\!\left[ \theta(t_n) \right]\end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\dfrac{R_\tau(t_n)}{R_n(t_n)}</math>}} <math>= \tan\!\left[ \theta(t_n) \right]\;</math> qui doit être <math>\;<\;</math>à <math>\;f\;</math>» selon la loi de Coulomb<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de Coulomb]] » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> de frottement sans glissement<ref name="loi de frottement de Coulomb sans glissement"> Loi de frottement de Coulomb sans glissement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_d’équilibre|rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide sur un autre solide dans le cas d'équilibre]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> dans le cas où les cœfficients de frottements dynamique et statique sont communs <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottements statique et dynamique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref> La condition d'arrêt à l'instant <math>\;t_n\;</math> correspond donc à un angle <math>\;\theta(t_n) <\;</math> à l'angle limite commun de frottements solides dynamique et statique <math>\;\varphi_l = \arctan(f)</math>.</ref> ; {{Al|15}}{{Transparent|Faisons l'hypothèse de récurrence l'application de la r.f.d.n. au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t_n}\;</math> cas où <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t_n) = \vec{0}}\;</math>, }}<u>remarque</u> : à l'instant <math>\;t_{n - 1}\;</math> précédent «<math>\;\vec{V}_M(t_{n - 1})\;</math> étant <math>\;\neq \vec{0}\;</math> <math>\big(</math>mais de petite norme<math>\big)\;</math>» on a {{Nobr|«<math>\;R_\tau(t_{n - 1})</math>}} <math>= f\;R_n(t_{n - 1})\;</math>»<ref> Puisqu'il y a glissement, voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-loi_de_frottement_de_Coulomb_avec_glissement-74|⁷⁴]] » plus haut dans cet exercice.</ref> avec «<math>\;R_n(t_{n - 1}) = m\;g\;\cos\!\left[ \theta(t_{n - 1}) \right] - m\;\dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t_{n - 1})}{a}\;</math>»<ref name="accélération normale"> <math>\;\dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t_{n - 1})}{a}\;</math> étant l'accélération normale du point <math>\;M\;</math> dans l'hypothèse où il décrit un cercle de rayon <math>\;a</math>, c'est aussi l'opposé de l'accélération radiale <math>\;-a\;\dot{\theta}^2(t_{n - 1})</math>.</ref> et «<math>\;R_\tau(t_{n - 1}) > m\;g\;\sin\!\left[ \theta(t_{n - 1}) \right]\;</math> pour que <math>\;\Vert \vec{V}_M(t_{n - 1}) \Vert \neq 0\;</math> puisse <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à <math>\;\Vert \vec{V}_M(t_n) \Vert = 0\;</math>», ainsi « l'angle <math>\;\theta(t_{n - 1})</math>, le cœfficient de frottement solide <math>\;f\;</math> et <math>\;\vec{V}_M(t_{n - 1})\;</math> sont liés par <math>\;f \left\lbrace m\;g\;\cos\!\left[ \theta(t_{n - 1}) \right] - m\;\dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t_{n - 1})}{a} \right\rbrace > m\;g\;\sin\!\left[ \theta(t_{n - 1}) \right]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\tan\!\left[ \theta(t_{n - 1}) \right] < f \left\lbrace 1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t_{n - 1})}{g\;a\;\cos\!\left[ \theta(t_{n - 1}) \right]} \right\rbrace\;</math>», cette relation devant devenir «<math>\;\tan\!\left[ \theta(t_n) \right] < f\;</math>»<ref> Ce qui est a priori possible <math>\;\big(</math>mais non certain<math>\big)\;</math> dans la mesure où chaque membre de l'inégalité <math>\;\nearrow</math>, le membre de gauche <math>\;\tan\!\left[ \theta(t_{n - 1}) \right]\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;\tan\!\left[ \theta(t_n) \right]\;</math> et le membre de droite <math>\;f \left\lbrace 1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t_{n - 1})}{g\;a\;\cos\!\left[ \theta(t_{n - 1}) \right]} \right\rbrace\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;f</math>.</ref> pour que <math>\;\vec{V}_M(t_n)\;</math> puisse être nul. {{Al|5}}{{Transparent|Faisons l'hypothèse de récurrence }}La propriété <math>\;\mathcal{P}(t_n = n\;\delta t)\;</math> affirmant que « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> est dans le demi plan méridien de référence en s'éloignant, au sens large, de l'axe <math>\;\overrightarrow{M_0z}\;</math><ref name="éloignement au sens large" /> » est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Faisons l'hypothèse de récurrence La propriété <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}(t_n = n\;\delta t)}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>vérifiée pour <math>\;n = 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Faisons l'hypothèse de récurrence La propriété <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}(t_n = n\;\delta t)}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>telle que <math>\;\mathcal{P}(t_n = n\;\delta t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{P}(t_{n + 1} = [n + 1]\;\delta t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Faisons l'hypothèse de récurrence }}elle est donc vérifiée pour toute valeur de <math>\;n\;</math> et donc pour tout instant. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : Si <math>\;\vec{V}_0 \neq \vec{0}</math>, le glissement de <math>\;M\;</math> sur la boule est donc amorcé, le mouvement de <math>\;M\;</math> est plan dans le demi plan méridien de référence <math>\;xM_0z\;</math> et plus précisément <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Si <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}</math>, le glissement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la boule est donc amorcé, le mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est }}circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a</math>.}} ==== Détermination de l'équation caractérisant l'angle θ₂ repérant la position de rupture de contact (quand celle-ci existe) du point avec la boule en présence de frottements solides et comparaison avec l'angle θ₁ repérant la position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottements solides pour une même vitesse initiale ==== {{Al|5}}Déterminer la composante normale <math>\;R_n(t)\;</math> de la réaction <math>\;\vec{R}(t)\;</math> de la boule sur <math>\;M\;</math> glissant, à l'instant <math>\;t</math>, sur celle-ci en présence de frottements solides de cœfficients de frottements dynamique et statique communs <math>\;f</math>, <math>\big[</math>le vecteur unitaire <math>\;\vec{n}\;</math> normal à la boule en <math>\;M\;</math> étant ici orienté dans le sens centripète<ref> De façon à ce que son sens soit identique à celui du vecteur unitaire normal de Frenet même si ce n'est pas le sens usuel du vecteur unitaire normal dans le cas d'une liaison unilatérale, le sens usuel étant le sens contraire de celui de la pénétration possible de <math>\;M\;</math> dans la boule alors qu'ici c'est le sens de la pénétration possible de <math>\;M\;</math> dans la boule.</ref><math>\big]\;</math> en fonction, entre autres de l'angle <math>\;\theta(t) = \widehat{M_0OM}\;</math> repérant <math>\;M\;</math> sur la boule à l'instant <math>\;t\;</math> et de sa vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> au même instant puis {{Al|5}}en déduire, quand il y a mouvement, la composante tangentielle <math>\;-R_\tau(t)\;</math><ref name="justification de signe"> Avec un signe «<math>\;-\;</math>» pour tenir compte du sens de <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> en considérant <math>\;R_\tau = \Vert \vec{R}_\tau \Vert\;</math> pour un glissement dans le sens des <math>\;\theta \nearrow</math>.</ref> de la réaction <math>\;\vec{R}(t)\;</math><ref name="force de frottement" /> de la boule sur le point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en utilisant la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> du frottement de glissement<ref name="loi de frottement de Coulomb avec glissement" /> <math>\;\big[</math>le vecteur unitaire <math>\;\vec{\tau}\;</math> tangent à la boule en <math>\;M\;</math> étant orienté dans le sens du mouvement<ref name="sens du mouvement"> C.-à-d. le sens des <math>\;\theta \nearrow</math>.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|en déduire, quand il y a mouvement, }}l'expression du travail de cette force de frottement solide sur la portion de trajectoire <math>\;(\mathcal{C})\;</math> de <math>\;M\;</math> entre sa position initiale et celle à l'instant <math>\;t</math> à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|en déduire, quand il y a mouvement, l'expression du }}«<math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]\;</math> sous forme intégrale » <math>\;\big(</math>que l'on ne cherchera pas à évaluer mais dont on donnera le signe<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en appliquant, au point <math>\;M\;</math> glissant sur la boule avec frottements solides, le théorème de l'énergie cinétique entre l'instant initial et l'instant <math>\;t\;</math><ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" />, déterminer l'expression du carré de la vitesse angulaire du point <math>\;M\;</math> «<math>\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> en fonction, entre autres, de l'angle <math>\;\theta(t) = \widehat{M_0OM}(t)</math>, de <math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]\;</math> et de la vitesse initiale <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math>» puis, {{Al|5}}réécrire l'expression de la composante normale «<math>\;R_n(t)\;</math> de la réaction <math>\;\vec{R}(t)\;</math> de la boule sur le point <math>\;M\;</math> lors de son glissement sur la boule avec frottements solides <br>{{Al|5}}{{Transparent|réécrire l'expression de la composante normale «<math>\;\color{transparent}{R_n(t)}\;</math> }}en fonction, entre autres, de l'angle <math>\;\theta(t) = \widehat{M_0OM}(t)</math>, de <math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]\;</math> et de la vitesse initiale <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|réécrire l'expression de la composante normale «<math>\;\color{transparent}{R_n(t)}\;</math> }}en déduire, en admettant l'existence d'une position de rupture de contact <math>\;M_2\;</math> du point <math>\;M\;</math> avec la boule en présence de frottements solides<ref name="existence admise"> En effet pour démontrer l'existence il faudrait calculer le travail de la force de frottement solide mais celui-ci nécessite de connaître le mouvement ce qui ne peut se faire que numériquement à l'aide d'un logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|réécrire l'expression de la composante normale «<math>\;\color{transparent}{R_n(t)}\;</math> en déduire, en admettant l'existence d'une position de rupture de contact }}dans la mesure où le point ne s'arrête pas en une position d'équilibre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|réécrire l'expression de la composante normale «<math>\;\color{transparent}{R_n(t)}\;</math> en déduire, }}que <math>\;M_2\;</math> est d'abscisse angulaire plus grande que celle de <math>\;M_1\;</math> correspondant à la position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottements solides pour une même vitesse initiale <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math><ref> Voir la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Établissement_de_l'existence_d'une_position_de_rupture_de_contact_du_point_avec_la_boule_en_absence_de_frottement_solide_et_détermination_de_l'angle_θ1_repérant_cette_position_en_fonction_de_la_vitesse_initiale_de_lancement_du_point|établissement de l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottement solide et détermination de l'angle θ₁ repérant cette position en fonction de la vitesse initiale de lancement du point]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. {{Solution | contenu = [[File:Point lancé au sommet d'une boule - rupture de contact avec frottement solide.png|thumb|300px|Schéma d'un point <math>\;M\;</math> lancé horizontalement du sommet <math>\;M_O\;</math> d'une boule de centre <math>\;O</math>, <math>\;\big(</math>la liaison entre le point et la boule se faisant avec frottement solide<math>\big)</math>, avec représentation des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et utilisation de la base de Frenet<ref name="Frenet" /> liée à <math>\;M\;</math><ref name="base locale de Frenet" /> pour déterminer la position de rupture de contact entre le point et la boule<ref name="choix sens + des angles" />]] {{Al|5}}On travaille en repérage de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" /> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <math>\;\bigg[</math>on aurait pu aussi travailler en polaire d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{M_0z}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{u}_r = -\vec{n} \\ \vec{u}_\theta = \vec{\tau}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="lien entre repérage de Frenet et polaire pour mouvement circulaire" /><math>\bigg]</math>. {{Al|5}}Le point <math>\;M\;</math> au contact de la surface de la boule avec frottements solides est soumis à deux forces, * le poids du point <math>\;m\;\vec{g}\;</math> vertical descendant «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z = m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \vec{\tau} + m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \vec{n}\;</math>» et * la réaction de la boule sur le point <math>\;\vec{R}(t)\;</math> laquelle a deux composantes en présence de frottements solides <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>une composante normale à la boule en <math>\;M\;</math> et de sens opposé à la pénétration possible du point <math>\;M</math>, «<math>\;\vec{R}_n(t) = -R_n(t)\;\vec{n}\;</math>» avec <math>\;R_n(t) =</math> <math>\Vert \vec{R}_n(t) \Vert \neq 0\;</math> <math>\big(</math>car nous supposons le maintien du contact entre le point et la boule<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>une composante tangentielle<ref name="force de frottement" /> de même direction et de sens contraire à <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> si <math>\;\vec{V}_M(t) \neq \vec{0}\;</math> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une composante tangentielle de même direction et }}de sens contraire à la vitesse du mouvement susceptible de se produire si <math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{0}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une composante tangentielle }}«<math>\;\vec{R}_\tau(t) = -R_\tau(t)\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;R_\tau(t) = \Vert \vec{R}_\tau(t) \Vert\;</math> et <math>\;\Vert \vec{R}_\tau(t) \Vert = f\;R_n(t)\;</math> si <math>\;\vec{V}_M(t) \neq \vec{0}\;</math><ref name="loi de frottement de Coulomb avec glissement" /> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>une composante tangentielle «<math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau(t) = -R_\tau(t)\;\vec{\tau}}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{R_\tau(t) = \Vert \vec{R}_\tau(t) \Vert}\;</math> et }}<math>\;\Vert \vec{R}_\tau(t) \Vert < f\;R_n(t)\;</math> si <math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{0}\;</math><ref name="loi de frottement de Coulomb sans glissement" /> ; {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>considérant <math>\;\vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> on fait l'hypothèse que <math>\;\vec{V}_M(t) \neq \vec{0}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> sans qu'il y ait eu d'instant d'arrêt auparavant et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>considérant <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> on fait l'hypothèse que <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(t) \neq \vec{0}}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}sans rupture de contact entre <math>\;M\;</math> et la boule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>considérant <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> }}on applique la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié à la boule, avec contact entre <math>\;M\;</math> et la boule maintenu <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>considérant <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> on applique la r.f.d.n. }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» soit, projetée sur <math>\;\vec{n}</math>, «<math>\;-R_n(t) + m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = m\;a_{n,\,M}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;a_{n,\,M}(t)\;</math> est l'accélération normale du point <math>\;M\;</math> égale à «<math>\;a_{n,\,M}(t) = \dfrac{v_M^2(t)}{a}\;</math>»<ref name="accélération de Frenet" /> où <math>\;v_M(t)\;</math> est la vitesse instantanée du point<ref name="vitesse instantanée" /> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;a\;</math> d'où finalement «<math>\;R_n(t) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - \dfrac{v_M^2(t)}{a} \right\rbrace = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - a\;\dot{\theta}^2\!(t) \right\rbrace\;</math>»<ref> En effet <math>\;v_M(t) = a\;\dot{\theta}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi obtenir directement le résultat cherché en travaillant en repérage polaire la projection de la r.f.d.n. conduisant, avec <math>\;\vec{R}_n(t) = R_n(t)\;\vec{u}_r</math>, à <math>\;R_n(t) - m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = m\;a_{r,\,M}(t)\;</math> dans laquelle <math>\;a_{r,\,M}(t)\;</math> est l'accélération radiale du point <math>\;M\;</math> égale à <math>\;a_{r,\,M}(t) = \cancel{\ddot{r}(t)} - a\;\dot{\theta}^2\!(t)</math>, le mouvement étant circulaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où finalement <math>\;R_n(t) =</math> <math>m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - a\;\dot{\theta}^2\!(t) \right\rbrace\;</math> en accord avec le résultat trouvé par repérage de Frenet.</ref> <math>\;\big[M\;</math> restant sur la surface de la boule tant que <math>\;R_n(t)\;</math> est<math>\;> 0\big]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>considérant <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> }}dans le cas où <math>\;\vec{V}_M(t) \neq \vec{0}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> sans qu'il y ait eu d'instant d'arrêt auparavant<ref> Cette condition assurant que le mouvement du point est toujours dans le sens initial du mouvement.</ref> et sans rupture de contact entre le point et la boule, la composante tangentielle <math>\;R_\tau(t)\;</math> de la réaction <math>\;\vec{R}(t)\;</math><ref name="force de frottement" /> de la boule sur le point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrit «<math>\;R_\tau(t) = -R_\tau(t)\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\vec{\tau}\;</math> vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <math>\;R_\tau(t) = \Vert R_\tau(t) \Vert</math>, cette dernière étant liée à la composante normale de la réaction par la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> de frottement de glissement<ref name="loi de frottement de Coulomb avec glissement" /> soit «<math>\;R_\tau(t) = f\;R_n(t) = f\;m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - \dfrac{v_M^2(t)}{a} \right\rbrace = f\; m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - a\;\dot{\theta}^2\!(t) \right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>considérant <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> }}le travail de la force de frottement solide sur la portion de trajectoire <math>\;(\mathcal{C})\;</math> de <math>\;M\;</math> entre sa position initiale et celle à la date <math>\;t</math>, «<math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] = \displaystyle\int_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M} -R_\tau(t')\;\vec{\tau}(M') \cdot \overrightarrow{dM'}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_0^t -R_\tau(t')\; v_M(t')\;dt'\;</math>» avec <math>\;v_M(t')\;</math> la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t'</math>, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>considérant <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> }}«<math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] = \displaystyle\int_0^t -f\;m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t') \right] - \dfrac{v_M^2(t')}{a} \right\rbrace v_M(t')\;dt' = \displaystyle\int_0^t -f\;m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t') \right] - a\;\dot{\theta}^2\!(t') \right\rbrace a\;\dot{\theta}(t')\;dt'\;</math>»<ref> On rappelle que <math>\;v_M(t') = a\;\dot{\theta}(t')\;</math> dans le cas d'un mouvement circulaire de rayon <math>\;a</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>considérant <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> }}de l'expression «<math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] = \displaystyle\int_0^t -R_\tau(t')\; v_M(t')\;dt'\;</math>» on déduit «<math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] < 0\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>considérant <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> }}l'application du théorème de l’énergie cinétique entre <math>\;M_0\;</math> et <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" /> dans l'hypothèse de maintien de contact entre le point et la boule ainsi que d'un mouvement antérieur toujours dans le même sens nous conduit à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^2(t) - \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 = W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ m\;\vec{g} \right] + W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]\; \cancel{+ W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ \vec{R}_n(t) \right]}\;</math>» <math>\;\big[</math>le déplacement de <math>\;M\;</math> étant toujours <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{R}_n(t)\big]</math>, avec <math>\; W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ m\;\vec{g} \right]</math> <math>= m\;g\;a \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref> Voir calcul déjà effectué dans la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Établissement_de_l'existence_d'une_position_de_rupture_de_contact_du_point_avec_la_boule_en_absence_de_frottement_solide_et_détermination_de_l'angle_θ1_repérant_cette_position_en_fonction_de_la_vitesse_initiale_de_lancement_du_point|établissement de l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottement solide et détermination de l'angle θ₁ repérant cette position en fonction de la vitesse initiale de lancement du point]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et, par report dans l'application du théorème de l'énergie cinétique<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" />, «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^2(t) - \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 = m\;g\;a \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace + W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]\;</math>» donnant, après simplification évidente, «<math>\;v_M^2(t) = V_0^2 + 2\;g\;a \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace + \dfrac{2\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]}{m}\;</math>» ou encore «<math>\;v_M^2(t) = V_0^2 + 2\;g\;a \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace - 2\;f\; \displaystyle\int_0^t \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t') \right] - \dfrac{v_M^2(t')}{a} \right\rbrace v_M(t')\;dt'\;</math>» soit, en termes de vitesse angulaire {{Nobr|«<math>\;\dot{\theta}^2\!(t)</math>}} <math>= \dfrac{V_0^2}{a^2} + \dfrac{2\;g}{a} \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace - 2\;f\; \displaystyle\int_0^t \left\lbrace \dfrac{g}{a}\;\cos\! \left[ \theta(t') \right] - \dot{\theta}^2\!(t') \right\rbrace \dot{\theta}\!(t')\;dt'\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>considérant <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> }}par report dans l'expression de <math>\;R_n(t)\;</math> précédemment établie, on obtient «<math>\;R_n(t) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - \dfrac{V_0^2 + 2\;g\;a \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace + \dfrac{2\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]}{m}}{a} \right\rbrace\;</math>» soit, après simplification et sous hypothèse de maintien de contact entre <math>\;M\;</math> et la boule avec un mouvement antérieur toujours dans le même sens, «<math>\;R_n(t) = m \left\lbrace 3\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a} - \dfrac{2}{m\;a}\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] \right\rbrace\;</math>», ou encore {{Nobr|«<math>\;R_n(t)</math>}} <math>= m \left[ 3\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a} + \dfrac{2\;f}{a}\;\displaystyle\int_0^t \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t') \right] - \dfrac{v_M^2(t')}{a} \right\rbrace v_M(t')\;dt' \right] = m \left[ 3\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a} + 2\;f \displaystyle\int_0^t \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t') \right] - a\;\dot{\theta}^2\!(t') \right\rbrace \dot{\theta}\!(t')\;dt' \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>considérant <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> }}supposant <math>\;\vec{V}_0\;</math> tel que le point <math>\;M\;</math> ne s'arrête pas dans son mouvement au contact de la boule, nous admettons qu'il y a rupture de contact entre les deux pour un angle <math>\;\theta_2 =</math> <math>\widehat{M_0OM_2}\;</math> caractérisé par <math>\;R_n(t_2) = 0\;</math> avec «<math>\;R_n(t_2) = m \left\lbrace 3\;g\;\cos\!\left[ \theta_2 \right] - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a} - \dfrac{2}{m\;a}\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_2}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] \right\rbrace\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_2}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» d'où l'équation caractérisant <math>\;\theta_2 = \widehat{M_0OM_2}</math> : <center>«<math>\;3\;g\;\cos\!\left[ \theta_2 \right] - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a} - \dfrac{2}{m\;a}\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_2}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] = 0\;</math>» avec «<math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_2}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] < 0\;</math>» ou <br> «<math>\;3\;g\;\cos\!\left[ \theta_2 \right] = 2\;g + \dfrac{V_0^2}{a} + \dfrac{2}{m\;a}\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_2}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]\;</math>» avec «<math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_2}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>considérant <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> }}or, en absence de frottements solides, l'angle <math>\;\theta_1 = \widehat{M_0OM_1}\;</math> caractérisant la rupture de contact entre le point <math>\;M\;</math> et la boule étant défini selon «<math>\;3\;g\;\cos\!\left[ \theta_1 \right] - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a}</math> <math>= 0\;</math>» ou encore «<math>\;3\;g\;\cos\!\left[ \theta_1 \right] = 2\;g + \dfrac{V_0^2}{a}\;</math>», nous pouvons réécrire la caractérisation de <math>\;\theta_2 = \widehat{M_0OM_2}\;</math> selon «<math>\;3\;g\;\cos\!\left[ \theta_2 \right] = 3\;g\;\cos\!\left[ \theta_1 \right] + \dfrac{2}{m\;a}\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_2}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]\;</math>» avec «<math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_2}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] < 0\;</math>» dont on déduit aisément «<math>\;3\;g\;\cos\!\left[ \theta_2 \right] = 3\;g\;\cos\!\left[ \theta_1 \right] + \dfrac{2}{m\;a}\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_2}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] < 3\;g\;\cos\!\left[ \theta_1 \right]\;</math>» ou «<math>\;\cos\!\left[ \theta_2 \right] < \cos\!\left[ \theta_1 \right]\;</math>» d'où <center>«<math>\;\theta_2 > \theta_1\;</math> pour un même vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math>» <br><math>\;\big[</math>quand la position de rupture de contact du point <math>\;M\;</math> avec la boule existe en présence de frottements solides<math>\big]</math> ;</center> {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>considérant maintenant <math>\;\vec{V}_0 = \vec{0}</math>, le point <math>\;M\;</math> est alors en équilibre sur la surface de la boule en <math>\;M_0\;</math> et il y restera vraisemblablement, les éventuelles perturbations extérieures étant probablement insuffisantes pour faire démarrer un éventuel glissement de <math>\;M\;</math> sur la surface de la boule<ref> En effet il faudrait que la perturbation extérieure soit dans le sens de <math>\;\vec{u}_x\;</math> d'une part et d'autre part qu'elle soit de norme <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;R_\tau(0^{+}\;</math> laquelle est <math>\;f\;R_n(0^{+})\;</math> d'après loi de frottement de Coulomb avec glissement <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-loi_de_frottement_de_Coulomb_avec_glissement-74|⁷⁴]] » plus haut dans l'exercice<math>\big]\;</math> avec, en absence de mouvement sur l'axe <math>\;(M_0z)</math>, <math>\;R_n(0^{+}) = m\;g\;</math> d'où une C.N. pour qu'il y ait glissement initial étant que « la perturbation extérieure dans le sens de <math>\;\vec{u}_x\;</math> soit de norme <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;f\;m\;g\;</math>» est fortement improbable, il est plutôt réaliste de supposer qu'« elle soit <math>\;<\;</math> à <math>\;f\;m\;g\;</math>» car égale à <math>\;R_\tau(0^{+}\;</math> laquelle est <math>\;<\;</math> à <math>\;f\;R_n(0^{+})\;</math> d'après loi de frottement de Coulomb sans glissement <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-loi_de_frottement_de_Coulomb_sans_glissement-83|⁸³]] » plus haut dans l'exercice<math>\big]\;</math> <math>\;\big\{</math>voir aussi la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-accélération_tangentielle-80|⁸⁰]] » plus haut dans cet exercice<math>\big\}</math>.</ref>.}} ==== Étude du mouvement ultérieur du point dans l'hypothèse d'une rupture de contact avec la boule en présence de frottements solides entre les deux ==== {{Al|5}}À partir de l'« expression de la composante normale <math>\;R_n(t)\;</math> de la réaction <math>\;\vec{R}(t)\;</math> de la boule sur le point <math>\;M\;</math>» glissant, à l'instant <math>\;t</math>, sur celle-ci en présence de frottements solides, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir de l'« expression de la composante normale <math>\;\color{transparent}{R_n(t)}\;</math> de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t)}\;</math> }}en fonction, entre autres, de l'angle <math>\;\theta(t) = \widehat{M_0OM}(t)</math>, de <math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ R_\tau\;\vec{\tau} \right]\;</math> et de la vitesse initiale <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math><ref> Voir la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_de_l'équation_caractérisant_l'angle_θ2_repérant_la_position_de_rupture_de_contact_(quand_celle-ci_existe)_du_point_avec_la_boule_en_présence_de_frottements_solides_et_comparaison_avec_l'angle_θ1_repérant_la_position_de_rupture_de_contact_du_point_avec_la_boule_en_absence_de_frottements_solides_pour_une_même_vitesse_initiale|détermination de l'équation caractérisant l'angle θ₂ repérant la position de rupture de contact (quand celle-ci existe) du point avec la boule en présence de frottements solides et comparaison avec θ₁ repérant la position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottements solides pour une même vitesse initiale]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <br>{{Al|5}}vérifier que la condition de vitesse initiale <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> pour que le contact du point <math>\;M\;</math> avec la boule se limite à la position initiale <math>\;M_0\;</math> est la même qu'en absence de frottement solide. {{Al|5}}Dans les conditions de vitesse initiale telles que le point <math>\;M\;</math> ne s'arrête pas en une position d'équilibre sur la boule en présence de frottements solides et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans les conditions de vitesse initiale }}telles que le contact de <math>\;M\;</math> avec la boule en présence de frottements solides ne se limite pas à la position initiale <math>\;M_0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans les conditions de vitesse initiale }}il y a rupture de contact en <math>\;M_2\;</math> repéré par l'angle <math>\;\theta_2 = \widehat{M_0OM_2}\;</math> dépendant, entre autres, de la vitesse initiale <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact en <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> repéré par l'angle <math>\;\color{transparent}{\theta_2 = \widehat{M_0OM_2}}\;</math> dépendant, entre autres, }}du travail de la force de frottement <math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_2}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact }}le point <math>\;M\;</math> décolle donc de la boule en la position <math>\;M_2\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_2</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact }}préciser la nature du mouvement ultérieur de <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>changer l'origine des temps en choisissant l'instant de décollage<ref name="instant de décollage de M"> Même si ce dernier, que l'on notera <math>\;t_2</math>, n'est pas connu sous forme algébrique et nécessiterait une résolution numérique.</ref><math>\big]</math>, en particulier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact }}expliciter les équations permettant de déterminer <math>\;\big[</math>sans toutefois le faire<math>\big]\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer }}les grandeurs suivantes à comparer à celles obtenues sans frottement solide : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer }}<math>\blacktriangleright\;</math>les coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_2\,,\,y_2\,,\,z_2 \right)\;</math> de <math>\;M_2</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer }}<math>\blacktriangleright\;</math>la norme <math>\;V_2\;</math> et l'angle d'inclinaison <math>\;\alpha_2\;</math> relativement à l'horizontale <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la norme <math>\;\color{transparent}{V_2}\;</math> et l'angle d'inclinaison <math>\;\color{transparent}{\alpha_2}\;</math> }}du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_2</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer }}<math>\blacktriangleright\;</math>les lois horaires cartésiennes de vitesse et de position du mouvement ultérieur de <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'équation permettant de calculer la portée <math>\;x_C\;</math> de l'impact <math>\;C\;</math> du point <math>\;M\;</math> avec le sol horizontal sur lequel repose la boule <math>\;\big[</math>on donnera cette équation sans chercher à la résoudre<ref> En effet la vitesse de décollage en la position <math>\;M_2\;</math> ainsi que l'abscisse angulaire de cette position nécessite de résoudre numériquement, à l'aide d'un calculateur numérique, l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> en contact avec la boule en présence de frottements solides <math>\;\big(</math>équation différentielle correspondant à la projection de la r.f.d.n. sur <math>\;\vec{\tau} = \vec{u}_\theta\big)\;</math> et ce n'est qu'après cette résolution que les paramètres manquant à la détermination numérique de la portée <math>\;\big(</math>à savoir <math>\;\theta_2</math>, <math>\;V_2\;</math> et <math>\;\alpha_2\big)\;</math> seront connus <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Dans le cas où <math>\;\vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> et sous hypothèse de maintien de contact entre le point et la boule ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> et sous hypothèse }}d'un mouvement antérieur toujours dans le même sens, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> }}«<math>\;R_n(t) = m \left\lbrace 3\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a} - \dfrac{2}{m\;a}\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="caractéristiques de la position de rupture en présence de frottement solide"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_de_l'équation_caractérisant_l'angle_θ2_repérant_la_position_de_rupture_de_contact_(quand_celle-ci_existe)_du_point_avec_la_boule_en_présence_de_frottements_solides_et_comparaison_avec_l'angle_θ1_repérant_la_position_de_rupture_de_contact_du_point_avec_la_boule_en_absence_de_frottements_solides_pour_une_même_vitesse_initiale|détermination de l'équation caractérisant l'angle θ₂ repérant la position de rupture de contact (quand celle-ci existe) du point avec la boule en présence de frottements solides et comparaison avec θ₁ repérant la position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottements solides pour une même vitesse initiale]] » plus haut dans cet exercice.</ref> avec <math>\;\vec{R}_n = -R_n\;\vec{n}\;</math> <math>\big[\vec{n}\;</math> vecteur unitaire normal à la boule en <math>\;M\;</math> orienté dans le sens centripète<math>\big]</math>, <br>{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math>}}d'où la condition de vitesse initiale <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> pour que le contact du point <math>\;M\;</math> avec la boule se limite à la position initiale <math>\;M_0\;</math> déterminée par <math>\;R_n(0) \leqslant 0\;</math> soit <br>{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math>d'où la condition de vitesse initiale }}<math>\;m \left\lbrace 3\;g\;\cos\! \left[ 0 \right] - 2\;g - \dfrac{V_0^2}{a}\; \cancel{- \dfrac{2}{m\;a}\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_0}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]} \right\rbrace \leqslant 0\;</math> c'est-à-dire «<math>\;V_0 \geqslant \sqrt{g\;a}\;</math>» <math>\;\big\{</math>même condition que celle en absence de frottement solide<math>\big\}</math>. {{Al|5}}Supposant <math>\;V_0 < \sqrt{g\;a}\;</math> mais néanmoins suffisamment grande pour que le point <math>\;M\;</math> ne s'arrête pas en une position d'équilibre sur la boule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposant <math>\;\color{transparent}{V_0 < \sqrt{g\;a}}\;</math> }}le point <math>\;M\;</math> décolle de la boule en «<math>\;M_2 \left\lbrace x_2 = a\;\sin(\theta_2)\;,\;y_2 = 0\;,\; z_2 = a \left[ 1 - \cos(\theta_2) \right] \right\rbrace\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposant <math>\;\color{transparent}{V_0 < \sqrt{g\;a}}\;</math> le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> décolle de la boule en }}«<math>\;\theta_2\;</math> solution de <math>\;R_n(\theta_2) = 0\;</math><ref name="abus de notation" /> » <math>\;\big[\theta_2 > \theta_1\big]\;</math><ref name="caractéristiques de la position de rupture en présence de frottement solide" /> et un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposant <math>\;\color{transparent}{V_0 < \sqrt{g\;a}}\;</math> le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> décolle de la boule en }}vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_2</math>, <math>\;\blacktriangleright\;</math>de norme telle que <math>\;R_n(\theta_2) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta_2 \right] - \dfrac{\vec{V}_2^2}{a} \right\rbrace = 0\;</math><ref name="abus de notation" />{{,}}<ref> En effet il a été établi, dans la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_de_l'équation_caractérisant_l'angle_θ2_repérant_la_position_de_rupture_de_contact_(quand_celle-ci_existe)_du_point_avec_la_boule_en_présence_de_frottements_solides_et_comparaison_avec_l'angle_θ1_repérant_la_position_de_rupture_de_contact_du_point_avec_la_boule_en_absence_de_frottements_solides_pour_une_même_vitesse_initiale|détermination de l'équation caractérisant l'angle θ₂ repérant la position de rupture de contact (quand celle-ci existe) du point avec la boule en présence de frottements solides et comparaison avec θ₁ repérant la position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottements solides pour une même vitesse initiale]] » plus haut dans cet exercice, «<math>\;R_n(t) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - \dfrac{v_M^2(t)}{a} \right\rbrace\;</math>».</ref> soit «<math>\;V_2 = \Vert \vec{V}_2 \Vert = \sqrt{g\;a\;\cos(\theta_2)}\;</math>» <br>{{Al|22}}{{Transparent|Supposant <math>\;\color{transparent}{V_0 < \sqrt{g\;a}}\;</math> le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> décolle de la boule en vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_2}</math>, <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>de norme telle que <math>\;\color{transparent}{R_n(\theta_2) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta_2 \right] - \vec{V}_2^2 \right\rbrace = 0}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{V_2}</math> }}<math>\;< V_1 = \Vert \vec{V}_1 \Vert = \sqrt{g\;a\;\cos(\theta_1)}\;</math><ref> Vitesse de décollage du point <math>\;M\;</math> de la boule en absence de frottement solide, en effet l'expression de «<math>\;R_n(t) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - \dfrac{v_M^2(t)}{a} \right\rbrace\;</math>» ne dépend pas de l'existence <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> de frottements solides car découlant de la projection de la r.f.d.n. sur <math>\;\vec{n}</math>, les éventuelles forces de frottement solide s'exerçant tangentiellement ; <br>{{Al|3}}cette expression de <math>\;V_1 = \sqrt{g\;a\;\cos(\theta_1)}\;</math> est en accord avec celle trouvée dans la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Étude_du_mouvement_ultérieur_du_point_après_sa_rupture_de_contact_avec_la_boule_en_absence_de_frottement_solide_entre_les_deux|étude du mouvement ultérieur du point après rupture de contact avec la boule en absence de frottement solide entre les deux]] » plus haut dans cet exercice à savoir <math>\;V_1 = \sqrt{\dfrac{V_0^2 + 2\;g\;a}{3}}\;</math> car on a établi dans la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Établissement_de_l'existence_d'une_position_de_rupture_de_contact_du_point_avec_la_boule_en_absence_de_frottement_solide_et_détermination_de_l'angle_θ1_repérant_cette_position_en_fonction_de_la_vitesse_initiale_de_lancement_du_point|établissement de l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottement solide et détermination de l'angle θ₁ repérant cette position en fonction de la vitesse initiale de lancement du point]] » plus haut dans l'exercice <math>\;\theta_1</math> <math>= \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} + \dfrac{V_0^2}{3\;g\;a} \right]\;</math> d'où <math>\;\cos(\theta_1) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{V_0^2}{3\;g\;a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_1 = \sqrt{g\;a\;\cos(\theta_1)} = \sqrt{\dfrac{2\;g\;a}{3} + \dfrac{V_0^2}{3}} = \sqrt{\dfrac{V_0^2 + 2\;g\;a}{3}}\;</math> C.Q.F.V. <math>\;\big(</math>Ce Qu'il Fallait Vérifier<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposant <math>\;\color{transparent}{V_0 < \sqrt{g\;a}}\;</math> le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> décolle de la boule en vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_2}</math>, }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>de direction inclinée de «<math>\;\alpha_2 = \theta_2\;</math>»<ref name="choix sens + des angles" /> vers le bas sur l’horizontale<ref name="sens + de alpha" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Supposant <math>\;\color{transparent}{V_0 < \sqrt{g\;a}}\;</math> }}le mouvement ultérieur du point <math>\;M\;</math> étant un mouvement de chute libre<ref name="sens de libre" /> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, on en déduit ses lois horaires de vitesse et de position en choisissant comme nouvelle origine des temps l'instant <math>\;t_2\;</math> où <math>\;M\;</math> décolle de la surface de la boule<ref name="t2"> L'expression de l'instant <math>\;t_2\;</math> ne peut être déterminée algébriquement, de même que celle de <math>\;\theta_2\;</math> car «<math>\;\cos(\theta_2) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{V_0^2}{3\;g\;a} + \dfrac{2}{3\;m\;g\;a}\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_2}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right]\;</math> nécessiterait la connaissance de <math>\;W_{M_0 \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow} M_2}\! \left[ -R_\tau\;\vec{\tau} \right] = \displaystyle\int_0^t -f\;m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t') \right] - a\;\dot{\theta}^2\!(t') \right\rbrace a\;\dot{\theta}(t')\;dt'\;</math>» et pour cela il faudrait connaître la loi horaire angulaire de <math>\;M\;</math> quand ce dernier est en contact avec la boule avec frottement solide c.-à-d. «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math> solution de <math>\;\ddot{\theta}(t) - \dfrac{g}{a}\;\sin\!\left[ \theta(t) \right] + f \left\lbrace \dfrac{g}{a}\;\cos\!\left[ \theta(t) \right] - \dot{\theta}^2(t) \right\rbrace = 0\;</math>» <math>\;\big(</math>équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre<math>\big)\;</math> <math>\bigg\{</math>obtenue « en dérivant <math>\;\dot{\theta}^2\!(t) =</math> <math>\dfrac{V_0^2}{a^2} + \dfrac{2\;g}{a} \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace - 2\;f\; \displaystyle\int_0^t \left\lbrace \dfrac{g}{a}\;\cos\! \left[ \theta(t') \right] - \dot{\theta}^2\!(t') \right\rbrace \dot{\theta}\!(t')\;dt'\;</math> par rapport à <math>\;t\;</math> et en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle » ou « en projetant la r.f.d.n. <math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) =</math> <math>m\;\vec{a}_M(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» soit «<math>\;m\;g\;\sin\!\left[ \theta(t) \right] - f\;R_n(t) = m\;a_{M,\,\theta}(t)\;</math> avec <math>\;R_n(t) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - a\;\dot{\theta}^2\!(t) \right\rbrace\;</math> et <math>\;a_{M,\,\theta}(t) = a\;\ddot{\theta}(t)\;</math> <math>\big(</math>le mouvement de <math>\;M\;</math> étant circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a\big)\;</math>», voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_de_l'équation_caractérisant_l'angle_θ2_repérant_la_position_de_rupture_de_contact_(quand_celle-ci_existe)_du_point_avec_la_boule_en_présence_de_frottements_solides_et_comparaison_avec_l'angle_θ1_repérant_la_position_de_rupture_de_contact_du_point_avec_la_boule_en_absence_de_frottements_solides_pour_une_même_vitesse_initiale|détermination de l'équation caractérisant l'angle θ₂ repérant la position de rupture de contact (quand celle-ci existe) du point avec la boule en présence de frottements solides et comparaison avec l'angle θ₁ repérant la position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottements solides pour une même vitesse initiale]] » plus haut dans l'exercice<math>\bigg\}</math>.</ref> c'est-à-dire <math>\;t' = t - t_2</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposant <math>\;\color{transparent}{V_0 < \sqrt{g\;a}}\;</math> le mouvement ultérieur du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>lois horaires de vitesse «<math>\vec{V}_M(t') \left\lbrace V_x(t') = V_2\;\cos(\alpha_2)\;,\; V_y(t') = 0\;,\; V_z(t') = g\;t' + V_2\;\sin(\alpha_2) \right\rbrace\;</math>»<ref name="lois horaires de vitesse de chute libre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposant <math>\;\color{transparent}{V_0 < \sqrt{g\;a}}\;</math> le mouvement ultérieur du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>lois horaires de position «<math>\overrightarrow{M_2M}(t') \left\lbrace x(t') = V_2\;\cos(\alpha_2)\;t' + x_2,\; y(t') = 0\;,\; z(t') = \dfrac{1}{2}\;g\;{t'}^2 + V_2\;\sin(\alpha_2)\;t' + z_2 \right\rbrace</math>»<ref name="lois horaires de position de chute libre" /> lesquelles sont aussi les équations paramétriques cartésiennes de la trajectoire de <math>\;M\;</math> correspondant à la portion de parabole du demi-plan méridien tangent au demi-cercle méridien de la surface de la boule en <math>\;M_2</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Supposant <math>\;\color{transparent}{V_0 < \sqrt{g\;a}}\;</math> }}Le point <math>\;M\;</math> heurtant le sol horizontal sur lequel repose la boule en la position <math>\;C\;</math> d'abscisse <math>\;x_C\;</math><ref name="portée - bis"> Cette abscisse définit effectivement la portée puisque celle-ci est la distance horizontale séparant <math>\;C\;</math> de la verticale passant par <math>\;M_0</math>.</ref>, solution de <math>\;z(x) = 2\;a\;</math> dans laquelle <math>\;z = z(x)\;</math> est l'équation cartésienne de la trajectoire de <math>\;M\;</math> dans le demi-plan méridien, obtenue en éliminant <math>\;t'\;</math> entre ses deux équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x(t') = V_2\;\cos(\alpha_2)\;t' + x_2\\z(t') = \dfrac{1}{2}\;g\;{t'}^2 + V_2\;\sin(\alpha_2)\;t' + z_2 \end{array} \right\rbrace\;</math> soit, en reportant <math>\;t' = \dfrac{x - x_2}{V_2\;\cos(\alpha_2)}\;</math> tirée de la 1^ère équation dans la 2^nde, «<math>\;z = \dfrac{1}{2}\;g \left[ \dfrac{x - x_2}{V_2\;\cos(\alpha_2)} \right]^2 + V_2\;\sin(\alpha_2)\;\dfrac{x - x_2}{V_2\;\cos(\alpha_2)} + z_2\;</math>» d'où finalement, l'équation de définition de la portée <center>«<math>\;\dfrac{g}{2\;V_2^2\;\cos^2(\alpha_2)} \left[ x_C - x_2 \right]^2 + \tan(\alpha_2) \left[ x_C - x_2 \right] = 2\;a - z_2\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Compléments</u> : pour déterminer la vitesse initiale minimale pour que le point <math>\;M\;</math> en contact avec la surface de la boule lors de présence de frottements solides ne s'arrête pas en une position d'équilibre, il faut résoudre numériquement l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> en supposant son contact avec la boule maintenu et en essayant, pour une valeur de cœfficient de frottement commun dynamique et solide <math>\;f\;</math> fixée<ref> Nous choisirons <math>\;f = 0,2\;</math> dans le but d'avoir un effet notable des frottements solides sur la position de rupture de contact lorsque celle-ci existe.</ref>, successivement des valeurs de <math>\;V_0\;</math> <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à trouver une solution <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> qui ne s'annule pas ; {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : }}l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> a été établie en note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-t2-105|¹⁰⁵]] » plus haut dans l'exercice sous forme normalisée «<math>\;\ddot{\theta}(t) - f\;\dot{\theta}^2\!(t) - \dfrac{g}{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] + f\;\dfrac{g}{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> }}la méthode de résolution numérique d'une équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> consiste à transformer cette dernière en un système couplé de deux équations différentielles du 1^er ordre l'une en <math>\;\theta(t)\;</math> et l'autre en la nouvelle fonction <math>\;\omega(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dot{\theta}(t) = \omega(t)\\ \dot{\omega}(t) = f\;\omega^2\!(t) + \dfrac{g}{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] - f\;\dfrac{g}{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math>» dans lequel on impose «<math>\;f = 0,2\;</math>», «<math>\;g =</math> <math>9,81\;m \cdot s^{-2}\;</math>» et «<math>\;a = 1\;m\;</math>» ; on résout alors ce système numériquement, par essais successifs avec les « C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \omega(0) = \dfrac{V_0}{a}\\ \theta(0) = 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» en faisant <math>\;\nearrow V_0\;</math> à partir de, par exemple, <math>\;\sqrt{0,0001\;g\;a}\;</math><ref> Choix d'une vitesse initiale de petite valeur non nulle <math>\;\big(</math>une vitesse initiale nulle certifiant que la position initiale est un équilibre<math>\big)\;</math> la valeur choisie correspondant au centième de la vitesse critique <math>\;V_{0,\,c} = \sqrt{g\;a}\;</math> à partir de laquelle <math>\;M\;</math> décolle de <math>\;M_0</math>.</ref> en s'arrêtant au 1^er essai pour lequel <math>\;\omega(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> ne s'annule pas : {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> }}des essais successifs de résolution numérique du système couplé d'équations différentielles précédentes on détermine ainsi la « condition de vitesse initiale pour que le point <math>\;M\;</math> ne s'arrête pas sur la surface de la boule en une position d'équilibre <math>\;V_0 \gtrsim \sqrt{0,03859\;g\;a} \simeq 0,1964\;\sqrt{g\;a} \simeq 0,2\;V_{0,\,c}\;</math>»<ref> Pour une vitesse initiale <math>\;V_0 \simeq \sqrt{0,03859\;g\;a} \simeq 0,1964\;V_{0,\,c}</math>, le point <math>\;M\;</math> acquiert une vitesse minimale quand son abscisse angulaire vaut <math>\;\theta_{\text{vitesse mini}} \simeq</math> <math>0,1973\;rad \simeq 11,3\,\text{°}</math>.</ref> où «<math>\;V_{0,\,c} = \sqrt{g\;a}\;</math> est la vitesse initiale maximale pour que le contact entre le point <math>\;M\;</math> et la boule ne se limite pas uniquement à <math>\;M_0\;</math>»<ref> Voir le début de la solution de la question en cours.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> }}<math>\succ\;</math>si <math>\;V_0 \simeq \sqrt{0,03\;g\;a} \simeq 0,173\;V_{0,\,c}\;</math> le point d'arrêt a pour abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq}} \simeq 0,1031\;rad \simeq 5,9\,\text{°}</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> }}<math>\succ\;</math>si <math>\;V_0 \simeq \sqrt{0,02\;g\;a} \simeq 0,141\;V_{0,\,c}\;</math> le point d'arrêt a pour abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq}} \simeq 0,0594\;rad \simeq 3,4\,\text{°}\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> }}<math>\succ\;</math>si <math>\;V_0 \simeq \sqrt{0,01\;g\;a} \simeq 0,1\;V_{0,\,c}\;</math> le point d'arrêt a pour abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq}} \simeq 0,0270\;rad \simeq 1,5\,\text{°}</math>. [[File:Point lancé au sommet d'une boule avec et sans frottements solides - mouvements après rupture de contact.png|thumb|500px|Schéma d'un point <math>\;M\;</math> lancé horizontalement du sommet <math>\;M_0\;</math> d'une boule de centre <math>\;O</math>, avec une vitesse initiale minimale pour que le point ne reste pas en équilibre sur la surface de la boule dans le cas de frottements solides, avec représentation des positions de rupture de contact en présence ou absence de frottements solides et tracé des deux trajectoires de chute libre après rupture]] {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : }}Nous plaçant dans le cas de vitesse initiale minimale <math>\;V_0 \simeq \sqrt{0,03859\;g\;a} \simeq 0,1964\;V_{0,\,c}\;</math><ref name="sans arrêt en une position d'équilibre"> Vitesse initiale minimale pour que le point <math>\;M\;</math> ne s'arrête pas en une position d'équilibre sur la boule.</ref> pour laquelle <math>\;M\;</math> reste au contact de la surface de la boule en présence de frottements solides jusqu'à <math>\;M_2\;</math> où il y a rupture de contact, nous reprenons la résolution numérique du système couplé «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dot{\theta}(t) = \omega(t)\\ \dot{\omega}(t) = f\,\omega^2\!(t) + \dfrac{g}{a}\,\sin\! \left[ \theta(t) \right] - f\,\dfrac{g}{a}\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math>» en nous plaçant à l'instant <math>\;t_2\;</math> de rupture de contact c'est-à-dire en imposant la relation de liaison correspondant à la définition de <math>\;t_2\;</math> {{Nobr|«<math>\;R_n(t_2)</math>}} <math>= m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta_2 \right] - a\;{\dot{\theta}^2}_{\!2} \right\rbrace = 0\;</math>» avec les mêmes valeurs de «<math>\;f = 0,2\;</math>», «<math>\;g = 9,81\;m \cdot s^{-2}\;</math>» et «<math>\;a =</math> <math>1\;m\;</math>» d'où, par essais successifs des solutions <math>\;\left\lbrace \theta\,,\,\omega = \dot{\theta} \right\rbrace\;</math> aux différents instants <math>\;t\;</math> du mouvement dans la relation de liaison on détermine le couple <math>\;\left\lbrace \theta_2\,,\,\omega_2 = \dot{\theta}_2 \right\rbrace\;</math> solution de <math>\;R_n(t_2) = 0\;</math> soit «<math>\;\theta_2 \simeq 0,9376\;rad \simeq 53,7\;\text{°}\;</math>», «<math>\;\omega_2 = \dot{\theta}_2</math> <math>\simeq 2,409\;rad \cdot s^{-1}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_2 = a\;\dot{\theta}_2 \simeq 2,41\;m \cdot s^{-1}\;</math>», «<math>\;\alpha_2 = \theta_2 \simeq 0,9376\;rad \simeq 53,7\;\text{°}\;</math>», «<math>\;x_2 = a\;\sin(\theta_2) \simeq</math> <math>0,806\;m\;</math>» et «<math>\;z_2 = a \left[ 1 - \cos(\theta_2) \right] \simeq 0,408\;m\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : }}reprenant la résolution en absence de frottements solides en imposant <math>\;f = 0\;</math> avec la même vitesse initiale dans le système couplé d'équations différentielles «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dot{\theta}(t) = \omega(t)\\ \dot{\omega}(t) = \dfrac{g}{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math>» en nous plaçant à l'instant <math>\;t_1\;</math> de rupture de contact c'est-à-dire en imposant la relation de liaison définissant <math>\;t_1\;</math> «<math>\;R_n(t_1) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta_1 \right] - a\;{\dot{\theta}^2}_{\!1} \right\rbrace = 0\;</math>» avec les valeurs de «<math>\;g = 9,81\;m \cdot s^{-2}\;</math>» et «<math>\;a = 1\;m\;</math>» d'où, par essais successifs des solutions <math>\;\left\lbrace \theta\,,\,\omega = \dot{\theta} \right\rbrace\;</math> aux différents instants <math>\;t\;</math> du mouvement dans la relation de liaison on détermine le couple <math>\;\left\lbrace \theta_1\,,\,\omega_1 = \dot{\theta}_1 \right\rbrace\;</math> solution de <math>\;R_n(t_1) = 0\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;\theta_1</math>}} <math>\simeq 0,8236\;rad \simeq 47,2\;\text{°}\;</math>»<ref name="autre façon de procéder"> On aurait pu utiliser la méthode décrite dans la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Étude_du_mouvement_ultérieur_du_point_après_sa_rupture_de_contact_avec_la_boule_en_absence_de_frottement_solide_entre_les_deux|étude du mouvement ultérieur du point après rupture de contact avec la boule en absence de frottement solide entre les deux]] » plus haut dans cet exercice.</ref>{{,}}<ref name="theta2 plus grande que theta1"> On vérifie effectivement que <math>\;\theta_2\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\theta_1</math>.</ref>, «<math>\;\omega_1 = \dot{\theta}_1 \simeq</math> <math>2,582\;rad \cdot s^{-1}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_1 = a\;\dot{\theta}_1 \simeq 2,58\;m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="autre façon de procéder" />{{,}}<ref name="V2 plus petite que V1"> On constate que <math>\;V_2\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;V_1</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\alpha_1 =</math>}} <math>\theta_1 \simeq 0,8236\;rad \simeq 47,2\;\text{°}\;</math>», «<math>\;x_1 = a\;\sin(\theta_1) \simeq 0,734\;m\;</math>» et «<math>\;z_1 = a \left[ 1 - \cos(\theta_1) \right] \simeq 0,321\;m\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : }}avec toutes ces informations on peut tracer sur une même figure <math>\;\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\;</math> les trajectoires du point <math>\;M\;</math> en présence de frottements solides <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)\;</math> ou en absence de ces derniers <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> après sa rupture de contact avec la surface de la boule et comparer les portées sur chaque trajectoire ; {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : }}on constate donc que la portée pour une même vitesse initiale <math>\;V_0 \simeq \sqrt{0,03859\;g\;a} \simeq 0,1964\;V_{0,\,c}\;</math> est plus grande en absence de frottements solides <math>\;x_B \simeq 1,48\;a\;</math> qu'en présence de ceux-ci avec un cœfficient de frottement commun dynamique et statique <math>\;f = 0,2\;</math> pour laquelle <math>\;x_C\simeq 1,38\;a</math>. [[File:Point lancé au sommet d'une boule avec et sans frottements solides - mouvements après rupture de contact - bis.png|thumb|500px|Schéma d'un point <math>\;M\;</math> lancé horizontalement du sommet <math>\;M_0\;</math> d'une boule de centre <math>\;O</math>, avec une vitesse initiale <math>\;>\;</math> à celle minimale pour que le point ne reste pas en équilibre sur la surface de la boule dans le cas de frottements solides, avec représentation des positions de rupture de contact en présence ou absence de frottements solides et tracé des deux trajectoires de chute libre après rupture]] {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : }}Nous plaçant, dans un 2^ème temps, dans la condition de vitesse initiale pour laquelle <math>\;M\;</math> reste au contact de la surface de la boule en présence de frottements solides jusqu'à une position <math>\;M_2\;</math> où il y a rupture de contact, à savoir une « vitesse initiale <math>\;V_0 >\;</math> à la vitesse initiale minimale <math>\;\sqrt{0,03859\;g\;a} \simeq 0,1964\;V_{0,\,c}\;</math><ref name="sans arrêt en une position d'équilibre" /> » et plus précisément avec la vitesse initiale <math>\;V_0 = \sqrt{\dfrac{g\;a}{2}} \simeq 0,7071\;V_{0,\,c}\;</math><ref> Cette valeur de <math>\;V_0\;</math> est choisie parce qu'elle correspond à l'étude déjà faite en absence de frottement solide dans la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Étude_du_mouvement_ultérieur_du_point_après_sa_rupture_de_contact_avec_la_boule_en_absence_de_frottement_solide_entre_les_deux|étude du mouvement ultérieur du point après rupture de contact avec la boule en absence de frottement solide entre les deux]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, nous reprenons la résolution numérique du système couplé d'équations différentielles «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dot{\theta}(t) = \omega(t)\\ \dot{\omega}(t) = f\;\omega^2\!(t) + \dfrac{g}{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] - f\;\dfrac{g}{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math>» en nous plaçant à l'instant <math>\;t_2\;</math> de rupture de contact {{Nobr|c'est-à-dire}} en imposant la relation de liaison correspondant à la définition de <math>\;t_2\;</math> «<math>\;R_n(t_2) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta_2 \right] - a\;{\dot{\theta}^2}_{\!2} \right\rbrace = 0\;</math>» avec les mêmes valeurs de «<math>\;f = 0,2\;</math>», «<math>\;g = 9,81\;m \cdot s^{-2}\;</math>» et «<math>\;a = 1\;m\;</math>» d'où, par essais successifs des solutions <math>\;\left\lbrace \theta\,,\,\omega = \dot{\theta} \right\rbrace\;</math> aux différents instants <math>\;t\;</math> du mouvement dans la relation de liaison on détermine le couple <math>\;\left\lbrace \theta_2\,,\,\omega_2 = \dot{\theta}_2 \right\rbrace\;</math> solution de <math>\;R_n(t_2) = 0\;</math> soit «<math>\;\theta_2 \simeq 0,6378\;rad \simeq 36,5\;\text{°}\;</math>», «<math>\;\omega_2 = \dot{\theta}_2 \simeq 2,805\;rad \cdot s^{-1}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_2 = a\;\dot{\theta}_2 \simeq</math> <math>2,81\;m \cdot s^{-1}\;</math>», «<math>\;\alpha_2 = \theta_2 \simeq 0,6378\;rad \simeq 36,5\;\text{°}\;</math>», «<math>\;x_2 = a\;\sin(\theta_2) \simeq</math> <math>0,595 \;m\;</math>» et «<math>\;z_2 = a \left[ 1 - \cos(\theta_2) \right] \simeq</math> <math>0,196 \;m\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : }}reprenant la résolution en absence de frottements solides en imposant <math>\;f = 0\;</math> avec la même vitesse initiale dans le système couplé d'équations différentielles «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dot{\theta}(t) = \omega(t)\\ \dot{\omega}(t) = \dfrac{g}{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math>» en nous plaçant à l'instant <math>\;t_1\;</math> de rupture de contact c'est-à-dire en imposant la relation de liaison définissant <math>\;t_1\;</math> «<math>\;R_n(t_1) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta_1 \right] - a\;{\dot{\theta}^2}_{\!1} \right\rbrace = 0\;</math>» avec les valeurs de «<math>\;g = 9,81\;m \cdot s^{-2}\;</math>» et «<math>\;a = 1\;m\;</math>» d'où, par essais successifs des solutions <math>\;\left\lbrace \theta\,,\,\omega = \dot{\theta} \right\rbrace\;</math> aux différents instants <math>\;t\;</math> du mouvement dans la relation de liaison on détermine le couple <math>\;\left\lbrace \theta_1\,,\,\omega_1 = \dot{\theta}_1 \right\rbrace\;</math> solution de <math>\;R_n(t_1) = 0\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;\theta_1</math>}} <math>\simeq 0,5857\;rad \simeq 33,6\;\text{°}\;</math>»<ref name="sol de la question sans frottement solide"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Étude_du_mouvement_ultérieur_du_point_après_sa_rupture_de_contact_avec_la_boule_en_absence_de_frottement_solide_entre_les_deux|étude du mouvement ultérieur du point après rupture de contact avec la boule en absence de frottement solide entre les deux]] » plus haut dans cet exercice.</ref>{{,}}<ref name="theta2 plus grande que theta1" />, «<math>\;\omega_1 = \dot{\theta}_1 \simeq</math> <math>2,859\;rad \cdot s^{-1}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_1 = a\;\dot{\theta}_1 \simeq 2,86\;m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="sol de la question sans frottement solide" />{{,}}<ref name="V2 plus petite que V1" />, {{Nobr|«<math>\;\alpha_1 =</math>}} <math>\theta_1 \simeq 0,5857\;rad \simeq 33,6\;\text{°}\;</math>», «<math>\;x_1 = a\;\sin(\theta_1) \simeq 0,553\;m\;</math>» et «<math>\;z_1 = a \left[ 1 - \cos(\theta_1) \right] \simeq 0,167\;m\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : }}avec toutes ces informations on peut tracer sur une même figure <math>\;\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\;</math> les trajectoires du point <math>\;M\;</math> en présence de frottements solides <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)\;</math> ou en absence de ces derniers <math>\;\big(</math>en magenta<math>\big)\;</math> après sa rupture de contact avec la surface de la boule et comparer les portées sur chaque trajectoire ; {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : }}on constate donc que la portée pour une même vitesse initiale <math>\;V_0 = \sqrt{\dfrac{g\;a}{2}} \simeq 0,7071\;V_{0,\,c}\;</math> est plus grande en absence de frottements solides <math>\;x_B \simeq 1,68\;a\;</math> qu'en présence de ceux-ci avec un cœfficient de frottement commun dynamique et statique <math>\;f = 0,2\;</math> pour laquelle <math>\;x_C\simeq 1,63\;a</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Compléments : }}Il semble donc que la portée pour une même vitesse initiale du point <math>\;M \;</math> glissant sur la surface d'une boule puis soumis à une chute libre après décollage de la boule soit plus faible avec présence de frottements solides entre le point et la boule qu'en absence de ceux-ci <math>\;\ldots</math>}} == Solide ponctuel au bout d’un fil s’enroulant sur un cylindre fixe == <center>Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> [[File:Masse au bout d'un fil s'enroulant sur cylindre fixe.png|thumb|320px|Schéma descriptif d'un solide ponctuel attaché à un fil idéal<ref name="fil idéal" /> s'enroulant sur un cylindre fixe en restant dans un plan <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cylindre]] {{Al|5}}Sur un cylindre fixe d'axe <math>\;\Delta\;</math> horizontal et de rayon <math>\;a</math>, s’enroule un fil idéal<ref name="fil idéal" />, à l'extrémité duquel est attaché un solide ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m</math> ; {{Al|5}}un dispositif, non représenté sur le schéma ci-contre, assurant que le fil et le solide restent dans un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math><ref> Donc dans un plan vertical.</ref>, nous notons <math>\;O\;</math> l'intersection de ce plan avec <math>\;\Delta\;</math> et l'appelons centre du cylindre. {{Al|5}}À l’instant initial <math>\;t = 0</math>, le fil totalement déroulé de longueur <math>\;l_0\;</math> est tendu et le solide <math>\;M\;</math> possède, relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié au cylindre, une vitesse <math>\;\vec{V}_0 \perp\;</math> au fil et à l’axe <math>\;\Delta\;</math> du cylindre. === Traitement dans le cas où l'effet de la pesanteur terrestre est négligée === {{Al|5}}Dans cette question, on néglige l’effet de la pesanteur terrestre, c'est-à-dire qu’on suppose que le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> est identiquement nul ; {{Al|5}}on se propose d’étudier le mouvement du solide <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on se propose }}de déterminer la façon dont la tension du fil varie avec le temps. ==== Détermination des grandeurs cinématiques polaires du point de contact du fil sur le cylindre dans le référentiel d'étude ==== {{Al|5}}Pour repérer <math>\;M\;</math> à l’instant <math>\;t</math>, on utilise la base polaire <math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math> de centre <math>\;O\;</math> associée au point de contact <math>\;I\;</math> du fil et du cylindre<ref name="repérage cylindro-polaire" />, la 2^ème coordonnée polaire de <math>\;I\;</math> étant <math>\;\theta\;</math> telle qu'elle soit nulle à <math>\;t = 0</math>. {{Al|5}}Exprimer successivement, dans cette base polaire <math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />, les vecteurs <math>\blacktriangleright\;</math>position <math>\;\overrightarrow{OM}(t)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Exprimer successivement, dans cette base polaire <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\theta \right)}\;</math>, les vecteurs }}<math>\blacktriangleright\;</math>vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Exprimer successivement, dans cette base polaire <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\theta \right)}\;</math>, les vecteurs }}<math>\blacktriangleright\;</math>accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Exprimer successivement, dans cette base polaire <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\theta \right)}\;</math>, les vecteurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>accélération }}en fonction de <math>\;l_0</math>, <math>\;a</math>, <math>\;\theta(t)</math>, <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> et <math>\;\ddot{\theta}(t)</math>, ces trois dernières grandeurs étant respectivement l'abscisse, la vitesse et l'accélération angulaires du point de contact <math>\;I\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Le vecteur position du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrit selon «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \overrightarrow{OI}(t) + \overrightarrow{IM}(t) = a\;\vec{u}_\rho(t) + \left[ l_0 - \overset{\,\curvearrowright}{AI}(t) \right]\, \vec{u}_\theta(t)\;</math>» avec «<math>\;\overset{\,\curvearrowright}{AI}(t) = a\;\theta(t)\;</math>»<ref name="lien entre abscisses curviligne et angulaire le long d'un cercle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Lien_entre_abscisses_curviligne_et_angulaire_du_point_M_sur_sa_trajectoire|lien entre abscisses curviligne et angulaire du point M sur sa trajectoire]] (circulaire) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur position du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> s'écrit selon }}«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = a\;\vec{u}_\rho(t) + \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\, \vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; {{Al|5}}le vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se détermine selon «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t) = a\; \dfrac{d \vec{u}_\rho}{dt}(t) - a\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;\vec{u}_\theta(t) + \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt}(t)\;</math>» soit, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{d \vec{u}_\rho}{dt} = \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta}\; \dfrac{d \theta}{dt} = \vec{u}_\theta(t)\; \dfrac{d \theta}{dt}(t) \\ \dfrac{d \vec{u}_\theta}{dt} = \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}\; \dfrac{d \theta}{dt} = -\vec{u}_\rho(t)\; \dfrac{d \theta}{dt}(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="dérivée des vecteurs de base cylindro-polaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Dérivée_des_vecteurs_de_base_polaires_relativement_à_l'abscisse_angulaire_de_Mxy_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur vitesse du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> se détermine selon }}«<math>\;\vec{V}_M(t) = \cancel{a\; \dot{\theta}(t)\; \vec{u}_\theta(t) - a\;\dot{\theta}(t)\; \vec{u}_\theta(t)}\; - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\; \vec{u}_\rho(t)\;</math>» et finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur vitesse du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> se détermine selon }}«<math>\;\vec{V}_M(t) = - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\; \vec{u}_\rho(t)\;</math>»<ref name="VM(t) perpendiculaire à IM"> On constate que le vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> à savoir <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> reste <math>\;\perp\;</math> à la partie <math>\;IM\;</math> de fil non enroulé.</ref> ; {{Al|5}}le vecteur accélération du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se détermine selon «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{d \vec{V}_M}{dt}(t) = - \left[ -a\;\dot{\theta}(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\; \vec{u}_\rho(t) - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\ddot{\theta}(t)\; \vec{u}_\rho(t) - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\; \dfrac{d \vec{u}_\rho}{dt}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur accélération du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> se détermine selon }}«<math>\;\vec{a}_M(t) = a\;\dot{\theta}^2\!(t)\; \vec{u}_\rho(t) - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\ddot{\theta}(t)\; \vec{u}_\rho(t) - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}^2\!(t)\; \vec{u}_\theta(t)\;</math>» en utilisant <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho}{dt}(t) = \vec{u}_\theta(t)\; \dot{\theta}(t)\;</math><ref name="dérivée des vecteurs de base cylindro-polaires" /> et finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur accélération du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> se détermine selon }}«<math>\;\vec{a}_M(t) = \left\lbrace a\;\dot{\theta}^2\!(t) - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\ddot{\theta}(t) \right\rbrace\, \vec{u}_\rho(t) - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}^2\!(t)\; \vec{u}_\theta(t)\;</math>».}} ==== Détermination de la tension du fil s'exerçant sur le solide ponctuel à l'instant t et de l'équation différentielle du 2^ème ordre en θ(t) du mouvement du point de contact du fil sur le cylindre par application de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne au solide ponctuel ==== {{Al|5}}Déterminer, par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. au solide ponctuel <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> supposé galiléen, * la tension <math>\;T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> du fil à l’instant <math>\;t</math>, en fonction de <math>\;m</math>, <math>\;l_0</math>, <math>\;a</math>, <math>\;\theta(t)\;</math> et <math>\;\dot{\theta}(t)</math>, ainsi que * une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <math>\big(</math>que l’on ne cherchera pas à résoudre<math>\big)\;</math> du mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, du point de contact <math>\;I\;</math> du fil sur le cylindre. {{Solution | contenu = [[File:Masse au bout d'un fil s'enroulant sur cylindre fixe - bis.png|thumb|420px|Schéma descriptif d'un solide ponctuel attaché à un fil idéal<ref name="fil idéal" /> s'enroulant sur un cylindre fixe en restant dans un plan <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cylindre <br>{{Transparent|Schéma descriptif }}avec repérage polaire <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> du point de contact <math>\;I\;</math> du fil et du cylindre<ref name="repérage cylindro-polaire" /> ainsi que <br>{{Transparent|Schéma descriptif avec }}représentation <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)\;</math> de la force agissant sur <math>\;M</math>]] {{Al|5}}En absence de champ de pesanteur, la seule force agissant sur le solide ponctuel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|En absence de champ de pesanteur, seule }}la force exercée par le fil <math>\;\big(</math>supposé tendu<math>\big)\;</math><ref name="C.N. d'existence"> Condition nécessaire pour que cette force existe.</ref> «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En absence de champ de pesanteur, seule la force }}de direction <math>\;(MI)\;</math> et dont le sens est de <math>\;M\;</math> vers <math>\;I</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En absence de champ de pesanteur, seule la force }}«<math>\;\vec{T}(t) = -T(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» où «<math>\;T(t)\;</math> est <math>\;> 0\;</math> tant que le fil reste tendu »<ref name="tendu"> Et si le fil est détendu on a <math>\;T(t) = 0</math> ; tout calcul de <math>\;T(t)\;</math> qui conduirait à une valeur <math>\;\leqslant 0\;</math> aurait pour conséquence de contredire l'hypothèse « fil tendu », le fil devant nécessairement être détendu <math>\;\big(</math>dans ce cas <math>\;M\;</math> serait isolé<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|4}}{{Transparent|En absence de champ de pesanteur, seule la force «<math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t) = -T(t)\;\vec{u}_\theta(t)}\;</math>»}}<math>\big[</math>dans ce cas «<math>\;T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math>», norme appelée <br>{{Al|4}}{{Transparent|En absence de champ de pesanteur, seule la force «<math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t) = -T(t)\;\vec{u}_\theta(t)}\;</math>»<math>\color{transparent}{\big[}</math>dans ce cas «<math>\;\color{transparent}{T(t) =}</math>}}« tension du fil » à l'instant <math>\;t\big]</math> ; {{Al|5}}la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié au cylindre s'écrivant «<math>\;\vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>», <br>{{Al|9}}{{Transparent|la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>sa projection sur <math>\;\vec{u}_\theta(t)\;</math> donne «<math>\;-T(t) = m\;a_{M,\,\theta}(t) = -m \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta(t)}\;</math> donne }}l'expression de la tension du fil à l'instant <math>\;t\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta(t)}\;</math> donne l'expression de la tension du fil }}«<math>\;T(t) = m \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» et <br>{{Al|9}}{{Transparent|la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>sa projection sur <math>\;\vec{u}_\rho(t)\;</math> donne «<math>\;0 = m\;a_{M,\,\rho}(t) = m \left\lbrace a\;\dot{\theta}^2\!(t) - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\ddot{\theta}(t) \right\rbrace\;</math>» soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\rho(t)}\;</math> donne }}l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> suivante <br>{{Al|9}}{{Transparent|la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\rho(t)}\;</math> donne l'équation différentielle }}«<math>\;\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\ddot{\theta}(t) - a\;\dot{\theta}^2\!(t) = 0\;</math>».}} ==== Détermination d'une intégrale 1^ère en θ(t) du mouvement du point de contact du fil sur le cylindre par application du théorème de l'énergie cinétique au solide ponctuel M et conséquence sur la variation de la tension du fil s'exerçant sur M ==== {{Al|5}}La « tension <math>\;T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> du fil à l’instant <math>\;t\;</math>» et le « mouvement de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <u>sont connus si le mouvement de</u><math>\;I\;</math><u>dans ce même référentiel</u><math>\;\big[</math>plus exactement <math>\;\theta(t)\big]\;</math><u>l’est</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La « tension <math>\;\color{transparent}{T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert}\;</math> du fil à l’instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» et le « mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>» sont connus si }}mais la résolution de l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La « tension <math>\;\color{transparent}{T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert}\;</math> du fil à l’instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» et le « mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>» sont connus si mais la résolution }}n'étant pas immédiate pour cause de non linéarité, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La « tension <math>\;\color{transparent}{T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert}\;</math> du fil à l’instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» et le « mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>» sont connus si }}on cherche une autre méthode pour connaître <math>\;\theta(t)</math>. {{Al|5}}Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du point de contact <math>\;I\;</math> du fil sur le cylindre<ref name="intégrale 1ère"> C.-à-d. une équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)</math>.</ref> par application du théorème de l’énergie cinétique à <math>\;M\;</math><ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> du mouvement du point de contact <math>\;\color{transparent}{I}\;</math> du fil sur le cylindre par application du théorème de l’énergie cinétique }}entre l'instant initial et l'instant <math>\;t\;</math> puis, {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> }}résoudre en explicitant <math>\;t = t(\theta)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> }}déduire, de cette dernière relation, <math>\;\theta = \theta(t)\;</math> et vérifier que <math>\;\theta(t)\;</math> peut se mettre sous la forme «<math>\;\theta = \theta_a \left( 1 - \sqrt{1 - \dfrac{t}{\tau}} \right)\;</math>» <math>\big[</math>on exprimera les paramètres <math>\;\theta_a\;</math> et <math>\;\tau\;</math> en fonction de <math>\;l_0</math>, <math>\;a\;</math> et <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> en leur donnant une signification physique<math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> }}Conclure en exprimant <math>\blacktriangleright\;</math>la longueur <math>\;l(t)\;</math> du fil non enroulé à l’instant <math>\;t\;</math> en fonction de <math>\;l_0</math>, <math>\;t\;</math> et <math>\;\tau</math>, ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> Conclure en exprimant }}<math>\blacktriangleright\;</math>la tension <math>\;T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> du fil à l’instant <math>\;t\;</math> <math>\succ\;</math>en fonction de <math>\;m</math>, <math>\;l_0</math>, <math>\;\theta_a</math>, <math>\;t\;</math> et <math>\;\tau\;</math> d’une part puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> Conclure en exprimant <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la tension <math>\;\color{transparent}{T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert}\;</math> du fil à l’instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}<math>\succ\;</math>en fonction de <math>\;m</math>, <math>\;V_0</math>, <math>\;l_0</math>, <math>\;t\;</math> et <math>\;\tau\;</math> d’autre part ; {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> Conclure en exprimant <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}comment varie <math>\;T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> avec le temps ? {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> Conclure en exprimant <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}Commenter. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Cherchant une intégrale 1^ère pour remplacer cette équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre, on applique à <math>\;M\;</math> le théorème de l’énergie cinétique entre <math>\;t = 0\;</math> et <math>\;t\;</math> quelconque<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" /> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié au cylindre soit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^2(t) - \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 = W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T})\;</math>» avec «<math>\;(\mathcal{C})\;</math> la trajectoire suivie par le point <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; {{Al|5}}le travail développé par la force exercée par le fil se définit selon «<math>\;W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M} \vec{T}(t') \cdot \overrightarrow{d M'}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne - ter"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'+ sur une portion de courbe continue]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Méthode_de_calcul_d'une_intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\vec{T}(t') = -T(t')\;\vec{u}_\theta(t')\;</math>» et <br>{{Al|13}}{{Transparent|le travail développé par la force exercée par le fil se définit selon «<math>\;\color{transparent}{W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M} \vec{T}(t') \cdot \overrightarrow{d M'}}\;</math>» avec }}«<math>\;\overrightarrow{d M'} = \vec{V}_M(t')\;dt' = -\left[ l_0 - a\;\theta(t') \right]\,\dot{\theta}(t')\; \vec{u}_\rho(t')\;dt'\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|13}}{{Transparent|le travail développé par la force exercée par le fil se définit selon «<math>\;\color{transparent}{W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M} \vec{T}(t') \cdot \overrightarrow{d M'}}\;</math>» }}«<math>\;\vec{T}(t') \cdot \overrightarrow{d M'} = 0,\;\;\forall\;t'\;</math>» et par suite «<math>\;W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M} \vec{T}(t') \cdot \overrightarrow{d M'} = 0\;</math>» ; {{Al|5}}reportant l'expression de <math>\;W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T})\;</math> dans l'application du théorème de l'énergie cinétique<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" /> on en déduit l'intégrale 1^ère cherchée «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^2(t) - \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 = 0\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|11}}{{Transparent|reportant l'expression de <math>\;\color{transparent}{W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T})}\;</math> dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on en déduit }}la conservation de l'énergie cinétique <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^2(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2,\;\;\forall\;t\;</math> ou encore, <br>{{Al|11}}{{Transparent|reportant l'expression de <math>\;\color{transparent}{W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T})}\;</math> dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on en déduit }}le caractère uniforme du mouvement du point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|reportant l'expression de <math>\;\color{transparent}{W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T})}\;</math> dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on en déduit }}«<math>\;v_M(t) = \Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \Vert \vec{V}_0 \Vert = V_0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, avec «<math>\;\vec{V}_M(t) = -\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\; \vec{u}_\rho(t)\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|reportant l'expression de <math>\;\color{transparent}{W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T})}\;</math> dans l'application du théorème de l'énergie cinétique }}la réécriture de l'intégrale 1^ère du mouvement selon «<math>\;\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\, \dot{\theta}(t) = V_0,\;\;\forall\;t\;</math>»<ref name="sens du mouvement - bis"> <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> on en déduit que la rotation du point <math>\;I\;</math> se fait toujours dans le même sens car le changement de sens nécessiterait que <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> puisse s'annuler compte-tenu de son caractère continu, ce qui n'est pas possible, le produit <math>\;V_0\;</math> de deux facteurs dont l'un serait nul devant être nul ; <br>{{Al|3}}on en déduit donc <math>\;\dot{\theta}(t) > 0,\;\;\forall\;t\;</math> dans la mesure où la longueur de fil enroulé <math>\;a\;\theta(t)\;</math> est toujours <math>\;<\;</math> à la longueur totale de fil <math>\;l_0</math>.</ref>. {{Al|5}}La résolution de cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> à savoir «<math>\;\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\, \dot{\theta}(t) = V_0\;</math>» se fait par séparation des variables<ref name="équation différentielle non linéaire du 1er ordre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Exemple_d'une_équation_différentielle_non_linéaire_du_1er_ordre|exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, «<math>\;\left[ l_0 - a\;\theta \right]\, d \theta = V_0\;dt\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résolution }}en intégrant entre <math>\;\theta = 0\;</math> et <math>\;\theta\;</math> d'une part et entre <math>\;t = 0\;</math> et <math>\;t\;</math> d'autre part «<math>\;l_0\;\theta - \dfrac{a}{2}\;\theta^2 = V_0\;t\;</math>» et finalement «<math>\;t = \dfrac{l_0}{V_0}\;\theta - \dfrac{a}{2\;V_0}\;\theta^2\;</math>» ou encore «<math>\;t = \dfrac{\theta}{2\;V_0} \left( 2\;l_0 - a\;\theta \right)\;</math>». {{Al|5}}On inverse cette fonction en considérant <math>\;t\;</math> comme paramètre et <math>\;\theta\;</math> comme inconnue de l'« équation du 2^ème degré <math>\;\dfrac{a}{2}\;\theta^2 - l_0\;\theta + V_0\;t = 0\;</math>» dont le discriminant vaut <math>\;\Delta = l_0^{\,2} - 2\;a\;V_0\;t</math> <math>\big[</math>l'existence physique d'une solution réelle pour <math>\;\theta\;</math> assure que le paramètre <math>\;t\;</math> est tel que <math>\;\Delta \geqslant 0\;</math><ref> C.-à-d. <math>\;t \leqslant \dfrac{l_0^{\,2}}{2\;a\;v_0}</math>.</ref><math>\big]\;</math> et par suite «<math>\;\theta = \dfrac{l_0}{a} \pm \dfrac{\sqrt{l_0^{\,2} - 2\;a\;V_0\;t}}{a}\;</math>» dans laquelle <math>\;\dfrac{l_0}{a}</math>, représentant l'angle maximal admissible <math>\;\theta_{\text{max}}\;</math> correspondant à la totalité du fil enroulé, nécessite d'éliminer le signe <math>\;+\;</math> d'où «<math>\;\theta = \dfrac{l_0}{a} - \dfrac{\sqrt{l_0^{\,2} - 2\;a\;V_0\;t}}{a}\;</math>» ou «<math>\;\theta = \dfrac{l_0}{a} - \sqrt{\dfrac{l_0^{\,2}}{a^2} - 2\;\dfrac{V_0}{a}\;t} = \dfrac{l_0}{a} - \dfrac{l_0}{a}\;\sqrt{1 - \dfrac{2\;a\;V_0}{l_0^{\,2}}\;t}\;</math>» soit «<math>\;\theta = \dfrac{l_0}{a} \left( 1 - \sqrt{1 - \dfrac{2\;a\;V_0}{l_0^{\,2}}\;t} \right)\;</math>» et finalement <center>«<math>\;\theta = \theta_a \left( 1 - \sqrt{1 - \dfrac{t}{\tau}} \right)\;</math>» avec <br>«<math>\;\theta_a = \dfrac{l_0}{a}\;</math> représentant l'angle maximal admissible <math>\;\theta_{\text{max}}\;</math> correspondant à la totalité du fil enroulé » et <br>«<math>\;\tau = \dfrac{l_0^{\,2}}{2\;a\;V_0}\;</math> la durée de l’enroulement » puisque <math>\;\theta = \theta_a\;</math> pour <math>\;t = \tau</math>.</center> {{Al|5}}La longueur <math>\;l(t)\;</math> du fil non enroulé à l’instant <math>\;t\;</math> s'écrit «<math>\;l(t) = l_0 - a\;\theta(t) = l_0 - a\;\theta_a \left( 1 - \sqrt{1 - \dfrac{t}{\tau}} \right)\;</math>» avec <math>\;a\;\theta_a = l_0\;</math> soit finalement «<math>\;l(t) = l_0\;\sqrt{1 - \dfrac{t}{\tau}}\;</math>». {{Al|5}}La tension <math>\;T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> du fil à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrit «<math>\;T(t) = m\, \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right] \dot{\theta}^2\!(t)\;</math>»<ref name="T(t) en absence de pesanteur"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_de_la_tension_du_fil_s'exerçant_sur_le_solide_ponctuel_à_l'instant_t_et_de_l'équation_différentielle_du_2ème_ordre_en_θ(t)_du_mouvement_du_point_de_contact_du_fil_sur_le_cylindre_par_application_de_la_relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_au_solide_ponctuel|détermination de la tension du fil s'exerçant sur le solide ponctuel à l'instant t et de l'équation différentielle du 2^ème ordre en θ(t) du mouvement du point de contact du fil sur le cylindre par application de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne au solide ponctuel]] » plus haut dans cet exercice.</ref> «<math>\;= m\; l(t)\; \dot{\theta}^2\!(t) = m\;l_0\;\sqrt{1 - \dfrac{t}{\tau}}\;\dfrac{\theta_a^2}{4\;\tau^2 \left( 1 - \dfrac{t}{\tau} \right)}\;</math>»<ref> En effet <math>\;\theta = \theta_a \left( 1 - \sqrt{1 - \dfrac{t}{\tau}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{\theta_a}{2\;\tau\;\sqrt{1 - \dfrac{t}{\tau}}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dfrac{\theta_a^2}{4\;\tau^2 \left( 1 - \dfrac{t}{\tau} \right)}\;</math></ref> soit finalement «<math>\;T(t) = m\;l_0\;\dfrac{\theta_a^2}{4\;\tau^2\; \sqrt{1 - \dfrac{t}{\tau}}}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|La tension <math>\;\color{transparent}{T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert}\;</math> du fil à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> s'écrit }}avec <math>\;\dfrac{\theta_a^2}{4\;\tau^2} = \dfrac{\dfrac{l_0^2}{a^2}}{4\;\dfrac{l_0^4}{4\;a^2\;V_0^2}} = \dfrac{V_0^2}{l_0^2}</math>, on obtient «<math>\;T(t) = \dfrac{m\;V_0^2}{l_0\;\sqrt{1 - \dfrac{t}{\tau}}}\;</math>» ou encore «<math>\;T(t) = \dfrac{m\;V_0^2}{l(t)}\;</math>»<ref> On pouvait obtenir directement cette expression sans partir de la 1^ère expression de <math>\;T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> demandée ; en effet, utilisant l'intégrale 1^ère du mouvement <math>\;\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\, \dot{\theta}(t) = V_0\;</math> pour expliciter <math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{V_0}{l_0 - a\;\theta(t)}</math>, on obtient <math>\;T(t) = m\, \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right] \dot{\theta}^2\!(t) = m\, \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right] \left[ \dfrac{V_0}{l_0 - a\;\theta(t)} \right]^{\!2} = \dfrac{m\;V_0^2}{l_0 - a\;\theta(t)} = \dfrac{m\;V_0^2}{l(t)}\;</math> soit finalement <math>\;T(t) = \dfrac{m\;V_0^2}{l_0\;\sqrt{1 - \dfrac{t}{\tau}}}\;</math>.</ref> ; {{Al|5}}à partir de la 2^ème expression de la tension <math>\;T(t)\;</math> on en déduit la <math>\;\nearrow\;</math> de la tension avec le temps, la « valeur minimale étant <math>\;T(0) = \dfrac{m\;V_0^2}{l_0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|à partir de la 2^ème expression de la tension <math>\;\color{transparent}{T(t)}\;</math> on en déduit la <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de la tension avec le temps, }}sa « valeur théoriquement maximale obtenue pour <math>\;t \rightarrow \tau\;</math> soit <math>\;\lim\limits_{t\, \rightarrow\, \tau} T(t) = \infty\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|à partir de la 2^ème expression de la tension <math>\;\color{transparent}{T(t)}\;</math> on en déduit la <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de la tension avec le temps, sa « valeur }}<math>\big(</math>correspondant au fil totalement enroulé<math>\big)</math> ; {{Al|5}}on peut affirmer que, dans l'hypothèse où la force exercée par le fil idéal<ref name="fil idéal" /> sur <math>\;M\;</math> est la seule force, <u>le fil cassera avant l'enroulement complet</u> car la tension du fil ne peut pas dépasser une valeur limite.}} === Traitement dans le cas où l'effet de la pesanteur terrestre n'est pas négligée === {{Al|5}}Dans cette question, on tient compte de l’effet de la pesanteur terrestre, c'est-à-dire que l’on suppose que le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> est uniforme, <math>\;\neq \vec{0}</math>, de direction <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>, on pose donc «<math>\;\vec{g} = g\, \vec{u}_x\;</math>». {{Al|5}}On se propose d’étudier, dans la mesure de nos possibilités, les modifications des résultats précédents dues à l’introduction de la pesanteur. ==== Détermination des grandeurs cinématiques polaires du point de contact du fil sur le cylindre dans le référentiel d'étude en tenant compte du champ de pesanteur terrestre ==== {{Al|5}}Pour repérer <math>\;M\;</math> à l’instant <math>\;t</math>, on utilise toujours la base polaire <math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math> associée au point de contact <math>\;I\;</math> du fil et du cylindre<ref name="repérage cylindro-polaire" />, la 2^ème coordonnée polaire de <math>\;I\;</math> étant <math>\;\theta\;</math> telle qu'elle soit nulle à <math>\;t = 0</math>. {{Al|5}}Y a-t-il une modification des vecteurs <math>\blacktriangleright\;</math>position <math>\;\overrightarrow{OM}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Y a-t-il une modification des vecteurs }}<math>\blacktriangleright\;</math>vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Y a-t-il une modification des vecteurs }}<math>\blacktriangleright\;</math>accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Y a-t-il une modification }}dans cette base polaire <math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math> si on tient compte de l'influence du champ de pesanteur terrestre<ref> Si oui on précisera laquelle.</ref> ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Aucune modification des composantes polaires du vecteur <math>\blacktriangleright\;</math>position <math>\;\overrightarrow{OM}(t)</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = a\;\vec{u}_\rho(t) + \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\, \vec{u}_\theta(t)\;</math>»<ref name="sol sans pesanteur"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_des_grandeurs_cinématiques_polaires_du_point_de_contact_du_fil_sur_le_cylindre_dans_le_référentiel_d'étude|détermination des grandeurs cinématiques polaires du point de contact du fil sur le cylindre dans le référentiel d'étude]] (en négligeant le champ de pesanteur terrestre) » plus haut dans cet exercice.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Aucune modification des composantes polaires du vecteur }}<math>\blacktriangleright\;</math>vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\; \vec{u}_\rho(t)\;</math>»<ref name="sol sans pesanteur" />{{,}}<ref name="VM(t) perpendiculaire à IM" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Aucune modification des composantes polaires du vecteur }}<math>\blacktriangleright\;</math>accélération <math>\;\vec{a}_M(t)</math>, «<math>\;\vec{a}_M(t) = \left\lbrace a\;\dot{\theta}^2\!(t) - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\ddot{\theta}(t) \right\rbrace\, \vec{u}_\rho(t) - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}^2\!(t)\; \vec{u}_\theta(t)\;</math>»<ref name="sol sans pesanteur" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Aucune modification }}relativement à la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_des_grandeurs_cinématiques_polaires_du_point_de_contact_du_fil_sur_le_cylindre_dans_le_référentiel_d'étude|détermination des grandeurs cinématiques polaires du point de contact du fil sur le cylindre dans le référentiel d'étude]] (en négligeant le champ de pesanteur terrestre) » car ses composantes polaires se déterminent cinématiquement c'est-à-dire sans référence aux forces appliquées.}} ==== Détermination de la tension du fil s'exerçant sur le solide ponctuel à l'instant t en tenant compte du champ de pesanteur terrestre et de l'équation différentielle correspondante du 2^ème ordre en θ(t) du mouvement du point de contact du fil sur le cylindre par application de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne au solide ponctuel ==== {{Al|5}}Déterminer, par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. au solide ponctuel <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> supposé galiléen, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Déterminer, par application de la r.f.d.n. au solide ponctuel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}en tenant compte du champ de pesanteur terrestre, * la tension <math>\;T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> du fil à l’instant <math>\;t</math>, en fonction de <math>\;m</math>, <math>\;l_0</math>, <math>\;a</math>, <math>\;\theta(t)\;</math> et <math>\;\dot{\theta}(t)</math>, ainsi que * une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <math>\big(</math>que l’on ne cherchera pas à résoudre<math>\big)\;</math> du mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, du point de contact <math>\;I\;</math> du fil sur le cylindre. {{Solution | contenu = [[File:Masse au bout d'un fil s'enroulant sur cylindre fixe - ter.png|thumb|410px|Schéma descriptif d'un solide ponctuel attaché à un fil idéal<ref name="fil idéal" /> s'enroulant sur un cylindre fixe en restant dans un plan <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cylindre <br>{{Transparent|Schéma descriptif }}avec repérage polaire <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> du point de contact <math>\;I\;</math> du fil et du cylindre<ref name="repérage cylindro-polaire" /> ainsi que <br>{{Transparent|Schéma descriptif avec }}représentation <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)\;</math> des forces agissant sur <math>\;M\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre]] {{Al|5}}En présence de champ de pesanteur, les deux forces agissant sur le solide ponctuel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> sont <br>{{Al|5}}{{Transparent|En présence de champ de pesanteur, les deux }}<math>\blacktriangleright\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_x = m\;g \left\lbrace \sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_\rho(t) + \cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_\theta(t) \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En présence de champ de pesanteur, les deux }}<math>\blacktriangleright\;</math>la force exercée par le fil <math>\;\big(</math>supposé tendu<math>\big)\;</math><ref name="C.N. d'existence" /> «<math>\;\vec{T}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En présence de champ de pesanteur, les deux <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de direction <math>\;(MI)\;</math> et dont le sens est de <math>\;M\;</math> vers <math>\;I</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En présence de champ de pesanteur, les deux <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\vec{T}(t) = -T(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» dans lequel «<math>\;T(t)\;</math> est <math>\;> 0\;</math> tant que le fil reste tendu »<ref name="tendu - bis"> Et si le fil est détendu on a <math>\;T(t) = 0</math> ; tout calcul de <math>\;T(t)\;</math> qui conduirait à une valeur <math>\;\leqslant 0\;</math> aurait pour conséquence de contredire l'hypothèse « fil tendu », le fil devant nécessairement être détendu <math>\;\big(</math>dans ce cas <math>\;M\;</math> serait en chute libre car soumis uniquement à son poids<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|4}}{{Transparent|En présence de champ de pesanteur, les deux <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t) = -T(t)\;\vec{u}_\theta(t)}\;</math>»}}<math>\big[</math>dans ce cas «<math>\;T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math>», norme appelée <br>{{Al|4}}{{Transparent|En présence de champ de pesanteur, les deux <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t) = -T(t)\;\vec{u}_\theta(t)}\;</math>»<math>\color{transparent}{\big[}</math>dans ce cas «<math>\;\color{transparent}{T(t) =}</math>}}« tension du fil » à l'instant <math>\;t\big]</math> ; {{Al|5}}la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié au cylindre s'écrivant «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T}(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>», <br>{{Al|9}}{{Transparent|la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>sa projection sur <math>\;\vec{u}_\theta(t)\;</math> donne «<math>\;m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - T(t) = m\;a_{M,\,\theta}(t) = -m \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta(t)}\;</math> donne }}l'expression de la tension du fil à l'instant <math>\;t\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta(t)}\;</math> donne l'expression de }}«<math>\;T(t) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}^2\!(t) \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|9}}{{Transparent|la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>sa projection sur <math>\;\vec{u}_\rho(t)\;</math> donne «<math>\;m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = m\;a_{M,\,\rho}(t) = m \left\lbrace a\;\dot{\theta}^2\!(t) - \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\ddot{\theta}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\rho(t)}\;</math> donne }}d'où l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> suivante <br>{{Al|7}}{{Transparent|la r.f.d.n. appliquée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sa projection sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\rho(t)}\;</math> donne l'équation différentielle }}«<math>\;\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\ddot{\theta}(t) - a\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».}} ==== Détermination, en tenant compte du champ de pesanteur terrestre, d'une intégrale 1^ère en θ(t) du mouvement du point de contact du fil sur le cylindre par application du théorème de l'énergie cinétique au solide ponctuel M et expression de la tension du fil s'exerçant sur M en fonction de θ(t) ==== {{Al|5}}En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, la « tension <math>\;T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> du fil à l’instant <math>\;t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, }}le « mouvement de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <u>sont connus si le mouvement de</u><math>\;I\;</math><u>dans ce même référentiel</u><math>\;\big[</math>plus exactement <math>\;\theta(t)\big]\;</math><u>l’est</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, le « mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>» sont connus si }}mais la résolution de l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, le « mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>» sont connus si mais la résolution }}n'étant pas immédiate pour cause de non linéarité, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, le « mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>» sont connus si }}on cherche une autre méthode pour connaître <math>\;\theta(t)</math>. {{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, }}Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du point de contact <math>\;I\;</math> du fil sur le cylindre<ref name="intégrale 1ère" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> }}par application du théorème de l’énergie cinétique à <math>\;M\;</math><ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" /> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> entre les instants <math>\;0\;</math> et <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> par application du théorème de l’énergie cinétique }}<math>\big(</math>le fil étant supposé tendu dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> }}<math>\Bigg[</math>on mettra cette intégrale 1^ère sous la forme «<math>\;\left\lbrace l_0 - a\;\theta(t) \right\rbrace^2\;\dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g \left\lbrace \dfrac{\vec{V}^2_0}{2\;g} - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déterminer une intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Bigg[}</math>on mettra cette intégrale 1^ère sous la forme }}en explicitant <math>\;f\!\left[ \theta(t) \right]\;</math> en fonction de <math>\;l_0</math>, <math>\;a\;</math> et <math>\;\theta(t)\Bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, }}Déduire, en utilisant l'intégrale 1^ère ci-dessus, une nouvelle expression de la tension <math>\;T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> du fil supposé tendu à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déduire, en utilisant l'intégrale 1^ère ci-dessus, une nouvelle expression de la tension <math>\;\color{transparent}{T(t)}\;</math> }}en fonction de <math>\;m</math>, <math>\;g</math>, <math>\;l_0</math>, <math>\;a</math>, <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> et <math>\;\theta(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déduire, en utilisant l'intégrale 1^ère ci-dessus, }}<math>\Bigg[</math>on mettra <math>\;T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> sous la forme «<math>\;T(t) = \dfrac{2\;m\;g}{l_0 - a\;\theta(t)} \left\lbrace \dfrac{\vec{V}^2_0}{2\;g} - l_0 + h\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déduire, en utilisant l'intégrale 1^ère ci-dessus, <math>\color{transparent}{\Bigg[}</math>on mettra <math>\;\color{transparent}{T(t) = \Vert \vec{T}(t) \Vert}\;</math> sous la forme }}en explicitant <math>\;h\!\left[ \theta(t) \right]\;</math> en fonction de <math>\;l_0</math>, <math>\;a\;</math> et <math>\;\theta(t)\;</math><ref> Vérifier que <math>\;h\!\left[ \theta(t) \right]\;</math> est de même forme que <math>\;f\!\left[ \theta(t) \right]\;</math> à un facteur multiplicatif près pour l'un des termes.</ref><math>\Bigg]</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Cherchant une intégrale 1^ère pour remplacer cette équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre, on applique à <math>\;M\;</math> le théorème de l’énergie cinétique entre <math>\;t = 0\;</math> et <math>\;t\;</math> quelconque<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" /> dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié au cylindre soit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^2(t) - \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 = W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(m\;\vec{g}) + W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T})\;</math>» avec «<math>\;(\mathcal{C})\;</math> la trajectoire suivie par le point <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; {{Al|5}}le travail développé par le poids de <math>\;M\;</math> se définit selon «<math>\;W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(m\;\vec{g}) = \displaystyle\int_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M} m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{d M'}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne - ter" /> ou «<math>\;W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{M_0M}(t)\;</math>» car <math>\;m\;\vec{g}\;</math> est constant et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le travail développé par le poids de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se réécrit, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} m\;\vec{g} \!\!&=&\!\! m\;g\;\vec{u}_x \!\!&=&\!\! m\;g \left\lbrace \sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_\rho(t) + \cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_\theta(t) \right\rbrace \\ \overrightarrow{M_0M}(t) \!\!&=&\!\! \overrightarrow{OM}(t) - \overrightarrow{OM_0} \!\!&=&\!\! \left\lbrace a\;\vec{u}_\rho(t) + \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\, \vec{u}_\theta(t) \right\rbrace - \left\lbrace - a\; \vec{u}_y + l_0\;\vec{u}_x \right\rbrace \end{array} \right\rbrace\;</math> dont on déduit <br>{{Al|9}}{{Transparent|le travail développé par le poids de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se réécrit, avec }}«<math>\;m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{M_0M}(t) = m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,a + m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right] - m\;g\;l_0\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|le travail développé par le poids de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se réécrit }}«<math>\;W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(m\;\vec{g}) = m\;g\;a\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] - m\;g\;a\;\theta(t)\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - m\;g\;l_0 \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et {{Al|5}}le travail développé par la force exercée par le fil se définit selon «<math>\;W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M} \vec{T}(t') \cdot \overrightarrow{d M'}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne - ter" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|le travail développé par la force exercée par le fil se définit selon }}«<math>\;W_{M_0\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,M}(\vec{T}) = 0\;</math>» pour les mêmes raisons qu'en absence de champ de pesanteur<ref name="travail de T en absence de pesanteur"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_d'une_intégrale_1ère_en_θ(t)_du_mouvement_du_point_de_contact_du_fil_sur_le_cylindre_par_application_du_théorème_de_l'énergie_cinétique_au_solide_ponctuel_M_et_conséquence_sur_la_variation_de_la_tension_du_fil_s'exerçant_sur_M|détermination d'une intégrale 1^ère en θ(t) du mouvement du point de contact du fil sur le cylindre par application du théorème de l'énergie cinétique au solide ponctuel M et conséquence sur la variation de la tension du fil s'exerçant sur M]] » plus haut dans cet exercice.</ref> ; {{Al|5}}reportant ces travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie" /> on obtient l'intégrale 1^ère «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^2(t) - \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 = m\;g\;a\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] - m\;g\;a\;\theta(t)\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - m\;g\;l_0 \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|reportant ces travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique }}après report de «<math>\;v_M(t) = \Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\vert \dot{\theta}(t) \vert\;</math>»<ref name="sol avec pesanteur"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_des_grandeurs_cinématiques_polaires_du_point_de_contact_du_fil_sur_le_cylindre_dans_le_référentiel_d'étude_en_tenant_compte_du_champ_de_pesanteur_terrestre|détermination des grandeurs cinématiques polaires du point de contact du fil sur le cylindre dans le référentiel d'étude en tenant compte du champ de pesanteur terrestre]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, simplification par <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;</math> et changement de membre de <math>\;V_0^2</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|reportant ces travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on obtient l'intégrale 1^ère }}«<math>\;\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t) = V_0^2 + 2\;g\;a\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] - 2\;g\;a\;\theta(t)\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - 2\;g\;l_0 \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|reportant ces travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on obtient l'intégrale 1^ère }}«<math>\;\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g \left\lbrace \dfrac{V_0^2}{2\;g} - l_0 + a\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] + \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|reportant ces travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on obtient l'intégrale 1^ère «<math>\;\color{transparent}{\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t)}</math> }}<math>\Updownarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|reportant ces deux travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on obtient l'intégrale 1^ère }}«<math>\;\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g \left\lbrace \dfrac{V_0^2}{2\;g} - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|reportant ces travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on obtient l'intégrale 1^ère «<math>\;\color{transparent}{\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t)}</math> }}avec «<math>\;f\!\left[ \theta(t) \right] = a\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] + \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>». {{Al|5}}Reportant «<math>\;\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g \left\lbrace \dfrac{V_0^2}{2\;g} - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant «<math>\;T(t) = m \left\lbrace g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\dot{\theta}^2\!(t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="T(t) et theta.(t) en présence de pesanteur"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Détermination_de_la_tension_du_fil_s'exerçant_sur_le_solide_ponctuel_à_l'instant_t_en_tenant_compte_du_champ_de_pesanteur_terrestre_et_de_l'équation_différentielle_correspondante_du_2ème_ordre_en_θ(t)_du_mouvement_du_point_de_contact_du_fil_sur_le_cylindre_par_application_de_la_relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_au_solide_ponctuel|détermination de la tension du fil s'exerçant sur le solide ponctuel à l'instant t en tenant compte du champ de pesanteur terrestre et de l'équation différentielle du 2^ème ordre en θ(t) du mouvement du point de contact du fil sur le cylindre par application de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne au solide ponctuel]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, on obtient <br>{{Al|9}}{{Transparent|Reportant «<math>\;\color{transparent}{\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g \left\lbrace V_0^2 - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace}\;</math>» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant }}«<math>\;T(t) = m \left[ g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{2\;g}{l_0 - a\;\theta(t)} \left\lbrace \dfrac{v^2_0}{2\;g} - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace \right]</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Reportant «<math>\;\color{transparent}{\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g \left\lbrace V_0^2 - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace}\;</math>» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant «<math>\;\color{transparent}{T(t)}</math>}} <math>= \dfrac{2\;m\;g}{l_0 - a\;\theta(t)} \left\lbrace \dfrac{l_0 - a\;\theta(t)}{2}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{v^2_0}{2\;g} - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» soit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Reportant «<math>\;\color{transparent}{\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g \left\lbrace V_0^2 - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace}\;</math>» }}en reportant l'expression de «<math>\;f\!\left[ \theta(t) \right] = a\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] + \left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]\,\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» et après simplification évidente, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Reportant «<math>\;\color{transparent}{\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g \left\lbrace V_0^2 - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace}\;</math>» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant }}«<math>\;T(t) = \dfrac{2\;m\;g}{l_0 - a\;\theta(t)} \left\lbrace \dfrac{v^2_0}{2\;g} - l_0 + a\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{3\,\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]}{2}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Reportant «<math>\;\color{transparent}{\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g \left\lbrace V_0^2 - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace}\;</math>» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant «<math>\;\color{transparent}{T(t)}\;</math> }}<math>\Updownarrow</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Reportant «<math>\;\color{transparent}{\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g \left\lbrace V_0^2 - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace}\;</math>» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant }}«<math>\;T(t) = \dfrac{2\;m\;g}{l_0 - a\;\theta(t)} \left\lbrace \dfrac{\vec{V}^2_0}{2\;g} - l_0 + h\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Reportant «<math>\;\color{transparent}{\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g \left\lbrace V_0^2 - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace}\;</math>» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant «<math>\;\color{transparent}{T(t)}\;</math> }}avec «<math>\;h\!\left[ \theta(t) \right] = a\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{3\,\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]}{2}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>».}} ==== Condition sur la vitesse initiale pour que le fil reste tendu tout au long du mouvement du solide ponctuel dans le champ de pesanteur terrestre ==== {{Al|5}}Ne pouvant résoudre algébriquement l'intégrale 1^ère en <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="intégrale 1ère" /> du mouvement du point de contact <math>\;I\;</math><ref name="déf de I"> Point de contact du fil sur le cylindre.</ref> en présence de champ de pesanteur terrestre <br>{{Al|18}}{{Transparent|Ne pouvant résoudre algébriquement l'intégrale 1^ère en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> du mouvement du point de contact <math>\;\color{transparent}{I}\;</math> }}comme cela a été possible en absence de champ de pesanteur terrestre, <br>{{Al|5}}nous allons chercher qualitativement une condition sur <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> pour que le fil reste tendu tout au long du mouvement du solide <math>\;M\;</math> et pour cela {{Al|5}}{{Transparent|nous allons }}<math>\succ\;</math>représenter la courbe de la fonction <math>\;\theta \mapsto f(\theta)\;</math> dans le cas où <math>\;\dfrac{l_0}{a} = 2\;\pi\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'intervalle de définition de <math>\;f(\theta)\;</math> étant <math>\;\left[ 0\,,\, 2\;\pi \right]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|nous allons }}<math>\succ\;</math>montrer que, dans la mesure où le fil reste tendu, <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> ne s’annule jamais si <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;V_{0,\,\text{min}}\;</math> à déterminer en fonction de <math>\;g\;</math> et <math>\;l_0\;</math> dans le cas où <math>\;l_0 = 2\;\pi\;a\;</math> avant de {{Al|5}}{{Transparent|nous allons }}<math>\succ\;</math>généraliser ce résultat dans le cas où <math>\;l_0\;</math> est quelconque en explicitant <math>\;V_{0,\,\text{min}}\;</math> en fonction de <math>\;g</math>, <math>\;l_0\;</math> et <math>\;a</math> ; ensuite {{Al|5}}{{Transparent|nous allons }}<math>\succ\;</math>représenter la courbe de la fonction <math>\;\theta \mapsto h(\theta)\;</math> toujours dans le cas où <math>\;\dfrac{l_0}{a} = 2\;\pi\;</math><ref> La représentation du graphe de <math>\;h(\theta)\;</math> étant plus délicate que celle du graphe de <math>\;f(\theta)</math>, on utilisera une calculatrice graphique <math>\;\big(</math>ou un calculateur numérique<math>\big)\;</math> pour l'obtenir.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'intervalle de définition de <math>\;h(\theta)\;</math> est a priori <math>\;\left[ 0\,,\, 2\;\pi \right]\;</math> dans la mesure où le fil reste tendu puis {{Al|5}}{{Transparent|nous allons }}<math>\succ\;</math>préciser une condition sur <math>\;h(\theta)\;</math> traduisant que le fil reste tendu <math>\;\big[</math>on exprimera cette condition en notant <math>\;\theta_1\;</math><ref name="à ne pas déterminer algébriquement"> Que l'on ne cherchera pas à déterminer algébriquement.</ref> la valeur de <math>\;\theta\;</math> correspondant au 1^er minimum de <math>\;h(\theta)\big]</math>. {{Al|5}}En raisonnant qualitativement sur les deux courbes représentées sur un même diagramme, montrer que : * si <math>\;V_0 > V_{0,\,\text{min}}</math>, certes <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> ne s'annule jamais tant que le fil reste tendu, mais on peut définir une vitesse critique <math>\;V_{0,\,\text{crit}} > V_{0,\,\text{min}}\;</math> telle que <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;V_0 > V_{0,\,\text{crit}}</math>, le fil reste toujours tendu et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;V_{0,\,\text{min}} < V_0 < V_{0,\,\text{crit}}</math>, le fil cesse d’être tendu pour <math>\;\theta = \theta_l > \dfrac{\pi}{2}\;</math> <math>\big[</math>on ne cherchera à exprimer algébriquement ni <math>\;V_{0,\,\text{crit}}\;</math> ni <math>\;\theta_l\big]</math> ; * si <math>\;V_0 < V_{0,\,\text{min}}</math>, <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> s'annule dans la mesure où le fil reste tendu pour <math>\;\theta = \theta_s\;</math><ref name="à ne pas déterminer algébriquement" />, mais on peut définir une 2^ème vitesse critique <math>\;V_{0,\,\text{crit}'} < V_{0,\,\text{min}}\;</math> telle que <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;V_0 < V_{0,\,\text{crit}'}</math>, le fil cesse d’être tendu pour <math>\;\theta = \theta_l < \theta_s</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;V_{0,\,\text{crit}'} < V_0 < V_{0,\,\text{min}}</math>, le fil reste toujours tendu ; <br>{{Al|5}}exprimer cette 2^ème vitesse critique <math>\;V_{0,\,\text{crit}'}\;</math> en fonction de <math>\;l_0\;</math> et <math>\;g\;</math> dans le cas où <math>\;\dfrac{l_0}{a} = 2\;\pi\;</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|exprimer cette 2^ème vitesse critique <math>\;\color{transparent}{V_{0,\,\text{crit}'}}\;</math> }}en fonction de <math>\;l_0</math>, <math>\;a\;</math> et <math>\;g\;</math> si <math>\;l_0\;</math> est quelconque. {{Solution | contenu = [[File:Masse au bout d'un fil s'enroulant sur cylindre fixe - tetra.png|thumb|400px|Dans le cadre d'un solide ponctuel <math>\;M\;</math> attaché à un fil idéal<ref name="fil idéal" /> de longueur <math>\;l_0\;</math> s'enroulant sur un cylindre fixe de rayon <math>\;a = \dfrac{l_0}{2\;\pi}\;</math> en restant dans un plan <math>\;\perp\;</math> à l'axe horizontal du cylindre, graphe de la fonction <math>\;f(\theta) = l_0 \left\lbrace \dfrac{\sin(\theta)}{2\;\pi} + \left[ 1 - \dfrac{\theta}{2\;\pi} \right] \cos(\theta) \right\rbrace</math>]] * {{Al|5}}Dans l'hypothèse où <math>\;\dfrac{l_0}{a} = 2\;\pi\;</math> <math>\big(</math>le fil totalement enroulé correspondant à un seul tour de cylindre<math>\big)</math>, représentation du graphe de la fonction «<math>\;f(\theta) = a\;\sin(\theta) + \left[ l_0 - a\;\theta \right]\,\cos(\theta)\;</math><ref name="T(t) et theta.(t) en présence de pesanteur" /> <math>= l_0\, \left\lbrace \dfrac{1}{2\;\pi}\;\sin(\theta) + \left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\cos(\theta) \right\rbrace\;</math>» ci-contre, justification ci-après : <br>{{Al|5}}«<math>\;\dfrac{d f}{d \theta}(\theta) = l_0 \left\lbrace \dfrac{1}{2\;\pi}\;\cos(\theta) - \left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\sin(\theta) - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\cos(\theta) \right\rbrace = -l_0 \left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\sin(\theta)\;</math>» dont on déduit la variation de <math>\;f(\theta)</math> : «<math>\;f(\theta) \searrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \pi \right]\;</math>» puis «<math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ \pi\,,\, 2\;\pi \right]\;</math>» avec les valeurs ci-après «<math>\;f(0) = l_0\;</math>», «<math>\;f\!\left( \dfrac{\pi}{2} \right) =</math> <math>\dfrac{l_0}{2\;\pi} = a\;</math>», «<math>\;f(\pi) =</math> <math>-\dfrac{l_0}{2}\;</math>», «<math>\;f\!\left( \dfrac{3\;\pi}{2} \right) = -\dfrac{l_0}{2\;\pi} = -a\;</math>» et «<math>\;f(2\;\pi) = 0\;</math>». * {{Al|5}}<u>Dans la mesure où le fil reste tendu</u>, «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> ne s'annulera jamais si <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> est telle que <math>\;f(\theta) > l_0 - \dfrac{V_0^2}{2\;g},\;\;\forall\;\theta\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>la raison en étant que «<math>\;\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g \left\lbrace \dfrac{\vec{V}^2_0}{2\;g} - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="T(t) et theta.(t) en présence de pesanteur" /> ne s'annule pas si <math>\;\dfrac{\vec{V}^2_0}{2\;g} - l_0 > -f\!\left[ \theta(t) \right],\;\;\forall\;t\;</math>»<math>\Bigg\}\;</math> et pour cela il suffit d'imposer «<math>\;f_{\text{min}} > l_0 - \dfrac{V_0^2}{2\;g}\;</math>» soit encore «<math>\;V_0 > \sqrt{2\;g \left( l_0 - f_{\text{min}} \right)}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la mesure où le fil reste tendu, }}le minimum de <math>\;f(\theta)\;</math> étant obtenu pour <math>\;\theta = \pi\;</math> et valant <math>\;f(\pi) = -\dfrac{l_0}{2}</math>, on en déduit la « vitesse critique au-delà de laquelle <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> ne s'annule jamais <math>\;\big(</math>dans la mesure où le fil reste tendu<math>\big)</math> <math>\;V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{3\;g\;l_0}\;</math>». * {{Al|5}}Dans l'hypothèse où <math>\;l_0\;</math> est quelconque on généralise aisément ce résultat, la fonction <math>\;f(\theta) = a\;\sin(\theta) + \left[ l_0 - a\;\theta \right]\,\cos(\theta)\;</math><ref name="T(t) et theta.(t) en présence de pesanteur" /> étant de même variation que dans le cas particulier <math>\;l_0 = 2\;\pi\;a</math>, sa dérivée s'écrivant «<math>\;\dfrac{d f}{d \theta}(\theta) = a\;\cos(\theta) - \left[ l_0 - a\;\theta \right]\,\sin(\theta) - a\;\cos(\theta) =</math> <math>-\left[ l_0 - a\;\theta \right]\,\sin(\theta)\;</math>» dont on déduit la variation suivante de la fonction : «<math>\;f(\theta) \searrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \pi \right]\;</math>» puis «<math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ \pi\,,\, 2\;\pi \right]\;</math>» suivi de {{Nobr|«<math>\;\searrow\;</math> sur <math>\;\left[ 2\;\pi\,,\, 3\;\pi \right]\;</math>»}} etc<math>\ldots\;</math> avec les valeurs ci-après «<math>\;f(0) = l_0\;</math>», «<math>\;f\!\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = a\;</math>», «<math>\;f(\pi) = -\left( l_0 - a\;\pi \right)\;</math>», «<math>\;f\!\left( \dfrac{3\;\pi}{2} \right) = -a\;</math>», {{Nobr|«<math>\;f(2\;\pi) = l_0 - 2\;a\;\pi\;</math>»,}} «<math>\;f\!\left( \dfrac{5\;\pi}{2} \right) = a\;</math>», «<math>\;f(3\;\pi) = -\left( l_0 - 3\;a\;\pi \right)\;</math>» <math>\ldots\;</math> <math>\big(</math>ces valeurs n'ayant de signification que dans l'hypothèse <math>\;l_0 > 3\;a\;\pi\;</math><ref name="valeurs physiques possibles de theta"> En fait <math>\;l_0\;</math> étant quelconque, l'angle <math>\;\theta\;</math> repérant le point <math>\;I\;</math> est nécessairement <math>\;<\;</math> à <math>\;\dfrac{l_0}{a}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En fait <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> étant quelconque, }}pour que le 1^er minimum soit atteint il faut que <math>\;l_0\;</math> soit <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;\pi\;a</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En fait <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> étant quelconque, }}pour que le 2^ème maximum soit atteint il faut que <math>\;l_0\;</math> soit <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2\;\pi\;a</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En fait <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> étant quelconque, }}pour que le 2^ème minimum soit atteint il faut que <math>\;l_0\;</math> soit <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;3\;\pi\;a\;\ldots</math></ref><math>\big)</math> ;<br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans l'hypothèse où <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> est quelconque }}<u>dans la mesure où le fil reste tendu</u>, «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> ne s'annulera jamais si <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> est telle que <math>\;f(\theta) > l_0 - \dfrac{V_0^2}{2\;g},\;\;\forall\;\theta\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>la raison en étant que la grandeur {{Nobr|«<math>\;\left[ l_0 - a\;\theta(t) \right]^2\; \dot{\theta}^2\!(t)</math>}} <math>= 2\;g \left\lbrace \dfrac{\vec{V}^2_0}{2\;g} - l_0 + f\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="T(t) et theta.(t) en présence de pesanteur" /> ne s'annule pas si <math>\;\dfrac{\vec{V}^2_0}{2\;g} - l_0 > -f\!\left[ \theta(t) \right],\;\;\forall\;t\;</math>»<math>\Bigg\}\;</math> et pour cela il suffit d'imposer «<math>\;f_{\text{min}} > l_0 - \dfrac{V_0^2}{2\;g}\;</math>» soit «<math>\;V_0 > \sqrt{2\;g \left( l_0 - f_{\text{min}} \right)}\;</math>» ou, avec <math>\;f_{\text{min}} = f(\pi) =</math> <math>-\left( l_0 - a\;\pi \right)</math>, la « condition pour que <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> ne s'annule jamais <math>\;\big(</math>dans la mesure où le fil reste tendu<math>\big)\;</math> se réécrit selon <math>\;V_0 > \sqrt{2\;g \left( 2\;l_0 - a\;\pi \right)} = V_{0,\,\text{min}}\;</math>»<ref> La vitesse critique <math>\;V_{0,\,\text{min}}\;</math> étant d'autant plus grande que <math>\;l_0\;</math> l'est, <br>{{Al|3}}pour <math>\;l_0 > 3\;a\;\pi</math>, <math>\;V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{2\;g \left( 2\;l_0 - a\;\pi \right)} > \sqrt{2\;g \left( 6\;a\;\pi - a\;\pi \right)} = \sqrt{10\;g\;a\;\pi}</math>.</ref>. [[File:Masse au bout d'un fil s'enroulant sur cylindre fixe - penta.png|thumb|400px|Dans le cadre d'un solide ponctuel <math>\;M\;</math> attaché à un fil idéal<ref name="fil idéal" /> de longueur <math>\;l_0\;</math> s'enroulant sur un cylindre fixe de rayon <math>\;a = \dfrac{l_0}{2\;\pi}\;</math> en restant dans un plan <math>\;\perp\;</math> à l'axe horizontal du cylindre, graphe de la fonction <math>\;h(\theta) = l_0\, \left\lbrace \dfrac{1}{2\;\pi}\;\sin(\theta) + \dfrac{3}{2}\,\left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\cos(\theta) \right\rbrace</math>]] * {{Al|5}}Dans l'hypothèse où <math>\;\dfrac{l_0}{a} = 2\;\pi\;</math> <math>\big(</math>le fil totalement enroulé correspondant à un seul tour de cylindre<math>\big)</math>, représentation du graphe de la fonction «<math>\;h(\theta) = a\;\sin(\theta) + \dfrac{3}{2}\,\left[ l_0 - a\;\theta \right]\,\cos(\theta)\;</math><ref name="T(t) et theta.(t) en présence de pesanteur" /> <math>= l_0\, \left\lbrace \dfrac{1}{2\;\pi}\;\sin(\theta) + \dfrac{3}{2}\,\left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\cos(\theta) \right\rbrace</math>» ci-contre, nécessitant l'utilisation d'une calculatrice graphique <math>\;\big(</math>ou d'un calculateur numérique<math>\big)\;</math><ref> En effet le calcul de la dérivée de <math>\;h(\theta)\;</math> donnant <math>\;\dfrac{d h}{d \theta}(\theta) = l_0 \left\lbrace \dfrac{1}{2\;\pi}\;\cos(\theta) - \dfrac{3}{2}\, \left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\sin(\theta) - \dfrac{3}{2}\,\dfrac{1}{2\;\pi}\;\cos(\theta) \right\rbrace =</math> <math>-\dfrac{l_0}{2} \left\lbrace 3\,\left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\sin(\theta) + \dfrac{1}{2\;\pi}\;\cos(\theta) \right\rbrace\;</math> ne permet pas d'obtenir simplement son signe et donc le tableau de variation de <math>\;h(\theta)\;\ldots</math></ref> sur laquelle on déduit la variation de la fonction : «<math>\;h(\theta) \searrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_1 \right]\;</math> avec <math>\;\theta_1 \in \left] \dfrac{\pi}{2}\,,\,\pi \right[\;</math>»<ref name="zéros de la dérivée de h de theta"> «<math>\;\theta_1\;</math> étant le 1^er zéro de <math>\;-\dfrac{2}{3\;l_0}\;\dfrac{d h}{d \theta}(\theta) = \left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\sin(\theta) + \dfrac{1}{6\;\pi}\;\cos(\theta)\;</math>» et <br>{{Al|23}}«<math>\;\theta_2\;</math> son 2^ème zéro ».</ref> puis «<math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ \theta_1\,,\, \theta_2 \right]\;</math> avec <math>\;\theta_2 \in \left] \dfrac{3\;\pi}{2}\,,\,2\;\pi \right[\;</math>»<ref name="zéros de la dérivée de h de theta" /> et enfin «<math>\;\searrow\;</math> sur <math>\;\left[ \theta_2\,,\, 2\;\pi \right]\;</math>» ; ci-après quelques valeurs de la fonction «<math>\;h(0) = \dfrac{3\;l_0}{2}\;</math>», «<math>\;h\!\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{l_0}{2\;\pi} = a\;</math>», «<math>\;h(\pi) = -\dfrac{3\;l_0}{4}\;</math>», «<math>\;h\!\left( \dfrac{3\;\pi}{2} \right) =</math> <math>-\dfrac{l_0}{2\;\pi} = -a\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;h(2\;\pi)</math>}} <math>= 0\;</math>». * {{Al|5}}<u>Dans la mesure où la position étudiée peut être atteinte</u><ref name="vitesse angulaire ne s'annule pas"> C.-à-d. si <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> ne s'annule pas avant que cette position ne soit atteinte.</ref>, «<math>\;T(t)\;</math> restera <math>\;> 0\;</math> si <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> vérifie <math>\;h(\theta) > l_0 - \dfrac{V_0^2}{2\;g},\;\;\forall\;\theta\;</math>» {{Nobr|<math>\Bigg\{</math>en}} effet «<math>\;T(t) = \dfrac{2\;m\;g}{l_0 - a\;\theta(t)} \left\lbrace \dfrac{\vec{V}^2_0}{2\;g} - l_0 + h\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="T(t) et theta.(t) en présence de pesanteur" /> ne s'annule pas si <math>\;\dfrac{\vec{V}^2_0}{2\;g} - l_0 > -h\!\left[ \theta(t) \right],\;\;\forall\;t\;</math>»<math>\Bigg\}</math>, ce qui est réalisé si {{Nobr|«<math>\;h_{\text{min}} > l_0 - \dfrac{V_0^2}{2\;g}\;</math>»}} soit encore «<math>\;V_0 > \sqrt{2\;g \left( l_0 - h_{\text{min}} \right)} = V_{0,\,\text{crit}}\;</math>» avec <math>\;h_{\text{min}} = h(\theta_1) < h(\pi) = -\dfrac{3\;l_0}{4}\;</math> d'où un « minorant de la vitesse critique pour que le fil reste tendu <math>\;V_{0,\,\text{crit}} = \sqrt{2\;g \left( l_0 - h_{\text{min}} \right)} > \sqrt{\dfrac{7\;g\;l_0}{2}}\;</math>» «<math>\;> \sqrt{3\;g\;l_0} = V_{0,\,\text{min}}\;</math>»<ref> Pour «<math>\;V_0 > V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{3\;g\;l_0}\;</math>», <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> ne s'annule pas et l'étude du signe de <math>\;T(t)\;</math> a un sens pour tout <math>\;\theta \in \left[ 0\;,\; 2\;\pi \right]\;</math> et si, en plus,<br>{{Al|3}}{{Transparent|Pour }}«<math>\;V_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\sqrt{\dfrac{7\;g\;l_0}{2}} < \sqrt{2\;g \left( l_0 - h_{\text{min}} \right)} = V_{0,\,\text{crit}}\;</math>» il existe une position à partir de laquelle le fil est détendu.</ref>. * {{Al|5}}Dans l'hypothèse où <math>\;l_0\;</math> est quelconque, la fonction «<math>\;h(\theta) = a\;\sin(\theta) + \dfrac{3}{2}\,\left[ l_0 - a\;\theta \right]\,\cos(\theta)\;</math>»<ref name="T(t) et theta.(t) en présence de pesanteur" /> est de même variation que dans le cas particulier <math>\;l_0 = 2\;\pi\;a</math> <math>\bigg\{</math>en effet la dérivée étant égale à <math>\;\dfrac{d h}{d \theta}(\theta) = a\;\cos(\theta) - \dfrac{3}{2}\, \left[ l_0 - a\;\theta \right]\,\sin(\theta) - \dfrac{3}{2}\,a\;\cos(\theta) =</math> <math>-\left[ \dfrac{a}{2}\;\cos(\theta) + \dfrac{3}{2}\, \left( l_0 - a\;\theta \right)\,\sin(\theta) \right]\;</math> ne permet pas de déterminer algébriquement ses zéros, ce qui nécessite l'utilisation d'une calculatrice graphique <math>\;\big(</math>ou d'un calculateur numérique<math>\big)\;</math> conduisant à une même allure de courbe<math>\bigg\}\;</math> avec pour valeurs de la fonction «<math>\;h(0) = \dfrac{3\;l_0}{2}\;</math>», «<math>\;h\!\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = a\;</math>», «<math>\;h_{\text{min}} = h(\theta_1) < h(\pi) =</math> <math>-\dfrac{3 \left( l_0 - a\;\pi \right)}{2}\;</math>»<ref name="theta1, theta2, theta3"> «<math>\;\theta_1 \in \left] \dfrac{\pi}{2}\,,\,\pi \right[\;</math> étant le 1^er zéro de <math>\;\dfrac{d h}{d \theta}(\theta) = -\left[ \dfrac{a}{2}\;\cos(\theta) + \dfrac{3}{2}\, \left( l_0 - a\;\theta \right)\,\sin(\theta) \right]\;</math>», «<math>\;\theta_2 \in \left] \dfrac{3\;\pi}{2}\,,\,2\;\pi \right[\;</math> son 2^ème zéro », «<math>\;\theta_3 \in \left] \dfrac{5\;\pi}{2}\,,\,3\;\pi \right[\;</math> son 3^ème zéro », etc<math>\ldots\;</math> le nombre dépendant de la valeur de <math>\;l_0</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;h\!\left( \dfrac{3\;\pi}{2} \right)</math>}} <math>= -a\;</math>», «<math>\;h_{2^{\text{ème}} \text{max}} = h(\theta_2) < h(2\;\pi) = \dfrac{3 \left( l_0 - 2\;a\;\pi \right)}{2}\;</math>»<ref name="theta1, theta2, theta3" />, «<math>\;h\!\left( \dfrac{5\;\pi}{2} \right) = a\;</math>», «<math>\;h_{2^{\text{ème}} \text{min}} = h(\theta_3) < h(3\;\pi) = -\dfrac{3 \left( l_0 - 3\;a\;\pi \right)}{2}\;</math>»<ref name="theta1, theta2, theta3" /> <math>\ldots\;</math> <math>\big(</math>ces valeurs n'ayant de signification que dans l'hypothèse <math>\;l_0 > 3\;a\;\pi\;</math><ref name="valeurs physiques possibles de theta - bis"> En fait <math>\;l_0\;</math> étant quelconque, l'angle <math>\;\theta\;</math> repérant le point <math>\;I\;</math> est nécessairement <math>\;<\;</math> à <math>\;\dfrac{l_0}{a}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En fait <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> étant quelconque, }}pour que le 1^er minimum correspondant à <math>\;\theta_1 \in \left] \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right[\;</math> soit atteint il faut que <math>\;l_0\;</math> soit <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;\theta_1\;a < \pi\;a</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En fait <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> étant quelconque, }}pour que le 2^ème maximum correspondant à <math>\;\theta_2 \in \left] \dfrac{3\;\pi}{2}\,,\, 2\;\pi \right[\;</math> soit atteint il faut que <math>\;l_0\;</math> soit <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;\theta_2\;a < 2\;\pi\;a</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En fait <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> étant quelconque, }}pour que le 2^ème minimum correspondant à <math>\;\theta_3 \in \left] \dfrac{5\;\pi}{2}\,,\, 3\;\pi \right[\;</math> soit atteint il faut que <math>\;l_0\;</math> soit <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;\theta_3\;a < 3\;\pi\;a\;\ldots</math></ref><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans l'hypothèse où <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> est quelconque, }}<u>dans la mesure où la position peut être atteinte</u><ref name="vitesse angulaire ne s'annule pas" />, «<math>\;T(t)\;</math> restera <math>\;> 0\;</math> si <math>\;V_0 > \sqrt{2\;g \left( l_0 - h_{\text{min}} \right)} = V_{0,\,\text{crit}}\;</math> avec <math>\;h_{\text{min}} = h(\theta_1) < h(\pi) = -\dfrac{3 \left( l_0 - a\;\pi \right)}{2}\;</math>» {{Nobr|<math>\;\Bigg\{</math>en effet}} «<math>\;T(t) = \dfrac{2\;m\;g}{l_0 - a\;\theta(t)} \left\lbrace \dfrac{\vec{V}^2_0}{2\;g} - l_0 + h\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="T(t) et theta.(t) en présence de pesanteur" /> ne s'annule pas si <math>\;\dfrac{\vec{V}^2_0}{2\;g} - l_0 > -h\!\left[ \theta(t) \right],\;\;\forall\;t\;</math>» réalisé si «<math>\;h_{\text{min}} > l_0 - \dfrac{V_0^2}{2\;g}\;</math>»<math>\Bigg\}</math>, d'où un «minorant de la vitesse critique pour que le fil reste tendu <math>\;V_{0,\,\text{crit}} = \sqrt{2\;g \left( l_0 - h_{\text{min}} \right)} > \sqrt{g\, \left( 7\;l_0 - 3\;a\;\pi \right)}\;</math>» avec la propriété suivante «<math>\;V_{0,\,\text{crit}} > \sqrt{g\, \left( 7\;l_0 - 3\;a\;\pi \right)} > \sqrt{g\, \left( 6\;l_0 - 3\;a\;\pi \right)} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\;\sqrt{g\, \left( 4\;l_0 - 2\;a\;\pi \right)} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\;V_{0,\,\text{min}} > V_{0,\,\text{min}}\;</math>». [[File:Masse au bout d'un fil s'enroulant sur cylindre fixe - hexa.png|thumb|400px|Dans le cadre d'un solide ponctuel <math>\;M\;</math> attaché à un fil idéal<ref name="fil idéal" /> de longueur <math>\;l_0\;</math> s'enroulant sur un cylindre fixe de rayon <math>\;a = \dfrac{l_0}{2\;\pi}\;</math> en restant dans un plan <math>\;\perp\;</math> à l'axe horizontal du cylindre, superposition des graphes des fonctions <math>\;f(\theta) = l_0 \left\lbrace \dfrac{\sin(\theta)}{2\;\pi} + \left[ 1 - \dfrac{\theta}{2\;\pi} \right] \cos(\theta) \right\rbrace</math> <math>\big(</math>traits pleins<math>\big)\;</math>et <math>\;h(\theta) = l_0\, \left\lbrace \dfrac{1}{2\;\pi}\;\sin(\theta) + \dfrac{3}{2}\,\left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\cos(\theta) \right\rbrace</math> <math>\big(</math>traits tiretés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Les deux graphes précédents, dans l'hypothèse où <math>\;\dfrac{l_0}{a} = 2\;\pi\;</math> <math>\big(</math>le fil totalement enroulé correspondant à un seul tour de cylindre<math>\big)\;</math> étant représentés ci-contre sur un même diagramme, « celui de <math>\;f(\theta) = l_0\, \left\lbrace \dfrac{1}{2\;\pi}\;\sin(\theta) + \left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\cos(\theta) \right\rbrace\;</math> en traits pleins » et « celui de <math>\;h(\theta) = l_0\, \left\lbrace \dfrac{1}{2\;\pi}\;\sin(\theta) + \dfrac{3}{2}\,\left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\cos(\theta) \right\rbrace\;</math> en traits tiretés », nous constatons : {{Al|5}}{{Transparent|Les deux graphes précédents, }}<math>\blacktriangleright\;</math>si «<math>\;V_0 > V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{3\;g\;l_0}\;</math>», <math>\;f(\theta) > l_0 - \dfrac{V_0^2}{2\;g},\;\;\forall\;\theta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> ne s'annule jamais tant que le fil reste tendu » <math>\;\big[</math>cas <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> ou <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> sur le diagramme ci-contre<math>\big]\;</math> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les deux graphes précédents, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si «<math>\;\color{transparent}{V_0 > V_{0,\,\text{min}}}</math> }}<math>\succ\;</math>si «<math>\;V_0 > V_{0,\,\text{crit}} = \sqrt{2\;g \left( l_0 - h_{\text{min}} \right)} > \sqrt{\dfrac{7\;g\;l_0}{2}} > \sqrt{3\;g\;l_0} = v_{0,\,\text{min}}\;</math>» <math>\;\big[</math>cas <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> sur le diagramme ci-contre<math>\big]\;</math> la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des abscisses et d'ordonnée <math>\;l_0 - \dfrac{V_0^2}{2\;g}\;</math> n'ayant aucun point d'intersection avec le graphe de <math>\;h(\theta)</math>, la tension <math>\;T(t)\;</math> reste toujours <math>\;> 0\;</math> c'est-à-dire que <u>le fil reste toujours tendu jusqu'à ce qu'il soit totalement enroulé sur le cylindre</u><ref name="rupture du fil"> Ou jusqu'à ce que la tension maximale admissible par le fil soit atteinte et que ce dernier ait cassé.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>}} valant alors <math>\;\theta_a = 2\;\pi\;</math>» alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les deux graphes précédents, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si «<math>\;\color{transparent}{V_0 > V_{0,\,\text{min}}}</math> }}<math>\succ\;</math>si «<math>\;V_0 \in \left] V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{3\;g\;l_0}\;,\; V_{0,\,\text{crit}} = \sqrt{2\;g \left( l_0 - h_{\text{min}} \right)} \right[\;</math>»<ref> La vitesse critique <math>\;V_{0,\,\text{crit}}\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;\sqrt{\dfrac{7\;g\;l_0}{2}}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>cas <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> sur le diagramme ci-contre<math>\big]\;</math> la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des abscisses et d'ordonnée <math>\;l_0 - \dfrac{V_0^2}{2\;g}\;</math> coupant le graphe de <math>\;h(\theta)\;</math> une 1^ère fois en un point d'abscisse <math>\;\theta_{\mathit{l}} \in \left] \dfrac{\pi}{2}\,,\, \theta_1 \right[</math>, la tension <math>\;T(t)\;</math> cesse d'être <math>\;> 0\;</math> pour la valeur <math>\;\theta_{\mathit{l}}\;</math> de <math>\;\theta\;</math> c'est-à-dire que <u>le fil cesse d'être tendu en la position repérée par</u><math>\;\theta_{\mathit{l}}</math> <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les deux graphes précédents, }}<math>\blacktriangleright\;</math>si «<math>\;V_0 < V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{3\;g\;l_0}\;</math>», attendre l'étude sur la figure ci-dessous. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les deux graphes précédents, }}Si <math>\;l_0\;</math> est quelconque avec «<math>\;V_0 > V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{2\;g \left( 2\;l_0 - a\;\pi \right)}\;</math>», le traitement se fait de façon identique et conduit aux mêmes conclusions à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les deux graphes précédents, si <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> est quelconque }}<math>\succ\;</math>si «<math>\;V_0 > V_{0,\,\text{crit}} = \sqrt{2\;g \left( l_0 - h_{\text{min}} \right)} > \sqrt{g\, \left( 7\;l_0 - 3\;a\;\pi \right)} > V_{0,\,\text{min}}\;</math>»<ref> En effet <math>\;\sqrt{g\, \left( 7\;l_0 - 3\;a\;\pi \right)} > \sqrt{g\, \left( 4\;l_0 - 2\;a\;\pi \right)} = V_{0,\,\text{min}}</math>.</ref>, la tension <math>\;T(t)\;</math> reste toujours <math>\;> 0\;</math> c'est-à-dire que <u>le fil reste toujours tendu jusqu'à ce qu'il soit totalement enroulé sur le cylindre</u><ref name="rupture du fil" />, «<math>\;\theta\;</math> valant alors <math>\;\theta_a = \dfrac{l_0}{2\;\pi}\;</math>» alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les deux graphes précédents, si <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> est quelconque }}<math>\succ\;</math>si «<math>\;V_0 \in \left] V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{g\, \left( 4\;l_0 - 2\;a\;\pi \right)}\;,\; V_{0,\,\text{crit}} = \sqrt{2\;g \left( l_0 - h_{\text{min}} \right)} \right[\;</math>»<ref> La vitesse critique <math>\;V_{0,\,\text{crit}}\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;\sqrt{g\, \left( 7\;l_0 - 3\;a\;\pi \right)}</math>.</ref>, la tension <math>\;T(t)\;</math> cesse d'être <math>\;> 0\;</math> pour la valeur <math>\;\theta_{\mathit{l}}\;</math> de <math>\;\theta\;</math> c'est-à-dire que <u>le fil cesse d'être tendu en cette position repérée</u><math>\;\theta_{\mathit{l}}</math> <math>\;\ldots</math> [[File:Masse au bout d'un fil s'enroulant sur cylindre fixe - hepta.png|thumb|400px|Dans le cadre d'un solide ponctuel <math>\;M\;</math> attaché à un fil idéal<ref name="fil idéal" /> de longueur <math>\;l_0\;</math> s'enroulant sur un cylindre fixe de rayon <math>\;a = \dfrac{l_0}{2\;\pi}\;</math> en restant dans un plan <math>\;\perp\;</math> à l'axe horizontal du cylindre, superposition des graphes des fonctions <math>\;f(\theta) = l_0 \left\lbrace \dfrac{\sin(\theta)}{2\;\pi} + \left[ 1 - \dfrac{\theta}{2\;\pi} \right] \cos(\theta) \right\rbrace</math> <math>\big(</math>traits pleins<math>\big)\;</math>et <math>\;h(\theta) = l_0\, \left\lbrace \dfrac{1}{2\;\pi}\;\sin(\theta) + \dfrac{3}{2}\,\left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\cos(\theta) \right\rbrace</math> <math>\big(</math>traits tiretés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}La superposition des graphes de <math>\;f(\theta)\;</math> et de <math>\;h(\theta)</math>, dans l'hypothèse où <math>\;\dfrac{l_0}{a} = 2\;\pi\;</math> <math>\big(</math>le fil totalement enroulé correspondant à un seul tour de cylindre<math>\big)\;</math> étant représentés ci-contre sur un même diagramme, « celui de <math>\;f(\theta) = l_0\, \left\lbrace \dfrac{1}{2\;\pi}\;\sin(\theta) + \left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\cos(\theta) \right\rbrace\;</math> en traits pleins » et « celui de <math>\;h(\theta) = l_0\, \left\lbrace \dfrac{1}{2\;\pi}\;\sin(\theta) + \dfrac{3}{2}\,\left[ 1 - \dfrac{1}{2\;\pi}\;\theta \right]\,\cos(\theta) \right\rbrace\;</math> en traits tiretés », nous constatons : {{Al|5}}{{Transparent|La superposition des graphes }}<math>\blacktriangleright\;</math>si «<math>\;V_0 > V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{3\;g\;l_0}\;</math>», étude déjà faite <math>\;\big[</math>cas <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> ou <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> sur diagramme ci-dessus à droite<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La superposition des graphes }}<math>\blacktriangleright\;</math>si «<math>\;V_0 < V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{3\;g\;l_0}\;</math>», la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des abscisses et d'ordonnée <math>\;l_0 - \dfrac{V_0^2}{2\;g}\;</math> coupant le graphe de <math>\;f(\theta)\;</math> une 1^ère fois en un point d'abscisse <math>\;\theta_s \in \left] 0\,,\, \pi \right[</math>, <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> s'annule en cette position <math>\;\big(</math>si toutefois le fil y est tendu<math>\big)\;</math> suivi d'un changement de sens du mouvement <math>\;\big[</math>cas <math>\;(\mathfrak{3})\;</math> ou <math>\;(\mathfrak{4})\;</math> sur le diagramme ci-contre<math>\big]\;</math> mais la même droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des abscisses et d'ordonnée <math>\;l_0 - \dfrac{V_0^2}{2\;g}\;</math> coupant aussi le graphe de <math>\;h(\theta)\;</math> une 1^ère fois en un point d'abscisse <math>\;\theta_{\mathit{l}}\;</math><ref> <math>\;\theta_{\mathit{l}} \in \left] \theta_0\,,\, \theta_1 \right[\;</math> où <math>\;\theta_0\;</math> est telle que <math>\;h(\theta_0) = 1\;</math> en unités <math>\;l_0</math>.</ref> en lequel la tension <math>\;T(t)\;</math> s'annule, il convient d'envisager les deux possibilités <math>\;\theta_{\mathit{l}} < \theta_s\;</math> et <math>\;\theta_{\mathit{l}} > \theta_s</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La superposition des graphes <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si «<math>\;\color{transparent}{V_0 < V_{0,\,\text{min}}}</math> }}<math>\succ\;</math>si «<math>\;V_0 < V_{0,\,\text{crit}'}\;</math>» 2^ème vitesse critique pour laquelle <math>\;\theta_{\mathit{l}} = \theta_s\;</math> de valeur commune <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> correspondant à <math>\;l_0 - \dfrac{V_{0,\,\text{crit}'}^{\,2}}{2\;g} = a = \dfrac{l_0}{2\;\pi}\;</math> soit «<math>\;V_{0,\,\text{crit}'} = \sqrt{2\;g \left( l_0 - a \right)} = \sqrt{2\;g\;l_0 \left( 1 - \dfrac{1}{2\;\pi} \right)}\;</math>» <math>\big[</math>cas <math>\;(\mathfrak{3})\;</math> sur le diagramme ci-contre<math>\big]</math>, <math>\;\theta_{\mathit{l}}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\theta_s</math>, <u>le fil cesse d’être tendu pour</u><math>\;\theta = \theta_{\mathit{l}}\;</math> <math>\big(</math>le point <math>\;I\;</math> y ayant encore une <u>vitesse angulaire positive</u><math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|La superposition des graphes <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si «<math>\;\color{transparent}{V_0 < V_{0,\,\text{min}}}</math> }}<math>\succ\;</math>si «<math>\;V_0 \in \left] V_{0,\,\text{crit}'} = \sqrt{2\;g\;l_0 \left( 1 - \dfrac{1}{2\;\pi} \right)}\;,\; < V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{3\;g\;l_0} \right[\;</math>» <math>\big[</math>cas <math>\;(\mathfrak{4})\;</math> sur le diagramme ci-contre<math>\big]</math>, <math>\;\theta_s\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\theta_{\mathit{l}}</math>, <u>la vitesse angulaire du point</u><math>\;I\;</math><u>s'annule pour</u><math>\;\theta = \theta_s\;</math> <math>\big(</math><u>le fil y étant encore tendu</u><math>\big)\;</math> et par suite <u>le mouvement continue en sens inverse, le fil restant toujours tendu</u>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La superposition des graphes }}Si <math>\;l_0\;</math> est quelconque avec «<math>\;V_0 < V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{2\;g \left( 2\;l_0 - a\;\pi \right)}\;</math>», le traitement se faisant de façon identique <br>{{Al|5}}{{Transparent|La superposition des graphes Si <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> est quelconque avec «<math>\;\color{transparent}{V_0 < V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{2\;g \left( 2\;l_0 - a\;\pi \right)}}\;</math>», le traitement }}<math>\Rightarrow</math> les mêmes conclusions <br>{{Al|5}}{{Transparent|La superposition des graphes Si <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> est quelconque }}<math>\succ\;</math>si «<math>\;V_0 < V_{0,\,\text{crit}'} = \sqrt{2\;g \left( l_0 - a \right)}\;</math>», <math>\;\theta_{\mathit{l}}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\theta_s</math>, <u>le fil cesse d’être tendu pour</u><math>\;\theta = \theta_{\mathit{l}}\;</math> <math>\big(</math>le point <math>\;I\;</math> y ayant encore une <u>vitesse angulaire positive</u><math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La superposition des graphes Si <math>\;\color{transparent}{l_0}\;</math> est quelconque }}<math>\succ\;</math>si «<math>\;V_0 \in \left] V_{0,\,\text{crit}'} = \sqrt{2\;g \left( l_0 - a \right)}\;,\; V_{0,\,\text{min}} = \sqrt{2\;g \left( 2\;l_0 - a\;\pi \right)} \right[\;</math>», <u>la vitesse angulaire du point</u><math>\;I\;</math><u>s'annule pour</u><math>\;\theta = \theta_s\;</math> <math>\big(</math><u>le fil y étant encore tendu</u><math>\big)\;</math> et par suite <u>le mouvement continue en sens inverse, le fil restant toujours tendu</u> <math>\;\ldots</math>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force/|Approche énerg. du mouv. d'un point mat. : Puiss. et trav. d'une force]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique/|Approche énerg. du mouv. d'un point mat. : Énerg. pot. et énerg. mécan.]] }} 7jrnjwdgsxhgvd1ooirhj5h3da5iekx 0 70805 982894 978931 2026-05-17T15:21:33Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982894 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 16 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « <u>forces ne dépendant pas explicitement du temps</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}une force dépendant explicitement du temps<ref name="force conservative dépendant explicitement du temps"> Les définitions données ci-après pourraient s'appliquer <u>en figeant le temps</u> mais <u>les conséquences énergétiques</u> qui découlent de l'introduction du caractère conservatif d'une force ne dépendant pas explicitement du temps <u>ne seraient plus valables dans le cas d'une force dépendant explicitement du temps</u> ; <br>{{Al|3}}aussi non seulement cette introduction pour une telle force perd tout son intérêt mais elle supprime aussi les conséquences énergétiques de l'introduction du caractère conservatif pour les autres forces conservatives ne dépendant pas explicitement du temps.</ref> sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative {{Nobr|<math>\;\big(</math>au}} sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après<math>\big)</math>. == 1^ère définition d'une force « conservative » == {{Définition|titre=1^ère définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> est indépendant du chemin suivi <math>\;(\Gamma)\;</math> »<ref name="travail non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment indépendant du chemin suivi, on ne considère pas la force comme conservative si son travail est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> <center>ou ssi «<math>\;W_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Notion_d'intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>»<ref name="travail non nul" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1^ère définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Notion_de_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Notion de champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> étant indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>mais dépendant de <math>\;M_1\;</math> et de <math>\;M_2\big]\;</math> peut s'écrire sous la forme d'une différence de fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> prise entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> c'est-à-dire «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1) = \Delta S_{\vec{F}}\;</math>». == 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative == === 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » === {{Définition|titre=2^ème définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail élémentaire est une différentielle de fonction énergétique »<ref name="travail élémentaire non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment la différentielle d'une fonction constante, on ne considère pas la force comme conservative si son travail élémentaire est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> ou <center>ssi «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est une différentielle exacte »<ref name="travail élémentaire non nul" />{{,}}<ref name="différentielle totale"> Ou différentielle totale.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2^ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> étant une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> d'une fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dS_{\vec{F}} = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M)\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}en notant <math>\;M'\;</math> le point infiniment voisin de <math>\;M\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math>». === Justification de l'équivalence entre les deux définitions === {{Al|5}}<u>Justification directe</u> « 1^ère définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 2^ème définition » : si « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> tels que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math> ce qui se réécrit « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> ne dépend que des points extrêmes <math>\;M'\;</math> et <math>\;M\;</math> et non du chemin utilisé » c'est-à-dire que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math>, <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M) = dS_{\vec{F}}\;</math> ». {{Al|5}}<u>Justification réciproque</u> « 2^ème définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 1^ère définition » : Si « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math> », « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> est égal à <math>\;S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1)\;</math> sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> ». === Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N<ref name="C.N."> Conditions(s) Nécessaire(s).</ref>. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative</u> : Une force</u> <math>\;\vec{F}(M)</math>, fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point <math>\;M\;</math> notées <math>\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)\;</math><ref name="x, y, z"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow \rho\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow r\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow \varphi\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)||Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>est conservative</u> <u>si les dérivées croisées des</u> fonctions <u>cœfficients des éléments de coordonnées</u> cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés <math>\;\left( dx\,,\,dy\,,\,dz \right)\;</math><ref name="dx, dy, dz"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow d\rho = (dM)_\rho\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{\rho}\\ dz \rightarrow dz = (dM)_z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow dr = (dM)_r\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{r}\\ dz \rightarrow d \varphi = \dfrac{(dM)_\varphi}{r\;\sin(\theta)}\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>de son travail élémentaire</u> <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> <u>sont égales</u> ce qui s'écrit, suivant le type de repérage, * en repérage cartésien : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace</math>, * en repérage cylindro-polaire : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial (\rho\; F_\theta)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial (\rho\;F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en cylindro-polaire"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho(M)\;d \rho + F_\theta(M)\;\rho\,d \theta + F_z(M)\;dz</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta (M) + \rho\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \rho\;\left[ \dfrac{\partial (F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> et * en repérage sphérique : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\; F_\theta \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;F_\theta \right]}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en sphérique"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r(M)\;dr + F_\theta(M)\;r\,d \theta + F_\varphi(M)\;r\,\sin(\theta)\,d \varphi</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta(M) + r\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\;F_\varphi(M) + r\;\sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\;F_\varphi(M) + \sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : }}le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3^ème dimension, la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, la seule différence étant le nombre de conditions qui passe de trois à une <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x"> Coordonnée non nécessairement cartésienne mais qui peut être cylindro-polaire <math>\;\rho</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou encore sphérique <math>\;r</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;\varphi</math>.</ref>, le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dx\;\vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = d \rho\;\vec{u}_\rho</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et axiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dz\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dr\;\vec{u}_r</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et longitudale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\rho}{d \rho} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = \rho\;</math> et axiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_z}{dz} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_r}{dr} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = r\;</math> et longitudale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\varphi}{d \varphi} = r\;\sin(\theta)</math>.</ref> {{Nobr|<math>\;\big(</math>c'est-à-dire}} la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable <math>\;x\;</math><ref> En effet dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dx + 0 \times dy\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( x\,,\, y \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial x} \right)_{\!\!y}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_x\;</math> indépendant de <math>\;y</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho\;d \rho + 0 \times \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\rho\;</math> indépendant de <math>\;\theta</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times d \rho + F_\theta \; \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;\rho\;</math> indépendant de <math>\;\rho\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{\rho}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r\;dr + 0 \times r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_r\;</math> indépendant de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + F_\theta \; r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;r\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{r}</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique longitudale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + 0 \times r\; d \theta + F_\varphi \; r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\varphi\;r\;\sin(\theta)\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\theta\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\varphi\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\varphi)}{r\;\sin(\theta)}</math>.</ref>. === Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Rappel de préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S<ref name="C.S."> Conditions(s) Suffisante(s).</ref>. pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappel de préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}Ci-dessous le théorème de Poincaré<ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force soit conservative. {{Théorème| titre= Théorème de Poincaré (appliqué aux forces bi ou tridimensionnelles) |contenu ={{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire <u>vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées</u> des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées sur un <u>ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^n,\;\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> est dite « <u>[[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U\;</math> le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U</math> ; on dit alors que <math>\;U\;</math> est « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à <math>\;P</math> » <math>\big\{U\;</math> est « <u>[[w:Ensemble_convexe|convexe]]</u> » ssi <math>\;U\;</math> est [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math>.</ref> de son domaine de définition est une force conservative. <center><math>\Updownarrow</math></center> {{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire est <u>fermé<ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « <u>conditions d'égalités des dérivées croisées</u> » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite <u>fermée</u> sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'<u>une différentielle exacte est une forme différentielle fermée</u> <math>\;\big[</math>mais, comme nous le voyons ici, la réciproque est fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée" /> de son domaine de définition est une force conservative.}} {{Al|5}}<u>C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x" /> le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx" /> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est conservative pour <math>\;M \in\;</math> à la courbe continue paramétré par <math>\;x\big]\;</math> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable {{Nobr|<math>\;x\;</math><ref> Ceci correspondant à la fermeture de la forme différentielle travail élémentaire.</ref>}} en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable<ref> Ceci correspondant à un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] du domaine de définition de <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math> sur lequel le travail élémentaire est fermé.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N<ref name="C.N." />. pour qu'elles soient conservatives <math>\;\big[</math>à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par <math>\;x\;</math> la fonction cœfficient de <math>\;dx\;</math> ne dépendant que de <math>\;x\;</math> ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire<ref name ="forme différentielle fermée" /><math>\big]\;</math> sont usuellement définies sur une [[w:Partie_étoilée|partie étoilée]]<ref name="partie étoilée" /> et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives <math>\;\big(</math>c'est-à-dire que leur travail élémentaire est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /><math>\big)\;</math> sans vérifier le caractère [[w:Partie_étoilée|étoilé]]<ref name="partie étoilée" /> de la partie sur laquelle elles sont définies. == Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative == === 1^ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition| titre=1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative| contenu ={{Al|5}}L'énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]\;</math> est le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> s'identifie à l'opposé de la différentielle de <math>\;U_{\vec{F}}(M)</math> » soit <center>«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math>» ou «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}}\;</math>»<ref> On comprend pourquoi une force dont le travail élémentaire est identique nul n'est pas considérée comme conservative car l'énergie potentielle dont elle dériverait serait constante et son introduction n'aurait aucun intérêt <math>\;\big(</math>raison pour laquelle ceci est sous-entendu dans la définition d'une force conservative<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> En accord avec la définition des « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et cela prolonge cette dernière dans le cas d'une force conservative dont le point <math>\;M\;</math> se déplace sur une courbe continue.</ref> ;</center>}} {{Al|5}}dans le S.I<ref name="S.I."> Système International.</ref>. des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en <math>\;J</math>. === Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{1}\;</math> : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive la force conservative » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{2}\;</math> : <u>Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées</u> est <u>la différence de l'énergie potentielle du point matériel</u> dans le champ de force conservative <u>entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie</u> soit «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"/> indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>» se réécrit avec <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math> «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = U_{\vec{F}}(M_1) - U_{\vec{F}}(M_2) =</math> <math>-\Delta U_{\vec{F}}\;</math>». === 2^ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition |titre= 2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative|contenu ={{Al|5}}On appelle énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]</math>, le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que son gradient <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math><ref name="gradient d'un champ scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit l'opposé de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> c'est-à-dire <center>«<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Justification de l'équivalence</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour les forces définies en un point se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues, le cas où le point se déplace sur une courbe continue résultant du lien entre la différentielle d'une fonction d'une variable et la dérivée de cette fonction relativement à la variable.</ref> : la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}le gradient du champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> tel que sa circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit la différentielle du champ scalaire<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations «<math>\;\left\lbrace \vec{F}(M) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0,\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et par suite «<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}réciproquement si on multiplie chaque membre de <math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> scalairement par <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative. == 1^ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique == {{Al|5}}Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel <math>\;M\;</math> dans un référentiel galiléen<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, entre un instant initial <math>\;t_1\;</math> et un instant final <math>\;t_2</math>, en distinguant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> dont on utilise le caractère conservatif <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)}\;</math> }}en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée <math>\;U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>des « forces non conservatives »<ref name="forces non conservatives"> Plus exactement des forces non conservatives ou conservatives mais dont on n’utilise pas le caractère conservatif en définissant une énergie potentielle, raison pour laquelle on les maintient dans l'ensemble des forces non conservatives.</ref> <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}soit «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = K_M(t_2) - K_M(t_1) = \Delta K_M\;</math>» où on remplace le travail de chaque force conservative par «<math>\;W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_1) - U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_2) = -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = \sum\limits_j \left[ -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] = - \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «<math>\;- \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta K_M\;</math>» soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}en transposant les termes d'énergies potentielles <math>\;\big(</math>ce qui entraîne un changement de signe<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}«<math>\;\sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta\! \left[ K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» c'est-à-dire une relation définissant une <u>'''nouvelle''' grandeur énergétique</u>, <u>'''somme'''</u> de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur <u>'''restant constante en absence de travail des forces non conservatives'''</u><ref name="forces non conservatives" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}on comprend donc l'importance du signe <math>\;-\;</math> dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, «<math>\;-\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math> devenant, lors du changement de membre, <math>\;+\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « la nouvelle grandeur énergétique conservée si les forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas » est la « <u>somme</u> » <math>\;\big(</math>et non la différence<math>\big)\;</math> de termes ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;2\;</math> contributions <math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;K_M\;</math>»<ref> Grandeur <u>dépendant du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la cinétique du point et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>»<ref> D'une part chaque énergie potentielle est définie à une constante additive près, ce qui nécessite le choix, rappelons-le, d'une « référence pour chaque énergie potentielle » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'endroit où elle est considérée nulle<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part l'énergie potentielle d'un point matériel dans plusieurs champs de forces conservatives étant définie comme la somme des énergies potentielles dont dérivent les forces conservatives prises individuellement, on peut se contenter de choisir la « référence pour l'énergie potentielle totale » ;<br>{{Al|3}}enfin on admettra que l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>tout comme le champ de forces dans lequel elle est définie<math>\big)\;</math> est <u>indépendante du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la position du point <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» }}dans le champ de forces conservatives. == Exemples de forces « non conservatives » == === La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives » === ==== Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide ==== {{Al|5}}La réaction <math>\;\vec{R}\;</math> d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#3ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_solide,_liaisons_unilatérale_ou_bilatérale,_idéales_(c.-à-d._sans_frottement)_ou_non_idéales_(c.-à-d._avec_frottement)|3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = 0\;</math>» car <math>\;\vec{R} \perp\;</math> à la surface du solide en <math>\;M\;</math> est toujours <math>\;\perp\;</math> au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant sans frottement ne développe aucun travail » ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\vec{R}_\tau\;</math><ref> Encore appelée force de frottement solide exercée sur le point.</ref> étant toujours colinéaire et de sens opposé au <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «<math>\;\color{transparent}{W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0}\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau}\;</math> étant }}vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou {{Nobr|base<math>\big)\;</math>}} de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on peut écrire <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big\{s\;</math> abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d.27un_point_sur_une_courbe_continue|Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\big\}\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}la force de frottement solide «<math>\;\vec{R}_\tau = \overline{R_\tau}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{R_\tau} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref> soit, avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide }}la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du frottement solide avec glissement<ref name="loi de Coulomb du frottement avec glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|Loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = \mu_d\;R_n\;</math>» avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;\mu_d\;</math> le cœfficient de frottement dynamique » et <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;R_n > 0\;</math> la composante normale de la réaction »<ref> On suppose la liaison unilatérale et on oriente la normale dans le sens contraire de celui de la pénétration possible du point <math>\;M\;</math> dans le solide.</ref>, d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}l'expression du travail de la force de frottement «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{R}_\tau \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \mu_d\;R_n(s) \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn"> Où <math>\;\mathrm{sgn}(x)\;</math> est la fonction « signe de <math>\;x</math> » telle que <math>\;\mathrm{sgn}(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} +1\;\;\text{pour }x > 0\\-1\;\;\text{pour }x < 0\end{array}\right\rbrace</math>.</ref> soit, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}pour un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math> car <math>\;ds\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math><ref> Cas assez fréquent.</ref>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right) < 0\;</math>»<ref name="assez fréquent"> Dans le cas assez fréquent où <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math> avec un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right)\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;s_2\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;s_1</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}ce résultat montrant clairement <math>\;\big(</math>dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante<math>\big)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement }}que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi<ref> <math>\;s_2 - s_1\;</math> étant la longueur algébrique du chemin suivi sur la courbe <math>\;(\Gamma)</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que }}ceci restant vrai même si <math>\;R_n(s)\;</math> n'est pas constante<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant avec frottement solide développe un travail négatif »,<br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « }}la force de frottement <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. ==== Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non ==== {{Al|5}}La résistance à l'avancement <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide"> Encore appelée force de frottement fluide.</ref> d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un fluide<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forces_de_frottement_fluide_exercées_sur_un_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_mouvement_de_translation_relativement_au_fluide_immobile,_le_système_ayant_un_axe_de_symétrie_et_son_vecteur_vitesse_étant_porté_par_l'axe|Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative, que le frottement soit linéaire<ref name="frottement fluide linéaire> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, quadratique<ref name="frottement fluide quadratique> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_moyennes|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou autres<ref name="frottement fluide à vitesse élevée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_élevées|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}son travail le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> suivie par <math>\;M\;</math> pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> est <math>\;< 0\;</math>» car, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}pour un solide assimilable à un point matériel, <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" />, on peut écrire <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet" /> où <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne" /> mesurée à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur celle-ci et <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}la force de frottement fluide «<math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref>, <math>\;\vert \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \vert\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \vert v_M(t) \vert = \vert \dot{s}_M(t) \vert\;</math><ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|Composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ \dot{s}(t) \right] \Vert \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour une forme quadratique de force de frottement fluide <math>\;\Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert = h'\;v^2(t)\;</math><ref> Très fréquent.</ref> avec <math>\;h'\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}constante positive caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide<ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on peut trouver plus de détails dans la note [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#cite_note-30|³⁰]] du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique constante positive caractéristique }}et de la densité de ce dernier<ref> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt < 0\;</math>»<ref name="cas très fréquent"> Dans le cas très fréquent de forme quadratique pour la force de frottement fluide et d'un mouvement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}ce résultat permettant d'établir <math>\;\big(</math>dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide<math>\big)</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> ainsi que celle d'abscisse curviligne<ref name="abscisse curviligne" /> du point, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi<ref> En supposant, par exemple, que de la connaissance de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} v = v(t)\\ s = s(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> et par élimination de <math>\;t\;</math> on peut déduire une loi précisant la variation de la vitesse instantanée en fonction de l'abscisse curviligne soit <math>\;v = v(s)\;</math> ce qui permettrait de réécrire, avec <math>\;v(t)\;dt = ds</math>, et en supposant le mouvement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} v^2(s)\;ds\;</math> et d'établir clairement que, suivant la vitesse permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force de frottement fluide sera différent que ce soit sur une même courbe ou sur des courbes différentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir que }}ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}en conclusion « la résistance à l'avancement d'un fluide <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide" /> sur un point <math>\;M\;</math> développe un travail négatif », <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> en conclusion «}}<math>\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position <u>ne définit pas un champ de forces</u> et qu'il est par conséquent <u>inutile d'envisager son caractère conservatif</u>, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif. ==== Forces de liaison par fil idéal tendu ==== {{Al|5}}La force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par un fil idéal<ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> tendu sur un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#4ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_fil,_cas_du_fil_idéal|4^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil iéal]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont la norme <math>\;T = \Vert \vec{T} \Vert\;</math> définit la tension du fil idéal<ref name="fil idéal" /> est non conservative, son travail élémentaire <math>\;\delta W(\vec{T}) =</math> <math>\vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> n’étant en général pas une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" />{{,}}<ref> Pour qu'une force puisse être considérée comme conservative, il faut qu'elle le soit dans toutes les situations envisageables et non simplement dans des cas très particuliers comme ce serait le cas pour <math>\;\vec{T} = \overrightarrow{\text{cste}}\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\uparrow\;</math><u>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : on suspend un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à l'aide d'une corde idéale<ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}sur <math>\;M\;</math> s'exercent <math>\blacktriangleright\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> qui fait que le point <math>\;\downarrow\;</math> en absence d'autres forces et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction <math>\;\vec{T}\;</math> de la corde de même direction et de sens opposé au poids d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction }}<math>\;\vec{T}\;</math> verticale <math>\;\uparrow</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» ou, en prenant <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire vertical <math>\;\uparrow</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;-m\;g\;\vec{u}_z + T\;\vec{u}_z = m\;a_{M,\,z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;T = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right]\;</math>» c'est-à-dire que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}« la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point <math>\;M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour hisser <math>\;M\;</math> d'une position <math>\;M_1\;</math> à une position <math>\;M_2\;</math> on peut régler le mouvement de montée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}<math>\big[</math>c'est-à-dire qu'on peut régler <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> en modifiant la tension de la corde<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> }}ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où «<math>\;\vec{T}\;</math> non conservatif »<ref> Pour la montée verticale de <math>\;M\;</math> la trajectoire ne peut évidemment pas être changée, le caractère « non conservatif » de la force ne résulte donc pas du changement de courbe suivie mais du fait qu'entre deux mêmes positions extrêmes le travail de la force exercée par la corde n'est pas le même suivant le mouvement imposé entre ces positions extrêmes, ce qui est incompatible avec le caractère conservatif d'une force ;<br>{{Al|3}}on peut dire aussi que la force exercée par la corde ne définit pas un champ de forces dans la mesure où <math>\;\vec{T}\;</math> en une même position <math>\;M\;</math> dépend du mouvement du point et non uniquement de sa position.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\uparrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;> 0</math>, le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> avec <math>\;dz > 0\;</math>» est tel que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> montant de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz > 0\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer l'évaluation, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}celle-ci vérifiant que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde"> En effet si on connaît la loi horaire de position <math>\;z = z(t)\;</math> et que cette loi soit inversable on peut en déduire <math>\;t = t(z)\;</math> et réécrire le travail de la force selon <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <math>\displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left\lbrace g + a_{M,\,z}\!\left[ t(z) \right] \right\rbrace dz\;</math> permettant d'établir clairement que, suivant la loi d'accélération permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force exercée par la corde sera différent <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Par exemple pour monter un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une traction douce d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} m\; g\; dz = m\;g\;h\;</math> ou * une traction rapide d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq 2\;m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} 2\;m\; g\; dz = 2\;m\;g\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour monter le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont l'ascension est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}<math>\Rightarrow\;</math> la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « motrice ». {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\downarrow\;</math><u>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : dans le paragraphe précédent relatif à la <math>\;\uparrow\;</math> du point matériel <math>\;M</math>, on a établi que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde sur <math>\;M\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force }}<math>\;\vec{T} = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] \vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical <math>\;\uparrow</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\downarrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dz < 0 \\ T > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En supposant que le fil reste tendu.</ref> suit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> <math>\downarrow\;</math> de <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}<math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> }}<math>\displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où }}<math>\Rightarrow\;</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde" />{{,}}<ref> Par exemple pour descendre un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une retenue forte d'accélération <math>\;a_{M,\,z} < 0\;</math> telle que <math>\;\vert a_{M,\,z} \vert \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} m\; g\; dz</math> <math>= -m\;g\;h\;</math> ou * une retenue faible d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq -\dfrac{g}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq \dfrac{m\;g}{2}\;</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} \dfrac{m\;g}{2}\; dz = -\dfrac{m\;g}{2}\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour descendre le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont la descente est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « résistive ». {{Al|5}}En conclusion, la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par une corde idéale<ref name="fil idéal" /> sur un point <math>\;M\;</math> est « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|En conclusion, la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par une corde idéale sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}développe « un travail positif ou négatif », <math>\;\vec{T}(M)\;</math> est donc « motrice ou résistive »<ref> Si elle est résistive, on la qualifie aussi de « dissipative ».</ref>. === Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal === {{Al|5}}Parmi toutes les forces de contact <math>\big[</math>détaillées dans le chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qu'un point <math>\;M\;</math> peut subir c'est l'« <u>unique force de contact conservative</u> »<ref> N'a donc pas sa place dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Exemples_de_forces_«_non_conservatives_»|Exemples de forces non conservatives]] » mais y est rappelée car la plupart des forces non conservatives sont des forces de contact et c’est la seule force de contact « conservative ».</ref>, elle sera étudiée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#3ème_exemple_de_force_conservative_:_la_«_tension_d'un_ressort_idéal_lié_à_un_point_matériel_»_et_l'«_énergie_potentielle_élastique_du_point_»|3^ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point]] » plus bas dans ce chapitre. == Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Définition| titre= Énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservatives(s)| contenu ={{Al|5}}L'« énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'« énergie mécanique }}est la grandeur scalaire <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> définie à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire }}«<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math>» avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;K_M(t)\;</math> l'énergie cinétique du point à l'instant <math>\;t\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <br>{{Al|35}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de }}<math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> }}cette énergie ne dépendant pas explicitement de <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> cette énergie }}étant indépendante du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.}} {{Al|5}}Dans le S.I<ref name="S.I." />. des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en <math>\;J</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive le champ de forces conservatives » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». == Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Al|5}}Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., <br>{{Al|5}}seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Point_matériel_«_à_mouvement_conservatif_»|Point matériel à mouvement conservatif]] » plus bas dans ce chapitre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation }}détaillés au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation introduits}}sont explicitement au programme de physique de P.C.S.I.. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail <math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" /> appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>» est égale à « la variation de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> entre les instants <math>\;t_1\;</math> et <math>\;t_2\;</math> correspondants <math>\;\Delta E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1)\;</math>» soit <center>«<math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1) = \Delta E_{m,\,M}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) sur une durée finie</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> sur cette même durée</u>. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail élémentaire <math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives {{Nobr|<math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" />}} appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement élémentaire dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\big(</math>selon n'importe quelle {{Nobr|direction<math>\big)\;</math>»}} est égale à « la différentielle de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à partir de l'instant <math>\;t</math> <math>\;d E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math><ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d E_{m,\,M}\;</math> et la différence <math>\;E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> » soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t) = dE_{m,\,M}\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" />.</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux élémentaires</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Al|5}}La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_justification_du_signe_«_-_»_dans_la_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)_»_par_réécriture_du_théorème_de_l'énergie_cinétique|1^ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ; {{Al|5}}le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser <math>\;t_1 = t\;</math> et <math>\;t_2 = t + dt\;</math> <math>\big\{</math>en se rappelant la propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable applicable en physique car <math>\;dt\;</math> y est toujours aussi petit que possible<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" /><math>\big\}</math>. === Point matériel « à mouvement conservatif » === {{Définition| titre=Définition d'un point matériel « à mouvement conservatif »|contenu={{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas<ref> Il est nécessaire de préciser le référentiel dans lequel le caractère « à mouvement conservatif » du point est défini <math>\;\big(</math>même si le plus souvent le référentiel n'est pas rappelé<math>\big)</math> car le travail d'une force dépend du référentiel</ref>.}} {{Al|5}}<u>Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen</u> : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante : <center>« <u>Dans un référentiel galiléen, l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée</u> »<ref> La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif n'est qu'une propriété valable dans un référentiel galiléen et non la définition ; <br>{{Al|3}}a priori on pourrait définir un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen <math>\;\big(</math>même si l'intérêt d'une telle introduction serait nul<math>\big)\;</math> et nous en déduirions que l'énergie mécanique n'y est pas nécessairement conservée <math>\;\big(</math>rappelons qu'il faut que le référentiel soit galiléen pour que l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique soit applicable<math>\big)</math>.</ref>.</center> == 2^ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative == === Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> qui lui est imposé dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}on exerce sur <math>\;M\;</math> une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> }}permettant le déplacement du point d'une position initiale <math>\;M_{\text{ini}}\;</math> vers une position finale <math>\;M_{\text{fin}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> permettant le déplacement du point }}de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique"> C.-à-d sans créer d'énergie cinétique en aucun instant soit tel que <math>\;K_M(t) \simeq 0\;</math> en toute position.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}« le travail développé dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par la force motrice<ref name="force motrice considérée comme non conservative"> Considérée comme non conservative car, dans la mesure où elle le serait, nous n'utiliserons pas ce caractère.</ref> <math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>» constitue alors, d'après le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_»_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)|énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> « l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> en absence de travail des éventuelles autres forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> à déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" /> »<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique"> Les forces de frottement fluide étant pratiquement les seules autres forces non conservatives à être tolérées dans la mesure où <br>{{Al|3}}à déplacement quasi-statique, d'une part elles sont quasi-nulles car leur norme est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n}\;</math> avec <math>\;n \geqslant 1\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, }}d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessite une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty\;</math> <math>\big(</math>car à vitesse <math>\;v_M \simeq 0\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie }}est de valeur absolue d'ordre de grandeur <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n} \times \Delta s_M \simeq 0\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}}\;</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M}}\;</math> }}«<math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}}) + W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>». === Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}En l'absence de forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> travaillant lors d'un déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" />{{,}}<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique" /> c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « la tension d'une corde ou <br>{{Al|23}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « }}une force de frottement solide »<ref> Liste non exhaustive.</ref>{{,}}<ref name="forces non conservatives travaillant à déplacement quasi-statique"> Bien qu'à déplacement quasi-statique <math>\;v_M \simeq 0\;</math> ces forces non conservatives de norme non nulle développent une puissance quasi-nulle, un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessitant une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty</math>, ces forces développent un travail fini non nul car de valeur absolue d'ordre de grandeur « norme de la force <math>\;\times \Delta s_M\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou encore d'ordre de grandeur « valeur absolue de la puissance de la force <math>\;\times \Delta t_M\;</math> de forme indéterminée <math>\;0 \times \infty\;</math>»<math>\big\}</math>, raison pour laquelle ces forces sont supposées absentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> supposé galiléen, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, une force motrice }}«<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t\;</math>»<ref> On adapte donc à chaque instant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> pour être opposée à <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, ceci étant indépendant d'éventuelles autres forces.</ref> et {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on applique à <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\; \cancel{+\; \sum\limits_i W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{i,\,\text{non cons. à trav. nul}})}\; = \Delta E_{m,\,M} = E_m(M_{\text{fin}}) - E_m(M_{\text{ini}})\;</math>»<ref name="force motrice considérée comme non conservative" /> avec, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}compte-tenu du déplacement quasi-statique de <math>\;M\;</math><ref name="déplacement quasi-statique" />, «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M) \simeq U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>» soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}Or la force motrice étant choisie telle que <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t</math>, on en déduit «<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = -W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}d'où, par report dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math>, «<math>\;-W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» dont on déduit la propriété suivante <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = -\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}\;</math>»<ref name="propriétés de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou, en considérant un déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{d M}\;</math> quelconque, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) = -d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique - bis"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math> et la différence <math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible et par suite le déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant de norme aussi petite que possible peut être confondu avec <math>\;\overrightarrow{M_tM_{t + dt}}</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}})}</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}ce qui justifie la présence du signe «<math>\;-\;</math>» dans les définitions de l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />. == Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique » == === Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{Al|5}}<u>La puissance mécanique d'un point matériel</u> <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est <u>la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point</u> <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et au même instant <math>\;t\;</math> c'est-à-dire <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t)\;</math><ref name="puissance mécanique"> Le nom de « puissance mécanique » définie à partir de l'énergie mécanique est donnée par analogie à celui de « puissance cinétique » définie à partir de l'énergie cinétique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_la_puissance_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude|Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais, contrairement au nom de « puissance cinétique », celui de « puissance mécanique » n'est pas introduit dans le programme de physique de P.C.S.I. et n'est pas utilisé par tous.</ref> <math>\big[</math>comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte <math>\;\dot{E}_{m,\,M}(t)\big]</math>. === Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique » === {{Al|5}}À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur une durée élémentaire <math>\;dt</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale<ref name="forme locale associée à une forme intégrée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|Différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » (ou vice-versa) du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par <math>\;dt\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale }}«<math>\;\dfrac{\sum\limits_i \delta W\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]}{dt} = \dfrac{dE_{m,\,M}}{dt}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}en reconnaissant la puissance mécanique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le membre de droite et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant }}la puissance des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquée à <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le membre de gauche <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center> === Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{théorème | titre= Théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservatives(s) à l'instant <math>\;t\;</math> est égale à la somme des puissances des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquées au point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de variation instantanée de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique }}sont <u>les puissances</u><math>\;\big(</math><u>non nulles</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif » === {{Al|5}}On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous : {{Al|5}}<u>Définition</u><math>\;\big(</math><u>équivalente</u><math>\big)</math> : Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne développent aucune puissance soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> si les éventuelles forces non conservatives }}«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Conséquence dans un référentiel galiléen</u> : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel <math>\;M\;</math> à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}« <u>l'énergie mécanique du point</u><math>\;M\;</math><u>à mouvement conservatif est conservée dans le référentiel galiléen</u> ». == 1^er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point » == === Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> « uniforme »<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme"> Revoir les conditions pour que le champ de pesanteur terrestre puisse être considéré comme uniforme à <math>\;1\,\%\;</math> près dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Condition_de_réalisation_du_caractère_uniforme_du_champ_de_pesanteur_terrestre|Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, le poids d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> vertical ascendant, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\color{transparent}{\vec{g}}\;</math> « uniforme », le poids d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math> est l'intensité de la pesanteur terrestre ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> d'où <center>« le poids d'un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> <math>\;m\;\vec{g}\;</math> est une force conservative ».</center> === « Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}L'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme }}se détermine par «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» soit «<math>\;-m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même, en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même, en cylindro-polaire, }} le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale angulaire <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{pes}}}{dz} = m\;g\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(M) = U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle de pesanteur en</u><math>\;z = 0\;\big(</math><u>niveau du sol</u><math>\big)\;</math> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{pes}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>À retenir</u> : Si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\uparrow</math>, «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math> avec la référence en <math>\;z = 0\;</math>» <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|À retenir : }}si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\downarrow</math>, on obtient, « avec la même référence, <math>\;U_{\text{pes}}(z) = -m\;g\;z\;</math>»<ref> En effet, <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{dz} = -m\;g\;</math> soit <math>\;U_{\text{pes}}(M) = -m\;g\;z + cste</math> <math>= -m\;g\;z\;</math> si référence en <math>\;z = 0</math>.</ref> <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de la profondeur <math>\;z\big]</math>. === Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}<u>Toute énergie potentielle</u> d'un point matériel <math>\;M\;</math> est une « <u>réserve d'énergie</u> pour <math>\;M\;</math>» <math>\blacktriangleright\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie <math>\;\big(</math>par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément }}en énergie cinétique<math>\big)\;</math>»<ref> Cette possibilité justifie le qualificatif « potentielle » donné à l’énergie.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>« dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ; <center>cela étant vrai pour toute énergie potentielle est donc applicable dans le cas particulier de l'énergie potentielle de pesanteur :</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> un point matériel <math>\;M\;</math> au repos à une altitude <math>\;z</math>, possède l’énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z > 0\;</math> si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> au repos à une altitude <math>\;\color{transparent}{z}</math>, }}possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}abandonné à lui-même, <u>il chute spontanément</u> en acquérant de l’énergie cinétique <math>\;K_M \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\searrow</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> abandonné à lui-même, }}la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air »<ref> Il finit par s'écraser sur le sol, l'énergie mécanique devenue brutalement nulle a alors servi * à déformer l'objet assimilé à un point matériel <math>\;\big(</math>on entre dans le domaine de la dynamique des systèmes de points matériels déformables<math>\big)\;</math> toutefois dans cette dynamique toute conservation d'énergie mécanique macroscopique <math>\;\big(</math>celle qui est introduite en dynamique des systèmes de points matériels indéformables c.-à-d. des solides<math>\big)\;</math> doit être remplacée par une conservation d'énergie mécanique totale qui est la somme de l'énergie mécanique macroscopique et de l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique macroscopique se transforme en énergie potentielle microscopique<math>\big)\;</math> ou * à l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre alors dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, toutefois en thermodynamique toute conservation d'énergie mécanique doit être remplacée par une conservation d'énergie totale qui est la somme de l'énergie mécanique et de l'énergie interne, cette dernière dépendant, entre autres, de la température de l'objet c.-à-d. de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne<math>\big)\;</math> ou encore * à le déformer et l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre encore dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, l'énergie interne englobant aussi l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet en plus de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici encore de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne correspondant à une déformation et un échauffement<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le replacer à l'altitude initiale <math>\;z\big)</math>, il faut exercer sur lui une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> <math>\uparrow\;</math> de manière « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" />,<br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire <math>\;\big(</math>énergie potentielle pour nous<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation }}en énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\nearrow</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}le théorème de la variation d’énergie mécanique<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> appliqué à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(M_z) - E_m(M_0) = U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{E_m(M_z) - E_m(M_0)}</math> }}<math>= W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) > 0\;</math>»<ref> En effet <math>\;K_M(t) \simeq 0\;\;\forall\;t\;</math> d'une part et d'autre part la seule force non conservative est la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> car si on opère suffisamment lentement, les forces de frottement fluide sont négligeables <math>\;\big(</math>elles dépendent de la vitesse et celle-ci est quasi nulle<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> à exercer pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> se fasse de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" /> est l'opposé de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -m\;\vec{g}\;</math>»<ref> En effet les seules forces étant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> et <math>\;m\;\vec{g}\;</math> <math>\big(</math>les forces de frottement fluide étant négligeables à vitesse quasi-nulle<math>\big)\;</math> d'une part et d'autre part un mouvement à vitesse quasi nulle est un cas particulier de mouvement à vecteur vitesse constant c.-à-d. à vecteur accélération nul d'où l'affirmation par application de la r.f.d.n. <math>\;\ldots</math></ref> dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> la force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> à exercer }}«<math>\;W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) = W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(-m\;\vec{g}) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>» d'où «<math>\;U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>»<ref> Ce qui permet une nouvelle fois de vérifier la justesse de l'introduction du signe «<math>\;-\;</math>» dans la définition de l'énergie potentielle «<math>\;W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g}) = -\left[ U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) \right]\;</math>».</ref>. == 2^ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point » == <center>Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout « astre à symétrie sphérique »<ref name="astre à symétrie sphérique"> Abus pour parler d'astre « dont la répartition de masse est à symétrie sphérique » c.-à-d. dont la masse volumique en un point <math>\;P\;</math> quelconque de l'astre ne dépend que de la distance séparant <math>\;P\;</math> du centre de l'astre.</ref>, c'est une bonne approximation pour <br>le Soleil « {{grossir|☉|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique"> Symbole astronomique.</ref> et les planètes qui gravitent autour de lui <math>\;\big(</math>dont la Terre « {{grossir|♁|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique" /><math>\big)\;</math> ainsi que <br>les plus gros satellites naturels de ces planètes <math>\;\big(</math>dont la Lune « {{grossir|☽|facteur=1.25}} »<ref> Il n'y a pas de symboles astronomiques représentant la Lune mais plusieurs pour préciser la phase de celle-ci, celui qui a été choisi ici représente son premier quartier, le dernier quartier aurait été « {{grossir|☾|facteur=1.25}} » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Sur les 79 satellites naturels de Jupiter <math>\;\big(</math>la plus grosse planète du système solaire, de symbole astronomique {{grossir|♃|facteur=1.25}} et de volume mille trois cents fois celui de la Terre<math>\big)\;</math> confirmés à l'heure actuelle, les 4 plus gros ont une forme sphérique due à leur masse suffisamment importante pour qu'ils aient pris cette forme sous l'effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Jupiter, Io <math>\;\big(</math>de taille similaire à celle de la Lune<math>\big)</math>, Europe <math>\;\big(</math>de même taille que Io<math>\big)</math>, Ganymède <math>\;\big(</math>le plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume trois fois et demi celui de la Lune<math>\big)\;</math> et Callisto <math>\;\big(</math>le 3^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume deux fois et demi celui de la Lune<math>\big)</math>, les orbites des trois satellites les plus proches de Jupiter sont en [[w:Résonance_orbitale|résonance orbitale]], ce qui a pour conséquence la [[w:Résonance orbitale#Stabilité des orbites|stabilité des orbites]]<math>\big]</math>, les autres ont une forme irrégulière ;<br>{{Al|3}}il en est de même pour Saturne <math>\;\big(</math>de symbole astronomique {{grossir|♄|facteur=1.5}} et de volume neuf cents fois celui de la Terre<math>\big)</math>, sur ses 62 satellites naturels répertoriés à l'heure actuelle, seuls 7 d'entre eux, les plus gros, ont une forme sphérique par effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Saturne, Mimas <math>\;\big(\simeq 400\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Encelade <math>\;\big(\simeq 500\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Téthys <math>\;\big(\simeq 1050\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Dioné <math>\;\big(\simeq 1100\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Rhéa <math>\;\big(\simeq 1550\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big(</math>le 2^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, <math>\simeq 5150\;km\;</math> de diamètre, de volume représentant un peu plus de trois fois celui de la Lune, c'est le seul des satellites du système solaire possédant une atmosphère dense, celle-ci étant essentiellement composée d'azote<math>\big)</math> et Japet <math>\;\big(\simeq 1450\;km\;</math> de diamètre<math>\big)\big]</math>, les autres ont une forme plus ou moins irrégulière <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>.</center> === Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> de masse <math>\;m_{\!\mathcal{A}}\;</math> et de rayon <math>\;R_{\!\mathcal{A}}\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, les coordonnées sphériques du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> sont <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;\color{transparent}{O_{\!\mathcal{A}}}\;</math> de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\!\mathcal{A}}}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math>,}} la base sphérique liée à <math>\;M</math>, <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> ; {{Al|5}}la position de <math>\;M\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;r > R_{\!\mathcal{A}}</math>, l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point <math>\;M\;</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui }}«<math>\;\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>», «<math>\;\mathcal{G}\;</math> étant la [[w:Constante_de_gravitation|constante de gravitation universelle]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui «<math>\;\color{transparent}{\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\; \vec{u}_r}\;</math>», « }}<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\; 10^{-11}\; S.I.\;</math>»<ref name="U.S.I."> [[w:Unités_de_base_du_Système_international|Unité du Système International]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}le point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s’écrit donc «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \left[ -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{1}{r}\bigg)\;</math> <center>d'où « la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation créé par l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> notée <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>» soit «<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{dr} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M) = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{r^2} = r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{-1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> à l'<math>\infty\;</math> de ce dernier</u><ref name="référence à l'infini"> Choix bien adapté pour les objets pouvant sortir du champ de gravitation de l'astre, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne sont plus dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont encore dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est négative.</ref> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = 0</math>, on obtient «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r}\;</math>» ; <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique.</ref><math>\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /></u> : <br>{{Al|5}}en choisissant la <u>référence au niveau du sol de l'astre</u> c'est-à-dire <math>\;r = R_{\!\mathcal{A}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(R_{\!\mathcal{A}}) = 0\;</math> dont on déduit <math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}} + cste = 0\;</math> soit <math>\;cste = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\!\mathcal{A}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m\;\dfrac{r - R_{\!\mathcal{A}}}{R_{\!\mathcal{A}}\;r}\;</math> avec référence à la surface de l'astre »<ref name="référence à la surface de l'astre"> Choix bien adapté pour les objets orbitant autour de l'astre dans le champ de gravitation de ce dernier, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont sur la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne touchent plus la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est positive.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r}\;</math> avec référence à la surface terrestre »<ref name="référence à la surface de l'astre" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique, car <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(R_{\text{♁}} + z) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{R_{\text{♁}} + z} \right]\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;z</math>.</ref><math>\big]</math>.</center> === Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre === [[File:Énergie potentielle gravitationnelle terrestre.png|thumb|500px|Tracé du graphe de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> en fonction de sa distance <math>\;r\;</math> au centre de la Terre, avec référence à l'infini, <math>\;r\;</math> et <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> étant en grandeurs réduites<ref> C.-à-d. respectivement en unité <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> et <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>.</ref>]] {{Al|5}}Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence à l'infini s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre, }}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] (cas d'une hyperbole équilatère de centre O, d'asymptotes Ox et Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}} \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale « l'axe des <math>\;r\;</math>». {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence au niveau de la surface de la Terre s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r} + \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> de la quantité <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math> <math>\big\{</math>à tracer soi-même<math>\big\}</math>, d'où le graphe s'identifiant à <br>{{Al|5}}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère" /> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, 0 \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}d'équation «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}},\;\;\forall\;r\;</math>» soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;r\;</math> et d'ordonnée <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>. === Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol === {{Al|5}}Après définition de l'« altitude du point <math>\;M\;</math> par rapport au niveau du sol terrestre selon <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math>», on peut réécrire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de }}l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;M\;</math> avec référence au niveau du sol «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}} + z} = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z)\;</math>»<ref name="abus de notation"> En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> est notée <math>\;U(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = U(r)\;</math> <math>\big[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = f(r)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, lors d'un changement de variable, }}par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, }}la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> sont respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U(r) \\ U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = U(r) \\ U = U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> seraient notées, par exemple, <math>\;g(z)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = f(r) \\ U = g(z)\end{array}\right\rbrace\Bigg]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> avec référence au niveau du sol selon }}<math>\;\big[</math>on vérifie qu'il s'agit d'une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\big]</math> ; {{Al|5}}dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre <math>\;\bigg(\!</math>par exemple <math>\;z \lesssim \dfrac{R_{\text{♁}}}{100} \simeq 64\;km\!\bigg)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}on peut considérer <math>\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \ll 1\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petits"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut }}réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" /> ou, en en prenant un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre un <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" />{{,}}<ref> En effet pour prendre le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre l'autre facteur à l'ordre zéro d'où <math>\;\dfrac{1}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}} = \left( 1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \right)^{-1} \simeq 1\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;z = m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z\;</math>»<ref name="abus de notation" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}avec «<math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre ». {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}En 1^ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre <math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation on peut confondre }}l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol <math>\;g</math>, on observe alors <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre de <math>\;M\;</math> dans l'hypothèse où <math>\;z \ll R_{\text{♁}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation l'identification }}avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c c l} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M) \simeq m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z \!\!&\simeq&\!\! m\;g\;z = U_{\text{pes}}(M) \\ \qquad\text{si } z \ll R_{\text{♁}} \!\!&&\!\! \text{si }\vec{g} \text{ est uniforme}\end{array}\right\rbrace\;</math>». == 3^ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point » == === Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe === [[File:Ressort idéal et force exercée sur une extrémité.png|thumb|Schéma d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal"> C.-à-d. de masse négligeable, à spires non jointives <math>\;\big(</math>ce qui permet au ressort de pouvoir aussi se comprimer relativement à sa situation à vide<math>\big)\;</math> et parfaitement élastique.</ref> dont une extrémité est liée à un point matériel <math>\;M</math>, l'autre extrémité étant notée <math>\;A</math>, <math>\;M_0\;</math> étant la position qu'occuperait <math>\;M\;</math> si le ressort était à vide en supposant la direction de l'axe inchangée]] {{Al|5}}Notant <math>\;A\;</math> l'autre extrémité du ressort « idéal »<ref name="ressort idéal" /> lié au point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de <math>\;A\;</math> vers <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;l_0\;</math> la longueur à vide du ressort et <math>\;k\;</math> la raideur de ce dernier, <br>{{Al|5}}la « force que le ressort exerce sur <math>\;M\;</math>»<ref name="tension du ressort"> Appelée vecteur tension du ressort <math>\;\big(</math>ou simplement tension du ressort<math>\big)</math>.</ref> notée <math>\;\vec{T}\;</math><ref> En absence d'ambiguïté.</ref> est donnée par la [[w:Loi_de_Hooke#Loi_de_Hooke_pour_les_ressorts|loi de Hooke]] <ref name="Hooke"> '''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> «<math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math>»<ref name="loi de Hooke"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|Cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon avec « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> est l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide », <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;l = \Vert \overrightarrow{AM} \Vert\;</math> étant la longueur à charge du ressort », {{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}loi de Hooke<ref name="Hooke" /> que l'on peut réécrire selon «<math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math>» avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}«<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » ; {{Al|5}}quand <math>\;A\;</math> est fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, le meilleur repérage du point <math>\;M\;</math> est le repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" />, dans ces conditions <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}«<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> s’identifie au 1^er vecteur de base sphérique <math>\;\vec{u}_r\;</math> lié à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}« la longueur à charge <math>\;l\;</math> s'identifiant au rayon polaire <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la tension du ressort idéal qui s'exerce sur un point matériel === {{Al|5}}Pour prouver le caractère « conservatif » du vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on déplace de façon élémentaire le point <math>\;M\;</math> selon le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, l'extrémité <math>\;A\;</math> étant fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" /> » pour <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>la 1^ère coordonnée sphérique étant la longueur <math>\;l\;</math> à charge du ressort, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> » pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}les deux autres étant angulaires notées respectivement <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math><ref> Repérés par rapport à une direction de référence qu'il est inutile de préciser car celle-ci n'intervenant pas par la suite.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}le vecteur déplacement élémentaire se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{dM} = dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on en déduit le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}</math>, «<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = -k\;(l - l_0)\; \vec{u}_r \cdot \left[ dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi \right] = -k\;(l - l_0)\; dl\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dl\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où }}<math>\;\big(</math>en effet le cœfficient de <math>\;dl\;</math> est une [[w:Fonction_affine|fonction affine]] s'intégrant en [[w:Fonction_quadratique|fonction quadratique]]<math>\big)\;</math> <center>d'où « le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration"> Nous nous limitons à ce cas car <math>\;A\;</math> mobile entraînerait une dépendance explicite de la tension avec le temps et nous n'envisageons le caractère conservatif que des forces ne dépendant pas explicitement de <math>\;t</math>.</ref> ».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}<u>Autre démonstration</u><ref> Plus délicate, préférer la précédente.</ref> : partant de <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math> avec «<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{M_0}\;</math> }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge <math>\;M_t\;</math>»<ref name="directions de AMt et AM0 identiques"> <math>\;M_0\;</math> étant une position liée à <math>\;M_t</math>, si la direction de <math>\;AM_t\;</math> change, la direction de <math>\;AM_0\;</math> change simultanément.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}soit un vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> avec l'autre extrémité <math>\;A\;</math> du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> fixe, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> on envisage }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = d\! \left[ \overrightarrow{AM} \right] = d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» d'où le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> s'écrit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{d M} = -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot \left\lbrace d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] \right\rbrace\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T})}</math> }}<math>= -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}explicitons <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}\;</math> qui étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}<math>\bigg\{</math>en effet <math>\;\overrightarrow{AM_0}^2 = l_0^{\,2} = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\;\overrightarrow{AM_0} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math> d'où <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] \perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}\bigg\}\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui }}est aussi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui est aussi <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> }}à <math>\;\overrightarrow{M_{0,\,t}M_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons }}d'où «<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math>» permettant de réécrire le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> selon <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]}\;</math>» qui est effectivement }}<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] = d\! \left[ \dfrac{\overrightarrow{M_0M}^2}{2} \right]</math>. <center>« le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration" /> ».</center> === « Énergie potentielle élastique » d'un point matériel === {{Al|5}}L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> c'est-à-dire son « énergie potentielle dont dérive la tension du ressort idéal »<ref name="ressort idéal" /> notée <math>\;U_{\text{élast}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» soit «<math>\;-k\;(l - l_0)\; dl = -dU_{\text{élast}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!l,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!l,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou encore «<math>\;-k\;(l - l_0)\; d(l - l_0) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d (l - l_0)} = k\;(l - l_0)\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite"> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;\Delta l = l - l_0</math>.</ref> ou, en introduisant l'« allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d\, \Delta l} = k\;\Delta l\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{élast}}(M) = U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{k\, \left( \Delta l \right)^2}{2} + cste\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\vert \Delta l \vert\;</math><ref> L'énergie potentielle élastique du point matériel a la même valeur que le ressort soit étiré ou comprimé pourvu que la valeur absolue de l'allongement algébrique soit la même et <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point }}elle est minimale lorsque le ressort a sa longueur à vide.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de }}la valeur absolue de l'allongement algébrique<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal</u><ref name="ressort idéal" /> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( \Delta l \right)^2 = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( l - l_0 \right)^2\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c'est-à-dire <math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0}</math>, on en déduit «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l) =}</math> }}avec référence « ressort à vide » ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}on montre aisément que l'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> peut se réécrire <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}«<math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\; \overrightarrow{M_0M}^2\;</math> avec référence en <math>\;M_0\;</math> <math>\big(</math>position de <math>\;M\;</math> avec ressort à vide, la <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}direction de l'axe étant inchangée <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}par rapport à sa position à charge<math>\big)\;</math>». === Tracé de l'énergie potentielle élastique d'un point matériel en fonction de l'allongement algébrique du ressort idéal === [[File:Ressort idéal - énergie potentielle élastique.png|thumb|400px|Tracé du diagramme d'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> d'un point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l\;</math> de ce dernier, la référence étant choisie en la position à vide du ressort]] {{Al|5}}Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_0\;</math> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> du ressort <math>\;\big(l\;</math> étant la longueur du ressort à charge<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique }}est fait ci-contre, le « ressort à vide » étant choisi comme référence, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre }}avec une unité d’abscisse arbitraire notée <math>\;a</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec }}l'unité d'ordonnée correspondante étant <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\;a^2</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le choix de la référence à vide n’est pas le seul choix possible, en particulier lorsque le point <math>\;M\;</math> a une position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable"> Un équilibre est dit stable si, le point étant légèrement écarté de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, les forces qui s'exercent sur lui tendent à le ramener à cette position, cette notion sera vue au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel|Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> qui « n'est pas la position à vide »<ref name="équilibre hors position à vide"> Pour que ceci soit possible il faut qu'il y ait une autre force usuellement conservative s'exerçant sur <math>\;M\;</math> comme dans le cas d'un pendule élastique vertical où cette autre force est le poids du point matériel.</ref>, on prend usuellement cette position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle élastique ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la position d'équilibre stable étant repérée par un allongement algébrique <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> et l'énergie potentielle élastique s'écrivant <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l \right)^2 + cste</math>, la condition de référence <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}}) = 0\;</math> nous conduit à <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} + cste</math> <math>= 0\;</math> soit <math>\;cste = -\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2}\;</math> et par suite <center>«<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l \right)^2 - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right]\;</math> avec référence en la position d'équilibre » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on note «<math>\;x\;</math> l'allongement algébrique supplémentaire relativement à celui à l'équilibre » soit «<math>\;\Delta l = \Delta l_{\text{éq}} + x\;</math>», on peut réécrire l'énergie potentielle élastique «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}} + x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l_{\text{éq}} + x \right)^{\!2} - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right] = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2 + k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\;</math>»<ref> <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> étant toujours <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big(</math>puisqu'on suppose que la position d'équilibre stable n'est pas la position à vide<math>\big)</math>, l'énergie potentielle <u>purement élastique</u> du point matériel ne s'écrit jamais <math>\;\cancel{\dfrac{1}{2}\;k\;x^2}\;</math> avec <math>\;x = \Delta l - \Delta l_{\text{éq}} = \left( l - l_0 \right) - \left( l_{\text{éq}} - l_0 \right) = l - l_{\text{éq}}\;</math> <math>\big[</math>erreur encore trop fréquente<math>\big]</math>.</ref> ce qui permet usuellement des simplifications avec l'introduction de l'énergie potentielle due à l'autre force conservative <math>\;\ldots</math> <br> == 4^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme » et l'« énergie potentielle électrostatique du point » == === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}Soit un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> « uniforme »<ref name="champ électrique uniforme"> Par exemple le champ électrique créé à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est <math>\;\perp\;</math> aux armatures <math>\;\big(</math>sauf bien sûr sur les bords où une légère déformation se manifeste et ceci d'autant plus que les bords sont proches<math>\big)\;</math> et son sens est celui des potentiels électriques <math>\;\searrow</math> ; le champ électrique à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est uniforme aux effets de bords près.</ref>, la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\parallel\;</math> et de sens contraire à <math>\;\vec{E}\;</math><ref name="uz sens des potentiels croissants"> Donc <math>\;\vec{u}_z\;</math> est dans le sens des potentiels électriques <math>\;\nearrow</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix pour analogie champs électrique et de pesanteur"> Ce choix arbitraire est fait pour faire l'analogie avec le champ de pesanteur uniforme pour lequel on a choisi <math>\;\vec{u}_z\;</math> de sens contraire à <math>\;\vec{g}\;</math> c.-à-d. dans le sens des altitudes <math>\;\nearrow</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;E = \Vert \vec{E} \Vert\;</math> est la norme du champ électrique terrestre et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où }}la « référence des potentiels électriques »<ref> Le potentiel électrique étant défini à une constante additive près, il faut définir l'endroit où ce dernier est nul c.-à-d. la référence des potentiels électriques encore appelée « masse du circuit ».</ref> choisie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où la « référence }}confondue avec l’origine des cotes ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\big(</math>le cœfficient de <math>\;dz\;</math> étant une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « la force électrique s'exerçant sur un point de charge <math>\;q\;</math> dans un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> <math>\;q\;\vec{E}\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math><ref> On ne note pas <math>\;U_{\text{élect}}\;</math> pour des raisons évidentes, <math>\;U\;</math> étant réservée aux tensions électriques.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}se définit par «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>» soit «<math>\;-q\;E\;dz = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{dz} = q\;E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z)</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par «<math>\;\color{transparent}{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} = q\;E}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)}</math> }}<math>= q\;E\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle électrostatique en</u> <math>\;z = 0\;</math> <math>\big(</math><u>endroit de la référence des potentiels électriques</u><ref> C.-à-d. la masse du circuit électrique.</ref><math>\big)\;</math> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z) = q\;E\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en cartésienne ou cylindro-polaire avec les mêmes choix de bases et d'origines, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \left[ -E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -E\;dz\;</math>» <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>« cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépendant que de <math>\;z\;</math> et <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre dans lequel « force conservative doit être remplacé par champ à circulation conservative ».</ref><math>\big]\;</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math>}}<math>\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Rappel_de_la_2ème_définition_d'un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_(relatif_à_sa_circulation_élémentaire)_et_conséquences|Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel"> Voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à «<math>\;\vec{E} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}(V)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit «<math>\;-E\;dz = -dV\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV}{dz} = E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V(M) = V(z) = E\; z + cste'\;</math>» et, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}avec choix de la référence des potentiels électriques en <math>\;z = 0</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0</math>, <br>{{Al|56}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;V(M) = V(z) = E\; z\;</math> <math>\big(</math>référence à l'origine des cotes<math>\big)\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> en <math>\;M\;</math> noté <math>\;V(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» à condition que « la référence de l'énergie potentielle électrostatique soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» à condition que « }}identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'origine des cotes «<math>\;V(M) = E\; z\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des potentiels électriques. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M) \right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M)\\ \vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on retrouve «<math>\;\vec{F}(M) = q\;\vec{E}(M)\;</math>». === En complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme === {{Al|5}}On admet qu'un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> est un « champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E}(M)\cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|On admet qu'un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}(M)}\;</math> quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> par }}ou «<math>\;\vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\;</math>»<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> ; <center>toutefois « la détermination du potentiel électrique à partir du champ électrique n'est en général pas simple »<ref> Par exemple avec <math>\;\vec{E}(M) = E_x(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_x + E_y(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_y + E_z(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_z</math>, les composantes du champ électrique n'étant pas a priori quelconques, le champ devant être à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » (théorème de Poincaré réécrit en terme de champ vectoriel) du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> s'obtient par recherche de primitive de la différentielle exacte <math>\;dV = -\delta \mathcal{C}(\vec{E}) =</math> <math>- \left[ E_x(x,\, y,\, z)\, dx + E_y(x,\, y,\, z)\, dy + E_z(x,\, y,\, z)\, dz \right]\;</math> en utilisant la méthode développée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes x, y, z fermée et recherche des primitives de cette forme…]] » du même chap.<math>28</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}« la force électrique exercée sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> placé dans un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> c'est-à-dire <math>\;q\; \vec{E}(M)\;</math> étant donc <u>conservative</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> }}dérive de l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}cette dernière étant liée au potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de cette dernière étant liée }}à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» avec références d'énergie potentielle électrostatique et de potentiel électrique identiques. == 5^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel M de charge q placé dans le champ électrique créé par un autre point matériel O de charge q_O » et l'« énergie potentielle électrostatique du point M » == === Expression de la force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s’exerçant sur un autre point matériel M de charge q, cas particulier du champ électrique créé par un proton === ==== Loi d'interaction de Coulomb ==== {{Al|5}}Entre deux points matériels <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> de charges respectives <math>\;q\;</math> et <math>\;q'\;</math> s'exerce une « interaction électrostatique » telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide s’écrivant <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> « la force }}«<math>\;r\;</math> distance séparant <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math>», «<math>\;\vec{u}_{M'M}\;</math> vecteur unitaire de la droite <math>\;MM'\;</math> dirigé de <math>\;M'\;</math> vers <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M\;</math> exerce sur <math>\;M'\;</math> dans le vide est l'opposé de celle que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide » soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\vec{F}_{M'\, \leftarrow\, M} = -\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{MM'}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}ces forces étant appelées « forces de Coulomb »<ref name="Coulomb" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\varepsilon_0\;</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] »<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la [[w:Permittivité#Permittivité_du_vide_et_permittivité_relative|permittivité diélectrique de l'air sec]] étant <math>\;0,06\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> de valeur telle que «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.\;</math><ref name="U.S.I." /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'interaction électrostatique est « attractive pour <math>\;q\;q'\;< 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'interaction électrostatique est }}« répulsive pour <math>\;q\;q'\;> 0\;</math>». ==== Force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s'exerçant sur un autre point matériel M de charge q et expression du champ électrique créé par le point matériel O de charge q_O en M ==== {{Al|5}}D'après la loi d'interaction de Coulomb<ref name="Coulomb" />, le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> la force électrostatique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce }}«<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="loi d'interaction de Coulomb"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;r\;</math> la 1^ère coordonnée sphérique du point <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|21}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» avec }}«<math>\;\vec{u}_r\;</math> le 1^er vecteur de base sphérique liée à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|22}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» }}le repérage sphérique étant de pôle <math>\;O\;</math><ref name="repérage sphérique" />. {{Al|5}}<u>Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb</u><ref name="Coulomb" /> : le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> crée autour de lui un espace champ électrostatique caractérisé en chaque point <math>\;M\;</math> de l'espace par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}un vecteur champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> dont l'action sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> se révèle <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}par « la force électrique définie par <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, \vec{E}_O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math> identique à <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O}\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}«<math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big(</math>existant même en absence de charge <math>\;q\;</math><ref> La présence d'une charge <math>\;q\;</math> en <math>\;M\;</math> permet de signaler l'existence d'un champ électrique en cette position et dans ce cas la charge <math>\;q\;</math> est appelée « charge témoin ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centrifuge<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> répulsive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est attractive.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;< 0\;</math> {{Transparent|le champ électrique }}<math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centripète<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> attractive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est répulsive.</ref>. ==== Cas particulier du champ électrique créé par un proton ==== {{Al|5}}« Un proton placé en <math>\;O\;</math> étant de charge <math>\;q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> centrifuge », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique }}variant comme le champ de gravitation créé par un astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation }}<math>\big(</math>à l'exception du sens bien entendu<math>\big)</math>. === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique qu'un point matériel O de charge q_O exerce sur un autre point matériel M de charge q === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> qu'un point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur un autre point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow O} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{-1}{r}\bigg)\;</math> d'où <center>« la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math> sur un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{El\, \leftarrow Pr} = -e\; \vec{E}_{Pr}(M) = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> est une force conservative », <br>{{Transparent|« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;\color{transparent}{Pr}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{+e}\;</math> sur un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{-e}\;</math> à savoir}}<math>\;\big(</math>le proton <math>\;Pr\;</math> étant le pôle du repérage sphérique de l'électron <math>\;El\big)</math>.</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se détermine par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{-1}{r^2} = -r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>-\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle électrostatique due au point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle électrostatique }}est une fonction de valeur absolue <math>\;\searrow\;</math> avec la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie électrostatique due au point</u><math>\;O\;</math><u>de charge</u><math>\;q_O\;</math><u>à l'infini de ce dernier</u> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math>» ; <center>l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique du point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />, <br>{{Al|50}}<math>\big[</math>si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;> 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction positive <math>\;\searrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O</math>, <br>{{Al|55}}si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction négative <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> soit «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en sphérique de pôle <math>\;O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\bigg[</math>« cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépendant que de <math>\;r\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dr}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}le cœfficient de <math>\;dr\;</math> étant une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> s'intégrant en <math>\dfrac{1}{r}\bigg]\;</math><ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable" /> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> en la position <math>\;M\;</math> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V_O(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dV_O\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à <math>\;\vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right]\!(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr = -dV_O\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV_O}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r} + cste'\;</math>» ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}avec l'<math>\infty\;</math> pour référence des potentiels électriques, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les <math>\;2\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique de <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique en <math>\;M</math>, <math>\;V_O(M)</math>, dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en <math>\;\color{transparent}{M}</math>, <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}</math>, dont dérive le champ électrique }}créé par <math>\;O\;(q_O)\;</math> en <math>\;M</math> <br>{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» si « la référence de l'énergie potentielle électrostatique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» si « la référence }}est identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'<math>\infty\;</math> on a <math>\;V_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O} \right](M) =</math> <math>-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V_O \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}d'où, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect},\leftarrow\,O} \right](M)\\ \vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> on retrouve «<math>\;\vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math>». === « Énergie potentielle électrostatique d’un électron dans le champ électrique créé par un proton » === {{Al|5}}Cas particulier de l'exposé du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M da charge q dans le champ électrique d'un autre poit matériel O de charge q_O]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier de l'exposé du paragraphe }}plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier }}« l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> dans le champ électrique créé par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math>»<ref> L'ensemble correspondant à un atome d'hydrogène traité dans le cadre de la mécanique classique.</ref> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}, \leftarrow\,Pr}(El) = -e\;V_{Pr}(El) = -e\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r} < 0\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}référence commune de l'énergie potentielle électrostatique et du potentiel électrique à l'infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;r\;</math> étant la distance séparant l'électron du proton »<ref> Quand l'électron s'éloigne du proton, l'énergie potentielle électrostatique du 1^er <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> pour un éloignement infini, l'électron n'étant alors plus lié au proton <math>\;\big(</math>dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, ce dernier est alors ionisé<math>\big)</math>.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Lois de la puiss. et de l'énerg. cinétiques]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Mouv. conservatif]] }} 9ip4l2t2by9xgws662nr1il09vxuaf9 0 70812 982895 978950 2026-05-17T16:12:22Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982895 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 28 | niveau = 14 | précédent = [[../Fonctions hyperboliques directes et inverses/]] | suivant = [[../Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif/]] }} == Forme différentielle des variables indépendantes « x, y et z » == === Définition d'une forme différentielle des variables indépendantes « x, y et z » === {{Al|5}}On appelle « <u>forme différentielle des variables indépendantes</u><math>\;\left( x\,,\, y\,,\, z \right)\;</math><ref name="x, y, z"> Elles ne sont donc pas nécessairement les coordonnées cartésiennes d'un point de l'espace, elles peuvent même représenter les coordonnées cylindro-polaires ou sphériques du point ou d'autres variables encore <math>\;\ldots</math></ref> », toute expression formée à partir des trois fonctions scalaires de classe <math>\;C^1\;</math><ref name="fonction de plusieurs variables de classe C1"> Une fonction <math>\;f\;</math> des variables indépendantes <math>\;\left( x\,,\, y\,,\, z \right)\;</math> définie sur un ouvert <math>\;U\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est de classe <math>\;C^1\;</math> si toutes les dérivées partielles de <math>\;f\;</math> existent et sont continues sur <math>\;U\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Définition_des_dérivées_partielles|définition des dérivées partielles]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|On appelle « forme différentielle des variables indépendantes<math>\;\color{transparent}{\left( x\,,\, y\,,\, z \right)}\;</math> », toute expression formée à partir de}}<math>\;\left\lbrace A(x,\, y,\, z)\,,\; B(x,\, y,\, z)\,,\; C(x,\, y,\, z) \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|On appelle « forme différentielle des variables indépendantes<math>\;\color{transparent}{\left( x\,,\, y\,,\, z \right)}\;</math> », toute expression formée à partir }}des trois variables indépendantes <math>\;\left( x\,,\, y\,,\, z \right)\;</math><ref name="x, y, z" /> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|On appelle « forme différentielle des variables indépendantes<math>\;\color{transparent}{\left( x\,,\, y\,,\, z \right)}\;</math> », toute expression formée à partir }}des trois éléments différentiels <math>\;\left( dx\,,\, dy\,,\, dz \right)\;</math> selon <br>{{Al|8}}{{Transparent|On appelle « forme différentielle des variables indépendantes<math>\;\color{transparent}{\left( x\,,\, y\,,\, z \right)}\;</math> », }}«<math>\;A(x,\, y,\, z)\; dx + B(x,\, y,\, z)\; dy + C(x,\, y,\, z)\; dz\;</math>»<ref> Il n'y a pas de notation normalisée pour une forme différentielle mais pour la suite nous noterons une telle forme <math>\;\big(</math>si besoin est<math>\big)\;</math> <math>\delta_{\text{forme diff}}(x,\, y,\, z)\;</math> ou simplement <math>\;\delta_{\text{forme diff}}\;</math> quand il n'y a pas d'ambiguïté sur les variables indépendantes utilisées.</ref>. === Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées cartésiennes d'un point dans l'espace tridimensionnel === {{Al|5}}Si <math>\;\left( x\,,\, y\,,\, z \right)\;</math> sont les coordonnées cartésiennes du point générique <math>\;M\;</math> de l'espace à trois dimensions, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( x\,,\, y\,,\, z \right)}\;</math> sont les coordonnées cartésiennes }}<u>la circulation élémentaire du champ vectoriel</u><ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\vec{A}(M) = A_x(M)\; \vec{u}_x + A_y(M)\; \vec{u}_y + A_z(M)\; \vec{u}_z\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( x\,,\, y\,,\, z \right)}\;</math> sont les coordonnées cartésiennes la circulation élémentaire }}définie selon <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[\vec{A}\right]\!(M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><u>est une forme différentielle</u> car <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( x\,,\, y\,,\, z \right)}\;</math> sont les coordonnées cartésiennes la circulation élémentaire définie selon }}<math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[\vec{A}\right]\!(M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = A_x(M)\; dx + A_y(M)\; dy + A_z(M)\; dz</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( x\,,\, y\,,\, z \right)}\;</math> sont les coordonnées cartésiennes la circulation élémentaire définie selon }}les trois fonctions scalaires de la forme différentielle <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[\vec{A}\right]\!(M)\;</math> étant respectivement <br>{{Al|6}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( x\,,\, y\,,\, z \right)}\;</math> sont les coordonnées cartésiennes la circulation élémentaire définie selon }}les trois composantes cartésiennes du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A(x,\, y,\, z) = A_x(M)\\B(x,\, y,\, z) = A_y(M)\\C(x,\, y,\, z) = A_z(M)\end{array} \right\rbrace</math>. === Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) d'un point dans l'espace tridimensionnel === {{Al|5}}Si <math>\;\left( \rho\,,\, \theta\,,\, z \right)\;</math> sont les coordonnées cylindro-polaires <math>\;\big(</math>ou cylindriques<math>\big)\;</math> du point générique <math>\;M\;</math> de l'espace à trois dimensions<ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( \rho\,,\, \theta\,,\, z \right)}\;</math> sont les coordonnées cylindro-polaires }}<u>la circulation élémentaire du champ vectoriel</u><ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> <math>\;\vec{A}(M) = A_\rho(M)\; \vec{u}_\rho(M) + A_\theta(M)\; \vec{u}_\theta(M) + A_z(M)\; \vec{u}_z\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( \rho\,,\, \theta\,,\, z \right)}\;</math> sont les coordonnées cylindro-polaires la circulation élémentaire }}définie selon <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[\vec{A}\right]\!(M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><u>est une forme différentielle</u> car <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( \rho\,,\, \theta\,,\, z \right)}\;</math> sont les coordonnées cylindro-polaires la circulation élémentaire définie selon }}<math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[\vec{A}\right]\!(M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = A_\rho(M)\; d\rho + A_\theta(M)\; \rho\,d\theta + A_z(M)\; dz\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( \rho\,,\, \theta\,,\, z \right)}\;</math> sont les coordonnées cylindro-polaires la circulation élémentaire définie selon }}les trois fonctions scalaires de la forme différentielle <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[\vec{A}\right]\!(M)\;</math> étant liées aux <br>{{Al|6}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( \rho\,,\, \theta\,,\, z \right)}\;</math> sont les coordonnées cylindro-polaires la circulation élémentaire définie selon les }}trois composantes cylindro-polaires <math>\;\big(</math>ou cylindriques<math>\big)\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( \rho\,,\, \theta\,,\, z \right)}\;</math> sont les coordonnées cylindro-polaires la circulation élémentaire définie selon les trois fonctions scalaires de la forme différentielle <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}\!\left[\vec{A}\right]\!(M)}\;</math> étant liées }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(\rho,\, \theta,\, z) = A_\rho(M)\\B(\rho,\, \theta,\, z) = \rho\;A_\theta(M)\\C(\rho,\, \theta,\, z) = A_z(M)\end{array} \right\rbrace</math>. === Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées sphériques d'un point dans l'espace tridimensionnel === {{Al|5}}Si <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math> sont les coordonnées sphériques du point générique <math>\;M\;</math> de l'espace à trois dimensions<ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)}\;</math> sont les coordonnées sphériques }}<u>la circulation élémentaire du champ vectoriel</u><ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> <math>\;\vec{A}(M) = A_r(M)\; \vec{u}_r(M) + A_\theta(M)\; \vec{u}_\theta(M) + A_\varphi(M)\; \vec{u}_\varphi(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)}\;</math> sont les coordonnées sphériques la circulation élémentaire }}définie selon <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[\vec{A}\right]\!(M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><u>est une forme différentielle</u> car <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)}\;</math> sont les coordonnées sphériques la circulation élémentaire définie selon }}<math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[\vec{A}\right]\!(M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = A_r(M)\; dr + A_\theta(M)\; r\,d\theta + A_\varphi(M)\; r\,\sin(\theta)\, d\varphi\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)}\;</math> sont les coordonnées sphériques la circulation élémentaire définie selon }}les trois fonctions scalaires de la forme différentielle <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[\vec{A}\right]\!(M)\;</math> étant liées aux <br>{{Al|6}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)}\;</math> sont les coordonnées sphériques la circulation élémentaire définie selon les }}trois composantes sphériques du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> par <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(r,\, \theta,\, \varphi) = A_r(M)\\B(r,\, \theta,\, \varphi) = r\;A_\theta(M)\\C(r,\, \theta,\, \varphi) = r\;\sin(\theta)\; A_\varphi(M)\end{array} \right\rbrace</math>. === Exemple dans le cas où les variables indépendantes ne sont pas des coordonnées d'un point de l'espace === {{Al|5}}Nous aurons de nombreux exemples dans le domaine de la [[Thermodynamique_(PCSI)|thermodynamique]] ou de la [[Statique_des_fluides_(PCSI)|statique des fluides]], les variables indépendantes pouvant être * définies en chaque point <math>\;M\;</math> de l'espace comme la température absolue <math>\;T_M</math>, la pression <math>\;p_M</math>, la concentration volumique molaire <math>\;c_M\;</math> ou la masse volumique <math>\;\mu_M\;</math> ou * définies pour l'ensemble du système <math>\;(\Sigma)\;</math> étudié comme le volume <math>\;V_{(\Sigma)}</math>, la quantité de matière <math>\;n_{(\Sigma)}\;</math> ou la masse <math>\;m_{(\Sigma)}\;</math> ou encore * un ensemble des deux judicieusement défini <math>\ldots</math> == Distinction entre forme différentielle et différentielle de fonction scalaire des variables indépendantes « x, y et z » == <center>Dans ce paragraphe, <math>\;\left( x\,,\, y\,,\, z \right)\;</math> désigne n'importe quel type de variables indépendantes<ref name="x, y, z" />.</center> === Rappel sur la notion de différentielle d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes et généralisation à plus de deux variables indépendantes === {{Al|5}}Revoir la « notion de [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Différentielle_d'une_fonction_de_deux_variables_indépendantes|différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes]] » ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Définition_de_la_différentielle_d'une_fonction_de_deux_variables_indépendantes|définition correspondante]] » introduites au chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » soit <div style="text-align: center;">pour la fonction scalaire des deux variables indépendantes <math>\;(x,\, y)\; \overset{f}{\rightarrow}\; f(x,\, y) \in \mathbb{R},\; \forall\; (x,\, y) \in \mathbb{R}^2</math>, <br>la différentielle <math>\;df\;</math> définie au point <math>\;(x_0\,,\,y_0)\;</math> selon <math>\;df = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\! y}\! (x_0,\, y_0)\, dx\, + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\! x}\! (x_0,\, y_0)\, dy\;</math> <br>dans laquelle <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\! y}\! (x_0,\, y_0)\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\! x}\! (x_0,\, y_0)\;</math> sont les dérivées partielles de <math>\;f\;</math> au point en question<ref name="dérivées partielles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Définition_des_dérivées_partielles|définition des dérivées partielles]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="propriété minimale de la fonction de plusieurs variables"> Pour que la différentielle de la fonction existe il est nécessaire que celle-ci soit dérivable ; toutefois, pour la suite du traitement de ce chapitre, nous supposerons que <br>{{Al|20}}{{Transparent|Pour que la différentielle de }}la fonction est de classe <math>\;C^2\;</math> c.-à-d. que les dérivées partielles 2^ndes existent et sont continues sur leurs ouverts de définition <math>\;\ldots</math></ref> ;</div> {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}la généralisation à une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes est explicitée ci-dessous dans le cas de trois variables indépendantes soit <div style="text-align: center;">pour la fonction scalaire des trois variables indépendantes <math>\;(x,\, y,\, z)\; \overset{f}{\rightarrow}\; f(x,\, y,\,z) \in \mathbb{R},\; \forall\; (x,\, y,\,z) \in \mathbb{R}^3</math>, <br>la différentielle <math>\;df\;</math> définie en <math>\;(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\;</math> selon <math>\;df = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\! y,z}\! (x_0,\, y_0,\,z_0)\, dx\, + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\! x,z}\! (x_0,\, y_0,\,z_0)\, dy\, + \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\! x,y}\! (x_0,\, y_0,\,z_0)\, dz\;</math> <br>dans laquelle <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\! y,z}\! (x_0,\, y_0,\, z_0)</math>, <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\! x,z}\! (x_0,\, y_0,\,z_0)\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\! x,y}\! (x_0,\, y_0,\,z_0)\;</math> sont les dérivées partielles de <math>\;f\;</math> au point en question<ref name="dérivées partielles" />{{,}}<ref name="propriété minimale de la fonction de plusieurs variables" />.</div> === Distinction entre une « forme différentielle » et une « différentielle de fonction scalaire » (exposée dans le cas de deux variables indépendantes) === {{Al|5}}<u>La différentielle</u><math>\;df\;</math><u>de la fonction scalaire</u><math>\;f\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;(x\,,\,y)\;</math><ref name="différentielle d'une fonction de plusieurs variables indépendantes"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Rappel_sur_la_notion_de_différentielle_d'une_fonction_scalaire_de_deux_variables_indépendantes_et_généralisation_à_plus_de_deux_variables_indépendantes|rappel sur la notion de différentielle d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes et généralisation à plus de deux variables indépendantes]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La différentielle<math>\;\color{transparent}{df}\;</math>de la fonction scalaire<math>\;\color{transparent}{f}\;</math> }}<u>étant un cas particulier de forme différentielle</u><math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\, y)\;</math><ref name="forme différentielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes (x, y, z)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec les deux fonctions <math>\;\left\lbrace A(x,\,y)\,,\, B(x,\,y) \right\rbrace</math>, a priori indépendantes l'une de l'autre, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La différentielle<math>\;\color{transparent}{df}\;</math>de la fonction scalaire<math>\;\color{transparent}{f}\;</math> étant un cas particulier de forme différentielle<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(x,\, y)}\;</math> avec les deux fonctions }}liées entre elles comme dérivées partielles de la fonction <math>\;f\;</math><ref name="dérivées partielles" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La différentielle<math>\;\color{transparent}{df}\;</math>de la fonction scalaire<math>\;\color{transparent}{f}\;</math> étant un cas particulier de forme différentielle<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(x,\, y)}\;</math> }}nous qualifierons de « forme différentielle » la différentielle d'une fonction scalaire tant que <br>{{Al|10}}{{Transparent|La différentielle<math>\;\color{transparent}{df}\;</math>de la fonction scalaire<math>\;\color{transparent}{f}\;</math> étant un cas particulier de forme différentielle<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(x,\, y)}\;</math> }}nous n'aurons pas vérifié qu'il s'agit bien d'une différentielle de fonction scalaire <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Si on intègre une forme différentielle quelconque<ref name="ou différentielle de fonction scalaire"> Qui peut donc être aussi une différentielle de fonction scalaire.</ref> des deux variables indépendantes <math>\;(x\,,\,y)\;</math> à partir d'un point <math>\;M_1\;</math> jusqu'à un point <math>\;M_2\;</math> en suivant une courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Si on intègre une forme différentielle quelconque }}<math>\bullet\;</math>si on obtient un <u>résultat dépendant de la courbe</u><math>\;(\Gamma)\;</math> suivie pour un même couple de points extrêmes <math>\;\left( M_1\,,\, M_2 \right)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Si on intègre une forme différentielle quelconque <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si on obtient un résultat dépendant de la courbe<math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> }}<u>la forme différentielle n'est pas une différentielle de fonction scalaire</u><ref> Ce qui est vraisemblablement le cas pour deux fonctions <math>\;\left\lbrace A(x,\,y)\,,\, B(x,\,y) \right\rbrace\;</math> quelconques.</ref> mais <br>{{Al|10}}{{Transparent|Si on intègre une forme différentielle quelconque }}<math>\bullet\;</math>si on obtient un <u>résultat indépendant de la courbe</u><math>\;(\Gamma)\;</math> suivie pour un même couple de points extrêmes <math>\;\left( M_1\,,\, M_2 \right)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Si on intègre une forme différentielle quelconque <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si on obtient un résultat indépendant de la courbe<math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> }}<u>la forme différentielle est</u> en fait <u>une différentielle de fonction scalaire</u><ref name="différentielle exacte"> Une forme différentielle qui est une différentielle de fonction scalaire est encore appelée « différentielle exacte » <math>\;\big(</math>ou encore différentielle totale<math>\big)</math>.</ref>. === Retour sur les exemples où les trois variables indépendantes sont les coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques d'un point de l'espace tridimensionnel === ==== Correspondance entre « forme différentielle des coordonnées de l'espace » et « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de cet espace » ==== {{Al|5}}Dans le cas où les variables indépendantes sont des coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires<ref name="repérage cylindro-polaire" /> ou sphériques<ref name="repérage sphérique" /> d'un point <math>\;M\;</math> de l'espace tridimensionnel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où les variables indépendantes sont des coordonnées }}toute forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M)\;</math><ref name="ou différentielle de fonction scalaire" /> est la circulation élémentaire d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math><ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où les variables indépendantes sont des coordonnées }}toute circulation élémentaire d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math><ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> est une forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M)\;</math><ref name="ou différentielle de fonction scalaire" /> : * en repérage cartésien <math>\;M \left( x\,,\, y\,,\, z \right)</math>, toute forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = A(M)\,dx + B(M)\,dy + C(M)\,dz\;</math><ref name="ou différentielle de fonction scalaire" /> est la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ vectoriel <br>{{Al|9}}{{Transparent|en repérage cartésien <math>\;\color{transparent}{M \left( x\,,\, y\,,\, z \right)}</math>, toute forme différentielle <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = A(M)\,dx + B(M)\,dy + C(M)\,dz}\;</math> est la circulation élémentaire }}<math>\;\vec{A}(M) \left\lbrace \begin{array}{l} A_x(M) = A(M)\\A_y(M) = B(M)\\A_z(M) = C(M)\end{array}\right\rbrace</math>, * en repérage cylindro-polaire <math>\;M \left( \rho\,,\, \theta\,,\, z \right)\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> toute forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = A(M)\,d \rho + B(M)\,d \theta + C(M)\,dz\;</math><ref name="ou différentielle de fonction scalaire" /> est la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ vectoriel <br>{{Al|13}}{{Transparent|en repérage cylindro-polaire <math>\;\color{transparent}{M \left( \rho\,,\, \theta\,,\, z \right)}</math>, toute forme différentielle <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = A(M)\,d \rho + B(M)\,d \theta + C(M)\,dz}\;</math> est la circulation élémentaire }}<math>\;\vec{A}(M) \left\lbrace \begin{array}{l} A_\rho(M) = A(M)\\A_\theta(M) = \dfrac{B(M)}{\rho}\\A_z(M) = C(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> et * en repérage sphérique <math>\;M \left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> toute forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = A(M)\,dr + B(M)\,d \theta + C(M)\,d \varphi\;</math><ref name="ou différentielle de fonction scalaire" /> est la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ vectoriel <br>{{Al|13}}{{Transparent|en repérage sphérique <math>\;\color{transparent}{M \left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)}</math>, toute forme différentielle <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = A(M)\,dr + B(M)\,d \theta + C(M)\,d \varphi}\;</math> est la circulation élémentaire }}<math>\;\vec{A}(M) \left\lbrace \begin{array}{l} A_r(M) = A(M)\\A_\theta(M) = \dfrac{B(M)}{r}\\A_\varphi(M) = \dfrac{C(M)}{r\;\sin(\theta)}\end{array}\right\rbrace</math>. ==== Notion de « champ vectoriel à circulation conservative » et correspondance entre la « circulation élémentaire d'un tel champ » et la « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » ==== ===== Notion de « champ vectoriel à circulation conservative » ===== {{Al|5}}Un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace est dit « <u>à circulation conservative</u> » <u>ssi sa circulation le long de la courbe</u><math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math><ref name="circulation d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] (2^ème exemple) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c'est-à-dire <math>\;\mathcal{C}_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation le long de la courbe<math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> c'est-à-dire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \left[ \vec{A}(M) \right]}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} \;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation le long de la courbe<math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> }}<u>est indépendante de la courbe</u><math>\;(\Gamma)\;</math> suivie. ===== Correspondance entre « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » et « circulation élémentaire d'un champ vectoriel à circulation conservative » ===== {{Al|5}}Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : <math>\bullet\;</math>« toute forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M)\;</math><ref name="ou différentielle de fonction scalaire" /> dont l'intégrale en suivant une courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> à partir d'un point <math>\;M_1\;</math> jusqu'à un point <math>\;M_2\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« toute forme différentielle <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M)}\;</math> dont l'intégrale en suivant une courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> }}est indépendante de la courbe suivie <br>{{Al|10}}{{Transparent|Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« toute forme différentielle <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M)}\;</math> }}est une différentielle de fonction scalaire »<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Distinction_entre_une_«_forme_différentielle_»_et_une_«_différentielle_de_fonction_scalaire_»_(exposée_dans_le_cas_de_deux_variables_indépendantes)|distinction entre une forme différentielle et une différentielle de fonction scalaire (exposée dans le cas de deux variables indépendantes)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : }}<math>\bullet\;</math>« toute forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M)\;</math><ref name="ou différentielle de fonction scalaire" /> des coordonnées de l'espace <br>{{Al|10}}{{Transparent|Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« toute forme différentielle <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M)}\;</math> }}est aussi la circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace »<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Correspondance_entre_«_forme_différentielle_des_coordonnées_de_l'espace_»_et_«_circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_cet_espace_»|correspondance entre forme différentielle des coordonnées de l'espace et circulation élémentaire d'un champ vectoriel de cet espace]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : }}<math>\bullet\;</math>« tout champ vectoriel de l'espace dont la circulation le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math><ref name="circulation d'un champ vectoriel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« tout champ vectoriel de l'espace dont la circulation le long de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> }}est indépendante de la courbe suivie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Compte-tenu des propriétés et définition fournies précédemment : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« tout champ vectoriel de l'espace }}est dit ''à circulation conservative'' »<ref name="1ère définition de champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Notion_de_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|notion de champ vectoriel à circulation conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : }}on en déduit <math>\blacktriangleright\;</math>toute « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : on en déduit <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>toute « différentielle de fonction scalaire }}est la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> de l'espace <br>{{Al|10}}{{Transparent|Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : on en déduit <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>toute « différentielle de fonction scalaire est la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel }}''à circulation conservative'' » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : on en déduit }}<math>\blacktriangleright\;</math>toute « circulation élémentaire d'un champ vectoriel<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> de l'espace ''à circulation conservative'' <br>{{Al|10}}{{Transparent|Compte-tenu des propriétés et définition fournies ci-dessus : on en déduit <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>toute « circulation élémentaire d'un champ vectoriel }}est la « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace ». ===== Définition équivalente d'un « champ vectoriel à circulation conservative » ===== {{Al|5}}Compte-tenu de la correspondance entre une « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Compte-tenu de la correspondance entre }}la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> à circulation conservative », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Compte-tenu de la correspondance }}nous en déduisons une définition équivalente d'un « champ vectoriel à circulation conservative » : {{Al|5}}<u>Définition équivalente</u> : Un champ vectoriel de l'espace est dit « <u>à circulation conservative</u> » <u>ssi sa circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> est une différentielle de fonction scalaire</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire une différentielle exacte<ref name="différentielle totale"> Ou encore différentielle totale.</ref><math>\big)</math>. == Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire (conditions d'« égalités des dérivées croisées ») == === Recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire === {{Al|5}}Soit <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = A(x,\, y,\, z)\, dx + B(x,\, y,\, z)\, dy + C(x,\, y,\, z)\, dz\;</math> une forme différentielle<ref name="ou différentielle de fonction scalaire" /> qui est la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;f(x,\, y,\, z)\;</math> c'est-à-dire telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\;\delta_{\text{forme diff}} = df\;</math> avec <math>\;df = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(M)\, dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(M)\, dy + \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(M)\, dz</math>, cette identification devant être vérifiée pour tout triplet <math>\;\left( dx\,,\, dy\,,\, dz \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}} = df}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{df = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(M)\, dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(M)\, dy + \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(M)\, dz}</math>, cette identification }}<math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A(M) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(M)\\ B(M) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(M)\\ C(M) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(M)\end{array} \right\rbrace</math> ; {{Al|5}}lors d'une dérivation partielle 2^nde on peut permuter l'ordre des dérivations sans changer le résultat <math>\;\big(</math>[[w:Théorème_de_Schwarz|théorème de Schwarz]] <ref name="Schwarz"> '''[[w:Hermann_Schwarz|Hermann Amandus Schwarz]] (1843 - 1921)''' mathématicien allemand, dont les travaux portèrent sur des sujets allant de l'[[w:Analyse_réelle|analyse réelle]] et [[w:Analyse_complexe|complexe]] à la [[w:Géométrie_ différentielle|géométrie différentielle]], en passant par le [[w:Calcul_des_variations|calcul des variations]] ; il contribua à propager en '''Italie''' et en '''France''' les idées du mathématicien '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Weierstrass]]''' dont il fut l'élève par les notes de cours qu'il prit en <math>\;1861</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]] <math>\;\big[</math>on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de [[w:Fonction_de_Weierstrass|fonction de Weierstrass]] ayant la propriété d'être partout continue mais dérivable nulle part<math>\big]</math>.</ref> admis<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|lors d'une dérivation partielle 2^nde on peut permuter l'ordre des dérivations }}<math>\Rightarrow</math> les C.N<ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref>. suivantes <math>\bullet\;</math>«<math>\;\left\lbrace \dfrac{\partial\! \left[ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z} \right]}{\partial y} \right\rbrace_{\!\!x,\, z}\!\!(M) = \left\lbrace \dfrac{\partial\! \left[ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z} \right]}{\partial x} \right\rbrace_{\!\!y,\, z}\!\!(M)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(M) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(M)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|lors d'une dérivation partielle 2^nde on peut permuter l'ordre des dérivations <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> les C.N. suivantes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left\lbrace \dfrac{\partial\! \left[ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z} \right]}{\partial z} \right\rbrace_{\!\!x,\, y}\!\!(M) = \left\lbrace \dfrac{\partial\! \left[ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y} \right]}{\partial x} \right\rbrace_{\!\!y,\, z}\!\!(M)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(M) = \left( \dfrac{\partial C}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(M)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|lors d'une dérivation partielle 2^nde on peut permuter l'ordre des dérivations <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> les C.N. suivantes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left\lbrace \dfrac{\partial\! \left[ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z} \right]}{\partial z} \right\rbrace_{\!\!x,\, y}\!\!(M) = \left\lbrace \dfrac{\partial\! \left[ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y} \right]}{\partial y} \right\rbrace_{\!\!x,\, z}\!\!(M)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial B}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(M) = \left( \dfrac{\partial C}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(M)</math>. {{Al|5}}Ces trois C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une forme différentielle<ref name="ou différentielle de fonction scalaire" /> soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>c'est-à-dire une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /><math>\big)\;</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|Ces trois C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire }}sont connues sous le nom de « <u>conditions d'égalités des dérivées croisées</u> »<ref name="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « <u>conditions d'égalités des dérivées croisées</u> » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite <u>fermée</u> sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'<u>une différentielle exacte est une forme différentielle fermée</u> <math>\;\big[</math>mais, comme nous le verrons ultérieurement, la réciproque est fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref>. === Intégration d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe continue fermée === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Bien que les variables indépendantes au nombre de <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> ne soient pas nécessairement des coordonnées de points de l'espace physique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}nous pouvons construire un espace virtuel à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> dimensions tel qu'un point quelconque de cet espace virtuel ait pour coordonnées les variables indépendantes utilisées <math>\;\big[</math>par exemple, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : nous pouvons construire un espace virtuel }}en [[Thermodynamique_(PCSI)|thermodynamique]] ou [[Statique_des_fluides_(PCSI)|statique des fluides]], si les variables indépendantes sont la pression <math>\;p\;</math> et la température absolue <math>\;T</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : nous pouvons construire un espace virtuel en thermodynamique ou statique des fluides, }}l'espace virtuel à <math>\;2\;</math> dimensions serait généré par l'ensemble des couples <math>\;(T\,,\, p)\;</math> possibles<math>\big]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : nous pouvons construire un espace virtuel }}on peut définir une courbe continue dans cet espace virtuel à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> dimensions par <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> équations paramétriques<ref name="repérage paramétrique d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_paramétrique_d'une_courbe|repérage paramétrique d'une courbe]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : nous pouvons construire un espace virtuel on peut définir une courbe continue dans cet espace virtuel à <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> dimensions }}par <math>\;1\;</math> ou <math>\;2\;</math> équation(s) explicite(s)<ref name="repérage cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérages_cartésien,_cylindro-polaire_ou_sphérique_d'une_courbe|repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="implicite"> Ou <math>\;1\;</math> ou <math>\;2\;</math> équation(s) explicite(s) <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Fonctions_implicites#Fonction_implicite_entre_trois_variables_réelles_ou_plus|fonction implicite entre trois variables réelles ou plus]] (remarques 1) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, et par conséquent <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : nous pouvons construire un espace virtuel on peut }}définir aussi une courbe continue fermée dans cet espace virtuel. {{Al|5}}Soit la différentielle <math>\;df\;</math> de la fonction scalaire <math>\;f\;</math> de deux variables indépendantes <math>\;(x\,,\, y)\;</math><ref name="x, y"> On rappelle que ce ne sont pas nécessairement des coordonnées d'un point de l'espace à <math>\;2\;</math> dimensions <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big\{</math>ou de trois variables indépendantes <math>\;(x\,,\, y\,,\,z)\;</math><ref name="x, y, z - bis"> On rappelle que ce ne sont pas nécessairement des coordonnées d'un point de l'espace à <math>\;3\;</math> dimensions <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}une courbe continue fermée <math>\;(\Gamma)\;</math> de l'espace engendré par tous les couples <math>\;(x\,,\, y)\;</math><ref name="x, y" /> possibles <math>\;\big\{</math>ou engendré par tous les triplets <math>\;(x\,,\, y\,,\,z)\;</math><ref name="x, y, z - bis" /> possibles<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit une courbe continue fermée <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> de l'espace }}l'intégrale curviligne <math>\;\displaystyle\oint_{P_0\; \overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;P_0} df\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> étant égale à <math>\;\left[ f(P) \right]_{P_0}^{P_0}\;</math> est nulle quelle que soit la courbe <math>\;(\Gamma)</math>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : L'intégrale d'une différentielle exacte<ref name="différentielle exacte - bis"> Une « différentielle exacte » <math>\;\big(</math>encore appelée différentielle totale<math>\big)\;</math> est une forme différentielle qui est une différentielle de fonction scalaire.</ref> sur une courbe continue fermée est nécessairement nulle c'est-à-dire «<math>\;\displaystyle\oint_{P_0\; \overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;P_0} df = 0\;\;\forall\;(\Gamma)\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />. === Exemple de forme différentielle vérifiant les conditions d'« égalités des dérivées croisées » mais n'étant pas une différentielle de fonction scalaire === {{Al|5}}Soit <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy\;</math> forme différentielle des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y )\;</math> définie sur <math>\;\mathbb{R}^2\,\backslash\,\left\lbrace \left( 0\,,\,0 \right) \right\rbrace\;</math> telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}} = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy}\;</math> }}<math>\left\lbrace \begin{array}{l c l} A(x,\,y) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2} \!\!\!\!&\Rightarrow&\!\!\!\! \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!x} = -\dfrac{\left( x^2 + y^2 \right) - y\;2\;y}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} = \dfrac{y^2 - x^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2}\\ B(x,\,y) = \dfrac{x}{x^2 + y^2} \!\!\!\!&\Rightarrow&\!\!\!\! \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y} = \dfrac{\left( x^2 + y^2 \right) - x\;2\;x}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} = \dfrac{y^2 - x^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2}\end{array} \right\rbrace</math> <math>\Rightarrow</math> <u>forme vérifiant la condition d'égalité des dérivées croisées</u> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}} = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy}\;</math> }}<u>ce n'est pas la différentielle d'une fonction scalaire</u> car « son intégrale sur un cercle <math>\;(\Gamma)\;</math> de centre <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> ne donne pas <math>\;0\;</math>»<ref name="intégrale d'une différentielle de fonction sur une courbe fermée"> Comme il serait nécessaire de trouver pour l'intégrale d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe continue fermée, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Intégration_d'une_différentielle_de_fonction_scalaire_sur_une_courbe_continue_fermée|intégration d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe fermée]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}} = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy}\;</math> }}<math>(\Gamma)\;</math> étant un cercle de centre <math>\;O</math>, le meilleur repérage du point générique <math>\;P\;</math> de <math>\;(\Gamma)\;</math> est <math>\;P\;(r\,,\,\theta)\;</math> <math>\big\{</math>coordonnées polaires de pôle <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)\!\big\}\;</math> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}} = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy}\;</math> <math>\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> étant un cercle de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, le meilleur repérage du point générique <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{P\;(}</math>}}<math>r\;</math> est le rayon du cercle, d'où, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}} = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy}\;</math> <math>\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> étant un cercle de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} x = r\;\cos(\theta) \!\!\!\!&\Rightarrow&\!\!\!\! dx = -r\;\sin(\theta)\;d \theta\\y = r\;\sin(\theta) \!\!\!\!&\Rightarrow&\!\!\!\! dy = r\;\cos(\theta)\;d \theta\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la forme différentielle en restant sur <math>\;(\Gamma)\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}} = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy}\;</math> <math>\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> étant un cercle de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}<math>\delta_{\text{forme diff sur}\,(\Gamma)} = -\dfrac{\sin(\theta)}{r} \left[ -r\;\sin(\theta)\;d \theta \right] + \dfrac{\cos(\theta)}{r} \left[ r\;\cos(\theta)\;d \theta \right] = d \theta\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}} = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy}\;</math> <math>\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> étant un cercle de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}<math>\displaystyle\oint_{P_0\; \overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;P_0} -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy = \displaystyle\oint_{P_0\; \overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;P_0} \delta_{\text{forme diff}}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \int_0^{2\;\pi} d \theta = 2\;\pi\;</math> et donc <math>\;\neq 0</math>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : Les conditions d'égalité des dérivées croisées vérifiées par une forme différentielle <math>\;\big(</math>alors qualifiée de « fermée »<math>\big)\;</math><u>ne sont pas suffisantes</u> pour que cette forme soit une différentielle exacte<ref name="différentielle exacte - bis" />. === Conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une partie <math>\;U\;</math><ref name="ouverte ou non"> Partie ouverte ou non.</ref> de <math>\;\mathbb{R}^n,\;n \in \mathbb{N}^{*}</math>, est dite « <u>[[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> » lorsque «<math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que le segment <math>\;\left[ PQ \right] \subset U</math> <math>\;\forall\; Q \in U\;</math>»<ref> Pour préciser on dira que <math>\;U\;</math> est « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à <math>\;P\;</math>».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}une partie <math>\;U\;</math><ref name="ouverte ou non" /> de <math>\;\mathbb{R}^n,\;n \in \mathbb{N}^{*}</math>, est dite « <u>[[w:Ensemble_convexe|convexe]]</u> » ssi <math>\;U\;</math> est [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à chacun de ses points. {{Al|5}}Nous admettrons le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme de Poincaré]] <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de <math>\;\mathbb{R}^n,\;n \in \mathbb{N}^{*}</math> : {{Théorème| titre= Lemme de Poincaré |contenu = {{Al|5}}« Toute forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> telle qu'on vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées<ref name ="forme différentielle fermée" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|« Toute forme différentielle telle qu'on vérifie }}sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de son domaine de définition <br>{{Al|11}}{{Transparent|« Toute forme différentielle }}est la différentielle d'une fonction scalaire ». <br>{{Al|5}}<u>Énoncé équivalent</u> : « Toute forme différentielle fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de son domaine de définition <br>{{Al|11}}{{Transparent|Énoncé équivalent : « Toute forme différentielle fermée sur un ouvert étoilé }}est une différentielle exacte<ref name="différentielle exacte - bis" /> ».}} {{Al|5}}Dans le cas d'une forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> sur laquelle le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme de Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> s'applique, la fonction dont cette forme est la différentielle <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans le cas d'une forme différentielle sur laquelle le lemme de Poincaré s'applique, la fonction }}est appelée « <u>primitive de la forme différentielle</u> sur l'ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de son domaine dé définition ». {{Al|5}}<u>Remarques</u> : La forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y )\;</math> définie sur <math>\;\mathbb{R}^2\,\backslash\,\left\lbrace \left( 0\,,\,0 \right) \right\rbrace</math> est effectivement <u>fermée</u><ref name="forme différentielle fermée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : La forme différentielle <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}}</math> }}mais <u>la partie</u><math>\;U\;</math><u>du domaine de définition</u> choisie pour définir le cercle <math>\;(\Gamma)\;</math> de centre <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> et de rayon <math>\;r\;</math> le long duquel on intègre la forme différentielle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : La forme différentielle <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}}</math> }}à savoir <math>\;U\;</math><u>identique au disque privé du centre</u>, <u>n'est pas [[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u><math>\;\big\{</math>en effet <math>\;P\;</math> et <math>\;Q\;</math> étant deux points diamétralement opposés sur le cercle, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : La forme différentielle <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}}</math> à savoir <math>\;\color{transparent}{U}\;</math>identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée<math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>en effet }}le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;\not\subset U\;</math> car il passe par le centre <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right) \not\in U\big\}</math>, on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : La forme différentielle <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}}</math> }}<u>cette forme différentielle n'est pas exacte</u><ref name="différentielle exacte - bis" /> sur la partie <math>\;U\;</math> identique au disque privé du centre. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Toutefois, en physique, les formes différentielles<ref name="forme différentielle" /> qui y sont introduites et qui sont fermées<ref name="forme différentielle fermée" /> sont pratiquement toujours définies sur une partie [[w:Partie_étoilée|étoilée]] et par conséquent <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarques : Toutefois, en physique, les formes différentielles qui y sont introduites et qui sont fermées }}sont des différentielles exactes<ref name="différentielle exacte - bis" />. === Exemples de forme différentielle, déterminations (ou non) de sa fermeture puis des primitives de cette forme différentielle dans le cas où cette dernière est exacte === ==== 1^er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » non fermée ==== {{Al|5}}La forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = (x^2 + y^2 + z^2)\, dx + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, dy + (2\, x\, z)\, dz\;</math> est-elle fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> sur <math>\;\mathbb{R}^3</math> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire cette forme vérifie-t-elle les conditions d'égalité des dérivées croisées<math>\big)</math> ? {{Al|5}}Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles<ref name="dérivées partielles" /> des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » c'est-à-dire des fonctions <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A(x,\,y,\,z) = (x^2 + y^2 + z^2)\\ B(x,\,y,\,z) = (2\, x\, y + 2\, y\, z)\\ C(x,\,y,\,z) = (2\, x\, z)\end{array}\right\rbrace\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » c'est-à-dire des fonctions }}respectivement cœfficient de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} dx\\ dy\\ dz\end{array}\right\rbrace</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles }}<math>\bullet\;</math><math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 2\;y \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 2\;y\;</math> soit une 1^ère condition vérifiée<ref name="conditions d'égalité des dérivées croisées"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles }}<math>\bullet\;</math><math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 2\;z \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial C}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 2\;z\;</math> soit une 2^ème condition vérifiée<ref name="conditions d'égalité des dérivées croisées" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles }}<math>\bullet\;</math><math>\;\left( \dfrac{\partial B}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 2\;y \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial C}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> soit une 3^ème condition non vérifiée<ref name="conditions d'égalité des dérivées croisées" /> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles }}<u>conclusion</u> : la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = (x^2 + y^2 + z^2)\, dx + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, dy + (2\, x\, z)\, dz\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles conclusion : la forme différentielle }}n'étant pas fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> n'est donc pas une différentielle exacte<ref name="différentielle exacte - bis" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles conclusion : }}toute tentative de recherche de primitive de cette forme différentielle conduirait à une impasse<ref> Il est donc préférable de vérifier la fermeture de la forme différentielle avant de tenter de rechercher une primitive <math>\;\big(</math>inexistante quand la forme différentielle n'est pas fermée<math>\big)\;</math> de celle-ci ; <br>{{Al|3}}bien que la fermeture de la forme différentielle ne soit qu'une condition nécessaire pour que la forme différentielle soit exacte, elle est, sauf cas très particuliers que l'on ne rencontre pas en physique, suffisante et vérifier qu'il existe un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] du domaine de définition de la forme différentielle n'est pratiquement jamais fait <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles conclusion : }}<math>\big\{</math>voir la méthode de recherche dans le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|suivant]]<math>\big\}</math>. ==== 2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » fermée et recherche des primitives de cette forme sans vérifier au préalable son exactitude ==== {{Al|5}}La forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = (x^2 + y^2 + z^2)\, dx + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, dy + (2\, x\, z + y^2)\, dz\;</math> est-elle fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> sur <math>\;\mathbb{R}^3</math> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire vérifie-t-elle les conditions d'égalité des dérivées croisées<math>\big)</math> ? {{Al|5}}Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles<ref name="dérivées partielles" /> des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » c'est-à-dire des fonctions <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A(x,\,y,\,z) = (x^2 + y^2 + z^2)\\ B(x,\,y,\,z) = (2\, x\, y + 2\, y\, z)\\ C(x,\,y,\,z) = (2\, x\, z + y^2)\end{array}\right\rbrace\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » c'est-à-dire des fonctions }}respectivement cœfficient de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} dx\\ dy\\ dz\end{array}\right\rbrace</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles }}<math>\bullet\;</math><math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 2\;y \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 2\;y\;</math> soit une 1^ère condition vérifiée<ref name="conditions d'égalité des dérivées croisées" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles }}<math>\bullet\;</math><math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 2\;z \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial C}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 2\;z\;</math> soit une 2^ème condition vérifiée<ref name="conditions d'égalité des dérivées croisées" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles }}<math>\bullet\;</math><math>\;\left( \dfrac{\partial B}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 2\;y \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial C}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 2\;y\;</math> soit une 3^ème et dernière condition vérifiée<ref name="conditions d'égalité des dérivées croisées" /> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles }}<u>conclusion</u> : la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = (x^2 + y^2 + z^2)\, dx + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, dy + (2\, x\, z + y^2)\, dz\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles conclusion : la forme différentielle }}étant fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> est vraisemblablement une différentielle exacte<ref name="différentielle exacte - bis" />{{,}}<ref name="domaine de définition supposé étoilé"> L'adverbe « vraisemblablement » est utilisé pour rappeler que la fermeture d'une forme différentielle n'entraîne pas son exactitude, celle-ci nécessitant de vérifier le caractère [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de la partie du domaine de définition sur lequel on travaille <math>\;\big(</math>ce qu'usuellement les physiciens ne font jamais<math>\big)</math> ; dans le cas présent, le domaine de définition étant <math>\;\mathbb{R}^3</math>, il est très facile de se limiter à des ouverts de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> [[w:Ensemble_convexe|convexes]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. [[w:Partie_étoilée|étoilés]] par rapport à tous les points de l'ouvert choisi<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles conclusion : }}on peut donc se lancer dans la recherche des primitives de la forme différentielle <math>\;\big(</math>voir ci-dessous<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Recherche de primitives de cette forme différentielle</u> : identifiant la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = (x^2 + y^2 + z^2)\, dx + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, dy + (2\, x\, z + y^2)\, dz\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : identifiant }}avec la différentielle <math>\;df = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(M)\, dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(M)\, dy + \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(M)\, dz\;</math> de la fonction cherchée <math>\;f(x,\, y,\, z)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : }}on est donc amené à trouver une fonction <math>\;f(x,\, y,\, z)\;</math> connaissant les trois dérivées partielles<ref name="dérivées partielles" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : on est donc amené à trouver une fonction <math>\;\color{transparent}{f(x,\, y,\, z)}\;</math> connaissant }}<math>\left\lbrace\begin{array}{l c l c l} A(x,\, y,\, z) \!\!&=&\!\! x^2 + y^2 + z^2 \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(x,\,y,\,z)\\B(x,\, y,\, z) \!\!&=&\!\! 2\, x\, y + 2\, y\, z \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(x,\,y,\,z)\\C(x,\, y,\, z) \!\!&=&\!\! 2\, x\, z + y^2 \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(x,\,y,\,z)\end{array}\right\rbrace</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : }}pour cela il est conseillé de procéder '''exclusivement''' de la façon décrite ci-dessous<ref> Même si, dans certains cas, une méthode plus simple est possible, celle exposée ci-après assure l'obtention du résultat cherché<math>\;\ldots</math></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : }}<math>\bullet\;</math>à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\, y,\, z) = x^2 + y^2 + z^2</math>, on intègre par rapport à <math>\;x</math>, <math>\;\big(</math>en laissant <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> figés le temps de l'intégration<math>\big)</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>à partir de }}«<math>\;f(x,\, y,\, z) = \dfrac{x^3}{3} + y^2\, x + z^2\, x + \varphi(y,\, z)\;</math>» avec «<math>\;\varphi(y,\,z)\;</math> fonction arbitraire des deux variables indépendantes <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math>»<ref name="varphi constante"> Laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à <math>\;x</math></ref> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : }}<math>\bullet\;</math>on dérive l'expression précédente relativement à <math>\;y</math> <math>\big(</math>en laissant <math>\;x\;</math> et <math>\;z\;</math> figés le temps de la dérivation<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive l'expression précédente relativement à <math>\;\color{transparent}{y}</math> }}dans le but d'introduire la fonction <math>\;\varphi(y,\,z)\;</math> restant à déterminer dans la 2^ème équation soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}<math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\, y,\, z) = 2\, y\, x + \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!\!z}\!(y,\, z)\;</math> d'où la réécriture de la 2^ème équation <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\, y,\, z) = 2\, x\, y + 2\, y\, z\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive <math>\;\color{transparent}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\, y,\, z) = 2\, y\, x + \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!\!z}\!(y,\, z)}\;</math> d'où la réécriture de la 2^ème équation }}<math>\;2\, y\, x + \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!\!z}\!(y,\, z) = 2\, x\, y + 2\, y\, z\;</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}après simplification évidente, <math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!\!z}\!(y,\, z) = 2\, y\, z \;</math> que l'on intègre par rapport à <math>\;y</math>, <math>\;\big(</math>en laissant <math>\;z\;</math> figé le temps de l'intégration<math>\big)</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}«<math>\;\varphi(y,\, z) = y^2\, z + F(z)\;</math>» où «<math>\;F(z)\;</math> est une fonction arbitraire de la variable <math>\;z\;</math>»<ref name="F constante"> Laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à <math>\;y</math></ref> dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}«<math>\;f(x,\, y,\, z) = \dfrac{x^3}{3} + y^2\, x + z^2\, x + y^2\, z + F(z)\;</math>» avec «<math>\;F(z)\;</math> fonction arbitraire de la variable <math>\;z\;</math>» enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : }}<math>\bullet\;</math>on dérive l'expression précédente relativement à <math>\;z</math> <math>\big(</math>en laissant <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> figés le temps de la dérivation<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive l'expression précédente relativement à <math>\;\color{transparent}{z}</math> }}dans le but d'introduire la fonction <math>\;F(z)\;</math> restant à déterminer dans la 3^ème équation soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}<math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\, y,\, z) = 2\, z\, x + y^2 + \dfrac{d F}{dz}(z)\;</math> d'où la réécriture de la 3^ème équation <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\, y,\, z) = 2\, x\, z + y^2\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive <math>\;\color{transparent}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\, y,\, z) = 2\, z\, x + y^2 + \dfrac{d F}{dz}(z)}\;</math> d'où la réécriture de la 3^ème équation }}<math>\;2\, z\, x + y^2 + \dfrac{d F}{dz}(z) = 2\, x\, z + y^2\;</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}après simplification évidente, <math>\;\dfrac{d F}{dz}(z) = 0\;</math><ref> Bien sûr l'équation différentielle en <math>\;F(z)\;</math> n'est pas toujours aussi simple <math>\;\ldots</math></ref> que l'on intègre par rapport à <math>\;z</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}«<math>\;F(z) = cste\;</math>» <math>\Rightarrow</math> les primitives de la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = (x^2 + y^2 + z^2)\, dx + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, dy + (2\, x\, z + y^2)\, dz\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de primitives de cette forme différentielle : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive «<math>\;\color{transparent}{F(z) = cste}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> les primitives }}«<math>\;f(x,\, y,\, z) = \dfrac{x^3}{3} + y^2\, x + z^2\, x + y^2\, z + cste\;</math>». ==== Retour sur le 1^er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » non fermée et constatation du blocage de la méthode de recherche de primitives de cette forme en accord avec leur inexistence ==== {{Al|5}}<u>Supposons que</u> nous n'ayons pas cherché à savoir si la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = (x^2 + y^2 + z^2)\, dx + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, dy + (2\, x\, z)\, dz\;</math> est fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> sur <math>\;\mathbb{R}^3</math> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que nous n'ayons pas cherché à savoir }}si cette forme vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées<math>\big)</math> et que, néanmoins, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que }}<u>nous appliquions la méthode de recherche de primitives exposée dans le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|précédent]] alors qu'il n'existe pas de primitives pour cette forme</u><ref> En effet la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = (x^2 + y^2 + z^2)\, dx + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, dy + (2\, x\, z)\, dz\;</math> n'étant, en réalité, pas fermée <math>\;\big\{</math>d'après l'étude faite au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#1er_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_non_fermée|1^er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes (x, y, z) non fermée]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, elle n'est pas exacte <math>\;\big\{</math>d'après le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme de Poincaré]], voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] ([[w:Lemme_de_Poincaré|lemme de Poincaré]]) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que nous appliquions }}<u>la méthode appliquée doit nécessairement conduire à une impasse</u>, c'est la description de cette impasse que l'on présente ci-dessous : {{Al|5}}{{Transparent|Supposons que }}Si nous identifions, <math>\big(</math>à tort<math>\big)</math>, la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = (x^2 + y^2 + z^2)\, dx + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, dy + (2\, x\, z)\, dz\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si nous identifions, <math>\color{transparent}{\big(}</math>à tort<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}avec la différentielle <math>\;df = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(M)\, dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(M)\, dy + \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(M)\, dz\;</math> d'une fonction <math>\;f(x,\, y,\, z)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si }}on est amené à chercher une fonction <math>\;f(x,\, y,\, z)\;</math> connaissant les trois dérivées partielles<ref name="dérivées partielles" /> <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l c l c l} A(x,\, y,\, z) \!\!&=&\!\! x^2 + y^2 + z^2 \!\!&\overset{?}{=}&\!\! \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(x,\,y,\,z) \\ B(x,\, y,\, z) \!\!&=&\!\! 2\, x\, y + 2\, y\, z \!\!&\overset{?}{=}&\!\! \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(x,\,y,\,z) \\ C(x,\, y,\, z) \!\!&=&\!\! 2\, x\, z \!\!&\overset{?}{=}&\!\! \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(x,\,y,\,z) \end{array} \right\rbrace</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si }}<math>\bullet\;</math>à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\, y,\, z) \;\overset{?}{=}\; x^2 + y^2 + z^2</math>, on intègre par rapport à <math>\;x</math>, <math>\;\big(</math>en laissant <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> figés le temps de l'intégration<math>\big)</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>à partir de }}«<math>\;f(x,\, y,\, z) = \dfrac{x^3}{3} + y^2\, x + z^2\, x + \varphi(y,\, z)\;</math>» avec «<math>\;\varphi(y,\,z)\;</math> fonction arbitraire des deux variables indépendantes <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math>»<ref name="varphi constante" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si }}<math>\bullet\;</math>on dérive l'expression précédente relativement à <math>\;y</math> <math>\big(</math>en laissant <math>\;x\;</math> et <math>\;z\;</math> figés le temps de la dérivation<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive l'expression précédente relativement à <math>\;\color{transparent}{y}</math> }}dans le but d'introduire la fonction <math>\;\varphi(y,\,z)\;</math> restant à déterminer dans la 2^ème équation soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}<math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\, y,\, z) = 2\, y\, x + \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!\!z}\!(y,\, z)\;</math> d'où la réécriture de la 2^ème équation <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\, y,\, z) = 2\, x\, y + 2\, y\, z\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive <math>\;\color{transparent}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\, y,\, z) = 2\, y\, x + \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!\!z}\!(y,\, z)}\;</math> d'où la réécriture de la 2^ème équation }}<math>\;2\, y\, x + \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!\!z}\!(y,\, z) = 2\, x\, y + 2\, y\, z\;</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}après simplification évidente, <math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!\!z}\!(y,\, z) = 2\, y\, z \;</math> que l'on intègre par rapport à <math>\;y</math>, <math>\;\big(</math>en laissant <math>\;z\;</math> figé le temps de l'intégration<math>\big)</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}«<math>\;\varphi(y,\, z) = y^2\, z + F(z)\;</math>» où «<math>\;F(z)\;</math> est une fonction arbitraire de la variable <math>\;z\;</math>»<ref name="F constante" /> dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}«<math>\;f(x,\, y,\, z) = \dfrac{x^3}{3} + y^2\, x + z^2\, x + y^2\, z + F(z)\;</math>» avec «<math>\;F(z)\;</math> fonction arbitraire de la variable <math>\;z\;</math>» enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si }}<math>\bullet\;</math>on dérive l'expression précédente relativement à <math>\;z</math> <math>\big(</math>en laissant <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> figés le temps de la dérivation<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive l'expression précédente relativement à <math>\;\color{transparent}{z}</math> }}dans le but d'introduire la fonction <math>\;F(z)\;</math> restant à déterminer dans la 3^ème équation soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}<math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\, y,\, z) = 2\, z\, x + y^2 + \dfrac{d F}{dz}(z)\;</math> d'où la réécriture de la 3^ème équation <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\, y,\, z) = 2\, x\, z\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive <math>\;\color{transparent}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\, y,\, z) = 2\, z\, x + y^2 + \dfrac{d F}{dz}(z)}\;</math> d'où la réécriture de la 3^ème équation }}<math>\;2\, z\, x + y^2 + \dfrac{d F}{dz}(z) = 2\, x\, z\;</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}après simplification évidente, <math>\;\cancel{\dfrac{d F}{dz}(z) \;\overset{?}{=}\; -y^2}\;</math> ce qui n'admet aucune solution du fait que <math>\;\dfrac{d F}{dz}(z)\;</math> ne doit dépendre que de <math>\;z\;</math> et aucunement de <math>\;y</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive }}l'<u>impasse</u> cherchée établissant qu'<u>il n'existe aucune primitive de la forme différentielle</u> <math>\;\delta_{\text{forme diff}} = (x^2 + y^2 + z^2)\, dx + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, dy + (2\, x\, z)\, dz</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Supposons que Si <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on dérive l'impasse cherchée }}la raison de cette impasse étant que cette forme n'est pas fermée<ref name="forme différentielle fermée" />{{,}}<ref> D'où l'intérêt de vérifier <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math> l'égalité des dérivées croisées avant de chercher d'éventuelles primitives de la forme différentielle.</ref> et par conséquent encore moins exacte. == Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative et détermination des potentiels scalaires dont dérive un tel champ == === Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences === {{Al|5}}Un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions étant « <u>à circulation conservative</u> » <u>ssi sa circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> est une différentielle de fonction scalaire</u> <math>\big(</math>ou une différentielle exacte<ref name="différentielle exacte - bis" /><math>\big)\;</math> soit <br>{{Transparent|Un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions }}<math>\vec{A}(M)\;</math> « à circulation conservative » ssi <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A}\right]\!(M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle exacte - bis" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}la recherche de l'éventuel caractère « à circulation conservative » d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace à deux ou trois dimensions est équivalente à <br>{{Al|17}}celle de l'éventuel caractère « d'être une différentielle exacte »<ref name="différentielle exacte - bis" /> de la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> de ce champ vectoriel <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A}\right]\!(M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}il suffira de travailler sur cette forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A}\right]\!(M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> pour en tirer toutes les conséquences sur le champ vectoriel dont elle est la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" />. === Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative === {{Al|5}}D'après le « paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Rappel_de_la_2ème_définition_d'un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_(relatif_à_sa_circulation_élémentaire)_et_conséquences|précédent]] » les C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais non suffisantes<math>\big)\;</math> pour qu'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace à deux ou trois dimensions soit « à circulation conservative » sont <br>{{Al|54}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » }}celles pour lesquelles la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ vectoriel <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A}\right]\!(M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est une « différentielle exacte<ref name="différentielle exacte - bis" /> » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » }}ainsi, suivant la nature du repérage des points de l'espace <math>\;\big(</math>supposé à trois dimensions<math>\big)</math>, nous obtenons : <br>{{Al|5}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, }}<math>\bullet\;</math>en repérage cartésien <math>\;\vec{A}(M) = A_x(M)\;\vec{u}_x + A_y(M)\;\vec{u}_y + A_z(M)\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A}\right]\!(M) = A_x(M)\;dx + A_y(M)\;dy + A_z(M)\;dz\;</math> d'où <br>{{Al|6}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage cartésien }}les C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que <math>\;\vec{A}(M)\;</math> soit « à circulation conservative » sont <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage cartésien les C.N. <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>mais non suffisantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) = \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) = \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, }}<math>\bullet\;</math>en repérage cylindro-polaire<ref name="repérage cylindro-polaire" /> <math>\;\vec{A}(M) = A_\rho(M)\;\vec{u}_\rho + A_\theta(M)\;\vec{u}_\theta + A_z(M)\;\vec{u}_z\;</math> soit, avec <math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en cylindro-polaire" />, on en déduit <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage cylindro-polaire <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = A_\rho(M)\;\vec{u}_\rho + A_\theta(M)\;\vec{u}_\theta + A_z(M)\;\vec{u}_z}\;</math> soit,}}<math>\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A}\right]\!(M) = A_\rho(M)\;d \rho + A_\theta(M)\; \rho\,d \theta + A_z(M)\;dz\;</math> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage cylindro-polaire }}les C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que <math>\;\vec{A}(M)\;</math> soit « à circulation conservative » sont <br>{{Al|17}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage cylindro-polaire les C.N. <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>mais non suffisantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left[ \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) = \left[ \dfrac{\partial \left( \rho\;A_\theta \right)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial \left( \rho\; A_\theta \right)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage cylindro-polaire les C.N. <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>mais non suffisantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = A_\theta(M) + \rho\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\!\rho,\,\theta}(M) = \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M)\\ \rho\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\!\rho,\,\theta}(M) = \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="explicitation des dérivées partielles"> Obtenu en explicitant les dérivées partielles de produits de facteurs intervenant.</ref>{{,}}<ref name="non indispensable"> Les C.N. <math>\;\big(</math>mais non suffisantes<math>\big)\;</math> pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative dans le cas d'un repérage non cartésien n'est pas aussi simple que dans le cas d'un repérage cartésien ; <br>{{Al|20}}pour ne pas commettre d'erreurs dans le cas d'un repérage non cartésien, il est vraiment indispensable d'expliciter la circulation élémentaire et de ne pas se contenter de travailler sur les composantes non cartésiennes du champ vectoriel <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, }}<math>\bullet\;</math>en repérage sphérique<ref name="repérage sphérique" /> <math>\;\vec{A}(M) = A_r(M)\;\vec{u}_r + A_\theta(M)\;\vec{u}_\theta + A_\varphi(M)\;\vec{u}_\varphi\;</math> soit, avec <math>\;\overrightarrow{dM} = dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" />, on en déduit <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage sphérique <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = A_r(M)\;\vec{u}_r + A_\theta(M)\;\vec{u}_\theta + A_\varphi(M)\;\vec{u}_\varphi}\;</math> soit,}}<math>\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A}\right]\!(M) = A_r(M)\;dr + A_\theta(M)\; r\,d \theta + A_\varphi(M)\;r\,\sin(\theta)\,d \varphi\;</math> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage sphérique }}les C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que <math>\;\vec{A}(M)\;</math> soit « à circulation conservative » sont <br>{{Al|17}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage sphérique les C.N. <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>mais non suffisantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial \left( r\;A_\theta \right)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial \left( r\; A_\theta \right)}{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|D'après le « paragraphe précédent » ainsi, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage sphérique les C.N. <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>mais non suffisantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = A_\theta(M) + r\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \sin(\theta)\;A_\varphi(M) + r\;\sin(\theta)\,\left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \cancel{r}\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \,\cancel{r}\;\cos(\theta)\;A_\varphi(M) + \,\cancel{r}\;\sin(\theta)\,\left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="explicitation des dérivées partielles" />{{,}}<ref name="non indispensable" />. === Circulation d'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions à circulation conservative sur une courbe continue fermée === {{Al|5}}Soient le champ vectoriel « à circulation conservative » <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace physique à deux ou trois dimensions et une courbe continue fermée <math>\;(\Gamma)\;</math> de cet espace, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient le champ vectoriel « à circulation conservative » <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace physique à deux ou trois dimensions }}l'intégrale curviligne <math>\;\displaystyle\oint_{P_0\; \overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;P_0} \delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;</math><ref name="circulation d'un champ vectoriel" /> étant égale à <math>\;\left[ \mathcal{C}\!\left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(P) \right]_{P_0}^{P_0}\;</math><ref> La fonction scalaire <math>\;\mathcal{C}\!\left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(P)\;</math> étant une primitive de la forme différentielle <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;</math> laquelle est exacte pour un champ vectoriel à circulation conservative.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Soient le champ vectoriel « à circulation conservative » <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace physique à deux ou trois dimensions l'intégrale curviligne <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{P_0\; \overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;P_0} \delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)}\;</math> }}est nulle quelle que soit la courbe <math>\;(\Gamma)</math>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La circulation d'un champ vectoriel<ref name="circulation d'un champ vectoriel" /> « à circulation conservative » sur une courbe continue fermée d'un espace à deux ou trois dimensions <br>{{Al|11}}{{Transparent|Conclusion : La circulation d'un champ vectoriel « à circulation conservative » sur une courbe continue fermée }}est nécessairement nulle soit <math>\;\displaystyle\oint_{P_0\; \overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;P_0} \vec{A}(P) \cdot \overrightarrow{dP} = 0\;\;\forall\;(\Gamma)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />. === Exemple de champ vectoriel vérifiant les C.N. pour être « à circulation conservative » mais pour lequel les conditions ne sont pas suffisantes === {{Al|5}}Soit <math>\;\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y\;</math> le champ vectoriel de l'espace physique à deux dimensions défini sur <math>\;\mathbb{R}^2\,\backslash\,\left\lbrace \left( 0\,,\,0 \right) \right\rbrace\;</math> tel que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y}\;</math> }}sa circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> vérifie la C.N<ref name="C.N." />. pour que ce champ soit « à circulation conservative » à savoir que <br>{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y}\;</math> }}cette circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> soit une différentielle exacte<ref name="différentielle exacte - bis" />{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire de C.N<ref name="C.N." />. « égalité des dérivées croisées »<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y}\;</math> }}<math>\left\lbrace \begin{array}{l c l} A_x(x,\,y) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2} \!\!\!\!&\Rightarrow&\!\!\!\! \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x} = -\dfrac{\left( x^2 + y^2 \right) - y\;2\;y}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} = \dfrac{y^2 - x^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} \\ A_y(x,\,y) = \dfrac{x}{x^2 + y^2} \!\!\!\!&\Rightarrow&\!\!\!\! \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y} = \dfrac{\left( x^2 + y^2 \right) - x\;2\;x}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} = \dfrac{y^2 - x^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <u>vérifiant la condition d'égalité des dérivées croisées</u> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y}\;</math> }}<u>ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative</u> car sa circulation sur un cercle <math>\;(\Gamma)\;</math> de centre <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)</math> serait alors <math>\;0\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Circulation_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_à_circulation_conservative_sur_une_courbe_continue_fermée|circulation d'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions à circulation conservative sur une courbe continue fermée]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y}\;</math> ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative car sa circulation sur un cercle <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> de centre <math>\;\color{transparent}{\left( 0\,,\, 0 \right)}</math> }}ce qui n'est pas le cas en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y}\;</math> ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative }}<math>\displaystyle\oint_{P_0\; \overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;P_0} \delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) = \displaystyle\oint_{P_0\; \overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;P_0} \vec{A}(P) \cdot \overrightarrow{dP} = \displaystyle\oint_{P_0\; \overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;P_0} -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y}\;</math> ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative }}se simplifie en repérant le point générique <math>\;P\;</math> du cercle <math>\;(\Gamma)\;</math> de centre <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> et de rayon <math>\;r\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y}\;</math> ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative se simplifie en repérant }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> soit <math>\;P\;(r\,,\,\theta)</math>, dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y}\;</math> ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative se simplifie en repérant }}<math>\left\lbrace \begin{array}{l c l} x = r\;\cos(\theta) \!\!&\Rightarrow&\!\! dx = -r\;\sin(\theta)\;d \theta\\y = r\;\sin(\theta)\!\! &\Rightarrow&\!\! dy = r\;\cos(\theta)\;d \theta\end{array}\right\rbrace\;</math> permettant de réécrire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y}\;</math> ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative se simplifie en repérant }}<math>\delta \mathcal{C}_{\text{sur}\,(\Gamma)}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) = -\dfrac{\sin(\theta)}{r} \left[ -r\;\sin(\theta)\;d \theta \right] + \dfrac{\cos(\theta)}{r} \left[ r\;\cos(\theta)\;d \theta \right]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y}\;</math> ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative se simplifie en repérant <math>\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{\text{sur}\,(\Gamma)}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)}\;</math> }}<math>= d \theta\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y}\;</math> ce champ vectoriel n'est pas à circulation conservative }}<math>\displaystyle\oint_{P_0\; \overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;P_0} \delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) = \int_0^{2\;\pi} d \theta = 2\;\pi\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> et donc <math>\;\neq 0</math>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : Les C.N<ref name="C.N." />. pour qu'un champ vectoriel soit « à circulation conservative » c'est-à-dire « sa circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> est une différentielle exacte<ref name="différentielle exacte - bis" /> »<ref name="conditions d'égalité des dérivées croisées" /> <u>ne sont, a priori, pas suffisantes</u>. === Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit « à circulation conservative » === {{Théorème| titre= Lemme de Poincaré (réécrit en termes de champ vectoriel) |contenu = {{Al|5}}« Tout champ vectoriel d'un espace à deux ou trois dimensions <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tout champ vectoriel }}pour lequel la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées<ref name ="forme différentielle fermée" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|« Tout champ vectoriel pour lequel la circulation élémentaire vérifie }}sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de son domaine de définition <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tout champ vectoriel }}est un champ vectoriel à circulation conservative ». <br>{{Al|5}}<u>Énoncé équivalent</u> : « Tout champ vectoriel d'un espace à deux ou trois dimensions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Énoncé équivalent : « Tout champ vectoriel }}pour lequel la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> est une forme différentielle fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Énoncé équivalent : « Tout champ vectoriel pour lequel la circulation élémentaire est }}sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de son domaine de définition <br>{{Al|5}}{{Transparent|Énoncé équivalent : « Tout champ vectoriel }}est un champ vectoriel à circulation conservative ».}} {{Al|5}}Dans le cas où le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme de Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> <math>\;\big(</math>réécrit en termes de champ vectoriel<math>\big)\;</math> s'applique à un champ vectoriel, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas où le lemme de Poincaré <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>réécrit en termes de champ vectoriel<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> s'applique }}l'opposé de la fonction<ref name="autre choix de potentiel scalaire"> Le fait de choisir l'opposé de la fonction et non la fonction se justifie par le choix fait historiquement dans le domaine de l'électrostatique mais dans des domaines moins ou pas du tout ancrés dans l'Histoire des Sciences, le signe <math>\;-\;</math> n'est pas systématiquement introduit <math>\;\ldots</math></ref> dont la circulation élémentaire est la différentielle <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans le cas où le lemme de Poincaré <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>réécrit en termes de champ vectoriel<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> s'applique l'opposé de la fonction }}est appelé « <u>potentiel scalaire dont dérive le champ vectoriel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans le cas où le lemme de Poincaré <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>réécrit en termes de champ vectoriel<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> s'applique l'opposé de la fonction est appelé « potentiel scalaire }}sur l'ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de son domaine dé définition ». {{Al|5}}<u>Remarques</u> : La circulation élémentaire du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y\;</math> défini sur <math>\;\mathbb{R}^2\,\backslash\,\left\lbrace \left( 0\,,\,0 \right) \right\rbrace</math> est effectivement <u>fermée</u><ref name="forme différentielle fermée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}</math> }}mais <u>la partie</u><math>\;U\;</math><u>du domaine de définition</u> contenant le cercle <math>\;(\Gamma)\;</math> de centre <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> et de rayon <math>\;r\;</math> sur lequel on cherche la circulation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}</math> }}à savoir <math>\;U\;</math><u>identique au disque privé du centre</u>, <u>n'est pas [[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> <math>\;\big\{</math>en effet <math>P\;</math> et <math>\;Q\;</math> étant des points diamétralement opposés sur <math>\;( \Gamma )</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}</math> à savoir <math>\;\color{transparent}{U}\;</math>identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée<math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>en effet }}le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> passant par <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right) \not\in U\;</math> est <math>\;\not\subset U\big\}</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}</math> }}<u>cette circulation élémentaire n'est pas exacte</u><ref name="différentielle exacte - bis" /> sur la partie <math>\;U\;</math> identique au disque privé du centre et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}</math> }}<u>le champ vectoriel</u><math>\;\vec{A}(M) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, \vec{u}_y\;</math><u>n'est pas à circulation conservative</u>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Toutefois, en physique, les champs vectoriels introduits et vérifiant la fermeture de leur circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" />{{,}}<ref name ="forme différentielle fermée" /> sont usuellement définis sur une partie [[w:Partie_étoilée|étoilée]] <ref name="exceptions"> Et ceux, comme l'exemple cité, qui sont définis sur une partie non [[w:Partie_étoilée|étoilée]] sont suffisamment référencés pour qu'usuellement on ne vérifie pas le caractère [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de la partie du domaine de définition utilisée <math>\;\ldots</math></ref> et par conséquent <br>{{Al|16}}{{Transparent|Remarques : Toutefois, en physique, les champs vectoriels introduits et vérifiant la fermeture de leur circulation élémentaire }}sont des champs vectoriels à circulation conservative<ref> C.-à-d. tels que leur circulation élémentaire est une différentielle exacte <math>\;\big(</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#cite_note-différentielle_exacte_-_bis-30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>. === Détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions === {{Définition |titre= Potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative|contenu = {{Al|5}}On appelle potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel d'un espace à deux ou trois dimensions <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à circulation conservative, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On appelle potentiel scalaire }}tout champ scalaire <math>\;V(M)\;</math> de cet espace tel que la circulation élémentaire du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math><ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On appelle potentiel scalaire tout champ scalaire <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> de cet espace tel que }}soit l'« opposé de la différentielle de <math>\;V(M)\;</math>»<ref name="autre choix de potentiel scalaire" /> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|On appelle potentiel scalaire tout champ scalaire <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> de cet espace tel que }}«<math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref name="autre choix de potentiel scalaire" />.}} {{Al|5}}La détermination des potentiels scalaires <math>\;V(M)\;</math> dont dérive un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à circulation conservative revenant à <br>{{Al|24}}celle des primitives de la circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math><ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> usuellement suivie d'un changement de signe<ref name="autre choix de potentiel scalaire" /> <math>\Rightarrow</math> appliquer la méthode exposée au paragraphe <br>{{Al|5}}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes “ x, y, z ” fermé et recherche des primitives de cette forme sans vérifier au préalable son exactitude]] » plus haut dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Exemple</u> : le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M) = (x^2 + y^2 + z^2)\, \vec{u}_x + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, \vec{u}_y + (2\, x\, z + y^2)\, \vec{u}_z\;</math> de l'espace à trois dimensions <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : le champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}</math> }}dont la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> <math>\;\delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = (x^2 + y^2 + z^2)\, dx + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, dy + (2\, x\, z + y^2)\, dz\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple : le champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}</math> dont la circulation élémentaire }}est une forme différentielle fermée<ref name="forme différentielle fermée" />{{,}}<ref name="2ème exemple"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes “ x, y, z ” fermé et recherche des primitives de cette forme sans vérifier au préalable son exactitude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>plus précisément, vérifiant que la fermeture est assurée sur toute partie [[w:Partie_étoilée|étoilée]] de <math>\;\mathbb{R}^3</math>, <br>{{Al|24}}{{Transparent|Exemple : le champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}</math> dont la circulation élémentaire est une forme différentielle fermée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>plus précisément, }}une différentielle exacte<ref name="différentielle exacte - bis" />{{,}}<ref name="C.S. pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle exacte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] ([[w:Lemme_de_Poincaré|lemme de Poincaré]]) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple : le champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}</math> dont la circulation élémentaire est une }}forme différentielle dont les primitives ont été déterminées précédemment<ref name="2ème exemple" /> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple : le champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}</math> dont la circulation élémentaire est une }}la connaissance des potentiels scalaires <math>\;V(M)\;</math> dont dérive le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : le champ vectoriel }}<math>\;\vec{A}(M) = (x^2 + y^2 + z^2)\, \vec{u}_x + (2\, x\, y + 2\, y\, z)\, \vec{u}_y + (2\, x\, z + y^2)\, \vec{u}_z\;</math> dérivant de <math>\;V(M) = -\left( \dfrac{x^3}{3} + y^2\, x + z^2\, x + y^2\, z \right) + cste\;</math><ref name="2ème exemple" />. === 2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions === {{Définition |titre= 2^ème définition (équivalente) de potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative|contenu = {{Al|5}}On appelle potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel d'un espace à deux ou trois dimensions <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à circulation conservative, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On appelle potentiel scalaire }}tout champ scalaire <math>\;V(M)\;</math> de cet espace tel que son gradient <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ V \right]\!(M)\;</math><ref name="gradient d'un champ scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On appelle potentiel scalaire tout champ scalaire <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> de cet espace tel que }}soit l'opposé du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math><ref name="autre choix de potentiel scalaire - bis"> Le fait de choisir pour gradient du potentiel scalaire l'opposé du champ vectoriel et non le champ vectoriel est en accord avec la 1^ère définition du potentiel scalaire vue plus haut dans ce paragraphe, la justification de cette 1^ère définition a été exposée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#cite_note-autre_choix_de_potentiel_scalaire-49|⁴⁹]] » plus haut dans ce chapitre, c'est le choix qui a été fait historiquement dans le domaine de l'électrostatique mais dans des domaines moins ou pas du tout ancrés dans l'Histoire des Sciences, le signe <math>\;-\;</math> dans la 2^ème définition simultanément à la 1^ère n'est pas systématiquement introduit <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On appelle potentiel scalaire tout champ scalaire <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> de cet espace tel que }}«<math>\;\vec{A}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ V \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />{{,}}<ref name="autre choix de potentiel scalaire - bis" />.}} {{Al|5}}<u>Justification de l'équivalence</u> <math>\bullet\;</math>« 1^ère définition <math>\Rightarrow</math> 2^ème définition » : La 1^ère définition des potentiels scalaires <math>\;V(M)\;</math> dont dérive le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à circulation conservative étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de l'équivalence <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 1^ère définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> 2^ème définition » : La 1^ère définition des potentiels scalaires <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> }}«<math>\;\vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 1^ère définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> 2^ème définition » : }}le gradient d'un champ scalaire <math>\;V(M)\;</math> étant défini intrinsèquement comme <br>{{Al|3}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 1^ère définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> 2^ème définition » : le gradient d'un champ scalaire <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> étant }}le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ V \right]\!(M)\;</math> dont la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> est <br>{{Al|3}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 1^ère définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> 2^ème définition » : le gradient d'un champ scalaire <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> étant le champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ V \right]\!(M)}\;</math> dont }}la différentielle du champ scalaire<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire <br>{{Al|3}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 1^ère définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> 2^ème définition » : le gradient d'un champ scalaire <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> étant le champ vectoriel }}<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ V \right]\!(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dV\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math><ref name="gradient d'un champ scalaire" />, d'où <br>{{Al|3}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 1^ère définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> 2^ème définition » : }}par somme de ces deux relations, <math>\left\lbrace \vec{A}(M) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ V \right]\!(M) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{A}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ V \right]\!(M)\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>. ; {{Al|5}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}<math>\bullet\;</math>« 2^ème définition <math>\Rightarrow</math> 1^ère définition » : La 2^ème définition des potentiels scalaires <math>\;V(M)\;</math> dont dérive le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à circulation conservative étant <br>{{Al|6}}{{Transparent|Justification de l'équivalence <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 2^ème définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> 1^ère définition » : La 2^ème définition des potentiels scalaires <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> }}«<math>\;\vec{A}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ V \right]\!(M)\;</math>» dont <br>{{Al|7}}{{Transparent|Justification de l'équivalence <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 2^ème définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> 1^ère définition » : }}on multiplie scalairement chaque membre par <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> pour obtenir, dans le membre de gauche, <math>\;\vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|7}}{{Transparent|Justification de l'équivalence <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 2^ème définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> 1^ère définition » : on multiplie scalairement chaque membre par <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM}}\;</math> pour obtenir, }}la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Justification de l'équivalence <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 2^ème définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> 1^ère définition » : on multiplie scalairement chaque membre par <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM}}\;</math> pour obtenir, }}dans le membre de droite <math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ V \right]\!(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> c'est-à-dire <math>\;-dV\;</math><ref name="gradient d'un champ scalaire" /> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Justification de l'équivalence <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 2^ème définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> 1^ère définition » : on multiplie scalairement chaque membre par <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM}}\;</math> pour obtenir, }}l'opposé de la différentielle du potentiel scalaire <math>\;V(M)\;</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Justification de l'équivalence <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 2^ème définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> 1^ère définition » : on multiplie scalairement chaque membre par <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM}}\;</math> pour obtenir, }}«<math>\;\vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. == Propriété locale d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel == === Rappel de la 1^ère définition d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel === {{Al|5}}Soient un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}une courbe continue <math>\;(\Gamma)\;</math> quelconque sur laquelle sont choisies deux positions quelconques <math>\;\left( M_1\,,\, M_2 \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » }}la circulation <math>\;\mathcal{C}_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \left[ \vec{A}(M) \right]\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> orientée de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math><ref name="circulation d'un champ vectoriel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » la circulation }}<math>\;\mathcal{C}_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \delta \mathcal{C}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} \;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Soient un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » la circulation }}est indépendante de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> suivie <math>\big[</math>voir le paragraphe <br>{{Al|6}}{{Transparent|Soient un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » la circulation est }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Notion_de_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|notion de champ vectoriel à circulation conservative]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>. === Circulation le long d'une courbe fermée d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel === {{Al|5}}Soient un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel<ref name="applicabilité dans un espace à deux dimensions"> La propriété établie dans ce paragraphe reste applicable dans un espace à deux dimensions.</ref> « à circulation conservative », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}une courbe continue fermée <math>\;(\Gamma_f)\;</math> quelconque orientée dans un sens arbitraire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}un couple de points distincts <math>\;\left( M_1\,,\,M_2 \right)\;</math> quelconque sur la courbe <math>\;(\Gamma_f)\;</math> séparant cette dernière en deux portions de courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> et <math>\;(\Gamma')\;</math> toutes deux orientées de <math>\;M_1\;</math> vers <math>\;M_2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient un couple de points distincts <math>\;\color{transparent}{\left( M_1\,,\,M_2 \right)}\;</math> quelconque sur la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_f)}\;</math> séparant cette dernière en }}<math>\big[(\Gamma)\;</math> étant la portion de courbe orientée dans le même sens que <math>\;(\Gamma_f)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient un couple de points distincts <math>\;\color{transparent}{\left( M_1\,,\,M_2 \right)}\;</math> quelconque sur la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_f)}\;</math> séparant cette dernière en <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>(\Gamma')\;</math> celle orientée en sens contraire de <math>\;(\Gamma_f)\big]</math>, <br>{{Al|5}}de la 1^ère définition d'un champ vectoriel « à circulation conservative »<ref name="1ère définition de champ vectoriel à circulation conservative" /> nous déduisons que la circulation du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> ou <math>\;(\Gamma')\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math><ref name="circulation d'un champ vectoriel" /> est la même soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|de la 1^ère définition d'un champ vectoriel « à circulation conservative » nous déduisons que }}<math>\;\mathcal{C}_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \mathcal{C}_{M_1 \overset{(\Gamma')}{\rightarrow} M_2}\! \left[ \vec{A}(M) \right]\;</math> c'est-à-dire <math>\;\displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = \displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma')}{\rightarrow} M_2}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|de la 1^ère définition d'un champ vectoriel « à circulation conservative » nous déduisons que <math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \mathcal{C}_{M_1 \overset{(\Gamma')}{\rightarrow} M_2}\! \left[ \vec{A}(M) \right]}\;</math> c'est-à-dire }}<math>\;\displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -\displaystyle\int_{M_2 \overset{(\Gamma')}{\rightarrow} M_1}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|de la 1^ère définition d'un champ vectoriel « à circulation conservative » nous déduisons }}d'où <math>\;\displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} + \displaystyle\int_{M_2 \overset{(\Gamma')}{\rightarrow} M_1}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> soit «<math>\;\displaystyle\oint\limits_{(\Gamma_f)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref> Démonstration plus détaillée de la propriété vue au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Circulation_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_à_circulation_conservative_sur_une_courbe_continue_fermée|circulation d'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions à circulation conservative sur une courbe continue fermée]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|de la 1^ère définition d'un champ vectoriel « à circulation conservative » nous déduisons }}c'est-à-dire la propriété<ref name="applicabilité dans un espace à deux dimensions" /> ci-dessous : {{Proposition|titre=Circulation d'un champ vectoriel à circulation conservative le long d'une courbe fermée|contenu= {{Al|5}}Dans un espace tridimensionnel<ref name="applicabilité dans un espace à deux dimensions" />, la circulation d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> « à circulation conservative » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un espace tridimensionnel, la circulation }}le long d'une courbe fermée <math>\;(\Gamma_f)\;</math> quelconque orientée dans un sens arbitraire <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un espace tridimensionnel, la circulation le long d'une courbe fermée <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_f)}\;</math> quelconque }}est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{C}_{(\Gamma_f)}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\oint\limits_{(\Gamma_f)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;\;\forall\;(\Gamma_f)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> fermée » pour <math>\;\vec{A}(M)\;</math> « à circulation conservative ».</center>}} === Théorème de Kelvin - Stokes === {{Al|5}}Le [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Kelvin - Stokes]] <ref name="Kelvin"> '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|William Thomson]] (1824 - 1907)''', connu aussi sous le nom de '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|Lord Kelvin]]''', physicien britannique d'origine irlandaise à qui on doit des avancées significatives en thermodynamique avec, entre autres, l'introduction du zéro absolu correspondant à l'état idéal d'absence d'agitation thermique ; il redécouvrit dans les années <math>\;1840\;</math> le [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Stokes]] attribué à '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' mathématicien et physicien britannique <math>\;\big[</math>voir note suivante « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#cite_note-Stokes-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> mais démontré en 1^er en <math>\;1820\;</math> par '''[[w:Mikhail_Ostrogradski|Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky]] (1801 - 1862)''' physicien et mathématicien russe <math>\;\big(</math>province de l'Ukraine<math>\big)\;</math> à qui on doit aussi, entre autres, le [[w:Théorème_de_la_divergence|théorème de flux - divergence]] portant partiellement son nom ; <br>{{Al|3}}ce que '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|William Thomson]]''' a apporté en redécouvrant le [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Stokes]] est la formulation particulièrement adaptée à la physique que les anglo-saxons nomme [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Kelvin - Stokes]] concernant la circulation du rotationnel d'un champ vectoriel sur une courbe fermée et sa transformation en flux du champ à travers n'importe quelle surface ouverte s'appuyant sur le contour fermé <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="Stokes"> '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]] ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème portant son nom]] mais en fait une 1sup>ère</sup> démonstration de ce théorème fût donnée en <math>\;1820\;</math> par '''[[w:Mikhaïl_Ostrogradski|Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky]] (1801 - 1862)''' physicien et mathématicien russe <math>\;\big(</math>province de l'Ukraine<math>\big)\;</math> à qui on doit aussi, entre autres, le [[w:Théorème_de_la_divergence|théorème de flux - divergence]] portant partiellement son nom <math>\;\ldots</math></ref> <math>\big(</math>admis<math>\big)</math> transforme la circulation d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math><ref name="a priori à circulation non conservative"> Lequel est, a priori, à circulation non conservative.</ref> de l'espace tridimensionnel le long d'une courbe fermée <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="circulation d'un champ vectoriel" /> orientée de façon arbitraire, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Le théorème de Kelvin - Stokes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>admis<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> transforme }}en flux du rotationnel du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;</math><ref name="rotationnel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Champ_vectoriel_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à travers une surface ouverte quelconque <math>\;\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}\;</math> s'appuyant sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="flux d'un champ vectoriel à travers une surface ouverte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Définition_du_flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_tridimensionnel_à_travers_une_surface_ouverte|définition du flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte]] » du chap.<math>29</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Le théorème de Kelvin - Stokes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>admis<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> transforme en flux du rotationnel du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)}\;</math> à travers }}dont l'orientation est en accord avec celle du contour <math>\;(\Gamma)\;</math> limitant<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant"> Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite <math>\;\big\{</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> avec choix d'une base orthonormée directe <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, on peut appliquer la <u>règle du tire-bouchon de Maxwell</u> pour déterminer l'orientation de la surface ouverte <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à partir de celle de la courbe fermée <math>\;(\Gamma)\;</math> la limitant : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point <math>\;P_\Gamma\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limitrophe de <math>\;(\Gamma)\;</math> et le tournant dans le sens choisi sur <math>\;(\Gamma)</math>, le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;P_\Gamma\;</math> correspond au sens de déplacement du tire-bouchon, le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en tout autre point <math>\;M\;</math> étant obtenu par continuité » <math>\;\big[</math>on peut aussi appliquer la <u>règle de trois doigts de la main droite de l'apprenti cow-boy droitier</u>, le pouce pointant le sens choisi sur <math>\;(\Gamma)</math> en un point <math>\;P\;</math> de cette dernière, l'index pointant un point <math>\;M\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à partir de <math>\;P\;</math> et le majeur pointant le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;M\big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans l'hypothèse <math>\;\big(</math>excessivement rare<math>\big)\;</math> où l'espace tridimensionnel serait orienté à gauche <math>\;\big\{</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> avec choix d'une base orthonormée indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, on utilisera la <u>règle de trois doigts de la main gauche de l'apprenti cow-boy gaucher</u>, le pouce pointant le sens choisi sur <math>\;(\Gamma)</math> en un point <math>\;P\;</math> de cette dernière, l'index pointant un point <math>\;M\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à partir de <math>\;P\;</math> et le majeur pointant le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;M</math>, ce qui donne un sens opposé à celui qu'on obtiendrait avec un espace tridimensionnel orienté à droite avec choix d'une base orthonormée directe <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le théorème de Kelvin - Stokes }}<math>\Big\{</math>condition d'applicabilité de [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|ce théorème]] si le rotationnel du champ <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;</math><ref name="rotationnel" /> est continu sur toute la surface ouverte <math>\;\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}\;</math> s'appuyant sur <math>\;(\Gamma)\Big\}</math> : {{Théorème| titre= Théorème de Kelvin - Stokes |contenu = {{Al|5}}« La circulation d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math><ref name="a priori à circulation non conservative" /> de l'espace tridimensionnel le long d'une courbe fermée <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="circulation d'un champ vectoriel" /> orientée arbitrairement, <br>{{Al|10}}{{Transparent|« La circulation d'un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> }}est égale au flux du rotationnel du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;</math><ref name="rotationnel" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|« La circulation d'un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> est égale au flux }}à travers une surface ouverte quelconque <math>\;\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|« La circulation d'un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> est égale au flux à travers une surface ouverte }}s'appuyant sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="flux d'un champ vectoriel à travers une surface ouverte" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|« La circulation d'un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> est égale au flux à travers }}dont l'orientation est liée à celle du contour <math>\;(\Gamma)\;</math> limitant<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" />, <br>{{Al|5}}ce [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème]] s'appliquant dès lors que le rotationnel du champ <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;</math><ref name="rotationnel" /> est continu sur toute la surface ouverte <math>\;\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|ce théorème s'appliquant dès lors que le rotationnel du champ <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)}\;</math> est continu sur toute la surface }}s'appuyant sur <math>\;(\Gamma)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|ce théorème }}soit, mathématiquement, avec «<math>\;\mathcal{C}_{(\Gamma)}\!\left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\oint\limits_{(\Gamma)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> la circulation de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long de <math>\;( \Gamma )\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|ce théorème soit, mathématiquement, avec }}«<math>\;\Phi_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) \right\rbrace\;</math><ref name="flux d'un champ vectoriel à travers une surface ouverte" /> <math>= \displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}} \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) \cdot \overrightarrow{dS}_P\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|ce théorème soit, mathématiquement, avec «<math>\;\color{transparent}{\Phi_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) \right\rbrace}\;</math> }}le flux du champ <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;</math><ref name="rotationnel" /> à travers <math>\;\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|ce théorème soit, mathématiquement, }}«<math>\;\mathcal{C}_{(\Gamma)}\!\left[ \vec{A}(M) \right] = \Phi_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) \right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel" />{{,}}<ref name="flux d'un champ vectoriel à travers une surface ouverte" /> soit, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|ce théorème soit, mathématiquement, }}«<math>\;\displaystyle\oint\limits_{(\Gamma)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}} \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) \cdot \overrightarrow{dS}_P\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> ».}} === Propriété locale caractérisant un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel === {{Al|5}}<u>Propriété directe</u> : soit un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » et une courbe fermée <math>\;(\Gamma)\;</math> quelconque orientée de façon arbitraire, * la propriété de la circulation d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel le long d'une courbe fermée <math>\Rightarrow</math>«<math>\;\mathcal{C}_{(\Gamma)}\!\left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\oint\limits_{(\Gamma)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;\;\forall\;(\Gamma)\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="circulation d'un champ vectoriel à circulation conservative le long d'une courbe fermée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Circulation_le_long_d'une_courbe_fermée_d'un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_de_l'espace_tridimensionnel|circulation le long d'une courbe fermée d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, * l'application du [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Kelvin - Stokes]]<ref name="Kelvin" />{{,}}<ref name="Stokes" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\oint\limits_{(\Gamma)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = \displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}} \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) \cdot \overrightarrow{dS}_P\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="théorème de Kelvin - Stokes"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Théorème_de_Kelvin_-_Stokes|théorème de Kelvin - Stokes]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>l'orientation de <math>\;( \mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)} )\;</math> étant en accord avec celle de <math>\;( \Gamma )\;</math><ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /><math>\big\}</math>, * l'utilisation des deux résultats ci-dessus <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}} \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) \cdot \overrightarrow{dS}_P = 0\;\;\forall\;(\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)})\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> et, comme la surface <math>\;(\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)})\;</math> sur laquelle l'intégration est faite est quelconque, <br>{{Transparent|l'utilisation des deux résultats ci-dessus <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la fonction vectorielle de l'espace tridimensionnel dont on calcule le flux<ref name="flux d'un champ vectoriel à travers une surface ouverte" /> est nulle en tout point de l'espace soit «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) = \vec{0}\;\;\forall\;P\;</math>»<ref name="rotationnel" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Propriété directe : }}un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » est tel que son rotationnel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math><ref name="rotationnel" /> est nul en tout point <math>\;M\;</math> de son domaine de définition. {{Al|5}}<u>Propriété réciproque</u> : soit un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel vérifiant <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{0}\;\;\forall\;M\;</math><ref name="rotationnel" /> et une surface ouverte <math>\;( \mathcal{S} )\;</math> quelconque limitée par <math>\;( \Gamma_f )</math>, courbe fermée, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Propriété réciproque : soit un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel vérifiant <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{0}\;\;\forall\;M}\;</math> et }}<math>\big\{</math>l'orientation de <math>\;( \mathcal{S} )\;</math> étant en accord avec celle de <math>\;( \Gamma_f )\;</math><ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /><math>\big\}</math>, * l'utilisation du [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Kelvin - Stokes]]<ref name="Kelvin" />{{,}}<ref name="Stokes" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{( \mathcal{S} )} \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) \cdot \overrightarrow{dS}_P = \displaystyle\oint\limits_{(\Gamma_f)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="théorème de Kelvin - Stokes" />, * la nullité du rotationnel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math><ref name="rotationnel" /> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{( \mathcal{S} )} \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) \cdot \overrightarrow{dS}_P = \displaystyle\iint\limits_{( \mathcal{S} )} \vec{0} \cdot \overrightarrow{dS}_P = 0\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />, * l'utilisation des deux résultats ci-dessus <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\oint\limits_{(\Gamma_f)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> ce qui assure que le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> est « à circulation conservative »<ref> En effet considérons deux points quelconques <math>\;( M_1\,,\, M_2 )\;</math> sur la courbe fermée <math>\;( \Gamma_f )\;</math> également quelconque, <math>\;(\Gamma)\;</math> et <math>\;(\Gamma')\;</math> étant les deux portions de <math>\;( \Gamma_f )\;</math> limitées par <math>\;( M_1\,,\, M_2 )</math>, toutes deux orientées dans le sens de <math>\;( \Gamma_f )</math>, <math>\;\displaystyle\oint\limits_{(\Gamma_f)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = \displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} + \displaystyle\int_{M_2 \overset{(\Gamma')}{\rightarrow} M_1}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -\displaystyle\int_{M_2 \overset{(\Gamma')}{\rightarrow} M_1}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}la permutation des bornes sur la portion de courbe <math>\;( \Gamma' )\;</math> dans la 2^ème intégrale curviligne correspondant à un changement d'orientation de courbe <math>\;( \Gamma' )\;</math> et à un changement de signe, nous en déduisons <math>\;\displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = \displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma')}{\rightarrow} M_2}\! \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> avec <math>\;(\Gamma)\;</math> et <math>\;(\Gamma')\;</math> deux courbes ouvertes distinctes limitées par limitées par <math>\;( M_1\,,\, M_2 )</math> toutes deux orientées de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2</math>, d'où le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à circulation conservative.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Propriété réciproque : }}un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel vérifiant <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{0}\;\;\forall\;M\;</math><ref name="rotationnel" /> est « à circulation conservative ». {{Théorème|titre=Propriété locale d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel| contenu = {{Al|5}}Un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel est « à circulation conservative » ssi «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math>»<ref name="rotationnel" />.}} === Formule de Green - Riemann (cas particulier du théorème de Kelvin - Stokes) === {{Al|5}}La [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="ou formule"> Ou [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|théorème de Green - Riemann]].</ref>{{,}}<ref name="Green"> '''[[w:George_Green_(physicien)|George Green]] (1793 - 1841)''' physicien britannique à qui on doit, entre autres, un ''essai sur l'application de l'analyse mathématique aux théories de l'électricité et du magnétisme'' paru en <math>\;1828\;</math> dans lequel on trouve le [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|théorème de Green - Riemann]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<math>\big)</math>, cas particulier du [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Kelvin - Stokes]], ainsi que l'idée des [[w:Fonction_de_Green|fonctions de Green]] <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="Riemann"> '''[[w:Bernhard_Riemann|Bernhard Riemann]] (1826 - 1866)''' mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse]] <math>\;\big(</math>partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration<math>\big)\;</math> et à la [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] <math>\;\big(</math>partie des mathématiques utilisant les outils du [[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] pour modéliser une [[w:Espace_de_Minkowski|courbure de l'espace-temps]]<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref>, cas particulier du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Théorème_de_Kelvin_-_Stokes|théorème de Kelvin - Stokes]]<ref name="Kelvin" />{{,}}<ref name="Stokes" /> vu plus haut dans ce chapitre pour un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> d'un espace bidimensionnel plan, <br>{{Al|26}}{{Transparent|La formule de Green - Riemann }}transforme la circulation de ce champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long d'une courbe fermée plane <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="circulation d'un champ vectoriel" /> orientée dans le sens trigonométrique direct, <br>{{Al|26}}{{Transparent|La formule de Green - Riemann transforme }}en intégrale surfacique<ref name="intégrale surfacique" /> de la grandeur <math>\;\left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;</math><ref name="dérivées partielles" /> sur la surface plane <math>\;\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}\;</math><ref name="orientée dans le sens de uz"> Orientée dans le sens de <math>\;\vec{u}_z\;</math> en accord avec le sens trigonométrique direct du plan <math>\;xOy</math>.</ref> limitée par <math>\;(\Gamma)</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|La formule de Green - Riemann }}<math>\bigg\{</math>condition d'applicabilité de [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|cette formule]] si <math>\;\left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;</math><ref name="dérivées partielles" /> est continue sur toute la surface plane <math>\;\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}\;</math> limitée par <math>\;(\Gamma)\bigg\}</math> : {{Théorème| titre= Formule de Green - Riemann |contenu = {{Al|5}}« La circulation d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math><ref name="a priori à circulation non conservative" /> de l'espace bidimensionnel plan le long d'une courbe fermée plane <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="circulation d'un champ vectoriel" /> orientée <br>{{Al|10}}{{Transparent|« La circulation d'un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace bidimensionnel plan le long d'une }}dans le sens trigonométrique direct, <br>{{Al|10}}{{Transparent|« La circulation d'un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> }}est égale à l'intégrale surfacique de la grandeur <math>\;\left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;</math><ref name="dérivées partielles" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|« La circulation d'un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> est égale à }}sur la surface plane <math>\;\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}\;</math><ref name="orientée dans le sens de uz" /> limitée par <math>\;(\Gamma)</math>, <br>{{Al|5}}cette [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule]] s'appliquant dès lors que la grandeur <math>\;\left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;</math><ref name="dérivées partielles" /> est continue sur <math>\;\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}\;</math> limitée par <math>\;(\Gamma)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette formule }}soit, mathématiquement, avec «<math>\;\mathcal{C}_{(\Gamma)}\!\left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\oint\limits_{(\Gamma)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> la circulation de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long de <math>\;( \Gamma )\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette formule soit, mathématiquement, }}«<math>\;\mathcal{C}_{(\Gamma)}\!\left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}} \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;dS_P\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="dérivées partielles" /> avec <math>\;dS_P = dx\;dy</math> <br>{{Al|1}}{{Transparent|ce théorème soit, mathématiquement, }}ou «<math>\;\displaystyle\oint\limits_{(\Gamma)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}} \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;dx\;dy\;</math><ref name="dérivées partielles" />{{,}}<ref name="intégrale surfacique" /> ».}} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Si on plonge l'espace bidimensionnel plan <math>\;( xOy )\;</math> dans l'espace tridimensionnel <math>\;( \mathcal{E}_3 )</math> <math>\;\big\{</math>le vecteur de base <math>\;\vec{u}_z\;</math> de la 3^ème dimension orientant <math>\;( xOy )\;</math> dans le sens trigonométrique direct<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace bidimensionnel plan <math>\;( xOy )\;</math> étant considéré comme champ vectoriel de l'espace tridimensionnel <math>\;( \mathcal{E}_3 )\;</math> avec «<math>\;A_z = 0\;</math>» pour composante sur <math>\;\vec{u}_z</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}la grandeur <math>\;\left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](x\,,\,y)\;</math><ref name="dérivées partielles" /> à intégrer sur la surface plane <math>\;\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}\;</math> du plan <math>\;xOy\;</math> dans l'intégrale surfacique<ref name="intégrale surfacique" /> de la [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Remarque 1 : la grandeur <math>\;\color{transparent}{\left[ \left( \partial A_y \right)_{\!\!y} - \left( \partial A_x \right)_{\!\!x} \right](x\,,\,y)}\;</math> à intégrer }}s'identifie à la seule composante cartésienne non nulle du rotationnel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left[ \vec{A} \right](P)\;</math><ref name="rotationnel" /> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> dans <math>\;( \mathcal{E}_3 )</math>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Remarque 1 : la grandeur <math>\;\color{transparent}{\left[ \left( \partial A_y \right)_{\!\!y} - \left( \partial A_x \right)_{\!\!x} \right](x\,,\,y)}\;</math> à intégrer }}c'est-à-dire la composante sur <math>\;\vec{u}_z\;</math><ref name="rotationnel en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cartésien|expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, soit «<math>\;\left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](x\,,\,y)\;</math><ref name="dérivées partielles" /> <math>= \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left[ \vec{A} \right](P) \cdot \vec{u}_z\;</math><ref name="rotationnel" />{{,}}<ref> Les autres composantes sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> et sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant nulles car <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left[ \vec{A} \right](P) \cdot \vec{u}_x = \left\lbrace \cancel{\left( \dfrac{\partial \left[ A_z = 0 \right]}{\partial y} \right)_{\!\!z}(x\,,\,y)} - \cancel{\left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!\!x}(x\,,\,y)} \right\rbrace = 0</math> <math>\;\big(A_y\;</math> ne dépendant pas de <math>\;z\big)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cartésien|expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Les autres composantes sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> et sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_y}\;</math> étant nulles car }}<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left[ \vec{A} \right](P) \cdot \vec{u}_y = \left\lbrace \cancel{\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!\!x}(x\,,\,y)} - \cancel{\left( \dfrac{\partial \left[ A_z = 0 \right]}{\partial x} \right)_{\!\!y}(x\,,\,y)} \right\rbrace = 0</math> <math>\;\big(A_x\;</math> ne dépendant pas de <math>\;z\big)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cartésien|expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> » et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}la [[w:Théorème_de_Stokes#Formule_de_Green-Riemann|formule de Green - Riemann]]<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> se réécrit «<math>\;\mathcal{C}_{(\Gamma)}\!\left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}} \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left[ \vec{A} \right](P) \cdot \vec{u}_z \right\rbrace \, dx\;dy = \displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}} \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left[ \vec{A} \right](P) \cdot \left[ dx\;dy\;\vec{u}_z \right]\;</math>»<ref name="rotationnel" />{{,}}<ref name="intégrale surfacique" /> ou, <br>{{Al|25}}{{Transparent|Remarque 1 : la formule de Green - Riemann se réécrit « }}le vecteur surface élémentaire de <math>\;\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}\;</math> s'écrivant <math>\;\overrightarrow{dS}_P = dx\;dy\;\vec{u}_z\;</math><ref name="orientée dans le sens de uz" /> <br>{{Al|25}}{{Transparent|Remarque 1 : la formule de Green - Riemann se réécrit }}«<math>\;\mathcal{C}_{(\Gamma)}\!\left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}} \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left[ \vec{A} \right](P) \cdot \overrightarrow{dS}_P\;</math><ref name="rotationnel" />{{,}}<ref name="intégrale surfacique" /> », cas particulier du [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Kelvin - Stokes]]<ref name="théorème de Kelvin - Stokes" />{{,}}<ref name="cas particulier"> Ce n'est qu'un cas particulier du [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Kelvin - Stokes]] car ce dernier suppose n'importe quelle surface ouverte <math>\;\big(</math>donc a priori non plane même si la courbe limitante l'est<math>\big)\;</math> limitée par la courbe fermée <math>\;( \Gamma )\;</math> laquelle n'est pas nécessairement plane <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : On en déduit la propriété locale caractéristique d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> « à circulation conservative » d'un espace bidimensionnel plan <math>\;( xOy )</math> : <center>«<math>\;\left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](x\,,\,y) = 0\;</math><ref name="dérivées partielles" /> » <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y}(x\,,\,y) = \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x}(x\,,\,y)\;</math><ref name="dérivées partielles" /> ».</center> === Retour sur les conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à circulation conservative === {{Al|5}}Nous avons établi ces conditions dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi des conditions }}plus haut dans ce chapitre, les C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais non suffisantes<math>\big)\;</math> sont, dans les trois principaux types de repérage des points de l'espace : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, }}<math>\bullet\;</math>en repérage cartésien, «<math>\;\vec{A}(M) = A_x(M)\;\vec{u}_x + A_y(M)\;\vec{u}_y + A_z(M)\;\vec{u}_z\;</math>» est « à circulation conservative » si <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage cartésien, }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="dérivées partielles" /> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!\!z,\,x}(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!\!y,\,x}(M) = 0\\ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!\!z,\,y}(M) = 0\\ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="dérivées partielles" /> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage cartésien, }}soit finalement <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{0}\;</math><ref name="rotationnel en cartésien" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, }}<math>\bullet\;</math>en repérage cylindro-polaire<ref name="repérage cylindro-polaire" />, «<math>\;\vec{A}(M) = A_\rho(M)\;\vec{u}_\rho + A_\theta(M)\;\vec{u}_\theta + A_z(M)\;\vec{u}_z\;</math>» est « à circulation conservative » si <br>{{Al|12}}{{Transparent|Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage cylindro-polaire, }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial \left( \rho\; A_\theta \right)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial \left( \rho\;A_\theta \right)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="dérivées partielles" />{{,}}<ref> Ou <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \rho\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! A_\theta(M) + \rho\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> obtenu en explicitant les dérivées partielles de produits de facteurs intervenant.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage cylindro-polaire, }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{1}{\rho}\,\left[ \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) - \left[ \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! 0\\ \left[ \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) - \left[ \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \!\!&=&\!\! 0\\ \dfrac{1}{\rho} \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left( \rho\;A_\theta \right)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) - \left[ \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \right\rbrace \!\!&=&\!\! 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="dérivées partielles" />{{,}}<ref> Obtenu en divisant la 1^ère relation par <math>\;\rho\;</math> puis en transposant dans le membre de droite réécrit à gauche, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Obtenu }}en réécrivant la 2^ème relation transposée dans le membre de gauche et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Obtenu }}en divisant la 3^ème relation par <math>\;\rho\;</math> puis en transposant dans le membre de droite réécrit à gauche.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage cylindro-polaire, }}soit finalement <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{0}\;</math><ref name="rotationnel en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cylindro-polaire|expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, }}<math>\bullet\;</math>en repérage sphérique<ref name="repérage sphérique" />, «<math>\;\vec{A}(M) = A_r(M)\;\vec{u}_r + A_\theta(M)\;\vec{u}_\theta + A_\varphi(M)\;\vec{u}_\varphi\;</math>» est « à circulation conservative » si <br>{{Al|12}}{{Transparent|Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage sphérique, }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial \left( r\; A_\theta \right)}{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial \left( r\;A_\theta \right)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="dérivées partielles" />{{,}}<ref> Ou, en explicitant les dérivées partielles de produits de facteurs intervenant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \cancel{r}\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \,\cancel{r}\;\cos(\theta)\;A_\varphi(M) + \,\cancel{r}\;\sin(\theta)\,\left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M)\\ \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\;A_\varphi(M) + r\;\sin(\theta)\,\left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! A_\theta(M) + r\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage sphérique, }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)} \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\;A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) - \left[ \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \right\rbrace \!\!&=&\!\! 0\\ \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)} \left[ \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) - \dfrac{1}{r} \left[ \dfrac{\partial \left[ r\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! 0\\ \dfrac{1}{r} \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left( r\;A_\theta \right)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) - \left[ \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) \right\rbrace \!\!&=&\!\! 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="dérivées partielles" />{{,}}<ref> Obtenu en divisant la 1^ère relation par <math>\;r^2\;\sin(\theta)\;</math> puis en transposant dans le membre de droite réécrit à gauche, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Obtenu }}en divisant la 2^ème relation par <math>\;r\;\sin(\theta)\;</math> puis en transposant dans le membre de gauche et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Obtenu }}en divisant la 3^ème relation par <math>\;r\;</math> puis en transposant dans le membre de droite réécrit à gauche.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Nous avons établi des conditions plus haut dans ce chapitre, elles sont, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en repérage sphérique, }}soit finalement <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{0}\;</math><ref name="rotationnel en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_sphérique|expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<u>Conclusion</u> : les C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que <math>\;\vec{A}(M)\;</math> soit « à circulation conservative » s'identifie à la propriété locale pour qu'un tel champ vectoriel soit « à circulation conservative » soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{0}\;</math><ref name="rotationnel" /> ».</center> === Retour sur les conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à circulation conservative » === {{Al|5}}Nous avons vu, d'après le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme de Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> <math>\;\big(</math>réécrit en termes de champ vectoriel<math>\big)\;</math><ref name="lemme de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] (théorème de Poincaré) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons vu, }}tout champ vectoriel d'un espace tridimensionnel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons vu, tout champ vectoriel }}pour lequel la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> est une forme différentielle fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Nous avons vu, tout champ vectoriel pour lequel la circulation élémentaire est }}sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de son domaine de définition<ref name="ouvert étoilé de R3"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « <u>[[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> étant « <u>[[w:Ensemble_convexe|convexe]]</u> » ssi <math>\;U\;</math> est [[w:Partie_étoilée|étoilé]] par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons vu, tout champ vectoriel }}est un champ vectoriel à circulation conservative ; <br>{{Al|5}}nous avons établi, au paragraphe précédent, l'équivalence entre « la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> est une forme différentielle fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous avons établi, au paragraphe précédent, l'équivalence entre « }}la nullité du rotationnel<ref name="rotationnel" /> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> c'est-à-dire <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{0}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Retour_sur_les_conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_tridimensionnel_soit_à_circulation_conservative|retour sur les conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à circulation conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}nous pouvons donc affirmer que « la condition de nullité du rotationnel<ref name="rotationnel" /> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] du domaine de définition de ce champ vectoriel<ref name="ouvert étoilé de R3" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons donc affirmer que « }}est suffisante pour que le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> soit « à circulation conservative » ainsi <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons donc affirmer que }}«<math>\;\vec{A}(M)\;</math> est “ à circulation conservative ” sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="ouvert étoilé de R3" /> ssi <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{0}\;</math> en tout point de cet ouvert ». == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Fonctions hyperboliques directes et inverses|Fonctions hyperboliques directes et inverses]] | suivant = [[../Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif|Flux d'un champ vect. de l'espace, notion de champ vect. à flux conservatif]] }} 18ga4agw830wiciuzmv8quskratxbtz 0 71089 982896 978956 2026-05-17T16:21:46Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982896 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique | idfaculté = physique | numéro = 16 | chapitre = [[../../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique/]] | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] | niveau = 14 }} <center>Quand l'utilisation d'un théorème énergétique s'avérera nécessaire on choisira le théorème de la variation de l'énergie mécanique ou la forme locale associée.</center> == Glissement sans frottement sur une hélice == {{Al|5}}Soit un point matériel glissant sans frottement sur une hélice <math>\;\big(</math>circulaire<math>\big)\;</math><ref name="hélice circulaire"> Hélice qualifiée de « circulaire » car tracée sur un cylindre de révolution mais on omet souvent ce qualificatif.</ref> dont les équations cylindro-polaires sont «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \rho = a\\ z = h\, \theta \end{array} \right\rbrace\;</math>», avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical <math>\;\uparrow\;</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Soit un point matériel glissant sans frottement sur une hélice <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>circulaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> dont les équations cylindro-polaires sont «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace z = h\, \theta \right\rbrace}\;</math>», avec }}les angles des plans horizontaux <math>\;z = cste\;</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Soit un point matériel glissant sans frottement sur une hélice <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>circulaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> dont les équations cylindro-polaires sont «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace z = h\, \theta \right\rbrace}\;</math>», avec les angles des plans horizontaux }}orientés par <math>\;\vec{u}_z</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Soit un point matériel glissant sans frottement sur une hélice <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>circulaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> dont les équations cylindro-polaires sont «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace z = h\, \theta \right\rbrace}\;</math>», }}<math>\big[</math>cette hélice circulaire<ref name="hélice circulaire" /> est dite « droite <math>\;\big(</math>ou dextre<math>\big)\;</math>»<ref name="hélice circulaire droite"> Une hélice circulaire est qualifiée de « droite <math>\;\big(</math>ou dextre<math>\big)\;</math>» si le cœfficient de <math>\;\theta\;</math> dans <math>\;z(\theta)\;</math> est <math>\;> 0</math>, l'espace dans lequel elle est définie étant orienté à droite avec définition d'une base directe <math>\;\big(</math>pour un observateur placé hors du cylindre de révolution et regardant l'hélice, la direction de l'axe du cylindre lui sortant par la tête, l'hélice monte de gauche à droite<math>\big)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Une hélice circulaire }}elle est qualifiée de « gauche <math>\;\big(</math>ou senestre<math>\big)\;</math>» si le cœfficient de <math>\;\theta\;</math> dans <math>\;z(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math> dans un même espace orienté à droite avec définition d'une base directe <math>\;\big(</math>pour un observateur placé hors du cylindre de révolution et regardant l'hélice, la direction de l'axe du cylindre lui sortant par la tête, l'hélice monte de droite à gauche, c.-à-d. dans le sens horaire<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}Voir la notion d'espace orienté à droite dans l'introduction du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et celle de base directe dans un espace orienté à droite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big]</math>. {{Al|5}}À <math>\;t = 0</math>, le point <math>\;\big(</math>en liaison bilatérale<math>\big)\;</math> est lâché sans vitesse initiale d'une cote <math>\;H = 2\, \pi\, h\;</math> et subit l'action d'un champ de pesanteur <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme. {{Al|5}}Déterminer la durée <math>\;\tau\;</math> mis par le point pour effectuer un tour en fonction de <math>\;a</math>, <math>\;h\;</math> et <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math><ref> On pensera au théorème de la variation de l'énergie mécanique pour exprimer <math>\;v^2(t)\;</math> en fonction de <math>\;\theta(t)\;</math> entre autres, puis on exprimera directement <math>\;v^2(t)\;</math> en fonction de <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> de façon à en déduire une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> que l'on résoudra en <math>\;\theta = \theta(t)\;</math> puis que l'on inversera en <math>\;t = t(\theta)</math>.</ref>. {{Solution | contenu = [[File:Glissement sans frottement sur une hélice.png|thumb|350px|Schéma d'une hélice <math>\;\big(</math>circulaire<math>\big)\;</math><ref name="hélice circulaire" /> droite<ref name="hélice circulaire droite" /> sur laquelle un point <math>\;M\;</math> lâché sans vitesse initiale d'une position <math>\;A\;</math> glisse sans frottement sous l'action d'un champ de pesanteur uniforme anti-colinéaire<ref> C.-à-d. parallèle et de sens contraire.</ref> à l'axe du cylindre sur laquelle l'hélice est tracée, avec représentation de la base locale de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au [[w:Repère_de_Frenet#Introduction_du_repère_de_Frenet|trièdre (ou base) de Serret-Frenet]] <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_associée_à_un_point_de_la_courbe_étudiée|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> liée au point <math>\;M</math>, le sens du vecteur unitaire tangentiel<ref name="vecteur unitaire tangentiel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Rappel,_notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_et_de_vecteur_unitaire_tangentiel,_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_associée|rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1^er vecteur de la base locale de Frenet associée]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant choisi dans le sens du mouvement]] {{Al|5}}Nous travaillons dans un référentiel galiléen ; <br>{{Al|5}}il est demandé d'utiliser, de préférence au théorème de l'énergie cinétique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il est demandé d'utiliser, }}le théorème de la variation de l'énergie mécanique entre la position initiale <math>\;A \left( \rho = a\,,\,\theta = 2\, \pi\,,\,z = H = 2\, \pi\, h \right)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|il est demandé d'utiliser, le théorème de la variation de l'énergie mécanique entre }}la position à un instant quelconque positif <math>\;M \left( \rho = a \,,\, \theta \,,\, z = h\, \theta \right)</math> ; {{Al|5}}le bilan des forces appliquées appliquées au point <math>\;M\;</math> est : * son poids <math>\;m\, \vec{g}\;</math> qui est une force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math> en prenant pour référence le niveau <math>\;z = 0\;</math> et * la réaction de l'hélice <math>\;(\mathcal{H})\;</math> sur <math>\;M</math>, non conservative, <math>\;\perp\;</math> au vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="vecteur unitaire tangentiel" /> compte-tenu de l'absence de frottement, ce qui implique qu'elle ne travaille pas, en effet <math>\;W_{A\,\overset{(\mathcal{H})}{\rightarrow}\,M}(\vec{R}) = \displaystyle\int_{A\,\overset{(\mathcal{H})}{\rightarrow}\,M} \vec{R} \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Notion_d'intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> car <math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en Frenet"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <math>\;\vec{R} \perp \vec{\tau}</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est définie par <math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\text{pes},\,M}(t)\;</math> dans laquelle <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\;</math> est l'énergie cinétique du point dans le référentiel d'étude au même instant ; {{Al|5}}{{Transparent|l'énergie mécanique }}or le vecteur vitesse du point <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> à cet instant et dans le même référentiel vaut, en repérage cylindro-polaire, <math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)</math> <math>= \left\lbrace \begin{array}{l c l c l}V_{\rho,\,M}(t) \!\!&=&\!\! \dot{\rho}(t) \!\!&=&\!\! 0\\V_{\theta,\,M}(t) \!\!&=&\!\! \rho(t)\,\dot{\theta}(t) \!\!&=&\!\! a\,\dot{\theta}(t)\\V_{z,\,M}(t) \!\!&=&\!\! \dot{z}(t) \!\!&=&\!\! h\,\dot{\theta}(t)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="vecteur vitesse en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) = \left( a^2 + h^2 \right) \dot{\theta}^2\!(t)\;</math> d'où, en reportant dans l'expression de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> et en éliminant <math>\;z(t)\;</math> au profit de <math>\;\theta(t)</math>, <center>«<math>\;E_{m,\,M}(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left( a^2 + h^2 \right) \dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;h\;\theta(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_»_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)|énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> entre la position initiale <math>\;A \left( a\,,\, 2\;\pi\,,\, H = h\;2\;\pi \right)\;</math> avec une vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> nulle <br>{{Al|6}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point entre }}et une position quelconque <math>\;M \left( a\,,\, \theta\,,\, z = h\;\theta \right)\;</math> avec une vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point entre une position quelconque <math>\;\color{transparent}{M \left( a\,,\, \theta\,,\, z = h\;\theta \right)}\;</math> avec }}<math>v_M(t) = \Vert \vec{V}_M(t) \Vert = -\sqrt{a^2 + h^2}\;\dot{\theta}(t)\;</math><ref> Le signe <math>\;-\;</math> provient du fait que le mouvement se fait dans le sens des <math>\;\theta \searrow\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}(t) < 0\;</math> pour <math>\;t > 0</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point }}s'écrit «<math>\;E_{m,\,M} - E_{m,\,A} = W_{A\,\overset{(\mathcal{H})}{\rightarrow}\,M}(\vec{R})\;</math>»<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie" /> soit finalement «<math>\;\left[ \dfrac{1}{2}\;m \left( a^2 + h^2 \right) \dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;h\;\theta(t) \right] - \left[ m\;g\;h\;2\;\pi \right] = 0\;</math>»<ref name="point à mouvement conservatif"> La seule force non conservative ne travaillant pas, le point est à mouvement conservatif et cela a pour conséquence la conservation de son énergie mécanique.</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point s'écrit }}l'intégrale 1^ère du mouvement de <math>\;M\;</math> en <math>\;\theta(t)\;</math><ref> Équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)</math>.</ref> «<math>\;\left( a^2 + h^2 \right) \dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g\;h \left[ 2\;\pi - \theta(t) \right]\;</math>» ; {{Al|5}}de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons l'expression de la vitesse angulaire en fonction, entra autres, de l'abscisse angulaire soit «<math>\;\dot{\theta}(t) = -\sqrt{\dfrac{2\;g\;h}{a^2 + h^2}}\;\sqrt{2\;\pi - \theta(t)}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons l'expression de la vitesse angulaire en fonction, entra autres, de l'abscisse angulaire soit }}équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons l'expression de la vitesse angulaire en fonction, entra autres, de l'abscisse angulaire soit }}qui s'intègre par séparation des variables<ref name="intégration d'une équation différentielle non linéaire du 1er ordre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Exemple_d'une_équation_différentielle_non_linéaire_du_1er_ordre|exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons l'expression de la vitesse angulaire en fonction, entra autres, de l'abscisse angulaire soit }}sur <math>\;\left] 0\,,\,t \right]</math>, «<math>\;\dfrac{d \theta'}{\sqrt{2\;\pi - \theta'}} = -\sqrt{\dfrac{2\;g\;h}{a^2 + h^2}}\;dt'\;</math>»<ref> La borne inférieure <math>\;t' = 0\;</math> devant a priori être rejetée car correspondant à <math>\;\theta' = 2\;\pi\;</math> pour laquelle <math>\;\dfrac{d \theta'}{\sqrt{2\;\pi - \theta'}}\;</math> représente une forme indéterminée dans la mesure où <math>\;d \theta'\;</math> y est aussi nul <math>\;\big(</math>la vitesse angulaire initiale étant nulle<math>\big)</math> mais la limite finie de la primitive pour <math>\;\theta' \rightarrow 2\;\pi\;</math> donnera finalement une intégration valable pour la borne inférieure <math>\;t' = 0</math>.</ref> s'intégrant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons l'expression de la vitesse angulaire en fonction, entra autres, de l'abscisse angulaire soit }}«<math>\;\left[ -2\;\sqrt{2\;\pi - \theta'} \right]_{2\,\pi}^\theta = -\left[ \sqrt{\dfrac{2\;g\;h}{a^2 + h^2}}\;t' \right]_{0}^t\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{d \theta'}{\sqrt{2\;\pi - \theta'}} = -\left( 2\;\pi - \theta' \right)^{-\frac{1}{2}}\,d\! \left( 2\;\pi - \theta' \right)\;</math> s'intègre en <math>\;-\dfrac{\left( 2\;\pi - \theta' \right)^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\dfrac{1}{2} + 1} = -2\;\sqrt{2\;\pi - \theta'}</math>.</ref>{{,}}<ref> Intégrant le membre de droite dépendant de <math>\;t'\;</math> sur <math>\;\left] 0\,,\,t \right]\;</math> et le membre de gauche dépendant de <math>\;\theta'\;</math> sur <math>\;\left[ \theta\,,\,2\;\pi \right[\;</math> on obtient «<math>\;\left[ -2\;\sqrt{2\;\pi - \theta'} \right]_{(2\,\pi)^{-}}^\theta = -\left[ \sqrt{\dfrac{2\;g\;h}{a^2 + h^2}}\;t' \right]_{0^{+}}^t\;</math>», ce résultat donnant une forme non indéterminée pour <math>\;\left( t' = 0\,,\, \theta' = 2\;\pi \right)\;</math> permet de prolonger l'intégration du membre de gauche dépendant de <math>\;t'\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\,t \right]\;</math> et celle du membre de gauche dépendant de <math>\;\theta'\;</math> sur <math>\;\left[ \theta\,,\,2\;\pi \right]</math>.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons }}la solution de l'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> suivante «<math>\;\sqrt{2\;\pi - \theta} = \sqrt{\dfrac{2\;g\;h}{a^2 + h^2}}\;\dfrac{t}{2}\;</math>» dont nous déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons }}la loi horaire d'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> glissant sans frottement sur l'hélice <math>\;(\mathcal{H})\;</math><ref> Loi non demandée.</ref> «<math>\;\theta = 2\;\pi - \dfrac{g\;h}{2 \left( a^2 + h^2 \right)}\;t^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons }}la durée <math>\;\tau\;</math> mis par le point pour effectuer un tour sur l'hélice <math>\;(\mathcal{H})\;</math> c'est-à-dire la valeur de <math>\;t\;</math> correspondant à <math>\;\theta = 0\;</math> «<math>\;\tau = 2\;\sqrt{\dfrac{\pi \left( a^2 + h^2 \right)}{g\;h}}\;</math>». {{Al|5}}<u>Compléments</u> : utilisant la loi horaire d'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> «<math>\;\theta = 2\;\pi - \dfrac{g\;h}{2 \left( a^2 + h^2 \right)}\;t^2\;</math>» et inversée sous la forme «<math>\;t = 2\;\sqrt{\dfrac{a^2 + h^2}{2\;g\;h}}\;\sqrt{2\;\pi - \theta}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Compléments : utilisant la loi horaire }}on peut déterminer la durée <math>\;\left( \Delta t \right)_n\;</math> nécessaire pour que le point <math>\;M\;</math> effectue <math>\;n\;</math> tours avec <math>\;n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace</math>, il suffit d'y faire <math>\;\theta = -\left( n - 1 \right) 2\;\pi\;</math> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée }}«<math>\;\left( \Delta t \right)_n = 2\;\sqrt{\dfrac{\pi \left( a^2 + h^2 \right)}{g\;h}}\;\sqrt{n} = \tau\;\sqrt{n}\;</math>» ou finalement «<math>\;\left( \Delta t \right)_n = \left( \Delta t \right)_1\;\sqrt{n}\;</math>» ; ainsi {{Al|2}}{{Transparent|Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée }}«<math>\;\left( \Delta t \right)_4 = 2\, \left( \Delta t \right)_1\;</math>», la durée pour glisser sur le 1^er tour est égale à celle pour glisser sur l'ensemble des 2^ème à 4^ème tour <br>{{Al|2}}{{Transparent|Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta t \right)_4 = 2\, \left( \Delta t \right)_1}\;</math>», la durée pour glisser sur le 1^er tour est égale à celle pour glisser }}<math>\;\big(</math>c'est-à-dire les trois tours suivants<math>\big)</math>, {{Al|2}}{{Transparent|Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée }}«<math>\;\left( \Delta t \right)_9 = 3\, \left( \Delta t \right)_1\;</math>», la durée pour glisser sur le 1^er tour est égale à celle pour glisser sur l'ensemble des 2^ème à 4^ème tour <br>{{Al|2}}{{Transparent|Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta t \right)_9 = 3\, \left( \Delta t \right)_1}\;</math>», la durée pour glisser sur le 1^er tour est égale à celle pour glisser }}<math>\;\big(</math>c'est-à-dire les trois tours suivants<math>\big)</math>, ou encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta t \right)_9 = 3\, \left( \Delta t \right)_1}\;</math>», la durée pour glisser sur le 1^er tour est }}égale à celle pour glisser sur l'ensemble des 5^ème à 9^ème tour <br>{{Al|2}}{{Transparent|Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta t \right)_9 = 3\, \left( \Delta t \right)_1}\;</math>», la durée pour glisser sur le 1^er tour est égale à celle pour glisser }}<math>\;\big(</math>c'est-à-dire les cinq tours suivants<math>\big)\;\ldots</math>}} == Glissement avec frottement sur un plan incliné == {{Al|5}}Un objet de masse <math>\;m\;</math> est lancé, dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme, avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> incliné vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d'un plan incliné faisant un angle non orienté <math>\;\alpha\;</math> avec l'horizontale ; {{Al|5}}le contact de l'objet avec le plan incliné est supposé avec frottement solide de cœfficients statique et dynamique confondus, de valeur commune notée <math>\;f</math>. === Distance parcourue avant l'arrêt de l'objet === {{Al|5}}À cause des frottements solides et de l'absence de force de propulsion, l'objet va s'arrêter ; {{Al|5}}déterminer la distance parcourue par l'objet avant son arrêt. {{Solution | contenu =[[File:Solide lancé sur plan incliné avec frottement solide.png|thumb|300px|Schéma d'un solide en liaison unilatérale avec un plan incliné sur lequel le contact est avec frottement solide et représentation des forces appliquées au solide quand ce dernier glisse vers le haut]] {{Al|5}}L'objet étant en translation est assimilé à son C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. noté <math>\;M</math>, son mouvement le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné est repéré par son équation horaire scalaire <math>\;x(t)\;</math> où <math>\;x\;</math> est l'abscisse de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> dont la direction est la ligne de plus grande pente et dont le sens est ascendant, l'origine <math>\;O\;</math> de l'axe étant la position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. à l'instant de lancement de l'objet avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math>, l'instant de lancement étant choisi comme origine des temps. {{Al|5}}Les forces extérieures s'exerçant sur l'objet de C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;M\;</math> sont * son poids <math>\;m\; \vec{g}\;</math> vertical <math>\;\downarrow</math>, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\;g\;z\;</math> <math>\big\{z\;</math> étant la cote du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;M\;</math> repérée sur l'axe <math>\;\overrightarrow{z'z}\;</math> vertical <math>\;\uparrow\;</math> relativement à l'origine <math>\;O\big\}</math>, <math>\;z = 0\;</math> ayant été choisie comme référence de <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math> ; la cote <math>\;z\;</math> de <math>\;M\;</math> s'exprimant en fonction de son abscisse <math>\;x\;</math> en utilisant <math>\;\sin(\alpha) = \dfrac{z}{x}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;z = x\;\sin(\alpha)\;</math> nous en déduisons «<math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\;g\;\sin(\alpha)\;x\;</math> avec référence en <math>\;x = 0\;</math>», * la réaction du plan, non conservative, <math>\;\vec{R} = \vec{R}_\tau + R_n\;\vec{n}\;</math> avec <math>\;\vec{n}\;</math> le vecteur unitaire <math>\;\perp\;</math> au plan, de sens opposé à celui de la pénétration de l'objet susceptible de se produire dans le plan <math>\;\big[\!\Rightarrow R_n > 0\big]\;</math> correspondant aussi à <math>\;\vec{n} = \vec{u}_y</math> <math>\;\big[\vec{u}_y</math> étant le vecteur unitaire <math>\;\perp\;</math> au plan incliné choisi dans le sens des altitudes <math>\;\nearrow\big]</math>, le travail de la réaction <math>\;W_{O\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M}(\vec{R}) = \displaystyle\int_{O\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M} \vec{R} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="plan incliné"> <math>\;(\mathcal{P})\;</math> désignant le plan incliné.</ref> se limitant à celui de sa composante tangentielle<ref name="force de frottement solide"> Ou encore force de frottement solide.</ref> car le travail de <math>\;\vec{R}\;</math> se décompose en <math>\;W_{O\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M}(\vec{R}) =</math> <math>\displaystyle\int_{O\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M} \vec{R}_\tau \cdot \overrightarrow{dM}\; \cancel{+ \displaystyle\int_{O\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M} R_n\;\vec{n} \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en Frenet" />, <math>\;\vec{\tau}\;</math> étant le vecteur unitaire tangentiel choisi dans le sens du mouvement c'est-à-dire <math>\;\vec{\tau} = \vec{u}_x\;</math> et <math>\;R_n\;\vec{n} \perp \vec{\tau}\big\}</math>, soit «<math>\;W_{O\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M}(\vec{R}_\tau) = \displaystyle\int_{O\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M} R_{\tau,\,x}\; dx < 0\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="plan incliné" />{{,}}<ref> En effet si <math>\;\vec{\tau} = \vec{u}_x</math>, <math>\;s = x\;</math> en choisissant l'origine de mesure des abscisses curvilignes identique à l'origine des abscisses sur l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> et par suite <math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math> se réécrit <math>\;\overrightarrow{dM} = dx\;\vec{u}_x</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant définie par «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\text{pes},\,M}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'énergie mécanique }}<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^{2}(t)\;</math> l'énergie cinétique du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude au même instant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'énergie mécanique }}se réécrit selon «<math>\;E_{m,\,M}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^{2}(t) + m\;g\;\sin(\alpha)\;x(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie" /> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. entre sa position initiale <math>\;O\;</math> avec une vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;v_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique du C.D.I. entre }}sa position d'arrêt <math>\;M_{\text{arrêt}} \left( x_{\text{arrêt}} = d \right)\;</math> avec une vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> nulle <br>{{Al|16}}{{Transparent|l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique du C.D.I. }}appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre supposé galiléen s'écrit «<math>\;E_{m,\,M_{\text{arrêt}}} - E_{m,\,O} = W_{O\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M_{\text{arrêt}}}(\vec{R}_\tau)\;</math>»<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie" /> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique du C.D.I. appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre supposé galiléen s'écrit }}«<math>\;\left[ m\;g\;\sin(\alpha)\;d \right] - \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^{\,2} \right] = \displaystyle\int_0^d R_{\tau,\,x}\; dx\;</math>» ; {{Al|5}}l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre galiléen nous conduit à «<math>\;m\; \vec{g} + \vec{R} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|18}}{{Transparent|l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. }}en projection sur l'axe <math>\;\overrightarrow{y'y}</math>, «<math>\;-m\;g\;\cos(\alpha) + R_n = m\;a_{M,\,y} = 0\;</math>»<ref> Par absence de mouvement suivant <math>\;\vec{u}_y</math>.</ref> d'où «<math>\;R_n = m\;g\;\cos(\alpha)\;</math>» et, <br>{{Al|18}}{{Transparent|l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. }}en utilisant la loi de frottement de Coulomb<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] connues sous le nom de « [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de Coulomb]] » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec glissement<ref name="loi de frottement de glissement de Coulomb dans le cas d'un glissement effectif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_effectif_de_glissement|rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans le cas particulier de cœfficients de frottement statique et dynamique confondus, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique]] » du même chap.<math>13</math> de la même leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\vert R_{\tau,\,x} \vert = f\;R_n\;</math>» avec <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> de sens contraire au mouvement de <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|30}}{{Transparent|l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement «<math>\;\color{transparent}{\vert R_{\tau,\,x} \vert = f\;R_n}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau}\;</math> de sens contraire }}<math>\;R_{\tau,\,x} < 0\;</math> soit <br>{{Al|30}}{{Transparent|l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement }}«<math>\;R_{\tau,\,x} = -f\;R_n\;</math>» ou, après report de l'expression de <math>\;R_n\;</math> <br>{{Al|30}}{{Transparent|l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement }}«<math>\;R_{\tau,\,x} = -f\;m\;g\;\cos(\alpha)\;</math>» d'où <br>{{Al|30}}{{Transparent|l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement }}«<math>\;W_{O\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M_{\text{arrêt}}}(\vec{R}_\tau) = \displaystyle\int_0^d R_{\tau,\,x}\; dx = \displaystyle\int_0^d -f\;m\;g\;\cos(\alpha)\; dx</math> <br>{{Al|30}}{{Transparent|l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement «<math>\;\color{transparent}{W_{O\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M_{\text{arrêt}}}(\vec{R}_\tau)}</math> }}<math>= -f\;m\;g\;\cos(\alpha)\;d\;</math>» ; {{Al|5}}finalement la relation déduite de l'application du théorème de la variation de l'énergie mécanique se réécrit «<math>\;m\;g\;\sin(\alpha)\;d - \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^{\,2} = -f\;m\;g\;\cos(\alpha)\;d\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement la relation déduite de l'application du théorème de la variation de l'énergie mécanique se réécrit }}après simplification et regroupement des termes <math>\;\propto\;</math> à <math>\;d\;</math> dans un même membre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}on obtient l'expression de la distance nécessaire pour que l'objet s'arrête «<math>\;d = \dfrac{v_0^{\,2}}{2\;g\,\left[ \sin(\alpha) + f\;\cos(\alpha) \right]}\;</math>».}} === Condition d'inclinaison du plan incliné pour que l'objet ne descende pas après son arrêt === {{Al|5}}À quelle condition sur <math>\;\alpha\;</math> l'objet restera-t-il immobile sur le plan incliné après son mouvement de montée ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Il convient bien sûr de refaire un schéma de situation en représentant les forces. {{Al|5}}À partir de l'état final de repos précédent, la force tendant à faire redescendre l'objet de C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;M\;</math> est la composante de <math>\;m\; \vec{g}\;</math> le long du plan incliné, <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir de l'état final de repos précédent, la force tendant à faire redescendre l'objet de C.D.I. <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est la }}composante qui est dans le sens descendant <math>\;\big[</math>de norme égale à <math>\;m\; g\; \sin(\alpha)\big]\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir de l'état final de repos précédent, }}la force de frottement <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est maintenant dans le sens ascendant, s'opposant à la composante de <math>\;m\; \vec{g}\;</math> le long du plan incliné ; {{Al|5}}{{Transparent|À partir de l'état final de repos précédent, }}s'il n'y a pas glissement c'est que ces deux composantes se compensent soit «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = m\; g\; \sin(\alpha)\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|À partir de l'état final de repos précédent, }}comme il n'y a toujours pas lévitation de l'objet de C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;M\;</math> au-dessus du plan incliné, les deux composantes <math>\;\perp\;</math> au plan incliné se compensent c'est-à-dire <br>{{Al|10}}{{Transparent|À partir de l'état final de repos précédent, comme il n'y a toujours pas lévitation de l'objet de C.D.I. <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<math>\;R_n\;\vec{n}\;</math> <math>\big[</math>dirigée vers le haut <math>\;\Rightarrow\;R_n > 0\big]\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir de l'état final de repos précédent, comme il n'y a toujours pas lévitation de l'objet de C.D.I. <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}la composante du poids <math>\;\perp\;</math> au plan incliné <math>\;-m\; g\; \cos(\alpha)\;\vec{u}_y\;</math> <math>\big[</math>dirigée vers le bas<math>\big]\;</math> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir de l'état final de repos précédent, comme il n'y a toujours pas lévitation de l'objet de C.D.I. <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> au-dessus du plan incliné }}«<math>\;R_n = m\; g\; \cos(\alpha)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|À partir de l'état final de repos précédent, }}l'application de la loi de frottement de Coulomb<ref name="Coulomb" /> dans le cas de non glissement<ref name="loi de frottement de glissement de Coulomb dans le cas d'équilibre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_d’équilibre|rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans le cas particulier de cœfficients de frottement statique et dynamique confondus, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique]] » du même chap.<math>13</math> de la même leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert < f\;R_n\;</math>» se réécrit «<math>\;m\; g\; \sin(\alpha) < f\;m\; g\; \cos(\alpha)\;</math>» soit, <br>{{Al|17}}{{Transparent|À partir de l'état final de repos précédent, l'application de la loi de frottement de Coulomb dans le cas de non glissement }}après simplification évidente «<math>\;\tan(\alpha) < f\;</math>» ou, <br>{{Al|17}}{{Transparent|À partir de l'état final de repos précédent, l'application de la loi de frottement de Coulomb dans le cas de non glissement }}en introduisant l'angle limite de frottement «<math>\;\varphi = \arctan(f)\;</math><ref name="arctangente"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> »<ref name="angle limite de frottement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Angle_limite_de_frottement_statique_et_angle_limite_de_frottement_dynamique|angle limite de frottement statique et angle limite de frottement dynamique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans le cas particulier de cœfficients de frottement statique et dynamique confondus, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique]] » du même chap.<math>13</math> de la même leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|À partir de l'état final de repos précédent, l'application de la loi de frottement de Coulomb dans le cas de non glissement après simplification évidente }}«<math>\;\alpha < \varphi\;</math>».}} == Point glissant sans frottement sur une piste rigide terminée par un demi-cercle vertical == [[File:Liaison unilatérale d'un point sur une piste.png|thumb|350px|Schéma représentant un point <math>\;M\;</math> en liaison unilatérale sans frottement dans un champ de pesanteur uniforme sur une piste rigide constituée d'une descente terminée par un demi-cercle vertical, le point <math>\;M\;</math> étant lâché sans vitesse d'une hauteur <math>\;h</math>]] {{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m</math>, en liaison unilatérale sans frottement sur la piste rigide ci-contre, est lâché sans vitesse initiale depuis la position <math>\;M_0\;</math> située à une hauteur <math>\;h\;</math> relativement à la partie la plus basse de la piste. {{Al|5}}La piste est constituée d'une descente de forme quelconque se terminant, sans discontinuité de pente, par un demi-cercle vertical de rayon <math>\;r\;</math> et dont l'extrémité supérieure est notée <math>\;A</math>. {{Al|5}}Le point matériel est soumis au champ de pesanteur <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme. {{Al|5}}À quelle condition de hauteur <math>\;h\;</math> le point <math>\;M\;</math> peut-il atteindre l'extrémité <math>\;A\;</math> de la piste ? {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On rappelle que la C.N.S<ref name="C.N.S."> Condition Nécessaire et Suffisante.</ref>. pour que <math>\;M\;</math> quitte la piste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : On rappelle que la C.N.S. }}est que celle-ci n'exerce plus de réaction sur le point <math>\;M\;</math> à partir d'une position précédant <math>\;A</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par contraposée la C.N.S<ref name="C.N.S." />. pour que <math>\;M\;</math> reste au contact de la piste jusqu'en <math>\;A\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : On rappelle que la C.N.S. }}est qu'il existe une réaction de la piste sur le point <math>\;M\;</math> en toutes les positions possibles jusqu'à <math>\;A</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : On rappelle que la C.N.S. }}<math>\big[</math>pouvoir définir une vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;> 0\;</math><ref> La piste étant orientée de <math>\;M_0\;</math> vers <math>\;A</math>.</ref> en toute position <math>\;M\;</math> précédant <math>\;A</math>, <br>{{Al|22}}{{Transparent|Remarque : On rappelle que la C.N.S. <math>\color{transparent}{\big[}</math>pouvoir définir une vitesse instantanée <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}n'est qu'une C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. sans être une C.S<ref name="C.S."> Condition Suffisante.</ref>. <br>{{Al|22}}{{Transparent|Remarque : On rappelle que la C.N.S. <math>\color{transparent}{\big[}</math>pouvoir définir une vitesse instantanée <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}pour que le point <math>\;M\;</math> puisse atteindre <math>\;A\big]</math>. <br> {{Solution | contenu = [[File:Liaison unilatérale d'un point sur une piste - bis.png|thumb|400px|Schéma représentant un point <math>\;M\;</math> en liaison unilatérale sans frottement dans un champ de pesanteur uniforme sur une piste rigide constituée d'une descente terminée par un demi-cercle vertical, le point <math>\;M\;</math> étant lâché sans vitesse d'une hauteur <math>\;h\;</math> avec représentation des forces appliquées à <math>\;M\;</math> et effet de loupe sur la partie circulaire]] {{Al|5}}Voir le schéma de situation ci-contre avec représentation des forces appliquées à <math>\;M</math>, l'étude étant faite dans le référentiel terrestre liée à la piste, référentiel supposé galiléen. {{Al|5}}Le bilan des forces appliquées à <math>\;M\;</math> est : * son poids <math>\;m\; \vec{g}\;</math> vertical <math>\;\downarrow</math>, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\;g\;z\;</math> <math>\big\{z\;</math> étant l'altitude du point <math>\;M\;</math> repérée par rapport à l'origine <math>\;O\;</math><ref> <math>\;O\;</math> étant choisi au niveau de la partie de plus basse altitude de la piste.</ref> de l'axe <math>\;\overrightarrow{z'z}\;</math> vertical <math>\;\uparrow\big\}</math>, <math>\;z = 0\;</math> ayant été choisie comme référence de <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math>, * la réaction <math>\;\vec{R}\;</math><ref name="notation simplifiée pour la réaction"> La réaction dépendant de <math>\;M\;</math> devrait être notée <math>\;\vec{R}(M)\;</math> mais est simplement notée <math>\;\vec{R}\;</math> pour simplifier.</ref> de la piste <math>\;\mathcal{P}</math>, non conservative, toujours <math>\;\perp</math>, en absence de frottement, au vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}_M\;</math><ref name="vecteur unitaire tangentiel" /> lié à <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> de la piste <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}}</math>, }}pouvant s'écrire <math>\;\vec{R} = R(M)\;\vec{n}_M\;</math><ref name="notation simplifiée pour la réaction" /> avec <math>\;\vec{n}_M\;</math><ref name="base de Frenet" /> vecteur unitaire normal principal lié à <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> de la piste <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}}</math>, pouvant s'écrire <math>\;\color{transparent}{R = R(M)\;\vec{n}_M}\;</math> avec }}<math>\;R(M) = \vec{R} \cdot \vec{n}_M \neq 0\;</math><ref name="notation simplifiée pour la réaction" /> pour un contact réel <math>\;\big\{\vec{R}\;</math><ref name="notation simplifiée pour la réaction" /> toujours dirigé vers l'intérieur de la piste tant que le contact existe, en accord avec la nature unilatérale de la liaison de <math>\;M\;</math> avec <math>\;\mathcal{P}\big\}</math>, <br>{{Transparent|la réaction }}<math>\;\vec{R}\;</math><ref name="notation simplifiée pour la réaction" /> ne travaillant pas, en effet <math>\;W_{M_0\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M}(\vec{R}) =</math> <math>\displaystyle\int_{M_0\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M} \vec{R} \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="notation simplifiée pour la réaction" /> car <math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}_M\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en Frenet" /> et <math>\;\vec{R} \perp \vec{\tau}_M\;</math><ref name="notation simplifiée pour la réaction" />. {{Al|5}}La liaison étant unilatérale <math>\;\big[</math>c'est-à-dire que le point <math>\;M\;</math> peut se déplacer dans le demi-espace situé au-dessus de la piste<math>\big]</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|La liaison étant unilatérale }}la C.N.S<ref name="C.N.S."> Condition Nécessaire et Suffisante.</ref>. de contact réel de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\mathcal{P}\;</math> est « la composante normale de la réaction <math>\;R(M) > 0\;</math>», <br>{{Al|6}}{{Transparent|La liaison étant unilatérale }}la détermination de son expression se faisant par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. à <math>\;M\;</math> puis projection sur <math>\;\vec{n}_M\;</math><ref name="base de Frenet" /> {{Nobr|<math>\bigg[</math>on}} montre aisément que l'éventuelle rupture de contact ne peut pas se produire sur la partie descendante de la piste <math>\;\overset{\frown}{(M_0B)}\;</math> car la projection du poids sur <math>\;\vec{n}_M\;</math><ref name="base de Frenet" /> y étant <math>\;m\;\vec{g} \cdot \vec{n}_M < 0\;</math> et celle de l'accélération <math>\;\vec{a}_M(t) \cdot \vec{n} = a_{M,\,n}(t) > 0\;</math><ref name="vecteur accélération de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_locales_de_Frenet_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_accélérations_tangentielle_et_normale_du_point|composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, la composante normale de la réaction résultant de la projection de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. sur <math>\;\vec{n}_M\;</math><ref name="base de Frenet" /> s'écrivant <math>\;R(M) = \vec{R} \cdot \vec{n}_M = m\;\vec{a}_M(t) \cdot \vec{n}_M - m\;\vec{g} \cdot \vec{n}_M\;</math> est nécessairement <math>\;> 0</math>, il suffira donc de vérifier que la rupture de contact ne peut pas se produire sur la partie circulaire de la piste et, pour déterminer la composante normale de la réaction quand <math>\;M\;</math> est sur cette partie circulaire <math>\;\big(</math>voir le schéma avec effet de loupe sur la partie circulaire ci-contre<math>\big)</math>, on le repère par son abscisse angulaire <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{CB}\,,\,\overrightarrow{CM}(t) \right\rbrace}\;</math> puis on projette sur <math>\;\vec{n}_M = -\vec{u}_\rho\;</math><ref> <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> étant le vecteur unitaire radial c.-à-d. le 1^er vecteur de base polaire liée à <math>\;M</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;M\bigg]</math> ; {{Al|5}}<u>projection sur</u><math>\;\vec{n}_M\;</math><u>de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée en la position</u><math>\;M\;</math><u>de la partie circulaire de la piste</u> : «<math>\;R(t) - m\, g\, \cos\! \left[ \theta(t) \right] = m\, a_{M,\,n}(t) = m\, \dfrac{v_M^{\,2}(t)}{r}\;</math>»<ref name="abus d'écriture sur la fonction R()"> Il s'agit d'un abus d'écriture car la fonction <math>\;R()\;</math> de <math>\;t\;</math> permettant d'obtenir la composante normale de la réaction à l'instant <math>\;t\;</math> est différente de la fonction <math>\;R()\;</math> de <math>\;M\;</math> permettant d'obtenir la composante normale de la réaction en la position <math>\;M\;</math> laquelle dépend de <math>\;t\;</math> mais les valeurs finales à l'instant <math>\;t\;</math> étant les mêmes, l'usage en physique est de confondre la fonction et la valeur de la fonction d'où la même notation<math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="vecteur accélération de Frenet" /> ou encore, <br>{{Al|11}}{{Transparent|projection sur<math>\;\color{transparent}{\vec{n}_M}\;</math>de la r.f.d.n. appliquée en la position<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>de la partie circulaire de la piste : }}«<math>\;R(t) - m\, g\, \cos\! \left[ \theta(t) \right] = m\, a_{M,\,n}(t) = m\,r\,\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>»<ref name="abus d'écriture sur la fonction R()" />{{,}}<ref> La vitesse instantanée <math>\;v_M(t)\;</math> est liée à la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> lors d'un mouvement circulaire de rayon <math>\;r\;</math> par <math>\;\vert v_M(t) \vert = r\,\vert \dot{\theta}(t) \vert\;</math> ou, plus précisément, <br>{{Al|3}}le 1^er vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}_M\;</math> s'identifiant au 2^ème vecteur de base polaire <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> <math>\big[</math>vecteur unitaire orthoradial<math>\big]</math>, <math>\;v_M(t)\;</math> est liée à <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> par <math>\;v_M(t) = r\,\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{v_M^{\,2}(t)}{r} = r\,\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>», voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Préliminaire|préliminaire]] (sur les liens entre repérage plan polaire ayant le centre du cercle comme pôle et repérage de Frenet tel que l'origine des abscisses curvilignes coïncide avec l'origine des abscisses angulaires) » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Lien_entre_composantes_de_Frenet_et_polaire_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire|lien entre composantes de Frenet et polaire du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont on déduit <br>{{Al|11}}{{Transparent|projection sur<math>\;\color{transparent}{\vec{n}_M}\;</math>de la r.f.d.n. appliquée en la position<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>de la partie circulaire de la piste : }}l'expression de la composante normale de la réaction «<math>\;R(t) = m \left\lbrace g\, \cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{v_M^{\,2}(t)}{r} \right\rbrace\;</math><ref name="abus d'écriture sur la fonction R()" />{{,}}<ref name="nécessité de connaître vitesse instantanée ou angulaire"> On voit donc la nécessité de déterminer la vitesse instantanée <math>\;v_M(t)\;</math> ou la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> pour <math>\;M\;</math> sur la partie circulaire en fonction de l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> de ce dernier, cette détermination se faisant par application du théorème de la variation de l'énergie mécanique entre la position initiale et celle à l'instant correspondant à <math>\;M\;</math> sur la partie circulaire de la piste.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|projection sur<math>\;\color{transparent}{\vec{n}_M}\;</math>de la r.f.d.n. appliquée en la position<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>de la partie circulaire de la piste : l'expression de la composante normale de la réaction «<math>\;\color{transparent}{R(t)}</math> }}<math>= m \left\lbrace g\, \cos\! \left[ \theta(t) \right] + r\,\dot{\theta}^2\!(t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="nécessité de connaître vitesse instantanée ou angulaire" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|projection sur<math>\;\color{transparent}{\vec{n}_M}\;</math>de la r.f.d.n. appliquée en la position<math>\;\color{transparent}{M}\;</math>de la partie circulaire de la piste : }}pour <math>\;M\;</math> sur la partie circulaire et dans la mesure où le contact n'est pas rompu ; {{Al|5}}<u>application du théorème de la variation d'énergie mécanique<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie" /> du point</u><math>\;M\;</math><u>entre la position initiale et une position de la partie circulaire de la piste à un instant</u><math>\;t\;</math><u>quelconque</u> : <br>{{Al|9}}{{Transparent|application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}l'énergie mécanique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel terrestre lié à la piste, référentiel galiléen, étant définie, <br>{{Al|9}}{{Transparent|application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}pour n'importe quelle position de <math>\;M\;</math> sur la piste, par «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\text{pes},\,M}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;v_M^{\,2}(t) + m\;g\;z_M(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}avec <math>\;M\;</math> sur la partie circulaire de la piste «<math>\;E_{m,\,M}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;r^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;r \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref> En effet le lien entre la vitesse instantanée <math>\;v_M(t)\;</math> et la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> est <math>\;v_M(t) = r\;\dot{\theta}(t)\;</math> d'une part et d'autre part la cote du point <math>\;M</math>, notée <math>\;h'\;</math> sur le schéma avec effet de loupe ci-dessus, s'évalue selon <math>\;h' = \overline{BH} = \overline{BC} + \overline{CH} = r + \left\lbrace -r\;\cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = r \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>.</ref> ; <br>{{Al|9}}{{Transparent|application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}appliquant le théorème entre «<math>\;M_0\, \left[ z_{M_0} = h\;;\; v_{M_0} = 0 \right]\;</math>» et «<math>\;M\, \left[ z_M(t) = r \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;;\; v_M(t) = r\;\dot{\theta}(t) \right]\;</math>» on obtient <br>{{Al|9}}{{Transparent|application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}«<math>\;E_{m,\,M}(t) - E_{m,\,M_0} = W_{M_0\,\overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\,M}(\vec{R})\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> ou, ce dernier travail étant nul, «<math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,\,M_0}\;</math>»<ref name="point à mouvement conservatif" /> se réécrivant <br>{{Al|9}}{{Transparent|application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}pour <math>\;M\;</math> sur la partie circulaire de la piste «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;r^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;r \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = m\;g\;h\;</math>» d'où finalement <br>{{Al|9}}{{Transparent|application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}«<math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dfrac{2\;g\;h}{r^2} - \dfrac{2\;g}{r} \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ou «<math>\;v_M^{\,2}(t) = r^2\;\dot{\theta}^2\!(t) = 2\;g\;h - 2\;g\;r \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}<u>expression de la composante normale de la réaction</u><math>\;R(M)\;</math><u>de la portion circulaire de la piste en</u><math>\;M</math> : le report de l'expression de <math>\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> dans celle de <math>\;R(t)\;</math><ref name="abus d'écriture sur la fonction R()" /> à contact non rompu, donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|expression de la composante normale de la réaction<math>\;\color{transparent}{R(M)}\;</math>de la portion circulaire de la piste en<math>\;\color{transparent}{M}</math> : }}«<math>\;R(t) = m \left( g\, \cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{2\;g\;h}{r} - 2\;g \left\lbrace 1 - \cos\!\left[ \theta(t) \right] \right\rbrace \right)\;</math>»<ref name="abus d'écriture sur la fonction R()" /> ou, après simplification et factorisation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|expression de la composante normale de la réaction<math>\;\color{transparent}{R(M)}\;</math>de la portion circulaire de la piste en<math>\;\color{transparent}{M}</math> : }}«<math>\;R(t) = m\;g \left\lbrace \dfrac{2\, h}{r} - 2 + 3\, \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="abus d'écriture sur la fonction R()" /> sous réserve de maintien de contact ». {{Al|5}}<u>C.N.S<ref name="C.N.S." />. de maintien de contact de l'objet sur la piste</u> : cette condition étant «<math>\;R(t) = R\! \left[ \theta(t) \right] > 0,\;\;\forall\;t\;</math>»<ref name="abus d'écriture sur la fonction R()" /> se réécrit selon «<math>\;R(\theta) = m\;g \left[ \dfrac{2\, h}{r} - 2 + 3\, \cos(\theta) \right] > 0,\;\;\forall\;\theta\;</math>»<ref name="abus d'écriture sur la fonction R() - bis"> Il s'agit d'un abus d'écriture car la fonction <math>\;R()\;</math> de <math>\;t\;</math> permettant d'obtenir la composante normale de la réaction à l'instant <math>\;t\;</math> est différente de la fonction <math>\;R()\;</math> de <math>\;\theta\;</math> permettant d'obtenir la composante normale de la réaction pour l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> laquelle est une fonction de <math>\;t\;</math> mais les valeurs finales à l'instant <math>\;t\;</math> étant les mêmes, l'usage en physique est de confondre la fonction et la valeur de la fonction d'où la même notation <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|10}}{{Transparent|C.N.S. de maintien de contact de l'objet sur la piste : }}cette fonction <math>\;R(\theta)\;</math><ref name="abus d'écriture sur la fonction R() - bis" /> étant <math>\;\searrow</math>, « ses valeurs seront <math>\;> 0\;</math> ssi son minimum l'est c'est-à-dire <br>{{Al|15}}{{Transparent|C.N.S. de maintien de contact de l'objet sur la piste : cette fonction <math>\;\color{transparent}{R(\theta)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\searrow}</math>, « ses valeurs seront <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}ssi <math>\;\min\limits_{\theta\, \in\, \left[ 0\,,\,\pi \right]} R(\theta) = R(\pi) > 0\;</math>» avec «<math>\;R(\pi) = m\;g \left[ \dfrac{2\, h}{r} - 2 + 3\, \cos(\pi) \right]</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|C.N.S. de maintien de contact de l'objet sur la piste : cette fonction <math>\;\color{transparent}{R(\theta)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\searrow}</math>, « ses valeurs seront <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> ssi <math>\;\color{transparent}{\min\limits_{\theta\, \in\, \left[ 0\,,\,\pi \right]} R(\theta) = R(\pi) > 0}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{R(\pi)}</math> }}<math>= m\;g \left[ \dfrac{2\, h}{r} - 5 \right]\;</math>» soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|C.N.S. de maintien de contact de l'objet sur la piste : }}la condition de hauteur <math>\;h\;</math> pour que le point <math>\;M\;</math> atteigne l'extrémité <math>\;A\;</math> de la piste «<math>\;h > \dfrac{5}{2}\;r\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Avec «<math>\;h > \dfrac{5}{2}\;r\;</math>», le point <math>\;M\;</math> atteignant l'extrémité <math>\;A\;</math> de la piste poursuivra son mouvement de deux façons possibles : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Avec «<math>\;\color{transparent}{h > \dfrac{5}{2}\;r}\;</math>», }}<math>\succ\;</math>s'il y a un butoir en <math>\;A</math>, le point <math>\;M\;</math> y arrivant avec une « vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t_A^{-}) = \sqrt{\dfrac{2\;g\;h}{r^2} - \dfrac{2\;g}{r} \left[ 1 - \cos(\pi) \right]} = \sqrt{\dfrac{2\;g\;h}{r^2} - \dfrac{4\;g}{r}} = \dfrac{\sqrt{2\;g \left( h - 2\;r \right)}}{r} > \dfrac{\sqrt{g\;r}}{r}\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Avec «<math>\;\color{transparent}{h > \dfrac{5}{2}\;r}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>s'il y a un butoir en <math>\;\color{transparent}{A}</math>, le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> y arrivant avec }}une « vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;v_M(t_A^{-}) = r\;\dot{\theta}(t_A^{-}) = \sqrt{2\;g \left( h - 2\;r \right)} > \sqrt{g\;r} > 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Avec «<math>\;\color{transparent}{h > \dfrac{5}{2}\;r}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>s'il y a un butoir en <math>\;\color{transparent}{A}</math>, }}il y a choc, la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> de <math>\;M\;</math> devient nulle après le choc si ce dernier est [[w:Collision_parfaitement_inélastique|mou]]<ref> Après un [[w:Collision_parfaitement_inélastique|choc mou]] entre un objet ponctuel et un obstacle structurellement lié au référentiel, les deux restant liés ont donc la même vitesse et par suite l'objet ponctuel acquiert une vitesse nulle.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Avec «<math>\;\color{transparent}{h > \dfrac{5}{2}\;r}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>s'il y a un butoir en <math>\;\color{transparent}{A}</math>, il y a choc, }}la composante normale de la réaction de la piste devenant égale à <math>\;-m\;g\;</math> après le [[w:Collision_parfaitement_inélastique|choc mou]] <ref> En effet il n'y a plus mouvement et les deux forces appliquées à <math>\;M\;</math> obéissent, dans l'hypothèse où le contact serait maintenu, à <math>\;\vec{R} + m\;\vec{g} = \vec{0}\;</math> soit, en projetant sur <math>\;\vec{n}_A = -\vec{u}_z</math>, <math>\;R + m\;g = 0</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Avec «<math>\;\color{transparent}{h > \dfrac{5}{2}\;r}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>s'il y a un butoir en <math>\;\color{transparent}{A}</math>, il y a choc, la composante normale de la réaction }}n'obéit plus à la condition de contact réel sur la piste <math>\Rightarrow</math> <math>\;M\;</math> tombe en chute libre verticalement ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Avec «<math>\;\color{transparent}{h > \dfrac{5}{2}\;r}\;</math>», }}<math>\succ\;</math>en absence de butoir en <math>\;A</math>, <math>\;M\;</math> arrivant en <math>\;A\;</math> avec une « vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t_A^{-}) = \sqrt{\dfrac{2\;g\;h}{r^2} - \dfrac{2\;g}{r} \left[ 1 - \cos(\pi) \right]} = \sqrt{\dfrac{2\;g\;h}{r^2} - \dfrac{4\;g}{r}} = \dfrac{\sqrt{2\;g \left( h - 2\;r \right)}}{r} > \dfrac{\sqrt{g\;r}}{r}\;</math>» <br>{{Transparent|Remarque : Avec «<math>\;\color{transparent}{h > \dfrac{5}{2}\;r}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en absence de butoir en <math>\;\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> arrivant en <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> avec }}ou une « vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;v_M(t_A^{-}) = r\;\dot{\theta}(t_A^{-}) = \sqrt{2\;g \left( h - 2\;r \right)} > \sqrt{g\;r} > 0\;</math>», <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : Avec «<math>\;\color{transparent}{h > \dfrac{5}{2}\;r}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en absence de butoir en <math>\;\color{transparent}{A}</math>, }}il y a continuité du vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> lors de son arrivée en <math>\;A</math>, avec <math>\;\vec{V}_M(t_A^{-}) = v_M(t_A^{-})\;\vec{\tau}_A = -v_M(t_A^{-})\;\vec{u}_x\;</math><ref> <math>\;\vec{u}_x\;</math> étant le vecteur unitaire de l'axe horizontal tangent à la piste sur sa partie la plus basse et donc dirigé vers la droite du schéma on a donc <math>\;\vec{\tau}_A = -\vec{u}_x</math>.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Avec «<math>\;\color{transparent}{h > \dfrac{5}{2}\;r}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en absence de butoir en <math>\;\color{transparent}{A}</math>, }}<math>\;M\;</math> poursuit son mouvement au-delà de la piste en chute libre de vecteur vitesse initiale «<math>\;\vec{V}_M(t_A^{+}) = -v_M(t_A^{-})\;\vec{u}_x = -\sqrt{2\;g \left( h - 2\;r \right)}\;\vec{u}_x\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Avec «<math>\;\color{transparent}{h > \dfrac{5}{2}\;r}\;</math>», <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en absence de butoir en <math>\;\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> poursuit son mouvement au-delà de la piste }}selon un mouvement parabolique, sa position de retombée étant sur la piste <math>\;\ldots</math>}} == Point mobile sans frottement à l'intérieur d'un tube parabolique == [[File:Tube parabolique.png|thumb|300px|Glissement d'un point <math>\;M\;</math> en liaison bilatérale sans frottement dans un tube parabolique, avec les conditions initiales de lancement «<math>\;M\;</math> en <math>\;O\;</math> de vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> de norme <math>\;V_0\;</math>»]] {{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> est mobile sans frottement à l'intérieur d'un tube ayant la forme d'une demi-parabole dont l'équation dans le plan vertical <math>\;xOz\;</math> est <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}x^2 \!\!&=&\!\! 2\, p\, z\\ x \!\!&\geqslant&\!\! 0\end{array}\right\rbrace\;</math> dans laquelle <math>\;p\;</math> est une constante homogène à une longueur ; {{Al|5}}les conditions initiales sont : « pour <math>\;t = 0\;</math>», «<math>\;x(0) = 0</math>, <math>\;z(0) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les conditions initiales sont : « pour <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>», }}« la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;v(0) = \vec{V}_0 \cdot \vec{\tau}(0)\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Rappel,_notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_et_de_vecteur_unitaire_tangentiel,_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_associée|rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1^er vecteur de la base locale de Frenet associée]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;= \Vert \vec{V}_0 \Vert = V_0\;</math>»<ref> La demi-parabole étant orientée dans le sens des <math>\;x \nearrow</math>.</ref> <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math>. === Explicitation de diverses longueurs associées à la demi-parabole en fonction de l'angle d'inclinaison de sa tangente avec l'horizontale === {{Al|5}}Évaluer, en fonction de l'angle algébrisé<ref name="orientation des angles de xOz"> Le sens <math>\;+\;</math> des angles du plan <math>\;xOz\;</math> étant défini par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x\;</math> <math>\perp\;</math> au plan <math>\;xoz\;</math> et en sortant, l'espace étant orienté à droite et la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> directe, voir la notion d'orientation d'espace dans l'introduction du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » et celle de base directe dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\varphi = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{\tau} \right)}\;</math> que le 1^er vecteur de base de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="1er vecteur de base de Frenet /> fait avec le vecteur unitaire cartésien <math>\;\vec{u}_x</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Évaluer, }}pour une position quelconque de <math>\;M</math>, <math>\succ\;</math>l'abscisse <math>\;x</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Évaluer, pour une position quelconque de <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}<math>\succ\;</math>la cote <math>\;z\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Évaluer, pour une position quelconque de <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}<math>\succ\;</math>le rayon de courbure <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="rayon de courbure d'une courbe plane"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Définition_du_rayon_de_courbure_en_un_point_non_anguleux_d'une_courbe_plane|définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> de la trajectoire. <br> {{Solution | contenu ={{Al|5}}L'équation de la demi-parabole peut être réécrite selon «<math>\;z = \dfrac{x^2}{2\;p}\;</math><ref name="équation cartésienne d'une parabole"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Équation_cartésienne|équation cartésienne]] (d'une parabole de sommet O et d'axe Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;x \geqslant 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}l'angle algébrisé<ref name="orientation des angles de xOz" /> <math>\;\varphi = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{\tau} \right)}\;</math> entre le 1^er vecteur de base de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="1er vecteur de base de Frenet /> et le vecteur unitaire cartésien <math>\;\vec{u}_x\;</math> de l'axe des abscisses se détermine par «<math>\;\varphi = \arctan\! \left[ \dfrac{dz}{dx}(x) \right] = \arctan\! \left[ \dfrac{x}{p} \right]\;</math>»<ref name="arctangente" /> d'où * l'abscisse <math>\;x\;</math> d'une position quelconque de <math>\;M\;</math> par inversion de l'expression de <math>\;\varphi = \varphi(x)\;</math> soit «<math>\;x = p\;\tan(\varphi)\;</math>», * la cote <math>\;z\;</math> correspondante par report de <math>\;x = p\;\tan(\varphi)\;</math> dans <math>\;z = \dfrac{x^2}{2\;p}\;</math> soit <math>\;z = \dfrac{p^2\;\tan^2(\varphi)}{2\;p}\;</math> ou encore «<math>\;z = \dfrac{p}{2}\;\tan^2(\varphi)\;</math>» et * le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de <math>\;M\;</math> défini par «<math>\;\mathcal{R} = \dfrac{ds}{d \varphi}(\varphi)\;</math>»<ref name="rayon de courbure d'une courbe plane /> avec <math>\;s\;</math> abscisse curviligne du point<ref name="abscisse curviligne"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> sur la demi-parabole avec origine de mesure choisie en <math>\;O</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> défini par «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R} = d \varphi(\varphi)}\;</math>» }}la variation élémentaire <math>\;ds\;</math> se déterminant à l'aide du vecteur déplacement élémentaire <br>{{Al|7}}{{Transparent|le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> défini par «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R} = d \varphi(\varphi)}\;</math>» la variation élémentaire <math>\;\color{transparent}{ds}\;</math> se déterminant à l'aide }}le long de la courbe selon «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en Frenet" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> défini par «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R} = d \varphi(\varphi)}\;</math>» }}«<math>\;\vert ds \vert = \Vert \overrightarrow{dM} \Vert = \sqrt{dx^2 + dz^2}\;</math>» avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} dx \!\!&=&\!\! p\;\dfrac{d \varphi}{\cos^2(\varphi)}\\ dz \!\!&=&\!\! p\;\tan(\varphi)\;\dfrac{d \varphi}{\cos^2(\varphi)}\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> défini par «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R} = d \varphi(\varphi)}\;</math>» }}«<math>\;\vert ds \vert = \sqrt{1 + \tan^2(\varphi)}\;p\;\dfrac{\vert d \varphi \vert}{\cos^2(\varphi)} = p\;\dfrac{\vert d \varphi \vert}{\cos^3(\varphi)}\;</math>» ou, <br>{{Al|7}}{{Transparent|le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> défini par «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R} = d \varphi(\varphi)}\;</math>» }}l'angle <math>\;\varphi\;</math> variant dans le même sens que l'abscisse curviligne <math>\;s\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;ds = p\;\dfrac{d \varphi}{\cos^3(\varphi)}\;</math>» d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> défini par «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R} = d \varphi(\varphi)}\;</math>» }}l'expression du rayon de courbure «<math>\;\mathcal{R} = \dfrac{ds}{d \varphi}(\varphi) = \dfrac{p}{\cos^3(\varphi)}\;</math>».}} === Évaluation de la vitesse instantanée en fonction de la cote z === {{Al|5}}Pour une cote <math>\;z</math>, quelle est la vitesse instantanée <math>\;v\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> de <math>\;M\;</math> <math>\big(</math>à expliciter en fonction de <math>\;z\;</math> entre autres<math>\big)</math> ? {{Solution | contenu = [[File:Tube parabolique - bis.png|thumb|300px|Glissement d'un point <math>\;M\;</math> en liaison bilatérale sans frottement dans un tube parabolique, avec les conditions initiales de lancement «<math>\;M\;</math> en <math>\;O\;</math> de vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> de norme <math>\;V_0\;</math>», représentation des forces appliquées et base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> associée<ref name="vecteur unitaire tangentiel" />{{,}}<ref name="base de Frenet" />]] {{Al|5}}Dans le référentiel lié au tube parabolique supposé galiléen, nous utilisons, de préférence au théorème de l'énergie cinétique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le référentiel lié au tube parabolique supposé galiléen, nous utilisons, }}le théorème de la variation de l'énergie mécanique<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le référentiel lié au tube parabolique supposé galiléen, nous utilisons, }}entre la position initiale <math>\;O\;</math> avec une vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0 = v_0\;\vec{u}_x\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le référentiel lié au tube parabolique supposé galiléen, nous utilisons, entre }}une position quelconque <math>\;M \left( x \,,\, z \right)</math> avec une vitesse instantanée <math>\;v\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> ; {{Al|5}}le bilan des forces appliquées appliquées au point <math>\;M\;</math> est : * son poids <math>\;m\, \vec{g}</math>, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(z) = -m\;g\;z\;</math><ref> Ne pas oublier le signe <math>\;-\;</math> correspondant à un axe vertical descendant.</ref> en prenant pour référence le niveau <math>\;z = 0\;</math> et * la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> du tube <math>\;(\mathcal{T})\;</math> sur <math>\;M</math>, non conservative, <math>\;\perp\;</math> au vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="vecteur unitaire tangentiel" /> compte-tenu de l'absence de frottement, ce qui implique qu'elle ne travaille pas, en effet <math>\;W_{O\,\overset{(\mathcal{T})}{\rightarrow}\,M}(\vec{R}) = \displaystyle\int_{O\,\overset{(\mathcal{T})}{\rightarrow}\,M} \vec{R} \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> car <math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en Frenet" /> et <math>\;\vec{R} \perp \vec{\tau}</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est définie par «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\text{pes},\,M}(t)\;</math>» avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;v^2(t)\;</math> l'énergie cinétique du point dans le référentiel d'étude au même instant ; {{Al|5}}le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie" /> entre la position initiale <math>\;O\;</math> avec une vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;v_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point entre }}une position quelconque <math>\;M \left( x\,,\, z \right)\;</math> avec une vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;v\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point }}s'écrit «<math>\;E_{m,\,M} - E_{m,\,O} = W_{O\,\overset{(\mathcal{T})}{\rightarrow}\,M}(\vec{R})\;</math>» soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point s'écrit }}«<math>\;\left[ \dfrac{1}{2}\;m\; v^2 - m\;g\;z \right] - \left[ \dfrac{1}{2}\;m\; v_0^2 \right] = 0\;</math>»<ref name="point à mouvement conservatif" /> d'où, après simplification évidente, <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point }}l'expression de la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;v\;</math> du point <math>\;M\;</math> à un instant <math>\;t\;</math> en fonction, entre autres, de la cote <math>\;z\;</math> du point «<math>\;v = \sqrt{v_0^2 + 2\;g\;z}\;</math>».}} === Évaluation de la réaction du tube sur le point M === {{Al|5}}Quelle est la norme de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;M</math> ? {{Al|5}}Expliciter son expression en fonction de <math>\;z</math>. {{Al|5}}Pour quelle valeur de <math>\;v_0\;</math>la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;M\;</math> est-elle toujours nulle ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;M</math>, on projette la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;m\, \vec{g} + \vec{R}(t) = m\, \vec{a}_M(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, on projette la r.f.d.n. }}sur le vecteur unitaire normal principal <math>\;\vec{n}\;</math><ref name="base de Frenet" /> soit, en posant <math>\;\vec{R}(t) = \overline{R}(t)\; \vec{n}\;</math><ref> La liaison étant bilatérale, le signe de <math>\;\overline{R}(t)\;</math> n'est a priori pas défini.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, on projette la r.f.d.n. }}«<math>\;\overline{R}(t) + m\; g\; \cos\! \left[ \varphi(t) \right] = m\; a_{M,\,n}(t)\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\widehat{\left( m\, \overrightarrow{g}\,,\,\overrightarrow{n} \right)} = \widehat{\left( \overrightarrow{u}_x\,,\,\overrightarrow{\tau} \right)}\;</math>», ces angles algébrisés étant tous deux <math>\;> 0\;</math> et leur aspect non algébrisé étant à côtés respectivement <math>\;\perp\;</math> d'où le projeté de <math>\;m\, \vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{n}</math>.</ref> avec l'accélération normale <math>\;a_{M,\,n}(t) = \dfrac{v^2(t)}{\mathcal{R}(t)}\;</math><ref name="vecteur accélération de Frenet" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, on projette la r.f.d.n. }}«<math>\;\overline{R}(t) = m \left\lbrace \dfrac{v^2(t)}{\mathcal{R}(t)} - g\; \cos\!\left[ \varphi(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ou encore «<math>\;\overline{R}(t) = m \left\lbrace \dfrac{v^2(t)\, \cos^3\! \left[ \varphi(t) \right]}{p} - g\; \cos\! \left[ \varphi(t) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="sol de la 1ère question"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Explicitation_de_diverses_longueurs_associées_à_la_demi-parabole_en_fonction_de_l'angle_d'inclinaison_de_sa_tangente_avec_l'horizontale|explicitation de diverses longueurs associées à la demi-parabole en fonction de l'angle d'inclinaison de sa tangente avec l'horizontale]] » plus haut dans cet exercice.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, on projette la r.f.d.n. }}pour expliciter <math>\;\overline{R}(t)\;</math> en fonction de <math>\;z\;</math> on reporte l'expression de <math>\;v\;</math> en fonction de <math>\;z\;</math><ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Évaluation_de_la_vitesse_instantanée_en_fonction_de_la_cote_z|évaluation de la vitesse instantanée en fonction de la cote z]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et on obtient <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, on projette la r.f.d.n. }}«<math>\;\overline{R}(t) = m \left\lbrace \dfrac{\left[ v_0^2 + 2\; g\; z(t) \right] \cos^3\! \left[ \varphi(t) \right]}{p} - g\; \cos\! \left[ \varphi(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ou, en factorisant par <math>\;\cos\! \left[ \varphi(t) \right]</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, on projette la r.f.d.n. }}«<math>\;\overline{R}(t) = m\; \cos\! \left[ \varphi(t) \right] \left\lbrace \dfrac{\left[ v_0^2 + 2\; g\; z(t) \right] \cos^2\! \left[ \varphi(t) \right]}{p} - g \right\rbrace\;</math>» soit, en éliminant <math>\;\cos\! \left[ \varphi(t) \right]\;</math> au profit de <math>\;z(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, on projette la r.f.d.n. }}selon <math>\;z = \dfrac{p}{2} \tan^2(\varphi)\;</math><ref name="sol de la 1ère question" /> <math>= \dfrac{p}{2} \left\lbrace \left[ 1 + \tan^2(\varphi) \right] - 1 \right\rbrace = \dfrac{p}{2} \left[ \dfrac{1}{\cos^2(\varphi)} - 1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{\cos^2(\varphi)} = \dfrac{2\, z}{p} + 1\;</math> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, on projette la r.f.d.n. }}«<math>\;\cos^2(\varphi) = \dfrac{1}{\dfrac{2\, z}{p} + 1} = \dfrac{p}{2\, z + p}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{R}(t) = m\; \cos\! \left[ \varphi(t) \right] \left[ \dfrac{v_0^2 + 2\; g\; z(t)}{2\; z(t) + p} - g \right]\;</math>» soit encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, on projette la r.f.d.n. }}«<math>\;\overline{R}(t) = m\; \sqrt{\dfrac{p}{2\, z(t) + p}} \left[ \dfrac{v_0^2 + 2\, g\, z(t)}{2\, z(t) + p} - g \right]\;</math>» ou, en réduisant au même dénominateur, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, on projette la r.f.d.n. }}«<math>\;\overline{R}(t) = m\; \sqrt{\dfrac{p}{2\, z(t) + p}}\; \dfrac{v_0^2 + 2\; g\; z(t) - 2\; g\; z(t) - p\; g}{2\; z(t) + p} = m\; \sqrt{\dfrac{p}{2\, z(t) + p}}\; \dfrac{v_0^2 - p\; g}{2\; z(t) + p}\;</math>» et au final <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, on projette la r.f.d.n. }}l'expression de la composante normale de la réaction du tube à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overline{R}(t) = \dfrac{m\;\sqrt{p}\,\left( v_0^2 - p\, g \right)}{\left[ 2\, z(t) + p \right]^{\frac{3}{2}}}\;</math>» ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la norme de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> exercée par le tube sur <math>\;\color{transparent}{M}</math>, on projette la r.f.d.n. }}«<math>\;\overline{R} = m \left( \dfrac{p}{2\, z + p} \right)^{\!\frac{3}{2}} \left( \dfrac{v_0^2}{p} - g \right)\;</math>»<ref> Aux faibles vitesses initiales la réaction est dans le sens contraire de <math>\;\vec{n}\;</math> c.-à-d. dirigée vers l'extérieur de la demi-parabole et <br>{{Al|3}}aux grandes vitesses initiales elle est dans le sens de <math>\;\vec{n}\;</math> c.-à-d. dirigée vers l'intérieur de la demi-parabole.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\Vert \vec{R} \Vert = m \left( \dfrac{p}{2\, z + p} \right)^{\!\frac{3}{2}} \Bigg\vert \dfrac{v_0^2}{p} - g \Bigg\vert\;</math>». {{Al|5}}La réaction <math>\;\vec{R}\;</math> du tube sur le point <math>\;M\;</math> sera nulle en toute position de <math>\;M\;</math> dans le tube pour «<math>\;v_0 = \sqrt{g\; p}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>adapté à la vitesse horizontale initiale de <math>\;M\;</math> pour une trajectoire parabolique de chute libre <br>{{Al|5}}{{Transparent|La réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du tube sur le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sera nulle en toute position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le tube pour «<math>\;\color{transparent}{v_0 = \sqrt{g\; p}}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\bigg\{}</math>adapté à la vitesse horizontale initiale de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> pour }}d'équation cartésienne <math>\;z = \dfrac{x^2}{2\; p}\;</math><ref> En effet <math>\;v_0 = \sqrt{g\; p}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p = \dfrac{v_0^2}{g}\;</math> d'où, en reportant dans <math>\;z = \dfrac{x^2}{2\; p}</math>, on obtient <math>\;z = \dfrac{g\; x^2}{2\; v_0^2} = \dfrac{g}{2} \dfrac{x^2}{v_0^2}\;</math> effectivement l'équation cartésienne de la trajectoire avec une vitesse de lancement horizontale <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Nature_de_la_trajectoire|nature de la trajectoire]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\bigg\}</math>. {{Al|5}}<u>Complément</u> : on peut alors discuter du signe de <math>\;\overline{R}\;</math> en comparant <math>\;v_0\;</math> à <math>\;\sqrt{g\; p}\;</math> valeur critique pour laquelle la réaction est toujours nulle : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}<math>\succ\;</math>pour <math>\;v_0 < \sqrt{g\; p}</math>, <math>\;\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> correspondant au contact de <math>\;M\;</math> sur l'intérieur du tube tendant à repousser <math>\;M\;</math> vers l'extérieur <math>\;\big(</math>la réaction est donc dans le sens contraire de <math>\;\vec{n}\big)\;</math> et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}<math>\succ\;</math>pour <math>\;v_0 > \sqrt{g\; p}</math>, <math>\;\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> correspondant au contact de <math>\;M\;</math> sur l'extérieur du tube tendant à ramener <math>\;M\;</math> vers l'intérieur <math>\;\big(</math>la réaction est donc dans le sens de <math>\;\vec{n}\big)</math>.}} == À la fête foraine pour tester la force des joueurs == [[File:Jeu pour comparer sa force.png|thumb|300px|Schéma d'un jeu à la fête foraine pour tester sa force en lançant un chariot a priori en liaison bilatérale sans frottement sur un guide <math>\;ABCD</math>, le joueur n'exerçant une force sur le chariot que sur la partie <math>\;AB\;</math> dans le but qu'il atteigne <math>\;D</math>]] {{Al|5}}Dans un stand de fête foraine, on peut tester sa « force » en lançant un chariot <math>\;(M)</math>, initialement au repos en <math>\;A</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un stand de fête foraine, on peut tester sa « force » en lançant un chariot <math>\;\color{transparent}{(M)}</math> }}dans le but que ce dernier atteigne en <math>\;D</math> ; <br>{{Al|5}}pour des raisons de sécurité, le chariot est en liaison bilatérale sur un rail <math>\;ABCD\;</math> situé dans un plan vertical, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour des raisons de sécurité, le chariot est en liaison bilatérale sur un rail }}<math>\;AC\;</math> rectiligne horizontal de longueur <math>\;2\;l\;</math> avec <math>\;B\;</math> milieu de <math>\;AC\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour des raisons de sécurité, le chariot est en liaison bilatérale sur un rail }}<math>\;CD\;</math> étant un demi-cercle de rayon <math>\;r</math> ; {{Al|5}}le joueur procède au lancement uniquement sur la partie rectiligne <math>\;AB\;</math> et doit absolument lâcher le chariot en <math>\;B</math> <math>\;\big[</math>on suppose que la force <math>\;\vec{F}\;</math> que le joueur exerce sur <math>\;(M)\;</math> est horizontale et de norme constante sur tout le trajet <math>\;AB\big]</math> ; {{Al|5}}le chariot est de masse <math>\;m\;</math> et on le considère comme ponctuel ; {{Al|5}}l’intensité de la pesanteur terrestre étant constante et notée <math>\;g</math>, on néglige tout frottement solide entre le chariot et le rail. === Lancement d'un 1^er joueur : force minimale F_min pour que le chariot atteigne D et réaction du guide en D quand F = F_min === {{Al|5}}Un 1^er joueur permet au chariot d’atteindre <math>\;D</math> : * quelle force minimale <math>\;F_{\text{min}}\;</math><ref name="force"> En fait il s'agit de la norme de la force <math>\;\ldots</math></ref> a-t-il exercée sur <math>\;(M)\;</math><ref name="raisonnement en inégalité"> On raisonnera en inégalité et non en condition limite.</ref> ? * Quelle est alors la réaction <math>\;\vec{R}_1\;</math> du rail sur le chariot en <math>\;D</math> <math>\;\big[</math>on précisera sa direction, son sens et sa norme<math>\big]\;</math> dans le cas où <math>\;F = F_{\text{min}}</math> ? {{Solution | contenu = [[File:Jeu pour comparer sa force - bis.png|thumb|350px|Schéma d'un jeu à la fête foraine pour tester sa force en lançant un chariot <math>\;(M)\;</math> a priori en liaison bilatérale sans frottement sur un guide <math>\;ABCD</math>, le joueur n'exerçant une force sur le chariot que sur la partie <math>\;AB\;</math> dans le but qu'il atteigne <math>\;D\;</math> avec représentation des forces exercées sur <math>\;(M)\;</math> et de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> associée au chariot<ref name="vecteur unitaire tangentiel" />{{,}}<ref name="base de Frenet" />]] {{Al|5}}Le chariot étant en liaison bilatérale est guidé et la seule condition pour qu'il arrive en <math>\;D\;</math> est que sa vitesse ne s'annule pas avant le point <math>\;D</math> ; <br>{{Al|5}}les forces s'exerçant sur lui sont : {{Al|5}}<math>\succ\;</math>sur la totalité du guide <math>\blacktriangleright\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g}</math>, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\;g\;z\;</math> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur la totalité du guide <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>son poids <math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g}}</math> }}<math>\;z\;</math> est l'altitude du chariot <math>\;(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur la totalité du guide <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>son poids <math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g}}</math>, }}l'origine <math>\;O\;</math> de l'axe vertical <math>\;\uparrow</math> <math>\;\overrightarrow{z'z}\;</math> étant au niveau de la partie la plus basse du guide et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur la totalité du guide <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>son poids <math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g}}</math>, l'origine <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}étant choisie comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur, {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur la totalité du guide }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> du rail <math>\;(\mathcal{G})\;</math> sur le chariot <math>\;(M)</math>, non conservative et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur la totalité du guide <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> }}ne travaillant pas dans la mesure où elle est toujours <math>\;\perp\;</math> au rail en absence de frottement, c'est-à-dire avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur la totalité du guide <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> }}<math>\;P\;</math> position quelconque du guide, <math>\;W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,P}(\vec{R}) = \displaystyle\int_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,P} \vec{R} \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}\overrightarrow{dM} \!\!&=&\!\! ds\;\vec{\tau} \\ \vec{R} \!\!&\perp&\!\! \vec{\tau} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en Frenet" />, {{Al|5}}<math>\succ\;</math>uniquement sur la partie <math>\;AB\;</math> du guide <math>\blacktriangleright\;</math>la force de lancement <math>\;\vec{F}\;</math> horizontale, supposée constante et considérée non conservative<ref> Dans la mesure où l'hypothèse d'une force constante n'est envisagé que sur une trajectoire bien précise et non dans tout l'espace, son éventuel caractère conservatif n'a aucun intérêt puisqu'on n'envisage aucune modification de chemin suivi.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>uniquement sur la partie <math>\;\color{transparent}{AB}\;</math> du guide <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la force de lancement <math>\;\color{transparent}{\vec{F}}\;</math> }}de travail moteur <math>\;W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,B}(\vec{F}) = \displaystyle\int_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,B} \vec{F} \cdot \overrightarrow{dM} > 0\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> ou, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>uniquement sur la partie <math>\;\color{transparent}{AB}\;</math> du guide <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la force de lancement <math>\;\color{transparent}{\vec{F}}\;</math> }}<math>\;\vec{F} = F\;\vec{u}_x\;</math> <math>\big\{F = cste > 0\;</math> étant la composante de la force sur l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>uniquement sur la partie <math>\;\color{transparent}{AB}\;</math> du guide <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la force de lancement <math>\;\color{transparent}{\vec{F}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\vec{F} = F\;\vec{u}_x}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{F = cste}\;</math> }}horizontal <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> orienté de <math>\;A\;</math> vers <math>\;B\big\}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>uniquement sur la partie <math>\;\color{transparent}{AB}\;</math> du guide <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la force de lancement <math>\;\color{transparent}{\vec{F}}\;</math> }}et <math>\;\overrightarrow{dM}_{\text{sur }AB} = dx\;\vec{u}_x</math>, la réécriture du travail moteur selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>uniquement sur la partie <math>\;\color{transparent}{AB}\;</math> du guide <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la force de lancement <math>\;\color{transparent}{\vec{F}}\;</math> }}«<math>\;W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,B}(\vec{F}) = \displaystyle\int_{x_A}^{x_B} F\;dx = F \left( x_B - x_A \right) = F\;l > 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> du chariot <math>\;(M)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="origine des temps"> L'origine des temps étant toujours choisie au début du lancement quel que soit le joueur considéré.</ref> étant définie par «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\text{pes},\,M}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|10}}{{Transparent|l'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{E_{m,\,M}(t)}\;</math> du chariot <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> étant définie par }}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;v_M^{\,2}(t)\;</math> l'énergie cinétique du chariot au même instant », «<math>\;v_M(t)\;</math> y étant la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> » ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|l'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{E_{m,\,M}(t)}\;</math> du chariot <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> étant définie par }}«<math>\;E_{m,\,M}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;v_M^{\,2}(t) + m\;g\;z(t)\;</math>» avec «<math>\;z(t)\;</math> l'altitude de <math>\;(M)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie" /> entre sa position initiale et <br>{{Al|10}}{{Transparent|l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre }}une position <math>\;P\;</math> quelconque au-delà de <math>\;B\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre une position <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> }}atteinte à l'instant <math>\;t\;</math> avec une vitesse instantanée <math>\;v_M(t)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre une position <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> atteinte à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> avec }}une altitude <math>\;z(t) = \left\lbrace \begin{array}{c l} r - r\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]&\!\!\text{sur }CD\\ 0&\!\!\text{sur }BC\end{array}\right\rbrace\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot }}nous donne, suivant la position finale considérée : * « position <math>\;P\;</math> sur la partie <math>\;BC\;</math>», «<math>\;E_{m,\,M}(t_P)\; \cancel{- E_{m,\,M}(t_A)} = W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,B}(\vec{F})\;</math>»<ref name="énergie mécanique initiale"> L'énergie mécanique initiale étant nulle par absence d'énergie cinétique et choix de référence d'énergie potentielle au niveau de la position initiale.</ref> ou <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^{\,2}(t_P) = F\;l\;</math> soit «<math>\;v_M(t_P) = \sqrt{\dfrac{2\;F\;l}{m}} \neq 0\;</math>» et * « position <math>\;P\;</math> sur la partie <math>\;CD\;</math>», «<math>\;E_{m,\,M}(t_P)\; \cancel{- E_{m,\,M}(t_A)} = W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,B}(\vec{F})\;</math>»<ref name="énergie mécanique initiale" /> ou <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^{\,2}(t_P) + m\;g\;r \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace = F\;l\;</math> soit «<math>\;v_M^{\,2}(t_P) = \dfrac{2\;F\;l}{m} - 2\;g\,r \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|6}}{{Transparent|« position <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> sur la partie <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math>», «<math>\;\color{transparent}{E_{m,\,M}(t_P)\; \cancel{- E_{m,\,M}(t_A)} = W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,B}(\vec{F})}\;</math>» ou <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^{\,2}(t_P) + m\;g\;r \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace = F\;l}\;</math> soit }}lequel est <math>\;\geqslant 0\;</math> si cette position est effectivement atteinte ; {{Al|5}}en conclusion le chariot pourra atteindre la position <math>\;D\;</math> si « la fonction <math>\;f(\theta) = \dfrac{2\;F\;l}{m} - 2\;g\,r \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> est <math>\;\geqslant 0\;\forall\;\theta \in \left[ 0\,,\,\pi \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion le chariot pourra atteindre la position <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> }}ceci est réalisé dans la mesure où « le minimum <math>\;\min\limits_{\theta\, \in\, \left[ 0\,,\,\pi \right]} f(\theta)\;</math> est <math>\;\geqslant 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion le chariot pourra atteindre la position <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> }}or <math>\;f(\theta)\;</math> étant une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\theta</math>, la condition se réécrit «<math>\;\min\limits_{\theta\, \in\, \left[ 0\,,\,\pi \right]} f(\theta) = f(\pi) \geqslant 0\;</math>» ou «<math>\;f(\pi) = \dfrac{2\;F\;l}{m} - 4\;g\,r \geqslant 0\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion le chariot pourra atteindre la position <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> }}l'expression de la force<ref name="force" /> qu'un joueur doit exercer sur le chariot pour que ce dernier atteigne la position <math>\;D\;</math> «<math>\;F \geqslant m\;g\;\dfrac{2\;r}{l} = F_{\text{min}}\;</math>». {{Al|5}}Dans le cas où <math>\;F = F_{\text{min}}</math>, la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> d’arrivée du chariot en <math>\;D\;</math> vaut <math>\;v_M(t_D) = 0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = F_{\text{min}}}</math>, }}appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. au chariot en la position <math>\;D\;</math> on obtient «<math>\;\vec{R}_1 + m\;\vec{g} = m\;\vec{a}_M(t_D)\;</math>» soit, en projetant sur <math>\;\vec{n}(t_D) = -\vec{u}_z\;</math><ref name="base de Frenet" /> noté <math>\;\vec{n}_D\;</math><ref name="base de Frenet" /> sur le schéma, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = F_{\text{min}}}</math>, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> on obtient }}«<math>\;\overline{R_{1,\,n}} + m\;g = m\;a_{M,\,n}(t_D)\;</math>» avec l'accélération normale du chariot en <math>\,D</math> <math>\;a_{M,\,n}(t_D) = \dfrac{v_M^{\,2}(t_D)}{r}\;</math><ref name="vecteur accélération de Frenet" /> <math>\;= 0\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = F_{\text{min}}}</math>, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> on obtient «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_{1,\,n}} + m\;g = m\;a_{M,\,n}(t_D)}\;</math>» avec l'accélération normale }}par nullité de la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> en <math>\;D\;</math> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = F_{\text{min}}}</math>, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> on obtient }}«<math>\;\overline{R_{1,\,n}} = -m\;g < 0\;</math>» c'est-à-dire une réaction du rail qui est centrifuge en <math>\;D\;</math> selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = F_{\text{min}}}</math>, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> on obtient }}«<math>\;\vec{R}_1 = \overline{R_{1,\,n}}\;\vec{n}_D = -m\;g\;\vec{n}_D = m\;g\;\vec{u}_z = -m\;\vec{g}\;</math>»<ref> On en déduit que la somme des forces appliquées étant nulle en <math>\;D</math>, le chariot y est en équilibre <math>\;\big[</math>on vérifierait que cet équilibre est instable <math>\;\big(</math>au sens introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = F_{\text{min}}}</math>, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> on obtient }}le chariot en <math>\;D\;</math> repose que la partie inférieure du rail<ref> Si la liaison n'était pas bilatérale le chariot tomberait suivant la verticale.</ref>.}} === Lancement d'un 2^ème joueur moins fort : position extrême atteinte par le chariot et réaction du guide en cette position === {{Al|5}}Un deuxième joueur, « moins fort » que le précédent, exerce une force <math>\;F_2 = \dfrac{F_{\text{min}}}{2}\;</math><ref name="force" /> : * jusqu'en quelle position <math>\;M_f\;</math> le chariot arrivera-t-il <math>\;\bigg[</math>on précisera <math>\;\theta_f = \widehat{\left( \overrightarrow{OC}\,,\,\overrightarrow{OM_f} \right)}\bigg]</math> ? * Quelle est alors la réaction <math>\;\vec{R}_2\;</math> du rail sur le chariot en cette position ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force <math>\;F_2 = \dfrac{F_{\text{min}}}{2}\;</math><ref name="force" /> laquelle, étant <math>\;<\;</math> à <math>\;F_{\text{min}}</math>, ne permet pas au chariot d'atteindra la position <math>\;D</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force <math>\;\color{transparent}{F_2 = F_{\text{min}}}\;</math> }}c'est-à-dire que la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> de ce dernier s'annule en une position <math>\;M_f\;</math> précédant celle de <math>\;D</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force <math>\;\color{transparent}{F_2 = F_{\text{min}}}\;</math> c'est-à-dire que la vitesse instantanée de ce dernier s'annule en une position <math>\;\color{transparent}{M_f}\;</math> }}d’abscisse angulaire <math>\;\theta_f = \widehat{\left( \overrightarrow{OC}\,,\,\overrightarrow{OM_f} \right)}\;</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force <math>\;\color{transparent}{F_2 = F_{\text{min}}}\;</math> c'est-à-dire que la vitesse instantanée de ce dernier s'annule en une position <math>\;\color{transparent}{M_f}\;</math> }}définie par <math>\;K_M(t_{M_f}) = \dfrac{1}{2}\;m\;v_M^{\,2}(t_{M_f}) = 0\;</math> soit, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force <math>\;\color{transparent}{F_2 = F_{\text{min}}}\;</math> }}sachant que <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^{\,2}(t_P) + m\;g\;r \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace = F\;l\;</math> pour <math>\;P\;</math> sur la partie <math>\;CD\;</math><ref name="sol de la 1ère question - bis"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Lancement_d'un_1er_joueur_:_force_minimale_Fmin_pour_que_le_chariot_atteigne_D_et_réaction_du_guide_en_D_quand_F_=_Fmin|lancement d'un 1^er joueur : force minimale F_min pour que le chariot atteigne D et réaction du guide en D pour F = F_min]] » plus haut dans cet exercice.</ref> en faisant <math>\;P = M_f\;</math> et <math>\;F = \dfrac{F_{\text{min}}}{2}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force <math>\;\color{transparent}{F_2 = F_{\text{min}}}\;</math> }}«<math>\;\cancel{\dfrac{1}{2}\;m\;v_M^{\,2}(t_{M_f})} + m\;g\;r \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t_{M_f}) \right] \right\rbrace = \dfrac{F_{\text{min}}}{2}\;l\;</math>» soit encore, avec le report de <math>\;F_{\text{min}} = m\;g\;\dfrac{2\;r}{l}\;</math><ref name="sol de la 1ère question - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force <math>\;\color{transparent}{F_2 = F_{\text{min}}}\;</math> }}«<math>\;m\;g\;r \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t_{M_f}) \right] \right\rbrace = m\;g\;r\;</math>» ou, après simplification évidente, «<math>\;\cos\! \left[ \theta(t_{M_f}) \right] = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\theta(t_{M_f}) = \dfrac{\pi}{2}\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force <math>\;\color{transparent}{F_2 = F_{\text{min}}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{m\;g\;r \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t_{M_f}) \right] \right\rbrace = m\;g\;r}\;</math>» ou, après simplification évidente, «<math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \theta(t_{M_f}) \right] = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la « position <math>\;M_f = E\;</math><ref name="sol de la 1ère question - bis" /> ». {{Al|5}}Dans le cas où <math>\;F = \dfrac{F_{\text{min}}}{2}</math>, la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> d'arrivée du chariot en <math>\;M_f = E\;</math> vaut <math>\;v_M(t_{M_f}) = 0</math> ; {{Al|6}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = F_{\text{min}}}</math>, }}appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. au chariot en la position <math>\;M_f = E\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{R}_2 + m\;\vec{g} = m\;\vec{a}_M(t_{M_f})\;</math>» soit, en projetant sur <math>\;\vec{n}(t_E) = -\vec{u}_x\;</math><ref name="base de Frenet" /> noté <math>\;\vec{n}_E\;</math><ref name="base de Frenet" /> sur le schéma<ref name="sol de la 1ère question - bis" />, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = F_{\text{min}}}</math>, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position <math>\;\color{transparent}{M_f = E}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{R_{2,\,n}} + 0 = m\;a_{M,\,n}(t_{M_f})\;</math>» avec l'accélération normale de <math>\;(M)\;</math> en <math>\,M_f</math> <math>\;a_{M,\,n}(t_{M_f}) = \dfrac{v_M^{\,2}(t_{M_f})}{r}\;</math><ref name="vecteur accélération de Frenet" /> <math>\;= 0\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = F_{\text{min}}}</math>, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position <math>\;\color{transparent}{M_f = E}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_{2,\,n}} + 0 = m\;a_{M,\,n}(t_{M_f})}\;</math>» avec l'accélération normale }}par nullité de la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> en <math>\;M_f\;</math> d'où <br>{{Al|12}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = F_{\text{min}}}</math>, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position <math>\;\color{transparent}{M_f = E}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{R_{2,\,n}} = 0\;</math>» c'est-à-dire une réaction du rail qui est nulle en <math>\;M_f = E\;</math> selon «<math>\;\vec{R}_2 = \overline{R_{2,\,n}}\;\vec{n}_E = \vec{0}\;</math>»<ref> On en déduit que la somme des forces appliquées se réduisant au poids du chariot en <math>\;M_f = E</math>, le chariot n'y est pas en équilibre, il y a, en cette position une accélération tangentielle égale à <math>\;a_{\tau,\,M}(t_{M_f}^{+}) = m\;\vec{g} \cdot \vec{\tau}_E = m\;\vec{g} \cdot \vec{u}_z = -m\;g\;</math> conduisant à une redescente du chariot.</ref> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = F_{\text{min}}}</math>, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position <math>\;\color{transparent}{M_f = E}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}le chariot <math>\;(M)\;</math> « flotte » dans le guide en <math>\;M_f = E\;</math><ref> Il en serait de même si la liaison était unilatérale.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = F_{\text{min}}}</math>, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position <math>\;\color{transparent}{M_f = E}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}le mouvement ultérieur de <math>\;(M)\;</math> débute verticalement dans le sens descendant et se poursuit le long du guide.}} === Chariot temporairement en liaison unilatérale === {{Al|5}}Un défaut de sécurité fait qu'à présent le chariot n’est plus en liaison bilatérale mais unilatérale. ==== Force minimale F'_min pour que le chariot atteigne D, vitesse du chariot en cette position et point de retombée de ce dernier sur le rail ==== {{Al|5}}Quelle force minimale <math>\;{F'}_{\!\text{m}}\;</math><ref name="force" /> un joueur doit-il exercer sur <math>\;(M)\;</math><ref name="raisonnement en inégalité" /> pour que le chariot atteigne <math>\;D</math> ? {{Al|5}}Quelle est alors la vitesse du chariot quand ce dernier atteint <math>\;D\;</math> dans le cas <math>\;F = {F'}_{\!\text{min}}</math> ? {{Al|5}}En quel point du rail le chariot va-t-il retomber ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Pour que le chariot <math>\;(M)\;</math> atteigne la position <math>\;D\;</math> quand il est en liaison unilatérale, il faut que la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> que le rail exerce sur <math>\;(M)\;</math> soit constamment centripète sur le parcours <math>\;CD</math> ; {{Al|5}}supposant que le mouvement circulaire de <math>\;(M)\;</math> sur <math>\;CD\;</math> soit possible<ref> Cela nécessite la persistance du contact de <math>\;(M)\;</math> avec le rail, c.-à-d. que la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> du rail soit dirigé vers l'intérieur de ce dernier pour toute position du chariot.</ref>, le carré de la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> du chariot en une position <math>\;P\;</math> de la partie circulaire <math>\;CD\;</math> déterminée précédemment à savoir <br>{{Al|10}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, }}«<math>\;v_M^{\,2}(t_P) = \dfrac{2\;F\;l}{m} - 2\;g\,r \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="sol de la 1ère question - bis" /> reste applicable en liaison unilatérale<ref name="indépendant du sens de la réaction"> Puisqu'elle a été déterminée sans considérer le sens de la réaction et donc en est indépendant.</ref>, mais, a priori, en liaison unilatérale, <br>{{Al|10}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, }}il ne suffit plus que la fonction de <math>\;\theta(t_P)\;</math> ci-dessus soit <math>\;\geqslant 0</math> <math>\;\big(</math>tout en restant évidemment nécessaire<math>\big)\;</math> pour que <math>\;D\;</math> soit atteint, <br>{{Al|10}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, }}la nouvelle exigence étant que la composante normale de la réaction du rail <math>\;\overline{R_n(t_P)} = \vec{R}(t_P) \cdot \vec{n}(t_P)\;</math><ref name="base de Frenet" /> soit <math>\;> 0</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, }}pour déterminer <math>\;\overline{R_n(t_P)}\;</math> on applique la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;(M)\;</math> quand ce dernier occupe une position <math>\;P\;</math> de la partie circulaire <math>\;CD\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t_P) = m\;\vec{a}_M(t_P)\;</math>» que l'on projette sur <math>\;\vec{n}(t_P)\;</math><ref name="base de Frenet" /> d'où «<math>\;-m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t_p) \right] + \overline{R_n(t_P)} = m\;a_{M,\,n}(t_P)\;</math>» avec <br>{{Al|15}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, «<math>\;\color{transparent}{m\;\vec{g} + \vec{R}(t_P) = m\;\vec{a}_M(t_P)}\;</math>» que l'on projette sur <math>\;\color{transparent}{\vec{n}(t_P)}\;</math> d'où }}<math>\;a_{M,\,n}(t_P) = \dfrac{v_M^{\,2}(t_P)}{r}\;</math><ref name="vecteur accélération de Frenet" /> l'accélération normale du chariot, <br>{{Al|10}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, }}«<math>\;\overline{R_n(t_P)} = m \left\lbrace \dfrac{v_M^{\,2}(t_P)}{r} + g\; \cos\! \left[ \theta(t_p) \right] \right\rbrace\;</math>» pour une position <math>\;P\;</math> quelconque de la partie circulaire <math>\;CD</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, }}on y reporte alors l'expression de <math>\;v_M^{\,2}(t_P) = \dfrac{2\;F\;l}{m} - 2\;g\,r \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace\;</math> rappelée ci-dessus, ce qui donne <br>{{Al|10}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, }}«<math>\;\overline{R_n(t_P)} = m \left\lbrace \dfrac{2\;F\;l}{m\;r} - 2\;g \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace + g\; \cos\! \left[ \theta(t_p) \right] \right\rbrace = \dfrac{2\;F\;l}{r} - 2\;m\;g + 3\;m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t_p) \right]\;</math>» <br>{{Al|128}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, }}sous l'hypothèse de maintien de contact avec le rail ; {{Al|10}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, }}<math>(M)\;</math> en liaison unilatérale pourra atteindre la position <math>\;D\;</math> si «<math>\;h(\theta) = \dfrac{2\;F\;l}{r} - 2\;m\;g + 3\;m\;g\;\cos(\theta)\;</math> est <math>\;> 0,\;\forall\;\theta \in \left[ 0\,,\,\pi \right]\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, }}cette fonction <math>\;h(\theta)\;</math> étant <math>\;\searrow</math>, « ses valeurs seront <math>\;> 0\;</math> ssi son minimum l'est c'est-à-dire <br>{{Al|10}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, cette fonction <math>\;\color{transparent}{h(\theta)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\searrow}</math>, « ses valeurs seront <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}ssi <math>\;\min\limits_{\theta\, \in\, \left[ 0\,,\,\pi \right]} h(\theta) = h(\pi) > 0\;</math>» avec <math>\;h(\pi) = \dfrac{2\;F\;l}{r} - 5\;m\;g\;</math> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|supposant que le mouvement circulaire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{CD}\;</math> soit possible, }}la réécriture de la C.N.S<ref name="C.N.S." />. «<math>\;h(\pi) = \dfrac{2\;F\;l}{r} - 5\;m\;g > 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;F > m\;g\;\dfrac{5\;r}{2\;l} = {F'}_{\!\text{min}}\;</math>» avec «<math>\;{F'}_{\!\text{min}} = \dfrac{5}{4}\;F_{\text{min}} > F_{\text{min}}\;</math>». {{Al|5}}Dans le cas où <math>\;F = {F'}_{\!\text{min}}</math>, la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> d’arrivée du chariot en <math>\;D\;</math> vaut «<math>\;v_M(t_D) = \sqrt{\dfrac{2\;{F'}_{\text{min}}\;l}{m} - 2\;g\,r \left[ 1 - \cos(\pi) \right]} = \sqrt{5\;g\;r - 4\;g\;r}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = {F'}_{\!\text{min}}}</math>, la vitesse instantanée d’arrivée du chariot en <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> vaut }}«<math>\;v_M(t_D^{-}) = \sqrt{g\;r}\;</math>» <math>\;\big[</math>en la position <math>\;D\;</math> le vecteur vitesse est horizontal dirigé dans le sens de <math>\;\vec{\tau}_D = -\vec{u}_x\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = {F'}_{\!\text{min}}}</math>, }}À partir de <math>\;D</math>, le chariot a un mouvement de chute libre, son accélération étant «<math>\;\vec{a}_M = \vec{g}\;</math>»<ref> Obtenue par r.f.d.n. avec pour seule force, le poids du chariot.</ref> et son vecteur vitesse de début de phase «<math>\;\vec{V}_M(t_D^{+}) = \vec{V}(t_D^{-}) = -\sqrt{g\;r}\;\vec{u}_x\;</math>»<ref> Le vecteur vitesse est continu à l'instant <math>\;t_D\;</math> dans la mesure où la seule force s'appliquant au chariot de part et d'autre de cet instant est le poids du chariot c.-à-d. une force continue <math>\;\big[</math>on rappelle qu'à l'instant <math>\;t_D^{-}\;</math> la réaction du rail est nulle<math>\big]</math>, en effet <br>{{Al|3}}nous avons établi, en complément, la continuité du vecteur vitesse en absence de force de collision à l'instant considéré <math>\;\big[</math>c.-à-d. de force <math>\;\propto\;</math> au pic de Dirac centré sur cet instant et d'impulsion unité, donc discontinue de 2^ème espèce<math>\big]\;</math> au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Application_en_absence_de_forces_de_collision_et_conséquence|application (du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire) en absence de forces de collision et conséquence]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_2ème_espèce_du_pic_de_Dirac_de_tension_d'impulsion_E|discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = {F'}_{\!\text{min}}}</math>, À partir de <math>\;\color{transparent}{D}</math>, le chariot a un mouvement de chute libre }}<math>\big(</math>on fait alors le changement d'origine des temps <math>\;t' = t - t_D\;</math> pour que le début de phase devienne l'instant initial<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = {F'}_{\!\text{min}}}</math>, }}avec un axe horizontal <math>\;\overrightarrow{X'X}\;</math> orienté vers la gauche ainsi qu'un axe vertical <math>\;\overrightarrow{Z'Z}\;</math> <math>\downarrow\;</math> et le choix de <math>\;D\;</math> comme origine du repère, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = {F'}_{\!\text{min}}}</math>, avec }}<math>\blacktriangleright\;</math>le projeté de <math>\;(M)\;</math> sur <math>\;\overrightarrow{X'X}\;</math> a un mouvement rectiligne uniforme de vitesse «<math>\;v_X = \sqrt{g\;r}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;X = \sqrt{g\;r}\;t'\;</math>»<ref name="position initiale à l'origine"> L'origine ayant été choisie en la position initiale du chariot.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = {F'}_{\!\text{min}}}</math>, avec }}<math>\blacktriangleright\;</math>{{Al|7}}celui de <math>\;(M)\;</math> sur <math>\;\overrightarrow{Z'Z}\;</math>{{Al|5}}un mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale<ref> Le vecteur vitesse initiale étant horizontal.</ref> soit «<math>\;v_Z = g\;t'\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;Z = \dfrac{g}{2}\;{t'}^2\;</math>»<ref name="position initiale à l'origine" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = {F'}_{\!\text{min}}}</math>, }}on en déduit l'équation cartésienne de la trajectoire de <math>\;(M)\;</math> en éliminant le temps <math>\;t'\;</math> entre ces deux lois horaires scalaires de position <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = {F'}_{\!\text{min}}}</math>, on en déduit l'équation cartésienne de la trajectoire de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> en éliminant le temps <math>\;\color{transparent}{t'}\;</math> }}par <math>\;t' = \dfrac{X}{\sqrt{g\;r}}\;</math> que l'on reporte dans la 2^ème soit <math>\;Z = \dfrac{g}{2}\;\dfrac{X^2}{g\;r}\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = {F'}_{\!\text{min}}}</math>, on en déduit l'équation cartésienne }}«<math>\;Z = \dfrac{X^2}{2\;r}\;</math>» équation cartésienne d'une parabole<ref name="équation cartésienne d'une parabole" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = {F'}_{\!\text{min}}}</math>, }}le point du rail sur lequel le chariot retombe étant <math>\;M_{\text{chute}}\;</math> de coordonnées cartésiennes «<math>\;Z_{\text{chute}} = 2\;r\;</math>» et «<math>\;X_{\text{chute}} = \sqrt{Z_{\text{chute}}\;(2\;r)} = 2\;r\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où <math>\;\color{transparent}{F = {F'}_{\!\text{min}}}</math>, }}en conclusion <math>\;M_{\text{chute}}\;</math> se trouve sur la partie rectiligne du rail <math>\;AC\;</math> à une distance <math>\;2\;r\;</math> en deçà du point <math>\;C</math>.}} ==== Nouvelle tentative du 2^ème joueur ==== {{Al|5}}Le 2^ème joueur refait alors une tentative en exerçant une force <math>\;F_2 = \dfrac{F_{\text{min}}}{2}\;</math><ref name="force" /> ; vérifier qu'il n’y a rien de changé pour lui. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Le 2^ème joueur refait alors une tentative en exerçant la même force <math>\;F_2 = \dfrac{F_{\text{min}}}{2}\;</math><ref name="force" /> ; <br>{{Al|5}}avec cette valeur de force, le chariot en liaison bilatérale ayant obtenu une vitesse instantanée nulle <math>\;\big(</math>caractérisant la fin de mouvement en liaison bilatérale<math>\big)\;</math><ref name="sol de la 2ème question"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Lancement_d'un_2ème_joueur_moins_fort_:_position_extrême_atteinte_par_le_chariot_et_réaction_du_guide_en_cette_position|lancement d'un 2^ème joueur moins fort : position extrême atteinte par le chariot et réaction du guide en cette position]] (en liaison bilatérale sans frottement) ».</ref> simultanément à <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec cette valeur de force, le chariot en liaison bilatérale ayant obtenu }}une réaction du rail nulle <math>\;\big(</math>laquelle caractérise la fin de tout mouvement en liaison unilatérale<math>\big)\;</math><ref name="sol de la 2ème question" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec cette valeur de force, }}il n'y a donc rien de changé pour le chariot quand il passe d'une liaison bilatérale à une liaison unilatérale.}} ==== Nouveau lancement du 1^er joueur ==== {{Al|5}}Le 1^er joueur refait lui aussi un lancement en exerçant une force <math>\;F_1 = F_{\text{min}}\;</math><ref name="force" /> ; vérifier que le chariot <math>\;(M)\;</math> n'atteint pas <math>\;D\;</math> et {{Al|10}}{{Transparent|Le 1^er joueur refait lui aussi un lancement en exerçant une force <math>\;\color{transparent}{F_1 = F_{\text{min}}}\;</math> ; }}déterminer la position <math>\;{M'}_{\!f}\;</math> où il y a rupture de contact entre <math>\;(M)\;</math> et le rail <math>\;\bigg[</math>préciser <math>\;{\theta'}_f = \widehat{\left( \overrightarrow{OC}\,,\,\overrightarrow{O{M'}_{\!f}} \right)}\bigg]</math> ? {{Al|10}}{{Transparent|Le 1^er joueur refait lui aussi un lancement en exerçant une force <math>\;\color{transparent}{F_1 = F_{\text{min}}}\;</math> ; }}Quelle est alors le vecteur vitesse de <math>\;(M)\;</math> en cette position <math>\;\big[</math>préciser sa direction, son sens et sa norme<math>\big]</math> ? {{Solution | contenu = [[File:Jeu pour comparer sa force - ter.png|thumb|320px|Schéma d'un jeu à la fête foraine pour tester sa force en lançant un chariot <math>\;(M)\;</math> en liaison unilatérale sans frottement sur un guide <math>\;ABCD</math>, le joueur exerçant la force minimale sur le chariot pendant le trajet <math>\;AB\;</math> dans le but que <math>\;(M)\;</math> puisse atteindre <math>\;D\;</math> dans l'hypothèse où il serait en liaison bilatérale avec repérage de la position de rupture <math>\;{M'}_{\!f}\;</math> de liaison unilatérale ainsi que du vecteur vitesse du chariot à cet instant de rupture]] {{Al|5}}Le 1^er joueur refait lui aussi une tentative en exerçant une force <math>\;F_1 = F_{\text{min}} = m\;g\;\dfrac{2\;r}{l}\;</math><ref name="force" />{{,}}<ref name="sol de la 1ère question - bis" /> laquelle, étant <math>\;<\;</math> à <math>\;{F'}_{\!\text{min}}</math> <math>\;\big\{</math>valeur minimale pour que le chariot <math>\;(M)</math>, en liaison unilatérale, aille jusqu'à l'extrémité supérieure <math>\;D\;</math> de la partie circulaire du rail<math>\big\}\;</math><ref name="sol de la 3ème question alinéa a"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Force_minimale_F'min_pour_que_le_chariot_atteigne_D,_vitesse_du_chariot_en_cette_position_et_point_de_retombée_de_ce_dernier_sur_le_rail|force minimale F'_min pour que le chariot (en liaison unilatérale) atteigne D, vitesse du chariot en cette position et point de retombée de ce dernier sur le rail]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, ne permet pas à <math>\;(M)\;</math> d'atteindre <math>\;D</math> ; {{Al|5}}la composante normale de la réaction exercée par le rail sur <math>\;(M)\;</math> dans l'hypothèse d'un contact effectif <math>\;\big(</math>par exemple avec une liaison bilatérale<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la composante normale de la réaction }}«<math>\;\overline{R_n(t_P)} = \dfrac{2\;F_1\;l}{r} - 2\;m\;g + 3\;m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t_p) \right],\;P\;\in\;CD\;</math>»<ref name="sol de la 3ème question alinéa a" /> prenant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la composante normale de la réaction }}en <math>\;C</math>, une valeur <math>\;> 0\;</math> <math>\Bigg\{</math>«<math>\;\overline{R_n(t_C)} = \dfrac{2\;m\;g\;\dfrac{2\;r}{l}\;l}{r} - 2\;m\;g + 3\;m\;g\;\cos\! \left[ 0 \right] = 5\;m\;g\;> 0\;</math>»<math>\Bigg\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la composante normale de la réaction }}en <math>\;D</math>, une valeur <math>\;< 0\;</math> <math>\Bigg\{</math>«<math>\;\overline{R_n(t_D)} = \dfrac{2\;m\;g\;\dfrac{2\;r}{l}\;l}{r} - 2\;m\;g + 3\;m\;g\;\cos\! \left[ \pi \right] = -m\;g\;< 0\;</math>»<math>\Bigg\}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la composante normale de la réaction }}en étant une fonction continue de <math>\;\theta</math>, nous en déduisons, d'après le [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires|théorème de Bolzano]] <ref name="Bolzano"> '''[[w:Bernard_Bolzano|Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano]] (1781 - 1848)''' ou plus simplement '''[[w:Bernard_Bolzano|Bernard Bolzano]]''' est un mathématicien, logicien, philosophe et théologien allemand <math>\;\big(</math>né, ayant vécu et mort en ce qui est maintenant la Tchéquie<math>\big)</math>, à qui on doit en mathématiques deux théorèmes dont [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires|celui des valeurs intermédiaires]] dont un cas particulier porte son nom et un autre connu sous le nom de [[w:Théorème_de_Bolzano-Weierstrass|théorème de Balzano-Weierstrass]] en [[w:Topologie|topologie]] des [[w:Espace_métrique|espaces métriques]] dont une démonstration plus rigoureuse fut établie par '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897)]]''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]] <math>\;\big[</math>on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de [[w:Fonction_de_Weierstrass|fonction de Weierstrass]] continue partout et dérivable nulle part<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>cas particulier du <br>{{Al|5}}{{Transparent|la composante normale de la réaction en étant une fonction continue de <math>\;\color{transparent}{\theta}</math>, nous en déduisons, d'après le }}[[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires|théorème des valeurs intermédiaires]] <ref> Le [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires#Énoncé|théorème des valeurs intermédiaires]] peut être énoncé selon « pour toute application continue <math>\;f\;\text{:}\; \left[ a\,,\, b \right]\, \longmapsto\, \mathbb{R}\;</math> et tout réel <math>\;u\;</math> compris entre <math>\;f(a)\;</math> et <math>\;f(b)</math>, il existe au moins un réel <math>\;c\;</math> compris entre <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> tel que <math>\;f(c) = u\;</math>» ;<br>{{Al|3}}son cas particulier connu sous le nom de [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires#Énoncé|théorème de Bolzano]] s'énonce selon « pour toute application continue <math>\;f\;\text{:}\; \left[ a\,,\, b \right]\, \longmapsto\, \mathbb{R}\;</math> telle que le produit <math>\;f(a)\;f(b)\;</math> est <math>\leqslant 0</math>, il existe au moins un réel <math>\;c\;</math> compris entre <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> tel que <math>\;f(c) = 0\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans les deux théorèmes si l'application continue est strictement monotone, elle est donc [[w:Injectivité_(mathématiques)|injective]] et il y a unicité de la valeur de <math>\;c</math>.</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la composante normale de la réaction }}l'existence d'une position unique de rupture <math>\;{M'}_{\!f}\;</math> de liaison unilatérale définie par <math>\;{\theta'}_{\!f} = \widehat{\left( \overrightarrow{OC}\,,\,\overrightarrow{O{M'}_{\!f}} \right)}\;</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|la composante normale de la réaction l'existence d'une position unique de rupture <math>\;\color{transparent}{{M'}_{\!f}}\;</math> de liaison unilatérale définie par }}tel que <math>\;\overline{R_n(t_{{M'}_{\!f}})} = 0\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|la composante normale de la réaction }}l'équation <math>\;\overline{R_n(t_{{M'}_{\!f}})} = 4\;m\;g - 2\;m\;g + 3\;m\;g\;\cos\! \left( {\theta'}_{\!f} \right) = 0\;</math> ou «<math>\;\cos\! \left( {\theta'}_{\!f} \right) = -\dfrac{2}{3}\;</math>» donnant finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|la composante normale de la réaction }}la valeur de l'abscisse angulaire <math>\;{\theta'}_{\!f}\;</math> de la position de rupture <math>\;{M'}_{\!f}\;</math> de la liaison unilatérale du <math>\;(M)\;</math> avec le rail <br>{{Al|2}}{{Transparent|la composante normale de la réaction la valeur de l'abscisse angulaire }}«<math>\;{\theta'}_f = \arccos\! \left( -\dfrac{2}{3} \right) \simeq 131,8\;\text{°}\;</math><ref name="arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;{M'}_{\!f}\;</math> située entre <math>\;E\;</math> et <math>\;D\;</math>». {{Al|5}}La vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;v_M(t_{{M'}_{\!f}})\;</math> de <math>\;(M)\;</math> en la position de rupture de liaison unilatérale se déduit de <math>\;v_M^{\,2}(t_P) = \dfrac{2\;F\;l}{m} - 2\;g\,r \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace</math>, <math>\;P\;</math> position quelconque de la partie circulaire <math>\;CD</math>, expression déterminée précédemment dans le cas d'une liaison bilatérale<ref name="sol de la 1ère question - bis" /> restant valable en liaison unilatérale<ref name="indépendant du sens de la réaction" />, «<math>\;v_M^{\,2}(t_{{M'}_{\!f}}) = \dfrac{2\;F_{\text{min}}\;l}{m} - 2\;g\,r \left[ 1 - \cos({\theta'}_f) \right] = 4\;g\;r - 2\;g\;r \left[ 1 - \dfrac{-2}{3} \right] = \dfrac{2}{3}\;g\,r\;</math>» donnant, pour vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> du chariot en <math>\;{M'}_{\!f}\;</math> «<math>\;v_M(t_{{M'}_{\!f}}) = \sqrt{\dfrac{2}{3}\;g\,r} \simeq 0,816\;\sqrt{g\;r}\;</math>» ; {{Al|5}}le vecteur vitesse de <math>\;(M)\;</math> en cette position est tangente à la partie circulaire <math>\;CD\;</math> en <math>\;{M'}_{\!f}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> en cette position est }}de direction faisant l'angle <math>\;\alpha\;</math> avec l'horizontale du lieu, <math>\;\bigg[\alpha\;</math> angle non orienté aigu supplémentaire de <math>\;{\theta'}_f\;</math> soit «<math>\;\alpha = \pi - \arccos\! \left( \dfrac{-2}{3} \right)\;</math><ref name="arccosinus" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> en cette position est de direction faisant l'angle <math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math> avec l'horizontale du lieu, <math>\;\color{transparent}{\bigg[\alpha}\;</math> angle non orienté aigu supplémentaire de <math>\;\color{transparent}{{\theta'}_f}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\alpha}</math> }}<math>= \arccos\! \left( \dfrac{2}{3} \right)\;</math><ref name="arccosinus" />{{,}}<ref> En effet <math>\;\cos\! \left[ \pi - \arccos\! \left( -x \right) \right] = -\cos\! \left[ \arccos\! \left( -x \right) \right] = - \left( -x \right) = x = \cos\;\! \left[ \arccos\! \left( x \right) \right]\;</math> d'où les deux grandeurs <math>\;\pi - \arccos\! \left( -x \right)\;</math> et <math>\;\arccos\! \left( x \right)\;</math> ayant même cosinus et appartenant toutes deux à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\, \pi \right]\;</math> sont égales.</ref> <math>\;\simeq 48,2\;\text{°}\;</math>»<math>\bigg]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur vitesse de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> en cette position est }}de sens dirigé vers le haut.}} === Chariot de nouveau en liaison bilatérale mais avec frottement solide, nouvelle tentative du 2^ème joueur === {{Al|5}}Heureusement il n’y a eu aucun accident avant que le forain ne s'aperçoive du défaut de sécurité et y remédie ; {{Al|5}}le chariot est donc de nouveau en liaison bilatérale, mais le contact entre le chariot et le rail n'étant plus aussi lisse, ceci entraîne l'existence d'un frottement entre les deux ; {{Al|5}}nous supposerons uniforme le cœfficient de frottements dynamique et statique commun égal à <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>l'angle limite commun de frottements dynamique et statique étant <math>\;\varphi = \arctan(f)\;</math><ref name="arctangente" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Le 2^ème joueur refaisant alors une tentative avec une force <math>\;F_2 = \dfrac{F_{\text{min}}}{2}\;</math><ref name="force" /> <math>\;\big(</math>le 1^er joueur étant occupé à « diminuer son adrénaline »<math>\big)</math>, on cherche les modifications engendrées par ces frottements en supposant que la force <math>\;F_2\;</math><ref name="force" /> est suffisamment grande pour que le chariot ne soit pas arrêté sur la partie rectiligne <math>\;AC\;</math> du guide. ==== Vitesse acquise par le chariot au point C ==== {{Al|5}}Déterminer la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;v_C = \Vert \vec{V}_C \Vert\;</math> acquise par le chariot en <math>\;C\;</math> et {{Al|5}}préciser à quelle condition sur <math>\;F_2\;</math> puis sur <math>\;\dfrac{r}{l}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|préciser à quelle condition }}le chariot ne s'arrête pas sur la partie rectiligne <math>\;AC\;</math> du rail <math>\;\big(</math>on rappelle que cette condition écrite sous l'une ou l'autre des deux formes est supposée réalisée<math>\big)</math>. {{Solution | contenu = [[File:Jeu pour comparer sa force - tetra.png|thumb|350px|Schéma d'un jeu à la fête foraine pour tester sa force en lançant un chariot <math>\;(M)\;</math> en liaison bilatérale avec frottement sur un guide <math>\;ABCD</math>, le joueur n'exerçant une force sur le chariot que sur la partie <math>\;AB\;</math> dans le but qu'il atteigne <math>\;D\;</math> avec représentation des forces exercées sur <math>\;(M)\;</math> et de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> associée au chariot<ref name="vecteur unitaire tangentiel" />{{,}}<ref name="base de Frenet" />]] {{Al|5}}Le seul changement sur <math>\;AC\;</math> par rapport à la question avec liaison bilatérale sans frottement solide est l'ajout, au bilan des forces appliquées, de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le seul changement sur <math>\;\color{transparent}{AC}\;</math> }}la composante tangentielle de la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> du guide sur le chariot <math>\;(M)\;</math> notée <math>\;\vec{R}_\tau\;</math><ref name="force de frottement solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le seul changement sur <math>\;\color{transparent}{AC}\;</math> la composante tangentielle de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> }}de direction <math>\;\parallel\;</math> à la partie rectiligne <math>\;AC</math>, c'est-à-dire horizontale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le seul changement sur <math>\;\color{transparent}{AC}\;</math> la composante tangentielle de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> }}de sens contraire au mouvement <math>\;\big(</math>donc dirigée vers la gauche<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le seul changement sur <math>\;\color{transparent}{AC}\;</math> la composante tangentielle de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> }}de norme <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = f\;R_n\;</math> avec <math>\;R_n = \vec{R} \cdot \vec{n} > 0\;</math> la composante normale de la réaction <math>\;\big(</math>selon la loi de frottement de glissement<ref name="loi de frottement de glissement de Coulomb dans le cas d'un glissement effectif" /> de Coulomb<ref name="Coulomb" /><math>\big)</math> ; {{Al|5}}l'absence de mouvement vertical de <math>\;(M)\;</math> sur la partie <math>\;AC\;</math> du guide entraîne «<math>\;R_n = m\;g\;</math>»<ref> Par projection de la r.f.d.n. appliquée à <math>\;(M)\;</math> sur l'axe vertical <math>\;\uparrow</math> «<math>\;R_n - m\;g = m\;a_{M,\,z} = 0\;</math>».</ref> d'où, par report dans <math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = f\;R_n\;</math> et en utilisant que «<math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est en sens contraire au mouvement c'est-à-dire dans le sens de <math>\;-\vec{u}_x\;</math>», «<math>\;\overline{R_{\tau,\,x}} = -f\;m\;g = cste < 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique de <math>\;(M)\;</math> à l'instant <math>\;t_P</math>, où <math>\;P\;</math> est une position quelconque de <math>\;AC</math>, s'écrivant «<math>\;E_{m,\,M}(t_P) = K_M(t_P) + U_{\text{pes}}(t_P)\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'énergie }}«<math>\;K_M(t_P) = \dfrac{1}{2}\;m\;v_M^{\,2}(t_P)\;</math> l'énergie cinétique de <math>\;(M)\;</math> à l'instant de son passage par <math>\;P\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'énergie }}«<math>\;U_{\text{pes}}(t_P) = m\;g\;z_P = 0\;</math> son énergie potentielle de pesanteur avec référence au niveau <math>\;z = 0\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'énergie mécanique de <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> à l'instant <math>\;\color{transparent}{t_P}</math>, }}«<math>\;E_{m,\,M}(t_P) = \dfrac{1}{2}\;m\;v_M^{\,2}(t_P)\;</math> pour <math>\;P\;\in\;AC\;</math>», {{Al|5}}le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;(M)\;</math><ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie" /> entre sa position initiale <math>\;A\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> entre }}la position <math>\;C\;</math> atteinte à l'instant <math>\;t_C\;</math> avec une vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> entre la position <math>\;\color{transparent}{C}\;</math> atteinte à l'instant <math>\;\color{transparent}{t_C}\;</math> avec }}<math>v_M(t_C)\;</math> <math>\big[</math>ou encore <math>\;v_C\big]</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> }}s'écrit «<math>\;E_{m,\,M}(t_C)\; \cancel{- E_{m,\,M}(t_A)} = W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,B}(\vec{F}) + W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,C}(\vec{R})\;</math>»<ref name="énergie mécanique initiale" /> avec <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,C}(\vec{R}) = \cancel{W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,C}(\vec{R}_n)\; +}\; W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,C}(\vec{R}_\tau)\;</math><ref> En effet <math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau} = dx\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{R}_n \perp \vec{\tau} = \vec{u}_x\;</math> d'où <math>\;W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,C}(\vec{R}_n) = \displaystyle\int_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,C} \vec{R}_n \cdot \overrightarrow{dM} = 0</math>.</ref> <math>= \displaystyle\int_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,C} \vec{R}_\tau \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> soit finalement, avec <math>\;\overrightarrow{dM}_{\text{sur }AC} = dx\;\vec{u}_x</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,C}(\vec{R}) = \displaystyle\int_{x_A}^{x_C} \overline{R_{\tau,\,x}}\;dx = \overline{R_{\tau,\,x}} \left( x_C - x_A \right) = -f\;m\;g\;2\;l < 0\;</math>» et <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,B}(\vec{F}) = \displaystyle\int_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,B} \vec{F} \cdot \overrightarrow{dM} > 0\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> ou, avec <math>\;\vec{F} = F_2\;\vec{u}_x\;</math> <math>\big[F_2 = cste > 0\;</math> composante de <math>\;\vec{F}\;</math> sur l'axe horizontal <math>\;\overrightarrow{x'x}\big]\;</math> et <br>{{Al|15}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,B}(\vec{F}) = \displaystyle\int_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,B} \vec{F} \cdot \overrightarrow{dM} > 0}\;</math>» ou, avec }}<math>\;\overrightarrow{dM}_{\text{sur }AB} = dx\;\vec{u}_x</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;W_{A\,\overset{(\mathcal{G}}{\rightarrow}\,B}(\vec{F}) = \displaystyle\int_{x_A}^{x_B} F_2\;dx = F_2 \left( x_B - x_A \right) = F_2\;l > 0\;</math>», {{Al|5}}d'où la réécriture du théorème de la variation de l'énergie mécanique de <math>\;(M)\;</math> entre <math>\;A\;</math> et <math>\;C\;</math><ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie" /> selon «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_C^{\,2} = F_2\;l - f\;m\;g\;2\;l > 0\;</math> si le chariot <math>\;(M)\;</math> n'est pas arrêté sur <math>\;AC\;</math>» et finalement <center>la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> en <math>\;C\;</math> s'écrit «<math>\;v_C = \sqrt{\dfrac{2 \left( F_2 - 2\;f\;m\;g \right) l}{m}}\;</math>» si <math>\;(M)\;</math> n'est pas arrêté sur <math>\;AC</math>, <br>ce qui nécessite «<math>\;F_2 > 2\;f\;m\;g = 2\; \Vert \vec{R}_\tau \Vert\;</math>», condition pour que <math>\;(M)\;</math> dépasse <math>\;C\;</math><ref name="condition de mise en mouvement"> En précisant que ce mouvement ne peut démarrer que si <math>\;F_2\;</math> est <math>\;\nless\;</math> à <math>\;f\;m\;g\;</math> sinon le 2^ème joueur ne pourrait pas déplacer le chariot qui resterait alors en équilibre selon la loi de Coulomb de frottement sans glissement <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_d’équilibre|rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas où <math>\;F_2\;</math> appartiendrait à l'intervalle <math>\;\left[ f\;m\;g\;,\;2\;f\;m\;g \right]</math>, le chariot s'arrêterait sur la partie rectiligne du guide entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, la position <math>\;C\;</math> dans le cas où <math>\;F_2\;</math> serait égale à la borne supérieure de l'intervalle.</ref> ou,<br>avec <math>\;F_2 = \dfrac{F_{\text{min}}}{2} = \dfrac{m\;g\;r}{l}</math>, «<math>\;v_C = \sqrt{2\;g\;l \left( \dfrac{r}{l} - 2\;f \right)}\;</math>» si <math>\;(M)\;</math> n'est pas arrêté sur <math>\;AC</math>, <br>ce qui nécessite «<math>\;\dfrac{r}{l} > 2\;f\;</math>», condition pour que <math>\;(M)\;</math> dépasse <math>\;C\;</math><ref name="condition de mise en mouvement - bis"> La condition de mise en mouvement du chariot étant <math>\;F_2 \nless f\;m\;g\;</math> se réécrivant <math>\;\dfrac{r}{l} \nless f\;</math> sinon le 2^ème joueur ne pourrait pas déplacer le chariot qui resterait alors en équilibre selon la loi de Coulomb de frottement sans glissement <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_d’équilibre|rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Approximation_usuelle_sur_les_cœfficients_de_frottement_statique_et_dynamique|approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas où <math>\;\dfrac{r}{l}\;</math> appartiendrait à l'intervalle <math>\;\left[ f\;,\;2\;f \right]</math>, le chariot s'arrêterait sur la partie rectiligne du guide entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, la position <math>\;C\;</math> dans le cas où <math>\;\dfrac{r}{l}\;</math> serait égale à la borne supérieure de l'intervalle.</ref>.</center>}} ==== Composante normale de la réaction du guide sur le chariot lors du mouvement circulaire de ce dernier ==== {{Al|5}}Exprimer la norme <math>\;R_n = \Vert \vec{R}_n \Vert\;</math> de la composante normale de la réaction du rail sur le chariot lors de son mouvement circulaire en fonction de <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> et <math>\;\theta(t)\;</math> entre autres. {{Solution | contenu ={{Al|5}}La composante normale de la réaction du rail sur <math>\;(M)\;</math> <math>\;\overline{R_n} = \vec{R} \cdot \vec{n}\;</math><ref name="base de Frenet" /> lors de son mouvement circulaire reste celle déterminée dans le cas de liaison unilatérale sans frottement à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composante normale }}«<math>\;\overline{R_n(t_P)} = m \left\lbrace \dfrac{v_M^{\,2}(t_P)}{r} + g\; \cos\! \left[ \theta(t_p) \right] \right\rbrace\;</math> pour <math>\;P\;\in\;CD\;</math>»<ref name="sol de la 3ème question alinéa a" />, établie en projetant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;(M)\;</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» sur le vecteur unitaire <math>\;\vec{n}\;</math><ref name="base de Frenet" />, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La composante normale «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_n(t_P)} = m \left\lbrace v_M^{\,2}(t_P) + g\; \cos\! \left[ \theta(t_p) \right] \right\rbrace}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{P\;\in\;CD}\;</math>», }}<math>\big[</math>une liaison bilatérale avec <math>\;\vec{R}_n\;</math> de sens quelconque englobant celle unilatérale avec <math>\;\vec{R}_n\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{n}\;</math><ref name="base de Frenet" /> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|La composante normale «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_n(t_P)} = m \left\lbrace v_M^{\,2}(t_P) + g\; \cos\! \left[ \theta(t_p) \right] \right\rbrace}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{P\;\in\;CD}\;</math>», <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}le seul ajout lors d'introduction de frottement solide étant la composante tangentielle <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> telle que <math>\;\vec{R}_\tau \cdot \vec{n} = 0\;</math><ref name="base de Frenet" /><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composante normale }}d'où, avec le lien entre vitesses instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> et angulaire d'un mouvement circulaire «<math>\;v_M(t_P) = r\;\dot{\theta}(t_P)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{v_M^{\,2}(t_P)}{r} = r\;\dot{\theta}^2\!(t_P)\;</math>», la réécriture de la composante normale selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composante normale }}«<math>\;\overline{R_n(t_P)} = m \left\lbrace r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) + g\; \cos\! \left[ \theta(t_p) \right] \right\rbrace\;</math> pour <math>\;P\;\in\;CD\;</math>» avec «<math>\;\overline{R_n}(t_P) > 0,\;\;\forall\;P\;</math> accessible » <math>\;\big\{</math>en effet les valeurs de <math>\;\theta\;</math> accessibles pour une force de lancement <math>\;F_2\;</math><ref name="force" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composante normale «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_n(t_P)} = m \left\lbrace r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) + g\; \cos\! \left[ \theta(t_p) \right] \right\rbrace}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{P\;\in\;CD}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_n}(t_P) > 0,\;\;\forall\;P}\;</math> accessible » <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}une liaison bilatérale avec frottement à savoir <math>\;\left[ 0\;,\; \theta_{f,\,\text{frot}} \right]\;</math> sont toutes <math>\;<\;</math> à <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composante normale «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_n(t_P)} = m \left\lbrace r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) + g\; \cos\! \left[ \theta(t_p) \right] \right\rbrace}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{P\;\in\;CD}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_n}(t_P) > 0,\;\;\forall\;P}\;</math> accessible » <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}celles accessibles pour une même force de lancement <math>\;F_2\;</math><ref name="force" /> et une liaison <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composante normale «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_n(t_P)} = m \left\lbrace r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) + g\; \cos\! \left[ \theta(t_p) \right] \right\rbrace}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{P\;\in\;CD}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_n}(t_P) > 0,\;\;\forall\;P}\;</math> accessible » <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}bilatérale sans frottement lesquelles sont <math>\;\leqslant \theta_f = \dfrac{\pi}{2}\;</math><ref name="sol de la 2ème question" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_{f,\,\text{frot}} < \dfrac{\pi}{2}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composante normale «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_n(t_P)} = m \left\lbrace r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) + g\; \cos\! \left[ \theta(t_p) \right] \right\rbrace}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{P\;\in\;CD}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_n}(t_P) > 0,\;\;\forall\;P}\;</math> accessible » <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}d'où « la partie entre accolades de <math>\;\overline{R_n}(t_P)\;</math>» <math>\;> 0\;</math> comme la somme d'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composante normale «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_n(t_P)} = m \left\lbrace r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) + g\; \cos\! \left[ \theta(t_p) \right] \right\rbrace}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{P\;\in\;CD}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{\overline{R_n}(t_P) > 0,\;\;\forall\;P}\;</math> accessible » <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}1^er terme «<math>\;r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) \geqslant 0\;</math>» et d'un 2^ème «<math>\;g\; \cos\! \left[ \theta(t_p) \right] > 0\;</math>»<math>\big\}\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}la norme de la composante normale de la réaction du rail sur <math>\;(M)\;</math> s'écrit «<math>\;R_n(t_P) = \Big\vert \overline{R_n}(t_P) \Big\vert = m \left\lbrace r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) + g\;\cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace\;</math> pour <math>\;P\;\in\;CE_{\text{frot}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|la norme de la composante normale de la réaction du rail sur <math>\;\color{Transparent}{(M)}\;</math> s'écrit «<math>\;\color{Transparent}{R_n(t_P) = \Big\vert \overline{R_n}(t_P) \Big\vert = m \left\lbrace r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) + g\;\cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace}\;</math> }}<math>\bigg\{</math>avec <math>\;E_{\text{frot}}\;</math> position de <math>\;CD\;</math> d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{f,\,\text{frot}} < \dfrac{\pi}{2}\bigg\}</math>.}} ==== Composante tangentielle de la réaction du guide sur le chariot et équation différentielle du mouvement de ce dernier lors de son mouvement circulaire ==== {{Al|5}}En déduire la norme <math>\;R_\tau = \Vert \vec{R}_\tau \Vert\;</math> de la composante tangentielle de la réaction du rail sur le chariot lors de son mouvement circulaire et {{Al|5}}établir l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> pour le mouvement circulaire au-delà de <math>\;C</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Quand il y a glissement de <math>\;(M)\;</math> sur le rail, la composante tangentielle de la réaction <math>\;\vec{R}_\tau\;</math><ref name="force de frottement solide" /> <math>\;= -R_\tau\;\vec{\tau}\;</math><ref name="vecteur unitaire tangentiel" />{{,}}<ref name="validité du signe -"> Le signe <math>\;-\;</math> restant correct tant que le mouvement se fait dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>.</ref> du rail sur <math>\;(M)\;</math> <math>\big[</math>avec <math>\;R_\tau = \Vert \vec{R}_\tau \Vert\big]\;</math> est liée à sa composante normale <math>\;\vec{R}_n = R_n\;\vec{n}\;</math><ref name="base de Frenet" /> <math>\;\big[</math>avec <math>\;R_n = \Vert \vec{R}_n \Vert</math> déterminée précédemment<ref name="sol de la 4ème question alinéa b"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Composante_normale_de_la_réaction_du_guide_sur_le_chariot_lors_du_mouvement_circulaire_de_ce_dernier|composante normale de la réaction du guide sur le chariot lors du mouvement circulaire de ce dernier]] » plus haut dans cet exercice.</ref><math>\big]\;</math> par la loi de frottement de Coulomb<ref name="Coulomb" /> avec glissement<ref name="loi de frottement de glissement de Coulomb dans le cas d'un glissement effectif" /> à savoir «<math>\;R_\tau = f\;R_n\;</math>» ; {{Al|5}}reportant l'expression de <math>\;R_n(t_P) = m \left\lbrace r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) + g\;\cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace\;</math> pour <math>\;P\;\in\;CE_{\text{frot}}\;</math><ref name="déf de Efrot"> <math>\;E_{\text{frot}}\;</math> étant la position de <math>\;CD\;</math> d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{f,\,\text{frot}} < \dfrac{\pi}{2}\;</math> correspondant à l'arrêt du chariot dans le cas d'une liaison bilatérale avec frottement.</ref>{{,}}<ref name="sol de la 4ème question alinéa b" /> dans celle de la norme de la composante tangentielle de la réaction du rail sur <math>\;(M)\;</math><ref name="force de frottement solide" /> en la même position atteinte au même instant, on obtient «<math>\;R_\tau(t_P) = \Vert \vec{R}_\tau(t_P) \Vert = f\;R_n(t_P) = f\;m \left\lbrace r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) + g\;\cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace\;</math> pour <math>\;P\;\in\;CE_{\text{frot}}\;</math><ref name="déf de Efrot" /> » avec «<math>\;\vec{R}_\tau(t_P) = -R_\tau(t_P)\;\vec{\tau}_P\;</math><ref name="vecteur unitaire tangentiel" />{{,}}<ref name="validité du signe -" /> » ; {{Al|5}}on détermine alors l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement de <math>\;(M)\;</math> sur la partie circulaire <math>\;CE_{\text{frot}}\;</math><ref name="déf de Efrot" /> du guide en projetant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;(M)\;</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» sur <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="vecteur unitaire tangentiel" /> soit {{Nobr|«<math>\;-R_\tau(t_P) - m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t_P) \right]</math>}} <math>= m\;a_{M,\,\tau}(t_P)\;</math>» avec «<math>\;a_{M,\,\tau}(t) = \dot{v}_{M}(t)\;</math> l'accélération tangentielle<ref name="vecteur accélération de Frenet" /> du chariot se réécrivant, dans le cas d'un mouvement circulaire de rayon <math>\;r</math>, <math>\;a_{M,\,\tau}(t) = r\;\ddot{\theta}(t)\;</math><ref name="accélération tangentielle d'un mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Lien_entre_accélérations_tangentielle_et_angulaire_du_point_M_sur_sa_trajectoire|lien entre accélérations tangentielle et angulaire du point M sur sa trajectoire]] (circulaire) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> » d'où, en reportant l'expression de «<math>\;R_\tau(t_P) = f\;m \left\lbrace r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) + g\;\cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace\;</math> pour <math>\;P\;\in\;CE_{\text{frot}}\;</math><ref name="déf de Efrot" /> » et après simplification par la masse <math>\;m</math>, «<math>\;-f \left\lbrace r\;\dot{\theta}^2\!(t_P) + g\;\cos\! \left[ \theta(t_P) \right] \right\rbrace - g\;\sin\! \left[ \theta(t_P) \right] = r\;\ddot{\theta}(t_P)\;</math>» et enfin, en normalisant, l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> cherchée «<math>\;\ddot{\theta}(t) + f\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{g}{r}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{f\;g}{r}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».}} ==== Transformation de l'équation différentielle du 2^ème ordre du mouvement circulaire du chariot en équation différentielle du 1^er ordre par élimination explicite du temps ==== {{Al|5}}Pour tenter de résoudre l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> pour le mouvement circulaire du chariot au-delà de <math>\;C</math>, on pose <math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = u(\theta)</math> : ===== Détermination de l'équation différentielle en u(θ) ===== {{Al|5}}Montrer que <math>\;u(\theta)\;</math> obéit à une équation différentielle linéaire du 1^er ordre à coefficients constants du type : <math>\;\dfrac{du}{d \theta}(\theta) + \alpha\;u(\theta) = \beta\;\cos(\theta) + \gamma\;\sin(\theta)\;</math><ref> On utilisera <math>\;\dfrac{du}{d \theta} = \dfrac{\dfrac{du}{dt}}{\dfrac{d \theta}{dt}}\;\ldots</math></ref> <math>\;\big[</math>on précisera les valeurs de <math>\;\alpha</math>, <math>\;\beta\;</math> et <math>\;\gamma\big]</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Posant «<math>\;u(\theta) = \dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{du}{d \theta} = \dfrac{\dfrac{du}{dt}}{\dfrac{d \theta}{dt}} = \dfrac{\dfrac{d\! \left( \dot{\theta}^2 \right)}{dt}}{\dfrac{d \theta}{dt}} = 2\;\ddot{\theta}\!(t)\;</math>», l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du chariot <math>\;(M)\;</math> sur la partie circulaire <math>\;CE_{\text{frot}}\;</math><ref name="déf de Efrot" /> du guide à savoir {{Nobr|«<math>\;\ddot{\theta}(t) + f\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{g}{r}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{f\;g}{r}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]</math>}} <math>= 0\;</math>» se réécrit selon «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\dfrac{du}{d \theta} + f\;u(\theta) + \dfrac{g}{r}\;\sin(\theta) + \dfrac{f\;g}{r}\;\cos(\theta) = 0\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) hétérogène du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> suivante «<math>\;\dfrac{du}{d \theta}(\theta) + 2\;f\;u(\theta) = -2\;\dfrac{g}{r}\;\sin(\theta) - 2\;\dfrac{f\;g}{r}\;\cos(\theta)\;</math>», effectivement de la forme «<math>\;\dfrac{du}{d \theta}(\theta) + \alpha\;u(\theta) = \beta\;\cos(\theta) + \gamma\;\sin(\theta)\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \alpha \!\!&=&\!\! 2\;f \\ \beta \!\!&=&\!\! - 2\;\dfrac{f\;g}{r} \\ \gamma \!\!&=&\!\! -2\;\dfrac{g}{r} \end{array} \right\rbrace\;</math>».}} ===== Résolution de l'équation différentielle en u(θ) ===== {{Al|5}}Déterminer tout d'abord une solution forcée de l'équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> sous la forme <math>\;u_f(\theta) = a\;\cos(\theta) + b\;\sin(\theta)</math> <math>\;\big[</math>on exprimera <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> en fonction de <math>\;f</math>, <math>\;g\;</math> et <math>\;r\big]</math>, puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la solution générale de l'équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Une solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) hétérogène du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> à excitation sinusoïdale<ref> La méthode usuelle dite « des complexes » exposée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Exposé_de_la_méthode_«_des_complexes_»_pour_trouver_la_solution_forcée_sinusoïdale_(quand_elle_existe)_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_réels_constants_hétérogène_à_excitation_sinusoïdale_suivant_que_celle-ci_est_sous_la_forme_d'un_cosinus_ou_d'un_sinus|exposé de la méthode des complexes pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constantes hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » n'est pas utilisée ici car elle nécessiterait * soit de commencer par réduire la somme <math>\;\beta\;\cos(\theta) + \gamma\;\sin(\theta)\;</math> en une seule fonction sinusoïdale <math>\;A\;\cos(\theta + \varphi)</math> <math>\;\big\{</math>ce qui est tout à fait faisable mais conduirait à une complication préliminaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Traduction_de_la_somme_de_deux_fonctions_sinusoïdales_du_temps_de_même_pulsation|traduction de la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation]] (en l'adaptant à deux fonctions de <math>\;\theta\;</math> et en remplaçant éventuellement la méthode des vecteurs de Fresnel par celle des [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Amplitude_complexe|amplitudes complexes]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}</math>, * soit de remplacer l'excitation somme en deux excitations individuelles, l'une en sinus et l'autre en cosinus et de chercher la réponse forcée de chaque excitation individuelle, la réponse forcée de l'excitation somme étant la somme des réponses forcées des excitations individuelles <math>\;\big(</math>ce qui conduirait à un allongement de la durée du traitement<math>\big)</math>, {{Al|3}}d'où l'abandon de la méthode usuelle.</ref> «<math>\;\dfrac{du}{d \theta}(\theta) + 2\;f\;u(\theta) = -2\;\dfrac{g}{r}\;\sin(\theta) - 2\;\dfrac{f\;g}{r}\;\cos(\theta)\;</math>» cherchée sous la forme <math>\;u_f(\theta) = a\;\cos(\theta) + b\;\sin(\theta)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d u_f}{d \theta}(\theta) = -a\;\sin(\theta) + b\;\cos(\theta)\;</math> conduit à «<math>\;\left[ -a\;\sin(\theta) + b\;\cos(\theta) \right] + 2\;f \left[ a\;\cos(\theta) + b\;\sin(\theta) \right] = -2\;\dfrac{g}{r}\;\sin(\theta) - 2\;\dfrac{f\;g}{r}\;\cos(\theta)\;</math>» soit, en regroupant les termes en <math>\;\cos(\theta)\;</math> et <math>\;\sin(\theta)</math>, «<math>\;\left( b + 2\;f\;a \right) \cos(\theta) + \left( -a + 2\;f\;b \right) \sin(\theta) = -2\;\dfrac{f\;g}{r}\;\cos(\theta) - 2\;\dfrac{g}{r}\;\sin(\theta),\;\;\forall\;\theta\;</math>» d'où les deux paramètres <math>\;\left( a\,,\, b \right)\;</math> solution du système de deux équations algébriques linéaires des deux variables <math>\;\left( a\,,\, b \right)\;</math> suivant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c r c l} 2\;f\;a \!\!&+&\!\! b \!\!&=&\!\! -2\;\dfrac{f\;g}{r}\\ -a \!\!&+&\!\! 2\;f\;b \!\!&=&\!\! -2\;\dfrac{g}{r} \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_d'un_système_hétérogène_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues|résolution d'un système hétérogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », nous choisirons ici la méthode par [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_par_substitution|substitution]] <math>\;\big(</math>mais la méthode par [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_par_combinaison_(linéaire)|combinaison linéaire]] aurait également été un bon choix<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}de la 1^ère équation on tire «<math>\;b = -2\;f \left( a + \dfrac{g}{r} \right)\;</math>» que l'on reporte dans le 2^nde équation d'où «<math>\;-a - 4\;f^2 \left( a + \dfrac{g}{r} \right) = -2\;\dfrac{g}{r}\;</math>» ou «<math>\;a \left( 1 + 4\;f^2 \right) = 2\;\dfrac{g}{r} \left( 1 - 2\;f^2 \right)\;</math>» soit finalement «<math>\;a = 2\;\dfrac{g}{r}\;\dfrac{1 - 2\;f^2}{1 + 4\;f^2}\;</math>» et, en reportant dans «<math>\;b = -2\;f \left( a + \dfrac{g}{r} \right)\;</math>» on obtient «<math>\;b = -2\;f \left( 2\;\dfrac{g}{r}\;\dfrac{1 - 2\;f^2}{1 + 4\;f^2} + \dfrac{g}{r} \right) = -2\;\dfrac{f\;g}{r}\;\dfrac{2 - 4\;f^2 + 1 + 4\;f^2}{1 + 4\;f^2}\;</math>» soit finalement «<math>\;b = -2\;\dfrac{g}{r}\;\dfrac{3\;f}{1 + 4\;f^2}\;</math>», d'où l'expression de la solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) hétérogène du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> à excitation sinusoïdale «<math>\;u_f(\theta) = 2\;\dfrac{g}{r}\;\dfrac{1 - 2\;f^2}{1 + 4\;f^2}\;\cos(\theta) - 2\;\dfrac{g}{r}\;\dfrac{3\;f}{1 + 4\;f^2}\;\sin(\theta)\;</math>» ou encore, <center>«<math>\;u_f(\theta) = 2\;\dfrac{g}{r \left(1 + 4\;f^2 \right)} \left[ \left( 1 - 2\;f^2 \right) \cos(\theta) - 3\;f\;\sin(\theta) \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) hétérogène du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou 2^ème ordre hétérogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant la somme <math>\blacktriangleright\;</math>de la solution forcée <math>\;u_f(\theta)\;</math> déterminée précédemment et <br>{{Al|10}}{{Transparent|la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) hétérogène du 1^er ordre en <math>\;\color{transparent}{u(\theta)}\;</math> étant la somme }}<math>\blacktriangleright\;</math>de la solution libre <math>\;u_l(\theta)</math> de cette équation, c'est-à-dire la solution générale de l'équation différentielle linéaire de même(s) cœfficient(s) constant(s) du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> mais homogène «<math>\;\dfrac{du_l}{d \theta}(\theta) + 2\;f\;u_l(\theta) = 0\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> », d'équation caractéristique <math>\;s + 2\;f = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;s = -2\;f\;</math> d'où la solution libre «<math>\;u_l(\theta) = A\;\exp\! \left( -2\;f\;\theta \right)\;</math> avec <math>\;A\;</math> quelconque <math>\;\in \mathbb{R}\;</math>» ; {{Al|5}}la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> hétérogène «<math>\;\dfrac{du}{d \theta}(\theta) + 2\;f\;u(\theta) = -2\;\dfrac{g}{r}\;\sin(\theta) - 2\;\dfrac{f\;g}{r}\;\cos(\theta)\;</math>» s'écrit donc selon <center>«<math>\;u(\theta) = u_l(\theta) + u_f(\theta) = A\;\exp\! \left( -2\;f\;\theta \right) + 2\;\dfrac{g}{r \left(1 + 4\;f^2 \right)} \left[ \left( 1 - 2\;f^2 \right) \cos(\theta) - 3\;f\;\sin(\theta) \right]\;</math>» avec <br><math>\;A\;</math> se déterminant par C.A.L<ref name="C.A.L."> Condition(s) Au(x) Limite(s).</ref>. «<math>\;u(0) = \dfrac{v_C^{\,2}}{r^2} = \dfrac{2 \left( F_2 - 2\;f\;m\;g \right) l}{m\;r^2}\;</math>» ou encore, <br>sachant que <math>\;F_2 = \dfrac{F_{\text{min}}}{2} = \dfrac{m\;g\;r}{l}</math>, «<math>\;u(0) = \dfrac{v_C^{\,2}}{r^2} = \dfrac{2\;g}{r^2} \left( r - 2\;f\;l \right)\;</math>» ;{{Al|32}}</center> {{Al|5}}l'utilisation de la C.A.L<ref name="C.A.L." />. conduisant à «<math>\;u(0) = A + 2\;\dfrac{g}{r}\;\dfrac{1 - 2\;f^2}{1 + 4\;f^2} = \dfrac{2 \left( F_2 - 2\;f\;m\;g \right) l}{m\;r^2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;A = \dfrac{2 \left( F_2 - 2\;f\;m\;g \right) l}{m\;r^2} - 2\;\dfrac{g}{r}\;\dfrac{1 - 2\;f^2}{1 + 4\;f^2}\;</math> soit encore, «<math>\;A = \dfrac{2\;F_2\;l}{m\;r^2} - 2\;\dfrac{g}{r^2}\;\dfrac{\left( 1 - 2\;f^2 \right) r + 2\;f\;l}{1 + 4\;f^2}\;</math>» et finalement la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> hétérogène s'écrit <center>«<math>\;u(\theta) = 2 \left\lbrace \left[ \dfrac{F_2\;l}{m\;r^2} - \dfrac{g}{r^2}\;\dfrac{\left( 1 - 2\;f^2 \right) r + 2\;f\;l}{1 + 4\;f^2} \right] \exp\! \left( -2\;f\;\theta \right) + \dfrac{g}{r \left(1 + 4\;f^2 \right)} \left[ \left( 1 - 2\;f^2 \right) \cos(\theta) - 3\;f\;\sin(\theta) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}avec <math>\;F_2 = \dfrac{F_{\text{min}}}{2} = \dfrac{m\;g\;r}{l}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{F_2\;l}{m\;r^2} = \dfrac{g}{r}</math>, la solution ci-dessus se réécrit selon «<math>\;u(\theta) = 2\;\dfrac{g}{r} \left\lbrace \left[ \dfrac{\left( 1 + 4\;f^2 \right) r - \left( 1 - 2\;f^2 \right) r - 2\;f\;l}{\left( 1 + 4\;f^2 \right) r} \right] \exp\! \left( -2\;f\;\theta \right) + \dfrac{\left( 1 - 2\;f^2 \right) \cos(\theta) - 3\;f\;\sin(\theta)}{1 + 4\;f^2} \right\rbrace\;</math>» après factorisation par <math>\;\dfrac{g}{r}\;</math> soit finalement <center>«<math>\;u(\theta) = 2\;\dfrac{g}{r^2}\;\dfrac{2\;f \left[ 3\;f\;r - l \right] \exp\! \left( -2\;f\;\theta \right) + r \left[ \left( 1 - 2\;f^2 \right) \cos(\theta) - 3\;f\;\sin(\theta) \right]}{1 + 4\;f^2}\;</math>» ou <br>«<math>\;u(\theta) = \dfrac{2\;g}{\left( 1 + 4\;f^2 \right) r} \left\lbrace 2\;f \left[ 3\;f - \dfrac{l}{r} \right] \exp\! \left( -2\;f\;\theta \right) + \left( 1 - 2\;f^2 \right) \cos(\theta) - 3\;f\;\sin(\theta) \right\rbrace\;</math>».</center>}} ==== Explicitation de la vitesse angulaire du chariot en fonction, entre autres, de sa position angulaire lors de son mouvement circulaire et établissement de l'équation en θ déterminant la position extrême atteinte par le chariot ==== {{Al|5}}Expliciter, pour terminer, la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> du chariot en fonction, entre autres, de sa position angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> lors de son mouvement circulaire et {{Al|5}}en déduire l'équation en <math>\;\theta\;</math> permettant de déterminer la position <math>\;{M''}_{\!\!f}\;</math> d'arrêt du chariot sur la partie circulaire du rail<ref name="arrêt pouvant être temporaire"> L'arrêt peut n'être que temporaire avant une poursuite du mouvement circulaire dans l'autre sens, nous ne nous intéresserons pas à cette éventuelle poursuite.</ref>, <math>\;{M''}_{\!\!f}\;</math> étant repérée par l'angle <math>\;{\theta''}_{\!\!f} = \widehat{\left( \overrightarrow{OC}\,,\,\overrightarrow{O{M''}_{\!\!f}} \right)}\;</math><ref> La résolution ne pouvant qu'être numérique, elle ne peut pas être faite ici en l'absence de données numériques.</ref>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}De <math>\;u(\theta) = \dot{\theta}^2\!(t)\;</math> on en déduit la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> du chariot <math>\;(M)\;</math> en fonction de sa position angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> lors de son mouvement circulaire dans le sens de <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet /> soit <center>«<math>\;\dot{\theta}(\theta) = \sqrt{2 \left\lbrace \left[ \dfrac{F_2\;l}{m\;r^2} - \dfrac{g}{r^2}\;\dfrac{\left( 1 - 2\;f^2 \right) r + 2\;f\;l}{1 + 4\;f^2} \right] \exp\! \left( -2\;f\;\theta \right) + \dfrac{g}{r \left(1 + 4\;f^2 \right)} \left[ \left( 1 - 2\;f^2 \right) \cos(\theta) - 3\;f\;\sin(\theta) \right] \right\rbrace}\;</math>»<ref name="abus de notation de fonction en physique"> <math>\;\dot{\theta}(\theta)\;</math> est un abus d'écriture incorrecte mathématiquement mais quasi systématiquement utilisée en physique pour traduire que la valeur de la fonction <math>\;\dot{\theta}()\;</math> de <math>\;t\;</math> est identique à celle de la fonction composée de <math>\;g()\;</math> fonction de <math>\;\theta</math> et de <math>\;\theta()\;</math> fonction de <math>\;t</math>, la fonction directe <math>\;\dot{\theta}()\;</math> et celle du dernier élément <math>\;g()\;</math> de la fonction composée étant évidemment différentes mais les valeurs étant les mêmes, on adopte usuellement en physique la notation des valeurs pour celle des fonctions d'où l'abus utilisé en notant <math>\;g()\;</math> par <math>\;\dot{\theta}()</math>.</ref> ou <br>en tenant compte de <math>\;F_2 = \dfrac{F_{\text{min}}}{2} = \dfrac{m\;g\;r}{l}</math>, la vitesse angulaire de <math>\;(M)\;</math> en fonction de sa position angulaire lors de son mouvement circulaire dans le sens de <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet /> se réécrit <br>«<math>\;\dot{\theta}(\theta) = \sqrt{\dfrac{2\;g}{\left( 1 + 4\;f^2 \right) r} \left\lbrace 2\;f \left[ 3\;f - \dfrac{l}{r} \right] \exp\! \left( -2\;f\;\theta \right) + \left( 1 - 2\;f^2 \right) \cos(\theta) - 3\;f\;\sin(\theta) \right\rbrace}\;</math>»<ref name="abus de notation de fonction en physique" /> ;{{Al|48}}</center> {{Al|5}}la position d'arrêt <math>\;{M''}_{\!\!f} = E_{\text{frot}}\;</math><ref name="déf de Efrot" /> de <math>\;(M)\;</math> sur la partie circulaire du rail<ref name="arrêt pouvant être temporaire" /> est définie par une vitesse angulaire nulle soit <math>\;\dot{\theta}({\theta''}_{\!\!f}) = 0\;</math><ref name="abus de notation de fonction en physique" />, l'abscisse angulaire <math>\;{\theta''}_{\!\!f}\;</math> étant solution de l'équation en <math>\;\theta\;</math> suivante <center>«<math>\;\left[ \dfrac{F_2\;l}{m\;r^2} - \dfrac{g}{r^2}\;\dfrac{\left( 1 - 2\;f^2 \right) r + 2\;f\;l}{1 + 4\;f^2} \right] \exp\! \left( -2\;f\;\theta \right) + \dfrac{g}{r \left(1 + 4\;f^2 \right)} \left[ \left( 1 - 2\;f^2 \right) \cos(\theta) - 3\;f\;\sin(\theta) \right] = 0\;</math>» ou, <br>en tenant compte de <math>\;F_2 = \dfrac{F_{\text{min}}}{2} = \dfrac{m\;g\;r}{l}\;</math> et après simplification évidente, <math>\;{\theta''}_{\!\!f}\;</math> est solution de l'équation en <math>\;\theta\;</math> ci-dessous <br>«<math>\;2\;f \left[ 3\;f - \dfrac{l}{r} \right] \exp\! \left( -2\;f\;\theta \right) + \left( 1 - 2\;f^2 \right) \cos(\theta) - 3\;f\;\sin(\theta) = 0\;</math>», [[w:Équation_transcendante|équation « transcendante »]] <ref name="transcendante"> Les fonctions les plus simples sont celles que l'on peut construire à partir de la variable <math>\;x\;</math> en utilisant des opérations élémentaires <math>\;\big(</math>addition, multiplication etc.<math>\big)</math>, ces opérations permettant d'aboutir aux polynômes et aux [[w:Fraction_rationnelle|fractions rationnelles]] ; en ajoutant des extractions de racines carrées ou autres, et plus généralement des solutions d'[[w:Équation_polynomiale|équations polynomiales]], on obtient des fonctions plus variées, comme <math>\;x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}</math>, toutes ces fonctions étant qualifiées d'« <u>[[w:Fonction_algébrique|algébriques]]</u> », les manipulations polynomiales relevant du domaine de l'[[w:Algèbre_générale|algèbre générale]] ; <br>{{Al|3}}mais de telles fonctions ne suffisant pas pour les besoins de l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse]], on construit à partir de ces dernières d'autres fonctions qui ne relèvent pas de la définition d'une fonction « [[w:Fonction_algébrique|algébrique]] » dans le but, par exemple, de résoudre des équations différentielles, ces nouvelles fonctions sont alors qualifiées de « <u>[[w:Fonction_transcendante|transcendantes]]</u> » si leur définition ne relève pas du domaine [[w:Algèbre_générale|algèbrique]], c’est l’exemple de la fonction « logarithme » primitive de la [[w:Fonction_algébrique|fonction algébrique]] <math>\;x \mapsto \dfrac{1}{x}\;</math> ou de la fonction inverse de la fonction logarithme c.-à-d. la fonction « exponentielle » <math>\;\ldots\;</math> il y a de nombreux autres exemples ; <br>{{Al|3}}par prolongement une équation est dite « <u>[[w:Équation_transcendante|transcendante]]</u> » si elle n’est pas « [[w:Équation_polynomiale|algébrique]] », c.-à-d. si elle n'est pas de la forme <math>\;P(x) = 0\;</math> où <math>\;P\;</math> est un polynôme, ces équations n'étant évidemment pas solubles algébriquement nécessitent souvent <math>\;\big(</math>sans que ce soit toujours le cas<math>\big)\;</math> une résolution numérique.</ref> en <math>\;\theta\;</math><ref> Avec des valeurs numériques nous pourrions, pour résoudre cette équation, procéder en utilisant la « [[w:Méthode_de_dichotomie|méthode de dichotomie]] » ou encore <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec des valeurs numériques nous pourrions, pour résoudre cette équation, procéder }}graphiquement en écrivant l'équation selon <math>\;A(\theta) = B(\theta)\;</math> avec, par exemple, <math>\;A(\theta) = \exp\! \left( -2\;f\;\theta \right)\;</math> et <math>\;B(\theta) = - \dfrac{1 - 2\;f^2}{2\;f \left( 3\;f - \dfrac{l}{r} \right)}\; \cos(\theta) + \dfrac{3}{2 \left( 3\;f - \dfrac{l}{r} \right)}\;\sin(\theta)\;</math> puis en traçant les graphes des fonctions de chaque membre sur un même diagramme et en cherchant l'abscisse du point d'intersection compris entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;\ldots</math></ref>.</center> }} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques/|Approche énerg. du mouv. d'un pt mat. : Lois de la puiss. et de l'énergie cinétiques]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/|Approche énerg. du mouv. d'un pt mat. : Mouv. conservatif]] }} fe49byztp2unfi66qp8huv5ouo8m7za 0 71116 982897 958769 2026-05-17T16:22:00Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982897 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = droit | précédent = [[../Le fait d'autrui/]] | suivant = [[../La responsabilité du commettant du fait de son préposé/]] | numéro = 7 | niveau = 15 }} La '''responsabilité des parents du fait de leurs enfants mineurs''' est le fait que les parents sont responsables de leurs enfants mineurs d'après l'article 1242, alinéa 4 (anciennement 1384 alinéa 4) tant que ceux si sont mineurs et que les parents exercent l''''autorité parentale'''. Avant cet article, les parents pouvaient s'exonérer mais plus maintenant sauf s'ils prouvent qu'ils n'ont pas pu empêcher le dommage. {{Citation|titre=Article 1242 du code civil (anciennement article 1384 alinéa 4)<ref>[https://www.legifrance.gouv.fr/affichCodeArticle.do?idArticle=LEGIARTI000032041559&cidTexte=LEGITEXT000006070721 Article 1242 du code civil] via Legifrance.</ref>|contenu=Le père et la mère, en tant qu'ils exercent l'autorité parentale, sont solidairement responsables du dommage causé par leurs enfants mineurs habitant avec eux. }} == Conditions == === Parents === Les parents doivent exercer l'autorité parentale pour qu'ils soient responsables des [[Responsabilité délictuelle/Le dommage|dommages]] causés par leurs enfants, donc il faut un lien de filiation avec celui-ci. Dans le cadre d'un divorce, les dynamiques de garde et d'autorité parentale peuvent évoluer significativement. Lorsque des parents sont divorcés, ils peuvent se voir retirer la garde des enfants et, par conséquent, perdre l'autorité parentale.Cette perte d'autorité a des implications directes sur la responsabilité parentale : si les enfants commettent des dommages durant cette période, es parents ne seront pas tenus responsables, puisque l'exercice de l'autorité parentale est une condition préalable à leur responsabilité<ref>[https://www.referencement-avocat.net/en-cas-de-divorce-qui-conserve-l-autorite-parentale/ Qui conserve l'autorité parental en cas de divorce] via Référencement Avocat </ref>. Si les parents perdent l'[[w:autorité parentale|autorité parentale]] et que les enfants commettent un dommage, les parents ne seront donc plus responsables<ref>Florence Rouas, [https://www.avocat-rouaselbazis.com/responsabilite-des-parents-du-fait-de-l-enfant_ad64.html Responsabilité des parents du fait de l'enfant], 7 décembre 2017.</ref>. La cohabitation est nécessaire pour que les parents soient responsables du fait de leurs enfants. Donc si l'enfant ne vit pas avec eux, ils ne seront pas responsables. Aujourd'hui, des parents sont divorcés et donc l'enfant va chez ses deux parents, mais il garde toujours une résidence habituelle et c'est de parent qui sera responsable. Par exemple, l'enfant part le week-end chez son père, il met le feu et une personne décède, sa résidence habituelle est chez sa mère, donc, c'est sa mère qui sera tenue pour responsable<ref>Romain Omer, [https://www.avocat-omer.fr/divorce/responsabilite-civile.htm Quel époux est responsable des fautes des enfants après un divorce amiable ?]</ref>. === Enfants === L'enfant ne doit pas être [[w:Émancipation|émancipé]] et être mineur pour que ses parents soient responsables de ses actes. Lorsque celui-ci devient majeur, les parents ne seront plus responsable des dommages qu'il cause. Lorsque l'enfant mineur commet un dommage, il engage la responsabilité de ses parents même si l'enfant n'avait pas le discernement pour comprendre qu'il commettait un acte dangereux. La Cour de cassation, dans un arrêt d'assemblée plénière du 9 mai 1984 nommé ''Fullenwarth'', reconnait que le simple fait pour un enfant de commettre un dommage, engagera la responsabilité de ses parents<ref>[https://www.legifrance.gouv.fr/affichJuriJudi.do?idTexte=JURITEXT000007013643 Assemblée plénière, 9 mai 1984, Fullenwarth] via Legifrance.</ref>. Selon l'arrêt ''Levert'' du 10 mai 2001, un enfant fait du rugby et en plaquant son camarade, le blesse. L'enfant n'a pourtant pas commis de faute mais le simple fait causal de l'enfant, même non fautif (ou involontaire), engagera la responsabilité de ses parents<ref>[https://www.legifrance.gouv.fr/affichJuriJudi.do?idTexte=JURITEXT000007045606 Deuxième chambre civile, 10 mai 2001, Levert] via Legifrance.</ref>. == Effets == === Réparation === Les parents sont responsables des dommages causés par leurs enfants, se seront donc à eux d'assumer les indemnisations. et donc pour s'exonérer, il fallait prouver l'absence de faute. Avec l'arrêt ''Bertrand'' du 19 février 1997, un enfant à vélo blesse un adulte et la victime se tourne contre son père. Ce dernier a tenté de s'exonérer en invoquant une absence de faute d'éducation, en vain, car seule le cas de force majeure ou la faute de la victime peut l'exonérer<ref name="Bertrand">[https://www.legifrance.gouv.fr/affichJuriJudi.do?idTexte=JURITEXT000007038104 Deuxième chambre civile, 19 février 1997, Bertrand] via Legifrance.</ref>. === Exonération === L'absence de faute ne permet pas d'exonérer les parents, en effet l'arrêt ''Bertrand'' expose les deux conditions d'exonération : Le cas de force majeure et la faute de la victime (pour la définition de ''force majeure'' et ''faute de la victime'', se reportait à [[Responsabilité délictuelle/Les conditions de la responsabilité du fait des choses#Cause d'exonération|cette page]])<ref name="Bertrand" />. == Sources == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = droit | précédent = [[../Le fait d'autrui/]] | suivant = [[../La responsabilité du commettant du fait de son préposé/]] }} 10vyycuilpsxzg7glb4mk6fvjr7uq80 0 71216 982898 978957 2026-05-17T17:36:27Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982898 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 17 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Définition d'un mouvement conservatif == {{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> a un « <u>mouvement conservatif</u> »<ref name="mouvement conservatif"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Point_matériel_«_à_mouvement_conservatif_»|point matériel à mouvement conservatif]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'il <u>n'est soumis qu'à des forces conservatives</u> ou si <u>les éventuelles forces non conservatives<ref name="force non conservative"> Ou conservatives dont on n'introduit pas l'énergie potentielle dont chacune dérive.</ref> ne travaillent pas</u><ref> Il faut préciser le référentiel d'étude car le travail des forces, donc des éventuelles forces non conservatives, en dépend.</ref>. == Intégrale 1^ère « énergétique » d'un point matériel à mouvement conservatif == {{Al|5}}Une conséquence de la définition d'un point matériel à mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" /> étudié dans un référentiel galiléen et utilisée dans le théorème de la variation de l'énergie mécanique de ce point dans ce référentiel s'énonce selon : {{Al|5}}dans un référentiel galiléen, « <u>l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" /> est conservée</u> »<ref> La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel « à mouvement conservatif » est une <u>propriété nécessitant que le référentiel soit galiléen</u> alors que <u>la définition de l'énergie mécanique est valable dans n'importe quel référentiel</u> <math>\;\big(</math>même si, dans la pratique, il ne viendrait à l'idée de personne d'introduire cette notion dans un référentiel non galiléen car cela n'aurait aucun intérêt<math>\big)</math>.</ref>, cet énoncé représente l'intégrale 1^ère « énergétique » d'un point matériel à mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" />. == En complément : la conservation de l'énergie mécanique, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther == === Rappel du théorème d'Emmy Nœther === <center>Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Théorème_d'Emmy_Nœther#Énoncé_du_théorème_d'Emmy_Nœther|énoncé du théorème d'Emmy Nœther]] <ref name="Nœther"> '''[[w:Emmy_Noether|Emmy Nœther]] (1882 – 1935)''' mathématicienne allemande, spécialiste d'[[w:Algèbre_générale|algèbre abstraite]] et de [[w:Physique_théorique|physique théorique]] à qui on doit, dans le domaine algébrique, de nombreuses contributions fondamentales comme celles sur la théorie des [[w:Algèbre_sur_un_corps|algèbres]] et, dans le domaine physique, le [[w:Théorème_de_Noether_(physique)|théorème portant son nom]], théorème démontré en <math>\;1915\;</math> et publié en <math>\;1918\;</math> dont l'importance est considérée comme aussi grande que celle de la [[w:Théorie_de_la_relativité|théorie de la relativité]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''' <math>\;\big[</math>physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]]<math>\big]\;</math> disait qu'elle était « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ».</ref> » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}« À toute invariance des lois de la physique selon un [[w:Groupe_de_symétrie|groupe de symétries]] <ref> L'ensemble de [[w:Symétrie_(physique)#Exemples_de_symétries_courantes|symétries]] envisagées <math>\;\big(</math>« [[w:Translation|translations d'espace]] », « [[w:Rotation_(physique)|rotations]] », « translations de temps » étant les trois principales symétries de la mécanique<math>\big)\;</math> devant constituer un « [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] » au sens mathématique du terme à savoir : ne pas être vide avec définition d'une loi de composition interne * associative, * possédant un élément neutre <math>\;e\;</math> et * telle qu'elle associe un élément symétrique <math>\;x^{-1}\;</math> à tout élément <math>\;x</math>.</ref> est nécessairement associée une quantité conservée en toutes circonstances ». === Conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel « à mouvement conservatif » dans un référentiel galiléen comme cas particulier du théorème d'Emmy Nœther === {{Al|5}}Pour tout instant d'étude d'un point matériel à mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" /> dans un référentiel galiléen, les lois de la physique appliquées à ce point doivent être « invariantes par translation de temps »<ref> On suppose que le temps est <u>homogène</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. que les propriétés du temps sont indépendantes de l'instant considéré<math>\big)</math>, si aucune action non conservative s'exerçant sur le point matériel ne travaille dans un référentiel galiléen, les lois de la physique s'appliquant à ce point matériel « à mouvement conservatif » dans ce référentiel ne découlent que des propriétés du temps et, ce dernier étant supposé homogène, les lois de la physique appliquées doivent être les mêmes si on fait une translation de l'évènement dans le temps : on traduit cela en disant que <br>{{Al|3}}« les lois de la physique s'appliquant à un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen sont invariantes par translation de temps ».</ref> ; {{Al|5}}d'après le [[w:Théorème_de_Noether_(physique)#Exemples|théorème d'Emmy Nœther]]<ref name="Nœther" />, il y a « conservation d'une grandeur <math>\;\big(</math>cinétique<math>\big)\;</math> du point matériel étudié dans un référentiel galiléen » traduisant, dans ce référentiel, l'« invariance des lois physiques selon le groupe des translations de temps »<ref> L'ensemble des translations de temps de déplacement temporel <math>\;\tau\;</math> constitue effectivement un groupe avec la loi de composition « addition des déplacements temporels translatant » <math>\;\big(</math>si on compose deux déplacements temporels, le 1^er de valeur <math>\;\tau_1\;</math> et le 2^nd de valeur <math>\;\tau_2</math>, on obtient un déplacement temporel de valeur <math>\;\tau_1 + \tau_2\big)\;</math> * associative, * d'élément neutre « la translation de déplacement temporel nul » et * associant « la translation de déplacement temporel <math>\;-\tau\;</math>» à « celle de déplacement temporel <math>\;\tau\;</math>» comme translation « symétrique ».</ref> et {{Al|5}}d'après l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel à mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" /> dans un référentiel galiléen, « cette grandeur <math>\;\big(</math>cinétique<math>\big)\;</math> définie dans ce référentiel est l'énergie mécanique du point ». === Nécessité d'invariance des lois physiques par translation de temps pour expliquer la conservation de l'énergie mécanique d'un point à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen sur l'« exemple d'un objet dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » === {{Al|5}}L'invariance des lois physiques par translation de temps <math>\;\big(</math>c'est-à-dire l'indépendance du choix de l'origine des temps<math>\big)\;</math> est nécessaire pour expliquer la conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" /> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme en effet : {{Al|5}}si le poids dépendait de l'instant dans la journée <math>\;\big(</math>par exemple plus faible à midi qu'à minuit<math>\big)</math>, en montant à midi un objet au sommet d'une tour et en l'y déposant, on lui fournirait une certaine énergie potentielle de pesanteur<ref> Jusqu'à présent nous n'avons considéré le caractère conservatif d'une force que si elle ne dépendait pas explicitement du temps, en considérant le poids dépendant de l'instant de la journée nous ne sommes plus dans ce cadre dans lequel nous avons défini l'énergie potentielle de pesanteur dont dérive le poids ; <br>{{Al|3}}pour pouvoir néanmoins considérer le cas d'un poids dépendant de l'instant de la journée, il nous faut figer le temps et maintenir toutes les définitions dans ce nouveau cadre, ainsi, <br>{{Al|3}}dans le cas où l'intensité de la pesanteur terrestre uniforme dépendrait du temps selon <math>\;g(t)</math>, l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet considéré s'écrirait <math>\;m\;g(t)\;z\;</math> avec choix d'un axe vertical <math>\;\uparrow\;</math> et de la référence de l'énergie potentielle de pesanteur au niveau <math>\;z = 0</math>.</ref> s'identifiant à l'énergie mécanique de l'objet une fois déposé mais qui dépendrait de l'instant de la journée où cette ascension est envisagé ; {{Al|5}}si le poids était supposé plus grand à minuit qu'à midi, il en serait de même de l'« énergie potentielle de pesanteur dont il dérive avec choix d'une même référence »<ref> Il suffit d'écrire la définition de l'énergie potentielle de pesanteur par rapport au poids pour s'en convaincre.</ref> et par suite l'énergie mécanique de l'objet déposé au sommet de la tour à midi deviendrait spontanément plus grande à minuit, ceci mettant en défaut la conservation de l'énergie mécanique d'un objet sans action extérieure travaillant <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}De plus, « la chute de l'objet à minuit restituerait une énergie plus grande qu'il n'aurait fallu en fournir pour monter l'objet à midi »<ref> En effet l'énergie restituée serait la différence d'énergie potentielle de pesanteur définie à minuit entre le sommet et la base de la tour alors que l'énergie dépensée à midi aurait été la différence d'énergie potentielle de pesanteur définie à midi entre les mêmes endroits, l'énergie restituée serait donc effectivement plus grande que l'énergie dépensée.</ref> d'où un gain spontané d'énergie « gratuite et inépuisable », ce qui, malheureusement, n'est pas possible <math>\;\ldots</math> == Exemples de mouvement conservatif == <center>Liste évidemment non exhaustive.</center> === 1^er exemple : oscillateur harmonique à une dimension === <center>Introduit au chap.<math>1</math> « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique|oscillateur harmonique]] » de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}Traité sur l'exemple d'un « pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.) », l'axe du ressort étant choisi comme axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> dirigé de l'extrémité fixe du ressort à celle reliée au point matériel <math>\;M\;</math> et l'origine <math>\;O\;</math> de cet axe étant la « position d'équilibre du point <math>\;M\;</math>»<ref name="origine de l'axe du P.E.H.N.A."> Soit encore la position à vide.</ref> ; {{Al|5}}le point matériel <math>\;M\;</math> est soumis * à deux forces verticales non conservatives <math>\;\big(</math>ou considérées comme telles<math>\big)\;</math> le poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> de <math>\;M\;</math> et la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> du support horizontal sur lequel <math>\;M\;</math> repose<ref> En absence de frottement solide <math>\;\vec{R}\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> au support horizontal est effectivement verticale.</ref>{{,}}<ref> Ces deux forces verticales ne pouvant agir sur <math>\;M\;</math> en mouvement horizontal se compensent, c'est la raison pour laquelle nous n'avons pas introduit ces deux forces dans le chap.<math>1</math> « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique|oscillateur harmonique]] » de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> « <u>qui ne travaillent pas</u> »<ref> La 2^ème étant effectivement non conservative et la 1^ère conservative mais comme cette dernière ne travaille pas il est inutile d'utiliser son caractère conservatif.</ref> et * à une seule force horizontale conservative « la tension du ressort sur <math>\;M\;</math>» <math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_x = -k \left[ l - l_0 \right] \vec{u}_x\;</math> selon la loi de Hooke<ref name="loi de Hooke"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="Hooke"> '''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> s'écrivant encore, avec le choix de l'origine <math>\;O\;</math> de l'axe horizontal en la « position d'équilibre du point <math>\;M\;</math>»<ref name="origine de l'axe du P.E.H.N.A." />, <math>\;\vec{T} = -k\; x\; \vec{u}_x\;</math> dérivant de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\;</math> avec référence en la position à vide ; {{Al|5}}nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" />. === 2^ème exemple : chute libre sans vitesse initiale d’un objet supposé ponctuel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme === <center>Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Application_du_théorème_du_mouvement_du_C.D.I._dans_le_référentiel_terrestre_galiléen|application du théorème du mouvement du C.D.I. dans le référentiel terrestre galiléen]] (chute libre d'un objet lancé verticalement) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}Traité en considérant le cas particulier <math>\;\vec{V}_0 = \vec{0}</math>, l'objet, supposé ponctuel et noté <math>\;M</math>, a une trajectoire verticale choisie comme axe <math>\;\overrightarrow{z'z}\;</math> orienté dans le sens <math>\;\uparrow</math>, l'origine <math>\;O\;</math> de cet axe étant choisie en la position initiale <math>\;M_0</math> ; {{Al|5}}le point matériel <math>\;M\;</math> n'est soumis qu'à une seule force verticale conservative « son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(M) =</math> <math>m\;g\;z\;</math> avec référence en <math>\;z = 0\;</math> c'est-à-dire à l'altitude de la position initiale ; {{Al|5}}nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" />. === 3^ème exemple : pendule pesant simple à un degré de liberté === <center>Introduit au chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en particulier dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Bilan_des_forces_agissant_sur_le_P.P.S.|bilan des forces agissant sur le P.P.S.]] ».</center> {{Al|5}}Traité en considérant les C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>. de lancement <math>\;1a\;</math><ref name="1a ou 1b"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> du pendule pesant simple <math>\;\big(</math>P.P.S.<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur <math>\;l</math>, mobile autour de son extrémité fixe <math>\;O</math>, l'autre extrémité étant liée à un point matériel <math>\;M\;</math> dont on étudie le mouvement<math>\big]\;</math> à savoir * on écarte le P.P.S<ref name="P.P.S."> Pendule Pesant Simple.</ref>. de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable"> C.-à-d. <math>\;M\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier <math>\;\big[</math>résultat intuitif mais qui sera établi aux paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_des_positions_d'équilibre_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Stabilité_et_instabilité_des_équilibres_en_terme_de_force_sur_l'exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|stabilité et instabilité des équilibres en terme de force sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> et * on le lâche sans « vitesse initiale » dans le référentiel d'étude, {{Al|5}}le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> est plan, la trajectoire étant circulaire de centre <math>\;O\;</math> dans le plan vertical de lancement, la position du point <math>\;M\;</math> dans ce plan étant repérée en polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical <math>\;\downarrow\;</math> de ce plan, c'est-à-dire par son abscisse angulaire <math>\;\theta = \widehat{ \left( \overrightarrow{Oz}\,,\,\overrightarrow{OM} \right)}</math> ; {{Al|5}}le point matériel <math>\;M\;</math> est soumis * à une force conservative « son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math>» vertical <math>\;\downarrow</math>, dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\;g \left( l - z \right)\;</math><ref name="énergie potentielle de pesanteur avec axe vertical descendant"> L'axe vertical étant <math>\;\downarrow\;</math> l'énergie potentielle de pesanteur s'écrit <math>\;U_{\text{pes}}(M) = -m\;g\;z + cste</math>.</ref> avec référence en <math>\;z = l\;</math> c'est-à-dire à la cote de la position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable" /> et * à une force non conservative « la tension de la tige <math>\;\vec{T} = \overline{T}\;\vec{u}_r\;</math><ref> <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant le 1^er vecteur de base polaire liée à <math>\;M\;</math> plus précisément le vecteur unitaire radial <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> étant noté ici <math>\;\vec{u}_r\big]</math>.</ref> s'exerçant sur <math>\;M\;</math>» « <u>qui ne travaille pas</u> »<ref name="travail de la tension de la tige nul"> En effet le travail élémentaire s'écrit <math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{dM} = l\;d \theta\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big\{\vec{u}_\theta\;</math> le 2^ème vecteur de base polaire liée à <math>\;M\;</math> plus précisément le vecteur unitaire orthoradial <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\;</math> et <math>\;\vec{T} = \overline{T}\;\vec{u}_r\;</math> d'où <math>\;\delta W(\vec{T}) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" />. == Étude énergétique d'un point matériel à mouvement conservatif à une dimension sur l’exemple de la chute libre sans vitesse initiale, diagramme d’énergies potentielle et mécanique, présence d'un seul mur d'énergie potentielle (position de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) non bornée == === Écriture de l'intégrale 1^ère énergétique d'un point matériel à mouvement de chute conservatif === {{Al|5}}Le point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> étant lâché sans vitesse initiale d'une position <math>\;M_0\;</math> situé à l'altitude <math>\;h\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme <math>\;\vec{g}</math>, on choisit pour axe vertical <math>\;\overrightarrow{z'z}\;</math> orienté dans le sens <math>\;\uparrow\;</math> l’axe passant par <math>\;M_0</math>, l'origine de cet axe étant au niveau du sol ; {{Al|5}}la référence de l'énergie potentielle de pesanteur étant également au niveau du sol, le point matériel <math>\;M</math>, situé à l'altitude <math>\;z_M</math>, possède, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\;g\;z_M\;</math> et l'énergie cinétique <math>\;K(M) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_{M,\,z}^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{z}_M^{\,2}\;</math> soit au total l'énergie mécanique <center>«<math>\;E_m(M) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{z}_M^{\,2} + m\;g\;z_M\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement de chute conservatif du point <math>\;M</math>, s'écrit <math>\;E_m(M) = E_{m,\,0}\;</math> avec <math>\;E_{m,\,0} = 0 + m\;g\;h = m\;g\;h\;</math> soit finalement, à l'instant <math>\;t</math>, <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{z}_M^{\,2}\!(t) + m\;g\;z_M(t) = m\;g\;h\;</math>».</center> === Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre === [[File:Chute libre sans vitesse initiale - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|thumb|400px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un corps ponctuel en chute libre sans vitesse initiale avec précision du mur d'énergie potentielle et de la nature <math>\;\big(</math>cinétiquement<math>\big)\;</math> non bornée de la trajectoire]] {{Al|5}}<u>Diagramme d'énergie potentielle</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> : tracé de la courbe d’énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}\;</math> en fonction du paramètre de position <math>\;z</math> ; on note <math>\;P_u\;</math> le point générique de cette courbe qui a pour abscisse <math>\;z\;</math> et pour ordonnée <math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z</math> ; {{Al|5}}<u>diagramme d'énergie mécanique</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> : tracé de la courbe d’énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> en fonction du paramètre de position <math>\;z</math> ; on note <math>\;P_m\;</math> le point générique de cette courbe qui a pour abscisse <math>\;z\;</math> et pour ordonnée <math>\;E_m = E_{m,\,0} = m\;g\;h</math> ; {{Al|5}}lorsqu'il y a « mouvement de <math>\;M\;</math> à partir de ses C.I<ref name="C.I." />. »<ref> <math>\;z\;</math> dépend alors du temps <math>\;t\;</math> mais, souhaitant tirer des informations du diagramme d'énergies potentielle et mécanique nous supposerons ne rien connaître de cette dépendance.</ref>, les points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se déplacent simultanément sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> dans des limites autorisées « à déterminer » et c’est l'étude de ces déplacements possibles que l'on cherche à trouver par étude graphique. === Notion de mur d'énergie potentielle === {{Al|5}}De la définition de <math>\;E_m(M) = K(M) + U_{\text{pes}}(M)</math>, nous en déduisons <math>\;K(M) = E_m(M) - U_{\text{pes}}(M)\;</math> représenté par <math>\;\overline{HP_m} - \overline{HP_u}</math> <math>= \overline{P_uP_m}\;</math> soit «<math>\;K(M)\;\widehat{=}\; \overline{P_uP_m}\;</math>»<ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe"> La signification de <math>\;\widehat{=}\;</math> étant « est représenté par <math>\;\big(</math>ou représente<math>\big)\;</math>» <math>\;\big(</math>l'échelle de représentation devant être précisée si une utilisation quantitative est faite, ici ce serait une échelle d'énergie identique à celle utilisée pour les ordonnées du diagramme énergétique<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> Ceci étant indépendant du diagramme d’énergies potentielle et mécanique tracé.</ref> et comme <math>\;K(M)\;</math> est, par définition, <math>\;\geqslant 0</math>, « le point <math>\;P_m\;</math> doit être au dessus de <math>\;P_u\;</math>», ce qui interdit aux points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> d’être dans les zones correspondant à <math>\;(\Gamma_u)\;</math> strictement au-dessus de <math>\;(\Gamma_m)</math> ; {{Al|5}}on définit ainsi « un (ou des) mur(s) d’énergie potentielle » défini(s) par une valeur constante du paramètre de position séparant une zone autorisée d'une zone interdite et représentés comme sur le schéma ci-dessus ; {{Al|5}}quand les points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sont confondus sur le mur d'énergie potentielle, l'énergie cinétique associée à cette situation étant nulle, ceci correspond à une position d’arrêt <math>\;\big(</math>vitesse nulle<math>\big)\;</math> du point <math>\;M</math> ; {{Al|5}}dans le cas présent il n’y a qu'un mur d’énergie potentielle <math>\;z = h</math>, la zone située strictement à droite de ce mur étant interdite. === Présence d'un seul mur d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement non bornée === {{Al|5}}Les C.I<ref name="C.I." />. étant telles que <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sont initialement confondus en <math>\;P_0\;</math> sur le mur d’énergie potentielle <math>\;z = h</math>, la présence du mur interdisant la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;z</math>, nous en déduisons que «<math>\;z\;</math> reste constant ou <math>\;\searrow\;</math>» ; {{Al|5}}or <math>\;z = h\;</math> qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre »<ref name="équilibre en terme d'énergie"> Les positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté soumis à force motrice conservative étant telles qu'elles correspondent à une énergie potentielle stationnaire relativement à la variation de leur variable de position <math>\;\big(</math>c.-à-d. à dérivée nulle par rapport à cette variable<math>\big)\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Généralisation_de_la_définition_de_positions_d'équilibre_d'un_P.P.S._à_partir_de_son_diagramme_d'énergie_potentielle_à_celle_de_positions_d'équilibre_d'un_ point_matériel_à_un_degré_de_liberté,_démonstration_à_partir_de_la_1ère_définition|généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à partir de son diagramme d'énergie potentielle à celle de positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté, démonstration à partir de la 1^ère définition]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <math>\;z\;</math> ne peut rester constant et par suite <math>\;\searrow\;</math> strictement, les points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>c'est-à-dire vers la gauche<math>\big)\;\ldots</math> {{Al|5}}ces déplacements simultanés de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> engendrant une <math>\;\nearrow\;</math> continue de <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> se poursuivent indéfiniment hors présence d'obstacles <math>\;\big(</math>la raison n'étant pas que <math>\;K(M)\;</math> soit en <math>\;\nearrow\;</math> continue, mais que <math>\;K(M)\;</math> ne s'annule plus, c'est-à-dire que <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> ne rencontrent pas un autre mur d'énergie potentielle<math>\big)\;</math> ce qui a pour conséquence que « <u>la trajectoire du point matériel</u><math>\;M\;</math><u>à mouvement conservatif</u><ref name="mouvement conservatif" /> est <u>cinétiquement non bornée</u> »<ref name="trajectoire cinétiquement non bornée"> Pour que la trajectoire soit cinétiquement non bornée, il faut et il suffit qu'il y ait un et un seul mur d'énergie potentielle dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique.</ref> <math>\;\big[</math>on dit encore d'un point matériel ayant une trajectoire <math>\;\big(</math>cinétiquement<math>\big)\;</math> non bornée qu'il est dans un <u>état de diffusion</u><math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : dans le cas présent, le point matériel <math>\;M\;</math> cessant d'être en chute libre quand il rencontre le sol, ce dernier représente une borne d'espace effective à la trajectoire de <math>\;M\;</math> <math>\big(</math>mais cette borne d'espace étant une limite du domaine d'application de la chute libre et non une conséquence de la chute tant que celle-ci reste libre, sa présence n'est pas incompatible avec la qualification de trajectoire <u>cinétiquement</u> non bornée<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : dans le cas présent, }}quand le point matériel <math>\;M\;</math> en chute libre rencontre le sol, ce dernier exerce sur <math>\;M\;</math> une « force de collision<ref name="force de collision"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Modélisation_d’une_force_de_collision_et_conséquence_sur_son_impulsion_élémentaire|modélisation d'une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big[</math>force proportionnelle à un pic de Dirac<ref name="Dirac"> '''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de Schrödinger et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de Heisenberg, deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' dans sa théorie des distributions ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], a obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création d'une forme de [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connue sous le nom de [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]]<math>\big)</math>, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène <math>\;\big(</math>le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à <math>\;75\;\%\;</math> à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue<math>\big)</math>.</ref> d'impulsion unité centré à l'instant de collision c'est-à-dire <math>\;\delta(t - t_{\text{collis}})\;</math><ref name="pic de Dirac d'impulsion unité"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> donc discontinue de 2^ème espèce<ref name="discontinuité de 2ème espèce"> Revoir la définition dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_2ème_espèce_du_pic_de_Dirac_de_tension_d'impulsion_E|discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big]\;</math> permettant l'arrêt du point <math>\;M\;</math>»<ref> Pour déterminer le lien entre la force de collision que le sol exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> et l'énergie cinétique que ce dernier avait acquise à la fin de sa chute libre, on peut appliquer la théorème de la variation d'énergie mécanique sur la durée élémentaire entourant l'instant de collision <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_»_d'un_point_matériel_«_sur_une_durée_élémentaire_»_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)|énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservatives(s)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}à l'instant <math>\;t_{\text{collis}}^{\,-}\;</math> l'énergie mécanique vaut «<math>\;E_{m,\,M}(t_{\text{collis}}^{\,-}) = K_M(t_{\text{collis}}^{\,-})\; \cancel{+ U_{\text{pes},\,M}(t_{\text{collis}}^{\,-})} = E_{m,\,M}(0) = m\;g\;h\;</math>» et <br>{{Al|3}}à l'instant <math>\;t_{\text{collis}}^{\,+}</math>, l'énergie potentielle de pesanteur étant continue par continuité de la position de <math>\;M</math>, son énergie mécanique vaut «<math>\;E_{m,\,M}(t_{\text{collis}}^{\,+}) = K_M(t_{\text{collis}}^{\,+})\; \cancel{+ U_{\text{pes},\,M}(t_{\text{collis}}^{\,+})} = 0\;</math>» car <math>\;K_M(t_{\text{collis}}^{\,+}) = 0</math>, l'objet étant à l'arrêt ;<br>{{Al|3}}le théorème de la variation d'énergie mécanique à <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left[ t_{\text{collis}}^{\,-}\,,\,t_{\text{collis}}^{\,+} \right]\;</math> conduit à «<math>\;\delta W(\vec{F}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}}) = E_{m,\,M}(t_{\text{collis}}^{\,+}) - E_{m,\,M}(t_{\text{collis}}^{\,-})\;</math>» soit «<math>\displaystyle\int_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}} \right](t')\;dt' =</math> <math>0 - m\;g\;h\;</math>» ou «<math>\displaystyle\int_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}} \left[ \vec{F}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}} \right](t') \cdot \vec{V}_M(t')\;dt' = -m\;g\;h\;</math>» d'où, <br>{{Al|3}}avec la modélisation de la force de collision par un pic de Dirac d'impulsion <math>\;\vec{I}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}}\;</math> centré sur l'instant de collision <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Modélisation_d’une_force_de_collision_et_conséquence_sur_son_impulsion_élémentaire|modélisation d'une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, «<math>\;\left[ \vec{F}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}} \right](t') = \vec{I}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}}\;\delta(t' - t_{\text{collis}})</math>» <math>\;\Bigg\{</math>on vérifie la valeur de l'impulsion <math>\;\big(</math>élémentaire<math>\big)\;</math> de la force de collision définie sur <math>\;\left[ t_{\text{collis}}^{\,-}\,,\,t_{\text{collis}}^{\,+} \right]</math>, «<math>\;\displaystyle\int_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}} \left[ \vec{F}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}} \right](t') \;dt' = \displaystyle\int_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}} \vec{I}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}}\;\delta(t' - t_{\text{collis}}) \;dt' = \vec{I}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}}\;\displaystyle\int_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}} \delta(t' - t_{\text{collis}}) \;dt' = \vec{I}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}}\;</math>», <math>\;\delta(t)\;</math> étant le pic de Dirac d'impulsion unité vérifiant <math>\;\displaystyle\int_{0^{\,-}}^{0^{\,+}} \delta(t) \;dt = 1\Bigg\}</math> <math>\;\big[</math>l'impulsion étant qualifiée d'élémentaire <math>\;\big(</math>bien que de norme finie<math>\big)\;</math> car la durée <math>\;\delta t = t_{\text{collis}}^{\,+} - t_{\text{collis}}^{\,-}\;</math> est élémentaire<math>\big]</math>, d'où {{Nobr|«<math>\;\delta W(\vec{F}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}})</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}} \vec{I}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}}\;\delta(t' - t_{\text{collis}}) \cdot \vec{V}_M(t')\;dt'\;</math>» ou, avec «<math>\;\vec{I}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}} = I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}\;\vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\vec{V}_M(t') = V_{M,\,z}(t')\;\vec{u}_z\;</math>» dans lesquelles «<math>\;I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}\;</math> est une constante <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;V_{M,\,z}(t') < 0</math> <math>\;\nearrow\;</math> quasi-instantanément jusqu'à <math>\;0\;</math>» <math>\;\big[</math>en fait on modélise cette variation finie et quasi instantanée par une discontinuité de 1^ère espèce, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\delta W(\vec{F}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}})</math>}} <math>= I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}\;\displaystyle\int_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}} V_{M,\,z}(t')\;\delta(t' - t_{\text{collis}})\;dt'\;</math>» d'où la relation suivante par application du théorème de la variation d'énergie mécanique <center>«<math>\;I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}\;\displaystyle\int_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}} V_{M,\,z}(t')\;\delta(t' - t_{\text{collis}})\;dt' = -m\;g\;h\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|3}}pour vérifier cette relation « on évalue <math>\;V_{M,\,z}(t')\;</math> pour <math>\;t' \in \left[ t_{\text{collis}}^{\,-}\,,\,t_{\text{collis}}^{\,+} \right]\;</math> par intégration de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne<math>\big)\;</math> appliquée à <math>\;M\;</math>», à savoir {{Nobr|«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{F}_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol}}(t')</math>}} <math>= m\;\dfrac{d \vec{V}_M}{dt'}(t')\;</math>» ou, en projetant sur <math>\;\vec{u}_z</math>, «<math>\;-m\;g + I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}\;\delta(t' - t_{\text{collis}}) = m\;\dfrac{d V_{M,\,z}}{dt'}(t')\;</math>» ce qui s'intègre <math>\;\big(</math>au sens des distributions<math>\big)\;</math> entre <math>\;t_{\text{collis}}^{\,-}\;</math> et <math>\;t'</math>, <math>\;\big[\delta(t)\;</math> étant la dérivée temporelle <math>\;\big(</math>au sens des distributions<math>\big)\;</math> de l'échelon unité <math>\;Y(t)\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, selon {{Nobr|«<math>\;-m\;g \left( t' - t_{\text{collis}}^{\,-} \right) + I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}\; \left[ Y(t'' - t_{\text{collis}}) \right]_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t'}</math>}} <math>= m\, \left[ V_{M,\,z}(t') - V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-}) \right]\;</math>» soit, en négligeant le 1^er terme du 1^er membre qui est un infiniment petit de même ordre que la durée de la collision et avec <math>\;Y(t' - t_{\text{collis}}) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1\;\;\text{pour }t' > t_{\text{collis}}\\0\;\;\text{pour }t' < t_{\text{collis}}\end{array}\right\rbrace</math>, on en déduit «<math>\;V_{M,\,z}(t') =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l r} V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-}) + \dfrac{I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}}{m}\;&\text{pour }t' > t_{\text{collis}}\\V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-})\;&\text{pour }t' < t_{\text{collis}}\end{array}\right\rbrace\;</math> discontinue de 1^ère espèce », toutefois l'absence de définition de <math>\;V_{M,\,z}(t')\;</math> pour <math>\;t_{\text{collis}}\;</math> pose un problème pour l'« évaluation de <math>\;\displaystyle\int_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}} V_{M,\,z}(t')\;\delta(t' - t_{\text{collis}})\;dt'\;</math>», le résultat attendu si <math>\;V_{M,\,z}(t_{\text{collis}})\;</math> était défini étant «<math>\;V_{M,\,z}(t_{\text{collis}})\;\displaystyle\int_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}} \delta(t' - t_{\text{collis}})\;dt' = V_{M,\,z}(t_{\text{collis}})\;</math>» ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|pour vérifier cette relation « on évalue <math>\;\color{transparent}{V_{M,\,z}(t')}\;</math> pour <math>\;\color{transparent}{t' \in \left[ t_{\text{collis}}^{\,-}\,,\,t_{\text{collis}}^{\,+} \right]}\;</math> }}pour résoudre ce problème « on prolonge la définition de <math>\;V_{M,\,z}(t')\;</math> pour <math>\;t' = t_{\text{collis}}\;</math> selon <math>\;V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}) =</math> <math>\dfrac{V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-}) + V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,+})}{2} = V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-}) + \dfrac{I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}}{2\;m}\;</math>» d'où «<math>\;\displaystyle\int_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}} V_{M,\,z}(t')\;\delta(t' - t_{\text{collis}})\;dt'</math> <math>= V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-}) + \dfrac{I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}}{2\;m} = -\sqrt{2\;g\;h} + \dfrac{I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}}{2\;m}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet la conservation de l'énergie mécanique entre les instants <math>\;0\;</math> et <math>\;t_{\text{collis}}^{\,-}\;</math> donne «<math>\;E_{m,\,M}(t_{\text{collis}}^{\,-}) = E_{m,\,M}(0)\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;V_{M,\,z}^{\,2}\!(t_{\text{collis}}^{\,-}) + 0 = m\;g\;h\;</math>» d'où «<math>\;V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-}) =</math> <math>-\sqrt{2\;g\;h}\;</math>» car <math>\;< 0\bigg]</math> ;<br>{{Al|3}}finalement la réécriture de la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> conduit à «<math>\;I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}\;\left[ -\sqrt{2\;g\;h} + \dfrac{I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}}{2\;m} \right] = -m\;g\;h\;</math>» ou, «<math>\;\dfrac{I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}^{\,2}}{m^2} - 2\;\sqrt{2\;g\;h}\;\dfrac{I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}}{m} + 2\;g\;h = 0\;</math>», soit encore «<math>\;\left( \dfrac{I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z}}{m} - \sqrt{2\;g\;h} \right)^{\!2} = 0\;</math>» d'où «<math>\;I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z} = m\;\sqrt{2\;g\;h}\;</math> en accord avec le résultat que l'on obtiendrait par théorème de l'impulsion sur une durée élémentaire » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Application_en_présence_d'une_force_de_collision_et_conséquence|application (du théorème de l'impulsion) en présence d'une force de collision et conséquence]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » donné en complément<math>\big]\;</math> ce qui donnerait «<math>\;I_{\text{collis},\,M\,\leftarrow\,\text{sol},\,z} = m\,\left[ V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,+}) - V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-}) \right] = m\,\left[ 0 - \left( -\sqrt{2\;g\;h} \right) \right] = m\;\sqrt{2\;g\;h}\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : dans le cas présent, pour une chute sans vitesse initiale, l'abscisse du mur d'énergie potentielle <math>\;z = h\;</math> est aussi l'altitude maximale possible de l'objet lors de sa chute, cette valeur maximale étant la valeur initiale. === Cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque === <center>Non explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. mais ne soulevant aucune difficulté supplémentaire par rapport à la chute libre sans vitesse initiale d'où sa présentation <math>\;\ldots</math></center> [[File:Chute libre avec vitesse initiale vers le haut - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|thumb|400px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un corps ponctuel en chute libre avec vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> verticale <math>\;\uparrow</math>, repérage du mur d'énergie potentielle et conséquence sur la nature (cinétiquement) non bornée de la trajectoire]] {{Al|5}}L'intégrale 1^ère énergétique du point matériel <math>\;M\;</math> à chute libre conservative<ref name="mouvement conservatif" /> reste la même qu'en absence de vitesse initiale {{Nobr|«<math>\;E_m(M)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{z}_M^{\,2} + m\;g\;z_M = E_{m,\,0}\;</math>» avec la même référence d'énergie potentielle mais une énergie mécanique initiale modifiée en «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^{\,2} + m\;g\;h\;</math>» ; {{Al|5}}le diagramme d’énergies potentielle et mécanique est tracé ci-contre, la courbe d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)</math>, en bleu, étant la même qu'en absence de vitesse initiale et celle d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)</math>, en rouge, translatée vers le haut relativement à celle du diagramme sans vitesse initiale de «<math>\;K_0(M) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_{0,\,z}^{\,2}\;</math>» ; {{Al|5}}on détecte l'existence d'« un et un seul mur d’énergie potentielle <math>\;z = z_{\text{max}}\;</math>» déplacé vers la droite par rapport à celui du diagramme sans vitesse initiale : {{Al|5}}initialement les points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)</math>, respectivement en <math>\;P_{u,\,0}\;</math> et <math>\;P_{m,\,0}\;</math> tels que «<math>\;\overline{P_{u,\,0}P_{m,\,0}} \;\widehat{=}\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> <math>K_0(M) > 0\;</math>» se déplacent sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> vers la droite<ref> En effet <math>\;V_{0,\,z}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> l'altitude <math>\;z_M \nearrow\;</math> initialement.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M) \searrow\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> jusqu'à ce que <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> rencontrent en <math>\;P_0\;</math> le mur d'énergie potentielle <math>\;z = z_{\text{max}}\;</math> sur lequel <math>\;M\;</math> est au repos » mais <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}cette position « n'étant pas une position d'équilibre »<ref name="équilibre en terme d'énergie" /> «<math>\;z\;</math> ne peut rester constant et par suite <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se déplacent sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> vers la gauche » <math>\;\big(</math>ce qui correspond à un mouvement de chute libre de <math>\;M\;</math> dans le sens des altitudes <math>\;\searrow\big)</math> <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}ces déplacements simultanés de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> engendrant une croissance continue de <math>\;K(M)\;</math> se poursuivent indéfiniment<ref> On rappelle que la raison de la poursuite sans limite dans le temps, du déplacement <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> n'est pas que <math>\;K(M)\;</math> soit en croissance continue, mais que <math>\;K(M)\;</math> ne s'annule plus, c.-à-d. que <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> ne rencontrent pas un autre mur d'énergie potentielle.</ref>, ce qu'on traduit par le fait que «<math>\;M\;</math> a une <u>trajectoire cinétiquement non bornée</u> »<ref name="trajectoire cinétiquement non bornée" />{{,}}<ref> On peut évidemment remarquer que la trajectoire cinétiquement non bornée du point matériel <math>\;M\;</math> lors de sa chute libre avec vitesse initiale verticale <math>\;\uparrow\;</math> est mécaniquement bornée par la présence physique du sol : voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_d'un_seul_mur_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_non_bornée|présence d'un seul mur d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement non bornée]] (remarque 1) » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big[M\;</math> est donc dans un <u>état de diffusion</u><math>\big]</math> ; {{Al|5}}le mur d'énergie potentielle «<math>\;z = z_{\text{max}}\;</math>» étant la valeur maximale de l'altitude possible du point matériel <math>\;M\;</math> se calcule par intégrale 1^ère énergétique du mouvement de <math>\;M\;</math> soit «<math>\;E_m(z_{\text{max}}) = E_{m,\,0}\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;0 + m\;g\;z_{\text{max}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;V_{0,\,z}^{\,2} + m\;g\;h\;</math>»<ref> Sur le mur d'énergie potentielle l'énergie cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> y étant nulle.</ref> soit finalement «<math>\;z_{\text{max}} = h + \dfrac{V_{0,\,z}^{\,2}}{2\;g}\;</math>». === Retour sur l'étude de la chute libre d'un point matériel dans un champ de pesanteur uniforme quand le point est lancé avec une vitesse initiale inclinée === {{Al|5}}Dans ce paragraphe, nous prolongeons l'étude faite dans le chap.<math>10</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme|loi de la quantité de mouvement : mouvement dans le champ de pesanteur uniforme]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » par un traitement énergétique, celui-ci ne pouvant être fait qu'après l'introduction de la notion de force conservative et de celle de mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" />. {{Al|5}}<u>Rappel des C.I.</u><ref name="C.I." /> : l'objet de C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. <math>\;G\;</math> est lancé d'un endroit telle que la position de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. soit <math>\;G_0\;</math> choisi comme origine <math>\;O\;</math> du repère cartésien avec un mouvement de translation de vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> faisant l'angle <math>\;\alpha_0\;</math> avec l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> horizontal du plan vertical de lancement tel que <math>\;\vert \alpha_0 \vert\;</math> soit aigu, l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> étant vertical <math>\;\uparrow\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> horizontal <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement <math>\;(xOz)</math> de façon à ce que le trièdre <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{Ox}\,,\, \overrightarrow{Oy}\,,\, \overrightarrow{Oz} \right\rbrace\;</math> soit direct dans l'espace physique orienté à droite<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, les angles du plan vertical de lancement <math>\;(xOz)\;</math> étant orientés dans le sens trigonométrique direct <math>\;\big(</math>ou sens anti-horaire<math>\big)\;</math> par <math>\;-\vec{u}_y\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Conditions_de_«_lancement_»_du_système_fermé_(indéformable)_de_points_matériels_et_choix_du_repère_cartésien_associé_au_référentiel_terrestre_supposé_galiléen|conditions de lancement du système fermé (indéformable) de points matériels et choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre supposé galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>rappel des mouvements de</u><math>\;G_x</math><u>, </u><math>\;G_y\;</math><u>et</u><math>\;G_z\;</math><u><ref> Respectivement projeté du C.D.I. sur les axes <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>, <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Oz}</math>.</ref></u> : <math>\blacktriangleright\;</math>« le mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. se fait dans le plan vertical de lancement » d'où «<math>\;G_y\;</math> immobile, confondu avec <math>\;O\;</math>»<ref name="lois horaires de vitesse de chute libre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Lois_horaires_de_vitesse_du_C.D.I._du_système_fermé_(indéformable)_de_points_matériels|lois horaires de vitesse du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, {{Al|10}}{{Transparent|rappel des mouvements de<math>\;\color{transparent}{G_x}</math>, <math>\;\color{transparent}{G_y}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{G_z}\;</math> : }}<math>\blacktriangleright\;</math>« le mouvement de <math>\;G_x\;</math> est <math>\;\big(</math>rectiligne<math>\big)\;</math> uniforme de vitesse <math>\;V_0\;\cos(\alpha_0)\;</math>»<ref name="lois horaires de vitesse de chute libre" /> et {{Al|10}}{{Transparent|rappel des mouvements de<math>\;\color{transparent}{G_x}</math>, <math>\;\color{transparent}{G_y}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{G_z}\;</math> : }}<math>\blacktriangleright\;</math>« le mouvement de <math>\;G_z\;</math> {{Transparent|est}} <math>\;\big(</math>rectiligne<math>\big)\;</math> uniformément varié d'accélération <math>\;-g\;</math> et de vitesse initiale <math>\;V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>»<ref name="lois horaires de vitesse de chute libre" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|rappel des mouvements de<math>\;\color{transparent}{G_x}</math>, <math>\;\color{transparent}{G_y}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{G_z}\;</math> : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math> }}le mouvement étant d'abord ascendant dans la mesure où <math>\;\alpha_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, la trajectoire de <math>\;G\;</math> admettant alors un sommet <math>\;S\;</math> effectivement atteint et <br>{{Al|10}}{{Transparent|rappel des mouvements de<math>\;\color{transparent}{G_x}</math>, <math>\;\color{transparent}{G_y}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{G_z}\;</math> : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math> }}le vecteur vitesse de <math>\;G\;</math> en ce sommet <math>\;S\;</math> étant horizontal égal à <math>\;\vec{V}_S = V_0\;\cos(\alpha_0)\; \vec{u}_x</math> ; {{Al|5}}la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, « le C.D.I<ref name="C.D.I." />. de ce dernier a un mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" /> » obéissant à l'« intégrale 1^ère énergétique <math>\;E_m(G) = E_{m,\,0}\;</math>» ou <br>{{Al|15}}{{Transparent|la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, « le C.D.I. de ce dernier a un mouvement conservatif » obéissant à }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\, \left[ V_{G,\,x}^{\,2} + V_{G,\,z}^{\,2} \right] + m\;g\,z_G = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^{\,2}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, }}si <math>\;\alpha_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, on peut « déterminer l'altitude <math>\;z_S\;</math> du sommet de la trajectoire du C.D.I<ref name="C.D.I." />. par intégrale 1^ère énergétique du mouvement de ce dernier » selon «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\, \left[ V_0^{\,2}\;\cos^2(\alpha_0)\; \cancel{+ V_{S,\,z}^{\,2}} \right] + m\;g\,z_G</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^{\,2}\;</math>» ou «<math>\;m\;g\,z_G = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^{\,2} \left[ 1 - \cos^2(\alpha_0) \right]\;</math>» ou encore «<math>\;m\;g\,z_G =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;V_0^{\,2}\;\sin^2(\alpha_0)\;</math>» d'où <center>«<math>\;z_S = \dfrac{V_0^{\,2}\;\sin^2(\alpha_0)}{2\;g}\;</math>»<ref> On peut s'étonner de la condition <math>\;\alpha_0 > 0\;</math> pour la détermination de l'altitude maximale atteinte puisque son expression ne dépend pas du signe de <math>\;\alpha_0\;</math> mais <br>{{Al|3}}si la valeur de <math>\;z_S\;</math> est la même pour <math>\;\alpha_0\;</math> et <math>\;-\alpha_0</math>, l'instant où <math>\;G\;</math> passe par le sommet de la trajectoire n'est postérieur à l'instant de lancement que si <math>\;\alpha_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> en effet <br>{{Al|3}}le sommet se caractérise par <math>\;V_{G,\,z}(t_S) = 0\;</math> soit <math>\;-g\;t_S + V_0\;\sin(\alpha_0) = 0\;</math> d'où <math>\;t_S = \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{g}\;</math> qui n'est <math>\;> 0\;</math> que si <math>\;\alpha_0\;</math> est <math>\;> 0</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Ce qui est, de loin, la méthode la plus rapide pour déterminer l'altitude maximale atteinte <math>\;\ldots</math></ref>.</center> == Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple de l'oscillateur harmonique à une dimension, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, isochronisme des oscillations == <center>Voir aussi le chap.<math>1</math> « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique|oscillateur harmonique]] » de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</center> === Rappel de l'intégrale 1^ère énergétique de l'oscillateur harmonique à une dimension constitué d'un pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.) === {{Al|5}}Une 1^ère introduction <math>\;\big(</math>expérimentale<math>\big)\;</math> a été faite au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Définition_de_l'énergie_mécanique_et_sa_conservation,_conséquence_de_l'absence_de_forces_autres_que_celle_du_ressort|définition de l'énergie mécanique et sa conservation, conséquence de l'absence de forces autres que celle du ressort]] (dans le cas d'un pendule élastique horizontal non amorti) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ». {{Al|5}}Avec l'axe horizontal du ressort choisi comme axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> orienté de son extrémité fixe vers l'extrémité mobile où est lié le point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec }}le ressort étant idéal<ref name="ressort idéal"> C.-à-d. sans masse et parfaitement élastique.</ref>, à spires non jointives, de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec }}l'origine <math>\;O\;</math> de cet axe <math>\;\big(</math>horizontal<math>\big)\;</math> étant choisie à la position d'équilibre de <math>\;M\;</math><ref name="origine de l'axe du P.E.H.N.A." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec }}le point <math>\;M\;</math> est initialement écarté de <math>\;x_0\;</math> de la « position d'équilibre du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A."> Pendule Élastique Horizontal Non Amorti.</ref>. »<ref name="origine de l'axe du P.E.H.N.A." /> et lâché sans vitesse initiale ; {{Al|5}}le point <math>\;M</math>, situé à l'abscisse <math>\;x</math>, possède une « énergie potentielle élastique égale, avec choix d'une référence à la position d'équilibre du point<ref name="origine de l'axe du P.E.H.N.A." />, à <math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\;</math><ref> L'allongement total <math>\;l - l_0\;</math> s'écrivant encore, compte-tenu de «<math>\;l_{\text{éq}} = l_0\;</math> et de <math>\;l = l_{\text{éq}} + x\;</math>», selon «<math>\;l - l_0 = x\;</math>» d'où la réécriture de l'expression de l'« énergie potentielle élastique définie par <math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( l - l_0 \right)^2\;</math>».</ref> » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le point <math>\;\color{transparent}{M}</math>, situé à l'abscisse <math>\;\color{transparent}{x}</math>, possède }}une « énergie cinétique <math>\;K(M) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|le point <math>\;\color{transparent}{M}</math>, situé à l'abscisse <math>\;\color{transparent}{x}</math>, possède }}une « énergie mécanique <math>\;E_m(M) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2 + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\;</math>» ; {{Al|5}}« le point <math>\;M\;</math> étant à mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" /> » <math>\big(</math>la seule force travaillant étant la force exercée par le ressort, laquelle est conservative<math>\big)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|« le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant à mouvement conservatif » }}l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. <math>\;M</math>, s'écrit «<math>\;E_m(M) = E_{m,\,0}\;</math> avec <math>\;E_{m,\,0} = 0 + \dfrac{1}{2}\;k\;x_0^2 = \dfrac{1}{2}\;k\;x_0^2\;</math><ref> On rappelle que l'abscisse est toujours continue <math>\;\big(</math>condition pour que la vitesse ne soit jamais infinie<math>\big)\;</math> d'où <math>\;x(0^{+}) = x(0^{-}) = x_0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|On rappelle }}qu'en absence de forces de collision, la vitesse est continue <math>\;\dot{x}(0^{+}) = \dot{x}(0^{-}) = 0</math>.</ref> » <br>{{Al|15}}{{Transparent|« le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant à mouvement conservatif » l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}soit finalement, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^{\,2}\!(t) + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\!(t) = \dfrac{1}{2}\;k\;x_0^2\;</math>». === Diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A. === {{Al|5}}L'étude d’un oscillateur harmonique par diagramme d'énergies potentielle et mécanique n'est pas cité dans le programme de physique de P.C.S.I.<ref name="raison probable de l'absence"> La raison probable de son absence étant qu'on peut traiter entièrement l'oscillateur harmonique par r.f.d.n. <math>\;\big(</math>Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne<math>\big)\;</math> et intégrale 1^ère énergétique sans que l'utilité du diagramme d'énergies potentielle et mécanique ne se fasse sentir.</ref>, toutefois cette étude est intéressante car elle représente un autre exemple d'état lié que celui du pendule pesant simple non amorti <math>\;\big(</math>P.P.S.N.A.<math>\big)\;</math> traité à la suite du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. [[File:Pendule élastique horizontal - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|thumb|400px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique horizontal non amorti écarté de <math>\;x_0\;</math> de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale avec précision des deux murs d'énergie potentielle et de la nature <math>\;\big(</math>cinétiquement<math>\big)\;</math> bornée de la trajectoire]] {{Al|5}}Dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace les courbes * d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> en bleu ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points <math>\;P_u\;</math> d'abscisse <math>\;x\;</math> et d'ordonnée <math>\;U_{\text{élast}}(x) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;k\;x^2</math> <math>\;\big[(\Gamma_u)\;</math> étant une parabole<ref name="parabole"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#équation_cartésienne|équation cartésienne]] (d'une parabole de sommet O et d'axe Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », l'axe ici étant <math>\;Ox</math>.</ref> de concavité positive, de sommet <math>\;(0\,,\, 0)\;</math> et d'axe <math>\;x = 0\big]\;</math> et * d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> en rouge ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points <math>\;P_m\;</math> d'abscisse <math>\;x\;</math> et d'ordonnée <math>\;E_m(x) = E_{m,\,0}</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;k\;x_0^2</math> <math>\;\big[(\Gamma_m)\;</math> étant une droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;x\;</math> d'ordonnée <math>\;E_{m,\,0}\big]</math>. === Présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée === {{Al|5}}On observe, sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, la présence de deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que <math>\;U_{\text{élast}} \ngtr E_{m,\,0}</math>, * l'un correspondant à <math>\;P_0\;</math> position commune initiale des points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> d'abscisse <math>\;x_0\;</math> et * l'autre {{Transparent|correspond}} à <math>\;{P'}_0\;</math> position symétrique de <math>\;P_0\;</math> par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse <math>\;{x'}_0 = -x_0</math> ; {{Al|5}}ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x < {x'}_0 = -x_0 \\ x > x_0 \end{array} \right\rbrace\;</math> pour la variation de l'abscisse du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. <math>\;M\;</math> c'est-à-dire que ce dernier a une <u>trajectoire cinétiquement bornée</u>, le domaine de variation de son abscisse étant un intervalle à bornes finies à savoir <math>\;\left[ {x'}_0 = -x_0\; ,\; x_0 \right]</math> <math>\;\big\{</math>on dit encore du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. ayant une trajectoire cinétiquement bornée qu'il est dans un <u>état lié</u> <math>\;\big[</math>ce qui correspond à un déplacement possible des points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> des courbes <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> entre deux murs d'énergie potentielle ou, à un déplacement possible de ces points dans une <u>cuvette</u><math>\;\big(</math><u>ou puits</u><math>\big)\;</math><u>d'énergie potentielle</u><math>\big]\big\}</math>. === Détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.E.H. « par diagramme énergétique » === <center>La nature oscillatoire a déjà été établie dans le chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » <br>à partir de l'équation différentielle du mouvement du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />.{{,}}<ref name="loi horaire de position du P.E.H.N.A."> L'équation différentielle <math>\;m\;\ddot{x}(t) + k\;x(t) = 0\;</math> étant celle d'un oscillateur harmonique non amorti dont la loi horaire de position est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Résolution_de_l'équation_différentielle_d'un_oscillateur_harmonique|résolution de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les C.I<ref name="C.I." />. étant telles que <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sont initialement confondus en <math>\;P_0\;</math> sur le mur d'énergie potentielle de droite <math>\;x = x_0</math>, la présence du mur interdisant la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;x</math>, nous en déduisons que {{Nobr|«<math>\;x\;</math>}} reste constant ou <math>\;\searrow\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}or <math>\;x = x_0\;</math> qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre »<ref name="équilibre en terme d'énergie" />, <math>\;x\;</math> ne peut rester constant et par suite <math>\;\searrow\;</math> strictement, les points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite <math>\;\big(</math>c'est-à-dire vers la gauche<math>\big)\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>ces déplacements simultanés de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> engendrant d'abord une <math>\;\nearrow\;</math> continue de <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> jusqu'au passage de <math>\;P_m\;</math> par <math>\;P_{\text{éq}}\;</math> puis une <math>\;\searrow\;</math> continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se rejoignent en <math>\;{P'}_0\;</math> point commun du mur d'énergie potentielle de gauche <math>\;x = {x'}_0 = -x_0</math>, la présence de ce mur interdisant la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;x</math>, nous en déduisons que «<math>\;x\;</math> reste constant ou <math>\;\nearrow\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}or <math>\;x = {x'}_0 = -x_0\;</math> qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre »<ref name="équilibre en terme d'énergie" />, <math>\;x\;</math> ne peut rester constant et par suite <math>\;\nearrow\;</math> strictement, les points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche <math>\;\big(</math>c'est-à-dire vers la droite<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>ces déplacements simultanés de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> engendrant d'abord une <math>\;\nearrow\;</math> continue de <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> jusqu'au nouveau passage de <math>\;P_m\;</math> par <math>\;P_{\text{éq}}\;</math> puis une <math>\;\searrow\;</math> continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se rejoignent en <math>\;P_0\;</math> point commun du mur d'énergie potentielle de droite <math>\;x = x_0</math>, la présence de ce mur interdisant la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;x</math>, nous en déduisons que «<math>\;x\;</math> reste constant ou <math>\;\searrow\;</math>», ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se poursuivent indéfiniment <math>\;\big(</math>en absence d'amortissements<math>\big)\;</math> de façon identique <math>\;\ldots</math> <center>d'où, en conséquence, « <u>la nature oscillatoire du mouvement du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />.</u> ».</center> === Détermination de la nature périodique du mouvement du P.E.H. en utilisant l'intégrale 1^ère énergétique simultanément au diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point M puis expression de la période sous forme intégrale === <center>La nature périodique a déjà été établie simultanément à la nature oscillatoire dans le chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » <br>en résolvant l'équation différentielle du mouvement du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />.{{,}}<ref name="loi horaire de position du P.E.H.N.A." />.</center> {{Al|5}}Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. par utilisation simultanée de son intégrale 1^ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut « montrer que la durée correspondant au n^ème aller-retour des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> de <math>\;P_0 \rightarrow {P'}_0 \rightarrow P_0\;</math> est indépendant du numéro <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> de l'aller-retour » : {{Al|5}}on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique du mouvement du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. <math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\!(t) = E_{m,\,0}\;</math> avec les mêmes C.I<ref name="C.I." />. que précédemment<ref name="indépendance de l'énergie mécanique initiale"> Mais tout ce qui suit est indépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;k\;x_0^2\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\!(t) = \dfrac{1}{2}\;k\;x_0^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ x_0^2 - x^2\!(t) \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{x}(t) = \dfrac{dx}{dt}(t) = \pm\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2\!(t) \right]}\;</math>»<ref name="choix du signe"> Le choix entre <math>\;+\;</math> et <math>\;-\;</math> dépend du sens de variation de la variable de position <math>\;\big[</math>ou, ce qui revient au même, du sens de déplacement de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\big]</math>.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique }}« la durée élémentaire <math>\;dt\;</math> correspondant à une variation élémentaire <math>\;dx\;</math> de l'abscisse <math>\;x\;</math> de <math>\;M\;</math>»<ref> <math>\;x\;</math> étant encore l'allongement du ressort ou élongation du P.E.H.N.A..</ref> s'écrit «<math>\;dt = \pm \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2 \right]}}\;</math>»<ref name="déf si valeur absolue de x différent de x0"> Cette expression n'étant définie que si <math>\;\vert x \vert \neq x_0</math>, dans le cas où <math>\;\vert x \vert\;</math> est égale à <math>\;x_0\;</math> la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de <math>\;dt\;</math> non infinie, <math>\;dx = 0\;</math> correspondant alors à un état stationnaire de <math>\;x</math> <math>\;\big(</math>plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de <math>\;x\;</math> pour laquelle la vitesse est effectivement nulle<math>\big)</math>, la levée de la forme indéterminée <math>\;\dfrac{dx}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}\;</math> conduisant à une valeur infiniment petite <math>\;\propto\;</math> à <math>\;dt</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix du signe" /> ; {{Al|5}}on utilise dans un 2^ème temps le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre <math>\;+\;</math> et <math>\;-\;</math> suivant le sens de déplacement des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> entre les deux murs d'énergie potentielle <math>\;\big\{</math>soit encore leur sens de déplacement dans la cuvette <math>\;\big(</math>ou puits<math>\big)\;</math> d'énergie potentielle<math>\big\}</math> : {{Al|5}}{{Transparent|on utilise dans un 2^ème temps }}<math>\;\succ\;</math>pour le n^ème aller des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;P_0\;</math> à <math>\;{P'}_0</math>, <math>\;x \searrow\;</math> d'où <math>\;dx\;</math> correspondant à <math>\;dt > 0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;dt = -\dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2\!(t) \right]}}\;</math>»<ref name="déf si valeur absolue de x différent de x0" />, la durée totale <br>{{Al|5}}{{Transparent|on utilise dans un 2^ème temps <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}du n^ème aller s'obtenant alors par intégration selon «<math>\;\Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_0} = \displaystyle\int_{x_0}^{-x_0} -\dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2 \right]}} = \displaystyle\int_{-x_0}^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2 \right]}}\;</math>»<ref name="intégrale généralisée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_fermé_à_l'exception_d'au_moins_une_des_bornes_pour_laquelle_la_fonction_diverge|intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|on utilise dans un 2^ème temps }}<math>\;\succ\;</math>pour le n^ème retour des mêmes points de <math>\;{P'}_0\;</math> à <math>\;P_0</math>, <math>\;x \nearrow\;</math> d'où <math>\;dx\;</math> correspondant à <math>\;dt > 0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;dt = \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2\!(t) \right]}}\;</math>»<ref name="déf si valeur absolue de x différent de x0" />, la durée totale <br>{{Al|5}}{{Transparent|on utilise dans un 2^ème temps <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}du n^ème retour s'obtenant aussi par intégration selon «<math>\;\Delta t_{{P'}_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_0} = \displaystyle\int_{-x_0}^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2 \right]}} = \Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_0}\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> ; {{Al|5}}on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation du point <math>\;M</math>, «<math>\;\Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_0} = \Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_0} + \Delta t_{{P'}_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_0} = 2\;\Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_0}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation }}«<math>\;\Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_0} = 2\;\displaystyle\int_{-x_0}^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2 \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée"/> indépendante de <math>\;n\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation }}<math>\;\big(</math>la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes<math>\big)</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation }}ce qui établit la <u>nature périodique</u> du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. <math>\;M</math>. {{Al|5}}La période <math>\;\mathcal{T}\;</math> du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. <math>\;M\;</math> étant la durée d'un aller-retour des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;P_0\;</math> à <math>\;P_0\;</math> en passant par <math>\;{P'}_0</math>, s'obtient par l'intégrale suivante <center>«<math>\;\mathcal{T} = \Delta t_{P_0\,\rightarrow\,{P'}_0\,\rightarrow\,P_0} = 2\;\displaystyle\int_{-x_0}^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2 \right]}} = 4\;\displaystyle\int_0^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2 \right]}}\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref> La fonction à intégrer étant paire on a <math>\;\displaystyle\int_{-x_0}^{0} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2 \right]}} = \displaystyle\int_{0}^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2 \right]}}</math>.</ref>.</center> === Isochronisme des oscillations === <center>Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition de l'isochronisme d'un oscillateur]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}Dans le cas présent du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. qui est un oscillateur harmonique non amorti d'« équation différentielle normalisée <math>\;\ddot{x}(t) + \omega_0^2\; x(t) = 0\;</math> où <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> est la pulsation propre de l'oscillateur », la propriété d'isochronisme est évidente car la solution, avec les C.I. précédemment introduites, s'écrit <center>«<math>\;x(t) = x_0\; \cos(\omega_0\;t)\;</math>»<ref name="loi horaire de position du P.E.H.N.A." /> d'« amplitude <math>\;x_0\;</math>» et de « <u>période</u><math>\;\big(</math><u>propre</u><math>\big)</math><math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math><u>indépendante de l'amplitude</u><math>\;x_0\;</math>»<ref> Ce résultat étant indépendant des C.I., par exemple si celle-ci sont «<math>\;x(0) = x_0\;</math> et <math>\;\dot{x}(0) = V_0\;</math>», l'« amplitude <math>\;X_m\;</math> atteinte à <math>\;t \equiv t_m\!\! \pmod{\mathcal{T}_0}\;</math> peut se déterminer par intégrale 1^ère énergétique <math>\;E_m(t_m) = \dfrac{1}{2}\;k\;X_m^{\,2} = E_{m,\,0}\;</math> avec <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;k\;x_0^{\,2}\;</math>» d'où l'« amplitude <math>\;X_m =</math> <math>\sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{k}}\;</math> ou encore <math>\;X_m = \sqrt{\dfrac{m}{k}\;V_0^{\,2} + x_0^{\,2}} = \sqrt{\dfrac{V_0^{\,2}}{\omega_0^{\,2}} + x_0^{\,2}}\;</math>», la « période {{Nobr|<math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math>}} quant à elle gardant la même valeur <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math> reste donc indépendante de <math>\;X_m\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}toutefois, au regard de l'expression de la période sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T} = 4\;\displaystyle\int_0^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ x_0^2 - x^2 \right]}} = \dfrac{4}{\omega_0}\;\displaystyle\int_0^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="période = période propre"> Qui est aussi la période propre «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math>».</ref> faisant intervenir <math>\;x_0\;</math> dans la borne supérieure de l'intégrale généralisée ainsi que dans la fonction à intégrer, on pourrait penser que « cette période <math>\;\mathcal{T}\;</math><ref name="période = période propre" /> dépende de l'amplitude <math>\;x_0\;</math>» est la propriété la plus vraisemblable <u>mais il n'en est rien</u> d'après l'expression de la période <math>\;\big(</math>propre<math>\big)</math> <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math> dans laquelle <math>\;x_0\;</math> n'apparaît pas ! {{Al|5}}Pour vérifier l'« indépendance de <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{4}{\omega_0}\;\displaystyle\int_0^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="période = période propre" /> relativement à <math>\;x_0\;</math>», on « transforme l'intégrale généralisée <math>\;\displaystyle\int_0^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> de façon à faire disparaître <math>\;x_0\;</math> de la fonction à intégrer », ce qui entraînera aussi, comme il y a isochronisme des oscillations, la disparition de <math>\;x_0\;</math> des bornes d'intégration : {{Al|5}}pour cela « on met <math>\;x_0\;</math> en facteur dans le dénominateur de la fonction à intégrer » selon «<math>\;\displaystyle\int_0^{x_0} \dfrac{dx}{x_0\;\sqrt{1 - \left( \dfrac{x}{x_0} \right)^{\!\!2}}} = \displaystyle\int_{x = 0}^{x = x_0} \dfrac{d\! \left( \dfrac{x}{x_0} \right)}{\sqrt{1 - \left( \dfrac{x}{x_0} \right)^{\!\!2}}}\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> soit, en posant «<math>\;u = \dfrac{x}{x_0}\;</math>», l'expression de la période sous forme intégrale utilisant la nouvelle variable «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{4}{\omega_0}\;\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}}\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="période = période propre" /> vérifiant effectivement la propriété d'« <u>isochronisme des oscillations</u> »<ref> L'amplitude <math>\;x_0\;</math> n'intervenant ni dans la fonction à intégrer, ni dans les bornes d'intégration.</ref> ; {{Al|5}}parallèlement le calcul de l'intégrale généralisée <math>\;\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> peut être achevé sachant que «<math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\;</math> admet pour primitive <math>\;\arcsin(u)\;</math>»<ref name="fonction arcsinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_sinus_:_fonction_arcsinus|fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ce qui implique «<math>\;\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \left[ \arcsin(u) \right]_0^1</math> <math>= \arcsin(1) - \arcsin(0) = \dfrac{\pi}{2}\;</math>» et par suite «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{4}{\omega_0}\;\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0}\;</math>»<ref name="période = période propre" /> C.Q.F.V.<ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier <math>\;\big(</math>usuellement on écrit C.Q.F.D. à savoir Ce Qu'il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref>. === En complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un « oscillateur harmonique amorti » === <center>Voir aussi le chap.<math>28</math> « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux|oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux]] » de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}La présence d'une « force de frottement fluide linéaire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(t) = -h\; \vec{V}_M(t) = -h\;\dot{x}(t)\;\vec{u}_x\;</math>» <u>non conservative</u> agissant sur le point matériel <math>\;M\;</math> d'un pendule élastique horizontal amorti <math>\;\big(</math>P.E.H.A.<math>\big)\;</math> et <u>développant un travail</u>, rend le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> « non conservatif », ce qui nie l'existence d'une intégrale 1^ère énergétique pour le P.E.H.A<ref name="P.E.H.A."> Pendule Élastique Horizontal Amorti.</ref>., « l'énergie mécanique de ce dernier <math>\;E_m(t)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\!(t)\;</math> obéissant alors au théorème de la puissance mécanique » «<math>\;\dfrac{d E_m}{dt}(t) = \mathcal{P}\!\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \right]\!\!(t) = \left[ -h\; \vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) = -h\; \dot{x}^2\!(t)\;</math> toujours <math>\;\leqslant 0\;</math>»<ref name="condition de nullité de la puissance de la force de frottement fluide"> La puissance développée par la force de frottement fluide linéaire étant nulle lors du passage du point <math>\;M\;</math> par ses positions d'arrêt.</ref>. {{Al|5}}La courbe d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> reste la même que celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. c'est-à-dire une parabole<ref name="parabole" /> de concavité positive, mais {{Al|5}}{{Transparent|la co}}celle d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> n’est plus une droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;x</math> ; « pour la préciser il convient de déterminer la pente de <math>\;(\Gamma_m)\;</math> au point d'abscisse <math>\;x(t)\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{d E_m}{dx} = \dfrac{d E_m}{dt}\; \dfrac{dt}{dx} =</math> <math>\dfrac{1}{\dot{x}(t)}\; \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> ou finalement <math>\;\dfrac{d E_m}{dx}(t) = -h\; \dot{x}(t)\;</math>» ; nous en déduisons les propriétés suivantes de la tangente à <math>\;(\Gamma_m)\;</math> au point générique <math>\;P_m\;</math> d'abscisse <math>\;x(t)</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>elle est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;x\;</math> aux points <math>\;P_1^{(n)}\;</math> et <math>\;P_2^{(n)}\;</math> correspondant à <math>\;M\;</math> à l'arrêt<ref name="pente nulle"> En effet la vitesse de <math>\;M\;</math> y est nulle d'où <math>\;\dfrac{d E_m}{dx}(t_{\text{arrêt}}) = -h\; \dot{x}(t_{\text{arrêt}}) = 0</math>.</ref>, ces points <math>\;P_1^{(n)}\;</math> et <math>\;P_2^{(n)}\;</math> étant respectivement les points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)</math> et d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>en tout autre point <math>\;P_m\;</math> la pente de la tangente à <math>\;(\Gamma_m)\;</math> y est <math>\;\neq 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en tout autre point <math>\;\color{transparent}{P_m}\;</math> }}elle est « positive quand le paramètre de position <math>\;x \searrow\;</math>» c'est-à-dire « quand <math>\;P_m\;</math> se déplace vers la gauche » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en tout autre point <math>\;\color{transparent}{P_m}\;</math> elle est }}« négative quand le paramètre de position <math>\;x \nearrow\;</math>» c'est-à-dire « quand <math>\;P_m\;</math> se déplace vers la droite », enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>« la pente de la tangente à <math>\;(\Gamma_m)\;</math> est extrémale aux points <math>\;P_m\;</math> associés aux instants où la vitesse de <math>\;M\;</math> est de valeur absolue <math>\;\vert \dot{x}(t) \vert\;</math> maximale » c'est-à-dire « là où l'énergie cinétique du P.E.H.A<ref name="P.E.H.A." />. <math>\;K_M(t)\;</math> est maximale » <math>\;\big[</math>cela correspond aussi aux instants tels que «<math>\;\overline{P_uP_m}(t) \;\widehat{=}\;K_M(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> est maximal »<ref> Ce n'est a priori pas au passage par la position d'équilibre <math>\;\big[</math>on le vérifie aisément sur les « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Portrait_de_phase_en_élongation_(ou_en_vitesse)_du_P.E.V.A._suivant_le_cœfficient_d'amortissement|portraits de phase en élongation du P.E.V.A. suivant le cœfficient_d'amortissement]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », le fait que le pendule élastique amorti soit vertical au lieu d'horizontal dans le chapitre précité ne changeant rien à cette observation<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}on peut vérifier que les instants à énergie cinétique maximale sont approximativement confondus avec ceux de passage par la position d'équilibre si le cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math> défini par <math>\;\dfrac{h}{m} =</math> <math>2\;\sigma\;\omega_0\;</math> avec <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> pulsation propre du P.E.H.A., est tel que <math>\;\sigma \ll 1\;</math> c.-à-d. dans le cas où le mouvement du P.E.H.A. est pseudo-périodique très faiblement amorti <math>\;\big[</math>les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] en élongation d'un tel P.E.H.A. spiralent autour du point <math>\;(x = 0\,,\,v = 0)\;</math> caractéristique de l'équilibre du P.E.H.A. mais en se fermant quasiment sur eux-mêmes sous forme de quasi-ellipses dont les axes sont les axes du repère<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}« suivant la valeur plus ou moins grande de <math>\;h\;</math>» <math>\;\bigg(\!</math>ou « plus ou moins grande du cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma = \dfrac{h}{2\;m\;\omega_0} = \dfrac{h\;\omega_0}{2\;k} = \dfrac{h}{2\;\sqrt{k\;m}}\;</math>»<math>\!\bigg)</math>, « la valeur absolue de la pente de la tangente à <math>\;(\Gamma_m)\;</math> est plus ou moins grande » : [[File:Pendule élastique horizontal amorti - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|left|thumb|500px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A<ref name="P.E.H.A." />. écarté de <math>\;a\;</math> de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement apériodique très amorti]] [[File:Pendule élastique horizontal amorti - diagramme d'énergies potentielle et mécanique - bis.png|right|thumb|440px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A<ref name="P.E.H.A." />. écarté de <math>\;a\;</math> de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement apériodique critique]] {{Al|5}}<math>\succ\;</math>« si <math>\;\sigma\;</math> est relativement grand » <math>\;\big(</math>plus précisément « si <math>\;\sigma\;</math> est <math>\;\geqslant 1\;</math>»<math>\big)</math>, « la courbe <math>\;(\Gamma_m)</math>, partant de <math>\;P_1\;</math> aboutira directement en <math>\;(x = 0\,,\, E_m = 0)\;</math>», correspondant à un « régime apériodique ou apériodique critique de <math>\;M\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir les diagrammes d’énergies potentielle et mécanique ci-contre, avec {{Nobr|C.I<ref name="C.I." />.}} <math>\;\left[ x(0) = a\,,\right.</math> <math>\,\left. V(0) = 0 \right]\;</math> et cœfficients d'amortissement différents <math>\;\big(</math>ou facteurs de qualité<ref name="Q"> On rappelle le lien entre facteur de qualité <math>\;Q\;</math> et cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma</math>, à savoir «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math>».</ref> différents<math>\big)</math> <math>\;\sigma = 2</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;Q = 0,25\big)\;</math> à gauche et <math>\;\sigma = 1\;</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;Q =</math> <math>0,5\big)\;</math> à droite<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans les cas ci-contre, le retour à la position d'équilibre se fait, à partir de <math>\;P_1</math>, avec une énergie cinétique faible <math>\;\big[</math>dans ces deux cas, «<math>\;\overline{P_uP_m}(t) \;\widehat{=}\;K_M(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> étant petit »<math>\big]\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>et}} même très faible dans le cas <math>\;\sigma = 2\;</math> à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'on compare les deux diagrammes d'énergies, c'est dans le cas d'un régime apériodique critique <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)\;</math> que le retour à la position d'équilibre <math>\;x = 0\;</math> est le plus rapide <math>\;\big[</math>il se fait à énergie cinétique plus grande, <math>\;(\Gamma_m)\;</math> plus « écartée » de <math>\;(\Gamma_u)\big]</math> ; {{clr}} [[File:Pendule élastique horizontal amorti - diagramme d'énergies potentielle et mécanique - ter.png|left|thumb|445px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A<ref name="P.E.H.A." />. écarté de <math>\;a\;</math> de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement pseudo-périodique relativement amorti]] [[File:Pendule élastique horizontal amorti - diagramme d'énergies potentielle et mécanique - tetra.png|right|thumb|455px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A<ref name="P.E.H.A." />. écarté de <math>\;a\;</math> de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement pseudo-périodique faiblement amorti]] {{Al|5}}<math>\succ\;</math>« si <math>\;\sigma\;</math> est relativement faible » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire « si <math>\;\sigma\;</math> est <math>\;< 1\;</math>»<math>\big)</math>, « la courbe <math>\;(\Gamma_m)</math>, partant de <math>\;P_1\;</math> rencontrera <math>\;(\Gamma_u)\;</math> en <math>\;P_2\;</math>» <math>\;\bigg[x \searrow\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{x}(t) < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dE_m}{dx} > 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m \searrow\;</math> quand <math>\;x \searrow\bigg]\;</math> puis « repartira dans l'autre sens et rencontrera <math>\;(\Gamma_u)\;</math> en <math>\;{P'}_1</math>» <math>\;\bigg[\;x \nearrow\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{x}(t) > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dE_m}{dx} < 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m \searrow\;</math> quand <math>\;x \nearrow\bigg]\;</math> etc<math>\ldots</math> correspondant à un « régime pseudo-périodique de <math>\;M\;</math>» <math>\;\big\{</math>ci-contre diagrammes d’énergies potentielle et mécanique avec C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left[ x(0) = a\,,\, V(0) = 0 \right]\;</math> et cœfficients d'amortissement différents <math>\;\big(</math>ou facteurs de {{Nobr|qualité<ref name="Q" />}} différents<math>\big)</math> <math>\;\sigma = 0,125\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;Q = 4\big)\;</math> à gauche et <math>\;\sigma = 0,0125\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;Q = 40\big)\;</math> à droite<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans les cas ci-contre «<math>\;P_m\;</math> et <math>\;P_u\;</math> partent d'un 1^er mûr d'énergie potentielle en <math>\;P_1</math>, butent sur un 2^ème en <math>\;P_2</math> puis un 3^ème en <math>\;{P'}_{\!1}</math>, un 4^ème en <math>\;{P'}_{\!2}\;</math> etc<math>\ldots\;</math>» <math>\;\big[</math>chaque couple de murs d'énergie potentielle <math>\;\left( P_1\,,\,P_2 \right)</math>, <math>\;\left( {P'}_{\!1}\,,\,{P'}_{\!2} \right)</math>, <math>\;\left( {P''}_{\!\!1}\,,\,{P''}_{\!\!2} \right)</math> <math>\ldots\;</math> correspondant à une pseudo-oscillation de <math>\;M\big]</math>, « l'amplitude de ces pseudo oscillations <math>\;\searrow\;</math><ref> En accord avec à un resserrement progressif des murs d'énergie potentielle.</ref> » ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math><u>remarque</u> : « la durée pour aller de <math>\;P_1\;</math> à <math>\;{P'}_{\!1}\;</math> via <math>\;P_2\;</math>, de <math>\;{P'}_{\!1}\;</math> à <math>\;{P''}_{\!\!1}\;</math> via <math>\;{P'}_{\!2}\;</math> ou de <math>\;{P''}_{\!\!1}\;</math> à <math>\;{P'''}_{\!\!\!1}\;</math> via <math>\;{P''}_{\!\!2}\;\ldots\;</math> est la même pour une même valeur de cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math>» car chacune correspond à une pseudo-période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> avec <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0}\;</math> la période propre du P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />.{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_diagramme_temporel_de_la_variation_de_uC(t)_dans_le_cas_d'une_réponse_transitoire_pseudo-périodique_et_commentaires|tracé du diagramme temporel de la variation de u_C(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique]] (analogue électromécanique du diagramme temporel de l'élongation d'un P.E.H.A. en réponse pseudo-périodique) » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, toutefois il est impossible de le montrer par simple étude du diagramme énergétique. == Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations == <center>Voir aussi le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> === Écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté === {{Al|5}}Le P.P.S<ref name="P.P.S." />. <math>\;\big[</math>constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur <math>\;l</math>, mobile autour de son extrémité fixe <math>\;O</math>, l'autre extrémité étant liée à un point matériel <math>\;M\;</math> dont on étudie le mouvement<math>\big]\;</math> est à un degré de liberté si les C.I<ref name="C.I." />. de lancement sont les conditions<ref name="1a ou 1b" /> * <math>\;\left( 1\mathfrak{a} \right)\;</math> à savoir « P.P.S<ref name="P.P.S." />. écarté de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale » ou * <math>\;\left( 1\mathfrak{b} \right)\;</math> à savoir « P.P.S<ref name="P.P.S." />. écarté de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché avec vitesse initiale dans le plan vertical de lancement ». {{Al|5}}Le point matériel <math>\;M\;</math> étant lâché dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left( 1\mathfrak{a} \right)</math>, son mouvement est plan dans le plan vertical de lancement<ref name="mouvement vertical du P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|Schéma d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. à mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> <math>\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> du point <math>\;M\;</math> du P.P.S<ref name="P.P.S." />. et représentation des deux forces s'appliquant sur <math>\;M</math>]] {{Al|5}}on oriente l'axe vertical <math>\;\overrightarrow{z'z}\;</math> passant par <math>\;O\;</math> dans le <u>sens</u><math>\;\downarrow</math>, l'origine de cet axe étant le point <math>\;O\;</math> et le sens <math>\;+\;</math> des angles du « plan vertical de lancement » tel que <u>l'élongation angulaire initiale</u><math>\;\theta_0\;</math><u>soit positive</u>, permet de préciser l'orientation de l'« axe <math>\;\Delta\;</math> autour duquel le P.P.S<ref name="P.P.S." />. tourne »<ref> Axe horizontal passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement <math>\;\big(</math>qui est aussi le plan du mouvement du point <math>\;M\big)</math>.</ref> selon <math>\;\vec{u}_\Delta</math> ; {{Al|5}}on utilise le « repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> pour repérer le point <math>\;M\;</math> dans le plan de son mouvement c'est-à-dire le plan vertical de lancement », « ses coordonnées polaires étant <math>\;\left( l\,,\, \theta \right)\;</math>» et « sa base polaire <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>» avec «<math>\;\vec{u}_r = \dfrac{\overrightarrow{OM}}{l}\;</math>» d'une part et «<math>\;\vec{u}_\theta = \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r\;</math>»<ref> La base cartésienne du repère associé au référentiel terrestre orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et supposé galiléen étant choisie directe <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref> <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> étant donc tangent à la trajectoire circulaire de <math>\;M\;</math> dans le sens <math>\;+\;</math> des angles du « plan vertical de lancement ».</ref> d'autre part ; {{Al|5}}le point matériel <math>\;M\;</math> étant soumis <math>\blacktriangleright\;</math>à son « poids <math>\,m\,\vec{g}= m\,g\,\vec{u}_z\;</math>» force conservative dérivant de l'« énergie potentielle de pesanteur <math>\,U_{\text{pes}}(M) =</math> <math>m\;g \left( l - z \right)\;</math> avec référence en <math>\;z = l\;</math>»<ref name="énergie potentielle de pesanteur avec axe vertical descendant" /> c'est-à-dire à la cote de la position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant soumis }}<math>\blacktriangleright\;</math>à une force non conservative « la tension de la tige <math>\;\vec{T} = \overline{T}\;\vec{u}_r\;</math> s'exerçant sur <math>\;M\;</math>» « <u>qui ne travaille pas</u> »<ref name="travail de la tension de la tige nul" />, {{Al|5}}{{Transparent|le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}a un « mouvement conservatif »<ref name="mouvement conservatif" />, caractérisé par l’intégrale 1^ère énergétique «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math> avec <math>\;E_m(t) = K_M(t) + U_{\text{pes}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}\!(t) + m\;g \left[ l - z(t) \right]\;</math>» et «<math>\;E_{m,\,0} = \cancel{K_M(0) +}\; U_{\text{pes}}(0)\;</math> d'après les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left( 1\mathfrak{a} \right)\;</math>» soit, la cote <math>\;z\;</math> du point <math>\;M\;</math> étant liée à son abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> par <math>\;z = l\; \cos(\theta)\;</math> et son vecteur vitesse étant tangent à sa trajectoire circulaire <math>\;\vec{V}_M(t) = V_\theta(t)\;\vec{u}_\theta\;</math> avec <math>\;V_\theta(t) = l\;\dot{\theta}(t)</math>, d'où <br>{{Al|9}}{{Transparent|le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> a un « mouvement conservatif », }}la réécriture de l'intégrale 1^ère énergétique du point <math>\;M</math> «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> a un « mouvement conservatif », }}«<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;l \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = m\;g\;l \left[ 1 - \cos\! \left(\theta_0 \right) \right]\;</math> <math>\big[M\;</math> lancé sous C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left( 1\mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="1a ou 1b" /><math>\big]\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> a un « mouvement conservatif », }}et référence de l'énergie potentielle de pesanteur au passage par la “ position d'équilibre stable ”<ref name="équilibre stable" /> ». === Diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) « 1a » === [[File:Pendule pesant simple - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|thumb|450px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A."> Pendule Pesant Simple Non Amorti.</ref>. écarté de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale avec précision des deux murs d'énergie potentielle ainsi que de la nature {{Nobr|<math>\;\big(</math>cinétiquement<math>\big)\;</math>}} bornée de la trajectoire]] {{Al|5}}Dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace les courbes * d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> en bleu ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points <math>\;P_u\;</math> d'abscisse <math>\;\theta\;</math> et d'ordonnée <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;l \left[ 1 - \cos(\theta) \right]</math> <math>\;\bigg[(\Gamma_u)\;</math> étant une sinusoïde tracée sur une période de l'intervalle de variation de <math>\;\theta\;</math> à savoir <math>\;\left[ -\pi\,,\,+\pi \right]</math>, de minimum nul pour <math>\;\theta = 0\;</math> et de maxima <math>\;2\;m\;g\;l\;</math> pour <math>\;\theta = \pm\pi</math>, la valeur moyenne <math>\;m\;g\;l\;</math> étant obtenue pour <math>\;\theta =</math> <math>\pm\dfrac{\pi}{2}\bigg]\;</math> et * d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> en rouge ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points <math>\;P_m\;</math> d'abscisse <math>\;\theta\;</math> et d'ordonnée <math>\;E_m(\theta) =</math> <math>E_{m,\,0} = m\;g\;l \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]</math> <math>\;\bigg[(\Gamma_m)\;</math> étant une droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;\theta\;</math> d'ordonnée <math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{3}{2}\;m\;g\;l\;</math> l'élongation angulaire initiale étant <math>\;\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\;</math> avec une vitesse angulaire initiale nulle<math>\bigg]</math>. === Présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée === {{Al|5}}On observe, sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, la présence de deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'élongations angulaires interdites tels que <math>\;U_{\text{pes}} \ngtr E_{m,\,0}</math>, * l'un correspondant à <math>\;P_0\;</math> position commune initiale des points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> d'abscisse angulaire <math>\;\theta_0\;</math> et * l'autre {{Transparent|correspond}} à <math>\;{P'}_0\;</math> position symétrique de <math>\;P_0\;</math> par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse angulaire <math>\;{\theta'}_0 = -\theta_0</math> ; {{Al|5}}ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}\theta \!\!&<&\!\! {\theta'}_{\!0} = -\theta_0 \\ \theta \!\!&>&\!\! \theta_0 \end{array} \right\rbrace\;</math> pour la variation de l'abscisse angulaire du point matériel <math>\;M\;</math> ceci entraînant que <math>\;M\;</math> a une <u>trajectoire cinétiquement bornée</u>, le domaine de variation de son abscisse angulaire étant un intervalle à bornes finies à savoir <math>\;\left[ {\theta'}_0 = -\theta_0\; ,\; \theta_0 \right]</math> <math>\;\big\{</math>le point matériel <math>\;M\;</math> est donc dans un <u>état lié</u> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ceci}} correspondant à un déplacement possible des points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> des courbes <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> entre les deux murs d'énergie potentielle ou, ce qui est équivalent, dans une <u>cuvette</u><math>\;\big(</math><u>ou puits</u><math>\big)\;</math><u>d'énergie potentielle</u><math>\big]\big\}</math>. === Détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté « par diagramme énergétique » === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La nature oscillatoire n'a pas été établie mais simplement vérifiée dans le chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}vérifications numérique par résolution numérique de l'équation différentielle du mouvement du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.{{,}}<ref name="équation différentielle du P.P.S.N.A."> L'équation différentielle <math>\;l\;\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\!\left[ \theta(t) \right] = 0\;</math> n'admettant pas de solution analytique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>, nous n'avons pas pu, pour l'instant, vérifier la nature oscillatoire du P.P.S. autrement que par résolution numérique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle du P.P.S. dans les C.I. 1a avec tracé du diagramme horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du même chap.<math>12</math> de la même leçon<math>\big)</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : vérifications }}graphique par tracé de [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<ref name="portrait de phase" /> correspondants<ref name="portraits de phase d'un P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle du P.P.S. dans les C.I. 1a avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] .</ref>,<br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}nous nous proposons de la vérifier de nouveau graphiquement par diagramme d'énergies potentielle et mécanique <math>\;\big(</math>tracé dans un [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|paragraphe précédent]]<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les C.I<ref name="C.I." />. étant telles que <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sont initialement confondus en <math>\;P_0\;</math> sur le mur d'énergie potentielle de droite <math>\;\theta = \theta_0</math>, la présence du mur interdisant la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\theta</math>, nous en déduisons que {{nobr|«<math>\;\theta\;</math>}} reste constant ou <math>\;\searrow\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}or <math>\;\theta = \theta_0\;</math> qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre »<ref name="équilibre en terme d'énergie" />, <math>\;\theta\;</math> ne peut rester constant et par suite <math>\;\searrow\;</math> strictement, les points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite <math>\;\big(</math>c'est-à-dire vers la gauche<math>\big)\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>ces déplacements simultanés engendrant d'abord une <math>\;\nearrow\;</math> continue de <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> jusqu'au passage de <math>\;P_m\;</math> par <math>\;P_e\;</math> puis une <math>\;\searrow\;</math> continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se rejoignent en <math>\;{P'}_{\!0}\;</math> point commun du mur d'énergie potentielle de gauche <math>\;\theta =</math> <math>{\theta'}_{\!0} = -\theta_0</math>, la présence de ce mur interdisant la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\theta</math>, nous en déduisons que «<math>\;\theta\;</math> reste constant ou <math>\;\nearrow\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}or <math>\;\theta = {\theta'}_{\!0} = -\theta_0\;</math> qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre »<ref name="équilibre en terme d'énergie" />, <math>\;\theta\;</math> ne peut rester constant et par suite <math>\;\nearrow\;</math> strictement, les points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche <math>\;\big(</math>c'est-à-dire vers la droite<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>ces déplacements simultanés engendrant d'abord une <math>\;\nearrow\;</math> continue de <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> jusqu'au nouveau passage de <math>\;P_m\;</math> par <math>\;P_e\;</math> puis une <math>\;\searrow\;</math> continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se rejoignent en <math>\;P_0\;</math> point commun du mur d'énergie potentielle de droite <math>\;\theta = \theta_0</math>, la présence de ce mur interdisant la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\theta</math>, nous en déduisons que «<math>\;\theta\;</math> reste constant ou <math>\;\searrow\;</math>», ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se poursuivent à l'infini <math>\;\big(</math>en absence d'amortissements<math>\big)\;</math> de façon identique <math>\;\ldots</math> <center>d'où, en conséquence, <u>la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S.N.A.</u><ref name="P.P.S.N.A." />.</center> === Détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La nature périodique n'a pas été établie mais simplement vérifiée simultanément à la nature oscillatoire dans le chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}par résolution numérique de l'équation différentielle du mouvement du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.{{,}}<ref name="équation différentielle du P.P.S.N.A." /> <math>\;\big(</math>par contre le tracé des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<ref name="portrait de phase" /> n'apporte aucune information<ref> En effet la notion de temps n'apparaissant pas explicitement dans le tracé d'un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]], un 2^ème tour peut être effectué en une durée différente de celle d'un 1^er tour <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Portrait_de_phase_d'un_système_dynamique#Définition_du_portrait_de_phase_d'un_système_dynamique_classique_à_un_degré_de_liberté|définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>,<br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}nous nous proposons de l'établir en utilisant simultanément l'intégrale 1^ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique. {{Al|5}}Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. par utilisation simultanée de son intégrale 1^ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut « montrer que la durée correspondant au n^ème aller-retour des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> de <math>\;P_0 \rightarrow {P'}_{\!0} \rightarrow P_0\;</math> est indépendant du numéro <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> de l'aller-retour » : {{Al|5}}on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique du mouvement du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. <math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;l\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math> avec les mêmes C.I<ref name="C.I." />. que précédemment<ref name="indépendance de l'énergie mécanique initiale - bis"> Mais tout ce qui suit est indépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;\ldots\;</math> pourvu que celle-ci reste <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;l\;</math> la valeur maximale de l'énergie potentielle de pesanteur.</ref> <math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;l\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dfrac{2\;g}{l}\, \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos(\theta_0) \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t) =</math> <math>\pm\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}\,\left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos(\theta_0) \right\rbrace}\;</math>»<ref name="choix du signe" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique }}« la durée élémentaire <math>\;dt\;</math> correspondant à une variation élémentaire <math>\;d \theta\;</math> de l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> du point <math>\;M\;</math>» s'écrit <br>{{Al|2}}{{Transparent|on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique « la durée élémentaire }}«<math>\;dt = \pm \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}\,\left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos(\theta_0) \right\rbrace}}\;</math>»<ref name="déf si valeur absolue de theta différent de theta0"> Cette expression n'étant définie que si <math>\;\vert \theta \vert \neq \theta_0</math>, dans le cas où <math>\;\vert \theta \vert\;</math> est égale à <math>\;\theta_0\;</math> la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de <math>\;dt\;</math> non infinie, <math>\;d \theta = 0\;</math> correspondant alors à un état stationnaire de <math>\;\theta</math> <math>\;\big(</math>plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de <math>\;\theta\;</math> pour laquelle la vitesse est effectivement nulle<math>\big)</math>, la levée de la forme indéterminée <math>\;\dfrac{d \theta}{\sqrt{\cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos(\theta_0)}}\;</math> conduisant à une valeur infiniment petite proportionnelle à <math>\;dt</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix du signe" /> ; {{Al|5}}on utilise dans un 2^ème temps le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre <math>\;+\;</math> et <math>\;-\;</math> suivant le sens de déplacement des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> entre les deux murs d'énergie potentielle <math>\;\big\{</math>soit encore leur sens de déplacement dans la cuvette <math>\;\big(</math>ou puits<math>\big)\;</math> d'énergie potentielle<math>\big\}</math> : {{Al|5}}{{Transparent|on utilise dans un 2^ème temps }}<math>\;\succ\;</math>pour le n^ème aller des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;P_0\;</math> à <math>\;{P'}_{\!0}</math>, <math>\;\theta \searrow\;</math> d'où <math>\;d \theta\;</math> correspondant à <math>\;dt > 0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;dt = -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}\,\left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos(\theta_0) \right\rbrace}}\;</math>»<ref name="déf si valeur absolue de theta différent de theta0" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on utilise dans un 2^ème temps <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}la durée totale du n^ème aller s'obtenant alors par intégration selon «<math>\;\Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_{\!0}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{-\theta_0} -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}} = \displaystyle\int_{-\theta_0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|on utilise dans un 2^ème temps }}<math>\;\succ\;</math>pour le n^ème retour des mêmes points de <math>\;{P'}_{\!0}\;</math> à <math>\;P_0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> d'où <math>\;d \theta\;</math> correspondant à <math>\;dt > 0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;dt = \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}\,\left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos(\theta_0) \right\rbrace}}\;</math>»<ref name="déf si valeur absolue de theta différent de theta0" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on utilise dans un 2^ème temps <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}la durée totale du n^ème retour s'obtenant aussi par intégration selon «<math>\;\Delta t_{{P'}_{\!0}\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_0} = \displaystyle\int_{-\theta_0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}\,\left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] - \cos(\theta_0) \right\rbrace}} = \Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_{\!0}}\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> ; {{Al|5}}on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation du point <math>\;M</math>, «<math>\;\Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_{\!0}\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_0} = \Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_{\!0}} + \Delta t_{{P'}_{\!0}\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_0} = 2\;\Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_{\!0}}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation }}«<math>\;\Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_{\!0}\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_0} = 2\;\displaystyle\int_{-\theta_0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée"/> indépendante de <math>\;n\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation }}<math>\;\big(</math>la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes<math>\big)</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation }}ce qui établit la <u>nature périodique</u> du mouvement d'oscillations du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. <math>\;M</math>. {{Al|5}}La période <math>\;\mathcal{T}\;</math> du mouvement d'oscillations du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. <math>\;M\;</math> étant la durée d'un aller-retour des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;P_0\;</math> à <math>\;P_0\;</math> en passant par <math>\;{P'}_{\!0}</math>, s'obtient par l'intégrale suivante <center>«<math>\;\mathcal{T} = \Delta t_{P_0\,\rightarrow\,{P'}_0\,\rightarrow\,P_0} = 2\;\displaystyle\int_{-\theta_0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}} = 4\;\displaystyle\int_0^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}}\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref> La fonction à intégrer étant paire on a <math>\;\displaystyle\int_{-\theta_0}^{0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}} = \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}}</math>.</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;</math> la période des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires"> C'est en fait la valeur absolue des élongations angulaires qui est considérée petite <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1</math>.</ref> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.{{,}}<ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Période_des_«_petites_élongations_angulaires_»_du_P.P.S.|période des petites élongations angulaires du P.P.S.(N.A.)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'intégrale généralisée <math>\;\displaystyle\int_0^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}}\;</math> <u>n'est pas algébriquement calculable avec les fonctions usuelles</u>, on utilise un logiciel de calcul <math>\;\big(</math>par exemple Scilab<math>\big)\;</math><ref name="évaluation numérique de la période"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément : évaluation numérique de la période et comparaison avec l'expression approchée de de Borda]] » plus loin dans le chapitre.</ref> pour l'évaluer numériquement avec n'importe quelle valeur numérique de <math>\;\theta_0</math>. === Absence d'isochronisme des oscillations === <center>Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition de l'isochronisme d'un oscillateur]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}Au regard de l'expression de la période d'oscillations du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. écrite sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|détermination de la nature périodique du P.P.S. à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;</math> période des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" />{{,}}<ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A." /> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. » faisant intervenir <math>\;\theta_0\;</math> dans la borne supérieure de l'intégrale généralisée ainsi que dans la fonction à intégrer, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Au regard de l'expression de la période d'oscillations du P.P.S.N.A. }}on ne peut affirmer que « cette période <math>\;\mathcal{T}\;</math> dépende effectivement de l'amplitude <math>\;\theta_0\;</math>» car il pourrait y avoir un effet de compensation comme cela se produit dans l'expression de la période sous forme intégrale d'un P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{4}{\omega_0}\;\displaystyle\int_0^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="période = période propre" />{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Isochronisme_des_oscillations|isochronisme des oscillations]] (d'un P.E.H.N.A.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}pour pouvoir affirmer que « la période d'oscillation sous forme intégrale <math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. dépend effectivement de l'amplitude <math>\;\theta_0\;</math>», on choisit d'éliminer <math>\;\theta_0\;</math> des bornes d'intégration en s'attendant à ce que <math>\;\theta_0\;</math> reste dans la fonction à intégrer<ref> On aurait aussi pu choisir d'éliminer <math>\;\theta_0\;</math> de la fonction à intégrer en s'attendant à ce que <math>\;\theta_0\;</math> reste présent dans les bornes d'intégration.</ref> et, si ceci se produit, cela démontre l'effective dépendance de la période d'oscillations avec l'amplitude <math>\;\theta_0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|pour pouvoir affirmer }}la présence de la racine carrée de l'expression <math>\;\cos(\theta) - \cos(\theta_0)\;</math> suggère de passer en angle moitié par utilisation de «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \cos(\theta) = 1 - 2\;\sin^2\!\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \\ \cos(\theta_0) = 1 - 2\;\sin^2\!\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>» dont on déduit {{Nobr|«<math>\;\cos(\theta) - \cos(\theta_0)</math>}} <math>= 2 \left[ \sin^2\!\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \sin^2\!\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]\;</math>» d'où «<math>\;\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]} = 2\;\sqrt{\sin^2\!\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \sin^2\!\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vert \theta \vert \leqslant \theta_0 < \pi\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Bigg\vert \dfrac{\theta}{2} \Bigg\vert \leqslant \dfrac{\theta_0}{2} < \dfrac{\pi}{2}\;</math>» dont une conséquence étant «<math>\;\Bigg\vert \sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \Bigg\vert \leqslant \sin\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\;</math>» permet de choisir une « nouvelle variable <math>\;u\;</math> telle que <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)}\;</math>» d'où «<math>\;\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]} = 2\;\sin\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\,\sqrt{1 - \sin^2(u)}\;</math>» soit encore {{Nobr|«<math>\; \sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}</math>}} <math>= 2\;\sin\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\,\vert \cos(u) \vert\;</math>» avec surtout « des valeurs de bornes d'intégration pour <math>\;u\;</math> indépendantes de <math>\;\theta_0\;</math>» car à «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta = 0 &\text{correspond} &u = 0\\ \theta = \theta_0 & &u = \dfrac{\pi}{2}\end{array}\right\rbrace\;</math>», d'où, <math>\;u\;</math> étant aigu, la réécriture de l'expression «<math>\;\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]} = 2\;\sin\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\, \cos(u)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|pour pouvoir affirmer }}pour poursuivre le changement de variable « on différencie l'expression <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)}\;</math>» soit «<math>\;\cos(u)\; du = \dfrac{\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \dfrac{d \theta}{2}}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d \theta = \dfrac{2\;\sin\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\,\cos(u)\;du}{\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour pouvoir affirmer }}expression dans laquelle il faut éliminer <math>\;\theta\;</math> au profit de <math>\;u\;</math> dans le membre de droite soit, <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> étant aigu, «<math>\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) = \sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta}{2} \right)} = \sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\,\sin^2(u)}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour pouvoir affirmer }}l'expression finale de <math>\;d \theta\;</math> en fonction de <math>\;du</math>, «<math>\;d \theta = \dfrac{2\;\sin\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\,\cos(u)}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;du\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|pour pouvoir affirmer }}l'intégrale généralisée à transformer se réécrit donc «<math>\;\displaystyle\int_0^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}} = \displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{\dfrac{2\;\sin \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\,\cos(u)}{\sqrt{1 - \sin^2\!\left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;du}{2\;\sin\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\, \cos(u)} = \displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>»<ref> Ce changement de variable a transformé une intégrale généralisée <math>\;\big(</math>ou impropre<math>\big)\;</math> en une intégrale propre, la fonction à intégrer, à savoir <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\,\sin^2(u)}}</math>, étant maintenant définie pour toute valeur du domaine de variation de <math>\;u\;</math> à savoir <math>\;\left[ 0\,,\,\dfrac{\pi}{2} \right]</math>.</ref> soit finalement l'expression de la période sous forme intégrale du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. avec utilisation de la variable <math>\;u</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;</math> la période des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.{{,}}<ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A." /> », expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.S.N.A.</u><ref name="P.P.S.N.A." /> car «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépend effectivement de <math>\theta_0\;</math>»<ref> La fonction à intégrer en dépendant mais les bornes en étant indépendantes.</ref>. === En complément : évaluation numérique de la période et comparaison avec l'« expression approchée de de Borda » === {{Al|5}}La formule empirique de de Borda<ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’[[w:Académie_des_sciences_(France)|Académie des Sciences]] à partir de <math>\;1756</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’[[w:Académie_des_sciences_(France)|Académie des Sciences]], en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' <math>\;\big[</math>'''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés<math>\big]</math>, d’étudier la longueur du pendule battant la seconde <math>\;\big[</math>pour cette occasion '''[[w:Étienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Étienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long <math>\;\big(</math>un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' <math>\;\big(</math>également membres de l’[[w:Académie_des_sciences_(France)|Académie des Sciences]]<math>\big)\;</math> il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''[[w:Dunkerque|Dunkerque]]''' à '''[[w:Barcelone|Barcelone]]'''.</ref> d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. a été introduite dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Expression_empirique_dite_de_«_de_Borda_»_de_la_période_d'oscillations_d’un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|expression empirique dite de “de Borda” de la période d'oscillations d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; elle s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^{\,2}}{16} \right)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;</math> est la période <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> des petites élongations angulaires »<ref name="petites élongations angulaires" /> et <br>{{Al|54}}«<math>\;\theta_m\;</math> l'amplitude des oscillations<ref> Égale à <math>\;\theta_0\;</math> pour un P.P.S. lancé dans les C.I. <math>\;1a</math>.</ref> <math>\;\big(</math>a priori non petite<math>\big)\;</math> exprimée en <math>\;rad\;</math>», <br>{{Al|71}}celle-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près.</center> {{Al|5}}Le logiciel de calcul numérique utilisé pour évaluer la période d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à partir de l'expression de cette dernière sous forme intégrale et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le logiciel de calcul numérique utilisé pour }}la comparer à l'expression empirique de « de Borda »<ref name="de Borda" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le logiciel de calcul numérique }}est l'un de ceux proposés par le programme de physique de P.C.S.I. « Scilab »<ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref>, le programme utilisé<ref name="aide logiciel"> Vous pourrez trouver les explications dans l'aide du logiciel <math>\;\ldots</math></ref> ainsi que les commentaires immédiats sont donnés ci-dessous : * si la longueur de la tige du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. est <math>\;l = 1,000\;m\;</math> dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité <math>\;g = 9,81\;m \cdot s^{-2}</math>, pour une élongation angulaire initiale <math>\;\theta_0 = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale nulle, les lignes de programme <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)</math>, les réponses de '''Scilab''' <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> et mes commentaires entre parenthèses <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> donnent : g = 9.81 ; L = 1.0 ; T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) {{Al|40}} <span style="color:#ff0000;">T0 = 2.0060667</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(période des petites élongations angulaires)</span> %theta1 = %pi/3 ; function y = f(u) ; y = 2*T0/%pi/sqrt(1-(sin(%theta1/2))^2*(sin(u))^2) ; endfunction T1 = integrate('f(u)' , 'u' , 0 , %pi/2) {{Al|18}} <span style="color:#ff0000;">T1 = 2.1528747</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(période par calcul d’intégrale)</span> Tb = T0*(1+(%theta1)^2/16) {{Al|28}} <span style="color:#ff0000;">Tb = 2.1435603</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(expression approchée de de Borda)</span> (T1-Tb)/T1 {{Al|55}} <span style="color:#ff0000;">ans = 0.0043265</span> {{Al|18}} <span style="color:#0080ff;">(soit 0,43 % d’écart entre la période et l'expression approchée de de Borda)</span><ref name="comparaison avec formule de de Borda"> On vérifie effectivement que l'expression empirique de de Borda n'est pas applicable pour des amplitudes trop grandes <math>\;\big(</math>moins de <math>\;1\, \%\;</math> nécessitant une amplitude inférieure à <math>\;75\, \text{°}\big)</math>.</ref> ; * si la longueur de la tige du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. est <math>\;l = 1,000\;m\;</math> dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité <math>\;g = 9,81\;m \cdot s^{-2}</math>, pour une élongation angulaire initiale <math>\;\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale nulle, les lignes de programme <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)</math>, les réponses de '''Scilab''' <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> et mes commentaires entre parenthèses <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> donnent : g = 9.81 ; L = 1.0 ; T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) {{Al|40}} <span style="color:#ff0000;">T0 = 2.0060667</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(période des petites élongations angulaires)</span> %theta2 = 2*%pi/3 ; function y = g(u) ; y = 2*T0/%pi/sqrt(1-(sin(%theta2/2))^2*(sin(u))^2) ; endfunction T2 = integrate('g(u)' , 'u' , 0 , %pi/2) {{Al|17}} <span style="color:#ff0000;">T2 = 2.7540898</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(période par calcul d’intégrale)</span> Tb = T0*(1+(%theta2)^2/16) {{Al|28}} <span style="color:#ff0000;">Tb = 2.5560413</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(expression approchée de de Borda)</span> (T2-Tb)/T2 {{Al|55}} <span style="color:#ff0000;">ans = 0.0719107</span> {{Al|18}} <span style="color:#0080ff;">(soit 7,19 % d’écart entre la période et l'expression approchée de de Borda)</span><ref name="comparaison avec formule de de Borda" /> ; * si la longueur de la tige du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. est <math>\;l = 1,000\;m\;</math> dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité <math>\;g = 9,81\;m \cdot s^{-2}</math>, pour une élongation angulaire initiale <math>\;\theta_0 = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale nulle, les lignes de programme <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)</math>, les réponses de '''Scilab''' <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> et mes commentaires entre parenthèses <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> donnent : g = 9.81 ; L = 1.0 ; T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) {{Al|40}} <span style="color:#ff0000;">T0 = 2.0060667</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(période des petites élongations angulaires)</span> %theta3 = 5*%pi/6 ; function y = h(u) ; y = 2*T0/%pi/sqrt(1-(sin(%theta3/2))^2*(sin(u))^2) ; endfunction T3 = integrate('h(u)' , 'u' , 0 , %pi/2) {{Al|17}} <span style="color:#ff0000;">T3 = 3.5350982</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(période par calcul d’intégrale)</span> Tb = T0*(1+(%theta3)^2/16) {{Al|28}} <span style="color:#ff0000;">Tb = 2.8654019</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(expression approchée de de Borda)</span> (T3-Tb)/T3 {{Al|55}} <span style="color:#ff0000;">ans = 0.1894420</span> {{Al|18}} <span style="color:#0080ff;">(soit 18,94 % d’écart entre la période et l'expression approchée de de Borda)</span><ref name="comparaison avec formule de de Borda" />. === Retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en termes de diagramme d'énergies potentielle et mécanique === {{Al|5}}Nous avons établi, au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}que le P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à un degré de liberté étudié dans le cas des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /> est un oscillateur harmonique, cette démonstration <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi }}utilisant la « 1^ère définition d'un oscillateur harmonique à une dimension » à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi utilisant la « 1^ère définition }}« un oscillateur harmonique à une dimension est un système physique repéré par un paramètre noté <math>\;x\;</math> obéissant à une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre <math>\;\big(</math>homogène<math>\big)\;</math> en <math>\;x(t)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre si l'oscillateur n’est pas amorti<math>\big)\;</math> soit, sous forme normalisée, <math>\;\ddot{x}(t) + \omega_0^{\,2}\; x(t) = 0\;</math>»<ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}nous avons également vu une « 2^ème [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition énergétique d’un oscillateur harmonique]] (équivalente à la 1^ère) » au chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|4}}{{Transparent|nous avons également vu une « 2^ème définition }}« un oscillateur harmonique est un système physique à un degré de liberté de paramètre d'état noté <math>\;x\;</math> plongé dans un puits d'énergie potentielle parabolique <math>\;\big(</math>en absence de grandeur de dissipation, le système physique est “ conservatif ”<ref name="système conservatif"> S'il s'agit d'un point matériel, celui-ci est « à mouvement conservatif » ; <br>{{Al|3}}s'il s’agit d'un système de points matériels, les forces extérieures et intérieures doivent être toutes conservatives ou s'il y a des forces non conservatives elles ne doivent pas travailler <math>\;\big(</math>il s’agit donc nécessairement d'un solide<math>\big)\;</math> et dans ce cas on parle de « système conservatif » ; <br>{{Al|3}}s'il s'agit d'un système non mécanique <math>\;\big(</math>comme un <math>\;L\; C\;</math> série court-circuité, <math>\;C\;</math> étant initialement chargé<math>\big)</math>, il ne doit pas y avoir d'éléments dissipatifs comme les conducteurs ohmiques, le système étant encore qualifié de « conservatif ».</ref> et l'oscillateur n'est pas amorti<math>\big)\;</math>» ; {{Al|5}}il faut donc montrer que la courbe d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> se confond avec une parabole<ref name="parabole" /> dans l'hypothèse des petites oscillations<ref name="petites élongations angulaires /> ; {{Al|5}}{{Transparent|il faut donc montrer }}dans le cas des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires /> obtenues dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left( 1.a \right)\;</math> où le pendule a été écarté initialement de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> d'un petit angle <math>\;\theta_0\;</math> et lâché sans vitesse initiale, les oscillations de faible amplitude <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> correspondant à <math>\;\vert \theta(t) \vert \leqslant \vert \theta_0 \vert \ll 1,\; \forall\; t</math>, on peut donc effectuer un « D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. de <math>\;\cos(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;0\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\theta\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre deux de fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon «<math>\;\cos(\theta) \simeq 1 - \dfrac{\theta^{\,2}}{2}\;</math>» et en déduire le D.L<ref name="D.L." />. au voisinage de <math>\;\theta = 0\;</math> au même ordre deux en <math>\;\theta\;</math> de l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.S<ref name="P.P.S." />. à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;l \left[ 1 - \cos(\theta) \right] \simeq</math> <math>m\;g\;l \left[ 1 - \left( 1 - \dfrac{\theta^{\,2}}{2} \right) \right]\;</math>» soit «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) \simeq \dfrac{1}{2}\; m\;g\;l\; \theta^{\,2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <u>la courbe d'énergie potentielle</u><math>\;(\Gamma_u)\;</math> est, au voisinage de son minimum, <u>localement parabolique</u> ; {{Al|5}}{{Transparent|il faut donc montrer }}nous vérifions donc bien <math>\;\big(</math>en terme énergétique<math>\big)\;</math> que le P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté dans les conditions des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /> est un oscillateur harmonique, <br>{{Al|15}}{{Transparent|il faut donc montrer nous vérifions donc bien <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>en terme énergétique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> que le P.P.S. à un degré de liberté dans les conditions des petites élongations angulaires }}<math>\;(\Gamma_u)\;</math> étant localement parabolique. <br>{{Al|5}}L'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à un degré de liberté dans les conditions des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /> est alors celle effectuée, plus haut dans ce chapitre, aux paragraphes référencés ci-dessous : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.E.H.N.A.|diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A.]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée|présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.E.H._«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.E.H.(N.A.) par diagramme énergétique]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.E.H._en_utilisant_l'intégrale_1ère_énergétique_simultanément_au_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_point_M_puis_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|détermination de la nature périodique du mouvement du P.E.H.(N.A.) en utilisant l'intégrale 1^ère énergétique simultanément au diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point M puis expression de la période sous forme intégrale]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Isochronisme_des_oscillations|isochronisme des oscillations]] d'un P.E.H.N.A. ». === Étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. « 1b » par diagramme d'énergies potentielle et mécanique === {{Al|5}}Dans ce paragraphe on considère les C.I<ref name="C.I." />. de lancement <math>\;1b\;</math><ref name="1a ou 1b" /> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. <math>\;\big[</math>toujours constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur <math>\;l</math>, mobile autour de son extrémité fixe <math>\;O</math>, l'autre extrémité étant liée à un point matériel <math>\;M\;</math> dont on étudie le mouvement<math>\big]\;</math> à savoir * on écarte le P.P.S<ref name="P.P.S." />. de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable" /> et * on le lâche avec un « vecteur vitesse initiale » <math>\;\vec{V}_0\;</math> de son point <math>\;M\;</math> dans le « plan vertical de lancement »<ref name="plan vertical de lancement"> C.-à-d. le plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OM_0}</math>.</ref> du référentiel d'étude ; {{Al|5}}le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> est plan<ref name="mouvement vertical du P.P.S.N.A." />, la trajectoire étant circulaire de centre <math>\;O\;</math> dans le « plan vertical de lancement »<ref name="plan vertical de lancement" />, la position du point <math>\;M\;</math> dans ce plan étant repérée en polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical <math>\;\downarrow\;</math> de ce plan<ref name="définition du repérage polaire du P.P.S. à un degré de liberté"> Voir figure du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, par son abscisse angulaire <math>\;\theta = \widehat{ \left( \overrightarrow{Oz}\,,\,\overrightarrow{OM} \right)}\;</math><ref name="définition du repérage polaire du P.P.S. à un degré de liberté" /> et le vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> correspond à une vitesse angulaire initiale <math>\;\dot{\theta}_0 \neq 0\;</math><ref> Le lien entre vecteur vitesse initiale et vitesse angulaire initiale étant <math>\;\vec{V}_0 = l\;\dot{\theta}_0\;\vec{u}_\theta(0)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Composantes_polaires_du_vecteur_vitesse_de_M|composantes polaires du vecteur vitesse de M]] (en mouvement circulaire de centre O) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}En absence de force d'amortissement le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> est encore « conservatif » et l'intégrale 1^ère énergétique est toujours vérifiée à savoir <center>«<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;l\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\\ E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point <math>\;M\;</math> est donc le même à l'exception du positionnement de la courbe d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> par rapport à celle d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et par suite l'existence des murs d'énergie potentielle n'est plus assurée. ==== Condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire ==== [[File:Pendule pesant simple - diagramme d'énergies potentielle et mécanique - bis.png|thumb|450px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. écarté de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché avec vecteur vitesse initiale dans le plan vertical de lancement<ref name="plan vertical de lancement" /> tel que l'énergie mécanique initiale soit <math>\;<\;</math> au maximum de l'énergie potentielle avec précision des deux murs d'énergie potentielle et de la nature <math>\;\big(</math>cinétiquement<math>\big)\;</math> bornée de la trajectoire]] {{Al|5}}La condition pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> soit « <u>oscillatoire</u> » est que les murs d'énergie potentielle existent<ref> La justification, à partir du diagramme d'énergies mécanique et potentielle du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. <math>\;( 1.b )</math>, de sa nature oscillatoire est la même que celle donnée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » plus haut dans ce chapitre avec un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. <math>\;( 1.a )\;</math> à l'exception du début : <br>{{Al|3}}pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, déplacements simultanés de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> vers la droite <math>\;\big(</math>flèche rouge <math>\;->\;</math> sur le diagramme<math>\big)\;</math> engendrant une <math>\;\searrow\;</math> continue de <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M)\;</math> jusqu'à <math>\;P_0\;</math> point commun du mur d'énergie potentielle de droite <math>\;\theta = \theta_m\;</math> où <math>\;\dot{\theta} = 0</math>, la présence de ce mur interdisant la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\theta</math>, nous en déduisons que «<math>\;\theta\;</math> reste constant ou <math>\;\searrow\;</math>» mais <math>\;\theta = \theta_m\;</math> n'étant pas une position d'équilibre, <math>\;\theta \searrow\;</math> <math>\Rightarrow</math> déplacements simultanés de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> vers la gauche, la suite étant la même que celle du « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|paragraphe précité]] » ; <br>{{Al|3}}pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, déplacements simultanés de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> vers la gauche <math>\;\big(</math>flèche rouge <math>\;<<-\;</math> sur le diagramme<math>\big)\;</math> engendrant d'abord une <math>\;\nearrow\;</math> continue de <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M)\;</math> jusqu'au passage de <math>\;P_m\;</math> par <math>\;P_e\;</math> où <math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math> est maximale puis une <math>\;\searrow\;</math> continue de <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M)\;</math> jusqu'à <math>\;P_1\;</math> point commun du mur d'énergie potentielle de gauche <math>\;\theta = -\theta_m\;</math> où <math>\;\dot{\theta} = 0</math>, la présence de ce mur interdisant la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\theta</math>, nous en déduisons que «<math>\;\theta\;</math> reste constant ou <math>\;\nearrow\;</math>» mais <math>\;\theta = -\theta_m\;</math> n'étant pas une position d'équilibre, <math>\;\theta \nearrow\;</math> <math>\Rightarrow</math> déplacements simultanés de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> vers la droite, la suite étant la même que celle du « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|paragraphe précité]] ».</ref>, ce qui est réalisé si « <u>l'énergie mécanique initiale</u> <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math> est <math>\;< \max\limits_{\left[ -\pi\,,\, +\pi \right]} U_{\text{pes}}(\theta) = U_{\text{pes}}(\pm\pi) =</math> <math>m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\pm\pi) \right] = 2\;m\;g\;l\;</math> c'est-à-dire <u>strictement inférieure au maximum de l'énergie potentielle</u> » soit finalement <center>«<math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;l\;</math>» ;</center> {{Al|5}}on peut en déduire une autre condition <math>\;\big(</math>équivalente<math>\big)\;</math> sur la valeur absolue de la vitesse angulaire initiale <math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert</math>, en effet {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] < 2\;m\;g\;l\;</math>}} <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}_0^2 < 2\;\dfrac{g}{l}\, \left\lbrace 2 - \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] \right\rbrace\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert < \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», <br>voir diagramme ci-contre avec «<math>\;\theta_0 = \dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}\;</math>» et «<math>\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math>»<ref> Effectivement tel que «<math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert < \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} = \sqrt{\dfrac{2\;g}{l}}\;</math>», l'énergie cinétique initiale valant alors «<math>\;K_0 = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;m\;g\;l\;</math>» et l'énergie mécanique initiale «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;g\;l + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = \dfrac{3}{2}\;m\;g\;l\;</math>» effectivement «<math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;l\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}« l’amplitude <math>\;\theta_m\;</math> d'oscillation <math>\;\big[</math>définie par <math>\;\theta_m = \theta(t_m) > 0\;</math> et <math>\;\dot{\theta}(t_m) = 0\big]\;</math> se détermine par » intégrale 1^ère énergétique selon <math>\;E_m(t_m) =</math> <math>\cancel{\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}^2\!(t_m)}\; + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right] = E_{m,\,0}\;</math> soit finalement <center>«<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} \right]\;</math> <ref name="fonction arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> » et, sur l'exemple ci-contre, <br>«<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{3}{2} \right] = \arccos\! \left[ -\dfrac{1}{2} \right] = \dfrac{2\,\pi}{3}\;rad = 120\,\text{°}\;</math><ref name="fonction arccosinus" /> » d'où <br>« les deux murs d'énergie potentielle <math>\;\theta = \pm\theta_m = \pm\dfrac{2\,\pi}{3}\;rad = \pm120\,\text{°}\;</math>».</center> {{Al|5}}Le mouvement oscillatoire du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;(1.\mathfrak{b})\;</math> est périodique<ref name="période du P.P.S.N.A. sous C.I. (1.b)"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale]] » plus haut dans ce chapitre, le seul changement nécessaire lors du passage des C.I. <math>\;(1.\mathfrak{a})\;</math> aux C.I. <math>\;(1.\mathfrak{b})\;</math> est le remplacement de l'amplitude notée <math>\;\theta_0\;</math> pour les C.I. <math>\;(1.\mathfrak{a})\;</math> par l'amplitude notée <math>\;\theta_m\;</math> pour les C.I. <math>\;(1.\mathfrak{b})\;</math> <math>\big[\theta_0\;</math> y étant l'élongation angulaire initiale<math>\big]</math>.</ref> comme celui du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;(1.\mathfrak{a})</math>, de période, sous forme intégrale, égale à «<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>»<ref name="période du P.P.S.N.A. sous C.I. (1.b)" /> ou {{Nobr|«<math>\;\mathcal{T}</math>}} <math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;</math> la période des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /> du P.P.S.N.A. »<ref name="P.P.S.N.A." />{{,}}<ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A." />, «<math>\;\theta_m\;</math> étant l'amplitude des oscillations déterminée par <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} \right]\;</math><ref name="fonction arccosinus" /> <math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{l}{2\;g}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} = \dfrac{l}{2\;g}\;\dot{\theta}_0^2 + \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} = \cos(\theta_0) - \dfrac{l}{2\;g}\;\dot{\theta}_0^2</math>.</ref> ; {{Al|5}}bien entendu il y a toujours absence d'isochronisme pour la même raison que celle exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] <math>\;\big[</math>le P.P.S. y étant lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;(1.\mathfrak{a})\big]\;</math> plus haut dans ce chapitre <math>\;\big[</math>il suffit pour l'étendre aux C.I<ref name="C.I." />. <math>\;(1.\mathfrak{b})\;</math> de remplacer <math>\;\theta_0\;</math> par <math>\;\theta_m\big]</math>. ==== Condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif ==== [[File:Pendule pesant simple - diagramme d'énergies potentielle et mécanique - ter.png|thumb|450px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. écarté de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché avec <math>\;\vec{V}_0\;</math> dans le plan vertical de lancement<ref name="plan vertical de lancement" /> tel que l'énergie mécanique initiale soit <math>\;>\;</math> au maximum de l'énergie potentielle avec précision de l'absence de murs d'énergie potentielle et de la nature révolutive du mouvement dans le sens initial de ce dernier]] {{Al|5}}La condition pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> soit « <u>révolutif</u> »<ref name="révolutif"> C.-à-d. que le mouvement de rotation se fait toujours dans le même sens que celui impulsé initialement sans possibilité d'arrêt ; <br>{{Al|3}}quand le paramètre de position d'un point <math>\;M\;</math> peut tendre vers l'infini on dit que ce point est dans un « <u>état de diffusion</u> », toutefois ceci est <u>usuellement réservé au paramètre de position linéaire</u> {{Nobr|<math>\;\big(</math>nécessitant}} la possibilité d'une distance infinie entre <math>\;M\;</math> et un point fixe<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}ici le paramètre de position angulaire pouvant tendre effectivement vers l'infini, on pourrait dire que le P.P.S.N.A. est dans un « état de diffusion <math>\;\big(</math>rotatoire<math>\big)\;</math>» <math>\;\big[</math>sous-entendant que le paramètre de position <math>\;\big(</math>angulaire<math>\big)</math> <math>\;\theta\;</math> peut tendre vers l'infini sans que <math>\;M\;</math> ne s'éloigne à l'infini du point fixe <math>\;O\big]</math>, mais ce vocabulaire n'est pas d'usage <math>\;\ldots\;</math> On parle simplement de mouvement « <u>révolutif</u> ».</ref> est que les murs d'énergie potentielle n'existent pas, <br>{{Al|12}}{{Transparent|La condition pour que le mouvement de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> soit « révolutif » }}ceci nécessitant que « <u>l'énergie mécanique initiale</u><math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math> soit <math>\;> \max\limits_{\left[ -\pi\,,\, +\pi \right]} U_{\text{pes}}(\theta) = U_{\text{pes}}(\pm\pi)</math> <math>= m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\pm\pi) \right] = 2\;m\;g\;l\;</math> c'est-à-dire <u>strictement supérieure au maximum de l'énergie potentielle</u> » soit finalement «<math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;l\;</math>» ; {{Al|5}}on peut en déduire une autre condition <math>\;\big(</math>équivalente<math>\big)\;</math> sur la valeur absolue de la vitesse angulaire initiale <math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert</math>, en effet {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] > 2\;m\;g\;l\;</math>}} <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}_0^2 > 2\;\dfrac{g}{l}\, \left\lbrace 2 - \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] \right\rbrace\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>», <br>voir diagramme ci-contre avec «<math>\;\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = 120\,\text{°}\;</math>» et «<math>\;\dot{\theta}_0 = \pm\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}}\;</math>»<ref> Effectivement tel que «<math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} = \sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math>», l'énergie cinétique initiale valant alors «<math>\;K_0 = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^{\,2} = m\;g\;l\;</math>» et l'énergie mécanique initiale «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>m\;g\;l + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = \dfrac{5}{2}\;m\;g\;l\;</math>» effectivement «<math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;l\;</math>».</ref> ; </center> {{Al|5}}« si <math>\;\dot{\theta}_0 = \left\lbrace \begin{array}{l}+\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}},\;\;\dot{\theta}(t)\;\text{est}\;> 0\\ -\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}},\;\;\dot{\theta}(t)\;\text{est}\;< 0\end{array}\right\rbrace\;\forall\;t\;</math>», les points <math>\;P_m\;</math> et <math>\;P_u\;</math> se déplaçant respectivement sur <math>\;(\Gamma_m)\;</math> et <math>\;(\Gamma_u)\;</math> simultanément <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\text{vers la droite, flèches}\;->\\\text{ou}\\\text{vers la gauche, flèches}\;<<-\end{array}\right\rbrace</math>. {{Al|5}}Quel que soit le sens du mouvement révolutif<ref name="révolutif" /> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />., son énergie cinétique est : * « minimale pour <math>\;\vert \theta \vert \equiv \pi\!\!\! \pmod{2\;\pi}\;</math>» de valeur «<math>\;K_{\text{min}} = E_{m,\,0} - U_{\text{pes}}(\pi) = E_{m,\,0} - 2\;m\;g\;l\;</math>» soit «<math>\;K_{\text{min}} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;g\;l\;</math>» dans les C.I<ref name="C.I." />. du diagramme ci-contre <math>\;\bigg\{\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\;rad\;</math> et <math>\;\dot{\theta}_0 = \pm\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}}\bigg\}\;</math> et * « maximale pour <math>\;\theta \equiv 0\!\!\! \pmod{2\;\pi}\;</math>» de valeur «<math>\;K_{\text{max}} = E_{m,\,0} - U_{\text{pes}}(0) = E_{m,\,0}\;</math>» soit «<math>\;K_{\text{min}} = \dfrac{5}{2}\;m\;g\;l\;</math>» dans les mêmes C.I<ref name="C.I." />. du diagramme ci-dessus <math>\;\bigg\{\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\;rad\;</math> et <math>\;\dot{\theta}_0 = \pm\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}}\bigg\}</math>. {{Al|5}}Le mouvement révolutif<ref name="révolutif" /> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;(1.\mathfrak{b})\;</math> est périodique, la démonstration se faisant de façon analogue à celle du mouvement oscillatoire d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;(1.\mathfrak{a})\;</math><ref name="période du P.P.S.N.A. sous C.I. (1.b) - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale]] » plus haut dans ce chapitre, toutefois avec les changements nécessaires traduisant le passage des C.I. <math>\;(1.\mathfrak{a})\;</math> aux C.I. <math>\;(1.\mathfrak{b})\;</math> avec mouvement révolutif.</ref> <math>\;\big\{</math>on établit que la durée d'un tour est indépendante du nombre de tours effectués auparavant, cette durée définissant la période de révolution du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. sous forme intégrale<math>\big\}</math> ; {{Al|12}}{{Transparent|Le mouvement révolutif }}nous supposerons «<math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ce qui engendre un mouvement révolutif<ref name="révolutif" /> dans le sens <math>\;+\;</math>»<ref> Mais la démarche serait identique avec <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math> engendrant un mouvement révolutif dans le sens <math>\;-\;\ldots</math></ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Le mouvement révolutif nous supposerons «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}\;</math> }}on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique du mouvement du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. <math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math> avec les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;( 1.b )\;</math> assurant un mouvement révolutif<ref name="révolutif" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^{\,2} + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» et l'énergie mécanique à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;l\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» d'où, « sans expliciter l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;l\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dfrac{2\;g}{l} \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] + \left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 1 \right] \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}(t)</math> <math>= \dfrac{d \theta}{dt}(t) = \sqrt{\dfrac{2\;g}{l} \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] + \left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 1 \right] \right\rbrace}\;</math>»<ref name="choix du signe - bis"> Avec <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math> on aurait <math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t) = -\sqrt{\dfrac{2\;g}{l} \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] + \left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 1 \right] \right\rbrace}</math>.</ref> et par suite on peut exprimer « la durée élémentaire <math>\;dt\;</math> correspondant à une variation élémentaire <math>\;d \theta\;</math> de l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> du point <math>\;M\;</math>» selon «<math>\;dt = \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l} \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] + \left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 1 \right] \right\rbrace}}\;</math>»<ref name="choix du signe - ter"> Avec <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math> on aurait donc <math>\;dt = -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l} \left\lbrace \cos\! \left[ \theta(t) \right] + \left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 1 \right] \right\rbrace}}</math>.</ref> ; {{Al|12}}{{Transparent|Le mouvement révolutif nous supposerons «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}\;</math> }}<math>\succ\;</math>pour le 1^er aller des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;P_0\;</math> à <math>\;P_1</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> de <math>\;\theta_0\;</math> à <math>\;\theta_0 + 2\;\pi\;</math> d'où <math>\;d \theta\;</math> correspondant à <math>\;dt > 0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et la durée totale du 1^er tour s'obtient par intégration selon «<math>\;\Delta t_{P_0\,\rightarrow\,P_1} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l} \left\lbrace \cos(\theta) + \left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 1 \right] \right\rbrace}}\;</math>»<ref name="choix du signe - tetra"> Avec <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math> la durée totale du 1^er tour s'écrirait <math>\;\Delta t_{P_0\,\rightarrow\,P_1} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l} \left\lbrace \cos(\theta) + \left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 1 \right] \right\rbrace}}</math>.</ref> ; {{Al|12}}{{Transparent|Le mouvement révolutif nous supposerons «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}\;</math> }}<math>\succ\;</math>pour le n^ème aller de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;P_{n - 1}\;</math> à <math>\;P_n</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> de <math>\;\theta_0 + 2\;(n - 1)\;\pi\;</math> à <math>\;\theta_0 + 2\;n\;\pi\;</math> d'où <math>\;d \theta\;</math> correspondant à <math>\;dt > 0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et la durée totale du n^ème tour s'obtient par intégration selon «<math>\;\Delta t_{P_{n - 1}\,\rightarrow\,P_n} = \displaystyle\int_{\theta_0 + 2\,(n - 1)\,\pi}^{\theta_0 + 2\,n\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l} \left\lbrace \cos(\theta) + \left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 1 \right] \right\rbrace}}\;</math>»<ref name="choix du signe - penta"> Avec <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math> la durée totale du n^ème tour s'écrirait <math>\;\Delta t_{P_{n - 1}\,\rightarrow\,P_n} = \displaystyle\int_{\theta_0 - 2\,(n - 1)\,\pi}^{\theta_0 - 2\,n\,\pi} -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l} \left\lbrace \cos(\theta) + \left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 1 \right] \right\rbrace}}</math>.</ref> ou encore «<math>\;\Delta t_{P_{n - 1}\,\rightarrow\,P_n} = \Delta t_{P_0\,\rightarrow\,P_1}\;</math>» <math>\;\big(</math>la fonction à intégrer étant <math>\;2\,\pi</math>-périodique et les bornes d'intégration différant respectivement d'un même multiple de <math>\;2\;\pi\;</math><ref> Ceci restant valable pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>.</ref><math>\big)</math> ; {{Al|12}}{{Transparent|Le mouvement révolutif nous supposerons «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}\;</math> }}« la durée d'un tour étant indépendante du nombre de tours effectués auparavant », le mouvement révolutif<ref name="révolutif" /> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. est <u>périodique</u>. {{Al|12}}{{Transparent|Le mouvement révolutif }}La période <math>\;\mathcal{T}\;</math> du mouvement révolutif<ref name="révolutif" /> de <math>\;M\;</math> étant la durée d'un aller des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;P_0\;(\theta_0)\;</math> à <math>\;P_1\;(\theta_0 + 2\;\pi)\;</math><ref name="choix de signe - hexa"> Pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, la période <math>\;\mathcal{T}\;</math> du mouvement révolutif de <math>\;M\;</math> est la durée d'un aller des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;P_0\;(\theta_0)\;</math> à <math>\;P_1\;(\theta_0 - 2\;\pi)</math>.</ref> elle s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{T} = \Delta t_{P_0\,\rightarrow\,P1} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l} \left\lbrace \cos(\theta) + \left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 1 \right] \right\rbrace}} = \sqrt{\dfrac{l}{2\;g}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}}\;</math>»<ref name="choix de signe - hepta"> Pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, la période <math>\;\mathcal{T} = \Delta t_{P_0\,\rightarrow\,P1} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;g}{l} \left\lbrace \cos(\theta) + \left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 1 \right] \right\rbrace}}\;</math> se réécrit encore suivant l'expression intégrale <math>\;\mathcal{T} = \sqrt{\dfrac{l}{2\;g}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}}</math>.</ref> <br>ou encore «<math>\;\mathcal{T} = \sqrt{\dfrac{l}{4\;g}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>»<ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique on a <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix du signe - hepta"> Pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, la période se réécrit <math>\;\mathcal{T} = \sqrt{\dfrac{l}{4\;g}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> car la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;</math> la période des petites élongations angulaires<ref name="petites élongations angulaires" /> du P.P.S.N.A. »<ref name="P.P.S.N.A." />{{,}}<ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math><ref> En effet pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> mais la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique on peut retirer une même période <math>\;\pi\;</math> aux bornes d'intégration sans modifier le résultat de l'intégrale d'où <math>\;\displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math> <math>\;\big[</math>en effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0\big]\;</math> et par suite <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> ou, en ajoutant simultanément une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer aux deux bornes de l'intégration, <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> et par suite, en faisant le même traitement que celui fait pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la même simplification de l'expression finale.</ref> <br><math>\;\big(</math>ceci établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale »<ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}}<ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref><math>\big)</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'intégrale <math>\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> <u>n'est pas algébriquement calculable avec les fonctions usuelles</u>, on utilise un logiciel de calcul <math>\;\big(</math>par exemple Scilab<math>\big)\;</math> pour l'évaluer numériquement avec n'importe quelle valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;l\;</math> ou de la quantité sans dimension <math>\;\alpha = \dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l} > 1\;</math> permettant un mouvement révolutif<ref name="révolutif" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le logiciel de calcul numérique utilisé pour évaluer la période d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à partir de l'expression de cette dernière sous forme intégrale <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le logiciel de calcul numérique }}est l'un de ceux proposés par le programme de physique de P.C.S.I. « Scilab »<ref name="Scilab" />, voir ci-dessous le programme utilisé<ref name="aide logiciel" /> et les commentaires immédiats : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si la longueur de la tige du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. est <math>\;l = 1,000\;m\;</math> dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité <math>\;g = 9,81\;m \cdot s^{-2}</math>, pour une élongation angulaire initiale <math>\;\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad</math> <math>= 120\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale <math>\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{\dfrac{2\;g}{l}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_0 = m\;g\;l\;</math> et <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{5}{2}\;m\;g\;l</math>, les lignes de programme <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)</math>, les réponses de '''Scilab''' <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> et mes commentaires entre parenthèses <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> donnent : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}g = 9.81 ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}L = 1.0 ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}m = 1 ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) {{Al|50}} <span style="color:#ff0000;">T0 = 2.0060667</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(période des petites élongations angulaires en s)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}%theta1 = 2*%pi/3 ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}K1 = m*g*L {{Al|65}} <span style="color:#ff0000;">K1 = 9.81</span> {{Al|30}} <span style="color:#0080ff;">(énergie cinétique initiale en J)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}%varpi1 = sqrt(2*K1/m/L^2) {{Al|39}} <span style="color:#ff0000;">%varpi1 = 4.4294469</span> {{Al|11}} <span style="color:#0080ff;">(vitesse angulaire initiale en rad.s^-1)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}U1 = m*g*L*(1 – cos(%theta1)) {{Al|33}} <span style="color:#ff0000;">U1 = 14.715</span> {{Al|26}} <span style="color:#0080ff;">(énergie potentielle initiale en J)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}E1 = K1 + U1 {{Al|61}} <span style="color:#ff0000;">E1 = 24.525</span> {{Al|26}} <span style="color:#0080ff;">(énergie mécanique initiale en J)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}%alpha1 = E1/(2*m*g*L) {{Al|43}} <span style="color:#ff0000;">%alpha1 = 1.25</span> {{Al|21}} <span style="color:#0080ff;">(grandeur sans dimension traduisant l'énergie mécanique initiale en proportion de celle traduisant la frontière entre mouvement révolutif et oscillatoire)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}function y = f(%theta) ; y = T0/(2*%pi)/sqrt(%alpha1-sin(%theta/2)^2) ; endfunction {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}T1 = integrate('f(%theta)' , '%theta' , 0 , %pi) {{Al|12}} <span style="color:#ff0000;">T1 = 1.289174</span> {{Al|23}} <span style="color:#0080ff;">(période en s par calcul d'intégrale)</span> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si la longueur de la tige du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. est <math>\;l = 1,000\;m\;</math> dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité <math>\;g = 9,81\;m \cdot s^{-2}</math>, pour une élongation angulaire initiale <math>\;\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad</math> <math>= 120\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale <math>\;\dot{\theta}_0 = 2\;\sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_0 = 2\;m\;g\;l\;</math> et <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{7}{2}\;m\;g\;l</math>, les lignes de programme <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)</math>, les réponses de '''Scilab''' <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> et mes commentaires entre parenthèses <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> donnent : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}g = 9.81 ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}L = 1.0 ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}m = 1 ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) {{Al|50}} <span style="color:#ff0000;">T0 = 2.0060667</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(période des petites élongations angulaires en s)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}%theta2 = 2*%pi/3 ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}K2 = 2*m*g*L {{Al|61}} <span style="color:#ff0000;">K2 = 19.62</span> {{Al|28}} <span style="color:#0080ff;">(énergie cinétique initiale en J)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}%varpi2 = sqrt(2*K2/m/L^2) {{Al|38}} <span style="color:#ff0000;">%varpi2 = 6.2641839</span> {{Al|12}} <span style="color:#0080ff;">(vitesse angulaire initiale en rad.s^-1)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}U2 = m*g*L*(1 – cos(%theta2)) {{Al|33}} <span style="color:#ff0000;">U2 = 14.715</span> {{Al|26}} <span style="color:#0080ff;">(énergie potentielle initiale en J)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}E2 = K2 + U2 {{Al|61}} <span style="color:#ff0000;">E2 = 34.335</span> {{Al|26}} <span style="color:#0080ff;">(énergie mécanique initiale en J)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}%alpha2 = E2/(2*m*g*L) {{Al|43}} <span style="color:#ff0000;">%alpha2 = 1.75</span> {{Al|21}} <span style="color:#0080ff;">(grandeur sans dimension traduisant l'énergie mécanique initiale en proportion de celle traduisant la frontière entre mouvement révolutif et oscillatoire)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}function y = g(%theta) ; y = T0/(2*%pi)/sqrt(%alpha2-sin(%theta/2)^2) ; endfunction {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}T2 = integrate('g(%theta)' , '%theta' , 0 , %pi) {{Al|11}} <span style="color:#ff0000;">T2 = 0.9267048</span> {{Al|21}} <span style="color:#0080ff;">(période en s par calcul d'intégrale)</span> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si la longueur de la tige du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. est <math>\;l = 1,000\;m\;</math> dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité <math>\;g = 9,81\;m \cdot s^{-2}</math>, pour une élongation angulaire initiale <math>\;\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad</math> <math>= 120\,\text{°}\;</math> et une vitesse angulaire initiale <math>\;\dot{\theta}_0 = \left( \sqrt{\dfrac{g}{l}} \right)^{\!+}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_0 = \left( \dfrac{1}{2}\;m\;g\;l \right)^{\!+}\;</math> et <math>\;E_{m,\,0} = \left( 2\;m\;g\;l \right)^{+}</math>, les lignes de programme <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)</math>, les réponses de '''Scilab''' <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> et mes commentaires entre parenthèses <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> donnent : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}g = 9.81 ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}L = 1.0 ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}m = 1 ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) {{Al|50}} <span style="color:#ff0000;">T0 = 2.0060667</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(période des petites élongations angulaires en s)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}%theta3 = 2*%pi/3 ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}K3 = 0.5001*m*g*L {{Al|52}} <span style="color:#ff0000;">K3 = 4.905981</span> {{Al|22}} <span style="color:#0080ff;">(énergie cinétique initiale en J)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}%varpi3 = sqrt(2*K3/m/L^2) {{Al|38}} <span style="color:#ff0000;">%varpi3 = 3.1324051</span> {{Al|12}} <span style="color:#0080ff;">(vitesse angulaire initiale en rad.s^-1)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}U3 = m*g*L*(1 – cos(%theta3)) {{Al|33}} <span style="color:#ff0000;">U3 = 14.715</span> {{Al|26}} <span style="color:#0080ff;">(énergie potentielle initiale en J)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}E3 = K3 + U3 {{Al|61}} <span style="color:#ff0000;">E3 = 19.620981</span> {{Al|20}} <span style="color:#0080ff;">(énergie mécanique initiale en J)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}%alpha3 = E3/(2*m*g*L) {{Al|43}} <span style="color:#ff0000;">%alpha3 = 1.00005</span> {{Al|15}} <span style="color:#0080ff;">(grandeur sans dimension traduisant l'énergie mécanique initiale en proportion de celle traduisant la frontière entre mouvement révolutif et oscillatoire)</span> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}function y = h(%theta) ; y = T0/(2*%pi)/sqrt(%alpha3-sin(%theta/2)^2) ; endfunction {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}T3 = integrate('h(%theta)' , '%theta' , 0 , %pi) {{Al|11}} <span style="color:#ff0000;">T3 = 4.0471171</span> {{Al|21}} <span style="color:#0080ff;">(période en s par calcul d'intégrale)</span>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>Commentaires</u> : Plus l'énergie mécanique initiale est grande, plus la période est courte : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Commentaires : }}pour «<math>\;E_{m,\,0} = 2,5\; m\;g\;l\;</math>», {{Al|32}}«<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,29\; s\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Commentaires : }}pour «<math>\;E_{m,\,0} = 3,5\; m\;g\;l > 2,5\; m\;g\;l\;</math>», {{Al|9}}«<math>\;\mathcal{T} \simeq 0,93\; s</math> <math>< 1,29\; s\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Commentaires : }}pour «<math>\;E_{m,\,0} = 2,001\; m\;g\;l < 2,5\; m\;g\;l\;</math>», {{Al|4}}«<math>\;\mathcal{T} \simeq 4,05\; s > 1,29\; s\;</math>» et enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Commentaires : }}quand «<math>\;E_{m,\,0} \rightarrow 2\; m\;g\;l\;</math>», {{Al|32}}«<math>\;\mathcal{T} \rightarrow \infty\;</math>». ==== Condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable ==== {{Al|5}}La condition pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> s'arrête en une « <u>position d'équilibre<ref name="équilibre en terme d'énergie" /> instable</u> »<ref name="équilibre instable"> C.-à-d. <math>\;M\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier <math>\;\big[</math>résultat intuitif mais qui sera établi aux paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_des_positions_d'équilibre_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Stabilité_et_instabilité_des_équilibres_en_terme_de_force_sur_l'exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|stabilité et instabilité des équilibres en terme de force sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\theta \equiv \pi\!\! \pmod{2\;\pi}\;</math> est que « les deux murs d'énergie potentielle coïncident avec <math>\;\theta = \pm\pi\;</math>» c'est-à-dire que « <u>l'énergie mécanique initiale</u> <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math> soit égale au <u>maximum de l'énergie potentielle</u><ref name="équilibre stable ou instable en terme de profil énergétique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_(ou_de_l'instabilité)_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_profil_d'énergie_potentielle|définition de la stabilité (ou de l'instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de profil d'énergie potentielle]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », l'équilibre étant stable s'il s'agit d'un minimum d'énergie potentielle et instable pour un maximum.</ref> <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\, +\pi \right]} U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>U_{\text{pes}}(\pm\pi) = m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\pm\pi) \right] = 2\;m\;g\;l\;</math>» soit la réécriture de la condition pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> s'arrête en une « <u>position d'équilibre<ref name="équilibre en terme d'énergie" /> instable</u> »<ref name="équilibre instable" /> «<math>\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;l\;</math>» ; {{Al|5}}détermination de la condition <math>\;\big(</math>équivalente<math>\big)\;</math> sur la vitesse angulaire initiale <math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert</math> : «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = 2\;m\;g\;l\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}_0^2 = 2\;\dfrac{g}{l}\, \left\lbrace 2 - \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] \right\rbrace\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\dot{\theta}_0 = \pm\sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}\;</math>» ; <br>numériquement, avec «<math>\;\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = 120\,\text{°}\;</math>» il faut «<math>\;\dot{\theta}_0 = \pm\sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dot{\theta}_0 = \pm\sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos\! \left( \dfrac{2\;\pi}{3} \right) \right]} = \pm\sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left( 1 + \dfrac{-1}{2} \right)} = \pm\sqrt{\dfrac{g}{l}}</math>, l'énergie cinétique initiale valant alors «<math>\;K_0 = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^{\,2} = \dfrac{1}{2}\;m\;g\;l\;</math>» et l'énergie mécanique initiale «<math>\;E_{m,\,0}</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;g\;l + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = \dfrac{1}{2}\;m\;g\;l + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos\! \left( \dfrac{2\;\pi}{3} \right) \right] = \dfrac{1}{2}\;m\;g\;l + m\;g\;l\, \left[ 1 - \dfrac{-1}{2} \right] = \dfrac{1}{2}\;m\;g\;l + \dfrac{3}{2}\;m\;g\;l = 2\;m\;g\;l\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}si «<math>\;\dot{\theta}_0 = \left\lbrace \begin{array}{c}+\sqrt{\dfrac{g}{l}},\;\;\dot{\theta}(t)\;\text{est}\;> 0\\ -\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}},\;\;\dot{\theta}(t)\;\text{est}\;< 0\end{array}\right\rbrace\;\forall\;t\;<\;t_{\text{arrêt}}\;</math>», les points <math>\;P_m\;</math> et <math>\;P_u\;</math> se déplacent respectivement sur <math>\;(\Gamma_m)\;</math> et <math>\;(\Gamma_u)\;</math> simultanément <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\text{vers la droite jusqu'à }\;\theta_{\text{arrêt}} = +\pi\\\text{ou}\\\text{vers la gauche jusqu'à }\;\theta_{\text{arrêt}} = -\pi\end{array}\right\rbrace</math>. === En complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un « pendule pesant simple amorti (P.P.S.A.) à un degré de liberté » === {{Al|5}}Voir aussi les paragraphes du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » : <math>\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1a ou 1b]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir aussi les paragraphes du chap.<math>\color{transparent}{12}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » : }}<math>\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir aussi les paragraphes du chap.<math>\color{transparent}{12}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » : }}<math>\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_P.P.S.A._dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»|en complément, P.P.S.A. dans le cadre des petites élongations angulaires]]<ref name="petites élongations angulaires" /> » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir aussi les paragraphes du chap.<math>\color{transparent}{12}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » : }}<math>\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_allure_des_portraits_de_phase_d'un_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|en complément, allure des portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] ». {{Al|5}}La présence d'une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(t) = -h\; \vec{V}_M(t) = -h\;l\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta\;</math>» <u>non conservative</u> agissant sur le point matériel <math>\;M\;</math> d'un pendule pesant simple amorti <math>\;\big(</math>P.P.S.A.<math>\big)\;</math> et <u>développant un travail</u>, rend le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> « non conservatif » <math>\Rightarrow</math> il n'existe pas d'intégrale 1^ère énergétique pour le P.P.S.A<ref name="P.P.S.A."> Pendule Pesant Simple Amorti.</ref>., « l'énergie mécanique de ce dernier <math>\;E_m(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;l\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math> obéissant alors au théorème de la puissance mécanique » c'est-à-dire «<math>\;\dfrac{d E_m}{dt}(t) = \mathcal{P}\!\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \right]\!\!(t) = \left[ -h\; \vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) = -h\;l^2\; \dot{\theta}^2\!(t)\;</math> toujours <math>\;\leqslant 0\;</math>»<ref name="condition de nullité de la puissance de la force de frottement fluide" />. {{Al|5}}La courbe d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> reste la même que celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. c'est-à-dire une sinusoïde, mais {{Al|5}}{{Transparent|la co}}celle d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> n’est plus une droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;\theta</math> ; « pour la préciser il convient de déterminer la pente de <math>\;(\Gamma_m)\;</math> au point d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{d E_m}{d \theta} =</math> <math>\dfrac{d E_m}{dt}\; \dfrac{dt}{d \theta} = \dfrac{1}{\dot{\theta}(t)}\; \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> ou finalement <math>\;\dfrac{d E_m}{d \theta}(t) = -h\;l^2\; \dot{\theta}(t)\;</math>» ; nous en déduisons les propriétés suivantes de la tangente à <math>\;(\Gamma_m)\;</math> au point générique <math>\;P_m\;</math> d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>elle est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;\theta\;</math> aux éventuels points <math>\;P_1^{(n)}\;</math> et <math>\;P_2^{(n)}\;</math> correspondant à <math>\;M\;</math> à l'arrêt<ref name="pente nulle - bis"> En effet la vitesse angulaire de <math>\;M\;</math> y est nulle d'où <math>\;\dfrac{d E_m}{d \theta}(t_{\text{arrêt}}) = -h\;l^2\; \dot{\theta}(t_{\text{arrêt}}) = 0</math>.</ref>, ces points <math>\;P_1^{(n)}\;</math> et <math>\;P_2^{(n)}\;</math> étant respectivement les éventuels points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)</math> et d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>en tout autre point <math>\;P_m\;</math> la pente de la tangente à <math>\;(\Gamma_m)\;</math> y est <math>\;\neq 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en tout autre point <math>\;\color{transparent}{P_m}\;</math> }}elle est « positive quand le paramètre de position <math>\;\theta \searrow\;</math>» c'est-à-dire « quand <math>\;P_m\;</math> se déplace vers la gauche » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en tout autre point <math>\;\color{transparent}{P_m}\;</math> elle est }}« négative quand le paramètre de position <math>\;\theta \nearrow\;</math>» c'est-à-dire « quand <math>\;P_m\;</math> se déplace vers la droite », enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>« la pente de la tangente à <math>\;(\Gamma_m)\;</math> est extrémale aux points <math>\;P_m\;</math> associés aux instants où la vitesse de <math>\;M\;</math> est de valeur absolue <math>\;\vert l\; \dot{\theta}(t) \vert\;</math> maximale » c'est-à-dire « là où l'énergie cinétique du P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. <math>\;K_M(t)\;</math> est maximale » <math>\;\big[</math>cela correspond aussi aux instants tels que «<math>\;\overline{P_uP_m}(t) \;\widehat{=}\;K_M(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> est maximal »<ref> Ce n'est a priori pas au passage par une position d'équilibre stable repérée par <math>\;\theta \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math> <math>\;\big[</math>on aurait pu le vérifier sur les « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_allure_des_portraits_de_phase_d'un_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » si certains d'entre eux avaient été tracés avec un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math> défini par <math>\;\dfrac{h}{m} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math> avec <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{l}}\;</math> pulsation propre des petites oscillations du P.P.S.A., plus grand<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}par contre on peut vérifier que les instants à énergie cinétique maximale sont approximativement confondus avec ceux de passage par la position d'équilibre stable car les tracés correspondent à un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma \ll 1\;</math> c.-à-d. dans le cas où le mouvement du P.P.S.A. est très faiblement amorti <math>\;\big[</math>les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] en élongation d'un tel P.P.S.A. finissent par spiraler autour d'un point <math>\;\left\lbrace \theta \equiv 0\!\! \pmod{2\;\pi} \,,\,\dot{\theta} = 0 \right\rbrace\;</math> caractéristique d'un équilibre stable du P.P.S.A. mais en se fermant quasiment sur eux-mêmes sous forme de quasi-ellipses dont les axes sont les axes du repère<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}« suivant la valeur plus ou moins grande de <math>\;h\;</math>» <math>\;\bigg(\!</math>ou « plus ou moins grande du cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma = \dfrac{h}{2\;m\;\omega_0} = \dfrac{h}{2\;m}\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;</math>»<math>\!\bigg)</math>, « la valeur absolue de la pente de la tangente à <math>\;(\Gamma_m)\;</math> est plus ou moins grande » mais <math>\;\ldots\;</math> dans les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique représentés ci-dessous, nous nous sommes systématiquement placés dans les cas de « faible amortissement »<ref> Car ce sont les cas qui sont observés en pratique, par exemple un P.P.S.A. dans l'air.</ref>, <math>\;\dfrac{h}{m} = 0,1\;s^{-1}</math>, la longueur du P.P.S. étant <math>\;l = 1,00\;m\;</math> et l'intensité de la pesanteur terrestre valant <math>\;g = 9,81\;m \cdot s^{-2}</math> d'où une pulsation des petites {{Nobr|oscillations<ref name="petites élongations angulaires" />}} <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{l}} \simeq</math> <math>3,13\;rad \cdot s^{-1}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma = \dfrac{h}{m}\;\dfrac{1}{2\;\omega_0} \simeq 1,6\;10^{-2}</math> : [[File:Pendule pesant simple amorti - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|left|thumb|450px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. faiblement amorti écarté de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale avec précision des murs d'énergie potentielle successifs de plus en plus resserrés justifiant la nature oscillatoire amortie du mouvement du P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />.]] [[File:Pendule pesant simple amorti - diagrammes d'énergies potentielle et mécanique - bis.png|right|thumb|450px|Diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. faiblement amorti écarté de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché avec vitesse initiale telle que le mouvement associé au diagramme <math>\;(1)\;</math> soit révolutif<ref name="révolutif" /> amorti sur le 1^er tour puis oscillatoire amorti et celui associé au diagramme <math>\;(2)\;</math> soit directement oscillatoire amorti]] {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>ci-contre, à gauche, le diagramme d’énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. <math>\;\big(</math>faiblement amorti<math>\big)\;</math> à un degré de liberté lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left( 1.\mathfrak{a} \right)\;</math> <math>\left\lbrace \theta_0 = -\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = -120\,\text{°}\,,\, \dot{\theta}_0 = 0 \right\rbrace</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>on}} constate que les murs successifs d'énergie potentielle se resserrent <math>\Rightarrow</math> l'amplitude oscillatoire <math>\;\searrow</math>, les murs atteints étant respectivement à droite <math>\;P_1</math>, <math>\;{P'}_{\!1}</math>, <math>\;{P''}_{\!\!1}</math> <math>\;\ldots\;</math> et à gauche <math>\;P_2</math>, <math>\;{P'}_{\!2}</math>, <math>\;{P''}_{\!\!2}</math> <math>\;\ldots\;</math> <math>\;P_0\,</math> étant le mur de gauche initial<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>ci-contre, à droite, la superposition de deux diagrammes d’énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. <math>\;\big(</math>faiblement amorti<math>\big)\;</math> à un degré de liberté lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left( 1.\mathfrak{b} \right)\;</math> soit <br>{{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\blacktriangleright\;</math>diagramme <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> avec P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = -120\,\text{°}\,,\right.</math> <math>\;\left.\dot{\theta}_0 = 1,28\;\sqrt{\dfrac{g}{l}} \simeq 4,0\;rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> d'où « une énergie cinétique initiale <math>\;K_0(\mathfrak{1}) = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 =</math> <br>{{Al|125}}<math>\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\, \left[ 1,28\;\sqrt{\dfrac{g}{l}} \right]^2 \simeq 0,82\;m\;g\;l\;</math>» et « une énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}(\mathfrak{1}) = K_0(\mathfrak{1}) + U_{\text{pes}}(\theta_0) \simeq</math> <br>{{Al|125}}<math>0,82\;m\;g\;l + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos\!\left( -\dfrac{2\;\pi}{3} \right) \right] \simeq 2,32\;m\;g\;l\;</math>» c'est-à-dire une énergie mécanique initiale permettant au P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. <br>{{Al|125}}d'avoir un mouvement révolutif<ref name="révolutif" /> amorti sur le 1^er tour avant de poursuivre en mouvement oscillatoire amorti autour de la <br>{{Al|125}}position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> repéré par <math>\;\theta = 2\;\pi\;rad\;</math><ref> « Les points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> ne rencontrent pas de mur d'énergie potentielle sur l'intervalle <math>\;\left[ -\pi\,,\, +\pi \right]</math>, le P.P.S.A. ayant encore de l'énergie cinétique au 1^er passage par la position d'équilibre instable repérée par <math>\;\theta = +\pi\;</math> d'où un mouvement révolutif amorti sur un 1^er tour » mais ensuite « ils rencontrent un mur d'énergie potentielle de droite <math>\;\theta_3 \in \left] +2\;\pi\,,\, +3\,\pi \right[\;</math> puis un mur d'énergie potentielle de gauche <math>\;\theta_4 \in \left] +\pi\,,\, +2\,\pi \right[\;</math>» et ainsi de suite, « les murs d'énergie potentielle successifs étant de plus en plus resserrés <math>\Rightarrow</math> la <math>\;\searrow\;</math> de l'amplitude des oscillations autour de la position d'équilibre stable repérée par <math>\;\theta = +2\pi\;</math>».</ref>, {{Al|130}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\blacktriangleright\;</math>diagramme <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> avec P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = -120\,\text{°}\,,\,\dot{\theta}_0 = 1,21\;\sqrt{\dfrac{g}{l}} \simeq \right.</math> <br>{{Al|125}}<math>\;3,8\;rad \cdot s^{-1} \bigg\}\;</math> d'où « une énergie cinétique initiale <math>\;K_0(\mathfrak{2}) = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\, \left[ 1,21\;\sqrt{\dfrac{g}{l}} \right]^2 \simeq 0,73\;m\;g\;l\;</math>» et <br>{{Al|125}}« une énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}(\mathfrak{2}) = K_0(\mathfrak{2}) + U_{\text{pes}}(\theta_0) \simeq 0,73\;m\;g\;l + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos\!\left( -\dfrac{2\;\pi}{3} \right) \right] \simeq</math> <br>{{Al|125}}<math>2,23\;m\;g\;l\;</math>» ce qui correspond à une énergie mécanique initiale insuffisante pour que le P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. ait un mouvement <br>{{Al|125}}éventuellement révolutif<ref name="révolutif" /> amorti sur le 1^er tour, son mouvement étant directement oscillatoire amorti autour de la position <br>{{Al|125}}d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> repéré par <math>\;\theta = 0\;</math><ref> « Les points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> rencontrent un mur d'énergie potentielle à droite sur l'intervalle <math>\;\left] 0\,,\, +\pi \right[\;</math> <math>\Big\{</math>bien que l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}(\mathfrak{2}) \simeq 2,23\;m\;g\;l\;</math> soit <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;l\;</math> <math>\big(</math>l'énergie mécanique limite au-dessus de laquelle un P.P.S.N.A. a un mouvement révolutif<math>\big)</math>, la <math>\;\searrow\;</math> de l'énergie mécanique du P.P.S.A. fait qu'elle n'est plus assez grande pour permettre un 1^er passage par la position d'équilibre instable repérée par <math>\;\theta = +\pi\;</math> d'où l'existence d'un 1^er mur d'énergie potentielle sur l'intervalle <math>\;\left] 0\,,\, +\pi \right[</math>, par contre, sur l'exemple du diagramme <math>\;(\mathfrak{1})</math>, l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}(\mathfrak{1}) \simeq 2,32\;m\;g\;l\;</math> plus grande que celle du diagramme <math>\;(\mathfrak{2})</math>, avait permis au P.P.S.A. de garder un peu d'énergie cinétique pour un 1^er passage par la position d'équilibre instable repérée par <math>\;\theta = +\pi\;</math> d'où un mouvement révolutif amorti sur un 1^er tour<math>\Big\}</math>, puis <br>{{Al|3}}{{Transparent|« Les points <math>\;\color{transparent}{P_u}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{P_m}\;</math> rencontrent }}un mur d'énergie potentielle à gauche sur l'intervalle <math>\;\left] -\pi\,,\, 0 \right[\;</math>» et ainsi de suite, <br>{{Transparent|« Les points <math>\;\color{transparent}{P_u}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{P_m}\;</math> rencontrent}}« les murs d'énergie potentielle successifs étant de plus en plus resserrés <math>\Rightarrow</math> la <math>\;\searrow\;</math> de l'amplitude des oscillations autour de la position d'équilibre stable repérée par <math>\;\theta = 0\;</math>».</ref> ; {{Al|130}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>remarque</u> : dans le cas où le P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. serait lancé dans l'autre sens avec la même valeur absolue de vitesse angulaire et à partir de la même position angulaire, c'est-à-dire correspondant aux C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -\dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = -120\,\text{°}\,,\, \dot{\theta}_0 = -1,21\;\sqrt{\dfrac{g}{l}} \simeq -3,8\;rad \cdot s^{-1} \right\rbrace</math>, donc avec la même valeur d'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0} \simeq 2,23\;m\;g\;l\;</math> que celle du diagramme <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> mais dans l'autre sens, on pourrait observer l'« absence de mur d'énergie potentielle à gauche sur l'intervalle <math>\;\left] -\pi\,,\, 0 \right[\;</math>» et par suite « un mouvement révolutif amorti<ref name="révolutif" /> du P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. sur un 1^er tour dans le sens <math>\;-\;</math>», suivi d'« un mouvement oscillatoire amorti autour de la position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> repérée par <math>\;\theta = -2\;\pi\;</math>»<ref> La raison de ce comportement différent alors que l'énergie mécanique initiale est la même étant que l'écart angulaire entre la position initiale <math>\;\theta_0 =</math> <math>-\dfrac{2\;\pi}{3}\;</math> et la 1^ère position d'équilibre instable repérée par <math>\;\theta = -\pi\;</math> n'est que de <math>\;\dfrac{\pi}{3}\;</math> alors que celui qui existait dans le diagramme <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> entre la même position initiale <math>\;\theta_0 = -\dfrac{2\;\pi}{3}\;</math> et la 1^ère position d'équilibre instable repérée par <math>\;\theta = +\pi\;</math> était de <math>\;\dfrac{5\;\pi}{3}\;</math> c.-à-d. cinq fois plus grand autorisant une perte d'énergie mécanique cinq fois plus grande dans le cas du P.P.S.A. du diagramme <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> d'où un comportement différent.</ref>. === 1^er additif : « trouver l'équation différentielle du 2^ème ordre d'un P.P.S. à partir de considérations énergétiques » === {{Al|5}}Si le P.P.S<ref name="P.P.S." />. est « non amorti »<ref> Rappelons que c'est nécessaire pour que le point matériel <math>\;M\;</math> du P.P.S. soit « à mouvement conservatif », de plus c'est le seul cas de P.P.S. explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. <math>\;\ldots</math></ref>, il suffit, pour déterminer son équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> à partir de son « intégrale 1^ère énergétique <math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle «<math>\;E_m(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;l\,\left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math> est l'énergie mécanique à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;l\,\left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math> l'énergie mécanique initiale dépendant des C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="1a ou 1b" /> », {{Al|18}}{{Transparent|Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, }}<math>\succ\;</math>de « dériver cette intégrale 1^ère énergétique par rapport à <math>\;t\;</math>» avec «<math>\;\dfrac{d E_{m,\,0}}{dt} = 0\;</math>» et «<math>\;\dfrac{d E_m}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) + m\;g\;l\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}\!(t) =</math> <math>\left\lbrace l\;\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,m\;l\;\dot{\theta}(t)\;</math>» d'où «<math>\;\left\lbrace l\;\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,m\;l\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» puis {{Al|18}}{{Transparent|Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, }}<math>\succ\;</math>de « simplifier par <math>\;m\;l\;\dot{\theta}(t)\;</math>»<ref name="vitesse non identiquement nulle"> D'une part cette expression ne peut pas être identiquement nulle avec une C.I. <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> et <br>{{Al|22}}d'autre part si la C.I. est du type <math>\;1\mathfrak{a}\;</math> elle ne peut non plus être identiquement nulle car <math>\;\theta_0\;</math> étant <math>\;\neq 0\;</math> ne repère pas une position d'équilibre <math>\;\big(</math>ce qui serait indispensable pour avoir <math>\;\dot{\theta}(t) = 0,\;\;\forall\;t\big)</math>.</ref> d’où «<math>\;l\;\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» et finalement la forme normalisée de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)</math> <br>{{Al|26}}{{Transparent|Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>de « simplifier par <math>\;\color{transparent}{m\;l\;\dot{\theta}(t)}\;</math>» d’où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>En complément</u> : si le P.P.S<ref name="P.P.S." />. est « amorti »<ref> Rappelons que le point matériel <math>\;M\;</math> du P.P.S.A. est « à mouvement non conservatif », il n'y a donc pas d'intégrale 1^ère énergétique <math>\;\ldots</math></ref>, il faut, pour déterminer son équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> à partir de considérations énergétiques, {{Al|18}}{{Transparent|En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, }}<math>\blacktriangleright\;</math>« expliciter le théorème de la puissance mécanique <math>\;\dfrac{d E_m}{dt}(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» dans lequel «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(t) = -h\;\vec{V}_M(t) = -h\;l\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math> est la résistance à l'avancement de <math>\;M\;</math> dans le fluide entourant le P.P.S<ref name="P.P.S." />., la puissance instantanée de cette dernière s'écrivant <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;\overset{\ldots}{=}\;</math> <math>-h\;l^2\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» et « la puissance mécanique du P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. restant la même que celle du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. soit <math>\;\dfrac{d E_m}{dt}(t) = \left\lbrace l\;\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,m\;l\;\dot{\theta}(t)\;</math>» d'où «<math>\;\left\lbrace m\;l\;\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,l\;\dot{\theta}(t) = \left\lbrace -h\;l\;\dot{\theta}(t) \right\rbrace\,l\;\dot{\theta}(t)\;</math>» puis {{Al|18}}{{Transparent|En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, }}<math>\blacktriangleright\;</math>« simplifier par <math>\;l\;\dot{\theta}(t)\;</math>»<ref name="vitesse non identiquement nulle" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;l\;\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = -h\;l\;\dot{\theta}(t)\;</math>» d'où l'équation différentielle normalisée du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)</math> <br>{{Al|26}}{{Transparent|En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« simplifier par <math>\;\color{transparent}{l\;\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>». === 2^ème additif : « dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil » === [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb||Schéma d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à un degré de liberté lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à fil idéal<ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> <math>\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Tout ce qui a été traité auparavant dans ce chapitre ou le chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » concernant un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à un degré de liberté reste applicable <u>à condition de vérifier que le fil idéal</u><ref name="fil idéal" /> remplaçant la tige rigide sans masse <u>est effectivement tendu</u> ; {{Al|5}}le vecteur force « tension du fil »<ref name="abus tension de fil"> Il s'agit d'un abus car la tension d'un fil est la norme de la force que le fil exerce <math>\;\ldots</math></ref> exercé sur <math>\;M\;</math> s'écrivant <math>\;\vec{T} = \overline{T}\;\vec{u}_r</math>, « le fil idéal<ref name="fil idéal" /> sera tendu si la mesure algébrique <math>\;\overline{T}\;</math> de la composante radiale de <math>\;\vec{T}\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big[</math>si tel est le cas la tension du fil <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la norme du vecteur « tension du fil »<ref name="abus tension de fil" /><math>\big)\;</math> <math>\Vert \vec{T} \Vert = -\overline{T}\;</math> et est usuellement notée <math>\;T\big]</math> ; {{Al|5}}on obtient <math>\;\overline{T}(t)\;</math> par projection, sur <math>\;\vec{u}_r</math>, de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. appliquée à <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> supposé galiléen «<math>\;\vec{T}(t) + m\;\vec{g} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> le vecteur accélération de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> soit «<math>\;\overline{T}(t) + m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = m\;a_{M,\,r}(t)\;</math>», «<math>\;a_{M,\,r}(t)\;</math> étant l'accélération radiale de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;l\;</math> égale à <math>\;a_{M,\,r}(t) = -l\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>»<ref name="composantes polaires de l'accélération d'un mouvement circulaire de centre O"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Composantes_polaires_du_vecteur_accélération_de_M|composantes polaires du vecteur accélération de M]] (en mouvement circulaire de centre O) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont on tire «<math>\;\overline{T}(t) = -m\, \left\lbrace l\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}on exprime alors <math>\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> en fonction de <math>\;\theta(t)\;</math> et de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}\;</math> par l'intégrale 1^ère énergétique <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; l\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math> <math>= E_{m,\,0}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;l^2} - \dfrac{2\;g}{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» que l'on reporte dans l'expression de <math>\;\overline{T}(t)\;</math> obtenue précédemment par utilisation de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. soit «<math>\;\overline{T}(t) =</math> <math>-m\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;l} - 2\;g\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et finalement, après simplification et regroupement des termes <center>«<math>\;\overline{T}(t) = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}« le fil reste tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref name="abus d'écriture usuel en physique"> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta\;</math>», ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» mais, pour poursuivre, il convient d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> : {{Al|5}}{{Transparent|« le fil reste tendu }}<math>\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;l\;</math><ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref> le mouvement du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif<ref name="révolutif" /> », le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;\text{pour }\dot{\theta}_0 > 0 \\ \left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;\text{pour }\dot{\theta}_0 < 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math><ref name="abus d'écriture usuel en physique" /> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref name="abus d'écriture usuel en physique" /> soit, <br>{{Al|12}}{{Transparent|« le fil reste tendu <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{>}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{2\;m\;g\;l}\;</math> }}<math>\succ\;</math>avec <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, le fil reste tendu pour un mouvement hypothétique révolutif<ref name="révolutif" /> si «<math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>»<ref name="restriction du domaine de recherche du maximum"> Car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> ou <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]</math>.</ref> et, <br>{{Al|12}}{{Transparent|« le fil reste tendu <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{>}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{2\;m\;g\;l}\;</math> }}<math>\succ\;</math>avec <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, {{Transparent|le fil reste tendu pour un mouvement hypothétique révolutif si }}{{Al|7}}«<math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>»<ref name="restriction du domaine de recherche du maximum" />, <br>{{Al|12}}{{Transparent|« le fil reste tendu <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{>}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{2\;m\;g\;l}\;</math> }}soit, la fonction <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref name="abus d'écriture usuel en physique" /> étant paire, une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>»<ref name="restriction du domaine de recherche du maximum" /> ; {{Al|12}}{{Transparent|« le fil reste tendu <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{>}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{2\;m\;g\;l}\;</math> }}«<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math><ref name="abus d'écriture usuel en physique" /> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]\;</math>», la condition «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>»<ref name="restriction du domaine de recherche du maximum" /> se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math> ou encore <math>\;-m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\pi) \right] < 0\;</math>» soit <math>\;\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 5 > 0\;</math> d'où <br>{{Al|12}}{{Transparent|« le fil reste tendu <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{>}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{2\;m\;g\;l}\;</math> }}la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à fil idéal<ref name="fil idéal" /> soit révolutif</u> sans que le fil ne se détende : «<math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;l\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|« le fil reste tendu }}<math>\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;l\;</math> le mouvement du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire », le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} avec <math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} \right]\;</math><ref name="fonction arccosinus" /> »<ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math><ref name="abus d'écriture usuel en physique" /> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref name="abus d'écriture usuel en physique" />, à savoir «<math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>»<ref name="restriction du domaine de recherche du maximum - bis"> La fonction <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> étant paire, toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant son intervalle de définition à <math>\;\left[ 0\,,\,\theta_m \right]\;</math> ou <math>\;\left[ -\theta_m\,,\,0 \right]</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|« le fil reste tendu <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{<}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{2\;m\;g\;l}\;</math> }}la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrit alors «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>»<ref name="restriction du domaine de recherche du maximum - bis" /> ; {{Al|12}}{{Transparent|« le fil reste tendu <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{<}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{2\;m\;g\;l}\;</math> }}«<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math><ref name="abus d'écriture usuel en physique" /> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>»<ref name="restriction du domaine de recherche du maximum - bis" /> se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math> ou encore <math>\;-m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta_m) \right] < 0\;</math>» soit, avec <math>\;\cos(\theta_m) = 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l}</math>, «<math>\;\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3 \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} \right] > 0\;</math>» d'où <br>{{Al|12}}{{Transparent|« le fil reste tendu <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{<}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{2\;m\;g\;l}\;</math> }}la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à fil idéal<ref name="fil idéal" /> soit oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende : «<math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;l\;</math>». {{Al|5}}<u>En conclusion</u>, la nature du mouvement d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à fil idéal<ref name="fil idéal" /> lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="1a ou 1b" /> dépend de la valeur de son énergie mécanique initiale <br>{{Al|28}}{{Transparent|En conclusion, la nature du mouvement d'un P.P.S.N.A. à fil idéal lancé dans les C.I. <math>\;\color{transparent}{1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}}\;</math> dépend de la valeur de }}«<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, }}<math>\succ\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;l\;</math>», le mouvement est <u>oscillatoire d'amplitude aiguë</u>, celle-ci étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;l} \right]\;</math><ref name="fonction arccosinus" /> »<ref name="amplitude d'oscillations" />, «<math>\;\theta_m \in \left] 0\,,\,+\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, }}<math>\succ\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;l\,,\, 2\;m\;g\;l \right[\;</math>», le mouvement débute de façon <u>oscillatoire jusqu'à ce que le fil se détende</u>, pour l'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;-m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta_{\text{détente}}) \right] = 0\;</math> soit «<math>\;\theta_{\text{détente}} = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l} \right]\;</math><ref name="fonction arccosinus" /> »<ref name="fil détendu"> Une fois le fil détendu, le mouvement de <math>\;M\;</math> est un mouvement de chute dans le champ de pesanteur terrestre uniforme de vecteur vitesse initiale égal à celui atteint pour <math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> <math>\big(</math>en effet les forces appliquées étant continues, les vecteurs accélération, vitesse et position de <math>\;M\;</math> le sont<math>\big)\;</math> c.-à-d. « faisant l'angle <math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> avec l'horizontale » et « de norme égale à <math>\;l\; \vert \dot{\theta}_{\text{détente}} \vert\;</math>» défini à l'aide de l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.S.N.A. «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_{\text{détente}}^{\,2} + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_{\text{détente}}) \right] = E_{m,\,0}\;</math>» ou, avec «<math>\;\theta_{\text{détente}} = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l} \right]\;</math>», l'équation suivante <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_{\text{détente}}^{\,2} + m\;g\;l\, \left\lbrace 1 - \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l} \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_{\text{détente}}^{\,2} = E_{m,\,0} - \dfrac{m\;g\;l}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3} = \dfrac{E_{m,\,0} - m\;g\;l}{3}\;</math> d'où «<math>\;l\; \vert \dot{\theta}_{\text{détente}} \vert = \sqrt{\dfrac{2\, \left( E_{m,\,0} - m\;g\;l \right)}{3\;m}}\;</math>» ; cette phase de chute libre de <math>\;M\;</math> s'achève lorsque le fil se retend, c.-à-d. quand la distance entre <math>\;M\;</math> et <math>\;O\;</math> reprend la valeur <math>\;l</math> <math>\;\big\{</math>à l'instant où le fil se retend, il y a, de façon évidente, discontinuité de 1^ère espèce du vecteur vitesse <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> engendrée par une discontinuité de 2^ème espèce du vecteur tension du fil <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_2ème_espèce_du_pic_de_Dirac_de_tension_d'impulsion_E|discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> dont l'impulsion est liée au saut de vecteur vitesse par le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire en présence d'un vecteur force discontinu de 2^ème espèce <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Application_en_présence_d'une_force_de_collision_et_conséquence|application en présence d'une force de collision et conséquence]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas <math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;l</math>, la norme de la vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant de détente du fil est égale à <math>\;l\; \vert \dot{\theta}_{\text{détente}} \vert = 0</math>, ceci entraînant la poursuite du mouvement d'oscillations du P.P.S.N.A. sans phase intermédiaire de chute libre ; <br>{{Al|3}}dans le cas <math>\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;l</math>, la norme de la vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant de détente du fil est égale à <math>\;l\; \vert \dot{\theta}_{\text{détente}} \vert = \sqrt{\dfrac{2\; g\;l}{3}}</math>, d'où une phase de chute libre de <math>\;M\;</math> jusqu'à ce que le fil se retende ; <br>{{Al|3}}dans le cas <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{5}{2}\;m\;g\;l</math>, la norme de la vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant de détente du fil est égale à <math>\;l\; \vert \dot{\theta}_{\text{détente}} \vert = \sqrt{g\;l}</math>, ceci entraînant la poursuite du mouvement révolutif du P.P.S.N.A. sans phase intermédiaire de chute libre.</ref>, variant de «<math>\;\theta_{\text{détente}} = \dfrac{\pi}{2}\;</math> pour <math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;l\;</math>» à «<math>\;\theta_{\text{détente}} \rightarrow \left\lbrace \arccos\! \left[ -\dfrac{2}{3} \right] \right\rbrace^{-}\;</math><ref name="fonction arccosinus" /> <math>\simeq</math> <math>\left( 131,8\,\text{°} \right)^{-}\;</math> pour <math>\;E_{m,\,0} \rightarrow \left( 2\;m\;g\;l \right)^{-}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|En conclusion }}<math>\;\succ\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;l\;</math>», il n'y a <u>pas de position d'équilibre instable</u><ref name="équilibre instable" />, le mouvement débutant de façon <u>oscillatoire jusqu'à ce que le fil se détende</u>, c'est-à-dire pour l'abscisse angulaire {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{détente}}</math>}} <math>= \arccos\! \left[ -\dfrac{2}{3} \right]\;</math><ref name="fonction arccosinus" /> <math>\simeq 131,8\,\text{°}\;</math>»<ref name="fil détendu" />, {{Al|5}}{{Transparent|En conclusion }}<math>\;\succ\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} \in \left] 2\;m\;g\;l\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;l \right]\;</math>», le mouvement débute de façon <u>révolutif<ref name="révolutif" /> jusqu'à ce que le fil se détende</u>, c'est-à-dire pour l'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}})</math> <math>= 0\;</math> <math>\overset{\ldots}{\Rightarrow}</math> {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{détente}}</math>}} <math>= \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l} \right]\;</math><ref name="fonction arccosinus" /> »<ref name="fil détendu" />, variant de «<math>\;\theta_{\text{détente}} \rightarrow \left\lbrace \arccos\! \left[ -\dfrac{2}{3} \right] \right\rbrace^{+}\;</math><ref name="fonction arccosinus" /> <math>\simeq</math> <math>\left( 131,8\,\text{°} \right)^{+}\;</math> pour <math>\;E_{m,\,0} \rightarrow \left( 2\;m\;g\;l \right)^{+}\;</math>» à «<math>\;\theta_{\text{détente}} = \pi\;</math> pour <math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{5}{2}\;m\;g\;l\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|En conclusion }}<math>\;\succ\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;l\;</math>», le mouvement est <u>révolutif</u><ref name="révolutif" />. == Explication qualitative du lien entre « profil d'énergie potentielle » et portrait de phase d'un point matériel à mouvement conservatif == === Généralités === {{Al|5}}À partir du « profil d'énergie potentielle »<ref name="profil d'énergie potentielle"> Autre nom du diagramme d'énergie potentielle c.-à-d. de la courbe de l'énergie potentielle en fonction du paramètre de position.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir }}de l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel <math>\;M\;</math> à « mouvement conservatif »<ref name="mouvement conservatif" />{{,}}<ref> Tout ce qui suit est réservé aux points <math>\;M\;</math> à « mouvement conservatif », on néglige donc tout frottement.</ref> matérialisé par le diagramme d'énergies potentielle et mécanique, on peut en déduire * l'expression de l'énergie cinétique en fonction du paramètre de position, puis, de cette dernière * la valeur absolue de la vitesse en fonction du même paramètre de position, * le signe de la vitesse pour un sens de variation du paramètre de position à partir d'une valeur de ce dernier d'après « la connaissance du sens de déplacement du point générique <math>\;P_u\;</math> de <math>\;(\Gamma_u)\;</math>» obtenu sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique<ref> Sur les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de point matériel dans un <u>état lié</u>, la connaissance de la valeur du paramètre de position ne suffit pas pour en déduire le signe de la vitesse, ce dernier dépendant du sens de variation du paramètre de position autour de cette valeur <math>\;\big(</math>par exemple le passage par la position d'équilibre d'un oscillateur harmonique correspond alternativement à une vitesse positive puis négative<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> En effet on connaît la vitesse initiale s'il y en a une, donc le sens de déplacement de <math>\;P_u\;</math> sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> correspondant à cet instant et ce sens est conservé <math>\;\big(</math>donc le signe de la vitesse aussi<math>\big)\;</math> tant que la vitesse ne s'annule pas ; si cette dernière s'annule c'est que <math>\;P_u\;</math> rencontre un mur d'énergie potentielle et par suite le sens de déplacement de <math>\;P_u\;</math> est inversé <math>\;\big(</math>donc le signe de la vitesse aussi<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}s'il n’y a pas de vitesse initiale, <math>\;P_u\;</math> est sur un mur d'énergie potentielle et le sens de déplacement ultérieur de <math>\;P_u\;</math> sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> est connu <math>\;\big(</math>donc le signe ultérieur de la vitesse aussi<math>\big)</math>.</ref> et enfin, * la vitesse en fonction du paramètre de position et de son sens de variation, cette connaissance permettant de tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <ref name="portrait de phase"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Portrait_de_phase_d'un_système_dynamique#Définition_du_portrait_de_phase_d'un_système_dynamique_classique_à_un_degré_de_liberté|définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> associé au profil d'énergie potentielle<ref name="profil d'énergie potentielle" /> du point matériel <math>\;M\;</math> à « mouvement conservatif »<ref name="mouvement conservatif" />. === Exemple de la chute libre d'un point matériel sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme === [[File:Chute libre sans vitesse initiale - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|left|thumb|450px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un corps ponctuel en chute libre sans vitesse initiale avec précision du mur d'énergie potentielle et de la nature <math>\;\big(</math>cinétiquement<math>\big)\;</math> non bornée de la trajectoire]] [[File:Chute libre sans vitesse initiale - portrait de phase.png|right|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> d'un corps ponctuel en chute libre sans vitesse initiale à partir d'une altitude <math>\;h\;</math> tracé à l'aide du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de ce même corps avec les mêmes C.I<ref name="C.I." />.]] {{Al|5}}Nous allons donc utiliser le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_d'un_point_matériel_en_chute_libre|diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre]] sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_d'un_point_matériel_en_chute_libre|diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> rappelé ci-contre à gauche <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous allons }}pour en déduire le « [[w:Portrait_de_phase|portrait de]]{{Transparent|phase » }}[[w:Portrait_de_phase|phase]] »<ref name="portrait de phase" />{{,}}<ref name="non traité au chap.10"> Lequel n'a pas été déterminé directement au chap.<math>10</math> traitant du « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme|mouvement d'un point matériel dans le champ de pesanteur uniforme]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> associé <math>\;\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)</math> ; {{Al|5}}on établit, à partir de l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel <math>\;M\;</math> en chute libre sans vitesse initiale à partir de l'altitude <math>\;h</math>, l'« équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de]]{{Transparent|phase » }}[[w:Portrait_de_phase|phase]]<ref name="portrait de phase" /> <math>\;\dot{z}</math> <math>= -\sqrt{2\;g\,\left( h - z \right)}\;</math>»<ref> En effet l'intégrale 1^ère énergétique s'écrit <math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math> avec <math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{z}^2\!(t) + m\;g\;z(t)\;</math> et <math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;h\;</math> d'où <math>\;\dot{z}^2\!(t) =</math> <math>2\;g\,\left[ h - z(t) \right]\;</math> et par suite l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] compte-tenu du caractère négatif de la vitesse.</ref> c'est-à-dire une <u>demi-parabole</u><ref name="parabole - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#équation_cartésienne|équation cartésienne]] (d'une parabole de sommet O et d'axe Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », l'axe ici étant <math>\;Oz</math>.</ref> ayant pour axe, l'axe des <math>\;z\;</math> et de concavité tournée vers la gauche, ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|On établit, }}la « pente du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> <math>\;\dfrac{d \dot{z}}{dz}(z) = \sqrt{\dfrac{g}{2\,\left( h - z \right)}}\;</math>»<ref> Obtenue en dérivant l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <math>\;\dot{z} = -\sqrt{2\;g\,\left( h - z \right)}\;</math> par rapport à <math>\;z</math>.</ref>, fonction <math>\;> 0</math>, « de valeur <math>\;\infty\;</math> pour <math>\;z_0 = h\;</math>», «<math>\;\searrow\;</math> si <math>\;z \searrow\;</math>». [[File:Chute libre avec vitesse initiale vers le haut - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|left|thumb|450px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un corps ponctuel en chute libre avec vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> verticale <math>\;\uparrow</math>, repérage du mur d'énergie potentielle et conséquence sur la nature (cinétiquement) non bornée de la trajectoire]] [[File:Chute libre avec vitesse initiale vers le haut - portrait de phase.png|right|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> d'un corps ponctuel en chute libre avec vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> verticale <math>\;\uparrow\;</math> à partir d'une altitude h tracé à l'aide du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de ce même corps avec les mêmes C.I<ref name="C.I." />.]] {{Al|5}}<u>En complément</u>, nous utilisons le « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre dans le [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Cas_où_le_point_matériel_est_lancé_vers_le_haut_avec_une_vitesse_initiale_verticale_à_partir_d'une_position_d'altitude_quelconque|cas où ce dernier est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position quelconque]] dans un champ de pesanteur uniforme »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Cas_où_le_point_matériel_est_lancé_vers_le_haut_avec_une_vitesse_initiale_verticale_à_partir_d'une_position_d'altitude_quelconque|cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> rappelé ci-contre à gauche <br>{{Al|5}}{{Transparent|En complément, nous utilisons }}pour en déduire le « [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] »<ref name="portrait de phase" />{{,}}<ref name="non traité au chap.10" /> associé <math>\;\big(</math>ci-contre à {{Nobr|droite<math>\big)</math> ;}} <br>{{Al|5}}{{Transparent|En complément, }}on établit, à partir de l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel <math>\;M\;</math> en chute libre avec une vitesse initiale verticale <math>\;\uparrow\;</math> <math>\;V_0\;</math> à partir de l'altitude <math>\;h</math>, l'« équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> <math>\;\vert \dot{z} \vert</math> <math>= \sqrt{V_0^2 + 2\;g\,\left( h - z \right)}\;</math>»<ref> En effet l'intégrale 1^ère énergétique s'écrit <math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math> avec <math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{z}^2\!(t) + m\;g\;z(t)\;</math> et <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 + m\;g\;h\;</math> d'où <math>\;\dot{z}^2\!(t) =</math> <math>V_0^2 + 2\;g\,\left[ h - z(t) \right]\;</math> et par suite l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <math>\;\dot{z} = +\sqrt{V_0^2 + 2\;g\,\left( h - z \right)}\;</math> dans la phase de montée de <math>\;M\;</math> et son équation <math>\;\dot{z} = -\sqrt{V_0^2 + 2\;g\,\left( h - z \right)}\;</math> dans la phase de descente du point matériel.</ref> c'est-à-dire une <u>portion de parabole</u><ref name="parabole - bis" /> ayant pour axe, l'axe des <math>\;z</math>, de concavité tournée vers la gauche avec <math>\;\dot{z} \leqslant V_0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En complément, }}on détermine aussi la « pente du <br>{{Al|5}}{{Transparent|En complément, }}[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> de valeur absolue <math>\;\bigg\vert \dfrac{d \dot{z}}{dz}(z) \bigg\vert = \dfrac{g}{\sqrt{V_0^2 + 2\;g\,\left( h - z \right)}}\;</math>»<ref> Obtenue en dérivant l'équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] <math>\;\dot{z} = \pm\sqrt{V_0^2 + 2\;g\,\left( h - z \right)}\;</math> par rapport à <math>\;z\;</math> <math>\big(</math>avec <math>\;+\;</math> dans la phase montante de <math>\;M\;</math> et <math>\;-\;</math> dans sa phase <math>\;\downarrow\big)</math>, ce qui donne <math>\;\dfrac{d \dot{z}}{dz}(z) =</math> <math>\mp\dfrac{g}{\sqrt{V_0^2 + 2\;g\,\left( h - z \right)}}</math>.</ref>, <br>{{Al|123}}la pente étant <math>\succ\;</math>« une fonction <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\searrow\;</math> quand <math>\;z \nearrow\;</math> de <math>\;h\;</math> jusqu'à <math>\;z_{\text{max}}\;</math> où sa valeur absolue devient <math>\;\infty\;</math>» puis <br>{{Al|123}}{{Transparent|la pente étant }}<math>\succ\;</math>« une fonction <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\searrow\;</math> quand <math>\;z \searrow\;</math> à partir de <math>\;z_{\text{max}}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans les deux exemples présentés ci-dessus, le diagramme d'énergies potentielle et mécanique est celui d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un « <u>état de diffusion</u> » <math>\;\big[</math>présence d'un seul mur d'énergie potentielle<math>\big]\;</math> et le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> est une « <u>courbe ouverte</u> » <math>\;\big[</math>possibilité cinétique que le paramètre de position <math>\;z\;</math> tende vers l'infini<math>\big]\;</math> avec le point générique du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> « <u>tournant dans le sens horaire</u> » <math>\;\big[</math>[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe des <math>\;z\;</math> avec <math>\;z \nearrow\;</math> dans la zone <math>\;\dot{z} > 0\;</math> et <math>\;z \searrow\;</math> dans la zone <math>\;\dot{z} < 0\big]</math>. === Exemple de l'oscillateur harmonique à une dimension « P.E.H. » === [[File:Pendule élastique horizontal - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|left|thumb|400px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. écarté de <math>\;x_0\;</math> de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale avec précision des deux murs d'énergie potentielle et de la nature {{Nobr|<math>\;\big(</math>cinétiquement<math>\big)\;</math>}} bornée de la trajectoire]] {{Al|5}}L'étude d'un oscillateur harmonique par diagramme d'énergies potentielle et mécanique n'étant pas cité dans le programme de physique de P.C.S.I<ref name="raison probable de l'absence" />., il en est de même du lien entre le profil d'énergie potentielle<ref name="profil d'énergie potentielle" /> d'un oscillateur harmonique et son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" />, toutefois l'exposé de cette relation est intéressant car il présente un exemple de corrélation entre un « <u>état lié</u> » de diagramme d'énergies potentielle et mécanique et le « <u>sens d'évolution</u> du point générique du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> correspondant ainsi que la <u>fermeture</u> de ce dernier » autre que celui du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. traité dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)]] » plus loin dans ce chapitre. {{Al|5}}Nous allons donc utiliser le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.E.H.N.A.|diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A.]] »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.E.H.N.A.|diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> rappelé ci-contre à gauche [[File:Pendule élastique horizontal - portrait de phase.png|right|thumb|350px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> d'un P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. écarté de <math>\;x_0\;</math> de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale tracé à l'aide du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de ce même corps avec les mêmes C.I<ref name="C.I." />.]] {{Al|5}}{{Transparent|Nous allons }}pour en déduire le « [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] »<ref name="portrait de phase" />{{,}}<ref name="non traité au chap.1"> Lequel n'a pas été déterminé directement au chap.<math>1</math> traitant de l'« [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique|oscillateur harmonique]] (non amorti) à une dimension » de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » mais simplement évoqué dans le chap.<math>28</math> de la même leçon traitant des « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux|circuits R L C série et oscillateurs mécaniques amortis par frottement visqueux]] » et où on peut y voir, obtenus expérimentalement, les « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Portrait_de_phase_en_élongation_(ou_en_vitesse)_du_P.E.V.A._suivant_le_cœfficient_d'amortissement|portraits de phase en élongation (ou en vitesse) du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement]] <math>\big(</math>en particulier celui d'un pendule très faiblement amorti avec <math>\;\sigma = 0,0125\;</math> permettant d'induire le cas d'un pendule non amorti<math>\big)\;</math>» <math>\big[</math>le fait que le pendule soit vertical et non horizontal n'ayant aucune importance sur la forme des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<math>\big]</math>.</ref> associé {{Nobr|<math>\;\big(</math>ci-contre}} à droite<math>\big)</math> ; {{Al|5}}on établit, à partir de l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel <math>\;M\;</math> du {{Nobr|P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />.}} écarté de <math>\;x_0\;</math> de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, l'« équation implicite du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> <math>\;\dfrac{\dot{x}^2}{\omega_0^2\;x_0^2} + \dfrac{x^2}{x_0^2} =</math> {{Nobr|<math>1\;</math>»<ref> En effet l'intégrale 1^ère énergétique s'écrit <math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math> avec <math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\!(t)\;</math> et <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;k\;x_0^2\;</math> dont on déduit aisément <math>\;m\;\dot{x}^2\!(t) + k\;x^2\!(t) = k\;x_0^2\;</math> ou <math>\;\dfrac{m}{k\;x_0^2}\;\dot{x}^2\!(t) + \dfrac{x^2\!(t)}{x_0^2} = 1\;</math> soit encore <math>\;\dfrac{\dot{x}^2}{\left( \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;x_0 \right)^{\!2}} + \dfrac{x^2}{x_0^2} = 1\;</math> d'où l'équation implicite du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en reconnaissant dans <math>\;\sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> la pulsation propre <math>\;\omega_0\;</math> du P.E.H..</ref>}} définissant une <u>ellipse</u><ref name="ellipse"> Voir le paragraphe « équation cartésienne d'une [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dont les axes sont l'axe des <math>\;x\;</math> et des <math>\;\dot{x}\;</math> et dont le centre est le point d'intersection des axes <math>\;\left(0\,,\,0 \right)\;</math> {{Nobr|c'est-à-dire}} le point représentatif de l'équilibre de <math>\;M\;</math> dans le diagramme de phase<ref name="diagramme de phase"> Repère dans lequel est tracé un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]].</ref> ; {{Al|5}}<u>commentaire</u> : quand <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique sont en <math>\;P_0\;</math> {{Nobr|c'est-à-dire}} sur le mur d’énergie potentielle initiale, ils ne peuvent se déplacer que vers la gauche, {{Al|5}}{{Transparent|commentaire : }}parallèlement <math>\;Q\;</math> du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> est en <math>\;Q_0\;</math> {{Nobr|c'est-à-dire}} la position extrême du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> sur l'axe des <math>\;x\;</math> sur la droite et <math>\;x\;</math> ne peut que <math>\;\searrow</math>, ce qui nécessite <math>\;\dot{x} < 0\;</math> d'où le déplacement de <math>\;Q\;</math> sur le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> à partir de <math>\;Q_0\;</math> dans le sens horaire<ref> On peut dupliquer le commentaire pour <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique en <math>\;{P'}_0\;</math> c.-à-d. sur le 2^ème mur d’énergie potentielle, ces deux points ne peuvent se déplacer que vers la droite, <br>{{Al|3}}{{Transparent|On peut dupliquer le commentaire }}parallèlement <math>\;Q\;</math> du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est en <math>\;{Q'}_0\;</math> c.-à-d. la position extrême du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] sur l'axe des <math>\;x\;</math> sur la gauche (non représenté) et <math>\;x\;</math> ne peut que <math>\;\nearrow</math>, ce qui nécessite <math>\;\dot{x} > 0\;</math> d'où le déplacement de <math>\;Q\;</math> sur le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] à partir de <math>\;{Q'}_0\;</math> dans le sens horaire <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La présence de deux murs d'énergie potentielle dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. se traduisant par « <u>le P.E.H.N.A<ref name="P.E.H.N.A." />. est dans un état lié</u> » se concrétise, dans son [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" />, par <u>la fermeture et la description dans le sens horaire</u> de ce dernier. [[File:Pendule élastique horizontal amorti - diagramme d'énergies potentielle et mécanique - ter.png|left|thumb|440px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A<ref name="P.E.H.A." />. écarté de <math>\;a\;</math> de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement pseudo-périodique relativement amorti]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Bien que le programme de physique de PCSI stipule de présenter le lien entre profil d'énergie potentielle<ref name="profil d'énergie potentielle" /> et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> d'un point matériel à mouvement conservatif<ref name="mouvement conservatif" /> et qu'un P.E.H.A<ref name="P.E.H.A." />. correspond à un point matériel à mouvement non conservatif, nous allons néanmoins le faire pour ce dernier dans le cas faiblement amorti plus précisément avec un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma = 0,125\;</math> ; [[File:Pendule élastique horizontal amorti - portrait de phase.png|right|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> d'un P.E.H.A<ref name="P.E.H.A." />. écarté de <math>\;a\;</math> de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement pseudo-périodique relativement amorti]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A<ref name="P.E.H.A." />. introduit plus haut dans ce chapitre<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_prolongement_de_l'utilisation_du_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_d'un_point_matériel_à_mouvement_non_conservatif_sur_l'exemple_d'un_«_oscillateur_harmonique_amorti_»|en complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un oscillateur harmonique amorti]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est rappelé, dans le cas où <math>\;\sigma = 0,125</math>, ci-contre à gauche et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> d'un P.E.H.A<ref name="P.E.H.A." />. évoqué dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Portrait_de_phase_en_élongation_(ou_en_vitesse)_du_P.E.V.A._suivant_le_cœfficient_d'amortissement|portraits de phase en élongation (ou en vitesse) du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement]] »<ref> La forme des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] est la même que le pendule élastique amorti soit vertical ou horizontal dans la mesure où on repère le point <math>\;M\;</math> par rapport à sa position d'équilibre.</ref> du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » est tracé avec le même cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma = 0,125\;</math> et les mêmes C.I<ref name="C.I." />., ci-contre à droite : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}vous êtes invités à vérifier le lien entre le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du {{Nobr|P.E.H.A<ref name="P.E.H.A." />.}} ci-contre à gauche et le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> du même P.E.H.A<ref name="P.E.H.A." />. ci-contre à droite, en particulier préciser la correspondance entre les points <math>\;P^{(n)}_1\;</math> et <math>\;P^{(n)}_2\;</math> d'une part et <math>\;Q^{(n)}_1\;</math> et <math>\;Q^{(n)}_2\;</math> d'autre part <math>\;\ldots</math> <br><br> === Exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté « P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a) » === [[File:Pendule pesant simple - diagramme d'énergies potentielle et mécanique - ter.png|left|thumb|410px|Diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. écarté de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché avec vecteur vitesse initiale dans le plan vertical de lancement<ref name="plan vertical de lancement" /> tel que l'énergie mécanique initiale <math>\;\dfrac{5\, m\, g\, l}{2}\;</math> soit <math>\;>\;</math> au maximum de l'énergie potentielle avec précision de l'absence de murs d'énergie potentielle et de la nature révolutive du mouvement dans le sens initial de ce dernier]] [[File:Pendule pesant simple - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|right|thumb|440px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. écarté de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale tel que l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>= \dfrac{3\, m\, g\, l}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> la présence de deux murs d'énergie potentielle et la nature <math>\;\big(</math>cinétiquement<math>\big)\;</math> bornée de la trajectoire]] {{Al|5}}Nous allons d'abord utiliser le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. en mouvement révolutif<ref name="révolutif" />{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\bigg[</math>lancé sous C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\;rad</math> <math>= 120\,\text{°}\;</math>», «<math>\;\dot{\theta}_0 = \pm\sqrt{\dfrac{2\;g}{l}} \simeq</math> <math>\pm4,4\;rad \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="caractéristique numérique du P.P.S."> Avec <math>\;l = 1,00\;m\;</math> et <math>\;g \simeq 9,81\;m \cdot s^{-2}</math>.</ref><math>\bigg]\;</math> rappelé ci-contre à gauche ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous allons d'abord utiliser }}le « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. à un degré de liberté dans les C.I. <math>\;1.a\;</math> conduisant à un mouvement oscillatoire »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté dans les C.I. 1a]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\bigg[</math>lancé sous C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\;rad</math> <math>= 120\,\text{°}\;</math>» et «<math>\;\dot{\theta}_0</math> <math>= 0\;</math>»<ref name="caractéristique numérique du P.P.S." /><math>\bigg]\;</math> rappelé ci-contre à droite {{Al|5}}{{Transparent|Nous allons d'abord utiliser }}pour en déduire les « [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] »<ref name="portrait de phase" />{{,}}<ref name="non présenté au chap.12"> Ces exemples numériques avec vitesse angulaire initiale n'ont pas été présentés au chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » mais les exemples qu'on y trouve fournissent des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] de même allure <math>\;\ldots</math></ref> associés <math>\;\big(</math>ci-dessous à droite<math>\big)</math> ;<br>{{Al|5}}on a établi, l'« [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Équation_du_portrait_de_phase_d'un_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|équation du portrait de phase d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » dans le chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<ref> Voir auparavant le paragraphe [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Intégrale_1ère_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|intégrale 1^ère du mouvement d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté]] du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », cette intégrale 1^ère trouvée en intégrant une fois la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne<math>\big)\;</math> projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> s'identifie à l'intégrale 1^ère énergétique introduite dans le présent chapitre.</ref> et on a obtenu {{Nobr|«<math>\;\dot{\theta}^2 =</math>}} <math>\dot{\theta}^2_0 + 2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]\;</math>»<ref> Cette équation implicite peut aussi se retrouver par utilisation de l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.S. <math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math> dans laquelle <math>\;E_m(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;l\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math> et <math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;l\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math> dont on déduit <math>\;\dot{\theta}^2\!(t) + 2\;\dfrac{g}{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace =</math> <math>\dot{\theta}_0^2 + 2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math> d'où l'équation implicite du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A..</ref>, {{clr}} [[File:Pendule pesant simple - portraits de phase - tetra.png|right|thumb|390px|[[w:Portrait_de_phase|Portraits de phase]]<ref name="portrait de phase" /> <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)\;</math> d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. écarté de <math>\;\theta_0</math> <math>= \dfrac{2\;\pi}{3}\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché avec vecteur vitesse initiale dans le plan vertical de lancement<ref name="plan vertical de lancement" /> tel que l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>= \dfrac{5\, m\, g\, l}{2}\;</math> permette le mouvement {{Nobr|révolutif<ref name="révolutif" />}} du P.P.S<ref name="P.P.S." />., <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>« dans le sens <math>\;+\;</math> pour le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> noté <math>\;(1)\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>« dans le sens <math>\;-\;</math> pour celui noté <math>\;(2)\;</math>», <br>{{Al|5}}figure aussi, pour comparaison, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> <math>\;\big(</math>en magenta<math>\big)\;</math> du P.P.S<ref name="P.P.S." />. lâché de la même position initiale sans vitesse]] {{Al|5}}on notera que l'<u>absence de mur d'énergie potentielle</u> sur les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. <u>en mouvement révolutif</u><ref name="révolutif" /><math>\;\big(</math>ci-dessus à gauche<math>\big)\;</math> se traduit par l'<u>ouverture des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]</u><ref name="portrait de phase" /> de ce dernier <math>\;\big(</math>en vert ci-contre<math>\big)</math>, chaque courbe étant <u>situé d'un même côté de l'axe des élongations angulaires</u> se développant sur la droite pour un portrait situé au-dessus et sur la gauche pour un portrait situé au-dessous, de plus les diagrammes et les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<ref name="portrait de phase" /> sont tous deux {{Nobr|<math>\;2\;\pi</math>-périodiques}} et {{Al|5}}{{Transparent|on notera }}que la <u>présence de deux murs d'énergie potentielle</u> sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. <u>en mouvement oscillatoire</u> <math>\;\big(</math>ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> se traduit par la <u>fermeture du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]</u><ref name="portrait de phase" /> de ce dernier <math>\;\big(</math>en magenta ci-contre<math>\big)</math>, la courbe étant <u>décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>de plus cette courbe admet pour axes, l'axe des <math>\;\theta\;</math> et des <math>\;\dot{\theta}\;</math> et pour centre le point d'intersection des axes <math>\;\left(0\,,\,0 \right)\;</math> c'est-à-dire un point représentatif de l'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> de <math>\;M\;</math> dans le diagramme de phase<ref name="diagramme de phase" /><math>\big]</math>. [[File:Pendule pesant simple - diagramme d'énergies potentielle et mécanique - tetra.png|left|thumb|450px|Diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. écarté de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché avec vecteur vitesse initiale dans le plan vertical de lancement<ref name="plan vertical de lancement" /> tel que l'énergie mécanique initiale soit <math>\;=\;</math> au maximum de l'énergie potentielle conduisant à l'arrêt du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. en une position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable" /> de ce dernier]] {{Al|5}}Pour terminer il reste à lier les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. <math>\;\big(</math>ci-contre à {{Nobr|gauche<math>\big)</math>}} <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour terminer il reste à lier }}avec les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<ref name="portrait de phase" /> associés quand l'énergie mécanique initiale du pendule est <math>\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;l</math> <math>\;\bigg[</math>[[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<ref name="portrait de phase" /> dont l'un, celui du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. lancé dans les C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\;rad</math> <math>= 120\,\text{°}\;</math>» et «<math>\;\dot{\theta}_0 = \pm\sqrt{\dfrac{g}{l}}</math> <math>\simeq</math> {{Nobr|<math>\pm3,1\;rad \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="caractéristique numérique du P.P.S." />,}} s'arrêtant dans une position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable" /> <math>\pm \pi</math>, est représenté en vert ci-dessous à droite<ref> Pour comparer on y a aussi reproduit, en magenta, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. <math>\;\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\;rad = 120\,\text{°}\;</math> et <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, d'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{3}{2}\;m\;g\;l\;</math> correspondant à un mouvement oscillatoire.</ref><math>\bigg]</math> ; [[File:Pendule pesant simple - portraits de phase - penta.png|right|thumb|360px|[[w:Portrait_de_phase|Portraits de phase]]<ref name="portrait de phase" /> <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)\;</math> d'un P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. écarté de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché avec un vecteur vitesse initiale dans le plan vertical de lancement<ref name="plan vertical de lancement" /> tel que l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}\;</math> soit <math>\;=\;</math> à <math>\;2\; m\; g\; l\;</math> conduisant à l'arrêt du P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />. en une position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable" /> de ce dernier, <br>figure aussi, pour comparaison, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> <math>\;\big(</math>en magenta<math>\big)\;</math> du P.P.S<ref name="P.P.S." />. lâché de la même position initiale sans vitesse]] {{Al|5}}« si <math>\,\dot{\theta}_0 = \pm\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,</math> pour <math>\,\theta_0 = \dfrac{2\;\pi}{3}\;</math>», l'arrêt du {{Nobr|P.P.S.N.A<ref name="P.P.S.N.A." />.}} se fait en la position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable" /> repérée par <math>\;\theta = \pm\pi\;</math> mais pratiquement cet arrêt n'est pas définitif car <br>{{Al|5}}il suffit d'une très faible perturbation extérieure pour que le pendule quitte cet équilibre instable<ref name="équilibre instable" />, par exemple <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« à partir de la position repérée par <math>\;\theta = +\pi\;</math>», « les points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la droite jusqu'à une autre position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable" /> repérée par <math>\;\theta = 3\;\pi\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « le point <math>\;Q\;</math> du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> poursuit au-dessus de l'axe des <math>\;\theta\;</math> jusqu'à la position repérée par <math>\;\theta =</math> {{Nobr|<math>3\;\pi\;</math>»,}} autre position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable" /> ou, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« à partir de la position repérée par <math>\;\theta = +\pi\;</math>», « les points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la gauche jusqu'à une autre position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable" /> repérée par <math>\;\theta = -\pi\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « le point <math>\;Q\;</math> du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> poursuit au-dessous de l'axe des <math>\;\theta\;</math> jusqu'à la position repérée par <math>\;\theta = -\pi\;</math>», autre position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable" /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« à partir de la position repérée par <math>\;\theta = -\pi\;</math>», « les points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la droite jusqu'à une autre position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable" /> repérée par <math>\;\theta = +\pi\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « le point <math>\;Q\;</math> du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> poursuit au-dessus de l'axe des <math>\;\theta\;</math> jusqu'à la position repérée par <math>\;\theta = +\pi\;</math>», autre position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable" /> ou, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« à partir de la position repérée par <math>\;\theta = -\pi\;</math>», « les points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la gauche jusqu'à une autre position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable" /> repérée par <math>\;\theta = -3\;\pi</math>\;» <math>\Rightarrow</math> « le point <math>\;Q\;</math> du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]]<ref name="portrait de phase" /> poursuit au-dessous de l'axe des <math>\;\theta\;</math> jusqu'à la position repérée par <math>\;\theta = -3\;\pi\;</math>», autre position d'équilibre instable<ref name="équilibre instable" />. {{clr}} [[File:Pendule pesant simple amorti - diagrammes d'énergies potentielle et mécanique - bis.png|left|thumb|430px|Diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule pesant simple faiblement amorti écarté de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable<ref name="équilibre stable" /> et lâché avec vitesse initiale telle que le mouvement associé au diagramme <math>\;(1)\;</math> soit révolutif<ref name="révolutif" /> amorti sur le 1^er tour puis oscillatoire amorti et celui associé au diagramme <math>\;(2)\;</math> soit directement oscillatoire amorti]] [[File:Pendule pesant simple amorti - portrait de phase - bis.png|thumb|right|450px|Tracé de deux [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<ref name="portrait de phase" /> d'un P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />. lancé d'une même position initiale mais avec une vitesse angulaire différente telle que l'un ait un mouvement oscillatoire amorti et l'autre un mouvement révolutif<ref name="révolutif" /> amorti avant d'être oscillatoire amorti]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : À la lumière de ce qui vient d'être exposé on trouvera aisément le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\succ\;</math>les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />.{{,}}<ref name="caractéristique numérique du P.P.S." /> faiblement amorti introduits au paragraphe intitulé « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_prolongement_de_l'utilisation_du_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_d'un_point_matériel_à_mouvement_non_conservatif_sur_l'exemple_d'un_«_pendule_pesant_simple_amorti_(P.P.S.A.)_à_un_degré_de_liberté_»|en complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un P.P.S.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre <math>\;\big(</math>et rappelés ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\succ\;</math>les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<ref name="portrait de phase" /> du {{Nobr|P.P.S.A<ref name="P.P.S.A." />.{{,}}<ref name="caractéristique numérique du P.P.S." />}} lancé dans les mêmes C.I<ref name="C.I." />. avec le même cœfficient d'amortissement dont les tracés ont été fournis au paragraphe intitulé « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_allure_des_portraits_de_phase_d'un_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|en complément, allure des portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1b U 1a]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>et rappelés ci-contre à droite<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> {{clr}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Énergie potentielle et énergie mécanique]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Équilibre et stabilité]] }} adnftwq11f245vm3bfrnuzbizw4ulyh 0 71485 982899 978958 2026-05-17T17:39:24Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982899 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif | idfaculté = physique | numéro = 17 | chapitre = [[../../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité/]] | niveau = 14 }} == Pendule élastique sur un plan incliné == {{Al|5}}On considère un pendule élastique reposant sur un plan incliné d'un angle <math>\;\alpha\;</math> par rapport au plan horizontal <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère un pendule élastique }}tel que le ressort dont il est partiellement composé, supposé idéal<ref name="ressort idéal"> C.-à-d. parfaitement élastique et sans masse.</ref> et à spires non jointives est disposé de façon à ce que son axe reste toujours <math>\;\parallel\;</math> à la ligne de plus grande pente du plan incliné<ref> Pour cela on dispose d'un guide empêchant toute déviation de l'axe, l'action entre le guide et le ressort se faisant en absence de tout frottement solide.</ref> avec son extrémité supérieure <math>\;A\;</math> fixe par rapport au plan incliné et son extrémité inférieure supportant un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> constituant la 2^ème partie du pendule élastique, le contact du solide sur le plan incliné se faisant sans frottement solide ; le ressort est de longueur à vide <math>\;l_0\;</math> et de raideur <math>\;k</math> ; {{Al|5}}l'expérience est réalisée sur Terre dans un champ de pesanteur <math>\;\vec{g}\;</math> supposé uniforme et <br>{{Al|5}}le solide subit de la part de l'air environnant <math>\;\big(</math>air supposé immobile par rapport au plan incliné<math>\big)\;</math> une force de frottement fluide linéaire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;</math> où <math>\;\vec{V}_M\;</math> est la vitesse de <math>\;M\;</math> par rapport au plan incliné, <math>\;h\;</math> une constante <math>\;> 0\;</math> caractéristique de l'air ainsi que des dimensions et de la forme du solide modélisé en point matériel ; {{Al|5}}on repère le point matériel <math>\;M\;</math> par son abscisse <math>\;x\;</math> comptée par rapport à sa position d'équilibre choisie comme origine <math>\;O\;</math> sur l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> du ressort, orienté dans le sens descendant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on repère le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> par son abscisse <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> comptée par rapport à sa position d'équilibre choisie comme origine <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> sur }}l'axe <math>\;\overrightarrow{y'y}\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> au plan incliné orienté dans le sens ascendant. === Étude énergétique du pendule élastique incliné supposé non amorti (P.E.I.N.A.) === {{Al|5}}Dans un 1^er temps on néglige l'influence de la résistance de l'air sur le pendule. ==== Détermination de l'énergie potentielle d'oscillation du P.E.I.N.A. ==== {{Al|5}}Faire un bilan des forces agissant sur le point matériel <math>\;M\;</math> du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A."> Pendule Élastique Incliné Non Amorti.</ref>. en distinguant les deux forces conservatives des autres forces non conservatives puis {{Al|5}}définir les deux énergies potentielles dont dérivent les deux forces conservatives en explicitant chacune en fonction, entre autres, de l'abscisse <math>\;x\;</math> du point <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|définir les deux énergies potentielles dont dérivent les deux forces conservatives }}la référence de chacune étant choisie en la position d'équilibre <math>\;O\;</math> de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}appelant « énergie potentielle d'oscillation de <math>\;M\;</math>» notée <math>\;U_{\text{oscill}}(x)</math>, la somme des deux énergies potentielles précédemment définies, <br>{{Al|5}}{{Transparent|appelant « énergie potentielle d'oscillation de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}expliciter cette dernière en fonction de <math>\;x\;</math> et de la raideur <math>\;k\;</math> du ressort. {{Solution | contenu = [[File:Pendule élastique non amorti sur plan incliné.png|thumb|450px|P.E.N.A<ref name="P.E.N.A."> Pendule Élastique Non Amorti.</ref>. sur plan incliné d'un angle <math>\;\alpha\;</math> par rapport au plan horizontal constitué d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> à axe <math>\;\parallel\;</math> à la ligne de plus grande pente supportant un solide assimilé à un point matériel <math>\;M\;</math> avec représentation des forces appliquées à ce dernier <math>\;\big(</math>trois schémas de description, ressort à vide, pendule à l'équilibre et à un instant quelconque<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Ci-contre les trois schémas descriptifs habituels représentant le P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. ainsi que, <br>{{Transparent|Ci-contre}}sur les deux derniers, le bilan des forces appliquées à <math>\;M</math> : * schéma inférieur avec ressort à vide de longueur <math>\;l_0</math>, * schéma intermédiaire avec pendule à l'équilibre <math>\;\big[</math>la longueur du ressort y est <math>\;l_{\text{éq}} > l_0</math>, la différence <math>\;\Delta l_{\text{éq}} = l_{\text{éq}} - l_0 > 0\;</math> définissant l'allongement à l'équilibre, les forces appliquées à <math>\;M\;</math> étant son poids <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\sin(\alpha)\;\vec{u}_x - m\;g\;\cos(\alpha)\;\vec{u}_y</math>, la tension du ressort à l'équilibre <math>\;\vec{T}_{\text{éq}} = -k\;\Delta l_{\text{éq}}\;\vec{u}_x\;</math><ref name="loi de Hooke"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> et la réaction du plan incliné <math>\;\vec{R}_{\text{éq}} = R_{\text{éq}}\;\vec{u}_y\;</math> car <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;x'x\;</math> par absence de frottement solide avec <math>\;R_{\text{éq}} > 0\big]\;</math> et * schéma supérieur avec pendule à un instant <math>\;t\;</math> quelconque <math>\;\big[\Delta l_t = \Delta l_{\text{éq}} + x(t)\;</math><ref name="signe de x"> Sur le schéma <math>\;x(t)\;</math> est représenté <math>\;> 0\;</math> mais il pourrait être <math>\;< 0</math> ; <br>{{Al|3}}il est rappelé qu'il est fortement conseillé de toujours représenter, sur un schéma, les grandeurs algébriques sous leur aspect positif de façon à éviter des erreurs de signe (toujours très fréquentes) consécutives à leur représentation sous leur aspect négatif.</ref> définissant l'allongement total à l'instant <math>\;t\;</math> avec <math>\;x(t)\;</math> l'allongement supplémentaire relativement à la position à l'équilibre, les forces appliquées à <math>\;M\;</math> étant son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> toujours égal à <math>\;m\;g\;\sin(\alpha)\;\vec{u}_x - m\;g\;\cos(\alpha)\;\vec{u}_y</math>, la tension du ressort à l'instant <math>\;t\;</math> quelconque <math>\;\vec{T}(t) = -k\;\Delta l_t\;\vec{u}_x\;</math><ref name="loi de Hooke" /> <math>\;=</math> <math>-k\,\left[ \Delta l_{\text{éq}} + x(t) \right]\,\vec{u}_x\;</math> et la réaction du plan incliné <math>\;\vec{R}(t) = R(t)\;\vec{u}_y\;</math> car <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;x'x\;</math> par absence de frottement solide avec <math>\;R(t) > 0\;</math><ref> Nous devons supposer, a priori, que <math>\;R(t)\;</math> pourrait être <math>\;\neq\;</math> de <math>\;R_{\text{éq}}\;</math> même si finalement ces composantes sont égales.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}parmi les forces appliquées à <math>\;M\;</math> les deux forces conservatives sont * son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\;g\;z\;</math><ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> où <math>\;z\;</math> représente l'altitude de <math>\;M\;</math> par rapport à sa position d'équilibre choisie comme référence de <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ou, en introduisant l'abscisse <math>\;x\;</math> de <math>\;M\;</math> avec <math>\;z = -x\;\sin(\alpha)</math>, <math>\;U_{\text{pes}}(M) = -m\;g\;\sin(\alpha)\;x\;</math> et * la tension du ressort <math>\;\vec{T}(t)\;</math> dérivant de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \Delta l_{\text{éq}} + x \right]^2 + cste\;</math><ref name="énergie potentielle élastique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_élastique_»_d'un_point_matériel|énergie potentielle élastique d'un point matériel]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou, avec comme référence de <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> la position d'équilibre de <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <math>\;x = 0</math>, <math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \Delta l_{\text{éq}} + x \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \Delta l_{\text{éq}} \right]^2\;</math><ref> En effet <math>\;U_{\text{élast}}(M_{\text{éq}}) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \Delta l_{\text{éq}} \right]^2 + cste = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = -\dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \Delta l_{\text{éq}} \right]^2</math>.</ref> ou <math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2 + k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\;</math> après simplifications évidentes ; {{Al|5}}on en déduit l'énergie potentielle d'oscillation du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. <math>\;U_{\text{oscill}}(M) = U_{\text{pes}}(M) + U_{\text{élast}}(M) = -m\;g\;\sin(\alpha)\;x + \left[ \dfrac{1}{2}\;k\;x^2 + k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x \right]\;</math> ou <math>\;U_{\text{oscill}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2 + \left[ k\;\Delta l_{\text{éq}} - m\;g\;\sin(\alpha) \right]\,x\;</math> après factorisation par <math>\;x\;</math> des termes linéaires en <math>\;x</math> ; {{Al|5}}il reste à évaluer <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> en écrivant la C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. d'équilibre <math>\;m\;\vec{g} + \vec{T}_{\text{éq}} + \vec{R}_{\text{éq}} = \vec{0}\;</math> soit, après projection sur <math>\;\vec{u}_x</math>, <math>\;m\;g\;\sin(\alpha) - k\;\Delta l_{\text{éq}} = 0\;</math> c'est-à-dire la réécriture de la C.N<ref name="C.N." />. d'équilibre selon <center><math>\;k\;\Delta l_{\text{éq}} = m\;g\;\sin(\alpha)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\Delta l_{\text{éq}} = \dfrac{m\;g\;\sin(\alpha)}{k}</math> ;</center> {{Al|5}}reportant l'expression de <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> dans celle définissant l'énergie potentielle d'oscillation du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. on obtient, <center>avec référence en la position d'équilibre, <math>\;U_{\text{oscill}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\;</math><ref> C.-à-d. la même expression que le pendule élastique soit horizontal, vertical ou incliné pourvu que <math>\;x\;</math> soit l'abscisse, sur l'axe du ressort, du point <math>\;M\;</math> par rapport à sa position d'équilibre et que cette dernière soit la référence de l'énergie potentielle totale.</ref>.</center>}} ==== Détermination de l'intégrale 1^ère énergétique du P.E.I.N.A. ==== {{Al|5}}Définir l'énergie mécanique <math>\;E_m(t)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. à l'instant <math>\;t</math>, le point étant en la position d'abscisse <math>\;x(t)\;</math> avec la vitesse <math>\;\dot{x}(t)\;</math> puis, {{Al|5}}après avoir vérifié que le mouvement de <math>\;M\;</math> est bien « conservatif », {{Al|5}}expliciter l'intégrale 1^ère énergétique du point sachant que ce dernier est lâché avec les C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>. <math>\;x(0^{-}) = a > 0\;</math> et <math>\;\dot{x}(0^{-}) = 0</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}L'énergie mécanique <math>\;E_m(t)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. à l'instant <math>\;t\;</math> étant définie par <math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{oscill}}\!\left[ x(t) \right]\;</math> avec <math>\;K(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2(t)\;</math> l'énergie cinétique du point à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{E_m(t)}\;</math> du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du P.E.I.N.A. à l'instant <math>\;\color{transparent}{}t\;</math> }}se réécrit selon <math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2(t)</math> ; {{Al|5}}la seule force non conservative étant la réaction <math>\;\vec{R}(t)\;</math> du plan incliné et celle-ci ne travaillant pas car le déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> du point étant <math>\;\parallel\;</math> à la ligne de plus grande pente du plan incliné <br>{{Al|5}}{{Transparent|la seule force non conservative étant la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t)}\;</math> du plan incliné et celle-ci ne travaillant pas car le déplacement élémentaire <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM}}\;</math> }}est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{R}(t)\;</math> d'où <math>\;\delta W\! \left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{R}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;\;\forall\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la seule force non conservative étant la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t)}\;</math> du plan incliné et celle-ci ne travaillant pas }}on en déduit que le « mouvement du point <math>\;M\;</math> est effectivement conservatif » et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la seule force non conservative étant la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t)}\;</math> du plan incliné et celle-ci ne travaillant pas on en déduit }}qu'on peut lui appliquer l'intégrale 1^ère énergétique correspondant à <br>{{Al|5}}{{Transparent|la seule force non conservative étant la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}(t)}\;</math> du plan incliné et celle-ci ne travaillant pas on en déduit qu'on peut lui appliquer }}la conservation de l'énergie mécanique <math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math> dans laquelle <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est l'énergie mécanique initiale <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2(0^{+}) + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2(0^{+})\;</math> se réécrivant, l'abscisse et la vitesse étant deux grandeurs continues en absence de force de collision<ref name="grandeurs cinématiques continues en absence de force de collision"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Application_en_absence_de_forces_de_collision_et_conséquence|application en absence de forces de collision et conséquence]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="utilisation de la continuité"> D'où <math>\;x(0^{+}) = x(0^{-}) = a\;</math> et <math>\;\dot{x}(0^{+}) = \dot{x}(0^{-}) = 0</math>.</ref>, <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;k\;a^2\;</math> d'où la réécriture de <center>l'intégrale 1^ère énergétique du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. selon «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2(t) = \dfrac{1}{2}\;k\;a^2,\;\;\forall\;t\;</math>».</center>}} ==== Étude du mouvement de M associé au P.E.I.N.A. par diagramme d'énergies potentielle et mécanique ==== {{Al|5}}Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> associé au P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. puis {{Al|5}}montrer la nature oscillatoire de son mouvement ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|montrer }}sa nature périodique ; {{Al|5}}on explicitera la période propre <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. sous forme intégrale et {{Al|5}}on l'évaluera en fonction de la raideur <math>\;k\;</math> du ressort et de la masse <math>\;m\;</math> du point matériel <math>\;M</math>. {{Solution | contenu = [[File:Pendule élastique incliné - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|thumb|450px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. écarté de <math>\;a\;</math> de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale avec précision des deux murs d'énergie potentielle]] {{Al|5}}Ci-contre, dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. c'est-à-dire les deux courbes * d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> en bleu ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points <math>\;P_u\;</math> d'abscisse <math>\;x\;</math> et d'ordonnée <math>\;U_{\text{oscill}}(x) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;k\;x^2</math> <math>\;\big[(\Gamma_u)\;</math> étant une [[w:Parabole|parabole]] de concavité <math>\;> 0</math>, de sommet <math>\;(0\,,\, 0)\;</math> et d'axe <math>\;x = 0\;</math><ref name="équation cartésienne d'une parabole"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Équation_cartésienne|équation cartésienne]] (d'une parabole de sommet O et d'axe Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big]\;</math> et * d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> en rouge ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points <math>\;P_m\;</math> d'abscisse <math>\;x\;</math> et d'ordonnée <math>\;E_m(x) = E_{m,\,0}</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;k\;a^2</math> <math>\;\big[(\Gamma_m)\;</math> étant une droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;x\;</math> d'ordonnée <math>\;E_{m,\,0}\big]</math> ; {{Al|5}}on y observe deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que <math>\;U_{\text{oscill}} \ngtr E_{m,\,0}\;</math><ref name="justification des murs d'énergie potentielle"> La justification de ces zones interdites étant que <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M)\;</math> doit être <math>\;\geqslant 0</math> <math>\;\big[</math>on rappelle la signification de <math>\;\widehat{=}\;</math> : « est représenté par (ou représente) »<math>\big]</math>.</ref>, * l'un correspondant à <math>\;P_0\;</math> position commune initiale des points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> d'abscisse <math>\;x_{P_0} = a\;</math> et * l'autre <span style="color:#ffffff;"><small>.</small>correspond</span> à <math>\;{P'}_0\;</math> position symétrique de <math>\;P_0\;</math> par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse <math>\;x_{{P'}_0} = -a</math> ; {{Al|5}}ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines <math>\;x < x_{{P'}_0} = -a\;</math> et <math>\;x > x_{P_0} = a\;</math> pour la variation de l'abscisse du point matériel <math>\;M\;</math> c'est-à-dire que <math>\;M\;</math> est dans un <u>état lié</u> <math>\;\big[</math>ceci correspondant à un déplacement possible des points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> des courbes <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> dans une <u>cuvette</u><math>\;\big(</math><u>ou puits</u><math>\big)\;</math><u>d'énergie potentielle</u><math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Établissement de la nature oscillatoire du mouvement du P.E.I.N.A.</u><ref name="P.E.I.N.A." /> : {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>les C.I<ref name="C.I." />. étant telles que <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sont initialement confondus en <math>\;P_0\;</math> sur le mur d'énergie potentielle de droite <math>\;x = a</math>, la présence du mur interdisant la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;x</math>, nous en déduisons que «<math>\;x\;</math> reste constant ou <math>\;\searrow\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>or <math>\;x = a\;</math> qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre »<ref name="équilibre en terme d'énergie"> Les positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté soumis à force motrice conservative étant telles qu'elles correspondent à une énergie potentielle stationnaire relativement à la variation de leur variable de position <math>\;\big(</math>c.-à-d. à dérivée nulle par rapport à cette variable<math>\big)\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Généralisation_de_la_définition_de_positions_d'équilibre_d'un_P.P.S._à_partir_de_son_diagramme_d'énergie_potentielle_à_celle_de_positions_d'équilibre_d'un point_matériel_à_un_degré_de_liberté,_démonstration_à_partir_de_la_1ère_définition|généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à partir de son diagramme d'énergie potentielle à celle de positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté, démonstration à partir de la 1^ère définition]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <math>\;x\;</math> ne peut rester constant et par suite <math>\;\searrow\;</math> strictement, les points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite <math>\;\big(</math>c'est-à-dire vers la gauche<math>\big)\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>ces déplacements simultanés engendrant d'abord une <math>\;\nearrow\;</math> continue de <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe"> La signification de <math>\;\widehat{=}\;</math> étant « est représenté par (ou représente) » <math>\;\big(</math>l'échelle de représentation devant être précisée si une utilisation quantitative est faite, ici ce serait une échelle d'énergie identique à celle utilisée pour les ordonnées du diagramme énergétique<math>\big)</math>.</ref> jusqu'au passage de <math>\;P_m\;</math> par <math>\;P_{\text{éq}}\;</math> puis une <math>\;\searrow\;</math> continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se rejoignent en <math>\;{P'}_0\;</math> point commun du mur d'énergie potentielle de gauche <math>\;x = -a</math>, la présence de ce mur interdisant la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;x</math>, nous en déduisons que «<math>\;x\;</math> reste constant ou <math>\;\nearrow\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{/succ}\;</math>or <math>\;x = -a\;</math> qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre »<ref name="équilibre en terme d'énergie" />, <math>\;x\;</math> ne peut rester constant et par suite <math>\;\nearrow\;</math> strictement, les points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche <math>\;\big(</math>c'est-à-dire vers la droite<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>ces déplacements simultanés engendrant d'abord une <math>\;\nearrow\;</math> continue de <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> jusqu'au nouveau passage de <math>\;P_m\;</math> par <math>\;P_{\text{éq}}\;</math> puis une <math>\;\searrow\;</math> continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se rejoignent en <math>\;P_0\;</math> point commun du mur d'énergie potentielle de droite <math>\;x = a</math>, la présence de ce mur interdisant la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;x</math>, nous en déduisons que «<math>\;x\;</math> reste constant ou <math>\;\searrow\;</math>», ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se poursuivent indéfiniment <math>\;\big(</math>en absence d'amortissements<math>\big)\;</math> de façon identique <math>\;\ldots</math> <center>d'où, en conséquence, <u>la nature oscillatoire du mouvement du P.E.I.N.A.</u><ref name="P.E.I.N.A." />.</center> {{Al|5}}<u>Établissement de la nature périodique du mouvement du P.E.I.N.A.</u><ref name="P.E.I.N.A." /> : {{Al|5}}Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. par utilisation simultanée de son intégrale 1^ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut montrer que la durée correspondant au n^ème aller-retour des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> de <math>\;P_0 \rightarrow {P'}_0 \rightarrow P_0\;</math> est indépendant du numéro <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> de l'aller-retour : {{Al|5}}on utilise d'abord l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. <math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math> avec <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;k\;a^2\;</math> avec les mêmes C.I<ref name="C.I." />. que précédemment et <math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\!(t)\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\!(t) = \dfrac{1}{2}\;k\;a^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ a^2 - x^2\!(t) \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{x}(t) = \dfrac{dx}{dt}(t) =</math> <math>\pm\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ a^2 - x^2\!(t) \right]}\;</math><ref name="choix du signe"> Le choix entre <math>\;+\;</math> et <math>\;-\;</math> dépend du sens de variation de la variable de position <math>\;\big[</math>ou, ce qui revient au même, du sens de déplacement de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\big]</math>.</ref> et par suite on peut exprimer <br>{{Al|5}}{{Transparent|on utilise d'abord }}la durée élémentaire <math>\;dt\;</math> correspondant à une variation élémentaire <math>\;dx\;</math> de l'abscisse <math>\;x\;</math> du point <math>\;M\;</math> selon «<math>\;dt = \pm \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ a^2 - x^2 \right]}}\;</math>»<ref name="déf si valeur absolue de x différent de a"> Cette expression n'étant définie que si <math>\;\vert x \vert \neq a</math>, dans le cas où <math>\;\vert x \vert\;</math> est égale à <math>\;a\;</math> la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de <math>\;dt\;</math> non infinie, <math>\;dx = 0\;</math> correspondant alors à un état stationnaire de <math>\;x</math> <math>\;\big(</math>plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de <math>\;x\;</math> pour laquelle la vitesse est effectivement nulle<math>\big)</math>, la levée de la forme indéterminée <math>\;\dfrac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}\;</math> conduisant à une valeur infiniment petite <math>\;\propto\;</math> à <math>\;dt</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix du signe" /> ;</center> {{Al|5}}on utilise ensuite le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre <math>\;+\;</math> et <math>\;-\;</math> suivant le sens de déplacement des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> dans la cuvette <math>\;\big(</math>ou puits<math>\big)\;</math> d'énergie potentielle soit : {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour le n^ème aller des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;P_0\;</math> à <math>\;{P'}_0</math>, <math>\;x \searrow\;</math> d'où <math>\;dx\;</math> correspondant à <math>\;dt > 0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dt = -\dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ a^2 - x^2\!(t) \right]}}\;</math><ref name="déf si valeur absolue de x différent de a" />, la durée totale du n^ème aller s'obtenant alors par intégration selon <math>\;\Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_0} = \displaystyle\int_{a}^{-a} -\dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ a^2 - x^2 \right]}} = \displaystyle\int_{-a}^{a} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ a^2 - x^2 \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_fermé_à_l'exception_d'au_moins_une_des_bornes_pour_laquelle_la_fonction_diverge|intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour le n^ème retour des mêmes points de <math>\;{P'}_0\;</math> à <math>\;P_0</math>, <math>\;x \nearrow\;</math> d'où <math>\;dx\;</math> correspondant à <math>\;dt > 0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dt = \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ a^2 - x^2\!(t) \right]}}\;</math><ref name="déf si valeur absolue de x différent de a" />, la durée totale du n^ème retour s'obtenant aussi par intégration selon <math>\;\Delta t_{{P'}_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_0} = \displaystyle\int_{-a}^{a} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ a^2 - x^2 \right]}} = \Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_0}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ; {{Al|5}}on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation du point <math>\;M</math>, <math>\;\Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_0} = \Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_0} + \Delta t_{{P'}_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_0} = 2\;\Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_0}\;</math> soit finalement <center><math>\;\Delta t_{P_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_0\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_0} = 2\;\displaystyle\int_{-a}^{a} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ a^2 - x^2 \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée"/> indépendante de <math>\;n</math> <math>\;\big(</math>la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes<math>\big)</math>, <br>ce qui établit la <u>nature périodique</u> du mouvement d'oscillations de <math>\;M</math>.</center> {{Al|5}}<u>Expression de la période du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. sous forme intégrale et évaluation</u> : La période <math>\;\mathcal{T}\;</math> du mouvement d'oscillations de <math>\;M\;</math> étant la durée d'un aller-retour de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;P_0\;</math> à <math>\;P_0\;</math> en passant par <math>\;{P'}_0</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Expression de la période du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et évaluation : La période }}s'écrit <math>\;\mathcal{T} = \Delta t_{P_0\,\rightarrow\,{P'}_0\,\rightarrow\,P_0} = 2\;\displaystyle\int_{-a}^{a} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ a^2 - x^2 \right]}} = 4\;\displaystyle\int_0^{a} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ a^2 - x^2 \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref> La fonction à intégrer étant paire on a <math>\;\displaystyle\int_{-a}^{0} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ a^2 - x^2 \right]}} = \displaystyle\int_{0}^{a} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}\,\left[ a^2 - x^2 \right]}}</math>.</ref>. {{Al|10}}{{Transparent|Expression de la période du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et évaluation : }}Pour évaluer la période <math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;\displaystyle\int_0^{a} \dfrac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" />, on met <math>\;a\;</math> en facteur dans le dénominateur de la fonction à intégrer soit <math>\;\displaystyle\int_0^{a} \dfrac{dx}{a\;\sqrt{1 - \left( \dfrac{x}{a} \right)^{\!\!2}}} = \displaystyle\int_{x = 0}^{x = a} \dfrac{d\! \left( \dfrac{x}{a} \right)}{\sqrt{1 - \left( \dfrac{x}{a} \right)^{\!\!2}}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> d'où, en posant <math>\;u = \dfrac{x}{a}</math>, la réécriture de la période sous forme intégrale utilisant la nouvelle variable <math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ; {{Al|10}}{{Transparent|Expression de la période du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et évaluation : }}le calcul de l'intégrale généralisée <math>\;\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> peut être achevé car <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\;</math> admet pour primitive <math>\;\arcsin(u)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_sinus_:_fonction_arcsinus|fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <math>\;\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}} =</math> <math>\left[ \arcsin(u) \right]_0^1 = \arcsin(1) - \arcsin(0) = \dfrac{\pi}{2}\;</math> et par suite <math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;\dfrac{\pi}{2} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math><ref> La détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre du P.E.I.N.A. pouvant être obtenue en dérivant l'intégrale 1^ère énergétique <math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math> par rapport au temps avec <math>\;E_m(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\!(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d E_m}{dt}(t) = m\;\dot{x}(t)\;\ddot{x}(t) + k\;x(t)\;\dot{x}(t)\;</math> et <math>\;\dfrac{d E_{m,\,0}}{dt} = 0</math>, donnant finalement <math>\;m\;\ddot{x}(t) + k\;x(t) = 0\;</math> après simplification par <math>\;\dot{x}(t)\;</math> non identiquement nulle, ou, en normalisant, <math>\;\ddot{x}(t) + \dfrac{k}{m}\;x(t) = 0\;</math> soit l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> et de période propre <math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0}\;</math> correspondant effectivement à l'évaluation de la période sous forme intégrale.</ref>.}} ==== Propriété du mouvement de M associé au P.E.I.N.A. au passage par la position d'équilibre ==== {{Al|5}}Vérifier que la vitesse du point <math>\;M\;</math> associé au P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. est de valeur absolue maximale au passage par la position d'équilibre et {{Al|5}}l'évaluer en fonction de la raideur <math>\;k\;</math> du ressort, de la masse <math>\;m\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> et de l'abscisse initiale <math>\;a\;</math> de ce dernier. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. on observe que l'énergie cinétique de ce dernier est maximale lors de ses passages par la position d'équilibre car <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> y est effectivement maximal et par suite la valeur absolue de sa vitesse y est aussi maximale en prenant pour valeur <math>\;\vert \dot{x}(t_{\text{éq}}) \vert</math> ; {{Al|5}}on détermine <math>\;\vert \dot{x}(t_{\text{éq}}) \vert\;</math> par conservation de l'énergie mécanique avec <math>\;E_m(t_{\text{éq}}) = K(t_{\text{éq}})\; \cancel{+\, U_{\text{oscill}}(t_{\text{éq}})} = E_{m,\,0}\;</math> soit <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\; \dot{x}^2\!(t_{\text{éq}}) = \dfrac{1}{2}\;k\; a^2\;</math> dont on déduit <center>la valeur absolue de la vitesse du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. lors de ses passages par la position d'équilibre «<math>\;\vert \dot{x}(t_{\text{éq}}) \vert = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;a\;</math>»<ref> Ou encore <math>\;\vert \dot{x}(t_{\text{éq}}) \vert = \omega_0\;a\;</math> avec <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> pulsation propre du P.E.I.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Étude énergétique du pendule élastique incliné amorti (P.E.I.A.) === {{Al|5}}Dans un 2^ème temps on tient compte de la résistance de l'air sur le pendule tout en considérant son influence comme faible <math>\;\bigg[</math>on définit la pulsation propre du P.E.I.A<ref name="P.E.I.A."> Pendule Élastique Incliné Amorti.</ref>. <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> et son cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma = \dfrac{h}{2\;m\;\omega_0}\;</math> faible soit <math>\;\sigma < 1\bigg]</math>. ==== Conséquence énergétique de la nature non conservative du mouvement de M associé au P.E.I.A. ==== {{Al|5}}après avoir vérifié que le mouvement de <math>\;M\;</math> est bien « non conservatif », {{Al|5}}appliquer le théorème de la puissance mécanique<ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_puissance_mécanique_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)_»|énoncé du théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> au point matériel <math>\;M\;</math> associé au P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. et {{Al|5}}en déduire l'évolution de l'énergie mécanique <math>\;E_m(t)\;</math> de <math>\;M\;</math> en fonction du temps <math>\;t\;</math> à partir des mêmes C.I<ref name="C.I." />. <math>\;x(0^{-}) = a > 0\;</math> et <math>\;\dot{x}(0^{-}) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en déduire l'évolution de l'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{E_m(t)}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en fonction du temps <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}<math>\big[</math>on ne demande qu'une étude qualitative et non quantitative<math>\big]</math>. {{Solution | contenu = [[File:Pendule élastique amorti sur plan incliné.png|thumb|450px|P.E.A<ref name="P.E.A."> Pendule Élastique Amorti.</ref>. sur plan incliné d'un angle <math>\;\alpha\;</math> par rapport au plan horizontal constitué d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> à axe <math>\;\parallel\;</math> à la ligne de plus grande pente supportant un solide assimilé à un point matériel <math>\;M\;</math> avec représentation des forces appliquées à ce dernier <math>\;\big[</math>trois schémas de description, ressort à vide, pendule à l'équilibre et à un instant quelconque avec précision <math>\;\big(</math>à part<math>\big)\;</math> du sens de la vitesse pour ce dernier<math>\big]</math>]] {{Al|5}}Ci-contre les trois schémas descriptifs habituels représentant le P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. ainsi que, <br>{{Transparent|Ci-contre}}sur les deux derniers, le bilan des forces appliquées à <math>\;M</math> <math>\big[</math>seul le schéma supérieur diffère relativement à ceux précédemment réalisés pour le P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />., en effet s'y ajoute la résistance de l'air <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t) = -h\;\dot{x}(t)\;\vec{u}_x\;</math> représentée en supposant <math>\;\dot{x}(t) > 0\big]</math> ; {{Al|5}}parmi ces quatre forces agissant sur <math>\;M</math>, deux sont toujours conservatives <math>\;\big(</math>poids de <math>\;M\;</math> et tension du ressort sur le point<math>\big)\;</math> et deux sont non conservatives <math>\;\big(</math>réaction du plan incliné sur <math>\;M\;</math> et résistance de l'air agissant sur le point<math>\big)</math> ; toutefois la réaction du plan incliné sur le point ne développant aucun travail, le caractère « <u>non conservatif</u> » du mouvement du P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. est dû au fait que la résistance de l'air développe une puissance généralement non nulle <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = -h\;\dot{x}^2\!(t)\;</math><ref> La puissance développée par <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t)\;</math> est non nulle sauf temporairement aux endroits où le point a une vitesse nulle c.-à-d. change de sens de mouvement.</ref> ; {{Al|5}}l'introduction des frottements de l'air ne modifiant pas les forces conservatives agissant sur le P.E.I<ref name="P.E.I."> Pendule Élastique Incliné.</ref>., ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'introduction des frottements de l'air ne modifiant pas }}la condition d'équilibre de ce dernier <math>\;k\;\Delta l_{\text{éq}} = m\;g\;\sin(\alpha)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'introduction des frottements de l'air }}on définit toujours, pour le P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />., * une énergie potentielle d'oscillation <math>\;U_{\text{oscill}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\;</math> en choisissant pour référence de cette dernière « la position d'équilibre du P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. » ainsi que * une énergie mécanique <math>\;E_m(t) = K(M) + U_{\text{oscill}}(M) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;k\;x^2\!(t)</math> ; {{Al|5}}le mouvement du P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. étant non conservatif, l'intégrale 1^ère énergétique n'existe pas, elle est remplacée par une équation résultant de l'application à <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math> du théorème de la puissance mécanique<ref name="théorème de la puissance mécanique" /> dans le référentiel galiléen lié au plan incliné <math>\;\dfrac{d E_m}{dt}(t)</math> <math>= \cancel{\mathcal{P}\! \left[ \vec{R} \right] +}\; \mathcal{P}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{air}}}(t) \right]\;</math> ou encore <math>\;\dfrac{d E_m}{dt}(t) = -h\;\dot{x}^2\!(t)</math> ; {{Al|5}}de cette équation <math>\;\dfrac{d E_m}{dt}(t) = -h\;\dot{x}^2\!(t) \leqslant 0\;</math> on en déduit que l'énergie mécanique est une fonction <math>\;\searrow\;</math> au sens large de <math>\;t</math> : * à <math>\;t = 0^{+}\;</math> sa valeur étant <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;k\;a^2\;</math> avec <math>\;\dfrac{d E_m}{dt}(0^{+}) = -h\;\dot{x}^2\!(0^{+}) = 0</math> <math>\;\big[</math>la vitesse <math>\;\big(</math>et aussi l'abscisse<math>\big)\;</math> étant une grandeur continue en absence de force de collision<ref name="grandeurs cinématiques continues en absence de force de collision" />{{,}}<ref name="utilisation de la continuité - bis"> D'où <math>\;\dot{x}(0^{+}) = \dot{x}(0^{-}) = 0</math> <math>\;\big[</math>et aussi <math>\;x(0^{+}) = x(0^{-}) = a\big]</math>.</ref><math>\big]\;</math> n'est pas maintenue, cette position initiale n'étant pas la position d'équilibre<ref name="équilibre en terme d'énergie" /> donc * <math>\;E_m(t) \searrow\;</math> strictement jusqu'à ce que la vitesse du P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. redevienne nulle<ref name="justification de l'arrêt"> Voir le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.A. à la question suivante.</ref> mais ceci se produisant en une position différente de la position d'équilibre, le mouvement reprend dans l'autre sens avec une énergie mécanique instantanée plus faible donc une abscisse de valeur absolue <math>\;a_1 < a\;</math> puis * <math>\;E_m(t)\;</math> continue de <math>\;\searrow\;</math> strictement jusqu'à ce que la vitesse du P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. soit de nouveau nulle<ref name="justification de l'arrêt" /> mais ceci se produisant en une position différente de la position d'équilibre, le mouvement reprend dans le sens initial avec une énergie mécanique instantanée plus faible donc une abscisse de valeur absolue <math>\;a_2 < a_1 < a</math> <math>\;\ldots</math> * cette <math>\;\searrow\;</math> stricte de <math>\;E_m(t)\;</math> se poursuivant en théorie indéfiniment mais en pratique jusqu'à ce que les oscillations d'amplitude de plus en plus faible ne soient plus détectables.}} ==== Étude du mouvement de M associé au P.E.I.A. par diagramme d'énergies potentielle et mécanique ==== {{Al|5}}Tracer l'allure du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> associé au P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tracer l'allure du diagramme d'énergies potentielle et mécanique }}<math>\bigg[</math>pour justifier le tracé de la courbe d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> expliciter <math>\;\dfrac{dE_m}{dx}(t)\;</math> en fonction de <math>\;h\;</math> et <math>\;\dot{x}(t)\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Tracer l'allure du diagramme d'énergies potentielle et mécanique }}préciser la variation de <math>\;\bigg\vert \dfrac{dE_m}{dx}(t) \bigg\vert\;</math> en fonction de l'abscisse commune <math>\;x\;</math> des points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> des courbes d'énergies <br>{{Al|7}}{{Transparent|Tracer l'allure du diagramme d'énergies potentielle et mécanique préciser la variation de <math>\;\color{transparent}{\bigg\vert \dfrac{dE_m}{dx}(t) \bigg\vert}\;</math> en fonction de l'abscisse commune <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> des points }}potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et mécanique <math>\;(\Gamma_m)\bigg]\;</math> puis, {{Al|5}}commenter ce diagramme pour en déduire qualitativement le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> associé au P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. {{Solution | contenu = [[File:Pendule élastique incliné amorti - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|thumb|440px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. écarté de <math>\;a\;</math> de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale avec précision des murs d'énergie potentielle successifs en regard]] {{Al|5}}Ci-contre, dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. c'est-à-dire les deux courbes * d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> en bleu ci-contre identique à celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.N.A<ref name="P.E.I.N.A." />. et * d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> en rouge ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points <math>\;P_m\;</math> d'abscisse <math>\;x = x(t)\;</math> et d'ordonnée <math>\;E_m =</math> <math>E_m\!\left[ x(t) \right]</math> <math>\;\big[(\Gamma_m)\;</math> étant une courbe <math>\;\searrow\;</math> au sens large, que <math>\;x\;</math> soit <math>\;\searrow\;</math> ou <math>\;\nearrow</math>, à partir du point <math>\;P_1\;\left( a\,,\,E_{m,\,0} \right)\big]</math> ; <br>{{Transparent|d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> en rouge }}pour tracer cette courbe il convient d'évaluer sa pente en son point générique <math>\;P_m\;</math> d'abscisse <math>\;x = x(t)\;</math> et d'ordonnée <math>\;E_m = E_m\!\left[ x(t) \right]</math>, soit <math>\;\dfrac{d E_m}{dx} = \dfrac{d E_m}{dt}\; \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{\dot{x}(t)}\; \dfrac{d E_m}{dt}(t) = -h\; \dot{x}(t)</math> d'où les propriétés suivantes de la tangente à <math>\;(\Gamma_m)\;</math> au point générique <math>\;P_m</math> : <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>elle est <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;x\;</math> aux points <math>\;P_1^{(n)}\;</math> et <math>\;P_2^{(n)}\;</math> correspondant à <math>\;M\;</math> à l'arrêt<ref name="pente nulle"> En effet la vitesse de <math>\;M\;</math> y est nulle d'où <math>\;\dfrac{d E_m}{dx}(t_{\text{arrêt}}) = -h\; \dot{x}(t_{\text{arrêt}}) = 0</math>.</ref>, ces points <math>\;P_1^{(n)}\;</math> et <math>\;P_2^{(n)}\;</math> étant respectivement les points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)</math> et d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>en tout autre point <math>\;P_m\;</math> la pente de la tangente à <math>\;(\Gamma_m)\;</math> y est <math>\;\neq 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en tout autre point <math>\;\color{transparent}{P_m}\;</math> }}elle est <math>\;> 0\;</math> quand le paramètre de position <math>\;x \searrow\;</math> c'est-à-dire quand <math>\;P_m\;</math> se déplace vers la gauche et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en tout autre point <math>\;\color{transparent}{P_m}\;</math> elle est }}<math>\;< 0\;</math> quand le paramètre de position <math>\;x \nearrow\;</math> c'est-à-dire quand <math>\;P_m\;</math> se déplace vers la droite, enfin <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>la pente de la tangente à <math>\;(\Gamma_m)\;</math> est extrémale aux points <math>\;P_m\;</math> associés aux instants où la vitesse de <math>\;M\;</math> est de valeur absolue <math>\;\vert \dot{x}(t) \vert\;</math> maximale c'est-à-dire là où l'énergie cinétique du P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. <math>\;K_M(t)\;</math> est maximale<ref> Ces points étant des [[w:Point_d'inflexion|points d'inflexion]] pour la courbe d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)</math>.</ref> <math>\;\big[</math>cela correspond aussi aux instants tels que <math>\;\overline{P_uP_m}(t) \;\widehat{=}\;K_M(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> est maximal<ref> Comme on peut le vérifier sur le diagramme ce n'est pas au passage par la position d'équilibre.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}on y observe successivement un couple de murs d'énergie potentielle en regard délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que <math>\;U_{\text{oscill}} \ngtr E_{m,\,0}\;</math><ref name="justification des murs d'énergie potentielle" />, ces composantes du couple étant d'autant plus rapprochées que <math>\;t\;</math> est grand. {{Al|5}}Finalement on en déduit que le mouvement du P.E.I.A<ref name="P.E.I.A." />. est <u>pseudo-oscillatoire</u> mais, si l'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique est « très concrète qualitativement », elle ne permet d'obtenir les résultats quantitatifs obtenus par résolution de l'équation différentielle du 2^ème ordre<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Réponses_transitoires_en_élongation_du_P.E.V.A._suivant_le_cœfficient_d'amortissement_σ|réponses transitoires en élongation du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)Signaux physiques (PCSI)]] » <math>\;\bigg[</math>le fait que, dans le paragraphe précité, le pendule soit vertical et non incliné n'ayant aucune influence sur le résultat comme on peut le vérifier en déterminant l'équation différentielle du P.E.I.A. à partir de <math>\;\dfrac{d E_m}{dt}(t) = -h\;\dot{x}^2\!(t)\;</math> puisque l'énergie mécanique de ce dernier a la même expression que celle du P.E.V.A. du chapitre précité<math>\bigg]</math>.</ref>.}} == Pendule cycloïdal par traitement énergétique == [[File:Pendule cycloïdal - repérage cartésien.png|thumb|450px|Schéma d'un [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]] constitué d'un point matériel <math>\;M\;</math> en liaison bilatérale sans frottement sur une [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] inversée<ref name="cycloïde droite"> Une [[w:Cycloïde|cycloïde droite]], aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est la courbe plane, trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite <math>\;\big(</math>appelée [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] de la [[w:Cycloïde|cycloïde droite]]<math>\big)</math> ; ici la [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] est dite inversée car sa [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] se trouve au-dessus de la [[w:Cycloïde|cycloïde]]. [[File:Paradoxe de la roue d'Aristote.png|thumb|600px|Schéma explicatif du [[w:Paradoxe_de_la_roue_d'Aristote|paradoxe de la roue d'Aristote]] : si le cercle bleu roulait sur une droite <math>\;\big(</math>violette<math>\big)\;</math> il roulerait en glissant]] {{Al|3}}Appeler « roue d'Aristote » une [[w:Cycloïde|cycloïde]] est en fait un abus de langage faisant référence * d'une part à la construction de cette dernière comme trajectoire d'un point <math>\;M\;</math> fixé sur un disque <math>\;\mathcal{D}\;</math> de centre <math>\;C</math>, <math>\;M\;</math> étant <math>\;\neq C</math>, <math>\;\mathcal{D}\;</math> roulant sans glisser sur une droite <math>\;\big(</math>la [[w:Cycloïde|cycloïde]] étant « droite » si <math>\;M\;</math> est choisi sur la circonférence du disque<math>\big)\;</math> et * d'autre part au [[w:Paradoxe_de_la_roue_d'Aristote|paradoxe de la « roue d'Aristote »]] relatif à une roue de rayon <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>représentée ci-contre par le cercle rouge<math>\big)\;</math> roulant sans glisser sur une route <math>\;\big(</math>représentée ci-contre par la droite marron<math>\big)\;</math> parcourant une longueur <math>\;L = 2\;\pi\;R\;</math> par tour et <br>{{Transparent| d'autre part au paradoxe de la « roue d'Aristote » relatif à }}son moyeu de rayon <math>\;r\;</math> <math>\big(</math>représenté ci-contre par le cercle bleu<math>\big)</math>, évidemment solidaire de la roue, parcourant la même longueur <math>\;l\;</math> par tour soit <math>\;l = 2\;\pi\;R\;</math> pourquoi n'a-t-on pas <math>\;\cancel{l = 2\;\pi\;r}\;</math> ? <u>Réponse</u> : si le cercle bleu roulait sur une droite <math>\;\big(</math>violette<math>\big)</math>, il roulerait en y glissant <math>\;\ldots</math> {{Al|3}}'''[[w:Aristote|Aristote (384 av J.C. - 322 av J.C.)]]''' philosophe grec de l'Antiquité, il est l'un des rares à avoir abordé presque tous les domaines de connaissance de son temps : la biologie, la physique, la [[w:Métaphysique|métaphysique]], la logique, la poétique, la politique, la [[w:Rhétorique|rhétorique]] et même l'économie <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Une [[w:Cycloïde|cycloïde]] est encore appelée « roulette de Pascal » par référence au titre de l'ouvrage que '''Blaise Pascal''' lui consacra en <math>\;1659\;</math> à savoir le [[w:Traité_de_la_roulette|traité de la roulette]] <math>\;\big(</math>signé avec son nom de plume '''Amos Dettonville'''<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Blaise_Pascal|Blaise Pascal]] (1623 - 1662)''' mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français ; ses 1^ers travaux contribuèrent à clarifier la notion de pression et de vide mais il est aussi l'inventeur de la 1^ère machine à calculer ainsi qu'un mathématicien de 1^er ordre <math>\;\big(</math>il a publié à <math>\;16\;ans\;</math> un traité de [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]], a développé en <math>\;1654\;</math> une méthode de résolution du [[w:Problème_des_partis|problème des partis]] ayant donné naissance, au siècle suivant, au calcul des [[w:Probabilité|probabilités]]<math>\big)</math> ; on lui doit aussi une réflexion philosophique et théologique voir [[w:Les_Provinciales|Les Provinciales]] et les [[w:Pensées|Pensées]] qui ne furent publiées qu'après sa mort.</ref> lâché de <math>\;M_0\;</math> sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme]] {{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> est assujetti à se déplacer dans le plan vertical <math>\;xOy\;</math> sur la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] dont les équations paramétriques sont : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x &=& R\, \left[ \theta - \sin(\theta) \right]\\ y &=& -R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\theta \in \left[ 0\,,\,2\,\pi \right]\;</math><ref name="signification de theta"> <math>\;\theta\;</math> n'a pas de signification directe sur la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] mais nécessite de revenir à la construction de celle-ci comme trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite (appelée directrice de la [[w:Cycloïde|cycloïde droite]]), <math>\;\theta\;</math> repérant le point sur le cercle.</ref> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}À la date <math>\;t = 0</math>, on lâche <math>\;M\;</math> de <math>\;M_0</math>, de paramètre angulaire <math>\;\theta_0 \in \left] 0\,,\,+\pi \right[\;</math> sans vitesse initiale ; <br>{{Al|5}}il est soumis au champ de pesanteur <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme et se déplace en liaison bilatérale sans frottement sur la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]]. === Intégrale 1^ère énergétique du mouvement du point matériel M === {{Al|5}}Après avoir vérifié que le point matériel <math>\;M\;</math> est bien « à mouvement conservatif » <br>{{Al|4}}{{Transparent|Après avoir vérifié }}expliciter l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement de ce point en fonction, entre autres, de <math>\;\theta(t)\;</math> et de sa dérivée temporelle. {{Solution | contenu = [[File:Pendule cycloïdal - repérage cartésien - bis.png|thumb|450px|Schéma d'un [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]] constitué d'un point matériel <math>\;M\;</math> en liaison bilatérale sans frottement sur une [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] inversée<ref name="cycloïde droite" /> lâché de <math>\;M_0\;</math> sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme avec représentation des forces appliquées]] {{Al|5}}Les forces appliquées à <math>\;M\;</math> étant * son poids <math>\;m\;\vec{g}</math>, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\;g\;y + cste</math>, la constante dépendant du choix de la référence et * la réaction <math>\;\vec{R}(t)\;</math> de la [[w:Cycloïde|cycloïde]] sur le point <math>\;M</math>, force non conservative ne développant aucun travail en absence de frottement car <math>\;\vec{R}(t)\;</math> est <math>\;\perp\;</math> au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> le long de la [[w:Cycloïde|cycloïde]], {{Al|5}}on vérifie effectivement que le mouvement du point <math>\;M\;</math> est « conservatif » ; {{Al|5}}on peut alors appliquer, comme intégrale 1^ère énergétique, la conservation de l'énergie mécanique du point <math>\;M\;</math> en définissant celle-ci à l'instant <math>\;t\;</math> par <math>\;E_m(t) =</math> <math>K_M(t) + U_{\text{pes},\,M}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t) + U_{\text{pes},\,M}(t)\;</math> avec * <math>\;U_{\text{pes},\,M}(t) = m\;g\, \left\lbrace y\!\left[ \theta(t) \right] + 2\;R \right\rbrace\;</math> en prenant comme référence <math>\;y_{\text{min}} = -2\;R\;</math><ref> C.-à-d. la position rendant l'énergie potentielle de pesanteur minimale, ce qui s'avère être la position d'équilibre stable d'après le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_(ou_de_l'instabilité)_d'un_équilibre_de_ point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_profil_d'énergie_potentielle|définition de la stabilité (ou de l'instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de profil d'énergie potentielle]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit encore, en y reportant <math>\;y(\theta) =</math> <math>-R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> et après simplification, <math>\;U_{\text{pes},\,M}(t) = m\;g\;R\, \left\lbrace 1 + \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math> et * <math>\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\; \text{:} \left\lbrace \begin{array}{l} \dot{x}(t) = R\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,\dot{\theta}(t)\\ \dot{y}(t) = -R\, \sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) = \dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t) = R^2\;\dot{\theta}^2(t)\, \left[ \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2 + \sin^2\! \left[ \theta(t) \right] \right]\;</math> soit, après simplification évidente, <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>2\;R^2\;\dot{\theta}^2(t)\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math> d'où <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t) = m\;R^2\;\dot{\theta}^2(t)\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math> soit finalement «<math>\;E_m(t) = m\;R^2\;\dot{\theta}^2(t)\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace + m\;g\;R\, \left\lbrace 1 + \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}l'énergie mécanique initiale valant <math>\;E_{m,\,0} = \cancel{K_M(0^{+})\; +}\; U_{\text{pes}}(\theta_0^{+}) = m\;g\;R\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]</math>, l'intégrale 1^ère énergétique du [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]] <math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math> se réécrit <center><math>\;m\;R^2\;\dot{\theta}^2(t)\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace + m\;g\;R\, \left\lbrace 1 + \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = m\;g\;R\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]\;</math> ou <br>«<math>\;\dot{\theta}^2(t)\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = \dfrac{g}{R}\, \left\lbrace \cos(\theta_0) - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center>}} === Établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone === {{Al|5}}Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}en déduire <math>\succ\;</math>la nature oscillatoire du mouvement de ce dernier ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|en déduire }}<math>\succ\;</math>sa nature périodique ; {{Al|5}}expliciter la période <math>\;\mathcal{T}\;</math> du mouvement du [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]] sous forme intégrale puis {{Al|5}}la calculer et {{Al|5}}vérifier qu'il y a « isochronisme des oscillations » du [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]]. {{Al|5}}Préciser la longueur du pendule pesant simple à « petites oscillations »<ref name="petites oscillations"> Plus exactement « petites valeurs absolues d'oscillations ».</ref> qui lui est synchrone. {{Solution | contenu = [[File:Pendule cycloïdal - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|thumb|350px|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]] constitué d'un point matériel <math>\;M\;</math> en liaison bilatérale sans frottement sur une [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] inversée<ref name="cycloïde droite" /> et lâché, sans vitesse initiale, de la position <math>\;M_0\;</math> repérée par <math>\;\theta_0</math>, avec représentation des deux murs d'énergie potentielle]] {{Al|5}}<u>Tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique</u> : voir ci-contre <math>\;\big\{</math>la courbe d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> est en noir, c'est une portion de sinusoïde définie sur <math>\;\left[ 0\,,\,2\;\pi \right]\;</math><ref> Cette courbe d'énergie potentielle est la même que celle d'un P.P.S. à une translation près, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) 1a]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et celle d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> en rouge, c'est un segment de droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;\theta\;</math> d'ordonnée <math>\;E_{m,\,0}\big\}</math>. {{Al|5}}<u>Établissement de la nature oscillatoire du mouvement du [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]]</u> : la nature oscillatoire du mouvement de <math>\;M\;</math> découle de l'existence d'un puits d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>c'est-à-dire deux murs d'énergie potentielle en regard<math>\big]\;</math> dans lequel les points génériques <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> ne peuvent sortir<ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S.N.A. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », la raison étant que le diagramme d'énergies potentielle et mécanique est le même à une translation près.</ref>{{,}}<ref> <math>\;M\;</math> est donc dans un état lié.</ref> : * tout d'abord les points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sont sur l'intersection de <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de gauche d'abscisse <math>\;\theta_0</math>, l'énergie cinétique y étant nulle, le point <math>\;M\;</math> est en situation de repos mais n'y reste pas car ce n'est pas une position d'équilibre<ref name="équilibre en terme d'énergie" />, <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se déplacent vers la droite <math>\;\big[</math>seule possibilité en accord avec <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M) > 0\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /><math>\big]\;</math> et ceci jusqu'à l'autre intersection de <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de droite d'abscisse <math>\;2\;\pi - \theta_0</math> <math>\;\big[</math>symétrique du mur d'énergie potentielle de gauche par rapport à l'axe de symétrie de la portion de [[w:Cycloïde|cycloïde]] à savoir <math>\;\theta = \pi\big]\;</math> où l'énergie cinétique est redevenue nulle, mais * le point <math>\;M\;</math> temporairement en situation de repos n'y reste pas car ce n'est pas une position d'équilibre<ref name="équilibre en terme d'énergie" />, <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> se déplacent vers la gauche <math>\;\big[</math>seule possibilité en accord avec <math>\;\overline{P_uP_m} \;\widehat{=}\;K(M) > 0\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /><math>\big]\;</math> et ceci jusqu'à la 1^ère intersection de <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de gauche d'abscisse <math>\;\theta_0\;</math> où l'énergie cinétique est de nouveau nulle, <math>\;\ldots</math> * nous avons donc une succession de déplacements de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> vers la droite puis vers la gauche correspondant à des oscillations de <math>\;M\;</math> autour de la position repérée par <math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi</math>, cette position étant en fait la position <math>\;\big(</math>unique<math>\big)\;</math> d'équilibre<ref name="équilibre en terme d'énergie" /> <math>\;M_{\text{éq}}\;</math> car c'est le seul endroit où le poids de <math>\;M\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à la [[w:Cycloïde|cycloïde]] peut être compensé par la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de celle-ci sur <math>\;M</math>. {{Al|5}}<u>Établissement de la nature périodique du mouvement du [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]]</u> : pour cela on évalue la durée du n^ème aller-retour de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> dans la cuvette d'énergie potentielle et on montre qu'elle ne dépend pas de <math>\;n\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S.N.A. à un degré de liberté …]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », c'est la même démarche mais l'énergie cinétique du P.P.S. différant de celle du [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]], les résultats peuvent et sont effectivement différents.</ref> soit : * durée du n^ème aller : <math>\;\Delta t_{\theta_0\, \overset{n}{\rightarrow}\, 2\, \pi - \theta_0} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{2\, \pi - \theta_0} dt(\theta)\;</math> avec <math>\;\bigg\vert \dfrac{d \theta}{dt}(t) \bigg\vert = \sqrt{\dfrac{g\, \left\lbrace \cos(\theta_0) - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace}{R\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right]\right\rbrace}}\;</math> obtenu par intégrale 1^ère énergétique d'où, <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> étant <math>\;\geqslant 0\;</math> dans cette phase, <math>\;dt = \sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta\;</math><ref name="déf si theta différent de theta0 ou 2pi - theta0"> Cette expression n'étant définie que si <math>\;\cos(\theta) \neq \cos(\theta_0)</math>, dans le cas où <math>\;\cos(\theta)\;</math> est égale à <math>\;\cos(\theta_0)\;</math> la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de <math>\;dt\;</math> non infinie, <math>\;d \theta = 0\;</math> correspondant alors à un état stationnaire de <math>\;\theta</math> <math>\;\big(</math>plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de <math>\;\theta\;</math> pour laquelle la vitesse est effectivement nulle<math>\big)</math>, la levée de la forme indéterminée <math>\;\dfrac{d \theta}{\sqrt{\cos(\theta_0) - \cos(\theta)}}\;</math> conduisant à une valeur infiniment petite proportionnelle à <math>\;dt</math>.</ref> et par suite <math>\;\Delta t_{\theta_0\, \overset{n}{\rightarrow}\, 2\, \pi - \theta_0} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{2\, \pi - \theta_0} \sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta\;</math><ref name="intégrale généralisée" />, * durée du n^ème retour : <math>\;\Delta t_{2\, \pi - \theta_0\, \overset{n}{\rightarrow}\, \theta_0} = \displaystyle\int_{2\, \pi - \theta_0}^{\theta_0} dt(\theta)\;</math> avec la même expression de <math>\;\bigg\vert \dfrac{d \theta}{dt}(t) \bigg\vert = \sqrt{\dfrac{g\, \left\lbrace \cos(\theta_0) - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace}{R\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right]\right\rbrace}}\;</math> d'où, <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> étant <math>\;\leqslant 0\;</math> dans cette phase, <math>\;dt = -\sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta\;</math><ref name="déf si theta différent de theta0 ou 2pi - theta0" /> et par suite <math>\;\Delta t_{2\, \pi - \theta_0\, \overset{n}{\rightarrow}\, \theta_0} = \displaystyle\int_{2\, \pi - \theta_0}^{\theta_0} -\sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> égale à la durée du n^ème aller <math>\;\Delta t_{\theta_0\, \overset{n}{\rightarrow}\, 2\, \pi - \theta_0}\;</math><ref> En effet <math>\;\Delta t_{2\, \pi - \theta_0\, \overset{n}{\rightarrow}\, \theta_0} = \displaystyle\int_{2\, \pi - \theta_0}^{\theta_0} -\sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\, d \theta = \displaystyle\int_{\theta_0}^{2\, \pi - \theta_0} \sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta\;</math> obtenu en changeant simultanément l'ordre des bornes et le signe de la fonction à intégrer, c.-à-d. l'expression de la durée du n^ème aller <math>\;\Delta t_{\theta_0\, \overset{n}{\rightarrow}\, 2\, \pi - \theta_0}</math>.</ref>, * finalement la durée du n^ème aller-retour <math>\;\Delta t_n = \Delta t_{\theta_0\, \overset{n}{\rightarrow}\, 2\, \pi - \theta_0} + \Delta t_{2\, \pi - \theta_0\, \overset{n}{\rightarrow}\, \theta_0} = 2\; \displaystyle\int_{\theta_0}^{2\, \pi - \theta_0} \sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> est effectivement <u>indépendante de n</u> ce qui montre la <u>nature périodique du mouvement du [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]]</u>. {{Al|5}}<u>Expression de la période du mouvement du [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]] sous forme intégrale</u> : la période <math>\;\mathcal{T}\;</math> étant la durée d'un aller-retour nous en déduisons <center><math>\;\mathcal{T} = 2\; \displaystyle\int_{\theta_0}^{2\, \pi - \theta_0} \sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> <math>= 4\; \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref> En effet la fonction à intégrer est invariante par changement de <math>\;\theta\;</math> en <math>\;u = 2\,\pi - \theta\;</math> avec <math>\;d \theta\;</math> changée en <math>\;-d\! \left( 2\;\pi - \theta \right) = -du\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{2\,\pi - \theta} \sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta + \displaystyle\int_{\pi}^{2\, \pi - \theta_0} \sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta\;</math> avec la 2^ème intégrale <math>\;\displaystyle\int_{\pi}^{2\, \pi - \theta_0} \sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta\;</math> se réécrivant <math>\;\displaystyle\int_{\pi}^{u_0} -\sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(u) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(u) \right]}}\; du</math> <math>= \displaystyle\int_{u_0}^{\pi} \sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(u) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(u) \right]}}\; du\;</math> est effectivement égale à la 1^ère intégrale <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \sqrt{\dfrac{R\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}{g\, \left[ \cos(\theta_0) - \cos(\theta) \right]}}\; d \theta\;</math> dans la mesure où <math>\;\cos(u_0) = \cos(2\;\pi - \theta_0)\;</math> est égal à <math>\;\cos(\theta_0)</math>.</ref></center> {{Al|5}}<u>Évaluation de la période du mouvement du [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]]</u> : il est intéressant de passer en angle moitié pour calculer cette intégrale en utilisant <math>\;\sqrt{1 - \cos(\theta)} =</math> <math>\sqrt{2\; \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)} = \sqrt{2}\; \sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math><ref> En effet si <math>\;\theta \leqslant \pi\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{\theta}{2} \leqslant \dfrac{\pi}{2}\;</math> et <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \geqslant 0</math>.</ref> d'une part, et d'autre part, <math>\;\sqrt{\cos(\theta_0) - \cos(\theta)} = \sqrt{\left[ 1 + \cos(\theta_0) \right] - \left[ 1 + \cos(\theta) \right]} = \sqrt{2\, \left[ \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]}\;</math> soit finalement <math>\;\sqrt{\dfrac{1 - \cos(\theta)}{\cos(\theta_0) - \cos(\theta)}}\;d \theta = 2\;\dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\, d\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sqrt{\cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>-2\;\dfrac{d\! \left[ \cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]}{\sqrt{\cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> et par suite, en reportant dans l'expression de <math>\;\mathcal{T}\;</math> sous forme intégrale, <math>\;\mathcal{T} = -8\;\sqrt{\dfrac{R}{g}}\; \displaystyle\int_{\theta = \theta_0}^{\theta = \pi} \dfrac{d\! \left[ \cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]}{\sqrt{\cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> soit, avec la nouvelle variable <math>\;u = \cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math> variant de <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) = u_0\;</math> à <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 0</math>, la réécriture de la période sous <math>\;\mathcal{T} = -8\;\sqrt{\dfrac{R}{g}}\; \displaystyle\int_{u_0}^{0} \dfrac{du}{\sqrt{u_0^2 - u^2}} = 8\;\sqrt{\dfrac{R}{g}}\; \displaystyle\int_{0}^{u_0} \dfrac{du}{\sqrt{u_0^2 - u^2}} = 8\;\sqrt{\dfrac{R}{g}}\; \displaystyle\int_{\frac{u}{u_0} = 0}^{\frac{u}{u_0} = 1} \dfrac{d\! \left( \dfrac{u}{u_0} \right)}{\sqrt{1 - \left( \dfrac{u}{u_0} \right)^{\!\!2}}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> soit finalement <math>\;\mathcal{T} =</math> <math>8\;\sqrt{\dfrac{R}{g}}\; \left[ \arcsin\! \left( \dfrac{u}{u_0} \right) \right]_{\frac{u}{u_0} = 0}^{\frac{u}{u_0} = 1}\;</math><ref> Une primitive de <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\;</math> étant <math>\;\arcsin(x)\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_sinus_:_fonction_arcsinus|fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et encore <math>\;\mathcal{T} = 8\;\sqrt{\dfrac{R}{g}}\, \left[ \arcsin(1)\;\cancel{ - \arcsin(0)} \right] = 8\;\sqrt{\dfrac{R}{g}}\; \dfrac{\pi}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'expression finale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\pi\;\sqrt{\dfrac{R}{g}}\;</math>» indépendant de <math>\;\theta_0\;</math> d'où « <u>isochronisme des oscillations</u> ».</center> {{Al|5}}La période des petites oscillations<ref name="petites oscillations" /> d'un pendule pesant simple <math>\;\big(</math>P.P.S.<math>\big)\;</math> de longueur <math>\;l\;</math> dans un champ de pesanteur terrestre uniforme d'intensité de la pesanteur <math>\;g\;</math> valant <math>\;\mathcal{T}_{P.P.S.} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;</math><ref name="période des petites oscillations d'un P.P.S."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Période_des_«_petites_élongations_angulaires_»_du_P.P.S.|période des petites élongations angulaires du P.P.S.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et la période du [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]] pouvant s'écrire <math>\;\mathcal{T} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{4\;R}{g}}</math>, nous en déduisons <center>la longueur du P.P.S<ref name="P.P.S."> Pendule Pesant Simple</ref>. à « petites oscillations »<ref name="petites oscillations" /> synchrone du [[w:Pendule_cycloïdal|pendule cycloïdal]] : «<math>\;l_{\text{synch. du P.Cycl.}} = 4\;R\;</math>».</center>}} == Mouvement conservatif d'un point matériel sur le demi-axe Ox à profil d'énergie potentielle fixé == {{Al|5}}Soit un point matériel <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, en mouvement conservatif sur le demi-axe <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>, d'abscisse <math>\;x > 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, de masse <math>\;\color{transparent}{m}</math>, }}soumis à une résultante de force dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U(x) = -\dfrac{k}{x} + \dfrac{A}{2\;x^2}</math>, <math>\;k\;</math> et <math>\;A\;</math> étant des constantes <math>\;> 0</math>. === Détermination de la nature du mouvement du point matériel par étude de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique === {{Al|5}}Initialement le point matériel <math>\;M\;</math> étant lâché de <math>\;M_0\;</math> d'abscisse <math>\;x_0\;</math> avec la vitesse initiale <math>\;\dot{x}_0</math>, <br>{{Al|5}}tracer les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de <math>\;M\;</math> suivant la valeur de son énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, {{Al|5}}déterminer la position d'équilibre de <math>\;M\;</math> en explicitant l'abscisse <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> de cette dernière en fonction de <math>\;k\;</math> et de <math>\;A\;</math> puis {{Al|5}}préciser à quelle condition sur <math>\;E_{m,\,0}\;</math> le mouvement de <math>\;M\;</math> est oscillatoire autour de cette position d'équilibre. {{Solution | contenu = [[File:Profil d'énergie potentielle - états lié ou de diffusion.png|thumb|450px|Tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel se déplaçant sur le demi-axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> en étant soumis à la force conservative dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U(x) = -\dfrac{k}{x} + \dfrac{A}{2\;x^2}</math>, exemples d'état lié et d'état de diffusion]] {{Al|5}}Pour tracer la courbe d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> il faut connaître d'abord la variation de <math>\;U(x) = -\dfrac{k}{x} + \dfrac{A}{2\;x^2}\;</math> en fonction de <math>\;x\;</math> et pour cela calculer sa dérivée dans le but d'étudier le signe de cette dernière <math>\;\dfrac{dU}{dx}(x) = \dfrac{k}{x^2} - 2\;\dfrac{A}{2\;x^3} = \dfrac{k\;x - A}{x^3}</math>, ce qui représente l'opposé de la composante sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> de la force conservative <math>\;\vec{F}(x) = F_x(x)\;\vec{u}_x\;</math> dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U(x)\;</math> soit <math>\;\dfrac{dU}{dx}(x) = -F_x(x)\;</math><ref> En effet le lien entre une force conservative <math>\;\vec{F}(x) = F_x(x)\;\vec{u}_x\;</math> et l'énergie potentielle <math>\;U(x)\;</math> dont elle dérive est <math>\;\vec{F}(x) = -\overrightarrow{\text{grad}} \left[ U(x) \right]</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_cartésiennes_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> soit en projetant sur <math>\;\vec{u}_x</math>, <math>\;F_x(x) = -\dfrac{dU}{dx}(x)</math>.</ref> d'où : * <math>\;\dfrac{dU}{dx}(x) = -F_x(x)\;</math> s'annule pour <math>\;x_{\text{éq}} = \dfrac{A}{k}</math>, cette abscisse étant celle de la position d'équilibre du point <math>\;M</math>, * pour <math>\;x \in \left] 0\,,\, x_{\text{éq}} \right[\;</math> la dérivée <math>\;\dfrac{dU}{dx}(x) = -F_x(x)\;</math> est <math>\;< 0\;</math> ce qui, correspondant à <math>\;F_x(x) > 0</math>, est associé à une force répulsive par rapport au point <math>\;O</math>, l'énergie potentielle <math>\;U(x)\;</math> y étant une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\lim\limits_{x\,\rightarrow\,0} \left[ U(x) \sim \dfrac{k}{x} \right] = +\infty\;</math> à <math>\;U(x_{\text{éq}})</math> <math>= -\dfrac{k}{\dfrac{A}{k}} + \dfrac{A}{2\, \left( \dfrac{A}{k} \right)^{\!2}} = -\dfrac{k^2}{2\;A} < 0\;</math> et * pour <math>\;x \in \left] x_{\text{éq}}\,,\, +\infty \right[\;</math> la dérivée <math>\;\dfrac{dU}{dx}(x) = -F_x(x)\;</math> est <math>\;> 0\;</math> ce qui, correspondant à <math>\;F_x(x) < 0</math>, est associé à une force attractive par rapport au point <math>\;O</math>, l'énergie potentielle <math>\;U(x)\;</math> y étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;U(x_{\text{éq}}) = -\dfrac{k^2}{2\;A} < 0\;</math> à <math>\;\lim\limits_{x\,\rightarrow\,+\infty} \left[ U(x) \sim -\dfrac{A}{2\;x^2} \right] = 0^{-}</math> ; {{Al|5}}le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> étant conservatif<ref> Ce qui nécessite que les éventuelles forces non conservatives ne travaillent pas, la seule force conservative dérivant de l'énergie potentielle fournie par le texte.</ref>, on peut lui appliquer l'intégrale 1^ère énergétique correspondant à la conservation de son énergie mécanique <math>\;E_m(t) =</math> <math>K_M(t) + U\! \left[ x(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) - \dfrac{k}{x(t)} + \dfrac{A}{2\;x^2\!(t)}\;</math> soit, les C.I<ref name="C.I." />. du point matériel <math>\;M\;</math> étant <math>\;x(0) = x_0\;</math> et <math>\;\dot{x}(0) = \dot{x}_0\;</math> pour une énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>K_M(0) + U(x_0) \geqslant U(x_0)\;</math> ou encore <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2_0 - \dfrac{k}{x_0} + \dfrac{A}{2\;x^2_0}</math>, l'intégrale 1^ère énergétique suivante <center>«<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec «<math>\;E_{m,\,0} \geqslant U(x_0)\;</math>» et «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) - \dfrac{k}{x(t)} + \dfrac{A}{2\;x^2\!(t)}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}des exemples de courbes d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> sont représentés en rouge sur le diagramme ci-dessus à droite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|des exemples de courbes d'énergie mécanique <math>\;\color{transparent}{(\Gamma_m)}\;</math> }}ce sont des droites <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;x\;</math> d'ordonnée <math>\;E_{m,\,0} \geqslant \min\limits_{x\, >\, 0} U(x)\;</math> soit <math>\;E_{m,\,0} \geqslant U(x_{\text{éq}}) = -\dfrac{k^2}{2\;A}\;</math> cette dernière valeur étant <math>\;< 0</math>. {{Al|5}}L'abscisse <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> de la position d'équilibre <math>\;M_{\text{éq}}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> a été préalablement établie, elle vaut <math>\;x_{\text{éq}} = \dfrac{A}{k}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'abscisse <math>\;\color{transparent}{x_{\text{éq}}}\;</math> de la position d'équilibre <math>\;\color{transparent}{M_{\text{éq}}}\;</math> }}correspond à un <u>équilibre stable</u> selon les critères de force<ref name="équilibre stable ou instable en terme de force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_(ou_de_l'instabilité)_d'un_équilibre_de_point_matériel_en_terme_de_force|définition de la stabilité (ou de l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en terme de force]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », l'équilibre étant stable s'il s'agit d'une force de rappel vers la position d'équilibre et instable pour une force répulsive relativement à cette position.</ref> ou d'énergie potentielle dont la force dérive<ref name="équilibre stable ou instable en terme de profil énergétique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_(ou_de_l'instabilité)_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_profil_d'énergie_potentielle|définition de la stabilité (ou de l'instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de profil d'énergie potentielle]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », l'équilibre étant stable s'il s'agit d'un minimum d'énergie potentielle et instable pour un maximum.</ref> ; {{Al|5}}pour que <math>\;M\;</math> soit un oscillateur autour de <math>\;M_{\text{éq}}</math>, il est nécessaire que les points courants du diagramme d'énergies potentielle et mécanique rencontrent deux murs d'énergie potentielle : * celui de gauche est inconditionnel puisque <math>\;\lim\limits_{x\,\rightarrow\, 0^{+}} U(x) = +\infty\;</math> et <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est de valeur finie <math>\;\geqslant U(x_{\text{éq}})\;</math> d'où, le [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires|théorème des valeurs intermédiaires]] <ref name="théorème des valeurs intermédiaires"> Le [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires|théorème des valeurs intermédiaires]] peut être énoncé selon « pour toute application continue <math>\;f\;\text{:}\; \left[ a\,,\, b \right]\, \longmapsto\, \mathbb{R}\;</math> et tout réel <math>\;u\;</math> compris entre <math>\;f(a)\;</math> et <math>\;f(b)</math>, il existe au moins un réel <math>\;c\;</math> compris entre <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> tel que <math>\;f(c) = u\;</math>» ;<br>{{Al|3}}son cas particulier connu sous le nom de [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires#Énoncé|théorème de Bolzano]] s'énonce selon « pour toute application continue <math>\;f\;\text{:}\; \left[ a\,,\, b \right]\, \longmapsto\, \mathbb{R}\;</math> telle que le produit <math>\;f(a)\;f(b)\;</math> est <math>\leqslant 0</math>, il existe au moins un réel <math>\;c\;</math> compris entre <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> tel que <math>\;f(c) = 0\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans les deux théorèmes si l'application continue est strictement monotone, elle est donc [[w:Injectivité_(mathématiques)|injective]] et il y a unicité de la valeur de <math>\;c</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Bernard_Bolzano|Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano]] (1781 - 1848)''' ou plus simplement '''[[w:Bernard_Bolzano|Bernard Bolzano]]''' est un mathématicien, logicien, philosophe et théologien allemand <math>\;\big(</math>né, ayant vécu et mort en ce qui est maintenant la Tchéquie<math>\big)</math>, à qui on doit en mathématiques deux théorèmes dont [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires|celui des valeurs intermédiaires]] dont un cas particulier porte son nom et un autre connu sous le nom de [[w:Théorème_de_Bolzano-Weierstrass|théorème de Balzano-Weierstrass]] en [[w:Topologie|topologie]] des [[w:Espace_métrique|espaces métriques]] dont une démonstration plus rigoureuse fut établie par '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897)]]''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]] <math>\;\big[</math>on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de [[w:Fonction_de_Weierstrass|fonction de Weierstrass]] continue partout et dérivable nulle part<math>\big]</math>.</ref> avec <math>\;U(x)\;</math> continue <math>\;\searrow\;</math> sur <math>\;\left] 0\,,\, x_{\text{éq}} \right]</math>, <math>\;\exists\,!\; x_{\text{mur de gauche}}\, \in\, \left] 0\,,\, x_{\text{éq}} \right]\;</math> tel que <math>\;U(x_{\text{mur de gauche}}) = E_{m,\,0}\;\;\forall\;E_{m,\,0} \geqslant U(x_{\text{éq}})\;</math> et * celui de droite n'existe que dans la mesure où <math>\;E_{m,\,0}\,\in\, \left[ U(x_{\text{éq}})\,,\, 0 \right[\;</math> car <math>\;U(x)\;</math> est continue et <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ x_{\text{éq}}\,,\,+\infty \right[\;</math> avec <math>\;U(x_{\text{éq}}) = -\dfrac{k^2}{2\;A} < 0\;</math> d'une part et <math>\;\lim\limits_{x\,\rightarrow\, +\infty} U(x) = 0^{-}\;</math> d'autre part d'où l'affirmation d'après le [[w:Théorème_des_valeurs_intermédiaires|théorème des valeurs intermédiaires]]<ref name="théorème des valeurs intermédiaires" /> ; <center>la condition pour que <math>\;M\;</math> oscille autour de <math>\;M_{\text{éq}}\;</math> est donc «<math>\;E_{m,\,0}\,\in\, \left[ -\dfrac{k^2}{2\;A}\,,\, 0 \right[\;</math>» <br>et par suite, « si <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;M\;</math> est dans un état lié »<ref name="état lié"> Voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée|présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>alors que, « si <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;\geqslant 0</math>, <math>\;M\;</math> est dans un état de diffusion »<ref name="état de diffusion"> Voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_d'un_seul_mur_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_non_bornée|présence d'un seul mur d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement non bornée]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>.</center>}} === Allure des portraits de phase possibles du point matériel === {{Al|5}}Pour faciliter le tracé des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] du point matériel<ref name="portrait de phase d'un système à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Portrait_de_phase_d'un_système_dynamique#Définition_du_portrait_de_phase_d'un_système_dynamique_classique_à_un_degré_de_liberté|définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> en correspondance avec celui de ses diagrammes d'énergies potentielle et mécanique, on introduit les grandeurs réduites suivantes : * l'abscisse réduite du point matériel <math>\;\xi = \dfrac{x}{x_{\text{éq}}}</math>, * son énergie mécanique initiale réduite <math>\;\mu_0 = \dfrac{E_{m,\,0}}{\vert U(x_{\text{éq}}) \vert}\;</math> et * sa vitesse réduite <math>\;\varpi = \dfrac{\dot{x}}{\sqrt{\dfrac{2\;\vert U(x_{\text{éq}}) \vert}{m}}}</math> ; {{Al|5}}déduire, des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de <math>\;M</math>, les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] correspondant de <math>\;M\;</math><ref name="portrait de phase d'un système à un degré de liberté" /> sous leur forme réduite <math>\;\big[</math>c'est-à-dire avec <math>\;\xi\;</math> en abscisse et <math>\;\varpi\;</math> en ordonnée<math>\big]\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|déduire, des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de <math>\;\color{transparent}{M}</math>, les portraits de phase }}pour les valeurs de <math>\;\mu_0\;</math> correspondant à des mouvements de <math>\;M\;</math> différents puis, {{Al|5}}à l'aide d'un calculateur numérique<ref> Ou une simple calculatrice graphique.</ref>, les tracer sur un même graphique <math>\;\big[</math>on pourra faire les tracés pour <math>\;\mu_0 = -0,9</math>, <math>\;\mu_0 = -0,5</math>, <math>\;\mu_0 = 0</math>, <math>\;\mu_0 = 1\;</math> et <math>\;\mu_0 = 2\big]</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}<u>Tracé des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<ref name="portrait de phase d'un système à un degré de liberté" /> en grandeurs réduites pour différentes valeurs d'énergie mécanique initiale réduite</u> : de l'intégrale 1^ère énergétique <math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math> ou <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) - \dfrac{k}{x(t)} + \dfrac{A}{2\;x^2\!(t)} = E_{m,\,0}\;</math> on tire l'équation implicite d'un portrait de phase «<math>\;\dot{x}^2 = \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m} + \dfrac{2\;k}{m\;x} - \dfrac{A}{m\;x^2}</math>» ou, en introduisant les grandeurs réduites suivantes : * l'abscisse réduite du point matériel <math>\;\xi = \dfrac{x}{x_{\text{éq}}} = \dfrac{k\;x}{A}</math>, * son énergie mécanique initiale réduite <math>\;\mu_0 = \dfrac{E_{m,\,0}}{\vert U(x_{\text{éq}}) \vert} = \dfrac{2\;A\;E_{m,\,0}}{k^2}\;</math> et * sa vitesse réduite <math>\;\varpi = \dfrac{\dot{x}}{\sqrt{\dfrac{2\;\vert U(x_{\text{éq}}) \vert}{m}}} = \dfrac{\sqrt{A\;m}\;\dot{x}}{k}</math>, {{Al|5}}l'équation implicite d'un portrait de phase se réécrit «<math>\;\dfrac{k^2}{A\;m}\;\varpi^2 = \dfrac{k^2}{A\;m}\;\mu_0 + \dfrac{k^2}{A\;m}\;\dfrac{2}{\xi} - \dfrac{k^2}{A\;m}\;\dfrac{1}{\xi^2}\;</math>» soit, après simplification, «<math>\;\varpi^2 = \mu_0 + \dfrac{2}{\xi} - \dfrac{1}{\xi^2}\;</math>» ; {{Al|5}}le logiciel de calcul numérique utilisé pour tracer les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<ref name="portrait de phase d'un système à un degré de liberté" /> en grandeurs réduites pour différentes valeurs d'énergie mécanique initiale réduite du point matériel étudié est l'un de ceux proposés par le programme à savoir « Scilab »<ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref>, le programme utilisé<ref name="aide logiciel"> Vous pourrez trouver les explications dans l'aide du logiciel <math>\;\ldots</math></ref> est donné ci-dessous ainsi que le tracé obtenu <math>\;\big[</math>on vérifie que les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<ref name="portrait de phase d'un système à un degré de liberté" /> pour <math>\;\mu_0 = -0,9\;</math> et <math>\;\mu_0 = -0,5\;</math> correspondants à un état lié de <math>\;M\;</math> sont fermés alors que ceux pour <math>\;\mu_0 = 0</math>, <math>\;\mu_0 = 1\;</math> et <math>\;\mu_0 = 2\;</math> correspondants à un état de diffusion de <math>\;M\;</math> sont ouverts<math>\big]</math> <math>\;\ldots</math> [[File:Portraits de phase associés à un profil d'énergie potentielle - états lié ou de diffusion.png|thumb|600px|Tracé des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<ref name="portrait de phase d'un système à un degré de liberté" /> associés au profil d'énergie potentielle <math>\;U(x) = -\dfrac{k}{x} + \dfrac{A}{2\;x^2}\;</math> suivant la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\, 0}</math>, exemples d'état lié<ref name="état lié" /> et d'état de diffusion<ref name="état de diffusion" />]] %xi = 0.001:0.02:5.001; %varpi = -2:0.02:+2; for i = 1:length(%xi) {{Al|5}}for j = 1:length(%varpi) {{Al|15}}fonction_f = (%varpi(j))^2; {{Al|15}}fonction_g = 2/(%xi(i)) - 1/((%xi(i))^2); {{Al|15}}z(i,j) = fonction_f - fonction_g; {{Al|5}}end end contour(x,y,z,[-0.9 -0.5 0 1 2]); {{Al|5}}<u>Commentaire</u><math>\;\big(</math><u>partiel</u><math>\big)\;</math><u>des lignes de programme</u> : les [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]]<ref name="portrait de phase d'un système à un degré de liberté" /> étant définis par une équation implicite, on définit trois fonctions : * la 1^ère notée « fonction_f » correspond à <math>\;\varpi^2</math>, * la 2^nde notée « fonction_g » correspond à <math>\;\dfrac{2}{\xi} - \dfrac{1}{\xi^2}\;</math> et * la 3^ème notée <math>\;z\;</math> est la différence des deux, plus précisément <math>\;z(\xi\,,\,\varpi) = \varpi^2 - \left( \dfrac{2}{\xi} - \dfrac{1}{\xi^2} \right)\;</math> considérée comme l'équation d'une surface dans l'espace à trois dimensions <math>\;\left( \xi\,,\,\varpi\,,\, z \right)\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Commentaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>partiel<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>des lignes de programme : }}on trace les lignes de niveaux correspondants à <math>\;z(\xi\,,\,\varpi) = \mu_0</math>, ce qui est obtenu avec la fonction « contour() », les lignes de niveaux étant précisées entre crochets <math>\;\ldots</math>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique/|Approche énerg. du mouv. d'un pt mat. : Énergie potentielle et énergie mécanique]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité/|Approche énerg. du mouv. d'un pt mat. : Équilibre et stabilité]] }} cxn4pysu96wude8h76hn1nsyut0ilu0 0 71552 982900 978966 2026-05-17T17:44:01Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982900 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 18 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre « forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement » et « forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement » == {{Al|5}}Nous supposerons dans tout ce chapitre <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)</math>, le P.P.S<ref name="P.P.S."> Pendule Pesant Simple.</ref>. constitué d'un point matériel <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, liée à un point fixe <math>\;O\;</math> par l'intermédiaire d'une tige idéale<ref name="tige idéale"> C.-à-d. d'une tige rigide, de longueur constante, sans masse.</ref> <math>\;\big(</math>et non d'un fil idéal<ref name="fil idéal"> C.-à-d. d'un fil inélastique sans masse.</ref><math>\big)</math> de longueur <math>\;l\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme <math>\;\vec{g}\;</math> d'intensité de pesanteur <math>\;g\;</math><ref name="schéma du P.P.S."> Il convient d'ajouter un schéma de situation en précisant la base locale polaire liée à <math>\;M\;</math> dans le plan du mouvement ainsi que les forces qui lui sont appliquées.</ref>. === Définition des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté === {{Al|5}}L'équation différentielle du P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté<ref name="P.P.S. à un degré de liberté"> Pour que le P.P.S. soit à un degré de liberté, il suffit qu'il soit lancé dans les C.I. notées <math>\;(1.\mathfrak{a})\;</math> en absence de vitesse initiale ou <math>\;(1.\mathfrak{b})\;</math> si le vecteur vitesse initiale est dans le plan vertical de lancement, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, de paramètre de position <math>\;\theta</math>, <math>\;\big(</math>c'est-à-dire l'abscisse angulaire de <math>\;M\;</math> relativement à la verticale <math>\;\downarrow</math> <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> choisie comme axe polaire dans le plan vertical de son mouvement<math>\big)\;</math> est * <math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math> en absence de frottement fluide<ref name="équation différentielle du P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] (le P.P.S. étant N.A. à un degré de liberté) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou, * <math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math> s'il est amorti par résistance de fluide linéaire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) = -h\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="schéma du P.P.S." />{{,}}<ref name="équation différentielle du P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] (à un degré de liberté) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}dans les deux cas, les positions d’équilibre correspondant à <math>\;\ddot{\theta}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> et <math>\;\dot{\theta}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> conduisent à <math>\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0,\;\;\forall\;t\;</math> c'est-à-dire à deux positions d'équilibre «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0 \pmod{2\;\pi} \\ \theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi \pmod{2\;\pi} \end{array} \right\rbrace\;</math>». === Distinction entre « forces causes de modification du mouvement » (ou forces « motrices ») et « forces sans influence sur une modification éventuelle du mouvement » (ou forces « non motrices ») dans le cas du P.P.S. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Un P.P.S<ref name="P.P.S." />., en absence de frottement fluide, est soumis à deux forces <math>\blacktriangleright\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_r - m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_\theta\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Un P.P.S., en absence de frottement fluide, est soumis à deux forces }}<math>\blacktriangleright\;</math>la tension de la tige <math>\;\vec{T}(t) = \overline{T}(t)\;\vec{u}_r</math>, {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>seule la composante orthoradiale du poids <math>\;-m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_\theta\;</math> est « <u>cause de modification du mouvement</u> » <math>\;\big(</math>ou force « motrice »<ref name="appellation personnelle"> C'est une appellation personnelle que nous utiliserons par la suite de façon à être plus concis.</ref><math>\big)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>seule }}la composante radiale du poids <math>\;m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_r\;</math> et la tension de la tige <math>\;\vec{T}(t) = \overline{T}(t)\;\vec{u}_r\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à la direction du mouvement sont <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>seule la composante radiale du poids <math>\;\color{transparent}{m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_r}\;</math> et la tension de la tige <math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t) = \overline{T}(t)\;\vec{u}_r}\;</math> }}« <u>sans influence sur une modification éventuelle mouvement</u> »<ref name="non compensation des composantes radiales"> A priori, s'il y a mouvement, ces deux forces ne se compensent pas car on doit avoir <math>\;m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \overline{T}(t) = m\;a_r(t)\;</math> avec <math>\;a_r(t) =</math> <math>-l\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> non identiquement nulle ; <br>{{Al|3}}par contre, dans les positions d'équilibre, il y a compensation car <math>\;a_r(t) = -l\;\dot{\theta}^2\!(t) = 0\;\;\forall\;t</math>.</ref> <math>\;\big(</math>ou forces « non motrices »<ref name="appellation personnelle" /><math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Un P.P.S<ref name="P.P.S." />., en présence de frottement fluide, est soumis à trois forces <math>\blacktriangleright\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_r - m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_\theta</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Un P.P.S., en présence de frottement fluide, est soumis à trois forces }}<math>\blacktriangleright\;</math>la résistance du fluide linéaire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) = -h\;\vec{V}_M(t) = -h\;l\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Un P.P.S., en présence de frottement fluide, est soumis à trois forces }}<math>\blacktriangleright\;</math>la tension de la tige <math>\;\vec{T}(t) = \overline{T}(t)\;\vec{u}_r</math>, {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la composante orthoradiale du poids <math>\;-m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_\theta\;</math> et la résistance du fluide linéaire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) = -h\;l\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta\;</math> sont les deux composantes de forces <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la composante orthoradiale du poids <math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_\theta}\;</math> et la résistance du fluide linéaire <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) = -h\;l\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta}\;</math> }}« <u>causes de modification du mouvement</u> » <math>\;\big(</math>ou forces « motrices »<ref name="appellation personnelle" /><math>\big)</math>, {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la composante radiale du poids <math>\;m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_r\;</math> et la tension de la tige <math>\;\vec{T}(t) = \overline{T}(t)\;\vec{u}_r\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à la direction du mouvement sont <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la composante radiale du poids <math>\;\color{transparent}{m\;g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_r}\;</math> et la tension de la tige <math>\;\color{transparent}{\vec{T}(t) = \overline{T}(t)\;\vec{u}_r}\;</math> }}« <u>sans influence sur une modification éventuelle mouvement</u> »<ref name="non compensation des composantes radiales" /> <math>\;\big(</math>ou forces « non motrices »<ref name="appellation personnelle" /><math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans les deux cas, les positions d'équilibre du P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté s'obtiennent en « <u>écrivant la nullité de la résultante des forces</u><math>\;\big(</math><u>ou composantes de forces</u><math>\big)\;</math><u>causes de modification du mouvement</u> » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire en écrivant la nullité de la résultante des forces « motrices »<math>\big)\;</math> soit ici {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\;\bullet\;</math>«<math>\;-m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_\theta = \vec{0}\;</math> si le P.P.S<ref name="P.P.S." />. est N.A<ref name="N.A."> Non Amorti.</ref>. » ou «<math>\;-m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou encore «<math>\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0,\;\;\forall\;t\;</math>», {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\;\bullet\;</math>«<math>\;-m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_\theta - h\;l\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta = \vec{0}\;</math> si le P.P.S<ref name="P.P.S." />. est A<ref name="A."> Amorti.</ref>. » ou «<math>\;-m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] - h\;l\;\dot{\theta}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|15}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_\theta - h\;l\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta = \vec{0}}\;</math> si le P.P.S. est A. » ou }}«<math>\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0,\;\;\forall\;t\;</math> dans la mesure où <math>\;\dot{\theta}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> pour tout équilibre », {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'où, dans les deux cas, les positions d'équilibre sont repérées par «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0 \pmod{2\;\pi} \\ \theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi \pmod{2\;\pi} \end{array} \right\rbrace\;</math>». == Généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à celles d'un point matériel « à un degré de liberté » == <center>Le point matériel à un degré de liberté est repéré par un paramètre de position qui sera noté <math>\;x\;</math> s'il est linéaire et <math>\;\theta\;</math> s'il est angulaire.</center> === Retour sur la « distinction » entre forces « motrices » et forces « non motrices » === {{Al|5}}Quand on fait le bilan des forces appliquées à un point matériel <math>\;M</math>, on distingue deux types de forces : * les « <u>actions</u> »<ref name="actions"> La plupart des actions sont « conservatives », nous nous limiterons à ce cas.</ref> comme les forces à distance <math>\;\big(</math>forces de champ : pesanteur, gravitation ou électrostatique<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|les « actions » }}comme certaines forces de contact résultant d'une disposition antérieure <math>\;\big(</math>tension d’un ressort qui nécessite d'avoir auparavant déformé le ressort<math>\big)</math>, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|les « actions » }}comme certaines forces de contact pour mettre en mouvement ou modifier ce dernier <math>\;\big(</math>force de poussée sur véhicule<math>\big)\;</math> et * les « <u>réactions</u> »<ref name="réactions"> Toutes les réactions sont « non conservatives » ou considérées comme telles.</ref> dont l'existence disparaît avec l'action et dont le rôle est de résister au mouvement que l'action tendrait à créer dans une ou plusieurs directions, <br>ces réactions se classant en deux sous groupes : <math>\succ\;</math>les réactions de contact ne disparaissant pas avec l'éventuel mouvement <math>\;\big(</math>réaction de contact sur un solide avec ou sans frottement, <br>{{Al|3}}{{Transparent|ces réactions se classant en deux sous groupes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les réactions de contact ne disparaissant pas avec l'éventuel mouvement }}tension d'un fil inélastique<math>\big)\;</math> et <br>{{Transparent|ces réactions se classant en deux sous groupes : }}<math>\succ\;</math>les réactions de contact disparaissant avec l'éventuel mouvement <math>\;\big(</math>résultant d'un frottement fluide linéaire ou non<math>\big)</math> ; {{Al|5}}parmi toutes ces forces <math>\;\big(</math>ou composantes de forces<math>\big)</math>, il est intéressant de distinguer celles qui peuvent engendrer une modification du mouvement <math>\;\big(</math>que je qualifie de « motrices »<math>\big)\;</math> de <br>{{Al|4}}{{Transparent|parmi toutes ces forces <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou composantes de forces<math>\color{transparent}{\big)}</math>, il est intéressant de distinguer }}celles qui n'ont aucune influence sur une éventuelle modification de mouvement <math>\;\big(</math>que je qualifie de « non motrices »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|parmi toutes }}les deux types de composantes de forces se classant alors selon <math>\succ\;</math>les composantes de forces « causes de modification du mouvement » <math>\;\big(</math>ou simplement « motrices »<math>\big)\;</math> c'est-à-dire les <br>{{Al|5}}{{Transparent|parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les }}« composantes des actions dans la direction du mouvement »<ref> Dans le cas du P.P.S. <math>\;\big(</math>amorti ou non<math>\big)\;</math> une seule composante d'action « motrice » la composante du poids sur <math>\;\vec{u}_\theta</math>.</ref> et les <br>{{Al|5}}{{Transparent|parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les }}« composantes des réactions de contact dans la direction du mouvement » <br>{{Al|5}}{{Transparent|parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les « composantes des réactions }}<math>\big(</math>comme les forces « de frottement solide »<ref> Ou « composante tangentielle de réaction solide » ; on remarquera que celle-ci ne disparaît pas avec le mouvement mais elle s'adapte en effet quand il y a mouvement la force de frottement solide est de norme <math>\;f\;R_n\;</math> avec <math>\;R_n\;</math> composante normale de réaction alors qu'en absence de mouvement elle est inférieure à <math>\;f\;R_n</math>.</ref> ou « de frottement fluide »<ref> Cette composante de réaction motrice disparaît avec le mouvement car de norme usuellement <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\Vert \vec{V}_M \Vert\;</math> ou <math>\;\vec{V}_M^2</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas du P.P.S.A. il y a une composante de réaction « motrice » la force de frottement fluide <math>\;-h\;\vec{V}_M(t) = -h\;l\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta\;</math> laquelle n’existe pas dans le cas du P.P.S.N.A..</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon }}<math>\succ\;</math>les composantes de forces « sans influence sur une modification éventuelle de mouvement » <br>{{Al|4}}{{Transparent|parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les composantes de forces « sans influence sur une modification }}<math>\big(</math>ou simplement « non motrices »<math>\big)\;</math> c'est-à-dire les <br>{{Al|5}}{{Transparent|parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les }}« composantes des actions dans les directions <math>\;\perp\;</math> au mouvement »<ref> Dans le cas du P.P.S. <math>\;\big(</math>amorti ou non<math>\big)\;</math> une seule composante d'action « non motrice », la composante du poids sur <math>\;\vec{u}_r</math>.</ref> et les <br>{{Al|5}}{{Transparent|parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les }}« composantes des réactions de contact dans les directions <math>\;\perp\;</math> au mouvement » <br>{{Al|4}}{{Transparent|parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les « composantes des réactions }}<math>\big(</math>comme la composante normale de réaction solide ou la « tension de tige ou de fil »<ref> Dans le cas du P.P.S. <math>\;\big(</math>amorti ou non<math>\big)\;</math> une seule composante de réaction « non motrice » la tension de la tige <math>\;\vec{T} = \overline{T}\;\vec{u}_r</math>.</ref><math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Quand on recherche les positions d’équilibre d'un point matériel <math>\;M\;</math> dont le mouvement éventuel ne peut se faire que suivant une direction fixée, seules les composantes de forces « causes de modification du mouvement » <math>\;\big(</math>que j'appelle « motrices »<math>\big)\;</math> sont à prendre en compte et, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}parmi les composantes de forces « motrices », seules celles ne disparaissant pas avec le mouvement sont à considérer <math>\;\big(</math>ainsi les frottements fluides ne sont pas à prendre en compte pour la recherche des positions d'équilibre contrairement aux frottements solides<math>\big)</math>. === Limitation de l'étude aux mouvements « rectiligne ou circulaire » === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : L'étude générale de l'équilibre d'un point matériel <math>\;M\;</math> sur une trajectoire fixée quelconque n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}dans le cas où cette étude se présenterait, il faut se ramener à la C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. d'équilibre «<math>\;\sum\limits_k \vec{F}_k(M) = \vec{0}\;</math>»<ref name="choix de C.N. d'équilibre"> Ce n'est pas la seule C.N. d'équilibre possible mais c'est la seule qui peut être utilisée en l'état de nos connaissances actuelles ; <br>{{Al|3}}il y aura aussi « la somme des moments vectoriels des forces appliquées évalués par rapport à un point fixe, nulle » quand la notion de moment vectoriel de force par rapport à un point aura été introduite, voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] (du vecteur moment d'une force par rapport à un point) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : dans le cas où cette étude se présenterait, }}les composantes de forces pouvant modifier le mouvement étant alors celles <math>\;\parallel\;</math> au 1^er vecteur unitaire tangentiel de base de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au [[w:Repère_de_Frenet#La_courbure_et_les_formules_de_Frenet|trièdre (ou base) de Serret-Frenet]] <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment [[w:Repère_de_Frenet#La_courbure_et_les_formules_de_Frenet|ces formules]]<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Rappel,_notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_et_de_vecteur_unitaire_tangentiel,_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_associée|rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1^er vecteur de la base locale de Frenet associée]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : dans le cas où cette étude se présenterait, }}d'où la réécriture de la C.N<ref name="C.N." />. d'équilibre «<math>\;\sum\limits_k F_{k,\,\tau}(M) = 0\;</math>» dans laquelle seules les composantes « motrices » sont à considérer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : dans le cas où cette étude se présenterait, }}<math>\big(</math>« les composantes de forces <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{\tau}\;</math>»<ref> C.-à-d. celles <math>\;\parallel\;</math> au 2^ème vecteur unitaire normal principal de base de Frenet <math>\;\vec{n}</math> <math>\;\bigg[</math>l'adaptation correspondant à une compensation en la position d'équilibre car l'absence de vitesse instantanée <math>\;v_M\;</math> du point y entraîne la nullité de l'accélération normale <math>\;a_{n,\,M} = \dfrac{v_M^2}{\mathcal{R}_M}\;</math> avec <math>\;\mathcal{R}_M\;</math> rayon de courbure de la trajectoire en cette position<math>\bigg]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|C.-à-d. }}celles <math>\;\parallel\;</math> au 3^ème vecteur unitaire normal secondaire de base de Frenet <math>\;\vec{b}\;</math> étant naturellement compensées dans la mesure où l'accélération <math>\;\vec{a}_M\;</math> du point n'admet jamais de composante sur cette direction ; <br>{{Al|3}}revoir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_associée_à_un_point_de_la_courbe_étudiée|2^ème et 3^ème vecteurs de la base de Frenet associée à un point de la courbe étudiée]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Définition_simultanée_du_deuxième_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_et_du_rayon_de_courbure_en_un_point_non_anguleux_d'une_courbe_quelconque_(gauche_ou_plane)|définition simultanée du 2^ème vecteur de base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe quelconque (gauche ou plane)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <br>{{Al|3}}{{Transparent|revoir le}}ainsi que ceux « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_locales_de_Frenet_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_accélérations_tangentielle_et_normale_du_point|composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> s'adaptent alors pour que le point suive la trajectoire imposée<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. d'équilibre d'un point d'abscisse</u><math>\;x\;</math><u>sur la droite</u><math>\;x'x</math> : pour un mouvement éventuel du point <math>\;M\;</math> rectiligne suivant <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> dont la résultante des forces « motrices » <math>\;\big(</math>à l'exclusion des éventuelles <br>{{Al|10}}{{Transparent|C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse<math>\;\color{transparent}{x}\;</math>sur la droite<math>\;\color{transparent}{x'x}</math> : pour }}forces de frottement fluide qui disparaissent avec le mouvement<math>\big)\;</math> s’écrit «<math>\;\vec{F}(M) = F(x)\; \vec{u}_x</math>», <math>\;x\;</math> étant l'abscisse du point <math>\;M\;</math> sur la <br>{{Al|10}}{{Transparent|C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse<math>\;\color{transparent}{x}\;</math>sur la droite<math>\;\color{transparent}{x'x}</math> : pour }}droite <math>\;x'x</math>, les équilibres <math>\;M_{\text{éq}}\;</math> de <math>\;M\;</math> ont pour abscisses <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> définies par «<math>\;F(x_{\text{éq}}) = 0\;</math>», c'est-à-dire comme <br>{{Al|10}}{{Transparent|C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse<math>\;\color{transparent}{x}\;</math>sur la droite<math>\;\color{transparent}{x'x}</math> : pour droite <math>\;\color{transparent}{x'x}</math>, les équilibres <math>\;\color{transparent}{M_{\text{éq}}}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont pour abscisses <math>\;\color{transparent}{x_{\text{éq}}}\;</math> }}étant les « zéros de <math>\;F(x)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. d'équilibre d'un point d'abscisse angulaire</u><math>\;\theta\;</math><u>sur le cercle de centre</u><math>\;O\;</math><u>et de rayon</u><math>\;R</math> : pour un mouvement éventuel du point <math>\;M\;</math> circulaire suivant le cercle centré en <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> dont la <br>{{Al|11}}{{Transparent|C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulaire<math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math>sur le cercle de centre<math>\;\color{transparent}{O}\;</math>et de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : pour }}résultante des forces « motrices » <math>\;\big(</math>à l'exclusion des éventuelles forces de frottement fluide qui <br>{{Al|11}}{{Transparent|C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulaire<math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math>sur le cercle de centre<math>\;\color{transparent}{O}\;</math>et de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : pour }}disparaissent avec le mouvement<math>\big)\;</math> s’écrit «<math>\;\vec{F}(M) = F(\theta)\; \vec{u}_\theta\;</math>», <math>\;\theta\;</math> étant l'abscisse angulaire du <br>{{Al|11}}{{Transparent|C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulaire<math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math>sur le cercle de centre<math>\;\color{transparent}{O}\;</math>et de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : pour }}point <math>\;M\;</math> sur le cercle, les équilibres <math>\;M_{\text{éq}}\;</math> de <math>\;M\;</math> ont pour abscisses angulaires <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> définies par <br>{{Al|11}}{{Transparent|C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulaire<math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math>sur le cercle de centre<math>\;\color{transparent}{O}\;</math>et de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : pour }}«<math>\;F(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», c'est-à-dire comme étant les « zéros de <math>\;F(\theta)\;</math>»<ref> Dans le cas du P.P.S. la composante orthoradiale de la force « motrice » est <math>\;F(\theta) = -m\;g\;\sin(\theta)</math>, les valeurs <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\pmod{2\;\pi}\\ \theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\pmod{2\;\pi} \end{array}\right\rbrace\;</math> correspondant bien aux zéros de <math>\;F(\theta)</math>.</ref>. == Définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.) à partir de son profil d’énergie potentielle == === Rappel des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté === {{Al|5}}Ce sont les zéros de la composante orthoradiale de la force « motrice » <math>\;\big[</math>à l'exclusion de celle de l'éventuelle force de frottement fluide qui s'annule naturellement en les positions d'équilibre<math>\big]</math> c'est-à-dire <br>{{Al|6}}{{Transparent|Ce sont les zéros de la composante orthoradiale de la force « motrice » }}les zéros de <math>\;F(\theta) = -m\;g\;\sin(\theta)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Distinction_entre_«_forces_causes_de_modification_du_mouvement_»_(ou_forces_«_motrices_»)_et_«_forces_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»_(ou_forces_«_non_motrices_»)_dans_le_cas_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|distinction entre forces motrices et forces non motrices dans le cas du P.P.S. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\pmod{2\;\pi}\\ \theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\pmod{2\;\pi} \end{array}\right\rbrace\;</math>». === Caractéristique du profil d'énergie potentielle du P.P.S. à un degré de liberté aux positions d'équilibre === {{Al|5}}On constate que <u>le profil d’énergie potentielle du P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté</u><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) 1a]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est <u>extrémal</u> en les positions d'équilibre repérées par <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\pmod{2\;\pi}\\ \theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\pmod{2\;\pi} \end{array}\right\rbrace</math>, plus exactement <br>{{Al|15}}{{Transparent|On constate que le profil d’énergie potentielle du P.P.S. à un degré de liberté est }}minimal en <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\pmod{2\;\pi}\;</math> et <br>{{Al|15}}{{Transparent|On constate que le profil d’énergie potentielle du P.P.S. à un degré de liberté est }}maximal en <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\pmod{2\;\pi}</math>. == Rappel du lien entre force conservative et énergie potentielle dont elle « dérive » == === Rappel de la 2^ème définition d'une force conservative et des deux définitions équivalentes de l'énergie potentielle dont « dérive » la force === {{Al|5}}« Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est <u>conservative ssi son travail élémentaire</u><math>\;\delta W(\vec{F}) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><u>est une différentielle exacte</u><ref name="différentielle exacte"> C.-à-d. une différentielle de fonction encore appelée différentielle totale.</ref> »<ref name="2ème définition d'une force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'énergie potentielle <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> dont dérive la force conservative est définie par «<math>\;\delta W(\vec{F}) = -dU_{\vec{F}}\;</math>»<ref name="1ère définition d'une énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="2ème définition d'une énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. === Cas d'une force conservative unidirectionnelle selon l'axe x'x === {{Al|5}}Le travail élémentaire de cette force <math>\;\vec{F}(M) = F(x)\;\vec{u}_x\;</math> s'écrivant <math>\;\delta W(\vec{F}) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = F(x)\;dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle exacte" />{{,}}<ref name="justification de différentielle exacte"> Car le cœfficient de l'élément différentiel de la variable ne dépend que de cette variable.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire de cette force }}<math>\;\vec{F}(M) = F(x)\;\vec{u}_x\;</math> est une force conservative ; {{Al|5}}l'énergie potentielle <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> dont elle dérive obéit à <math>\;F(x)\; dx = -dU_{\vec{F}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;F(x) = -\dfrac{dU_{\vec{F}}}{dx}(x)\;</math> soit la projection de <math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|5}}on détermine donc <math>\;U_{\vec{F}}(x)\;</math> comme « primitive de <math>\;-F(x)\;</math>», la constante d'intégration étant identifiée par définition de la référence de l'énergie potentielle <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : en notant <math>\;x_{\text{réf de }U_{\vec{F}}}\;</math> l'abscisse correspondant à la référence de <math>\;U_{\vec{F}}(x)\;</math><ref name="référence énergie potentielle"> On rappelle que <math>\;U_{\vec{F}}(x_{\text{réf de }U_{\vec{F}}}) = 0\;</math> dans laquelle <math>\;x\;</math> représente le paramètre de position.</ref>, on obtient, en intégrant la relation <math>\;dU_{\vec{F}} = -F(x)\; dx</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : en notant <math>\;\color{transparent}{x_{\text{réf de }U_{\vec{F}}}}\;</math> l'abscisse correspondant à la référence de <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x)}\;</math>, on obtient, }}«<math>\;U_{\vec{F}}(x) = \displaystyle\int_{x_{\text{réf de }U_{\vec{F}}}}^x -F(x')\; dx'\;</math>»<ref name="référence énergie potentielle" />{{,}}<ref> Mais il est souvent préférable de procéder par prise de primitive de <math>\;-F(x)\;</math> soit <math>\;U_{\vec{F}}(x) = \displaystyle\int^x -F(x')\; dx' + cste\;</math> suivie de détermination de la constante par choix de référence <math>\;x_{\text{réf de }U_{\vec{F}}}\;</math> soit <math>\;0 = \displaystyle\int^{x_{\text{réf de }U_{\vec{F}}}} -F(x')\; dx' + cste</math> <math>\;\ldots</math></ref>. === Cas d'une force conservative s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force === {{Al|5}}Le travail élémentaire de cette force <math>\;\vec{F}(M) = F(\theta)\;\vec{u}_\theta\;</math> s'écrivant <math>\;\delta W(\vec{F}) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = F(\theta)\;R\;d \theta\;</math><ref name="dM en polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est une différentielle exacte<ref name="différentielle exacte" />{{,}}<ref name="justification de différentielle exacte" /> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire de cette force }}<math>\;\vec{F}(M) = F(\theta)\;\vec{u}_\theta\;</math> est une force conservative ; {{Al|5}}l'énergie potentielle <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> dont elle dérive obéit à <math>\;F(\theta)\; R\; d \theta = -dU_{\vec{F}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;F(\theta) = -\dfrac{1}{R}\;\dfrac{dU_{\vec{F}}}{d \theta}(\theta)\;</math> soit la projection de <math>\;\vec{F}(M) =</math> <math>-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math><ref name="gradient en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_cylindro-polaires_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> ; <br>{{Al|5}}on détermine donc <math>\;U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> comme « primitive de <math>\;-R\;F(\theta)\;</math>», la constante d'intégration étant identifiée par définition de la référence de l'énergie potentielle <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : en notant <math>\;\theta_{\text{réf de }U_{\vec{F}}}\;</math> l'abscisse angulaire correspondant à la référence de <math>\;U_{\vec{F}}(\theta)\;</math><ref name="référence énergie potentielle" />, on obtient, en intégrant <math>\;dU_{\vec{F}} = -R\;F(\theta)\; d \theta</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : en notant <math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{réf de }U_{\vec{F}}}}\;</math> l'abscisse angulaire correspondant à la référence de <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta)}\;</math>, on obtient, }}«<math>\;U_{\vec{F}}(\theta) = \displaystyle\int_{\theta_{\text{réf de }U_{\vec{F}}}}^\theta -R\;F(\theta')\; d \theta'\;</math>»<ref name="référence énergie potentielle" />{{,}}<ref> Mais il est souvent préférable de procéder par prise de primitive de <math>\;-R\;F(\theta)\;</math> soit <math>\;U_{\vec{F}}(\theta) = \displaystyle\int^\theta -R\;F(\theta')\; d \theta' + cste\;</math> suivie de détermination de la constante par choix de référence <math>\;\theta_{\text{réf de }U_{\vec{F}}}\;</math> soit <math>\;0 = \displaystyle\int^{\theta_{\text{réf de }U_{\vec{F}}}} -R\;F(\theta')\; d \theta' + cste</math> <math>\;\ldots</math></ref>. == Généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à partir de son diagramme d'énergie potentielle à celle de positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté, démonstration à partir de la 1^ère définition == === Cas d'une force « motrice » unidirectionnelle selon l'axe x'x === {{Al|5}}Les positions d'équilibre d'abscisses <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> étant définies comme les zéros de <math>\;F(x) = \vec{F}(M) \cdot \vec{u}_x\;</math> c'est-à-dire telles que <math>\;F(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> et {{Al|5}}l'énergie potentielle <math>\;U_{\vec{F}}(x)\;</math> dont dérive la force <math>\;\vec{F}(M) = F(x)\; \vec{u}_x\;</math> lui étant liée par <math>\;F(x) = -\dfrac{dU_{\vec{F}}}{dx}(x)</math>, nous en déduisons que {{Al|5}}<u>les positions d'équilibre d'abscisses</u><math>\;x_{\text{éq}}\;</math><u>peuvent aussi être définies par</u><math>\;\dfrac{dU_{\vec{F}}}{dx}(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> c'est-à-dire comme les « <u>abscisses rendant l’énergie potentielle stationnaire</u> »<ref name="stationnaire"> Le qualificatif « stationnaire » s'applique quand la dérivée de la fonction s'annule, il peut s'agir * d'un extrémum, c.-à-d. d'un maximum ou d'un minimum, dans ce cas la dérivée 2^nde est généralement non nulle <math>\;\big(</math>dans le cas où elle l'est, la 1^ère dérivée non nulle est d'ordre pair<math>\big)\;</math> ou encore * d'un point d'inflexion à tangente <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des abscisses, dans ce cas la dérivée 2^nde est nulle, la dérivée 3^ème ne l'étant généralement pas <math>\;\big(</math>dans le cas où elle l'est, la 1^ère dérivée non nulle est d'ordre impair<math>\big)</math>.</ref>. === Cas d'une force « motrice » s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force === {{Al|5}}Les positions d'équilibre d'abscisses angulaires <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> étant définies comme les zéros de <math>\;F(\theta) = \vec{F}(M) \cdot \vec{u}_\theta\;</math> c'est-à-dire telles que <math>\;F(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et {{Al|5}}l'énergie potentielle <math>\;U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> dont dérive la force <math>\;\vec{F}(M) = F(\theta)\; \vec{u}_\theta\;</math> lui étant liée par <math>\;F(\theta) = -\dfrac{1}{R}\;\dfrac{dU_{\vec{F}}}{d \theta}(\theta)</math>, nous en déduisons que {{Al|5}}<u>les positions d'équilibre d'abscisses angulaires</u><math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math><u>peuvent aussi être définies par</u><math>\;\dfrac{dU_{\vec{F}}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> c'est-à-dire comme les « <u>abscisses angulaires rendant l’énergie potentielle stationnaire</u> »<ref name="stationnaire" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourra noter que l'exemple du P.P.S<ref name="P.P.S." />. ne nous donne pas tous les cas d'équilibre possibles relativement au profil d'énergie potentielle <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : on pourra noter que l'exemple du P.P.S. ne nous donne pas tous les cas d'équilibre }}car n'y figure pas la possibilité de points d’inflexion à tangente <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des abscisses angulaires<ref name="stationnaire" />. == Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté == === Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de force === {{Définition| titre= Définition de la stabilité de l'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté| contenu={{Al|5}}L'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté est « <u>stable</u> » si, écarté de cette position d'une petite quantité et lâché sans vitesse initiale, <u>le point y retourne spontanément</u>.}} {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : au voisinage d'un équilibre stable, le point est soumis à une force « motrice » <u>de rappel</u> <math>\;\big(</math>relativement à la position d'équilibre<math>\big)</math>. {{Définition| titre= Définition de l'instabilité de l'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté| contenu={{Al|5}}L'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté est « <u>instable</u> » si, écarté de cette position d'une petite quantité et lâché sans vitesse initiale, <u>le point s'en écarte spontanément</u>.}} {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : au voisinage d'un équilibre instable, le point est soumis à une force « motrice » <u>répulsive</u> <math>\;\big(</math>relativement à la position d'équilibre<math>\big)</math>. {{Remarque|contenu ={{Al|5}}Dans certains cas <math>\;\big(</math>très peu fréquents<math>\big)\;</math> l'équilibre du point matériel étudié peut être <math>\succ\;</math>stable par écart de la position d'équilibre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans certains cas <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>très peu fréquents<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> l'équilibre du point matériel étudié peut être <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>stable par écart }}dans un sens<ref name="lâché sans vitesse initiale"> Avec lâcher sans vitesse initiale.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans certains cas <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>très peu fréquents<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> l'équilibre du point matériel étudié peut être }}<math>\succ\;</math>instable par écart de cette position d'équilibre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans certains cas <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>très peu fréquents<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> l'équilibre du point matériel étudié peut être <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>instable par écart }}dans l'autre sens<ref name="lâché sans vitesse initiale" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans certains cas <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>très peu fréquents<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}on parle alors d'équilibre « globalement instable »<ref> Par exemple l'équilibre d'un point soumis à une force dont la composante <math>\;F(x)\;</math> s'annule pour <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> c.-à-d. <math>\;F(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> <math>\big(</math>ce qui correspond à la définition d'un équilibre<math>\big)\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Par exemple l'équilibre d'un point soumis à une force dont la composante <math>\;\color{transparent}{F(x)}\;</math> s'annule pour <math>\;\color{transparent}{x_{\text{éq}}}\;</math> }}telle que <math>\;F(x_{\text{éq}}^{-})\;</math> et <math>\;F(x_{\text{éq}}^{+})\;</math> soient toutes deux <math>\;>0\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Par exemple l'équilibre d'un point }}correspond à un équilibre stable pour <math>\;x = x_{\text{éq}}^{-}</math> <math>\;\big[</math>en effet la force tend à ramener le point vers la position d'équilibre car <math>\;F(x_{\text{éq}}^{-})\;</math> est <math>\;> 0\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Par exemple l'équilibre d'un point correspond à un équilibre }}instable pour <math>\;x = x_{\text{éq}}^{+}</math> <math>\;\big[</math>en effet la force tend à éloigner le point de la position d'équilibre car <math>\;F(x_{\text{éq}}^{+})\;</math> est <math>\;> 0\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'équilibre stable par écart de la position d'équilibre d'un côté avec lâcher sans vitesse initiale et instable quand l'écart initial avec le même lâcher est introduit de l'autre côté est dit « globalement instable » car, même si l'écart initial avec lâcher sans vitesse initiale est réalisé du côté stable, le passage par la position d'équilibre lors du retour se faisant avec une vitesse non nulle a pour conséquence le dépassement de cette position d'équilibre amenant le point dans la zone instable et par suite son éloignement de plus en plus grand.</ref>.}} === Stabilité ou instabilité des équilibres en termes de force sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté === {{Al|5}}Dans l'exemple du P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté, la force « motrice » est la composante orthoradiale du poids notée <math>\;\vec{F}(\theta) = F(\theta)\;\vec{u}_\theta\;</math> avec <math>\;F(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\sin(\theta)</math>, on peut vérifier le caractère * « stable » des équilibres repérés par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}\;</math> et * « instable » des équilibres repérés par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}\;</math> {{Al|5}}de deux façons, l'une graphique permettant de vérifier rapidement si la force « motrice » est « de rappel » ou « répulsive », <br>{{Al|5}}{{Transparent|de deux façons, }}l'autre algébrique correspondant à l'obtention du même résultat par calcul. ==== Méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté ==== [[File:Pendule pesant simple - équilibre stable.png|left|thumb|Schéma d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté dans la situation d'écart <math>\;\varepsilon\;</math> par rapport à sa position d'équilibre repérée par <math>\;\theta_{\text{éq},\, 1} = 0\;</math> avec tracé de la composante motrice du poids pour vérifier la stabilité de l'équilibre]] [[File:Pendule pesant simple - équilibre instable.png|right|thumb|Schéma d'un P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté <math>\;\big(</math>avec tige rigide<math>\big)\;</math> dans la situation d'écart <math>\;\varepsilon\;</math> relativement à sa position d'équilibre repérée par <math>\;\theta_{\text{éq},\, 2} = \pi\;</math> avec représentation de la composante motrice du poids pour vérifier l'instabilité de l'équilibre]] {{Al|5}}Il s'agit de faire un schéma dans lequel on met le P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté dans la situation de petit écart relativement à la position d'équilibre étudiée et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit }}d'y représenter la force dont la composante est « motrice » c'est-à-dire le poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> ainsi que sa projection sur la direction du mouvement <math>\;\vec{F}(\theta) = F(\theta)\;\vec{u}_\theta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit d'y représenter la force }}<math>\blacktriangleright\;</math>si l'action de la force est de ramener le P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté vers la position d'équilibre étudiée, l'équilibre est bien « stable », c'est effectivement le cas de la position d'équilibre repérée par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit d'y représenter la force }}<math>\blacktriangleright\;</math>si l'action de la force est d'éloigner le P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté de la position d'équilibre étudiée, l'équilibre est bien « instable », c'est effectivement le cas de la position d'équilibre repérée par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} = \pi</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à droite<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : Usuellement on choisit un écart positif pour faire le schéma sans refaire ce dernier avec un écart négatif car <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Usuellement on choisit un écart positif pour faire le schéma }}le résultat observé est en général indépendant du signe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Usuellement on choisit un écart positif pour faire le schéma }}toutefois si ceci est bien le cas sur le P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté, ce n'est pas assuré sur tous les exemples, pour vérifier que c'est bien le cas <math>\;\big(</math>sans refaire un schéma, l'intérêt de cette méthode étant sa rapidité<math>\big)\;</math> il suffit d'imaginer la situation avec un écart négatif et de vérifier que la conclusion reste inchangée <math>\;\ldots</math> <br><br><br> ==== Méthode algébrique de détermination de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté ==== {{Al|5}}On écarte le P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté d'une petite quantité <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="petit écart"> C.-à-d. tel que <math>\;\vert \epsilon \vert \ll 1</math>.</ref> de sa position d'équilibre étudiée repérée par <math>\;\theta_{\text{éq}}</math>, le P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté dans cette situation étant alors repéré par <math>\;\theta = \theta_{\text{éq}} + \varepsilon</math>, on effectue le D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math> de la composante « motrice » <math>\;F(\theta) = -m\;g\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math><ref name="D.L. à l'ordre p"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Notion_de_développements_limités_d'ordre_p_d'une_fonction_d'une_variable_de_classe_Cn_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs,_l'ordre_p_étant_<_à_n|notion de D.L. d'ordre p d'une fonction d'une variable de classe Cⁿ au voisinage d'une de ses valeurs, l'ordre p étant < à n]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> repérant la position d'équilibre étudiée soit : * étude de <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math> : <math>\;F(\theta) = -m\;g\;\sin\! \left( \theta_{\text{éq},\,1} + \varepsilon \right) = -m\;g\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à l'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math> caractérisant effectivement une <u>force de rappel</u><ref name="justification de force de rappel"> La force est « de rappel » si sa composante est toujours de signe contraire à l'écart relativement au paramètre repérant la position d'équilibre.</ref> d'où la <u>stabilité des équilibres</u> repérés par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, * étude de <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math> : <math>\;F(\theta) = -m\;g\;\sin\! \left( \theta_{\text{éq},\,2} + \varepsilon \right) = -m\;g\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de fonctions usuelles" /> à l'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math> caractérisant effectivement une <u>force répulsive</u><ref name="justification de force répulsive"> La force est « répulsive » si sa composante est toujours de même signe que l'écart relativement au paramètre repérant la position d'équilibre.</ref> d'où l'<u>instabilité des équilibres</u> repérés par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>. == Méthode de détermination « algébrique » de la stabilité (ou de l’instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de force == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La façon la plus rapide pour déterminer la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> d'un équilibre est la méthode « graphique » dans la mesure où le sens de déplacement consécutif à l'écart initial imposé avec lâcher sans vitesse initiale se détermine usuellement par simple tracé <math>\;\big(</math>comme sur l'exemple du P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté<math>\big)\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}toutefois, si la méthode « graphique » n'aboutit pas, il ne reste alors que la méthode « algébrique », laquelle, bien que plus longue, conduit toujours à une solution ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}de plus, on demande fréquemment, à la suite de la recherche des positions d’équilibres stables, d'étudier le mouvement des petites élongations autour de ces positions <math>\;\big(</math>ce qui constitue l'objet du chapitre suivant<math>\big)</math>, dans ces conditions, la méthode « algébrique » amorçant cette dernière étude <math>\;\big(</math>comme ce sera vu au chapitre suivant<math>\big)</math>, on constate finalement que, très souvent, la méthode « algébrique » s'avère être globalement la plus courte <math>\;\ldots</math> === Méthode à mettre en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en termes de force === {{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : La méthode à mettre en œuvre pour une détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> d'un équilibre de point matériel en termes de force étant exposée en restant dans le cadre du programme de physique de P.C.S.I. c'est-à-dire un point matériel <math>\;M\;</math> à un degré de liberté dont la force « motrice » est {{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}<math>\succ\;</math>unidirectionnelle selon un axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> soit <math>\;\vec{F}(x) = F(x)\;\vec{u}_x\;</math> ou {{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}<math>\succ\;</math>s'appliquant tangentiellement à sa trajectoire circulaire de rayon <math>\;R\;</math> soit <math>\;\vec{F}(\theta) = F(\theta)\;\vec{u}_\theta</math>. {{Al|5}}<u>Exposé de la méthode algébrique</u> : On écarte le point matériel <math>\;M\;</math> d'une petite quantité <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="petit écart" /> de sa position d'équilibre étudiée en termes de force et repérée par <math>\;x_{\text{éq}}</math> <math>\;\big(</math>ou par <math>\;\theta_{\text{éq}}\big)</math>, <math>\;M\;</math> dans cette situation étant alors repéré par <math>\;x = x_{\text{éq}} + \varepsilon</math> <math>\;\big(</math>ou par <math>\;\theta = \theta_{\text{éq}} + \varepsilon\big)</math>, puis {{Al|5}}{{Transparent|Exposé de la méthode algébrique : }}on effectue le D.L<ref name="D.L." />. « à l'ordre le plus bas non nul » en <math>\;\varepsilon\;</math> de la composante « motrice » <math>\;F(x)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;F(\theta)\big]\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exposé de la méthode algébrique : on effectue le D.L. « à l'ordre le plus bas non nul » }}au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}</math> <math>\;\big[</math>ou de <math>\;\theta_{\text{éq}}\big]\;</math><ref name="D.L. à l'ordre p" />{{,}}<ref name="ordre le plus bas non nul"> L'ordre zéro étant nul par définition d'un équilibre <math>\;F(x_{\text{éq}}) = 0</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;F(\theta_{\text{éq}}) = 0\big]</math>, on s’arrêtera le plus souvent à l'ordre un qui sera non nul si <math>\;F'(x_{\text{éq}}) \neq 0</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\big]\;</math> mais si ce dernier est nul c.-à-d. si <math>\;F'(x_{\text{éq}}) = 0</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) = 0\big]\;</math> on limitera le développement à l'ordre deux dans la mesure où <math>\;F''(x_{\text{éq}}) \neq 0</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;F''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\big]\;</math> sinon on poussera jusqu'à l'ordre trois ou plus en s'arrêtant au 1^er ordre non nul <math>\;\ldots</math></ref> repérant la position d'équilibre étudiée et {{Al|5}}{{Transparent|Exposé de la méthode algébrique : }}suivant le D.L<ref name="D.L." />. obtenu<ref name="D.L. obtenu"> Sous-entendu « à l'ordre le plus bas non nul » en <math>\;\varepsilon\;</math> de <math>\;F(x)</math> <math>\;\big[</math>ou de <math>\;F(\theta)\big]\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}</math> <math>\;\big[</math>ou de <math>\;\theta_{\text{éq}}\big]</math>.</ref>, on conclut : <math>\succ\;</math>si le D.L<ref name="D.L." />. obtenu<ref name="D.L. obtenu" /> est « <u>de rappel</u> »<ref name="D.L. à l'ordre le plus bas non nul de rappel, de répulsion ou autre"> Si l'ordre le plus bas non nul est <u>impair</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement « un » ou très rarement « trois », en pratique jamais au-delà<math>\big)</math>, l'équilibre est * « stable » dans l'hypothèse où le cœfficient de cet ordre est négatif de façon à ce que le D.L. soit « de rappel » ou * « instable » s'il est positif, le D.L. étant alors « de répulsion » ; {{Al|3}}si l'ordre le plus bas non nul est <u>pair</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement « deux », pratiquement jamais au-delà<math>\big)</math>, l'équilibre est « stable d'un côté » et « instable de l'autre » <math>\;\big[</math>par exemple si le cœfficient de cet ordre est positif, le D.L. de force est toujours positif <math>\;\big(</math>l'écart par rapport à la position d'équilibre étant élevé au carré<math>\big)</math>, ainsi un léger déplacement vers la gauche <math>\;\big(</math>écart négatif<math>\big)\;</math> correspondant à un D.L. de force positif entraîne un retour vers la position d'équilibre d'où « stable à gauche » et un léger déplacement vers la droite <math>\;\big(</math>écart positif<math>\big)\;</math> correspondant à un D.L. de force positif entraîne un éloignement de la position d'équilibre d'où « instable à droite »<math>\big]</math>, il est donc « globalement instable ».</ref>, l'équilibre est « u>stable</u> », {{Al|17}}{{Transparent|Exposé de la méthode algébrique : suivant le D.L. obtenu, on conclut : }}<math>\succ\;</math>si le D.L<ref name="D.L." />. obtenu<ref name="D.L. obtenu" /> est « <u>de répulsion</u> »<ref name="D.L. à l'ordre le plus bas non nul de rappel, de répulsion ou autre" />, l'équilibre est « <u>instable</u> » et enfin {{Al|17}}{{Transparent|Exposé de la méthode algébrique : suivant le D.L. obtenu, on conclut : }}<math>\succ\;</math>si le D.L<ref name="D.L." />. obtenu<ref name="D.L. obtenu" /> est « <u>de rappel d'un côté et de répulsion de l'autre</u> »<ref name="D.L. à l'ordre le plus bas non nul de rappel, de répulsion ou autre" />, l'équilibre est « <u>globalement instable</u> ». === Cas d'une force « motrice » unidirectionnelle selon l'axe x'x === {{Al|5}}On envisage donc un petit déplacement <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="petit écart" /> de <math>\;M\;</math> relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par <math>\;x_{\text{éq}}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On envisage donc un petit déplacement <math>\;\color{transparent}{\varepsilon}\;</math> de }}<math>\;M\;</math> dans cette situation étant alors repéré par <math>\;x = x_{\text{éq}} + \varepsilon\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\varepsilon = x - x_{\text{éq}}\;</math> et {{Al|5}}on évalue <math>\;F(x) = F(x_{\text{éq}} + \varepsilon)\;</math> en utilisant la [[w:Théorème_de_Taylor#Formule_de_Taylor-Young|formule de Taylor-Young]] <ref name="théorème de Taylor-Young"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Énoncé_du_théorème_de_Taylor-Young|énoncé du théorème de Taylor-Young]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="Taylor et Young"> '''[[w:Brook_Taylor|Brook Taylor]] (1685 - 1731)''' est un mathématicien anglais à qui on doit essentiellement le [[w:Théorème_de_Taylor|théorème connu sous le nom de Taylor]] établi en <math>1715</math> et qui possède plusieurs variantes dont [[w:Théorème_de_Taylor#Formule_de_Taylor-Young|celle de Taylor-Young]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:William_Henry_Young|William Henry Young]] (1863 - 1942)''' est un mathématicien anglais ayant travaillé dans de nombreux domaines dont les [[w:Série_de_Fourier|séries de Fourier]] et le [[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]], il apporta aussi une contribution au [[w:Théorème_de_Taylor|théorème de Taylor]], ce qui donna le [[w:Théorème_de_Taylor#Formule_de_Taylor-Young|théorème (ou formule) de Taylor-Young]].</ref> à un ordre suffisant pour conclure <math>\;\big[</math>le plus souvent <math>\;F'(x_{\text{éq}}) \neq 0\;</math> et le développement est suffisant à l'ordre un<math>\big]</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{F(x) = F(x_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> }}le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre <math>\;n\;</math> «<math>\;F(x) \simeq \cancel{F(x_{\text{éq}})\; +}\; F'(x_{\text{éq}})\;\varepsilon + \dfrac{F''(x_{\text{éq}})}{2}\; \varepsilon^2 + \dfrac{F'''(x_{\text{éq}})}{6}\; \varepsilon^3 + \dfrac{F^{(IV)}(x_{\text{éq}})}{24}\; \varepsilon^4 + \dfrac{F^{(V)}(x_{\text{éq}})}{120}\; \varepsilon^5 + \cdots + \dfrac{F^{(n)}(x_{\text{éq}})}{n!}\; \varepsilon^n\;</math>»<ref name="Validité de l'expression"> Bien sûr les ordres <math>\;\leqslant 5\;</math> dans cet énoncé n'ayant de sens que si <math>\;n\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;5</math>.</ref>, {{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{F(x) = F(x_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> le D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{F(x) \simeq}</math> }}le 1^er terme <math>\;F(x_{\text{éq}})\;</math> étant nul par condition d'équilibre <math>\Rightarrow</math> <math>\;F(x)\;</math> est un infiniment petit de même ordre que <br>{{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{F(x) = F(x_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> le D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{F(x) \simeq}</math> le 1^er terme <math>\;\color{transparent}{F(x_{\text{éq}})}\;</math> étant nul par condition d'équilibre <math>\;\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{F(x)}\;</math> }}le 1^er terme non nul<ref name="terme prépondérant"> C.-à-d. d'ordre un si <math>\;F'(x_{\text{éq}}) \neq 0\;</math> <math>\big[</math>ou si <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\big]</math>, <br>{{Al|34}}{{Transparent|C.-à-d. }}d'ordre deux si <math>\;F'(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <math>\;F''(x_{\text{éq}}) \neq 0\;</math> <math>\big[</math>ou si <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <math>\;F''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\big]</math>, <br>{{Al|34}}{{Transparent|C.-à-d. }}d'ordre trois si <math>\;F'(x_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;F''(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <math>\;F'''(x_{\text{éq}}) \neq 0\;</math> <math>\big[</math>ou si <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;F''(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <math>\;F'''(\theta_{\text{éq}})</math> <math>\neq 0\big]\;</math> et <br>{{Al|34}}{{Transparent|C.-à-d. }}ainsi de suite <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big[</math>terme qualifié de « prépondérant »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Généralités</u> : Pour qu'on puisse définir <u>la stabilité ou l'instabilité</u> d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que le terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(x)\;</math> soit « <u>impair</u> » c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que }}«<math>\;F(x) \simeq \dfrac{F^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p + 1)!}\; \varepsilon^{(2\,p + 1)}\;</math> avec <math>\;p \in \mathbb{N}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir }}<math>\blacktriangleright\;</math>le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(x)\;</math> de même signe que <math>\;\varepsilon\;</math> si <math>\;F^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{F}(x)\;</math> est « <u>répulsif</u> » et par suite l'équilibre est « <u>instable</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir }}<math>\blacktriangleright\;</math>le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(x)\;</math> de signe contraire à <math>\;\varepsilon\;</math> si <math>\;F^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{F}(x)\;</math> est « <u>de rappel</u> » et par suite l'équilibre est « <u>stable</u> ». {{Al|7}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit }}si le terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(x)\;</math> est « <u>pair</u> » c'est-à-dire <br>{{Al|7}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit si }}«<math>\;F(x) \simeq \dfrac{F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p)!}\; \varepsilon^{(2\,p)}\;</math> avec <math>\;p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit }}<u>on ne peut pas définir</u> la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre <br>{{Al|7}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit on ne peut pas définir }}indépendamment du sens de l'écart, en effet <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir }}<math>\succ\;</math>si <math>\;F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(x)\;</math> est <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\varepsilon < 0\;</math> ou <math>\;\varepsilon > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{F}(x)\;</math> est « <u>de rappel à gauche</u> » et « <u>répulsif à droite</u> » d'où <br>{{Al|22}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, le D.L. de <math>\;\color{transparent}{F(x)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon < 0}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{\varepsilon > 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}l'équilibre est <u>stable à gauche et instable à droite</u> c'est-à-dire <br>{{Al|22}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, le D.L. de <math>\;\color{transparent}{F(x)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon < 0}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{\varepsilon > 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'équilibre est }}« <u>globalement instable</u> »<ref name="globalement instable"> L'équilibre stable par écart de la position d'équilibre d'un côté avec lâcher sans vitesse initiale et instable quand l'écart initial avec le même lâcher est introduit de l'autre côté est dit « globalement instable » car, même si l'écart initial avec lâcher sans vitesse initiale est réalisé du côté stable, le passage par la position d'équilibre lors du retour se faisant avec une vitesse non nulle a pour conséquence le dépassement de cette position d'équilibre amenant le point dans la zone instable et par suite son éloignement de plus en plus grand.</ref>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir }}<math>\succ\;</math>si <math>\;F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(x)\;</math> est <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;\varepsilon < 0\;</math> ou <math>\;\varepsilon > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{F}(x)\;</math> est « <u>répulsif à gauche</u> » et « <u>de rappel à droite</u> » d'où <br>{{Al|22}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, le D.L. de <math>\;\color{transparent}{F(x)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon < 0}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{\varepsilon > 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}l'équilibre est <u>instable à gauche et stable à droite</u> c'est-à-dire <br>{{Al|22}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, le D.L. de <math>\;\color{transparent}{F(x)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon < 0}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{\varepsilon > 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'équilibre est }}« <u>globalement instable</u> »<ref name="globalement instable" />. {{Al|5}}<u>Résumé de l'étude</u> : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(x)\;</math> à l'ordre le plus bas non nul en <math>\;\varepsilon\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : }}<math>\succ\;</math>cas usuel <math>\;F'(x_{\text{éq}}) \neq 0</math> : le développement de <math>\;F(x)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un <math>\;F(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq F'(x_{\text{éq}})\;\varepsilon</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas usuel }}avec <math>\;F'(x_{\text{éq}}) < 0</math>, <math>\;\vec{F}(x)\;</math> est « <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas usuel }}avec <math>\;F'(x_{\text{éq}}) > 0</math>, <math>\;\vec{F}(x)\;</math> est « <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : }}<math>\succ\;</math>cas peu fréquent <math>\;F'(x_{\text{éq}}) = 0</math> : le développement de <math>\;F(x)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}avec <math>\;F''(x_{\text{éq}}) \neq 0</math>, <math>\;F(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{F''(x_{\text{éq}})}{2}\;\varepsilon^2\;</math> toujours de signe de <math>\;F''(x_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math> correspondant à un <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq F''(x_{\text{éq}})\;\varepsilon^2}\;</math> toujours de signe de <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}})}\;</math> }}équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq F''(x_{\text{éq}})\;\varepsilon^2}\;</math> toujours de signe de <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}})}\;</math> équilibre }}« <u>globalement instable</u> », {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}avec <math>\;F''(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <math>\;F'''(x_{\text{éq}}) \neq 0</math>, <math>\;F(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{F'''(x_{\text{éq}})}{6}\;\varepsilon^3\;</math> changeant de signe simultanément avec <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="élévation au cube ne changeant pas le signe"> <math>\;\varepsilon^3\;</math> étant de même signe que <math>\;\varepsilon</math>.</ref> et par suite <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> mais <math>\;\color{transparent}{F'''(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq F'''(x_{\text{éq}})\;\varepsilon^3}\;</math> changeant }}l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> }}avec <math>\;F'''(x_{\text{éq}}) < 0</math>, <math>\;\vec{F}(x)\;</math> est « <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> }}avec <math>\;F'''(x_{\text{éq}}) > 0</math>, <math>\;\vec{F}(x)\;</math> est « <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : }}<math>\succ\;</math>cas inexistant en pratique<ref name="inexistence pratique"> Mais qui en théorie pourrait exister <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;F'(x_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;F''(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;F'''(x_{\text{éq}}) = 0</math> : le développement de <math>\;F(x)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}si limité à l'ordre quatre, <math>\;F(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{F^{(IV)}(x_{\text{éq}})}{24}\;\varepsilon^4\;</math> toujours de signe de <math>\;F^{(IV)}(x_{\text{éq}})\;</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : si limité à l'ordre quatre, }}quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math> <math>\Rightarrow</math> équilibre « <u>globalement instable</u> » mais, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}si <math>\;F^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> avec <math>\;F^{(V)}(x_{\text{éq}}) \neq 0</math>, on a <math>\;F(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{F^{(V)}(x_{\text{éq}})}{120}\;\varepsilon^5\;</math> changeant <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{F^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{F^{(V)}(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, }}de signe simultanément avec <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="élévation à la puissance cinq ne changeant pas le signe"> <math>\;\varepsilon^5\;</math> étant de même signe que <math>\;\varepsilon</math>.</ref> correspondant <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{F^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{F^{(V)}(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, }}à un équilibre « <u>stable</u> » pour <math>\;F^{(V)}(x_{\text{éq}}) < 0\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{F^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{F^{(V)}(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, à un équilibre }}« <u>instable</u> » pour <math>\;F^{(V)}(x_{\text{éq}}) > 0</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{F^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{F^{(V)}(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, }}<math>\;\ldots</math> === Cas d'une force « motrice » s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force === {{Al|5}}On envisage donc un petit déplacement <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="petit écart" /> de <math>\;M\;</math> relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par <math>\;\theta_{\text{éq}}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On envisage donc un petit déplacement <math>\;\color{transparent}{\varepsilon}\;</math> de }}<math>\;M\;</math> dans cette situation étant alors repéré par <math>\;\theta = \theta_{\text{éq}} + \varepsilon\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\varepsilon = \theta - \theta_{\text{éq}}\;</math> et {{Al|5}}on évalue <math>\;F(\theta) = F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\;</math> en utilisant la [[w:Théorème_de_Taylor#Formule_de_Taylor-Young|formule de Taylor-Young]]<ref name="théorème de Taylor-Young" />{{,}}<ref name="Taylor et Young" /> à un ordre suffisant pour conclure <math>\;\big[</math>le plus souvent <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math> et le développement est suffisant à l'ordre un<math>\big]</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{F(x) = F(x_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> }}le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre <math>\;n\;</math> «<math>\;F(\theta) \simeq \cancel{F(\theta_{\text{éq}})\; +}\; F'(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon + \dfrac{F''(\theta_{\text{éq}})}{2}\; \varepsilon^2 + \dfrac{F'''(\theta_{\text{éq}})}{6}\; \varepsilon^3 + \dfrac{F^{(IV)}(\theta_{\text{éq}})}{24}\; \varepsilon^4 + \dfrac{F^{(V)}(\theta_{\text{éq}})}{120}\; \varepsilon^5 + \cdots + \dfrac{F^{(n)}(\theta_{\text{éq}})}{n!}\; \varepsilon^n\;</math>»<ref name="Validité de l'expression" />, {{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{F(\theta) = F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> le D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{F(\theta) \simeq}</math> }}le 1^er terme <math>\;F(\theta_{\text{éq}})\;</math> étant nul par condition d'équilibre <math>\Rightarrow</math> <math>\;F(\theta)\;</math> est un infiniment petit de même ordre que <br>{{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{F(\theta) = F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> le D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{F(\theta) \simeq}</math> le 1^er terme <math>\;\color{transparent}{F(\theta_{\text{éq}})}\;</math> étant nul par condition d'équilibre <math>\;\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{F(\theta)}\;</math> }}le 1^er terme non nul<ref name="terme prépondérant" /> <math>\;\big[</math>terme qualifié de « prépondérant »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Généralités</u> : Pour qu'on puisse définir <u>la stabilité ou l'instabilité</u> d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que le terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(\theta)\;</math> soit « <u>impair</u> » c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que }}«<math>\;F(\theta) \simeq \dfrac{F^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})}{(2\,p + 1)!}\; \varepsilon^{(2\,p + 1)}\;</math> avec <math>\;p \in \mathbb{N}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir }}<math>\blacktriangleright\;</math>le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(\theta)\;</math> de même signe que <math>\;\varepsilon\;</math> si <math>\;F^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{F}(\theta)\;</math> est « <u>répulsif</u> » et par suite l'équilibre est « <u>instable</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir }}<math>\blacktriangleright\;</math>le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(\theta)\;</math> de signe contraire à <math>\;\varepsilon\;</math> si <math>\;F^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{F}(\theta)\;</math> est « <u>de rappel</u> » et par suite l'équilibre est « <u>stable</u> ». {{Al|7}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit }}si le terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(\theta)\;</math> est « <u>pair</u> » c'est-à-dire <br>{{Al|7}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit si }}«<math>\;F(\theta) \simeq \dfrac{F^{(2\,p)}(\theta_{\text{éq}})}{(2\,p)!}\; \varepsilon^{(2\,p)}\;</math> avec <math>\;p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit }}<u>on ne peut pas définir</u> la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre <br>{{Al|7}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit on ne peut pas définir }}indépendamment du sens de l'écart, en effet <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir }}<math>\succ\;</math>si <math>\;F^{(2\,p)}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(\theta)\;</math> est <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\varepsilon < 0\;</math> ou <math>\;\varepsilon > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{F}(\theta)\;</math> est « <u>de rappel à gauche</u> » et « <u>répulsif à droite</u> » d'où <br>{{Al|22}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{F^{(2\,p)}(\theta_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, le D.L. de <math>\;\color{transparent}{F(\theta)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon < 0}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{\varepsilon > 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}l'équilibre est <u>stable à gauche et instable à droite</u> c'est-à-dire <br>{{Al|22}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{F^{(2\,p)}(\theta_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, le D.L. de <math>\;\color{transparent}{F(\theta)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon < 0}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{\varepsilon > 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'équilibre est }}« <u>globalement instable</u> »<ref name="globalement instable" />, <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir }}<math>\succ\;</math>si <math>\;F^{(2\,p)}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;\varepsilon < 0\;</math> ou <math>\;\varepsilon > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{F}(\theta)\;</math> est « <u>répulsif à gauche</u> » et « <u>de rappel à droite</u> » d'où <br>{{Al|22}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{F^{(2\,p)}(\theta_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, le D.L. de <math>\;\color{transparent}{F(\theta)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon < 0}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{\varepsilon > 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}l'équilibre est <u>instable à gauche et stable à droite</u> c'est-à-dire <br>{{Al|22}}{{Transparent|Généralités : Pour qu'on puisse définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{F^{(2\,p)}(\theta_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, le D.L. de <math>\;\color{transparent}{F(\theta)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon < 0}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{\varepsilon > 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'équilibre est }}« <u>globalement instable</u> »<ref name="globalement instable" />. {{Al|5}}<u>Résumé de l'étude</u> : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(\theta)\;</math> à l'ordre le plus bas non nul en <math>\;\varepsilon\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : }}<math>\succ\;</math>cas usuel <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) \neq 0</math> : le développement de <math>\;F(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un <math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq F'(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas usuel }}avec <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) < 0\ ;</math><ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;F(\theta) = -m\;g\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;F'(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;F'(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g < 0</math>.</ref>, <math>\;\vec{F}(\theta)\;</math> est « <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas usuel }}avec <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) > 0\ ;</math><ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;F(\theta) = -m\;g\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;F'(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;F'(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g > 0</math>.</ref>, <math>\;\vec{F}(\theta)\;</math> est « <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : }}<math>\succ\;</math>cas peu fréquent <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) = 0</math> : le développement de <math>\;F(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}avec <math>\;F''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0</math>, <math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{F''(\theta_{\text{éq}})}{2}\;\varepsilon^2\;</math> toujours de signe de <math>\;F''(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math> correspondant à un <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq F''(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon^2}\;</math> toujours de signe de <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}})}\;</math> }}équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq F''(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon^2}\;</math> toujours de signe de <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}})}\;</math> équilibre }}« <u>globalement instable</u> », {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}avec <math>\;F''(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <math>\;F'''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0</math>, <math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{F'''(\theta_{\text{éq}})}{6}\;\varepsilon^3\;</math> changeant de signe simultanément avec <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="élévation au cube ne changeant pas le signe" /> et par suite <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> mais <math>\;\color{transparent}{F'''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq F'''(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon^3}\;</math> changeant }}l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> }}avec <math>\;F'''(\theta_{\text{éq}}) < 0</math>, <math>\;\vec{F}(\theta)\;</math> est « <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> }}avec <math>\;F'''(\theta_{\text{éq}}) > 0</math>, <math>\;\vec{F}(\theta)\;</math> est « <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : }}<math>\succ\;</math>cas inexistant en pratique<ref name="inexistence pratique" /> <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;F''(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;F'''(\theta_{\text{éq}}) = 0</math> : le développement de <math>\;F(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}si limité à l'ordre quatre, <math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{F^{(IV)}(\theta_{\text{éq}})}{24}\;\varepsilon^4\;</math> toujours de signe de <math>\;F^{(IV)}(\theta_{\text{éq}})\;</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : si limité à l'ordre quatre, }}quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math> <math>\Rightarrow</math> équilibre « <u>globalement instable</u> » mais, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}si <math>\;F^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> avec <math>\;F^{(V)}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0</math>, on a <math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{F^{(V)}(\theta_{\text{éq}})}{120}\;\varepsilon^5\;</math> changeant <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{F^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{F^{(V)}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, }}de signe simultanément avec <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="élévation à la puissance cinq ne changeant pas le signe" /> correspondant <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{F^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{F^{(V)}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, }}à un équilibre « <u>stable</u> » pour <math>\;F^{(V)}(\theta_{\text{éq}}) < 0\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{F^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{F^{(V)}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, à un équilibre }}« <u>instable</u> » pour <math>\;F^{(V)}(\theta_{\text{éq}}) > 0</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{F''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{F^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{F^{(V)}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, }}<math>\;\ldots</math> == Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil d'énergie potentielle == {{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : La définition de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> d'un équilibre de point matériel en termes de profil d'énergie potentielle est exposée en restant dans le cadre du programme de physique de P.C.S.I. c'est-à-dire un point matériel <math>\;M\;</math> à un degré de liberté dont la force « motrice » conservative est {{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}<math>\succ\;</math>unidirectionnelle selon un axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> soit <math>\;\vec{F}(x) = F(x)\;\vec{u}_x\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\vec{F}} = U_{\vec{F}}(x)\;</math> ou {{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}<math>\succ\;</math>s'appliquant tangentiellement à sa trajectoire circulaire de rayon <math>\;R\;</math> soit <math>\;\vec{F}(\theta) = F(\theta)\;\vec{u}_\theta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\vec{F}} = U_{\vec{F}}(\theta)</math>. === Méthode à mettre en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en termes de profil d'énergie potentielle === {{Al|5}}Le lien existant entre la force « motrice » conservative <math>\;\vec{F}(M) = F(x)\;\vec{u}_x\;</math> dans le cas d'une force unidirectionnelle selon <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> agissant sur le point <math>\;M\;</math> étudié ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le lien existant entre la force « motrice » conservative }}<math>\;\vec{F}(M) = F(\theta)\;\vec{u}_\theta\;</math> dans le cas d'une force tangentielle à la trajectoire circulaire de rayon <math>\;R\;</math> du point <math>\;M\;</math> étudié et {{Al|5}}{{Transparent|Le lien existant entre }}l'énergie potentielle dont elle dérive <math>\;U_{\vec{F}}(M) = U_{\vec{F}}(x)\;</math> dans le 1^er cas ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le lien existant entre l'énergie potentielle dont elle dérive }}<math>\;U_{\vec{F}}(M) = U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> dans le 2^ème cas <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le lien existant }}étant, dans les deux cas, «<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;d U_{\vec{F}} = -\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -\delta W(\vec{F})\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Rappel_de_la_2ème_définition_d'une_force_conservative_et_des_deux_définitions_équivalentes_de_l'énergie_potentielle_dont_«_dérive_»_la_force|rappel de la 2^ème définition d'une force conservative et les deux définitions équivalentes de l'énergie potentielle dont dérive la force]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le lien existant étant, }}<math>\succ\;</math>dans le cas d'une force unidirectionnelle selon <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> agissant sur le point <math>\;M\;</math> étudié : «<math>\;F(x) = -\dfrac{d U_{\vec{F}}}{dx}(x)\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;d U_{\vec{F}} = -F(x)\; dx\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le lien existant étant, }}<math>\succ\;</math>dans le cas d'une force tangentielle à la trajectoire circulaire de rayon <math>\;R\;</math> du point <math>\;M\;</math> étudié : «<math>\;F(\theta) = -\dfrac{1}{R}\;\dfrac{d U_{\vec{F}}}{d \theta}(\theta)\;</math>»<ref name="gradient en cylindro-polaire" /> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;d U_{\vec{F}} = -F(\theta)\;R\; d \theta\;</math>», {{Al|5}}les positions d'équilibre du point <math>\;M\;</math> ayant pour paramètres de position <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> tels que <math>\;F(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> dans le 1^er cas ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|les positions d'équilibre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ayant pour paramètres de position }}<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> tels que <math>\;F(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> dans le 2^ème cas <br>{{Al|5}}{{Transparent|les positions d'équilibre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}ont aussi pour abscisses les valeurs du paramètre de position rendant l'énergie potentielle « <u>stationnaire</u> »<ref name="stationnaire" /> plus précisément <br>{{Al|5}}{{Transparent|les positions d'équilibre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ayant pour paramètres de position }}<math>\;x_{\text{éq}}\;</math> tels que <math>\;\dfrac{d U_{\vec{F}}}{dx}(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> dans le 1^er cas ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|les positions d'équilibre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ayant pour paramètres de position }}<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> tels que <math>\;\dfrac{d U_{\vec{F}}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> dans le 2^ème cas. {{Al|5}}Il reste à définir les conditions de stabilité (ou d'instabilité) en termes de profil énergétique à partir de celles en termes de force. {{Al|5}}<u>Rappel de la méthode mise en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité</u><math>\;\big(</math><u>ou l'instabilité</u><math>\big)\;</math><u>d'un équilibre de point matériel en termes de force</u> : pour étudier « algébriquement » la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté, on doit faire un D.L<ref name="D.L." />. « à l’ordre le plus bas non nul »<ref name="terme prépondérant" /> de <math>\;F(x)</math> <math>\;\big[</math>ou de <math>\;F(\theta)\big]\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}</math> <math>\;\big[</math>ou de <math>\;\theta_{\text{éq}}\big]\;</math> et : {{Al|5}}{{Transparent|Rappel }}l'équilibre est « <u>stable</u> » si la force <math>\;\vec{F}(M) = F(x)\;\vec{u}_x</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\vec{F}(M) = F(\theta)\;\vec{u}_\theta\big]\;</math> est « <u>de rappel</u> » c'est-à-dire si<ref name="cas possibles en pratique"> En nous limitant aux seuls cas existant pratiquement.</ref> {{Al|5}}{{Transparent|Rappel l'équilibre est « stable » }}<math>\succ\;</math> «<math>F(x) \simeq F'(x_{\text{éq}})\; \varepsilon\;</math> avec <math>\;F'(x_{\text{éq}}) < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;F(\theta) \simeq F'(\theta_{\text{éq}})\; \varepsilon\;</math> avec <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) < 0\;</math>»<math>\big]\;</math> ou encore {{Al|5}}{{Transparent|Rappel l'équilibre est « stable » }}<math>\succ\;</math> «<math>\;F(x) \simeq \dfrac{F'''(x_{\text{éq}})}{6}\; \varepsilon^3\;</math> avec <math>\;F'''(x_{\text{éq}}) < 0\;</math>» <math>\;\Bigg[</math>ou «<math>\;F(\theta) \simeq \dfrac{F'''(\theta_{\text{éq}})}{6}\; \varepsilon^3\;</math> avec <math>\;F'''(\theta_{\text{éq}}) < 0\;</math>»<math>\Bigg]</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Rappel }}l'équilibre est « <u>instable</u> » si la force <math>\;\vec{F}(M) = F(x)\;\vec{u}_x</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\vec{F}(M) = F(\theta)\;\vec{u}_\theta\big]\;</math> est « <u>répulsive</u> » c'est-à-dire si<ref name="cas possibles en pratique" /> {{Al|5}}{{Transparent|Rappel l'équilibre est « instable » }}<math>\succ\;</math> «<math>\;F(x) \simeq F'(x_{\text{éq}})\; \varepsilon\;</math> avec <math>\;F'(x_{\text{éq}}) > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;F(\theta) \simeq F'(\theta_{\text{éq}})\; \varepsilon\;</math> avec <math>\;F'(\theta_{\text{éq}}) > 0\;</math>»<math>\big]\;</math> ou encore {{Al|5}}{{Transparent|Rappel l'équilibre est « instable » }}<math>\succ\;</math> «<math>\;F(x) \simeq \dfrac{F'''(x_{\text{éq}})}{6}\; \varepsilon^3\;</math> avec <math>\;F'''(x_{\text{éq}}) > 0\;</math>» <math>\;\Bigg[</math>ou «<math>\;F(\theta) \simeq \dfrac{F'''(\theta_{\text{éq}})}{6}\; \varepsilon^3\;</math> avec <math>\;F'''(\theta_{\text{éq}}) > 0\;</math>»<math>\Bigg]</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Rappel }}l'équilibre est « <u>globalement instable</u> » si la force <math>\;\vec{F}(M) = F(x)\;\vec{u}_x</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\vec{F}(M) = F(\theta)\;\vec{u}_\theta\big]\;</math> est « <u>de rappel d'un côté et répulsive de l'autre côté</u> » c'est-à-dire si<ref name="cas possibles en pratique" /> {{Al|5}}{{Transparent|Rappel l'équilibre est « globalement instable » }}<math>\succ\;</math> «<math>\;F(x) \simeq \dfrac{F''(x_{\text{éq}})}{2}\; \varepsilon^2\;</math> avec <math>\;F''(x_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» <math>\;\Bigg[</math>ou «<math>\;F(\theta) \simeq \dfrac{F''(\theta_{\text{éq}})}{2}\; \varepsilon^2\;</math> avec <math>\;F''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>»<math>\Bigg]</math>. {{Al|5}}<u>Méthode à mettre en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité</u><math>\;\big(</math><u>ou l'instabilité</u><math>\big)\;</math><u>d'un équilibre de point matériel en termes de profil énergétique</u><ref> Cette méthode étant déduite de celle rappelée ci-dessus pour déterminer algébriquement la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> d'un équilibre de point matériel en terme de force.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre }}pour étudier « algébriquement » la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil énergétique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre pour étudier « algébriquement » }}on doit faire un D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;U_{\vec{F}}(x)</math> <math>\;\big[</math>ou de <math>\;U_{\vec{F}}(\theta)\big]\;</math> « à l'ordre le plus bas non nul<ref name="terme prépondérant" /> autre que zéro »<ref name="ordre le plus bas non nul autre que zéro"> En effet l’ordre zéro étant <math>\;U(x_{\text{éq}})</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}})\big]\;</math> n'est pas nécessairement nul, il ne l'est que si la référence de l'énergie potentielle a été choisie en cette position d'équilibre.</ref>{{,}}<ref name="terme prépondérant autre que celui d'ordre zéro"> L'ordre un étant nul par définition de l'équilibre, le 1^er ordre non nul autre que l'ordre zéro est au minimum l'ordre deux.</ref> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}</math> <math>\;\big[</math>ou <br>{{Al|30}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre pour étudier « algébriquement » on doit faire un D.L. de <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x)}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>ou de <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta)\big]}\;</math> « à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro » au voisinage }}de <math>\;\theta_{\text{éq}}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre pour étudier « algébriquement » on doit }}conclure selon le résultat obtenu : {{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre }}l'équilibre est « <u>stable</u> » si le profil de l'énergie potentielle <math>\;U_{\vec{F}}(M) = U_{\vec{F}}(x)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;U_{\vec{F}}(M) = U_{\vec{F}}(\theta)\big]</math>, au voisinage de la position d'équilibre, est « <u>un puits</u> »<ref name="cuvette"> Ou une cuvette.</ref>, en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « stable » }}la force « motrice » devant être « de rappel » au voisinage de la position d'équilibre <math>\Rightarrow</math> une composante «<math>\;> 0\;</math> à gauche et <math>\;< 0\;</math> à droite » c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « stable » }}une dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position «<math>\;< 0\;</math> à gauche et <math>\;> 0\;</math> à droite »<ref name="justification de l'inversion des signes"> La composante de force « motrice » étant <math>\;\propto\;</math> à l'opposé de la dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position.</ref>, rendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « stable » }}l'énergie potentielle « <u>localement minimale</u> » en la position d'équilibre étudiée, {{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre }}l'équilibre est « <u>instable</u> » si le profil de l'énergie potentielle <math>\;U_{\vec{F}}(M) = U_{\vec{F}}(x)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;U_{\vec{F}}(M) = U_{\vec{F}}(\theta)\big]</math>, au voisinage de la position d'équilibre, est « <u>une crête</u> »<ref name="bosse"> Ou une bosse.</ref>, en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « instable » }}la force « motrice » devant être « répulsive » au voisinage de la position d'équilibre <math>\Rightarrow</math> une composante «<math>\;< 0\;</math> à gauche et <math>\;> 0\;</math> à droite » c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « instable » }}une dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position «<math>\;> 0\;</math> à gauche et <math>\;< 0\;</math> à droite »<ref name="justification de l'inversion des signes" />, rendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « instable » }}l'énergie potentielle « <u>localement maximale</u> » en la position d'équilibre étudiée, {{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre }}l'équilibre est « <u>globalement instable</u> » si le profil de l'énergie potentielle <math>\;U_{\vec{F}}(M) = U_{\vec{F}}(x)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;U_{\vec{F}}(M) = U_{\vec{F}}(\theta)\big]</math>, au voisinage de la position d'équilibre, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » si le profil de l'énergie potentielle }}est « <u>un replat dans une montée ou une descente</u> »<ref name="replat"> Un replat dans une montée correspond à une partie horizontale en deçà et au-delà de laquelle le chemin est respectivement une crête et une cuvette ;<br>{{Al|41}}un replat dans une descente correspond à une partie horizontale en deçà et au-delà de laquelle le chemin est respectivement une cuvette et une crête.</ref>, en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » }}la force « motrice » devant être « de rappel d'un côté et répulsive de l'autre côté » au voisinage de la position d'équilibre, correspond à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » }}une composante simultanément «<math>\;< 0\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;> 0\big)\;</math> des deux côtés » c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » }}une dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position simultanément «<math>\;> 0\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;< 0\big)\;</math> des deux côtés »<ref name="justification de l'inversion des signes" />, rendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » }}l'énergie potentielle « <u>localement stationnaire avec point d'inflexion</u> » en la position d'équilibre étudiée. === Cas d'une force « motrice » unidirectionnelle selon l'axe x'x « dérivant » d'une énergie potentielle U(x) === {{Al|5}}On envisage donc un petit déplacement <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="petit écart" /> de <math>\;M\;</math> relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par <math>\;x_{\text{éq}}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On envisage donc un petit déplacement <math>\;\color{transparent}{\varepsilon}\;</math> de }}<math>\;M\;</math> dans cette situation étant alors repéré par <math>\;x = x_{\text{éq}} + \varepsilon\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\varepsilon = x - x_{\text{éq}}\;</math> et {{Al|5}}on évalue <math>\;U_{\vec{F}}(x) = U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon)\;</math> en utilisant la [[w:Théorème_de_Taylor#Formule_de_Taylor-Young|formule de Taylor-Young]]<ref name="théorème de Taylor-Young" />{{,}}<ref name="Taylor et Young" /> à un ordre suffisant pour conclure <math>\;\big[</math>le plus souvent <math>\;U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> développement à l'ordre un suffisant<math>\big]</math>, d'où le <br>{{Al|5}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x) = U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> }}D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre <math>\;n\;</math> «<math>\;U_{\vec{F}}(x) \simeq U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}})\, \cancel{+\, U_{\vec{F}}'(x_{\text{éq}})\,\varepsilon}\, + \dfrac{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}})}{2}\, \varepsilon^2 + \dfrac{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}})}{6}\, \varepsilon^3 + \dfrac{U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})}{24}\, \varepsilon^4 + \dfrac{U_{\vec{F}}^{(V)}(x_{\text{éq}})}{120}\, \varepsilon^5 + \cdots + \dfrac{U_{\vec{F}}^{(n)}(x_{\text{éq}})}{n!}\, \varepsilon^n\;</math>»<ref name="Validité de l'expression" />, {{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x) = U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x) \simeq}</math> }}le 2^ème terme d'ordre un étant nul par condition d'équilibre car <math>\;U_{\vec{F}}'(x_{\text{éq}}) = -F(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x) = U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x) \simeq}</math> }}le 1^er terme d'ordre zéro <math>\;U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}})\;</math> ne l'étant pas nécessairement cela dépendant du choix de la référence de <math>\;U_{\vec{F}}(x)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x) = U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x) \simeq}</math> }}l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x) = U_{\vec{F}}(x) - U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}})\;</math> est un infiniment petit de même <br>{{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x) = U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x) \simeq}</math> l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(x)} = </math> }}ordre que le 1^er terme non nul de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math><ref name="terme prépondérant - bis"> C.-à-d. d'ordre deux si <math>\;U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) \neq 0\;</math> <math>\big[</math>ou si <math>\;U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\big]</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|C.-à-d. }}d'ordre trois si <math>\;U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <math>\;U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) \neq 0\;</math> <math>\big[</math>ou si <math>\;U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <math>\;U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\big]</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|C.-à-d. }}d'ordre quatre si <math>\;U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <math>\;U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) \neq 0\;</math> <math>\big[</math>ou si <math>\;U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <math>\;U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}})</math> <math>\neq 0\big]\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|C.-à-d. }}ainsi de suite <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x) = U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(x) \simeq}</math> l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(x)} = </math> ordre que }}<math>\big[</math>terme qualifié de « prépondérant »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Généralités</u> : Ayant vu la possibilité de définir <u>la stabilité ou l'instabilité</u> d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(x)\;</math> est « <u>impair</u> »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Cas_d'une_force_«_motrice_»_unidirectionnelle_selon_l'axe_x'x_2|cas d'une force motrice unidirectionnelle selon l'axe x'x]] (méthode de détermination « algébrique » de la stabilité ou de l’instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force) » plus haut dans ce chapitre.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi }}«<math>\;F(x) \simeq \dfrac{F^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p + 1)!}\; \varepsilon^{(2\,p + 1)}\;</math> avec <math>\;p \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> par intégration et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi }}changement de signe, la C.N.S<ref name="C.N.S."> Condition Nécessaire et Suffisante.</ref>. précédente en termes de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi }}le terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> est « <u>pair</u> » c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi }}«<math>\;\delta U_{\vec{F}}(x) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p)!}\; \varepsilon^{(2\,p)}\;</math> avec <math>\;p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref> En effet <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x) = \displaystyle\int_0^\varepsilon -F(x')\;dx' \simeq \displaystyle\int_0^\varepsilon -\dfrac{F^{(2\,p' + 1)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p' + 1)!}\; {\varepsilon'}^{(2\,p' + 1)}\; d \varepsilon' = -\dfrac{F^{(2\,p' + 1)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p' + 2)!}\; \varepsilon^{(2\,p' + 2)}\;</math> avec <math>\;p' \in \mathbb{N}\;</math> soit, en posant <math>\;p = p' + 1</math>, <math>\;p \in \mathbb{N}^{*}</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x) \simeq</math> <math>-\dfrac{F^{(2\,p - 1)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p)!}\; \varepsilon^{(2\,p)} = \dfrac{U_{\vec{F}}^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p)!}\; \varepsilon^{(2\,p)}\;</math> compte-tenu du lien entre force et énergie potentielle.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi }}le terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> étant de même signe <br>{{Al|10}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. de <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(x)}\;</math> étant }}que <math>\;U_{\vec{F}}^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité }}<math>\blacktriangleright\;</math>le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> est « <u>minimal</u> » en la position d'équilibre si <math>\;U_{\vec{F}}^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0</math>, l'équilibre étant alors « <u>stable</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité }}<math>\blacktriangleright\;</math>le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> est « <u>maximal</u> » en la position d'équilibre si <math>\;U_{\vec{F}}^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'équilibre étant alors « <u>instable</u> ». {{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, }}si le terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> est « <u>impair</u> » c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, si }}«<math>\;\delta U_{\vec{F}}(x) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p + 1)!}\; \varepsilon^{(2\,p + 1)}\;</math> avec <math>\;p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, }}<u>on ne peut pas définir</u> la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, on ne peut pas définir }}indépendamment du sens de l'écart, en effet <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir }}<math>\succ\;</math>si <math>\;U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)</math> <math>\;\nearrow\;</math> avec <math>\;\varepsilon\;</math> en étant stationnaire en la position d'équilibre <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}le profil de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> présente « <u>un replat dans une montée</u> »<ref name="replat" /> <math>\;\big\{</math>le point d'inflexion du profil énergétique en la <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}position d'équilibre <math>\;\big[\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> y étant stationnaire<math>\big]\;</math> présente, par rapport aux portions du profil en deçà et au-delà du <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}point d'inflexion, respectivement une crête et une cuvette <math>\Rightarrow</math> un équilibre instable à gauche et stable à droite<math>\big\}\;</math> soit <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, point d'inflexion, respectivement une crête et une cuvette <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}un équilibre « <u>globalement instable</u> »<ref name="globalement instable" />, <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir }}<math>\succ\;</math>si <math>\;U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)</math> <math>\;\searrow\;</math> avec <math>\;\varepsilon\;</math> en étant stationnaire en la position d'équilibre <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, }}le profil de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> présente « <u>un replat dans une descente</u> »<ref name="replat" /> <math>\;\big\{</math>le point d'inflexion du profil énergétique en la <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, }}position d'équilibre <math>\;\big[\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> y étant stationnaire<math>\big]\;</math> présente, par rapport aux portions du profil en deçà et au-delà du <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, }}point d'inflexion, respectivement une cuvette et une crête <math>\Rightarrow</math> un équilibre stable à gauche et instable à droite<math>\big\}\;</math> soit <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(x_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, point d'inflexion, respectivement une cuvette et une crête <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}un équilibre « <u>globalement instable</u> »<ref name="globalement instable" />. {{Al|5}}<u>Résumé de l'étude</u> : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> à l'ordre le plus bas non nul en <math>\;\varepsilon\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : }}<math>\succ\;</math>cas usuel <math>\;U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) \neq 0</math> : le développement de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}})}{2}\;\varepsilon^2\;</math> du signe de <math>\;U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}})\;</math> pour <math>\;\varepsilon \neq 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas usuel }}avec <math>\;U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) > 0</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> est « <u>minimal</u> » en <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> et l'équilibre est « <u>stable</u> », {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas usuel }}avec <math>\;U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) < 0</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> est « <u>maximal</u> » en <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> et l'équilibre est « <u>instable</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : }}<math>\succ\;</math>cas peu fréquent <math>\;U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0</math> : le développement de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois ou plus : {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}avec <math>\;U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) \neq 0</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}})}{6}\;\varepsilon^3\;</math> changeant de signe simultanément avec <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="élévation au cube ne changeant pas le signe" /> correspondant à un <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}})\;\varepsilon^3}\;</math> changeant de signe simultanément avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon}\;</math> }}équilibre stable d'un côté et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}})\;\varepsilon^3}\;</math> changeant de signe simultanément avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon}\;</math> équilibre }}instable de l'autre donc <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}})\;\varepsilon^3}\;</math> changeant de signe simultanément avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon}\;</math> équilibre }}« <u>globalement instable</u> », {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}avec <math>\;U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <math>\;U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) \neq 0</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})}{24}\;\varepsilon^4\;</math> de même signe que <math>\;U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})\;</math> pour <math>\;\varepsilon \neq 0\;</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> mais <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})\;\varepsilon^4}\;</math> }}l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> }}avec <math>\;U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) > 0</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> est « <u>minimal</u> » en la position d'équilibre et ce dernier est « <u>stable</u> », {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> }}avec <math>\;U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) < 0</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> est « <u>maximal</u> » en la position d'équilibre et ce dernier est « <u>instable</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : }}<math>\succ\;</math>cas inexistant en pratique<ref name="inexistence pratique" /> <math>\;U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0</math> : le développement de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq ou plus, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}si limité à l'ordre cinq, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}^{(V)}(x_{\text{éq}})}{120}\;\varepsilon^5\;</math> changeant de signe avec <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="élévation à la puissance cinq ne changeant pas le signe" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : si limité à l'ordre cinq, }}<math>\Rightarrow</math> équilibre « <u>globalement instable</u> » mais, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}si <math>\;U_{\vec{F}}^{(V)}(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> avec <math>\;U_{\vec{F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}}) \neq 0</math>, on a <math>\;\delta U_{\vec{F}}(x_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}})}{720}\;\varepsilon^6\;</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(V)}(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, on a }}du signe de <math>\;U_{\vec{F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}})\;</math> <math>\Rightarrow</math> équilibre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(V)}(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, on a }}« <u>stable</u> » si <math>\;U_{\vec{F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}}) > 0\;</math><ref name="profil énergétique localement minimal"> En effet le profil énergétique est localement minimal en la position d'équilibre étudiée.</ref> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(V)}(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, on a }}« <u>instable</u> » si <math>\;U_{\vec{F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}}) < 0\;</math><ref name="profil énergétique localement maximal"> En effet le profil énergétique est localement maximal en la position d'équilibre étudiée.</ref>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(x_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(V)}(x_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, }}<math>\;\ldots</math> === Cas d'une force « motrice » s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force « dérivant » d'une énergie potentielle U(θ) === {{Al|5}}On envisage donc un petit déplacement <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="petit écart" /> de <math>\;M\;</math> relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par <math>\;\theta_{\text{éq}}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On envisage donc un petit déplacement <math>\;\color{transparent}{\varepsilon}\;</math> de }}<math>\;M\;</math> dans cette situation étant alors repéré par <math>\;\theta = \theta_{\text{éq}} + \varepsilon\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\varepsilon = \theta - \theta_{\text{éq}}\;</math> et {{Al|5}}on évalue <math>\;U_{\vec{F}}(\theta) = U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\;</math> en utilisant la [[w:Théorème_de_Taylor#Formule_de_Taylor-Young|formule de Taylor-Young]]<ref name="théorème de Taylor-Young" />{{,}}<ref name="Taylor et Young" /> à un ordre suffisant pour conclure <math>\;\big[</math>le plus souvent <math>\;U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> développement à l'ordre deux suffisant<math>\big]</math>, d'où le <br>{{Al|5}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta) = U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> }}D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre <math>\;n\;</math> «<math>\;U_{\vec{F}}(\theta) \simeq U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}})\, \cancel{+\, U_{\vec{F}}'(\theta_{\text{éq}})\,\varepsilon}\, + \dfrac{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}})}{2}\, \varepsilon^2 + \dfrac{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}})}{6}\, \varepsilon^3 + \dfrac{U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}})}{24}\, \varepsilon^4 + \dfrac{U_{\vec{F}}^{(V)}(\theta_{\text{éq}})}{120}\, \varepsilon^5 + \cdots + \dfrac{U_{\vec{F}}^{(n)}(\theta_{\text{éq}})}{n!}\, \varepsilon^n\;</math>»<ref name="Validité de l'expression" />, {{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta) = U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta) \simeq}</math> }}le 2^ème terme d'ordre un étant nul par condition d'équilibre car <math>\;U_{\vec{F}}'(\theta_{\text{éq}}) = -R\;F(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta) = U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta) \simeq}</math> }}le 1^er terme d'ordre zéro <math>\;U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}})\;</math> ne l'étant pas nécessairement cela dépendant du choix de la référence de <math>\;U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta) = U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta) \simeq}</math> }}l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta) = U_{\vec{F}}(\theta) - U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est un infiniment petit de même <br>{{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta) = U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta) \simeq}</math> l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(\theta)} = </math> }}ordre que le 1^er terme non nul de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math><ref name="terme prépondérant - bis" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|on évalue <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta) = U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)}\;</math> D.L. à l'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}(\theta) \simeq}</math> l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(\theta)} = </math> ordre que }}<math>\big[</math>terme qualifié de « prépondérant »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Généralités</u> : Ayant vu la possibilité de définir <u>la stabilité ou l'instabilité</u> d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(\theta)\;</math> est « <u>impair</u> »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Cas_d'une_force_«_motrice_»_s'appliquant_tangentiellement_à_la_trajectoire_circulaire_de_rayon_R_décrite_par_le_point_subissant_la_force_2|cas d'une force motrice s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force]] (méthode de détermination « algébrique » de la stabilité ou de l’instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force) » plus haut dans ce chapitre.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi }}«<math>\;F(\theta) \simeq \dfrac{F^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})}{(2\,p + 1)!}\; \varepsilon^{(2\,p + 1)}\;</math> avec <math>\;p \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> par intégration et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi }}multiplication par <math>\;-R</math>, la C.N.S<ref name="C.N.S." />. précédente en termes de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi }}le terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> est « <u>pair</u> » c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi }}«<math>\;\delta \delta U_{\vec{F}}(\theta) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}^{(2\,p)}(\theta_{\text{éq}})}{(2\,p)!}\; \varepsilon^{(2\,p)}\;</math> avec <math>\;p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref> En effet <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta) = \displaystyle\int_0^\varepsilon -R\;F(\theta')\;d \theta' \simeq \displaystyle\int_0^\varepsilon -R\;\dfrac{F^{(2\,p' + 1)}(\theta_{\text{éq}})}{(2\,p' + 1)!}\; {\varepsilon'}^{(2\,p' + 1)}\; d \varepsilon' = -R\;\dfrac{F^{(2\,p' + 1)}(\theta_{\text{éq}})}{(2\,p' + 2)!}\; \varepsilon^{(2\,p' + 2)}\;</math> avec <math>\;p' \in \mathbb{N}\;</math> soit, en posant <math>\;p = p' + 1</math>, <math>\;p \in \mathbb{N}^{*}</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta) \simeq</math> <math>-R\;\dfrac{F^{(2\,p - 1)}(\theta_{\text{éq}})}{(2\,p)!}\; \varepsilon^{(2\,p)} = \dfrac{U_{\vec{F}}^{(2\,p)}(\theta_{\text{éq}})}{(2\,p)!}\; \varepsilon^{(2\,p)}\;</math> compte-tenu du lien entre force et énergie potentielle.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi }}le terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> étant de même signe <br>{{Al|10}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. de <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(\theta)}\;</math> étant }}que <math>\;U_{\vec{F}}^{(2\,p)}(\theta_{\text{éq}})\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité }}<math>\blacktriangleright\;</math>le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> est « <u>minimal</u> » en la position d'équilibre si <math>\;U_{\vec{F}}^{(2\,p)}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0</math>, l'équilibre étant alors « <u>stable</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité }}<math>\blacktriangleright\;</math>le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> est « <u>maximal</u> » en la position d'équilibre si <math>\;U_{\vec{F}}^{(2\,p)}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'équilibre étant alors « <u>instable</u> ». {{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, }}si le terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> est « <u>impair</u> » c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, si }}«<math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})}{(2\,p + 1)!}\; \varepsilon^{(2\,p + 1)}\;</math> avec <math>\;p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, }}<u>on ne peut pas définir</u> la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, on ne peut pas définir }}indépendamment du sens de l'écart, en effet <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir }}<math>\succ\;</math>si <math>\;U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)</math> <math>\;\nearrow\;</math> avec <math>\;\varepsilon\;</math> en étant stationnaire en la position d'équilibre <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}le profil de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> présente « <u>un replat dans une montée</u> »<ref name="replat" /> <math>\;\big\{</math>le point d'inflexion du profil énergétique en la <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}position d'équilibre <math>\;\big[\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> y étant stationnaire<math>\big]\;</math> présente, par rapport aux portions du profil en deçà et au-delà du <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}point d'inflexion, respectivement une crête et une cuvette <math>\Rightarrow</math> un équilibre instable à gauche et stable à droite<math>\big\}\;</math> soit <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, point d'inflexion, respectivement une crête et une cuvette <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}un équilibre « <u>globalement instable</u> »<ref name="globalement instable" />, <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir }}<math>\succ\;</math>si <math>\;U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)</math> <math>\;\searrow\;</math> avec <math>\;\varepsilon\;</math> en étant stationnaire en la position d'équilibre <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, }}le profil de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> présente « <u>un replat dans une descente</u> »<ref name="replat" /> <math>\;\big\{</math>le point d'inflexion du profil énergétique en la <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, }}position d'équilibre <math>\;\big[\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> y étant stationnaire<math>\big]\;</math> présente, par rapport aux portions du profil en deçà et au-delà du <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, }}point d'inflexion, respectivement une cuvette et une crête <math>\Rightarrow</math> un équilibre stable à gauche et instable à droite<math>\big\}\;</math> soit <br>{{Al|15}}{{Transparent|Généralités : Ayant vu la possibilité de définir <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(2\,p + 1)}(\theta_{\text{éq}})}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}</math>, point d'inflexion, respectivement une cuvette et une crête <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}un équilibre « <u>globalement instable</u> »<ref name="globalement instable" />. {{Al|5}}<u>Résumé de l'étude</u> : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> à l'ordre le plus bas non nul en <math>\;\varepsilon\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : }}<math>\succ\;</math>cas usuel <math>\;U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0</math> : le développement de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}})}{2}\;\varepsilon^2\;</math> du signe de <math>\;U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}})\;</math> pour <math>\;\varepsilon \neq 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas usuel }}avec <math>\;U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) > 0</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> est « <u>minimal</u> » en <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> et l'équilibre est « <u>stable</u> », {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas usuel }}avec <math>\;U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) < 0</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> est « <u>maximal</u> » en <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> et l'équilibre est « <u>instable</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : }}<math>\succ\;</math>cas peu fréquent <math>\;U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0</math> : le développement de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois ou plus : {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}avec <math>\;U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}})}{6}\;\varepsilon^3\;</math> changeant de signe simultanément avec <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="élévation au cube ne changeant pas le signe" /> correspondant à un <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon^3}\;</math> changeant de signe simultanément avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon}\;</math> }}équilibre stable d'un côté et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon^3}\;</math> changeant de signe simultanément avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon}\;</math> équilibre }}instable de l'autre donc <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon^3}\;</math> changeant de signe simultanément avec <math>\;\color{transparent}{\varepsilon}\;</math> équilibre }}« <u>globalement instable</u> », {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}avec <math>\;U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> mais <math>\;U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}})}{24}\;\varepsilon^4\;</math> de même signe que <math>\;U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}})\;</math> pour <math>\;\varepsilon \neq 0\;</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> mais <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\delta U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon^4}\;</math> }}l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> }}avec <math>\;U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) > 0</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> est « <u>minimal</u> » en la position d'équilibre et ce dernier est « <u>stable</u> », {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas peu fréquent <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> }}avec <math>\;U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) < 0</math>, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> est « <u>maximal</u> » en la position d'équilibre et ce dernier est « <u>instable</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Résumé de l'étude : }}<math>\succ\;</math>cas inexistant en pratique<ref name="inexistence pratique" /> <math>\;U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math> : le développement de <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq ou plus, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}si limité à l'ordre cinq, <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}^{(V)}(\theta_{\text{éq}})}{120}\;\varepsilon^5\;</math> changeant de signe avec <math>\;\varepsilon\;</math><ref name="élévation à la puissance cinq ne changeant pas le signe" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : si limité à l'ordre cinq, }}<math>\Rightarrow</math> équilibre « <u>globalement instable</u> » mais, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : }}si <math>\;U_{\vec{F}}^{(V)}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> avec <math>\;U_{\vec{F}}^{(VI)}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0</math>, on a <math>\;\delta U_{\vec{F}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{U_{\vec{F}}^{(VI)}(\theta_{\text{éq}})}{720}\;\varepsilon^6\;</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(V)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(VI)}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, on a }}du signe de <math>\;U_{\vec{F}}^{(VI)}(\theta_{\text{éq}})\;</math> <math>\Rightarrow</math> équilibre <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(V)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(VI)}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, on a }}« <u>stable</u> » si <math>\;U_{\vec{F}}^{(VI)}(\theta_{\text{éq}}) > 0\;</math><ref name="profil énergétique localement minimal" /> et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(V)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(VI)}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, on a }}« <u>instable</u> » si <math>\;U_{\vec{F}}^{(VI)}(\theta_{\text{éq}}) < 0\;</math><ref name="profil énergétique localement maximal" />, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Résumé de l'étude : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>cas inexistant en pratique <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}''(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}'''(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(IV)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}</math> : si <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(V)}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{U_{\vec{F}}^{(VI)}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0}</math>, }}<math>\;\ldots</math> === Résultats fondamentaux concernant la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil d'énergie potentielle === {{Al|5}}Suivant la nature de la stationnarité du profil d'énergie potentielle du point matériel à un degré de liberté en la position d'équilibre étudiée, on en déduit que cet équilibre est * « <u>stable</u> » si « <u>l'énergie potentielle est localement minimale</u> » en la position d'équilibre, * « <u>instable</u> » si « <u>l'énergie potentielle est localement maximale</u> » en la position d'équilibre et * « <u>globalement instable</u> » <math>\,\big[</math>c'est-à-dire stable d'un côté et instable de l'autre<math>\big]\,</math> si, en la position d'équilibre, « <u>le profil d'énergie potentielle admet un point d'inflexion</u> »<ref> Comme, en cette position, l'énergie potentielle y est stationnaire, la tangente au profil d'énergie potentielle en ce point d'inflexion y est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe des abscisses <math>\,\big(</math>par abus, on dit parfois « horizontale »<math>\big)</math>.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Mouv. conservatif]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Petits mouv. au voisin. d'un équil. stable]] }} g9771g0xqm3s29zz408fy19ye61ntlc 0 72460 982901 978967 2026-05-17T17:45:08Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982901 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité | idfaculté = physique | numéro = 18 | chapitre = [[../../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité/]] | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable/]] | niveau = 14 }} == Mouvement d'un anneau en liaison bilatérale sur un guide constitué de deux portions circulaires successives de rayons différents d'un même plan vertical == [[File:Anneau en liaison bilatérale sans frottement sur un guide à portions circulaires.png|thumb|300px|Dispositif permettant le mouvement d'un anneau <math>\;M\;</math> sans frottement en liaison bilatérale sur un guide formé de deux parties circulaires de rayons <math>\;R_1\;</math> et <math>\;R_2</math>, de centres <math>\;C_1\;</math> et <math>\;C_2</math>, dans un même plan vertical]] {{Al|5}}On considère le dispositif représenté ci-contre où un objet assimilable à un point matériel <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, se déplace en liaison bilatérale sur un « guide » formé de deux parties circulaires de rayons <math>\;R_1\;</math> et <math>\;R_2</math>, de centres <math>\;C_1\;</math> et <math>\;C_2\;</math> dans un même plan vertical. {{Al|5}}On repère la position de <math>\;M\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta</math>, * pour la « partie <math>\;(\mathfrak{1})\;</math>», <math>\;\theta = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_1E}\,,\,\overrightarrow{C_1M} \right\rbrace} \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}\, ,\, \pi \right]\;</math> et * pour la « partie <math>\;(\mathfrak{2})\;</math>», <math>\;\theta = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_2F}\,,\,\overrightarrow{C_2M} \right\rbrace} \in \left[ \pi\, ,\, \dfrac{5\, \pi}{2} \right]</math> ; {{Al|5}}on suppose l'absence de frottement solide de l'anneau sur le guide et <br>{{Al|5}}on note <math>\;g\;</math> l'intensité du champ de pesanteur. === Détermination de l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau === {{Al|5}}Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math> de l'anneau <math>\;M\;</math> suivant que ce dernier est sur la « partie <math>\;(\mathfrak{1})\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\color{transparent}{U_{\text{pes}}(\theta)}\;</math> de l'anneau <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> suivant que ce dernier est }}sur la « partie <math>\;(\mathfrak{2})\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\color{transparent}{U_{\text{pes}}(\theta)}\;</math> }}on choisira la référence de <math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math> en la position <math>\;B\;</math> c'est-à-dire en <math>\;\theta_B = \pi</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Soit <math>\;\overrightarrow{C_2z}\;</math> l'axe vertical <math>\;\uparrow\;</math> ayant pour origine <math>\;C_2</math>, l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> de côte <math>\;z\;</math> s'écrit <math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\; g\; z + cste\;</math><ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, la <math>\;cste\;</math> étant déterminée par le choix de la référence en <math>\;B\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{C_2z}}\;</math> l'axe vertical <math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math> ayant pour origine <math>\;\color{transparent}{C_2}</math>, l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de côte <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> s'écrit }}<math>\;U_{\text{pes}}(B) = m\; g\; z_B + cste = 0\;</math> ou <math>\;m\; g\; R_2 + cste = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = -m\; g\; R_2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{C_2z}}\;</math> l'axe vertical <math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math> ayant pour origine <math>\;\color{transparent}{C_2}</math>, }}une 1^ère expression de l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> en fonction de la côte <math>\;z</math> : «<math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\; g\, \left( z - R_2 \right)\;</math>» dont on déduit {{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{C_2z}}\;</math> l'axe vertical <math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math> ayant pour origine <math>\;\color{transparent}{C_2}</math>, }}une 2^ème expression de l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;\theta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{C_2z}}\;</math> l'axe vertical <math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math> ayant pour origine <math>\;\color{transparent}{C_2}</math>, une 2^ème expression }}suivant la partie circulaire considérée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{C_2z}}\;</math> l'axe vertical <math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math> ayant pour origine <math>\;\color{transparent}{C_2}</math>, une 2^ème expression }}<math>\succ\;</math>sur la « partie <math>\;(\mathfrak{1})\;</math>», <math>\;z = R_2 - R_1 - R_1\; \cos(\theta)</math> <math>\;\Big[</math>en effet, avec <math>\;H_M\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;\overrightarrow{C_2z}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{C_2z}}\;</math> l'axe vertical <math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math> ayant pour origine <math>\;\color{transparent}{C_2}</math>, une 2^ème expression <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur la « partie <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{1})}\;</math>», <math>\;\color{transparent}{z = R_2 - R_1 - R_1\; \cos(\theta)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Big[}</math>en effet, }}<math>\;\overline{C_2C_1} = R_2 - R_1\;</math> et <math>\;\overline{C_1H_M} = -R_1\; \cos(\theta)\Big]\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{C_2z}}\;</math> l'axe vertical <math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math> ayant pour origine <math>\;\color{transparent}{C_2}</math>, une 2^ème expression <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur la « partie <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{1})}\;</math>», }}l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> se réécrit «<math>\;U_{\text{pes},\, (\mathfrak{1})}(M) = -m\; g\; R_1\, \left[ 1 + \cos(\theta) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{C_2z}}\;</math> l'axe vertical <math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math> ayant pour origine <math>\;\color{transparent}{C_2}</math>, une 2^ème expression }}<math>\succ\;</math>sur la « partie <math>\;(\mathfrak{2})\;</math>», <math>\;z = - R_2\; \cos(\theta)</math> <math>\;\Big[</math>en effet, avec <math>\;H_M\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;\overrightarrow{C_2z}</math>, <math>\;\overline{C_2H_M} = -R_2\, \cos(\theta)\Big]\;</math> <br>{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{C_2z}}\;</math> l'axe vertical <math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math> ayant pour origine <math>\;\color{transparent}{C_2}</math>, une 2^ème expression <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur la « partie <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{2})}\;</math>»}}d'où l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> se réécrit «<math>\;U_{\text{pes},\, (\mathfrak{2})}(M) = -m\; g\; R_2\, \left[ 1 + \cos(\theta) \right]\;</math>».}} === Tracé du diagramme d'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau === {{Al|5}}Tracer le diagramme d'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau <math>\;M\;</math> dans le cas particulier <math>\;R_2 = 2\; R_1\;</math> <math>\big(</math>on fera toutefois les commentaires sur le tracé dans le cas général<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tracer le diagramme d'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}c'est-à-dire le graphe de <math>\;U_{\text{pes}}(\theta)\;</math> en fonction de <math>\;\theta\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ -\dfrac{\pi}{2}\, ,\, \dfrac{5\, \pi}{2} \right]</math>. {{Solution | contenu = [[File:Anneau en liaison bilatérale sans frottement sur un guide à portions circulaires - profil énergétique.png|thumb|450px|Tracé du diagramme d'énergie potentielle de pesanteur d'un anneau en liaison bilatérale sur un guide formé de deux parties circulaires de rayons <math>\;R_1\;</math> et <math>\;R_2</math>, de centres <math>\;C_1\;</math> et <math>\;C_2</math>, dans un même plan vertical, dans le cas particulier <math>\;R_2 = 2\; R_1</math>]] {{Al|5}}Le tracé ci-contre est fait dans le cas particulier où <math>\;R_2 = 2\;R_1\;</math> ce qui correspond à <math>\;C_2\;</math> et <math>\;E\;</math> confondus. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : l'axe des énergies potentielles étant gradué en unité <math>\;m\;g\;R_1</math>, la partie du profil énergétique pour <math>\;\theta \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math> est indépendante de <math>\;R_2\;</math> <math>\bigg\{</math>elle est en effet d'équation <math>\;\dfrac{U_{\text{pes},\, (\mathfrak{1})}}{m\; g\; R_1}(M) = -\left[ 1 + \cos(\theta) \right]\bigg\}\;</math> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'axe des énergies potentielles étant gradué en unité <math>\;\color{transparent}{m\;g\;R_1}</math>, }}sa partie pour <math>\;\theta \in \left[ \pi\,,\, \dfrac{5\;\pi}{2} \right]\;</math> en dépend bien sûr<ref name="commentaires dans le cas général"> Commentaires sur le tracé dans le cas général.</ref>, <math>\bigg\{</math>son équation étant <math>\;\dfrac{U_{\text{pes},\, (\mathfrak{2})}}{m\; g\; R_1}(M) = -\dfrac{R_2}{R_1}\, \left[ 1 + \cos(\theta) \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> dans le cas particulier <math>\;R_2 = 2\; R_1</math>, <math>\;\dfrac{U_{\text{pes},\, (\mathfrak{2})}}{m\; g\; R_1}(M) = -2\, \left[ 1 + \cos(\theta) \right]\bigg\}</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'axe des énergies potentielles étant gradué en unité <math>\;\color{transparent}{m\;g\;R_1}</math>, sa partie }}<math>\succ\;</math>son minimum pour <math>\;\theta_F = 2\;\pi\;</math> vaut <math>\;\dfrac{U_{\text{pes},\, (\mathfrak{2})}}{m\; g\; R_1}(F) =</math> <math>-2\;\dfrac{R_2}{R_1}\;</math><ref name="commentaires dans le cas général" /> <math>\;\big[</math>correspondant à <math>\;-4\;</math> dans le cas particulier <math>\;R_2 = 2\;R_1\big]\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'axe des énergies potentielles étant gradué en unité <math>\;\color{transparent}{m\;g\;R_1}</math>, sa partie }}<math>\succ\;</math>sa valeur finale pour <math>\;\theta_S = \dfrac{5\;\pi}{2}\;</math> vaut <math>\;\dfrac{U_{\text{pes},\, (\mathfrak{2})}}{m\; g\; R_1}(S) =</math> <math>-\dfrac{R_2}{R_1}\;</math><ref name="commentaires dans le cas général" /> <math>\;\big[</math>correspondant à <math>\;-2\;</math> dans le cas particulier <math>\;R_2 = 2\;R_1\big]</math>.}} === Détermination des positions d'équilibre de l'anneau et étude de leur stabilité === {{Al|5}}Déterminer les positions angulaires d'équilibre de l'anneau et {{Al|5}}étudier leur stabilité. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Les positions angulaires d'équilibre de l'anneau sur le guide correspondent aux abscisses rendant le diagramme d'énergie potentielle stationnaire<ref name="équilibre en terme de profil énergétique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Cas_d'une_force_«_motrice_»_s'appliquant_tangentiellement_à_la_trajectoire_circulaire_de_rayon_R_décrite_par_le_point_subissant_la_force|cas d'une force motrice s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » généralisant la définition des positions d'équilibre d'un P.P.S. à partir de son profil énergétique.</ref> elles sont donc au nombre de trois : <br>{{Al|8}}{{Transparent|Les positions angulaires d'équilibre de l'anneau sur le guide correspondent aux abscisses rendant le diagramme d'énergie potentielle stationnaire }}«<math>\;\theta_E = 0</math>, <math>\;\theta_B = \pi\;</math> et <math>\;\theta_F = 2\; \pi\;</math>» ; {{Al|5}}les positions d’équilibres <u>stables</u> de l'anneau sur le guide correspondent aux abscisses rendant le diagramme d'énergie potentielle <u>minimal</u><ref name="équilibre stable ou instable en terme de profil énergétique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Résultats_fondamentaux_concernant_la_stabilité_(ou_l'instabilité)_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_profil_d'énergie_potentielle|résultats fondamentaux concernant la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de profil d'énergie potentielle]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> elles sont donc au nombre de deux : <br>{{Al|8}}{{Transparent|Les positions d'équilibres stables de l'anneau sur le guide correspondent aux abscisses rendant le diagramme d'énergie potentielle minimal }}«<math>\;\theta_E = 0\;</math> et <math>\;\theta_F = 2\, \pi\;</math>», {{Al|5}}les positions d’équilibres <u>instables</u> de l'anneau sur le guide correspondent aux abscisses rendant le diagramme d'énergie potentielle <u>maximal</u><ref name="équilibre stable ou instable en termes de profil énergétique" /> elles sont donc au nombre de un : <br>{{Al|8}}{{Transparent|Les positions d'équilibres instables de l'anneau sur le guide correspondent aux abscisses rendant le diagramme d'énergie potentielle maximal }}«<math>\;\theta_B = \pi\;</math>».}} === Étude du mouvement de l'anneau lancé à partir de A avec une vitesse initiale === {{Al|5}}L'anneau, initialement en <math>\;A</math>, c'est-à-dire en <math>\;\theta_A = -\dfrac{\pi}{2}</math>, est lancé avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;</math> dans le sens trigonométrique. {{Al|5}}Comment peut-on qualifier le mouvement de l'anneau <math>\;M\;</math> compte-tenu de l'absence de frottement solide ? {{Al|5}}En déduire l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement de <math>\;M</math>. {{Al|5}}À quelle condition sur la norme de la vitesse initiale <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert</math>, l'anneau peut-il dépasser la position <math>\;F\;</math> d'abscisse angulaire <math>\;\theta_F = 2 \pi</math> ? {{Al|5}}Cette condition étant remplie, donner l'expression de la norme de la vitesse <math>\;V_F\;</math> de l'anneau en <math>\;F\;</math> en fonction des données du problème. {{Al|5}}À quelle condition sur <math>\;V_0</math>, l'anneau atteint-il le bout du guide en <math>\;S\;</math> c'est-à-dire en <math>\;\theta_S = \dfrac{5\, \pi}{2}</math> ? {{Solution | contenu ={{Al|5}}Le point matériel <math>\;M\;</math> a un « <u>mouvement conservatif</u> » car la seule autre force non conservative, « la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> du guide », ne travaille pas en absence de frottement solide, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> a un « mouvement conservatif » }}ce qui a pour conséquence la « conservation de l'énergie mécanique du point dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> a un « mouvement conservatif » }}d'où, avec pour énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,M}(0) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^2 + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta_A \right] = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^2 - m\;g\;R_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> a un « mouvement conservatif » d'où, }}l'intégrale 1^ère énergétique «<math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,\,M}(0)\;</math>» où «<math>\;E_{m,\,M}(t) = \left\lbrace\begin{array}{l} \dfrac{1}{2}\;m\;R_2^2\;\dot{\theta}^2\!(t) - m\;g\;R_2\, \left\lbrace 1 + \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;\;\text{pour }\;\theta \in \left[ \pi\,, \dfrac{5\;\pi}{2} \right]\\ \dfrac{1}{2}\;m\;R_1^2\;\dot{\theta}^2\!(t) - m\;g\;R_1\, \left\lbrace 1 + \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;\;\text{pour }\;\theta \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right] \end{array}\right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}Le point matériel <math>\;M\;</math> pourra dépasser la position <math>\;F\;</math> s'il ne rencontre pas de mur d'énergie potentielle avant c'est-à-dire si l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,M}(0)\;</math> est <math>\;>\;</math> à l'énergie potentielle maximale <math>\;U_{\text{pes},\, 1}(B)\;</math><ref name="mur d'énergie potentielle"> L'énergie potentielle maximale est encore appelée « barrière d'énergie potentielle », cette notion sera introduite au chap.<math>20</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Barrière_d'énergie_potentielle|approche énergétique du mouvement d'un point matériel : barrière d'énergie potentielle]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », mais il n'est pas nécessaire de connaître cette terminologie pour résoudre cette question <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> pourra dépasser la position <math>\;\color{transparent}{F}\;</math> s'il ne rencontre pas de mur d'énergie potentielle avant }}soit, avec <math>\;E_{m,\,M}(0) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^2 - m\;g\;R_1\;</math> et <math>\;U_{\text{pes},\, 1}(B) = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> pourra dépasser la position <math>\;\color{transparent}{F}\;</math> s'il ne rencontre pas de mur d'énergie potentielle avant soit, }}la condition pour que <math>\;M\;</math> parvienne à dépasser la position <math>\;F\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2} m\, V_0^2 - m\, g\, R_1 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> pourra dépasser la position <math>\;\color{transparent}{F}\;</math> s'il ne rencontre pas de mur d'énergie potentielle avant soit, la condition pour que <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> parvienne à dépasser la position <math>\;\color{transparent}{F}\;</math> }}«<math>\;V_0 > \sqrt{2\; g\; R_1};</math>». {{Al|5}}Cette condition étant remplie, on obtient l'expression de la norme de la vitesse <math>\;V_F\;</math> de l'anneau en <math>\;F\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette condition étant remplie, on obtient }}en écrivant la conservation de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t_F) = E_{m,\,M}(0)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c c c l} E_{m,\,M}(t_F) \!\!&=&\!\! \dfrac{1}{2}\; m\; V_F^2 + U_{\text{pes},\, 1}(F) \!\!&=&\!\! \dfrac{1}{2}\; m\; V_F^2 - 2\; m\; g\; R_2 \\ E_{m,\,M}(0) \!\!&=&\!\! \dfrac{1}{2} m\, V_0^2 - m\; g\; R_1 \!\!& &\!\! \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette condition étant remplie, on obtient en écrivant la conservation de l'énergie mécanique }}<math>\;\dfrac{1}{2}\; m\; V_F^2 - 2\; m\; g\; R_2 = \dfrac{1}{2}\; m\; V_0^2 - m\; g\; R_1\;</math> et finalement «<math>\;V_F = \sqrt{V_0^2 + 2\; g\, \left( 2\; R_2 - R_1 \right)}\;</math>». {{Al|5}}Le point matériel <math>\;M\;</math> pourra atteindre la position finale <math>\;S\;</math> <math>\blacktriangleright\;</math>s'il ne rencontre pas de mur d'énergie potentielle avant c'est-à-dire «<math>\;E_{m,\,M}(0) > U_{\text{pes},\, (\mathfrak{1})}(B)\;</math><ref name="mur d'énergie potentielle" /> » soit «<math>\;V_0 > \sqrt{2\; g\; R_1};</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> pourra atteindre la position finale <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>si l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,M}(0)\;</math> est <math>\;>\;</math> à l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes},\, (\mathfrak{2})}(S) = -\;m\;g\;R_2 < 0\;</math> ce qui conduit à une condition moins <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> pourra atteindre la position finale <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si l'énergie mécanique initiale <math>\;\color{transparent}{E_{m,\,M}(0)}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{>}\;</math> à l'énergie potentielle <math>\;\color{transparent}{U_{\text{pes},\, (\mathfrak{2})}(S) = -\;m\;g\;R_2 < 0}\;</math> ce qui conduit à }}restrictive que la 1^ère d'où <center>le point matériel <math>\;M\;</math> lancé dans les C.I<ref name="C.I."> Conditions initiales.</ref>. qui lui permette de dépasser la position <math>\;B\;</math> à savoir <math>\;V_0 > \sqrt{2\; g\; R_1}\;</math> atteint la position finale <math>\;S\;</math> sans condition supplémentaire.</center>}} == Étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale suivie de l'étude de ses variantes == [[File:Pendule élastique vertical à oscillations transversales.png|thumb|300px|Schéma d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure <math>\;R\;</math> fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale]] {{Al|5}}L'objet de cet exercice consiste à étudier les oscillations d'un système mécanique au voisinage d'une bifurcation <math>\;\big(</math>c'est-à-dire un changement du nombre de positions d'équilibre, de la position d'équilibre stable ou autres changements consécutifs à une variation d'un paramètre caractérisant les équilibres du système mécanique <math>\;\ldots\big)</math>. {{Al|5}}On s'intéresse au système mécanique suivant : un objet assimilé à un point matériel <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, est fixé à l'extrémité inférieure d'un ressort {{Nobr|idéal<ref name="ressort idéal"> C.-à-d. parfaitement élastique et sans masse.</ref>,}} à spires non jointives<ref name="spires non jointives"> Ce qui a pour conséquence que le ressort peut aussi travailler à la compression pourvu qu'il reste dans le domaine d'élasticité de ce dernier.</ref>, de longueur à vide <math>\;l_v\;</math> et de constante de raideur <math>\;k</math>, dont l'extrémité supérieure est fixée en un point <math>\;R</math>. {{Al|5}}L'objet peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige<ref name="liaison bilatérale"> L'objet est donc en liaison bilatérale avec la tige.</ref> <math>\;\big(</math>voir la figure ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}On repère la position du point <math>\;M\;</math> sur cette tige par son abscisse <math>\;x\;</math> sur l'axe confondu avec la tige dont l'origine <math>\;O\;</math> est située sur la même verticale que le point d’attache <math>\;R\;</math> fixe du ressort, cet axe horizontal <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> étant orienté arbitrairement vers la droite, l'axe vertical <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> l'étant vers le haut. {{Al|5}}La tige se trouve à une distance <math>\;\lambda\;</math> du point <math>\;R\;</math> c'est-à-dire <math>\;OR = \lambda</math>. === Recherche des positions d'équilibre === {{Al|5}}On recherche les positions d'équilibre ainsi que leur stabilité suivant le paramètre <math>\;\lambda = OR\;</math> dont on fera varier la valeur. ==== Détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale l_v ==== {{Al|5}}Initialement le point matériel <math>\;M\;</math> se trouve en <math>\;O\;</math> et <math>\;\lambda = OR = l_v</math>. {{Al|5}}Décrire qualitativement <math>\;\big(</math>aucun calcul n'est demandé<math>\big)\;</math> le nombre de positions d'équilibre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Décrire }}graphiquement la stabilité de celles-ci suivant qu'on <math>\blacktriangleright\;</math>rapproche la tige du point <math>\;R\;</math> c'est-à-dire que <math>\;\lambda \searrow\;</math> à partir de <math>\;l_v\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Décrire graphiquement la stabilité de celles-ci suivant qu'on }}<math>\blacktriangleright\;</math>éloigne la tige du point <math>\;R\;</math> c'est-à-dire que <math>\;\lambda \nearrow\;</math> à partir de <math>\;l_v</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Le bilan des forces appliquées au point matériel <math>\;M\;</math> comprend * deux forces n'ayant aucune composante dans la direction possible de son mouvement et n'étant donc pas à considérer pour la recherche de ses positions d'équilibre, ce sont <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math> son poids <math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_y\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math> la réaction <math>\;\vec{R} = R_y\;\vec{u}_y\;</math> de la tige, <math>\;\perp\;</math> à cette dernière en absence de frottement solide et * une force ayant une composante dans la direction possible du mouvement de <math>\;M\;</math> et donc à considérer pour la recherche de ses positions d'équilibre, c'est la tension <math>\;\vec{T} =</math> <math>T_x\;\vec{u}_x + T_y\;\vec{u}_y\;</math> du ressort, la composante <math>\;\vec{T}_h = T_x\;\vec{u}_x\;</math> étant la composante « motrice »<ref name="motrice"> C.-à-d. la composante pouvant modifier le mouvement du point et donc à considérer pour la recherche des positions d'équilibre de ce dernier.</ref> et l'autre composante <math>\;\vec{T}_v = T_y\;\vec{u}_y\;</math> n'intervenant pas dans le recherche des équilibres possibles<ref> Les trois composantes verticales se compensant naturellement en absence de mouvement selon cette direction à savoir <math>\;m\;\vec{g} + \vec{R} + \vec{T}_v = \vec{0}</math>.</ref> ; [[File:Pendule élastique vertical à oscillations transversales - équilibre - tetra.png|thumb|300px|Schéma d'un pendule élastique initialement vertical et étiré à extrémités supérieure <math>\;R\;</math> fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, caractère stable de la position d'équilibre <math>\;O</math>]] {{Al|5}}ainsi les positions d'équilibre cherchées sont déterminées par les solutions de <math>\;\vec{T}_h(M) = \vec{0}</math>, ce qui est réalisé : * si <math>\;\overrightarrow{RM}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la tige c'est-à-dire si <math>\;M\;</math> est en <math>\;O</math> <math>\;\big[</math>position existant pour toute valeur de <math>\;\lambda = OR</math>, voir figure <math>4</math> ci-contre dans le cas <math>\;\lambda > l_v\;</math> et <br>{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{RM}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> à la tige c'est-à-dire si <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est en <math>\;\color{transparent}{O}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>position existant pour toute valeur de <math>\;\color{transparent}{\lambda = OR}</math>, voir }}figure <math>1</math> ci-dessous à gauche dans le cas <math>\;\lambda < l_v\big]\;</math> ou * si l'allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_v = 0</math> <math>\;\Big[</math>avec <math>\;l = \Vert \overrightarrow{RM} \Vert\;</math> la longueur du ressort<math>\Big]</math> <ref name="loi de Hooke"> On rappelle la loi de Hooke liant l'allongement du ressort <math>\;\Delta l = l - l_0</math> et la tension <math>\;\vec{T}\;</math> que ce dernier exerce sur le point <math>\;M</math>, avec <math>\;R\;</math> l'autre extrémité du ressort, <math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\;\vec{u}_{R\,\rightarrow\,M}\;</math> avec <math>\;\vec{u}_{R\,\rightarrow\,M} = \dfrac{\overrightarrow{RM}}{\Vert \overrightarrow{RM} \Vert}</math>, la nullité de l'allongement du ressort ayant pour conséquence la nullité de la tension exercée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> ou si la longueur du ressort <math>\;l\;</math> est <math>\;=\;</math> à sa longueur à vide <math>\;l_v</math> <br><math>\Bigg[\!\Rightarrow\;2\;</math>positions symétriques l'une de l'autre relativement à <math>\;O</math>, respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}M_{\text{éq},\,g}\\M_{\text{éq},\,d}\end{array}\right\rbrace\;</math> et n'existant que si <math>\;\lambda\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;l_v\;</math><ref> En effet <math>\;l = \Vert \overrightarrow{RM} \Vert = \sqrt{\overrightarrow{RO}^2 + \overrightarrow{OM}^2}\;</math> étant <math>\;\geqslant \Vert \overrightarrow{RO} \Vert = \lambda\;</math> ne peut prendre pour valeur <math>\;l_v\;</math> que si son minimum <math>\;\lambda\;</math> est <math>\;\leqslant\;</math> à <math>\;l_v</math> <math>\;\big[</math>d'après le [[w:Théorème_des_valeurs_intermédaires|théorème des valeurs intermédiaires]], la fonction étant continue et le maximum de cette dernière étant théoriquement infini<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}Le [[w:Théorème_des_valeurs_intermédaires|théorème des valeurs intermédiaires]] peut être énoncé selon « pour toute application continue <math>\;f\;\text{:}\; \left[ a\,,\, b \right]\, \longmapsto\, \mathbb{R}\;</math> et tout réel <math>\;u\;</math> compris entre <math>\;f(a)\;</math> et <math>\;f(b)</math>, il existe au moins un réel <math>\;c\;</math> compris entre <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> tel que <math>\;f(c) = u\;</math>» ;<br>{{Al|3}}son cas particulier connu sous le nom de [[w:Théorème_des_valeurs_intermédaires#Énoncé|théorème de Bolzano]] s'énonce selon « pour toute application continue <math>\;f\;\text{:}\; \left[ a\,,\, b \right]\, \longmapsto\, \mathbb{R}\;</math> telle que le produit <math>\;f(a)\;f(b)\;</math> est <math>\leqslant 0</math>, il existe au moins un réel <math>\;c\;</math> compris entre <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> tel que <math>\;f(c) = 0\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans les deux théorèmes si l'application continue est strictement monotone, elle est donc [[w:Injectivité_(mathématiques)|injective]] et il y a unicité de la valeur de <math>\;c</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Bernard_Bolzano|Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano]] (1781 - 1848)''' ou plus simplement '''[[w:Bernard_Bolzano|Bernard Bolzano]]''' est un mathématicien, logicien, philosophe et théologien allemand <math>\;\big(</math>né, ayant vécu et mort en ce qui est maintenant la Tchéquie<math>\big)</math>, à qui on doit en mathématiques deux théorèmes dont [[w:Théorème_des_valeurs_intermédaires|celui des valeurs intermédiaires]] dont un [[w:Théorème_des_valeurs_intermédaires#Énoncé|cas particulier porte son nom]] et un autre connu sous le nom de [[w:Théorème_de_Bolzano-Weierstrass|théorème de Bolzano-Weierstrass]] en [[w:Topologie|topologie]] des [[w:Espace_métrique|espaces métriques]] dont une démonstration plus rigoureuse fut établie par '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897)]]''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]] <math>\;\big[</math>on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de [[w:Fonction_de_Weierstrass|fonction de Weierstrass]] continue partout et dérivable nulle part<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\Bigg[\!\Rightarrow\;2}\;</math>positions symétriques l'une de l'autre relativement à <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}voir figure <math>2</math> ci-dessous au centre définissant <math>\;M_{\text{éq},\,d}\;</math> et <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\Bigg[\!\Rightarrow\;2}\;</math>positions symétriques l'une de l'autre relativement à <math>\;\color{transparent}{O}</math>, voir }}figure <math>3</math> ci-dessous à droite définissant <math>\;M_{\text{éq},\,g}\;</math> <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\Bigg[\!\Rightarrow\;2}\;</math>positions symétriques l'une de l'autre relativement à <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}toutes deux dans le cas <math>\;\lambda < l_v\Bigg]</math> ; {{Al|5}}il reste à déterminer la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de ces équilibres, ce que nous allons faire géométriquement : * dans le cas <math>\;\lambda > l_v\;</math> il y a « <u>une seule position d'équilibre</u><math>\;O\;</math>» <math>\;\big[</math>voir figure <math>4</math> ci-contre<math>\big]\;</math> et cet équilibre est « <u>stable</u> » en effet si <math>\;M\;</math> est légèrement écarté de <math>\;O\;</math> vers la droite <math>\;\big(</math>ou vers la gauche<math>\big)\;</math> et lâché sans vitesse initiale, il est soumis à une composante horizontale <math>\;\vec{T}_h\;</math> centripète relativement à <math>\;O\;</math> et va donc spontanément se rapprocher de <math>\;O</math> ; * dans le cas <math>\;\lambda < l_v\;</math> il y a « <u>trois positions d'équilibre</u> <math>\;O</math>, <math>\;M_{\text{éq},\,d}\;</math> et <math>\;M_{\text{éq},\,g}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir figures <math>\left( 1\,,\,2\,,\,3 \right)</math> ci-dessous<math>\big]</math>, <br>{{Transparent|dans le cas <math>\;\color{transparent}{\lambda < l_v}\;</math> }}<math>\;O\;</math> est un équilibre « <u>instable</u> » en effet si <math>\;M\;</math> est légèrement écarté de <math>\;O\;</math> vers la droite <math>\;\big(</math>ou vers la gauche<math>\big)\;</math> et lâché sans vitesse initiale <math>\;\big[</math>voir figure <math>1\big]</math>, il est soumis à une composante horizontale <math>\;\vec{T}_h\;</math> centrifuge relativement à <math>\;O\;</math> et va donc spontanément s'éloigner de <math>\;O\;</math> alors que <br>{{Transparent|dans le cas <math>\;\color{transparent}{\lambda < l_v}\;</math> }}<math>\;M_{\text{éq},\,d}\;</math> et <math>\;M_{\text{éq},\,g}\;</math> sont des équilibres « <u>stables</u> » en effet si <math>\;M\;</math> est légèrement écarté de <math>\;M_{\text{éq},\,d}</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;M_{\text{éq},\,g}\big]\;</math> vers la droite <math>\;\big(</math>ou vers la gauche<math>\big)\;</math> et lâché sans vitesse initiale <math>\;\big[</math>voir figures <math>2</math> ou <math>3\big]</math>, il est soumis à une composante horizontale <math>\;\vec{T}_h\;</math> centripète relativement à <math>\;M_{\text{éq},\,d}</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;M_{\text{éq},\,g}\big]\;</math><ref> Plus précisément l'allongement algébrique <math>\;\big(</math>et donc la tension<math>\big)\;</math> du ressort étant nul(le) en <math>\;M_{\text{éq},\,d}</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;M_{\text{éq},\,g}\big]</math>, le déplacement de <math>\;M\;</math> vers la droite de <math>\;M_{\text{éq},\,d}</math> <math>\;\big[</math>ou vers la gauche de <math>\;M_{\text{éq},\,g}\big]</math> étire le ressort d'où le sens de <math>\vec{T}\;</math> vers le point d'attache <math>\;R\;</math> du ressort <math>\;\big(</math>c'est ce cas qui a été représenté sur les deux figures<math>\big)\;</math> alors que le déplacement de <math>\;M\;</math> vers la gauche de <math>\;M_{\text{éq},\,d}</math> <math>\;\big[</math>ou vers la droite de <math>\;M_{\text{éq},\,g}\big]</math> comprime le ressort d'où le sens de <math>\vec{T}\;</math> vers le point <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>cas non représenté, les vecteurs tensions de ressort y seraient de sens contraire à ceux représentés<math>\big)</math>.</ref> et va donc spontanément se rapprocher de la position d'équilibre dont il a été écarté ; [[File:Pendule élastique vertical à oscillations transversales - équilibre.png|left|thumb|300px|Schéma d'un pendule élastique initialement vertical et étiré à extrémités supérieure <math>\;R\;</math> fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, caractère instable de la position d'équilibre <math>\;O</math>]] [[File:Pendule élastique vertical à oscillations transversales - équilibre - ter.png|right|thumb|300px|Schéma d'un pendule élastique initialement vertical et étiré à extrémités supérieure <math>\;R\;</math> fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, caractère stable de la position d'équilibre <math>\;M_{\text{éq, g}}</math>]] [[File:Pendule élastique vertical à oscillations transversales - équilibre - bis.png|center|thumb|300px|Schéma d'un pendule élastique initialement vertical et étiré à extrémités supérieure <math>\;R\;</math> fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, caractère stable de la position d'équilibre <math>\;M_{\text{éq, d}}</math>]] <br> * dans le cas <math>\;\lambda = l_v\;</math> il y a « <u>une seule position d'équilibre</u> <math>\;O\;</math>»<ref> Pour <math>\;\lambda = l_v^{+}\;</math> nous sommes dans le cas de la figure <math>4</math> avec une seule position d'équilibre stable en <math>\;O</math> ;<br>{{Al|3}}pour <math>\;\lambda = l_v^{-}\;</math> les deux positions d'équilibre stables <math>\;M_{\text{éq},\,d}\;</math> et <math>\;M_{\text{éq},\,g}\;</math> tendent toutes deux vers la 3^ème position d'équilibre <math>\;O\;</math> supprimant l'instabilité de cette dernière.</ref> <math>\;\big[</math>identique à la figure <math>4</math> ci-dessus à l'exception de la valeur de la tension du ressort en la position d'équilibre qui est nulle<math>\big]\;</math> et <br>{{Transparent|dans le cas <math>\;\color{transparent}{\lambda = l_v}\;</math> il y a « }}cet équilibre est « <u>stable</u> » <math>\;\big[</math>l'explication étant la même que celle fournie pour <math>\;\lambda > l_v\big]</math>.}} ==== Détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque ==== {{Al|5}}On considère maintenant <math>\;OR = \lambda\;</math> quelconque. {{Al|5}}Déterminer l'expression de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}(x)\;</math> de l'objet <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;k</math>, <math>\;l_v</math>, <math>\;\lambda\;</math> et <math>\;x\;</math> en choisissant sa référence en <math>\;O</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : parmi les forces appliquées au point matériel <math>\;M\;</math> nous ne considérons que le caractère conservatif de la tension <math>\;\vec{T}(M)\;</math> du ressort et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : parmi les forces appliquées au point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> nous ne considérons }}non celle du poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> de <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>qui sera donc considéré comme non conservatif<math>\big)\;</math> car, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : parmi les forces appliquées au point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> nous ne considérons non }}<math>M\;</math> se déplaçant horizontalement, son énergie potentielle de pesanteur dont son poids dériverait ne varierait pas, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : parmi les forces appliquées au point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> nous ne considérons }}la 3^ème force, la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de la tige étant non conservative. {{Al|5}}<u>Expression de l'énergie potentielle élastique du point matériel dont dérive la tension du ressort</u> <math>\;U_{\text{élast}}(x)</math> : le point matériel <math>\;M\;</math> possède donc de l'énergie potentielle élastique associée au caractère conservatif de la tension <math>\;\vec{T}(M)\;</math> du ressort, d'expression <math>\;U_{\text{élast}}(x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( l - l_v \right)^{\!2} + cste\;</math><ref name="expression de l'énergie potentielle élastique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_élastique_»_d'un_point_matériel|énergie potentielle élastique d'un point matériel]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;l\;</math> longueur du ressort c'est-à-dire <math>\;l = \Vert \overrightarrow{RM} \Vert = \sqrt{\lambda^2 + x^2}\;</math> d'où <math>\;U_{\text{élast}}(x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{\lambda^2 + x^2} - l_v \right)^{\!2} + cste</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression de l'énergie potentielle élastique du point matériel dont dérive la tension du ressort <math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(x)}</math> : }}la référence de l'énergie potentielle élastique étant choisie en la position <math>\;O\;</math> nous en déduisons la <math>\;cste\;</math> par <math>\;U_{\text{élast}}(0) = 0\;</math> soit <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda - l_v \right)^2 + cste = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = -\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda - l_v \right)^2\;</math> et finalement l'expression de l'énergie potentielle élastique du point <math>\;M\;</math> s'écrit <center><math>\;U_{\text{élast}}(x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{\lambda^2 + x^2} - l_v \right)^{\!2} - \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda - l_v \right)^2</math>.</center>}} ==== Tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque ==== {{Al|5}}Vérifier que l'allure des diagrammes d'énergie potentielle élastique de l'objet <math>\;M\;</math> diffère suivant que <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\lambda < l_v\\ \lambda \geqslant l_v\end{array}\right\rbrace\;</math> et {{Al|5}}représenter chaque type de profil d'énergie potentielle élastique <math>\;\big(</math>pour <math>\;\lambda \geqslant l_v\;</math> tracer un profil associé à <math>\;\lambda > l_v\;</math> et celui associé à <math>\;\lambda = l_v\big)</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Pour vérifier que l'allure des diagrammes d'énergie potentielle élastique de l'objet <math>\;M\;</math> diffère suivant que <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\lambda < l_v\\ \lambda \geqslant l_v\end{array}\right\rbrace</math>, on devrait étudier le signe de <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}(x)\;</math> et pour cela on serait amené à rechercher, entre autres, les zéros de cette dernière ; or <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}(x)\;</math> étant, par définition, la composante horizontale de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ U_{\text{élast}} \right]\!(x) = -\vec{T}(M)\;</math><ref name="lien entre énergie potentielle et force associée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit finalement <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}(x) = -\vec{T}_h \cdot \vec{u}_x\;</math> <math>\Rightarrow</math> les zéros de <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}(x)\;</math><ref> C.-à-d. les valeurs de stationnarité de <math>\;U_{\text{élast}}(x)\;</math> correspondant ici à des maxima ou des minima.</ref> sont les abscisses <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> des positions d'équilibre, lesquelles, étant de quantités différentes suivant que <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\lambda < l_v\\ \lambda \geqslant l_v\end{array}\right\rbrace</math>, conduisent effectivement à des allures différentes des diagrammes d'énergie potentielle élastique correspondants ; [[File:Pendule élastique vertical à oscillations transversales - profils d'énergie potentielle.png|thumb|450px|Diagrammes d'énergie potentielle d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure <math>\;R\;</math> fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, tracés suivant que le ressort dans son état initial vertical est comprimé, à vide ou étiré]] {{Al|5}}on observe donc * pour <math>\;\lambda < l_v</math> : un maximum associé à l'équilibre instable en <math>\;O\;</math> donc d'abscisse <math>\;0</math> <math>\;\big(</math>l'énergie potentielle élastique y étant nulle<math>\big)\;</math> et <br>{{Transparent|pour <math>\;\color{transparent}{\lambda < l_v}</math> : }}deux minima associés aux équilibres stables en <math>\;M_{\text{éq},\,d}\;</math> et <math>\;M_{\text{éq},\,g}\;</math> d'abscisses respectives <math>\;x_{\text{éq},\,d} > 0\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,g} =</math> <math>-x_{\text{éq},\,d} < 0</math> <math>\;\bigg\{</math>l'énergie potentielle élastique y étant de valeurs identiques<ref> En effet l'énergie potentielle élastique étant une fonction paire de <math>\;x\;</math> et les abscisses des positions d'équilibres stables étant opposées, ses valeurs y sont les mêmes.</ref> <math>\;<\;</math> à celle en l'abscisse nulle de valeur nulle, donc y étant de valeurs identiques <math>\;< 0\;</math> égales à <math>\;\cancel{\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{\lambda^2 + x^2} - l_v \right)^{\!2}}\; - \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda - l_v \right)^2</math>, le ressort y étant ni étiré ni comprimé<math>\bigg\}</math> <br>{{Transparent|pour <math>\;\color{transparent}{\lambda < l_v}</math> : }}on remarque aussi que, pour <math>\;\vert x \vert > x_{\text{éq},\,d}\;</math> la dérivée <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}(x)\;</math> ne s'annulant plus<ref name="dérivée de l'énergie potentielle s'annulant aux équilibres"> Car <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}(x)\;</math> ne s'annule que pour les positions d'équilibre.</ref> <math>\;\bigg(\!</math>plus précisément restant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\;\;\text{pour }\;x > x_{\text{éq},\,d}\\ < 0\;\;\text{pour }\;x < x_{\text{éq},\,g}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> La composante motrice étant de rappel c.-à-d. pour <math>\;x > x_{\text{éq},\,d}</math>, <math>\;T_x(x) < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}(x) = -T_x(x) > 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|La composante motrice étant de rappel c.-à-d. }}pour <math>\;x < x_{\text{éq},\,g} = -x_{\text{éq},\,d}</math>, <math>\;T_x(x) > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}(x) = -T_x(x) < 0</math>.</ref>, <math>\;U_{\text{élast}}(x) \nearrow\;</math> en tendant vers <math>\;+\infty\;</math> pour <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r l r l} x\; \nearrow \!\!&\!\!\text{de } \!\!&\!\!x_{\text{éq},\,d} \!\!&\!\!\text{à }+\infty\\ -x\; \nearrow \!\!&\!\!\text{de } \!\!&\!\!-x_{\text{éq},\,g} \!\!&\!\!\text{à }+\infty\end{array}\right\rbrace</math>, <br>{{Transparent|pour <math>\;\color{transparent}{\lambda < l_v}</math> : }}voir le diagramme ci-contre en rouge, * pour <math>\;\lambda \geqslant l_v</math> : un minimum correspondant à l'équilibre stable en <math>\;O\;</math> donc d'abscisse <math>\;0</math> <math>\;\big(</math>l'énergie potentielle élastique y étant nulle, celle-ci reste <math>\;\geqslant\;0\;\forall\; x\big)</math>, la dérivée <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}(x)\;</math> ne s'annulant nulle part ailleurs<ref name="dérivée de l'énergie potentielle s'annulant aux équilibres" />, <math>\;U_{\text{élast}}(x) \nearrow\;</math> en tendant vers <math>\;+\infty\;</math> pour <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r l r l} x\; \nearrow \!\!&\!\!\text{de } \!\!&\!\!0 \!\!&\!\!\text{à }+\infty\\ -x\; \nearrow \!\!&\!\!\text{de } \!\!&\!\!0 \!\!&\!\!\text{à }+\infty\end{array}\right\rbrace</math>, <br>{{Transparent|pour <math>\;\color{transparent}{\lambda \geqslant l_v}</math> : }}voir les diagrammes ci-contre en bleu pour <math>\;\lambda > l_v\;</math> et <br>{{Transparent|pour <math>\;\color{transparent}{\lambda \geqslant l_v}</math> : voir les diagrammes ci-contre }}en vert pour <math>\;\lambda = l_v</math> <math>\;\big[</math>ce dernier se distingue légèrement du 1^er par le fait que la <br>{{Transparent|pour <math>\;\color{transparent}{\lambda \geqslant l_v}</math> : voir les diagrammes ci-contre en vert pour <math>\;\color{transparent}{\lambda = l_v}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}variation de l'énergie potentielle élastique avec <math>\;x\;</math> au voisinage de la position d'équilibre est plus lente<math>\big]</math>.}} ==== Détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque ==== {{Al|5}}Déterminer les abscisses des positions d'équilibre <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> de l'objet <math>\;M\;</math> en distinguant les deux cas <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\lambda < l_v\\ \lambda \geqslant l_v\end{array}\right\rbrace\;</math> et {{Al|5}}préciser, dans chaque cas, si la position d’équilibre est stable ou non. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Nous avons établi graphiquement que <math>\;x = 0\;</math> était une 1^ère abscisse de position d'équilibre pour tout <math>\;\lambda = OR\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi graphiquement }}que pour <math>\;\lambda < l_v</math>, il y avait deux autres abscisses de positions d'équilibre notées respectivement <math>\;x_{\text{éq},\,d}\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,g}\;</math> déterminées par <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} l_{\text{éq},\,d} = l_v \\ l_{\text{éq},\,g} = l_v\end{array} \right\rbrace\;</math> soit, {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi graphiquement }}<math>\succ\;</math>avec <math>\;l_{\text{éq},\,d} = \sqrt{\lambda^2 + x_{\text{éq},\,d}^2}\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,d} > 0</math>, «<math>\;x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi graphiquement }}<math>\succ\;</math>avec <math>\;l_{\text{éq},\,g} = \sqrt{\lambda^2 + x_{\text{éq},\,g}^2}\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,g} < 0</math>, «<math>\;x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math>» ; {{Al|5}}pour les déterminer algébriquement il faut trouver les zéros de <math>\;\vec{T}_h = T_x\;\vec{u}_x\;</math> avec <math>\;T_x = -\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}(x)\;</math> et <math>\;U_{\text{élast}}(x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{\lambda^2 + x^2} - l_v \right)^{\!2} - \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda - l_v \right)^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour les déterminer algébriquement il faut trouver les zéros de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}_h = T_x\;\vec{u}_x}\;</math> avec }}<math>\;T_x = -\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}(x) = -\left\lbrace k\, \left( \sqrt{\lambda^2 + x^2} - l_v \right)\,\dfrac{2\;x}{2\;\sqrt{\lambda^2 + x^2}} \right\rbrace = -k\;x\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{\lambda^2 + x^2}} \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour les déterminer algébriquement il faut trouver les zéros de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}_h = T_x\;\vec{u}_x}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{T_x}</math> }}qui s'annule effectivement <math>\blacktriangleright\;</math>en «<math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;\;\forall\;\lambda\;</math>» et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour les déterminer algébriquement il faut trouver les zéros de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}_h = T_x\;\vec{u}_x}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{T_x}</math> qui s'annule effectivement }}<math>\blacktriangleright\;</math>sous conditions, en <math>\;x_{\text{éq},\,d} > 0\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,g} < 0\;</math> de même valeur absolue <math>\;x_{\text{éq},\,2} > 0\;</math> telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour les déterminer algébriquement il faut trouver les zéros de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}_h = T_x\;\vec{u}_x}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{T_x}</math> qui s'annule effectivement <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\;\sqrt{\lambda^2 + x_{\text{éq},\,2}^2} = l_v\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x_{\text{éq},\,2} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math> n'existant en étant <math>\;\neq 0\;</math> que pour <math>\;\lambda < l_v\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour les déterminer algébriquement il faut trouver les zéros de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}_h = T_x\;\vec{u}_x}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{T_x}</math> qui s'annule effectivement <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}les deux autres zéros conditionnels «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\\x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\end{array}\right\rbrace\;\text{si }\;\lambda < l_v\;</math>». {{Al|5}}Ces équilibres sont instables dans la mesure où la force « motrice » <math>\;\vec{T}_h = T_x\;\vec{u}_x\;</math> est une composante « répulsive » et {{Al|5}}{{Transparent|Ces équilibres sont in}}stables dans la mesure où la force « motrice » <math>\;\vec{T}_h = T_x\;\vec{u}_x\;</math> est une composante « de rappel » ; {{Al|5}}{{Transparent|Ces équilibres sont instables }}pour justifier algébriquement la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> il convient de calculer <math>\;\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq}})\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Ces équilibres sont instables pour justifier algébriquement }}<math>\succ\;</math>la stabilité est validée en constatant sa négativité de <math>\;\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq}})\;</math> c'est-à-dire <math>\;\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq}}) < 0\;</math><ref name="méthode de détermination algébrique de la stabilité d'un équilibre en terme de force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Cas_d'une_force_«_motrice_»_unidirectionnelle_selon_l'axe_x'x_2|cas d'une force motrice unidirectionnelle selon l'axe x'x]] (résumé de l'étude) » de détermination de la stabilité d'un équilibre en terme de force du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou, {{Al|5}}{{Transparent|Ces équilibres sont instables pour justifier algébriquement <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la stabilité est validée }}si <math>\;\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq}}) = 0</math>, en constatant la nullité de <math>\;\dfrac{d^2 T_x}{dx^2}(x_{\text{éq}})\;</math> avec <math>\;\dfrac{d^3 T_x}{dx^3}(x_{\text{éq}}) < 0\;</math><ref name="méthode de détermination algébrique de la stabilité d'un équilibre en termes de force" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Ces équilibres sont instables pour justifier algébriquement }}<math>\succ\;</math>l'instabilité est validée en constatant la positivité de <math>\;\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq}})\;</math> c'est-à-dire <math>\;\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq}}) > 0\;</math><ref name="méthode de détermination algébrique de la stabilité d'un équilibre en termes de force" /> ou, {{Al|5}}{{Transparent|Ces équilibres sont instables pour justifier algébriquement <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'instabilité est validée }}si <math>\;\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq}}) = 0</math>, en constatant la nullité de <math>\;\dfrac{d^2 T_x}{dx^2}(x_{\text{éq}})\;</math> avec <math>\;\dfrac{d^3 T_x}{dx^3}(x_{\text{éq}}) > 0\;</math><ref name="méthode de détermination algébrique de la stabilité d'un équilibre en termes de force" /> ; {{Al|5}}<u>mise en œuvre</u> : <math>\;\dfrac{d T_x}{dx}(x) = -k\,\left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{\lambda^2 + x^2}} \right) - k\;x\, \left[ \dfrac{1}{2}\; \dfrac{l_v\;2\;x}{\left( \lambda^2 + x^2 \right)^{\!\frac{3}{2}}} \right] = -k\, \left[ 1 - l_v\;\dfrac{\lambda^2}{\left( \lambda^2 + x^2 \right)^{\!\frac{3}{2}}} \right]\;</math> d'où : {{Al|5}}{{Transparent|mise en œuvre : }}<math>\succ\;</math>pour <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> nous obtenons «<math>\;\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq},\,1}) = -k\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\lambda} \right) \left\lbrace \begin{array}{l c l} < 0 \!\!&\!\! \text{si} \!\!&\!\! \lambda > l_v\\ = 0 \!\!&\!\! \text{si} \!\!&\!\! \lambda = l_v\\> 0 \!\!&\!\! \text{si} \!\!&\!\! \lambda < l_v\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « équilibre <math>\;\left\lbrace\begin{array}{r c l}\text{stable} \!\!&\!\! \text{si} \!\!&\!\! \lambda > l_v\\ \text{? }\;\;\;\; \!\!&\!\! \text{si} \!\!&\!\! \lambda = l_v\\ \text{instable} \!\!&\!\! \text{si} \!\!&\!\! \lambda < l_v\end{array}\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|mise en œuvre : }}<math>\succ\;</math>pour <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2} = x_{\text{éq},\,2}\\x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2} = -x_{\text{éq},\,2}\end{array}\right\rbrace\;\;\text{avec }\;\lambda < l_v</math>, nous obtenons <math>\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq},\,2}) = -k\, \left( 1 - \dfrac{\lambda^2}{l_v^2} \right) < 0\;</math><ref> On rappelle que <math>\;\lambda\;</math> doit être <math>\;<\;</math> à <math>\;l_v\;</math> pour que ces équilibres existent.</ref> d'où la « stabilité des deux équilibres <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\\x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}<u>cas particulier</u> : équilibre <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> pour <math>\;\lambda = l_v</math> : <math>\;\dfrac{d T_{x,\,\lambda = l_v}}{dx}(x) = -k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v^3}{\left( l_v^2 + x^2 \right)^{\!\frac{3}{2}}} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d^2 T_{x,\,\lambda = l_v}}{dx^2}(x) = -k\, \left[ \dfrac{3}{2}\; \dfrac{l_v^3\;2\;x}{\left( l_v^2 + x^2 \right)^{\!\frac{5}{2}}} \right] = -k\;\dfrac{3\;l_v^3\;x}{\left( l_v^2 + x^2 \right)^{\!\frac{5}{2}}}\;</math> soit effectivement <math>\;\dfrac{d^2 T_{x,\,\lambda = l_v}}{dx^2}(x_{\text{éq},\,1}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 T_{x,\,\lambda = l_v}}{dx^3}(x) = -3\;k\;l_v^3\, \left[ \dfrac{1}{\left( l_v^2 + x^2 \right)^{\!\frac{5}{2}}} - \dfrac{5}{2}\;\dfrac{x\;2\;x}{\left( l_v^2 + x^2 \right)^{\!\frac{7}{2}}} \right] = -3\;k\;l_v^3\;\dfrac{l_v^2 - 4\;x^2}{\left( l_v^2 + x^2 \right)^{\!\frac{7}{2}}}\;</math> donnant <math>\;\dfrac{d^3 T_{x,\,\lambda = l_v}}{dx^3}(x_{\text{éq},\,1}) =</math> <math>-\dfrac{3\;k}{l_v^2} < 0\;</math> et par suite assurant la « stabilité de l'équilibre <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> pour <math>\;\lambda = l_v\;</math>».}} ==== Représentation des abscisses d'équilibre x_éq de M en fonction du paramètre λ avec précision de leur stabilité, notion de bifurcation fourche ==== {{Al|5}}Représenter, sur un même diagramme, les abscisses d'équilibre <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> de l'objet <math>\;M\;</math> en fonction du paramètre <math>\;OR = \lambda\;</math> caractérisant le système, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Représenter, sur un même diagramme, }}on indiquera nettement sur ce graphe <math>\;\big(</math>par exemple à l'aide de couleurs différentes<math>\big)\;</math> la nature de l'équilibre <math>\;\big(</math>stabilité ou instabilité<math>\big)</math>. {{Al|5}}Tenter alors de justifier le nom donné à la bifurcation <math>\;\big(</math>observée en <math>\;\lambda = l_v\big)\;</math> « bifurcation fourche ». {{Solution | contenu = [[File:Pendule élastique vertical à oscillations transversales - diagramme de bifurcation fourche.png|thumb|450px|Diagramme de bifurcation représentant les abscisses d'équilibre d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure <math>\;R\;</math> fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale avec leur stabilité <math>\;\big(</math>ou instabilité<math>\big)\;</math> suivant la distance verticale séparant la tige de <math>\;R</math>]] {{Al|5}}Voir ci-contre le « diagramme de bifurcation » représentant les abscisses <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> d'équilibre du point matériel <math>\;M\;</math> suivant le paramètre <math>\;\lambda = OR\;</math> caractérisant le système, {{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}l'état de « stabilité » de l'équilibre étant indiqué en traits pleins rouges et {{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}celui d'« instabilité » en traits pointillés bleus. {{Al|5}}« <u>Une bifurcation</u> dans un diagramme représentant les abscisses d'équilibre du point matériel d'un système en fonction du paramètre caractérisant le système étudié » est « <u>la valeur de ce paramètre correspondant à un changement de nombre de positions d'équilibre</u> », {{Al|5}}{{Transparent|« Une bifurcation }}elle peut aussi, « quand une position d'équilibre existe pour toute valeur du paramètre », être « <u>la valeur de celui-ci accompagnant la modification de stabilité de cet équilibre</u> » : {{Al|5}}ainsi, dans le diagramme ci-contre, <math>\;\lambda = l_v\;</math> est une bifurcation car * d'une part cette valeur correspond à un changement de nombre de positions d’équilibre <math>\;\big(</math>passant de trois à une quand <math>\;\lambda\;</math> traverse <math>\;l_v\;</math> en <math>\;\nearrow\big)\;</math> et * d'autre part l'abscisse <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> existe pour toute valeur de <math>\;\lambda\;</math> avec une modification de stabilité lors de la traversée de la bifurcation <math>\;\big(</math>passant de l'instabilité à la stabilité quand <math>\;\lambda\;</math> traverse <math>\;l_v\;</math> en <math>\;\nearrow\big)</math> <math>\;\big[</math>une conséquence de ce 2^ème aspect de la bifurcation est que cette dernière caractérise un changement de positions d'équilibre stable <math>\;\big(</math>passant de deux équilibres stables d'abscisses <math>\;\neq 0\;</math> à un équilibre stable d'abscisse <math>\;= 0\;</math> quand <math>\;\lambda\;</math> traverse <math>\;l_v\;</math> en <math>\;\nearrow\big)\big]</math>. {{Al|5}}La présence d'une bifurcation dans le graphe <math>\;x_{\text{éq}} = x_{\text{éq}}(\lambda)\;</math> fait que ce dernier est parfois appelé « diagramme de bifurcation » ou simplement « bifurcation » par abus de langage et ce diagramme ayant effectivement l'allure d'une fourche au voisinage de <math>\;\lambda = l_v\;</math>, il définit une « bifurcation fourche ».}} ==== Bifurcation à symétrie brisée ==== {{Al|5}}On dit également de cette bifurcation qu'elle est « à symétrie brisée » ; tenter de justifier cette propriété. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Cette bifurcation est dite « à symétrie brisée » car <math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;\lambda > l_v</math>, la position d'équilibre stable étant <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette bifurcation est dite « à symétrie brisée » car <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\;\color{transparent}{\lambda > l_v}</math>, }}les oscillations autour de cette dernière se fait de façon symétrique relativement à <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette bifurcation est dite « à symétrie brisée » car }}<math>\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;\lambda < l_v</math>, il y a deux positions d'équilibre stable <math>\;x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette bifurcation est dite « à symétrie brisée » car <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour <math>\;\color{transparent}{\lambda < l_v}</math>, }}les oscillations autour de chaque position d'équilibre ne se font pas de façon symétrique relativement à l'abscisse de l'équilibre considéré d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette bifurcation est dite « à symétrie brisée » car }}une brisure de symétrie.}} === Étude de deux variantes du système === ==== Introduction d'un 2^ème ressort idéal positionné symétriquement au 1^er relativement à la tige horizontale ==== {{Al|5}}Le point matériel <math>\;M\;</math> est également relié à un 2^ème ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> identique au 1^er, fixé lui aussi sur l'axe <math>\;Oy\;</math> à une distance <math>\;\lambda\;</math> de la tige mais symétriquement à <math>\;R\;</math> par rapport à l'axe <math>\;Ox</math>. {{Al|5}}Préciser, succinctement, les modifications entraînées par la présence de ce 2^ème ressort par rapport à l'étude précédente. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Si le point matériel <math>\;M\;</math> est relié à deux ressorts idéaux<ref name="ressort idéal" /> identiques situés de part et d'autre de la tige, respectivement reliés à deux points fixes <math>\;R\;</math> et <math>\;R'\;</math> symétriques par rapport à la tige <math>\;Ox\;</math> sur laquelle le point peut se déplacer sans frottement, il faut ajouter, aux forces précédemment introduites<ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_qualitative_du_nombre_de_positions_d'équilibre_et_de_la_stabilité_de_celles-ci_(détermination_graphique)_quand_λ_varie_à_partir_de_sa_valeur_initiale_lv|détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale l_v]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, la tension <math>\;\vec{T'}\;</math> du ressort inférieur qui est la symétrique de la tension <math>\;\vec{T}\;</math> du ressort supérieur ; {{Al|5}}il faut donc remplacer la composante « motrice » <math>\;\vec{T}_h\;</math> par la nouvelle composante « motrice » <math>\;\vec{T}_h + \vec{T'}_h = 2\;\vec{T}_h\;</math> <math>\Big[\vec{T}\;</math> et <math>\;\vec{T'}\;</math> étant symétriques par rapport à la tige horizontale <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{T}_h = \vec{T'}_h\Big]</math> d'où {{Al|5}}le problème avec deux ressorts idéaux<ref name="ressort idéal" /> identiques situés de part et d'autre de la tige s'avère être identique à celui avec un seul ressort résolu précédemment <br>{{Al|9}}{{Transparent|le problème avec deux ressorts idéaux identiques situés de part et d'autre de la tige s'avère être identique }}à condition de remplacer <math>\;k\;</math> par <math>\;2\;k</math>, ceci ne modifiant pas les positions d'équilibre ainsi que <br>{{Al|9}}{{Transparent|le problème avec deux ressorts idéaux identiques situés de part et d'autre de la tige s'avère être identique à condition de remplacer <math>\;\color{transparent}{k}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{2\;k}</math>, ceci ne modifiant pas }}leur stabilité <math>\;\big(</math>ou instabilité<math>\big)\;</math><ref> La seule modification étant la valeur de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}(x)\;</math> qui est remplacée par <math>\;2\;U_{\text{élast}}(x)</math>.</ref>.}} ==== Légère inclinaison de la tige relativement à l'horizontale ==== {{Al|5}}Le point matériel <math>\;M\;</math> n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal<ref name="ressort idéal" />, mais la tige, et donc aussi son axe <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>, ne sont plus tout à fait horizontaux : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal, }}ils sont inclinés par rapport à l'horizontale d'un petit angle <math>\;\theta\;</math> obtenu en faisant tourner <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math> non déplacé, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal, }}la distance orthogonale du point <math>\;R\;</math> à la tige étant notée <math>\;\lambda' = \Vert \overrightarrow{RO} \Vert\;\cos(\theta) = \lambda\;\cos(\theta)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal, }}l'origine de l'axe de la tige étant maintenant choisie en <math>\;O'\;</math> projeté orthogonal de <math>\;R\;</math> sur la tige d'où <math>\;\lambda' = \Vert \overrightarrow{RO'} \Vert\;</math><ref> Et <math>\;\overline{OO'} = \lambda\;\sin(\theta)</math>.</ref> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal, }}l'abscisse du point matériel <math>\;M\;</math> notée <math>\;x'\;</math><ref name="abscisse x'"> Son lien avec l'abscisse <math>\;x\;</math> mesurée à partir de <math>\;O\;</math> étant <math>\;x' = x - \overline{OO'} = x - \lambda\;\sin(\theta)</math>.</ref>. {{Al|5}}Corriger l'expression de l'énergie potentielle de l'objet <math>\;M\;</math> en tenant compte de son énergie potentielle de pesanteur <br>{{Al|4}}{{Transparent|Corriger l'expression de l'énergie potentielle de l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<math>\big[</math>son énergie potentielle élastique étant inchangée à condition de substituer <math>\;\lambda'\;</math> à <math>\;\lambda\;</math> ainsi que <math>\;x'\;</math> à <math>\;x</math>, sa référence étant choisie en <math>\;O'\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Corriger l'expression de l'énergie potentielle de l'objet <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}on notera <math>\;U_{\text{oscill}}(x')\;</math> l'énergie potentielle corrigée de <math>\;M\;</math> avec référence en <math>\;O'</math>. {{Al|5}}Tracer l'allure du profil d'énergie potentielle <math>\;U_{\text{oscill}}(x')\;</math> de l'objet <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;x'\;</math> dans le cas où <math>\;\lambda' < l_v</math>. {{Al|5}}Quelle est la conséquence principale sur les positions d'équilibre dans ce cas ? {{Solution | contenu = [[File:Pendule élastique à oscillations transversales.png|thumb|400px|Schéma d'un pendule élastique à extrémités supérieure <math>\;R\;</math> fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> pouvant se déplacer sans frottement sur une tige inclinée de <math>\;\theta\;</math> sur l'horizontale]] {{Al|5}}Ci-contre le nouveau schéma décrivant le système étudié tenant compte de l'inclinaison de la tige initialement horizontale et des modifications de notations de paramètres ; {{Al|5}}le bilan des forces appliquées au point matériel <math>\;M\;</math> <math>\big(</math>non représentées sur le schéma ci-contre<math>\big)\;</math> comprend * une force n'ayant aucune composante dans la direction possible de son mouvement et n'étant donc pas à considérer pour la recherche de ses positions d'équilibre, c'est la réaction <math>\;\vec{R} = R_y\;\vec{u}_y\;</math> de la tige, <math>\;\perp\;</math> à cette dernière en absence de frottement solide et * deux forces ayant chacune une composante dans la direction possible du mouvement de <math>\;M\;</math> et donc à considérer pour la recherche de ses positions d'équilibre, ce sont <br><math>\;\succ\;</math>la tension <math>\;\vec{T} = T_x\;\vec{u}_x + T_y\;\vec{u}_y\;</math> du ressort, la composante <math>\;\vec{T}_{\text{mot}} = T_x\;\vec{u}_x\;</math> étant la composante « motrice »<ref name="motrice" /> et l'autre composante <math>\;\vec{T}_{\text{non mot}} = T_y\;\vec{u}_y\;</math> n'intervenant pas dans le recherche des équilibres possibles<ref name="compensation naturelle des composantes non motrices"> Les trois composantes <math>\;\perp\;</math> à la tige à savoir <math>\;\vec{R}</math>, <math>\;\vec{T}_{\text{non mot}}\;</math> et <math>\;\left[ m\;\vec{g} \right]_{\text{non mot}}\;</math> se compensant naturellement en absence de mouvement selon cette direction c.-à-d. <math>\;\vec{R} + \vec{T}_{\text{non mot}} + \left[ m\;\vec{g} \right]_{\text{non mot}} = \vec{0}</math>.</ref> ainsi que <br><math>\;\succ\;</math>le poids <math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\sin(\theta)\;\vec{u}_x - m\;g\;\cos(\theta)\;\vec{u}_y\;</math> du point <math>\;M</math>, la composante <math>\;\left[ m\;\vec{g} \right]_{\text{mot}} = -m\;g\;\sin(\theta)\;\vec{u}_x\;</math> étant la composante « motrice »<ref name="motrice" /> et l'autre composante <math>\;\left[ m\;\vec{g} \right]_{\text{non mot}} = -m\;g\;\cos(\theta)\;\vec{u}_y\;</math> n'intervenant pas dans le recherche des équilibres possibles<ref name="compensation naturelle des composantes non motrices" />. {{Al|5}}Parmi les forces appliquées au point matériel <math>\;M\;</math> il y a deux forces conservatives, la tension <math>\;\vec{T}(M)\;</math> du ressort et le poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> de <math>\;M</math>, la 3^ème force, la réaction <math>\;\vec{R}\;</math> de la tige, étant non conservative. {{Al|5}}<u>Rappel de l'expression de l'énergie potentielle élastique du point matériel dont dérive la tension du ressort</u> <math>\;U_{\text{élast}}(x')</math> : le point matériel <math>\;M\;</math> d'abscisse <math>\;x'\;</math><ref name="abscisse x'" /> possède donc de l'énergie potentielle élastique associée au caractère conservatif de la tension <math>\;\vec{T}(M)\;</math> du ressort et son expression est celle trouvée précédemment à condition d'y substituer <math>\;x'\;</math><ref name="abscisse x'" /> à <math>\;x</math>, <math>\;\lambda'\;</math> à <math>\;\lambda\;</math> et de choisir sa référence en <math>\;O'</math> c'est-à-dire <center>«<math>\;U_{\text{élast}}(x') = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}^2} - l_v \right)^{\!\!2} - \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda' - l_v \right)^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<u>expression de l'énergie potentielle de pesanteur du point matériel</u> <math>\;U_{\text{pes}}(x')</math> : si on choisit de repérer temporairement le point matériel <math>\;M\;</math> par sa cote <math>\;z'\;</math> sur un axe vertical <math>\;\uparrow\;</math> passant par <math>\;O'\;</math> choisi pour référence de l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M</math>, on peut écrire <math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\;g\;z'\;</math><ref name="énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;z' = x'\;\sin(\theta)\;</math> d'où «<math>\;U_{\text{pes}}(x') = m\;g\;\sin(\theta)\;x'\;</math>» ; {{Al|5}}<u>expression de l'énergie potentielle d'oscillations du point matériel</u> <math>\;U_{\text{oscill}}(x') = U_{\text{élast}}(x') + U_{\text{pes}}(x')</math> soit <center>«<math>\;U_{\text{oscill}}(x') = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}^2} - l_v \right)^{\!\!2} - \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda' - l_v \right)^2 + m\;g\;\sin(\theta)\;x'\;</math>» avec référence en <math>\;O'</math>.</center> {{Al|5}}Les abscisses <math>\;{x'}_{\text{éq}}\;</math> des positions d'équilibre du point matériel <math>\;M\;</math> étant les valeurs de la variable <math>\;x'\;</math> rendant son énergie potentielle d'oscillations <math>\;U_{\text{oscill}}(x')\;</math> stationnaire, nous en déduisons que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les abscisses }}<math>\;{x'}_{\text{éq}}\;</math> sont les zéros de <math>\;\dfrac{d U_{\text{oscill}}}{dx'}(x')\;</math> soit <math>\;\dfrac{d U_{\text{oscill}}}{dx'}({x'}_{\text{éq}}) = 0</math> ; {{Al|6}}{{Transparent|Les abscisses <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq}}}\;</math> sont les zéros }}or <math>\;\dfrac{d U_{\text{oscill}}}{dx'}(x') = \dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx'}(x') + \dfrac{d U_{\text{pes}}}{dx'}(x')\;</math> avec <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx'}(x') = k\;x'\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}^2}} \right)\;</math><ref> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_algébrique_des_abscisses_d'équilibre_xéq_de_M_et_vérification_de_leur_stabilité_(de_façon_algébrique)_suivant_les_valeurs_de_λ_quelconque|détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque]] » plus haut dans l'exercice sans oublier de substituer <math>\;x'\;</math> à <math>\;x\;</math> et <math>\;\lambda'\;</math> à <math>\;\lambda</math>.</ref> et <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{dx'}(x') = m\;g\;\sin(\theta)\;</math> d'où <math>\;{x'}_{\text{éq}}\;</math> définies par <center>«<math>\;k\;{x'}_{\text{éq}}\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq}}^2}} \right) + m\;g\;\sin(\theta) = 0\;</math>»<ref> Représentant aussi la nullité de la résultante des composantes « motrices » à l'équilibre car <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx'}(x') = -\vec{T}_{\text{mot}} \cdot \vec{u}_x\;</math> d'une part et d'autre part <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{dx'}(x') = -\left[ m\;\vec{g} \right]_{\text{mot}} \cdot \vec{u}_x</math>.</ref> ou encore <br>«<math>\;{x'}_{\text{éq}}\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq}}^2}} \right) = -\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k}\;</math>»<ref name="modification de l'équation de détermination de xéq relativement au cas horizontal"> Cette équation «<math>\;{x'}_{\text{éq}}\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq}}^2}} \right) = -\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k}\;</math>» dans le cas de la tige inclinée remplaçant celle dans le cas de la tige horizontale «<math>\;x_{\text{éq}}\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{\lambda^2 + x_{\text{éq}}^2}} \right)</math> {{Nobr|<math>= 0\;</math>»}} voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_algébrique_des_abscisses_d'équilibre_xéq_de_M_et_vérification_de_leur_stabilité_(de_façon_algébrique)_suivant_les_valeurs_de_λ_quelconque|détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque]] » plus haut dans cet exercice.</ref> ;{{Transparent|ou encore }}</center> {{Al|5}}constatant que la seule modification de l'équation de détermination des abscisses d'équilibre, dans le cas <math>\;\lambda' = \lambda\;\cos(\theta) < l_v</math>, est le 2^nd membre <math>\;-\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k}\;</math><ref name="modification de l'équation de détermination de xéq relativement au cas horizontal" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|constatant que la seule modification de l'équation de détermination des abscisses d'équilibre, dans le cas <math>\;\color{transparent}{\lambda' = \lambda\;\cos(\theta) < l_v}</math>, est }}lequel reste petit en valeur absolue dans la mesure où l'inclinaison <math>\;\theta\;</math> l'est, <br>{{Al|5}}{{Transparent|constatant }}nous admettons que cela ne change pas le nombre de positions d'équilibre mais que ces dernières s'en trouvent simplement légèrement décalées, ainsi <br>{{Al|5}}{{Transparent|constatant nous admettons }}il y a toujours trois positions d'équilibre<ref name="modifications de xéq relativement au cas horizontal"> En effet, dans le cas de la tige horizontale, l'équation <math>\;x_{\text{éq}}\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{\lambda^2 + x_{\text{éq}}^2}} \right) = 0\;</math> a pour solutions, dans le cas <math>\;\lambda < l_v</math>, <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left\lbrace x_{\text{éq},\,d} > 0\,;\,x_{\text{éq},\,g} < 0 \right\rbrace\;</math> de même valeur absolue <math>\;x_{\text{éq},\,2} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}</math>, voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_algébrique_des_abscisses_d'équilibre_xéq_de_M_et_vérification_de_leur_stabilité_(de_façon_algébrique)_suivant_les_valeurs_de_λ_quelconque|détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, l'une <math>\;{x'}_{\text{éq},\,1}\;</math> restant proche de <math>\;0\;</math><ref name="modifications de xéq relativement au cas horizontal" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|constatant nous admettons il y a toujours trois positions d'équilibre, }}les deux autres <math>\;\left\lbrace {x'}_{\text{éq},\,d} > 0\,;\,{x'}_{\text{éq},\,g} < 0 \right\rbrace</math>, chacune assez nettement <math>\;\neq 0\;</math><ref name="modifications de xéq relativement au cas horizontal" /> : * <u>expression de</u><math>\;{x'}_{\text{éq},\, 1}\;</math> : supposant <math>\;\theta > 0\;</math> et <math>\;\vert {x'}_{\text{éq},\,1} \vert\;</math> de même ordre de grandeur que <math>\;\bigg\vert -\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k} \bigg\vert = \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k}\;</math> et, plus précisément, supposant <br>{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, 1}}\;</math> : supposant }}<math>\;\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k} \ll \lambda'\;</math> correspondant à <math>\;\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'} \ll 1\;</math> considéré comme infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petits d'ordre successif"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordre successif]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ainsi que <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'}\;</math> de même ordre de grandeur, <br>{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, 1}}\;</math> : }}l'équation de détermination de <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'}\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'}\,\left\lbrace 1 - \dfrac{l_v}{\lambda'}\, \left[ 1 + \left( \dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'} \right)^{\!\!2} \right]^{-\frac{1}{2}} \right\rbrace = -\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;</math> soit, en se limitant à l'ordre un en <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'}</math>, <br>{{Al|1}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, 1}}\;</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,1}}\;</math> se réécrit }}<math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'}\,\left\lbrace 1 - \dfrac{l_v}{\lambda'}\, \left[ 1\; \cancel{+ \left( \dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'} \right)^{\!\!2}} \right]^{-\frac{1}{2}} \right\rbrace \simeq -\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;</math><ref name="D.L. d'un produit"> En effet le 2^nd membre étant un infiniment petit d'ordre un ainsi que le 1^er facteur du produit du 1^er membre et cherchant à déterminer un développement limité à l'ordre un de ce 1^er facteur, il suffit de développer le 2^ème facteur du produit du 1^er membre en le limitant à l'ordre zéro voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Déterminer_le_développement_limité_à_l'ordre_n_d'un_produit_de_deux_fonctions_dont_le_développement_limité_d'une_des_fonctions_a_pour_terme_prépondérant_un_infiniment_petit_d'ordre_p|déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions à pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué dans le cas <math>\;p = 1\;</math> et <math>\;n = 1</math>.</ref> ou <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'} \simeq \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{1}{\dfrac{l_v}{\lambda'} - 1}\;</math> soit finalement <br>{{Al|1}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, 1}}\;</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,1}}\;</math> se réécrit }}«<math>\;{x'}_{\text{éq},\,1} \simeq \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k}\;\dfrac{\lambda'}{l_v - \lambda'}\;</math> légèrement <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\lambda' = \lambda\;\cos(\theta)\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;l_v</math>, <br>{{Al|1}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, 1}}\;</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,1}}\;</math> se réécrit }}l'énergie potentielle d'oscillations correspondante y étant localement maximale<ref name="même variation de U"> En effet d'une part <math>\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}(x') = \dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{d{x'}^2}(x')\;</math> car <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{pes}}}{d{x'}^2}(x') = 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}d'autre part <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{d{x'}^2}(x')\;</math> résultant de la dérivation de <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx'}(x') = k\;x' \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}^2}} \right)\;</math> <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#cite_note-30|³⁰]] » plus haut dans l'exercice<math>\big)\;</math> relativement à <math>\;x'\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{d{x'}^2}(x')</math> <math>= k\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}^2}} \right) + k\;{x'}^2\;\dfrac{l_v}{\left( {\lambda'}^2 + {x'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}}</math> <math>= k\, \left[ 1 + \dfrac{l_v}{\left( {\lambda'}^2 + {x'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \left( {x'}^2 - {\lambda'}^2 - {x'}^2 \right) \right] = k\, \left[ 1 - \dfrac{{\lambda'}^2\;l_v}{\left( {\lambda'}^2 + {x'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right] = k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\lambda'}\, \left( 1 + \dfrac{{x'}^2}{{\lambda'}^2} \right)^{-\frac{3}{2}} \right]\;</math> soit <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}finalement <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}(x') = \dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{d{x'}^2}(x') = k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\lambda'}\, \left( 1 + \dfrac{{x'}^2}{{\lambda'}^2} \right)^{-\frac{3}{2}} \right]\;</math> dont nous déduisons <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}({x'}_{\text{éq},\,1}) = k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\lambda'}\, \left( 1 + \dfrac{{{x'}_{\text{éq},\,1}}^2}{{\lambda'}^2} \right)^{-\frac{3}{2}} \right]\;</math> soit, en se limitant à l'ordre un en <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'}</math>, «<math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}({x'}_{\text{éq},\,1}) \simeq k\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\lambda'} \right) < 0\;</math>», ce qui, avec <math>\;\dfrac{d U_{\text{oscill}}}{d{x'}}({x'}_{\text{éq},\,1}) = 0</math>, caractérise un maximum <math>\;\Bigg\{</math>nous trouvions <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{dx^2}(x_{\text{éq},\,1}) = k\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\lambda} \right)\;</math> dans le cas de la tige horizontale, voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_algébrique_des_abscisses_d'équilibre_xéq_de_M_et_vérification_de_leur_stabilité_(de_façon_algébrique)_suivant_les_valeurs_de_λ_quelconque|détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque]] » <math>\;\Bigg[</math>on rappelle que <math>\;T_x = -\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}\Bigg]\;</math> plus haut dans l'exercice<math>\Bigg\}</math>.</ref> d'où une position d'équilibre <u>instable</u> et <br>{{Al|1}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, 1}}\;</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,1}}\;</math> se réécrit l'énergie potentielle d'oscillations }}y ayant pour valeur, au même ordre un en <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'}</math>, «<math>\;U_{\text{oscill}}({x'}_{\text{éq},\,1}) \simeq m\;g\;\sin(\theta)\;{x'}_{\text{éq},\,1}\;</math>»<ref> En effet <math>\;l_{\text{éq},\,1} = \sqrt{{\lambda'}^2 + {{x'}_{\text{éq},\,1}}^2} \simeq \lambda'\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'}\;</math> ce qui entraîne <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{{\lambda'}^2 + {{x'}_{\text{éq},\,1}}^2} - l_v \right)^{\!\!2} \simeq \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda' - l_v \right)^2\;</math> au même ordre un et par suite <math>\;U_{\text{élast}}({x'}_{\text{éq},\,1}) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{{\lambda'}^2 + {{x'}_{\text{éq},\,1}}^2} - l_v \right)^{\!\!2} - \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda' - l_v \right)^2 \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'}\;</math> <math>\big(</math>c'est donc un infiniment petit d'ordre <math>\;> 1\big)\;</math> et <math>\;U_{\text{oscill}}({x'}_{\text{éq},\,1}) \simeq U_{\text{pes}}({x'}_{\text{éq},\,1}) = m\;g\;\sin(\theta)\;{x'}_{\text{éq},\,1}\;</math> cette dernière énergie étant un infiniment petit d'ordre un <math>\;m\;g\;\sin(\theta)\;\lambda'\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'}\;</math> soit finalement <math>\;U_{\text{oscill}}({x'}_{\text{éq},\,1}) \simeq m\;g\;\sin(\theta)\;{x'}_{\text{éq},\,1}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'}</math>.</ref> <br>{{Al|1}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, 1}}\;</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,1}}\;</math> se réécrit l'énergie potentielle d'oscillations y ayant pour valeur, }}laquelle est légèrement positive ; * <u>expression de</u><math>\;{x'}_{\text{éq},\, d}\;</math><u>et</u><math>\;{x'}_{\text{éq},\, g}</math> : supposant <math>\;\theta > 0\;</math> et <math>\;\lambda'\;\Bigg\vert 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq}}^2}} \Bigg\vert\;</math> de même ordre de grandeur que <math>\;\bigg\vert -\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k} \bigg\vert = \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k}\;</math><ref> Ceci résultant de la réécriture de l'équation de détermination de <math>\;{x'}_{\text{éq}}\;</math> en <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq}}}{\lambda'}\, \left[ \lambda'\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq}}^2}} \right) \right] = -\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k}</math>, le facteur de même ordre que le 2^nd membre étant maintenant le 2^ème facteur entre crochets.</ref> et, plus précisément, supposant <br>{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : supposant }}<math>\;\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k} \ll \lambda'\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'} \ll 1\;</math> considéré comme infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petits d'ordre successif" /> ainsi que <math>\;\Bigg\vert 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq}}^2}} \Bigg\vert\;</math> de même ordre de grandeur<ref> Ces solutions remplaçant celles qui étaient obtenues dans le cas d'une tige horizontale avec <math>\;\lambda^2 + x_{\text{éq}}^2 = l_v\;</math> c.-à-d. encore <math>\;1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{\lambda^2 + x_{\text{éq}}^2}} = 0</math>.</ref>, <br>{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : }}soit, en distinguant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}{x'}_{\text{éq},\,d} > 0 \\ {x'}_{\text{éq},\,g} < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math> associé respectivement à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2}} < 0 \\ 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2}} > 0 \end{array}\right\rbrace</math>, le produit «<math>\;{x'}_{\text{éq}} \times \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq}}^2}} \right)\;</math> devant être <math>\;< 0\;</math>»<ref> En effet l'équation de détermination de <math>\;{x'}_{\text{éq},\,d\;\text{ou}\;g}\;</math> étant «<math>\;{x'}_{\text{éq}} \times \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq}}^2}} \right) = -\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k} < 0\;</math> dans la mesure où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0\;</math>».</ref> ; <br>{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : }}<u>expression de</u><math>\;{x'}_{\text{éq},\, d}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,d}}{\lambda'}\;</math> se réécrit «<math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,d}}{\lambda'}\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2}} \right) = -\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;</math>»<ref> Le 2^ème facteur du 1^er membre ainsi que le 2^ème membre étant tous deux <math>\;< 0\;</math> <math>\big(</math>on rappelle que <math>\;\theta\;</math> est choisi <math>\;> 0\big)</math>.</ref> ou, en faisant apparaître des facteurs <math>\;> 0</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,d}}\;</math> se réécrit }}«<math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,d}}{\lambda'}\, \left( \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2}} - 1 \right) = \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;</math>» <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,d}}\;</math> se réécrit }}le 2^ème facteur du 1^er membre et le 2^ème membre étant des infiniment petits de même ordre un d'où <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,d}}\;</math> se réécrit }}«<math>\;\dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2}} - 1 = \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{{x'}_{\text{éq},\,d}}\;</math>» que l'on cherche à évaluer à l'ordre un ; pour cela <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,d}}\;</math> se réécrit }}le 1^er membre et le 1^er facteur du 2^ème membre étant des infiniment petits de même ordre un, il suffit, <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,d}}\;</math> se réécrit }}pour évaluer le 1^er membre à l'ordre un, de limiter le 2^ème facteur du 2^ème membre à l'ordre zéro<ref name="D.L. d'un produit - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Déterminer_le_développement_limité_à_l'ordre_n_d'un_produit_de_deux_fonctions_dont_le_développement_limité_d'une_des_fonctions_a_pour_terme_prépondérant_un_infiniment_petit_d'ordre_p|déterminer le D.L. à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le D.L. d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p]] (appliqué au cas où n = p = 1) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,d}}\;</math> se réécrit }}c'est-à-dire évaluer <math>\;{x'}_{\text{éq},\, d}\;</math> à l'ordre zéro correspondant à «<math>\;\dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2}} - 1 \simeq 0 \times \dfrac{\lambda'}{{x'}_{\text{éq},\,d}} = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,d}}\;</math> se réécrit c'est-à-dire }}<math>\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2} \simeq l_v\;</math> d'où «<math>\;{x'}_{\text{éq},\,d} \simeq \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;</math> à l'ordre zéro » dont on déduit le D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. de <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,d}}\;</math> se réécrit }}<math>\;\dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2}} - 1\;</math> à l'ordre un «<math>\;\dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2}} - 1 \simeq \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}\;</math>» ; <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : }}de ce D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un on tire «<math>\;\dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2}} \simeq 1 + \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2} \simeq \dfrac{l_v}{1 + \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}}\;</math>» ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : }}«<math>\;{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2 \simeq l_v^2 \left[ 1 + \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right]^{-2}</math> soit, en limitant à l'ordre un, <math>\;{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2 \simeq l_v^2 \left[ 1 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right]\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre un de fonctions usuelles"> Utilisation du D.L. à l'ordre un et au voisinage de zéro de <math>\;\left( 1 + \varepsilon \right)^n \simeq 1 + n\;\varepsilon\;</math> avec <math>\;n\,\in\, \mathbb{Q}^{*}\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : }}d'où <math>\;{x'}_{\text{éq},\,d}^2 \simeq l_v^2 \left[ 1 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right] - {\lambda'}^2 = l_v^2 - {\lambda'}^2 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}\;</math> ou, en factorisant le terme prépondérant, <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : d'où }}<math>\;{x'}_{\text{éq},\,d}^2 \simeq \left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right) \left[ 1 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;{x'}_{\text{éq},\,d} \simeq \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} \left[ 1 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]^{\frac{1}{2}}\;</math> ou encore, <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : d'où }}en limitant à l'ordre un, <math>\;{x'}_{\text{éq},\,d} \simeq \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} \left[ 1 - \dfrac{1}{2}\;2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de fonctions usuelles" /> soit «<math>\;{x'}_{\text{éq},\,d} \simeq \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} - \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;</math>» <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : }}c'est-à-dire «<math>\;{x'}_{\text{éq},\,d} \simeq \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} - \dfrac{l_v^2}{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k}\;</math>» décalée vers la gauche de <math>\;\dfrac{l_v^2\;\lambda'}{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'} \ll 1\;</math> par rapport à <math>\;\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;</math><ref name="positions d'équilibre stable pour tige horizontale dans le cas d'un ressort initialement comprimé"> Les positions d'équilibre stable dans le cas d'un ressort initialement comprimé <math>\;\lambda < l_v\;</math> et une tige horizontale étaient <math>\;x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math> voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_qualitative_du_nombre_de_positions_d'équilibre_et_de_la_stabilité_de_celles-ci_(détermination_graphique)_quand_λ_varie_à_partir_de_sa_valeur_initiale_lv|détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale l_v]] » plus haut dans l'exercice.</ref>, <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : }}l'énergie potentielle d'oscillations correspondante y étant localement minimale <ref name="même variation de U - bis"> En effet d'une part <math>\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}(x') = \dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{d{x'}^2}(x')\;</math> car <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{pes}}}{d{x'}^2}(x') = 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}d'autre part <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{d{x'}^2}(x')\;</math> résultant de la dérivation de <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx'}(x') = k\;x' \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}^2}} \right)\;</math> <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#cite_note-30|³⁰]] » plus haut dans l'exercice<math>\big)\;</math> relativement à <math>\;x'\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{d{x'}^2}(x')</math> <math>= k\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}^2}} \right) + k\;{x'}^2\;\dfrac{l_v}{\left( {\lambda'}^2 + {x'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}}</math> <math>= k\, \left[ 1 + \dfrac{l_v}{\left( {\lambda'}^2 + {x'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \left( {x'}^2 - {\lambda'}^2 - {x'}^2 \right) \right] = k\, \left[ 1 - \dfrac{{\lambda'}^2\;l_v}{\left( {\lambda'}^2 + {x'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right] = k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\lambda'}\, \left( 1 + \dfrac{{x'}^2}{{\lambda'}^2} \right)^{-\frac{3}{2}} \right]\;</math> soit <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}finalement <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}(x') = \dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{d{x'}^2}(x') = k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\lambda'}\, \left( 1 + \dfrac{{x'}^2}{{\lambda'}^2} \right)^{-\frac{3}{2}} \right]\;</math> dont nous déduisons <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}({x'}_{\text{éq},\,d}) = k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\lambda'}\, \left( 1 + \dfrac{{{x'}_{\text{éq},\,d}}^2}{{\lambda'}^2} \right)^{-\frac{3}{2}} \right]\;</math> soit, avec <math>\;{x'}_{\text{éq},\,d}^2 \simeq</math> <math>\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right) \left[ 1 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math> à l'ordre un <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 + \dfrac{{x'}_{\text{éq},\,d}^2}{{\lambda'}^2} \simeq 1 + \left( \dfrac{l_v^2}{{\lambda'}^2} - 1 \right) \left[ 1 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math> à l'ordre un, ou, après développement du 2^nd membre, <math>\;1 + \dfrac{{x'}_{\text{éq},\,d}^2}{{\lambda'}^2} \simeq \dfrac{l_v^2}{{\lambda'}^2} - 2\,\left( \dfrac{l_v^2}{{\lambda'}^2} - 1 \right)\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}}\;</math> à l'ordre un, soit, après factorisation par le terme prépondérant et simplification du nouveau terme d'ordre un, <math>\;1 + \dfrac{{x'}_{\text{éq},\,d}^2}{{\lambda'}^2} \simeq</math> <math>\dfrac{l_v^2}{{\lambda'}^2} \left[ 1 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right]\;</math> à l'ordre un <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( 1 + \dfrac{{{x'}_{\text{éq},\,d}}^2}{{\lambda'}^2} \right)^{-\frac{3}{2}} \simeq \dfrac{l_v^{-3}}{{\lambda'}^{-3}} \left[ 1 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right]^{-\frac{3}{2}} \simeq \dfrac{{\lambda'}^3}{l_v^3} \left[ 1 + 3\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right]\;</math> à l'ordre un <math>\;\bigg\{</math>par utilisation du D.L. à l'ordre un et au voisinage de zéro de <math>\;\left( 1 + \varepsilon \right)^n \simeq 1 + n\;\varepsilon\;</math> avec <math>\;n\,\in\, \mathbb{Q}^{*}</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » avec <math>\;n = -\dfrac{3}{2}\bigg\}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}({x'}_{\text{éq},\,d}) \simeq k \left\lbrace 1 - \dfrac{{\lambda'}^2}{l_v^2} \left[ 1 + 3\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right] \right\rbrace\;</math> à l'ordre un, ou, en développant puis en factorisant par le terme prépondérant d'ordre zéro, <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}({x'}_{\text{éq},\,d}) \simeq k \left[ \left( 1 - \dfrac{{\lambda'}^2}{l_v^2} \right) + 3\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{{\lambda'}^3}{l_v^2\,\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right] = k \left( 1 - \dfrac{{\lambda'}^2}{l_v^2} \right) \left\lbrace 1 + 3\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{{\lambda'}^3}{\left[ l_v^2 - {\lambda'}^2 \right]^{\frac{3}{2}}} \right\rbrace\;</math> à l'ordre un ; <br>{{Al|3}}nous en déduisons «<math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}({x'}_{\text{éq},\,d}) > 0\;</math>», le terme prépondérant d'ordre zéro <math>\;k\, \left( 1 - \dfrac{{\lambda'}^2}{l_v^2} \right)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, ce qui, avec <math>\;\dfrac{d U_{\text{oscill}}}{d{x'}}({x'}_{\text{éq},\,d}) = 0</math>, caractérise un minimum <math>\;\Bigg\{</math>nous trouvions <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{dx^2}(x_{\text{éq},\,d}) = k\, \left( 1 - \dfrac{{\lambda}^2}{l_v^2} \right)\;</math> dans le cas de la tige horizontale, voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Déterm ination_algébrique_des_abscisses_d'équilibre_xéq_de_M_et_vérification_de_leur_stabilité_(de_façon_algébrique)_suivant_les_valeurs_de_λ_quelconque|détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque]] » <math>\;\Bigg[</math>on rappelle que <math>\;T_x = -\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}\Bigg]\;</math> plus haut dans l'exercice<math>\Bigg\}</math>.</ref> d'où une position d'équilibre <u>stable</u> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : l'énergie potentielle d'oscillations }}y ayant pour valeur, au même ordre un en commun, «<math>\;U_{\text{oscill}}({x'}_{\text{éq},\,d}) \simeq m\;g\;\sin(\theta)\;{x'}_{\text{éq},\,d} - \dfrac{1}{2}\;k\,\left( l_v - \lambda' \right)^2\;</math>»<ref> En effet <math>\;U_{\text{oscill}}({x'}_{\text{éq},\,d}) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2} - l_v \right)^{\!\!2} - \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda' - l_v \right)^2 + m\;g\;\sin(\theta)\;{x'}_{\text{éq},\,d}\;</math> avec <math>\;{x'}_{\text{éq},\,d}^2 \simeq \left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right) \left[ 1 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math> à l'ordre un commun d'où <math>\;{\lambda'}^2 + {{x'}_{\text{éq},\,d}}^2 \simeq l_v^2 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} = l_v^2 \left[ 1 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math> à l'ordre un commun <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sqrt{{\lambda'}^2 + {{x'}_{\text{éq},\,d}}^2} \simeq l_v \left[ 1 - 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]^{\frac{1}{2}} \simeq</math> <math>l_v \left[ 1 - \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math> à l'ordre un commun <math>\;\bigg\{</math>par utilisation du D.L. à l'ordre un et au voisinage de zéro de <math>\;\left( 1 + \varepsilon \right)^n \simeq 1 + n\;\varepsilon\;</math> avec <math>\;n\,\in\, \mathbb{Q}^{*}</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » avec <math>\;n = \dfrac{1}{2}\bigg\}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sqrt{{\lambda'}^2 + {{x'}_{\text{éq},\,d}}^2} - l_v \simeq -\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}}\;</math> est un infiniment petit d'ordre un » et par suite, « le 1^er terme de <math>\;U_{\text{oscill}}({x'}_{\text{éq},\,d})</math>, à savoir <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2} - l_v \right)^{\!\!2}</math>, étant un infiniment petit d'ordre deux est nul à l'ordre un » soit finalement {{Nobr|«<math>\;U_{\text{oscill}}({x'}_{\text{éq},\,d})</math>}} <math>\simeq -\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda' - l_v \right)^2 + m\;g\;\sin(\theta)\;{x'}_{\text{éq},\,d}\;</math> à l'ordre un commun ».</ref> <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : l'énergie potentielle d'oscillations y ayant pour valeur, au même ordre un en commun, }}laquelle est légèrement <math>\;>\;</math> à <math>\;-\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda' - l_v \right)^2\;</math><ref> C.-à-d. l'énergie potentielle élastique de <math>\;M\;</math> dans sa position d'équilibre stable de droite repérée par <math>\;x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math> pour la tige horizontale dans le cas où <math>\;\lambda\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;l_v</math>, voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_algébrique_des_abscisses_d'équilibre_xéq_de_M_et_vérification_de_leur_stabilité_(de_façon_algébrique)_suivant_les_valeurs_de_λ_quelconque|détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque]] ».</ref> ; <br>{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : }}<u>expression de</u><math>\;{x'}_{\text{éq},\, g}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,g}}{\lambda'}\;</math> se réécrit «<math>\;\dfrac{{x'}_{\text{éq},\,g}}{\lambda'}\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2}} \right) = -\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;</math>»<ref> Le 2^er facteur du 1^er membre ainsi que le 2^ème membre étant tous deux <math>\;< 0\;</math> <math>\big(</math>on rappelle que <math>\;\theta\;</math> est choisi <math>\;> 0\big)</math>.</ref> ou, en faisant apparaître des facteurs <math>\;> 0</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,g}}\;</math> se réécrit }}«<math>\;\dfrac{-{x'}_{\text{éq},\,g}}{\lambda'}\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2}} \right) = \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;</math>» <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,d}}\;</math> se réécrit }}le 2^ème facteur du 1^er membre et le 2^ème membre étant des infiniment petits de même ordre un d'où <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,g}}\;</math> se réécrit }}«<math>\;1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2}} = \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{-{x'}_{\text{éq},\,g}}\;</math>» que l'on cherche à évaluer à l'ordre un ; pour cela <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,g}}\;</math> se réécrit }}le 1^er membre et le 1^er facteur du 2^ème membre étant des infiniment petits de même ordre un, il suffit, <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,g}}\;</math> se réécrit }}pour évaluer le 1^er membre à l'ordre un, de limiter le 2^ème facteur du 2^ème membre à l'ordre zéro<ref name="D.L. d'un produit - bis" /> <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,g}}\;</math> se réécrit }}c'est-à-dire évaluer <math>\;-{x'}_{\text{éq},\, g}\;</math> à l'ordre zéro correspondant à «<math>\;1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2}} \simeq 0 \times \dfrac{\lambda'}{-{x'}_{\text{éq},\,g}} = 0\;</math>» <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,g}}\;</math> se réécrit }}<math>\Rightarrow</math> <math>\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2} \simeq l_v\;</math> d'où «<math>\;-{x'}_{\text{éq},\,g} \simeq \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;</math> à l'ordre zéro » dont on déduit le D.L<ref name="D.L." />. de <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : l'équation de détermination de <math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\,g}}\;</math> se réécrit }}<math>\;1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2}}\;</math> à l'ordre un «<math>\;1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2}} \simeq \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}\;</math>» ; <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}</math> : }}de ce D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un on tire «<math>\;\dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2}} \simeq 1 - \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2} \simeq \dfrac{l_v}{1 - \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}}\;</math>» ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : }}«<math>\;{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2 \simeq l_v^2 \left[ 1 - \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right]^{-2}</math> soit, en limitant à l'ordre un, <math>\;{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2 \simeq l_v^2 \left[ 1 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right]\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre un de fonctions usuelles" /> <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : }}d'où <math>\;{x'}_{\text{éq},\,g}^2 \simeq l_v^2 \left[ 1 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right] - {\lambda'}^2 = l_v^2 - {\lambda'}^2 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}\;</math> ou, en factorisant le terme prépondérant, <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : d'où }}<math>\;{x'}_{\text{éq},\,g}^2 \simeq \left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right) \left[ 1 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;-{x'}_{\text{éq},\,g} \simeq \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} \left[ 1 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]^{\frac{1}{2}}\;</math> ou encore, <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : d'où }}en limitant à l'ordre un, <math>\;-{x'}_{\text{éq},\,g} \simeq \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} \left[ 1 + \dfrac{1}{2}\;2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de fonctions usuelles" /> <math>\;= \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} + \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;</math>» <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : }}c'est-à-dire «<math>\;{x'}_{\text{éq},\,g} \simeq -\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} - \dfrac{l_v^2}{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k}\;</math>» décalée vers la gauche de <math>\;\dfrac{l_v^2\;\lambda'}{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'} \ll 1\;</math> par rapport à <math>\;-\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;</math><ref name="positions d'équilibre stable pour tige horizontale dans le cas d'un ressort initialement comprimé" />, <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : }}l'énergie potentielle d'oscillations correspondante y étant localement minimale<ref name="même variation de U - ter"> En effet d'une part <math>\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}(x') = \dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{d{x'}^2}(x')\;</math> car <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{pes}}}{d{x'}^2}(x') = 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}d'autre part <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{d{x'}^2}(x')\;</math> résultant de la dérivation de <math>\;\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx'}(x') = k\;x' \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}^2}} \right)\;</math> <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#cite_note-30|³⁰]] » plus haut dans l'exercice<math>\big)\;</math> relativement à <math>\;x'\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{d{x'}^2}(x')</math> <math>= k\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}^2}} \right) + k\;{x'}^2\;\dfrac{l_v}{\left( {\lambda'}^2 + {x'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}}</math> <math>= k\, \left[ 1 + \dfrac{l_v}{\left( {\lambda'}^2 + {x'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \left( {x'}^2 - {\lambda'}^2 - {x'}^2 \right) \right] = k\, \left[ 1 - \dfrac{{\lambda'}^2\;l_v}{\left( {\lambda'}^2 + {x'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right] = k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\lambda'}\, \left( 1 + \dfrac{{x'}^2}{{\lambda'}^2} \right)^{-\frac{3}{2}} \right]\;</math> soit <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}finalement <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}(x') = \dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{d{x'}^2}(x') = k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\lambda'}\, \left( 1 + \dfrac{{x'}^2}{{\lambda'}^2} \right)^{-\frac{3}{2}} \right]\;</math> dont nous déduisons <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}({x'}_{\text{éq},\,g}) = k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\lambda'}\, \left( 1 + \dfrac{{{x'}_{\text{éq},\,g}}^2}{{\lambda'}^2} \right)^{-\frac{3}{2}} \right]\;</math> soit, avec <math>\;{x'}_{\text{éq},\,g}^2 \simeq</math> <math>\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right) \left[ 1 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math> à l'ordre un <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 + \dfrac{{x'}_{\text{éq},\,g}^2}{{\lambda'}^2} \simeq 1 + \left( \dfrac{l_v^2}{{\lambda'}^2} - 1 \right) \left[ 1 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math> à l'ordre un, ou, après développement du 2^nd membre, <math>\;1 + \dfrac{{x'}_{\text{éq},\,g}^2}{{\lambda'}^2} \simeq \dfrac{l_v^2}{{\lambda'}^2} + 2\,\left( \dfrac{l_v^2}{{\lambda'}^2} - 1 \right)\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}}\;</math> à l'ordre un, soit, après factorisation par le terme prépondérant et simplification du nouveau terme d'ordre un, <math>\;1 + \dfrac{{x'}_{\text{éq},\,g}^2}{{\lambda'}^2} \simeq</math> <math>\dfrac{l_v^2}{{\lambda'}^2} \left[ 1 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right]\;</math> à l'ordre un <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( 1 + \dfrac{{{x'}_{\text{éq},\,g}}^2}{{\lambda'}^2} \right)^{-\frac{3}{2}} \simeq \dfrac{l_v^{-3}}{{\lambda'}^{-3}} \left[ 1 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right]^{-\frac{3}{2}} \simeq \dfrac{{\lambda'}^3}{l_v^3} \left[ 1 - 3\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right]\;</math> à l'ordre un <math>\;\bigg\{</math>par utilisation du D.L. à l'ordre un et au voisinage de zéro de <math>\;\left( 1 + \varepsilon \right)^n \simeq 1 + n\;\varepsilon\;</math> avec <math>\;n\,\in\, \mathbb{Q}^{*}</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » avec <math>\;n = -\dfrac{3}{2}\bigg\}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}({x'}_{\text{éq},\,g}) \simeq k \left\lbrace 1 - \dfrac{{\lambda'}^2}{l_v^2} \left[ 1 - 3\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right] \right\rbrace\;</math> à l'ordre un, ou, en développant puis en factorisant par le terme prépondérant d'ordre zéro, <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}({x'}_{\text{éq},\,g}) \simeq k \left[ \left( 1 - \dfrac{{\lambda'}^2}{l_v^2} \right) - 3\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{{\lambda'}^3}{l_v^2\,\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}} \right] = k \left( 1 - \dfrac{{\lambda'}^2}{l_v^2} \right) \left\lbrace 1 - 3\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{{\lambda'}^3}{\left[ l_v^2 - {\lambda'}^2 \right]^{\frac{3}{2}}} \right\rbrace\;</math> à l'ordre un ; <br>{{Al|3}}nous en déduisons «<math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{d{x'}^2}({x'}_{\text{éq},\,g}) > 0\;</math>», le terme prépondérant d'ordre zéro <math>\;k\, \left( 1 - \dfrac{{\lambda'}^2}{l_v^2} \right)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, ce qui, avec <math>\;\dfrac{d U_{\text{oscill}}}{d{x'}}({x'}_{\text{éq},\,g}) = 0</math>, caractérise un minimum <math>\;\Bigg\{</math>nous trouvions <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{élast}}}{dx^2}(x_{\text{éq},\,g}) = k\, \left( 1 - \dfrac{{\lambda}^2}{l_v^2} \right)\;</math> dans le cas de la tige horizontale, voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_algébrique_des_abscisses_d'équilibre_xéq_de_M_et_vérification_de_leur_stabilité_(de_façon_algébrique)_suivant_les_valeurs_de_λ_quelconque|détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque]] » <math>\;\Bigg[</math>on rappelle que <math>\;T_x = -\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}\Bigg]\;</math> plus haut dans l'exercice<math>\Bigg\}</math>.</ref> d'où une position d'équilibre <u>stable</u> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : l'énergie potentielle d'oscillations }}y ayant pour valeur, au même ordre un en commun, «<math>\;U_{\text{oscill}}({x'}_{\text{éq},\,g}) \simeq m\;g\;\sin(\theta)\;{x'}_{\text{éq},\,d} - \dfrac{1}{2}\;k\,\left( l_v - \lambda' \right)^2\;</math>»<ref> En effet <math>\;U_{\text{oscill}}({x'}_{\text{éq},\,g}) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2} - l_v \right)^{\!\!2} - \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda' - l_v \right)^2 + m\;g\;\sin(\theta)\;{x'}_{\text{éq},\,g}\;</math> avec <math>\;{x'}_{\text{éq},\,g}^2 \simeq \left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right) \left[ 1 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math> à l'ordre un commun d'où <math>\;{\lambda'}^2 + {{x'}_{\text{éq},\,g}}^2 \simeq l_v^2 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v^2}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} = l_v^2 \left[ 1 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math> à l'ordre un commun <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sqrt{{\lambda'}^2 + {{x'}_{\text{éq},\,g}}^2} \simeq l_v \left[ 1 + 2\,\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]^{\frac{1}{2}} \simeq</math> <math>l_v \left[ 1 + \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \right]\;</math> à l'ordre un commun <math>\;\bigg\{</math>par utilisation du D.L. à l'ordre un et au voisinage de zéro de <math>\;\left( 1 + \varepsilon \right)^n \simeq 1 + n\;\varepsilon\;</math> avec <math>\;n\,\in\, \mathbb{Q}^{*}</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » avec <math>\;n = \dfrac{1}{2}\bigg\}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sqrt{{\lambda'}^2 + {{x'}_{\text{éq},\,g}}^2} - l_v \simeq \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k\;\lambda'}\;\dfrac{\lambda'\;l_v}{\left( l_v^2 - {\lambda'}^2 \right)^{\frac{3}{2}}}\;</math> est un infiniment petit d'ordre un » et par suite, « le 1^er terme de <math>\;U_{\text{oscill}}({x'}_{\text{éq},\,g})</math>, à savoir <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2} - l_v \right)^{\!\!2}</math>, étant un infiniment petit d'ordre deux est nul à l'ordre un » soit finalement {{Nobr|«<math>\;U_{\text{oscill}}({x'}_{\text{éq},\,g})</math>}} <math>\simeq -\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda' - l_v \right)^2 + m\;g\;\sin(\theta)\;{x'}_{\text{éq},\,g}\;</math> à l'ordre un commun ».</ref> <br>{{Al|2}}{{Transparent|expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, d}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : expression de<math>\;\color{transparent}{{x'}_{\text{éq},\, g}}</math> : l'énergie potentielle d'oscillations y ayant pour valeur, au même ordre un en commun, }}laquelle est légèrement <math>\;<\;</math> à <math>\;-\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda' - l_v \right)^2\;</math><ref> C.-à-d. l'énergie potentielle élastique de <math>\;M\;</math> dans sa position d'équilibre stable de gauche repérée par <math>\;x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math> pour la tige horizontale dans le cas où <math>\;\lambda\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;l_v</math>, voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_algébrique_des_abscisses_d'équilibre_xéq_de_M_et_vérification_de_leur_stabilité_(de_façon_algébrique)_suivant_les_valeurs_de_λ_quelconque|détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque]] ».</ref>. [[File:Pendule élastique à oscillations transversales - profil d'énergie potentielle.png|thumb|500px|Diagramme d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> d'un pendule élastique à extrémités supérieure <math>\;R\;</math> fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> pouvant se déplacer sans frottement sur une tige inclinée de <math>\;\theta\;</math> sur l'horizontale, le ressort dans son état initial étant comprimé, et superposition avec le diagramme d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>en pointillés noirs<math>\big)\;</math> du même pendule élastique mais à objet se déplaçant sur une tige horizontale]] {{Al|5}}Ci-contre, en rouge, le diagramme d'énergie potentielle d'oscillations d'un pendule élastique à ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> à extrémités supérieure <math>\;R\;</math> fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel <math>\;M</math>, de masse <math>\;m = 100\;g</math>, se déplaçant sur une tige inclinée d'un angle <math>\;\theta</math> <math>= 15\,\text{°}\,</math> sur l'horizontale, la distance orthogonale séparant <math>\;R\;</math> de la tige étant <math>\;\lambda' = 7,5\;cm</math> ; le ressort est de longueur à vide <math>\;l_v =</math> <math>10\;cm\;</math> et de raideur <math>\;k = 1\;N \cdot cm^{-1}</math>, l'intensité de la pesanteur terrestre est prise égale à <math>\;g = 9,8\;m \cdot s^{-2}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}y figure également, en pointillés noirs, le diagramme d'énergie potentielle élastique du même pendule élastique avec le même ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> mais tel que l'objet ponctuel <math>\;M\;</math> se déplace sur une tige horizontale située à la même distance orthogonale de <math>\;R\;</math> à savoir <math>\;\lambda = 7,5\;cm</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}on y constate que <u>la position d'équilibre instable</u> <math>\;{x'}_{\text{éq},\,1}\;</math> du pendule à tige inclinée sur l'horizontale <u>est légèrement déplacée vers la droite</u> relativement à la position d'équilibre instable <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> du pendule à tige horizontale, la justification de cette dernière correspondant aux trois forces « tension du ressort, poids de <math>\;M\;</math> et réaction de la tige » colinéaires <math>\;\big(</math>suivant la verticale<math>\big)\;</math> n'est plus valable quand la tige est inclinée car la réaction de la tige et le poids de <math>\;M\;</math> sont, par définition, de direction différente ; la raison du déplacement vers la droite de la position d'équilibre instable est que la composante du poids le long de la tige étant vers la gauche, il faut que la composante de la tension du ressort le long de la tige soit vers la droite et le ressort étant comprimé il est nécessaire que l'axe du ressort s'incline sur la <math>\;\perp\;</math> à la tige dans le sens d'un déplacement de <math>\;M\;</math> vers la droite<ref> On rappelle que la 3^ème force, la réaction de la tige, n'a aucune composante le long de la tige <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Plus précisément la composante du poids le long de la tige étant <math>\;-m\;g\;\sin(\theta)</math>, celle de la tension du ressort dont la compression reste approximativement <math>\;l_v - \lambda'\;</math> et dont l'inclinaison relativement à la <math>\;\perp\;</math> à la tige est <math>\;\arctan\! \left( \dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'} \right)\;</math> supposée <math>\;\ll 1\;</math> s'écrit <math>\;\simeq k\,\left( l_v - \lambda' \right)\,\left( \dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'} \right)\;</math> d'où la condition d'équilibre <math>\;-m\;g\;\sin(\theta) + k\,\left( l_v - \lambda' \right)\,\left( \dfrac{{x'}_{\text{éq},\,1}}{\lambda'} \right) \simeq 0\;</math> dont on déduit <math>\;{x'}_{\text{éq},\,1} \simeq \dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k}\;\dfrac{\lambda'}{l_v - \lambda'}</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie l'instabilité de cet équilibre car, quand <math>\;x' \nearrow\;</math> à partir de <math>\;{x'}_{\text{éq},\,1}</math>, la composante <math>\;k\,\left( l_v - \lambda' \right)\,\left( \dfrac{x'}{\lambda'} \right)\;</math> l'emporte <math>\Rightarrow</math> <math>\;x'\;</math> continue de <math>\;\nearrow\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|on vérifie l'instabilité de cet équilibre car, }}quand <math>\;x' \searrow\;</math> à partir de <math>\;{x'}_{\text{éq},\,1}</math>, la composante <math>\;-m\;g\;\sin(\theta)\;</math> l'emporte <math>\Rightarrow</math> <math>\;x'\;</math> continue de <math>\;\searrow</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}on y constate aussi que <u>les positions d'équilibre stable</u> <math>\;{x'}_{\text{éq},\,d}\;</math> et <math>\;{x'}_{\text{éq},\,g}\;</math> du pendule à tige inclinée sur l'horizontale <u>sont légèrement déplacées vers la gauche</u> relativement à leur position d'équilibre stable correspondante <math>\;x_{\text{éq},\,d}\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,g}\;</math> du pendule à tige horizontale, la justification de ces dernières étant l'absence de tension du ressort avec les deux autres forces « poids de <math>\;M\;</math> et réaction de la tige » colinéaires <math>\;\big(</math>suivant la verticale<math>\big)\;</math> n'est plus valable quand la tige est inclinée car la réaction de la tige et le poids de <math>\;M\;</math> sont, par définition, de direction différente ; la raison du déplacement vers la gauche de chaque position d'équilibre stable est que la composante du poids le long de la tige étant vers la gauche, il faut que la composante de la tension du ressort le long de la tige soit vers la droite soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}<math>\succ\;</math>pour la position <math>\;{x'}_{\text{éq},\,d}\;</math> correspondant à l'axe du ressort incliné sur la <math>\;\perp\;</math> à la tige vers la droite la nécessité d'une légère compression du ressort par rapport à sa position à vide c'est-à-dire d'un léger déplacement de <math>\;M\;</math> vers la gauche<ref> Plus précisément la composante du poids le long de la tige étant <math>\;-m\;g\;\sin(\theta)</math>, celle de la tension du ressort dont l'inclinaison relativement à la <math>\;\perp\;</math> à la tige reste approximativement égale à <math>\;\arcsin\! \left( \dfrac{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}{l_v} \right)\;</math> supposée <math>\;\ll 1\;</math> et dont l'allongement algébrique, à l'aide de l'écart relativement à l'abscisse de la position d'équilibre stable de droite du pendule à tige horizontale <math>\;\delta {x'}_{\text{éq},\,d} = {x'}_{\text{éq},\,d} - \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;\propto\;</math> à un ordre un, s'évalue selon <math>\;\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,d}^2} - l_v = \sqrt{{\lambda'}^2 + \left[ \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} + \delta {x'}_{\text{éq},\,d} \right]^2} - l_v \simeq \sqrt{l_v^2 + 2\;\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;\delta {x'}_{\text{éq},\,d}} - l_v\;</math> en négligeant <math>\;\left[ \delta {x'}_{\text{éq},\,d} \right]^2\;</math> soit encore <math>\;= l_v \left\lbrace \left[ 1 + 2\;\dfrac{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}{l_v^2}\;\delta {x'}_{\text{éq},\,d} \right]^{\!\frac{1}{2}} - 1 \right\rbrace \simeq l_v\;\dfrac{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}{l_v^2}\;\delta {x'}_{\text{éq},\,d} = \dfrac{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}{l_v}\;\delta {x'}_{\text{éq},\,d}\;</math> à l'ordre un <math>\;\big[</math>on rappelle le D.L. à l'ordre un de <math>\;\left( 1 + \varepsilon \right)^n \simeq 1 + n\;\varepsilon\;</math> avec <math>\;n\,\in\,\mathbb{Q}^{*}</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, celle de la tension du ressort s'écrit donc <math>\;\simeq -k\,\left( \dfrac{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}{l_v}\;\delta {x'}_{\text{éq},\,d} \right)\,\left( \dfrac{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}{l_v} \right)\;</math> d'où la condition d'équilibre <math>\;-m\;g\;\sin(\theta) - k\,\left( \dfrac{l_v^2 - {\lambda'}^2}{l_v^2} \right)\,\delta {x'}_{\text{éq},\,d} \simeq 0\;</math> dont on déduit <math>\;\delta {x'}_{\text{éq},\,d} \simeq -\dfrac{l_v^2}{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k}</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie la stabilité de cet équilibre car, quand <math>\;x' \nearrow\;</math> à partir de <math>\;{x'}_{\text{éq},\,d}</math>, la composante <math>\;-m\;g\;\sin(\theta)\;</math> l'emporte <math>\;\Bigg[</math>en effet l'autre composante s'écrit <math>\;-k\,\left( \dfrac{l_v^2 - {\lambda'}^2}{l_v^2} \right)\, \left( x' - \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} \right)</math> <math>= k\,\left( \dfrac{l_v^2 - {\lambda'}^2}{l_v^2} \right)\, \left( \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} - x' \right)\;</math> car <math>\;x'\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}\Bigg]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x' \searrow\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|on vérifie la stabilité de cet équilibre car, }}quand <math>\;x' \searrow\;</math> à partir de <math>\;{x'}_{\text{éq},\,d}</math>, la composante <math>\;k\,\left( \dfrac{l_v^2 - {\lambda'}^2}{l_v^2} \right)\, \left( \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} - x' \right)\;</math> l'emporte <math>\Rightarrow</math> <math>\;x' \nearrow</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}<math>\succ\;</math>pour la position <math>\;{x'}_{\text{éq},\,g}\;</math> correspondant à l'axe du ressort incliné sur la perpendiculaire à la tige vers la gauche la nécessité d'un léger étirement du ressort par rapport à sa position à vide c'est-à-dire d'un léger déplacement de <math>\;M\;</math> vers la gauche<ref> Plus précisément la composante du poids le long de la tige étant <math>\;-m\;g\;\sin(\theta)</math>, celle de la tension du ressort dont l'inclinaison relativement à la <math>\;\perp\;</math> à la tige reste approximativement égale à <math>\;-\arcsin\! \left( \dfrac{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}{l_v} \right)\;</math> de valeur absolue supposée <math>\;\ll 1\;</math> et dont l'allongement algébrique, à l'aide de l'écart relativement à l'abscisse de la position d'équilibre stable de gauche du pendule à tige horizontale <math>\;\delta {x'}_{\text{éq},\,g} = {x'}_{\text{éq},\,g} - \left( -\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} \right)\;\propto\;</math> à un ordre un, s'évalue selon <math>\;\sqrt{{\lambda'}^2 + {x'}_{\text{éq},\,g}^2} - l_v = \sqrt{{\lambda'}^2 + \left[ -\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} + \delta {x'}_{\text{éq},\,g} \right]^2} - l_v \simeq</math> <math>\sqrt{l_v^2 - 2\;\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;\delta {x'}_{\text{éq},\,g}} - l_v\;</math> en négligeant <math>\;\left[ \delta {x'}_{\text{éq},\,g} \right]^2\;</math> soit encore <math>\;= l_v \left\lbrace \left[ 1 - 2\;\dfrac{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}{l_v^2}\;\delta {x'}_{\text{éq},\,g} \right]^{\!\frac{1}{2}} - 1 \right\rbrace \simeq -l_v\;\dfrac{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}{l_v^2}\;\delta {x'}_{\text{éq},\,g} = -\dfrac{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}{l_v}\;\delta {x'}_{\text{éq},\,g}\;</math> à l'ordre un {{Nobr|<math>\;\big[</math>utilisant}} le D.L. à l'ordre un de <math>\;\left( 1 + \varepsilon \right)^n \simeq 1 + n\;\varepsilon</math>, <math>\;n\,\in\,\mathbb{Q}^{*}</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, d'où celle de la tension du ressort <math>\;\simeq -k\,\left( -\dfrac{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}{l_v}\;\delta {x'}_{\text{éq},\,g} \right)\,\left( -\dfrac{\sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}}{l_v} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la condition d'équilibre <math>\;-m\;g\;\sin(\theta) - k\,\left( \dfrac{l_v^2 - {\lambda'}^2}{l_v^2} \right)\,\delta {x'}_{\text{éq},\,g} \simeq 0\;</math> dont on déduit <math>\;\delta {x'}_{\text{éq},\,g} \simeq -\dfrac{l_v^2}{l_v^2 - {\lambda'}^2}\;\dfrac{m\;g\;\sin(\theta)}{k}</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie la stabilité de cet équilibre car, quand <math>\;x' \nearrow\;</math> à partir de <math>\;{x'}_{\text{éq},\,g}</math>, la composante <math>\;-m\;g\;\sin(\theta)\;</math> l'emporte <math>\;\Bigg[</math>en effet l'autre composante s'écrit <math>\;-k\,\left( \dfrac{l_v^2 - {\lambda'}^2}{l_v^2} \right)\, \left( x' + \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2} \right)</math> <math>= k\,\left( \dfrac{l_v^2 - {\lambda'}^2}{l_v^2} \right)\, \left( \vert x' \vert - \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}\right)\;</math> car <math>\;x' < 0 \nearrow\;</math> d'où <math>\;\vert x' \vert \searrow\Bigg]\;</math> ce qui a pour conséquence que <math>\;x' \searrow\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|on vérifie la stabilité de cet équilibre car, }}quand <math>\;x' \searrow\;</math> à partir de <math>\;{x'}_{\text{éq},\,g}</math>, la composante <math>\;k\,\left( \dfrac{l_v^2 - {\lambda'}^2}{l_v^2} \right)\, \left( \vert x' \vert - \sqrt{l_v^2 - {\lambda'}^2}\right)\;</math> l'emporte <math>\;\big[</math>en effet <math>\;x' < 0 \searrow\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert x' \vert \nearrow\;\big]\;</math> ce qui a pour conséquence que <math>\;x' \nearrow</math>.</ref>.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/|Approche énerg. du mouv. d'un pt mat. : Mouv. conservatif]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable/|Approche énerg. du mouv. d'un pt mat. : Petits mouv. au voisin. d'un équil. stable]] }} 67scgdm0djb83cmnkjceppbsm0mzb8g 0 72597 982902 978970 2026-05-17T17:50:44Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982902 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 19 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Barrière d'énergie potentielle/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Définition d'un oscillateur « non linéaire » au voisinage d'un équilibre stable == {{Al|5}}La définition d'un oscillateur « non linéaire » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I. mais sa tentative de linéarisation y est clairement indiquée et il semble difficile de chercher à linéariser un oscillateur « non linéaire » sans définir ce dernier correctement ; {{Al|5}}dans tout ce paragraphe on note <math>\;x\;</math> le paramètre de position même si celui-ci est angulaire. === 1^ère définition d'un oscillateur « non linéaire » au voisinage d'un équilibre stable === {{Définition| titre= Définition d'un oscillateur « non linéaire » en termes d'équation différentielle| contenu ={{Al|5}}Un point <math>\;M\;</math> est un oscillateur « non linéaire » à une dimension au voisinage d'un équilibre stable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est un oscillateur « non linéaire » }}si sa position, repérée par le paramètre de position <math>\;x</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est un oscillateur « non linéaire » si sa position, }}est solution d'une équation différentielle du 2^ème ordre non linéaire du type <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une }}«<math>\;\ddot{x}(t) + \alpha\; \dot{x}(t) + f\! \left[ x(t) \right] = 0\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\alpha \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;f(x)\;</math> une fonction réelle de <math>\;x</math>, <u>non linéaire</u>, s'annulant pour <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> paramètre de position repérant l'équilibre, et de forme telle que cet équilibre soit stable »<ref name="forme de f(x) pour stabilité"> On montrera que <math>\;f(x)\;</math> doit être telle que son développement, au voisinage de la position d'équilibre, limité au plus petit ordre non nul vérifie <math>\;f(x) \simeq</math> <math>\dfrac{f^{(n)}(x_{\text{éq}})}{n!}\, \left( x - x_{\text{éq}} \right)^{\!n}\;</math> avec <math>\;n\;</math> impair <math>\;\big(1\;</math> ou <math>\;3\;</math> pratiquement jamais <math>\;> 3\big)\;</math> et <math>\;f^{(n)}(x_{\text{éq}}) > 0</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#Point_matériel_à_un_degré_de_liberté_soumis_à_une_résultante_de_force_«_motrice_»_(hors_frottement_fluide)_non_linéaire_«_unidirectionnelle_selon_l'axe_x'x_»_(ou_«_s'appliquant_tangentiellement_sur_la_trajectoire_circulaire_de_rayon_R_décrite_par_le_point_subissant_la_force_»)_dont_le_mouvement_est_étudié_au_voisinage_d'un_équilibre_stable,_oscillateur_non_linéaire_au_voisinage_de_cet_équilibre|point matériel à un degré de liberté soumis à une résultante de force “ motrice ” (hors frottement fluide) non linéaire unidirectionnelle selon l'axe x'x (ou s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force) dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable, oscillateur non linéaire au voisinage de cet équilibre]] » plus bas dans ce chapitre</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une }}si <math>\;\alpha = 0\;</math> l'oscillateur est dit « non amorti ».}} === 2^ème définition d'un oscillateur « non linéaire » au voisinage d'un équilibre stable === {{Définition| titre= Définition d'un oscillateur « non linéaire » en termes de profil d'énergie potentielle| contenu ={{Al|5}}Un point <math>\;M\;</math> est un oscillateur « non linéaire » à une dimension au voisinage d'un équilibre stable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est un oscillateur « non linéaire » }}si son diagramme d'énergie potentielle relativement au paramètre de position <math>\;x\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est un oscillateur « non linéaire » si son diagramme d'énergie potentielle }}est un puits<ref name="cuvette"> Ou cuvette.</ref> <u>non parabolique</u>, présentant un minimum en <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> paramètre de position repérant l'équilibre stable<ref name="stabilité en termes de profil d'énergie potentielle"> C'est l’existence du puits ou de la cuvette au voisinage de l’équilibre <math>\;\big(</math>c.-à-d. d'un minimum local ou non<math>\big)\;</math> qui assure la stabilité de ce dernier, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Résultats_fondamentaux_concernant_la_stabilité_(ou_l'instabilité)_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_profil_d'énergie_potentielle|résultats fondamentaux concernant la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil d'énergie potentielle]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="puits non parabolique"> Le puits <math>\;\big(</math>ou la cuvette<math>\big)\;</math> est « non parabolique » mais le développement limité à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro de l'énergie potentielle au voisinage de l'équilibre stable peut être <math>\;\big(</math>et le plus souvent est<math>\big)\;</math> « parabolique ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est un oscillateur « non linéaire » }}<math>M\;</math> étant éventuellement soumis à une force de frottement fluide linéaire ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est un oscillateur « non linéaire » }}en absence de force de frottement fluide linéaire, l'oscillateur est dit « non amorti » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est un oscillateur « non linéaire » en absence de force de frottement fluide linéaire, }}<math>M\;</math> est à mouvement conservatif.}} == Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de la force « motrice » à l'ordre le plus bas non nul soit linéaire (et de rappel), approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire == === Point matériel à un degré de liberté soumis à une résultante de force « motrice » (hors frottement fluide) non linéaire « unidirectionnelle selon l'axe x'x » (ou « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force ») dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable, oscillateur non linéaire au voisinage de cet équilibre === {{Al|5}}Considérons un point matériel<ref name="matériel"> On rappelle que le caractère « matériel » du point n'est pas indispensable à l'une ou l'autre définition d'un oscillateur non linéaire, ce caractère n'existant pas, par exemple, dans le domaine de l'électricité, mais ici nous nous limitons au domaine de la mécanique et par conséquent le point ayant, en mécanique newtonienne, effectivement une masse, est matériel.</ref> <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, soumis à une résultante de force « motrice »<ref name="force motrice"> Rappel : une force <math>\;\big(</math>ou composante de force<math>\big)\;</math> « cause de modification du mouvement du point » est qualifiée de « motrice » <math>\;\big(</math>appellation personnelle<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>hors frottement fluide<math>\big)\;</math> non linéaire telle que * le mouvement du point <math>\;M\;</math> soit unidirectionnel selon l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> correspondant à une résultante de force « motrice »<ref name="force motrice" /> <math>\;\big(</math>hors frottement fluide<math>\big)</math> <math>\;\vec{F}(M) = F(x)\;\vec{u}_x</math> <math>\;\big[F(x)\;</math> étant non linéaire<math>\big]\;</math> ou * la trajectoire du point <math>\;M\;</math> soit circulaire, de centre <math>\;O\;</math> <math>\;\big(</math>pôle du repérage polaire<math>\big)\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, correspondant à une résultante de force « motrice »<ref name="force motrice" /> <math>\;\big(</math>hors frottement fluide\;<math>\big)</math> tangentielle <math>\;\vec{F}(M)</math> <math>= F(\theta)\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[F(\theta)\;</math> étant non linéaire<math>\big]\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Considérons }}une position d'équilibre stable <math>\;M_{\text{éq. st.}}\;</math> d'abscisse <math>\blacktriangleright\;</math>linéaire <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math> si le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> est unidirectionnel selon l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérons une position d'équilibre stable <math>\;\color{transparent}{M_{\text{éq. st.}}}\;</math> d'abscisse }}<math>\blacktriangleright\;</math>angulaire <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> si le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> est circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, {{Al|5}}on se propose d'établir l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)</math> <math>\;\big[</math>ou en <math>\;\theta(t)\big]\;</math> pour vérifier que le point matériel <math>\;M\;</math> satisfait bien à la 1^ère définition d'un oscillateur « non linéaire » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on se propose d'établir }}l'expression de <math>\;f\! \left[ x(t) \right]</math> <math>\;\big\{</math>ou en <math>\;f\! \left[ \theta(t) \right]\big\}</math>. {{Al|5}}Pour cela on applique la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. au point matériel <math>\;M</math>, dont les forces suivant la direction du mouvement sont <math>\blacktriangleright\;</math>la résultante de force « motrice »<ref name="force motrice" /> <math>\;\big(</math>hors frottement fluide<math>\big)</math> <math>\;\vec{F}(M)\;</math> et éventuellement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour cela on applique la r.f.d.n. au point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, dont les forces suivant la direction du mouvement sont }}<math>\blacktriangleright\;</math>la résistance à l'avancement de <math>\;M\;</math> dans le fluide<ref name="force de frottement fluide"> Ou force de frottement fluide.</ref> supposée linéaire<ref> Ce qui suppose que la vitesse de déplacement de <math>\;M\;</math> dans le fluide reste faible <math>\;\big[</math>en accord avec le fait que nous cherchons à obtenir des oscillations, donc une succession de points d'arrêt avec changement de sens du mouvement, ce qui limite évidemment la norme des vitesses<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour cela on applique la r.f.d.n. au point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, dont les forces suivant la direction du mouvement sont <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la résistance à l'avancement }}<math>\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;</math> avec <math>\;h > 0\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Pour cela }}on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\blacktriangleright\;</math>sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> dans le cas où <math>\;M\;</math> est de mouvement unidirectionnel selon l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;F\! \left[ x(t) \right] - h\;\dot{x}(t) = m\;\ddot{x}(t)\;</math> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel }}en normalisant «<math>\;\ddot{x}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{x}(t) - \dfrac{F\! \left[ x(t) \right]}{m} = 0\;</math>», <br>{{Al|8}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel }}s'identifiant à «<math>\;\ddot{x}(t) + \alpha\;\dot{x}(t) + f\! \left[ x(t) \right] = 0\;</math>» avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel s'identifiant à }}«<math>\;\alpha = \dfrac{h}{m} \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel s'identifiant à }}«<math>\;f(x) = -\dfrac{F(x)}{m}\;</math>» fonction vérifiant bien <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel }}les propriétés nécessaires à un oscillateur « non linéaire » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel les propriétés nécessaires }}au voisinage de <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math> en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel }}<math>\succ\;</math><math>F(x_{\text{éq. st.}}) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f(x_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F(x_{\text{éq. st.}})}{m} = 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel }}<math>\succ\;</math>le D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. de <math>\;F(x)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math> est, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le D.L. de <math>\;\color{transparent}{F(x)}\;</math> }}à l'ordre le plus bas non nul : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\bullet\;</math>si <math>\;F'(x_{\text{éq. st.}}) \neq 0</math>, l'ordre le plus bas non nul est un et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;F(x) \simeq F'(x_{\text{éq. st.}})\,\left( x - x_{\text{éq. st.}} \right)\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la stabilité nécessitant <math>\;F'(x_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math><ref name="condition algébrique de stabilité en termes de force si F(x)"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Cas_d'une_force_«_motrice_»_unidirectionnelle_selon_l'axe_x'x_2|cas d'une force motrice unidirectionnelle selon l'axe x'x]] (condition algébrique de stabilité) » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;f(x) = -\dfrac{F(x)}{m} \simeq -\dfrac{F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}\,\left( x - x_{\text{éq. st.}} \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}avec «<math>\;f'(x_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'(x_{\text{éq. st.}})}{m} > 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\bullet\;</math>si <math>\;F'(x_{\text{éq. st.}}) = 0</math>, <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}F''(x_{\text{éq. st.}}) = 0\\F'''(x_{\text{éq. st.}}) \neq 0\end{array}\right\rbrace</math>, l'ordre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}}) = 0}</math>, }}le plus bas non nul est trois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;F(x) \simeq \dfrac{F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6}\,\left( x - x_{\text{éq. st.}} \right)^{\!3}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la stabilité nécessitant <math>\;F'''(x_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math><ref name="condition algébrique de stabilité en termes de force si F(x)" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;f(x) = -\dfrac{F(x)}{m} \simeq -\dfrac{F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}\,\left( x - x_{\text{éq. st.}} \right)^{\!3}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}avec <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}f'(x_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'(x_{\text{éq. st.}})}{m} = 0\\f''(x_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F''(x_{\text{éq. st.}})}{m} = 0\end{array}\right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement unidirectionnel <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec }}«<math>\;f'''(x_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'''(x_{\text{éq. st.}})}{m} > 0\;</math>», {{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement }}ou <math>\blacktriangleright\;</math>sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> dans le cas où <math>\;M\;</math> est de mouvement circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] - h\;R\;\dot{\theta}(t) = m\;R\;\ddot{\theta}(t)\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire }}ou, en normalisant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) - \dfrac{F\! \left[ \theta(t) \right]}{m\;R} = 0\;</math>», s'identifiant à <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire ou, en normalisant }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \alpha\;\dot{\theta}(t) + f\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire ou, en normalisant }}«<math>\;\alpha = \dfrac{h}{m} \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» et «<math>\;f(\theta) = -\dfrac{F(\theta)}{m\;R}\;</math>» <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire ou, en normalisant «<math>\;\color{transparent}{\alpha = \dfrac{h}{m} \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» et }}fonction vérifiant bien <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire }}les propriétés nécessaires à un oscillateur « non linéaire » <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire les propriétés nécessaires }}au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> en effet <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire }}<math>\succ\;</math><math>F(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f(\theta_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R} = 0\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire }}<math>\succ\;</math>le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> est, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le D.L. de <math>\;\color{transparent}{F(\theta)}\;</math> }}à l'ordre le plus bas non nul : <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\bullet\;</math>si <math>\;F'(\theta_{\text{éq. st.}}) \neq 0</math>, l'ordre le plus bas non nul est un et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;F(\theta) \simeq F'(\theta_{\text{éq. st.}})\,\left( \theta - \theta_{\text{éq. st.}} \right)\;</math>» avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la stabilité nécessitant <math>\;F'(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math><ref name="condition algébrique de stabilité en termes de force si F(theta)"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Cas_d'une_force_«_motrice_»_s'appliquant_tangentiellement_à_la_trajectoire_circulaire_de_rayon_R_décrite_par_le_point_subissant_la_force_2|cas d'une force motrice s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force]] (condition algébrique de stabilité) » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;f(\theta) = -\dfrac{F(\theta)}{m\;R} \simeq -\dfrac{F'(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R}\,\left( \theta - \theta_{\text{éq. st.}} \right)\;</math>» <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}avec «<math>\;f'(\theta_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R} > 0\;</math>» ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\bullet\;</math>si <math>\;F'(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0</math>, <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}F''(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0\\F'''(\theta_{\text{éq. st.}}) \neq 0\end{array}\right\rbrace</math>, l'ordre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0}</math>, }}le plus bas non nul est trois, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;F(\theta) \simeq \dfrac{F'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{6}\,\left( \theta - \theta_{\text{éq. st.}} \right)^{\!3}\;</math>» avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la stabilité nécessitant <math>\;F'''(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math><ref name="condition algébrique de stabilité en termes de force si F(theta)" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;f(\theta) = -\dfrac{F(\theta)}{m\;R} \simeq -\dfrac{F'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R}\,\left( \theta - \theta_{\text{éq. st.}} \right)^{\!3}\;</math>» <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou. <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}avec <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}f'(\theta_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R} = 0\\f''(\theta_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F''(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R} = 0\end{array}\right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le cas où <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est de mouvement circulaire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec }}«<math>\;f'''(\theta_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R} > 0\;</math>». === Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est linéaire === {{Al|5}}Nous sommes dans le cas «<math>\;F'(x_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;f'(x_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'(x_{\text{éq. st.}})}{m} > 0\;</math>», l'ordre le plus bas non nul du D.L<ref name="D.L." />. de la force « motrice »<ref name="force motrice" /> au voisinage de l'équilibre stable est « <u>un</u> » <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}}) < 0}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\color{transparent}{f'(x_{\text{éq. st.}}) = -F'(x_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>», }}soit, en notant «<math>\;\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq. st.}}</math>» <math>\;\big[\!\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\varepsilon}(t) = \dot{x}(t)\;</math> et <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) = \ddot{x}(t)\big]</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}}) < 0}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\color{transparent}{f'(x_{\text{éq. st.}}) = -F'(x_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>», }}<math>\blacktriangleright\;</math>la force « motrice »<ref name="force motrice" /> au voisinage de l'équilibre stable «<math>\;F(x) \simeq \cancel{F(x_{\text{éq. st.}})\, +}\; F'(x_{\text{éq. st.}})\; \varepsilon\;</math>»<ref name="équilibre en termes de force"> On rappelle qu'un équilibre est défini par nullité de la force « motrice ».</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}}) < 0}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\color{transparent}{f'(x_{\text{éq. st.}}) = -F'(x_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la force « motrice » }}avec «<math>\;F'(x_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math>» assurant le caractère force « de rappel » et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}}) < 0}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\color{transparent}{f'(x_{\text{éq. st.}}) = -F'(x_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>», }}<math>\blacktriangleright\;</math>la fonction <math>\;f(x)\;</math> caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans «<math>\;\ddot{x}(t) + \alpha\; \dot{x}(t) + f\! \left[ x(t) \right] = 0\;</math>» au <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}}) < 0}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\color{transparent}{f'(x_{\text{éq. st.}}) = -F'(x_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}voisinage de son équilibre stable «<math>\;f(x) \simeq \cancel{f(x_{\text{éq. st.}})\, +}\; f'(x_{\text{éq. st.}})\; \varepsilon\;</math>»<ref name="lien entre f(x) et F(x)"> On rappelle que <math>\;f(x) = -\dfrac{F(x)}{m}\;</math> d'où le lien des valeurs des deux fonctions ou des dérivées de même ordre de ces deux fonctions pour <math>\;x_{\text{éq. st.}}</math>.</ref> avec <math>\;f'(x_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}}) < 0}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\color{transparent}{f'(x_{\text{éq. st.}}) = -F'(x_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou «<math>\;f(x) = -\dfrac{F(x)}{m} \simeq \cancel{-\dfrac{F(x_{\text{éq. st.}})}{m}} - \dfrac{F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}\; \varepsilon\;</math>» où <math>\;f'(x_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'(x_{\text{éq. st.}})}{m} > 0</math>. {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;x(t)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq. st.}}</math> <math>\;\big[</math>plus précisément en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> au voisinage de <math>\;0\big]\;</math> est «<math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{h}{m}\; \dot{\varepsilon}(t) + \left[ -\dfrac{F'(x_{\text{éq. st.}})}{m} \right]\, \varepsilon(t) = 0\;</math>»<ref name="abus du signe égal"> Ayant fait un D.L. à l'ordre le plus bas non nul de <math>\;F(x)\;</math> on devrait noter <math>\;\simeq 0\;</math> mais l'usage veut que l'on écrive <math>\;= 0\;</math> dans les équations différentielles obtenues par D.L., le signe <math>\;\simeq\;</math> étant alors réservé pour la recherche de solutions approchées de l'équation différentielle.</ref>{{,}}<ref name="h"> Nous avons supposé que le point matériel <math>\;M\;</math> subissait une résistance à l'avancement dans le fluide l'entourant de type linéaire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) = -h\;\vec{V}_M(t)\;</math> avec <math>\;h \geqslant 0</math>.</ref> avec <math>\;-\dfrac{F'(x_{\text{éq. st.}})}{m} > 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{x_{\text{éq. st.}}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>plus précisément en <math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{0\big]}\;</math> est }}le cœfficient <math>\;> 0\;</math> de <math>\;\varepsilon(t)\;</math> caractérise un oscillateur harmonique amorti <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math><ref name="h = 0"> Si <math>\;h = 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{x_{\text{éq. st.}}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>plus précisément en <math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{0\big]}\;</math> est }}le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> définissant l'« <u>approximation harmonique</u> <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{x_{\text{éq. st.}}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>plus précisément en <math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{0\big]}\;</math> est le D.L. à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t)}\;</math> définissant l'« }}de l'oscillateur non linéaire ». {{Al|5}}Nous en déduisons la « <u>pulsation propre des petites élongations</u><ref name="petites élongations"> Il s'agit d'un abus pour dire que « les élongations sont petites en valeur absolue ».</ref> <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{-F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous en déduisons }}en absence de frottement fluide<ref name="h = 0" /> l'oscillateur non amorti oscille sinusoïdalement avec une « <u>période propre des petites élongations</u><ref name="petites élongations" /> <math>\;T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\; \sqrt{\dfrac{m}{-F'(x_{\text{éq. st.}})}}\;</math>». === Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est linéaire === {{Al|5}}Nous sommes dans le cas «<math>\;F'(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;f'(\theta_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R} > 0\;</math>», l'ordre le plus bas non nul du D.L<ref name="D.L." />. de la force « motrice »<ref name="force motrice" /> au voisinage de l'équilibre stable est « <u>un</u> » <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\color{transparent}{f'(\theta_{\text{éq. st.}}) = -F'(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>», }}soit, en notant «<math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq. st.}}\;</math>» <math>\;\big[\!\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\varepsilon}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> et <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) = \ddot{\theta}(t)\big]</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\color{transparent}{f'(\theta_{\text{éq. st.}}) = -F'(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>», }}<math>\blacktriangleright\;</math>la force « motrice »<ref name="force motrice" /> au voisinage de l'équilibre stable «<math>\;F(\theta) \simeq \cancel{F(\theta_{\text{éq. st.}})\, +}\; F'(\theta_{\text{éq. st.}})\; \varepsilon\;</math>»<ref name="équilibre en termes de force" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\color{transparent}{f'(\theta_{\text{éq. st.}}) = -F'(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la force « motrice » }}avec «<math>\;F'(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math>» assurant le caractère force « de rappel » et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\color{transparent}{f'(\theta_{\text{éq. st.}}) = -F'(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>», }}<math>\blacktriangleright\;</math>la fonction <math>\;f(\theta)\;</math> caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \alpha\; \dot{\theta}(t) + f\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» au <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\color{transparent}{f'(\theta_{\text{éq. st.}}) = -F'(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}voisinage de son équilibre stable «<math>\;f(\theta) \simeq \cancel{f(\theta_{\text{éq. st.}})\, +}\; f'(\theta_{\text{éq. st.}})\; \varepsilon\;</math>»<ref name="lien entre f(θ) et F(θ)"> On rappelle que <math>\;f(\theta) = -\dfrac{F(\theta)}{m\;R}\;</math> d'où le lien des valeurs des deux fonctions ou des dérivées de même ordre de ces deux fonctions pour <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}</math>.</ref> avec <math>\;f'(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{F'(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\color{transparent}{f'(\theta_{\text{éq. st.}}) = -F'(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>», <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou «<math>\;f(\theta) = -\dfrac{F(\theta)}{m\;R} \simeq \cancel{-\dfrac{F(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R}} - \dfrac{F'(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R}\; \varepsilon\;</math>» où <math>\;f'(\theta_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R} > 0</math>. {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}</math> <math>\;\big[</math>plus précisément en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> au voisinage de <math>\;0\big]\;</math> est «<math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{h}{m\;R}\; \dot{\varepsilon}(t) + \left[ -\dfrac{F'(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R} \right]\, \varepsilon(t) = 0\;</math>»<ref name="abus du signe égal" />{{,}}<ref name="h" /> avec <math>\;-\dfrac{F'(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R} > 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. st.}}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>plus précisément en <math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{0\big]}\;</math> est }}le cœfficient <math>\;> 0\;</math> de <math>\;\varepsilon(t)\;</math> caractérise un oscillateur harmonique amorti <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math><ref name="h = 0" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. st.}}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>plus précisément en <math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{0\big]}\;</math> est }}le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> définissant l'« <u>approximation harmonique</u> <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\theta(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{éq. st.}}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>plus précisément en <math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{0\big]}\;</math> est le D.L. à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t)}\;</math> définissant l'« }}de l'oscillateur non linéaire ». {{Al|5}}Nous en déduisons la « <u>pulsation propre des petites élongations</u><ref name="petites élongations" /> <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{-F'(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R}}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous en déduisons }}en absence de frottement fluide<ref name="h = 0" /> l'oscillateur non amorti oscille sinusoïdalement avec une « <u>période propre des petites élongations</u><ref name="petites élongations" /> <math>\;T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\; \sqrt{\dfrac{m\;R}{-F'(\theta_{\text{éq. st.}})}}\;</math>». == Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de l'énergie potentielle à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro ait, pour diagramme, un « puits parabolique », approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire == === Point matériel à un degré de liberté soumis à une résultante de force « motrice » (hors frottement fluide) conservative « dérivant » d'une énergie potentielle non parabolique « U(M) = U(x) » ou « U(M) = U(θ) » dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable, oscillateur non linéaire au voisinage de cet équilibre === {{Al|5}}Considérons un point matériel<ref name="matériel" /> <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, soumis à une résultante de force « motrice »<ref name="force motrice" /> <math>\;\big(</math>hors frottement fluide<math>\big)\;</math> non linéaire conservative telle que * le mouvement du point <math>\;M\;</math> soit unidirectionnel selon l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> correspondant à une résultante de force « motrice »<ref name="force motrice" /> <math>\;\big(</math>hors frottement fluide<math>\big)</math> <math>\;\vec{F}(M) = F(x)\;\vec{u}_x\;</math> dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U(M) = U(x)</math> <math>\;\big[U(x)</math>, primitive de <math>\;-F(x)</math>, étant non parabolique<math>\big]\;</math> ou * la trajectoire du point <math>\;M\;</math> soit circulaire, de centre <math>\;O\;</math> <math>\;\big(</math>pôle du repérage polaire<math>\big)\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, correspondant à une résultante de force « motrice »<ref name="force motrice" /> <math>\;\big(</math>hors frottement fluide\;<math>\big)</math> tangentielle <math>\;\vec{F}(M)</math> <math>= F(\theta)\;\vec{u}_\theta\;</math> dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U(M) = U(\theta)</math> <math>\;\big[U(\theta)</math>, primitive de <math>\;-R\;F(\theta)</math>, étant non parabolique<math>\big]\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Considérons }}une position d'équilibre stable <math>\;M_{\text{éq. st.}}\;</math> d'abscisse <math>\blacktriangleright\;</math>linéaire <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math> si le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> est unidirectionnel selon l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérons une position d'équilibre stable <math>\;\color{transparent}{M_{\text{éq. st.}}}\;</math> d'abscisse }}<math>\blacktriangleright\;</math>angulaire <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> si le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> est circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, {{Al|5}}on se propose de vérifier que le point matériel <math>\;M\;</math> satisfait bien à la 2^ème définition d'un oscillateur « non linéaire ». {{Al|5}}Pour cela il suffit de constater que le diagramme d'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> au voisinage de la position d'équilibre est un puits<ref name="cuvette" /> <math>\;\big(</math>non parabolique<math>\big)</math>, c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater }}que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\;\big[</math>la nature « non parabolique » étant dans les hypothèses de mouvement du point matériel <math>\;M\big]</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale }}la stationnarité découlant d'une définition de la position d'équilibre et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale }}le caractère minimal, de la stabilité de cette dernière, plus précisément : {{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale }}<math>\blacktriangleright\;</math>si le mouvement de <math>\;M\;</math> est unidirectionnel selon l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}</math>, l'abscisse linéaire <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math> de la position d'équilibre <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}étant solution de <math>\;F(x) = 0\;</math> où <math>\;F(x) = -\dfrac{dU}{dx}(x)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU}{dx}(x_{\text{éq. st.}}) = 0</math> <math>\;\big[U(x)\;</math> stationnaire en <math>\;x_{\text{éq. st.}}\big]\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l'équilibre étant stable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\bullet\;</math>«<math>\;F'(x_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math>» avec <math>\;F(x) = -\dfrac{dU}{dx}(x)\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\dfrac{d^2 U}{dx^2}(x_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math>» <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>l'équilibre étant stable <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}y assurant le caractère minimal de <math>\;U(x)\;</math><ref name="condition algébrique de stabilité en termes d'énergie potentielle si U(x)"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Cas_d'une_force_«_motrice_»_unidirectionnelle_selon_l'axe_x'x_«_dérivant_»_d'une_énergie_potentielle_U(x)|cas d'une force motrice unidirectionnelle selon l'axe x'x dérivant d'une énergie potentielle U(x)]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>l'équilibre étant stable <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\bullet\;</math>«<math>\;F'(x_{\text{éq. st.}}) = 0</math>, <math>\;F''(x_{\text{éq. st.}}) = 0\;</math> et <math>\;F'''(x_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math>» avec <math>\;F(x) =</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>l'équilibre étant stable <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>-\dfrac{dU}{dx}(x)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d^2 U}{dx^2}(x_{\text{éq. st.}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^3 U}{dx^3}(x_{\text{éq. st.}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^4 U}{dx^4}(x_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math>» <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>l'équilibre étant stable <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}y assurant le caractère minimal de <math>\;U(x)\;</math><ref name="condition algébrique de stabilité en termes d'énergie potentielle si U(x)" /> ; {{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale }}<math>\blacktriangleright\;</math>si le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, l'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> de la position <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}d'équilibre étant solution de <math>\;F(\theta) = 0\;</math> où <math>\;F(\theta) = -\dfrac{1}{R}\;\dfrac{dU}{d \theta}(\theta)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU}{d \theta}(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>d'équilibre étant solution de <math>\;\color{transparent}{F(\theta) = 0}\;</math> où <math>\;\color{transparent}{F(\theta) = -\dfrac{1}{R}\;\dfrac{dU}{d \theta}(\theta)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\big[U(\theta)\;</math> stationnaire en <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\big]\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l'équilibre étant stable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\bullet\;</math>«<math>\;F'(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math>» avec <math>\;F(\theta) = -\dfrac{1}{R}\;\dfrac{dU}{d \theta}(\theta)\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math>» <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>l'équilibre étant stable <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}y assurant le caractère minimal de <math>\;U(\theta)\;</math><ref name="condition algébrique de stabilité en termes d'énergie potentielle si U(theta)"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Cas_d'une_force_«_motrice_»_s'appliquant_tangentiellement_à_la_trajectoire_circulaire_de_rayon_R_décrite_par_le_point_subissant_la_force_«_dérivant_»_d'une_énergie_potentielle_U(θ)|cas d'une force motrice s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force dérivant d'une énergie potentielle U(θ)]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>l'équilibre étant stable <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\bullet\;</math>«<math>\;F'(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0</math>, <math>\;F''(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0\;</math> et <math>\;F'''(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math>» avec <math>\;F(\theta) =</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>l'équilibre étant stable <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>-\dfrac{1}{R}\;\dfrac{dU}{d \theta}(\theta)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0 \\ \dfrac{d^3 U}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;\dfrac{d^4 U}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math>» y assurant <br>{{Al|89}}{{Transparent|Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>l'équilibre étant stable <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le caractère minimal de <math>\;U(\theta)\;</math><ref name="condition algébrique de stabilité en termes d'énergie potentielle si U(theta)" />. {{Al|5}}En conclusion, le point matériel <math>\;M\;</math> soumis à une résultante de force « motrice »<ref name="force motrice" /> <math>\;\big(</math>hors frottement fluide<math>\big)\;</math> conservative « dérivant » d'une énergie potentielle non parabolique «<math>\;U(M) = U(x)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;U(M) = U(\theta)\;</math>»<math>\big]\;</math> dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable est effectivement un oscillateur « non linéaire » au voisinage de cet équilibre <math>\;\big[</math>l'éventuelle résistance à l'avancement dans le fluide<ref name="force de frottement fluide" /> étant supposée linéaire<math>\big]</math>. === Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(x) » dont le D.L. à l’ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l’équilibre stable est parabolique === {{Al|5}}Nous sommes dans le cas «<math>\;U''(x_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math>» <math>\;\big[\!\Rightarrow</math> la nature parabolique du profil énergétique autour de l'équilibre stable repéré par son abscisse <math>\;x_{\text{éq. st.}}\big]</math>, avec <math>\;U'(x_{\text{éq. st.}}) = 0\;</math><ref name="nature parabolique du profil énergétique dans le cas unidirectionnel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#Point_matériel_à_un_degré_de_liberté_soumis_à_une_résultante_de_force_«_motrice_»_(hors_frottement_fluide)_conservative_«_dérivant_»_d'une_énergie_potentielle_non_parabolique_«_U(M)_=_U(x)_»_ou_«_U(M)_=_U(θ)_»_dont_le_mouvement_est_étudié_au_voisinage_d'un_équilibre_stable,_oscillateur_non_linéaire_au_voisinage_de_cet_équilibre|point matériel à un degré de liberté soumis à une résultante de force motrice (hors frottement fluide) conservative dérivant d'une énergie potentielle non parabolique U(M) = U(x) ou U(M) = U(θ) dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable, oscillateur non linéaire au voisinage de cet équilibre]] (si le mouvement de M est unidirectionnel, 1^er cas) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{U''(x_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big[\!\Rightarrow}</math> la nature parabolique du profil énergétique autour de l'équilibre stable repéré par son abscisse <math>\;\color{transparent}{x_{\text{éq. st.}}\big]}</math>, }}mais <math>\;U(x_{\text{éq. st.}})\;</math> a priori <math>\;\neq 0\;</math><ref> Sauf si la référence de l'énergie potentielle dont dérive la force <math>\;\big(</math>ou composante de force<math>\big)\;</math> « motrice » est choisie en cette position d'équilibre.</ref>, {{Al|7}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{U''(x_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>» }}l'ordre le plus bas non nul<ref name="autre que zéro"> Autre que zéro.</ref> du D.L<ref name="D.L." />. de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice »<ref name="force motrice" /> <math>\;\big(</math>hors frottement fluide<math>\big)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{U''(x_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>» l'ordre le plus bas non nul du D.L. de l'énergie potentielle }}est « <u>deux</u> » <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{U''(x_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>» }}soit, en notant «<math>\;\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq. st.}}</math>», le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;U(x)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math> <math>\big[</math>ou D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;U(x)\;</math> en fonction de <math>\;\varepsilon\;</math> au voisinage de <math>\;0\big]\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{U''(x_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>» soit, en notant «<math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq. st.}}}</math>», le D.L. de <math>\;\color{transparent}{U(x)}\;</math> }}est «<math>\;U(x) \simeq U(x_{\text{éq. st.}}) \;\cancel{+\;U'(x_{\text{éq. st.}})\; \varepsilon}\; + \dfrac{U''(x_{\text{éq. st.}})}{2}\; \varepsilon^2\;</math>»<ref name="équilibre en termes d'énergie potentielle"> On rappelle qu'un équilibre est défini par « stationnarité » de l'énergie potentielle.</ref> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Nous sommes dans le cas «<math>\;\color{transparent}{U''(x_{\text{éq. st.}}) > 0}\;</math>» soit, en notant «<math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq. st.}}}</math>», le D.L. de <math>\;\color{transparent}{U(x)}\;</math> est }}«<math>\;U''(x_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;U(x)\;</math> « minimale » en la position d'équilibre étudiée<ref name="stabilité en termes de profil d'énergie potentielle" />. {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;x(t)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq. st.}}</math> <math>\;\big[</math>plus précisément en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> au voisinage de <math>\;0\big]\;</math> est «<math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{h}{m}\; \dot{\varepsilon}(t) + \left[ -\dfrac{F'(x_{\text{éq. st.}})}{m} \right]\, \varepsilon(t) = 0\;</math>»<ref name="abus du signe égal"> Ayant fait un D.L. à l'ordre le plus bas non nul de <math>\;F(x)\;</math> on devrait noter <math>\;\simeq 0\;</math> mais l'usage veut que l'on écrive <math>\;= 0\;</math> dans les équations différentielles obtenues par D.L., le signe <math>\;\simeq\;</math> étant alors réservé pour la recherche de solutions approchées de l'équation différentielle.</ref>{{,}}<ref name="h"> Nous avons supposé que le point matériel <math>\;M\;</math> subissait une résistance à l'avancement dans le fluide l'entourant de type linéaire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) = -h\;\vec{V}_M(t)\;</math> avec <math>\;h \geqslant 0</math>.</ref> avec <math>\;-\dfrac{F'(x_{\text{éq. st.}})}{m} > 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{x_{\text{éq. st.}}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>plus précisément en <math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{0\big]}\;</math> est }}le cœfficient <math>\;> 0\;</math> de <math>\;\varepsilon(t)\;</math> caractérise un oscillateur harmonique amorti <math>\;\big(</math>ou non<math>\big)\;</math><ref name="h = 0"> Si <math>\;h = 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{x_{\text{éq. st.}}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>plus précisément en <math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{0\big]}\;</math> est }}le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> définissant l'« <u>approximation harmonique</u> <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{x(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{x_{\text{éq. st.}}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>plus précisément en <math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t)}\;</math> au voisinage de <math>\;\color{transparent}{0\big]}\;</math> est le D.L. à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\varepsilon(t)}\;</math> définissant l'« }}de l'oscillateur non linéaire ». {{Al|5}}Nous en déduisons la « <u>pulsation propre des petites élongations</u><ref name="petites élongations"> Il s'agit d'un abus pour dire que « les élongations sont petites en valeur absolue ».</ref> <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{-F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous en déduisons }}en absence de frottement fluide<ref name="h = 0" /> l'oscillateur non amorti oscille sinusoïdalement avec une « <u>période propre des petites élongations</u><ref name="petites élongations" /> <math>\;T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\; \sqrt{\dfrac{m}{-F'(x_{\text{éq. st.}})}}\;</math>». {{Al|5}}L'énergie cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrivant, à l'instant <math>\;t</math>, selon <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t)\;</math> ou encore, avec <math>\;\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq. st.}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\varepsilon}(t) = \dot{x}(t)</math>, selon <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{\varepsilon}^2\!(t)</math>, nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de Em"> C'est aussi le D.L. à l'ordre deux de l'énergie mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> dans la mesure où ce dernier est un oscillateur, ceci entraînant que <math>\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> étant alors d'amplitude <math>\;\big(</math>ou de pseudo-amplitude<math>\big)\;</math> proportionnelle à celle de <math>\;\varepsilon(t)\;</math> définie comme infiniment petit d'ordre un, l'énergie cinétique de <math>\;M</math>, à savoir <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{\varepsilon}^2\!(t)</math>, est un infiniment petit d'ordre deux.</ref> <center><math>\;E_{m,\,M}(t) \simeq \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{\varepsilon}^2\!(t) + U(x_{\text{éq. st.}}) + \dfrac{U''(x_{\text{éq. st.}})}{2}\; \varepsilon^2\!(t)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\varepsilon(t)</math> ;</center> {{Al|5}}on peut alors définir la « <u>pulsation propre des petites élongations</u><ref name="petites élongations" /> <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{U''(x_{\text{éq. st.}})}{m}}\;</math>» ce qui permet de réécrire l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de Em" /> selon <math>\;E_{m,\,M}(t) \simeq \dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \omega_0^2\;\varepsilon^2\!(t) \right] + U(x_{\text{éq. st.}})\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\varepsilon(t)</math> d'où : * en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1^ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> soit le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre deux en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> suivant <math>\;\dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \omega_0^2\;\varepsilon^2\!(t) \right] + U(x_{\text{éq. st.}}) \simeq E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> avec <math>\;E_{m,\,M}(0^{+}) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \omega_0^2\;\varepsilon^2\!(0^{+}) \right] + U(x_{\text{éq. st.}})\;</math><ref name="Em0 pour petits mouvements"> La vitesse initiale étant telle que l'oscillateur non linéaire non amorti reste dans le cadre des petits mouvements, soit encore, telle que son amplitude reste petite.</ref>, D.L<ref name="D.L." />. définissant l'« <u>approximation harmonique</u> de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous sa forme énergétique <math>\;\Bigg\{</math>oscillations sinusoïdales avec une « <u>période propre des petites élongations</u><ref name="petites élongations" /> <math>\;T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\; \sqrt{\dfrac{m}{U''(x_{\text{éq. st.}})}}\;</math>», son amplitude <math>\;X_m\;</math> d'oscillations se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par <math>\;\dfrac{U''(x_{\text{éq. st.}})}{2}\;X_m^2 + U(x_{\text{éq. st.}}) = E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;X_m = \sqrt{\dfrac{2 \left[ E_{m,\,M}(0^{+}) - U(x_{\text{éq. st.}}) \right]}{U''(x_{\text{éq. st.}})}}\Bigg\}</math> ; * en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1^ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}} \right]\!(t)\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!(t) = -h\;\vec{V}_M(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}} \right]\!(t) = -h\;\dot{x}^2\!(t) = -h\;\dot{\varepsilon}^2\!(t)\;</math> d'où, avec <math>\;E_{m,\,M}(t) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \omega_0^2\;\varepsilon^2\!(t) \right] + U(x_{\text{éq. st.}})\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t) \simeq m \left[ \dot{\varepsilon}(t)\;\ddot{\varepsilon}(t) + \omega_0^2\;\varepsilon(t)\;\dot{\varepsilon}(t) \right]</math>, l'équation différentielle approchée du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> de l'oscillateur amorti <math>\;m \left[ \ddot{\varepsilon}(t) + \omega_0^2\;\varepsilon(t) \right] = -h\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> après simplification par <math>\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> non identiquement nulle, soit encore, après normalisation, <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\varepsilon}(t) + \omega_0^2\;\varepsilon(t) = 0\;</math><ref name="abus du signe égal - ter"> Ayant dérivé un D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro de <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> on devrait noter <math>\;\simeq 0\;</math> mais l'usage veut que l'on écrive <math>\;= 0\;</math> dans les équations différentielles obtenues par D.L., le signe <math>\;\simeq\;</math> étant alors réservé pour la recherche de solutions approchées de l'équation différentielle.</ref>, D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un en <math>\;\varepsilon(t)\;</math><ref name="raison du D.L. à l'ordre un"> Le passage de l'ordre deux à l'ordre un résultant de la simplification par l'infiniment petit d'ordre un <math>\;\dot{\varepsilon}(t)</math>.</ref> définissant l'« <u>approximation harmonique</u> de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique. === Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(θ) » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l'équilibre stable est parabolique === {{Al|5}}Nous sommes donc dans le cas <math>\;U''(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0</math> <math>\;\big[</math>caractérisant la nature parabolique autour d'un équilibre stable<math>\big]\;</math> avec <math>\;U'(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0</math> <math>\;\big[\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> étant l'abscisse angulaire de la position d'équilibre étudiée<math>\big]</math> mais <math>\;U(\theta_{\text{éq. st.}})\;</math> a priori <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big[</math>sauf si sa référence est choisie en cette position d'équilibre<math>\big]</math>, l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L<ref name="D.L." />. de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice »<ref name="force motrice" /> (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « <u>deux</u> » soit, en notant <math>\;\varepsilon(t) =</math> <math>\theta(t) - \theta_{\text{éq. st.}}</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;U(\theta)\;</math> au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> s'écrit selon <center><math>\;U(\theta) \simeq U(\theta_{\text{éq. st.}}) \;\cancel{+\;U'(\theta_{\text{éq. st.}})\; \varepsilon}\; + \dfrac{U''(\theta_{\text{éq. st.}})}{2}\; \varepsilon^2\;</math><ref name="équilibre en termes d'énergie potentielle" /> avec <br><math>\;U''(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math> assurant le caractère « minimal » de l'énergie potentielle en la position d'équilibre étudiée.</center> {{Al|5}}L'énergie cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrivant, à l'instant <math>\;t</math>, selon <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, avec <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq. st.}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\varepsilon}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, selon <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;\dot{\varepsilon}^2\!(t)</math>, nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de Em - bis"> C'est aussi le D.L. à l'ordre deux de l'énergie mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> dans la mesure où ce dernier est un oscillateur, ceci entraînant que <math>\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> étant alors d'amplitude <math>\;\big(</math>ou de pseudo-amplitude<math>\big)\;</math> proportionnelle à celle de <math>\;\varepsilon(t)\;</math> définie comme infiniment petit d'ordre un, l'énergie cinétique de <math>\;M</math>, à savoir <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;\dot{\varepsilon}^2\!(t)</math>, est un infiniment petit d'ordre deux.</ref> <center><math>\;E_{m,\,M}(t) \simeq \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;\dot{\varepsilon}^2\!(t) + U(\theta_{\text{éq. st.}}) + \dfrac{U''(\theta_{\text{éq. st.}})}{2}\; \varepsilon^2\!(t)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\varepsilon(t)</math> ;</center> {{Al|5}}on peut alors définir la « <u>pulsation propre des petites élongations</u><ref name="petites élongations" /> <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{U''(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R^2}}\;</math>» ce qui permet de réécrire l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de Em - bis" /> selon <math>\;E_{m,\,M}(t) \simeq \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \omega_0^2\;\varepsilon^2\!(t) \right] + U(\theta_{\text{éq. st.}})\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\varepsilon(t)</math> d'où : * en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1^ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> soit le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre deux en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> suivant <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \omega_0^2\;\varepsilon^2\!(t) \right] + U(\theta_{\text{éq. st.}}) \simeq E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> avec <math>\;E_{m,\,M}(0^{+}) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \omega_0^2\;\varepsilon^2\!(0^{+}) \right] + U(\theta_{\text{éq. st.}})\;</math><ref name="Em0 pour petits mouvements" />, D.L<ref name="D.L." />. définissant l'« <u>approximation harmonique</u> de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous forme énergétique <math>\;\Bigg\{</math>oscillations sinusoïdales avec une « <u>période propre des petites élongations</u><ref name="petites élongations" /> <math>\;T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\; \sqrt{\dfrac{m\;R^2}{U''(\theta_{\text{éq. st.}})}}\;</math>», son amplitude <math>\;\theta_m\;</math> d'oscillations se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par <math>\;\dfrac{U''(\theta_{\text{éq. st.}})}{2}\;\theta_m^2 + U(\theta_{\text{éq. st.}}) = E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_m = \sqrt{\dfrac{2 \left[ E_{m,\,M}(0^{+}) - U(\theta_{\text{éq. st.}}) \right]}{U''(\theta_{\text{éq. st.}})}}\Bigg\}</math> ; * en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1^ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}} \right]\!(t)\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!(t) = -h\;\vec{V}_M(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}} \right]\!(t) = -h\;R^2\;\dot{\theta}^2\!(t) = -h\;R^2\;\dot{\varepsilon}^2\!(t)\;</math> d'où, avec <math>\;E_{m,\,M}(t) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \omega_0^2\;\varepsilon^2\!(t) \right] + U(\theta_{\text{éq. st.}})\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t) \simeq m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}(t)\;\ddot{\varepsilon}(t) + \omega_0^2\;\varepsilon(t)\;\dot{\varepsilon}(t) \right]</math>, l'équation différentielle approchée du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> de l'oscillateur amorti <math>\;m\;R^2 \left[ \ddot{\varepsilon}(t) + \omega_0^2\;\varepsilon(t) \right] = -h\;R^2\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> après simplification par <math>\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> non identiquement nulle, soit encore, après normalisation, <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\varepsilon}(t) + \omega_0^2\;\varepsilon(t) = 0\;</math><ref name="abus du signe égal - ter"> Ayant dérivé un D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro de <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> on devrait noter <math>\;\simeq 0\;</math> mais l'usage veut que l'on écrive <math>\;= 0\;</math> dans les équations différentielles obtenues par D.L., le signe <math>\;\simeq\;</math> étant alors réservé pour la recherche de solutions approchées de l'équation différentielle.</ref>, D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un en <math>\;\varepsilon(t)\;</math><ref name="raison du D.L. à l'ordre un" /> définissant l'« <u>approximation harmonique</u> de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique. == Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de la force « motrice » à l'ordre le plus bas non nul soit non linéaire (et de rappel), approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire == === Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est non linéaire === {{Al|5}}Nous sommes donc dans le cas <math>\;F'(x_{\text{éq. st.}}) = 0</math>, <math>\;F''(x_{\text{éq. st.}}) = 0\;</math> et <math>\;F'''(x_{\text{éq. st.}}) < 0</math>, c'est-à-dire encore <math>\;f'(x_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'(x_{\text{éq. st.}})}{m} = 0</math>, <math>\;f''(x_{\text{éq. st.}}) =</math> <math>-\dfrac{F''(x_{\text{éq. st.}})}{m} = 0\;</math> et <math>\;f'''(x_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'''(x_{\text{éq. st.}})}{m} > 0</math>, l'ordre le plus bas non nul du D.L<ref name="D.L." />. de la force « motrice »<ref name="force motrice" /> au voisinage de l'équilibre stable est donc « <u>trois</u> » soit, en notant <math>\;\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq. st.}}</math> <math>\;\big[\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\varepsilon}(t) = \dot{x}(t)\;</math> et <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) = \ddot{x}(t)\big]</math>, * le D.L<ref name="D.L." />. de la force « motrice »<ref name="force motrice" /> au voisinage de l'équilibre stable s'écrit selon <center><math>\;F(x) \simeq \cancel{F(x_{\text{éq. st.}})\, +}\, \cancel{F'(x_{\text{éq. st.}})\; \varepsilon + \dfrac{F''(x_{\text{éq. st.}})}{2}\; \varepsilon^2\, +}\, \dfrac{F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6}\; \varepsilon^3\;</math><ref name="équilibre en termes de force" /> <br>avec <math>\;F'''(x_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math> assurant le caractère force « de rappel » et</center> * celui de la fonction <math>\;f(x)\;</math> caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans son équation différentielle du 2^ème ordre au voisinage de son équilibre stable selon <math>\;f(x) \simeq</math> <math>\cancel{f(x_{\text{éq. st.}})\, +}\, \cancel{f'(x_{\text{éq. st.}})\; \varepsilon + \dfrac{f''(x_{\text{éq. st.}})}{2}\; \varepsilon^2\, +}\, \dfrac{f'''(x_{\text{éq. st.}})}{6}\; \varepsilon^3\;</math><ref name="lien entre f(x) et F(x)" /> avec <math>\;f'''(x_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math> ou <math>\;f(x) = -\dfrac{F(x)}{m} \simeq</math> <math>-\dfrac{F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}\; \varepsilon^3\;</math> avec <math>\;-\dfrac{F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m} > 0</math>. {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;x(t)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq. st.}}</math> <math>\;\big[</math>ou plus précisément en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> au voisinage de <math>\;0\big]\;</math> s'écrit alors <center><math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{h}{m}\; \dot{\varepsilon}(t) + \left[ -\dfrac{F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m} \right]\, \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math><ref name="abus du signe égal" /> avec <math>\;-\dfrac{F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m} > 0</math>,</center> {{Al|5}}le cœfficient <math>\;> 0\;</math> de <math>\;\varepsilon^3\!(t)\;</math> caractérise alors un oscillateur harmonique amorti <math>\;\big(</math>ou non amorti si <math>\;h = 0\big)</math>, le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre trois en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> définissant dans ce cas l'« <u>approximation anharmonique</u> de l'oscillateur non linéaire ». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : les petites oscillations d'un oscillateur « non linéaire » et non amorti au voisinage d'une position d'équilibre stable correspondant à une approximation anharmonique sont « périodiques » <math>\;\big[</math>sera établi au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#Établissement_de_la_nature_oscillatoire_puis_périodique_des_petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable_dans_l'approximation_anharmonique_d'un_oscillateur_non_linéaire_(non_amorti)_et_expression_intégrale_de_la_période_des_petites_oscillations|établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations]]<ref name="petites élongations" /> »<ref name="déduire l'intégrale 1ère énergétique de l'équation différentielle en x(t)."> On rappelle que l'on peut obtenir l'intégrale 1^ère énergétique d'un oscillateur non amorti à partir de son équation différentielle du 2^ème ordre en son écart <math>\;\varepsilon(t)\;</math> avec sa position d'équilibre stable en multipliant les deux membres de l'équation différentielle par <math>\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> et en intégrant entre l'instant initial et l'instant <math>\;t\;</math> quelconque d'où, partant de <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \left[ -\dfrac{F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m} \right]\, \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{\varepsilon}(t)\;\dot{\varepsilon}(t) + \left[ -\dfrac{F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m} \right]\, \varepsilon^3\!(t)\;\dot{\varepsilon}(t) = 0\;</math> qui s'intègre en <math>\;\dfrac{\dot{\varepsilon}^2\!(t)}{2} - \dfrac{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+})}{2} + \left[ -\dfrac{F'''(x_{\text{éq. st.}})}{24\;m} \right] \left[ \varepsilon^4\!(t) - \varepsilon^4\!(0^{+}) \right] = 0\;</math> ou encore, avec <math>\;F(x) = -U'(x)\;</math> et multiplication des deux membres par <math>\;m</math>, l'intégrale 1^ère énergétique suivante <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{\varepsilon}^2\!(t) + \left[ \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24} \right] \varepsilon^4\!(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \left[ \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24} \right] \varepsilon^4\!(0^{+})</math>.</ref> plus bas dans ce chapitre<math>\big]\;</math> mais « non sinusoïdales », la résolution de l'équation différentielle, que l'oscillateur soit amorti ou non, devant être faite numériquement <math>\;\ldots</math> === Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est non linéaire === {{Al|5}}Nous sommes donc dans le cas <math>\;F'(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0</math>, <math>\;F''(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0\;</math> et <math>\;F'''(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0</math>, c'est-à-dire encore <math>\;f'(\theta_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R} = 0</math>, <math>\;f''(\theta_{\text{éq. st.}}) =</math> <math>-\dfrac{F''(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R} = 0\;</math> et <math>\;f'''(\theta_{\text{éq. st.}}) = -\dfrac{F'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{m\;R} > 0</math>, l'ordre le plus bas non nul du D.L<ref name="D.L." />. de la force « motrice »<ref name="force motrice" /> au voisinage de l'équilibre stable est donc « <u>trois</u> » soit, en notant <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq. st.}}</math> <math>\;\big[\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\varepsilon}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> et <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) = \ddot{\theta}(t)\big]</math>, * le D.L<ref name="D.L." />. de la force « motrice »<ref name="force motrice" /> au voisinage de l'équilibre stable s'écrit selon <center><math>\;F(\theta) \simeq \cancel{F(\theta_{\text{éq. st.}})\, +}\, \cancel{F'(\theta_{\text{éq. st.}})\; \varepsilon + \dfrac{F''(\theta_{\text{éq. st.}})}{2}\; \varepsilon^2\, +}\, \dfrac{F'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{6}\; \varepsilon^3\;</math><ref name="équilibre en termes de force" /> <br>avec <math>\;F'''(\theta_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math> assurant le caractère force « de rappel » et</center> * celui de la fonction <math>\;f(\theta)\;</math> caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans son équation différentielle du 2^ème ordre au voisinage de son équilibre stable selon <math>\;f(\theta) \simeq \cancel{f(\theta_{\text{éq. st.}})\, +}\, \cancel{f'(\theta_{\text{éq. st.}})\; \varepsilon + \dfrac{f''(\theta_{\text{éq. st.}})}{2}\; \varepsilon^2\, +}\, \dfrac{f'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{6}\; \varepsilon^3\;</math><ref name="lien entre f(θ) et F(θ)" /> avec <math>\;f'''(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math> ou <math>\;f(\theta) = -\dfrac{F(\theta)}{m\;R} \simeq</math> <math>-\dfrac{F'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R}\; \varepsilon^3\;</math> avec <math>\;-\dfrac{F'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R} > 0</math>. {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}</math> <math>\;\big[</math>ou plus précisément en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> au voisinage de <math>\;0\big]\;</math> s'écrit alors <center><math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{h}{m}\; \dot{\varepsilon}(t) + \left[ -\dfrac{F'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R} \right]\, \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math><ref name="abus du signe égal" /> avec <math>\;-\dfrac{F'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R} > 0</math>,</center> {{Al|5}}le cœfficient <math>\;> 0\;</math> de <math>\;\varepsilon^3\!(t)\;</math> caractérise alors un oscillateur harmonique amorti <math>\;\big(</math>ou non amorti si <math>\;h = 0\big)</math>, le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre trois en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> définissant dans ce cas l'« <u>approximation anharmonique</u> de l'oscillateur non linéaire ». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : les petites oscillations d'un oscillateur « non linéaire » et non amorti au voisinage d'une position d'équilibre stable correspondant à une approximation anharmonique sont « périodiques » <math>\;\big[</math>sera établi au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#Établissement_de_la_nature_oscillatoire_puis_périodique_des_petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable_dans_l'approximation_anharmonique_d'un_oscillateur_non_linéaire_(non_amorti)_et_expression_intégrale_de_la_période_des_petites_oscillations|établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations]]<ref name="petites élongations" /> »<ref name="déduire l'intégrale 1ère énergétique de l'équation différentielle en θ(t)."> On rappelle que l'on peut obtenir l'intégrale 1^ère énergétique d'un oscillateur non amorti à partir de son équation différentielle du 2^ème ordre en son écart <math>\;\varepsilon(t)\;</math> avec sa position d'équilibre stable en multipliant les deux membres de l'équation différentielle par <math>\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> et en intégrant entre l'instant initial et l'instant <math>\;t\;</math> quelconque d'où, partant de <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \left[ -\dfrac{F'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R} \right]\, \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{\varepsilon}(t)\;\dot{\varepsilon}(t) + \left[ -\dfrac{F'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R} \right]\, \varepsilon^3\!(t)\;\dot{\varepsilon}(t) = 0\;</math> qui s'intègre en <math>\;\dfrac{\dot{\varepsilon}^2\!(t)}{2} - \dfrac{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+})}{2} + \left[ -\dfrac{F'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{24\;m\;R} \right] \left[ \varepsilon^4\!(t) - \varepsilon^4\!(0^{+}) \right] = 0\;</math> ou encore, avec <math>\;F(\theta) = -\dfrac{U'(\theta)}{R}\;</math> et multiplication des deux membres par <math>\;m\;R^2</math>, l'intégrale 1^ère énergétique suivante <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;R^2\dot{\varepsilon}^2\!(t) + \left[ \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{24} \right] \varepsilon^4\!(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \left[ \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{24} \right] \varepsilon^4\!(0^{+})</math>.</ref> plus bas dans ce chapitre<math>\big]\;</math> mais « non sinusoïdales », la résolution de l'équation différentielle, que l'oscillateur soit amorti ou non, devant être faite numériquement <math>\;\ldots</math> == Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de l'énergie potentielle à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro ait, pour diagramme, un « puits non parabolique », approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire, utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour déterminer la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements, expression intégrale de la période de ces derniers == === Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(x) » dont le D.L. à l’ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l’équilibre stable est non parabolique === {{Al|5}}Nous sommes donc dans le cas <math>\;U''(x_{\text{éq. st.}}) = 0</math> <math>\;\big[x_{\text{éq. st.}}\;</math> étant l'abscisse de la position d'équilibre stable étudiée<math>\big]</math>, <math>\;U'''(x_{\text{éq. st.}}) = 0\;</math> ainsi que <math>\;U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}}) > 0</math> <math>\;\big[</math>usuellement réalisé dans le cas d'une nature non parabolique autour d'un équilibre stable<math>\big]</math>, mais <math>\;U(x_{\text{éq. st.}})\;</math> a priori <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big[</math>sauf si sa référence est choisie en cette position d'équilibre<math>\big]</math>, l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L<ref name="D.L." />. de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice »<ref name="force motrice" /> (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « <u>quatre</u> » soit, en notant <math>\;\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq. st.}}</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;U(x)\;</math> au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math> s'écrit selon <center><math>\;U(x) \simeq U(x_{\text{éq. st.}}) +\, \cancel{U'(x_{\text{éq. st.}})\;\varepsilon\, +}\, \cancel{\dfrac{U''(x_{\text{éq. st.}})}{2}\; \varepsilon^2 + \dfrac{U'''(x_{\text{éq. st.}})}{6}\; \varepsilon^3\, +}\, \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24}\; \varepsilon^4\;</math><ref name="équilibre en termes d'énergie potentielle" /> <br>avec <math>\;U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math> assurant le caractère « minimal » de l'énergie potentielle en la position d'équilibre étudiée.</center> {{Al|5}}L'énergie cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrivant, à l'instant <math>\;t</math>, selon <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t)\;</math> ou encore, avec <math>\;\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq. st.}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\varepsilon}(t) = \dot{x}(t)</math>, selon <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{\varepsilon}^2\!(t)</math>, nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math><ref name="D.L. à l'ordre quatre de Em"> C'est aussi le D.L. à l'ordre quatre de l'énergie mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> dans la mesure où ce dernier est un oscillateur, ceci entraînant que <math>\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> étant alors d'amplitude <math>\;\big(</math>ou de pseudo-amplitude<math>\big)\;</math> proportionnelle à celle de <math>\;\varepsilon(t)\;</math> définie comme infiniment petit d'ordre un, l'énergie cinétique de <math>\;M</math>, à savoir <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{\varepsilon}^2\!(t)</math>, est un infiniment petit d'ordre deux.</ref> <center><math>\;E_{m,\,M}(t) \simeq \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{\varepsilon}^2\!(t) + U(x_{\text{éq. st.}}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24}\; \varepsilon^4\!(t)\;</math> à l'ordre quatre en <math>\;\varepsilon(t)</math> ;</center> {{Al|5}}suivant l'absence ou la présence de frottement fluide linéaire on obtient les conséquences suivantes : * en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1^ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> soit le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre quatre en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> suivant <math>\;\dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}\; \varepsilon^4\!(t) \right] + U(x_{\text{éq. st.}}) \simeq</math> <math>E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> avec <math>\;E_{m,\,M}(0^{+}) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}\;\varepsilon^4\!(0^{+}) \right] + U(x_{\text{éq. st.}})\;</math><ref name="Em0 pour petits mouvements" />, D.L<ref name="D.L." />. définissant l'« <u>approximation anharmonique</u> de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous forme énergétique <math>\;\Bigg\{</math>sa nature oscillatoire puis périodique avec sa « période des petites élongations<ref name="petites élongations" /> » sous forme intégrale seront explicitées au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#Établissement_de_la_nature_oscillatoire_puis_périodique_des_petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable_dans_l'approximation_anharmonique_d'un_oscillateur_non_linéaire_(non_amorti)_et_expression_intégrale_de_la_période_des_petites_oscillations|établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations]]<ref name="petites élongations" /> » plus bas dans ce chapitre<math>\big)</math>, l'amplitude <math>\;X_m\;</math> des petites oscillations<ref name="petites élongations" /> (non sinusoïdales) se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par <math>\;\dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24}\;X_m^4 + U(x_{\text{éq. st.}}) = E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;X_m =</math> <math>\sqrt[4]{\dfrac{24 \left[ E_{m,\,M}(0^{+}) - U(x_{\text{éq. st.}}) \right]}{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}}\Bigg\}</math> ; * en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1^ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}} \right]\!(t)\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!(t) = -h\;\vec{V}_M(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}} \right]\!(t) = -h\;\dot{x}^2\!(t) = -h\;\dot{\varepsilon}^2\!(t)\;</math> d'où, avec <math>\;E_{m,\,M}(t) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}\; \varepsilon^4\!(t) \right] + U(x_{\text{éq. st.}})\;</math> à l'ordre quatre en <math>\;\varepsilon(t)</math>, sa dérivation temporelle conduisant à <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m \left[ 2\;\dot{\varepsilon}(t)\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{3\;m}\; \varepsilon^3\!(t)\;\dot{\varepsilon}(t) \right]</math>, l'équation différentielle approchée du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> de l'oscillateur amorti s'écrit, après simplification par <math>\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> non identiquement nulle, selon <math>\;m \left[ \ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}\; \varepsilon^3\!(t) \right] = -h\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> soit encore, après transposition dans un même membre de gauche et normalisation, <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\varepsilon}(t) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}\; \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math><ref name="abus du signe égal - ter" />, D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre trois en <math>\;\varepsilon(t)\;</math><ref name="raison du D.L. à l'ordre trois"> Le passage de l'ordre quatre à l'ordre trois résultant de la simplification par l'infiniment petit d'ordre un <math>\;\dot{\varepsilon}(t)</math>.</ref> définissant l'« <u>approximation anharmonique</u> de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique. === Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(θ) » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l'équilibre stable est non parabolique === {{Al|5}}Nous sommes donc dans le cas <math>\;U''(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0</math> <math>\;\big[\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> étant l'abscisse angulaire de la position d'équilibre stable étudiée<math>\big]</math>, <math>\;U'''(\theta_{\text{éq. st.}}) = 0\;</math> ainsi que <math>\;U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0</math> <math>\;\big[</math>usuellement réalisé dans le cas d'une nature non parabolique autour d'un équilibre stable<math>\big]</math>, mais <math>\;U(\theta_{\text{éq. st.}})\;</math> a priori <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big[</math>sauf si sa référence est choisie en cette position d'équilibre<math>\big]</math>, l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L<ref name="D.L." />. de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice »<ref name="force motrice" /> (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « <u>quatre</u> » soit, en notant <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq. st.}}</math>, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;U(\theta)\;</math> au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> s'écrit selon <center><math>\;U(\theta) \simeq U(\theta_{\text{éq. st.}}) +\, \cancel{U'(\theta_{\text{éq. st.}})\;\varepsilon\, +}\, \cancel{\dfrac{U''(\theta_{\text{éq. st.}})}{2}\; \varepsilon^2 + \dfrac{U'''(\theta_{\text{éq. st.}})}{6}\; \varepsilon^3\, +}\, \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{24}\; \varepsilon^4\;</math><ref name="équilibre en termes d'énergie potentielle" /> <br>avec <math>\;U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math> assurant le caractère « minimal » de l'énergie potentielle en la position d'équilibre étudiée.</center> {{Al|5}}L'énergie cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrivant, à l'instant <math>\;t</math>, selon <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, avec <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq. st.}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\varepsilon}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, selon <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;\dot{\varepsilon}^2\!(t)</math>, nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math><ref name="D.L. à l'ordre quatre de Em - bis"> C'est aussi le D.L. à l'ordre quatre de l'énergie mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> dans la mesure où ce dernier est un oscillateur, ceci entraînant que <math>\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> étant alors d'amplitude <math>\;\big(</math>ou de pseudo-amplitude<math>\big)\;</math> proportionnelle à celle de <math>\;\varepsilon(t)\;</math> définie comme infiniment petit d'ordre un, l'énergie cinétique de <math>\;M</math>, à savoir <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;\dot{\varepsilon}^2\!(t)</math>, est un infiniment petit d'ordre deux.</ref> <center><math>\;E_{m,\,M}(t) \simeq \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;\dot{\varepsilon}^2\!(t) + U(\theta_{\text{éq. st.}}) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{24}\; \varepsilon^4\!(t)\;</math> à l'ordre quatre en <math>\;\varepsilon(t)</math> ;</center> {{Al|5}}suivant l'absence ou la présence de frottement fluide linéaire on obtient les conséquences suivantes : * en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1^ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> soit le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre quatre en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> suivant <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2}\; \varepsilon^4\!(t) \right] + U(\theta_{\text{éq. st.}}) \simeq</math> <math>E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> avec <math>\;E_{m,\,M}(0^{+})</math> <math>\simeq \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2}\;\varepsilon^4\!(0^{+}) \right] + U(\theta_{\text{éq. st.}})\;</math><ref name="Em0 pour petits mouvements" />, {{Nobr|D.L<ref name="D.L." />.}} définissant l'« <u>approximation anharmonique</u> de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous forme énergétique <math>\;\Bigg\{</math>sa nature oscillatoire puis périodique ainsi que sa « période des petites élongations<ref name="petites élongations" /> » sous forme intégrale seront explicitées au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#Établissement_de_la_nature_oscillatoire_puis_périodique_des_petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable_dans_l'approximation_anharmonique_d'un_oscillateur_non_linéaire_(non_amorti)_et_expression_intégrale_de_la_période_des_petites_oscillations|établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations]]<ref name="petites élongations" /> » plus bas dans ce chapitre<math>\big)</math>, l'amplitude <math>\;\theta_m\;</math> des petites {{Nobr|oscillations<ref name="petites élongations" />}} (non sinusoïdales) se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par <math>\;\dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{24}\;\theta_m^4 + U(\theta_{\text{éq. st.}}) = E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_m =</math> <math>\sqrt[4]{\dfrac{24 \left[ E_{m,\,M}(0^{+}) - U(\theta_{\text{éq. st.}}) \right]}{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}}\Bigg\}</math> ; * en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1^ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}} \right]\!(t)\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!(t) = -h\;\vec{V}_M(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}} \right]\!(t) = -h\;R^2\;\dot{\theta}^2\!(t) = -h\;R^2\;\dot{\varepsilon}^2\!(t)\;</math> d'où, avec <math>\;E_{m,\,M}(t) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2}\; \varepsilon^4\!(t) \right] + U(\theta_{\text{éq. st.}})\;</math> à l'ordre quatre en <math>\;\varepsilon(t)</math>, sa dérivation temporelle conduisant à <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ 2\;\dot{\varepsilon}(t)\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{3\;m\;R^2}\; \varepsilon^3\!(t)\;\dot{\varepsilon}(t) \right]</math>, l'équation différentielle approchée du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> de l'oscillateur amorti s'écrit, après simplification par <math>\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> non identiquement nulle, selon <math>\;m\;R^2 \left[ \ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^2}\; \varepsilon^3\!(t) \right] = -h\;R^2\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> soit encore, après transposition dans un même membre de gauche et normalisation, <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\varepsilon}(t) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^2}\; \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math><ref name="abus du signe égal - ter" />, D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre trois en <math>\;\varepsilon(t)\;</math><ref name="raison du D.L. à l'ordre trois" /> définissant l'« <u>approximation anharmonique</u> de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique. === Établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations === {{Al|5}}Même démarche que celle exposée dans les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|déterminations de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|de sa nature périodique avec expression de sa période sous forme intégrale]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour l'étude du P.P.S.N.A. à un degré de liberté dans le cadre des mouvements non nécessairement petits. ==== Établissement de la nature oscillatoire des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) ==== {{Al|5}}En absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1^ère énergétique suivie par l'oscillateur non linéaire et non amorti dans son approximation anharmonique des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> autour de la position d'équilibre stable d'abscisse <math>\;x_{\text{éq. st.}}</math> <math>\;\big\{</math>ou d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\big\}\;</math> correspondant à la conservation de l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> soit le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre quatre en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> suivant <math>\;\dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}\; \varepsilon^4\!(t) \right] + U(x_{\text{éq. st.}})</math> <math>\simeq E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> avec <math>\;E_{m,\,M}(0^{+}) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}\;\varepsilon^4\!(0^{+}) \right] + U(x_{\text{éq. st.}})\;</math><ref name="Em0 pour petits mouvements" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou, si la trajectoire de <math>\;M\;</math> est circulaire de rayon <math>\;R\;</math> avec <math>\;\theta\;</math> comme paramètre de position, <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2}\; \varepsilon^4\!(t) \right] + U(\theta_{\text{éq. st.}}) \simeq E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> avec l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,M}(0^{+}) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2}\;\varepsilon^4\!(0^{+}) \right] + U(\theta_{\text{éq. st.}})\;</math><ref name="Em0 pour petits mouvements" /><math>\Bigg\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|En absence de frottement fluide, }}pour établir la nature oscillatoire des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> de l'oscillateur non linéaire et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée on trace le diagramme d'énergies potentielle et mécanique correspondant <math>\;\big(</math>voir ci-dessous<math>\big)\;</math> à savoir, sur un même repère d'abscisses <math>\;x</math> <math>\;\big\{</math>ou d'abscisses angulaires <math>\;\theta\big\}\;</math> et d'ordonnées l'énergie potentielle <math>\;U(M)\;</math> ou l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}</math>, * la courbe d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)</math>, ensemble des points <math>\;P_u\;</math> d'abscisse <math>\;x\;</math> et d'ordonnée <math>\;U(x) \simeq U(x_{\text{éq. st.}}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24}\;\varepsilon^4\!(t)\;</math> avec <math>\;\varepsilon(t) =</math> <math>x(t) - x_{\text{éq. st.}}</math> <math>\;\Bigg\{</math>ou ensemble des points <math>\;P_u\;</math> d'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> et d'ordonnée <math>\;U(\theta) \simeq U(\theta_{\text{éq. st.}}) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{24}\;\varepsilon^4\!(t)\;</math> avec <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq. st.}}\Bigg\}\;</math> et [[File:Oscillateur non linéaire non amorti dans approximation anharmonique - diagramme énergétique.png|thumb|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) au voisinage d'une position d'équilibre stable autour de laquelle l'approximation des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> est anharmonique]] * la courbe d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)</math>, ensemble des points <math>\;P_m\;</math> d'abscisse <math>\;x\;</math> et d'ordonnée <math>\;E_{m,\,M} =</math> <math>E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> avec <math>\;E_{m,\,M}(0^{+}) \simeq \dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}\;\varepsilon^4\!(0^{+}) \right] + U(x_{\text{éq. st.}})\;</math><ref name="Em0 pour petits mouvements" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou ensemble des points <math>\;P_m\;</math> d'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> et d'ordonnée <math>\;E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(0^{+})\;</math> avec <math>\;E_{m,\,M}(0^{+}) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2}\;\varepsilon^4\!(0^{+}) \right] + U(x_{\text{éq. st.}})\;</math><ref name="Em0 pour petits mouvements" /><math>\Bigg\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|En absence de frottement fluide, }}constatant l'existence de deux murs d'énergie potentielle situés symétriquement l'un de l'autre relativement à l'abscisse d'équilibre <math>\;x_{\text{éq. st.}}</math> <math>\;\big\{</math>ou à l'abscisse angulaire d'équilibre <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\big\}\;</math> nous en déduisons que la trajectoire de <math>\;M\;</math> est « cinétiquement bornée » correspondant à un « état lié » et assurant un mouvement « oscillatoire » sur l'intervalle <math>\;\left[ x_{\text{éq. st.}} - X_m\, ,\, x_{\text{éq. st.}} + X_m \right]</math> <math>\;\Big\{</math>ou un mouvement « oscillatoire » sur l'intervalle <math>\;\left[ \theta_{\text{éq. st.}} - \theta_m\, ,\, \theta_{\text{éq. st.}} + \theta_m \right]\Big\}</math>. ==== Établissement de la nature périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations ==== {{Al|5}}Pour déterminer la nature périodique des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée, on utilise simultanément son intégrale 1^ère énergétique et son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, de façon à montrer que la durée correspondant au n^ème aller-retour des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\;</math> de <math>\;P_1 \rightarrow {P'}_1 \rightarrow P_1\;</math> est indépendant du numéro <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> de l'aller-retour : * par intégrale 1^ère énergétique <math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,\,0}\;</math> avec <math>\;E_{m,\,0} \simeq \dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}\;\varepsilon^4\!(0^{+}) \right] + U(x_{\text{éq. st.}})\;</math><ref name="Em0 pour petits mouvements" /> et <math>\;E_{m,\,M}(t) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}\; \varepsilon^4\!(t) \right] + U(x_{\text{éq. st.}})\;</math> dans laquelle <math>\;\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq. st.}}\;</math> et <math>\;\dot{\varepsilon}(t) = \dot{x}(t)</math> <math>\;\Bigg\{</math>ou, si la trajectoire de <math>\;M\;</math> est circulaire de rayon <math>\;R\;</math> avec <math>\;\theta\;</math> comme paramètre de position, <math>\;E_{m,\,0} \simeq \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2}\;\varepsilon^4\!(0^{+}) \right] + U(\theta_{\text{éq. st.}})\;</math><ref name="Em0 pour petits mouvements" /> et <math>\;E_{m,\,M}(t) \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(t) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2}\;\varepsilon^4\!(t) \right] + U(\theta_{\text{éq. st.}})\;</math> avec <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq. st.}}\;</math> et <math>\;\dot{\varepsilon}(t) = \dot{\theta}(t)\Bigg\}</math>, on tire <math>\;\dot{\varepsilon}^2\!(t) \simeq</math> <math>\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4\!(t) \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\varepsilon}(t) = \dfrac{d \varepsilon}{dt}(t) \simeq \pm\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4\!(t) \right]}\;</math><ref name="choix du signe"> Le choix entre <math>\;+\;</math> et <math>\;-\;</math> dépend du sens de variation de la variable de position <math>\;\big[</math>ou, ce qui revient au même, du sens de déplacement de <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sur <math>\;(\Gamma_u)\;</math> et <math>\;(\Gamma_m)\big]</math>.</ref> soit finalement l'expression de la durée élémentaire <math>\;dt\;</math> correspondant à une variation élémentaire <math>\;d \varepsilon\;</math> de l'écart d'abscisse relativement à <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math> du point <math>\;M\;</math> selon <math>\;dt \simeq</math> <math>\pm \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4\!(t) \right]}}\;</math><ref name="déf si valeur absolue de varepsilon différent de son amplitude"> Cette expression n'étant définie que si <math>\;\vert \varepsilon \vert \neq X_m</math> <math>\;\big\{</math>ou, dans le cas où la trajectoire de <math>\;M\;</math> est circulaire de rayon <math>\;R\;</math> avec <math>\;\theta\;</math> comme paramètre de position, si <math>\;\vert \varepsilon \vert \neq \theta_m\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas où <math>\;\vert \varepsilon \vert\;</math> est égale à <math>\;X_m</math> <math>\;\big\{</math>ou <math>\;\theta_m\big\}\;</math> la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de <math>\;dt\;</math> non infinie, <math>\;d \varepsilon = 0\;</math> correspondant alors à un état stationnaire de <math>\;\varepsilon</math> <math>\;\big(</math>plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de <math>\;\varepsilon\;</math> pour laquelle la vitesse est effectivement nulle<math>\big)</math>, la levée de la forme indéterminée <math>\;\big(</math>non exposée car nécessitant l'explicitation de l'énergie potentielle<math>\big)\;</math> <math>\dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4\!(t) \right]}}</math> <math>\;\Bigg\{</math>ou <math>\;\dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4\!(t) \right]}}\Bigg\}\;</math> conduisant à la valeur infiniment petite <math>\;dt</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix du signe" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou <math>\;dt \simeq \pm \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4\!(t) \right]}}\;</math><ref name="déf si valeur absolue de varepsilon différent de son amplitude" />{{,}}<ref name="choix du signe" /><math>\Bigg\}</math>, puis * par diagramme d'énergies potentielle et mécanique on fait le choix entre <math>\;+\;</math> et <math>\;-\;</math> suivant le sens de déplacement des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> dans la cuvette (ou puits) d'énergie potentielle soit <br>{{Al|5}}math>\;\succ\;</math>pour le n^ème aller des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;P_1\;</math> à <math>\;{P'}_1</math>, <math>\;\varepsilon \searrow\;</math> d'où <math>\;d \varepsilon\;</math> correspondant à <math>\;dt > 0\;</math> est <math>\;< 0</math>, ce qui permet de déduire <math>\;dt \simeq</math> <math>-\dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4\!(t) \right]}}\;</math><ref name="déf si valeur absolue de varepsilon différent de son amplitude" />, la durée totale du n^ème aller s'obtenant par intégration de <math>\;X_m\;</math> à <math>\;-X_m\;</math> soit <math>\;\Delta t_{P_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_1} \simeq</math> <math>\displaystyle\int_{X_m}^{-X_m} -\dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4 \right]}}</math> <math>= \displaystyle\int_{-X_m}^{X_m} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4 \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_fermé_à_l'exception_d'au_moins_une_des_bornes_pour_laquelle_la_fonction_diverge|intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <math>\;\Bigg\{</math>ou, par intégration de <math>\;\theta_m\;</math> à <math>\;-\theta_m\;</math> soit <math>\;\Delta t_{P_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_1}\; \overset{\ldots}{\simeq}\; \displaystyle\int_{-\theta_m}^{\theta_m} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4 \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /><math>\Bigg\}</math> ainsi que <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour le n^ème retour des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;{P'}_1\;</math> à <math>\;P_1</math>, <math>\;\varepsilon \nearrow\;</math> d'où <math>\;d \varepsilon\;</math> correspondant à <math>\;dt > 0\;</math> est <math>\;> 0</math>, ce qui permet de déduire <math>\;dt \simeq</math> <math>\dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4\!(t) \right]}}\;</math><ref name="déf si valeur absolue de varepsilon différent de son amplitude" />, la durée totale du n^ème retour s'obtenant par intégration de <math>\;-X_m\;</math> à <math>\;X_m\;</math> soit <math>\;\Delta t_{{P'}_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_1} \simeq</math> <math>\displaystyle\int_{-X_m}^{X_m} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4 \right]}} = \Delta t_{P_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_1}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou, par intégration de <math>\;-\theta_m\;</math> à <math>\;\theta_m\;</math> soit <math>\;\Delta t_{{P'}_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_1}\; \overset{\ldots}{\simeq}\;</math> <math>\displaystyle\int_{-\theta_m}^{\theta_m} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4 \right]}} = \Delta t_{P_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_1}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /><math>\Bigg\}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>la durée de la n^ème oscillation du point <math>\;M</math>, <math>\;\Delta t_{P_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_1} = \Delta t_{P_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_1} + \Delta t_{{P'}_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_1} = 2\;\Delta t_{P_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_1}\;</math> soit finalement <math>\;\Delta t_{P_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_1} \simeq</math> <math>2\;\displaystyle\int_{-X_m}^{X_m} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4 \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée"/> <math>\;\Bigg\{</math>ou, si la trajectoire de <math>\;M\;</math> est circulaire de rayon <math>\;R\;</math> avec <math>\;\theta\;</math> comme paramètre de position, <math>\;\Delta t_{P_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,{P'}_1\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_1} \simeq 2\;\displaystyle\int_{-\theta_m}^{\theta_m} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^2} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4 \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée"/><math>\Bigg\}\;</math> indépendante de <math>\;n</math> <math>\;\big(</math>la fonction à intégrer et les bornes d'intégration en étant indépendantes<math>\big)</math>, ce qui établit la <u>nature périodique</u> des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée. {{Al|5}}La période <math>\;\mathcal{T}\;</math> des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée étant la durée d'un aller-retour quelconque des points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> de <math>\;P_1\;</math> à <math>\;P_1\;</math> en passant par <math>\;{P'}_1\;</math> s'écrit, sous forme intégrale, selon <math>\;\mathcal{T} =</math> <math>\Delta t_{P_1\,\rightarrow\,{P'}_1\,\rightarrow\,P_1}</math> <math>\simeq 2\;\displaystyle\int_{-X_m}^{X_m} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4 \right]}} = 4\;\displaystyle\int_0^{X_m} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4 \right]}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref> On a <math>\;\displaystyle\int_{-X_m}^{0} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4 \right]}} = \displaystyle\int_{0}^{X_m} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ \varepsilon^4\!(0^{+}) - \varepsilon^4 \right]}}</math>, la fonction à intégrer étant paire.</ref> ou, avec <math>\;E_{m,\,0} \simeq</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m \left[ \dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}\; \varepsilon^4\!(0^{+}) \right] + U(x_{\text{éq. st.}}) = E_{m,\,M}(t_{P_1}) \simeq \dfrac{1}{2}\;m \left[ \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}\; X_m^{\,4} \right] + U(x_{\text{éq. st.}})\;</math> dont on tire <math>\;\dot{\varepsilon}^2\!(0^{+}) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}\; \varepsilon^4\!(0^{+}) \simeq \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}\; X_m^{\,4}</math>, la réécriture de la période des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée selon <center><math>\;\mathcal{T} \simeq 4\;\displaystyle\int_0^{X_m} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m} \left[ X_m^{\,4} - \varepsilon^4 \right]}} = 8\;\sqrt{\dfrac{3\;m}{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}}\;\displaystyle\int_0^{X_m} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{X_m^{\,4} - \varepsilon^4}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> <br><math>\;\Bigg\{</math>ou, si la trajectoire de <math>\;M\;</math> est circulaire de rayon <math>\;R\;</math> avec <math>\;\theta\;</math> comme paramètre de position, <br><math>\;\mathcal{T}\;\overset{\ldots}{\simeq}\; 8\;\sqrt{\dfrac{3\;m\;R^2}{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \varepsilon}{\sqrt{\theta_m^{\,4} - \varepsilon^4}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /><math>\Bigg\}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il y a « absence d'isochronisme » des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée car sa période <math>\;\mathcal{T}\;</math> dépend effectivement de l'amplitude <math>\;X_m</math> <math>\;\big\{</math>ou <math>\;\theta_m\big\}</math>, en effet, si on effectue le changement de variable <math>\;u = \dfrac{\varepsilon}{X_m}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d \varepsilon = X_m\;du</math> <math>\;\bigg\{</math>ou <math>\;u = \dfrac{\varepsilon}{\theta_m}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d \varepsilon = \theta_m\;du\bigg\}</math>, on obtient <math>\;\mathcal{T} \simeq 8\;\sqrt{\dfrac{3\;m}{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}}\;\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{X_m\;du}{X_m^{\,2}\;\sqrt{1 - u^4}}\;</math> soit encore <math>\;\mathcal{T} \simeq</math> <math>\dfrac{8}{X_m}\;\sqrt{\dfrac{3\;m}{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}}\;\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^4}}</math> <math>\;\Bigg\{</math>ou <math>\;\mathcal{T}\; \overset{\ldots}{\simeq}\; \dfrac{8}{\theta_m}\;\sqrt{\dfrac{3\;m\;R^2}{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}}\;\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^4}}\Bigg\}\;</math> établissant que la période est plus précisément <u>inversement proportionnelle à l'amplitude</u> d'oscillations. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'intégrale généralisée <math>\;\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^4}}\;</math> <u>n'est pas algébriquement calculable avec les fonctions usuelles</u>, on utilise un logiciel de calcul <math>\;\big(</math>comme '''Scilab'''<math>\big)\;</math><ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab'''<math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> pour l'évaluer numériquement et on trouve <math>\;\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^4}} \simeq 1,311\;</math><ref> Ci-dessous les deux lignes de programme par Scilab (la réponse du logiciel de calcul étant donnée en rouge) : <br>{{Al|5}}function y = f(u) ; y = 1/sqrt(1-u^4) ; endfunction <br>{{Al|5}}T = integrate('f(u)' , 'u' , 0 , 1)<span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span><span style="color:#ff0000;">T = 1.3110288</span>.</ref> d'où <math>\;\mathcal{T} \simeq \dfrac{18,17}{X_m}\;\sqrt{\dfrac{m}{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}}</math> <math>\,\Bigg\{</math>ou, si la trajectoire de <math>\,M\,</math> est circulaire de rayon <math>\,R\,</math> avec <math>\,\theta\,</math> comme paramètre de position, <math>\,\mathcal{T} \simeq \dfrac{18,17}{\theta_m}\;\sqrt{\dfrac{m\;R^2}{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}}\Bigg\}</math>. === Établissement de la nature pseudo-oscillatoire des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti === {{Al|5}}En présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1^ère énergétique devant être remplacée par le résultat de l'application du théorème de la puissance mécanique à l'oscillateur amorti dans l'approximation anharmonique de ses petits mouvements<ref name="petites élongations" /> autour de la position d'équilibre stable étudiée, cette application conduit à l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en l'écart <math>\;\varepsilon(t)\;</math> de l'abscisse de <math>\;M\;</math> relativement à sa position d'équilibre stable<ref name="établissement de l'équation différentielle par aspect énergétique"> Voir l'un des deux paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#Cas_d'une_force_«_motrice_»_«_unidirectionnelle_selon_l'axe_x'x_»_dérivant_de_l'énergie_potentielle_«_U(M)_=_U(x)_»_dont_le_D.L._à_l’ordre_le_plus_bas_non_nul_autre_que_zéro_au_voisinage_de_l’équilibre_stable_est_non_parabolique|cas d'une force motrice unidirectionnelle selon l'axe x'x dérivant de l'énergie potentielle U(M) = U(x) dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l'équilibre stable est non parabolique]] » ou « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#Cas_d'une_force_«_motrice_»_«_s'appliquant_tangentiellement_sur_la_trajectoire_circulaire_de_rayon_R_décrite_par_le_point_subissant_la_force_»_dérivant_de_l'énergie_potentielle_«_U(M)_=_U(θ)_»_dont_le_D.L._à_l'ordre_le_plus_bas_non_nul_autre_que_zéro_au_voisinage_de_l'équilibre_stable_est_non_parabolique|cas d'une force motrice s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force dérivant de l'énergie potentielle U(M) = U(θ) dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l'équilibre stable est non parabolique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <center><math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\varepsilon}(t) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}\; \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math><ref name="abus du signe égal - ter" /> <br><math>\;\Bigg\{</math>ou <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\varepsilon}(t) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^2}\; \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math><ref name="abus du signe égal - ter" /><math>\Bigg\}</math> ;</center> {{Al|5}}cette équation n'ayant pas de solution algébrique utilisant les fonctions usuelles sollicite une résolution numérique par utilisation d'un logiciel de calcul <math>\;\big(</math>comme '''Scilab'''<math>\big)\;</math><ref name="Scilab" />, résolution faite de façon à tracer la courbe d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de l'oscillateur « non linéaire » faiblement amorti, dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements autour de la position d'équilibre stable étudiée dont l'expression numérique de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\dfrac{\varepsilon}{X_m}(t)</math> <math>\;\bigg\{</math>ou en <math>\;\dfrac{\varepsilon}{\theta_m}(t)\bigg\}\;</math> est <math>\;\dfrac{\ddot{\varepsilon}}{X_m}(t) + 0,1\;\dfrac{\dot{\varepsilon}}{X_m}(t) + 4\, \left( \dfrac{\varepsilon}{X_m} \right)^{\!\!3}\!(t) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + 0,1\;\dot{\varepsilon}(t) + \dfrac{4}{X_m^2}\; \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math> associé à <math>\;\left[ \begin{array}{c}\dfrac{h}{m} \!\!&=&\!\! 0,1\;s^{-1}\\ \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m} \!\!&=&\!\! \dfrac{4}{X_m^2}\;s^{-2} \cdot m^{-2}\end{array}\right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left[ \begin{array}{c}\dfrac{h}{m} \!\!&=&\!\! 0,1\;s^{-1}\\ \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{m} \!\!&=&\!\! \dfrac{24}{X_m^2}\;s^{-2} \cdot m^{-2}\end{array}\right]</math> <math>\;\Bigg\{</math>ou <math>\;\dfrac{\ddot{\varepsilon}}{\theta_m}(t) + 0,1\;\dfrac{\dot{\varepsilon}}{\theta_m}(t) + 4\, \left( \dfrac{\varepsilon}{\theta_m} \right)^{\!\!3}\!(t) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + 0,1\;\dot{\varepsilon}(t) + \dfrac{4}{\theta_m^2}\; \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math> correspondant à <math>\;\left[ \begin{array}{c}\dfrac{h}{m} \!\!&=&\!\! 0,1\;s^{-1}\\ \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^2} \!\!&=&\!\! \dfrac{4}{\theta_m^2}\;s^{-2}\end{array}\right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left[ \begin{array}{c}\dfrac{h}{m} \!\!&=&\!\! 0,1\;s^{-1}\\ \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{m} \!\!&=&\!\! \dfrac{24\;R^2}{\theta_m^2}\;m^2 \cdot s^{-2}\end{array}\right]\Bigg\}</math> et conduisant au diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-dessous<ref> Tracé en considérant un oscillateur « non linéaire » faiblement amorti <math>\;\dfrac{h}{m} = 0,1\;s^{-1}</math>, dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements autour de la position d'équilibre stable d'abscisse <math>\;x_{\text{éq. st.}} = 0</math> <math>\;\big(</math>l'origine de l'axe <math>\;x'x\;</math> ayant été choisie en la position d'équilibre stable<math>\big)</math>, la référence de l'énergie potentielle ayant été choisie en la position d'équilibre stable ; <br>{{Al|3}}le cas d'un oscillateur « non linéaire » faiblement amorti <math>\;\dfrac{h}{m} = 0,1\;s^{-1}</math>, dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements autour de la position d'équilibre stable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = 0</math> <math>\;\big(</math>l'origine des abscisses angulaires choisie en la position d'équilibre stable<math>\big)</math>, avec la référence de l'énergie potentielle également choisie en la position d'équilibre stable n'est pas traité car il se déduit sans difficulté à partir du cas précédent.</ref> : [[File:Oscillateur non linéaire faiblement amorti dans approximation anharmonique - diagramme énergétique.png|thumb|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti au voisinage d'une position d'équilibre stable autour de laquelle l'approximation des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> est anharmonique]] {{Al|5}}on y observe des allers-retours des points <math>\;P_m\;</math> et <math>\;P_u</math>, respectivement sur <math>\;(\Gamma_m)\;</math> et <math>\;(\Gamma_u)</math>, entre des murs d’énergie potentielle de plus en plus proches de la position d'équilibre stable caractérisant * une trajectoire (cinétiquement) bornée de l'oscillateur « non linéaire » faiblement amorti dans l'approximation anharmonique de ses petits mouvements<ref name="petites élongations" /> autour de la position d'équilibre stable ainsi que * des pseudo-oscillations (non sinusoïdales) dont la pseudo-amplitude étant la valeur absolue de la différence entre l'abscisse du mur d'énergie potentielle considéré et celle de la position d'équilibre est effectivement une fonction <math>\;\searrow\;</math> du temps dont la limite au bout d'une durée théoriquement infinie est nulle. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, on constate que la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude est d'autant plus prononcée que l'abscisse du mur de l'énergie potentielle considéré est proche de celle de la position d'équilibre stable, ceci étant dû à la forme de la cuvette d'énergie potentielle non parabolique<ref> Cette cuvette non parabolique en <math>\;x^4\;</math> ayant un plus grand méplat au voisinage du sommet qu'une cuvette parabolique en <math>\;x^2</math>.</ref>. == Approche numérique : utiliser les résultats fournis par une méthode numérique pour mettre en évidence des effets non linéaires == {{Al|5}}<u>But recherché</u> : Il s'agit d'observer les effets non linéaires dans les petits mouvements<ref name="petites élongations" /> d'un oscillateur « non linéaire » (amorti ou non) autour d'une position d'équilibre stable, l'approximation des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> dans le voisinage de cette dernière devant être anharmonique<ref> Car, si l'approximation était harmonique, cela correspondrait à une linéarisation de l'oscillateur « non linéaire » dans le cadre des petits mouvements, linéarisation évidemment sans effets non linéaires.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|But recherché : }}nous allons rappeler, dans le prochain paragraphe, l'observation des effets non linéaires dans les mouvements non petits<ref> Bien que les mouvements non petits autour d'une position d'équilibre stable ne soit pas l'objet de ce chapitre.</ref> d'un oscillateur « non linéaire » (non amorti) autour d'une position d'équilibre stable sur l'exemple du P.P.S.N.A. à un degré de liberté, de façon à visualiser ces effets non linéaires que nous retrouverons dans les petits mouvements<ref name="petites élongations" /> d'un oscillateur « non linéaire » (non amorti) autour d'une position d'équilibre stable si l'approximation des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> dans le voisinage de cette dernière est anharmonique. === Rappel : effets non linéaires d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté écarté de sa position d'équilibre stable d'un écart non petit et lâché sans vitesse initiale === [[File:Pendule pesant simple - diagramme horaire de position par intégration numérique.png|thumb|Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de position d'un pendule pesant simple lâché sans vitesse angulaire initiale <math>\;\big(\dot{\theta}_0 = 0\big)\;</math> avec un écart angulaire initial par rapport à sa position d'équilibre stable de <math>\;\theta_0 =</math> <math>-120\,\text{°}</math>]] {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique d'un P.P.S. dans les C.I. 1a avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour les lignes de programme de Scilab<ref name="Scilab" />, les tracés et commentaires étant rappelés ci-contre et ci-dessous : {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Il est très difficile sur le diagramme horaire de position <math>\;\big(</math>ci-contre<math>\big)\;</math> d'observer que la fonction « élongation angulaire » n'est pas sinusoïdale et pourtant elle ne l'est pas <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}Par contre sur le diagramme horaire de vitesse <math>\;\big(</math>ci-dessous à gauche<math>\big)\;</math> on observe nettement que la fonction « vitesse angulaire » n’est pas sinusoïdale <math>\;\big(</math>elle est plus proche d'une fonction triangulaire<math>\big)\;</math> et cela implique que la fonction primitive « élongation angulaire » n'est pas non plus sinusoïdale. {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}On observe aussi une légère déformation du portrait de phase <math>\;\big(</math>ci-dessous à droite<math>\big)\;</math> relativement à celui des « petites élongations {{Nobr|angulaires »<ref name="petites élongations angulaires"> On devrait dire « petites valeurs absolues d'élongations angulaires » mais personne ne le fait par abus de langage, toutefois il faut se souvenir qu'une grandeur petite relativement à une autre grandeur positive doit nécessairement être positive pour que cette affirmation est une signification <math>\;\ldots</math></ref>}} <math>\;\big[</math>lequel, rappelons-le, est une ellipse centrée au point origine <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> et ayant pour axes les axes du repère<math>\big]</math>, la courbe gardant les propriétés de <u>fermeture</u>, de <u>symétrie centrale</u> relativement au point origine <math>\;\left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> et d'<u>antisymétries axiales</u> relativement aux axes du repère. {{clr}} [[File:Pendule pesant simple - diagramme horaire de vitesse par intégration numérique.png|left|thumb|450px|Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de vitesse d'un pendule pesant simple lâché sans vitesse angulaire initiale <math>\;\big(\dot{\theta}_0 = 0\big)\;</math> avec un écart angulaire initial par rapport à sa position d'équilibre stable de <math>\;\theta_0 =</math> <math>-120\,\text{°}</math>]] [[File:Pendule pesant simple - portrait de phase par intégration numérique.png|right|thumb|450px|Tracé, obtenu par intégration numérique, du portrait de phase d'un pendule pesant simple lâché sans vitesse angulaire initiale <math>\;\big(\dot{\theta}_0 = 0\big)\;</math> avec une élongation angulaire initiale relativement à sa position d'équilibre stable de <math>\;\theta_0 = -120\,\text{°}</math>]] {{clr}} === Résolution numérique d'un oscillateur « non linéaire » (amorti ou non) dans le cadre de petits mouvements autour d'une position d'équilibre stable correspondant à une approximation anharmonique et observations des effets non linéaires === {{Al|5}}L'équation différentielle d'un oscillateur « non linéaire » non amorti dans l'approximation anharmonique de ses petits mouvements<ref name="petites élongations" /> autour de la position d'équilibre stable étudiée, équation du 2^ème ordre en l'écart <math>\;\varepsilon(t)\;</math> de l'abscisse de <math>\;M\;</math> relativement à sa position d'équilibre stable en considérant <math>\;h = 0\;</math><ref name="établissement de l'équation différentielle par aspect énergétique" /> s'écrivant <center><math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}\; \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math><ref name="abus du signe égal - ter" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^2}\; \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math><ref name="abus du signe égal - ter" /><math>\Bigg\}</math>,</center> [[File:Oscillateur non linéaire non amorti anharmonique - diagramme de position.png|thumb|Tracé du diagramme de position d'un oscillateur non linéaire non amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements<ref name="petites élongations" /> autour de la position d'équilibre stable d'abscisse x_{éq. st.}]] [[File:Oscillateur non linéaire non amorti anharmonique - diagramme de vitesse.png|thumb|Tracé du diagramme de vitesse d'un oscillateur non linéaire non amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements<ref name="petites élongations" /> autour de la position d'équilibre stable d'abscisse x_{éq. st.}]] [[File:Oscillateur non linéaire non amorti anharmonique - portrait de phase.png|thumb|Tracé du portrait de phase d'un oscillateur non linéaire non amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements<ref name="petites élongations" /> autour de la position d'équilibre stable d'abscisse x_{éq. st.}]] {{Al|5}}nous nous intéressons uniquement à l'oscillateur « non linéaire » unidirectionnel selon l'axe <math>\;x'x\;</math> d'équation différentielle <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}\; \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math> avec <math>\;\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq. st.}}\;</math><ref> L'oscillateur « non linéaire » dans lequel <math>\;M\;</math> décrit un mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math> et de centre <math>\;O</math>, le pôle du repérage polaire du point d'abscisse angulaire <math>\;\theta</math>, se traitant de la même façon en substituant <math>\;\dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^2}\;</math> à <math>\;\dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq. st.}})}{6\;m}\;</math> et en remplaçant <math>\;\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq. st.}}\;</math> par <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq. st.}}</math> <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle <math>\;\dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m} = \dfrac{4}{X_m^2}\;s^{-2} \cdot m^{-2}\;</math> soit <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{4}{X_m^2}\; \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math> ou, en écrivant l'équation différentielle en <math>\;\varepsilon' = \dfrac{\varepsilon}{X_m}</math>, <center>l'équation différentielle sous forme réduite suivante <math>\;\ddot{\varepsilon'}(t) + 4\; {\varepsilon'}^3\!(t) = 0</math> ;</center> {{Al|5}}la résolution numérique par utilisation du logiciel de calcul Scilab<ref name="Scilab" /> est présentée ci-dessous avec pour C.I<ref name="C.I."> Conditions initiales.</ref>. <math>\;\varepsilon(0) = X_m\;</math> et <math>\;\dot{\varepsilon}(0) = 0</math>, les lignes de programme étant {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour tracer le diagramme de position ci-contre coef_x_3=4; x0=1; der_x_0=0; clf() deff('xdot=fct(t,x)','xdot(1)=x(2);xdot(2)=-coef_x_3*(x(1))^3') t0=0;v0=[x0;der_x_0];t=0 :0.1 :6; u=ode(v0,t0,t,fct); x1=u(1,:); v1=u(2,:); plot(t,x1); {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour tracer le diagramme de vitesse ci-contre drawlater clf() plot(t,v1); drawnow {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour tracer le portrait de phase ci-contre drawlater clf() plot(x1,v1); drawnow {{Al|5}}<u>Effets non linéaires des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> de l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire non amorti</u> (et comparaison avec les effets non linéaires d'un oscillateur non linéaire non amorti avec écart non petit relativement à sa position d'équilibre stable) : on constate * que le diagramme de position est plus nettement triangularisé que celui avec écart non petit, * que le diagramme de vitesse qui était assez nettement triangularisé dans le cas d'un écart non petit est ici plus proche d'un signal trapézoïdal<ref> C.-à-d. d'un signal triangulaire écrêté <math>\;\ldots</math></ref> et * que le portrait de phase est plus nettement rectangularisé que celui avec écart non petit. {{Al|5}}Nous reprenons l'étude avec un léger amortissement <math>\;\dfrac{h}{m} = 0,1\;s^{-1}</math>, essentiellement dans le but d'obtenir le tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique fourni au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#Établissement_de_la_nature_pseudo-oscillatoire_des_petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable_dans_l'approximation_anharmonique_d'un_oscillateur_non_linéaire_faiblement_amorti|établissement de la nature pseudo-oscillatoire des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti]] » plus haut dans ce chapitre, l'équation différentielle de cet oscillateur non linéaire amorti dans l'approximation anharmonique des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> autour de la position d'équilibre stable étudiée <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\varepsilon}(t) +\dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}\; \varepsilon^3\!(t) = 0\;</math> soit numériquement <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + 0,1\;\dot{\varepsilon}(t) + \dfrac{4}{X_m^2}\; \varepsilon^3\!(t)</math> <math>= 0\;</math> ou, avec <math>\;\varepsilon' = \dfrac{\varepsilon}{X_m}</math>, s'écrivant sous forme réduite <math>\;\ddot{\varepsilon'}(t) + 0,1\;\dot{\varepsilon'}(t) + 4\; {\varepsilon'}^3\!(t) = 0</math> ; [[File:Oscillateur non linéaire amorti anharmonique - diagramme de position.png|thumb|Tracé du diagramme de position d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements<ref name="petites élongations" /> autour de la position d'équilibre stable d'abscisse x_{éq. st.}]] [[File:Oscillateur non linéaire amorti anharmonique - diagramme de vitesse.png|thumb|Tracé du diagramme de vitesse d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements<ref name="petites élongations" /> autour de la position d'équilibre stable d'abscisse x_{éq. st.}]] {{Al|5}}ci-dessous les lignes de programme de Scilab<ref name="Scilab" /> pour résoudre numériquement cette équation avec les mêmes C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\varepsilon(0) =</math> <math>X_m\;</math> et <math>\;\dot{\varepsilon}(0) = 0</math>, de façon à tracer successivement les diagrammes de position, de vitesse, le portrait de phase et le diagramme d'énergies potentielle et mécanique {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour tracer le diagramme de position ci-contre coef_x_3=4; H=0.1; x0=1; der_x_0=0; clf() deff('xdot=fct(t,x)','xdot(1)=x(2);xdot(2)=-H*x(2)-coef_x_3*(x(1))^3') t0=0;v0=[x0;der_x_0];t=0 :0.1 :50; u=ode(v0,t0,t,fct); x1=u(1,:); v1=u(2,:); plot(t,x1); {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour tracer le diagramme de vitesse ci-contre drawlater clf() plot(t,v1); drawnow {{Al|5}}<u>1^ères observations sur les diagrammes de position et de vitesse</u> : en plus des effets non linéaires déjà constatés sur l'approximation anharmonique des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> d'un oscillateur « non linéaire » non amorti autour de la position d'équilibre stable étudiée, on observe, pour un oscillateur « non linéaire » amorti, que le mouvement devient pseudo_oscillatoire <math>\;\big(</math>par amortissement des oscillations<math>\big)\;</math> mais qu'il n'est pas pseudo-périodique <math>\;\big(</math>la durée d'une pseudo-oscillation étant d'autant plus grande que la pseudo-amplitude diminue<math>\big)\;\ldots</math> [[File:Oscillateur non linéaire amorti anharmonique - portrait de phase.png|thumb|Tracé du portrait de phase d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements<ref name="petites élongations" /> autour de la position d'équilibre stable d'abscisse x_{éq. st.}]] {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour tracer le portrait de phase ci-contre drawlater clf() plot(x1,v1); drawnow {{Al|5}}<u>1^ères observations sur le portrait de phase</u> : en plus des effets non linéaires déjà constatés sur l'approximation anharmonique des petits mouvements<ref name="petites élongations" /> d'un oscillateur « non linéaire » non amorti autour de la position d'équilibre stable étudiée, on observe, pour un oscillateur « non linéaire » amorti, que le portrait de phase ne se ferme plus <math>\,\big\{</math>le point générique spirale dans le sens horaire<ref> Ou sens trigonométrique rétrograde.</ref> avec le point <math>\,\left( 0\,,\,0 \right)\,</math> comme point asymptote<math>\big\}\,</math> et que la valeur absolue de la vitesse n'est plus maximale au passage par la position d'équilibre mais assez nettement avant <math>\,\big\{</math>pratiquement au milieu de l'intervalle <math>\,\left[ 0\,,\, X_{m,\,n} \right]\,</math> quand <math>\,x \searrow\,</math> et au milieu de l'intervalle <math>\,\left[ -{X'}_{m,\,n}\,,\, 0 \right]\,</math> quand <math>\,x \nearrow</math>, <math>\,X_{m,\,n}\,</math> et <math>\,{X'}_{m,\,n}\,</math> étant respectivement la pseudo-amplitude de droite et de gauche lors de la n^ème pseudo-oscillation<math>\big\}\,\ldots</math> {{clr}} [[File:Oscillateur non linéaire amorti anharmonique - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|thumb|Tracé du diagramme d' énergies potentielle et mécanique d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements<ref name="petites élongations" /> autour de la position d'équilibre stable d'abscisse x_{éq. st.}]] {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre drawlater clf() Em=1/2*v1^2 + x1^4; x=[-1:0.1:+1] plot(x1, Em, "r", x, x^4, "b"); drawnow {{Al|5}}<u>commentaires sur les lignes de programme nécessaires au tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique</u> : l'énergie mécanique définie par <math>\;E_{m,\,M}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{\varepsilon}^2\!(t) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24}\;\varepsilon^4\!(t)\;</math> compte-tenu du choix de la référence de l'énergie potentielle en la position d'équilibre stable étudiée se réécrit <math>\;E_{m,\,M}(t) = m \left[ \dfrac{1}{2}\;X_m^2\;\dot{\varepsilon'}^2\!(t) + \dfrac{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}\;\dfrac{X_m^4}{4}\;{\varepsilon'}^4\!(t) \right]\;</math> en introduisant <math>\;\varepsilon' = \dfrac{\varepsilon}{X_m}</math>, soit numériquement <math>\;E_{m,\,M}(t) = m \left[ \dfrac{1}{2}\;X_m^2\;\dot{\varepsilon'}^2\!(t) + \dfrac{4}{X_m^2}\;\dfrac{X_m^4}{4}\;{\varepsilon'}^4\!(t) \right] = m\;X_m^2 \left[ \dfrac{1}{2}\;\dot{\varepsilon'}^2\!(t) + {\varepsilon'}^4\!(t) \right]\;</math> ou, avec <math>\;E_{m,\,0} = m\;X_m^2\;</math> car <math>\;\dot{\varepsilon'}(0) = 0\;</math> et <math>\;{\varepsilon'}(0) = 1</math>, l'expression de l'énergie mécanique réduite <math>\;{E'}_{m,\,M}(t) = \dfrac{E_{m,_,M}(t)}{E_{m,_,0}} = \dfrac{1}{2}\;\dot{\varepsilon'}^2\!(t) + {\varepsilon'}^4\!(t)\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Équilibre et stabilité]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Barrière d'énergie potentielle|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Barrière d'énergie potentielle]] }} kip997rxgsid27vouca8hdntblynuv6 0 72820 982903 978971 2026-05-17T18:00:24Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982903 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable | idfaculté = physique | numéro = 19 | chapitre = [[../../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable/]] | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Barrière d'énergie potentielle/]] | niveau = 14 }} == Oscillations dans une cuvette d'énergie potentielle == {{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> est astreint à se déplacer sans frottement sur un axe <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>. {{Al|5}}Il est soumis de la part du point <math>\;O\;</math> à la force centrale <math>\;\vec{F}(x) = \left[ -\dfrac{a}{x^2} + \dfrac{b}{x^3} \right] \vec{u}_x\;</math> où <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> sont deux constantes positives ; {{Al|5}}on suppose que l'abscisse <math>\;x\;</math> du point mobile reste <math>\;\geqslant 0</math>. === Détermination de la position d'équilibre du point matériel M === {{Al|5}}Exprimer la valeur <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> pour laquelle le point matériel est en équilibre. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Bien sûr, il convient d'ajouter un schéma avec bilan de forces (une seule), le référentiel d'étude étant galiléen. {{Al|5}}L'équilibre correspond à <math>\;F_x(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> soit <math>\;-\dfrac{a}{x_{\text{éq}}^{\,2}} + \dfrac{b}{x_{\text{éq}}^{\,3}} = 0\;</math> dont on déduit aisément la valeur de l'abscisse de la position d'équilibre <math>\;x_{\text{éq}} = \dfrac{b}{a}</math>.}} === Détermination et représentation en fonction de x du diagramme de l'énergie potentielle dont dérive la force centrale, étude de la stabilité de la position d'équilibre du point matériel M === {{Al|5}}Exprimer l'énergie potentielle <math>\;U(x)\;</math> dont dérive la force centrale <math>\;\vec{F}(x)</math> <math>\;\big[</math>on choisira la référence de l'énergie potentielle à l'infini<math>\big]</math> ; {{Al|5}}représenter la courbe d'énergie potentielle en fonction de l'abscisse <math>\;x\;</math> du point matériel <math>\;M</math> ; {{Al|5}}déduire, de ce tracé, le caractère stable de la position d'équilibre du point mobile. {{Solution | contenu = {{Al|5}}L'énergie potentielle <math>\;U(x)\;</math> est définie par <math>\;F_x(x) = -\dfrac{dU}{dx}(x)\;</math> soit <math>\;-\dfrac{a}{x^2} + \dfrac{b}{x^3} = -\dfrac{dU}{dx}(x)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU}{dx}(x) = \dfrac{a}{x^2} - \dfrac{b}{x^3}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U(x) = -\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{2\, x^2} + cste\;</math> ou encore, <center>avec la référence à l'infini, <math>\;U = -\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{2\, x^2}</math>.</center> [[File:Exemple de courbe d'énergie potentielle.png|thumb|Tracé du diagramme d'énergie potentielle U(x) d'un point M se déplaçant sur l'axe Ox et soumis à la composante de force F_x = -a/x² + b/x³ (référence de U à l'infini)]] {{Al|5}}<math>\;U\;</math> est extrémale pour <math>\;x_{\text{éq}} = \dfrac{b}{a}\;</math> avec : * si <math>\;x \rightarrow 0</math>, <math>\;\dfrac{dU}{dx}(x) \sim -\dfrac{b}{x^3} \rightarrow -\infty\;</math> d'où <math>\;\dfrac{dU}{dx}(x) < 0\;</math> pour <math>\;x \in \left] 0 \text{ ; } x_{\text{éq}} \right]\;</math> et par suite <math>\;U(x) \searrow\;</math> sur cet intervalle, de plus, quand <math>\;x \rightarrow 0</math>, <math>\;U(x) \sim \dfrac{b}{2\, x^2} \rightarrow +\infty</math>, * si <math>\;x \rightarrow +\infty</math>, <math>\;\dfrac{dU}{dx}(x) \sim \dfrac{a}{x^2} \rightarrow 0^{+}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{dU}{dx}(x) > 0\;</math> pour <math>\;x \in \left[ x_{\text{éq}} \text{ ; } +\infty \right[\;</math> et par suite <math>\;U(x) \nearrow\;</math> sur cet intervalle, de plus, quand <math>\;x \rightarrow +\infty</math>, <math>\;U(x) \sim -\dfrac{a}{x} \rightarrow 0^{-}</math> et enfin * <math>\;U(x_{\text{éq}}) = -\dfrac{a^2}{2\, b} < 0</math> <math>\;\big(</math>voir tracé du diagramme ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de ce qui précède, on déduit que <math>\;U(x)\;</math> est minimale pour <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> et donc que <u>cette position d'équilibre est stable</u>.}} === Détermination et représentation en fonction de x du diagramme de l'énergie mécanique, étude des mouvements possibles du point matériel M === {{Al|5}}Exprimer l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de la force centrale <math>\;\vec{F}(x)\;</math> quand <math>\;M\;</math> occupe la position d'abscisse <math>\;x(t)\;</math> avec la vitesse <math>\;\dot{x}(t)\;</math> et {{Al|5}}représenter, sur le même diagramme que précédemment, la courbe d'énergie mécanique en fonction de l'abscisse <math>\;x\;</math> du point matériel <math>\;M</math>. {{Al|5}}Discuter, suivant la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,M}(0)\;</math> du point matériel <math>\;M</math>, le (ou les) mouvement(s) possible(s) de ce dernier quand il est lâché sans vitesse initiale de la position d'abscisse <math>\;x_0</math>. {{Solution | contenu = {{Al|5}}L'énergie mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est défini selon <math>\;E_{m,\,M}(t) = \dfrac{1}{2}\; m\; \dot{x}^2\!(t) + U\! \left[ x(t) \right]\;</math> et, comme il n'y a pas de forces non conservatives, elle garde sa valeur initiale <math>\;E_{m,\,M}(0) = \dfrac{1}{2}\; m\; \dot{x}^2\!(0) + U(x_0)\;</math> ou <math>\;E_{m,\,M}(0) = U(x_0)\;</math> en absence de vitesse initiale soit finalement l'intégrale 1^ère énergétique <center><math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,\,M}(0)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{2}\; m\; \dot{x}^2\!(t) + U\! \left[ x(t) \right] = U(x_0)</math>.</center> [[File:Exemple de diagrammes d'énergies potentielle et mécanique - états lié ou de diffusion.png|thumb|Tracé simultané de la courbe d'énergie potentielle U(x) d'un point M se déplaçant sur l'axe Ox et soumis à la composante de force F_x = -a/x² + b/x³ (référence de U à l'infini) (en bleu) et de deux courbes d'énergie mécanique l'une (en vert) définissant un état de diffusion et l'autre (en magenta) un état lié]] {{Al|5}}Des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique du point <math>\;M\;</math> sont représentés ci-contre, * en bleu pour la courbe d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math><ref> Reproduisant le diagramme d'énergie potentielle représenté à la question précédente.</ref> et * deux exemples de courbe d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> l'un en vert correspondant à <math>\;E_{m,\,M}(0) > 0</math>, l'autre en magenta pour <math>\;E_{m,\,M}(0) < 0</math> ; {{Al|5}}les deux exemples de courbe d'énergie mécanique se différencient selon la discussion suivante : * pour <math>\;E_{m,\,M}(0) \geqslant 0</math>, c'est-à-dire pour <math>\;x_0 \leqslant \dfrac{x_{\text{éq}}}{2}</math>, on observe un <u>état de diffusion</u> vers l'infini<ref name="trajectoire cinétiquement non bornée"> On dit encore que la trajectoire du point <math>\;M\;</math> est cinétiquement non bornée.</ref> <math>\;\big[</math>assuré par la présence d'un seul mur d'énergie potentielle<math>\big]</math>, <math>\;x_0\;</math> étant alors la distance minimale d'approche de l'origine, * pour <math>\;E_{m,\,M}(0) < 0</math>, c'est-à-dire pour <math>\;x_0 > \dfrac{x_{\text{éq}}}{2}</math>, on observe un <u>état lié</u><ref name="trajectoire cinétiquement bornée"> On dit encore que la trajectoire du point <math>\;M\;</math> est cinétiquement bornée.</ref> <math>\;\big[</math>assuré par la présence de deux murs d'énergie potentielle en regard<math>\big]</math>, le mouvement de <math>\;M\;</math> étant <u>oscillatoire autour de la position d'équilibre stable</u> avec <math>\;x_0\;</math> distance minimale ou maximale d'approche suivant que cette abscisse initiale est <math>\;<\;</math> ou <math>\;>\;</math> à <math>\;x_{\text{éq}}</math>, l'abscisse de l'autre mur d'énergie potentielle étant alors <math>\;>\;</math> ou <math>\;<\;</math> à <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> et définissant la distance maximale ou minimale d'approche.}} === Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement du point mobile, étude des petits mouvements de M au voisinage de sa position d'équilibre stable === {{Al|5}}À partir de l'intégrale 1^ère énergétique précédemment établie, déterminer l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> du mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> et {{Al|5}}établir l'expression approchée de l'équation différentielle du 2^nd ordre en l'écart de l'abscisse du point relativement à sa position d'équilibre stable <math>\,\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq}}\,</math> dans le cadre des petits mouvements<ref name="petits mouvements"> Plus exactement c'est la valeur absolue qui est petite et considérée comme un infiniment petit d'ordre un.</ref> du point ; {{Al|5}}en déduire la nature périodique du mouvement des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> du point matériel <math>\;M\;</math> autour de sa position d'équilibre et {{Al|5}}expliciter sa période <math>\;T\;</math> en fonction des données. {{Solution | contenu = {{Al|5}}On détermine l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> du mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> en dérivant par rapport au temps l'intégrale 1^ère énergétique <math>\;E_{m,\,M}(t) =</math> <math>E_{m,\,M}(0)\;</math> soit <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t) = 0\;</math> avec <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t) = m\; \dot{x}(t)\; \ddot{x}(t) + \dfrac{dU}{dx}\!\left[ x(t) \right] \dot{x}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{x}(t) \left\lbrace m\; \ddot{x}(t) + \dfrac{dU}{dx}\!\left[ x(t) \right] \right\rbrace = 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{x}(t)\;</math> non identiquement nul et, en se souvenant de <math>\;F_x(x) = -\dfrac{dU}{dx}(x)\;</math> avec <math>\;F_x(x) = -\dfrac{a}{x^2} + \dfrac{b}{x^3}</math>, la réécriture de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> du mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> selon <center><math>\;m\; \ddot{x}(t) + \dfrac{a}{x^2(t)} - \dfrac{b}{x^3(t)} = 0\;</math><ref> Ce qui est effectivement l'équation différentielle d'un oscillateur « non linéaire » non amorti de la forme <math>\;m\; \ddot{x}(t) + f\! \left[ x(t) \right] = 0\;</math> où <math>\;f(x) = -F_x(x)</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}posant <math>\;x(t) = x_{\text{éq}} + \varepsilon(t)\;</math> avec <math>\;\varepsilon(t)\;</math> infiniment petit d'ordre un, le D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre le plus bas non nul de <math>\;f(x) = -F_x(x)\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> est vraisemblablement <math>\;f(x) = -F_x(x) \simeq</math> <math>\;\cancel{-F_x(x_{\text{éq}})}\; - \dfrac{dF_x}{dx}(x_{\text{éq}})\; \varepsilon\;</math> dans la mesure où <math>\;\dfrac{dF_x}{dx}(x_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math> et, dans ces conditions, l'équation différentielle au voisinage de la position d'équilibre devient : <math>\;m\; \ddot{\varepsilon}(t) - \dfrac{dF_x}{dx}(x_{\text{éq}})\; \varepsilon(t) = 0\;</math><ref name="dérivées de varepsilon"> On rappelle que <math>\;x(t) = x_{\text{éq}} + \varepsilon(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{x}(t) = \dot{\varepsilon}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{x}(t) = \ddot{\varepsilon}(t)</math>.</ref> ; {{Al|5}}il suffit de calculer <math>\;\dfrac{dF_x}{dx}(x_{\text{éq}})\;</math> à partir de <math>\;\dfrac{dF_x}{dx}(x) = \dfrac{2\; a}{x^3} - \dfrac{3\; b}{x^4}\;</math> soit <math>\;\dfrac{dF_x}{dx}(x_{\text{éq}}) = \dfrac{2\; a}{x_{\text{éq}}^{\,3}} - \dfrac{3\; b}{x_{\text{éq}}^{\,4}} = \dfrac{2\; a^4}{b^{\,3}} - \dfrac{3\; a^4}{b^{\,3}}\;</math> et finalement <math>\;\dfrac{dF_x}{dx}(x_{\text{éq}}) = -\dfrac{a^4}{b^{\,3}} < 0</math> <math>\;\big[</math>dans l'hypothèse où cette dérivée est non nulle, elle doit effectivement être <math>\;< 0\;</math> pour caractériser un équilibre stable<math>\big]</math> ; {{Al|5}}on en déduit l'équation différentielle <u>linéarisée</u> des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> du point <math>\;M\;</math> autour de sa position d'équilibre stable <math>\;m\; \ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{a^4}{b^{\,3}}\; \varepsilon(t) = 0\;</math> ou, sous sa forme normalisée <center><math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{a^4}{m\; b^{\,3}}\; \varepsilon(t) = 0</math> ;</center> {{Al|5}}la période des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> du point <math>\;M\;</math> autour de sa position d'équilibre stable est alors <math>\;T \simeq 2\; \pi\; \sqrt{\dfrac{m\; b^{\,3}}{a^4}}\;</math> ou encore <center><math>\;T \simeq \dfrac{2\; \pi\; b^2}{a^2}\; \sqrt{\dfrac{m}{b}}</math>.</center>}} == Oscillateurs non linéaires, tentative de linéarisation (traitement par r.f.d.n.) == === Oscillations transversales d'une balle fixée au milieu d'une corde idéale verticale === [[File:Oscillations transversales d'une balle fixée au milieu d'une corde.png|thumb|Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée au milieu d'une corde sans masse, initialement verticale et supposée inélastique<ref name="Justification du caractère inélastique"> La tension est imposée par les forces que les points d'attache <math>\;O_s\;</math> et <math>\;O_i\;</math> exercent respectivement sur la corde, il suffit que ces forces soient de normes suffisamment grandes quand <math>\;M\;</math> est en <math>\;O\;</math> pour que la tension ne soit pas modifiée par le mouvement de <math>\;M</math> <math>\;\big[</math>et pour cela la composante transversale de chaque force doit être de valeur absolue petite par rapport à sa composante longitudinale<math>\big]</math>.</ref>]] {{Al|5}}Une balle supposée ponctuelle <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, est fixée au milieu d'une corde, de masse nulle et de longueur <math>\;l_0\;</math> quand la corde est tendue verticalement entre ses deux points d'attache <math>\;O_s\;</math> et <math>\;O_i</math> ; {{Al|5}}on écarte <math>\;M</math>, dans le sens positif, d'un angle <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math> de sa position d'équilibre <math>\;O</math>, milieu du segment <math>\;\left[ O_iO_s \right]</math>, et on le lâche sans vitesse initiale ; {{Al|5}}la longueur de la corde <math>\;l(x)</math>, avec <math>\;x\;</math> abscisse du point <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox} \perp\;</math> au segment <math>\;\left[ O_iO_s \right]</math>, varie donc, mais, si la corde doit être considérée comme extensible<ref> Car <math>\;l(x)\;</math> est évidemment <math>\;\neq l_0</math>.</ref>, nous la supposons <u>inélastique</u> c'est-à-dire que sa tension <math>\;T\;</math> reste constante au cours du mouvement de <math>\;M\;</math><ref name="Justification du caractère inélastique" /> ; {{Al|5}}le poids <math>\;m\; \vec{g}\;</math> de la balle est de norme négligeable devant celle des forces de tension, ce qui entraîne, pour <math>\;M</math>, un mouvement rectiligne suivant <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>. ==== Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ₀ ==== {{Al|5}}Déterminer, par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. à la balle <math>\;M</math>, l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> du mouvement de <math>\;M</math>, sans tenir compte de <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math><ref name="équivalence de theta0 petit"> <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math> est équivalent à <math>\;x_0 \ll \dfrac{l_0}{2}</math>.</ref> et {{Al|5}}vérifier qu'elle n'est pas linéaire. {{clr}} {{Solution | contenu = [[File:Oscillations transversales d'une balle fixée au milieu d'une corde - forces.png|thumb|Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée au milieu d'une corde sans masse, initialement verticale et supposée inélastique<ref name="Justification du caractère inélastique" />, avec représentation des forces appliquées à la balle]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre sont représentées les deux forces appliquées à la balle supposée ponctuelle <math>\;M\;</math> à savoir : * la force exercée par la partie supérieure de la corde <math>\;\vec{T}_1(t) = -T_1\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_x + T_1\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_y\;</math> avec <math>\;T_1 = \Vert \vec{T}_1(t) \Vert\;</math> restant constante au cours du temps et * la force exercée par la partie inférieure de la corde <math>\;\vec{T}_2(t) = -T_2\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_x - T_2\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_y\;</math> avec <math>\;T_2 = \Vert \vec{T}_2(t) \Vert\;</math> restant aussi constante au cours du temps, le texte ajoutant que <math>\;T_1 = T_2\;</math> de valeur commune notée <math>\;T\;</math><ref> Mais il n'était pas utile d'ajouter cette information car l'absence de mouvement le long de <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> conduit à <math>\;T_{1,\,y} + T_{2,\,y} = m\;a_{M,\,y} = 0\;</math> soit, en reportant les expressions de <math>\;T_{1,\,y}\;</math> et de <math>\;T_{2,\,y}</math>, l'équation suivante <math>\;T_1\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - T_2\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_1 = T_2</math>.</ref> ; {{Al|5}}appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la balle ponctuelle <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on obtient <math>\;\vec{T}_1(t) + \vec{T}_2(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math> soit, en projetant sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> dans le cas où <math>\;\theta_0\; \cancel{\ll}\; 1</math>, l'équation suivante <math>\;-2\;T\;\sin\!\left[\theta(t) \right] = m\;\ddot{x}(t)\;</math> ou, en éliminant <math>\;\theta(t)\;</math> au profit de <math>\;x(t)\;</math> par <math>\;\sin\!\left[\theta(t) \right] = \dfrac{x(t)}{\sqrt{\dfrac{l_0^{\,2}}{4} + x^2\!(t)}}</math>, l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> suivante <center><math>\;m\;\ddot{x}(t) + \dfrac{2\;T}{\sqrt{\dfrac{l_0^{\,2}}{4} + x^2\!(t)}}\;x(t) = 0\;</math> sans tenir compte de <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math><ref name="équivalence de theta0 petit" />, <br>équation différentielle caractéristique d'un oscillateur « non linéaire » non amorti<ref name="oscillateur non linéaire"> Car est de forme <math>\;m\;\ddot{x}(t) + f(x) = 0\;</math> avec <math>\;f(x) = \dfrac{2\;T}{\sqrt{\dfrac{l_0^{\,2}}{4} + x^2\!(t)}}\;x(t) = -F_x(x)\;</math> où <math>\;\vec{F}_x(M) = \vec{T}_{1,\,x} + \vec{T}_{2,\,x}\;</math> est la résultante motrice soit encore <math>\;F_x(x) = -\dfrac{2\;T}{\sqrt{\dfrac{l_0^{\,2}}{4} + x^2}}\;x\;</math> qui s'annule pour <math>\;x = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x = 0\;</math> est une position d'équilibre « stable » dans la mesure <math>\;\vec{F}_x(M)\;</math> est une force de rappel ; <br>{{Al|3}}d'autre part l'oscillateur non linéaire est non amorti <math>\;\big[</math>absence de terme en <math>\;\dot{x}(t)\;</math> dans l'équation différentielle<math>\big]</math>.</ref>.</center>}} ==== Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ₀ ==== {{Al|5}}Considérant maintenant <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math><ref name="équivalence de theta0 petit" />, vérifier que la linéarisation de l'oscillateur est possible en déterminant son équation différentielle en <math>\;x(t)\;</math> puis {{Al|5}}donner son équation de mouvement <math>\;x = x(t)\;</math> ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|donner }}sa période <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" />. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Pouvant établir, pour cet oscillateur « non linéaire » non amorti lâché sans vitesse initiale, la nature oscillatoire dans le cas où <math>\;\theta_0\;</math> n'est pas nécessairement <math>\;\ll 1</math>, ce qui a pour conséquence <math>\;\vert \theta(t) \vert \leqslant \theta_0\;\;\forall\;t\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vert x(t) \vert \leqslant x_0\;\;\forall\;t\;</math><ref> Par exemple par résolution numérique de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> en absence de résolution algébrique ou, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Par exemple }}par diagramme d'énergies potentielle et mécanique en associant à la force « motrice » <math>\;\vec{F}_x(M) = -\dfrac{2\;T}{\sqrt{\dfrac{l_0^{\,2}}{4} + x^2}}\;x\;\vec{u}_x\;</math> une énergie potentielle <math>\;U(x) = \displaystyle\int^x \dfrac{2\;T}{\sqrt{\dfrac{l_0^{\,2}}{4} + {x'}^2}}\;x'\;dx'</math> <math>= \displaystyle\int^x T\;\dfrac{d\! \left( \dfrac{l_0^{\,2}}{4} + {x'}^2 \right)}{\sqrt{\dfrac{l_0^{\,2}}{4} + {x'}^2}} = 2\;T\;\sqrt{\dfrac{l_0^{\,2}}{4} + x^2} + cste</math>, la courbe d'énergie potentielle associée étant effectivement minimale pour <math>\;x_{\text{éq}} = 0</math> <math>\;\big(</math>vérifiant la stabilité de cet équilibre<math>\big)\;</math> et monotone de part et d'autre avec une limite <math>\;+\infty\;</math> quand <math>\;x \rightarrow \pm\infty\;</math> d'où l'existence de deux murs d'énergie potentielle symétriques relativement à <math>\;x_{\text{éq}} = 0</math> <math>\;\big(</math>plus précisément d'équations <math>\;x_{\text{mur}} = \pm x_0\big)\;</math> confirmant la nature oscillatoire du mouvement de <math>\;M</math>.</ref>, l'hypothèse restrictive <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math><ref name="équivalence de theta0 petit" /> entraînant <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vert x(t) \vert \ll \dfrac{l_0}{2}\;</math> ou <math>\;\dfrac{\vert x(t) \vert}{\dfrac{l_0}{2}} \ll 1\;</math> permettant de considérer <math>\;\dfrac{x(t)}{\dfrac{l_0}{2}} = \dfrac{2\; x(t)}{l_0}\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un ; {{Al|5}}pour tenter de linéariser l'oscillateur « non linéaire » non amorti, il faut faire un D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;f(x) = \dfrac{2\;T}{\sqrt{\dfrac{l_0^{\,2}}{4} + x^2}}\;x\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}} = 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{2\; x}{l_0}\;</math> à condition que <math>\;f'(x_{\text{éq}})\;</math> ne soit pas nul, ce qui donne, en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre un dans l'expression à développer <math>\;f\! \left[ x(t) \right] = \dfrac{T\;l_0}{\dfrac{l_0}{2}\;\sqrt{1 + \left[ \dfrac{2\; x(t)}{l_0} \right]^2}}\;\dfrac{2\; x(t)}{l_0}\;</math><ref> Le but de la mise en facteur du terme prépondérant de la somme sous le radical de <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{l_0^{\,2}}{4} + x^2\!(t)}}\;</math> est de faire apparaître <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 + \varepsilon}} = \left( 1 + \varepsilon \right)^{\!-\frac{1}{2}}\;</math> avec <math>\;\varepsilon\;</math> un infiniment petit d'ordre deux relativement à l'infiniment petit d'ordre un <math>\;\dfrac{2\; x(t)}{l_0}\;</math> de façon à pouvoir utiliser le D.L. de <math>\;(1 + \varepsilon)^n\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> à l'ordre souhaité en <math>\;\varepsilon</math>, cet ordre souhaité correspondant à un ordre double en <math>\;\dfrac{2\; x(t)}{l_0}</math>.</ref> ou <math>\;f\! \left[ x(t) \right]</math> <math>= \dfrac{2\;T}{\sqrt{1 + \left[ \dfrac{2\; x(t)}{l_0} \right]^2}}\;\dfrac{2\; x(t)}{l_0}</math> ; cette dernière expression étant un produit de deux facteurs dont l'un <math>\;\dfrac{2\; x(t)}{l_0}\;</math> est un infiniment petit d'ordre un, il suffit, pour obtenir le D.L<ref name="D.L." />. du produit à l'ordre un en <math>\;\dfrac{2\; x(t)}{l_0}</math>, de prendre le 2^ème facteur <math>\;\Bigg\{</math>c'est-à-dire <math>\;\dfrac{2\;T}{\sqrt{1 + \left[ \dfrac{2\; x(t)}{l_0} \right]^2}} =</math> <math>2\;T \left\lbrace 1 + \left[ \dfrac{2\; x(t)}{l_0} \right]^2 \right\rbrace^{\!-\frac{1}{2}}\Bigg\}\;</math> à l'ordre zéro en <math>\;\dfrac{2\; x(t)}{l_0}\;</math><ref name="D.L. d'un produit à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Déterminer_le_développement_limité_à_l'ordre_n_d'un_produit_de_deux_fonctions_dont_le_développement_limité_d'une_des_fonctions_a_pour_terme_prépondérant_un_infiniment_petit_d'ordre_p|déterminer le D.L. à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le D.L. d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p]] (appliqué pour p = 1 et n = 1) » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » <math>\;\ldots</math></ref> d'où <math>\;f\! \left[ x(t) \right] \simeq</math> <math>\left[ 2\; T \times 1 \right] \dfrac{2\; x(t)}{l_0}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{2\; x(t)}{l_0}\;</math> soit finalement <math>\;f\! \left[ x(t) \right] \simeq \dfrac{4\; T}{l_0}\; x(t)\;</math> et par suite la forme approchée à l'ordre un en <math>\;\dfrac{2\; x(t)}{l_0}\;</math> de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> de l'oscillateur « non linéaire » non amorti se réécrit, dans le cadre des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> autour de la position d'équilibre stable, selon : <center><math>\;m\; \ddot{x}(t) + \dfrac{4\; T}{l_0}\; x(t) = 0\;</math> correspondant à <br> une approximation harmonique de l'oscillateur <math>\;\big(</math>c'est-à-dire une linéarisation réussie<math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}son équation des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> est alors <math>\;x = A\; \cos(\omega_0\; t) + B\; \sin(\omega_0\; t)\;</math> avec <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{4\; T}{m\; l_0}}\;</math> pulsation propre des petites oscillations<ref name="petits mouvements" />, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. <math>\;x(0) = x_0\;</math> et <math>\;\dot{x}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A = x_0\;</math> par la 1^ère C.I<ref name="C.I." />. et <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="dérivée de loi horaire"> En effet <math>\;\dot{x}(t) = -A\;\omega_0\; \sin(\omega_0\; t) + B\;\omega_0\; \cos(\omega_0\; t)</math>.</ref> d'où <math>\;B = 0\;</math> par la 2^ème, soit finalement, l'équation des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> <center><math>\;x = x_0\; \cos(\omega_0\; t)\;</math> avec <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{4\; T}{m\; l_0}}</math> ;</center> {{Al|5}}la période <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> est alors <center><math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\; \pi}{\omega_0} = \pi\; \sqrt{\dfrac{m\; l_0}{T}}\;</math><ref> Il est intéressant d'exprimer la fréquence des petites oscillations <math>\;\nu_0 = \dfrac{1}{\mathcal{T}_0} = \dfrac{1}{\pi}\;\sqrt{\dfrac{T}{m\; l_0}}\;</math> qui est à l'origine de la fréquence des sons que la corde émet en vibrant et on constate que ceux-ci sont d'autant plus aigus que la tension de la corde est grande mais aussi que la masse de la balle ou la longueur de la corde est faible <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant allongés === [[File:Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques.png|thumb|Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée entre deux ressorts idéaux<ref name="ressort idéal"> C.-à-d. sans masse et parfaitement élastique.</ref>, identiques, de même axe initial vertical avec un même allongement Δl_éq]] {{Al|5}}On remplace maintenant la corde par deux ressorts idéaux<ref name="ressort idéal" />, identiques, de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_v</math>, avec l'extrémité supérieure de l'un fixée en <math>\;O_s\;</math> et l'extrémité inférieure de l'autre en <math>\;O_i</math>, l'extrémité intermédiaire étant reliée à la balle supposée ponctuelle <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m</math> ; {{Al|5}}à l'équilibre, la position de la balle est en <math>\;O</math>, milieu du segment <math>\;\left[ O_iO_s \right]\;</math> et les deux ressorts y sont tendus, leur allongement commun à l'équilibre valant <math>\;\Delta l_{\text{éq}} = l_{\text{éq}} - l_v > 0</math> ; {{Al|5}}le poids <math>\;m\; \vec{g}\;</math> de la balle est toujours considéré de norme négligeable devant celle des forces de tension des ressorts, ce qui entraîne, pour <math>\;M</math>, un mouvement rectiligne suivant <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> ; {{Al|5}}on écarte <math>\;M</math>, dans le sens positif, d'un angle <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math> de sa position d'équilibre <math>\;O</math>, milieu du segment <math>\;\left[ O_iO_s \right]</math>, et on le lâche sans vitesse initiale. ==== Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ₀ ==== {{Al|5}}Déterminer, par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la balle <math>\;M</math>, l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> du mouvement de <math>\;M</math>, sans tenir compte de <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math><ref name="équivalence de theta0 petit - bis"> <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math> est équivalent à <math>\;x_0 \ll \dfrac{l_{\text{éq}}}{2}</math>.</ref> et {{Al|5}}vérifier qu'elle n'est pas linéaire. {{clr}} {{Solution | contenu = [[File:Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques - forces.png|thumb|Oscillations transversales d'une balle ponctuelle M fixée entre deux ressorts idéaux<ref name="ressort idéal" />, identiques, de même axe initial vertical avec un même allongement Δl_éq, représentation des forces appliquées à la balle<ref name="poids sans influence"> Le poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> étant supposé sans influence car sa norme est toujours négligeable devant chaque composante de tension de ressort <math>\;\ldots</math></ref>]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre sont représentées les deux forces appliquées à la balle supposée ponctuelle <math>\;M\;</math><ref name="poids sans influence" /> à savoir : * la force exercée par le ressort supérieur <math>\;\vec{T}_1(t) = -T_1(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_x + T_1(t)\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_y\;</math> dans laquelle <math>\;T_1(t) = \Vert \vec{T}_1(t) \Vert =</math> <math>k \left[ \Vert \overrightarrow{O_sM}(t) \Vert - l_v \right]\;</math> selon la loi de Hooke<ref name="Hooke"> '''Robert Hooke (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII{{e}} siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> et * la force exercée par le ressort inférieur <math>\;\vec{T}_2(t) = -T_2(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_x - T_2(t)\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_y\;</math> avec <math>\;T_2(t) = \Vert \vec{T}_2(t) \Vert = k \left[ \Vert \overrightarrow{O_iM}(t) \Vert - l_v \right]\;</math> selon la même loi de Hooke<ref name="Hooke" />, le texte ajoutant que <math>\;T_{1,\,\text{éq}} = T_{2,\,\text{éq}}\;</math><ref> Les deux ressorts ayant même raideur et même allongement à l'équilibre <math>\;\ldots\;</math> Mais il n'était pas utile d'ajouter cette information car l'équilibre le long de <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> conduit à <math>\;T_{1,\,\text{éq}} - T_{2,\,\text{éq}} = 0\;</math> soit, avec la même raideur et l'application de la loi de Hooke, <math>\;\Delta l_{1,\,\text{éq}} = \Delta l_{2,\,\text{éq}}</math>.</ref> ce qui est un cas particulier de <math>\;T_1(t) = T_2(t)</math>, les deux ressorts ayant même raideur et les longueurs à charge et à vide de chacun étant la même<ref name="M sur médiatrice de OiOs"> Même longueur à charge car <math>\;M\;</math> reste sur la médiatrice du segment <math>\;\left[ O_iO_s \right]</math>.</ref> ; {{Al|5}}appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la balle ponctuelle <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on obtient <math>\;\vec{T}_1(t) + \vec{T}_2(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math> soit, en projetant sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> dans le cas où <math>\;\theta_0\; \cancel{\ll}\; 1</math>, l'équation suivante <math>\;-2\;T(t)\;\sin\!\left[\theta(t) \right] = m\;\ddot{x}(t)\;</math> avec <math>\;T(t)\;</math> valeur commune de <math>\;T_1(t) = T_2(t)\;</math> soit, avec <math>\;\Vert \overrightarrow{O_sM}(t) \Vert = \Vert \overrightarrow{O_iM}(t) \Vert = \sqrt{l_{\text{éq}}^{\,2} + x^2\!(t)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T(t) = k \left[ \sqrt{l_{\text{éq}}^{\,2} + x^2\!(t)} - l_v \right]\;</math> ou, en éliminant <math>\;\theta(t)\;</math> au profit de <math>\;x(t)\;</math> par <math>\;\sin\!\left[\theta(t) \right] =</math> <math>\dfrac{x(t)}{\sqrt{l_{\text{éq}}^{\,2} + x^2\!(t)}}</math>, l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> suivante <center><math>\;m\;\ddot{x}(t) + 2\;k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{l_{\text{éq}}^{\,2} + x^2\!(t)}} \right]\,x(t) = 0\;</math> sans tenir compte de <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math><ref name="équivalence de theta0 petit" />, <br>équation différentielle caractéristique d'un oscillateur « non linéaire » non amorti<ref name="oscillateur non linéaire - bis"> Car est de forme <math>\;m\;\ddot{x}(t) + f(x) = 0\;</math> avec <math>\;f(x) = 2\;k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{l_{\text{éq}}^{\,2} + x^2\!(t)}} \right]\,x(t) = -F_x(x)\;</math> où <math>\;\vec{F}_x(M) = \vec{T}_{1,\,x} + \vec{T}_{2,\,x}\;</math> est la résultante motrice soit encore <math>\;F_x(x) =</math> <math>-2\;k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{l_{\text{éq}}^{\,2} + x^2\!(t)}} \right]\,x(t)\;</math> qui s'annule pour <math>\;x = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x = 0\;</math> est une position d'équilibre « stable » dans la mesure <math>\;\vec{F}_x(M)\;</math> est une force de rappel, <math>\;\sqrt{l_{\text{éq}}^{\,2} + x^2\!(t)}\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;l_{\text{éq}}\;</math> laquelle est <math>\;>\;</math> à <math>\;l_v</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part l'oscillateur non linéaire est non amorti <math>\;\big[</math>absence de terme en <math>\;\dot{x}(t)\;</math> dans l'équation différentielle<math>\big]</math>.</ref>.<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math></center>}} ==== Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ₀ ==== {{Al|5}}Considérant maintenant <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math><ref name="équivalence de theta0 petit - bis" />, vérifier que la linéarisation de l'oscillateur est possible en déterminant son équation différentielle en <math>\;x(t)\;</math> puis {{Al|5}}donner son équation de mouvement <math>\;x = x(t)\;</math> ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|donner }}sa période <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" />. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Pouvant établir, pour cet oscillateur « non linéaire » non amorti lâché sans vitesse initiale, la nature oscillatoire dans le cas où <math>\;\theta_0\;</math> n'est pas nécessairement <math>\;\ll 1</math>, ce qui a pour conséquence <math>\;\vert \theta(t) \vert \leqslant \theta_0\;\;\forall\;t\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vert x(t) \vert \leqslant x_0\;\;\forall\;t\;</math><ref name="justification nature oscillatoire"> Par exemple par diagramme d'énergies potentielle et mécanique en associant à la force « motrice » <math>\;\vec{F}_x(M) = \vec{T}_1(t) + \vec{T}_2(t)</math> <math>\;\big[</math>leur composante verticale se compensant<math>\big]\;</math> l'énergie potentielle élastique <math>\;U(x) = U_{\vec{T}_1}(x) + U_{\vec{T}_2}(x)\;</math> dans laquelle, les deux ressorts ainsi que leur allongement relativement à leur longueur à vide étant identiques, <math>\;U_{\vec{T}_1}(x) = U_{\vec{T}_2}(x) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;k \left[ \sqrt{l_{\text{éq}}^{\;2} + x^2\!(t)} - l_v \right]^2 + cste\;</math> soit <math>\;U(x) = k \left[ \sqrt{l_{\text{éq}}^{\;2} + x^2\!(t)} - l_v \right]^2 + cste'</math>, la courbe d'énergie potentielle associée étant effectivement minimale pour <math>\;x_{\text{éq}} = 0</math> <math>\;\big(</math>vérifiant la stabilité de cet équilibre<math>\big)\;</math> et monotone de part et d'autre avec une limite <math>\;+\infty\;</math> quand <math>\;x \rightarrow \pm\infty\;</math> d'où l'existence de deux murs d'énergie potentielle symétriques relativement à <math>\;x_{\text{éq}} = 0</math> <math>\;\big(</math>plus précisément d'équations <math>\;x_{\text{mur}} = \pm x_0\big)\;</math> confirmant la nature oscillatoire du mouvement de <math>\;M</math>.</ref>, l'hypothèse restrictive <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math><ref name="équivalence de theta0 petit" /> entraînant <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vert x(t) \vert \ll l_{\text{éq}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{\vert x(t) \vert}{l_{\text{éq}}} \ll 1\;</math> permettant de considérer <math>\;\dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}}\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un ; {{Al|5}}pour tenter de linéariser l'oscillateur « non linéaire » non amorti, il faut faire un D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;f(x) = 2\;k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{l_{\text{éq}}^{\,2} + x^2}} \right]\,x\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}} = 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{x}{l_{\text{éq}}}\;</math> à condition que <math>\;f'(x_{\text{éq}})\;</math> ne soit pas nul, ce qui donne, en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre un, <math>\;f\! \left[ x(t) \right] = 2\;k\;l_{\text{éq}} \left\lbrace 1 - \dfrac{l_v}{l_{\text{éq}}\;\sqrt{1 + \left[ \dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}} \right]^2}} \right\rbrace \dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}}\;</math><ref name="raison de la mise en facteur du terme prépondérant"> Le but de la mise en facteur du terme prépondérant de la somme sous le radical de <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{l_{\text{éq}}^{\,2} + x^2\!(t)}}\;</math> est de faire apparaître <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 + \varepsilon}} = \left( 1 + \varepsilon \right)^{\!-\frac{1}{2}}\;</math> avec <math>\;\varepsilon\;</math> un infiniment petit d'ordre deux relativement à l'infiniment petit d'ordre un <math>\;\dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}}\;</math> de façon à pouvoir utiliser le D.L. de <math>\;(1 + \varepsilon)^n\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> à l'ordre souhaité en <math>\;\varepsilon</math>, cet ordre souhaité correspondant à un ordre double en <math>\;\dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}}</math>.</ref> ; cette dernière expression étant un produit de deux facteurs dont l'un <math>\;2\;k\;l_{\text{éq}}\;\dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}}\;</math> est <math>\;\propto\;</math> l'infiniment petit d'ordre un <math>\;\dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}}</math>, il suffit, pour obtenir le D.L<ref name="D.L." />. du produit à l'ordre un en <math>\;\dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}}</math>, de prendre le 2^ème facteur <math>\;\Bigg\{</math>c'est-à-dire <math>\;1 - \dfrac{l_v}{l_{\text{éq}}\;\sqrt{1 + \left[ \dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}} \right]^2}} = 1 - \dfrac{l_v}{l_{\text{éq}}} \left\lbrace 1 + \left[ \dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}} \right]^2 \right\rbrace^{\!-\frac{1}{2}}\Bigg\}\;</math> à l'ordre zéro en <math>\;\dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}}\;</math><ref name="D.L. d'un produit à l'ordre un" /> d'où <math>\;f\! \left[ x(t) \right] \simeq 2\;k\;l_{\text{éq}}\;\dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}} \left[ 1 - \dfrac{l_v}{l_{\text{éq}}} \times 1 \right]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}}\;</math> soit finalement <math>\;f\! \left[ x(t) \right] \simeq 2\;k\;\dfrac{l_{\text{éq}} - l_v}{l_{\text{éq}}}\;x(t)\;</math> et par suite la forme approchée à l'ordre un en <math>\;\dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}}\;</math> de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> de l'oscillateur « non linéaire » non amorti se réécrit, dans le cadre des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> autour de la position d'équilibre stable, selon : <center><math>\;m\; \ddot{x}(t) + \dfrac{2\; k\;\Delta l_{\text{éq}}}{l_{\text{éq}}}\; x(t) = 0\;</math> correspondant à <br> une approximation harmonique de l'oscillateur <math>\;\big(</math>c'est-à-dire une linéarisation réussie<math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}son équation des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> est alors <math>\;x = A\; \cos(\omega_0\; t) + B\; \sin(\omega_0\; t)\;</math> avec <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;k\;\Delta l_{\text{éq}}}{m\; l_{\text{éq}}}}\;</math> pulsation propre des petites oscillations<ref name="petits mouvements" />, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> se déterminant à l'aide des C.I<ref name="C.I." />. <math>\;x(0) = x_0\;</math> et <math>\;\dot{x}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A = x_0\;</math> par la 1^ère C.I<ref name="C.I." />. et <math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math><ref name="dérivée de loi horaire" /> d'où <math>\;B = 0\;</math> par la 2^ème, soit finalement, l'équation des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> <center><math>\;x = x_0\; \cos(\omega_0\; t)\;</math> avec <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;k\;\Delta l_{\text{éq}}}{m\; l_{\text{éq}}}}</math> ;</center> {{Al|5}}la période <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> est alors <center><math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\; \pi}{\omega_0} = \pi\; \sqrt{\dfrac{2\;m\; l_{\text{éq}}}{k\;\Delta l_{\text{éq}}}}\;</math>.</center>}} === Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant ni allongés ni comprimés === {{Al|5}}On reprend le dispositif précédent dans lequel les deux ressorts idéaux<ref name="ressort idéal" />, identiques, de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_v</math>, sont maintenant à spires non jointives<ref name="spires non jointives"> Ce qui permet au(x) ressort(s) de pouvoir s'allonger ou se comprimer en restant dans le domaine d'élasticité.</ref> ; {{Al|5}}on suppose maintenant que les deux ressorts ne sont ni tendus, ni comprimés, en leur état d'équilibre correspondant à <math>\;M\;</math> en <math>\;O</math>, milieu du segment <math>\;\left[ O_iO_s \right]</math>, leur longueur à l'équilibre étant donc leur longueur à vide selon <math>\;\Delta l_{\text{éq}} = 0\;</math> avec <math>\;\Delta l_{\text{éq}} = l_{\text{éq}} - l_v\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;l_{\text{éq}} = l_v</math> ; {{Al|5}}bien que le poids <math>\;m\; \vec{g}\;</math> de la balle ne puisse plus être considéré de norme négligeable devant celle des forces de tension des ressorts à l'équilibre <math>\;\big(</math>celle-ci y étant nulle<math>\big)</math>, nous n'en tiendrons pas compte en imaginant un guide transversal <math>\;\perp\;</math> à l'axe commun des ressorts dans leur état d'équilibre, guide confondu avec l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> sur lequel la balle peut glisser sans frottement solide, ce qui entraîne, pour <math>\;M</math>, un mouvement rectiligne suivant <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> ; {{Al|5}}on écarte <math>\;M</math>, dans le sens positif, d'un angle <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math> de sa position d'équilibre <math>\;O</math>, milieu du segment <math>\;\left[ O_iO_s \right]</math>, et on le lâche sans vitesse initiale. ==== Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ₀ ==== {{Al|5}}Déterminer, par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la balle <math>\;M</math>, l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> du mouvement de <math>\;M</math>, sans tenir compte de <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math><ref name="équivalence de theta0 petit - bis" /> et {{Al|5}}vérifier qu'elle n'est pas linéaire. {{Solution | contenu = [[File:Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques - forces.png|thumb|Oscillations transversales d'une balle ponctuelle M fixée entre deux ressorts idéaux<ref name="ressort idéal" />, identiques, de même axe initial vertical avec absence d'allongement ou de compression (l_éq = l_v), représentation des forces appliquées à la balle<ref name="poids sans influence - bis"> Le poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> étant supposé sans influence, pour cela est ajouté un guide horizontal sur lequel la balle glisse sans frottements solides, la réaction verticale de ce guide compensant la somme du poids et des composantes verticales de tension de ressort <math>\;\ldots</math></ref>]] {{Al|5}}La seule différence relativement à l'étude des « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#Oscillations_transversales_d'une_balle_fixée_entre_deux_ressorts_identiques_initialement_d'axe_commun_vertical,_les_ressorts_y_étant_allongés|oscillations transversale d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant allongés]] » de la question précédente de cet exercice est la longueur commune des ressorts à l'équilibre <math>\;l_{\text{éq}}\;</math> égale maintenant à leur longueur à vide <math>\;l_v\;</math> commune d'où <math>\;\Delta l_{\text{éq}} = l_{\text{éq}} - l_v = 0</math> ; {{Al|5}}on en déduit les deux forces appliquées à la balle supposée ponctuelle <math>\;M\;</math><ref name="poids sans influence - bis" /> et ayant un effet possible sur le mouvement de celle-ci : * la force exercée par le ressort supérieur <math>\;\vec{T}_1(t) = -T_1(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_x + T_1(t)\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_y\;</math> dans laquelle <math>\;T_1(t) = \Vert \vec{T}_1(t) \Vert =</math> <math>k \left[ \Vert \overrightarrow{O_sM}(t) \Vert - l_v \right]\;</math> selon la loi de Hooke<ref name="Hooke" /> et * la force exercée par le ressort inférieur <math>\;\vec{T}_2(t) = -T_2(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_x - T_2(t)\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\,\vec{u}_y\;</math> avec <math>\;T_2(t) = \Vert \vec{T}_2(t) \Vert = k \left[ \Vert \overrightarrow{O_iM}(t) \Vert - l_v \right]\;</math> selon la même loi de Hooke<ref name="Hooke" />, le texte ajoutant que <math>\;T_{1,\,\text{éq}} = T_{2,\,\text{éq}} = 0\;</math><ref> Les deux ressorts ayant même raideur avec un allongement nul à l'équilibre <math>\;\ldots\;</math> Mais il n'était pas utile d'ajouter que les deux ressorts ont un allongement nul à l'équilibre car l'équilibre le long de <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> conduit à <math>\;T_{1,\,\text{éq}} - T_{2,\,\text{éq}} = 0\;</math> soit, avec la même raideur et l'application de la loi de Hooke, <math>\;\Delta l_{1,\,\text{éq}} = \Delta l_{2,\,\text{éq}}\;</math> c.-à-d. si l'un des allongements à l'équilibre est nul l'autre l'est aussi.</ref> ce qui est un cas particulier de <math>\;T_1(t) = T_2(t)</math>, les deux ressorts ayant même raideur et les longueurs à charge et à vide de chacun étant la même<ref name="M sur médiatrice de OiOs" /> ; {{Al|5}}appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la balle ponctuelle <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on obtient <math>\;\vec{T}_1(t) + \vec{T}_2(t) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math> soit, en projetant sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> dans le cas où <math>\;\theta_0\; \cancel{\ll}\; 1</math>, l'équation suivante <math>\;-2\;T(t)\;\sin\!\left[\theta(t) \right] = m\;\ddot{x}(t)\;</math> avec <math>\;T(t)\;</math> valeur commune de <math>\;T_1(t) = T_2(t)\;</math> soit, avec <math>\;\Vert \overrightarrow{O_sM}(t) \Vert = \Vert \overrightarrow{O_iM}(t) \Vert = \sqrt{l_{\text{éq}}^{\,2} + x^2\!(t)} = \sqrt{l_v^{\,2} + x^2\!(t)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T(t) = k \left[ \sqrt{l_v^{\,2} + x^2\!(t)} - l_v \right]\;</math> ou, en éliminant <math>\;\theta(t)\;</math> au profit de <math>\;x(t)\;</math> par <math>\;\sin\!\left[\theta(t) \right] = \dfrac{x(t)}{\sqrt{l_v^{\,2} + x^2\!(t)}}</math>, l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> suivante <center><math>\;m\;\ddot{x}(t) + 2\;k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{l_v^{\,2} + x^2\!(t)}} \right]\,x(t) = 0\;</math> sans tenir compte de <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math><ref name="équivalence de theta0 petit" />, <br>équation différentielle caractéristique d'un oscillateur « non linéaire » non amorti<ref name="oscillateur non linéaire - ter"> Car est de forme <math>\;m\;\ddot{x}(t) + f(x) = 0\;</math> avec <math>\;f(x) = 2\;k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{l_v^{\,2} + x^2\!(t)}} \right]\,x(t) = -F_x(x)\;</math> où <math>\;\vec{F}_x(M) = \vec{T}_{1,\,x} + \vec{T}_{2,\,x}\;</math> est la résultante motrice soit encore <math>\;F_x(x) =</math> <math>-2\;k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{l_v^{\,2} + x^2\!(t)}} \right]\,x(t)\;</math> qui s'annule pour <math>\;x = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x = 0\;</math> est une position d'équilibre « stable » dans la mesure <math>\;\vec{F}_x(M)\;</math> est une force de rappel, <math>\;\sqrt{l_v^{\,2} + x^2\!(t)}\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;l_v</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part l'oscillateur non linéaire est non amorti <math>\;\big[</math>absence de terme en <math>\;\dot{x}(t)\;</math> dans l'équation différentielle<math>\big]</math>.</ref>.<math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math></center>}} ==== Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ₀ ==== {{Al|5}}Considérant maintenant <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math><ref name="équivalence de theta0 petit - bis" />, vérifier que la linéarisation de l'oscillateur n'est plus possible en déterminant son équation différentielle en <math>\;x(t)\;</math> à l'ordre le plus bas en <math>\;\dfrac{x(t)}{l_v}\;</math> puis {{Al|5}}vérifier que l'oscillateur peut être qualifié, dans le cadre des petits mouvements<ref name="petits mouvements" />, d'anharmonique, son équation différentielle y étant de la forme <math>\;\ddot{x}(t) + \alpha\; x^3\!(t) = 0\;</math> avec <math>\;\alpha > 0\;</math> dont on explicitera l'expression ; {{Al|5}}en déduire l'intégrale 1^ère énergétique des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> de l'oscillateur dans son approximation anharmonique puis {{Al|5}}rappeler comment on peut établir sa nature oscillatoire et périodique ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|rappeler }}l'expression de sa période <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> sous forme intégrale. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Pouvant établir, pour cet oscillateur « non linéaire » non amorti lâché sans vitesse initiale, la nature oscillatoire dans le cas où <math>\;\theta_0\;</math> n'est pas nécessairement <math>\;\ll 1</math>, ce qui a pour conséquence <math>\;\vert \theta(t) \vert \leqslant \theta_0\;\;\forall\;t\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vert x(t) \vert \leqslant x_0\;\;\forall\;t\;</math><ref name="justification nature oscillatoire" />, l'hypothèse restrictive <math>\;\theta_0 \ll 1\;</math><ref name="équivalence de theta0 petit" /> entraînant <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vert x(t) \vert \ll l_v\;</math> ou <math>\;\dfrac{\vert x(t) \vert}{l_v} \ll 1\;</math> permettant de considérer <math>\;\dfrac{x(t)}{l_v}\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un ; {{Al|5}}pour tenter de linéariser l'oscillateur « non linéaire » non amorti, il faut faire un D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;f(x) = 2\;k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{l_v^2 + x^2}} \right]\,x\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}} = 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{x}{l_v}\;</math> à condition que <math>\;f'(x_{\text{éq}})\;</math> ne soit pas nul ce qui, n'étant pas réalisé car <math>\;f'(x) = 2\;k\, \left[ 1 - \left( \dfrac{l_v}{\sqrt{l_v^2 + x^2}} \right)^{\!\!3} + x \right]\;</math><ref> En effet dérivant <math>\;f(x) = 2\;k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{l_v^2 + x^2}} \right]\,x\;</math> par rapport à <math>\;x</math>, on obtient <math>\;f'(x) = 2\;k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{l_v^2 + x^2}} \right] + 2\;k\, \left[ 1 + \dfrac{1}{2}\;\dfrac{l_v\;2\;x}{\left( l_v^2 + x^2 \right)^{\!\frac{3}{2}}} \right]\,x = 2\;k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v \left( l_v^2 + x^2 - x^2 \right)}{\left( l_v^2 + x^2 \right)^{\!\frac{3}{2}}} + x \right]</math> <math>= 2\;k\, \left[ 1 - \left( \dfrac{l_v}{\sqrt{l_v^2 + x^2}} \right)^{\!\!3} + x \right]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f'\!\left( x_{\text{éq}} = 0 \right) = 0\;</math> conduit à un échec de la tentative de linéarisation de l'oscillateur « non linéaire » non amorti au voisinage de sa position d'équilibre ; {{Al|5}}l'équilibre étant stable, il faut faire un D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;f(x) = 2\;k\, \left[ 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{l_v^2 + x^2}} \right]\,x\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq}} = 0\;</math> au moins à l'ordre trois en <math>\;\dfrac{x}{l_v}</math>, l'ordre trois suffisant si <math>\;f'''(x_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big[</math>on rappelle que la stabilité de l'équilibre dans la mesure où <math>\;f'(x_{\text{éq}}) = 0\;</math> nécessite <math>\;f''(x_{\text{éq}}) = 0\big]\;</math> et pour cela, il convient de faire apparaître l'infiniment petit d'ordre un, <math>\;f\! \left[ x(t) \right] = 2\;k\;l_v \left\lbrace 1 - \dfrac{l_v}{l_v\;\sqrt{1 + \left[ \dfrac{x(t)}{l_v} \right]^2}} \right\rbrace \dfrac{x(t)}{l_v}\;</math><ref name="raison de la mise en facteur du terme prépondérant" /> ou <math>\;f\! \left[ x(t) \right] = 2\;k\;l_v \left\lbrace 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left[ \dfrac{x(t)}{l_v} \right]^2}} \right\rbrace \dfrac{x(t)}{l_v}</math> ; {{Al|5}}cette dernière expression étant un produit de deux facteurs dont l'un <math>\;2\;k\;l_v\;\dfrac{x(t)}{l_v}\;</math> est <math>\;\propto\;</math> l'infiniment petit d'ordre un <math>\;\dfrac{x(t)}{l_v}</math>, il suffit, pour obtenir le D.L<ref name="D.L." />. du produit à l'ordre trois en <math>\;\dfrac{x(t)}{l_v}</math>, de prendre le 2^ème facteur <math>\;\Bigg\{</math>c'est-à-dire <math>\;1 - \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left[ \dfrac{x(t)}{l_v} \right]^2}} = 1 - \left\lbrace 1 + \left[ \dfrac{x(t)}{l_v} \right]^2 \right\rbrace^{\!-\frac{1}{2}}\Bigg\}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\dfrac{x(t)}{l_v}\;</math><ref name="D.L. d'un produit à l'ordre trois"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Déterminer_le_développement_limité_à_l'ordre_n_d'un_produit_de_deux_fonctions_dont_le_développement_limité_d'une_des_fonctions_a_pour_terme_prépondérant_un_infiniment_petit_d'ordre_p|déterminer le D.L. à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le D.L. d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p]] (appliqué pour p = 1 et n = 3) » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Ou à l'ordre un en <math>\;\left[ \dfrac{x(t)}{l_v} \right]^2</math>.</ref>, ce qui donne <math>\;f\! \left[ x(t) \right] \simeq</math> <math>2\;k\;l_v\;\dfrac{x(t)}{l_v} \left\lbrace 1 - \left[ 1 - \dfrac{1}{2}\;\dfrac{x^2\!(t)}{l_v^2} \right] \right\rbrace\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » : <math>\;\left( 1 + \varepsilon \right)^n \simeq 1 + n\;\varepsilon\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> appliqué pour <math>\;n = -\dfrac{1}{2}</math>.</ref> à l'ordre trois en <math>\,\dfrac{x(t)}{l_v}\,</math> soit finalement <math>\,f\! \left[ x(t) \right] \simeq \dfrac{k}{l_v^2}\;x^3\!(t)\,</math> et par suite la forme approchée à l'ordre trois en <math>\,\dfrac{x(t)}{l_{\text{éq}}}\,</math> de l'équation différentielle du 2^nd ordre en <math>\,x(t)\,</math> de l'oscillateur « non linéaire » non amorti se réécrit, dans le cadre des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> autour de la position d'équilibre stable, selon : <center><math>\;m\; \ddot{x}(t) + \dfrac{k}{l_v^2}\; x^3\!(t) = 0\;</math> correspondant à <br> une approximation anharmonique de l'oscillateur <math>\;\big(</math>c'est-à-dire une linéarisation impossible<math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}pour obtenir l'intégrale 1^ère énergétique de l'oscillateur « non linéaire » (non amorti) dans le cadre de petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> autour de sa position d'équilibre stable à l'aide de son équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;x(t)</math>, on multiplie les deux membres de cette dernière par <math>\;\dot{x}(t)\;</math> et on intègre entre l'instant initial et un instant <math>\;t\;</math> quelconque, ce qui donne <math>\;\displaystyle\int_0^t m\; \ddot{x}(t')\;\dot{x}(t')\;dt' + \displaystyle\int_0^t \dfrac{k}{l_v^2}\; x^3\!(t')\;\dot{x}(t')\;dt' = 0\;</math> soit finalement l'intégrale 1^ère énergétique suivante <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) + \dfrac{k}{4\;l_v^2}\, \left[ x^4\!(t) - x_0^4 \right] = 0\;</math> ou encore <center><math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t) + \dfrac{k}{4\;l_v^2}\; x^4\!(t) = \dfrac{k}{4\;l_v^2}\; x_0^4\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,\,M}(0)\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t)\;</math> étant l'énergie cinétique de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, l'expression <math>\;\dfrac{k}{4\;l_v^2}\; x^4\!(t)\;</math> représente le D.L. de l'énergie potentielle élastique du point à l'ordre le plus bas non nul dans l'hypothèse où on choisit la référence de cette dernière en la position d'équilibre stable <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> [[File:Oscillateur non linéaire non amorti dans approximation anharmonique - diagramme énergétique.png|thumb|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique de l'oscillateur non linéaire (non amorti) au voisinage de sa position d'équilibre stable à approximation des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> anharmonique]] {{Al|5}}pour obtenir la nature oscillatoire des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> de cet oscillateur « non linéaire » autour de sa position d'équilibre stable, on trace son diagramme d'énergies potentielle et mécanique sur lequel on observe la présence de deux murs d'énergie potentielle en regard, d'abscisses respectives <math>\;x_{\text{mur}} = \pm x_0</math> <math>\;\big(</math>voir ci-contre, <math>\;X_m\;</math> étant égale ici à <math>\;x_0\big)</math> ; {{Al|5}}pour obtenir sa nature périodique, on évalue, par utilisation successive de son intégrale 1^ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, la durée de la n^ème oscillation sous forme intégrale <math>\;\Delta t_{P_{x_{\text{mur}} = x_0}\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_{x_{\text{mur}} = -x_0}\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_{x_{\text{mur}} = x_0}} = 2\;\displaystyle\int_{-x_0}^{x_0} \sqrt{\dfrac{2\;m\;l_v^2}{k}}\;\dfrac{dx}{\sqrt{x_0^4 - x^4}}\;</math><ref> En effet de l'intégrale 1^ère énergétique on tire <math>\;\dfrac{dx}{dt} = \pm \sqrt{\dfrac{k}{2\;m\;l_v^2}\,\left[ x_0^4 - x^4\!(t) \right]}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dt = \pm \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{2\;m\;l_v^2}\,\left( x_0^4 - x^4 \right)}} = \pm \sqrt{\dfrac{2\;m\;l_v^2}{k}}\;\dfrac{dx}{\sqrt{x_0^4 - x^4}}\;</math> d'où l'expression de <math>\;\Delta t_{P_{x_{\text{mur}} = x_0}\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_{x_{\text{mur}} = -x_0}} =</math> <math>\displaystyle\int_{x_0}^{-x_0} -\sqrt{\dfrac{2\;m\;l_v^2}{k}}\;\dfrac{dx}{\sqrt{x_0^4 - x^4}} = \displaystyle\int_{-x_0}^{x_0} \sqrt{\dfrac{2\;m\;l_v^2}{k}}\;\dfrac{dx}{\sqrt{x_0^4 - x^4}}\;\overset{\ldots}{=}\;\Delta t_{P_{x_{\text{mur}} = -x_0}\,\overset{n}{\rightarrow}\,P_{x_{\text{mur}} = x_0}}</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="intégrale généralisée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_fermé_à_l'exception_d'au_moins_une_des_bornes_pour_laquelle_la_fonction_diverge|intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et on observe que cette durée ne dépend pas de <math>\;n\;</math> d'où la nature périodique, sa période des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> se réécrivant <math>\;\mathcal{T}_0 = 4\;\displaystyle\int_0^{x_0} \sqrt{\dfrac{2\;m\;l_v^2}{k}}\;\dfrac{dx}{\sqrt{x_0^4 - x^4}}\;</math><ref name="fonction à intégrer paire"> La fonction à intégrer étant paire et l'intervalle d'intégration symétrique relativement à <math>\;0</math>.</ref>{{,}}<ref name="intégrale généralisée" /> ou encore <math>\;\mathcal{T}_0 =</math> <math>4\;\sqrt{\dfrac{2\;m\;l_v^2}{k}}\;\displaystyle\int_0^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{x_0^4 - x^4}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> soit finalement <center><math>\;\mathcal{T}_0 = 8\;\sqrt{\dfrac{m}{2\;k}}\;\dfrac{l_v}{x_0}\;\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^4}}\;</math><ref> Obtenu par changement de variable <math>\;u = \dfrac{x}{x_0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x = x_0\;u\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dx = x_0\;du</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="intégrale généralisée" />, <br>établissant l'absence d'isochronisme des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> dans l'approximation anharmonique.</center>}} == Point matériel M dans une rigole hémi-circulaire, relié à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal d'axe coudé passant par le bord B du diamètre horizontal de la rigole et dont l'autre extrémité est fixée en un point extérieur à ce diamètre == [[File:Objet lié dans une rigole circulaire à un ressort d'axe coudé.png|thumb|Point matériel M lié de façon bilatérale sans frottements solides avec une rigole hémi-circulaire située dans un plan vertical, à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> d'axe coudé MBA, la partie BA de l'axe étant horizontale et de longueur égale à la longueur à vide l₀ du ressort]] {{Al|5}}Un point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, est solidaire, par liaison bilatérale, d'une rigole circulaire de centre <math>\,O\,</math> et de rayon <math>\,\mathfrak{a}</math> d'un plan vertical <math>\,\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> dans laquelle il peut glisser sans frottements solides dans le champ de pesanteur terrestre uniforme <math>\;\vec{g}</math> ; {{Al|5}}ce point est relié à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal" />, d'axe coudé <math>\;MBA</math>, dont la tension, étant supposée indépendante du caractère coudé de son axe, est imposée par la longueur à charge de son axe coudé <math>\;MBA</math> ; le ressort est de raideur <math>\;k\;</math> et sa longueur à vide est <math>\;l_0</math> ; d'autre part le point <math>\;B\;</math> étant à la distance <math>\;l_0\;</math> de <math>\;A</math>, le ressort reste allongé en toute position de <math>\;M\;</math> autre que celle de <math>\;B</math>. {{Al|5}}On repère <math>\;M\;</math> par son abscisse angulaire <math>\;\theta = \widehat{ \left( \overrightarrow{u}_{\!z}\,,\, \overrightarrow{OM} \right)}\;</math> où <math>\;\vec{u}_z\;</math> est le vecteur unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> le vecteur unitaire horizontal dirigé de <math>\;O\;</math> vers <math>\;B\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> le vecteur unitaire horizontal orientant les angles du plan vertical de la rigole, ces trois vecteurs unitaires <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x \, , \, \vec{u}_y \, , \, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> définissant la base cartésienne orthonormée directe du repère associé au référentiel supposé galiléen et lié à la rigole. === Détermination de la position d'équilibre du point matériel === {{Al|5}}Déterminer, en raisonnant en termes de forces, l'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> de la position d'équilibre du point matériel <math>\;M</math>. {{Solution|contenu = [[File:Objet lié dans une rigole circulaire à un ressort d'axe coudé - forces.png|thumb|Point matériel M lié de façon bilatérale sans frottements solides avec une rigole hémi-circulaire située dans un plan vertical, à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> d'axe coudé MBA, la partie BA de l'axe étant horizontale et de longueur égale à la longueur à vide l₀ du ressort, avec représentation des forces appliquées à M]] {{Al|5}}Le point matériel <math>\;M\;</math> est soumis aux trois forces suivantes : * son poids <math>\;m\; \vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> vertical, * la force <math>\;\vec{T}(t)\;</math> exercée par le ressort, de ligne d'action <math>\;(BM)</math>, de sens dirigé vers <math>\;B\;</math> et de norme <math>\;\propto\;</math> à l'allongement du ressort égal à <math>\;\Vert \overrightarrow{MB} \Vert</math>, la longueur <math>\;BA\;</math> étant égale à la longueur à vide <math>\;l_0\;</math> soit <math>\;\vec{T}(t) = k\;\Vert \overrightarrow{MB}(t) \Vert\;\vec{u}_{M \rightarrow B}\;</math> et * la réaction <math>\;\vec{R}(t)\;</math> de la rigole, de direction normale à cette dernière en absence de frottements solides, soit, en utilisant la base locale polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> liée à <math>\;M</math>, <math>\;\vec{R}(t) = \overline{R}(t)\;\vec{u}_r</math> ; {{Al|5}}adoptant le repérage polaire du point <math>\;M\;</math> avec <math>\;\theta = \widehat{ \left( \overrightarrow{u}_{\!z}\,,\, \overrightarrow{OM} \right)}\;</math> on peut réécrire : * le poids de <math>\;M\;</math> selon <math>\;m\; \vec{g} = m\;g\;\cos\!\left[ \theta(t) \right] \vec{u}_r - m\;g\;\sin\!\left[ \theta(t) \right] \vec{u}_\theta\;</math> et * la force <math>\;\vec{T}(t) = k\;\Vert \overrightarrow{MB}(t) \Vert\;\vec{u}_{M \rightarrow B}\;</math> exercée par le ressort en évaluant <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'angle <math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{u}_\theta\,,\,\overrightarrow{MB} \right)} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\theta}{2}</math> <math>\;\Bigg[</math>en effet <math>\;\widehat{MOB} = \dfrac{\pi}{2} - \theta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\widehat{OMB} + \widehat{MBO} = \dfrac{\pi}{2} + \theta</math> <math>\;\big(</math>relation dans le triangle <math>\;OMB\big)\;</math> et utilisant le caractère isocèle du triangle <math>\;MOB\;</math> on en déduit <math>\;\widehat{OMB} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\theta}{2}\;</math> soit encore le résultat énoncé car <math>\;\alpha\;</math> est le complémentaire de <math>\;\widehat{OMB}\Bigg]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'allongement du ressort <math>\;\Vert \overrightarrow{MB} \Vert = 2\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\theta}{2} \right)</math> <math>\;\Bigg[</math>en effet <math>\;MB\;</math> étant la base du triangle isocèle <math>\;OMB</math>, on utilise la hauteur issue de <math>\;O\;</math> qui est en même temps médiane et bissectrice, soit, en appelant <math>\;H\;</math> le pied de cette hauteur, <math>\;MB = 2\; MH\;</math> avec <math>\;MH = OM\; \sin\! \left( \dfrac{\widehat{MOB}}{2} \right)\;</math> où <math>\;\widehat{MOB} = \dfrac{\pi}{2} - \theta</math>, <math>\;OM\;</math> étant égal à <math>\;\mathfrak{a}\Bigg]\;</math> et <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{M \rightarrow B} = -\sin(\alpha)\;\vec{u}_r + \cos(\alpha)\;\vec{u}_\theta = -\sin\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\theta}{2} \right)\,\vec{u}_r + \cos\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\theta}{2} \right)\,\vec{u}_\theta\;</math> soit finalement <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la force exercée par le ressort <math>\;\vec{T}(t) = 2\;k\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\theta}{2} \right) \, \left[ -\sin\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\theta}{2} \right)\,\vec{u}_r + \cos\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\theta}{2} \right)\,\vec{u}_\theta \right] = k\;\mathfrak{a}\, \left[ -2\;\sin^2\!\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\theta}{2} \right)\,\vec{u}_r + \sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right)\,\vec{u}_\theta \right]\;</math><ref name="sinus d'un angle double"> On rappelle que <math>\;2\;\sin(b)\;\cos(b) = \sin(2\;b)</math>.</ref> ; {{Al|5}}la direction du mouvement de <math>\;M\;</math> étant <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> la composante de la force « motrice » sur cette direction est <math>\;F_\theta(M) = - m\;g\;\sin(\theta) + k\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right)\;</math> soit finalement <math>\;F_\theta(M) = - m\;g\;\sin(\theta) + k\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta)\;</math><ref> Par utilisation de <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos(\theta)</math>.</ref> et {{Al|5}}la condition d'équilibre s'obtenant par <math>\;F_\theta(M_{\text{éq}}) = 0</math>, la recherche des zéros de <math>\;F_\theta(M) = F_\theta(\theta)\;</math> nous conduit à l'équation <math>\;-m\; g\; \sin(\theta_{\text{éq}}) + k\; \mathfrak{a}\; \cos(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> ou <math>\;\tan(\theta_{\text{éq}}) = \dfrac{k\; \mathfrak{a}}{m\; g}\;</math> soit, en limitant la recherche des zéros sur l'intervalle <math>\;\left] -\dfrac{\pi}{2}\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> <center><math>\;\theta_{\text{éq}} = \arctan\! \left( \dfrac{k\; \mathfrak{a}}{m\; g} \right)</math>.</center>}} === Détermination de la stabilité de la position d'équilibre du point matériel === {{Al|5}}Démontrer, en raisonnant en termes de forces, la stabilité de la position d'équilibre du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="méthode pour démontrer la stabilité"> On fera un développement limité à l'ordre le plus bas non nul de la résultante « motrice » notée <math>\;\vec{F}_\theta(\theta) = F_\theta(\theta)\; \vec{u}_\theta\;</math> c.-à-d. de la résultante des forces pouvant créer le mouvement suivant la direction de ce dernier.</ref>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Pour déterminer la nature stable de l'équilibre étudié, on s'intéresse à la composante de force « motrice » <math>\;F_\theta(\theta) = -m\; g\; \sin(\theta) + k\; a\; \cos(\theta)\;</math> et on établit que celle-ci est « de rappel » relativement à la position d'équilibre ; {{Al|5}}pour cela on pose <math>\;\theta = \theta_{\text{éq}} + \varepsilon\;</math> et on fait un D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F_\theta(\theta)\;</math> à l'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> soit <math>\;F_\theta(\theta) \simeq \;\cancel{F_\theta(\theta_{\text{éq}})\; +}\; {F_\theta}'(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math><ref> On rappelle que la condition d'équilibre est <math>\;F_\theta(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>.</ref>, la stabilité nécessitant, dans la mesure où <math>\;{F_\theta}'(\theta_{\text{éq}})\;</math> est non nulle, <math>\;{F_\theta}'(\theta_{\text{éq}}) < 0</math> ; {{Al|5}}la dérivation de <math>\;F_\theta(\theta) = -m\; g\; \sin(\theta) + k\; a\; \cos(\theta)\;</math> relativement à <math>\;\theta\;</math> conduisant à <math>\;\dfrac{d F_\theta}{d \theta}(\theta) = -m\; g\; \cos(\theta) - k\; a\; \sin(\theta)</math>, nous en déduisons <math>\;\dfrac{d F_\theta}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) < 0\;</math> car <math>\;\theta_{\text{éq}} \in \left] 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> et par suite que la position d'équilibre étudiée est effectivement <u>stable</u>.}} === Étude des petits mouvements du point matériel autour de sa position d'équilibre stable === {{Al|5}}Dans le but d'étudier les petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> du point matériel <math>\;M\;</math> autour de sa position d'équilibre stable, écrire l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> sans tenir compte de la petitesse de <math>\;\vert \theta(t) - \theta_{\text{éq}} \vert\;</math> puis, {{Al|5}}en introduisant l'écart angulaire <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq}}\;</math> relativement à l'abscisse angulaire d'équilibre, écart dont on ne tient toujours pas compte de la petitesse de sa valeur absolue, réécrire cette équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t)</math> ; {{Al|5}}faire un D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> tenant compte du caractère « petit » de la valeur absolue de l'écart angulaire relativement à l'abscisse de la position d'équilibre<ref name="conséquence de la petitesse de la valeur absolue de l'écart angulaire"> <math>\;\vert \varepsilon(t) \vert \ll 1\;</math> signifie que l'amplitude d'oscillations <math>\;\varepsilon_m\;</math> est un infiniment petit d'ordre un, il en est alors de même de la valeur absolue de la vitesse angulaire <math>\;\vert \dot{\varepsilon}(t) \vert\;</math> et de celle de l'accélération angulaire <math>\;\vert \ddot{\varepsilon}(t) \vert\;</math> car elles sont <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\varepsilon_m</math> <math>\;\ldots</math></ref> puis {{Al|5}}vérifier que l'approximation des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> de l'oscillateur non linéaire <math>\;M\;</math> est alors harmonique et {{Al|5}}préciser la période <math>\;\mathcal{T}_0\;</math> de ses petites élongations<ref name="petits mouvements" />. {{Solution|contenu = {{Al|5}}L'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement de <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>sans tenir compte de <math>\;\vert \theta(t) - \theta_{\text{éq}} \vert \ll 1\big)</math>, s'obtient, par projection sur <math>\;\vec{u}_\theta</math>, de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude supposé galiléen soit <math>\;F_\theta\! \left[ \theta(t) \right] = m\;a_{M,\,\theta}(t)\;</math> avec <math>\;a_{M,\,\theta}(t) = \mathfrak{a}\;\ddot{\theta}(t)\;</math><ref> Le mouvement étant circulaire de centre <math>\;O</math>.</ref>, ou <math>\;-m\; g\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + k\; a\; \cos\! \left[ \theta(t) \right] = m\;\mathfrak{a}\;\ddot{\theta}(t)\;</math> d'où, en normalisant, <center><math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathfrak{a}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] - \dfrac{k}{m}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = 0</math> ;</center> {{Al|5}}en introduisant <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta(t) = \theta_{\text{éq}} + \varepsilon(t)\;</math> ainsi que <math>\;\ddot{\theta}(t) = \ddot{\varepsilon}(t)</math>, puis en reportant dans l'expression de l'équation différentielle du 2^ème ordre précédemment déterminée, on obtient <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{g}{\mathfrak{a}}\;\sin\! \left[ \theta_{\text{éq}} + \varepsilon(t) \right] - \dfrac{k}{m}\;\cos\! \left[ \theta_{\text{éq}} + \varepsilon(t) \right] = 0\;</math> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sin(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = \sin(\theta_{\text{éq}})\;\cos(\varepsilon) + \cos(\theta_{\text{éq}})\;\sin(\varepsilon)\\ \cos(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = \cos(\theta_{\text{éq}})\;\cos(\varepsilon) - \sin(\theta_{\text{éq}})\;\sin(\varepsilon)\end{array}\right\rbrace</math>, la réécriture de l'équation différentielle selon <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{g}{\mathfrak{a}} \left\lbrace \sin(\theta_{\text{éq}})\;\cos\! \left[ \varepsilon(t) \right] + \cos(\theta_{\text{éq}})\;\sin\! \left[ \varepsilon(t) \right] \right\rbrace - \dfrac{k}{m} \left\lbrace \cos(\theta_{\text{éq}})\;\cos\! \left[ \varepsilon(t) \right] - \sin(\theta_{\text{éq}})\;\sin\! \left[ \varepsilon(t) \right] \right\rbrace = 0\;</math> soit encore, en regroupant les facteurs de <math>\;\cos\! \left[ \varepsilon(t) \right]\;</math> et ceux de <math>\;\sin\! \left[ \varepsilon(t) \right]\;</math> et en remarquant que celui de <math>\;\cos\! \left[ \varepsilon(t) \right]\;</math> est nul <math>\;\bigg\{</math>en effet de la condition d'équilibre <math>\;-m\; g\; \sin(\theta_{\text{éq}}) + k\; \mathfrak{a}\; \cos(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> on en déduit <math>\;\dfrac{g}{\mathfrak{a}}\; \sin(\theta_{\text{éq}}) - \dfrac{k}{m}\; \cos(\theta_{\text{éq}}) = \dfrac{-1}{m\;\mathfrak{a}}\,\left[ -m\; g\; \sin(\theta_{\text{éq}}) + k\; \mathfrak{a}\; \cos(\theta_{\text{éq}}) \right] = 0\bigg\}</math>, <center><math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \left[ \dfrac{g}{\mathfrak{a}}\;\cos(\theta_{\text{éq}}) + \dfrac{k}{m}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) \right]\, \sin\! \left[ \varepsilon(t) \right] = 0</math> ;</center> {{Al|5}}avec <math>\;\vert \varepsilon(t) \vert \ll 1</math>, correspondant à <math>\;\varepsilon(t)\;</math> infiniment petit d'ordre un, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\sin(\varepsilon)\;</math> à l'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math> au voisinage de <math>\;0\;</math> étant <math>\;\sin(\varepsilon) \simeq \varepsilon</math>, on en déduit l'expression approchée à l'ordre un de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> <center><math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \left[ \dfrac{g}{\mathfrak{a}}\;\cos(\theta_{\text{éq}}) + \dfrac{k}{m}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) \right]\, \varepsilon(t) = 0\;</math> ou,</center> {{Al|5}}après mise en facteur de <math>\;\dfrac{g}{\mathfrak{a}}\;\cos(\theta_{\text{éq}})\;</math> dans le cœfficient de <math>\;\varepsilon(t)\;</math> de façon à pouvoir utiliser la condition d'équilibre <math>\;\tan(\theta_{\text{éq}}) = \dfrac{k\;\mathfrak{a}}{m\;g}\;</math> et simplifier l'équation différentielle approchée, <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{g}{\mathfrak{a}}\;\cos(\theta_{\text{éq}})\,\left[ 1 + \dfrac{k\;\mathfrak{a}}{m\;g}\;\tan(\theta_{\text{éq}}) \right]\, \varepsilon(t) = 0\;</math> dont on déduit : * en remplaçant <math>\;\dfrac{k\;\mathfrak{a}}{m\;g}\;</math> par <math>\;\tan(\theta_{\text{éq}})</math>, <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{g}{\mathfrak{a}}\;\cos(\theta_{\text{éq}})\,\left[ 1 + \tan^2(\theta_{\text{éq}}) \right]\, \varepsilon(t) = 0\;</math> soit, avec <math>\;1 + \tan^2(\theta_{\text{éq}}) = \dfrac{1}{\cos^2(\theta_{\text{éq}})}</math>, l'équation différentielle approchée suivante <center><math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{g}{\mathfrak{a\;\cos(\theta_{\text{éq}})}}\; \varepsilon(t) = 0\;</math> ou</center> * en remplaçant <math>\;\tan(\theta_{\text{éq}})\;</math> par <math>\;\dfrac{k\;\mathfrak{a}}{m\;g}</math>, <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{g}{\mathfrak{a}}\;\cos(\theta_{\text{éq}})\,\left[ 1 + \dfrac{k^2\;\mathfrak{a}^2}{m^2\;g^2} \right]\, \varepsilon(t) = 0\;</math> et <math>\;\cos(\theta_{\text{éq}})\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\theta_{\text{éq}})}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{k^2\;\mathfrak{a}^2}{m^2\;g^2}}}</math>, une autre forme de l'équation différentielle approchée n'utilisant pas <math>\;\theta_{\text{éq}}</math>, soit <math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{g}{\mathfrak{a}}\;\sqrt{1 + \dfrac{k^2\;\mathfrak{a}^2}{m^2\;g^2}}\; \varepsilon(t) = 0\;</math> ou encore <center><math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \sqrt{\dfrac{g^2}{\mathfrak{a}^2} + \dfrac{k^2}{m^2}}\; \varepsilon(t) = 0</math> ;</center> {{Al|5}}on constate que, quelle que soit la forme approchée de l'équation différentielle à l'ordre un en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> du point <math>\;M</math>, l'approximation est <u>harmonique</u>, l'équation différentielle étant linéarisée, ce qui implique que les petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> de <math>\;M\;</math> sont sinusoïdaux de période des petites élongations<ref name="petits mouvements" /> <center><math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\sqrt{\dfrac{g}{\mathfrak{a\;\cos(\theta_{\text{éq}})}}}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{\mathfrak{a\;\cos(\theta_{\text{éq}})}}{g}} = \dfrac{2\;\pi}{\sqrt[4]{\dfrac{g^2}{\mathfrak{a}^2} + \dfrac{k^2}{m^2}}}</math>.</center>}} == Étude des petits mouvements autour de l'équilibre (ou des équilibres) stable(s) d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale == [[File:Pendule élastique vertical à oscillations transversales.png|thumb|Schéma d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale]] {{Al|5}}L'objet de cet exercice consiste à étudier les petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> d'un système mécanique au voisinage de sa (ou de ses) position(s) d'équilibre stable et en particulier de les observer au voisinage d'une bifurcation <math>\;\big(</math>c'est-à-dire d'un changement du nombre de positions d'équilibre, de la position d'équilibre stable ou autres changements consécutifs à une variation d'un paramètre caractérisant les équilibres du système mécanique <math>\;\ldots\big)</math>. {{Al|5}}On s'intéresse au système mécanique suivant : un objet assimilé à un point matériel <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, est fixé à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal" />, à spires non jointives<ref name="spires non jointives" />, de longueur à vide <math>\;l_v\;</math> et de constante de raideur <math>\;k</math>, dont l'extrémité supérieure est fixée en un point <math>\;R</math>. {{Al|5}}L'objet peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige<ref name="liaison bilatérale"> L'objet est donc en liaison bilatérale avec la tige (ou le guide).</ref> (voir la figure ci-contre). {{Al|5}}On repère la position du point <math>\;M\;</math> sur cette tige par son abscisse <math>\;x\;</math> sur l'axe confondu avec la tige dont l'origine <math>\;O\;</math> est située sur la même verticale que le point d’attache <math>\;R\;</math> fixe du ressort, cet axe horizontal <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> étant orienté arbitrairement vers la droite, l'axe vertical <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> l'étant vers le haut. {{Al|5}}La tige se trouve à une distance <math>\;\lambda\;</math> du point <math>\;R\;</math> c'est-à-dire <math>\;OR = \lambda</math>. {{Al|5}}La 1^ère partie « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Recherche_des_positions_d'équilibre|recherche des positions d'équilibre]] » de cet exercice ayant déjà été traité dans « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Étude_des_équilibres_d'un_pendule_élastique_initialement_vertical_à_extrémités_supérieure_fixe_et_inférieure_pouvant_se_déplacer_transversalement_sur_une_tige_horizontale_suivie_de_l'étude_de_ses_variantes|étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale …]] » de la série d'exercices du chap.<math>18</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » nous nous contenterons de rappeler les questions ainsi que les principaux résultats de la solution en renvoyant à l'exercice précité pour les détails. === Recherche des positions d'équilibre === {{Al|5}}On recherche les positions d'équilibre ainsi que leur stabilité suivant le paramètre <math>\;\lambda = OR\;</math> dont on fera varier la valeur. ==== Détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale l_v ==== {{Al|5}}Initialement le point matériel <math>\;M\;</math> se trouve en <math>\;O\;</math> et <math>\;\lambda = OR = l_v</math>. {{Al|5}}Décrire qualitativement (aucun calcul n'est demandé) le nombre de positions d'équilibre et graphiquement la stabilité de celles-ci suivant qu'on * rapproche la tige du point <math>\;R\;</math> c'est-à-dire que <math>\;\lambda \searrow\;</math> à partir de <math>\;l_v\;</math> ou * éloigne la tige du point <math>\;R\;</math> c'est-à-dire que <math>\;\lambda \nearrow\;</math> à partir de <math>\;l_v</math>. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_qualitative_du_nombre_de_positions_d'équilibre_et_de_la_stabilité_de_celles-ci_(détermination_graphique)_quand_λ_varie_à_partir_de_sa_valeur_initiale_lv|détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale l_v]] » ayant déjà été traitée dans « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Étude_des_équilibres_d'un_pendule_élastique_initialement_vertical_à_extrémités_supérieure_fixe_et_inférieure_pouvant_se_déplacer_transversalement_sur_une_tige_horizontale_suivie_de_l'étude_de_ses_variantes|étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale …]] » de la série d'exercices du chap.<math>18</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; les principaux résultats sont : * dans le cas <math>\;\lambda > l_v\;</math> il y a « <u>une seule position d'équilibre</u> <math>\;O\;</math>» « <u>stable</u> » ; * dans le cas <math>\;\lambda < l_v\;</math> il y a « <u>trois positions d'équilibre</u> <math>\;O</math>, <math>\;M_{\text{éq},\,d}\;</math> et <math>\;M_{\text{éq},\,g}\;</math>», <math>\;O\;</math> est un équilibre « <u>instable</u> » alors que <math>\;M_{\text{éq},\,d}\;</math> et <math>\;M_{\text{éq},\,g}\;</math> sont des équilibres « <u>stables</u> » ; * dans le cas <math>\;\lambda = l_v\;</math> il y a « <u>une seule position d'équilibre</u> <math>\;O\;</math>» et cet équilibre est « <u>stable</u> ».}} ==== Détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque ==== {{Al|5}}On considère maintenant <math>\;OR = \lambda\;</math> quelconque. {{Al|5}}Déterminer l'expression de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}(x)\;</math> de l'objet <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;k</math>, <math>\;l_v</math>, <math>\;\lambda\;</math> et <math>\;x\;</math> en choisissant sa référence en <math>\;O</math>. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_de_l'expression_de_l'énergie_potentielle_élastique_de_l'objet_M_pour_λ_quelconque|détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque]] » ayant déjà été traitée dans « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Étude_des_équilibres_d'un_pendule_élastique_initialement_vertical_à_extrémités_supérieure_fixe_et_inférieure_pouvant_se_déplacer_transversalement_sur_une_tige_horizontale_suivie_de_l'étude_de_ses_variantes|étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale …]] » de la série d'exercices du chap.<math>18</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; le principal résultat est <math>\;U_{\text{élast}}(x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{\lambda^2 + x^2} - l_v \right)^{\!2} - \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda - l_v \right)^2</math>.}} ==== Tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque ==== {{Al|5}}Vérifier que l'allure des diagrammes d'énergie potentielle élastique de l'objet <math>\;M\;</math> diffère suivant que <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\lambda < l_v\\ \lambda \geqslant l_v\end{array}\right\rbrace\;</math> et {{Al|5}}représenter chaque type de profil d'énergie potentielle élastique <math>\;\big(</math>pour <math>\;\lambda \geqslant l_v\;</math> tracer un profil associé à <math>\;\lambda > l_v\;</math> et celui à <math>\;\lambda = l_v\big)</math>. {{Solution | contenu = [[File:Pendule élastique vertical à oscillations transversales - profils d'énergie potentielle.png|thumb|Diagrammes d'énergie potentielle d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale suivant que le ressort dans son état initial vertical est comprimé, à vide ou étiré]] {{Al|5}}Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Tracé_des_deux_types_principaux_de_profils_d'énergie_potentielle_élastique_de_l'objet_M_suivant_les_valeurs_de_λ_quelconque|tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque]] » ayant déjà été traitée dans « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Étude_des_équilibres_d'un_pendule_élastique_initialement_vertical_à_extrémités_supérieure_fixe_et_inférieure_pouvant_se_déplacer_transversalement_sur_une_tige_horizontale_suivie_de_l'étude_de_ses_variantes|étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale …]] » de la série d'exercices du chap.<math>18</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; {{Al|5}}ci-contre est rappelé les différents types de profil d'énergie potentielle élastique suivant que * <math>\;\lambda < l_v</math> <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> ou * <math>\;\lambda \geqslant l_v</math> <math>\;\big(</math>en vert et bleu<math>\big)</math>.}} ==== Détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque ==== {{Al|5}}Déterminer les abscisses des positions d'équilibre <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> de l'objet <math>\;M\;</math> en distinguant les deux cas <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\lambda < l_v\\ \lambda \geqslant l_v\end{array}\right\rbrace\;</math> et {{Al|5}}préciser, dans chaque cas, si la position d’équilibre est stable ou non. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_algébrique_des_abscisses_d'équilibre_xéq_de_M_et_vérification_de_leur_stabilité_(de_façon_algébrique)_suivant_les_valeurs_de_λ_quelconque|détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque]] » ayant déjà été traitée dans « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Étude_des_équilibres_d'un_pendule_élastique_initialement_vertical_à_extrémités_supérieure_fixe_et_inférieure_pouvant_se_déplacer_transversalement_sur_une_tige_horizontale_suivie_de_l'étude_de_ses_variantes|étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale …]] » de la série d'exercices du chap.<math>18</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; les principaux résultats sont : * <math>\;x = 0\;</math> est une 1^ère abscisse de position d'équilibre pour tout <math>\;\lambda = OR\;</math> et * pour <math>\;\lambda < l_v</math>, il y avait deux autres abscisses de positions d'équilibre notées respectivement <math>\;x_{\text{éq},\,d}\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,g}\;</math> déterminées par <br>{{Al|3}}{{Transparent|pour <math>\;color{transparent}{\lambda < l_v}</math>, }}<math>\succ</math> <math>\;l_{\text{éq},\,d} = l_v\;</math> soit, avec <math>\;l_{\text{éq},\,d} = \sqrt{\lambda^2 + x_{\text{éq},\,d}^2}\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,d} > 0</math>, <math>\;x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math> et par <br>{{Al|3}}{{Transparent|pour <math>\;color{transparent}{\lambda < l_v}</math>, }}<math>\succ</math> <math>\;l_{\text{éq},\,g} = l_v\;</math> soit, avec <math>\;l_{\text{éq},\,g} = \sqrt{\lambda^2 + x_{\text{éq},\,g}^2}\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,g} < 0</math>, <math>\;x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2}</math> ; {{Al|5}}la détermination algébrique s'obtient par recherche des zéros de <math>\;\vec{T}_h = T_x\;\vec{u}_x\;</math> avec <math>\;T_x = -\dfrac{d U_{\text{élast}}}{dx}(x) = -k\;x\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\sqrt{\lambda^2 + x^2}} \right)\;</math> qui s'annule effectivement * en <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;\;\forall\;\lambda\;</math> et, * sous conditions, en <math>\;x_{\text{éq},\,d} > 0\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,g} < 0\;</math> de même valeur absolue <math>\;x_{\text{éq},\,2} > 0\;</math> telle que <math>\;\sqrt{\lambda^2 + x_{\text{éq},\,2}^2} = l_v\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x_{\text{éq},\,2} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math> n'existant en étant <math>\;\neq 0\;</math> que pour <math>\;\lambda < l_v\;</math> d'où les deux autres zéros conditionnels <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\\x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\end{array}\right\rbrace\;\text{si }\;\lambda < l_v</math>. {{Al|5}}Ces équilibres sont stables dans la mesure où la force « motrice » <math>\;\vec{T}_h = T_x\;\vec{u}_x\;</math> est une composante « de rappel » ; on le justifie en calculant <math>\;\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq}}) =</math> <math>-k\, \left[ 1 - l_v\;\dfrac{\lambda^2}{\left( \lambda^2 + x^2 \right)^{\!\frac{3}{2}}} \right]\;</math> d'où : * pour <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0</math>, <math>\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq},\,1}) = -k\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\lambda} \right) \left\lbrace \begin{array}{l} < 0\;\;\text{si}\;\lambda > l_v\\ = 0\;\;\text{si}\;\lambda = l_v\\> 0\;\;\text{si}\;\lambda < l_v\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> équilibre <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\text{stable si}\;\lambda > l_v\\ \text{? si}\;\lambda = l_v\\ \text{instable si}\;\lambda < l_v\end{array}\right\rbrace</math>, * pour <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2} = x_{\text{éq},\,2}\\x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2} = -x_{\text{éq},\,2}\end{array}\right\rbrace\;\;\text{avec }\;\lambda < l_v</math>, <math>\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq},\,2}) = -k\, \left( 1 - \dfrac{\lambda^2}{l_v^2} \right) < 0\;</math><ref> On rappelle que <math>\;\lambda\;</math> doit être <math>\;<\;</math> à <math>\;l_v\;</math> pour que ces équilibres existent.</ref> d'où la stabilité des deux équilibres <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\\x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\end{array}\right\rbrace</math> ; * équilibre <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> pour <math>\;\lambda = l_v</math> : <math>\;\dfrac{d T_{x,\,\lambda = l_v}}{dx}(x_{\text{éq},\,1})\;</math> étant nul, il faut calculer <math>\;\dfrac{d^2 T_{x,\,\lambda = l_v}}{dx^2}(x) = -k\;\dfrac{3\;l_v^3\;x}{\left( l_v^2 + x^2 \right)^{\!\frac{5}{2}}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d^2 T_{x,\,\lambda = l_v}}{dx^2}(x_{\text{éq},\,1}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 T_{x,\,\lambda = l_v}}{dx^3}(x) =</math> <math>-3\;k\;l_v^3\;\dfrac{l_v^2 - 4\;x^2}{\left( l_v^2 + x^2 \right)^{\!\frac{7}{2}}}\;</math> donnant <math>\;\dfrac{d^3 T_{x,\,\lambda = l_v}}{dx^3}(x_{\text{éq},\,1}) =</math> <math>-\dfrac{3\;k}{l_v^2} < 0\;</math> et par suite assurant la stabilité de l'équilibre <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> pour <math>\;\lambda = l_v</math>.}} ==== Représentation des abscisses d'équilibre x_éq de M en fonction du paramètre λ avec précision de leur stabilité, notion de bifurcation fourche ==== {{Al|5}}Représenter, sur un même diagramme, les abscisses d'équilibre <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> de l'objet <math>\;M\;</math> en fonction du paramètre <math>\;OR = \lambda\;</math> caractérisant le système, on indiquera nettement sur ce graphe <math>\;\big(</math>par exemple à l'aide de couleurs différentes<math>\big)\;</math> la nature de l'équilibre <math>\;\big(</math>stabilité ou instabilité<math>\big)</math>. {{Al|5}}Tenter alors de justifier le nom donné à la bifurcation <math>\;\big(</math>observée en <math>\;\lambda = l_v\big)\;</math> « bifurcation fourche ». {{Solution | contenu = [[File:Pendule élastique vertical à oscillations transversales - diagramme de bifurcation fourche.png|thumb|Diagramme de bifurcation représentant les abscisses d'équilibre d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale avec leur stabilité (ou instabilité) suivant la distance verticale séparant la tige de R]] {{Al|5}}Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Représentation_des_abscisses_d'équilibre_xéq_de_M_en_fonction_du_paramètre_λ_avec_précision_de_leur_stabilité,_notion_de_bifurcation_fourche|représentation des abscisses d'équilibre x_éq de M en fonction du paramètre λ avec précision de leur stabilité, notion de bifurcation fourche]] » ayant déjà été traitée dans « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Étude_des_équilibres_d'un_pendule_élastique_initialement_vertical_à_extrémités_supérieure_fixe_et_inférieure_pouvant_se_déplacer_transversalement_sur_une_tige_horizontale_suivie_de_l'étude_de_ses_variantes|étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale …]] » de la série d'exercices du chap.<math>18</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; {{Al|5}}ci-contre le « diagramme de bifurcation » représentant les abscisses <math>\;x_{\text{éq}}\;</math> d'équilibre du point matériel <math>\;M\;</math> suivant le paramètre <math>\;\lambda = OR\;</math> caractérisant le système, {{Nobr|<math>\;\big(</math>l'état}} de « stabilité » de l'équilibre étant indiqué en traits pleins rouges et celui d'« instabilité » en traits pointillés bleus<math>\big)</math>. {{Al|5}}« <u>Une bifurcation</u> dans un diagramme représentant les abscisses d'équilibre du point matériel d'un système en fonction du paramètre caractérisant le système étudié » est « <u>la valeur de ce paramètre correspondant à un changement de nombre de positions d'équilibre</u> », <span style="color:#ffffff;"><small>~</small>Une bifurcation </span>elle peut aussi, « quand une position d'équilibre existe pour toute valeur du paramètre », être « <u>la valeur de celui-ci accompagnant la modification de stabilité de cet équilibre</u> » : {{Al|5}}ainsi, dans le diagramme ci-contre, <math>\;\lambda = l_v\;</math> est une bifurcation car * d'une part cette valeur correspond à un changement de nombre de positions d’équilibre <math>\;\big(</math>passant de trois à une quand <math>\;\lambda\;</math> traverse <math>\;l_v\;</math> en <math>\;\nearrow\big)\;</math> et * d'autre part l'abscisse <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> existe pour toute valeur de <math>\;\lambda\;</math> avec une modification de stabilité lors de la traversée de la bifurcation <math>\;\big(</math>passant de l'instabilité à la stabilité quand <math>\;\lambda\;</math> traverse <math>\;l_v\;</math> en <math>\;\nearrow\big)</math> <math>\;\big[</math>une conséquence de ce 2^ème aspect de la bifurcation est que cette dernière caractérise un changement de positions d'équilibre stable <math>\;\big(</math>passant de deux équilibres stables d'abscisses <math>\;\neq 0\;</math> à un équilibre stable d'abscisse <math>\;= 0\;</math> quand <math>\;\lambda\;</math> traverse <math>\;l_v\;</math> en <math>\;\nearrow\big)\big]</math>.}} ==== Bifurcation à symétrie brisée ==== {{Al|5}}On dit également de cette bifurcation qu'elle est « à symétrie brisée » ; tenter de justifier cette propriété. {{Solution | contenu = {{Al|5}}La solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Bifurcation_à_symétrie_brisée|bifurcation à symétrie brisée]] » déjà traitée dans « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Étude_des_équilibres_d'un_pendule_élastique_initialement_vertical_à_extrémités_supérieure_fixe_et_inférieure_pouvant_se_déplacer_transversalement_sur_une_tige_horizontale_suivie_de_l'étude_de_ses_variantes|étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale …]] » de la série d'exercices du chap.<math>18</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » étant relativement courte, est rappelée, in extenso, ci-dessous : {{Al|5}}Cette bifurcation est dite « à symétrie brisée » car * pour <math>\;\lambda > l_v</math>, la position d'équilibre stable étant <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0</math>, les oscillations autour de cette dernière se fait de façon symétrique relativement à <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> alors que * pour <math>\;\lambda < l_v</math>, il y a deux positions d'équilibre stable <math>\;x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math> et <math>\;x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2}</math>, les oscillations autour de chaque position d'équilibre ne se faisant pas de façon symétrique relativement à l'abscisse de l'équilibre considéré d'où <center>une brisure de symétrie.</center>}} === Détermination des pulsations possibles des petits mouvements autour d'une position d'équilibre stable === {{Al|5}}On cherche maintenant à déterminer les pulsations des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> autour des positions d’équilibre stable. ==== Établissement de l'expression de la pulsation des petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable pour laquelle l'approximation de l'oscillateur non linéaire est harmonique ==== {{Al|5}}En écrivant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> représentant un oscillateur « non linéaire » unidirectionnel selon l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}</math> <math>\;\big(</math>il ne s'agit pas nécessairement de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans cet exercice<math>\big)</math>, montrer que la pulsation <math>\;\omega\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> s'exprime selon <center><math>\;\omega \simeq \sqrt{\dfrac{1}{m}\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{dx^2}(x_{\text{éq. st.}})}\;</math> dans laquelle <math>\;U_{\text{oscill}}(x)\;</math> est l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dont dérive la composante motrice,</center> {{Al|5}}ceci dans la mesure où <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math> est l'abscisse d'une position d'équilibre stable pour laquelle l'approximation de l'oscillateur « non linéaire » au voisinage de cette dernière est harmonique<ref> On pourra, dans la r.f.d.n., utiliser que la composante de la force « motrice » sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> dérive de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{oscill}}(x)\;</math> après développement de la force « motrice » à l’ordre un en <math>\;\varepsilon = x - x_{\text{éq. st.}}\;</math> au voisinage de la position d'équilibre d'abscisse <math>\;x_{\text{éq. st.}}</math>.</ref>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Dans le cas général où un point matériel <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, à un degré de liberté <math>\;\big(</math>on se limite à un mouvement unidirectionnel le long de l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}</math>, la position de <math>\;M\;</math> étant repérée par son abscisse <math>\;x\big)\;</math> possède l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{oscill}}(x)\;</math> associée à la force conservative « motrice » <math>\;\vec{F}(M) = F(x)\;\vec{u}_x</math>, c'est-à-dire telle que <math>\;F(x) = -\dfrac{dU_{\text{oscill}}}{dx}(x)\;</math> découlant de <math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ U_{\text{oscill}} \right](M)</math>, la condition d'équilibre stable repérée par <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math> correspondant à <math>\;F(x_{\text{éq. st.}}) = 0\;</math> avec, dans le cas où l'approximation des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> autour de la position d'équilibre stable est harmonique, <math>\;F'(x_{\text{éq. st.}}) < 0\;</math><ref> La force « motrice » devant être « de rappel » relativement à la position d'équilibre si celle-ci est stable.</ref>, on peut en déduire <math>\;\dfrac{dU_{\text{oscill}}}{dx}(x_{\text{éq. st.}}) = 0\;</math> avec <math>\;\dfrac{d^2U_{\text{oscill}}}{dx^2}(x_{\text{éq. st.}}) > 0\;</math><ref> L'énergie potentielle devant être « minimale » à la position d'équilibre si celle-ci est stable.</ref> dans le même cas d'approximation harmonique des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> autour de la position d'équilibre stable ; {{Al|5}}l'application, dans le référentiel d'étude supposé galiléen, de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. au point matériel <math>\;M</math>, projetée sur <math>\;\vec{u}_x</math>, donnant <math>\;F\! \left[ x(t) \right] = m\;\ddot{x}(t)\;</math> ou, en introduisant l'écart de l'abscisse instantanée de <math>\;M\;</math> relativement à celle de sa position d'équilibre stable <math>\;\varepsilon(t) = x(t) - x_{\text{éq. st.}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{x}(t) = \ddot{\varepsilon}(t)\;</math> et en faisant un D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;F(x_{\text{éq. st.}} + \varepsilon)\;</math> à l'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math> au voisinage de <math>\;x_{\text{éq. st.}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;F(x_{\text{éq. st.}} + \varepsilon) \simeq</math> <math>\;\cancel{F(x_{\text{éq. st.}})\;+}\; F'(x_{\text{éq. st.}})\;\varepsilon = -\dfrac{d^2U_{\text{oscill}}}{dx^2}(x_{\text{éq. st.}})\;\varepsilon\;</math><ref> On rappelle que <math>\;F(x) = -\dfrac{dU_{\text{oscill}}}{dx}(x)</math>.</ref>, la réécriture de l'équation différentielle des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> de <math>\;M\;</math> autour de la position d'équilibre stable à approximation harmonique <math>\;-\dfrac{d^2U_{\text{oscill}}}{dx^2}(x_{\text{éq. st.}})\;\varepsilon(t) = m\;\ddot{\varepsilon}(t)\;</math> soit, en regroupant dans un même membre et en normalisant, <center><math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{1}{m}\;\dfrac{d^2U_{\text{oscill}}}{dx^2}(x_{\text{éq. st.}})\;\varepsilon(t) = 0\;</math></center> {{Al|5}}dont on déduit la pulsation des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> du mouvement de <math>\;M\;</math> au voisinage de la position d'équilibre stable, à savoir <math>\;\omega \simeq \sqrt{\dfrac{1}{m}\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{dx^2}(x_{\text{éq. st.}})}</math>.}} ==== Expression de la pulsation des petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans cet exercice pour laquelle son approximation est harmonique ==== {{Al|5}}Pour le système étudié dans cet exercice, exprimer la pulsation <math>\;\omega\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> dans le cadre de l'approximation harmonique en fonction de <math>\;k</math>, <math>\;m</math>, <math>\;\lambda\;</math> et <math>\;l_v\;</math> en distinguant les cas <math>\;\lambda < l_v\;</math> et <math>\;\lambda > l_v\;</math><ref name="condition d'approximation harmonique"> On rappelle que <math>\;\lambda = l_v\;</math> n'est pas à envisager car l'approximation des petites oscillations au voisinage de la position d'équilibre stable y est anharmonique.</ref>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Dans le cas <math>\;\lambda = OR > l_v</math>, il y a une seule position d'équilibre stable <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{dx^2}(x_{\text{éq},\,1}) = -\dfrac{d T_x}{dx}(x_{\text{éq},\,1}) = k\, \left( 1 - \dfrac{l_v}{\lambda} \right)\;</math><ref name="rappel de solution"> Voir la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#Détermination_algébrique_des_abscisses_d'équilibre_xéq_de_M_et_vérification_de_leur_stabilité_(de_façon_algébrique)_suivant_les_valeurs_de_λ_quelconque|détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque]] » plus haut dans l'exercice.</ref> d'où l'expression de la pulsation <math>\;\omega\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> autour de la position d'équilibre stable dans le cadre de l'approximation harmonique <center><math>\;\omega \simeq \sqrt{\dfrac{k}{m} \left( 1 - \dfrac{l_v}{\lambda} \right)}</math> ;</center> {{Al|5}}dans le cas <math>\;\lambda = OR < l_v</math>, il y a deux positions d'équilibre stable <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}x_{\text{éq},\,d} = \sqrt{l_v^2 - \lambda^2} = x_{\text{éq},\,2}\\x_{\text{éq},\,g} = -\sqrt{l_v^2 - \lambda^2} = -x_{\text{éq},\,2}\end{array}\right\rbrace\;</math> et <math>\;\dfrac{d^2 U_{\text{oscill}}}{dx^2}(\pm x_{\text{éq},\,2}) = -\dfrac{d T_x}{dx}(\pm x_{\text{éq},\,2}) = k\, \left( 1 - \dfrac{\lambda^2}{l_v^2} \right)\;</math><ref name="rappel de solution" /> d'où l'expression de la pulsation <math>\;\omega\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> autour de l'une ou l'autre des positions d'équilibre stable dans le cadre de l'approximation harmonique <center><math>\;\omega \simeq \sqrt{\dfrac{k}{m} \left( 1 - \dfrac{\lambda^2}{l_v^2} \right)}</math>.</center>}} ==== Tracé du diagramme représentant la pulsation des petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans le cadre de son approximation harmonique en fonction du paramètre λ ==== {{Al|5}}Tracer le graphe de la pulsation <math>\;\omega\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans le cadre de l'approximation harmonique en fonction du paramètre <math>\;\lambda \neq l_v\;</math><ref name="condition d'approximation harmonique" />. {{Solution|contenu = [[File:Pendule élastique vertical à oscillations transversales - diagramme de pulsation de petites oscillations.png|thumb|Diagramme représentant la pulsation des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> autour d'une position d'équilibre stable de l'approximation harmonique d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, suivant la distance verticale séparant la tige de R]] {{Al|5}}Voir ci-contre le tracé du graphe de la pulsation <math>\;\omega\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans le cadre de l'approximation harmonique en fonction du paramètre <math>\;\lambda \neq l_v\;</math><ref name="condition d'approximation harmonique" /> avec * en rouge la partie correspondant à <math>\;\lambda = OR > l_v</math> <math>\;\big\{</math>on s'est limité à l'intervalle <math>\;\left] l_v\,,\, 2\;l_v \right]\;</math> pour rester dans le domaine d'élasticité au voisinage de la position d'équilibre correspondant à l'axe du ressort vertical<math>\big\}\;</math> la pulsation des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> autour de la position d'équilibre stable <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> ayant pour équation <math>\;\omega \simeq \sqrt{\dfrac{k}{m} \left( 1 - \dfrac{l_v}{\lambda} \right)}\;</math> et * en bleu la partie correspondant à <math>\;\lambda = OR < l_v</math> <math>\;\big\{</math>on a choisi l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\, l_v \right[\;</math> car on s'intéresse aux deux positions d'équilibre stable <math>\;\pm x_{\text{éq},\,2} = \pm \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math> et non à la position d'équilibre instable <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> pour laquelle les petites valeurs de <math>\;\lambda\;</math> conduirait le ressort à être en dehors de son domaine d'élasticité<math>\big\}\;</math> la pulsation des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> autour de l'une ou l'autre position d'équilibre stable <math>\;\pm x_{\text{éq},\,2} = \pm \sqrt{l_v^2 - \lambda^2}\;</math> ayant pour équation <math>\;\omega \simeq \sqrt{\dfrac{k}{m} \left( 1 - \dfrac{\lambda^2}{l_v^2} \right)}</math> ; {{Al|5}}on constate sur la courbe rouge que <math>\;\omega \rightarrow 0^{+}\;</math> quand <math>\;\lambda \rightarrow l_v^{+}</math>, de même {{Al|5}}{{Transparent|on constate }}sur la courbe bleue que <math>\;\omega \rightarrow 0^{+}\;</math> quand <math>\;\lambda \rightarrow l_v^{-}</math>, les deux pulsations d'équilibre stable se rapprochant alors symétriquement de la position d'équilibre instable <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|on constate sur la courbe bleue }}que <math>\;\omega \rightarrow \left[ \sqrt{\dfrac{k}{m}} \right]^{-}\;</math> quand <math>\;\lambda \rightarrow 0^{+}</math>, les deux pulsations d'équilibre stable tendant vers <math>\;\pm l_v^{\mp}</math>.}} ==== Détermination d'une expression approchée de la pulsation des petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans le cadre de son approximation harmonique quand le paramètre λ reste dans le voisinage de l_v ==== {{Al|5}}Montrer que la pulsation <math>\;\omega\;</math> des petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans le cadre de son approximation harmonique peut s'écrire, quand le paramètre <math>\;\lambda\;</math> reste dans le voisinage de <math>\;l_v\;</math> selon <center><math>\;\omega \simeq \left\lbrace \begin{array}{l} a\; \left( \lambda - l_v \right)^\alpha\;\;\text{si }\,\lambda\, \in\, \mathcal{V}\! \left[ l_v^{+} \right]\\b\; \left( l_v - \lambda \right)^{\alpha'}\;\;\text{si }\,\lambda\, \in\, \mathcal{V}\! \left[ l_v^{-} \right]\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="voisinage"> <math>\;\mathcal{V}(a)\;</math> est un voisinage de <math>\;a\;</math> si et seulement s'il existe un réel strictement positif <math>\;\mu\;</math> tel que <math>\;\left] a - \mu\, {;}\, a + \mu \right[ \subset \mathcal{V}(a)</math> ; <br>{{Al|3}}par extension (personnelle) <math>\;\mathcal{V}\! \left[ l_v^{+} \right]\;</math> sera un voisinage de <math>\;l_v^{+}\;</math> si et seulement s'il existe un réel strictement positif <math>\;\mu\;</math> tel que <math>\;\left] l_v\, {;}\, l_v + \mu \right[ \subset \mathcal{V}\! \left[ l_v^{+} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|par extension ~}} de même <math>\;\mathcal{V}\! \left[ l_v^{-} \right]\;</math> sera un voisinage de <math>\;l_v^{-}\;</math> si et seulement s'il existe un réel strictement positif <math>\;\mu\;</math> tel que <math>\;\left] l_v - \mu\, {;}\, l_v \right[ \subset \mathcal{V}\! \left[ l_v^{-} \right]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}expliciter les exposants, dits critiques, <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;\alpha'\;</math> ainsi que les cœfficients <math>\;a\;</math> et <math>\;b</math>. {{Al|5}}Proposer une démarche expérimentale pour déterminer les exposants critiques <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;\alpha'</math> ; {{Al|5}}leur obtention vous semble-t-elle aisée ? {{Solution|contenu = {{Al|5}}Quand <math>\;\lambda\, \in\, \mathcal{V}\! \left[ l_v^{+} \right]\;</math><ref name="voisinage" />, nous sommes dans le cas <math>\;\lambda = OR > l_v\;</math> et la pulsation des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> étant définie par <math>\;\omega \simeq \sqrt{\dfrac{k}{m} \left( 1 - \dfrac{l_v}{\lambda} \right)}</math>, permet de déduire aisément <math>\;\omega^2 \simeq \dfrac{k}{m\;\lambda}\,\left( \lambda - l_v \right)\;</math> ou, en considérant <math>\;\left( \lambda - l_v \right) \ll l_v\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\lambda - l_v}{l_v} \ll 1\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un, <math>\;\omega^2 \simeq \dfrac{k\;l_v}{m\;\lambda}\;\dfrac{\lambda - l_v}{l_v}</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire un produit de deux facteurs dans lequel le 2^ème facteur est un infiniment petit d'ordre un, il suffira, pour obtenir un D.L<ref name="D.L." />. de cette expression à l'ordre un, de considérer le D.L<ref name="D.L." />. du 1^er facteur à l'ordre zéro<ref name="D.L. d'un produit à l'ordre un" /><math>\big]\;</math> dans lequel le 1^er facteur <math>\;\dfrac{k\;l_v}{m\;\lambda}\;</math> se réécrit, en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre un dans <math>\;\lambda = l_v + \left( \lambda - l_v \right) = l_v \left( 1 + \dfrac{\lambda - l_v}{l_v} \right)</math>, selon <math>\;\dfrac{k\;l_v}{m\;\lambda} = \dfrac{k}{m}\, \left( 1 + \dfrac{\lambda - l_v}{l_v} \right)^{\!-1}\;</math> d'où son D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre zéro <math>\;\dfrac{k\;l_v}{m\;\lambda} \simeq \dfrac{k}{m} \times 1 = \dfrac{k}{m}\;</math> et par suite, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\omega^2\;</math> à l'ordre un s'écrit <math>\;\omega^2 \simeq \dfrac{k}{m}\;\dfrac{\lambda - l_v}{l_v} =</math> <math>\dfrac{k}{m\;l_v}\, \left( \lambda - l_v \right)</math>, soit la réécriture de la pulsation des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> sous la forme approchée <center><math>\;\omega \simeq \sqrt{\dfrac{k}{m\;l_v}} \left( \lambda - l_v \right)^{\frac{1}{2}}\;</math> c'est-à-dire effectivement de la forme <br><math>\;\omega \simeq a\; \left( \lambda - l_v \right)^\alpha\;</math> avec <math>\;a = \sqrt{\dfrac{k}{m\;l_v}}\;</math> et <math>\;\alpha = \dfrac{1}{2}</math> ;</center> {{Al|5}}quand <math>\;\lambda\, \in\, \mathcal{V}\! \left[ l_v^{-} \right]\;</math><ref name="voisinage" />, nous sommes dans le cas <math>\;\lambda = OR < l_v\;</math> et la pulsation des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> étant définie par <math>\;\omega \simeq \sqrt{\dfrac{k}{m} \left( 1 - \dfrac{\lambda^2}{l_v^2} \right)}</math>, permet de déduire aisément <math>\;\omega^2 \simeq \dfrac{k}{m\;l_v^2}\,\left( l_v^2 - \lambda^2 \right)\;</math> ou, en considérant <math>\;\left( l_v - \lambda \right) \ll l_v\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{l_v - \lambda}{l_v} \ll 1\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un, <math>\;\omega^2 \simeq \dfrac{k}{m}\;\dfrac{l_v + \lambda}{l_v}\;\dfrac{l_v - \lambda}{l_v}</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire un produit de trois facteurs dans lequel le 3^ème facteur est un infiniment petit d'ordre un et le 1^er est constant, il suffira, pour obtenir un D.L<ref name="D.L." />. de cette expression à l'ordre un, de considérer le D.L<ref name="D.L." />. du 2^ème facteur à l'ordre zéro<ref name="D.L. d'un produit à l'ordre un" /><math>\big]\;</math> dans lequel le 2^ème facteur <math>\;\dfrac{l_v + \lambda}{l_v}\;</math> se réécrit, en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre un dans <math>\;\lambda = l_v - \left( l_v - \lambda \right) = l_v \left( 1 - \dfrac{l_v - \lambda}{l_v} \right)</math>, selon <math>\;\dfrac{l_v + \lambda}{l_v} = 1 + \dfrac{\lambda}{l_v} = 2 - \dfrac{l_v - \lambda}{l_v} = 2 \left( 1 - \dfrac{1}{2}\;\dfrac{l_v - \lambda}{l_v} \right)\;</math> d'où son D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre zéro <math>\;\dfrac{l_v + \lambda}{l_v} \simeq 2 \times 1 = 2\;</math> et par suite, le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;\omega^2\;</math> à l'ordre un s'écrit <math>\;\omega^2 \simeq</math> <math>\dfrac{k}{m}\;2\;\dfrac{l_v - \lambda}{l_v} = \dfrac{2\;k}{m\;l_v}\, \left( l_v - \lambda \right)</math>, soit la réécriture de la pulsation des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> sous la forme approchée <center><math>\;\omega \simeq \sqrt{\dfrac{2\;k}{m\;l_v}} \left( l_v - \lambda \right)^{\frac{1}{2}}\;</math> c'est-à-dire effectivement de la forme <br><math>\;\omega \simeq b\; \left( l_v - \lambda \right)^{\alpha'}\;</math> avec <math>\;b = \sqrt{\dfrac{2\;k}{m\;l_v}}\;</math> et <math>\;\alpha' = \dfrac{1}{2}</math>.</center> {{Al|5}}Pour déterminer expérimentalement les exposants critiques <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;\alpha'</math>, on mesure la période <math>\;\mathcal{T}\;</math> des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> en faisant varier <math>\;\lambda = OR\;</math> au voisinage de <math>\;l_v\;</math> d'où * pour <math>\;\lambda\, \in\, \mathcal{V}\! \left[ l_v^{+} \right]\;</math><ref name="voisinage" />, <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} \simeq \dfrac{2\;\pi}{a}\, \left( \lambda - l_v \right)^{-\alpha}\;</math> et * pour <math>\;\lambda\, \in\, \mathcal{V}\! \left[ l_v^{-} \right]\;</math><ref name="voisinage" />, <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} \simeq \dfrac{2\;\pi}{b}\, \left( \lambda - l_v \right)^{-\alpha'}\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer expérimentalement les exposants critiques <math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\alpha'}</math>, }}on trace <math>\;\mathcal{T}\;</math> en fonction de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\ln\! \left( \lambda - l_v \right)\;\text{pour}\;\lambda\, \in\, \mathcal{V}\! \left[ l_v^{+} \right]\\ \ln\! \left( l_v - \lambda \right)\;\text{pour}\;\lambda\, \in\, \mathcal{V}\! \left[ l_v^{-} \right]\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="voisinage" />, ce qui donne deux droites de pentes respectives <math>\;-\alpha\;</math> et <math>\;-\alpha'</math>, la mesure des pentes donnant donc les exposants critiques cherchés ; {{Al|5}}c'est expérimentalement très délicat car <math>\;\mathcal{T} \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;\lambda \rightarrow l_v</math>, les valeurs de <math>\;\mathcal{T}\;</math> sont donc très grandes dès lors qu'on travaille au voisinage de <math>\;l_v\;</math> et sur une durée grande, il devient difficile de ne pas tenir compte des frottements !}} ==== Étude des mouvements de l'oscillateur « non linéaire » quand le paramètre λ vaut l_v par diagramme d'énergies potentielle et mécanique, expression de sa période sous forme intégrale et observation de son approximation anharmonique dans le cadre de ses petits mouvements ==== {{Al|5}}On s’intéresse maintenant au cas limite <math>\;\lambda = l_v</math>. {{Al|5}}On lâche le point matériel <math>\;M</math>, sans vitesse initiale, à partir d'une distance algébrique <math>\;x(0) = x_0 \neq 0\;</math> de sa position d'équilibre stable, cette distance étant non nécessairement petite en valeur absolue. ===== Établissement graphique de la nature oscillatoire du mouvement de M ===== {{Al|5}}Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> puis {{Al|5}}en déduire la nature oscillatoire de son mouvement. {{Solution|contenu = {{Al|5}}L'expression de l'énergie potentielle ayant été déterminée dans la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Détermination_de_l'expression_de_l'énergie_potentielle_élastique_de_l'objet_M_pour_λ_quelconque|détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque]] » de l'« [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Étude_des_équilibres_d'un_pendule_élastique_initialement_vertical_à_extrémités_supérieure_fixe_et_inférieure_pouvant_se_déplacer_transversalement_sur_une_tige_horizontale_suivie_de_l'étude_de_ses_variantes|étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale …]] » de la série d'exercices du chap.<math>18</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », il a été trouvé <math>\;U_{\text{élast},\,\forall\,\lambda}(x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{\lambda^2 + x^2} - l_v \right)^{\!2} - \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \lambda - l_v \right)^2\;</math> pour <math>\;\lambda\;</math> quelconque soit, pour <math>\;\lambda = l_v</math>, l'expression particulière <math>\;U_{\text{élast},\,\lambda\,=\,l_v}(x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{l_v^2 + x^2} - l_v \right)^{\!2}</math> ; [[File:Pendule élastique vertical à oscillations transversales - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|thumb|Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, le ressort dans sa position verticale étant ni étiré, ni comprimé, M étant initialement écarté de x₀ de sa position d'équilibre stable sur la tige et lâché sans vitesse initiale]] {{Al|5}}la courbe d'énergie potentielle pour <math>\;\lambda = l_v\;</math> ayant été tracée dans la solution de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Tracé_des_deux_types_principaux_de_profils_d'énergie_potentielle_élastique_de_l'objet_M_suivant_les_valeurs_de_λ_quelconque|tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque]] » de l'« [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Étude_des_équilibres_d'un_pendule_élastique_initialement_vertical_à_extrémités_supérieure_fixe_et_inférieure_pouvant_se_déplacer_transversalement_sur_une_tige_horizontale_suivie_de_l'étude_de_ses_variantes|étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale …]] » de la même série d'exercices du chap.<math>18</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<ref> Il s'agit de la courbe verte avec un minimum pour <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> pour lequel la courbe présente un méplat.</ref>, il ne reste qu'à y ajouter la courbe d'énergie mécanique correspondant à la conservation de cette dernière soit <math>\,E_{m,\,M,\,\lambda\,=\,l_v}(t) = E_{m,\,0}\,</math> avec <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{l} E_{m,\,M,\,\lambda\,=\,l_v}(t) &\!\!= \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t)\; + &\!\!U_{\text{élast},\,\lambda\,=\,l_v}\! \left[ x(t) \right]\\ E_{m,\,0} &\!\!= &\!\!U_{\text{élast},\,\lambda\,=\,l_v}(x_0)\end{array} \!\right\rbrace\;</math><ref name="rappel C.I."> Le lâcher initial de <math>\;M\;</math> se faisant à l'abscisse <math>\;x_0\;</math> sans vitesse.</ref> d'où le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre : * courbe d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> en bleu et * courbe d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> en rouge ; {{Al|5}}on y observe deux murs d'énergie potentielle en regard, d'équations <math>\;x_{\text{mur}} = \pm x_0</math>, ce qui a pour conséquence la nature <u>oscillatoire</u> de <math>\;M\;</math> autour de la position d'équilibre stable <math>\;x_{\text{éq},\,1} = 0</math> <math>\;\big[</math>le point <math>\;M\;</math> est donc dans un <u>état lié</u>, sa trajectoire est <u>cinétiquement bornée</u>, les points génériques des courbes <math>\;(\Gamma_m)\;</math> et <math>\;(\Gamma_u)\;</math> effectuent des <u>allers-retours successifs dans la cuvette d'énergie potentielle</u> limitée par les deux murs d'énergie potentielle<math>\big]\;</math> avec <math>\;x_0\;</math> (non nécessairement petit) pour amplitude d'oscillations.}} ===== Établissement de la nature périodique du mouvement de M et expression de sa période sous forme intégrale ===== {{Al|5}}Établir la nature périodique du mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> par utilisation simultanée de son intégrale 1^ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique puis {{Al|5}}en déduire sa période <math>\;\mathcal{T}\;</math> sous forme intégrale en fonction * de <math>\;k</math>, <math>\;m</math>, <math>\;l_v</math>, <math>\;x_0\;</math> et <math>\;x\;</math> puis * de <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}</math>, <math>\;l_v\;</math>, <math>\;x_0\;</math> et <math>\;x</math> ; {{Al|5}}montrer, en faisant le changement de variable <math>\;u = \dfrac{x}{x_0}\;</math> ainsi qu'en introduisant l'abscisse initiale réduite <math>\;\chi_0 = \dfrac{x_0}{l_v}</math>, {{Al|5}}{{Transparent|montrer, }}que la période <math>\;\mathcal{T}\;</math> du mouvement du point <math>\;M\;</math> s'écrit en fonction de <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}</math>, <math>\;\chi_0\;</math> et <math>\;J = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{du}{\sqrt{f_{\chi_0}(u)}}\;</math> dans laquelle <math>\;f_{\chi_0}(u)\;</math> est une fonction particulière de <math>\;u\;</math> paramétrée par <math>\;\chi_0 = \dfrac{x_0}{l_v}</math>, fonction que l'on explicitera. {{Solution|contenu = {{Al|5}}De l'intégrale 1^ère énergétique du point <math>\;M\;</math> à savoir <math>\;E_{m,\,M,\,\lambda\,=\,l_v}(t) = E_{m,\,0}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}E_{m,\,M,\,\lambda\,=\,l_v}(t) &\!\!= \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{x}^2\!(t)\; + &\!\!\dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \sqrt{l_v^2 + x^2\!(t)} - l_v \right]^2\\ E_{m,\,0} &\!\!= &\!\!\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - l_v \right)^{\!2}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="rappel C.I." /> on tire <math>\;\vert \dot{x}(t) \vert =</math> <math>\sqrt{\dfrac{k}{m}}\;\sqrt{\left( \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - l_v \right)^{\!2} - \left[ \sqrt{l_v^2 + x^2\!(t)} - l_v \right]^2} = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;\sqrt{\left[ x_0^2 - x^2\!(t) \right] - 2\;l_v\, \left[ \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - \sqrt{l_v^2 + x^2\!(t)} \right]}\;</math> et par suite, l'expression de la durée élémentaire <math>\;dt\;</math> nécessaire pour la variation élémentaire d'abscisse <math>\;dx</math>, à savoir <math>\;dt = \pm \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}}\;\sqrt{\left[ x_0^2 - x^2\!(t) \right] - 2\;l_v\, \left[ \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - \sqrt{l_v^2 + x^2\!(t)} \right]}}\;</math><ref name="validité de dt en fonction de dx"> Valable si <math>\;\vert x(t) \Vert\;</math> est <math>\;\neq\;</math> de <math>\;x_0</math> ; pour <math>\;\vert x(t) \Vert = x_0</math>, le dénominateur étant nul, le numérateur <math>\;dx\;</math> doit l'être aussi pour que le quotient constitue une forme indéterminée dont la levée conduirait à une valeur petite <math>\;dt\;</math> non nulle <math>\;\ldots</math></ref> avec le signe <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}-\\\text{ou}\\+\end{array}\right\rbrace\;</math> quand <math>\;P_u\;</math> se déplace <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\text{de}\;P_0\;\text{à}\;{P'}_0\\ \text{ou}\\ \text{de}\;{P'}_0\;\text{à}\;P_0\end{array}\right\rbrace\;</math> soit * pour le n^ème aller du point générique <math>\;P_u\;</math> de <math>\;P_0\;</math> à <math>\;{P'}_0</math>, une durée <math>\;\Delta t_{P_0\;\overset{n}\rightarrow\;{P'}_0} = \displaystyle\int_{x_0}^{-x_0} -\dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}}\;\sqrt{\left( x_0^2 - x^2 \right) - 2\;l_v\, \left( \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - \sqrt{l_v^2 + x^2} \right)}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ou finalement <math>\;\Delta t_{P_0\;\overset{n}\rightarrow\;{P'}_0} = \sqrt{\dfrac{m}{k}}\;\displaystyle\int_{-x_0}^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\left( x_0^2 - x^2 \right) - 2\;l_v\, \left( \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - \sqrt{l_v^2 + x^2} \right)}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> et * pour le n^ème retour du même point générique <math>\;P_u\;</math> de <math>\;{P'}_0\;</math> à <math>\;P_0</math>, une durée <math>\;\Delta t_{{P'}_0\;\overset{n}\rightarrow\;P_0} = \displaystyle\int_{-x_0}^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{k}{m}}\;\sqrt{\left( x_0^2 - x^2 \right) - 2\;l_v\, \left( \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - \sqrt{l_v^2 + x^2} \right)}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ou finalement <math>\;\Delta t_{{P'}_0\;\overset{n}\rightarrow\;P_0} = \sqrt{\dfrac{m}{k}}\;\displaystyle\int_{-x_0}^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\left( x_0^2 - x^2 \right) - 2\;l_v\, \left( \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - \sqrt{l_v^2 + x^2} \right)}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> d'où * la durée du n^ème aller-retour du point générique <math>\;P_u\;</math> entre les deux murs d'énergie potentielle <math>\;\Delta t_{P_0\;\overset{n}\rightarrow\;{P'}_0\;\overset{n}\rightarrow\;P_0} = \Delta t_{P_0\;\overset{n}\rightarrow\;{P'}_0} + \Delta t_{{P'}_0\;\overset{n}\rightarrow\;P_0}\;</math> soit encore, la durée de l'aller étant égale à celle du retour, <math>\;\Delta t_{P_0\;\overset{n}\rightarrow\;{P'}_0\;\overset{n}\rightarrow\;P_0} = 2\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;\displaystyle\int_{-x_0}^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\left( x_0^2 - x^2 \right) - 2\;l_v\, \left( \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - \sqrt{l_v^2 + x^2} \right)}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> indépendante de <math>\;n\;</math><ref name="indépendant de n"> Car la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>, ce qui établit <center>la nature <u>périodique</u> du mouvement de <math>\;M</math> ;</center> {{Al|5}}on en déduit la période <math>\;\mathcal{T}\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> par <math>\;\mathcal{T} = \Delta t_{P_0\;\overset{\cancel{n}}\rightarrow\;{P'}_0\;\overset{\cancel{n}}\rightarrow\;p_0} = 2\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;\displaystyle\int_{-x_0}^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\left( x_0^2 - x^2 \right) - 2\;l_v\, \left( \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - \sqrt{l_v^2 + x^2} \right)}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ou, la fonction à intégrer étant une fonction paire de <math>\;x\;</math> et l'intervalle d'intégration <math>\;\left[ -x_0\,,\,x_0 \right]</math>, <center><math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;\displaystyle\int_{0}^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\left( x_0^2 - x^2 \right) - 2\;l_v\, \left( \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - \sqrt{l_v^2 + x^2} \right)}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ou, <br>en posant <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}</math>, <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{4}{\omega_0}\;\displaystyle\int_{0}^{x_0} \dfrac{dx}{\sqrt{\left( x_0^2 - x^2 \right) - 2\;l_v\, \left( \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - \sqrt{l_v^2 + x^2} \right)}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ;</center> {{Al|5}}en introduisant le paramètre <math>\;\chi_0 = \dfrac{x_0}{l_v}\;</math> et en faisant le changement de variable <math>\;u = \dfrac{x}{x_0}</math>, l'expression sous le radical du dénominateur de la fonction à intégrer devient, en mettant <math>\;x_0^2\;</math> en facteur, <math>\;\left( x_0^2 - x^2 \right) - 2\;l_v\, \left( \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - \sqrt{l_v^2 + x^2} \right) = x_0^2\, \left[ \left( 1 - u^2 \right) - 2\;\dfrac{1}{\chi_0}\, \left( \sqrt{\dfrac{1}{\chi_0^2} + 1} - \sqrt{\dfrac{1}{\chi_0^2} + u^2} \right) \right]\;</math> soit encore, en mettant <math>\;\dfrac{1}{\chi_0^2}\;</math> en facteur pour que dans l'autre facteur n'apparaisse que <math>\;\chi_0^2</math>, <math>\;\left( x_0^2 - x^2 \right) - 2\;l_v\, \left( \sqrt{l_v^2 + x_0^2} - \sqrt{l_v^2 + x^2} \right) = \dfrac{x_0^2}{\chi_0^2}\,\left[ \chi_0^2\,\left( 1 - u^2 \right) - 2\, \left( \sqrt{1 + \chi_0^2} - \sqrt{1 + \chi_0^2\;u^2} \right) \right]\;</math> d'où la réécriture de la période <math>\;\mathcal{T}\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> utilisant d'une part <math>\;dx = x_0\;du\;</math> et d'autre part la transformation de l'intervalle d'intégration <math>\;\left[ 0\,,\,x_0 \right]\;</math> en <math>\;\left[ 0\,,\,1 \right]</math>, <center><math>\;\mathcal{T} = \dfrac{4\;\chi_0}{\omega_0}\;\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{du}{\sqrt{\chi_0^2\,\left( 1 - u^2 \right) - 2\, \left( \sqrt{1 + \chi_0^2} - \sqrt{1 + \chi_0^2\;u^2} \right)}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" />, <br>effectivement de la forme <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{4\;\chi_0}{\omega_0}\;J\;</math> avec <math>\;J = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{du}{\sqrt{f_{\chi_0}(u)}}\;</math> <br>dans laquelle <math>\;f_{\chi_0}(u) = \chi_0^2\,\left( 1 - u^2 \right) - 2\, \left( \sqrt{1 + \chi_0^2} - \sqrt{1 + \chi_0^2\;u^2} \right)</math>.</center>}} ===== Application des résultats précédents au cas des petites élongations du mouvement de M ===== {{Al|5}}Dans le cas des petites élongations<ref name="petits mouvements" /> du mouvement de <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;\vert x_0 \vert \ll l_v\big)</math>, montrer que sa période <math>\;\mathcal{T}_{\text{petites élong.}}\;</math> des petites élongations<ref name="petits mouvements" /> s'écrit de façon approchée en fonction de <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}</math>, <math>\;\chi_0\;</math> et <math>\;I = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^4}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ; {{Al|5}}justifier l'approximation « anharmonique » des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> de <math>\;M</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Dans le cas des petites élongations<ref name="petits mouvements" /> du mouvement de <math>\;M</math>, le paramètre <math>\;\chi_0 = \dfrac{x_0}{l_v}\;</math> étant <math>\;\ll 1\;</math> et n'intervenant que par son carré dans la fonction à intégrer, nous considérons <math>\;\chi_0^2 = \dfrac{x_0^2}{l_v^2}\;</math> comme infiniment petit d'ordre un et cherchons le D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;f_{\chi_0}(u) = \chi_0^2\,\left( 1 - u^2 \right) - 2\, \left[ \left( 1 + \chi_0^2 \right)^{\!\frac{1}{2}} - \left( 1 + \chi_0^2\;u^2 \right)^{\!\frac{1}{2}} \right]\;</math> à l'ordre le plus bas non nul en <math>\;\chi_0^2\;</math> au voisinage de la valeur nulle du paramètre <math>\;\chi_0\;</math> à <math>\;u\;</math> fixé soit * le terme d'ordre zéro en <math>\;\chi_0^2\;</math> étant <math>\;f_{0}(u) = 0</math>, * les termes d'ordre zéro et un en <math>\;\chi_0^2\;</math> étant <math>\;\chi_0^2\,\left( 1 - u^2 \right) - 2\, \left[ \left( 1 + \dfrac{1}{2}\;\chi_0^2 \right) - \left( 1 + \dfrac{1}{2}\;\chi_0^2\;u^2 \right) \right] = 0\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » : <math>\;\left( 1 + \varepsilon \right)^n \simeq 1 + n\;\varepsilon\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> appliqué pour <math>\;n = \dfrac{1}{2}</math>.</ref>, il convient de faire un D.L<ref name="D.L." />. de <math>\;f_{\chi_0}(u)\;</math> au moins à l'ordre deux en <math>\;\chi_0^2\;</math> au voisinage de la valeur nulle du paramètre <math>\;\chi_0\;</math> à <math>\;u\;</math> fixé d'où {{Al|5}}<math>\;f_{\chi_0}(u) \simeq \chi_0^2\,\left( 1 - u^2 \right) - 2\, \left[ \left( 1 + \dfrac{1}{2}\;\chi_0^2 - \dfrac{1}{8}\;\chi_0^4 \right) - \left( 1 + \dfrac{1}{2}\;\chi_0^2\;u^2 - \dfrac{1}{8}\;\chi_0^4\;u^4 \right) \right]\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|D.L. d'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » : <math>\;\left( 1 + \varepsilon \right)^n \simeq 1 + n\;\varepsilon + \dfrac{n\;(n - 1)}{2}\;\varepsilon^2\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> appliqué pour <math>\;n = \dfrac{1}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n\;(n - 1)}{2} = \dfrac{\dfrac{1}{2}\;\dfrac{-1}{2}}{2} = -\dfrac{1}{8}</math>.</ref> soit finalement <math>\;f_{\chi_0}(u) \simeq \dfrac{\chi_0^4}{4}\,\left( 1 - u^4 \right)\;</math> et par suite l'expression approchée de la période des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> du point <math>\;M\;</math>, <math>\;\mathcal{T}_{\text{petites élong.}} \simeq \dfrac{4\;\chi_0}{\omega_0}\;\displaystyle\int_0^1 \dfrac{du}{\sqrt{\dfrac{\chi_0^4}{4}\,\left( 1 - u^4 \right)}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> soit finalement <center><math>\;\mathcal{T}_{\text{petites élong.}} \simeq \dfrac{8}{\omega_0\;\chi_0}\;\displaystyle\int_0^1 \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^4}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ou <br><math>\;\mathcal{T}_{\text{petites élong.}} \simeq \dfrac{8}{\omega_0\;\chi_0}\;I\;</math> avec <math>\;I = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^4}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ;</center> {{Al|5}}constatant que la période des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> du point <math>\;M\;</math> dépend effectivement de <math>\;\chi_0 = \dfrac{x_0}{l_v}\;</math> donc de l'amplitude <math>\;x_0\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" />, nous en déduisons l'<u>absence d'isochronisme</u> de ces dernières et par suite le caractère <u>anharmonique</u> de l'approximation des petites oscillations<ref name="petits mouvements" />.}} == Pendule élastique à extrémités supérieure fixée sur le « sommet » d'un guide circulaire vertical et inférieure liée à un objet ponctuel pouvant se déplacer sur le guide circulaire == [[File:Pendule élastique entre un point fixe et l'objet mobile tous deux sur un guide circulaire vertical.png|thumb|Schéma d'un pendule élastique à extrémités supérieure A fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur un guide circulaire vertical, A étant situé au sommet de ce guide]] {{Al|5}}Un objet ponctuel <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, peut se déplacer sans frottements solides sur un guide circulaire vertical<ref name="liaison bilatérale" /> de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;\mathfrak{a}</math> ; il est relié au « sommet »<ref name="sommet"> C.-à-d. la position de plus haute altitude.</ref> <math>\;A\;</math> du guide circulaire par un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> à spires non jointives<ref name="spires non jointives" />, de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_0</math> ; l'ensemble est placé dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> supposé uniforme. {{Al|5}}On utilisera le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe vertical descendant <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> lié au point matériel <math>\;M\;</math>, l'abscisse angulaire de ce dernier étant <math>\;\theta = \widehat{ \left( \vec{u}_z\,,\, \overrightarrow{OM} \right) }\;</math> où <math>\;\vec{u}_z\;</math> est le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}</math>, <math>\;\vec{u}_x\;</math> étant le vecteur unitaire horizontal orienté vers la droite du plan vertical du guide circulaire et <math>\;\vec{u}_y\;</math> le vecteur unitaire horizontal orientant les angles du plan vertical du guide, la base cartésienne <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> étant choisie orthonormée directe. === Détermination de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule élastique === {{Al|5}}Parmi les forces s'exerçant sur le point <math>\;M</math>, deux sont conservatives, préciser lesquelles et {{Al|5}}déterminer l'énergie potentielle <math>\,U(M)\,</math> associée à ces deux forces en fonction de <math>\,m</math>, <math>\,g = \Vert \vec{g} \Vert</math>, <math>\,k</math>, <math>\,l_0</math>, <math>\,\mathfrak{a}\,</math> et <math>\,\theta\,</math> en prenant comme référence la position <math>\,B\;</math><ref> C.-à-d. la position sur le guide vertical de plus basse altitude.</ref>. {{Al|5}}En déduire une intégrale 1^ère énergétique du pendule élastique. {{Solution|contenu = [[File:Pendule élastique entre un point fixe et l'objet mobile tous deux sur un guide circulaire vertical - forces.png|thumb|Schéma d'un pendule élastique à extrémités supérieure A fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur un guide circulaire vertical, A étant situé au sommet de ce guide, avec représentation des forces appliquées à M]] {{Al|5}}Bilan des forces appliquées au point matériel <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> : * son poids <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z</math>, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(M) = -m\;g\;z + cste\;</math> ou, avec <math>\;z = \mathfrak{a}\;\cos(\theta)\;</math> et la référence de <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> choisie en <math>\;B\;</math> d'abscisse angulaire nulle correspondant à <math>\;z_B = \mathfrak{a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = m\;g\;\mathfrak{a}</math>, <math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]</math>, * la force exercée par le ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T}(M) = -k\, \left[ \Vert \overrightarrow{AM} \Vert - l_0 \right]\,\vec{u}_{A \rightarrow M}</math>, force conservative dérivant de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}(M) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \Vert \overrightarrow{AM} \Vert - l_0 \right]^2 + cste'\;</math> dans laquelle <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>le triangle <math>\;OAM\;</math> étant isocèle, la hauteur issue de <math>\;O\;</math> et de pied <math>\;H\;</math> sur <math>\;AM\;</math> est aussi médiatrice d'où <math>\;\Vert \overrightarrow{AM} \Vert = 2\;AH\;</math> avec <math>\;AH = OA\;\cos(\widehat{OAH}) =</math> <math>\mathfrak{a}\;\cos(\widehat{OAH})\;</math> soit <math>\;\Vert \overrightarrow{AM} \Vert = 2\;\mathfrak{a}\;\cos(\widehat{OAH})\;</math> puis <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>le triangle <math>\;OAM\;</math> étant isocèle, la hauteur issue de <math>\;O\;</math> et de pied <math>\;H\;</math> sur <math>\;AM\;</math> est aussi bissectrice d'où <math>\;\widehat{HOA} = \widehat{MOH} =</math> <math>\dfrac{\widehat{MOA}}{2}\;</math> avec <math>\;\widehat{MOA} =</math> <math>\pi - \widehat{BOM} = \pi - \theta\;</math> d'où <math>\;\widehat{HOA} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\theta}{2}\;</math> soit, par relation dans le triangle rectangle <math>\;OAH\;</math> où <math>\;\widehat{OAH}\;</math> et <math>\;\widehat{HOA}\;</math> sont complémentaires, <math>\;\widehat{OAH} = \dfrac{\theta}{2}\;</math><ref> Il y avait plus rapide utilisant le [[w:Théorème_de_l'angle_inscrit_et_de_l'angle_au_centre#Théorème_de_l'angle_au_centre|théorème de l'angle au centre]] établissant un lien entre angle au centre et angle inscrit d'un même cercle <math>\;\big(</math>un angle étant dit inscrit si son sommet est sur le cercle et que ses côtés recoupent tous deux ce dernier<math>\big)\;</math> interceptant le même arc de cercle, l'angle au centre étant le double de l'angle inscrit <math>\Rightarrow</math> l'angle inscrit <math>\;\widehat{BAM}\;</math> est la moitié de l'angle au centre correspondant <math>\;\widehat{BOM}\;\ldots</math></ref> permettant de réécrire la longueur du ressort à charge <math>\;\Vert \overrightarrow{AM} \Vert = 2\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math> <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>et par suite l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ 2\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) - l_0 \right]^2 + cste'\;</math> ou encore, en choisissant encore la référence de <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> en <math>\;B\;</math> d'abscisse angulaire nulle <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = -\dfrac{1}{2}\;k\, \left[ 2\;\mathfrak{a} - l_0 \right]^2</math>, <math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left\lbrace \left[ 2\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) - l_0 \right]^2 - \left[ 2\;\mathfrak{a} - l_0 \right]^2 \right\rbrace\;</math> et enfin * la réaction <math>\;\vec{R}(M)\;</math> du guide circulaire <math>\;\perp\;</math> à ce dernier en absence de frottements solide, force non conservative et ne travaillant pas ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle <math>\;U(M)\;</math> associée aux deux forces conservatives étant définie selon <math>\;U(M) = U_{\text{pes}}(M) + U_{\text{élast}}(M)\;</math> s'écrit, avec choix de référence en <math>\;B</math>, <math>\;U(M) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right] + \dfrac{1}{2}\;k\, \left\lbrace \left[ 2\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) - l_0 \right]^2 - \left[ 2\;\mathfrak{a} - l_0 \right]^2 \right\rbrace\;</math> soit, en développant et en utilisant la relation trigonométrique <math>\;\cos(\theta) = 1 - 2\;\sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 - \cos(\theta) = 2\;\sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)</math>, <math>\;U(M) = 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) + 2\;k\;\mathfrak{a}^2\;\cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) - 2\;k\;l_0\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) + \dfrac{1}{2}\;k\, \left( l_0^2 - 4\;\mathfrak{a}^2 + 4\;l_0\;\mathfrak{a} - l_0^2 \right)\;</math> soit, en utilisant <math>\;\sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) =</math> <math>1 - \cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math> et en ordonnant, l'expression de l'énergie potentielle <math>\;U(M)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> avec référence en <math>\;B</math>, <center><math>\;U(M) = 2\;\mathfrak{a}\, \left[ \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\, \cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) - k\;l_0\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) + \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} + k\;l_0 \right) \right]</math>.</center> {{Al|5}}En absence de frottements solides le point <math>\;M\;</math> est « à mouvement conservatif », il y a donc conservation de son énergie mécanique dans le champ de pesanteur et de tension du ressort <math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U(M_t)\;</math> dans laquelle, la trajectoire de <math>\;M\;</math> étant circulaire de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;\mathfrak{a}</math>, <math>\;\vec{v}_M(t) = \mathfrak{a}\;\dot{\theta}(t)</math>, d'où la réécriture de l'énergie mécanique du point <math>\;E_{m,\,M}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\mathfrak{a}^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + 2\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\, \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] - k\;l_0\;\cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] + \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} + k\;l_0 \right) \right\rbrace\;</math> et par suite, avec les C.I<ref name="C.I." />. communiquant une énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,M}(0) = E_{m,\,0}\;</math><ref> Par exemple avec <math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\;\dot{\theta}(0) = 0</math>, <math>\;E_{m,\,0} = 2\;\mathfrak{a}\, \left[ \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\, \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - k\;l_0\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) + \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} + k\;l_0 \right) \right]</math>.</ref>, l'intégrale 1^ère énergétique du point <math>\;M\;</math> suivante <center><math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,_,0}\;</math> ou encore <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathfrak{a}^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + 2\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\, \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] - k\;l_0\;\cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] + \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} + k\;l_0 \right) \right\rbrace = E_{m,_,0}</math>.</center>}} === Détermination des positions d'équilibre du point M et discussion de leur existence === {{Al|5}}À partir de l'expression de l'énergie potentielle <math>\;U(\theta)\;</math> du pendule élastique, déterminer toutes les positions d'équilibre possibles pour le point matériel <math>\;M</math> ; {{Al|5}}discuter de leur existence selon les valeurs de <math>\;m\;g\;</math> relativement à la quantité <math>\;k \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Les abscisses angulaires des positions d'équilibre <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> correspondant aux valeurs de <math>\;\theta\;</math> pour lesquelles <math>\;U(\theta)\;</math> est stationnaire, elles sont solutions de <math>\;\dfrac{dU}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et pour cela, calculons la dérivée de <math>\;U(\theta) = 2\;\mathfrak{a}\, \left[ \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\, \cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) - k\;l_0\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) + \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} + k\;l_0 \right) \right]\;</math> relativement à l'abscisse angulaire soit <math>\;\dfrac{dU}{d \theta}(\theta) =</math> <math>2\;\mathfrak{a}\, \left[ -\left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\, 2\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \dfrac{1}{2}\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) + k\;l_0\;\dfrac{1}{2}\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right] = \mathfrak{a}\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \left[ 2\, \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) + k\;l_0 \right]\;</math> d'où l'équation déterminant les abscisses angulaires des positions d'équilibre <center><math>\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq}}}{2} \right) \left[ 2\, \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq}}}{2} \right) + k\;l_0 \right] = 0</math> <br><math>\Updownarrow</math> <br> <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq},\,1}}{2} \right) = 0\;</math> ou <math>\;2\, \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq},\,2}}{2} \right) + k\;l_0 = 0\;</math> soit</center> * pour <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq},\,1}}{2} \right) = 0\;</math> une solution <math>\;\dfrac{\theta_{\text{éq},\,1}}{2} \equiv 0\!\!\pmod{\pi}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}\;</math> dont on retient <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> et * pour <math>\;2\, \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq},\,2}}{2} \right) + k\;l_0 = 0</math>, ce qui se réécrit, dans la mesure où <math>\;m\;g\;</math> est <math>\;\neq\;</math> de <math>\;k\;\mathfrak{a}\;</math><ref name="mg égal à ka"> Si <math>\;m\;g = k\;\mathfrak{a}</math>, cette équation devenant <math>\;k\;l_0 = 0\;</math> n'a évidemment pas de solution.</ref>, <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq},\,2}}{2} \right) = \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)}</math>, cette équation n'ayant de solution que si <math>\;\dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \in \left[ -1\,,\, +1 \right]\;</math> soit <br>{{Al|3}}<math>\;\succ</math> <math>\;\dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \geqslant -1\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{k\;l_0}{2} \geqslant -\left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\;\;\text{pour}\;\;k\;\mathfrak{a} - m\;g > 0\;\;\text{(toujours vrai)}\\ \dfrac{k\;l_0}{2} \leqslant -\left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\;\;\text{pour}\;\;k\;\mathfrak{a} - m\;g < 0\;\;\text{(sous condition)}\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{k\;l_0}{2} \leqslant m\;g - k\;\mathfrak{a}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;m\;g \geqslant k \left( \mathfrak{a} + \dfrac{l_0}{2} \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}<math>\;\succ</math> <math>\;\dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \leqslant 1\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{k\;l_0}{2} \leqslant \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\;\;\text{pour}\;\;k\;\mathfrak{a} - m\;g > 0\;\;\text{(sous condition)}\\ \dfrac{k\;l_0}{2} \geqslant \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\;\;\text{pour}\;\;k\;\mathfrak{a} - m\;g < 0\;\;\text{(toujours vrai)}\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{k\;l_0}{2} \leqslant k\;\mathfrak{a} - m\;g\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;m\;g \leqslant k \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, d'où <br>{{Al|3}}<math>\;\blacktriangleright\;</math> pour <math>\;m\;g \leqslant k \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math> <math>\;\big[\Rightarrow m\;g < k\;a\big]</math>, il y a deux solutions <math>\;\dfrac{\theta_{\text{éq},\,2}}{2} = \pm \arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right]</math> <math>\;\Bigg\{</math>dans laquelle <math>\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right] \in \left[ 0\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> car <math>\;k\;\mathfrak{a} - m\;g\;</math> est <math>\;> 0\Bigg\}\;</math> soit <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} = \pm 2\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right]</math> <math>\;\Bigg\{</math>dans laquelle <math>\;2\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right] \in \left[ 0\,,\, +\pi \right[\Bigg\}</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\blacktriangleright\;</math> pour <math>\;m\;g\; \in\; \left] k \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)\;,\; k \left( \mathfrak{a} + \dfrac{l_0}{2} \right) \right[</math>, pas de solution, <math>\;\theta_{\text{éq},\,2}\;</math> n'existe pas et <br>{{Al|3}}<math>\;\blacktriangleright\;</math> pour <math>\;m\;g \geqslant k \left( \mathfrak{a} + \dfrac{l_0}{2} \right)</math> <math>\;\big[\Rightarrow m\;g > k\;a\big]</math>, a priori deux solutions <math>\;\dfrac{\theta_{\text{éq},\,2}}{2} = \pm \arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right]</math> <math>\;\Bigg\{</math>dans laquelle <math>\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right] \in \left] +\dfrac{\pi}{2}\,,\, +\pi \right]\;</math> car <math>\;k\;\mathfrak{a} - m\;g\;</math> est <math>\;< 0\Bigg\}\;</math> ce qui entraînerait <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} = \pm 2\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right]</math> <math>\;\Bigg\{</math>dans laquelle <math>\;2\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right] \in \left] +\pi\,,\, +2\;\pi \right]\Bigg\}</math>, <u>solutions qui sont à rejeter</u> car l'évolution de <math>\;\theta\;</math> devant être continue, ces solutions nécessiteraient le passage par <math>\;\theta = \pm \pi\;</math> correspondant à une longueur de ressort nulle et par conséquent complètement hors du domaine d'élasticité ; en résumé <br>{{Al|3}}<math>\;\oplus\;</math> pour <math>\;m\;g \leqslant k \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, il y a deux solutions <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} = \pm 2\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right]\;</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\;\oplus\;</math> pour <math>\;m\;g > k \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, il n'y a pas de solution <math>\;\theta_{\text{éq},\,2}</math> ; {{Al|5}}finalement, suivant le positionnement de <math>\;m\;g\;</math> relativement à <math>\;k \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, on conclut <center>pour <math>\;m\;g < k \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, trois positions d'équilibre, <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\theta_{\text{éq},\,d} = 2\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right]\\ \theta_{\text{éq},\,g} = -2\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right]\end{array}\right\rbrace\;\neq 0</math>, <br>pour <math>\;m\;g = k \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, les trois positions d'équilibre précédentes en forment une seule <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = \theta_{\text{éq},\,d} = \theta_{\text{éq},\,g} = \;0</math> et <br>pour <math>\;m\;g > k \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, une seule position d'équilibre <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0</math>.</center>}} === Détermination de la stabilité (ou de l'instabilité) des positions d'équilibre du point M === {{Al|5}}Discuter, dans la mesure de leur existence et selon les valeurs de <math>\;m\;g\;</math> relativement à la quantité <math>\;k \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, de la stabilité (ou de l'instabilité) des équilibres précédemment établis. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Sachant qu'un équilibre d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est * stable si l'énergie potentielle <math>\;U(\theta)\;</math> y est minimale c'est-à-dire, le plus fréquemment, si <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="cas de dérivée seconde de U nulle"> Ou si <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, il faut que <math>\;\dfrac{d^3 U}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> soit aussi nul et que <math>\;\dfrac{d^4 U}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> soit <math>\;> 0\;</math> pour la stabilité ou <math>\;< 0\;</math> pour l'instabilité.</ref> ou * instable si l'énergie potentielle <math>\;U(\theta)\;</math> y est maximale c'est-à-dire, le plus fréquemment, si <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math><ref name="cas de dérivée seconde de U nulle" />, {{Al|5}}il convient, dans un 1^er temps, d'évaluer <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta)\;</math> à partir de <math>\;\dfrac{d U}{d \theta}(\theta) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \left[ 2\, \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) + k\;l_0 \right] = \mathfrak{a}\, \left[ \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right)\,\sin(\theta) + k\;l_0\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]\;</math><ref> Après distribution du facteur <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math> et utilisation de <math>\;2\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) = \sin(\theta)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <center><math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta) = \mathfrak{a}\, \left[ \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right)\,\cos(\theta) + \dfrac{k\;l_0}{2}\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]\;</math> d'où :</center> {{Al|5}}<u>étude de l'équilibre (existant quel que soit mg)</u> <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0</math> : de <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq},\,1} = 0) = \mathfrak{a}\, \left[ \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right) + \dfrac{k\;l_0}{2} \right] = \mathfrak{a}\, \left[ m\;g - k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right) \right]\;</math> on en déduit <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> pour <math>\;m\;g > k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq},\,1} = 0) > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> cet équilibre d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> est <u>stable</u> <math>\;\big(</math>c'est aussi le seul équilibre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> pour <math>\;m\;g = k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq},\,1} = 0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> on ne peut conclure pour l'instant sur la stabilité de l'équilibre d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> pour <math>\;m\;g < k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq},\,1} = 0) < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> cet équilibre d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> est <u>instable</u> <math>\;\big(</math>mais il existe deux autres équilibres d'abscisses angulaires <math>\neq 0\big)</math> ; {{Al|5}}<u>étude des équilibres (existant sous condition de mg)</u> <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} = \pm 2\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right]</math> <math>\;\bigg\{</math>nécessitant <math>\;m\;g < k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)\bigg\}</math> : transformons auparavant <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta)\;</math> pour que <math>\;\theta\;</math> n'y apparaisse que par <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math> en utilisant <math>\;\cos(\theta) = 2\;\cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) - 1\;</math> soit <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta) = \mathfrak{a}\, \left[ 2\, \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right)\, \cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) - \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right) + \dfrac{k\;l_0}{2}\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq},\,2}) = \mathfrak{a}\, \left[ 2\, \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right)\, \dfrac{k^2\;l_0^2}{4\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)^2} - \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right) + \dfrac{k\;l_0}{2}\;\dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right] = \mathfrak{a}\, \left[ -\dfrac{k^2\;l_0^2}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} - \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right) + \dfrac{k^2\;l_0^2}{4\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right]\;</math> soit encore <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq},\,2}) = \mathfrak{a}\, \left[ -\dfrac{k^2\;l_0^2}{4\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} + \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right) \right] = \dfrac{\mathfrak{a}}{k\;\mathfrak{a} - m\;g}\, \left[ -\dfrac{k^2\;l_0^2}{4} + \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)^2 \right] = \dfrac{\mathfrak{a}}{k\;\mathfrak{a} - m\;g}\, \left[ \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right) - \dfrac{k\;l_0}{2} \right]\,\left[ \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right) + \dfrac{k\;l_0}{2} \right]\;</math> et finalement <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq},\,2}) = \dfrac{\mathfrak{a}}{k\;\mathfrak{a} - m\;g}\, \left[ k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right) - m\;g \right]\,\left[ k\, \left( \mathfrak{a} + \dfrac{l_0}{2} \right) - m\;g \right] > 0</math> <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;m\;g < k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right) < k\;\mathfrak{a} < k\, \left( \mathfrak{a} + \dfrac{l_0}{2} \right)\bigg\}\;</math> <math>\Rightarrow</math> ces deux équilibres d'abscisses angulaires <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} = \pm 2\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right]\;</math> sont <u>stables</u> <math>\;\big(</math>le 3^ème équilibre d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> étant instable<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>retour sur l'équilibre (existant pour une valeur particulière de mg)</u> <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0</math> <math>\;\bigg\{</math>dans le cas où <math>\;m\;g = k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)\bigg\}</math> : ayant obtenu <math>\;\dfrac{d^2 U}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq},\,1} = 0) = 0</math>, il faut évaluer les dérivées d'ordre supérieur jusqu'à trouver une valeur non nulle pour <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> soit <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> <math>\;\dfrac{d^3 U}{d \theta^3}(\theta) = \mathfrak{a}\, \left[ -\left( m\;g - k\;\mathfrak{a} \right)\,\sin(\theta) - \dfrac{k\;l_0}{4}\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right] = \mathfrak{a}\, \left[ \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\,\sin(\theta) - \dfrac{k\;l_0}{4}\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]\;</math> dont on tire <math>\;\dfrac{d^3 U}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq},\,1} = 0) = 0\;</math> puis <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> <math>\;\dfrac{d^4 U}{d \theta^4}(\theta) = \mathfrak{a}\, \left[ \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\,\cos(\theta) - \dfrac{k\;l_0}{8}\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]\;</math> dont on tire <math>\;\dfrac{d^4 U}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq},\,1} = 0) = \mathfrak{a}\, \left[ \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right) - \dfrac{k\;l_0}{8} \right]\;</math> soit, en remplaçant <math>\;m\;g\;</math> par <math>\;k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, <math>\;\dfrac{d^4 U}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq},\,1} = 0) = \mathfrak{a}\; \dfrac{3\;k\;l_0}{8} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> cet équilibre d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> dans le cas où <math>\;m\;g = k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)\;</math> est <u>stable</u>.}} === Détermination du caractère harmonique ou « anharmonique » de l'approximation des petits mouvements du point M au voisinage d'un équilibre stable === {{Al|5}}Discuter du caractère harmonique ou « anharmonique » de l'approximation des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> du point <math>\;M\;</math> au voisinage d'un équilibre stable <math>\;\big[</math>à savoir, possibilité <math>\;\big(</math>ou impossibilité<math>\big)\;</math> de linéariser les petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> du point <math>\;M\;</math> au voisinage de l'équilibre stable étudié<math>\big]</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}L'approximation des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> du point <math>\;M\;</math> au voisinage d'un équilibre stable est * « <u>harmonique</u> » si le profil de l'énergie potentielle <math>\;U(\theta)\;</math> est localement parabolique au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> étudié <math>\;\big[</math>ou, ce qui est équivalent, si l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq. st.}}\;</math> au voisinage de l'équilibre stable étudié est harmonique<math>\big]\;</math> ce qui est réalisé pour <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> <math>\; \theta_{\text{éq},\,1} = 0</math> <math>\;\bigg[</math>dans l'hypothèse <math>\;m\;g < k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)\bigg]\;</math> car l'énergie potentielle y est localement approchée, à l'ordre deux en <math>\;\varepsilon = \theta - \theta_{\text{éq},\,1}</math>, selon <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,1} + \varepsilon) \simeq</math> <math>\;\cancel{U(\theta_{\text{éq},\,1} = 0)\;+}\;\cancel{U'(\theta_{\text{éq},\,1} = 0)\;\varepsilon\;+}\;\dfrac{U''(\theta_{\text{éq},\,1} = 0)}{2}\;\varepsilon^2\;</math><ref name="référence en B"> On rappelle que la référence de l'énergie potentielle a été choisie en <math>\;\theta_B = 0</math>.</ref> ou encore, <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,1} + \varepsilon) \simeq \dfrac{\mathfrak{a}}{2}\, \left[ m\;g - k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right) \right]\,\varepsilon^2\;</math> c'est-à-dire localement parabolique <math>\;\bigg\{</math>parallèlement la composante orthoradiale de la force motrice définie selon <math>\;F_\theta(\theta) = -\dfrac{1}{\mathfrak{a}}\;\dfrac{d U}{d \theta}(\theta)\;</math> a, pour expression localement approchée à l'ordre un en <math>\;\varepsilon = \theta - \theta_{\text{éq},\,1}</math>, <math>\;F_\theta(\theta_{\text{éq},\,1} + \varepsilon) =</math> <math>-\dfrac{1}{\mathfrak{a}}\;\dfrac{d U}{d \varepsilon}(\theta_{\text{éq},\,1} + \varepsilon) \simeq -\left[ m\;g - k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right) \right]\,\varepsilon\;</math> d'où, par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. et <math>\;\ddot{\theta}(t) = \ddot{\varepsilon}(t)</math>, l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq},\,1}</math> approchée à l'ordre un en <math>\;\varepsilon(t)</math>, <math>\;m\;\ddot{\varepsilon}(t) + \left[ m\;g - k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right) \right]\,\varepsilon(t) = 0\;</math> décrivant un oscillateur harmonique<math>\bigg\}\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> <math>\; \theta_{\text{éq},\,2} = \pm 2\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right]</math> <math>\;\bigg\{</math>nécessitant <math>\;m\;g < k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)\bigg\}\;</math> car l'énergie potentielle y est localement approchée, à l'ordre deux en <math>\;\varepsilon = \theta - \theta_{\text{éq},\,2}</math>, selon <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,2} + \varepsilon) \simeq</math> <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,2}) +\;\cancel{U'(\theta_{\text{éq},\,2})\;\varepsilon\;+}\;\dfrac{U''(\theta_{\text{éq},\,2})}{2}\;\varepsilon^2\;</math><ref> Avec <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,2}) \neq 0\;</math> plus précisément <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,2}) = 2\;\mathfrak{a}\, \left[ \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\, \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq},\,2}}{2} \right) - k\;l_0\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq},\,2}}{2} \right) + \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} + k\;l_0 \right) \right]\;</math> soit, après injection de <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq},\,2}}{2} \right) = \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)}</math>, <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,2}) = 2\;\mathfrak{a}\, \left[ \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\, \dfrac{k^2\;l_0^2}{4\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)^2} - k\;l_0\;\dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} + \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} + k\;l_0 \right) \right]\;</math> et après simplification <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,2}) = 2\;\mathfrak{a}\, \left[ -\dfrac{k^2\;l_0^2}{4\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} + \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} + k\;l_0 \right) \right] = -\dfrac{2\;\mathfrak{a}}{k\;\mathfrak{a} - m\;g}\; \left[ \dfrac{k^2\;l_0^2}{4} + \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)^2 - 2\;\dfrac{k\;l_0}{2}\,\left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right) \right]\;</math> que l'on peut réécrire selon <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,2}) = -\dfrac{2\;\mathfrak{a}}{k\;\mathfrak{a} - m\;g}\, \left[ \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right) - \dfrac{k\;l_0}{2} \right]^2 = -\dfrac{2\;\mathfrak{a}}{k\;\mathfrak{a} - m\;g}\, \left[ k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right) - m\;g \right]^2 < 0</math>.</ref> ou, <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,2} + \varepsilon) \simeq U(\theta_{\text{éq},\,2}) + \dfrac{\mathfrak{a}\, \left[ k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right) - m\;g \right]\,\left[ k\, \left( \mathfrak{a} + \dfrac{l_0}{2} \right) - m\;g \right]}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)}\;\varepsilon^2\;</math> c'est-à-dire localement parabolique <math>\;\bigg\{</math>parallèlement la composante orthoradiale de la force motrice définie selon <math>\;F_\theta(\theta) = -\dfrac{1}{\mathfrak{a}}\;\dfrac{d U}{d \theta}(\theta)\;</math> a, pour expression localement approchée à l'ordre un en <math>\;\varepsilon = \theta - \theta_{\text{éq},\,2}</math>, <math>\;F_\theta(\theta_{\text{éq},\,2} + \varepsilon) = -\dfrac{1}{\mathfrak{a}}\;\dfrac{d U}{d \varepsilon}(\theta_{\text{éq},\,2} + \varepsilon) \simeq</math> <math>-\dfrac{\left[ k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right) - m\;g \right]\,\left[ k\, \left( \mathfrak{a} + \dfrac{l_0}{2} \right) - m\;g \right]}{k\;\mathfrak{a} - m\;g}\,\varepsilon\;</math> d'où, par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. et <math>\;\ddot{\theta}(t) = \ddot{\varepsilon}(t)</math>, l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq},\,2}</math> approchée à l'ordre un en <math>\;\varepsilon(t)</math>, <math>\;m\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{\left[ k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right) - m\;g \right]\,\left[ k\, \left( \mathfrak{a} + \dfrac{l_0}{2} \right) - m\;g \right]}{k\;\mathfrak{a} - m\;g}\;\varepsilon(t) = 0\;</math> décrivant un oscillateur à petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> harmoniques<math>\bigg\}\;</math> ou * « <u>anharmonique</u> » si le profil de l'énergie potentielle <math>\;U(\theta)\;</math> est localement une cuvette non parabolique au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> étudié <math>\;\big[</math>ou, ce qui est équivalent, si l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq. st.}}\;</math> au voisinage de l'équilibre stable étudié est anharmonique<ref name="anharmonique"> C.-à-d. non linéaires.</ref><math>\big]\;</math> ce qui est réalisé pour <br>{{Al|3}}<math>\; \theta_{\text{éq},\,1} = 0</math> <math>\;\bigg[</math>dans l'hypothèse <math>\;m\;g = k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)\bigg]\;</math> car l'énergie potentielle y est localement approchée, à l'ordre quatre en <math>\;\varepsilon = \theta - \theta_{\text{éq},\,1}</math>, selon <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,1} + \varepsilon) \simeq</math> <math>\;\cancel{U(\theta_{\text{éq},\,1} = 0)\;+}\;\cancel{U'(\theta_{\text{éq},\,1} = 0)\;\varepsilon\;+}\;\cancel{\dfrac{U''(\theta_{\text{éq},\,1} = 0)}{2}\;\varepsilon^2\;+}\;\cancel{\dfrac{U'''(\theta_{\text{éq},\,1} = 0)}{6}\;\varepsilon^3\;+}\;\dfrac{U^{(IV)}(\theta_{\text{éq},\,1} = 0)}{24}\;\varepsilon^4\;</math><ref name="référence en B" /> ou encore, <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,1} + \varepsilon) \simeq \mathfrak{a}\; \dfrac{k\;l_0}{64}\;\varepsilon^4\;</math> c'est-à-dire localement une cuvette non parabolique {{Nobr|<math>\;\bigg\{</math>parallèlement}} la composante orthoradiale de la force motrice définie selon <math>\;F_\theta(\theta) = -\dfrac{1}{\mathfrak{a}}\;\dfrac{d U}{d \theta}(\theta)\;</math> a, pour expression localement approchée à l'ordre trois en <math>\;\varepsilon = \theta - \theta_{\text{éq},\,1}</math>, <math>\;F_\theta(\theta_{\text{éq},\,1} + \varepsilon) =</math> <math>-\dfrac{1}{\mathfrak{a}}\;\dfrac{d U}{d \varepsilon}(\theta_{\text{éq},\,1} + \varepsilon) \simeq -\dfrac{k\;l_0}{16}\;\varepsilon^3\;</math> d'où, par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. et <math>\;\ddot{\theta}(t) = \ddot{\varepsilon}(t)</math>, l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq},\,1}</math> approchée à l'ordre trois en <math>\;\varepsilon(t)</math>, <math>\;m\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{k\;l_0}{16}\;\varepsilon^3\!(t) = 0\;</math> décrivant un oscillateur à petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> anharmoniques<ref name="anharmonique" /><math>\bigg\}</math>.}} === Étude d'un cas particulier === {{Al|5}}On particularise l'étude en posant <math>\;\dfrac{l_0}{\mathfrak{a}} = 0,8\;</math> et <math>\;\dfrac{m\;g}{k\;\mathfrak{a}} = 0,4</math>. ==== Détermination numérique des positions d'équilibre ainsi que de leur stabilité (ou instabilité) ==== {{Al|5}}Déterminer numériquement les positions d'équilibre et {{Al|5}}préciser leur stabilité (ou instabilité). {{Solution|contenu = {{Al|5}}Avec <math>\;\dfrac{m\;g}{k\;\mathfrak{a}} = 0,4\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;m\;g = 0,4\;k\;\mathfrak{a}\;</math> et <math>\;\dfrac{l_0}{\mathfrak{a}} = 0,8\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{k\;l_0}{2} = 0,4\;k\;\mathfrak{a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right) = 0,6\;k\;\mathfrak{a}</math>, on constate que <math>\;m\;g\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;k\, \left( \mathfrak{a} - \dfrac{l_0}{2} \right)</math>, il y a trois positions d'équilibre : * une 1^ère d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> <u>instable</u> et * deux autres d'abscisses angulaires opposées <math>\; \theta_{\text{éq},\,2} = \pm 2\;\arccos\! \left[ \dfrac{k\;l_0}{2\, \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)} \right] = \pm 2\;\arccos\! \left[ \dfrac{\dfrac{k\;l_0}{2\;k\;\mathfrak{a}}}{1 - \dfrac{m\;g}{k\;\mathfrak{a}}} \right] = \pm 2\;\arccos\! \left[ \dfrac{0,4}{1 - 0,4} \right] = \pm 2\;\arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} \right]\;</math> soit finalement <math>\; \theta_{\text{éq},\,2} \simeq \pm 96,38\,\text{°}\;</math> toutes deux <u>stables</u>.}} ==== Réécriture de l'intégrale 1^ère énergétique de M dans des conditions initiales particulières ==== {{Al|5}}Réécrire l'intégrale 1^ère énergétique du point <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;\theta(t)</math>, <math>\;\dot{\theta}(t)</math>, <math>\;m</math>, <math>\;k</math>, <math>\;\mathfrak{a}\;</math> et de son énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big(</math>celle-ci résultant des conditions initiales suivantes « on positionne <math>\;M\;</math> à l'abscisse angulaire <math>\;\theta_0\;</math> et on le lâche sans vitesse initiale »<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}En remplaçant <math>\;m\;g\;</math> et <math>\;\dfrac{k\;l_0}{2}\;</math> par leur expression en fonction de <math>\;k\;\mathfrak{a}</math>, l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel <math>\;M\;</math> à savoir <math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,_,0}\;</math> avec <math>\;E_{m,\,0} = U(\theta_0)\;</math><ref name="pas de vitesse initiale"> En absence de vitesse initiale.</ref> <math>\;= 2\;\mathfrak{a}\, \left[ \left( k\;\mathfrak{a} - m\;g \right)\, \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - k\;l_0\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) + \left( m\;g - k\;\mathfrak{a} + k\;l_0 \right) \right] = 2\;k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ \left( 1 - \dfrac{m\;g}{k\;\mathfrak{a}} \right)\, \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - 2\;\dfrac{k\;l_0}{2\;\mathfrak{a}}\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) + \left( \dfrac{m\;g}{k\;\mathfrak{a}} - 1 + 2\;\dfrac{k\;l_0}{2\;\mathfrak{a}} \right) \right]\;</math> ou <math>\;E_{m,\,0} = 2\;k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ \left( 1 - 0,4 \right)\, \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - 0,8\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) + \left( 0,4 - 1 + 0,8 \right) \right] = k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ 1,2\; \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - 1,6\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) + 0,4 \right]\;</math> et l'énergie mécanique à l'instant <math>\;t</math> <math>\;E_{m,\,M}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\mathfrak{a}^2\;\dot{\theta}^2\!(t) + U\! \left[ \theta(t) \right] = k\;\mathfrak{a}^2\, \left\lbrace \dfrac{m}{2\;k}\;\dot{\theta}^2\!(t) + 1,2\; \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] - 1,6\;\cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] + 0,4 \right\rbrace</math>, l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel <math>\;M\;</math> se réécrit <center><math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,_,0}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}E_{m,\,M}(t) \!\!&= k\;\mathfrak{a}^2\, \left\lbrace \dfrac{m}{2\;k}\;\dot{\theta}^2\!(t) + 1,2\; \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] - 1,6\;\cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] + 0,4 \right\rbrace\\E_{m,\,0} = U(\theta_0) \!\!&= k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ 1,2\; \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - 1,6\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) + 0,4 \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> ou <br><math>\;\dfrac{m}{2\;k}\;\dot{\theta}^2\!(t) + 1,2\; \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] - 1,6\;\cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] = 1,2\; \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - 1,6\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right)\;</math> au facteur <math>\;k\;\mathfrak{a}^2\;</math> près.</center>}} ==== Tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point M, vérification de la stabilité (ou de l'instabilité) de ses positions d'équilibre et précision de son mouvement dans les conditions initiales imposées ==== {{Al|5}}Tracer, à l'aide d'un logiciel de calcul <math>\;\big(</math>comme Scilab<math>\big)\;</math><ref name="Scilab"> La version qui pourrait être utilisée '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref>{{,}}<ref name="simple calculatrice graphique"> Mais une simple calculatrice graphique peut également convenir.</ref> la courbe d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>exprimée en unité <math>\;k\;\mathfrak{a}^2\big)\;</math> du pendule élastique sur l'intervalle de variation de son abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> suivant <math>\;\left[ -150\,\text{°}\,,\,+150\,\text{°} \right]\;</math><ref name="justification des bornes de l'intervalle"> Ces valeurs extrêmes étant celles limitant le domaine d'élasticité du ressort, ce dernier pouvant, par exemple, être devenu à spires jointives pour ces valeurs, ce qui, de fait, interdit la compression.</ref> puis, <span style="color:#ffffff;"><small>.....</small>Tracer, à l'aide d'un logiciel de calcul ~</span> sur ce même graphique, les deux courbes d'énergie mécanique <math>\;\big(</math>exprimée dans la même unité <math>\;k\;\mathfrak{a}^2\big)\;</math> de ce pendule élastique sur le même intervalle <math>\;\left[ -150\,\text{°}\,,\,+150\,\text{°} \right]\;</math><ref name="justification des bornes de l'intervalle" /> de variation de son abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> dans les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left\lbrace \theta_{0,\,1} = 120\,\text{°}\,,\,\dot{\theta}_{0,\,1} = 0 \right\rbrace\;</math> et <math>\;\left\lbrace \theta_{0,\,2} = 145\,\text{°}\,,\,\dot{\theta}_{0,\,2} = 0 \right\rbrace</math> ; {{Al|5}}vérifier les abscisses angulaires des positions d'équilibre précédemment déterminées ainsi que leur caractère « stable (ou instable) ». {{Al|5}}Établir que le mouvement du point <math>\;M\;</math> correspond à un état lié en vérifiant sa nature oscillatoire autour d'une position d'équilibre, cette dernière dépendant des C.I<ref name="C.I." />. de lâcher du point selon le signe de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}\;</math> à savoir : * si <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;\big[(</math>exemple correspondant à <math>\;\theta_{0,\,1} = 120\,\text{°}\;</math> avec <math>\;\dot{\theta}_{0,\,1} = 0 \big]</math>, l'oscillation se fait autour de l'une des positions d'équilibre stable <math>\;\big(</math>que l'on précisera<math>\big)</math>, entre les valeurs de l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> à relever ; * si <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\big[(</math>exemple correspondant à <math>\;\theta_{0,\,2} = 145\,\text{°}\;</math> avec <math>\;\dot{\theta}_{0,\,2} = 0 \big]</math>, l'oscillation se fait autour de la position d'équilibre instable <math>\;\big(</math>à rappeler<math>\big)</math>, entre les valeurs de l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> à relever. {{Al|5}}À partir de l'intégrale 1^ère énergétique et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point <math>\;M\;</math> associé, déterminer la nature périodique du mouvement de ce dernier dans les deux C.I<ref name="C.I." />. envisagées puis {{Al|5}}exprimer la période <math>\;\mathcal{T}\;</math> sous forme intégrale pour chaque C.I<ref name="C.I." />. envisagée. {{Solution|contenu = [[File:Pendule élastique entre un point fixe et l'objet mobile tous deux sur un guide circulaire vertical - courbe d'énergie potentielle.png|thumb|Courbe d'énergie potentielle d'un pendule élastique à extrémités supérieure A fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur un guide circulaire vertical, A étant situé au sommet de ce guide, dans un cas particulier à trois positions d'équilibre]] {{Al|5}}Voir la courbe d'énergie potentielle du pendule étudié d'équation <math>\;U(\theta) = k\;\mathfrak{a}^2\, \left\lbrace 1,2\; \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] - 1,6\;\cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] + 0,4 \right\rbrace\;</math> en bleu ci-contre, les lignes de programme du logiciel de calcul utilisé « Scilab »<ref name="Scilab" /> étant les suivantes : %theta=[-150:1:150] U=1.2*(cos(%theta*%pi/180/2))^2-1.6*cos(%theta*%pi/180/2)+0.4; drawlater plot(%theta, U, "b"); drawnow {{Al|5}}sur cette courbe on vérifie l'existence de trois positions d'équilibre d'abscisse angulaire respective : * <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} = 0\;</math> pour laquelle l'énergie potentielle est maximale <math>\;\Rightarrow\;</math> équilibre <u>instable</u> et * <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \simeq \pm 96,5\;\text{°}\;</math> pour lesquelles l'énergie potentielle est minimale <math>\;\Rightarrow\;</math> équilibres <u>stables</u> ; {{Al|5}}sur ce graphique on ajoute les deux courbes d'énergie mécanique de ce pendule élastique sur le même intervalle <math>\;\left[ -150\,\text{°}\,,\,+150\,\text{°} \right]\;</math><ref name="justification des bornes de l'intervalle" /> de variation de son abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> dans les C.I<ref name="C.I." />. [[File:Pendule élastique entre un point fixe et l'objet mobile tous deux sur un guide circulaire vertical - diagramme d'énergies potentielle et mécanique.png|thumb|Superposition de deux diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un même pendule élastique à extrémités supérieure A fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur un guide circulaire vertical, A étant situé au sommet de ce guide, chacun des diagrammes correspondant à une énergie mécanique de signe contraire à celui de l'autre]] * <math>\;\left\lbrace \theta_{0,\,1} = 120\,\text{°}\,,\,\dot{\theta}_{0,\,1} = 0 \right\rbrace</math> <math>\;\Bigg\{E_{m,\,0}(1) = U(\theta_{0,\,1} = 120\,\text{°}) = k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ 1,2\; \cos^2\! \left( \dfrac{120\,\text{°}}{2} \right) - 1,6\;\cos\! \left( \dfrac{120\,\text{°}}{2} \right) + 0,4 \right] =</math> <math>-0,1\;k\;\mathfrak{a}^2 < 0\Bigg\}\;</math> tracée en rouge sur le diagramme ci-contre et * <math>\;\left\lbrace \theta_{0,\,2} = 145\,\text{°}\,,\,\dot{\theta}_{0,\,2} = 0 \right\rbrace</math> <math>\;\Bigg\{E_{m,\,0}(2) = U(\theta_{0,\,2} = 145\,\text{°}) = k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ 1,2\; \cos^2\! \left( \dfrac{145\,\text{°}}{2} \right) - 1,6\;\cos\! \left( \dfrac{145\,\text{°}}{2} \right) + 0,4 \right] \simeq</math> <math>+0,0274\;k\;\mathfrak{a}^2 > 0\Bigg\}\;</math> tracée en vert sur le diagramme ci-contre ; {{Al|5}}les lignes de programme du logiciel de calcul « Scilab »<ref name="Scilab" /> utilisées à la suite des précédentes étant les suivantes clf() %theta1=[58:1:125] Em1=1.2*(cos(120*%pi/180/2))^2-1.6*cos(120*%pi/180/2)+0.4+0*%theta1; %theta2=[-150:1:150] Em2=1.2*(cos(145*%pi/180/2))^2-1.6*cos(145*%pi/180/2)+0.4+0*%theta2; drawlater plot(%theta, U, "b", %theta1, Em1, "r", %theta2, Em2, "g"); drawnow {{Al|5}}Observant la présence de deux murs d'énergie potentielle en regard sur chacun des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique, que l'énergie mécanique initiale soit négative ou positive, on en déduit que le point matériel <math>\;M\;</math> est dans un <u>état lié</u> compte-tenu de la nature <u>oscillatoire</u> de son mouvement autour d'une de ses positions d'équilibre ; * si <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;\big[</math>correspondant à <math>\;\theta_{0,\,1} = 120\,\text{°}\;</math> avec <math>\;\dot{\theta}_{0,\,1} = 0\;</math> pour lesquelles <math>\;E_{m,\,0}(1) = -0,1\;k\;\mathfrak{a}^2\big]</math>, l'oscillation se fait autour de la position d'équilibre stable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq},\,d} \simeq 96,5\,\text{°}\;</math> entre les valeurs <math>\;\theta_{\text{min}}(1) \simeq 67,5\,\text{°}\;</math> et <math>\;\theta_{\text{max}}(1) \simeq 120\,\text{°}</math>, l'oscillation étant dissymétrique<ref> Le plus grand écart positif étant <math>\;\theta_{\text{max}}(1) - \theta_{\text{éq},\,d} \simeq 23,5\,\text{°}\;</math> alors que l'écart négatif a pour plus grande valeur absolue <math>\;\theta_{\text{éq},\,d} - \theta_{\text{min}}(1) \simeq 29\,\text{°}</math>.</ref> et * si <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\big[</math>correspondant à <math>\;\theta_{0,\,2} = 145\,\text{°}\;</math> avec <math>\;\dot{\theta}_{0,\,2} = 0\;</math> pour lesquelles <math>\;E_{m,\,0}(2) \simeq +0,0274\;k\;\mathfrak{a}^2\big]</math>, l'oscillation se fait autour de la position d'équilibre instable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = 0\,\text{°}\;</math> entre les valeurs <math>\;\theta_{\text{min}}(2) \simeq -145\,\text{°}\;</math> et <math>\;\theta_{\text{max}}(2) \simeq +145\,\text{°}</math>, l'oscillation étant symétrique d'amplitude <math>\;145\,\text{°}</math>. {{Al|5}}<u>Cas de l'oscillation autour de la position d'équilibre stable de droite d'abscisse angulaire</u> <math>\;\theta_{\text{éq},\,d} \simeq 96,5\,\text{°}</math> : de l'intégrale 1^ère énergétique du point <math>\;M\;</math> à savoir <math>\;E_{m,\,M}(t) =</math> <math>E_{m,\,0} < 0\;</math><ref> Avec les valeurs de <math>\;\dfrac{m\;g}{k\;\mathfrak{a}}\;</math> et de <math>\;\dfrac{l_0}{\mathfrak{a}}</math>, l'abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> en absence de vitesse initiale doit être tel que <math>\;\vert \theta_0 \vert \lesssim 141\,\text{°}</math>.</ref> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}E_{m,\,M}(t) &\!\!= k\;\mathfrak{a}^2\, \left\lbrace \dfrac{m}{2\;k}\;\dot{\theta}^2\!(t) + 1,2\; \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] - 1,6\;\cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] + 0,4 \right\rbrace\\ E_{m,\,0} = U(\theta_0) \!\!&= k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ 1,2\; \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - 1,6\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) + 0,4 \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit l'expression de la valeur absolue de la vitesse angulaire en fonction de l'abscisse angulaire <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;k}{m}}\;\sqrt{1,2\, \left\lbrace \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace - 1,6\, \left\lbrace \cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace}\;</math> d'où, l'expression de la durée élémentaire <math>\;dt\;</math> nécessaire pour la variation élémentaire d'abscisse angulaire <math>\;d \theta</math>, <math>\;dt = \pm \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;k}{m}}\;\sqrt{1,2\, \left\lbrace \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace - 1,6\, \left\lbrace \cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace}}\;</math><ref name="validité de dt en fonction de d theta"> Valable si <math>\;\vert \theta(t) \Vert\;</math> est <math>\;\neq\;</math> de <math>\;\theta_0</math> ; pour <math>\;\vert \theta(t) \Vert = \theta_0</math>, le dénominateur étant nul, le numérateur <math>\;d \theta\;</math> doit l'être aussi pour que le quotient constitue une forme indéterminée dont la levée conduirait à une valeur petite <math>\;dt\;</math> non nulle <math>\;\ldots</math></ref> avec le signe <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}-\\\text{ou}\\+\end{array}\right\rbrace\;</math> quand <math>\;P_u\;</math> se déplace <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\text{de la droite vers la gauche}\\ \text{ou}\\ \text{de la gauche vers la droite}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit * pour le n^ème aller de <math>\;P_u\;</math> de <math>\;P_{\theta_0}\;</math> à <math>\;P_{\theta_{\text{min}}}</math>, une durée <math>\;\Delta t_{P_{\theta_0}\;\overset{n}\rightarrow\;P_{\theta_{\text{min}}}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_{\text{min}}} -\dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;k}{m}}\;\sqrt{1,2\, \left\lbrace \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace - 1,6\, \left\lbrace \cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ou finalement <math>\;\Delta t_{P_{\theta_0}\;\overset{n}\rightarrow\;P_{\theta_{\text{min}}}} = \sqrt{\dfrac{m}{2\;k}}\;\displaystyle\int_{\theta_{\text{min}}}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{1,2\, \left\lbrace \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace - 1,6\, \left\lbrace \cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> et * pour le n^ème retour de <math>\;P_u\;</math> de <math>\;P_{\theta_{\text{min}}}\;</math> à <math>\;P_{\theta_0}</math>, une durée <math>\;\Delta t_{P_{\theta_{\text{min}}}\;\overset{n}\rightarrow\;P_{\theta_0}} = \displaystyle\int_{\theta_{\text{min}}}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{2\;k}{m}}\;\sqrt{1,2\, \left\lbrace \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace - 1,6\, \left\lbrace \cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ou finalement <math>\;\Delta t_{P_{\theta_{\text{min}}}\;\overset{n}\rightarrow\;P_{\theta_0}} = \sqrt{\dfrac{m}{2\;k}}\;\displaystyle\int_{\theta_{\text{min}}}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{1,2\, \left\lbrace \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace - 1,6\, \left\lbrace \cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> d'où * la durée du n^ème aller-retour du point générique <math>\;P_u\;</math> entre les deux murs d'énergie potentielle <math>\;\Delta t_{P_{\theta_0}\;\overset{n}\rightarrow\;P_{\theta_{\text{min}}}\;\overset{n}\rightarrow\;P_{\theta_0}} = \Delta t_{P_{\theta_0}\;\overset{n}\rightarrow\;P_{\theta_{\text{min}}}} + \Delta t_{P_{\theta_{\text{min}}}\;\overset{n}\rightarrow\;P_{\theta_0}}\;</math> soit, la durée de l'aller étant égale à celle du retour, <math>\;\Delta t_{P_{\theta_0}\;\overset{n}\rightarrow\;P_{\theta_{\text{min}}}\;\overset{n}\rightarrow\;P_{\theta_0}} = 2\;\sqrt{\dfrac{m}{2\;k}}\;\displaystyle\int_{\theta_{\text{min}}}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{1,2\, \left\lbrace \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace - 1,6\, \left\lbrace \cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ou finalement <math>\;\Delta t_{P_{\theta_0}\;\overset{n}\rightarrow\;P_{\theta_{\text{min}}}\;\overset{n}\rightarrow\;P_{\theta_0}} = \sqrt{\dfrac{2\;m}{k}}\;\displaystyle\int_{\theta_{\text{min}}}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{1,2\, \left\lbrace \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace - 1,6\, \left\lbrace \cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> indépendante de <math>\;n\;</math><ref name="indépendant de n" />, ce qui établit la nature <u>périodique</u> du mouvement de <math>\;M</math>, sa période <math>\;\mathcal{T}_{E_{m,\,M}\, <\, 0}\;</math> étant la durée d'une quelconque de ses oscillations soit <center><math>\;\mathcal{T}_{E_{m,\,M}\, <\, 0} = \sqrt{\dfrac{2\;m}{k}}\;\displaystyle\int_{\theta_{\text{min}}}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{1,2\, \left\lbrace \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace - 1,6\, \left\lbrace \cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ;</center> {{Al|5}}<u>Cas de l'oscillation autour de la position d'équilibre instable d'abscisse angulaire</u> <math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = 0</math> : la démarche à suivre est identique à celle suivie précédemment à condition de remplacer <math>\,E_{m,\,0} < 0\,</math> par <math>\,E_{m,\,0} > 0\;</math><ref> Avec les valeurs de <math>\;\dfrac{m\;g}{k\;\mathfrak{a}}\;</math> et de <math>\;\dfrac{l_0}{\mathfrak{a}}</math>, l'abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> en absence de vitesse initiale doit être tel que <math>\;\vert \theta_0 \vert \gtrsim 141\,\text{°}</math>.</ref> et <math>\;\theta_{\text{min}}\;</math> par <math>\;-\theta_0\;</math> d'où la nature <u>périodique</u> du mouvement de <math>\;M</math>, sa période <math>\;\mathcal{T}_{E_{m,\,M}\, >\, 0}\;</math> étant la durée d'une de ses oscillations soit <center><math>\;\mathcal{T}_{E_{m,\,M}\, >\, 0} = \sqrt{\dfrac{2\;m}{k}}\;\displaystyle\int_{-\theta_0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{1,2\, \left\lbrace \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace - 1,6\, \left\lbrace \cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> ou encore <br><math>\;\mathcal{T}_{E_{m,\,M}\, >\, 0} = 2\;\sqrt{\dfrac{2\;m}{k}}\;\displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{1,2\, \left\lbrace \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace - 1,6\, \left\lbrace \cos\! \left( \dfrac{\theta_0}{2} \right) - \cos\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right] \right\rbrace}}\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="fonction à intégrer paire" />.</center>}} ==== Étude des petits mouvements du point M et vérification du caractère harmonique de l'approximation de ces petits mouvements autour d'une des positions d'équilibre stable ==== {{Al|5}}On considère maintenant des petites oscillations<ref name="petits mouvements" />{{,}}<ref name="conditions de petites oscillations"> Ceci nécessite que <math>\;\theta_{0,\,1}\;</math> doit alors être plus proche de <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> qu'il n'était précédemment, par exemple au maximum <math>\;\theta_{\text{éq. st.}} + 15\;\text{°}\;</math>.</ref> autour d'une des positions d'équilibre stable <math>\;\big[</math>on pose <math>\;\varepsilon(t) = \theta(t) - \theta_{\text{éq. st.}}\;</math> avec <math>\;\theta_{\text{éq. st.}}\;</math> correspondant à une des positions d'équilibre stable déterminées précédemment<math>\big]</math>, vérifier que les petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> de cet oscillateur satisfont à une approximation harmonique non amortie et pour cela, préciser le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro de l'énergie potentielle <math>\;U(\theta)\;</math> en l'infiniment petit d'ordre un <math>\;\varepsilon</math>, puis {{Al|5}}réécrire l'intégrale 1^ère énergétique des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> de <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;\varepsilon(t)</math>, <math>\;\dot{\varepsilon}(t)</math>, <math>\;m</math>, <math>\;k</math>, <math>\;\mathfrak{a}\;</math> et l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Considérant maintenant des petites oscillations<ref name="petits mouvements" />{{,}}<ref name="conditions de petites oscillations" /> autour d'une des positions d'équilibre stable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \simeq \pm 96,5\,\text{°}\;</math> et définissant l'écart angulaire relativement à cette position d'équilibre selon <math>\;\varepsilon = \theta - \theta_{\text{éq},\,2}\;</math> comme infiniment petit d'ordre un, on forme le D.L<ref name="D.L." />. de l'énergie potentielle <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,2} + \varepsilon)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\varepsilon\;</math><ref> Plus exactement à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro, mais cet ordre le plus bas est deux dans la mesure où <math>\;U''(\theta_{\text{éq},\,2}) \neq 0</math>, ce que nous vérifierons.</ref>, soit <math>\;U(\theta_{\text{éq},\,2} + \varepsilon) = k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ 1,2\; \cos^2\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq},\,2} + \varepsilon}{2} \right) - 1,6\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq},\,2} + \varepsilon}{2} \right) + 0,4 \right] \simeq U(\theta_{\text{éq},\,2})\;\cancel{+\;U'(\theta_{\text{éq},\,2})\;\varepsilon}\;+ \dfrac{U''(\theta_{\text{éq},\,2})}{2}\;\varepsilon^2\;</math><ref> On rappelle que la définition de l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;U'(\theta_{\text{éq},\,2}) = 0</math>.</ref> dans lequel * <math>\;U'(\theta) = k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ -\dfrac{1,2 \times 2}{2}\; \cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) + \dfrac{1,6}{2}\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right] = k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ -0,6\; \sin(\theta) + 0,8\;\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]\;</math><ref name="sinus d'un angle double" /> et * <math>\;U''(\theta) = k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ -0,6\; \cos(\theta) + \dfrac{0,8}{2}\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right] = k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ -1,2\; \cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) + 0,6 + 0,4\;\cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]\;</math><ref name="cosinus d'un angle double"> On rappelle que <math>\;\cos(2\;b) = 2\;\cos^2(b) - 1</math>.</ref> d'où, avec <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} = \pm 2\;\arccos\! \left( \dfrac{2}{3} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\theta_{\text{éq},\,2}}{2} \right) =</math> <math>\dfrac{2}{3}</math>, <math>\;U''(\theta_{\text{éq},\,2}) = k\;\mathfrak{a}^2\, \left[ -1,2 \times \dfrac{4}{9} + 0,6 + 0,4 \times \dfrac{2}{3} \right] = \dfrac{k\;\mathfrak{a}^2}{3}\;</math><ref> On vérifie donc que <math>\;U''(\theta_{\text{éq},\,2})\;</math> est bien <math>\;\neq 0\;</math> et par suite que l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L. de l'énergie potentielle au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq},\,2}\;</math> est bien deux.</ref> soit finalement <center><math>\;U(\theta_{\text{éq},\,2} + \varepsilon) \simeq U(\theta_{\text{éq},\,2}) + \dfrac{k\;\mathfrak{a}^2}{6}\;\varepsilon^2\;</math> prouvant que le profil d'énergie potentielle étant localement une cuvette parabolique, <br>l'approximation des petites oscillations<ref name="petits mouvements" />{{,}}<ref name="conditions de petites oscillations" /> autour d'une des positions d'équilibre stable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \simeq \pm 96,5\,\text{°}\;</math> est « harmonique » ;</center> {{Al|5}}l'intégrale 1^ère énergétique des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> de <math>\;M\;</math> autour d'une des positions d'équilibre stable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \simeq \pm 96,5\,\text{°}\;</math> se réécrit selon <center><math>\;E_{m,\,M}(t) = E_{m,_,0}\;</math> avec <math>\;E_{m,\,M}(t) = k\;\mathfrak{a}^2\, \left\lbrace \dfrac{m}{2\;k}\;\dot{\varepsilon}^2\!(t) + \dfrac{U(\theta_{\text{éq},\,2})}{k\;\mathfrak{a}^2} + \dfrac{1}{6}\;\varepsilon^2\!(t) \right\rbrace\;</math><ref name="dérivées de varepsilon - bis"> On rappelle que <math>\;\theta(t) = \theta_{\text{éq}} + \varepsilon(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}(t) = \dot{\varepsilon}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{\theta}(t) = \ddot{\varepsilon}(t)</math>.</ref> <br>soit finalement <math>\;k\;\mathfrak{a}^2\, \left\lbrace \dfrac{m}{2\;k}\;\dot{\varepsilon}^2\!(t) + \dfrac{U(\theta_{\text{éq},\,2})}{k\;\mathfrak{a}^2} + \dfrac{1}{6}\;\varepsilon^2\!(t) \right\rbrace = E_{m,\,0}</math>.</center>}} ==== Équation différentielle du 2^ème ordre des petits mouvements du point M autour d'une des positions d'équilibre stable et détermination de sa période ==== {{Al|5}}Déduire l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> du point M autour d'une des positions d'équilibre stable à partir de l'intégrale 1^ère énergétique de ses petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> et {{Al|5}}déterminer alors la période <math>\;\mathcal{T}_{\text{petites élong.}}\;</math> des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> du point <math>\;M</math> <math>\;\bigg[</math>on exprimera celle-ci en fonction de <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\bigg]</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}L'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> du point M autour d'une des positions d'équilibre stable d'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \simeq \pm 96,5\,\text{°}\;</math> se déduit de l'intégrale 1^ère énergétique de ses petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> par dérivation temporelle soit <math>\;k\;\mathfrak{a}^2\, \left\lbrace \dfrac{m}{k}\;\dot{\varepsilon}(t)\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{1}{3}\;\varepsilon(t)\;\dot{\varepsilon}(t) \right\rbrace = 0\;</math> d'où, après simplification par <math>\;k\;\mathfrak{a}^2\;\dot{\varepsilon}(t)\;</math> non identiquement nul et normalisation, l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> des petits mouvements<ref name="petits mouvements" /> du point M autour de <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \simeq \pm 96,5\,\text{°}\;</math><center><math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{k}{3\;m}\;\varepsilon(t) = 0</math> ;</center> {{Al|5}}on en déduit la pulsation propre des petites élongations angulaires<ref name="petits mouvements" /> du point <math>\;M\;</math> à savoir <math>\;\omega_{\text{petites élong.}} = \sqrt{\dfrac{k}{3\;m}} = \dfrac{\omega_0}{\sqrt{3}}\;</math> en posant <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> et par suite <center> la période des petites oscillations<ref name="petits mouvements" /> du point <math>\;M</math> : <math>\;\mathcal{T}_{\text{petites élong.}} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_{\text{petites élong.}}} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0}\;\sqrt{3}</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité/|Approche énerg. du mouv. d'un pt mat. : Équilibre et stabilité]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Barrière d'énergie potentielle/|Approche énerg. du mouv. d'un pt mat. : Barrière d'énergie potentielle]] }} ogzi4i61rbji9wrjls93pw2ri1wvy01 0 72979 982904 978972 2026-05-17T18:06:32Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982904 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 20 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable/]] | suivant = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Force de Lorentz/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> == Exemple de profil d’énergie potentielle présentant une « barrière », profil correspondant au lancer de l'obus de Jules Verne (J.V.) en direction de la Lune == === Lancer de l'obus de Jules Verne en direction de la Lune === {{Al|5}}'''[[w:Jules_Verne|Jules Verne]]'''<ref name="Verne"> '''[[w:Jules_Verne|Jules Verne]] (1828 - 1905)''' écrivain français dont l'œuvre est, pour la plus grande partie, constituée de romans d'aventures évoquant les progrès scientifiques du XIX^ème siècle, ce qu'on classe de nos jours dans le domaine de la S.F. <math>\;\big(</math>science-fiction<math>\big)</math>.</ref> avait imaginé, dans son roman « ''[[w:De_la_Terre_à_la_Lune|De la Terre à la Lune]]'' » publié en <math>\;1865</math>, la possibilité d'atteindre la Lune à l'aide d'un obus, c'est-à-dire d'un objet auquel on communique une vitesse initiale par explosion de poudre dans un canon fixé sur Terre et dont l'axe est vertical ; {{Al|5}}si la vitesse initiale reste faible, l'obus monte mais atteint un point d'altitude maximale avant de redescendre ; {{Al|5}}il s'agit donc de montrer qu'il existe une « vitesse initiale à partir de laquelle l'obus sort de l'attraction terrestre pour rentrer dans le domaine de l'attraction {{Nobr|lunaire »<ref> Et de vérifier <math>\;\big(</math>ou pas<math>\big)\;</math> que la vitesse minimale obtenue est du domaine de la mécanique newtonienne.</ref>.}} === Résultante des forces de gravitations terrestre et lunaire s'exerçant sur un obus lancé à partir d'un point A de la surface terrestre et en mouvement vertical ascendant vers le point B de la surface lunaire tels que les points A et B soient sur le segment joignant les centres de la Terre et de la Lune === {{Al|5}}Considérant un canon placé en un point <math>\;A\;</math> de la surface terrestre et dont le tube<ref> Partie cylindrique du canon servant à guider l'obus pendant la phase de propulsion de ce dernier.</ref>, d'axe vertical, pointe vers un point <math>\;B\;</math> de la surface lunaire et {{Al|5}}supposant, de façon à simplifier l'exposé, que la droite <math>\;(AB)\;</math> passe par le centre <math>\;T\;</math> de la Terre et celui <math>\;L\;</math> de la Lune, l'ensemble étant imaginé fixe dans le référentiel terrestre galiléen<ref> D'une part nous savons que la Lune se déplace relativement à la surface terrestre avec une période approximative de <math>\;24\;h</math>, l'hypothèse de la fixité de la Lune pendant le trajet de l'obus de la Terre à la Lune est donc fausse <math>\;\big(</math>mais nous la faisons néanmoins pour simplifier l'étude<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part le référentiel terrestre ne pouvant être considéré comme galiléen que pour une expérience dont la durée ne dépasse pas <math>\;15\;min</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_de_l'inertie_et_référentiels_galiléens#Caractère_«_quasi_galiléen_»_du_référentiel_terrestre_pour_une_durée_d'expérience_n'excédant_pas_quinze_minutes_(terrestres)|caractère quasi-galiléen du référentiel terrestre pour une durée d'expérience n'excédant pas quinze minutes (terrestres)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui dépasse la durée nécessaire pour qu'un obus parcourt la distance Terre-Lune <math>\;\big(</math>'''[[w:Jules_Verne|Jules Verne]]''' avait fixé la durée à <math>\;97\;h\;20\;min\;</math> ce qui était largement sous-estimé<math>\big)</math>, l'hypothèse du caractère galiléen du référentiel terrestre est fausse <math>\;\big(</math>là encore, nous maintenons cette hypothèse pour simplifier l'étude<math>\big)</math>.</ref>, {{Al|5}}nous notons <math>\;\vec{u}_z\;</math> le vecteur de base cartésienne de la verticale ascendante au point <math>\;A\;</math> de la surface terrestre<ref> Bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation.</ref> et <math>\;d\;</math> la distance séparant les centres de la Terre et de la Lune. {{Al|5}}L'obus <math>\;M\;</math> à envoyer vers la Lune étant supposé ponctuel de masse <math>\;m</math>, est soumis à deux forces de champ<ref name="pas d'attraction solaire"> Pour simplifier nous ne tiendrons pas compte de l'action directe du Soleil bien que son champ de gravitation au voisinage de la Terre et de la Lune ne soit pas, en toute rigueur, totalement négligeable mais y reste toujours faible <math>\;\big\{</math>en particulier il serait à prendre en compte <math>\;\big(</math>simultanément au caractère non galiléen du référentiel géocentrique<math>\big)\;</math> pour expliquer la différence entre marées océaniques de mortes eaux et celle de vives eaux sur Terre <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#cite_note-61|⁶¹]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\big\}</math>.</ref>{{,}}<ref name="demande du programme"> En fait le programme de physique de P.C.S.I. pour l'exemple de l'obus de Jules Verne n'introduit que l'action directe de la Terre car le but est de sortir du champ de gravitation que cette dernière crée <math>\;\big(</math>dans cette hypothèse l'obus de J.V. ne serait soumis qu'à une force et non deux<math>\big)\;</math> mais l'obus devant arriver sur la Lune, on ne peut négliger, dans le voisinage de cette dernière, le champ de gravitation qu'elle crée et par suite on doit considérer le champ de gravitation global terrestre et lunaire même si le programme n'introduit que le champ de gravitation terrestre <math>\;\ldots\;</math> De toute façon ce n'est guère plus compliqué <math>\;\ldots</math></ref> : * la force de gravitation terrestre <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow (\text{♁})} = - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}\;m}{\left[ R_{(\text{♁})} + z \right]^2}\;\vec{u}_z\;</math><ref> Nous faisons ici encore une approximation en remplaçant le poids de l'obus par la force de gravitation terrestre <math>\;\big[</math>revoir la différence dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Condition_de_réalisation_du_caractère_uniforme_du_champ_de_pesanteur_terrestre|condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre]] (préliminaire) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow (\text{♁})} = m\;\vec{G}_{(\text{♁})}(M)\;</math> avec <math>\;\vec{G}_{(\text{♁})}(M) = - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{\left[ R_{(\text{♁})} + z \right]^2}\;\vec{u}_z\;</math> le champ de gravitation terrestre en la position de l'obus et * la force de gravitation lunaire <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow (\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{☽})}\;m}{\left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right]^2}\;\vec{u}_z\;</math><ref> « ☽ » étant un des symboles astronomiques représentant la Lune <math>\;\big(</math>cela représente plus particulièrement le 1^er quartier de la Lune<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}d’autre part <math>\;d\;</math> étant la distance séparant les centres de la Terre et de la Lune, celle séparant le centre de la Lune et l'obus est <math>\;d - \left[ R_{(\text{♁})} + z \right]\;</math> et celle séparant les surfaces respectives de la Terre et de la Lune sur la droite joignant les deux centres est <math>\;d - R_{(\text{♁})} - R_{(\text{☽})}\;</math> avec <math>\;R_{(\text{☽})}\;</math> le rayon de la Lune.</ref> ou encore <math>\,\vec{F}_{M \leftarrow (\text{☽})} = m\;\vec{G}_{(\text{☽})}(M)\,</math> avec <math>\,\vec{G}_{(\text{☽})}(M) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{☽})}}{\left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right]^2}\;\vec{u}_z\,</math> le champ de gravitation lunaire en la position de l'obus ; {{Al|5}}la résultante des forces de gravitation s'exerçant sur l'obus est donc <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow (\text{♁, ☽})} = m\; \mathcal{G} \left\lbrace \dfrac{m_{(\text{☽})}}{\left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right]^2} - \dfrac{m_{(\text{♁})}}{\left[ R_{(\text{♁})} + z \right]^2} \right\rbrace\, \vec{u}_z</math>, <u>résultante conservative</u>, chaque composante l'étant ; {{Al|5}}cette résultante se réécrit <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow (\text{♁, ☽})} = m\; \vec{G}_{(\text{♁, ☽})}(M)\;</math> avec <math>\;\vec{G}_{(\text{♁, ☽})}(M) = \mathcal{G} \left\lbrace \dfrac{m_{(\text{☽})}}{\left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right]^2} - \dfrac{m_{(\text{♁})}}{\left[ R_{(\text{♁})} + z \right]^2} \right\rbrace\, \vec{u}_z\;</math> champ de gravitation global<ref> C.-à-d. terrestre et lunaire.</ref> en la position de l'obus. === Définition de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB === {{Al|5}}<u>Définition de la notion d'« apesanteur »</u> : on a un état d'« apesanteur » en une position où la résultante des champs de gravitation est nulle <math>\;\big[</math>en cette position les champs de gravitation <math>\;\big(</math>au moins au nombre de deux<math>\big)\;</math> se compensent<math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définition de la notion d'« apesanteur » : }}à distinguer de la notion d'« impesanteur » correspondant à l'absence pratique de champ de gravitation <math>\;\big[</math>l'« impesanteur » existe dans toute une région <math>\;\big(</math>et non uniquement en une position comme c'est le cas de l'« apesanteur »<math>\big)\;</math> dans laquelle le champ de gravitation <math>\;\big(</math>en général unique<math>\big)\;</math> peut être considéré comme nul<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Recherche de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB</u> : la position de <math>\;M_{\text{apes}}\;</math> satisfaisant à l'équation <math>\;\vec{G}_{(\text{♁, ☽})}(M_{\text{apes}}) = \vec{0}\;</math> conduit à l'équation en <math>\;z_{\text{apes}}\;</math> suivante <math>\;\dfrac{m_{(\text{☽})}}{\left[ d - R_{(\text{♁})} - z_{\text{apes}} \right]^2} - \dfrac{m_{(\text{♁})}}{\left[ R_{(\text{♁})} + z_{\text{apes}} \right]^2} = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{m_{(\text{☽})}}{\left[ d - R_{(\text{♁})} - z_{\text{apes}} \right]^2} = \dfrac{m_{(\text{♁})}}{\left[ R_{(\text{♁})} + z_{\text{apes}} \right]^2}\;</math> ou, par règle du « [[w:Règle de trois#Produit des extrêmes et des moyens|produit des extrêmes et des moyens]] »<ref> Cette règle qui s'appelle préférentiellement aujourd'hui « égalité des produits en croix » se traduit encore par l'énoncé « le produit des extrêmes est égal au produit des moyens ».</ref>, <math>\;m_{(\text{☽})}\,\left[ R_{(\text{♁})} + z_{\text{apes}} \right]^2 =</math> <math>m_{(\text{♁})}\,\left[ d - R_{(\text{♁})} - z_{\text{apes}} \right]^2\;</math> soit <math>\;\dfrac{R_{(\text{♁})} + z_{\text{apes}}}{d - R_{(\text{♁})} - z_{\text{apes}}} = \sqrt{\dfrac{m_{(\text{♁})}}{m_{(\text{☽})}}}\;</math><ref> Les grandeurs <math>\;R_{(\text{♁})} + z_{\text{apes}}\;</math> et <math>\;d - R_{(\text{♁})} - z_{\text{apes}}\;</math> devant être, par définition, <math>\;> 0</math>.</ref> ou, numériquement, <math>\;\dfrac{R_{(\text{♁})} + z_{\text{apes}}}{d - R_{(\text{♁})} - z_{\text{apes}}} \simeq 9\;</math><ref> La Terre ayant une masse <math>\;81\;</math> fois celle de la Lune.</ref> <math>\Rightarrow</math> l'équation approchée <math>\;10\;z_{\text{apes}} \simeq 9\;d - 10\;R_{(\text{♁})}\;</math> soit finalement <center><math>\;z_{\text{apes}} \simeq 0,9\;d - R_{(\text{♁})}\;</math><ref name="expression algébrique de z(apes)"> Littéralement l'équation <math>\;\dfrac{R_{(\text{♁})} + z_{\text{apes}}}{d - R_{(\text{♁})} - z_{\text{apes}}} = \sqrt{\dfrac{m_{(\text{♁})}}{m_{(\text{☽})}}}\;</math> se réécrit, en notant temporairement <math>\;\alpha = \sqrt{\dfrac{m_{(\text{♁})}}{m_{(\text{☽})}}}\;</math> pour simplifier l'exposé, <math>\;R_{(\text{♁})} + z_{\text{apes}} =</math> <math>\alpha\;d - \alpha\;R_{(\text{♁})} - \alpha\;z_{\text{apes}}\;</math> soit <math>\;(1 + \alpha)\;z_{\text{apes}} = \alpha\;d - (1 + \alpha)\;R_{(\text{♁})}\;</math> ou <math>\;z_{\text{apes}} = \dfrac{\alpha}{1 + \alpha}\;d - R_{(\text{♁})}\;</math> c.-à-d. finalement <math>\;z_{\text{apes}} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{m_{(\text{♁})}}{m_{(\text{☽})}}}}{1 + \sqrt{\dfrac{m_{(\text{♁})}}{m_{(\text{☽})}}}}\;d - R_{(\text{♁})}</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Recherche de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB : }}numériquement, avec <math>\;R_{(\text{♁})} \simeq 6,400\;Mm\;</math><ref name="Mm"> Mégamètre de symbole <math>\;Mm\;</math> et valant <math>\;1000\;km</math>.</ref> et <math>\;d \simeq 384,000\;Mm \simeq 60\;R_{(\text{♁})}\;</math><ref name="Mm" />, on trouve <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB : numériquement, }}<math>\;z_{\text{apes}} \simeq 0,9 \times 60\;R_{(\text{♁})} - R_{(\text{♁})}\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB : numériquement, }}<math>\;z_{\text{apes}} \simeq 53\;R_{(\text{♁})} \simeq 339,200\;Mm\;</math><ref name="Mm" />{{,}}<ref name="orbite géostationnaire"> L'altitude de l'[[w:Orbite_géostationnaire|orbite terrestre géostationnaire]] étant <math>\;\simeq 6\;R_{(\text{♁})}</math>, la position de l'obus en état d'apesanteur sur la trajectoire AB est approximativement <math>\;8,83 \simeq 9\;</math> fois plus grande.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB : numériquement,}} avec <math>\;R_{(\text{☽})} \simeq 1,700\;Mm \simeq 0,27\;R_{(\text{♁})}\;</math><ref name="Mm" />, la distance séparant <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire séparant les surfaces terrestre et lunaire<math>\big)\;</math> valant <math>\;AB = d - R_{(\text{♁})} - R_{(\text{☽})} \simeq 60\;R_{(\text{♁})} - R_{(\text{♁})} - 0,27\;R_{(\text{♁})} \simeq 58,73\;R_{(\text{♁})} \simeq 375,900\;Mm\;</math><ref name="Mm" />, on en déduit <center>la distance séparant la position de l'obus en état d'apesanteur sur la trajectoire AB et la surface lunaire <br><math>\;AB - z_{\text{apes}} \simeq 58,73\;R_{(\text{♁})} - 53\;R_{(\text{♁})} \simeq 5,73\;R_{(\text{♁})} \simeq 36,700\;Mm\;</math><ref name="Mm" />{{,}}<ref name="comparaison avec rayon de l'orbite terrestre géostationnaire"> Correspondant approximativement à l'altitude de l'[[w:Orbite_géostationnaire|orbite terrestre géostationnaire]].</ref> ou, <br>exprimée en rayon lunaire, <math>\;AB - z_{\text{apes}} \simeq \dfrac{5,73}{0,27}\;R_{(\text{☽})} \simeq 21,59\;R_{(\text{☽})} \simeq 22\;R_{(\text{☽})}</math>.</center> == Tracé du profil d'énergie potentielle de l'obus de J.V. lancé verticalement dans le(s) champ(s) de force de gravitation(s) terrestre (et lunaire), définition de la « barrière » d’énergie potentielle au point de lancement == <center>Nous considérons l'obus de J.V. dans les champs de gravitations terrestre et lunaire<ref name="demande du programme" /> sans tenir compte du champ de gravitation solaire<ref name="pas d'attraction solaire" />.</center> === Expression de l'énergie potentielle de l'obus de J.V. en fonction de l'altitude terrestre avec référence au niveau du sol de la Terre === {{Al|5}}L'énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire <math>\;U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(M)\;</math> de l'obus de J.V. se détermine par <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow (\text{♁, ☽})} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})} \right]\!(M)\;</math> ou, en projetant sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> l'équation de définition <math>\;m\; \mathcal{G} \left\lbrace \dfrac{m_{(\text{☽})}}{\left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right]^2} - \dfrac{m_{(\text{♁})}}{\left[ R_{(\text{♁})} + z \right]^2} \right\rbrace = -\dfrac{d U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}}{dz}(z)\;</math> soit, après intégration, <math>\;U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(M) = -m\; \mathcal{G} \left\lbrace \dfrac{m_{(\text{☽})}}{d - R_{(\text{♁})} - z} + \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} + z} \right\rbrace + cste\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{dz}{\left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right]^2} = -\dfrac{d\! \left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right]}{\left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right]^2}\;</math> s'intègre en <math>\;\dfrac{1}{d - R_{(\text{♁})} - z}\;</math> et <math>\;-\dfrac{dz}{\left[ R_{(\text{♁})} + z \right]^2} = -\dfrac{d\! \left[ R_{(\text{♁})} + z \right]}{\left[ R_{(\text{♁})} + z \right]^2}\;</math> en <math>\;\dfrac{1}{R_{(\text{♁})} + z}</math>.</ref>, <math>\;cste\;</math> dépendant de la référence de l'énergie potentielle choisie au niveau du sol terrestre <math>\;\big(z = 0\big)\;</math> d'où <math>\;0 = -m\; \mathcal{G} \left\lbrace \dfrac{m_{(\text{☽})}}{d - R_{(\text{♁})}} + \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}} \right\rbrace + cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = m\; \mathcal{G} \left\lbrace \dfrac{m_{(\text{☽})}}{d - R_{(\text{♁})}} + \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}} \right\rbrace\;</math> et par suite une 1^ère expression d'énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire de l'obus de J.V. <center><math>\;U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(M) = m\; \mathcal{G} \left\lbrace \dfrac{m_{(\text{☽})}}{d - R_{(\text{♁})}} - \dfrac{m_{(\text{☽})}}{d - R_{(\text{♁})} - z} + \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}} - \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} + z} \right\rbrace\;</math> avec référence au niveau su sol terrestre, ou,</center> {{Al|5}}en regroupant les termes relatifs à la Terre et ceux relatifs à la Lune puis en les simplifiant, * <math>\;\dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}} - \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} + z} = m_{(\text{♁})}\;\dfrac{R_{(\text{♁})} + z - R_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} \left[ R_{(\text{♁})} + z \right]} = \dfrac{m_{(\text{♁})}\; z}{R_{(\text{♁})} \left[ R_{(\text{♁})} + z \right]}\;</math> ainsi que * <math>\;\dfrac{m_{(\text{☽})}}{d - R_{(\text{♁})}} - \dfrac{m_{(\text{☽})}}{d - R_{(\text{♁})} - z} = m_{(\text{☽})}\;\dfrac{\left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right] - \left[ d - R_{(\text{♁})} \right]}{\left[ d - R_{(\text{♁})} \right] \left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right]} = -\dfrac{m_{(\text{☽})}\;z}{\left[ d - R_{(\text{♁})} \right] \left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right]}</math>, {{Al|5}}une 2^ème expression d'énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire de l'obus de J.V. <center><math>\;U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(M) = m\; \mathcal{G} \left\lbrace \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} \left[ R_{(\text{♁})} + z \right]} - \dfrac{m_{(\text{☽})}}{\left[ d - R_{(\text{♁})} \right] \left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right]} \right\rbrace z\;</math><ref name="uniquement champ de gravitation terrestre"> Si on ne tenait compte que du champ de gravitation terrestre comme le demandait le programme de physique de P.C.S.I pour cet exemple, l'énergie potentielle se réduirait à <math>\;U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁})}(z)</math> <math>= m\; \mathcal{G}\; \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} \left[ R_{(\text{♁})} + z \right]}\;z</math>.</ref> avec référence au niveau du sol terrestre.</center> === Tracé du profil d'énergie potentielle de l'obus de J.V. === [[File:Profil énergétique de l'obus de Jules Verne.png|thumb|450px|Tracé de la courbe d'énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire de l'obus de Jules Verne en fonction de son altitude mesurée par rapport au sol terrestre choisi comme référence d'énergie potentielle, l'obus ayant une masse de 1 t]] {{Al|5}}La composante sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> de la résultante des forces de gravitation s'exerçant sur l'obus de J.V. étant d’abord négative, son énergie potentielle <math>\;U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(M) \nearrow\;</math> avec l'altitude <math>\;z</math> <math>\;\big(</math>en bleu sur le tracé ci-contre<math>\big)\;</math> et ceci jusqu'à la position d'apesanteur d'altitude <math>\;z_{\text{apes}}\;</math> correspondant à la résultante des forces de gravitation nulle et donc à une position de stationnarité de l'énergie potentielle puis {{Al|5}}la composante sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> de la résultante des forces de gravitation s’exerçant sur l’obus de J.V. étant devenue positive, son énergie potentielle <math>\;U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(M) \searrow\;</math> quand l'altitude <math>\;z\;</math> continue de <math>\;\nearrow</math> <math>\;\big(</math>en rouge sur le tracé ci-contre<math>\big)\;</math> et ceci jusqu'à l'arrivée sur le sol lunaire ; {{Al|5}}le tracé ci-contre est fait avec les valeurs <math>\;m_{(\text{♁})} \simeq 6,0\; 10^{24}\; kg</math>, <math>\;m_{(\text{☽})} \simeq 7,4\; 10^{22}\; kg \simeq \dfrac{m_{(\text{♁})}}{81}</math>, <math>\;m = 1\;t = 10^3\;kg\;</math><ref> Ce qui est un minimum compte-tenu du fait que l'obus devait emporter trois passagers.</ref> et <math>\;\mathcal{G} \simeq</math> <math>6,67\; 10^{-11}\; u.s.i.</math>, les autres valeurs déjà été fournies sont rappelées ci-après <math>\;R_{(\text{♁})} \simeq 6,400\;Mm\;</math><ref name="Mm" />, <math>\;d \simeq 384,000\;Mm \simeq</math> <math>60\;R_{(\text{♁})}\;</math><ref name="Mm" /> et <math>\;R_{(\text{☽})} \simeq 1,700\;Mm \simeq</math> <math>0,27\;R_{(\text{♁})}\;</math><ref name="Mm" />, ces valeurs ayant permis de déterminer <math>\;z_{\text{apes}} \simeq 53\;R_{(\text{♁})} \simeq 339,200\;Mm\;</math><ref name="Mm" />{{,}}<ref name="orbite géostationnaire" /> ainsi que la distance séparant la position d'apesanteur de l'obus de la surface lunaire <math>AB - z_{\text{apes}} \simeq 5,73\;R_{(\text{♁})} \simeq</math> <math>36,700\;Mm\;</math><ref name="Mm" />{{,}}<ref name="comparaison avec rayon de l'orbite terrestre géostationnaire" /> ou, exprimée en rayon lunaire, <math>AB - z_{\text{apes}} \simeq 21,59\;R_{(\text{☽})} \simeq 22\;R_{(\text{☽})}</math>. {{Al|5}}On constate que la position d'apesanteur correspondant à un maximum d'énergie potentielle est une position d'équilibre <u>instable</u>, un petit écart vers la Terre entraîne une retombée sur celle-ci alors qu'un petit écart vers la Lune contribue à une chute vers cette dernière. === Définition de la « barrière d'énergie potentielle au point de lancement » === {{Al|5}}Un canon situé au point <math>\;A\;</math> de la surface terrestre communique à l'obus de J.V. un vecteur vitesse initial vertical ascendant <math>\;\vec{v}_0 =</math> <math>v_0\;\vec{u}_z\;</math> avec <math>\;v_0 = \Vert \vec{v}_0 \Vert\;</math> et par suite une énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^2\;</math><ref> On rappelle que la référence de l'énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire a été choisie en <math>\;A</math>.</ref> ; {{Al|5}}en négligeant les forces de frottement fluide de l'atmosphère<ref name="présence d'atmosphère terrestre"> En fait ce n'est qu'approximativement à partir de l'altitude <math>\;50\;km\;</math> que l'atmosphère terrestre devient suffisamment raréfiée <math>\;\big(</math>la pression atmosphérique y étant inférieure au millième de celle mesurée au sol<math>\big)\;</math> pour que les forces de frottement fluide puissent être négligées, toutefois nous supposons ceci réalisé pour simplifier l'étude.</ref> cette énergie mécanique est conservée <math>\;E_{m,\,M}(z) = E_{m,\,0}\;</math><ref name="avec forces de frottement fluide"> Si nous tenions compte des forces de frottement fluide sur les <math>\;50\;</math> 1^ers <math>\;km</math>, l'énergie mécanique y serait <math>\;\searrow\;</math> avant de devenir approximativement constante.</ref> ; {{Al|5}}or le profil énergétique de l'obus présentant une « bosse »<ref name="colline"> Ou « colline ».</ref> d’énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire, il y a risque que l'énergie mécanique initiale ne soit pas suffisamment grande pour empêcher l'existence d'un mur d'énergie potentielle interdisant à l'obus d’atteindre la Lune<ref name="avec forces de frottement fluide - bis"> Si nous tenons compte des forces de frottement fluide sur les <math>\;50\;</math> 1^ers <math>\;km</math>, l'énergie mécanique y étant <math>\;\searrow\;</math> et devenant approximativement constante à partir de l'altitude <math>\;50\;km</math>, c'est l'énergie mécanique de l'obus à l'altitude <math>\;50\;km\;</math> qui doit être suffisamment grande pour empêcher l'existence d'un mur d'énergie potentielle interdisant à l'obus d'atteindre la Lune, l'énergie mécanique initiale devant être encore plus grande pour permettre à l'énergie mécanique à l'altitude <math>\;50\;km\;</math> de satisfaire la condition d'absence de mur d'énergie potentielle.</ref>. {{Définition|titre= Barrière d'énergie potentielle au point de lancement|contenu= {{Al|5}}On appelle « <u>barrière d’énergie potentielle au point de lancement</u> <math>\;A\;</math>»<ref name="barrière de potentiel"> Ou, par abus, « barrière de potentiel au point de lancement » <math>\;\big[</math>attention il s'agit d'un abus qui peut prêter à confusion, la notion de potentiel gravitationnel <math>\;\Omega_{\text{gravit.}, \leftarrow (\mathcal{S})}(P)\;</math> étant définie en chaque point <math>\;P\;</math> qui entoure la source <math>\;(\mathcal{S})\;</math> indépendamment d'un éventuel objet placé en ce point <math>\;\big(</math>elle ne dépend que de la masse de la source et de la position du point<math>\big)\;</math> alors que l'énergie potentielle gravitationnelle n'existe que si on place un objet <math>\;M\;(m)\;</math> au point étudié, elle est alors définie comme le produit de la masse <math>\;m\;</math> de l'objet par le potentiel gravitationnel <math>\;\Omega_{\text{gravit.} \leftarrow (\mathcal{S})}(P_M)\;</math> créé par la source à l'endroit <math>\;P_M\;</math> de l'objet soit <math>\;U_{\text{gravit.} \leftarrow (\mathcal{S})}(M) = m\;\Omega_{\text{gravit.} \leftarrow (\mathcal{S})}(P_M)\big]</math>.</ref>, « la différence d’énergie potentielle entre sa valeur la plus élevée <math>\;\big(</math>en la position <math>\;S\big)\;</math> et sa valeur au point de lancement <math>\;A\;</math>» soit <center><math>\;\Delta U(A) = U(S) - U(A)\;</math> ou encore <br><math>\;\Delta U(A) = U(S)\;\cancel{-\; U(A)}\;</math> si la référence de <math>\;U(M)\;</math> est en <math>\;A</math>.</center>}} {{Al|5}}Dans le cas présent, la position <math>\;S\;</math> ayant pour altitude <math>\;z_{\text{apes}}</math>, la « barrière d’énergie potentielle au point de lancement <math>\;A\;</math>»<ref name="barrière de potentiel" /> est définie, compte-tenu du choix de la référence de l'énergie potentielle au point de lancement, par <math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A) = U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(z_S = z_{\text{apes}})\; \cancel{-\; U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(z_A = 0)}\;</math> avec l'énergie potentielle en un point quelconque <math>\;U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(z) =</math> <math>m\; \mathcal{G} \left\lbrace \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} \left[ R_{(\text{♁})} + z \right]} - \dfrac{m_{(\text{☽})}}{\left[ d - R_{(\text{♁})} \right] \left[ d - R_{(\text{♁})} - z \right]} \right\rbrace z\;</math><ref name="uniquement champ de gravitation terrestre" /> ainsi que la position de l'obus en état d'apesanteur <math>\;M_{\text{apes}}\;</math> sur la trajectoire AB <math>\;z_{\text{apes}} \simeq 0,9\;d - R_{(\text{♁})} \simeq 53\;R_{(\text{♁})}\;</math><ref name="expression algébrique de z(apes)" /> <math>\Rightarrow</math> <center><math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A) = m\; \mathcal{G} \left\lbrace \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} \left[ R_{(\text{♁})} + z_{\text{apes}} \right]} - \dfrac{m_{(\text{☽})}}{\left[ d - R_{(\text{♁})} \right] \left[ d - R_{(\text{♁})} - z_{\text{apes}} \right]} \right\rbrace z_{\text{apes}}\;</math><ref name="uniquement champ de gravitation terrestre - bis"> Si on ne tenait compte que du champ de gravitation terrestre comme le demandait le programme de physique de P.C.S.I pour cet exemple, il n'y aurait pas de position d'apesanteur pour l'obus, la position ayant la plus haute énergie potentielle de gravitation terrestre serait alors celle d'arrivée sur la Lune c.-à-d. le point <math>\;B</math> et par suite <math>\;z_{\text{apes}}\;</math> devrait donc être remplacée par <math>\;z_B = AB \simeq 58,73\;R_{(\text{♁})}</math> ; la barrière d'énergie potentielle au point de lancement se réduirait à <math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁})}(A) =</math> <math>m\; \mathcal{G}\; \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} \left[ R_{(\text{♁})} + z_B \right]}\;z_B</math>.</ref>,</center> {{Al|5}}soit, avec les valeurs numériques fournies ou rappelées ci-après «<math>\;R_{(\text{♁})} \simeq 6,400\;Mm\;</math><ref name="Mm" />, <math>\;d \simeq 384,000\;Mm \simeq 60\;R_{(\text{♁})}\;</math><ref name="Mm" />, <math>\;m_{(\text{♁})} \simeq 6,0\;10^{24}\;kg</math>, <math>\;m_{(\text{☽})} \simeq \dfrac{m_{(\text{♁})}}{81} \simeq 7,4\;10^{22}\;kg</math>, <math>\;\mathcal{G} \simeq</math> <math>6,67\;10^{-11}\;u.s.i.</math>, la masse de l'obus étant choisie à <math>\;m = 10^3\;kg</math> <math>\;\bigg[</math>pour être complet on rappelle le rayon de la Lune <math>\;R_{(\text{☽})} \simeq 1,700\;Mm \simeq 0,27\;R_{(\text{♁})} \simeq \dfrac{R_{(\text{♁})}}{3,7}\;</math><ref name="Mm" />, la distance <math>\;AB = d - R_{(\text{♁})} - R_{(\text{☽})}</math> <math>\simeq 58,73\;R_{(\text{♁})} \simeq 375,900\;Mm\;</math><ref name="Mm" />, la distance séparant <math>\;M_{\text{apes}}\;</math> sur la trajectoire AB et la surface lunaire <math>\;AB - z_{\text{apes}} \simeq 5,73\;R_{(\text{♁})} \simeq 36,700\;Mm\;</math><ref name="Mm" />{{,}}<ref name="comparaison avec rayon de l'orbite terrestre géostationnaire" /> ou, exprimée en rayon lunaire, <math>\;AB - z_{\text{apes}} \simeq</math> <math>22\;R_{(\text{☽})}\bigg]\;</math>», dont on déduit <math>\;R_{(\text{♁})} + z_{\text{apes}} \simeq 54\;R_{(\text{♁})}</math>, <math>\;d - R_{(\text{♁})} \simeq 59\;R_{(\text{♁})}\;</math> et <math>\;d - R_{(\text{♁})} - z_{\text{apes}} \simeq 6\;R_{(\text{♁})}</math>, d'où <math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A) =</math> <math>m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}} \left\lbrace \dfrac{1}{54} - \dfrac{\dfrac{1}{81}}{59 \times 6} \right\rbrace \times 53 \simeq 0,97963\;m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}}\;</math> arrondi à <center><math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A) \simeq 0,98\;m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}}\;</math> soit,</center> {{Al|5}}en injectant les dernières valeurs numériques, <math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A) \simeq 0,97963 \times 10^3 \times \dfrac{6,67\;10^{-11} \times 6,0\;10^{24}}{6,4\;10^6} \simeq 6,126\;10^{10}\;J\;</math> c'est-à-dire finalement <center><math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A) \simeq 61,26\;GJ\;</math><ref name="uniquement champ de gravitation terrestre - ter"> Si on ne tenait compte que du champ de gravitation terrestre comme le demandait le programme de physique de P.C.S.I pour cet exemple, la barrière d'énergie potentielle au point de lancement se réduirait à <math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁})}(A) = m\; \mathcal{G}\; \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} \left[ R_{(\text{♁})} + z_B \right]}\;z_B\;</math> et l'A.N. donnerait <math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁})}(A) =</math> <math>m\; \dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}} \times \dfrac{1}{1 + 58,73} \times 58,73 \simeq 0,9833\;m\; \dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}}\;</math> soit <math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁})}(A) \simeq</math> <math>61,49\;GJ\;</math> c.-à-d. qui correspondrait à une barrière dont la hauteur serait accrue de <math>\;0,4\,\%</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans l'hypothèse où l'obus de J.V. puisse parvenir sur la Lune et en supposant que les explorateurs lunaires embarqués dans l'obus puissent construire un canon utilisable pour leur retour, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}on définit alors une nouvelle « barrière d'énergie potentielle au nouveau point de lancement <math>\;B\;</math> de la surface lunaire »<ref name="barrière de potentiel" /> par <center><math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(B) = U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(z_S = z_{\text{apes}}) - U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(z_B) = \Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A) - U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(z_B) \simeq</math> <math>0,97963\;m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}} - m\; \mathcal{G} \left\lbrace \dfrac{m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})} \left[ R_{(\text{♁})} + z_B \right]} - \dfrac{m_{(\text{☽})}}{\left[ d - R_{(\text{♁})} \right] \left[ d - R_{(\text{♁})} - z_B \right]} \right\rbrace z_B\;</math> avec</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;z_B = AB \simeq 58,73\;R_{(\text{♁})}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{(\text{♁})} + z_B \simeq 59,73\;R_{(\text{♁})}</math>, <math>\;d - R_{(\text{♁})} \simeq 59\;R_{(\text{♁})}\;</math> et <math>\;d - R_{(\text{♁})} - z_B \simeq 0,27\;R_{(\text{♁})} \left\lbrace \simeq R_{(\text{☽})} \right\rbrace\;</math> d'où <math>\;U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(z_B) \simeq</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}} \left\lbrace \dfrac{1}{59,73} - \dfrac{\dfrac{1}{81}}{59 \times 0,27} \right\rbrace \times 58,73 \simeq 0,93774\;m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}}\;</math> et par suite <math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(B) \simeq</math> <math>0,97963\;m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}} - 0,93774\;m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}}\;</math> soit <center><math>\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(B) \simeq 0,04189\;m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}} \simeq 2,620\;GJ \simeq 4,3\,\%\;\text{de}\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A)\;</math><ref> Soit une barrière d'énergie potentielle approximativement <math>\;23\;</math> fois moins élevée que celle existant au lancement du point <math>\;A\;</math> de la surface terrestre.</ref>.</center> == Énergie minimale nécessaire au franchissement de la « bosse d'énergie potentielle » == {{Al|5}}L'énergie mécanique de l'obus de J.V. lancé à partir du point <math>\;A\;</math> de la surface terrestre étant conservée dans l'hypothèse où on néglige les forces de frottement fluide de l'atmosphère terrestre, ce dernier pourra <u>atteindre la Lune</u> s'il a l'« <u>énergie mécanique suffisante pour franchir la bosse d'énergie potentielle</u> »<ref name="franchissement de la barrière"> Par abus on peut entendre que l'obus de J.V. « franchit la barrière d’énergie potentielle » <math>\;\big\{</math>et même <math>\;\big(</math>ce qui est encore plus incorrect<math>\big)\;</math> « franchit la barrière de potentiel »<math>\big\}</math>, on rappelle que la « barrière d'énergie potentielle » étant le saut d'énergie potentielle entre la position de lancement et la position de la « bosse » ce n'est pas la « barrière » qui est franchie mais bien la « bosse » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="si frottements fluides dans l'atmosphère"> En tenant compte des forces de frottement fluide de l'atmosphère terrestre, l'énergie mécanique de l'obus dans l'atmosphère étant alors une fonction <math>\;\searrow\;</math> quand l'altitude <math>\;\nearrow</math>, l'énergie mécanique initiale <math>\;\big(</math>qui est aussi l'énergie cinétique initiale, la référence de l'énergie potentielle ayant été choisie au point de lancement<math>\big)\;</math> doit être plus grande que celle nécessaire en absence de frottements fluides car elle doit être suffisante pour franchir la bosse d'énergie potentielle après la perte qu'elle aura subie lors du parcours de l'obus dans l'atmosphère <math>\;\ldots</math></ref>, c'est-à-dire s'il possède encore de l'énergie cinétique en la position <math>\;S\;</math> de la « bosse »<ref> Il est équivalent de dire que l'obus ne doit pas rencontrer de mur d’énergie potentielle.</ref> soit la nécessité de fournir initialement à l'obus l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,0}</math> égale à l'énergie mécanique <math>\;E_{m,\,M}(S)\;</math> en la position <math>\;S\;</math> avec <math>\;K_M(S) > 0</math>, ce qui se traduit par <math>\;K_0 + U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A) =</math> <math>K_M(S) + U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(S)\;</math> avec <math>\;K_M(S) > 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;K_0 =</math> <math>K_M(S) + \left[ U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(S) - U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(S) > 0\;</math> ou encore <math>\;K_0 =</math> <math>K_M(S) + \Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A)\;</math> avec <math>\;K_M(S) > 0\;</math> et finalement <center><math>\;K_0 > \Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A)\;</math> c'est-à-dire que <br>l'énergie cinétique initiale doit être plus grande que la « barrière d'énergie potentielle au point de lancement <math>\;A\;</math>»<ref name="si frottements fluides dans l'atmosphère" /> ;</center> {{Al|5}}dans le cadre de la cinétique newtonienne la condition d'énergie cinétique initiale se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_0^2 > \Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A)\;</math> ou <math>\;v_0 = \Vert \vec{v}_0 \Vert > \sqrt{\dfrac{2\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(A)}{m}}\;</math> soit numériquement <math>\;v_0 > \sqrt{\dfrac{2 \times 61,26\;10^9}{10^3}} \simeq 11,069\;m \cdot s^{-1}\;</math> et finalement <math>\;v_0 \gtrsim 11,07\; km \cdot s^{-1}\;</math><ref name="vitesse de libération au point de lancement sur la Terre"> Cette valeur numérique est très voisine de celle de la « vitesse de libération d'un objet en un point de lancement de la Terre » c.-à-d. « la vitesse initiale en ce point pour que l'objet soumis uniquement à la force de gravitation terrestre puisse s'en extraire » <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#En_complément,_vitesse_de_libération_d’une_sonde_terrestre_en_orbite_basse_évaluée_dans_un_référentiel_terrestre|complément, vitesse de libération d'une sonde terrestre en orbite basse évaluée dans un référentiel terrestre]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, ceci prouvant qu'au point d'apesanteur où les champs de gravitation terrestre et lunaire se compensent, la valeur commune est quasi-nulle et que ce point peut encore être considéré comme hors de gravitation terrestre <math>\;\big(</math>et bien sûr également hors gravitation lunaire<math>\big)</math> ; la valeur commune des champs de gravitations terrestre et lunaire vaut <math>\;\Vert \vec{G}_{(\text{♁})}(M_{\text{apes}}) \Vert =</math> <math>\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{\left[ R_{(\text{♁})} + z_{\text{apes}} \right]^2} \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{\left[ 54\;R_{(\text{♁})} \right]^2} \simeq 3,43\;10^{-4}\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{♁})}}{R_{(\text{♁})}^{\,2}}\;</math> soit <math>\;\Vert \vec{G}_{(\text{♁})}(M_{\text{apes}}) \Vert \simeq 3,43\;10^{-4}\;G_{(\text{♁})}(A) \simeq</math> <math>3,43\;10^{-4}\;g\;</math> avec <math>\;g\;</math> intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol de la Terre, ou <math>\;\Vert \vec{G}_{(\text{♁})}(M_{\text{apes}}) \Vert \simeq 3,4\;10^{-3}\;m \cdot s^{-2}\;</math> donc pratiquement nulle {{Nobr|<math>\;\big\{</math>le}} calcul effectué en utilisant la gravitation lunaire conduit effectivement au même résultat <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Barrière_d'énergie_potentielle&action=submit#cite_note-vitesse_de_libération_au_point_de_lancement_sur_la_Lune-38|³⁸]] plus bas dans ce paragraphe »<math>\big)\big\}</math>.</ref> <math>\;\big(</math>non réalisable avec un canon à poudre car la plus grande vitesse obtenue dans le passé à la « bouche » du {{Nobr|canon<ref name="bouche d'un canon"> C.-à-d. à la sortie du canon d'une arme à feu voir l'article de wikipédia « [[w:Vitesse_à_la_bouche|vitesse à la bouche]] ».</ref>}} a été <math>\;1,6\; km \cdot s^{-1}\;</math><ref name="record de vitesse à la bouche d'un canon"> Exemple du « [[w:Pariser_Kanonen|canon de Paris]] » <math>\;\big(</math>appelé à tort par les français « [[w:Grosse_Bertha|Grosse Bertha]] »<math>\big)</math>, canon qui bombarda Paris en <math>\;1918</math> : vitesse à la « bouche » jusqu'à <math>\;1,6\; km \cdot s^{-1}</math>, masse de l'obus <math>\;>\;</math> à <math>\;125\; kg</math>, calibre de l'obus <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plus souvent le plus grand diamètre<math>\big)\;</math> de <math>\;21\;</math> à <math>\;24\; cm</math>, longueur du tube du canon de <math>\;34\;</math> à <math>\;36\; m</math>, masse de poudre nécessaire entre <math>\;150\;</math> et <math>\;200\; kg</math>, portée maximale <math>\;128\; km\;</math> sous un angle de tir de <math>\;55\;\text{°}\;</math> sur l'horizontale correspondant à un temps de vol de <math>\;180\;</math> à <math>\;210\; s\;</math> mais <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Exemple du «~canon de Paris~» Exemple du}} l'influence de la résistance de l'air est très forte <math>\;\big(</math>en absence de frottement fluide la portée aurait pu atteindre <math>\;256\; km\big)\;</math> ainsi que celle de la pseudo-force de Coriolis <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Cas_où_le_référentiel_d'entraînement_est_en_rotation_uniforme_autour_d'un_axe_fixe_du_référentiel_galiléen|cas où le référentiel d'entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel galiléen]] (pseudo-force d'inertie de Coriolis) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\;\big(</math>par pseudo-force de Coriolis la déviation pouvait atteindre <math>\;1,6\; km\big)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Exemple du «~canon de Paris~» Exemple du}} cela n'aurait été guère utilisable pour envoyer l'obus de J.V., une des raisons étant une vitesse initiale <math>\;7\;</math> fois trop faible mais aussi la trop petite taille pour accueillir trois passagers ; <br>{{Al|3}}un autre canon a été utilisé par les allemands pendant la guerre de '''14-18''' c’était la « [[w:Grosse_Bertha|Dicke Bertha]] » <math>\;\big(</math>ou « Grosse Bertha » en français<math>\big)\;</math> apparue dès le début de la guerre lors du siège de Liège : vitesse à la « bouche » jusqu'à <math>\;0,4\; km \cdot s^{-1}</math>, masse de l'obus <math>\;400\;</math> ou <math>\;830\; kg</math>, calibre de l'obus <math>\;42\; cm</math>, longueur du tube du canon <math>\;5\; m</math>, portée maximale <math>\;9,3\; km\;</math> pour l'obus de <math>\;830\; kg\;</math> et <math>\;12,5\;km\;</math> pour celui de <math>\;400\;kg</math> <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|3}}On remarque l'influence de la diminution de la masse de l'obus dans le « [[w:Pariser_Kanonen|canon de Paris]] » relativement à celle de la « [[w:Grosse_Bertha|Grosse Bertha]] » sur la vitesse à la « bouche » qui peut ainsi être plus grande <math>\;\big(</math>à charge explosive égale, une diminution de la masse de l'obus d'un facteur <math>\;4\;</math> doit conduire à un doublement de la vitesse à la « bouche »<math>\big)</math>, mais on constate aussi la nécessité d'augmenter la longueur du tube du canon pour que l'énergie fournie lors de l'explosion reste guidée suivant une direction et par suite se transforme en augmentation de vitesse « bouche ».</ref>, de plus l'accélération de l'obus de J.V. à l'intérieur du tube du canon serait nettement supérieure à l'accélération maximale que peut supporter un être humain estimée à « une dizaine de g »<ref> En fait la raison principale pour laquelle le « [[w:Pariser_Kanonen|canon de Paris]] » qui bombarda Paris en <math>\;1918\;</math> et dont les caractéristiques peuvent être retrouvées sur la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Barrière_d'énergie_potentielle#cite_note-35| ³⁵]] précédente » n'aurait été guère utilisable pour envoyer l'obus de J.V. est que l'accélération moyenne de l'obus quand ce dernier se trouvait encore dans le tube du canon pouvant être estimée à <math>\;a_{\text{moy}} \simeq \dfrac{v_0^2}{2\;l_{\text{tube}}} \simeq \dfrac{\left( 1600 \right)^2}{2 \times 36} \simeq 35556\;m \cdot s^{-2}</math> <math>\simeq 3600\;g</math>, c.-à-d. beaucoup trop importante pour qu'un être humain ne puisse la supporter <math>\;\ldots</math> <math>\;\Bigg[</math>le calcul se justifie en appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. à l'obus à l'intérieur du tube du canon <math>\Rightarrow</math> la force de propulsion moyenne s'exerçant sur l'obus <math>\;F_{\text{moy}} = m\;a_{\text{moy}}\;</math> d'une part et d'autre part en lui appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre l'instant de mise à feu et celui de l'éjection du tube soit <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;v_0^2\; \cancel{-\; \dfrac{1}{2}\;m\;v_{\text{mise à feu}}^{\,2}} \simeq F_{\text{moy}}\;l_{\text{tube}}\;</math> d'où, en injectant l'expression de la force de propulsion moyenne précédemment estimée et en simplifiant par la masse de l'obus, l'expression précédente de l'accélération moyenne de l'obus à l'intérieur du tube du canon<math>\Bigg]</math>, et ceci même si la durée <math>\;\tau\;</math> pendant laquelle l'obus subit cette accélération c.-à-d. la durée du déplacement de l'obus dans le tube reste modérée <math>\;\bigg[</math>en effet la durée <math>\;\tau\;</math> du tir peut s'évaluer par <math>\;v_0 \simeq a_{\text{moy}}\;\tau\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tau \simeq</math> <math>\dfrac{v_0}{a_{\text{moy}}} \simeq \dfrac{1600}{35556}\;</math> en <math>\,s\;</math> soit <math>\;\tau \simeq 45\;ms\bigg]</math>.</ref>{{,}} <ref name="accélération maximale supportée par un humain"> En fait, ce qui importe pour la survie d'un humain en plus du maximum d'accélération acceptable en valeur absolue, c'est aussi le maximum de la dérivée temporelle de l'accélération en valeur absolue <math>\;\bigg[</math>la dérivée temporelle du vecteur accélération <math>\;\dfrac{d \vec{a}_M}{dt}(t)\;</math> est encore appelée « [[w:À_coup|vecteur d'à-coup]] » ou, plus communément, « vecteur jerk » et notée <math>\;\vec{j}_M(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\bigg]\;</math> ou, ce qui est équivalent, la durée pendant laquelle l'accélération extrémale est subie, durée qui ne doit pas être supérieure à une certaine valeur ; <br>{{Al|3}}tout d'abord il faut savoir qu'un humain supporte mieux les accélérations latérales que verticales, le record d'accélération (latérale) subie volontairement étant <math>\;46,2\; g\;</math> réalisé dans les années <math>\;1950\;</math> dans un chariot sur rail, <br>{{Al|3}}{{Transparent|tout d'abord il faut savoir }}qu'un être humain supporte sans mal une accélération de <math>\;3\; g\;</math> dans une centrifugeuse pendant <math>\;12\; h\;</math> mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|tout d'abord il faut savoir }}qu'un homme, même très entraîné, tient moins d'<math>1\; min\;</math> à une accélération de <math>\;12\; g</math> <math>\;\big[</math>ce qu'a néanmoins subi '''[[w:Alan_Shepard|Alan Bartlett Shepard]]''' lors de la retombée de sa capsule « '''[[w:Mercury-Redstone_3|Mercury Freedom 7]]''' » après un tir balistique qui l'amena à <math>\;186\; km\;</math> d'altitude en <math>\;1961\big]</math> <math>\;\big\{</math>'''[[w:Alan_Shepard|Alan Bartlett Shepard]] (1923 - 1998)''' aviateur naval, pilote d'essai et astronaute américain fut le 1^er américain à voyager dans l'espace en <math>\;1961\;</math> et marcha sur la Lune en <math>\;1971\big\}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|tout d'abord il faut savoir }}qu'un siège éjectable soumet le pilote à une accélération de <math>\;25\; g\;</math> pendant <math>\;13\;</math> à <math>\;14\; s</math> <math>\;\big(</math>c'est si violent qu'en France, un pilote militaire ne peut plus voler après avoir subi deux éjections, ce qui, heureusement pour eux, ne s'est jamais produit<math>\big)</math>.</ref> et par suite les « astronautes en herbe » seraient morts avant que l'obus ne sorte du canon<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans l'hypothèse où les explorateurs lunaires de J.V. aient eu à leur disposition un canon permettant le lancement de l'obus les contenant tout en leur assurant la survie au lancement, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}qu'ils aient pu construire, à leur arrivée sur la Lune, un canon pour leur retour, la « barrière d'énergie potentielle au point de lancement de la surface lunaire » pour le trajet retour <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse qu'ils aient pu construire, à leur arrivée sur la Lune, un canon pour leur retour, }}étant «<math>\;23\;</math> fois moins haute », la vitesse initiale de lancement à partir de la Lune <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse qu'ils aient pu construire, à leur arrivée sur la Lune, un canon pour leur retour, étant «<math>\;\color{transparent}{23}\;</math> fois moins haute », la vitesse initiale de lancement }}aurait été nettement moindre : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en effet la conservation de l'énergie mécanique de l'obus entre le point de lancement <math>\;B\;</math> de la surface lunaire et la position <math>\;S\;</math> de la bosse de l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>conservation rigoureuse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en effet }}compte-tenu de l'absence de toute atmosphère lunaire<math>\big)</math> à savoir <math>\;{E'}_{\!m,\,0} = {E'}_{\!m,\,M}(S)\;</math> avec <math>\;{K'}_{\!M}(S) > 0</math>, se réécrit <math>\;{K'}_{\!0} + U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(B) = {K'}_{\!M}(S) + U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(S)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en effet }}avec <math>\;{K'}_{\!M}(S) > 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;{K'}_{\!0} = {K'}_{\!M}(S) + \left[ U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(S) - U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(B) \right]\;</math> avec <math>\;{K'}_{\!M}(S) > 0\;</math> ou encore <math>\;{K'}_{\!0} = {K'}_{\!M}(S) + \Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(B)\;</math> avec <math>\;{K'}_{\!M}(S) > 0\;</math> <center>et finalement <math>\;{K'}_{\!0} > \Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(B)\;</math> c'est-à-dire que <br>l'énergie cinétique initiale doit être plus grande que la « barrière d'énergie potentielle au point de lancement <math>\;B\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}dans le cadre de la cinétique newtonienne la condition d'énergie cinétique initiale se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;{v'}_{\!0}^2 > \Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(B)\;</math> ou <math>\;{v'}_{\!0} =</math> <math>\Big\Vert \vec{v'}_{\!0} \Big\Vert > \sqrt{\dfrac{2\;\Delta U_{\text{gravit.} \leftarrow (\text{♁, ☽})}(B)}{m}}\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans le cadre de la cinétique newtonienne }}numériquement <math>\;{v'}_{\!0} > \sqrt{\dfrac{2 \times 2,62\;10^9}{10^3}} \simeq 2,289\;m \cdot s^{-1}\;</math> et finalement <math>\;{v'}_{\!0} \gtrsim 2,29\; km \cdot s^{-1}\;</math><ref name="vitesse de libération au point de lancement sur la Lune"> Cette valeur numérique est très voisine de celle de la « vitesse de libération d'un objet en un point de lancement de la Lune » c.-à-d. « la vitesse initiale en ce point pour que l'objet soumis uniquement à la force de gravitation lunaire puisse s'en extraire » <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#Ordre_de_grandeur_de_la_vitesse_de_libération_d’une_sonde_«_satellitaire_»_en_orbite_basse_dans_le_référentiel_«_satellocentrique_»|ordre de grandeur de la vitesse de libération d'une sonde satellitaire en orbite basse dans le référentiel satellocentrique]] (cas de la Lune) » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, ceci prouvant qu'au point d'apesanteur où les champs de gravitation terrestre et lunaire se compensent, la valeur commune est quasi-nulle et que ce point peut encore être considéré comme hors de gravitation lunaire <math>\;\big(</math>et bien sûr aussi hors gravitation terrestre<math>\big)</math> ; la valeur commune des champs de gravitations terrestre et lunaire vaut <math>\;\Vert \vec{G}_{(\text{☽})}(M_{\text{apes}}) \Vert</math> <math>= \dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{☽})}}{\left[ d - R_{(\text{♁})} - z_{\text{apes}} \right]^2} \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{☽})}}{\left[ 6\; R_{(\text{♁})} \right]^2} \simeq \dfrac{1}{36}\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{☽})}}{\left[ 3,7\; R_{(\text{☽})} \right]^2} \simeq</math> <math>2,03\;10^{-3}\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{(\text{☽})}}{R_{(\text{☽})}^{\,2}} \simeq 2,03\;10^{-3}\;G_{(\text{☽})}(B) \simeq 2,03\;10^{-3}\;g_{(\text{☽})}\;</math> avec <math>\;g_{(\text{☽})}\;</math> intensité de la pesanteur lunaire au niveau du sol de la Lune, valant approximativement <math>\;\dfrac{g}{6}</math>, d'où le même résultat que celui obtenu dans la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Barrière_d'énergie_potentielle&action=submit#cite_note-vitesse_de_libération_au_point_de_lancement-33|³³]] plus haut dans ce paragraphe » <math>\;\Vert \vec{G}_{(\text{☽})}(M_{\text{apes}}) \Vert \simeq 3,4\;10^{-3}\;m \cdot s^{-2}\;</math> donc pratiquement nulle.</ref> <math>\;\big(</math>non réalisable avec un canon à poudre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans le cadre de la cinétique newtonienne numériquement }}la plus grande vitesse obtenue dans le passé à la « bouche » d'un {{Nobr|canon<ref name="bouche d'un canon" />}} sur Terre ayant été <math>\;1,6\; km \cdot s^{-1}\;</math><ref name="record de vitesse à la bouche d'un canon" />, de plus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans le cadre de la cinétique newtonienne numériquement }}l'accélération de l'obus de J.V. à l'intérieur du tube du canon serait nettement <math>\;>\;</math> à l'accélération maximale humainement supportable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans le cadre de la cinétique newtonienne numériquement l'accélération de l'obus de J.V. à l'intérieur du tube du canon serait nettement <math>\;\color{transparent}{>}\;</math> à }}estimée, sur la Lune, à «<math>\;\simeq 60\;g_{(\text{☽})}\;</math>»<ref> En effet comme <math>\;g_{(\text{☽})} \simeq \dfrac{g}{6}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;10\;g \simeq 60\;g_{(\text{☽})}</math>.</ref>{{,}}<ref> La raison principale pour laquelle une réplique du « [[w:Pariser_Kanonen|canon de Paris]] » qui bombarda Paris en <math>\;1918\;</math> et dont les caractéristiques peuvent être retrouvées sur la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Barrière_d'énergie_potentielle#cite_note-35| ³⁵]] précédente » n'aurait été guère utilisable sur la Lune pour renvoyer l'obus de J.V. est que l'accélération moyenne de l'obus quand ce dernier se trouve encore dans le tube du canon reconstruit sur la Lune avec la même longueur, peut être estimée à la même valeur que sur Terre à savoir <math>\;a_{\text{moy}} \simeq \dfrac{v_0^2}{2\;l_{\text{tube}}} \simeq 3600\;g \simeq 21600\;g_{(\text{☽})}</math>, c.-à-d. très supérieure à la limite d'accélération supportée par un être humain sur la Lune <math>\;\simeq 60\;g_{(\text{☽})}\;</math> <math>\;\ldots</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>revoir}} le calcul exposé dans la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Barrière_d'énergie_potentielle#cite_note-36|³⁶]] plus haut dans ce paragraphe » montrant que le champ de gravitation n'intervient pas et par suite établissant que le calcul reste identique sur la Lune<math>\big)</math>, et ceci même si la durée <math>\;\tau\;</math> pendant laquelle l'obus subit cette accélération c.-à-d. la durée du déplacement de l'obus dans le tube reste modérée <math>\;\big(</math>le calcul exposé dans la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Barrière_d'énergie_potentielle#cite_note-36|³⁶]] plus haut dans ce paragraphe » restant valable et conduisant à <math>\;\tau \simeq 45\;ms\big)</math>.</ref>{{,}}<ref name="accélération maximale supportée par un humain" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans le cadre de la cinétique newtonienne numériquement }}et par suite les « apprentis explorateurs lunaires » seraient morts avant que l'obus ne sorte du canon<ref> À moins qu'ils ne l'aient été auparavant pour de multiples raisons, n'oublions pas que la Lune, à l'époque de '''[[w:Jules_Verne|Jules Verne]]''', n'était connue que par observation télescopique et que certains faisaient l'hypothèse de présence d'habitants qu'ils appelaient « les sélénites » <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>. == Autres exemples de « barrière » d'énergie potentielle == === Lancer d'un proton en direction d'un autre proton « immobile » === {{Al|5}}Le proton immobile est choisi comme origine <math>\;O\;</math> du repérage du proton mobile <math>\;P\;</math> de masse <math>\;m_p \simeq 1,67\; 10^{-27}\; kg\;</math> et de charge <math>\;q_p = +e \simeq 1,60\; 10^{-19}\; C</math> ; {{Al|5}}initialement <math>\;P\;</math> est lancé avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{v}_0\;</math> de direction passant par <math>\;O\;</math> et de sens vers <math>\;O\;</math> à partir d'une position située à la distance <math>\;d\;</math> de <math>\;O</math> ; {{Al|5}}on choisit l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> issu de <math>\;O\;</math> et se dirigeant vers <math>\;P</math>, le proton <math>\;P\;</math> ayant donc, dans un 1^er temps, un mouvement rectiligne suivant <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> dans le sens <math>\;-\;</math> de <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>. {{Al|5}}<u>Bilan de forces exercées sur le proton P mobile</u> : le proton <math>\;P\;</math> est soumis à * une force électrostatique répulsive de la part du proton situé en <math>\;O</math>, <math>\;\vec{F}_{\text{électrost.}\, P\, \leftarrow\; O} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; x^2}\;\vec{u}_x\;</math><ref name="permittivité diélectrique du vide"> <math>\;\varepsilon_0\;</math> étant la permittivité diélectrique du vide, de valeur numérique dans le S.I. telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\;u.s.i.</math>.</ref> correspondant au vecteur champ électrostatique créé par le proton <math>\;O\;</math> immobile en la position <math>\;P\;</math> du proton mobile <math>\;\vec{E}_O(P) = \dfrac{\vec{F}_{\text{électrost.}\, P\, \leftarrow\; O}}{+e} = \dfrac{e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; x^2}\;\vec{u}_x</math>, mais aussi à * une force d'« interaction nucléaire forte (résiduelle) »<ref name="interaction nucléaire forte"> En fait l'« interaction nucléaire forte » s'exerce entre les particules constitutives du proton « [[w:Quark|les quarks]] » lesquels n'existent pas à l'état libre <math>\;\bigg\{</math>il faut trois quarks pour former un proton <math>\;\big[2\;u\;\big(</math>up<math>\big)\;</math> et {{Nobr|<math>1\;d\;\big(</math>down<math>\big)\big]\;</math>}} les 1^ers étant de charge individuelle <math>+\dfrac{2}{3}\;e\;</math> et le 2^ème de charge individuelle <math>-\dfrac{1}{3}\;e\;</math> d'où la charge du proton <math>\;2 \times \left( +\dfrac{2}{3}\;e \right) + \left( -\dfrac{1}{3}\;e \right) = +e</math>, il faut aussi trois quarks pour former un neutron <math>\;\big[1\;u\;\big(</math>up<math>\big)\;</math> et <math>2\;d\;\big(</math>down<math>\big)\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> charge du neutron <math>\;\left( +\dfrac{2}{3}\;e \right) + 2 \times \left( -\dfrac{1}{3}\;e \right)</math> <math>= 0\bigg\}</math>, l'« interaction nucléaire forte » étant à très courte portée de l'ordre de <math>\;1\;fm</math> <math>\;\big(1\;</math> fermi ou fentomètre {{Nobr|c.-à-d.}} <math>\;10^{-15}\;m\big)</math>, ce qui signifie qu'au-delà de l'estimation de sa portée l'« interaction nucléaire forte » peut être considérée comme nulle ; <br>{{Al|3}}une conséquence de la très courte portée de l'« interaction nucléaire forte » entre « [[w:Quark|quarks]] » étant que l'interaction exercée entre « [[w:Quark|quarks]] » de deux protons différents ne se manifestant que si les protons se côtoient, on peut penser qu'elle s’exerce entre les protons mais cette interaction entre protons n'est que la résultante des interactions entre « [[w:Quark|quarks]] » <math>\;\ldots</math> <math>\;\big[</math>pour éviter cette ambiguïté, on parlera d'« interaction nucléaire forte résiduelle » entre protons <math>\;\big(</math>sans que ce soit systématique<math>\big)\big]</math>.</ref> de la part du proton situé en <math>\;O</math>, <math>\;\vec{F}_{\text{nucl. forte résid.}\,P\, \leftarrow\, O} = F_{\text{nucl. forte résid.}}\!(x)\; \vec{u}_x\;</math> dans lequel <math>\;F_{\text{nucl. forte résid.}}\!(x)</math> représente l'intensité de l'« interaction nucléaire forte résiduelle » entre protons soit <math>\;F_{\text{nucl. forte résid.}}\!(x) \left\lbrace \begin{array}{l}= 0 &\text{si}\; x \in \left[ x_{\text{sup}} \simeq 2,5\;fm\,,\, +\infty \right[\\ < 0 &\text{si}\; x \in \left] x_{\text{stat}} \simeq 0,5\;fm\,,\, x_{\text{sup}} \simeq 2,5\;fm \right[\\ > 0 &\text{si}\; x \in \left] x_{\text{inf}} \simeq 0,25\;fm\,,\, x_{\text{stat}} \simeq 0,5\;fm \right[\\ \rightarrow +\infty &\text{si}\; x \in \left] 0\, , \, x_{\text{inf}} \simeq 0,25\;fm \right]\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="x supérieur à 2,5 fm"> Dans le cas où le proton mobile <math>\;P\;</math> est éloigné de plus de <math>\;\simeq 2,5\;fm\;</math> du proton immobile <math>\;O</math>, on peut estimer qu'une seule force s'exerce sur <math>\;P\;</math> la force électrostatique répulsive ; <br>{{Al|3}}en deçà de cette distance, il faut donc tenir compte, en plus de cette force électrostatique répulsive, de la force d'« interaction nucléaire forte résiduelle » dont l'intensité est encore mal connue mais qui <br>{{Al|3}}{{Transparent|en deçà de cette distance, }}reste attractive tant que la distance est <math>\;\gtrsim\;</math> à <math>\;0,5\;fm\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en deçà de cette distance, }}devient répulsive quand la distance <math>\;\searrow\;</math> encore jusqu'à <math>\;0,25\;fm\;</math> à partir de laquelle la pénétration est estimée impossible ; <br>{{Al|3}}en pratique, on peut estimer que la force d'« interaction nucléaire forte résiduelle » joue un rôle dès que l'« énergie cinétique du proton incident dépasse <math>\;1\; MeV\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Bilan de forces exercées sur le proton P mobile : }}les deux forces étant conservatives<ref> Ou, pour la force d'« interaction nucléaire forte résiduelle », modélisée comme telle.</ref>, la résultante « dérive » d'une énergie potentielle dont * le 1^er terme électrostatique est «<math>\;U_{\text{électrost.}\, P\, \leftarrow\; O}(x) = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; x}\;</math> en prenant la référence à l'infini »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge qdans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », à savoir retrouver sans hésiter.</ref> et * le 2^ème terme d'« interaction nucléaire forte résiduelle » «<math>\;U_{\text{nucl. forte résid.}}(x) \left\lbrace \begin{array}{l}> 0\;\;\text{fortement}\;\searrow &\text{si}\; x \in \left] 0\, , \, x_{\text{inf}} \simeq 0,25\;fm \right]\\ < 0\;\;\text{et}\;\searrow &\text{si}\; x \in \left] x_{\text{inf}} \simeq 0,25\;fm\,,\, x_{\text{stat}} \simeq 0,5\;fm \right[\\ < 0\;\;\text{faiblement}\;\nearrow &\text{si}\; x \in \left] x_{\text{stat}} \simeq 0,5\;fm\,,\, x_{\text{sup}} \simeq 2,5\;fm \right[\\ = 0 &\text{si}\; x \in \left[ x_{\text{sup}} \simeq 2,5\;fm\,,\, +\infty \right[\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Cette énergie potentielle est en fait difficile à appréhender car il n’existe pas de système à deux protons nucléairement stable et si la théorie dit que l’interaction nucléaire forte résiduelle est suffisamment attractive pour contrer l’interaction électrostatique répulsive quand les protons se côtoient, l’expérience n’a jamais détecté un système stable constitué de deux protons <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}En effet, les deux protons « rebondissent » l’un sur l’autre <math>\;\big(</math>ces collisions étant dites « élastiques »<math>\big)\;</math> ou, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}si l’énergie mise en jeu est suffisante, ils peuvent subir des collisions dites « inélastiques » correspondant à la transformation des deux particules ou d’une seule en d'autres particules par exemple <math>\;p + p \rightarrow d + e^{+} + \nu_e\;</math> où <math>\;d\;</math> est un deutéron <math>\;\big\{</math>c.-à-d. un noyau de deutérium « proton + neutron » d’énergie de liaison <math>\;-2,2\; MeV</math> <math>\;\big[</math>l’énergie de liaison valant <math>\;-\Delta m\; c^2\;</math> avec <math>\;\Delta m\;</math> le défaut de masse du deutéron c.-à-d. <math>\;\Delta m = \left( m_{\text{proton}} + m_{\text{neutron}} \right) - m_{\text{deutéron}}\big]\big\}</math>, <math>\;e^{+}\;</math> un [[w:Positron|positron]] <math>\;\big\{</math>c.-à-d. un antiélectron <math>\;\big[</math>du domaine de l'[[w:Antimatière|antimatière]], ayant même masse et même spin que l’électron mais de charge électrique opposée, il est aussi tel qu'il ne peut subsister en présence d'un électron, la réaction donnant de l'énergie pure<math>\big]\big\}\;</math> et <math>\;\nu_e\;</math> un neutrino électronique <math>\;\big\{</math>c.-à-d. une particule de masse quasi nulle n’interagissant pas avec la matière <math>\;\big[</math>ou si peu <math>\;\ldots\;</math> la probabilité d’interaction d’un neutrino traversant de part en part la Terre avec son atmosphère étant quasi nulle<math>\big]\;</math> et toujours associé à l’émission d’un positron<math>\big\}</math>, les deux particules légères émisses se partageant <math>\;0,42\; MeV\;</math> et définissant le « rayonnement <math>\;\beta^{+}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}quand les protons se côtoient, chacun d’eux étant constitués, en plus des trois [[w:Quark|quarks]] « réels » <math>\;\big(</math>dits « de valence »<math>\big)\;</math>, d’une « [[w:Proton#Description|mer de paires quark – antiquark virtuelles]] » <math>\;\big(</math>appelée simplement « mer » par la suite<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>se matérialisant de manière éphémère à partir des [[w:Gluon|gluons]] d'« échange » <math>\;\big[</math>« gluon » particule responsable de l'interaction nucléaire forte, « échangée » entre particules subissant cette interaction <math>\;\big(</math>par exemple échangée entre les [[w:Quark|quarks]] de valence<math>\big)\;</math> de masse vraisemblablement nulle et de charge électrique nulle<math>\big]</math>, cette « [[w:Proton#Description|mer de paires quark – antiquark virtuelles]] » étant en perpétuelle évolution<math>\big\}</math>, il peut y avoir interaction entre un [[w:Quark|quark]] ou antiquark de la « mer » d’un des protons avec un [[w:Quark|quark]] ou antiquark de la « mer » de l’autre proton, cette interaction pouvant engendrer une des nombreuses particules formées à partir de [[w:Quark|quarks]] ou antiquarks à condition que l’énergie mise en jeu soit suffisante.</ref> avec référence à l'infini ». [[File:Profil d'énergie potentielle d'une collision élastique p p.png|thumb|450px|Allure du diagramme d'énergie potentielle d'une collision élastique « proton mobile P sur proton immobile O » tenant compte de l'interaction électrostatique (en traits pleins rouges), de l'interaction nucléaire forte résiduelle (allure en tiretés bleus) et des deux (allure en traits pleins verts)]] {{Al|5}}Ci-contre le tracé du profil d’énergie potentielle électrostatique en rouge et, en superposition, {{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}l’allure du profil d’énergie potentielle nucléaire forte résiduelle en tiretés bleus <math>\;\big(</math>la valeur numérique du minimum n’est pas connue avec précision car aucun système à deux protons nucléairement stable n’a été observé<ref> Pour plus d'informations relire la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Barrière_d'énergie_potentielle#cite_note-47|⁴⁷]] précédente ».</ref><math>\big)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}en ajoutant les deux on obtient l'allure du profil d’énergie potentielle totale <math>\;\big(</math>voir allure en traits pleins verts ci-contre, la valeur numérique du minimum n’est pas connue avec précision étant donné que celle du minimum de l'énergie potentielle nucléaire forte résiduelle ne l'est pas<math>\big)</math> ; {{Al|5}}on constate que le profil d’énergie potentielle totale <math>\;\big(</math>traits pleins verts ci-contre<math>\big)\;</math> * s'identifie à celui de l’énergie potentielle électrostatique pour <math>\;x \gtrsim 2,5\; fm</math>, * passe par un minimum aux alentours de <math>\;x \simeq 0,5\; fm\;</math> * pour remonter fortement simultanément à la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;x</math>, * pour terminer avec une asymptote parallèle à l'axe des énergies potentielles aux alentours de <math>\;x_{\text{min}} \simeq 0,25\;fm</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Il existe une 1^ère « barrière d’énergie potentielle (au point de lancement situé à l'infini) » quand la force électrostatique répulsive est compensée par la force d’interaction nucléaire forte résiduelle attractive « aux alentours de <math>\;1,5\; fm\;</math>»<ref> Repérant la position d'une « bosse d'énergie potentielle » laquelle, en absence d'énergie cinétique, représenterait une position d'équilibre instable.</ref> mais cette « barrière » n’est pas très élevée « de l’ordre du <math>\;MeV\;</math>» puis {{Al|5}}{{Transparent|Il existe }}une 2^ème « barrière d’énergie potentielle (au point de lancement situé à l'infini) » de valeur infinie quand la force d’interaction nucléaire forte résiduelle est devenue « de type collision » répulsive « aux alentours de <math>\;0,25\; fm\;</math>» ; {{Al|5}}la différence entre la 1^ère et la 2^ème « barrière » est que le proton peut « franchir la bosse d'énergie potentielle » correspondant à la 1^ère « barrière » si son énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0} \simeq</math> <math>K_P(x \rightarrow \infty)\;</math> est suffisante c'est-à-dire <math>\;\gtrsim 1\; MeV\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la différence entre la 1^ère et la 2^ème « barrière »}} alors que la 2^ème « barrière » de hauteur infinie correspondant à la position d'un « mur d’énergie potentielle » rend cette « limite approchée de <math>\;0,25\;fm\;</math> infranchissable »<ref> On peut l’interpréter sans utiliser les [[w:Quarks|quarks]] constituants des protons en rappelant simplement que les protons ne peuvent s'interpénétrer ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|On peut l'interpréter }}en les utilisant, les <math>\;6\;</math> [[w:Quarks|quarks]] de valence <math>\;\big(3\;</math> pour chaque proton<math>\big)</math>, deux à deux identiques, étant des [[w:Fermion|fermions]] <math>\;\bigg\{</math>fermion, particule de spin <math>\;\dfrac{2\;n + 1}{2}\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{N}\;</math> comme les « électrons, nucléons (proton ou neutron), neutrinos, [[w:Quarks|quarks]] <math>\;\ldots\;</math> et leurs anti-particules », les particules de spin <math>\;n\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{N}\;</math> étant des [[w:Boson|bosons]] comme « les photons, tous les [[w:Boson|bosons]] "de jauge" {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les particules éphémères agissant comme intermédiaires lors des interactions fondamentales par exemple les "[[w:Gluon|gluons]]" lors de l’interaction nucléaire forte<math>\big)</math>, la particule <math>\;\alpha\;</math> <math>\;\big(</math>noyau d’hélium <math>\;4\big)</math>, tout noyau ou atome à spin total entier, la [[w:Paire_de_Cooper|paire de Cooper]] <math>\;\big(</math>association stable de deux électrons de conduction expliquant la supraconductivité<math>\big)\;\ldots\;</math>»<math>\bigg\}\;</math> obéissent au <u>principe d’exclusion de Pauli</u> et par suite ne peuvent, dans la mesure de leur identité deux à deux, être au même endroit ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|On peut l'interpréter }}le principe d'exclusion de Pauli s'énonce selon : « deux [[w:Fermion|fermions]] ne peuvent se trouver au même endroit dans le même état quantique <math>\;\big(</math>état caractérisé par un ensemble de nombres quantiques<math>\big)</math>, si les nombres quantiques sont identiques deux à deux, les deux [[w:Fermion|fermions]] sont nécessairement à des endroits différents » <math>\;\big\{</math>énoncé par '''[[w:Wolfgang_Pauli|Wolfgang Pauli]]''' en <math>\;1925\;</math> pour les électrons, a ensuite été généralisé à tout [[w:Fermion|fermion]] et est passé du statut de « principe » <math>\;\big(</math>admis<math>\big)\;</math> à celui de « théorème » <math>\;\big(</math>démontré<math>\big)\;</math> dans le cadre de la mécanique quantique relativiste élaborée par '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' en <math>\;1930\big\}</math>.<br>{{Al|3}}'''[[w:Leon_Neil_Cooper|Leon Neil Cooper]] (né en 1930)''' physicien américain, colauréat avec '''[[w:John_Bardeen|John Bardeen]] (1908 - 1991)''' et '''[[w:John_robert_Schrieffer|John Robert Schrieffer]] (né en 1931)''', tous deux physiciens américains, du prix Nobel de physique de <math>\;1972\;</math> pour leur travaux sur la supraconductivité <math>\;\big\{</math>la théorie de la supraconductivité est connue sous le nom de « théorie BCS » initiales de Bardeen, Cooper, Schrieffer<math>\big\}</math> <math>\;\big[</math>'''[[w:John_Bardeen|John Bardeen]]''' fut aussi colauréat avec '''[[w:William_Bradford_Shockley|William Bradford Shockley]] (1910 - 1989)''' et '''[[w:Walter_Houser_Brattain|Walter Houser Brattain]] (1902 - 1987)''', tous trois physiciens américains, du prix Nobel de physique de <math>\;1956\;</math> pour leurs travaux sur les semi-conducteurs et leur découverte de l'effet transistor.<br>{{Al|3}}'''[[w:Wolfgang_Pauli|Wolfgang Ernst Pauli]] (1900 - 1958)''' physicien autrichien connu pour son principe d'exclusion en mécanique quantique, lui ayant valu le prix Nobel de physique en <math>\;1945</math>.<br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' dans sa théorie des distributions.</ref> quelle que soit l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0} \simeq K_P(x \rightarrow \infty)\;</math> du proton projectile <math>\;\ldots</math> === Porteur de charge mobile dans la « jonction d'une diode » === ==== Description d'une « diode à jonction » ==== {{Al|5}}Une « diode à jonction » est constituée d'un monocristal semi-conducteur <math>\;\big(</math>le plus souvent du <math>\;Si\big)\;</math><ref name="semi-conducteur intrinsèque"> Si le semi-conducteur <math>\;\big(</math>par exemple du silicium <math>\;Si\big)\;</math> reste pur <math>\;\big(</math>c.-à-d. s'il n'est pas dopé<math>\big)\;</math> il est dit intrinsèque : il est alors isolant à basse température <math>\;\big(</math>un isolant ayant une densité volumique particulaire <math>\;\lesssim 10^7\, m^{-3}\big)\;</math> et mauvais conducteur à température ordinaire <math>\;\big(</math>seuls quelques électrons de valence ont suffisamment d'énergie pour devenir des électrons de conduction, se faisant ils laissent derrière eux un site de valence vide, ceci permettant à un électron de valence des atomes voisins de venir l'occuper laissant à son tour derrière lui son site initial de valence vide<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}pour simplifier l'étude <math>\;\big\{</math>pour qu'il n'y ait pas deux types de porteurs de charge négative mobiles « les électrons de conduction » et « les électrons de valence sautant d'un site occupé à un site vide »<math>\big\}</math>, les électroniciens considèrent qu'aucun électron de valence ne peut migrer, les sites de valence restant tous occupés <math>\;\big(</math>pour les sites réellement vides, conséquence d'un électron de valence devenu électron de conduction, l'électron de conduction restant mobile ils ajoutent fictivement un électron de valence sans possibilité de migrer et ils y superposent une particule fictive mobile de charge positive qu'ils appellent « trou » <math>-</math> du point de vue électrique ils ajoutent donc fictivement une charge nulle <math>-</math> avec la propriété suivante : la superposition d'un « trou » et d'un « électron de valence » est équivalente à un site vide<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}ils remplacent alors la migration d'un électron de valence d'un site occupé <math>(\mathfrak{1})</math> à un site vide <math>(\mathfrak{2})</math> par la migration d'un trou du site <math>(\mathfrak{2})</math> au site <math>(\mathfrak{1})</math>, le départ du trou du site <math>(\mathfrak{2})</math> découvrant l'électron de valence et le rendant réel alors que l'arrivée du trou sur le site <math>(\mathfrak{1})</math> couvrant l'électron de valence et rendant ce dernier fictif, la superposition étant équivalente à un site vide ; <br>{{Al|3}}il y a donc deux types de porteurs de charge mobiles : les « électrons de conduction » et les « trous » en quantités égales. La densité volumique particulaire à température ordinaire est nettement plus faible que dans un métal <math>\;N_{V,\,m} \simeq 10^{16}\, m^{-3}\;</math> et elle est quasi-nulle à basse température.</ref> dopé de type <math>\;N\;</math><ref name="semi-conducteur dopé N"> Un semi-conducteur extrinsèque dopé <math>\;N\;</math> est un semi-conducteur <math>\;\big(</math>par exemple <math>\;Si\big)\;</math> dans lequel on a ajouté des impuretés pentavalentes <math>\;\big(</math>par exemple d'arsenic <math>\;As\big)\;</math> <math>-</math> on rappelle la définition de la valence d'un élément : nombre d'électrons de valence qui peuvent être cédés ou captés pour que la couche de valence devienne vide ou complètement remplie <math>-</math> l'électron supplémentaire par rapport au semi-conducteur tétravalent pouvant relativement aisément se déplacer, il constitue le porteur de charge mobile, la densité volumique particulaire ayant pour ordre de grandeur <math>\;N_{V,\,m} \simeq</math> <math>10^{22}\, m^{-3}</math> <math>\;\big(</math>on peut ainsi négliger la semi-conduction intrinsèque ).</ref> d'un côté et de type <math>\;P\;</math><ref name="semi-conducteur dopé P"> Un semi-conducteur extrinsèque dopé <math>\;P\;</math> est un semi-conducteur <math>\;\big(</math>par exemple <math>\;Si\big)\;</math> dans lequel on a ajouté des impuretés trivalentes <math>\;\big(</math>par exemple de gallium <math>\;Ga\big)</math>, le site de l'électron « manquant » par rapport au semi-conducteur tétravalent est remplacé par la présence simultanée d'un électron de valence fictif et d'un trou fictif, et comme dans un semi-conducteur intrinsèque les électrons de valence ajoutés restent fixes et les trous peuvent se déplacer pour « recouvrir » d'autres électrons de valence, les trous constituant donc les porteurs de charge mobiles, la densité volumique particulaire ayant le même ordre de grandeur que dans les semi-conducteurs dopés <math>\;N</math>, <math>\;N_{V,\,m} \simeq</math> <math>10^{22}\, m^{-3}</math> <math>\;\big(</math>on peut aussi négliger la semi-conduction intrinsèque).</ref> de l'autre ; {{Al|5}}l'interface de ces deux régions <math>\;P\;</math> et <math>\;N\;</math> constitue « la jonction <math>\;P\;-\;N\;</math>» de très faible épaisseur de l'ordre de <math>\;1\, \mu m</math>. ==== Porteurs de charge mobiles dans une « diode à jonction » hors branchement ==== {{Al|5}}Les porteurs de charge mobiles sont : * des trous <math>\;p</math>, présents dans la zone <math>\;P</math> <math>\;\big[</math>la zone <math>\;P\;</math> étant neutre, il y a donc aussi des anions <math>\;\big(</math>ions de charge négative<math>\big)\;</math> fixes en densité volumique égale à celle des trous<math>\big]\;</math> et absents dans la zone <math>\;N</math>, * des électrons de conduction <math>\;n</math>, présents dans la zone <math>\;N</math> <math>\;\big[</math>la zone <math>\;N\;</math> étant neutre, il y a donc aussi des cations <math>\;\big(</math>ions de charge positive<math>\big)\;</math> fixes en densité volumique égale à celle des électrons de conduction<math>\big]\;</math> et absents dans la zone <math>\;P</math> ; [[File:Jonction P - N d'une diode.png|thumb|300px|Schéma de la jonction P - N d'une diode hors branchement avec mise en évidence d'une tension de seuil théorique U_D]] {{Al|5}}hors branchement de la diode, il y a diffusion de trous de la zone <math>\;P\;</math> vers la zone <math>\;N\;</math> simultanément à une diffusion d'électrons de conduction de la zone <math>\;N\;</math> vers la zone <math>\;P</math>, on observe ainsi l'annihilation de ces porteurs dans la jonction ; {{Al|5}}il s'en suit qu'il y a, dans la jonction <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> : * du côté <math>\;P</math>, un excédent de charges <math>\;-\;</math> fixes <math>\;\big(</math>qui n'est plus compensé par la présence de trous<math>\big)\;</math> et * du côté <math>\;N</math>, un excédent de charges <math>\;+\;</math> fixes <math>\;\big(</math>qui n'est plus compensé par la présence d'électrons de conduction<math>\big)\;</math> d'où <center>l'existence d'un champ électrique <math>\;\vec{E}_D\;</math> dans la jonction dirigé de <math>\;N\;</math> vers <math>\;P\;</math> et <br>d'une tension électrique <math>\;U_D = V_{N,\,\text{de la jonction}} - V_{P,\,\text{de la jonction}} > 0\;</math><ref> Numériquement <math>\;\Vert \vec{E}_D \Vert \simeq 10^5\;</math> à <math>\;10^6\; V \cdot m^{-1}\;</math> et <math>\;U_D \simeq \Vert \vec{E}_D \Vert\;d \simeq 0,1\;</math> à <math>\;1\; V\;</math> avec <math>\;d\;</math> épaisseur de la jonction estimée à <math>\;1\;\mu m</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}cette tension stoppe la diffusion des trous vers la zone <math>\;N\;</math> et des électrons de conduction vers la zone <math>\;P\;</math> car, avec le choix de la référence des potentiels du côté <math>\;P\;</math> de la jonction, * dans la zone <math>\;P</math>, l'énergie mécanique des trous <math>\;p\;</math> est <math>\;K_p</math> <math>\;\big(</math>uniquement l'énergie cinétique puisque l'énergie potentielle électrique y est nulle par choix de sa référence au même endroit que celle du potentiel<ref name="lien entre énergie potentielle et potentiel électriques"> Avec le choix de la référence de l'énergie potentielle électrique d'un point matériel <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> au même endroit que celle du potentiel électrique, nous pouvons écrire <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot. élec.}\,q}(M)</math> <math>= q\;V_{\text{pot. élec.}}(M)</math>.</ref><math>\big)</math>, ceux-ci rencontrent alors une bosse d'énergie potentielle de hauteur <math>\;e\; U_D > 0\;</math><ref> C'est l'énergie potentielle que doit avoir un trou pour exister du côté <math>\;N\;</math> de la jonction qui est au potentiel <math>\;U_D > 0</math> ; <br>{{Al|3}}pour qu'un trou de charge <math>\;q_p = +e\;</math> de la zone <math>\;P\;</math> se retrouve dans la zone <math>\;N</math> <math>\;\big(</math>avec bien sûr de l'énergie cinétique<math>\big)\;</math> son énergie mécanique dans la zone <math>\;P\;</math> doit être <math>\;\geqslant q_p\; U_D =</math> <math>e\; U_D > 0</math>, ce minimum d'énergie correspondant à la hauteur de la bosse d'énergie potentielle à franchir pour que la migration du trou de la zone <math>\;P\;</math> vers la zone <math>\;N\;</math> soit effective <math>\;\big(</math>et comme cela ne concerne que les trous à forte agitation thermique, on peut affirmer que la migration est pratiquement arrêtée<math>\big)</math>.</ref> jouant le rôle de mur d'énergie potentielle pour les trous ayant une énergie cinétique dans la zone <math>\;P\;</math> telle que <math>\;K_p < e\; U_D\;</math> et par suite la diffusion des trous vers la zone <math>\;N\;</math> devient quasi impossible, * dans la zone <math>\;N</math>, l'énergie mécanique des électrons de conduction <math>\;n\;</math> est <math>\;K_n - e\;U_D</math> <math>\;\big(</math>énergie cinétique et énergie potentielle électrique <math>\;-e\;U_D\;</math><ref name="lien entre énergie potentielle et potentiel électriques" /><math>\big)</math>, ceux-ci rencontrent alors un niveau d'énergie potentielle de hauteur nulle<ref> C'est l'énergie potentielle que doit avoir un électron de conduction pour exister du côté <math>\;P\;</math> de la jonction qui est au potentiel nul ; <br>{{Al|3}}pour qu'un électron de conduction de charge <math>\;q_n = -e\;</math> de la zone <math>\;N\;</math> se retrouve dans la zone <math>\;P</math> <math>\;\big(</math>avec bien sûr de l'énergie cinétique<math>\big)\;</math> son énergie mécanique dans la zone <math>\;N</math>, à savoir <math>\;K_n - e\;U_D</math>, doit être <math>\;\geqslant 0</math>, ce minimum d'énergie correspondant à la hauteur du niveau d'énergie potentielle à franchir pour que la migration de l'électron de conduction de la zone <math>\;N\;</math> vers la zone <math>\;P\;</math> soit effective <math>\;\big(</math>la condition <math>\;K_n - e\;U_D \geqslant 0\;</math> étant équivalente à <math>\;K_n \geqslant e\;U_D\;</math>, cela ne concerne que les électrons de conduction à forte agitation thermique, on peut donc affirmer que la migration est pratiquement arrêtée<math>\big)</math>.</ref> jouant le rôle de mur d'énergie potentielle pour les électrons de conduction ayant une énergie cinétique dans la zone <math>\;N\;</math> telle que <math>\;K_n < e\; U_D\;</math> et par suite la diffusion des électrons de conduction vers la zone <math>\;P\;</math> devient quasi impossible. ==== Barrières d'énergie potentielle des trous de la zone P et des électrons de conduction de la zone N dans une diode à jonction hors branchement ==== {{Al|5}}<u>Barrière d'énergie potentielle d'un trou de la zone P d'une diode à jonction hors branchement</u> : On appelle « <u>barrière d’énergie potentielle d'un trou de la zone</u> <math>\;P\;</math>», « la différence d’énergie potentielle entre sa valeur la plus élevée située dans la zone <math>\;N\;</math> et la valeur de sa zone <math>\;P\;</math> de départ » soit <center><math>\;\Delta \mathcal{E}_{p,\, N \leftarrow P} = \mathcal{E}_p(N) - \mathcal{E}_p(P) = e\;V_N - e\;V_P = e\;U_D > 0</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Barrière d'énergie potentielle d'un trou de la zone P d'une diode à jonction hors branchement : }}pour qu'un trou initialement présent dans la zone <math>\;P\;</math> migre vers la zone <math>\;N</math>, il faut que son énergie cinétique d'agitation thermique <math>\;K_p\;</math> dans la zone <math>\;P\;</math> soit plus grande que la barrière d'énergie potentielle le séparant de la zone <math>\;N\;</math> c'est-à-dire <math>\;K_p \geqslant e\; U_D</math>, ce qui n'est pas réalisé à température ordinaire d'où l'absence de migration de trou de la zone <math>\;P\;</math> vers la zone <math>\;N\;</math> dans une diode à jonction hors branchement. {{Al|5}}<u>Barrière d'énergie potentielle d'un électron de conduction de la zone N d'une diode à jonction hors branchement</u> : On appelle « <u>barrière d’énergie potentielle d'un électron de conduction de la zone</u> <math>\;N\;</math>», « la différence d’énergie potentielle entre sa valeur la plus élevée située dans la zone <math>\;P\;</math> et la valeur de sa zone <math>\;N\;</math> de départ » soit <center><math>\;\Delta \mathcal{E}_{n,\, P \leftarrow N} = \mathcal{E}_n(P) - \mathcal{E}_n(N) = (-e)\;V_P - (-e)\;V_N = e\;U_D > 0</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Barrière d'énergie potentielle d'un électron de conduction de la zone N d'une diode à jonction hors branchement : }}pour qu'un électron de conduction initialement présent dans la zone <math>\;N\;</math> migre vers la zone <math>\;P</math>, il faut que son énergie cinétique d'agitation thermique <math>\;K_n\;</math> dans la zone <math>\;N\;</math> soit plus grande que la barrière d'énergie potentielle le séparant de la zone <math>\;P\;</math> c'est-à-dire <math>\;K_n \geqslant e\; U_D</math>, ce qui n'est pas réalisé à température ordinaire d'où l'absence de migration d'électron de conduction de la zone <math>\;N\;</math> vers la zone <math>\;P\;</math> dans une diode à jonction hors branchement. ==== Largeur de la jonction d'une diode hors branchement ==== {{Al|5}}La largeur <math>\;d\;</math> de la jonction d'une diode hors branchement est déterminée par l’énergie cinétique « maximale » d'agitation thermique des porteurs de charge mobiles<ref name="sens de énergie cinétique maximale" /> dans les zones dopées, à savoir * celle des trous <math>\;p\;</math> dans la zone <math>\;P</math>, tant que leur « énergie cinétique maximale »<ref name="sens de énergie cinétique maximale" /> <math>\;K_{\text{max},\,p,\,\text{dans zone}\,P}\;</math> est <math>\;\gtrsim\;</math> à la barrière d'énergie potentielle d'un trou dans cette zone <math>\;\Delta \mathcal{E}_{p,\, N \leftarrow P} =</math> <math>e\;U_D > 0</math>, cette largeur étant alors insuffisante pour empêcher la diffusion vers la zone <math>\;N\;</math> et * celle des électrons de conduction <math>\;n\;</math> dans la zone <math>\;N</math>, tant que leur « énergie cinétique maximale »<ref name="sens de énergie cinétique maximale" /> <math>\;K_{\text{max},\,n,\,\text{dans zone}\,N}\;</math> est <math>\;\gtrsim\;</math> à la barrière d'énergie potentielle d'un électron de conduction dans cette zone <math>\;\Delta \mathcal{E}_{n,\, P \leftarrow N} = e\;U_D > 0</math>, cette largeur étant alors insuffisante pour empêcher la diffusion vers la zone <math>\;P</math>, {{Al|5}}la poursuite simultanée de la diffusion des trous <math>\;p\;</math> vers la zone <math>\;N\;</math> et des électrons de conduction <math>\;n\;</math> vers la zone <math>\;P\;</math> <math>\;\big(</math>simulée sur les deux diagrammes d'énergie potentielle représentées ci-dessous, la référence de l'énergie potentielle des trous ou des électrons de conduction étant choisie du côté <math>\;P\big)\;</math> entraînant <br>{{Al|5}}la poursuite de l'annihilation des trous <math>\;p\;</math>dans la zone <math>\;P\;</math> et celle des électrons de conduction <math>\;n\;</math>dans la zone <math>\;N\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}une <math>\;\nearrow\;</math> de la largeur <math>\;d\;</math> de la jonction <math>\Rightarrow</math> la <math>\;\nearrow\;</math> de la tension de seuil théorique <math>\;U_D\;</math><ref> Le champ électrique <math>\;\vec{E}_D\;</math> restant constant.</ref> et simultanément la <math>\;\nearrow\;</math> des barrières d'énergie potentielle des trous <math>\;p\;</math> de la zone <math>\;P\;</math> et des électrons de conduction <math>\;n\;</math> de la zone <math>\;N</math>, <br>{{Al|5}}ceci jusqu'à ce que l’« énergie cinétique maximale »<ref name="sens de énergie cinétique maximale" /> des trous <math>\;p\;</math> de la zone <math>\;P</math> <math>\;K_{\text{max},\,p,\,\text{dans zone}\,P}\;</math> soit <math>\;\simeq \Delta \mathcal{E}_{p,\, N \leftarrow P} = e\;U_D > 0\;</math> et celle des électrons de conduction <math>\;n\;</math> de la zone <math>\;N</math> <math>\;K_{\text{max},\,n,\,\text{dans zone}\,N}\;</math> soit <math>\;\simeq \Delta \mathcal{E}_{n,\, P \leftarrow N} = e\;U_D > 0</math>, ceci correspondant approximativement à <math>\;d \simeq 1\;\mu m</math>. [[File:Trous dans diode à jonction hors branchement - diagramme d'énergie potentielle.png|left|thumb|400px|Allure du diagramme d'énergie potentielle des trous p dans une diode à jonction hors branchement et évolution de la largeur d de la jonction jusqu'à ce que leur énergie cinétique maximale<ref name="sens de énergie cinétique maximale"> Les porteurs de charge mobiles étant répartis statistiquement selon une « [[w:Loi_normale|loi normale]] » <math>\;\big(</math>ou loi gaussienne<math>\big)\;</math> avec leur énergie cinétique d'agitation thermique dépendant de la température, leur énergie cinétique maximale est théoriquement infinie dans le cadre de la cinétique newtonienne ; ce que nous entendrons par « énergie cinétique maximale » est la valeur d'énergie cinétique au-dessus de laquelle la répartition des porteurs de charge est inférieure à <math>\;1\;\%</math> <math>\;\big(</math>si nous travaillons à <math>\;1\;\%\;</math> près<math>\big)</math>.</ref> soit égale à leur barrière d'énergie potentielle eU_D dans la zone P]] [[File:Électrons de conduction dans diode à jonction hors branchement - diagramme d'énergie potentielle.png|right|thumb|400px|Allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n dans une diode à jonction hors branchement et évolution de la largeur d de la jonction jusqu'à ce que leur énergie cinétique maximale<ref name="sens de énergie cinétique maximale" /> soit égale à leur barrière d'énergie potentielle eU_D dans la zone N]] {{clr}} ==== Évolution des barrières d'énergie potentielle lors de la polarisation de la diode ==== {{Al|5}}Dans un circuit, la polarisation de la diode à jonction peut être : * soit directe si on impose que l'extrémité <math>\;P\;</math> soit à un potentiel plus élevé que son extrémité <math>\;N\;</math>, <math>\;V_P > V_N\;</math> correspondant à <math>\;U_{PN} = V_P - V_N > 0</math>, * soit inverse si on impose que l'extrémité <math>\;P\;</math> soit à un potentiel moins élevé que son extrémité <math>\;N</math>, <math>\;V_P < V_N\;</math> correspondant à <math>\;U_{PN} = V_P - V_N < 0</math>. {{clr}} ===== Évolution des barrières d'énergie potentielle lors de la polarisation directe de la diode ===== [[File:Diode à jonction P - N en polarisation directe.png|thumb|Schéma de la jonction P - N d'une diode en polarisation directe telle que la tension U_PN soit supérieure à la tension de seuil théorique U_D, migration entretenue des trous p de P vers N et des électrons de conduction n de N vers P]] {{Al|5}}Dans le cas de la polarisation directe <math>\;V_P > V_N\;</math> de la diode à jonction, il existe, dans toute la diode, un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> dirigé de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N</math>, ce qui crée plus particulièrement dans la jonction, un champ électrique total <math>\;\vec{E}_{\text{tot. jonct.}} = \vec{E} + \vec{E}_D\;</math> de même sens que <math>\;\vec{E}\;</math> si la tension <math>\;U_{PN} > 0\;</math> est suffisante, c'est-à-dire si <math>\;U_{PN} \gtrsim \dfrac{l}{d}\;U_D\;</math> où <math>\;l\;</math> est la longueur totale de la diode et <math>\;d\;</math> la largeur de la jonction<ref name="raison de E supérieur ou inférieur à ED"> En effet <math>\;\Vert \vec{E}_D \Vert \simeq \dfrac{U_D}{d}\;</math> en supposant le champ électrique créé par les ions de la jonction quasi uniforme et <math>\;\Vert \vec{E} \Vert \simeq \dfrac{U_{PN}}{l}\;</math> en supposant le champ électrique créé par la tension imposée de l'extérieur quasi uniforme d'où <math>\;\Vert \vec{E} \Vert \gtrsim \Vert \vec{E}_D \Vert\;</math> correspond à <math>\;U_{PN} \gtrsim \dfrac{l}{d}\;U_D\;</math> et <math>\;\Vert \vec{E} \Vert \lesssim \Vert \vec{E}_D \Vert\;</math> à <math>\;U_{PN} \lesssim \dfrac{l}{d}\;U_D</math>.</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;U_{PN} \gtrsim \dfrac{l}{d}\;U_D\;</math><ref name="raison de E supérieur ou inférieur à ED" />, ce champ électrique total dans la jonction <math>\;\vec{E}_{\text{tot. jonct.}} = \vec{E} + \vec{E}_D\;</math> étant de même sens que <math>\;\vec{E}</math> <math>\;\big[</math>et de sens contraire à <math>\;\vec{E}_D\big]</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, permet la migration entretenue * des trous <math>\;p\;</math> de la zone <math>\;P\;</math> vers la zone <math>\;N\;</math> et * des électrons de conduction <math>\;n\;</math> de la zone <math>\;N\;</math> vers la zone <math>\;P</math>, {{Al|10}}par « suppression » de la barrière d’énergie potentielle des trous <math>\;p\;</math> de la zone <math>\;P\;</math><ref name="suppression de la barrière d'énergie potentielle des p dans la zone P"> L'énergie potentielle d'un trou à l'entrée de la zone <math>\;P\;</math> étant toujours choisie comme référence, son énergie potentielle à la sortie de la zone <math>\;N\;</math> s'écrit <math>\;e\;V_N =</math> <math>-e\;U_{PN} < 0\;</math> en passant par des valeurs intermédiaires négatives dans la jonction <math>\;\big(</math>valeur négative car le champ électrique total dans la jonction est dirigé de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N\;</math> et intermédiaire, la norme du champ étant <math>\;\Vert \vec{E}_{\text{tot. jonct.}} \Vert = \Vert \vec{E} \Vert - \Vert \vec{E}_D \Vert\big)</math> ; <br>{{Al|3}}un trou <math>\;p\;</math> de la zone <math>\;P\;</math> ayant donc une énergie mécanique égale à son énergie cinétique <math>\;K_p(P)\;</math> et son énergie potentielle éventuelle dans la zone <math>\;N\;</math> étant <math>\;e\;V_N = -e\;U_{PN} < 0\;</math> en passant par des valeurs intermédiaires négatives dans la jonction, il n'y a plus de barrière d’énergie potentielle, le trou se retrouvant dans la zone <math>\;N\;</math> avec une augmentation d’énergie cinétique égale à <math>\;\Delta K_p =</math> <math>K_p(N) - K_p(P) = e\;U_{PN}</math>.</ref> <math>\;\big(</math>voir, ci-dessous à gauche, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des trous <math>\;p\;</math> initialement présents à l'extrémité gauche de la zone <math>\;P\big)\;</math> et de celle des électrons de conduction <math>\;n\;</math> de la zone <math>\;N\;</math><ref name="suppression de la barrière d'énergie potentielle des n dans la zone N"> L'énergie potentielle d'un électron de conduction à la sortie de la zone <math>\;P\;</math> étant toujours choisie comme référence, son énergie potentielle à l'entrée de la zone <math>\;N\;</math> s'écrit <math>\;-e\;V_N =</math> <math>e\;U_{PN} > 0\;</math> en passant par des valeurs intermédiaires positives dans la jonction <math>\;\big(</math>valeur positive car le champ électrique total dans la jonction est dirigé de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N\;</math> et intermédiaire, la norme du champ étant <math>\;\Vert \vec{E}_{\text{tot. jonct.}} \Vert = \Vert \vec{E} \Vert - \Vert \vec{E}_D \Vert\big)</math> ; <br>{{Al|3}}un électron de conduction <math>\;n\;</math> de la zone <math>\;N\;</math> ayant une énergie mécanique égale à son énergie cinétique augmentée de son énergie potentielle <math>\;K_n(N) + e\;U_{PN}\;</math> et son énergie potentielle éventuelle dans la zone <math>\;P\;</math> étant nulle en passant par des valeurs intermédiaires positives dans la jonction, il n'y a plus de barrière d’énergie potentielle, l'électron de conduction se retrouvant dans la zone <math>\;P\;</math> avec une augmentation d’énergie cinétique égale à <math>\;\Delta K_n = K_n(P) - K_n(N) = e\;U_{PN}</math>.</ref> <math>\;\big(</math>voir, ci-dessous à droite, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction <math>\;n\;</math> initialement présents à l'extrémité droite de la zone <math>\;N\big)</math>, ces deux diagrammes correspondant à <math>\;U_D \simeq 0,6\;V</math>, <math>\;U_{PN} \simeq 6\;V</math>, <math>\;d \simeq</math> <math>1\;\mu m\;</math> et <math>\;l \simeq 5\;\mu m</math>, {{Al|10}}cette migration entretenue correspondant à un courant dans la diode de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N</math> ; [[File:Diode à jonction P - N en polarisation directe - diagramme d'énergie potentielle des trous p.png|left|thumb|400px|Allure du diagramme d'énergie potentielle des trous p d'une diode à jonction en polarisation directe telle que le champ électrique total dans la jonction soit de même sens que le champ électrique imposé de l'extérieur, absence de barrière d'énergie potentielle des trous à l'extrémité P de la diode<ref name="suppression de la barrière d'énergie potentielle des p dans la zone P" />]] [[File:Diode à jonction P - N en polarisation directe - diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n.png|right|thumb|400px|Allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n d'une diode à jonction en polarisation directe telle que le champ électrique total dans la jonction soit de même sens que le champ électrique imposé de l'extérieur, absence de barrière d'énergie potentielle des électrons de conduction à l'extrémité N de la diode<ref name="suppression de la barrière d'énergie potentielle des n dans la zone N" />]] {{clr}} {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;U_{PN}\; \underset{\sim}{\in}\; \left] U_D\,,\, \dfrac{l}{d}\;U_D \right]\;</math><ref name="raison de E supérieur ou inférieur à ED" />{{,}}<ref name="raison de barrière d'énergie potentielle de p ou n"> Pour que le champ électrique <math>\;\vec{E}_D\;</math> créé par les ions de la jonction soit de norme suffisamment supérieure à celle du champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> créé par la tension imposée de l'extérieur pour initier une barrière d'énergie potentielle des trous <math>\;p\;</math> initialement présents à l'extrémité gauche de la zone <math>\;P\;</math> ainsi qu'une barrière d'énergie potentielle des électrons de conduction <math>\;n\;</math> initialement présents à l'extrémité droite de la zone <math>\;N</math>, il faut que la tension <math>\;U_{PN} > 0\;</math> soit inférieure à une certaine tension « de seuil pratique » <math>\;U_{\text{seuil part.}}\;</math> assimilée, pour simplifier, à la tension « de seuil théorique » <math>\;U_D</math>.</ref>, ce champ électrique total dans la jonction <math>\;\vec{E}_{\text{tot. jonct.}} = \vec{E} + \vec{E}_D\;</math> étant maintenant de sens contraire à <math>\;\vec{E}</math> <math>\;\big[</math>donc de même sens que <math>\;\vec{E}_D\big]</math> <ref> Le schéma de situation est le même que celui fait dans le paragraphe suivant <math>\;\succ\;</math>si <math>\;U_{PN}\; \underset{\sim}{\in}\; \left] 0\,,\, U_D \right]</math>, à l'exception du fait qu'aucun trou <math>\;p\;</math> et qu'aucun électron de conduction <math>\;n\;</math> ne sera arrêté par une éventuelle barrière d'énergie potentielle <math>\;\ldots</math></ref>, de norme <math>\;\Vert \vec{E}_{\text{tot. jonct.}} \Vert = \Vert \vec{E}_D \Vert - \Vert \vec{E} \Vert</math>, a un effet ralentisseur dans la jonction sur les porteurs de charge mobiles, après que le champ électrique imposé de l'extérieur hors jonction ait créé un effet accélérateur, on constate que si la tension <math>\;U_{PN}\;</math> reste supérieure à une tension « de seuil pratique » <math>\;U_{\text{seuil part.}}\;</math> assimilée, pour simplifier, à la tension « de seuil théorique » <math>\;U_D</math>, l'effet accélérateur prédominant permet la migration entretenue * des trous <math>\;p\;</math> de la zone <math>\;P\;</math> vers la zone <math>\;N\;</math> et * des électrons de conduction <math>\;n\;</math> de la zone <math>\;N\;</math> vers la zone <math>\;P</math>, {{Al|10}}par le maintien de la « suppression » de la barrière d’énergie potentielle des trous <math>\;p\;</math> de la zone <math>\;P\;</math><ref name="suppression de la barrière d'énergie potentielle des p dans la zone P" /> <math>\;\big(</math>voir, ci-dessous à gauche, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des trous <math>\;p\;</math> initialement présents à l'extrémité gauche de la zone <math>\;P\big)\;</math> et de celle des électrons de conduction <math>\;n\;</math> de la zone <math>\;N\;</math><ref name="suppression de la barrière d'énergie potentielle des n dans la zone N" /> <math>\;\big(</math>voir, ci-dessous à droite, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction <math>\;n\;</math> initialement présents à l'extrémité droite de la zone <math>\;N\big)</math>, ces deux diagrammes correspondant à <math>\;U_D \simeq 0,6\;V</math>, <math>\;U_{PN} \simeq 2\;V</math>, <math>\;d \simeq 1\;\mu m\;</math> et <math>\;l \simeq 5\;\mu m</math>, {{Al|10}}cette migration entretenue correspondant encore à un courant dans la diode de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N</math> ; [[File:Diode à jonction P - N en polarisation directe - diagramme d'énergie potentielle des trous p - bis.png|left|thumb|400px|Allure du diagramme d'énergie potentielle des trous p d'une diode à jonction en polarisation directe telle que le champ électrique total dans la jonction soit de sens contraire au champ électrique imposé de l'extérieur, avec absence de barrière d'énergie potentielle des trous à l'extrémité P de la diode<ref name="suppression de la barrière d'énergie potentielle des p dans la zone P" />]] [[File:Diode à jonction P - N en polarisation directe - diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n - bis.png|right|thumb|400px|Allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n d'une diode à jonction en polarisation directe telle que le champ électrique total dans la jonction soit de sens contraire au champ électrique imposé de l'extérieur, avec absence de barrière d'énergie potentielle des électrons de conduction à l'extrémité N de la diode<ref name="suppression de la barrière d'énergie potentielle des n dans la zone N" />]] {{clr}} [[File:Diode à jonction P - N en polarisation directe - bis.png|thumb|Schéma de la jonction P - N d'une diode en polarisation directe telle que la tension U_PN soit inférieure à la tension de seuil théorique U_D, migration très réduite des trous p de P vers N et des électrons de conduction n de N vers P]] {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;U_{PN}\; \underset{\sim}{\in}\; \left] 0\,,\, U_D \right]\;</math><ref name="raison de barrière d'énergie potentielle de p ou n" />, ce champ électrique total dans la jonction <math>\;\vec{E}_{\text{tot. jonct.}} = \vec{E} + \vec{E}_D\;</math> de sens contraire à <math>\;\vec{E}</math> <math>\;\big[</math>donc de même sens que <math>\;\vec{E}_D\big]</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> de norme <math>\;\Vert \vec{E}_{\text{tot. jonct.}} \Vert = \Vert \vec{E}_D \Vert - \Vert \vec{E} \Vert</math>, a un effet ralentisseur dans la jonction sur les porteurs de charge mobiles, après que le champ électrique imposé de l'extérieur hors jonction ait créé un effet accélérateur, on constate que si la tension <math>\;U_{PN}\;</math> reste inférieure à la tension « de seuil pratique » <math>\;U_{\text{seuil part.}}\;</math> assimilée, pour simplifier, à la tension « de seuil théorique » <math>\;U_D</math>, l'effet ralentisseur prédominant, réduit, de façon plus ou moins significative, la migration spontanée des porteurs de charge mobiles à savoir * celle des trous <math>\;p\;</math> de la zone <math>\;P\;</math> vers la zone <math>\;N\;</math> en pourcentage de migration spontanée d'autant plus faible que <math>\;U_{PN}\;</math> l'est et * celle des électrons de conduction <math>\;n\;</math> de la zone <math>\;N\;</math> vers la zone <math>\;P\;</math> en pourcentage de migration spontanée d'autant plus faible que <math>\;U_{PN}\;</math> l'est, {{Al|10}}par « création mais sous forme réduite » de la barrière d’énergie potentielle des trous <math>\;p\;</math> de la zone <math>\;P\;</math><ref name="réduction de la barrière d'énergie potentielle des p dans la zone P"> L'énergie potentielle d'un trou à l'entrée de la zone <math>\;P\;</math> étant toujours choisie comme référence, son énergie potentielle à la sortie de la zone <math>\;N\;</math> s'écrit <math>\;e\;V_N =</math> <math>-e\;U_{PN} < 0\;</math> mais en passant par au moins quelques valeurs intermédiaires positives dans la jonction ; <br>{{Al|3}}un trou <math>\;p\;</math> de l'extrémité gauche de la zone <math>\;P\;</math> ayant donc une énergie mécanique égale à son énergie cinétique <math>\;K_p(P)\;</math> et son énergie potentielle éventuelle en limite droite de la jonction étant <math>\;e\;V_{\text{jonct. droite}} > 0</math>, se retrouvera dans la limite droite de la jonction si son énergie cinétique <math>\;K_p(P)\;</math> est <math>\;>\;</math> à sa barrière d'énergie potentielle à l'extrémité gauche de la zone <math>\;P</math> <math>\;\Delta \mathcal{E}_{p,\, \text{jonct. droite}\, \leftarrow\, P} = \mathcal{E}_p(\text{jonct. droite})\; \cancel{-\; \mathcal{E}_p(P)}\; > 0\;</math> avec pour énergie cinétique résiduelle en cette limite droite de la jonction <math>\;K_p(P) - \Delta \mathcal{E}_{p,\, \text{jonct. droite}\, \leftarrow\, P}</math>, le trou subissant, à partir de cette limite droite de la jonction, un gain d'énergie cinétique, cette dernière à l'extrémité droite de la zone <math>\;N\;</math> valant <math>\;K_p(N) = K_p(P) + e\;U_{PN}\;</math> seulement légèrement <math>\;>\;</math> à <math>\;K_p(P)</math>, la tension <math>\;U_{PN}\;</math> étant faible.</ref> <math>\;\big(</math>voir, ci-dessous à gauche, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des trous <math>\;p\;</math> initialement présents à l'extrémité gauche de la zone <math>\;P\big)\;</math> et de celle des électrons de conduction <math>\;n\;</math> de la zone <math>\;N\;</math><ref name="réduction de la barrière d'énergie potentielle des n dans la zone N"> L'énergie potentielle d'un électron de conduction à la sortie de la zone <math>\;P\;</math> étant toujours choisie comme référence, son énergie potentielle à l'entrée de la zone <math>\;N\;</math> s'écrit <math>\;-e\;V_N =</math> <math>e\;U_{PN} > 0\;</math> en passant par au moins quelques valeurs intermédiaires plus grandes dans la jonction ; <br>{{Al|3}}un électron de conduction <math>\;n\;</math> de l'extrémité droite de la zone <math>\;N\;</math> ayant une énergie mécanique égale à son énergie cinétique augmentée de son énergie potentielle <math>\;K_n(N) + e\;U_{PN}\;</math> et son énergie potentielle éventuelle en limite gauche de la jonction étant <math>\;-e\;V_{\text{jonct. gauche}} > e\;U_{PN}</math>, se retrouvera dans la limite gauche de la jonction si son énergie cinétique <math>\;K_n(N)\;</math> est <math>\;>\;</math> à sa barrière d'énergie potentielle à l'extrémité droite de la zone <math>\;N\;</math> à savoir <math>\;\Delta \mathcal{E}_{n,\, \text{jonct. gauche}\, \leftarrow\, N} =</math> <math>\mathcal{E}_p(\text{jonct. gauche}) - \mathcal{E}_p(N) = \mathcal{E}_p(\text{jonct. gauche}) - e\;U_{PN} > 0</math>, son énergie cinétique résiduelle y étant <math>\;K_n(N) - \Delta \mathcal{E}_{n,\, \text{jonct. gauche}\, \leftarrow\, N}</math>, l'électron de conduction subissant, à partir de cette limite gauche de la jonction, un gain d'énergie cinétique, cette dernière à l'extrémité gauche de la zone <math>\;P\;</math> valant <math>\;K_n(P) =</math> <math>K_n(N) + e\;U_{PN}\;</math> seulement légèrement <math>\;>\;</math> à <math>\;K_n(N)</math>, la tension <math>\;U_{PN}\;</math> étant faible.</ref> <math>\;\big(</math>voir, ci-dessous à droite, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction <math>\;n\;</math> initialement présents à l'extrémité droite de la zone <math>\;N\big)</math>, ces deux diagrammes correspondant à <math>\;U_D \simeq 0,6\;V</math>, <math>\;U_{PN} \simeq 0,5\;V</math>, <math>\;d \simeq 1\;\mu m\;</math> et <math>\;l \simeq 5\;\mu m</math>, {{Al|10}}cette migration très réduite correspondant à un courant très faible dans la diode de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N</math>. [[File:Diode à jonction P - N en polarisation directe - diagramme d'énergie potentielle des trous p - ter.png|left|thumb|400px|Allure du diagramme d'énergie potentielle des trous p d'une diode à jonction en polarisation directe telle que le champ électrique total dans la jonction soit de sens contraire au champ électrique imposé de l'extérieur, avec présence d'une faible barrière d'énergie potentielle des trous à l'extrémité P de la diode<ref name="réduction de la barrière d'énergie potentielle des p dans la zone P" />]] [[File:Diode à jonction P - N en polarisation directe - diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n - ter.png|right|thumb|400px|Allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n d'une diode à jonction en polarisation directe telle que le champ électrique total dans la jonction soit de sens contraire au champ électrique imposé de l'extérieur, avec présence d'une faible barrière d'énergie potentielle des électrons de conduction à l'extrémité N de la diode<ref name="réduction de la barrière d'énergie potentielle des n dans la zone N" />]] {{clr}} ===== Évolution des barrières d'énergie potentielle lors de la polarisation inverse de la diode ===== [[File:Diode à jonction P - N en polarisation inverse.png|thumb|Schéma de la jonction P - N d'une diode en polarisation inverse, aucune migration des trous p et des électrons de conduction n à travers la diode]] {{Al|5}}Dans le cas d'une polarisation inverse <math>\;V_P < V_N\;</math> de la diode à jonction, il existe, dans toute la diode, un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> dirigé de <math>\;N\;</math> vers <math>\;P</math> en accord avec <math>\;U_{PN} < 0</math>, ce qui crée plus particulièrement dans la jonction, un champ électrique total <math>\;\vec{E}_{\text{tot. jonct.}} = \vec{E} + \vec{E}_D\;</math> de même sens que <math>\;\vec{E}\;</math> et <math>\;\vec{E}_D\;</math> et de norme <math>\;\Vert \vec{E}_{\text{tot. jonct.}} \Vert = \Vert \vec{E} \Vert + \Vert \vec{E}_D \Vert</math> ; {{Al|5}}quelle que soit la tension <math>\;U_{PN} < 0</math> <math>\;\big(</math>de valeur absolue non trop élevée pour ne pas détruire irréversiblement la jonction de la diode<ref> Quand cet accident arrive on dit que « la diode a claqué » et son utilisation n'est plus possible.</ref><math>\big)</math>, le champ électrique total dans la jonction <math>\;\vec{E}_{\text{tot. jonct.}} = \vec{E} + \vec{E}_D\;</math> empêche toute reprise de migration spontanée * des trous <math>\;p\;</math> de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N\;</math> et * des électrons de conduction <math>\;n\;</math> de <math>\;N\;</math> vers <math>\;P\;</math> {{Al|10}}par « relèvement » de la barrière d’énergie potentielle des trous <math>\;p\;</math> de la zone <math>\;P\;</math><ref name="relèvement de la barrière d'énergie potentielle des p dans la zone P"> L'énergie potentielle d'un trou à l'entrée de la zone <math>\;P\;</math> étant toujours choisie comme référence, son énergie potentielle à la sortie de la zone <math>\;N\;</math> s'écrit <math>\;e\;V_N =</math> <math>-e\;U_{PN} > 0\;</math> en passant par des valeurs intermédiaires inférieures mais à croissance plus rapide dans la jonction et par suite il existe bien une barrière d'énergie potentielle des trous de l'extrémité gauche de la zone <math>\;P</math> <math>\;\Delta \mathcal{E}_{p,\, N\, \leftarrow\, P} = \mathcal{E}_p(\text{lim. droite de}\,N)\; \cancel{-\; \mathcal{E}_p(P)}\; = -e\;U_{PN} > 0</math> ; <br>{{Al|3}}un trou <math>\;p\;</math> de l'extrémité gauche de la zone <math>\;P\;</math> ayant une énergie mécanique égale à son énergie cinétique <math>\;K_p(P)\;</math> et son énergie potentielle éventuelle à l'extrémité droite de la zone <math>\;N\;</math> étant <math>\;e\;V_N = -e\;U_{PN} > 0</math>, la condition pour qu'il se retrouvât à l'extrémité droite de la zone <math>\;N\;</math> étant <math>\;K_p(P) > \Delta \mathcal{E}_{p,\, N\, \leftarrow\, P} =</math> <math>-e\;U_{PN} > 0</math>, n'est quasiment jamais réalisée car cela demanderait une énergie cinétique d'agitation thermique initiale <math>\;K_p(P)\;</math> beaucoup trop grande <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>voir, ci-dessous à gauche, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des trous <math>\;p\;</math> initialement présents à l'extrémité gauche de la zone <math>\;P\big)\;</math> et de celle des électrons de conduction <math>\;n\;</math> de l'extrémité droite de la zone <math>\;N\;</math><ref name="relèvement de la barrière d'énergie potentielle des n dans la zone N"> L'énergie potentielle d'un électron de conduction à la sortie de la zone <math>\;P\;</math> étant toujours choisie comme référence, son énergie potentielle à l'entrée de la zone <math>\;N\;</math> s'écrit <math>\;-e\;V_N =</math> <math>e\;U_{PN} < 0\;</math> en passant par des valeurs intermédiaires restant négatives mais à croissance plus rapide dans la jonction et par suite il existe bien une barrière d'énergie potentielle des électrons de conduction de l'extrémité droite de la zone <math>\;N</math> <math>\;\Delta \mathcal{E}_{n,\, P\, \leftarrow\, N} = \cancel{\mathcal{E}_n(\text{lim. gauche de}\,P)}\; - \mathcal{E}_n(N)\; =</math> <math>-e\;U_{PN} > 0</math> ; <br>{{Al|3}}un électron de conduction <math>\;n\;</math> de l'extrémité droite de la zone <math>\;N\;</math> ayant une énergie mécanique égale à son énergie cinétique augmentée de son énergie potentielle <math>\;K_n(N) + e\;U_{PN}\;</math> et son énergie potentielle éventuelle à l'extrémité gauche de la zone <math>\;P\;</math> étant nulle, la condition pour qu'il se retrouvât à l'extrémité gauche de la zone <math>\;P\;</math> étant <math>\;K_n(N) > \Delta \mathcal{E}_{n,\, P\, \leftarrow\, N} =</math> <math>-e\;U_{PN} > 0</math>, n'est quasiment jamais réalisée car cela demanderait une énergie cinétique d'agitation thermique initiale <math>\;K_n(N)\;</math> beaucoup trop grande <math>\;\ldots</math></ref>, <math>\;\big(</math>voir, ci-dessous à droite, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction <math>\;n\;</math> initialement présents à l'extrémité droite de la zone <math>\;N\big)</math>, ces deux diagrammes correspondant à <math>\;U_D \simeq 0,6\;V</math>, <math>\;U_{PN} \simeq -2\;V</math>, <math>\;d \simeq 1\;\mu m\;</math> et <math>\;l \simeq 5\;\mu m</math>, {{Al|10}}cette absence de migration correspondant à une absence de courant dans la diode de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N</math>. [[File:Diode à jonction P - N en polarisation inverse - diagramme d'énergie potentielle des trous p.png|left|thumb|400px|Allure du diagramme d'énergie potentielle des trous p d'une diode à jonction en polarisation inverse, présence d'une forte barrière d'énergie potentielle des trous à l'extrémité P de la diode rendant tout courant de trous pratiquement impossible<ref name="relèvement de la barrière d'énergie potentielle des p dans la zone P" />]] [[File:Diode à jonction P - N en polarisation inverse - diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n.png|right|thumb|400px|Allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n d'une diode à jonction en polarisation inverse, présence d'une forte barrière d'énergie potentielle des électrons de conduction à l'extrémité N de la diode rendant tout courant d'électrons de conduction pratiquement impossible<ref name="relèvement de la barrière d'énergie potentielle des n dans la zone N" />]] {{clr}} === Pendule pesant simple à un degré de liberté lancé dans les conditions « 1b » === {{Al|5}}A déjà été traité au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. (à un degré de libreté) soit révolutif]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » sans introduire la notion de « barrière d'énergie potentielle en la position de lancement repérée par l'abscisse angulaire <math>\;\theta_0\;</math>» <math>\;\big[</math>on rappelle les conditions <math>\;\left( 1\mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement « on écarte le P.P.S.N.A. de <math>\;\theta_0\;</math> de sa position d'équilibre stable et on le lâche avec une vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}_0 \neq 0\;</math>»<math>\big]</math>. {{Al|5}}Le profil d’énergie potentielle présente effectivement des « bosses » d'énergie potentielle aux abscisses angulaires <math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, correspondant aux positions d'équilibre instable, la « barrière (commune) d'énergie potentielle en la position de lancement repérée par l'abscisse angulaire <math>\;\theta_0\;</math>» étant <center><math>\;\Delta U_{\text{pes}}(\theta_0) = U_{\text{pes}}(\theta_{\text{éq. inst.}}) - U_{\text{pes}}(\theta_0) = 2\;m\;g\;l - m\;g\;l\,\left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math> soit finalement <br><math>\;\Delta U_{\text{pes}}(\theta_0) = m\;g\;l\,\left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]</math>.</center> {{Al|5}}On en déduit qu'il est nécessaire que l'énergie cinétique initiale <math>\;K_M(0) = \dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2\;</math> de lancement du P.P.S.N.A. en la position repérée par l'abscisse angulaire <math>\;\theta_0\;</math> soit <math>\;>\;</math> à la barrière d'énergie potentielle <math>\;\Delta U_{\text{pes}}(\theta_0)\;</math> correspondante pour que son mouvement soit « <u>révolutif</u> » soit <center><math>\;K_M(0) > \Delta U_{\text{pes}}(\theta_0)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;l^2\;\dot{\theta}_0^2 > m\;g\;l\,\left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]\;</math> ou encore <br> <math>\;\dot{\theta_0}\;</math> telle que <math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\,\left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]}</math>.</center> == En complément, effet tunnel ou la possibilité quantique pour une particule de « traverser » la « barrière » d'énergie potentielle sans avoir l'énergie « classique » suffisante == === Présentation de l'effet tunnel en mécanique quantique === {{Al|5}}L'« <u>effet tunnel</u> » désigne la <u>possibilité que possède un objet quantique</u> de « <u>franchir une bosse d'énergie potentielle</u> »<ref name="énergie mécanique de l'objet quantique"> L'énergie potentielle de l'objet quantique est celle de l'objet classique correspondant dérivant de l'ensemble des forces appliquées toutes conservatives, l'énergie mécanique étant alors la somme des énergies cinétique et potentielle.</ref> <u>même si son énergie cinétique initiale</u><ref name="énergie mécanique de l'objet quantique" /> étant inférieure à la hauteur de la « barrière d'énergie potentielle en la position initiale »<ref name="définition de la barrière d'énergie potentielle en la position initiale"> La barrière d'énergie potentielle en la position initiale étant définie au sens de la mécanique classique comme la différence entre l'énergie potentielle de la bosse et l'énergie potentielle en la position initiale.</ref> <u>ne permet pas de franchir la « bosse » au sens de la mécanique classique</u> ; c’est donc un effet <u>purement quantique</u><ref name="effet tunnel"> Revoir aussi le « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#cite_note-5|2^ème exemple de la note ⁵]] » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, ne pouvant pas s'expliquer par la mécanique classique. {{Al|5}}La fonction d'onde d'une particule « à un degré de liberté »<ref name="fonction d'onde d'une particule"> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Notion_de_fonction_d'onde_de_matière|notion de fonction d'onde de matière]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> se dirigeant vers la « bosse d'énergie potentielle » avec une énergie mécanique initiale insuffisante pour la franchir au sens de la mécanique classique, * d'une part <u>ne s'annule pas sur le « mur d'entrée de la bosse d'énergie potentielle</u> de la mécanique classique »<ref name="murs d'entrée et de sortie de la bosse d'énergie potentielle"> Dans le cadre de la mécanique classique, l'énergie mécanique de la particule étant conservée <math>\;\big(</math>car son mouvement est supposé conservatif<math>\big)\;</math> et inférieure à la hauteur de la bosse d'énergie potentielle, la courbe d'énergie mécanique coupe celle d'énergie potentielle en deux points dont les abscisses définissent le mur d'entrée de la bosse d'énergie potentielle pour le 1^er et le mur de sortie de la bosse d'énergie potentielle pour le 2^nd.</ref> et * d'autre part <u>s'atténue quand la pénétration à l'« intérieur de la bosse d’énergie potentielle » augmente</u>, atténuation pratiquement exponentielle pour une « bosse » assez large ; {{Al|5}}si, <u>sur le « mur de sortie de la bosse d'énergie potentielle</u> de la mécanique classique »<ref name="murs d'entrée et de sortie de la bosse d'énergie potentielle" />, <u>la particule possède une « densité linéique de probabilité de présence non nulle »</u><ref name="densité de probabilité de présence"> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Notion_de_fonction_d'onde_de_matière|notion de fonction d'onde de matière]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », on rappelle que le carré du module de la fonction d’onde représente la densité linéique de probabilité de présence (linéique car particule à un degré de liberté).</ref>, elle peut traverser cette « bosse » avec une probabilité de présence non nulle au-delà<ref name="probabilité de présence au-delà"> La densité de probabilité de présence étant évaluée au-delà de la bosse d'énergie potentielle, la probabilité de présence à la sortie de cette bosse s'obtient en intégrant cette densité de probabilité de présence sur l'intervalle au-delà du mur de sortie de la bosse d'énergie potentielle.</ref>, ce qui se traduit par l'<u>effet tunnel</u>. === Applications de l'effet tunnel === {{Al|5}}Les applications de l'effet tunnel sont nombreuses, par exemple : ==== Diodes « à effet tunnel » ==== {{Al|5}}Ce sont des diodes à jonction <math>\;P - N\;</math> à dopage important <math>\;\big(1000\;</math> fois plus d'impuretés que dans une diode à jonction usuelle<math>\big)</math>, ce qui a pour conséquence une jonction très étroite <math>\;\big(</math>de largeur de l'ordre du <math>\;nm\big)\;</math> entraînant la possibilité d'effet tunnel à travers la jonction pour des trous <math>\;p\;</math> ou des électrons de conduction <math>\;n\;</math> qui n'auraient pas l'énergie cinétique suffisante au sens classique ; {{Al|5}}l'étude des jonctions avec semi-conducteurs fortement dopés a été menée par '''[[w:Leo_Esaki|Leo Esaki]]'''<ref name="Esaki"> '''[[w:Leo_Esaki|Leo Esaki]] (né en 1925)''' <math>\;\big[</math>de son vrai nom '''Reona Esaki'''<math>\big]\;</math> physicien japonais ayant découvert la diode à effet tunnel en cherchant à améliorer les transistors.</ref> en <math>\;1958\;</math> et lui valut de partager une moitié de prix Nobel de physique avec '''[[w:Ivar_Giaever|Ivar Giaever]]'''<ref name="Giaever"> '''[[w:Ivar_Giaever|Ivar Giaever]] (né en 1929)''' physicien norvégien ayant étudié expérimentalement l'effet tunnel pour les électrons de conduction dans les semi-conducteurs et les supraconducteurs.</ref> en <math>\;1973\;</math><ref name="prix Nobel de physique de 1973"> Une moitié de prix Nobel de physique remis à '''[[w:Leo_Esaki|Leo Esaki]]''' et à '''[[w:Ivar_Giaever|Ivar Giaever]]''' l'a été pour leurs découvertes expérimentales sur les phénomènes d'effet tunnel dans les semi-conducteurs et les supraconducteurs respectivement.</ref>, l'autre moitié étant décernée à '''[[w:Brian_David_Josephson|Brian David Josephson]]'''<ref name="Josephson"> '''[[w:Brian_David_Josephson|Brian David Josephson]] (né en 1940)''' physicien britannique <math>\;\big(</math>gallois<math>\big)\;</math> ayant prédit théoriquement les propriétés des supercourants à travers une barrière tunnel, en particulier les phénomènes habituellement connus sous le nom d'[[w:Effet_Josephson|effets Josephson]] <math>\;\big(</math>apparition d'un courant entre deux matériaux supraconducteurs séparés par une couche faite d'un matériau isolant ou métallique non supraconducteur<math>\big)</math>, ce qui lui valut la 2^èmemoitié du prix Nobel de physique en <math>\;1973</math>, la 1^ère moitié ayant été décernée à '''[[w:Leo_Esaki|Leo Esaki]] (né en 1925)''' physicien japonais et '''[[w:Ivar_Giaever|Ivar Giaever]] (né en 1929)''' physicien norvégien pour leurs découvertes expérimentales sur les phénomènes d'effet tunnel dans les semi-conducteurs et les supraconducteurs respectivement.</ref>. * En absence de polarisation de la diode « à effet tunnel » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire hors branchement<math>\big)\;</math> la bande de valence du côté <math>\;P\;</math><ref name="semi-conducteur dopé P" /> où sont les trous <math>\;p\;</math><ref name="bande de valence du côté P"> On rappelle que la zone <math>\;P\;</math> d'une diode « à effet tunnel » contient des impuretés trivalentes <math>\;\big(</math>en densité volumique <math>\;1000\;</math> fois plus importante que la zone <math>\;P\;</math> d'une diode à jonction usuelle<math>\big)</math>, la bande de valence de la zone <math>\;P\;</math> possédant donc initialement un manque d'électrons de valence des impuretés relativement au semi-conducteur tétravalent, les électroniciens la complètent en ajoutant des couples fictifs « électron de valence - trou » avec l'hypothèse que seuls les trous sont mobiles, ceux-ci pouvant se déplacer mais en restant dans la bande de valence.</ref> est au même niveau d’énergie que la bande de conduction du côté <math>\;N\;</math><ref name="semi-conducteur dopé N" /> où sont les électrons de conduction <math>\;n\;</math><ref name="bande de conduction du côté N"> On rappelle que la zone <math>\;N\;</math> d'une diode « à effet tunnel » contient des impuretés pentavalentes <math>\;\big(</math>en densité volumique <math>\;1000\;</math> fois plus importante que la zone <math>\;N\;</math> d'une diode à jonction usuelle<math>\big)</math>, la bande de conduction de la zone <math>\;N\;</math> possède donc initialement un excès d'électrons de conduction des impuretés relativement au semi-conducteur tétravalent, ceux-ci sont mobiles, pouvant se déplacer mais en restant dans la bande de conduction.</ref>, <br>{{Al|5}}si un trou <math>\;p\;</math> peut traverser la jonction<ref name="rappel création de la jonction"> La jonction de la diode « à effet tunnel » se crée de la même façon que celle d'une diode à jonction usuelle par migration des trous vers la zone <math>\;N\;</math> et des électrons de conduction vers la zone <math>\;P\;</math> jusqu'à l'établissement d'une barrière de potentiel entre les zones <math>\;P\;</math> et <math>\;N\;</math> empêchant toute migration classique ; <br>{{Al|3}}toutefois cette jonction étant <math>\;1000\;</math> fois plus étroite que dans une diode à jonction usuelle, une migration simultanée des trous et des électrons de conduction par effet tunnel en sens inverse n'est pas exclue, mais ceci ayant alors pour conséquence un accroissement de la barrière de potentiel ainsi que de la largeur de la jonction, la migration simultanée par effet tunnel devient aussi pratiquement empêchée.</ref> par effet tunnel de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N\;</math> et un électron de conduction <math>\;n\;</math> peut également traverser la jonction<ref name="rappel création de la jonction" /> en sens inverse, ces derniers n'étant pas renouvelés par circuit extérieur, le courant reste globalement d'intensité nulle ; [[File:Diode à effet tunnel - caractéristique courant tension.png|thumb|300px|Tracés simultanés de la caractéristique statique courant tension d'une diode « à effet tunnel » (en rouge) avec celle d'une diode à jonction usuelle (en tiretés)]] * en polarisation directe à faible tension externe, la traversée des trous <math>\;p\;</math> à travers la jonction par effet tunnel de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N\;</math> et des électrons de conduction <math>\;n\;</math> également par effet tunnel dans le sens inverse est rendue possible car les trous <math>\;p\;</math> et les électrons de conduction <math>\;n\;</math> sont renouvelés par circuit extérieur, on observe un courant d'intensité proportionnelle à la tension et ceci jusqu'à une valeur d'intensité <math>\;I_{\text{pic}}\;</math> correspondant à une tension <math>\;U_{\text{pic}} \simeq</math> <math>100\; mV</math> ; * en polarisation directe à partir de la tension <math>\;U_{\text{pic}}</math>, les niveaux énergétiques les plus bas de la bande de valence du côté <math>\;P\;</math> étant remplis <math>\;\big(</math>disparition des trous à ce niveau<math>\big)</math>, il ne subsiste, en regard de la bande de conduction du côté <math>\;N</math>, que les niveaux énergétiques les plus élevés, ainsi le nombre de transferts possibles par effet tunnel des trous dans un sens et des électrons de conduction dans l'autre diminue entraînant la diminution de l'intensité du courant au fur et à mesure que la tension augmente et ceci jusqu'à une valeur de tension <math>\;U_{\text{vallée}} \simeq 300\; mV</math> <math>\;\big(</math>partie de la caractéristique statique courant tension de la diode « à effet tunnel » représentée ci-contre, à résistance dynamique négative<ref> La partie la plus importante pour l'utilisation d'une diode « à effet tunnel ».</ref><math>\big)</math> ; * en polarisation directe à partir de la tension <math>\;U_{\text{vallée}}</math>, les niveaux énergétique de la bande de valence du côté <math>\;P\;</math> étant quasiment remplis <math>\;\big(</math>pratiquement plus de trous<math>\big)</math>, le transfert par effet tunnel ne peut plus se produire et on retrouve la conduction normale d'une diode à jonction classique ; * en polarisation inverse, des électrons de la bande de valence de la zone <math>\;P\;</math> étant au même niveau d’énergie que des sites vides de la bande de conduction de la zone <math>\;N\;</math><ref name="site vide de la bande de conduction"> Comme dans une bande de valence il est possible de modéliser un site vide d'une bande de conduction par la présence simultanée d'un électron de conduction fictif et d'un trou fictif, l'arrivée réelle d'un électron correspondant au départ d'un trou et l'arrivée d'un trou au départ réel d'un électron.</ref>, ils peuvent être transférés par effet tunnel à travers la jonction <math>\;\big(</math>rappelons que celle-ci, hors branchement, correspond à une bosse d'énergie potentielle dont la hauteur s'accroissant en polarisation inverse empêche tout transfert dans une diode à jonction usuelle mais dont la largeur très faible dans une diode « à effet tunnel » autorise un transfert possible par effet tunnel<math>\big)</math>, ce transfert d'électrons de valence de la zone <math>\;P\;</math> vers la zone <math>\;N\;</math> est modélisé par les électroniciens par un <u>transfert de trous de la zone '''N''' vers la zone '''P'''</u>, les électrons de valence de cette dernière restant en place, le départ de trous de la bande de conduction de la zone <math>\;N\;</math><ref name="site vide de la bande de conduction" /> vers la zone <math>\;P\;</math> correspondant à un <u>transfert d'électrons (de conduction) de la zone '''P''' vers la zone '''N'''</u>, ces transferts étant rendus possibles car les départs de trous de la zone <math>\;N\;</math> et d'électrons de la zone <math>\;P\;</math> sont compensés par des arrivées utilisant le circuit extérieur ; <br>{{Al|5}}ainsi la diode « à effet tunnel » est-elle « passante en polarisation inverse » <math>\;\big(</math>à condition toutefois que la tension en inverse reste modérée en valeur absolue<ref> Sur la caractéristique statique courant tension de la diode « à effet tunnel » la valeur absolue de la tension en inverse est <math>\;50\;mV</math>.</ref><math>\big)\;</math> contrairement à ce qu'on observe dans une diode à jonction usuelle polarisée en inverse. ==== Modélisation de désintégrations spontanées comme la « radioactivité α » ou la « fission spontanée » ==== ===== Radioactivité α ===== {{Al|5}}Supposant la particule <math>\;\alpha\;</math><ref name="particule alpha"> C.-à-d. un noyau <math>\;^4_2He</math>.</ref> formée dans le noyau « [[w:Radioactivité_α|radioactif α]] » avec une certaine énergie quantifiée<ref name="énergie quantifiée"> C.-à-d. que l'énergie de la particule <math>\;\alpha\;</math> à l'intérieur du noyau radioactif peut prendre une valeur discrète parmi une suite de valeurs, la valeur la plus faible correspondant à l'état le plus stable et celle la plus élevée à l'état le moins stable.</ref> telle que <u>sa plus grande valeur d'énergie soit inférieure à celle de la « bosse d’énergie potentielle la retenant dans le noyau »</u> <math>\;\big(</math>même allure de profil d'énergie potentielle que celle du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Barrière_d'énergie_potentielle#Lancer_d'un_proton_en_direction_d'un_autre_proton_«_immobile_»|lancer d'un proton en direction d'un autre proton immobile]] (courbe verte) » représentée plus haut dans ce chapitre, mais à bosse d'énergie potentielle beaucoup plus prononcée<math>\big)\;</math> ce qui assure au noyau une certaine stabilité au sens classique<ref> C.-à-d. sans intervention d'effet tunnel, l'énergie de la particule <math>\;\alpha\;</math> dans le noyau radioactif étant inférieure à celle de la « bosse d’énergie potentielle la retenant dans le noyau », il ne peut y avoir éjection spontanée de la particule <math>\;\alpha\;</math> du noyau dans le cadre de la mécanique classique <math>\;\big(</math>la particule <math>\;\alpha\;</math> rencontrant un mur d'énergie potentielle quand elle s'éloigne du C.D.I. du noyau<math>\big)</math>.</ref> pendant la durée d'existence de la particule <math>\;\alpha\;</math> dans le noyau mais {{Al|5}}la « bosse d’énergie potentielle retenant la particule <math>\;\alpha\;</math> dans le noyau » étant de faible largeur <math>\;\big(</math>de l'ordre du <math>\;fm\;</math><ref name="fermi"> <math>\;1\;fm</math>, <math>\;1\;</math> fermi ou fentomètre c.-à-d. <math>\;10^{-15}\;m</math>.</ref><math>\big)</math>, <u>la particule α peut être spontanément éjectée par effet tunnel pour un niveau d’énergie fixé si elle l'est avant que cet état ne disparaisse dans le noyau</u> <math>\;\big[</math>théorie développée en 1^er par '''[[w:George_Gamow|Gueorgui Antonovitch Gamow]]'''<ref name="Gamow"> '''[[w:George_Gamow|Gueorgui Antonovitch Gamow]] (1904 - 1968)''' physicien théoricien, astronome, cosmologiste et vulgarisateur scientifique américano-russe <math>\;\big(</math>surtout connu sous le nom de '''[[w:George_Gamow|George Gamow]]'''<math>\big)</math>, on lui doit, mis à part sa théorie de la radioactivité par effet tunnel à l'âge de <math>\;24\;ans</math>, des avancées importantes dans le domaine de l'astrophysique et de la cosmologie, en particulier il participe, avec son étudiant '''[[w:Ralph_Alpher|Ralph Alpher]]''', à l'élaboration de la théorie du [[w:Big_Bang|Big Bang]] en <math>\;1948</math> ; à partir de <math>\;1950\;</math> il s'intéresse à la [[w:Génétique|génétique]] et fait quelques hypothèses ayant permis des avancées même si certaines s'avérèrent fausses ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Ralph_Alpher|Ralph Alpher]] (1921 - 2007)''' astrophysicien et cosmologiste américain est à l'origine de la notion de [[w:Nucléosynthèse_primordiale|nucléosynthèse primordiale]] <math>\;\big[</math>description de la formation d'atomes de l'Univers <math>\;\big(</math>autres que les atomes d'hydrogène<math>\big)\;</math> par réactions nucléaires<math>\big]</math>, calculs menés sous l'impulsion de '''[[w:George_Gamow|George Gamow]]''' et publiés en <math>\;1948</math> ; en <math>\;1948\;</math> il émit l'hypothèse <math>\;\big(</math>avec '''[[w:Robert_Herman|Robert Herman]] (1914 - 1997)''' cosmologiste américain<math>\big)\;</math> que la phase dense et chaude de l'Univers primordial a dû laisser une trace sous la forme d'un rayonnement désormais extrêmement froid « le [[w:Fond_diffus_cosmologique|fond diffus cosmologique]] » avant d'abandonner la recherche scientifique en <math>\;1955\;</math> pour des raisons, semble-t-il, financières ; <br>{{Al|3}}le [[w:Fond_diffus_cosmologique|fond diffus cosmologique]] fût découvert accidentellement en <math>\;1965\;</math> par les deux physiciens américains '''[[w:Arno_Allan_Penzias|Arno Allan Penzias]] (né en 1933)''' et '''[[w:Robert_Woodrow_Wilson|Robert Woodrow Wilson]] (né en 1936)''' ce qui leur valut une moitié de prix Nobel de physique en <math>\;1978</math>, l'autre moitié étant décernée à '''[[w:Piotr_Kapitsa|Piotr Leonidovitch Kapitsa]] (1894 - 1984)''' physicien russe <math>\;\big(</math>soviétique<math>\big)\;</math> pour ses inventions de base et ses découvertes dans le domaine de la physique des basses températures.</ref> <math>\;(1928)\;</math> puis, indépendamment, par '''[[w:Edward_Condon|Edward Uhler Condon]]'''<ref name="Condon"> '''[[w:Edward_Condon|Edward Uhler Condon]] (1902 - 1974)''' physicien nucléaire américain, pionnier de la mécanique quantique, a aussi participé au développement du [[w:Radar|radar]] et des [[w:Arme_nucléaire|armes nucléaires]] pendant la Seconde Guerre mondiale.</ref> et '''[[w:Ronald_Wilfred_Gurney|Ronald Wilfred Gurney]]'''<ref name="Gurney"> '''[[w:Ronald_Wilfred_Gurney|Ronald Wilfred Gurney]] (1898 - 1953)''' est un physicien théoricien britannique.</ref> <math>\;(1929)\big]</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on peut définir une « barrière d’énergie potentielle retenant la particule <math>\;\alpha\;</math> dans le noyau quand celle-ci y est retenue avec son niveau fondamental d'énergie <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;\mathcal{E}_{\alpha\,\text{au niv. fondam. dans noyau}}\big)</math> », avec <math>\;\mathcal{E}_{\text{bosse}}\;</math> l'énergie de la « bosse d'énergie potentielle retenant la particule <math>\;\alpha\;</math> dans le noyau », par <center><math>\;\Delta \mathcal{E}_{\alpha\, \text{dans noyau}} = \mathcal{E}_{\text{bosse}} - \mathcal{E}_{\alpha\,\text{au niv. fondam. dans noyau}}</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}définissant l'énergie d'excitation de la particule <math>\;\alpha\;</math> dans le noyau quand celle-ci y est retenue avec une énergie <math>\;\mathcal{E}_{\alpha\,\text{dans noyau}} > \mathcal{E}_{\alpha\,\text{au niv. fondam. dans noyau}}\;</math> par <math>\;\mathcal{E}_{\alpha\,\text{dans noyau}}^{\,*} =</math> <math>\mathcal{E}_{\alpha\,\text{dans noyau}} - \mathcal{E}_{\alpha\,\text{au niv. fondam. dans noyau}}\;</math><ref name="énergie d'excitation"> <math>\;\mathcal{E}_{\alpha\,\text{dans noyau}}^{\,*}\;</math> remplaçant l'énergie cinétique d'agitation thermique de la description de la mécanique classique.</ref>, on remarque que <math>\;\mathcal{E}_{\alpha\,\text{dans noyau}}^{\,*}\;</math> étant toujours <math>\;<\;</math> à <math>\;\Delta \mathcal{E}_{\alpha\, \text{dans noyau}}\;</math> la particule <math>\;\alpha\;</math> ne peut pas être spontanément éjectée selon la mécanique classique, mais que, dans le cadre de la mécanique quantique, une éjection par effet tunnel est envisageable <math>\;\ldots</math> ===== Fission spontanée ===== {{Al|5}}La [[w:Fission_spontanée|fission spontanée]]<ref name="signification de spontané dans le cadre nucléaire"> « Spontané » ici signifie « sans apport extérieur d'énergie ».</ref> est une forme de désintégration nucléaire caractéristique des isotopes très lourds <math>\;\Bigg[</math>il a été recensé <math>\;72\;</math> isotopes spontanément fissiles<ref name="signification de spontané dans le cadre nucléaire" /> en <math>\;1991</math>, la condition nécessaire (mais non suffisante) de possibilité de fission spontanée<ref name="signification de spontané dans le cadre nucléaire" /> pour l'isotope <math>\;^A_ZX\;</math><ref name="nombres de masse et de charge"> <math>\;A\;</math> étant le « [[w:Nombre_de_masse|nombre de masse]] » c.-à-d. le nombre de nucléons (neutrons et protons) du noyau <math>\;^A_ZX\;</math> et <math>\;Z\;</math> le « nombre de charge » c.-à-d. son nombre de protons <math>\;\big(</math>« nombre de charge » appelé « [[w:Numéro_atomique|numéro atomique]] » quand on s'intéresse à l'atome et non simplement au noyau, représente alors aussi le nombre d'électrons de l'atome<math>\big)</math>, le nombre de neutrons du noyau <math>\;^A_ZX\;</math> étant donc <math>\;A - Z</math>.</ref> étant <math>\;\dfrac{Z^2}{A} \gtrsim 35\;</math><ref> Le plus petit rapport <math>\;\dfrac{Z^2}{A}\;</math> d'un isotope spontanément fissile correspond au <math>\;^{232}_{90}Th\;</math> [[w:Thorium_232|Thorium 232]], de rapport <math>\;\dfrac{Z^2}{A} \simeq 34,9\;</math> avec une [[w:Demi-vie#En_physique|demi-vie]] <math>\;\gtrsim 10^{21}\;ans</math>, toutefois il ne s'agit du mode principal de désintégration du <math>\;^{232}_{90}Th\;</math> qui se fait par radioactivité α de [[w:Demi-vie#En_physique|demi-vie]] <math>\;\simeq 1,41\;10^{10}\;ans</math>.</ref><math>\Bigg]\;</math> dans laquelle le noyau spontanément fissile<ref name="signification de spontané dans le cadre nucléaire" /> se divise, sans apport extérieur d'énergie, en au moins deux fragments plus légers avec émission de neutrons. {{Al|5}}La description de la fission spontanée<ref name="signification de spontané dans le cadre nucléaire" /> d'un isotope spontanément fissile<ref name="signification de spontané dans le cadre nucléaire" /> se fait à l'aide d'un « [[w:Fission_spontanée#Description_théorique|effet tunnel à travers la bosse d'énergie potentielle limitant l'isotope]] et empêchant toute fission {{Nobr|spontanée<ref name="signification de spontané dans le cadre nucléaire" />}} au sens de la mécanique classique » <math>\;\ldots</math> ==== Mémoire MRAM (Magnetic Random Access Memory) ==== {{Al|5}}La [[w:Magnetic_Random_Acces_Memory|mémoire MRAM]] <math>\;\big(</math>Magnetic Random Access Memory<math>\big)\;</math> est une mémoire vive<ref name="mémoire vive"> Mémoire informatique dans laquelle peuvent être stockées, puis effacées, les informations traitées par un appareil informatique <math>\;\big(</math>par opposition à mémoire morte : mémoire informatique dont le contenu est fixé lors de sa programmation, qui peut être lue plusieurs fois par l'utilisateur, mais ne peut plus être modifiée<math>\big)</math>.</ref> non volatile<ref name="mémoire non volatile"> Mémoire qui ne s’efface pas lorsque l’appareil qui la contient n’est plus alimenté en électricité <math>\;\big[</math>une mémoire morte est toujours non volatile mais il existe des mémoires vives volatiles, celles qualifiées de « [[w:Mémoire_vive#Mémoire_vive_dynamique|dynamiques]] » <math>\;\big(</math>celles non volatiles comme les mémoires DRAM sont qualifiées de « [[w:Mémoire_vive#Mémoire_vive_statique|statiques]] »<math>\big)\big]</math>.</ref> de type magnétique, en développement depuis les années <math>\;1990</math> mais non commercialisée à grande échelle, notamment à cause de la concurrence des [[w:Mémoire_flash|mémoires flash]]<ref name="mémoire flash"> [[w:Mémoire_de_masse|Mémoire de masse]] à semi-conducteurs ré-inscriptible, se comportant comme une mémoire vive non volatile à vitesse élevée d'accessibilité, à longue durée de vie et à faible coût.</ref> et [[w:Mémoire_vive_dynamique|DRAM]] <math>\;\big(</math>Dynamic Random Access Memory<math>\big)\;</math><ref name="mémoire vive dynamique"> [[w:Mémoire_vive_dynamique|Mémoire vive dynamique]] compacte et peu dispendieuse, faisant partie des mémoires volatiles nécessitant un rafraîchissement en énergie pour compenser les courants de fuite des pico-condensateurs.</ref>. {{Al|5}}Chaque cellule de la MRAM est constituée de deux couches ferromagnétiques séparées par une fine couche isolante <math>\;\big(</math>large de <math>\;1\;</math> à <math>\;2\;nm\big)</math>, la 1^ère couche étant un aimant permanent dont la polarité est fixée et la 2^nde ayant une polarité qui peut être modifiée et qui permet ainsi le stockage de données ; l'ensemble de la cellule utilise le phénomène de [[w:Magnétorésistance_à_effet_tunnel|magnétorésistance à effet tunnel]] : * pour écrire sur celle-ci on induit un champ magnétique sur la couche supérieure pour fixer la polarité, ce qui impose alors une magnétorésistance à effet tunnel entre les deux couches et * pour la lire on mesure la résistance électrique de la cellule <math>\;\big(</math>le passage du courant dans la jonction de la cellule se fait par effet tunnel, l'intensité du courant étant plus intense quand les polarités des couches sont parallèles et plus faible quand elles sont antiparallèles<math>\big)</math> ; {{Al|5}}quand la mémorisation informatique par MRAM sera suffisamment développée, elle devrait supplanter toute autre mémorisation vive par sa rapidité, son débit, sa capacité et sa non volatilité <math>\;\ldots</math> ==== Explication du « retournement de la molécule NH₃ par rapport au plan des hydrogènes » ==== [[File:Ammonia lone electron pair 2.svg|thumb|Représentation de Cram<ref name="Cram"> '''[[w:Donald_J._Cram|Donald James Cram]] (1919 - 2001)''' chimiste américain, synthétisa des [[w:Éther-oxyde|éthers-couronne]] composés organiques bidimensionnels à propriétés de reconnaissance d'ions de certains éléments métalliques puis étendit cette chimie en <math>\;3D</math> ; il fût colauréat du prix Nobel de chimie en <math>\;1987\;</math> pour l'élaboration et l'utilisation de molécules exerçant, du fait de leurs structures, des interactions hautement sélectives avec '''[[w:Jean-Marie_Lehn|Jean-Marie Lehn]] (né en 1939)''' <math>\;\big(</math>chimiste français spécialiste de la [[w:Chimie_supramoléculaire|chimie supramoléculaire]]<math>\big)\;</math> et '''[[w:Charles_Pederson|Charles John Pedersen]] (1904 - 1989)''' <math>\;\big(</math>chimiste américain ayant élaboré la méthode de synthèse des [[w:Éther-oxyde|éthers-couronne]]<math>\big)</math>.</ref> de l'ammoniac avec positionnement du doublet non liant]] {{Al|5}}La forme de la molécule d’[[w:Ammoniac|ammoniac]] est « pyramidal », <math>\;N\;</math> étant au sommet d’une pyramide « aplatie » et les trois <math>\;H\;</math> aux sommets de la base équilatérale, mais {{Al|5}}il existe deux positions d’équilibre de <math>\;N\;</math> situées à égale distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> du plan formé par les trois <math>\;H</math> ; {{Al|5}}on peut modéliser l’énergie potentielle de <math>\;N\;</math> dans le champ créé par les trois <math>\;H\;</math> par un puits d’énergie potentielle double<ref> C.-à-d. deux puits d'énergie potentielle séparés par une bosse.</ref> soit, en notant <math>\;z\;</math> la distance algébrisée de <math>\;N\;</math> sur la normale au plan formé par les trois <math>\;H</math>, présence de deux minima d'énergie potentielle en <math>\;z = \pm \mathfrak{a}\;</math> et d’un maximum en <math>\;z = 0</math>, les deux configurations stables d’ammoniac étant donc séparées par une « bosse » d’énergie potentielle supposée rectangulaire dont la hauteur est supérieure à l'énergie de <math>\;N\;</math> dans la molécule, le basculement d'une configuration stable à l'autre n'est pas envisageable dans le cadre de la mécanique classique mais {{Al|5}}ce basculement étant expérimentalement observé <math>\;\big[</math>succession ininterrompue de « retournements »<ref> Utilisation de cette appellation (personnelle) traduisant la similitude avec le retournement d’un parapluie.</ref> à une fréquence élevée <math>\;24\;GHz\;</math><ref> Cette succession de « retournements » est appelée « battements quantiques ».</ref><math>\big]</math>, le passage d’une configuration à l’autre ne peut s'expliquer que par effet tunnel. ==== Microscope « à effet tunnel » ==== {{Al|5}}Le [[w:Microscope_à_effet_tunnel|microscope « à effet tunnel »]] ou microscope STM <math>\;\big(</math>scanning tunneling microscopy<math>\big)\;</math> fait partie de la famille des [[w:Microscope_à_sonde_locale|microscopes à sonde locale]], il utilise l'effet tunnel entre * une surface conductrice ou semi-conductrice à ausculter et * une sonde qui la balaie <math>\;\big(</math>scanne<math>\big)\;</math> horizontalement <math>\;\big(</math>avec possibilité de déplacement vertical<math>\big)</math>, la sonde et la surface à représenter étant séparée par un isolant <math>\;\big(</math>en général de l'air<math>\big)</math>, {{Al|5}}le courant traversant l'isolant par effet tunnel dépendant de la largeur de l'isolant, le fait de maintenir l'intensité constante permet de déterminer cette largeur laquelle correspond à la distance verticale séparant la sonde et la surface à ausculter ; {{Al|5}}on obtient ainsi une résolution spatiale pouvant être égale ou inférieure à la taille des atomes ; {{Al|5}}le [[w:Microscope_à_effet_tunnel|microscope « à effet tunnel »]] ou microscope STM <math>\;\big(</math>scanning tunneling microscopy<math>\big)\;</math> a été inventé en <math>\;1982\;</math> par '''[[w:Gerd_Binnig|Gerd Binnig]] (né en 1947)''' physicien allemand<ref name="Binnig"> [[File:Microscope à force atomique.ogv|thumb|upright=1.5|Principe de fonctionnement du Microscope à Force Atomique]] A également développé le [[w:Microscope_à_force_atomique|microscope à force atomique]] ou microscope AFM <math>\;\big(</math>atomic force microscopy<math>\big)\;</math> en <math>\;1985\;</math> avec '''[[w:Calvin_Quate|Calvin Forrest Quate]] (né en 1923)''' physicien américain <math>\;\big[</math>ayant précédemment inventé en <math>\;1973\;</math> avec un collègue, le microscope SAM <math>\;\big(</math>scanning acoustic {{Nobr|microscopy<math>\big)\big]\;</math>}} et '''[[w:Christoph_Gerber|Christoph Gerber]] (né en 1942)''' physicien suisse <math>\;\big[</math>ayant aussi contribué au développement du [[w:Microscope_à_effet_tunnel|microscope « à effet tunnel »]]<math>\big)</math>, ce microscope fait aussi partie de la famille des [[w:Microscope_à_sonde_locale|microscopes à sonde locale]], son principe de fonctionnement est présenté dans la vidéo ci-contre, il utilise la force de répulsion entre les nuages électroniques des atomes de la surface à imager et ceux des atomes de la pointe de la sonde qui scanne la surface ; cette force de répulsion entraîne une déviation verticale de la pointe, laquelle est enregistrée par réflexion d'un faisceau laser avec une résolution verticale de l'ordre de l'angström <math>\;1\;\text{Å} = 0,1\;nm\;</math> et horizontale de l'ordre de <math>\;10\;nm\;\ldots</math>{{clr}}</ref> et '''[[w:Heinrich_Rohrer|Heinrich Rohrer]] (1933 - 2013)''' physicien suisse, colauréats d'une moitié de prix Nobel de physique pour cette invention en <math>\;1986</math>, l'autre moitié étant attribuée à '''[[w:Ernst_Ruska|Ernst Ruska]] (1906 - 1988)''' physicien allemand pour ses travaux fondamentaux en [[w:Optique_des_particules_chargées|optique électronique]] et pour la conception du premier [[w:Microscope_électronique_en_transmission|microscope électronique en transmission]] <ref> Ou microscope TEM <math>\;\big(</math>transmission electron microscopy<math>\big)\;</math>, mis au point en <math>\;1931\;</math> avec '''[[w:Max_Knoll|Max Knoll]] (1897 - 1969)''' ingénieur en électricité allemand dont '''[[w:Ernst_Ruska|Ernst Ruska]]''' fût l'étudiant.</ref>. ==== « Effet Josephson » ==== {{Al|5}}L'« [[w:Effet_Josephson|effet Josephson]] » se manifeste par l'apparition d'un courant entre deux matériaux [[w:Supraconductivité|supraconducteurs]] séparés par une couche faite d'un matériau * isolant <math>\;\big[</math>dans ce cas on parle de « jonction Josephson S-I-S » <math>\;\big(</math>supraconducteur – isolant – supraconducteur<math>\big)\big]\;</math> ou * métallique non supraconducteur <math>\;\big[</math>dans ce cas on parle de « jonction Josephson S-M-S » <math>\;\big(</math>supraconducteur – métal – supraconducteur<math>\big)\big]</math> ; {{Al|5}}la supraconduction étant assurée par les « [[w:Paire_de_Cooper|paires de Cooper]] »<ref name="Cooper"> '''[[w:Leon_Neil_Cooper|Leon Neil Cooper]] (né en 1930)''' physicien américain, ayant participé à l'élaboration de la théorie de la supraconductivité connue sous le nom de « [[w:Théorie_BCS|théorie BCS]] » avec '''[[w:John_Bardeen|John Bardeen]] (1908 - 1991)''' et '''[[w:John_Robert_Schrieffer|John Robert Schrieffer]] (né en 1931)''' tous deux physiciens américains, ce qui leur valut, à tous trois, de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1972</math>.</ref> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire des paires stables d'électrons<math>\big)\;</math> et celles-ci n'existant pas dans un isolant ou un métal, elles ne peuvent traverser la jonction Josephson que par effet tunnel ; {{Al|5}}effet prédit par '''[[w:Brian_David_Josephson|Brian David Josephson]]'''<ref name="Josephson" /> en <math>\;1962</math>. === Résolution de l'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté devant une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire, l'énergie mécanique d'entrée de la particule étant inférieure à la hauteur de la « barrière » === ==== Expression des deux formes d'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire ==== {{Al|5}}Supposant une particule quantique de masse <math>\;m\;</math> à un degré de liberté <math>\;\Big(</math>c'est-à-dire dont la composante spatiale de la fonction d’onde ne dépend que d’un paramètre de position noté <math>\;x\;</math> représentant l’abscisse de <math>\;M\;</math> sur un axe <math>\;\overrightarrow{x'Ox}\Big)</math>, nous cherchons la composante spatiale de la fonction d’onde de cette particule <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math> dans un état stationnaire d'énergie <math>\;E > 0\;</math><ref name="raison de E positive"> <math>\;E\;</math> est nécessairement <math>\;> 0\;</math> car la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule quantique hors champ scalaire d'énergie potentielle doit aussi être une fonction propre de l'opérateur énergie cinétique dont les valeurs propres sont nécessairement <math>\;> 0</math>.</ref>{{,}}<ref name="fonction d'onde complète"> La fonction d'onde complète de la particule quantique à l'abscisse <math>\;x\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant <math>\;\underline{\psi}(x,\,t) = \underline{\Psi}(x)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E}{\hbar}\;t \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Notion_de_fonction_d'onde_de_matière|notion de fonction d'onde de matière]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quand on place la particule quantique devant une « bosse » d’énergie potentielle rectangulaire <center><math>\;U(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0 &\text{pour }\;x \in \left] \mathfrak{a}\,,\, +\infty \right[\\ U_0 > 0 &\text{pour }\;x \in \left[ 0\,,\, \mathfrak{a} \right]\\ 0 &\text{pour }\;x \in \left] -\infty\,,\,0 \right[ \end{array}\right\rbrace</math> ;</center> {{Al|5}}d'après l'expression de l'équation de Schrödinger<ref name="Schrödinger"> '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique (connu sous le nom de mécanique ondulatoire) ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à [[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]] l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]]''' dans sa théorie des distributions ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. <br>{{Al|3}}'''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields (équivalent du prix Nobel en mathématiques) en <math>\;1950\;</math> pour ses travaux sur la théorie des distributions <math>\;\big(</math>sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité <math>\ldots\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], a obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création d'une forme de [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connue sous le nom de [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]]<math>\big)</math>, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène <math>\;\big(</math>le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à <math>\;75\;\%\;</math> à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue<math>\big)</math>.</ref> indépendante du temps d'une particule quantique de masse <math>\;m\;</math> d'un espace tridimensionnel dans un champ scalaire d'énergie potentielle <math>\;U(M)\;</math> introduite au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Recherche_des_états_propres_de_l'opérateur_linéaire_«_hamiltonien_»_à_énergie_potentielle_ne_dépendant_pas_explicitement_du_temps,_équation_de_Schrödinger_indépendante_du_temps|recherche des états propres de l'opérateur linéaire hamiltonien à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » s'écrivant <math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta\! \left[ \underline{\Psi}_E(M) \right] + U(M)\; \underline{\Psi}_E(M) =</math> <math>E\; \underline{\Psi}_E(M)\;</math> dans laquelle <math>\;\Delta\! \left[ \, \right]\;</math> est l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 2^ème ordre « laplacien »<ref name="laplacien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Champ_scalaire_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dont l'expression se réduit, en repérage cartésien d'un espace à une dimension, à <math>\;\Delta\! \left[ \, \right] = \dfrac{d^2}{dx^2}\! \left[ \, \right]</math>, on en déduit l'expression de l'équation de Schrödinger<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps de la particule quantique de masse <math>\;m\;</math> dans le champ scalaire d'énergie potentielle <math>\;U(x)</math>, <math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{d^2}{dx^2}\! \left[ \underline{\Psi}_E(x) \right] + U(x)\; \underline{\Psi}_E(x) = E\; \underline{\Psi}_E(x)\;</math> d'où, les deux formes suivantes * hors champ scalaire d'énergie potentielle c'est-à-dire pour <math>\;x \in \left] -\infty\,,\,0 \right[ \cup \left] \mathfrak{a}\,,\, +\infty \right[</math> : <math>\;\dfrac{d^2 \underline{\Psi}_E}{dx^2}(x) + \dfrac{2\;m\;E}{\hbar^2}\; \underline{\Psi}_E(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et * dans le champ scalaire d'énergie potentielle c'est-à-dire pour <math>\;x \in \left[ 0\,,\, \mathfrak{a} \right]</math> : {{Al|22}}<math>\;\dfrac{d^2 \underline{\Psi}_E}{dx^2}(x) + \dfrac{2\;m\, \left( E - U_0 \right)}{\hbar^2}\; \underline{\Psi}_E(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>. ==== Forme de la solution générale de chaque forme d'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle ==== ===== Forme de la solution générale de la forme d'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire ===== {{Al|5}}Il s'agit donc de chercher la solution générale de <math>\;\dfrac{d^2 \underline{\Psi}_E}{dx^2}(x) + \dfrac{2\;m\;E}{\hbar^2}\; \underline{\Psi}_E(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> avec <math>\;E > 0</math>, équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants d'équation caractéristique <math>\;\underline{s}^2 + \dfrac{2\;m\;E}{\hbar^2} = 0\;</math> de solutions <math>\;\underline{s}_{\pm} = \pm i\;\sqrt{\dfrac{2\;m\;E}{\hbar^2}} = \pm i\;k\;</math> avec <math>\;k = \dfrac{\sqrt{2\;m\;E}}{\hbar}\;</math> d'où <center>la forme de la composante spatiale de la fonction d'onde <math>\;\underline{\Psi}_E(x) = \underline{A}\; \exp\! \left( i\;k\;x \right) + \underline{B}\; \exp\! \left( -i\;k\;x \right)</math>,</center> * <math>\;\underline{A}\;</math> étant l’amplitude complexe de la composante progressive dans le sens des <math>\;x \nearrow\;</math><ref name="sens de propagation de l'onde"> En effet la fonction d'onde complète est <math>\;\underline{\psi}_E(x,\,t) = \underline{\Psi}_E(x)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E}{\hbar}\;t \right) =</math> <math>\underline{A}\; \exp\! \left[ -i\;\dfrac{E}{\hbar} \left( t - \dfrac{\hbar\;k}{E}\;x \right) \right] + \underline{B}\; \exp\! \left[ -i\;\dfrac{E}{\hbar} \left( t + \dfrac{\hbar\;k}{E}\;x \right) \right]</math>, la 1^ère composante <math>\;\underline{A}\; \exp\! \left[ -i\;\dfrac{E}{\hbar} \left( t - \dfrac{\hbar\;k}{E}\;x \right) \right]\;</math> étant effectivement progressive dans le sens des <math>\;x \nearrow\;</math> et la 2^ème <math>\;\underline{B}\; \exp\! \left[ -i\;\dfrac{E}{\hbar} \left( t + \dfrac{\hbar\;k}{E}\;x \right) \right]\;</math> progressive dans le sens des <math>\;x \searrow</math>, toutes deux de même vitesse de phase <math>\;v_\varphi = \dfrac{E}{\hbar\;k}</math>.</ref> <math>\;\big(</math>associée à la particule classique se déplaçant vers la droite<math>\big)\;</math> et * <math>\;\underline{B}\;</math> {{Al|35}}celle de la composante progressive dans le sens des <math>\;x \searrow\;</math><ref name="sens de propagation de l'onde" /> <math>\;\big(</math>associée à la particule classique se déplaçant vers la gauche<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> pour <math>\;x \in \left] -\infty\,,\, 0 \right[</math>, on conserve la forme générale <math>\;\underline{\Psi}_{E,\,1a}(x) = \underline{A}\; \exp\! \left( i\;k\;x \right) + \underline{B}\; \exp\! \left( -i\;k\;x \right)</math>, la 1^ère composante étant associée au mouvement initial de la particule classique et la 2^ème à une éventuelle réflexion sur la « bosse » d'énergie potentielle et {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> pour <math>\;x \in \left] \mathfrak{a}\,,\, +\infty \right[</math>, on ne conserve que la forme <math>\;\underline{\Psi}_{E,\,1b}(x) = \underline{A''}\; \exp\! \left( i\;k\;x \right)\;</math> traduisant l'éventuelle transmission de l'onde à travers la « bosse » d'énergie potentielle<ref> Une composante se propageant dans le sens des <math>\;x \searrow\;</math> n'étant pas réaliste en absence de champ d'énergie potentielle sur lequel il pourrait y avoir réflexion.</ref>. ===== Forme de la solution générale de la forme d'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté à l'intérieur de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle ===== {{Al|5}}Il s'agit donc de chercher la solution générale de <math>\;\dfrac{d^2 \underline{\Psi}_E}{dx^2}(x) - \dfrac{2\;m\, \left( U_0 - E \right)}{\hbar^2}\; \underline{\Psi}_E(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> avec <math>\;0 < E < U_0</math>, équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants d'équation caractéristique <math>\;\underline{s}^2 - \dfrac{2\;m\, \left( U_0 - E \right)}{\hbar^2} = 0\;</math> de solutions <math>\;\underline{s}_{\pm} = \pm \sqrt{\dfrac{2\;m\, \left( U_0 - E \right)}{\hbar^2}} = \pm k'\;</math> avec <math>\;k' = \dfrac{\sqrt{2\;m\, \left( U_0 - E \right)}}{\hbar}\;</math> d'où <center>la forme de la composante spatiale de la fonction d'onde <math>\;\underline{\Psi}_{E,\,2}(x) = \underline{A'}\; \exp\! \left( k'\;x \right) + \underline{B'}\; \exp\! \left( -k'\;x \right)</math>,</center> * <math>\;\underline{A'}\;</math> étant l’amplitude complexe de la composante « évanescente » dans le sens des <math>\;x \searrow\;</math><ref name="sens de décroissance de l'amplitude de l'onde"> En effet la fonction d'onde complète est <math>\;\underline{\psi}_E(x,\,t) = \underline{\Psi}_E(x)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E}{\hbar}\;t \right) =</math> <math>\underline{A'}\; \exp\! \left( k'\;x \right)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E}{\hbar}\;t \right) + \underline{B'}\; \exp\! \left( -k'\;x \right)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E}{\hbar}\;t \right)</math>, la 1^ère composante <math>\;\underline{A'}\; \exp\! \left( k'\;x \right)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E}{\hbar}\;t \right)\;</math> étant effectivement « évanescente » dans le sens des <math>\;x \searrow</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. non progressive, de pseudo amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement dans le sens des <math>\;x \searrow\big)\;</math> et la 2^ème <math>\;\underline{B'}\; \exp\! \left( -k'\;x \right)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E}{\hbar}\;t \right)\;</math> également « évanescente » dans le sens des <math>\;x \nearrow</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. non progressive, mais de pseudo amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement dans le sens des <math>\;x \nearrow\big)</math>.</ref> et * <math>\;\underline{B'}\;</math> {{Al|35}}celle de la composante « évanescente » dans le sens des <math>\;x \nearrow\;</math><ref name="sens de décroissance de l'amplitude de l'onde" />. ==== Utilisation des C.A.L. pour relier les différentes formes de la solution générale de l'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : les C.A.L<ref name="C.A.L."> Conditions Aux Limites.</ref>. portant sur les éventuelles continuités ou discontinuités de la composante spatiale de la fonction d'onde <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math> ainsi que de sa dérivée par rapport à <math>\;x\;</math> à savoir <math>\;\dfrac{d \underline{\Psi}}{dx}(x)\;</math> aux limites des domaines de validité des différentes formes c'est-à-dire en <math>\;x = 0\;</math> et <math>\;x = \mathfrak{a}</math>, il y a {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}<math>\;\succ\;</math>toujours continuité de <math>\;\underline{\Psi}(x)\;</math><ref name="continuité de Ψ"> Cela résulte de la continuité de la densité linéique de probabilité de présence <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}<math>\;\succ\;</math>continuité de <math>\;\dfrac{d \underline{\Psi}}{dx}(x)\;</math> dans la mesure où la discontinuité du champ scalaire d'énergie potentielle est de 1^ère espèce<ref name="continuité de la dérivée spatiale de Ψ"> Ceci nécessitant que la barrière d'énergie potentielle ne soit pas infinie <math>\;\ldots</math></ref>. ===== Utilisation des C.A.L. en x = ɑ ===== {{Al|5}}<math>\;\succ\;\underline{\Psi}_{E,\,2}(\mathfrak{a}) = \underline{\Psi}_{E,\,1b}(\mathfrak{a})\;</math> donne <math>\;\underline{A'}\; \exp\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) + \underline{B'}\; \exp\! \left( -k'\;\mathfrak{a} \right) = \underline{A''}\; \exp\! \left( i\;k\;\mathfrak{a} \right)\;</math> d'une part et {{Al|5}}<math>\;\succ\;\dfrac{d \underline{\Psi}_{E,\,2}}{dx}(\mathfrak{a}) = \dfrac{d \underline{\Psi}_{E,\,1b}}{dx}(\mathfrak{a})\;</math><span style="color:#ffffff;"><small>.....</small></span><math>\;\underline{A'}\; k'\;\exp\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) - \underline{B'}\;k'\; \exp\! \left( -k'\;\mathfrak{a} \right) = \underline{A''}\; i\;k\;\exp\! \left( i\;k\;\mathfrak{a} \right)\;</math> d'autre part ; {{Al|5}}nous avons à résoudre le système des deux équations linéaires en <math>\;\left( \underline{A'}\,,\,\underline{B'} \right)</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \exp\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) \!\!\!&\underline{A'} + \exp\! \left( -k'\;\mathfrak{a} \right) \!\!\!&\underline{B'} = \exp\! \left( i\;k\;\mathfrak{a} \right)\,\underline{A''}\\ \exp\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) \!\!\!&\underline{A'} - \exp\! \left( -k'\;\mathfrak{a} \right) \!\!\!&\underline{B'} = \exp\! \left( i\;k\;\mathfrak{a} \right)\;\dfrac{i\;k}{k'}\,\underline{A''}\end{array}\right\rbrace</math>, en fonction d'une 3^ème inconnue <math>\;\underline{A''}</math>, nous obtenons * en faisant la somme des deux équations <math>\;\underline{A'} = \dfrac{1 + i\;\dfrac{k}{k'}}{2}\;\exp\! \left[ - \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \,\underline{A''}\;</math> soit <math>\;\underline{A'} = \dfrac{k' + i\;k}{2\;k'}\;\exp\! \left[ - \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \,\underline{A''}\;</math> et * en faisant la différence des deux équations <math>\;\underline{B'} = \dfrac{1 - i\;\dfrac{k}{k'}}{2}\;\exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \,\underline{A''}\;</math> soit <math>\;\underline{B'} = \dfrac{k' - i\;k}{2\;k'}\;\exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \,\underline{A''}</math>. ===== Utilisation des C.A.L. en x = 0 ===== {{Al|5}}<math>\;\succ\;\underline{\Psi}_{E,\,1a}(0) = \underline{\Psi}_{E,\,2}(0)\;</math> donne <math>\;\underline{A} + \underline{B} = \underline{A'} + \underline{B'}\;</math> d'une part et {{Al|5}}<math>\;\succ\;\dfrac{d \underline{\Psi}_{E,\,1a}}{dx}(0) = \dfrac{d \underline{\Psi}_{E,\,2}}{dx}(0)\;</math><span style="color:#ffffff;"><small>.....</small></span><math>\;\underline{A}\; i\;k - \underline{B}\;i\;k = \underline{A'}\; k' - \underline{B'}\; k'\;</math> d'autre part ; {{Al|5}}nous avons à résoudre le système des deux équations linéaires en <math>\;\left( \underline{A}\,,\,\underline{B} \right)</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \underline{A} + \underline{B} = \underline{A'} + \underline{B'}\\ \underline{A} - \underline{B} = \left( \underline{A'} - \underline{B'} \right)\, \dfrac{k'}{i\;k} \end{array}\right\rbrace</math>, en fonction des deux inconnues <math>\;\left( \underline{A'}\,,\,\underline{B'} \right)</math>, nous obtenons * en faisant la somme des deux équations <math>\;\underline{A} = \dfrac{1 - i\;\dfrac{k'}{k}}{2}\;\underline{A'} + \dfrac{1 + i\;\dfrac{k'}{k}}{2}\;\underline{B'}\;</math> soit <math>\;\underline{A} = \dfrac{k - i\;k'}{2\;k}\;\underline{A'} + \dfrac{k + i\;k'}{2\;k}\;\underline{B'} = \dfrac{k' + i\;k}{2\;i\;k}\;\underline{A'} - \dfrac{k' - i\;k}{2\;i\;k}\;\underline{B'}\;</math> et * en faisant la différence des deux équations <math>\;\underline{B} = \dfrac{1 + i\;\dfrac{k'}{k}}{2}\;\underline{A'} + \dfrac{1 - i\;\dfrac{k'}{k}}{2}\;\underline{B'}\;</math> soit <math>\;\underline{B} = \dfrac{k + i\;k'}{2\;k}\;\underline{A'} + \dfrac{k - i\;k'}{2\;k}\;\underline{B'} = -\dfrac{k' - i\;k}{2\;i\;k}\;\underline{A'} + \dfrac{k' + i\;k}{2\;i\;k}\;\underline{B'}</math> ; {{Al|5}}y reportant les expressions de <math>\;\left( \underline{A'}\,,\,\underline{B'} \right)\;</math> en fonction de <math>\;\underline{A''}</math>, on obtient celles de <math>\;\left( \underline{A}\,,\,\underline{B} \right)\;</math> en fonction de <math>\;\underline{A''}</math>, soit * <math>\;\underline{A} = \dfrac{k' + i\;k}{2\;i\;k}\;\underline{A'} - \dfrac{k' - i\;k}{2\;i\;k}\;\underline{B'} = \dfrac{k' + i\;k}{2\;i\;k}\;\dfrac{k' + i\;k}{2\;k'}\;\exp\! \left[ - \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \,\underline{A''} - \dfrac{k' - i\;k}{2\;i\;k}\;\dfrac{k' - i\;k}{2\;k'}\;\exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \,\underline{A''}\;</math> soit finalement <center><math>\;\underline{A} = \dfrac{\left( k' + i\;k \right)^2\;\exp\! \left[ - \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] - \left( k' - i\;k \right)^2\;\exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right]}{4\;i\;k\;k'}\;\underline{A''}\;</math> et</center> * <math>\;\underline{B} = -\dfrac{k' - i\;k}{2\;i\;k}\;\underline{A'} + \dfrac{k' + i\;k}{2\;i\;k}\;\underline{B'} = -\dfrac{k' - i\;k}{2\;i\;k}\;\dfrac{k' + i\;k}{2\;k'}\;\exp\! \left[ - \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \,\underline{A''} + \dfrac{k' + i\;k}{2\;i\;k}\;\dfrac{k' - i\;k}{2\;k'}\;\exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \,\underline{A''}\;</math> soit finalement <center><math>\;\underline{B} = \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right) \left\lbrace \exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] - \exp\! \left[ -\left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \right\rbrace}{4\;i\;k\;k'}\;\underline{A''}</math>.</center> ===== Réécriture des différentes formes de la solution générale de l'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle ===== * Si <math>\;x \in \left] -\infty\,,\, 0 \right[</math>, <math>\;\underline{\Psi}_{E,\,1a}(x) = \underline{A''}\, \left\lbrace \dfrac{\left( k' + i\;k \right)^2\;\exp\! \left[ - \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] - \left( k' - i\;k \right)^2\;\exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right]}{4\;i\;k\;k'}\;\exp\! \left( i\;k\;x \right) +\ldots \right.</math> <br>{{Al|55}}{{Transparent|Si x in ~-infty, 0~ Psi E, 1a ~=~ ~A~}} <math>\left.\ldots \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right) \left\lbrace \exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] - \exp\! \left[ -\left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \right\rbrace}{4\;i\;k\;k'}\;\exp\! \left( -i\;k\;x \right) \right\rbrace\;</math><ref name="normalisation de la composante spatiale de la fonction d'onde"> <math>\;\underline{A''}\;</math> pourrait être déterminé par normalisation de la composante spatiale de la fonction d'onde c.-à-d. par <math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{P}_l(x)\;dx = 1\;</math> avec <math>\;\mathcal{P}_l(x) = \vert \underline{\Psi}_E(x) \vert^2\;</math> la densité linéique de probabilité de présence, si l'intégrale généralisée <math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{P}_l(x)\;dx\;</math> convergeait, ce qui n'est pas le cas d'où impossibilité de normaliser la composante spatiale de la fonction d'onde, <math>\;\underline{A''}\;</math> restant arbitraire <math>\;\ldots</math></ref> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} k \!\!\!&= \dfrac{\sqrt{2\;m\;E}}{\hbar}\\ k' \!\!\!&= \dfrac{\sqrt{2\;m\, \left( U_0 - E \right)}}{\hbar}\end{array} \right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;{k'}^2 + k^2 = \dfrac{2\;m\;U_0}{\hbar^2}</math>, * si <math>\;x \in \left[ 0\,,\, \mathfrak{a} \right]</math>, <math>\;\underline{\Psi}_{E,\,2}(x) = \underline{A''}\, \left\lbrace \dfrac{k' + i\;k}{2\;k'}\;\exp\! \left[ - \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right]\;\exp\! \left( k'\;x \right) + \dfrac{k' - i\;k}{2\;k'}\;\exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right]\; \exp\! \left( -k'\;x \right) \right\rbrace\;</math><ref name="normalisation de la composante spatiale de la fonction d'onde" /> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} k \!\!\!&= \dfrac{\sqrt{2\;m\;E}}{\hbar}\\ k' \!\!\!&= \dfrac{\sqrt{2\;m\, \left( U_0 - E \right)}}{\hbar}\end{array} \right\rbrace</math>, * si <math>\;x \in \left] \mathfrak{a}\,,\, +\infty \right[</math>, <math>\;\underline{\Psi}_{E,\,1b}(x) = \underline{A''}\; \exp\! \left( i\;k\;x \right)\;</math><ref name="normalisation de la composante spatiale de la fonction d'onde" /> où <math>\;k = \dfrac{\sqrt{2\;m\;E}}{\hbar}</math>. ==== Différentes formes de la densité linéique de probabilité de présence d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle ==== ===== Expression de la densité linéique de probabilité de présence d'une particule à un degré de liberté au-delà d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle ===== {{Al|5}}La densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique au-delà de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire à énergie mécanique inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle s'écrit <math>\;\mathcal{P}_{l,\,E,\,1b}(x) = \vert \underline{\Psi}_{E,\,1b}(x) \vert^2 = \vert \underline{A''} \vert^2\;</math><ref name="normalisation de la composante spatiale de la fonction d'onde" /> indépendante de <math>\;x</math>. ===== Expression de la densité linéique de probabilité de présence d'une particule à un degré de liberté à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle ===== {{Al|5}}La densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique à l'intérieur de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire à énergie mécanique inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle s'écrit <math>\;\mathcal{P}_{l,\,E,\,2}(x) = \vert \underline{\Psi}_{E,\,2}(x) \vert^2 = \vert \underline{A''} \vert^2\;\left\lbrace \dfrac{{k'}^2 + k^2}{4\;{k'}^2} \left\lbrace \exp\! \left[ 2\;k' \left( x - \mathfrak{a} \right) \right] + \exp\! \left[ -2\;k' \left( x - \mathfrak{a} \right) \right] \right\rbrace + \dfrac{{k'}^2 - k^2}{2\;{k'}^2} \right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vert \underline{\alpha} + \underline{\beta} \vert^2 = \vert \underline{\alpha} \vert^2 + \vert \underline{\beta} \vert^2 + \underline{\alpha}\;\underline{\beta}^{*} + \underline{\alpha}^{*}\;\underline{\beta}\;</math> avec <math>\;\underline{\alpha} = \dfrac{k' + i\;k}{2\;k'}\;\exp\! \left[ - \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right]\;\exp\! \left( k'\;x \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \underline{\alpha} \vert^2 = \dfrac{{k'}^2 + k^2}{4\;{k'}^2}\;\exp\! \left[ 2\;k' \left( x - \mathfrak{a} \right) \right]\;</math> d'une part, <math>\;\underline{\beta} =</math> <math>\dfrac{k' - i\;k}{2\;k'}\;\exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right]\;\exp\! \left( - k'\;x \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \underline{\beta} \vert^2 = \dfrac{{k'}^2 + k^2}{4\;{k'}^2}\;\exp\! \left[ -2\;k' \left( x - \mathfrak{a} \right) \right]\;</math> d'autre part et enfin, <math>\;\underline{\alpha}\;\underline{\beta}^{*} + \underline{\alpha}^{*}\;\underline{\beta} = \dfrac{\left( k' + i\;k \right)^2}{4\;{k'}^2} + \dfrac{\left( k' - i\;k \right)^2}{4\;{k'}^2} =</math> <math>\dfrac{{k'}^2 - k^2}{2\;{k'}^2}</math>.</ref> soit encore, à l'aide du cosinus hyperbolique<ref name="cosinus hyperbolique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Cosinus_hyperbolique|cosinus hyperbolique]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\mathcal{P}_{l,\,E,\,2}(x) =</math> <math>\vert \underline{A''} \vert^2\; \dfrac{U_0\;\cosh\! \left[ 2\;k' \left( x - \mathfrak{a} \right) \right] + \left( U_0 - 2\;E \right)}{2\, \left( U_0 - E \right)}\;</math><ref> En effet on rappelle que <math>\;\dfrac{\exp(\mathfrak{b}) + \exp(-\mathfrak{b})}{2} = \cosh(\mathfrak{b})\;</math> d'une part et <math>\;\dfrac{{k'}^2 + k^2}{2\;{k'}^2} = \dfrac{U_0}{2\, \left( U_0 - E \right)}</math> ainsi que <math>\;\dfrac{{k'}^2 - k^2}{2\;{k'}^2} = \dfrac{U_0 - 2\;E}{2\, \left( U_0 - E \right)}\;</math> d'autre part.</ref>{{,}}<ref name="normalisation de la composante spatiale de la fonction d'onde" />. ===== Expression de la densité linéique de probabilité de présence d'une particule à un degré de liberté en-deçà d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle ===== {{Al|5}}La densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique en-deçà de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire à énergie mécanique <math>\;<\;</math> à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle s'écrit <math>\;\mathcal{P}_{l,\,E,\,1a}(x) = \vert \underline{\Psi}_{E,\,1a}(x) \vert^2 = \vert \underline{A''} \vert^2\; \left\lbrace \dfrac{\vert \left( k' + i\;k \right)^2\;\exp\! \left[ - \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] - \left( k' - i\;k \right)^2\;\exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \vert^2}{16\;k^2\;{k'}^2} + \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\;\vert \exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] - \exp\! \left[ -\left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \vert^2}{16\;k^2\;{k'}^2} + \ldots\right.</math> <math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ldots \dfrac{\left\lbrace \left( k' + i\;k \right)^2\;\exp\! \left[ - \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] - \left( k' - i\;k \right)^2\;\exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \right\rbrace \left( {k'}^2 + k^2 \right) \left\lbrace \exp\! \left[ \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] - \exp\! \left[ -\left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \right\rbrace}{16\;k^2\;{k'}^2}\;\exp\! \left( i\;2\;k\;x \right) + \ldots</math> <math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\left.\ldots \dfrac{\left\lbrace \left( k' - i\;k \right)^2\;\exp\! \left[ - \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] - \left( k' + i\;k \right)^2\;\exp\! \left[ \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \right\rbrace \left( {k'}^2 + k^2 \right) \left\lbrace \exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] - \exp\! \left[ -\left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \right\rbrace}{16\;k^2\;{k'}^2}\;\exp\! \left( -i\;2\;k\;x \right) \right\rbrace\;</math><ref name="carré du module d'une somme"> En utilisant <math>\;\vert \underline{\alpha} + \underline{\beta} \vert^2 = \vert \underline{\alpha} \vert^2 + \vert \underline{\beta} \vert^2 + \underline{\alpha}\;\underline{\beta}^{*} + \underline{\alpha}^{*}\;\underline{\beta}\;\ldots</math></ref> soit * un 1^er terme <math>\;= \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\;\exp\! \left( -2\;k'\;\mathfrak{a} \right) + \left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\;\exp\! \left( 2\;k'\;\mathfrak{a} \right) - \left( k' + i\;k \right)^4 - \left( k' - i\;k \right)^4}{16\;{k'}^2\;k^2}\;</math><ref name="carré du module d'une somme" /> soit, en développant la somme élevée à la puissance <math>\;4\;</math> dans les deux derniers termes du numérateur <math>\;\left( k' \pm i\;k \right)^4 = {k'}^4 \pm 4\;i\;{k'}^3\;k - 6\;{k'}^2\;k^2 \mp 4\;i\;k'\;k^3 + k^4</math>, on en déduit la somme des deux derniers termes du numérateur <math>\;-\left( k' + i\;k \right)^4 - \left( k' - i\;k \right)^4 = -2\, \left( {k'}^4 - 6\;{k'}^2\;k^2 + k^4 \right)\;</math> soit, avec la réécriture de la somme des deux 1^ers termes du numérateur selon <math>\;2\,\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\;\cosh\! \left( 2\;k'\;\mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="formules déduites de la définition du cosinus et du sinus hyperboliques"> On rappelle que <math>\;\exp(\mathfrak{b}) + \exp(-\mathfrak{b}) = 2\;\cosh(\mathfrak{b})\;</math> et <math>\;\exp(\mathfrak{b}) - \exp(-\mathfrak{b}) = 2\;\sinh(\mathfrak{b})</math>.</ref>, 1^er terme <math>\;= \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\;\cosh\! \left( 2\;k'\;\mathfrak{a} \right) - \left[ \left( {k'}^2 - k^2 \right)^2 - 4\;{k'}^2\;k^2 \right]}{8\;{k'}^2\;k^2}\;</math><ref> On a utilisé <math>\;{k'}^4 - 6\;{k'}^2\;k^2 + k^4 = \left( {k'}^2 - k^2 \right)^2 - 4\;{k'}^2\;k^2\;</math> dans le 2^ème terme du numérateur.</ref>, * un 2^ème terme <math>\;= \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\; \left[ \exp\! \left( 2\;k'\;\mathfrak{a} \right) + \exp\! \left( -2\;k'\;\mathfrak{a} \right) - 1 - 1 \right]}{16\;k^2\;{k'}^2}\;</math><ref name="carré du module d'une somme" /> <math>\;= \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\; \left[ \exp\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) - \exp\! \left( -k'\; \mathfrak{a} \right) \right]^2}{16\;k^2\;{k'}^2} = \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\; \sinh^2\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right)}{4\;k^2\;{k'}^2}\;</math><ref name="formules déduites de la définition du cosinus et du sinus hyperboliques" />, * un 3^ème terme <math>\; = \dfrac{\left( k' + i\;k \right)^2\,\left( {k'}^2 + k^2 \right)\,\left[ 1 - \exp(-2\;k'\;\mathfrak{a}) \right] - \left( k' - i\;k \right)^2\,\left( {k'}^2 + k^2 \right)\,\left[ \exp(2\;k'\;\mathfrak{a}) - 1 \right]}{16\;k^2\;{k'}^2}\;\exp\! \left( i\;2\;k\;x \right) = </math> <math>\dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)\, \left\lbrace \left( {k'}^2 - k^2 \right)\, \left[ 1 - \cosh(2\;k'\;\mathfrak{a}) \right] + 2\;i\;k'\;k\; \sinh(2\;k'\;\mathfrak{a}) \right\rbrace}{8\;k^2\;{k'}^2}\;\exp\! \left( i\;2\;k\;x \right)\;</math><ref name="formules déduites de la définition du cosinus et du sinus hyperboliques" />, * un 4^ème terme <math>\;= \dfrac{\left( k' - i\;k \right)^2\,\left( {k'}^2 + k^2 \right)\,\left[ 1 - \exp(-2\;k'\;\mathfrak{a}) \right] - \left( k' + i\;k \right)^2\,\left( {k'}^2 + k^2 \right)\,\left[ \exp(2\;k'\;\mathfrak{a}) - 1 \right]}{16\;k^2\;{k'}^2}\;\exp\! \left( -i\;2\;k\;x \right) = </math> <math>\dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)\, \left\lbrace \left( {k'}^2 - k^2 \right)\, \left[ 1 - \cosh(2\;k'\;\mathfrak{a}) \right] - 2\;i\;k'\;k\; \sinh(2\;k'\;\mathfrak{a}) \right\rbrace}{8\;k^2\;{k'}^2}\;\exp\! \left( -i\;2\;k\;x \right)\;</math><ref name="formules déduites de la définition du cosinus et du sinus hyperboliques" /> d'où * 3^ème <math>+</math> 4^ème termes <math>\;= \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)\, \left\lbrace \left( {k'}^2 - k^2 \right)\, \left[ 1 - \cosh(2\;k'\;\mathfrak{a}) \right]\,\cos(2\;k\;x) - 2\;k'\;k\; \sinh(2\;k'\;\mathfrak{a})\;\sin(2\;k\;x) \right\rbrace}{4\;k^2\;{k'}^2}\;</math><ref name="formules d'Euler du cosinus et du sinus"> On rappelle que <math>\;\exp(i\;\mathfrak{b}) + \exp(-i\;\mathfrak{b}) = 2\;\cos(\mathfrak{b})\;</math> et <math>\;\exp(i\;\mathfrak{b}) - \exp(-i\;\mathfrak{b}) = 2\;i\;\sin(\mathfrak{b})</math>.</ref> ; {{Al|5}}ajoutant toutes les contributions précédemment évaluées, la densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique en-deçà de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire à énergie mécanique strictement inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle s'écrit <math>\;\mathcal{P}_{l,\,E,\,1a}(x) =</math> <math>\vert \underline{A''} \vert^2\, \left\lbrace \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\, \left[ \cosh(2\;k'\;\mathfrak{a}) + 2\;\sinh^2(k'\;\mathfrak{a}) \right] - \left[ \left( {k'}^2 - k^2 \right)^2 - 4\;{k'}^2\;k^2 \right]}{8\;k^2\;{k'}^2} + \dfrac{{k'}^4 - k^4}{4\;k^2\;{k'}^2}\;\left[ 1 - \cosh(2\;k'\;\mathfrak{a}) \right]\,\cos(2\;k\;x) - \dfrac{{k'}^2 + k^2}{2\;k\;k'}\;\sinh(2\;k'\;\mathfrak{a})\;\sin(2\;k\;x) \right\rbrace\!\!</math>, soit finalement <center><math>\;\mathcal{P}_{l,\,E,\,1a}(x) = \vert \underline{A''} \vert^2 \left\lbrace \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\; \cosh(2\;k'\;\mathfrak{a}) - \left( {k'}^2 - k^2 \right)^2}{4\;k^2\;{k'}^2} + \dfrac{\left( {k'}^4 - k^4 \right)\,\left[ 1 - \cosh(2\;k'\;\mathfrak{a}) \right]}{4\;k^2\;{k'}^2}\;\cos(2\;k\;x) - \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)\,\sinh(2\;k'\;\mathfrak{a})}{2\;k\;k'}\;\sin(2\;k\;x) \right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;2\;\sinh^2(k'\;\mathfrak{a}) = \cosh(2\;k'\;\mathfrak{a}) - 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\, \left[ \cosh(2\;k'\;\mathfrak{a}) + 2\;\sinh^2(k'\;\mathfrak{a}) \right]}{8\;k^2\;{k'}^2} = \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\; \cosh(2\;k'\;\mathfrak{a})}{4\;k^2\;{k'}^2} - \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2}{8\;k^2\;{k'}^2}\;</math> d'une part et d'autre part <math>\;-\dfrac{\left[ \left( {k'}^2 - k^2 \right)^2 - 4\;{k'}^2\;k^2 \right]}{8\;k^2\;{k'}^2} - \dfrac{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2}{8\;k^2\;{k'}^2} = -\dfrac{\left[ {k'}^4 + k^4 - 2\;{k'}^2\;k^2 \right] - 4\;{k'}^2\;k^2 + \left[ {k'}^4 + k^4 + 2\;{k'}^2\;k^2 \right]}{8\;k^2\;{k'}^2} = -\dfrac{{k'}^4 + k^4 - 2\;{k'}^2\;k^2}{4\;k^2\;{k'}^2}</math> <math>= -\dfrac{\left( {k'}^2 - k^2 \right)^2}{4\;k^2\;{k'}^2}</math>.</ref> <br>ou encore <math>\;\mathcal{P}_{l,\,E,\,1a}(x) = \vert \underline{A''} \vert^2 \left\lbrace \dfrac{U_0^2\; \cosh(2\;k'\;\mathfrak{a}) - \left( U_0 - 2\;E \right)^2}{4\;(U_0 - E)\;E} + \dfrac{U_0\,\left( U_0 - 2\;E \right)\,\left[ 1 - \cosh(2\;k'\;\mathfrak{a}) \right]}{4\;(U_0 - E)\;E}\;\cos(2\;k\;x) - \dfrac{U_0\,\sinh(2\;k'\;\mathfrak{a})}{2\;\sqrt{(U_0 - E)\;E}}\;\sin(2\;k\;x) \right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{{k'}^2 + k^2}{k\;k'} = \dfrac{U_0}{\sqrt{(U_0 - E)\;E}}\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{{k'}^2 - k^2}{k\;k'} = \dfrac{U_0 - 2\;E}{\sqrt{(U_0 - E)\;E}}\;</math> et <math>\;\dfrac{{k'}^4 - k^4}{k^2\;{k'}^2} = \dfrac{{k'}^2 + k^2}{k\;k'}\;\dfrac{{k'}^2 - k^2}{k\;k'} = \dfrac{U_0\;(U_0 - 2\;E)}{(U_0 - E)\;E}</math>.</ref>.</center> ==== Tracé, en fonction de l'abscisse x du point d'observation, de la densité linéique de probabilité de présence d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle ==== [[File:Densité linéique de probabilité de présence par effet tunnel.png|thumb|350px|Tracé, en fonction de l'abscisse x du point d'observation, du diagramme de la densité linéique de probabilité de présence d'une particule quantique hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle]] {{Al|5}}Voir tracé ci-contre, la largeur de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire étant <math>\;\mathfrak{a} \simeq 3,2\;pm\;</math><ref name="picomètre"> Un picomètre <math>\;1\;pm = 10^{-12}\;m</math>.</ref> et la « barrière » d'énergie potentielle associée valant <math>\;U_0 \simeq</math> <math>6\;keV\;</math><ref name="kiloélectronvolt"> Un kiloélectronvolt <math>\;1\;keV \simeq 1,6\;10^{-16}\;J</math>.</ref> ; {{Al|5}}la particule quantique dont on étudie l'effet tunnel est un électron de masse <math>\;m \simeq 0,91\; 10^{-30}\;kg\;</math> associée à une énergie de masse <math>\;m\;c^2 \simeq</math> <math>511\;keV</math>, on rappelle la valeur de la constante de Planck réduite <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\;\pi} \simeq 1,055\; 10^{-34}\;J \cdot s</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique de l'électron incident étant <math>\;E \simeq 5,4\;keV\;</math><ref name="kiloélectronvolt" />, ne peut traverser la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire au sens de la mécanique classique, le rapport <math>\;\dfrac{E}{U_0} \simeq 0,9\;</math> étant inférieur à <math>\;1</math>, mais on observe effectivement une traversée par effet tunnel <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : On observe des interférences sur <math>\;\left] -\infty\,,\, 0 \right[\;</math> correspondant à la superposition des deux ondes sinusoïdales progressant en sens inverse <math>\;\bigg\{</math>de périodicité <math>\;\dfrac{\pi}{k} \simeq 8,3\;pm\;</math><ref name="picomètre" /> correspondant à <math>\;k \simeq 0,38\;pm^{-1} = 3,8\;10^{11}\;m^{-1}\;</math><ref> On vérifie approximativement <math>\;k = \dfrac{\sqrt{2\;m\;E}}{\hbar} \simeq \dfrac{\sqrt{2 \times 0,91\;10^{-30} \times 5,4 \times 1,6\;10^{-16}}}{1,055\;10^{-34}} \simeq 3,0\;10^{11}\;m^{-1}</math>, valeur expérimentale vérifiée à <math>\;20\;\%\;</math> près.</ref><math>\bigg\}\;</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : On observe }}une superposition de deux ondes dites « évanescentes » sur <math>\;\left[ 0\,,\, \mathfrak{a} \right]</math> <math>\;\big\{</math>correspondant à une <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;1,9\;</math> à <math>\;0,7\;</math> en unités {{Nobr|arbitraires<ref> Dont on tire <math>\;\vert \underline{A''} \vert^2 \simeq 0,7\;</math> unités arbitraires et <math>\;\dfrac{1,9}{0,7} \simeq 2,71 \simeq \dfrac{U_0\;\cosh\! \left( 2\;k'\;\mathfrak{a} \right) + \left( U_0 - 2\;E \right)}{2\, \left( U_0 - E \right)} = \dfrac{\cosh\! \left( 2\;k'\;\mathfrak{a} \right) + \left( 1 - 2\;\dfrac{E}{U_0} \right)}{2\, \left( 1 - \dfrac{E}{U_0} \right)} \simeq \dfrac{\cosh\! \left( 2\;k'\;\mathfrak{a} \right) - 0,8}{0,2}\;</math> car <math>\;\dfrac{E}{U_0} \simeq 0,9\;</math> dont on tire <math>\;\cosh\! \left( 2\;k'\;\mathfrak{a} \right) \simeq 2,71 \times 0,2 + 0,8 \simeq 1,34\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\;k'\;\mathfrak{a} \simeq \mathrm{argcosh}(1,34) \simeq 0,806\;</math> soit <math>\;k' \simeq \dfrac{0,806}{2 \times 3,2} \simeq 0,126\;pm^{-1} \simeq</math> <math>1,26\;10^{11}\;m^{-1}\;</math> valeur expérimentale en accord avec <math>\;k' =</math> <math>\dfrac{\sqrt{2\;m\;(U_0 - E)}}{\hbar} \simeq \dfrac{\sqrt{2 \times 0,91\;10^{-30} \times (6,0 - 5,4) \times 1,6\;10^{-16}}}{1,055\;10^{-34}} \simeq 1,25\;10^{11}\;m^{-1}\;</math> à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près.</ref><math>\big\}\;</math>}} et enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : On observe }}une « onde plane progressive dans le sens des <math>\;x \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>correspondant à une amplitude constante évaluée à <math>\;0,7\;</math> unités arbitraires assimilée à <math>\;\vert \underline{A''} \vert^2\big\}\;</math> sur <math>\;\left] \mathfrak{a}\,,\, +\infty \right[</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}on peut en déduire le « taux de transfert tunnel » de la particule quantique défini selon <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{P}_{l,\,E}(\mathfrak{a})}{\mathcal{P}_{l,\,E}(0)}\;</math><ref name="taux de transfert tunnel"> Il n'y a pas de nom attitré pour ce rapport, l'appellation que j'adopte est personnelle.</ref> soit, en y reportant <math>\;\mathcal{P}_{l,\,E}(\mathfrak{a}) = \vert \underline{A''} \vert^2\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{l,\,E}(0) = \vert \underline{A''} \vert^2\;\dfrac{U_0\;\cosh\! \left( 2\;k'\;\mathfrak{a} \right) + \left( U_0 - 2\;E \right)}{2\, \left( U_0 - E \right)}\;</math> on obtient <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\, \left( U_0 - E \right)}{U_0\;\cosh\! \left( 2\;k'\;\mathfrak{a} \right) + \left( U_0 - 2\;E \right)} =</math> <math>\dfrac{U_0 - E}{U_0\;\sinh^2\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) + \left( U_0 - E \right)}\;</math><ref name="cosinus hyperbolique d'un argument double"> En effet <math>\;\cosh\! \left( 2\;\mathfrak{b} \right) = 2\;\sinh^2\! \left( \mathfrak{b} \right) + 1</math>.</ref> qui peut encore s'écrire <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1 - \dfrac{E}{U_0}}{\sinh^2\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) + \left( 1 - \dfrac{E}{U_0} \right)}\;</math> avec <math>\;k' = \dfrac{\sqrt{2\;m\, \left( U_0 - E \right)}}{\hbar} = \dfrac{\sqrt{2\;m\; U_0}}{\hbar}\;\sqrt{1 - \dfrac{E}{U_0}}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{T} =</math> <math>\dfrac{1}{\dfrac{\sinh^2\! \left( \dfrac{\sqrt{2\;m\; U_0}\;\mathfrak{a}}{\hbar}\;\sqrt{1 - \dfrac{E}{U_0}} \right)}{1 - \dfrac{E}{U_0}} + 1}\;</math> de variation * <math>\;\searrow\;</math> quand <math>\;\mathfrak{a} \nearrow\;</math> à <math>\;\dfrac{E}{U_0}\;</math> constant et * <math>\;\nearrow\;</math> quand <math>\;\dfrac{E}{U_0} \nearrow</math> <math>\;\bigg(</math>c'est-à-dire quand <math>\;1 - \dfrac{E}{U_0} \searrow\bigg)\;</math><ref> En effet la variation de <math>\;f(u) = \dfrac{\sinh^2(u)}{u^2}\;</math> sur <math>\;\mathbb{R}^{+}\;</math> se détermine par la recherche du signe de <math>\;f'(u) = \dfrac{u^2\, \left[ 2\;\sinh(u)\;\cosh(u) \right] - \sinh^2(u)\, \left[ 2\; u \right]}{u^4}\;</math> identique à celui de <math>\;g(u) =</math> <math>u\;\cosh(u) - \sinh(u)\;</math> dont la recherche nécessite de déterminer le signe de <math>\;g'(u) = \cosh(u) + u\;\sinh(u) - \cosh(u) = u\;\sinh(u)</math> ; <br>{{Al|3}}or <math>\;g'(u)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;g(u)\;</math> est <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\mathbb{R}^{+}\;</math> à partir de <math>\;g(0) = 0\;</math> et par suite <math>\;g(u)</math> <math>\;\big[</math>ainsi que <math>\;f'(u)\big]\;</math> est <math>\;> 0\;</math> sur <math>\;\mathbb{R}^{+}</math> ; <br>{{Al|3}}on en déduit que <math>\;f(u)\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;u\;</math> et on obtient le résultat énoncé en posant <math>\;u = \dfrac{\sqrt{2\;m\; U_0}\;\mathfrak{a}}{\hbar}\;\sqrt{1 - \dfrac{E}{U_0}}</math>.</ref> à <math>\;\mathfrak{a}\;</math> constant ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}dans l'exemple présenté <math>\;\mathcal{T} \simeq \dfrac{0,7}{1,9} \simeq 37\;\%</math> <math>\;\bigg\{</math>pour obtenir un « taux de transfert tunnel » de la particule quantique<ref name="taux de transfert tunnel" /> le plus grand possible, on peut diminuer la largeur <math>\;\mathfrak{a}\;</math> de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire <math>\;\bigg[</math>par exemple <math>\;\mathfrak{a} \simeq 2\;pm\;</math> avec le même rapport <math>\;\dfrac{E}{U_0} \simeq 0,9\;</math> et les mêmes autres valeurs numériques, donnerait un « taux de transfert tunnel » de l'électron<ref name="taux de transfert tunnel" /> <math>\;\mathcal{T} \simeq</math> <math>61\;\%\bigg]\;</math> ou (et) augmenter le rapport <math>\;\dfrac{E}{U_0}</math> <math>\;\big(</math>en restant strictement inférieur à <math>\;1\;</math><ref name="condition de transfert impossible au sens classique"> Pour que le transfert reste impossible au sens de la mécanique classique.</ref><math>\big)</math> <math>\;\bigg[</math>par exemple <math>\;\dfrac{E}{U_0} \simeq 0,95\;</math><ref name="condition de transfert impossible au sens classique" /> avec la même largeur <math>\;\mathfrak{a} \simeq 3,2\;pm\;</math> et les mêmes autres valeurs numériques, donnerait un « taux de transfert tunnel » de l'électron<ref name="taux de transfert tunnel" /> <math>\;\mathcal{T} \simeq</math> <math>61\;\%\bigg]\bigg\}</math>. ==== Application du modèle (très simplifié) de « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire pour interpréter qualitativement la radioactivité α ==== {{Al|5}}Avec une « barrière d'énergie potentielle » <math>\;U_0 \simeq 10\;MeV\;</math><ref name="Mégaélectronvolt"> Un Mégaélectronvolt <math>\;1\;MeV \simeq 1,6\;10^{-13}\;J</math>.</ref> de la particule <math>\;\alpha\;</math> supposée constituée dans le noyau radioactif et une largeur de « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire évaluée à <math>\;\mathfrak{a} \simeq 8\;fm\;</math><ref name="fermi" /> <math>\;\big(</math>ordre de grandeur du rayon du noyau radioactif<math>\big)</math>, sachant que la masse de la particule <math>\;\alpha\;</math> vaut <math>\;m \simeq</math> <math>6,64\;10^{-27}\;kg\;</math> et estimant son énergie à <math>\;E \simeq 5\;MeV\;</math><ref name="Mégaélectronvolt" /> <math>\;\big(</math>ordre de grandeur de l'énergie cinétique de la particule <math>\;\alpha\;</math> après éjection du noyau radioactif<math>\big)</math>, on en déduit * <math>\;k' = \dfrac{\sqrt{2\;m\, \left( U_0 - E \right)}}{\hbar} = \dfrac{\sqrt{2\;m\;U_0}}{\hbar}\;\sqrt{1 - \dfrac{E}{U_0}} \simeq \dfrac{\sqrt{2 \times 6,64\;10^{-27} \times 10 \times 1,6\;10^{-13}}}{1,055\;10^{-34}}\;\sqrt{1 - \dfrac{5}{10}} \simeq 9,8\;10^{14}\;m^{-1} = 0,98\;fm^{-1}\;</math><ref name="fermi inverse"> <math>\;1\;fm = 10^{-15}\;m\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1\;fm^{-1} = 10^{15}\;m^{-1}</math>.</ref>, * <math>\;k'\;\mathfrak{a} \simeq 0,98 \times 8 \simeq 7,84\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sinh^2(k'\;\mathfrak{a}) \simeq 1,66\;10^6\;</math> d'où * <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1 - \dfrac{E}{U_0}}{\sinh^2\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) + \left( 1 - \dfrac{E}{U_0} \right)} \simeq \dfrac{1 - \dfrac{5}{10}}{1,66\;10^6\;\cancel{ + \left( 1 - \dfrac{5}{10} \right)}} \simeq 3,0\;10^{-7}\;</math> « taux de transfert tunnel » de la particule α<ref name="taux de transfert tunnel" /> hors du noyau radioactif petit ; {{Al|5}}ce taux dépend fortement de la hauteur de la « barrière d'énergie potentielle » ainsi, avec <math>\;U_0 \simeq 50\;MeV\;</math><ref name="Mégaélectronvolt" /> et le maintien des autres valeurs on trouve * <math>\;k' = \dfrac{\sqrt{2\;m\, \left( U_0 - E \right)}}{\hbar} = \dfrac{\sqrt{2\;m\;U_0}}{\hbar}\;\sqrt{1 - \dfrac{E}{U_0}} \simeq \dfrac{\sqrt{2 \times 6,64\;10^{-27} \times 50 \times 1,6\;10^{-13}}}{1,055\;10^{-34}}\;\sqrt{1 - \dfrac{5}{50}} \simeq 2,9\;10^{15}\;m^{-1} = 2,9\;fm^{-1}\;</math><ref name="fermi inverse" />, * <math>\;k'\;\mathfrak{a} \simeq 2,9 \times 8 \simeq 23,6\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sinh^2(k'\;\mathfrak{a}) \simeq 7,9\;10^{19}\;</math> d'où * <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1 - \dfrac{E}{U_0}}{\sinh^2\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) + \left( 1 - \dfrac{E}{U_0} \right)} \simeq \dfrac{1 - \dfrac{5}{50}}{7,9\;10^{19}\;\cancel{ + \left( 1 - \dfrac{5}{50} \right)}} \simeq 1,1\;10^{-20}\;</math> « taux de transfert tunnel » de la particule α<ref name="taux de transfert tunnel" /> hors du noyau radioactif très petit. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : avec <math>\;k'\;\mathfrak{a} \gtrsim 3</math>, on observe que <math>\;\sinh^2(k'\;\mathfrak{a}) \gtrsim 100\;</math> et, <math>\;1 - \dfrac{E}{U_0}\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;1</math>, on en déduit <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1 - \dfrac{E}{U_0}}{\sinh^2\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right)\;\cancel{ + \left( 1 - \dfrac{E}{U_0} \right)}} \simeq \dfrac{1 - \dfrac{E}{U_0}}{\sinh^2\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right)}\;</math> <center>soit <math>\;\mathcal{T} \simeq 4\, \left( 1 - \dfrac{E}{U_0} \right)\, \exp\! \left( -2\;k'\;\mathfrak{a} \right)\;</math><ref> En effet pour <math>\;x \gtrsim 3</math> <math>\;\big\{</math>plus précisément quand <math>\;\exp(-x) \ll \exp(x)\big\}</math>, <math>\;\sinh(x) \sim \dfrac{\exp(x)}{2}</math>.</ref> {{Al|5}}si <math>\;k'\;\mathfrak{a} \gtrsim 3\;</math><ref> Applicable dans les deux A.N. d'interprétation qualitative de radioactivité α par effet tunnel.</ref>.</center> ==== Transmitivité de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire pour une particule quantique d'énergie mécanique inférieure à la hauteur de la « barrière » ==== {{Al|5}}Le cœfficient <math>\;T\;</math> de transmitivité de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire pour une particule quantique d'énergie mécanique inférieure à la hauteur de la « barrière » tient compte du fait que l'onde progressive incidente associée à la particule quantique arrivant sur la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire est partiellement réfléchie par le mur d'entrée de la « bosse », le reste étant transmis avec perte à travers celle-ci pour ressortir par son mur de sortie ; si, dans toutes les situations, c'est cette dernière onde transmise par effet tunnel qui nous intéresse, il convient de la comparer * à l'onde résultante se propageant dans les deux sens en-deçà de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire pour interpréter un phénomène par effet tunnel comme la radioactivité α, pour cela on utilise le « taux de transfert tunnel » de la particule quantique défini selon <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{P}_{l,\,E,\,1b}(\mathfrak{a})}{\mathcal{P}_{l,\,E,\,1a}(0)} = \dfrac{\vert \underline{\Psi}_{l,\,E,\,1b}(\mathfrak{a}) \vert^2}{\vert \underline{\Psi}_{l,\,E,\,1a}(0) \vert^2} = \dfrac{\vert \underline{A''} \vert^2}{\vert \underline{A} + \underline{A} \vert^2}\;</math><ref name="taux de transfert tunnel" /> ou * à l'onde incidente arrivant sur la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire pour évaluer le pourcentage d'onde transmise au-delà de la « bosse » relativement à l'onde qui serait transmise au même endroit en son absence, pour cela on utilise la « transmitivité de la bosse d'énergie potentielle » rectangulaire <math>\;T\;</math> définie comme le rapport de la densité linéique de probabilité de présence de l'onde transmise au-delà de la « bosse » sur la densité linéique de probabilité de présence de l'onde incidente en-deçà de la « bosse »<ref> Ou de l'onde qui serait transmise à la sortie de la « bosse » en supposant cette dernière inexistante <math>\;\big(</math>c.-à-d. encore de l'onde que l'on observerait à l'entrée de la « bosse » sans tenir compte de l'onde réfléchie sur le mur d'entrée de cette dernière<math>\big)</math>.</ref> soit <math>\;T = \dfrac{\mathcal{P}_{l,\,E,\,1b}(\mathfrak{a})}{\mathcal{P}_{l,\,E,\,1a\,\text{sans réflexion}}(0)} = \dfrac{\vert \underline{\Psi}_{l,\,E,\,1b}(\mathfrak{a}) \vert^2}{\vert \underline{\Psi}_{l,\,E,\,1a\,\text{sans réflexion}}(0) \vert^2} = \dfrac{\vert \underline{A''} \vert^2}{\vert \underline{A} \vert^2}</math> <math>\;\big[</math>à utiliser quand on compare une mesure au-delà de la « bosse » d'énergie potentielle à ce qu'on aurait sans « bosse » comme dans la microscopie « à effet tunnel »<math>\big]</math>. {{Al|5}}Avec les calculs précédents on en déduit la « transmitivité de la bosse d'énergie potentielle » rectangulaire pour une particule quantique d'énergie mécanique inférieure à la hauteur de la « barrière » <math>\;T = \dfrac{\vert \underline{A''} \vert^2}{\vert \underline{A} \vert^2} = \dfrac{16\;k^2\;{k'}^2}{\vert \left( k' + i\;k \right)^2\;\exp\! \left[ - \left( k' - i\;k \right) \mathfrak{a} \right] - \left( k' - i\;k \right)^2\;\exp\! \left[ \left( k' + i\;k \right) \mathfrak{a} \right] \vert^2}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Barrière_d'énergie_potentielle#Utilisation_des_C.A.L._en_x_=_0|utilisation des C.A.L. en x = 0]] (expression de <math>\;\underline{A}\;</math> en fonction de <math>\;\underline{A''}</math>) » plus haut dans le chapitre.</ref> ou encore, en utilisant les calculs déjà effectués plus haut dans ce chapitre <math>\;T =</math> <math>\dfrac{8\;{k'}^2\;k^2}{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\;\cosh\! \left( 2\;k'\;\mathfrak{a} \right) - \left[ \left( {k'}^2 - k^2 \right)^2 - 4\;{k'}^2\;k^2 \right]}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Barrière_d'énergie_potentielle#Expression_de_la_densité_linéique_de_probabilité_de_présence_d'une_particule_à_un_degré_de_liberté_en-deçà_d'une_«_bosse_»_d'énergie_potentielle_rectangulaire_quand_l'énergie_mécanique_de_la_particule_est_inférieure_à_la_hauteur_de_la_«_barrière_»_d'énergie_potentielle|expression de la densité linéique de probabilité de présence d'une particule à un degré de liberté en-deçà d'une bosse d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la barrière d'énergie potentielle]] (1^er terme) » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;= \dfrac{8\;{k'}^2\;k^2}{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\, \left[ 2\;\sinh^2\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) + 1 \right] - \left[ \left( {k'}^2 - k^2 \right)^2 - 4\;{k'}^2\;k^2 \right]}\;</math><ref name="cosinus hyperbolique d'un argument double" /> <center>soit finalement <math>\;T = \dfrac{4\;{k'}^2\;k^2}{\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2\; \sinh^2\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) + 4\;{k'}^2\;k^2}\;</math><ref> En effet <math>\;\left( {k'}^2 + k^2 \right)^2 - \left( {k'}^2 - k^2 \right)^2 + 4\;{k'}^2\;k^2 = 8\;{k'}^2\;k^2</math>.</ref> ou <br><math>\;T = \dfrac{4\,\left( U_0 - E \right)\,E}{U_0^2\; \sinh^2\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) + 4\,\left( U_0 - E \right)\,E} = \dfrac{4\,\left( 1 - \dfrac{E}{U_0} \right)\,\dfrac{E}{U_0}}{\sinh^2\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right) + 4\,\left( 1 - \dfrac{E}{U_0} \right)\,\dfrac{E}{U_0}}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Exemple</u> : avec une largeur de « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire <math>\;\mathfrak{a} \simeq 3,2\;pm\;</math><ref name="picomètre" /> et la « barrière » d'énergie potentielle associée <math>\;U_0 \simeq 6\;keV\;</math><ref name="kiloélectronvolt" />, un électron dont on étudie l'effet tunnel étant de masse <math>\;m \simeq 0,91\; 10^{-30}\;kg\;</math> associée à une énergie de masse <math>\;m\;c^2 \simeq 511\;keV</math> <math>\;\bigg(</math>la constante de Planck réduite valant <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\;\pi} \simeq 1,055\; 10^{-34}\;J \cdot s\bigg)</math> avec une énergie mécanique à l'arrivée sur la « bosse » <math>\;E \simeq 5,4\;keV\;</math><ref name="kiloélectronvolt" />, la « transmitivité de la bosse d'énergie potentielle » rectangulaire pour cet électron d'énergie mécanique inférieure à la hauteur de la « barrière » vaut <math>\;T =</math> <math>\dfrac{1}{\dfrac{\sinh^2\! \left( k'\;\mathfrak{a} \right)}{4\,\left( 1 - \dfrac{E}{U_0} \right)\,\dfrac{E}{U_0}} + 1}\;</math> avec <math>\;k' = \dfrac{\sqrt{2\;m\, \left( U_0 - E \right)}}{\hbar} =</math> <math>\dfrac{\sqrt{2\;m\;U_0}}{\hbar}\;\sqrt{1 - \dfrac{E}{U_0}} \simeq \dfrac{\sqrt{2 \times 0,91\;10^{-30} \times 6 \times 1,6\;10^{-16}}}{1,055\;10^{-34}}\;\sqrt{1 - \dfrac{5,4}{6}} \simeq 1,25\;10^{11}\;m^{-1} = 0,125\;pm^{-1}\;</math><ref name="picomètre inverse"> <math>\;1\;pm = 10^{-12}\;m\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1\;pm^{-1} = 10^{12}\;m^{-1}</math>.</ref> d'où <math>\;k'\;\mathfrak{a} \simeq</math> <math>0,125 \times 3,2 \simeq 0,4\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sinh^2(k'\;\mathfrak{a}) \simeq 0,17\;</math> et par suite <math>\;T \simeq \dfrac{1}{\dfrac{0,17}{4 \times \left( 1 - \dfrac{5,4}{6} \right) \times \dfrac{5,4}{6}} + 1} \simeq 68\;\%</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Petits mouv. au voisin. d'un équil. stable]] | suivant = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Force de Lorentz|Mouv. de part. charg. ds des champs élect. et magnét. : Force de Lorentz]] }} qlw23xwhvbt9yh3ta9434pf4pxeu2wp 0 85460 982906 963230 2026-05-17T21:31:10Z Dronebogus 80384 982906 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = socio-anthropologie | numéro = | niveau = | précédent = | suivant = }} === Introduction === [[File:Wikipe-tan avatar customization.png |vignette|Image d'un module de personnalisation d'un avatar]] Lorsqu'on se lance dans un [[w:Jeu_vidéo_de_rôle|jeu vidéo de rôle]], ou RPG pour ''Role Play Game'', le personnage que nous incarnons peut être défini par défaut ou bien personnalisé. Dans le second cas, il est alors courant de parler d'[[Anthropologie des jeux vidéo/L'avatar dans World of Warcraft|Avatar]]. Soit un personnage dont l'apparence et certaines capacités sont définies selon les préférences du joueur qui l'incarne. Selon les particularités des jeux vidéos et des personnes qui font usage d'un avatar, le ressenti d'un joueur envers le personnage qu'il incarne peut se manifester de manière plus ou moins intime. Dans son ouvrage « ''Dans la peau des gamers. Anthropologie d'une guilde dans World of Warcraft'' »<ref name=":0">{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Olivier|nom1=Servais|titre=Dans la peau des gamers. Anthropologie d'une guilde de World of Warcraft|éditeur=Karthala|date=2020|isbn=978-2-8111-2630-8|lire en ligne=https://shs.cairn.info/dans-la-peau-des-gamers--9782811126308?lang=fr|consulté le=2025-03-17}}</ref>, Olivier Servais observe de manière rigoureuse les pratique de corps et rapport au fictif chez les joueurs. De cette [[w:Méthode_d'observation_participante|observation participante]], il décrit un phénomène qu'il nomme « avatarisation », et le décrit en ces termes, dans un autre texte plus synthétique :<blockquote>Il y a appropriation tout en relevant de la projection de soi. Le joueur s’étend hors de lui-même en contaminant un autre corps que le sien, celui de l’avatar. Il y a donc prolongement des corps par l’investissement d’un avatar et par l’acquisition de la maîtrise de techniques du corps (du joueur et de l’avatar) en jouant.<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Olivier|nom1=Servais|titre=L’eschatologie « No life ». Incorporation et Avatarisation d’érémitisme digital|périodique=Social Compass|volume=64|numéro=1|date=2017-03|issn=0037-7686|issn2=1461-7404|doi=10.1177/0037768616688844|lire en ligne=https://journals.sagepub.com/doi/10.1177/0037768616688844|consulté le=2025-03-17|pages=42–59}}</ref></blockquote>Dans l'univers numérique d'un jeu, l'avatarisation est donc une projection de soi dans un avatar que l'on incarne. Le [[w:Personnage_joueur|personnage joueur]] devient alors un autre soi fictif et numérique, mais dont le joueur pourra s'exclamer : « je suis mort » lorsque celui-ci vient à mourir. Entre les joueurs et leurs avatars, des liens plus ou moins grands d'identité et d'unicité peuvent donc se créer en fonction du profil psychologique de chacun et du temps passé dans la pratique d'un jeu vidéo.<ref name=":0" /> Ce chapitre cherchera donc à observer le phénomène d'avatarisation sous le prisme du rapport au genre ; le monde virtuel constituant un nouvel ordre social en relation constante avec le monde tangible, ces interactions poussent à questionner comment ces deux milieux peuvent s'influencer mutuellement. Pour cela, il faudra d'abord délimiter un cadre de référence, un jeu précis en l'occurrence. Ensuite, il viendra la question de l'avatarisation : qu'est-ce que c'est ? Comment l'expliquer ? Quelles en sont les formes les plus poussées ? Quel en est l'origine ? Après cela, un retour sur le concept de normes de genre, rapport sociaux genrés ou encore des techniques de corps afin de comprendre le phénomène dans son entièreté. Enfin, le croisement entre l'avatar et le rapport au genre, une ébauche compréhensive des tenants et aboutissant de cette relation. == Cadre d'observation : ''World of Warcraft'', MMORPG à large communauté de joueur == Comme base d'observation, il est préférable de s'en tenir non pas au RPG mentionné, mais plutôt au [[w:Jeu_de_rôle_en_ligne_massivement_multijoueur|jeu de rôle en ligne massivement multijoueur]] (acronyme MMORPG de l'anglais ''Massively Multiplayer Online Role Play Game''). Dans le cadre d'une analyse de comportements intrinsèquement liés aux relations interpersonnelles, les normes de genres et rapport au genre, un RPG sans interactions sociales avec d'autres personnages joueurs ne saurait suffire. Cela contrairement au MMORPG qui, comme indiqué, est massivement multijoueur tout en restant un jeu de rôle. Élément sur lequel Benjamin Thiry revient en mentionnant ceci : <blockquote>Ils parlent et se comportent en cohérence avec le rôle qu’ils ont choisi d’occuper (par exemple un vertueux paladin qui aide son prochain ou un voleur qui trucide tous ses ennemis en les attaquant dans le dos).<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Benjamin|nom1=Thiry|titre=World of warcraft : une approche thématique et psychanalytique|périodique=Adolescence|volume=301|numéro=1|date=2012-04-15|issn=0751-7696|doi=10.3917/ado.079.0159|lire en ligne=https://shs.cairn.info/revue-adolescence-2012-1-page-159?lang=fr|consulté le=2025-03-26|pages=159–167}}</ref> </blockquote> [[Fichier:WoW icon.svg|vignette|161x161px|Logo du jeu ''World of Warcraft'']] Le jeu de rôle représente donc une situation dans laquelle les joueurs vont chercher à incarner au mieux l'avatar choisi, en vertu de ses propriétés personnelles et des rapports aux autres joueurs que cela implique. Thiry, au sujet de ''[[w:World_of_Warcraft|World of Warcraft]] ,'' parle de l'impact que peut avoir le jeu sur le rapport au monde et à la société chez les joueurs. Un rapport entre le monde virtuel et la société y est établi comme une évidence. Le MMORPG devient alors un terrain d'observation idéal lors d'une recherche s'intéressant aux parallélismes entre les normes sociales hors ligne et en ligne. Selon le site web ''Game Champions''<ref>{{Lien web|langue=en-US|titre=📊World of Warcraft Server Population (2024)|url=https://www.gamechampions.com/en/blog/wow-server-population|site=GameChampions|consulté le=2025-03-26}}</ref> spécialisé dans les jeux en ligne et l'[[w:Esport|E-sport]], World of Warcraft est l'un des MMORPG les plus joués au monde avec approximativement 9,3 millions de connexions mensuelles. Créé en 2004, il figure aujourd'hui encore parmi les 14 MMORPG les plus joués au monde<ref>{{Lien web|langue=en|nom1=Auparavant|prénom1=LucasLucas travaille à plein temps comme auteur|nom2=Design|prénom2=il faisait son Bachelor Game|titre=Les 14 MMORPG les Plus Joués en 2025|url=https://meilleurgaming.com/notre-guide/mmorpg-les-plus-joues/?utm_source=chatgpt.com|site=Meilleur Gaming|consulté le=2025-03-26}}</ref>. Avec une telle population active et visiblement fidèle, ce jeu est une base de référence parfaite pour cette recherche. D'autres MMORPG auraient pu tout aussi bien figurer en tant qu'exemple des relations sociales ici observées tels que [[wikipedia:Final_Fantasy_XIV|Final Fantasy XIV]], [[w:Old_School_RuneScape|Old School RuneScape]] ou encore [[w:Baldur's_Gate_III|Baldur's gate III]] étant donné leurs importantes communautés de joueurs actifs quotidiennement selon un recensement de donnée du site MMO Populations.<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Server Population & Player Count|url=https://mmo-population.com/|site=MMO Populations|consulté le=2025-04-29}}</ref> Cependant, tenant compte de la fidélité singulière des joueurs à ce jeu, WoW reste un exemple particulièrement intéressant à exploiter. Le travail de Samuel Coavoux sur les joueurs de WoW a mis en évidence qu'une étape importante dans la carrière du joueur est la modification de son rapport social aux autres joueurs, notamment au travers de son avatar et du rôle qui lui est assigné, les éléments qui feront de lui un « bon » ou un « mauvais » joueur aux yeux des autres.<ref>Samuel Coavoux. La carrière des joueurs de World of Warcraft. Sylvie Craipeau, Sébastien Genvo, Brigitte Simonnot. Les jeux vidéo au croisement du social, de l'art et de la culture, Presses Universitaires de Nancy, pp.43-58, 2010. ⟨halshs-00664592⟩</ref> Cette notion de modification des rapports sociaux inter-joueurs en ligne est centrale dans la compréhension d'un phénomène socialement construit comme le rapport de genre, explicité plus tard. L'avatar en lui-même, dans World of Warcraft, engendre, par la ''roleplay'' qu'il demande, une connexion particulière avec son interprète, atteignant un niveau presque physico-biologique d'expérience pour le joueur, une vraie incarnation telle que décrite dans la page [[Anthropologie des jeux vidéo/L'avatar dans World of Warcraft#cite note-31|l'avatar dans World of Warcraft]], abordant le sujet de façon plus exhaustive et détaillée. == L'avatarisation exacerbée : phénomène des ''No-Life'' == Le 12 mars dernier, un utilisateur de [[w:Reddit|Reddit]], un site de partage communautaire, titre une question comme suit : ''New "no life" ambition'' ("Nouvelle ambition de No Life")<ref>{{Lien web|nom1=Jelloangel|titre=New “no life” ambition|url=https://www.reddit.com/r/MMORPG/comments/1j9euf3/new_no_life_ambition/?tl=fr&rdt=47897|site=r/MMORPG|date=2025-03-12|consulté le=2025-05-01}}</ref>. Dans sa publication, il explique être un joueur de MMORPG aimant passer de longues heures durant des années sur ces jeux et en cherche un nouveau à découvrir. L'usage du terme [[w:No_life|No Life]] suggère qu'il aime les jeux chronophages avec un rapport au jeu intense. Mais que veut dire ce terme exactement ? Comment et pourquoi un joueur peut en venir à consacrer une part importante de sa vie sur un jeu ? === Le transhumanisme et dépassement de limites === Pour commencer, il faut revenir à un concept plus large développé dans un premier temps par [[w:Julian_Huxley|Julian Huxley]], le [[w:Transhumanisme|transhumanisme]]. Comme première description de cette idée, il écrit ceci :<blockquote>L'espèce humaine peut, si elle le veut, se transcender elle-même - pas seulement épisodiquement, un individu d'une façon, et un autre d'une autre, mais dans son entièreté, en tant qu'humanité. Nous avons besoin d'un nom pour cette croyance. Peut-être que transhumanisme fera l'affaire : l'homme restant l'homme, mais se transcendant, en réalisant les nouvelles possibilités de et pour sa nature humaine (traduit de l'original en anglais). <ref>{{Article|prénom1=Julian|nom1=Huxley|titre=Transhumanism|périodique=ETHICS IN PROGRESS|volume=6|numéro=1|date=2015-02-01|issn=2084-9257|issn2=2084-9257|doi=10.14746/eip.2015.1.2|lire en ligne=https://pressto.amu.edu.pl/index.php/eip/article/view/9303|consulté le=2025-05-01|pages=12–16}}</ref> </blockquote>En bref, cela désigne l'idée que l'humain puisse utiliser des avancées externes à lui-même pour augmenter ses possibilités physico-biologiques naturelles. Offrir de nouvelles possibilités à son être en transcendant les possibilités de soi. Apparu pour la première fois dans les années 1950, il désignait principalement des avancées techniques et scientifiques de l'époque ; à l'ère du numérique actuel, le transhumanisme prend un tournant significatif dans son sens, avec l'idée de l'[[w:Augmentation_de_l'être_humain|humain augmenté]]. Un être dépassant ses limites corporelles par divers moyens dont la technologie, autrement dit, on parle de transhumanisme. Plus d'un demi-siècle plus tard, Shalini Harilal reprend ce concept pour l'appliquer au jeu vidéo dans son article ''Play As Subversion: Video Games In The Age Of Transhumanism''<ref>Harilal, S. (2020). Play As Subversion : Videogames in the Age of Transhumanism. ''Language, Literature, and Interdisciplinary Studies'', ''3''(2). <nowiki>https://doi.org/10.71106/fmrq4618</nowiki></ref>. Comme le titre l'indique, l'article observe les relations des joueurs face aux jeux vidéos à l'ère du transhumanisme ; l'auteur écrit ceci :<blockquote>Un des liens les plus évidents relaint le transhumanisme aux jeux vidéos est l'avatar et ses pertinences métaphoriques dans le domaine de l'interface neurone-ordinateur, un domaine dont il est attendu de rendre possible les objectifs les plus transhumanistes. </blockquote>Le point liant les jeux vidéos au transhumanisme est donc l'avatar, se déployant dans un univers aux possibilités rêvées du transhumanisme. Cependant, Harilal rappelle que le jeu vidéo peut être vu comme du transhumanisme ou bien comme de la contemplation d'une oeuvre immersive artistique. === Atteinte des besoins motivationnels === [[Fichier:Maslow's Hierarchy of Needs2.svg|vignette|Schéma de la pyramide de Maslow]] Pour comprendre le phénomène des No Life, un autre concept est intéressant à exploiter : un élément de la théorie de la motivation, à savoir la [[w:Pyramide_des_besoins|pyramide des besoins]] par [[w:Abraham_Maslow|Abraham Maslow]] dans les années 1940. La théorie dit que l'existence humaine est motivée continuellement par des besoins à atteindre, une fois un besoin accompli, un autre apparaît. <ref>Abraham Maslow, « A theory of human motivation », ''Psychological Review'', <abbr>no</abbr> 50,‎ 1943, p.370-396</ref> La pyramide classifie les besoins comme suit (de la base au sommet) : Physiologique - Sécurité - Amour et appartenance - Estime - Accomplissement de soi.<ref>{{Article|prénom1=Todd|nom1=Bridgman|prénom2=Stephen|nom2=Cummings|prénom3=John|nom3=Ballard|titre=Who Built Maslow’s Pyramid? A History of the Creation of Management Studies’ Most Famous Symbol and Its Implications for Management Education|périodique=Academy of Management Learning & Education|volume=18|numéro=1|date=2019-03|issn=1537-260X|doi=10.5465/amle.2017.0351|lire en ligne=https://journals.aom.org/doi/10.5465/amle.2017.0351|consulté le=2025-05-01|pages=81–98}}</ref> En appliquant ces divers éléments, il apparaît que les jeux vidéos peuvent fournir les ressources aux joueurs pour compléter leurs besoins, en dehors des besoins physiologiques. De ce fait, un joueur peut aisément trouver son réconfort motivationnel au travers des jeux vidéos, comme c'est probablement le cas pour l'internaute de Reddit mentionné plus haut. On ne parle pas ici des besoins physiologiques constituant la base de la pyramide mais plutôt l'entièreté des autres parts de cette même pyramide. Pour comprendre l'application de ces besoins au cas des joueurs, un cas exacerbé peut être observé : les ''No Life.'' === No Life, ou ermite virtuel === Dans une [[w:Conférence_TED|conférence TED]] d'octobre 2024, [[wikipedia:Laura_Miele|Laura Miele]] titre ceci : ''The power of gaming together in a lonely world.''<ref>{{Lien web|langue=en|nom1=Miele|prénom1=Laura|titre=The power of gaming together in a lonely world|url=https://www.ted.com/talks/laura_miele_the_power_of_gaming_together_in_a_lonely_world?subtitle=en|date=2025-04-02|consulté le=2025-05-01}}</ref> Dans sa conférence, elle situe la société occidentale moderne comme hyperconnectée, tournée sur l'individu et avec un taux de numérisation si élevé qu'il engendre un plus haut taux de sentiment de solitude. L'organisme statistique Belge [[w:Direction_générale_Statistique_(Belgique)|Statbel]] a révélé, à titre d'exemple, que 9.3% des belges se sentent seul souvent ou tout le temps en 2024<ref>{{Lien web|titre=Le sentiment de solitude en Belgique {{!}} Statbel|url=https://statbel.fgov.be/fr/nouvelles/le-sentiment-de-solitude-en-belgique|site=statbel.fgov.be|consulté le=2025-05-01}}</ref>, et touchant majoritairement les chômeurs et malades de longue durée<ref>{{Lien web|titre=Nouvelle enquête sur la solitude, le sentiment de bonheur et la satisfaction des Belges {{!}} Statbel|url=https://statbel.fgov.be/fr/nouvelles/nouvelle-enquete-sur-la-solitude-le-sentiment-de-bonheur-et-la-satisfaction-des-belges|site=statbel.fgov.be|consulté le=2025-05-01}}</ref> c'est-à-dire des profils en marge du tissus social classique, hors ligne. Le jeux vidéo ou du moins le monde numérique apparaît alors comme un autre moyen de sociabilité, permettant d'accomplir ses besoins, indépendamment de la vie courante. En croisant ces divers éléments, on arrive au concept de [[w:No_life|No Life]] : c'est un terme issu du jargon des gamers, ciblant les personnes dont la vie en ligne dépasse la vie réelle, devenant ainsi des ermites, dont le « vrai soi » est celui incarné en ligne. Le terme ''No Life'', de l'anglais ''Pas de Vie'', témoigne de l'idée que ces joueurs n'ont pas de vie au sens physique du terme et que leur vie est celle qu'ils ont dans le jeu. Ce concept adopté par la culture populaire contemporaine a connu multiple représentations, notamment une de ces plus caricaturales dans un épisode de [[w:South_Park|South Park]], série animée satyrique des USA, où on y voit des enfants devenu obèses, incapables de se déplacer pour aller aux toilettes, et dont l'addiction aux jeux atteint son point culminant.<ref>{{Lien web|nom1=The Last Millennials 1994-1999|titre=South Park World of Warcraft 2006|url=https://www.youtube.com/watch?si=N8vDchAE0Dmk5wYz&v=IpC4tkWDvfM&feature=youtu.be|date=2020-04-05|consulté le=2025-05-01}}</ref> Dans son article sur le sujet, Olivier Servais dépeint le profil du No Life comme : « Le reclus virtuel, [vivant] par l’extension d’un double numérique, son avatar, qui symbolise cette nouvelle vie dans la réalité alternative d’un univers numérique en trois dimensions. »<ref name=":3">{{Article|langue=en|prénom1=Olivier|nom1=Servais|titre=L’eschatologie « No life ». Incorporation et Avatarisation d’érémitisme digital|périodique=Social Compass|volume=64|numéro=1|date=2017-03|issn=0037-7686|issn2=1461-7404|doi=10.1177/0037768616688844|lire en ligne=https://journals.sagepub.com/doi/10.1177/0037768616688844|consulté le=2025-05-01|pages=42–59}}</ref>Cet avatar devient donc une extension de soi, ce double, incarné dans une vie alternative en ligne, phénomène que Servais décrit comme celui de l'avatarisation. <blockquote>Il y a appropriation tout en relevant de la projection de soi. Le joueur s’étend hors de lui-même en contaminant un autre corps que le sien, celui de l’avatar. Il y a donc prolongement des corps par l’investissement d’un avatar et par l’acquisition de la maîtrise de techniques du corps (du joueur et de l’avatar) en jouant.<ref name=":3" /> </blockquote>L'avatarisation est un phénomène d'incorporation d'une représentation de soi virtuelle par le joueur. Dans le cadre de divers avatar tels que ceux décrits dans les articles [[Anthropologie des jeux vidéo/Personnages joueurs|Personnages joueurs]] et [[Anthropologie des jeux vidéo/Personnages non-joueurs|Personnages non-joueurs]], on peut parler de situation d'identification au personnage joueur incarné ; l'avatarisation dépasse l'identification pour atteindre un niveau d'expression de soi par le biais de l'avatar, un dédoublement de soi, le personnage ''est'' le joueur et le joueur ''est'' son personnage. Si on combine le transhumanisme à la pyramide des besoins et à l'avatarisation, on peut comprendre le No Life comme une personne cherchant à accomplir des besoins sociaux par les nouveaux outils que la technologie moderne offre. Son alter ego en ligne peut se sentir en sécurité dans l'univers virtuel apprivoisé et prévisible, il obtient de la reconnaissance par ses prouesses et [[w:Quête_(jeu_de_rôle)|quêtes]] accomplies, peut combler son besoin d'appartenance par l'intégration d'une [[w:Clan_(jeu_vidéo)|guilde]] et peut aussi s'accomplir soi-même par l'atteinte de buts définis dans le jeu. Le No Life n'est donc en somme pas réductible à l'image d'un addict, c'est un phénomène explicable par des bases socio-anthropologiques rationnelles. == Les normes de genre et comportements genrés == Pour parler de rapports au genre, il faut comprendre le concept de norme de genre. D'un côté, il y a la [[w:Norme|norme]], la règle socialement construite, en lien avec les mœurs, une forme de comportement à suivre selon l'[[w:Ordre_social#:~:text=L'ordre%20social%20est%20un,interactions%20sociales%20dans%20une%20soci%C3%A9t%C3%A9.|ordre social]] dans lequel on se trouve. De l'autre côté, il y a le [[w:Genre|genre]], à ne pas confondre avec le [[w:Sexe|sexe]], qui se réfère aux [[w:Rapport_social|rapports sociaux]] découlant d'un sexe ou d'une sexualité précise. C'est donc un élément également socialement construit, aux normes propres à chaque société ; chaque genre existant porte en lui un ensemble de normes de genre qui en découlent. Les normes de genre sont donc des règles socialement construites sur base du genre d'une personne. Jean-François Gervet propose une approche dans l'autre sens pour le comprendre : <blockquote>On peut voir le genre comme une norme sociétale qui est introjectée au cours de l’éducation et de l’immersion dans une société donnée. Cette norme est en partie structurante car elle aide à acquérir des modalités du contact, en particulier pour la rencontre des sexes. Il ne s’agit pas ici de rêver d’un monde sans normes.<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Jean-François|nom1=Gervet|titre=La norme du genre et son impact sur la sexualité|périodique=Gestalt|volume=51|numéro=2|date=2017-12-12|issn=1154-5232|doi=10.3917/gest.051.0059|lire en ligne=https://shs.cairn.info/revue-gestalt-2017-2-page-59?lang=fr|consulté le=2025-04-02|pages=59–72}}</ref></blockquote>Il spécifie plus tard, dans le même article, que le genre est donc un élément singulièrement contingent au contexte dans lequel il se développe. Ainsi, les normes qui vont en découler seront propres à des milieux sociaux (famille, amis, entourage, éducation scolaire,...) donnés. Si la norme existe, des comportements spécifiques attendus en découlent. Cependant, l'étude qualitative de Mathieu Trachtman de 2022 a relevé que nombre de personnes ne se sentent pas vraiment proche de leur genre : à la question « vous sentez vous très féminine ? » seul 23.3% des répondantes ont donné la réponse « oui »<ref>Trachman, M. (2022). Très Masculin, Pas Très Féminine. Les Variations Sociales du Genre. Population & Sociétés, 605(10), 1-4. <nowiki>https://doi.org/10.3917/popsoc.605.0001</nowiki>.</ref> . Prenons l'exemple des sportifs de haut niveau : dans leur article, Renaud Allamano-Kessler et Anne Mione abordent la question de genre et de comportement genré au sein des compétitions sportives<ref name=":1">{{Article|langue=fr|prénom1=Renaud|nom1=Allamano-Kessler|prénom2=Anne|nom2=Mione|titre=Qui fixe la norme ? Le genre dans l’institutionnalisation d’une pratique sportive|périodique=Innovations|volume=57|numéro=3|date=2018-09-24|issn=1267-4982|doi=10.3917/inno.pr1.0047|lire en ligne=https://shs.cairn.info/revue-innovations-2018-3-page-85?lang=fr|consulté le=2025-04-02|pages=85–107}}</ref>. Ils citent Messner au sujet du choix que représente le fait de se conformer aux normes de genre ou non, et des conséquences que cela peut avoir sur la perpétuation de ces normes en société. Ils citent également Mennesson :<blockquote> […] Pour que les sportives puissent éprouver une certaine appétence pour ces activités qui ne leur sont pas socialement destinées, elles doivent apprendre non seulement à les apprécier, mais aussi à maîtriser certaines techniques corporelles qualifiées de masculines.<ref name=":1" /></blockquote>Ce passage aborde le concept-clé de ''technique de corps'', façon de s'approprier son corps et ses capacités selon le genre que la société nous attribue et les normes qui en découlent. En somme, les normes de genre définissent un rapport social, au corps, aux techniques de corps et aux possibilités de soi, contingentes à un ordre social donné. L'idée de [[w:Les_Techniques_du_corps|techniques du corps]] est un concept développé en profondeur en premier lieu lors de la conférence en 1934 de [[w:Marcel_Mauss|Marcel Mauss]]. Il s'agit de définir les ''techniques'' comme un "ensemble de pratiques techniques et efficaces transmises par l'homme", plus précisément, il dit ceci : <blockquote>J'appelle technique un acte traditionnel efficace (et vous voyez qu'en ceci il n'est pas différent de l'acte magique, religieux, symbolique). Il faut qu'il soit traditionnel et efficace. Il n'y a pas de technique et pas de transmission, s'il n'y a pas de tradition. C'est en quoi l'homme se distingue avant tout des animaux : par la transmission de ses techniques et très probablement par leur transmission orale.<ref name=":2">Mauss, M., & Mauss, M. (2002). ''Les techniques du corps''. J.-M. Tremblay. <nowiki>https://doi.org/10.1522/cla.mam.tec</nowiki></ref></blockquote>Les techniques du corps renvoient en son sens à un ensemble de pratiques jugées efficaces dans leur utilité ; en vertu des besoins de l'homme et de sa culture dans laquelle il vit. Ces techniques sont donc contingentes au milieu de leurs développements. Il donne cet exemple durant la conférence : « Nous avons un ensemble d'attitudes permises ou non, naturelles ou non. Ainsi, nous attribuerons différentes valeurs au fait de regarder fixement : symbole de politesse à l'armée, et d'impolitesse dans la vie courante »<ref name=":2" />. Les techniques du corps ne sont pas abordées dans un sens purement utilitaire sur l'usage du corps comme outil efficace, mais aussi pour les [[w:Symbole#:~:text=Un%20symbole%20peut%20%C3%AAtre%20un,par%20association%2C%20ressemblance%20ou%20convention.|symboles]] qu'il renvoie. En ce sens, si les techniques du corps sont à la fois des symboles liés aux propriétés personnelles de l'individu (le genre, l'âge, l'ethnie), mais aussi liée à un milieu culturel précis, on peut aisément penser que les techniques du corps divergent entre la vie sociale hors ligne et le monde culturel original créé en ligne, et plus spécifiquement dans les jeux vidéos. En rapport à cela, [[w:Bonnie_Nardi|Nardi]] évoque dans son ouvrage ''My Life as a Night Elf Priest: An Anthropological Account of World of Warcraft''<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Bonnie|nom1=Nardi|titre=My Life as a Night Elf Priest: An Anthropological Account of World of Warcraft|éditeur=University of Michigan Press|date=2010|isbn=978-0-472-07098-5|isbn2=978-0-472-02671-5|doi=10.3998/toi.8008655.0001.001|lire en ligne=https://www.fulcrum.org/concern/monographs/p5547s34w|consulté le=2025-04-09}}</ref>, 2010, dans le chapitre 8, la question du genre dans le jeu. Si les avatars en eux-mêmes ne représentent pas forcément le genre de la personne qui les interprète, leur rôle lui peut être stéréotypé. Par exemple, les prêtres, à savoir un rôle lié au soin ou encore au ''[[w:Éthique_de_la_sollicitude|care]],'' sont un rôle vu comme propre aux joueuses. Bien que Nardi n'aborde pas les techniques du corps directement, c'est bien là un exemple de l'application de ces techniques au monde virtuel. == Les jeux vidéos et le basculement des rapports au genre == Au croisement de ces diverses thématiques, un élément forme une première piste de réflexion, à savoir les techniques de corps. Ces techniques sont à la fois exploitées par notamment Mauss pour expliquer le rapport physiologique et attitudinal des personnes à leur socialisation au monde, mais aussi par Servais pour expliquer la période durant laquelle le joueur apprivoise son avatar et son milieu de vie. Néanmoins, là où Servais parle de techniques de corps numériques propres à la plateforme, Nardi laisse penser qu'il y a une forme d'élongation des techniques de la vie courante sur celles en ligne. Si l'avatar n'est à priori pas fidèle au genre qu'il incarne selon les normes sociales occidentale, son rôle reste codifié par l'application de stéréotypes de genre. Par exemple, les rôles de soin sont pour les joueuses alors que les rôles de combat et attaque sont pour les joueurs. Cependant, si on considère la socialisation au monde virtuel comme le pense Servais, ou encore Coavoux, lorsqu'il parle de carrière du joueur, les MMORPG semblent être des outils-clé pour repenser le rapport au genre et ses stéréotypes. En effet, si le joueur arrive dans un nouveau monde à apprivoiser dans son ensemble, y compris dans les rapports sociaux, l'exposition à de nouvelles normes de genre, basculant celle acquise par la socialisation du monde tangible, pourrait constituer un moyen efficace pour déconstruire les [[w:Préjugé_(psychologie)|préjugés]] et [[w:Stéréotype|stéréotypes]] de genre chez les joueurs. Dans cet ordre idée, le joueur en devient donc une potentielle source de changement vis-à-vis des normes de genre, mais reste néanmoins capable également de les perpétuer, comme ce peut être le cas pour le moment avec une prolongation des normes sociales du monde tangible sur le monde virtuel. La consommation des jeux vidéos reste quelque chose de fortement influencé par le genre : pour commencer, Brenda Laurel demande dans sa conférence ''Why not make videogames for girl ?''<ref>{{Lien web|langue=en|nom1=Laurel|prénom1=Brenda|titre=Why not make video games for girls?|url=https://www.ted.com/talks/brenda_laurel_why_not_make_video_games_for_girls?subtitle=en|date=2009-03-02|consulté le=2025-05-02}}</ref>, elle relève que les jeux vidéos sont développés à destination des garçons majoritairement, élément qu'elle qualifie ironiquement de ''conspiration contre les femmes''. Bien que son travail remonte à la fin des années 1990, on peut encore constater une forte disparité entre les genres dans la communauté des joueurs mais aussi dans leurs interactions entre joueurs. En effet, Berdot-Talmier et Zaouche Gaudron ont réalisé une enquête exhaustive quantitative en 2020 auprès de jeunes joueurs afin de pouvoir en faire ressortir les caractéristiques phares.<ref>Berdot-Talmier, L., & Zaouche-Gaudron, C. (2020). Utilisation des jeux vidéo en réseau par les enfants : Motivation, adaptation sociale et affective selon le genre: ''Enfance'', ''N° 3''(3), 375‑395. <nowiki>https://doi.org/10.3917/enf2.203.0375</nowiki></ref> De cette analyse apparaît un premier constat : les garçons jouent plus que les filles, avec respectivement 20.6% contre 9.6% pour le critère "dépasse une heure de jeu par jour". Un second constat est celui de la communication préférentielle : 76.3% des joueurs questionnés interagissent avec des joueurs (au sens du genre masculin) contre 56.9% interagissant avec des joueuses. En bref, les jeux vidéos semblent être un milieu de reproduction de normes de genre, que ce soit par leur audimat, les interactions sociales qui y apparaissent ou encore les rôles encore fortement attribués selon le genre. Enfin, il faut aussi mentionner un autre danger dans les modes de communication des joueurs qui est celui observé principalement sur la plateforme [[w:Discord_(logiciel)|Discord]], il y a une forte présence de sexisme et de misogynie dans les interactions entre joueurs. Le chapitre [[Anthropologie des réseaux sociaux/L'influence du genre dans Discord|l'influence du genre dans Discord]] explore cette thématique plus amplement. == Conclusion == En conclusion, les jeux vidéos sont des milieux encore fortement genrés par la prolongation des normes sociales du monde physique au monde virtuel. Les différentes méthodes de jeux et design permettent une forme de perpétuation des normes de genre, notamment par le biais des rôles, des types de quêtes ou encore des interactions en ligne. Cependant, dans le cas des MMORPG, le jeu vidéo peut devenir une nouvelle porte de déconstruction des normes genrées. En effet, durant la carrière du joueur de MMORPG, il apprivoise un nouveau monde ainsi qu'un nouveau corps en ligne. Le genre de ce corps, cet avatar, est un élément indifférent à l'attention du joueur qui se penchera principalement sur ses capacités et propriétés. En situations d'avatarisation, le joueur s'approprie son personnage, son double de lui-même, indépendamment de son genre, la dualité entre les genres peut en devenir de plus en plus atténuée en ligne. D'un côté, le monde physique empiète de ses normes sociales sur le monde en ligne, mais dans ce cas-ci, on peut faire le chemin retour avec un apport nouveau acquis en ligne, celui de la fin d'une dualité entre les genres pour définir une personne. == Mots-clés == MMORPG - Avatarisation - Carrière du joueur - Transhumanisme - No life - pyramide des besoins de Maslow - Ordre social - Normes de genre - Techniques de corps - Symboles - Perpétuations des préjugés - Emancipation possible. == Questionnaire == Parmi les multiples choix de réponses aux questions, il peut y avoir une, plusieurs, toutes ou aucune réponses correctes. <quiz display="simple"> {Selon le texte, comment les MMORPG peuvent-ils influencer les normes de genre ?} - Ils suppriment complètement les stéréotypes en ligne. - Ils reproduisent uniquement les normes sociales du monde réel. + Ils peuvent à la fois renforcer et déconstruire les stéréotypes de genre. {Que signifient les techniques de corps ?} - Un ensemble d'étapes menant à la création d'un avatar + Un ensemble de pratiques efficaces dans leur utilité (selon les besoins de l'homme et de la culture dans laquelle il se trouve) + Des symboles liés aux propriétés de l'individu et à un milieu culturel précis - Une thèse défendant le transhumanisme {En quoi les techniques du corps telles qu'abordées par Marcel Mauss apporte un éclairage dans la compréhesion des jeux vidéo ?} + Les techniques du corps peuvent être symboliques et influencées par la personnalité d'une personne, alors que celle-ci peuvent varier dans le jeu par rapport au monde tangible. - Les techniques du corps expliquent qu'il est impossible de vivre une expérience en jeux détachée de sa personnalité dans le monde tangible. {Selon O. Servais, que représente le phénomène "d'avatarisation"?} - La pure personnalisation esthétique d'un personnage indéfini. + Une projection de soi dans un corps numérique, prolongeant le corps du joueur. - Une technique de programmation du personnage que l'on souhaite incarner. + Une projection de soi dans un corps numérique, ce dernier se substituant au corps du joueur. {Parmi ces propositions relatives à la pyramide de Maslow, lesquelles sont vraies ?} + Les jeux vidéo complètent les besoins du joueur en lui offrant la sécurité. + Les jeux vidéo complètent les besoins du joueur en lui offrant le sentiment d'être aimé. - Les jeux vidéo complètent les besoins du joueur en assurant ses besoins physiologues de base. + Les jeux vidéo complètent les besoins du joueur en renforçant l'estime qu'il a de lui-même. {Parmi ces propositions, laquelle décrit le mieux le concept de "No Life" ?} + Personne qui trouve dans les univers numérique une réponses à ses besoins sociaux - Personne isolée qui fuit ses responsabilités par le biais des jeux vidéos - Stéréotype du gamer propagé par des séries, des films {qu'est-ce qu'une norme?} + Une forme de comportement/ règle à suivre selon l'ordre social - Une forme de droit naturel - une forme de motivation personnelle {qu'est-ce qui impacte la perception du genre dans les jeux?} - Le genre de l'avatar + Le rôle incarné par le joueur - Le choix personnel du joueur {En quoi le transhumanisme est relié au phénomène des No Life ?} - Car les No life jouent avec des casques VR, ce qui est donc une augmentation des possibilités naturelles - Car le transhumanisme vise les personnes qui tournent le dos au social + Car le phénomène des No life est permis par le transhumanisme entre autres </quiz> == Liens et références externes == <references /> {{Bas de page | idfaculté = socio-anthropologie | précédent = | suivant = }} 1e7pncyk41wb05lnwaqsf7qsjtqsiu4 4 86054 982911 982651 2026-05-18T06:15:41Z Marvoir 1746 /* La page Théorie des groupes s'affiche mal */ nouvelle section 982911 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|05}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-19 == <section begin="technews-2026-W19"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/19|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L’équipe chargée des fonctionnalités de [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Guidage des articles]] invite les contributeurs et contributrices expérimentés des [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Pilot wikis and collaborators|Wikipédia pilotes]] (arabe, bangla, japonais, portugais, persan, turc, anglais simplifié, espagnol et français) à contribuer à la traduction et à l’adaptation des [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Category:Pages_using_article_guidance exemples de trames d’articles]. Ces trames guideront les contributeurs dans la création d’articles clairs, bien structurés et conformes aux règles lors de l’utilisation de [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Special:NewArticle la fonctionnalité] dès son lancement en mai 2026. Des [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|instructions simples]] expliquant comment traduire et adapter ces trames sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * Le [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council|Conseil consultatif sur les produits et les technologies]] a publié [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/May 2026 draft PTAC recommendation for feedback|une proposition de recommandation]] d’une procédure type que les organisations affiliées à Wikimedia pourraient suivre pour contribuer au domaine technique. Les membres de la communauté sont invités à donner leur avis sur cette recommandation avant le 8 mai [[:m:Talk:Product and Technology Advisory Council/May 2026 draft PTAC recommendation for feedback|sur la page de discussion]]. * Le nombre de préférences de taille de la miniature disponibles dans MediaWiki va être réduit à trois options standardisées : ''petite'' (180 px), ''moyenne'' (250 px) et ''large'' (400 px), dans le cadre du travail en cours pour améliorer les performances et réduire la pression sur les services de miniatures. Par conséquent, les préférences existantes seront automatiquement adaptées à la nouvelle taille la plus proche (par exemple, les petites tailles comme 120 px ou 150 px s’afficheront à 180 px, tandis que les grandes tailles comme 300 px ou 360 px s’afficheront à 400 px). L’interface des préférences sera bientôt mise à jour pour refléter ces changements, et les utilisateurs qui souhaitent s’y opposer ou donner leur avis peuvent le faire. [https://phabricator.wikimedia.org/T424909] * Dorénavant, même lorsqu’une permission expire automatiquement, les utilisateurs recevront une notification Echo similaire à la notification normale pour les changements de permissions. Quant au [[m:Special:MyLanguage/Global reminder bot|robot global de rappel]], il continue de prévenir les utilisateurs une semaine ''avant'' que leurs droits ne soient sur le point d’expirer, afin qu’ils puissent les faire renouveler. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:32|la tâche soumise|les {{formatnum:32}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:32||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème du sélecteur de langue ULS dans [[m:Special:Translate|Special:Translate]] qui faisait défiler verticalement alors qu’il ne devait pas, a été résolu. Auparavant, lorsque les utilisateurs ouvraient le menu déroulant « Traduire en français » et commençaient à saisir le nom d’une langue, la boîte de dialogue défilait verticalement de quelques pixels même lorsqu'il y avait suffisamment d’espace pour afficher tous les résultats. Le menu déroulant ne se déplace plus inutilement lors du filtrage des langues. [https://phabricator.wikimedia.org/T358864] * La [[m:Special:GlobalWatchlist|liste de suivi globale]], qui vous permet de consulter vos listes de suivi provenant de plusieurs wikis sur une seule page, continue de s’améliorer. Par exemple, les listes de suivi pour les sites avec Wikibase tels que [[:d:|Wikidata]] prennent désormais en charge les éléments [[mw:Special:MyLanguage/Extension:EntitySchema|EntitySchema]] pour un meilleur suivi. Le mode Mises à jour en direct actualise désormais la page spéciale toutes les 60 secondes afin de se conformer aux [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|nouvelles limites globales d’accès à l’API]] pour une meilleure réactivité en temps réel. Par ailleurs, un bug de directionnalité du texte qui affichait les liens comme « changements 3 » au lieu de « 3 changements » dans les listes à directions mixtes a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T415450][https://phabricator.wikimedia.org/T424422][https://phabricator.wikimedia.org/T418091] '''Actualités pour la contribution technique''' * La deuxième phase de [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|limitations globales d’accès à l’API]] a été déployée pour réduire l’[[diffblog:2026/03/26/quo-vadis-crawlers-progress-and-whats-next-on-safeguarding-our-infrastructure/|impact des robots IA]] et assurer un accès équitable et durable aux ressources de Wikimedia, en donnant la priorité au trafic humain et conforme à notre mission. Les [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits#Limits|limites]] ne s’appliquent plus par heure mais par minute, produisant une meilleure répartition dans les structures de trafic ainsi qu’une meilleure prévisibilité de la charge de l’API. Les utilisateurs de la communauté ne devraient pas être affectés, et aucune action n’est requise. Les premières indications montrent que certains requérants basés sur l'agent utilisateur ajustent leur comportement, et environ 64 % du trafic API automatisé a été identifié. La surveillance continue, et Wikimedia Enterprise reste disponible pour l’assistance commerciale. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.27|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/19|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W19"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 4 mai 2026 à 20:43 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30498077 --> == Hiruwiki == Bonjour à tous, Désolé si mon français n’est pas parfait, ça fait longtemps que je n’ai pas parlé français. Je voudrais demander s’il y a de l’intérêt pour utiliser Hiruwiki sur Wikiversité. Hiruwiki est une collection de widgets interactifs, multilingues, pour les mathématiques et la géométrie, faits pour les projets Wikimedia. Ça permet aux éditeurs d’ajouter des visualisations dynamiques, des preuves interactives, et des outils éducatifs directement dans les pages wiki, pour rendre les concepts plus faciles à comprendre. Le projet a été créé par la communauté Wikimedia basque et après adapté pour usage international. Est-ce que vous pensez que ça peut être utile pour les contenus éducatifs ou les cours ici ? Vous pouvez voir un exemple [[mw:Hiruwiki|ici]]. Cordialement, [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 6 mai 2026 à 08:13 (UTC) :{{notif|ItsNyoty}}Des premiers exemples avec lesquels je me suis « amusé », je trouve cela superbe et très prédagogique. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 6 mai 2026 à 10:55 (UTC) :: @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ou @[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]], pourriez-vous jeter un œil à ceci? [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 10 mai 2026 à 18:39 (UTC) :::Oui, c'est le bienvenu [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ! Attends-tu de nous que nous fassions l'installation du gadget et l'importation des modules ? Il faudrait ensuite traduire tout ça en français. Comment vois-tu les choses ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 10 mai 2026 à 21:52 (UTC) :::: La traduction est actuellement achevée à 88%. Vous pouvez la consulter [https://translatewiki.net/wiki/Special:MessageGroupStats?group=hiruwiki&messages=&x=D#sortable:3=desc ici]. L'installation n'est pas difficile, j'ai un manuel sur [[mw:Hiruwiki|MediaWiki]]. Les traductions devraient normalement être terminées cette semaine. [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 11 mai 2026 à 07:57 (UTC) :::::Ok [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]], tiens-nous au courant. Je me suis inscrit sur Translatewiki, mais je dois encore comprendre le fonctionnement. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 11 mai 2026 à 10:31 (UTC) :::::: D'accord [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 11 mai 2026 à 11:47 (UTC) == Proposition d’essai pédagogique de Peer-Review == Bonjour, dans le cadre d’un accompagnement à la diffusion libre des publications scientifiques et à l’expérimentation de revue par les pairs, j’aimerais savoir s’il est possible (et pertinent) de monter sur la Wikiversité un exercice de peer-review à l’adresse d’étudiants et de scientifiques francophones. Nous cherchons un lieu pour faire tester le peer-review libre de publication. Il n’y a pas la volonté de mettre ça sur le dos de la communauté ni de lancer un Wikijournal, mais plutôt de montrer comment fonctionne un tel système par l’expérimentation. Cette expérience sera dans le cadre du colloque [[meta:RUNED26/fr|Runed 2026]] qui est soutenu par Wikimédia Suisse, et je serai la personne qui mettra en place les pages pour encadrer et faire fonctionner tout ça. Est-ce que vous pensez que la Wikiversité peut héberger cette expérience ? L’idée serait de présenter le projet également à ce moment-là et d’en expliquer le contenu et l’usage. Merci d’avance pour vos réponses. :) [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas Lévêque]] ([[Discussion utilisateur:Lucas Lévêque|discuter]]) 6 mai 2026 à 13:28 (UTC) :Bonjour, oui à mon avis ça rentre tout à fait dans le cadre d'un travail wikiversitaire, dans l'espace de nom [[Recherche:Accueil]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 6 mai 2026 à 16:18 (UTC) ::Welcome [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas Lévêque]] =) Il y a des personnes rémunérées ou tout le monde est bénévole ? Je pense que cela fait partie des principes Wikimedia d'être au clair là-dessus et puis, ça répond aussi à ma curiosité. Si ça vous intéresse, j'ai organisé un [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2025|séminaire]] deux années de suite dans lequel j'invitais les participant à relire les travaux de chacun. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 10 mai 2026 à 21:52 (UTC) ::: Bonjour [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]], je pense que je serai la seule personne rémunéré sur ce projet. Et je serai rémunérée uniquement pour mettre en place les pages. Le reste se fera au sein du colloque mentionné avec leurs étudiants, donc je pense que c’est similaire à ce vous faisiez. Je vous remercie d’ailleurs pour ce partage. Et je remercie également [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] pour sa réponse. Je vous propose de vous tenir au courant ici de ce qui est fait, comme ça, si je pars dans une direction qui ne vous convient pas, vous pourrez me corriger facilement en cours de route. [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas Lévêque]] ([[Discussion utilisateur:Lucas Lévêque|discuter]]) 11 mai 2026 à 10:08 (UTC) ::::Ok [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas]], le projet Wikiversité est beaucoup plus souple que Wikipédia. En gros, on veille surtout à ce qu'il n'y ai pas de prosélitisme, politique, religieux ou autres. Pour le reste, travaux personnels et tous types de sources sont les bienvenus, tant que ça cadre avec l'objectif du projet dédié à la formation pédagogique et de recherche « scientifique ». Il ne reste qu'un chose à préciser. Comme on est sur un site collaboratif, il faut prévenir si les pages que vous allez créer peuvent être modifiées par tous les utilisateurs, ou pas. Et si oui, selon quelle modalité. Pour [[Recherche:Imagine un monde|ma thèse de doctorat]], j'ai expliqué que les correction au niveau orthographe et syntaxe sur les pages de présentation étaient libres, mais que pour tout ce qui concerne le fond et non la forme, les idées devaient êtres partagées et débatues sur les pages de discussion. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 11 mai 2026 à 10:34 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-20 == <section begin="technews-2026-W20"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/20|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * La Communauté Technique a publié [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/How to write a good wish|de nouvelles directives]] expliquant comment les souhaits sur la Liste de souhaits de la communauté sont triés et priorisés. La documentation vise à aider les contributeurs à rédiger des propositions plus solides en clarifiant les facteurs qui influencent les décisions de priorisation. Au-delà du nombre de votes, les directives mettent en avant des considérations telles que l'impact potentiel sur la communauté pour déterminer quels souhaits avanceront. '''Actualités pour la contribution''' * L'équipe de croissance des lecteurs lance une expérience pour tester une nouvelle [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Share_Card|fonctionnalité de Partage de Carte]] qui permet aux lecteurs de créer des cartes visuellement attrayantes à partir d'articles Wikipédia ou de sections d'articles sélectionnées et de les partager en ligne, chaque carte renvoyant à l'article original afin d'aider à augmenter le lectorat et la découverte des articles. Le test A/B réservé aux mobiles ne sera disponible qu'à une partie des lecteurs sur les Wikipédia en arabe, chinois, français, vietnamien et anglais afin de mieux comprendre les habitudes de lecture et de partage, et est prévu pour commencer la semaine du 18 mai pour une durée de quatre semaines. * Les applications Wikipedia pour Android et iOS ont récemment publié en version bêta le [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/25th_Birthday_Reading_Challenge|défi de lecture de 25 jours]], dans le cadre des efforts visant à stimuler l'engagement des lecteurs en encourageant les utilisateurs à atteindre des objectifs de lecture. Pour suivre leur série de lectures pendant le défi, les utilisateurs de l'application peuvent ajouter un widget avec Baby Globe à leur écran d'accueil. Le défi commence officiellement le 11 mai. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:17|la tâche soumise|les {{formatnum:17}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:17||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où la préférence globale pour activer la coloration syntaxique dans le wikitexte pouvait s'éteindre de manière inattendue après avoir été activée a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T425286] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Octicons-tools.svg|12px|link=|alt=|Sujet technique]] Le module ResourceLoader <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mediawiki.ui.input</nowiki></code></bdi>, obsolète depuis [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2023/39|septembre 2023]], sera supprimé cette semaine. Il existe un [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Migrating_from_MediaWiki_UI|guide pour migrer de l’interface MediaWiki UI vers Codex]] pour tous les outils qui l’utilisent. [https://phabricator.wikimedia.org/T420125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.2|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/20|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W20"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 11 mai 2026 à 19:20 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30524429 --> == La page ''Théorie des groupes'' s'affiche mal == Bonjour. La page [[Théorie des groupes]] s'affiche mal, du moins selon l'idée que je me fais d'une page qui s'affiche bien : en dessous de la liste des exercices, le texte est distribué en colonnes où il n'y a qu'un mot par ligne. Je me sens malheureusement incapable d'y remédier, n'ayant qu'une connaissance limitée de la syntaxe. Au cas où on serait d'accord avec moi pour trouver que cet affichage n'est pas très beau, quelqu'un pourrait-il y remédier ? Merci d'avance. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 18 mai 2026 à 06:15 (UTC) q1keoisk93jy2gp4jl03dv4xbnlg8xc 0 87048 982908 982834 2026-05-18T04:32:54Z PandaMystique 80252 /* La rencontre avec Alfred Giard et la décision d'écrire */ 982908 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 4 | précédent = [[../La pré-maturation : les premières lectures techniques/]] | suivant = [[../La première Ébauche : la lutte du Capital et du Travail/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La rencontre avec Alfred Giard et la décision d'écrire == [[File:Giard WIM 07.jpg|thumb|right|Alfred Giard en 1899, à la station zoologique de Wimereux]] Le déclencheur du projet a probablement été la rencontre, en Bretagne durant l'été 1883, d'un homme dont le nom est aujourd'hui peu connu mais qui a joué un rôle décisif dans la genèse de ''Germinal'' : Alfred Giard<ref>Smethurst, ''op. cit.'', p. 15.</ref>. Pour comprendre l'importance de Giard, il faut savoir qu'il cumulait plusieurs fonctions stratégiques : il était à la fois député républicain de la circonscription de Valenciennes (laquelle inclut, fait capital, la puissante Compagnie des mines d'Anzin) et professeur à la Faculté des sciences de Lille. Autrement dit, il faisait à lui seul le pont entre trois mondes que tout, en apparence, séparait : le monde politique parisien, le milieu universitaire du Nord et le monde ouvrier des houillères. Pour Zola, qui cherchait précisément à s'introduire dans ce dernier, il était l'intermédiaire idéal. C'est par lui que Zola sera introduit au monde minier dans toutes ses dimensions : ses ingénieurs, ses syndicalistes, ses notables, ses ouvriers. C'est par lui aussi qu'il pourra rencontrer plusieurs personnages-clés. Émile Basly, en particulier, est une figure qu'il faut retenir : ancien mineur devenu cabaretier puis député socialiste, il est le leader de la grève d'Anzin de 1884, et il inspirera en partie le personnage de Rasseneur dans le roman. À ses côtés, son compagnon de lutte Fauviau. Du côté du patronat éclairé (c'est-à-dire de la bourgeoisie favorable à des réformes), Giard ouvre à Zola la porte de sa propre famille (ses frères) et de la famille Lebret<ref>Marel, ''op. cit.'', p. 5-9.</ref>. L'occasion concrète du voyage à Anzin est fournie par l'actualité. Quand la grève éclate à Anzin en février 1884, l'une des plus longues de l'histoire sociale française puisqu'elle durera deux mois, Giard renouvelle aussitôt à Zola son invitation à venir sur place. Sa lettre du 20 février 1884 mérite d'être citée intégralement, car elle donne à voir l'aspect très concret, presque banal, de cette invitation qui aura pourtant des conséquences considérables : <blockquote>« Je serai chez moi jeudi et vendredi de dix heures à midi. Samedi matin, à 8 h, je pars pour Valenciennes où je dois assister à une réunion de fabricants de sucre et cultivateurs. J'y resterai deux ou trois jours et si votre intention était de faire aussitôt le voyage je me ferais un plaisir de vous guider moi-même au Pays noir. Sinon, mon frère me remplacera et vous facilitera la recherche que vous désirez entreprendre. »<ref>Lettre d'Alfred Giard à Émile Zola, 20 février 1884, citée dans Pagès, GF, 2008, ''op. cit.''</ref></blockquote> Un détail mérite d'être souligné, car il modifie complètement la lecture qu'on fait habituellement de la genèse du roman : à la date où Giard envoie cette lettre, Zola a déjà commencé son Ébauche. Ce point peut paraître anodin, mais il a en réalité une portée considérable. Henri Marel insiste lourdement dessus et le démontre à partir des manuscrits : Zola « a son roman en tête lorsqu'il vient à Anzin. Il a déjà prévu une catastrophe : "J'aimerais bien l'éboulement du puits avec tout coulant à l'abîme. Il resterait quelques ouvriers au fond, avec des chevaux." »<ref>Ébauche, Ms 10 307, f° 428/27, lecture d'E. M. Grant ; cité par Marel, ''op. cit.'', p. 12.</ref>. Que faut-il en conclure ? Tout simplement ceci : le voyage à Anzin n'est pas le germe du roman, comme on le suppose souvent, mais plutôt son banc d'essai. Le romancier va sur place pour vérifier, enrichir et concrétiser une fiction qu'il avait déjà imaginée en grande partie. Ce point sera capital pour comprendre, à la section 13, la dialectique entre documentation et invention. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../La pré-maturation : les premières lectures techniques/]] | suivant = [[../La première Ébauche : la lutte du Capital et du Travail/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 8pcu8ukirsrbrxp1ehgke6w11mi2o8l